MATEMATIK TAMBAHAN - GEOMETRI KOORDINAT

GEOMETRI KOORDINAT KERTAS 1 1.

Rajah di bawah menunjukkan garis lurus PQ dengan persamaan

x y + = 1. Titik Q 3 5

terletak pada paksi-x dan titik P terletak pada paksi-y. y P

O

Q

x

Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan PQ dan melalui titik Q. [3 markah]

2.

Garis 8x + 4hy - 6 = 0 adalah berserenjang dengan garis 3x + y = 16. Cari nilai h. [3 markah]

3.

Garis lurus

4.

Suatu garis lurus melalui A(-2, -5) dan B(6,7). (a) Diberi C (h, 10) terletak di atas garis lurus AB. Cari nilai h. (b) Titik D membahagikan tembereng garis AB dalam nisbah 1 : 3. Cari koordinat D. [4 markah]

x y   1 mempunyai 3 sebagai pintasan-y dan adalah selari dengan garis 14 m lurus y + nx = 0. Tentukan nilai m dan nilai n. [3 markah]

5.

Rajah di bawah menunjukkan garis lurus AB yang berserenjang dengan garis luruse CB pada titik B. y

B

A (0, 6)

x

O C

Persamaan garis lurus CB ialah y = 3x - 4. Cari koordinat B. [3 markah]

KERTAS 2 1. Penyelesaian secara lukisan berskala tidak dibenarkan. Rajah menunjukkan garis lurus AC yang menyilang paksi-y pada titik B. y

●C

O

x ●

●

A( –3 , –7 )

Persamaan AC ialah 3 y  2 x  15 . Cari

B

(a)

persamaan garis lurus yang melalui titik A dan berserenjang dengan AC, [4 markah]

(b)

(i) (ii)

koordinat B, koordinat C, diberi AB : BC = 2 : 7. [3 markah]

2. Penyelesaian secara lukisan berskala tidak dibenarkan. Rajah menunjukkan persamaan garis lurus BC ialah of 3y + x + 6 = 0 dan berserenjang dengan garis lurus AB pada titik B. y A(-6, 5)

B x

O 3y + x + 6 = 0 C

(a) Cari (i) persamaan garis lurus AB (ii) koordinat B.

[5 markah]

(b) Garis lurus AB is dipanjangkan ke titik D dengan keadaan AB : BD = 2 : 3. Cari koordinat D. [2 markah] (c) Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A adalah sentiasa 5 unit. Cari persamaan lokus P. [3 markah]

3.

Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. Rajah menunjukkan satu segi tiga sama kaki ABC dengan keadaan AB = CD. Garis lurus BD adalah berserenjang dengan garis lurus AC. y

A

B (6, 7)

D C (10, 0) O

Diberi bahawa kecerunan garis lurus AC = 

x

2 . 3

Cari (a)

pintasan-y garis lurus AC,

[1 markah]

(b) persamaan garis lurus BD,

[3 markah]

(c ) koordinat bagi titik A,

[4 markah]

(d)

[2 markah]

luas segitiga ABC.

4.

Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. y S P R (6, 1) x

Q

Rajah menunjukkan garis lurus PR bertemu dengan garis lurus QS pada titik R (6,2). Diberi bahawa PR adalah berserenjang dengan QS.

(a) Cari persamaan garis lurus QS

[4 markah]

(b) Titik R membahagi dalam garis lurus QS dengan nisbah QR : RS = 2: 1. Cari koordinat S.

[3 markah]

5. Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. Rajah menunjukkan sebuah lelayang ABCD. Pepenjuru-pepenjuru AC dan BD bersilang pada titik M. y B (2, 5) A

M

O

D

C C

x

Persamaan AC ialah x + 2y = 7 dan BM : MD =1 : 2. (a) Cari (i) persamaan pepenjuru BD, (ii) koordinat bagi M dan D. [7 markah] (b) Titik P (x, y) bergerak pada satah Cartesan dengan keadaan PM = MD. Cari persamaan bagi lokus P.

[3 markah]

JAWAPAN (KERTAS 1) No 1

Penyelesaian Kecerunan PQ , m1 = -

Markah

5 dan Q (3 , 0) 3

1

m1 X m2 = -1 3 m2 = 5 3 ( x  3) 5 5y = 3x – 9

Persamaan garis lurus y  0 =

2

8x + 4hy – 6 = 0 4hy = -8x + 6 8 6 y = x+ 4h 4h 2 3 y = - x + h 2h 2 m1 = h

4(a)

y = -3x + 16 1 m2 = -3

x y + = 1 14 m Pintasan y = m = 3 x 3 y Dari + = 1, kecerunan m1 = 14 14 3 Dari y = -nx , kecerunan m2 = -n . Jika dua garis selari, m1 = m2 3 = -n 14 3 n = 14

m AC = m AB 10  (5) 7  (5)  h  (2) 6  (2)

1

3x + y = 16

m1 X m2 = -1 2 (- )(-3) = -1 h h = -6 3

1

1 1

1

1 1

1

15 12  h2 8 h  2  10 h =8

(b)

x

1

1(6)  3(2) 0 4

,

y

1(7)  3(5)  2 4

1

D( 0,-2) 5

1

Kecerunan CB , m1 = 3 AB berserenjang dengan CB, maka m1 X m2 = -1 1 Kecerunan AB, m2 =  3 1 Persamaan AB , y=- x+6 3 y = 3x - 4 ……………(1) 1 y = - x + 6 ……………(2) 3 1 3x - 4 = - x + 6 3 10 x = 10 3 x=3 y = 3(3) - 4 = 5 B (3, 5)

1

1

1

JAWAPAN (KERTAS 2)

1(a)

2 3 3 m2  2 3 x  3 y7  2 3 23 y x 2 2

1

m1 

1 1 or

3x + 2y + 23 = 0

1

(b)

(i) (0, -5)

1 (ii)

2(a)

(i)

2h  7( 3) 2k  7( 7)  0 or  5 2  7 2  7 (10.5 , 2 )

m BC = -

1 3

1 1

1

Persamaan AB , y – 5 = 3(x + 6) y = 3x + 23

1 1

(ii) Gantikan persamaan (1) dalam (2), 3(3x + 23) + x + 6 = 0 B(-

15 1 , ) 2 2

(b) Katakan D (h, k) 15 1 2h  (18) 2k  15 B( , )= ( , ) 5 2 2 5  39 25 D ( , ) 4 4 (c)

3(a)

(b)

1 1

1 1

( x  (6))2  ( y  5)2 = 5 ( x + 6)2 + ( y – 5)2 = 25

1 1

x2 + 12x + 36 + y2 -10y + 25 = 25 x2 + y2 + 12x -10y + 36 = 0

1

2 y   xc 3 2 0   (10)  c 3 20 pintasan -y = 3 2  X m BD = -1 3 3 m BD = 2

1

1

3 ( x  6) 2

y7 

3 x2 2

1

3 2 20 x2  x 2 3 3

1

y

(c)

1

x=4 3 (4)  2 2 y=4 D (4, 4)

1

10  x 0 y 4 , 4 2 2

1

A(-2, 8)

1

y

(d)

1 10(7)  6(8)  (2)(0)  (10(8)  (2)(7)  6(0))  2

1

= 26

4(a)

mPR  

2 3

y

(b)

1 3 2

1

3 ( x  6) 2

1

mQS 

y 1 

3 x 8 2

1

 1(0)  2( x) 1(8)  2( y)  (6, 1) =  ,  1 2  1 2  0  2x 6 , 3

S (9,

1

11 ) 2

 8  2y 1 3

1

1

1

5(a)

(i) mBD = 2 y–5 = 2(x–2) y = 2x + 1

1 1 1

(ii) 2(2x + 1 ) + x = 7 M( 1 , 3 )

1 1

x  2( 4) y  2(5)  1 ,  3 1  2 1  2 D( – 1 , – 1 )

( x  1) 2  ( y  3) 2  (1  1) 2  (3  1) 2

(b)

(x–1 )2 + (y–3)2 = (1+1)2 + (3+1)2 2

1 1

1

1

2

x + y – 2x – 6y – 10 = 0

1