Matematik-112

..

hI

~

z

..

~~

r

a

Po~ p

j- '

y

y~?-3?- [3x+[5

I+e.,..--.f-.--.

,

"

"

--+ y

y

x

h '-_-_~

•

,

x

y

o

v o

~p Nyt Teknisk Forlag

Indhold

Tal og algebra 1

Infinitesimalregning 737

Koml'lcksc lal 14

Differentialregning 140 Integration 151 Arealberegning 158

Rentesregning 23

Volurncnbcrcgning /6/

ligninger og uligheder 28 Geometri 36

Trigonometri 46 Retvinklede trekanter 46 Vilk:1r1igc trekanter 51

Trigonometriske funktioner 56

Numerisk integration /63

Diffcrcllti:1lligningcr /68 Tabel over dirrcr~'ntia l kvotie n ler og stamfunktioner 170

Vektorer i to dimensioner 177 Vektorer i tre dimensioner 192 Rumgeometri 208 Rumgeometri oversigt 2/3

Analytisk geometri 69 Linje i plan 73 Cirkel 86 Proportionalitet 89

Vektorfunktioner 232 Ikvægelser 235

Funktioner 91

Keglesnit 243

Andengrads polynomiet 102 Tredjegrads polynomiet 103 Polynomier 104 Eksponentiel u(lvikling /10 Potensudvikling //8 Spt'cicllc funktioner /22

Sandsynlighedsregning 246 Kombinatorik 250 Stokastiske v;lriablc 255 Sandsynlighcdsfordclingcr 264

Rækker 282 Regression 127 Matematiske tegn og symboler 290 Grænseværdi 129 Index Asymptoter 133

, -3 Tal og algebra

Tal og algebra Algebra betyder bogslavregn ing, die r operationslære ug kommer fra d el "rabiske 'II-gcbr.

Operationer Add ition:

(1+0 =(

a og b: Addender. c: SUlll m en .

Subtraktion:

II-b=c

(I:

Minuend.

b: Subtrahend. c: Differensen.

Multiplikation:

Division:

Og 11: Faktorer. c: Prod uktet.

(l'u=c

II

a : il = c

a: Dividend eller tæller. li: Divisor eller nævner. c: Kvotienten.

eller:

a

-=c b

Regningsarternes hierarki 10 POlcnsoploftning og rod uddragn ing.

1

2. Multiplikation og division.

3. Addit ion og subtmktion .

Regneregier for tal Regel

Benævnelse

a + b = b +(1

Kommutative lov for addition.

(a +b) + c = a + (b + cl

Associative lov for addition.

n· b = li· (I

KOlllmutative lov for mul tiplikation.

(n· bl·c = (/. (b -cl

Associa tive lov for multiplikation.

(/ . (b + c) = ti· b + Il . C

Distributive lov.

.-.

Tal og algebra

Regneregier for brøker

o

eration

Addi tion og subtraktion;

løsnin ~±~ 1/ 1

Multiplikation:

l, '/Il t n l ' l l

" l

III -//1

.!.J.. .!L = !..!:.!..L " 1 " 2

" . ''' 2

Division:

Forlængelse:

f

t . {/

'1

" . Il

- = - -,aeR,a:;tO t I : (I - = - - , lIE R,a:;tO

Forko rtelse:

1/

11:11

t

t = - -, (lE R, a *0

Muh iplikalion med et tal: Division med el tal:

- : 11 11

1/'(/

Kvadratsætninger , ' (x+y)·=x +y-+2·x·y

,

(X+Y )'(X_ Y)= X 2 _ y 2

Regneregier for numerisk værdi

Inl=H

jn"j=iaI"

In~ = Inll11

la + ~ :s: lal+ ibi Trekantsuligheden.

I~=~

la -~ S lal +I~ Trekantsuligheden.

ro 7-0 Tal og algebra

Regneregier for potenser

r

(am b'" =(a ·b)'"

ti '" •

-m

O

m

m- n

tf

=0'"'' I

=om

-=(1,.

,,"

Regneregier for roduddragning 'V.{;;. 'Jj;, = III "

(I

m+!I

-~ = ",."r-;;:;;; va "-'"

if;;

(v;;j" = ~ O

q'~am-n =

V;;;;

~ = {Iaj for 1/ lige for /I ulige

ti

Regneregier for titalslogaritmen 30

y y-ID'

25

(I

= 10 10&(11) = 10g(l O" )

10g(lO) '" l

log(l)= 0

20 10g(a -b) = 10g(a )+ log(b)

15 IO

5

'0~~==F=~~==~ 246&10 '

lo~f) = log(a )- Iog(b) 10g(a P) = p · log(n)

log( tin) =.!.. - Iog(a) q

10 - 12 Tal og algebra

RegneregIer for den naturlige logaritme 10 Y

y=K

y=e '

a = c1n(u)= lnkn) log(lO)= I

&

Jog(l )= o

6

In«(/ -b) = In«(/)+ Jn (b)

4

_ - -- ...c -In x 2

4

6

6

lO K

In(~) = In(a) - In(1J) ln (a P) = p. In «(/) Jn(tIa) =..!.. ln «(/)

q

Sammenhæng mellem titalslogaritme n og den naturlige logaritme

I

=log(II)· Jn{IO) log(a) =In «(/) ·log(e) l n«(/)

Mængdeoperationer og definitioner o eration Fællesmængden

An ivelse som mæn de

A ,"", U =Ix\XEA/UE U}

Hvis A n U =

ø siges A og U al være disjunkte

Foren i ngsmængden AUU=/x\XEAvXEBj

A\B =l xIX E AAXEBI

F 13 - 13 Tal og algebra

An ivelse som mængde

Operation

Komplementærm ængden

CA=lxlxeAI

Intervaller ror Il,be R og Abne

(I

--~

4

,

V =-· 7[·r 3 r er radius og d er diameter.

Kugleskive

O" =2· 7[·r · "

~-~

r

A

= 7[ . (4 . r .(x+II )- x 2 _(x +II )2)

V=

1t . " {r.x+ (h+X).(r -x)_ /~ll

II er højden af stykket, r er radius og x er stykket til toppen fra ski\'ens endepun kt. Kugleuds nit

hf

O" =2'1T'r'/' A = 7[ . r -(

r

Jr,-.,-.C-,,-_-'-,,"'"l + 2 . /, )

r

V=3.' 7[ . r 2 . h

3 II ('r højden af stykket og r er radius.

d

44 - 44 Geometri

Fi ur Kuglckalol Kuglcafsnit

Formler

O" =2· n·r h = n· (t/!+ /, 2) A = n · /I· (4·r - h)

...L

hl

l > l 2' V =- ·n·!J- ·(6·r -2· h)=-· n·!, ·(3·{j +h-)

r

6

r

6

It er højden af stykket, {j er rad ius af cirklen i afsnittet og r er radius.

_-r-_ d

Ellipsoide

c

b

Parabol ide

4 V=--1!:'ll'/"C (I,

3 b og c er halvdelen af akse rne.

V =..!.· n·b !

-ti

l (/ er højden og b er brc.'dden.

a

Cylinder

O" =2·/I·r·l, A =2· /I · r· (h+r )

V = n·r 1 · 1I rer radius og II cr højden.

h

Cylinderrør

r

O" =2· n- (R+r)· I, A =2' n-(R+rH R - r+/J ) V=/I.".(R 1 _r 1 ) R, r er radierne og" er højdcn.

h

R Sphæ risk trekant

A = /t .r1( A+H+ C

8

.rfj A

C

180

Il

r er rad ius, A, 8, og C er vinklerne.

44 - 44 Geometri

Fi ur

Formler

O... =lt·r·s A=n·r·(s+r) l

,

V=-· n · r · 11 3 Kt'glc udfoldet

k=2.s.sin(~)

, ~~-I'

=

Sin(%). 360

0

= 360

0

.~

r er rad ius, s er sidelængden, II er Iwjden, rI er lopvinklen, k er kordelængden og I' er udsnilsvinklen. Keglestub

0 .0\ = n ·s·(r+ R) A = n (R 2 +s.(r+R)+r 2 )

, ~G;

Keglcstub udFoldet

Torus

1'=360

R

r. R er radierne, s er sidelængden, s, er sidelængden af hele keglen, l, er højden, k er kordc1ængden og I' er udsnitsvinklen.

A = n 1 . (/? 2 _ r 1 ) l , \I ;:; -· n

·(I~+r)

,

(U - r )

3 rer den indre radius og R er den yd re radius.

V;:;G·lr

G er grundfladen og II er hojden.

45 · 45 Geometri

Fi ur

Formler

Kasse A =2·(a·b+a·I1+ b·/I ) h

V = n·b·h b er sidelængderne og" er hojdcn.

ti,

a

b

Pyramide

A=G+2.

G { ~+112)

(Med kvadratisk grundflade) l

V=_·G·/i 3 G er grundfladen og II er højden.

Pyramideslub

il

,

~ +-+---G 4

g 4

2

(Med kvadratisk grund flad e)

V

=~"'(G+g+h)

3 G, ogg er grundfladerne og II er højden.

Guldin. regler Del krumme overfuldeareal kan bestemmes ved: /._"0 360

Volumen kan bestemmes ved:

46 - 49 Trigonometri

Trigonometri Ordet trigonometri betyder trekantsm31ing. Dette er læren om forho ldet mellem siderne og beregninger af vinkler og sider i en trekant.

Retvinklede trekanter Pythagoras sætning A

For en retvinklet trekaIlI gælder: (/ 2 +bl =c1

c

b

(/ og b kaldes for kateterne og c for hypotenusen,

c L-- - - - -:::".

•

Pythagoras omvendte sætning

I

Hvis der fo r en trekan t gælder, at sammenhængen mellem siderne ka n udtrykkes: a!+b 2 =c! Da er trekanten retvinklet.

Trigonometriske formler A

.

smA=

c

b

eosA

c --- - - ---=». 11

modstdcnde katete a =hypotenusen (: hosliggl.'nde katl.'te hypotenuse n

,,~o~d~"~'~,·,~,d~,~k~at~""" tanA=-;-m hosliggendl.' katete

Formler med hypotenusen c c,

c,

b c " b

-

50 · 53 Trigonometri

Areal In af retvinklet trekant A b

c h

C " ' - ----:-- - " - 8 a

Vilkårlige trekanter Sinusrelationen " b , --=--=--=2-R si n A sinlJ si n e si nA sin fj si n e --=--=--=-b Z·R

,

Cosinusrelationerne 8

L

A

(/2

=//

+,2

b2

=(12

+c 1 -2-"-'.C05B

cl =(12

C

b

-Z.b.c-eosA

+b 1 -Zo a.b.cose b 2 +,2 -al

eosA = '---:-':----"Z-b-c

Tangensrelationerne 8

L

A

ta n A =-~'~in~B~'~",--c-COSlJ-tl

lan B = b

C lan C =

sin C· (I

h-cose-n

si n A- b = _~,~;,~,Co:..;'I~'.,c-eosA-b (I cosC.b sinA-,

b-cosA -,

= _~'~;'~'~B~":a cos8·(

54 - 54 Trigonometri

De fem trekantstilfælde Kendte størrelser

Anvend

3 sider I. Cosinusrclation (Se

2. Sinusrclalion (Se 3. Vinkclsum (Se

2 sider, I vinkel

) til, al finde en vinkel. ) til, al finde endnu ('Il vinkel

) til, al finde den sidste vinkel.

(Siden overfor vinklen kendes)

I. Sinusrcl

[(x,»

[(x 2 )·

1(.)

O

o: " Ben" vender opad

Betydning af koefficie nter

y

"' { {/ < O:" Ben" vender nedad n, b sammc fortegn: /, :

Toppunktet Tp ligger i 2. eller 3. kvadrant

!

(I,

b modsatte fortegn:

Toppunktet T p ligger i I. eller 4. kvadrant

--=+-,>,---+---> O

c : Skæring med y - aksen

X

Diskrimin ', er givel ved:

r,

O

'd O. fix) er lige. G raf er i I. og 2. kvadrant. fi x ) er vo ksende fo r x < o. [(xl er aftage nde for x > O. x-aksen (y = O) er vandret asymptote. Y-ilkscn (x = O) er lodret asymptote. Jtx) er lige. Graf er i l. og 2. kvadrant. fix) = logflx) er lige.

119 - 121 Funktioner

Forskrift for potensudvikling k9i1nti: dala

Forskriften for en polcnsudvikling er givet ved:

Y

!(x)""b-xØ,aeR,beR+

.xER~

Alternativt kan forskriften angives som: f(x) = b· eø1n(x) ,tiE R ,be R + ,XE R +

b

_....

Grundtal Grundtallet ti for en POI(,llsudvikli ng, gennem A(XpY l) og 8(X Z'Yl) ka n bestemmes af:

y

y, y

AI ..

:t ...ø

:t.....

lim ([(x) ± g(x»)-= ( lim I(X») ± ( lim g(X»)

:t ..."

lim (r(x)·

:t-hl

x"'~

:t ....,

g(x») = ( :t-hl lim I(x»). ( lim g(X») x .....

lim(V I(x»)= 'I lim [(x)

:t.....

:t.....

-

130 - 130 Grænseværdi

Grænseværdier for udvalgte funktioner Funktion

Grænseværdier

y

20

IO

-2

2

n

x lim (/ "= O,(or (/> I

y

H_

IO

(I x

-+ooforx-too, fora > l

(I x -+ 00 for x -+ -co, for O " In(x)=O, forb e R .. hm In (;) = 0, for be R ..

•-

r

133 - 13 3

Asymptoter

•

lim"::"'-,=O, for nX

(l

> 1,IIE R+

x .......

.-

lim x b

.(lx

= O,forO 1 11=1+1

y

Asymptoter for funktioner, der ikke er polynomiumsbrøker Asymptotetype

Fremgangsmåde

Vandret

Undersøg [(x) for x --+ ±oo . Hvis der findes en grænseværdi , vil y = grænseværdien være en vandret asymptote.

Skrå

Undersøg [(x) for store positive og store negative værd ier af x. Hvis [(x) beSlår af el restled, som forsvinder for store x og et lineært led a·x+b,vil Y-:{I·x + b være en skr:'l asymptote. Find de steder xo' x" Xl ' .•. hvor en nævner kan give O. Hvis tælleren samt idig ikke er nul, vil x = x.' x = x, osv være lodrette asymptoter. Hvis tælleren derimod giver nul for fx xo' kan man forkorte med (x - -"o), og undersøge funktionen forfra.

Lodret

Asymptoter for udvalgte funktioner Funktion

As mptoter

[(x ) = sin (x)

Ingen

y

136 - 136 Asymptoter

Funktion

As m toter

fix) = cos(x)

Ingen

fix) = tll n(x)

n x =-+ p ' J'[,p El

y

2

y IO

-6 -5 :!'-3 -2

li

PI

jf3 4 p 6

-IO

fix ) = e' y

y=O for x-+ --

5

-6~--4~~-2"""+--2-' X fix) = e '

y

5

y=Oforx-+o

136 · 136 Asymptoter

Funktion

Asymptoter

!tx)= b'a',a > l

y=O for x

~-oo

y=O for x

~O

Y

(ab)

x

O

.

!t x)= b'a

, II

y

>l

(Ob) x

O

y=Oforx~o

j{x)= b'a' ,O < a < I

y

\

(Ob)

O

x

j{x) = b ' a -~,O < (/ < l

y

(ab) ) O

x

y=Ofo rx ~-oo

-

136-136

Asymptoter

Funktion fix) - In(x)

x =0

y

I.c:=-, - ,

r

5

.H

IO

fix) = log(x)

x=o

y

-2

fix) =

x=o y=o

X -I

y

-4

-7'

O

2

4

136 ~

136

Asymptoter

Funktion

As mptoter

j(x) = [ ' , " E N

X=o

Y

)' = 0

j(x)= b' x' , (/ < O

x=O

y

~""""""'~o:;t---"'=~~.... x y=b·x'.a 1

,,'

Forskriften kan da også angi ves ved hjælp af: l = (e 1 _ I) .(x 2 _ a 1 ) Hyperblen har asymptoterne:

b

y = ±-'x

"

Ligningen for tangenten i punktet p.(x.,y. ), kan findes ved indsættelse i:

x , xo _Y 'Yo= 1 al

bl

S -;;-

P(X > I)

P(X 2:. 1)

P(I 1 ':sX':sI 2 )

~{/2 :)I )_ (~Cl :)I )

1'(II.:S X < t 1 )

1'(11 ':s X ':s ' l)

P(1 1