Matematik 1 Ders Notlari

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

1

BÖLÜM 1

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

KÜMELER VE SAYILAR 1 .1

KÜMELER

1.1.1. TEMEL TANIMLAR Kesin bir tanımı yapılmamakla beraber,sezgisel olarak,kümeye iyi tanımlanmış biri birinden farklı nesneler topluluğudur diyebiliriz. Kümeyi meydana getiren nesnelere kümenin elemanları adı verilir. Örneğin haftanın günleri topluluğu bir küme olup elemanları pazar, pazartesi, salı, çarşamba, perşembe,cuma ve cumartesidir. Kümeler A, B, C , ... gibi büyük harfler ile, elemanları ise a, b, c ... gibi küçük harflerle gösterilir. Bir a nesnesi bir A kümesinin elemanı ise yani A kümesinin içinde ise a ∈ A ,değilse a ∉ A ile gösterilir. Bir A kümesi üç ayrı şekilde ifade edilir.

Örneğin ”5 den küçük rakamların kümesi”; 1) Liste yöntemi ile : A = {0,1, 2, 3, 4 } 2) Genelleme (ortak özellik) yöntemi ile : A = {x | x,5 den küçük rakam} 3) Venn Şeması ile:

2

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

şeklinde gösterilir. Burada 2 ∈ A, 4 ∈ A fakat 8 ∉ A dır. Kümeyi oluşturan varlıkların sayısına kümenin eleman sayısı denir.

A kümesinin eleman sayısı s ( A) ile gösterilir. Eleman sayıları sonlu olan kümelere sonlu küme, eleman sayıları sonsuz olan kümelere sonsuz kümeler denir. H = {x | x, haftanın günleri } kümesinin eleman sayısı s ( H ) = 7 dir.

Bu küme,

H ={ Pazar,Pazartesi,Salı,Çarşamba,Perşembe,Cuma,Cumartesi } olup sonlu bir kümedir. Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Ø veya { } sembollerinden biriyle gösterilir. Örneğin boyu 4 metre olan insanların kümesi boş küme olup eleman sayısı 0 dır. Öyle ise s (Ø) = 0 dır.

Tanım : A ve B iki küme olmak üzere A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin alt kümesi dir denir ve A ⊂ B ile gösterilir. A kümesi B kümesinin alt kümesi değilse A ⊄ B şeklinde gösterilir. Örnek : A = {1, 2,3, 4,5}, B = {1, 2, 4}, C = {4,5, 6} kümeleri için B ⊂ A dır fakat B ⊄ C dir.

Alt Küme Özellikleri 1) Ø ∈ A 2) A ⊂ A 3) A ⊂ B ve B ⊂ A ise A = B

3

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

4) A ⊂ B ve B ⊂ C ise A ⊂ C 5) Bir A kümesinin alt kümelerinin sayısı 2S ( A) ile hesaplanır. Örnek :

A = {a, b, c} kümesinin alt kümeleri ∅ , A,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c} , olup bunların sayısı s ( A) = 3 olduğundan 2S ( A) = 23 = 8 dir.

Tanım : Bir kümenin kendisi dışındaki bütün alt kümelerine bu kümenin özalt kümeleri denir.O halde bir A kümesinin özalt kümelerinin sayısı 2 s ( A) − 1 ile hesaplanır.

Tanım : Bir A kümesinin tüm alt kümelerinin kümesine kuvvet kümesi denir ve P ( A) ile gösterilir. Örneğin, A = {x, y} kümesinin kuvvet kümesi, P ( A) = {Ø , A,{x},{ y}} şeklindedir.

1.1.2. KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER Tanım : Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve E ile gösterilir. Tanım : E evrensel küme, A evrensel kümenin alt kümesi olmak üzere E kümesinin A kümesinde olmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A ile gösterilir

4

MATEMATİK

Örnek:

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

E = { x | x < 9, x rakam } ve A = {x | x < 9, x tek sayılar } ise

Tanım : İki yada daha fazla kümenin bütün elemanlarından oluşan yeni kümeye birleşim kümesi,ortak elamanların oluşturduğu kümeye de kesişim kümesi denir.

A ve B

kümeleri için ;

Birleşim kümesi , A ∪ B = {x x ∈ A veya x ∈ B} Kesişim kümesi , A ∩ B = {x x ∈ A ve x ∈ B}

A ∪ B kümesi

A ∩ B kümesi

şeklinde ifade edilir. Eğer A ∩ B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir.

A ∩ B = Ø ( A ile B ayrık)

5

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Tanım : A ve B iki küme olsun. A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve şeklinde ifade edilir.

A \ B = { x | x ∈ A ve x ∉ B }

A \ B Kümesi

Örnek :

A ={1,2,3,4} B ={3,4,5,6} kümeleri için ; A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ∩ B = {3, 4}

A∩ B

A\ B A \ B = {1, 2} B \ A = {5, 6} dır. 1.1.3. KÜMELER İLE İLGİLİ TEMEL ÖZELLİKLER 1) A ∪ B = B ∪ A

B ∩ A = A∩ B

(Değişme özelliği)

2) ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

(Birleşme özelliği)

3) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

(Dağılma Özelliği)

6

B\ A

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

4) A ∪ A = A

A∩ A = A

(Tek kuvvet özelliği)

5) A ∪ ∅ = A A∩∅ = ∅

6) A ∪ E = E

A∩ E = A 7) ( A ∪ B ) = A ∩ B

(De Morgon Kuralları)

( A ∩ B) = A ∪ B 8) s ( A ∪ B ) = s ( A) + s ( B ) − s ( A ∩ B ) 9) s ( A ∪ B ∪ C ) = s ( A) + s ( B ) + s (C ) − s ( A ∩ B ) − s ( A ∩ C ) − s ( B ∩ C ) + s ( A ∩ B ∩ C )

1.2. SAYILAR 1.2.1. SAYI KÜMELERİ ¥ ={0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir doğal sayı denir.

¢ ={-3,-2,-1,0,1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına bir tamsayı denir. Bunlardan ¢ + ={1,2,3,...} kümesinin her bir elemanına pozitif tamsayı, ¢ − ={...,-3,-2,-1} kümesinin her bir elemanına negatif tamsayı denir. “Sıfır” sayısı bir tamsayı olup ne pozitif ne de negatiftir. Yani işareti yoktur. a  ¤ =  | a, b ∈ ¢ , b ≠ 0  kümesinin her bir elemanına bir rasyonel sayı denir. b  5 1 , − ,5,3,0,... birer rasyonel sayıdır. 2 4 a   ¤ ′ =  x | x ≠ , a, b ∈ ¢ , b ≠ 0  kümesinin her bir elemanına bir irrasyonel sayı denir. b  

2 , 3 , 3 10 , e 3 , π ,.... sayıları birer irrasyonel sayıdır.

7

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

¡ = ¤ ∪ ¤ ′ kümesinin her bir elemanına bir reel (gerçel) sayı denir.

Sayı doğrusu reel sayılar kümesini temsil eder. 0 ,8 ,

4 110 ,-1 ,, 3 , 3 5 , ...... sayıları birer reel sayıdır. 7 17

Tanım : Sayı doğrusu üzerinde sıfırdan büyük sayılara pozitif sayılar,sıfırdan küçük sayılara da negatif sayılar denir. Bir a ∈ ¡ sayısı için i) a >0 ii) a 0 ve b >0 ise a + b >0; a ⋅ b >0;

a >0 dır. b

2) a 0 ve b 0 ise x, y, z nin işaretleri nedir?

Çözüm : x ² y ³ < 0 ise,her x ∈ ¡ için x ² > 0 olduğundan y ³ < 0 ise y < 0 dır. x ³ y > 0 ise y < 0 olduğundan x ³ < 0 ise x < 0 dır. x ⋅ y ⋅ z > 0 ise x < 0 , y < 0 ise x ⋅ y < 0 olduğundan z > 0 dır.

O halde x < 0 , y < 0 , z > 0 dır.

a a ifadesine rasyonel (kesirli) ifade denir. b b a kesrinde a ya kesrin payı , b ye de kesrin paydası denir. kesrinin pay ve paydası b sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılır yada bölünürse kesrin değeri değişmez.

Tanım : a, b ∈ ¢ ve b ≠0 olmak üzere

1.2.3. RASYONEL SAYILARDA DÖRT İŞLEM

1)

a c a ⋅ d mb ⋅ c m = b d b⋅d

2)

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

3)

a c a d ÷ = ⋅ b d b c

9

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

ARİTMETİKSEL İŞLEMLERDE İŞLEM ÖNCELİĞİ 1) İşleme,parantezler ve kesir çizgileri yön verir. 2) Varsa üslü işlemler yapılır. 3) Çarpma ve Bölme (önce olan) 4) Toplama ve Çıkarma Örnek : Aşağıdaki işlemleri yapınız. 1)

2 7 4 + − =? 5 5 5

Çözüm :

2 7 4 2+7−4 9−4 5 + − = = = =1 5 5 5 5 5 5

2 1 1  2)  2 +  :  −  = ? 3 2 4 

Çözüm :

 2 2   1 1   6 2   2 1  8 1 8 4 32  + : −  =  + : −  = : = ⋅ = 1 3 2 4 3 3 4 4 3 4 3 1 3 (3) (1) (2) (1)

1 5 1 5 3 2 3) 3 ⋅ − : ⋅ − = ? 5 6 6 12 2 3

Çözüm :

 16 5  1 12 3 2 8 3 2 40 − 9 − 10 7 =  ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − = 3 5 3 15 5  5 6  6 5 2 3 (5) (3) (5)

 1 3 1 4) 2 − 6 ⋅ 1 + : −  = ?  2 2 2 Çözüm: 6+ 2−3 5  1 2 1 1 1 1  2 − 6 ⋅ 1 + ⋅ −  = 2 − 6 ⋅  + −  = 2 − 6 ⋅ = 2 − 6 ⋅ = 2 − 5 = −3 6 6  2 3 2 1 3 2  (6) (2) (3)

10

MATEMATİK

5)

17 2

3 + 4

=?

1

1+

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

1 2

17 2

17 17 17 12 Çözüm : = 2 = 2 = ⋅ =6 3 1 3 2 9 + 8 2 17 + + 12 4 3 4 3 2 Tanım : Paydası 10’nun pozitif tam kuvveti olan kesirlere ondalıklı sayı denir. 1 413 43 = 0,1; = 4,13; − 3 = −0, 043 sayıları birer ondalıklı sayıdır. 2 10 10 10

Eğer bir kesir ondalıklı yazıldığında ondalıklı kısımdaki sayılar belli bir rakamdan sonra tekrar ediyorsa bu sayıya devirli ondalıklı sayı denir. 7 = 2,333.... = 2,3; 3

2203 = 2, 2252525.... = 2, 225 Sayıları birer devirli ondalıklı sayıdır. 990

Her devirli ondalıklı sayı rasyonel olarak yazılabilir.

Örnek : 0,215 devirli ondalıklı sayıyı rasyonel şekilde yazalım

Çözüm: x = 0,215 = 0,2151515.... olsun Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafını önce 1000 sonra 10 ile çarpıp taraf tarafa çıkaralım. 1000 x = 215,151515... -

10 x = 990 x = 213

2,151515... ⇒ x=

213 71 olur. = 990 330

11

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

1.3. ÜSLÜ İFADELER Tanım : a ∈ ¡ ve n ∈ ¢ + olmak üzere n tane a nın çarpımı olan a n ifadesine üslü ifade denir. a n ifadesinde a ya taban , n ye de üs (kuvvet) denir.

a n = a1 ⋅ 4a ⋅2a ⋅4...3⋅ a dir. n tane a

Örnek : 52 = 5 ⋅ 5 = 25

4³ = 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 64

(−3) 4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81 (−2)5 = (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = −32 3

1 1 1 1 1   = ⋅ ⋅ = 2 2 2 2 8 1.3.1. ÜSLÜ İFADELERİN ÖZELLİKLERİ 1) a n ≠ n ⋅ a çünkü n ⋅ a = a + a + a + ... + a 34 ≠ 4 ⋅ 3

2) a ≠ 0 olmak üzere a 0 = 1 3) 00 belirsiz. 4) 1n = 1 dir. 5) (a m ) n = a m⋅n dir.

(16 )

2 3

3

2 3 = ( 24 )  = ( 28 ) = 224  

12

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

6) a ve b sıfırdan farklı olmak üzere ;

a a)   b b) a − n

−n

n

b =  a 1 = n dir. a

7) a n = a m ⇔ n = m dir.( a ≠ 0, a ≠ 1, a ≠ -1 )

 a = b, n tek ise 8) a n = b n ⇔  a = mb, n çift ise

a = 1, n ∈ ¡  9) a n = 1 ⇔  n = 0, a ≠ 0  a = −1 ve n çift ise  −1

5−1 2 =? Örnek :   + 2 5 Çözüm : 1 5 5 5 1 25 + 1 26 13 + = + = = = 2 2 2 10 10 10 5 (5) 10) a) x > 0 ⇒ x n > 0  x n < 0, n tek b) x < 0 ⇒  n  x > 0, n çift 40 + (−2)3 − 22 Örnek : −1 =? 2 + (−1) 4 + (−1) −3

13

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Çözüm:

40 + (−2)3 − 22 1 − 8 − 4 −11 = = = −22 4 −1 −3 1 1 2 + (−1) + (−1) +1−1 2 2 UYARI: n çift, a ∈ ¡

+

olmak üzere (−a) n ≠ −a n dir.

−24 = −(2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = −16 (−2) 4 =( − 2) ⋅ ( − 2) ⋅ ( − 2) ⋅ ( − 2)=16 11) Toplama ve Çıkarma: Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadeler toplanıp çıkarılabilir.

a ⋅ x n + b ⋅ x n − c ⋅ x n = x n ⋅ (a + b − c)

Örnek:

2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 32 − 4 ⋅ 32 = 32 ⋅ (2 + 3 − 4) = 1⋅ 32 = 32 = 9 12) Çarpma: a) Tabanları eşit olan üslü ifadeler çarpılırken ;üsler toplanır,ortak taban aynen yazılır. a ≠ 0 olmak üzere ; a m ⋅ a n = a m+n

b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler çarpılırken;tabanlar çarpılır,ortak üs aynen yazılır. a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere ;

a m ⋅ b m = ( a ⋅ b) m

Örnek :  5x   y 3 

x− y

 3y  ⋅ x  5 

x− y

=?

14

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

 5x 3 y  Çözüm:Üsler aynı olduğu için  y ⋅ x  3 5 

x− y

= 1x − y = 1

(− a)9 ⋅ (− a 4 ) ⋅ (− a)-2 işleminin sonucu nedir?

Örnek: Çözüm:

( − a )9 = − a 9 (−a 4 ) = −a 4 (− a) −2 = a −2 olduğu için (− a)9 ⋅ (− a 4 ) ⋅ (− a)-2 = a11

13) Bölme: a) Tabanları eşit olan üstlü ifadeler bölünürken, üstler çıkartılır,ortak taban aynen yazılır. a ≠ 0 olmak üzere

am = a m ⋅ a − n = a m−n an b) Üsleri eşit olan üslü ifadeler bölünürken; tabanlar bölünür, ortak üst aynen yazılır. b ≠ 0 olmak üzere

am  a  =  bm  b 

m

Örnek : 23a+4 =4a-5 ise a kaçtır? Çözüm: 23a+4 = (22 )a-5

23a+4 =22a-10 ⇔ 3a + 4 = 2a − 10 3a − 2a = −10 − 4 a = −14

15

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Örnek : (0, 2)-2 ⋅ 5n-3 = 125 ise n hangi sayıdır ? Çözüm:

(0, 2) −2 ⋅ 5n −3 = 125 -2

 1  n-3 3   5 =5 5  

(5 )

−1 −2

⋅ 5n −3 = 53

52 ⋅ 5n−3 = 53 52+ ( n −3) = 53

2 + ( n − 3) = 3 n − 1 = 3 ⇒ n = 4 bulunur.

Örnek : (2 x − 1)3 = ( x + 7)3 ise x kaçtır ? Çözüm: 3 tek sayı olduğundan 2 x − 1 = x + 7 ⇒ x = 8 olur. Örnek : ( x + 5) 4 = (2 x + 7) 4 olduğuna göre x ’in alabileceği değerler toplamı kaçtır? Çözüm: 4 çift sayı olduğundan ; a) x + 5 = 2 x + 7 ⇒ x1 = −2 b) x + 5 = −(2 x + 7) ⇒ x2 = −4 x1 + x2 = (−2) + (−4) = −6 bulunur.

Örnek : ( x − 2) 2 x

2

−8

= 1 ifadesini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm:

( x − 2) 2 x

2

−8

 2 x 2 − 8 = 0 ve x − 2 ≠ 0...................1)  ....................................2) =1⇒  x − 2 =1  x − 2 = −1 ve 2 x 2 − 8 çift...............3)  16

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

1) durum: 2 x 2 − 8 = 0 ve x − 2 ≠ 0 ise 2 x 2 = 8 ⇒ x 2 = 4 ⇒ x = −2 veya x = 2 x − 2 ≠ 0 ise x ≠ 2 olacağından x1 = −2

2) durum: x − 2 = 1 ⇒ x2 = 3 3) durum: x − 2 = −1 ve 2 x 2 − 8 çift ise x = 1 ve 2 x 2 − 8 çifttir. Buradan

x3 = 1

x1 + x2 + x3 = −2 + 3 + 1 = 2

1.4. KÖKLÜ İFADELER Tanım : n ,1 den büyük bir doğal sayı olmak üzere, x n = a ifadesini sağlayan x sayısına a nın n.dereceden kökü denir ve x = n a

a= a okunur. 2

; karekök a ,

3

a ; küp kök a

UYARI: n çift sayı ve a 0 olmak üzere t ⋅ n a = t n ⋅ a 2) n tek doğal sayı ve t ∈ ¡ için t ⋅ n a = n t n ⋅ a dır. Örnek:

5 2 = 52 ⋅2 = 50 3

3

3 3 3 = 33 ⋅ 3 = 34 = 3 81 98 = 7 2 ⋅ 2 = 7 2 5

5

64 = 25 ⋅ 2 = 2 ⋅ 5 2

3) Köklerinin dereceleri ve içleri aynı olan ifadeler toplanır veya çıkarılır.

a n x + b n x − c n x = (a + b − c) n x Örnek :

8 − 2 18 + 200 işleminin sonucu kaçtır ?

Çözüm:

4 ⋅ 2 − 2 9 ⋅ 2 + 100 ⋅ 2 = 2 2 − 2 ⋅ 3 2 + 10 2 = 6 2

4) a) Kök dereceleri aynı olan köklü ifadelerde İ)

n

x ⋅ n y = n x⋅ y n

İİ)

n

x y

=

n

x y 18

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

b) Kök dereceleri eşit olmayan köklü ifadelerde ise kök derecelerinin en küçük ortak katları alınıp kök dereceleri eşitlenir ve işlemler yapılır. Örnek :

3 ⋅ 6 ⋅ 50 = 3 ⋅ 6 ⋅ 50 = 900 = 30

1) 2)

3

3

3

12 ⋅ 3 18 = 3 12 ⋅18 = 22 ⋅ 3 ⋅ 32 ⋅ 2 = 23 ⋅ 33 = 2 ⋅ 3 = 6

3)

150 150 = = 25 = 5 6 6

4)

5 ⋅ 3 2 = 2⋅3 53⋅1 ⋅ 3⋅2 22⋅1 = 6 53 ⋅ 6 22 = 6 125.4 = 6 500

(Burada 2 ile 3 ün en küçük ortak katı 6 dır) 5) b ≠ 0, c ≠ 0

a)

b)

üzere

a a b a b = = b b b⋅ b a ( b m c) a = b−c b± c

Örnek :

Örnek :

0,9 =

9 9 3 3 10 = = = 10 10 10 10 ( 10 )

1 5+2 5+2 5+2 = = = = 5+2 5−4 1 5 − 2 ( 5 − 2) ⋅ ( 5 + 2)

( 5 + 2)

1.5. ORAN VE ORANTI Tanım : a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak üzere b ’ye oranı denir.

19

a ’ye a ’nın b

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Oranlanan çoklukların birimleri aynı olup oranın birimi yoktur. 2cm ‘nin 5cm ‘ye oranı

2cm 2 = dir. 5cm 5

2cm ‘nin 5kg ‘a oranı söz konusu değildir.

Örnek : Bir sınıftaki öğrencilerin %30 ‘u İngilizce diğerleri ise Almanca bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı kaçtır? Çözüm : İngilizce bilenlerin sayısı %30 ise, Almanca bilenlerin sayısı %70 olur. O halde İngilizce bilenlerin sayısının Almanca bilenlerin sayısına oranı

30 3 = dir. 70 7

a c gibi iki oranın eşitliğini ifade eden önermeye, yani ve b d eşitliğine orantı denir.

Tanım :

1.5.1. ORANTININ ÖZELLİKLERİ a c = b d

ise

1) ad = bc 2)

a b = c d

3)

d c = b a

4)

b d = a c

5)

a c a2 c2 = = k ve k ≠ 0 ise = = k2 2 2 b d b d

6)

a c ma + nc = = k ve m ≠ 0, n ≠ 0 ise = k dır. b d mb + nd

20

a c = b d

MATEMATİK

Örnek :

a+b 5 = b 3

Çözüm

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

olduğuna göre,

a −b ‘nın değeri kaçtır? a

a+b 5 a b 5 = ⇒ + = b 3 b b 3 a 5 a 5 +1 = ⇒ = −1 b 3 b 3 a 2 b 3 = ⇒ = b 3 a 2

Buna göre

a −b a b 3 1 dir. = − = 1− = − a a a 2 2

Örnek :

a b c = = 5 3 2

Çözüm :

a b c = = = k olsun. 5 3 2

ve a − 2b + c = 20 olduğuna göre a kaçtır?

Buna göre a = 5k , b = 3k , c = 2k olur. a − 2b + c = 20 eşitliğinde,

a, b ve c ’nin k cinsinden değeri yazılırsa;

5k − 2 ⋅ 3k + 2k = 20 ⇒ k = 20 ⇒ a = 5k = 5 ⋅ 20 = 100 olur. Tanım : x1 , x2 , x3 , ... , xn ∈ ¡ olmak üzere n tane sayının ; Aritmetik ortalaması

x1 + x2 +…+ xn n

Geometrik ortalaması

n

x1 ⋅ x2 … xn

dır.

Örnek : 16 kız, 34 erkek öğrencinin katıldığı bir sınavda kız öğrencilerin puanlarının ortalaması 50 , erkek öğrencilerin puanlarının ortalaması 40 olduğuna göre,tüm öğrencilerin puanlarının ortalaması kaçtır?

21

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Çözüm : 16 kızın puan ortalaması 50 ise puanların toplamı 50⋅16 = 800 34 erkeğin puan ortalaması 40 ise puanların toplamı 40⋅34 = 1360 Tüm öğrencilerin puan ortalaması, puanlarının toplamının öğrenci sayısının bölümüne eşit olduğundan : Tüm öğrencilerin puanlarının ortalaması

800 + 1360 2160 = = 43, 2 bulunur. 16 + 34 50

Örnek : a ile b nin aritmetik ortalaması 5 dir. a ile geometrik ortalaması 2 3 , b ile geometrik ortalaması 4 3 olan sayı kaçtır? Çözüm : istenen sayı x

olsun. Verilenlere göre ;

a+b = 5 , a ⋅ x = 2 3 , b ⋅ x = 4 3 dir. 2 a + b = 10 , ax = 12 , bx = 48 olduğundan, ax + bx = 60 x( a + b) = 60

x ⋅10 = 60 x = 6 dır.

Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken), diğeri de aynı oranda artar(azalır) ise bu iki çokluk doğru orantılıdır yada orantılıdır denir. k bir sabit ve x ile y aralarında orantılı ise y = kx ‘e doğru orantı bağıntısı denir. Bu

bağıntının grafiği ; y

y=kx

3k

2k k 1

2

3

(k > 0 için)

22

x

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

x, y, z sayıları sırasıyla a , b, c

x y z = = =k a b c

sayıları ile orantılı ve

orantı sabiti

bağıntısı vardır. Örnek : 50 km. lik yol 1 saat te gidilirse 400 km. lik yol kaç saatte gidilir? Çözüm : artar

50 km. yol 400 km. yol

Doğru orantı

1 saatte gidilirse x saatte gidilir.

1⋅400 = x ⋅50 ⇒

artar

x = 8 saat

Örnek : Un, yağ ve şeker ağırlık bakımından sırasıyla 8 : 2 : 3 sayıları ile orantılı olarak karıştırılarak 39 kğlik bir hamur yapılıyor. Bu hamurda kaç kg yağ kullanılmıştır?

Çözüm :

u y ş = = = k , u + y + ş = 39 8 2 3

u = 8k

8k + 2k + 3k = 39 ⇒ k = 3

y = 2k ş = 3k

Buradan yağ y = 2k = 2 ⋅ 3 = 6 kg bulunur.

23

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Tanım : İki çokluktan biri artarken(azalırken) diğeri aynı oranda azalıyor(artıyor) ise bu iki çokluk ters orantılıdır denir. k sabit ve x ile y aralarında ters orantılı ise

y=

k bağıntısına ters orantı bağıntısı denir. Bu bağıntının grafiği ; x y

k k 2

k

y= x

1 1 2

x

k

(k>0 için)

x, y , z sayıları sırasıyla a, b, c sayıları ile ters orantılı ve k orantı sabiti olmak üzere ax = by = cz = k

dır.

Örnek : Kapasiteleri eşit olan 11 işçi bir işi 24 günde yapabiliyor. Buna göre aynı işi 6 işçi kaç günde yapar? Çözüm : 11 işçinin 24 günde yapacağı işi 6 işçi daha fazla günde yapar. Yani işçi sayısı ile işin yapılma süresi arasında ters orantı vardır. azalma

11 işçi 6 işçi

24 günde yapıyor x günde yapar

artma

Ters Orantı ; 11⋅24 = 6⋅ x ⇒ x = 44 günde yapar. Örnek : Ali, Bülent ve Cem 58 tane bilyeyi sırasıyla 6,8 ve 9 sayıları ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar. Alinin payına düşen bilye sayısı kaçtır?

24

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Çözüm : Ali, Bülent ve Cemil sırasıyla a, b, c tane bilyesi olsun . Bu durumda

6a = 8b = 9c = k

⇒

a=

k k k , b= , c= 6 8 9

k k k + + = 58 ⇒ k = 144 6 8 9

Buradan Ali’ye düşen bilye sayısı ; a =

k 144 = = 24 dir. 6 6

Tanım : k bileşik orantı sabiti olmak üzere, y ; x ile doğru ve z ile ters orantılı ise k⋅x ifadesine bileşik orantı bağıntısı denir. y= z Örnek : x, 6 ile ters orantılı ve y,8 ile doğru orantılıdır. x + y = 98 ise y − x kaçtır? Çözüm :

6x =

y =k 8

⇒

x=

⇒

k 6

, y = 8k

x + y = 98

ise

k + 8k = 98 6

⇒ 49k = 588 ⇒ k = 12 ⇒ x=

12 = 2 ve y = 8 ⋅12 = 96 ⇒ y − x = 94 olur. 6

Örnek : 12 işçi 8m2 halıyı 24 günde dokuyor. Buna göre, 9 işçi 3m2 halıyı kaç günde dokur? Çözüm :

8m2 halıyı

12 işçi (-)

(-)

24 günde yaparsa

(+) 3m2 halıyı

9 işçi

9 ⋅ 8 ⋅ x = 3 ⋅12 ⋅ 24 x = 12 günde yapar.

25

(-) x günde yapar

Ters Orantı-Doğru Orantı

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

1.6. ARALIK KAVRAMI Sayı doğrusu üzerindeki sayıları üç farklı aralık olarak ifade ederiz. 1) Kapalı Aralık

:

a

b

:

a

b

:

a

b

a ≤ x ≤ b , x ∈ [ a, b]

2) Açık Aralık a < x < b , x ∈ ( a, b)

3) Yarı Açık Aralık a < x ≤ b , x ∈ ( a, b]

Örnek :

−∞

−1

3

+∞

Küme Olarak { x | x ∈ ¡ , − 1 ≤ x ≤ 3 } Aralık Olarak x ∈ [ −1, 3]

−∞

−4

3

+∞

Küme Olarak { x | x ∈ ¡ , −4 ≤ x < 3 } Aralık Olarak x ∈ [ −4, 3)

NOT : ¡ = (−∞, +∞) aralığı her zaman açık aralıktır. Bir a sayısı ile ±∞ arasındaki aralık aşağıdaki şekilde ifade edilir. (a , ∞) = { x | x ∈ ¡ , x > a }

(−∞ , a ] = { x | x ∈ ¡ , x ≤ a } [−4 , +∞ ) = { x | x ∈ ¡ , x ≥ −4 }

Örnek :

−∞

−4

0

+∞

x − 2 + 4 5 − x + 3 x − 8 toplamının bir reel sayı belirtmesi için x hangi

aralıkta olmalıdır ?

26

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Çözüm: Bu toplamın reel sayı belirtmesi için terimlerin üçünün de ayrı ayrı reel sayı belirtmesi gerekir. Buna göre

x − 2 reel ise x − 2 ≥ 0 => x ≥ 2 ......................1) 4

5 − x reel ise 5 − x ≥ 0 => 5 ≥ x => x ≥ 5 ......2)

3

x − 8 reel ise

x ∈ ¡ ....................................3)

(1),(2) ve (3) den 2≤ x ≤ 5 veya x ∈ [ 2,5] olur.

1.7. MUTLAK DEĞER Tanım : Sayı doğrusu üzerindeki bir x sayısının sıfıra olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri denir. Ve | x | ile gösterilir.

| x |=

+ x 0 −x

; x > 0 ; x = 0 şeklinde tanımlanır. ; x < 0

Örnek : |3|=3 | − 5 | = − ( − 5) = 5 |0|=0 5= 5 1 − 3 = −(1 − 3) = 3 − 1

27

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

1.7.1. MUTLAK DEGERE AİT ÖZELLİKLER 1)

a > 0 olmak üzere

⇒ x = a veya x = −a ⇒ −a < x < a ⇒ x > a veya x < −a

a) | x |= a b) | x |< a c) | x |> a

2) | x | ⋅ | y |=| x ⋅ y| x x = , y≠ 0 3) y y 4) | x n |=| x |n

, n∈¥

5) | − x |=| x|

Örnek : 1) | x |= 4 ⇒

x = 4 veya

x = −4

2) | x |< 4

⇒ −4 < x < 4

3) | x |> 4

⇒ x > 4 veya x < −4

4) | −8 | ⋅ | −3 |=| (−8) ⋅ (−3) |=| 24 |= 24 5)

8 2

=

8 = 4 =4 2

6) | ( − 2)3 | = | − 2 |3 = 23 = 8 7) | − 10 | = | 10 | = 10 Örnek : | 2 x +1 | = 5 eşitliğini sağlayan x değerlerinin çarpımı kaçtır? Çözüm :

2 x +1 = 5 2x = 4 x 1= 2

ve

2 x +1 = -5 2 x = -6 x 2= -3 ⇒

28

x 1⋅ x 2 = 2⋅(-3) = -6

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

BÖLÜM ALIŞTIRMALARI 1) A = {x | x < 45, x pozitif ve 3’ün katı} kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır? A = {1,3} , B = {2, 3, 4} kümeleri için A ⊂ D ve B ⊂ D olacak şekilde dört

2) elemanlı D kümesini bulunuz. 3) E = {x |1 < x ≤ 20 , x tamsayı} A = {2,3, 4, 7}, B = {9,12,16, 20}, C = {2,3,5, 7,9} kümeleri için aşağıdakileri bulunuz:

a) ( A ∩ B ) ∪ C b) ( A ∩ C ) ∩ B c) A \ ( B ∪ C ) d) ( A ∩ B ) 4)

16 kişilik bir sınıfta Fransızca bilenlerin kümesi F ,Almanca bilenlerin kümesi A dır.

s ( F ) = 8 , s ( A) = 9 , s ( A ∩ F ) = 14 olduğuna göre bu sınıfta sadece Almanca

bilen kaç kişi vardır? 5)

A ve B herhangi iki kümedir. A \ B , A ∩ B , B \ A kümelerinin özalt küme sayıları sırası ile 15,31,0 dır. A ∪ B kümesinin eleman sayısı kaçtır?

6)

K , L, M ayrık olmayan kümeler olsun .Aşağıda belirtilen bölgeleri Venn

şemasında gösteriniz. a) b) c) d)

( K ∪ L) \ M ( K \ L) ∪ ( M \ L) (L ∩ M ) \ K ( K ∪ L) ∩ M

29

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

7) Aşağıda taralı bölgeleri küme işlemleri ile ifade ediniz

8)Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz: −2

 1  1   − 3  :  − −1  2   2  a)  ( −2 2 ) 3

−2

=?

b) 54 − 22 + 15 − 36 = ? c) d)

3

0, 27 ⋅ 3 0, 27 ⋅ 3 0, 27K = ? (2,4) −4 (0,24) −4 : =? (12,1) −6 (0,121) −6

0,162 − 2 3 0, 048 + 3 0,384 = ?

e)

3

f)

1 4 5 + − =? 7 − 3 7 − 2 7 −1

9) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz: 2

−

1

a) 10 5 ⋅10 2 ⋅100,1 = ? 1

5

b) 4 3 ⋅ 2 3 ⋅ 8

−

1 9

=?

c) 3 ⋅ 90,4 ⋅ 5 3 = ? −

1 3

1 3

d) 8 ⋅16 ⋅ 3 4 = ?

30

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

e) 21,3 ⋅ 2 −0,7 ⋅ 21,4 = ? −

4 3

1 12

f) 7 ⋅ 7 ⋅ 7

−

3 4

=?

g) 40,7 ⋅ 2−0,4 = ? h) 250,3 ⋅ 51,4 = ? −

1 3

i)

2 ⋅ 64

=?

j)

4

9 ⋅ 3−1,5 = ?

k)

3

64 ⋅ 27 =? 125

10) Aşağıdaki problemleri çözünüz: a) 20 Kız ve 8 Erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıfta matematik sınav sonucu kız öğrencilerin ortalaması 6,8 ve erkek öğrencilerin ortalaması 7,5 ise sınıf ortalaması kaçtır? b)12 işçi günde 6 şar saat çalışarak bir işi 15 günde bitiriyorlar. Aynı işi 9 işçi günde 8er saat çalışarak kaç günde bitirir? c) x, y, z maddelerini, sırasıyla 0,2 ; 0,8 ve 0,6 sayıları ile orantılı olacak şekilde karıştırarak 112 kg.lık bir karışım yapılıyor. Bu karışımda z maddesi kaç gramdır? d) 465 milyon üç kardeş arasında 2 ile doğru 3 ve 4 sayılarıyla ters orantılı olarak paylaştırılırsa en az olan kaç lira alır? e) Bir işyerinde çalışan işçi sayısı 6 katına, günlük çalışma süresi 2 katına ve iş miktarı 18 katına çıkarılırsa işi tamamlama süresi kaç katına çıkar?

31

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

11) Aşağıdakileri hesaplayınız: a) b)

( 5 − 2,5) 2 − 3 (1,5 − 5)3 − 1 = ?

(5 3 + 50) ⋅ (5 − 24) =? 75 − 5 2

2  c) ( 225 + 3 121) :  0, 09 + 0, 78 100  = ? 3   1 324 0,16  + ⋅ d)  −6  : 25 = ? 4 2 0, 2   12) Aşağıdaki bağıntılardan x ’i hesaplayınız: a)

x−2 6 = 2,5 x

b)

x − 3 6,5 = x − 2 1,5

c)

x 4,8 = x + 5 1, 2

d)

4− x 5 = 1, 2 x+3

32

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

BÖLÜM TESTİ 1) Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir kümeyi tam olarak belirlemez? A) {x | x birer doğal sayı B) {Salı, Cuma, Pazar} 1

C) 

2

,

2 3 4 6 7 , , , ,  3 4 5 7 8

D) { x | x Türkiye’nin şu andaki bir il merkezi} E) { x | x uzun boylu bir insan}

2) " KARAR " kelimesindeki harflerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A)

{K , A, R}

B)

{ A, A, R, R}

C)

{K , R}

D)

{ A, A, K , R, R}

E)

{ A, A, K }

3) A = {x | x " ARKADAŞ " sözcüğündeki harflerden biri} kümesi veriliyor.Bu kümenin eleman sayısı s( A) nedir? A) 3

B) 6

C) 5

D) 4

E) 7

4) Aşağıdaki kümelerden hangisi {1,3, 5, 7, 9} kümesinin bir alt kümesi değildir? A) {1, 5} C) {0, 1, 3, 5}

B) {3, 9} D) {1, 3, 5, 7}

E) ∅

33

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

5) Aşağıdaki kümelerden hangisi {S , I , N , A,V } kümesinin bir alt kümesi değildir? A) ∅ C) {S , A,V }

B) {V , I , A} D) { A, N ,V , R}

E) {S , I , N , A,}

6) { − 2, 0, 2} kümesi aşağıdakilerden hangisinin altkümesi değildir? A) { − 2, − 1, 0, 1, 2} B) { − 3, − 2, 0, 2} C) {0, 1, 2, 3} D) { − 4, -2, 0, 2} E) { − 2, 0, 2} 7) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9} ve B = {2,4,6,8} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A ∩ B = B B) A ∪ B = A C) A B = {1, 3, 5, 7, 9} D) B A = ∅ E) ( A ∪ B) ( A ∩ B) = {1, 4, 8}

34

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

8) A = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 3} ve C = {0, 2, 4} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A ∪ B = {0, 1, 2, 3} B) A ∩ C = {0, 2} C) C A = {4} D) A ∩ ( B ∩ C ) = {0, 1} E) ( A ∪ B) C = {1, 3} 9) K = {5, 10, 15}, L = {r , s, t}, M = {1, 2, 3, 4, 5} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) K ∩ M = {5} B) K L = {10, 15} C) K ∩ L ∩ M = ∅ D) K L = K E) M ⊂ K 10) M = {3, 5, 7}, K = {2, 4, 6, 8} olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) M ∩ K ≠ ∅ B) M ⊂ K C) M K = ∅ D) K M = {2, 4, 6, 8} E) M ∪ K = {2, 3, 4, 5, 6}

35

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

11) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7} ve C = {6, 7, 8} olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B = {4, 5, 6}

B) B ∩ A = {4, 5}

C) A ∩ C = {6}

D) B ∩ C = ∅

E) B C = {4} 12) A ⊂ B ⊂ C olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) A ⊂ B

B) A ⊂ C

C) A ∩ B = A

D) B ∪ C = C

E) A ∪ B = C

13) Aşağıdakilerden hangisi bir rasyonel sayıdır?

A) π

B) 3

C) 2

D)

2 3

E)

2 3

14) Aşağıdaki sayılardan hangisi rasyonel sayı değildir? A) 25

B) 7

C) 2

D) 0

E)

3 4

15) [− 3, 0] aşağıdaki kümelerden hangisi ile ifade edilir? A) {x x ∈ ¡ , −3 ≤ x ≤ 0} B ) {−3, 0} C ) {−3, − 2, − 1, 0} D) {x x ∈ ¡ , − 3 < x < 0} E ) {x x ∈ ¡ , 0 < x ≤ 5}

36

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

16) Aşağıdakilerden hangisi (0, 5] yarı açık aralığını gösterir?

A) {x x ∈ ¡ , x ≤ 5} B ) {x x ∈ ¡ , 0 ≤ x ≤ 5} C ) {x x ∈ ¡ , x > 5} D) {x x ∈ ¡ , 0 < x < 5} E ) {x x ∈ ¡ , 0 < x ≤ 5}

17) {x x ∈ ¡ , 2 ≤ x < 5} kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisi ile gösterilir? A) (2, 5)

18) {x

B) [2, 5)

C) (2, 5]

D) [2, 5]

E) [−2, 2]

− 4 ≤ x ≤ 1, x ∈ ¡ } kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisi ile gösterilir?

A) (−4, 1]

B) (−4, 1)

C) [ −4, 1)

D) [ −4, 1]

E) [1, 4]

19) ¡ \{1} kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) (−∞, −1)

B) (−1,1)

C) (−∞,1) E ) (−∞, ∞)

D) (−∞,1) ∪ (1, ∞)

20) x − 1 ≤ 3

eşitsizliğinin en geniş çözüm

kümesi

aşağıdaki

aralıklardan

hangisidir? A) [−2, 4]

B) [−3, 3]

C) [1, 3]

D) [−1, 3]

E) [0, 3]

21) x + 2 ≤ 1 eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir?

A) [−3, − 1]

B) [−1, 3]

D) (0, + ∞ )

E) (−∞, + ∞ )

C) [−1, 0]

37

MATEMATİK

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

22) x − 5 < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

A) − 1 < x < 5 C) − 4 < x < 5 E)

B) − 5 < x < 4 D) − 1 < x < 1

1< x < 9

23) x + 2 < 8 eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir? A) −20 < x < 3

B) −3 < x < 6

D) 20 < x < 25

E) −10 < x < 6

C) 6 < x < 10

24) x − 1 ≥ 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [0, 1] C) ( − ∞, 1] ∪ (2, + ∞)

B) ( − ∞, 0] ∪ [2, + ∞ ) D) (0, 2)

E) ( − ∞, 1] ∪ [2, + ∞)

25) 5 x + 2 ≤ 3 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir?

A) [ − 3, 3]

B) ( − ∞, ∞)

1  C)  −1,  5  E) ( − 5, − 1)

1  D)  −1,  5 

26) 2 x + 5 ≤ 7

eşitsizliğinin en geniş çözüm kümesi aşağıdaki aralıklardan

hangisidir? B) [−6, 1]

A) [5, 7]

C) [2, 5]

D) [2, 7]

E) [−1, 6]

27) 2 x + 5 = 9 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? A) 3

B) −5

C) −3

D) −4

E) 1

38