Matematicka analiza 1 rijeseni zadaci

Svjetlan Feretić

Matematička analiza 1 Zbirka riješenih zadataka sa kolokvija i ispita

Rijeka, 2010.

Predgovor Često se događa da studenti pitaju: “Što ćete nas pitati na kolokviju/ispitu?” i “Po čemu ćemo mi učiti?”. Na oba ta pitanja u priličnoj se mjeri može odgovoriti objavljivanjem zbirke riješenih ispitnih zadataka. To je najbitniji razlog zbog kojega je ova elektronska zbirka nastala. Zbirka je u prvom redu namijenjena studentima koji pohađaju prvu godinu preddiplomskog studija na Građevinskom fakultetu Sveučilišta u Rijeci, te se pripremaju za kolokvije i ispit iz predmeta Matematička analiza 1. Tijekom posljednje četiri akademske godine (2006/2007, 2007/2008, 2008/2009 i 2009/2010), na kolokvijima i ispitima iz Matematičke analize 1 bilo je zadano ukupno 120 zadataka. Svih tih 120 zadataka u ovoj su zbirci detaljno riješeni. Zbirka se sastoji od deset poglavlja. Prvo poglavlje čine zadaci u kojima se određuje domenu funkcije, drugo poglavlje čine zadaci u kojima se računa limes, a ne upotrebljava se L’Hôpitalovo pravilo,…, deseto poglavlje čine zadaci o Taylorovim redovima. Na kraju zbirke su dva spiska. U prvom spisku, svakom je zadatku navedeno podrijetlo, to jest kolokvij ili ispit s kojega dotični zadatak potječe. U drugom spisku, za svaku od 37 provjera znanja (kolokvija/ispita) koje ova zbirka obuhvaća, navedeno je od kojih se zadataka sastojala. Ova bi zbirka s vremenom trebala rasti. Naime, moj plan je da ću (ako na Mat. Analizi 1 i dalje budem držao i predavanja i vježbe) tijekom akademskih godina 2010/2011, 2011/2012,… zbirci dodavati zadatke sa kolokvija i ispita koji će se tada održavati. Nadalje, zbirci bi se moglo dodati i nešto teorije, tako da čitalac vidi teoreme i u njihovom općenitom, neprimijenjenom obliku. Zbirku sam pisao pažljivo, ali greške su uvijek moguće. Svakome tko mi ukaže na neku grešku ili propust biti ću zahvalan.

Svjetlan Feretić u Rijeci, 20. rujna 2010.

2

Sadržaj 1. Određivanje domene funkcije …………… 4 2. Računanje limesa bez upotrebe L’Hôpitalovog pravila …………… 15 3. Računanje limesa uz upotrebu L’Hôpitalovog pravila …………… 22 4. Deriviranje implicitno zadanih funkcija …………… 29 5. Deriviranje parametarski zadanih funkcija …………… 37 6. Primjena derivacija …………… 48 7. Integriranje algebarskih funkcija …………… 74 8. Integriranje transcendentnih funkcija …………… 90 9. Računanje površina i volumena …………… 103 10. Taylorovi redovi …………… 112 Podrijetlo zadataka …………… 129 Što je bilo na kolokviju/ispitu? …………… 132

3

1. Određivanje domene funkcije Zadatak 1. Odredite domenu funkcije f ( x ) 

Rješenje: Kao prvo, razlomak

2x  3 6x  3 9   . 2x  2 2x  1 2x  2

6x  3 6 x  3 3  (2 x  1) se može skratiti:   3. 2x  1 2x 1 2x 1

1 6x  3 , razlomak nije definiran, pa prema tome nije jednak 2 2x  1 broju 3 . Međutim, ta “začkoljica” u nastavku zadatka neće biti bitna.)

(Istini za volju, kada je x 

I tako, ispod drugog korijena imamo

2x  3 9 (2 x  3)(2 x  2)  3(2 x  2)(2 x  2)  9(2 x  2) 3   2x  2 2x  2 (2 x  2)(2 x  2) 

4 x 2  4 x  6 x  6  3(4 x 2  4)  18 x  18 4 x 2  20 x  12  12 x 2  12   4x2  4 4x2  4

5  4 x x   16 x  20 x 4 x  5 x 4    2  . 2 4x  4 x 1 ( x  1)( x  1) 2

2

5 , a nultočke nazivnika su  1 i 1 . Kada ih se napiše od manjih 4 5 prema većima, nultočke su  ,  1, 0 i 1 . Sada pišemo tablicu sa predznacima. 4

Nultočke brojnika su 0 i 

 1, 0

0, 1

1,  



5  , 1 4 

















 

 

 

 

 











 , 

x 5 4 x 1 x 1 5  4 x x   4  ( x  1)( x  1) x

5 4

4

5  4 x x   5 4  Iz formule f ( x)  vidimo da brojevi  i 0 leže u domeni. Naime, ( x  1)( x  1) 4

 5 f     0 i f (0)  0 . Međutim, brojevi  1 i 1 ne leže u domeni. I tako, domena funkcije  4 5 f (x ) je  ,     1, 0  1,   . 4

Zadatak 2. Odredite domenu funkcije f ( x )  x 

1 5   ln e 2  x . 3x  1 2 x  3

 

Rješenje: Za početak, sređujemo izraz ispod korijena: x

1 5 1 5 1 5   ln( e 2 x )  x   2 x   2 3x  1 2 x  3 3x  1 2 x  3 3x  1 2 x  3



1  (2 x  3)  5  (3 x  1) 2 x  3  15 x  5 17 x  8 2 2 2 2 2 (3 x  1)(2 x  3) 6x  9x  2x  3 6 x  11x  3



17 x  8  2  (6 x 2  11x  3) 17 x  8  12 x 2  22 x  6 12 x 2  5 x  2   2 . 6 x 2  11x  3 6 x 2  11x  3 6 x  11x  3

Da bi broj x ležao u domeni, mora vrijediti

12 x 2  5 x  2 0. 6 x 2  11x  3

12 x 2  5 x  2  0 za x 

5  25  96 5  121 5  11 6 16 1 2    &  & . 24 24 24 24 24 4 3

6 x 2  11x  3  0 za x 

11  121  72 11  49 11  7 4 18 1 3    &  & . 12 12 12 12 12 3 2

Sada možemo napisati tablicu.

12 x 2  5 x  2 6 x 2  11x  3

+ +

1 1  , 4 3 – +

12 x 2  5 x  2 6 x 2  11x  3

+

–

 , 

1 4

1 2 , 3 3 – –

2 3 , 3 2 + –

3 ,  2 + +

+

–

+

5

1 1 2 3 Zaključak: Domena funkcije f (x ) je  ,    ,   ,   . 4 3 3 2

Zadatak 3. Odredite domenu funkcije f ( x ) 

9x2  4 4x2  1 6x2  6   2  ln( 3x  6  2) . 3x  2 2x  1 x 1

Rješenje: Ispod drugog korijena imamo

9 x 2  4 4 x 2  1 6 x 2  6 (3 x  2)(3x  2) 4 x 2  1 6( x 2  1)   2    2  3x  2 2x  1 x 1 3x  2 2x  1 x 1 3x  2 

4x2  1 4 x 2  1 (3 x  8)(2 x  1)  4 x 2  1  6  3x  8    2x  1 2x  1 2x  1

6 x 2  3x  16 x  8  4 x 2  1 10 x 2  19 x  9  . 2x  1 2x  1 Tražimo nultočke brojnika: 10 x 2  19 x  9  0 ,

x

19  361  360 19  1 18 20 9   &  & 1. 20 20 20 20 10

Tražimo nultočke nazivnika: 2 x  1  0 , 2 x  1 , x 

 

1 9 , 2 10  

9 ,1 10  







 ,

10 x 2  19 x  9 2x  1 2 10 x  19 x  9 2x  1 Domena funkcije

1 2

1 . 2 1,  

  

10 x 2  19 x  9 1 9 je ,  1,   . 2x  1 2 10 

Sada ćemo se pozabaviti funkcijom ln( 3x  6  2) . 3x  6  0 , 3x  6 , x  2 . Za x  2 vrijedi 3 x  6  0 , pa je ln( 3 x  6  2)  ln( 3x  6  2)  ln( 3x  4) .  3x  4  0 , 3 x  4  0 , 3 x  4 , x 

4 . 3

6

Jedan dio domene funkcije ln( 3x  6  2) je interval  ,

4 . 3

Za x  2 vrijedi 3 x  6  0 , pa je ln( 3 x  6  2)  ln( 3 x  6  2)  ln( 3x  8) . 8 3x  8  0 , 3x  8 , x  . 3

Drugi dio domene funkcije ln( 3x  6  2) je interval

Čitava domena funkcije ln( 3x  6  2) je  ,

8 , . 3

4 8  , . 3 3

10 x 2  19 x  9 Domena funkcije f ( x )   ln( 3 x  6  2) je 2x  1  1 9     4 4 8 1 9 8  ,   1,       ,  ,     ,   1,  ,   . 3 3 2 10   3 3   2 10   

Zadatak 4. Odredite domenu funkcije f ( x )  1  6 x 2  5 x .

Rješenje: 6 x 2  5 x  0 za x 

5  25  0 5  5 5  0 & . 12 12 6

5 a) Koji brojevi iz skupa  , 0   ,   leže u domeni funkcije f (x ) ? 6 Za takve brojeve vrijedi f ( x)  1  (6 x 2  5 x)   6 x 2  5 x  1 .

 6 x 2  5 x  1  0 vrijedi za x 

 5  25  24  5  7 2  12 1   &   & 1.  12  12  12  12 6

 1   6 x 2  5 x  1  0 vrijedi za x   , 1 . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz skupa  6   1  5    6 , 0   6 , 1 . b) Koji brojevi iz intervala 0,

5 leže u domeni funkcije f (x ) ? 6





Za takve brojeve vrijedi f ( x )  1   (6 x 2  5 x)  1  6 x 2  5 x  6 x 2  5 x  1 .

7

6 x 2  5 x  1  0 vrijedi za x 

5  25  24 5  1 4 6 1 1   &  & . 12 12 12 12 3 2

1 1 6 x 2  5 x  1  0 vrijedi za x   ,    ,   . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz 3 2 1 1 5 skupa 0,    , . 3 2 6 1 1 5  1  5   1 1 1  Domena funkcije f (x ) je skup   , 0  0,    ,   , 1   ,    , 1 . 3  2 6  6   6   6 3  2 

 13  Zadatak 5. Odredite domenu funkcije f ( x)  3  12 x  x    2 x  .  x 

Rješenje: Za početak, primijetimo da bismo za x  0 morali podijeliti 13 s nulom, a s nulom se ne može dijeliti. Dakle, nula nije u domeni funkcije f (x ) . a) Koji brojevi iz intervala  , 0 leže u domeni funkcije f (x ) ? Za takve brojeve vrijedi  13  f ( x)  3  12 x  x    2 x   3  12 x  13  2 x 2   2 x 2  12 x  10 .  x 

 2 x 2  12 x  10  0 , to jest x 2  6 x  5  0 , vrijedi za x

 6  36  20  6  4   5 &  1 . 2 2

 2 x 2  12 x  10  0 vrijedi za x   5,  1 . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz intervala  5,  1 . b) Koji brojevi iz intervala 0,   leže u domeni funkcije f (x ) ? Za takve brojeve vrijedi  13  f ( x)  3  12 x  x    2 x   3  12 x  13  2 x 2  2 x 2  12 x  16 .  x 

2 x 2  12 x  16  0 , to jest x 2  6 x  8  0 , vrijedi za

8

x

6  36  32 6  2   2 & 4. 2 2

2 x 2  12 x  16  0 vrijedi za x   , 2 4,   . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa 0, 2 4,   . Domena funkcije f (x ) je skup  5,  1  0, 2 4,   .

 11  Zadatak 6. Odredite domenu funkcije f ( x)  4  16 x  x    4 x  . x 

3 5  7 1 Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 5, a rezultat je   ,    0,    ,   . 2 2  2 2

1  Zadatak 7. Odredite domenu funkcije f ( x )  5 x  x   6 x   . x 

Rješenje: a) Koji brojevi iz intervala  , 0 leže u domeni funkcije f (x ) ? Za takve brojeve vrijedi 1 1   f ( x)  5 x  (  x )   6 x    5 x  x   6 x    5 x  6 x 2  1  6 x 2  5 x  1 . x x  

6 x 2  5 x  1  0 za x 

 5  25  24  5  1 6 4 1 1   &   &  . 12 12 12 12 2 3

1  1 6 x 2  5 x  1  0 vrijedi za x   ,     ,   . Odgovor na pitanje a) glasi: brojevi iz 2  3 1  1 skupa  ,     , 0 . 2  3 b) Koji brojevi iz intervala 0,   leže u domeni funkcije f (x ) ? Za takve brojeve vrijedi 1  f ( x)  5 x  x   6 x    5 x  6 x 2  1   6 x 2  5 x  1 . x 

9

 6 x 2  5 x  1  0 za x 

 5  25  24  5  1  4 6 1 1   &  & .  12  12  12  12 3 2

1  6 x 2  5 x  1  0 vrijedi za x   , 3

1 . Odgovor na pitanje b) glasi: brojevi iz skupa 2 

1  3 ,

1 . 2 

1  1 1 1  Domena funkcije f (x ) je skup  ,     , 0   ,  . 2  3 3 2 

13   Zadatak 8. Odredite domenu funkcije f ( x )  1  11x  x   2 x   . x 

7 3  Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 7, a rezultat je  ,     2, 0   , 4 . 2 2 

Zadatak 9. Odredite domenu funkcije f ( x)  x  ( x 2  x  10  x  18) . Rješenje: Kao prvo, naći ćemo one ikseve koji leže u domeni i manji su od nule. Za takve ikseve vrijedi

f ( x)  x  ( x 2  x  10 x  18)  x  ( x 2  9 x  18) . Nadalje, za takve (negativne) ikseve, broj x  ( x 2  9 x  18) je veći od nule onda kada je broj x 2  9 x  18 manji od nule.

x 2  9 x  18  0 za x 

 9  81  72  9  3   6 &  3 . 2 2

Dakle, traženi iksevi tvore interval  6,  3 . Kao drugo, naći ćemo one ikseve koji leže u domeni i veći su od nule. Za takve ikseve vrijedi

f ( x )  x  ( x 2  x  10 x  18)  x  ( x 2  11x  18) . Nadalje, za pozitivne ikseve, broj x  ( x 2  11x  18) je veći od nule onda kada je broj x 2  11x  18 veći od nule.

x 2  11x  18  0 za x 

11  121  72 11  7   2 & 9. 2 2

Traženi iksevi tvore skup 0, 2  9,   .

10

Primjećujemo da je funkcija f (x ) definirana i za x  0 . Sve skupa, domena funkcije f (x ) je

 6,  3  0 

0, 2  9,     6,  3  0, 2  9,   .

Zadatak 10. Odredite domenu funkcije f ( x)  x  ( x 2  3x  10  x  12) . Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 9, a rezultat je  12,  1  0, 3  4,   .

Zadatak 11. Odredite domenu funkcije f ( x ) 

ln( 2 x 2  5 x  3) . 3x  2

 5  25  24  5  1 6 4 3    &    & 1. 4 4 4 4 2 3 Dakle, funkcija ln( 2 x 2  5 x  3) je definirana za x   ,    1,   . 2 Rješenje: 2 x 2  5 x  3  0 za x 

ln( 2 x 2  5 x  3)  0 vrijedi onda kada je 2 x 2  5 x  3  1 , 2 x 2  5 x  2  0 ,

x

 5  25  16  5  3 8 2 1    &   2 &  . 4 4 4 4 2

2 3 x  2  0 vrijedi onda kada je 3 x  2 , x   . 3  ,  2

 2, 

3 2

3  , 1 2

 1, 

2 3

2 1  , 3 2

1  , 2

ln( 2 x 2  5 x  3)





Nije definirano.







3x  2 ln( 2 x 2  5 x  3) 3x  2

















Nije definirano.







1 ln( 2 x 2  5 x  3) 2 U točkama  2 i  vrijedi ln( 2 x  5 x  3)  0 . Funkcija f ( x )  je u 3x  2 2 3 2 tim točkama definirana. Međutim, u točkama  ,  1 i  funkcija f (x ) nije definirana. 2 3  3 2  1 I tako, domena funkcije f (x ) je   2,    1,    ,   . 2 3  2 

11

Zadatak 12. Odredite domenu funkcije f ( x )  (7 x 2  10 x  7  5  x 2  1 )  ln( x) . Rješenje: Iksevi iz intervala  , 0 ne leže u domeni zato što za njih nije definiran ln( x) . a) Koji iksevi iz intervala 0, 1 leže u domeni funkcije f (x ) ? Za te ikseve vrijedi ln( x)  0 , tako da iks leži u domeni onda kada vrijedi

7 x 2  10 x  7  5  x 2  1  0 , 7 x 2  10 x  7  5  ( x 2  1)  0 , 7 x 2  10 x  7  5 x 2  5  0 , 12 x 2  10 x  2  0 , 6 x 2  5x  1  0 .

6 x 2  5 x  1  0 za x 

5  25  24 5  1 1 1   & . 12 12 3 2

1 1  Skup traženih ikseva je interval  ,  . 3 2  b) Koji iksevi iz intervala 1,   leže u domeni funkcije f (x ) ? Za te ikseve vrijedi ln( x)  0 , tako da iks leži u domeni onda kada vrijedi

7 x 2  10 x  7  5  x 2  1  0 , 7 x 2  10 x  7  5  ( x 2  1)  0 , 7 x 2  10 x  7  5 x 2  5  0 , 2 x 2  10 x  12  0 , x 2  5x  6  0 .

x 2  5 x  6  0 za x 

5  25  24 5  1   2 & 3. 2 2

Skup traženih ikseva je 1, 2  3,   .

1 1  1 1  Domena funkcije f (x ) je  ,   1 1, 2  3,     ,   1, 2  3,   . 3 2 3 2 

Zadatak 13. Odredite domenu funkcije f ( x )  (11x 2  13x  11  9  x 2  1 )  ln( x ) .

1 2  5 Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 12, a rezultat je  ,   1,   4,   . 4 5  2

12

Zadatak 14. Odredite domenu funkcije

f ( x)  x 2  6 x  6 

 9 x2  2 x 4x2  1  .  arcsin  x 2  9 x  10  9x 2 x  1  

9x2  2x 9x  2 2 56 Rješenje: x  6 x  6   x2  6x  6   x2  6 x  6  x   x2  5x  . 9x 9 9 9 2

x 2  5x 

56  0 za x  9

Dakle, funkcija

x

224 1 1 14 16 5 5 9  9  3  3 & 3  7 & 8. 2 2 2 2 2 3 3

5  25 

x2  6x  6 

9x2  2x je definirana za sve ikseve, osim za x  0 i za 9x

7 8 , . 3 3

4x2  1 Arkus sinus djeluje na izraz x  9 x  10  , koji se može napisati i na jednostavniji 2x  1 način: 2

x 2  9 x  10 

4x2  1 (2 x  1)(2 x  1)  x 2  9 x  10   x 2  9 x  10  2 x  1  x 2  7 x  11 . 2x  1 2x  1

Arkus sinus od x 2  7 x  11 je definiran onda kada vrijedi  1  x 2  7 x  11  1 .

x 2  7 x  11  1 , x 2  7 x  12  0 , x 

x 2  7 x  11  1 , x 2  7 x  10  0 , x 

7  49  48 7  1   3& 4. 2 2

7  49  40 7  3   2 & 5. 2 2

 4x2  1   definirana za Uz pomoć slike vidimo da je funkcija arcsin  x 2  9 x  10  2 x  1  

13

x  2, 3  4, 5 . Međutim, na intervalu

7 8 , nije definirana funkcija 3 3

9x2  2x x  6x  6  . I tako, naša funkcija 9x 2

f ( x)  x 2  6 x  6 

 9 x2  2 x 4x2  1    arcsin  x 2  9 x  10  9x 2 x  1  

 7  8  ima domenu  2,    , 3  4, 5 .  3  3 

14

2. Računanje limesa bez upotrebe L’Hôpitalovog pravila Zadatak 15. Izračunajte limes lim

sin( 3 x)  sin( 4 x ) 3x 2  4  2

x0

Rješenje: lim

x0

sin( 3x )  sin( 4 x)

 lim

3x 2  4  2

x0

.

sin( 3x )  sin( 4 x)  ( 3 x 2  4  2) ( 3x 2  4  2)( 3x 2  4  2)



  3x  4  2   lim sin( 3x3) x sin( 4 x)   (2  2) 

sin( 3x )  sin( 4 x )    lim  lim 2  x  0 3 x  4  4  x  0

2

2

x0

sin( 3x ) sin( 4 x)    lim   4  4  1  1  4  4  16 . 4x  x  0 3x 

Zadatak 16. Izračunajte limes lim

x0

Rješenje: lim

x0

 lim

x 0

1  cos 4 (5 x) 9 x 2  16  2  x 2  4

.

1  cos 4 (5 x)

0  11    9 x  16  2  x  4  4  2  2 0  2

2

1  cos4 (5 x) 9 x 2  16  2  x 2  4

1  cos4 (5 x)  x  0 9 x 2  16  4  ( x 2  4)

 lim



9 x 2  16  2  x 2  4 9 x 2  16  2  x 2  4

 9x

2





 16  2  x 2  4 

  1  cos4 (5 x ) 1  cos4 (5 x)  lim 2  ( 4  2  2 )  8  lim   2 x 0 5x2  x 0 9 x  16  4 x  16 



x0

2

2

(5 x) sin (5 x)  1  cos  8  (1  1)  lim  5x 5x

 8  lim 1  cos2 (5 x ) 

2

x0

2

sin 2 (5 x)  sin( 5 x) sin( 5 x)   8  2  5  lim  80  lim    80  1  1  80 . 2 x 0 x  0 25 x 5 x   5x

Zadatak 17. Izračunajte limes lim

x0

25 x 2  9  16 x 2  9 . 1  cos 4 (3 x)

15

Rješenje: lim

x0

25 x 2  9  16 x 2  9  3  3 0     1  cos4 (3 x)  1  1 0 

 25 x 2  9  16 x 2  9 25 x 2  9  16 x 2  9   lim    x0 1  cos 4 (3x ) 25 x 2  9  16 x 2  9    (25 x 2  9)  (16 x 2  9)  1  lim    4 2 2 x0 1  cos (3 x) 25 x  9  16 x  9     9x2 1 1 9x2  lim    lim   4 4  x  0 1  cos (3 x)  9  9 3  3 x 0 1  cos (3 x) 

  1   1 1 9 x2 1 9 x2  lim     lim     2 2 2 6 x 0 1  cos (3 x) 1  cos (3 x)  6  x 0 1  cos (3 x)  1  1



 3x 1 1 9x2 1 3x  1 1   lim   lim    11  .  2 x  0 x  0 6 2 sin (3x ) 12 12  sin( 3x ) sin( 3 x)  12

 x  3  x 2  9 cos( x) sin( 2 x )  Zadatak 18. Izračunajte limes lim    . x0 sin( 6 x) cos(4 x) e 3 x    x  3  x 2  9 cos( x) sin( 2 x)  Rješenje: lim     x0 sin( 6 x) cos(4 x) e3 x    x  3  x 2  9 x  3  x 2  9  cos(0) sin( 0)  lim    0   x 0 sin( 6 x) e x  3  x 2  9  cos(0)   ( x  3)2  ( x 2  9)  1 0 1  lim      2 x 0 sin( 6 x ) x  3  x  9   1 1  x2  6 x  9  x 2  9  1  lim   1  0   x 0 sin( 6 x )   3 9



 6x  1 1 7  lim   1  1  1  .  3  3 x  0  sin( 6 x)  6 6

16

x

 8x  Zadatak 19. Izračunajte limes lim   3 . x  2 x  3   x

x

12  8x   8 x  12  Rješenje: lim   3   lim    3  x  2 x  3 x    2x  3 2x  3  x

x

x

12 12 12   4  (2 x  3)      lim    3  lim  4   3   lim 1    x x   x   2x  3  2x  3  2x  3    2x  3  12

12

x

2 x 3 2 x - 3 lim   12 x x  3 12 lim 2 12 12   x   lim 1   e x  2 x  3  e  e 2 0  e6 .  x    2x  3   

x   6x  5   2 3 Zadatak 20. Izračunajte limes lim    2   2  cos   3  cos   4  . x   x x    2 x  1

x   6x  5   2  3 Rješenje: lim    2   2  cos   3  cos   4 x    x  x   2 x  1

x   6x  5     2  3   lim   2     lim 2  cos   3  cos   4 x 2 x  1 x       x  x 

  

  

x   6x  5     lim 1   3    lim 2  cos0   3  cos0  4  2x  1   x   x   





x x  8   6x  5  6x  3      lim 1   2  3  4  9  lim 1       x  2x  1    2x  1   x   

8

8

x

2 x 1 2 x 1 lim   8x x  1 8 lim 2 8 8   x   3  lim 1   3  e x 2 x 1  3  e  3  e 2 0  3  e4 .  x    2x  1    

1



Zadatak 21. Izračunajte limes lim 2  cos( x)  sin 2 ( x) x0



x2

.

17

t Rješenje: Za početak ćemo upotrijebiti formulu 1  cos(t )  2  sin 2   . (Uzgred budi rečeno, 2  t  t   t  t  do te se formule dolazi ovako: 1  cos(t )  sin 2    cos 2    cos 2    sin 2     2  2   2  2   t t t t t  sin 2    cos 2    cos2    sin 2    2  sin 2   .) Imamo 2 2 2 2 2



lim 2  cos( x)  sin 2 ( x) x0



1

1

1

x2

x2

x2



 lim 1  1  cos( x)  sin 2 ( x) x0

     x  lim 1  2  sin 2    sin 2 ( x ) x 0  2    

1  x 2 sin 2    sin 2 ( x ) 2

      



  x  lim 1  2  sin 2    sin 2 ( x ) x0 2  



x 2 sin 2    sin 2 ( x ) 2 x2

.

Izraz u vitičastim zagradama teži prema broju e . Nadalje,   x x 2  sin 2    sin 2 ( x) 4  sin 2   2   1 2  2   sin ( x )    lim  lim  x0 x 0 2 x2 x2 x2          x  x 2 x   1 sin  2  sin 2 ( x)   1 sin  2  sin  2  sin( x) sin( x )      lim           lim    2 2 x 0 2 x x x x  x 0  2 x x       2 2 4 

1 1 1 1 1  1  1   1   . 2 2 2

Dakle, rezultat zadatka je e



1 2

 0.606530659 .

1

Zadatak 22. Izračunajte limes lim 3  cos( x )  cos(2 x) x0

x2

.

t Rješenje: Za početak ćemo upotrijebiti formulu 1  cos(t )  2  sin 2   . Tako dobivamo 2

18

1

1

x2

x2

lim 3  cos( x)  cos(2 x)  lim 1  1  cos( x)  1  cos(2 x )  x0

x 0

1

   x  lim 1  2  sin 2    2  sin 2 ( x) x 0  2  

x2



    x  lim  1  2  sin 2    2  sin 2 ( x )  x0 2    

1 x 2  sin    2  sin 2 ( x ) 2 2

x 2  sin 2    2  sin 2 ( x ) 2 x2

      

.

Izraz u vitičastim zagradama teži prema broju e . Nadalje,   x  x 2  sin 2    2  sin 2 ( x) 4  sin 2   2   1 2  2   2  sin ( x )    lim  lim  x0 x0 2 x2 x2 x2          x x 2 x  sin   sin   2  1 sin  2        2  sin ( x)   lim  1   2    2   2  sin( x)  sin( x)    lim   x 0 2 x x x2 x 2  x 0  2 x x       2 2 4   

1 1 5 1  1  2  1  1   2  . 2 2 2 5

Rezultat zadatka je e 2  12.18249396 .

1

  sin( 2 x ) 9x Zadatak 23. Izračunajte limes lim  .  x0  1  tg(3x ) 

  9 Rješenje: lim   x0  1  tg(3 x)  x

1



92

 lim

x0

9

  

1 tg ( 3 x )  2sin( 2 x )

x sin( 2 x )

 1  tg(3x)  3



lim 9 1 sin( 2 x )

1

1 tg ( 3 x )

lim 1  tg(3 x) x0 

1 sin( 2 x )

tg ( 3 x ) x 0 2 sin( 2 x )

1 2x  2 sin( 2 x )

x 0



1

1



lim 1  tg(3 x)2 sin( 2 x ) 

x 0

.

lim

e

19

Vrijedi sin( 3x )    tg(3x ) sin( 3 x) 1 sin( 3x )  cos(3 x) lim  lim  lim  lim  lim   x  0 2  sin( 2 x) x  0 2  sin( 2 x ) x  0 2  cos(3 x)  sin( 2 x)  x 0 2  cos(3 x)   x 0 sin( 2 x) 



 sin( 3 x) 1 2x 3x  1 3 3  lim      11  . 2  1 x 0  3 x sin( 2 x ) 2 x  2 2 4

Dakle, rezultat zadatka je

3 e

3 4

 3e



3 4

 1.417099658 .

sin 2 ( 3 x )

1 4  Zadatak 24. Izračunajte limes lim   cos( x )   cos( 2 x )  x0 3 3  

x6

.

Rješenje: Vrijedi 4 1 4 1  cos( x )   cos(2 x)   cos( x )   cos 2 ( x)  sin 2 ( x)  3 3 3 3







4 1 1 4 1 1  cos( x)   cos 2 ( x)   sin 2 ( x )   cos( x )   cos2 ( x )   1  cos 2 ( x)  3 3 3 3 3 3



4 1 1 1 1 4 2  cos( x)   cos 2 ( x)    cos 2 ( x)    cos( x)   cos 2 ( x)  3 3 3 3 3 3 3



 1



2 4 2 2   cos( x )   cos2 ( x )  1   1  2  cos( x)  cos 2 ( x)  3 3 3 3





2

2 2  x  x   x  x   2  1   1  cos( x)  1   sin 2    cos 2    cos 2    sin 2     3 3  2  2   2  2   2

2  2 8  x   x  x  1   2  sin 2     1   4  sin 4    1   sin 4   . 3  3 3  2   2  2 I tako, sin 2 ( 3 x )

sin 2 ( 3 x )

1 4  lim   cos( x)   cos(2 x) x0 3 3  

x

6

 8  x   lim 1   sin 4   x0  2   3

x6



20

3

   4 x   8  x  lim 1   sin 4   8sin  2   x0  2   3 



8sin 4  x / 2  sin 2 ( 3 x )  3 x6 lim 

e

x 0

8sin 4  x / 2  sin 2 ( 3 x )  3 x6

.

Nadalje,

lim  x0

3



 x 

 2   sin (3x)   8  lim sin  2    lim sin (3x)  

8  sin 4 x

4

2

x6

2

3  x 0 

x4

   x 0 

x2

 

4     x   4 x  sin     2  sin  2      8 1  sin 2 (3x )  8 9  2  sin 3 x         9  lim     lim      lim    3  16  lim 2   x 0 x4  3 16  x  0  x    x  0  3x    x 0 9 x     2    16  

1 3 3    11   . 1 2 2 

3 2

Rezultat zadatka je e .

21

3. Računanje limesa uz upotrebu L’Hôpitalovog pravila Zadatak 25. Izračunajte limes lim

x0

Rješenje: lim

x0

ln(cos( 2 x)) . x  cos(2 x)  arccos(2 x) 2

ln(cos( 2 x)) 1 ln(cos( 2 x ))  ln(1) 0    lim    x  0 x  cos(2 x)  arccos(2 x ) cos(0)  arccos(0) x2 0  0 2

 2  sin( 2 x) 1 2  2  sin( 2 x) cos(2 x )  L' Hopitalovo   lim   lim  x  0 2 x  cos( 2 x)  x 0 2 x  1 pravilo 2 primjenjujemo

 

4 sin( 2 x) 4 4  lim   1    1.273239545 .   cos(0) x 0 2 x  

Zadatak 26. Izračunajte limes lim x 1

Rješenje: lim

x 1

e ln( x )  ln( x )  1  3 ( x  3 x  2)  arcsin   5

.

3

e ln( x )  ln( x)  1 3 ( x 3  3 x  2)  arcsin   5



1 3 arcsin   5

 lim

x 1

x  ln( x)  1  x3  3x  2

primjenjujemo 1 1  x 1  1  1 1  0 1 0    L ' Hopitalovo   lim   1  3  2 0   3  x 1 3x 2  3  3  3 arcsin   pravilo 5 primjenjujemo  L' Hopitalovo  pravilo

1 3 arcsin   5

 lim

x 1

Zadatak 27. Izračunajte limes lim

x1

Rješenje: lim

x1

x2  6x

1

0  0 

1 1   0.258999812 . 3 6 3 arcsin   6  arcsin   5 5 

cos(2  x )  cos(3  x) . ln( 5 x  e 2ln( x )  e 3ln( x ) )  ln(5)

cos(2  x)  cos(3  x ) cos(2  x )  cos(3  x )  lim  2 3 2ln( x )  3ln( x ) x  1 ln( 5 x  e e )  ln( 5) ln( 5 x  eln( x )  eln( x ) )  ln( 5)

22

 lim

x 1

 lim

x 1

cos(2  x )  cos(3  x )  11 0     L' H .  1 ln(5  1  1)  ln(5) 0   ln  5 x  x 2  3   ln( 5)  x    2  sin( 2  x )  3  sin( 3  x ) 1  2  sin( 2  x)  3  sin( 3  x)   lim  x 1 1 3 1 3  5  2x  4  5  2x  4   0 5 11 x 5 x  x 2  x13  x 

 00   5  2  3

 5

0  4 2  cos(2x)  9 2  cos(3x)  L ' H .  5  lim  x 1 12 0  2 5 x

 4 2  1  9 2  (1) 5 2 2 5 2  5  5     24.674011 .  2  12 10 2 2

Zadatak 28. Izračunajte limes lim1 x

2





ln 14 x  2  e ln( x )  e 2ln( x )  ln(12) . sin(  x )  sin( 3  x)

1  ln 14 x  2 x  2   ln(12) ln 14 x  2  e e  ln(12) x  Rješenje: lim  lim   1 1 sin(   x )  sin( 3  x ) sin(  x)  sin( 3  x) x x



ln( x )

ln( x  2 )



2

2

1   ln 16 x  2   ln(12) x   ln(8  4)  ln(12) 0   lim      L' H .  1 sin(   x )  sin( 3  x) 1 1 0  x 2 1

2   16  3   0 1 2 x  16 x  2  16  3 1 x x  lim   lim  1   cos(  x)  3  cos(3  x ) 1   cos(  x )  3  cos(3  x) 8  4 x x 2

2

6 1 16  2  8 0  x4     L' H .   lim  0 12 x  1   2  sin(   x)  9 2  sin( 3  x )  00 2 

1 6  16 1 96 96 1    2   2  0.101321183 . 2 2 2 12    9 12 8 96 

23

Zadatak 29. Izračunajte limes lim

x0

Rješenje: lim

x0



2 x  tg(2 x) 2 x  tg(2 x) ( 5x  9  3)   lim 2 x  0 x  ( 5 x  9  3) x  ( 5 x  9  3)  ( 5 x  9  3) 2



 lim ( 5 x  9  3)  lim





2 x  tg(2 x) . x  ( 5 x  9  3) 2

x 0

x0

2 x  tg(2 x) 2 x  tg(2 x )  (3  3)  lim  x  0 x  (5 x  9  9) 5x3 2

6 2 x  tg(2 x )  0  0 0  6  lim     L' H .   lim 3 5 x 0 x 0 5 x 0  0

12  lim 15 x  0

1

2

2 cos (2 x )  3x 2 2

1 1 1 1 1 2 2 4 cos (2 x) 4 cos (2 x) cos (2 x )   lim    lim  x2 5 x0 x2 5 x0 x2 2

4 1  cos2 (2 x) 4 sin 2 (2 x) 16 sin 2 (2 x)    lim    lim    lim  5 x  0 cos 2 (2 x)  x 2 5  cos 2 (0) x  0 x2 5 x0 4 x 2



16 16 16  sin( 2 x) sin( 2 x )   lim      1  1    3.2 .  x  0 5 2x  5 5  2x

Zadatak 30. Izračunajte limes lim

x 1

Rješenje: lim

x 1

ln(2)  ln(3 x  x 3 )

x  ln( x)2  ln( 2 x  x 2 )

ln(2)  ln( 3x  x 3 ) 1 ln(2)  ln( 3 x  x 3 )   lim  x  ln( x)2  ln( 2 x  x 2 ) 1  ln(1) x 1 ln( 2 x  x2 )

 ln( 2)  ln( 2) 0  1     L' H .   lim ln(1) 0 1  0 x 1 



.

3  3x2 2 2 3 x  x 3  1  lim  (2 x  x )(3  3 x )  x 1 (3 x  x 3 )(2  2 x) 2  2x 2 2x  x

0

2 1 3  3x 2 1 3 1  x2 3 (1  x)(1  x ) 3  lim     lim    lim    lim (1  x)  3  1 x 1 2  2 x 2 2 x 1 1  x 4 x 1 1 x 4 x 1

3 3   2   . 4 2

24

Zadatak 31. Izračunajte limes lim

x 1

Rješenje: lim

x 1

 x2 1  x  3  ln   2   2 2x  . x 1  ln     2 2x 

 x2  x2  x 2 x 2  1  1   x  3  ln   2  ln   2  ln   2   2 2 x   1  3  lim  2 2 x   2  lim  2  x 1 x 1 x 1  x 1   x x 1  ln    ln     ln    2 2x   2 2x  2 2 

1

 ( x  x 3 ) 2  1 1  x x   ln  2  2  ln(1) 0    2 2      L' H .  2  lim  x 1  1 x2  1  ln  1  1  ln(1) 0       2 2   x x 1  2 2   2 2 2

  1  2   lim 2 x2  x 1 x    2 2  2 1

      3   x  x 1 1   lim  lim  2    1 1  x 1 1   x 1 1  (1  x  2 )     1 xx 2 2  x  x 1   

   x  x 3     lim  2   x 1 1  x   

1 x4  1 ( x 2  1)( x 2  1) x2  1 11  lim 3  2  1  2  lim  4  lim  4  42  8. 2 x 1 x 1 1 x 1 x  x x ( x  1) x 1 11

  1  cos  x  2  Zadatak 32. Izračunajte limes lim . x 2 8 ln( 2 x )  ln(8)  ln   e  x 

    1  cos  x  1  cos  x  2  2   Rješenje: lim  lim x 2 x  2 8   ln(8)  ln 8 x 1  2 x ln(8)  ln   e ln( 2 x )  x 





      sin   x     1  cos( ) 1 1 0 2  2      L' H .  lim  x  2 1 2  ln(8)  ln  8  1  4  ln(8)  ln(8) 0    (  8 x  2 )     8 x 1  2 x  2 

25

       sin   x   sin   x  sin   x   2   2  lim  2   4  lim 2  2   lim x2  8x  2  2 x 2  8x  2  2 1 1 x2  8x  2  2  1 8 8  4 2 

      cos  x   cos( )   sin(  ) 0 2 2   2      L' H .  4  lim  4  3 x2 1 1 0 16 x  8  2  16   4  8

    4  2  4       2 . 2  4 

 ln(9) ln(3)  Zadatak 33. Izračunajte limes lim  .  3 2 x 1  ln( 2 x  1) x  x   ln(9) ln( 3)  Rješenje: lim   3  lim 2 x 1  ln( 2 x  1) x  x  x 1

 2  ln(3) ln( 3)   ln( 2 x  1)  x 3  x 2    

 2 1  2 x 3  2 x 2  ln( 2 x  1)  ln( 3)  lim   3  ln( 3 )  lim  2 x 1 x 1 ( x 3  x 2 )  ln( 2 x  1)  ln( 2 x  1) x  x  6x2  4x 

2 2x  1

2  2  0 0     L' H .  ln( 3)  lim x 1  (1  1)  0 0  (3 x 2  2 x )  ln( 2 x  1)  ( x 3  x 2 ) 

2 2x 1



2 2   64  0 2x  1 1  ln( 3)  lim    L' H .  3 2   x 1 22 0 2x  2x  (3  2)  0   (3x 2  2 x)  ln( 2 x  1)   1  2x  1 6x2  4 x 

 22 (2 x  1)2  ln( 3)  lim  x 1 2 (6 x 2  4 x )  (2 x  1)  (2 x 3  2 x 2 )  2 2 (6 x  2)  ln( 2 x  1)  (3 x  2 x )   2x 1 (2 x  1) 2 12 x  4 

4 12  4  4 1  ln( 3)   ln(3)   2 ( 6  4)  1  ( 2  2)  2 20 (6  2)  0  (3  2)   02 1 1 1 12  4 

26

 ln( 3) 

12 12  ln( 3)   3  ln( 3)  ln(33 )  ln( 27)  3.295836866 . 022 4

 1  2 Zadatak 34. Izračunajte limes lim1   . 2 x  1 ln( 4 x  1)  x  2  1  2 ln( 4 x  1)  4 x  2 Rješenje: lim    lim   1 1 2 x  1 ln( 4 x  1)  x  (2 x  1)  ln( 4 x  1) x  2 2 4 4  ln( 2  1)  2  2 0  4x 1     L' H .  lim 1 x  (1  1)  ln( 2  1) 0  2 2  ln( 4 x  1)  ( 2 x  1) 

4 4x  1



 44 4   0  4  0 (4 x  1) 2 2  1     L' H .  lim  1 4 4 4  44 0 x  2  ln( 2  1)  (1  1)    2  (2 x  1)  2 2  2 1  4x 1 4x  1 (4 x  1) 2



 16 (2  1)2 8 8  16   (1  1)  2 1 2 1 (2  1) 2



 16 16    1 . 880 16

2

Zadatak 35. Izračunajte limes lim cos( x ) ctg ( x ) . x0

t Rješenje: Iz formule 1  cos(t )  2  sin 2   , koju smo izveli u zadatku 21, slijedi da je 2 t cos(t )  1  2  sin 2   . Koristeći taj identitet, dobivamo 2

lim cos( x) x0

ctg ( x 2 )

  x   lim 1  2  sin 2   x 0  2  

ctg ( x 2 )

1   x x      2sin 2    2  lim 1  2  sin   2  x0  2   

 x  2 sin 2   ctg ( x 2 )  2

.

Izraz u vitičastim zagradama teži prema broju e . Nadalje, x sin 2   x  x  cos( x ) 2  lim  2  sin 2    ctg( x 2 )  2  lim sin 2     2  cos(0)  lim 2 x0 x0 x  0 sin( x 2 ) 2 2 sin( x )     2

27

 x x 1 x 2  sin    cos   sin   0  2  2  2  2  cos(0)  lim 2      L' H .  2  1  lim 2 x  0 x  0 cos( x )  2 x 2  cos(0) x 0

 x x sin   sin    2    1  lim  2    1 1   1 .   lim x0 x x 2 x 0 2 2 2 Rezultat zadatka je e



1 2

 0.606530659 .

28

4. Deriviranje implicitno zadanih funkcija Zadatak 36. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu x  cos(  y )  8 y 3  e x .

(1)

Izračunajte y (0) , y(0) i y(0) . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x  0 . Tako dobivamo 8   y ( 0)   e 0  1 , 3

 y ( 0)  3  1 , 8

y ( 0) 

1 . 2

Derivacija jednadžbe (1) je cos(  y )  x  sin(   y )    y  24 y 2 y  e x .

(2)

U jednadžbi (2) stavljamo x  0 i tako dobivamo

1     cos   0  sin      y(0)  24   y(0)  e 0 , 4 2 2

0  0  6 y(0)  1 ,

6 y(0)  1 ,

y(0) 

1 . 6

Derivacija jednadžbe (2) je

 sin(  y )    y  sin(  y )    y  x  cos(  y )    y    y  x  sin(   y )    y   48 yyy  24 y 2 y  e x . (3) U jednadžbi (3) stavljamo x  0 i na taj način dobivamo

1 1 1        sin     sin     0  0  48    24   y(0)  1 , 2 36 4 2 6 2 6 

  48    6 y(0)  1 , 6 6 72

6 y(0) 

 1  1   , 3 3 3



 2   6 y(0)  1 , 3 3

y(0) 

 1 . 18

29

Zadatak 37. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu

x e3 x  y 3  cos(2 x)  . y 8

(1)

Izračunajte y (0) , y(0) i y(0) . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x  0 . Tako dobivamo

0 e0 3  y (0)  cos(0)  , y (0) 8

y 3 ( 0) 

1 , 8

y ( 0) 

1 . 2

Derivacija jednadžbe (1) je

1  y  x  y 1  3 y 2 y  cos(2 x)  y 3   2 sin( 2 x )   3e3 x , 2 y 8 y  xy 3  3 y 2 y  cos(2 x )  2 y 3  sin( 2 x)   e 3 x . 2 y 8

(2)

U jednadžbi (2) stavljamo x  0 i tako dobivamo

y (0) 3  3 y 2 (0) y(0)  1  0   1 , 2 y (0) 8 2

3 3  y(0)  , 4 8

16  6 y(0)  3 ,

1 3  3 y 2 (0) y(0)  , y (0) 8

6 y(0)  13 ,

y(0)  

13  2.166... . 6

Derivacija jednadžbe (2) je

( y  y  xy)  y 2  ( y  xy)  2 yy  6 y ( y) 2  cos(2 x)  3 y 2 y  cos(2 x )  y4 9  3 y 2 y   2 sin( 2 x)  6 y 2 y  sin( 2 x)  2 y 3  cos(2 x)  2   e3 x . (3) 8 U jednadžbi (3) stavljamo x  0 i na taj način dobivamo

 y (0)  2 y (0) y(0) 9 2  6 y (0)   y(0)  1  3 y 2 (0) y(0)  0  0  4 y 3 (0)  , 4 y (0) 8  2 y(0) 9 2  6 y (0)   y(0)  3 y 2 (0) y(0)  4 y 3 (0)  , 2 y (0) 8

30

13 3  3  169  3  y(0)  4  1  9 , 1 36 4 8 8 4

52 169 3 13    y(0)  . 3 12 4 8

Množeći sa 24 , odavde dobivamo

416  338  18  y(0)  39 ,

18 y(0)  715 ,

y(0)  

715  39.7222... . 18

Zadatak 38. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu 3

tg(3 x)  y 3 

3 . 1  x  cos(  y )

(1)

Izračunajte y (0) i y(0) . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x  0 . Tako dobivamo 3 3 , y ( 0)   3 . 1 0 1 Derivacija jednadžbe (1) je 3

0   y ( 0)   3

1  tg(3 x)  y 3 3







2 3

   3  cos(  y )  x  sin(  y )    y 3 .  2  3 y 2 y  1  x  cos(  y) 2  cos (3 x) 

(2)

U jednadžbi (2) stavljamo x  0 i tako dobivamo  1 3   3  cos(3 )  0  (0  33 ) 3   2  3  32  y(0)  , 3 (1  0)2 1  2

1 2  3  3  27 y(0)  3  cos(3 ) , 3 1  y(0)  3 , 9

y(0)  3 

1  3  27 y(0)  3  (1) , 27

1 26  . 9 9

Zadatak 39. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu

2 2  arcsin( 2 y )  y 2  cos(2 x)  . 9 sin( 2 x )

(1)

    Izračunajte y   i y  . 4 4 31

Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x 

 . Tako dobivamo 4

    2  arcsin  2  y           4     y    cos   , 9   4    2 sin   2 2

2

 2     2  arcsin  2  y   , 9  4  

     arcsin  2  y     ,  4  6 

     2  arcsin  2  y     ,  4  3 

    1 2  y   sin    , 4 6 2

  1 y   . 4 4

Derivacija jednadžbe (1) je

0  2 yy  cos(2 x)  y 2  (2)  sin( 2 x )

 2 2 2  y  cos(2 x) 9 2 y 2  sin( 2 x)  2 arcsin( 2 y )  2 cos(2 x) 1  4 y2  . sin 2 (2 x) Stavljajući x 

(2)

 , iz jednadžbe (2) dobivamo 4

  2 y   4   1  2  arcsin  1   2  0 2   1   1 1 2  2   y    0   (2)  1 1 4  4 4 16 16  , 2 12  1 2  0 9 16   1 4 y  4, 8   3 2 3 4 

  4 y  4  1 , 16 3 3 2

  8 y  4  3 , 16 3

3 3   y     0.01292177 . 128 4

32

Zadatak 40. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu

y  ln( xy  e)  3 x  y 3 

(3 x  2) 2 x 1 . 2

(1)

Izračunajte y (0) i y(0) . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x  0 . Tako dobivamo

y (0)  ln( e)  y (0) 

21  1, 2

2 y (0)  1 ,

y ( 0) 

1 . 2

Na desnoj strani jednadžbe (1) primjećujemo izraz (3 x  2) 2 x 1 . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:



2 x 1

ln 3 x  2 

  (2 x  1)  ln(3x  2) ,

(3x  2)    2  ln(3x  2)  (2 x  1)  2 x 1

(3 x  2)

2 x 1

(3x  2)    (3x  2) 2 x 1

2 x 1

3 , 3x  2

6x  3   2  ln( 3x  2)  . 3x  2  

Derivacija cijele jednadžbe (1) je 2

y  ln( xy  e)  y 



 y  xy 1   ( x  y 3 ) 3  (1  3 y 2 y)  xy  e 3

1 6x  3   (3 x  2) 2 x 1  2  ln( 3x  2)  . 2 3x  2  

(2)

U jednadžbi (2) stavljamo x  0 i na taj način dobivamo

1 2 1 2 1 1  3  1  y(0)  1        1   y(0)   2  2  ln( 2)  2 e 3 2  4 2  

y(0) 

1 4  3 3    1   y(0)  2  ln( 2)  , 4e 3  4 2 

y(0) 

1 4 3   y(0)  2  ln( 2)  , 4e 3 2

y(0)  ln( 2) 

2 y(0)  2  ln( 2) 

3 , 2 

98 1  , 6 4e

1 1   0.730495583 . 12 8e

33

Zadatak 41. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu

y  ln( exy  e)  3 4 x  8 y 3 

(2 x  6) 3 x  2 . 6

(1)

Izračunajte y (0) i y(0) . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x  0 . Tako dobivamo

y (0)  ln( e)  2  y (0) 

62 6, 6

3 y (0)  6 ,

y (0)  2 .

Na desnoj strani jednadžbe (1) primjećujemo izraz (2 x  6)3 x  2 . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:



3x 2

ln 2 x  6 

  (3x  2)  ln( 2 x  6) ,

(2 x  6)    3  ln( 2 x  6)  (3x  2)  3x2

(2 x  6)

3x2

(2 x  6)    (2 x  6) 3x 2

3x 2

2 , 2x  6

3x  2    3  ln( 2 x  6)  . x  3  

Derivacija cijele jednadžbe (1) je 2

 ey  exy 1 y  ln( exy  e)  y    (4 x  8 y 3 ) 3  (4  24 y 2 y)  exy  e 3



1 3x  2    (2 x  6)3 x  2  3  ln( 2 x  6)  . 6 x  3  

(2)

Stavljajući x  0 , iz jednadžbe (2) dobivamo

y(0)  1  2 

2e 1 1 1 2     4  96 y(0)   36  3  ln( 6)   , e 3 44 6 3 

y(0)  4 

1 2   4  96 y(0)  6  3  ln( 6)   , 48 3 

y(0)  4 

1  2 y(0)  18  ln( 6)  4 , 12

3 y(0)  18  ln( 6) 

1 , 12

34

y(0)  6  ln( 6) 

1  10.72277904 . 36

Zadatak 42. Funkcija y  y (x) zadovoljava jednadžbu  4     . ( x  2) x  3  y  8  3 2 x  y 3  arcsin   y  6 6

(1)

Izračunajte y (0) i y(0) . Rješenje: Za početak, u jednadžbi (1) stavljamo x  0 . Tako dobivamo    4 3   , 23  y (0)  8  3  y (0)  arcsin   y ( 0)  6  6    4   , 8 y (0)  8 y (0)  arcsin   y ( 0)  6  6

4   1  sin    , y (0)  6 6 2

4

   4   , arcsin   y ( 0)  6  6

1  y ( 0)  3 , 2

1  y ( 0)  1 , 2

y (0)  2 .

Na lijevoj strani jednadžbe (1) primjećujemo izraz ( x  2) x  3 . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:



x 3

ln  x  2 

  ( x  3)  ln( x  2) ,

( x  2)    1  ln( x  2)  ( x  3)  x 3

( x  2)

x3

( x  2)    ( x  2) x 3

x 3

1 , x2

x  3   ln( x  2)  . x  2  

Derivacija cijele jednadžbe (1) je 2

 x  3 1  ( x  2) x  3  ln( x  2)   y  ( x  2) x  3  y  8   (2 x  y 3 ) 3  (2  3 y 2 y)   x  2 3 



1  4  1     y  6

2



 4 y 0. ( y  6) 2

(2)

Stavljajući x  0 , iz jednadžbe (2) dobivamo 35

 23  ln( 2)  

2

 3 8  2  23  y(0)   (23 ) 3  2  3  4  y(0)   2 3

1



 4  1   2 6

2



4  y(0)  0 , ( 2  6) 2

3 8 1  16  ln( 2)    8 y(0)    2  12 y(0)  2 3 4 

16  ln( 2)  24  8 y(0) 

16  ln( 2)  24  8 y(0) 

16  ln( 2)  1 8 3

1

4  y(0)  0 , 1 64 1 4 

2 1  1  2  12 y(0)       y(0)  0 , 3 3  16  4

4 1 1  8 y(0)    y(0)  0 , 3 3 16 2

68 2   y(0)  0 , 3 16 3

 y(0) 

68 17  17   16  ln( 2)  4    4  ln( 2)  4    ln(16) , 3 3  3 

17  y(0)  32 3    ln(16)  467.7510116 . 3 

36

5. Deriviranje parametarski zadanih funkcija Zadatak 43. Graf funkcije f  f (x ) ima parametarske jednadžbe

 t 2   t6  x(t )  arcsin    arcsin  ,  3t  1   3t  11 

y (t ) 

(t 3  1)2 . (t 2  1)3

Izračunajte f (0) i f (0) . Rješenje: Za koji t vrijedi x(t )  0 ?

 t2   t 6  arcsin    arcsin    0,  3t  1   3t  11  t 2 t 6  , 3t  1 3t  11

 t2   t6  arcsin    arcsin  ,  3t  1   3t  11 

(t  2)  (3t  11)  (t  6)  (3t  1) ,

3t 2  11t  6t  22  3t 2  t  18t  6 ,

5t  22  19t  6 ,

 14t  28 ,

t  2 .

(8  1)2 81 f (0)  f ( x(2))  y (2)    3. (4  1)3 27 1

x(t ) 

 t 2  1    3t  1  x(2) 

1  4 1    5



2

2





1  (3t  1)  (t  2)  3  (3t  1)2

1  (5)  (4)  3  (5)2

1  t 6  1    3t  11  1

4 1   5

2



2



1  (3t  11)  (t  6)  3 , (3t  11) 2

1 5  4  3  52

1 7 1 7 1 7 1 7 7 7 14           . 9 25 9 25 3 25 3 25 15 15 15 5 5 25 25

y(t ) 

2  (t 3  1)  3t 2  (t 2  1)3  (t 3  1)2  3  (t 2  1) 2  2t , (t 2  1)6

y(2) 

2  (9)  3  4  33  81  3  9  (4)  8  36  4  37  8  1  4  3    8  12  4 . 36 36 1

37

f (0)  f ( x (2)) 

y(2) 4 15 15 30   4  2  . x(2) 14 14 7 7 15

Zadatak 44. Graf funkcije f  f (x ) ima parametarske jednadžbe

 3t  12   3t  6  x(t )  arccos    arccos  ,  t 8   t2 

y (t ) 

(t 2  7)3 . (t 2  5) 2

Izračunajte f (0) i f (0) . Rješenje: Za koji t vrijedi x(t )  0 ?

 3t  12   3t  6  arccos    arccos    0,  t 8   t2  3t  12 3t  6  , t 8 t2

(3t  12)  (t  2)  (3t  6)  (t  8) ,

3t 2  6t  12t  24  3t 2  24t  6t  48 , f (0)  f ( x (3))  y (3)  1

x(t )  

 3t  12  1    t 8  x(3)  

1  3 1   5



 3t  12   3t  6  arccos    arccos  ,  t 8   t2 

2



2

 6t  24  30t  48 ,

24t  72 ,

t  3.

(9  7)3 8 1   . (9  5)2 16 2 

3  (t  8)  (3t  12)  1  (t  8) 2

3  (5)  (3)  25

1 3 1   5

2

1  3t  6  1    t2  

2



3  (t  2)  (3t  6)  1 , ( t  2) 2

35  3  25

1  12 1 12 1 12 1 12 12 12 24 6            . 16 25 16 25 4 25 4 25 20 20 20 5 5 5 25 25

y(t ) 

3  (t 2  7)2  2t  (t 2  5)2  (t 2  7)3  2  (t 2  5)  2t , (t 2  5) 4

y(3) 

3  4  6  16  8  2  4  6 72  16  16  24 72  24 48     3. 44 16  16 16 16

38

f (0)  f ( x(3)) 

y(3) 3 5 5   3  . x(3) 6 6 2 5

Zadatak 45. Graf funkcije f  f (x ) ima parametarske jednadžbe

x (t )  3

t3  1 , 8t 3  5t  3

  t y (t )  cos  t   arccos  . 3  2

1 1 Izračunajte f   i f   . 2  2 Rješenje: Za koji t vrijedi x(t ) 

3

1 ? 2

t3  1 1  , 3 8t  5t  3 8

t3  1 1  , 3 8t  5t  3 2

8t 3  5t  3  8t 3  8 ,

5t  5 ,

8  (t 3  1)  8t 3  5t  3 ,

t  1.

1   1 1   f    f ( x (1))  y (1)  cos   arccos     . 2 3  2 2 3 6 1  t3  1   x(t )    3 3  8t  5t  3 

1 2 x(1)     3  16 



2 3



2 3



3t 2  (8t 3  5t  3)  (t 3  1)  (24t 2  5) , (8t 3  5t  3)2

3  16  2  29 1  1      16 2 3 8



2 3

2

48  58 1  1    10        256 3  2   256 

1 5 1 5 5   4    . 3 128 3 32 96    t   y(t )   sin   t    arccos   cos  t   3  3 2 3 

   1   y(1)   sin     arccos   cos   3 3 2 3

1

1  , 2 t 2 1    2

1 3   1 1 1        2 3 3 2 3 2 1 2 1 4 4 1



39





2 3  18



2

1 2 3 1 2 3 3 2 3 3 3       18 18 23 18 3 2 3 2 2 2



3  3 . 18

 1  y(1) f      2  x(1)



 



2

3  3 96  2  3  3 16  2  3  3 18      5 5 18 5 3  96









16 3  ( 2  3)  23.77686261 . 15

Zadatak 46. Graf funkcije y  f (x ) ima parametarske jednadžbe x (t ) 

 ,  2t  1  arcsin    3t  2 

y (t ) 

3

2t  1 . t4

Izračunajte f (6) i f (6) . Rješenje: Za koji t vrijedi x(t )  6 ?  2t  1  arcsin    3t  2   1 ,  6

 6,  2t  1  arcsin    3t  2  2t  1   1  sin    , 3t  2 6 2 f (6)  f ( x(4))  y (4) 

  x(t ) 

3t  2 2, 2t  1

3

1 2

 2t  1   arcsin   ,  3t  2  6

3t  2  4t  2 ,

 t  4 ,

t 4.

9 3  . 8 2 

2  (3t  2)  (2t  1)  3 (3t  2) 2

 2t  1  1    3t  2  2   2t  1  arcsin  3t  2    

,

40

 

1 7 1    14 

x(4) 

2



2  14  7  3 142

  7  arcsin  14    

 

 

2

1

7  1 14  14 1 4  2     6 

1 1  3 28 2  2 36

1 36 18  3  14   14 3   7 3   18 . 2 2  7 3  36 2

1

  2 1  (2t  1) 2  3 t  4  2t  1   (t  4) 3 3 y(t )  2 , 2 3 t4



9 y(4) 



1 2



2

1  1 1 1 2 1 83 5  3 8  9  8 3 2  3   3 3 3 4 3 4  12  12  5 .   2 3 4 4 4 4 48 8

 

5 y(4) 5 7 3  35 3   48 f (6)  f ( x (4))       0.220427006 . 18 x(4)  48 18 864 7 3 

Zadatak 47. Graf funkcije f  f (x ) ima parametarske jednadžbe

x (t ) 

ln( 9t 2  4t  7) , ln(3t  1)

y (t )  (3t  1) 2t 3 .

Izračunajte f (2) i f (2) . Rješenje: Za koji t vrijedi x(t )  2 ?

ln( 9t 2  4t  7)  2, ln 3t  1 9t 2  4t  7  (3t  1) 2 ,

ln(9t 2  4t  7)  2  ln(3t  1) ,

9t 2  4t  7  9t 2  6t  1 ,





ln(9t 2  4t  7)  ln (3t  1) 2 ,  2t  6 ,

t  3.

f 2   f ( x(3))  y (3)  (9  1)6 3  103  1000 . 18t  4 3  ln( 3t  1)  ln( 9t 2  4t  7)  2 3t  1 , x(t )  9t  4t  7 2 ln(3t  1) 41

54  4 3 58 3  ln(10)  ln(81  12  7)   ln(10)   ln(100) 10  100 10 x(3)  81  12  7  ln(10) 2 ln(10) 2 29 3 29 6 29  30 1  ln(10)   2  ln(10)  1 10 .  50  50 10  50  50   2 ln(10) ln(10) ln(10) 50  ln(10) ln(10)

ln( y (t ))  (2t  3)  ln(3t  1) , y(t ) 3  2  ln(3t  1)  (2t  3)  , y (t ) 3t  1 3  3    y(t )  y (t )  2  ln( 3t  1)  (2t  3)   (3t  1)2t  3   2  ln( 3t  1)  (2t  3)  .  3t  1 3t  1   3 9   y(3)  103  2  ln(10)  3    1000   2  ln(10)    100  20  ln(10)  9 . 10  10    f 2  f ( x(3)) 

y(3) 100  20  ln(10)  9   50  ln(10)  100  20  ln(10)  9  1 x(3)  50  ln(10)

 5000  ln(10)  20  ln(10)  9  633806.1403 .

Zadatak 48. Graf funkcije f  f (x ) ima parametarske jednadžbe

x (t ) 

ln( 2t  1) , ln( 4t 2  3t  2)

y ( t )  ( t 2  9) 3 t  4 .

1 1 Izračunajte f   i f   . 2 2 Rješenje: Za koji t vrijedi x(t ) 

ln( 2t  1) 1  , 2 ln( 4t  3t  2) 2 (2t  1)2  4t 2  3t  2 ,

1 ? 2

2  ln( 2t  1)  ln( 4t 2  3t  2) ,

4t 2  4t  1  4t 2  3t  2 ,





ln (2t  1) 2  ln( 4t 2  3t  2) , t  1.

1 1 f    f ( x (1))  y (1)  (1  9)3 4  10 1  . 10 2 42

2 8t  3  ln( 4t 2  3t  2)  ln( 2t  1)  2 4t  3t  2 , x(t )  2t  1 2 2 ln( 4t  3t  2)





2 11 2 11 4 11 12  11 1  ln(9)  ln(3)   2  ln( 3)   ln(3)  1 9  3 9 9 9 . x(1)  3  3 9    2 2  ln( 3)  2  ln(3) 4  ln( 3) 4  ln( 3) 4  ln( 3) 36  ln( 3) ln( 9) ln( y (t ))  (3t  4)  ln( t 2  9) ,

y(t ) 2t  3  ln( t 2  9)  (3t  4)  2 , y (t ) t 9 2t  2t    y(t )  y (t )  3  ln( t 2  9)  (3t  4)  2  (t 2  9)3t  4  3  ln(t 2  9)  (3t  4)  2 .  t  9 t  9    2 30  ln(10)  2 15  ln(10)  1  y(1)  10 1  3  ln(10)    10 2  30  ln(10)  2   . 10  100 50  15  ln(10)  1 y(1) 36  ln( 3)  15  ln(10)  1 1 50 f    f ( x (1))     1 x(1) 50  2 36  ln( 3) 

18  ln( 3)  15  ln(10)  1  26.52920057 . 25

Zadatak 49. Graf funkcije y  f (x ) ima parametarske jednadžbe x (t ) 

2t  6 , t 3  25

t  4 y (t )  (2t  8)2t  7  arccos  . t 5

Izračunajte f (0) . Rješenje: Za koji t vrijedi x(t )  0 ? 2t  6  0, t 3  25

x(t ) 

2t  6  0 ,

2t  6 ,

t  3 .

2  (t 3  25)  (2t  6)  3t 2 , (t 3  25) 2

43

2  (2)  0  3  9  4   1 . (2)2 4

x(3) 

U formuli za y (t ) primjećujemo izraz (2t  8)2t  7 . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:





ln (2t  8) 2t  7  (2t  7)  ln( 2t  8) ,

(2t  8)  2t  7

(2t  8)



2t  7

(2t  8)  2t  7



 2  ln( 2t  8)  (2t  7) 



y(t )  (2t  8)

2 2  ( 2t  7)  2  ln( 2t  8)  , 2t  8 2t  8

2  (2t  7)    (2t  8) 2t 7  2  ln(2t  8)  . 2t  8   2t  7





   t  4   arccos     t  5  

2  (2t  7)    (2t  8) 2t  7  2  ln( 2t  8)   2t  8  

2  (2t  7)    (2t  8) 2t  7  2  ln( 2t  8)   2t  8  

2  1  y(3)  21  2  ln( 2)   2  

 4  ln( 2)  2 

1 1   2

2



t  4 1   t 5

2

1 t  4 1   t 5

2



1  (t  5)  (t  4)  1  (t  5)2



1 . (t  5)2

1 1 1  2  2  ln( 2)  1    2 2 3 4 4

1 1 1 3 3   4  ln( 2)  2   4  ln( 2)  2   4  ln( 2)  2  . 2 3 6 3 4 2 3 2

f (0)  f ( x (3)) 



1

1

y(3)  x(3)

4  ln( 2)  2  1

3 6  4  ln( 2)  2  3  6

3  2  4  ln( 2)  4.483913588 . 6

44

Zadatak 50. Graf funkcije y  f (x ) ima parametarske jednadžbe

3t   x(t )  arcsin  3 ,  t  6t  8 

y (t )  (t  1) t 1  8t .

    Izračunajte f   i f    . 6 6 Rješenje: Za koji t vrijedi x(t ) 

3t    arcsin  3  ,  t  6t  8  6

6t  t 3  6t  8 ,

 ? 6

3t   1  sin    , t  6t  8 6 2 3

0  t3  8 ,

t3  8 ,

6t  1, t  6t  8 3

t 2.

  f    f ( x (2))  y (2)  31  16  3  4  12 . 6

x(t ) 

 3t    3   2 t  6 t  8   3t   1 3   t  6t  8  1

1



3t   1  3   t  6t  8 

2



3  (t 3  6t  8)  3t  (3t 2  6) , (t 3  6t  8) 2

1

x(2) 

6   1    8  12  8  

2



3  (8  12  8)  6  (12  6)  (8  12  8) 2

1 1 1   2

2



3  12  6  18  122

1 36  108 1  72 2  1 1         . 144 3 3 144 3  2 3 4 2

Funkciju y (t ) deriviramo na logaritamski način:





 

ln( y (t ))  ln (t  1)t 1  ln 8t  (t  1)  ln(t  1) 

1  ln(8t ) , 2

y(t ) t 1 1 1 t 1 1  1  ln( t  1)     8  ln(t  1)   , y (t ) t  1 2 8t t  1 2t

45

t 1 1  t 1 1    y(t )  y (t )  ln( t  1)     (t  1)t 1  8t  ln(t  1)   . t  1 2t  t  1 2t    1 1 4 3   y(2)  31  16  ln( 3)     12  ln( 3)     12  ln(3)  4  3  12  ln( 3)  7 . 3 4 12 12    y(2) 12  ln( 3)  7   f    f ( x (2))    12  ln( 3)  7  3  34.95858328 . 1 x(2) 6  3

Zadatak 51. Graf funkcije y  f (x ) ima parametarske jednadžbe

x (t ) 

4t 2  3 2t 3  10 , t2 1

y (t )  (t  1)t  2  (3t  4)  ln(t 2  1) .

Izračunajte f (4) i f (4) . Rješenje: Za koji t vrijedi x(t )  4 ?

4t 2  3 2t 3  10  4, t2 1

2t 3  10  64 ,

4t 2  3 2t 3  10  4t 2  4 ,

2t 3  54 ,

t 3  27 ,

3

2t 3  10  4 ,

t  3.

f (4)  f ( x (3))  y (3)  21  5  ln(10)  10  ln(10)  12.30258509 . 2    1 3 3 8 t   ( 2 t  10 )  6t 2   (t 2  1)  (4t 2  3 2t 3  10 )  2t  3  x(t )   , (t 2  1) 2

2    1  24   64 3  54   10  (36  3 64 )  6   3 (24  18  4  2 )  10  (36  4)  6  x(3)     102 100

18   9 9 9  24    10  40  6 240   10  240  10 9 16  8   8  8  . 100 100 100 10 80 Na desnoj strani formule za y (t ) primjećujemo izraz (t  1)t  2  (3t  4) . Taj izraz deriviramo na logaritamski način:





ln (t  1)t  2  (3t  4)  (t  2)  ln(t  1)  ln( 3t  4) ,

46

  (3t  4) 1 3 t 2 3  1  ln( t  1)  (t  2)    ln( t  1)   , t 2 (t  1)  (3t  4) t  1 3t  4 t  1 3t  4

(t  1)

(t  1)



t 2

t 2

 t2 3    (3t  4)  (t  1)t  2  (3t  4)  ln(t  1)   . t  1 3t  4  



  y(t )  (t  1)t  2  (3t  4)  ln(t 2  1) 



 



t 2 3  2t   (t  1)t  2  (3t  4)  ln( t  1)    2 ,  t  1 3t  4  t  1  1 3 6 1 3 3   y(3)  21  5  ln( 2)      10  ln( 2)      2 5  10 2 5 5    10  ln( 2)  5  6 

y(3) f (4)   x(3)



3 58  10  ln( 2)  . 5 5

10  ln( 2)  9 80

58 5  10  ln( 2)  58   80  800  ln( 2)  58  16   1  5  9 9 

800  ln( 2)  928  164.7241938 . 9

47

6. Primjena derivacija Zadatak 52. Ana ima 5 metara žice. Ona će tu žicu prerezati na dva dijela. Jedan dio će biti dugačak x metara, a drugi dio će biti dugačak 5  x metara. Od dijela dugačkog x metara Ana će savijanjem napraviti krug. Od dijela dugačkog 5  x metara Ana će savijanjem napraviti kvadrat. (Dakle, opseg kruga će biti x metara, a opseg kvadrata će biti 5  x metara.) Neka je f (x ) oznaka za sumu površine kruga i površine kvadrata. Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima minimalnu vrijednost. Rješenje: Opseg kruga je x . Dakle, 2r  x , r 

x . Površina kruga je 2

x2 x2  r   2  . 4 4 2

Opseg kvadrata je 5  x . Dakle, duljina stranice kvadrata je

5 x . Površina kvadrata je 4

(5  x) 2 ( x  5)2  . 16 16 I tako,

x 2 ( x  5) 2 4 x 2    ( x  5) 2 1 f ( x)      4 x 2    ( x  5) 2 . 4 16 16 16



f ( x ) 





1 1 1  8 x  2  ( x  5)   4 x    ( x  5)   4 x    x  5 )  16 8 8

1  (4   )  x  5  . 8

f ( x )  0

f ( x) 



(4   )  x  5  0 ,

(4   )  x  5 ,

x

5 . 4

1 4  (4   )  0. 8 8

Funkcija f (x ) poprima lokalno (a i globalno) najmanju vrijednost onda kada je 5 x  2.199504232 . 4

48

Zadatak 53. Opseg pravokutnika P1 je x metara. Širina pravokutnika P1 je dva puta veća nego visina pravokutnika P1 . Opseg pravokutnika P2 je 7  2 x metara. Širina pravokutnika P2 je tri puta veća nego visina pravokutnika P2 . Vidi sliku:

Neka je f ( x )  ( površina pravokutnika P1 )  ( površina pravokutnika P2 ) . Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima minimalnu vrijednost. Rješenje: Neka je a oznaka za duljinu kraće stranice pravokutnika P1 . Opseg pravokutnika x P1 je a  a  2a  2a  6a . Dakle, 6a  x , a  . Površina pravokutnika P1 je 6 2 x x x a  2a    . 6 3 18 Neka je b oznaka za duljinu kraće stranice pravokutnika P2 . Opseg pravokutnika P2 je 7  2x . Površina pravokutnika P2 je b  b  3b  3b  8b . Dakle, 8b  7  2 x , b  8 7  2 x 3  (7  2 x ) 3  (7  2 x ) 2 b  3b    . 8 8 8 I tako, f ( x) 

f ( x ) 



x 2 3  (7  2 x ) 2  . 18 64

1 3 x 3  (7  2 x) 16 x  27  (7  2 x )  2 x   2  (7  2 x )  (2)     18 64 9 16 144

16 x  27  7  54 x 70 x  27  7  . 144 144

49

Vidimo da je f ( x)  0 onda kada je 70 x  27  7  0 ,

f ( x) 

10 x  27  0 ,

1 70 35  70   . 144 144 72

10 x  27 ,

x

27 . 10

 27  35 f     0.  10  72

Funkcija f (x ) poprima minimalnu vrijednost onda kada je x 

27  2.7 . 10

Zadatak 54. Broj a leži u intervalu 0, 20 . Opseg kruga K je 20  a . Najdonja točka kruga K ima ordinatu a . Neka je G najljevija točka kruga K i neka je H najdesnija točka kruga K . Neka je L lik kojega:  slijeva omeđuje pravac koji prolazi kroz točku G i paralelan je sa ipsilon osi,  zdesna omeđuje pravac koji prolazi kroz točku H i paralelan je sa ipsilon osi,  odozdo omeđuje iks os, te  odozgo omeđuje donji rub kruga K . Vidi sliku:

50

Neka je f (a ) oznaka za površinu lika L . Nađite broj a za kojega funkcija f (a ) poprima maksimalnu vrijednost. Napomena: Točke G , H , I i J su vrhovi pravokutnika. Ne samo da se sa slike stječe takav dojam, nego je i stvarno tako. Rješenje: Opseg kruga K je 20  a . Dakle, 2r  20  a , r  K je

1  (20  a ) . Radijus kruga 2

1  (20  a ) . 2

1  (20  a ) . Duljina okomite stranice  1 pravokutnika GHIJ je (ordinata najdonje tocke kruga K )  r  a  r  a   (20  a) . 2 1 1   Površina pravokutnika GHIJ je  (20  a)   a   (20  a) .  2  

Duljina vodoravne stranice pravokutnika GHIJ je 2r 

Površina kruga K je r 2   

1 1  (20  a) 2   (20  a )2 . 2 4 4

f (a)  (površina pravokutnika GHIJ ) 

1  (površina kruga K )  2

51



1 1   1  (20  a )  a   (20  a )   (20  a )2 .  2   8

f (a ) 

1 1 1   1   1  (1)  a   (20  a)   (20  a)  1   (1)   2  (20  a )  (1)   2     2  8



 1  1 1     1  (1)  a   (20  a )  (20  a )  1   (1)   2  (20  a )  (1)   2    2  8 



1 

1 1 1     a   (20  a)  (20  a )   (20  a )   (20  a)  2 2 4  



1 

1 1  1  9 1     a   (20  a)  20  a  5   a     25   a   (20  a) .  4    4   

f (a )  0



25 

9 1  a   (20  a )  0 , 4 

100  9  a  80  4a  0 ,

a

100  9  a  4  (20  a)  0 ,

100  80  9  a  4a ,

(9  4)  a  100  80 ,

100  80 . 9  4

f (a ) 

1 

 9 1  1  1 9     (1)       0.61487606  0 .  4     4

Funkcija f (a ) poprima najveću vrijednost onda kada je a 

100  80  9.64637244 . 9  4

Zadatak 55. Jedan metar zlatne sajle košta 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle košta 6 kuna. Krešimir ima 75 kuna i potrošiti će ih ovako: na zlatnu sajlu će potrošiti x kuna, a na srebrnu sajlu će potrošiti 75  x kuna. Zatim će Krešimir savijati sajle i tako će napraviti dva kruga: od zlatne sajle će napraviti krug K1 , a od srebrne sajle će napraviti krug K 2 . (Točnije rečeno, Krešimir će od npr. zlatne sajle napraviti kružnicu, i ta kružnica je rub kruga K1 .) Neka je f (x ) oznaka za sumu površine kruga K1 i površine kruga K 2 . Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima minimalnu vrijednost. x 75  x metara zlatne sajle i metara srebrne sajle. Dakle, 8 6 x 75  x opseg kruga K1 će biti metara, a opseg kruga K 2 će biti metara. 8 6

Rješenje: Krešimir će kupiti

52

Kod svakog kruga vrijedi da je

opseg  2r ,

r

opseg , 2

površina  r 2   

(opseg)2 1   (opseg) 2 . 2 4 4

2

1  x I tako, površina kruga K1 iznositi će    kvadratnih metara, a površina kruga K 2 4  8  2

1  75  x  iznositi će   kvadratnih metara. To znači da je 4  6  2

2

1 x 1  75  x  1  x 2 ( x  75) 2  f ( x)        .   4  8  4  6  4  64 36  f ( x ) 

1 4

f ( x )  0

 2 x 2( x  75)  1  x x  75       . 36  4  32 18   64 

50 x  2400 ,

f ( x) 

x x  75   0, 32 18 100 x  4800 ,

18 x  32  ( x  75)  0 ,

18 x  32 x  2400  0 ,

x  48 .

1  1 1     0. 4  32 18 

Funkcija f (x ) poprima minimalnu vrijednost za x  48 . Drugim riječima, zbroj površina krugova je najmanji onda kada Krešimir potroši 48 kuna na zlatnu sajlu i 75  48  27 kuna na srebrnu sajlu.

Zadatak 56. Jedan metar zlatne sajle košta 4 kune. Jedan metar srebrne sajle košta 2 kune. Matea ima 88 kuna. Matea će u intervalu 0, 22 izabrati broj x . Zatim će Matea kupiti x metara zlatne sajle, a novce koji joj nakon toga ostanu potrošiti će na srebrnu sajlu. Od zlatne sajle, Matea će napraviti pravokutnik kojemu je širina dva puta veća nego visina. (Pravokutnik će izgledati otprilike ovako: .) Označimo taj pravokutnik slovom P . Od srebrne sajle, Matea će napraviti kvadrat. Označimo taj kvadrat slovom K . Neka je f ( x)  ( površina pravokutnika P)  ( površina kvadrata K ) . Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima minimalnu vrijednost.

53

Rješenje: Označimo duljinu kraće stranice pravokutnika P slovom a . Opseg pravokutnika P je a  a  2a  2a  6a . No u zadatku piše da pravokutnik P ima opseg x . Dakle, x x x x2 . 6a  x , te je a  . Površina pravokutnika P je a  2a    6 6 3 18 Matea će na zlatnu sajlu potrošiti 4 x kuna, pa će joj za srebrnu sajlu ostati 88  4 x kuna. 88  4 x Dakle, Matea će kupiti  44  2 x metara srebrne sajle. Opseg kvadrata K biti će 2 44  2 x x  11  . Površina kvadrata K biti će 44  2 x . Duljina stranice kvadrata K biti će 4 2 2

2

x x   11      11 . 2 2  

I tako, 2

f ( x) 



x2  x x2 x2 9    2    11    11x  121      x 2  11x  121  18  2  18 4  36 36 

11 2  x  11x  121 . 36

f ( x ) 

22 11 1   x  11   x  11  11    x  1 . 36 18  18 

Jednakost f ( x)  0 vrijedi onda kada je f ( x )  11 

1 1  x 1  0 ,  x  1 , x  18 . Pri tome je 18 18

1 11   0 . Dakle, traženi x je 18 . 18 18

Zadatak 57. Dean kod sebe ima 150 kuna. Dean ide u dućan, u kojem jedan metar zlatne sajle košta 9 kuna, jedan metar srebrne sajle košta 6 kuna, a jedan metar plave sajle košta 3 kune. 9 Kada dođe u dućan, Dean će u intervalu , 9 izabrati broj x . Zatim će Dean kupiti x 2 3 metara zlatne sajle i x  metara srebrne sajle. Sve novce koji mu nakon toga ostanu, x4 Dean će potrošiti na plavu sajlu. Neka je f (x ) oznaka za sumu (duljina Deanove zlatne sajle) + (duljina Deanove srebrne sajle) + (duljina Deanove plave sajle). Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost.

54

Rješenje: Dean će na zlatnu sajlu potrošiti 9 x kuna, a na srebrnu sajlu će potrošiti 3  18 18  6x  kuna. Za plavu sajlu, Deanu će ostati 150  9 x  6 x     6x  x 4 x4 x4  18  1 6 18   150  15 x  kuna. To znači da će Dean kupiti 150  15 x     50  5 x  x 4 3 x4 x4  metara plave sajle. I tako, f ( x)  x  x 

3 6 3  50  5 x   50  3 x  . x4 x4 x4

Nadalje,

f ( x)  3 

3 3  3  . 2 ( x  4) ( x  4) 2

Jednakost f ( x)  0 vrijedi onda kada je

3

3  0, ( x  4) 2

3  3, ( x  4)2

1  1, ( x  4)2

( x  4) 2  1 ,

x  4  1 ,

x  4  1  3 ili 5 .

U tekstu zadatka piše da je funkcija f (x ) definirana na intervalu

9 , 9 . U tom intervalu, 2

jedina stacionarna točka funkcije f (x ) je točka x  5 .

f ( x)  3  (2)  ( x  4) 3 

6 , ( x  4)3

f (5) 

6  6  0 . 13

Funkcija f (x ) u točki x  5 ima strogi lokalni maksimum. Zbroj duljina Deanovih sajli je najveći onda kada Dean izabere broj x  5 .

Zadatak 58. Jedan metar srebrne sajle košta 7 kuna. Jedan metar zlatne sajle košta 8 kuna. Mišo je kupio ln( e x ) metara srebrne sajle i e 3 2 x metara zlatne sajle. (Broj x je veći od nule.) Koristeći svu kupljenu sajlu, Mišo je na podu napravio pravokutnik. Jedan par paralelnih stranica Mišinog pravokutnika je od srebrne sajle, a drugi par paralelnih stranica je od zlatne sajle. Neka je f (x ) oznaka za površinu Mišinog pravokutnika. Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost.

55

Rješenje: Kod Mišinog pravokutnika, svaka srebrna stranica ima duljinu svaka zlatna stranica ima duljinu

f ( x ) 

1 3 2 x 1 1 1 e . Dakle, f ( x)  x  e3 2 x  x e3 2 x . 2 2 2 4

1 1 1  1  e3 2 x   x  e 3 2 x  (2)   (1  2 x)  e3 2 x . 4 4 4

Jednakost f ( x)  0 vrijedi onda kada je 1  2 x  0 , 2 x  1 , x 

f ( x) 



1 1  ln( e x )   x , a 2 2

1 . 2

1 1 1  (2)  e 3 2 x   (1  2 x )  e 3 2 x  (2)   (2  2  4 x )  e3  2 x  4 4 4

1 1  (4  4 x )  e3 2 x   (4 x  4)  e3 2 x  ( x  1)  e3 2 x , 4 4

1 1 1  f      1  e31    e 2  0 . 2 2 2  Funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost za x 

1 . 2

Primijetimo da su podaci o cijenama sajli u ovom zadatku zapravo suvišni. Kod rješavanja zadatka, mi te podatke nismo koristili. (Dakle, cijene sajli su zamka kojom se provjerava matematičku zrelost studenata.)

Zadatak 59. Jedan metar zlatne sajle košta 8 kuna. Jedan metar srebrne sajle košta 7 kuna. Goran će u intervalu

1 1 , 1 izabrati broj x . Zatim će Goran u dućanu kupiti 9 x  metara 3 x

3 metara srebrne sajle. Nakon toga će Goran napraviti pravokutnik kojemu x je jedna stranica od zlatne sajle, a ostale tri stranice su od srebrne sajle. Označimo površinu toga pravokutnika sa f (x ) . Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost.

zlatne sajle i 5 x 

1 3 1 , 1 vrijedi 5 x   9 x   0 . Dakle, sigurno je da će Goran kupiti 3 x x više metara srebrne sajle nego metara zlatne sajle. Također je sigurno da će Goran kupiti više od nula metara zlatne sajle. Napomena. Za x 

1 metara i jednu srebrnu x 1 3 stranicu duljine 9 x  metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica biti će 5 x   x x

Rješenje: Pravokutnik će imati jednu zlatnu stranicu duljine 9 x 

56

1 4 4 2    9 x    4 x    4 x metara. Svaka od tih dviju stranica biti će duga  2 x x x x x  metara. Površina pravokutnika biti će 1 2 2 2   2 2  9 x      2 x   18  18 x  2  2  18 x  20  2 kvadratnih metara. x  x x x   Drugim riječima, f ( x )  18 x 2  20 

2 4 . Odatle slijedi da je f ( x )  36 x  3 . Jednakost 2 x x

f ( x)  0 vrijedi onda kada je  36 x 

x

4  0, x3

36 x 

4 , x3

36 x 4  4 ,

x4 

1 , 9

1 x2  , 3

1 3   0.577350269 . 3 3

f ( x )  36 

12 , x4

12  1  f    36   36  108  144  0 . 1  3 9

Površina pravokutnika poprima maksimalnu vrijednost onda kada je x 

1 . 3

Primjećujemo da su podaci o cijenama sajli i u ovom zadatku bili suvišni.

Zadatak 60. Jedan metar zlatne žice košta 4 kune. Jedan metar srebrne žice košta 2 kune.

9 izabrati broj x . Zatim će Ana kupiti 8 x metara 8 zlatne žice, a novce koji joj nakon toga ostanu potrošiti će na srebrnu žicu. Ana ima 44 kune. Ana će u intervalu 0,

Od zlatne žice, Ana će napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu x . Od srebrne žice, Ana će napraviti pravokutnik kojemu okomita stranica ima duljinu x 2 . (Riječima: duljina okomite stranice srebrnog pravokutnika biti će iks na drugu.) Vidi sliku:

57

Neka je f ( x)  ( površina zlatnog pravokutnika)  ( površina srebrnog pravokutnika ) . Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima ekstremnu vrijednost. Koristeći drugu derivaciju, ustanovite o kakvoj se ekstremnoj vrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ili maksimalna vrijednost? Rješenje: Opseg zlatnog pravokutnika je 8 x , a zbroj duljina okomitih stranica je 2 x . Dakle, zbroj duljina vodoravnih stranica je 6 x , a duljina jedne vodoravne stranice je 3 x . Površina zlatnog pravokutnika je x  3 x  3 x 2 . Ana će na zlatnu žicu potrošiti 8 x  4  32 x kuna, pa će joj za srebrnu žicu ostati 44  32 x kuna. To znači da će Ana kupiti 22  16 x metara srebrne žice. Opseg srebrnog pravokutnika biti će 22  16 x , a zbroj duljina okomitih stranica biti će 2x 2 . Dakle, zbroj duljina vodoravnih stranica biti će 22  16 x  2 x 2 , a duljina jedne vodoravne stranice biti će 11  8 x  x 2 . Površina srebrnog pravokutnika biti će x 2  (11  8 x  x 2 )  11x 2  8 x 3  x 4   x 4  8 x 3  11x 2 . I tako, f ( x )  3 x 2  ( x 4  8 x 3  11x 2 )   x 4  8 x 3  14 x 2 . f ( x )  4 x 3  24 x 2  28 x  4 x  ( x 2  6 x  7) . Jednakost  4 x  ( x 2  6 x  7)  0 vrijedi onda kada je x  0 , kao i onda kada je

x2  6x  7  0 ,

x

 6  36  28  6  64  6  8    7 & 1 . 2 2 2

58

9 . Brojevi 0 i  7 ne leže u 8 domeni, pa nas jedino zanima što se s funkcijom f (x ) događa za x  1 . U tekstu zadatka piše da je domena funkcije f (x ) interval 0,

f ( x)  12 x 2  48 x  28 ,

f (1)  12  48  28  32  0 .

Funkcija f (x ) poprima ekstremnu vrijednost za x  1 . Radi se o maksimalnoj vrijednosti. 9 Niti za jedan x iz intervala 0, , funkcija f (x ) ne poprima tako veliku vrijednost kao za 8 x  1.

Zadatak 61. Jedan metar zlatne sajle košta 6 kuna. Jedan metar srebrne sajle košta 3 kune. Petra je imala 120 kuna. Petra je u intervalu 0, 7 izabrala broj x i zatim je kupila x metara zlatne sajle. Osim toga, Petra je x 2 kuna dala prosjaku. (Riječima: Petra je prosjaku dala iks na drugu kuna.) Novce koje nije potrošila niti na zlatnu sajlu niti na prosjaka, Petra je potrošila na srebrnu sajlu. Kada se vratila kući, Petra je napravila pravokutnik kojemu je jedna stranica od zlatne sajle, a ostale tri stranice su od srebrne sajle. Neka je f (x ) oznaka za površinu toga pravokutnika. Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost. Rješenje: Petra je za zlatnu sajlu dala 6 x kuna, a prosjaku je dala x 2 kuna. Dakle, za srebrnu sajlu joj je ostalo 120  6 x  x 2 kuna. Za te novce, Petra je dobila 1 x2  (120  6 x  x 2 )  40  2 x  metara srebrne sajle. 3 3 Petrin pravokutnik ima jednu zlatnu stranicu dugu x metara i jednu srebrnu stranicu dugu x  x2  x2 metara. Zbroj duljina ostalih dviju srebrnih stranica je  40  2 x    x  40  3x  3 3  metara. Svaka od tih dviju stranica je duga

1  x2  3 x2 metara. I tako,   40  3x    20  x  2  3 2 6

 3 x2  3 x3 površina pravokutnika je x   20  x    20 x  x 2  kvadratnih metara. Drugim 2 6  2 6  riječima,

f ( x )  20 x 

3 2 x3 x3 3 x     x 2  20 x . 2 6 6 2

Odatle slijedi da je

59

3 6 1 f ( x )   x 2  x  20   x 2  3x  20 . 6 2 2

Jednakost 

1 2 x  3x  20  0 vrijedi onda kada je 2

x 2  6 x  40  0 ,

x

 6  36  160  6  196  6  14 20 8    &  10 & 4 . 2 2 2 2 2

U tekstu zadatka piše da je domena funkcije f (x ) interval 0, 7 . Broj  10 ne leži u domeni, pa nas jedino zanima što se s funkcijom f (x ) dešava za x  4 . 2 f ( x)   x  3   x  3 , 2

f (4)  4  3  7  0 .

U točki x  4 , funkcija f (x ) ima lokalni maksimum. Niti za jedan x iz intervala 0, 7 , funkcija f (x ) (što će reći, površina Petrinog pravokutnika) ne poprima tako veliku vrijednost kao za x  4 .

Zadatak 62. Jedan metar srebrne žice košta 50 lipa. Jedan metar zlatne žice košta 2 kune.

1 11 , izabrati broj x . Zatim će Marijana 4 4 dati x kuna prosjaku. Nadalje, Marijana će na srebrnu žicu potrošiti x 2 kuna (riječima: iks na drugu kuna). Sve novce koje ne potroši niti na prosjaka niti na srebrnu žicu, Marijana će potrošiti na zlatnu žicu. Marijana ima 27 kuna. Marijana će u intervalu

Kada dođe kući, Marijana će od srebrne žice napraviti kvadrat. Taj ćemo kvadrat označiti slovom K. Marijana će od zlatne žice napraviti takav pravokutnik P kojemu jedna od stranica ima jednaku duljinu kao i stranica kvadrata K. Vidi sliku:

Neka je f (x ) oznaka za površinu pravokutnika P . Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima ekstremnu vrijednost. Koristeći drugu derivaciju, ustanovite o kakvoj se ekstremnoj vrijednosti radi: je li to minimalna vrijednost ili maksimalna vrijednost? 60

Rješenje: Marijana će na srebrnu žicu potrošiti x 2 kuna, a na zlatnu će žicu potrošiti 1 27  x  x 2 kuna. Dakle, Marijana će dobiti 2x 2 metara srebrne žice i  (27  x  x 2 ) metara 2 2 2 2x x zlatne žice. Stranica kvadrata K biti će duga  metara. Zbroj duljina okomitih 4 2 x2 x2 stranica pravokutnika P biti će   x 2 metara. Zbroj duljina vodoravnih stranica 2 2 1 1 pravokutnika P biti će  (27  x  x 2 )  x 2   (27  x  3x 2 ) metara. Duljina jedne 2 2 1 vodoravne stranice pravokutnika P biti će  (27  x  3 x 2 ) metara. I tako, površina 4 pravokutnika P biti će

1 x2 1 1 2 f ( x)   (27  x  3 x )    (27 x 2  x 3  3 x 4 )   (3x 4  x 3  27 x 2 ) . 4 2 8 8 1 3 3 f ( x )   (12 x 3  3 x 2  54 x)    (4 x 3  x 2  18 x )   x  (4 x 2  x  18) . 8 8 8 3 Jednakost  x  (4 x 2  x  18)  0 vrijedi onda kada je x  0 , kao i onda kada je 8 2 4 x  x  18  0 . Potonja kvadratna jednadžba zadovoljena je za

x

 1  1  288  1  17 18 16 9   &   & 2. 8 8 8 8 4

3 9 Rješenja jednadžbe  x  (4 x 2  x  18)  0 su  , 0 i 2 . Od ta tri broja, u intervalu 8 4 1 11 , leži samo broj 2 . 4 4 3 3 f ( x)    (12 x 2  2 x  18)    (6 x 2  x  9) , 8 4 3 3 51 f (2)    (24  2  9)    17    0 . 4 4 4

Funkcija f (x ) poprima ekstremnu vrijednost za x  2 . Ta ekstremna vrijednost je 1 11 maksimalna vrijednost. Niti za jedan x iz intervala , , funkcija f (x ) ne poprima tako 4 4 veliku vrijednost kao za x  2 .

61

Zadatak 63. U dućanu A, jedan metar srebrne sajle košta 5 kuna. U dućanu B, jedan metar zlatne sajle košta 9 kuna. Međutim, ako u dućanu B kupite n metara zlatne sajle, onda na poklon dobivate 4  ln(1  n) metara srebrne sajle. Robert će u dućanu A kupiti x metara srebrne sajle, gdje je 0  x  12 . U dućanu B, Robert će kupiti toliko metara zlatne sajle koliko je potrebno da bi se na poklon dobilo 12  x metara srebrne sajle. Neka je f (x ) oznaka za sumu (novci koje će Robert potrošiti u dućanu A) + (novci koje će Robert potrošiti u dućanu B). Kako glasi formula za funkciju f (x ) ? Nadalje, funkcija f (x ) ima samo jednu stacionarnu točku. (To jest, jednadžba f ( x)  0 ima samo jedno rješenje.) Nađite stacionarnu točku funkcije f (x ) , pa zatim ispitajte tu točku pomoću druge derivacije. Rješenje: U dućanu A, Robert će potrošiti 5 x kuna. U dućanu B, Robert će kupiti n metara zlatne sajle, pri čemu n zadovoljava jednakost 4  ln(1  n)  12  x .

4  ln(1  n)  12  x ,

ln(1  n)  3 

Dakle, Robert će kupiti e

3

x 4

x , 4

1 n  e

3

x 4

,

ne

3

x 4

1.

 3 x   1 metara zlatne sajle i za tu sajlu će platiti 9   e 4  1 kuna.  

 3 x  I tako, f ( x)  5 x  9   e 4  1 .  

 x x 3  3 4x  1 9 3 4  4 f ( x )  5  9   e   5  9  e      5   e . 4  4   x

f ( x )  0



5

x  20   3   ln   , 4  9 

x

9 3 4 e  0 , 4

9 3 4 e  5 , 4

x  20   3  ln   , 4  9 

x

e

3

x 4



20 , 9

3

x  20   ln   , 4  9 

 20  x  12  4  ln    8.805969215 .  9 

x

9 3  1  9 3 f ( x)    e 4       e 4 , 4  4  16 

 20  

 20 

 20 

  20   9 3  3 ln    9 3 3 ln  9  9 ln  9  9 20 20 5 f  12  4  ln      e   9     e  e      0. 16 16 16 9 16 4  9   16 

62

 20  Za x  12  4  ln   , funkcija f (x ) ima strogi lokalni minimum. Robert će proći  9   20  najjeftinije ako u dućanu A kupi 12  4  ln    8.805969215 metara srebrne sajle.  9 

Zadatak 64. Robert posjeduje dva građevinska zemljišta. Ta dva zemljišta se zovu zemljište A i zemljište B. Zemljište A ima kvadratni oblik. Opseg zemljišta A je kvadratni oblik. Opseg zemljišta B je

e9 x metara. Zemljište B također ima

e10  e 2 x metara.

Robert će zemljište A prodati po cijeni od 48 eura po kvadratnom metru. Robert će zemljište B prodati po cijeni od 32 eura po kvadratnom metru. Neka je f (x ) oznaka za sumu (euri koje će Robert dobiti prodajom zemljišta A) + + (euri koje će Robert dobiti prodajom zemljišta B). Nađite x za kojega funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost.

e9 x e9 x Rješenje: Duljina stranice zemljišta A je metara. Površina zemljišta A je 4 16 9 e x kvadratnih metara. Prodajom zemljišta A, Robert će dobiti 48   3e9 x eura. 16 e10  e 2 x e10  e 2 x metara. Površina zemljišta B je 4 16 10 2x e e kvadratnih metara. Prodajom zemljišta B, Robert će dobiti 32   2  (e10  e 2 x )  16  2e10  2e 2 x eura. Duljina stranice zemljišta B je

I tako, f ( x)  3e 9 x  2e10  2e 2 x . Stoga je f ( x)  3e9  4e 2 x . f ( x )  0

x



4e 2 x  3e 9 ,

e2 x 

3 9 e , 4

3 3 2 x  ln    ln( e 9 )  ln    9 , 4 4

1 3 9  ln    . 2 4 2

63

3

ln    9 1  3 9 3 f   ln      8e  4   8   e9  6e9  0 . 4 2  4 2

2x

f ( x)  8e ,

3 ln    9 4 Funkcija f (x ) poprima maksimalnu vrijednost za x     4.356158964 . 2

Zadatak 65. Marija je u intervalu 0, 12 izabrala broj x . Zatim je Marija uzela crveni, plavi i crni flomaster. Crvenim flomasterom je nacrtala krug koji ima površinu x . Plavim flomasterom je nacrtala kvadrat koji ima površinu 12  x . Crnim flomasterom je nacrtala kvadrat koji ima površinu e 2  2.71828 2 . Neka je

f (x)  (opseg crvenog kruga)  (opseg plavog kvadrata)  (opseg crnog kvadrata). Funkcija f (x ) ima samo jednu stacionarnu točku. (Drugim riječima, jednadžba f ( x)  0 ima samo jedno rješenje.) Označimo tu stacionarnu točku oznakom a . Izračunajte broj a . Napomena. Od vas se ne traži da izračunate f (a ) . Spomenimo ipak da vrijedi f (a )  0 , tako da funkcija f u točki a ima lokalni maksimum. Rješenje: Neka je r oznaka za radijus crvenog kruga. Vrijedi

r 2  x ,

r2 

x , 

r

x , 

2r   2 

x   2 x   2  x . 

Opseg crvenog kruga je 2  x . Neka je b oznaka za duljinu stranice plavog kvadrata. Vrijedi

b 2  12  x ,

b  12  x ,

4b  4 12  x .

Opseg plavog kvadrata je 4 12  x . Neka je c oznaka za duljinu stranice crnog kvadrata. Vrijedi

c 2  e2 ,

c e,

4c  4e .

Opseg crnog kvadrata je 4e . I tako, f ( x )  2  x  4 12  x  4e . f ( x )  2  

1 2 x

 4

1  2 0  . 2 12  x x 12  x

64



 2  , x 12  x

12  x  4 x ,

(  4) x  12 ,

f ( x)  0

Stacionarna točka je

 4  , x 12  x x

12  x  4 x ,

12 .  4

12  5.278810158 .  4

Zadatak 66. Zamislimo ovu situaciju. Poluravnina y  0 je more, a iks os je obala. Točka (1, 0) je jedan kilometar daleko od ishodišta. Točka (0,  1) je također jedan kilometar daleko od ishodišta.

1  Spasilac Damir nalazi se u ishodištu (0, 0). Kupačica Viviana nalazi se u točki 1,   . 2  (Dakle, Viviana je 500 metara daleko od obale.) U jednom trenutku, Damir je primijetio da se Viviana utapa.

Damir će iz ishodišta brzinom od 13 kilometara na sat otrčati do točke (x, 0) . Iz točke (x, 0) , 1  Damir će brzinom od 5 kilometara na sat otplivati do točke 1,   . (Podrazumijeva se da će 2  Damir trčati pravocrtno i zatim plivati pravocrtno.) Od trenutka kada Damir krene iz ishodišta

65

1  pa do trenutka kada Damir stigne u točku 1,   , proći će f (x ) sati. Nađite x za kojega je 2  vrijeme f (x ) minimalno. Rješenje: Ako Damir uđe u more u točki (x, 0) , onda će on trčati x kilometara i zatim će 2

1  x     1  0   ( x  1)2  1 kilometara. Trčanje će trajati x sati, a plivanje 4 13  2  2

plivati

( x  1) 2  će trajati

5

1 4 sati. Dakle, Damir će do Viviane stići za x  1  ( x  1)2  1 sati. 13 5 4

Drugim riječima, vrijedi f ( x) 

f ( x ) 

1 1   13 5

f ( x )  0



2( x  1) 1 2  ( x  1)  4

x 1 1   ( x  1) 2  . 13 5 4 

2

1  13

1  13

x 1 5  ( x  1)2 

13( x  1)  5  ( x  1) 2 

1 . 4

1 4

x 1 1 5  ( x  1)  4

.

2

0,

5  ( x  1) 2 

1  13( x  1)  0 , 4

(1)

Kvadriranjem jednadžbe (1) dolazimo do zaključka: ako je f ( x)  0 , onda je

1  169( x  1) 2  25  ( x  1)2   , 4 

169( x  1) 2  25( x  1) 2 

5 12( x  1)   , 2

x  1

x 1  

5 , 24

5 24  5  , 24 24

25 , 4

x

144( x  1)2 

25 , 4

19 29 ili . 24 24

Ako Damir želi što prije stići do Viviane, onda mu je očito bolje da počne plivati u točki 19 29 29 x nego u točki x  . Uostalom, x  niti nije stacionarna točka funkcije f (x ) . 24 24 24 29 5 65 Naime, za x  , na lijevoj strani jednadžbe (1) imamo 13   , a na desnoj strani 24 24 24 jednadžbe (1) imamo 2

25 144 169 13 65  5  1  5      5    5   5   . 576 576 576 24 24  24  4

66

29 29 nije rješenje jednadžbe (1), x  nije niti rješenje jednadžbe f ( x)  0 . 24 24 19 S druge strane, x  je stacionarna točka funkcije f (x ) . Zaista, 24

Budući da x 

5 1  19  1 24 f       2  24  13  5  1 13 5     24  4 

1 1 1 1 24   24   25 144 13 169 13  576 576 576 

1 24  1  1  0 . 13 13 13 24

 19  Da bi najbrže stigao do Viviane, Damir treba ući u more u točki  , 0   (0.791666... , 0) .  24 

Zadatak 67. Kada Veljko hoda po obali, njegova brzina je 4 km na sat. Kada Veljko pliva u moru, njegova brzina je 3 km na sat. Zamislimo da je iks os obala i da je poluravnina y  0 more. Veljko će iz točke (0, 0) po obali otpješačiti do točke (a, 0) , gdje broj a leži u intervalu 2, 4 . U točki (a, 0) , Veljko će ući u more. Veljko će plivati paralelno sa ipsilon osi (to jest okomito na iks os), a zaustaviti će se onda kada dotakne kružnicu ( x  3) 2  ( y  2) 2  1 .

67

Od kada Veljko krene iz točke (0, 0) pa dok on dopliva do kružnice ( x  3) 2  ( y  2) 2  1 proći će f (a ) sati. Funkcija f (a ) ima samo jednu stacionarnu točku. Nađite stacionarnu točku funkcije f (a ) ! (Kada bi se izračunalo drugu derivaciju, što se od vas ne traži, vidjelo bi se da funkcija f (a ) u stacionarnoj točki ima strogi lokalni minimum.) Rješenje: Jednadžba kružnice ( x  3) 2  ( y  2) 2  1 može se napisati i ovako: ( y  2) 2  1  ( x  3)2 ,

y  2   1  ( x  3) 2 ,

y  2  1  ( x  3) 2 .

Veljko će se zaustaviti na gornjoj polovici kružnice, to jest na krivulji y  2  1  ( x  3) 2 . Konkretno, Veljko će ući u more u točki (a, 0) , a zaustaviti će se u točki

a,  2 







1  (a  3) 2 . Točka a,  2  1  (a  3) 2 ima negativnu ordinatu, tako da će

Veljko plivati 2  1  (a  3)2 kilometara. Prethodno će Veljko hodati a kilometara. Budući put 1 da je vrijeme  , zaključujemo da će Veljko hodati  a sati i zatim plivati brzina 4 1  2  1  (a  3) 2 sati. I tako, 3



f ( a) 







1 1  a   2  1  (a  3)2 . 4 3

Odatle slijedi da je

f (a ) 

 1 1  1 1 a3     (2)  (a  3)   .  4 3  2  1  (a  3)2  4 3  1  (a  3)2  

f (a )  0



1 a3  0, 4 3  1  (a  3) 2

3  1  (a  3) 2  4(a  3) .

3  1  (a  3)2  4(a  3)  0 ,

(1)

Kvadriranjem jednadžbe (1) dolazimo do zaključka: ako je f (a )  0 , onda je





9  1  (a  3) 2  16(a  3)2 , (a  3) 2 

9 , 25

a 3  

9  9(a  3)2  16(a  3)2 ,

3 3 ili  , 5 5

a  3

25(a  3) 2  9 ,

3 12 3 18  ili 3   . 5 5 5 5

Vrijedi

68

 12  1 f     5 4

 18  1 f     5 4



3 5

 3 3 1    5

2



1  4



1 5

1

9 25



1  4

1 5

16 25



1 1 1 1     0, 4 4 5 4 4 5

3 5

1 1 1 1 1 1 1 1 1 5           0. 2 4 4 4 4 4 4 2 9 16 3 5 1 5 3 1   5 25 25 5

Stacionarna točka funkcije f (a ) je točka plivati u točki s apscisom

12 . Veljko će do kružnice najbrže stići ako počne 5

12  2. 4 . 5

Zadatak 68. Promotrimo pravokutne trokute koji imaju sljedeća svojstva: ● hipotenuza leži na pravcu y  4 x  1 , ● vrh nasuprot hipotenuzi leži na krivulji y  

1 ( x  0) , x

● katete su paralelne sa koordinatnim osima. Odredite najmanju moguću površinu takvoga trokuta!

69

Rješenje: Neka je a oznaka za apscisu donjeg desnog vrha trokuta. Koordinate donjeg desnog 1  vrha trokuta su  a,   . Gornji desni vrh trokuta ima apscisu a i leži na pravcu y  4 x  1 . a  Dakle, koordinate gornjeg desnog vrha trokuta su (a, 4a  1) . Visina trokuta je 1  1 4a  1      4a  1  . a  a 1  ( y  1) . Donji desni vrh trokuta ima ordinatu 4 1 1  , pa i donji lijevi vrh trokuta ima ordinatu  . Budući da donji lijevi vrh trokuta leži na a a 1  1  1  1 1 pravcu x   ( y  1) , apscisa rečenog vrha je jednaka     1    1   . Dakle, 4  a  4  a 4  1  1 1 koordinate donjeg lijevog vrha trokuta su    1  ,   . Duljina baze trokuta je  4  a a

Na pravcu y  4 x  1 vrijedi 4 x  y  1 , x 

 1  1  1  1 1 1 . a    1    a   1    a   4  a 4 4a  4  a  70

Površina trokuta je

1  1 1   1 1 1  1  1 1  baza  visina    a      4a  1       4a  1     4a  1    2  4 4a   a 2 4  a  a 2 1     4a  1  8 

2

1  . a

1  Dakle, f (a)    4a  1  8 

1  f (a )   2   4a  1  8 

2

1  . Stoga je a

1  1  1     4  2     4a  1  a  a  4 

1  1   4  2  . a  a 

Broj a je apscisa donjeg desnog vrha trokuta, a taj vrh leži na krivulji y   Dakle, vrijedi a  0 . To znači da vrijedi i 4a  1 

f (a )  0



4

1 0, a2

1  4, a2

a2 

1 ( x  0) . x

1  0 . I tako, a

1 , 4

a

1 . 2 2

1  1   1  1  1 1 1  1  1  1 f (a )    4  2    4  2     4a  1    2  3    4  2   3   4a  1   , 4  a   a  4  a a 4  a  2a  a 2

    1 1  1 1 4 1 1  f       4       1     (4  4) 2  4  (2  1  2)  0  4  5  20  0 . 1 1 2 1 4  2  4   2     4 8  2 Funkcija f u točki a ima strogi lokalni minimum, a također i strogi globalni minimum. Najmanja moguća površina trokuta je

25 1 1 f     (2  1  2) 2   3.125 . 8 2 8

Zadatak 69. Promotrimo pravokutne trokute koji imaju sljedeća svojstva: ● jedan kraj hipotenuze leži na krivulji y   krivulji y  

2 ( x  0) , a drugi kraj hipotenuze leži na 3x

6 ( x  0) , x

71

● vrh nasuprot hipotenuzi leži na krivulji y 

10 ( x  0) , x2

● katete su paralelne sa koordinatnim osima. Odredite najmanju moguću površinu takvog trokuta!

Rješenje: Neka je a oznaka za apscisu desne stranice trokuta. Najdonja točka desne stranice 6  trokuta ima koordinate  a,   , a najgornja točka desne stranice trokuta ima koordinate a  10  6  10 6  10   a, 2  . Duljina desne stranice trokuta je 2      2  . a  a a a  a  Kolika je apscisa najljevije točke trokuta? Najljevija točka trokuta leži na krivulji y   ima ordinatu

2 i 3x

10 . Za apscisu x te točke vrijedi a2

72

2 10   , 3x a 2

3x a 2   , 2 10

2a 2 a2 x  . 30 15

 a 2 10  Dakle, najljevija točka trokuta ima koordinate   , 2  . Duljina gornje stranice trokuta je  15 a   a2  a2 . Površina trokuta je a      a  15  15  f ( a) 



1  a 2   10 6  1  10 10 6  1  10 2 2    a     2       6    a      6    a   2  15   a a 2  a 15 15  2  a 3 5 

5 1 1 a 10 5 3  a    . a 3 5 5 3 a

Odatle slijedi da je 1 5  . 5 a2

f (a) 

f (a )  0

f (a ) 

10 , a3



1 5   0, 5 a2 f (5) 

1 5  , 5 a2

a 2  25 ,

a  5.

10 2   0. 125 25

Funkcija f u točki a  5 ima strogi lokalni minimum, a također i strogi globalni minimum. Najmanja moguća površina trokuta je f (5) 

5 10 5 10 16   1 1   5.333... . 5 3 5 3 3

73

7. Integriranje algebarskih funkcija 4

Zadatak 70. Izračunajte integral

 0

x 2  4x (2 x  1) 3

dx .

Rješenje: Napraviti ćemo supstituciju t  2 x  1 . Vrijedi 2 x  t  1 , x  dx 

1 t 1  (t  1)  , te 2 2

1 dt . Nove granice integracije su 2  0  1  1 i 2  4  1  9 . I tako, 2 2

4

x2  4x



(2 x  1)3

0

9

dx   1

t 1  t 1 t 2  2t  1    4 9  2  (t  1) 1 2 1  2  4  dt   dt  3  3 2 2 t 1 t2

t 2  2t  1 t 2  2t  1  8t  8  (t  1) 9 9 2 t  10t  9 8 8  dt   dt   dt  3 3 3 1 1 1 2 2 2 t t 8t 9

9

 1

1 1    1 12 5  12 9  32   1 2 32 5 9 2   t   t   t  dt     t   2  t   (2)  t 2  8  4 8 4 8   8 3 

 1 3 5 1 9 1    t2  t2  t 2 2 4 12 



9

 1

9

1

5 9 1  1 5 9  1    27   3       1   1   1  2 4 3   12 2 4   12

27  90  9  1  30  27 84  100 16 4    . 12 12 12 3

7 2

Zadatak 71. Izračunajte integral

 3 2

1 dx . x  4x  5

Rješenje: Napraviti ćemo supstituciju t  4 x  5 . Vrijedi 4 x  5  t , 4 x  5  t 2 , 1 5 1 1 4 x  t 2  5 , x  t 2  , te dx   2t dt  t dt . Nove granice integracije su 4 4 4 2 12 28  5  6  5  1 1 i  5  14  5  9  3 . I tako, 2 2

74

7 2

 3 2

3

1 dx   x  4x  5 1 3

 1

1 3 3 t dt 2t 2t 2  2 dt   2 dt  1 2 5 t  4t  5 1 t   t 1 t  5  4t 4 4

3

3

3

2t  4 4 (t 2  4t  5) 1 dt  dt  dt  4   dt  2 2 2 2   t  4t  5 t  4t  5 t  4t  5 1  (t  4t  4) 1 1 1 2

 ln( t  4t  5)

3 1

3

 4 1



1 dt  ln( 9  12  5)  ln(1  4  5)  4  arctg(t  2) 1  (t  2) 2

3 1



 26   ln( 26)  ln(10)  4  arctg(5)  arctg(3)  ln    4  arctg(5)  4  arctg(3)   10   13   ln    4  arctg(5)  4  arctg(3)  0.458091467 . 5

13 4

Zadatak 72. Izračunajte integral

 5 8

1 x  3  8x  1

dx .

Rješenje: Napraviti ćemo supstituciju t  8 x  1 . Vrijedi

8 x 1  t , 8 x  1  t 2 , 8 x  t 2  1 ,

1 1 1 1 x  t 2  , te dx   2t dt  t dt . Nove granice integracije su 8 8 8 4

8

i 13 4

 5 8

13  1  26  1  25  5 . I tako, 4

1 x  3  8x  1

5

 2

5 8  1  5 1  4  2 8

1 5 5 t dt 2t 2t 4  2 dt   2 dt  1 2 1 t  8t  25 2 t   3  t 2 t  1  24  8t 8 8

5

dx   2

5

5

5

2t  8 8 (t 2  8t  25) 1 dt  dt  dt  8   dt  2 2 2 2   t  8t  25 t  8 t  25 t  8 t  25 9  ( t  8 t  16 ) 2 2 2

 ln( t 2  8t  25)

5 2

5

8  2

1 dt  3  ( t  4) 2 2

8  t  4  ln( 25  40  25)  ln( 4  16  25)   arctg  3   3  

5

  2 

75

8  9  6   90  8  ln( 90)  ln( 45)   arctg   arctg   ln     arctg(3)  arctg(2)  3  3  3   45  3 8 8  ln( 2)   arctg(3)   arctg(2)  0.314755035 . 3 3

x2 Zadatak 73. Izračunajte integral  dx . ( x  2)( x 2  5 x  6) Rješenje: Kvadratna jednadžba x 2  5 x  6  0 ima rješenja

x1, 2 

 5  25  24  5  1  6 4   &  3 &  2. 2 2 2 2

To znači da je x 2  5 x  6  ( x  3)( x  2) . Zato se podintegralnu funkciju može napisati ovako:

x2 x2 x2   . ( x  2)( x 2  5 x  6) ( x  2)( x  3)( x  2) ( x  2) 2 ( x  3) Sada rastavljamo na parcijalne razlomke:

x2 A B C    , 2 2 ( x  2) ( x  3) x  2 ( x  2) x3 x 2  ( x  2)( x  3) A  ( x  3) B  ( x  2) 2 C , ( x  2)( x  3) A  ( x  3) B  ( x  2) 2 C  x 2 .

(1)

Stavljajući x  2 , iz jednadžbe (1) dobivamo 1  B  4 , B  4 . Stavljajući x  3 , iz jednadžbe (1) dobivamo (1) 2 C  9 , C  9 . Uspoređujući koeficijente uz x 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo A  C  1 , A  1  C  1  9  8 . Dakle,

x2 x2 8 4 9     . 2 2 2 ( x  2)( x  5 x  6) ( x  2) ( x  3) x  2 ( x  2) x3 Odatle slijedi da je x2  ( x  2)( x 2  5 x  6) dx  

 4 8 9   ( x  2) 2  x  2  x  3  dx   

76



4  8  ln x  2  9  ln x  3  C . x2

5

Zadatak 74. Izračunajte integral

 3

x2 dx . ( x  6)( x 2  8 x  12)

Rješenje: Kvadratna jednadžba x 2  8 x  12  0 ima rješenja

x1, 2 

8  64  48 8  4 4 12   &  2 & 6. 2 2 2 2

To znači da je x 2  8 x  12  ( x  2)( x  6) . Zato se podintegralnu funkciju može napisati ovako:

x2 x2 x2   . ( x  6)( x 2  8 x  12) ( x  6)( x  2)( x  6) ( x  2)( x  6) 2 Sada rastavljamo na parcijalne razlomke:

x2 A B C    , 2 ( x  2)( x  6) x  2 x  6 ( x  6) 2 x 2  ( x  6)2 A  ( x  2)( x  6) B  ( x  2)C , ( x  6)2 A  ( x  2)( x  6) B  ( x  2)C  x 2 .

(1)

Stavljajući x  2 , iz jednadžbe (1) dobivamo (4) 2  A  4 , 16 A  4 , A 

4 1  . 16 4

Stavljajući x  6 , iz jednadžbe (1) dobivamo 4C  36 , C  9 . Uspoređujući koeficijente uz x 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo 1 3 A  B  1, B  1  A  1   . 4 4 Dakle,

1 3 x x 9   4  4  . 2 2 ( x  6)( x  8 x  12) ( x  2)( x  6) x  2 x  6 ( x  6) 2 2

2

Odatle slijedi da je

77

5

 3

x

5

2

2

( x  6)( x  8 x  12)

5

dx   3

1 3    9   4  4  dx   2 x  2 x  6  ( x  6)  

5

5

1 1 1 3 1 dx    dx    dx  2 ( x  6) 4 3 x2 4 3 x6

 9 3

 1  9  x6 

5

 1    ln x  2  4 3



5 3

 34  ln x  6   5 3

3  1 1  1  9     ln 3  ln 1    ln  1  ln  3   4  1  3  4 3 2 1 3  1 1  9  1     ln( 3)  ln(1)   ln(1)  ln( 3)  9    ln( 3)  0   0  ln( 3)  4 3 4 4  3 4 6

1 3 1  ln( 3)   ln( 3)  6   ln( 3)  5.450693856 . 4 4 2

Zadatak 75. Izračunajte integral



x dx . ( x  5)( x  6 x  10) 2

Rješenje: Vrijedi 62  4  1  10  36  40  4  0 , pa kvadratna jednadžba x 2  6 x  10  0 nema realnih rješenja. Podintegralnu funkciju rastavljamo na parcijalne razlomke na ovaj način:

x A Bx  C   2 , ( x  5)( x  6 x  10) x  5 x  6 x  10 2

x  ( x 2  6 x  10) A  ( x  5)( Bx  C ) , ( x 2  6 x  10) A  ( x  5)( Bx  C )  x .

(1)

Stavljajući x  5 , iz jednadžbe (1) dobivamo (25  30  10) A  5 , 5 A  5 , A  1 . Uspoređujući koeficijente uz x 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo A  B  0 , B   A  1. Stavljajući x  0 , iz jednadžbe (1) dobivamo 10 A  5C  0 , 2 A  C  0 , C  2 A  2 . Dakle,

x 1 x2   2 . ( x  5)( x  6 x  10) x  5 x  6 x  10 2

78

Odatle slijedi da je



x 1 x2 dx    dx   2 dx  ( x  5)( x  6 x  10) x5 x  6 x  10 2

x3 1     ln x  5    2  2  dx   x  6 x  10 x  6 x  10  1  2x  6 1   ln x  5     2   dx  2  2 x  6 x  10 1  ( x  6 x  9) 

  ln x  5 

1 2x  6 1  2 dx   dx  2 x  6 x  10 1  ( x  3)2

1 ( x 2  6 x  10)   ln x  5    2 dx  arctg( x  3)  2 x  6 x  10   ln x  5 

1  ln( x 2  6 x  10)  arctg( x  3)  C . 2

4

Zadatak 76. Izračunajte integral



2

9x 2 dx . ( x  5)( x 2  2 x  10)

Rješenje: Vrijedi 22  4 1 10  4  40  36  0 , pa kvadratna jednadžba x 2  2 x  10  0 nema realnih rješenja. Podintegralnu funkciju rastavljamo na parcijalne razlomke na ovaj način:

9x2 A Bx  C   2 , 2 ( x  5)( x  2 x  10) x  5 x  2 x  10 9 x 2  ( x 2  2 x  10) A  ( x  5)( Bx  C ) , ( x 2  2 x  10) A  ( x  5)( Bx  C )  9 x 2 .

(1)

Stavljajući x  5 , iz jednadžbe (1) dobivamo (25  10  10) A  9  25 , 45 A  225 , A  5 . Uspoređujući koeficijente uz x 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo A  B  9, B  9 A  9 5  4. Stavljajući x  0 , iz jednadžbe (1) dobivamo 10 A  5C  0 , 2 A  C  0 , C  2 A  10 . Dakle,

9x2 5 4 x  10   2 . 2 ( x  5)( x  2 x  10) x  5 x  2 x  10

79

Odatle slijedi da je 4



2

4

4

9x2 5 4 x  10 dx   dx   2 dx  2 ( x  5)( x  2 x  10) x5 x  2 x  10 2 2 4

 5 

2

4

1 6  4x  4  dx    2  2  dx  x5 x  2 x  10 x  2 x  10  2  4

 5  ln( x  5)   2   x 4

2

2

4

 5  ln( 9)  ln( 3)  2  

2

4

2x  2 1 dx  6   2 dx  2  2 x  10 x  2 x  10 2 4

( x 2  2 x  10) 1 dx  6   dx  2 2 x  2 x  10 9  ( x  2 x  1) 2

9  5  ln    2  ln( x 2  2 x  10)   3

4

1   6 dx  2  2   3  ( x  1) 2 2 4

1  x 1  5  ln( 3)  2  ln(16  8  10)  ln( 4  4  10)  6    arctg   3   3

4

  2  

1 3 1   3   5  ln( 3)  2  ln(18)  ln(18)  6    arctg    arctg   3 3  3  3

1 2 1   5  ln( 3)  2  0  6    arctg(1)   arctg(1)  5  ln( 3)  6   arctg(1)  3 3 3   5  ln( 3)  4  arctg(1)  5  ln( 3)  4 

2

Zadatak 77. Izračunajte integral

 0

  5  ln( 3)    2.35146879 . 4

x dx . 2 x  9x2  5 4

Rješenje: Za početak ćemo napraviti supstituciju t  x 2 . Vrijedi dt  2 x dx , x dx 

1 dt . 2

Nove granice integracije su 02  0 i 22  4 . I tako, 2

 0

1 4 x dx   2 2 dt . 2 x4  9 x 2  5 2t  9t  5 0

80

Kvadratna jednadžba 2t 2  9t  5  0 ima rješenja

t1, 2 

9  81  4  2  (5) 9  81  40 9  121 9  11  2 20 1     &   & 5. 4 4 4 4 4 4 2

 1 To znači da je 2t 2  9t  5  2 t  (t  5) . Dakle, pod integralom imamo funkciju  2 1 1 2  .  1  1 2 t  (t  5) 4 t  (t  5)  2  2 Sada tu funkciju rastavljamo na parcijalne razlomke: 1 A B   , 1 t 5  1 t  4 t  (t  5) 2  2

 1 4(t  5) A  4 t   B  1 .  2

 1 1  4(t  5) A  4 t   B ,  2

(1)

1 1  11  Stavljajući t   , iz jednadžbe (1) dobivamo 4      A  1 ,  22 A  1 , A   . 2 22  2 11 1 Stavljajući t  5 , iz jednadžbe (1) dobivamo 4   B  1 , 22 B  1 , B  . 2 22

Dakle,

1 1 1 1  1 2 2    22  22 . 2 1 t 5 2t  9t  5  1  1 2 t  (t  5) 4 t  (t  5) t  2  2  2 Odatle slijedi da je 2

 0

1 4 4 x 2 dx   2 dt   2 x4  9 x 2  5 2t  9t  5 0 0

4

4

1   1    22  22  dt   t  1 t  5   2  4

4

1 1 1 1 1 2 1 1    dt   dt    dt   dt  22 0 t  1 22 0 t  5 22 0 2t  1 22 0 t  5 2

81

4

4



1 (2t  1) 1 1 1    dt   dt    ln 2t  1 22 0 2t  1 22 0 t  5 22

4 0

 221  ln t  5   4

0



1 1 1 1  ln( 9)  ln(1)   ln(1)  ln( 5)    ln( 9)  0   0  ln(5)  22 22 22 22



1 1 ln(9)  ln( 5) ln( 45)  ln( 9)   ln( 5)     0.173030113 . 22 22 22 22

2

Zadatak 78. Izračunajte integral

 (x

2

2

2x dx .  1) 2 ( x 2  1)

Rješenje: Za početak ćemo napraviti supstituciju t  x 2 . Vrijedi dt  2 x dx , 2 x dx  dt . Nove granice integracije su 2

 2

 2

2

 2 i 22  4 . I tako,

4

2x 1 dx   dt . 2 2 2 ( x  1) ( x  1) (t  1)2 (t  1) 2

Sljedeći korak je rastavljanje na parcijalne razlomke:

1 A B C    , 2 2 (t  1) (t  1) t  1 (t  1) t 1 (t  1)(t  1) A  (t  1) B  (t  1) 2 C  1 .

1  (t  1)(t  1) A  (t  1) B  (t  1)2 C , (1)

1 Stavljajući t  1 , iz jednadžbe (1) dobivamo  2 B  1 , B   . 2 1 Stavljajući t  1 , iz jednadžbe (1) dobivamo 4C  1 , C  . 4 2 Uspoređujući koeficijente uz t na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo 1 A  C  0 , A  C   . 4

Dakle,

1 1 1   1 2  4 .  4  (t  1) 2 (t  1) t  1 (t  1) 2 t  1 Odatle slijedi da je

82

2

4

 2

4

2x 1 dx   dt   2 2 ( x  1) ( x  1) (t  1) 2 (t  1) 2 2 2

4

4

1 1   1    2  4  dt   4  2 t 1  t  1 (t  1)   

4

1 1 1 1 1 1    dt    dt    dt  2 4 2 t 1 2 2 (t  1) 4 2 t 1



1    ln( t  1) 4

4 2



4  1 1  1      ln( t  1) 2  t  1 2  4



4 2



1 1 1 1 1    ln( 5)  ln( 3)        ln( 3)  ln(1)  4 2  5 3 4 1 1 1 35 1 1 1 1 1 2    ln( 5)   ln( 3)     ln( 3)   0    ln( 5)   ln( 3)    4 4 2 15 4 4 4 2 2 15 1 1 1  ln( 3)   ln( 5)   0.080279999 . 2 4 15



3

Zadatak 79. Izračunajte integral

2x3 0 ( x 2  4) 2 ( x 2  4) dx .

Rješenje: Postupak je uglavnom isti kao u zadatku 78, a rezultat je

3 ln( 7)   8 16

 0.253380615 .

3

Zadatak 80. Izračunajte integral

 0

x3 dx . ( x 2  4)( x 4  9)

Rješenje: Opet ćemo za početak napraviti supstituciju t  x 2 . Vrijedi dt  2 x dx , x dx  Nove granice integracije su 02  0 i

3

 0

x3 dx  ( x 2  4)( x 4  9)

 3

2

1 dt . 2

 3 . I tako,

t 3 3 x2 t 1 0 ( x 2  4)( x 4  9)  x dx  0 (t  4)(t 2  9)  2 dt  0 (t  4)(2t 2  9) dt . 3

Sada rastavljamo na parcijalne razlomke:

83

t A Bt  C 2   2 , 2 (t  4)(t  9) t  4 t  9 (t 2  9) A  (t  4)( Bt  C ) 

t  (t 2  9) A  (t  4)( Bt  C ) , 2

t . 2

(1)

4 2 , 25 A  2 , A  . 2 25 Uspoređujući koeficijente uz t 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo 2 A  B  0, B  A   . 25 9 9 2 Stavljajući t  0 , iz jednadžbe (1) dobivamo 9 A  4C  0 , 4C  9 A , C   A    4 4 25 9 1 9    . 2 25 50

Stavljajući t  4 , iz jednadžbe (1) dobivamo (16  9) A 

Dakle,

t 2 2 9  t 50 . 2  25  252 2 (t  4)(t  9) t  4 t 9 Odatle slijedi da je t 3 x 2 dx   dt   ( x 2  4)( x 4  9) (t  4)(t 2  9) 0 0

3

3

3

 0

2 9   2  t   50  dt   25  252 t 9  t 4    

3

1 1 2t 9 1   2      2   2  dt  25 t  4 25 t  9 50 t  9  0  3 3 3 2 1 1 (t 2  9) 9 1   dt    2 dt    2 2 dt  25 0 t  4 25 0 t  9 50 0 3  t



2   ln t  4 25

3 0



3 1 9 1 t   ln(t 2  9)      arctg  0  50  3 25  3 

3

  0 



2 1 9 1 1   ln(1)  ln( 4)   ln(18)  ln( 9)     arctg(1)   arctg(0)  25 25 50  3 3 



2 1 4 1 9   18  9  1  1   0  2  ln( 2)   ln         0     ln( 2)   ln( 2)    25 25  9  50  3 4 3  25 25 50 12

84



5 3  ln( 2) 3  ln( 2)       0.091505546 . 25 50 4 5 200

4

Zadatak 81. Izračunajte integral

 0

x ( 2  x )  ( 4  x)

dx .

Rješenje: Za početak ćemo napraviti supstituciju t  x . Vrijedi Nove granice integracije su 0  0 i 4  2 . I tako, 4

 0

2

x  t , x  t 2 , dx  2t dt .

2

x t 2t 2 dx    2 t dt  0 (t  2)(t 2  4) dt . (2  t )(4  t 2 ) ( 2  x )  ( 4  x) 0

Slijedi rastavljanje na parcijalne razlomke:

2t 2 A Bt  C   2 , 2 (t  2)(t  4) t  2 t  4 (t 2  4) A  (t  2)( Bt  C )  2t 2 .

2t 2  (t 2  4) A  (t  2)( Bt  C ) , (1)

Stavljajući t  2 , iz jednadžbe (1) dobivamo (4  4) A  2  4 , 8 A  8 , A  1 . Uspoređujući koeficijente uz t 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo A  B  2 , B  2  A  2 11. Stavljajući t  0 , iz jednadžbe (1) dobivamo 4 A  2C  0 , 2 A  C  0 , C  2 A  2 . Dakle,

2t 2 1 t2   2 . 2 (t  2)(t  4) t  2 t  4 Odatle slijedi da je 4

 0

2

2

x 2t 2 t 2   1 dx   dt     2  dt  2 (t  2)(t  4) t  2 t  4 (2  x )  (4  x ) 0 0  2

 0

2

2

2

1 2t 1  1 1 (t 2  4) 1  1   2  2 2 dt    2 dt  2   2 2 dt    dt   t  4 t2 2 0 t 4 2 t t  2 2 t  4 0 0

1 2 1 t  ln( t  2) 0   ln( t 2  4)   2    arctg    0   2 2  2 2

2

  0 

85

 ln( 4)  ln( 2) 

1 1 1   ln(8)  ln( 4)  2    arctg(1)   arctg(0)  2 2 2 

1  4 1 8 1  1   ln     ln    2      0   ln( 2)   ln( 2)  2   2 8 2 2  4 2 4 2  

3   ln( 2)   0.254322607 . 2 4

12

Zadatak 82. Izračunajte integral

 1

1 dx . x  ( 5 x  4  2)

Rješenje: Napraviti ćemo supstituciju t  5 x  4 . Vrijedi 5 x  4  t 2 , 5 x  t 2  4 , 1 1 2 x   (t 2  4) i dx   2t dt  t dt . Nove granice integracije su 5  4  9  3 i 5 5 5 60  4  64  8 . I tako, 12

 1

2 8 8 t 1 1 2 5 dx    t dt   dt  1 2 1 2 5 x  ( 5 x  4  2) 3 3  (t  4)  (t  2)  (t  4)  (t  2) 5 5 8

 3

8

2t 2t dt   dt . (t  2)(t  2)(t  2) (t  2)(t  2)2 3

Slijedi rastavljanje na parcijalne razlomke:

2t A B C    , 2 (t  2)(t  2) t  2 t  2 (t  2)2 (t  2) 2 A  (t  2)(t  2) B  (t  2)C  2t .

2t  (t  2)2 A  (t  2)(t  2) B  (t  2)C , (1)

4 1  . 16 4 Stavljajući t  2 , iz jednadžbe (1) dobivamo  4C  4 , C  1 . Uspoređujući koeficijente uz t 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo 1 A  B  0, B  A   . 4

Stavljajući t  2 , iz jednadžbe (1) dobivamo 16 A  4 , A 

Dakle,

1 1  2t 1  4  4  . 2 (t  2)(t  2) t  2 t  2 (t  2)2 86

Odatle slijedi da je 12

 1

8

8

1 2t dx   dt   (t  2)(t  2)2 x  ( 5 x  4  2) 3 3

8

1  1    4  1  4  dt   2 t  2 t  2 ( t  2 )    

8

8

8

1 1 1 1 1  1 1 1 1 1       dt    dt    dt   dt  2 4 t  2 4 t  2 (t  2)  4 3 t 2 4 3 t2 ( t  2) 2 3  3





1  ln( t  2) 4

8 3

 14  ln(t  2)   t 1 2 8 3



8

   3



1 1  1 1  ln( 6)  ln(1)   ln(10)  ln( 5)      4 4  10 5 



1 1  10  1 2 1 1 1  ln( 6)  0   ln       ln( 6)   ln( 2)   4 4  5  10 10 4 4 10



1 1 1  6  1 ln( 3) 1  ln( 6)  ln( 2)    ln       0.374653072 . 4 10 4  2  10 4 10

4

Zadatak 83. Izračunajte integral

 3

1 ( x  2)  (3  x  3  1)

Rješenje: Napraviti ćemo supstituciju t  x  3 . Vrijedi dx  2t dt . Nove granice integracije su 3  3  0  0 i 4

 3

dx .

x  3  t , x  3  t2 , x  t2  3 , 4  3  1  1 . I tako,

1

1 1 dx   2  2t dt  (t  3  2)(3t  1) ( x  2)  (3  x  3  1) 0 1

 0

1

2t 2t dt   dt . 2 (3t  1)(t  1)  1 2 0 3 t   (t  1)  3

Slijedi rastavljanje na parcijalne razlomke: 2t A Bt  C   2 , 1  1 2 t  1 3 t  (t  1) t  3  3

 1 2t  3(t 2  1) A  3 t  ( Bt  C ) ,  3

87

 1 3(t 2  1) A  3 t  ( Bt  C )  2t .  3

(1)

2 1 2 10 1 2 1   Stavljajući t   , iz jednadžbe (1) dobivamo 3  1 A   ,   3  A   , A , 3 3 3 3 3 3 9   2 1 10 A  2 , A     . 10 5 Uspoređujući koeficijente uz t 2 na lijevoj i na desnoj strani, iz jednadžbe (1) dobivamo 1 3 A  3B  0 , A  B  0 , B   A  . 5 1 3 Stavljajući t  0 , iz jednadžbe (1) dobivamo 3 A  3   C  0 , 3 A  C  0 , C  3 A  . 3 5 Dakle,

1 1 3 t 2t  5  52 5 . 1 t 1  1 3 t  (t 2  1) t  3  3 

Odatle slijedi da je 4

 3

1

 0

1

1

1 2t dx   dt    1 2 ( x  2)  (3  x  3  1) 0 3 t  0  (t  1) 3     1  1 1 1 t 3 1     dt     2   2  5 t  1 5 t  1 5 t  1 0   3  

 1 1 3 t    5 5   2 5  dt   t  1 t 1    3  

1 2t 3 1   1 3   2   dt    2   5 3t  1 10 t  1 5 1  t 

1 3  1     ln( 3t  1)   ln(t 2  1)   arctg(t ) 10 5  5 

1

 0

1 1 3 1 1 3    ln( 4)   ln( 2)   arctg(1)   ln(1)   ln(1)   arctg(0)  5 10 5 5 10 5 

2 1 3  1 1 3  2  ln( 2)   ln( 2)     0   0   0  10 10 5 4 5 10 5



3 3 3 3  ln( 2)  ln( 2)     0.263294743 . 10 20 20 10

88

5

Zadatak 84. Izračunajte integral

 1

1 ( x  3)  ( x  1  2)

Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 83, a rezultat je

Zadatak 85. Izračunajte integral

Rješenje:





(4 x  1)2  4  (2 x  1)2 (4 x  1)5 (2 x  1)7

3

(4 x  1) 2  4  (2 x  1) 2 5

3



 4x  1  4    (2 x  1)  2x  1 

 ln( 2)   0.219412286 . 8 4

(4 x  1) 2  4  (2 x  1) 2 3

(4 x  1)5 (2 x  1)7

dx  

dx .

(4 x  1) 2  4  (2 x  1)2 5

3

dx 

 4x  1  12   (2 x  1)  2x  1 

(4 x  1)2  4  (2 x  1)2

dx  

dx .

5 3

 4x  1  2    (2 x  1)  2x  1 

dx  (2 x  1)2

2



 4x  1    4  2x  1   4x  1     2x  1 

5 3

dx . (2 x  1) 2

4  (2 x  1)  (4 x  1)  2 4x  1 dx  dt , . Vrijedi (2 x  1) 2 2x  1 8 x  4  8x  2  2 dx dx 1 dx  dt ,  dt ,   dt . I tako, 2 2 2 (2 x  1) (2 x  1) (2 x  1) 2

Sada ćemo napraviti supstituciju t 

2



(4 x  1)2  4  (2 x  1) 2



3

(4 x  1)5 (2 x  1) 7

dx  

5    13  t  4t 3     1  dt      2  

4

 4x  1    4  2x  1  5

 4x  1 3    2x  1 

dx t2  4  1       dt  5 (2 x  1)2   2 t3

5 4 2     1 13   t  2t 3  dt   1  3  t 3  2    3   t 3  C   2  2 4  2  

2

3  4x 1  2x  1    3    3 3   C . 8  2x 1  4x  1 

89

8. Integriranje transcendentnih funkcija 2 arctg ( 3)

Zadatak 86. Izračunajte integral



 2

 x tg 2    2 dx . 2 sin( x )  cos( x )  1

2t x Rješenje: Napraviti ćemo supstituciju t  tg  . Kod te supstitucije vrijedi sin( x)  , 1  t2 2 1  t2 2dt   cos( x)  i dx  . Nove granice integracije biti će tg   1 i tg(arctg(3))  3 . I 2 2 1 t 1 t 4 tako,

2 arctg ( 3)



 2

3

 1

x tg 2   3 2 dx   2 sin( x )  cos( x)  1 1

t2 2

2t 1  t2  1 1 t2 1 t2

3

3

3

2dt 2t 2   dt  1  t 2 1 4t  (1  t 2 )  1  t 2

3

2t 2 2t 2 t 2  t  2 dt  dt   dt      dt  2 2 2  4t  1  t  1  t 2t  4t t2 t  2 t  2 1 1 1 

3

1     1  2   dt  t  2  ln( t  2) t  2   1

3 1

 3  2  ln( 5)  1  2  ln( 3) 

5  25   2  2  ln( 5)  ln( 3)  2  2  ln    2  ln    0.978348752 . 3  9 

arctg ( 5 )

Zadatak 87. Izračunajte integral



 4

2  tg 2 ( x) dx . 3  sin( 2 x )  cos(2 x )  1

1 1 Rješenje: Za početak ćemo napraviti supstituciju u  2 x . Vrijedi x  u , dx  du . Nove 2 2  granice integracije su i 2  arctg(5) . I tako, 2

arctg ( 5 )

  4

2

2  tg ( x) dx  3  sin( 2 x )  cos(2 x)  1

2 arctg ( 5 )



 2

u 2  tg 2   1  2  du . 3  sin( u )  cos(u )  1 2

90

2t u Sada ćemo napraviti supstituciju t  tg  . Kod te supstitucije vrijedi sin( u )  , 1 t2 2 1 t2 2dt   cos(u )  i du  . Nove granice integracije biti će tg   1 i tg(arctg(5))  5 . 2 2 1 t 1 t 4 Dakle,

2 arctg ( 5 )



 2

5

u 2  tg 2   5 1  2  du   3  sin( u )  cos(u )  1 2 1

2t 2 1 2dt    2 2t 1 t 2 1 t2 3  1 1 t2 1 t2

5

 1

5

5

2t 2 dt 2t 2 2t 2 t   dt  dt   dt  2 2 2 2 2   6t 1  t 1 t 6 t  1  t  1  t 2 t  6 t t  3 1 1 1  1 1 t2 1 t2

5

5

3  t 3     dt   t  3 t  3   1 1

1   1  3   dt t  3  ln( t  3) t 3 

5 1

 5  3  ln(8)  1  3  ln( 4) 

8  4  3  ln(8)  ln( 4)  4  3  ln    4  3  ln( 2)  4  ln(8)  1.920558458 .  4

 2

Zadatak 88. Izračunajte integral



 2arctg ( 2 )

 x tg  2 dx . 2  sin( x)  6  cos( x)  7

x Rješenje: Ponovo ćemo napraviti supstituciju t  tg  . Kod te supstitucije vrijedi 2 2 2t 1 t 2dt sin( x)  , cos( x)  i dx  . Nove granice integracije biti će 2 2 1 t 1 t 1 t2   tg(arctg(2))   tg(arctg(2))  2 i tg   1 . I tako, 4  2



 2arctg ( 2 )

1



 2

 x tg  1  2 dx   2  sin( x )  6  cos( x )  7 2

1

t 2

2

2t 1t  6 7 2 1 t 1 t2



2dt  1 t2

1

t 2dt 2t 2t   dt   2 dt . 2 2 2 2 4t 6  6t 1 t 4 t  6  6 t  7  7 t t  4 t  13 2 2  7 1 t2 1  t2

Kvadratna jednadžba t 2  4t  13  0 nema realnih rješenja. Naime, 42  4 1  13  16  52 

91

 36  0 . Dakle, polinom t 2  4t  13 nije moguće napisati kao produkt dvaju polinoma prvoga stupnja. Računanje integrala nastavlja se ovako: 1



2

1

2t 4  2t  4  dt    2  2  dt  2 t  4t  13 t  4t  13 t  4t  13  2  1



 (t 2  4t  13)  1 2  t 2  4t  13  4  9  (t 2  4t  4)  dt 

 ln( t 2  4t  13)

1

1 2

 4 

2

1 dt  3  (t  2) 2 2

1 t  2  ln(1  4  13)  ln( 4  8  13)  4    arctg   3   3

1

  2  

1 1  3 1  0   18  1   ln(18)  ln( 9)  4    arctg    arctg   ln    4    arctg(1)   arctg(0)  3  3 3  3  9 3  3

1   1  1   ln( 2)  4      0  ln( 2)  4    ln( 2)   0.35405037 . 3 4 3 3 4 3 

 4

Zadatak 89. Izračunajte integral

 x  cos(3x)  cos( x) dx . 0

Rješenje: Pomoću formule cos( )  cos(  )  cos(3x )  cos( x) 

1  cos(   )  cos(   ) dobivamo 2

1  cos(4 x)  cos(2 x) . Dakle, 2

 4

 4

1

 4

1

1



 x  cos(3x)  cos( x) dx   x  2  cos(4 x)  cos(2 x) dx   x   2  cos(4 x)  2  cos(2 x) dx . 0

0

0

Sada parcijalno integriramo, i to tako da je u  x , v 

1 1  cos(4 x )   cos(2 x) i 2 2

1 1 v   sin( 4 x )   sin( 2 x ) . Na taj način dobivamo 8 4  4

1

1



 x   2  cos(4 x)  2  cos(2 x) dx  0

92

1 1   x    sin( 4 x)   sin( 2 x ) 4 8 

 4 0

 4

1 1    1   sin( 4 x )   sin( 2 x) dx  4 8  0  4



 1 1 1    1     sin( )   sin    0    sin( 0)   sin( 0)   4 8 4 2 8 4     0

1  1   8  sin( 4 x )  4  sin( 2 x) dx 

 1 1  1  1 1 1      0   1  0    0   0     cos(4 x)   cos(2 x) 4 8 4  4   32 8 8 

 4

 0



 1 1 1 1   1   0  0   cos( )   cos    cos(0)   cos(0)  4 4 32 8 8  2  32



 1 1 1 1  2 1  1 2  3   (1)   0   1   1         0.00884954 . 16 32 8 32 8 16 32 8 16 16 16 16  2

Zadatak 90. Izračunajte integral



x  1  sin( 4 x ) dx .

4

 2

Rješenje:

 

 2

x  1  sin( 4 x ) dx   x  sin 2 (2 x)  cos 2 (2 x )  2 sin( 2 x ) cos(2 x ) dx 

4

 2

 4

 2

  x  sin 2 (2 x )  2 sin( 2 x ) cos(2 x)  cos 2 (2 x ) dx   x   4

sin( 2 x)  cos(2 x)2 dx 

 4

 2

  x  sin( 2 x)  cos(2 x ) dx .  4

Sada parcijalno integriramo, i to tako da je u  x , v  sin( 2 x)  cos(2 x ) i 1 1 1 v    cos(2 x)   sin( 2 x )    cos(2 x )  sin( 2 x ) . Na taj način dobivamo 2 2 2  2

 x  sin( 2 x)  cos(2 x) dx 

 4

93



1  x  cos(2 x)  sin( 2 x) 2

 2  4

 2

 1    1    cos(2 x)  sin( 2 x) dx   2   4

1  1      cos( )  sin( )   2 2 2 4

 2

      1  cos   sin       cos(2 x )  sin( 2 x) dx   2  2   2 4

   1  1 1     (1  0)   (0  1)     sin( 2 x )   cos(2 x) 4 8 2  2 2  

 2

     4



  1 1 1 1   1         sin(  )   cos( )   sin     cos   4 8 2 2 2 2 2 2  2 



2  1  1 1 1 1  3 1  1 1  3 1      0   (1)   1   0        0  8 8 2 2 2 2 2  8 2 2 2 8 2



3  1.178097245 . 8

 4

Zadatak 91. Izračunajte integral

 x  sin( x) 

1  cos(4 x ) dx .

0

 4

Rješenje:

 x  sin( x) 

1  cos(4 x) dx 

0

 4



 x  sin( x) 

cos 2 (2 x )  sin 2 (2 x)  cos2 (2 x)  sin 2 (2 x) dx 

0

 4



 x  sin( x)  0

 4

2  cos 2 (2 x ) dx 



2  x  sin( x )  cos(2 x) dx .

0

1  sin(   )  sin(   ) dobivamo da je 2 1 1 sin( x)  cos(2 x)   sin( 3 x)  sin(  x )   sin( 3 x)  sin( x ) . Dakle, 2 2

Pomoću formule sin( )  cos( ) 

94

 4

 4



2  x  sin( x)  cos(2 x ) dx  

0

0

 4

1 2 2  x   sin( 3 x)  sin( x ) dx    x  sin( 3 x)  sin( x ) dx . 2 2 0

Sada parcijalno integriramo, i to tako da je u 

2  x , v  sin( 3 x)  sin( x ) i 2

1 v    cos(3 x)  cos( x ) . Na taj način dobivamo 3  4

 0





2  x  sin( 3x )  sin( x ) dx  2

2  1   x    cos(3 x)  cos( x) 2  3  2   1  3      cos 2 4  3  4

 4

 4

 0

0

2 2

 1      cos(3x )  cos( x) dx   3 

2      1   0     cos(0)  cos(0)    cos     4  2  3 



2 4   2 0

1   3  cos(3 x)  cos( x ) dx 

 2    1  2  2 2  1            sin( 3 x)  sin( x) 0  8 2  9   3  2  2  

 4 0

   

 2 3 2      2   1  2  2  1  0  0        6  2 9 2 2 9  6 



2  8



2  4  2 2  2 9  2  8 2  8  2   16            8 6 2  18 18  8  6 2  18  6 36



 4   0.079154331 . 6 9 

Zadatak 92. Izračunajte integral

x 

2

 1  cos(2 x ) dx .

2

95



Rješenje:



x 

2

 1  cos(2 x) dx 

2

x 



2



 1  cos 2 ( x )  sin 2 ( x) dx 

2



 2

2

2

2

2

  x  cos ( x)  sin ( x)  cos ( x )  sin ( x ) dx   x 2  2 sin 2 ( x) dx   2

 2



  x 2  2  sin( x ) dx .  2

Sljedeći korak je parcijalna integracija. Uzimamo da je u  x 2 , v  2  sin( x ) i v   2  cos( x ) . Time dobivamo 





x 2  2  sin( x) dx  x 2   2  cos( x)



 2

2

  2







  2 x   2  cos( x) dx   2





2

2

      2  (1)      2  0   2 2 x  cos( x) dx   2  2   2 2 x  cos( x ) dx . 2   2









Sada ćemo još jednom parcijalno integrirati. Ovaj će put biti u  2 2 x , v  cos(x) i v  sin( x ) . Račun ide ovako:    2  2   2 2 x  cos( x ) dx   2  2  2 2 x  sin( x )  

      2 2  sin( x) dx   2



2

2



 2  2  2 2   0  2 2 

  1  2 2    sin( x) dx  2  2



 2   2  0  2    2 2  cos( x)

  /2



2   2  2    2 2  (1  0) 

 2   2  2    2 2  2  ( 2    2)  6.686418337 .

1 2

Zadatak 93. Izračunajte integral



x  arccos(2 x ) dx .

0

96

Rješenje: Za početak ćemo napraviti supstituciju t  arccos(2 x ) . Vrijedi arccos(2 x)  t , 1 1  2 x  cos(t ) , x  cos(t ) i dx   sin( t ) dt . Nove granice integracije su arccos(0)  i 2 2 2 arccos(1)  0 . I tako, 1 2

0



x  arccos(2 x ) dx  

0

 2

 2



0

1 1  1 cos(t )  t     sin( t ) dt     t  sin( t )  cos(t ) dt  2 4   2 2

 2

 2

1 1 1   t  sin( t )  cos(t ) dt    t  2 sin( t ) cos(t ) dt    t  sin( 2t ) dt . 4 0 8 0 8 0

1 Sada ćemo parcijalno integrirati, i to tako da je u  t , v  sin( 2t ) i v   cos(2t ) . Na taj 2 način dobivamo  2

 1 1   1  t  sin( 2t ) dt   t     cos(2t ) 8 0 8 2  

 2 0

 2

  1    1     cos(2t ) dt    2 0 

   1   1  1 2  1          cos( )  0      cos(0)    cos(2t ) dt   8 2  2 2 0  2    

  1   1 1     (1)  0    sin( 2t ) 8  4 2 2  

 2 0

    1    1   1  sin( )  1  sin( 0)      8  4 2  2 2  

1  1  1 1  1   1  1          0   0       0      0.09817477 . 8 4 2 2 2  8  4 2  8 4 32

1

Zadatak 94. Izračunajte integral



x 2  arcsin( x ) dx .

0

Rješenje: Za početak ćemo napraviti supstituciju t  arcsin( x) . Vrijedi arcsin( x )  t ,  x  sin(t ) i dx  cos(t ) dt . Nove granice integracije su arcsin( 0)  0 i arcsin(1)  . I tako, 2  2

1

x 0

2

 2

 2

 arcsin( x) dx   sin 2 (t )  t  cos(t ) dt   t  sin 2 (t ) cos(t ) dt   0

0

0

1 t  3 sin 2 (t ) cos(t ) dt . 3 97

1 Zatim ćemo parcijalno integrirati. Pri tome ćemo uzeti da je u  t , v  3 sin 2 (t ) cos(t ) i 3 3 v  sin (t ) . Na taj način dobivamo  2

1

 3 t  3sin 0

2

 2

1 (t ) cos(t ) dt  t  sin 3 (t ) 3

0

 2

 0

1  sin 3 (t ) dt  3





1  1 1 2  1 2    13   0  03    sin 2 (t )  sin( t ) dt   0    1  cos 2 (t )  sin( t ) dt  3 2 3 3 0 6 3 0



 2





 1    1  cos2 (t )   sin( t ) dt . 6 3 0





Za kraj ćemo još napraviti i supstituciju u  cos(t ) . Vrijedi du   sin( t ) dt . Nove granice   integracije su cos(0)  1 i cos   0 . Dakle, 2  2

0

1

 1  1  1     1  cos2 (t )   sin( t ) dt     (1  u 2 ) du     (u 2  1) du  6 3 0 6 3 1 6 3 0





1    1 1  1  u 3 0   1  2  2      u        1   0           0.301376553 . 6 3  3 3  6 3  3 6 9  0  6 3  3 

Zadatak 95. Izračunajte integral

x

2

 arctg(2 x) dx .

Rješenje: Za početak ćemo parcijalno integrirati, i to tako da je u  arctg(2 x ) , v  x 2 i

v

x3 . Na taj način dobivamo 3

2 2  x  arctg(2 x) dx   arctg(2 x)  x dx  arctg(2 x) 



x3 2 x3   dx  3 1  (2 x ) 2 3

x3 1 2 x3 x3 1 x2  arctg(2 x)    dx   arctg ( 2 x )    2 x dx . 3 3 1  4x2 3 3  1  4 x2

Zatim ćemo napraviti supstituciju t  x 2 . Vrijedi dt  2 x dx , pa je

98

x3 1 x2 x3 1 t  arctg(2 x )     2 x dx   arctg(2 x )    dt  2 3 3 1  4x 3 3 1  4t 

x3 1 4t x3 1  arctg(2 x)    dt   arctg(2 x)    3 12 1  4t 3 12



x3 1  arctg(2 x )    3 12

1   1  4t    dt   1  4t 1  4t 

4  x3 1  1  1  1   dt   arctg(2 x)    t   ln 1  4t   C    3 12  4  4 1  4t  

x3 t 1 x3 x2 1   arctg(2 x )    ln 1  4t  C   arctg(2 x )    ln(1  4 x 2 )  C . 3 12 48 3 12 48

Zadatak 96. Izračunajte integral Rješenje:

 sin

8

 sin

8



( x)  cos 28 ( x)  3  sin 10 ( x)  cos 26 ( x ) dx .



( x)  cos28 ( x)  3  sin 10 ( x )  cos26 ( x) dx 

  sin 8 ( x)  cos28 ( x ) dx   3  sin 10 ( x )  cos26 ( x ) dx  

1 cos 27 ( x )  9 sin 8 ( x) cos( x ) dx   3  sin 10 ( x)  cos26 ( x) dx . 9

Sada u prvom integralu koristimo parcijalnu integraciju. Pri tome uzimamo da je 1 u  cos27 ( x ) , v  9 sin 8 ( x ) cos( x ) i v  sin 9 ( x) . Na taj način dobivamo 9



1 cos 27 ( x)  9 sin 8 ( x ) cos( x) dx   3  sin 10 ( x)  cos 26 ( x ) dx  9

1 27  cos 27 ( x )  sin 9 ( x)   cos26 ( x) sin( x)  sin 9 ( x) dx   3  sin 10 ( x )  cos26 ( x) dx  9 9 

1  sin 9 ( x )  cos 27 ( x )   3  cos26 ( x)  sin( x )  sin 9 ( x) dx   3  sin 10 ( x )  cos26 ( x) dx  9



1  sin 9 ( x )  cos 27 ( x )   3  sin 10 ( x)  cos26 ( x) dx   3  sin 10 ( x)  cos26 ( x) dx  9



1  sin 9 ( x )  cos 27 ( x)  C . 9

99

Zadatak 97. Izračunajte integral

 sin

6



( x )  cos 22 ( x)  3  sin 8 ( x)  cos 20 ( x ) dx .

Rješenje: Postupak je isti kao u zadatku 96, a rezultat je

Zadatak 98. Izračunajte integral



1  sin 7 ( x )  cos 21 ( x)  C . 7

sin(  x) cos( x ) dx . e x

Rješenje: Kao prvo,



sin(  x) cos( x)  sin( x ) cos( x ) dx  dx    sin( x ) cos( x)e x dx  x x  e e

1 1     2 sin( x ) cos( x )  e x dx     sin( 2 x )e x dx . 2 2

Sada ćemo izračunati integral

 sin( 2 x)e

x

dx , pa ćemo onda lako dobiti i integral

sin(  x) cos( x ) dx . Računanje integrala  sin( 2 x )e x dx započinjemo parcijalnom x e integracijom kod koje je u  sin( 2 x) , v  e x i v  e x :



 sin( 2 x)e

x

dx  sin( 2 x )e x   2 cos(2 x )e x dx .

Zatim još jednom parcijalno integriramo, s tim da je ovaj put u  2 cos(2 x ) , v  e x i v  e x :





 

sin( 2 x)e x   2 cos(2 x)e x dx  sin( 2 x)e x  2 cos(2 x )e x    4 sin( 2 x )e x dx   sin( 2 x)e x  2 cos(2 x )e x  4   sin( 2 x )e x dx  sin( 2 x)  2 cos(2 x)  e x  4  sin( 2 x)e x dx . Sve skupa,

 sin( 2 x)e

x

dx  sin( 2 x )  2 cos(2 x)  e x  4  sin( 2 x )e x dx ,

5   sin( 2 x )e x dx  e x  sin( 2 x)  2 cos(2 x)  C ,



e x  sin( 2 x )  2 cos(2 x) sin( 2 x )e dx  C. 5 x

I tako,



 sin(  x) cos( x ) 1 1  e x  sin( 2 x)  2 cos(2 x) x dx    sin( 2 x ) e dx     C  x  e 2 2  5 

100



e x  2 cos(2 x)  sin( 2 x) C. 10

Zadatak 99. Izračunajte integral



cos(2 x) sin( 2 x) dx . ex

Rješenje: Kao prvo,



cos(2 x) sin( 2 x ) 1 dx   sin( 2 x) cos(2 x)e  x dx    2 sin( 2 x) cos(2 x )  e  x dx  x e 2



1 sin( 4 x)e  x dx . 2

1 sin( 4 x )e  x dx ćemo izračunati pomoću dvije parcijalne integracije. Kod prve 2 1 parcijalne integracije će biti u  sin( 4 x ) , v  e  x i v  e  x : 2

Integral





1 1 4 sin( 4 x)e  x dx  sin( 4 x)  (e  x )   cos(4 x )  ( e  x ) dx  2 2 2

1   sin( 4 x )e  x   2 cos(4 x)e  x dx . 2

Kod druge parcijalne integracije će biti u  2 cos(4 x) , v  e  x i v  e  x : 1  sin( 4 x )e  x   2 cos(4 x)e  x dx  2 1   sin( 4 x )e  x  2 cos(4 x )  (e  x )    8 sin( 4 x )  (e  x ) dx  2 1   sin( 4 x )e  x  2 cos(4 x )e  x  8   sin( 4 x)e  x dx . 2

Sve skupa,



1 1 1 sin( 4 x)e  x dx   sin( 4 x)e  x  2 cos(4 x )e  x  16   sin( 4 x)e  x dx , 2 2 2

17  

1 1 1 sin( 4 x)e  x dx   sin( 4 x )e  x  2 cos(4 x )e  x  C   e  x sin( 4 x )  2e  x cos(4 x)  C , 2 2 2

101



1 1 2 sin( 4 x)e  x dx   e  x sin( 4 x )  e  x cos(4 x)  C . 2 34 17

To znači da je i



cos(2 x ) sin( 2 x ) 1 2 dx   e  x sin( 4 x)  e  x cos(4 x )  C . x e 34 17

102

9. Računanje površina i volumena Zadatak 100. Neka je T trokut sa vrhovima A  (0, 0) , B  (0, 10) i C  (5, 10) . Neka se lik L sastoji od onih točaka E koje imaju sljedeća dva svojstva:  točka E leži unutar trokuta T ;  produkt ( udaljenost točke E od stranice AB)  ( udaljenost točke E od stranice BC ) je veći od 8 (osam). Kolika je površina lika L ?

Rješenje: Ako točka ( x, y ) leži unutar trokuta T , onda je udaljenost točke ( x, y ) od stranice AB jednaka x , a udaljenost točke ( x, y ) od stranice BC je jednaka 10  y . Točka ( x, y ) pripada liku L onda kada je

103

x  (10  y )  8 , y

10 x  xy  8 ,

 xy  10 x  8 ,

xy  10 x  8 ,

10 x  8 8  10  . x x

Jednadžba stranice AC je y  2 x . Dakle, donji rub lika L je pravac y  2 x , a gornji rub lika 8 L je hiperbola y  10  . U kojim se točkama pravac y  2 x siječe sa hiperbolom x 8 y  10  ? x 2 x  10 

x

8 , x

2 x 2  10 x  8 ,

2 x 2  10 x  8  0 ,

x 2  5x  4  0 ,

5  25  16 5  3 2 8   & 1 & 4. 2 2 2 2

Sjecišta su točke (1, 2) i (4, 8) . Površina lika L je 4



8



 10  x  2 x  dx  (10 x  8  ln( x)  x

2

)

4 1

 40  8 ln( 4)  16  10  8 ln(1)  1 

1

 40  8  2 ln( 2)  16  10  8  0  1  15  16 ln( 2)  3.909645111 .

Zadatak 101. Neka je L lik koji ima sljedeća svojstva: Prvo svojstvo: Najljevija točka lika L je ishodište (0, 0) . Drugo svojstvo: Najdesnija točka lika L je prvo-poslije-ishodišta sjecište krivulje y  2 x  sin( x) cos( x) sa krivuljom y  2 x  sin( 3 x) cos(3 x) . Treće svojstvo: Donji rub lika L je dio krivulje y  2 x  sin( x) cos( x) . Četvrto svojstvo: Gornji rub lika L je dio krivulje y  2 x  sin( 3 x) cos(3 x) . Kolika je površina lika L ?

104

Rješenje: Kao prvo, 2 x  sin( x) cos( x)  x  2 sin( x) cos( x)  x  sin( 2 x) i 2 x  sin( 3 x) cos(3 x)  x  2 sin( 3x ) cos(3 x)  x  sin( 6 x) . Neka je x1 apscisa prvog-poslije-ishodišta sjecišta krivulje y  x  sin( 2 x ) sa krivuljom y  x  sin( 6 x ) . Vrijedi

x1  sin( 2 x1 )  x1  sin( 6 x1 ) ,

pa je

sin( 2 x1 )  sin( 6 x1 ) .

 , pa brojevi 2x1 i 6x1 oba leže u intervalu 0,  . Zato iz 6 sin( 2 x1 )  sin( 6 x1 ) slijedi da vrijedi jedno od sljedećega:

Broj x1 leži u intervalu 0,

2 x1  6 x1 ,

 4 x1  0 ,

x1  0

ili

2 x1    6 x1 ,

Budući da je x1  0 , zaključujemo da je x1   8

8x1   ,

x1 

 . 8

 . Površina lika L je 8

 8

 x  sin( 6 x)  x  sin( 2 x) dx   x  sin( 6 x)  sin( 2 x) dx . 0

0

105

Sada ćemo parcijalno integrirati. Uzeti ćemo da je u  x , v  sin( 6 x)  sin( 2 x ) i 1 1 v   cos(6 x )  cos(2 x) . Na taj način dobivamo 6 2  8

 x  sin( 6 x)  sin( 2 x) dx  0

1  1   x   cos(6 x)  cos(2 x) 2  6 



 8

  8

 1  6  1  2   cos   cos  6  8  2  8

 8 0

 8

1  1    1    cos(6 x)  cos(2 x ) dx  2  6  0  8

1  1    0    cos(6 x )  cos(2 x ) dx  6 2   0 

 1 1  3  1     1    cos   cos     sin( 6 x)  sin( 2 x) 4  4  2  4    36   6

 8

 0



  1  2  1 2  1  3  1             sin    sin    0  0   8  6  2  2 2  36  4  4  4 



 8



 4 2 1 9 2  2 8 2  2 8 2  2 2             8 12 36 2 8 3 36 2 24 72 24 9

 2 2  1 2 1 2  2 3 2  1 1 2               36 2 4 2 12 4 8 12 36 4 2    

  1      2  0.027985282 .  24 9  Zadatak 102. Neka je f ( x)  x  1  cos(2 x)  cos(6 x) . Neka je p tangenta na krivulju      y  f (x ) , povučena u točki  ,  . Za x  , , tangenta p leži iznad krivulje 4 2 2 2 y  f (x ) . Neka se lik L sastoji od svih točaka ( x, y ) koje imaju sljedeća svojstva:

  , ali je manja od . 4 2 Drugo svojstvo: Točka ( x, y ) leži iznad krivulje y  x  1  cos(2 x)  cos(6 x ) , ali leži ispod tangente p . Prvo svojstvo: Apscisa x je veća od

106

Kolika je površina lika L ?

Rješenje: Lako se vidi (a uz to je i napisano u tekstu zadatka) da je

      f     1  cos( )  cos(3 )   (1  1  1)   1  . 2 2 2 2 2   Sada još trebamo naći f   , pa ćemo onda moći napisati jednadžbu tangente p . Vrijedi 2 f ( x )  1  1  cos(2 x)  cos(6 x )  x   2 sin( 2 x )  6 sin( 6 x )

i

    f    1  cos( )  cos(3 )    2 sin(  )  6 sin( 3 )  1  1  1   (0  0)  1 . 2 2 2 Jednadžba tangente p glasi

      y  f    f     x   , 2 2 2 

y

    1  x   , 2 2 

y

   x , 2 2

y  x.

Površina lika L je

107

 2

 2

 x  x  1  cos(2 x)  cos(6 x) dx   x  1  1  cos(2 x)  cos(6 x) dx 

 4

4

 2

  x  cos(6 x)  cos(2 x) dx .  4

Sada parcijalno integriramo, i to tako da je u  x , v  cos(6 x)  cos(2 x) i 1 1 v  sin( 6 x )  sin( 2 x) . Na taj način dobivamo 6 2  2

 x  cos(6 x)  cos(2 x) dx 

 4

1 1   x   sin( 6 x )  sin( 2 x) 2 6 



 2  4

 2

1 1    1   sin( 6 x)  sin( 2 x) dx  2 6   4

 1 1    1  6  1  2   sin( 3 )  sin( )    sin    sin  2 6 2  4 6  4  2  4

 2

     

1  1   6 sin( 6 x)  2 sin( 2 x) dx 

4

   1  3  1     1 1    (0  0)    sin    sin     cos(6 x)  cos(2 x) 2 4  6  2  2  2   36 4 

 2

  4



 1 1  1 1 1  3  1      (1)   1  cos(3 )  cos( )  cos   cos   4 6 2  36 4 36  2  4  2 



 1  3 1 1 1 1  4 1 9  8    (1)   (1)   0   0        4 6 36 4 36 4 4 6 36 36 6 36



 2   0.745820997 . 6 9

Zadatak 103. Neka je L lik koji ima sljedeća svojstva:  najljevija točka lika L je ishodište (0, 0) ;

108

   ;  najdesnija točka lika L je točka  ,  4 4   gornji rub lika L je dio krivulje y  x  cos2 ( x ) ;  donji rub lika L je dio krivulje y  x  sin 2 ( x ) . Koliki volumen ima tijelo koje nastaje rotacijom lika L oko iks osi? Rješenje: Traženi volumen je  4

 4

   x  cos4 ( x) dx    0

0

 4

  4  4   x  sin 4 ( x ) dx      x  cos 4 ( x ) dx   x  sin 4 ( x ) dx   0 0   



 4









    x  cos 4 ( x )  sin 4 ( x) dx     x  cos 2 ( x)  sin 2 ( x)  cos2 ( x )  sin 2 ( x) dx  0

 4

0

 4

    x  cos(2 x) 1 dx     x  cos(2 x ) dx . 0

0

Potonji integral riješiti ćemo pomoću parcijalne integracije. Uzeti ćemo da je u  x , 1 v  cos(2 x ) i v  sin( 2 x ) . Na taj način dobivamo 2  4

  0

  1 x  cos(2 x ) dx     x  sin( 2 x ) 2 

 4 0

 4

 1    1  sin( 2 x) dx   2 0 

   4 1 1  1        1  0   0    (2)  sin( 2 x ) dx    4 2 2 4 0    

1   1       0   1   4  8 4

  1     0   cos(2 x ) 4  8 

 4

     0  

2   1         0.448302386 .  8 4 8 4

Zadatak 104. Neka je L lik kojega slijeva, zdesna, odozdo i odozgo redom omeđuju pravac   2 x  , pravac x  , iks os i krivulja y  sin( x)  . Neka je T tijelo koje nastaje rotacijom 4 2 x

109

lika L oko iks osi. Tijelo T ima volumen 17.70703194 . Koristeći taj podatak, izračunajte  2

integral



sin( x) dx . x

4

Napomena. Funkcija od



sin( x) dx nije elementarna. Zato nemojte tražiti primitivnu funkciju x

sin( x) , nego iskoristite podatak o volumenu tijela T . x

Rješenje: Volumen tijela T je  2

 2

2

2     sin( x)   dx     x    4

sin( x ) 4   2 sin ( x )  4  x  x 2  dx 

4

   2  2 2 sin( x) 1   2      sin ( x ) dx  4   dx  4   2 dx   x    x   4 4 4 

 2  2 sin( x )  1  1        1  cos(2 x) dx  4   dx  4    x  x   2  4 4

 1 1         x  sin( 2 x) 2  2  

 2  4

 2

 4   4

      4    2

 sin( x)  2 4  dx  4       x     

   2   sin( x ) 2  1  1  1  1          sin( )     sin    4   dx  4    2 2 2 2 4 2 2 x           4 

      2 2   1 sin( x ) 8  1 8 sin( x)        0   4  dx          4   dx   4 8 4 x  8 4  x        4   4 

2



 2

 2

4

4

  sin( x) sin( x)   8  4   dx  10.01909871  4   dx . 8 4 x x  

No u zadatku piše da je volumen tijela T jednak 17.70703194 . Dakle, 110

 2

10.01909871  4    4

 2

4    4

 2

 

sin( x) dx  17.70703194 , x

sin( x ) dx  17.70703194  10.01909871  7.68793323 , x

sin( x ) 7.68793323 dx   0.611786287 . x 4

4

111

10. Taylorovi redovi Zadatak 105. Neka je f ( x) 

x . (1  2 x ) (1  3x 2 ) 2

Treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je x  4 x 2  9 x 3 . Nađite šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Koristeći Maclaurinove razvoje

1  1  t  t 2  t 3  t 4  t 5  t 6 ... i 1 t

1  1  2t  3t 2  4t 3  5t 4  6t 5  7t 6  ... , odmah dobivamo 2 (1  t ) f ( x)  x 

1 1   2 1  (2 x) 1  (3x 2 )







 x  1  2  (2 x)  3  (2 x )2  4  (2 x )3  5  (2 x) 4  6  (2 x )5  ...  1  (3 x 2 )  (3x 2 )2  ... 

 x  (1  4 x  3  4 x 2  4  8 x 3  5  16 x 4  6  32 x 5  ...)  (1  3 x 2  9 x 4  ...)   x  (1  4 x  12 x 2  32 x 3  80 x 4  192 x 5  ...)  (1  3x 2  9 x 4  ...) 





 x  1  4 x  (3  12) x 2  (12  32) x 3  (9  36  80) x 4  (36  96  192) x 5  ...   x  (1  4 x  9 x 2  20 x 3  53 x 4  132 x 5  ...)  x  4 x 2  9 x 3  20 x 4  53 x 5  132 x 6  ... . Dakle, Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je x  4 x 2  9 x 3  20 x 4  53x 5  132 x 6 . Napomena. U tekstu zadatka piše “treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je x  4 x 2  9 x 3 ”, a sada vidimo da šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) također počinje sa x  4 x 2  9 x 3 . To nije slučajno. Svaki Maclaurinov polinom nižeg stupnja (skraćeno: Mpns) je ujedno i početak Maclaurinovog polinoma višeg stupnja (skraćeno: Mpvs). Ako otprije znamo Mpns, pa onda izračunamo Mpvs, formula za Mpns može nam poslužiti za djelomičnu provjeru formule za Mpvs.

Zadatak 106. Neka je f ( x) 

1 . ( x  2)2 ( x  1)

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je

1 3 2  x . Nađite peti Maclaurinov polinom 4 16

funkcije f (x ) .

112

Rješenje: Koristeći Maclaurinove razvoje

1  1  t  t 2  t 3  t 4  t 5  t 6 ... i 1 t

1  1  2t  3t 2  4t 3  5t 4  6t 5  7t 6  ... , bez većih poteškoća dobivamo (1  t ) 2 f ( x) 

1 1 1 1 1 1 1        2 2 2 ( 2  x ) 1  x   x  1  x 4  x  1  (  x ) 1   21  2   2    

2 3 4 5  1  x x x x  x   1  2   3     4     5     6     ...  4  2 2  2 2  2 





 1  ( x)  ( x )2  ( x )3  ( x )4  ( x)5  ... 



1  3 4 5 6   1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ...  (1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ...)  4  4 8 16 32 



1  3 1 5 3   1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ...  (1  x  x 2  x 3  x 4  x 5  ...)  4  4 2 16 16 



1  3 3 1 3 1 5     1  (1  1) x  1  1   x 2    1  1    x 3  1  1     x 4  4  4 4 2 4 2 16    

 3 1 5 3     1  1      x 5  ...  4 2 16 16   



1  3 2  3  2 3 12  8  5 4  12  8  5  3 5   1  x  x  x  x  ...  4  4 4 16 16 



1  3 2 1 3 9 4 6 5 1 9 4 6 5  1 3  1  x  x  x  x  ...   x 2  x 3  x  x  ... . 4  4 4 16 16 16 64 64  4 16

Prema tome, peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je

Zadatak 107. Neka je f ( x ) 

1 3 2 1 3 9 4 3 5  x  x  x  x . 4 16 16 64 32

1  4x 2 . (1  4 x  4 x 2 )(1  3 x)

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  x  5 x 2 . Nađite peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Kao prvo,

113

f ( x) 

(1  2 x )(1  2 x ) 1  2x 1  2x   . 2 (1  2 x) (1  3 x) (1  2 x )(1  3 x) (1  2 x )1  (3x )

Uz pomoć formule

1  1  t  t 2  t 3  t 4  t 5  ... , odatle dobivamo 1 t





f ( x )  (1  2 x )  1  2 x  (2 x) 2  (2 x )3  (2 x )4  (2 x )5  ...   1  (3x )  (3 x) 2  (3x )3  (3 x) 4  (3 x)5  ... 





 (1  2 x)  (1  2 x  4 x 2  8 x 3  16 x 4  32 x 5  ...)  (1  3x  9 x 2  27 x 3  81x 4  243x 5  ...) 



 (1  2 x)  1  (3  2) x  (9  6  4) x 2  (27  18  12  8) x 3  (81  54  36  24  16) x 4   (243  162  108  72  48  32) x 5  ... 







 (1  2 x)  1  x  7 x 2  13 x 3  55 x 4  133 x 5  ...   1  (1  2) x  (7  2) x 2  (13  14) x 3  (55  26) x 4  (133  110) x 5  ... 

 1  x  5 x 2  x 3  29 x 4  23 x 5  ... . Peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  x  5 x 2  x 3  29 x 4  23x 5 .

Zadatak 108. Neka je f ( x) 

x . 3x  2 x 2  1 4

Treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  x  2x 3 . Nađite deveti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Za početak, nazivnik funkcije f (x ) rastavljamo na faktore. Rješenje kvadratne 2

jednadžbe 3t  2t  1  0 je

t

2  4  4  3  (1) 2  4  12 2  4 2 6 1     &   & 1. 6 6 6 6 6 3

 1 To znači da je 3t 2  2t  1  3 t  (t  1)  (3t  1)(t  1) . Dakle, 3 x 4  2 x 2  1   3  (3x 2  1)( x 2  1)  ( x 2  1)(3x 2  1)  (1  x 2 )(1  3x 2 ) i

f ( x) 

x 1 1 1 1  x    x   . 2 2 2 2  (1  x )(1  3 x ) 1  x 1  3x 1  x 1  (3 x 2 ) 2

Koristeći formulu

1  1  t  t 2  t 3  t 4  ... , sada dobivamo 1 t

114







f ( x)   x  1  x 2  ( x 2 ) 2  ( x 2 )3  ( x 2 ) 4  ...  1  3 x 2  (3 x 2 )2  (3 x 2 )3  (3x 2 )4  ...    x  (1  x 2  x 4  x 6  x8  ...)  (1  3 x 2  9 x 4  27 x 6  81x 8  ...) 





  x  1  (3  1) x 2  (9  3  1) x 4  (27  9  3  1) x 6  (81  27  9  3  1) x 8  ...    x  (1  2 x 2  7 x 4  20 x 6  61x8  ...)   x  2 x 3  7 x 5  20 x 7  61x 9  ... . Deveti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  x  2 x 3  7 x 5  20 x 7  61x 9 .

Zadatak 109. Neka je f ( x ) 

8x 2  1 . ( x  1)(3 x 2  2 x  1)

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  x  2 x 2 . Nađite peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Rješenje kvadratne jednadžbe 3 x 2  2 x  1  0 je

x

 2  4  12  2  4  6 2 1   &  1 & . 6 6 6 6 3

To znači da je

8 x2  1

f ( x) 

1  ( x  1)  3( x  1) x   3  1 1  (1  8 x 2 )   . 1  3 x 1  ( x )2



8x2  1 1  8x 2 1  8x2    ( x  1)2 (3 x  1) ( x  1)2 (1  3x ) (1  3 x)(1  x ) 2

Koristeći Maclaurinove razvoje funkcija

1 1 i (napisane u zadatku 106), odatle 1  t (1  t )2

dobivamo





f ( x )  (1  8 x 2 )  1  3x  (3 x) 2  (3x )3  (3 x) 4  (3 x)5  ...   1  2( x )  3( x) 2  4( x )3  5( x) 4  6( x)5  ... 





 (1  8 x 2 )  (1  3x  9 x 2  27 x 3  81x 4  243x 5  ...)  (1  2 x  3x 2  4 x 3  5 x 4  6 x 5  ...) 



 (1  8 x 2 )  1  (2  3) x  (3  6  9) x 2  (4  9  18  27) x 3  (5  12  27  54  81) x 4   (6  15  36  81  162  243) x 5  ... 



 (1  8 x 2 )  (1  x  6 x 2  14 x 3  47 x 4  135 x 5  ...) 

115

 1  x  (6  8) x 2  (14  8) x 3  (47  48) x 4  (135  112) x 5  ... 

 1  x  2 x 2  6 x 3  x 4  23 x 5  ... . Peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  x  2 x 2  6 x 3  x 4  23 x 5 .

Zadatak 110. Neka je f ( x ) 





ln e 2 x 1 . (2 x 2  x  1) 2

Treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  3 x 2  2 x 3 . Nađite šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) .





Rješenje: Naravno, ln e 2 x 1  2 x  1 . Nadalje, rješenje kvadratne jednadžbe 2 x 2  x  1  0 je

x

1 1 8 1 3 2 4 1    &   & 1. 4 4 4 4 2

1  To znači da je 2 x 2  x  1  2 x  ( x  1)  (2 x  1)( x  1) . I tako, 2 

f ( x) 

2x  1 1 1 1 1     . 2 2 2 2 (2 x  1) ( x  1) (2 x  1)( x  1) (1  2 x)(1  x) 1  (2 x) (1  x)2

Koristeći Maclaurinove razvoje funkcija

1 1 i (napisane u zadatku 106), odatle 1  t (1  t )2

dobivamo





f ( x)  1  2 x  (2 x) 2  (2 x)3  (2 x) 4  (2 x)5  (2 x)6  ...   (1  2 x  3 x 2  4 x 3  5 x 4  6 x 5  7 x 6  ...)   (1  2 x  4 x 2  8 x 3  16 x 4  32 x 5  64 x 6  ...)  (1  2 x  3x 2  4 x 3  5 x 4  6 x 5  7 x 6  ...)   1  (2  2) x  (3  4  4) x 2  (4  6  8  8) x 3  (5  8  12  16  16) x 4   (6  10  16  24  32  32) x 5  (7  12  20  32  48  64  64) x 6  ... 

 1  3x 2  2 x 3  9 x 4  12 x 5  31x 6  ... . Šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  3 x 2  2 x 3  9 x 4  12 x 5  31x 6 .

Zadatak 111. Neka je f ( x ) 

4x  1 . (6 x  x  1)(8 x 2  6 x  1) 2

116

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  1  x  9 x 2 . Nađite peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Rješenje kvadratne jednadžbe 6 x 2  x  1  0 je

x

 1  1  24  1  5  6 4 1 1   &  & . 12 12 12 12 2 3

1  1 1  1   To znači da je 6 x 2  x  1  6 x   x    2 x    3 x    (2 x  1)(3x  1) . 2  3 2  3   Rješenje kvadratne jednadžbe 8 x 2  6 x  1  0 je

x

 6  36  32  6  2  8 4 1 1   &  &  , 16 16 16 16 2 4

1  1 1  1   pa je stoga 8 x 2  6 x  1  8 x   x    2 x    4 x    (2 x  1)(4 x  1) . 2  4 2  4   Sve skupa,

f ( x) 



4x  1 1   (2 x  1)(3x  1)  (2 x  1)(4 x  1) (2 x  1) 2 (3 x  1)

1 1 1 1 1 1      . 2 2 3x  1 (2 x  1) 1  3x (1  2 x ) 1  3x 1  (2 x )2

Uz pomoć Maclaurinovih razvoja funkcija

1 1 i (napisanih u zadatku 106), odatle 1  t (1  t )2

dobivamo





f ( x)   1  3x  (3 x) 2  (3x )3  (3 x) 4  (3x )5  ...   1  2  (2 x )  3  (2 x )2  4  (2 x)3  5  (2 x) 4  6  (2 x )5  ... 





 (1  3 x  9 x 2  27 x 3  81x 4  243x 5  ...)  (1  4 x  3  4 x 2  4  8 x 3  5  16 x 4  6  32 x 5  ...)   (1  3 x  9 x 2  27 x 3  81x 4  243x 5  ...)  (1  4 x  12 x 2  32 x 3  80 x 4  192 x 5  ...) 



  1  (4  3) x  (12  12  9) x 2  (32  36  36  27) x 3  (80  96  108  108  81) x 4   (192  240  288  324  324  243) x 5  ... 



 (1  x  9 x 2  5 x 3  65 x 4  3 x 5  ...)  1  x  9 x 2  5 x 3  65 x 4  3x 5  ... .

117

Peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  1  x  9 x 2  5 x 3  65 x 4  3 x 5 .

 4x 2  1  . Zadatak 112. Neka je f ( x)  ln  3   (2 x  1) 

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  6 x  10 x 2 . Nađite peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Uz pomoć formule ln(1  t )  t 



t2 t3 t4 t5 t6      ... lako dobivamo 2 3 4 5 6



f ( x)  ln( 4 x 2  1)  ln (2 x  1)3  ln( 4 x 2  1)  3 ln( 2 x  1)  ln(1  4 x 2 )  3 ln(1  2 x)      (4 x 2 )2 ( 2 x ) 2 ( 2 x )3 ( 2 x ) 4 ( 2 x ) 5  4 x 2   ...  3  2 x      ...  2 2 3 4 5      2 16 x 4    4 x 2 8 x 3 16 x 4 32 x 5   4 x   ...  3   2 x      ...  2 2 3 4 5    

8 32 5    (4 x 2  8 x 4  ...)  3   2 x  2 x 2  x 3  4 x 4  x  ...  3 5   96    (4 x 2  8 x 4  ...)    6 x  6 x 2  8 x 3  12 x 4  x 5  ...  5    6 x  10 x 2  8 x 3  4 x 4 

96 5 x  ... . 5

Peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  6 x  10 x 2  8 x 3  4 x 4 

96 5 x . 5

  ex  . Zadatak 113. Neka je f ( x )  ln  2 2  (4 x  1)  (2 x  1) 

8 Treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  x  6 x 2  x 3 . Nađite šesti Maclaurinov 3 polinom funkcije f (x ) .

Rješenje: Koristeći Maclaurinov razvoj funkcije ln(1  t ) (napisan u zadatku 112), bez većih poteškoća dobivamo

118





f ( x)  ln( e x )  ln (4 x 2  1) 2  ln( 2 x  1)   x  2 ln( 4 x 2  1)  ln( 2 x  1)  x  2 ln(1  4 x 2 )  ln(1  2 x)   2 (4 x 2 )2 (4 x 2 )3    ( 2 x) 2 ( 2 x) 3 ( 2 x ) 4 ( 2 x ) 5 ( 2 x ) 6  x  2  4 x    ...  2 x       ...  2 3 2 3 4 5 6      2 16 x 4 64 x 6    4 x 2 8 x 3 16 x 4 32 x 5 64 x 6     x  2   4x    ...   2 x       ...  2 3 2 3 4 5 6    

64 6 8 32 5 32 6      x  2   4 x 2  8x 4  x  ...   2 x  2 x 2  x 3  4 x 4  x  x  ...  3 3 5 3     128 6 8 32 32 6      x    8 x 2  16 x 4  x  ...    2 x  2 x 2  x 3  4 x 4  x 5  x  ...  3 3 5 3     8 32 96 8 32   x  6 x 2  x 3  20 x 4  x 5  x 6  ...   x  6 x 2  x 3  20 x 4  x 5  32 x 6  ... . 3 5 3 3 5 8 32 Šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  x  6 x 2  x 3  20 x 4  x 5  32 x 6 . 3 5

 1  2x  Zadatak 114. Neka je f ( x )  ln  .  1  2x  Treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 3 x  x 2  4 x 3 . Nađite šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Uz pomoć formula ln(1  t )  t 

ln(1  t )  t 

t2 t3 t4 t5 t6      ... i 2 3 4 5 6

t2 t3 t4 t5 t6      ... , lako dobivamo 2 3 4 5 6

1 f ( x )  ln(1  2 x)  ln 1  2 x  ln(1  2 x)  ln(1  2 x)  2





  ( 2 x ) 2 ( 2 x )3 (2 x ) 4 ( 2 x ) 5 ( 2 x ) 6  2 x       ...  2 3 4 5 6   2 3 4 5 6  1  (2 x ) ( 2 x) ( 2 x) (2 x ) (2 x )    2 x       ...  2  2 3 4 5 6 

119

  4 x 2 8 x 3 16 x 4 32 x 5 64 x 6  2 x       ...  2 3 4 5 6   

 1  4 x 2 8 x3 16 x 4 32 x 5 64 x 6  2 x       ...  2  2 3 4 5 6 

8 32 5 32 6 4 16 16      2 x  2 x 2  x 3  4 x 4  x  x  ...   x  x 2  x 3  2 x 4  x 5  x 6  ...  3 5 3 3 5 3      3x  x 2  4 x 3  2 x 4 

48 5 16 6 x  x  ... . 5 3

Šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 3 x  x 2  4 x 3  2 x 4 

48 5 16 6 x  x . 5 3

3x  1 1   3 Zadatak 115. Neka je f ( x )  ln 1  x   . 6x  2 2x  2   2 Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je x  x 2 . Nađite šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Kao prvo, vrijedi  3 3x  1 1  1 1   3   ln 1  x   f ( x)  ln 1  x    2(3x  1) 2 x  2  2 2x  2   2  2  3x  3  3( x  1)( x  1)  1  3 1  1  3   ln     ln  x      ln  2 2x  2  2( x  1)  2( x  1) 2  2    3( x 2  1)  1   3x 2  3  1   3x2  2   2  3x 2    ln    ln    ln     ln   2( x  1)   2x  2   2x  2   2  2x 

3 2  1 x  2   ln 1  3 x 2   ln(1  x) .  ln   1  x   2   

Koristeći Maclaurinov razvoj funkcije ln(1  t ) (napisan u zadatku 114), odatle dobivamo 2 3   3 2 3 2  x   x      3 2 2  2  x2 x3 x 4 x5 x6  f ( x)   x    ...   x       ...   2   2 3 2 3 4 5 6     

120

9 4 27 6   x x  3  1 1 1 1 1      x2  4  8  ...   x  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  ...  2 3 2 3 4 5 6  2       

9 27 6 1 1 2 1 4 6  3       x2  x4  x  ...   x  x 2  x 3  x 4  x 5  x  ...  8 24 2 3 8 5 24  2    1 7 1 23 6  x  x 2  x3  x4  x5  x  ... . 3 8 5 24 1 7 1 23 6 Šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je x  x 2  x 3  x 4  x 5  x . 3 8 5 24

7 5  2x  1  Zadatak 116. Neka je f ( x )  ln    x  3 .  4x  2 2x  2 2  Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  x  3x 2 . Nađite šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Kao prvo, vrijedi  2x  1  7 5x 7 5x 1  f ( x)  ln     3   ln     3   2 2x  2 2   2(2 x  1) 2 x  2 2   5x  1   (5 x  1)( x  1)  7  3  2( x  1)  7    ln    3   ln  2( x  1) 2( x  1)  2     5x 2  5x  x  1  7  6 x  6   5 x2  2   2  5x 2    ln    ln     ln  2( x  1)    2x  2   2  2x 

5 2  1 x  2   ln 1  5 x 2   ln(1  x ) .  ln   1  x   2   

Koristeći Maclaurinov razvoj funkcije ln(1  t ) (napisan u zadatku 114), odatle dobivamo 2 3   5 2 5 2  x   x      5 2 2  x 2 x3 x4 x5 x6 2    f ( x)  x    ...   x       ...  2   2 3 2 3 4 5 6     

121

25 4 125 6   x x 5  1 1 1 1 1     x2  4  8  ...   x  x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  ...  2 3 2 3 4 5 6 2       

25 4 125 6 1 1 2 1 4 6 5      x2  x  x  ...    x  x 2  x 3  x 4  x 5  x  ...  8 24 2 3 8 5 24 2     x 

6 2 1 3 23 4 1 5 129 6 1 23 1 43 x  x  x  x  x  ...   x  3 x 2  x 3  x 4  x 5  x 6  ... . 2 3 8 5 24 3 8 5 8

1 23 1 43 Šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  x  3x 2  x 3  x 4  x 5  x 6 . 3 8 5 8

 1  3 2  x  4x 2 Zadatak 117. Neka je f ( x )  ln  1  2x2 

 .  

Treći Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 3 2  x  3x 2  6 2  x 3 . Nađite šesti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Rješenje kvadratne jednadžbe 4 x 2  3 2  x  1  0 je

x

 3 2  18  16  3 2  2  4 2 2 2 2 2   &  &  . 8 8 8 8 2 4

To znači da je

 2  2  1  3 2  x  4 x 2  4 x 2  3 2  x  1  4 x  x    2 4       2    2     2  x    2 2  x    2x  2    4     

2  4  2 2  x    (1  2  x)(1  2 2  x) , 2  4

pa je

 (1  2  x )(1  2 2  x)    ln(1  2  x)  ln(1  2 2  x )  ln(1  2 x 2 ) . f ( x)  ln  2  1  2x   Koristeći Maclaurinove razvoje funkcija ln(1  t ) i ln(1  t ) (napisane u zadatku 114), odatle dobivamo

122

  ( 2  x ) 2 ( 2  x ) 3 ( 2  x ) 4 ( 2  x )5 ( 2  x ) 6 f ( x)   2  x       ...  2 3 4 5 6     ( 2 2  x ) 2 ( 2 2  x )3 ( 2 2  x ) 4 ( 2 2  x ) 5 ( 2 2  x ) 6  2 2  x       ...  2 3 4 5 6     (2 x 2 ) 2 (2 x 2 )3   2 x 2    ...  2 3     2 x 2 2 2  x3 4 x 4 4 2  x5 8x 6   2  x       ...  2 3 4 5 6     8 x 2 16 2  x 3 64 x 4 128 2  x 5 512 x 6   2 2  x       ...  2 3 4 5 6   4 6   4x 8x   2 x 2    ...  2 3     2 2 3 4 2 5 4 6   2  x  x 2  x  x4  x  x  ...  3 5 3     16 2 3 128 2 5 256 6   2 2  x  4 x 2  x  16 x 4  x  x  ...  3 5 3   8     2 x 2  2 x 4  x 6  ...   3  

 3 2  x  3x 2 

18 2 3 132 2 5 252 6 x  15 x 4  x  x  ...  3 5 3

 3 2  x  3 x 2  6 2  x 3  15 x 4 

132 2 5 x  84 x 6  ... . 5

Traženi Maclaurinov polinom je 3 2  x  3x 2  6 2  x 3  15 x 4 

132 2 5 x  84 x 6 . 5

ln(1  6 x  8 x 2 ) Zadatak 118. Neka je f ( x)  . 1  2 x  8x 2 Prvi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  6 x . Nađite četvrti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Rješenje kvadratne jednadžbe 8 x 2  6 x  1  0 je

123

x

6  36  32 6  2 4 8 1 1   &  & . 16 16 16 16 4 2

To znači da je

1  1  1  1  8 x 2  6 x  1  8 x   x    4 x    2 x    (4 x  1)(2 x  1)  (1  4 x )(1  2 x) , 4  2  4  2  pa je ln(1  6 x  8 x 2 )  ln(8 x 2  6 x  1)  ln (1  4 x )(1  2 x)   ln(1  4 x )  ln(1  2 x) . Koristeći Maclaurinov razvoj funkcije ln(1  t ) (napisan u zadatku 114), odatle dobivamo     ( 4 x ) 2 ( 4 x ) 3 ( 4 x) 4 ( 2 x) 2 ( 2 x) 3 ( 2 x ) 4 ln(1  6 x  8 x 2 )   4 x     ...   2 x     ...  2 3 4 2 3 4         16 x 2 64 x 3 256 x 4 4 x 2 8 x 3 16 x 4    4 x     ...    2 x     ...  2 3 4 2 3 4    

64 3 8        4 x  8 x2  x  64 x 4  ...    2 x  2 x 2  x 3  4 x 4  ...  3 3      6 x  10 x 2 

72 3 x  68 x 4  ...  6 x  10 x 2  24 x 3  68 x 4  ... . 3

Rješenje kvadratne jednadžbe  8 x 2  2 x  1  0 je

x

 2  4  32  2  36  2  6  8 4 1 1    &  &  .  16  16  16  16  16 2 4

To znači da je

1  1 1  1   1  2 x  8 x 2  8 x 2  2 x  1  8 x   x    2 x    4 x    2  4 2  4    (2 x  1)(4 x  1)  (1  2 x)1  (4 x) . Uz pomoć formule

1  1  t  t 2  t 3  ... , odatle dobivamo 1 t

1 1 1    2 1  2 x  8x 1  2 x 1  (4 x )

124







 1  2 x  (2 x )2  (2 x )3  ...  1  4 x  (4 x )2  (4 x )3  ...   (1  2 x  4 x 2  8 x 3  ...)(1  4 x  16 x 2  64 x 3  ...)   1  (4  2) x  (16  8  4) x 2  (64  32  16  8) x3  ... 

 1  2 x  12 x 2  40 x 3  ... . Na koncu, f ( x )  ln(1  6 x  8 x 2 ) 

1  1  2 x  8x 2

 (6 x  10 x 2  24 x 3  68 x 4  ...)  (1  2 x  12 x 2  40 x 3  ...)   6 x  (12  10) x 2  (72  20  24) x 3  (240  120  48  68) x 4  ... 

 6 x  2 x 2  76 x 3  100 x 4  ... . Četvrti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  6 x  2 x 2  76 x 3  100 x 4 .

Zadatak 119. Neka je f ( x ) 

1  sin( 4 x ) . 1 x

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  3 x  x 2 . Nađite peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Kao prvo, 1  sin( 4 x)  sin 2 (2 x )  cos2 (2 x)  2 sin( 2 x ) cos(2 x)   sin 2 (2 x)  2 sin( 2 x ) cos(2 x)  cos2 (2 x)  sin( 2 x)  cos(2 x) , 2

tako da je f ( x) 

sin( 2 x)  cos(2 x) 2 1 x



sin( 2 x )  cos(2 x) . 1 x

Koristeći Maclaurinove razvoje sin( t )  t 

t3 t 5 t2 t4   ... , cos(t )  1    ... i 3! 5! 2! 4!

1  1  t  t 2  t 3  t 4  t 5  ... , odatle lako dobivamo 1 t

125

f ( x )  sin( 2 x)  cos(2 x) 

1  1 x

   (2 x ) 2 (2 x ) 4  1 ( 2 x )3 ( 2 x ) 5   2 x    ...  1    ...    3 ! 5 ! 2 ! 4 ! 1  x         1 ( 2 x ) 2 ( 2 x) 3 ( 2 x) 4 ( 2 x) 5  1  2 x      ...   2! 3! 4! 5!   1 x   1 4 x 2 8 x 3 16 x 4 32 x 5  1  2 x      ...   2 6 24 120   1 x

4 2 4    1  2 x  2 x 2  x 3  x 4  x 5  ...  (1  x  x 2  x3  x 4  x 5  ...)  3 3 15   4 4 2    1  (1  2) x  (1  2  2) x 2  1  2  2   x 3  1  2  2    x 4  3 3 3   4 2 4   1  2  2     x 5  ...  3 3 15   1 1 1 4   1  3x  x 2  x 3  x 4     x 5  ...  3 3  3 15  1 1 9 1 1 3  1  3x  x 2  x 3  x 4  x 5  ...  1  3x  x 2  x 3  x 4  x 5  ... . 3 3 15 3 3 5 1 1 3 Peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je 1  3 x  x 2  x 3  x 4  x 5 . 3 3 5

Zadatak 120. Neka je f ( x) 

cos2 (3x )  sin 2 (3x ) . 6x2  x  1

Drugi Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  1  x  11x 2 . Nađite peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) . Rješenje: Kao prvo, cos2 (3 x)  sin 2 (3 x)  cos(6 x) . Koristeći Maclaurinov razvoj

cos(t )  1 

t2 t4   ... , zaključujemo da je 2! 4!

cos2 (3x )  sin 2 (3 x)  1 

(6 x ) 2 (6 x ) 4 36 x 2 1296 x 4   ...  1     1  18 x 2  54 x 4  ... . 2! 4! 2 24

126

Nadalje, rješenje kvadratne jednadžbe 6 x 2  x  1  0 je

x

 1  1  24  1  5  6 4 1 1   &  & . 12 12 12 12 2 3

1  1  To znači da je 6 x 2  x  1  6 x   x   . Sada ćemo funkciju 2  3  1 1  rastaviti na parcijalne razlomke. 2 1  1 6x  x  1  6 x   x   2  3  1 A B   , 1 1 1  1  x 6 x   x   x  2 3 2  3 

1 1   6 x   A  6 x   B  1 . 3 2  

1 1   1  6 x   A  6 x   B , 3 2  

(1)

1  3 2  5 Stavljajući x   , iz jednadžbe (1) dobivamo 6    A  1 , 6     A  1 ,  5 A  1 , 2  6 6  6 1 A . 5 1 5 1  2 3 Stavljajući x  , iz jednadžbe (1) dobivamo 6   B  1 , 6  B  1 , 5 B  1 , B  . 3 6 5 6 6

I tako,

1 1 2 3    1 1 5  5  5  5    1 1 2 x  1  3x  1 1  1 6x2  x  1  x 6 x   x   x  2 3 2  3 

2 1 3 1     . 5 1  (2 x ) 5 1  3 x Uz pomoć formule

1  1  t  t 2  t 3  t 4  t 5  ... odavde dobivamo 1 t

1  6x  x  1 2

2    1  2 x  (2 x) 2  (2 x)3  (2 x )4  (2 x )5  ...  5





127

3   1  3x  (3 x) 2  (3x )3  (3 x) 4  (3 x)5  ...  5





2 3    (1  2 x  4 x 2  8 x 3  16 x 4  32 x 5  ...)   (1  3 x  9 x 2  27 x 3  81x 4  243 x 5  ...)  5 5

8 16 32 64 5  2 4      x  x 2  x3  x 4  x  ...  5 5 5 5  5 5  27 2 81 3 243 4 729 5  3 9     x  x  x  x  x  ...  5 5 5 5  5 5  5 5 35 65 275 4 665 5    x  x 2  x3  x  x  ...  1  x  7 x 2  13 x 3  55 x 4  133 x 5  ... . 5 5 5 5 5 5

Sve skupa,



 6x

f ( x)  cos 2 (3 x)  sin 2 (3 x) 

2

1   x 1

 (1  18 x 2  54 x 4  ...)  (1  x  7 x 2  13x 3  55 x 4  133x 5  ...)   1  x  (7  18) x 2  (13  18) x 3  (55  126  54) x 4  (133  234  54) x 5  ... 

 1  x  11x 2  5 x 3  17 x 4  47 x 5  ... . Peti Maclaurinov polinom funkcije f (x ) je  1  x  11x 2  5 x 3  17 x 4  47 x 5 .

128

Podrijetlo zadataka U ovom spisku, za svaki je zadatak navedeno odakle (to jest, s kojeg kolokvija ili ispita) potječe.

Zadatak 1: kolokvij od 24. listopada 2006. Zadatak 2: ispit od 5. rujna 2008. Zadatak 3: kolokvij od 29. listopada 2007. Zadatak 4: kolokvij od 3. studenoga 2008. Zadatak 5: ispit od 6. veljače 2009. Zadatak 6: ispit od 28. travnja 2009. Zadatak 7: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 8: ispit od 20. veljače 2009. Zadatak 9: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 10: kolokvij od 3. studenoga 2009. Zadatak 11: ispit od 23. veljače 2007. Zadatak 12: ispit od 2. veljače 2010. Zadatak 13: ispit od 16. veljače 2010. Zadatak 14: ispit od 27. travnja 2007. Zadatak 15: kolokvij od 3. studenoga 2008. Zadatak 16: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 17: kolokvij od 3. studenoga 2009. Zadatak 18: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 19: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 20: kolokvij od 3. studenoga 2008. Zadatak 21: kolokvij od 3. studenoga 2009. Zadatak 22: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 23: kolokvij od 29. listopada 2007. Zadatak 24: kolokvij od 24. listopada 2006. Zadatak 25: ispit od 21. rujna 2007. Zadatak 26: ispit od 22. veljače 2008. Zadatak 27: ispit od 16. veljače 2010. Zadatak 28: ispit od 2. veljače 2010. Zadatak 29: ispit od 9. veljače 2007. Zadatak 30: kolokvij od 26. studenoga 2007. Zadatak 31: ispit od 7. rujna 2007. Zadatak 32: ispit od 1. veljače 2008. Zadatak 33: ispit od 19. rujna 2008. Zadatak 34: ispit od 27. lipnja 2008. Zadatak 35: kolokvij od 28. studenoga 2006. Zadatak 36: kolokvij od 28. studenoga 2006. Zadatak 37: ispit od 6. srpnja 2007. Zadatak 38: ispit od 18. travnja 2008. Zadatak 39: ispit od 5. rujna 2008.

129

Zadatak 40: kolokvij od 1. prosinca 2009. Zadatak 41: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 42: ispit od 23. veljače 2007. Zadatak 43: ispit od 16. veljače 2010. Zadatak 44: ispit od 2. veljače 2010. Zadatak 45: kolokvij od 26. studenoga 2007. Zadatak 46: ispit od 7. rujna 2007. Zadatak 47: kolokvij od 9. prosinca 2008. Zadatak 48: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 49: ispit od 20. lipnja 2007. Zadatak 50: ispit od 13. lipnja 2008. Zadatak 51: ispit od 27. travnja 2007. Zadatak 52: ispit od 27. travnja 2007. Zadatak 53: ispit od 28. travnja 2009. Zadatak 54: ispit od 6. srpnja 2007. Zadatak 55: ispit od 20. lipnja 2007. Zadatak 56: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 57: ispit od 27. lipnja 2008. Zadatak 58: ispit od 22. veljače 2008. Zadatak 59: ispit od 18. travnja 2008. Zadatak 60: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 61: ispit od 6. veljače 2009. Zadatak 62: kolokvij od 1. prosinca 2009. Zadatak 63: kolokvij od 17. prosinca 2007. Zadatak 64: ispit od 20. veljače 2009. Zadatak 65: kolokvij od 9. prosinca 2008. Zadatak 66: ispit od 21. rujna 2007. Zadatak 67: ispit od 9. veljače 2007. Zadatak 68: kolokvij od 28. studenoga 2006. Zadatak 69: kolokvij od 20. prosinca 2006. Zadatak 70: ispit od 1. veljače 2008. Zadatak 71: ispit od 9. veljače 2007. Zadatak 72: ispit od 22. veljače 2008. Zadatak 73: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 74: kolokvij od 20. prosinca 2006. Zadatak 75: kolokvij od 9. siječnja 2009. Zadatak 76: ispit od 19. rujna 2008. Zadatak 77: ispit od 20. lipnja 2007. Zadatak 78: ispit od 7. rujna 2007. Zadatak 79: ispit od 18. travnja 2008. Zadatak 80: ispit od 2. veljače 2010. Zadatak 81: ispit od 16. veljače 2010. Zadatak 82: ispit od 13. lipnja 2008. Zadatak 83: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 84: kolokvij od 7. siječnja 2010. Zadatak 85: kolokvij od 17. prosinca 2007.

130

Zadatak 86: kolokvij od 26. siječnja 2007. Zadatak 87: kolokvij od 21. siječnja 2008. Zadatak 88: ispit od 6. srpnja 2007. Zadatak 89: kolokvij od 20. prosinca 2006. Zadatak 90: ispit od 20. veljače 2009. Zadatak 91: ispit od 28. travnja 2009. Zadatak 92: ispit od 6. veljače 2009. Zadatak 93: ispit od 1. veljače 2008. Zadatak 94: ispit od 7. rujna 2007. Zadatak 95: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 96: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 97: kolokvij od 7. siječnja 2010. Zadatak 98: ispit od 13. lipnja 2008. Zadatak 99: kolokvij od 9. siječnja 2009. Zadatak 100: kolokvij od 26. siječnja 2007. Zadatak 101: ispit od 23. veljače 2007. Zadatak 102: ispit od 6. srpnja 2007. Zadatak 103: ispit od 21. rujna 2007. Zadatak 104: ispit od 27. travnja 2007. Zadatak 105: ispit od 21. rujna 2007. Zadatak 106: kolokvij od 26. siječnja 2007. Zadatak 107: ispit od 27. lipnja 2008. Zadatak 108: kolokvij od 21. siječnja 2008. Zadatak 109: popravni kolokvij od 30. siječnja 2009. Zadatak 110: kolokvij od 28. siječnja 2009. Zadatak 111: ispit od 6. veljače 2009. Zadatak 112: ispit od 5. rujna 2008. Zadatak 113: ispit od 19. rujna 2008. Zadatak 114: ispit od 9. veljače 2007. Zadatak 115: kolokvij od 22. siječnja 2010. Zadatak 116: popravni kolokvij od 27. siječnja 2010. Zadatak 117: ispit od 20. veljače 2009. Zadatak 118: ispit od 28. travnja 2009. Zadatak 119: ispit od 20. lipnja 2007. Zadatak 120: ispit od 23. veljače 2007.

131

Što je bilo na kolokviju/ispitu? Ova zbirka sadrži sve zadatke sa ukupno 37 provjera znanja: 16 kolokvija, 2 popravna kolokvija i 19 završnih ispita. Za svaku od tih 37 provjera znanja, u ovom je spisku navedeno od kojih se zadataka sastojala.

kolokvij od 24. listopada 2006.: zadaci 1 i 24 kolokvij od 28. studenoga 2006.: zadaci 35, 36 i 68 kolokvij od 20. prosinca 2006.: zadaci 69, 74 i 89 kolokvij od 26. siječnja 2007.: zadaci 86, 100 i 106 ispit od 9. veljače 2007.: zadaci 29, 67, 71 i 114 ispit od 23. veljače 2007.: zadaci 11, 42, 101 i 120 ispit od 27. travnja 2007.: zadaci 14, 51, 52 i 104 ispit od 20. lipnja 2007.: zadaci 49, 55, 77 i 119 ispit od 6. srpnja 2007.: zadaci 37, 54, 88 i 102 ispit od 7. rujna 2007.: zadaci 31, 46, 78 i 94 ispit od 21. rujna 2007.: zadaci 25, 66, 103 i 105 kolokvij od 29. listopada 2007.: zadaci 3 i 23 kolokvij od 26. studenoga 2007.: zadaci 30 i 45 kolokvij od 17. prosinca 2007.: zadaci 63 i 85 kolokvij od 21. siječnja 2008.: zadaci 87 i 108 ispit od 1. veljače 2008.: zadaci 32, 70 i 93 ispit od 22. veljače 2008.: zadaci 26, 58 i 72 ispit od 18. travnja 2008.: zadaci 38, 59 i 79 ispit od 13. lipnja 2008.: zadaci 50, 82 i 98 ispit od 27. lipnja 2008.: zadaci 34, 57 i 107 ispit od 5. rujna 2008.: zadaci 2, 39 i 112 ispit od 19. rujna 2008.: zadaci 33, 76 i 113 kolokvij od 3. studenoga 2008.: zadaci 4, 15 i 20 kolokvij od 9. prosinca 2008.: zadaci 47 i 65 kolokvij od 9. siječnja 2009.: zadaci 75 i 99 kolokvij od 28. siječnja 2009.: zadatak 110 popravni kolokvij od 30. siječnja 2009.: ako se ispravljao kolokvij od 3. studenoga 2008., pisali su se zadaci 7, 18 i 19; ako se ispravljao kolokvij od 9. prosinca 2008., pisali su se zadaci 48 i 56; ako se ispravljao kolokvij od 9. siječnja 2009., pisali su se zadaci 73 i 95; ako se ispravljao kolokvij od 28. siječnja 2009., pisao se zadatak 109. ispit od 6. veljače 2009.: zadaci 5, 61, 92 i 111 ispit od 20. veljače 2009.: zadaci 8, 64, 90 i 117 ispit od 28. travnja 2009.: zadaci 6, 53, 91 i 118 kolokvij od 3. studenoga 2009.: zadaci 10, 17 i 21 kolokvij od 1. prosinca 2009.: zadaci 40 i 62 kolokvij od 7. siječnja 2010.: zadaci 84 i 97 kolokvij od 22. siječnja 2010.: zadatak 115

132

popravni kolokvij od 27. siječnja 2010.: ako se ispravljao kolokvij od 3. studenoga 2009., pisali su se zadaci 9, 16 i 22; ako se ispravljao kolokvij od 1. prosinca 2009., pisali su se zadaci 41 i 60; ako se ispravljao kolokvij od 7. siječnja 2010., pisali su se zadaci 83 i 96; ako se ispravljao kolokvij od 22. siječnja 2010., pisao se zadatak 116. ispit od 2. veljače 2010.: zadaci 12, 28, 44 i 80 ispit od 16. veljače 2010.: zadaci 13, 27, 43 i 81

133