MATEMATICI FINANCIARE

COSTACHE CATALIN Cls. a X-a A

1

MATEMATICI FINANCIARE Introducere: Capitolul de fata cuprinde elemente de matematici financiare: dobanzi simple, dobanzi compuse, constituirea unui capital, amortizarea unei datorii, taxa pe valoarea adaugata (T.V.A.), profit. Sunt prezentate tipurile de credite si metodele de finantare. Acest capitol ofera o prezentare a obiectului de studiu al statisticii matematice, a instrumentelor pe care le utilizeaza.

Cuprins • Matematici financiare • Elemente de statistica matematica • Calcul probabilitatilor • Variabile aleatoare

2

1.

1.1

Matematici financiare

Procente. Raport procentual. Determinarea procentului dintr-un numar

Intalnim adesea in vorbirea curenta exprimari de felul: 1) intr-o clasa 70% sunt baieri, iar restul (30%) fete; 2)preferintele electorale pentru partidul P1 sunt 25%, pentru partidul P2 sunt de 35 %, pentru partidul P3, sunt de 30%, iar pentru restul partidelor 10%; 3) sansele de castig ale echipei A in detrimentul echipei B sunt de 30% etc. In toate enunturile de mai sus apare notiunea de procent (p% - citim p la suna). In toate cazurile marimile se compara cu 100. Definitie: Numim raport procentual un raport de forma p100, p≥0. Numarul p se numeste procent. Notatie: p% A afla p% dintr-un numar a inseamna a calcula p100∙a. Exemple. 1)Se considera doua vase de 5 m3 si de 10 m3. In primul vas se afla 3 m3 de apa, iar in al doilea 4 m3. Sa se exprime in procente cat este gradul de umplere al fiecarui vas. R. Pentru primul vas volumul sau (5 m3) reprezinta valoarea baza, iar gradul de umplere (3 m3) reprezinta valoarea procentuala. Atunci, pentru un vas de 100 m3 avem un grad de umplere egal cu p. Aplicand regula de trei simpla gasim: 5 m3………. 3 m3 100 m3……………. p m3 p=3∙1005=60%

Proprietăţi 3

Procentele sunt folosite pentru a exprima cât de mare sau mică este o cantitate în raport cu o altă cantitate. De exemplu, o creştere cu 0,15 € a unui preţ de 2,50 € reprezintă o creştere cu o fracţiune de 0,15⁄2,50 = 0,06. Pentru a exprima acest raport ca procent, se mută virgula zecimală cu 2 poziţii spre dreapta; creşterea va fi atunci de 6 %. Dacă însă preţul iniţial ar fi fost de exemplu de 8 €, atunci aceeaşi creştere cu 0,15 €, raportată acum la cei 8 €, ar reprezenta numai 0,15⁄8 = 0,01875 sau 1,875 %. Noţiunea de procent, reprezentând o evaluare „la sută”, este utilizată pentru obţinerea datelor comparative în operaţii cu date financiare, economice, demografice, etc. A nu se confunda cu „promila”, care este un termen asemănător procentului, dar nu identic: la promile este vorba de numitorul 1.000, semnul ‰ şi mutarea virgulei zecimale cu 3 poziţii spre dreapta. 1.2

Dobanzi. Dobanda simpla

Cea mai simpla investitie care sa aduca un venit este depunerea banilor la o banca sau C.E.C. pe o anumita perioada cu o anumita dobanda (care reprezinta o anumita suma de bani pe care deponentul o primeste dupa o perioada de timp). Aceasta este dobanda simpla. Daca insa aceasta suma se adauga la cea initiala si pentru ea se calculeaza dobanda pentru aceeasi perioada de timp, aceasta adaugandu-se la sfarsitul perioadei etc. atunci vorbim de o dobanda compusa. Pentru cele doua tipuri de dobanzi distingem: dobanda platita, care este dobanda platita de banci sau C.E.C. depondentilor pentru sumele depuse si dobanda incasata, care este dobanda incasata de banci sau C.E.C. de la debitori pentru sumele imprumutate.

Dobanda simpla Definitie: Dobanda simpla reprezinta dobanda calculata pentru suma depusa pentru o anumita perioada.

4

Notatie: Dobanda simpla se noteaza cu D. Procentul dobanzii reprezinta suma care se plateste pentru suma depusa de 100 unitati monetare (u.m.) pentru o perioada de un an. Formula dupa care se calculeaza dobanda simpla este D=S∙p∙n100

unde S este suma depusa, n numarul de ani pe care s-a depus suma, iar p este procentul dobanzii ( S100=numarul de seturi de 100 continute de suma S, S100∙p=dobanda pe un an pentru suma depusa, iar D reprezinta dobanda pe n ani pentru suma S). De aici formula dobanzii pe m luni este data de formula : D=S∙p∙m100∙12

Iar pentru d zile: D=S∙p∙d100∙360

Exemple: 1) La o banca un deponent pune suma de 100.000 lei cu un procent al dobanzii de 15%. Care este dobanda obtinuta dupa un an? Dar dupa trei ani? R. Dupa un an dobanda este egala cu 100000∙15 100=15000 lei, iar dupa trei ani valoarea acesteia este egala cu 3∙100000∙15 100=45000 lei. 2) Sa se determin procentul dobanzii, daca o suma de 12.000 u.m. aduce in sase ani o dobanda de 2.880 u.m.? R. Aici S=12.000 u.m., D=2880, n =6. Din formula dobanzii simple rezulta p=100∙DS∙n=4, ceea ce inseamna ca procentul anual al dobanzii este de 4%. Dobanzi simple diferite Este posibil ca pe termenul de depunere al banilor intr-o banca, aceasta sa-si modifice dobanzile simple. Se pune problema determinarii dobanzii in acest caz. Fie t termenul de plasare a banilor t=t1+t2+t3+…+tn, unde ti este perioada de timp pentru care dobanda bancara este pi. Atunci dobanda simpla totala este egala cu suma dobanzilor simple pentru cele n perioade. 5

Exemple: Suma de 2.000.000 lei a fost depusa la o banca (cu dobanda simpla) cu procentele anuale de 6%, 7%, 8% pentru perioade de 30 , 60 respectiv 90 zile. Dobanda obtinuta pe perioada 180=(30+60+90) zile este egala cu: S=200000030∙6100∙360+60∙7100∙360+90∙8100∙360=73333

1.1

Dobanda compusa

Notiunile de exponential si logaritm isi gasesc aplicatii practice in probleme de ,,aritmetica comerciala”. Reamintim ca un capital este plasat cu o dobanda compusa daca la sfarsitul unei perioade determinate dobanda se adauga capitalului pentru a produce o noua dobanda in perioadele urmatoare. Este un concept economic ce caracterizează calculele financiare pe termen lung. Caracteristic pentru regimul de lucru în dobânda compusă este faptul că perioadele de plasament sunt mari, iar pentru unităţile etalon timp cea mai des întâlnită este anul. Spre deosebire de regimul de lucru în dobânda simplă, dobânda obţinută în regim de dobândă compusă este în general mai mare şi de aici rezultă aplicabilitatea mai mare a regimului de dobândă compuse. În situaţia în care perioada de plasament t este un număr întreg de ani se porneşte de la tabelul următor şi de la faptul că plasamentul în regim de dobândă compusă presupune ca până la sfârşitul perioadei t, suma plasată rămâne neschimbată pentru a aduce în continuare dobânda simplă. Valoarea atinsa de un capital Se considera un capital initial C0 pus intr-o banca sau la C.E.C., cu o dobanda anuala de t% si vom calcula valoarea obtinuta de Cn din capitalul initial dupa o perioada de n ani. Vom nota cu d dobanda obtinuta de 1 u.m. dupa un an. Aceasta are valoarea d=t100. • • •

Capitalul din banca dupa un an este: C1= C0+ C0d= C0(1+d). Capitalul din banca dupa doi ani este: C2= C1+ C1d= C0(1+d)2. Capitalul din banca dupa trei ani este: C3= C2+ C2d= C2(1+d)C1=C0(1+d)3. 6

Din aproape in aproape gasim ca dupa n ani capitalul din banca este: Cn=Cn-1+Cn-1d=C0(1+d)n. Asa dar am obtinut formula pentru Cn: Cn=C0(1+d)n. Exemple 1) Sa se determine capitalul obtinut dupa 7 ani prin depunerea intr-o banca a sumei de 3000 u.m cu o dobanda de 4%. R. Avem: C7=3000(1+0.04)7=3947,80 u.m. Constituirea unui capital In vederea constiuirii unui capital, se efectueaza o data pe an si la data fixa depunerea unui sume constant C0 cu dobanda compusa. Sa determinam capitalul C obtinut la momentul ultimei depuneri, stiind ca s-au efectuat n depuneri si ca dobanda anuala este t%. C=C01+dn-1d

Amortizarea unei datorii Pentru rambursarea unei datorii D contractata cu o dobanda de t%, se efectueaza in fiecare an si la data fixa depunerea unei sume constante S. Ne propunem sa stabilim o relatie intre D,S, numarul n de ani necesari rambursarii datoriei si dobanda d=t/100. Daca nu efectuam nici o rambursare anuala, datoria D, dupa n ani, va devenii datoria D’=D(1+d )n. Va trebui deci, ramburasta suma D’ o singura data, n ani dupa care s-a facut imprumutul. D(1+d)n=S(1+d)n-1d

1.1

Taxa pe valoare adaugata

Taxa pe valoare adaugata (T.V.A.) reprezinta un venit la bugetul de stat platit de consumatorii de bunuri si servicii. Ea reprezinta un impozit care se plica asupra operatiilor de vanzare-cumparare. Ea se aplica numai asupra valorilor adaugate de fiecare agent economic, adica se aplica asupra diferentelor dintre pretul de vanzare si cel de cumparare, ori de cate ori acest lucru se intampla. 7

Principiul care sta la baza T.V.A. il constituie faptul ca bunurile si serviciile din tara sau import destinate beneficiarilor din tara noastra sunt supuse T.V.A., in timp ce bunurilor si serviciilor destinate exportului nu li se aplica T.V.A.. In aceste cazuri distingem doua cote de impozitare: a) cota normal de 19% pentru operatiile privind livrarile de bunuri mobile si transferurile proprietatii bunurilor immobile efectuate in tara, prestarile de servicii, precum si importul de bunuri, cu exceptia celor prevazute la cota zero; b) cota zero pentru exportul de bunuri si prestarile de servicii legate direct de exportul de bunuri efectuat de agentii economici cu sediul in tara noastra. Pentru calcularea si decontarea T.V.A. se disting doua catedorii de operatii: 1. T.V.A. deductibila – la cumararea bunurilor si serviciilor(notata T.V.A.D) 2. T.V.A. colectata – la vanzarea bunurilor si serviciilor (notata T.V.A.C.). Daca T.V.A.D.>T.V.A.C., adica incasarile T.V.A. sunt mai mari decat platile de T.V.A. atunci avem de-a face cu o datorie la bugetul de stat, adica T.V.A. de plata. In caz contrar spunem ca este vorba de o recuperare de la bugetul de stat, adica T.V.A. de recuperat. Exemple: 1) Un cumparator trebuie sa stie daca vrea sa cumpere un televizor care costa S=5.300.000 lei fara T.V.A., atunci el mai adauga inca 19% din S, adica 19100∙S=1.007.000 lei, adica in final palteste pentru a achizitiona televizorul cu suma finala Sf=S+19100∙S=6307000 lei. 2) O masina de spalat cu program costa 12 000 000lei, iar T.V.A. este egla cu 1.900.000 lei. Sa se determina caloarea de productie a masinii de spalat si care este procentul T.V.A.. R. Valoarea de productie a masinii de spalat este egala cu 12.000.0001.900.000=10.100.000 lei. 12.000.000……100% 1.900.000……….p% p=1.900.000∙10012.000.000=19012=15,83%

8

1.1

Costul de productie. Pret de cost al unui produs

Prin cost de productie se inteleg toate cheltuielile realizate de un agent economic pentru producerea si comercializarea de bunuri sau servicii. Cheltuielile pot fi fixe si variabile. Cheltuielile pot fi raportate la unitatea de produs, cand il numim cost unitar si se exprima prin relatia CTM=CTQ (unde CT sunt cheltuielile totale iar Q este productia). Astfel se poate defini: 1)costul fix mediu (CFM) care se calculeaza dupa formula CFM=CFQ, unde CF sunt costurile fixe. 2)costul variabil mediu (CVM) dat de formula CMV=CVQ, unde CV sunt costurile variabile.

1.2

Profit

Eficienta activitatii uni agent economic este apreciata prin ceea ce se obtine in plus in raport cu ceea ce s-a cheltuit pentru producerea de bunuri sau servicii in cadrul activitaii. Definitie: Profitul (notat P) reprezinta diferenta dintre venituri (notate V) si cheltuieli (notate CT). Deci: P=V-CT. Tot profitul il puteam calcula ca diferenta intre valoarea productiei si costul total. In acesc caz P=p∙Q – CT unde p este pretul unitar (pretul produsului), iar Q este productia. Profitul net: Pnet=Pbrut – impozit pe profit; Profitul este un venit care rasplateste munca agentului economic. Definitie: Prin profit normal sau ordinar intelegem profitul care asigura agentului economic posibilitatea de a-si continua activitatea. Cai de crestere a profitului: 1. Reducerea costului de productie 9

2. Productivitatea muncii 3. Promovarea metodelor moderne de management si productie a muncii 4. Reducerea cheltuielilor de productie Al doilea indicativ calificativ pentru un agent economic, pe langa profit, il reprezinta rata profitului (rp) Definitie: Numim rata profitului raportul dintre profit (P) si costurile totale(CT). Deci, rp=PCT∙100% pentru rata profitului se mai poate utiliza rp=PCA∙100% unde CA este cifra de afaceri, CA=p∙Q. 1.1 Credite. Metode de finantare Un agent economic, pentru a-si desfasura activitatea, are nevoie de bani pe care ii poate obtine din surse proprii sau din surse atrase. Definitie: Creditul este o suma de bani data cu imprumut unui agent economic si care urmeaza sa fie restituita impreuna cu dobanda dupa o anumita perioada de timp(scadenta). Dupa durata de finantare avem trei categorii de credite: 1. Credite pe termen scurt (cu durata finantarii sub un an, cu rambursarea in cel mult un an a sumei S’=S+D, unde S este suma imprumutata, iar D este dobanda simpa) 2. Credite pe termen mediu(cu durata finantarii cuprinsa intre 1 si5 ani, cu rambursarea 1-5 ani a sumei S’=S+Dc, unde Dc este dobanda compusa) 3. Credite pe termen lung(cu durata finantarii de peste 5 ani, cu rambursarea sumei S’=S+Dc). Daca rambursarea creditului S se face in transe egale in n ani, pentru credite pe termen mediu sau lung, in fiecare an se plateste aceeasi transa din credit Sn, la care se adauga o dobanda simpla la creditul ramas nerambursat.

1.1

Amortizari

Auzim adesea spunandu-se ca masina X si-a amortizat investitia, aceasta inseamna ca dupa un timp de functionare masina a realizat produse a caror valoare acopera costul masinii. Timpul in care s-a realizat recuperarea integrala a valorii investitiei se numeste termen de amortizare. Daca aceasta perioada se refera la un an o 10

numim amortizare anuala. De obicei se considera ca amortizarea anuala este aceeasi in fiecare an din durata termenului de amortizare si spunem ca amortizarea se face in rate egale. Daca V este valoarea investitiei,T termenul de amortizare, atunci A amortizarea anuala este egalu cu A=VT . Rata anuala de amortizare are exprimarea: r=AV∙100%. 1.2 Bugetul familial Bugetul familial este format din veniturile pe care le realizeaza membrii unei familii pe un timp determinat. Din acesti bani familia trebuie sa-si acopere toate cheltuielile pe care le prognozeaza ca le va face in acelasi interval si eventula sa-si depuna restu de bani intr-un cont in banca sau la C.E.C. Veniturile unei familii pot provenii din salarii, devidende, dobanzi etc. Cheltuielile se refera la intretinere, alimentatie, telefon, transport, imbracaminte, alte cheltuieli gospodaresti, divertisment etc. Este evident ca aceste cheltuieli nu pot depasi veniturile sau, daca acest lucru se intampla, atunci familia trebuie sa-si ierarhizeze cheltuielile pe baza de prioritati, renuntand la cele mai putin importante. 1.3

Bugetul personal

Bugetul personal este un plan pe care il poate alcatui orice individ, in care sunt prevazute veniturile si cheltuielile pe o perioada data. Fiecare indivit trebuie sa-si suplimenteze veniturile prin mai multe activitati care sa le fie retribuite. Aici initiativa personala este decisiva in a trai mai bine. Lucrul bine facut te conduce la o pozitie mai buna pe scara ierarhiilor si-ti ofera un venit suplimentar.

11

2. Elemente de statistica matematica Statistica matematica se ocupa de gruparea, analiza si interpretarea datelor referitorare la un anumit fenomen precum si cu unele previziuni privind producerea lui viitoare. Defeinitie: Prin populatie statistica se intelege orice multime definita de obiecte de aceeasi natura. Elementele unei populatii se numesc unitati statistice sau indivizi. Numarul de elemente care constrituie populatia se numeste volumul populatiei. Se numeste caracteristica a populatiei trasatura comuna tuturor unitatilor populatiei. Caracteristica poate fi cantitativa sau calitativa. In general o populatie studiaza dupa una sau mai multe caracteristici. In cazul populatiilor cu un numar mare de indivizi se efectueaza o statistica numai pentru p fractiune din populatia totala, iar rezultatul obtinut se extinde pentru toata populatia. Fractiunea din populatia totala pentru care se face statistica se numeste esantion. Este clar ca aceste concluzii au sansa de a fi valabile cu cat esantionul este mai amre. Gratie calculului probabilitatilor va fi posibil, in general, de a indica gradul de incredere care se poate acorda concluziilor obtinute. 1.1 Frecventa absoluta. Frecventa relativa. Frecvente cumulate Numarul toturor indivizilor unei populatii se numeste efectivul total al acelei populatii. In cazul discret, tabelul 3, valorile caracteristice sunt date in prima coloana, iar in coloana a doua figureaza numarul de indivizi corespunzator fiecarei valori caracteristice. Tabelul 3 Nota Efectiv Nota Efectiv xi

ni

xi

ni

2

1

6

4 12

3

2

7

5

4

1

8

3

5

3

9

3

10

3

Efectiv total: 1+2+1+3+4+5+3+3+3=25 (∑ni) Definitie: Se numeste frecventa absoluta a unei valori x a caracteristicii, numarul de unitati ale populatiei corespunzatoare acestei valori. In tabelul 3 valoarea 5 a caracteristicii are frecventa absoluta 3(in limbaj uzual insemnand ca nota 5 a fost luata la teza de matematica doar de trei elevi). O reprezentare o constituie reprezentarea in batoane aplicata caracteristicii discrete cu un numar mic de valori. Pe axa orizontala suntr trecute punctele reprezentand valorile variabilei si din aceste puncte se ridica segmente verticale de lingime egala cu frecventa absoluta a valorii respective.

Definitie: Se numeste frecventa relativa a unei valori x, a caracteristici raportul dintre frecventa absoluta ni, a valorii xi si efectivul total al populatiei> fxi=nin, n=efectivul total

Se numeste frecventa cumulata crescatoare a unei valori x a variabilei, suma tuturor frecventelor valorilor care apar pana la x inclusiv. Se numeste frecventa cumulata descrescator a unei valori x a variabilei suma tuturo frecventelor valorilor care apar de la x inclusiv. Fx= xi≤xf(xi)=freventa cumulata crescatoare Fx=xi≥xfxi=frecventa cumulata descrescatoare

1.2

Media

Note

Fie x variabila statistica care ia valorile x1,x2,…,xk cu efectivele corespunzatoare n1,n2,…,nk. Definitie: Se numeste media caracteristicii x numarul: 13

x=i=1knixin

unde n= i=1kni este efectivul total.

Acest numar se mai numeste si media ponderata a numerelor x1,x2,…,xk; numerele n1,n2,…,nk se numesc ponderi respective ale numerelor x1,x2,… si respectiv xk. Media se mai poate scrie cu ajutorul frecventelor astfel: x=i=1kf(xi)xi. 1.3 Mediana Definitie: Mediana x este o valoare astefel incat jumatatea valorilor xi ale esantionului sunt mai mici sau egale cu x si cealalta jumatate a valorilor xi sunt mai mari sau egale cu x. 1.4 Modulul Definitie: Prin modulul unei serii statistice se intelege valoarea caracteristicii corespunzatoare celei mai mari frecvente daca valorile caracteristicii sunt discrete si valoarea centrala a clasei corespunzatoare celei mai mari frecvente daca variabila este continua. 1.5 Dispersia Definitie: Numarul ϑ=σ se numeste abaterea medie patratica. Proprietati ale variatiei

14

1) ϑ=i=1kfxi(xi-x) 2) ϑ=i=1kf(xi)x12-(x)2= 1ni=1knini2-x.2

1. Calculul probabilitatilor Istoric Începuturile teoriei probabilităţilor sunt legate de numele matematicienilor Blaise Pascal şi Pierre Fermat în secolul al XVII-lea, ajungând la probleme legate de probabilitate datorită jocurilor de noroc. Dezvoltarea teoriei probabilităţilor şi cercetarea unor probleme nelegate de jocurile de noroc sunt legate de matematicienii: Abraham Moivre, Pierre Simone de Laplace, Carl Friedrich Gauss, Simon-Denis Poisson, Pafnuti Lvovici Cebîşev, Andrei Andreevici Markov în secolul XIX, iar în secolul al XX-lea Andrei Nikolaevici Kolmogorov şi al lui Alexandr Iakovlevici Hincin. Probabilitatea nu inseamna doar intamplare ci si proportie. Stii de cate ori folosim cuvantul “probabilitate” intr-o zi? Acest cuvant se refera la posibilitatea ca un eveniment anume sa se intample. Indiferent de capacitatea noastra de a calcula probabilitatea, frecvent estimam, comparam si luam decizii bazate pe probabilitate. Este un unghi subiectiv al convingerii ca evenimentul va avea loc. Conceptul de probabilitate are interpretari filozofice, psihologice si stiintifice. Mai simplu spus, insa, probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numarul de evenimente favorabile si numarul tuturor cazurilor egal posibile. Evolutia teoriei probabilitatii Initial teoria probabilitatii a fost insipirata de jocurile de noroc din secolul 17. Totusi axiomatizarea completa s-a facut abia de catre Kolmogorov, in 1933, in “Bazele teoriei probabilitatii”. De-a lungul timpului, teoria probabilitatii a gasit cateva modele in natura si a devenit o ramura a matematicii cu un numar crescut de 15

aplicatii. Pentru fizica teoria probabilitatii a devenit un instrument important in termodinamica si fizica cuantica. 1.1 Universul probelor Definitie: Multimea Ω a tuturor rezultatelor posibile, incompatibile doua cate doua, care pot ave loc in cazul unei probe a unui experiment aleatoriu se numeste universul probelor sau spatiu probelor. Exemple: 1) La aruncarea unei monede omogene avem Ω={b,s}, unde b este banul, iar s este stema. 2) La aruncarea unui zar omogen avem Ω={1,2,3,4,5,6}. 3) Se arunca o moneda pana se obtine banul. In acest caz universul probelor este Ω={b,sb,ssb,sssb,…}, adic o multime numarabila. 1.1 Evenimente Definitie: Fie Ω un univers. Se numeste eveniment orice submultime a lui Ω. Exemple: 1) La aruncarea monedei Ω={s,b} si P(Ω)={∅,{s},{b},{s,b}}. Deci in acest caz avem patru evenimente: ∅ numit eveniment imposibil, A={s}, B={b}, C={s,b}=Ω numit evenimentul sigur care se realizeaza in totdeauna. 2) La aruncarea zarului Ω={1,2,3,4,5,6}, numarul de evenimente legate de acest fenomen aleator este egal cu 26=64. Iata cateva evenimente: A1={1,3,5} care se pot enunta: “se obtine un numar impar de puncte”, A2={1,2,3} care inseamna: “se obtine un numar de puncte cel mult egal cu 3”.

16

1.1 Observatii cu evenimente • Negatia Definitie: Daca A este un evenimente, atunci A (citim: non A) este evenimentul care se realizeaza daca si numai daca nu se realizeaza A. Daca A∈P(Ω), atunci A=CA=Ω-A∈PΩ. • Reuniunea Definitie: Fie A,B doua evenimente. Se numeste reuniunea evenimentelor A,B evenimentul notat A∪B (citim A sau B) care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza cel putin unul din evenimentele A,B. • Intersectia Definitie: Fie A,B doua evenimente. Se numeste intersectia evenimentelor A si B evenimentul notata A∩B (citim: A si B) care se realizeaza daca si numai daca se realizeaza simultan A si B.

17

• Evenimente incompatibile Definitie: Doua evenimente A,B se numest incompatibile daca si numai daca A∩B=∅. • Evenimente elementare Definitie: Fie Ω un univers finit Ω={ω1, ω2,…, ωn}. Evenimentele { ω1}, { ω2},…,{ ωn} se numesc evenimente elementare. Exemple: 1) La aruncarea monedei Ω={s.b} cand avem evenimentele elementare {s} (aparitia stemei), {b} (aparitia banului}. 2) La aruncarea zarului Ω={1,2,3,4,5,6}, iar evenimentele elementare sunt: {1},{2},{3},{4},{5},{6}. 1.1 Functia probabilitate Definitie: Fie Ω un univers. Aplicatia P:P(Ω) →R se numeste probabilitate pe P(Ω) daca au loc axiomele: 1) P(a)≥0, (∀) A∈P(Ω)(Probabilitatea oricarui eveniment este un numar pozitiv). 2) P(Ω)=1 (Probabilitatea evenimentului sigur este egala cu 1) 3) PA∪B=PA+PB, daca A∩B=∅ (Probabilitatea reuniunii a doua evenimente incompatibile este egala cu suma probabilitatilor lor). 1.1 Camp de probabilitate Definitie: Fie ℱ un fenomen aleator. Tripletul (Ω,P(Ω),P) se numeste camp de probabilitate asociat fenomenului ℱ.

18

1.2

Evenimente elementare echiprobabile Definitie: Fie Ω={ω1, ω2,…, ωn}. Evenimentele elementare { ω1}, { ω2},…,{ ωn} se numesc echiprobabile daca au aceeasi probabilitate. Teorema: Daca Ω este un univers format din n evenimente elementare echiprobabile, iar A este un eveniment format din reuniunea a k evenimente elementare, atunci: PA=kn=n(A)n(Ω).

3.7 Probabilitati conditionate Definitie: Fie A,B⊂Ω. Se numeste probabilitate a evenimentului A conditionata de evenimentul B numarul notat PB(A) definit prin PBA=P(A∩B)P(B), P(B)≠0.

2. Variabile aleatoare Definitie: Fie (Ω,P(Ω),P) un camp de probabilitate. Se numeste variabila aleatoare relativa la probabilitatea P, orice aplicatie X:Ω→ℝ. • O variabila aleatoare se numeste discreta daca are o multime finita sau numarabila de valori. • O variabila aleatoare se numeste continua daca are ca multime de valori un interval marginit al dreptei reale. În practica, atunci când se efectueaza un anumit experiment, în mod frecvent suntem în principal interesati de o anumita functie ce depinde rezultatul experimentului, si nu de rezultatul în sine al experimentului. Spre exemplu, la aruncarea a doua zaruri, deseori suntem interesati de suma valorilor obtinute, ¸si nu neaparat de valorile individuale ale zarurilor (spre exemplu, suntem interesati da˘a suma celor doua zaruri este 7, fara a conta daca valorile celor doua zaruri sunt (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) sau (6, 1)), iar la aruncarea repetata a unei monede, suntem interesati de numarul total de steme btinute, ¸si nu neaparat de valorile stema/ban obtinute.

19

Aceste cantitati de interes, mai pecis aceste functii reale ce depind de rezultatul unui anumit experiment, se numesc variabile aleatoare. 1.1 Valori tipice alea variabilelor aleatoare Definitie: Se numeste valoare medie sau speranta matematica a variabilei aleatoare X, numarul real M(X) egal cu: MX=x1p1+x2p2+…+xnpn=i=1nxipi.

1.1 Dispersia Definitie: Se numeste varianta sau dispersia variabilei aleatoare X numarul pozitiv V(X) egal cu: V(X)=D2(X)=M[(X-μ)2]=M(X2)-[M(X)]2, unde μ=M(X).

1. 2. 3. 4.

Proprietatile dispersiei Dispersia unei constante este nula. Dispersia a doua variabile aleatoare care difera printr-o constanta sunt egale. Dispersia produsului dintre o constanta k si o variabila aleatoare X, este egala cu produsul dintre patratul constantei si dispersia variabilei X. Dispersia sumei a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma dispersiilor variabilelor aleatoare. Definitie: Abaterea medie patratica a unei variabile aleatoare X este numarul pozitiv σX=DX=D2(X)=MX2-[MX]2.

Probleme 20

Problema 1. Sa se calculeze dobanda obtinuta prin depunerea unei sume initiale de 2 500 u.m. cu procentul anual de 11% din data de 10 martie 2003 pana in data de 25 iulie 2003 in functie de: a) numarul de zile b) numarul de chenzine intregi (o chenzina = 15 zile) c) numarul de luni intregi Problema 2. Sa se calculeze dobanda totala pentru urmatoarele capitaluri investite, primele patru cu procentul anual de 9% pe termenele indicate si ultimele trei cu procentul anual de 10% pe termenele indicate: s1 = 135 u.m. pe timp de 29 zile s2 = 1120 u.m. pe timp de 43 zile s3 = 129 u.m. pe timp de 49 zile s4 = 635 u.m. pe timp de 58 zile s5 = 195 u.m. pe timp de 70 zile s6 = 369 u.m. pe timp de 74 zile s7 = 465 u.m. pe timp de 80 zile Problema 3. O persoana dispune de doua sume de bani s1 si s2 astfel incat prima suma este de cinci ori mai mare decat a doua. Persoana plaseaza prima suma pe timp de 135 zile cu procentul anual de 10% ¸si a doua suma pe timp de 3 luni cu procentul anual de 9%. Stiind ca dobanda adusa de prima suma este mai mare cu 66 u.m. decat cea produsa de a doua suma sa se determine valorile celor doua sume initiale. Problema 4. Se depune spre fructificare suma de 150 u.m. pe timp de trei luni, in regim de dobanda simpla cu rata anuala a dobanzii de 12%. a) Calculati dobanda produsa de acest plasament daˇa ea se ıncaseaza la scadenta. b) Daca dobanda se ıncaseaza ın momentul depunerii, calculati care este procentul efectiv corespunzator acestei operatiuni. c) Care este valoarea actuala comerciala si care este valoarea actuala rationala la momentul depunerii? Problema 5. O persoana depune la o banca suma de 300 u.m.. Stiind ca procentul anual este de 15% pe an, sa se calculeze ce suma va avea persoana respectiva dupa 4 ani precum ¸si care este valoarea dobanzii.

21

Bibliografie • Matematica-manual pentru cls a X-a (Mircea Ganga) • http://euro.ubbcluj.ro/~srodica/seminarii/dobanzi.pdf • http://ro.wikipedia.org • http://www.scribd.com

22