Matematici Aplicate in Economie

FLORENTIN ŞERBAN

SILVIA DEDU

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Suport de curs pentru ID

1

Cuprinsul cursului

Unitatea de învatare 1 1. Serii numerice ......................................................................................................................... 1.1 Obiectivele unitatii de învatare 1 ....................................................................................... 1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice ........................................................ 1.3 Serii clasice,serii cu termeni oarecare,serii alternate 1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta................................................................ Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 1 ........................................................................................... Unitatea de învatare 2 2. Serii de puteri

2.1 Obiectivele unitatii de învatare 2 ....................................................................................... 2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri.................................................................... 2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ........................... Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 2 ........................................................................................... Lucrarea de verificare nr. 1 ..................................................................................................... Unitatea de învatare 3 3. Funcţii de mai multe variabile reale 3.1 Obiectivele unitatii de învatare 3........................................................................................ 3.2 Definiţia limitei si continuitatii pentru o funcţie de mai multe variabile real 3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I si II pentru o funcţie de mai multe variabile reale 3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale.......................... 3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale 3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 3............................................................................................. Lucrarea de verificare nr.2 .......................................................................................................

2

Unitatea de învatare 4 4.Calcul integral 4.1 Obiectivele unitatii de învatare 4.2 Clasificarea integralelor euleriene...................................................................................... 4.3 Definiţii si proprietati ale integralelor euleriene .................................................................. 4.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor.................................................... Teste de autoevaluare................................................................................................................ Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibliografia unitatii de învatare 4 ............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 3....................................................................................................... Unitatea de învatare 5 5. Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente 5.1 Obiectivele unitatii de învatare 5 ......................................................................................... 5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati .................................................................... 5.3 Scheme probabilistice clasice .............................................................................................. 5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor.................................................... Teste de autoevaluare................................................................................................................ Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibliografia unitatii de învatare 5............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 4 ....................................................................................................... Unitatea de învatare 6 6. Variabile aleatoare 6.1 Obiectivele unitatii de învatare 6........................................................................................ 6.2 Variabile aleatoare unidimensionale.................................................................................. 6.3 Variabile aleatoare bidimensionale 6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice 6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................. Teste de autoevaluare................................................................................................................ Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibliografia unitatii de învatare 6............................................................................................. Lucrarea de verificare nr.5........................................................................................................

3

Unitatea de învatare 7 7. Statistica matematica 7.1 Obiectivele unitatii de învatare 7......................................................................................... 7.2 Elemente de teoria selecţiei................................................................................................ 7.3 Elemente de teoria estimaţiei............................................................................................. 7.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................. Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare................................................................... Bibilografia unitatii de învatare 7............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 6

4

Prefata Lucrarea “Matematici aplicate in economie" dezvoltă numeroase probleme teoretice şi practice, care fac obiectul cursurilor de matematică sau de statistică economică ale studenţilor din învatamantul economic, şi în particular ale studenţilor înscrişi la programul de studiu ID, organizat de facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori şi face parte din planul de învatamdnt aferent anului I, semestrul 1. Fiind subordonate programei analitice a disciplinei “Matematici aplicate în economie” de la Academia de Studii Economice Bucureşti, facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori, anul I, ID, noţiunile şi conceptele prezentate în lucrare apar, în mod firesc, într-o succesiune logică şi sunt supuse unor restricţii temporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate. Obiectivele principale ale acestui curs, concretizate în competenţele pe care studentul le va dobandi după parcurgerea şi asimilarea lui, sunt următoarele: -va avea cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar şi de tehnici specifice matematicii aplicate; -va fi în măsurd sa construiască, sa prelucreze şi sa valorifice o teorie economical relevantă, credibilă şi inteligibilă, numai în condiţiile în care stăpdneşte deopotrivd cunoştinţe în domeniul respectiv, dar şi temeinice cunoştinţe de matematici aplicate în economies -va dispune de numeroase soluţii pentru eficientizarea marketingului la nivel micro şi macroeconomic în vederea practicdrii în condiţii de performantd a muncii de economist; -va putea aborda, înţelege şi dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de specialitate, precum şi alte concepte legate de modelarea matematică a unor procese sau fenomene economice dintre cele mai diverse. Cursul “Matematici aplicate in economie” este structurat pe sapte unitati de învatare (capitole), fiecare dintre acestea cuprinzand cate o lucrare de verificare, pe care studentul o va putea transmite tutorelui său. Pentru ca procesul de instruire al studentului sa se desfasoare într-un mod riguros, dar şi atractiv, studentul va putea utiliza un set de resurse suplimentare prezentate sub forma bibliografiei de la sfarşitul fiecarei unitati de învatare în format electronic, ce sa va regăsi accesand platforma de e-learning. Evaluarea cunoştinţelor se va realiza sub două forme: -evaluare continuă, pe baza lucrărilor de verificare, regăsite la sfdrşitul fiecdrei unitdti de învdtare; -evaluare finală, realizată prin examenul susţinut în perioada de sesiune.

5

Criteriile de evaluare constau în: 1. Punctajul obţinut la cele şase lucrări de verificare menţionate; 2. Gradul de implicare în discuţiile tematice, organizate prin opţiunea „Forum” a platformei electronice. 3. Punctajul obţinut la examenul susţinut în cadrul sesiunii. Ponderile asociate fiecarui criteriu precizat sunt următoarele: -criteriile 1 si 2 - cite 0,50 puncte pentru fiecare dintre cele sase lucrari de verificare (total = 3 puncte);( in evaluarea punctajului va conta si gradul de imiplicare al studentului in discutiile tematice organizate pe forumul platformei electronice ) -criteriul 3 - 7 puncte pentru examenul susţinut în sesiune. Nutrim speranţa ca studentul din anul I, de la programul de studiu ID, facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori , sa găsească în această lucrare un sprijin real şi important pentru studiu şi cercetare, pentru viitoarea lor profesie, ce le va solicita şi cunoştinţe de matematici aplicate în economic Autorii

6

UNIT ATEA DE INVATARE 1:

Serii numerice Cuprins 1.1 Obiectivele unitatii de învatare 1 ........................................................................................ 1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice......................................................... 1.3 Serii cu termeni oarecare,serii alternate, serii clasice 1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta ................................................................

Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 1

1.1 Obiective Unitate de învatare 1 conţine, o prezentare intr-o formă accesibilă, dar riguroasă a noţiunii de serie numerică, din cadrul analizei matematice, care fundamentează teoretic noţiunea de serie de puteri, un alt element de bază al analizei matematice, ce va fi expus în unitatea de invatare 2. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunosjinţe despre: -conceptul de serie numerică, necesar si extrem de util, pentru a putea modela matematic anumite procese sau fenomene economice, dintre cele mai diverse; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii numerice” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucuresji.

7

∞

1.2 Definiţii si proprietati generale ale seriilor numerice

Fie ∑ an o serie numerică de termen general an . n =1

n

Definim şirul sumelor parţiale ( S n ) n ≥1 , S n = ∑ ak . k =1

∞

Definiţia 1. Seria ∑ an este convergentă dacă şirul ( Sn ) n≥1 este convergent. n =1

În acest caz, numărul S = lim S n se numeşte suma seriei. n→∞

∞

Dacă lim S n = ±∞ sau ( Sn ) n ≥1 nu are limită, seria ∑ an este divergentă. n→∞

n =1

Propoziţia 1. ∞

∞

n =1

n =1

a) Dacă seria ∑ an este convergentă şi are suma S , atunci seria ∑ α ⋅ a n este convergentă şi are suma α ⋅ S .

∞

∞

∞

n =1

n=1

n =1

b) Dacă seriile ∑ an şi ∑ bn sunt convergente şi au sumele S1 şi S 2 , atunci seria ∑ (a n + bn ) este convergentă şi are suma S1 + S 2 . ∞

∞

n =1

n =1

Definiţia 2. Seria ∑ an este absolut convergentă dacă seria ∑ a n este convergentă. Propoziţia 2. Dacă o serie este absolut convergentă, atunci seria este convergentă.

1.3 Serii cu termeni oarecare,serii alternate, serii clasice Criteriul suficient de divergenţă. ∞

Dacă lim an ≠ 0 , atunci seria ∑ an este divergentă. n →∞

n =1

Criteriul lui Leibniz. ∞

Fie seria alternată ∑ (−1) n a n , a n > 0. Dacă : n =1

a) şirul (an ) n ≥1 este descrescător şi ∞

b) lim an = 0 , atunci seria ∑ (−1) n an este convergentă. n →∞

n =1

Serii clasice ∞

1) Seria geometrică ∑ q n este convergentă ⇔ q ∈ (− 1,1) şi are suma S = 1 . n=0

∞

2) Seria armonică generalizată ∑ 1 este convergentă ⇔ α > 1. α n =1 n

1− q

8

1.4 Serii cu termeni pozitivi.Criterii de convergenta ∞

∞

n =1

n =1

Criteriul 1 de comparaţie. Fie ∑ an şi ∑ bn serii cu termini pozitivi pentru care există

n0 ∈ N astfel încât a n ≤ bn , (∀)n ≥ n0 . ∞

∞

a) Dacă ∑ bn este convergentă, atunci ∑ an este convergentă. n =1

n =1

∞

∞

b) Dacă ∑ an este divergentă, atunci ∑ bn este divergentă. n =1

∞

n =1

∞

Criteriul 2 de comparaţie. Fie ∑ an şi ∑ bn serii cu termeni n =1

n =1

pozitivi pentru care există n0 ∈ N astfel încât a n+1 ≤ bn+1 , (∀)n ≥ n0 . ∞

an

∞

bn

a) Dacă ∑ bn este convergentă, atunci ∑ an este convergentă. n =1 ∞

b) Dacă ∑ an este divergentă, atunci n =1

∞

n =1 ∞ ∑ bn n =1

este divergentă.

∞

Criteriul 3 de comparaţie. Fie ∑ an şi ∑ bn serii cu termeni pozitivi. n =1

n =1

a a) Dacă lim n ∈ (0, ∞) , atunci seriile au aceeaşi natură. n →∞ bn ∞ ∞ an = 0 şi: b1 ) ∑ bn este convergentă, atunci ∑ an este convergentă; n → ∞ bn n =1 n =1

b) Dacă lim

∞

∞

n =1

n =1

b2 ) ∑ an este divergentă, atunci ∑ bn este divergentă.

a c) Dacă lim n = ∞ şi: n → ∞ bn ∞

∞

n =1 ∞

n =1 ∞

c1 ) ∑ an este convergentă, atunci ∑ bn este convergentă; c 2 ) ∑ bn este divergentă, atunci ∑ an este divergentă. n =1

n =1

Corolarul criteriului raportului (d'Alembert).

∞ a Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim n +1 . n →∞ an n =1 ∞

a) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este convergentă. n =1 ∞

b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este divergentă. n =1

9

Corolarul criteriului rădăcinii (Cauchy). ∞

Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim n =1

n →∞

na n

.

∞

a) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este convergentă. n =1 ∞

b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este divergentă. n =1

Corolarul criteriului Raabe-Duhamel. ∞

Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim n⎛⎜ an − 1⎞⎟ . ⎟ n →∞ ⎜⎝ an +1 n =1 ⎠ ∞

a) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este divergentă. n =1 ∞

b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este convergentă. n =1

Corolarul criteriului logaritmic. 1 an Fie ∑ an o serie cu termeni pozitivi şi l = lim . n →∞ ln n n =1 ln

∞

∞

a) Dacă l < 1 , atunci ∑ an este divergentă. n =1 ∞

b) Dacă l > 1 , atunci ∑ an este convergentă n =1

10

Teste de autoevaluare I.Sa se afle natura si daca este cazul sa se calculeze suma seriilor ∞

1.

1

∑

n =1 n + α +

n +α +1

,α > 0. 2.

∞

∑ ln

n =1

n n ∞ 3n − 1 3. ∑ 3 + 8 n +1 3n + 2 + 8n +1 n =1 3

II.Sa se afle natura seriilor ∞

⎛ 3n − 1 ⎞ . 5. ∑ ⎜ 4. ∑ ⎟ n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠ n =1 3 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 1) ∞ 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2)

1.

n2

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare

∞

1

∑

n =1 n + α

+ n +α +1

,α > 0.

Rezolvare: Considerăm şirul sumelor parţiale: n n n k +α − k +α +1 1 = ∑ = S n = ∑ ak = ∑ −1 k =1 k =1 k + α + k + α + 1 k =1 = − 1 + α + 2 + α − 2 + α + 3 + α − ... − n + α + n + α + 1 ⇒ ⇒ S n = n = α + 1 − 1 + α ⇒ lim S n = ∞ , deci şirul ( S n ) n ≥1 este divergent. n→∞

Conform definiţiei, rezultă că seria este divergentă.

2.

∞

∑ ln

n =1

3n − 1 . 3n + 2

Rezolvare: n

n 3k − 1 = ∑ [ln(3k − 1) − ln(3k + 2)] = k =1 3k + 2 k =1 = ln 2 − ln 5 + ln 5 − ln 8 + ... + ln(3n − 1) − ln(3n + 2) = ln 2 − ln(3n + 2) ⇒ ⇒ lim S n = −∞ , prin urmare seria este divergentă.

S n = ∑ ln

n→∞

3.

∞

3n + 8n

n =1

3n +1 + 8n +1

∑

.

Rezolvare: ⎛⎛ 3 ⎞n ⎞ 8 n ⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟ ⎜⎝ 8 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ =1≠0 lim a n = lim n + 1 n →∞ n →∞ ⎞ 8 ⎛⎛ 3 ⎞ 8 n+1 ⎜ ⎜ ⎟ + 1⎟ ⎟ ⎜⎝ 8 ⎠ ⎠ ⎝

; conform criteriului suficient de divergenţă, rezultă că seria este

divergentă. 11

∞ 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2)

4. ∑

n =1 3 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ ... ⋅ ( 4n − 1)

.

Rezolvare:

Vom folosi corolarul criteriului raportului. Fie an = 1 ⋅ 4 ⋅ 7.....(3n − 2) . Avem: 3 ⋅ 7 ⋅ 10....(4n − 1)

1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2)(3n + 1) a n +1 3 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ ... ⋅ (4n − 1)(4n + 3) (3n + 1) 3 = lim lim = lim = < 1, 1 ⋅ 4 ⋅ 7 ⋅ ... ⋅ (3n − 2) n →∞ a n n →∞ n→∞ (4n + 3) 4 3 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ ... ⋅ (4n − 1)

prin urmare seria este convergentă. ∞

⎛ 3n − 1 ⎞ 5. ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 3n + 2 ⎠

n2

.

Rezolvare:

⎛ 3n − 1 ⎞ Aplicăm corolarul criteriului rădăcinii. Fie a n = ⎜ ⎟ ⎝ 3n + 2 ⎠ n

n

n2

. Avem:

3

lim− ⋅n 3 ⎞ ⎛ ⎛ 3n − 1 ⎞ n →∞ 3n + 2 = 1 < 1 , lim n a n = lim ⎜ ⎟ =e ⎟ = lim ⎜1 − 3n + 2 ⎠ e n →∞ n → ∞⎝ 3n + 2 ⎠ n → ∞⎝

prin urmare seria este convergentă.

Bibliografia unităţii de învăţare 1: 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON, Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura. Teocora, Buzau, 2009 3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica, Editura.Plus, Bucureşti, 2005 4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

12

UNITATEA DE ÎNVATARE 2

Serii de puteri Cuprins 2.1 Obiectivele unitatii de învatare 2 ........................................................................................... 2.2 Definiţia noţiunii de serie de puteri ........................................................................................ 2.3 Studiul naturii unei serii de puteri 2.4 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ................................ Teste de autoevaluare ................................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare ..................................................................... Bibliografia unitatii de învatare 2 ............................................................................................... Lucrarea de verificare nr. 1

2.1 Obiectivele unitatii de învatare 2 Fiind, în strânsă concordanta cu programa analitică a disciplinei „Matematici aplicate în economie”, de la Academia de Studii Economice Bucuresti, pentru studenţii de la anul I, ID, Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori noţiunile si conceptele prezentate în cadrul acestei unitati de învatare apar, în mod firesc, intr-o succesiune logică si sunt supuse unor restricţii temporale inevitabile, care conduc adeseori la dezvoltări teoretice limitate. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cuno§tinţe despre: -conceptul de serie de puteri, un alt element de bază al analizei matematice, legat de studiul seriilor numerice, necesar si extrem de util, pentru a putea aborda, inţelege si dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultatii de Finante, Banci si Burse de Valori căreia ne adresăm; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Serii de puteri” §i al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucuresti

13

2.2 Definiţia si studiul noţiunii de serie de puteri ∞

Fie seria de puteri ∑ a n x n , Se numeşte mulţime de convergenţă a seriei de puteri mulţimea formată n =1

din punctele în care seria este convergentă: C =

{ x∈R

∞

∑ a n x n convergentă

n =1

}.

∞

Teorema 1 (Teorema lui Abel). Pentru orice serie de puteri ∑ a n x n există R , 0 ≤ R ≤ ∞ , astfel n =1

încât: 1) seria este absolut convergentă pe intervalul (− R, R ) ; 2) seria este divergentă pe mulţimea (− ∞,− R ) ∪ (R, ∞ ) ; 3) pentru orice r ∈ (0, R ) , seria este uniform convergentă pe intervalul [− r , r ] . Observaţie. R se numeşte rază de convergenţă. ∞

Teorema 2 (Cauchy-Hadamard). Fie ∑ a n x n o serie de puteri şi R raza de convergenţă a

acesteia. Dacă notăm ω

n =1 n = lim a n , atunci n→∞

⎧1 , ω ≠ 0 ⎪⎪ω R = ⎨∞, ω = 0 . ⎪0, ω = ∞ ⎪⎩

a n +1

Observaţie. Se poate calcula ω şi după formula: ω = lim

an

n→∞

.

2.3 Ilustrarea rezultatelor teoretice pe cazul numeric concret al aplicaţiilor ∞

1. Să se studieze convergenţa seriei de puteri: ∑ (− 1)n n =1

Rezolvare: • Calculăm raza de convergenţă. Fie a n = (− 1)n

ω = lim

n→∞

•

a n +1 an

(− 1)n +1 = lim

n→∞

1 ( n + 1) ⋅ 5 n +1

(− 1)n

1

1 n ⋅ 5n

n 1, = lim = n → ∞ 5( n + 1) 5

1 n⋅5

n

⋅ xn , x ∈ R .

. Avem că:

deci R =

1

ω

= 5.

n ⋅ 5n

Conform teoremei lui Abel, rezultă că: 1) seria este absolut convergentă pe intervalul (− 5,5) ; 2) seria este divergentă pe mulţimea (− ∞,−5) ∪ (5, ∞ ) ; 3) pentru orice r ∈ (0,5) , seria este uniform convergentă pe [− r, r ] .

14

•

Studiem natura seriei pentru R = ±5 : ∞ ∞ Pentru R = 5 , seria de puteri devine: ∑ (− 1)n 1 ⋅ 5 n , adică ∑ (− 1)n 1 ; n

n⋅5

n =1

n

n =1

şirul u n = 1 este descrescător şi are limita zero; rezultă, conform criteriului n

∞ lui Leibniz, că seria ∑ (− 1)n 1 este convergentă. n =1

n

∞

1

n =1

n ⋅ 5n

Pentru R = −5 , seria de puteri devine: ∑ (− 1)n ∞ 1

∑

n =1 n

⋅ (−5) n , adică

, care este divergentă (seria armonică).

În concluzie, seria de puteri este convergentă pe mulţimea (− 5,5] .

2. Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri: n

∞

⎛ 2n + 1 ⎞ n ⎟ ⋅ (x − 3) , x ∈ R . ∑⎜ n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠

Rezolvare: • Notăm y = x − 3 . n

∞ Determinăm mai întâi mulţimea de convergenţă a seriei ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ y n . n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠

•

n

⎛ 2n + 1 ⎞ Calculăm raza de convergenţă. Fie a n = ⎜ ⎟ . Avem: ⎝ 6n − 5 ⎠ ⎛ 2n + 1 ⎞ a n = lim n ⎜ ⎟ n →∞ n → ∞ ⎝ 6n − 5 ⎠

ω = lim

n

n

1 = 1 , deci R = = 3 .

ω

3

• Conform teoremei lui Abel, avem: 1) seria este absolut convergentă pe intervalul (− 3,3) ; 2) seria este divergentă pe mulţimea (− ∞,−3) ∪ (3, ∞ ) ; 3) pentru orice r ∈ (0,3) , seria este uniform convergentă pe [− r, r ] . • Studiem natura seriei pentru y = ±3 : n

n

∞ ∞ Pentru y = 3 , seria de puteri devine: ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ 3n , sau ∑ ⎛⎜ 6n + 3 ⎞⎟ . n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠

n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠

n

n 4 lim 6 8n n− 5 8 ⎞ ⎛ = e 3 ≠ 0 , deci, conform criteriului Fie u n = ⎛⎜ 6n + 3 ⎞⎟ ; avem: lim u n = lim ⎜1 + ⎟ = e n→∞ 6n − 5 ⎠ n→∞ n → ∞⎝ ⎝ 6n − 5 ⎠ suficient de divergenţă, seria este divergentă.

n

n

∞ ∞ 6n + 3 ⎞ Pentru y = −3 , seria devine: ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ (−3) n , sau ∑ (− 1)n ⎛⎜ ⎟ . n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠

n =1

⎝ 6n − 5 ⎠

n

Fie v n = (− 1)n ⎛⎜ 6n + 3 ⎞⎟ ; deoarece nu există lim v n , rezultă că şirul (v n )n≥1 este divergent, deci seria ⎝ 6n − 5 ⎠

n→∞

este divergentă. În concluzie, seria de puteri este convergentă pentru y ∈ (− 3,3) ⇔ ⇔ −3 < y < 3 ⇔ −3 < x − 3 < 3 ⇔ 0 < x < 6 . Rezultă că ∞

n

mulţimea de convergenţă a seriei ∑ ⎛⎜ 2n + 1 ⎞⎟ ⋅ (x − 3)n este (0,6) . n =1 ⎝ 6n − 5 ⎠

15

Teste de autoevaluare 1.Să se determine mulţimea de convergenţă a seriei de puteri

∞ 3 n + ( −4 ) n

∑

n

n =1

⋅ ( x + 2 )n

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare 1. Rezolvare: • Notăm y = x + 2 . Vom determina mai întâi mulţimea de n ∞ n convergenţă a seriei. ∑ 3 + ( −4) y n n =1

n

n n Calculăm raza de convergenţă. Fie a n = 3 + (−4) , n ≥ 1 .

•

n

3

ω = lim

a n +1

n→∞

an

n = lim ⋅ n → ∞ ( n + 1)

= lim

n +1

+ ( −4 ) n +1

n +1

3 n + ( −4 ) n n

n→∞

3 n + 1 + ( −4) n + 1 n ⋅ = n → ∞ ( n + 1) 3 n + ( −4) n

= lim

( ) ( )

n +1 ⎛ ⎞ + 1⎟ (−4) n +1 ⎜ − 3 4 ⎝ ⎠ =4⇒ R= 1 n 4 ⎛ ⎞ (−4) n ⎜ − 3 + 1⎟ 4 ⎝ ⎠

Conform teoremei lui Abel, rezultă că: 1) seria este absolut convergentă pentru y ∈ ⎛⎜ − 1 , 1 ⎞⎟ ;

⎝ 4 4⎠ 1 1 2) seria este divergentă pentru y ∈ ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ , ∞ ⎞⎟ ; 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 1 3) pentru orice r ∈ ⎛⎜ 0, ⎞⎟ , seria este uniform convergentă pe intervalul [− r, r ] . ⎝ 4⎠ • Studiem natura seriei pentru y = ± 1 : 4 n n ∞ n 1 Pentru y = , seria de puteri devine: ∑ 3 + (−4) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ , adică 4 n ⎝ 4⎠ n =1 n

∞ 1 ⎛ 3⎞ ⎤ ∞ ⎡1 ⎛ 3 ⎞n n 1 . Avem că seria ∑ ⋅ ⎜ ⎟ este convergentă ∑ ⎢ ⋅ ⎜ ⎟ + (− 1) ⋅ ⎥ n⎥ n =1n ⎝ 4 ⎠ n =1⎢ n ⎝ 4 ⎠

⎣

⎦

∞

(folosind criteriul raportului) şi seria ∑ (− 1)n ⋅ 1 este convergentă (folosind criteriul lui Leibniz), prin n =1

n

urmare seria este convergentă. ∞ 3 n + ( −4) n ⎛ 1 ⎞ n ∞ ⎡ , adică ∑ Pentru y = − 1 , seria de puteri devine: ∑ ⎜− ⎟ ⎢(− 1)n 4 n 4 ⎠ ⎝ n =1⎢⎣

n =1

bn = (− 1)n

n

1 ⎛ 3⎞ ⋅⎜ ⎟ , n ∈ N * n ⎝ 4⎠

cn =

1 ⎛ 3⎞ 1⎤. ⋅⎜ ⎟ + ⎥ n ⎝ 4⎠ n⎥ ⎦ n

Notăm

∞ n 1 , n ∈ N * şi d n = (− 1)n 1 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ + 1 , n ∈ N * . Avem că seria ∑ bn este n n ⎝ 4⎠ n n =1 ∞

convergentă (folosind criteriul lui Leibniz). Dacă presupunem că seria ∑ d n este convergentă, ∞

n =1

deoarece c n = d n − bn , (∀)n ∈ N * , rezultă că şi seria ∑ cn este convergentă, n =1

16

∞

contradicţie. Prin urmare seria ∑ d n este divergentă. n =1

∞ 3 n + ( −4) n

În concluzie, seria ∑

n =1

n

⋅ y n este convergentă pentru

1 9 7 1 1 1 ⎛ 1 1⎤ y ∈⎜− , ⎥ ⇔ − < y ≤ ⇔ − < x + 2 ≤ ⇔ − < x ≤ − . 4 4 4 4 4 4 ⎝ 4 4⎦

Am obţinut că mulţimea de convergenţă a seriei este ⎛⎜ − 9 , − 7 ⎤ . 4 ⎥⎦ ⎝ 4

Bibliografia unităţii de învăţare 1: 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON, Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura Teocora, Buzau, 2009 3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica, Editura Plus, Bucureşti, 2005 4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 1 ∞

1. Sa se afle natura si sa se calculeze suma seriei ∑

1

n=2 n

2

−1

∞

1 n n =1 n + 5

2. Sa se afle natura seriei ∑

∞

1

n =1

(2n − 1) ⋅ 3

3. Sa se calculeza multimea de convergenta a seriei ∑ (− 1)n+1

n

⋅ xn , x ∈ R

17

UNITATEA DE ÎNVATARE 3

Funcţii de mai multe variabile reale Cuprins 3.1 Obiectivele unitatii de învatare 3 3.2 Definiţia limitei si continuitatii pentru o funcţie de mai multe variabile real 3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I si II pentru o funcţie de doua variabile 3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile reale 3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale 3.6 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor Teste de autoevaluare Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare Bibliografia unitatii de învatare 3 Lucrarea de verificare nr.2

3.1 Obiective Economiştii, indiferent de domeniul în care lucrează, au nevoie de cunostinţe solide de strictă specialitate, dar si de tehnici specifice matematicii aplicate, cum ar fi noţiunile pe care ni le propunem să le prezentăm în cadrul unitatii de învatare 3. Informaţia economică trebuie să fie relevantă, credibilă, inteligibilă - calitati, care sunt asigurate numai atunci când economistul care o construieste, o prelucrează si o valorifică, stăpâneste deopotrivă cunostinţe în domeniul respectiv, dar si temeinice cuno§tinţe de matematici aplicate în economie. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre funcţiile de 2 si respectiv 3 variabile reale, si conceptele asociate lor, precum: limitele lor, continuitatea acestora, derivabilitatea parţială a respectivelor funcţii si diferenţiabilitatea lor; ele reprezintă un alt element important al analizei matematice, necesar si extrem de util, pentru a putea aborda, inţelege si dezvolta diverse probleme ale disciplinelor de specialitate din cadrul Facultatii de Finante, Banci si Burse de Valori, căreia ne adresăm. Prin introducerea unitatii de invatare 3, subordonată analizei matematice, nutrim speranţa ca studentul de la anul I, ID, Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori, să obţină acumulări de noi cunostinte utile disciplinelor specifice anilor de licenta, de la această facultate, în vederea formării lui ca viitor economist, ce urmează să practice munca de economist în condiţii de performanta

18

3.2 Definiţia limitei si continuitatii pentru o funcţie de doua variabile Definiţia 1. Fie f : A ⊂ R m → R o funcţie reală de m variabile reale. Spunem că lim f ( x) = l dacă pentru orice şir ( x n ) n∈ N ⊂ A, x n ≠ x0 şi lim x n = x0 avem x → x0

n→∞

lim f ( xn ) = l .

n→∞

Definiţia 2. Fie f : A ⊂ R 2 → R şi (a, b) ∈ A . Spunem că f este continuă în punctul (a, b) dacă pentru orice şir {( x n , y n )}n∈ N ⊂ A cu proprietatea că lim ( xn , y n ) = (a, b) rezultă că lim f ( xn , y n ) = f (a, b) . n→∞

n→∞

3.3 Definiţia derivatelor parţiale de ordinul I §i II pentru o funcţie de doua variabile Definiţia 3. Fie f : A ⊂ R 2 → R şi (a, b) ∈ A . Spunem că funcţia f este derivabilă parţial în raport cu x în punctul (a, b) ∈ A dacă f ( x, b ) − f ( a , b ) există şi este finită. lim x−a x→a

Vom nota această limită cu f x' (a, b) sau ∂f (a, b) . ∂x

Analog, funcţia f este derivabilă parţial în raport cu y în punctul (a, b) ∈ A dacă f ( a, y ) − f ( a, b) lim există şi este finită. y −b y →b Vom nota această limită cu f y' (a, b) sau ∂f (a, b) . ∂y

3.4 Definiţia diferenţiabilitatii pentru o funcţie de mai multe variabile . Definiţia 4. Fie f : A ⊂ R 2 → R o funcţie diferenţiabilă în punctul (a, b) interior lui A .

• Se numeşte diferenţiala de ordinul întâi a funcţiei f în punctul (a, b) funcţia liniară: df ( x, y; a, b) = f ' (a, b)( x − a ) + f y' (a, b)( y − b) = f ' (a, b)dx + f ' (a, b)dy . x

•

x

y

Se numeşte diferenţiala de ordinul n a funcţiei f în punctul

⎡∂ ∂ ⎤ (a, b) funcţia: d n f ( x, y; a, b) = ⎢ dx + dy ⎥ ∂y ⎦ ⎣ ∂x

( n)

f ( a, b) .

Observaţie. Toate definiţiile valabile pentru funcţii de două variabile f : A ⊂ R 2 → R se pot extinde pentru cazul funcţiilor de n variabile, f : A ⊂ R n → R , n ∈ N , n ≥ 3 .

19

3.5 Extremele locale ale funcţiilor de mai multe variabile reale Definiţia 1. Funcţia f : A ⊂ R n → R admite un maxim local (minim local) în punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ A dacă există o vecinătate V a punctului a astfel încât oricare ar fi

x = ( x1 , x 2 ,..., x n ) ∈ V ∩ A are loc inegalitatea f ( x) ≤ f (a ) (respectiv f ( x) ≥ f (a ) ). În aceste condiţii, spunem că punctul a este punct de extrem local pentru funcţia f . Dacă inegalităţile de mai sus sunt verificate pe tot domeniul de definiţie A , spunem că punctul a este punct de maxim (minim) global pentru funcţia f . Definiţia 2. Fie f : A ⊂ R n → R . Punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ int A este punct staţionar pentru funcţia f dacă f este diferenţiabilă în a şi diferenţiala df ( x ; a ) = 0 . Observaţie. Dacă punctul a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ int A este punct staţionar, df ( x; a) = 0

implică f x' k (a ) = 0, ∀k = 1, n . Propoziţie. Dacă funcţia f : A ⊂ R n → R admite un extrem local în punctul

a = (a1 , a 2 ,..., a n ) ∈ A şi există f x' k într-o vecinătate a punctului a , ∀k = 1, n , atunci

f x' k (a ) = 0, ∀k = 1, n Teorema 1. Fie f : A ⊂ R 2 → R şi (a, b ) ∈ int A un punct staţionar pentru f . Presupunem că f admite derivate parţiale de ordinul doi, continue pe o vecinătate V a punctului (a, b ) .

[

]

2

'' Considerăm expresia Δ (a, b ) = f xy (a, b ) − f x' ' (a, b ) ⋅ f y' ' (a, b ) . Atunci: 2

2

1. Dacă Δ ( a , b ) < 0 , atunci (a, b) este punct de extrem local, şi anume: - punct de minim local, dacă f x''2 ( a, b ) > 0 ;

- punct de maxim local, dacă f x' '2 ( a , b ) < 0 . 2. Dacă Δ ( a , b ) > 0 , atunci (a, b ) este punct şa. Teorema 2. Fie f : A ⊂ R n → R . Presupunem că punctul a ∈ A este punct staţionar pentru f şi funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi continue pe o vecinătate V a punctului a . Atunci:

1) dacă d 2 f ( x ; a ) < 0 , pentru orice x ∈ V ∩ A , atunci a este punct de maxim local; 2) dacă d 2 f ( x ; a ) > 0 , pentru orice x ∈ V ∩ A , atunci a este punct de minim local; 3) dacă d 2 f (x ; a ) este nedefinită, atunci a este punct şa.

20

Algoritm de determinare a punctelor de extrem local pentru f : A ⊂ R n → R Acest algoritm se aplică pe mulţimea punctelor în care funcţia f este diferenţiabilă şi admite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctelor respective. Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului: ⎧ f x' ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 ⎪ 1 ⎪⎪ f ' (x , x ,..., x ) = 0 x 1 2 n ⎨ 2 ⎪..................................... ⎪ ' ⎩⎪ f xn ( x1 , x 2 ,..., x n ) = 0

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Acest lucru se poate realiza în mai multe moduri: Metoda I. Pentru fiecare punct staţionar P(a1 , a 2 ,..., a n ) calculăm matricea hessiană: ⎛ f ''2 (a1,.., an ) f x''1 x2 (a1,.., an ) . . . . . . . . f x''1 xn (a1,.., an ) ⎞⎟ ⎜ x1 ⎟ ⎜ '' f (a ,.., an ) f x''2 (a1,.., an ) . . . . . . . . . f x''2 xn (a1,.., an ) ⎟ 2 H (a1, a2 ,..., an ) = ⎜⎜ x2 x1 1 ⎟ ⎜. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⎟ ⎟ ⎜⎜ '' f (a ,.., an ) f x''n x2 (a1,.., an ) . . . . . . . . . f x''2 (a1,.., an ) ⎟ n ⎠ ⎝ xn x1 1

şi minorii acesteia Δ1 , Δ 2 ,......, Δ n , unde Δ i este minorul format din primele i linii şi i coloane ale matricei H (a, b) , i = 1, n .

Discuţie. • Dacă toţi minorii Δ i > 0 , atunci P (a1 , a 2 ,..., a n ) punct de minim local. • Dacă minorii Δ i alternează ca semn, începând cu minus, atunci P(a1 , a 2 ,..., a n ) este punct de maxim local. • Orice altă combinaţie de semne, cu Δ i ≠ 0 , implică P(a1 , a 2 ,..., a n ) punct şa. Metoda II. (aplicabilă numai funcţiilor de două variabile) Pentru fiecare punct staţionar P(a, b ) calculăm expresia:

[

]

2

'' (a, b ) − f x' '2 (a, b ) ⋅ f y' '2 (a, b ) . Δ(a, b ) = f xy 1. Dacă Δ (a , b ) < 0 , atunci (a, b ) este punct de extrem local, şi anume:

- punct de minim local, dacă f x''2 (a, b ) > 0 ; - punct de maxim local, dacă f x'' (a, b) < 0 . 2. Dacă Δ (a , b ) > 0 , atunci (a, b ) este punct şa. 2

21

Observaţia 1. În cazul funcţiilor de două variabile, se observă că Δ (a, b ) = − Δ 2 . Prin urmare, dacă aplicând metoda 1 obţinem că Δ 2 < 0 , atunci Δ (a, b ) > 0 , deci, indiferent de valoarea minorului Δ1 , rezultă că (a, b ) este punct şa. Metoda III. Se calculează diferenţiala de ordinul al doilea a funcţiei în punctul staţionar a = (a1 , a 2 ,..., a n ) şi se aplică teorema 2. Observaţia 2. Existenţa unui punct de extrem local poate fi pusă în evidenţă cu ajutorul metodelor prezentate numai dacă funcţia f este diferenţiabilă în acel punct şi admite derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate a punctului respectiv. În caz contrar sau în cazul în care în urma aplicării metodelor de mai sus nu se poate preciza natura punctului, se foloseşte: Metoda IV. Definiţia punctului de extrem local. 3.7 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor 1. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : R 2 → R, f ( x, y) = 2 x 2 + y 3 − 6 xy + 1. Rezolvare: ⎧ ' Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului: ⎪⎨ f x ( x, y ) = 0 . '

⎪⎩ f y ( x, y ) = 0

Avem că:

f x' ( x, y ) = 4 x − 6 y f y' ( x, y ) = 3 y 2 − 6 x

, prin urmare rezultă sistemul:

⎧x = 3 y ⎧⎪4 x − 6 y = 0 ⎧⎪2 x − 3 y = 0 ⎪ 2 . ⇔ ⇔ ⎨ 2 ⎨ 2 ⎨ ⎪⎩3 y − 6 x = 0 ⎪⎩ y − 2 x = 0 ⎪ y 2 − 3 y = 0 ⎩

Din a doua ecuaţie obţinem: y1 = 0, y 2 = 3 , de unde, prin înlocuire în prima relaţie, rezultă x1 = 0, x 2 = 9 , soluţiile sistemului sunt: 2

⎧x = ⎧ x1 = 0 ; ⎪⎨ 2 . ⎨ ⎪⎩ y 2 = 3 ⎩ y1 = 0 9 2

(2 )

Am obţinut punctele staţionare: P1 (0, 0 ), P2 9 , 3 .

22

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Scriem matricea hessiană: ⎛ ⎜ H ( x, y ) = ⎜ ⎜ ⎝

f

'' ( x, y x2

)

f

'' (x, y ) ⎞⎟ xy

f

'' ( x, y yx

)

f

'' (x, y ) ⎟⎠ y2

⎟.

[ ] (x, y ) = [ f (x, y )] = [4 x − 6 y ] = −6 = f (x, y ) ; (x, y ) = [ f (x, y )] = [3 y − 6 x ] = 6 y , deci

Avem: f x' '2 ( x , y ) = f x' ( x, y ) 'x = [4 x − 6 y ] 'x = 4 ; '' f xy

f y' '2

' x

⎛ 4 H ( x, y ) = ⎜⎜ ⎝− 6

' y

' y

' y

' y

2

'' yx

' y

−6 ⎞ ⎟ . Avem: 6 y ⎟⎠

4 −6 ⎛ 4 − 6⎞ ⎟⎟ ⇒ Δ1 = 4 > 0, Δ 2 = H (0, 0) = ⎜⎜ = −36 < 0 , 0⎠ −6 0 ⎝− 6 prin urmare P1 (0, 0) este punct şa.

( )

⎛ 4 H 92 , 3 = ⎜⎜ ⎝− 6

−6⎞ 4 −6 ⎟⎟ ⇒ Δ1 = 4 > 0, Δ 2 = = 36 > 0 , 18 ⎠ − 6 18

(2 )

prin urmare P2 9 , 3 este punct de minim local. 2. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei:

f : R 2 → R, f ( x, y) = 6 x 2 y + 2 y 3 − 45x − 51y + 7 . Rezolvare: ⎧ ' Etapa 1. Determinăm punctele staţionare, care sunt soluţiile sistemului: ⎪⎨ f x ( x, y ) = 0 . '

⎪⎩ f y ( x, y ) = 0

Avem că: f x' ( x, y ) = 12 xy − 45 f y' ( x, y ) = 6 x 2 + 6 y 2 − 51

, prin urmare obţinem sistemul:

⎧ xy = 15 ⎧⎪12 xy − 45 = 0 ⎪ 4 . ⇔⎨ ⎨ 2 2 2 2 17 ⎪⎩6 x + 6 y − 51 = 0 ⎪⎩ x + y = 2

⎧ P = 15 ⎧⎪ P = 15 ⎪ 4 4 Notăm x + y = S , xy = P ⇒ ⎨ ⇒⎨ 2 17 ⎪⎩S = ±4 ⎪⎩S − 2 P = 2

23

Pentru S = 4, P = 15 ⇒ t 2 − 4t + 15 = 0 ⇒ t1 = 3 , t 2 = 5 , 4

4

2

2

⎧ x2 = sau ⎪⎨

⎧

5 2. ⎪⎩ y 2 = 32

3 2 ⎪⎩ y1 = 52

x1 = deci ⎪⎨

2 Pentru S = −4, P = 15 ⇒ t + 4t + 15 = 0 ⇒ t1 = − 3 , t 2 = − 5 , 4 4 2 2

⎧ x3 = − 3 2 deci ⎪⎨ ⎪⎩ y3 = − 52

⎧ x4 = − 5 2. sau ⎪⎨ ⎪⎩ y 4 = − 32

( ) ( ) (

) (

)

3 5 5 3 3 5 5 3 Am obţinut punctele staţionare: P1 , , P2 , , P3 − , − , P4 − , − . 2 2 2 2 2 2 2 2

Etapa 2. Stabilim care dintre punctele staţionare sunt puncte de extrem local. Metoda I. Scriem matricea hessiană: ⎛ ⎜ H ( x, y ) = ⎜ ⎜ ⎝

f

'' ( x, y x2

f

'' ( x, y yx

[

) )

f

'' (x, y ) ⎞⎟ xy

f

'' (x, y ) ⎟⎠ y2

⎟.

]

[

]

'' (x, y ) = f x' (x, y ) 'y = 12x = f yx'' (x, y ) ; Avem: f x' '2 ( x, y ) = f x' ( x , y ) 'x = 12 y ; f xy

[

]

⎛12 y 12 x ⎞ ⎟⎟ . H ( x, y ) = ⎜⎜ ⎝12 x 12 y ⎠ 30 18 ⎛ 30 18 ⎞ 3 5 este ⎟⎟ ⇒ Δ1 = 30 > 0, Δ 2 = H 32 , 52 = ⎜⎜ = 576 > 0 , prin urmare P1 , 2 2 18 30 ⎝18 30 ⎠ punct de minim local.

f y' '2 ( x, y ) = f y' ( x, y ) 'y = 12 y , deci

( )

( )

( )

( )

18 30 ⎛18 30 ⎞ 5 3 ⎟⎟ ⇒ Δ1 = 18 > 0, Δ 2 = H 5 , 3 = ⎜⎜ = −576 < 0 , prin urmare P2 2 , 2 este 2 2 30 18 ⎝ 30 18⎠

punct şa.

(

)

− 30 − 18 ⎛ − 30 − 18 ⎞ ⎟⎟ ⇒ Δ1 = −30 < 0, Δ 2 = = 576 > 0 , H − 32 ,− 52 = ⎜⎜ − 18 − 30 ⎝ − 18 − 30 ⎠

(

)

prin urmare P3 − 3 , − 5 este punct de maxim local.

(

)

2

2

− 18 − 30 ⎛ − 18 − 30 ⎞ ⎟⎟ ⇒ Δ1 = −18 < 0, Δ 2 = H − 5 ,− 3 = ⎜⎜ = −576 < 0 , 2 2 − 30 − 18 ⎝ − 30 − 18 ⎠ prin urmare P1 3 , 5 este punct şa. 2 2

( )

24

Teste de autoevaluare Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei: f : (0, ∞ )2 → R, f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 3xy − 8 ln x − 14 ln y + 5 .

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare Etapa 1. Determinăm punctele staţionare. Avem că: f x' ( x, y ) = 2 x + 3 y − 8

x . ' 14 f y ( x, y ) = 2 y + 3 x − y

⎧ f ' ( x, y ) = 0 ⎪ x ⇔ ⎨ ' ⎪⎩ f y ( x, y) = 0

Rezolvăm sistemul:

⎧2 x + 3 y − 8 = 0 x ⎪ ⇔ ⎨ 14 ⎪⎩2 y + 3x − y = 0

⎧⎪2 x 2 + 3xy = 8 (1) . ⎨ 2 ⎪⎩2 y + 3xy = 14 (2)

Am obţinut un sistem omogen. Înmulţim prima ecuaţie cu 7, pe cea de-a doua cu (− 4 ) şi adunăm relaţiile obţinute; rezultă: x 14 x 2 + 9 xy − 8 y 2 = 0 . Împărţim această ecuaţie prin y 2 y 2 ≠ 0 şi notăm = t . Obţinem:

(

14t

2

+ 9t − 8 = 0 ⇒ t1 = − 87 , t 2

)

y

= 12 . Rădăcina negativă nu convine,

deoarece x > 0 şi y > 0 , prin urmare avem t =

x y

= 1 ⇒ y = 2x . 2

Înlocuind y = 2 x în (1) , rezultă x = ±1 . Cum x > 0 , rezultă că singura valoare care se acceptă este x = 1 , de unde obţinem y = 2 . Am obţinut un singur punct staţionar: P(1, 2 ) . Etapa 2. Stabilim dacă punctul staţionar este punct de extrem local.

[

]

[

]

'' ' ' '' (x, y ) = f x' (x, y ) 'y = 3 = f yx'' (x, y ) ; Avem: f x 2 ( x, y ) = f x ( x, y ) x = 2 + 82 ; f xy x

[

]

f y''2 (x, y ) = f y' ( x, y ) 'y = 2 + 142 , deci matricea hessiană este: y '' (x, y ) ⎞⎟ ⎛⎜ 2 + x82 3 ⎞⎟ f xy . ⎟=⎜ 14 ⎟ '' '' 2 ⎟ 3 2 + ⎟ f yx ( x, y ) f y ( x, y ) ⎠ ⎜ y2 ⎠ ⎝ 10 3 ⎛10 3 ⎞ ⎟ ⇒ Δ = 10 > 0, Δ = , prin urmare P(1, 2 ) este Avem că H (1, 2 ) = ⎜ 1 2 11 = 46 > 0 ⎜ 3 11 ⎟ 3 2⎠ 2 ⎝

⎛ ⎜ H ( x, y ) = ⎜ ⎜ ⎝

f x''2 ( x, y )

punct de minim local.

25

Bibliografia unitatii de învatare 3 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON,Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura Teocora,Buzau, 2009 3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica, Editura Plus, Bucureşti, 2005 4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 2 1. Să se calculeze derivatele parţiale de ordinul întâi şi doi ale funcţiei f : R 2 → R,

f ( x, y ) = kxα y β ; k , α , β ∈ R.

(

)

2. Sa se afle punctele de extreme alr functiei f : R 2 → R, f ( x, y ) = xy x 2 + y 2 − 4 3. Sa se afle punctele de extreme ale functiei f ( x, y, z ) = x 4 + y 3 + z 2 + 4 xz − 3 y + 2

26

UNITATEA DE ÎNVATARE 4 Calcul integral

Cuprins 4.1 Obiectivele unitatii de învatare 4.2 Definiţii si proprietati ale integralelor euleriene................................................................. 4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................. Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 4............................................................................................. Lucrarea de verificare nr. 3

4.1 Obiectivele unitatii de învatare

Unitatea de învatare 4 cuprinde noţiuni si concepte, legate de calculul integral, un alt element deosebit de important al analizei matematice, fără de care nu este posibilă construcţia unei teorii economice de valoare. Menţionăm că sunt de notorietate modelele economice, care utilizează rezultate profunde din teoria calculului integral, si din acest motiv considerăm că unitatea de învatare 5 isi justifică pe deplin tangenţa cu domeniul economic. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre: - integralele euleriene, care oferă teoriilor economice un aparat matematic consistent; - tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Integrale euleriene” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucureşti. Conţinutul acestei unitati de învatare incheie incursiunea noastră în domeniul analizei matematice si subliniem că el este conform programei analitice a disciplinei de „Matematici aplicate în economie” de la Academia de Studii Economice Bucuresti, Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori, anul I, ID.

27

4.2 Definiţii §i proprietati ale integralelor euleriene •

Integrala gamma:

∞

Γ(a ) = ∫ x a −1e − x dx; a > 0 . 0

Proprietăţi: 1) Γ(1) = 1 . 2) Γ(a ) = (a − 1)Γ(a − 1), (∀)a > 1 . 3) Γ(n ) = (n − 1)!, (∀)n ∈ N . ⎛1⎞ 4) Γ⎜ ⎟ = π . ⎝ 2⎠ •

1

Integrala beta: β (a, b ) = ∫ x a −1 (1 − x )b−1 dx; a > 0, b > 0 0

Proprietăţi: 1) β (a, b ) = β (b, a ), ∀ a, b > 0 Γ(a )Γ(b ) 2) β (a, b ) = , ∀ a, b > 0 . Γ(a + b ) ∞

2) β (a, b ) = ∫

x a −1

a +b 0 (1 + x )

dx .

3) Dacă a + b = 1 , atunci β (a, b) =

π

sin (aπ )

.

28

4.3 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor Sa se calculeze integralele +∞

1. I = ∫ x 5 e −2 x dx . 0

Rezolvare: Folosim schimbarea de variabilă 2 x = t ⇒ x = 1 t ⇒ dx = 1 dt . x t

2

∞ ∞

0 0

2

5

∞ t 5! 15 1 1 ∞ 5 −t 1 ⎛ ⎞ Obţinem: I = ∫ ⎜ ⎟ e − t dt = t e dt = Γ(6 ) = = . ∫ 6 6 6 2 2 8 ⎠ ⎝ 2 2 2 0 0 ∞

2. I = ∫ e − x dx (integrala Euler-Poisson). 2

0

Rezolvare: 1 1 Folosim schimbarea de variabilă: x 2 = t ⇒ x = t 2 ⇒ dx = 1 t − 2 dt .

2

x t

∞ ∞

0 0

∞ ∞ 1 1 π 1 ⎛1⎞ . I = ∫ e −t 12 t − 2 dt = 12 ∫ t − 2 e −t dt = Γ⎜ ⎟ = 2 2 2 ⎝ ⎠ 0 0

(

1

)

3. I = ∫ x 8 1 − x 3 dx . 0

Rezolvare: 1 2 Facem schimbarea de variabilă x 3 = t ⇒ x = t 3 ⇒ dx = 1 t − 3 dt .

3

x t

1 1

0 0

I=

1 1 t 83 (1 − t )t − 23 dt 3∫ 0

=

1 1 t 2 (1 − t )dt 3∫ 0

1 Γ(3)Γ(2) 1 = 1 β (3,2) = ⋅ = 3 Γ(5) 3 12

Teste de autoevaluare Să se calculeze următoarele integrale: +∞

1. I = ∫

−1 1

2. I = ∫

03

x + 1 e − x −1dx .

dx x 2 (1 − x )

.

29

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare 1. Folosim schimbarea de variabilă x + 1 = t ⇒ x = t − 1 ⇒ dx = dt . Intervalul de integrare se modifică după cum rezultă din tabelul de mai jos: x −1 ∞ t 0 ∞ ∞

1 Obţinem: I = ∫ t 2 e − t dt . Prin identificare cu formula de definiţie a integralei gamma,

0 rezultă a − 1 = 1 ⇒ a = 3 , prin urmare I = Γ 3 = 1 Γ 1 = 1 2 2 2 2 2 2

()

1

2. I = ∫

1

dx

()

π

= ∫ x − 3 (1 − x )− 3 dx . Prin identificare cu formula de definiţie a 2

1

x 2 (1 − x ) 0 integralei beta, obţinem: a − 1 = − 2 ⇒ a = 1 ; b − 1 = − 1 ⇒ b = 2 , prin urmare, având în vedere definiţia şi 03

3

3

3

3

( )

2π π proprietatea 3 pentru integrala beta, rezultă: I = β 1 , 2 = = . 3 3 π 3 sin 3

Bibliografia unitatii de învatare 4 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Ed. CISON,Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Ed. Teocora,Buzau, 2009 3. C.Raischi si colectiv, Analiza matematica, Ed.Plus, Bucureşti, 2005 4.I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 3 Să se calculeze integralele 1

1.

∫

x − x 2 dx

0

∞

2. ∫ x 6 e −3 x dx 0

30

UNITATEA DE ÎNVATARE 5

Formule probabilistice în care apar operatii cu evenimente Cuprins 5.1 Obiectivele unitatii de învatare 5 5.2 Evenimente, operatii cu evenimente.................................................................................... 5.2 Formule de calcul practic pentru probabilitati..................................................................... 5.3 Scheme probabilistice clasice .............................................................................................. 5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor .................................................... Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 5 ............................................................................................ Lucrarea de verificare nr. 4

5.1 Obiectivele unitatii de învatare 5 Teoria probabilitatilor debutează cu unitatea de învatare 5, prin care introducem noţiunile de experienta si eveniment, prezentăm operaţiile cu evenimente, formulele de calcul practic pentru probabilitati si schemele probabilistice clasice, toate aceste elemente fund esenţiale în elaborarea modelelor economice temeinice si fundamentale din domenii precum: modelarea matematică a unor procese sau fenomene economice dintre cele mai diverse, gestiunea financiară, asigurări de bunuri si persoane, ingineria financiară. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre: -noţiunile elementare din teoria probabilitatilor, care oferă teoriilor economice un aparat matematic consistent; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Formule probabilistice în care apar operaţii cu evenimente” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucuresti.

31

5.2 Evenimente , operatii cu evenimente Definiţia 1. Se numeşte eveniment orice rezultat al unei experienţe. Se numeşte eveniment sigur (notat Ω ) evenimentul care se realizează cu certitudine într-o experienţă. Se numeşte eveniment imposibil (notat ∅ ) evenimentul care nu se realizează niciodată într-o experienţă. Definiţia 2. Considerăm două evenimente A , B . Definim: A ∪ B (“ A sau B ”) evenimentul ce constă în realizarea a cel puţin unuia dintre evenimentele A , B . A ∩ B (“ A şi B ”) evenimentul ce constă în realizarea simultană a evenimentelor A , B . A (“non A ”) evenimentul ce constă în nerealizarea evenimentului A . A \ B evenimentul ce constă în realizarea evenimentului A şi nerealizarea evenimentului B . Spunem că A ⊂ B (" A implică B ") dacă realizarea lui A are ca efect realizarea lui B . Definiţia 3. Un eveniment A este eveniment elementar dacă din B ⊂ A rezultă B = ∅ sau B = A . Observaţia 1. Dacă asociem evenimentului sigur ataşat unei experienţe o mulţime Ω , atunci se poate realiza o corespondenţă între mulţimea evenimentelor ataşate acelei experienţe şi mulţimea părţilor lui Ω şi o corespondenţă între operaţiile cu evenimente şi operaţiile cu mulţimi.. Observaţia 2. Dacă Ω este o mulţime cel mult numărabilă, atunci elementele acesteia sunt evenimente elementare. Definiţia 4. Două evenimente A , B sunt incompatibile dacă nu se pot realiza simultan: A∩ B = ∅. În caz contrar, ele sunt evenimente compatibile. Fie Ω evenimentul sigur ataşat unei experienţe şi P (Ω) mulţimea părţilor lui Ω . Definiţia 5. O familie nevidă K ⊂ P(Ω) se numeşte corp de părţi dacă verifică

axiomele: i) ∀ A ∈ K ⇒ A ∈ K ; ii) ∀ A, B ∈ K ⇒ A ∪ B ∈ K . Observaţie. Dacă înlocuim condiţia ii) prin ii)' ∀ ( An )n∈ N ⊂ K ⇒ U An ∈ K , se obţine noţiunea de corp borelian. n∈ N

Definiţia 6. Se numeşte câmp (câmp borelian) de evenimente evenimentul sigur Ω înzestrat cu un corp (corp borelian) K de evenimente.

Vom nota acest câmp de evenimente (Ω, K )

32

5.3 Formule de calcul practic pentru probabilitati Definiţia 1. (definiţia clasică a probabilităţii) Se numeşte probabilitate a evenimentului A şi se notează P( A) raportul dintre numărul de rezultate favorabile producerii evenimentului A ( nfav ) şi numărul total de rezultate ale experimentului, considerate egal posibile ( n pos ): P ( A) = n fav . n pos

Definiţia 2. (definiţia axiomatică a probabilităţii) Considerăm un câmp de evenimente (Ω, K ) . Se numeşte probabilitate pe câmpul de evenimente (Ω, K ) o funcţie de mulţime P : K → R+ , care verifică axiomele: 1) ∀ A ∈ K ⇒ P( A) ≥ 0 ; 2) P(Ω) = 1 ; 3) ∀ A, B ∈ K , A ∩ B = ∅ ⇒ P( A ∪ B) = P( A) + P( B) . Definiţia 3. Un câmp de evenimente (Ω, K ) înzestrat cu o probabilitate P se numeşte câmp de probabilitate şi se notează (Ω, K, P ) . Propoziţia 1. (Proprietăţi ale funcţiei probabilitate) 1) P ( A) = 1 − P( A), ∀ A ∈ K . 2) P ( B \ A) = P( B) − P( A ∩ B), ∀ A, B ∈ K . 3) P(∅) = 0 . 4) 0 ≤ P( A) ≤ 1, ∀ A ∈ K .

5) P⎛⎜ U Ai ⎞⎟ = ∑ P( Ai ) − ∑ P( Ai ∩ A j ) + ∑ P( Ai ∩ A j ∩ Ak ) − ..... + (−1) n −1 P⎛⎜ I Ai ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ i =1 1≤ i < j ≤ n 1≤i < j < k ≤ n n

⎝ i =1

n

⎠

n

⎝ i =1

⎠

(formula lui Poincaré). Observaţia 1. Dacă evenimentele A1 , A2 ,..., An sunt incompatibile două câte două, atunci

⎛ n ⎞ n formula 5) devine: 5') P⎜⎜ U Ai ⎟⎟ = ∑ P ( Ai ) . ⎝ i =1 ⎠ i =1 Observaţia 2. În cazul n = 2 , formula lui Poincaré devine: A ∩ B = ∅ ( A, B incompatibile) ⎧ P( A) + P( B), P( A ∪ B) = ⎨ ⎩ P( A) + P( B) − P( A ∩ B), A ∩ B ≠ ∅ ( A, B compatibile) ⎛ n ⎞ n 6) P⎜⎜ I Ai ⎟⎟ ≥ ∑ P( Ai ) − (n − 1) (inegalitatea lui Boole). ⎝ i =1 ⎠ i =1 Definiţia 4. Fie (Ω, K , P ) un cămp de probabilitate şi A ∈ K , a.î. P( A) > 0 . Se numeşte probabilitate condiţionată de evenimentul A a evenimentului B expresia: P( A ∩ B) P ( B / A) = , P( B) > 0 . P( B) Definiţia 5. Spunem că evenimentele A şi B sunt independente dacă P ( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) .

33

Definiţia 6. Spunem că evenimentele A1 , A2 ,..., An sunt independente în totalitate dacă P ( Ai1 ∩ Ai 2 ∩ .... ∩ Ai k ) = P( Ai1 ) ⋅ P( Ai 2 ) ⋅ .... ⋅ P( Ai k ) , ∀ k = 1, n, ∀ 1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n .

Propoziţia 2. Fie A1 , A2 ,..., An o familie finită de evenimente astfel încât P⎛⎜⎜ I Ai ⎞⎟⎟ ≠ 0 ; n

⎝ i =1

⎛

n

⎠

⎞

atunci P⎜⎜ I Ai ⎟⎟ = P( A1 ) ⋅ P( A2 / A1 ) ⋅ P( A3 / A1 ∩ A2 ) ⋅ .... ⋅ P( An / A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An −1 ) . ⎝ i =1

⎠

Observaţie. Dacă A1 , A2 ,..., An este o familie finită de evenimente independente în ⎛

n

⎞

totalitate, atunci: P⎜⎜ I Ai ⎟⎟ = P( A1 ) ⋅ P( A2 ) ⋅ P( A3 ) ⋅ .... ⋅ P( An ) . ⎝ i =1

⎠

Observaţie. P ( A ∩ B ) = ⎧⎨ P ( A) ⋅ P ( B ),

⎩ P ( A) ⋅ P ( B / A),

pentru A, B evenimente independen te . pentru A, B evenimente dependente

Propoziţia 3. (Formula probabilităţii totale) Fie ( A1 , A2 ,..., An ) un sistem complet de n

evenimente (adică Ai ∩ A j = ∅, ∀ i ≠ j; i, j = 1, n şi U Ai = Ω ) şi X ∈ K , cu i =1

n

P( X ) ≠ 0 . Atunci P ( X ) = ∑ P( Ai ) ⋅ P( X / Ai ) . i =1

Propoziţia 4. (Formula lui Bayes) Fie ( A1 , A2 ,..., An ) un sistem complet de evenimente P( Ai ) ⋅ P( X / Ai ) sau şi X ∈ K , cu P( X ) ≠ 0 . Atunci P ( Ai / X ) = n ∑ P( Ai ) ⋅ P( X / Ai ) i =1

P ( Ai / X ) =

P( Ai ) ⋅ P( X / Ai ) . P( X )

34

5.3 Scheme probabilistice clasice I. Schema lui Poisson Se consideră n urne, fiecare urnă U i , i = 1, n , conţinând bile albe şi bile negre. Se cunosc probabilităţile evenimentelor ca, făcând la întâmplare o extragere din urna U i , i = 1, n , să obţinem o bilă albă, respectiv o bilă neagră, probabilităţi notate pi , respectiv qi ( pi + qi = 1 ). Se extrage câte o bilă din fiecare urnă. Probabilitatea ca, din cele n bile extrase, k să fie albe şi n − k să fie negre, notată

P (n : k , n − k ) , este: P (n : k , n − k ) = coeficientul lui t k din polinomul Q(t ) , unde Q(t ) = ( p1t + q1 )( p 2 t + q 2 )......( p n t + q n ) . II. Schema bilei revenite cu două stări (schema lui Bernoulli sau schema binomială) Se consideră o urnă care conţine bile albe şi bile negre. Se cunoaşte probabilitatea p ∈ (0,1) ca extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie albă ( q = 1 − p este probabilitatea ca la o extragere la întâmplare din urnă să se obţină o bilă neagră). Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire. Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n − k să fie

negre, notată P(n : k , n − k ) , este:

P (n : k , n − k ) = C nk p k q n − k .

Generalizare: Schema bilei revenite cu "m" stări (schema multinomială) Se consideră o urnă care conţine bile de "m" culori. Se cunosc probabilitatăţile evenimentelor ca, extrăgând la întâmplare o bilă din urnă, aceasta să fie de culoarea "i",

i = 1, m , probabilităţi notate p1 , p 2 ,....., p m , cu pi ∈ (0,1),

m

∑p i =1

i

= 1.

Se fac n extrageri succesive din urnă, cu revenire. Probabilitatea P(n : n1 , n2 ,...., nm ) ca din cele n bile extrase n1 să fie de culoarea "1", n2 să fie de culoarea "2",……" nm " de culoarea "m", este: P (n : n1 , n2 ,...., nm ) =

n! n n nm . p 1 ⋅ p 2 2 ⋅ ....... ⋅ p m n1!⋅ n2 !⋅ ........ ⋅ nm ! 1

Observaţie. Schema bilei revenite poate modela o experienţă cu două rezultate posibile: evenimentele A şi A , având probabilităţile p şi q de a se realiza la orice repetare a experienţei, cu p, q > 0, p + q = 1 .

35

III. Schema bilei nerevenite cu două stări (schema hipergeometrică) Se consideră o urnă care conţine N bile, dintre care N1 bile albe şi N 2 bile negre. Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire. Probabilitatea ca din cele n bile extrase k să fie albe şi n − k să fie negre, notată P (n : k , n − k ) , este: P(n : k , n − k ) =

k n−k CN ⋅ CN 1 2 n CN

.

Generalizare: Schema bilei nerevenite cu "m" stări Se consideră o urnă ce conţine N bile de " m " culori, dintre care N1 bile de culoarea " 1 ", N 2 bile de culoarea " 2 ",.., N m bile de culoarea " m ". Se fac n extrageri succesive din urnă, fără revenire. Probabilitatea P(n : n1 , n2 ,...., nm ) ca din cele n bile extrase n1 să fie de culoarea " 1 ", n2 de culoarea " 2 ",……" nm " de culoarea " m ", este: n

P ( n : n 1 , n 2 ,...., n m ) =

n

n

C N1 ⋅ C N 2 ⋅ ......... ⋅ C N m 1

m

2

C Nn

.

5.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor 1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculeze probabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele: a) prima extragere este cu revenire; b) prima extragere este fără revenire. Rezolvare: Notăm A1 - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă albă; A2 - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă albă; N 1 - evenimentul ca la prima extragere să obţinem o bilă neagră; N 2 - evenimentul ca la a doua extragere să obţinem o bilă neagră.

Fie X evenimentul ca în cele două extrageri să obţinem bile de culori diferite. Deoarece evenimentele A1 ∩ N 2 şi N1 ∩ A2 sunt incompatibile, rezultă că P ( X ) = P (( A1 ∩ N 2 ) ∪ ( N 1 ∩ A2 )) = P ( A1 ∩ N 2 ) + P ( N 1 ∩ A2 ) .

a) Dacă extragerile sunt cu revenire, atunci evenimentele A1 şi N 2 , respectiv N1 şi A2 sunt independente, prin urmare: P ( X ) = P ( A1 ) ⋅ P ( N 2 ) + P ( A2 ) ⋅ P ( N1 ) =

10 15 10 15 ⋅ + ⋅ = 0,48 . 25 25 25 25

36

b) Dacă extragerile sunt fără revenire, atunci evenimentele A1 şi N 2 , respectiv N1 şi A2 sunt dependente, deci P ( X ) = P ( A1 ) ⋅ P ( N 2 / A1 ) + P ( N1 ) ⋅ P ( A2 / N1 ) . P ( N 2 / A1 ) reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă neagră la a doua extragere, ştiind că la prima extragere s-a obţinut o bilă albă, deci nr de bile negre 15 P( N 2 / A1 ) = = . nr de bile ramase in urna 24 P ( A2 / N1 ) reprezintă probabilitatea de a obţine o bilă albă la a doua extragere, ştiind că la prima extragere s-a obţinut o bilă neagră, deci nr. de bile albe 15 P( A2 / N1 ) = = . nr de bile ramase in urna 24 10 15 15 10 Obţinem că P( X ) = ⋅ + ⋅ = 0,5 . 25 24 25 24 2. Un magazin primeşte într-o zi 10 produse de acelaşi tip, dintre care 5 provin de la furnizorul F1 , 3 provin de la furnizorul F2 şi restul de la furnizorul F3 . Care este probabilitatea ca din 4 produse vândute: a ) două să provină de la F2 şi câte unul de la ceilalţi furnizori? b) toate să provină de la acelaşi furnizor? c) unul singur să provină de la F3 ? Rezolvare: a ) Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de trei culori, din care se fac extrageri fără revenire. 5 F1

10 produse

3 F2

1 F1

se extrag fără revenire

4

2 F2 1 F3

2 F3

Aplicând schema urnei cu bila nerevenită, obţinem: C1 ⋅ C 2 ⋅ C1 P(4 : 1, 2,1) = 5 3 2 = 1 = 0,142857 . 4 7 C10

b) Fie B evenimentul ca toate produsele să provină de la acelaşi furnizor; acesta se realizează numai atunci când toate produsele provin de la F1 , prin urmare P ( B ) = P (4 : 4, 0, 0) =

C54 ⋅ C30 ⋅ C 20 4 C10

= 1 = 0,0238 . 42

c) Fie C evenimentul ca c) un singur produs să provină de la F3 . Se observă că, aplicând schema urnei cu bile de 3 culori, numărul situaţiilor în care se realizează evenimentul C este destul de mare. Problema poate fi modelată mai uşor cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori: bilele albe reprezintă produsele ce provin de la F1 sau F2 , iar bilele negre sunt produsele care provin de la F3 . Obţinem:

C 3 ⋅ C 12 8 P (C ) = P(4 : 3,1) = 8 = = 0,53333 . 4 15 C10

37

Teste de autoevaluare 1. Doi studenţi susţin simultan un examen. Probabilitatea ca primul student să promoveze este 0,8, iar probabilitatea ca al doilea să promoveze este 0,7. Să se calculeze probabilitatea ca: a ) ambii studenţi să promoveze examenul; b) exact un student să promoveze; c) cel puţin un student să promoveze; d ) numai primul student să promoveze. 2. Dintre cele 30 de subiecte recomandate pentru examen de către profesorul de curs, un student a pregătit 20 de subiecte, pe care le poate prezenta perfect . La examen fiecare subiect este scris pe câte un bilet, iar studentul trebuie să extragă cinci bilete la întâmplare şi să prezinte cele cinci subiecte aflate pe bilete. Ştiind că pentru fiecare subiect la care răspunde corect va primi două puncte şi că nu se acordă nici un punct pentru rezolvări parţiale, să se determine probabilitatea ca: a ) studentul să primească nota 10; b) studentul să primească nota 6; c) studentul să nu promoveze examenul.

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare 1. Problema poate fi modelată cu ajutorul unei urne conţinând bile de două culori, din care se fac extrageri fără revenire. a ) Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, 5 să fie rezolvate perfect. 20 pot fi rezolvate perfect

se extrag fără revenire

30 subiecte 10 nu pot fi rezolvate perfect

P (5 : 5, 0) =

5 0 ⋅ C10 C 20 5 C30

5 pot fi rezolvate perfect

5 0 nu pot fi rezolvate perfect

= 0,027198 .

b) Se cere probabilitatea ca din cele 5 subiecte extrase, exact 3 să fie rezolvate perfect: P (5 : 3, 2) =

3 2 C 20 ⋅ C10 5 C30

= 0,35998 .

c) Fie C evenimentul ca studentul să nu promoveze examenul, adică să rezolve perfect 0, 1 sau 2 subiecte: 2

P(C ) = ∑ P(5 : k , 5 − k ) = k =0

0 5 ⋅ C10 C 20 C1 ⋅ C 4 C2 ⋅ C3 + 20 10 + 20 10 = 0,27283 . 5 5 5 C 30 C 30 C 30

38

2. Notăm cu A evenimentul ca primul student să promoveze examenul şi cu B evenimentul ca al doilea student să promoveze.

a ) Cum cele două evenimente sunt independente, rezultă că probabilitatea ca ambii studenţi să promoveze examenul este: P ( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) = 0,8 ⋅ 0,7 = 0,56 .

b) Probabilitatea ca exact un student să promoveze examenul este:

(

)

P ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B ) + P ( A) ⋅ P ( B ) = = 0,8 ⋅ 0,3 + 0,2 ⋅ 0,7 = 0,38 .

c) Probabilitatea ca cel puţin un student să promoveze se scrie: P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) = P( A) + P( B) − P( A) ⋅ P ( B) = 0,8 + 0,7 − 0,8 ⋅ 0,7 = 0,94 . d ) Probabilitatea ca numai primul student să promoveze se poate calcula astfel:

(

)

(

)

()

P A ∩ B = P( A) ⋅ P B = 0,8 ⋅ 0,3 = 0,24 , având în vedere independenţa celor două evenimente, sau P A ∩ B = P( A \ B ) = P( A) − P( A ∩ B) = 0,8 − 0,56 = 0,24

Bibliografia unitatii de învatare 5 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON, Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura Teocora, Buzau, 2009 3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 4 1. Într-o urnă sunt 10 bile albe şi 15 negre. Se extrag consecutiv 2 bile. Să se calculeze probabilitatea de a obţine bile de culori diferite în ipotezele: a) prima extragere este cu revenire; b) prima extragere este fără revenire. 2. Trei bănci acordă credite pentru finanţarea studiilor cu probabilităţile 0,8; 0,75, respectiv 0,82, independent una de alta. Un student se adresează tuturor băncilor. Cu ce probabilitate el va primi: a) trei răspunsuri favorabile; b) exact două răspunsuri favorabile; c) exact două răspunsuri nefavorabile; d ) nici un răspuns favorabil; e) cel mult două răspunsuri favorabile .

39

UNITATEA DE ÎNVATARE 6

Variabile aleatoare Cuprins 6.1 Obiectivele unitatii de învatare 6 ....................................................................................... 6.2 Variabile aleatoare unidimensionale .................................................................................. 6.3 Variabile aleatoare bidimensionale 6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice 6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor................................................... Teste de autoevaluare ............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibliografia unitatii de învatare 6 ............................................................................................ Lucrarea de verificare nr.5

6.1 Obiective Unitatea de învatare 6 continuă incursiunea în teoria probabilitatilor, prezentând variabilele aleatoare. Impreună cu noţiunile importante asociate lor, precum caracteristicile numerice corespunzătoare acestora, ce sunt de un real folos pentru practica economică, pentru studiu si cercetare, pentru realizarea performanţei în viitoarea muncă de economist si eficientizarea activitatii l la nivel micro si macroeconomic. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre: -noţiunile de variabile aleatoare existente si conceptele de bază din teoria probabilitatilor corelate cu ele, toate acestea oferind economiştilor, indiferent de domeniul în care vor lucra, cunoştinţe solide de strictă specialitate, dar si tehnici specifice matematicii aplicate; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de „Variabile aleatoare ” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice Bucureşti.

40

6.2 Variabile aleatoare unidimensionale Definiţia 1. Fie (Ω, K , P ) un câmp de probabilitate. O aplicaţie X : Ω → R se numeşte variabilă aleatoare dacă pentru orice x ∈ R avem: {ω X (ω ) < x}∈ K . Definiţia 2. Spunem că variabila aleatoare X : Ω → R este: a) discretă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare (adică X (Ω) ) este finită sau numărabilă; b) continuă, dacă mulţimea valorilor variabilei aleatoare este un interval sau o reuniune finită de intervale din R .

Repartiţia unei variabile aleatoare discrete X se reprezintă sub forma unei matrice având două linii: prima linie conţine valorile pe care le ia variabila aleatoare, iar a doua linie conţine probabilităţile ca variabila aleatoare să ia aceste valori: ⎛ xi X : ⎜⎜ ⎝ pi

⎞ , ⎟⎟ ⎠ i∈ I

pi = P ( X = xi ), i ∈ I , ∑ pi = 1 , i∈ I

unde I este o mulţime finită sau numărabilă. Definiţia 3. Se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X aplicaţia F : R → [0,1], F ( x) = P( X < x) = P({ω ∈ Ω / X (ω ) < x}) . Propoziţia 1. Dacă F : R → [0,1] este funcţia de repartiţie a unei variabilei aleatoare X : Ω → R , atunci: a) lim F ( x) = 0 , lim F ( x) = 1 ; x → −∞

x →∞

b) F este nedescrescătoare adică ∀ x1 , x 2 ∈ R, x1 < x 2 ⇒ F ( x1 ) ≤ F ( x 2 ) ; c) F este continuă la stânga, adică ∀ x ∈ R ⇒ F ( x − 0) = F ( x ) . Propoziţia 2. Dacă funcţia F : R → R satisface condiţiile a) , b) , c) din propoziţia precedentă, atunci există un un câmp de probabilitate (Ω, K , P ) şi o variabilă aleatoare X : Ω → R a cărei funcţie de repartiţie este F . Definiţia 4. Fie X : Ω → R o variabilă aleatoare continuă şi I = X (Ω) . Dacă funcţia de repartiţie F a variabilei aleatoare X este derivabilă, cu derivata continuă, pe I , atunci ⎧ F ' ( x), x ∈ I se numeşte densitatea de repartiţie (densitatea de ⎩ 0 , x∉I probabilitate) a variabilei aleatoare X .

funcţia f ( x) = ⎨

Propoziţia 3. Densitatea de repartiţie f : R → R a unei variabile aleatoare continue ∞

verifică proprietăţile: a ) f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ R ; b) ∫ f ( x)dx = 1 . −∞

Propoziţia 4. Dacă funcţia f : R → R satisface condiţiile a ) , b) din propoziţia precedentă, atunci există un un câmp de probabilitate (Ω, K , P ) şi o variabilă aleatoare X : Ω → R a cărei densitate de probabilitate este f . Observaţii. Fie X : Ω → R o variabilă aleatoare continuă, având densitatea de repartiţie f şi funcţia de repartiţie F . Atunci:

41

x

1) Deoarece F este o primitivă pe R a funcţiei f , rezultă F ( x) = ∫ f (t )dt , ∀ x ∈ R . −∞

a

2) P ( X < a ) = P ( X ≤ a ) = F ( a ) = ∫ f ( x ) dx ; −∞ ∞

P( X > b) = P( X ≥ b) = 1 − F (b) = ∫ f ( x) dx ; b

b

P ( a ≤ X < b) = P (a < X < b) = P (a ≤ X ≤ b) = P ( a < X ≤ b) = F (b) − F ( a ) = ∫ f ( x) dx a

Definiţia 5. Variabilele aleatoare X i , i = 1, n, n ≥ 2 sunt independente dacă evenimentele Ai = {ω X i (ω ) < xi } sunt independente, ∀ xi ∈ R, i = 1, n . Observaţie. Fie X : ⎛⎜ xi ⎜ p ⎝ i

⎞ ⎟⎟ ⎠i∈I

, Y : ⎛⎜ y j ⎞⎟ variabile aleatoare discrete. Atunci X , Y ⎜ qj ⎟ ⎠ j∈J ⎝

independente dacă P( X = xi , Y = y j ) = P( X = xi ) ⋅ P(Y = y j ), ∀ i ∈ I , j ∈ J Propoziţia 5. Dacă X : Ω → R , Y : Ω → R sunt variabile aleatoare şi

c ∈ R , a ∈ R, a > 0 ,

k ∈ N * , atunci c ⋅ X , X + c , X , X k ,

,

1 X

(dacă X nu ia valoarea 0),

aX

X +Y

, X ⋅ Y sunt

variabile aleatoare. Observaţie. Dacă X : ⎛⎜ xi ⎞⎟ şi Y : ⎛⎜ j ⎜p ⎟ ⎜qj ⎝ i ⎠ i∈ I ⎝ y

⎞ sunt variabile aleatoare discrete, atunci ⎟ ⎟ ⎠ j∈J

⎛ cx repartiţiile operaţiilor cu variabile aleatoare definite mai sus sunt: c ⋅ X : ⎜⎜ i ⎝ pi ⎛ xi + c X + c : ⎜⎜ ⎝ pi

⎞ ⎟⎟ ⎠i∈I

⎛ xi + y j X +Y :⎜ ⎜ pij ⎝

,

⎛ xi X : ⎜⎜ ⎝ pi

⎞ , k ⎟ X ⎟ ⎠i∈I

⎛x y ⎞ ⎟ i∈I , X ⋅ Y : ⎜ i j ⎜ p ij ⎟ ⎠ j∈J ⎝

⎛ xk :⎜ i ⎜p ⎝ i

⎞ ⎟ i∈I , ⎟ ⎠ j∈J

⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎟ , 1 : ⎜ xi ⎟ , x i ≠ 0, ∀i = 1, n , a X ⎟ ⎜ ⎟ ⎠i∈I X ⎝ p i ⎠ i∈I

⎞ ⎟⎟ , ⎠i∈I

⎛ a xi :⎜ ⎜p ⎝ i

⎞ , ⎟ ⎟ ⎠i∈I

unde pij = P( X = xi , Y = y j ), ∀ i ∈ I , j ∈ J .

Definiţia 6. Se numeşte media (valoarea medie) variabilei aleatoare X numărul (dacă există): M ( X ) = ∑ xi pi , dacă X este o variabilă aleatoare discretă; i∈ I ∞

M ( X ) = ∫ x ⋅ f ( x)dx , dacă X este o variabilă aleatoare continuă. −∞

Propoziţia 6. Dacă X : Ω → R , Y : Ω → R sunt variabile aleatoare şi a ∈ R , rezultă: a) M (a ) = a ; b) M (aX ) = aM ( X ) ; c) M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ) ; d ) dacă variabilele aleatoare X , Y sunt independente, atunci M ( X ⋅ Y ) = M ( X ) ⋅ M (Y ) .

42

Definiţia 7. Se numeşte dispersia variabilei aleatoare X numărul (dacă există):

[

]

D 2 ( X ) = M ( X − M ( X ) )2 . Propoziţia 7. Dacă X : Ω → R , Y : Ω → R sunt variabile aleatoare şi a ∈ R , rezultă: a) D 2 ( X ) ≥ 0 ; b) D 2 ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) ; c) D 2 (a) = 0 ;

d ) D 2 (aX ) = a 2 D 2 ( X ) ; e) dacă X , Y sunt independente, atunci D 2 ( X + Y ) = D 2 ( X ) + D 2 (Y ) . Definiţia 8. Se numeşte abaterea medie pătratică (abaterea standard) a variabilei aleatoare X numărul (dacă există): σ ( X ) = D( X ) = D 2 ( X ) . Definiţia 9. Se numeşte moment iniţial de ordin r al variabilei aleatoare X numărul (dacă există): mr = M r ( X ) = M ( X r ) . Observaţie. mr = ∑ xir pi , dacă X este o variabilă aleatoare discretă; i∈ I ∞

mr = ∫ x r ⋅ f ( x)dx , dacă X este o variabilă aleatoare continuă. −∞

Definiţia 10. Se numeşte moment centrat de ordin r al variabilei aleatoare X numărul (dacă există): μ r = M r ( X − M ( X ) ) = M ( X − M ( X ) )r .

[

]

Observaţie. mr = ∑ ( xi − M ( X )) r pi , dacă X este o variabilă aleatoare discretă; i∈I

∞

m r = ∫ ( x − M ( X )) r f ( x)dx , dacă

X este o variabilă aleatoare continuă.

−∞

Definiţia 15. Fie (Ω, K , P ) un câmp de probabilitate şi X : Ω → R o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţia caracteristică a variabilei aleatoare X aplicaţia ϕ : R → C , ϕ (t ) = M e itX .

( )

Observaţie. ϕ (t ) = ∑ e itx k p k , dacă X este o variabilă aleatoare discretă; k ∈I ∞ itx

ϕ (t ) = ∫ e

f ( x) dx , dacă X este o variabilă aleatoare continuă.

−∞

Definiţia 16. Fie (Ω, K , P ) un câmp de probabilitate şi X : Ω → R o variabilă aleatoare. Se numeşte funcţia generatoare de momente a variabilei aleatoare X aplicaţia g : R → R, g (t ) = M e tX .

( )

43

6.3 Variabile aleatoare bidimensionale Definiţia 1. Fie (Ω, K , P ) un câmp de probabilitate. O aplicaţie ( X , Y ) : Ω → R 2 se

numeşte variabilă aleatoare bidimensională (vector aleator) dacă oricare ar fi ( x, y ) ∈ R 2 avem: {ω X (ω ) < x, Y (ω ) < y}∈ K . ƒ În cazul în care componentele X , Y sunt variabile aleatoare discrete cu o mulţime finită de valori, repartiţia vectorului aleator ( X , Y ) se poate reprezenta sub forma: sau sub forma tabelului următor: ⎛ (x i , y j )⎞ ( X , Y ) : ⎜⎜ ⎝

X

unde

Y x1 x2

p ij

⎟ ⎟ i = 1, m ⎠

j = 1, n

y1

y2

p11

p12

p21

p22

M

M

M xi

pi1

pi 2

M

M

M

K K K

K

pm1

pm2

qj

q1

q2 K

(

yn

pi

p1n

p2 j

p2n

p1 p2

M

M

pij

K

pin

M

pi

M

M

q j K qm

1

M

K

xm

K p1 j K

yj

pmj K pmn

)

pn

pij = P X = xi , Y = y j , i = 1, m, j = 1, n , p i =

n

m

∑ p ij , i = 1, m , q j = ∑ pij , j = 1, n i =1

j =1

m n

cu condiţiile: 1) pij ≥ 0, ∀ i = 1, m, j = 1, n şi 2) ∑ ∑ pij = 1 . i =1 j =1

Repartiţiile marginale sunt repartiţiile variabilelor care compun vectorul ( X , Y ) .

(

)

Repartiţia variabilei aleatoare X condiţionată de evenimentul Y = y j , unde j ∈ 1, n , este: X / Y = y j : ⎛⎜ ⎜

⎞ . ⎟ ⎟ = = P X x Y y i j ⎠i=1,m ⎝

(

xi

)

Repartiţia variabilei aleatoare Y condiţionată de evenimentul ( X = xi ) , unde i ∈ 1, m , ⎛

⎞ . ⎟ ⎟ = = P Y y X x j i ⎝ ⎠ j=1,n

este: Y / X = xi : ⎜ ⎜

(

yj

)

Definiţia 2. Se numeşte covarianţa variabilelor aleatoare X şi Y numărul: cov( X , Y ) = M ( XY ) − M ( X ) ⋅ M (Y ) . Definiţia 3. Variabilele aleatoare X şi Y se numesc necorelate dacă

cov( X , Y ) = 0 .

44

Definiţia 4. Se numeşte coeficientul de corelaţie al variabilelor aleatoare X şi Y cov( X , Y ) M ( XY ) − M ( X ) ⋅ M (Y ) = . numărul: ρ ( X ,Y ) = σ ( X ) ⋅ σ (Y ) σ ( X ) ⋅ σ (Y ) Propoziţie. Oricare ar fi variabilele aleatoare X şi Y cu D 2 ( X ) ⋅ D 2 (Y ) ≠ 0 , au loc următoarele proprietăţi: 1) ρ ( X , Y ) = 0 dacă şi numai dacă X şi Y sunt necorelate. 2) Dacă X , Y sunt independente, atunci ρ ( X , Y ) = 0 . 3) ρ ( X , Y ) ≤ 1 .

4) Dacă ρ ( X , Y ) = 1 , atunci între X şi Y există o dependenţă liniară.

6.4 Variabile aleatoare unidimensionale clasice REPARTIŢII CLASICE DISCRETE Repartiţia binomială k ⎛ ⎞ X ∈ Bi (n, p) ⇔ X : ⎜⎜ k k n − k ⎟⎟ ; n ∈ N * ; p, q > 0; p + q = 1 . ⎝ C n p q ⎠ k =0,n

(

)n

M ( X ) = np; D 2 ( X ) = npq ; ϕ (t ) = peit + q . Repartiţia Poisson k ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ X ∈ Po(λ ) ⇔ X : ⎜ −λ λk ⎟ ; λ > 0 . ⎜e ⋅ ⎟ k ! ⎠ k ∈N ⎝ M ( X ) = λ ; D 2 ( X ) = λ ; ϕ (t ) = e λ (e

it

−1)

.

REPARTIŢII CLASICE CONTINUE Repartiţia Gamma ⎧

1

X ∈ Γ[a, b]; a, b > 0 ⇔ X are densitatea de repartiţie: f ( x) = ⎪⎨ ba Γ(a ) x ⎪ ⎩

a −1 − bx

0,

e

, x>0 x≤0

M ( X ) = ab, D 2 ( X ) = ab 2 ; ϕ (t ) = (1 − ibt )− a . Repartiţia normală X ∈ N (m, σ ); σ > 0, m ∈ R ⇔ X are densitatea de repartiţie: ( x −m) 2

− 2 1 f ( x) = e 2σ , x ∈ R σ 2π

M ( X ) = m, D 2 ( X ) = σ 2 ; ϕ (t ) = eimt −

σ 2t 2 2

.

45

6.5 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor 1. Fie variabila aleatoare discretă X : ⎛⎜⎜ − 2 − 1 0 1 2 ⎞⎟⎟ , p ∈ R . ⎝2 p 4 p p 2p p⎠ Să se determine: a) repartiţia variabilei aleatoare X; b) funcţia de repartiţie a variabilei X; c) media, dispersia şi abaterea medie pătratică variabilei aleatoare X; d ) M ( X 3 ) , M ( 2 X − 3) , D 2 (3 X − 2) ; e) probabilităţile: P ( X ≤ − 0,75 ) , P ( X > 1, 25 ) , P(−1,25 ≤ X ≤ 0,5) , . Rezolvare: a) Impunem condiţiile ca p ≥ 0 şi 2 p + 4 p + p + 2 p + p = 1 ⇒ p = 1 . 10

⎛− 2

−1

0

1

2 10

4 10

1 10

2 10

Rezultă că repartiţia variabilei aleatoare X este: X : ⎜ ⎜

⎝ ⎧ 0 , x ∈ ( −∞ , − 2 ] ⎪ 2 1 ⎪ , x ∈ ( − 2 ,1 ] = 5 ⎪ 10 ⎪ 2 4 6 3 , x ∈ ( − 1, 0 ] + = = b) ⎪ ⎪ 10 10 10 5 Fx (x) = P ( X < x) = ⎨ ⎪ 2 + 4 + 1 = 7 , x ∈ ( 0 ,1 ] ⎪ 10 10 10 10 ⎪ 2 4 1 2 9 ⎪ + + + = , x ∈ (1 , 2 ] 10 10 10 10 ⎪ 10 ⎪⎩ 1 , x ∈ ( 2 , +∞ ]

2⎞ ⎟. 1⎟ 10 ⎠

c) M ( X ) = (−2) ⋅ 2 + (−1) ⋅ 4 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 = − 4 = −0,4 . 10

2

M ( X ) = (−2)

2

⋅ 2 10

+ (−1)

2

10 10 2 1 4 ⋅ +0 ⋅ 10 10

10 2 2 +1 ⋅ 10

10 2

+2

10

⋅1 10

= 18 = 1,8 . 10

D ( X ) = M ( X ) − M ( X ) = 1,8 − (−0,4) = 1,64 . 2

2

2

2

σ ( X ) = D 2 ( X ) ≅ 1,28 . d ) M ( X 3 ) = (−2) 3 ⋅ 2 + (−1) 3 ⋅ 4 + 0 3 ⋅ 1 + 13 ⋅ 2 + 2 3 ⋅ 1 = −1 . 10

10

10

10

10

Folosind proprietăţile mediei şi ale dispersiei, obţinem: M (2 X − 3) = 2M ( X ) − 3 = 2 ⋅ (−0,4) − 3 = −3,8 . D 2 (3 X − 2) = 9 D 2 ( X ) = 9 ⋅ 1,64 = 14,76 .

e) P( X ≤ −0,75) = P( X = −1) + P( X = −2) = 2 + 4 = 3 . 10

10

5

P ( X > 1,25) = P( X = 2) = 1 . 10

P(−1,25 ≤ X ≤ 0,5) = P( X = −1) + P ( X = 0) = 5 = 1 . 10

2

46

⎧ a (1 − x), x ∈ [0, 1] , a∈R. 0, x ∉ [0, 1] ⎩

2. Fie f : R → R, f ( x) = ⎨

Să se determine:

a) parametrul a ∈ R astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X; b) funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X;

(

) (

(

)

)

c) probabilităţile: P X < 1 , P X > 12 şi P 14 ≤ X ≤ 32 ; 4 d ) media şi dispersia variabilei aleatoare X;

Rezolvare:

a) Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: 1) f ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇒ a ≥ 0 ; ∞

2) ∫ f ( x)dx = 1 . −∞

∞

0

1

−∞

−∞

0

∞

0

1

∞

1

−∞

0

1

Avem: ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = ∫ 0 dx + ∫ a(1 − x) dx + ∫ 0 dx =

(

)

1 2 = a x − x2 = a2 ; din condiţia 0

⎧ 2 (1 − x), x ∈ [0, 1] . f ( x) = ⎨ 0, x ∉ [0, 1] ⎩

∞

∫ f ( x)dx = 1 rezultă

−∞

a 2

= 1 ⇒ a = 2 , deci

x

b) Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este F : R → R, F ( x ) = ∫ f (t ) dt . −∞

ƒ

x

x ∈ ( −∞ , 0] ⇒ F ( x ) = ∫ 0 dt =0 ; −∞

ƒ

0

−∞

ƒ

(

x

x ∈ (0,1] ⇒ F ( x) = ∫ 0dt + ∫ 2(1 − t )dt = 2t − t 2 0

0

1

x

−∞

0

1

) 0x = 2 x − x 2 ;

x ∈ (1, ∞) ⇒ F ( x) = ∫ 0dt + ∫ 2(1 − t )dt + ∫ 0dt = 1 .

Am obţinut că: ⎧ 0, ⎪⎪ F : R → [0, 1], F ( x) = ⎨2 x − x 2 , ⎪ 1, ⎪⎩

x ∈ (−∞,0] x ∈ (0,1] x ∈ (1, ∞)

47

(

c) P X <

1 4

) = F ⎛⎜⎝ 14 ⎞⎟⎠ = 12 − 14 = 14 .

( ) ( ) ( ) P ( 14 ≤ X ≤ 32 ) = F ( 32 )− F ( 14 ) = 1 − 14 = 34 .

P X > 12 = 1 − P X ≤ 12 = 1 − F 12 = 1 − 12 = 12 .

1

3⎞ ⎛ 2 d ) M ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ 2(1 − x) dx + ∫ x ⋅ 0 dx = ⎜ x − 2 x ⎟ = 1 . ⎜ 2 3 ⎟⎠ 3 0 1 −∞ −∞ ⎝ 0 ∞

( )

M X

2

0

∞

1

1

⎛ 2x3 x 4 ⎞ ⎟ =1. = ∫ x f ( x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ 2(1 − x) dx + ∫ x ⋅ 0 dx = ⎜ − ⎜ 3 ⎟ 2 1 −∞ −∞ 0 ⎝ ⎠0 6 ∞

0

2

1

2

∞

2

2

D2 ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = 1 . 18

⎧⎪kx 2e− 2x , x ≥ 0 3. Fie funcţia f : R → R , f ( x) = ⎨ , k ∈ R . Să se determine: ⎪⎩ 0, x < 0 a) parametrul k ∈ R astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X; b) funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X; c) probabilităţile: P ( X < 4) , P ( X > 6) , P (6 ≤ X ≤ 8) , P ( X ≤ 4 / X > 2) ;

d ) media, dispersia, momentul iniţial de ordinul r , r ∈ N * pentru variabila aleatoare X Rezolvare: a) Condiţiile ca f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X sunt: 1) f ( x) ≥ 0 ⇒ k ≥ 0 ; ∞

2) ∫ f ( x)dx = 1 . −∞

∞

0

∞

−∞

−∞

0

Avem că I = ∫ f ( x)dx = ∫ 0dx + ∫ kx 2e − , dx ; folosind schimbarea de x 2

∞

variabilă x = t ⇒ x = 2t; dx = 2dt , obţinem că I = k ∫ 4t 2 e −t 2dt = 8k ⋅ Γ(3) = 16k ; din condiţia 2 0

2 − 2x

⎧⎪ x e 1 I = 1 ⇒ k = .Rezultă că f : R → R, f ( x) = ⎨16 16 ⎪⎩ 0, 1

, x≥0 . x 0 ⎪1 − 8 ⎩ c) P( X < 4) = F (4) = 1 − 5e −2 ; P ( X > 6) = 1 − P ( X ≤ 6) = 1 − P ( X < 6) = 1 − F ( 6) =

P(6 ≤ X ≤ 8) = F (8) − F (6) = P ( X ≤ 4 / X > 2) =

17 −3 e ; 2

17 −3 e − 13e − 4 ; 2

5 5 P (( X ≤ 4) ∩ ( X > 2) ) P ( 2 < X ≤ 4) F ( 4) − F ( 2) 2e − e 2 e − 2 . = = = = 5 1 − P ( X < 2) 1 − F ( 2) P ( X > 2) e 2e

d ) Momentul iniţial de ordinul r este: ∞

0

∞

−∞

−∞

0

mr = M ( X r ) = ∫ x r f ( x)dx = ∫ x r ⋅ 0dx + ∫ x r ⋅

1 2 − 2x x e dx ; 16

x cu schimbarea de variabilă = t ⇒ x = 2t ; dx = 2dt rezultă 2 1∞ mr = (2t ) r + 2 e −t 2dt = 2r −1 ⋅ Γ( r + 3) . ∫ 16 0

Am obţinut că m r = 2 r −1 ⋅ ( r + 2)!, ∀ r ∈ N * . ƒ Media variabilei aleatoare X este momentul iniţial de ordinul 1, prin urmare M ( X ) = m1 = 3!= 6 . ƒ

Avem că M ( X 2 ) = m2 = 2 ⋅ 4!= 48 , deci dispersia variabilei este:

D 2 ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = m2 − m12 = 12 .

49

4. Fie X , Y două variabile aleatoare discrete având repartiţia comună dată în tabelul incomplet de mai jos: Y -1 0 1 pi X -1 0,2 0,6 1 0,1 0,3 q j 0,3

a) Să se scrie repartiţiile variabilelor X , Y şi repartiţia comună a variabilelor X , Y . b) Să se scrie repartiţiile variabilelor X / Y = 1 şi Y / X = 1 , Y .. Rezolvare: a) Impunând condiţiile 2

3

3

2

i =1

j =1

j =1

1=1

∑ pi = 1, ∑ q j = 1 , ∑ pij = pi , ∀ i = 1,2 , ∑ pij = q j , ∀ j = 1,3 , obţinem: p1 + p 2 = 1 ⇒ p 2 = 0,4 ; q1 + q 2 + q3 = 1 ⇒ q 2 = 0,4 ; p11 + p 21 = 0,3 ⇒ p 21 = 0,1 ; p12 + p 22 = 0,4 ⇒ p 21 = 0,3 ; p11 + p12 + p13 = 0,6 ⇒ p13 = 0,1 ;

p13 + p 23 = 0,3 ⇒ p 23 = 0,2 . 0 1 ⎞ ⎛−1 1 ⎞ ⎛ −1 ⎟⎟ ; Y : ⎜⎜ ⎟⎟ Rezultă repartiţiile variabilelor X , Y : X : ⎜⎜ ⎝ 0,6 0,4 ⎠ ⎝ 0,3 0,4 0,3 ⎠ şi repartiţia comună a variabilelor X , Y :

Y X -1 1 qj

-1

0

1

0,2 0,1 0,3

0,3 0,1 0,4

0,1 0,2 0,3

pi 0,6 0,4 1

⎛−1 1 ⎞ ⎟⎟ b) X Y = 1 : ⎜⎜ ⎝ α1 α 2 ⎠

P(( X = −1) ∩ (Y = 1)) 0,1 1 ; = = 0,3 3 P (Y = 1) P(( X = 1) ∩ (Y = 1)) 0,2 2 α 2 = P ( X = 1 Y = 1) = = = ; P (Y = 1) 0,3 3

α1 = P( X = −1 Y = 1) =

⎛−1 obţinem: X Y = 1 : ⎜ 1 ⎜ ⎝ 3 ⎛ −1

0

⎜ ⎝ 3

1 2

Analog Y X = −1 : ⎜ 1 ⎜ ⎛1 Y : ⎜⎜ ⎝ 0,3

1⎞ ⎛ −1 ⎟ 2 ⎟ ; Y X = −1 : ⎜⎜ ⎝ β1 3⎠

0

β2

1 ⎞ ⎟; β 3 ⎟⎠

1⎞ ⎟ 1⎟ ⎟ 6⎠

0 1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎟; ⎟=⎜ 0,4 0,3 ⎟⎠ ⎜⎝ 0,4 0,6 ⎟⎠

50

Teste de autoevaluare 1. Să se determine variabila aleatoare X : ⎛⎜ a a + 1 a + 2 ⎞⎟ , ştiind că M (6 X 2 ) = 7 , ⎜ p 3p 2 p ⎟⎠ ⎝ a ∈ Z, p ∈ R . ⎧ ax,

x ∈ [0,1]

⎪ 0, ⎩

x ∉ [0,2]

2. Fie funcţia f : R → R , f ( x) = ⎪⎨2 − x, x ∈ (1,2] . Să se determine:

a) parametrul a ∈ R astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X; b) probabilităţile P X > 3 şi P X ≥ 1 / X ≤ 3 ;

(

2

)

(

4

2

)

c) funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X; d ) media şi dispersia variabilei aleatoare X; 3. Fie două variabile aleatoare X , Y unde

1 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ 0 ⎟⎟ , Y : ⎜⎜ ⎟⎟ . Fie k = P ( X = −1, Y = 0 ) . X : ⎜⎜ ⎝ 0,7 0,3 ⎠ ⎝ 0,4 0,6 ⎠

a) Să se scrie tabelul comun al repartiţiei variabilelor aleatoare X , Y . b) Să se determine parametrul k ∈ R astfel încât variabilele aleatoare X , Y să fie necorelate. c) Pentru k determinat la punctul precedent, să se stabilească dacă variabilele aleatoare X , Y sunt independente.

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare 1. Din condiţia ca X să reprezinte o variabilă aleatoare discretă, obţinem: ⎛ a

p ≥ 0 şi p + 3 p + 2 p = 1 ⇒ p = 1 ⇒ X : ⎜ 6

( )

( )

(

⎜ 1 ⎝ 6

a +1 a + 2 ⎞ ⎟. 3 2 ⎟ 6 6 ⎠

)

M 6 X 2 = 7 ⇔ 6 M X 2 = 7 ⇔ 6 ⋅ a 2 ⋅ 16 + (a + 1) 2 ⋅ 63 + ( a + 2) 2 ⋅ 62 = 7 ⇔

⇔ a 2 + 3a 2 + 6 a + 3 + 2 a 2 + 8a + 8 = 7 ⇔ 6 a 2 + 14 a + 4 = 0 ⇒ 1 ⇒ a1 = −2, a 2 = − ∉ Z , deci a = −2 . 3 Prin urmare, repartiţia variabilei aleatoare X este: ⎛− 2 ⎜ X :⎜ 1 ⎜ ⎝ 6

−1 1 2

0 1 3

⎞ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠

51

2. a) Pentru ca funcţia f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: 1) f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ R ⇒ a ≥ 0 ; ∞

2) ∫ f ( x)dx = 1 . −∞

∞

0

1

2

−∞

−∞

0

1

∞

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 0

1

2

2 2⎞ ⎛ x ⎟ =a+1. + ⎜ 2x − 2 2 ⎜ ⎟ 2 ⎠1 0 ⎝ x ∈ [0,1] 2 1

∞

2

x = ∫ 0 dx + ∫ ax dx + ∫ ( 2 − x) dx + ∫ 0 dx = a 2 0 1 2 −∞

⎧ x, ⎪ ∫ f ( x)dx = 1 ⇒ a = 1 ⇒ f ( x) = ⎨2 − x, ⎪ 0, −∞ ⎩ ∞

x ∈ (1,2] . x ∉ [0,2]

∞ ∞ 2 b) P⎛⎜ X > 3 ⎞⎟ = ∫ f ( x)dx = ∫ (2 − x)dx + ∫ 0dx = 1 . 8

2⎠

⎝

(

PX≥

P

(

1 4

(

1/ 4

X≤

≤X≤

3 2

3 2

2

3 2

( ( ) ) ( ) P (1 ≤ X ≤ 3 ) 4 2 ) = P(X ≤ 3 ) = P4 (X ≤ 3 )2 . 2 2 P X ≥1 ∩ X ≤3

3 2

) = ∫ f ( x)dx = ∫ xdx + ∫ (2 − x)dx = 3227 ; P(X ≤ 32 ) = 1 − P(X > 32 ) = 78 , deci

P X ≥ 14 / X ≤

3 2

3 2

1

3 2

1 4

1 4

1

)=

27 28

. x

c) Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este F : R → R , F ( x ) = ∫ f (t ) dt . −∞

ƒ

x

x ∈ ( −∞ , 0] ⇒ F ( x ) = ∫ 0 dt =0 ; −∞

0

x

0

1

x

ƒ

x ∈ (0,1] ⇒ F ( x) = ∫ 0dt + ∫ tdt = t2 = x2 ; 0 0 −∞

ƒ

x ∈ (1,2] ⇒ F ( x ) = ∫ 0dt + ∫ tdt + ∫ (2 − t )dt = t2 + 2t − t2 = 0 1 −∞ 0 1

2

x

2

2

1

(

2

)x

2 2 = 12 + 2 x − x2 − 32 = − x +24 x − 2 ;

0

1

2

x

−∞

0

1

2

x ∈ (2, ∞) ⇒ F ( x) = ∫ 0dt + ∫ tdt + ∫ (2 − t )dt + ∫ 0dt = 1 . Am obţinut că:

52

⎧ ⎪ ⎪ ⎪⎪ F : R → [0,1], F ( x) = ⎨ ⎪− x 2 ⎪ ⎪ ⎪⎩ ∞

x ∈ (−∞, 0]

0,

x2 , 2

x ∈ (0, 1]

+ 4x − 2 , x ∈ (1, 2] 2 1, x ∈ (2, ∞) 0

1

2

∞

−∞

0

1

2

d ) M ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ x dx + ∫ x (2 − x)dx + ∫ x ⋅ 0 dx = −∞

=

2

3 1

x 3

⎛ x3 ⎞ 1 8 1 + ⎜ x2 − ⎟ = + 4 − − 1 + = 1. ⎜ ⎟ 3 3 3 3 ⎠ 1 0 ⎝ ∞

0

1

2

∞

−∞

0

1

2

M ( X 2 ) = ∫ x2 f ( x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x2 ⋅ x dx + ∫ x2 (2 − x)dx + ∫ x ⋅ 0 dx = −∞

=

3.

2

4 1

x 4

⎛ x3 x4 ⎞ 1 16 2 1 7 + ⎜ 2 − ⎟ = + − 4 − + = ⇒ D2 ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = 1 6 ⎜ 3 4⎟ 4 3 3 4 6 ⎠ 1 0 ⎝

a) 0 X Y k -1 1 0,4 − k 0,4 qj

1 0,7 − k k − 0,1

0,6

pi 0,7 0,3 1

Din condiţiile: 1) pij ≥ 0, ∀ i, j = 1,2 şi 2 2

2) ∑ ∑ pij = 1 obţinem: i =1 j =1

⎧k ≥ 0 ⎪0,7 − k ≥ 0 ⎪ ⇒ 0,1 ≤ k ≤ 0,4 ; 1) ⇔ ⎨ − ≥ k 0 , 4 0 ⎪ ⎪⎩k − 0,1 ≥ 0

2) ⇔ k + 0,7 − k + 0,4 − k + k − 0,1 = 1 , relaţie care se verifică, ∀ k ∈ R . În concluzie, repartiţia comună a variabilelor X , Y este cea din tabelul de mai sus, cu condiţia k ∈ [0,1; 0,4] . b) Variabilele aleatoare X , Y sunt necorelate dacă avem: cov( X , Y ) = 0 ⇔ M ( XY ) − M ( X ) ⋅ M (Y ) = 0 . 2

2

i =1

j =1

M ( X ) = ∑ xi pi = (−1) ⋅ 0,7 +1 ⋅ 0,3 = −0,4 ; M (Y ) = ∑ y j q j = 0 ⋅ 0,4 + 1 ⋅ 0,6 = 0,6 ; 2 2

M ( XY ) = ∑ ∑ xi y j pij = (−1) ⋅ 0 ⋅ k + (−1) ⋅ 1 ⋅ (0,7 − k ) + 1 ⋅ 0 ⋅ (0,4 − k ) + 1 ⋅ 1 ⋅ ( k − 0,1) = 2k − 0,8 i =1 j = 1

M ( XY ) − M ( X ) ⋅ M (Y ) = 0 ⇒ 2k − 0,8 + 0,24 = 0 ⇒ k = 0,28 ∈ [0,1; 0,4] .

53

c) Pentru valoarea determinată a parametrului k obţinem tabelul repartiţiei comune de mai jos: X Y -1 1 qj

0

1

0,28 0,12 0,4

0,42 0,18 0,6

pi 0,7 0,3 1

Avem că: P( X = −1, Y = 0) = 0,28 = P( X = −1) ⋅ P( Y = 0) ; P( X = −1, Y = 1) = 0,42 = P( X = −1) ⋅ P( Y = 1) ; P( X = 1, Y = 0) = 0,12 = P( X = 1) ⋅ P( Y = 0) ; P( X = 1, Y = 1) = 0,18 = P( X = 1) ⋅ P( Y = 1) ;de aici rezultă, că v.a sunt independente.

Bibliografia unitatii de învatare 6 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON, Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura Teocora, Buzau, 2009 3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr.5 ⎛− 2

2⎞ ⎟. 2 3 p 1 p 1 ⎟ ⎜ 7 p 4 2 16 ⎠ ⎝ 16 b) Media si dispersia lui X,

1.Distribuţia variabilei aleatoare X este X : ⎜

Să se determine:

a) parametrul p ∈ R ;

-1

0

1

⎧⎪kx e − 3 , x ≥ 0 2. Fie funcţia f : R → R , f ( x) = ⎨ , k ∈ R . Să se determine: ⎪⎩ 0, x < 0 a) parametrul k ∈ R astfel încât f să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare continue X; b) funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X; x

c) media, dispersia, momentul iniţial de ordinul r , r ∈ N * pentru v.a. X 2⎞ ⎛ 1 ⎟⎟ , 3. Se consideră variabilele aleatoare X , Y , având repartiţiile: X : ⎜⎜ ⎝ 0,4 0,6 ⎠ 4 6 ⎞ ⎛2 ⎟⎟ , astfel încât P ( X = 1, Y = 2 ) = 0,1 şi P ( X = 2, Y = 4 ) = 0,3 . Să se Y : ⎜⎜ ⎝ 0,2 0,5 0,3 ⎠ determine coeficientul de corelatie al variabilele aleatoare X , Y

54

UNITATEA DE ÎNVATARE 7

Statistica matematica Cuprins 7.1 Obiectivele unitatii de învatare 7 ........................................................................................ 7.2 Elemente de teoria selecţiei ................................................................................................ 7.3 Elemente de teoria estimaţiei ............................................................................................. 7.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor................................................... Teste de autoevaluare............................................................................................................... Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare .................................................................. Bibilografia unitatii de învatare 7 ............................................................................................ Lucrarea de verificare nr. 6

7.1 Obiective Unitatea de învatare 7, introduce statistica matematică, prin relevarea a câtorva elemente de bază ale acestui domeniu deosebit de important din matematicile aplicate în economie. După studiul acestei unitati de învatare, studentul va avea cunostinţe despre: - noţiunile fundamentale din statistica matematică, toate acestea pentru a cunoaste mai mult si mai bine tematica si problematica matematicilor aplicate sau aplicabile în economie; -tipul de probleme teoretice si practice, care fac obiectul cursului de “ teoria selecţiei si a estimaţiei” si al lucrărilor de verificare ale studenţilor din invatamântul economic din anul I, ID, de la Facultatea de Finante, Banci si Burse de Valori din Academia de Studii Economice, Bucuresti.

55

7.2 Elemente de teoria selecţiei Ne propunem să studiem o anumită caracteristică a unei colectivităţi C . Presupunem că această caracteristică este descrisă de o variabilă aleatoare X definită pe un câmp de probabilitate (Ω, K, P ) , în care elementele mulţimii Ω sunt tocmai lementele colectivităţii C . Se numeşte selecţie (eşantion) o colectivitate parţială de elemente luate la întâmplare din C .Numărul elementelor unei selecţii îl numim volumul selecţiei. Spunem că o selecţie este repetată dacă elementul luat la întâmplare din C este reintrodus în colectivitatea generală înaintea efectuării următoarei alegeri. Se efectuează o selecţie de volum n din populaţia considerată şi se notează cu x1 , x2 ,.., xn valorile de observaţie (valori de selecţie sau date de selecţie)

• După efectuarea selecţiei, valorile de selecţie x1 , x2 ,......, xn sunt valori bine determinate ale variabilei aleatoare X . • Înainte de efectuarea selecţiei, acestea pot fi considerate ca variabile aleatoare independente X 1 , X 2 ,....., X n , identic repartizate cu variabila X , în cazul unei selecţii repetate. Variabila aleatoare asociată experimentului cu n probe independente efectuate asupra lui X se numeşte variabilă aleatoare de selecţie

(empirică) şi se notează X * . Aceasta are următoarea repartiţie, numită şi repartiţie ⎛ x1 x2 ................xn ⎞ ⎟. ⎜ 1 1 ... .... ..... ..... 1 ⎟ n ⎠ ⎝n n

empirică: X * :⎜

Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare de selecţie se numeşte funcţie empirică de repartiţie. Se numeşte statistică o funcţie de variabilele aleatoare de selecţie: T ( X 1 , X 2 ,....., X n ) . După efectuarea selecţiei, statisticii T ( X 1 , X 2 ,....., X n ) i se asociază valoarea sa corespunzătoare valorilor de selecţie obţinute, notată t (x1 , x 2 ,....., x n ) . Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n efectuată asupra variabilei al. X . n

Se numeşte moment iniţial de selecţie de ordin r statistica M r = 1 ∑ X ir . n

ƒ

i =1

n

Pentru r = 1 obţinem media de selecţie: X = 1 ∑ X i . n i =1

Se numeşte moment centrat de selecţie de ordin r statistica

ƒ

μr =

1 n

r ∑ (X i − X ) . n

i =1

Pentru r = 2 obţinem dispersia de selecţie necorectată: 2

σ = S2 = μ2 =

1 n

∑ (X i − X ) = 1n ∑ X i2 − X n

i =1

2

n

2

i =1

Dispersia de selecţie corectată (modificată) este: s 2 = 1 ∑ (X i − X )2 . n −1 n

i =1

56

7.3 Elemente de teoria estimaţiei Considerăm selecţia X 1 , X 2 ,....., X n efectuată asupra unei populaţii care este caracterizată de o variabilă aleatoare X cu legea de repartiţie f ( x; θ ) . Dorim să estimăm parametrul θ din legea f ( x; θ ) cu ajutorul statisticii Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) , care se numeşte estimator al parametrului θ . Valoarea luată de Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) pentru valori bine determinate x1 , x 2 ,....., x n ale

variabilelor X 1 , X 2 ,....., X n se numeşte estimaţie a parametrului θ . Definiţia 1. Spunem că statistica Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) este un estimator nedeplasat al parametrului θ dacă M (Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n )) = θ . Spunem că statistica Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) este un estimator deplasat al parametrului θ dacă M (Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n )) ⎯⎯⎯→ θ . n →∞

Definiţia 2. Spunem că statistica Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) este un estimator absolut corect al

parametrului θ dacă M (Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n )) = θ şi D 2 (Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n )) ⎯⎯⎯→ 0 . n→∞

Spunem că statistica Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) este un estimator nedeplasat al parametrului θ dacă M (Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n )) = θ . Definiţia 3. Spunem că statistica Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n ) este un estimator eficient al parametrului θ dacă este absolut corect şi D 2 (Tn ( X 1 , X 2 ,....., X n )) =

1 , unde n ⋅ I (θ )

⎡⎛ ∂ 2 ln f ( X ,θ ) ⎞⎤ ⎡⎛ ∂ ln f ( X ,θ ) ⎞⎤ ⎟⎥ . I (θ ) = M ⎢⎜ ⎟⎥ = − M ⎢⎜⎜ ⎟⎥ ∂θ ⎠⎦ ⎢⎣⎝ ⎣⎝ ∂θ 2 ⎠⎦ n

Propoziţie. a) Media de selecţie X = 1 ∑ X i este un estimator absolut corect pentru n i =1

media m a oricărei populaţii.

(

)

n 2 b) Dispersia de selecţie S 2 = 1 ∑ X i − X este un est.corect pentru dispersia σ 2 . n i =1

c) Dispersia de selecţie corectată s2 = 1 ∑(Xi − X )2 este un estimator absolut corect n−1 n

i=1

pentru dispersia σ . 2

57

METODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPATIŢII A. Metode de estimare punctuală 1. Metoda momentelor Presupunem că legea de repartiţie f ( x;θ1 ,θ 2 , ...,θ k ) a variabilei aleatoare X depinde de k parametri necunoscuţi: θ1 ,θ 2 , ....,θ k şi că variabila aleatoare X admite momente cel puţin până la ordinul k inclusiv. Aplicarea metodei momentelor constă în parcurgerea următoarelor etape: Etapa 1) Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n .

Etapa 2) Rezolvăm sistemul M r ( X θ1 ,θ 2 , ...,θ k ) = M r , r = 1, k . Dacă sistemul are soluţii reale, atunci acestea sunt estimaţii ale parametrilor θ1 ,θ 2 , ....,θ k .

2. Metoda verosimilităţii maxime Aplicarea acestei metode constă în parcurgerea următoarelor etape: Etapa 1) Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n , cu valorile de selcţie x1 , x 2 ,....., x n . Etapa 2) Construim funcţia de verosimilitate: n

(

P ( x1 , x 2 ,..., x n ;θ1 ,θ 2 , ...,θ k ) = ∏ f x j ;θ1 ,θ 2 , ...,θ k j =1

)

Etapa 3) Logaritmăm funcţia de verosimilitate: L(x1, x2 ,..., xn ;θ1,θ 2 , ...,θ k ) = ln P( x1, x2 ,..., xn ;θ1,θ 2 , ...,θ k ) ∂L( x1 , x 2 ,..., x n ;θ1 ,θ 2 , ...,θ k ) Etapa 4) Rezolvăm sistemul: = 0, j = 1, k şi obţinem ∂θ j estimaţiile de maximă verosimilitate: θˆ j = θˆ j ( x1 , x 2 ,..., x n ), j = 1, k ale parametrilor θ1 ,θ 2 , ....,θ k . Etapa 5) Verificăm faptul că estimaţiile găsite asigură maximul funcţiei de verosimilitate. B. Estimare prin intervale de încredere pentru parametrii m şi σ 2 ai unei repartiţii normale N (m, σ ) 1. Interval de încredere pentru parametrul m când σ este cunoscut

x − z1− α2 ⋅

σ

< m < x + z1− α2 ⋅

σ

n n 2. Interval de încredere pentru parametrul m când σ este necunoscut s s < m < x + t1− α2 ; n −1 ⋅ x − t1− α2 ; n −1 ⋅ n n

58

7.4 Ilustrarea teoriei pe cazul numeric concret al aplicaţiilor 1. Pentru a studia o anumită caracteristică X a unei populaţii statistice oarecare, s-a realizat un sondaj de volum n = 16 din populaţia respectivă şi s-au obţinut rezultatele: xi

-2

-1

0

2

ni

3

4

2

7

a) Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie. b) Să se calculeze media de selecţie, dispersia de selecţie şi dispersia de selecţie corectată. Rezolvare:

⎛ − 2 −1 0 a) Repartiţia variabilei aleatoare de selecţie este: X * : ⎜ 3 4 2 ⎜ ⎝ 16 16 16 b) Media de selecţie este statistica: X =

1 n

2⎞ 7 ⎟⎟ . 16 ⎠

4

∑ ni X i , iar valoarea acesteia

i =1 4

corespunzătoare selecţiei efectuate este x = 1 ∑ ni x i . n i =1

Dispersia de selecţie este statistica μ 2 = S 2 = 1 ∑ ni (X i − X ) 2 , iar valoarea acesteia n 4

i =1

corespunzătoare selecţiei efectuate este

(

4

S 2 = 1n ∑ ni x i − x i =1

)2 .

(

)

4 2 Dispersia de selecţie corectată este statistica s 2 = n1−1 ∑ ni X i − X , iar valoarea i =1

acesteia corespunzătoare selecţiei efectuate este

(

)

4 2 s 2 = 1 ∑ ni x i − x . n −1 i =1

Pentru determinarea valorilor cerute organizăm valorile de selecţie în următorul tabel:

xi

ni

xi ni

xi − x

(xi − x) 2

ni xi − x

-2 -1 0 2 -

3 4 2 7 16

-6 -4 0 14 4

-2,25 -1,25 -0,25 1,75 -

5,0625 1,5625 0,0625 3,0625 -

15,1875 6,25 0,125 21,4375 43

(

)2

Obţinem: x = 1 ⋅ 4 = 0,25 ; S 2 = 1 ⋅ 43 = 2,6875 ; s 2 = 1 ⋅ 43 = 2,87 . 16

16

15

59

2. Fie X o variabilă aleatoare având o repartiţie Poisson de parametru θ . a) Să se determine un estimator al parametrului θ al acestei repartiţii prin ambele metode de estimare punctuală, utilizând o selecţie de volum n . b) Să se determine o estimaţie a parametrului θ al acestei repartiţii prin ambele metode de estimare punctuală, pe baza valorilor de selecţie: 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 4, 2, 3. c) Să se studieze calităţile estimatorului obţinut. Rezolvare:

a) Legea de probabilitate a variabilei aleatoare X este f ( x;θ ) = e −θ ⋅

θx x!

, x∈N .

Metoda momentelor Etapa 1) Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n .

Etapa 2) Rezolvăm ecuaţia: M 1 ( X θ ) = M 1 ⇔ M ( X ) = X . (1) Folosind faptul că media unei variabile aleatoare X cu repartiţie Poisson de parametru θ este M ( X ) = θ , ecuaţia (1) devine: θ = X şi prin urmare estimatorul parametrului θ obţinut prin metoda momentelor este θˆ = X , iar estimaţia este θˆ = x .

Metoda verosimilităţii maxime Etapa 1) Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n , cu valorile de selcţie x1 , x 2 ,....., x n . Etapa 2) Construim funcţia de verosimilitate: n

n

n

xj

j =1

j =1

x j!

θ P( x1 , x 2 ,..., x n ; θ ) = ∏ f (x j ; θ ) = ∏ e −θ ⋅

θ x −θ θ x θx θ = e −θ ⋅ ⋅e ⋅ ⋅ ..... ⋅ e −θ ⋅ = e − nθ ⋅ 1

x1!

∑ xj

n

2

x2 !

xn !

j =1

.

n

∏ x j! j =1

Etapa 3) Logaritmăm funcţia de verosimilitate: ⎡ ⎤ n ∑ xj ⎥ ⎢ j =1 θ ⎥= L ( x1 , x 2 ,..., x n ; θ ) = ln P ( x1 , x 2 ,..., x n ; θ ) = ln ⎢⎢ e − n θ ⋅ ⎥ n ⎢ ∏ x j !⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ j =1

[

= ln e

− nθ

]+ ln θ

n

∑ xj j =1

n

n

n

j =1

j =1

j =1

− ln ∏ x j ! = − n θ + ∑ x j ln θ − ln ∏ x j !

Etapa 4) Rezolvăm ecuaţia: n

∑ xj n ∂L( x1 , x 2 ,..., x n ;θ ) j =1 = 0 ⇔ −n + = 0 ⇔ − nθ + ∑ x j = 0 şi obţinem că estimaţia de θ ∂θ j =1 n

maximă verosimilitate a parametrului λ este θˆ =

∑ xj j =1

n

⇔ θˆ = x , iar estimatorul de

maximă verosimilitate este θˆ = . X .

60

Etapa 5) Verificăm faptul că estimaţia găsită asigură maximul funcţiei de verosimilitate. n

∂ 2 L( x1 , x 2 ,..., x n ;θ ) ∂θ

2

=− θ =θˆ

n

∑ xj

∑ xj

j =1

θ2 θ =θˆ

= − j =1ˆ 2 < 0 , deoarece x j ∈ N , prin urmare θ

θˆ = .x este punct de maxim al funcţiei de verosimilitate. b) Estimaţia parametrului θ prin ambele metode de estimare punctuală este θˆ = .x . 10

Pe baza valorilor de selecţie din enunţ obţinem: θˆ = x =

∑ xj

= 2 ⋅1+ 4 ⋅ 2 + 3⋅3 +1⋅ 4 = 2,3 .

j =1

10

10

c) Avem că:

()

n n n ⎛ n ⎞ 1) M (θˆ ) = M (X ) = M ⎜ 1 ∑ X j ⎟ = 1 ∑ M (X j ) = 1 ∑ M ( X ) = 1 ∑θ = 1 ⋅ nθ = θ , deci M θˆ = θ . n n n ⎜ n j =1 ⎟ n j =1 j =1 j =1

⎝

()

( )

⎠

⎛

⎞

2) D2 θˆ = D2 X = D2 ⎜ 1 ∑ X j ⎟ = 1 ∑ D2 (X j ) = 1 ∑ D2 ( X ) = 1 ⋅ nD2 ( X ) = θ , unde am n n n ⎜n ⎟ n n

⎝ j=1

⎠

n

2

n

2

j =1

2

j =1

folosit că dispersia unei variabile aleatoare X cu repartiţie Poisson de parametru θ este D 2 (X ) = θ .

()

Rezultă că lim D 2 θˆ = lim θ = 0 . n→∞

n→∞ n

Din 1) rezultă că estimatorul este nedeplasat. Din 1) şi 2) rezultă că estimatorul este absolut corect. Deoarece am văzut că estimatorul este absolut corect, putem cerceta eficienţa, verificând condiţia: D 2 (θˆ ) =

1 , n ⋅ I (θ )

2 unde I (θ ) = − M ⎡⎢⎛⎜ ∂ ln f ( X ,θ ) ⎞⎟⎤⎥ . 2 ⎜ ⎟

⎣⎢⎝

∂θ

⎠⎦⎥

⎛ θ X ⎞⎟ ln f ( X ;θ ) = ln⎜ e −θ ⋅ = ln e −θ + ln θ X − ln X != −θ + X ln θ − ln X ! ; ⎜ ⎟ X ! ⎝ ⎠

( )

∂ 2 ln f ( X ;θ ) ∂ ln f ( X ;θ ) = − X3 ⇒ I (θ ) = −M − X3 = 13 M ( X ) = 13 ⋅ θ = θ1 . = −1 + X ; θ θ θ θ θ 2 ∂θ ∂θ

Rezultă că

()

θ 1 = = D 2 θˆ , prin urmare estimatorul este şi eficient. n ⋅ I (θ ) n

61

Teste de autoevaluare Fie X o variabilă aleatoare continuă, având densitatea de repartiţie: x ⎧⎪ x3 4 e − 2 λ , x > 0 f : R → R, f ( x; λ ) = ⎨ 96λ , λ > 0. ⎪⎩ x≤0 0, a) Să se estimeze parametrul λ prin ambele metode de estimare punctuală, utilizând o selecţie de volum n . b) Să se arate că estimatorul obţinut este absolut corect şi eficient.

Răspunsuri si comentarii la testele de autoevaluare a) Metoda momentelor Etapa 1) Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n . Etapa 2) Rezolvăm ecuaţia: M 1 ( X θ ) = M 1 ⇔ M ( X ) = X . ∞

0

−∞

−∞

∞

∞

0 x 2λ

0

(1)

3 x x M ( X ) = ∫ xf ( x)dx = ∫ x ⋅ 0dx + ∫ x ⋅ x 4 e − 2 λ dx = 1 4 ∫ x 4 e − 2 λ dx ; 96λ 96λ

facem schimbarea de variabilă

= t ⇒ x = 2λt ; dx = 2λdt şi obţinem:

∞

∞

0

0

M ( X ) = 1 4 ∫ (2λt )4 e − t 2λdt = λ ∫ t 4 e − t dt = λ Γ(5) = λ .4!= 8λ . 3 3 3 96λ Ecuaţia (1) devine: 8λ = X şi prin urmare estimatorul parametrului λ obţinut prin metoda momentelor este λˆ = X , iar estimaţia este λˆ = x . 8

8

Metoda verosimilităţii maxime Etapa 1) Considerăm o selecţie de volum n : X 1 , X 2 ,....., X n , cu valorile de selcţie x1 , x 2 ,....., x n . Etapa 2) Construim funcţia de verosimilitate:

(

)

n n x xj P ( x1, x2 ,..., xn ; λ ) = ∏ f x j ; λ = ∏ j 4 e − 2 λ = 96λ j =1

3

j =1

n

=

x13 96 λ 4

e − 2λ ⋅ x1

x 23 96 λ 4

e − 2 λ ⋅ ..... ⋅ x2

x n3 96 λ 4

e − 2λ = xn

(x1 x2 ...xn )

3

96 n λ4 n

e−

∑xj j =1 2λ

Etapa 3) Logaritmăm funcţia de verosimilitate: ⎡ ∑xj ⎤ ⎢ ( x1x2 ...xn )3 − j =21λ ⎥ L( x1, x2 ,..., xn ; λ ) = ln P( x1, x2 ,..., xn ; λ ) = ln ⎢ e ⎥= n 4n ⎥ ⎢ 96 λ ⎦ ⎣ n

[

]

n

ln ( x1x2 ...xn ) − ln 96 − ln λ 3

n

4n

∑xj

+ ln e

− j =21λ

n

n

∑ xj

= 3 ln ∏ x j − n ln 96 − 4n ln λ − 2λ j =1

j =1

62

Etapa 4) Rezolvăm ecuaţia: n

∑ xj n ∂L( x1 , x 2 ,..., x n ; λ ) j =1 = 0 ⇔ − 4n + 2 = 0 ⇔ −8nλ + ∑ x j = 0 şi obţinem că estimaţia λ 2λ ∂λ j =1 n

de maximă verosimilitate a parametrului λ este λˆ = maximă verosimilitate este λˆ

=.X 8

∑ xj j =1

8n

⇔ λˆ = x , iar estimatorul de 8

.

Etapa 5) Verificăm faptul că estimaţia găsită asigură maximul funcţiei de verosimilitate. n

∂ 2 L( x1, x2 ,..., xn ; λ ) 2

∂λ

λˆ =

x 8

∑ xj

= 4n2 − λ = λˆ

= 4n ⋅ 642 − n x ⋅ 512 = − 256 < 0, 3 2

j =1

λ

λ3

x

λ = 8x

x

x

prin

urmare

este punct de maxim al funcţiei de verosimilitate.

b) Verificăm condiţiile din definiţia estimatorului absolut corect: n ⎛ n ⎞ 1) M λˆ = M ⎛⎜ X ⎞⎟ = 1 M X = 1 M ⎜ 1 ∑ X j ⎟ = 1 ∑ M X j = 8 ⎜n ⎟ 8n j =1 ⎝8⎠ 8 ⎝ j =1 ⎠

()

( )

n

n

j =1

j =1

( )

()

= 1 ∑ M ( X ) = 1 ∑ 8λ = 1 8λn = λ . Am obţinut că M λˆ = λ . 8n 8n 8n

()

⎛

( )

2 2 1 D2 X = 1 D2 ⎜ 1 2) D λˆ = D ⎛⎜ X8 ⎞⎟ = 64 64 ⎜n ⎝ ⎠

⎞

∑ X j ⎟⎟ = 641n ∑ D2 (X j ) = n

⎝ j=1

n

⎠

n

2

j =1

D (X ) = 1 2 ∑ D2 ( X ) = 1 2 ⋅ nD2 ( X ) = 64n 64n 64n 2

j =1

( )

∞

0

−∞

−∞

∞

∞

0

0

3 x x M X 2 = ∫ x 2 f ( x)dx = ∫ x 2 ⋅ 0dx + ∫ x 2 ⋅ x 4 e − 2 λ dx = 1 4 ∫ x 5 e − 2 λ dx ; 96λ 96λ

cu schimbarea de variabilă

( )

MX

2

= 14 96λ

∞

x 2λ

= t ⇒ x = 2λt ; dx = 2λdt obţinem:

∞ 2 5 −t 2 2 2λ2 2λ2 λ ∫ (2λt ) e 2λdt = 3 ∫ t e dt = 3 Γ(6) = 3 .5! = 80λ ⇒ 0 0 2 2 2 2 2 5 −t

⇒ D2 ( X ) = M( X ) − M ( X ) = 80λ − 64λ = 16λ .

()

2 D 2 ( X ) 16 λ 2 = = λ . Revenind, găsim că D 2 λˆ =

()

64 n

64 n

4n

Rezultă că lim D 2 λˆ = lim λ = 0 . n→∞

2

n → ∞ 4n

Din 1) şi 2) rezultă că estimatorul este absolut corect.

63

Bibilografia unitatii de învatare 7 1. Gh. Cenuşă şi colectiv, Matematici aplicate in economie. Teorie si aplicatii. Editura CISON, Bucureşti, 2007 2. S. Dedu, F. Şerban, Matematici aplicate în economie. Culegere de probleme, Editura Teocora, Buzau, 2009 3. I. Purcaru , Matematici generale si elemente de optimizare, Editura Economică, Bucureşti, 1997.

Lucrarea de verificare nr. 6 1) Pentru a stabili conţinutul în magneziu al apei minerale provenite de la un anumit izvor s-a determinat cantitatea de magneziu, exprimată în grame, conţiunută într-un litru de apă minerală. Efectuîndu-se un număr de 15 măsurători, s-au obţinut următoarele rezultate, prezentate în ordinea apariţiei acestora: 7,2; 8,3; 6,7; 6,7; 7,2; 8,1; 8,3; 6,9; 7,2; 7,2; 8,1; 6,7; 6,7; 8,1; 6,7. a) Să se scrie repartiţia variabilei aleatoare de selecţie. b) Pe baza rezultatelor înregistrate, să se determine cantitatea medie de magneziu, exprimată în grame, conţinută într-un litru de apă minerală şi modul în care variază 2) Fie X o variabilă aleatoare continuă, având densitatea de repartiţie: ⎧⎪ x 2 3 e − 3xθ , x > 0 f : R → R, f ( x;θ ) = ⎨ 54θ , θ > 0. ⎪⎩ 0, x≤0 a ) Să se estimeze parametrul θ prin ambele metode de estimare punctuală, utilizând o selecţie de volum n . b) Să se arate că estimatorul obţinut este absolut corect .

64