MATEMÁTICAS+FINANCIERAS
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FACULTAD DE CONTADURÍA Y ADMINISTRACIÓN
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
UNIVERSIDAD DE SOTAVENTO, A.C.
01 1. 1975, 1975, pero puede puede ser redimid redimido o el 1º de enero enero de 1968 1968 o en cualqui cualquier er fecha posterior de pago de intereses. (a) allar el precio de compra el 1º de enero de 1961, que redit!e por lo menos "# con$erti%le semestralmente. (%) &i el %ono es redimido el 1º de 'ulio de 1970, cu cul es la utili tilida dad d del del in$e in$ers rsiionis onista ta * qu+ tas tasa con con$ert $erti% i%le le semestralmente redituar el %ono Resp. (a) -1060.5" (%) -/6.0/ ".//8#
/. allar allar el precio precio de compra compra de un %ono de anuali anualida dad d de -5000, -5000, a 15 aos con intereses al 6# anual, comprado al t+rmino del 8º ao, para que redit!e " #. Resp. - 2022.68 2. allar allar el precio precio de compra compra de un %ono %ono de anuali anualida dad d de -10,00 -10,000, 0, a 10 aos con intereses al "# con$erti%le semestralmente, comprado al t+rmino de tres aos para que redit!e 5# con$erti%le semestralmente. Resp. -71"9.81 ". 3na compa compa4a 4a emite -200,00 -200,000 0 en %onos %onos al 5# * acuerd acuerda a redimi redimirlo rloss mediante mediante pagos pagos de -150,00 -150,000 0 al t+rmino t+rmino de 5 * 10 aos. allar allar el precio pagado por un %anco el d4a de la emisin, que le redituar "#. Resp. Resp. -218,8"".07 5. &ust &ustititui uirr (1 (1 i) i) n : * ;r ;r g : g ( ? :) i 3tili@ar la frmula para resol$er el pro%lema 11.
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6. 3na 3na emis emisi in n de -50, -50,00 000 0 en %ono %onoss seri seriad ados os,, con con inte intere rese sess al "# con$erti%le semestralmente, semestralmente, con $encimientos de -500 cada 6 meses por por los los prAi rAimo moss 5 aos aos,, es comp compar arad ada a para para que que redi redit! t!e e 2# con$erti%le semestralmente. semestralmente. allar el precio de compra utili@ando utili@ando la frmula de ro%lemas resueltos. 2.12. >ro%lemas propuestos. UNIDAD 4. AMORTIZACIÓN. ".1. Lntroduccin. "./. Ka%las de Cmorti@acin. ".2. Lnter+s en el $alor de un %ien adquirido. ".". FAtincin de deudas consolidadas. ".5. ;ondos de Cmorti@acin. ".6. Ka%las de fondos de amorti@acin. ".7. >ro%lemas resueltos. ".8. >ro%lemas propuestos. UNIDAD 5. DEPRECIACIÓN. 5.1. Lntroduccin. 5./. Oonceptos. 5.2. recio del %ono comprado entre fecha de pago de inter+s. 6.5. Fl precio coti@ado de un %ono. 6.6. Kasa de reditua%ilidad. 6.7. Ponos con fecha opcional de redencin. 6.8. 3n %ono de anualidad. 6.9. Fmisin seriada de %onos. 6.10. >ro%lemas resueltos. 6.11. >ro%lemas propuestos. Pi%liograf4a.
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OBJETIVOS
1
Fnsear los factores que entran en 'uego en el clculo del inter+s simple.
Oapacitarlo para mane'ar estos factores.
Cplicarlos en la solucin de pro%lemas frecuentes en las matemticas financieras.
SUMARIO 1.1. J%'eti$os.
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1./ 1./. Mefi Mefin nicio icion nes. es. 1.2. 1.2. ;rm ;rmul ulas as %si %sica cas. s. 1.". 1.". Olcul Olculo o de inter+ inter+ss simp simple le * mon monto. to. 1.5. 1.5. Olc Olcul ulo o de de la tasa tasa de int inter er+s +s.. 1.6. 1.6. Olc Olcul ulo o del del $al $alor or pres presen ente te.. 1.7. 1.7. F'er F'erci cici cios os prop propue uest stos os.. 1.8. 1.8. Lnter+ Lnter+ss simp simple le eAacto eAacto * ord ordina inario rio.. 1.9. 1.9. Olcul Olculo o del del tiem tiempo po eAac eAacto to * aproAi aproAimad mado. o. 1.10. 1.10. F'ercicios F'ercicios propu propuesto estos. s. 1.11. 1.11. >agar >agar+s. +s. 1.1/. 1.1/. F'ercicios F'ercicios propue propuestos stos.. 1.12. Fcuaciones de $alor $alor a inter+s simple. 1.1". 1.1". Mescuent Mescuento o simple. simple. 1.15. 1.15. Mescuent Mescuentos os de pagar pagar+s. +s. 1.16. 1.16. >ro%lema >ro%lemass propues propuestos. tos. 1. INTERÉS SIMPLE 1.1
OBJETIVOS
Oapacitarlo para mane'ar estos factores * aplicarlos a la solucin de pro%lemas. Cprender definiciones, definiciones, mane'ar conceptos * factores %sicos que sern utili@ados en esta unidad.
1.2
DEFINICIONES
Fs la cantidad pagada por el uso de dinero o%tenido en pr+stamo. producida por la in$ersin del capital. Fs la cantidad producida Fs el producto del capital, por la tasa de inter+s, por el tiempo, su unidad es -,en donde la tasa * el tiempo, sus tasas de%en de ser congruentes. Fs cuando !nicamente el capital gana intereses por todo el tiempo que dura la transaccin, al inter+s $encido al final del pla@o se le conoce como inter+s simple.
1.3 FORMULAS BSICAS
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L O i t UUUUU(1) L & OUUUUU.(/) & O LUUUUU(2) & O O i t & O ( 1 i t)UU..(") DJKCOLSD DJKCOLSD T L inter+s simple (-) O capital (-) & or _inter+s al 6#` se eAtiende que el 6# se con$ierte anualmente de otra forma, la frecuencia de con$ersin se indica eApresamente, esto es, "# con$erti%le semestralmente, 5# con$erti%le trimestralmente, etc. Fn pro%lemas que implican inter+s compuesto, tres compuestos son importantes (a) el capital original, (%) la tasa de inter+s por periodo * (c) el n!mero de periodos de con$ersin durante todo el pla@o de la transaccin. F'emplo /. 3na cierta cantidad es in$ertida durante 8 aos al 7# con$erti%le trimestralmente. Fl periodo de con$ersin es 2 meses la frecuencia de con$ersin es ". Na tasa de inter+s por periodo de con$ersin es Kasa anual de intereses ;recuencia de con$ersin
0.07 0.0175 1 2W" "
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Fl n!mero de periodos de con$ersin es (numero dado de aos) (frecuencia de con$ersin) 8 A " 2" EL MONTO COMPUESTO. &ea un capital O in$ertido a la tasa i por periodo de con$ersin * designemos con & al monto compuesto de O al final de n periodos de con$ersin. >uesto que O produce Oi de inter+s durante el primer periodo de con$ersin, al final de dicho periodo produce a O Oi O (1 i). Fn otras pala%ras, el monto de un capital al final de un periodo de con$ersin se o%tiene multiplicando en capital por el factor (1 i). Fn consecuencia, al final del segundo periodo de con$ersin el capital es c(1 i) (1 i) O (1 i) / al final del tercer periodo de con$ersin, el monto es O (1 i) / (1 i) O (1 i) * as4 sucesi$amente. Na sucesin de montos. O(1 i), O (1 i) /, O (1i) 2 ;orma una progresin geom+trica cu*o nesimo t+rmino es & O (1i) n Fl factor (1 L) n es el monto compuesto de C a la tasa i por periodo, por n periodos de con$ersin * ser conocido como monto compuesto de 1. >ara una i * una n dadas, el monto compuesto puede ser o%tenido mediante al teorema %inominal utili@ando logaritmos. Fn caso de tasas comunes de inter+s, el $alor puede ser le4do directamente de ta%las preparadas espec4ficamente. >ara el clculo de & aproAimado a centa$os, utili@aremos !nicamente tantos decimales como d4gitos tenga O eApresado en centa$os. Fste procedimiento en ocasiones causar un error de un centa$o. F'emplo 2. &i se in$ierten -1000 durante 8 al 7# con$erti%le trimestralmente, tenemos que, O 1000, i 0.0175, n 2" * & O(1 i) n 1000 ) 1.0175) 2" 1000)1.8027/5) -1802.7/ Fl inter+s compuesto es 1802.7/ 1000 -802.7/ F'emplo ".
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Fl /0 de mar@o de 19"5, se in$irtieron - /00 en un fondo que paga%a el 5# con$erti%le semestralmente, Oul era el importe del fondo el /0 de septiem%re de 1961. O /00, i 0.0/5, n 22 * & O (1 i) n /00(1.0/5) 22 /00(/./5885) -"51.77 2.3 MONTO COMPUESTO CON PERIODOS DE CONVERSIÓN FRACCIONARIOS Na formula (1) se deri$a con la suposicin de que n es entero. Fn teor4a puede ser aplica%le para n entero o fraccionario. Cl e$aluar la formula cuando n es fraccionario, en ocasiones se utili@aran las ta%las L * L en otros casos ser necesario utili@ar los logaritmos. F'emplo 5. allar el monto compuesto (terico) de - 2000 en 6 aos 2 meses al 5# Fn este caso O 2000 i 0.05 * n /5W" por tanto. & 2000(1.05) /2W" 2000(1.05) 6 (1.05) Z Fn la practica raramente se aplica el procedimiento anterior. Fn su lugar se determina el monto compuesto correspondiente a los periodos de con$ersin * se aumenta con inter+s simple por el periodo fraccionario de con$ersin a la tasa anual estipulada. C menos que se diga otra cosa, de%er entenderse en futuras aplicaciones que este !ltimo sistema ser el utili@ado. F'emplo 6. Besol$er el e'emplo anterior aplicando inter+s simple en el periodo de con$ersin fraccionario. Cplicamos inter+s compuesto por 6 periodos (aos) e inter+s simple so%re el monto compuesto por Z ao, es decir & 2000(1.05) 6 (11.05 (1W")) 2000(1.2"0096) (1.01/5) - "070.5" DotaT Fsta regla es ms practica para simplificar los clculos,
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produce un resultado ligeramente ma*or que la regla terica. 2.4 TASAS NOMINAL ! EFECTIVA DE INTERESES &e dice que dos tasas anuales de inter+s con diferentes periodos de con$ersin son equi$alentes si se producen el mismo inter+s compuesto al final de un ao. F'emplo 7. Cl final de una ao el monto compuesto de -100 al (a) "# con$erti%le trimestralmente es 100 (1.01) " -10".06 (%) ".06# con$erti%le anualmente es 100(1.0"06) -10".06 >or tanto, "# con$erti%le trimestralmente * ".06# con$erti%le anualmente son tasas equi$alentes. Ouando el inter+s es con$erti%le ms de una $e@ en un ao, la tasa anual dada se conoce como tasa nominal anual o simplemente tasa nominal. Na tasa de inter+s efecti$amente ganada en un ao se conoce como tasa efecti$a anual o como tasa efecti$a. Fn el e'emplo 7 (a), "# es la tasa nominal mientras que en (%) ".06 es la tasa efecti$a. Oomo se mostr, ".06 es la tasa efecti$a equi$alente a una tasa nominal de "# con$erti%le trimestralmente. F'emplo 8. allar la tasa efecti$a de inter+s i equi$alente a una tasa nominal de 5# con$erti%le mensualmente. Fn un ao el monto de 1 a la tasa efecti$a i ser 1 i * al 5# con$erti%le mensualmente ser (1 0.05W1/) 12 aciendo $emos que
1 i (1 0.05W1/) 1/ i (1 0.05W1/) 1/ 1 1.05116190 1 0.05116190 o sea 5.116#
F'emplo 9. allar una tasa nominal ' con$erti%le trimestralmente equi$alente a una tasa efecti$a de 5#.
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Fn un ao, el monto de 1 a la tasa ' con$erti%le trimestralmente es (1 'W") * al 5# efecti$o es 1.05. aciendo "
(1 'W") " 1.05 $emos que
1 'W" (1.05) Z
>or tanto, ' " X(1.05) 1W" 1 Y "(0.01//7//2) 0.0"90889/ o sea ".909# DotaT Oiertos autores definen * ta%ulan $alores de 'p ( a la tasa i) p X (1 i) 1Wp 1) Y 2.5 APRO-IMACIÓN DE LA TASA DE INTERÉS Mados O, & * n en la ecuacin (1), puede ser aproAimada *a sea interpolando en la ta%la L o utili@ando logaritmos. F'emplo 10. C que tasa nominal ' con$erti%le semestralmente el monto de -100 ser -/15 en 15 aos Fn este caso O 100, & /15, n 21. &er i 'W/ de la ecuacin (1) tenemosT /15 /15 100(1 i) 21
* (1 i) 21 100
/,1500
Fn la ta%la L encontramos que (1.0/5) 21 /.15000677, por lo cual i 0.0/5 * ' /i 0.05 o sea 5# F'emplo 11. C que tasa nominal ' con$erti%le trimestralmente el monto de -1/50 ser -1900 en 10 aos Fn este caso O 1/50, & 1900, n "0 de (1) tenemos que, 1900 1900 1/50 (1 i) "0 * (1i) "0 1,5/00 1/50
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CproAimado a cuatro decimales las cifras de la ta%la L, tenemos que (1.01)"0 1."889 * (1.01/5) "0 1.6"26, cercano a 1.5/00. emos claramente que la tasa i %uscada de%e estar entre 1# * 1 Z # estando mas cerca de 1#. Chora, coloquemos a continuacin 'unto a cada par+ntesis rectangular la diferencia de las dos cantidades indicadas. (Fn este caso escri%imos i ? 0.01 A) 0.01 i 0.1/5
0.0/5
0.15"7
X
0.00/5
0.0311
0.15"7
1."889 1.5/00 1.6"26
0.0211
0.0311
0.15"7
Me la proporcin encontramos que por tanto i 0.01 A 0.01050 * j "i 0.0"/0 * "./0#
00050,
F'emplo 1/ Besol$er el e'emplo 11, usando logaritmos. Me la igualdad 19001/50 (1i) "0 tenemos Nog 1900log 1/50"0 log (1i) >or tanto Nog (1 L) log 1900 ? log 1/50 2/7857" ? 2096910 "0 "0 0.0"5"6 Me donde 1 i 1.0105/ o sea "./08#
i 0.0105/
2.6 APRO-IMACIÓN DEL TIEMPO
* ' "i 0.0"/08
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Oonocidos O, & e, i, el tiempo n de la formula (1) puede ser calculado interpolando en la ta%la L o aplicando logaritmos. F'emplo 12. Fn que tiempo el monto de -/000 ser - 2600 al "# con$erti%le semestralmente O /000, & 6250, i 0.0/ de la formula (1) tenemos 2650 /000 (1.0/) n * (1.0/) n 2650 1.8/50 /000
Fn la ta%la L, encontramos (1.0/) 20 1.81126158 * (1.0/) 21 1.8"75888/ Fs decir, que el tiempo requerido esta entre 20 * 21 periodos de con$ersin, o sea entre 15 * 15 , eAistiendo un monto ligeramente ma*or en la cuenta. &i el inter+s se carga por periodos de con$ersin fraccionarios, el tiempo puede ser estimado en forma similar a la del e'emplo 11. Na informacin se mane'a as4T
1
20 n 21
A 0.026/
1.811" 1.8/50 1.8"76
0.0125
Me la relacin A 0.0126 , A 0.28 * n 20 A 20.28, periodos de 1 0.026/ con$ersin. Fl tiempo es 15,19 aos, aproAimadamente. 2.+ PROBLEMAS RESUELTOS 1. 3na cierta cantidad es in$ertida por 6 aos, 7 meses, al 6# con$erti%le mensualmente. allar la tasa de inter+s i por el periodo de con$ersin *
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+l numero de periodos n. Fl periodo de con$ersin es un mes la frecuencia de con$ersin es 1/. >or tanto, i 0.06W1/ 0.005 o sea # * n 6 A 1/ 7 79 periodos de con$ersin. /. 3na cierta cantidad es in$ertida al 8# con$erti%le trimestralmente, del 10 de octu%re de 195" al 10 de enero de 196/. allar la tasa de inter+s i por el periodo de con$ersin * el numero de periodos n. Fl periodo de con$ersin es 2 meses la frecuencia de con$ersin es ". >or tanto, i 0.08W" 0.0/ o sea /# *
Co 196/ 195" Bestando 7
BF&FDKF de un pagare con inter+s, hallarT (a) Fl monto de la deuda al $encimiento. (%) Fl $alor presente del monto encontrado en (a. F'emplo 2. &uponiendo una tasa de rendimiento efecti$o de "# hallar el $alor presente de una deuda de - /500 contratada con intereses al 6# con$erti%le trimestralmente, pagadera en 8 aos. (a) Fl $alor al $encimiento es & /500 (1.015) 8/ /500(1.6102/") -"0/5.81 (%) Fl $alor presente de - "0/5.81 pagadero en 8 aos al "# efecti$o esT O "0/5.81(1.0") 8 "0/5.81(0.720690) -/9"1.6/
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2.10 VALOR PRESENTE PARA EL CASO DE UN PERIODO DE CONVERSIÓN FRACCIONARIO Ouando el tiempo en una parte fraccionaria del periodo de con$ersin, el $alor presente puede ser encontrado en forma similar al caso del inter+s compuesto mediante la regla terica * la regla practica. F'emplo ". allar el $alor presente de -2000 pagaderos en 8 aos 10 meses suponiendo un rendimiento de "# con$erti%le trimestralmente. & 2000, i 0.01, n 106W2 por tanto O 2000(1.01) ?106W2 Begla terica. aciendo uso de las ta%las * LL tenemos O 2000(1.01) ? 106W2 2000 (1.01) ?25 (1.01) ?1W2 2000(0.70591")(0.996689) -/110.72 Begla practica. Fn este caso n 106W2 25 1W2 descontamos & por 6 periodo (+l numero ma*or entero de periodos de con$ersin ms prAimo al pla@o dado) * le sumamos inter+s simple por 26 ? 25 1W8 /W8 de periodo de con$ersin, es decir por dos meses, por tanto. O 2000(1.01)26 (1 0.0"W6) 2000(0.6989/5)(2.0/W2) -/110.75 2.11 ECUACIONES DE VALOR 3na ecuacin de $alor se o%tiene igualando en una fecha de comparacin focal, la suma de un con'unto de o%ligaciones con otro con'unto de o%ligaciones. Fn +l capitulo " se hi@o notar que cuanto se trata con inter+s simple, dos con'untos de o%ligaciones que son equi$alentes en una cierta fecha pueden no serlo en otra distinta. Ouando se trata con inter+s compuesto, dos con'untos de o%ligaciones que son equi$alentes en una fecha tam%i+n lo son el cualquier otra. F'emplo 5. < de%e a D -1000 pagaderos en / aos * -2000 pagaderos en 5
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aos. Ccuerdan que < liquide sus deudas, mediante un pago !nico al final de 2 aos so%re la %ase de un rendimiento de 6# con$erti%le semestralmente. 1000 0
1
/
2000 2
"
5 aos
Mesignemos con [ el pago requerido. Komando el final del tercer ao como fecha focal, la deuda de - 1000 est $encida en un ao * su $alor es 1000 W1.02) /, la deuda de -2000 $ence en dos aos * su $alor es 2000 (1.02)", mientras que el $alor del pago [ es [ en la fecha local. Lgualando la suma de los $alores de las deudas con el $alor del pago !nico en la fecha focal tenemos. [ 1000(1.02)/ 2000 (1.02) " Komando la fecha inicial como fecha focal, la ecuacin de $alor esT (%) [ (1.02)" 1000 (1.02) " 2000(1.02) 10 Komando el final del quinto ao como fecha focal, la ecuacin de $alor esT (c) [ (1.02)" 1000(1.02)6 2000 (a)
Dtese que las tres ecuaciones de $alor son equi$alentes, por e'emplo (%) puede ser o%tenida de (a) multiplicando esta ultima (1.02) 6 * (c) puede ser o%tenida de (%) multiplicando esta por (1.02) 10. &in em%argo, si tomamos 100 aos despu+s como fecha focal, la ecuacin de $alor correspondiente puede ser o%tenida de (%) multiplicando esta por (1.02) 200. Me todas las ecuaciones que puedan formarse (a) es $isi%lemente la ms simple para determinar [. 3tili@ndola tenemos [ 1000(1.02) / 2000(1.02) " 1000(1.060900) 2000( 0.888"87) - 27/6.26 F'emplo 6 < de%e -1000 pagaderos en 1 ao * -2000 pagaderos en " aos. Ccuerda pagar -/000 de inmediato * el resto en / aos. Ounto tendr que pagar al final del /º ao suponiendo un rendimiento de 5# con$erti%le
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semestralmente
0
1
/
/000
2
" aos
[
Mesignemos con [ el pago requerido. Komando como fecha focal el final del /º ao, la deuda de - 1000 est $encida 1 ao * su $alor es 1000 (1.0/5)8, mientras que la deuda de -2000 $ence en / aos * su $alor es 2000 (1.0/5)" Cnalgicamente el pago de -/000 est $encido dos aos de la fecha focal * su $alor es /000 (1.0/5)", mientras que el pago [ $ale [. Lgualando la suma del $alor de los dos pagos * de las dos deudas, tenemos /000(1.0/5) " [ 1000(1.0/5) / 2000(1.0/5) " >or tanto, [ 1000(1.0/5) / 200081.0/5) " ? /000(1.0/5) " 1050.6/ /717.85 ? //07.62 -1560.8" 2.12 TIEMPO EUIVALENTE Na fecha en la cual un con'unto de o%ligaciones, con $encimiento en fechas diferentes, puede ser liquidado mediante un pago !nico igual a la suma de las distintas deudas, se conoce como fecha de $encimiento promedio de las deudas. Fl tiempo por transcurrir hasta dicha fecha se conoce como tiempo equi$alente. F'emplo 7. Oul es el tiempo equi$alente para el pago de unas deudas de -1000 con $encimiento de 1 ao * -2000 con $encimiento en / aos suponiendo un rendimiento de "# con$erti%le trimestralmente
0
1
/
2
"
5
6
"m 7 "000
8
periodos de con$ersin (trimestre)
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Mesignemos con A (aos) el tiempo equi$alente. Komando el d4a de ho* como fecha focal, la ecuacin de $alor es "00081.01) " 1000(1.01) " 2000(1.01) 8 FntoncesT (1.01) " 1000(1.01) " 2000(1.01) 8 2721."2 0.92/8575 "000 "000
3
OBJETIVOS Beconocer, definir * clasificar los diferentes tipos de anualidades.
Ldentificar * mane'ar los distintos factores que inter$ienen en las anualidades.
Cplicarlos en la solucin de pro%lemas de montos o $alores futuros, $alores actuales, rentas de anualidades, tasas de inter+s * tiempos o pla@os. SUMARIO
3nidad 2. Cnualidades. 2.1. Lntroduccin. 2./. Olasificacin de las Cnualidades. 2.2. Cnualidades &imples Oiertas Jrdinarias. 2.2.1. alor de las Cnualidades. 2.2./. ro%lemas resueltos. 2.2.". >ro%lemas propuestos. 2.2.5. Olculo de la renta en una Cnualidad &imple Oierta Jrdinaria. 2.2.6. Olculo del tiempo o pla@o de una anualidad. 2.2.7. Olculo de la tasa de inter+s de una anualidad simple cierta ordinaria. 2.2.8. >ro%lemas resueltos. 2.2.9. >ro%lemas propuestos. 2.". Cnualidades Cnticipadas.
2.6. Cnualidad Heneral Oaso Fspecial. 2.6.1. Lntroduccin. 2.6./. &4m%olos utili@ados en las anualidades generales. 2.6.2. Oon$ersin de una anualidad general en una anualidad simple. 2.6.". ro%lemas resueltos. 2.6.8. >ro%lemas propuestos. 2.6.9. Olculo del tiempo o pla@o de una anualidad general. 2.6.10. Olculo de la tasa de inter+s de una anualidad general. 2.6.11. >ro%lemas resueltos. 2.6.1/. >ro%lemas propuestos
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2.".1. Lntroduccin. 2."./. &4m%olos utili@ados en las Cnualidades Cnticipadas. 2.".2. ro%lemas Besueltos. 2.".5. >ro%lemas >ropuestos. 2.5. Cnualidades Miferidas. 2.5.1. Lntroduccin. 2.5./. &4m%olos utili@ados en las Cnualidades Miferidas. 2.5.2. alores de las Cnualidades Miferidas &imples Oiertas. 2.5.". >ro%lemas Besueltos. 2.5.5. >ro%lemas propuestos.
3. ANUALIDADES 3.1 INTRODUCCIÓN Fn matemticas financieras la eApresin anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fi'as a inter$alos iguales de tiempo. >or costum%re se usa la pala%ra anualidad, que en un sentido propio de las finan@as no significa pagos anuales sino simplemente pagos a inter$alos regulares de tiempo. Cs4 son anualidades los di$idendos so%re acciones, los fondos de amorti@acin, los pagos a pla@os, los pagos peridicos de las compa4as de seguros * en una forma ms general, los sueldos * todo tipo de rentas son anualidades. D#))). 3na anualidad es una sucesin de pagos peridicos iguales. 3.2 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Nos factores financieros que inter$ienen en las anualidades * sus formas de pago, determinan diferentes tipos de anualidades. >ara su estudio ordenado es necesario clasificarlas * definirlas. R#7. Fl $alor de cada pago peridico reci%e el nom%re de renta. P#89':' :# %7;' o %#89':' :# &7 8#7. Fl tiempo que se fi'a entre dos pagos sucesi$os en el per4odo de pago o per4odo de la renta.
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T)#$%' o %&7 Miferidas >erpetuas >erpetuas diferidas
A))%7:7> Miferidas >erpetuas >erpetuas diferidas
ANUALIDADES EVENTUALES
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O CONTINGENTES Jrdinarias o $encidas
Cnticipadas
D)#8):7>
D)#8):7> >erpetuas >erpetuas diferidas
>erpetuas >erpetuas diferidas
Oada una de las distintas formas de anualidades presenta $ariantes en la forma de calcular sus $alores, seg!n el n!mero de pagos en el ao * n!mero de per4odos de capitali@aciones anuales que estipule el tipo de inter+s. &i el per4odo de capitali@acin coincide con el per4odo de pago se dice que las anualidades son anualidades simples. 3.3 ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS. &on aquellas cu*o per4odo de pago coincide con el per4odo de capitali@acin. 3.3.1 VALOR DE LAS ANUALIDADES Fl $alor de las anualidades calculado a su terminacin es el monto de ella. Fl $alor de la anualidad calculado a su comien@o es su $alor actual o presente. Fstos $alores se pueden tam%i+n calcular en fechas intermedias, en tal caso se refiere aT monto de la parte $encida o $alor actual de las anualidades por $encer. Cs4 por e'emplo una renta de - /000 pagaderos cada final de ao durante 6 aos tendr un monto & al finali@ar los 6 aos * tendr un $alor actual o presente C en su fecha inicial. 0
1
/
2
"
5
C /000 /000 /000 /000 /000 parte $encida fecha intermedia parte por $encer
6 /000 &
Kranscurridos / aos se tiene una fecha intermedia que separa la parte $encida de la anualidad de la parte por $encer tal como se muestra en el grfico.
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Fl clculo de los $alores de la anualidades se puede hacer comen@ando con un caso general que inclu*a las diferentes formas de anualidades. >ero desde un punto de $ista didctico es con$eniente guiar el aprendi@a'e, comen@ando por los casos de ms frecuente aplicacin para finali@ar con un tratamiento general de ellas de acuerdo con este m+todo hemos desarrollado los acpites que siguen. 3.3.2 MONTO ! VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ORDINARIAS Fste tipo de anualidades es el ms frecuente * por esto cuando se dice simplemente anualidad, se supone que se trata de una anualidad simple cierta ordinaria. Na tasa de inter+s es por lo general una tasa de inter+s nominal anual. Fn caso de que la tasa no sea nominal se aclarar diciendo tasa efecti$a anual. &i la tasa dada es nominal, sin especificacin de per4odo de capitali@acin, la tasa efecti$a en el per4odo de pago es el cociente entre la tasa nominal * el n!mero anual de pagos. S9$@'&'> =# ># =)&) 7=7&):7:#> B pago peridico de una anualidad o renta. i tasa efecti$a por per4odo de capitali@acin. ' tasa nominal anual. m numero de capitali@aciones en el ao. '(m)tasa nominal con m per4odos de capitali@aciones en el ao. n n!mero de per4odos de pago. & monto de una anualidad. C $alor actual o presente de una anualidad. C&=&' :#& $''. Nos pagos B efectuados al final de cada per4odo ganan inter+s compuesto hasta la fecha final. Fsta%leciendo la ecuacin de equi$alencia para la fecha final como fecha focal, tendremos 0 1
/
2
n 1 n per4odos B
B
B
Oada pago efectuado al final de per4odo capitali@a los intereses en cada uno de los per4odos que le siguen. Fl primer pago acumula durante
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(n1) per4odos, el segundo durante (n/) per4odos * as4 sucesi$amente hasta el !ltimo pago que no gana intereses *a que su pago coincide con la fecha de t+rmino. Nos montos respecti$os de los pagos B comen@ando por el !ltimo sern B,B(1i),B(1i) /, ,B(1i)n/ B(1i)n1. Fl monto total & de la anualidad es igual a la suma de los montos producidos por las distancias rentas B, o seaT &BB(1i)B(1i) /...B(1L) n/B(1L) n1 Nos t+rminos del segundo miem%ro forman una progresin geom+tricamente de n t+rminos, ra@n (1i) * primer t+rmino B. Cplicando la frmula de la suma dada en 0.11 se tieneT
C(r n ? 1) S r 1
BX(1 ? i) n ? 1Y S (1 ? i) 1
(1 ? i) n ? 1 &B i
&i el $alor de cada pago B es de una unidad monetaria, el monto & corresponder al monto de una anualidad de uno por per4odo * se eApresa con el s4m%olo s n i que se lee s su% n al i, sustitu*endo este s4m%olo en la frmula (/6a) se o%tieneT n (1 ? i) ? 1 s n i i &Bs n i
Nos $alores de s n i se pueden calcular utili@ando logaritmos. Fn la prctica los clculos se efect!an utili@ando ta%las que tienen ta%ulados estos $alores. Na ta%la incluida al final de este li%ro, tiene los $alores de s n i calculados para las tasas * n!meros de per4odos que se utili@an en los pro%lemas que se presentan en esta o%ra. Clgunos autores eApresan i en tanto por ciento * escri%en, por e'emplo, s /0 2# para eApresar el monto de 1 en /0 periodos al 2# efecti$o en el periodo. Dosotros utili@aremos la eApresin decimal * escri%iremos s /0 0.02 .
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alor actual o presente de una anualidad es aquella cantidad C de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad, dar un monto equi$alente al monto de la anualidad. ;ormando la ecuacin de equi$alencia, utili@ando como fecha focal la fecha final, se tieneT 0
1
R
/
R
C C(1 i)n &
n ?1 n per
R
R
R &
n (1 ? i) ? 1 n C(1 L) B i n (1 ? i) ? 1 C B (1 L)n i 1 ? (1 L ) n C B i
&i el $alor de cada pago B es de una unidad monetaria, el $alor actual C es el $alor actual de una anualidad de 1 por per4odo * se eApresa con el s4m%olo a n i ( a su% n al i ), sustitu*endo este s4m%olo en (/7) se o%tieneT
1 ? (1 L ) n a ni i C Ba n i Nos $alores de a n i se pueden calcular por logaritmos en la prctica se utili@a para los clculos, ta%las que tienen ta%ulados estos $alores. Na ta%la L incluida al final de este li%ro, tiene los $alores de a n i de uso frecuente en los pro%lemas que se ofrecen en esta o%ra. Fn la misma forma que el s4m%olo s n i el $alor de i se acostum%ra eApresarlo en # * en decimal * se escri%e a /0 2# para eApresar el monto de 1 en /0 periodos al 2 #. Dosotros utili@aremos la forma decimal o sea el tanto por uno que hemos $enido usando en los cap4tulos anteriores * escri%iremos a 10 0.02 . 3.3.3 PROBLEMAS RESUELTOS E"#$%&' 1. 3na persona que $ia'a fuera de su localidad de'a una propiedad en alquiler por 5 aos, con la condicin que se pague - 9000 por
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trimestre $encido que sern consignados en una cuenta de ahorros que paga 8# nominal anual. allar el monto en los 5 aos * el $alor actual del contrato de alquiler. & Bs n i 0.08 B 9000 ' 0.08 m " i " 0.0/ n "b5/0 & 9000s /0 0.0/ en ta%la , s /0 0.0/ /",/9726980 & 9000(/",/9726980) - /18.676,22 C Ba n i 9000a /0 0.0/ Fn ta%la L, a /0 0.0/ 16,251"222" C 9000(16,251"222") - 1"7.16/,90 F'emplo /. Kasas que no figuran en las ta%las. allar el monto * el $alor actual de una anualidad de - 5000 pagadera semestralmente durante 7 aos 6 meses al 8,6 # capitali@a%le semestralmente. 0.086 1 B 5000 ' 0.086 m/ i / 0,0"6 n 7 / (/) 15 & 5000s 15 0,0"2 >ara L 0,0"2 s n i no figura en la ta%la * es necesario calcular aplicando logaritmos o utili@ando una calculadora.
(1 i)n ? 1 (1 0,0"2) 15 ? 1 & B 5000 0,0"2 i &e calcula primero (1,0"2) 15 [ (1,0"2)15 log [ 15log1,0"2 log [ 15(0,018/8") 0,/7"/60 [ 1,880"9 0,880"9 1,880"9 1 & 5000 0,0"2 50000,0"2 &-10/.28/,55 1(1 i) n alor actual C i 5000
1 (1,0"2) 15 0,0"2
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log[ 15log)1,0"2) 15(0,018/8") 0,/7"/60 log[ 9,7/57"0 ? 10 [ 0,52179 10,52179 0,"68/1 C5000 0,0"2 5000 0,0"2 C - 5".""2,0/
F'emplo 2. D!mero de per4odos ma*ores que el mAimo de las ta%las. Ouando el n!mero de per4odos es ma*or que el mAimo de las ta%las, los $alores se calculan aplicando los m+todos que se indican en los pro%lemas 8 * 18 de este cap4tulo. Fn este e'emplo desarrollaremos una solucin que es de uso frecuente. allar el monto * el $alor actual de una anualidad de - 100 mensuales pagaderos durante 15 aos al 9# nominal con$erti%le mensualmente. 0,09 B 100 '0,09 m1/ i 1/ & 100s 180 0,0075 (1 0,0075) 180 1 &100 0,0075
0,0075 n15(1/)180
(1,0075) 180 (1,0075) 100(1,0075) 80 utili@ando la ta%la L (1,0075) 180 /,1110828"(1,8180"298) 2,8280"2/7 /,8280"2/7 S 100 0,0075 3+.,40/5+ $alor actual C 100180 0,0075 C100 1 ?0,0075 (1 0,0075) 180 (1,0075) 180 (1,0075) 100(1,0075) 80 utili@ando la ta%la LL (1,0075) 180 0,"7269022(0,5500"170)0,/605"9"/ 1 ? 0,/605"9"/ 0,729"5058
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C 100 0,0075 A ,5/34
100 0,0075
P8'@&#$7> 8#>=#&'> 1.3na persona deposita -/000 al final de cada ao durante 15 aos en una cuenta de ahorros que paga el 8# de inter+s. allar el monto al efectuar el !ltimo pago. B /000 i 0,08 n 15 &Bsn i /000s 15 0,08 & /000(/7,15/11292) -5".20",/2 /. 3na persona desea comprar una renta de -/0.000 pagadera semestralmente durante los prAimos 10 aos. allar a la tasa del 6# el costo de la anualidad. B /0.000 '0,06 m/ i0,02 n /(10)/0 C Ban i /0.000a /0 0,02 A20.000(14/,++4+4,6*2+.54/50 2. 3na compa4a $ende ne$eras con una cuota inicial de -1000 * 16 cuotas mensuales de -500. &i se carga el 15# con capitali@acin mensual, hallar el $alor de contado. $alor de contado cuota inicial $alor actual de las mensualidades $alor de contado cuota inicial Ba
n i
cuota inicial 1000 B500 n16 '0,15 m1/
i
0,15 1/
0,01/5
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$alor de contado 1000 5000 16 0,01/5 $alor de contado 1000 500(1","/0/9//7)- 8/10,15
". 3na persona de%e pagar una anualidad de -6000 trimestral durante 10 aos. &i no efect!a los " primeros pagos,cunto de%e pagar al $encer la quinta cuota para poner al d4a su deuda, si la tasa de la operacin es del 10# con capitali@acin trimestral &e calcula el monto parcial hasta el quinto pago. 0
1
5
20 periodos
s
s
& monto parcial B6000 '0,10 m" i 0,10 W " 0,0/5 n 5 & 6000s5 0,0/5 6000(5,/562/85/)-21.527,97 5. 3na persona de%e pagar durante 10 aos una anualidad de -5000 semestrales pactados al 8#. Cl efectuar el no$eno pago desea liquidar el saldo con un pago !nico Ounto de%e pagar en la fecha del no$eno pago para liquidar la deuda 0
1
9
/0 periodos
C Cl efectuar el no$eno pago quedan /0 ? 911 pagos >ago !nico B C(B es el $alor de cada anualidad * C el $alor actual de los 11 pagos pendientes) B5000 '0,08 m/ i0,08 W / 0,0" >ago !nico 5000 5000 11 0,0" 5000 5000(8,760"7671) "8.80/,28 6.Cl cumplir su hi'o 10 aos, el padre decide consignar semestralmente en una cuenta de ahorros que paga el 9# nominal, la cantidad de -/000. &i hace estas consignaciones durante 5 aos consecuti$os, calcular la cantidad que tendr en su cuenta el hi'o al cumplir /1 aos.
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0
1
/
10 aos
2
11
/2 aos
11 aos
15 aos /1 aos de edad & & >rimero se calcula el monto & de las consignaciones durante 5 aos. B /000 '0,09 m/ i 0,09W/0,0"5 n11 & /000s 11 0,0"5 /000(12,8"117879) &- /7.68/,26 Fl monto cuando el hi'o cumple 15 aos, hecho el !ltimo pago, es de - /7.68/,26 * esta suma gana inter+s compuesto durante 1/ periodos hasta que el hi'o cumpla /1 aos de edad. &O(1 i )n O- /7.68/,26 i0,0"5 n/(6)1/ &-/7.68/,26(10,0"5) 1/ &-/7.68/,26(1,695881"2)-"6.9"6 7. Memostrar que (1i)s
ni
s n 1 i ?1
(1 ? i)n ? 1 (1 ? i) n1 ? (1i) (1i)s n i (1i) i n1i n1 (1 i) ? 1 (1 i) ? 1i i (1i)s n i i i (1i)s n i s n1 i ?1i h h= 8. Memostrar que a a (1i) a =i h= i h i 1 ? (1L) a h= i i
1 ? (1L)h= (1L)h(1L)h= a h= i i 1 ? (1L)h (1i)hX1(1i)=Y a h= i i i a h= i a h i (1i)h a = i 3.3.4 PROBLEMAS PROPUESTOS
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9. Oalcular el monto * el $alor actual de las siguientes anualidades ciertas ordinariasT a) - /000 semestrales durante 81W/ aos al 8# capitali@a%le semestralmente. %) - "000 anuales durante 6 aos al 7,2# capitali@a%le anualmente. c) - /00 mensuales durante 2 aos " meses capitali@a%le mensualmente, al 8# con capitali@acin mensual. 10. 3na persona deposita -5000 cada final de ao en una cuenta de ahorros que a%ona el 8# de inter+s. allar la suma que tendr en su cuenta al ca%o de 10 aos al efectuar el !ltimo depsito. 11. Oalcular el $alor de contado de una propiedad $endida en las siguientes condicionesT -/0.000 de contado, - 1000 por mensualidades $encidas durante / aos 6 meses * un ultimo pago de - /500 un mes despu+s de pagada la !ltima mensualidad. >ara el clculo utilice el 9# con capitali@acin mensual. 1/. calcular el $alor de contado de un equipo industrial comprado as4T 6000 de " contado * 1/ pagos trimestrales de - /000 con 1/# de inter+s capitali@a%le trimestralmente. 12. Oul es el $alor de contado de un equipo comprado con el siguiente planT - 1",000 de cuota inicial, - 1600 mensuales durante / aos 6 meses con un !ltimo pago de -/500 si se carga el 1/# con capitali@acin mensual 1". 3na mina en eAplotacin tiene una produccin anual de -8.000.000 * se estima que se agotar en 10 aos. allar el $alor actual de la produccin, si el rendimiento del dinero es del 8#. 15. Fn el pro%lema 1" si se estima que al agotarse la mina ha%r acti$os recupera%les por $alor de -1.500.00 encontrar el $alor actual incluidas las utilidades si +stas son el /5# de la produccin. 16. 3na persona reci%e tres ofertas para la compra de su propiedad. a) -"00.00 de contado %) -190.00 de contado * -50.00 semestrales durante /1W/ aos. c) -/10.00 de contado * -/0.00 trimestrales durante 2 aos \ue oferta es ms con$eniente si el inter+s es 1/# nominal anual
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17. 3n seor puso al nacer a su hi'a * en cada uno de sus sucesi$os cumpleaos - 1500 en una cuenta que a%ona el 8#. Cl cumplir su hi'a 1/ aos aument sus consignaciones a -2000. Oalcular la suma que tendr a su disposicin la hi'a al cumplir 18 aos. 18. Memostrar que s
h= i
s h i (1 i) h s = i.
19. 3na persona deposita -100 al final de cada mes en una cuenta que a%ona el 6# de inter+s capitali@a%le mensualmente. Oalcular su saldo en la cuenta al ca%o de /0 aos. /0. Oul es el $alor actual de una renta de -500 mensuales que se reci%ir durante 15 aos Oalcular con el 6# capitali@a%le mensualmente. acer el clculo (a) utili@ando la ta%la LL, (%) utili@ando la frmula desarrollada en el pro%lema 18. /1. Memostrar que s h= i (ah i s = i )(1i) h //. Memostrar queT (a) (1i)a n i a n1 i 1 (%) (1i)sn i s n1 i 1 /2. Memostrar que para h = s h ? = i s h i (1i)h a = i /". Memostrar que para h= s h= i (1i)= s h i a = i /5. Memostrar que para h= a h= i a h i ?(1i)hs = i /6. Memostrar que T
1
s n m i
1 W sn i
1W sn i& m
i
(1 i) m
3.3.5 CLCULO DE LA RENTA EN UNA ANUALIDAD SIMPLE/ CIERTA ORDINARIA Fs frecuente e importante la necesidad de conocer el importe de los pagos peridicos para lograr un determinado resultado, as4 por e'emploT Oul es el pago mensual que se de%e hacer para cancelar el $alor de una propiedad en un cierto n!mero de aos \u+ cantidad de dinero ha%r que colocar, peridicamente, en un fondo de amorti@acin, para
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cancelar una o%ligacin a largo pla@oOon qu+ cuotas peridicas se puede cancelar una mercanc4a, conocido el $alor de contado * la tasa de inter+s
Mos son los pro%lemas que se presentan, seg!n se cono@caT Fl monto a cancelar en fecha futura o el $alor actual que se de%e de cancelar mediante pagos peridicos. (a)
Olculo de la renta cuando se conoce el monto Me la frmula (/6%) & Bs n i &e o%tiene B & 1 W s n i Fl s4m%olo 1 W s n i reci%e el nom%re de factor del fondo de amorti@acin * es el $alor de la renta de una anualidad cu*o monto ascender a una unidad monetaria despu+s de n pagos a la tasa i por per4odo de pago. Fl $alor de este factor, para las tasas que con frecuencia se utili@an en esta o%ra se encuentran en la ta%la LLL para $alores de n desde 1 hasta 100. (%) Olculo de la renta cuando se conoce el $alor actual. Me la formula (/7%) C Ba n i &e o%tiene B C 1W a n i Fl s4m%olo a n i reci%e el nom%re de factor de amorti@acin * es el $alor de la renta de una anualidad que amorti@a una deuda de una unidad monetaria en n pagos a la tasa de i por per4odo de pago. Fn esta o%ra no hemos incluido la ta%la para los $alores del factor de amorti@acin el lector de%er calcular los $alores de 1 Wa n i utili@ando la ta%la LL que tiene los $alores de 1 W s n i * apro$echando la siguiente relacinT Me (/6a) s n i (1i)1 ?1 W i &e o%tiene 1W s n i i W (1i) n ?1 Me (/7a) a n i 1(1i) n W i &e o%tiene 1Wa n i iW 1(1i) n &umando i al $alor de 1W s n i se o%tiene
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i 1 W s n i i W X(1i) n ?1Yi ii(1i)n1 W (1i) n1 i 1 W s n i iW 1(1i) n de donde 1W a n i 1W s n i i Nos $alores de 1W a n i se o%tienen sumando i al correspondiente $alor de 1 W 1W s n i E"#$%&' 4. Oalcular los depsitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8# con capitali@acin semestral, para o%tener en 5 aos un capital de -/0.000 B & 1W s n i & /0.00 ' ) 0,08 m/ i 0.0" n10 B /0.00 1W s 10 0,0" /0.00(0.082/909") B - 1665,8/ E"#$%&' 5. Oalcular los pagos por semestres $encido, necesarios para cancelar el $alor de - 100.00 de una propiedad comprada a 8 aos pla@o con el inter+s del 9# capitali@a%le semestralmente. B C 1W a n i C 100.00 '0,09 m/ i 0,09W/0,0"5 n8b/16 R 100.000 (1W
a
16 0,0"5) 100.000 ( 1W s 16 0,0"5 i)
1W s 16 0,0"5 0,0""01527 1W s 16 0,0"5 0,0""01527 0,0"5 0,08901527
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R 100.000(0,08901527) >agos semestrales R - 8901,5" 3.3.6 CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD &i en (/6a) o (/7a) se conocen el monto S o el $alor actual A, A, la tasa * la renta R , se puede calcular el $alor de n o sea el numero de pagos. 3tili@ando logaritmos, (/6a) * (/7a) se pueden resol$er para n as4 por e'emploT (/6a)
S R ( ( (1 i) n ? 1)W1) (1 i) n ? R Si R (1 R (1 (1 i) n Si R log R n log (1 i) log ( Si R ) (Si R ) ? log R n log (1 i) log (Si n (log (Si R ) ? log R )W )W log (1 i)
Fn la prctica el clculo de n se efect!a utili@ando ecuaciones de equi$alencia o interpolando entre dos $alores de las ta%las. E"#$%&' E"#$%&' 6. Ountos pagos semestrales semestrales de - 600 se de%ern hacer hacer para cancelar cancelar una deuda deuda de - "500 con el 7# de inter+s inter+s capitali@a%le semestralmente - "500 es el $alor actual de la deuda para el clculo del n!mero de pagos aplicamosT A A R a R a n
i
A "500 R 600 j 0,07 0,07 m / i i 0.07W/ 0.025 "500 600 a n an
0.035
0.035
"500 W 600 7,5
Fn la ta%la ta%la L columna columna del 2 # no eAiste eAiste para n entero el
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$alor 7,5 *a que este $alor se encuentra comprendido entreT as
0.035
6,8729555" * a
0.035
7,60768651
&i por alg!n moti$o se necesita calcular un $alor decimal aproA aproAima imad d del del numer numero o de perio periodos dos,, se puede puede proce procede derr por interpolacin as4T a 9 corr corres espo pond nde e 7,60 7,6076 7686 8651 51 a n corr corres espo pond nde e a 8 corr corres espo pond nde e 6,87 6,8729 2955 555" 5" a 8 corr corres espo pond nde e 1 es a 0,72272097 como n ? 8 es a
7,50 7,5000 0000 0000 00 6,87 6,8729 2955 555" 5" 0,6/60"""6
1W0,72272097 n ? 8 W 0,6/60"""6 n ? 8 0,6/60"""6W0,72272097 0,852 n 8,852 periodos semestrales Fn las acti$idades financieras se acostum%ra dar soluciones practicas optando por cualquiera de las dos alternati$as que se eApresan a continuacinT (a) (%)
Cumentar el pa pago cor correspondiente al ul ultimo per periodo entero (en nuestro caso el 8). 3tili@ar el el en entero su superior, ef efectuando un un pa pago me menor en el ultimo periodo. (en nuestro e'emplo se tra%a'ar4a con 9 periodos efectuando un pago menor al final del no$eno periodo)
Fstas soluciones no enteras dan origen a las anua!i"a"es impr#pias # $aria%!es que son aquellas cu*os pagos o rentas no son iguales. &i en nuestro e'emplo optamos por la alternati$a (%) se tendr que efectuar un ultimo pago menor que los anteriores * suficiente para cancelar eAactamente el saldo remanente que queda despu+s de efectuar los 8 primeros pagos. >ara calcular el $alor del ultimo pago se plantea una ecuacin de equi$alencia. Fscogiendo la fecha inicial como fecha focal, tendremos para A A "500 r 600 j 600 j 0,07 m / i 0.07W/ 0,025 n 9
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0 "500
1
/...
8
600
600
600
9 periodos [
"500 600 a & 0.035 ' (1 (1 0,025) ?9 "500 600(6,8729555") ' (0,72272097) (0,72272097) "500 "1/",27 0.72272097 ' 0.72272097 ' [ ("5 ("500 ? "1/" 1/",27 ,27) W 0,72 ,722720 72097 - 511, 511,9 9" Na anualidad, en este caso impropia, esta formada por 8 pagos semestrales de - 600 cWu * un ultimo pago de - 511,9" 511,9" al final del no$eno semestre >ara el clculo del ultimo pago pudimos apro$echar la interpolacin hecha anteriormente * tendr4amosT (0,6/60"""6 W 0,72272097)(600) 511,9" 511,9" >ara demostrar demostra r que las dos formas de clculo son iguales %asta o%ser$ar que 0,6/60"""6 7,5000000 ? 6,8729555" * que (600)(0 (600)(0,6/6 ,6/60""" 0"""6W0, 6W0,7227 7227209 2097)( 7)((7,5 (7,50000 000006, 06,872 8729555 9555") ") (600) ("500 ? "1/",27) W 0,72272097 - 511,9" 511,9" J%ser$e tam%i+n que a i a & i ( 1 i) 9
W0,72272 W0,72272097 097))
Memostracin X(1 ? (1 i) 9) Wi Y X(1 ? (1 i) 8) Wi Y X(1 i) 8 (1 i)9 Y Wi a
i
a & i ( 1 i)9 X (1 i) ? 1Y W i (1 i) 9
>ara una demostracin general de que la interpolacin interpolaci n o%tenida multiplicada por la renta es igual al $alor encontrado por medio de ecuaciones de equi$alencia, estudie el pro%lema 5". Me lo anterior anterior podemos podemos enunciarT enunciarT Ouando Ouando el $alor $alor a n i A ( R es resuelto por interpolacin, la parte decimal de n es la parte de la renta R que se de%e pagar en el final del per4odo, que corresponde al entero superior, para cu%rir totalmente el $alor de la anualidad.
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3.3.+ CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS DE UNA ANUALIDAD SIMPLE CIERTA ORDINARIA Na tasa i de una anualidad puede ser incgnita cuando se conocen los dems elementos de una anualidad por lo general los $alores de i correctos desde un punto de $ista matemtico, resultan ficticios en la prctica. Cs4 por e'emplo si el calculo da para i el $alor 7,2/562#, desde el punto de $ista matemtico es correcto, pero tal $alor no es utili@ado en la practica * se tomara como )asa apr#*ima"a el $alor 7 1W2#. Na tasa aproAimada de inter+s se acostum%ra calcularla por interpolacin con lo que se o%tienen $alores suficientemente aproAimados para cualquier propsito. Fste m+todo lo ilustraremos con el e'emplo que sigueT E"#$%&' +. 3na compa4a de seguros ofrece por un pago inmediato de 90,000.00 una renta de - 5000 pagadera durante 20 aos al comprador o a sus herederos. \u+ tasa de inter+s a%ona la compa4a de seguros a n i A ( R A 90.000 R 5000 n 20 a 30 i 90.000 W 5000 18 >ara encontrar los $alores de a n i entre los cuales se halle comprendido el $alor 18,000000, %uscamos en la ta%la L en la l4nea correspondiente a n 20. Fstos $alores sonT para a 30 i 17,/9/02220 i 0,0" para a 30 i 18,29/0"5"1 i 0,025 J%ser$e que mientras los $alores de a
aumentan, lo $alores
30 i
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de i disminu*en. >ara nuestro $alor a interpolacin.
18 calculamos i por
30 i
a
0,025 corresponde 18,29/0"5"1 a i corresponde 18,00000000
a
0,0"0 corresponde 17,/9/02220 a 0,0"0 corresponde 17,/9/02220
0,005 es a
1,10001/11 como i ? 0,0"0 es
a
0,70796670
0,005 W 1,10001/11 i ? 0,0"0 W 0,70796670 i ? 0,0"0 (0,005)(0,70796670) W 1,10001/11 0,002/18 i 0,02678/ tasa 2,678/ (tasa matemtica) tasa 2 # (tasa prctica o real) E"#$%&' ,. 3na persona ha depositado al final de cada mes - 1000 en una cuenta de ahorros al ca%o de 5 aos tiene en su cuenta la suma de - 70.5"/ \u+ tasa nominal promedio ha ganado sn
i
S ( R
S 70.5"/ R 1000 m 1/ n 5(1/) 60 periodos >ara encontrar los $alores de s +0 i entre los cuales se halle comprendido el $alor de s +0 i 70,5"/ W 1000 70,5"/ %uscamos en la ta%la en la l4nea correspondiente a n 60. Fstos $alores sonT >ara i 0,005 ( 1W/ #) s +0 i 69,77002051 >ara i 0,00582 ( 7W/ #) s +0 i 71,59/90165 >ara nuestro $alor s +0 i 70,5"/ calculamos i por interpolacin a 0,00582 corresponde 71,59/90165
a i
corresponde 70,5"/00000
a 0,00500 corresponde 69,77002051
a 0,005 corresponde 69,77002051
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0,00082
es a
1,8//8711" como i ? 0,005
es a 0,771969"9
0,00082 W 1,8//8711" (i ? 0,005) W 0,771969"9 i ? 0,005 0,00082 (0,771969"9) W 1,8//8711" i ? 0,005 0,00025 i 0,00525 (mensual) tasa 0,00525 (1/) 0,06"/ (matemtica) tasa 6 # nominal anual (practica) 3.3., PROBLEMAS RESUELTOS 9. 3n comerciante $ende tele$isores en - 6500 precio de contado. >ara promo$er sus $entas idea el siguiente plan de $entas a pla@os con cargo del 1# mensual de inter+s. Ouota inicial de - 1/00 * el saldo en 18 a%onos mensuales. Oul es el $alor de las mensualidades R A W a n
i
A 6500 1/00 5200 n 18 i 0,01 R 5200 W a & 0,0 5200 W 16,298/6858 R - 2/2,/0 $alor cuota mensual 10. >ara mantener en %uen estado cierto puente es necesario repararlo cada 6 aos con un costo de - 85.000. Fl conce'o del municipio al cual pertenece el puente decide esta%lecer una reser$a anual para pro$eer los fondos necesarios para las reparaciones futuras del puente. &i esta reser$a se deposita en una cuenta que a%ona el 8# de inter+s, hallar el monto de la reser$a anual. R S W a n i S 85.000 i 0,08 n 6 R 85.000 W s +
0,0&
85.000 W 7,2259/90"
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R - 11.586,81 11. 3na o%ligacin se de%e cancelar en " aos con pagos semestrales de - 10.000. Fl deudor con$iene con su acreedor en cancelar la deuda en 6 aos con a%onos semestrales. allar el $alor de los nue$os pagos si la tasa pactada es del 10# con$erti%le semestralmente.
Mesignemos por [ los nue$os pagos * esta%le@camos la ecuacin de equi$alencia utili@ando como fecha focal la flecha inicial. 0 -
1
/
10.000 -
10.000
10.000 a &
8 ... 10.000 ' a -
0,05
' 10.000 a
&
0,05
9
10
11
1/
-
-
-
-
0,05
W a
-
0,05
6"62/,1/76 W
8,862/516" ' - 7/9/,15 1/. 3n empleado puede ahorrar - 800 mensuales e in$ertirlos en una compa4a financiera que a%ona el 9# con$erti%le mensualmente. Fn cuanto tiempo 'untara - 55.000 Oalcular el tiempo * el deposito final. S R s n
i
S 55.000 R 800 j 0,09 m 1/ i 0,0075 sn
0,005
55.000 W 800 68,75
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Fn la ta%la en la columna de i 0,0075 ( 2W"#) encontramos s 55
0,005
67,76882"09 * s 5+
69,/7710025
0,005
sea que el empleado de%e hacer 55 depsitos de - 800 * un ultimo deposito [ al final del mes 56. para determinar el $alor de [ planteamos una ecuacin de equi$alencia escogiendo como fecha focal el final del mes 56. 0
1
/
55
56
800
[
... 800
800 55.00 800 s 55
(1 0,0075) [
0,005
Fn el pro%lema 7 demostramos que s n i (1 i) s sea [ 55.000 ? 800 (s 5+ 0,005 1). [ 55.000 ? 800 (68,/7710025) 55.000 ? 5".6/1,68 [ - 278,2/
n/
i
1 o
&i este mismo pro%lema se resuel$e por interpolacin se tiene a 56 corresponde 69,/7710025
a n
a 55 corresponde 67,76882"09
a 55 corresponde 67,76882"09
1 es a
n ? 55
1,508/66/6 como
corresponde 68,75000000 es a
0,98116591
1 W 1,508/66/6 (n ? 55) W 0,98116591 n ? 55 0,98116591 W 1,508/66/6 0,6505 Na interpretacin de la parte decimal, o fraccin de periodo, es distinta de la interpretacin dada en el e'emplo 6.6 para a n i CWB en efecto, si en la proporcin 1 W 1,508/66/6 (n ? 55) W 0,98116591 reempla@amosT 1,508/66/6 s 5+ i s 55 0,98116591 s n i s 55 i
i
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n 55 0,6505 (s
n
i
s 55 i ) W ( s5+
i
s 55 i )
pero s n i &WB s 5+ i s 55 i (1 i) 1 s 5+ i s 55 i s 55 i (1 i) 1 s 55 i de dondeT 0,6505 (&WB s i Y W( s 55 I 1)
55 i
) W(s
55 i
(1 i)1 s
55
) X&WB s 55
i
como
is 55 i 1 i X(1i) 55 1 W iY 1 (1 i) 55
luego i)55
X0,6505 S(R s 55 i Y W (1 i) 55 ( S R s 55 i ) W B (1
o sea
0,6505 R (1 i )55 & B s 55
para
R 800 i 0,0075 5/0,"0(1 0,00785) 55 S R s 55
i
0,005
S R s 55 i es el saldo final de 55 periodos * es igual a 0,6505 B(1 i)55 que es el $alor al ca%o de 55 periodos de 0,6505 B pagados en la fecha inicial de la anualidad. Fn nuestro caso el pago inicial seria de - 5/0,"0. >ara una demostracin general estudie el pro%lema 55. de lo anterior podemos enunciarT &i el $alor s n i &WB es resuelto por interpolacin la parte decimal de n es la parte de la renta B que se de%e pagar en la fecha inicial para cu%rir el $alor total de la anualidad en un numero de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n.
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12. Oierta maquina puede ser comprada con - "590 al contado o - "50 de cuota inicial * 18 cuotas mensuales de - /80 cWu, calcular (a) la tasa nominal de inter+s cargado, (%) la tasa efecti$a de inter+s cargado. (a) a n i A(R A "590 ? "50 "1"0 n 18 m 1/ R /80 a
& i
"1"0 W /80 1",78571"
Fn la ta%la L encontramos que para n 18 a & 0,0- 1",99/021/5 a & 0,0-5 1",25226262 sea que i esta comprendido entre /# * / # * la tasa nominal entre /"# * 20#. >ara afinar el resultado procedemos por interpolacin. a 0,0/0 corresponde
1",99/021/5
a i
a 0,0/5 corresponde
1",25226262
a 0,0/5 corresponde 1",25226262
0,005
es a 0,6286676/ como
corresponde 1",78571"00
i ? 0,0/5
es a 0,"2/25027
0,005 W 0,6286676/ (i ? 0,0/5) W 0,"2/25027 i ? 0,0/5 0,005(0,"2/25027) W 0,6286676 0,00228"7 i 0,0/16152 Kasa anual con$erti%le mensualmente 0,0/16152 (1/)(100) /5,92826# Kasa prctica /6# con$erti%le mensualmente. (%) Mesignando por i la tasa efecti$a se tiene para j 0,/6 m 1/ aplicando (/0) i (1 0,/6W1/) 1/ 1 i /9,22# 1". 3na persona compra una pli@a que le asegura una renta de -/0.000 cada final de ao durante los prAimos 15 aos. Mesea cam%iar su pli@a por otra que le asegure una renta de - 20.000.
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Murante cuanto tiempo reci%ir la nue$a renta, si la tasa de inter+s es 8# ;ormamos una ecuacin de equi$alencia con los $alores actuales en la fecha inicial. /0.000 a
20.000 a
5 0,0&
n 0,0&
a
n 0,0&
/0.000 a
W 20.000
a
n 0,0&
X/0.000 (8,559"7869) W 20.000Y 5,706219
5 0,0&
Fn la ta%la L columna del 8# encontramos a 0,0& 5,/0627006 * a & 0,0& 5,7"66289" entre estos $alores interpolamos a
8 corresponde
5,7"66289"
a n
corresponde 5,70621900
a
7 corresponde
5,/0627006
a 7
corresponde 5,/0627006
1
es a 0,5"0/6888 como
i?7
es
a
0,"999"89"
1W 0,5"0/6888 (n ? 7 ) W 0,"999"89" (n ? 7 ) 0,"999"89" W 0,5"0/6888 0,9/5270" n 7,9/5270" Beci%ir4a la renta de - 20.000 durante 7 aos * un pago final al terminar el octa$o ao de 0,9/5270"(20.000) - /7.761,11 3.3. PROBLEMAS PROPUESTOS 15. Ouando se de%e depositar al final de cada trimestre, en un fondo de in$ersiones que a%ona el 10# con$erti%le trimestralmente para acumular - 50.000 al ca%o de 5 aos 16. 3na compa4a de%e redimir una emisin de o%ligaciones por 2.000.000 dentro de 10 aos * para ello esta%lece reser$as anuales que se depositaran en un fondo que a%ona el 7#. allar el monto de la reser$a anual.
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17. \u+ suma de%e depositar anualmente en un fondo que a%ona el 6#, para pro$eer la sustitucin de los equipos de una compa4a que tienen un costo de - 8.000.000 * una $ida !til de 6 aos, si el $alor de sal$amento se estima en 15# del costo 18. Fnrique >+re@ compro una casa cu*o $alor es de - 180.000 al contado. >ago # 50.000 al contado * el saldo en 8 pagos iguales por trimestre $encido . si en la operacin se le carga el 10# de inter+s nominal, hallar el $alor de los pagos trimestrales. 19. 3na maquina que $ale - 18.000 de contado, se $ende a pla@os con una cuota inicial de - 2000 * el saldo en 18 cuotas mensuales, cargando el 16# de inter+s con$erti%le mensualmente. Oalcular el $alor de las cuotas. /0. &ustituir una serie de pagos de - 10000 al final de cada ao, por el equi$alente en pagos mensuales $encidos, con un inter+s del 8# con$erti%le mensualmente. /1. &ustituir una serie de pagos de - 10000 al principio de cada ao, por el equi$alente en pagos mensuales $encidos con un inter+s del 8# con$erti%le mensualmente. //. 3na persona sustitu*e un seguro total de - 200.000 por una renta anual, con la condicin de que se pagara a el o a sus herederos durante /0 aos. &i la compa4a de seguros opera con el 7# de inter+s, hallar el $alor de la renta anual. /2. Fl $alor actual de una renta de - 10000 por ao $encido es de - 100.000. si la tasa de inter+s es del 6#, calcular el tiempo indicando la solucin matemtica * la solucin practica. /". Fl $alor actual de una renta de -"000 por trimestre $encido es de - 60.000. &i la tasa de inter+s es del 7# con$erti%le trimestralmente, hallar el tiempo indicando la solucin matemtica * la solucin practica. /5. Fl monto de una renta de - 10000 por ao $encido es de 100000. si la tasa de inter+s es del 6# calcular el tiempo indicando la solucin matemtica * la solucin matemtica * la solucin prctica /6. Fl monto de una renta de - "000 por trimestre $encido es de 60.000. si la tasa de inter+s es del 8# con$erti%le trimestralmente, calcular el tiempo indicando la solucin matemtica * la solucin prctica /7. 3na deuda de - /0000 con inter+s del 10# capitali@a%les
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/8.
/9.
20. 21.
2/. 22.
2".
25.
26.
semestralmente se con$iene en cancelarla con pagos semestrales de - "000, encontrar el numero de pagos * el $alor del pago final. 3na persona compra maquinaria por $alor de - 60.000 * con$iene en pagar - 15000 como cuota inicial * el saldo en cuotas de - 1/000 trimestrales con el 1/# con$erti%le trimestralmente. Fncontrar el numero de pagos * el $alor del pago final. 3n empleado puede ahorrar - 250 mensuales. &i los consigna en una cuenta de ahorros que paga el 8# con$erti%le mensualmente, (en cuanto tiempo * con que pago final lograra ahorrar - 20.000 \u+ inter+s de%en producir unas imposiciones de - 200 mensuales para que se con$iertan en - "500 en un ao 3n tele$isor cu*o $alor de contado es de - "8000 se puede adquirir con un pago inicial de - 800 * 1/ pagos mensuales de - "00 cada uno. allar la tasa con$erti%le mensualmente que se carga. \u+ tasa nominal con$erti%le trimestralmente se de%e esta%lecer para que /" depsitos de -500 trimestrales den un monto de 16000 al efectuar el ultimo pago 3na persona necesita reunir - 10000 en 8 aos * con este fin hace depsitos iguales cada fin de ao en un %anco que a%ona el 6# de intereses. Kranscurridos " aos el %anco ele$a la tasa al 8# allar el $alor de los depsitos anuales antes * despu+s de que el %anco ele$ara la tasa de inter+s. 3na persona deposita ho* - 10000 en una cuenta de ahorros que a%ona el 8# de inter+s. Kranscurridos 2 aos decide hacer nue$os depsitos cada final de aos de modo que transcurridos 5 aos tenga al efectuar el ultimo deposito - 60000 allar el $alor de los depsitos anuales Nos dueos de una mina de car%n desean $ender acciones pagando el 1/# de di$idendos anuales. &e estima que la mina producir - "00000 de utilidad anual durante los prAimos 10 aos despu+s de los cuales estar agotada. >ara cu%rir el $alor de las acciones acumular reser$as anuales e un fondo de amorti@acin que a%ona el 8# de inter+s. allar el $alor mAimo de las acciones que pueden emitir. Memostrar que cuando el $alor a n i A(R es resuelto por interpolacin para el $alor de n, la parte decimal de n es la
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parte de la renta R que se de%e pagar en el final del periodo que corresponde al entero superior a n para cu%rir totalmente el $alor de la anualidad. &ugerenciaT Memuestre primero que a n 1 i a n i (1 i )ni 27. Memostrar que cuando el $alor a n i &WB es resuelto por interpolacin para el $alor de n la parte decimal de n es la parte de la renta B que se de%e pagar en la fecha inicial, para cu%rir el $alor total de la anualidad en un numero de periodos igual al entero que resulta de despreciar la parte decimal de n. &ugerenciaT Memuestre primero que s n 1 i s n i (1 i )n 28. Fl %eneficiario de una pli@a de seguro por - /00.00 reci%ir /0.000 de inmediato * posteriormente - 10.000 cada 2 meses. &i la compa4a paga el 8# con$erti%le trimestralmente, hallar el numero de pagos de - 10.000 * el pago final tres meses despu+s el ultimo pago completo. 29. Fn el pro%lema anterior, qu+ suma adicional se de%er4a agregar al ultimo pago de -10.000 para cancelar totalmente el %eneficio "0. \u+ oferta es mas con$eniente por una propiedad que $ale 100.000T (a) - 25.000 al contado * 1/ pagos mensuales de 2000. (%) - 25.000 al contado * un pago de - 75.000 a un ao pla@o.
3.4 ANUALIDADES ANTICIPADAS 3.4.1 INTRODUCCIÓN Fn los negocios es frecuente que los pagos peridicos se efect!en al comien@o de cada periodo tal es el caso de la renta de terrenos, edificios * oficinas cu*o alquiler se paga a principio de periodo. Nas $entas a pla@os suelen estipular una serie de pagos al comien@o de los periodos con$enidos en el contrato de $enta. Fn los seguros *a sean dtales, de $ida o de proteccin contra riesgos, las pli@as, por lo general estipulan que el asegurado de%e pagar sus cuotas o primas de seguro, al comien@o de cada periodo. Fn estos casos se usa la eApresin _el pago $ence a principio del periodo`.
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D#)))T 3na anualidad anticipada e inmediata esa una sucesin de pagos o rentas que se efect!an, o $encen, al principio del periodo de pago. Fn este capitulo estudiaremos las anualidades simples ciertas anticipadas. Nas distintas $ariantes que se presentan seg!n +l numero de periodos de capitali@acin * +l numer de pagos en el ao se estudiaran en +l capitulo correspondiente al tratamiento general de las anualidades. >ara comparar las anualidades anticipadas con las anualidades $encidas es mu* !til el siguiente diagrama. Anualidades
1
1
/
/
3.4.2
2
n/
n1
Anualidades
SÍMBOLOS UTILIZADOS ANTICIPADAS
n
n1
EN
n
LAS
ANUALIDADES
Kodos los s4m%olos tienen el mismo significado que el definido en las anualidades ordinarias o $encidas as4T B pago peridico o renta i = tasa efecti$a por periodo de capitali@acin G tasa nominal anual < numero de capitali@aciones en el ao G(m) tasa nominal con m capitali@aciones en el ao D numero de periodos de pago & monto de una anualidad
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C $alor actual o presente de una anualidad Clgunos autores utili@an los s4m%olosT a para el $alor actual o presente de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo.
& para el monto de una anualidad anticipada de una unidad monetaria por periodo durante n periodos a la tasa i por periodo. Dosotros no consideramos necesario utili@ar estos dos !ltimos s4m%olos *a que no se requieren nue$as formulas para +l calculo de los $alores de las anualidades anticipadas ni ta%las distintas de las que *a hemos descrito. Maremos algunas relaciones !tiles para +l calculo del monto * del $alor actual de las anualidades anticipadas * eAplicaremos diferentes m+todos para o%tenerlas.
3.4.3 MONTO ! VALOR ACTUAL DE LAS ANUALIDADES SIMPLES CIERTAS ANTICIPADAS FAisten diferentes formas para calcular tanto el monto como el $alor actual de las anualidades anticipadas, de estas daremos dos formas que consideramos las ms simples * las de ma*or utilidad en el planteamiento de los pro%lemas. &ea el diafragma de una anualidad anticipada de B por periodo. 1
0
1
/
B
B
B
n/ B B
n1
n B &
J%ser$emos que al agregar el ultimo pago B se o%tiene el monto de una anualidad $encida de B por periodo pagadera durante n1 periodos su monto es Bsn1 i , restando a este $alor el ultimo pago B que se ha%ia agregado se o%tiene el monto de una anualidad anticipada de B por periodo pagadero durante n periodos. & Bsn1 i 1 B
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& B(sn1 i 1 1) Fl mismo resultado se puede o%tener planteando la siguiente ecuacion de equi$alencia, utili@ando como fecha focal el final del periodo n 1 $ease el diagrama, en el se ad$ierte que el pago B en el periodo n1 se puede considerar como el ultimo pago de una anualidad $encida que se indica en el periodo ?1 &(1i) 1 Bs n i & Bs n i (1i) reempla@ando el $alor s n i &e tiene & B(1i) n1 (1i) B (1i) n11i i i &BX1i) n11iY BX(1i) n111Y i
i
i
& B (s n1 i 1) (s n 1 i 1) es el monto de una anualidad anticipada de una unidad monetaria pagada durante n periodos a la tasa i por periodo. C7&=&' :#& ?7&'8 7=7&. &i en el diagrama suprimimos el primer pago B se tiene una anualidad $encida de B por periodo pagadera durante n1 periodos. 0
1
/
B C
B
n1
n
.... B
B
&u $alor actual es B n1 i. Cgregando a este $alor el primer pago B que se ha%4a suprimido se o%tiene el $alor actual de una anualidad anticipada de B por periodo pagadera durante n periodos. C Ba n1 i B C B (an1 i 1)
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Fste mismo resultado se puede o%tener planteando la siguiente ecuacin de equi$alencia, utili@ando como fecha focal la fecha inicial. C ? B Ba n1 i C Ba n1
i
B
C B (a n1 i 1) (a n1 i 1) es el $alor actual de una anualidad anticipada de una unidad monetaria pagadera durante n periodos a la tasa i por periodo. Fl tratamiento de los pro%lemas que in$olucran anualidades anticipadas, por lo general, no es diferente a lo tratado en los pro%lemas de las anualidades $encidas. Fn todo caso recomendamos al lector plantear las ecuaciones de equi$alencia * no atenerse a la simple aplicacin de las formulas, *a que estas resultan mu* limitadas ante la gran $ariedad de pro%lemas que frecuentemente se presentan en matemticas financieras. E"#$%&' 1. 3na compa4a deposita al principio de cada ao -/0,000 en una cuenta de ahorros que a%ona el 7#. C cuanto ascendern los depsitos al ca%o de 5 aos & B sn1 i 1 B /0,000 i 0,07 n5 & /0,000(s6 0,07 ?1) /0,000(6,152/907"), $er ta%la & -1/2,065,81 E"#$%&' 2. 3na compa4a alquila un edificio en -"000 mensuales * propone al propietario pagarle el alquiler anual a principio de cada ao, con la tasa del 1/# con$erti%le mensualmente. allar el $alor del alquiler anual. C B an1 i 1 B "000 ' 0,1/ i 0,01 n1/ C "000(a11 0,01 1 "000 (11,2676/8/5), $er ta%la L C -"5,"70,51
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3.4.4 PROBLEMAS RESUELTOS 1. Fl dueo de una propiedad a$aluada en -"00,000 reci%e por ella las siguientes ofertasT (a)-100,000 al contado * el saldo en 6 pagos trimestrales de -55,000 cada uno. (%) /0 pagos mensuales de -//,000 cada uno, efectuando el primer pago de inmediato. Kasa de inter+s del 1/# nominal. \u+ oferta le con$iene mas &e calcula el $alor actual de cada oferta. (a) C 100,000 55,000 a 6 0,02 C 100,000 55,000(5,"17191"") C -297,9"5,50 (%)
C //,000(a /01 0,01 1) //.000 (18,//60085) C -"00.97/,/0 Fs preferi%le la oferta (%.
2. 3n comerciante $ende ne$eras a -7500 al contado. >romue$e su $enta a pla@os en 18 meses sin cuota inicial, con un recargo del /"# con$erti%le mensualmente. allar la cuota peridica o renta. C B an1
i
1
B C a n1 i 1 C 7500 ' 0,/" m1/ n18 B 7500 15,/9187188
- "90,"5
3. 3n comerciante estima que puede aumentar sus $entas, ofreciendo tele$isores que $alen -"/00 de contado en cuotas mensuales de -200 cada una * sin cuota inicial. allar +l numero de cuotas si se carga el 18# de intereses con$erti%les mensualmente. C B (a n1 i 1)
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C "/00 B 200 ' 0,18 m 1/ i 0,015 "/00 200 a n1 a n1
0,015
1
"/00 1 12 200
0,015
Fn la ta%la L columna del 1 #, el $alor 12 esta comprendido entre a 1" 0,015 * a15 0,015 cu*os respecti$os $alores sonT 1/,5"2281150 * 12,2"2/2201. Oomo en el e'emplo 6.6, procedemos por interpolacin. a 15 corresp... 12,2"2/2201 a 1" corresp... 1/,5"228150 1
es a
0,79985151
a n1 corresp... 12,00000000 a 1" corresp... 1/,5"228150 como n15 es a 0,"5661850
1
n15
0,79985151 0,"5661850 n15 0,"5661850 0,57087909 0,79985151 n 15,57087909 respuesta matemtica. Bespuesta practicaT 15 pagos de -200 * un ultimo pago al principio del periodo 16 de 0,57087909(200)-171,/6. 4. 3na deuda de -"0,000 se cancela con 10 pagos trimestrales, por trimestre anticipado, de -""50.qu+ tasa de inter+s se ha cargado C B (a n1 i 1) C "0.000 B ""50 m " n 10 "0.000 ""50 (a 101 i 1) a9
i
"0.000 1 ""50
a 9 i 8,98876"00 ? 1 7,98876"00
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Puscamos en la ta%la L en la l4nea correspondiente a n 9, los $alores ms prAimos a 7,98876"00 sonT a 9 0,0/5 7,97086552 * a 9 0,0/ 8,16//2671 para nuestro $alor calculamos i por interpolacin. C 0,0/0 corresp... 8,16//2671 a i corresp... 7,98876"00 C 0,0/5 corresp... 7,97086552 a 0.0/5 corresp... 7,97086552 0,005 es a 0,19127118
como i ? 0,0/5 es a 0,017898"7
0,005 0,19127118
i 0,0/5 0,017898"7
i 0,0/5 (0,005)0,017898"7 0,000"671 0,19127118 i 0,0/"52/9 ' "(0,0/"52/9) tasa matemtica 9,812# tasa practica 9 5W6# 3.4.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 5.
Besol$er el pro%lema 1 planteando una ecuacin de equi$alencia para cada oferta.
6.
Besol$er el pro%lema 2 planteando una ecuacin de equi$alencia.
+.
Oalcular el $alor de contado de una propiedad $endida a 15 aos pla@o con pagos -2000 mensuales por mes anticipado &i la tasa de inter+s es del 1/# con$erti%le mensualmente.
,.
Oalcular el $alor de contado de un equipo medico que se $ende a dos aos de pla@o, con el 9# de inter+s con$erti%le trimestralmente Oon pagos trimestrales anticipados de -"000 * un ultimo pago de -2/00 a los / aos 2 meses.
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.
3na persona reci%e tres ofertas para la compra de su propiedadT (a) -"00.000 de contado (%) -190.000 de contado * -50.000 semestrales durante /1W/ aos (c) -/0.000 por trimestre anticipado durante 2 aos * un pago de -/50.000 al finali@ar el cuarto ao. qu+ oferta de%e preferir si la tasa de inter+s es del 8#
10. >ara esta%lecer un fondo de -1.000.000 se consigna a principio de cada ao -1/0.000 en una cuenta de ahorros que a%ona el 8#. Oalcular el tiempo, utili@ando algoritmos. 11. Oul es el $alor actual de una renta de -500 depositada a principio de cada mes durante 15 aos en una cuenta de ahorros que gana el 9# con$erti%le mensualmente(+ase el pro%lema /0 del capitulo 6). 12. 3n comerciante $ende maquinas de te'er a -1/.500 precio de contado. >ara promo$er sus $entas decide $enderlas en 18 pla@os mensuales cargando el /# mensual de intereses. Oul es el $alor de las mensualidades 13. \u+ suma de%e depositarse a principio de cada ao en un fondo que a%ona el 6#, para pro$eer la sustitucin de los equipos de una compa4a que tienen un costo de -/.000.000 * una $ida !til de 5 aos, si el $alor de sal$amento se estima en el 10# del costo 14. &ustituir una serie de pagos al principio de cada ao, por el equi$alente en pagos mensuales anticipados, con un inter+s del 9# con$erti%le mensualmente. 15. &ustituir una serie de pagos al principio de cada ao, por el equi$alente en pagos mensuales anticipados, con un inter+s del 9# con$erti%le mensualmente.
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3.5 ANUALIDADES DIFERIDAS 3.5.1 INTRODUCCIÓN Fs frecuente en los negocios que algunas circunstancias o%liguen a que el primer per4odo de pago comience en una fecha futura, hasta despu+s de transcurrido un cierto tiempo desde el momento inicial o de con$enio. Fs decir no coincide la fecha inicial de la anualidad con la fecha del primer pago. Fn estos casos se dice que la anualidad es diferida. D#)))'#> una anualidad diferida es una anualidad cu*o pla@o comien@a despu+s de transcurrido un inter$alo de tiempo. I#8?7&' :# 7%&77. Bara $e@ se presentan en la prctica pro%lemas en los que sea necesario calcular la tasa de una anualidad diferida. >ara el
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clculo de la tasa, las frmulas que hemos estudiado conducen a ecuaciones de grado superior, que en la ma*or4a de los casos es necesario resol$er por tanteos. E"#$%&' 4. 3na persona entrega - 29.000 a un %anco con el o%'eto de que dentro de 5 aos le inicie el pago de 1/ anualidades de - 6000. hallar la tasa de inter+s que a%ona el %anco. C B(1i) ?= a n i 0 1
/
2
"
5
6
15
6000 6000 C 29.000
B 6000
16
6000 6000 = " n 1/
29.000 6000 (a 1/ " i a " i ) 29.000 a 16 i a " i 6,5 6000 >rocediendo por tanteo en la ta%la L, se %usca, restando mentalmente los $alores para n * n ", el $alor que ms se aproAime a 6,5. Cs4 se encuentra que est comprendido entre las siguientes diferencias. >ara la tasa del 6# 6,6"07866
a
>ara la tasa del 6 #. a 6,2"196558
16 0,06
a
16 0,065
a
" 0,06
10,105895/7 ? 2,"6510661
" 0,065
9,76776"18 ? 2,"/579860
Bespuesta prcticaT Na tasa est comprendida entre 6# * 6 #. Fn el caso que se desee o sea necesaria una ma*or aproAimacin, se procede por interpolacin lineal. 3.5.4 PROBLEMAS RESUELTOS
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1. Clguien desea esta%lecer un fondo, de manera que un hospital que estar terminado dentro de 5 aos, reci%a para su funcionamiento una renta anual de - /5.000 durante /0 aos. allar el $alor del fondo si gana el 8# de inter+s. C B(1i) ?= a n i 0 1
/
2
"
5
6
/2 /" /5 aos
B B B /5.000
B B B
L 0,08 : " n /1
C/5.000 a /5 0,08 a
" 0,08
)
C /5.000 (10,67"77619 ? 2,21/1/68") C - 18".066,/2 /. 3na persona deposita ho* - 60.000 en un %anco que a%ona el 7# para dentro de 5 aos se le comience a pagar una renta que se le cancelar semestralmente durante 10 aos. allar la renta semestral que reci%ir. 0 1 / 9 10 11 /9 20 semestres 60.000 C 60.000
B
B
B
B
G0,07 ro%lemas resueltos. ".8. >ro%lemas propuestos.
4. AMORTIZACIÓN
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4.1 INTRODUCCIÓN &e dice que un documento que causa intereses est am#r)ia"# cuando todas las o%ligaciones contra4das (tanto capital como intereses) son liquidadas mediante una serie de pagos (generalmente iguales), hechos en inter$alos de tiempos iguales. E"#$%&' 1. 3na deuda de -5000 con intereses al 5# con$erti%le semestralmente se $a a amorti@ar mediante pagos semestrales iguales B en los prAimos 2 aos, el primero con $encimiento al t+rmino de 6 meses. allar el pago.
0
B
B
B
B
B
B
1
/
2
"
5
6
per4odos de inter+s
5000
Nos 6 pagos B constitu*en una anualidad cu*o $alor presente es -5000. >or tanto Ra6.025 5000 yR 5000
1 a6.025
$907.75
Cmorticemos una deuda A amparada con un documento que causa intereses, mediante una serie de n pagos de B cada uno, tal como en el e'emplo 1. Oada pago B se aplica en primer lugar para el pago del inter+s $encido en la fecha del pago la diferencia se utili@a para disminuir la deuda. Fn consecuencia, la cantidad disponi%le para disminuir la deuda aumenta con el transcurso del tiempo. Na parte de la deuda no cu%ierta en una fecha dada se conoce como sa!"# ins#!u)# # capi)a! ins#!u)# en la fecha. Fl capital insoluto al inicio del pla@o es la deuda original. Fl capital insoluto al final del pla@o es 0 en teor4a, sin em%argo, de%ido a la prctica de redondear al centa$o ms prAimo, puede $ariar ligeramente de 0. E! capi)a! ins#!u)# jus)amen)e "espu4s "e ue se 6a e7ec)ua"# un pag# es e! $a!#r presen)e "e )#"#s !#s pag#s ue a8n 7a!)an p#r 6acerse. 4.2 TABLA DE AMORTIZACIÓN
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>ara >ara efec efecto toss cont conta% a%le less es con$ con$en enie ient nte e prep prepar arar ar una una ta%l ta%la a que que muestre la distri%ucin de cada pago de la amorti@acin respecto a los intereses que cu%re * a la reduccin de la deuda. E"#$%&' 2. Oonstruir una ta%la de amorti@acin para la deuda del e'emplo 1.
>er4odo 1 / 2 " 5 6 Kotales
(a) (%) (c) Oapital Lnter+s $encido insoluto al al final del >ago principio del per4odo per4odo 5000,00 1/5,00 907,75 "/17,/5 105,"2 907,75 2"1",92 85,27 907,75 /59/,55 6",81 907,75 17"9,61 "2,7" 907,75 885,60 //,1" 907,75 ""6,"9 5""6,50
(d) Oapital pagado al final del per4odo 78/,75 80/,2/ 8//,28 8"/,9" 86",01 885,61 5000,01
Na ta%la se llena por renglones como sigueT Fl capital insoluto (a) al principio del primer per4odo es la deuda original de -5000. Fl inter+s $encido (%) al final de ese mismo per4odo es 5000(0,0/5)-1/5. Fl pago semestral (c) es -907,75, de los cuales se utili@an -1/5 para el pago del inter+s $encido * -907,75 ? 1/5-78/,75 se utili@an para el pago del capital (d). Cl principio del segundo per4odo del capital insoluto (a) es 5000 78/,75-"/17,/5. Cl t+rmino de este per4odo el inter+s $encido (%) es "/17,/5(0,0/5)-105,"2. Mel pago (c) de -907,75105,"2-80/,2/ para pago del capital (d). Cl principio del tercer per4odo, el capital insoluto (a) es "/17,/5.80/,2/-2"1",92 * as4 sucesi$amente. Ouando tiene que hacerse un gran n!mero de pagos, de%e re$isarse la ta%la ocasionalmente durante su ela%oracin. E"#$%&' 3. Fn el e'emplo 1, hallar el capital insoluto 'ustamente despu+s del " pago * comparar con la cifra de la ta%la del e'emplo /. Fl capital insoluto > 'ustamente despu+s del " pago es el $alor presente de los 6"/ pagos que a!n faltan por hacerse. Fn consecuencia
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>907.75a/.0/5-17"9.6/ 4.3 INTERÉS EN EL VALOR DE UN BUEN ADUIRIDO
Ouando se compra un %ien mediante una serie de pagos parciales, el in)er4s "e! c#mpra"#r del del %ien, en cualquier tiempo, es aquella parte del precio del %ien que ha pagado. Cl mismo tiempo, el in)er4s "e! $en"e"#r del %ien, es aquel que queda por pagarse, esto es, el capital insoluto en la fecha. Olaramente $emos que Lnter+s del comprador inter+s del $endedor precio de $enta. E"#$%&' 4. < compra una casa en -/5.000 paga -10.000 de cuota inicial * el saldo lo amorti@a con intereses al 6# con$erti%le mensualmente, mediante pagos iguales al final de cada mes en los prAimos 10 aos. Oul es el inter+s 'ustamente despu+s de hacer el 50 pago peridico Fl pago peridico es
R 15.000
1 a120.005
$166.53 Fl capital insoluto
Gustamente despu+s del 50 pago peridico es 166.52 70.005 -98 -9815 15.1 .18. 8. Mel Mel prec precio io de $ent $enta a de -/5. -/5.00 000, 0, < de%e de%e a!n a!n -9815.18. &u inter+s en la propiedad es /5.0009815,1815.18",8/. 4.4 E-TINCIÓN DE DEUDAS CONSOLIDADAS Ouando una deuda contra4da mediante la emisin de %onos con intereses en amorti@ada, cada pago se aplica para cu%rir los intereses correspondientes $encidos * para redimir un cierto n!mero de %onos. Nos pagos peridicos no pueden permanecer iguales, sin em%argo tienen que ser lo ms similares que sea posi%le. >or e'emplo, si la denominacin de los %onos es -100 * se dispone de -71/,86, sern redimidos 7 %onos si se dispone de -762,"9, se redimirn 8 %onos. E"#$%&' 5. Oonstruir una ta%la para la liquidacin mediante 6 pagos anuales, lo
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mas iguales posi%le, de una deuda de -20.000 contra4da mediante la emisin de %onos de -100 con intereses al 5#. Na deuda de -20.000 con intereses al 5#, ser liquidada mediante 6 pagos anuales igua!es de igua!es de R 30.000
1 a6.05
$5910,52
Cl t+rmino del primer ao, el cargo por intereses es 20.000(0.05). 20.000(0.05). \uedan disponi%les 5910,5/1500-""10.5/ para el retiro de "" %onos. \uedan ahora 200""/56 %onos que representan un capital insoluto al principio del segundo ao de -/5.600. Cl final del segundo ao, el cargo por por inter interese esess es /5.00 /5.000(5 0(5,05 ,05))-1/ 1/80. 80. a* dispo disponi% ni%les les 5910.5 5910.5/1 /1/8 /80 0 -"620.5/ para el retiro de "6 %onos. \uedan ahora /56"6/10 %onos, que representan un capital insoluto al principio del tercer ao de -/1.000 * as4 sucesi$amente. TABLA UE MUESTRA LOS PAGOS PARA LA E-TINCIÓN DE UNA DEUDA CONSOLIDADA >er4odo 1 / 2 " 5 6 Kotales
Oapital insoluto al principio del per4odo 20.000,00 /5.600,00 /1.000,00 16.100,00 11.000,00 5.600.00
Lnter+s $encido 1500,00 1/80,00 1050,00 805,00 550,00 /80,00 5"65,00
D!mero de %onos retirados "" "6 "9 51 5" 56 200
>ago peridico 5.900,00 5.880,00 5.950,00 5.905,00 5.950,00 5.880,00 25."65,00
4.5 FONDOS DE AMORTIZACIÓN Fn el m+todo de fondo de amorti@acin para liquidar una deuda, el acreedor reci%e el inter+s pactado en su $encimiento * el $alor nominal de la deuda al t+rmino del pla@o. Oon el o%'eto de poder hacer el !ltimo pago, el deudor crea un fondo por separado en el cual hace depsitos peridicos iguales durante el pla@o, de tal forma que 'ustamente despu+s del !ltimo
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depsito, el fondo importa el $alor de la deuda original. Fs de suponerse que el fondo gana intereses, pero no necesariamente a la misma tasa que carga el acreedor. E"#$%&' 6. 3na deuda de -5000 con $encimiento al t+rmino de 5 aos, sin intereses, $a a ser liquidada mediante el sistema de fondo de amorti@acin. &i se $an a hacer 5 depsitos anuales iguales, el primero con $encimiento en un ao, en un fondo donde gana el 2#, hallar el importe de cada depsito. Fl monto de los 5 depsitos anuales de B cada uno, 'ustamente despu+s de efectuado el !ltimo es -5000 por tanto Rs5.03 5000
*
R 5000
1 s5.03
$941,78
E"#$%&' +. 3na deuda de -5000 que de$enga intereses al 5# con$erti%le semestralmente $a a ser liquidada mediante el m+todo de fondo de amorti@acin. &i se $an a hacer 8 depsitos semestrales iguales, el primero con $encimiento en 6 meses, en un fondo que paga el 2# con$erti%le semestralmente, hallar, (a) el importe B de cada depsito, * (%) el costo semestral O de la deuda. (a)
R 5000
1 s8.015
$592,92
(%) Fl cargo semestral por intereses es 5000(0,0/5)-1/5. Fl costo semestral de la deuda es el cargo por intereses ms el depsito peridico en el fondo de amorti@acin, en consecuencia
C 125 592,92 $717 ,92
4.6 TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN Fl crecimiento del fondo de amorti@acin del e'emplo 7 se muestra en
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la siguiente ta%laT TABLA DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN
>er4odo
(a) Cumento de inter+s
1 / 2 " 5 6 7 8 Kotales
0 8,89 17,9/ /7,08 26,28 "5,8/ 55,8/ 65,12 /56,6/
(%) Mepsito 59/,9/ 59/,9/ 59/,9/ 59/,9/ 59/,9/ 59/,9/ 59/,9/ 59/,9/ "7"2,26
(c) (d) Lncremento al Lmporte del fondo fondo al final del per4odo 59/,9/ 59/,9/ 601,81 119",72 610,8" 1805,57 6/0,00 /"/5,57 6/9,20 205",87 628,7" 2692,61 6"8,2/ "2"1,92 658,05 "999,98 "999,98
Cl final del primer per4odo se efect!a un depsito (%) de -59/,9/ * constitu*e tanto el incremento al fondo (c) como el importe del fondo (d) al final del primer per4odo. Cl final del segundo per4odo el aumento por intereses (a) es 59/,9/(0,015)-8,89, el depsito (%) es -59/,9/ * el incremento en el fondo (c) es 8,8959/,9/-601,81, * el importe del fondo (d) es 59/,9/601,81-119",72. Cl final del tercer per4odo, el aumento por inter+s (a) es 119",72(0,015)-17,9/, el depsito (%) es -59/,9/, el incremento en el fondo (c) es 17,9/59/,9/-610,8", * el importe del fondo (d) es ahora 119",72610,8"-1805,57, * as4 sucesi$amente. Na diferencia de -0,0/ en la !ltima cifra de (d) es de%ida al redondeo de cada cifra a la centena. Cl construir una ta%la de fondo de amorti@acin es recomenda%le compro%ar las cifras ocasionalmente. E"#$%&' ,. Fn el e'emplo 7, hallar T (a)Fl importe del fondo 'ustamente del 5 depsito (%) cunto del incremento al fondo por el 6 depsito es de%ido a intereses. (a) Fl importe del fondo 'ustamente despu+s del 5 depsito es 59/,9/ s5,015-205",88 (%) Fl aumento por intereses al efectuarse el 6 depsito es el inter+s
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producido en un per4odo por el monto en el fondo 'ustamente despu+s del 5 depsito, en consecuencia, el incremento es 205",88(0,015)-"5,8/. 4.+ PROBLEMAS RESUELTOS 1. 3n comerciante pide un pr+stamo de -/0,000 para reno$ar la tienda. Ccuerda amorti@ar la deuda, capital e intereses al " #, mediante pagos anuales iguales por lo prAimos 8 aos, el primero con $encimiento en un ao. allar, (a) el costo anual de la deuda, (%) el capital insoluto 'ustamente despu+s del 6º. >ago, * (c) en cuanto se reduce la deuda con el "º. pago. (a) el pago anual es
R 20,000
1 a
$3032.19
s ..045
(%) el capital insoluto 'ustamente despu+s del 6º. pago es 202/.19 a
2.045
$5678.28
(c) el capital insoluto 'ustamente despu+s del 2er. pago es 202/.19 a $13,311 .24 Fl inter+s $encido cuando sea hecho el "º.pago es 12,211./"(0.0"5)-599.01. Fl "º. >ago reduce la deuda en 202/.19 599.01-/"22.18. 5.045
/. 3na deuda de -2600 con intereses al 6# con$erti%le semestralmente se $a a amorti@ar mediante pagos semestrales de -900 cada uno, el primero con $encimiento al t+rmino de 6 meses, 'unto con un pago parcial final si fuera necesario. Oonstruir una ta%la. allar en forma independiente el capital insoluto 'ustamente despu+s del tercer pago. Kal como en el cap4tulo 10, tenemos 900 an.022600 * a n.02" >or lo que, la ta%la [LLL, $emos que se requieren " pagos completos. Na construccin de la ta%la es similar a la del e'emplo /.
>er4odo
Oapital insoluto al principio del per4odo
Lnter+s $encido al final del per4odo
>ago
Oapital pagado al final del per4odo
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1 / 2 " 5
2600,00 /808,00 199/,/" 115/,01 /86,57
Kotales
108,00 8",/" 59,77 2",56 8,60 /95,17
900,00 900,00 900,00 900,00 /95,17
79/,00 815,76 8"0,/2 865,"" /86,57
2895,17
2600,00
Fl capital insoluto requerido puede encontrarse sin que sea necesario determinar primero el pago final (parcial). Me la l4nea de tiempo 2600 0
> 1
/
2
"
5
tenemos que el capital insoluto > 'ustamente despu+s del tercer pago es >2600(1.02) 2900 s2.02 2600(1.09/7/7)900(2.09090)-115/.01 2. 3na deuda de -500.000 distri%uida en 100 %onos de -1000,500 %onos de -500 * 1500 %onos de -100 que pagan intereses de "# con$erti%le semestralmente, ser amorti@ada en los prAimos 5 aos mediante pagos semestrales lo ms iguales posi%le. Oonstruir una ta%la. &i los pagos semestrales fueran iguales, cada uno ser4a de R 500.000
1 a10.02
$55.663,26
Do ha* ninguna estipulacin so%re la distri%ucin de la suma disponi%le en cualquier per4odo entre las tres denominaciones. Fn la ta%la dada a continuacin, -25.000 de la suma disponi%le se han utili@ado para redimir 10 de los %onos de -1000 * 50 de los %onos de -500. >er4odo Oapital Lnter+s D!mero de %onos >ago insoluto $encido redimidos &emestral -1000 -500 -100 1 500.000,00 10.000,00 10 50 107 55.700,00
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/ 2 " 5 6 7 8 9 10 Kotales
"5".200,00 "07.700,00 260./00,00 211.700,00 /6/.200,00 /11.900,00 160.500,00 180.000,00 5".500,00
9.086,00 8.15",00 7./0",00 6./2",00 5./"6,00 "./28,00 2./10,00 /.160,00 1.090,00 56.6//,00
10 10 10 10 10 10 10 10 10 100
50 50 50 50 50 50 50 50 50 500
116 1/5 125 1"" 15" 16" 175 185 195 150 0 0
55.686,00 55.65",00 55.70",00 55.62",00 55.6"6,00 55.628,00 55.710,00 55.660,00 55.590,00 556.6//,0
3na deuda de -100,000 en forma de %onos de -1000 que de$engan intereses al 2# se amorti@aran durante los prAimos 5 aos mediante pagos anuales lo ms iguales posi%les. Nos %onos estn coti@ados en el mercado de $alores a 90. Oonstruir una ta%la. Mecir que un %ono est coti@ado a 90 significa que un %ono de -1000 puede ser comprado. Fn consecuencia el $alor presente de la deuda es 30 1 pagopor int erés 0.03 . Fl pago -90,000 * la tasa de inter+s es 900 3 precio semestral igual, necesario para liquidar la deuda seria. R 90,000
1 a
5.03
1
2 1 1 1 90,000 a5.03 3 a5.03 a5.03
3
90,000(0.//0"291)-19.82905/
Fl inter+s $encido al final del primer ao es 100,000(0.02)-2000. \uedan disponi%les 19.829,5/ ? 200016.829,5/ con lo cual pueden redimirse 19 %onos de -900 cada uno. Na ta%la completa es la siguiente
>eriodo
Oapital Lnsoluto
Lnter+s encido
1
100,000.00
2,000.00
Dumero de %onos Oosto de adquiridos los %onos 19
>ago total anual
17,100.00 /0,100.00
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/ 2 " 5 Kotales
81,000.00 6/,000.00 "/,000.00 /1,000.00
/,"20.00 1,860.00 1,/60.00 620.00 9,180.0 0
19 /0 /1 /1
17,100.00 18,000.00 18,900.00 18,900.00 90,0
19,520.00 19,860.00 /0,160.00 19,520.00 99,180.00
00.00
5. Na compa4a [ER o%tiene un pr+stamo de -10,000 por 5 aos al 6# con$erti%le semestralmente. Oon el o%'eto de pagar el capital al t+rmino de lo s5 aos, se esta%lece en una cuenta de ahorros que paga el "# con$erti%le semestralmente, un fondo de amorti@acin mediante depsitos semestrales iguales, el primero con $encimiento en 6 meses. allar, (a), el costo semestral de la deuda (%) la tasa nominal con$erti%le semestralmente que la compa4a est pagando para liquidar la deuda. (a) Fl cargo por intereses es 10,000(0.02)-200. Fl depsito peridico en el fondo de amorti@acin es 10,000 1 s10.02
$913.27
Fl costo semestral de la deuda es 200 912./7 -1/12./7. (%) Fn lugar de pagar ahora -10,000 la compa4a [ER paga -1/12./7 al final de cada seis meses durante los prAimos 5 aos. &ea la tasa nominal requerida -i con$erti%le semestralmente, Kenemos que 1 1213.27 .121327 1213.27 a 10,000 o sea 10,000 a10i 6. < desea un pr+stamo de -/0,000 a 6 aos. Fl %anco nacional, presta el dinero al 51W/# si la deuda se amorti@a en anualidades. Fl %anco Begional el dinero al 5# si el inter+s se paga anualmente * el capital al t+rmino de 6 aos. &i se esta%lece un fondo de amorti@acin, pagando el 2# mediante depsitos anuales iguales, el primero con $encimiento en 1 ao, \u+ plan es ms %arato * cunto se ahorrar4a anualmente aceptndolo &i se utili@a el plan del Panco Dacional, el costo anual de la deuda ser4aT 10 i
R1 20,000
1 a6.055
$4003.58
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&i se utili@a el plan del Panco Begional, el costo anual de la deuda ser4aT R1 20,000 20,000
1 s6.03
$4091.95
Fl plan del Panco Panco Dacion Dacional al es "091. "091.95 95 anualmente
"002. "002.58 58-88. 88.27 27 ms %arato %arato
7. Besol$er el e'emplo 10 si al t+rmino de /0 aos la propiedad puede ser $endida en -5,000.00 &ea 9 el el precio de compra requerido. Fn este caso el cargo por intereses es 0.059 0.05 9 * el $alor de re$enta, esto es 9 5000. 5000. >or lo tanto 0.05V (V 5000)
s20.035
25,000
* 25,000 5000 V
0.05
1 S 20.035
1
25000 5000(.035361) .08536108
$294,944.72
S 20.035
8. &e estima que que una mina tendr tendr un rendimiento rendimiento neto anual anual de -75,000 en los prAimos 10 aos, al t+rmino de los cuales podr $enderse en -10,000. allar el rendimiento anual que o%tendr4a un comprador so%re su in$ersin si paga -275,000 por la mina * el fondo de reem%olso se acumula al "#. Mesignem Mesignemos os con r el el rendimiento anual requerido. Fl inter+s ganado por por el in$e in$ers rsio ioni nist sta a es 275, 275,00 000 0 * el dep depsi sito to anual nual en el fond fondo o de reem%olso es
365,000
1 S 100 .04
.>or lo cual
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375,000r 365,000
1 S 10.0.04
75,000
*
75,000 r
365,000
375,000
1 S 10.0.04
11.89%
4., PROBLEMAS PROPUESTOS 1. allar el pago anual necesario para amorti@ar una deuda de -5,000 con intereses al " #,en 1/ aos .
/. allar el pago trimestral que de%e hacer < para amorti@ar una deuda de -5,000 con intereses al "# con$erti%le trimestralmente en 10 aos.
2. 2. 3na 3na deud deuda a de -10, -10,00 000 0 con con inte intere rese sess al 6# con$ con$er ertiti%l %lem emen ente te trimestralmente trimestralmente est siendo amorti@ada mediante pago trimestrales iguales durante los prAimos 8 aos. allar, (a) el capital insoluto 'ustamente despu+s del 1/º. >ago, (%) el capital insoluto 'ustamente antes del 15º. >ago. (c) la distri%ucin del /0º. pago respecto al pago de inter+s * a la reduccin del capital.
". 3na persona o%tiene un pr+stamo de -10,000 con intereses al 217/#. N deuda ser liquidada mediante un pago de -/,500 al t+rmino de " aos, seguido de 6 pagos anuales iguales, (a)allar el pago peridico necesario, (%) allar el capital insoluto 'ustamente despu+s del tercer pago peridico. (c)\u+ parte del !ltimo pago se aplica al pago de intereses 5. Oonstruir una ta%la para la amorti@acin de (a) una deuda de -",000 con intereses al "#, mediante 5 pagos anuales iguales (%) una deuda de -6,000 con intereses al 6#, con$erti%le semestralmente mediante 6 pagos semestrales iguales.
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6. Oonstruir una ta%la para el pago de una deuda de -/00,000 en %onos de -1,000 que de$engan intereses al 2#, durante un per4odo de 5 aos, procurando que el costo anual se lo ms igual posi%le.
7. Oonstruir una ta%la para el pago de 5 %onos de -10,000 cada uno, /0 %onos de -1,000 cada uno, 25 %onos de -500 cada uno * 1/5 %onos de -100 cada uno, pagando "# por los prAimos 6 aos, procurando que el costo anual sea lo ms igual posi%le.
8.allar el importe del depsito anual que es necesario hacer en un fondo de amorti@acin que paga e " # efecti$o, para liquidar una deuda de -/5,000 con $encimiento en 10 aos.
9. una empresa o%tiene un pr+stamo de -50,000 a 10 aos, acordando pagar intereses de 5# al final de cada ao, * al mismo tiempo, esta%lecer un fondo de amorti@acin para el pago del capital, (a) allar el costo anual de la deuda si el fondo paga el 2 #, (%),cunto ha%r en el fondo 'ustamente despu+s del Wo. depsito (c)\u+ tanto del incremento al fondo en la fecha del 5º. Mepsito es de%ido a intereses.
10. 3na deuda de "75,000 $a a ser liquidada al t+rmino de /0 aos, teni+ndose que pagar intereses de "# con$erti%le trimestralmente, cada tres tres mese meses. s. >ued >uede e esta esta%l %lec ecer erse se un fond fondo o de amor amortiti@a @aci cin n medi median ante te depsitos trimestrales iguales, el primero de los cuales $encer4a en tres meses, ganando el fondo intereses de 2# con$erti%le trimestralmente.
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allar, (a) el costo trimestral de la deuda, (%) la tasa nominal con$erti%le trimestralmente a la cual podr4a ser amorti@ada la deuda con el mismo gasto trimestral.
11. Fl 1º. de Gunio de 1960, una institucin empe@ a hacer depsitos anuales de R cada uno de un fondo que produce el 2# efecti$o para poder disponer de -15,000 anuales durante los siguientes 5 aos, con los cuales redimir unos %onos emitidos. Nos primeros %onos $encen el 1º. de Gunio de 1970. allar R si el !ltimo depsito en el fondo se hace, (a) el 1º. Me 'unio de 1970, (%) el 1º de 'unio de 197".
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&
OBJETIVOS
Beconocer * aplicar los diferentes m+todos de depreciacin.
Cplicar las frmulas correctas * reali@ar los cuadros de depreciacin que se presentan.
Cplicarlos en la solucin de pro%lemas en el campo financiero * conta%le.
SUMARIO 3nidad 5. Mepreciacin. 5.1. Lntroduccin. 5./. Oonceptos. 5.2. 0 1 / 2 "
D#%8#)7) A=7& 0 2 275 000 2 275 000 2 275 000 2 275 000
D#%8#)7) V7&'8 # A=$=&7:7 L)@8'> 0 16 000 000 2 275 000 1/ 6/5 000 6 750 000 9 /50 000 10 1/5 000 5 875 000 12 500 000 / 500 000
E"#$%&' 2. 3n equipo nuclear con costo de -25 000 000 tiene una $ida !til de 6 aos, al final de los cuales se calcula que alcan@ara un ni$el de o%solescencia que o%ligara a cam%iarlo por un modelo nue$o. &u $alor de
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sal$amento ser de - 1 000 000 * se pre$+ que de%er reali@arse una in$ersin adicional de - / 000 000 para desmontarlo * deshacerse de +l. a) Meterm4nese el cargo anual por depreciacin %) Fla%rese una ta%la de depreciacin. &olucinT Cplicando nue$amente la frmula 1.1 se o%tieneT D $
C( ) n $S n
3& --- ( *( 1 ---+ D$ 6 D $ 36
Fn este caso el $alor de sal$amento es negati$o, pues si %ien se recupera - 1 000 000 por la $enta del equipo, de%e reali@arse una erogacin de - / 000 000 para desmontarlo * deshacerse de +l. Cs4 su $alor neto de sal$amento es de - 1 000 000. Fsto puede o%ser$arse en la ta%la 1./. Cos 0 1 / 2 " 5 6
TABLA 1.2 Mepreciacin Mepreciacin Cnual Ccumulada 0 0 6 000 000 6 000 000 6 000 000 1/ 000 000 6 000 000 18 000 000 6 000 000 /" 000 000 6 000 000 20 000 000 6 000 000 26 000 000
V#7"7> 1) Fs de fcil aplicacin. D#>?#7"7>
alor en Ni%ros 25 000 000 /9 000 000 /2 000 000 17 000 000 11 000 000 5 000 000 (1 000 000)
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1) Do toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reser$a. /) Nos acti$os fi'os tienden a depreciarse en una ma*or proporcin en los primeros aos que en los !ltimos. ( Fsto compensa el hecho de que en los primeros aos los gastos de mantenimiento * reparacin son menores, en tanto que aumentan con el transcurso de los aos en esta forma se logra distri%uir los costos de in$ersin * operacin en el tiempo)
5.4 MÉTODO DE PORCENTAJE FIJO Fste m+todo tiene en consideracin el hecho de que la depreciacin es ma*or en los primeros aos de uso * menor en los !ltimos. >ara refle'arlo se carga un porcenta'e fi'o del $alor en li%ros disminu*e cada ao
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*, por tanto, la depreciacin disminu*e tam%i+n consecuentemente. Na depreciacin anual estar dada por la formula. D' $ V' ( 1d
*1.%+
Fl $alor en li%ros al final del primer ao estar dado porT V1 $ V- ( V-d $ C ( Cd * 1(
Monde es el $alor en li%ros * d la tasa de depreciacin anual fi'ada. Fn el segundo ao, el $alor en li%ros estar dado porT V2 $ V1 ( V1d $ V1 *1 ( d+ $ C * 1( d+*1 (
E en el tercero serT V3 $ V2 ( V2d $ V2 *1 ( d+ $ C * 1( d+*1 ( d+
>or tanto, se esta en presencia de una progresin geom+trica cu*o termino com!n es (1 ?d). Fl $alor en li%ros al final de cada ao puede determinarse utili@ando la formula. : O ( 1 ? d) = (1.5) Fn el ultimo ao, el $alor de sal$amento ser igual al $alor en li%ros. & O ( 1 ? d) n n ( 1.6) Mados & * n, se puede determinar la tasa de depreciacin utili@ando la formula 1.6. Fste m+todo solo puede aplicarse si el $alor de sal$amento es positi$o de lo contrario, la formula (1.6) carecer4a de sentido. Fn caso de que el $alor de desecho calculado fuese 0, pude sustituirse por 1 para poder aplicar dicha frmula.
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E"#$%&' 1. 3na compa4a compra una camioneta para el reparto de su mercanc4a en - 7 500 000. calcula que su $ida !til ser de 5 aos * que al final de ella su $alor de desecho ser de - 1 000 000. a) Meterm4nese la tasa de depreciacin d que de%e aplicarse. %) Fla%rese la ta%la de depreciacin correspondiente. S'&=) Fn este caso se conoce el $alor de desecho * el numero de aos de $ida !til. &e aplica la formula (1.6) * se despe'a d. S 1 --1 -- &--
$C*1( &-- * 1 ( $ *1 ( d+ & $ * 1 ( d+ &
1.333333 *1.3333333+1 $ 1 ( d .
$1(d d $1( d $ d $ 33.16&
Fste porcenta'e se aplica para calcular la ta%la 1.2 de depreciacin correspondienteT Me eAistir diferencia, de%ida al redondeo de las cifras, esta se a'usta en el !ltimo cargo por depreciacin. TABLA 1.3
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Cos 0 / 2 " 5
Mepreciacin Cnual . / "87.56 1 66/.50 7"/.57 "96./8
Mepreciacin Ccumulada . / "87.56 ".150.06 6 002.7/ 6 500.00
alor en >orcenta'e de Ni%ros Mepreciacin 7 500 000 0.221675 5.01/."" W 2 2"9.9" W 1 "96./8 W 1 000.00 W
E"#$%&' 2. &e adquiere un equipo de troquelado con $alor de - /8 750 000 * se calcula que su tasa de depreciacin es de 20#. &u esperan@a de $ida es de siete aos. a) %) c) d)
Fla%rese una ta%la de depreciacin de los primeros cuatro aos. Fncu+ntrese el $alor en li%ros al final del quinto ao Meterm4nese el cargo de depreciacin del seAto ao. Meterm4nese el $alor terico de desecho. TABLA 1.4 Cos 0 1 / 2 "
Mepreciacin Mepreciacin Cnual Ccumulada 0 0 8 6/5 8 6/5 6 027.5 1" 66/.50 " //6./5 18 888.75 / 958.28 /1 8"7.12
S'&=) a) utili@ando la formula 1." Md = ? 1d
alor en Ni%ros /8 750 /0 1/5 1" 087.50 9 861./5 6 90/.87
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se determinan los $alores de la ta%la 1." %) 3tili@ando la formula 1.5 se determina el $alor en li%ros al final del quinto ao. = = 5 5 c)
O(1 ? d)= /8 750 (1 ? 0.20) 5 /8 750 (0.16807) " 82/.01 Fl cargo de depreciacin por el seAto ao se o%tiene utili@ando la formula 1.1
M= M6 M6 M6
=1d 5d " 82/.01(0.20) 1 ""9.60
d) Fl $alor terico de desecho se calcula utili@ando la formula 1.6 & & & &
O(1 ? d)n /8 750(10.20) 7 /8 750 (0.08/25"20) 1 ""9.60 E"#$%&' 3.
Fl costo de un equipo de precisin es de - 10 000 000 se espera que su $ida !til ser de tres aos * que su $alor de desecho ser igual a 0. a) determ4nese el porcenta'e de depreciacin que de%e aplicarse %) Fla%rese una ta%la de depreciacin. S'&=) >ara determinar el porcenta'e de depreciacin se aplica la formula 1.6 * se despe'a d, pues, como en el e'emplo 1.".1, se conoce el $alor de desecho * el numero de aos de $ida !tilT
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& O (1d) n 0 10 000 000 (1 ? d) 2 &in em%argo, como *a se menciono antes, esta formula carece de significado si el $alor de desecho es igual a 0, pues su resultado seria indeterminado. >or tanto, se sustitu*e el 0 por el 1 * se aplica nue$amente la formula. 10 000 000 ( 1 ? d)2 ( 1 ? d)2 1W 10 000 000 d 0.995258"1 Fl efecto de una tasa de depreciacin como esta se refle'a en la ta%la 1.5 TABLA 1.5 Cos 0 1 / 2
Mepreciacin Mepreciacin Cnual Ccumulada 0 0 9 952 500 9 952 500 "6 /8" 9 999 78" /15 9 999 999
alor en li%ros 10 000 000 "6 500 /16 1
Fn este caso, prcticamente el total de la depreciacin es cargado al primer ao * puede no ser con$eniente la utili@acin de este m+todo. E"#$%&' 4. Besu+l$ase el e'emplo 1.2.1 utili@ando el m+todo de porcenta'e fi'o. &e sa%e que el costo del equipo es de - 16 000 000 su $ida !til, de cuatro aos, * su $alor de desecho, de - / 500 000. a) Meterm4nense los cargos anuales por depreciacin. %) Fla%rese una ta%la de depreciacin S'&=)
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Fn primer lugar de%e determinarse el porcenta'e de depreciacin anual. 3tili@ando la formula 1.6 se tieneT & O (1 d)n / 500 16 000 (1 ? d)" 2 &-- $ *1 d+% 16 ---
d 0.271/82/9 d 27.12# Oonocida la tasa de depreciacin se aplica en la frmula 1." M= :1d * se ela%ora la ta%la de depreciacin TABLA 1.6 Cos 0 1 / 2 "
Mepreciacin Mepreciacin Cnual Ccumulada 0 0 5 9"0.8 5 9"0.8 2 72".98 9 675.78 / 2"8.18 1/ 0/2.96 1 "76.0" 12 500.00
alor en Ni%ros 16 000 10 059./ 6 2/".// 2 976.0" / 500.00
Na diferencia resultante por el redondeo se a'usto en el ultimo cargo. Oomo puede o%ser$arse, los cargos son ms ele$ados en los primeros aos * despu+s se a'ustan a la %a'a. V#7"7> 1) Fs un m+todo relati$amente fcil de aplicar /) Csigna un ma*or cargo por depreciacin a los primeros aos, que es cuando los %ienes efecti$amente pierden un ma*or $alor D#>?#7"7>
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1) Oomo el m+todo de l4nea recta, no tiene en cuenta los intereses que genera el fondo de la reser$a.
5.5 MÉTODO DE SUMA DE DÍGITOS Fl m+todo de suma de d4gitos, al igual que el de porcenta'e fi'o, es un m+todo acelerado de depreciacin que asigna un cargo ma*or a los primeros aos de ser$icio * lo disminu*e con el transcurso del tiempo. >ara
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determinar el cargo anual se multiplica la %ase de depreciacin del acti$o por una fraccin que se o%tiene de la siguiente maneraT 1. &e suman los d4gitos (suma de d4gitos) de 1 a n de los aos de $ida esperada del acti$o. F'emploT si un acti$o tiene una $ida esperada de cuatro aos, se suman los d4gitos enteros correspondientes a los aos de ser$icio esperadoT 1 / 2 " 10 Fsta cifra tam%i+n puede determinarse utili@ando la siguiente frmulaT n *n 1+ S$ 2
*1.+
E"#$%&' Fn el caso anterior se tieneT % *% 1+ S$ 2 S$
% *&+ 2
S $ 1-
Na cifra as4 o%tenida ser el denominador de la fraccin. /. los d4gitos correspondientes a los aos de la $ida !til del acti$o se ordenan in$ersamente al tiempo * as4 , in$ersamente, se asignan cada uno de los aos de $ida !til. Fstos sern los numeradores de la fraccin. E"#$%&'T Fn el caso del acti$o con $ida de cuatro aos se tieneT Co 1 / 2 " Cos en orden Ln$ertido " 2 / 1 &uma de d4gitos 10 10 10 10 ;raccin que "W10 2W10 /W10 1W10
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&e deprecia 2. Na fraccin as4 o%tenida se multiplica por la %ase de depreciacin del acti$o (O ? &) * se o%tiene el cargo anual. Cs4, se tiene queT n D1 $ s
*C S+
n(1 D2 $ s *C S+
1 Dn $ s
*C S+
E generali@ando D4 $ n 4 1*C S+ s
*1./+
Na depreciacin acumulada (C=) se o%tiene multiplicando la %ase de depreciacin ( O ? & ) por la suma de las fracciones acumuladas hasta ese ao. E"#$%&' 1. &e compre mo%iliario de oficina con $alor de - 8 975.000. se espera que su $ida !til sea de cinco aos * que tenga un $alor de desecho de - / 000 000. a) Fla%rese la ta%la de depreciacin usando el m+todo de suma de d4gitos. S'&=) 1. &e determina la %ase de depreciacin )$ C(S
P 8 975 ? /000 P 6 975 /. &e calcula el denominador de la fraccin ( suma de d4gitos) S$
n 5
n *n 1+ 2
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S$
& *6+ 2
& 15 2. &e determinan los numeradores de las fracciones. Co Dumerador ;raccin
1 5 5 W15
/ " "W15
2 2 2W15
" / /W15
5 1 1W15
Oa%e destacar que 5W15 "W15 2W15 /W15 1W15 15W15 ". &e multiplica cada fraccin por la %ase de depreciacin para determinar el cargo de cada ao. Fste procedimiento puede simplificarse con la utili@acin de las formulas (1.7) * (1.8), como se $era en el siguiente e'emploT TABLA 1.+ Co ;raccin 0 1 / 2 " 5
5W15 "W15 2W15 /W15 1W15
Pase de Mepreciacin Mepreciacin Cnual 0 0 6 975 / 2/5 6 975 1 860 6 975 1 295 6 975 920 6 975 "65
Mepreciacin Ccumulada 0 / 2/5 " 185 5 580 6 510 6 975
alor en Ni%ros 8 975 6 650 " 790 2 295 / "65 / 000
E"#$%&' 2. Besu+l$ase el e'emplo 1.2.1 utili@ando el m+todo de suma de d4gitos. Fl costo del equipo es de - 16 000 000, su $ida !til, de " aos * su $alor de desecho, de - / 500 000.
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a) Meterm4nense los cargos anuales por depreciacin %) Fla%rese una ta%la de depreciacin S'&=) Na %ase de depreciacin se calcula porT P O ? & P 12 500 Na suma de d4gitos se tiene porT n *n 1+ S$ 2
& 10 Nos cargos anuales por depreciacin se tienen porT D' $ n 4 1 *C S+ s
M1 5 "00 M/ " 050 M2 / 700 M" 1 250 12 500 O & Oon estos elementos se constru*e la siguiente ta%laT TABLA 1., Co
Mepreciacin
Mepreciacin
alor el
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Cnual 0 1 / 2 "
0 5 "00 " 050 / 700 1 250
Ccumulada 0 5 "00 9 "50 1/ 150 12 500
Ni%ros 16 000 10 600 6 550 2 850 / 500
E"#$%&' 3. &e constru*e un edificio para al%ergar las oficinas de una empresa. Fl costo del terreno fue de -/5 000 000 * el $alor de la construccin fue de 60 000 000. la $ida !til del inmue%le se calcula n /0 aos, * su $alor de desecho, en - 10 000 000 a) Oual es el $alor en li%ros al ca%o de cinco aos si se aplica el m+todo de suma de d4gitos. S'&=) Fn primer lugar se calcula la %ase de depreciacin. P 50 000 Dtese que se considero !nicamente el $alor de la construccin, pues los terrenos, como se menciono, no se depreciacin. Fl denominador de la fraccin se calcula utili@ando la formula 1.7 & /10 Na depreciacin acumulada se o%tiene por la suma de las fracciones de los cinco primeros aos multiplicada por la %ase de la depreciacin. C5 /1 "/8.57 Fn $alor en li%ros ser el resultante de restar al costo original la depreciacin acumulada. Cs4 el $alor en li%ros del edificio al ca%o de cinco aos ser deT - 28 571 "20
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V#7"7> 1) Fste m+todo asigna un cargo ma*or de depreciacin a los primeros aos de uso del acti$o. D#>?#7"7> 1) Do toma en cuenta los intereses que genera el fondo de reser$a
5.6 MÉTODO DE DEPRECIACIÓN POR UNIDAD DE PRODUCCIÓN O SERVICIO Cl adquirir un acti$o se espera que de ser$icio durante un determinado periodo de tiempo ( aos, d4as, horas) o %ien, que produ@ca
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una cantidad determinada de =ilos, toneladas, unidades, =ilmetros, etc+tera. &i se conoce la $ida esperada del %ien en funcin de estos parmetros, puede depreciarse de acuerdo con las unidades de produccin o ser$icio que ha generado durante un periodo determinado. E"#$%&' 1. 3na compa4as arrendadora de autos adquiere un autom$il para su flotilla, con un costo de - 8 700 000. la compa4a calcula que la $ida !til del autom$il para efectos de arrendamiento es de 60 000 =m. * que, al ca%o de ellos, el $alor de desecho da la unidad ser de - 2 000 000. el =ilometra'e recorrido por la unidad durante los tres primeros aos fueT Cos 1 / 2 a) %)
:ilmetros /" 000 // 000 1" 000
Meterm4nese el monto de depreciacin por =ilmetro recorrido. Fla%rese la ta%la de depreciacin correspondiente. &olucinT Fn primer lugar se determina la %ase de depreciacin
P 5 700 Fsta %ase de depreciacin se distri%u*e entre el =ilmetro _!til` para efectos de arrendamiento con el fin de encontrar la depreciacin por =ilmetros. d A =m 5 700 60 000 d A =m - 95 Na depreciacin por =ilmetro es de - 95 000. conociendo este dato, la ta%la 10.9 de depreciacin correspondiente. TABLA 1.
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Co 0 1 / 2
:ilmetros Mepreciacin Becorridos Cnual 0 0 /" 000 / /80 000 // 000 / 090 000 1" 000 1 220 000
Mepreciacin Ccumulada
alor en Ni%ros 0 8 700 000 / /80 000 6 "/0 000 " 270 000 " 220 000 5 700 000 2 000 000
E"#$%&' 2. 3na maquina fotocopiadora tiene una $ida esperada de 600 000 copias. &u costo de adquisicin es de - 2 000 000 * su $alor de sal$amento es de - 1 /00 000. el numero de copias o%tenidas durante cuatro aos de operacin fue el siguiente. 180 000
/00 000
1"0 000
*
80 000
a) Meterm4nese la depreciacin por copia %) Fla%rese la ta%la de depreciacin correspondiente. &olucinT &e determina la %ase de depreciacin P 1 800 &e di$ide la %ase de depreciacin entre el numero de unidades de produccin esperadas. 1800 W 600 2.00 Fl monto de depreciacin por fotocopia procesada es de - 2.00 c) &e ela%ora con estos datos la ta%la 1.10 de depreciacin correspondienteT KCPNC 1.10
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Co
;otocopias
0 1 / 2 "
0 180 000 /00 000 1"0 000 80 000
Mepreciacin Cnual 0 5"0 000 600 000 "/0 000 /"0 000
Mepreciacin Ccumulada 0 5"0 000 1 1"0 000 1 560 000 1 800 000
alor en Ni%ros 2 000 000 / "60 000 1 860 000 1 ""0 000 1 /00 000
F'ercicio 2. &e compra un equipo de computo con un $alor de - 16 000 000 * se calcula que su $ida !til ser de cuatro aos * presto un ser$icio de 2 500 horas en el primer ao " 500 el segundo ao, " 000 en el tercero * 2 000 en el cuarto ao, antes de que de%a ser reempla@ado por equipo mas moderno. &u $alor de desecho se calcula en - / 500 000. a) Meterm4nense los cargo anuales por depreciacin %) Fla%rese la ta%la de depreciacin correspondiente. &olucinT &e determina la %ase de depreciacin. P 12 500 Fl total de horas de $ida !til se tiene porT / 500 " 500 " 000 2 000 15 000 Na depreciacin por hora de tra%a'o se determina di$idiendo la %ase de depreciacin entre las horas de $ida !til. 12 500 000 W 15 000 900 Nos cargos anuales por depreciacin pueden $erse en la ta%la 1.11 TABLA 1.11 Co
oras de
Mepreciacin
Mepreciacin
alor en
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Kra%a'o 0 1 / 2 "
0 2 500 " 500 " 000 2 000
Cnual 0 2 150 000 " 050 000 2 600 000 / 700 000
Ccumulada 0 2 150 000 7 /00 000 10 800 000 12 500 000
Ni%ros 16 000 000 1/ 850 000 8 800 000 5 /00 000 / 500 000
V#7"7> 1) Fs de fcil aplicacin. /) Csigna la depreciacin en relacin directa con las unidades de produccin o ser$icio que efecti$amente se general durante el periodo de referencia. D#>?#7"7> 1) &e requiere eAperiencia pre$ia para determinar la produccin durante la $ida !til del acti$o. /) Do considera los intereses ganados por el fondo de reser$a.
5.+ MÉTODO DEL FONDO DE AMORTIZACIÓN Fste m+todo toma en consideracin los intereses que gana el fondo de reser$a que se $a constitu*endo por lo tanto, el incremento anual en el fondo estar dado por la suma del cargo anual por depreciacin mas los
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intereses ganados en el periodo de referencia. Na aportacin anual al fondo de amorti@acin se deri$a de la formula que se utili@a para la anualidad. >ara determinar el pago peridico se despe'a%a B. Fn este caso < P, pues es el momento que se de%e acumular al ca%o de n aos a una tasa de inter+s i, * B M, el cargo anual que de%e reali@arse al fondo. >or lo tanto se tiene la frmula. D' $ )
i *1 i+n ( 1
>ara determinar la depreciacin acumulada C = se calcula el monto de un pago peridico M a un pla@o = * a una tasa de inter+s i por periodo. A' $ D
i *1 i+' ( 1
Fl monto acumulado al ca%o de n aos de%e ser igual, como *a se seal, a la %ase de depreciacin del acti$o. E"#$%&' 1. &e adquiere mo%iliario nue$o para un hotel. &u costo de adquisicin es de - "0 000 000 * se calcula que tenga una $ida !til de cinco aos, al ca%o de los cuales su $alor de desecho ser de 0. Fl inter+s $igente es de 50#. a) Meterm4nese el cargo anual por depreciacin utili@ando el m+todo del fondo de amorti@acin %) Fla%rese la ta%la de depreciacin correspondiente. &olucinT &e calcula en primer lugar la %ase de depreciacin.
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P "0 000 Ccto seguido, utili@ando la formula (1.9) se determina el cargo anual por depreciacin. D' $ )
i *1 i+n ( 1
D' $ %- --- -.6- & *1 -.6-+ ( 1
D 2 530 10, Na aportacin que se de%e hacer anualmente al fondo de amorti@acin es de - / 520 108. Na ta%la 1.1/ de depreciacin que se ela%ora es equi$alente a una ta%la de amorti@acin, pero con la adicin de una columna para anotar el $alor en li%ros. Oomo puede o%ser$arse en +pocas de inflacin * altas tasas de inter+s el monto de las aportaciones que reali@a la empresa es relati$amente pequeo, pues el grueso de la depreciacin esta dado por los intereses que ganados por el fondo. Fsta situacin se in$ierte si los intereses que gana el fondo son %a'os. TABLA 1.12 Cos 0 1 / 2 " 5 Kotal
Meposito Cnual
Lntereses Hanados
0 0 / 520 108 0 / 520 108 1 "15 065 / 520 108 2 9"6 968 / 520 108 7 822 /1" / 520 108 b 1" 051 /12 1/ 650 5"0 /7 2"9 "60
Mepreciacin Cnual 0 / 520 108 " 0"8 172 6 "77 076 10 262 2// 16 581 2/1 "0 000 000
Mepreciacin Ccumulada 0 / 520 108 6 578 /81 12 055 257 /2 "18 679 "0 000 000
alor en Ni%ros "0 000 000 27 "69 89/ 22 "/1 719 /6 9"" 6"2 16 581 2/1
b Fsta cantidad es en realidad igual a 1" 051 /07, pero se a'usto en 6 unidades para rectificar los errores de redondeo
E"#$%&' 2.
Besu+l$ase el pro%lema anterior considerando una tasa del inter+s del 10#.
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&olucinT Na %ase de la depreciacin es de - "0 000 * a partir de ella, se calcula M. D' $ %- ---
*1-.1 -.1-+ &
M 6 551.90 &e ela%ora la ta%la 1.12 de depreciacin * se tiene. Fl efecto financiero de los interese ganados por el fondo de reser$a puede ser, como *a se $io, mu* importante, * por ello es con$eniente tomarlo en cuenta. TABLA 1.13 (E $)&#> :# %#>'>* Co 0 1 / 2 " 5 Kotal
Meposito Cnual 0 6 551.90 6 551.90 6 551.90 6 551.90 6 551.90 2/ 759.50
Lntereses Hanados 0 0 6 551.90 655.19 1 275.90 / 168.70 b 2 0"0.71 7 /"0.50
Mepreciacin Mepreciacin alor en Cnual Ccumulada Ni%ros 0 0 "0 000.00 6 551.90 6 551.90 22 ""8.10 7 /07.09 12 758.99 /6 /"1.01 7 9/7.80 /1 686.79 18 212./1 8 7/0.60 20 "07.29 9 59/.61 9 59/.61 "0 000.00 "0 000
bFste $alor se a'ust para compensar el error de redondeo.
E"#$%&' 3. 3na sociedad cooperati$a adquiere un %arco para pesca del camarn, con $alor de - 500 000 000. calculan que su $ida !til sea de /0 aos, al ca%o de los cuales su $alor de desecho ser 10# de su costo. Meciden
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depreciarlo utili@ando el m+todo del fondo de amorti@acin * considerando una tasa promedio de inter+s de "0#. a) Meterm4nese el cargo anual por depreciacin %) Oul es la depreciacin acumulada * el $alor en li%ros al ca%o de 10 aos c) Cl ca%o de 15 aos &olucinT &e determina la %ase de la depreciacin. P "50 3tili@ando al formula 1.9 se calcula el cargo anual por depreciacin. D' $ )
i *1 i+n ( 1
Fl cargo anual por depreciacin es de - /15 29/.79 %) Na depreciacin acumulada al ca%o de 10 aos se o%tiene utili@ando la formula 1.10 A' $ D
i *1 i+' ( 1
C= 15 027 259.8/ Fl $alor en li%ros se o%tiene restando la depreciacin acumulada del costo original. = O ? C= 10 500 000 000 ? 15 027 259.8/ 10 "8" 96/ 6"0./ Oomo puede notarse, el fondo se incrementa aceleradamente en los !ltimos aos de%ido al crecimiento significati$o que tienen los intereses generados por el fondo.
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E"#$%&' 4. &e compr un equipo de computo con $alor de - 16 000 000 * se calcula que su $ida !til ser de cuatro aos, antes de que de%a ser reempla@ado por equipo mas moderno. &u $alor de desecho se calcula en - / 500 000, considerando que el fondo gana un inter+s de 50#. &olucinT &e tiene una %ase de depreciacin de - 12 500 000 *a queT Cplicando la frmula 1.9 se tiene queT Na aportacin anual al fondo de amorti@acin es de - 1 661.528 Na ta%la de amorti@acin queda como sigueT TABLA 1.14 Co 0 1 / 2 " Kotal
Meposito Cnual 0 1 661.5" 1 661.5" 1 661.5" 1 661.5" 6 6"6.16
Lntereses Hanados 0 0 820.77 / 076.92 b 2 9"6.1" 6 852.8"
Mepreciacin Mepreciacin alor en Cnual Ccumulada Ni%ros 0 0 16 000.00 1 661.5" 1 661.5" 1" 228."6 / "9/.21 " 152.85 11 8"6.15 2 728."7 7 89/.2/ 8 107.68 5 607.68 12 500.00 / 500.00 12 500.00
bFste $alor se a'usto para compensar el error de redondeo.
5., LA DEPRECIACIÓN EN ÉPOCAS INFLACIONARIAS Cl inicio de este tra%a'o se menciono que dos son los o%'eti$os de la depreciacinT
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1. Meterminar el costo de lo real de los %ienes o ser$icios que se generan como un acti$o *, /. esta%lecer un fondo de reser$a que permita reempla@arlos al final de su $ida !til. Fn +pocas inflacionarias el rpido incremento de los precios de todos los %ienes * ser$icios impide que un sistema de depreciacin %asado en costos histricos cumpla con los o%'eti$os arri%a mencionados, pues al mantenerse la %ase de depreciacin sin actuali@ar, los precios de los %ienes no re$elaran los costos actuales de produccin, ni el fondo que se esta%le@ca permitir reempla@ar al %ien. Fn esta seccin se harn algunas consideraciones con respecto a los pro%lemas arri%a mencionados * presentaran alternati$as para el tratamiento financiero de la depreciacin. Fl $alor de reposicin. Ouando las organi@aciones enfrentan situaciones de alta inflacin sus encargados de las finan@as tienen una gran responsa%ilidadT hacerlas producti$as descontando el efecto de la inflacin. 3na empresa puede mostrar grandes utilidades en sus estados financieros, pero si el porcenta'e de incremento que ha tenido de un ao a otro no compensa la perdida del poder adquisiti$o ocasionada por la inflacin, dicha empresa estar sufriendo perdidas en t+rminos reales. &i a ello se a!na el hecho de que tales utilidades aparentes se repartan entre los accionistas, lo que estar sucediendo es que la empresa se estar descapitali@ando * en pocos aos afrontara serios pro%lemas de liquide@ que pueden lle$arla incluso a la quie%ra. 3n elemento que de%er actuali@arse, por tanto, en forma constante, es la depreciacin para efectos financieros. >ara hacerlo se usa el concepto de $a!#r "e rep#sici:n esto es el importe que se necesitar desem%olsar en el futuro para reponer un acti$o que se encuentra en ser$icio en un momento determinado. Fste calculo resulta comple'o, pues influ*en $arios factoresT a) Na $ida !til esperada del acti$o %) Na o%solescencia del acti$o.
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c) Na inflacin esperada. a)
Vida útil esperada del Activo.
&on los aos durante los cuales se considera que el acti$o podr funcionar renta%lemente. b)
La obsolescencia.
&i %ien un acti$o puede tener una $ida !til de 10 aos, puede ser que el a$ance tecnolgico haga necesario su cam%io con anterioridad, al aparecer equipos que hagan la misma funcin con un costo sensi%lemente menor. c)
La tasa de inflación esperada.
>ara poder conocer el $alor de reposicin de una acti$o es necesario calcular la inflacin promedio esperada para los aos de $ida !til. Fste calculo es cada $e@ ms comple'o, pues la $aria%ilidad de las pol4ticas econmicas de los piases, su interdependencia cada $e@ ma*or en el m%ito mundial, * la presencia de $aria%les a'enas al control de las mismas, hace mu* dif4cil la prediccin del comportamiento de esta $aria%le en el mediano pla@o ( 2 a 5 aos) * prcticamente imposi%le en el largo pla@o. C pesar de estas dificultades es necesario reali@ar los esfuer@os necesarios para calcular dicho $alor de reposicin, en el entendido que se trata de $alores esperados que sern a'ustados cada $e@ que se requiera. 3na $e@ conocidos los datos anteriores, el calculo del $alor de reposicin es sencillo. E"#$%&' 1. Oul es el $alor de reposicin de un equipo cu*o costo de adquisicin es de - 5 000 000, si su $ida !til esperada es de cuatro aos * se pre$+ que la inflacin promedio anual ser de "5# S'&=) &e aplica la formula del monto a inter+s compuesto * se o%tieneT < O (1 i) n
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< // 10/.52 Fl $alor de reposicin esperado es de - //.10/ millones en cuatro aos. E"#$%&' 2. &i el $alor de estos equipos ha estado disminu*endo 5# cada ao en t+rminos reales como resultado de los a$ances tecnolgicos * de la utili@acin de nue$os materiales ms econmicos, Oul seria el $alor de reposicin esperado S'&=) &i se considera que el equipo tu$iera $alor constante de - 5 000 000 al ca%o de un ao su precio ser4a 5 # menor al ca%o de dos aos, 5# menor * as4 sucesi$amente. Fsto puede eApresarse matemticamente como sigue (.B.O. alor de reposicin a precios constantes)T .B.O. 5 000 (0.95)(0.95) (0.95) (0.95) .B.O. 5 000 (0.95) " .B.O "07/.521/5 Cl $alor as4 o%tenido se le aplica la inflacin esperada de "5# durante los prAimos cuatro aos. < O( 1i) n < " 07/.521/5 (1 0."5) "
/0.00 /0.00 /0.00 /0.00 /0.00
8.62 8.88 9.15 9."2 9.71
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Kotales 1"5.80 100.00 "5.80 Fl $alor en li%ros al principio de cualquier periodo es simplemente el precio al cual el %ono de%e ser comprado para que produ@ca el rendimiento deseado por el in$ersionista. puede ser calculado en forma independiente, $arias $eces, como un m+todo de compro%acin de la ta%la. >uesto que el %ono del e'emplo 5 fue comprado con descuento, es costum%re utili@ar el t+rmino acumu!an"# e! "escuen)# para lle$ar el $alor en li%ros hasta el $alor de redencin. +ase el pro%lema 5 para la ta%la de in$ersin de un %ono comprado a premio. 6.4
PRECIO DEL BONO COMPRADO ENTRE FECHAS DE PAGO DE INTERESES
>ara hallar el precio de compra de un %ono entre dos fechas de pago de intereses, que produ@can un cierto rendimientoT a)
allar el precio de compra en la !ltima fecha que se pago intereses, %) Ccumular la suma encontrada en (a) a intereses simple (aplicando la tasa de intereses del comprador) hasta la fecha de compra. E"#$%&' 6. 3n %ono de -1000, " #, FG. Bedimi%le a 105 el 1º de Fnero de 1985, se compra el /0 de &eptiem%re de 196/, esperando un rendimiento de 6# con$erti%le semestralmente. allar el precio de compra 1 1050(1.02) "5 //.50 a "5, 02 -8/9.22 Fsta cantidad se acumula del 1º de Gulio de 196/ al /0 de &eptiem%re de 196/. (81 d4as eAactamente) al 6# de inter+s simple. >or tantoT > >1 1 0, 06 ( 81 ) 8/9.22(1.0125) -8"0.52 260 Fl $alor en li%ros del %ono el /0 de &eptiem%re de 196/. Do es el precio de compra. Fl $endedor del %ono lo ha conser$ado por 81 d4as despu+s del !ltimo pago de inter+s * por tanto, est o%ligado a participar del siguiente pago de intereses. Fsta parte fraccionada del pago de inter+s. 81W180 (//.50) -10.1/, es conocida como inter+s reditua%le. Fl comprador de%e considerar que este inter+s reditua%le esta incluido en el proceso de compra, por lo que el $alor en li%ros del %ono, al /0 de &eptiem%re de 196/ es >recio de compra ? inter+s reditua%le ? 8"0.52 ? 10.1/ -820."1 6.5 EL PRECIO COTIZADO DE UN BONO Fn pro%lema tratado anteriormente es hallar el precio que el comprador de%e pagar por un %ono dado, con el o%'eto que gane la tasa de inter+s deseada. Fn cierto sentido, el pro%lema es tanto acad+mico, *a que no ha* seguridad que un %ono en particular pueda ser comprado al precio requerido. roducto promedio por periodo alor promedio en li%ros
E"#$%&' ,. 3n %ono de -1000, 6#, FG. Bedimi%le a 110 el 1º de Gulio de 1987, esta coti@ado en 1/5 al 1º de Fnero de 196/. allar por el m+todo de promedios la tasa de reditua%ilidad suponiendo que es comprado en la fecha mencionada. Fn la fecha de compra, el $alor en li%ros del %ono es -1/50 * en la fecha de redencin ser -1100. Fl $alor promedio en li%ros esT
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(1/50 1100) -1175 &i se conser$a el %ono hasta su redencin, el comprador reci%ir 51 pagos de intereses de -20 cada uno, adems del $alor de redencin de -1100, esto es -/620. >uesto que paga -1/50 por el %ono, el producto total durante los 51 periodos de inter+s es /620. 1/50 -1280 * el producto promedio por periodo es 1280W51 -/7.06. Na tasa por periodo de inter+s es /7.06W1175 0.0/2, aproAimadamente * la tasa de reditua%ilidad es ".6# con$erti%le semestralmente. %) M4)#"# "e in)erp#!aci:n. Fste m+todo requiere del precio de compra del %ono so%re la %ase de dos tasas de intereses, en tal forma que un precio sea menor * otro ma*or al precio coti@ado dado. Fn esencia, estamos calculando las cifras que necesitamos, correspondientes a las ta%las mencionadas para %onos. E"#$%&' . CproAimar mediante el m+todo de interpolacin la tasa de reditua%ilidad del %ono del e'emplo 8. Fn el e'emplo 8 se o%tu$o mediante una simple aproAimacin la tasa de ".6# con$erti%le semestralmente. Nas ta%las * [LLL nos permiten hallar rpidamente los precios de compra que redit!en "# * 5# con$erti%le semestralmente al 1º de enero de 196/, designadas por < = 1100(1.0/) 51 20 a 51 0/ -125".20 E
@ = 1100(1.0/8)51 20 a 51 0/5 - 1171.6/
Lnterpolando entre estos dos $alores, tenemosT 0./ 0.005 i 0./5
*
125".20 18/.68 1/50.00 10".20 1171.6/ 10".20 (0.005) 0.00/85 * 18/.68 i 0.0/ 0.00/85
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* la tasa de reditua%ilidad es ".57# con$erti%le semestralmente. Fn el e'emplo 9 la interpolacin ha estado entre las tasas de /# * / # disponi%le es nuestras ta%las. Fstrechando estos l4mites, o%tendr4amos ma*or precisin, el pro%lema es que de%emos utili@ar logaritmos en los clculos. E"#$%&' 10. CproAimar la tasa de reditua%ilidad del %ono del e'emplo 8 utili@ando para la interpolacin las tasas de / Z # * /.2# por per4odo de inter+s. Kenemos < = 1100(1.0//5)51 20 -1/58.2/ *
@ = 1100(1.0/8)51 20
1(1.0//5) 51 252.6" 90".68 0.0//5 1(1.0/) 51 2"".92 895.22 0.0/2
-1/"0./6 Lnterpolando entre estos dos $alores, tenemos
0.0//5 0.005 i 0.0/8
1/58.2/ 18.06 1/50.00 1/"0./6
*
8.2/ * 18.06
8.2/
(0.005) 0.000/2
i 0.0//5 0.000/2 0.0//72 * la tasa de reditua%ilidad es ".5"6# con$erti%le semestralmente. +ase pro%lema 9.
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6.+ BONOS CON FECHA OPCIONAL DE REDENCIÓN Oon el o%'eto de estar en posicin de tomar $enta'a de cualquier futura %a'a en la tasa de inter+s, en ocasiones las compa4as emiten %onos pre$iendo que pueden ser redimidos antes de la fecha normal de redencin. Cl calcular el precio que se est dispuesto a pagar por ellos, el in$ersionista de%e suponer la fecha de redencin ms desfa$ora%le para +l. Me esta forma tendr la certe@a de o%tener la reditua%ilidad deseada * qui@ ms. E"#$%&' 11. 3n %ono de -1000, 6#, 1020(1.0/) 7 /5 a 7 ,0/ - 1058."8 Fl $alor en li%ros en la fecha de la compra es -1058."8. al t+rmino del primer per4odo, el inter+s $encido so%re dicho $alor en li%ros, a la tasa del in$ersionista es 1058."8(0.0/) - /1.17 mientras que el pago de interese del %ono es por -/5. Na diferencia /5 ? /1.17 -2.82 es para amorti@ar el capital en consecuencia, al principio del segundo per4odo, el $alor en li%ros del %ono se reduce a 1058."8 ? 2.82 -105".6", * as4 sucesi$amente.
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P#8)':'
V7&'8 # &)@8'> 7& %8))%)' :#& %#8)':'
1 / 2 " 5 6 7 8
1058."8 105".65 1050.7" 10"6.75 10"/.69 1028.5" 102".21 1020.00
I#8#>#> ?#):'> >'@8# #& ?7&'8 # &)@8'> /1.17 /1.09 /1.01 /0.9" /0.85 /0.77 /0.69
P7;' :# )#8#>#> :#& @'' /5.00 /5.00 /5.00 /5.00 /5.00 /5.00 /5.00
C7$@)' :#& ?7&'8 # &)@8'> 2.82 2.91 2.99 ".06 ".15 "./2 ".21
Oomo el %ono fue comprado a premio, es costum%re ha%lar de am#r)iar e! capi)a! para lle$ar el $alor en li%ros al $alor de redencin. 1/. 3n %ono de -1000, "#, GM, redimi%le el 1º de diciem%re de 1995 a la par, es comprado el 21 de mar@o de 1961 para que redit!e el 5# con$erti%le semestralmente. allar el precio de compra * el $alor en li%ros en dicha fecha. Cl 1º de diciem%re de 1960, la fecha del !ltimo pago de inter+s anterior al d4a de la compra, el precio de compra que redit!a 5# con$erti%le semestralmente es 1000 (1.0/5) 70 /0 a 70 ,0/5 - 825.51 Cl 21 de mar@o de 1961 (1/0 d4as despu+s) el per4odo de compra es 825.51 1 0.05 ( 1/0 ) - 8"9."" 260 Fl inter+s reditua%le (del 1º de diciem%re de 1960 al 21 de mar@o de 1961) es /0(1/0W180) -12.22 * el $alor en li%ros requerido es 8"9."" ? 12.22 - 826.11
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S#!uci:n a!)erna Fl $alor en li%ros del %ono al 1º de diciem%re de 1960, que redit!a 5# con$erti%le semestralmente es 1000(10/5) 70 /0 a 70 ,0/5 -825.51 * en la fecha del siguiente pago de interese, 1º de 'unio de 1961 es 1000(1.0/5) 80 /0 a 70 ,0/5 - 826."0 interpolando entre las dos cantidades, encontramos el $alor en li%ros al 21 de mar@o de 1961, o sea 825.51 /W8 (826."0 ? 825.51) - 826.10 por lo cual el precio de compra es 826.10 12.22 - 8"9."2 12. 3n %ono de - 1000. 6#,uesto que al 1º de 'ulio de 1962, el precio de compra que redit!a 2# con$erti%le semestral es -1000, la tasa %uscada ser ma*or. Fl precio que redit!a 2 # con$erti%le semestralmente es 100(1.0175) /8 15 a /8
,0175
- 9"5.02
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>or lo cual la tasa %uscada est entre 2 * 2 # con$erti%le semestralmente. Kenemos queT
0.015 0.00/5 i 0.175
A
1000.00 5".97 95/.50 9"5.02
"7.50
de donde A "7.50 (0.0/5) 0.00/16 5".97
i 0.015 0.00/16 0.01716 * la tasa de reditua%ilidad es 2."2/ # con$erti%le semestralmente. 16.
3n %ono de -1000, 2#, FG, es redimi%le a la par el 1º de 'ulio de 1990, pero puede ser redimido el 1º de 'ulio de 1980 o en cualquier fecha posterior de pago de intereses. (a) allar el precio de compra al 1º de 'ulio de 1962 que redit!e por lo menos "# con$erti%le semestralmente. (%) allar la utilidad del in$ersionista si el %ono es redimido el 1º de 'ulio de 1985
>ara que la tasa de reditua%ilidad requerida es superior a la tasa del %ono, el %ono de%e ser comprado con descuento. Fn esta forma, el $alor en li%ros aumenta gradualmente hasta que alcan@a el $alor nominal en la fecha de redencin ($+ase el e'emplo 5). >or tanto el in$ersionista de%e calcular el precio con la suposicin que el %ono ser redimido en la !ltima fecha posi%le. a) Fl 1º de 'ulio de 1962, el precio de compra que redit!a "# con$erti%le semestralmente es
1000(1.0/) 5" 15 a 5" ,0/ - 825.80
%) Cl 1º de 'ulio de 1985, el $alor en li%ros del %ono se ha%r incrementado hasta el $alor en li%ros en esa fecha so%re la %ase de reditua%ilidad del "# con$erti%le semestralmente, esto es 1000(1.0/) 10 15 a 10 ,0/ - 955.09
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>uesto que el in$ersionista reci%ir -1000 en dicha fecha, su utilidad es 1000 ? 955.09 - "".91. 6.11 PROBLEMAS PROPUESTOS 17.
Fn cada uno de los casos siguientes, hallar el precio del %ono que redit!e la tasa deseadaT V7&'8 '$)7&
(a) (%) (c) (d) (e) (f) (g) (h)
- 1000 - 500 -1000 - 100 -1000 - 500 -1000 - 500
R#:)$)@&# Na par en /5 aos Na par en 15 aos 105 en 10 aos 110 en /0 aos Na par en 5 aos Na par en 2 aos 10/ en / aos 105 en / aos
P7;' :# )#8#>#> " # semestral "# semestral 5# trimestral "# semestral 5# anual 6# semestral 2# semestral "# semestral
R#:)=7@)&):7: 6# semestral 5# semestral 2# trimestral 2# semestral "# anual 5# semestral 6# semestral 5# semestral
Resp. (a) -7"/.7/ (%) -""7.67 (c) -1/09.2/ (d) - 1/0."7 (e) " 10"".5/ (f) - 512.77 (g) - 9"8.56 (h) - 510."8 18.
Oonstruir una ta%la de in$ersin para cada uno de los %onos del pro%lema 11 (e) ? (h).
19.
Fn cada uno de los casos siguientes, hallar el precio de compra del %ono que redit!e la tasa dadaT
VALOR NOMINAL a) -1000 %) -1000 c) - 100 d) - 500
REDIMIBLE A Na par el 1º de dic. 1986 Na par el 1º de no$.1988 105 el 1º 'ulio 1975 10/ el 1º oct. 1995
PAGO DE INTERESES "# GM 5# ara cada uno de los %onos del pro%lema 12, hallar el precio _con intereses` el d4a de la compra. Resp. (a) -85".71 (%) -868.97 (c) -1/0.51 (d) -59/.20
/1.
Fn cada uno de los casos siguientes, hallar la tasa de reditua%ilidad con$erti%le semestralmente, mediante interpolacinT
VALOR NOMINAL a) -1000 %) -1000 c) -1000 d) -1000
REDIMIBLE A
PAGO DE INTERESES Na par el 1º enero 1988 2# FG Na par el 1º mar@o 1987 2 5
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