Matematicas_financieras_0001

Esta nueva edición desarrolla los programas académicos de Matemáticas financieras e Ingeniería económica, en once capítulos que han sido reestructurados y actualizados pensando en la dinámica que debe tener todo currículo. Se ampliaron los capítulos siguientes: -

Principio de la equivalencia financiera: incluye el tema de las ecuaciones de valor. Tasas de interés: incluye los temas sobre tasas de cambio y devaluaciones entre dos monedas, lo mismo que las tasas de cambio y las devaluaciones cruzadas con otras monedas. Sistemas de amortización: contempla todos los sistemas de amortización en UVR y en pesos. Gradientes: presenta las diversas modalidades del gradiente, aritmético y geométrico. Tasa interna de retorno: se adicionó el tema que relaciona la tasa interna de retorno con el valor presente neto y los flujos de caja descontados. Problemas propuestos y resueltos: el apéndice respectivo se amplió con 100 problemas entre propuestos y resueltos, con el fin de proporcionarle al lector una herramienta más para la solución de sus propios problemas.

Adicionalmente, el texto contiene un CD-ROM con tres calculadoras que le permitirán al usuario resolver los siguientes problemas: -

Encontrar las tasas de interés equivalentes a otra tasa cualquiera. Basta digitar en la calculadora la tasa de interés conocida e inmediatamente aparecerán sus respectivas tasas equivalentes.

-

Conocer la situación de un crédito bancario mediante una tabla de amortización debidamente detallada para cualquiera de los sistemas de amortización que operan en el mercado financiero colombiano, para créditos de vivienda y de libre inversión. En esta tabla se podrá apreciar cuánto se paga en una cuota por concepto de capital, cuánto por IPC y cuánto por intereses propiamente dichos.

Estas modificaciones ponen la obra a tono con las exigencias de un mundo en constante cambio que exige que los profesionales del área se mantengan actualizados.

ISBN-13:978-958-41-0362-8 ISBN-10:958-41-0362-8 Diseño cubierta Digital SP Cia creativa

9 789584 103628

Incluye CD

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Matemáticas financieras Tercera edición

ALBERTO ÁLVAREZ ARANGO Ingeniero industrial Universidad Autónoma Latinoamericana Profesor universitario

Revisión técnica ALEJANDRO USECHE

Bogotá • Buenos Aires • Caracas • Guatemala • Lisboa • Madrid • Ciudad de México Nueva York • Ciudad de Panamá • San Juan • Santiago de Chile • São Paulo Auckland • Hamburgo • Londres • Milán • Montreal • Nueva Delhi • París San Francisco • San Luis • Singapur • Sidney • Tokio • Toronto

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MATEMÁTICAS FINANCIERAS, Tercera edición. No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright. Derechos reservados. Copyright © 2005, por Alberto Álvarez Arango Derechos reservados. Copyright © 2005, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S.A. Cra 11 No. 93 - 46. Bogotá, D.C., Colombia Editora: Lily Solano Arévalo Jefa de produción: Consuelo Ruiz M. Diagramación y armada electrónica: Yolanda Alarcón V. 3012456789

30123467895

ISBN 10: 958-41-0362-8 ISBN 13: 978-958-41-0362-8 Impreso en Colombia

Printed in Colombia

Impresor: Legis S.A.

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A mi esposa, Astrid, y a mis hijos, Ricardo Alberto, Víctor Hugo y Gabriel Darío, quienes son la fuente inmanente de mi vida.

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Contenido Prefacio Notas preliminares ....................................................................................... xv Justificación ........................................................................................................................ xv Objetivo general .................................................................................................................. xv Objetivos específicos .......................................................................................................... xv Logaritmos ......................................................................................................................... xvi Definición ..................................................................................................................... xvi Propiedades de los logaritmos ...................................................................................... xvi Logaritmo de un producto ...................................................................................... xvii Logaritmo de un cociente ....................................................................................... xvii Logaritmo de una potencia ..................................................................................... xvii Logaritmo de una raíz............................................................................................. xvii Series o progresiones ........................................................................................................ xvii Progresión aritmética ................................................................................................... xvii Suma de los términos de una progresión aritmética ........................................................ xviii Progresión geométrica ........................................................................................... xviii Suma de los términos de una progresión geométrica ................................................... xix El número e ......................................................................................................................... xx Factores a interés compuesto ....................................................................................... xxii Nomenclaturas diferentes pero equivalentes .......................................................... xxii

Capítulo 1 Interés ......................................................................................... 1 Justificación .......................................................................................................................... 1 Objetivo general .................................................................................................................... 1 Objetivos específicos ............................................................................................................ 1 Conducta de entrada ............................................................................................................. 2 Respuestas a la conducta de entrada ................................................................................ 2 Interés ................................................................................................................................... 3 Definición ........................................................................................................................ 3 Diagramas económicos ................................................................................................... 4 Interés simple .................................................................................................................. 6 Interés compuesto ............................................................................................................ 8 Valor futuro de una suma presente ............................................................................. 9 Valor presente de una suma futura ........................................................................... 10 Diferencia entre interés compuesto e interés simple ..................................................... 12 Problemas propuestos ......................................................................................................... 16 Autoevaluación ............................................................................................................... 16 v

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Respuestas a la autoevaluación ........................................................................................... 17 Actividades de repaso ......................................................................................................... 18

Capítulo 2 Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos .... 19 Justificación ........................................................................................................................ Objetivo general .................................................................................................................. Objetivo específico ............................................................................................................. Conducta de entrada ........................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada .............................................................................. Principio de equivalencia .................................................................................................... Descuento (D) ................................................................................................................ Valor nominal (Vn) .................................................................................................... Valor efectivo (Ve)..................................................................................................... Descuento comercial (Dc) ........................................................................................ Descuento racional (Dr) ........................................................................................... Descuento compuesto (D’c)...................................................................................... Vencimientos ................................................................................................................. Vencimiento medio ................................................................................................... Vencimiento común .................................................................................................. Ecuaciones de valor ............................................................................................................ Problemas propuestos ......................................................................................................... Autoevaluación ................................................................................................................... Respuestas a la autoevaluación ........................................................................................... Actividades de repaso ........................................................................................................

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Capítulo 3 Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad .................... 43 Justificación ........................................................................................................................ Objetivo general .................................................................................................................. Objetivos específicos .......................................................................................................... Conducta de entrada ........................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada .............................................................................. Tasa nominal y tasa efectiva ............................................................................................... Tasa nominal .................................................................................................................. Tasa efectiva .................................................................................................................. Deducción de fórmulas .................................................................................................. Capitalizaciones vencidas ........................................................................................ Capitalizaciones anticipadas .................................................................................... Cálculo de una tasa efectiva periódica cuando se conoce otra tasa efectiva periódica ................................................................................................ Cálculo de una tasa efectiva anual cuando interviene el IPC ................................... Interés realmente cobrado en el año ......................................................................... vi

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Contenido

Cálculo de la tasa de interés cuando intervienen otros elementos como comisiones, estudio del crédito, papelería, timbres, dividendos, etc. ....... 57 Aplicaciones de las tasas de interés .................................................................................... 60 En moneda corriente ...................................................................................................... 60 En moneda extranjera .................................................................................................... 63 Inflación .............................................................................................................................. 63 Causas de la inflación......................................................................................................64 Efectos de la inflación.....................................................................................................65 Otras tasas de interés .......................................................................................................... 67 Relaciones entre estas tasas de interés .......................................................................... 68 Cálculo de la devaluación ................................................................................................... 68 Tasa de cambio (TC) ........................................................................................................... 68 Devaluación (DEV) ............................................................................................................ 70 Tasas de cambio y devaluaciones cruzadas ................................................................... 72 Problemas propuestos ......................................................................................................... 76 Autoevaluación ................................................................................................................... 78 Respuestas a la autoevaluación ........................................................................................... 80 Actividades de repaso ......................................................................................................... 84

Capítulo 4 Anualidades y capitalización continua ....................................... 85 Justificación ........................................................................................................................ 85 Objetivo general .................................................................................................................. 85 Objetivos específicos .......................................................................................................... 85 Conducta de entrada ........................................................................................................... 87 Respuestas a la conducta de entrada .............................................................................. 87 Anualidades ........................................................................................................................ 88 Anualidades vencidas .................................................................................................... 88 Anualidades indefinidas ................................................................................................ 93 Capitalización continua ............................................................................................ 95 Anualidades anticipadas .............................................................................................. 100 Anualidad anticipada con cuota al final ................................................................. 104 Liquidación de intereses sobre saldos mínimos ..................................................... 105 Cuotas anticipadas y periodo de pago menor que el periodo de capitalización ..... 105 Cuotas anticipadas y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización ..... 107 Cuotas vencidas ...................................................................................................... 110 Anualidades diferidas ............................................................................................. 112 Problemas propuestos ....................................................................................................... 114 Autoevaluación ............................................................................................................ 115 Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... 116 Actividades de repaso ....................................................................................................... 120

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Capítulo 5 Gradiente ................................................................................ 121 Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ Gradiente aritmético ......................................................................................................... Gradientes ......................................................................................................................... Gradiente aritmético (lineal) diferido ............................................................................... Gradiente aritmético infinito ............................................................................................ Gradiente aritmético (lineal) escalonado .......................................................................... Gradiente aritmético infinito y escalonado ...................................................................... Gradiente geométrico o (exponencial) ............................................................................. Gradiente geométrico infinito .......................................................................................... Gradiente geométrico escalonado ............................................................................... Gradiente geométrico infinito y escalonado ..................................................................... Problemas propuestos ....................................................................................................... Autoevaluación ............................................................................................................ Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... Actividades de repaso .......................................................................................................

121 121 121 122 122 123 132 132 134 139 141 142 146 149 151 159 160 162 166

Capítulo 6 Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

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Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ Amortizaciones ................................................................................................................. Sistemas simples ............................................................................................................... Cuota única al final del periodo .................................................................................. Cuota periódica uniforme ............................................................................................ Cuota periódica creciente linealmente ........................................................................ Cómo calcular el saldo con este plan .......................................................................... Cuota periódica decreciente linealmente ..................................................................... Cuota periódica creciente geométricamente ................................................................ Sistemas integrados ..................................................................................................... Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos ................ Anualidad creciente geométricamente ........................................................................ Sistemas agregados ........................................................................................................... Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final ................................................... Anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmente y anticipada ............................................................................................................

167 167 167 169 169 170 171 172 172 182 187 193 195 198 198 202 208 209

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Contenido

Sistema de valor constante ............................................................................................... 218 Sistema UPAC y Sistema UVR ................................................................................... 218 Comparación entre el sistema UPAC y el sistema UVR....................................................220 Planes de amortización para créditos de vivienda ....................................................... 221 Sistema de cuota constante en pesos ........................................................................... 222 Explicación de la tabla de amortización en el sistema de cuota constante (fija) en pesos. .............................................................................................. 223 Calculo de la tasa de interés realmente cobrada en un crédito...........................................225 Sistema de cuota constante en pesos con abono extraordinario no pactado ......................227 Sistema de abono constante a capital en pesos...................................................................229 Sistema de abono constante en U.V.R.................................................................................231 Sistema de abono constante a capital en U.V.R..................................................................233 Problemas propuestos ....................................................................................................... 240 Autoevaluación ............................................................................................................ 241 Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... 243 Actividades de repaso ....................................................................................................... 258

Capítulo 7 Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente ........ 259 Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ Métodos para evaluar alternativas .................................................................................... Valor presente neto (VPN) ................................................................................................ Alternativas con vidas útiles iguales ........................................................................... Alternativas con vidas útiles diferentes ....................................................................... Costo anual uniforme equivalente (CAUE) ...................................................................... Fondo de amortización de salvamento ........................................................................ Valor presente de salvamento ...................................................................................... Recuperación de capital más intereses ........................................................................ Costo capitalizado ............................................................................................................ Problemas propuestos ....................................................................................................... Autoevaluación ............................................................................................................ Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... Actividades de repaso .......................................................................................................

259 259 259 260 260 261 263 265 267 269 269 270 271 274 280 281 282 288

Capítulo 8 Evaluación financiera de alternativas de inversión ................... 289 Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... ix

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Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ Cálculo del punto de equilibrio ........................................................................................ Sensibilidad ...................................................................................................................... Análisis ............................................................................................................................. Punto de equilibrio con más de dos alternativas ............................................................... Problema del reemplazo ................................................................................................... Beneficio neto .................................................................................................................. Tasa de Actualización Social (is) ................................................................................. Beneficio neto (BN) .................................................................................................... Beneficio neto diferencial BN (i-j) ............................................................................. Relación beneficio-costo .................................................................................................. Análisis de alternativas mediante las tasas de rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra ................................................................................................... Problemas propuestos ....................................................................................................... Autoevaluación ............................................................................................................ Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... Actividades de repaso .......................................................................................................

290 291 294 294 296 303 307 307 307 307 310 311 315 317 322 334

Capítulo 9 Tasa interna de retorno ........................................................... 335 Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ Tasa interna de retorno ..................................................................................................... Tasa interna de retorno vs. valor presente neto ................................................................. Flujo de caja después de impuestos .................................................................................. Cálculo de la TIR después de impuestos ..................................................................... Cálculo del CAUE ....................................................................................................... Problemas propuestos ....................................................................................................... Autoevaluación ............................................................................................................ Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... Actividades de repaso .......................................................................................................

335 335 335 336 336 337 351 355 356 357 361 361 363 374

Capítulo 10 Bonos .................................................................................... 375 Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ Bonos ................................................................................................................................ x

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Contenido

Bonos sin sorteo emitidos a la par ............................................................................... Bonos sin sorteo emitidos bajo la par .......................................................................... Bonos con sorteo emitidos a la par .............................................................................. Bonos con sorteo emitidos bajo la par ........................................................................ Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con lote ........................................................ Bonos emitidos en serie ............................................................................................... Problemas propuestos ....................................................................................................... Autoevaluación ............................................................................................................ Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... Actividades de repaso .......................................................................................................

378 379 381 386 387 388 395 396 397 402

Capítulo 11 Activos financieros y bolsa de valores .................................. 403 Justificación ...................................................................................................................... Objetivo general ................................................................................................................ Objetivos específicos ........................................................................................................ Conducta de entrada ......................................................................................................... Respuestas a la conducta de entrada ............................................................................ La bolsa de valores ........................................................................................................... ¿Qué es la bolsa de valores? ........................................................................................ ¿Quién es el comisionista de bolsa? ............................................................................ ¿Qué operaciones realiza la bolsa de valores? ............................................................ ¿Qué es una acción? .................................................................................................... ¿Qué es un dividendo? ................................................................................................. ¿Qué es un ADR? ........................................................................................................ ¿Qué es el CERT? ........................................................................................................ ¿Qué es el emisor? ....................................................................................................... ¿Qué es el mercado primario? ..................................................................................... ¿Qué es la liquidez primaria? ...................................................................................... ¿Qué es el mercado secundario? ................................................................................. ¿Qué es el mercado negro? .......................................................................................... ¿Qué es la liquidez secundaria? ................................................................................... ¿Qué es un mercado firme? ......................................................................................... ¿Qué es un mercado ofrecido? .................................................................................... ¿Qué es una operación carrusel? ................................................................................. ¿Qué es un mercado repo? ........................................................................................... ¿Qué es una operación swap? ...................................................................................... Clases de activos ............................................................................................................... Activos monetarios ...................................................................................................... Activos reales .............................................................................................................. Otros activos ................................................................................................................ Activos financieros ...................................................................................................... xi

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Activos financieros que devengan interés ................................................................... Tasa de registro ............................................................................................................ Tasa para el comprador ................................................................................................ Tasa de cesión .............................................................................................................. Con liquidación de intereses en forma anticipada .................................................. Precio de registro ......................................................................................................... Precio de compra ......................................................................................................... Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención ........................ Activos financieros que se negocian a descuento ....................................................... Activos financieros con IPC ........................................................................................ Activos financieros con devaluación ........................................................................... Activos financieros con valorización .......................................................................... Activos financieros de rentabilidad agregada ............................................................. Con interés en dos tasas distintas ........................................................................... Con interés y descuento.......................................................................................... Con interés e IPC.................................................................................................... Con interés y devaluación ...................................................................................... Con interés y valorización ...................................................................................... Con descuento y devaluación ................................................................................. Problemas propuestos ....................................................................................................... Autoevaluación ............................................................................................................ Respuestas a la autoevaluación ......................................................................................... Actividades de repaso .......................................................................................................

409 411 411 412 413 416 417 419 422 423 423 425 426 426 427 428 428 429 430 430 431 432 438

Apéndice A Problemas adicionales propuestos .................................................................................... 439

Apéndice B Problemas propuestos y resueltos ..................................................................................... 459 Bibliografía ....................................................................................................................... 483 Índice ................................................................................................................................ 485

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Prefacio Una de las características más relevantes del mundo globalizado son los cambios vertiginosos en todos sus ámbitos, en especial en el tecnológico, el económico y el financiero, los cuales son determinantes en el afianzamiento cultural de los países. Así mismo, las matemáticas financieras evolucionan constantemente, en la medida que cambia el escenario sobre el cual actúan. Por ello, consciente de la dinámica que reviste todo programa académico, en esta tercera edición se actualizan los contenidos y se profundiza sobre los capítulos siguientes: - En el capítulo 2 se incluye el tema de las ecuaciones de valor, fundamentalmente para la reestructuración de obligaciones bancarias. - En el capítulo 3, el tema de las tasas de interés se complementa con el de las tasas de cambio y la devaluación, tanto entre dos monedas como entre varias monedas. - En el capítulo 5, el tema de los gradientes se complementa con todos los diversos tipos de gradientes, aritméticos y geométricos, para proporcionarle al estudiante un conocimiento básico para acometer posteriormente el estudio de temas relacionados con proyectos, costos de capital y rentas variables, entre otros. - En el capítulo 6 se hace una breve reseña histórica del aspecto financiero del sistema UPAC y su transición al sistema UVR, del cual se estudian todas sus aplicaciones a las operaciones financieras, entre ellas, los diversos planes de amortización. - En el capítulo 9 se da más claridad al tema de la Tasa Interna de Retorno y su relación con el Valor Presente Neto. También se recalca la gran diferencia que existe entre la Tasa Interna de Retorno y la tasa que indica la verdadera rentabilidad de un xiii

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proyecto, cuando hay capitales que salen de éste para generar nuevos rendimientos. - Los capítulos restantes se conservan de la edición anterior por su vigencia tanto en los programas académicos de las universidades como en el ejercicio práctico de los profesionales del área financiera. - Adicionalmente, el texto se acompaña de un CD-ROM donde el estudiante encontrará unas calculadoras que le facilitarán los cálculos en operaciones relacionadas con estos temas, y los diversos planes de amortización para que el estudiante pueda poner en práctica los conocimientos teóricos expuestos en el libro. Por todo lo anterior, no cabe duda de que este libro contribuirá de manera decisiva en la formación de profesionales más competitivos, condición obligada para el éxito en la sociedad globalizada de hoy.

El autor

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Contenido

Notas

preliminares

■ Justificación Con el fin de proporcionar una mayor ayuda al lector, se incluyen estas notas preliminares como un repaso de aquellos conceptos matemáticos sobre los cuales se basa en gran parte el contenido del texto. En la mayor parte de los casos, el lector ha olvidado los conceptos de progresiones aritméticas y geométricas, de logaritmos, en fin, se ha olvidado un poco de su formación matemática. Por esta razón es necesario familiarizarse nuevamente con estos temas y nada más apropiado que proporcionar la información adecuada para una buena nivelación.

■ Objetivo general Obtener una nivelación adecuada para iniciar el curso de matemáticas financieras.

■ Objetivos específicos ■

Hallar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética y de una geométrica.

■

Diferenciar las propiedades de los logaritmos.

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Logaritmos 씰 Definición El logaritmo de un número es el exponente al cual debemos elevar un número llamado base para obtener el número dado. Ejemplo: 0

6 =1 Base: 6 Exponente: 0 Número: 1 El logaritmo de 1 es cero (0), ya que cero (0) es el exponente al cual debe elevarse la base seis (6) para obtener el número uno (1). Nota. Todo número elevado a un exponente cero (0) da como resultado el número uno (1). Toda magnitud o número dividido por sí mismo da como resultado el número uno (1). Así: 1 =1 1

2 =1 2

a =1 a

c =1 c

10 =1 10

5 =1 5

Luego, 62 6

2

= 1 porque

36 =1 36

entonces, 62 62

=6

Por consiguiente,

2-2

0

=6 =1

0

6 =1

씰 Propiedades de los logaritmos 1. Los números negativos no tienen logaritmo. 2. La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. xvi

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Notas preliminares

3. En cualquier sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero. 4. Todo número mayor que la unidad tendrá logaritmo positivo. 5. Todo número no negativo menor que la unidad tendrá logaritmo negativo. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log (2)(4) = log 2 + log 4 El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base. 3

log 4 = 3 log 4 El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividida entre el índice de la raíz.

Nota. Luego, Nota. El logaritmo de una suma algebraica no está definido.

Series o progresiones Una serie es una sucesión de términos que obedecen a una ley de formación. Ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5 6, 8, 10, 12 4, 8, 16, 32 Progresión aritmética (PA) es una serie en la cual cada término se forma al sumar al anterior una cantidad fija llamada razón. Ejemplo:2, 4, 6, 8, 10 xvii

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En este caso, la razón es 2 El primer término es 2 El último término es 10

씰 Suma de los términos de una progresión aritmética Se tiene la siguiente progresión aritmética: a, b, c, d, … r, s, t, u La suma será Suma = a + b + c + d + … + r + s + t + u

(1)

Si se invierte el orden, Suma = u + t + s + r +… + d + c + b +a

(2)

Al sumar (1) + (2) se obtiene: 2 Suma = (a + u) + (b + t) + (c + s) + (d + r) +… + (r + d) + (s + c) + (t + b) + (u + a) Es una progresión aritmética la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los dos términos extremos, así: 2 Suma = (a + u)n

Progresión geométrica (PG) es una serie en la cual cada término se forma al multiplicar el anterior por una cantidad fija llamada razón. Ejemplo: 2, 4, 8, 16, 32 La razón es 2

r=2

El primer término es 2

a=2

El último término es 32

u = 32

El número de términos es 5

n=5 xviii

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Notas preliminares

씰 Suma de los términos de una progresión geométrica Se tiene la siguiente progresión geométrica: a, b, c, d, …s, t, u Suma = a + b + c + d +… + s + t +u

La razón es r,

(1)

Se multiplica por la razón cada uno de los miembros de la igualdad: (Suma) r = ar + br + cr +dr +… + sr + tr + ur Se resta de (2) la serie (1):

Porque ar = b

cr = d

br = c

dr = e

Al factorizar se obtiene: Suma (r − 1) = ur - a Luego, con r > 1 Si se quiere expresar la suma únicamente en función del primer término, entonces bastará con reemplazar u por su equivalente: u = ar

n−1

Luego,

con r > 1 xix

Preliminares

19

1/20/06, 10:09 AM

(2)

Matemáticas financieras

Con esta expresión se calcula la suma de los términos de una progresión geométrica creciente. Si la progresión geométrica es decreciente, la expresión será la siguiente:

El número e Se define como el valor de la función exponencial en 1 y se expresa como e = exp 1 Esta letra se escogió en memoria de Leonhard Euler y se llama número de Euler, el cual no puede expresarse como la raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros. El número e es una constante que equivale a 2,71828182846. Considérese la función logarítmica natural: f (x) = ln x La derivada de f está dada por f ′ (x) = 1/x. Luego, f ′ (1) = 1 Mediante la definición de la derivada y calculando f‘ (1) se tiene:

Luego, Al reemplazar ∆x por k se obtiene:

xx

Preliminares

20

1/20/06, 10:09 AM

Notas preliminares

La función exponencial y la función logaritmo natural son funciones inversas, entonces

Además, la función exponencial es continua y

existe y es igual a 1. Luego,

Así, 1/k

Ahora se comprueba que el límite existe: f (k) = (1 + k)

A continuación se determinan los valores de la función para algunos valores de k que están muy cerca de cero, pero sin llegar a ser cero. 1/k

Cuando k es igual a

f (k) = (1 + k)

1

2

0 ,4

2, 3191032

0 ,04

2, 6658363

0 ,004

2, 712865123

0 ,001

2, 716923932

0 ,0001

2, 7181459

0 ,00001

2, 718268237

−0 ,00001

2, 71829542

−0 ,0001

2, 718417755

−0 ,001

2, 719642216

−0 ,004

2, 723738403

−0 ,04

2, 77472006

−0 ,4

53, 586095691 1lk

Este cuadro indica que cuando k tiende a cero, el límite de (1 + k) es un valor comprendido entre 2,718268237 y 2,71829542. Estos valores corresponden a unos valores de k por encima y por debajo de cero, muy próximos a cero pero sin llegar a ser cero. xxi

Preliminares

21

1/20/06, 10:09 AM

Matemáticas financieras

씰 Factores

a

interés

compuesto

Nomenclaturas diferentes pero equivalentes Fórmula matemática

Terminología de Grant

Terminología tabl. Suramericana

Terminología Tarquín

Terminología Taylor

(1 + i)n

(CAF′, i%, n)

(1 + i)n

(F/P, i%, n)

SP CAP i% n

1 (1 + i)n

(PWF´, i%, n)

n V

(P/F, i%, n)

SP PWF i% n

(1 + i)n − 1

(CAF, i%, n)

Sn

(A/F, i%, n)

i i (1 + i)n − 1

SF DF i% n

(SFF, i%, n)

1 Sn

(A/F, i%, n)

SF DF i% n

(PWF, i%, n)

an

(P/A, i%, n)

US PWF i% n

(CRF, i%, n)

1 an

(A/P, i%, n)

CRF i% n

(1 + i)n − 1 i(1 + i )n i(1 + i )n (1 + i)n − 1

xxii

Preliminares

22

1/20/06, 10:09 AM

Interés ■ Justificación En este capítulo el lector aprenderá a definir una serie de conceptos como interés, valor presente, valor futuro, tasa de interés, tiempo o periodos de pago. Asimismo comprenderá el concepto del valor del dinero en el tiempo y aprenderá a manejar los diagramas económicos o líneas de tiempo como una herramienta para visualizar y analizar los problemas financieros. Después de entender lo anterior, se iniciará el estudio del interés simple y del interés compuesto estableciendo con claridad las características de cada uno de ellos y, en consecuencia, sus diferencias. Al concluir esta etapa, el estudiante estará en capacidad de iniciar el cálculo de algunas operaciones financieras.

■ Objetivo general Deducir las fórmulas de interés simple e interés compuesto a partir de su definición.

■ Objetivos específicos

Capitulo 1-2

■

Interpretar los diagramas económicos.

■

Establecer una clara diferencia entre interés simple e interés compuesto.

■

Calcular a interés simple: • El valor presente de una suma futura. • El valor futuro de una suma presente. • El valor futuro de una serie de cuotas iguales, en forma vencida o anticipada.

■

Calcular a interés compuesto: • El valor presente de una suma futura. • El valor futuro de una suma presente.

■

Resolver unos casos de la vida real.

1

1/20/06, 10:11 AM

Matemáticas financieras

Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 En la progresión aritmética 2, 4, 6,

3 Si log 10 = 1, log 100 = 2, entonces 5

…96, 98 la suma de sus términos es: a. 2.400 b. 2.450 c. 2.350 d. 1.450 e. 2.550

log 10.000 es igual a: a. 20 b. 15 c. 10 d. 50 e. 25

4 El valor de x en la ecuación log7 x = 3 es: a. 49 c. 434 e. 343

2 En la progresión geométrica −81, −27, −9, −3, −1, ... su razón es: a. 3 b. −

1 3

5 Al expresar la relación en la ecuación 4

3 = 81 mediante notación logarítmica, se obtiene: a. log3 4 = 81 b. log4 81 = 3 c. 4 = log3 81 d. log81 4 = 3 e. log81 = 3

c. a d.

b. 21 d. 729

1 3

e. −3

Respuestas a la conducta de entrada 1. b

2. d

3. a

4. e

5. c

2

Capitulo 1-2

2

1/20/06, 10:11 AM

Capítulo 1 • Interés

Interés 씰 Definición El Diccionario Larousse Ilustrado, edición 5a. de 1990, define el interés así: Interés: “Lo que a uno le conviene. Beneficio que se saca del dinero prestado. Derecho eventual de alguna ganancia. Valor que en sí tiene una cosa”. Algunos autores lo definen como: 씰

“Valor del dinero en el tiempo”.

씰

“Valor recibido o entregado por el uso del dinero a través del tiempo”.

씰

“Utilidad o ganancia que genera un capital”.

씰

“Precio que se paga por el uso del dinero que se tiene en préstamo durante un periodo determinado”.

씰

“Rendimiento de una inversión”. El pueblo dice: “Interés: ¿cuánto valés?” Todas estas definiciones son válidas. A continuación se presenta un ejemplo para aclarar lo expuesto. El señor Pérez le prestó al señor Gil la suma de $100, con la condición de que el señor Gil le devuelva la suma de $150 dos meses después. Como puede apreciarse, el señor Pérez se ganó $50 por prestarle $100 al señor Gil durante dos meses. Esto indica que los intereses fueron $50 durante los dos meses. Del problema planteado puede deducirse que:

a. $100 representan el capital invertido, capital inicial, valor presente o valor actual del crédito. Este valor se denotará con la letra mayúscula P; por consiguiente P = 100. b. $150 representan el valor en el cual se transformaron $100 durante dos meses; es el valor inicial más los intereses, se denominará valor futuro y se representará con la letra F; por tanto, se define como el valor en el cual se convierte o transforma una suma de dinero durante un tiempo determinado, y a una tasa de interés acordada o pactada; F = 150. c. $50 representan el valor de un interés devengado por $100 prestados durante dos meses. Este valor se indica con la letra mayúscula I y se define como la diferencia entre el 3

Capitulo 1-2

3

1/20/06, 10:11 AM

Matemáticas financieras

valor futuro y el valor presente, lo cual corresponde a cualquiera de las definiciones dadas antes. I=F−P En el ejemplo, I = 150 − 100 = 50 y corresponde a un periodo de dos meses, el cual se denota con la letra minúscula n. Así, n = 2 meses. Por tanto, en porcentaje se tiene que

25 = 0,25; este valor corresponde a un Mes 100

porcentual que indicará el valor de los intereses; este índice se denomina tasa de interés y se denota con la letra minúscula i. Luego, i=

25 = 0,25 100

Nótese que la tasa de interés no es más que la relación entre los intereses y el valor del crédito. i=

I 25 = = 0,25 = 25% P 100

Nota. Siempre que se trabaje con problemas financieros es necesario tener en cuenta que la tasa de interés debe estar dada en función del periodo en el cual se trabaja el tiempo de las transacciones financieras. Por ejemplo, si el pago de interés es mensual, la tasa periódica debe ser mensual; si los pagos son trimestrales, la tasa de interés periódica debe ser trimestral.

씰 Diagramas económicos Consisten en la representación gráfica de un problema financiero. Su importancia radica en que permiten visualizar el problema, facilitando así su definición y análisis correcto. Un diagrama consta de lo siguiente: 1. Una línea horizontal en la cual se representan todos los periodos en los cuales se ha dividido el tiempo para efectos de la tasa de interés. 2. Unas flechas hacia arriba y otras hacia abajo, con las cuales se representa el flujo de caja (ingresos y egresos respectivamente). El ejemplo puede representarse así:

4

Capitulo 1-2

4

1/20/06, 10:12 AM

Capítulo 1 • Interés

Ejemplo 1.1 Una persona invierte hoy $1.000 en una corporación que reconoce el 2% mensual. Si esta persona retira mensualmente los intereses y en el mes 36 retira el capital, ¿cuál es el diagrama económico?

Ejemplo 1.2 Una persona hizo un préstamo de $5.000 en una corporación que cobra el 10% trimestral a interés simple. Si esta persona paga los intereses trimestralmente y el crédito se vence en un año, ¿cuál es el diagrama económico?

Nota. Algunos autores no hablan de diagramas económicos, sino de “líneas de tiempo” o diagramas de flujo de caja.

5

Capitulo 1-2

5

1/20/06, 10:12 AM

Matemáticas financieras

씰 Interés simple Se dice que una operación financiera se maneja bajo el concepto de interés simple cuando los intereses liquidados no se suman periódicamente al capital; es decir, los intereses no devengan interés. Sus características son las siguientes: 1. La tasa de interés siempre se aplicará sobre el capital inicial. 2. Por la misma razón puede decirse que los intereses serán siempre iguales en cada periodo. 3. Las tasas de interés simple se pueden dividir o multiplicar por cualquier número para hallar su equivalente en un periodo de capitalización distinto. Por ejemplo, dada una tasa de 24% anual simple, 24% anual simple/12 = 2% mensual simple 2% mensual simple × 12 = 24% anual simple 24% anual simple/4 = 6% trimestral simple

Ejemplo 1.3 Un Banco otorga un crédito de $20.000 a 4 meses y a una tasa del 24% anual simple. ¿Qué interés simple se paga mensualmente? P = $20.000 i = 0,24 anual ó 0,02 mensual n = 4 meses

I = (20.000) (0,02) = 400 luego,

I=P·i·n

6

Capitulo 1-2

6

1/20/06, 10:12 AM

Capítulo 1 • Interés

Si se desea averiguar el valor total de los intereses, I = 20.000 (0,02) (4) = 1.600 luego,

I = Pin

De esta expresión pueden despejarse las otras variables: P=

I in

i=

I Pn

n=

I Pi

Para calcular el valor futuro a interés simple es necesario sumar los intereses más el valor presente: F=P+I Pero, como I = Pin, entonces: F = P+ Pin F = P (1+ in) Al resolver el problema anterior, F =? P = $20.000 i = 0,02mensual n = 4 meses Se tiene la expresión F = P (1+ in) F = 20.000 [1 + (0,02)(4)] F = 21.600 Comprobación: F =P + I F = 20.000 + 1.600 F = 21.600 De la expresión de valor futuro puede despejarse la variable de valor presente, así: F = P (1+ in) 7

Capitulo 1-2

7

1/20/06, 10:12 AM

Matemáticas financieras

luego,

Al resolver el ejemplo anterior, F= i = n= P=

$21.600 0,02mensual 4 meses ?

씰 Interés compuesto A diferencia del interés simple, aquí se suman periódicamente los intereses más el capital. Este proceso de sumar los intereses al capital cada vez que se liquidan se llama capitalización, y el periodo utilizado para liquidar los intereses se llama periodo de capitalización. Para comprender mejor esta definición, véase el ejemplo siguiente:

Ejemplo 1.4 El señor Pérez deposita $100 en un Banco, el cual le reconoce una tasa de interés del 36% anual con capitalización trimestral. ¿Cuál será el valor ahorrado al finalizar el primer año? Como la tasa de interés dada es anual y la capitalización es trimestral, aquella debe expresarse en términos trimestrales. Luego,

Ahora puede elaborarse la siguiente tabla: Periodo (n)

Valor presente (P)

Intereses trimestre (I)

1 2 3 4

100 109 118,81 129,50

9 9,81 10,6929 11,6552

Valor futuro (F)

109 118,81 129,50 141,15

8

Capitulo 1-2

8

1/20/06, 10:12 AM

Capítulo 1 • Interés

Gráficamente, el problema se representa así:

Al interpretar este caso particular en forma general, se tiene: n = número de periodos de capitalización it = tasa de interés efectiva trimestral P = valor presente F = valor futuro Periodo (n)

Valor Presente (P)

Intereses trimestre (I)

Valor futuro (F)

1

P

Pi

P + pi = P (1 + i)

2

P (1 + i)

P (1 + i)i

P (1 + i) + P (1 + i)i = P (1+ i)

3

P (1 + i)

4

P (1 + i)

2 3

2

P (1 + i) i

2

2

2

3

3

3

4

P (1 + i) + P (1 + i) i =P (1+ i)

3

P (1 + i) i

P (1 + i) + P (1 + i) i =P (1+ i)

Con base en esta tabla, puede observarse la ley de formación y encontrarse las expresiones generales siguientes:

Valor futuro de una suma presente • El valor futuro en un periodo n está dado por: n

F = P (1+i)

9

Capitulo 1-2

9

1/20/06, 10:12 AM

Matemáticas financieras

• Los intereses correspondientes a un periodo n están dados por: In = iP (1+ i)

n−1

• El capital inicial para un periodo n está dado por: n−1

Pn = P (1+ i)

Valor presente de una suma futura A partir de lo anterior, también puede concluirse que:

Ejemplo 1.5 Se depositan $100.000 en una corporación que reconoce el 32% anual con capitalización trimestral vencida. ¿Cuál será el valor acumulado al final de 2 años? P = $100.000 it =

= 0,08

n = 8 trimestres F =?

n

8

F = P (1+i) = 100.000 (1+0,08) = 185.093 Considerando el mismo problema pero a interés simple, se tiene: F= P (1+in) F= 100.000 [1+0,08 (8)] = 164.000

Ejemplo 1.6 El señor Pérez necesita disponer de $300.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 36% anual con capitalización bimestral, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

10

Capitulo 1-2

10

1/20/06, 10:12 AM

Capítulo 1 • Interés

F = $300.000 n = 6 meses = 3 bimestres i=

0, 36 = 0,06 bimestral 6

P=?

P = 300.000 (0,839619283) = 251.885,78 Si la variable a calcular fuera n, se tendría: n

F = P (1 + i)

n

1,19101602321 = (1,06)

log 1,19101602321 = n log 1,06 0,075917604 = 0,025305865n n = 3 bimestres Si la variable a calcular fuera i: n

F = P (1 + i) n

= (1 + i)

1,06 = 1 + i i = 1,06 − 1 = 0,06 o 6% bimestral

11

Capitulo 1-2

11

1/20/06, 10:12 AM

Matemáticas financieras

씰 Diferencia entre interés compuesto e interés simple Para comprender mejor esta diferencia véase la gráfica de los valores acumulados correspondientes a los intereses en el siguiente problema: P = $1.000.000, n = 6 meses, i = 0, 10.

Interés simple I = Pin I1 = (1.000.000)(0,10)(1) = 100.000 I2 = (1.000.000)(0,10)(2) = 200.000 I3 = (1.000.000)(0,10)(3) = 300.000 I4 = (1.000.000)(0,10)(4) = 400.000 I5 = (1.000.000)(0,10)(5) = 500.000 I6 = (1.000.000)(0,10)(6) = 600.000

Interés compuesto I1 = Pi = (1.000.000)(0,10) = 100.000 I2 = I2 + I1 = (100.000)(1,10) + 100.000 = 210.000 2

I3 = I3 + I2 = (100.000)(1, 10) + 210.000 = 331.000 12

Capitulo 1-2

12

1/20/06, 10:12 AM

Capítulo 1 • Interés

3

I4 = I4 + I3 = (100.000)(1,10) + 331.000 = 464.100 4

I5 = I5 + I4 = (100.000)(1,10) + 464.100 = 610.510 5

I6 = I6 + I5 = (100.000)(1, 10) + 610.510 = 771.561

Ejemplo 1.7 Se tiene un crédito de $5.000.000 a 24 meses y a una tasa del 5% mensual. a. Calcular los intereses y los saldos a interés simple e interés compuesto; b. Elaborar la gráfica. Interés simple

Mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Monto

Intereses

$5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00 $5.000.000,00

Saldo

$250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00 $250.000,00

$5.250.000,00 $5.500.000,00 $5.750.000,00 $6.000.000,00 $6.250.000,00 $6.500.000,00 $6.750.000,00 $7.000.000,00 $7.250.000,00 $7.500.000,00 $7.750.000,00 $8.000.000,00 $8.250.000,00 $8.500.000,00 $8.750.000,00 $9.000.000,00 $9.250.000,00 $9.500.000,00 $9.750.000,00 $10.000.000,00 $10.250.000,00 $10.500.000,00 $10.750.000,00 $11.000.000,00

13

Capitulo 1-2

13

1/20/06, 10:12 AM

Matemáticas financieras

Interés compuesto Mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Monto

$5.000.000,00 $5.250.000,00 $5.512.500,00 $5.788.125,00 $6.077.531,25 $6.381.407,81 $6.700.478,20 $7.035.502,11 $7.387.277,22 $7.756.641,08 $8.144.473,13 $8.551.696,79 $8.979.281,63 $9.428.245,71 $9.899.658,00 $10.394.640,90 $10.914.372,94 $11.460.091,59 $12.033.096,17 $12.634.750,98 $13.266.488,53 $13.929.812,95 $14.626.303,60 $15.357.618,78

Intereses

$250.000,00 $262.500,00 $275.625,00 $289.406,25 $303.876,56 $319.070,39 $335.023,91 $351.775,11 $369.363,86 $387.832,05 $407.223,66 $427.584,84 $448.964,08 $471.412,29 $494.982,90 $519.732,04 $545.718,65 $573.004,58 $601.654,81 $631.737,55 $663.324,43 $696.490,65 $731.315,18 $767.880,94

Saldo

$5.250.000,00 $5.512.500,00 $5.788.125,00 $6.077.531,25 $6.381.407,81 $6.700.478,20 $7.035.502,11 $7.387.277,22 $7.756.641,08 $8.144.473,13 $8.551.696,79 $8.979.281,63 $9.428.245,71 $9.899.658,00 $10.394.640,90 $10.914.372,94 $11.460.091,59 $12.033.096,17 $12.634.750,98 $13.266.488,53 $13.929.812,95 $14.626.303,60 $15.357.618,78 $16.125.499,72

14

Capitulo 1-2

14

1/20/06, 10:12 AM

Capítulo 1 • Interés

Ejemplo 1.8 ¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 4% mensual? n

F = P(1 + i) F = 2P

n

2P = P(1 + i)

n

2 = (1,04)

log 2 = n log 1,04 0,301029 = n(0,0170333) n = 17,6729 meses

Ejemplo 1.9 Resolver el problema anterior considerando el interés simple. F = P (1 + in) F = 2P 2P = P (1 + in) 2 = 1 + 0,04n 2 − 1 = 0,04n

Comprobación: a. A interés compuesto 17,6729 F = 1 (1 + 0,04) F= 2 b. A interés simple F = 1(1 + in) F = 1[1 + (0,04)(25)] F= 2

15

Capitulo 1-2

15

1/20/06, 10:12 AM

Matemáticas financieras

Problemas propuestos 1. Una persona recibe al final de cada mes y durante 10 meses la suma de $150.000; al principio de los meses tercero, cuarto, quinto y noveno debe pagar $200.000. Elaborar el diagrama económico.

ma a interés simple y a interés compuesto; b. Sacar conclusiones. Respuesta: A interés simple: $3.676.470,58; a interés compuesto: $3.506.899,40 4. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital si la tasa de interés es del 6% trimestral? Resolver el problema para interés simple y para interés compuesto. Respuesta: 33,33 trimestres; 18,85 trimestres.

2. Elaborar el diagrama económico para el siguiente cuadro: Mes

Ingresos

Egresos

1 2 3 4

$500.000 300.000 2.800.000 1.000.000

$1.000.000 0 300.000 70.000

5. Una propiedad adquirida hace tres años vale hoy $25.000.000; si la tasa de valorización ha sido del 28% anual simple durante los últimos tres años, ¿cuál era el precio de la propiedad en esa época? Respuesta: $13.586.956,52

3. ¿Cuánto se necesita depositar hoy en una corporación que reconoce el 3% mensual para poder disponer de $5.000.000 al cabo de un año? a. Resolver el proble-

Autoevaluación 1. El señor Pérez necesita disponer de $1.000.000 dentro de seis meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le ofrece el 28% anual con capitalización trimestral, ¿cuánto deberá depositar hoy para lograr su objetivo?

5. ¿A cuánto equivalen hoy $5.000.000 que se entregarán dentro de un año si se considera una tasa de interés del 24% anual con capitalización anual? 6. Resolver el problema anterior pero considerando el interés simple. Explicar la respuesta.

2. Si la variable a calcular fuera n, ¿cuál sería la solución?

7. Si hoy se depositan $2.000.000 en una corporación que reconoce el 6% trimestral, ¿cuánto se tendrá ahorrado al final del quinto año?

3. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital en una corporación que reconoce el 3% mensual? 4. Resolver el problema anterior pero considerando el interés simple. 16

Capitulo 1-2

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Capítulo 1 • Interés

Respuestas a la autoevaluación 1. F = $1.000.000 n = 6 meses = 2 trimestres i = 0,28 anual =

0, 28 = 0,07 trimestral 4

P=?

2. F = P (1 + i)n

1,14490 = (1,07)

5. P = ? F = $5.000.000 n = 1 año i = 0,24

n

log 1,14490 = n log 1,07 n=2 n

3. F = P (1 + i) F = 2P n 2P = P (1 + i) n 2 = (1 + i) n 2 = (1,03) log 2 = n log 1, 03 n = 23,449772 meses

6.

Las respuestas son iguales porque sólo hubo un periodo de capitalización.

4. F = P (1 + in) F = 2P 2P = P (1 + in) 2 − 1 = in 1 = in

7. P = 2.000.000 i = 0,06 trimestral n = 20 trimestres F=? n F = P (1+i) 20 F = 2.000.000 (1,06) = 6.414.270,94 17

Capitulo 1-2

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Matemáticas financieras

Actividades de repaso 8. ¿Cómo def ine usted el interés simple?

1. ¿Qué es valor presente? 2. Defina valor futuro.

9. ¿Cómo define usted el interés compuesto?

3. Defina tasa de interés.

10. ¿Cuáles son las características del interés simple y del interés compuesto?

4. Defina interés. 5. ¿Qué es un diagrama económico?

11. Con un ejemplo analítico y una gráfica establezca las diferencias entre el interés simple y el interés compuesto.

6. ¿De qué elementos consta un diagrama económico? 7. Proponga un ejemplo financiero y construya un diagrama económico.

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Capitulo 1-2

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Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos ■ Justificación En este capítulo se estudiarán el principio de equivalencia o principio de equidad financiera y su aplicación a la teoría de los descuentos y los vencimientos, bajo las modalidades del interés simple y el interés compuesto. Con esto se pretende dar al lector la información suficiente para que se capacite en el manejo de los descuentos y vencimientos de documentos y pueda realizar las diferentes operaciones financieras que se le presenten en la práctica.

■ Objetivo general Establecer los parámetros para el cálculo de los descuentos y los vencimientos.

■ Objetivo específico ■

Utilizar el principio de equidad financiera o principio de equivalencia para: • Calcular el descuento comercial. • Calcular el descuento racional. • Calcular el descuento compuesto. • Calcular el vencimiento medio. • Calcular el vencimiento común, en forma racional y en forma comercial. • Resolver problemas de la vida real.

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Capitulo 1-2

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Matemáticas financieras

Conducta de entrada 1 Elaborar un paralelo entre una opera-

4 Si el señor Cortés necesita $ 100. 000

ción financiera a interés simple y otra a interés compuesto.

dentro de un año, ¿cuánto debe depositar hoy en una institución financiera que reconoce el 2,5% mensual? a. $76.923,08 b. $78.923,08 c. $74.355,59 d. $75.355,59 e. $80.155,59

2 ¿Qué se entiende por capitalización? A continuación se presenta una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

5 ¿Cuánto tiempo se necesita para convertir $25.000 en $40.025,81 si se depositan en una corporación al 4% mensual? a. 10 meses b. 12 meses c. 15 meses d. 13 meses e. 9 meses

3 Al cabo de seis meses, el valor futuro F de una inversión P = $10.000 al 3 % mensual simple es de: a. $11.800 b. $10.800 c. $12.800 d. $11.500 e. $9.800

Respuestas a la conducta de entrada 1. Interés simple

Interés compuesto

El capital inicial no varía durante todo el tiempo. La tasa de interés se aplica siempre sobre el mismo capital. Los intereses son siempre iguales para todos los periodos de liquidación.

El capital inicial se incrementa periódicamente. La tasa de interés se aplica siempre sobre un capital diferente. Los intereses son siempre mayores cada vez que se liquidan.

3. a

2. Capitalización es el proceso mediante el cual se adicionan al capital los intereses liquidados.

4. c 5. b

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

Principio de equivalencia Una o varias sumas de dinero pueden transformarse en otra u otras sumas de dinero equivalentes con el paso del tiempo si la tasa de interés utilizada para la transformación satisface las aspiraciones del inversionista.

Ejemplo 2.1 Si se quiere invertir en una cuenta de un Banco que reconoce el 24% anual, puede decirse que $100 invertidos hoy, en esa cuenta, son equivalentes a $124 que se entregarán en un año. Nota. Algunos autores no hablan del principio de equivalencia sino del principio de equidad financiera, que es de mucha aplicación en matemáticas financieras, como es el caso de los vencimientos, aunque antes de hablar de ellos se hará referencia a los descuentos.

씰 Descuento (D) El descuento es una modalidad del interés simple. La diferencia radica en que el interés simple por lo general se paga vencido, en tanto que el descuento se produce por anticipado. Si

I = Pin

entonces, D = Pin donde i es la tasa de descuento. En el mercado financiero operan tres tipos de descuentos: comercial, racional o simple y compuesto. Antes de definir cada uno de ellos es necesario precisar lo siguiente: Valor nominal (Vn) es el valor que está escrito en un documento. En algunos casos se maneja como un valor futuro. Valor efectivo (Ve) es el valor que se recibe después de haberse efectuado el respectivo descuento del valor nominal; luego, Ve = Vn − D

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Capitulo 1-2

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Matemáticas financieras

Descuento comercial (Dc) es aquel que se calcula sobre el valor nominal de un documento y siempre se paga antes de su vencimiento. También se le llama descuento bancario. Dc = Vn in Luego, Ve = Vn – Dc Ve = Vn – Vn in Ve = Vn – (1 – in)

Ejemplo 2.2 El señor Pérez tiene una letra de $500.000 la cual estipula una tasa de descuento del 3% mensual y un vencimiento dentro de 6 meses. a. ¿Cuál es el descuento comercial? Dc = Vn in Dc = 500.000 (0,03) (6) = 90.000 b. ¿Cuál es el valor efectivo de la letra? Ve = Vn – (1 – in) Ve = 500.000 – [1 – (0,03) (6)] = 410.000 lo anterior equivale a: Ve = Vn – Dc = 500.000 – 90.000 = 410.000

Descuento racional (Dr) es aquel que se calcula sobre el valor efectivo de un documento. Dr = Ve in Sin embargo,

Ve = Vn – Dr

luego,

Ve = Vn – Ve in

(1)

Ve + Ve in = Vn Ve (1+in) = Vn 22

Capitulo 1-2

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

de donde

(2)

Al reemplazar (2) en (1) se obtiene:

Como

Dc = Vn in

entonces,

Ejemplo 2.3 Con los datos del problema anterior, calcular: b. Ve

a. Dr a. Dr = Otra forma es:

b. Otra posibilidad es: Ve = Vn − Dr Ve = 500.000 − 76.271,18 = 423.728,82 Nota. Este descuento también se denomina descuento justo, descuento interior o descuento por dentro.

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Matemáticas financieras

Descuento compuesto (D’c), como su nombre lo indica, opera con base en el interés compuesto. Si el proceso de capitalización es la suma periódica de los intereses, el descuento compuesto debe ser todo lo contrario. n

Como

F = P(1 + i)

luego,

Vn = Ve (1 + i)

n

de donde

por tanto,

Al factorizar se tiene:

Ejemplo 2.4 Con los datos del problema anterior, calcular: a. D′c

b. Ve

a.

D′c = 500.000 (0,162515743) = 81.257,87 b. Ve = Vn − D′c Ve = 500.000 − 81.257,87 = 418.742,13 Nota. El descuento mayor es el comercial, le siguen el descuento compuesto y, por último, el racional.

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

Ejemplo 2.5 El señor Pérez tiene una letra de $200.000, la cual reconoce unos intereses del 3% mensual y vence dentro de 5 meses. El señor Pérez ofrece la letra porque necesita dinero para atender un compromiso urgente. Quien ofrece comprársela le exige una tasa de descuento del 5% mensual, que es la tasa con la cual esa persona acostumbra trabajar. ¿Cuánto debe darle por la letra? Maneje la información a interés simple (descuento racional). Lo primero que debe hacerse es hallar el valor futuro de la letra a la tasa que reconoce, o sea, el 3% mensual. F = P ( 1 + in) F = 200.000 [1 + (0,03)(5)] = 230.000 Este valor futuro será el valor nominal de la letra. Luego se halla el valor efectivo que va a recibirse al 5%:

donde i es la tasa de descuento,

씰 Vencimientos Existen dos clases de vencimientos: el medio y el común. Vencimiento medio. Su característica fundamental radica en que el valor nominal de un documento tiene que ser igual a la suma de los valores nominales de los documentos por los cuales se desea cambiar. Esto implica que el valor del nuevo documento también tiene que ser igual a la suma de los valores actuales de los documentos que se cambian o se negocian.

Ejemplo 2.6 Se tienen dos letras, una de $50.000 y otra de $100.000, que vencen a los 6 meses y 9 meses, respectivamente, La tasa de descuento sería del 3% anual. Si se quiere cambiar 25

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Matemáticas financieras

estas dos letras por una sola, ¿cuál será el vencimiento de la nueva letra? Considerar la operación en forma comercial. Ve1 + Ve2 = Ve (nueva letra) Vn1 + Vn2 = Vn (nueva letra) 50.000 + 100.000 = 150.000 Ve = Vn − Dc = Vn − Vn in = Vn (1− in) Ve = 50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] 150.000 [1 − (0,03)(n)] = 50.000(0,82) + 100.000(0,73) 150.000 − 4.500n = 41.000 + 73.000

− 4.500n = −36.000 n = 8 meses Nota. En el vencimiento medio el problema consiste en calcular el vencimiento del nuevo documento.

Vencimiento común. Su característica principal radica en que el valor nominal del nuevo o los nuevos documentos es diferente de la suma de los valores nominales de los documentos por los cuales se desea cambiar. El problema consiste en: a. Dado el valor nominal del nuevo documento o los nuevos documentos, hallar su vencimiento. b. Dado el vencimiento del nuevo o los nuevos documentos, hallar su valor nominal.

Ejemplo 2.7 Con los datos del problema anterior y teniendo en cuenta que el valor nominal del nuevo documento será de $170.000, hallar el vencimiento en formas racional y comercial. a. En forma comercial: Ve1+ Ve2 = Ve (del nuevo documento) Ve = Vn (1−in) 26

Capitulo 1-2

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

50.000 [1 − (0,03)(6)] + 100.000 [1 − (0,03)(9)] =170.000 [1 − (0,03)(n)] 41.000 + 73.000 =170.000 − 5.100 n

−56.000 = −5.100n n =10,98 meses b. En forma racional:

121.113,03 (1 + 0,03n) = 170.000 121.113,03 + 3.633,39 n = 170.000 n = 13,45 meses

Ejemplo 2.8 Una persona debe una letra de $80.000 para cancelarla dentro de 6 años y otra de $ 100.000 para cancelarla dentro de 7 años, y quiere liquidarlas con un solo pago dentro de dos años. ¿Qué cantidad debe hacer efectiva en esa fecha si la tasa de descuento es del 8% anual en forma compuesta?

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Matemáticas financieras

Ejemplo 2.9 El señor Pérez tiene documentos en las siguientes condiciones: $100.000 con vencimiento en 4 meses, $250.000 con vencimiento en 10 meses, $300.000 con vencimiento en 20 meses. La tasa de descuento pactada es de 3% mensual y el señor Pérez desea cambiar estos tres documentos por uno solo. ¿Cuál será el plazo para dicho documento si se considera un vencimiento medio? Vn = Vn1 + Vn2 + Vn3 Vn = 100.000 + 250.000 + 300.000 = 650.000 Ve = Ve1 + Ve2 + Ve3 Ve = Vn (1− in) Ve1 = 100.000 [1 − (0,03)(4)] = 88.000 Ve2 = 250.000 [1 − (0,03)(10)] = 175.000 Ve3 = 300.000 [1 − (0,03)(20)] = 120.000 Ve = 88.000 + 175.000 + 120.000 = 383.000 383.000 = 650.000 [1 − (0,03)(n)] n = 13,69 meses

Ejemplo 2.10 Resolver el problema anterior considerando que el valor nominal del nuevo documento debe ser $700.000. Ve = Vn (1 − in) 383.000 = 700.000[1 − (0,03)(n)] 383.000 = 700.000 − 21.000 n 21.000n = 317.000 n = 15,09 meses

Ejemplo 2.11 Resolver el ejemplo anterior considerando que el plazo del nuevo documento será de 10 meses. Ve = Vn (1 − in)

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

383.000 383.000 383.000 383.000 Vn

= = = = =

Vn [1 − (0,03)(10)] Vn − 0,3 Vn Vn (1 − 0,3) Vn (0,7) 547.142,85

씰 Ecuaciones de valor Constituyen otra de las grandes aplicaciones del principio de la equivalencia financiera o equidad financiera. Operan tanto a interés simple como a interés compuesto. En las ecuaciones de valor aparece el concepto de fecha focal, que se define como aquella en la cual que se comparan los ingresos con los egresos. Esta fecha es acordada entre las partes y a ella se debe trasladar todo el flujo de caja, con el fin de plantear en ese punto la respectiva ecuación de valor.

Ejemplo 2.12 La empresa XX le adeuda al Banco YY la suma de $600.000.000 representados en los siguientes pagares: uno por $400.000.000 con vencimiento en 10 meses más intereses del 28% anual, otro por $200.000.000 con vencimiento en 22 meses más intereses del 36% anual. El gerente de la empresa quiere reestructurar sus obligaciones y acuerda con el gerente del Banco pagarlas en la siguiente forma: $300.000.000 en la fecha y el resto en 13 meses. ¿Cuál será el valor de dicho pago si la tasa de interés acordada para la reestructuración fue del 24% anual? Asuma una fecha focal en el mes 13 e interés compuesto. Primero: se calcula el valor futuro del primer pagaré a una tasa de interés del 28% anual. Este valor se asume como un valor presente y se calcula su valor futuro en la fecha focal a una tasa del 24% anual. Segundo: se calcula el valor futuro del segundo pagaré a una tasa del 36% anual. Este valor se traslada a la fecha focal, es decir, se le calcula su valor presente con una tasa del 24% anual. Tercero: se trasladan los $300.000.000 a la fecha focal con una tasa del 24% anual. Cuarto: el resto del pago está representado por la letra X. Como este valor está en la fecha focal, no hay, necesidad de trasladarlo. Quinto: con todos los valores en la fecha focal, se procede a plantear la ecuación de valor y luego a resolverla para el valor de X. 29

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Matemáticas financieras

[ ][(1, 02) ] = 534.603.395  1  F = 200.000.000 [(1, 03) ]   = 320.661.923  (1, 02)  F1 = 400.000.000 (1.0233333333)

10

3

22

2

9

F3 = 300.000.000 (1, 02) = 388.081.989 13

F1 + F2 = F3 + X 534.603.395 + 320.661.923 = 388.081.989 + X X = 467.183.329

Ejemplo 2.13 Resolver el problema anterior pero a interés simple. F1 = 400.000.000 [1 + (0, 0233333333)(10)][1 + (0, 02)( 3)] F1 = 522.933.232

  1 F2 = 200.000.000 [1 + (0, 03)(22)]   = 281.335.932 1 + (0, 02)(9)  F3 = 300.000.000 [1 + (0, 02)(13)] = 378.000.000

X = 426.269.264

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

Ejemplo 2.14 Una empresa le ha firmado a un Banco un pagaré por $100.000.000 a 4 meses y una tasa de interés del 30% anual; dos meses después firma otro por $50.000.000 a 3 meses y sin intereses. El gerente de la empresa quiere recoger estos pagarés y reemplazarlos por uno solo a 3 meses, contados a partir de la fecha de vencimiento del primer pagaré y con una tasa de interés del 36% anual. Además, entregará al Banco la suma de $30.000.000 en la fecha de vencimiento del segundo pagaré. ¿Cuál será el valor del nuevo documento? Asuma una fecha focal en el mes séptimo e interés simple.

  0, 30     0, 36   F1 = 100.000.000 1 +   ( 4 ) 1 +   ( 3)   12     12   F1 = 119.900.000  0, 36  (2) = 53.000.000 F2 = 50.000.000 [1 + 0] 1 + 12     0, 36   F3 = 30.000.000 1 +   (2 ) = 31.800.000   12  

F1 = 119.900.000 F1 + F2 = F3 + X 119.900.000 + 53.000.000 = 31.800.000 + X X = 141.100.000

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Matemáticas financieras

Ejemplo 2.15 Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 15 meses, sin intereses, y otra de $15.000.000 con vencimiento en 24 meses e intereses del 30% anual van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $XX cada uno, con vencimientos en 12 meses y 18 meses, respectivamente. Hallar el valor de los pagos si la tasa acordada para la negociación fue del 28% anual. Asuma una fecha facal en 18 meses e interés simple.

  0, 28   F1 = 25.000.000 1 +   ( 3) = 26.750.000   12     0, 30   F2 = 15.000.000 1 +   (24 ) = 24.000.000   12   P2 =

24.000.000 = 21.052.632   0, 28   1 +  12  (6)  

  0, 28   F3 = X 1 +   (6) = 1,14 X   12  

26.750.000 + 21.052.632 = 1,14 X + X X = $22.337.679

Ejemplo 2.16 Dos obligaciones de $20.000.000 y $50.000.000 sin intereses, vencen en 3 y 10 meses, respectivamente. Si estas obligaciones se cambian por otra de $90.000.000 con vencimiento a 15 meses ¿cuál será la tasa de interés de la negociación? Asuma la operacion a interés simple y una fecha focal en el mes 15. 32

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

20.000.000 [1 + 12i] + 50.000.000 [1 + 5i] = 90.000.000 20.000.000 + 240.000.000i + 50.000.000 + 250.000.000i = 90.000.000 i = 0,040816327 mensual i = 4,0816327% mensual

Ejemplo 2.17 Una deuda de $25.000.000 con vencimiento en 12 meses y otra de $XX con vencimiento en 20 meses e intereses del 30%, van a cancelarse mediante dos pagos iguales de $24.830.570 cada uno, con vencímiento en 10 meses y 18 meses, respectivamente. Determinar el valor de XX con una tasa de rendimiento del 28% anual y fecha focal en el mes 18. Asuma la operación a interés simple.

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Matemáticas financieras

  0, 30   F1 = 25.000.000 1 +   (12) = 32.500.000   12     0, 28   F1 = 32.500.000 1 +   (6) = 37.050.000   12     0, 30   F2 = X 1 +   (20) = 1, 5 X   12   P2 =

1, 5 X 1, 5 X = = 1, 433121 X   0, 28   1, 04666666 1 +  12  (2)  

  0, 28   F3 = 24.830.570 1 +   (8) = 29.465.610   12  

37.050.000 + 1,433121X = 29.465.610 + 24.830.570 X = 12.034.001

Ejemplo 2.18 Una compañía manufacturera adquiere materias primas por valor de $200.000.000 y conviene pagar el 30% anual de intereses. Si paga $30.000.000 cuatro meses después de la compra y $40.000.000 seis meses después de la compra, ¿qué pago tendrá que hacer año y medio después de la compra, para liquidar totalmente el saldo? Tome como fecha focal un año después de la compra y maneje la operacion a interés simple.

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

  0, 30   F1 = 200.000.000 1 +   (12) = 260.000.000   12     0, 30   F2 = 30.000.000 1 +   (8) = 36.000.000   12     0, 30   F3 = 40.000 1 +   (6 ) = 46.000.000   12   P1 =

X X =   0, 30   1,15 1 +  12  (6)  

260.000.000 = 36.000.000 + 46.000.000 +

X 1,15

X = $204.700.000

Ejemplo 2.19 Una compañía contrata el 10 de mayo un préstamo por $100.000.000 a una tasa de interés del 32% anual y un plazo de 180 días. Calcular el saldo en la fecha de vencimiento de la obligación si se efectuaron los siguientes abonos: En junio 15 $20.000.000 En julio 18

20.500.000

En septiembre 30.000.000 Asuma la fecha focal en la fecha de vencimiento de la obligoacíón. Trabaje a interés simple.

35

Capitulo 1-2

35

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Matemáticas financieras

  0, 32   F1 = 100.000.000 1 +   (180) = 115.780.822   365     0, 32   F2 = 20.000.000 1 +   (180 − 36) = 22.524.932   365     0, 32   F3 = 25.000.000 1 +   (180 − 69 ) = 27.432.877   365     0, 32   F4 = 30.000 000.000 1 +   (180 − 116) = 31.683.288   365  

115.780.822 = 22.524.932 + 27.432.877 + 31.683.288 + X X = 34.139.726

Ejemplo 2.20 Se firmó un pagaré por $50.000.000 con un plazo de cinco meses para su vencimiento y una tasa del 3% mensual a interés simple. Otro pagaré por $200.000.000 fue firmado dos meses después del anterior, vence a los siete meses y contempla una tasa del 2,5% mensual a interés simple. Si se conviene con el acreedor darle $85.000.000 un mes después de la fecha de vencimiento del primer pagaré y el resto cinco meses después, considerando una tasa de interés del 4% mensual simple, ¿cuál será el valor del último pagaré?

[

][

]

F1 = 50.000.000 1 + (0, 03)(5) 1 + (0, 04)(6) = 71.300.000 F2 = 200.000.000 1 + (0, 025)(7) 1 + (0, 04)(2 ) = 253.800.000

[

[

]

][

F3 = 85.000.000 1 + (0, 04)(5) = 102.000.000

]

71.300.000 + 253.800.000 = 102.000.000 + X X = 223.100.000

36

Capitulo 1-2

36

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Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

Ejemplo 2.21 Resolver el problema anterior considerando el interés compuesto. 5

6

F1 = 50.000.000 (1,03) (1,04) = 73.342.577 7

2

F2 = 200.000.000 (1,025) (1,04) = 257.136.502 5

F3 = 85.000.000 (1,04) = 103.415.497 73.342.577 + 257.136.502 = 103.415.497 + X X = 227.063.582

Ejemplo 2.22 Tengo que pagar $10.000.000 dentro de 5 meses, $20.000.000 dentro de 8 meses y $30.000.000 dentro de 12 meses. Si deseo hacer un solo pago de $80.000.000, ¿cuá1 será el plazo para dicho pago? Asuma una tasa del 3% mensual a interés compuesto y una fecha focal en el mes 12.

7

12−n

4

10.000.000 (1,03) + 20.000.000 (1,03) + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03) 12−n

12.298.739 + 22.510.176 + 30.000.000 = 80.000.000 (1,03) 12−n

64.808.915 = 80.000.000 (1,03) 12−n

0,810111438 = (1,03)

log 0,810111438 = (12−n) log 1,03 −0,091455238 = (12−n)(0,01283725) −0,091455238 = 0,15404652 − 0,01283725n n = 19,12417 meses n = 19 meses, 4 días Nota: Este mismo problema se puede resoIver aplicando la teoría de descuentos. 37

Capitulo 1-2

37

1/20/06, 10:16 AM

Matemáticas financieras

Como el interés es compuesto, entonces se aplicará el descuento compuesto. n

Vn = Ve (1 + i) Ve = 10.000.000

(1, 03)

5

+

20.000.000

(1, 03)

8

Vn

(1 + i)n +

30.000.000

(1, 03)

12

8.626.088 + 15.788.185 + 21.041.396 = 45.455.669 =

=

80.000.000

(1, 03)n

80.000.000

(1, 03)n

80.000.000

(1, 03)n

(1, 03)n = 1, 759956497 n=

log 1, 759956497 log 1, 03

n = 19,12417 meses n = 19 meses, 4 días

Problemas propuestos 1. Se tienen dos documentos por $500.000 y $600.000 con vencimiento a 6 meses y 5 meses, respectivamente. Con el fin de expedir un solo documento por $1.100.000 se ha pactado una tasa de descuento del 2,5% mensual, ¿a qué plazo debe expedirse el nuevo documento? Respuesta: 5,4545 meses

Respuesta: Medio; común 4. Se tienen dos documentos por $ 1.000.000 y $2.000.000 con vencimientos a un año y dos años, respectivamente. Si la tasa pactada es de 6,5% trimestral, ¿cuál será el plazo para un nuevo documento si se tiene en cuenta que se hará con vencimiento medio? Respuesta: 6, 66 trimestres

2. Resolver el problema anterior considerando como valor del nuevo documento la suma de $1.500.000. Respuesta: 14,66 meses

5. Dos documentos por $200.000 y $300.000, respectivamente, vencen a los 2 años, 5 meses y 30 días, el primero, y a 1 año, 3 meses y 90 días, el segundo. Se quiere elaborar un solo

3. ¿Qué tipo de vencimiento corresponde al problema 1 y cuál al problema 2? 38

Capitulo 1-2

38

1/20/06, 10:17 AM

Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

documento por $600.000 con una tasa de 2,8% mensual, ¿cuál será el plazo para su vencimiento? Respuesta: 24,95 meses

Respuesta: $300.000 y $500.000, respectivamente 7. El señor Pérez tiene una letra por $xy la cual vence dentro 12 meses. El Banco le ofrece descontarla comercialmente a una tasa i% y le entrega $260.000. Otra entidad le ofrece la misma tasa de descuento pero la operación la realiza en forma racional y le entrega $337.837,83. ¿Cuál es el valor nominal de la letra y cuál es la tasa de descuento que ofrecen las corporaciones? Respuesta: $500.000; 4%

6. El señor Pérez posee dos letras que suman $800.000, una de las cuales vence dentro de 5 meses y se descuenta en forma comercial al 3% mensual, la otra vence dentro de 10 meses y se descuenta en forma comercial al 3,5% mensual. Si hoy le ofrecen por ellas la suma de $620.000, ¿cuál será el valor nominal de cada una?

Autoevaluación 1. El señor Pérez tiene en su poder una letra de $1.000.000 que vence dentro de 5 meses y reconoce intereses del 2,5% mensual simple, y quiere negociarla con el Banco en forma comercial; el banco acepta la letra pero la descuenta al 3% mensual. ¿Cuál es el precio de la letra?

6. Una letra tiene impreso el valor de $500.000; si se descuenta en forma racional al 3% mensual, ¿cuál será el periodo de redención si tiene un valor efectivo de $400.000? 7. El señor Pérez tiene una letra de $1.000.000 con vencimiento dentro de un año, cuatro meses, diez días. Si fuera a hacerse efectiva hoy, considerando una tasa de descuento del 2% mensual y realizando la operación en forma comercial, ¿cuál es el valor actual de la letra?

2. Resolver el problema anterior en forma racional. 3. Resolver el problema 1 considerando el descuento compuesto. 4. Una letra de $200.000 se descuenta a 7 meses en forma comercial y con una tasa de descuento del 3% mensual. ¿Cuál es el valor del descuento?

8. Con los datos del problema anterior, calcular la tasa de descuento. 9. Una letra vence dentro de 8 meses y estipula una tasa de descuento del 3% mensual. Si se calculan los descuentos comercial y racional se hallará entre ellos una diferencia de $46.451,62. ¿Cuál será el valor nominal de la le-

5. Una letra de $300.000 se descuenta en forma comercial al 3% mensual. Si el descuento fue de $50.000, ¿qué tiempo faltará para el vencimiento? 39

Capitulo 1-2

39

1/20/06, 10:17 AM

Matemáticas financieras

tra? Calcular cada uno de los descuentos citados.

negocia esa letra con el Banco en forma comercial, se acepta al Banco la suma de $400.000 por ella y se reconoce un descuento de $180.000, ¿cuál fue la tasa de interés pactada inicialmente y cuál la tasa de descuento?

10. El señor Pérez tiene una letra de $500.000 a una tasa de interés simple del i% y con vencimiento dentro de 10 meses. Si dentro de 6 meses se

Respuestas a la autoevaluación 1. F = Vn F = P(1 + in ) = 1.000.000[ 1 + (0,025)(5)] F = $1.125 .000 Dc = Vn in = 1.125.000(0,03)(5) = $168.750 Ve = Vn − Dc = 1.125.000 − 168.750 = $956.250 2. F = $1.125.000 F = Vn

El descuento es igual a Dr = Ve in = 978.260,86(0,03)(5) = $146.739,13 3. F=P(1 + i)

n 5

F = 1.000.000(1,025) = $1.131.408,21 F= Vn

D′c = $155.445,54 40

Capitulo 1-2

40

1/20/06, 10:17 AM

Capítulo 2 • Principio de equivalencia versus descuentos y vencimientos

4. Dc = Vn in

8. Vn = $ 1.000.000

Dc = (200.000)(7)(0,03) = $42.000

Ve = $673.333,34 n = 16,33333 meses

5. Dc = Vn in

i =? Dc = $326.666,66 Dc = Vn in 6. Ve = $400.000 Vn = $500.000

i = 2% mensual

i = 0,03 9. n = 8 meses

n =?

i = 0,03 Dc − Dr = 46.451,62

Sin embargo, Dc = Vn in

n = 8,3333 meses

7. meses Vn = $1.000.000 0,0576 Vn = (46.451,62)(1,24)

i = 0,02 mensual

Vn = 1.000.000

Dc = Vn in = (1.000.000)(0,02)(16,3333)

Dc = Vn in

Dc = $326.366,66

Dc = 1.000.000 (0,03)(8) = 240.000

Ve = Vn − Dc = 1.000.000 − 326.666,66 Ve = $673.333,34 41

Capitulo 1-2

41

1/20/06, 10:17 AM

Matemáticas financieras

10. Ve = $400.000 n = 10 meses Dc = $180.000

(tasa de descuento)

n = 4 meses para descuento Dc = Vn in

F = P(1 + in)

Vn = Ve + Dc Vn = 400.000 + 180.000 = 580.000 i = 1,6% (tasa de interés)

Actividades de repaso 10. ¿Cuál de los tres descuentos es mayor?

1. Enuncie el principio de equivalencia. 2. ¿Qué es un descuento? 3. ¿Cuál es la diferencia entre descuento e interés simple?

11. Si a usted fuera a descontársele una letra, ¿cuál descuento elegiría?

4. Defina valor nominal y valor efectivo.

12. Si usted es quien va a efectuar el descuento, ¿cuál descuento elegiría y por qué?

5. Defina descuento comercial. 6. Defina descuento racional.

13. Defina vencimiento medio.

7. ¿Cuál es la diferencia entre descuento racional y descuento comercial?

14. Defina vencimiento común.

8. Defina descuento compuesto.

15. ¿Cuál es la diferencia entre vencimiento medio y vencimiento común?

9. ¿Cuál es la diferencia entre descuento compuesto y los descuentos comercial y racional?

42

Capitulo 1-2

42

1/20/06, 10:17 AM

Tasas de interés: nominal y efectiva. Rentabilidad ■ Justificación La mejor herramienta para medir el costo de un crédito o la rentabilidad de una inversión es la tasa de interés efectiva. Por lo general, cuando se habla de tasas de interés se hace referencia a tasas nominales; por esta razón es necesario aprender a calcular las tasas de interés efectivas con las cuales se medirán los costos de un crédito y la rentabilidad de una inversión. Asimismo, es necesario aprender a hacer todas las conversiones posibles entre las diferentes tasas de interés.

■ Objetivo general Encontrar una tasa de interés efectiva equivalente a una tasa de interés nominal dada, o viceversa.

■ Objetivos específicos ■ ■ ■

■ ■

■

■ ■

■ ■ ■ ■

Definir e interpretar el concepto de tasa de interés nominal. Definir e interpretar el concepto de tasa de interés efectiva. Calcular una tasa de interés efectiva anual cuando se conoce la tasa de interés nominal anual, con capitalización vencida y anticipada. Hacer el mismo tipo de cálculo pero a la inversa. Calcular una tasa de interés efectiva periódica cuando se conoce una tasa de interés nominal anual, y viceversa. Calcular una tasa de interés efectiva anual conociendo la corrección monetaria. Calcular el interés real en el año. Calcular la tasa de interés efectiva cuando intervienen comisiones, timbres, etc. Calcular el costo de un crédito. Calcular la rentabilidad en moneda corriente. Calcular la rentabilidad en moneda extranjera. Estimar cuándo puede invertirse en una moneda extranjera determinada.

43

Capitulo 3

43

1/20/06, 10:28 AM

Matemáticas financieras

Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Dada la ecuación

,

c.

d.

al despejar a1 se obtiene: a.

b.

c.

d.

e.

4 Juan deposita $151.500 en una cuenta de ahorros que reconoce el 21% anual por trimestre vencido. Su saldo dentro de 2 años será:

e.

a. $228.133,71 b. $238.143,71

n

2 Dada la ecuación F = P (1 + i) ,

c. $133.248

al despejar i se obtiene:

d. $258.133,71 a.

n

P −1 F

n

F −1 P

b. nF − 1

e. $198.133,71

5 El señor Cortés posee una letra cuyo c.

valor a su vencimiento es $255.000. Necesita efectivo y la vende hoy, tres meses antes de su vencimiento, a Pedro, quien cobra el 4% mensual. El valor que recibe es:

d. nP − 1

e.

a. $236.649,07

n 2

3 Dada la ecuación S = (a1 + an ) ,

b. $126.694,07

al despejar n se obtiene: a.

c. $230.694,07

b.

d. $226.694,07 e. $216.694,07

Respuestas a la conducta de entrada 1. b

2. c

3. e

4. a

5. d

44

Capitulo 3

44

1/20/06, 10:28 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Tasa nominal y tasa efectiva 씰 Tasa nominal La tasa de interés nominal (r) es aquella que tiene como base un año y muestra el número de veces (n) que capitaliza al año; no indica directamente el costo real del dinero o la rentabilidad de una inversión. Esta tasa se debe dividir entre el número de veces que capitaliza al año para encontrar su tasa periódica equivalente respectiva, lo cual se puede expresar como: ip =

r n

Por ejemplo, dada una tasa del 36% anual con capitalización trimestral (tasa nominal), se toma el 36% y se divide entre el número de trimestres que hay al año: 0,36/4 = 0,09 trimestral (o efectiva trimestral)

씰 Tasa efectiva Es aquella que indica efectiva o realmente cuál es la rentabilidad de una inversión o cuál es el costo de un crédito por periodo. Cuando se habla de tasas efectivas se involucra el concepto de capital es decir, el proceso mediante el cual se liquidan intereses sobre intereses y se suman al capital inicial. Con el ejemplo siguiente, estos conceptos podrán entenderse mejor.

Ejemplo 3.1 El señor Pérez abrió una cuenta de ahorros con $100. La corporación le reconoce una tasa de interés del 36% anual con capitalización trimestral. a. ¿Cuánto tendrá acumulado al final del primer año? b. Resolver el mismo problema considerando la capitalización anual. Nota. La tasa del 36% anual enunciada en el problema es, por definición, la tasa nominal. a. Con capitalización trimestral: P = $100 r = tasa de interés nominal anual r = 0,36 n = número de subperíodos en el periodo n = 4 trimestres r = tasa de interés efectiva periódica n 45

Capitulo 3

45

1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

Por consiguiente:

n

F = P(1 + i)

Los intereses serán F − P = I I = 141,1582 − 100 = 41,1582 La tasa de interés corresponde a

Esto indica que una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral vencida equivale a una tasa efectiva anual del 41,15%. En efecto, los intereses fueron de $41,15, dada la capitalización trimestral. En este caso, el periodo de capitalización es menor que 1 año y, si se compara la tasa nominal anual con la tasa efectiva anual, puede concluirse que cuando el periodo de capitalización es menor que 1 año, la tasa efectiva anual es mayor que la tasa nominal anual. b. Con capitalización anual: n

F = P(1 + i)

F = 136 I = F − P = 136 − 100 = 36

Luego,

Esto indica que una tasa nominal anual del 36% con capitalización anual es igual a una tasa efectiva anual del 36%.

46

Capitulo 3

46

1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Conclusión. Cuando el periodo de capitalización es igual a 1 año, la tasa nominal anual es igual a la tasa efectiva anual. En cualquier otro caso, la tasa efectiva anual será mayor que la nominal anual. Lo anterior se debe a que en el primer caso hubo cuatro periodos de capitalización, en tanto que en el segundo caso sólo hubo uno. En consecuencia, puede afirmarse que cuanto más cortos sean los subperiodos de capitalización en el periodo, mayor será la tasa efectiva anual.

씰 Deducción de fórmulas Capitalizaciones vencidas Fórmula para calcular la tasa efectiva periódica a partir de una tasa nominal anual. La tasa nominal tiene una relación muy estrecha con el concepto de interés simple; por esa razón, la tasa efectiva periódica puede calcularse dividiendo la tasa nominal por el número de subperiodos. Luego,

Ejemplo 3.2 Calcular la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa nominal anual del 22,734% capitalizable en forma bimestral. r = 0,22734 n=6 ip = ib = ?

Fórmula para calcular una tasa efectiva anual cuando se conoce la tasa nominal anual. En el ejemplo anterior, con capitalización trimestral, se indicó que F = P(1 + i)

n

Éste es el valor futuro de $100. Si queremos calcular el valor futuro de un solo peso, se divide entre 100 cada miembro de la igualdad. 47

Capitulo 3

47

1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

También puede expresarse así:

luego,

Al interpretar estos resultados se tiene:

Esta expresión permite hallar la tasa efectiva anual a partir de una tasa nominal anual. Los términos que se utilizarán en el texto, en expresiones como la anterior, son: ia = tasa efectiva anual ip =

r = tasa efectiva periódica n

r = tasa nominal anual n = número de periodos de capitalización al año it = tasa efectiva trimestral is = tasa efectiva semestral im = tasa efectiva mensual ib = tasa efectiva bimestral

Ejemplo 3.3 Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 24% con capitalización mensual vencida. r = 0,24 n = 12 ia = ? 48

Capitulo 3

48

1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Fórmula para calcular una tasa nominal anual cuando se conoce la tasa efectiva anual. Basta con despejar r de la expresión anterior:

Se extrae la raíz n a cada miembro de la igualdad:

de donde

Ejemplo 3.4 Hallar la tasa nominal anual equivalente a una tasa anual efectiva del 31,0796% cuando la capitalización es trimestral vencida. ia = 0,310796 n=4 r=?

Fórmula para calcular la tasa efectiva periódica a partir de una tasa efectiva anual. Basta con despejar

r de la expresión anterior. n

49

Capitulo 3

49

1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

ip =

r = tasa efectiva periódica por definición n

Ejemplo 3.5

Ejemplo 3.3

Calcular la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa efectiva anual del 25%. ia = 0,25 n=6 ip = ib = ?

Capitalizaciones anticipadas Cuando la capitalización es anticipada, el proceso de sumar los intereses al capital se inicia más rápido, dando lugar a que la tasa efectiva sea mayor que en el caso de la capitalización vencida.

Ejemplo 3.6 Una corporación presta $ 100 a un año y estipula una tasa del 36% anual con capitalización trimestral anticipada. Entonces, r , = 0,36 n =4 P = $100

donde r′ = tasa nominal anual anticipada o tasa facial

r ′ 0, 36 = = 0, 09 n 4

Esta es una tasa efectiva periódica anticipada.

Esto quiere decir que al momento de hacer entrega del crédito, éste se hace por Valor crédito entregado = P − I Valor crédito entregado = 100 − 9 = 91 50

Capitulo 3

50

1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Así,

(1)

Esto quiere decir que se paga a la corporación una tasa del 9,89010% trimestral vencido. De (1) puede concluirse que ip =

i′ 1 − i′

Esta es la expresión para hallar una tasa periódica vencida, a partir de una tasa periódica anticipada. donde i′ es la tasa efectiva trimestral anticipada. n

ia = (1 + ip) − 1

Como y sabiendo que:

ip =

0, 09 i′ = 1 − 0, 09 1 − i ′

n

i′   ia = 1 +  −1  1− i

luego,

n

 1 − i′ + i′  ia =   −1  1 − i′  n

1  ia =  −1  1 − i′  ia =

1  r′  1 − n 

n

−1 =

1

(1 − i′)n

−1

Esta fórmula también puede expresarse así: r ia = 1 −   n

−n

−1

51

Capitulo 3

51

1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

Esta es la expresión para calcular una tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual con capitalización anticipada, donde

r′ = i ′ = tasa periódica anticipada. n

Ejemplo 3.7 Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 24% con capitalización mensual anticipada. r = 0,24 n = 12 ia = ?

Fórmula para calcular la tasa nominal anual con capitalización anticipada cuando se conoce la tasa efectiva anual. Basta con despejar r de la expresión anterior: ia + 1 =

1  r′  1 − n 

n

n

1  r′  1 − n  = 1 + i a

1−

r′ 1 = n n 1 + ia

Al multiplicar por −1 y despejar r se obtiene:  1  r ′ = n 1 − n  1 + ia  

Nota: r´: es la tasa nominal anual anticipada o tasa facial.

52

Capitulo 3

52

1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Ejemplo 3.8 Hallar la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual del 33,680% cuando la capitalización es trimestral anticipada. ia = 0,3368 n=4 r´ = ?  r′ = 4 1 − 

  = 28% anual nominal trimestre anticipado 1 + 0, 3368  1

4

De este mismo ejemplo se puede decir lo siguiente: i′ =

0, 28 = 0, 07 4

ip =

0, 07 = 0, 07526 1 − 0, 07

r = (0, 07526) ( 4) = 0, 301075

Tasa trimestral anticipada Tasa trimestral vencida equivalente al 7 % trimestral anticipada Tasa nominal anual vencida equivalente al 28 % nominal anual T.A

A continuación se verá la conversión de tasas efectivas periódicas a otras tasas efectivas. Cálculo de una tasa efectiva anual cuando se conoce la tasa efectiva periódica

Ejemplo 3.9 Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 6% bimestral vencida. r = 0,06 bimestral n

Luego,

Cálculo de una tasa efectiva periódica cuando se conoce otra tasa efectiva periódica. Este caso puede resolverse de dos maneras. A partir de la tasa efectiva periódica conocida se halla la tasa efectiva anual, y a partir de ésta se halla la tasa efectiva periódica que se busca. 53

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

Ejemplo 3.10 ¿Cuál es la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva del 4% bimestral.

Aplicando la siguiente expresión:

Esta expresión se deduce en la misma forma que las anteriores. El problema consiste en calcular m y n. Para ello se establecen los siguientes interrogantes: • En cuanto a la tasa efectiva periódica que se busca, ¿qué son un mes, un bimestre, un trimestre, etc., con respecto al año? Ese valor se identificará como m. • En cuanto a la tasa efectiva periódica que se conoce, ¿cuántos meses, bimestres, trimestres, etc., tiene el año? Ese valor se conocerá como n. Al resolver con estas condiciones el ejemplo anterior se tiene: mn

it = (1 + ib ) − 1 mn it = (1 + 0,04) − 1 m = ¿Qué es un trimestre con respecto al año? m = n = ¿Cuántos bimestres tiene el año? n = Luego, mn = it = (1,04)

3/2

− 1 = 0,060596059 ó 6.0596%

Ejemplo 3.11 ¿ Cuál es la tasa efectiva semestral equivalente a una tasa del 3% mensual? is = (1 + im)

mn

−1 54

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

mn

is = (1 + 0,03)

−1

m = ¿Qué es un semestre con respecto al año? m

6

is = (1,03) − 1= 0,194052297

Ejemplo 3.12 Hallar la tasa efectiva para 7 meses equivalente a una tasa del 4% bimestral. mn

Tasa efectiva para 7 meses = (1+ 0,04)

−1

m = ¿Qué son 7 meses respecto del año? m = n = ¿Cuántos bimestres tiene el año? n = mn =

=6

(6) = 3,5 3,5

Tasa cada 7 meses = (1,04)

− 1 = 0,147140697

Ejemplo 3.13 Hallar la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa del 5% trimestral. mn

ib = (1 + it)

mn

ib = (1,05)

ib = (1,05)

−1

−1

2/3

− 1 = 0,033061554

55

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

Cálculo de una tasa efectiva anual cuando interviene el IPC. Véase el siguiente caso particular.

Ejemplo 3.14 El señor Pérez abrió una cuenta de ahorros en UVR en un banco. El depósito inicial fue de una UVR. En ese momento el banco reconoció una tasa de interés equivalente al IPC más 5 puntos porcentuales de interés adicional anual. Si el valor de la UVR era de $146,5684 y el IPC era de 7,2% anual, ¿cuánto tendrá ahorrado al final del año? Al final del año la UVR valdrá: 146,5684(1,072) = $ 157,1213 Sobre este valor se reconocen los intereses: 157,1213(1,05) = $164,9773 Éste será el valor acumulado al final del primer año. Como I=F−P I = 164,9773 − 146,5684 = $18,4089

entonces,

La tasa de interés efectiva anual es ia =

I 18, 4089 = = 0,1256 = 12, 56% efectivo anual P 146, 5684 ia =

164, 9773 −1 146, 5684

(1)

Se tiene que 164,9773 = 157,1213 (1+ 0,005)

(2)

157,1213 = 146,5684 (1+ 0,072)

(3)

Al reemplazar (3) en (2) se obtiene: 164,9773 = 146,5684 (1 + 0,072) (1 + 0,05)

(4)

Al reemplazar (4) en (1) se obtiene: ia =

((146, 5684) (1 + 0, 072) (1 + 0, 05))

146, 5684 ia = (1 + 0,072)(1 + 0,05) − 1

−1

7,2% Tasa efectiva anual del IPC

56

Capitulo 3

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(5)

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Nota. Sólo para efecto de algunos cálculos financieros, el IPC es igual a la tasa de inflación. En el sentido estrictamente económico son dos conceptos distintos. Luego, llamemos ii = tasa de inflación ie = Tasa del margen o spread (puntos porcentuales de interés adicional) Entonces ia = (1+ii) (1+ ie) − 1 Al resolver el ejemplo anterior se tiene: ia = (1,072)(1,05) − 1 = 0,1256 = 12,56% efectivo anual Nota. Téngase muy en claro que la tasa efectiva anual es diferente del interés realmente cobrado. Interés realmente cobrado en el año. Es igual a la tasa de interés adicional más los intereses sobre el IPC. El IPC genera intereses. Interés realmente cobrado en el año = ie + (ie × ii) En el ejemplo anterior se tiene:

ia = (1,072)(1,05) − 1 = 0,1256

Interés realmente cobrado en el año = 0,05 + (0,05)(0,072) = 0,0536 Nota. ie = 0,05 ó 5% Cálculo de la tasa de interés cuando intervienen otros elementos como comisiones, estudio del crédito, papelería, timbres, dividendos, etc. Con los siguientes ejemplos, el lector tendrá suficiente ilustración para calcular la rentabilidad de una acción (activo financiero de rentabilidad variable). Nota. Algunos autores se refieren a tasas de interés con arandelas.

Ejemplo 3.15 El señor Pérez hizo un préstamo de $100 en una corporación que cobra el 36% anual con liquidación de intereses trimestral y debe pagar el 4% por concepto de timbres; este impuesto se lo cobran en el segundo mes. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva cobrada en este crédito?

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Capitulo 3

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Matemáticas financieras

Se sabe que la tasa efectiva trimestral debe estar por encima del 9%; entonces, supóngase una tasa del 10% trimestral y trasládense estos valores al punto cero.

100 = 3,753745 + 8,181818 + 7,438016 + 6,761833 + 6,147121 + 68,301345 = 100,583878 100 ≠ 100,583878 Esto indica que debe aumentarse la tasa para bajar el valor presente. Si se supone una nueva tasa del 11%, se obtiene:

100 = 3,7311668 + 8,108108 + 7,304601 + 6,580722 + 5,928578 + 65,873097 = 97,526273 100 ≠ 97,526273 Esto indica que la tasa buscada está entre el 10% y el 11%. Por tanto, debe interpolarse. Es decir, hallar un valor que esté entre el 10% y el 11 % que satisfaga la igualdad. Para ello se relacionan los valores de los factores conocidos y luego se aplica una regla de tres simple. Cuando se trabaja con una tasa del 10% la diferencia es 100,583878 − 100 = 0,583878 58

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Cuando se trabaja con una tasa del 11 % la diferencia es 97,526273 − 100 = −2,473727 El razonamiento es 씰

Para una tasa del 10% existe una diferencia positiva de 0,583878.

씰

Para una tasa del 11% hay una diferencia negativa de − 2,473727.

Luego, existirá una tasa que esté entre el 10% y el 11%, la cual hará que la diferencia sea cero; es decir, la igualdad se cumple: 100 = 100 en este caso Después se establecen las diferencias entre los factores ya conocidos. d = 11% − 10% = 1% b = 0,583878 − (−2,473727) = 3,057605 a = 0,583878 − 0 = 0,583878

Luego, la tasa que se busca es it = 0,10 + 0,0019095 = 0, 1019095 =10,19095 % Nota. Si el problema considera amortización del capital, la solución sería ésta: Supóngase un abono de $30,00 en el sexto mes.

59

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

Nota. Si el pago de los intereses fuera por anticipado, la solución sería esta:

씰 Aplicaciones de las tasas de interés Básicamente son dos. A toda persona le interesa saber cuánto le produce una inversión (rentabilidad) o cuanto paga por un préstamo (costo del crédito). Como puede apreciarse, hay dos operaciones de tipo financiero: de capitalización o pasivas y de crédito o activas, y pueden efectuarse en moneda corriente o en moneda extranjera. En moneda corriente. Como se indicó antes, la tasa efectiva puede resultar afectada por factores como el estudio del crédito, comisiones, etc. Además de estos factores existen otros elementos que afectan notoriamente la rentabilidad; ellos son los impuestos y la inflación. Como estos factores disminuyen la rentabilidad, es necesario hablar de una rentabilidad neta y una rentabilidad real. Rentabilidad neta (RN). Se define como aquella que queda después de descontar los impuestos de la rentabilidad efectiva. RN = ia − (ia)(it) RN = ia (1 − it) donde it = tasa de tributación o tasa de retención en la fuente. 60

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Rentabilidad real (RR). Es aquella que queda después de descontar la tasa de inflación (ii) de la rentabilidad neta. RR ⬵ RN − ii Sin embargo, es necesario tener en cuenta que la anterior expresión es sólo una aproximación, ya que la inflación no solamente afecta a los intereses sino también al capital invertido. Para comprender mejor este concepto y llegar a una fórmula precisa para el cálculo de la tasa de Rentabilidad Real, se presenta el ejemplo siguiente:

Ejemplo 3.16 El señor Pérez invirtió $100 y al final de un periodo determinado recibió $130. Es decir, F= $130 P = $100 I = $30 ia = Si en ese mismo periodo se presentó una inflación del 20%, al principio del periodo podrá comprar x artículos por $y pero al final del periodo necesitará $y más el 20% para comprar los mismos x artículos. Esto no indica que la rentabilidad real sea del 10% RR ⬵ 30% − 20% = 10% La rentabilidad real será menor porque: 씰

Si en principio un artículo valía $1,00, el señor Pérez podrá comprar 100 artículos con los $100.

씰

Si en ese periodo hubo una inflación del 20%, el señor Pérez sólo podrá comprar con los $130 ($100 de capital más $30 de interés) los siguientes artículos: No. de artículos =

Esto demuestra que la rentabilidad real del señor Pérez fue del 8,33% y no del 10% como se había supuesto.

Conclusiones 씰 Si se invierten $100 a una tasa de interés efectiva, al final de un año se tendrá: 1

F = 100 (1 + ia) 61

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

씰

Si estas inversiones se dan después de descontar los impuestos entonces se hablará de RN 1

F = 100 (1 + RN)

씰

Si en ese año se presentó inflación, el peso perderá poder de compra a la tasa de inflación (ii). Luego, a1 final del año los $100 invertidos inicialmente son equivalentes a 1

F = 100 (1 + ii) Además, 1,30 = (1+ RN)

donde

y

1,20 = (1 + ii)

luego,

Ejemplo 3.17 Una corporación ofrece una tasa de IPC y una tasa de interés adicional del 4% para sus depósitos en cuentas de ahorro. Si la tasa de inflación está estimada en el 6.8% anual y la retención en la fuente es del 7%, ¿cuál será la rentabilidad real para esos depósitos? ia = (1 + ic)(1 + ie) − 1 ia = (1,068)(1,04) − 1 = 11,072% RN = ia (1 − it) RN = 0,11072 (1 − 0,07) = 0,10296 RR =

RN − ii 1 + ii

62

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

RR =

0, 10296 − 0, 068 = 0, 04022 = 4, 022% 1, 068

Este resultado es muy diferente de RR = ia − i.i RR = 0,11072 − 0,068 = 0,0427 = 4,27% En moneda extranjera. Para hablar de la rentabilidad en moneda extranjera es necesario definir primero dos conceptos fundamentales: inflación y devaluación.

씰 Inflación "Es el incremento general de los precios de los bienes y servicios en un determinado país". En Colombia, el índice de inflación lo calcula mensualmente el Departamento Administrativo Nacional de Estadística (DANE) con base en la canasta familiar de un consumidor representativo (obreros y empleados). Otros autores dicen que la inflación es "un exceso de la demanda solvente sobre la oferta evaluada en términos de costos, diferencia que se refleja en el alza general de precios". El Diccionario de economía política, de Wolfang Heller, define la inflación así: "Es el aumento general de precios imputable no a fenómenos parciales o aislados del sistema económico, sino a una causa única, común a todas las variaciones de precios". Un aumento aislado en el precio de un bien o un servicio no es condición suficiente para asegurar que hay un aumento de la inflación. El concepto bienes se refiere a alimentos, calzado, muebles y enseres, menaje y vajilla de hogar, electrodomésticos, textos escolares, periódicos, revistas, etc. El concepto servicios se refiere a arrendamientos, servicios de acueducto, luz, alcantarillado, teléfono, servicio doméstico, transporte, comunicaciones, matrículas, pensiones, servicio odontológico, etc. El concepto canasta familiar se conoce también con el nombre de agregado de bienes y servicios. En la actualidad el DANE clasifica los bienes y servicios en siete grupos, a saber: 1. Alimentos 2. Vivienda 3. Vestuario y calzado 4. Productos farmacéuticos y asistencia médica 5. Educación, cultura y esparcimiento 6. Transporte y comunicaciones 7. Otros gastos 63

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

El índice de precios al consumidor (IPC), calculado por el DANE con base en la canasta familiar de obreros y empleados, no incluye los gastos correspondientes a las operaciones financieras, pagos de deudas o intereses causados por tarjetas de crédito, pago de impuestos, multas, etc. Esto se debe a que el IPC sólo se refiere al consumo final. Los siete grupos enumerados antes están constituidos por unos 700 artículos obtenidos mediante una encuesta de ingresos y gastos. De estos 700 artículos sólo se seleccionaron 195 para hacerles un seguimiento de precios y luego conformar con ellos la llamada canasta familiar. Una vez conformada la canasta familiar, se comparan los precios de ésta a una fecha base con los precios de la misma a otra fecha indicada. De esta manera se conoce cuál es el aumento o la disminución del precio de la canasta familiar, lo cual se conoce como índice de precios al consumidor.

Causas de la inflación Entre otras, existen las siguientes: 1. El exceso de emisión de dinero por parte del Banco Central y, en general, los excesos de liquidez que generen crecimientos fuertes de la demanda agregada. En ocasiones esta emisión de dinero se hace para atender un incremento en el gasto público, lo cual da origen a un incremento en el déficit final. 2. El aumento de la relación Dinero en circulación Oferta de bienes y servicios incrementará, en consecuencia, el precio de los artículos por parte de los productores y vendedores. 3. El aumento de los salarios, en tanto que, la productividad se mantiene estable. 4. La inflación importada, es decir, el aumento del costo de los bienes importados bien sea por aumento de los precios en el país de orígen o por devaluación de la moneda local. 5. El establecimiento de créditos caros para el sector productivo real, cuyos costos los asumirá luego el consumidor. Puede anotarse como otra causa de inflación el hecho de planear escenarios futuros para el desarrollo financiero considerando de antemano la inflación; en otras palabras, se planea la continuidad de la inflación.

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Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Efectos de la inflación La inflación afecta a todos los agentes de la economía de un país, ya que disminuye la capacidad de compra del dinero; en particular, la inflación deteriora el buen comportamiento financiero de las empresas porque: 1. Las cuentas por cobrar se recaudarán muy desvalorizadas. 2. No es conveniente mantener dinero en efectivo porque está perdiendo poder adquisitivo. 3. Las deudas y los presupuestos deben estimarse en otro sistema monetario (dólar, UVR, etc.) que no afecte la inflación. 4. Los precios de los artículos se fijan según los efectos de la inflación. Devaluación. Etimológicamente, es reducir el valor de la moneda. Sin embargo, crea cierta confusión con el concepto de “depreciación monetaria”. También puede definirse como Ia pérdida de poder adquisitivo de una moneda con respecto a otra". Todo rendimiento producto de una inversión en moneda extranjera está compuesto por: a. lntereses en moneda extranjera. b. Variación de la tasa de cambio de la moneda local frente a la moneda extranjera. Aunque el rendimiento está conformado por a y b, no puede decirse que el rendimiento efectivo es la suma de a + b.

Ejemplo 3.18 El señor Pérez hizo una inversión de un dólar; al momento de la inversión, el dólar tenía un valor de $650. Sobre esta inversión se reconoce una tasa de interés del 9,5% anual (por lo general, es prime rate para operaciones en dólares de EE.UU. o libor para operaciones en libras esterlinas o euros). La tasa anual de devaluación del peso frente al dólar se estima en el 25%. En apariencia, el rendimiento efectivo de esta inversión es igual a ia = 9,5% + 25% = 34,5%

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Capitulo 3

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Matemáticas financieras

Véase el análisis de la situación: En dólares,

En pesos colombianos,

De esto puede concluirse que I = 889, 68 − 650 = 239, 68 I 239, 68 i= = = 36, 87% P 650

Nótese que la tasa efectiva en pesos colombianos, de la inversión que el señor Pérez hizo en dólares, fue del 36,87% y no del 34,5% como aparentemente se mostró al principio.

Conclusión. Cualquier rendimiento en moneda extranjera debe calcularse así: ia = (1 + id)(1 + ie) − 1 donde id es la tasa de devaluación. Cuando se presenta revaluación (reducción del precio de una divisa) de la moneda local, el signo de id es negativo. Resolviendo el ejemplo anterior, se tiene: ia = (1,25)(1,095) − 1 = 36,87% 66

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Si se desea calcular RR en pesos, se iguala la rentabilidad efectiva en moneda extranjera con la rentabilidad neta: ia = RN RR =

Luego,

RN − ii 1 + ii

Calcúlese RR con la siguiente información: ia = 0,3687 ii = 0,28 id = 0,25 Es decir, ii > id RR =

0, 3687 − 0, 28 = 6, 9296% 1, 28

Supóngase ahora que id = 29%. Es decir, ii < id RR = ia = (1,29)(1,095) − 1 = 41,25% RR =

0, 4125 − 0, 28 = 10, 35% 1, 28

A partir de estos resultados es fácil concluir que: 1. Si la tasa de inflación es menor que la tasa de devaluación, la rentabilidad real es mayor que la tasa de interés en moneda extranjera. 2. Si la tasa de inflación es mayor que la tasa de devaluación, la rentabilidad real es menor que la tasa de interés en moneda extranjera. 3. Si la tasa de inflación es igual a la tasa de devaluación, la rentabilidad real es igual a la tasa de interés en moneda extranjera. En consecuencia, debe invertirse en aquellas monedas para las cuales la inflación es menor que la devaluación.

씰 Otras tasas de interés Prime rate: Tasa preferencial de colocación del mercado estadounidense; es decir, la tasa de interés que cobran los bancos a sus mejores clientes. Su origen data de la recesión norteame-

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Capitulo 3

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Matemáticas financieras

ricana en 1930; de allí en adelante se toma como base para casi toda operación económica en los EE. UU., dando como resultado un amplio respaldo en los principales bancos locales y las 500 primeras compañías, según la revista Fortune; de allí su inclinación elitista. Esta tasa rige principalmente en el CityBank, el Chase Manhattan Bank y el Bank of America. Cabe destacar que esta tasa casi siempre trabaja con plazos inferiores a un año. Libor: tasa de interés base promedio para la Unión Europea y Japón. Su origen se debe al desequilibrio permanente de la balanza de pagos de los EE. UU. durante las décadas de 1950 y 1960. Es la sigla de London Interbank Offered Rate; es decir, la tasa de interés interbancaria de colocación del mercado de Londres.

Relaciones entre estas tasas de interés Prime rate

1. Tasa de interés alto: aumenta capitales hacia los Estados Unidos. Incrementa la demanda en dólares, lo cual conlleva al reavalúo en incremento de importaciones. Al originar un incremento en el mercado europeo, aumenta de manera significativa la oferta de moneda de la UE. 2. Tasa de interés bajo: aumenta de manera considerable el libor y los capitales fluyen hacia la UE y Japón aumentando en forma positiva la demanda de monedas europeas fuertes. Esto conlleva el incremento de importaciones desde los Estados Unidos de América en general, aumentando en dólares, es decir, que hay devaluación frente a las otras monedas para promover o incentivar las exportaciones. Nótese que las dos tasas, tanto prime rate como libor, trabajan como los DTF del sistema financiero colombiano.

씰 Cálculo de la devaluación Antes de entrar en el tema, es necesario definir unas variables:

Tasa de Cambio (TC) Es la relación existente entre dos monedas. Algunos autores la definen como el número de unidades de una moneda que se entregan por una unidad de otra moneda. Si hoy el dólar se cotiza a $2.343, quiere decir que la tasa de cambio del peso frente al dólar es de $2.343 y se denota así: TC $/D = $2.343 Si hoy se necesita comprar 1.000 dólares, se tendrá que pagar por ellos. 1.000 × $2.343 = $2.343.000 68

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

El problema puede ser planteado en otra forma: Hoy se dispone de 500 dólares y se requiere convertirlos a pesos: 500 × $2.343 = $1.175.500 Si el problema fuera a la inversa: ¿A cuántos dólares equivale hoy un peso? Se resuelve con una regla de tres simple: $2.343 $1 Luego: un peso es igual a

1 dólar X

1 = 0,000426803 dólares 2.343

Esto quiere decir que: TC S/ D =

1 TC D/$

2.343 =

1 1 2 . 343 ( )

2.343 = 2.343

Ejemplo 3.19 El señor Pérez tiene las siguientes inversiones: En Paraguay 100.000 guaraníes En Venezuela 200.000 bolívares En Brasil 300.000 reales Cuál será el valor en dólares de la inversión del señor Pérez, si a esa fecha el dolar se cotizaba así: 1 dólar = 4.440 guaraníes 743,750 bolívares 2,7070 reales Inversión en dólares =

(100.000) + (200.000) + (300.000)

4.440 743, 75 Inversión en dólares = 111.115,2202 dólares.

2, 7070

69

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

Devaluación (DEV) Se define como la pérdida de poder adquisítivo de una moneda respecto a otra. La devaluación de una moneda A respecto a otra moneda B, está dada por: DEVA /B =

(TC1A /B − TC0A /B ) TC 0A /B

donde: TC1 = Tasa de cambio al final del periodo TC0 = Tasa de cambio inicial

Ejemplo 3.20 Si hoy la tasa de cambio del peso frente al dólar es de $2.343 y hace un año era de $1.850, entonces: TC0 $/D = $1.850 TC1 $/D = $2.343 Luego, DEVS/D =

($2.343 − $1.850) $1.850

DEV $/D = 0,266486 = 26,6486%

La devaluación está dada en términos efectivos y, generalmente, por períodos anuales.

Cuando el resultado del cálculo de la devaluación sea negativo, entonces se dirá que en dicho periodo no hubo devaluación sino revaluación. Los términos devaluación y revaluación son empleados en economías con tasas de cambio controladas (fijas o fijas−flexibles); si el tipo de cambio es flexible o libre, se habla de depreciación y apreciación, respectivamente.

Ejemplo 3.21 Si hoy la devaluación del peso frente al dólar es del 26,6486% y la tasa de cambio es de $2.343 por dólar, ¿cuál fue la tasa de cambio inicial? DEV$/D = 0,266486 TC1 $/D = 2.343 70

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

TC0 $/D = ? DEV$/ D =

(TC1$/ D − TC0$/ D ) TC 0$/ D

0, 266486 =

TC0 $/D

(2.343 − TC ) 0 $/ D

TC 0 $/ D

× 0,266486 = 2.343 − TC0 $/D

TC0 $/D (1 + 0,266486) = $2.343 TC 0 $/ D =

$2.343 = $1.850 1,266486

En conclusión: TC 0 $/ D =

TC1$/ D

(1+ DEV$/ D )

Generalizando: sean A y B dos monedas TC 0 A/ B =

TC1A/ B

(1+ DEVA/ B )

Si se desea proyectar la tasa de cambio inicial, bastará con despejar la tasa de cambio final: TC1 A/B = TC0 A/B × (1 + DEV A/B)

Ejemplo 3.22 Se espera que para los tres próximos meses, el peso se devalúe frente al dólar así: 0,015, 0,019 y 0,020. ¿Cuál será el valor de la tasa de cambio al final de tres meses? TC0 $/D = $2.343 TC1 $/D = $2.343 (1,015) (1,019) (1,020) TC1 $/D = $2.471,7963

71

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

씰 Tasas de cambio y devaluaciones cruzadas Generalmente, en el mercado mundial existe una moneda patrón, alrededor de la cual giran las demás monedas. Hoy, esa moneda es el dólar. Sin embargo, al momento de escribir estas notas ya hay doce países que adoptaron como moneda patrón al euro: Bélgica, Alemania, Grecia, España, Francia, Irlanda, Italia, Luxemburgo, Países Bajos, Austria, Portugal y Finlandia entre otros. Se espera que en un futuro, la moneda patrón a nivel mundial será el euro. Si hoy un comprador colombiano desea adquirir una maquinaria en el Japón, deberá hacer la negociación cruzando las monedas: pesos colombianos con dólares y con yenes. El dólar actúa como moneda patrón en esa negociación. Esto nos hace pensar que es necesario recurrir a una metodología para manejar tales situaciones. Supóngase que se tienen las monedas A, B y C, y que la moneda patrón es A. Se trata entonces de hacer inversiones de moneda B en moneda C. TC0 B/C = TC0 B/A × TC0 A/C Asimismo: TC1 B/C = TC1 B/A × TC1 A/C Luego, la devaluación de B respecto a C estará dada por:

DEVB/C =

(TC

1 B/C

− TC 0 B/C

)

TC 0 B/C

Conocida la tasa de devaluación, se podrá calcular la tasa de rentabilidad efectiva en moneda extranjera. ia = [(1 + id ) (1 + ie)] − 1

Ejemplo 3.23 Hace un año la tasa de cambio del peso frente al dólar era $1.850 por dólar y de 1,47 marcos por dólar. Hoy es de $2.343 por dólar y de 1,59 marcos por dólar. Calcular: a. La devaluación del peso frente al marco. b. Si se reconoce el 5% sobre la inversión en marcos, ¿cuál será la rentabilidad efectiva en esa inversión?

72

Capitulo 3

72

1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Para calcular la devaluación del peso frente al marco, es necesario calcular primero las tasas de cambio inicial y final del peso frente al marco. TC1 $/M = TC1 $/D × TC1 D/M No se conocen las tasas de cambio del dólar frente al marco, pero se pueden calcular así: TC 0 D/ M =

(TC

1 0 D/ M

)

TC0 M/D = 1,47

Luego, TC0 D/ M =

1 = 0, 680272 1, 47

TC 0 $/M = $1.850 × 0,680272 = 1.258,5032

Asimismo: TC1 M/D = 1,59

Luego, TC1D/ M =

1 = 0, 628930 1, 59

TC1 $/M = $2.343 × 0,628930 = 1.473,5829

DEV$/ M =

DEV$/ M =

(TC

1$/ M

− TC 0 $/ M

)

TC 0 $/ M

(1.473, 5829 − 1.258, 5032) 1.258, 5032

DEV $/M = 0,170901 = 17,0901% ia = (1,170901) (1,05) −1 = 0,22944605

Este problema se puede resolver mediante un método más sencillo, basado en una matriz de relación de monedas. La matriz tiene la siguiente configuración : 1

2

3

4

Relación Monedas

TC0

Devaluación

TC1

1 2 3

Se utilizará la siguiente convención: casilla (2, 1) en donde el primer número corresponde a la fila y el segundo a la columna. 73

Capitulo 3

73

1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

En la casilla (3, 1) se anota la relación de moneda del país que va a invertir frente al país donde se va a invertir. En la casilla (1, 1) se anota la relación de moneda del país que va a invertir frente a la moneda patrón. En la casilla (2, 1) se anota la relación de la moneda patrón frente a la moneda en la cual se va a invertir. Las demás casillas se llenan con la información que se disponga. La casilla (3, 2) es igual al producto de la casilla (1, 2) por la casilla (2, 2) La casilla (3 ,4) es igual al producto de la casilla (1, 4) por la casilla (2, 4) Con esta información se pueden calcular las devaluaciones, aplicando la fórmula estudiada. El problema anterior se representa así:

1 2 3

1

2

3

4

Relación monedas $/D D/M $/M

TC0 $1.850 0,680272

Devaluacón

TC1 $2.343 0,628930

La TC0$/M corresponde a la casilla (3,2) que es igual a TC0$/M = $ 1.850 × 0,680272 = $1.258,5032 La TC1$/M corresponde a la casilla (3,4) que es igual a TC1$/M = $2.343 × 0,628930 = $1.473,5829 DEV$/ M =

($1.473, 5829 − $1.258, 5032) $1.258, 5032

DEV$/M = 0,170901 Si se quisiera calcular la devaluación del dólar frente al marco, se tendría: DEVD/ M =

(0, 628930 − 0, 680272) 0, 680272

DEVD/M = − 0,075472 Esta devaluación dio un resultado negativo, lo cual indica que en ese periodo el dólar experimentó una revaluación frente al marco.

74

Capitulo 3

74

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Ejemplo 3.24 El señor Pérez dispone de $500.000.000 para invertir en el exterior. Se le presentan las siguientes propuestas: si invierte en Italia, le reconocen el 8% efectivo anual, pero si invierte en Alemania le reconocen el 4% efectivo anual sobre dicha inversión. Con el fin de analizar las dos propuestas, recogió la siguiente información: La cotización del dólar es de $2.316 por dólar y un año antes era de $1.810 por dólar. La cotización del dólar es de 2.152,85 liras por dólar y de 2,1746 marcos por dólar. En esa misma fecha, la devaluación del dólar respecto a la lira es de −0,1081575 anual. Un año antes, el dólar se cotizaba a 2,05 marcos por dólar. ¿Dónde debe invertir el señor Pérez? Para resolver el problema es necesario calcular primero las tasas de cambio inicial y final de dólar por lira y de dólar por marco. TC1L/D = 2.152,85 liras por dólar Luego, TC1L/ D =

1 = 0, 00046451 dólares por lira 2.152, 85

TC 0 D/ L =

Luego, TC0 D/ L =

0,00046451

(1 + (−0,1081575))

TC1D/ L

(1 + DEVD/ L )

= 0, 00052084

TC1M/D = 2,1746 marcos por dólar Luego, TC1D/ M =

1 = 0, 45985468 dólares por marco 2,1746

TC0M/D = 2,05 marcos por dólar Luego, TC0 D/ M =

1 = 0, 487805 dólares por marco 2, 05

Con esta información se pueden plantear las dos matrices:

75

Capitulo 3

75

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Matemáticas financieras

La primera matriz tendrá que ver con pesos, dólares y liras

1 2 3

1

2

3

4

Relación Monedas $/D D/L $/L

TC0 $1.810 0,00052084 0,942702

Devaluación

TC1 $2.316 0,00046451 1,075782

− 0,1081575 0,141162631

La segunda matriz corresponderá con pesos, dólar y marcos.

1 2 3

1

2

3

4

Relación Monedas $/D D/M $/M

TC0 $1.810 0,487805 882,927

Devaluación

TC1 $2.316 0,45985468 1.065,0234

0,206241

Cálculo de la rentabilidad: En Italia: (1,141162631) (1,08) −1 = 0,232455 En Alemania: (1,206241) (1,04 ) −1 = 0,25449064 Al invertir en Alemania se obtiene una rentabilidad mayor que en Italia. Se recomienda invertir en Alemania.

Problemas propuestos 1. Hallar las tasas efectivas anuales equivalentes a una tasa del 25% anual con capitalización: a. mensual, b. bimestral, c. trimestral, d. semestral, e. anual. Respuesta: a. 28,07%; b. 27,75%; c. 27,44%; d. 26,56%; e. 25%

3. Hallar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa de interés nominal anual del 24% con capitalización trimestral. Respuesta: 6% 4. Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa de interés nominal anual del 24% con capitalización trimestral. Respuesta: 26,24%

2. Resolver el ejemplo anterior considerando que las capitalizaciones son anticipadas. Respuesta: a. 28,74%; b. 29,09%; c. 29,45%; d. 30,61%; e. 33,33%

76

Capitulo 3

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1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

5. Con la tasa de interés hallada en el ejercicio anterior calcular la tasa de interés trimestral. Respuesta: 6%

Respuesta: Tomar el préstamo en el Banco P ya que la tasa efectiva anual es mayor. 12. ¿Cuál es la tasa de interés realmente cobrada correspondiente al problema 10? Respuesta: 0,0610

6. Comparar los resultados de los ejercicios 3 y 5. Analizarlos. 7. Hallar la tasa de interés trimestral equivalente a una tasa de interés del 6,5% semestral. Respuesta: 3,198%

13. Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa de interés nominal anual del 27% con capitalización mensual anticipada. Respuesta: 31,40%

8. Hallar una tasa efectiva de interés para 20 días equivalente a una tasa de interés nominal anual del 20%. Respuesta: 1,1%

14. Hallar la tasa bimestral equivalente a una tasa de interés del 6% semestral. Respuesta: 1,961%

9. Hallar una tasa de interés efectiva con capitalización para 20 días, equivalente a una tasa de interés efectiva anual del 20%. Respuesta: 1,004%

15. Hallar la tasa de interés efectiva para dos años equivalente a una tasa de interés de a. 6,8% trimestral vencida; b. 6,8 trimestral anticipada. Respuesta: a. 69,26% b. 75,66%

10. Una persona invierte $10.000.000 en un CDT a tres meses; la tasa de interés es del 5% anual, y la de tributación es del 7%. La tasa de inflación es del orden del 22% anual. ¿Cuál es la rentabilidad real de esa inversión? Respuesta: 0,033877049

16. Hallar la tasa efectiva bimestral equivalente a una tasa nominal anual del 24% con capitalización bimestral anticipada. Respuesta: 4,1667% 17. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva mensual equivalente para los créditos que se otorgan con una corrección monetaria del 26% anual y una tasa adicional del 3% anual? Respuesta: 2,196%

11. Un Banco P presta $5.000.000 a una tasa de interés nominal anual del 31% con capitalización mensual vencida. El Banco C presta la misma cantidad al 32% nominal anual pero con capitalización semestral vencida. ¿Qué opción aconsejaría usted? Explique la decisión.

18. ¿Cuál es la tasa de interés realmente cobrada en los créditos. Asuma que la tasa de inflación es igual a la de

77

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

corrección monetaria del problema anterior? Respuesta: 3,78%

anual con capitalización semestral vencida; otra entidad le ofrece el 34% anual con capitalización mensual vencida. ¿Dónde debe hacer la inversión? Respuesta: En la que paga el 34%

19. El señor Pérez desea invertir cierto dinero. Una corporación le ofrece el 36%

Autoevaluación 1. Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 28%, en los siguientes casos: a. Con capitalización mensual vencida b. Con capitalización trimestral vencida c. Con capitalización mensual anticipada d. Con capitalización trimestral anticipada

8. Hallar la tasa nominal anual equivalente a una tasa efectiva anual del 35% con capitalización bimestral anticipada. 9. Hallar la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa del 6% semestral con capitalización vencida. 10. Una corporación ofrece una tasa de interés del 5% más la corrección monetaria para aquellas inversiones en CDT que sean mayores que $100.000.000. Si la corrección monetaria es del orden del 18,96%, la tasa de inflación está estimada en un 19% y la retención en la fuente es del 7%, ¿cuál será la rentabilidad real para esa inversión?

2. Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 25% con capitalización anual vencida. 3. Resolver el problema anterior pero con capitalización anticipada. 4. Hallar la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa nominal anual del 36%.

11. La empresa X le adeuda al Banco Y los siguientes pagarés:

5. Hallar la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva anual del 36%.

Uno por $90.000.000 expedido hace 5 meses y con vencimiento a 13 meses. Reconoce el 12% anual nominal con capitalización mensual vencida.

6. Hallar la tasa efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del 36% con capitalización trimestral.

Otro por $120.000.000 expedido hace 3 meses y con vencimiento a año y medio. Reconoce el 13% anual efectivo con capítalización bimestral vencida.

7. Hallar la tasa efectiva trimestral equivalente a una tasa efectiva anual del 41,1581609%. 78

Capitulo 3

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

Otro por $140.000.000 expedido hace un mes y con vencimiento a 15 meses. Reconoce el 2% mensual vencido con capitalización trimestral vencida.

$150.000.000 suscrita hace 4 meses. Reconoce el 21% anual efectivo con capitalización bimestral vencida y tiene un período de vencimiento de 21 meses; otra por $120.000.000 suscrita hace 2 meses. Reconoce el 22% anual efectivo con capitalización trimestral vencida y tiene un período de vencimiento de 13 meses.

Hoy se acordó con el Banco reestructurar dichas obligaciones en la siguiente forma: La empresa X le entregará al Banco Y la suma de $80.000.000 en efectivo dentro de 2 meses y el resto se lo entregará dentro de 11 meses. Se acordó además que la fecha focal será dentro de 11 meses y la tasa de reestructuración será del 5% trimestral vencida con capitalización bimestral vencida. a. ¿Cuál será el valor a entregar en la fecha focal? b. ¿Acuánto equivale hoy dicho valor?

Hoy acordó con el Banco cancelar dichas obligaciones en dos pagos iguales así: el primero se hará dentro de 5 meses y el segundo se hará 8 meses después del antenor. Se estableció la fecha focal al final del mes 13 y la tasa de reestructuración se acordó en el 20% anual efectiva con capitalización semestral vencida. ¿Cuáles serán los valores de dichos pagos?

12. Un inversionista deposita hoy en el Banco la suma de $100.000.000. El Banco le reconoce el 24% anual nominal con capitalización mensual vencida durante los primeros seis meses. De ahí en adelante y durante los siete meses siguientes, le reconoce el 22% anual efectivo con capitalización bimestral vencida. Durante los ocho meses siguientes le reconoce el 3% bimestral vencido con capitálización trimestral vencida y durante los cinco meses siguientes le reconoce el 4% trimestral vencido con capitalización mensual vencida. ¿ Cuánto tendrá ahorrado al final de todo el tiempo?

14. El señor Pérez tuvo la oportunidad de hacer una inversión en Brasil, Perú o Venezuela. En Brasil le reconocían el 3% efectivo anual; en Perú, el 8,1% efectivo anual y en Venezuela, el 10% efectivo anual. La tasa de cambio final del peso frente al dólar fue de $2.820,20 y la devaluación del mismo fue del 0,0431161 anual. La tasa de cambio final del real frente al dólar fue de 2,8950 y la inicial fue de 3,1470 La tasa de cambio inicial del sol frente al dólar fue de 3,6050 y la devaluación del mismo fue del − 0,0355062 anual.

13. El señor Pérez tiene las siguientes obligaciones con el Banco: una por

79

Capitulo 3

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Matemáticas financieras

La tasa de cambio final del bolívar frente al dólar fue de 1.596 y la inicial, de 1.496,50

15. EI señor Pérez desea obtener una rentabilídad real del 8% efectiva anual en sus inversiones. Si la tasa de inflación es del 6,5% efectiva anual, ¿a qué tasa de interés efectiva anual debe invertir el señor Pérez para alcanzar su objetivo?

¿Dónde debió haber invertido el señor Pérez? Explique analíticamente la respuesta.

Respuestas a la autoevaluación 1. a.

3. −1

ia = (1 − 0,25) − 1 = 0,333333 4. b.

5.

c.

6. d.

2. Son iguales por tener la capitalización anual y vencida.

7.

80

Capitulo 3

80

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Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

8. 0,5

it = (1,06)

− 1 = 0,29563014

10. ia = (1 + ic)(1 + ie) − 1 ia = (1,1896)(1,05) − 1 = 0,24908 RN = ia(1 − it)

r = 0,292722 9.

mn

it = (1 + is)

RN = 0,24908(1 − 0,07) = 0,2316444

−1 mn

it = (1 + 0,06)

−1

11. a.

13

F1 = 90.000.000 (1,01) = $102.428.395 2/3

iapb = (1,05)

−1 = 0,0330615 3/2

F1’ = $102.428.395 (1,0330615) iapb = (1,13)

1/6

= $107.549.815

− 1 = 0,020578

F2 = 120000000 (1,020578)

18/2

= $144.144.165

3

iapt = (1,02) − 1 = 0,0612

81

Capitulo 3

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1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

15/3

F3 = 140.000.000 (1,0612)

= $188.414.465

9/2

F4 = 80.000.000 (1,0330615)

= $92.609.978

$107.549.815 + $135.065.588 + $179.442.362 = $92.609.978 + X X = $329.447.787

b. P =

$329.447.787 = $275.481.617 (1, 0330615)11/ 2

12. P = $100.000.000 n = 6 meses r = 0,24 0, 24 = 002 12 6 F1 = 100.000.000 (1,02) = $112.616.242 n = 7 meses

iapn =

1/6

ia = 0,22 iapb = (1,22)

− 1 = 0,0336971 7/2

F2 = 112.616.242 (1,0336971)

= $126.467.111

n = 8 meses iapb = 0,03 iapt = (1,03)

3/2

− 1 = 0,0453358 8/3

F3 = 126.467.111 (1,0453358)

= $142.339.847

n = 5 meses 1/3

iapt = 0,04 iapn = (1,04)

− 1 = 0,0131594 5

F4 = 142.339.847 (1,0131594) = $151.955.140

13.

82

Capitulo 3

82

1/20/06, 10:29 AM

Capítulo 3 • Tasas de interés nominal y efectiva. Rentabilidad

1/6

iapb = (1,21)

− = 0,03228012 21/2

F1 = 150.000.000 (1,03228012) 1/2

iaps = (1,20)

P1 =

= $209.394.686

− 1 = 0,09544512

209.394.686 = 197.047.944 (1, 09544512) 4 / 6 1/4

iapt = (1,22)

−1 = 0,05096913 13/3

F2 = 120.000.000 (1,05096913)

2/6

F2′ = 148.846.195(1,09544512) 8/6

F3 = X(1,09544512)

=$148.846.195

= $153.438.595

= 1,12924324X

$197.047.944 + $153.438.595 = 1,12924324X + X X = $164.606.153 Brasil

14.

Monedas

TC0

DEV

TC1

$/D D/R $/R

2.703,63 1/3,1470 859,1134

0,0431161 0,133915

$2.820,20 1/2,8950 974,1623

Perú Monedas

TC0

DEV

TC1

$/D D/Sol $/Sol

2.703,63 1/3,6050 749,9667

0,0431161 0,0368133 0,081516

$2.820,20 1/3,4770 811,1015

Venezuela Monedas

TC0

DEV

TC1

$/D D/B $/B

2.703,63 1/1.496,50 1,8066

0,0431161

$2.820,20 1/1,596 1,7670

−0,021919

Brasil: ia = (1,133915)(1,03) − 1 = 0,167932

Venezuela: ia = (1− 0,021919)(1,10) −1 = 0,075889

Perú: ia = (1,081516)(1,081) − 1= 0,169118

La mayor rentabilidad se obtiene en Perú.

83

Capitulo 3

83

1/20/06, 10:29 AM

Matemáticas financieras

15. RR = 0, 08 =

0,1502 = ia (1 − 0,07)

RN − ii 1 + ii

ia = 0,161505 ia = (1 + ii)(1+ie) − 1

RN − 0, 065 1, 065

0,161505= (1,065)(1 + ie)−1 ie = 0,090615

RN = 0,1502 Si la it = 0,07

ie = 9,0615% anual

RN = ia(1 − it)

Actividades de repaso 1. ¿Qué es una tasa de interés nominal? Dé un ejemplo.

8. ¿Cuál es la diferencia entre una capitalización vencida y una capitalización anticipada?

2. ¿Qué es una tasa de interés efectiva? Dé un ejemplo.

9.

3. ¿Qué diferencia existe entre tasa de interés nominal y tasa de interés efectiva? Explique esta respuesta considerando una tasa del 28%.

¿Cúal es la diferencia entre tasa efectiva anual e interés real en un año?

10. ¿Qué es rentabilidad? 11. Defina rentabilidad real.

4. ¿Qué se entiende por capitalización?

12. Defina rentabilidad neta.

5. ¿Qué se entiende por periodo de capitalización?

13. ¿Qué es inflación? 14. ¿Cómo influye la inflación en la rentabilidad?

6. ¿Qué sucede con las tasas de interés nominal y efectiva cuando el periodo de capitalización es un año?

15. ¿Qué es devaluación?

7. ¿Qué sucede cuando los periodos de capitalización se hacen cada vez más cortos?

16. Cite algunas causas de la inflación.

84

Capitulo 3

84

1/20/06, 10:29 AM

Anualidades y capitalización continua ■ Justificación Una de las modalidades más utilizadas en el mercado financiero para pagar o ahorrar está determinada por el sistema de cuotas constantes y periódicas, o sea, por el sistema de anualidad. Como este tema está estrechamente ligado con el de las tasas de interés, es necesario tratarlos en conjunto para que el lector obtenga una mejor capacitación en el cálculo de sumas futuras o presentes equivalentes a una serie de cuotas iguales. Debido a que el sistema de capitalización no sólo es mensual, bimestral, trimestral, etc., sino que también puede expresarse como continuo, es necesario tratar las anualidades bajo el concepto de capitalización continua. En este capítulo el lector se capacitará, además, para la liquidación de intereses sobre saldos mínimos en cuentas de ahorro y para resolver algunos de sus problemas de la vida real, como saber cuánto puede ofrecer por un activo que está en venta en un momento dado, cómo calcular el precio de compra de un bien determinado, etc.

■ Objetivo general Encontrar sumas futuras y presentes equivalentes a una serie de pagos o ahorros constantes y periódicos, y establecer los parámetros que permitan la liquidación de intereses sobre saldos mínimos en cuentas de ahorro.

■ Objetivos específicos ■

Calcular el valor presente de una serie de pagos uniformes en formas vencida y anticipada.

■

Calcular el valor futuro de una serie de pagos uniformes en formas vencida y anticipada.

■

Calcular el valor de una anualidad cuando la vida útil del activo es indefinida.

85

Capitulo 4

85

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

■

Calcular el valor futuro de una serie de cuotas uniformes cuando la capitalización es continua.

■

Calcular el valor presente de una serie de cuotas uniformes cuando la capitalización es continua.

■

Liquidar intereses sobre saldos mínimos cuando las cuotas son anticipadas y el periodo de pago es mayor que el de capitalización.

■

Liquidar intereses sobre saldos mínimos cuando las cuotas son vencidas.

■

Calcular el saldo de una deuda.

■

Calcular el valor a ofrecer por un activo cuando se presenta una subrogación del crédito.

■

Calcular el precio de compra de un activo.

■

Calcular la valorización de un activo.

■

Cómo negociar activos cuando intervienen dinero en efectivo, CDT, bonos u otros documentos.

■

Calcular el valor de una cuota cuando se otorga un periodo de gracia para el crédito (anualidad diferida).

86

Capitulo 4

86

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 La tasa de interés efectiva anual equi-

4 La suma de la progresión geométrica

valente a la tasa nominal anual del 28% capitalizable trimestralmente es: a. 31,08% b. 28% c. 30,08%

2,

d. 29,08%

e. 32%

2 2 , , ... hasta siete términos es: 3 9

a.

b.

c.

d.

2 La tasa nominal anual capitalizable e.

mensualmente equivalente a la tasa efectiva anual del 37,1377% es: a. 30% b. 24% c. 32%

5 El último término de la progresión geométrica 48, 24, 12, ... hasta seis términos es:

d. 34%

e. 31%

3 Si la tasa de corrección monetaria es del 22,5% y el interés adicional es del 8%, la tasa efectiva anual es: a. 30,2% b. 30,9% c. 32%

a.

2 3

b.

5 4

c.

4 5

d.

1 6

e.

3 2

d. 32,30%

e. 31%

Respuestas a la conducta de entrada 1. a

2. c

3. d

4. b

87

Capitulo 4

87

1/23/06, 4:18 PM

5. e

Matemáticas financieras

Anualidades Son cuotas de dinero periódicas e iguales que se entregan o se reciben al comienzo o al final de cada periodo.

씰 Anualidades vencidas Ejemplo 4.1 El señor Pedro Pérez espera recibir $5.000 mensuales durante tres meses. ¿Cuál será la suma presente equivalente a esa serie de pagos, si se considera una tasa de interés de 3% mensual?

Se halla el valor presente de cada cuota y luego se suman esas cantidades.

88

Capitulo 4

88

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Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Luego,

Como todas las cuotas son iguales, entonces: F1 = F2 = F3 = A donde A es el valor de una cuota uniforme. Si el número de periodos es n, entonces:

Lo que está dentro del corchete es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente de n términos cuya razón es

Esta suma tiene como expresión Suma Ahora se factoriza por

Entonces,

Ahora se calcula la suma:

89

Capitulo 4

89

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

Al reemplazar este valor en P se obtiene:

Con esta expresión se calcula el valor presente de una serie de cuotas iguales. Ahora se resuelve el ejemplo anterior:

De esta expresión puede despejarse el valor de A en función de P:

Al aplicarla al ejemplo anterior se tiene:

Con esta expresión se calcula el valor uniforme de una cuota en función del valor presente de la serie. n

Como

F = P(1 + i)

90

Capitulo 4

90

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

si

entonces,

Luego, Con esta expresión se calcula el valor futuro de una serie de cuotas uniformes. Al despejar A de la expresión anterior se tiene:

Con esta expresión se calcula el valor de una cuota uniforme en función del valor futuro de la serie.

Ejemplo 4.2 Compré un carro con una cuota inicial de $1.000.000 y 36 cuotas iguales de $200.000. La agencia me cobra el 2,5% mensual sobre saldos. a. ¿Cuánto debo? b. Si pago toda la deuda en el último mes, ¿cuánto tengo que pagar? c. Si pago toda la deuda al final del décimo mes, ¿cuánto debo pagar? a.

b.

91

Capitulo 4

91

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

c. Al final del décimo mes se halla el valor futuro de las primeras 10 cuotas, luego se calcula el valor presente de las 26 restantes y se suman estos dos valores.

El valor a pagar es $6.030.798,57.

Ejemplo 4.3 El señor Pérez hizo un préstamo de $2.000.000 para cancelarlo mediante cuotas iguales de $134.431,41. La tasa de interés pactada fue del 3% mensual. ¿Cuál fue el plazo? P = $2.000.000 A = 134.431,41 i = 0,03 n=?

92

Capitulo 4

92

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Al multiplicar por −1 y aplicar logaritmos se tiene: log 0,553675737 = log l − n log 1,03 − 0,256744507 = 0 − n(0,012837224) n = 20 meses

Ejemplo 4.4 Un estudiante necesita disponer de $150.000 dentro de 6 meses para pagar su matrícula. Una corporación le ofrece el 2% mensual para sus ahorros. ¿Cuánto deberá ahorrar mensualmente?

씰 Anualidades indefinidas Son aquellas en los cuales el número de pagos (n) tiende a infinito. También se denominan anualidades perpetuas. Como

si n tiende al infinito se tiene:

93

Capitulo 4

93

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

Para eliminar una indeterminación matemática (límite especial) existen tres formas: 1. Factorizando de manera apropiada. 2. Si persiste la indeterminación se divide cada variable por la variable de mayor exponente. 3. Si aún se mantiene la indeterminación se aplica el teorema de L'Hôpital, el cual consiste en derivar hasta eliminar la indeterminación.

Al hallar el límite se obtiene:

Luego, A = Pi. Nótese que el valor de la cuota es igual a los intereses periódicos.

Ejemplo 4.5 Una persona quiere constituir un fondo para otorgar un premio anual de $2.000.000 en forma indefinida. Para ello deposita hoy la suma de $5.000.000 en una corporación que reconoce el 28% anual. ¿Cuánto tiempo debe dejar en depósito el dinero antes de empezar a retirar la suma de $2.000.000 indefinidamente?

Ésta es la suma de dinero necesaria para poder retirar indefinidamente $2.000.000 anuales.

F 7.142.857,14 1,428571428 log 1,428571428 n

n

= P(1 + i) n = 5.000.000(1,28) n = (1,28) = n log 1,28 = 1,444846597 años

94

Capitulo 4

94

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Capitalización continua Sistema en el cual el periodo de capitalización es lo más pequeño posible (diaria, por horas, por minutos). Este sistema se emplea principalmente en economías con problemas de alta inflación o de hiperinflación, en donde el aumento continuo que sufren los precios hace necesario que las tasas de interés reflejen simultáneamente tal variación.

Como si la capitalización es continua n tiende al infinito. Ahora,

Luego, n = rk. Entonces,

Por definición, el logaritmo natural en base e es igual a:

Luego, Esto quiere decir que si se tiene una tasa anual del 30%, su equivalente cuando la capitalización es continua es ia = e donde

0,30

−1 = 0,349858808

e = 2,718281828 95

Capitulo 4

95

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

Si se desea calcular el valor futuro de una suma dada, con capitalización continua, entonces, F = P(1 + i)

n

Se reemplaza i por la tasa efectiva con capitalización continua, así: r

ia = e − 1 r

F = P(1 + e − 1) rn F = pe

Luego,

n

Ejemplo 4.6 Si hoy se depositan $50.000 en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua, ¿cuánto se tendrá acumulado al final del quinto año? rn F = Pe P = $50.000 r = 0,30 n=5 0,30 × 5 F = 50.000(e) 0,30 × 5 F = (50.000)(2,718281828) F = 224.084,45 Su recíproco es

Luego,

Ejemplo 4.7 ¿A cuánto equivale hoy la suma de $224.084,55 calculada dentro de 5 años, si la tasa de interés es del 30% anual y la capitalización es continua? 96

Capitulo 4

96

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

P = 50.000

Si se desea calcular el valor futuro, conocida la cuota, esto es

Ejemplo 4.8 Se depositan $50.000 anuales durante 5 años en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua. ¿Cuánto se tendrá al final del quinto año?

F = 497.584,88 El recíproco del caso anterior es

97

Capitulo 4

97

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

Ejemplo 4.9 Si una corporación reconoce el 30% anual con capitalización continua y al final de 5 años los ahorros ascienden a $497.584,88, ¿cuál fue el depósito anual?

A = 50.000

Si se necesita calcular el valor de la cuota uniforme o anualidad, en función del valor presente, entonces

Al factorizar se obtiene:

98

Capitulo 4

98

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

En otras palabras:

Ejemplo 4.10 ¿Cuánto debe depositarse anualmente y durante 5 años, en vez de depositar hoy la suma de $111.026,19 en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua?

A = 50.000 El recíproco del caso anterior es:

Luego,

Es decir,

99

Capitulo 4

99

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

Ejemplo 4.11 ¿Cuánto debe depositarse hoy, en vez de depositar anualmente y durante 5 años la suma de $50.000, en una corporación que reconoce el 30% anual con capitalización continua?

씰 Anualidades anticipadas En algunas ocasiones se cancelan obligaciones con cuotas iguales y anticipadas; esto también ocurre cuando se ahorran sumas periódicas e iguales. Estos ahorros no se hacen en forma vencida sino anticipada. Algunos autores no hablan de ahorros anticipados sino de imposiciones. Aquí sólo se manejara un concepto: "cuota igual anticipada", independientemente de que sea para ahorrar o pagar, para recibir o para entregar. Algunos flujos de caja, por naturaleza, se comportan como anualidades anticipadas; tal es el caso de los arrendamientos, el pago de matrículas, las suscripciones y los seguros, entre otros.

Ejemplo 4.12 Una corporación le presta al señor Pérez la suma de $1.000.000 a 5 años y a una tasa del 36% anual con capitalización mensual: ¿Cuál será el valor de la cuota mensual si ésta debe entregarse en forma anticipada? P = $1.000.000 n = 60 meses

A=? 100

Capitulo 4

100

1/23/06, 4:18 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Antes de resolver el problema debe considerarse lo siguiente: a. Del valor del crédito, la corporación deduce la primera cuota. En esta forma el valor que recibe el señor Pérez será: P− A b. Al deducirle una cuota al señor Pérez, sólo le restan por cancelar n − 1 cuotas Para una mejor comprensión, véase el diagrama de flujo:

El número de cuotas en una anualidad anticipada es igual al número de cuotas en una anualidad vencida. El problema radica en que en la anualidad anticipada las cuotas se desplazan un periodo hacia la izquierda, esto es, la primera cuota está en el punto cero y por tanto el nuevo valor presente es igual a P − A, y el número de periodos que restan es n − 1. c. Se tiene la siguiente expresión:

d. Como el nuevo valor presente es P − A y el número de periodos que resta es n − 1, se reemplaza en la expresión anterior y se despeja el valor de A:

101

Capitulo 4

101

1/23/06, 4:18 PM

Matemáticas financieras

Al resolver el problema se tiene:  1.000.000 59 A =  (1, 03) − 1   0, 03(1, 03) 59

  = 35.080, 54  

De la expresión anterior se despeja el valor presente:

Al aplicar la expresión con los datos del problema anterior se obtiene:

  (1, 03) 59 − 1   P = 35.080, 54 1 +  59     0, 03(1, 03)   P = 1.000.000 Cuando se analiza el procedimiento para calcular el valor de la cuota uniforme en función del valor presente, se observa que: a. El nuevo valor presente está dado por P − A. b. El número de periodos que faltan está dado por n − 1. Ahora se calcula el valor de la cuota uniforme en función del valor futuro. Por estar el valor futuro en el extremo opuesto del valor presente, entonces ocurre lo contrario con el valor futuro y con el número de periodos. Es decir, cada cuota se desplaza hacia la izquierda en un periodo con respecto a las cuotas vencidas y, por tanto, hay que desplazarlas a la derecha un periodo. 102

Capitulo 4

102

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Luego, el valor futuro es

Ejemplo 4.13 Con los datos del problema anterior, calcular F.

F = 5.891.602,69

De la expresión anterior puede despejarse el valor de A, así:

Ejemplo 4.14 Con los datos del problema anterior, calcular A:

103

Capitulo 4

103

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

Anualidad anticipada con cuota al final En algunas ocasiones no se está en condiciones de pagar la surna de dinero en forma periódica en cantidades iguales, resultado de la financiación corriente de un préstamo. Ante esta situación se presenta la alternativa de fijar un menor valor de la cuota periódica (anualidad) y ofrecer el pago del resto del dinero al finalizar el plazo acordado, tiempo durante el cual se tendrá la oportunidad de percibir otros ingresos,como primas, ganancias de algun negocio, vacaciones, etc., con los cuales se cubriría la cuota final.

Ejemplo 4.15 El señor Pérez compró un vehículo por $5.000.000 para cancelar en dos años a una tasa del 2% mensual. La cuota fijada para ese negocio fue de $259.172,04 en forma anticipada. El señor Pérez no puede atender el pago de dichas cuotas porque están por encima de sus ingresos mensuales y propone pagar la suma de $150.000 cada mes, en forma anticipada, y al final de la obligación cancelar el resto de la deuda. ¿Cuál será el valor de la cuota final? Lo primero que debe hacerse es calcular el valor presente de las cuotas anticipadas que el señor Pérez puede cancelar, así:

P = 2.893.830,61

El valor actual de la obligación es de $5.000.000 y el valor actual de la cantidad que puede pagar el señor Pérez es $2.893.830,61. En consecuencia, la diferencia entre estos dos valores es el valor actual de lo que el señor Pérez debe pagar al finalizar la obligación; ahora se calcula el valor futuro de dicho saldo. n

F = P(1 + i) Saldo: 5.000.000 − 2.893.830,61 = 2.106.169,39 24

F = 2.106.169,39(1,02) = 3.387.641,30

104

Capitulo 4

104

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Liquidación de intereses sobre saldos mínimos Cuotas anticipadas y periodo de pago menor que el periodo de capitalización Rentas asincrónicas. Cuando el periodo de pago es diferente del periodo de capitalización.

Ejemplo 4.16 El señor Pérez ahorra $ 10.000 trimestrales al principio de cada periodo durante 2 años. La corporación le reconoce el 12% capitalizable semestralmente. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 2 años?

El movimiento contable sería el siguiente: n

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 -

Interés (I)

Acumulado al final del periodo

(10.000)(0,06) = 600 (30.600)(0,06) = 1.836 (52.436)(0,06) = 3.146,16 (75.582,16)(0,06) = 4.534,92

10.000 = 10.000 10.000 + 10.000 = 20.000 20.000 + 10.000 + 600 = 30.600 30.600 + 10.000 = 40.600 40.600 + 10.000 + 1.836 = 52.436 52.436 + 10.000 = 62.436 62.436 + 10.000 + 3.146,16 = 75.582,16 75.582,16 + 10.000 = 85.582,16 85.582,16 + 4.534,92 = 90.117,00

Al observar el diagrama económico del problema puede apreciarse que los primeros $10.000 ganan intereses durante 4 periodos; los segundos $10.000 ganan intereses durante 3 periodos; los terceros $10.000 ganan intereses durante 3 periodos; los cuartos $10.000 ganan intereses durante 2 periodos, y así sucesivamente.

105

Capitulo 4

105

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

Luego, 4

3

3

2

2

F = 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 1

1

10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000 = 90.117,08 Al interpretar este problema puede concluirse la expresión general. n = número de periodos de capitalización k = número de depósitos o pagos en el periodo de capitalización Luego, para este caso particular, n = 4 (2 años = 4 semestres) k = 2 (en cada semestre se hacen 2 pagos) En el problema anterior se tenía que 4

3

2

F = A(1 + i) + 2A(1 + i) + 2A(1 + i) + 2A(1 + i) + A El coeficiente de la última A es: (k - 1). Si los periodos fueran n se tendría: n

n−1

F = A(1 + i) + kA(1 + i)

n−2

+ kA(1 + i)

n

+ ... + kA(1 + i) + (k − 1) A 2

3

n−1

F = A[ (1 + i) + (k − 1) ] + kA[ (1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + ... + (1 + i)

]

Lo que está dentro del segundo corchete es la suma de los términos de una progresión geométrica creciente de (n − 1) términos con razón (1 + i). La expresión para calcular dicha suma es

donde S equivale al número de términos S = (n − l) a = (l + i)

r = (1 + i)

Suma

Suma 106

Capitulo 4

106

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Luego,

Al resolver el problema anterior se obtiene:

F = 90.117,08

Cuotas anticipadas y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización Cuando esto ocurre, el problema sólo se limita a la tasa de interés y, en consecuencia, ésta debe expresarse en función del periodo de pago y aplicarse las expresiones conocidas para las anualidades anticipadas.

Ejemplo 4.17 ¿Qué capital se constituye en tres años si se invierten anticipadamente $10.000 anuales en un fondo de capitalización que paga el 10% semestral de interés compuesto?

107

Capitulo 4

107

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

Nota. Algunos autores manejan estos problemas en una forma a veces complicada. Primero que todo, identifican el problema como "imposiciones anticipadas". Definen: q= n= m= m=

número de periodos de interés que contiene un periodo de pago plazo total = m/q total capitalización en todo el plazo nq

Entre cuota y cuota hay q periodos de capitalización. Al resolver en estas condiciones el problema anterior se tiene: n = 3 años q = 2 semestres m = nq = (3)(2) = 6 A = $10.000

Semestres

A

Acumulado en el periodo

I

1 2 3 4 5 6

10.000

10.000 11.000 22.100 24.310 36.741 40.415,10

1.000 1.100 2.210 2.431 3.674,10 4.041,51

10.000 10.000

6

F1 = 10.000(1, 10) 4 F2 = 10.000(1, 10) 2 F3 = 10.000(1, 10) F

= = = =

Saldo final (F)

11.000 12.100 24.310 26.741 40.415,10 44.456,61

17.715,61 14.641 12.100 44.456,61 108

Capitulo 4

108

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Al interpretar estos resultados se tiene que F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn F1= A(1 + i) F2= A(1 + i) F3= A(1 + i) Fn= A(1 + i)

m

m − m/n

m[(n − 1)/n]

= A(1 + i)

m − 2m/n

m[(n − 2)/n]

= A(1 + i)

m − [(n − 1)m/n]

m/n

= A(1 + i)

[

F = A (1 + i ) m / n + ⋅⋅⋅ + (1 + i ) m( n −1) + (1 + i ) m

Luego, Como q = m/n,

]

[

F = A (1 + i )q + (1 + i )2 q + ⋅ ⋅ ⋅ + (1 + i )( n −1) / q ( m −1) / q + (1 + i ) m

]

se tiene una progresión geométrica creciente. La suma de sus términos está dada por

de donde a = (1 + i)

q

luego,

Al resolver el problema anterior se tiene:

Nota. Queda a criterio del lector escoger su forma de trabajo.

109

Capitulo 4

109

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

Cuotas vencidas En este caso se considera que las cuotas se dan en forma vencida. Aunque no tiene sentido decir que una persona se propone ahorrar cuotas vencidas, puede dársele otra presentación al problema diciendo que esa persona se propone ahorrar durante un tiempo determinado, pero empezando dentro de x tiempo.

Ejemplo 4.18 El señor Pérez ahorrará $10.000 trimestrales durante 2 años, empezando dentro de tres meses. La corporación le reconoce el 12% anual con capitalización semestral sobre saldos mínimos en el respectivo semestre, ¿cuánto tendrá ahorrado al final del segundo año?

El movimiento contable será el siguiente: n

A

1 2 3 4 5 6 7 8

10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000 10.000

Intereses (I)

Acumulado total al final del periodo

20.000(0,06) = 1.200 41.200(0,06) = 2.472 63.672(0,06) = 3.820,32

= 10.000 10.000 + 10.000 = 20.000 20.000 + 10.000 = 30.000 30.000 + 10.000 + 1.200 = 41.200 41.200 + 10.000 = 51.200 51.200 + 10.000 + 2.472 = 63.672 63.672 + 10.000 = 73.672 73.672 + 10.000 + 3.820,32 = 87.492,32

Al observar el diagrama económico, 3

3

2

2

1

F = 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 10.000(1,06) + 1

10.000(1,06) + 10.000 + 10.000 = 87.492,32 n−1

n−2

+ ... + 2A(1,06) + 2A 2 n−1 F = kA[1 + (1 +i) + (1 + i) + ... + (1 + i) ]

F = 2A(1,06)

+ 2A(1,06)

110

Capitulo 4

110

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Suma de los términos de una progresión geométrica creciente de n términos con razón (1 + i) y el primer término igual a 1.

Al reemplazar:

Al resolver el problema anterior se obtiene:

En general, cuando el periodo de capitalización es mayor que el periodo de pago (ahorro), para la liquidación de intereses debe tenerse en cuenta lo siguiente: 1. Los intereses sólo se liquidan sobre saldos mínimos. En este caso no se reconocen intereses sobre el dinero ahorrado entre los periodos de capitalización. 2. Los intereses se reconocen proporcionalmente. En este caso el interés que se paga es proporcional al tiempo (interés simple). 3. El interés a pagar es un interés compuesto. En este caso la tasa de interés correspondiente al periodo de capitalización se expresa en términos del periodo de pago.

Ejemplo 4.19 ¿Cuánto se tendrá ahorrado al final de 3 años si se depositan mensualmente $5.000 a partir de hoy en una corporación que reconoce el 27% efectivo anual?

111

Capitulo 4

111

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

F = 265.803,43

Anualidades diferidas Se entiende por anualidad diferida aquella que inicia su proceso de pago o recibo después de transcurrir uno o varios periodos de pago. Estos periodos iniciales se conocen con el nombre de periodo de gracia.

Ejemplo 4.20 Una entidad financiera le otorgó al señor Pérez un crédito en las siguientes condiciones: Plazo = 2 años i = 3% mensual Periodo de gracia = 4 meses A = $200.000 mensuales ¿Cuál es el valor del crédito? En primer lugar, se elabora la gráfica del problema:

 (1 + i )n − 1  P = A n   i(1 + i )   (1, 03)24 − 1  P′ = 200.000  24  = 3.387.108, 42  0, 03(1, 03)  112

Capitulo 4

112

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Este valor se toma como un valor futuro en el mes cuatro y luego se calcula su valor presente en el punto cero.

Este problema puede resolverse directamente de la siguiente manera:

donde n = plazo de la obligación n′ = periodo de gracia

Ejemplo 4.21 Una corporación ofrece un crédito para pagarlo en tres años con cuotas trimestrales de $300.000. Si cobra el 32% anual capitalizable trimestralmente y otorga un semestre de periodo de gracia, ¿cuál será el valor del crédito? 0, 32 = 0, 08 4 n = 12 n′ = 2 A = $300.000 i=

P = $1.938.291,67

113

Capitulo 4

113

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

Problemas propuestos 1. ¿Cuánto debe depositarse anualmente durante 10 años para poder retirar $1.500.000 al final de los años 11, 12, 13 y 14? Considere una tasa de interés del 26% anual. Respuesta: $99.593,33

6. ¿Cuánto se tendrá acumulado en una corporación que reconoce el 6,4% trimestral vencido sobre saldos mínimos si los depósitos mensuales son del orden de $50.000 durante dos años? Respuesta: $1.506.104,43

2. ¿A cuánto equivalen hoy los siguientes depósitos: $50.000 al cabo de cuatro meses, $80.000 un mes después, $120.000 tres meses después y $200.000 mensuales durante cinco meses a partir del décimo mes? Considere una tasa del 3% mensual. Respuesta: $910.154,98

7. Si hoy se depositan $2.000.000 en una corporación que reconoce el 28% anual con capitalización mensual vencida, ¿cuánto podrá retirarse desde el mes 12 hasta el final del mes 20 para dejar el saldo en cero? Respuesta: $320.845,74 8. Resolver el problema 7 considerando que los retiros son trimestrales durante un año y a partir del final del mes. Respuesta: $729.379.80

3. Una nevera vale hoy $1.323.974,79 de contado. Si se compra financiada a 24 meses con cuotas vencidas de $70.000 mensuales, ¿cuál será la tasa de interés de ese crédito? Respuesta: 2% mensual 4. Con el fin de atender los costos de estudio de su hijo, que nació hoy, un padre de familia quiere construir su propio fondo financiero educativo. Estima que al cumplir su hijo ocho años de edad, debe disponer de $10.000.000; ¿cuánto debe depositar cada mes en una corporación que le reconoce el 2,8% mensual? Respuesta: $21.262 5. Resolver el problema anterior considerando que los ahorros se hacen al principio de cada mes. Respuesta: $20.682,94

9. Hace dos años se compró un apartamento. En la actualidad se pagan cuotas mensuales de $90.000 a una corporación que financió el 70% a 15 años de plazo con una tasa de interés del 2,35% mensual. ¿Cuál fue el precio de compra del apartamento? Respuesta: $5.387.513,48 10. Con los datos del problema anterior, calcular la tasa de valorización anual si se tiene en cuenta que hoy ofrecen $8.000.000 por el apartamento. Respuesta: 21,8571% anual

114

Capitulo 4

114

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Autoevaluación 1. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final del cuarto año en una corporación que reconoce el 13% semestral de interés compuesto si los ahorros son de $20.000 anuales y se inician ya?

se vio en la obligación de vender. Un amigo le propuso entregarle $2.500.000 de contado y hacerse cargo de la deuda. ¿Cuánto le ofrece por su casa este amigo al señor Pérez?

2. El señor Pérez ahorra $300.000 cada 2 años en una corporación que le reconoce el 25% anual. ¿Cuánto tendrá ahorrado dentro de 6 años si hace su primer depósito hoy?

7. El señor Pérez compró su casa hace 4 años. Hoy ha sido avaluada por la Lonja en $15.000.000. La casa se compró a un plazo de 180 cuotas mensuales y una tasa de interés nominal del 24% anual. Hoy tiene una deuda de $11.000.000. Si la cuota inicial dada por el señor Pérez fue del 20%, a. ¿cuánto costó la casa?, b. ¿cuál es la tasa de valorización anual?

3. El señor Pérez ahorra $ 10.000 semestrales en una corporación que le reconoce el 36% anual con capitalización trimestral. ¿Cuánto tendrá acumulado al final del quinto año?

8. El señor Pérez tiene una casa para la venta y la ofrece en $5.000.000. Considera que su capital puede trabajarlo a una tasa mínima de interés del 3% mensual. Un comprador hizo la siguiente propuesta: le entrega un CDT por $3.000.000 con vencimiento dentro de un año y que produce $225.000 de interés trimestral, y el resto de la plata la paga de contado. ¿Cuánto le dará de contado?

4. El señor Pérez ahorra $20.000 semestrales en una corporación que le reconoce el 28% anual con capitalización trimestral en los 2 primeros años y capitalización mensual los 2 años siguientes. ¿Cuánto tendrá acumulado al final del cuarto año si sus depósitos se inician inmediatamente? 5. Una entidad prestó $10.000.000 al señor Pérez para comprar su casa. Se han pagado 50 cuotas. Si el préstamo estimaba una tasa efectiva del 26,8241% y el pago de cuotas mensuales de $210.811, ¿cuánto adeuda el señor Pérez? Calcular primero el plazo total y luego el saldo.

9. Ahorraré al principio de cada mes la suma de $20.000 en una entidad, la cual reconoce el 28% anual capitalizable trimestralmente sobre saldos mínimos. ¿Cuánto tendré ahorrado al final de un año? a. Elaborar el diagrama y resolver el problema configurando la tabla con todo el movimiento contable. b. Resolver el problema mediante la fórmula.

6. Una corporación le prestó $6.000.000 al señor Pérez al 36% anual capitalizable mensualmente y con un plazo de 10 años para que comprara su casa. La cuota mensual fijada fue de $185.339,50. A los tres años el señor Pérez fue trasladado en su trabajo para otra ciudad y

10. Resolver el problema anterior en forma vencida. 115

Capitulo 4

115

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Matemáticas financieras

Respuestas a la autoevaluación 1.

2

2. i(cada dos años) = (1,25) − 1 = 0,5625

3.

4. 2

is = (1,07) − 1 = 14,49%

116

Capitulo 4

116

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Este valor se considera como un valor presente y se lleva al final de los dos años siguientes con su respectiva tasa.

Luego se calcula el valor futuro de las cuotas de $20.000 durante los dos años siguientes con la respectiva tasa semestral.

0, 28 = 0.0233333 mensual 12 6

is = (1,0233333) − 1 = 0,148425 F = P(1 + i)

F = 114.427,68

n 24

F = 113.492,25(1,0233333) = 197.413,45

Acumulado total = 311.841,13

5.

Al despejar n de esta expresión,

n = 150

Cómo sólo se han pagado 50 cuotas, se deben 100 cuotas. Luego,

P = 9.085.606,60

117

Capitulo 4

117

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

6. Como ha pagado 36 cuotas, aún debe 84 cuotas. El valor presente de estas cuotas más lo que le ofreció de contado es lo que está ofreciéndole por su casa.

Este valor sólo representa el 80% del precio real. Luego,

= 14.416.657,50

b. La valorización será: n = 4 años F = P(1 + i)

n

i = 0,0099

P = 5.662.137,58

8. Se calcula primero el valor presente de los intereses y luego el valor presente del CDT.

Oferta = $5.662.137,58 + 2.500.000 = 8.162.137,58 7. a. n = 180 − 48 = 132 cuotas

m

it = (1 + 0,03) − 1 3

it = (1,03) − 1 = 9,272%

A = 237.387,41

P = 724.606

Precio:

P = 2.104.193,58

P = 11.533.326,02

118

Capitulo 4

118

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Capítulo 4 • Anualidades y capitalización continua

Valor presente total = 2.104.193,58 + 724.606 = $2.828.799,58 Saldo a pagar = 5.000.000 − 2.828.799,58 = $2.171.200,42

9.

n

A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 20.000 -

Interés (I)

Acumulado al final del periodo

20.000(0,07) = 1.400

81.400(0,07) = 5.698

147.098(0,07) = 10.296,86

217.394,86(0,07) = 15.217,64

20.000 = 20.000 20.000 + 20.000 = 40.000 40.000 + 20.000 = 60.000 60.000 + 21.400 = 81.400 81.400 + 20.000 = 101.400 101.400 + 20.000 = 121.400 121.400 + 25.698 = 147.098 147.098 + 20.000 = 167.098 167.098 + 20.000 = 187.098 187.098 + 30.296,86 = 217.394,86 217.394,86 + 20.000 = 237.394,86 237.394,86 + 20.000 = 257.394,86 257.394,86 + 15.217,64 = 272.612,50

n = 4, k = 3

F = 272.612,50

119

Capitulo 4

119

1/23/06, 4:19 PM

Matemáticas financieras

10.

Actividades de repaso 1. ¿Qué es una anualidad?

diaria y una tasa de interés mensual con capitalización continua?

2. ¿Qué es una anualidad indefinida? 4. ¿Qué son las rentas asincrónicas? 3. ¿Qué diferencia hay entre una tasa de interés mensual con capitalización

5. ¿Qué es una anualidad diferida?

120

Capitulo 4

120

1/23/06, 4:19 PM

Capítulo 5 • Gradiente

Gradiente ■ Justificación En el capítulo 4 se indicó cómo manejar los cálculos con series de pagos uniformes o anualidades; en este capítulo sólo se tratan series de pagos que crecen o decrecen de manera uniforme y, en consecuencia, se orienta al estudio del valor presente de una serie de gradientes y al cálculo de la serie uniforme equivalente del gradiente.

■ Objetivo general Encontrar los parámetros que permitan calcular las sumas presentes equivalentes a una serie de cuotas que crecen o decrecen lineal y geometricamente.

■ Objetivos específicos ■

Calcular el valor presente que equivale a una serie que crece o decrece lineal o geometricamente.

■

Calcular la cuota uniforme y periódica que equivale a una serie de gradiente que crece linealmente.

121

Capitulo 5

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1/20/06, 10:33 AM

Matemáticas financieras

Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales solo una es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Un terreno se vende por $500.000 de

positar cada mes a partir del próximo mes en una cuenta de ahorros que reconoce el 24% liquidable mensualmente es

contado y $65.000 mensuales durante los próximos dos años. Si se supone un rendimiento del 3% mensual, el precio de contado del terreno es

a. $493. 066,46

a. $1.900.810,74

b. $593.006,46

b. $1.600.810,24

c. $393.066,46

c. $1.700.810,24

d. $793.066,46

d. $1.500.000

e. $503.000,46

e. $1.650.000

4 Si una corporación financiera reco2 Durante los últimos ocho años Martha

noce una tasa del 28% pagadera por trimestres anticipados, la tasa efectiva anual equivalente es del

ha depositado $100.000 al final de cada año en una cuenta de ahorros que paga el 23% anual; inmediatamente después de hacer el último depósito su saldo es

a. 31,08%

b. 32,08%

c. 32,80%

d. 33,68%

e. 40,0%

a. $1.643.004,11 b. $1.743.004,11

5 Si una corporación de ahorro y vivien-

c. $1.843.004,11

da cobra sobre sus préstamos una tasa del 21% de corrección monetaria más 6% de interés adicional, la tasa efectiva anual equivalente es del

d. $1.543.004,11 e. $1.373.004,11

3 Si el señor Pérez necesita dentro de dos años la suma de $15.000.000 para viajar a Europa, la suma que debe de-

a. 27%

b. 27,26%

c. 25,26%

d. 26,26%

e. 28,26%

Respuestas a la conducta de entrada 1. b

2. c

3. a

4. d

5. e

122

Capitulo 5

122

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Capítulo 5 • Gradiente

Gradiente aritmético Un gradiente aritmético o lineal es una sucesión de valores que aumenta o disminuye de manera uniforme. Estos valores (ingresos o egresos) constituyen el flujo de caja. La cantidad en que aumenta o disminuye la serie se llama gradiente uniforme y se denomina g. El primer valor aproximado de la serie se conoce como base de la serie y se denota con la letra k. Los gradientes son de mucha utilidad para: a. Calcular cuotas que aumentan o disminuyen de manera uniforme. b. Elaborar presupuestos. c. Analizar costos para evaluar proyectos, etc. Para comprender mejor estos aspectos, véase el problema siguiente.

Ejemplo 5.1 En el departamento de mantenimiento de una empresa se tiene el siguiente registro de costos mensuales de mantenimiento de la máquina XY. Mes

Gasto real

1 2 3 4 . . . n

$128.750 $139.900 $150.200 $160.020

Con los datos anteriores puede elaborarse una tabla ya que se conoce el valor de k y el valor aproximado del gradiente. Así, k = 130.000 y g = 10.000. Mes

Gasto real

Gasto aproximado

1 2 3 4 . . . n

$128.750 $139.900 $150.200 $160.020 . . .

$130.000 $140.000 $150.000 $160.000 . . .

Gasto aproximado en forma de gradiente

k+0 k+g k + 2g k + 3g

k + (n − l)g 123

Capitulo 5

123

1/20/06, 10:33 AM

Matemáticas financieras

Al graficar la serie de gradientes se obtiene:

Es muy importante el hecho de que el primer gradiente siempre aparece al final del segundo periodo, lo cual permite saber con precisión cuál es el punto cero en un momento determinado y establecer allí el valor presente de la serie. Supóngase como valores futuros cada uno de los valores de la serie del gradiente para luego calcular su valor presente en el punto cero. Ya que

entonces,

124

Capitulo 5

124

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

La suma de estos valores presentes es el valor actual de toda la serie:

(1) Al factorizar se tiene:

(2) Al efectuar (2) − (1) se tiene:

(3)

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente.

125

Capitulo 5

125

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

Suma =

Suma = Al reemplazar en (3)

luego,

Si se desea actualizar toda la serie, incluida la base que está en todos los valores, se tiene:

Nota. Si la serie es decreciente, basta cambiar el signo más (+) por el signo menos (−), a la serie del gradiente. Para calcular la serie uniforme equivalente del gradiente se procede así:

(4) Como

126

Capitulo 5

126

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Capítulo 5 • Gradiente

Al reemplazar P en (4) se tiene:

Luego

Ejemplo 5.2 El señor Pérez ahorrará una cantidad mensual durante 12 meses, en una corporación que le reconoce el 3% mensual. Su primer ahorro será de $10.000 y lo hará dentro de 3 meses. Cada ahorro que haga el señor Pérez lo incrementará en $2.000. ¿Cuál será el ahorro uniforme mensual equivalente?

El valor presente de la serie estará en el punto 2 ya que el primer gradiente apareció al final del cuarto periodo. 127

Capitulo 5

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1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

k = $10.000 g = $2.000 n = 12 i = 0,03

P = 99.540 + 102.496,28 = 202.036,28

Este es el valor presente en el punto 2, luego en el punto cero es:

Si quiere hallarse una cuota uniforme, entonces: 1. Se anualiza el gradiente:

A = 66.666,66(0,154454974) = 10.297 2. Se suma la cantidad base más la anualidad del gradiente: A = 10.000 + 10.297 = 20.297

128

Capitulo 5

128

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

Ejemplo 5.3 Una máquina presenta los siguientes costos de mantenimiento mensual: Mes

Cuota de mantenimiento

1 2 3 4 5

$97.870 109.900 120.300 131.050 139.870

• • •

Si se quiere presupuestar una cuota fija mensual para el próximo año, ¿cuánto se presupuestaría? Suponga una tasa de interés del 2% mensual. k = $100.000 n = 12 g = $10.000 i = 2% mensual

A = 52.642,42 A = 100.000 + 52.642,42 = 152.642,42 Nota. Otras aplicaciones importantes de los gradientes son la elaboración de planes de amortización, el cálculo de saldos para dichos planes (que se verán en el capítulo 6) y la evaluación de alternativas.

Ejemplo 5.4 En el cuadro siguiente aparecen los gastos netos de mantenimiento de una pequeña empresa durante el año inmediatamente anterior. Con base en esta información debe presupuestarse un gasto mensual uniforme para el año siguiente. Suponga una tasa de interés del 3% mensual. 129

Capitulo 5

129

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

Mes

Gasto real

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

$125.000 $125.000 $125.000 $125.000 $140.000 $149.800 $162.000 $171.300 $181.200 $189.800 $198.900 $211.000

Gasto aproximado

$125.000 $125.000 $125.000 $125.000 $140.000 $150.000 $160.000 $170.000 $180.000 $190.000 $200.000 $210.000

Gasto aproximado en forma de gradiente

k + 0 = 140.000 + 10.000 140.000 + 10.000 140.000 + 20.000 140.000 + 30.000 140.000 + 40.000 140.000 + 50.000 140.000 + 60.000 140.000 + 70.000

Ahora se calcula el valor presente de las primeras cuatro cuotas iguales:

130

Capitulo 5

130

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

Luego se calcula el valor presente de toda la serie en el punto 4 (mes cuarto):

P = 140.000(7,019692188) + 333.333,33(7,019692188 − 6,315273875) P = 982.756,90 + 333.333,33(0,704418313) P = 982.756,90 + 234.806,10 = 1.217.563

Este valor se considera futuro y su valor presente se calcula en el mes cero.

Este valor se suma al valor presente de las cuatro cuotas iguales, así: P = 1.081.789 + 464.637,30 = 1.546.426,30 Se ha despejado P. Ahora se calcula el valor para cada una de las 12 cuotas iguales:

131

Capitulo 5

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Matemáticas financieras

Gradientes 씰 Gradiente aritmético (lineal) diferido El concepto de diferido es el mismo que se aplicó a las anualidades diferidas. El problema consiste en calcular el valor presente de la serie de gradiente en su punto cero (dos periodos antes de aparecer el primer gradiente); posteriormente, este valor se asume como un valor futuro al cual se le calcula el respectivo valor presente en el punto inicial.

Ejemplo 5.5 Una empresa compró un equipo en las siguientes condiciones: cuota inicial de $10.000.000; el resto se financió a dos años con pago de cuotas mensuales y vencidas. La primera cuota fue de $2.000.000 y se pagará al finalizar el quinto mes. Cada cuota se incrementará en $100.000. La tasa de interés será del 26,8241795% efectiva anual. ¿Cuál fue el precio de compra del equipo? La gráfica es la siguiente:

De la gráfica se puede observar que la base del gradiente está en el mes quinto. Luego, el punto de inicio de la serie del gradiente estará en el mes cuarto. Primero: se calcula el valor presente de la serie total en el mes cuarto. iap = 12 1, 268241795 − 1 = 0, 02  (1, 02)24 − 1  100.000  (1, 02)24 − 1 24  P = 2.000.000  − +   24 24 0, 02  (1, 02) 0, 02 (1, 02)24   (1, 02) 0, 02  P = 57.790.901 132

Capitulo 5

132

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

Segundo: este valor está calculado en el mes cuarto. Como el valor presente a calcular debe ser en el punto cero, es necesario trasladar este valor a dicho punto. Esto indica que entre el punto cero y el punto cuatro existe un periodo de gracia de cuatro meses. P=

57.790.901 = 53.389.860 (1, 02)4

Si se tiene en cuenta que la cuota inicial fue de $10.000.000, entonces el costo del equipo estará dado por: Costo del equipo = $53.389.860 + $10.000.000 = $63.389.860

Ejemplo 5.6 Una vivienda se compró en las siguientes condiciones: Valor financiado: Plazo: Periodo de gracia: Tasa de interés:

$100.000.000 diez años con pago de cuotas mensuales y vencidas. seis meses adicionales al plazo inicial. 34,4888824% efectiva anual.

Cada cuota se incrementará en $1.000 Calcular el valor de la primera cuota. La gráfica es la siguiente:

Primero: se calcula el valor futuro de $100.000.000 en el mes seis. n = 120 meses iap = 12 1, 344888824 − 1 = 0, 025 133

Capitulo 5

133

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

6

F = 100.000.000 (1,025) = 115.969.342

Segundo: este valor será el valor a amortizar en 120 meses. El valor de la primera cuota será el valor de K.  (1, 025)120 − 1  1.000  (1, 025)120 − 1 120  115.969.342 = K  − +  120 120 120  =  (1, 025) 0, 025  0, 025  (1, 025) 0, 025 (1, 025) 

K= 3.023.696 Nota. Si se deseara calcular el valor de la cuota 80, se procederá en la siguiente forma: A80 = K + (n - 1)g A80 = 3.023.696 + (80 - 1) 1.000 A80 = 3.102.696

씰 Gradiente aritmético infinito Su aplicación más importante está en el cálculo del costo del capital. El valor presente de la serie de gradiente aritmético definido está dado por  (1 + i )n − 1  g  (1 + i )n − 1 n  P = K −  n +  n (1 + i)n   (1 + i ) i  i  (1 + i ) i

Cuando n tiende a infinito:  (1 + i )∞ − 1  g  (1 + i )∞ − 1 ∞  P = K −  ∞ +  ∞ (1 + i)∞   (1 + i ) i  i  (1 + i ) i P=

∞ ∞

Esto es una indeterminación matemática.

Para vencer la indeterminación matemática es necesario dividir cada una de las variables por la variable de mayor exponente, luego:  (1 + i )n 1  n − 1 1 i i)n + + ( ) ( P = K  (1 + i)n i  (1 + i)n 

 (1 + i )n  n 1   n − n 1 i )n 1 1 i i + + + g ( ) ( ) ( +  −  i (1 + i)n i (1 + i)n   n (1 + i) (1 + i)n  

     

134

Capitulo 5

134

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Capítulo 5 • Gradiente

1 − 1 P = K  (1 + i )n  i 

1 − 1    + g  (1 + i )n n   −  i i (1 + i)n   

Se calcula el límite cuando n tiende al infinito, para cada uno de los factores que aparecen dentro de los corchetes. Para el primero: 1−

lím

n→∞

1 1 1− n (1 + i ) (1 + i ) ∞ 1 − 0 1 = = = i i i i

Luego, 1 k P = K   = i  i

Para el segundo: 1 − 1   (1 + i )n n = lím  − n→∞  i (1 + i)n  

lím

1−

n→∞

1

(1 + i)n

− lím

n →∞

i

n (1 + i)n

Pero

lím

1−

n→∞

1 (1 + i)n 1 = i i

Nota. Ver demostración para el primer factor. lím

n→∞

n

(1 + i)n

=

∞ ∞ Indeterminación matemática

El paso siguiente para vencer esta nueva indeterminación matemática es aplicar el teorema de L’Hôpital, el cual consiste en derivar sucesivamente hasta superar la indeterminación. 135

Capitulo 5

135

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

1 1 n =0 n = lím n −1 = ∞ (1 + i) n →∞ n(1 + i)

lím

n →∞

El segundo factor quedará así: g  1 g  g 1 − ( 0 ) =   = 2   i  i  i i i 

La expresión general se transformará en P=

k g + i i2

Ejemplo 5.7 Una serie infinita de pagos mensuales está dada por: primer pago $500; segundo pago $550; tercer pago $600. Tasa de interés: 2% mensual. ¿Cuál será el valor presente de la serie? g = 550 − 500 = 50 P=

500 50 + = 150.000 0, 02 (0, 02)2

Ejemplo 5.8 Con el fin de asegurar el mantenimiento a perpetuidad de una vía, es necesario crear un fondo. El costo anual de las reparaciones se estima en $10.000.000 para el primer año, este se incrementará en $1.000.000 anual aproximadamente. Si la tasa de interés es del 24% anual, ¿cuál debe ser el valor del fondo? P=

P=

k g + i i2

10.000.000 1.000.000 + = 59.027.778 0, 24 (0, 24)2

136

Capitulo 5

136

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

Ejemplo 5.9 Las acciones de la empresa XY tienen hoy un precio en el mercado de $2.500 c/u y reconocen unos dividendos mensuales de $2,00 por acción. Al observar el valor mensual de los dividendos durante los últimos doce meses, se aprecia que vienen creciendo mes a mes en $0,05. ¿Cuál será el costo del capital si se espera que esta tendencia se mantenga? Valor dividendo = $2,00 P = 2.500

g = 0,05 i=?

K = 2+ 0,05 = 2,05

∞

Hoy el valor del dividendo es de $2,00. Dentro de un mes será de $2,05. Un mes después valdrá $2,10 y así sucesivamente. El costo del capital estará dado por la tasa de interés de la serie de gradiente aritmética e indefinida: P=

P= 3

k g + i i2

k i 2 + gi i3 2

Pi = ki + gi

Al simplificar se tiene que 2

Pi = ki + g 2

Pi − ki − g = 0

137

Capitulo 5

137

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

Al aplicar la fórmula general para ecuaciones de segundo grado se obtiene: i=

i=

i=

2, 05 ±

k ± k 2 + ( 4)( P)( g)

(2)( P)

(2, 05)2 + 4(2.500)(0, 05) (2)(2.500)

2, 05 ± 504, 2025 = 0, 004900891 5.000

i = 0,004900891 efectivo mensual 12

ia = (1,004900891) − 1 = 6,0422113% efectivo anual

Ejemplo 5.10 Las acciones de la empresa XY tienen actualmente un precio de $50,00 c/u. Con el fin de incentivar a los inversionistas para que adquieran estas acciones, se han elaborado las siguientes propuestas:

a. Cada acción pagará un dividendo de $0,40 mensual. b. Adicionalmente, cada acción pagará un dividendo de $0,15 el primer mes; el segundo mes $0,17; el tercer mes, $0,19 y así sucesivamente. ¿Cuál será el costo del capital en cada propuesta? a. El pago de $0,40 mensual y en forma indefinida, indica que se tiene una anualidad constante e indefinida, donde: P = $50,00 A = 0,40 138

Capitulo 5

138

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

Luego, A = Pi i=

A 0, 40 = = 0, 008 P 50

i = 0,008 efectiva mensual 12

ia = (1,008) − 1 = 10,0338694% efectiva anual

b. El gradiente será g = 0,19 − 0,17 = 0,02 K = 0,15

i=

0,15 ±

(0,15)2 + 4(50)(0, 02) 2 (50)

i = 0,021556171 efectiva mensual. ia = (1,021556171)12 − 1 = 29,1656457% ia = 29,1656457% efectiva anual

씰 Gradiente aritmético (lineal) escalonado Se conoce también con el nombre de anualidad creciente linealmente o aritméticamente. Las cuotas permanecen constantes durante todo un año y el incremento sólo se da de un año a otro. El incremento está representado por un valor fijo. Ej: cada año las cuotas se incrementarán en $5.000. Para deducir la expresión matemática que permita calcular el valor de las cuotas periódicas es necesario considerar primero lo siguiente: Número de cuotas iguales durante un año Tasa efectiva periódica Tasa efectiva anual Número de años (plazo) Valor del gradiente aritmético Base del sistema del gradiente

: : : : : :

n iap ia m g k

139

Capitulo 5

139

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

La expresión del valor presente de la serie de gradiente cuando éste aumenta de cuota en cuota, está dada por:  (1 + i )n − 1  g  (1 + i )n − 1 n  P= K −  n +  n (1 + i)n   (1 + i ) i  i  (1 + i ) i

Como se trata de un gradiente escalonado en el cual el aumento se da de un año a otro, es necesario considerar que el valor de K (base del gradiente) está dado por el valor futuro de la serie de cuotas iguales en un año. Esto es

(

)

 1 + ia n − 1  p  K = A   ia p  

Dado que los incrementos son anuales, entonces la serie tendrá una tasa efectiva anual equivalente:

(

)

 1 + ia n − 1  p  P = A   ia p  

 (1 + ia) m − 1  g  (1 + ia) m − 1 m  −  +  m m m  (1 + ia) ia  ia  (1 + ia) ia (1 + ia) 

Ejemplo 5.11 Calcular el valor de una cuota mensual con la cual se amortiza un crédito de $50.000.000 a una tasa de interés mensual del 2%, un plazo de diez años y con un incremento anual de las cuotas de $100.000. iap = 0,02 ia = 0,268241795 g = $100.000

n = 12 meses m = 10 años P = $50.000.000

  (1, 02)12   (1, 268241795)10 − 1 50.000.000 = A    10  0, 02   (1, 268241795) 0, 268241795 

+

 100.000  10 (1, 268241795)10 − 1 −  10 10  0, 268241795  (1, 268241795) 0, 268241795 (1, 268241795) 

140

Capitulo 5

140

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

50.000.000 = A (13,41208975) (3,381679467) + 372.798 (3,381679467 − 0,928922296) 50.000.000 = A (45,35538851) + 914.383 A = $1.082.244

씰 Gradiente aritmético infinito y escalonado La expresión para calcular el valor presente de la serie de gradiente aritmético infinito, está dada por: P=

k g + i i2

De esta expresión se dedujo la variable i para calcular el costo del capital:

i=

k ± k 2 + 4 Pg 2P

Cuando la serie de gradiente aritmético infinito es escalonada, el valor de K estará dado por el valor futuro de la serie de cuotas iguales (serie A) del primer año:

(

)

 1 + ia n − 1  p  K = F = A   ia p  

Luego, basta con reemplazar a K por su correspondiente valor.

Ejemplo 5.12 La empresa XY desea mantener constante durante todo el año el valor del dividendo mensual, y al final de cada año aumentarlo en $0,10. ¿Cuál será el costo del capital si el valor actual de la acción es $500 y el primer dividendo que pagarían estas acciones fuera de $4,60 al mes? Asuma una tasa de interés del 2,5% mensual.  (1, 025)12 − 1  K = 4, 60   = 63, 45954361  0, 025  141

Capitulo 5

141

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

i=

63, 45954361 ±

(63, 45954361)2 + 4(500)(0,10) 2 (500)

i = 12,847580% efectiva anual

씰 Gradiente geométrico o (exponencial) Es una serie de cuotas que crecen o decrecen en un porcentaje calculado sobre la cuota anterior. Su mayor aplicación está en el diseño de sistemas de amortización. A1 = A1 A2 = A1 + A1 g = A1 (1+ g) 2 A3 = A2 + A2 g = A1 (1 + g) . . . z−1 Az = A1 (1 + g)

con z ≤ n

Se calcula el valor futuro en el punto n para cada una de las cuotas indicadas: n−1

F1 = A1 (1+ i) n−2 F2 = A1 (1+ g) (1+ i) 2 n−3 F3 = A1 (1+ g) (1+ i) . . . n−1 n−n n−1 Fn = A1 (1+ g) (1+ i) = A1 (1+ g) Luego, F = F1 + F2 + F3 + ... + Fn F = A1 (1+ i)

n−1

+ A1 (1+ g) (1+ i)

[

n−2

2

+ A1 (1+ g) (1+ i)

n−3

n−1

+ ... + A1 (1+ g)

F = A1 (1 + i )n −1 1 + (1 + g)(1 + i ) −1 + (1 + g) (1 + i ) −2 + ⋅⋅⋅ + (1 + g) 2

n −1

(1 + i) − n +1

142

Capitulo 5

142

1/20/06, 10:34 AM

]

Capítulo 5 • Gradiente

otra forma de expresarlo es:  1 + g (1 + g)2 (1 + g)n −1  F = A1 (1 + i )n −1 1 + + + ⋅⋅⋅ +  2 (1 + i)n −1   1 + i (1 + i )

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica creciente, que se expresa así: Suma =

ar n − a r −1

Al reemplazar se obtiene: n

1+ g −1  1+ i  Suma =  1 + g  −1  1+ i  n

1+ g −1  1+ i  Suma = 1 + g − 1 − i 1+ i n

1+ g −1  1+ i  Suma = g−i 1+ i

Al reemplazar en la expresión original se tiene:  1 + g n − 1  F = A1 (1 + i )n −1   1 + i   g−i     1+ i F = A1 (1 + i )

n −1

1+ g n  − 1 (1 + i)   1 + i   g−i  

1+ g n  − 1 F = A (1 + i )  1 + i    con g ≠ i g−i   n

Esta es la expresión para calcular el valor futuro de la serie del gradiente geométrico o exponencial. 143

Capitulo 5

143

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

Si se desea calcular el valor presente de la serie, basta con reemplazar el valor de F por su correspondiente valor en función de P F = P (1 + i) P (1 + i )

n

n

1+ g n  − 1 = A1 (1 + i )  1 + i    g−i   n

1+ g n  − 1 P = A1   1 + i    g−i  

Pero A1 = K (La primera cuota es igual a la base de la serie gradiente) 1+ g n  − 1 P = K 1+ i    con g ≠ i g−i  

Cuando g = i se presenta una división entre cero, lo cual indica que se está frente a una indeterminación matemática y es necesario superarla: 1 + g n  − 1 lím P = lím K   1 + i    i→g i→ g g−i  

1+ i n   1 − 1 0 = K   1 + i  − 1 = K  1  =    0  0   i−i  

Para vencer la indeterminación es necesario derivar; como g es una constante, entonces: 1 + g = una constante. Luego 1 + g = a

[

]

 a n − n(1 + i ) − n −1  lím K   i→ g   −1 = kna n (1 + g)

=

kn(1 + g)

(1 + g)

− n −1

n

n +1

=

=

kna n

(1 + g)n +1

kn 1+ g

144

Capitulo 5

144

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

Como i tiende a g, entonces el límite de i es g P=

kn 1+ i

Para calcular el valor futuro cuando g = i, basta con reemplazar: P=

F (1 + i)n

Luego: F kn n = (1 + i) (1 + i) F=

kn(1 + i )n (1 + i) n-1

F = kn (1 + i)

Ejemplo 5.13 Se tiene una serie de 50 pagos mensuales y vencidos, donde el primer pago es de $259.047 y cada pago se incrementará en el 2% sobre la cuota anterior. Si la tasa de interés es del 3% mensual, ¿cuál será el valor del crédito? n = 50 K = 259.047 g = 0,02 i = 0,03 P=?   1, 02  50  − 1    P = 259.047  1, 03   = 10.000.000  0, 02 − 0, 03 

Ejemplo 5.14 Resolver el problema anterior pero considerando que la tasa de interés y la tasa de incremento son iguales al 3% mensual.

145

Capitulo 5

145

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

P=

P=

kn 1+ i

(259.047) (50) 1, 03

= 12.575.097

씰 Gradiente geométrico infinito Su mayor aplicación está en el análisis de emisiones de acciones. La expresión del valor presente de la serie de gradiente geométrico finito es  (1 + g)n   n − 1  (1 + i )  con g ≠ i P=K g−i

Cuando g = i el valor de P está dado por P=

kn 1+ i

Si n tiende al infinito, entonces P=

∞ k∞ = =∞ 1+ i 1+ i

Esto indica que no existe el límite y, en conclusión, el gradiente no podrá ser igual a la tasa de interés. Cuando g sea diferente de i, será necesario considerar dos situaciones: 1. Cuando g mayor que i. 2. Cuando g menor que i. Para la primera, g > i  1+ g n  k  − 1  1+ i   P=  g−i

P=

k g−i

P=

k g−i

 1 + g  n  − 1    1+ i  lím

n →∞

 1 + g  n  − 1    1+ i 

146

Capitulo 5

146

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

El numerador será mayor que el denominador. Por tanto, lím

n →∞

 1 + g  n  − 1 = ∞ − 1 = ∞    1+ i 

Es decir: no existe límite para esa expresión. Conclusión: al no existir el límite de la función anterior cuando n tiende a infinito para valores con g mayores o iguales a i, se puede decir que el gradiente jamás podrá ser mayor o igual a la tasa de interés. Para la segunda, g < i 1+ g n  − 1 P = k  1+ i    g−i   P=

k  1 + g  n  − 1 g − i  1 + i  

P=

k g−i

lím

n →∞

 1 + g  n  − 1    1+ i  n

El numerador es menor que el denominador y además, (1 + i) tiende al infinito. Luego  (1 + g)n   n − 1  (1 + i ) 

P=

k g−i

P=

k −k (0 − 1) = g−i g−i

P=

k i−g

lím

n →∞

Ejemplo 5.15 ¿Qué suma de dinero debo depositar en una corporación que me reconoce el 2% mensual, si deseo retirar la suma de $1.000.000 al final del primer mes, y para cada uno de los meses subsiguientes el retiro se incrementará en 0,05% sobre el retiro anterior. K = 1.000.000 i = 0,02 g = 0,0005 147

Capitulo 5

147

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

P=

1.000.000 = $51.282.051 0, 02 − 0, 0005

Ejemplo 5.16 El precio de una acción es de $50.000 y se ha pensado en una nueva emisión de acciones que dé lugar a un aumento mensual de los dividendos en 2%. ¿Cuál será el costo del capital si actualmente se está pagando un dividendo mensual de $1,50 por acción? P=

k i−g

i−g= i=

k p

k +g p

K = 1,50 + (1,50) (0,02) = 1,53 i=

1, 53 + 0, 02 50.000

i = 0,02003060 = 2,003060% mensual 12

ia = (1,02003060) − 1 = 0,268698437 ia = 26,8698437% anual

Ejemplo 5.17 Una fundación dispone de $50.000.000 y desea constituir un fondo para otorgar en forma indefinida, un premio anual al mejor bachiller de una institución de educación. El primer premio será de $5.000.000 y cada año se incrementará en un 20%. Si la tasa de interés es del 24% anual, ¿cuál debe ser el valor de constitución del fondo? K = 5.000.000 i = 0,24 g = 0,20

148

Capitulo 5

148

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

P=

k i−g

P=

5.000.000 = $125.000.000 0, 24 − 0, 20

Nota. Si se desea saber en cuánto tiempo se constituye el fondo, basta con calcular el valor de n en la siguiente expresión: n

F = P (1 + i) n 125.000.000 = 50.000.000 (1,24) n 2,5 = (1,24) log 2,5 = n log 1,24 n = 4,259610689 años Nota. Un año después se puede iniciar la entrega del premio.

씰 Gradiente geométrico escalonado Se conoce también con el nombre de anualidad creciente geométricamente. Su mayor aplicación está en el diseño de sistemas de amortización. En este sistema, todas las cuotas de un año son iguales, el aumento se da de un año a otro y equivale a un porcentaje sobre la anualidad anterior.

Ejemplo 5.18 Se desea constituir un fondo que tenga acumulado $50.000.000 en cinco años. Para ello se hacen depósitos iguales al final de cada mes, en una corporación que reconoce el 2% mensual. Cada año, estos depósitos se incrementarán en un 10%. ¿Cuál será el valor del primer depósito y del depósito 40? F = 50.000.000 g = 0,10 K = 5 años n = 12 meses iap = 0,02 ia = 0,268241795

149

Capitulo 5

149

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

La expresión para el cálculo de la anualidad creciente geométricamente (ver capítulo sobre anualidades) es Az =

   

P(1 + g) z −1 k n  1+ g   1 + ia p − 1  1 −    1 + ia     ia p   ia − g 

(

)

como F = 50.000.000 P=

50.000.000 = 15.239.113 (1, 02)60

A1 =

15.239.113 (1 + 0,10)1−1 5  1,10    (1, 02)12 − 1  1 −        1, 268241795    0, 02    0, 268241795 − 0,10 

A1 = $375.453

Para calcular el valor del depósito 40, es necesario tener presente que éste se encuentra comprendido entre las cuotas del año cuarto. Luego Z = 4.

A4 =

15.239.113 (1 + 0, 10) 4 −1 5  1, 10    (1, 02)12 − 1  1 −        1, 268241795    0, 02    0, 268241795 − 0, 10  A4 = $499.728

Nota. Todas las cuotas del primer año son iguales, lo mismo que las del segundo año, tercero, cuarto y quinto.

Ejemplo 5.19 Si se desea disponer en quince años de $3.532.083.136 haciendo depósitos mensuales durante todo este tiempo y en la siguiente forma: el primer año, los depósitos serán iguales y anualmente se incrementarán en 12%. La tasa de interés será del 2% mensual. Calcular el valor del primer depósito. 150

Capitulo 5

150

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

F = $3.532.083.136 P=

3.532.083.136 = 100.000.000 (1, 02)180 12

ia = (1,02) − 1 = 0,268241795 A1 =

100.000.000 (1,12)1−1 15  1,12    (1, 02)12 − 1  1 −        1, 268241795    0, 02    0, 268241795 − 0,12 

A1 = $1.307.978

씰 Gradiente geométrico infinito y escalonado Ya se vio que la expresión para calcular el valor presente de la serie de gradiente geométrico infinito estaba dada por: P=

k i−g

De esta expresión se dedujo la variable i para calcular el costo del capital: i=

k +g p

Cuando la serie de gradiente geométrico es escalonada, se tiene lo siguiente:

∞

151

Capitulo 5

151

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

Cuando la serie de gradiente geométrico infinito es escalonada, el valor de K estará dado por el valor futuro de la serie de cuotas iguales (serie A) del primer año. Nota. En este caso particular, la variable i es diferente de la variable iap. Tasa periódica de interés = iap Costo del capital = i

(

)

(

)

 1 + ia n − 1  p =k F = A   ia p  

Luego,  1 + ia n − 1  p  A   ia p   +g i= p

Ejemplo 5.20 Una empresa desea hacer una emisión de acciones, pero quiere conservar la política de pagar los dividendos mensualmente e iguales. Sólo quiere que éstos aumenten su valor anualmente en 15%. Si el dividendo para el primer mes se ha estimado en $0,30 y el valor actual de la acción es de $1.000, ¿cuál será el costo del capital teniendo en cuenta que la empresa trabaja su capital al 42,5760887% efectivo anual? ia p = 1, 425760887 − 1 = 0, 03 12

El valor de los dividendos será: Primer año = $0,30 Segundo año = (0,30) (1,15) = $0,345 2 Tercer año = (0,30) (1,15) = $0,39675 Y así sucesivamente. Los pagos son mensuales. Luego, n = 12 P = 1.000 K = 0,30 g = 0,15 152

Capitulo 5

152

1/20/06, 10:34 AM

Capítulo 5 • Gradiente

i=

k +g p

 (1, 03)12 − 1  K = 0, 30    0, 03 

 (1, 03)12 − 1  0, 30    0, 03  + 0,15 i= 1, 000

i = 0,154257609 i = 15,4257609% anual

Ejemplo 5.21 Usted realiza un ahorro mensual durante todo el año en un banco de los Estados Unidos. El banco le reconoce el 0.3% mes vencido sobre la inversión en dólares. El primer depósito lo realizó a finales del mes de enero de 2002 por un valor de un mil dólares (US $1.000) y lo ha venido incrementando en veinte dólares (US $20) mensuales hasta terminar el año. La tasa de cambio en agosto 31 de 2002 es de $2.200 por dólar. La devaluación del peso frente al dólar fue del 2% mensual durante el primer semestre del año. (Hasta junio 30), y se estima que será del 2,5% mensual durante el segundo semestre. Si usted desea tener ahorrado a diciembre 31 de 2002 un valor de $38.500.000, ¿cuánto debe ser el valor del ahorro extra en dólares, y su equivalencia en pesos, que debe realizar al final del mes de mayo de 2002 para lograr el objetivo.

ie = 0,003 g = 20 Es un gradiente aritmético 153

Capitulo 5

153

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Matemáticas financieras

TC agosto31 = $2.200/dólar DEV $/D = 0,02

DEV $/D = 0,025 4

TC diciembre 31 = $2.200 (1,025) = $2.428,3883 Valor deseado a diciembre 31

$38.500.000 = 15.854,13667 dólares 2.428, 3883

 (1 + i )n − 1  g  (1 + i )n − 1  F = k − n +  i i   i  12  (1, 003)12 − 1   20  (1, 003) − 1 15.854,13667 = 1.000  − 12  + P(1, 003) 7  +  0, 003  0, 003  0, 003 

P = 2.272,69 dólares DEV =

TC0 =

Donde

TC jul.1 =

TC1 − TC0 TC0

TC1 1 + DEV

$2.200 = $2.093, 9916 (1, 025)2

TC may.31 =

$2.093, 9916 = $2.052, 9330 / dólar 1, 02

Luego, 2.272,69 dólares × $2.052,9330 / dólar = $4.665.680

Ejemplo 5.22 El banco XY me financió el 80% del precio de un vehículo en las siguientes condiciones: Plazo: cuatro años con pago de cuotas mensuales y vencidas. 154

Capitulo 5

154

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Capítulo 5 • Gradiente

Cada cuota se incrementará en 1,172957% sobre la anterior. El valor de la primera cuota es de $843.108. La tasa de interés está dada por el IPC más 8 puntos porcentuales de interés adicional. ¿Cuál fue el precio del vehículo? Asuma un IPC igual al 6,5% efectivo anual.

[

]

ia = (1, 065)(1, 08) − 1 = 0, 1520 iapn = 1,1520 − 1 = 0, 01172957 12

P=

A1n 843.108 × 48 = = $40.000.000 1 + i 1, 01172957

costo vehículo =

$40.000.000 = $50.000.000 0, 80

Ejemplo 5.23 Hace tres años compré un apartamento. El banco me financió el 70% del precio del mismo a 15 años, con pago de cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota se incrementará en $3.000 sobre la anterior. La tasa de financiación fue del IPC más cinco puntos porcentuales de interés adicional. Hoy deseo vender el apartamento y un amigo me hizo la siguiente oferta: me entrega $10.000.000 de contado y un CDT por $30.000.000 con vencimiento a un año, con intereses mensuales de $285.000, los cuales se cobran al final de cada mes; además se hace cargo de la deuda. Si mi tasa mínima de rendimiento es del 4%, ¿cuánto me estará ofreciendo el amigo por el apartamento? ¿Cuál será el valor máximo que le puedo reconocer por el CDT? Asuma un IPC del 6% efectivo anual y un precio inicial del apartamento de $90.000.000 P = $90.000.000 × 0,70 = $63.000.000 ia = (1,06) (1,05) − 1 = 0,1130 iapm = 1,1130 − 1 = 0, 00896150 12

155

Capitulo 5

155

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Matemáticas financieras

  (1, 00896150)180 − 1 63.000.000 = K  + 180  (1, 00896150) 0, 00896150    3.000 180 (1, 00896150)180 − 1 −  180 180  = 0, 00896150  (1, 00896150) 0, 00896150 (1, 00896150) 

K = $507.182 Se deben: 180 − 36 = 144 cuotas A37 = 507.182 + (37 − 1) 3.000 = 615.182 Saldo de la deuda:  (1, 0089615)144 − 1  P = 615.182   144  (1, 0089615) 0, 0089615 

+

 3.000  144 (1, 0089615)144 − 1 −  144 144  0, 0089615  (1, 0089615) 0, 0089615 (1, 0089615) 

P = $63.328.597 CDT: P =

30.000.000

(1, 04 )12

= $18.737.911

 (1, 04)12 − 1   = $2.674.746 12  (1, 04) 0, 04 

Intereses: P = 285.000 

Oferta = $10.000.000 + $63.328.597 + $18.737.911 + $2.674.746 Oferta = $94.741.254 Valor máximo a reconocer por el CDT $18.737.911 + $2.674.746 = $21.452.657

156

Capitulo 5

156

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Capítulo 5 • Gradiente

Ejemplo 5.24 Hace cuatro años compré un apartamento. El banco me financió el 80% del precio del mismo, a 15 años, con pago de cuotas bimestrales y vencidas. La primera cuota tuvo un valor de $900.000 y cada cuota se incrementa en $5.000 sobre la anterior. La tasa de financiación fue del IPC más 8 puntos porcentuales de interés adicional. Hoy necesito vender mi apartamento y un posible comprador me hace la siguiente oferta: Me entrega $20.000.000 de contado y se hace cargo de la deuda. Además, me entrega un CDT por $25.000.000 con vencimiento a un año y 2% mensual a interés compuesto. Los intereses se cobrarán al final del año con el CDT. Si mi actividad económica me garantiza unos rendimientos mensuales del 4% sobre el capital que invierto. a. ¿Cuánto me están ofreciendo por el apartamento? b. ¿Cuánto me costó el apartamento? c. Si hoy quisiera cambiar de plan de financiación por otro que fuera de cuota constante durante todo el tiempo, ¿cuál sería el valor de la nueva cuota? Resuelva esta pregunta por dos métodos diferentes. Asuma un IPC del 6% efectivo anual ia = (1,06) (1,08) − 1 = 0,1448 iaps = 1, 1448 − 1 = 0, 02279423 6

Ha pagado 24 cuotas Debe 90 − 24 = 66 cuotas K = $900.000 γ = $5.000 A25 = $900.000 + (25 − 1) 5.000 = $1.020.000 Saldo de la obligación después de pagar 24 cuotas:   (1, 02279423)66 − 1 P = 1.020.000   66  (1, 02279423) 0, 02279423  +

  66 5.000 (1, 02279423)66 − 1 −   = $38.816.376 0, 02279423  (1, 02279423)66 0, 02279423 (1, 02279423)66 

El CDT tendrá el siguiente valor al final del año: 12

CDT = (25.000.000) (1,02) = $31.706.045 157

Capitulo 5

157

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

Hoy, ese CDT equivale a: CDT =

31.706.045 = $19.803.502 (1, 04)12

a. Valor de la oferta: $20.000.000 + $19.803.502 + $38.816.376 valor oferta = $78.619.878 b. Para determinar el costo del apartamento es necesario calcular primero el valor del préstamo. Préstamo:   (1, 02279423)90 − 1 P = 900.000   90  (1, 02279423) 0, 02279423 

+

  90 5.000 (1, 02279423)90 − 1 −  90 90  = $40.050.572 0, 02279423  (1, 02279423) 0, 02279423 (1, 02279423) 

Este valor de $40.050.572 representa el 80% del precio del apartamento. Costo del apartamento =

$40.050.572 = $50.063.215 0, 80

c. Saldo de la obligación: $38.816.376 cuotas pendientes: 66 Aplicando anualidades:  (1, 02279423)66 0, 02279423  A = 38.816.376   = $1.143.036 (1, 02279423)66 − 1  

Aplicando gradientes: A=

 5.000 66 × 0, 02279423  1 −  = $123.036 0, 02279423  (1, 02279423)66 − 1 

Este valor corresponde al valor uniforme de la serie del gradiente. Por tanto, la cuota total y uniforme será: A = $123.036 + A25 A = $123.036 + $1.020.000 = $1.143.036

158

Capitulo 5

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Capítulo 5 • Gradiente

Problemas propuestos 1. Calcule el valor presente de la siguiente serie:

Suponga una tasa de interés periódica del 2,5%. Respuesta: $189.785,27 2. Con los datos del problema anterior calcule el valor de una cuota uniforme equivalente. Respuesta: $17.279,62 3. Calcule el valor presente de la siguiente serie:

Suponga una tasa de interés periódica del 3%. Respuesta: $478.312 4. Con los datos del problema anterior calcule la cuota periódica uniforme equivalente. Respuesta: $48.052,22 159

Capitulo 5

159

1/20/06, 10:34 AM

Matemáticas financieras

5. Calcule el valor presente de la siguiente serie:

Suponga una tasa de interés periódica del 2,5%. Respuesta: $342.221,99 6. Con los datos del problema anterior calcule una cuota periódica uniforme equivalente. Respuesta: $35.969,46

Autoevaluación 1. El señor Pérez cree que su negocio le producirá $5.000.000 el próximo año, cifra que aumentará en cantidades iguales cada año hasta alcanzar $8.000.000 en siete años. Suponiendo que estas ganancias se comportan como un gradiente aritmético creciente, establezca el gradiente y elabore el diagrama económico.

3. Determine valor de la cuota uniforme para los siguientes pagos mensuales:

2. Una persona ahorra $50.000 mensuales durante cinco meses consecutivos. Luego incrementa sus ahorros en $10.000, cada mes durante los siguientes cuatro meses. Elabore el diagrama e indique dónde debe calcularse inicialmente el valor presente de la serie de gradiente.

Mes

Valor

1 2 3 4 5 6 7

$200.000 200.000 200.000 300.000 400.000 500.000 600.000

Considere una tasa de interés del 24% anual, con capitalización mensual.

160

Capitulo 5

160

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Capítulo 5 • Gradiente

4. Calcule el valor presente de los siguientes desembolsos mensuales con una tasa de interés del 3% mensual. Mes

Valor

1 2 3 4 5 6

$100.000 150.000 200.000 250.000 300.000 350.000

En julio/93 En agosto/93 En septiembre/93 En octubre/93 En noviembre/93 En diciembre/93

Si la tasa de interés es del 36% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál será el valor de una cuota mensual uniforme equivalente a los pagos anteriores?

5. El señor Pérez dispone de $5.000.000 los cuales desea distribuir en siete pagos mensuales con una tasa del 2% mensual y un incremento de $100.000 sobre cada cuota. Calcule el valor de la base del gradiente.

8. Con los datos del problema anterior calcule el valor de un solo pago a realizar en el mes de junio y que sea equivalente a los demás pagos. 9. El señor Pérez estima que el próximo año su negocio le dará unas utilidades de $3.000.000; también considera que la apertura económica le afectará y, en consecuencia, sus utilidades disminuirán cada año en $200.000 durante los cinco años siguientes. Elabore el diagrama económico.

6. Halle la cuota uniforme para la serie de gradientes del problema anterior. 7. En el mes de junio de 1993, el señor Pérez hizo un negocio en el cual se comprometió a entregar las siguientes sumas de dinero:

10.Halle el valor presente de la siguiente serie:

Suponga una tasa de interés del 3%. 161

Capitulo 5

161

$150.000 200.000 250.000 300.000 350.000 400.000

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Matemáticas financieras

Respuestas a la autoevaluación 1.

Nota. El gradiente es de $500.000. 2.

Nota. En el mes cuarto. 3. Tasa de interés: 2% mensual. Se calcula el valor presente de toda la serie en el segundo mes y luego este valor se considera como un valor futuro y se calcula su valor presente en el mes cero. k = $200.000 g = $100.000 n=5

162

Capitulo 5

162

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Capítulo 5 • Gradiente

P = 1.866.719,15

Luego se calcula el valor presente de las dos primeras cuotas:

P2 = 388.312,18

Se suman los valores de P1 y P2 y se obtiene: P = 1.794.232,17 + 388.312,18 = 2.182.544,35 De esta manera se conoce el valor presente total de modo que puede distribuirse uniformemente.

4. k = $100.000 g = $50.000 n=6 163

Capitulo 5

163

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Matemáticas financieras

i = 0,02

5.

A = 292.081,54 A = 292.081,54 + 480.478,23 A = 772.559,77

6.

164

Capitulo 5

164

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Capítulo 5 • Gradiente

7.

n=6 k = $150.000 g = $50.00 Primero se calcula el valor presente de la serie:

Luego, conociendo P, se calcula A:

8. Sería el valor presente en el punto cero. P = 1.466.388,48 9.

165

Capitulo 5

165

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Matemáticas financieras

10. Primero se calcula el valor presente de la serie en el punto 5. k = $ 100.000 g = $50.000 n=4

Éste se considera un valor futuro y se halla su valor presente en el punto cero.

Luego se calcula el valor presente de las cinco cuotas de $50.000 y se suma al dato anterior:

Actividades de repaso 1. ¿Qué es un gradiente?

4. ¿Dónde aparece el primer gradiente al graficar la serie?

2. ¿Cómo se comporta una serie de gradientes lineales?

5. ¿Qué se entiende por base de la serie del gradiente?

3. Enuncie algunas aplicaciones relacionadas con los gradientes

6. ¿Qué relación tienen los gradientes con los sistemas de amortización? Explíquela. 166

Capitulo 5

166

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR ■ Justificación Con este capítulo se pretende dar al lector una información amplia sobre qué es un sistema de amortización, cuáles son sus elementos, qué es un sistema de amortización simple, qué es un sistema de amortización integrado, que es un sistema de amortización agregado y cómo se dividen estos sistemas. Asimismo, el lector aprenderá a deducir la fórmula matemática para un sistema de amortización cualquiera con sólo conocer la función del mismo y podrá asegurarse de que los sistemas de amortización enunciados son asimilables al sistema de unidad de valor real (UVR).

■ Objetivos generales ■

Encontrar una expresión matemática que permita al lector calcular el valor de la primera cuota para que, apoyado en la función del sistema de amortización, pueda calcular las demás cuotas.

■

Utilizar las operaciones del sistema UVR en el manejo de las inversiones.

■ Objetivos específicos ■

En un sistema de pago único, calcular el valor de la cuota al final del periodo.

■

En un sistema de cuotas uniformes, calcular el valor de cada cuota.

■

En un sistema de cuotas uniformes con abonos extraordinarios, calcular de nuevo el valor de la cuota cuando se efectúan dichos abonos.

■

Calcular el saldo de una deuda con pago de cuotas uniformes.

■

En un sistema de cuotas crecientes o decrecientes linealmente, calcular el valor de la primera cuota.

167

capitulo 6-167-200

167

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Matemáticas financieras

■

En un sistema de cuotas fijas durante todo el plazo y con abonos extraordinarios periódicos y fijos, calcular el valor de la cuota o del abono extraordinario, según el caso.

■

En un sistema de anualidad creciente geométricamente, calcular el valor de la primera anualidad.

■

En un sistema de anualidad durante todo el tiempo y una cuota al final, calcular el valor de la anualidad o el de la cuota final, según el caso (leasing).

■

En un sistema de cuotas vencidas durante todo el tiempo y cuotas decrecientes linealmente en forma anticipada, calcular el valor de la segunda cuota.

■

Calcular el valor de los intereses pagados hasta un periodo determinado en el sistema anterior.

■

Calcular el valor de las cuotas en U.V.R y en pesos en un sistema de amortización cualquiera.

■

Elaborar tablas de amortización para cualquier sistema de amortización.

■

Elaborar gráficas de amortización y de saldos para cualquier sistema de amortización.

168

capitulo 6-167-200

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Conducta de entrada 1 ¿Qué es el IPC? Establezca la veracidad o 1a falsedad de las proposiciones siguientes. Reemplace cada enunciado falso por una proposición verdadera correspondiente: F V 2 2 La suma de n términos de la progresión geométrica a, ar, ar , ... ❏ ❏ esta dada por

3 El valor futuro de una anualidad vencida o común está dado por

❏ ❏

4 El valor presente de un gradiente aritmético está dado por

❏ ❏

2

❏ ❏

3

5 La sucesión l, 2x, 3x , 4x , ... es una progresión aritmética.

Respuestas a la conducta de entrada 1. Es el índice de precios al consumidor calculado por el DANE.

4. V 2

2. V 3.

169

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3

5. F; la sucesión 1, 2x, 3x , 4x es una progresión geométrica.

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Matemáticas financieras

Amortizaciones Amortizar no es más que redimir o pagar el capital y los intereses de un préstamo. Cuando se habla de esto, deben tenerse presentes dos elementos que intervienen en la amortización:



El abono al capital El pago de intereses En todo proceso de amortización juegan un papel importante las siguientes variables:







El valor presente La cuota periódica La tasa de interés periódica El número de periodos

La tasa de interés periódica puede estar constituida por la tasa de interés propiamente dicha y por la tasa de corrección monetaria u otro índice. Cuando las cuotas crecen o decrecen en forma lineal o geométrica, entonces surgen otras dos variables:
El incremento o el decremento
La tasa de incremento o de decremento Si la cuota tiene un incremento o un decremento lineal, esto obedece a una progresión aritmética. Si la cuota crece o decrece geométricamente, la situación obedece a una progresión geométrica. Sistema de amortización. Es un procedimiento o pacto estipulado para el pago de una deuda. En todo sistema de amortización existen los siguientes elementos: 1. La función: se encarga de definir cómo es el comportamiento de las cuotas.

Ejemplo 6.1 Se dice que cada cuota es igual a la anterior más un incremento. Entonces, la función será: A1 = A1 A2 = A1 +  A3 = A1 +  +  = A1 + 2 . . . An = A1 + (n − 1) 170

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Por tanto, la función es An = A1 + (n − 1)

2. La fórmula: es una expresión matemática deducida para calcular el valor de la primera cuota y que, apoyada en la función, permite calcular las demás cuotas. 3. La tabla de amortización: es una herramienta que permite visualizar en cualquier momento el proceso de amortización y da una idea precisa del estado de la deuda y de la discriminación de cada uno de los pagos realizados; además, está integrada por las columnas siguientes, entre otras: • Número del periodo • Valor de la cuota • Interés periódico • IPC • Abono a capital • Saldo de la deuda • Factor para el cálculo de la nueva cuota cuando se hacen abonos extraordinarios en cualquier periodo En el mercado financiero colombiano operan tres sistemas de amortización: Sistemas simples. Las cuotas se comportan como lo indica la función. Este comportamiento puede ser: cuota fija, cuota creciente o cuota decreciente. Sistemas integrados. Las cuotas se comportan según el resultado obtenido al integrar dos sistemas simples. Sistemas agregados. En éstos se dan varias series de cuotas que se comportan independientemente unas de otras.


Sistemas simples Estos sistemas son: • • • • • •

Cuota única al final del periodo Cuota periódica uniforme Cuota periódica creciente linealmente Cuota periódica decreciente linealmente Cuota periódica creciente geométricamente Cuota periódica decreciente geométricamente 171

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Matemáticas financieras

Cuota única al final del periodo Consiste en no hacer pago alguno antes del vencimiento de la obligación. El problema se resuelve al calcular el valor futuro de la obligación, con la siguiente fórmula: n

F = P (1 + i)

Ejemplo 6.2 ¿Cuánto se pagará al final de una obligación si ésta se otorga por dos años con una tasa de interés del 2% mensual y un crédito de $500.000? 24

F = 500.000 [1,02] = 804.218,62

Cuota periódica uniforme Consiste en calcular el valor de una cuota igual para todos los periodos. La función es A1 = A2 = A3 ... = An

La fórmula es

Ejemplo 6.3 Un crédito de $500.000 se pacta a dos años, con una tasa de interés del 2% mensual. ¿Cuál es el valor de la cuota mensual?

172

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

A continuación se explica la elaboración de una tabla de amortización con el sistema de cuota periódica uniforme.

Ejemplo 6.4 Un crédito de $100.000 se cancelará en cuatro cuotas trimestrales iguales financiadas a una tasa del 28% anual capitalizable trimestralmente. P = $100.000 n = 4 trimestres

Tabla de amortización: Periodo n

0 1 2 3 4

Cuota A

29.522,81 29.522,81 29.522,81 29.522,81

Interés I

7.000 5.423,40 3.736,44 1.931,39

Abono

Saldo

Factor

22.522,81 24.099,41 25.786,37 27.591,41

100.000 77.477,19 53.377,78 27.591,41 0

0,295228116 0,381051636 0,553091754 1,07000004

La tabla se obtuvo así: a. Con la fórmula se calculó el valor de la cuota b. Se multiplicó el valor de la obligación por la tasa periódica para calcular el valor del interés en ese periodo. I1 = (100.000) (0,07) = 7.000 I2 = (77.477,19)(0,07) = 5.423,40 173

capitulo 6-167-200

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Matemáticas financieras

c. Se restó el interés calculado de la cuota y de este modo se obtuvo el valor abonado al capital en dicho periodo. Abono a capital = 29.522,81 − 7.000 = 22.522,81 d. A cada saldo se restó el valor abonado al capital y se obtuvo el nuevo saldo del periodo siguiente: 100.000 − 22.522,81= 77.477,19 e. Se dividió la cuota de cada periodo por el saldo de cada periodo anterior y se obtuvo así el factor para calcular la nueva cuota cuando hay abonos extraordinarios. Abonos extraordinarios. Supóngase que en el ejemplo anterior se hizo un abono de $20.000 después del pago de la primera cuota, entonces el valor de las tres cuotas restantes será el siguiente: Nuevo saldo = 77.477,19 − 20.000 = 57.477,19 La nueva cuota se calcula al multiplicar el nuevo saldo por el factor de la cuota en la cual se hizo el abono. (57.477,19 )(0,381051636) = 21.901,77 Saldo de la deuda con cuota periódica uniforme Llámese T = amortización real T1 = A− I = A − Pi La amortización aumenta de un periodo a otro en una proporción igual a la tasa de interés. A medida que aumenta la amortización, disminuyen los intereses. T1 = T1 T2 = T1 + T1i = T1 (1 + i) . . . . . . n−1 Tn = T1 (1 + i)

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capitulo 6-167-200

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

La amortización acumulada hasta un periodo n será igual a la suma de las amortizaciones periódicas. Tt = T1 + T2 +...+Tn n−1 Tt = T1 + T1 (1 + i) + … + T1 (1 + i) n −1 Tt = T1 [1 + (1 + i) + … + (1 + i) ] Lo que está dentro del corchete es la suma de los términos de una progresión geométrica creciente de n términos. Esta suma esta dada por:

Luego,

El saldo de la deuda es igual al valor del crédito menos la amortización acumulada a esa fecha.

Sin embargo, T1 = A − Pi. Luego,

Ejemplo 6.5 Con los datos del problema anterior, calcular el saldo en el tercer periodo.

Saldo = 100.000 − [29.522,81− (100.000)(0,07)] 175

capitulo 6-167-200

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Matemáticas financieras

Saldo = 100.000 − (22.522,81) (3,2149) Saldo = 100.000 − 72.408,58 = 27.591,42 Este problema también puede resolverse al calcular el valor presente de las cuotas de pago pendientes.

Ejemplo 6.6 Calcular la cuota uniforme y elaborar la tabla de amortización para un crédito en las siguientes condiciones: P = $1.000.000 n = 180 meses ic = 24% = 0,24 ie = 9% = 0,09 ia = (1,24)(1,09) − 1 = 0,3516

176

capitulo 6-167-200

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

La tabla de amortización es la siguiente: Préstamo tipo estable Año

Mes

Cuota

Valor cuota mensual

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

0 25.705,41 25.705,41 25,705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41

0 7.337,69 7.335,63 7.333,53 7.331,37 7.329,15 7.326,88 7.324,55 7.322,16 7.319,71 7.317,20 7.314,62 7.311,98 7.309,27 7.306,49 7.303,64 7.300,72 7.297,73 7.294,65 7.291,51 7.288,28 7.284,96 7.281,57 7.278,09 7.274,52 7.270,85 7.267,10 7.263,25 7.259,30 7.255,25 7.251,10 7.246,85

0 18.087,63 18.082,56 18.077,36 18.072,04 18.066,57 18.060,97 18.055,23 18.049,34 18.043,30 18.037,11 18.030,76 18.024,24 18.017,57 18.010,72 18.003,70 17.996,50 17.989,11 17.981,54 17.973,78 17.965,82 17.957,66 17.949,29 17.940,70 17.931,90 17.922,88 17.913,62 17.904,13 17.894,40 17.884,42 17.874,19 17.863,69

0 280,09 287,21 294,51 302,00 309,68 317,55 325,63 333,91 342,40 351,10 360,03 369,18 378,57 388,20 398,07 408,19 418,56 429,21 440,12 451,31 462,78 474,55 486,62 498,99 511,68 524,69 538,03 551,70 565,73 580,12 594,87

1.000.000 999.719,91 999.432,70 999.138,18 998.836,18 998.526,50 998.208,95 997.883,32 997.549,41 997.207,01 996.855,91 996.495,88 996.126,70 995.748,13 995.359,93 994.961,87 994.553,68 994.135,12 993.705,91 993.265,79 992.814,48 992.351,70 991.877,15 991.390,53 990.891,54 990.379,87 989.855,18 989.317,16 988.765,45 988.199,72 987.619,60 987.024,74

177

capitulo 6-167-200

177

1/20/06, 10:39 AM

Matemáticas financieras

Año

Mes

Cuota

Valor cuota mensual

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6

8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6

32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66

25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41

7.242,47 7.238,01 7.233,41 7.228,71 7.223,88 7.218,93 7.213,86 7.208,66 7.203,32 7.197,85 7.192,24 7.186,48 7.180,58 7.174,53 7.168,33 7.161,97 7.155,45 7.148,76 7.141,90 7.134,87 7.127,65 7.120,86 7.112,68 7.104,90 7.096,93 7.088,75 7.080,36 7.071,77 7.062,95 7.053,91 7.044,64 7.035,13 7.025,38 7.015,39 7.005,14

17.852,93 17.841,90 17.830,59 17.818,99 17.807,09 17.794,89 17.782,38 17.769,55 17.756,40 17.742,91 17.729,08 17.714,90 17.700,36 17.685,44 17.670,15 17.654,47 17.638,39 17.621,91 17.605,00 17.587,66 17.569,88 17.551,65 17.532,96 17.513,79 17.494,13 17.473,98 17.453,31 17.432,12 17.410,38 17.388,10 17.365,25 17.341,81 17.317,79 17.293,15 17.267,88

609,99 625,50 641,40 657,71 674,43 691,58 709,16 727,20 745,68 764,64 784,09 804,02 824,46 845,43 866,92 888,96 911,56 934,74 958,51 982,88 1.007,87 1.033,49 1.059,77 1.086,72 1.114,35 1.142,681 1.171,73 1.201,52 1.232,07 1.263,40 1.295,52 1.328,46 1.362,24 1.396,87 1.432,39

178

capitulo 6-167-200

178

1/20/06, 10:39 AM

Saldo

986.414,75 985.789,25 985.147,84 984.490,13 983.815,70 983.124,12 982.414,95 981.687,76 980.942,07 980.177,43 979.393,34 978.589,32 977.764,86 976.919,43 976.052,51 975.163,55 974.251,99 973.317,24 972.358,74 971.375,86 970.367,99 969.334,50 968.274,73 967.188,01 966.073,67 964.930,99 963.759,26 962.557,73 961.325,66 960.062,27 958.766,75 957.438,29 956.076,05 954.679,18 953.246,80

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Año

Mes

Cuota

6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9

7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4

67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Valor cuota mensual

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41

6.994,63 6.983,85 6.972,80 6.961,47 6.949,85 6.937,93 6.925,71 6.913,18 6.900,33 6.887,16 6.873,65 6.859,79 6.845,59 6.831,02 6.816,08 6.800,77 6.785,06 6.768,95 6.752,44 6.735,50 6.718,14 6.700,33 6.682,07 6.663,34 6.644,14 6.624,45 6.604,26 6.583,56 6.562,33 6.540,56 6.518,24 6.495,35 6.471,88 6.447,81

17.241,97 17.215,40 17.188,16 17.160,23 17.131,58 17.102,21 17.072,09 17.041,20 17.009,53 16.977,05 16.943,75 16.909,60 16.874,58 16.838,67 16.801,85 16.764,09 16.725,38 16.685,67 16.644,96 16.603,22 16.560,41, 16.516,51 16.471,50 16.425,34 16.378,01 16.329,48 16.279,71 16.228,68 16.176,35 16.122,69 16.067,66 16.011,24 15.953,38 15.894,05

1.468,81 1.506,15 1.544,44 1.583,71 1.623,98 1.665,27 1.707,61 1.751,03 1.795,55 1.841,20 1.888,01 1.936,01 1.985,24 2.035,71 2.087,47 2.140,55 2.194,97 2.250,78 2.308,01 2.366,69 2.426,86 2.488,56 2.551,84 2.616,72 2.683,26 2.751,47 2.821,43 2.893,16 2.966,72 3.042,15 3.119,50 3.198,82 3.280,15 3.363,55

179

capitulo 6-167-200

179

1/20/06, 10:39 AM

Saldo

951.777,99 950.271,84 948.727,40 947.143,68 945.519,71 943.854,44 942.146,83 940.395,80 938.600,26 936.759,06 934.871,05 932.935,03 930.949,80 928.914,08 926.826,61 924.686,06 922.491,09 920.240,31 917.932,31 915.565,62 913.138,76 910.650,20 908.098,36 905.481,64 902.798,39 900.046,92 897.225,49 894.332,33 891.365,60 888.323,45 885.203,95 882.005,13 878.724,98 875.361,44

Matemáticas financieras

Año

Mes

Cuota

Valor cuota mensual

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

9 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12

5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2

101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134

25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.745,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41

6.423,13 6.397,82 6.371,87 6.345,26 6.317,99 6.289,99 6.261,30 6.231,87 6.201,70 6.170,76 6.139,04 6.106,51 6.073,15 6.038,94 6,003,87 5.967,90 5.831,02 5.893,20 5.854,41 5.814,65 5.773,87 5.732,05 5.689,17 5.645,20 5.600,12 5.553,88 5.506,47 5.457,86 5.408,01 5.356,89 5.304,47 5.250,72 5.195,60 5.139,09

15.833,21 15.770,82 15.706,85 15.641,25 15.573,95 15.505,01 15.434,28 15.361,75 15.287,38 15.211,12 15.132,92 15.052,73 14.970,18 14.886,18 14.799,71 14.711,05 14.620,13 14.526,91 14.431,31 14.333,28 14.232,76 14.129,68 14.023,98 13.915,59 13.804,45 13.690,49 13.573,62 13.453,79 13.330,90 13.204,89 13.075,68 12.943,19 12.807,32 12.668,00

3.449,06 3.536,76 3.626,68 3.718,89 3.813,45 3.910,40 4.009,83 4.111,78 4.216,32 4.323,52 4.433,45 4.546,17 4.661,76 4.780,29 4.901,83 5.026,46 5.154,26 5.285,30 5.419,68 5.557,48 5.698,78 5.843,68 5.992,25 6.144,61 6.300,84 6.461,04 6.625,31 6.793,76 6.966,50 7.143,62 7.325,25 7.511,50 7.702,48 7.898,32

180

capitulo 6-167-200

180

1/20/06, 10:39 AM

Saldo

871.912,37 868.375,61 864.748,93 861.030,04 857.216,60 853.306,19 849.296,37 845.184,59 840.968,27 836.644,75 832.211,30 827.665,13 823.003,37 818.223,08 813.321,26 808.294,80 803.140,55 797.855,24 792.435,56 786.878,08 781.179,30 775.335,62 769.343,37 763.198,76 756.897,92 750.436,89 743.811,58 737.017,81 730.051,32 722.907,70 715.582,45 708.070,95 700.368,47 692.470,16

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Año

Mes

12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Cuota

135 136 1,37 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168

Valor cuota mensual

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25,705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41

5.081,13 5.021,70 4.960,76 4.898,27 4.834,19 4.768,49 4.701,11 4.632,02 4.561,17 4.488,52 4.414,03 4.437,63 4.259,30 4.178,98 4.096,61 4.012,15 3.925,54 3.836,73 3.745,66 3.652,28 3.556,52 3.458,33 3.357,64 3.254,39 3.148,52 3.039,95 2.928,63 2.814,47 2.697,41 2.577,37 2.454,29 2.328,07 2.198,64 2.065,92

12.525,14 12.378,65 12.228,43 12.074,39 11.916,44 11.754,46 11.588,38 11.418,06 11.243,42 11.064,34 10.880,70 10.692,40 10.499,31 10.301,31 10.098,27 9.890,07 9.676,58 9.457,66 9.233,18 9.002,98 8.766,94 8.524,89 8.276,69 8.022,18 7.761,19 7.493,57 7.219,15 6.937,75 6.649,19 6.353,30 6.049,89 5.738,76 5.419,72 5.092,57

8.099,13 8.305,06 8.516,21 8.732,74 8.954,78 9.182,45 9.415,92 9.655,32 9.900,81 10.152,54 10.410,68 10.675,37 10.946,79 11.225,12 11.810,82 11.803,18 12.103,03 12.411,01 12.726,56 13.050,14 13.381,94 13.722,19 14.071,0 14.428,84 14.795,70 15.953,19 15.557,63 15.953,19 16.358,80 16.774,23 17.201,23 17.638,58 18.087,05 18.546,92

181

capitulo 6-167-200

181

1/20/06, 10:39 AM

Saldo

684.371,03 676.065,97 667.549,75 658.817,01 649.862,24 640.679,78 631.263,86 621.608,54 611.707,73 601.555,19 591.144,51 580.69,14 569.522,35 558.297,23 546.786,70 534.983,52 522.880,24 510.469,23 497.742,67 484.692,53 471.310,58 457.588,40 443.517,32 429.088,48 414.292,79 399.120,91 382.563,28 367.610,09 351.251,29 334.476,56 317.275,32 299.636,74 281.549,70 263.002,78

Matemáticas financieras

Año

Mes

Cuota

15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Valor cuota mensual

25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41 25.705,41,

Interés mensual

Corrección monetaria

1.929,83 4.757,08 1.790,28 4.413,10 1.647,18 4.060,35 1.500,44 3.698,64 1.349,97 3.227,73 1.195,68 2.947,39 1.037,46 2.557,37 875,22 2.157,45 708,86 1.747,35 538,26 1.326,83 363,33 895,61 183,95 453,43 1.046.736,53 2.580.237,27

Abono a capital

Saldo

19.018,48 19.502,03 19.997,87 20.506,32 21.027,70 21.562,34 22.110,57 22.672,74 23.249,20 23.84 0,32 24.44 6,47 25.06 8,02

243.984,30 224.482,28 204.484,40 183.978,08 162.950,38 141.388,04 119.277,47 96.604,73 73.355,53 49.515,21 25.068,74 0,72

Cuota periódica creciente linealmente Nota. El incremento es en una suma fija, 

= Suma fija

La función es A1 = A1 A2 = A1 +  A3 = A2 +  = A1 + 2 An = A1 + (n − 1) La fórmula se deduce así: La serie de cuotas crecientes se ha descompuesto en series de anualidades. La primera serie tiene n términos La segunda serie tiene (n − 1) términos La tercera serie tiene (n − 2) términos La última serie tiene un solo término Se calculan los valores futuros de cada serie

182

capitulo 6-167-200

182

1/20/06, 10:39 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Última serie

3a. serie

2a. serie

A1 1a. serie

1

2

3

(n - 1)

183

capitulo 6-167-200

183

1/20/06, 10:39 AM

n

Matemáticas financieras

Al factorizar:

Al despejar el último paréntesis e invertir el orden se obtiene:

(1)

Lo que está entre corchetes es una progresión geométrica creciente de n términos, donde el primero es 1 y la razón es (1 + i). La suma de los términos de una progresión geométrica creciente es

Al reemplazar se tiene: (2) Al reemplazar (2) en (1) se obtiene:

n

Como F = P (1 + i) , entonces

(3)

Ahora se hace

184

capitulo 6-167-200

184

1/20/06, 10:39 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Luego,

Se despeja P, así:

Al factorizar se tiene

Con esta fórmula se calcula la primera cuota. Para calcular una cuota cualquiera (una cuota k), donde k ≤ n, la función es Ak = A1 + (k − 1). Entonces,

185

capitulo 6-167-200

185

1/20/06, 10:39 AM

Matemáticas financieras

Ejemplo 6.7 Un crédito se otorga en las siguientes condiciones: P = $1.000.000 n = 180 meses ic = 0,24 ie = 5%= 0,05  = 50 sobre cada cuota Calcular la primera y la última cuotas.

Nota. En este ejemplo nótese cuánto se amortiza al capital en el primer periodo. La primera cuota es A1 = 20.594,65 Esta cuota tiene tres elementos: a. Abono a capital b. Intereses c. Corrección monetaria o IPC. La tasa de interés efectiva periódica es im = 0,022235397 Esta tasa está conformada por la tasa de corrección monetaria periódica y la tasa de interés periódica adicional. Ahora se calculará la primera de ellas.

186

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1/20/06, 10:39 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Si de la tasa efectiva periódica se resta la tasa de corrección monetaria periódica, se obtiene la tasa de interés realmente cobrada en este crédito. Tasa realmente cobrada = 0,022235397 − 0,018087582 Tasa realmente cobrada = 0,0041478151 Luego, (1.000.000)(0,004147815) = 4.147,81 (interés) (1.000.000)(0,018087582) = 18.087,58 (corrección monetaria) La suma de estos valores da como resultado: 4.074.12 + 18.087,58 = 22.235,39 Esto indica que si A1 = $20.594,65 y la corrección monetaria más los intereses suman $22.235,39, entonces en ese periodo la amortización a capital fue negativa; es decir, la cuota fue inferior a los compromisos en $1.640,74 Este valor debe sumarse al saldo y se continúa con el proceso normal. Esto quiere decir que la corporación refinanció la suma de $1.640,74 que faltaron en la primera cuota.

Cómo calcular el saldo con este plan Ejemplo 6.8 Con base en los datos del ejemplo anterior, calcular el saldo de la deuda después de pagar la sexta cuota. n

0 1 2 3 4 5 6 . . . 180

A

20.594,65 20.644,65 20.694,65 20.744,65 20.794;65 20.844,65

I

22.235,39 22.271,87 22.308,06 22.343,93 22.379,49 22.414,73

Abono a capital

Saldo

−1.640,74 −1.627,22 −1.613,41 −1.599,28 −1.584,84 −1.570,08

1.000.000 1.001.640,74 1.003.267,97 1.004.881,38 1.006.480,66 1.008.065,50 1.009.635,58

29.544,65 187

capitulo 6-167-200

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1/20/06, 10:39 AM

Matemáticas financieras

Para calcular el saldo de una deuda amortizada mediante este plan puede aplicarse el concepto de gradiente y solucionar el problema. Primero se elabora la gráfica con el fin de visualizar el punto donde se calculará el saldo, lo mismo que el valor de k y el valor de g.

En el periodo 6 se da el punto cero para la serie de gradiente, lo cual indica que la base del gradiente (k) esta dada por el valor de la cuota 7 y que el gradiente (g) empieza a darse a partir del octavo mes. El valor de g será de $50, según los datos del problema. Si n = 180, entonces n =180 – 6 = 174 El problema consiste en calcular en el punto 6 el valor presente de la serie k y sumarlo al valor presente de la serie de gradiente en el mismo punto.

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

P = 20.894,64(43,9936306) + 2.248,6668 (40,20318741) P = 919.231,51 + 90.403,57 P = 1.009.635,08

Nota 1. A1 trabajar con un microcomputador, las diferencias tenderán a cero. Nota 2. Si el sistema es decreciente, se utilizará el gradiente decreciente. Nota 3. Si el sistema es creciente linealmente en porcentaje (sobre la primera cuota) se convertirá este en suma fija y luego se procede como tal.

Ejemplo 6.9 Si el incremento es del 10% sobre la primera cuota y ésta tiene un valor de $100, también puede decirse que el incremento es de $10 sobre la cuota anterior. Ambos planteamientos son equivalentes.

Ejemplo 6.10 Un banco le otorgó un crédito de $1.000.000 al señor Pérez para la compra de vivienda, en las siguientes condiciones: Plazo = 15 años Corrección monetaria = 25% anual Tasa de interés = 4% anual Pago de cuotas mensuales Incremento de $50 sobre cada cuota. 1. Elaborar la tabla de amortización para las tres primeras cuotas. Incluir la columna del factor para el cálculo de la nueva cuota. 2. ¿Cuál será el saldo de la deuda después de haber pagado la última cuota del cuarto año?

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Matemáticas financieras

A1 = (22.104) (1,019927531) − 2.262,034021 (0,920713934) A1 = 22.544,47 – 2.082,68 = 20.461,79 n

0 1 2 3

A

Intereses

20.461,79 20.511,79 20.561,79

3.334,74 3.340,21 3.345,64

Corrección monetaria

18.769,26 18.800,08 18.830,65

Abono a capital

−1.642,22 −1.628,51 −1.614,51

Saldo

Factor

1.000.000 1.001.642,22 1.003.270,73 1.004.885,24

0,0204617 0,0204781 0,0204947

2. Cuota 48: última cuota del cuarto año.

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

A49 = A1 + (49 − 1) 50 A49 = 20.461,79 + (48)(50)= 22.861,79 A48: se supone como punto cero para la serie del gradiente A49: base del gradiente = 22.861,79 = k g = 50 n =180 – 48 = 132

Nota. El incremento se realiza en un porcentaje sobre la primera cuota.  = % Esto quiere decir que la función es A1 = A1 A2 = A1 + A1  = A1 (1 + ) A3 = A2 + A1  = A1 + A1  + A1  = A1 + 2A1  = A1 (1 + 2 ) A4 = A1 (1 + 3 ) Ak = A1 [1 + (k − 1) ], con k ≤ n En la deducción de la fórmula de cuota periódica creciente linealmente en una suma fija se llega a:

191

capitulo 6-167-200

191

1/20/06, 10:40 AM

Matemáticas financieras

Considérese ahora que  equivale a un porcentaje sobre la primera cuota. Luego, el incremento se calcula como A1. Entonces,

donde

Para calcular una cuota cualquiera se utiliza la función:

Ejemplo 6.11 Se concedió un préstamo en las condiciones siguientes: P = $2.000.000 n=3 i = 0,06  = 0,15 sobre la primera cuota Se elabora la tabla de amortización como sigue:

192

capitulo 6-167-200

192

1/20/06, 10:40 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Tabla de amortización: n

0 1 2 3

A

653.937,29 752.027,88 850.118,47

I

120.000 87.963,76 48.119,91

Abono a capital

Saldo

533.937,29 664.064,11 801.998,59

2.000.000 1.466.062,71 801.998,59 0

Cuota periódica decreciente linealmente a. En suma fija: En este sistema cada cuota es igual a la anterior menos una suma fija. Luego, si

entonces bastará cambiar el signo en el :

Ejemplo 6.12 Se otorgó un crédito en las condiciones siguientes: P = $1.000.000 n =3 i = 0,02  = 100 decreciente Elaborar la tabla de amortización.

A1 = 346.853,35 193

capitulo 6-167-200

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1/20/06, 10:40 AM

Matemáticas financieras

n

A

0 1 2 3

346.853,35 346.753,35 346.653,35

I

20.000 13.463 6.797

Abono a capital

326.853,35 333.290,35 339.856,10

b. En porcentaje:

Si

entonces,

Ejemplo 6.13 Se concedió un préstamo en las condiciones siguientes: P = $1.000.000 n=3 i = 0,02 = 0,0002883 disminuye Calcular el valor de las dos primeras cuotas.

A2 = 346.754,67 [1 − (2 − 1) 0,0002883] A2 = 346.754,67 [1 −0,0002883] A2 = 346.654,35

194

capitulo 6-167-200

194

1/20/06, 10:40 AM

Saldo

1.000.000 673.146,65 339.856,10 0

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Cuota periódica creciente geométricamente Cada cuota es igual a la anterior más un porcentaje sobre la anterior. La función es A1 = A1 A2 = A1 + A1  = A1 (1 + ) A3 = A2 + A2  = A1 (1 + ) + A1(1 + )  = A1 (1 + ) (1 + ) , el factor común es A1 (1 + ) 2

= A1 (1 + ) . . . . . .

k–1

Ak = A1 (1 + )

, con k ≤ n

Se calcula el valor futuro en el punto n para cada una de las cuotas indicadas en la función. n−1

F1 = A1 (1 +i)

n−2

F2 = A1 (1 + ) (1 +i) 2

n−3

F3 = A1 (1 + ) (1 +i) .

.

.

.

.

.

Fn = A1 (1 + )

n−1

n−n

(1 +i)

n−1

Fn = A1 (1 + ) Luego,

Otra forma de expresarlo es la siguiente:

195

capitulo 6-167-200

195

1/20/06, 10:40 AM

Matemáticas financieras

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica creciente, y está dada por

Al reemplazar se obtiene:

Al reemplazar en la expresión original se obtiene:

196

capitulo 6-167-200

196

1/20/06, 10:40 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

n

Sin embargo, F = P (1 + i) . Luego,

con  ≠ i de donde

Si se desea calcular una cuota cualquiera, entonces:

donde k ≤ n.

Ejemplo 6.14 P = $2.000.000 n = 10 i = 0,03  = 0,15 Calcular la séptima cuota.

197

capitulo 6-167-200

197

1/20/06, 10:40 AM

Matemáticas financieras

Cuota periódica decreciente geométricamente En este plan el gradiente  es negativo. Luego,

Ejemplo 6.15 Con este sistema resolver el problema anterior.


Sistemas integrados Como su nombre lo indica, se trata de la fusión de dos sistemas simples. Entre estos se tienen los siguientes: • • • • •

Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos. Anualidad creciente linealmente Anualidad decreciente linealmente Anualidad creciente geométricamente Anualidad decreciente geométricamente

Cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos Es necesario definir las variables siguientes: P = valor del crédito n = plazo i = tasa de interés A = valor cuota fija R = abono extraordinario m = número de abonos extraordinarios 198

capitulo 6-167-200

198

1/20/06, 10:40 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Ejemplo 6.16 n = 5 años = 20 trimestres A = trimestrales R = semestrales m = 10 semestres

Nótese que se tienen dos series. El valor futuro de la serie de las cuotas periódicas es

El valor futuro de la serie de los abonos extraordinarios será la suma de los valores futuros de cada uno. Esto es, n – n/m

F1 = R (1 + i)

n – 2n/m

F2 = R (1 + i)

n – 3n/m

F3 = R (1 + i) Fm = R (1 + i)

n – mn/m

0

= R (1 + i) = R

Ftotal = F1 + F2 + F3 + … + Fm n – n/m

n – 2n/m

n – 3n/m

n – (m – 1)n/m

+ … + (1 + i) n – n/m n – 2n/m n – 3n/m … n/m F = R {(1 + i) + (1 + i) + (1 + i) + + (1 + i) + 1} F = R {(1 + i)

+ (1 + i)

+ (1 + i)

Al invertir el orden se obtiene: F = R[1 + (1 + i)

n/m

+

...

n−2n/m

+ (1 + i)

199

capitulo 6-167-200

199

n−n/m

+ (1 + i)

1/20/06, 10:40 AM

]

+ 1}

Matemáticas financieras

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica de m n/m términos cuya razón es (1 + i) y el primer término es 1.

Al reemplazar se tiene:

Luego, en el punto n el valor futuro total está dado por la suma de los valores futuros de las dos series.

n

Sin embargo, F = P(1 + i) . Luego,

El problema consiste en hallar el valor de la cuota periódica fija cuando se conoce el valor del abono extraordinario periódico y fijo, o viceversa.

Ejemplo 6.17 P = $2.000.000 n = 180 meses R = $50.000 semestrales m = 30 semestres A=? i = 0,03 mensual 200

capitulo 6-167-200

200

1/20/06, 10:40 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Otra forma de solucionar el problema es: P = $2.000.000 n = 180 meses R = $50.000 semestrales m = 30 semestres A= ? i = 0,03 mensual

Como puede observarse, hay dos series de cuotas, así: • Una serie de cuotas mensuales iguales • Otra serie de cuotas semestrales iguales Esto indica que deben tenerse dos tasas de interés efectivas periódicas equivalentes. Para la serie de cuotas mensuales: im = 0,03 mensual Para la serie de cuotas semestrales: is = ? 6 is = (1,03) − 1 = 0,194052296 Luego,

201

capitulo 6-201-234

201

1/20/06, 10:41 AM

Matemáticas financieras

Anualidad creciente, geométricamente Este plan se conoce también con el nombre de plan escaleno o escalera:

A

0

1

2

12

13

14

24

25

26

36

k = número de anualidades = numero de años que contenga el plazo n = número de cuotas que contiene cada anualidad

Ejemplo 6.18 Si el plazo son 15 años y las cuotas son mensuales, entonces: k = 15 n = 12 Lo primero que debe hacerse es calcular los valores futuros de cada serie de anualidades. En este caso se tiene una tasa efectiva periódica. Una vez calculados los valores futuros de cada serie de anualidades se calculan los valores presentes de cada uno de esos valores futuros. En este caso, se tiene una tasa efectiva anual. Como

쑿

= tasa de incremento de una anualidad a otra. 202

capitulo 6-201-234

202

1/20/06, 10:41 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Primera serie de anualidades:

Segunda serie de anualidades:

Tercera serie de anualidades:

Última serie de anualidades:

Ahora se calculan los valores presentes de los valores futuros hallados.

203

capitulo 6-201-234

203

1/20/06, 10:41 AM

Matemáticas financieras

Luego,

A1 factorizar se obtiene:

Lo que está entre el corchetes es una progresión geométrica de k términos cuya razón es y el primer termino es 1. 204

capitulo 6-201-234

204

1/20/06, 10:41 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Como la tasa de interés efectiva anual es mayor que la tasa de incremento, para mayor comodidad la expresión se multiplica por (−1).

Al reemplazar en la expresión inicial se obtiene:

205

capitulo 6-201-234

205

1/20/06, 10:41 AM

Matemáticas financieras

Luego,

Para calcular una cuota z−ésima cualquier (z ≤ k), se utiliza la función:

Nota. Si las cuotas son mensuales y quiere hallarse la cuota número 50, ésta se encuentra en la quinta anualidad. Luego, n = 12, z = 5.

Ejemplo 6.19 P = $1.000.000 ic = 24% = 0,24 k = 10 años ie = 9%= 0,09 ia = (1,24) (1,09) − 1= 35,16% = 0,3516 1/12 im = (1,3516) − 1 = 2,5425269% = 0,025425269 n = 12 meses 쑿 = 18,5% Calcular la cuota número 47.

206

capitulo 6-201-234

206

1/20/06, 10:41 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Nota. La cuota numero 47 está en la cuarta anualidad.

Las deducciones de las expresiones de los otros sistemas integrados se hacen de manera similar a las anteriores. Si se desea calcular el total pagado hasta una anualidad cualquiera, se procede de la siguiente manera:

Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica creciente, de k términos, y esta dada por:

Como cada cuota se paga n veces en cada anualidad, entonces:

207

capitulo 6-201-234

207

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

Ejemplo 6.20 En el ejercicio numero 4 de la autoevaluación se tiene que: A1 = $16.466 쑿 = 0,185 k = 10 n = 12

En la tabla de amortización se observa que se pagó: por intereses = $1.086.114,87 por corrección monetaria = $2.677.334,30 por capital = $1.000.000 Total pagado

= $4.763.449,17

Ahora, I + corrección monetaria = Suma pagada − P

씰 Sistemas agregados Entre los más importantes están los siguientes: • Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final • Anualidad vencida durante todo el tiempo y una cuota decreciente aritméticamente y en forma anticipada. También se conoce con el nombre de cuota capital constante. • Serie decreciente geométricamente y otra serie más, decreciente aritméticamente. • Anualidad para todo el tiempo y una cuota más que crece geométricamente. • Una anualidad que crece geométricamente y una cuota que también crece de la misma manera. 208

capitulo 6-201-234

208

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Anualidad durante todo el tiempo y una cuota final Este caso es muy conocido en el mercado financiero colombiano. El diagrama es el siguiente:

La función es: A1 = A1 A2 = A1 A3 = A1 A4 = A1 . . . An = A1 + cuota final El problema consiste en calcular el valor presente de la serie de cuotas iguales y sumarle el valor presente de la cuota final.

De esta expresión puede deducirse el valor de A, así:

Ejemplo 6.21 El señor Pérez necesita comprar un microcomputador. Llama a un vendedor y éste le hace las siguientes ofertas: • El microcomputador vale $1.000.000 de contado, pero puedo vendérselo financiado a un año con cuotas mensuales de $100.462. 209

capitulo 6-201-234

209

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

El señor Pérez le dice que no puede comprarlo de contado y que, además, las cuotas para comprarlo financiado son muy altas. En consecuencia, decide aplazar la compra del microcomputador. El vendedor insiste nuevamente y le dice: • Como usted es una persona con muchas capacidades y demasiado responsable, mi empresa le ayudará alquilándole el microcomputador durante un año sin ningún compromiso de compra y con un canon de arrendamiento de $70.000 mensuales. Dentro de un año, si usted quiere quedarse con el microcomputador, la empresa le reconoce el arrendamiento pagado y se lo vende por $432.318. El señor Pérez analiza la oferta y concluye que verdaderamente el vendedor quiere ayudarlo; cambia de opinión y cierra el negocio. Lo que el señor Pérez no hizo fue el siguiente análisis: 1. Precio de contado: $1.000.000 2. Al comprarlo por cuotas, el vendedor le financia el $1.000.000 a 12 meses y a una tasa del 3% mensual.

3. De manera muy habilidosa el vendedor rebajó el valor de la cuota a $70.000 y los $30.462 restantes de cada mes, se los cobrará al final del año pero en forma financiada. En otras palabras, no le habló de cuotas de pago sino de cuotas de arrendamiento y además le dijo que la empresa le “regalaría” dichas cuotas de arrendamiento si él se quedaba con el microcomputador. Nótese que lo que hizo el vendedor fue calcular el valor de la cuota final.

210

capitulo 6-201-234

210

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

En otras palabras, el vendedor le cambió el empaque al producto.

Anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmente y anticipada Este sistema también se conoce como cuota capital constante, y lo utilizan aquellas entidades crediticias que cobran los intereses anticipados y el valor del crédito lo dividen en partes iguales para todo el plazo. La primera cuota corresponde sólo a los intereses anticipados sobre la totalidad de la deuda. I0 = Pi La última cuota no contempla el pago de intereses porque éstos ya se pagaron anticipadamente. Las demás cuotas (comprendidas entre la primera y la ultima. constan de dos elementos: • Interés pagado por anticipado • Abono a capital 211

capitulo 6-201-234

211

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

El diagrama económico es el siguiente:

0

1

2

3

4

(n - 1)

n

Las cuotas que amortizan el capital son: Ac = P/n Una cuota k cualquiera esta dada por: Ak = Ac + Ik con 1 < k < n Para calcular los intereses es necesario calcular primero los saldos: 1er. saldo = P – Ac 2do. saldo = P – 2Ac 3er. saldo = P – 3Ac k−ésimo saldo = P – kAc Luego, los intereses serán el producto del saldo por la tasa. Los k−ésimos intereses serán: Ik = (P − kAc)i Ik = Pi − kiAc Sin embargo, Pi = I0. Luego, Ik = I0 − KiAc

212

capitulo 6-201-234

212

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

y la cuota total será: Ak = Ac + Ik Ak = Ac + I0 – kiAc Ak = Ac (1 − ki)+I0

Ejemplo 6.22 Un banco hace un préstamo de $200.000 a un empleado del departamento. La tasa de interés es del 2.5% mensual y el plazo son 5 meses. Elaborar la tabla de amortización. P = $200.000 n = 5 meses i = 0,025 mensual Ac =

P 200.000 = = 40.000 n 5

I0 = Pi = (200.000)(0,025) = 5.000 A1 = 40.000[1 − 1(0,025)] + 5.000 = 44.000 A2 = 40.000[1 − 2(0,025)] + 5.000 = 43.000 A3 = 40.000[1 − 3(0,025)] + 5.000 = 42.000 A4 = 40.000[1 − 4(0,025)] + 5.000 = 41.000 A5 = 40.000[1 − 5(0,025)] + 5.000 = 40.000 Tabla de amortizaciones: n

A

I

Abono a capital

Saldo

0 1 2 3 4 5

5.000 44.000 43.000 42.000 41.000 40.000

5.000 4.000 3.000 2.000 1.000 0

40.000 40.000 40.000 40.000 40.000

200.000 160.000 120.000 80.000 40.000 0

213

capitulo 6-201-234

213

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

Si se desea calcular el total de los intereses pagados hasta una fecha determinada, se procede de la siguiente manera: I1 = Pi I2 = (P − Ac) i I3 = (P − 2Ac)i Ik = [P − (k − 1) Ac] i Luego, I = I1 + I2 + ... + Ik I = Pi + i (P − Ac) + i (P − 2Ac) + ... + i [P − (k − 1) Ac] I = Pi + (Pi − Aci) + (Pi − 2Aci) + ... + [Pi − (k − 1) Aci] I = kPi – Aci [1 + 2 + 3 + ... + (k − 1)] Lo que está entre corchetes es la suma de los términos de una progresión aritmética.

Luego,

Como los intereses se pagan por anticipado, entonces el periodo estará dado por (k + 1).

214

capitulo 6-201-234

214

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Ejemplo 6.23 Con los datos del problema anterior, calcular los intereses pagados hasta el tercer periodo y hasta el último. a. Hasta el tercer periodo: k =3 i = 0,025 mensual P = $200.000 Ac = $40.000

Comprobación: I3 = I0 + I1 + I2 + I3 I3 = 5.000 + 4.000 + 3.000 + 2.000 = 14.000 b. Hasta el último periodo:

Comprobación:

Ejemplo 6.24 El gerente de una empresa le solicita al jefe de cartera que le diseñe un plan de créditos en el cual cada cuota sea el doble de la anterior. 215

capitulo 6-201-234

215

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

Primero debe elaborarse la función: A1 =A1 A2 = 2A1 A3 = 4A1 . . . n−1 An = A1r k−1

Luego, la k−ésima cuota con k ≤ n es Ak = A1r

donde r = razón de la progresión geométrica.

Se tiene la suma de los términos de una progresión geométrica creciente. Luego,

216

capitulo 6-201-234

216

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Se reemplaza así:

Luego,

Comprobación: P = $100.000 n=4 i = 0,02 217

capitulo 6-201-234

217

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

n

0 1 2 3 4

A

7.110,96 14.221,92 28.443,84 56.887,68

I

2.000 1.897,78 1.651,29 1.115,44

Abono a capital

5.110,96 12.324,14 26.792,54 55.772,35

Saldo

100.000,00 94.889,04 82.564,90 55.772,35 0

Ahora se resolverá por fórmula: 3−1 2 A3 = A1r = 7.110,96 (2) = 28.443,84

Sistema de valor constante 씰 Sistema UPAC y Sistema UVR El sistema de valor constante surgió durante la gran depresion de los Estados Unidos, cuando el desempleo y el incremento desmedido de la pobreza generaron la disminucion del poder adquisitivo de los ciudadanos, además de la disminucion de ingresos en las empresas. (no habia quien comprara). En los años 30, algunos estudiosos convocados en Washington por el profesor Jacob Viner, entre ellos Lauchin Courrie, egresado de la Universidad de Harvard, tenían claro el objetivo: buscar la solución a la crisis. Así, junto con el presidente del Banco Central se buscó una manera de incentivar el empleo y, por consiguiente, el ingreso. En las condiciones dadas en ese momento, el único sector que se podría activar era el de la construcción, lógicamente con la ayuda del sector privado; la manera de hacerlo sería operando sobre la oferta y la demanda de fondos para la construcción de vivienda: la oferta, utilizando un sistema de garantías, y la demanda, mediante la facilitación de su pago con la disminución de las cuotas iniciales, unido esto a plazos mayores para rebajar el valor de las cuotas, con tasas de interés bajas y tendencia a la baja de los precios de los inmuebles. Todo lo anterior tendría como efecto directo la reactivación de la economía. Esta estrategia para reactivar la economía en momentos de depresión, generó la idea que dio origen al sistema de valor constante en nuestro país, el sistema UPAC. 218

capitulo 6-201-234

218

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

El sistema UPAC nace jurídicamente con el decreto presidential 677 de mayo 2 de 1972, con el cual se pretendió fomentar el ahorro para la construcción, orientándolo sobre el principio del sistema de valor constante y dando ciertos estímulos a las entidades financieras, a través de exenciones tributarias. Surgió asimismo, la figura de la corrección monetaria como el elemento fundamental para el cálculo del valor de la unidad de poder adquisitivo constante, upac. La Junta del Banco de la República estableció la metodología para el cálculo de la corrección monetaria. Entre 1972 y mediados de 1999, la Junta del Banco de República modificó 22 veces la metodología para el cálculo de la correccíon monetaria hasta llegar en 1999 a una corrección monetaria conformada por el 25% del IPC y el 75% de la DTF en cifras redondas. Esta situación dio lugar a una incapacidad económica de los deudores para cumplir con sus obligaciones bancarias, dado que las tasas de interés se elevaron considerablemente y, como si fuera poco, se incurrió en anatocismo (cobro de intereses sobre intereses), figura prohibida por la legislación civil y comercial de Colombia. Ante estos hechos, el sistema financiero colapsó y debió intervenir la Corte Constitucional, lo cual trajo como consecuencia la desaparición del sistema Upac y el nacimiento del sistema UVR. La unidad de valor real (UVR) no nació como una solución para los créditos de vivienda durante la crisis financiera de 1999 sino que la desarrolló la Dirección General de Crédito Público del Ministerio de Hacienda, con el fin de emitir títulos de deuda pública interna (TES) de largo plazo, denominados en una unidad que protegiera al comprador del título de las variaciones en el nivel de precios de la economía, y le permitiera asegurar una rentabilidad real por encima de la inflación. Posteriormente, la Ley de Vivienda 546 de l999 adoptó el sistema UVR como la base del nuevo sistema de financiamiento de vivienda en Colombia, con una corrección monetaria atada únicamente al índice de precios al consumidor (IPC), certificado por el Dane. Es decir, en esas condiciones la corrección monetaria sería igual al IPC; dicho de otra forma, la corrección monetaria sería sinónimo de IPC. UPAC (unidad de poder adquisitivo constante): sistema que reconocía una tasa de interés sobre el capital invertido, previamente ajustado con la corrección monetaria causada, corrigiendo así la pérdida de poder adquisitivo causada por la inflación. Cálculo de la UPAC para nov. 10/99 Valor UPAC a octubre 31/99 = 16.293,0768 Variación diaria:

365

1,1243 − 1 = 0, 00032104 10

UPAC = 16.293,0768(1,00032104) = 16.345,46

219

capitulo 6-201-234

219

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

UVR (unidad de valor real): cálculo de la UVR: el valor en pesos de la Unidad de Valor Real (UVR) se determinará diariamente durante el periodo de cálculo, de acuerdo con la siguiente fórmula: t/d

UVRt = UVR15 × (1+i)

donde UVRt = Valor en pesos de la UVR del día t del periodo de cálculo UVR15 = Valor en pesos de la UVR, el dia 15 de cada mes. i = Variación mensual del índice de precios al consumidor certificada por el DANE durante el mes calendario anterior al mes del inicio del periodo de cálculo. t = Numero de días calendario transcurridos desde el inicio de un periodo de cálculo hasta el día de cálculo de la UVR. Por lo tanto, t tendrá valores entre 1 y 31, de acuerdo con el número de días calendario del respectivo periodo. d = número de días calendario del respectivo periodo de cálculo. Así, para calcular la UVR para el día 17 de noviembre de 1999, la operación es t/d

UVRt = UVR15 × (1+i)

2/30

UVR17 = 102,7091(1+0,0035)

= 102,7330

Para calcular la UVR para el 2 de noviembre de 1999, la operación es UVR2 = 102,3713(1+0,0033)

18/31

= 102,5673

씰 Comparación entre el sistema UPAC y el sistema UVR Ambos sistemas tienen la misma filosofía: mantener el valor del dinero a través del tiempo, dentro de una economía de tipo inflacionario.

Sistema UPAC

Sistema UVR

1. Operaba con base en la corrección monetaria.

1. Opera con base en el IPC

2. La corrección monetaria era calculada por la Junta del Banco de la República.

2. El IPC lo calcula el DANE

220

capitulo 6-201-234

220

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

3. La corrección monetaria se calculaba con base en un determinado porcentaje de la DTF y otro porcentaje del IPC. Cada vez el porcentaje de la DTF era mayor mientras que el porcentaje del IPC era menor.

3. El IPC se calcula con base en el aumento del precio de una serie de bienes y servicios establecido por el DANE.

4. El periodo de cálculo para las UPAC estaba comprendido entre el primero y último día de cada mes.

4. El periodo de cálculo está comprendido entre el 16 de un mes y el 15 del mes siguiente.

5. Los valores de la UPAC para cada uno de los días del periodo de cálculo, se establecían a partir del valor de la UPAC del último día del mes inmediatamente anterior a la iniciación del periodo de cálculo.

5. Los valores de la UVR para cada uno de los días del periodo de cálculo, se establecen a partir del valor de la UVR del día 15 inmediatamente anterior a la iniciación del periodo de cálculo.

Como se puede observar la diferencia entre los dos sistemas radica básicamente en que el sistema UPAC estaba atado a una corrección monetaria que dependía de la DTF y el IPC, mientras que el sistema UVR está atado únicamente al IPC.

Planes de amortización para créditos de vivienda Planes autorizados para créditos de vivienda, los cuales también son válidos para créditos de libre inversión 1. Cuota constante en pesos. 2. Abono constante a capital en pesos. 3. Cuota constante en UVR. 4. Abono constante a capital en UVR. 5. Cuota decreciente mensualmente en UVR y cíclica por años.  (1 + i )n × i   n  (1 + i ) − 1 

1. Cuota constante en pesos A = P 

221

capitulo 6-201-234

221

1/20/06, 10:42 AM

capitulo 6-201-234

222

31

20−Abr−00

3

222

1/20/06, 10:42 AM

31

20−Jun−00

20−Jul−00

20−Ago−00

20−Sep−00

20−Oct−00

20−Nov−00

6

7

8

9

10 31

30

31

31

30

30

4 20−May−00

5

29

20−Feb−00

20−Mar−00

1 31

Días periodo

2

20−Ene−00

Fecha de pago

0

Altura

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

Valor cuota

Cálculo de la tasa mensual: Cálculo de la cuota:

Valor del desembolso: Fecha del desembolso: Plazo: Tasa de interés: IPC de enero de 2000: Cálculo de la tasa de interés:

Ejemplo 6.25

Valor IPC Tasa Int. periódica Tasa int. realmente cobrada

Valor intereses

Factor

$100.000.000,00 0,016251175

Saldo

$83.060,80 $99.916.939,20 0,016264685

Amortización

$87.186,12 $99.645.293,45 0,016309025

$90.665,80 $99.416.161,85 0,016346613

$95.705,27 $99.084.320,42 0,016401359

$94.251,85 $99.108.025,69 0,016385533

0,006484577 $641.567,74 0,00887842 0,00893599 $884.104,42

$99.445,38 $98.838.039,84

0

0,006274742 $621.728,56 0,00859079 0,00864470 $856.553,78 $146.835,20 $98.937.485,22 0,016425701

0,006484577 $643.140,51 0,00887842 0,00893599 $886.271,76

0,006484577 $643.751,69 0,00887842 0,00893599 $887.114,00

0,006274742 $623.810,78 0,00859079 0,00864470 $859.422,44 $141.884,31 $99.274.277,54 0,016369976

0,006484577 $645.259,68 0,00887842 0,00893599 $889.192,06

0,006274742 $625.248,52 0,00859079 0,00864470 $861.403,22 $138.465,80 $99.506.827,65 0,016331719

0,006484577 $646.722,94 0,00887842 0,00893599 $891.208,49

0,006064951 $605.991,35 0,00830325 0,00835360 $834.666,55 $184.459,64 $99.732.479,56 0,016294767

0,006484577 $648.457,70 0,00887842 0,00893599 $893.599,05

IPC periódico

Tabla de amortización para las 10 primeras cuotas

$100.000.000 enero 20 de 2000 15 años = 180 meses IPC más 11 puntos porcentuales de interés adicional 7,93% = 0,0793 ia =[(1 + 0,0793)(1 + 0,11)] −1 ia = 0,198023 1/12 iap = (1,198023) − 1 = 0,015169972 $1.625.117,54

Sistema de cuota constante en pesos

Matemáticas financieras

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Gráfico de amortización - Plan cuota constante en pesos 120.000.000

100.000.000

Saldo

80.000.000 60.000.000

40.000.000 20.000.000

0 -20.000.000 00 00 01 1 02 02 03 03 04 04 05 05 06 06 07 07 08 08 09 09 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 e - Jul - ne - Jul- 0 ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne E E E E E E E E E E E E E E E

En

Meses - periodos

씰 Explicación de la tabla de amortización en el sistema de cuota constante(fija) en pesos Cuando existen dos tasas, una de IPC y otra de interés propiamente dicho, es necesario calcular primero la tasa efectiva anual que resulta de dicha combinación. El IPC es un índice o indicador cuya funcion es mostrar la variación anual que han sufrido los precios de los bienes y de los servicios en el país. En otras palabras, es el indicador de la inflación y, como tal, está expresado siempre en términos efectivos anuales. La tasa de interés que se ha de combinar con el IPC se conoce con el nombre de margen o spread. Esta tasa, por definición del Estatuto Orgánico del sistema financiero colombiano, tiene que estar expresada también en términos efectivos anuales, ya que si se trata de combinar dos tasas, éstas deben ser de la misma naturaleza. Es decir, no se puede combinar una tasa efectiva anual con otra tasa nominal anual. Lo que sí se puede, es convertir una de ellas en otra que sea equivalente.

Ejemplo 6.26 Suponiendo que en un crédito la tasa de interés está dada por un IPC del 7,93%, y 11 puntos porcentuales de interés adicional, primero se calcula la tasa efectiva anual: 223

capitulo 6-201-234

223

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

ia = tasa efectiva anual iap = tasa periódica( mensual, bimestral, etc.) ie = tasa de interés efectiva anual (margen o spread) ia = (1+IPC)(1 + ie) − 1 ia = (1,0793)(1,11) − 1 = 0,198023 A continuación se calcula la tasa periódica para el periodo comprendido por los días transcurridos entre dos periodos de pago. Para este ejemplo se calculará la tasa de interés para el periodo comprendido entre el 20 de enero de 2000 y el 20 de febrero de 2000, que equivale a 31 días; como el año 2000 es bisiesto se aplican 366 días. iap = (1 +ia) iap = (1,198023)

31/366

31/366

−1

− 1 = 0,015420567

Nota. Esta tasa periódica está compuesta por dos elementos: la tasa del IPC periódica y la tasa de interés periódica propiamente dicha. Ahora se calcula el valor del IPC en cada periodo; para hacerlo, primero debemos hallar los intereses totales del respectivo periodo. saldo: $100.000.000 Intereses totales = 0,01542057 × $100.000.000 = $1.542.057 Nota. Este valor está compuesto por los intereses propiamente dichos del periodo y por el valor del IPC del mismo periodo, ya que la tasa aplicada contiene esos dos elementos. Ahora se calcula la tasa del IPC para el mismo periodo: IPCp = (1,0793)

31/366

− 1 = 0,006484577

Después se calcula el valor del IPC para el mismo periodo: Valor IPC = 0,006484577 × $100.000.000 = $648.457,70 Del valor de los intereses totales se resta el valor del IPC y el saldo resultante corresponderá a los intereses propiamente dichos del mismo periodo. Entonces, Valor intereses = $1.542.057 − $648.457,70 = $893.599,30

224

capitulo 6-201-234

224

1/20/06, 10:42 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Esto quiere decir que en ese periodo se pagaron $893.599,30 por concepto de intereses y $648.457,70 por concepto de IPC. Es importante aclarar que el IPC no es no es una tasa de interés. La ley 45 de 1990 dice que para los efectos de establecer los límites de la usura, la corrección monetaria (hoy, IPC) se computará como interés. Existe otro procedimiento de cálculo, que corresponde al cálculo de la tasa de interés realmente cobrada en un crédito, que algunos confunden con la tasa de rentabilidad real. Son dos cosas muy distintas.

씰 Cálculo de la tasa de interés realmente cobrada en un crédito En un crédito donde los cálculos de la tasa de interés están determinados por los efectos de la inflación o IPC es necesario considerar: a. El objetivo del IPC es corregir los efectos de la inflación. b. Sobre el capital previamente corregido a actualizado con el IPC, se aplica la tasa de interés propiamente dicha (margen o spread). Lo anterior indica que la corrección monetaria o IPC produce también unos intereses sobre ella y, por tanto, la tasa de interés realmente cobrada en un crédito estará dada por ia = ie + (ie) (IPC) En el ejemplo que hemos venido trabajando, se tendría que: ia = 0,11 + (0,11)(0,0793) = 0,118723 La tasa periódica estará dada por iep = (1,l 1)

31/366

− 1 = 0,008878418

IPCp = 0,006484577 Luego, iap = 0,008878418 + (0,008878418)(0,006484577) = 0,008935993 Si se multiplica el saldo por esta tasa, se obtendrá el valor de los intereses propiamente dichos: Valor intereses = 0,008935993 × $100.000.000 = $893.599,30

225

capitulo 6-201-234

225

1/20/06, 10:42 AM

Matemáticas financieras

Como se puede observar, éste es el mismo valor calculado anteriormente. A continuación se calcula el valor del abono o valor de la amortización. Al valor de la cuota que corresponda pagar en un periodo determinado, se le restan los valores correspondientes a intereses y corrección monetaria (IPC). Este resultado se resta del saldo insoluto del capital para obtener el nuevo saldo de la obligación. Después se calcula el factor, el cual se conoce como factor de reducción de cuota o factor para el cálculo de la nueva cuota. Se calcula a partir de la expresión general: Fi = (Ai + 1) /si Donde Fi = factor de la cuota i Ai = cuota i Ai+1 = cuota siguiente a la cuota i Si = saldo i De ese modo se puede calcular el factor correspondiente a la cuota con la fórmula: F1 =

A2 S1

Este factor siempre será menor que la unidad excepto en la penúltima cuota. Con esta fórmula se hace el cálculo de la nueva cuota cuando hay abonos no pactados inicialmente. Cuando se hace esta clase de abonos, el factor se constituye en el elemento fundamental para el cálculo de la nueva cuota, a partir del momento que se hizo el abono al crédito.

Ejemplo 6.27 Supongamos que con el pago de la cuota 4, se hará un abono al crédito por $20.000.000 Esto indica que el saldo después de pagar la cuota 4 estará dado por: Saldo = Saldo anterior − Valor amortización de la cuota 4 − $20.000.000 El nuevo saldo así obtenido, se multiplicará por el factor correspondiente a la cuota 4 y el resultado será el valor de la nueva cuota que se continuará pagando a partir de la quinta cuota inclusive.

226

capitulo 6-201-234

226

1/20/06, 10:42 AM

capitulo 6-201-234

227

30 31

20−Abr−00

4 20−May−00

20−Jun−00

20−Jul−00

20−Ago−00

20−Sep−00

20−Oct−00

20−Nov−00

5

6

227

1/20/06, 10:42 AM

7

8

9

10 31

30

31

31

30

29 31

20−Mar−00

2

3

31

Días periodo

20−Feb−00

20−Ene−00

Fecha de pago

1

0

Altura

$1.298.483,16

$1.298.483,16

$1.298.483,16

$1.298.483,16

$1.298.483,16

$1.298.483,16

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

$1.625.117,54

Valor cuota Valor IPC Tasa Int. periódica

Tasa int. realmente cobrada

Valor intereses

Factor

$100.000.000,00 0,016251175

Saldo

$83.060,80 $99.916.939,20 1,016264685

Amortización

$87.186,12 $99.645.293,45 0,016309025

$72.442,76 $79.434.384,89 0,016346613

$76.469,35 $79.169.240,68 0,016401359

$75.308,05 $79.245.710,02 0,016385533

0,006484577 $512.618,25 0,00887842 0,00893599 $706.407,19

$79.457,73 $78.972.460,34

0

0,006274742 $496.766,57 0,00859079 0,00864470 $684.393,98 $117.322,61 $79.051.918,07 0,016425701

0,006484577 $513.874,90 0,00887842 0,00893599 $708.138,91

0,006484577 $514.363,25 0,00887842 0,00893599 $708.811,86

0,006274742 $498.430,28 0,00859079 0,00864470 $686.686,07 $113.366,81 $79.321.018,08 0,016369976

0,006484577 $515.568,14 0,00887842 0,00893599 $710.472,25

0,006274742 $625.248,52 0,00859079 0,00864470 $861.403,22 $138.465,80 $79.506.827,65 0,016331719

0,006484577 $646.722,94 0,00887842 0,00893599 $891.208,49

0,006064951 $605.991,35 0,00830325 0,00835360 $834.666,55 $184.459,64 $99.732.479,56 0,016294767

0,006484577 $648.457,70 0,00887842 0,00893599 $893.599,05

IPC periódico

Tabla de amortización para las 10 primeras cuotas

$100.000.000 Enero 20 de 2000 15 años = 180 meses IPC más 11 puntos porcentuales de interés adicional 7,93% = 0,0793 ia =(1 + 0,0793)(1 + 0,11) −1 ia = 0,198023 1/12 Cálculo de la tasa mensual: iap = (1,198023) − 1 = 0,015169972 Cálculo de la cuota: $1.625.117,54 Valor Abono extra en mayo 20 de 2000: $20.000.000

Valor del desembolso: Fecha del desembolso: Plazo: Tasa de interés: IPC de enero de 2000: Cálculo de la tasa de interés:

Ejemplo 6.28

Sistema de cuota constante en pesos con abono extraordinario no pactado

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

capitulo 6-201-234

228

En

Meses - periodos

00 00 01 1 02 02 03 03 04 04 05 05 06 06 07 07 08 08 09 09 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 e - Jul - ne - Jul- 0 ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne - Jul - ne E E E E E E E E E E E E E E E

-20.000.000

0

20.000.000

40.000.000

60.000.000

80.000.000

100.000.000

120.000.000

Gráfico de amortización - Plan cuenta cuota constante en pesos

Matemáticas financieras

228

1/20/06, 10:42 AM

Saldo

capitulo 6-201-234

P m

229

20−Abr−00

20−May−00

20−Jun−00

20−Jul−00

20−Ago−00

20−Sep−00

20−Oct−00

20−Nov−00

3

5

6

7

8

9

10

20−Mar−00

2

4

20−Feb−00

20−Ene−00

0

1

Fecha de pago

Altura

229

1/20/06, 10:42 AM

31

30

31

31

30

31

30

31

29

31

Días periodo

Ejemplo 6.29

$2.020.509,46

$1.981.190,70

$2.037.643,42

$2.046.210,40

$2.006.056,43

$2.063.344,36

$2.022.633,58

$2.080.478,33

$1.989.400,76

$2.097.612,29

Valor cuota Valor IPC Tasa Int. periódica

Tasa int. realmente cobrada

Valor intereses

Amortización

$100.000.000,00

Saldo

0,00648458 $616.034,81 0,00887842 0,00893599 $848.919,09 $555.555,55 $94.444.444,50

0,00627474 $599.586,47 0,00859079 0,00864470 $826.048,68 $555.555,55 $95.000.000,05

0,00648458 $623.239,90 0,00887842 0,00893599 $858.847,97 $555.555,55 $95.555.555,60

0,00648458 $626.842,44 0,00887842 0,00893599 $863.812,41 $555.555,55 $96.111.111,15

0,00627474 $610.044,38 0,00859079 0,00864470 $840.456,50 $555.555,55 $96.666.666,70

0,00648458 $634.047,52 0,00887842 0,00893599 $873.741,29 $555.555,55 $97.222.222,25

0,00627474 $617.016,31 0,00859079 0,00864470 $850.061,72 $555.555,55 $97.777.777,80

0,00648458 $641.252,61 0,00887842 0,00893599 $883.670,17 $555.555,55 $98,333,333,35

0,00606495 $603.125,70 0,00830325 0,00835360 $830.719,51 $555.555,55 $98.888.888,90

0,00648458 $648.457,70 0,00887842 0,00893599 $893.599,05 $555.555,55 $99.444.444,45

IPC periódico

Tabla de amortización para los 10 primeras cuotas

Cálculo de la tasa mensual: Cálculo de la amortización:

Valor del desembolso: Fecha del desembolso: Plazo: Tasa de interés: IPC de enero de 2000: Cálculo de la tasa de interés:

$100.000.000 Enero 20 de 2000 15 años = 180 meses IPC más 11 puntos porcentuales de interés adicional 7,93% = 0,0793 ia = (1 + 0,0793)(1 + 0,11) −1 ia = 0,198023 1/12 iap = (1,198023) − 1 = 0,015169972 $100,000,000 / 180 = $555.555,55 Cálculo de la cuota: amortización + IPC + Intereses

A = Abono + I + IPC

Sistema de abono constante a capital en pesos

2. Abono constante a capital en pesos Abono =

0,00588235

0,00584795

0,00581395

0,00578035

0,00574713

0,00571429

0,00568182

0,00564972

0,00561798

0,00558659

0,00555556

Factor

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

capitulo 6-201-234

230

0

20.000.000

40.000.000

60.000.000

80.000.000

100.000.000

120.000.000

0 7 14 21 28

70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 147 154 161 168 175

Meses - periodos

35 42 49 56 63

Gráfico de amortización - Plan abono constante a capital en pesos

Matemáticas financieras

230

1/20/06, 10:42 AM

Saldo

capitulo 6-201-234

231

20−Abril−00

20−Mayo−00

20−Jun−00

20−Jul−00

20−Agos−00

20−Sep−00

20−Oct−00

20−Nov−00

3

5

6

7

8

9

10

20−Mar−00

2

4

20−Febr−00

1

0 20−Enero−00

Altura

Fecha de pago

231

1/20/06, 10:42 AM

31

30

31

31

30

31

30

31

29

31

Días periodo

Cálculo de la cuota:

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

10.653,5074

Valor cuota IPC periódico Valor IPC

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00830325

0,00887842

Tasa Int. periódica

Tasa int. realmente cobrada

8.380,049550

8.130,244412

8.422,262061

8.441,897656

8.189,579140

8.483,043723

8.229,053118

8.523,480311

7.993,389491

8.565,634953

Valor intereses

2.273,4578

2.523,2630

2.231,2453

2.211,6097

2.463.9283

2.170,4637

2.424,4543

2.130,0271

2.660,1179

2.087,8724

Amortización

941.594,0029

943.867,4608

946.390,7238

948.621,9691

950.833,5788

953.297,5071

955.467,9708

957.892,4251

960.022,4521

962.682,5701

964.770,4425

Saldo

0,00000000

0,01128708

0,01125699

0,01123051

0,01120439

0,01117543

0,01115004

0,01112182

0,01109714

0,01106648

1,01104253

Factor

$100.000.000 Enero 20 de 2000 15 años = 180 meses 11% efectiva anual 1/12 iap = (1,11) − 1 = 0,008734594 $103,6516 Valor del desembolso en UVR = $100.000.000 / $103,6516 = 964.770,4425 10.653,5074

Tabla de amortización para las 10 primeras cuotas

Valor del desembolso: Fecha del desembolso: Plazo: Tasa de interés: Cálculo de la tasa mensual: Valor de la UVR en enero 20 de 2000:

Ejemplo 6.30

Sistema de cuota constante en U.V.R

 (1 + i )n × i   n  (1 + i ) − 1 

3. Cuota constante en UVR A = P 

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

capitulo 6-201-234

232

Saldo en UVR

P m

A =Abono + I + IPC

Periodo

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160164 168 172 176 180

4. Abono constante a capital en UVR Abono =

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

Gráfico de amortización cuota constante en UVR

Matemáticas financieras

232

1/20/06, 10:42 AM

capitulo 6-201-234

233

Enero 20 de 2000 15 años = 180 meses 11% efectiva anual

Fecha del desembolso:

Plazo:

Tasa de interés:

31

20−Abr−00

3

233

1/20/06, 10:42 AM

31

20−Jun−00

20−Jul−00

20−Ago−00

20−Sep−00

20−Oct−00

20−Nov−00

6

7

8

9

10 31

30

31

31

30

30

4 20−May−00

5

29

20−Feb−00

20−Mar−00

31

Días periodo

1

20−Ene−00

Fecha de pago

2

0

Altura

13.497,1890

13.279,6147

13.592,3627

13.639,9496

13.417,7504

13.735,1233

13.509,8408

13.830,2970

13.326,0574

13.925,4708

Valor cuota

Cálculo de la amortización:

IPC periódico Valor IPC

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00830325

0,00887842

Tasa Int. periódica

Tasa int. realmente cobrada

8.137,3532

7.919,7789

8.232,5269

8,280,1138

8.057,9146

8.375,2875

8.150.0050

8.470,4612

7.966,2216

8.565,6350

Valor intereses

Tabla de amortización para las 10 primeras cuotas

964.770,4425 / 180 = 5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

5.359,8358

Amortización

Factor

911.172,0845

0

916.531,9203 0,005847953

921.891.7561 0,005813953

927.251,5919 0,005780347

932.611,4277 0,005747126

937.971,2635 0,005714286

943.331,0993 0,005681818

948.690,9351 0,005649718

954.050,7709 0,005617978

959.410,6067 0,005586592

964.770,4425 0,005555556

Saldo

Valor del desembolso en UVR = $100.000.000 / $103,6516 = 964.770,4425

Valor de la UVR en enero 20 de 2000: $103,6516

$100.000.000

Valor del desembolso:

Ejemplo 6.31

Sistema de abono constante a capital en U.V.R

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

capitulo 6-201-234

234

234

1/20/06, 10:42 AM

Saldo en UVR

0

Periodo

P

[g + i] k −1

[(1 − g) ]

0 5 10 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180

 (1 + iea ) m −1 − 1  1 + m −1   iea (1 + iea )   5. Cuota decreciente mensualmente en UVR y cíclica por años Ak = n 1− g 1−   1+ i 

-200.000

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

1.200.000

Gráfico de amortización - Abono constante a capital - UVR

Matemáticas financieras

capitulo 6-235-258

235

31

20−Abr−00

3 31

31 30

20−Jun−00

20−Jul−00

20−Ago−00

20−Sep−00

6

7

8

235

1/20/06, 10:43 AM

28 31 30

20−Dic−00

20−Ene−01

20−Feb−01

20−Mar−01

20−Abr−01

11

12

13

14

15

16 20−May−01

31

31

30

31

20−Oct−00

20−Nov−00

9

10

31

30

30

4 20−May−00

5

29

20−Feb−00

20−Mar−00

31

Días periodo

1

20−Ene−00

Fecha de pago

2

0

Altura

10.855,73279

10.942,99375

11.030,95614

11.119,62559

10.182,23444

10.264,08166

10.346,58679

10.429,75512

10.513,59198

10.598,10273

10.683,29280

10.769,16765

10.855,73279

10.942,99375

11.030,95614

11.119,62559

Valor cuota

Cálculo de la primera cuota: IPC periódico Valor IPC

0,00861443

0,00890285

0,00803783

0,00890285

0,00890285

0,00859079

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00859079

0,00887842

0,00830325

0,00887842

Tasa Int. periódica Tasa int. realmente cobrada

7992,229332

8283,496528

7506,980334

8339,619930

8355,879693

8081,740346

8369,874189

8118,576719

8409,078545

8428,342582

8176,828617

8471,000109

8219,221409

8515,956410

7989,519198

8565,634953

Valor intereses

2.863,503454

2.659,497222

3.523,975805

2.780,005660

1.826,354745

2.182,341316

1.976,712604

2.311,178402

2.104,513430

2.169,760148

2.506,464186

2.298,167544

2.636,511377

2.427,037340

3.041,436941

2.553,990637

Amortización

924.908,9917

927.772,4951

930.431,9924

933.955,9682

936.735,9738

938.562,3286

940.744,6699

942.721,3825

945.032,5609

947.137,0743

949.306,8345

951.813,2987

954.111,4662

956.747,9776

959.175,0149

962.216,4519

964.770,4425

Saldo

0,00000000

0,01170086

0,01176120

0,01181100

0,01187061

0,01084876

0,01091059

0,01097523

0,01103640

0,01110039

0,01116404

0,01122415

0,01128712

0,01134649

0,01140876

0,01146411

0,01152567

Factor

$100.000.000 Enero 20 de 2000 15 años = 180 meses 1/12 11% efectiva anual Tasa periódica: iap = ((1,11) ) − 1 = 0,008734594 1/12 10% efectivo anual Variación de las cuotas:((1,10) ) − 1 = 0,00797414 $103,6516 Valor del desembolso en UVR = $100.000.000 / $103,6516 = 964.770,4425 11.119,62559

Tabla de amortización para las 16 primeras cuotas

Valor del desembolso: Fecha del desembolso: Plazo: Tasa de interés: Gradiente: Valor de la UVR en enero 20 de 2000:

Ejemplo 6.32

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Matemáticas financieras

Este plan consiste en la integración de un sistema de gradiente geométrico decreciente con otro sistema de cuota anual uniforme y anticipada durante todo el plazo. El valor del gradiente está dado por el valor del IPC. Conociendo el valor del desembolso (valor del crédito) en UVR, se calcula el valor de la cuota anual anticipada, con la expresión vista: A=

P  (1 + ia) m −1 − 1  1 +  ia(1 + ia) m −1  

donde A = valor de la cuota anual anticipada P = valor del desembolso en UVR ia = tasa efectiva anual m = plazo en años E1 valor de la cuota anual anticipada se asume como un valor presente y se calcula la primera cuota de la serie decreciente geométricamente. El gradiente está dado por la variacion mensual de Ia UVR (la variación mensual es el IPC). 236

capitulo 6-235-258

236

1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

La expresión matemática para hacer el cálculo es A1 =

(

P g + ia p

)

 1− g  1−    1 + ia p 

n

donde A1 = valor de la primera cuota de la serie de 12 cuotas decrecientes P = valor de la cuota constante y anticipada calculada anteriormente g = valor del gradiente (variación mensual del IPC). iap = tasa periódica n = 12 meses. Este plan habla de cuotas mensuales, luego el ciclo es de 12 meses. Este ciclo se repite año a año durante todo el plazo.

Ejemplo 6.33 Un crédito de vivienda por $50.000.000 se desembolsó el 20 de enero de 2000. El plazo fue de 15 años. la tasa de interés es 11% efectiva anual. Las cuotas son mensuales y decrecen en el valor del IPC. (Asuma el 10% efctivo anual). Elabore la tabla de amortización para varios periodos. A=

482.385, 2212  (1,11)15−1 − 1  1 + 15 −1   0,11 (1,11) 

A = 60.435,14985 UVR A=P A1 =

60.435,14985( 0, 0079744 + 0, 00873459 )   1 − 0, 0079744  12  1 −   1 + 0, 00873459   

237

capitulo 6-235-258

237

1/20/06, 10:43 AM

Matemáticas financieras

A1 = 5.559,8128 UVR k−1

A2 = A1(1−g)

2−1

A2 = 5.559,8128(1 − 0,00797414)

= 5.515,4781

11

A12 = 5.559,8128(1 − 0,00797414) = 5.091,1172 Este problema se puede resolver en forma más simple, si se integran las dos fórmulas: P

[

]

g + ia p  (1 + ia) m −1 − 1  1 +  ia(1 + ia) m −1   Ak = [1 − g]k −1 n     1 − 1 − g     1 + ia p    

donde K = indica el número de la cuota. K tendrá valores desde 1 hasta 12. P = valor del desembolso en UVR

Ejemplo 6.34 Calcular con los datos anteriores, el valor de la cuota 6 482.385, 2212 (0, 007974 + 0, 00873459)  (1, 11)14 − 1  1 + 14   0, 11 (1, 11)  A6 = [1 − 0, 007974114]5   1 − 0, 00797414  12  1 −      1 + 0, 00873459  

A6 =

1.009, 794602 0,181623854

(0, 960760119) =

A6 = 5.341,6464 UVR

238

capitulo 6-235-258

238

1/20/06, 10:43 AM

capitulo 6-235-258

239

239

1/20/06, 10:43 AM

.

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 l0 11 12 13 14 15 . . . 24

Altura

20−Ene-00 20-Feb-00 20-Mar-00 20-Abr−00 20-May-00 20-Jun-00 20-Jul-00 20-Ago-00 20-Sep-00 20-Oct-00 20-Nov-00 20-Díc-00 20-Ene-01 20-Feb-01 20-Mar-01 20-Abr-01

Fecha de pago

31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 31 28 31 5.559,8128 5.515,4781 5.471,4969 5.427,8664 5.384,5838 5.341,6464 5.299,0514 5.256,7960 5.214,8776 5.173,2934 5.132,0408 5.091,1172 5.559,8128 5.515,4781 5.471,4969

Días Valor cuota IPC Valor periodo periódico IPC

Fecha del desembolso: Plazo: Tasa de interés: Tasa de interés periódica: Valor de la UVR el 20 de enero de 2000: Valor del desembolso en UVR = Gradiente:

0,008878418 0,008303245 0,008878418 0,008590790 0,008878418 0,008590790 0,008878418 0,008878418 0,008590790 0,008878418 0,008590790 0,008902850 0,008902850 0,008037831 0,008902850

Tasa Int. periódica

4.282,8175 3.994,7596 4.257,9782 4.109,6107 4.235,5001 4.088,4143 4.214,1713 4.204,5393 4.059,2884 4.184,9371 4.040,8702 4.177,9398 4.169,8100 3.753,4902 4.141,7483

Valor intereses

1.276,9953 1.520,7185 1.213,5187 1.318,2557 1.149,0838 1.253,2321 1.084,8801 1.052,2567 1.155,5892 988,3563 1.091,1707 913,1774 1.390,0028 1.761,9879 1.329,7486

Amortización

482.385,2212 481.108,2259 479.587,5074 478.373,9887 477.055,7330 475.906,6493 474.653,4172 473.568,5371 472.516,2804 471.360,6911 470.372,3348 469.281,1642 468.367,9868 466.977,9840 465.215,9961 463.886,2474

Saldo UVR

0,011464111 0,011408756 0,011346492 0,011287117 0,011224147 0,011164043 0,011100391 0,011036398 0,010975233 0,010910592 0.010848757 0,011870608 0,011811002 0,011761197

Factor

0,01152567 $104,3425 $105,8427 $108,1860 $109,9017 $110,9186 $111,3955 $111,3696 $111,3915 $111,7658 $111,7658 $111,7658 $111,7658 $111,7658 $111,7658

Valor UVR

$103,6516 $580.125 $583.773 $591.939 $596.532 $597.251 $595.035 $590.153 $585.562 $582.845 $578.197 $573.587 $569.013 $621.397 $616.442

Vr. cuota en pesos

$50.000.000 $50.200.035 $50.760.837 $51.753.368 $52.429.236 $52.786.899 $52.874.250 $52.741.139 $52.634.297 $52.682.005 $52.571.540 $52.449.585 $52.347.523 $52.192.168 $51.995.238

Vr. saldo en pesos

Enero 20 de 2000 15 años = 180 meses 11% 0,00873459 $103,6516 $50.000.000 / 103,6516 = 482.385,2212 UVR Está dado por el valor del IPC 10% efectiva anual gradiente periódico: 0,00797414

Plan cuota decreciente mensualmente en UVR y cíclica por años.

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Matemáticas financieras

Problemas propuestos 1. Consultar todos los planes de amortización para créditos de vivienda que tienen los bancos y resolverlos para préstamos de diferentes denominaciones.

Plazo = 36 meses Tasa de interés = 2,5% mensual Pago de cuotas mensuales, de las cuales cada una decrece en un 1,2% respecto de la anterior. Calcular la cuota número 12. Respuesta: $1.324,541

2. El señor Pérez solicitó un crédito para vivienda y se le otorgó así: Valor del préstamo = $5.000.000 Tasa de interés = 6% anual Tasa de corrección monetaria = 19% anual Plazo = 10 años Pago de cuotas mensuales que se incrementarán en $60,00 cada una con respecto a la anterior. Calcular la cuota número 20. Respuesta: $107.175,42

6. Un banco le prestó al señor Pérez $5.000.000 para mejorar sus cafetales. El crédito se dio así: Plazo = 3 años Pago de cuotas mensuales iguales Tasa de interés = 2% mensual Si el señor Pérez se compromete a hacer abonos de $100.000 al final de cada semestre, ¿cuál será el valor de sus cuotas? Respuesta: $180.311,68

3. Con los datos del problema anterior, calcular la décima cuota pero teniendo en cuenta que el incremento es del 0,0566% sobre la primera cuota. Respuesta: $106.536,36

7. Una entidad tiene el siguiente plan para sus créditos de vivienda: Valor del préstamo = $10.000.000 Plazo = 15 años con pago de cuotas mensuales Tasa de interés = 4% anual Corrección monetaria = 19% anual Cada año las cuotas se incrementarán en un 10% sobre la anualidad anterior Calcular el valor de la cuota número 80. Respuesta: $221.729,19

4. Una entidad otorgó un crédito para vivienda en las siguientes condiciones: Valor del préstamo = $10.000.000 Tasa de interés = 5% anual Corrección monetaria = 20% anual Pago de cuotas bimestrales Plazo = 15 años; cada cuota se incrementará en un 12% sobre la anterior Calcular la cuota número 50. Respuesta: $248.411,30

8. El Banco le prestó al señor Pérez $4.000.000 en las siguientes condiciones: Plazo = 3 años con pago de cuotas mensuales

5. El Banco le prestó al señor Pérez $30.000.000 en las siguientes condiciones: 240

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240

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Tasa de interés = 2,8% mensual Pago de cuotas iguales Periodo de gracia = 6 meses El plazo no incluye el periodo de gracia Calcular el valor de la cuota. Respuesta: $209.827,91

10. Con base en los datos del problema 9, calcular el total de los intereses pagados hasta el mes 12. Respuesta: $812.500 11. Un crédito de $5.000.000 se otorga en las siguientes condiciones: i = 0,025 mensual n = 12 meses La modalidad del pago será: pago de intereses por mes anticipado y el capital se amortizará en partes mensuales iguales vencidas. Calcular el valor de la quinta cuota. Respuesta: A5= $489.583,32

9. El Banco le prestó al señor Pérez $5.000.000 con el siguiente plan: El capital se pagará en partes mensuales iguales y en forma vencida Los intereses se pagarán mensualmente en forma anticipada El plazo será de 12 meses Tasa de interés = 2,5% mensual Calcular el valor de la sexta cuota. Respuesta: $479.166,66

12. Con base en los datos del problema 11, calcular el monto de los intereses pagados hasta la novena cuota. Respuesta: I9 = $781.250

Autoevaluación 1. Un crédito se otorga en las siguientes condiciones: Préstamo = $1.000.000 Tasa de corrección monetaria = 25% anual Tasa de interés = 4% anual Plazo = 180 meses Incremento = $60,00 sobre cada cuota Calcular la primera y la segunda cuotas.

3. Elaborar la tabla de amortización y su respectiva gráfica para un préstamo que se amortizará en las siguientes condiciones: Corrección monetaria = 24% anual Tasa de interés adicional = 9% anual Plazo = 15 años Pago de cuotas mensuales Incremento =18,5% anual Valor del préstamo = $1.000.000

2. Un crédito se otorga en las siguientes condiciones: Préstamo = $5.000.000 Plazo = 50 meses Tasa de interés mensual = 2% Incremento = 15% sobre la cuota anterior Calcular el valor de la octava cuota.

4. Elaborar la tabla de amortización y la gráfica respectiva para un préstamo que se amortizará en las siguientes condiciones: Corrección monetaria = 24% anual Tasa de interés adicional = 9% anual 241

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Matemáticas financieras

Plazo = 120 meses Pago de cuotas mensuales Valor del préstamo = $1.000.000 Incremento = 18,5% anual.

6. Con los datos del problema anterior, calcular el total pagado al final de los 15 años. 7. Calcular el valor de la cuota mensual de un crédito otorgado en las siguientes condiciones: P = $5.000.000 n = 24 meses i = 0,03 mensual Pago de una cuota de $1.000.000 al final de los dos años.

5. Un crédito de $10.000.000 se amortizará en las siguientes condiciones: Corrección monetaria = 19% anual Tasa de interés adicional = 5% anual Plazo = 15 años Pago de cuotas mensuales Incremento anual =14% Calcular el valor de la sexta cuota.

8. Un crédito de $90.000.000 fue desembolsado el día 13 de Junio de 2002. El sistema de amortización elegido fue el de cuota igual y vencida mensualmente en UVR. La tasa de interés sobre la UVR es del 23,872053% efectiva anual y el plazo es de 15 años. a. Elaborar la tabla de amortización en UVR para los dos primeros pagos. b. Expresar en pesos el valor de la tercera cuota. Información adicional: Fecha

Febrero 15 de 2002 Marzo 15 de 2002 Abril 15 de 2002

Valor de la UVR

$121.8943 122.8695 124.4177

Variación mensual del IPC

Feb./0 Mar./02 Abr./02 May./02 jun./02 Jul./02 Ago./02

0,0126 0,0071 0,0092 0,0060 0,0043 0,0002 0,0009

9. Un crédito de $80.000.000 se desembolsó el día 15 de noviembre del 2002. El sistema de amortización fue el de cuota constante mensualmente en UVR. EL plazo fue de diez años y la tasa de interés, 11% efectiva anual. Elaborar la tabla de amortización en UVR para las tres primeras cuotas. Valor UVR de noviembre 15 de 2002: $128,3606 242

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Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

10. Un crédito por $80.000.000 se otorgó el día 13 de julio de 2002 en las siguientes condiciones: Plan de amortización: abono constante a capital en UVR. Plazo: 15 años con pago de cuotas mensuales y vencidas. Tasa de interés: 9% efectiva anual sobre la UVR. Elaborar las tablas de amortización en UVR y en pesos. Valor UVR de junio 15 de 2002: $126,4539 Valores del IPC : Mayo de 2002 0,0060 Junio de 2002 0,0043 Julio de 2002 0,0002 Agosto de 2002 0,0009

Respuestas a la autoevaluación 1.

A2 = A1 + (2 – 1)쑿 A2 = 20.045,66 + (1) (60) = 20.105,66

2.

243

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243

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Matemáticas financieras

3. ia = (1,24) (1,09) – 1 = 0,3516

La tabla de amortización quedará así: Préstamo = $1.000.000 쑿 = 0,185 k = 15 Mes

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6

Cuota

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Valor cuota mes

13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 13.992,47 16.581,08 16.581,08 16.581,08 16.581,08 16.581,08 16.581,08

Interés mensual

7.337,62 7.421,51 7.507,53 7.595,74 7.686,19 7.778,95 7.874,06 7.971,59 8.071,59 8.174,14 8.279,30 8.387,13 8.497,71 8.592,10 8.688,89 8.788,14 8.889,92 8.994,28

Corrección monetaria

18.087,65 18.294,44 18.506,49 18.723,93 18.946,90 19.175,54 19.409,99 19.650,41 19.896,93 20.149,73 20.408,95 20.674,76 20.947,33 21.180,01 21.418,60 21.663,26 21,914,15 22.171,41

Abono a capital

−11.432,7 −11.723,4 −12.021,5 −12.327,1 −12.640,6 −12.962,0 −13.291,5 −13.629,5 −13.976,0 −14.331,3 −14.695,7 −15.069,4 −12.863,9 −13.191,0 −13.526,4 −13.870,3 −14.222,9 −14.584,5

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Saldo

1.000.000 1.011.432 1.023.156 1.035.177 1.047.505 1.060.145 1.073.107 1.086.399 1.100.028 1.114.004 1.128.336 1.143.031 1.158.101 1.170.965 1.184.156 1.197.682 1.211.553 1.225.776 1.240.360

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Mes

Cuota

7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Valor cuota mes

16.581,08 16.581,08 16.581,08 16.581,08 16.581,08 16.581,08 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 19.648,58 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 23.283,57 27.591,03 27.591,03 27.591,03 27.591,03

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

9.101,30 9.211,03 9.323,56 9.438,95 9.557,27 9.678,60 9.803,02 9.908,09 10.015,83 10.126,31 10.239,60 10.355,77 10.474,90 10.597,05 10.722,31 10.850,75 10.982,46 11.117,52 11.256,01 11.371,35 11.489,63 11.610,91 11.735,27 11.862,80 11.993,57 12.127,66 12.265,16 12.406,16 12.550,75 12.699,01 12.851,03 12.975,32 13.102,77 13.233,46

22.435,21 22.705,72 22.983,10 23.267,54 23.559,21 23.858,30 24.164,99 24.423,99 24.689,58 24.961,92 25.241,19 25.527,56 25.821,21 26.122,32 26.431,09 26.747,71 27.072,38 27.405,31 27.746,70 28.031,02 28.322,57 28.621,54 28.928,10 29.242,46 29.564,81 29.895,36 30.234,32 30.581,89 30.938,29 31.303,76 31.678,52 31.984,90 32.299,07 32.621,23

−14.955,4 −15.335,6 −15.725,5 −16.125,4 −16.535,3 −16.955,8 −14.319,4 −14.653,4 −15.056,8 −15.439,6 −15.832,2 −16.234,7 −16,647,5 −17.070,7 −17.504,8 −17.949,8 −18.406,2 −18.874,2 −15.719,1 −16.118,7 −16.528,6 −16.948,8 −17.379,7 −17.821,6 −18.274,8 −18.739,4 −19.215,9 −19.704,4 −20.205,4 −20.719,1 −16.938,5 −17.369,1 −17.810,8 −18.263,6

1.255.316 1.270.651 1.286.377 1.302.502 1.319.038 1.335.993 1.350.313 1.364.996 1.380.053 1.395.493 1.411.325 1.427.560 1.444.207 1.461.278 1.478.783 1.496.733 1.515.139 1.534.013 1.549.732 1.565.851 1.582.380 1.599.329 1.616.708 1.634.530 1.652.805 1.671.544 1.690.760 1.710.465 1.730.670 1.751.389,91 1.768.328,43 1.785.696,62 1.803.508,43 1.821.772,08

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Matemáticas financieras

Mes

Cuota

5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87

Valor cuota mes

27.591,03 27.591,03 27.591,03 27.591,03 27.591,03 27.591,03 27.591,03 27.591,03 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 32.695,37 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 38.744,02 45.911,66 45.911,66 45.911,66

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

13.367,47 13.504,89 13.645,80 13.790,30 13.938,47 14.090,41 14.246,21 14.405,97 14.569,79 14.700,33 14.834,18 14.971,44 15.112,18 15.256,52 15.404,50 15.556,26 15.711,87 15.871,45 16.035,08 16.202,87 16.374,92 16.506,97 16.642,37 16.781,22 16.923,60 17.069,60 17.219,31 17.372,83 17.530,25 17.691,67 17.857,19 18.026,93 18.200,98 18.326,96 18.455,95

32.951,57 33.290,32 33.637,68 33.993,87 34.359,11 34.773,65 35.117,70 35.511,52 35.915,35 36.237,13 36.567,08 36.905,43 37.252,38 37.608,15 37.972,96 38.347,05 38,730,65 39.124,01 39.527,37 39.940,98 40.365,10 40.690,62 41.024,39 41.366,66 41.717,63 42.077,52 42.446,57 42.824,99 43.213,04 43.610,96 44.018,99 44.437,40 44.866,44 45.176,75 45.494,94

−18.728,0 −19.204,1 −19.692,4 −20.193,1 −20.706,5 −21.233,0 −21.772,8 −22.326,4 −17.789,7 −18.242,0 −18.705,8 −19.181,4 −19.669,1 −20.169,2 −20.682,0 −21.207,9 −21.747,1 −22.300,0 −22.867,0 −23.448,4 −17.996,0 −18.453,5 −18.922,7 −19.403,8 −19.897,2 −20.403,0 −20.921,8 −21.453,7 −21.999,2 −22.558,6 −23.132,1 −23.720,3 −1’7.155,7 −17.591.9 −18.039,2

1.840.500,09 1.859.704,26 1.879.396,70 1.899.589,83 1.929.296,38 1.941.529,39 1.963.302,26 1.985.628,72 2.003.418,48 2.021.660,56 2.040.366,44 2.059.547,93 2.079.217,11 2.099.386,38 2.120.068,47 2.141.276,40 2.163.023,55 2.185.323,63 2.208.190,69 2.231.693,15 2.249.635,16 2.268.088,71 2.287.011,45 2.306.415,31 2.326.312,52 2.346.715,61 2.367.637,47 2.389.091,26 2.411.090,53 2.433.649,13 2.456.781,29 2.480.501,59 2.497.657,34 2.515.249.29 2.533.288,50

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capitulo 6-235-258

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1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Mes

Cuota

4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2

88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122

Valor cuota mes

45.911,66 45.911,66 45.911,66 45.911,66 45.911,66 45.911,66 45.911,66 45.911,66 45.911,66 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 54.405,32 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 64.470,31 76.397,32 76.397,32

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

18.588,31 18.724,04 18.863,22 19.005,94 19.152,29 19.302,36 19.456,25 19.614,04 19.775,85 19.941,78 20.049,60 20.160,16 20.273,53 20.389,78 20.508,99 20.631,24 20.756,58 20.885,12 21.016,92 21.152,08 21.290,67 21.432,79 21.504,66 21.578,37 21.653,94 21.731,44 21.810,91 21.892,40 21.975,96 22.061,65 22.149,51 22.239,61 22.332,00 22.426,74 22.436,37

45.821,23 46.155,81 46.498,90 46.850,72 47.211,48 47.581,41 47.960,74 48.349,72 48.748,59 49.157,60 49.423,39 49.695,92 49.975,39 50.261,97 50.555,82 50.857,16 51.166,15 51.483,00 51.807,90 52.141,07 52.482,70 52.833,03 53.010,20 53.191,89 53.378,19 53.569,23 53.765,12 53.966,00 54.171,98 54.383,20 54.599,79 54.821,89 55.049,64 55.283,17 55.306,91

−18.497,8 −18.968,1 −19.450,4 −19.944,9 −20.452,0 −20.972,0 −21.505,3 −22.052,0 −22.612,7 −14.694,0 −15.067,6 −15.450,7 −15.843,5 −16.246,4 −16.659,4 −17.083,0 −17.517,4 −17.962,7 −18.419,4 −18.887,8 −19.368,0 −9.795,5 −10.044,5 −10.299,9 −10.561,8 −10.830,3 −11.105,7 −11.388,0 −11.677,6 −11.974,5 −12.278,9 −12.591,1 −12.911,3 −1.312,59 −1.345,96

2.551.786,38 2.570.754,56 2.590.205,02 2.610.150,41 2.630.602,11 2.651.574,21 2.673.070,53 2.695.131,63 2.717.744,40 2.732.438,46 2.747.506,12 2.762.956,87 2.778.800,47 2.795.046,89 2.811.706,38 2.828.789,45 2.846.306,85 2.864.269,64 2.882.689,14 2.901.576,96 2.920.945,01 2.930.740,51 2.940.785,06 2.951.085,00 2.961.646,82 2.972.477,17 2.983.582,89 2.994.970,98 3.006.648,61 3.018.623,15 3.030.902,14 3.043.493,33 3.056.404,65 3.057.717,24 3.059.063,21

247

capitulo 6-235-258

247

1/20/06, 10:43 AM

Matemáticas financieras

Mes

Cuota

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157

Valor cuota mes

76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 76.397,32 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 90.530,82 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 107.279,0 127.125,6

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

22.446,45 22.456,37 22.466,76 22.477,41 22.488,33 22.499,52 22.511,01 22.522,78 22.534,85 22.547,23 22.559,93 22.469,24 22.376,24 22.280,89 22.183,10 22.082,83 21.980,01 21.874,58 21.766,47 21.655,60 21.542,92 21.425,35 21.305,82 21.060,35 20.808,64 20.550,53 20.285,86 20.014,46 19.736,16 19.450,79 19.158,16 18.858,09 18.550,39 18.234,86 17.911,31

55.331,26 55.356,22 55.381,82 55.408,07 55.434,99 55.462,59 55.490,89 55.519,92 55.549,68 55.580,20 55.611,49 55.387,94 55.158,70 54.923,64 54.682,59 54.435,42 54.181,97 53.922,07 53.655,57 53.382,28 53.102,05 52.814,70 52.520,03 51.914,95 51.294,47 50.658,22 50.005,80 49.336,78 48.650,76 47.947,29 47.225,94 46.486,24 45.727,74 44.949,96 44.152,40

−1.380,18 −1.415,27 −1'.451,26 −1.488,15 −1.525,99 −1.564,79 −1.604,57 −1.645,37 −1.687,21 −1.730,10 12.359,40 12.673,64 12.995,87 13.326,30 13.665,12 14.012,56 14.368,84 14.734,17 15.108,79 15.492,93 15.886,84 16.290,77 33.453,17 34.303,73 35.175,91 36.070,27 36.987,36 37.927,78 38.892,10 39.880,94 40.894,93 41.934,69 43.000,89 44.094,20 65.061,93

3.060.443,39 3.061.858,67 3.063.309,93 3.064.798,09 3.066.324,08 3.067.888,88 3.069.493,46 3.071.138,84 3.072.826,05 3.074.556.16 3.062.196,75 3.049.523,10 3.036.527,22 3.023.200,92 3.009.535,79 2.995.523,22 2.981.154,38 2.966.420,21 2.951.311,42 2.935.818,48 2.919.931,63 2.903.640,85 2.870.187,68 2.835.883,94 2.800.708,03 2.764.637,76 2.727.650,39 2.689.722,61 2.650.830,50 2.610.949,55 2.570.054,62 2.528.119,93 2.485.119,03 2.441.024,82 2.375.962,89

248

capitulo 6-235-258

248

1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Mes Cuota

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180

Valor cuota mes

127.125,6 127.125,6 − 127.125,6 127.125,6 127.125,6 127.125,6 127.125,6 127.125,6 127.125,6 127.125,6 127.125,6 150.643,8 150.643,8 150.643,8 150.643,8 150.643,8 150.643,8 150.643,8 150.643,8 154.643,8 150.643,8 150.643,8 150.643,8

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

17.433,91 16.944,38 16.442,39 15.927,64 15.399,81 14.858,55 14.303,54 13.734,41 13.150,81 12.552,37 11.938,72 11.309,47 10.491,64 9.653,03 8.793,09 7.911,29 7.007,07 6.079,86 5.129,07 4.154,11 3.154,37 2.129,20 1.077,97 $2.791.182,09

42.975,58 41.768,84 40.531,42 39.262,54 37.961,40 36.627,17 35.259,02 33.856,09 32.417,49 30.942,31 29.429,62 27.878,47 25.862,49 23.795,26 21.675,47 19.501,78 17.272,82 14.987,20 12.643,46 10.240,13 7.775,69 5.248,60 2.657,25 $6.880.420,97

66.716,15 68.412,42 70.151,83 71.935,46 73.764,43 75.639,91 77.563,08 79.535,14 81.557,35 83.630,96 85.757,30 111.455,9 114.289,7 117.195,6 120.175,3 123.230,8 126.363,9 129.576,8 132.871,3 136.249,6 139.713,8 143.266,0 146.908,6

Saldo mayor

: $3.074.556,16

Cuota mayor

: $150.643,89

Cuota mínima : $13.992,48

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capitulo 6-235-258

249

1/20/06, 10:43 AM

Saldo

2.309.246,74 2.240.834,31 2.170.682,48 2.098.747,02 2.244.982,58 1.949.342,66 1.871.779,57 1.792.244,42 1.710.687,07 1.541.298,80 1.541.298,80 1.429.842,84 1.315.553,09 1.198.357,49 1.078.182,16 954.951,34 828.587,34 699.010,51 566.139,15 429.889,50 290.175,66 146.909,56 0,89

Matemáticas financieras

4. La tabla de amortización y la gráfica son las siguientes: Préstamo = $1.000.000 쑿

=18,5% anual

k = 10 años n = 12 meses ic = 24% anual ie = 9% anual de interés adicional Mes

1 2 3 4

Cuota

1 2 3 4

Valor cuota mes

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

16.466,00 16.466,00 16.466,00 16.466,00

7.337,62 7.403,36 7.470,77 7.539,90

18.087,65 18.249,70 18.415,87 18.586,27

−8.959,26 −9.187,05 −9.420,63 −9.660,15

Saldo

1.000.000,00 1.008.959,26 1.018.146,31 1.027.566,95 1.037.227,11

250

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1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Mes

Cuota

5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Valor cuota mes

16.466,00 16.466,00 16.466,00 16.466,00 16.466,00 16.466,00 16.466,00 16.466,00 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 19.512,22 23.121,98 23.121,98 23.121,98 23.121,98 23.121.9 23.121,98 23.121,98 23.121,98 23.121,98 23.121,98 23.121,98 23.121,98 27.399,54 27.399,54 27.399,54

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

7.610,78 7.683,46 7.758,00 7.834,42 7.912,80 7.993,16 8.075,57 8.160,07 8.246,70 8.313,22 8.382,41 8.451,34 8.523,04 8.596,57 8.671,97 8.749,28 8.828,56 8.909,86 8.993,22 9.078,70 9.166,36 9.229,75 9.294,76 9.361,42 9.429.78 9.499,87 9.571,75 9.645,45 9.721,03 9.798,53 9.878,00 9.959,49 10.043,05 10.097,35 10.153,03

18.761,00 18.940,17 19.123,90 19.312,30 19.505,49 19.703,59 19.906,73 20.115,03 20.328,63 20.492,56 20.660,66 20.833,03 21.009,78 21.191,03 21.376,89 21.567,47 21.762,90 21.963,30 22.168,79 22.379,51 22.595,58 22.751,86 22.912,11 23.076,43 23.244.94 23.417,72 23.594,90 23.776,59 23.962,89 24.153,93 24.349,83 24.550,71 24.756,69 24.890,55 25.027,80

−9.905,76 −10.157,60 −10.415,80 −10.680,70 −10.952,20 −11.230,70 −11.516,20 −11.809,00 −9.063,12 −9.293,55 −9.529,84 −9.772,14 −10.020,60 −10.275,30 −10.536,60 −10.804,50 −11.079,20 −11.360,90 −11.649,70 −11.945,90 −8.639,95 −8.859,63 −9.084,89 −9.315,87 −9.352,73 −9.795,61 −10.044,60 −10.300,00 −10.561,90 −10.830,40 −11.105,80 −11.388,20 −7.400,20 −7.588,35 −7.781,29

1.047.132,88 1.057.290,50 1.067.706,39 1.078.387,10 1.089.339,38 1.100.570,11 1.112.086,40 1.123.895,48 1.132.958,60 1.142.252,17 1.151.782,02 1.161.554,16 1.171.574,77 1.181.850,15 1.192.386,79 1.203.191,33 1.214.270,57 1.225.631,51 1.237.281,30 1.249.227,29 1.257.867,25 1.266.726,88 1.275.811,77 1.285.127,65 1.294.680,38 1.304.476,00 1.314.520,67 1.324.820,73 1.335.382,67 1.346.213,16 1.357.319,01 1.368.707,23 1.376.107,43 1.383.695,78 1.391.477,07

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capitulo 6-235-258

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1/20/06, 10:43 AM

Matemáticas financieras

Mes

Cuota

4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2

40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74

Valor cuota mes

27.399,54 27.399,54 27.399,54 27.399,54 27.399,54 27.399,54 27.399,54 27.399,54 27.399,54 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 32.468,46 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 38.475,12 45.593,02 45.593,02

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

Saldo

10.210,13 10.268,68 10.328,72 10.390,28 10.453,41 10.518,14 10.584,52 10.652,59 10.722,38 10.793,95 10.830,15 10.867,27 10.905,33 10.944,36 10.984,38 11.025,42 11.067,51 11.110,66 11.154,91 11.200,29 11.246,82 11.294,53 11.299,38 11.304,35 11.309,45 11.314,68 11.320,04 11.325,54 11.331,18 11.336,97 11.342,90 11.348,98 11.355,21 11.361,60 11.315,93

25.168,55 25.312,87 25.460,86 25.612,62 25.768,24 25.927,81 26.091,43 26.259,22 26.431,28 26.607,71 26.696,94 26.788,43 26.882,26 26.978,47 27.077,13 27.178,29 27.282,03 27.388,40 27.497,48 27.609,34 27.724,03 27.841,65 27.853,60 27.865,86 27.878,44 27.891,33 27.904,55 27.918,10 27.932,00 27.945,26 27.960,87 27.975,86 27.991, 23 28.006,99 27.894,41

−7.979,13 −8.182,00 −8.390,03 −8.603.35 −8.822,09 −9.046,39 −9.276,40 −9.512,26 −9.754,11 −4.933,19 −5.058,62 −5.187,24 −5.319,12 −5.454,36 −5.593,04 −5.735,25 −5.881,07 −6.030,60 −6.183,93 −6.341,15 −6.502,38 −661,043 −677,850 −695,085 −712,758 −730,800 −749,462 −768,518 −788,058 −808,094 −828,640 −849,709 −871,313 6.224,432 6.382,690

1.399.456,21 1.407.638,21 1.416.028,24 1.424.631,59 1.433.453,69 1.442.500,09 1.451.776,49 1.461.288,75 1.471.042,87 1.475.976,06 1.481.034,69 1.486.221,93 1.491.541,06 1.496.995,43 1.502.588,48 1.508.323,73 1.514.204,80 1.520.235,40 1.526.419,33 1.532.760,49 1.539.262,80 1.539.923,92 1.540.601,77 1.541.296,86 1.542.009,62 1.542.740,50 1.543.480,96 1.544.258,48 1.545.046,53 1.545.854,63 1.546.683,27 1.547.532,98 1.548.404,29 1.542.179,86 1.535.797,17

252

capitulo 6-235-258

252

1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

Mes

Cuota

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1

75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109

Valor cuota mes

45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 45.593,02 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 54.027,73 64,022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 64.022,86 75.867,10

Interés mensual

Corrección monetaria

Abono a capital

11.269,10 11.221,07 11.171,83 11.121,33 11.069,55 11.016,45 10.962,00 10.906,17 10.848,92 10.790,21 10.730,01 10.606,39 10.479,62 10.349,63 10.216,34 10.079,66 9.939,50 9.795,78 9.648,41 9.497,29 9.342,32 9.183,42 9.020,47 8.780,05 8.533,51 8.280,70 8.021,46 7.755,63 7.483,05 7.203,53 6.916,91 6.622,99 6.321,61 6.012,56 5.695,66

27.778,96 27.660,58 27.539,18 27.414,70 27.287,06 27.156,17 27.021,95 26.884,32 26.743,19 26.598,47 26.450,08 26.145,34 25.832,86 25.512,43 25.183,86 24.846,93 24.501,43 24.147,16 23.783,87 23.411,35 23.029,35 22.637,64 22.235,98 21.643,31 21.035,57 20.412,38 19.773,35 19.118,07 18.446,13 17.757,11 17.050,56 16.326,05 15.583,12 14.821,31 14.040,12

6.544,971 6.711,379 6.882,018 7.056,995 7.236,421 7.420,409 7.609,075 7.802,537 8.000,919 8.204,345 16.847,65 17.276,00 17.715,25 18.165,67 18.627,53 19.101,14 19.586,80 20.084,80 20.595,46 21.119,10 21.656,06 22.206,67 32.766,41 33.599,51 34.453,79 35.329,78 36.228,05 37.149,16 38.093,69 39.062,23 40.055,40 41.073,82 42.118,13 43.189,00 56.131,32

253

capitulo 6-235-258

253

1/20/06, 10:43 AM

Saldo

1.529.252,20 1.522.540,82 1.515.658,80 1.508.601,81 1.501.365,38 1.493.944,97 1.486.335,90 1.478.533,36 1.470.532,44 1.462.328,10 1.445.480,44 1.428.204,43 1.410.489,18 1.392.323,51 1.373.695,97 1.354.594,82 1.335.008,02 1.314.923,22 1.294.327,76 1.273.208,65 1.251.552,59 1.229.345,91 1.196.579,49 1.162.979,97 1.128.526,18 1.093.196,40 1.056.968,34 1.019.819,17 981.725,48 942.663,25 902.607,84 861.534,02 819.415,88 776.226,,88 720.095,56

Matemáticas financieras

Mes

Cuota

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120

Valor cuota mes

75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10 75.867,10

Interés mensual

Corrección monetaria

5.283,79 4.861,45 4.428,37 3.984,27 3.528,89 3.061,93 2.583,10 2.092,09 1.588,60 1.072,30 542,88 $1.086.114,87

13.024,84 11.983,74 10.916,17 9.821,46 8.698,91 7.547,83 6.367,48 5.157,12 3.915,98 2.643,29 1.388,24 $2.677.334,30

Abono a capital

57.558,47 59.021,91 60.522,56 62.061,36 63.639,29 65.257,34 66.916,52 68.617,89 70.362,52 72.151,51 73.985,98

Saldo

662.537,08 603.515,17 542.992,60 480.931,23 417.291,94 352.034,60 285.118,07 216.500,17 146.137,65 73.986,14 0,15

Saldo mayor : $1.548.404,29 Cuota mayor : $75.867,10 Cuota mínima : $16.466,01

Préstamo a 120 cuotas Saldo (millones de $) 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0

20

40

60

80

100

120

Cuotas Valor cuota

254

capitulo 6-235-258

254

1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

5. La sexta cuota está dentro de la primera anualidad. ia = (1,19)(1,05) − 1 = 0,2495 im =

12

1, 2495 − 1 = 0, 0187353

6. A1 = $110.023 쑿 = 0,14 k = 15 años n = 12 meses Suma pagada = Suma pagada = 57.884.077,77

7. P = $5.000.000 n = 24 meses i = 0,03 mensual Pago de una cuota de $1.000.000 al final de los dos años.

255

capitulo 6-235-258

255

1/20/06, 10:43 AM

Matemáticas financieras

12

8. iap m = 1, 23872053 − 1 = 0, 018 29/31 UVRjun.13 = UVRmay.15 (1 + IPCabril) = UVRmay.15 = UVRabr.15 (1 + IPCmar)

31/31

=

1

UVRmay.15 = 124,4177(1,0071) = 125,3011 UVRjun13 = 125,3011(1,0092)

29/31

= 126,3792

$90.000.000

v. crédito = 126, 3792 = 712.142, 5044 UVR  (1, 018)180 × 0, 018  A = 712.142.5044   = 13.356, 96856 UVR 180  (1, 018) − 1 

a.

n

0 1 2

A

13.356,9685 13.356,9685

I

12.818,5650 12.808,8738

Abono

Saldo

538,4034 548,0946

712.142,5044 711.604,1009 711.056,0062

29/31

= b. UVRsep.13 = UVRago.15 (1 + IPCjul.) UVRago.15 = UVRmay.15 (1 + IPCabr.)(1 + IPCmay)(1 + IPCjun) UVRago.15 = 125,3011(1,0092)(1,0060))(1,0043)= UVRago.15 = 127,7596 29/31 = $127,7835 UVRsep.13 = 127,7596(1,0002) Vr. tercera cuota = 13.356,9685 × $127,7835 = $1.706.800,22 256

capitulo 6-235-258

256

1/20/06, 10:43 AM

Capítulo 6 • Amortizaciones. Transición del sistema UPAC al sistema UVR

9. P =

$80.000.000 = 623.244, 2042 UVR 128, 3606

iap = (1,11)

1/12

− 1 = 0,008734594  (1, 008734594)120 0, 008734594  A = 623.244, 2042   (1, 008734594)120 − 1   A = 8.403,2951 UVR

n

A

0 1 2 3

Días

8.403,2951 8.403,2951 8.403,2951

Intereses

30 31 31

$5.368,8923 5.521,6348 5.495,9798

Abono

Saldo

$623.244,2042 $3.034,4028 620.209,8014 2.881,6602 617.328,1411 2.907,3152 614.420,8258

28/30

10. UVRjul.13 = UVRjun.15 (1 + IPCmay.) UVRjul.13 = 126,4539 (1,0060) Valor del desembolso =

28/30

= $127,1619

$80.000.000 = 629.119, 2566 UVR 127,1619

Valor de amortización de capital =

629.119, 2566 = 3.495,1069 UVR 180

31/365

− 1 = 0,007346052

30/365

− 1 = 0,007108243

iap = (1,09) iap = (1,09)

Intereses: 0,007346052 × 629.119,2566 = 4.621,5427 UVR Valor cuota 1 = 4.621,5427 + 3.495,1099 = 8.116,6496 UVR Tabla de amortización en UVR n

Fecha

0 1 2 3

Jul. 13/02 Ago. 13/02 Sep. 13/02 Oct. 13/02

Días

31 31 31

Cuota

$8.116,6496 8.090,9744 7.917,3513

Intereses

$4.621,5427 4.595,8675 4.422,2444

Abono

Saldo

$3.495,1069 3.495,1069 3.495,1069

$629.119,2566 $625.624,1497 622.129,0428 618.633,9359

Para elaborar la tabla de amortización en pesos, es necesario calcular primero los valores de la UVR. 257

capitulo 6-235-258

257

1/20/06, 10:43 AM

Matemáticas financieras

30/30

UVRjul15 = $126,4539 (1,0060)

= $127,2126

29/31

UVRago13 = $127,2126 (1,0043)

= $127,7243

31/31

UVRago15 = $127,2126 (1,0043)

= $127,7596

29/31

UVRsep13 = $ 127,7596 (1,0002) UVRsep15 = $217,7596 (1,0002)

31/31

28/30

UVRoct13 = $127,7852 (1,0009)

= $127,7835

= $127,7852 = $127,8925

Tabla de amortización en pesos

n

Fecha

0 1 2 3

Jul13/02 Ago13/02 Sept13/02 Oct13/02

Días

31 31 30

Valor cuota

Intereses

$1.036.693 1.033.893 1.012.570

$590.283 587.276 565.572

Abono

Saldo

$446.410 446.617 446.998

$80.000.000 $79.907.407 79.497.827 79.118.641

Actividades de repaso 1. ¿Qué es amortizar?

8. ¿Cómo se dividen los sistemas simples?

2. ¿Cuáles son los elementos que intervienen en una amortización?

9. ¿En qué consisten los sistemas integrados?

3. ¿Cuáles son las variables del proceso de amortización?

10.¿Cómo se dividen los sistemas integrados?

4. ¿Qué se entiende por sistema de amortización?

11.¿En qué consisten los sistemas agregados?

5. ¿En qué consiste una función? 12. ¿Cómo se dividen los sistemas agregados?

6. ¿Qué es una tabla de amortización? ¿Cómo está conformada?

13. ¿Qué se entiende por IPC? 7. ¿En qué consisten los sistemas simples?

14. ¿Qué es una UVR? 258

capitulo 6-235-258

258

1/20/06, 10:43 AM

Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente ■ Justificación En este capítulo el lector no sólo tendrá la oportunidad de aplicar una gran parte de los conocimientos adquiridos en los capítulos anteriores sino que aprenderá algunas técnicas necesarias para la toma de decisiones. A diario se presenta la necesidad de evaluar financieramente varias alternativas con el fin de elegir una de ellas. Este capítulo brindará parte de la información requerida para ello.

■ Objetivo general Evaluar económicamente las diferentes alternativas de inversión y tomar las decisiones del caso.

■ Objetivos específicos ■

Calcular el valor presente neto (VPN).

■

Calcular el costo anual uniforme equivalente (CAUE).

■

Calcular el costo capitalizado.

■

Aplicar el costo capitalizado a la toma de decisiones.

■

Diferenciar todos estos métodos.

■

Identificar el método más conveniente para aplicar según el caso.

■

Tomar decisiones correctas desde el punto de vista financiero.

259

Capitulo 7

259

1/20/06, 10:46 AM

Matemáticas financieras

Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta.

1 Hernando depositó $1.000.000 en un

el 15% anual, con el compromiso de, cancelarla con cuotas anuales en un periodo de ocho años. Los pagos se acuerdan de manera que cada uno será mayor que el anterior en $250 y que el primer pago se hará un año después de concedido el préstamo. La cantidad que constituye el tercer pago es:

fondo que paga el 21% capitalizable mensualmente. Un año después comenzó a depositar en la misma cuenta $20.000 mensuales. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar para completar $2.000.000? a. 29 meses c. 19 meses e. 25 meses

b. 39 meses d. 20 meses

a. $2.147,42 c. $1.447,42 e. $5.147,42

2 ¿Cuál sera la cuota mensual que debe

4 Durante 30 años el señor Pérez hace de-

depositarse durante 10 años en una institución financiera que reconoce el 24% capitalizable trimestralmente, para cancelar una deuda de $1.200.000? a. $30.000 c. $26.070 e. $26.500

b. $4.147,42 d. $3.147,42

pósitos anuales de $1.000 en una cuenta de ahorros. ¿Cuánto ha acumulado en dicha cuenta inmediatamente después de haber hecho el último depósito si se reconoce un interés del 10% anual?

b. $26.000 d. $27.000

a. $154.494 c. $174.494 e. $104.594

3 Matilde solicita un préstamo de $15.000 a una corporación financiera que cobra

b. $164.494 d. $144.494

5 Calcular el valor presente en el siguiente diagrama: a. b. c. d. e.

$8.144,09 $5.159,62 $7.124,09 $6.144,09 $7.144,09

Respuestas a la conducta de entrada 1. a

2. c

3. d

4. b

5. b

260

Capitulo 7

260

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Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Métodos para evaluar alternativas Antes de entrar a estudiar estos métodos es necesario hacer claridad sobre dos conceptos que por lo general se confunden bastante. Tasa de rendimiento. Es aquella que sirve para medir las utilidades financieras de una inversión. Tasa mínima de rendimiento. Es aquella que sirve como marco de referencia para hacer una inversión. Se dice que es un marco de referencia porque por debajo de esta tasa no se deben hacer inversiones.

Ejemplo 7.1 Tengo un negocio que produce el 3% mensual. Una corporación me ofrece por mis ahorros el 2,5% mensual. Tasa de rendimiento = 2,5% Tasa mínima de rendimiento = 3% Obsérvese que no debo invertir al 2,5% mensual si mi negocio me da el 3% mensual.

Ejemplo 7.2 El señor Pérez se retiró de la empresa donde trabajaba y recibió la suma de $600.000 por concepto de cesantías. El señor Pérez desea invertir su dinero lo mejor posible, ya que no tiene otra fuente de ingresos. Una corporación ofrece pagarle el 30% anual, siempre y cuando él deje el dinero durante cinco años, al final de los cuales le entregarán todo el dinero. Por otra parte, un amigo le sugiere que organicen una pequeña industria. Después de hacer varias cuentas, concluye que esa industria les dará los siguientes ingresos netos anuales. Año

Ingreso neto

1 2 3 4 5

$200.000 $300.000 $300.000 $200.000 $150.000

Estiman también que al final de los cinco años el señor Pérez puede recibir $300.000 por concepto de la venta de la maquinaria. Además, el señor Pérez cree que puede trabajar su dinero y en cualquier momento le produciría el 25% anual. ¿Qué decisión debe tomar el señor Pérez? 261

Capitulo 7

261

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Matemáticas financieras

Alternativa 1. Con la corporación obtiene:

Alternativa 2. Con la pequeña industria obtiene:

Flujo de caja: Fin de año

Alternativa 1

Alternativa 2

0 1 2 3 4 5 Total

−$600.000 $180.000 $180.000 $180.000 $180.000 $780.000 $900.000

−$600.000 $200.000 $300.000 $300.000 $200.000 $450.000 $850.000

262

Capitulo 7

262

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Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Estos totales representan “contablemente” la ganancia de cada alternativa. La persona desprevenida podrá elegir la alternativa 1 como la mejor. Desde el punto de vista contable la alternativa 1 es la mejor, pero aceptar esto es contradecir el hecho de que el señor Pérez tiene una tasa mínima de rendimiento del 25% anual, a la cual puede invertir los ingresos que recibe anualmente. Esto indica que una decisión fundamentada en términos contables no tiene en cuenta la valoración del capital. Para solucionar este problema es necesario recurrir a la evaluación de las alternativas por uno de los métodos que se expone a continuación.

씰 Valor presente neto (VPN) Consiste en tomar todos los valores de cada alternativa en el punto cero; es decir, se calculan los valores presentes de los ingresos netos con base en la tasa mínima de rendimiento o tasa de interés de oportunidad, que no es más que la tasa atractiva para el inversionista.

Ejemplo 7.3 Resuelva el problema anterior por este método. Alternativa 1

Alternativa 2

P = −600.000 + 160.000 + 192.000 + 153.600 + 81.920 + 147.456 = $134.976

263

Capitulo 7

263

1/20/06, 10:46 AM

Matemáticas financieras

Como puede apreciarse, la decisión es por la alternativa 2. En ambos casos el valor presente neto fue mayor que cero (VPN > 0), pero en la alternativa 2 resultó ser mayor indicando así que ésta es la mejor de las dos opciones. Es conveniente resaltar el hecho de que el valor presente neto se calculó con la tasa de interés de oportunidad y así debe procederse en casos similares. Conclusión • Si el valor presente neto calculado con la tasa de interés de oportunidad es mayor que cero, indica que a esa tasa de interés, el valor presente de los ingresos es mayor que el valor presente de los egresos; es decir, el capital invertido en el proyecto produce una rentabilidad mayor que la obtenida con la tasa de oportunidad. • Si el valor presente neto calculado con la tasa de interés de oportunidad es menor que cero, indica que a esa tasa de interés, el valor presente de los ingresos es menor que el valor presente de los egresos; es decir, el capital invertido en el proyecto produce una rentabilidad menor que la obtenida con la tasa de oportunidad.

Ejemplo 7.4 El señor Pérez tiene sus ahorros en una entidad que le reconoce el 25% efectivo anual; desea retirar sus depósitos y comprar un taxi en las siguientes condiciones: cuota inicial de $3.000.000 y 36 cuotas mensuales vencidas de $250.000. El señor Pérez espera que el taxi le produzca $300.000 mensuales y venderlo al final del tercer año en $9.000.000. ¿Será esto un buen negocio? Para resolver este problema se utiliza el índice del valor presente neto y se calcula el valor presente con base en la tasa de oportunidad del señor Pérez, la cual es del 25% efectiva anual. A = $250.000 n = 36 meses P=? im = ?

Para los ingresos mensuales se calcula P:

264

Capitulo 7

264

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Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Se calcula P para el valor de la venta:

Valor presente de los ingresos: 7.799.994 + 4.608.011 = 12.408.005 Se calcula P para los pagos mensuales:

Valor presente de los egresos = 6.499.995 + cuota inicial = 6.499.995 + 3.000.000 = 9.499.995 VPN = 12.408.005 − 9.499.995 = 2.908.0 10 Como VPN > 0, puede decirse que éste es un buen negocio.

El método de valor presente neto tiene dos modalidades: a. Para alternativas con vidas útiles iguales b. Para alternativas con vidas útiles diferentes

Alternativas con vidas útiles iguales El problema se resuelve común y corriente. Se calculan los valores presentes de los flujos de caja netos para cada una de las alternativas o propuestas; finalmente, se eligirá aquella que tenga el menor valor presente neto (si son alternativas de costo), o la de mayor valor presente neto (si son alternativas de inversión).

Ejemplo 7.5 Una empresa necesita comprar una máquina. Al buscarla en el mercado encontraron las siguientes alternativas:

265

Capitulo 7

265

1/20/06, 10:46 AM

Matemáticas financieras

Costo inicial Costo de operación anual Valor de salvamento Vida útil

Máquina 1

Máquina 2

$10.000.000 300.000 100.000 5 años

$15.000.000 100.000 4.500.000 5 años

La tasa de interés atractiva para la empresa es del 32% anual. ¿Cuál alternativa se elige? Máquina 1 Costo inicial Costo de operación anual:

$10.000.000

Valor de salvamento:

Máquina 2 Costo inicial Costo de operación anual:

$15.000.000

266

Capitulo 7

266

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Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Valor de salvamento:

Debe elegirse la alternativa 1.

Alternativas con vidas útiles diferentes Como las comparaciones deben hacerse sobre el mismo periodo de vida útil, debe tomarse el mínimo común múltiplo (MCM) de las vidas útiles y suponer que hay reinversiones, con el fin de establecer el mismo tiempo para la comparación.

Ejemplo 7.6 Se tienen las siguientes alternativas:

Costo inicial Costo de operación anual Valor de salvamento Vida útil Tasa de interés: 30% anual MCM = (2)(3) = 6

Alternativa 1

Alternativa 2

$5.000.000 200.000 100.000 2 años

$7.000.000 100.000 1.000.000 3 años

Para la primera alternativa el ciclo se repite tres veces:

267

Capitulo 7

267

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

P = 5.000.000 + 2.958.580 − 59.171,59 + 1.750.639 − 35.012,77 − 20.717,62 + 528.549 P = $10.122.866 Para la segunda alternativa el ciclo se repite dos veces:

P = 7.000.000 + 3.186.163 − 455.166 − 207.176 + 264.274,59 P = $9.788.095 Debe elegirse la alternativa 2.

268

Capitulo 7

268

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씰 Costo anual uniforme equivalente (CAUE) Como su nombre lo indica, consiste en la conversión de todos los ingresos y egresos en partes uniformes para cada periodo. En esta forma se calcula el CAUE para cada una de las alternativas a evaluar y luego se comparan los CAUE para tomar la determinación del caso. Las tres formas diferentes para calcular el CAUE son las siguientes.

Fondo de amortización de salvamento El costo inicial de la inversión se convierte en un costo anual uniforme equivalente al utilizar la fórmula Dado P, hallar A (recuperación del capital) El valor de salvamento se convierte en un costo anual uniforme equivalente mediante la fórmula Dado F, hallar A (fondo de amortización) Este valor se resta del primero y se suma a los demás costos anuales.

Ejemplo 7.7 Calcule el CAUE de un equipo cuyo valor inicial es de $5.000.000, el valor de salvamento es de $500.000 y tiene una vida útil de 7 años. Los costos anuales de operación se estiman en $1.000.000. Considere una tasa del 36% anual.

269

Capitulo 7

269

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

Esto significa que el costo anual uniforme equivalente no indica el costo real de dicha alternativa. Es un parámetro que permite establecer comparaciones frente a otras propuestas o alternativas evaluadas en igualdad de condiciones, con el fin de decidir cuál de ellas es la mejor desde el punto de vista económico.

Valor presente de salvamento Consiste en hallar el valor presente de salvamento mediante la fórmula Dado F, hallar P Este valor se resta del valor inicial de la inversión. El resultado se anualiza mediante la fórmula: Dado P, hallar A Se suman los demás costos anuales.

Ejemplo 7.8 Resuelva el ejemplo 7.7 por este método.

270

Capitulo 7

270

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Recuperación de capital más intereses Se resta el valor de salvamento del valor inicial de la inversión. Este resultado se anualiza mediante la fórmula Dado P, hallar A Se multiplica el valor de salvamento por la tasa de interés. Este resultado se suma al anterior y se suman los demás costos anuales.

Ejemplo 7.9 Resuelva el ejemplo anterior por este método. 5.000.000 − 500.000 = 4.500.000

271

Capitulo 7

271

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

Ejemplo 7.10 Para la compra de un equipo se tienen las siguientes alternativas: Alternativa 1

Alternativa 2

$800.000

$900.000

Costo de mantenimiento anual

50.000

30.000

Costo de mano de obra anual Otros costos anuales

200.000 0

150.000 50.000

Costo inicial

Valor de salvamento 100.000 Vida útil 4 años Tasa de interés: 29% anual Se utiliza el fondo de amortización de salvamento

140.000 7 años

Alternativa 1

272

Capitulo 7

272

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Alternativa 2

Debe elegirse la máquina 2, ya que es la más conveniente desde el punto de vista económico.

Ejemplo 7.11 Para la ejecución de un proyecto de ingeniería se tienen dos alternativas. La primera consiste en la compra de equipos y ejecutar por cuenta propia las obras. La segunda consiste en contratar el 100% de la ejecución de las obras. La información para cada una de ellas es la siguiente: Alternativa 1. El equipo vale $65.000.000, tiene una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de $7.000.000. La mano de obra anual y los costos de operación se estiman en $22.000.000. Otros costos adicionales se estiman en $12.000.000. Alternativa 2. La obra a ejecutar tiene una vida útil indefinida y su costo es de $150.000.000, además requiere un mantenimiento a un costo de $1.000.000 anual. La reparación de la obra civil se hará cada 7 años a un costo de $10.000.000. La compañía tiene una tasa de interés del 36% anual, ¿cuál es la mejor alternativa? Al utilizar el fondo de amortización de salvamento se tiene: Alternativa 1

273

Capitulo 7

273

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

Costos de operación anuales

$22.000.000

Otros costos anuales

$12.000.000 CAUE:

$63.116.496

Alternativa 2 A = Pi = 150.000.000(0,36) = $54.000.000 Costo de mantenimiento anual = $1.000.000 Las reparaciones se dan cada 7 años Luego,

Se elige la alternativa 2.

씰 Costo capitalizado Cuando se tienen alternativas con vidas útiles indefinidas se procede a calcular el costo anual uniforme equivalente (CAUE) por medio de cualquiera de los métodos conocidos y luego se divide dicho valor entre la respectiva tasa de interés. Esto es, 274

Capitulo 7

274

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Antes se indicó que el valor de una cuota uniforme (A) cuando se conoce el valor presente (P) y n tiende al infinito, está dado por la siguiente expresión: A = Pi Si se despeja el valor presente, entonces

Sin embargo, A no es más que el CAUE, lo cual indica que:

Donde P es el valor presente cuando n tiende al infinito. Es decir, el costo capitalizado de una alternativa está dado por el valor presente de ella cuando su vida útil tienda al infinito.

Ejemplo 7.12 Un proyecto requiere una inversión inicial de $500.000.000 y unos costos de operación anuales de $10.000.000 durante los primeros siete años y de $25.000.000 para cada uno de los años siguientes. Además, el proyecto necesitará una inyección de capital de $100.000.000 al final del quinto año. Cada 15 años tendrá que hacerse el mantenimiento, el cual se ha estimado en $50.000.000. Si la tasa de interés es del 25% anual, ¿cuál será el costo capitalizado? 1. Se calcula el costo capitalizado a partir del CAUE. P = $500.000.000 de inversión inicial

Valor presente de la inversión total: P = 500.000.000 + 32.768.000 = $532.768.000 CAUE = Pi CAUE = 532.768.000(0,25) = $133.192.000 275

Capitulo 7

275

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Matemáticas financieras

Los costos de operación anuales en forma indefinida son de $10.000.000. Es decir: CAUE = $10.000.000 A partir del octavo año los costos de operación anuales se incrementarán en $15.000.000 anuales. Esto es:

Este valor presente de $60.000.000 está dado al final del séptimo año; luego, debe asumirse este valor como un valor futuro y calcular su valor presente equivalente en el año cero.

Conocido P puede calcularse el CAUE; luego, CAUE = Pi CAUE = 12.582.912(0,25) = $3.145.728 Para el mantenimiento:

Se suman todos los CAUE y se divide el total por la tasa de interés:

2. Ahora se calcula el costo capitalizado a partir del valor presente. El valor presente de la inversión total es: P = $532.768.000 276

Capitulo 7

276

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Este valor presente se encuentra en el séptimo año y debe tomarse como un valor futuro y calcular luego su valor presente equivalente en el año cero.

Para el mantenimiento:

Se suman todos los valores presentes: P = $587.174.284,80 Nota. El estudiante se preguntará por qué al calcular el valor presente del mantenimiento no se utiliza la fórmula

277

Capitulo 7

277

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

Ello se debe a que si se hubiera utilizado esta fórmula se habría obtenido un valor presente, pero para una vida útil definida el costo capitalizado de una alternativa es su valor presente cuando su vida útil tiende al infinito.

Ejemplo 7.13 Para determinado proceso industrial es necesario comprar una máquina. Para ello se tienen dos alternativas: Alternativa A. Comprar una máquina marca X cuyo precio es de $15.000.000, con una vida útil de 10 años. Se espera que al final de su vida útil, la máquina deberá reemplazarse por otra del mismo precio. Alternativa B. Comprar una máquina marca Y cuyo precio es de $10.000.000, con una vida útil de 8 años y un valor de salvamento de $3.000.000. Si la tasa de interés es del 28% anual, ¿cuál alternativa debe elegirse? Alternativa A. Se anualizan todos los costos para hallar el CAUE.

Se calcula luego el valor presente del CAUE considerando que la vida útil de la alternativa es infinita. El valor presente calculado de esa forma es el costo capitalizado de la alternativa.

Alternativa B. Para la inversión inicial:

278

Capitulo 7

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1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Para el valor de salvamento:

CAUE (total) = $3.251.193,77 − $135.358,13 = $3.115.835,64

Debe comprarse la máquina marca Y por ser la más económica. Nota. El valor de salvamento es un ingreso; por esta razón los costos anuales deben disminuirse en lo correspondiente a ese valor.

Ejemplo 7.14 El municipio de Abejorral necesita construir un sistema de garrucha sobre el río Arma ya que la corriente destruyó el puente. Para tal efecto dispone de dos ofertas: Oferta 1. Implica una inversión inicial de $10.000.000 y una vida útil de tres años. Oferta 2. Implica una inversión inicial de $18.000.000 y una vida útil de siete años, al final de los cuales es necesario reemplazar el sistema a un costo de $8.000.000. La tasa de rendimiento es del 32% anual, ¿cuál es la mejor oferta? Oferta 1

279

Capitulo 7

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1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

Oferta 2. Para la inversión inicial:

El costo de reposición es de $8.000.000. Esto indica que del sistema antiguo se recuperarán $10.000.000; es decir, el valor de salvamento es de $10.000.000. Luego,

CAUE (total) = $6.722.791 - $534.884 = $6.187.907

La oferta a elegir es la 1 ya que es la más económica.

Problemas propuestos 1. Para la compra de una planta eléctrica se tienen las siguientes ofertas: Oferta 1. Comprar una planta marca A cuyo costo es de $200.000.000, con una vida útil de 10 años. Los costos anuales de mantenimiento son de $500.000. El valor de salvamento es de $2.000.000. Oferta 2. Comprar una planta marca B cuyo costo inicial es de $150.000.000, con una vida útil de 9 años y un valor de salvamento de $0. Los costos anuales de mantenimiento son de $2.000.000. La tasa de interés es del 30% anual. Calcular los CAUE para cada oferta y determinar cuál es la mejor. Resolver el problema por el método del fondo de amortización de salvamento. Respuesta: $65.145.961 y $51.685.304. Debe elegirse la propuesta 2.

2. Resolver el problema anterior aplicando el método del valor presente de salvamento. 3. Resolver el problema 1 aplicando el método de la recuperación del capital más los intereses. 4. Un equipo industrial tiene un costo de $30.000.000 y una vida útil de 8 años, al final de los cuales debe reponerse al mismo costo. Si la tasa de interés es del 26% anual, ¿cuál es el costo capitalizado? Respuesta: $35.604.556 5. Se tienen dos ofertas para la compra de un equipo: Oferta 1. Costo inicial de $5.000.000 y vida útil de 4 años. Oferta 2. Costo inicial de $7.000.000 y vida útil de 8 años. 280

Capitulo 7

280

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

La tasa de interés es del 32% anual. ¿Cuál es la mejor alternativa? Utilice el método del costo capitalizado. Respuesta: La mejor oferta es la 1 pues su costo capitalizado es de $7.455.847 frente a $7.851.888 de la 2.

interés utilizada para dichos cálculos? Respuesta: 25% anual. 7. Una obra civil se construyó a un costo de $120.000.000. Al final de su vida útil debe reponerse a un costo del 80% sobre la inversión inicial. Si el costo capitalizado ascendió a $124.649.683 y la tasa de interés fue del 36% anual, ¿cuál fue la vida útil estimada? Respuesta: 10 años.

6. Si el costo capitalizado de un activo que debe reemplazarse cada 15 años es de $62.188.048 y su costo inicial fue de $60.000.000, ¿cuál fue la tasa de

-

Autoevaluación 1. Para un proceso determinado se requiere comprar una máquina. Después de consultar en el mercado, se elaboraron las siguientes alternativas: Costo inicial Costo de mantenimiento anual Valor de salvamento Vida útil

Alternativa 1

Alternativa 2

$50.000.000 3.000.000 5.000.000

$60.000 000 500.000 18.000.000

10 años

10 años

La tasa de interés es del 28% anual

¿Cuál alternativa debe elegirse? Aplicar el método del valor presente. 2. Resolver el problema anterior pero considerando que la vida útil de la primera alternativa es de tres años y la de la segunda es de cuatro años. 3. Para la compra de un computador se tienen las siguientes ofertas: Oferta 1

Costo inicial Costos de mantenimiento anuales Valor de salvamento Vida útil

Oferta 2

$4.500.000 10.000 1.000.000

$3.800.000 15.000 500.000

5 años

4 años

La tasa de interés es del 27% anual

Elegir la mejor alternativa mediante el método del fondo de amortización de salvamento. 281

Capitulo 7

281

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

4. Resolver el problema anterior aplicando el método de recuperación del capital más los intereses.

8. Con los datos del problema 7, calcular el costo capitalizado suponiendo que el valor de salvamento es del 20% sobre la inversión inicial.

5. Resolver el problema 3 por medio del método del valor presente de salvamento.

9. Se desea construir una obra cuyo costo inicial está estimado en $120.000.000. La vida útil se estipuló en 10 años, al final de los cuales debe reponerse a un costo del 80% sobre la inversión inicial. Calcular el costo capitalizado. Considere una tasa de interés del 36% anual.

6. Resolver el problema 3 mediante el método del costo capitalizado. 7. Calcular el costo capitalizado de un equipo que cuesta $85.000.000 y tiene una vida útil de 9 años, al final de los cuales debe reemplazarse al mismo costo. Tome una tasa de interés del 30% anual.

10. Con los datos del problema 9, calcular el costo anual uniforme equivalente mediante el método de la recuperación del capital más los intereses.

Respuestas a la autoevaluación 1. Alternativa 1 P = $50.000.000 Costo de operación anual:

Valor de salvamento:

Alternativa 2 P = $60.000.000 Costo de operación anual:

282

Capitulo 7

282

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Valor de salvamento:

Debe elegirse la alternativa 1. 2. MCM = (3)(4) = 12 años Para la primera alternativa el ciclo se repite cuatro veces y para la segunda, tres veces. Alternativa 1

283

Capitulo 7

283

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

Alternativa 2

Debe elegirse la alternativa 2. 3. Oferta 1

284

Capitulo 7

284

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Costos de mantenimiento anuales = CAUE:

10.000 $1.635.185

Oferta 2

Costos de mantenimiento anuales = 15.000 CAUE: $1.597.372 Debe elegirse la oferta 2. 4. Oferta 1

Costos de mantenimiento anuales = $10.000 CAUE: $1.635.372 Oferta 2

Debe elegirse la oferta 2. 285

Capitulo 7

285

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

5. Oferta 1

4.500.000 − 302.678 = $4.197.322

Oferta 2

Debe elegirse la oferta 2. 6. Oferta 1

Los costos de mantenimiento anuales en forma indefinida son = 10.000

286

Capitulo 7

286

1/20/06, 10:47 AM

Capítulo 7 • Valor presente neto y costo anual uniforme equivalente

Oferta 2

Costos de mantenimiento anuales en forma indefinida son $15.000

Se elige la oferta 2 por ser la más económica.

7.

El valor de P es el costo capitalizado. 8. CAUE = $28.155.006 Valor de salvamento = 85.000.000(0,20) = $17.000.000

287

Capitulo 7

287

1/20/06, 10:47 AM

Matemáticas financieras

CAUE = $28.155.006 - $531.001 = $27.624.005

9. El valor de salvamento será = 120.000.000(0,20) = $24.000.000

CAUE(total) = 45.292.357 - 418.471 = $44.873.886

10. Valor de salvamento = $24.000.000 120.000.000 - 24.000.000 = $96.000.000

CAUE = 36.233.886 + 8.640.000 = $44.873.886

Actividades de repaso 1. ¿Cuál es la diferencia entre tasa de rendimiento y tasa mínima de rendimiento?

4. Explique cada una de las fórmas del CAUE y establezca sus diferencias. 5. ¿Qué se entiende por costo capitalizado?

2. ¿Qué se entiende por valor presente neto?

6. Explique las dos formas para calcular el costo capitalizado y establezca sus diferencias.

3. ¿En qué consiste el método de CAUE?

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Capitulo 7

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Evaluación financiera de alternativas de inversión ■ Justificación En el capítulo séptimo se trató el tema de la evaluación de alternativas mediante los métodos del valor presente neto, costo anual uniforme equivalente y costo capitalizado. En este capítulo, el estudiante encontrará unas nociones preliminares para la evaluación financiera de alternativas de inversión y de gasto, las cuales constituyen un complemento del capítulo séptimo y, además, le proporcionan una herramienta fundamental para cuando inicie el estudio sobre la evaluación económica de proyectos.

■ Objetivo general Tener una visión clara sobre los diferentes métodos a utilizar para evaluar financieramente un proyecto.

■ Objetivos específicos ■

Evaluar alternativas mediante el cálculo del punto de equilibrio.

■

Evaluar alternativas cuando es necesario reemplazar una de ellas por otra.

■

Evaluar alternativas mediante el cálculo del beneficio neto y el beneficio neto diferencial.

■

Evaluar alternativas mediante el cálculo de las tasas de rendimientos de la inversión propiamente dicha y del rendimiento de la inversión extra.

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Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Conducta de entrada 1 ¿Qué se entiende por valor presente neto? 2 ¿Qué es el CAUE y cuáles son sus modalidades? 3 ¿Qué es costo capitalizado y cuáles son sus formas de calcularlo? 4 ¿Qué es una tasa de rendimiento? 5 ¿Qué es una TMR?

Respuestas a la conducta de entrada 1. Es un método para evaluar alternativas y consiste en calcular el valor presente del flujo de caja neto para cada una de ellas, con base en la tasa mínima de rendimiento, y luego comparar estos valores entre sí.

indefinidas. Consiste en calcular el CAUE y dividirlo por la respectiva tasa de interés. Este método tiene dos (2) modalidades: a. Calcular el valor presente total de la alternativa, cuando ésta tiene vida útil indefinida. b. Calcular el CAUE de la alternativa y dividir luego este valor por la tasa de interés.

2. Tal como el VPN, el CAUE es otro método para evaluar alternativas, convirtiendo todos los ingresos y egresos en cuotas periódicas iguales; posteriormente se suman estos valores para cada alternativa y se comparan los totales entre sí. Tiene tres (3) modalidades a saber: fondo de amortización de salvamento, valor presente de salvamento y recuperación de capital más intereses.

4. Tasa de rendimiento es aquella que sirve para medir las utilidades financieras de una inversión. 5. TMR es aquella tasa que sirve como marco de referencia para hacer una inversión. Por debajo de ella no se deben hacer inversiones.

3. Es un método para evaluar alternativas cuando éstas tienen vidas útiles

290

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Cálculo del punto de equilibrio En algunos casos se observa que al comparar alternativas, varios elementos de costos presentan variaciones en razón del producto o del uso. Cuando esto ocurre, es recomendable expresar el parámetro que ofrece dificultad como una función variable, y posteriormente calcular el valor de dicha variable en la cual las dos alternativas son iguales. $ E Costos fijos (2)

Costo total (1) Costo total (2)

Costos fijos (1) 0

Unidades variables

Generalmente los costos fijos son los costos iniciales de la inversión. La gráfica muestra que el costo fijo de la alternativa 2 es mayor que el costo fijo de la alternativa 1; sin embargo, la alternativa 2 tiene unos costos variables menores que los costos variables de la alternativa 1. Cada una de estas rectas es de la forma: Y = mx + b donde

m = pendiente de la recta b = costos fijos La recta de menor pendiente será la recta de menores costos totales. Esto se puede ver en la gráfica, donde E es el punto donde se cruzan las dos rectas; en él, las unidades variables para las dos alternativas tienen el mismo costo. Por esta razón, el punto E es el punto de equilibrio.

Luego:

Si las unidades variables (horas de operación, etc.) exigidas están por encima del punto de equilibrio, la alternativa a elegir es aquella que tiene menor pendiente porque es la de menor costo total. Si las unidades variables exigidas son menores que las estimadas para el punto de equilibrio, entonces la alternativa a elegir será la 1, ya que ésta tiene menor costo total en esas condiciones. Generalmente los costos totales se expresan como CAUE, pero también se pueden expresar como valores presentes. 291

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Ejemplo 8.1 El departamento de mercadeo de la empresa ABC ha incrementado notablemente las ventas. Con el fin de atender satisfactoriamente la demanda, el departamento de producción requiere comprar un nuevo equipo y para ello ha recopilado la siguiente información proporcionada por los fabricantes de este tipo de equipos: Tipo A

Costo inical: Valor de salvamento: Vida útil

$50.000.000 $3.000.000 5 años

Otras características • Este equipo requiere dos operarios a un costo de $600 por hora. • La producción con este equipo es de 250 toneladas por hora. • Los costos anuales de mantenimiento y operación se calculan en $1.000.000. Tipo B

Costo inical: Valor de salvamento: Vida útil

$20.000.000 0 2 años

Otras características • • • •

Este equipo requiere tres operarios a $300 por hora. La producción con este equipo es de 100 toneladas por hora. El costo anual de operación y mantenimiento es de $200.000 La empresa tiene una tasa atractiva de 30% anual.

Si el departamento de producción exige 1.600.000 toneladas anuales, ¿cuál equipo se debe comprar? X = número de toneladas al año, necesarias para llegar al punto de equilibrio. Tipo A Costo anual por tonelada Costo anual por tonelada = 4,8 X 292

Capitulo 8

292

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Se utiliza el método del fondo de amortización de salvamento:

CAUE = 20.529.077,42 − 331.744,64 + 1.000.000 + 4,8X CAUE = 21.197.332,78 + 4,8X Tipo B

En el punto de equilibrio las dos alternativas tienen los mismos costos. Luego, se igualan: 21.197.332,78 + 4,8X = 14.895.652,17 + 9X 6.301.680,61 = 4,2X X = 1.500.400 Es decir, se necesitan 1.500.400 toneladas anuales para llegar al punto de equilibrio. Como el departamento de producción exige 1.600.000 toneladas anuales y esta cifra está por encima del punto de equilibrio, entonces se debe elegir la alternativa de menor costo o sea aquella que tiene menor pendiente y esa es la Tipo A. Tipo A:

Y = 4,8X + 21.197.332,78

Tipo B:

Y = 9X + 14.895.652,17

293

Capitulo 8

293

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Matemáticas financieras

Comprobación En cada ecuación se sustituye el número de toneladas exigidas para calcular su costo. Tipo A: CAUE CAUE

= =

$21.197.332,78 + 4,8(1.600.000) $28.877.332,78

Tipo B: CAUE CAUE

= =

$14.895.652,17 + 9(1.600.000) $29.295.652,17

El costo de las unidades en el punto de equilibrio: Se toma cualquiera de las ecuaciones: CAUE CAUE

= =

$21.197.332,78 + 4,8(1.500.400) $28.399.252,78

씰 Sensibilidad Es un índice que permite analizar las diferentes consecuencias de tipo económico que se generarían por el hecho de elegir una determinada alternativa.

Una sensibilidad es alta cuando está comprendida entre los valores 1% y -1%. Fuera de estos valores, la sensibilidad puede ser considerada como baja. A continuación se calcula la sensibilidad para el ejemplo anterior: Unidades punto de equilibrio: 1.500.400 Unidades exigidas: 1.600.000 Sensibilidad =

1.500.400 − 1.600.000 1.600.000

Sensibilidad = −0,06225 = −6,225%

씰 Análisis Como la sensibilidad es negativa, entonces se debe observar si este valor se aproxima a cero o, por el contrario, se aleja. 294

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Si el punto de referencia es −1% y la sensibilidad es de −6,225 %, es posible decir que la sensibilidad es baja; es decir, un aumento en las unidades exigidas no hace variar la decisión tomada. Una disminución en las unidades exigidas sólo podrá hacerse en un 6,225% sin que varíe la decisión tomada. Un porcentaje mayor hará caer la decisión tomada y, en consecuencia, dará lugar a pérdidas. Variación máxima permisible = (1.600.000) (−0,06225) = −99.600 1.600.000 − 99.600 = 1.500.400 Como se puede observar, se está en el punto de equilibrio. Si se disminuyen en una unidad más las unidades exigidas, la decisión a tomar ya no será la alternativa A, sino la B.

Análisis: (28.877.332,78) (−0,01655555) = −478.080 28.877.332,78 − 478.080 = 28.399.252,78 Si la sensibilidad fuera positiva, indicaría que el número de unidades exigidas está por debajo de las unidades producidas en el punto de equilibrio y, en consecuencia, se puede aumentar la exigencia hasta el porcentaje indicado por la sensibilidad. A partir de ese punto, cualquier aumento en las unidades que sobrepase el punto de equilibrio, hace cambiar la decisión tomada. Suponiendo que las unidades exigidas son 1.400.000

Si se toman como unidades exigidas 1.400.000, entonces la decisión debió ser por la alternativa B. Como la sensibilidad es del 7,1714285%, entonces sólo es posible aumentar 295

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

el número de unidades exigidas en 100.400. Si se aumenta una unidad más, la decisión a tomar es la alternativa A.

씰 Punto de equilibrio con más de dos alternativas Cuando intervienen más de dos alternativas es necesario calcular todos los puntos de equilibrio y posteriormente tomar la decisión. Suponiendo tres alternativas:

1

$ B

2 3

C

A

100 140

Unidades variables

200

A: Punto de equilibrio entre 1 y 2. B: Punto de equilibrio entre 1 y 3. C: Punto de equilibrio entre 2 y 3. Si el departamento de producción exige una producción menor de 100 unidades, la alternativa a elegir es la 1. Si el departamento de producción exige una producción entre 100 y 200 unidades, la alternativa a elegir es la 2. Si el departamento de producción exige una producción mayor de 200 unidades, la alternativa a elegir es la 3.

Ejemplo 8.2 Una empresa necesita un equipo para determinado proceso. En el mercado se encuentran los siguientes equipos:

296

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Equipo

Costo inicial

Valor de salvamento

Vida útil

No. Operarios/ valor hora

Producción/ hora

Costo anual de operación y mantenimiento

1 2 3

$50.000.000 $20.000.000 $40.000.000

$3.000.000 0 $5.000.000

5 años 2 años 3 años

2/$600 3/$300 1/$800

250 unidades 100 unidades 200 unidades

$1.000.000 $200.0000 $800.000

La empresa tiene una tasa de interés del 30%. El departamento de producción exige 1.600.0000 unidades.

Resolver el problema para: 1.600.000 unidades. 400.000 unidades. 1.200.000 unidades. X = número de unidades anuales en el punto de equilibrio.

Análisis por el método de recuperación de capital más interés: a. 50.000.000 − 3.000.000 = 47.000.000 b. Dado P, hallar A

c. (3.000.000) (0,30) = 900.000 d. 900.000 + 19.297.333 + 1.000.000 = 21.197.333 Y = 4,8X + 21.197.333

Análisis por el método del fondo de amortización: Dado P, hallar A

297

Capitulo 8

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(1)

Matemáticas financieras

Y = 9X + 14.895.652

(2)

Análisis por el método del valor presente de salvamento: a. Hallar P, dado F

b. 40.000.000 − 2.275.831 = 37.724.169 c. Dado P, hallar A

d. 20.771.930 + 800.000 = 21.571.930 Y = 4X + 21.571.930

(3)

Se igualan las ecuaciones: (1) Y = 4,8X + 21.197.333 (2) Y = 9X + 14.895.652 (3) Y = 4X + 21.571.930 Se igualan (1) y (2):

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Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Se halla Y (costo de las unidades en el punto de equilibrio): Y = 4,8 (1.500.400) + 21.197.333 Y = 28.399.253 Se igualan (1) y (3):

Se halla Y (costo de las unidades en el punto de equilibrio): Y = 4,8 (468.246) + 21.197.333 Y = 23.444.914 Se igualan (2) y (3):

Se halla el valor de Y (costo de las unidades en el punto de equilibrio): Y = 9 (1.335.256) + 14.895.652 Y = 26.912.956 En las ecuaciones se reemplazan las unidades exigidas por el departamento de producción que son 1.600.000: Y1 = 4,8(1.600.000) + 21.197.333 = 28.877.333 299

Capitulo 8

299

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Matemáticas financieras

Y2 = 9(1.600.000) + 14.895.652 = 29.295.652 Y3 = 4(1.600.000) + 21.571.930 = 27.971.930 Se reemplazan 400.000 unidades Y1 = 4,8(400.000) + 21.197.333 = 23.177.333 Y2 = 9(400.000) + 14.895.652 = 18.495.652 Y3 = 4(400.000) + 21.571.930 = 23.171.930 Se reemplazan 1.200.000 unidades Y1 = 4,8(1.200.000) + 21.197.333 = 26.957.333 Y2 = 9(1.200.000) + 14.895.652 = 25.695.652 Y3 = 4(1.200.000) + 21.571.930 = 26.371.930 La mejor alternativa de costos para las 1.600.000 unidades en: (1) y (2)

1

(1) y (3)

3

(2) y (3)

3

La mejor alternativa es la 3

La mejor alternativa de costos para las 400.000 unidades en: (1) y (2)

2

(1) y (3)

3

(2) y (3)

2

La mejor alternativa es la 2

La mejor alternativa de costos para las 1.200.000 unidades en: (1) y (2)

2

(1) y (3)

3

(2) y (3)

2

La mejor alternativa es la 2

Nota. Para 1.600.000 unidades se eligió la alternativa 3. Luego se analiza la sensibilidad en los puntos de equilibrio donde intervenga la alternativa 3.

300

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Sensibilidad:

Es un rango muy alto para moverse hacia atrás hasta el punto de equilibrio; por tanto es posible bajar en este porcentaje hasta llegar al punto de equilibrio, sin que se vean alterados los costos.

Es un rango muy alto para moverse hacia atrás hasta el punto de equilibrio; por tanto es posible bajar en este porcentaje hasta llegar al punto de equilibrio, sin que se vean alterados los costos. Para: 400.000 unidades

En este caso sería posible subir la producción en un 275,1%, hasta llegar a 1.500.400, que es la producción en el punto de equilibrio.

En este caso sería posible subir la producción en un 233,815%, hasta llegar a 1.335.256, que es la producción en el punto de equilibrio. Para: 1.200.000 unidades

En este caso sería posible subir la producción en un 25,0333%, hasta llegar a 1.500.400, que es la producción en el punto de equilibrio.

En este caso sería posible subir la producción en un 11,27166%, hasta llegar a 1.335.256, que es la producción en el punto de equilibrio.

301

Capitulo 8

301

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Capitulo 8

302

14.895.652

21.197.333

26.912.956 23.444.914 21.571.930

28.399.253

$

0 400.000

468.246

1

E

1.200.000 1.335.256 1.500.400

2

E

3

E

1.600.000

2

Y

Unidades

1

Y

3

Y

Matemáticas financieras

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Problema del reemplazo Este problema tiene los siguientes orígenes: 1. Desgaste o deterioro de un activo por efectos del uso. 2. Insuficiencia para producir un determinado volumen exigido. 3. Insuficiencia para producir con unas determinadas especificaciones o características. El primer punto da lugar a una serie de reparaciones y a un tiempo que se debe disponer para ejecutarlas, lo que incrementa los costos de producción. Generalmente esta situación se acentúa a medida que se agota la vida útil del activo. Ante un crecimiento del mercado, un equipo puede ser insuficiente para atender la demanda y, en consecuencia, es necesario su reemplazo por otro que produzca más unidades, o se debe complementar con otro para atender la totalidad de la demanda. En otras ocasiones, lo importante no es el volumen sino las características del producto como: forma (rectangular, cuadrado, circular, triangular, etc.), color (negro, blanco, rojo, azul, blanco y negro, etc.), resistencia (fuerte, débil, etc.). Por lo general, en estos casos se recomienda hacer ajustes con otros equipos complementarios. Los equipos pueden ser reemplazados por otros cuando se tornan obsoletos; es decir, cuando aparecen otros equipos más eficientes, los cuales reducen los costos de producción. Con base en lo anterior, las decisiones a tomar pueden ser: 1. Comprar un equipo nuevo para reemplazar el equipo en uso. 2. Comprar dos o más equipos para reemplazar el equipo en uso. 3. Comprar uno o varios equipos para complementar el equipo en uso y atender la demanda. Respecto al equipo en uso, toda empresa tiene la información que le suministraron cuando lo compró y además dispone de otra información que ha recogido durante el tiempo que lleva operando el equipo, tal como: • Costos reales y de mantenimiento • Valor en libros • Depreciación acumulada, etc. Al hacer una comparación entre alternativas en uso y de reemplazo, es prioritario volver a estimar nuevamente la información que se tiene del equipo en uso; es decir, calcular: • Nueva vida útil • Nuevos costos de operación y mantenimiento 303

Capitulo 8

303

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Matemáticas financieras

• Nuevo valor de salvamento • Valor del equipo en uso en el mercado (precio) Existe una falsa tendencia a estimar el precio de un equipo en funcionamiento, como el que aparece en libros. Esto es inexacto. Lo primero que se debe hacer es calcular el precio nominal que hace económicamente iguales las alternativas en uso y de reemplazo. Posteriormente, este precio nominal se debe comparar con el precio real de la alternativa en uso para tomar la decisión.

Ejemplo 8.3 El señor Pérez tiene una pequeña industria y hace cinco años compró una máquina por $10.000.000. Los costos anuales de mantenimiento fueron estimados en esa época en $3.000.000. La vida útil que se estimó fue de nueve años y se consideró que el valor de salvamento sería de $1.000.000. En la empresa del señor Pérez, la depreciación se hace mediante el sistema de línea recta. Esto indica que hoy, el valor en libros de la máquina es de $5.000.000. Con el equipo que tiene el señor Pérez, la rentabilidad de la empresa no crece satisfactoriamente. Por esta razón, indagó sobre un nuevo equipo que hace lo mismo que el que tiene y cuyas características son: • Valor del equipo • Costo anual de mantenimiento • Vida útil • Valor de salvamento

$15.000.000 $2.000.000 9 años $2.000.000

Ante esta situación, se revisaron los datos del equipo en uso y los resultados fueron: • Sólo le restan tres años de vida útil. • No habrá valor de salvamento. • Según las estadísticas de mantenimiento, los costos anuales por este concepto son de $4.000.000. El vendedor de este equipo le ofrece $2.000.000 por el equipo en uso. El señor Pérez considera que su tasa mínima de rendimiento es de 25% anual. PEU = Precio del equipo en uso Por cualquiera de los tres métodos se calculan los costos anuales equivalentes para las alternativas. Se utiliza el fondo de amortización de salvamento.

304

Capitulo 8

304

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Alternativa en uso:

Alternativa en reemplazo:

Para calcular el valor de PEU para el cual son iguales los costos anuales de ambas alternativas sólo basta con igualarlos: PEU = Precio de equipo en uso para el cual son iguales los costos de ambas alternativas. PEU (0,512295082) + 4.000.000 = 6.253.831 PEU = 4.399.479 Si el precio del equipo en uso es de PEU = $4.399.479, las dos alternativas tienen costos iguales y, en consecuencia, es indiferente para el señor Pérez continuar con el equipo que tiene o cambiarlo por el propuesto. Si en el mercado el precio real del equipo en uso es mayor que $4.399.479 entonces: CAUE de la alternativa en uso se torna mayor y, en consecuencia, se debe elegir la compra del nuevo equipo. Si se hubiera tomado como precio del equipo en uso lo estimado en libros ($5.000.000), entonces el CAUE del equipo nuevo sería menor y, por tanto, la decisión a tomar es la del reemplazo; pero esta decisión crea un problema y es que cuando se haga el reemplazo, no se encontrará en el mercado quién dé por el equipo en uso lo que dicen los libros (2.000.000 < 4.399.479). Si se acepta esta oferta, el CAUE del equipo en uso será menor que el CAUE del nuevo equipo y, en consecuencia, no se debe hacer el reemplazo. En el supuesto de que unos posibles compradores ofrecen $4.800.000 por el equipo en uso: En estas condiciones, 4.800.000 > 4.399.479, se debe vender y adquirir el nuevo equipo.

305

Capitulo 8

305

1/20/06, 10:49 AM

Matemáticas financieras

Comprobación

Ejemplo 8.4 Ante las características exigidas por el mercado para un determinado producto, es necesario comprar una nueva máquina, ya que el equipo de que se dispone fue comprado hace ocho años por $ 10.000.000. Los CAM (costos anuales de mantenimiento) se estimaron en $1.000.000. La vida útil se estimó en 15 años y no se estipuló valor de salvamento. El equipo a comprar tiene las siguientes características: • • • •

Valor inicial CAM Vida útil Valor de salvamento

$15.000.000 $500.000 10 años $5.000.000

El perito que revisó el equipo en funcionamiento entregó la siguiente información: • Vida útil • Valor de salvamento • CAM

4 años $300.000 $2.000.000

Si se considera una tasa de 36% anual, ¿cuál será el valor mínimo por el cual se puede vender el equipo en uso? Alternativa en uso:

306

Capitulo 8

306

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Alternativa de reemplazo:

Ahora:PEU (0,508697646) + 1.955.391 = 6.074.363 PEU = 8.097.093 Éste es el valor mínimo para la venta del equipo en uso.

Beneficio neto Antes de definir el beneficio neto, se definirá primero la Tasa de Actualización Social.

씰 Tasa de Actualización Social (is) En todo proyecto es necesario cuantificar los costos y los beneficios sociales; es decir, los beneficios sociales se deben asumir como ingresos y los costos sociales netos, como egresos. Dicho esto, la Tasa de Actualización Social se define así: “La medida en que la sociedad valora los beneficios y los costos al incurrir en un costo social a cambio de un beneficio futuro”.

씰 Beneficio neto (BN) Es la diferencia entre el valor presente de los beneficios sociales y el valor presente de los costos sociales, cuantificados con anterioridad y actualizados con la Tasa de Actualización Social (is). BN = B − C

씰 Beneficio neto diferencial BN (i - j) Es la diferencia entre los beneficios diferenciales y los costos diferenciales, con todos los valores actualizados a la Tasa de Actualización Social (is). Si B1 y B2 son los valores presentes de los beneficios sociales de las alternativas 1 y 2, y C1, y C2 son los costos sociales respectivamente, entonces: BN (2 − 1) = [B2 − Bl] − [C2 − CI] 307

Capitulo 8

307

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Matemáticas financieras

Para que la alternativa 2 sea mejor que la 1 es necesario que el beneficio neto diferencial sea mayor que cero. Esto se logra cuando la diferencia entre los beneficios es mayor que la diferencia entre los costos sociales. Cuando se trabaja con el beneficio neto diferencial es porque se están comparando dos alternativas con el fin de elegir entre ellas la más conveniente y excluir la otra. Cuando se trabaja con el beneficio neto, se toma cada una de las alternativas en forma separada y se les calcula el beneficio neto. Al final se obtendrá una lista de valores positivos y/o negativos. De estos valores se elige el de mayor beneficio neto.

Ejemplo 8.5 Para realizar una obra civil se tienen cuatro alternativas y sus costos son los siguientes: Alternativa

Inversión

CAM

1 2 3 4

3.000.000 4.000.000 5.000.000 6.000.000

100.000 80.000 90.000 95.000

CA a Usuarios

5.000.000 4.500.000 4.000.000 4.800.000

Consideremos una is = 20% anual y una vida útil del proyecto de diez años. Nota. En este tipo de análisis es necesario observar si el valor inicial de la inversión es igual o menor que la suma presupuestada para la obra. Si el valor inicial de la inversión de una alternativa es mayor que la disponibilidad presupuestada de la obra, esa alternativa se debe excluir del estudio ya que no hay capital para ejecutarla. El estudio se inicia comparando las dos primeras alternativas: Alternativa 1

Nota.Los costos anuales a usuarios son beneficios negativos.

308

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

B2 − B1 = −18.866.124 − (−20.962.360) B2 − B1 = 2.096.236

C2 = 4.000.000 + 335.398 = 4.335.398 C2 − C1 = 4.335.398 − 3.419.247 = 916.151 BN (2 − 1) = 2.096.236 − 916.151 = 1. 180.085

El BN (2 − 1) es mayor que cero, luego la alternativa 2 es mejor que la 1. Se comparan ahora la alternativa 2 con la 3.

B3 − B2 = −16.769.888 − (−18.866.124) B3 − B2 = 2.096.236 C3 − C2 = 5.377.322 − 4.335.398 C3 − C2 = 1.041.924 C2 − C1 = 4.335.398 − 3.419.247 = 916.151 BN (3 − 2) = 2.096.236 − 1.041.924 BN (3 − 2) = 1.054.312

El BN (3 − 2) es mayor que cero, luego la alternativa 3 es mejor que la 2. Se comparan ahora la alternativa 3 con la 4.

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Capitulo 8

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Matemáticas financieras

B4 − B3 = −20.123.866 − (−16.769.888) B4 − B3 = −3.353.978 C4 − C3 = 6.398.249 − 5.377.322 = 1.020.927 BN (4 − 3) = −3.353.978 − 1020.927 = − 4.374.905

El resultado es negativo, o sea menor que cero. Esto indica que la mejor alternativa continúa siendo la 3.

Relación beneficio-costo La relación beneficio-costo es un método muy acostumbrado por los organismos internacionales. Su expresión es la siguiente:

Donde B y C son valores presentes o anuales, calculados con la Tasa de Actualización Social (is). Cuando se comparan alternativas mutuamente excluyentes, la relación beneficio-costo será:

( B / C ) (i − j ) =

Bj − Bi Cj − Ci

En este caso, la segunda alternativa será mejor que la primera si la relación beneficio-costo de la segunda con respecto a la primera, es mayor que la unidad.

Ejemplo 8.6 Apliquemos este concepto al problema anterior. Los datos serán los siguientes: B1 = −20.962.360 B2 = −18.866.124 B3 = −16.769.888 B4 = −20.123.866

C1 = 3.419.247 C2 = 4.335.398 C3 = 5.377.332 C4 = 6.398.249 310

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Alternativa 1 vs. alternativa 2

La relación es mayor que la unidad, luego la alternativa 2 es mejor que la 1. Alternativa 2 vs. alternativa 3

(B/C) (3 - 2) = 2,01

La relación es mayor que la unidad, luego la alternativa 3 es mejor que la 2. Alternativa 3 vs. alternativa 4

La relación es negativa o sea que es menor que la unidad, luego la alternativa 3 continúa siendo la mejor.

Análisis de alternativas mediante las tasas de rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra Ejemplo 8.7 Se supone que para la ejecución de una obra civil se dispone de $130.000.000. Para esta obra se presentan seis alternativas; cada una estima una vida útil de 15 años y no se consideran valores de salvamento. Todas las alternativas producen ingresos anuales. Se considera una tasa mínima de rendimiento del 30% anual. Cuando la inversión inicial 311

Capitulo 8

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1/20/06, 10:50 AM

Matemáticas financieras

sea menor que la disponibilidad presupuestal, entonces se colocará el capital adicional a la tasa mínima de rendimiento. Las alternativas son las siguientes: Alternativa

Inversión

1 2 3 4 5 6

$50.000.000 $70.000.000 $90.000.000 $100.000.000 $110.000.000 $130.000.000

Ingreso anual

$20.000.000 $30.000.000 $35.000.000 $38.000.000 $43.000.000 $50.000.000

El estudio se inicia calculando las tasas de rendimiento de la inversión:

Se debe observar si estas tasas son mayores que la tasa mínima atractiva. Se puede observar que la tasa mínima es de 30% anual y las tasas de rendimiento de la inversión son mayores que ella; luego, cualquiera de estas tasas es mejor que la tasa mínima de rendimiento. Si existiera alguna alternativa donde la tasa de rendimiento de la inversión fuera menor que la tasa mínima atractiva, entonces se debería rechazar por no ser rentable. Aparentemente la mejor alternativa es la 2, ya que tiene la tasa de rendimiento de la inversión mayor 312

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

que las otras. Esta apreciación es errónea. Se debe continuar el estudio calculando las tasas de rendimiento de la inversión extra pero en forma comparativa entre dos alternativas. La alternativa 1 tiene una tasa de rendimiento extra de 40% anual. Si se compara la alternativa 1 con la alternativa 2, la 2 implica hacer una inversión extra de $20.000.000 respecto de la primera. Esto da lugar a obtener unos ingresos mayores de $10.000.000 respecto de la primera. Luego,

Esta tasa de rendimiento de la inversión extra es mayor que la tasa mínima atractiva, lo cual indica que la alternativa 2 es mejor que la 1. Si se compara la alternativa 2 con la alternativa 3, la 3 implica hacer una inversión extra de $20.000.000 respecto de la 2, y se obtendrán unos ingresos de $5.000.000 mayores que la 2. Luego,

Esta tasa es menor que la tasa mínima (30%), por tanto es mejor la alternativa 2 que la 3. Si se compara la alternativa 2 con la alternativa 4, la 4 implica hacer una inversión extra de $30.000.000 respecto de la 2, pero se obtienen unos ingresos de $8.000.000. Luego,

Esta tasa de rendimiento de la inversión extra también es menor que la tasa mínima (30%), por lo que la 2 continúa siendo la mejor alternativa. Si se compara la alternativa 2 con la alternativa 5, la 5 implica una inversión extra de $40.000.000 respecto de la 2, pero se obtienen unos ingresos adicionales de $13.000.000 respecto de la 2. Luego

Esta tasa de rendimiento de la inversión extra es mayor que la tasa mínima (30%), luego la alternativa a elegir es la 5.

313

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Si se compara la alternativa 5 con la alternativa 6, la 6 implica una inversión extra de $20.000.000 respecto de la 5, pero se producen unos ingresos adicionales de $7.000.000 Luego

Como ya no hay más alternativas, se puede decir que la mejor de todas es la alternativa 6. Comprobación Calcular el valor presente de todas las alternativas, a la tasa mínima atractiva. Se utiliza el método del valor presente neto.

P2 = −70.000.000 + 30.000.000 (3,268211224) = P2 = 28.046.337 P3 = −90.000.000 + 35.000.000 (3,268211224) = P3 = 24.387.393 P4 = −100.000.000 + 38.000.000 (3,268211224) = P4 = 24.192.027 P5 = −110.000.000 + 43.000.000 (3,268211224) = P5 = 30.533.083 P6 = −130.000.000 + 50.000.000 (3,268211224) = P6 = 33.410.561

Como se puede apreciar, la alternativa que mayor valor presente tiene es la 6, luego esta es la mejor alternativa de inversión.

314

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Problemas propuestos 1. La empresa Poderosa S.A. tiene una disminución en las ventas de sus productos debido a la baja capacidad de producción e incumplimiento en la entrega de pedidos. Para solucionar el problema, el departamento de producción propone cambiar el equipo que tiene por uno nuevo. Los datos de las cotizaciones son los siguientes:

Costo inicial Valor de salvamento C.M.O* Vida útil Operarios Producción * Costo mano de obra.

Alternativa 1

Alternativa 2

$50.000.000 $2.000.000 1.500.000 8 años 2 a $1.000/hora 300 unid./hora

$30.000.000 0 2.000.000 6 años 4 a $600/hora 250 unid./hora

• La empresa tiene una tasa atractiva del 32% anual. • El departamento de producción debe cumplir con una demanda de 900.000 unidades anuales. ¿Cuál alternativa se debe elegir? Respuesta: la 2. 2. La empresa Cementos A.A requiere para la planta de producción unos equipos nuevos ya que con los actuales no alcanza a cubrir la demanda de cemento. Para ello tiene las siguientes alternativas:

Costo inicial Vida útil C.M.O* Valor de salvamento Operarios Producción

Alternativa 1

Alternativa 2

$200.000.000 10 años 500.000 $2.000.000 1 a $800/hora 400 unid./hora

$150.000.000 5 años 1.500.000 $1.000.000 2 a $600/hora 400 unid./hora

• Tasa de interés: 28% anual. • La empresa debe cumplir con unas ventas de 2.500.000 unidades al año. ¿Cuál alternativa debe elegir? Hacer comentarios. Respuesta: la 1. 315

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

3. El señor Pedro Pérez desea cambiar unos equipos de su empresa ya que los que tiene se han vuelto obsoletos en razón del uso y del tiempo. Un experto le hizo el siguiente estudio de los equipos que tiene: • Los costos anuales de mantenimiento están en el orden de $3.000.000. • Sólo les restan unos dos años de uso. • Al final de su vida útil no tendrán valor de salvamento.

en uso es de $50.599.760. No se puede vender por menos. 4. Una empresa desea cambiar uno de sus equipos. El jefe de mantenimiento hizo el siguiente diagnóstico sobre el equipo que está en operación: • Sólo le resta una vida útil de un año y no tendrá valor de salvamento. • Los costos anuales de mantenimiento son de $10.000.000. Un vendedor le ofrece al gerente de esta empresa un equipo nuevo en las siguientes condiciones:

Al consultar el mercado sobre nuevos equipos, se encontró que una buena propuesta era adquirir un equipo en las siguientes condiciones: Costo inicial CAM Vida útil Valor de salvamento

Costo inicial CAM Vida útil Valor de salvamento

= $100.000.000 = $5.000.000 = 10 años =

= $180.000.000 = $5.000.000 = 10 años = $10.000.000

Además, le propone recibirle el equipo usado como parte de pago y le fija un precio de $45.000.000. La tasa mínima de rendimiento de la empresa es de 32% anual. ¿Debe el gerente hacer el negocio? Explique el porqué. Respuesta: Sí. El precio del equipo en uso es de $42.585.055.

$5.000.000

El vendedor también le propuso recibirle el equipo usado por $30.000.000. Si la tasa mínima de rendimiento del señor Pérez es de 36% anual, ¿será conveniente hacer ese negocio? ¿Por qué? Respuesta: No. El precio del equipo

5. Para la ejecución de una obra civil se tienen las siguientes propuestas: Propuesta

Inversión

1 2 3

$80.000.000 100.000.000 135.000.000

CAM

$15.000.000 10.000.000 5.000.000

CA a Usuarios

$40.000.000 30.000.000 20.000.000

• La tasa de actualización social es de 32% anual y la vida útil de las obras se estima en 15 años. • El presupuesto asignado para la ejecución de las obras es de $75.000.000. ¿Cuál debe ser la propuesta a elegir? Respuesta: Ninguna. 316

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

6. Resolver el problema No. 5 pero considerando un presupuesto de $200.000.000. Respuesta: La tercera.

7. Con los datos del problema No. 5, calcular la relación beneficio neto diferencial para cada una de las propuestas y confirmar si la decisión tomada en el problema No. 6 sigue siendo la misma. Respuesta: Sí.

8. Para el montaje y puesta en marcha de un proyecto para el levante y comercialización de la tilapia roja, se dispone de un presupuesto de $50.000.000 y se tienen las siguientes alternativas: Alternativa

Inversión

Ingresos anuales

1 2 3 4

$30.000.000 55.000.000 40.000.000 45.000.000

$9.000.000 19.250.000 11.200.000 13.050.000

La tasa mínima atractiva es de 32% anual. Aplicando el método de las tasas de la inversión inicial y de la inversión extra, determinar cuál es la mejor alternativa. Explicar el porqué. Respuesta: Ninguna. 10. Resolver el problema No. 8 pero considerando una tasa mínima atractiva de 28% anual. Respuesta: La cuarta.

9. Resolver el problema No. 8 pero considerando una tasa mínima atractiva de 30% anual. Respuesta: La primera.

Autoevaluación 1. La Empresa A adquirió una máquina hace diez años por $7.000.000; la máquina se ha estado depreciando en línea recta sobre una vida útil de quince años, con un valor de salvamento de $1.000.000. En la actualidad, el costo anual de mantenimiento y operación asciende a $1.400.000. Se está estudiando la posibilidad de reemplazar esta máquina por otra mejor cuyo costo es de $6.500.000,

con una vida útil de diez años, sin valor de salvamento y unos costos anuales de mantenimiento y operación de $1.000.000. La máquina actual se puede cambiar por la otra, agregando la suma de $5.000.000. Se estima que la máquina actual ya no tiene valor de salvamento y, además, le resta una vida útil de cinco años. La tasa mínima de rendimiento de la empresa es del 20% 317

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

anual. ¿Será conveniente realizar el cambio? Explicar analítica y teóricamente la respuesta.

• Este equipo requiere tres operarios a razón de $300 por hora. • La producción con este equipo es de 350 unidades por hora. • Los costos anuales de mantenimiento se estiman en $2.000.000.

2. Se desea construir un hotel en una región turística. Para ello se han desarrollado siete alternativas, cada una de ellas con una vida útil de 20 años. No se consideran los valores de salvamento. Las alternativas son las siguientes: Alternativas

Inversión inicial

Ingreso anual

1 2 3 4 5 6 7

10.000.000 12.000.000 14.000.000 15.000.000 16.000.000 18.000.000 20.000.000

4.000.000 5.000.000 5.500.000 5.800.000 6.300.000 7.000.000 7.600.000

Máquina tipo B: Costo inicial = $40.000.000 Valor de salvamento = 0 Vida útil = 4 años • Este equipo requiere dos operarios a razón de $500 por hora. • La producción se estima en 200 unidades por hora. • Los costos anuales de mantenimiento se han calculado en $400.000. Si la empresa tiene una tasa atractiva de 25% anual, y el departamento de producción necesita producir 5.000.000 de unidades anuales ¿cuál máquina se debe comprar? Hacer el análisis del caso.

El inversionista dispone de $20.000.000 que tienen una tasa mínima de rendimiento de 25% anual. Evaluar las alternativas utilizando la tasa de rendimiento de la inversión extra.

4. Una fábrica de alfombras requiere una máquina para atender su demanda que está insatisfecha. Después de consultar los proveedores, recoge la siguiente información:

3. Una fábrica de muebles produce dos tipos de sillas y mesas. La empresa tiene grandes recursos de madera, mano de obra y un buen mercado. Por tanto, requiere de una nueva maquinaria y para ello ha recopilado la siguiente información:

Máquina A: Costo inicial = $80.000.000 Valor de salvamento = $4.000.000 Vida útil = 4 años

Máquina tipo A: Costo inicial = $80.000.000 Valor de salvamento = $5.000.000 Vida útil = 5 años

• Esta máquina requiere dos operarios a $300 por hora, con una producción de 150 unidades por hora. 318

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

• Los costos anuales de mantenimiento son de $1.000.000.

demanda, la cual se ha triplicado. Ante esta situación es necesario consultar en el mercado sobre nuevos equipos. Los datos hallados son los siguientes:

Máquina B: Costo inicial = $40.000.000 Valor de salvamento = $1.000.000 Vida útil = 2 años

Existe un equipo con la misma capacidad del equipo actual, su costo es de $120.000.000, una vida útil de seis años, un valor de salvamento de $20.000.000 y tiene unos costos anuales de mantenimiento de $15.000.000. Hay otro equipo cuya capacidad es el triple del actual. Su costo es de $400.000.000. Tiene una vida útil de diez años, un valor de salvamento de $50.000.000 y sus costos anuales de mantenimiento se estiman en $50.000.000. El jefe de mantenimiento de la empresa revisó el equipo en uso y dio el siguiente diagnóstico: Tiene una vida útil de seis años, no tendrá valor de salvamento, los costos anuales de mantenimiento y operación ya ascienden a $30.000.000. Los cálculos hechos para establecer el precio de equipo actual indican que éste es de $50.000.000. La tasa mínima de rendimiento de la empresa es de 30% anual. Elaborar y valorar tres alternativas posibles.

• Requiere dos operarios a $300 por hora. • La producción es de 120 unidades por hora. • Los costos anuales de mantenimiento son de $1.000.000 Máquina C: Costo inicial = $20.000.000 Valor de salvamento = $3.000.000 Vida útil = 2 años • Esta máquina requiere dos operarios especializados a $600 por hora. • La producción es de 200 unidades por hora. • Los costos anuales de mantenimiento son de $600.000. • La tasa mínima de rendimiento de la empresa es de 25% anual. • Si el departamento de producción exije una producción de 4.500.000 unidades al año, ¿cuál máquina se debe comprar? Haga el análisis de la sensibilidad.

6. Hace ocho años la empresa Líder S.A. adquirió un equipo en las siguientes condiciones:

5. La compañía XYZ adquirió hace tres años un equipo para un determinado proceso, el cual tuvo un costo de $200.000.000, una vida útil de diez años, unos costos anuales de mantenimiento de $20.000.000 y un valor de salvamento de $ 10.000.000. Con este equipo no se alcanza a atender la

Costo inicial = $15.000.000 CAM = $5.000.000 Valor de salvamento = $2.000.000 Vida útil = 12 años 319

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Ese equipo se ha vuelto obsoleto y por tanto es necesario cambiarlo por otro de mejores especificaciones técnicas. Al consultar el mercado se encontró un nuevo equipo y las condiciones para adquirirlo son las siguientes: Costo inicial CAM Valor de salvamento Vida útil

rando con esa máquina. Por tanto, se tomó la decisión de comprar una nueva máquina en las siguientes condiciones: Costo inicial CAM Valor de salvamento Vida útil

= $25.000.000 = $3.000.000 = $4.000.000 = 10 años

= $17.000.000 = $1.000.000 = $3.000.000 = 8 años

El equipo en uso fue evaluado en las siguientes condiciones: Sólo le restan dos años de vida útil, al final de los cuales su valor de salvamento será cero. Los registros de mantenimiento indican que los costos anuales por este concepto son del orden de $3.000.000. El vendedor interesado en la venta de este equipo le propone a la compañía recibir el equipo en uso como parte de pago, y para ello le fija un precio de $1.500.000. La tasa mínima de rendimiento de la empresa es de 30% anual. ¿Será conveniente este negocio para la compañía?

El proveedor ofrece recibir el equipo en uso por $3.000.000, suma que se abonaría al costo del nuevo equipo. La empresa hace revisar el equipo en uso por un experto. Éste da el siguiente diagnóstico: • Al equipo sólo le restan cuatro años de vida útil. • No tendrá valor de salvamento. • Los costos de mantenimiento se están incrementando anualmente. En ese momento ascienden a $6.000.000 anuales. • La empresa trabaja con una tasa de interés de 32% anual. • ¿Será conveniente cambiar el equipo por el propuesto?

8. Una empresa transportadora compró en 1991 una tractomula por $65.000.000; los costos de mantenimiento anual fueron estimados en $2.000.000; la vida útil se estimó en doce años y se consideró un valor de salvamento de $10.000.000. Como a la empresa le interesa renovar su equipo en forma periódica, tomó la decisión de comprar un nuevo modelo avaluado en $95.000.000 el cual tiene unos costos de mantenimiento anual de $2.000.000 y una vida útil de quince años, pero sin valor de salvamento.

7. Una compañía procesadora de frutas compró hace siete años una máquina despulpadora por $11.000.000. Los costos de mantenimiento anual se estimaron en $2.000.000. La vida útil en diez años y se consideró un valor de salvamento de $2.000.000. Según las estadísticas de producción, la rentabilidad de la empresa se veía amenazada si se continuaba ope320

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

El vehículo usado se ofrece a unos compradores de vehículos de segunda, y éstos ofrecen por él la suma de $48.000.000 aduciendo que al vehículo sólo le restan cinco años de vida útil y que su mantenimiento anual es de $3.000.000. Además, dicen que al

final de su vida útil, el vehículo no tendrá valor de salvamento. La empresa trabaja con una tasa mínima de rendimiento de 36% anual. ¿Será conveniente para la empresa hacer el cambio de vehículo en esas condiciones? ¿Qué se debe hacer?

9. Para la construcción de una carretera que unirá la cabecera municipal con una de sus veredas, se dispone de un presupuesto de $500.000.000 y se tienen las siguientes ofertas: Empresa

Inversión

CAM

CA a usuarios

A B C D

$380.000.000 420.000.000 470.000.000 510.000.000

$30.000.000 20.000.000 10.000.000 0.000

$400.000.000 300.000.000 250.000.000 200.000.000

La tasa de actualización social es de 25% anual. El proyecto tendrá una vida útil de 20 años. Aplicando los conceptos de beneficio neto diferencial, determinar a qué empresa se le debe adjudicar la construcción de esta obra. 10. Con los datos del problema No. 7, calcular la relación beneficio-costo y observar si la decisión tomada en el problema No. 7 continúa siendo la misma. 11. El señor Pedro Pérez se ganó el premio mayor de la lotería, el cual estaba acumulado en $373.134.328. El descuento por concepto de ganancias ocasionales es de 33% y el señor Pérez destinará 80% de su premio para construir un edificio de apartamentos. El resto de su dinero lo invertirá en papeles financieros que le reconocen el 25% anual. Las propuestas que recibió para la construcción del edificio están resumidas en el siguiente cuadro: Propuesta

Inversión inicial

Ingresos anuales

1 2 3 4 5 6 7 8

$150.000.000 160.000.000 175.000.000 180.000.000 187.000.000 193.000.000 200.000.000 201.000.000

$39.000.000 42.400.000 47.500.000 50.400.000 46.563.000 52.385.714 53.600.000 60.300.000

321

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Analizar las propuestas aplicando el método de las tasas de rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra. 12. Los departamentos de Antioquia y Caldas están interesados en la construcción de una presa aprovechando las aguas del río Cauca. Para ello, cada departamento hará un aporte de $5.000.000.000. A la licitación pública internacional se presentaron las siguientes firmas constructoras y del estudio de sus ofertas se extractó el siguiente cuadro, el cual debe ser evaluado aplicando el método del beneficio neto diferencial. Vida útil del proyecto: 20 años Tasa de actualización social:25% anual Firma

Inversión inicial

CAM

CA a usuarios

A B C D E F

$4.500.000.000 5.000.000.000 7.000.000.000 11.000.000.000 10.000.000.000 10.500.000.000

$2.000.000.000 1.000.000.000 800.000.000 300.000.000 900.000.000 750.000.000

$1.000.000.000 2.000.000.000 1.200.000.000 500.000.000 1.400.000.000 800.000.000

Respuestas a la autoevaluación 1. Alternativa en uso: n = 10 años P = $7.000.000 ni = 15 años Valor de salvamento = $1.000.000 CAM = $1.400.000 Alternativa de reemplazo: n = 10 años P = $6.500.000 CAM = $1.000.000

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Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Para la alternativa en uso:

Se igualan los dos CAUE con el fin de despejar el valor del PEU. PEU (0,33437970) + 1.400.000 = 2.550.398 PEU = 3.440.394,22 Si se tratara de vender la máquina antigua para comprar una nueva, esto sólo se podría hacer si la máquina antigua se vendiera por $3.440.394,22 o más. Si se ha de vender por menos dinero, no se justifica hacer el reemplazo. En este caso no se trata de vender para comprar otra máquina nueva: se trata de cambiar la máquina antigua por una nueva, dando un valor mayor de $5.000.000. La condición de equilibrio (condición mínima) es recibir $3.440.394,22 por la venta y entregar $6.500.000 por el equipo nuevo. $6.500.000 − 3.440.394,22 = 3.059.605,78 Éste sería el valor que se deberá dar de más. Comparando este valor con el de la condición mínima, resulta inferior, luego es conveniente hacer el cambio. 2. Como la inversión inicial de cualquier alternativa no supera la disponibilidad presupuestal de rendimiento, entonces todas las propuestas son viables en principio. El análisis del problema se inicia con el cálculo de las tasas de rendimiento:

323

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Se puede observar que todas las tasas son mayores que la tasa mínima. Luego, cualquiera de ellas resulta mejor o es más conveniente que invertir a la tasa mínima. Así, se debe proceder a analizar las alternativas mediante la comparación de las tasas de rendimiento de las inversiones extras.

Esta tasa es igual a la tasa mínima de rendimiento. Luego, es indiferente elegir la 2 o la 3.

Comparación entre 2 y 1:

Comparación entre la 4 y la 5:

Comparación entre la 2 y la 4:

Por ser 0,2666 > 0,25 se elige la 4.

Si se elige la 2 y se excluye la 1, se incurrirá en un ingreso anual mayor de $1.000.000, pero la inversión inicial pasará de $10.000.000 a $12.000.000; es decir, la inversión inicial se incrementará en $2.000.000. Luego, la tasa de rendimiento de la inversión de esa inversión extra será:

Por ser 0,50 > 0,25 se elige la 5. Comparación entre la 5 y la 6:

Por ser 0,35 > 0,25 se elige la 6. Comparación entre la 6 y la 7.

Por ser 0,50 > 0,25, se excluye la 1 y se elige la 2.

Por ser 0,30 > 0,25 se elige la 7.

Comparación entre la 2 y la 3.

Conclusión. La mejor alternativa es la 7.

3. Máquina tipo A:

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Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión




Máquina tipo B:

CAUE = 16.937.669 + 400.000 + 5X CAUE = 17.337.669 + 5X




=

31.138.505 + 2,57X = 17.337.669 + 5X 13.800.836 = 2,43X X = 5.679.356

Ésta es la producción en el punto de equilibrio, en que los costos son iguales para ambas máquinas. El departamento de producción exige una producción de 5.000.000 de unidades anuales. Se calculan los costos para cada una de las máquinas. Máquina A: CAUE = 31.138.505 + 2,57 (5.000.000) CAUE = 43.988.505 Máquina B: CAUE = 17.337.669 + 5 (5.000.000) CAUE = 42.337.669 Nota. Se elige la máquina B por tener menor costo. Esta decisión se puede confirmar aplicando los conceptos teóricos. De las dos ecuaciones, la de menor pendiente es la (1). El punto de pedido del departamento de producción es de 5.000.000 de unidades, cifra que es inferior a las producidas en el punto de equilibrio (5.679.356 unidades), luego la ecuación de costos más favorable será la de mayor pendiente. 325

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Si la producción exigida fuera superior a la del punto de equilibrio, entonces la decisión a tomar sería con la ecuación de menor pendiente. 4. Máquina A:




Máquina B:



CAUE = 28.333.334 + 5X2

Máquina C:

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Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

CAUE = 17.022.349 + 6X




=

34.181.572 + 4X = 28.333.334 + 5X X = 5.848.238


=

34.181.572 + 4X = 17.022.349 + 6X X = 8.579.612 

=

28.333.334 + 5X = 17.022.349 + 6X X = 11.310.985

En cada ecuación se reemplaza el número de unidades exigidas por el departamento de producción:
Y = 34.181.572 + 4 (4.500.000) = 52.181.572  Y = 28.333.334 + 5 (4.500.000) = 50.833.334  Y = 17.022.349 + 6 (4.500.000) = 44.022.349

La de menor costo es la máquina C. Análisis de la sensibilidad: Se trabaja con los puntos de equilibrio donde interviene la máquina C, es decir:
y 

 y 
y 

Para

La sensibilidad es muy baja. Es decir, la exigencia en producción se puede aumentar hasta en 90,658 % y seguirá siendo mejor alternativa la de la m áquína C. (4.500.000) (1,90658) = 8.579.610

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Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Si la producción se encuentra por encima de 8.579.612 que es el punto de equilibrio entre
y , entonces la máquina C dejará de ser la mejor opción. Entre

 y 

Una sensibilidad negativa indica que la producción exigida está por debajo del punto de equilibrio. Luego (4.500.000) (1,513552) = 6.810.984 4.500.000 + 6.810.984 = 11.310.984 La sensibilidad también resultó ser baja. 5. Alternativa 1: Adquirir dos unidades del equipo No. 1 y agregarlo al actual. Costo equipo actual Costo equipo No. 1 (dos) Costo total Vida útil Valor de salvamento Equipo actual Equipo No. 1 (dos) Costo mano de obra: Equipo actual Equipo No. 1 (dos) Costo total

= = = =

$50.000.000 240.000.000 $290.000.000 6 años

= =

0 $40.000.000

= = =

$30.000.000 30.000.000 $60.000.000

CAUE = 109.734.346 − 3.135.772 + 60.000 CAUE = 166.598.574

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Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Alternativa 2: Adquirir tres unidades del equipo No. 1 y retirar el equipo actual. Costo = (120.000.000) (3) = $360.000.000 Vida útil = 6 años Valor de salvamento = ($20.000.000) (3) = $60.000.000 CMO = ($15.000.000) (3) = $45.000.000

CAUE = 136.221.947 + 45.000.000 − 4.703.658 = CAUE = $176.518.289

Alternativa 3: Retirar el equipo actual y comprar el equipo No. 2. Costo = $400.000.000 Valor de salvamento = $50.000.000 CAM = $50.000.000 Vida útil = 10 años

CAUE = 129.385.376 + 50.000.000 − 1.173.172 CAUE = $178.212.204 La mejor es la alternativa 1. 6. Alternativa 1:

329

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Alternativa 2:

PEU (0,477174184) + 6.000.000 = $11.446.222

PEU = $11.413.488 Conclusión. No conviene cambiar el equipo en uso; es preferible mejorarlo. 7. Alternativa 1:

Alternativa 2:

CAUE = $5.812.558 + $1.000.000 - $125.746 CAUE = $6.686.812 PEU (0,73478260) + 3.000.000 = 6.686.812 PEU = $5.017.555 Conclusión. Venderlo por $1.500.000 es vender a pérdida. 8. Alternativa 1:

330

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Alternativa 2:

CAUE = $36.542.986 PEU (0,458560) + 3.000.000 = 36.542.986 PEU = $73.148.521

No se puede vender el vehículo por $48.000.000. 9. La empresa D ha sido descartada ya que su oferta tiene un precio superior al presupuesto asignado para la construcción de la carretera.

BB = −300.000.000 (3,953883) = −1. 186.164.900 BC = −250.000.000 (3,953883) = −988.470.750 CA = 380.000.000 + 30.000.000 (3,953883) = 498.616.490 CB = 420.000.000 + 20.000.000 (3,953883) = 499.077.660 CC = 470.000.000 + 10.000.000 (3,953883) = 509.538.830 BB − BA = 1.186.164.900 − (−1.581.553.200) = 395.388.300 CB − CA = 499.077.660 − 498.616.490 = 461.170 BN(B−A) = 395.388.300 − 461.170 = 394.927.130 BN(B−A) es mayor que cero. Por tanto, la propuesta B es mejor que la A.

Entre B y C. BC − BB = 988.470.750 − ( −1.186.164.900) = 197.694.150 CC − CB = 509.538.830 − 499.077.660 = 10.461.170 BN(C−B) = 197.694.150 − 10.461.170 = 187.232.980 BN(C−B) es mayor que cero. Por tanto, la propuesta C es mejor que la B.

10.

La relación es mayor que “1”. La propuesta B es mejor que la A. Entre B y C

La relación es mayor que “1”. La propuesta C es mejor que la B. 331

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

11. Valor recibido: $373.134.328 × 0,67 = $250.000.000 Presupuesto para inversión = $250.000.000 × 0,80 = $200.000.000 Se descarta la propuesta 8 porque requiere de una inversión inicial superior al presupuesto de la obra. Se calculan las tasas de rendimiento:

Se excluye la propuesta 5 por tener una tasa de rendimiento inferior a la TMR del señor Pérez. Se calculan las tasas de inversión extra: Entre 1 y 2:

34% > 25%. Luego: se elige la 2 Entre 2 y 3:

La tasa es igual a la anterior. Se elige cualesquiera de las dos.

332

Capitulo 8

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Capítulo 8 • Evaluación financiera de alternativas de inversión

Entre 3 y 4:

58% > 25%. Se elige la 4. Entre 4 y 6:

15,27% < 25%. Se elige la 4. Entre 4 y 7:

16% < 25%. Se elige la 4. Conclusión. La mejor propuesta es la 4. 12. Se descartan las propuestas D y F porque sus costos son mayores al presupuesto disponible para la ejecución de la obra.

BB = −2.000.000.000 (3,95388314) = −7.907.766.280 CA = 4.500.000.000 + 2.000.000.000 (3,95388314) = CA = 12.407.766.280 CB = 5.000.000.000 + 1.000.000.000 (3,95388314) = CB = 8.953.883.140 BB − BA = −7.907.766.280 − (−3.953.883.140) BB − BA = −3.953.883.140 CB − CA = 8.953.883.140 − 12.407.766.280 CB − CA = −3.453.883.140 BN(B−A) = −3.953.883.140 − (−3.453.883.140) BN(B−A) = −500.000.000 BN(B−A) : es menor que cero. Entonces se elige la propuesta A.

333

Capitulo 8

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Matemáticas financieras

Entre A y C: BC = −1.200.000.000 (3,95388314) = −4.744.659.768 CC = 7.000.000.000 + 800.000.000 (3,95388314) = CC = 10. 163.106.5 10 BC − BA = −4.744.659.768 − (−3.953.883.140) = BC − BA = −790.776.628 CC − CA = 10.163.106.510 − 12.407.766.280 CC − CC = −2.244.659.770 BN(C−A) = −790.776.628 −(−2.244.659.770) = BN(C−A) = 1.453.883.140

Se elige la C. Entre C y E: BE = −1.400.000.000 (3,95388314) = 5.535.436.396 CE = 10.000.000.000 + 900.000.000 (3,95388314) CE = 13.558.494.830 BE − BC = −5.535.436.396 − (−4.744.659.768) = BE − BC = −790.776.628 CE − CC = 13.558.494.830 − 10.163.106.510 = CE − CC = 3.395.388.320 BN(E−C) = −790.776.628 − 3.395.388.320 BN(E−C) = −4.186.164.948 BN(E−C) es menor que cero. Entonces se elige la propuesta C.

Actividades de repaso 1. ¿Qué es una tasa de rendimiento? 2. ¿Qué es una tasa mínima de rendimiento? 3. ¿En qué consiste el método del valor presente neto? 4. ¿Cuáles modalidades tiene el método del valor presente neto? Explíquelas. 5. ¿En qué consiste el método del costo anual uniforme equivalente? 6. ¿Cuáles modalidades tiene el método del costo anual uniforme equivalente? Explíquelas. 7. ¿En qué consiste el método del punto de equilibrio? 8. ¿Cuándo se usa este método?

9. ¿Qué diferencia existe entre el método del valor presente neto y el del costo anual uniforme equivalente? Explíquela. 10. ¿Cómo se define la sensibilidad en la toma de decisiones? 11. ¿En qué consiste el problema del reemplazo? 12. ¿Qué es el beneficio neto? 13. ¿Qué es el beneficio neto diferencial? 14. ¿Cuál es la relación beneficio costo? ¿Cuándo se usa? ¿Cómo se usa? 15. ¿En qué consiste el método para evaluar alternativas mediante las tasas del rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra? 334

Capitulo 8

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Tasa interna de retorno ■ Justificación En todo proyecto es necesario conocer la tasa de interés que produjeron los dineros del mismo. Esta tasa se halla al calcular la tasa interna de retorno. Hasta esta parte se ha hecho referencia a un proyecto de inversión, pero también es necesario hablar de aquellas situaciones en las que se desea conocer el costo de un crédito. Este caso no es más que la tasa interna de retorno para esa situación.

■ Objetivo general Determinar una tasa de interés que establezca una igualdad entre una suma presente y la suma de unos valores presentes de unas futuras.

■ Objetivos específicos ■

Calcular la tasa interna de retorno cuando no se tiene una tasa de referencia.

■

Calcular la tasa interna de retorno cuando se tiene una tasa de referencia.

■

Calcular la tasa interna de retorno cuando existen costos adicionales o arandelas, como comisiones, seguros, etc.

335

Capitulo 9-335-352

335

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Matemáticas financieras

Conducta de entrada A continuación se presenta una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una sola es verdadera. Marque con una ✗ la que considere correcta. 4 Si Pedro compra un libro en $5.500 y debe hacer pagos mensuales de $200 durante 36 meses, ¿cuál es la tasa efectiva anual de dicha transacción?

1 La tasa efectiva anual equivalente a la tasa del 4% mensual es a. 50,10%

b. 60,10%

c. 40,10%

d. 30,10%

e. 58,10%

b. 25,08%

c. 31,08%

d. 31,18%

b. 19,44%

c. 20,08%

d. 21,08%

e. 15,08%

2 La tasa efectiva anual equivalente a la tasa del 31% trimestre anticipado es: a. 40,08%

a. l8,44%

5 Se compra una nevera por la suma de $820.000 con una cuota inicial de $220.000 y el saldo se financia a 12 meses pagando $62.090,37 mensuales. ¿Cúal es la tasa de interés que se cobra en dicha transacción?

e. 38,08% 3 ¿A qué tasa de interés efectiva anual debo depositar $1.000.000 para que al final de tres años pueda acumular la suma de $2.898.278,33?

a. 4% mensual b. 3% mensual c. 2,5% mensual

a. 42,57%

b. 42,75%

d. 3,5% mensual

c. 45,27%

d. 45,75%

e. 5% mensual

e. 47,25%

Respuestas a la conducta de entrada 1. b

2. e

3. a

4. c

5. d

336

Capitulo 9-335-352

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Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Tasa interna de retorno Toda persona que desee hacer una inversión espera obtener una utilidad, la cual, expresada en porcentaje, se denomina tasa de retorno razonable sobre la inversión. Esta tasa de retorno razonable se conoce como tasa mínima atractiva de retorno (TMA) y debe ser mayor que cualquier otra tasa de retorno previamente establecida. En los capítulos anteriores se estudió cómo una suma presente era equivalente a una suma futura (principio de equivalencia con el paso del tiempo). Con base en este principio se establecerán igualdades para encontrar la tasa de interés que hace posible dichas igualdades. La tasa así hallada es la tasa de retorno. Puede decirse, entonces, que la tasa de retorno es aquella que hace que el valor de los ingresos de un proyecto sea equivalente al valor presente de los egresos; es decir, es aquella tasa de interés que hace que el Valor Presente Neto de un proyecto sea igual a cero. La tasa de retorno se calcula bajo el supuesto de que todo el capital y los rendimientos que genera el proyecto permanecen dentro del mismo hasta el final de su vida útil. Para el cálculo de la tasa de retorno se considerarán dos situaciones: 1. No se conoce ninguna tasa de interés que permita analizar el problema.

Ejemplo 9.1 Un ciudadano invierte hoy $1.000.000 en un negocio que le dará $50.000 mensuales durante un año, al final del cual obtendrá el capital invertido, los intereses y $20.000 más. ¿Cuál es la tasa de interés?

En el último mes obtiene, además de los $50.000: 1.000.000 + 20.000 = 1.020.000

337

Capitulo 9-335-352

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Matemáticas financieras

Como no se conoce ninguna tasa inicial, se supone que todos los ingresos están en el mes 12. F = (50.000)(12) + 1.020.000 = 1.620.000 Como n

F = P(1 + i) Se reemplaza:

La tasa que hace que se cumpla la igualdad es del 4,10% mensual. Sin embargo, la igualdad planteada es artificial, es decir, no es cierta ya que se supuso que todos los ingresos estaban en una misma fecha futura. Esta suposición tiene como objeto conocer una tasa de interés para tomarla como punto de partida y así hallar la tasa de retorno. Supóngase una tasa del 5% para plantear la igualdad:

Esto indica que la tasa del 5% no es la tasa de retorno. Debe buscarse una tasa mayor que disminuya la expresión. Si se toma el 5,5%, se obtiene:

1.000.000 ≠ 430.925,89 + 536.501,14 1.000.000 ≠ 967.427,03 338

Capitulo 9-335-352

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Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Como puede apreciarse, el 5,5% tampoco es la tasa de retorno, pero queda claro que la tasa de retorno está entre el 5% y el 5,5%. Luego, se interpola: para el 5 % la diferencia es de +11. 136,71 para el 5,5% la diferencia es de −32.573

de donde x = 0,00127384 Luego, la tasa mínima atractiva de retorno (TMA) es igual a 5% + 0,00127384 Tasa mínima atractiva de retorno (TMA) = 5,127384%

2. Se conoce una tasa de interés que sirve de referencia.

Ejemplo 9.2 Un ciudadano compró un apartamento por $10.000.000, y los gastos de escritura y la comisión fueron de $200.000, y espera venderlo dentro de 6 meses por $13.000.000. Los gastos y las rentas durante ese tiempo son los siguientes: Mes

Ingresos

Egresos

1 2 3 4 5 6

$150.000 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000

$10.000 80.000 50.000 70.000 20.000 40.000

339

Capitulo 9-335-352

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Matemáticas financieras

Este ciudadano, que tiene una tasa de oportunidad del 3% mensual, ¿hizo un buen negocio? Flujo de caja: Mes

0 1 2 3 4 5 6 6

Ingresos

Egresos

$150.000 150.000 150.000 150 000 150.000 150.000 13.000.000

−$10.200.000 10.000 80.000 50.000 70.000 20.000 40.000 0

Neto

−$10.200.000 140.000 70.000 100.000 80.000 130.000 110.000 13.000.000

Se actualiza cada uno de los valores netos y se tiene:

340

Capitulo 9-335-352

340

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Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Se obtuvo un valor positivo, por tanto, debe considerarse una tasa mayor. Tómese el 4%, luego

341

Capitulo 9-335-352

341

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Matemáticas financieras

Este resultado indica que debe buscarse una nueva tasa de retorno, mayor que el 4%. Supóngase la tasa del 5%:

Este nuevo resultado indica que la tasa de retorno está por encima del 5%. Ahora se considera el 5,5%:

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Capitulo 9-335-352

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Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Como el resultado es negativo, puede decirse que la tasa de interés se encuentra entre el 5% y el 5,5%. Se interpola, así:

Luego, TIR = 5,06% El negocio fue bueno ya que la TIR es mayor que la tasa mínima de oportunidad del inversionista.

Conclusiones • Si la TIR > tasa de interés de oportunidad del inversionista, la inversión es buena. • Si la TIR < tasa de interés de oportunidad del inversionista, la inversión es mala. 343

Capitulo 9-335-352

343

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Matemáticas financieras

• Si la TIR = tasa de interés de oportunidad del inversionista, es indiferente hacer la inversión o seguir trabajando el capital a la tasa de oportunidad. Comentarios Algunos autores suelen hablar de “tasa de interés con arandelas”. Cuando hablan de “arandelas” se refieren a aquellos otros factores que intervienen para aumentar las tasas de interés inicialmente pactadas o acordadas. Estos elementos son, entre otros, las comisiones, los seguros, los timbres, los costos de papelería, el estudio del crédito, etc. Para el cálculo de estas tasas, basta elaborar el diagrama del problema con el fin de visualizarlo mejor y luego proceder como se hizo con la TIR. Costo de un crédito. Para calcular el costo de un crédito basta recurrir a la TIR; la tasa así hallada representa el costo del crédito.

Ejemplo 9.3 Supóngase que una corporación otorgo un crédito de $1.000.000 a una tasa del 36% anual con capitalización semestral y plazo de un año. El estudio del crédito, los timbres, las comisiones y demás ascendieron a $20.000. Se acordó que este valor se pagará al finalizar el primer bimestre.

Al finalizar el segundo mes pagará la suma de $20.000 por concepto de comisiones y otros. Al finalizar el sexto mes (ler. semestre) pagará $180.000 por concepto de intereses. Al finalizar el plazo (1 año) pagará el capital de $1.000.000 más los intereses del segundo semestre, $180.000, para un total de $1.180.000. Existe una tasa que iguala la suma de los valores presentes de los diferentes pagos con el valor presente del crédito. 344

Capitulo 9-335-352

344

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Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

En este caso dicha tasa será la tasa de interés efectiva pagada, la cual corresponde a la TIR.

Como la tasa que va a calcularse debe ser mayor que el 18% semestral, supóngase una tasa del 20%.

Como puede observarse, la tasa del 20% no es la que se busca porque esa igualdad no se ha cumplido. Como se obtuvo una cifra inferior a $ 1.000.000, que es el miembro izquierdo de la igualdad, entonces debe aumentarse dicha cifra hasta el $1.000.000. Esto se logra observando las fórmulas que se han presentado. Si se disminuye el denominador, la cifra total aumentará; por tanto, supóngase una tasa del 19% y repítase la operación.

Esto indica que la tasa buscada se encuentra entre el 19% y el 20%. Se interpola:

Luego, TIR = 0, 19 + 0,0022507067 = 19,225%. La tasa efectiva anual será

345

Capitulo 9-335-352

345

1/20/06, 10:53 AM

Matemáticas financieras

ia = 1 + 

n

r −1 n 

ia = (1 + 0, 19225) − 1 = 42, 146174% 2

Si se hubiere presentado amortización del capital, supóngase un abono de $400.000 en el primer semestre. La gráfica sería

Los intereses en el segundo semestre disminuyeron porque disminuyó el capital, debido al abono que se hizo. El problema se resolverá como en el caso anterior. Si el pago de intereses o de algunos ítemes fuera por anticipado, entonces se tendría:

346

Capitulo 9-335-352

346

1/20/06, 10:53 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Se continuaría con el problema hasta llegar a la tasa indicada.

Ejemplo 9.4 El señor Pérez tiene su propio negocio, el cual le proporciona una tasa de oportunidad del 8% mensual.Para modernizarlo ha pensado en comprar un computador que le venden en las siguientes condiciones: • Precio de venta: $3.000.000 menos el 20% si la venta es de contado. • Si la venta es a crédito deberá cancelar el 50% como cuota inicial y el resto se lo financian a un año con pago de cuotas de $130.000 mensuales. Calcular el costo de dicho crédito, es decir, la tasa de interés mensual que le cobran al señor Pérez. a. Si el señor Pérez compra de contado el computador, sólo tendrá que pagar: $3.000.000(0,80) = $2.400.000 b. Si compra a crédito tendrá que pagar una cuota inicial de $1.500.000 y, además, deberá cancelar mensualmente $130.000 durante un año. El problema consiste en calcular la tasa de interés con la cual se financia un capital. ¿Cuál es el monto del capital financiado? El capital financiado es la diferencia entre el precio de venta y la cuota inicial; sin embargo, como en este caso se hace un descuento al precio de venta por pago de contado, entonces el valor a financiar será: Precio de venta de contado − cuota inicial Valor a financiar = 2.400.000 − 1.500.000 = 900.000

347

Capitulo 9-335-352

347

1/20/06, 10:53 AM

Matemáticas financieras

El diagrama económico es

Al aplicar el concepto de valor presente se tiene que:

Si se supone que la tasa de oportunidad del señor Pérez es de 8% mensual, se tiene:

Esto indica que el crédito tiene un costo mayor que la tasa de oportunidad del señor Pérez. Sin embargo, se calcula ese costo:

Según lo anterior, puede concluirse que la tasa buscada está entre el 8% y el 10%. Se interpola: • Con el 8% hay una diferencia positiva de $79.690 respecto de $900.000. • Con el 10% hay una diferencia negativa de $14.220 respecto de $900.000.

348

Capitulo 9-335-352

348

1/20/06, 10:53 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Luego, TIR = 0,08 + 0,0169715 = 0,0969715 = 9,69715% El costo del crédito es del 9,69715% mensual. Esto demuestra que al señor Pérez no le conviene comprar a crédito porque la TIR correspondiente a su financiación es mayor que su tasa de oportunidad. Se le recomienda mejor comprar de contado. Hasta ahora se ha visto cómo la tasa interna de retorno (TIR) representa la rentabilidad de una inversión o proyecto, ya que la TIR tiene como característica el hecho de estar determinada por el capital que permanece en el proyecto; cuando éste considera la entrega parcial y periódica de capital, la TIR deja de representar la verdadera rentabilidad del proyecto y entonces es necesario calcular dicha rentabilidad.

Ejemplo 9.5 El señor Pérez compró un computador por $1.721.581, el cual produce $100.000 mensuales, y espera venderlo al término de un año por $1.500.000. Si el señor Pérez le presta a sus amigos el producido mensual del computador a una tasa del 3% mensual, ¿cuáles serán la TIR y la verdadera rentabilidad de la inversión? a.

349

Capitulo 9-335-352

349

1/20/06, 10:53 AM

Matemáticas financieras

Al aplicar VPN se tiene:

Al considerar con los procedimientos estudiados antes, se llega a una tasa del 5% mensual, la cual es la TIR del proyecto pero no mide su verdadera rentabilidad ya que hay reinversiones de las utilidades mensuales. Para calcular la verdadera rentabilidad es necesario considerar la tasa de oportunidad del señor Pérez, o sea, la tasa a la cual él hace la reinversión. Al calcular el valor futuro de las reinversiones se obtiene:

A = $100.000 i = 0,03 n = 12 meses F=?

Esto indica que el señor Pérez hizo una inversión de $1.721.581 y obtuvo al final del año la suma de $2.919.203, discriminada así: $1.500.000 por concepto de la venta del computador $1.419.203 por concepto de la reinversión En otras palabras, $1.721.581 se transformaron en $2.919.203 al final de un año. ¿Cuál fue la tasa que hizo posible la transformación? 350

Capitulo 9-335-352

350

1/20/06, 10:53 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Esta es la tasa que mide la verdadera rentabilidad del proyecto y se calcula así: F = $2.919.203 P = $1.721.581 n = 1 año

씰 Tasa interna de retorno vs. valor presente neto Mediante el método del valor presente neto se sabe si una propuesta o alternativa evaluada con la tasa mínima de rendimiento del inversionista, es buena o es mala. Es decir, si hay pérdidas o ganancias frente a esa tasa mínima de rendimiento o tasa de interés de oportunidad. Si el VPN es mayor que cero, la propuesta es buena; es decir que es viable desde el punto de vista financiero (el valor presente de los ingresos es mayor que el valor presente de los egresos a esa tasa de oportunidad). Si el VPN es menor que cero, la propuesta es mala; es decir que no es viable desde el punto de vista financiero (el valor presente de los ingresos es menor que el valor presente de los egresos a esa tasa de oportunidad). La TIR indica la tasa de interés con la cual se está recuperando el capital. También señala el costo de un crédito o la rentabilidad de una inversión. Es muy importante tener siempre presente que la TIR sólo se refiere al capital que permanece dentro del proyecto; cuando hay lugar a reinversiones de capital, entonces ya no indicará la verdadera rentabilidad de la inversión. En estos casos se hace necesario calcular otra tasa de interés, con la cual se indicará la verdadera rentabilidad. Con el fin de hacer claridad en este tema, se analizarán los siguientes problemas:

Ejemplo 9.6 Una persona dispone de $100.000.000 para invertir. El Banco A le ofrece devolverle el capital invertido en seis (6) cuotas mensuales, iguales y vencidas de $21.631.539. 351

Capitulo 9-335-352

351

1/20/06, 10:53 AM

Matemáticas financieras

El Banco B le ofrece devolverle el capital invertido en un pago único de $154.330.153 al final de los seis meses. Si la tasa mínima de rendimiento de esta persona es del 3% mensual. ¿Cuál propuesta es la mejor? Resolver el problema por el método del VPN y por el método de la TIR. Por el método del VPN VPN A = −$100.000.000 +

(

)

$21.631.539 (1, 03) − 1

((1, 03)

6

6

)

× 0, 03

VPNA = –$100.000.000 + $117.182.188 = $17.182.188 VPN B = −$100.000.000 +

$154.330.153 (1, 03)6

VPNB = –$100.000.000 + $129.249.073 = $29.249.073 En ambas propuestas, se obtuvo que el VPN es mayor que cero: el valor presente de los ingresos es mayor que el valor presente de los egresos y por consiguiente, ambas propuestas producen ganancias frente a la tasa de rentabilidad mínima del 3% mensual. De las dos propuestas es mejor la del Banco B, ya que tiene un valor presente neto mayor que la del Banco A. Por el método de la TIR Banco A:

$100.000.000 =

[

]

$21.631.539 (1 + i ) 6 − 1

((1 + i ) × i ) 6

Por tanteo se encuentra que i = 0,08 Luego, TIR = 8% mensual. Banco B:

$100.000.000 = $154.3306.153 (1 + i )

Por tanteo se encuentra que i = 0,075 Luego TIR = 7,5 % mensual. La TIR de la propuesta A es mayor que la TIR de la propuesta B. A simple vista esto indica que es mejor invertir en el Banco A. Así por el método del VPN la mejor propuesta, es la del Banco B por el método de la TIR, la mejor propuesta es la del Banco A. ¿Habrá entonces una contradicción entre dichos métodos? 352

Capitulo 9-335-352

352

1/20/06, 10:54 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Por principio de lógica matemática pensaríamos que no podría existir contradicción entre el método del valor presente neto y el método de la tasa interna de retorno. Esta aparente contradicción se explica porque la TIR sólo se refiere a los capitales que permanecen dentro del proyecto. En el caso del Banco A, hay una reinversión: los $21.631.539 que recibe mensualmente, pueden ser reinvertidos a la tasa mínima de rendimiento del inversionista (3% mensual). Por tanto, la TIR de la propuesta A, no indica la verdadera rentabilidad y, en consecuencia, es necesario calcularla en la siguiente forma: F=

(

)

A (1 + i )n − 1 i

((1, 03) − 1) 6

F = $21.631.539

0, 03

F = $139.921.661 Como inicialmente se invirtieron $100.000.000 y al final de seis meses se obtuvieron $139.921.661. ¿Cuál fue la tasa de interés que dio lugar a que $100.000.000 se transformaran en $139.921.661? F $139.921.661 i i

n

= P(1 + i) 6 = $100.000.000(1 + i) = 0,057582263 = 5,7582263%

Esta es la verdadera rentabilidad de la propuesta del Banco A. Como en la propuesta del B no hay reinversión, entonces la TIR hallada para dicha propuesta sí refleja la verdadera rentabilidad. Así, 5,7582263% del Banco A es menor que 7,5% del Banco B. En conclusión, la propuesta del Banco B continúa siendo la mejor opción Como se puede apreciar el cálculo de la tasa de rentabilidad verdadera puede solucionar la contradicción que se presenta entre el método del VPN y el de la TIR.

Ejemplo 9.7 Al señor Pérez se le presentan dos alternativas para invertir $50.000.000: la primera consiste en depositar hoy esa cantidad y dentro de dos años recibirá la suma de $69.620.000; la segunda consiste en depositar hoy la misma suma y recibir al final de cada año y durante dos años, $32.727.300. Para tomar una decisión, calculó la tasa interna de retorno de las dos propuestas y encontró que la primera tiene una TIR del 18% anual y la segunda, una TIR del 20% anual. 353

Capitulo 9-353-374

353

1/20/06, 10:55 AM

Matemáticas financieras

Un amigo le dijo que el método del VPN era el más seguro. Al hacer los cálculos con su tasa mínima de rendimiento del 10% anual, encontró lo siguiente: VPN1 = $7.537.190 VPN2 = $6.799.446 Según estos cálculos, la mejor alternativa es la primera pero según los cálculos de la TIR la mejor alternativa es la segunda. Como se puede observar, aquí aparece la misma contradicción que en el problema anterior. Todo se debe a que se está tomando como tasa de rentabilidad verdadera a la TIR de la propuesta que implica reinversión. Este es el error en el cual no se puede caer y para ello es necesario calcular la tasa de interés que indica la verdadera rentabilidad cuando hay lugar a la reinversión.

((1,10) − 1) 2

F = $32.727.300

0, 10

F = $68.727.330 Entonces, 2

$68.727.300 = $50.000.000(1 + i) i = 0,172410 i = 17,2410% anual

Esta es la tasa que representa la verdadera rentabilidad de la segunda propuesta. La tasa del 17,2410% anual es inferior a la tasa del 18% anual de la primera propuesta, de manera que no hay contradicción y sigue siendo la propuesta 1, la mejor de las dos. La tasa del 20% no refleja la verdadera rentabilidad de la propuesta porque en ella hay lugar a reinversión y la TIR no se refiere a los capitales que salen del proyecto para ser reinvertidos nuevamente. Otra explicación que se puede dar al interrogante sobre la aparente contradicción de los métodos es la siguiente: Si el señor Pérez trabajara los $32.727.300 que recibe al final del primer año, a una tasa del 10% anual, entonces obtendría al final del segundo año: $32.727.300 + ($32.727.300 × 0,10) = $36.000.000 A este valor se le deben sumar los $32.727.300 que recibe de la inversión inicial. Así,

$36.000.000 + 32.727.300 = $68.727.330

Esta suma es inferior a la que recibiría si eligiera la primera alternativa ($69.620.000), de modo que la mejor propuesta es la 1.

354

Capitulo 9-353-374

354

1/20/06, 10:55 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

씰 Flujo de caja después de impuestos Un flujo de caja está compuesto por los ingresos y los egresos. En otras palabras, por las entradas y las salidas o desembolsos. Definición de variables

Fórmulas:

FCAI: flujo de caja antes de impuestos

FCAI = Ingresos brutos − egresos

FCDI: flujo de caja después de impuestos

IG = FCAI − Depreciación

IG: ingresos gravables

Impuestos = (IG)(it)

it: tasa de tributación

FCDI= FCAI − Impuestos

Ejemplo 9.8 Una empresa adquirió un equipo para un determinado proceso de producción. En esta empresa los activos se deprecian mediante el método de la línea recta. Los ingresos y los egresos son los siguientes: Año

0 1 2 3 4 5

Ingresos

Egresos

120.000.000 110.000.000 100.000.000 105.000.000 90.000.000

200.000.000 30.000.000 40.000.000 55.000.000 60.000.000 40.000.000

Si la tasa de tributación es del 15% anual tabular el flujo de caja descontado. Depreciación = Año

Ingresos

200.000.000 = 40.000.000 5 Egresos

FCAI

Depreciación

IG

Impuestos

$200.000.000 −$200.000.000

0 1

$120.000.000 $30.000.000

$90.000.000 $40.000.000 $50.000.000 $7.500.000

$82.500.000

2

$110.000.000 $40.000.000

$70.000.000 $40.000.000 $30.000.000 $4.500.000

$65.500.000

3

$100.000.000 $55.000.000

$45.000.000 $40.000.000

$5.000.000

$750.000

$44.250.000

4

$105.000.000 $60.000.000

$45.000.000 $40.000.000

$5.000.000

$750.000

$44.250.000

5

$90.000.000 $40.000.000

$50.000.000 $40.000.000 $10.000.000 $1.500.000

$48.500.000

355

Capitulo 9-353-374

FCDI −$200.000.000

355

1/20/06, 10:55 AM

Matemáticas financieras

Cálculo de la TIR después de impuestos La tasa interna de retorno calculada sobre el flujo de caja después de impuestos, generalmente es la mitad de la tasa interna de retorno calculada sobre el flujo de caja antes de impuestos.

20.000.000 = 82.500.000 + 65.500.000 + 44.250.000 + 44.250.000 + 48.500.000 2 3 4 (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) (1 + i ) 5 Se busca primero una tasa de interés como punto de partida: 5

285.000.000 = 200.000.000 (1 + i) i = 7,34%

Esto indica que la tasa de interés a buscar es superior al 7,34%. Se inicia el proceso de tanteo con el 15%. 20.000.000 = 82.500.000 + 65.500.000 + 44.250.000 + 44.250.000 + 48.500.000 2 3 4 (1,15) (1,15) (1,15) (1,15) (1,15) 5 200.000.000 ≠ 199.774.786

La tasa del 15% no es la TIR. Se debe plantear nuevamente el problema con una tasa inferior. Supóngase el 14,5%

20.000.000 = 82.500.000 + 65.500.000 + 44.250.000 + 44.250.000 + 48.500.000 2 3 4 (1,145) (1,145) (1,145) (1,145) (1,145) 5 200.000.000 ≠ 201.880.312

La tasa del 14,5% tampoco es la TIR. Todo indica que la tasa a buscar está entre el 14,5% y el 15%, de manera que se debe interpolar: 0,145 1.880.312 1.880.312 0,005 i 0 2.105.526 0,15 −225.214 i=

(0, 005) × (1.880.312) 2.105.526

= 0, 004465184

TIR = 0,145 + 0,004465184 = 0,14946518 = 14.946518% 356

Capitulo 9-353-374

356

1/20/06, 10:56 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

La tasa del 14,946518% no refleja con exactitud el valor de la TIR, ya que el procedimiento de cálculo mediante el método de tanteo, da lugar a un margen de error, el cual aumenta o disminuye dependiendo de cómo estén de alejados los dos extremos entre los cuales se interpoló.

Cálculo del CAUE Asuma una tasa mínima de rendimiento del 12% anual. l. Se llevan todos los valores a valor presente y luego se suman. 2. El valor presente calculado se anualiza para la vida útil de la propuesta y con la tasa mínima de rendimiento del inversionista (12%) P1

–$200.000.000

=

P2

=

82.500.500 (1,12)

P3

=

65.500.000 (1,12)2

=

$52.216.199

P4

=

44.250.000 (1,12)3

=

$31.496.276

P5

=

44.250.000 (1,12)4

=

$28.121.675

P6

=

48.500.000 (1,12)5

=

$27.520.203

Total

=

=

$73.660.714

$13.015.067  (1,12)5 × 0,12  A = 13.015.067   = 3.610.506 5  (1,12) − 1 

En caso de tener varias propuestas con vidas útiles diferentes, el cálculo del valor presente neto se deberá hacer para un horizonte que iguale las vidas útiles de las propuestas, tal como se indicó en el capítulo 7. Sí se tienen las propuestas A y B: VPN de la propuesta A = al valor presente del CAUE de la propuesta A. Esto es: Dado A hallar P para un n igual al horizonte financiero. VPN de la propuesta B = al valor presente del CAUE de la propuesta B. Esto es: Dado A hallar P para un n igual al horizonte financiero. 357

Capitulo 9-353-374

357

1/20/06, 10:56 AM

Matemáticas financieras

Ejemplo 9.9 El señor Pérez desea comprar un computador para su negocio. El precio del equipo es de $4.000.000 de contado. Si se compra financiado, le cobrarán una tasa del 26,8241% efectiva anual. El equipo lo financian a 4 meses con uno de los siguientes planes: Plan 1: cuatro cuotas mensuales, iguales y vencidas Plan 2: cuatro cuotas mensuales, vencidas e iguales de capital. Los intereses se pagarán sobre los saldos insolutos del capital Si el señor Pérez tiene una TMR del 2,5% mensual, ¿cuál plan debe elegir? iapm = (1,268241)

ia = 0,268241

1/12

− 1 = 0,02

Plan 1:  (1, 02) 4 0, 02  A = 4.000.000   = 1.050.495 4  (1, 02) − 1 

 (1, 025) 4 − 1  VPN = 1.050.495   4  (1, 025) 0, 025  VPN = 3.951.935

Plan 2: n

A

0 1 2 3 4

VPN =

$1.080.000 $1.060.000 $1.040.000 $1.020.000

I

Abono

Saldo

$80.000 $60.000 $40.000 $20.000

$1.000.000 $1.000.000 $1.000.000 $1.000.000

$4.000.000 3.000.000 2.000.000 1.000.000 0

1.080.000 1.060.000 1.040.000 1.020.000 + + + 1, 025 (1, 025)2 (1, 025)3 (1, 025)4

VPN = $1.053.659 + $1.008.923 + $965.743 + $924.070 VPN = $3.952.395 Se selecciona el plan 1.

358

Capitulo 9-353-374

358

1/20/06, 10:56 AM

Capítulo 9 • Tasa interna de retorno

Ejemplo 9.10 Para una empresa se requiere un equipo que tiene un precio en el mercado de $50.000.000 de contado y una vida útil de 10 años, sin valor de salvamento. Con este equipo se obtendrán ingresos anuales de $8.000.000. La empresa deprecia sus activos mediante el método de la línea recta. La tasa de tributación es del 30% efectiva anual y la TMR es del 9% efectiva anual. ¿Será conveniente comprar el equipo? P = 50.000.000 n = 10 años Vr depreciación = Año

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ingreso

8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000

50.000.000 = 5.000.000 10 Egreso

FCAI

Depreciación

50.000.000 −50.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000 8.000.000

5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000 5.000.000

IG

3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000 3.000.000

IMP

900.000 900.000 900.000 900.000 900.000 900.000 900.000 900.000 900.000 900.000

FCDI

−50.000.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000 7.100.000

 (1.09)10 − 1  VPN = −50.000.000 + 7.100.000   10  (1.09) 0, 09  VPN = −50.000.000 + 45.565.370 VPN = −4.434.630

No es conveniente porque VPN < 0 Nota. Es importante aclarar que el sólo hecho de que el VPN Ve, la emisión es bajo la par (bono con descuento). Premio de reembolso. Es una suma de dinero que se da a todo bono que resulta favorecido en un sorteo, y para calcularlo es necesario estimar primero el valor del lote. Valor del lote. Es la diferencia entre la cuota calculada con la tasa nominal anual y la cuota calculada con la tasa efectiva en razón del premio. 377

Capitulo 10

377

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Matemáticas financieras

Tasa de interés. Es la relación existente entre el interés acumulado por unidad de tiempo (valor futuro − valor presente) y la cantidad asignada (valor presente):

Tasa de retorno. Es aquella con la cual se mide la utilidad que todo inversionista espera obtener de manera razonable en sus negocios. Se diferencia de la tasa de interés porque ésta se utiliza cuando se solicita un préstamo o cuando se estipula una tasa fija. La tasa de retorno razonable se conoce también con el nombre de tasa mínima de retorno requerida o tasa mínima de retorno atractiva. Valor presente neto. Es la diferencia entre el valor presente de los ingresos y el valor presente de los egresos de una misma alternativa.

씰 Bonos sin sorteo emitidos a la par Como su nombre lo indica, sólo tienen una fecha de redención y se colocan en el mercado a su valor nominal (Vn). Estos bonos pueden ofrecer incentivos como exenciones tributarias o tasas de interés atractivas.

Ejemplo 10.1 Un bono de $ 1.000 se emitió a 4 años y paga el 26% anual.

Ve = 1.000 = Vn Ve = P Vn = F

378

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

Como puede observarse, el precio del bono es igual a su valor nominal.

씰 Bonos sin sorteo emitidos bajo la par Como los anteriores, sólo tienen una fecha de redención, pero se diferencian porque éstos se negocian en el mercado secundario por un valor inferior al nominal.

Ejemplo 10.2 ¿Por cuánto debe venderse un bono de $1.000 emitido a 5 años al 28% anual, para que el comprador obtenga una tasa del 32% efectiva anual? Vn = $1.000 Ve = ? n = 5 años r = 28% ie = 32% (ésta es la tasa de retorno sobre la inversión)

P = $906,18

379

Capitulo 10

379

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Matemáticas financieras

Ejemplo 10.3 El señor Pérez compró hoy en $4.000 un bono que se redimirá en dos años por $5.000, el cual reconoce un interés del 6% trimestral. Calcule las tasas de interés nominal y efectiva.

Se aplica el concepto de valor presente:

Al utilizar la tasa del 4% se obtiene:

Al utilizar la tasa del 9% se obtiene:

380

Capitulo 10

380

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Capítulo 10 • Bonos

Al utilizar la tasa del 10% se obtiene:

4.000 ≠ 3.933 La tasa buscada está entre el 9% y el 10%. Ahora se interpola: • Con el 0,09 hay una diferencia de $169,77 con respecto a $4.000. • Con el 0, 10 hay una diferencia de − $67.

Se plantea una regla de tres simple:

Luego, la tasa es 0,09 + 0,007170. Entonces, TIR = 0,09717 = 9,717%, la tasa nominal anual será 4 (9,717%) = 38,868%. La tasa efectiva anual será: 4

ia = (1 + 0,09717) − 1 = 44,909%

씰 Bonos con sorteo emitidos a la par Son bonos con varias fechas de redención; es decir, se reembolsan periódicamente. Además, los bonos se colocan en el mercado a su valor nominal.

Ejemplo 10.4 Una empresa hizo una emisión de 50.000 bonos. El valor nominal de cada uno es de $1.000 y se redimen en 4 años, pero se reembolsarán cada año mediante sorteos, y reconocen una tasa del 28% anual. ¿Cuáles bonos se rescatarán cada año? 381

Capitulo 10

381

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Matemáticas financieras

1. Valor de la emisión: 50.000 (1.000) = 50.000.000 2. Los $50.000.000 corresponden al empréstito que una compañía debe amortizar en 4 años. Supóngase que el sistema para amortizarlo es el de cuota constante. Luego,

Cada año se pagarán $22.311.789,18, de los cuales una parte corresponde a intereses y la otra es la amortización real. El número de bonos, a amortizar en cada periodo está dado por la amortización real de dicho periodo dividida por el valor nominal del bono.

Donde Ni = número de bonos rescatados en el periodo i. Ti = amortización real en el periodo i Ti =A − Ii Primer periodo:

Queda un sobrante de $789,18 que produce intereses así: 789,18 (0,28) = $220,97 Sobrante total: 789,18 + 220,97 = $1.010,15 382

Capitulo 10

382

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Capítulo 10 • Bonos

Segundo periodo: Saldo = 50.000.000 − 8.311.000 = 41.689.000 I2 = 41.689.000(0,28) = 11.672.920

Sobrante = $879,33 Interés del sobrante = 879,33 (0,28) = $246,21 Sobrante total = 879,33 + 246,21 = $1.125,54 La siguiente tabla puede construirse así: n

1 2 3 4

Deuda inicial

50.000.000 41.689.000 31.050.000 17.432.000

Interés I

Amortización real

14.000.000 11.672.920 8.694.000 4.880.960 Total

Ni

8.311.789,18 8.311 10.639.879,33 10.639 13.618.914,72 13.618 17.432.000,00 17.432 50.000

Sobrante Intereses Sobrante + intereses

789,18 879,33 914,72 0

220,97 246,21 256,12 0

1.010,15 1.125,54 1.170,84 0

En la tabla puede observarse lo siguiente: a. La amortización aumenta de un período a otro en la tasa de interés. b. Al aumentar la amortización, aumenta el número de bonos rescatados de un periodo a otro en la misma tasa que aumentó la amortización real. Luego, T1 = T1 T2 = T1 + T1i = T1 (1 + i) . . . k−1

Tk = T1 (1 + i) 383

Capitulo 10

383

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Matemáticas financieras

Con k £ n. Lo mismo ocurre con Ni: N 1 = N1 N2 = N1 + N1i = N1 (1 + i) . . . Nk = N1 (1 + i)

k− 1

Ejemplo 10.5 Con los datos del problema anterior, calcular N1, N2, N3 y N4.

Nota. Para el cálculo de Ni, se toma N1 con todos sus decimales. N2 = N1 (1 + i) N2 = 8.311.789,18 (1,28) = 10.639 2

N3 = 8.311.789,18 (1,28) = 13.618 3

N4 = 8.311.789,18 (1,28) = 17.432 41.689 Número de bonos favorecidos hasta el sorteo k:

La expresión entre corchetes es la suma de los términos de una progresión geométrica creciente que consta de k términos y cuya razón es (1 + i). Luego,

384

Capitulo 10

384

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Capítulo 10 • Bonos

Número de bonos vigentes después del sorteo k:

Número de bonos vigentes antes del sorteo k:

Ejemplo 10.6 La compañía AB emitió 20.000 bonos de $5.000 cada uno a 5 años. Los bonos pagan una tasa del 24% anual y se redimen anualmente mediante sorteos. El sistema de amortización es de cuota constante. Determinar: a. Número de bonos favorecidos hasta el tercer sorteo. b. Número de bonos en circulación después del cuarto sorteo. Valor emisión: 20.000 (5.000) = $100.000.000

385

Capitulo 10

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Matemáticas financieras

a. Número de bonos favorecidos hasta el tercer sorteo:

b. Número de bonos en circulación después del cuarto sorteo:

씰 Bonos con sorteo emitidos bajo la par Es uno de los sistemas más utilizados en el mercado financiero. Difiere del anterior en el precio por el cual se coloca el bono en el mercado.

Ejemplo 10.7 Con los datos del problema anterior y considerando que al colocar los bonos bajo la par la empresa AB terminará por pagar el 26% efectivo anual. a. ¿Cuánto recibe la empresa? b. ¿Cuál es el Ve de cada bono? c. ¿Cuál es el número de bonos rescatados en el segundo sorteo? A = 36.424.771,49 a. Calcular ahora el valor presente de esta serie de cuotas pero a la tasa del 26% efectivo anual, para conocer cuánto recibió la compañía AB.

386

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

b.

c. Número de bonos rescatados en el segundo sorteo: k−1

Nk =N1 (1 + i)

N1 = 2.484,954298 2−1

N2 = 2.484,954298 (1,24)

= 3.081

씰 Bonos con sorteo emitidos bajo la par y con lote Lote. Es un premio que se adjudica a los bonos favorecidos en un determinado sorteo.

Ejemplo 10.8 Resuelva el problema anterior considerando que por el hecho de otorgar un premio al bono favorecido en un sorteo, la empresa AB pagará una tasa del 28% efectiva anual. a. ¿Cuánto recibirá la empresa AB? b. ¿Cuál es el precio de venta de cada bono? c. ¿Cuál es el valor del lote? d. ¿A qué costo se rescatan los bonos favorecidos en el cuarto sorteo? a. Ya estaba resuelto: $95.981.851,55 b. Ya estaba resuelto: $4.799,09 c. Calcúlese ahora la nueva cuota que amortiza el capital de los $95.981.851,55 al 28% anual.

El valor del lote es igual a la diferencia entre las dos cuotas. 37.907.433,66 − 36.424.771,49 = $1.482.662,17 387

Capitulo 10

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Matemáticas financieras

d. Para saber a qué costo se rescatan los bonos del cuarto sorteo es necesario conocer primero cuántos bonos se rescatarán en el mismo. 3

N4 = N1 (1 + i)

3

N4 = 2.484,954298 (1,24) = 4.738 Valor del premio para cada bono = Valor de rescate de cada bono = 5.000 + 312,92 = $5.312,92

씰 Bonos emitidos en serie No siempre todos los bonos son de la misma serie. Se acostumbra hacer las emisiones por series para dar en cada una un valor nominal al bono con el fin de hacer más fácil su colocación en el mercado.

Ejemplo 10.9 XYZ hizo la siguiente emisión de bonos: Serie A: 50.000 bonos a $500 cada uno Serie B: 20.000 bonos a $600 cada uno Serie C: 10.000 bonos a $700 cada uno Los bonos reconocen el 25% anual y se redimen en 6 años mediante sorteos anuales por el sistema de cuota constante. Como los bonos se colocaron bajo la par, XYZ terminará por pagar el 27% anual. Además, con el fin de hacer más atractiva la venta se ha ofrecido un premio para cada bono que resulte favorecido en un sorteo. Este hecho hace que la empresa termine por pagar el 29% anual. a. ¿Cuánto recibe la empresa? b. ¿Cuál es el valor efectivo de cada bono? c. ¿Cuál es el valor del lote? d. ¿Cuántos bonos de cada serie se redimen en el cuarto sorteo? e. ¿Cuál es el valor de rescate para los bonos del cuarto sorteo?

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Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

a. Valor de la emisión: Serie A: 50.000(500) = $25.000.000 Serie B: 20.000(600) = $12.000.000 Serie C: 10.000(700) = $7.000.000 Se calcula el valor de las cuotas con las cuales se amortizará la emisión de cada serie.

Después de calcular el valor de la cuota que amortiza, debe calcularse el valor presente equivalente a esa serie. Este valor es el que recibe la empresa.

389

Capitulo 10

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Matemáticas financieras

b.

c. Valor del lote:

Valor del lote: 15.576.191,40 − 14.908.057,93 = $668.133,47 d. Intereses: A: 25.000.000(0,25) = 6.250.000 B: 12.000.000(0,25) = 3.000.000 C: 7.000.000(0,25) = 1.750.000 Amortización real Ti: Ti = A − Ii T1(A) = 8.470.487,46 − 6.250.000 = 2.220.487,46 T1(B) = 4.065.833,98 − 3.000.000 = 1.065.833,98 T1(C) = 2.371.736,49 − 1.750.000 =

621.736,49 3.908.057,93

Número de bonos rescatados en el primer sorteo = N1:

390

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

Número de bonos rescatados en el sorteo k = Nk: T1 = T1 T2 = T1 + T1i = T1 (1 + i) 2

T3 = T1 (1 + i) . . . Tk = T1 (1 + i)

k−1

La amortización aumenta de un periodo a otro en una proporción igual a la tasa de interés. Al aumentar la amortización real, aumentará en la misma proporción el número de bonos a rescatar en dicho periodo. Luego, N = N1 (1 + i)

k−1 3

N4 (A) = 4.440,974932 (1,25) = 8.673,77 Se redimieron 8.673 bonos de la Serie A. 3

N4 (B) = 1.776,389973 (1,25) = 3.469,51 Se redimieron 3.469 bonos de la Serie B. 3

N4(C) = 888,194987 (1,25) = 1.734,75 Se redimieron 1.734 bonos de la Serie C. Total bonos redimidos en el cuarto sorteo: 13.876.

e.

Serie A: 500 + 48,15 = $548,15 Serie B: 600 + 48,15 = $648,15 Serie C: 700 + 48,15 = $748,15

391

Capitulo 10

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Matemáticas financieras

Comprobación: Serie A: 8.673,77(500) = $4.336.889,58 Serie B: 3.469,51(600) = $2.081.707 Serie C: 1.734,75(700) = $1.214.329,08 $7.632.925,66 3

T4 = T1 (1 + i)

3

T4 = 3.908.057,941 (1,25) = $7.632.925,66

Ejemplo 10.10 Una compañía hizo la siguiente emisión de bonos: Serie A: 55.000 bonos a $550 cada uno Serie B: 25.000 bonos a $650 cada uno Serie C: 15.000 bonos a $800 cada uno Los bonos reconocen el 22% anual y se redimen en 6 años mediante sorteos anuales y mediante el sistema de cuota constante. Los bonos se colocarán en el mercado bajo la par, razón por la cual la empresa pagará el 24% anual; además, para hacerlos más atractivos se dará un premio por cada bono que resulte favorecido en los sorteos. Esta situación hace que la compañía termine por pagar el 26% efectivo anual. a. ¿Cuánto recibe la empresa? b. ¿A qué precio se colocan los bonos en el mercado? c. ¿Cuál es el valor del lote? d. ¿Cuántos bonos de cada serie se redimen en el cuarto sorteo? e. ¿Cuál es el valor de rescate para los bonos del cuarto sorteo? Valor de la emisión Serie A: 55.000(550) = $30.250.000 Serie B: 25.000(650) = $16.250.000 Serie C: 15.000(800) = $12.000.000 392

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

Valor de las cuotas con las cuales se amortiza cada serie:

a.

La empresa recibe $55.794.807,57. b.

393

Capitulo 10

393

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Matemáticas financieras

 0, 26 1, 26 6  ( )  = 19.339.776, 71 A = 55.794.807, 57   1, 26 6 − 1  )  (

c.

Lote = 19.339.776,71 − 18.472.219,05 = $867.557,62 Intereses: Serie A: 30.250.000(0,22) = $6.655.000 Serie B: 16.250.000(0,22) = $3.575.000 Serie C: 12.000.000(0,22) = $2.640.000 Amortización real: T=A−I TA = 9.551.873,95 − 6.655.000 = 2.896.873,95 TB = 5.131.171,95 − 3.575.000 = 1.556.171,95 TC = 3.789.173,13 − 2.640.000 = 1.149.173,13 Total: $5.602.219,03

d.

4−1

NA4 = 5.267,043549 (1,22)

4−1

NB4 = 2.394,110705 (1,22)

4−1

NC4 = 1.436,466423 (1,22)

= 9.564 = 4.347 = 2.608

Total: 16.519 bonos

394

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

e. Serie A: 550 + 52,51 = $602,51 Serie B: 650 + 52,51 = $702,51 Serie C: 800 + 52,51 = $852,51 Prueba: Serie A: 9.564(550) = $5.260.200 Serie B: 4.347(650) = $2.825.550 Serie C: 2.608(800) = $2.086.400 Total: $10.172.150 4−1

T4 = T1 (1 + i)

3

T4 = 5.602.219,03 (1,22) = 10.172.778 Existe una diferencia de $628 entre la amortización real del cuarto periodo y su correspondiente valor, la cual se debe a las aproximaciones; por tanto, 10. 172.778 − 10.172.150 = 628

Con estos $628 puede redimirse un bono de $550. Luego, el número de bonos redimidos en el cuarto sorteo se incrementará en uno y los bonos de la serie A serán 9.565.

Problemas propuestos 1. El Banco Central hizo una emisión de $5.000.000.000 en bonos de $100.000 cada uno, con un periodo de redención de 3 años y pago del 30% anual de intereses. Si el señor Pérez tiene una tasa de retorno del 35% anual, ¿podrá ofrecer $95.000 por un bono? Respuesta: No puede.

Respuesta: $91.520,6 3. La empresa HL hizo una emisión de 100.000 bonos con valor nominal de $5.000 cada uno y redención a los 5 años. Los bonos reconocen el 29% anual y se redimen mediante sorteos anuales y bajo la modalidad de cuota constante, ¿cuántos bonos se rescatarán en el tercer año? Respuesta: 18.761.

2. Con los datos del problema anterior, calcular el precio del bono al salir al mercado. 395

Capitulo 10

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Matemáticas financieras

4. Con los datos del problema anterior, calcular el número de bonos rescatados hasta el tercer sorteo. Respuesta: 46.504.

5. Con los datos del problema 3, calcular el número de bonos vigentes después del segundo sorteo. Respuesta: 74.183.

Autoevaluación 1. Un ciudadano pagó $120.000 por un bono de $150.000, el cual se redime en cinco años y paga el 36% anual liquidable trimestralmente. ¿Cuál es la tasa de interés efectiva y cuál es la tasa de interés nominal que paga dicho bono?

5. Al señor Pérez le ofrecieron unos bonos cuyo valor nominal es de $200.000 y reconocen una tasa de interés del 24% anual liquidable trimestralmente. El periodo de redención es de ocho años. Estos bonos salieron al mercado con un descuento del 10% sobre el valor nominal. Si el señor Pérez estima que su tasa de retorno es del 32% anual capitalizable trimestralmente, ¿debe hacer el negocio?

2. ¿Por cuánto puede comprarse un bono cuyo valor es de $500.000 y reconoce el 28% anual? El bono vence dentro de tres años y el inversionista desea obtener una tasa de interés del 36% anual.

6. Con los datos del problema anterior, calcular la utilidad de la inversión.

3. ¿Cuál será el valor nominal de un bono que reconoce $240.000 anuales, se redime dentro de cuatro años, se coloca en el mercado por $870.026 y ofrece al inversionista una tasa de interés del 30% efectivo anual?

7. Una compañía hace una emisión de 500.000 bonos a $ 10.000 cada uno, redimibles en cinco años. Los bonos pagan una tasa del 28% anual y se redimen anualmente mediante sorteos y con el sistema de amortización de cuota constante. Estos bonos se colocaron bajo la par y, en consecuencia, la compañía tendrá que pagar una tasa del 32% efectiva anual. Calcular el precio de venta de los bonos.

4. Una empresa emitió bonos en las siguientes condiciones: Valor nominal: $500.000 Periodo de redención: 5 años Tasa de interés: 28% anual pagadero por trimestres vencidos. Los bonos se venden con un descuento del 6% sobre el valor nominal. Hallar su rentabilidad.

8. Con los datos del problema anterior calcular el número de bonos rescatados en el cuarto sorteo.

396

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

9. Considérese que en el problema 7 la empresa pagará un premio a todos los bonos que resulten favorecidos en el cuarto sorteo. Por esta razón, la compañía terminará por pagar una tasa del 34% efectiva anual. Calcular el valor de rescate de los bonos favorecidos en el sorteo en mención.

Serie A: 100.000 bonos a $1.000 cada uno Serie B: 50.000 bonos a $5.000 cada uno Serie C: 20.000 bonos a $ 10.000 cada uno Los bonos reconocen el 26% anual y se redimen en tres años por el sistema de cuota constante. Calcular los intereses correspondientes al primer periodo.

10. La empresa HL hizo la siguiente emisión de bonos:

Respuestas a la autoevaluación 1.

Inicialmente se toma una tasa del 11 %:

Se toma una tasa mayor: 13 %:

397

Capitulo 10

397

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Matemáticas financieras

La tasa que se busca se encuentra entre el 11 % y el 13 Entonces se interpola:

Luego, la tasa es 0, 11 + 0,0066925 = 0, 11669 La tasa nominal es (0, 11669)(4) = 46,667 % anual 4 La tasa efectiva es (1, 11669) − 1 = 55,5% anual 2. I = 500.000(0,28) = 140.000

3.

4.

398

Capitulo 10

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Capítulo 10 • Bonos

Ve = $470.000 Vn = $500.000 n = 20 trimestres I = $35.000 trimestral it = 0,07

Supóngase una tasa del 8%:

Supóngase una tasa del 7%:

Luego, la tasa está entre el 7% y el 8%. Ahora se interpola.

Por tanto, la rentabilidad es 0,07 + 0,00611 = 0,07611 = 7,611 % trimestral

399

Capitulo 10

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Matemáticas financieras

5.

Lo primero que debe hacerse es calcular el valor presente neto:

Supóngase la tasa del 6%:

La tasa que se busca está entre el 6% y el 7%. Al interpolar: • Con el 6% se tiene una diferencia de $20.000 con respecto a $180.000. • Con el 7% se tiene un diferencia negativa de $5.293 respecto de $180.000.

Luego, la tasa buscada es 0,06 + 0,0079 = 0,0679 = 6,79% El señor Pérez no debe hacer el negocio porque su tasa de retorno es del 8% trimestral, la cual es superior a la tasa del 6,79% obtenida. 400

Capitulo 10

400

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Capítulo 10 • Bonos

6. Basta calcular el valor futuro de los ingresos con la tasa de retorno hallada.

Es decir, invirtió $180.000 para obtener $200.113,41 dentro de ocho años. Luego,

Para un trimestre que pagará la empresa por el sólo hecho de colocar los bonos bajo la par.

7. Valor emisión: 500.000 (10.000) = $5.000.000.000 Se calcula el valor que va a amortizarse cada año, así:

El valor de P es el que recibe la compañía por la venta de los bonos. El valor de cada bono será igual a Se calcula el valor presente de cada una de estas cuotas, pero considerando la tasa del 32% efectiva anual, que es la

8.

401

Capitulo 10

401

1/20/06, 11:01 AM

Matemáticas financieras

9. Lo primero que debe hacerse es calcular la nueva cuota que amortiza el capital de $4.631.120.728 al 34% anual.

El valor del lote es igual a la diferencia entre la cuota calculada con el 34% y con el 28%: Valor lote = 2.048.795.264 − 1.974.718.817 Valor lote = 74.076.447 Se sabe que N4 = 120.527 Valor premio para bono = Valor rescate de cada bono = 10.000 + 614,60 = $10.614,60 10.Valor de la emisión: Serie A: 100.000(1.000) = $100.000.000 Serie B: 50.000(5.000) = $250.000.000 Serie C: 20.000(10.000) = $200.000.000 Intereses: Serie A: 100.000.000(0,26) = $26.000.000 Serie B: 250.000.000(0,26) = $65.000.000 Serie C: 200.000.000(0,26) = $52.000.000 Total: $143.000.000

Actividades de repaso 1. Defina el concepto de bonos.

5. ¿Qué se entiende por lote?

2. ¿Cómo se emiten los bonos?

6. ¿Qué se entiende por emisión de bonos a la par?

3. ¿Cómo pueden redimirse los bonos?

7. ¿Qué se entiende por emisión de bonos en serie?

4. ¿Qué se entiende por periodo de redención?

402

Capitulo 10

402

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Activos financieros y bolsa de valores ■ Justificación La mayoría de las universidades han incluido dentro de los programas académicos de administración de empresas, contaduría, economía, finanzas, comercio exterior, ingeniería industrial, etc., unas prácticas financieras consistentes en hacer simulaciones sobre diversas inversiones a través de las diferentes bolsas de valores. Esta metodología permite al estudiante familiarizarse con una serie de técnicas financieras y, lo más importante, con el modo de operar cuando las transacciones financieras se realizan en el mercado de la bolsa. En este capítulo, el lector encontrará una serie de herramientas que podrá utilizar en sus prácticas.

■ Objetivo general Conocer cómo se negocian algunos papeles a través de las bolsas de valores.

■ Objetivos específicos

Capitulo 11

■

Calcular las tasas de cesión.

■

Calcular las tasas de compra.

■

Calcular las tasas de registro.

■

Calcular el precio de compra de un papel (activo financiero).

■

Calcular el precio de venta de un papel (activo financiero).

■

Calcular la rentabilidad de los activos financieros, tanto para quien vende como para quien compra.

■

Calcular los valores a girar en una transacción financiera a través la bolsa de valores.

403

1/20/06, 11:02 AM

Matemáticas financieras

Conducta de entrada A continuación encontrará una serie de enunciados con cinco respuestas, de las cuales una es verdadera. Marque con una ✗ la que usted considere correcta. 1 Hoy se hizo un depósito de $1.000.000 en una corporación cuyo sistema de capitalización es mensual. Al final del mes 12 se empezó a depositar en la misma cuenta la suma de $20.000 durante 29 meses, al final de los cuales se tendrá un saldo de $2.675.090. ¿Cuál fue la tasa de interés nominal anual que le reconoció la corporación? a. 20% c. 30% e. 28%

$10.468.889,65 al cabo de 25 meses. ¿Cuál fue el valor de la inversión inicial? a. b. c. d. e.

4 ¿En cuánto tiempo se triplica un capital a una tasa de 4% anual?

b. 25% d. 21%

a. b. c. d. e.

2 Una deuda de $1.200.000 se cancela con cuotas mensuales de $116.985 durante un año. ¿Cuál es la tasa de interés nominal anual? a. 24% c. 28% e. 32%

$2.000.000 $2.500.000 $6.000.000 $5.000.000 $4.000.000

30 meses 28,01 meses 27,35 meses 24,03 meses 25 meses

5 ¿A qué tasa de interés anual se invirtió un capital de $5.000.000 para que en tres años se convirtiera en $9.533.120?

b. 26% d. 30%

3 Una inversión hecha al 3% mensual en una cor poración ascendió a

a. 18% c. 22% e. 26%

b. 20% d. 24%

Respuestas a la conducta de entrada 1. d

2. d

3. d

4. b

5. d

404

Capitulo 11

404

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

La bolsa de valores Antes de entrar en el estudio de este capítulo, es conveniente que el lector conozca algunos conceptos y definiciones que le permitirán familiarizarse mejor con el tema.

¿Qué es la bolsa de valores? Es una sociedad anónima vigilada por la Superintendencia de Valores y con mecanismos de autorregulación establecidos por la Cámara de la bolsa. Su objetivo principal es fomentar el mercado abierto, organizado y controlado de títulos valores entre los comisionistas de bolsa, quienes actúan en representación de los propietarios de los títulos valores.

¿Quién es el comisionista de bolsa? Es una persona que actúa como intermediario entre el vendedor y el comprador de un título valor. Por tanto, el comisionista de bolsa debe ser el asesor financiero de su cliente.

¿Qué operaciones realiza la bolsa de valores? La bolsa de valores realiza dos tipos de operaciones: 1. De renta variable. Son aquellas que se realizan con acciones. El rendimiento sólo se determina cuando se hace la venta. 2. De renta fija. El rendimiento se puede determinar al momento de su adquisición o cuando se negocia en la bolsa de valores. Entre estos títulos se tienen los siguientes: • • • • • • • •

Aceptaciones bancarias CDT Bonos Cédulas hipotecarias Certificados de reembolso tributario Títulos de participación Títulos de apoyo cafetero Títulos de devolución de impuestos

¿Que es una acción? Título valor que acredita los derechos que una persona natural o jurídica tiene sobre una sociedad anónima. Es un título valor de renta variable que, a diferencia de un bono, no tiene un plazo al vencimiento; las empresas emisoras de acciones no se comprometen a 405

Capitulo 11

405

1/20/06, 11:02 AM

Matemáticas financieras

pagar una determinada tasa de interés, sino que la rentabilidad que obtenga el accionista depende del comportamiento del precio en la bolsa de valores y de los dividendos que reconozca. Por este motivo, las acciones implican un mayor riesgo para los inversionistas que los títulos de renta fija, pero en muchas ocasiones pueden generar también una mayor rentabilidad.

¿Qué es un dividendo? Es una cuota de las ganancias líquidas obtenidas por la sociedad anónima y pagada periódicamente a cada uno de los propietarios de la sociedad, en proporción al número de acciones que posea. El valor del dividendo lo establece la asamblea general de accionistas.

¿Que es un ADR? Es un certificado negociable el cual representa el valor de una acción ordinaria o preferencial de cualquier compañía no estadounidense.

¿Qué es el CERT? Es el certificado de reembolso tributario. Este documento es emitido por el Banco Central y representa un subsidio que entrega la nación para incentivar algunas exportaciones menores. Sólo tiene efectos para el pago de algunos impuestos.

¿Qué es el emisor? Es la entidad autorizada por la ley para emitir papel moneda o títulos valores.

¿Qué es el mercado primario? Es aquel en el cual la negociación de un título se hace directamente con el emisor.

¿Qué es la liquidez primaria? Se dice que un título tiene liquidez primaria cuando en ese momento se puede redimir ante el emisor.

¿Qué es el mercado secundario? Es aquel en el cual la negociación de un título se hace con otras instituciones diferentes al emisor. Estas negociaciones se hacen generalmente en la bolsa de valores, la cual es prenda de garantía para la transparencia de dicha transacción. 406

Capitulo 11

406

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

¿Qué es el mercado negro? Es aquel en el cual la negociación de un título valor se hace con instituciones o agentes por fuera de la bolsa de valores. En este mercado se corre un mayor riesgo que cuando las transacciones se hacen en la bolsa de valores.

¿Qué es la liquidez secundaria? Generalmente todos los títulos tienen liquidez secundaria, es decir, se pueden negociar en la bolsa de valores antes de su vencimiento.

¿Qué es un mercado firme? Es aquel en el cual hay más compradores que vendedores, lo cual trae como consecuencia lógica una alza en el precio de los títulos registrados en la bolsa de valores (ley de la oferta y la demanda).

¿Qué es un mercado ofrecido? Es lo contrario del mercado firme. Por tanto, la tendencia de las cotizaciones es a la baja.

¿Qué es una operación carrusel? Es la que tiene lugar cuando un grupo de inversionistas se compromete a transferirse entre ellos la posesión de un título de renta fija, en tal forma que el plazo total para el vencimiento del título coincida con la sumatoria de los periodos durante los cuales cada uno de los participantes en la operación tuvo en su poder el título.

¿Que es una operación repo? En esta operación, quien compra el título se obliga a transferirlo nuevamente al vendedor inicial, en un plazo y condiciones previamente establecidas.

¿Que es una operación swap? Es la que tiene por objetivo mejorar las condiciones de rentabilidad, plazo y valor futuro de los títulos que conforman un portafolio. Un swap o permuta financiera es una transacción en la que dos partes contractuales acuerdan intercambiar flujos monetarios en el tiempo; esta operación permite a dos o más partes intercambiar el beneficio de las respectivas ventajas que cada una de ellas puede obtener sobre los diferentes mercados (de divisas o de tasas de interés, por ejemplo). 407

Capitulo 11

407

1/20/06, 11:02 AM

Matemáticas financieras

Clases de activos Los activos se pueden clasificar en los siguientes grupos: • Activos monetarios • Activos reales • Activos financieros • Otros activos

씰 Activos monetarios Son aquellos que resultan afectados por el fenómeno de la inflación. Ejemplo: el dinero en efectivo, las cuentas corrientes, etc. Su valor real es cada vez menor por el solo hecho de estar afectados por la inflación. Los activos monetarios son los de mayor liquidez.

씰 Activos reales Son aquellos sobre los cuales no incide el fenómeno de la inflación. Ejemplo: los edificios, los terrenos, los vehículos, etc. Los activos reales presentan menor liquidez.

씰 Otros activos Son todos los intangibles. Ejemplo: las marcas, las patentes, el buen nombre de la empresa, etc.

씰 Activos financieros Son documentos legales que acreditan la existencia de un derecho y, además, representan un título valor. Algunos de estos activos son considerados como activos monetarios. Los activos financieros se pueden clasificar así: • Activos financieros de rentabilidad fija: en este grupo se encuentran los bonos y los CDT. • Activos financieros de rentabilidad variable: a este grupo pertenecen las acciones. Algunos autores profundizan un poco más en la clasificación de los activos financieros y hablan de dos grandes grupos, según el número de factores básicos que determinen su rendimiento, tales como: el interés, el descuento, la devaluación, la corrección monetaria, la valorización y la desvalorización.

408

Capitulo 11

408

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

Estos grupos son: • Activos financieros de rentabilidad simple: la rentabilidad está determinada por un sólo factor básico. • Activos financieros de rentabilidad agregada: la rentabilidad está determinada por varios factores básicos. Los activos financieros de rentabilidad simple se subdividen en: • Activos financieros que devengan interés. • Con liquidación de intereses en forma vencida. • Con liquidación de intereses en forma anticipada. • Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención. • • • •

Activos financieros que se negocian a descuento. Activos financieros con IPC. Activos financieros con devaluación. Activos financieros con valorización.

Los activos financieros de rentabilidad agregada se subdividen así: • • • • • •

Con interés en dos tasas distintas. Con interés y descuento. Con interés e IPC. Con interés y devaluación. Con interés y valorización. Con descuento y devaluación.

씰 Activos financieros que devengan interés Con liquidación de intereses en forma vencida. Un caso típico de estos activos son las cuentas de ahorros, los certificados de depósito a término. etc.

Ejemplo 11.1 Una corporación reconoce el 24% anual nominal con liquidación trimestral sobre saldos mínimos para los depósitos en cuentas de ahorros. ¿Cuál será la tasa efectiva que ofrece dicha corporación? 409

Capitulo 11

409

1/20/06, 11:02 AM

Matemáticas financieras

Ejemplo 11.2 Un CDT emitido a 90 días reconoce el 28% anual nominal con liquidación de intereses en forma trimestral. ¿Cuál es su rentabilidad efectiva anual? r = 0,28 ia =  

n=4

ia = ?

4

1 + 0, 28  − 1 = 31, 079601% 4 

Nota. Los CDT tienen liquidez primaria, es decir, se hacen efectivos ante la entidad emisora al vencimiento del certificado. También pueden tener liquidez secundaria, es decir, se pueden hacer efectivos antes de su vencimiento en las bolsas de valores (mercado secundario).

Ejemplo 11.3 Supongamos que el CDT del ejemplo anterior fue emitido el lo. de junio y se desea venderlo el 6 de agosto del mismo año. Para poder venderlo en la bolsa es necesario registrarlo en ella. Asúmase que se registró el 6 de agosto por el 103% de su valor nominal. ¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual de quien lo compra? ¿Cuánto debe girar el comprador si la comisión de compra es del 0,003? ¿Cuál será la rentabilidad efectiva anual para el vendedor? Primero hay que definir qué es tasa de registro.

410

Capitulo 11

410

1/20/06, 11:02 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

씰 Tasa de registro Es la tasa de rentabilidad a la que se inscribe el título. Se denota con las letras TR.

El precio final del título será el valor futuro:

Luego,

La tasa efectiva anual de registro es n

ia = (1 + TR) −1 Como al CDT le faltan 25 días para su redención, entonces: ia = (1 + 0,03883495 )

360/25

− 1 = 73,089356%

Se calcula ahora la tasa para el comprador:

씰 Tasa para el comprador Se define como la diferencia entre la tasa efectiva de registro y la tasa de comisión de compra. Luego, T. comp. = 0,73089356 − 0,003 = 0,72789356 Precio para el comprador Será el valor actual del valor futuro del título, actualizado a la tasa del comprador. Luego,

Precio comprador

411

Capitulo 11

411

1/20/06, 11:02 AM

Matemáticas financieras

Hasta aquí sólo se ha visto la rentabilidad para el comprador. Ahora se verá cuál será la rentabilidad para el vendedor. Supóngase una comisión de venta del 0,001. Antes de analizar el problema es necesario definir qué es una tasa de cesión.

씰 Tasa de cesión Es el costo de oportunidad al que renuncia el vendedor cuando entrega el título. Está determinada por la suma entre la tasa efectiva anual de registro y la tasa de comisión de venta. Luego, T. cesión = ia, + T. comisión venta Donde ia = tasa efectiva anual de registro T. cesión = 0,730870 + 0,001 = 0,731870 Nota. No confundir la tasa de cesión (0,731870) con la tasa del comprador (0,72789356). El precio para el vendedor, incluyendo la comisión de venta, es el valor actual del valor futuro, actualizado en el punto de registro con la tasa de cesión. Punto de registro = agosto 6

Conocido el precio de venta, éste se asume como un valor futuro. Conocido este valor futuro y su valor presente (valor de la inversión inicial), se puede calcular la rentabilidad para el vendedor. iap = El tiempo transcurrido entre la fecha de la inversión y la fecha de la venta es de 65 días. Luego:

5,538461

ia = (1,02995966)

− 1 = 0, 1776175 3

ia = 17,761753% Esta es la rentabilidad que el vendedor tenía cuando era dueño del título. 412

Capitulo 11

412

1/20/06, 11:03 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

Con liquidación de intereses en forma anticipada Ejemplo 11.4 Una corporación emite un CDT a 90 días, el cual reconoce una tasa de interés de 25% anual nominal con liquidación de intereses cada trimestre, y en forma anticipada. Calcular la tasa de rendimiento anual equivalente. ia =

ia =

¿Cómo negociar este documento en la bolsa de valores? El CDT fue emitido el lo. de marzo y vence el 30 de mayo del mismo año. Fue registrado en la bolsa de valores el 20 de abril del mismo año, y a un precio de 95% de su valor nominal. ¿Cuál será el rendimiento para el comprador? Considérese una comisión de compra del 0,003. La situación inicial es la siguiente:

I = (0,0625) (100) = $6,25 413

Capitulo 11

413

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

La situación a partir del momento del registro es la siguiente:

El comprador no recibirá los intereses debido a que estos ya fueron pagados por anticipado. La tasa de registro será:

La tasa efectiva anual de registro será: 360/40

ia = (1 + 0,052631)

− 1 = 0,586665

La tasa del comprador será: T. comprador = TR − T. comisión compra T. comprador = 0,586665 − 0,003 = 0,583665 El precio para el comprador será el valor actual del valor futuro del título, actualizado a la tasa del comprador.

414

Capitulo 11

414

1/20/06, 11:03 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

Ejemplo 11.5 Un banco le expidió a un ciudadano un CDT a 180 días, el cual reconoce 26% anual nominal en forma anticipada. Este señor desea vender dicho título con el fin de obtener una tasa efectiva anual de 25% y decide venderlo al cabo de 110 días. Las comisiones de compra y de venta son del 0,004. Calcular: a. El precio y la tasa de cesión b. El precio y la tasa de registro c. El precio y la tasa de compra a. La situación inicial es la siguiente: ia p =

0, 26 = 0, 013 semestral 2

La situación para vender es la siguiente:

Se calcula el valor futuro de los $87 a la tasa de 25% anual efectiva. Antes de esto es necesario calcular una tasa efectiva para 110 días, equivalente a una tasa efectiva de 25 % anual. ia = (1 + 0,25)

mn

−1

415

Capitulo 11

415

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

110/360

ia = (1,25)

− 1 = 0,07056 1

F = 87 (1,07056) = 93,1388 Precio de cesión: $93,1388 La tasa de cesión será:

ia p =

100 − 93, 1388 = 0, 07366 93, 1388

5,142857

ia = (1,07366)

− 1 = 0,441263

b. Tasa de registro = Tasa cesión − Tasa comisión venta TR = 0,441263 − 0,004 = 0,437263

씰 Precio de registro Es el valor actual del valor futuro del título, actualizado a la tasa de registro.

Precio de registro = $93,1897 416

Capitulo 11

416

1/20/06, 11:03 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

c. Tasa del comprador = Tasa de registro − Tasa comisión compra Tasa comprador = 0,437263 − 0,004 = 0,433263

씰 Precio de compra Es el valor actual del valor futuro a la tasa del comprador.

Ejemplo 11.6 El señor Pérez invirtió en un CDT el lo. de mayo, el cual vence un año después; reconoce 29% anual con liquidación de intereses trimestralmente y en forma vencida. Una segunda persona lo compra el 20 de diciembre a un precio de 102% después de descontada la comisión. Calcular la rentabilidad anual. Al momento de la venta, la situación es la siguiente:

Los intereses se pagan trimestre vencido:

417

Capitulo 11

417

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

Quien compra sólo recibe los intereses de los dos últimos trimestres. Para calcular la rentabilidad, se aplica la TIR.

Se asume una tasa del 0,08% diario.

Se trabaja con el 0,09% diario.

Se trabaja con el 0,095% diario.

Lo anterior indica que la tasa buscada está entre el 0,09% diario y el 0,095% diario. Se debe interpolar:

418

Capitulo 11

418

1/20/06, 11:03 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

Luego, la tasa interna de retorno es: TIR = 0,0009 + 0,00003174 = 0,0009317 diario. La rentabilidad anual será: 360

ia = (1,0009317)

− 1 = 0,398298 = 39,8298%

Con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención Un caso típico lo constituyen las cédulas de capitalización. Una cédula de capitalización es un contrato de ahorro mediante el cual una persona se compromete a ahorrar una suma periódica hasta completar un determinado valor. Completado ese valor, la capitalizadora le devuelve a la misma persona el total ahorrado más los intereses sobre dicho valor acumulado. El tenedor de una cédula de capitalización participa generalmente en sorteos periódicos.

Ejemplo 11.7 La capitalizadora OP ofrece unas cédulas de capitalización cuyas características son las siguientes: • Ahorro mensual de $20.000 durante 36 meses. • Sorteos mensuales del valor de la cédula. • Rendimiento de 22% sobre el valor acumulado al final de los 36 meses. Solución: • Capital acumulado al final de los 36 meses = $720.000 • Rendimiento sobre dicho capital = $158.400 Aparentemente la tasa de rendimiento sería:

Esto no es cierto, porque cada uno de los ahorros mensuales de $20.000, debió generar intereses. 419

Capitulo 11

419

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

La situación es la siguiente: Se depositan 36 cuotas de $20.000 cada una y al final se tuvo un acumulado de $878.400 (cuotas más intereses). El problema consiste en calcular la tasa de interés, conociendo el valor de la cuota y el valor futuro de la serie de cuotas, aplicando el concepto de la TIR.

Se tantea el problema con una tasa inicial de 1%.

Se asume una tasa de 1, 10%

La tasa que se busca está entre 1,10% y 1,11%. Se interpola:

TIR = 0,011 + 0,00005151683178 = 0,0110515168 TIR = 1,10515168% 420

Capitulo 11

420

1/20/06, 11:03 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

La tasa efectiva anual será: 12

ia = (1,0110515168) − 1 = 14,098363% Como se puede apreciar, esta tasa es muy diferente de 22% a que se refería la cédula de capitalización.

Ejemplo 11.8 Un banco emitió el lo. de mayo una cédula de capitalización a 90 días. Esta cédula es negociada 25 días después, dando una rentabilidad para el comprador de 28% trimestre anticipado. a. ¿Cuánto pagó el comprador? b. ¿Cuál fue el precio de registro? c. ¿Cuánto recibió el vendedor? Nota. Las comisiones por concepto de compra y venta son de 0,003 cada una. a. A la cédula le faltan 65 días para su vencimiento. Se calcula primero la tasa efectiva anual equivalente a 28% anual nominal, con capitalización trimestral anticipada. ia =

1  0, 28  1 −   4 

4

− 1 = 0, 336805

Quien compra está haciendo una inversión a 65 días. La tasa efectiva para 65 días es la siguiente:

0,180555

ia = (1,336805)

– 1 = 0,053809

ia = 5,3809% El precio de compra se calcula actualizando el valor futuro de la cédula a la tasa efectiva periódica del comprador. 421

Capitulo 11

421

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

b. Para calcular el precio de registro es necesario conocer la tasa de registro. TR = Tasa comp. + Tasa comisión compra TR = 0,336805 + 0,003 = 0,339805 El precio de registro es el valor actual del valor futuro a la tasa de registro.

c. Para calcular el precio de venta es necesario calcular la tasa de cesión. T. cesión = TR + Tasa comisión venta T. cesión = 0,339805 + 0,003 = 0,342805 El precio de venta es el valor actual del valor futuro actualizado a la tasa de cesión.

씰 Activos financieros que se negocian a descuento Un caso típico lo constituyen los CERT. CERT. Certificado de reembolso tributario. Su objetivo es promover las exportaciones de bienes y servicios. Sirven para el pago de impuestos y los expide el Banco de la República. 422

Capitulo 11

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1/20/06, 11:03 AM

Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

El rendimiento para quien los adquiera en bolsa está determinado por el descuento entre el precio de compra y su valor nominal. En caso de venderlos nuevamente en la bolsa, su rendimiento será la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.

Ejemplo 11.9 Se adquiere hoy un CERT al 96% de su valor, y un mes después se usa para pagar unos impuestos. ¿Cuál fue su rendimiento?  100 − 96  ia p =   = 0, 041666 mensual  96  12

ia = (1 + 0,041666) − 1 = 63,20% mensual

씰 Activos financieros con IPC Las cuentas de ahorro en corporaciones de ahorro y vivienda.

Ejemplo 11.10 Un Banco reconoce el IPC y 3 puntos de interés para las cuentas de ahorros. Si el IPC es del 6,5% efectivo anual. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva para esos depósitos? ia = (1 + ii) (1 + ie) − 1 ia = (1,065) (1,03) − 1 ia = 0,09695 = 9,695% efectivo anual

씰 Activos financieros con devaluación Nota. Los certificados de cambio eran emitidos por el Banco de la República. Aunque estos papeles ya no circulan en el mercado financiero, es conveniente conocer la forma como se negociaban. 423

Capitulo 11

423

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

Valor nominal: corresponde al valor de la tasa de cambio oficial vigente el día de la conversión por el valor que representa el título en divisas. Por tratarse de papeles representativos de dólares, su rendimiento está dado por la tasa de devaluación.

Ejemplo 11.11 El 1 de mayo se compra un certificado de cambio con precio de $2.200 por dólar. Este título vence 160 días después, época en la cual el cambio oficial será de $2.500. a. ¿Cuál fue el rendimiento de la inversión? b. Si el vendedor lo cedió a una tasa del 35% efectivo anual. ¿Cuál fue la comisión de compra, teniendo en cuenta que a la fecha de esa negociación el cambio oficial fue de $2.300 y la comisión de venta era del 0,001? a. ia p =

2.500 − 2.200 = 0, 136363 2.200 360/160

iap = (1,136313)

− 1 = 0,3335

b. Para calcular la comisión de compra en función del nuevo cambio oficial ($2.300) es necesario calcular el precio de compra como un porcentaje del nuevo tipo de cambio. Esto es: Precio de compra como % =

Comisión de compra =

2.200 = 0, 956521 2.300

% del precio compra − % del precio registro % Precio registro

Para aplicar esta fórmula es necesario calcular el porcentaje del precio de registro. Tasa de registro = Tasa cesión – Tasa comisión venta TR = 0,35 – 0,001 = 0,349 El precio de registro es el valor actual del valor futuro, actualizado a la tasa de registro.   1  = 2.188, 55 P = 2.500   1, 349 160 / 360  ( )   424

Capitulo 11

424

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

El precio de registro como porcentaje del nuevo cambio oficial es: Precio de registro como % = = Comisión de compra = =

2.188, 55 = 0, 951554 2.300

0, 956521 − 0, 951554 = 0, 005192 0, 951554

Si se quiere saber cuál es la utilidad en cada dólar comprado, basta con multiplicar el porcentaje de comisión de compra por el precio de registro. Utilidad por cada dólar comprado = (Comisión de compra) (Precio de registro) Utilidad por cada dólar comprado = (0,005192) (2.188,55) = 11,36

씰 Activos financieros con valorización El caso típico lo constituyen las acciones.

Ejemplo 11.12 El señor Pérez compra una acción por $50.000 y dos meses después decide venderla por $60.000. La comisión fue de 2% sobre el precio de la acción. Calcular el rendimiento efectivo anual. Cuando el señor Pérez compró la acción tuvo que pagar el valor de la acción más la comisión de compra, es decir: 50.000 + (50.000) (0,02) = 51.000 Cuando la vendió recibió el valor de la acción menos la comisión, es decir: 60.000 − (60.000) (0,02) = 58.800 Luego, ia p =

58.800 − 51.000 = 0, 152941 51.000

ia = (1,152941)

360/60

− 1 = 134,8783%

425

Capitulo 11

425

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Matemáticas financieras

씰 Activos financieros de rentabilidad agregada La rentabilidad agregada está determinada por la combinación de varios factores básicos. Estos activos son:

Con interés en dos tasas distintas Un caso típico lo constituyen las cédulas hipotecarias valorizables clase A, las cuales tienen una valorización diaria y una valorización escalonada sobre la inversión valorizada diariamente.

Ejemplo 11.13 Una cédula clase A reconoce una valorización diaria equivalente a 14 % anual efectivo y, además, reconoce una valorización escalonada de 3% trimestre vencido sobre la inversión valorizada diariamente. ¿Cuál es la tasa de rendimiento efectivo anual? Para la valorización diaria: ie1 = 0,14 anual efectivo Para un peso: 1

F = 1 (1 + 0, 14) = 1,14 Este valor futuro tiene a su vez una valorización escalonada.

ia =

1, 283080 − 1 = 0, 283080 = 28, 3080% 1

Luego la fórmula será: ia = (1 + ie1) (1 + ie2) − 1 4

ie2 = (1,03) − 1 = 0,12550881 ia = (1,14) (1,12550881) − 1 = 28.308%

426

Capitulo 11

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

Con interés y descuento Ejemplo 11.14 Una cédula hipotecaria se adquiere al 95% de su valor nominal. Su periodo de vencimiento es un año y paga 24% trimestre vencido. Calcular su tasa de rendimiento trimestral y anual.

Se calcula la TIR

Con el 8%

427

Capitulo 11

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Matemáticas financieras

Interpolando:

ia p =

(0, 01) (1, 609) = 0, 0049675 3, 239

iap = 0,07 + 0,0049675 iap = 0,07496 trimestral 4

ia = (1,07496) − 1 = 0,33527 anual ia = 33,527% anual

Con interés e IPC Ejemplo 11.15 Un banco reconoce para sus depósitos de ahorros el 5% interés efectivo anual más el IPC, el cual es del 6,8% efectivo anual. ¿Cuál es la rentabilidad efectiva para estos depósitos? ia = (1,05) (1,068) − 1 ia = 0,1214 =12,14% efectiva anual

Con interés y devaluación Un caso típico lo constituyen los títulos canjeables por certificados de cambio.

Ejemplo 11.16 Un título canjeable por certificado de cambio reconoce 18% anual liquidable semestralmente. Si la devaluación está calculada en 13% anual, ¿cuál será la rentabilidad efectiva anual? r = 0,18 anual

ia p =

0, 18 = 0, 09 semestral 2 428

Capitulo 11

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

2

ie = (1,09) − 1 = 0,1881 id = 0,13 anual ia = (1 + id) (1 + ie) − 1 ia = (1,13) (1,1881) − 1 = 34,2553%

Con interés y valorización Ejemplo 11.17 Las acciones de un banco se adquirieron hace un año a $15,5 y hoy están a $20. Si ellos reconocen $0,10 de dividendos mensuales, ¿cuál es la rentabilidad efectiva mensual y anual? Se trabaja inicialmente con 2%

Ahora con 3%

La tasa está entre 2% y 3%. Se interpola:

i=

(0, 01) (1, 32 ) = 0, 007292 1, 81 429

Capitulo 11

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Matemáticas financieras

Luego:

la tasa es 0,02 + 0,007292 = 2,7292% mensual 12

ia = (1,027292) − 1 = 38,142360% anual

Con descuento y devaluación Ejemplo 11.18 El 20 de febrero de 1997 se negoció un certificado de cambio con un precio de $2.400 por dólar. El tipo de cambio en esa fecha era de $2.300 y la tasa de devaluación para 1997 se estimó en 14% anual. ¿Cuál fue la rentabilidad efectiva anual en esa operación? Se asume que el certificado tiene 58 días de maduración. Primero se calcula la tasa de descuento: iep (descuento) = ie = (1,043478)

2.400 − 2.300 = 0, 043478 2.300

360/58

− 1 = 0,302340

ia = (1,14) (1,30234) − 1 = 48,4668% anual

Otra forma: ie p (descuento) =

100 = 0, 043478 2.300 360/58

ie = (1 + 0,043478)

− 1 = 0,302340

Como hubo devaluación, entonces: ia = (1 + id) ( 1 + ie) − 1 ia = (1,14) (1,30234) − 1 = 48,4668% anual

Problemas propuestos 1. Una cédula de capitalización estima un plazo de tres años con ahorros mensuales de $20.000. Reconoce 22% sobre el total acumulado al final de todo el periodo. Calcular la tasa efectiva anual. Respuesta: 14,0983%. 430

Capitulo 11

430

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

2. Una cédula de capitalización emitida a 90 días es negociada con una rentabilidad de 32% anual, con capitalización trimestral anticipada. Si a esta cédula le faltaban 50 días de maduración, ¿cuál fue el precio para el comprador si las comisiones de venta y compra son del 0,002 cada una? Respuesta: 95,4733% del valor nominal.

6. Una corporación reconoce 34% anual nominal con capitalización bimestral vencida. Calcular la rentabilidad anual. Respuesta: 39,1964% efectiva anual. 7. Una corporación reconoce 6,4% efectivo anual de IPC y 7% efectivo anual de interés adicional. ¿Cuál es su rentabilidad efectiva? Respuesta: 13,84% efectiva anual. 8. Una corporación reconoce 6,8% efectivo anual de IPC y 9% efectivo anual de interés adicional. Calcular la tasa trimestral vencida. Respuesta: 3,87%.

3. Con los datos del problema anterior, calcular el precio de registro. Respuesta: 95,4543% del valor nominal. 4. Con los datos del problema 2, calcular el precio de venta. Respuesta: 95,4354% de su valor nominal.

9. Con los datos del problema anterior, calcular la tasa trimestral anticipada. Respuesta: 3,725% trimestral anticipada. 10.Una acción se negocia hoy por $50.000.000 y tres meses después se negocia nuevamente por $62.000.000. Si la comisión fue de 3% sobre el precio de la acción, ¿cuál fue el rendimiento anual? Respuesta: 85,9622% EA

5. Si se adquiere un CERT por 94% de su valor nominal y a los tres meses se pagan unos impuestos con el certificado, ¿cuál fue el rendimiento obtenido? Respuesta: 28,0821% anual efectivo.

Autoevaluación 1. Un CDT reconoce 20% de corrección monetaria y 6% de interés adicional, ¿cuál es su rentabilidad efectiva anual y semestral?

anual con capitalización trimestral vencida, ¿cuál será la tasa efectiva de registro? 3. Con los datos del problema anterior, calcular el valor que debe pagar un posible comprador, si la tasa de comisión de compra es del 0,002 y la negociación se hace cuando al CDT le faltan 45 días de maduración.

2. Un CDT cuyo valor nominal es de $5.000.000 se registra al lo. de julio de 1997 por el 102% de su valor nominal. Si este documento vence dentro de seis meses y reconoce 36% 431

Capitulo 11

431

1/20/06, 11:03 AM

Matemáticas financieras

4. Con los mismos datos del problema 2, calcular la rentabilidad para el vendedor si la comisión de venta se estimó en un 0,001.

venderlo al cabo de 130 días. Si las comisiones de compra y venta se estimaron en el 0,003, calcular el precio de venta y la tasa del vendedor.

5. Un CDT reconoce 19% de interés nominal anual. Calcular la rentabilidad efectiva anual si la capitalización es trimestral anticipada.

8. Con los datos del problema anterior, calcular el precio de registro y la tasa de registro. 9. Con los datos del problema 7, calcular el precio de compra y la tasa de compra.

6. El señor Pérez tiene un CDT de $3.000.000 emitido el lo. de octubre de 1997 y con vencimiento a tres meses. Este documento reconoce 36% anual con capitalización trimestral anticipada. El señor Pérez necesita vender el CDT y lo registra en la bolsa el 26 de noviembre del mismo año por un valor igual a 96% de su valor nominal. Calcular el rendimiento para el comprador, si la tasa de comisión de compra es del 0,003.

10.El señor Pedro Pérez adquirió un CDT por $ 10.000.000 con: Fecha de expedición: julio lo. de 1997. Vencimiento: un año. Capitalización: trimestral vencida. Tasa de interés: 36% anual. Ante una emergencia económica, el señor Pérez le ofrece el CDT a su amigo, el señor Gustavo López, quien lo compra el 16 de noviembre de 1997 por $11.500.000 después de descontar la comisión. a. ¿En qué mercado negoció el señor López el CDT? b. ¿Cuál es su rentabilidad anual?

7. El señor Pérez invirtió $2.000.000 en un CDT el cual vence a seis meses y reconoce 32% con capitalización semestral anticipada. El señor Pérez desea obtener una rentabilidad efectiva anual de 31 % y decide

Respuestas a la autoevaluación 1. a. Anual: ia = (1 + ic) (1 + ie) – 1 ia = (1,20) (1,06) – 1 ia = 27,20% b. Semestral: ia p = 1, 272 − 1 = 12, 7829%

432

Capitulo 11

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

2. r = 0,36 n = 2 trimestres iap = 0,09 trimestral Precio de registro = ($5.000.000) (1,02) $5. 100.000 Precio final: 2 F = $5.000.000 (1,09) = $5.940.500 Tasa de registro:

Tasa efectiva de registro: n ia = (1 + TR) − 1 2 ia = (1,164803) − 1 = 0,356766 3. Tasa del comprador: Tasa del comprador = ia − Tasa de comisión de compra Tasa del comprador = 0,356766 − 0,002 Tasa del comprador = 0,354766 Precio para el comprador:

La rentabilidad para el comprador será: Precio de compra: $5.719.261,63 Valor futuro: $5.940.500 Utilidad: $5.940.500 − $5.719.261,63 Utilidad: $221.238,37 433

Capitulo 11

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Matemáticas financieras

Rentabilidad para el comprador:

Rentabilidad para el comprador: 3,8683% durante 45 días que le faltan de madurez al CDT. Luego, 360/45 − 1 = 35,4766% anual ia = (1,038683) ia = 35,4766% anual. 4. Tasa de cesión = Tasa de registro + Tasa de comisión de venta Tasa de cesión = 0,356766 + 0,001 = 0,357766 Precio para el vendedor: Suponiendo que al CDT le faltaban 45 días para su vencimiento (en otras palabras: se registró cuando le faltaban 45 días para hacerlo efectivo en el mercado primario).

Utilidad = $5.717.680,50 − $5.000.000 Utilidad = $717.680,50 Rentabilidad para el vendedor:

Rentabilidad para el vendedor = 14,3536101% durante 135 días. Luego, 360/135 ia = (1,14353610) − 1 = 0,42999004 ia = 42,999004% anual

434

Capitulo 11

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

5. ia =

ia =

1 n −1  1− r   n  1 4 −1 0  1 − , 19   4 

ia = 0,214898 ia = 21,4898% 6. r = 0,36 iap = 0,36/4 = 0,09 I = (0,09) (3.000.000) = 270.000 Cuando el CDT se registra le faltan 35 días de maduración. Quien lo vaya a comprar no recibirá los intereses porque estos ya fueron pagados por anticipado y los recibió inicialmente el señor Pérez.

Tasa efectiva anual de registro: n = 360/35 ia = (1,041666)

360/35

− 1 = 0,521774

La tasa para el comprador: Tasa para el comprador = ia − Tasa de comisión de compra. Tasa para el comprador = 0,521774 − 0,003 Tasa para el comprador = 0,518774 Precio para el comprador: Es el valor actual del valor futuro del título, actualizada la tasa del comprador. n = 35/360

435

Capitulo 11

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Matemáticas financieras

Rentabilidad para el comprador: Precio de compra = $2.880.554 Valor futuro = $3.000.000 Utilidad = $3.000.000 − $2.880.554

Rentabilidad = 4,1466% durante los 35 días que le faltan al CDT. Luego, 360/35

ia = (1,041466)

– 1 = 51,8776%

ia = 51,8776% anual. 7. r = 0,32 iap = 0,32/2 = 0,16 Intereses: ($2.000.000) (0,16) = $320.000 Estos intereses los reclama el señor Pérez en forma anticipada; es decir, el CDT le costó $2.000.000 − $320.000 = $1.680.000 Se calcula valor futuro de $1.680.000 a una tasa efectiva de 31 %. mn ia = (1 + 0,31) − 1 m = 130/360 n=1 mn = 130/360 130/ 360 − 1 = 0,102422 ia = (1,31) F = $1.680.000 (1,102422) = $1.852.069 F es el precio de cesión. La tasa del vendedor o tasa de cesión es aquella a la que renuncia el vendedor al momento de hacer la transacción. Al CDT le faltan 50 días para su vencimiento. Al final de éstos el comprador recibirá $2.000.000 436

Capitulo 11

436

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Capítulo 11 • Activos financieros y bolsa de valores

Esta es la tasa para 50 días. La tasa efectiva anual de cesión será: 360/50

ia = (1,0798733)

− 1 = 73,8939%

8. TR = Tasa de cesión − Tasa de comisión de venta TR = 0,738938 − 0,003 = 0,735939 Precio de registro: n = 50/360

Nota. La tasa de registro también se puede calcular así:

Para un año 360/50 − 1 = 0,735939 TR = (1,079614) Como al CDT le faltan 50 días para su vencimiento, su tasa efectiva anual de registro será: 360/50 − 1 = 0,735939 ia = (1,0796145) 9. Tasa de compra = TR − Tasa de comisión de compra Tasa de compra = 0,735939 − 0,003 = 0,732939 Precio de compra =

10. a. En el mercado secundario. En el mercado primario lo hizo el señor Pérez. b. El señor Gustavo López sólo recibe los intereses de los tres últimos trimestres. 437

Capitulo 11

437

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Matemáticas financieras

Para calcular la rentabilidad se aplica la TIR. Interés: ($10.000.000) (0,09) = $900.000.000

La tasa tendrá que ser inferior a 9%. Si se toma 5% se obtiene:

Si se toma 4% se obtiene:

Esto indica que la tasa buscada está entre 5 % y 4%. Al interpolar se obtiene que la TIR es el 4,4524% trimestral. Luego, 4 ia = (1,044524) – 1 = 19,0347% anual. Esta es la rentabilidad anual que obtiene el señor López con su inversión.

Actividades de repaso 1. 2. 3. 4.

¿Qué se entiende por mercado primario? ¿Qué se entiende por mercado secundario? ¿Qué es una tasa de cesión? ¿Qué es una tasa de registro?

5. ¿Qué se entiende por periodo de maduración? 6. ¿Qué diferencia hay entre la fecha de redención y la fecha de vencimiento? 438

Capitulo 11

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Problemas adicionales propuestos ■ CAPÍTULO 1 1. Un padre de familia necesita disponer de $1.000.000 dentro de 6 meses para el pago de la matrícula de su hijo. Si una corporación le reconoce el 2% mensual de interés simple, ¿cuánto debe depositar hoy? Respuesta: $892.857,14. 2. Resolver el problema anterior pero considerando el interés compuesto. Respuesta: $887.971,38. 3. ¿En cuánto tiempo se triplica un capital colocado en una corporación que reconoce el 3,5% bimestral de interés simple? Respuesta: 57,14 bimestres. 4. Resolver el problema anterior pero considerando el interés compuesto. Respuesta: 31,93 bimestres. 5. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final de dos años si se depositan $30.000 mensuales en una corporación que reconoce el 2,8% mensual de interés simple? Respuesta: $951.840. 6. ¿En cuánto tiempo se convierte un capital de $2.000.000 en otro de $5.000.000 si la tasa de interés es del 4% mensual? Considere el interés simple. Respuesta: 37,50 meses. 7. Resolver el problema anterior pero considerando el interés compuesto. Respuesta: 23,36 meses. 8. ¿A qué tasa de interés simple mensual se triplica un capital en dos años? Respuesta: 8,33%.

Apéndice A

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1/20/06, 11:05 AM

Matemáticas financieras

obligación de $1.000.000 a una tasa de interés simple del 2% mensual durante 15 meses? Respuesta: $76.023,39.

9. Resolver el problema anterior pero considerando el interés compuesto. Respuesta: 4,683938% mensual. 10. ¿Cuánto debe depositarse mensualmente y en forma vencida durante tres años para constituir un fondo de $5.000.000 a una tasa de interés simple del 3% mensual? Respuesta: $91.074,68.

13. Resolver el problema anterior pero considerando la cuota anticipada. Respuesta: $74.712,64. 14. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital a una tasa de interés simple del 6,5% bimestral. Respuesta: 15,38 bimestres.

11. Resolver el problema anterior pero considerando la anualidad anticipada. Respuesta: $89.317,61.

15. Resolver el problema anterior pero considerando el interés compuesto. Respuesta: 11 bimestres.

12. ¿Cuál será el valor de la cuota mensual y vencida que amortizará una

■ CAPÍTULO 2 racional es de $4.000.000, ¿cuál es el valor nominal del documento? Respuesta: $14.000.000.

1. Una letra de $1.000.000 consagra unos intereses del 2,5% mensual y vence dentro de 10 meses. Calcular el descuento comercial. Respuesta: $250.000.

5. Con los datos del problema anterior, calcular el valor efectivo del documento mediante dos procedimientos distintos. Respuesta: $10.000.000.

2. Un pagaré se firmó a 15 meses y a una tasa de descuento del 3% mensual. Si el descuento comercial es de $2.250.000, ¿cuál es el valor nominal del documento? Respuesta: $5.000.000.

6. Una letra tiene un valor nominal de $8.000.000 y vence dentro de 13 meses. Si la tasa de descuento es del 4% mensual y se descuenta comercialmente, ¿cuál es el valor efectivo de la letra? Respuesta: $3.840.000.

3. Una letra vence dentro de 9 meses y se descuenta al 3,5% mensual. Si el valor nominal es de $10.000.000, ¿cuál será el descuento racional? Respuesta: $2.395.437,26.

7. Resolver el problema anterior pero considerando el descuento en forma racional. Respuesta: $5.263.157,89.

4. Un documento estipula una tasa de descuento del 2% mensual y vence dentro de 20 meses. Si el descuento 440

Apéndice A

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Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

8. Un documento tiene un valor escrito de $7.000.000 y vence dentro de 10 meses. Estipula una tasa de descuento del 2% mensual. Calcular el descuento compuesto. Respuesta: $1.257.561,90.

valor nominal de $800.000, ¿cuál será el vencimiento de ésta si la operación se realiza en forma comercial? Respuesta: 7,291666 meses. 12. Resolver el problema anterior pero considerando la operación en forma racional. Respuesta: 8,835927 meses.

9. Si el descuento compuesto de un documento que estimaba una tasa de descuento del 3% mensual y un vencimiento de 8 meses fue de $3.000.000, ¿cuál era el valor nominal del documento? Respuesta: $14.245.638,90.

13. Resolver el problema No.11 considerando la operación en forma compuesta. Respuesta: 8,085378 meses. 14. El señor Pérez tiene dos obligaciones para cancelarlas así: una por $200.000 a 3 meses y otra por $400.000 a 5 meses. La tasa de descuento pactada es del 4% mensual. Se desea cambiar estos documentos por uno cuyo vencimiento es de 6 meses. ¿Cuál será el valor del nuevo documento si la operación se realiza en forma racional? Respuesta: $634.761,89.

10. Una letra de $100.000 y otra de $200.000 vencen a los 6 y 8 meses, respectivamente. La tasa de descuento es del 2% mensual. Se desea cambiar estas dos letras por una sola. Si la operación se realiza en forma comercial, ¿cuál será el vencimiento de la nueva letra? Respuesta: 7,333 meses. 11. Una letra de $300.000 y otra de $400.000 vencen dentro de 3 y 4 meses, respectivamente. Si la tasa de descuento es del 3% mensual y se desea cambiarlas por una sola letra de

15. Resolver el problema anterior pero realizando la operación en forma compuesta. Respuesta: $640.972,78.

■ CAPíTULO 3 1. Hallar la tasa efectiva anual, equivalente a una tasa del 40% anual nominal, cuando: a. La capitalización es trimestral vencida.

b. La capitalización es trimestral anticipada. Respuesta: a. 46,4 1 % b. 52,415790%.

441

Apéndice A

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Matemáticas financieras

2. Hallar la tasa efectiva trimestral, equivalente a una tasa del 31,079601 % efectiva anual con capitalización trimestral vencida. Respuesta: 7%.

a. b. c. d.

3. Hallar la tasa anticipada trimestral, equivalente a una tasa del 33,68054% efectiva anual. Respuesta: 7%.

de inflación es del 6% efectiva anual y la retención en la fuente es del 7%, calcular: Tasa de interés efectiva anual. Tasa de interés realmente cobrada. Tasa de rentabilidad neta. Tasa de rentabilidad real. Respuesta: a. 10,24% b. 4,24% c. 9,5232% d. 3,323773%.

11. Una inversión en moneda extranjera reconoce el 8,5% de interés efectivo. Si la tasa de inflación es del 22% anual y la tasa de devaluación es del 24% anual, hallar la rentabilidad real de dicha inversión. Respuesta: 10,278688%.

4. Hallar la tasa efectiva trimestral, equivalente a una tasa del 28% anual nominal vencida. Respuesta: 7%. 5. Hallar la tasa vencida trimestral, equivalente a una tasa del 36% anual nominal con capitalización trimestral anticipada. Respuesta: 9,890109%.

12. Con los siguientes datos, calcular la rentabilidad real en moneda nacional Libor: 0,09 Tasa de inflación: 0,23 Tasa de devaluación: 0,21 Respuesta: 7,227642%.

6. Hallar la tasa efectiva anual, equivalente a una tasa del 30% anual nominal con capitalización anual vencida. Respuesta: 30%.

13. Con los datos siguientes, calcular la rentabilidad real en moneda nacional: Prime rate: 0,09 Tasa de inflación: 0,21 Tasa de devaluación: 0,23 Respuesta: 10,801652%.

7. Hallar la tasa efectiva anual, equivalente a una tasa del 32% anual nominal con capitalización anual anticipada. Respuesta: 47,058823%.

14. Con los siguientes datos, calcular la rentabilidad real en moneda nacional: Prime rate: 0,09 Tasa de inflación: 0,21 Tasa de devaluación: 0,21 Respuesta: 0,09.

8. Hallar la tasa efectiva semestral, equivalente a una tasa del 3% trimestral. Respuesta: 6,09%. 9. Hallar la tasa efectiva mensual, equivalente a una tasa del 18% semestral. Respuesta: 2,796974%.

15. Con base en los problemas 12, 13 y 14, ¿qué conclusiones pueden sacarse respecto a la rentabilidad real? Respuesta: Véase p. 99.

10. Un banco reconoce para las cuentas de ahorros una tasa del IPC más 4 puntos porcentuales de interés adicional. Si la tasa 442

Apéndice A

442

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Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

■ CAPÍTULO 4 1. Un automóvil cuesta $15.000.000 y se entrega financiado a 36 meses. Si la cuota inicial es del 30% y la tasa de financiación es del 4,5% mensual, calcular el valor de la cuota mensual. Respuesta: $594.360,68.

6. Con los datos del problema anterior, calcular el tiempo durante el cual deberá dejar el depósito en la corporación, antes de iniciar su propósito. Respuesta: 81,273958 meses.

2. Un apartamento vale $60.000.000 y se financia a una tasa del 3% mensual, con cuotas de $1.853.395. Calcular el plazo. Respuesta: 10 años.

7. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final del segundo año, si hoy se depositan $2.000.000 en una corporación que reconoce el 36% anual con capitalización continua? Respuesta: $4.108.866,42.

3. La matrícula de un estudiante dentro de 6 meses costará la suma de $1.000.000. ¿Cuánto deberá ahorrar mensualmente este estudiante en una corporación que le reconoce el 2,5% mensual para poder disponer de dicho dinero en el momento de cancelar la matrícula? Respuesta: $156.549,97.

8. Una persona ahorra $3.000.000 anuales en una corporación que le reconoce el 28% anual con capitalización continua. ¿Cuánto tendrá acumulado al final de 10 años? Respuesta: $143.391.103,40. 9. Una corporación reconoce el 32% anual con capitalización continua. Si al final del décimo año una persona dispone de $10.000.000, ¿cuál fue el depósito anual? Respuesta: $160.258,06.

4. ¿Cuánto se tendrá ahorrado al final de un año en una corporación que reconoce el 21% anual de IPC y 5 puntos adicionales si mensualmente se depositan $150.000? Respuesta: $2.013.524,85.

10. Una corporación le prestó al señor Pérez la suma de $15.000.000 para pagarlos en 15 años con cuotas mensuales y anticipadas. Si la tasa de interés es del 32% anual, ¿cuál es el valor de la cuota? Respuesta: $393.045,91.

5. Una universidad quiere otorgar de manera indefinida un premio anual de $5.000.000 al mejor estudiante. Si hoy deposita $50.000.000 en una corporación que le reconoce el 2% mensual, ¿De cuánto necesitará disponer antes de iniciar su propósito? Respuesta: $250.000.000.

11. La señora Catalina Acosta ahorra $50.000 al principio de cada bimestre y durante 1 año. La corporación le reconoce el 2 1 % 443

Apéndice A

443

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Matemáticas financieras

anual de IPC y tres puntos adicionales, con capitalización semestral. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del año? Respuesta: $615.021,05.

reconoce un IPC del 5,5% efectivo anual y 6 puntos de interés adicional? El primer depósito se hará hoy. Respuesta: $6.138.002,20.

12. ¿Cuánto se tendrá acumulado al final del quinto año, si se ahorran $2.000.000 anuales y en forma anticipada en una corporación que reconoce el 9% trimestral? Respuesta: $31.583.001,46.

15. El banco AG le otorga un crédito a un campesino para pagarlo con cuotas de $50.000 mensuales y un plazo de 5 años, dentro de los cuales se considera un periodo de gracia de 4 meses, si la tasa de interés es del 24% anual. ¿Cuál fue el valor del préstamo? Respuesta: $1.547.657,89.

13. Una persona ahorra $150.000 bimestrales durante 3 años. El primer depósito lo hará dentro de 2 meses. La corporación le reconoce el 25% anual con capitalización semestral sobre saldos mínimos. ¿Cuánto tendrá ahorrado al final del tercer año? Respuesta: $3.698.231,50.

16. Un banco tiene para los caficultores el siguiente plan: Valor del préstamo: $5.000.000 Plazo: 2 años Periodo de gracia: 3 meses adicionales al plazo Tasa de interés: 18% anual Pago de cuotas: mensuales Calcular el valor de la cuota. Respuesta: $261.022,76.

14. ¿Cuánto se tendrá ahorrado al final de cuatro años si se depositan $300.000 trimestrales en un banco que

■ CAPÍTULO 5 1. Un apartamento se compra en las siguientes condiciones: Tasa de interés: 3% mensual. Plazo: 120 meses. Valor de las cuotas: la primera será de $50.000 y se pagará un mes después de recibir el préstamo. De ahí en adelante cada cuota se incrementará en $5.000. Calcular el valor del préstamo. Respuesta: $6.437.968,24.

3. El mantenimiento de un vehículo tuvo los siguientes costos durante un año: Mes

Costo de mantenimiento

Enero Febrero Marzo Abril

$20.000 $26.000 $29.000 $35.500

El analista de presupuesto desea establecer una cuota fija mensual para el próximo año. ¿Cuál será el valor de la cuota si la tasa de interés es del 2,5% mensual? Respuesta: $46.030,89.

2. Con los datos del problema anterior, calcular el valor de la cuota uniforme mensual. Respuesta: $198.868,31. 444

Apéndice A

444

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Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

4. Una obligación de $100.000.000 debe cancelarse en 5 cuotas bimestrales, a una tasa de interés del 36% anual. Cada cuota se incrementará en $5.000.000 sobre la anterior. Calcular el valor de la primera cuota. Respuesta: $14.321.474,67.

7. Calcular el valor presente de la siguiente tabla: Periodo

1 2 3 4 5 6 7 8 9

5. Calcular el valor presente de la siguiente serie: Periodo

1 2 3 4 5

Valor

$60.000 $70.000 $80.000 $90.000 $100.000

8. Un vehículo cuesta $30.000.000 y se financiará de la siguiente manera: cuota inicial: 20%. El resto se pagará en 36 cuotas mensuales con un incremento de $50.000 a partir de la segunda. Si la tasa de interés es del 2% mensual, ¿cuál será el valor de la quinta cuota? Respuesta: $372.545,20.

6. Calcular el valor presente de la siguiente serie:

1 2 3 4 5 6 7 8

Valor

9. Un ciudadano ahorra $10.000 mensuales. El primer ahorro lo hace al final del primer mes y durante 14 meses. Al f inal del mes octavo incrementa sus ahorros en $5.000 sobre la cuota anterior. Si la tasa de interés es del 3% mensual, calcular el valor presente de dicha inversión y elaborar el diagrama económico. Respuesta: $211.284

0 0 0 $60.000 $70.000 $80.000 $90.000 $100.000

Tasa de interés: 3%. Respuesta: $332.809,94.

10. Con los datos del problema anterior, calcular el valor del ahorro uniforme mensual durante todo el tiempo. Respuesta: $18.704,20 445

Apéndice A

445

0 0 $80.000 0 0 $40.000 $80.000 $120.000 $160.000

Tasa de interés: 3%. Respuesta: $389.113,54.

Tasa de interés: 3%. Respuesta: $363.670,41.

Periodo

Valor

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Matemáticas financieras

11. Un crédito de $6.437.968,24 se otorgó a 10 años con pago de cuotas mensuales y a una tasa del 36% capitalizable mensualmente. Si la primera cuota fue de $50.000, calcular el valor del gradiente. Respuesta: $5.000.

P = $418.611,94. Respuesta: 2%. 14. Un estudiante ahorra al final de cada mes la suma de $50.000 durante 6 meses consecutivos. Por motivos económicos suspende sus ahorros y los reinicia en el mes 12. A partir del mes 18 incrementa en $10.000 el depósito anterior, y así sucesivamente hasta el mes 30. La tasa de interés es del 2% mensual. Construir el diagrama económico y establecer el punto en el cual se calcularía inicialmente el valor presente de la serie del gradiente. Respuesta: Mes 16.

12. Un préstamo concedido a 120 meses, con pago de cuotas iguales de $198.868,31, estimaba una tasa de interés del 42,576088% efectivo anual. Si se desea cambiar este plan por otro en el cual cada cuota sea igual a la anterior más una suma fija, ¿cuál será el valor del incremento si la primera cuota es de $50.000? Respuesta: $5.000.

15. Durante 12 meses una persona ahorra $ 100.000 al final de cada mes y a partir del segundo mes incrementa sus ahorros en $20.000 sobre el depósito anterior. Si le pagan una tasa de interés de 2,5% mensual, ¿cuánto tendrá acumulado al final del año? Respuesta: $2.815.862,47.

13. Calcular la tasa de interés en la siguiente serie: Periodo

Valor

1 2 3 4 5

$30.000 $60.000 $90.000 $120.000 $150.000

■ CAPÍTULO 6 2. Con base en los datos del problema anterior, calcular el saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota No. 85. Respuesta: $8.782.290,95.

1. Un crédito de $ 10.000.000 se concedió a 15 años con pago de cuotas mensuales vencidas e iguales. El banco cobra el IPC más 3 puntos de interés adicional. Si el IPC tiene un valor del 6,5% efectivo anual, calcular el valor de las cuotas mensuales. Respuesta: $103.153,80

3. La señora Catalina Acosta compró un apartamento en las siguientes condiciones: 446

Apéndice A

446

1/20/06, 11:05 AM

Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

Valor del préstamo: $50.000.000 Plazo: 10 años Pago de cuotas: mensuales Tasa de interés: 30% anual Cada cuota tiene un incremento de $80 sobre la anterior. Calcular la cuota No. 35. Respuesta: $1.318.132,58.

Respuesta: A1 = $1.384.465 A120 = $789.465. 8. Un vehículo tiene un precio de $25.000.000 y se f inancia en las siguientes condiciones: Plazo: 3 años. Pago de cuotas: mensuales. Tasa de interés: 4% mensual. Cada cuota se incrementará en un 10% sobre la anterior. Calcular el valor de la cuota No. 20. Respuesta: $1.404.351,92.

4. Con base en los datos del problema anterior, calcular el saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota No. 40. Respuesta: $45.506.093,19. 5. Un crédito de $10.000.000 se cancelará en las siguientes condiciones: Plazo: 12 meses. Tasa de interés: 3% mensual. Cada cuota se incrementará en el 6% sobre la primera cuota. Calcular el valor de la primera cuota y el de la última. Respuesta: A1 = $767.526,01 A12 = $1.274.093,17.

9. Una nevera se financió de la siguiente manera: Valor: $2.500.000 Plazo: 1 año. Pago de cuotas: mensuales. Tasa de interés: 5% mensual. Cada cuota es igual a la anterior menos el 10% sobre la misma. Calcular el valor de la primera y la última cuotas. Respuesta: A1 = $444.980,97 A12 = $139.639,74.

6. Una vivienda cuesta $40.000.000, y una corporación financia el préstamo en las siguientes condiciones: Plazo: 10 años Pago de cuotas: mensuales Tasa de interés: 3% mensual Cada cuota será igual a la anterior menos $5.000. Calcular la primera y la última cuotas. Respuesta: A1 = $1.384.465 A120 = $789.465.

10. Un crédito de $20.000.000 se amortizará de la siguiente forma: Plazo: 36 meses. Tasa de interés: 4% mensual. Las cuotas serán uniformes y cada 6 meses se hará un abono extraordinario de $1.000.000. Calcular el valor de la cuota. Respuesta: $906.975,66. 11. Un apartamento se financia en las siguientes condiciones: Valor del crédito: $35.000.000 Plazo: 180 meses. Tasa de interés: 2% mensual.

7. Resolver el problema anterior considerando que cada cuota es igual a la anterior menos el 0,0036115 sobre la primera. 447

Apéndice A

447

1/20/06, 11:05 AM

Matemáticas financieras

Pago de cuotas: mensuales. Cada año se incrementará el valor de la cuota en un 14%. Calcular el valor de la cuota No. 18. Respuesta: $478.134,12.

intereses se pagarán por anticipado. Calcular el valor de la quinta cuota. Respuesta: $1.008.333,33. 14. Con los datos del problema anterior, calcular el valor de los intereses pagados durante todo el tiempo. Respuesta: $1.950.000.

12. Con base en los datos del problema anterior, calcular el total pagado hasta la cuota No. 96. Respuesta: $66.600.360,14.

15. Un crédito se pagó con una tasa de interés de 36% anual. Además, cada año se reajustan las cuotas en un 18,5%. El valor de la cuota se estimó en $2.000.000 anuales. El plazo es de 12 años. ¿Cuánto se pagará en total por este crédito? Respuesta: $85.408.486,28.

13. El señor Pérez recibe un préstamo de $10.000.000 con una tasa de financiación del 3% mensual; el plazo es de 12 meses y las cuotas se pagarán mensualmente. Cada mes se hará una amortización igual de capital y los

■ CAPÍTULO 7 1. Para un proceso de producción se requiere comprar una máquina. En el mercado se encuentran las siguientes opciones: Costo inicial Costo anual mantenimiento Costo anual operación Vida útil Valor salvamento

Máquina A

Máquina B

$10.000.000 4.000.000 2.000.000 3 años 0

$15.000.000 2.000.000 1.000.000 3 años 0

Tasa de interés: 28% anual Mediante el método del valor presente, determinar cuál es la mejor alternativa. Respuesta: La de la máquina B. 2. Un inversionista tiene las siguientes opciones: invertir $50.000.000 en una corporación que le reconoce el 38% anual liquidable mensualmente, siempre y cuando deje en depósito el dinero durante un año. Comprar una microbuseta, la cual le producirá un ingreso mensual de $800.000 y al final del año espera venderla en $62.000.000. ¿Cuál alternativa es la mejor? Utilice el método del valor presente neto. Considere una tasa de interés del 3% mensual. Respuesta: Comprar la microbuseta. 448

Apéndice A

448

1/20/06, 11:05 AM

Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

3. Se tienen las siguientes alternativas:

Cuota inicial CAO (Costo Anual de Operación) Valor salvamento Vida útil:

Alternativa 1

Alternativa 2

$60.000.000 3.000.000 5.000.000 4 años

$80.000.000 1.000.000 20.000.000 4 años

Tasa de interés: 32% anual Mediante el método del valor presente neto, definir cuál es la mejor. Respuesta: La alternativa 1. 4. Para la compra de una máquina se tienen las siguientes alternativas: Alternativa 1

Cuota inicial CAO Valor salvamento Vida útil

$12.000.000 3.000.000 5.000.000 2 años

Alternativa 2

$15.000.000 1.000.000 2.000.000 3 años

Tasa de interés: 25% anual Aplicar el método del valor presente neto y elegir la mejor alternativa. Respuesta: La alternativa 2. Calcular el CAUE. por el método del fondo de amortización de salvamento. Considere una tasa de interés del 28% anual. Respuesta: $750.000.000.

5. El costo inicial de un equipo es de $50.000.000. Su valor de salvamento es de $10.000.000 y tiene una vida útil de 10 años. Los costos anuales de operación se estiman en $5.000.000. Si la tasa de interés es del 30% anual, calcular el CAUE, por el método del fondo de amortización de salvamento. Respuesta: $21.407.806.

7. Resolver el problema 5 aplicando el método del valor presente de salvamento. Respuesta: $20.938.537.

6. La construcción de una vía tiene un costo de $2.500.000.000. Los costos anuales de mantenimiento son de $50.000.000 en forma indefinida.

8. Resolver el problema 6 aplicando el método del valor presente de salvamento. Respuesta: $750.000.000. 449

Apéndice A

449

1/20/06, 11:05 AM

Matemáticas financieras

9. Un bus cuesta $70.000.000. Los costos anuales de mantenimiento y operación se estiman: en $15.000.000. El valor de salvamento es de $ 10.000.000. Su vida útil es de 12 años. Calcular el CAUE. Por el método de recuperación de capital más intereses. Considere una tasa de interés del 36% anual. Respuesta: $40.753.314.

10.Calcular el CAUE por el método de recuperación de capital más intereses con los siguientes datos: Costo inicial: $15.000.000 CAM 5.000.000 Valor salvamento: 2.000.000 Vida útil: 5 años Tasa de interés: 25% anual Respuesta: $10.334.008.

11. Con base en la siguiente información, calcular el costo capitalizado y elegir la mejor alternativa.

Costo inicial Vida útil Valor salvamento

Alternativa 1

Alternativa 2

$20.000.000 12 años 5.000.000

$18.000.000 8 años 0

Tasa de interés: 35% anual Respuesta: La alternativa 2. 12. Resolver el problema 11 aplicando el método del fondo de amortización de salvamento. Respuesta: La alternativa 2.

13. Calcular el CAUE para la alternativa 2 del problema 11 y compararla con el costo capitalizado de la misma alternativa. ¿Si estos valores no son iguales, qué indican realmente?

14. Un equipo debe reponerse cada 10 años. Su costo inicial ascendió a $20.000.000 y su costo capitalizado es de $21.564.229. Calcular la tasa de interés. Respuesta: 30%. 15. Para la compra de una máquina se tienen las siguientes alternativas:

Costo inicial Valor salvamento Vida útil

Alternativa 1

Alternativa 2

$40.000.000 10.000.000 14 años

$30.000.000 0 13 años

Tasa de interés: 28% anual Aplicando el costo capitalizado, ¿cuál es la mejor alternativa? Respuesta: La segunda. 450

Apéndice A

450

1/20/06, 11:05 AM

Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

■ CAPÍTULO 8 1. El departamento de producción de una empresa exige una producción anual de 300 unidades. Si las ecuaciones de costos para dos alternativas son: Y = 5X + 15.000 Y = 8X + 14.000 a. ¿Cuál es la ecuación de menor pendiente? b. ¿Cuántas unidades se producen en el punto de equilibrio? Respuesta: a. La primera. b. 333.

3. Una empresa ha tomado la decisión de comprar el equipo A, el cual necesita para ampliar su volumen de producción. Al hacer los cálculos de la sensibilidad sobre la decisión adoptada, se encontró que es del −0.05. ¿Qué observaciones se pueden hacer al respecto?

2. Las ecuaciones de costos de dos alternativas están dadas por: Y = 200.000 + 3X Y = 180.000 + 7X La producción exigida es de 6.000 unidades anuales y la producción en el punto de equilibrio es de 5.000 unidades anuales. Sin hacer una sola operación matemática, decir cuál es la ecuación

4. De las siguientes ecuaciones de costos, cuál es la más favorable desde el punto de vista económico, teniendo en cuenta que la producción exigida está por encima del punto de equilibrio. Explicar el porqué y comprobar con un ejemplo. Y = 20.000 + 3X Y = 18.000 + 9X Respuesta: La primera.

de costos más favorable y explicar el porqué. Comprobar lo asegurado. Respuesta: La primera.

5. Cuál será la alternativa económica más favorable para producir las siguientes unidades anuales según la gráfica. a. 900.000 unidades anuales. b. 1.850.000 unidades anuales. c. 2.5 80.720 unidades anuales. d. 3.100.000 unidades anuales.

451

Apéndice A

451

1/20/06, 11:05 AM

Matemáticas financieras

6. El señor Pedro Pérez quiere cambiar su taxi por uno nuevo. La agencia que le vende el nuevo vehículo le hace la siguiente cotización: Vehículo nuevo

Costo CAM Salvamento Vida útil

Vehículo usado

$19.000.000 $2.000.000 $7.000.000 8 años

CAM Salvamento Vida útil

$5.000.000 $2.000.000 2 años

Este vehículo se recibe en $3.000.000 como parte del pago del vehículo nuevo. El señor Pérez estima que su tasa de rendimiento mínima es de 28% anual ¿Es bueno el negocio? ¿Por qué? Respuesta: No. 7. Para la construcción de una obra civil se dispone de $90.000.000 y se tienen las siguientes propuestas: Propuesta

Inversión

CAM

CA a usuarios

1 2 3

$100.000.000 200.000.000 300.000.000

$10.000.000 20.000.000 30.000.000

$900.000.000 600.000.000 300.000.000

La obra tendrá una vida útil de ocho años. La tasa de actualización social es de 26% anual. Aplicando el método del beneficio neto diferencial, ¿cuál es la propuesta que se debe aceptar y por qué? Respuesta: Ninguna. 8. Resolver el problema 7 pero considerando que el presupuesto asignado es de $400.000.000. Respuesta: La tercera. 9. Confirmar los resultados del problema 8 aplicando el método de la relación beneficio-costo. 10. Explicar por qué los beneficios se manejan como cifras negativas. 11. La compañía XYZ tiene un presupuesto de $200.000.000 para una obra determinada. Esta empresa tiene una tasa rendimiento mínima de 40% anual. Los presupuestos recibidos para la ejecución de la obra son los siguientes: 452

Apéndice A

452

1/20/06, 11:05 AM

Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

Propuesta

1 2 3 4

Inversión

Ingreso anual

$70.000.000 80.000.000 90.000.000 92.000.000

$27.300.000 30.400.000 35.550.000 35.880.000

Vida útil: 20 años. Aplicando el método de las tasas de la inversión inicial y de la inversión extra, ¿cuál es la mejor propuesta? ¿Por qué? Respuesta: Ninguna. 12. Resolver el problema 11 pero considerando una tasa de rendimiento mínima de 39.2% anual. Respuesta: La tercera.

13. Resolver el problema 11 considerando que la tasa de rendimiento mínima es de 38 % anual. Respuesta: La tercera.

14. Aplicando el método de las tasas de la inversión inicial y de la inversión extra, evaluar las siguientes alternativas y decir cuál es la mejor económicamente. Considere una tasa de rendimiento mínima de 30% anual. Alternativa

1 2 3 4 5

Inversión

$80.000.000 100.000.000 120.000.000 140.000.000 160.000.000

Ingreso anual

$27.200.000 33.000.000 38.400.000 43.400.000 48.000.000

Respuesta: La primera. 15. Resolver el problema 14 pero considerando una tasa mínima de rendimiento de 28% anual. Respuesta: La segunda.

■ CAPÍTULO 9 1. Después de hacer una inversión de $38.317.524, ésta produce mensualmente la suma de $5.000.000. Al final del mes doce se recupera el capital invertido en principio y un excedente de $21.682.476. ¿Cuál fue la tasa con la cual se recuperó la inversión? Respuesta: 15 % mensual. 453

Apéndice A

453

1/20/06, 11:05 AM

Matemáticas financieras

2. Una inversión de $20.000.000 tuvo el siguiente flujo de caja: Mes

Ingresos

1 2 3 4 5

$ 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000 21.000.000

Respuesta: Sí. La tasa interna de retorno es mayor que la tasa atractiva del inversionista.

Egresos

6. Calcular la tasa interna de retorno con la información de la siguiente tabla:

$100.000 200.000 400.000 200.000 50.000

Calcular la tasa interna de retorno. Respuesta: 4,093632%. 3. Una inversión de $12.521.685 produjo los siguientes ingresos netos mensuales: Mes

Ingresos

1 2 3 4

$3.000.000 4.000.000 5.000.000 4.000.000

Mes

Ingresos

0 1 2 3 4 5

$200.000 300.000 400.000 500.000 600.000

Egresos

$−668.714 50.000 40.000 40.000 20.000 10.000

Respuesta: 35,49%. 7. Un comisionista presta $1.717.987 para que se le paguen de la siguiente manera: siete cuotas mensuales y vencidas de $200.000 cada una. Al final del tercero y séptimo meses, una cuota tradicional de $400.000. ¿Con qué tasa recuperará su capital? Respuesta: 6% mensual.

Calcular la tasa interna de retorno. Respuesta: 10% mensual. 4. Una obligación de $1.010.182 se cancela en 12 cuotas mensuales, así: al final del primer mes: $50.000. Al final del segundo mes: $60.000. Al final del tercer mes: $70.000, y así sucesivamente. ¿Cuál es la TIR? Respuesta: 3% mensual.

8. Una inversión de $1.000.000 se espera recuperar con tres cuotas mensuales y vencidas. La primera cuota será de $346.853,35. La segunda, de $346.753,35 y la tercera, de $346.653,35. ¿Cuál será la tasa de retorno? Respuesta: 2% mensual.

5. Un comerciante invierte inicialmente $10.042.364 y recupera su capital, así: al final del primer mes:$2.000.000; al final del segundo mes: $5.000.000; al final del tercer mes: $6.000.000. Si su tasa atractiva es del 9,5% mensual, ¿hizo una buena inversión? Explique.

9. El señor Pérez le presta a un amigo $2.000.000 para que se los cancele en tres cuotas mensuales vencidas. La primera cuota será de $653.937,29. De ahí en adelante, cada cuota se 454

Apéndice A

454

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Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

incrementará en un 15% sobre la primera. ¿Cuál será la tasa con la cual se recuperará su inversión? Respuesta: 6% mensual.

13. Un prestamista invierte $5.000.000 y espera recibir dentro de 2 años la suma de $31.705.904. ¿Cuál es la tasa interna de retorno? Respuesta: 8% mensual.

10. El señor Pérez invierte $20.000.000 en acciones, las cuales le darán unos dividendos anuales de $7.000.000. Al final del año octavo espera recibir $30.087.256 más los dividendos. ¿Cuál será su tasa interna de retorno? Respuesta: 36,656212%.

14. Una inversión de $ 10.000.000 hoy y $15.000.000 dentro de 5 meses se transformarán en $45.464.148 dentro de 12 meses. Calcular la tasa interna de retorno. Respuesta: 6,72% mensual.

11. Con los datos del problema anterior, calcular la tasa interna de retorno mediante el método del CAUE. Respuesta: 36,656212%.

15. Un inversionista trabaja su capital a una tasa del 7% mensual. Un amigo le propone invertir hoy $25.000.000 y al final de 3 años recibirá $203.681.300. ¿Usted qué le aconsejaría? Respuesta: No haga la inversión con el amigo. Su tasa de interés es mayor que la tasa de retorno de la inversión. Recuerde que el inversionista puede hacer reinversiones periódicas.

12. Una inversión de $10.000.000 se recuperará en 12 cuotas de $1.065.521,76 mensuales vencidos. ¿Cuál es la tasa interna de retorno? Respuesta: 4% mensual.

■ CAPÍTULO 10 1. Un bono de $5.000 se emitió a 5 años y reconoce el 24% anual. Si la emisión fue a la par, ¿cuál es el valor efectivo del bono? Respuesta: $5.000.

inversionista considera que su tasa mínima de rendimiento es del 32% anual. Si ese bono se lo ofrecen por $45.479, ¿deberá comprarlo? Respuesta: Sí. La tasa de descuento es mayor que la tasa mínima de rendimiento del inversionista.

2. Un bono de $10.000 se emitió a 6 años y reconoce el 28% anual. Si un inversionista trabaja su dinero al 30% anual, ¿cuánto podrá ofrecer por el bono? Respuesta: $9.471,44.

4. Un inversionista compró un bono de $100.000 en $90.000. El bono reconoce el 2% mensual y se redime en 3 años. Calcular la tasa de interés nominal y la tasa efectiva anual. Respuesta: r = 28,162% ia = 32,096983%.

3. Un bono tiene un valor nominal de $50.000, vence dentro de 5 años y reconoce el 30% de interés anual. Un 455

Apéndice A

455

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Matemáticas financieras

5. Una aerolínea hizo una emisión de 100.000 bonos cuyo valor nominal es de $2.000 cada uno y con periodo de redención de 3 años. Los bonos se rescatarán cada año mediante sorteos y reconocen el 32% anual. ¿Cuántos bonos se rescatarán cada año? Respuesta: 24.616, 32.493 y 42.891.

8. Con los datos del problema anterior, calcular el número de bonos redimidos en el tercer sorteo. Respuesta: 12.954 bonos. 9. Una empresa hizo una emisión de 20.000 bonos a $100.000 cada uno. Los bonos reconocen el 25% anual y se redimen a 6 años, y su rescate se hará mediante sorteos y con el sistema de cuota constante. Con el fin de hacer atractiva la inversión, los bonos saldrán al mercado por un valor inferior al valor nominal y, en consecuencia, la empresa reconocerá el 27% efectivo anual. Además, la empresa dará un premio a cada bono que resulte favorecido en un sorteo y, por tanto, la rentabilidad ofrecida será del 30% anual. ¿Cuál será el valor del premio para cada bono rescatado en el cuarto sorteo? Respuesta: $13.172,19.

6. Una empresa hizo una emisión de 50.000 bonos con valor nominal de $5.000 cada uno y un periodo de redención de 4 años. Los bonos reconocen el 28% anual y se redimen anualmente mediante sorteos. El sistema de amortización es de cuota constante. Calcular el número de bonos en circulación después del segundo sorteo. Respuesta: 31.049 bonos. 7. Una empresa necesita hacer una ampliación de su planta; para ello requiere un capital que no lo encuentra en los bancos y, en consecuencia, se ve en la obligación de recurrir a una emisión de bonos. Ésta se hace por 100.000 bonos y con un valor nominal de $50.000 cada uno. Estos bonos reconocen el 24% anual y se redimen a 5 años mediante sorteos y con el sistema de cuotas constantes. Con el fin de hacer más atractiva la compra de los bonos, la empresa los colocará bajo la par y en consecuencia pagará el 28% efectivo anual. a. ¿Cuánto dinero recaudará la empresa? b. ¿A cómo se colocarán los bonos en el mercado? Respuesta: a. $4.611.387.009 b. $46.113,87.

10. Con los datos del problema anterior, calcular el valor del rescate de los bonos favorecidos en el quinto sorteo. Respuesta: $110.538,96. 11. ¿Por cuánto debe ofrecerse un bono de $ 100.000, emitido a 6 años y al 30% anual, para que quien lo adquiera obtenga una rentabilidad del 35% anual? Respuesta: $88.074,20. 12. El señor Pérez cree que puede trabajar su dinero al 31% anual y compró un bono de $500.000 por $439.110,74, el cual reconoce el 25% anual. ¿Hizo un buen negocio? Explique su respuesta. Respuesta: No. 456

Apéndice A

456

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Apéndice A • Problemas adicionales propuestos

13. El Distrito Capital hizo una emisión de 20.000 bonos por valor de $100.000.00, los cuales pagan el 24% anual y se redimen a 5 años, con un valor nominal de $5.000 cada uno. Calcular el número de bonos en circulación antes de realizar el cuarto sorteo. Respuesta: 10.613 bonos.

bono se ofrece por $1.000 menos a un inversionista cuya tasa mínima de rendimiento es del 8% trimestral, ¿hará un buen negocio la compañía al adquirirlos? Respuesta: Sí. 15. ¿Cuánto puede ofrecerse por un bono de $50.000 que vence dentro de 4 meses, reconoce una tasa del 2% mensual, se colocó a la par en el mercado y la tasa mínima de rendimiento de quien lo compre es del 35% anual nominal? Respuesta: $48.292,93.

14. La compañía XY hizo una emisión de 50.000 bonos con un valor nominal de $5.000 cada uno y un periodo de redención de 2 años. Los bonos reconocen el 6% trimestral. Si cada

■ CAPÍTULO 11 1. Un documento reconoce 36% anual con capitalización bimestral. Calcular la rentabilidad efectiva anual cuando: a. La capitalización es vencida. b. La capitalización es anticipada. Respuesta: a. 41,8519% b. 44,9549%.

4. Con los datos del problema 2, calcular la rentabilidad que tenía el vendedor del CDT al momento de venderlo. Asuma que la comisión de venta es del 0,001. Respuesta: 31,2572% anual. 5. Un CDT emitido el 1o. de junio y a 90 días reconoce 28 % anual nominal con capitalización trimestral anticipada. Este documento se desea negociar en la bolsa de valores. Para ello se registra el 6 de julio del mismo año por un valor equivalente a 94% de su valor nominal. Si la comisión de compra es del 0,002, ¿cuál será el rendimiento que obtendrá el comprador? Respuesta: 6,3612% para los 55 días.

2. Un CDT emitido a 180 días reconoce 32% anual con liquidación de intereses trimestralmente y en forma vencida. Si este documento se registra por 112% de su valor nominal y se negocia cuando le faltan 30 días para su vencimiento, ¿cuál será la rentabilidad efectiva anual del comprador? Respuesta: 62,7622%. 3. Con los datos del problema 2, calcular el valor que debe pagar el comprador, teniendo en cuenta que la comisión de compra es del 0,002. Respuesta: $112,01.

6. Un título valor se expidió a seis meses y reconoce 24% anual nominal en forma anticipada. El señor Pedro Pérez, quien es el dueño del título, 457

Apéndice A

457

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Matemáticas financieras

quiere venderlo al cabo de cinco meses y obtener una rentabilidad efectiva anual de 23%. Si las comisiones de compra y venta son del 0,003, ¿cuál será el precio de venta y la tasa de cesión? Respuesta: $95,93 y 64,7376%.

mensuales son de $100.000. ¿Cuál es la rentabilidad que ofrece esta compañía? Respuesta: 24,14%. 11. Resolver el problema 10, pero considerando un plazo de 36 meses. Sacar conclusiones. Respuesta: 15,2922%. Conclusión. A mayor plazo, menor es la rentabilidad. En las cédulas de capitalización la rentabilidad es inversamente proporcional al plazo.

7. Con los datos del problema 6, calcular el precio de registro y la tasa de registro. Respuesta: $81,28 y 64,4376%. 8. Con los datos del problema 6, calcular el precio de compra y la tasa de compra. Respuesta: $81.34 y 64.1376%.

12. El señor Pedro Pérez compró una cédula de capitalización. Él espera obtener una rentabilidad de 28% anual con capitalización bimestral anticipada. Este documento vence dentro de dos meses. Si las comisiones por venta y compra son del 0,002 cada una, ¿cuál fue el precio de compra? Respuesta: $95,33.

9. El señor Pedro Pérez compró un CDT que había sido emitido el lo. de agosto y vencía un año después. Este documento reconoce 32% anual con capitalización bimestral vencida. El 28 de abril del año inmediatamente siguiente, el señor Pérez vende a un amigo el CDT por un precio de 103% después de descontarle la comisión ¿Cuál fue la rentabilidad anual? Respuesta: 33,20%.

13. Con los datos del problema 12, calcular el precio de registro. Respuesta: $95,31. 14. Con los datos del problema 12, calcular el precio de venta. Respuesta: $95,29.

10. Una compañía de financiamiento comercial ofrece a sus clientes unas cédulas de capitalización que reconocen 24% anual sobre el saldo acumulado al final del segundo año. Mensualmente se harán sorteos del valor de la cédula. Los ahorros

15. Resolver el problema 12 pero considerando que la capitalización es vencida. Elabore conclusiones. Respuesta: $95,54.

458

Apéndice A

458

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Problemas propuestos y resueltos ■ CAPÍTULO 1 1. Se necesita disponer de $20.000.000 dentro de un año. ¿Cuánto se tendrá que depositar hoy en un Banco que reconoce el 1,5% mensual? Resuelva la operación a interés simple y a interés compuesto. Respuesta: $16.949.153 y $16.727.748 a. F = P [1 + in] $20.000.000 = P [1 + (0,015 × 12)] P=

$20.000.000 = $16.949.153 1, 18

b. F = P (1 + i)

n 12

$20.000.000 = P (1,015) P=

$20.000.000

(1, 015)12

= $16.727.748

2. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital al 2% mensual? Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto. Respuestas: 50 meses y 35 meses. a. F = P [1 + in] 2P = P [1 + 0,02 n] 2 − 1 = 0,02 n n = 50 meses n

b. F = P (1 + i) n 2P = P (1,02) n 2 = (1,02) log 2 = n log 1,02 n = 35 meses

Apéndice B

459

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

3. ¿A qué tasa de interés mensual se debe colocar un capital de $10.000.000 para que se transforme en $30.000.000 al final de 3 años? Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto. Respuesta: 5,55% mensual y 3,098% mensual a. $30.000.000 = $10.000.000 [1 + 36i] 3 = 1 + 36i

i=

2 = 5, 55% mensual 36

b. $30.000.000 = $10.000.000 (1 + i) 3 = (1 + i) 36

36

36

3 = 1+ i

i = 3,098 mensual

4. ¿Cuánto tendré ahorrado al final de 2 años si hago los siguientes depósitos en un Banco que me reconoce el 1,2% mensual? Hoy deposito: $5.000.000 Al final del mes 5: $3.000.000 Al final del mes 12: $1.000.000 Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto. Respuesta: $9.972.000 y $10.030.729 a. F1 = $5.000.000 [1 + (0,012) × (12)]= $5.720.000 F2 = $3.000.000 [1 + (0,012) × (7)] = $3.252.000 F3 = $1.000.000 = $1.000.000 $9.972.000 12

b. F1 = $5,000.000 (1,012) = $5.769.473 7

F2 = $3.000.000 (1,012) = $3.261.256 = $1.000.000 F3 = $1.000.000 $10.030.729

5. ¿Qué capital se debió tener ahorrado al final del quinto año en un Banco que reconoce el 1,3% mensual, si 3 años después se retira la suma de $10.000.000 y la cuenta queda en cero? Resuelva el problema a interés simple y a interés compuesto. Respuesta: $6.811.989 y $6.281.451 a. P = b. P =

F $10.000.000 = = $6.811.989 (1 + in) 1 + (0, 013)(36)

[

F

(1 + i)

n

=

]

$10.000.000

(1, 013)36

= $6.281.451

460

Apéndice B

460

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

6. ¿Cuánto se tendrá ahorrado al final de 2 años si hoy se deposita la suma de $20.000.000 en un Banco que reconoce el 1,6% mensual a interés simple durante los primeros 10 meses y de ahí en adelante el 1, 1 % a interés compuesto? Respuesta: $27.039.843 F1 = $20.000.000 [1 + (0,016)(10)] = $23.200.000 14 F2 $23.200.000 (1,011) = $27.039.843

7. ¿Cuánto se debe depositar hoy en un Banco que reconoce el 1,3% mensual, para poder retirar $10.000.000 al final del mes 5 y $15.000.000 al final del mes 12, dejando así la cuenta en cero? Resolver el problema a interés simple y a interés compuesto. Respuesta: $22.299.343 y $22.220.896 $15.000.000

a. P1 = 1 + (1, 013)(7) = $13.748.854

[

]

$13.748.854 + $10.000.000 = $23.748.854

b.

$23.748.854

P2 =

[

P1 =

$15.000.000

]

1 + (0, 013)(5)

(1, 013)7

= $22.299.343

= $13.703.299

$13.703.299 + $10.000.000 = $23.703.299 P2 =

$23.703.29

(1, 013)5

= $22.220.896

■ CAPÍTULO 2 1. Un pagaré por $10.000.000 con vencimiento a 10 meses, reconoce el 2% mensual a interés compuesto. Este pagaré tiene 3 meses de maduración y se negocia a una tasa de descuento del 4% mensual y a interés compuesto. ¿Por qué valor es aceptado el pagaré? Respuesta: $9.263.356 10

F = 10.000.000 (1,02) = $12.189.944 Ve =

12.189.944

(1, 04 )7

= $9.263.356

461

Apéndice B

461

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

2. Un CDT por $20.000.000 con vencimiento a 18 meses, reconoce el 1,5% mensual a interés compuesto. El CDT se negocia 5 meses después de su expedición en forma comercial y a una tasa de descuento de 2,5% mensual. a. ¿Cuál es valor del descuento? b. ¿Cuál es el valor efectivo del CDT. Respuesta: a. $8.497.714 b. $17.649.099 18

F = $20.000 (1,015) = $26.146.813

Descuento comercial: Dc Dc = Vn • i • n Dc = (26.146.813)(13)(0,025) = $8.497.714 Ve = $26.146.813 − $8.497.714 = $17.649.099

3. Tengo las siguientes obligaciones con el Banco: • Un pagaré por $100.000.00 con vencimiento a 10 meses. Tiene 3 meses de maduración y reconoce el 2% mensual a interés simple. • Un pagaré por $150.000.000 con vencimiento a 18 meses. Tiene 2 meses de maduración y reconoce el 1,5% mensual a interés compuesto. Se acordó con el Banco reestructurar estas obligaciones en la siguiente forma: Fecha focal: dentro de 9 meses Tasa de reestructuración: 2,5% mensual a interés compuesto. Se harán dos pagos así: uno por $90.000.000 dentro de 3 meses y el resto se pagará en la fecha focal. a. ¿Cuál será el valor de pago a la fecha focal? b. ¿A cuánto equivalen en la fecha de negociación los dos nuevos pagos? Respuesta: a. $186.675.626 b. $83.573.947 y $149.476. F1 = $100.000.000 [1 + (10)(0,02)] = $120.000.000 2 F´1 = $120.000.000 (1,025) = $126.075.000 18 F2 = $150.000.000 (1,015) = $196.101.095 P2 =

196.101.095

(1, 025)7

= $164.973.034 6

F3 = $90.000.000 (1,025) = $104.372.408 = $126.075.000 + $164.973.034 = $104.372.408 + x x = $186.675.626 P3 =

$90.000.000

P4 =

$186.675.626

(1, 025)3 (1, 025)9

= $83.573.947

= 149.476.468

462

Apéndice B

462

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

4. Tengo las siguientes obligaciones con el Banco: • Un pagaré por $80.000.000 con vencimiento a 6 meses, reconoce el 2% mensual a interés compuesto y tiene 1 mes de haber sido expedido. • Un pagaré por $140.000.000 con vencimiento a 12 meses, reconoce el 2,3% mensual a interés compuesto y le faltan 9 meses para su vencimiento. Estos pagarés serán reestructurados en la siguiente forma: Fecha focal: dentro de 8 meses. Tasa de reestructuración: 2,1 % mensual a interés compuesto. Se harán dos pagos iguales así: e1 primero dentro de 3 meses y el segundo en la fecha focal. a. ¿Cuál será el valor de dicho pago? Respuesta: $130.850.144 6

F1 = $80.000.000 (1,02) = $90.092.994 3 F´1 = $90.092.994 (1,021) = $95.888.880 12 F2 = $140.000.000 (1,023) = $183.922.830 P′2 =

$183.922.830 = $180.139.892 (1, 021) 5

F3 = x (1,021) = 1,109503 x $95.888.880 + $180.139.892 = 1,10950 x + x x = $130.850.144

5. Un apartamento que está para la venta, tiene un precio de contado de $70.000.000. El dueño del apartamento trabaja su dinero y obtiene una rentabilidad equivalente al 6% mensual a interés compuesto. Un cliente le ofrece entregarle $30.000.000 de contado y el saldo se lo paga así: • Con un CDT $30.000.000, el cual vence a los 6 meses, reconoce el 1% mensual a interés compuesto y tiene 2 meses de maduración. • Con un pagaré de $15.000.000 suscrito el día que se haga la negociación y con vencimiento a 4 meses. El pagaré reconocerá el 3% mensual a interés compuesto. a. ¿Cuánto le está ofreciendo el cliente por el apartamento? b. ¿Hará la negociación? Respuesta: a. 68.597.328 b. No 6

F1 = $30.000.000 (1,01) = $31.845.605 Ve =

$31.845.605

(1, 06)4

= $25.224.702 4

F2 = $15.000.000 (1,03) = $16.882.632 463

Apéndice B

463

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

Ve =

$16.882.632

(1, 06)4

= $13.372.626

Oferta: $30.000.000 + $25.224.702 + 13.372.626 = $68.597.328

6. Se tienen dos obligaciones con las siguientes condiciones: • Una por $20.000.00 con vencimiento a 8 meses y reconoce el 2% mensual a interés simple. Tiene 2 meses de maduración. • Otra por $30.000.000 con vencimiento a 10 meses y reconoce el 1,5% mensual a interés compuesto. Tiene 4 meses de maduración. Si hoy se negocian estas obligaciones en forma comercial y a una tasa de descuento del 3% mensual, ¿cuál será el valor a reconocer por dicha obligación? Respuesta: $47.573.305 F1 = $20.000.000 [1 + (0,02) (8)] = $23.200.000 Ve1 = 23.200.000 [1 − (0,03) (6)] = $19.024.000 10 F2 = $30.000.000 (1,015) = $34.816.225 Ve2 = $34.816.225 [1 − (0,03) (6)] = $28.549.305 $28.549.305 + $19.024.000 = $47.573.305

7. Un CDT reconoce el 2% mensual a interés compuesto, vence a los 10 meses y se negoció a los 6 meses en forma racional, por un valor de $16.622.651. Si la tasa de descuento fue el 2,5% mensual, ¿cuál será el valor nominal del CDT? Respuesta: $15.000.000 $16.622.651 =

F

[1 + (0, 025)(4)]

F = 18.284.916 10 $18.284.916 = P (1,02) P = $15.000.000

8. Un CDT cuyo valor nominal es de $10.000.000, vence a los 8 meses, tiene 2 meses de maduración y reconoce el 1,6% mensual a interés compuesto, se desea negociar con una persona que ofrece por él la suma de $9.236.503. Si la operación se realiza en forma compuesta, ¿cuál será la tasa de descuento utilizada para la negociación? Respuesta: 3,5% mensual 8

F = $10.000.000 (1,016) = $11.354.020 $9.236.503 =

$11.354.020

(1 + i)6

6

(1 + i) = 1,22925527 i = 0,035 464

Apéndice B

464

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

9. Una persona tiene una obligación por $20.000.000 con vencimiento a 11 meses, reconoce el 1 % mensual a interés compuesto y tiene 3 meses de maduración, y otra por $10.000.000 con vencimiento a 12 meses, reconoce el 1,5% mensual a interés simple y tiene 5 meses de maduración. Si la primera se descuenta en forma comercial al 2% mensual y la segunda en forma racional al 3% mensual, ¿cuál será el valor de los descuentos? Respuesta: Dc $3.570.139 Dr $2.047.934 11

F1 = $20.000.000 (1,01) = $22.313.367 Ve = $22.313.367 [1 − (0,02) (8)] = $18.743.228 Dc = $22.313.367 − $18.743.228 = $3.570.139

Otra forma: Dc = ($22.313.367) (8) (0,02) = $3.570.139 F2 = $10.000.000 [1 + (0,015) (l2)] = $11.800.000

Dr =

$11.800.000 × 0.03 × 7

[1 + (0, 03)(7)]

= $2.047.934

10.Un pagaré por $50.000.000 vence a los 10 meses y reconoce una tasa i a interés compuesto. Si 4 meses después de su expedición, el pagaré se negocia con el Banco en forma compuesta y se acepta por él la suma de $47.179.331, lo mismo que un descuento de $9.155.250, ¿cuáles son las tasas de interés y de descuento? Respuesta: 1,2% y 3% Ve = $47.179.331 F = $56.334.589 Ve =

F

(1 + i)n 6

$47.179.331 (1 + i) = $56.334.589 i = 3% n F = P (1 +i) 10 $56.334.589 = $50.000.000 (1 + i) i = 1,2%

■ CAPÍTULO 3 1. Cuánto tendré ahorrado al final de 3 años si hoy deposito la suma de $30.000.000 en un Banco que me reconoce las siguientes tasas de interés: • Durante los primeros 5 meses, el 24% anual nominal con capitalización bimestral vencida. 465

Apéndice B

465

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

• Durante los 11 meses siguientes, el 18% anual efectivo con capitalización trimestral vencida. • Durante los 7 meses siguientes, el 3 % bimestral con capitalización semestral vencida. • Durante el resto del tiempo, el 6% semestral con capitalización trimestral vencida. Respuesta: $48.456.953 0, 24 = 0, 04 6 5/2 F1 = 30.000.000 (1,04) = $33.090.597 1/4 iapt = (1,18) − 1 = 0,0422466 11/3 F2 = 33.090.597 (1,0422466) = $38.512.033 6/2 iaps = (1,03) − 1 = 0,092727 7/6 F3 = 38.512,033 (1,092727) = $42.709.721 3/6 iapt = (1,06) − 1 = 0,02956301 13/3 F4 = 42.709.721 (1,02956301) = $48.456.953 iapb =

2. Mi actividad comercial es la compraventa de vehículos. Este negocio me reporta una rentabilidad equivalente al 5% mensual a interés compuesto. Por uno de los vehículos, que tiene un precio de venta de $60.000.000 de contado, un posible comprador me hizo la siguiente oferta: Me entrega $20.000.000 de contado y en efectivo y un CDT por $35.000.000 con vencimiento a 1 año. El CDT tiene 3 meses de maduración y reconoce el 12,6825% efectivo anual. La capitalización es mensual vencida. Los intereses se pagarán al vencimiento, con el capital. Adicionalmente, me firma una letra por $10.000.000 a 2 meses. La letra reconoce el 2% mensual a interés simple. ¿Usted qué me aconseja?¿Hago el negocio? Justifique analíticamente su respuesta. Respuesta: No 12

F1 = $35.000.000 (1,01) = $39.438.876 Ve =

$39.438.876

(1, 05)9

= $25.422.651

F2 = $10.000.00 [1 + (0,02) (2)] = $10.400.000 Ve =

$10.400.000

(1, 05)2

= $9.433.107

Oferta: $20.000.000 + $25.422.651 + $9.433.107 = $54.855.758 3. Hallar la tasa trimestral vencida, equivalente al 20% anual nominal trimestre anticipado. Respuesta: 0,052631 i´m = 0,50 trimestral anticipada =

0, 20 = 0, 050 trimestral anticipada 4 466

Apéndice B

466

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

iap m =

0, 050

(1 − 0, 050)

= 0, 052631

4. Hallar la tasa mensual anticipada, equivalente al 24% anual nominal con capitalización mensual vencida. Respuesta: 0,0196078 iap m =

i´m =

0, 24 = 0, 02 12

0, 02

(1 + 0, 02 )

mensual vencida

= 0, 0196078

mensual anticipada

5. Hallar la tasa nominal anual con capitalización bimestral vencida, equivalente al 18% anual nominal con capitalización bimestral anticipada. Respuesta: 0.185567 i´m =

0, 18 = 0, 03 6

iap m =

bimestral anticipada

0, 03 = 0, 0309278351 (1 − 0, 03)

bimestral vencida

r = (0,0309278) (6) = 0,185567

6. Con base en los datos del problema anterior, calcular la tasa efectiva anual: a. A partir de la nominal anual vencida b. A partir de la nominal anual anticipada c. Sacar conclusiones Respuestas: a. 20,052053% b. $20,052053 c. Son iguales porque las tasas nominales son equivalentes y las tasas equivalentes producen el mismo resultado efectivo. 6 a. ia = (1 + 0,0309278351) − 1 = 20,052053% b. ia =

1

(1 − 0, 03)6

− 1 = 20.052053%

c. Son iguales porque las tasas nominales son equivalentes y las tasas equivalentes producen el mismo resultado efectivo. 7. ¿Qué sucede con la tasa de rentabilidad real sobre una inversión en moneda extranjera, cuando: a. la tasa de inflación es menor que la tasa de devaluación? b. la tasa de inflación es mayor que la tasa de devaluación? c. son iguales? 467

Apéndice B

467

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

Justifique analíticamente sus comentarios. Respuesta: a. Cuando ii < id la rentabilidad real es mayor que la tasa ofrecida (margen o spread) b. Cuando ii > id la rentabilidad real es menor que la tasa ofrecida (margen o spread) c. Cuando ii = id la rentabilidad real es igual a la tasa ofrecida (margen o spread) a. ii = 0,069 id = 0,12 ie = 0,05 ia = (1, 12) (1,05) – 1 = 0,1760 RR =

0, 1760 − 0, 069 = 0, 10 1, 069

Observación: cuando: ii > id la rentabilidad real es mayor que la tasa ofrecida (margen o spread) id = 0,069 ie = 0,05 b. ii = 0,12 ia = (1,069) (1,05) – 1 = 0, 12245 RR =

0, 12245 − 0, 12 = 0, 00221875 1, 12

Observación: cuando ii > id la rentabilidad real es menor que la tasa ofrecida (margen o spread) id = 0,12 ie = 0,05 c. ii = 0,12 ia = (1,12) (1,05) – 1 = 0, 1760 RR =

0, 1760 − 0, 12 = 0, 05 1, 12

Observación: cuando ii = id la rentabilidad real es igual a la tasa ofrecida (margen o spread) 8. ¿A qué tasa de interés debo negociar unos papeles en la bolsa de valores, si deseo obtener una rentabilidad real del 6% anual? Se estima que al final del año, la inflación será el 7,2% efectiva anual. Hoy, la retención en la fuente es del 7% efectiva anual. Respuesta: 6,957% RR =

RN − ii 1 + ii

RN − 0, 072 1, 072 RN = 0,13632 RN = ia (1 − 0,07) 0,13632 = ia (0,93) ia = 0,14658 0, 06 =

468

Apéndice B

468

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

ia = (1 + ii) (1 + ie) − 1 0,14658 = (1,072) (1 + ie) − 1 ie = 0,06957

9. En toda operación financiera que realizo, espero obtener siempre una rentabilidad del 5% efectiva anual. En unos papeles que se negocian en la bolsa de valores, se ofrece la DTF trimestre anticipado más 2 puntos (tasa de negociación). Si la DTF tiene un valor de 7,8% anual nominal TA y se espera una tasa de inflación del 6,5% efectiva anual, ¿será conveniente hacer dicha operación? Respuesta: No Tasa facial = 0,078 + 0,02 = 0,098 0, 098 = 0, 0245 4 1 ia = = 1 = 0, 1043 (1 − 0, 0245)4

i´t =

RR =

Tasa que reconoce el CDT

RN − ii 1 + ii

RN − 0, 065 1, 065 RN = 0,11825 RN = ia (1 − it) 0,11825 = ia (1 − 0,07) ia = 0,127156 tasa a la cual debo negociar 0,127156 > 0,1043 0, 05 =

10.El Señor Pedro Pérez hizo las siguientes inversiones el día 10 de septiembre de 2003: En libras esterlinas: le reconocen el 3% efectivo anual. En yenes: le reconocen el 5% efectivo anual. En euros: le reconocen el 6% efectivo anual. Las tasas de cambio para el 10 de septiembre de 2003 eran las siguientes: $2.876,60 pesos por dólar 0,62805 libras esterlinas por dólar 1,1219 dólares por euro E1 10 de septiembre de 2004, las tasas de cambio fueron las siguientes: $2.587,20 pesos por dólar 109,2896 yenes por dólar 0,81347 euros por dólar Durante el periodo de la inversión, el dólar se devaluó en 0,129931 frente a la libra esterlina y en 0,071428 respecto al yen. 469

Apéndice B

469

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

a. ¿Cuál de las tres inversiones fue la mejor para el señor Pérez y cuál la menos conveniente? Justifique su respuesta. b. Si el señor Pérez hubiera pretendido obtener una rentabilidad real del 5% efectiva anual en la mejor inversión, ¿a qué tasa de interés debía haber hecho la inversión, teniendo en cuenta que nuestra inflación durante el periodo de la inversión fue del 5,89% efectiva anual? Respuesta: a. La mejor fue en libras esterlinas. b. 9,406%. LE Moneda

TCo

Dev

$/D D/£ $/£

2.876,60 1/0,62805 4.580,2085

0,129931 0,0162488

TC1

2.587,20 1,7991 4.654,6315

ia = (1,0162488) (1,03) − 1 = 0,04673626 YJ Moneda

$/D D/Yen $/Yen

TCo

Dev

2,876,60 0,00854 24,56616

0,071428 -0,03636

TC1

2.587,20 1/109,28896 23,67288

ia = (1 − 0,03636) (1,05) − 1 ia = 0,01182 EURO Moneda

TCo

$/D D/E $/E

2.876,60 1,1219 3.227,2575

Dev

-0,01450

TC1

2.587,20 1/0,81347 3.180,4492

ia = (1 − 0,01450) (1,06) − 1 = 0,044630

La menos conveniente fue en yenes. RN − 0, 0589 ∴ RN = 0, 111845 1, 0589 RN = ia 0,111845 = (1 + 00162488) (1 + ie) − 1 ie = 9,406%

b. 0, 05 =

470

Apéndice B

470

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

11.El 16 de septiembre de 2004, se negocia en la bolsa de valores un CDT que tiene las siguientes características: Valor nominal: $900.000.000 Fecha de expedición: mayo 14 de 2003 Plazo: 2 años Tasa de rentabilidad: DTF + 2 puntos TA Pago de interés: en forma vencida Tasa de negociación: DTF + 1 punto TA Calcular el precio de compra (neto comprador). Otra información: Valor DTF para septiembre 16 de 2004: 7,88% nominal anual TA Valor DTF para agosto 14 de 2004: 7,70% nominal anual TA Valor DTF para mayo 14 de 2004: 7,75% anual nominal TA Modalidad: fecha inicio Respuesta: $913.894.509 neto comprador (NC).

0,02485 59

Ago.14/04

Sep.16/04

0,02533 92

Nov.14/04

1,02533 89

Feb.14/05

r´ = 0,0770 + 0,02 = 0,0970

i´t =

0, 0970 = 0, 02425 4

0, 02425 = 0, 02485 1 − 0, 02425 r´ = 0,0788 + 0,02 = 0,0988 iapt =

i´t =

0, 0988 = 0, 02470 4

0, 02470 = 0, 02533 1 − 0, 02470 r´ = 0,0788 + 0,01 = 0,0888 iapt =

i´t =

0, 0888 = 0, 0222 4

471

Apéndice B

471

1/20/06, 11:07 AM

May.14/05

Matemáticas financieras

ia =

1

(1 − 0, 0222 )4

NC =

− 1 = 0, 093956

$900.000.000 × 0, 02485

(1, 093956)

59 / 365

+

$900.000.000 × 0, 02533

(1, 093956)

151/ 365

+

$900.000.000 × 1, 025333

(1, 093956)240 / 365

NC = $22.042.701 + 21.965.622 + 869.886.186 NC = $913.894.509

■ CAPÍTULO 4 1. Un préstamo de $100.000.000 fue financiado por un Banco para pagarlo en cuotas mensuales, vencidas e iguales de $1.451.181 cada una. La tasa de financiación fue del 13% efectiva anual. ¿Cuál fue el plazo en meses dado por el Banco? Respuesta: 120 meses P   −log  −i ×  + 1  A   n= log(1 + i )

 100.000.000   −log  −0, 0102368 ×  + 1  1.451.181    n= log(1, 0102368) n=

[

] = 120

−log 0, 294588 0, 00442318

2. Una persona desea jubilarse dentro de 15 años, con una pensión de $30.000.000. Si el fondo de pensiones al cual está afiliada, trabaja el capital invertido al 3% mensual y a interés compuesto, ¿cuál debe ser la cotización mensual que debe hacer el futuro pensionado? Nota: Asuma que las cotizaciones serán iguales durante todo el tiempo. Respuesta: $147.418 P=

A $30.000.000 = = $1.000.000.000 i 0, 03

Éste es el capital que producirá la pensión de jubilación de $30.000.000. 15 × 12 = 180 meses

472

Apéndice B

472

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

  i  A = F  1 + i n − 1 ( )     0, 03  A = $1.000.000.000   1, 03 180 − 1  ( )   A = $147.418

3. Se estima que el mantenimiento de una obra civil de vida útil indefinida será de $50.000,000 anuales. Con el fin de atender estos gastos, se constituirá un fondo en un Banco que reconoce el 18% anual efectivo. ¿Cuál será el valor de dicho fondo? Respuesta: $277.777.778 P=

A $50.000.000 = = $277.777.778 0, 18 i

4. Si para la constitución del Fondo a que se refiere el problema anterior, se dispone de un capital de $30.000.000, ¿en cuánto tiempo se constituirá el Fondo? Respuesta: 3 años, 1 mes, 1 día $50.000.000 = $30.000.000 (1,18) n 1,66666 = (1,18)

n=

n

log 1, 66666 = 3, 08628 años log 1, 18

(0,08628) (12) = 1 mes

5. El Señor Pérez, necesita un crédito de $20.000.00 para atender los gastos de su finca. Un Banco le otorgó el préstamo en las siguientes condiciones: Plazo: 2 años con pago de cuotas mensuales y vencidas. Tasa de interés: 19% anual efectivo. Período de gracia: 6 meses adicionales al plazo inicial. ¿Cuál será el valor de la cuota mensual con la cual se pagará el préstamo? Respuesta: $1.084.183 1/12

iapm = (l,19) − 1 = 0,01460169 6 F = $20.000.000 (1,01460169) = $21.817.425

 1, 01460169 24 0, 01460169  ( )  A = $21.817.425  24  (1, 01460169) − 1   A = $1.084.183 473

Apéndice B

473

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

6. Si las cuotas del problema anterior fueran anticipadas, ¿cuál sería su valor? Respuesta: $1.068.580 $21.817.425

A=

 (1, 01460169)24−1 − 1  + 1    24 −1  (1, 01460169) 0, 01460169   A = $1.068.580

7. Un vehículo se financió en las siguientes condiciones: Precio: $70.000.000 Plazo: 3 años Tasa de interés: 10% anual efectiva Pago de cuotas mensuales, vencidas e iguales. Adicionalmente se harán unos abonos de $2.000.000 cada 2 meses durante todo el plazo. ¿Cuál será el valor de la cuota con la cual se pagará el vehículo? Respuesta: $2.151.126 1/12

iapm = (1,20) – 1 = 0,0153094 1/6 iaps = (1,20) – 1 = 0,0308533

  (1, 0153094)36 − 1  (1, 0308533)18 − 1  $70.000.000 = A  + $ . . 2 000 000    36 18  (1, 0153094 ) 0, 0153094   (1, 0308533) 0, 0308533  $70.000.000 − $27.309.629 = A [27,5187042] $42.690.371 = A [27,5187042] A = $1.551.322

8.Unos equipos industriales se adquieren en la siguiente forma: Valor de los equipos: $100.000.000 Cuota inicial: 30% Tasa de interés: 26.8242% efectiva anual El resto se financió así: 24 cuotas mensuales, vencidas e iguales. Adicionalmente, se harán 2 pagos extras, uno por $10.000.000 al final del mes 5 y otro por $25.000.000 al principio del mes 13. ¿Cuál será el valor de las cuotas mensuales? Respuesta: $2.179.895 $70.000.000: Valor a financiar  1, 02 24 − 1  ( )  + $10.000.000 + $25.000.000 $70.000.000 = A  1, 02 24 0, 02  ) ( )  (1, 02 )5 (1, 02 )12 ( 474

Apéndice B

474

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

$70.000.000 − $9.057.308 − $19.712.329 = A (18,9139256) $41.230.363 = A (18,9139256) A = $2.179.895

9. Unos equipos tienen un precio de $50.000.000 de contado. Si se compran a crédito, el plazo será de 2 años, con pago de cuotas mensuales, vencidas e iguales y una cuota adicional de $10.000.000 al final del plazo. ¿Cuál será el valor de las cuotas mensuales? Asuma una tasa de interés del 36% anual nominal. Respuesta: $2.661.897 iap m =

0.36 = 0, 03 12

 1, 03 24 − 1  ( )  + $10.000.000 $50.000.000 = A 24  1, 03 0, 03  ) (1, 03)24 ( 

$50.000.000 − $4.919.337 = A [16,935542] $45.080.663 = A [16,935542] A = $2.661.897

10. Unos equipos de computación tienen un precio de $10.000.000 y se desea comprarlos mediante el sistema de leasing (contrato de arrendamiento con opción de compra). El plazo para esta operación es de 1 año (12 meses) y la tasa de interés es del 18% anual nominal. Si el valor de rescate (cuota global entregada al final del plazo) es igual a 5 veces el valor de una cualquiera de las cuotas de arrendamiento mensual ¿cuál será el valor de dichas cuotas? Respuesta: $662.715 y $3.313.575 iap m =

0.18 = 0, 015 12

 1, 015 12 − 1  ( ) 5A + $10.000.000 = A  1, 015 12 0, 015  1, 015 12 ) ) (  ( 5A $10.000.000 = A 10, 907505 + 1, 195618

[

]

$10.000.000 = 10, 907505A +

5A 1, 195618

13, 04120930 A + 5A 1, 195618 11.956.180 = 18,0412093A A = $662.715 Cuota global: ($662.715) (5)= $3.313.575 $10.000.000 =

475

Apéndice B

475

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

■ CAPÍTULO 5 1. Compré un vehículo financiado en la siguiente forma: Precio: $60.000.000 Tasa de interés: 13% efectivo anual Plazo: 4 años con pago de cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota se incrementa en $1.000 sobre la anterior. Calcular el valor de las cuotas 1, 10 y 48 Respuesta: $1.566.863, $1.575.863 y $1.683.863 1/12

iapm = (1,13)

– 1 = 0,01023684

  1.000 (1, 01023684)48 − 1 $60.000.000 = K  + 48  (1, 01023684) 0, 01023684  0, 01023684   48 (1, 01023684)48 − 1 −  48 48   (1, 01023684) 0, 01023684 (1, 01023684) 

K = $1.566.863 = A1 A10 = $1.566.863 + (10 – 1) 1.000 = $1.575.863 A48 = $1.566.863 + (48 – 1) 1.000 = $1.683.863

2. El Banco me financió el 70% del precio del apartamento en las siguientes condiciones: Plazo 15 años con pago de cuotas mensuales y vencidas. La primera cuota es de $800.000, cada cuota se incrementa en $2.000 sobre la anterior. Tasa de interés: IPC + 10 puntos. a. ¿Cuánto me prestó el Banco? b. ¿Cuánto costó el apartamento? Asuma un IPC de 7% efectivo anual Respuesta: a. $60.916.402 b. $87.023.431 ia = (1,07) (1,10) – 1 = 0,1770 1/12 iapm = (1,1770) – 1 = 0,0136733

a.   180 $2.000  (1, 0136733)180 − 1  (1, 0136733)180 − 1 P = $800.000  − +   180 180 180   (1, 0136733) 0, 0136733  0, 0136733  (1, 0136733) 0, 0136733 (1, 0136733)  $60.916.402 = valor del préstamo

b.

$60.916.402 = $87.023.431 = costo del apartamento 0, 70

3. Hace 5 años que compré un apartamento en las siguientes condiciones: Precio: $90.000.000 Tasa de interés: 18% efectivo anual Plazo: 10 años. Pago de cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota se incrementa en $1.500. 476

Apéndice B

476

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Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

a. ¿Cuál es hoy el saldo de la deuda? b. Si hoy deseo cambiar de plan por otro que sea de cuota estable, ¿cuál será el valor de la nueva cuota? Resolver este punto por dos métodos diferentes. Respuesta: a. $65.163.445 b. $1.607.786 1/12 iapm = (1,18) – 1 = 0,013888  (1, 013888)120 − 1  + $1.500  (1, 013888)120 − 1 − 120  P = $90.000 = K   1, 013888 120 0, 013888  0, 013888  1, 013888 120 0, 013888 1, 013888 120  ) ) ( )  (  (

K = $1.479.671

Cuotas pagadas: 5 × 12 = 60 Cuotas pendientes: 120 − 60 = 60

A61 = $1.479.671 + (61 − 1) 1.500 = $1.569.671

a.   (1, 013888)60 − 1  + $1.500  (1, 013888)60 − 1 − 60  P = $1.569.671  1, 013888 60 0, 013888  0, 013888  1, 013888 60 0, 013888 1, 013888 60  ( ) ( ) ( )     P = $65.163.445

b. Primer método  1, 013888 60 0, 013888  ( )  A = $65.163.445  60   1 013888 1 , − ( )   A = $1.607.786

Segundo método  (60)(0, 013888)  $1.500  1− 0, 013888  (1, 013888)60 − 1    A = $38.115 A total = $1.569.671 $38.115 = $1.607.786 A=

4. Los costos de mantenimiento de una obra civil de vida útil indefinida se estiman en $40.000.000 para el primer año, $41.000.000 para el segundo año, $42.000.000 para el tercer año y así sucesivamente. Para garantizar este mantenimiento se ha constituido un fondo en un Banco que reconoce el 20% efectivo anual. ¿Cuál será el valor del fondo? Respuesta: $225.000.000 P=

40.000.000 $1.000.000 + 0, 20 (0, 20)2

P = $200.000.000 + $25.000.000 P = $225.000.000 477

Apéndice B

477

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Matemáticas financieras

5. La cobertura del lecho de una quebrada requiere un mantenimiento de $20.000.000 para el primer año. Se estima que estos costos se incrementarán anualmente un 8%. Para garantizar este mantenimiento se ha constituido un fondo en un Banco que reconoce el 15% efectivo anual. ¿Cuál será el valor del fondo? Respuesta: $285.714.286 P=

$20.000.000 = $285.714.286 0, 15 − 0, 08

6. Se desea constituir un fondo que permita el retiro de $10.000.000 el primer año. Cada año se incrementarán los retiros en un 5% hasta completar 20 retiros. Si el Banco reconoce una tasa de 12% efectivo anual,¿cuál será el valor del fondo? Respuesta: $103.563.030   1, 05  20    − 1  P = $10.000.000  1, 12    0, 05 − 0, 12    P = $103.563.030

7. Resolver el problema anterior pero considerando que el incremento de los retiros anuales será del 12%. Respuesta: $178.571.429 P=

$10.000.000 × 20 = $178.571.429 1, 12

8. El mantenimiento de una represa requiere $20.000.000 anuales durante los primeros 5 años de ahí en adelante, esa cantidad se incrementará en un 6% anual. Con el fin de garantizar este mantenimiento, se ha pensado en constituir un fondo en un banco que reconoce el 13% efectivo anual. ¿Cuál será el valor de constitución del Fondo? Respuesta: $234.723.348 K = ($20.000.000) (1,06) = $21.200.000 P′1 =

$21.200.000 = $302.857.143 0, 13 − 0, 06

P`1 =

$302.857.143

(1, 13)5

= $164.378.723

 (1, 13)5 − 1  P2 = $20.000.000   = $70.344.625 5  (1, 13) 0, 13  Ptotal = $164.378.723 + $70.344.625 P = $234.723.348 478

Apéndice B

478

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

9. Un crédito de $30.000.000 se cancelará en 100 cuotas mensuales y vencidas. Cada cuota decrecerá en $1.000 respecto a la anterior. Si la tasa de financiación es del 19,5618% efectivo anual, ¿cuál será el valor de las cuotas 1 y 100? Respuesta: $618.647 y $519.647 1/12

iapm = (1,195618)

= 0,015

100  1, 015 100 − 1    ( ) 1.000  (1, 015) − 1 100    300.000.000 = K − −  1, 015 100 0, 015  0, 015  1, 015 100 0, 015 1, 015 100  ) ) ( )  (  (

K = Al = $618.647 A100 = $618.647 − (100 − 1) 1.000 = $519.647

10.Resolver el problema anterior pero considerando que cada cuota decrece en el 1% en relación con la anterior. Respuesta: $817.517 y $302.260 A=

$30.000.000(0, 01 + 0, 015)  1 − 0, 01 1−    1, 015 

100

A1 = $817.517 99 A100 = $817.517 (1 − 0,01) = $302.260

■ CAPÍTULO 6 1. Diseñar un algoritmo matemático que permita establecer el total pagado al final del plazo pactado para cancelar una obligación, la cual se amortiza mediante el sistema de gradiante aritmético y creciente. Respuesta:  n( n − 1)    2 

( A1 × n) + g 

A1 = A1 A2 = A1 + g A3 = A1 + 2g . . . An = A1 + (n – 1)g 479

Apéndice B

479

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Matemáticas financieras

Total pagado = A1 + A2 + A3 + ……. + An Total pagado = n (A1) + g + 2g + 3g + ……. + (n – 1)g Factorizando la serie de gradiente: Total pagado = g [1 + 2 + 3 + … + (n – 1)] Se tiene la suma de los términos de una serie aritmética creciente: S= S= S=

(U + a )n 2

[

]

g ( n − 1) + 1 ( n − 1) 2

[

]

g n ( n − 1) 2

Total pagado = ( n) ( A1 ) + g

[n(n − 1)] 2

2. Un crédito de $10.000.000 se cancelará en 5 cuotas mensuales y vencidas; cada cuota se incrementará en $200.000 sobre la anterior. La tasa de financiación es del 2% mensual. Calcular el total pagado y comprobarlo con la suma de las cuotas. Respuesta: $10.647.520 5  1, 02 5 − 1    ( ) 5  $20.000  (1, 02 ) − 1   $10.000.000 = K − +  1, 02 5 0, 02  ) ( )  0, 02  (1, 02 )5 (0, 02 ) (1, 02 )5  (

K = $1.729.504 A1 = $1.729.504 A2 = $1.929.504 A3 = $2.129.504 A4 = $2.329.504 A5 = $2.529.504 $10.647.520

total pagado

Total pagado = ($1.729.504) (5) + $200.000 Total pagado = $8.647.520 + $2.000.000 Total pagado = $10.647.520

 5(5 − 1)     2 

3. Una persona desea que, al morir, sus bienes sean vendidos y con dicho dinero se constituya un Fondo que garantice la entrega de un premio anual en forma indefinida. Este premio se debe incrementar anualmente en un 3% sobre el premio del año anterior. 480

Apéndice B

480

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Apéndice B • Problemas propuestos y resueltos

Si el valor de los bienes vendidos ascendió a $200.000.000 y la tasa de interés reconocida por el Banco es del 18% efectiva anual, ¿cuál será el valor del premio para el primer año y para el año 5? Respuesta: $30.000.000 y $33.765.264 k i− g K = P (i – g) K = $200.000.000 (0,18 - 0,03) K = $30.000.000 4 K5 = $30.000.000 (1,03) K5= $33.765.264 P=

4. Con los datos del problema anterior, elaborar una tabla en la cual se indique el valor de los premios anuales durante los primeros 5 años, lo mismo que el valor del Fondo al final de cada uno de dichos años. Respuesta: Año 1 $30.000.000 y $206.000.000 Año 2 $30.900.000 y $212.180.000 Año 3 $31.827.000 y $218.545.400 Año 4 $32.781.810 y $225.101.762 Año 5 $33.765.264 y $231.854.815 Año

0 1 2 3 4 5

Tasa interés

0,18 0,18 0,118 0,18 0,18

Valor interés

36.000.000 37.080.000 38.192.400 39.338.172 40.518.317

Total acumulado

236.000.000 243.080.000 250.372.400 257.883.572 265.620.079

Menos premio

Saldo siguiente

30.000.000 30.900.000 31.827.000 32.781.810 33.765.264

$200.000.000 $206.000.000 $212.180.000 $218.545.400 $225.101.762 $231.854.815

5. Los estudios de un proyecto determinaron que una vez puesto en marcha éste, requerirá de un mantenimiento anual cuyos costos son los siguientes: Durante los primeros 3 años, los costos serán de $60.000.000 anuales; de ahí en adelante se incrementarán en un 2% anual en forma indefinida. La TRM es del 24% y efectivo anual. Se estima que el proyecto se pondrá en marcha 4 años después de iniciada la obra. ¿Con qué capital se debe constituir un fondo al iniciar la obra, para que se garantice el mantenimiento a perpetuidad del proyecto? 481

Apéndice B

481

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

Respuesta: $111.995.374

 1, 24 3 − 1  ( )  = $118.878.185 P1 = $60.000.000  1, 24 3 0, 24  ) (  P2 =

$61.200.000 = $278.181.818 0, 24 − 0, 02

P3 =

$278.181.818

(1, 24 )3

= $145.902.820

Ptotal = $118.878.185 + $145.902.820 = $264.781.005

Este es el valor del fondo a la fecha de iniciarse la puesta en marcha del proyecto. P4 =

$264.781.005 = $111.995.374 (1, 24)4

Con este valor se debe constituir el fondo al iniciarse la ejecución del proyecto.

482

Apéndice B

482

1/20/06, 11:07 AM

Bibliografía ARBOLEDA, Benjamín, Ingeniería económica, segunda edición, 1987. GÓMEZ CEBALLOS, J. Alberto, Matemáticas financieras, segunda edición, 1983. TARKIN, Anthony J. y Blank Leland, T., Ingeniería económica, edición revisada, 1983. PORTUS, Lincolnyan, Matemáticas Financieras, cuarta edición, 1997.

483

Apéndice B

483

1/20/06, 11:07 AM

Apéndice B

484

1/20/06, 11:07 AM

Índice A

monetarios, 408 otros, 408 reales, 408 ADR, 406 Alternativa(s): con vidas útiles iguales, 265 con vidas útiles diferentes, 267 Amortización, 170-217 planes de, 129 para créditos de vivienda, 221-223 sistemas agregados de, 208-218 anualidad durante todo el tiempo y una cuota final, 209-211 anualidad vencida durante todo el tiempo y cuota decreciente linealmente y anticipada, 211-217 sistemas de, 170 sistemas integrados, 171 anualidad creciente geométricamente, 202-208 cuota fija durante todo el plazo y abonos extraordinarios periódicos fijos, 198201 sistemas simples, 171-208 cuota periódica creciente geométricamente, 195-197 cuota periódica creciente linealmente, 191-192, 182-187 cuota periódica decreciente geométricamente, 198 cuota periódica decreciente linealmente, 193-194 cuota periódica uniforme, 172-182

Abonos extraordinarios, 174 Acción, 405 Activos, financieros, 403 de rentabilidad agregada, 409 con descuento y devaluación, 409 con interés en dos tasas distintas, 409, 426 con interés y corrección monetaria e IPC, 409, 428 con interés y descuento, 409, 427-428 con interés y devaluación, 409 con interés y valorización, 409, 429 de rentabilidad fija, 408, 426 de rentabilidad simple, 409 con devaluación y descuento, 430 con valorización, 425 que devengan interés, 409 con liquidación de intereses al vencimiento o fecha de redención, 409 con liquidación de intereses en forma anticipada, 409 con liquidación de intereses en forma vencida, 409 que se negocian a descuento, 409, 422-425 con IPC, 409 con devaluación, 409 con valorización, 409 de rentabilidad variable, 408 485

Apéndice B

485

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

cuota única al final del periodo, 172 tabla de sistema UPAC y sistema UVR, 177 Análisis de alternativas mediante las tasas de rendimiento de la inversión inicial y de la inversión extra, 311-314 Anualidades, 85-113 anticipadas, 100-103 con cuota al final, 104 creciente geométricamente, 150 diferidas, 112-113, 132 indefinidas, 93-113 vencidas, 88-93

del punto de equilibrio, 291 con más de dos alternativas, 298 Canasta familiar, 63 Capitalización: anticipada, 50-55 continua, 95-103 vencida, 47-50 Certificado de reembolso tributario (CERT), 405, 422 Comisionista de bolsa, 405 Costo(s): anual uniforme equivalente, 269-274 capitalizado, 274-280 de capital, 141 Crédito: costo de, 344 Cuota igual anticipada, 100 Cuotas anticipadas: y periodo de pago mayor que el periodo de capitalización, 107-109 y periodo de pago menor que el periodo de capitalización, 105 Cuotas periódicas, 139 Cuotas vencidas, 109-112

B Base de la serie, 123 Beneficio(s): Costo, relación, 310 Neto (BN), 307- 310 diferencial, 307 Bienes, 63 Bolsa de valores, 405-407 operaciones, carrusel, 407 de renta fija, 405 de renta variable, 405 repo, 407 swaps, 407 Bonos, 375 clases, con sorteo emitidos a la par, 381-386 con sorteo emitidos bajo la par y con lote, 387-388 con sorteo emitidos bajo la par, 386-387 emitidos en serie, 388-395 precio de un, 377 sin sorteo emitidos a la par, 381 sin sorteo emitidos bajo la par, 379-381

D DANE, 63 Deducción de fórmulas, 47-59 Descuento, 21-28 comercial, 22-23 compuesto, 24, 25 y vencimientos, 18-42, 47, 53, 56, 57 Devaluación, 65, 70 cálculo de la, 19, 68 Diagramas económicos, 4-5 Dividendo, 406

E Ecuaciones de valor, 29-37 evaluación financiera y alternativas de inversión, métodos de, 289-330 beneficio neto, 307 beneficio neto diferencial, 307

C Cálculo(s): de la TIR después de impuestos, 356 del CAVE, 357-360 486

Apéndice B

486

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Índice

M

costo anual uniforme equivalente (CAUE), 290 punto de equilibrio, 291

Mercado: firme, 407 negro, 407 ofrecido, 407 primario, 406 secundario, 406

F Flujo de caja, 123 Fondo de amortización de salvamento, 269-270

P

G

Periodo de capitalización, 8 Precio: de compra, 417-422 de registro, 416 Premio de reembolso, 377 Prime Rate, 67 Principio de equivalencia, 19-42 Problema del reemplazo, 303-306

Gradiente, 121, 124 anualidad del, 128 aritmético o lineal, 123 diferido, 132 escalonado, 139, 140 infinito, 134, 141 base del, 140 geométrico, 141, 142 Geller, Wolfang, 63

R I

Recuperación del capital más intereses, 271-273 Rentabilidad: en moneda corriente, 60 neta, 60 real, 60 en moneda extranjera, 60 Rentas asincrónicas, 105-107

Indeterminación matemática (límite especial), 94 Inflación, 63-66 causas, 64 efectos, 65 Interés, 3-18 compuesto, 8-11 diferencia con interés simple, 12-15 simple, 6-8 diferencia con interés compuesto, 12-15

S Saldo de la deuda con cuota periódica uniforme, 174-176 Series: decreciente, 126 uniforme, 126 Sistemas UPAC y UVR, 218-220 comparación entre los, 220-222 Sistema de valor constante, 218-239

L L’Hôpital, teorema de, 135 Libor, 68 Liquidación de intereses sobre saldos mínimos, 105-113 liquidez: primaria, 406 secundaria, 407

487

Apéndice B

487

1/20/06, 11:07 AM

Matemáticas financieras

T

V

Tasa(s): de actualización social, 307 de cambio y de valuaciones cruzadas, 72-76 de cesión, 412-416 de interés, 45-76, 147, 378 aplicaciones de las, 60-67 cálculo de las, 56-59 efectiva, 45 nominal, 45 otras, 67 realmente cobrada en un crédito, 225238 de registro, 411 de rendimiento mínima, 261 de retorno, 335-373, 378 efectiva, 45 anual, 48 cálculo de, conocida otra tasa efectiva periódica, 45, 53 interna de retorno (TIR), 337-350 vs valor presente neto, 351-360 nominal anual, 48, 49, 52 para el comprador, 411

Valor: de la serie de un gradiente, 124 del lote, 377 efectivo, 21 futuro, 124, 132 de una suma presente, 9 nominal, 21, 377 presente: en el punto cero, 124 de la serie, 127 de salvamento, 270 de una suma futura, 10 neto, 378 Vencimiento, 25-28 común, 26-28 medio, 25-26

488

Apéndice B

488

1/20/06, 11:07 AM