Matemáticas Védicas

MATEMÁTICAS VÉDICAS

Es el único sistema de cálculo matemático que activa los 2 hemisferios del cerebro, aunque solo fuera por este motivo debería ser el que se impartiera de forma generalizada en todo el mundo. Permite una velocidad de cálculo un 1700 % más rápido que el sistema de las matemáticas clásicas, una diferencia absolutamente abismal.

Es más rápido y eficiente que otros sistemas como de cálculo como pueden ser el sistema del ábaco y el sistema Kumon. Para aprender de forma un poco competente el método matemático del ábaco es necesario un tiempo de aprendizaje básico de unos 2 años. El sistema Kumon se basa en la repetición de los ejercicios, a través de fichas, hasta que el alumno es capaz de pasar al siguiente nivel. Es un sistema ampliamente extendido por todo el mundo. Vediamone alcuni esempi, secondo l’interpretazione data da Sankaracharya. Ekadhikena Purvena, il primo Sutra “matematico”, recita: “Uno in più del precedente”. Vediamo come applicare questo Sutra, secondo l’interpretazione di Shankaracharya, al calcolo del quadrato dei numeri che terminano con un 5 e al quadrato quindi con 25. Calcoliamo, ad esempio, il quadrato di 35. Il 3 precede il 5 e quindi i due numeri da moltiplicare fra loro, in questo caso, sono 3, “il precedente” e “uno in più del precedente”, 3 + 1 = 4. Abbiamo 3 x (3+1); 25 => 3 x 4; 25 => 12;25 => 1225

Allo stesso modo, abbiamo: 452 => 4 x (4 + 1); 25 => 2025. 652=> 6 x (6 + 1); 25 => 4225; 1052=> 10 x (10 + 1); 25 => 11025; 1352=> 13 x (13 + 1); 25 => 18225. Vediamo un secondo esempio, sulla moltiplicazione di due numeri aventi la stessa cifra decimale e tali che la somma delle cifre delle unità sia uguale a 10. 43 x 47 = 2021 Entrambi hanno la stessa cifra delle decine, 4 e la somma delle unità è uguale a 10. Anche in questo caso si moltiplica la cifra delle decine per la stessa più 1 e le cifre delle unità fra loro, riportando poi il risultato secondo lo schema seguente:

Nella moltiplicazione sono sempre necessarie due cifre nella parte finale del numero. Ad esempio con 81 x 89 = 7209 non scriviamo 9, ma scriviamo 09.

Nikhilam è il secondo Sutra, che afferma: “Tutti dal 9 e l’ultimo dal 10”. Applichiamolo alla sottrazione da 1000, sempre con il procedimento studiato da Shankaracharya. E’ simile alla tecnica usata nelle nostre scuole. Calcoliamo 1.000 – 357. Si sottraggono da 9 le cifre 3 e 5, 9 – 3 = 6, 9 – 5 = 4, e l’ultima, 7, dal 10, 10 – 7 = 3. Il risultato è quindi 643. In schema:

Come secondo esempio vediamo l’applicazione alla moltiplicazione. Ad esempio 7 x 8. Scriviamo in colonna i due numeri con, a fianco, la loro differenza dal 10: 7 – 10 = -3 e 8 – 10 = -2.

7

-3

8

-2

Il prodotto viene calcolato in due parti che separiamo fra loro con una barra.

La cifra delle unità è il prodotto delle due differenze dal 10: (-3) x (-2) = 6. La cifra delle decine corrisponde invece alla somma fra il primo numero 7 e la differenza dal 10 del secondo numero. In questo caso: 7 + (-2) = 5. Oppure è la stessa cosa fare la somma fra il secondo numero e la differenza dal 10 del primo: 8 + (-3) = 5. Il risultato è quindi 56. Ci sono ancora altri metodi per calcolare moltiplicazioni simili o con più cifre.

Vediamo un esempio relativo al terzo Sutra, Paravartya – Yojayet cioè Sposta, inverti e applica. Applichiamolo al prodotto di due numeri. Ad esempio, 14 x 12. Il metodo ricorda quello usato anche in occidente dai calcolatori mentali. In pratica le unità dei due fattori vengono moltiplicate fra loro, 4 x 2 = 8, e quest’ultimo numero sarà la prima cifra, a destra, della risposta. Successivamente si moltiplicano tra loro in diagonale le cifre dei due numeri. L’unità del primo numero e le decine del secondo numero: 4 x 1 = 4. Moltiplichiamo poi le decine del primo numero con le unità del secondo, 1 x 2 = 2 e sommiamo i due risultati: 4 + 2 = 6. Quest’ultima sarà la seconda cifra, a sinistra, del risultato. Moltiplichiamo ancora le decine del primo numero per le decine del secondo: 1 x 1 = 1 e questa sarà la terza cifra del risultato: 168. Lo schema del procedimento è sintetizzato in figura.

Una regola simile si può applicare all’addizione o alla sottrazione delle frazioni. Ad esempio, calcoliamo

In figura sono indicate le moltiplicazioni da eseguire. Il risultato naturalmente, quando è possibile, dovrà essere semplificato.

Il sesto Sutra, Anurupye Shunyamanyat afferma: “Se uno è in rapporto, l’altro è zero”. Questo Sutra viene applicato per risolvere sistemi di equazioni con grandi numeri. Ma alcuni casi più semplici ci consentono di capire come si può applicare. Ad esempio:

In questo caso il rapporto dei coefficienti di y è identico a quello dei termini noti. Quindi “l’altro” è zero, cioè x = 0. Quindi la soluzione del sistema è x = 0 e y = 8/7. Il settimo Sutra, Sankalana – Vyavakalanabhyam, afferma: “Per addizione e per sottrazione”, Vediamo l’applicazione di questo Sutra a un caso molto semplice, con i coefficienti di x e di y identici, ma scambiati fra loro. Ad esempio:

Secondo il metodo in uso nelle nostre scuole dovremmo moltiplicare la prima equazione per 45 e la seconda per 23, sottrarre poi i termini della seconda dalla prima per ottenere il valore di y. Sostituiamo poi il valore ottenuto in una delle due equazioni per ottenere alla fine il valore di x. Un procedimento decisamente macchinoso. Vediamo invece come si procede seguendo le indicazioni del Sutra, nell’interpretazione di Shankaracharya. Sommiamo le due equazioni: ( 45x – 23y ) + ( 23x – 45y ) = 113 + 91 68x – 68y = 204

x–y=3 Sottraiamo un’equazione dall’altra: ( 45x – 23y ) – ( 23x – 45y ) = 113 – 91 22x + 22y = 22 x + y = 1 Se ripetiamo ancora una volta lo stesso Sutra otteniamo: x = 2 e y = -1 Vediamo ancora, per curiosità, come si può eseguire, secondo la Matematica Vedica, la moltiplicazione per 11 o per 12. Moltiplicazione di un numero per 11. Per moltiplicare un numero di due cifre per 11 è sufficiente inserire la somma delle sue cifre fra quelle del primo fattore. Ad esempio, 35 x 11 => 3 (3 + 5) 5 => 385 77 x 11 => 7 (7 + 7) 7 => (7 + 1) 4 7 => 847 In questo secondo esempio c’è il riporto di un centinaio. 234 x 11 => 2 (2 + 3) (3 + 4) 4 = 2574 In questo caso si collocano i numeri 2 e 4 agli estremi e si sommano le coppie 2 + 3 = 5 e 3 + 4 = 7 Moltiplicazione di un numero per 12. Ad esempio, 17 x 12. Moltiplichiamo 17 per l’1 del 12, che è una decina. Moltiplichiamo quindi per 10. 10 x 17 = 170 Moltiplichiamo ancora 17 x 2 = 34

Sommiamo 34 + 170 = 204 e questo è il risultato.

Védica Matemáticas ha sido ampliamente conocida y adaptada como un sistema más rápido cálculo que da resultados precisos en una fracción de segundo. Los trucos y fórmulas utilizadas para calcular problemas matemáticos complejos mediante la adopción de enfoques de matemáticas védicas son fáciles de entender y conveniente, ya que ahorra tiempo a través de la aplicación de los métodos de corta y precisa, reduce el trabajo de cero y esfuerzos adicionales. Pero, ¿cómo funcionan estas técnicas? Destaquemos algunos trucos de matemáticas védicas que se pueden utilizar mientras se resuelven las sumas numéricas. Aquí va: a) Ejemplo: Calcular el cuadrado de un número al azar “65” Fórmula (Sutra) 1-Uno más que el anterior Paso 1: Multiplique 6 con 7 (6 tiene que ser multiplicado por el número 1, que es más que él mismo, es decir 7). El resultado obtenido de la multiplicación es 42. Esto se convierte en la primera parte de la respuesta para derivar el cuadrado de 65. Paso 2: Ahora Cuadre el número 5 (segunda mitad de 65) es decir, 5X5 = 25. Esto se convierte en la última parte de la respuesta para encontrar la plaza. Paso 3: La respuesta final derivado es 4225. b) Ejemplo: Resuelve 12 X 21 Fórmula (Sutra) 2-verticalmente y cruzar sabio Paso 1: Multiplica los dígitos en el lugar de las unidades de primera, es decir, 2 x 1 = 2. Esto nos da la última parte de la respuesta. Paso 2: Ahora, cruz multiplicar los dígitos de las unidades y las decenas y sumarlos es decir, (1 x 1) + (2 x 2). La respuesta que obtenemos es 5. Esto se convierte en la parte media de la respuesta. Paso 3:

Por último, se multiplican los dígitos de las decenas es decir, 1 x 2. A continuación, obtener 2, lo que hace que la primera parte de la respuesta. Paso 4: La respuesta que obtenemos es 252. c) Ejemplo: Resolver la ecuación 5x + 4y = 6 27x + 24 y = 36 Fórmula (Sutra) 3-Si uno está en relación, el otro es cero Paso 1: En las ecuaciones anteriores, se dará cuenta de que la relación de los coeficientes de y es igual a la de los términos constantes es decir, los coeficientes de y es 4: 24 = 1: 6, que es la misma proporción que la de los términos constantes 6: 36 es decir, 1 : 6. Paso 2: Por lo tanto, ponemos X = 0 en cualquiera de la ecuación dada anteriormente y puede calcular el valor de y mentalmente. Paso 3: Cuando calculamos la primera ecuación, obtenemos el valor de y = 6/4 Para aprender y practicar más este tipo de trucos de matemáticas védicas útiles, únete Master Mind, donde obtendrá el apoyo de clase mundial de entrenadores para aprender las fórmulas matemáticas y técnicas matemáticas velocidad.

Los atajos aritméticos y la multiplicación acortada Pasando los canales de cable, veo este inusual infomercial sobre un producto para "agilizar la mente" de los estudiantes de primaria en las matemáticas, presentando, en varias viñetas al inventor, preguntándole a los estudiantes que contestaran cuadrados perfectos, y conversiones de fracciones a decimales, hasta seis lugares; con los niños recitándolas en segundos. También salían los testimonios, donde presentaban los métodos, en su mayoría de multiplicación: como hallar el cuadrado de todo número que terminase en 5, multiplicar dos números noventipico, y cosas por el estilo. Poco a poco me percaté que éstos métodos son solamente atajos aritméticos (todos bajo un término

llamado matemáticas védicas), los cuales, en mi opinión, ayudan a que el estudiante aumente su autoestima, elimine sus ansiedades, y tenga una actitud positiva hacia las matemáticas, para que puedan tener un mejor desempeño. En ese punto le veo un propósito al producto. El problema principal es que cae en memorización de casos específicos de multiplicación, en una ruta que pronto se encontrará con variables y ecuaciones. Eso sí, no todo tema en las matemáticas védicas son solamente para casos específicos. Una de las más conocidas es la de los verticales y cruzados, donde no necesitas escribir los productos parciales de la multiplicación, ya que los estás haciendo mentalmente. Es como la división corta, donde abrevias las restas y escribes el residuo entre los dígitos del dividendo. La multiplicación abreviada (o acortada) es un método que elimina el escribir los productos parciales, donde se trabaja a los dos factores como una matriz 2 × n, donde n es la cantidad de dígitos mayor entre ambos factores; moviéndose de derecha a izquierda, columna a columna. Es recomendable usarla cuando ambos factores tienen 2 dígitos o más. Ejemplo: En la multiplicación de dos números con dos dígitos, tenemos la columna de las decenas y la de las unidades, por tanto: 

las unidades del producto se saca multiplicando verticalmente la columna de las unidades de los factores, reagrupando de ser necesario.



las decenas del producto es el total de los productos cruzados de las columnas y, de haberlo, el número reagrupado.



las centenas del producto es la multiplicación vertical de la columna de las decenas de los factores

Aquí un caso:

Notarán que el orden en el que se multiplican y se suman los números son idénticos, la única diferencia siendo el método hacia la solución. La cosa cambia cuando son de tres o más dígitos, donde el algoritmo clásico se descarta y tienes que pensar diferente: 

De derecha a izquierda, trabajas las columnas 2 × n: Supongamos que la columna más a la izquierda es llamada Columna 1, la siguiente Columna 2 y así sucesivamente hasta llegar a la Columna N; y R, el dígito reagrupado. Entonces, el producto tendrá: o Unidades: Columna N: verticalmente, o Decenas: [Columna N y Columna (N - 1)], total de productos cruzados + R, o Centenas: [Columna N y Columna (N - 2)], cruzados + Columna (N - 1), vertical + R, o Millares: [Columna N y Columna (N - 3)], cruzados + [Columna (N - 1) y Columna (N - 2)], cruzados + R,

Hasta que se utilizan todas la columnas para hallar el próximo dígito: 

Si n es impar: todos cruzados excepto la Columna (N/2): [Columna 1 y Columna N] + [Columna 2 y Columna (N - 1)] + ... + [Columna (N/2 - 2) y Columna (N/2 + 2)] + [Columna (N/2 - 1) y Columna (N/2 + 1)] + Columna (N/2), vertical + R,



Si n es par: todos cruzados: [Columna 1 y Columna N] + [Columna 2 y Columna (N - 1)] + ... + [Columna (N/2 - 1) y Columna (N/2 + 2)] + [Columna (N/2 ) y Columna (N/2 + 1)] + R,

Luego de ésto, la cantidad de columnas utilizadas se disminuye, hasta que solamente tengas que multiplicar verticalmente la Columna 1. Creo que es más facil exponer un ejemplo de dos números, uno de dos dígitos y otro de tres:

En fin, el método acortado de multiplicación requiere pleno poder de las aritméticas mentales. Advierto que este tema es uno puramente recreativo y que si vas a hacer cómputos artiméticos, mejor hacerlos de la manera larga y clásica. Hay quien dice que no es más que una moda, como el cubo de Rubik o el Sudoku, y que su interés es pasajero; otros dicen que es el juego perfecto para impresionar a los amigos y tal llegar a interesarse por las matemáticas; finalmente, hay quien asegura que es una muestra más de la sabiduría que contienen los vedas, los antiguos textos sagrados hindúes. Las matemáticas védicas son un conjunto de dieciséis fórmulas (o 'sutras') que pueden ser memorizadas fácilmente y que facilitan el cálculo rápido de cualquier operación con números. En los últimos años, su popularidad se ha disparado entre los estudiantes indios, que ven en ellas una valiosa ayuda para superar exámenes y entrenar la mente. Algunas academias, como Magic Methods, de Delhi, imparten cursos de matemáticas védicas en ochenta centros de todo el mundo y han hecho de este 'yoga mental' un jugoso negocio de millones de euros. Pero, ¿cómo funcionan estas fórmulas? Un ejemplo. El segundo 'sutra', o aforismo, dice: 'Nueve menos todos y el último menos diez', y ayuda a hacer restas de números como 10, 100, 1.000, 10.000, etc. ¿Cómo? Restándole 9 a cada cifra y diez a la última. Así, 10.000 menos 1.049 es igual a 8.951 (9 menos 1 es 8; 9 menos 9 es 0; 9 menos 4 es 5; 10 menos 9 es 1). Con algunos circos indios viajan a veces 'memoriones' o 'superhéroes del cálculo' que exhiben su capacidad de resolver en unos segundos cualquier operación matemática sugerida por el público. "Son simplemente personas familiarizadas con las matemáticas védicas". Cualquiera puede aprender las dieciséis reglas en un mes y dejar de sentirse intimidado por las matemáticas. Sin embargo, como apunta el profesor Umesh Reddy, profesor de matemáticas en una universidad privada, "en las matemáticas modernas emplean más letras que números, pues la mayoría de las

fórmulas mínimamente complicadas incluyen las letras griegas que designan a funciones o se refieren a conceptos abstractos. No se trata sólo de números". Bharati Krishna Thirtaji, un estudioso indio nacido en 1884 que a los veinte años ya había terminado varias carreras, presentó en 1919 las dieciséis reglas matemáticas que según él había "rescatado" de los antiguos textos sagrados indios, los vedas. Thirtaji emprendió una gira por toda la India, el Reino Unido y Estados Unidos para divulgar su descubrimiento, y llegó a escribir un extenso tratado que dedicaba un volumen a cada 'sutra'. Sin embargo, el manuscrito de aquella obra se perdió antes de que fuese publicado, y Thirtaji falleció en 1960 sin poder reescribirlo. Actualmente, la fiebre por este nuevo "entrenamiento para el cerebro" está pegando fuerte en la India, y el hecho de que esté basado en la más antigua tradición hindú lo hace aún más atractivo. Desde vídeos en Youtube, donde voces con el inconfundible acento indio explican con ejemplos prácticos los dieciséis 'sutras' y cientos de libros, el negocio de las matemáticas védicas, pasando por multitud de páginas web que permiten autoevaluarse, las oportunidades de conocer estas matemáticas a la india son innumerables. Quienes las enseñan no dudan en afirmar: "Es la mayor contribución india a la ciencia desde que inventamos el número cero". La matemática védica de Bhárati Krishná Tirthá es un sistema de cálculo mental desarrollado por Shri Bhárati Krishná Tirtháji a mediados del siglo XX quien dijo haberse basado en el Átharva Vedá, un antiguo texto de los Vedás. Tiene algunas similitudes con el método Trachtenberg, asimismo tiene aplicaciones para matemáticas avanzadas, tales como el cálculo o el álgebra lineal. El sistema se publicó primeramente en el libro Matemáticas védicas en 1965. Desde entonces ha sido ampliado, y se han editado otros libros al respecto. 1.- Aplicando el método de «Todo de nueve y el último de diez», se puede resolver con una relativa facilidad una operación aritmética de resta: 10.000 − 4.856 − − > 9 − 4 / 9 − 8 / 9 − 5 / 10 − 6 = 5.144 2.- Para cuadrar un número, o sea, para elevarlo a la segunda potencia multiplicándolo una vez por sí mismo, se puede seguir la regla «Uno más que el predecesor»: 125x125 = ((12x12) + 12),25 = 15.625 Esto no funciona siempre, ya que por ejemplo: 126x126 = ((12x12) + 12),26 = 15.626 cuando el verdadero resultado es 15.876 3.- Multiplicación Dos números con dos dígitos, cuyo primer número es idéntico y en cuyo último número se añade 10 con otro resultado, puede ser fácilmente multiplicado: 43x47 − − > 4x5y3x7 = 20y21 = 2021 Asimismo, los números de dos dígitos arbitrarios se pueden multiplicar por la regla “vertical y en cruz”: 23x18

23 18 ===== 2 19 24 Unidades: (24 = 8 x 3) Se pone un cuatro y se guarda el dos para las decenas. Decenas: (19 = 2 x 8 + 3 x 1) Se pone un 1 (19+2=21) y se guarda el dos para las centenas. Centenas: (2 = 2 x 1) Se pone un 4 (2+2). Resultado: 414 Críticas Los críticos afirman además que la rapidez en el cálculo aritmético de este método se puede llevar a cabo mediante un ordenador o una calculadora, lo que lo convierte en irrelevante para el mundo moderno Calcular el cuadrado de un número con el método de Yavadunam Publicado por ^DiAmOnD^ el 9 de agosto de 2011 en Aprenda como, Números enteros | 2 comentarios El método que utilizamos para calcular el cuadrado de un número natural es multiplicar dicho número por sí mismo, esto es, la propia definición de cuadrado. Esto es bien sencillo y corto de calcular con números pequeños, pero puede resultar largo y tedioso conforme el número va creciendo. Hoy os voy a hablar de un método para el cálculo del cuadrado de un número natural proveniente de las matemáticas védicas: el método Yavadunam. Partimos del número 10 y todas sus potencias, que serán nuestras bases. Es conveniente dividir el método Yavadunam en dos casos: calcular el cuadrado de números naturales cercanos a 10 o a alguna potencia de 10 y calcular el cuadrado de números naturales que no cumplan esa condición. ¿Qué significa cercano en este caso? Pues yo entiendo que, en esta situación, un número natural es cercano a una de las bases, , cuando el cálculo del cuadrado de es esencialmente más sencillo que el cálculo del cuadrado de . Por ejemplo, 14 es cercano a 10, ya que calcular el cuadrado de 14-10=4 es mucho más sencillo de calcular que el cuadrado de 14. Lo mismo ocurre con 98 respecto a la base 100. Sin embargo, 37 no es un número cercano a 10, ya que calcular el cuadrado de 37-10=27 tiene básicamente la misma dificultad que calcular el cuadrado del propio 37. Pasa lo mismo, por poner otro ejemplo, con 452 respecto de la base 100. Cuidado, el método en sí es el que vamos a ver en primer lugar, el de los números cercanos a una base, pero también funciona para los lejanos. Con esta separación no estamos diciendo que el método no funcione en el segundo caso, simplemente que es mucho más complicado usarlo en ese caso, por lo que es conveniente una modificación. Bien, dicho esto expliquemos cómo actuar en cada uno de los casos.

Método Yavadunam para números cercanos a las bases

Supongamos que tenemos un número natural cercano a una base . Nuestro objetivo es calcular . Vamos a calcular ahora dos números, que llamaremos parte izquierda, , y parte derecha, ,. El resultado de será el número formado por la concatenación de y . Calculamos primero la desviación,

Y ahora calculamos

y

, de

respecto de restando estos dos números. Es decir:

así:

Del valor de nos debemos quedar exactamente con tantos dígitos como ceros tenga la base . Si tiene más dígitos que ceros tiene , entonces los que nos sobran los sumaremos a , y si tiene menos completamos con ceros. , si

tiene tantos dígitos como ceros tiene (o menos), y , si tiene más dígitos que el número de ceros de

Entonces se tiene que

entendiéndose esta expresión como concatenación de los dos resultados obtenidos para

y

.

Vamos a ver un par de ejemplos: Cálculo de Tenemos que desviación:

es un número cercano a

Ahora calculamos

, por lo que ésta será nuestra base. Calculamos la

:

Como debe tener tantos dígitos como ceros tiene la base, que es 100 en este caso, en este caso tenemos que . Calculemos ahora :

Por tanto, este método nos dice que Cálculo de

, que es el resultado real.

En este caso,

es también cercano a

Calculamos ahora

, que por ello será nuestra base. Calculamos la desviación:

:

Para calcular podíamos haber usado el mismo método con como base. Como tiene dos ceros, nos quedamos con y dejamos el inicial, que es el exceso, para el cálculo de , que queda así:

El método asegura entonces que

, que es lo que ocurre en realidad.

Podéis probar con otros números más grandes y veréis como siempre obtenemos el resultado verdadero.

Método Yavadunam modificado para números lejanos a las bases Hemos visto que este método es muy interesante y efectivo para números naturales cercanos a alguna base. Pero, ¿qué ocurre con los que están lejos? Pues que el método también funciona, pero en realidad no es demasiado efectivo ya que nos obligaría a calcular en el desarrollo a calcular el cuadrado de un número que entraña más o menos la misma dificultad que calcular el cuadrado del número inicial directamente. Por tanto el método tal cual lo hemos descrito no conviene en estos casos. Pero se puede hacer una modificación del método para ajustarlo a estos números. Partimos de un número natural (lejano a las bases anteriores) del que queremos calcular su cuadrado. Tomamos como la mayor base de las anteriores (potencias de ) que sea menor que y elegimos como subbase, el múltiplo de más cercano a . Por ejemplo, si , tomaremos y . Con estos dos valores calcularemos un nuevo parámetro, que denominamos ratio, , que es el cociente entre y . A partir de aquí las operaciones son análogas al caso anterior, cambiando únicamente que ahora hace el papel que antes hacía y que para calcular habrá que multiplicar la suma por . Vamos a ver otros dos ejemplos: Cálculo de Nuestro está claramente lejos de cualquier potencia de , por lo que tenemos que usar la modificación del método. Tomamos y . Entonces:

Calculamos la desviación, para lo que, como hemos dicho, usamos

Calculamos ahora

:

como siempre:

Para calcular podíamos haber utilizado el mismo método que estamos usando ahora. Como la subbase tiene dos ceros, nos quedamos con y dejamos como exceso el para el cálculo de , en el que entra también el ratio:

Con todo esto obtenemos que

, como realmente ocurre.

Cálculo de Nuestro vuelve a estar lejos de cualquier potencia de método modificado también en este caso. Tomamos y y que . Entonces:

, por lo que conviene utilizar el . Tenemos entonces que

cálculo que podíamos haber hecho con este mismo método. Como la subbase tiene tres ceros, nos quedamos con y el lo dejamos para :

Obtenemos entonces que

, resultado que, como podéis comprobar, es cierto.

Mejora del método modificado usando el sentido común Echando un vistazo al último ejemplo podemos ver que a veces en el método necesitamos elevar al cuadrado un número que podría considerarse muy grande, teniendo en cuenta el número inicial. En ese caso hemos tenido que calcular , cuando la pregunta inicial involucraba a un número con solamente una cifra más que éste. Aunque esto es una rebaja importante, podríamos pedir una aún mayor. Bien, pues aquí va a entrar en juego el sentido común. ¿Qué quiero decir con sentido común? Voy a utilizar como ejemplo éste que comentamos. En vez de utilizar como subbase, ¿no habría sido mejor usar ? Así solamente tendríamos que haber calculado el cuadrado de , mucho más corto y sencillo que el de . Bien, esto se puede hacer, pero entonces tenemos que cambiar también la base. Ahora no nos servirá como base, sino (porque tiene dos ceros). Por tanto el ratio será , en el cálculo de solamente nos quedaremos con sus dos últimos dígitos…Vamos a realizar todos los cálculos:



Subbase:



Base:



Ratio:



Desviación:



Parte derecha:



Parte izquierda:

llegando entonces a que

, como habíamos visto antes.

¿Cómo saber qué subbase tomar? Pues…con sentido común. Debemos elegir una subbase con la que el cuadrado que tenemos que calcular sea de un número relativamente pequeño, pero que a la vez nos deje un producto no muy largo en el cálculo de . Será decisión vuestra en cada caso Para multiplicar números de dos dígitos de la forma normal hay que multiplicar las unidades por una parte y luego las decenas, pero hay otra forma. La matemática védica te puede ayudar a resolver fácilmente lo que podría ser un problema difícil. Hay dieciséis "dichos" distintos en la matemática védica, pero aquí hay sólo uno: "Verticalmente y Horizontalmente."

Método 1 de 3: Multiplica números que no están cerca de cien

1. 1 Anota tu problema. Anota los números uno arriba del otro, como lo harías al multiplicar normalmente.

2. 2 Multiplica. Multiplica los dígitos de las unidades y coloca el producto directamente debajo de ellos.

3. 3 Multiplica cruzado. Multiplica cruzado como lo harías con fracciones, tomando el dígito de las decenas de arriba y multiplicándolo por el dígito de las unidades de abajo. Luego toma el dígito de las decenas de arriba y multiplícalo por las decenas de abajo.

4. 4 Suma los productos de los pasos anteriores. Suma los dos productos y coloca la respuesta a la izquierda del resultado de las unidades.

5. 5 Multiplica otra vez. Multiplica los dígitos de las decenas y coloca el producto a la izquierda del resultado del paso anterior.

Método 2 de 3: Números que no están cerca de cien en el que los productos son 10 o más

1. 1 Anota el problema como lo hiciste en el método anterior.

2. 2 Multiplica los dígitos de las unidades y coloca el producto debajo del problema, como se muestra. En este caso 6*4 es mayor que 10 (24).

3. 3 Multiplica cruzado. Igual que arriba, multiplica las unidades con las decenas opuestas y suma los resultados. En este caso, (2*4) * (6*1) = 14. Anota 14 debajo de 24, un espacio a la izquierda (al final de la columna de las decenas).

4. 4 Multiplica las decenas. Multiplica las decenas. 2*1 = 2. Coloca este producto otro espacio a la izquierda, en la columna de cientos, como se muestra.

5. 5

Suma los productos. Suma las tres filas como lo harías con el método normal de multiplicación. La suma de las tres columnas es igual a 364, nuestra respuesta.

Método 3 de 3: Números cercanos a cien

1. 1 Anota tu problema. Anota los números uno arriba del otro, como lo harías al multiplicar normalmente.

2. 2 A cien, réstale los dos números. Resta ambos números y coloca la diferencia al lado de los números que restaste.

3. 3

Multiplica.' Multiplica las dos diferencias que obtuviste en el paso anterior y coloca el producto en los dos primeros lugares (unidades y decenas).

4. 4 Resta. Resta uno de los dos factores por la respuesta del número opuesto en el paso dos.

5. 5 Obtén la respuesta. Coloca la respuesta del paso cuatro a la izquierda del número que obtuviste en el paso 3.