Matematicas Tomo III Geometría

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TOMO III

Geometría Contenidos y ejercicios de preparación PSU

Mauricio Andrés Chiong C. Ingeniero Civil Industrial (e) Pontificia Universidad Católica de Chile CEO Grupo Educativo Sinapsis

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COORDINACIÓN DE CONTENIDOS Y EDICIÓN GENERAL Nicolás Pinto P. Lic. en Ciencias. Mención Matemáticas. Universidad de Chile. Ariel Reyes F. Lic. en Ciencias Exactas. Universidad de Chile.

DISEÑO Y DIAGRAMACIÓN Nicole Castro B.

Distribución gratuita, prohibida su venta.

Lic. en Artes Visuales. Diseñadora (e)

© Todos los derechos reservados.

Pontificia Universidad Católica de Chile.

4

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TOMO IIIGEOMETRÍA

PREFACIO Este libro fue confeccionado por Mauricio Chiong Ingeniero Civil Industrial(c) de la Pontificia Universidad Católica de Chile, fundador de la empresa Sacateun y Director del Preuniversitario Gauss. En éste se plasma el conocimiento adquirido en arduos años de estudio, desde mi formación escolar en el Instituto Nacional, donde tengo gratos recuerdos de grandes profesores y maestros como Luis Arancibia y Belfor Aguayo, que hicieron que la motivación por la matemática se tradujera en el amor por enseñarla, hasta mi formación profesional, donde la Universidad traspasó su espíritu de excelencia académica y de compromiso social. Espero que este libro sirva de apoyo para lograr un alto puntaje, entrar a la carrera que quieren, y cumplir sus sueños Santiago,

Mauricio Chiong

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ÍNDICE GENERAL

Prefacio

5

1. Elementos básicos Ángulos

8 9

Ángulos entre paralelas Triángulos: Elementos y clasificación Teorema de Pitágoras Elementos secundarios del triángulo

9 11 11 14

Ejercicios

16

2. Congruencia y Semejanza Semejanza Congruencia

28 29 30

Teorema de Thales y Euclides Ejercicios

30 33

3. Homotecia Homotecia

45 46

Ejercicios

49

4. Circunferencia Elementos básicos de la circunferencia Propiedades de la circunferencia y sus elementos Ángulos en la circunferencia Radianes, grados y gradianes Segmentos proporcionales en la circunferencia

62 65 69 69

Ejercicios

72

5. Polígonos

84

Polígonos

85 Cuadriláteros y su clasificación

Diagonales

87 88

Ángulos interiores y exteriores Área y perímetro de polígonos Área y perímetro de la circunferencia Ejercicios

6

60 61

88 90 93 94

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TOMO IIIGEOMETRÍA

6. Transformaciones Isométricas Definiciones Composición de isometrías

104 105 107

Ejercicios

108

7. Geometría del Espacio Vectores, rectas y planos Cuerpos geométricos Volumenes

120 121 122 125

Ejercicios

5. Apéndice A Definiciones básicas Identidades trigonométricas Teorema del seno y del coseno Ejercicios

Nomenclatura Respuestas

127

139 140

138 141 142

154 156

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

CAPÍTULO 1

ELEMENTOS BÁSICOS

8

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TOMO IIIGEOMETRÍA

ÁNGULOS Algunos de los elementos básicos de la geometría muchos los conocemos, ya que hemos lidiado con ellos desde nuestra infancia como lo son los vértices, segmentos rectos, segmentos curvos, etc. Por ello partiremos definiendo uno de los primeros elementos básicos de la geometría el cuál no es sólo una definición, si no que existen problemas relacionados con ellos.

Un ángulo define como la inclinación mutua entre dos segmentos rectos conDefinición. un extremo común y noseparalelos. Existen distintos tipos de ángulos, los cuales los clasificaremos esencialmente en tipos: Agudos, Rectos y Obtusos, como se muestran en la siguiente figura Observación Si bien hemos clasificado los ángulos en

α Ángulo Agudo siα>

º

ángulo extendido que corresponde a α=

º.

Dos aspectos importantes a mencionar sobre los ángulos son los siguientes: Diremos que dos ángulos α y β se consideran complementarios si α+β = º y suplementarios si α+β = º

β α Complementarios

β

α

Suplementarios

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS En este caso, partiremos considerando dos rectas paralelas (esto es, dos rectas de igual pendiente pero distinto coeficiente de posición y una recta secante a ambas (es decir, una recta con distinta pendiente a las anteriores). De dicha situación podemos observar claramente que en cada íntersección de rectas se forman ángulos, y como tenemos dos interceptos podemos concluir que se formaran ángulos.

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

Al ser dos de las tres rectas paralelas, se puede deducir una fuerte relación entre los ángulos que se forman, relación que ilustramos en la siguiente figura

β α

α

L

β

L // L

Dichas relaciones entre estos ocho ángulos, las clasificaremos en tipos. α

β

L

α β

β

L

β

La primera relación es ángulos opuestos por el vértice, como muestra la figura

L // L L

β

L

La segunda relación es la llamada ángulos correspondientes, que ilustra la figura

L // L β

L

L

β

El tercero es el denominado alternos internos, que se muestra a continuación

L // L β

L

β

el cuarto, alternos externos que se relacionan de la siguiente manera

L // L β

10

L

L

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TOMO IIIGEOMETRÍA

TRIÁNGULOS: ELEMENTOS Y CLASIFICACIÓN Un triángulo es uno de los polígonos cerrados más básicos dentro de la geometría Euclidiana, que es el formado por tres segmentos rectos, tres ángulos y tres vértices, como muestra la figura.

C Segmento CB Vértice B

A

B

Estos elementos geométricos pueden ser clasificados de dos formas, estas son según las medidas de sus ángulos interiores o según la medida de sus lados, como muestran las tablas a continuación. Clasificación por ángulos

Clasificación por lados

Clasificación

Características

Clasificación

Acutángulo

Tres ángulos agudos

Equilátero

Tres lados iguales

Rectángulo

Un ángulo recto

Isóceles

Dos lados iguales

Obtusángulo

Un ángulo obtuso

Escaleno

Todos los lados distintos

Características

TEOREMA DE PITÁGORAS Dentro de la clasificación de los triángulos por sus ángulos interiores, nos detendremos para examinar una muy importante propiedad que cumplen los triángulos que poseen un ángulo recto o como los llamamos en la clasificación, rectángulos. Esta propiedad es conocida como teorema de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras La suma de los cuadrados de las medidas de los catetos, es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa . Cat + Cat = Hip

H

ip Cat

Cat Este es un teorema muy importante, por lo que lo enunciaremos de una manera matemática y rigurosa

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

Teorema #

Sea ABC rectángulo en C Entonces siempre se cumple que AC + CB = BC Ya se ha hecho hincapié en la importancia del teorema de Pitágoras. Pero no hemos explicado por qué se cumple. Para entenderlo, imaginemos un cuadrado de lado a + b . Además, trazaremos segmentos de recta que dividen los lados en dos trazos, uno de lado a y otro de lado b. Luego uniremos estas divisiones como muestra la figura adjunta.

b

a

a

b

b

a a

b

Se forman cuatro triángulos rectángulos. Como las medidas de dos de sus lados coinciden, y el ángulo comprendido entre dichos lados es recto, los cuatro triángulos tienen las mismas medidas(se estudiará esto en el capítulo de congruencia de triángulos). Así, todas las líneas trazadas dentro del cuadrado comparten una medida común, que llamaremos c.

b

a

a

b c

c

c

c

b

a

a

12

b

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TOMO IIIGEOMETRÍA

Podemos calcular el área de la figura como el área de un cuadrado de lado a + b . De acuerdo a la fórmula de cuadrado de binomio, se tiene

A = a + ab + b Por otro lado, podemos calcular el área de la figura como la suma de las cuatro áreas de los triángulos pequeños y el área del cuadrado de lado c (dejamos propuesto determinar por qué esta figura es un cuadrado). Si calculamos el área de esta manera se obtiene

A = ATriángulo + Acuadrado Recordando que el área de un triángulo rectángulo se calcula como la mitad del producto de los catetos:

A= 4 ·

ab 2

+

c2

Al simplificar, resulta

A = ab + c Si estas dos expresiones corresponden al área del cuadrado completo, entonces deben ser iguales entre sí, es decir:

a + ab + b = ab + c Al restar ab, en esta igualdad, resulta

a +b =c Si miramos solo uno de los triángulos, se concluye el teorema de Pitágoras.

Observación El hecho de que estos tríos pitagóricos existan a priori, no fue un problema trivial en su momento y además puso en duda uno de los grandes teoremas demostra-

Si bien el teorema anterior se cumple siempre sin excepción, podemos destacar dentro de la infinidad de los tríos de números que satisfacen la ecuación anterior, a aquellos que no sólo satisfacen dicha ecuación si no que además pertenecen al conjunto de los números naturales. A ellos se les denomina los tríos pitagóricos.

dos el siglo pasado por el matemático inglés Andrew Wiles, que fue el último teorema de Fermat.

El último teorema de Fermat dice que no existen tríos de números enteros x, y, z distintos de , tales que satisfagan la ecuación xk + yk = zk, para k ≥ .

Este teorema fue una conjetura abierta hasta el año

.

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

Ejemplo /

+

=

⇒

+

=

Una de las propiedades triviales pero no por eso poco interesante, es que estos tríos cumplen que: Si a, b, c componen un trio pitagórico, entonces para cualquier k ∈ Z+ se tiene que (ak) + (bk) = (ck) . En efecto, sia, b, c componen un trío pitagórico entonces ellos cumplen que a +b −c = y si la ecuación anterior la multiplicamos pork , obtenemos que a k + b k − c k = y por lo tanto se concluye que(ak) + (bk) = (ck) . Entonces si consideramos el trio pitagórico , y , podemos ver claramente que , y o , y , también lo son. Luego la observación anterior nos permite concluir que como Z+ está compuesto por infinitos números, entonces existen una cantidad infinita de números pitagóricos.

ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO Bisectriz Es un rayo que parte desde un vértice del triángulo y divide el ángulo correspondiente por la mitad. Hay una bisectriz por cada vértice y estos se intersectan en un único punto llamado incentro.

αα

incentro El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Además cada una de las bisectrices generan una relación entre los lados y los segmentos que determina, como se muestra en la figura

14

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TOMO IIIGEOMETRÍA

α α

x

z

y

w

x z = y w

Lo anterior se conoce como el teorema de Apolonio, el cual es válido en cualquier tipo de triángulo.

C Transversal de gravedad Es el segmento que parte de un vértice y llega al punto medio del lado opuesto. También hay tres y se intersectan en un punto llamado centro de gravedado baricentro.

MB

A

MA

G

B

MC

Centro de gravedad

Además el baricentro o centro de gravedad cumple que en cada transversal, el segmento que va desde él hasta el vértice mide el doble del que va hacia el lado del triángulo.

C Altura Es el segmento que une el vértice con el lado opuesto de manera ortogonal (perpendicular). La intersección de las alturas se llama ortocentro.

A

B Ortocentro

Simetral Una simetral es una recta que pasa por el punto medio de un segmento de manera ortogonal. La intersección de las tres simetrales se llama circuncentro y es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

A

M

B

En general estos tres puntos son distintos, sin embargo tenemos dos excepciones que son en el triángulo isósceles, en el cual la bisectriz, altura, transversal y simetral coinciden si consideramos el vértice opuesto a la base. Por otro lado, si consideramos un triángulo equilátero, entonces todo coincide, es decir, coinciden la bisectriz, altura, transversal y simetral, así como también, el incentro, ortocentro, circuncentro y baricentro.

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

EJERCICIOS

1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

3. ¿En cuál de las siguientes situaciones, siempre el triángulo resultante es escaleno?

A) La suma de dos ángulos agudos es agudo B) La suma de un obtuso y un agudo es menor a

A) Si tomo uno de los triángulos resultantes al cortar un rectángulo por una de sus diagonales.

180º C) Todo ángulo recto es agudo a la vez D) La suma de dos ángulos agudos es menor a 180º E) Ninguna de las anteriores

B) En un rombo, cuando corto por una de las diagonales. C) Si tomo la arista de un cubo y uno de los vértices de la arista opuesta que no comparte cara con la arista inicial. D) Si un cuadrado lo corto por una de sus diagonales. E) Ninguna de las anteriores.

2. ¿Cuál(es) de las siguientes es(son) verdadera(s) si L1 // L2?

δ

L1

4. Si α, β y γ son un trío pitagórico donde γ es el número mayor, con α = 12 y γ = 20, entonces el área del rectángulo de ladosα y β es

α β

I. α = γ II. β = α III. γ = δ

γ

L2

A) 169 B) 175 C) 182 D) 189 E) 192

A) Solo I B) Solo II C) I y II D) II y III E) I, II y III

16

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TOMO IIIGEOMETRÍA

5. Si L1 ⊥ L2 y L1 ⊥ L3, entonces los ángulosα y β valen L1

7. Dado el triángulo ABC de lados 6, 8 y 10, se puede afirmar que la altura perpendicular a la hipotenusa mide A) 23,04

α

L2

B) 20,4 C) 18,44 D) 21,04

E) Ninguna de las anteriores β

45º L3

A) α = 25º y β = 155º B) α = 55º y β = 125º C) α = 35º y β = 145º D) α = 40º y β = 140º E) α = 45º y β = 135º

8. En la figura, se puede saber el valor del ángulo x, en términos de α y β si A

α

L1

x

6. Si en un triángulo isóceles trazo una de las bisectrices (a mi elección), entonces siempre puedo obtener dos triángulos A) Rectángulos escalenos B) Acutángulo escaleno C) Isóceles acutángulo D) Rectángulo isóceles E) No se puede saber

B

β

L2

(1) AB ⊥ L1 (2) AB ⊥ L2 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

9. Si el suplemento deβ es α y el complemento de α es 30º, entonces β mide

11. En la figura, el triángulo ABC es isósceles___ ___ rectángulo en B, si AB mide 12 cm, entonces AC

A) 30º B) 50º

A

C) 60º D) 120º E) Ninguna de las anteriores

B

C

A)1 2 2 B)4 2 C)2 2 D)1 6 2 E) 2

10. En la figura, L1//L2//L3, entonces α mide

150

L1 30

L2

α

L3

A) 15º B) 150º C) 30º D) 60º E) 90º

18

12. Si los ángulos de un triángulo estan en la razón 1 : 1 : 2, entonces el triángulo es A) Equilátero B) Escaleno rectángulo C) Isóceles rectángulo D) Equilátero acutángulo E) isóceles obtusángulo

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TOMO IIIGEOMETRÍA

13. ¿Cuál de las siguientes alternativas no es un trío pitagórico?

15. Si L1//L2, entonces los posibles valores de x son

A) 3, 4 y 5 B) 243, 324 y 405

2x+2

L1

C) 28, 96 y 100 D) 9, 12 y 15 E) Ninguna de las anteriores L2

x2+x-4

A) {−2} B) {3} C) {−2, 3} D) {2,−3} E) {2} 14. Si se tiene un triángulo equilátero y sus lados se duplican, entonces se puede afirmar que A) El área se duplica B) El perímetro aumenta 6 veces C) La altura se duplica D) La altura aumenta 6 veces E) Ninguna de las anteriores

16. En el paralelogramo de la figura, ¿cuál es el valor de γ + β?

α

γ

β

δ

L1

L2

A) 180º B) 270º C) 45º D) 90º E) 360º

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

17. Puedo saber que un triángulo es rectángulo si

19. Si L1//L2, entonces los ángulos x e y miden respectivamente

(1) Sus lados son 5, 12 y 13 (2) Dos de sus ángulos suman 90º

110

L1

x A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

60

y

L2

A) 60º y 80º B) 50º y 70º C) 60º y 70º D) 20º y 90º E) 30º y 80º

18. Si α y β ángulos tales que α : β = 1 : 3 con L1//L2, entonces α mide 20. Sea el triángulo ABC, isóceles con base AB. Sea D un punto fuera del triángulo de modo que AB//CD, entonces ¿cuánto mide el ángulo DCA si el ángulo CAB mide 40? α β

60

L1

L2

A) 120º B) 140º C) 145º D) 165º E) 135º

A) 30º B) 40º C) 45º D) 60º E) 65º

20

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TOMO IIIGEOMETRÍA

22. En la figura, L1//L2, entonces ¿Cuál es la expresión que determina el valor de x ?

21. En la figura, L1 ⊥ L2, entonces β mide

L1

x

β

40

L2

α

α L1

L2

A) 180º − α B) 90º − α C) α D) 140º A) 45º − α B) 45º C) α D) 90º − α E) 45º + α

E) 140º − α

23. Si x e y son complementarios, x : y = 3 : 6. Entonces x mide A) 30º B) 60º C) 80º D) 150º E) Ninguna de las anteriores

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

___ 24. En la figura, ___ M punto medio de BC , G centro ___de gravedad, AM = 15 cm, entonces ¿cuánto mide AG ?

26. El área de un triángulo se puede determinar si (1) Sus lados son 6, 8 y 10 (2) Es un triángulo rectángulo

B

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

M

G

A

C

A) 15 B) 11 C) 2 D) 5 E) 10

27. Si α y β son ángulos complementarios,γ y δ los suplementos de α y β, respectivamente. Entonces α + β + γ + δ = 25. La definición de altura es A) Segmento que va desde un vértice al punto medio del lado opuesto. B) Segmento que pasa de manera perpendicular por el punto medio de un lado. C) Rayo que divide un ángulo en dos iguales. D) Segmento que va desde un vértice y llega al lado opuesto formando un ángulo recto con el mismo. E) Ninguna de las anteriores.

22

A) 180º B) 360º C) 135º D) 270º E) 90º

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TOMO IIIGEOMETRÍA

28. De la pregunta anterior, ¿cuánto vale δ −α ? A) 90º B) 130º C) 60º D) 180º E) 73º

30. Sean a, b, c los lados de un triángulo rectángulo. Si α, β, γ son los lados de otro triángulo, entonces I. Si α = ak, β = bk y γ = ck, k ∈ +, entonces el triángulo es rectángulo II. Si α = β = γ, entonces el triángulo es isóceles III. Si α ≠ β y β ≠ γ, entonces el triángulo es escaleno A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de las anteriores

29. ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde

31. En la figura, ABC es un triángulo equilatero de

a la definición de transversal de gravedad?

lado 16. CD altura en ¿Cuánto mide ED?

A) Una transversal de gravedad es una perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto. B) Una transversal de gravedad es una perpendicular trazada en el punto medio de un lado. C) Una transversal de gravedad se logra uniendo los puntos medios de dos lados de un triángulo. D) Una transversal de gravedad es un trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. E) Ninguna de las anteriores

ABC y ED altura en

CDB.

C

E

A

D

B

A) 3 B) 4 C)2 2 D) 3 3 E) 4 3

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

32. Si un triángulo tiene vértices A(2, 0), B(−10, 8) y C(0, 8), entonces la medida de la longitud de la transversal de gravedad relativa a C es

34. Sea el triángulo ABC formado por los vértices A(0,0), B(3,2) y C(-1,3). Entonces obtendremos que

A) 4 2

I. El triángulo es escaleno II. El triángulo es isóceles

B) 29 C)2 6

III. El triángulo no es rectángulo

D)2 5 E) 4

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de las anteriores

33. Si un rombo lo corto en dos por una de sus

35. Si consideramos un triángulo escaleno,

diagonales (yo elijo cual diagonal), ¿qué triángulo puedo siempre obtener?

y en cada lado se construye un cuadrado de modo que coincida cada cuadrado con el lado correspondiente. Entonces se puede afirmar que

A) Rectángulo B) Acutángulo isóceles C) Equilátero D) Rectángulo isóceles E) Isósceles

I. El perímetro se multiplica por 3. II. El área se multiplica por 3 III. El área nueva esta en razón 4 : 1 con la inicial. A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de las anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

36. Los ángulos interiores de un triángulo escaleno están en la razón 3 : 2 : 5, entonces el ángulo exterior adyacente al mayor de ellos mide

38. Determine la ecuación de la simetral del triángulo A(2, 7), B(6,−3) y C(108, 9) correspondiente al lado AB.

A) 50º

A) 2x − 5y + 2 = 0

B) 90º C) 100º D) 160º E) 150º

B) −2x − 5y + 2 = 0 C) 2x − 5y − 2 = 0 D) 2x + 5y + 2 = 0 E) 5x + 2y − 24 = 0

37. En la figura, ABC equilátero, BCD isósceles, entonces ¿cuánto mide x?

39. En la figura, se tiene que AE y FB son bisectrices. Entonces el ángulo EAF vale

D

A

C

E F

x B

A) 10º B) 60º C) 15º D) 30º E) El problema no tiene solución

81

A

B D

C

A) 32º B) 30º C) 36º D) 37º E) 41º

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CAPÍTULO 1ELEMENTOS BÁSICOS

40. En la figura, AD=12. Entonces BC= B

30

105 C

A

D

A)3 3+6 B) 3+ 3 C)3 ( 3 +1 ) D)3 3+6 E) 3 + 2 2

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MIS ANOTACIONES e damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

CAPÍTULO 2

CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

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TOMO IIIGEOMETRÍA

SEMEJANZA Definición Dos triángulos son semejantes si se cumple que sus lados correspondientes u homólogos son proporcionales (con constante K≠ y K> ) y sus ángulos correspondientes iguales. La definición anterior es la definición más formal de semejanza, pero puede ser más intuitiva la que usó Euclides para referirse a triángulos semejantes. Definición de Euclides Triángulos semejantes son aquellos que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño Donde la misma forma refiere esencialmente a las medidas de los ángulos, ya que ellos determinan esta, pero al ser de distinto tamaño se puede ver de manera clara que los lados correspondientes son necesariamente proporcionales. La figura a continuación muestra lo que significa ser semejantes

C’ γ

C K γ

b

α

A

∼

a

b·K

β

c

a·K

α

B

A’

β

c·K

B’

Dados dos triángulos cualesquiera, existen esencialmente tres maneras de saber si estos son o no entre sí semejantes, los que describiremos a continuación

(LLLprop) res lados proporcionales implican que los triángulos son semejantes. (AA) Dos ángulos de igual medida. (LAL prop) Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos de igual medida. Luego, aplicando estos sencillos “test” a cualquier par de triángulos podemos saber si ellos son o no entre sí semejantes de manera certera.

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

La nueva pregunta es que pasa si además de tener sus ángulos de igual medida sus lados también lo son, y esa pregunta nos da paso a la siguiente sección.

CONGRUENCIA Como adelantamos en la sección anterior, diremos que dos triángulos cualesquiera son congruentes si sus lados y ángulos tienen igual medida, es decir, la constante de proporcionalidad dada por el caso de triángulos semejantes es igual a . Dicho lo anterior en palabras de Euclides: Triángulos congruentes son aquellos que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Siguiendo con la analogía de la sección anterior, a continuación presentaremos los métodos para poder determinar si dos triángulos son congruentes o no res lados iguales. (LLL) Dos ángulos iguales y el lado compartido igual. (ALA) (LAL) Dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos igual. (LLA mayor) Dos lados cualesquiera iguales y el ángulo opuesto al lado mayor igual.

TEOREMA DE THALES Y EUCLIDES En la presente sección, pasaremos a enunciar y luego demostrar dos grandes teoremas relacionados con congruencia y semejanza de triángulos como lo son el teorema de Tales (En honor a su creador, el matemático Griego Tales de Mileto en el siglo VI a.c.) y el teorema de Euclides (En honor a su creador, Eukleides (Eμκλεiδηs) gran matemático y geómetra del siglo III a.c.).

eorema de Tales

Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes. Para demostrar el teorema de Tales se puede utilizar una tabla de proporcionalidad que se llena de la siguiente manera α

β

γ

En las columnas van los ángulos de los triángulos y en las filas los triángulos

30

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TOMO IIIGEOMETRÍA

C

L // L

a

b B

A L

c L

A

B

C Para llenarlos hay que preguntarse, ¿Cuánto vale el lado opuesto al ángulo __ en el triángulo __? Entonces llenamos la tabla α

a

β

b A

γ

c

a A

⇒

B

C

=

b B

=

c C

lo que nos permite concluir el teorema de Tales. Ejemplo /

Consideremos un triángulo cualquiera y un segmento que une el punto medio de dos lados (mediana). Notamos que dicho segmento es paralelo al lado que no contiene ninguno de sus extremos y entonces nos preguntamos cual es la medida de dicho segmento, como se ve en la figura

C

Luego, por el teorema de Thales, entonces tendremos que

b

b

a

x

x

c

B A

c

es decir,

=

x c

=

2 b

1 2

De lo que podemos concluir que siempre la mediana mide la mitad que su lado paralelo correspondiente en el triángulo.

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

Ahora toca el turno de presentar el teorema de Euclides (que también se puede encontrar en la literatura como el teorema de las alturas)

eorema de Euclides

En cualquier triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa. En palabras más sencillas, si tenemos una situación como en la de la figura

C b

-α α

a

h -α

α

A

p

B

q

c

entonces el teorema de Euclides dice esencialmente que h q

=

p 2 ⇒h h =

=

pq,

q a

=

a 2 ⇒a c =

=

qc ,

b c

p 2 ⇒b b

pc

Para demostrar esto, basta llenar la tabla como antes

-α

α

h

b

p

q a

a c

h b

de lo que obtenemos inmediatamente que h q

32

=

p ⇒h2 h =

=

pq,

q a

=

a ⇒a2 c =

=

qc ,

b c

p ⇒ b2 b

pc .

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TOMO IIIGEOMETRÍA

EJERCICIOS

. En un triángulo se traza un segmento entre los puntos medios de dos lados cualesquiera. Entonces la razón entre las áreas de los triángulos (pequeño y grande) que se forman es A) B) C) D) E)

:: : : :

. ¿Cuál(es) de los siguientes grupos de números corresponde(n) a tríos pitagóricos? I.3,4y5 II.1,2y 3 III.5,8y12 A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

. Sea el triángulo ABC si D y E son puntos medios de sus lados respectivos y su área es , entonces el área achurada es . En la figura, AC es bisectriz del ángulo BAD, entonces el segmento CD mide

C

A

D

E

w

x A

B

B

A) B) C) D) E) Falta información

y

C

D

yw x w B) x xw C) y w D) A)

E)

xy xy w

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

. Dada la figura, ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero ABDC? D

A) Dos triángulos rectángulos son congruentes si sus ángulos agudos respectivos son congruentes. B) Dos triángulos son congruentes si sus lados homólogos miden lo mismo. C) Dos triángulos son congruentes si sus ángulos respectivos son iguales. D) Para demostrar que dos triángulos son congruentes se puede utilizar el criterio AAL E) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.

C

E B

A A)12 + 2 10 B)12 + 10 C)15 + 10 D)17 + 10 E)20 + 10

. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide cm y su hipotenusa mide cm. ¿Cuánto mide el área de dicho triángulo? A) cm B) cm C) cm D) cm E) cm

es rectángulo en C y __. El __ ABC de la figura __ AC : CB = : . Si AB = , entonces el área del triángulo ABC es C

A) B)

A

D

B

C) D) E)

34

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si un árbol de metros proyecta una sombra de metros. ¿A qué distancia máxima del árbol se puede poner un niño de , metros de modo queno le llegue el sol?

. En la figura, ABED es un trapecio __ isósceles. Entonces el valor aproximado de DA es

C A) metro B) metros C) metros D) metros E) A cualquier distancia, nunca le llegará el sol

D

A

. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

E

B

A) B) , C) , D) , E) Ninguna de las anteriores

A) Todos los rectángulos son congruentes entre sí B) Todos los triángulos son equivalentes entre sí C) Todos los rombos son semejantes entre sí D) Todas las circunferencias son equivalentes entre sí E) Todos los círculos son semejantes entre sí

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es(son) congruentes?

. Según la figura, el valor de x es

L

I. cm

x L

L // L

II. cm

A) B) C) D) E)

III. cm

. Dos polígonos se dicen semejantes si preservan la forma. En términos más formales la forma de un polígono está dada por A) Sus lados B) Número de lados C) Ángulos D) Número de vértices E) Ninguna de las anteriores

36

A) Solo I y II B) Solo I y III C) Solo II y III D) I, II y III E) Ninguno de los anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura, ¿Cuánto vale x?

L x+

. Catalina está en una plaza un día de sol. Para capear el sol, se situa a metros de un árbol de modo que justo no le llega sol. Además contamos con el dato que Catalina mide , metros y la sombra del árbol llega metros más atrás de Catalina. ¿Cuál es la altura del árbol?

x+ L

A) B) C) D) E)

m m m m m

L // L A) B) C) D) E)

. En el triángulo mayor de la figura, la altura es un tercio de la hipotenusa. Al respecto, es(son) verdadera(s)

. En la CDE es isóceles. el punto medio defigura, AD y D es el punto medio CdeesBC. ¿Qué criterio nos sirve para afirmar que ACE es congruente al BDE? p

q

E

A

C

D

B

I. (p + q) = pq p II. q = 3 III. p = q

A) LAL B) ALA

A) Solo I B) Solo II

C) LLA D) LLL E) Ninguna de las anteriores

C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

. En la figura el trazo PQ es paralelo al lado AB. Si el perímetro de la figura es , entonces x + y es

. Dado el rectángulo ABCD, entonces el lado DF del rectángulo BEFD mide

C 4

A

3

P x

Q

F B

A

D

C

y

B E

A) B) C) D) E)

A)12 12 B) 5 12 C) 75 12 E)5 D)

. Si la altura de un triángulo rectángulo relativa a la hipotenusa mide 2 5 y divide a la misma en dos partes tales que difieren en unidades. Entonces la menor de ellas mide A) B) C) D) E)

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Dos triángulos rectángulos que tienen un cateto congruente son semejantes B) Si dos triángulos rectángulos tienen los catetos congruentes, entonces los triángulos son semejantes con constante distinta de . C) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo congruente, entonces los triángulos son semejantes D) Si dos triángulos tienen un ángulo congruente, entonces los triángulos son congruentes E) Si dos triángulos rectángulos tienen dos lados homólogos congruentes, entonces los triángulos son congruentes

__ . _En _ la figura,__el trazo DE es paralelo al lado AB. Si DC = cm y DA = cm. ¿Cuál es la razón entre las áreas de los triángulos ABC y DCE? C

D

A

E

B

100 25 169 B) 25 120 C) 25 169 D) 40 135 E) 20 A)

.Si en el FDE α = ángulo DEF es

ºyβ=

δ, entonces el

D β

E

δ α

F

A) B)

º º

C) D) E)

ºº º

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en A ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

. En la figura, BC = 3CDyA C = 2cm . ¿Cuánto debe medir AE para que AB/ /DE ?

C D

E

d

C

g D h e

f

A

I.

ABC ∼

DAB

II. ABC ≅ DBA III. ADC ≅ ABD A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

40

A

B

B

A) 8 B) 4 C) 8 3 3 D) 8 8 E) 5

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. ¿Cuáles de las siguientes figuras son semejantes entre sí?

. Un tablero de ajedrez esta formado por cuadrados todos congruentes entre sí. Si miramos el tablero, ¿cuántos cuadrados semejantes entre sí podemos encontrar?

I. A) B) C) D) E)

II.

. Si ABCD y BFGE son paralelogramos con AD//EG y DC//GF, entonces es siempre verdad que III. D

C F

G

A

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

E

B

I. BE : AB = EG : AD II. BE : BF = AB : BC III. EF//AC A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) E) I,Solo II y IIIIIy III

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

. Si en la figura, L //L , entonces el valor de x es

. Según la figura, podemos saber el valor de a + b si E

C a

L

D

x

b

A

L

B

( ) AE//BC ( )a=

A) B) C) D) E)

A) ( ) por sí sola B) ( ) por sí sola C) ( ) y ( ), ambas juntas D) ( ) ó ( ), cada una por sí sola E) Se requiere información adicional

. En el triángulo ABC, AD = DB, DE//BC y el área del triángulo ABC es . ¿Cuál es el área del triángulo ADE? A

. En la figura, BC//DE, entonces DE mide A D

E B

B

C C

D

A) B) C)

A) B)

D) E) Ninguna de las anteriores

C) D) E) Falta información

42

x

E

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En el triángulo ABC de la figura, el segmento BD es la altura correspondiente a la hipotenusa. Si AB mide y BC mide , entonces AD mide

el___rectángulo ABCD cumple que ___. En la _figura, __ BE= , E F = y ED = , entonces podemos sab er el área del cuadrilátero ABEF si sabemos que

B D

C

F A

6 5 B) 3 2 C) 3 D)6 E)2

D

E

C

A

A)

B

5 5 5

__ ( ) FD = ___ ___ ( ) El segmento EF es paralelo a AB.

5 5

A) ( ) por sí sola

. Sea ABC un triángulo rectángulo en C y la medida de uno de sus catetos es b. Si la proyección de dicho cateto en la hipotenusa mide a, entonces la medida del otro cateto es

B) ( ) por sí sola C) ( ) y ( ), ambas juntas D) ( ) ó ( ), cada una por separado E) Se requiere información adicional

b4 − b2 a2 4 b − b2a2 B) a2 b4 − b2 C) 2a2 A)

4

D) b

2 2 −

ab a4 E)No se puede determinar

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CAPÍTULO 2CONGRUENCIA

Y SEMEJANZA

. En la figura, L //L //L , entonces el valor de x es

L x

L

. Sea ABC rectángulo en C y sea D un punto ___ en su hipotenusa de C D es ___ ___ modo que el segmento ___ altura. Si AD = y CD = , entonces BD es igual a A) B) C) D) E)

x-

L

A) B) C) D) E)

. Sea ABC equilátero y sean los puntos M, N y P en cada uno de los lados del triángulo. Si al unir dichos puntos se forman triángulos semejantes al srcinal y congruentes entre si, entonces se puede afirmar que

. Dos triángulos equiláteros son semejantes y la razón de semejanza es : . Si el lado del triángulo menor es cm, ¿Cuánto mide el lado deltriángulo mayor?

A) Dichos puntos coinciden con los vértices B) Los puntos son puntos medios de cada lado C) Los puntos son colineales ___ ___ ___ D) Los segmentos MN, MP y NP son paralelos entre sí E) No se puede determinar nada

A) B) C) D) E)

44

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TOMO IIIGEOMETRÍA

CAPÍTULO 3

HOMOTECIA Este material fue descargado para uso exclusivo de Preparando la Psu, [email protected]. Se prohibe su reproducci—n. Si quieres acceder 45 gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

HOMOTECIA La homotecia es un tipo de transformación muy particular, pues en la mayoría de los casos no es isométrica, pues un objeto geométrico al cual se le aplica una homotecia generalmente cambia su tamaño, pero no su forma, lo que nos dice claramente que se generan figuras semejantes. Para realizar una homotecia se necesitan tres elementos: Un objeto geométrico al cual se le aplicará la homotecia. Un centro de homotecia, que corresponde a un punto cualquiera del plano. Una razón de homotecia, que corresponde a un número real distinto de cero y que determina la dirección y el cambio de tamaño que se producen en la homotecia Estando presentes estos elementos, una homotecia con razón λ se realiza de la siguiente forma:

Paso Dibujamos los segmentos que unen cada vértice de la figura con el centro de homotecia y medimos sus longitudes ( L).

Paso Multiplicamos cada una de las longitudes anteriores por el valor absoluto de la razón de homotecia, λ, obteniendo |λ| ⋅ L y evaluamos: Si la razón de homotecia es positiva dibujamos un segmento de longitud |λ|L que comience en el centro de homotecia y que se dirige hacia el vértice correspondiente en la misma dirección que el segmento del paso . Si la razón de homotecia es negativa dibujamos un segmento de longitud|λ|L que comience en el centro de homotecia y que se dirige en sentido contrario al vértice correspondiente, pero en la misma dirección que el segmento del paso .

Paso Unimos los vértices tales como están en la figura srcinal. Para dejar claro los pasos anteriores utilicemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo / Realicemos una homotecia con centro O y razón de homotecia λ = − al siguiente triángulo

46

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TOMO IIIGEOMETRÍA

A

C

O B

Paso Dibujamos los segmentos y los medimos A

C

,

O B

Paso Multiplicamos las medidas de los segmentos recién dibujados por . Además, como la razón de homotecia es negativa, dibujaremos los nuevos segmentos en sentido opuesto, quedándonos la siguiente figura A

C

,

B’

O B

C’

A’

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CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

Paso Dibujamos los segmentos tal y como estaban en la figura srcinal. Notemos que todos los trazos incrementaron su tamaño al doble, es decir, sus lados se duplican.

A

C

,

B’

O B

C’

A’

Notemos que como las figuras mantienen su forma entonces sus lados correspondientes no solo serán proporcionales, sino también paralelos, por lo que podemos aplicar todos los teoremas que conocemos para figuras semejantes, sobre todo el teorema de Tales.

48

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TOMO IIIGEOMETRÍA

EJERCICIOS . A un segmento AB se le aplica una homotecia con centro O fuera del segmento, formándose el segmento A’B’. Si la razón entre las áreas de los triángulos OAB y OA’B’ es : , entonces la razón de homotecia es

A) 1 B) 9 1 C) 9 D) 3 E) No se puede determinar

. Se tiene un triángulo ABC al cual se le realiza una homotecia con centro A, obteniéndose el triángulo A’B’C’. Si ABC es equilátero de lado y la razón de homotecia es - entonces el perímetro de A’B’C’

A) B) C) D) E) Depende de la posición en el plano de ABC

. A una circunferencia de centro O y radio r se le aplica una homotecia con centro B, en el interior de

. A un triángulo isósceles PQR se le realiza una homotecia con centro M dentro del triángulo y razón

la circunferencia y razón de homotecia λ . Si la razón entre las áreas de ambas circunferencias (la nueva y la srcinal, respectivamente) es : , entonces |λ| =

de homotecia β. Al respecto es correcto afirmar que:

1 4 B) 4 C) 2 1 D) 2 E) No se puede determinar A)

I. El triángulo formado es isósceles II. Si β > , el triángulo formado contiene en su interior al srcinal III. Si β < , entonces el triángulo formado se encuentra en el interior del srcinal A) Solo I B) Solo III C) I y II D) I y III E) I, II y III

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CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

. A un trapecio PQRS se le realiza una homotecia con centro O, fuera del trapecio, y razón de homotecia positiva, obteniéndose el trapecio P’Q’R’S’. Si sabemos que OP : PP’= : y PQ = , entonces P’Q’=

. A un rectángulo A’B’C’D’ se le aplica una homotecia con centro O, obteniéndose el rectángulo ABCD. Si AB = y A’B’= entonces el valor absoluto de la razón de homotecia es

A)12 B)16 4 C) 3 D) 1 E) Falta información

A) 3 1 B) 3 C) − 3 D) 9 E) Se requiere información adicional

. Se realiza una homotecia a un triángulo cualquiera con centro P fuera del triángulo y razón de homotecia

. A un triángulo ABC rectángulo en C se le aplica una homotecia con centro O, obteniéndose el trián-

α . Respecto a ella es correcto afirmar que

gulo A’B’C’. Si la razón de homotecia es entonces la razón entre los volúmenes de los cuerpos formados al rotar los triángulos alrededor de AB y A’B’ es, respectivamente:

I. Si α =- entonces la homotecia es equivalente a una simetría de centro P II. Si el triángulo es equilátero, entonces α = III. Si α = entonces la homotecia es equivalente a una simetría axial del triángulo. A) Solo I B) Solo II C) I y II D) I y III E) I, II y III

50

A) B) : C) : D) : E)

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Se tienen dos triángulos, ABC y DEF, semejantes entre sí, con AB : DE = : . Si tenemos un punto O fuera de ambos triángulos, podemos determinar que DEF es resultado de una homotecia al triángulo ABC con centro en O si sabemos que: ( ) AB es paralelo a DE ( ) A es punto medio de OD A) ( ) por sí sola B) ( ) por sí sola C) Ambas juntas, ( ) y ( ) D) Cada una por sí sola, ( ) ó ( ) E) Se requiere información adicional

. A un triángulo PQR rectángulo en R se le aplica una homotecia con centro A en el punto medio de la hipotenusa, obteniéndose el triángulo P’Q’R’. Podemos determinar la razón de homotecia si sabemos que: ( ) La circunferencia circunscrita a PQR es igual a la circunscrita a P’Q’R’ y P ≠ P’ ( ) PQ : P’Q’ = : A) ( ) por sí sola B) ( ) por sí sola C) Ambas juntas, ( ) y ( ) D) Cada una por sí sola, ( ) ó ( ) E) Se requiere información adicional

. En la figura, ∆ A’B’C’ es la imagen bajo una homotecia del ∆ ABC. ⎢⎢A’C’. I. AC II. La razón de homotecia es positiva.

III. La medida del del ∠A’B’C’. Es(son) verdadera(s): A) Sólo I B) I y II C) I y III O D) II y III E) I, II y III

∠ABC coincide con la

A’ A B

B’

C C’

. A un polígono se le aplica una homotecia de razón k. Respecto a esto, es falso que I. Si k < , el área del polígono disminuye. II. Si k = , el área del polígono permanece constante. III. Si k > , el área del polígono incrementa. A) Sólo I B) II y III C) I, II y III D) Ninguna de ellas E) Otra combinación

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CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

. Al aplicar una homotecia a un cuadrado de lado m, su perímetro se convierte en m. ¿Cuál es el área de la circunferencia inscrita al nuevo cuadrado? A) π m B) π m C) π m D) π m E) Otro valor

. Al triángulo de vértices ( , ), ( , ) y (- , ) sele apli-

. ¿Cuál es la imagen del punto ( , ) bajo la homotecia de razón - ycentro en el srcen? A) (- ,- ) B) ( , ) C) ( ,- ) D) (- , ) E) Otro valor

. En la figura, se aplica una homotecia de centro O y

ca una homotecia de razón - con centro en el srcen. ¿Cuál es el área del triángulo resultante?

razón al ∆ ABC, obteniéndose el ∆A’ B’ C’. ¿Cuánto mide A’B’?

A) B) C) D) E) Otro valor

A) m B) m C) m D) m E) No se puede determinar.

C’ C B’

m

B

m

O A

52

A’

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Se aplica una homotecia con centro (x,y) y razón k. Se puede conocer la imagen del punto ( , ) si: ( )x+y=k ( )x=y

. Se aplica una homotecia con centro (x,y) y razón k. Se puede conocer la imagen del punto ( , ) si: ( )k= ( ) La imagen de ( , ) es el srcen

A) ( ) por sí sola B) ( ) por sí sola C) Ambas juntas, ( ) y ( ) D) Cada una por sí sola, ( ) ó ( ) E) Se requiere información adicional

A) ( ) por sí sola B) ( ) por sí sola C) Ambas juntas, ( ) y ( ) D) Cada una por sí sola, ( ) ó ( ) E) Se requiere información adicional

. Se aplica una homotecia con centro (x,y) y razón k. Se puede conocer la imagen del punto ( , ) si:

. En la figura, el triángulo a b c es la imagen del triángulo abc bajo una homotecia de centro O. Si

( ) El único punto cuya imagen es invariante bajo la homotecia es ( , ) ( ) Al aplicar la homotecia dos veces a un punto, se obtiene el mismo punto A) ( ) por sí sola B) ( ) por sí sola C) Ambas juntas, ( ) y ( ) D) Cada una por sí sola, ( ) ó ( ) E) Se requiere información adicional

la razón entre las áreas de abc y a b c es : , entonces b divide interiormente a b O en razón A) : B) : C) : D) : E) Ninguna de las anteriores O

b

b c

a

a

c

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CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

. Considere una circunferencia de perímetro π. Suponga que, con centro en un punto interior de ella, 1 se efectúa una homotecia de razón . ¿Cuál es el 2 área comprendida entre la circunferencia srcinal y su imagen? A) B) C) D) E)

. Suponga que a un triángulo ABC se le aplica una homotecia con centro en A y razón de homotecia . Obteniendo como imagen el triángulo A’ B’ C’, donde A’,B’ y C’ son las imágenes de A,B y C respectivamente. Al respecto se afirma I. La medida del segmento AA’ es II. Si E es punto medio de A’B’ y F es punto medio de A’C’, entonces BC es mediana del triángulo AEF III. Si el triángulo ABC tiene perímetro , el cuadrilátero BB’C’C tiene perímetro

π π π π π

¿Cuál(es) de las afirmaciones nunca es(son) falsa(s)? . El punto B = ( , ) es la imagen del punto A bajo una rotación positiva de º con centro enel srcen. Un alumno desea encontrar la imagen del punto B al aplicarle una homotecia de razón con centro en A. A continuación se muestra el desarrollo del alumno:

A) Sólo I B) Sólo III C) I y II D) I y III E) I, II y III

( ) Si A = (x,y), como B es imagen de A bajo la rotación, se tiene B = (-y,x) ( ) Como el punto B es ( , ), se sigue x = e y = - .Así A = ( ,- ) ( ) Calcula el vector AB restando las coordenadas de A y B, obteniendo AB = ( ,- ) ( ) Pondera AB por la razón de homotecia, obteniendo así ⋅ AB =( ,- ) ( ) Aplica una traslación a las coordenadas de AB según el vector traslación A = ( ,- ) para obtener la imagen de la homotecia, obteniendo así que la respuesta es B’= ( ,- ). 









¿En qué paso el alumno comete un error? A) En el paso ( ) B) En el paso( ) C) En el paso ( ) D) En el paso ( ) E) En el paso ( )

54

. Si con centro O se efectúa una homotecia de razón dos veces consecutivas, se obtiene una transformación equivalente a A) Una homotecia con centro O y razón B) Una homotecia con centro O y razón C) Una homotecia con centro O y razón D) Una simetría con centro en el srcen E) Ninguna de las transformaciones anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. ¿Cuál de las siguientes no es una transformación isométrica?

. En la figura DEFG es imagen de ABCD bajo una homotecia de centro O. La diferencia entre la abscisa de F y la ordenada de G es:

A) Una rotación en ° B) Una homotecia de razón C) Una simetría axial con respecto al eje X D) Una homotecia de razón E) Una homotecia de razón

. A un polígono se le aplica una homotecia de razón k. Al respecto, puede ser falso que I. Si k < , el área del polígono disminuye II. Si k = , el área del polígono permanece constante III. Si k > , el área del polígono incrementa A) Sólo I B) II y III C) I, II y III D) Ninguna de ellas E) Otra combinación

A) B) C) D) E)

G

F

D

C

E

A

B

. En la figura, O es el centro de la semicircunferencia AB ¿Qué valor(es) puede tomar k para que la unión entre la semicircunferencia y su imagen bajo una homotecia de centro O y razón de homotecia k + k sea una circunferencia? I. II. III. A) Sólo II B) Sólo III C) I y II D) I y III E) II y III

O

B

A

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CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

. Al efectuar una homotecia a una circunferencia con centro en un punto de ella es posible obtener: I. Una circunferencia concéntrica a la srcinal II. Una circunferencia tangente a la srcinal III. Una circunferencia secante a la srcinal A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) I y II E) I, II y III

A) De centro C y razón

C

1 B) De centro C y razón 2 C) De centro C y razón D) De centro D y razón E) No se puede determinar

D

E

A

. En la figura, el triángulo BAC se obtiene como imagen del triángulo BED bajo una homotecia. Respecto a esto, es cierto que:

A) Sólo I B) Sólo III C) I y III D) II y III E) I , II y III

E

B

. El trapecio ABCD es imagen del trapecio EFGH bajo una homotecia de razón λ. Al respecto es falso que: A) De los lados de estos trapecios hay que son paralelos entre sí B) La razón entre el área de ABCD y EFGH es λ C) Si λ > , el trapecio EFGH tendrá mayor perímetro que ABCD D) Si λ < - , el trapecio EFGH tendrá menor perímetro que ABCD E) Si λ = - , los trapecios son congruentes

I. La razón de Homotecia es negativa II. ∠BDE ≅ ∠BAC III. B es el centro de homotecia

D B

A

56

. En la figura, DE es mediana. El triángulo ABC es imagen del triángulo CDE bajo una homotecia:

C

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura, el romboide A B C D es imagen del romboide ABCD bajo una homotecia de centro O. Si el perímetro del romboide ABCD es indique larazón de homotecia. B

5 C A)- 3 B)-3 D 1 C) 3 A 1 D)3 E) No se puede determinar

A

D O C

. Al aplicar una homotecia a la gráfica de una función lineal con centro en el srcen se obtiene: A) La gráfica de la misma función lineal B) La gráfica de otra función lineal C) La gráfica de la misma u otra función lineal D) La gráfica de una función afín E) No se puede determinar

B

. Al aplicar una homotecia a la gráfica de la función f(x) = x + con centro en el srcen y razón de

. La expresión que indica la imagen del punto (x,y) tras aplicar n veces consecutivas una homotecia de

homotecia - resulta la gráfica de la función:

centro ( , ) y razón λ es:

A) g(x) = - x B) h(x) = - x + C) i(x) = x + D) g(x) = x E) Ninguna de las funciones anteriores

A) (x + nλ, y + nλ) B) (xnλ, ynλ) C) (λn x, λn y) D) (λxn, λyn ) E) No se puede determinar

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CAPÍTULO34HOMOTECIA CAPÍTULO CIRCUNFERENCIA

. Los puntos A’ y B’ son imágenes deA(5 + 6 2,6 2) y B (5 − 5 2 , 5 2 ) bajo la homotecia de centro C( , ) y 2 2 razón - . ¿Cuánto mide A’B’? A) 5 2 B)13 C)13 2 D)26 E)Otro valor

. Si al segmento AB de la figura se le aplica una 1 homotecia de razón con centro en O con O∉ AB, 3 y se obtiene un segmento A’B’ donde A’ y B’, son las imágenes de A y B respectivamente, entonces el cuadrilátero ABB’ A’ es: A) Un trapecio B) Un rombo C) Un rectángulo D) Un trapezoide E) Un romboide

58

A

B

. En la figura, la circunferencia tiene radio .Al

. Al aplicar una homotecia a una recta, su pendiente A) Se multiplica por la razón de la homotecia B) Se divide por la razón de la homotecia C) Se intercambia con su coeficiente de posición D) Se multiplica por el valor absoluto de la razón de homotecia E) No varía

O

aplicar una homotecia de razón - en torno aA, la distancia entre los centros de la circunferencia srcinal y su imagen es: A) B) C) D) E)

O

A

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MIS ANOTACIONES e damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios

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CAPÍTULO 4

CIRCUNFERENCIA Este material fue descargado para uso exclusivo de Preparando la Psu, [email protected]. Se prohibe su reproducci—n. Si quieres acceder gratuitamente a este contenido visita www.psuparatodos.com

TOMO IIIGEOMETRÍA

ELEMENTOS BÁSICOS DE LA CIRCUNFERENCIA En este capítulo estudiaremos una de las figuras planas más importantes: La circunferencia. Ellas permiten resolver una cantidad enorme de problemas, cuyas aplicaciones tienen impacto tanto en la matemática como en otras ciencias. A modo de ejemplos, se utiliza en el cálculo de volúmenes de algunos sólidos de revolución o en las ecuaciones de movimiento circular uniforme.

Entenderemos , el conjunto de puntos que se ubicanenaella unacomo miscircunferencia ma distancia depor un punto fijo que llamaremos centro . Podemos pensar la línea que se forma si clavamos una estaca en el suelo y atamos una cuerda a un trozo de tiza. Luego hacemos girar la tiza en torno a la estaca manteniendo la cuerda tan tensa como sea posible, de modo que vaya marcando su camino. Por otro lado, llamaremos círculo a la región interior de una circunferencia.

Circunferencia

Círculo

En la circunferencia, encontraremos algunos elementos secundarios que pasamos a definir a continuación. Para entenderlos mejor, pongamos atención a la siguiente figura que muestra una circunferencia de centro O:

H B

J O

D

G

r E

A

F Observación Usamos indistintamente la palabra

Radio Es un segmento que une el centro de la circunferencia con uno de sus puntos. En la figura, OA es un radio.

radio para referirnos al segmento que une el centro de la circunferencia con uno de sus puntos y para hablar de la distancia entre el centro y los puntos de la circunferencia.

Cuerda

Es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. En la figura, DE es una cuerda .

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

Diámetro Es cualquier cuerda que pasa por el centro de la circunferencia En la figura, AB es diámetro.

Arco Es la porción continua de circunferencia limitada por ambos extremos. En la figura FB es arco. (

Tangente Es una recta que corta en un único punto a la circunferencia. ↔ En la figura, FG es una recta secante a la circunferencia.

Secante Es una recta que corta en dos puntos a la circunferencia. ↔ En la figura, HJ es secante.

PROPIEDADES DE LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ELEMENTOS Los elementos de la circunferencia poseen ciertas propiedades que a menudo resultan muy útiles al momento de resolver continuación te indicamos algunas de ellas:los problemas de la siguiente unidad. A

B La medida del diámetro mide el doble del radio.

r

O

A

62

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TOMO IIIGEOMETRÍA

O

Una recta tangente a una circunferencia en un punto P, es perpendicular al radio que cae sobre el mismo punto P.

P

c

a Los arcos correspondientes a cuerdas congurentes, también son congruentes y viceversa.

O

a c

Dos cuerdas congruentes están a la misma distancia del centro.

d O

d

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

Si dos rectas tangentes a una circunferencia se cortan en un punto fuera de la circunferencia, los segmentos entre los puntos de tangencia respectivos y el punto común son congruentes.

O

El diámetro es la mayor cuerda de la circunferencia oda cuerda es dimidiada por algún radio de la circunferencia, y además este radio es perpendicular a la cuerda

Los arcos comprendidos entre las mismas rectas paralelas dentro de la circunferencia son congruentes.”

64

O

r

O

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TOMO IIIGEOMETRÍA

ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA Ángulo del Centro Se define como ángulo del centro a aquél que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y está formado por segmentos que son radios de la circunferencia. Este ángulo describe un arco que tiene la misma medida angular (como se muestra en la figura). La medida de la circunferencia completa es de º o π enradianes (veremos dichas definiciones en breve)

Arco descrito por α α

Ángulo Inscrito Es cualquier ángulo cuyo vértice pertenezca a la circunferencia y los segmentos sean a lo menos tangentes a la circunferencia, es decir, o son segmentos rectos con extremos en la circunferencia o son segmentos rectos que cortan en un único punto a la circunferencia. Se tiene que el ángulo inscrito mide siempre la mitad de la medida angular del arco que subtiende, o equivalentemente, mide la mitad de la medida del ángulo del centro que tiene el mismo arco.

Arco descrito por

α

2

α/

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

Los ángulos inscritos tienen ciertas situaciones especiales las cuales describimos a continuación dada su importancia en algunos casos

Ángulo inscrito en semi-circunferencia

º

Siempre mide º, ya que describe un arco de º

Ángulo inscrito con un segmento tangente

α

Sigue respetando la misma propiedad. Con este tipo de ángulos inscritos, es fácil demostrar que una tangent e siempre es perpendicular al radio.

α/

Ángulo inscrito con dos segmentos tangentes º

Es el extremo del ángulo inscrito y forma una línea tangente a la circunferencia. Como se aprecia, respeta la propiedad.

º

66

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TOMO IIIGEOMETRÍA

Suma de los ángulos interiores de un triángulo. Como vimos en capítulos anteriores, todo triángulo tiene un punto llamado circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita a él.

β

γ

Sabiendo esto, es fácil mostrar que la suma de los ángulos interiores de

α

un triángulo siempre suma α+ β+ γ=

α

º⇒α+β+γ=

º.

º

γ

β

Ángulo Interior Es aquel cuyo vértice está al interior de la circunferencia. Los segmentos rectos que lo forman tienen sus extremos en la circunferencia y describen dos arcos (no necesariamente iguales), como muestra la figura a continuación

A

Y además cumple siempre que

D

α =

α



2

α C

B

Un caso especial es cuando el vértice coincide con el centro, que presentamos a continuación a modo de ejemplo para demostrar en cierta manera la consistencia de lo expuesto anteriormente α =

AB + CD



α +α

2

lo que se corresponde con el ángulo del centro.

A

D

α

B

α

C

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

Ángulo E xterior Es aquel ángulo que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia y los segmentos rectos que lo componen, cortan al menos dos veces a la circunferencia (al menos una intersección por cada segmento).

D A α B C

Para este caso, tendremos que siempre se cumple que

α

CD AB 

=

−



2

Un caso extremo se da cuando ambos segmentos son tangentes a la circunferencia

B

α

α

AB BA



=

−



2

A

68

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TOMO IIIGEOMETRÍA

RADIANES, GRADOS Y GRADIANES Los ángulos se pueden medir de múltiples formas. Sin embargo, son las más conocidas, las cuales pasamos a describir a continuación, además de presentar una forma de como pasar de una medida a otra.

Grados Hexadecimales o Grados Son los que dividen la circunferencia en partes iguales, y cada una de ellas representa un grado, al cual denotaremos por º. Grados Centesimales o GradianesSon los que dividen la circunferencia en g partes iguales, y cada una de ellas representa un gradián, al cual denotaremos por . Radianes Son los que el ángulo completo (que conocemos por º) se denota por π radianes. Esto se debe a que en una circunferencia de radio , su perímetro es justamente el arco de círculo el cual corresponde al ángulo completo, que vale π.

Nota Cuando la circunferencia no es de radio , entonces la longitud del arco de circulo correspondiente a un ángulo

Es trivial calcular las equivalencias entre ellos, solo utilizando la regla de tres usual. [Rad]

º π

g

del centro de α radianes, es rα donde

r es el radio del circulo.

En general, utilizando la regla de tres, puedo pasar de uno a otro sin mayor dificultad.

π π/ π/

SEGMENTOS PROPORCIONALES EN LA CIRCUNFERENCIA Un tema que va de la mano con los ángulos de la circunferencia, es el de los segmentos que forman los ángulos tanto interiores o exteriores y sus propiedades, los que pasamos a presentar a continuación

Producto potencia Si una circunferencia se corta por dos rayos que cortan cada uno en dos puntos a la circunferencia, que se interceptan en un punto fuera de ella, los trazos resultantes están en proporción tal que PA · PB = PC · PD

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

D C P A B

Un caso particular se da cuando uno de los rayos es tangente a la circunferencia. En tal caso la proporción se mantiene, de manera que 

P · P = PA · PB, ⇒ P = PA · PB.

P A B

Ahora, si ambos son tangentes, se tendrá 

P Observación Este resultado se puede demostrar por congruencia de triángulos al trazar los radios que llegan a T y T’, y el segmento que une el centro de la circunferencia con el punto P. Se deja como ejercicio propuesto para ustedes.

70

’ P · P = P’ · P’ ⇒ P = P’ ⇒ P = P’

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TOMO IIIGEOMETRÍA

Los resultados expuestos anteriormente están ligados a un ángulo exterior a la circunferencia, pero de manera introductoria dijimos que veríamos ángulos interiores y exteriores y por ello, introduciremos el siguiente teorema referente a los segmentos de un ángulo interior.

Teorema de las cuerdas

Si se trazan dos cuerdas que se interceptan dentro de la circunferencia, entonces se tiene la siguiente relación Observación Este teorema es válido para todo par de cuerdas que se intersecten dentro

C

D

de la circunferencia. En particular si ese punto coincide con el centro de

E AE · CE = DE · BE

ella, lo satisface.

O A

B

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

EJERCICIOS

. Determinar el medida (de largo) del arco AB,s i α 50º,O A 4 , con O centro de la circunferencia 

=

=

. En la figura, O centro de la circunferencia de radio cm. Si elángulo AOB mide º, entonces el largo del arco BA es 

α

A

O

O A

B

B

2π 9 10π B) 9 20π C) 9 40π D) 9 A)

E)Ninguna de las anteriores

. Para un círculo de radio cm, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)? I. El perímetro de la circunferencia mide π cm. II. El área del círculo mide π cm . III. La cuerda mayor mide cm. A) Solo I B) Solo I y III C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

72

A) B)

3π 2 π

3 C)3π 8π D) 3 5π E) 2

. Una cuerda perpendicular al radio de una circunferencia de radio cm, está a cm del centro, entonces ¿cuál es la longitud de la cuerda? A)2 3 B) 4 3 C) 8 3 D) 3 3 E)Ninguna de las anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura, el arco BC es el % del perímetro de la circunferencia. Determineα 

. En la circunferencia de centro O,BCA 40º . El valor de x es =

B

B

A α

x

A C

O

C

A) º B) º C) º D) º E) Ninguna de las anteriores

A) B) C) D) E)

. Dada la circunferencia de radio r, entonces el ángulo α de la figura medido en grados, es

º º º º º

. Si con el diámetro de una circunferencia de área π se construye un cuadrado ¿Cuánto mide la diagonal de dicho cuadrado? A)10 2

α

90 2r 110 B) 2r 180 C) 2r 90 D) r E)Ninguna de las anteriores A)

π

B)5 2 C)100 D)25 E)Ninguna de las anteriores

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

. Si se tiene un cuadrado de lado 2 3π y se construye una circunferencia con la misma área, entonces el radio de dicho círculo será

. En la figura, AP 15 y AB longitud de la tangente es =

=

AP , entonces la 5

T

A)2 7 B)2 5 C)2 2

P

D)2 3 E)Ninguna de las anteriores

B

A

A)5 10 B)5 6

___ ___ ___ ___. En la figura, ___ AC y EC son secantes,___AB = AC = cm y ED= cm. La medida de DC es

cm,

C) 6 3 D) 6 6 E) 6 5

A

E

. En __la mayor tiene _ figura, la___circunferencia ___ radio AB = cm y AB, BC son diámetros de las _dos __ circunferencias menores respectivamente con A B= ___ BC . ¿Cuánto mide el área achurada? B

25 cm 4 4 B) cm 25 2 C) cm 25 25 D) cm 2 E)5cm A)

74

D

C A

A) B)

B

C

π cm π cm

C) π cm D) π cm E) Ninguna de las anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si el área de una circunferencia se cuadriplica, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Su diámetro aumenta en un

. En la figura, el valor de a es a

% a

II. Su perímetro aumenta al doble III. Su radio se duplicó A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

A) B) C) D) E)

. En un triángulo equilátero de lado m, el diámetro de la circunferencia inscrita en él mide A) 9 3 B)2 3

2π . Si un ángulo α mide , entonces la mitad de 5 él medido en grados es

C) 6 3 D) 3 3 E)12 3

. Según la figura de la pregunta sección, el área no achurada es A) B)

A) B) C) D) E)

º º º º º

de esta

π cm π cm

C) π cm D) π cm E) Ninguna de las anteriores

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

. El cuadrilátero ABCD está circunscrito a una circunferencia, siendo E, F, G y H los puntos de tangencia. Si ED= , CF= , GB= y HA= , entonces ¿cuál es el perímetro del cuadrilátero?

___ . En la circunferencia de radio r, si A B= ryM ___ punto medio del segmento AB entonces el valor de x es A

C

C

E

D

x M F

B

D

H

B G A

A) B) C) D) E)

A)r 2 r B) 2 C)r r 2 2 E)Ninguna de las anteriores D)

. Según los datos de la figura, la medida de x es

. En la figura, el radio de la circunferencia es , entonces el valor del ángulo AEB en grados es C A

x+

π

E

x

B

2π

2 D

A) B)

A) B)

º º

C) D) E)

C) D) E)

, º , º º

76

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TOMO IIIGEOMETRÍA

___ ___ . BC y B D tangentes a la circunferencia, γ = º, entonces ¿cuánto valeβ?

. Sea α+β = º, O centro de la circunferencia. Entonces el arco BA en medida angular mide 

C

A

A

γ

β

O

B

B

α

β

D

A) B) C) D) E)

º

A) B) C) D) E)

º º º º

. Sea O el centro de la circunferencia que se muestra en la figura. El arco AB es el triple del arco BC, entonces el ángulo x en función de α es D

º º º º º

. Sea el arco BA una semicircunferencia ___ de centro O, tangente al rectángulo ABCD, AB = , entonces el área achurada es D

C

α O x

A C

A) α B) α C) α D) α

A

O

B

B

A) − π B) − π C) − π D) − π E) Ninguna de las anteriores

E) Ninguna de las anteriores

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

. En la figura, tenemos que O es centro de la circunferencia, entonces el ánguloα vale

. En la figura, ___ ___la circunferencia ___ ___ de centro O tiene radio r. Si A__C _ : CD = p : q y AB : BE = : , entonces el segmento EF mide E

F D º

α

O O º

A)

B

π

C

2 5π 12 2π C) 3 3π D) 4 B)

E)

A

π

6

. Sea el triángulo ABC con CD altura en C. Sea E el punto medio del lado BC. Además el ángulo DEC es el doble del ángulo ACD, entoncesα + β es igual a

A)

 2p  p 2r  2r + 4r  q q 

B)

p2 4r + 1 q2

(

)

 p p 2r  2r + 2r  q q 

C)

C α

D)2

E

A

A) B) C) D) E)

78

º

β

D

B

E)

 p p 2r  2r + 2r  q q 

 1 p p 2r  2r + 2r  2 q q 

º º º º º

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TOMO IIIGEOMETRÍA

___ . En la figura, CB es diámetro de la circunferencia de centro O. El triángulo ABC ___ ___ está inscrito en la circunferencia, CO = cm y CA = cm. ¿Cuánto mide el perímetro de la región achurada?

. Si con el perímetro de un cuadrado de lado se construye una circunferencia, entonces su radio será A)

C

4 π

B) C)

O

π

D) A

9 2π 8

B

16 π

E)Ninguna de las anteriores A) π + B) π− C) π − π+ D) E) Ninguna de las anteriores

. Según la figura, el valor de x es

. El % del área de un círculo corresponde a un sector circular cuyo ángulo mide A) º B) , º C) º D) º E) No se puede determinar

x

A)2 10 B)2 5 C)12 2 D)10 2 E)Ninguna de las anteriores

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

. En la figura, O es centro de la circunferencia, entonces el valor del ángulo x es

. En la figura, se muestra una circunferencia de radio y centro O. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?



I. BA = º II. La medida del arco AB esπ (medida de longitud) III. El triángulo AOB es rectángulo isósceles

x O

C 45º

A) B) C) D) E)

º º º º º

O

A

. En la figura, O centro de la circunferencia de radio y elarco DB mide (en longitud) 2 π , ¿cuál es 3 el valor del ángulo x? 2 _π 3 B

D

x

O 35º

B

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

E

C

A

A) B)

º º

C) º D) º E) º

80

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TOMO IIIGEOMETRÍA

___ ___ . Si el segmento BG corta a DH en razón : , entonces ¿cuánto vale y en la figura?

A) B)

4

C B

A

C)

α − 2β

2 α + 2β

2 α −β

2

5

D)

3

2 x

α +β

2 E) α + 2β

D

E z y H

G

A) B) C)

. Si DE mide el triple que EA, entonces EA vale

20 D) 3 15 E) 4

C 5

B

4 A

E D

. O es centro de la circunferencia. ¿Cuánto valeγ en función de α y β? D E O A

α

A) B) C) D) 6 E)

β

γ

B

C

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CAPÍTULO 4CIRCUNFERENCIA

. Desde un punto externo a una circunferencia que está ubicado a cm de la misma, se traza una secante cuyo segmento exterior mide el doble del radio r. ¿Cuánto vale el segmento interior? A) r − , B) r C) ( r − ) D) r + 8 E) 4 + − 2r r

. En la figura, el trazo CD corta en razón m : n al diámetro y es perpendicular a él. Si la circunferencia tiene radio r y el segmento EB mide r , ¿cuánto vale la longitud del trazo CD en términos a de m, n, r y a? C

A

O

E

B

D

 mr  − r  na 

2

A) r 2 − 

m  − 1  na 

2

B) 2r 1− 

(

C)na r 2 − mr − r

2

)

2r m a n E)Ninguna de las anteriores D)

82

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TOMO IIIGEOMETRÍA

MIS ANOTACIONES Te damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

CAPÍTULO 5

POLÍGONOS

84

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TOMO IIIGEOMETRÍA

POLÍGONOS Polígono

Se define como una figura plana formada por segmentos rectos unidos en sus extremos, donde la cantidad de segmentos es finita y estos no deben estar alineados. Estos se llaman lados o aristas y los puntos donde se unen se denominan vértices. Un polígono se denomina cerrado si cada uno de los segmentos que lo componen está unido a otro segmento en cada uno de sus extremos. Diremos que el polígono es abierto si dos de los segmentos que lo componen tienen uno de sus vértices libres. Además también podemos denominar a un polígono como simple si los segmentos que lo componen no se intersectan entre sí y polígono complejo si es que sí lo hacen. En las figuras a continuación presentamos cada uno de los casos descritos anteriormente

Polígono Cerrado

Polígono Simple

Polígono Abierto

Polígono Complejo

Los polígonos no sólo se clasifican en simples y complejos o abiertos y cerrados, si no que existen un par de criterios más para poder clasificar estos objetos. Para nuestros propósitos, sólo consideraremos en esta clasificación polígonos cerrados (a pesar de ser análoga para polígonos abiertos)

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

Regular Convexo Irregular

Simple Polígono

Cóncavo Complejo

Convexo/Cóncavo

Un polígono simple es convexo si toda recta que lo atraviesa, lo corta a lo más en dos puntos. Si no cumple esto, es cóncavo.

Polígono convexo

Polígono cóncavo

Regular/Irregular

Un polígono simple convexo es regular si es equilátero (todos sus lados iguales) y si todos sus ángulos interiores son iguales. De lo contrario, es irregular.

Polígono regular

Polígono irregular

Además los polígonos reciben nombres de acuerdo a su cantidad de lados. A modo de ejemplo presentamos la siguiente lista con los nombres de los más conocidos Nombre

Triángulo

Nombre

Nº Lados

Octágono Cuadrilátero

Pentágono Hexágono Heptágono

86

Nº Lados

Eneágono Decágono Endecágono Icoságono

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TOMO IIIGEOMETRÍA

CUADRILÁTEROS Y SU CLASIFICACIÓN En un capítulo anterior revisamos en profundidad uno de los polígonos más conocidos, estos son los triángulos. Ahora le toca el turno a otro de los polígonos más conocidos a los cuales los denominamos cuadriláteros, los cuales partiremos clasificándolos de acuerdo a sus regularidades Trapecio Un cuadrilátero es trapecio, si posee un par de lados que son parale-

los. En el caso en que los otros lados sean de igual medida, se denomina trapecio isósceles. Si no es trapecio, es decir, no posee un par de lados paralelos, entonces lo denominaremos trapezoide.

Trapecio Isósceles

Trapecio

Trapezoide

Paralelógramo Son aquellos que tienen sus lados opuestos paralelos e iguales, se forman por la intersección de dos partes de paralelas L

α

L L

β

L //L L //L α + β=

º

L

En el caso particular en que α = β = º, se denomina rectángulo y por otro lado, si los lados son congruentes, se denomina rombo. Si no es rectángulo ni rombo, se denomina romboide. Un caso especial de rectángulo, es aquel que tiene todos sus lados de igual longitud y al cual denominamos cuadrado. Cabe notar que el cuadrado es un caso especial no solo del rectángulo, sino también un caso especial de rombo.

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

DIAGONALES Si tenemos un polígono cerrado de n lados, podemos apreciar que desde cada vértice se pueden trazar n− diagonales. Es n− ya que no se puede trazar una diagonal a si mismo, ni a los vértices vecinos. Por lo tanto a priori deberíamos tener n − diagonales por cada unode los n lados.

B

A

En consecuencia, tendríamos n × ( n − ) diagonales. Sin embargo, estamos contando dos veces cada línea (cuando estamos en el punto A y en el punto B), por lo tanto debemos dividir por dos, es decir, el número de diagonales de un polígono cerrado de n lados es n(n − 3) . 2

ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES Ya vimos en capítulos anteriores que los ángulos interiores de un triángulo suman º. Podemos extender este resultado a cualquier polígono cerrado dividiéndolo en triángulos de la siguiente manera

Lados, triángulo, La suma de los ángulos interiores es × º = º.

Lados, triángulos, La suma de los ángulos interiores es × º = º.

88

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TOMO IIIGEOMETRÍA

Lados, triángulos, La suma de los ángulos interiores es × º = º.

En general se tiene

∑  int pol n lados = (n -

)

º

En particular si el polígono es regular, cada ángulo mide 

int pol Regular =

(n − 2)180º n

Por otro lado, los ángulos exteriores de un triángulo suman fácilmente como se ve a continuación º−γ

γ

º−α

º. Sedemuestra

∑  extΔ =

α

º−α+ º − (α + β + γ)=

=

º−β+ º−γ º− º= º.

β

º−β

Para un cuadrilátero la situación es la misma º−δ δ γ

º−α α β º−β

º−γ ∑  ext

= º−(

=

º−α+

º−β+ º−γ+ )= º− º=

α+β+γ+δ

º−δ º.

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

Se puede demostrar que en todo polígono cerrado, la suma de sus ángulos exteriores es º. En particular si es regular de n lados, se tiene



ext =

º. n

ÁREA Y PERÍMETRO DE POLÍGONOS Triángulo El área de un triángulo se calcula como

b: base h: altura h

Área del triángulo =

b·h

2

b Ojo que hay tres bases y alturas correspondientes, por tanto tres maneras de calcular el área. Se debe llegar al mismo resultado. El perímetro es simplemente la suma de sus lados.

ParalelógramoEl área de un paralelógramo se calcula como

h

b: base h: altura Área del paralelógramo = b · h

b Lo anterior se cumple para cualquier paralelógramo.

90

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TOMO IIIGEOMETRÍA

a

b

a

a

a

a

a

a

a

a h

b

Cuadrado

a

Rectángulo

Área: a Perímetro: a

Rombo

Área: ab Perímetro: a + b

Trapecio Se calcula como

Área: ah Perímetro: a

 Base1 + Base2  ⋅ altura   2

base

la

o d

Observación la d

altura

o

El perímetro es simplemente la suma de las bases y lados

El segmento que une los puntos medios de los lados de un trapecio recibe el nombre de mediana. Además,

base

su medida coincide con la semisuma de las bases. Así, otra manera de

Nota. Generalmente para el rombo se calcula el área como el semi-producto de las

diagonales, veamos por qué.

calcular el área de un trapecio es multiplicar la medida de la altura por la medida de su mediana.

Sean d y d las diagonales de un rombo de lado a, β

a α

α

d

En este ejercicio utilizaremos una serie de resultados ya obtenidos, por lo que es bueno repasarlo por completo para recordar aquellos resultados.

d β

β

Si consideramos solo d , vemos que divide al rombo en dos triángulos isóceles

d

a

β α/2 α/2

β

Más aún, por criterio LAL, ambos triángulos son congruentes, así

d a

α/2 α/2

β

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

β

Ahora si hacemos lo mismo con d , obtenemos un resultado similar

a

2

β

α

2 d β

β

β

Uniendo ambos resultados, que po-por demos obtener triángulos vemos congruentes criterio ALA

β

α

2

2 α

2

a

2

α

2 α 2

Esto conlleva dos resultados interesantes, las diagonales se dimidian y forman ángulos de º, por lo tanto se tiene

2

2

α

β

2

β

2

β

2

β

α

2

2

α

2

a α

2 α 2

β

2

Ahora, para calcular el área del rombo, basta con calcular el área de uno de los triángulos y multiplicar por . Así

β

2

d2

2 d1

2

d1 d2

Entonces

⋅

área

Δ

=

árearombo

92

2 2 2 =

4

d1 d 2 ⋅

=

d1 d2

8

⋅

⋅

8

d1 d2 ⋅

=

2

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TOMO IIIGEOMETRÍA

ÁREA Y PERÍMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA Ya en el siglo III A.C. Arquímedes fue capaz de determinar el valor de la constante que se obtiene al dividir el perímetro de una circunferencia por su díametro. En Egipto, Mesopotamia y China, se han encontrado estudios de la época pre-cristiana (incluso del A.C.) con aproximaciones sorprendentemente cercanas. Sin embargo, fue el matemático Leonhard Euler quien popularizó el uso del símbolo π para denotar esta constante a mediados del siglo XVIII. Perímetro =π Díametro

Se tiene que

pero el diámetro es dos veces el radio ( r), entonces Perímetro = πr Basándonos en este resultado, es posible demostrar también que el área del círculo de radio r es πr . Además también se puede calcular el área de un sector circular, que es la zona que se muestra achurada en la imagen

Se calcula r 2θ

O θ

A = 2 si θ está medido en radianes 2 As.c.= π r θ º si θ está medido en grados 360º s.c.

Lo anterior es consecuencia directa de la proporcionalidad directa que existe entre el ángulo y el área/perímetro de un sector circular, es decir, 

Área S. circular

θ

º

π

x r



Perímetro S. circular

θ

x

º

πr

Por lo tanto, podemos calcular áreas o perímetros de sectores circulares con una regla de tres simple.

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

EJERCICIOS

. Respecto a un pentágono regular, podemos afirmar que

. Si cada cuadrado en la figura tiene lado . ¿Cuál es el área del polígono dado por la línea negra?

I. Tiene todos sus lados iguales II. Se compone de triángulos isósceles III. Tiene un par de lados paralelos A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

A) B) C) D)6 2 + 12 E)6 2 + 28

. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado, si la circunferencia circunscrita a él tiene radio4 2 ? A) B) C) d)16 2

. En la figura, ABCD es un cuadrado de perímetro a y AFGE rectángulo. Si AE = y AF = , ¿Cuál es el perímetro de la figura achurada? D

e)3 2 2

E

. ¿Cuál de los siguientes polígonos no es convexo? A) Un triángulo B) Un rectángulo C) Un cuadrado D) Un pentágono E) Una estrella

94

A

A) B) C) D) E)

C

G

F

B

a− a a− a− a+

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. El área de la figura que se obtiene al unir los puntos ( , ), (- , ) y (- , ) es A) B)

. Si el largo y el ancho de un rectángulo miden cm y cm respectivamente, entonces su diagonal mide A)

C) D) , E)

cm

B) cm C)13 10 cm D)12 10 cm

E) Ninguna de las anteriores

. Si ABCDEF es un hexágono regular de lado . ¿Cuánto vale el área? F

. En la figura, se muestra un rombo de diagonales cm y cm. ¿Cuánto mide el área no achurada?

E

A

D

B

C

9 3 2 B)27 3 A)

27 3 2 81 3 D) 2 E)18 3 C)

A) B) C) D) E) No se puede determinar

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

. Las tapas de un libro están formadas por rombos congruentes como se muestra en la figura, cuyas diagonales miden cm y cm. ¿Cuánto mide el perímetro de las tapas del libro?

. ¿Cuál de las siguientes características es propia de un polígono regular? A) Tienen la misma cantidad de vértices que de lados B) Tienen menos diagonales que lados C) Tienen todos sus ángulos iguales D) Tienen todos sus lados iguales E) Son correctas C) y D)

A)7 89 B)8 89

. El cuadrilátero en la figura es un rombo. ¿Cuánto mide el ángulo α?

C)6 89

D) E) Ninguna de las anteriores

C D

. En la figura, D y E son puntos medios, el área del ABC mide cm , entonces ¿Cuánto vale el área achurada?

23

α

B

C A E

A

A) B)

cm cm

C) cm D) cm E) cm

96

D B

A) B) C) D)

º º º º

E)

º

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Con respecto al paralelogramo que se muestra en la figura, es falso que

δ

γ

β

α

A) α = º B) β = δ C) γ = º D) δ = º E) α + β =

º

. En un triángulo equilátero, si cada lado aumenta en una unidad, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) Su perímetro aumenta en B) Su área aumenta en C) Su perímetro se mantiene constante D) Su área se mantiene constante E) Su altura aumenta en

º . El área del trapecio de la figura es

. Según los datos entregados por la figura, el ángulo x mide

º

A)4 8 3 x

B)24 3 C)12 3

D) E) No se puede determinar A) º B) º C) º D) E)

º º

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

. En la figura, el ángulo BCD mide º, CA es bisectriz del ángulo BCD y r es el radio de la circunferencia de centro O. ¿Cuánto vale el el área achurada?

A

D

A

. En la figura, ABCD es un trapecio isósceles, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) correcta(s)?

O

B

C D

B

4 2 r 3 πr − 3 2 1 2 r2 3 B) πr + 3 2 1 r2 3 C) π r 2 − 3 2 1 2 3r2 D) π r + 3 2 E)Ninguna de las anteriores A)

C

___ I. DC = II. El___área del trapecio ABCD es 15 3 III. BC = A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Todas son correctas

. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) incorrecta(s)?

. En un rombo sus diagonales están en razón : respectivamente, y la suma de sus diagonales es igual a .El área del rombo es A) B) C) D) E)

I. En un trapecio isósceles, sus diagonales son perpendiculares II. En un trapecio isósceles, sus diagonales se dimidian III. En un trapecio isósceles, las diagonales tienen distintas medidas A) Solo I B) Solo II C) D) Solo Solo IIIyyIII III E) I, II y III

98

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

. Si ABCD es un cuadrado, DE es bisectriz del ángulo ADB, entonces el ángulo x vale C

D

I. Los trapezoides tienen sus lados paralelos II. Las diagonales de todo rectángulo son perpendiculares entre sí III. En cualquier paralelogramo la suma de sus ángulos opuestos es º

x

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

A

A) B) C) D) E)

E

B

º , º , º , º º

. En la figura, se muestra un rombo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? C D

M B A

I. El ángulo AMD vale º II. El triángulo ABC es congruente con el triángulo DCB III. DB es bisectriz del ángulo ABC

. Si en una circunferencia el radio disminuye a la mitad, entonces ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I. El perímetro disminuye a la mitad II. El área se reduce a la cuarta parte III. La razón entre las áreas es : A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

. En el trapecio de bases AB y CD que se muestra en la figura, la medida del ángulo x es D

. Determine el área achurada si O es el centro de la circunferencia de radio

C 30º

x-

A) B) C) D) E)

O

x

A

B

º º º º º

A)

49  π 3  −   2  3 2 

 1  50π − 49 3  B)  4 3  π  − 3 6 

C)49 

___ ___. Sea el arco BA una semi-circunferencia. A C= BC = , entonces el área achurada es

y

D)7π − 7 3 6 4 E)

C

A

49  3 π −  2  2 

B

A) , π − B) , π − C) π − D) π − E) π −

100

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura, ABCD es un trapezoide simétrico con base BD. ¿Cuál es la medida del ánguloα?

. Si en un polígono regular, los ángulos interiores miden º, entonces la cantidad de lados de dicho polígono es

A

A) B

B) C) D) E)

D

55

α

C

A) B) C) D) E)

º º º º º

. Si un polígono regular tiene diagonales, entonces la cantidad de lados de dicho polígono será A)

___ . En la figura, ___ ABCD trapecio siendo la mediana EF = cm y AD = cm. Entonces su área es D

E

A

B) C) D) E)

C

F

B

A) cm B) cm C) cm D) cm E) Falta información

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CAPÍTULO 5POLÍGONOS

. Si ABCD es un romboide y EF / / BC, entonces el ángulo x mide F

D

. En la figura, ABCD un cuadrado y el triángulo BCE equilatero. Entonces el valor del ángulo α es

C

C

D

E x A

α

B

E

A

A) º B) º C) º D) º E) Ninguna de las anteriores

B

A) º B) º C) º D) º E) Ninguna de las anteriores

. ABCD y DCEF son romboides. Si el ángulo ABC mide º y el ángulo BCE mide º, entonces el ángulo x mide

. Sea la circunferencia de centro O, ABCO cuadrilátero, entonces el valor de x es

F

D x

C

O x

E

º

A

A

C

º º º

A) B) C) D) E)

102

º º º º º

B

B

A) B) C) D) E)

º º º º º

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura se muestra un velero ___ conformado por ___ el trapecio isósceles ABCD con AD = m,___ AB = m y un bandera que tiene una altura EF , la cual es el triple de la altura del trapecio. Entonces la altura total del velero es

. Si en la figura, AB = BC = CD = DE, entonces ¿cuál es la razón entre el área achurada y la no achurada?

F A

E

A

A)6 3 B) 8 3

D

D

B C

E

B

C

C)2 3 D)7 3

A) B) C) D) E)

: : : : :

E)9 3

. En la figura, ABCD es un cuadrado con perímetro , el cual está formado por cuadrados congruentes y subdividido a su vez en triángulos semejantes. ¿Cuál es el área de la zona achurada?

. En la figura , ' y '' soncentros de las semicircunferencias ¿Cuánto vale el área achurada?

O' O

A) B) C) D) E)

A) B) C) D) E)

O'

O''

π π π

, π π

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

CAPÍTULO 6

TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

104

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TOMO IIIGEOMETRÍA

DEFINICIONES La palabra isometría viene del griego iso (igual o mismo) y metría (medir), por lo que se puede entender como de igual medida, por ello las transformaciones isométricas se pueden definir esencialmente como transformaciones de una figura plana, donde no se alteran sus dimensiones y la figura resultante es congruente a la inicial. En el plano, distinguimos tres tipos de transformaciones isométricas: Simetría, Traslación y rotación. Simetría Existen dos tipos de simetrías, la simetría central o respecto a un punto y la simetría axial o respecto a un eje o recta. La simetría central consiste en la transformación, que dado un punto p (centro de simetría), asocia a cada punto, otro como imagen que cumple las dos siguientes condiciones,

El punto inicial y la imagen de él vía la transformación, están a la misma distancia del centro de simetría p. Tanto el punto inicial, como su imagen y el punto p son colineales, es decir, pertenecen a la misma recta. La figura muestra un ejemplo de la simetría de un triángulo respecto al punto p B

A’

p C

C’

A

B’

Por otro lado una simetría axial respecto a la recta L consiste en asociar a cada punto de una figura, otro punto que cumple las siguientes dos condiciones La distancia del punto a la recta L, es la misma que la distancia de su imagen a la recta. El segmento que une a cada punto con su imagen,

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

es perpendicular a la recta L. L B’

B

C

C’

A’

A

Un ejemplo de simetría axial se muestra en la siguiente figura. La simetría anterior, se puede asimilar al reflejo de un espejo usual. Traslación La traslación corresponde a la transformación que realiza un cambio de posición de cierta figura, cambiando todos los puntos que la conforman en una dirección y distancia determinada e igual para todos ellos. Esta dirección y distancia es conocido como el vector de traslación.

B’ B

C’ C A

A’

En el ejemplo anterior, vemos que el ∆ABC cambió de posición al triángulo ∆A’B’C’, luego el vector de traslación para el ejemplo tendrá magnitud igual al largo del segmento AA’ o BB’ o CC’ y dirección desde A hacia A’. Rotación La rotación es la transformación que cambia la orientación de una cierta figura respecto a un punto que denominamos centro de rotación p, donde cada punto x es llevado hacia otro punto y que está a la misma distancia del centro de rotación, ademá s el ángulo xpy es denominado ángulo de rotación. El ángulo de rotación puede ser

negativo o positivo, si un punto rota en sentido contrario al reloj entonces el ángulo es positivo y en caso contrario es negativo.

106

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TOMO IIIGEOMETRÍA

y

θ

p

x

La siguiente tabla presenta como se rota un punto cualquiera en torno al origen y en sentido positivo según el ángulo que se indica (x, y) º

(−y, x) º

(−x, −y) º

COMPOSICIÓN DE ISOMETRÍAS Las isometrías pueden componerse de cualquier manera, pero tenemos que tener claro que no siempre obtenemos los mismos resultados componiendo cier-

(y, −x)

(x, y)

º

º

S(R(x))

R(x)

S(x)

º º

x

R(S(x)) tas isometrías en distintos ordenes. Por ejemplo si roto un punto x en º y luego veo su simétrico respecto al ejeY, no da lo mismo que si primero hago la simetría y luego roto, como se ve en la figura Donde R representa una rotación en º respecto al srcen y S una simetría respecto al eje Y, donde podemos observar que no es lo mismo en caso de componer rotación y simetría en distinto orden.

Luego, tendremos una pequeña lista de composiciones interesantes que puede ser complementada por ustedes. Al hacer una simetría dos veces respecto al mismo eje, se obtiene el punto inicial. Rotar en º es equivalente a hacer una simetría respecto al centro de rotación.

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

EJERCICIOS

. ¿Cual de las siguientes figuras no posee eje de simetría? A)

D)

B)

. La figura a continuación representa una

C)

E)

A) Traslación B) Rotación C) Simetría central D) Simetría axial E) Ninguna de las anteriores

. ¿Cuál de las siguientes alternativas siempre tiene exactamente dos ejes de simetría? A) La circunferencia B) El rombo C) Un rectángulo D) Un cuadrado E) Una hoja de papel tamaño carta

108

. ¿Cuál de los siguientes objetos tiene un y sólo un eje de simetría? A) Cuadrado B) Rectángulo C) Triángulo Isóceles D) Rombo E) Cubo

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si el cuadrado de la figura,

. De las siguientes figuras, ¿cuál(es) correspone(n) a una simetría?

I. se rota en º respecto a su vértice inferior izquierdo, y luego se refleja respecto a la recta, obtenemos

A)

II. B)

C) III.

D)

E)

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

. La figura

. En un polígono regular de n lados, ¿cuántos ejes de simetría puedo encontrar? A) n n(n + 1) B) 2 n C) 2 D) n E) n

tiene

ejes de simetría. ¿Cuál es el valor de

?

A) B) C) D) E) Infinitos

. Si tenemos la siguiente figura,

P y aplicamos una simetría respecto al punto P y luego una rotación en º, obtenemos . Si el punto Q( ,− ) se traslada tres unidades a la derecha, y luego dos unidades hacia abajo, se obtiene el punto A) ( ,- ) B) ( , ) C) ( ,- ) D) ( ,- ) E) Ninguna de las anteriores

A)

B)

C)

P

P

P P D)

E) P

110

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura, todos los cuadrados son congruentes

. Si un rectángulo de papel, se dobla por cualquiera de sus dos ejes de simetría paralelos a sus lados y luego nuevamente lo mismo, el rectángulo tiene área resultante igual a A) La mitad del srcinal B) Un tercio del srcinal C) Si se doblo por sus ejes de simetría más largos, entonces es la mitad D) A un cuarto del área srcinal E) No se puede saber si no se sabe que ejes se eligieron

¿Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s) con respecto a los triángulos de la figura? I. Son congruentes II. Son semejantes III. Son rectángulos escalenos A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

. En teoría, nuestro cuerpo posee un eje natural de simetría que nos divide en dos mitades idénticas. Dicha simetría es una simetría axial, entonces considerando este cuerpo perfecto que tiene una simetría axial, cuál de las siguietes partes corresponde a una simetría central? A) La oreja B) Un nudillo C) El iris D) El estomago E) No existen simetrías centrales en el cuerpo humano

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

. Si el punto Q tiene coordenadas (- , ), entonces su simétrico respecto al srcen es

. ¿Cuál(es) de las siguientes transformaciones permite(n) que el cuadrado ABCD se convierta en el cuadrado GHEF?

A) ( , ) B) (− ,− ) C) ( ,− ) D) (− , ) E) Ninguna de las anteriores

-

. Si al trasladar el punto ( , ) se obtiene el punto (− , ), entonces al aplicar la misma traslación al punto (− , ) se obtiene A) (− , ) B) (− , ) C) (− , ) D) ( , ) E) (− ,− )

112

-

F

E

G

H

D

C

A

B

-

-

I. Traslación en la dirección (- ,- ) II. Rotación respecto al srcen III. Reflexión respecto al eje Y y luego respecto a 1 la recta y 2 = −

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si el punto P tiene coordenadas ( ,- ) entonces su simétrico respecto al punto ( , ) es A) ( , ) B) ( , )

. Al punto ( , ) se le aplica un traslación, obteniendo el punto (- , ). Entonces elvector de traslación aplicado es A) (- , )

C) (− , ) D) ( , ) E) (− , )

B) (- ,- ) C) (- , ) D) (- , ) E) ( , )

. Si al punto P(− , )se le aplica una traslación cuyo vector es T ( , ),se obtiene el punto

. Al punto ( , ) se le aplica una traslación, obteniéndose el punto ( , ). Si al punto (- ,- ) se le aplica la misma traslación, se obtiene el punto

A) (- ,- ) B) (- , ) C) (- , ) D) ( , ) E) ( ,- )

A) (- , ) B) ( ,- ) C) ( ,- ) D) ( ,- ) E) Ninguna de las anteriores

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

. Dado un punto P de coordenadas ( , ), ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de P respecto al eje Y ?

. Si a un punto del segundo cuadrante se le aplica una traslación por el vector (- ,- ), entonces el punto no puede estar en

A) ( , )

A) El primer cuadrante

B) ( ,C) (- , D) ( ,E) (- ,

) ) ) )

. Si al punto ( , ) se le aplica un rotación en en sentido negativo y con respecto al srcen, el punto que se obtiene es A) ( ,- ) B) (- ,- ) C) (- , ) D) ( , ) E) Ninguna de las anteriores

114

B) El segundo cuadrante C) El tercer cuadrante D) El cuarto cuadrante E) A) y D) son correctas

º

. Al rotar el punto ( , ) en ° en sentido positivo, respecto al punto ( , ) se obtiene el punto: A) (- , ) B) (- , ) C) -( , ) D) ( ,- ) E) Ninguno de los puntos anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si trasladamos todo el plano por un mismo vector y sabemos que el punto ( , ) fue a parar al (- , ), entonces el srcen quedo en A) ( , ) B) (− , ) C) ( , ) D) ( , ) E) No se puede determinar.

. En un círculo de centro O, fijo un diámetro. Luego tomo uno de los puntos extremos del diámetro y lo giro en º repecto a O, yluego hacemos una simetría respecto al diámetro fijado. ¿Cuál de las siguientes alternativas hace que el punto obtenido anteriormente, vuelva a donde partió? A) Traslación por (r, r) donde r es el radio del círculo B) Rotación en º C) Simetría respecto al centro del círculo D) Rotación en - º E) No se puede volver al punto inicial

. Si a un punto situado en el semieje X positivo, se le aplica una simetría respecto al eje Y, luego una traslación por el vector ( , ), nuevamente una simetría pero esta vez con respecto al eje X y finalmente una rotación en º, elpunto imagen se encuentra en

. Si se aplica una rotación al punto ( , ) en º y luego una reflexión respecto al eje X, se obtiene el punto

A) En el semieje X positivo B) En el semieje X negativo C) En el semieje Y positivo D) En el semieje Y negativo E) No se puede saber

A) (− ,− ) B) ( , ) C) ( ,− ) D)(0, −3 2) E) ( ,− )

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

. Si al punto P(− , ) se le aplica una rotación negativa de º con respecto al srcen, el nuevo punto es

. Dado el punto R de coordenadas ( ,- ), ¿Cuáles son las coordenadas del punto simétrico de R respecto al srcen?

A) ( , )

A) ( ,- )

B) ( , ) C) (- ,- ) D) (- ,- ) E) Ninguna de las anteriores

B) (- ,- ) C) (- , ) D) (- ,- ) E) Ninguna de las anteriores

. Si al punto S( , ) se le aplica una rotación de con respecto al srcen, el nuevo punto es A) (- , ) B) ( ,- ) C) ( ,- ) D) ( , ) E) Ninguna de las anteriores

116

º

. Si a un segmento recto de cm de largo que no pasa por el srcen, se le aplica un rotación en º y luego una simetría, ambos respecto al srcen, entonces el nuevo largo del segmento será A) cm B) cm C) cm D) cm E) Ninguna de las anteriores

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si a un punto del primer cuadrante se le aplica una rotación en º en sentido positivo y luegouna reflexión, ambos respecto al srcen, el punto que se obtiene se encuentra en

. Si tenemos un punto de coordenadas (a, b), aplicamos una rotación de º respecto al srcen, luego una simetría respecto al eje X y luego una simetría respecto al eje Y . ¿Cuál de las siguientes corresponden a las coordenadas del punto

A) El primer cuadrante B) El segundo cuadrante C) El tercer cuadrante D) El cuarto cuadrante E) Ninguna de las anteriores

resultante?

. Los lados de un rectángulo miden

A) (−a, b) B) (−a,−b) C) (a,−b) D) (a, b) E) No se puede saber sin los valores de a y b

y

cm

respectivamente. ¿Cuántos centímetros se debe trasladar este rectángulo en la dirección perpendicular al plano que lo contiene, para que el paralelepípedo que genera tenga un volumen de cm ? A) B) C) D) E)

cm cm cm cm cm

. Si un punto Q es rotado en un ángulo α resultando un nuevo punto P, entonces el vector de traslación que aplicado a Q da como resultado P es



 

A)P − Q  



B)Q + P  

C)Q 

D)P E)Ningunade las anteriores

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CAPÍTULO 6TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS

. En un cuadrado de lado a con uno de sus vértices en el srcen y todos los demás con sus coordenadas positivas, se puede afirmar que I. Si luego de una traslación, el vértice más lejano al srcen se encuentra a una distancia (a + 1) 2 de él, entonces el vector de traslación es el ( , ) o (−(a + ),−(a + )). II. Basta un vector de traslación de coordenadas racionales para que el centro de dicho cuadrado coincida con el srcen. III. Si traslado el cuadrado con un vector (a, ), entonces aún uno de los vértices se encuentra a distancia a 2 del srcen.

. Si al triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta y = −x se le aplica una reflexión en torno al eje X, entonces la recta correspondiente a la nueva hipotenusa tiene como ecuación a A) y = x + B) y + x = C) y = x − D) y = −x − E) Ninguna de las anteriores

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. Una simetría con respecto a un punto, corresponde a una simetría axial. II. Realizar una simetría con respecto al srcen, es equivalente a realizar una rotación de º con respecto al srcen. III. Una rotación de ºnegativa, es equivalente a una rotación de º positiva.

. Si el rectángulo de vértices A( , ), B( , ), C( , ) y D( , ) se rota en º respecto al srcen yluego se aplica una traslación cuyo vector es T( , ), se obtiene un rectángulo cuyos vértices son A) A’(- , ), B’(- ,- ), C’(- ,- ) y D’(- ,- ) B) A’(- , ), B’(- , ), C’(- ,- ) y D’(- ,- ) C) A’( , ), B’(- , ), C’(- , ) y D’(- ,- ) D) A’( , ), B’(- ,- ), C’( ,- ) y D’(- ,- ) E) A’( ,- ), B’(- ,- ), C’( ,- ) y D’(- , )

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo II y III E) I, II y III

118

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TOMO IIIGEOMETRÍA

MIS ANOTACIONES Te damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

CAPÍTULO 7

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

120

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TOMO IIIGEOMETRÍA

VECTORES, RECTAS Y PLANOS Un vector en física, usualmente representado por una flecha entre un punto y otro, es un objeto que representa una magnitud física, una dirección y un sentido. Por ejemplo, la velocidad de un vehículo es un vector ya que no sólo representa una magnitud física como es la rapidez del vehículo, sino que representa también la dirección y sentido, como por ejemplo voy desde Santiago a Cachagua a km por hora. Matemáticamente, sólo nos interesará como cierto objeto en un espacio en particular, para nuestro caso el espacio Euclidiano, entonces matemáticamente un vector que nace en A = (x , y , z ), termina en B = (x , y , z ) y lo denotamos por AB, será el trío ordenado (x − x , y − y , z − z ) con magnitud. ( x 2 − x 1 )+2 −( y2

+

y1−)2 ( z2

z1 )2

Estos vectores tienen las siguientes propiedades básicas Si (a,b,c), (d,e,f) ∈ R ,entonces (a,b,c) + (d,e,f) = (a+d,b+e,c+f). Si (a,b,c) ∈ R , λ ∈ R, entonces λ(a,b,c) = (λa, λb, λc). Y además podemos considerar una multiplicación entre ellos, que no es la usual pero será muy útil para nuestros propósitos. Esta multiplicación se conoce como producto punto o producto escalar, (a, b, c) · (x, y, z) = ax + by + cz , donde cabe recalcar que si dicho producto es , entonces los vectores son perpendiculares. Ahora tenemos las herramientas para poder definir rectas y planos en el espacio.

Recta en el espacio Una recta en el espacio está definida por dos objetos (al igual que en el plano, donde la pendiente y un punto definen la recta), uno es llamado vector posición (el análogo al punto en la recta del plano) y el otro el vector dirección o director (el análogo a la pendiente), cuya ecuación vectorial se escribe por L : x = p + λd, donde p es el vector posición, d el vector dirección, x un vector variable y λ un parámetro en R. Además la ecuación de la recta en el espacio también puede ser en su forma simé trica o forma continua, si d = (a, b, c) es su vector de dirección y p = (p, q, r) su vector posición, entonces la ecuación simétrica o forma continua de la recta es x p a −

y q b −

=

z r c −

=

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Planos Un plano es un objeto geométrico que posee dos dimensiones dentro del espacio, el cual contiene infinitas rectas en él y por ende infinitos puntos también. Un plano es generado por un vector posición p y un vector normal n de la siguiente manera n · ( x − p) = . La ecuación vectorial anterior quiere decir que dado un vector normal, entonces el plano está conformado por todos los vectores x tales que x − p es perpendicular a n. Luego si n = (a, b, c), p = (p, q, r) y x = (x, y, z), entonces la ecuación de un plano en forma cartesiana es a(x − p) + b(y − q) + c(z − r) = . Diremos que dos planos son paralelos, si sus vectores normales son paralelos (es decir, uno es ponderado del otro) y sus vectores de posición son distintos, y diremos que dos planos son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares. En cualquier otro caso, los planos se intersectan y su intersección es una recta. Otro objeto interesante a estudiar es el ángulo que forma la intersección de dos planos, el cual recibe el nombre de ángulo diedro (por las herramientas que manejamos, no podemos calcular el ángulo pero si es importante manejar el concepto).

CUERPOS GEOMÉTRICOS Los cuerpos geométricos son objetos tridimensionales -análogos a los polígonos en el plano- los cuales pueden ser clasificados en dos tipos:

Poliedros Son aquellos cuerpos geométricos limitados por superficies planas y de contorno poligonal. Por ejemplo, un cubo. Redondos Son aquellos cuerpos geométricos limitados por superficies curvas (también puede estar limitado por algunas superficies planas). Por ejemplo, una esfera. Ahora, estudiaremos más en profundidad los poliedros y su clasificación. Lo primero a saber es que los poliedros están formados por caras, aristas, vértices, ángulos diedros y ángulos poliedros. Las caras son los polígonos que forman la limitación del poliedro, las aristas y vértices corresponden a las aristas y vértices de los polígonos que forman las caras, los ángulos diedros son los formados por dos caras y losángulos poliedros son los formados por las aristas que llegan a un mismo vértice. Además los poliedros también poseen diagonales, que al igual que en el caso de los polígonos son segmentos de recta que unen dos vértices, pero que no están situados en la misma cara.

122

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TOMO IIIGEOMETRÍA

Los poliedros se clasifican según el número de caras y en la siguiente tabla mostramos algunos de los nombres que reciben en dicha clasificación

Nº de Caras

Nombre

Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro Octaedro Decaedro Dodecaedro Icosaedro Los que a su vez se dividen en poliedros regulares e irregulares. Los regulares son los que tienen sus caras correspondientes congruentes y sus ángulos poliedros iguales, los cuales son conocidos también como sólidos platónicos. Los poliedros regulares son cinco

Tetraedro Regular Está formado por triángulos equiláteros, por lo que tiene triedros, aristas y ángulos diedros.

vértices,

ángulos

Hexaedro Regular o Cubo Está formados por cuadrados, por lo que tiene vértices, ángulos triedros, aristas, ángulos diedros y diagonales congruentes y que concurren (se intersectan todas en un mismo punto).

Octaedro Regular Está formados por triángulos equiláteros, por lo que tiene poliedros, aristas y ángulos diedros.

vértices,

ángulos

Dodecaedro regular Está formado por dros, aristas y

pentágonos regulares. Tiene ángulos diedros.

vértices,

ángulos polie-

Icosaedro Regular Está formado por triángulos equiláteros, aristas y ángulos diedros.

vértices,

ángulos poliedros,

Los poliedros irregulares son los que no son regulares, y los que estudiaremos se pueden clasificar en prismas y pirámides. Los prismas son poliedros que están limitados por varios paralelogramos y dos polígonos congruentes y paralelos (llamados bases), como se muestra a continuación,

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

D C

A B

h D' A'

C' B'

Si las aristas de los paralelogramos son perpendiculares a las aristas de las bases, entonces el prisma se dice recto. En caso contrario, diremos que es un prima oblicuo. El prisma más conocido es el paralelepípedo, que es el prisma cuyas bases también son paralelogramos, como por ejemplo una caja rectangular. Por otra parte, las pirámides son poliedros que tienen un polígono como cara basal y sus demás caras son triángulos que tienen un punto en común llamado cúspide. Además diremos que la pirámide es regular, si su polígono basal es reg ular. P

E

D C

A

B

Ahora es el turno de los cuerpos redondos y son principalmente: la esfera, el cono y el cilindro. Para estudiarlos necesitaremos saber lo que es una superficie de revolución. Las superficies de revolución son las generadas por un curva o figura que gira en º alrededor de una recta dada y si uno sigue todo el camino que dicha curva o figura hace al girar, eso es la superficie de revolución generada por la curva o figura.

124

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TOMO IIIGEOMETRÍA

Dicho esto, veremos los principales cuerpos redondos:

Cilindro Es la superficie de revolución generada por un rectángulo con directriz en uno de sus lados.

Cono Es la superficie de revolución generada por un triángulo rectángulo con directriz en uno de sus catetos.

Esfera Es la superficie de revolución generada por un semi-circulo con directriz en su diámetro.

VOLÚMENES En general calcular volúmenes no es una tarea sencilla, pero para algunos casos la tarea se facilita y a continuación, mostraremos como calcular el volumen de algunos poliedros y c uerpos redondos.

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

Prisma Para calcular el volumen de un prisma, basta calcul ar el área de la base por la altura del mismo. Por ejemplo, un cubo tiene base un cuadrado de lado a y altura a, por ello su volumen es a .

Pirámide Para el volumen de una pirámide basta conocer la altura h y el área de la base Ab, y 1 con eso tendremos que el área de la pirámide es Vp h Ab 3 =

⋅

⋅

Esfera El volumen de una esfera, no puede ser calculado de manera tan sencilla como los anteriores, por lo que sólo daremos la forma de calcularlo. Si la esfera tiene radio r, 4 entonces su volumen es ⋅ π ⋅ r 3 3

Cilindro El volumen de un cilindro se calcula de manera análoga a los prismas, es decir, el área de la base (que es el área de un circulo) Ab por la altura h. Es decir, Ac = Ab · h = πr h

Cono El volumen del cono se calcula de manera análoga a las pirámides, ya que es el área de la base (nuevamente es el área de un circulo) A b por la altura h dividido en 2 1 πr h Acono Ab h 3 3 =⋅

⋅

=

Tabla resumen Figura

Volumen

Prisma

Abh (Ab área basal)

Pirámide Esfera Cilindro Cono

126

1 hAb ( Ab área basal) 3 4 3 πr 3 πr h 2 πr h 3

Área superficia l πr πr(r + h) πr(r + g)

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TOMO IIIGEOMETRÍA

EJERCICIOS

. Calcule el volumen de un helado en barquillo, si el barquillo tiene cm de altura y cm de diametro, y el helado que sobresale del barquillo forma una semiesfera A) B) C) D) E)

π cm π cm

cm cm π cm π

. Si el radio de una esfera mide cm, entonces su volumen es A) B) C) D) E)

cm cm

π π

π cm π cm π

cm

π

. Si la diagonal de un cubo es 6 3 cm , su área es . En la figura, el volumen del cono es A) B) C)

cm cm cm

D) E)

cm cm

A)19π B)9 5π C)6 3π D)32π E)12 6π

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

. Si la base de un prisma es un hexágono regular de lado y altura

3 , su volumen será

. ¿Cuál es el volumen ___ que genera el área achurada al rotar respecto a AB ?

A)12

D

C

A

B

B)12 3 C)18 D)20 E)18 3

20π 3 18π B) 3 16π C) 3 14π D) 3 A)

. En la pregunta anterior, el área superficial del prisma será A)12 B)12 3

π

C)18 3

E)10 3

D)20 3 E)24 3

. Se tiene un tubo de cobre de cm de largo, el cual posee un diametro total de cm. Si elespesor del tubo es de cm, entonces el volumen del tubo solo es A) B) C)

π

D) E)

π

π π

π

128

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. En la figura se muestran dos esferas tangentes de radio r que intersectan al manto del cilindro en sus ecuadores. Además, cada esfera toca el centro de una de las bases del cilindro ¿Cuál es el volumen que sobra entre las esferas y el cilindro?

. En una vasija cilíndrica de cm de radio, se introduce un embudo como en la figura. La altura de ambos objetos es de cm. El volumen que queda libre en la vasija es aproximadamente (si consideramosπ = , )

1 3 πr 3 4 3 B) π r 3 4 C) π r 2 3 D)π r 3 A)

E)Ningunade las anteriores

A) B) C) D) E)

, cm , cm , cm , cm , cm

. En un prisma triangular, se tiene que en la base la altura es la mitad de la base y la altura del prisma es , entonces que valor puede tener la altura dela base si el volumen del prisma es ? A) 5 B) 55 C) 5,5 D) 50 E) 0,5

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

. La razón entre los volúmenes de dos cubos es : . ¿Cuál esla razón entre sus áreas? A) B)

: :

C) : D) : E) :

. El radio de un cilindro mide cm ysu altura mide cm. ¿Cuánto mide su área? A) B) C) D) E)

π π

cm cm

π cm π cm π

cm

. Suponga que se tiene un rectángulo de lados . Si la arista de un cubo mide cm, entonces el triple de la suma de las medidas de las aristas del cubo es A) cm B) cm C) cm D) cm E) Ninguna de las anteriores

130

cm y cm, yéste se rota en torno a su lado más pequeño generando así un cilindro. El volumen de dicho cilindro es A) B) C) D) E)

cm cm π cm π cm π cm

π

π

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Dos conos congruentes se encuentran al interior de una esfera de radio cm, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el volumen no cubierto por los conos?

. Si confeccionamos un cuadrado de área igual al área superficial de una esfera de radio , entonces el lado de dicho cuadrado será A)

π

B)12 π C)9 π D)6 E)18

A) B) C) D) E)

π

π π π π π

. Si el perímetro de la base de un cilindro es π y la altura es de cm. El volumen del cilindro es A) B) C) D) E)

π

. Si se tiene un cilindro cuyo radio basal es y altura , sequiere rellenar con pintura que viene en cápsulas esféricas de radio . ¿Cuántas cápsulas se necesitarán para rellenar el cilindro? A) B) C) D) E)

cm cm π cm π cm π cm

π

π

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

. Si se quiere formar un cilindro circular que tenga la misma área superficial que una esfera de radio yel mismo radio en la base, entonces la altura será

. Según la fórmula del volumen de un cono es(son) verdadera(s) I. Si el radio aumenta al doble, entonces el volumen también II. Si el radio aumenta al cuádruple, entonces el volumen aumenta en la mitad III. Si el radio aumenta al doble y el volumen se mantiene constante, entonces la altura disminuye a su cuarta parte

A) B) C) D) E)

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada cuya altura es metros y el lado dela base es metros, en centímetros cúbicos?

80.000.000 3 cm 3 8.000.000 3 B) cm 3 800.000 3 C) cm 3 800.000.000 3 D) cm 3 80.000 3 E) cm 3 A)

132

. Sean los puntos A( , , ) y B( , , ). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? ___ I. AB es paralelo al eje___Z II. El___punto medio de A B es ( , , ) III. AB = A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. El producto punto entre los vectores 



a (2,3 1) y b (2,5,0) es =

−

=

A) B)

. Si consideramos µ un número real, entonces la ecuación de la recta que pasa por ( , , ) y tiene dirección ( , , ) es A) (x, y, z) = ( , , ) + µ( , , )

C) D) E)

B) (x, y, z) = ( , , ) + µ( , , ) C) (x, y, z) = ( , , ) + µ( , , ) D) (x, y, z) = ( + µ, µ, + µ) E) No se puede determinar







. El módulo de los vectores a,byc son , y 

respectivamente. Si r = 2a + 3b − 4c

. Si a un cilindro relleno de radio r y altura h, se le elimina el cono relleno de máximo volumen posible de inscribir, entonces el volumen resultante es



entonces el módulo de r es A) B) C) D) E) Ninguna de las anteriores

2πr 2h 5 4πr 2h B) 3 2πr 2h C) 3 D)2π r 2h 3πr 2h E) 4 A)

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

. En la figura que se muestra a continuación, h es la mitad de la altura total de la base del prisma. Entonces la razón entre el volumen total y el achurado es

. Si una pirámide de base cuadrada se achica de modo que el lado de la base disminuye a la mitad, al igual que su altura. ¿Cuál es el cambio que sufre su volumen? A) Aumenta al doble B) Disminuye a un octavo C) Disminuye a un cuarto D) Disminuye en un octavo E) Disminuye a la mitad

h

A) B) C) D) E)

: : : : : . Dado los puntos A = ( , , ) y B = ( , , ), entonces ¿cuál de las siguientes ecuaciones representa al plano que tiene por vector normal a n=( , , ) y posición AB ? 



. Si v = (1,2,3) y d = (2,4,2), entonces ¿cuál de las siguientes ecuaciones representa a la recta con 



vector posición v y director d ? x−2 y−4 z−2 = = 1 2 3 x −1 y − 2 z − 3 = = B) 2 4 2 x −1 y − 2 z +1 = = C) 1 2 3 A)

A) x + (y − ) + (z) =− B) x + (y − ) + (z− ) = C) (y − ) + (z =− ) D) (y − ) + (z − )= E) (x − ) + (y −+ ) (z − ) =

− + = D)2(x − 1)+ 4(y 2)− 2(z 3) 0 E)Ningunade las anteriores

134

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. El vector ( ,- , ) comparte la misma dirección con el vector A) ( , , ) B) ( ,- ,- ) C) (- , ,- ) D) ( , , ) E) ( , , )

. Dados los vectores ( , , ), ( , y, ( ) , , ), entonces ¿para qué valores a, b, c∈  no todos iguales a se cumple que a( , ,+ )b( , , +) c( , , )= ? A) a = , b = yc = B) a = , b = − yc = − C) a = , b = − y c = D) a = − , b = y c = E) a = − , b = − y c =

. Si tenemos un edificio de base cuadrada de lado a con pisos y termina en una pirámide de altura b. Si cada piso tiene una altura h y lo que los separa (el techo de uno y piso del otro) mide t, entonces ¿cuál es el volumen del edificio? 1 A)a 2 (10h + 10t) + a2b 3 B)a 2 (10h + 10t) + a2b 2 C)a(2 10h + 9t) + ab 1 D)a 2 (10h + 9t) + a2b 3 E)Ninguna de las anteriores

. Si la capacidad de un cubo es

litros, entonces

el área del cubo es A) B) C) D) E)

.

cm cm . cm . cm . cm

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CAPÍTULO 7GEOMETRÍA DEL ESPACIO

. La ecuación de la recta que pasa por el punto ( , ) y tiene dirección ( , ) es A) (x, y) = ( , ) + λ( , ) B) (x, y) = ( , ) +λ( , ) C) (x, y) = ( , ) + λ( , ) D) (x, y) = ( + λ, + λ) E) Ninguna de las anteriores

. ¿Cuál es el módulo del vector 



r,s i r 3 i (2,1) (3,5) ? =

−

A) 59 B)3 24 C) 19 D) 13 E)Ningunade las anteriores

. La ecuación del plano que tiene por normal a ( , ,- ) y pasa por el srcen es A) x + y − z = B) − x − y + z = C) x + y + z = D) x + y − z = − E) Ninguna de las anteriores

. La figura representa un tubo de alcantarillado. En un segundo pasa una cantidad de agua equivalente a su capacidad. ¿Cuántos centímetros cúbicos pasan por él en segundos (si consideramos π= , )?

cm cm

A) B) C) D) E)

136

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Suponga que un volcán tiene forma de un cono al que se le corto la punta de manera paralela a la base. Si el volcán ahora tiene una altura de metros, una base circular con radio metros y un cráter circular de radio metros. ¿Cuál es el volumen del volcán? (Suponga perfección en la forma cónica del volcán) A) B) C) D) E)

cm cm π cm π cm π cm

π

π

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

APÉNDICE A

TRIGONOMETRÍA

138

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TOMO IIIGEOMETRÍA

DEFINICIONES BÁSICAS Las funciones trigonométricas (llamadas así por la palabra trigonometría, que proviene del Griego, τριγωνo -trigono- triángulo y µ ετρoν -metron- medida, que significa “medición de los triángulos”) relacionan los ángulos interiores de un triángulo rectángulo con la longitud de sus lados, de la siguiente manera

sin(α )

=

Cateto opuesto a α

a =

Hipotenusa

c

cos(α )

=

Cateto adyacente a α Hipotenusa

=

b c

tan(α )

=

Cateto opuesto a α Cateto adyacente a α

=

a b

c

Nota

a

Las notaciones anteriores no son estándar en general, por lo que hay que

cotan(α )

=

1 tan( α )

=

b a

tener cuidado de no equivocarse.

α

b

sec(α )

=

1 cos (α )

=

Para la tangente no solo se usa tan,

c b

también la encontrarán por tg, así como también cotan por cotg y cosec por csc.

cosec(α )

=

1 sin( α )

=

c a

De lo anterior, vamos a tener de inmediato las identidades tan(α )

=

sin( α ) cos (α )

cotan(α )

=

cos (α ) sin( α )

tan(α ) cotan(α ) 1 ⋅

=

De acuerdo a lo anterior, se puede ver que para ciertos ángulos podemos calcular los valores de la función seno y coseno de manera exacta, los cuales se muestran en la siguiente tabla,

Función / Ángulo sin(α) cos(α) tan(α)

º

º

º

1 2

º 2 2

3 2 1

2 2

º 3 2

1 2 3

∞

3

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

Al combinarlas con las identidades básicas que relacionan la función seno y coseno, con las funciones tangente, cotangente, secante y cosecante, podemos obtener los valores numéricos exactos de dichas funciones.

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS En la sección anterior vimos la íntima relación entre la longitud de los lados de un triángulo rectángulo y sus ángulos interiores, mediante una función. Ahora veremos algunas de las identidades que cumplen dichas funciones,

sin (α) + cos (α) = Esta identidad es simplemente usar la definición de las funciones seno y coseno, combinadas con el teorema de pitágoras. En ella, podemos dividir por cos (α) en ambos lados de la igualdad, obteniendo sin 2 (α ) + cos(2 cos2 (α )

α

)

=

1 cos2 (α )

donde si simplificamos obtenemos sin 2 (α ) 1 +1 = cos2 (α ) cos2 (α ) de lo que tendremos finalmente que tan (α) + = sec (α) De manera análoga, pero dividiendo esta vez por sin (α), obtenemos cotan (α) + = cosec (α) También tenemos las siguientes identidades respecto al seno o coseno de la suma de ángulos sin(α ± β) = sin(α) cos(β) ± sin(β) cos(α), ± cos(α ± β) = cos(α) cos(β) sin(α) sin(β).

140

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TOMO IIIGEOMETRÍA

TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO En las secciones anteriores, mostramos las funciones seno y coseno como relaciones de la longitud de los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos interiores, y lo que mostraremos a continuación es una relación que también es entre la longitud de lados y ángulos interiores, pero esta vez en un triángulo cualquiera.

Teorema del seno Sea el triángulo ABC, con ángulos α, β y γ correspondientes a los vértices A, B y C respectivamente. Si la longitud de los segmentos AB, BC y CA son c, a y b respectivamente, entonces se cumple que a sin(α )

Teorema del coseno

=

b sin( β )

=

c sin(γ )

Con las mismas hipótesis que el teorema

anterior, se cumple que a = b + c − bc cos(α) b = a + c − ac cos(β) c = a + b − ab cos(γ)

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

. En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en B, entonces el coseno de γ es A

. Si tan(α) = , entonces sin(α) = A) 2 2 2 3 C) 2 1 D) 2 E)1 B)

γ

B

C

5 13 5 B) 12 12 C) 13 4 D) 12 12 E) 5 A)

. En el triángulo rectángulo que se muestra en la figura, se sabe que el ángulo β es el doble del ángulo α. ¿Cuál es el valor de sin(α)?

β

. Si α y β son ángulos no rectos de un triángulo rectángulo y tan(β ) 4 3 4 B) 5 3 C) 5 3 D) 4 5 E) 4

=

3 , entonces cotan(α) es 4

α

A)

142

A) 1 B) 2 3 C) 2 D) 1 2

E)

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si cos(α )

. Si sin(α) cos(α) = , entonces (sec(α) + cosec(α)) =

18 =

6 10

entonces cosec(α) es

A) 10 5 3 C)3 5 D) 4 4 E) 5

A) B)

B)

C) D) 6 E)

. En la figura, AD= . Entonces BC= B

. En un bosque, un árbol de metros perpendicular al suelo proyecta una sombra, con un ángulo de elevación de º. ¿Cuál es ellargo de la sombra? A) 3 3m B)6m C)12 3m

A

D

C

D)6 3m E)Ningunade las anteriores

A) 3 3 + 6 B) 3 + 3 C) 3

(

)

3 +1

D) 3 3 + 6 E) 3 + 22

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

. Si < α, β < ºy pertenecen a un triángulo rectángulo, entonces la expresión cos(α)+ cos (β) es igual a

A) a 3

A)0

a 3 B) 2 a C) 2 a 2 D) 2 E)a

B) 2 C)1 D) 3 E)2 3

. La expresión (sin( º) cos( A) 1 2 1 B) 4 1 C) 6 1 D) 8 1 E) 16

144

. Si sin(α) = a, entonces ¿Cuál es el valor de cos( º − α) en términos de a?

º)) es igual a

π



. Si tan(θ) = ,entonces tan(θ ) + tan − θ  es 2  igual a A)

1 2

B) π C) D) E)

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Mauricio se subió a un árbol de m de alto, de modo de poder ver mejor a sus trabajadores. Si Francisco -que se encuentra a m de Mauricio- lo mira, ¿Cuál es el ángulo que produce la linea de visión de francisco respecto a la horizontal? A) B) C) D) E)

º º º º º

. ¿Cuál es la altura de un árbol que proyecta una sombra que abarca cm dela horizontal con un ángulo de º respecto ala misma? A) B) C) D) E)

3 3 10 3 60 3 30 3 15 3

. Si tan(θ) = ,entonces sec( π − θ) es A) B) − C) 10 D) − 10 E) − 12

. Romeo se encuentra a una distancia de m respecto a la base de la casa de Julieta. Julieta se ubica en el balcón. ¿Cuál es la distancia entre Romeo y Julieta? (Considerar a Julieta en la base del balcón y que Romeo mantiene un ángulo de vision de º respecto a la horizontal) 4 3 3 8 3 B) 3 3 C) 3 A)

D) E) No se puede determinar

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

A) B)

. Desde la cima del edificio Costanera Center se observa la parte superior de una catedral de m de altura, con un ángulo de depresión de º. Si la catedral se ubica a m de distancia del edificio Costanera Center. ¿Cuál es la altura del edificio?

C) D) E) Ninguna de las anteriores

B)3 0 3 m

. Si a = sin (α) y b = cos(α), entonces el valor de (b + A) es

A) 30 3 + 40 m C) 30 3 − 40 m D) 30 + 3 m E) 30 − 3 m

. Si cos(ω ) a

8 =

, entonces cos (ω) − sin (ω) es igual

10

12 A) 20 20 B) 12 20 C) − 12 12 D) − 20 E)Ninguna de las anteriores

146

. Una gaviota despega de una roca con un ángulo de elevación de º. Si la gaviota alcanza una altura de metros, entonces ¿a qué distancia se encuentra de la roca que despegó? A)20 3 metros B) metros C) metros D) metros E) Falta información

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si la distancia entre un vigilante que se encuentra en una torre perpendicular al piso y un reo de la cárcel es m con un ángulo de depresión de º, entonces la altura de la torre es

. Un niño eleva un volantín en una plaza cerca de su casa. Si el hilo del volantín mide metros y la altura de él metros, entonces el ángulo que forma el hilo con la horizontal es

A) 5m2 m B)5

A) B) C) D) E)

C) 5 3 m D)10 2 m E)10 3 m

º º º º º

. Si θ es un ángulo como muestra la figura

. Un joven se tira de un tobogán de

A

metros de

largo que forma un ángulo de º con la horizontal, entonces la altura del tobogán es

θ

10 2 B) 5 A)

C)2 5 D) 10 E)5

Si la circunferencia de la figura tiene radio r, entonces la abscisa del punto A es A) r sin(α) B) r sin(− α) C) r + cos(α) D) r cos(α) E) No se puede determinar

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

. La expresión tan(α) se puede expresar en términos de seno y coseno, entonces también se puede expresar en términos de secante y cosecante, y la alternativa que da esta expresión es

. El volumen de un paralelepípedo es el producto de su ancho, con su largo y con su fondo. Sabiendo esto, el volumen del paralelepípedo de la figura es

sec(α) A) cosec(α) cosec(α) B) sec(α) C) cosec(α) sec(α) D) cosec(α)(sec(α))− E) Ninguna de las anteriores º

. En la figura, O es centro de la circunferencia. Entonces cos(α) =

A) B)

680 3 640 3

R α

R

O

C) 512 3 368 D) 3 666 E) 3

R

3 2 3 B) 3 2 3 C) 3 3 D) 4 A)

E)No se puede determ inar

148

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Jose Miguel se encuentra en el escenario de la Quinta Vergara, y de la nada un foco -que se encuentra sujetado a una viga paralela al escenario a mt de altura- lo ilumina justo en el rostro proyectando una sombra de 3 mts . Si Jose Miguel mide mt de altura, ¿cuál es el ángulo que produce el rayo de luz respecto a la horizontal? A) B) C) D) E)

. En un triángulo se cumple que sus lados a, b, c están en razón a : b : c = : : . Si el ángulo α es opuesto al lado b el y mide º, entonces el ángulo γ correspondiente al lado mayor del triángulo, en términos de seno es A)sin(γ )

4 =

3 2

º º º º º

B)sin(γ )

=

C)sin(γ )

=

D)sin(γ )

4 2 3 5 2 2 5

=

3 2 E)Ninguna de las anteriores

. Resuelva la expresión sin(30º) sin 60º cos 45º cos(30º)

( ()()

+

)

1

. La expresión (cos (α) − sin (α) + sin(α) cos(α))(cos (α) − sin (α) − sin(α) cos(α)).

2 1 + 4 3 2 2 B) + 3 3 A)

2 2 + C) 4 3 2 1 + D) 2 3 E)2

+

3

Si α = π, entonces la expresión anterior es igual a A)0 B)1 1 C) 2 3 3 D) 2 E)Ninguna de las anteriores

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

. Dos árboles perpendiculares al suelo miden y metros respectivamente. Si la línea imaginaria que los une en sus puntos más altos, forma un ángulo de º con la horizontal, ¿cuánto mide la distancia entre los dos árboles? A)6 3 m B) 2 3 m C)6 m D) 4 3 m E)10 3 m

. La expresión (sin( º) + cos( A) B) C) D) E)

. Si < α, β <

ºpertenecen a un triángulo 1 entonces sin(β) es igual a 2

rectángulo y cos(α )

=

2 2 3 B) 2 1 C) 2 1 D) 2 E)1 A)

º))es igual a

. Sea

ABC un triángulo cualquiera, el cual posee

un ángulo de

º y sus ladosadyacentes miden

2 y 5 . Entonces el tercer lado del triángulo mide A)17 B) 17 C)2 17 D)27 E) 27

150

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TOMO IIIGEOMETRÍA

. Si < α, β <

ºpertenecen a un triángulo 1 entonces sin(α) es igual a 2

rectángulo y cos(α )

=

2 2 3 B) 2 1 C) 2 1 D) 2 E)1

sin(inc) v1 = sin(ref) v 2 donde v y v representan la velocidad inicial y final respectivamente. Si el ángulo de incidencia es º y larazón entre las velocidades es 6 :2 , entonces el ángulo de refracción es

C) D) E)

ºº º

()

sin ,

A) sin(α) B) sin(− α) C) D) sin( α) E) sin( α)

. La ley de Snell-Descartes relaciona las velocidades de la luz en distintos medios adyacentes con los ángulos de incidencia y refracción, de la siguiente manera

º º

π  + α + sin πα −( − πα) +( sin −α−)  2 

cos

en términos de sin(α) es

A)

A) B)

. La expresión

. Dos barcos parten al mismo tiempo uno hacia el este y el otro hacia el sur, a distinta velocidad. Si al cabo de un tiempo determinado, al ver el triángulo formado por los barcos y el punto de inicio, observamos que tiene un ángulo de º, entonces se puede afirmar que A) Los barcos navegaban a la misma velocidad B) Los barcos se encuentran en el mismo punto C) El primero de los barcos se encuentra más lejos que el segundo respecto al punto de partida D) Los barcos se encuentran a la misma distancia del punto de partida E) Ninguna de las anteriores

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APÉNDICE ATRIGONOMETRÍA

. Un péndulo que consta de un hilo y una bolita, cuelga de un clavo que se encuentra a metros del suelo. Si el hilo tiene un largo de metro y la bolita tiene radio despreciable, entonces cuando el péndulo genera un ángulo de º respecto a su eje imaginario, entonces la bolita se encuentra a una altura de A) 3 −

3 m 2

B)2 m C) 3 − 3 m D) 3 − 2 m E)3 −

152

2 m 2

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TOMO IIIGEOMETRÍA

MIS ANOTACIONES Te damos espacio extra para que puedas desarrollar mejor los ejercicios

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NOMENCLATURA ∀ ∃ {a, b, c . . .}

∈ ∉ ⊂ ∪ ∩ Ac

φ

Para todo Existe Conjunto formado por los elementos a, b, c . . . Pertenece No pertenece Subconjunto Unión Intersección Complemento de A Conjunto vacío

R2 R3

Plano cartesiano Espacio Euclidiano (a, b) Par ordenado Trío ordenado (a, b, c) A×B Producto cartesiano entre A y B N Números naturales N0 Números cardinales Z Números enteros Q Números racionales I Números irracionales R Números reales C Números complejos = Igualdad ≡ Equivalencia ∼ Semejantes ≅ Congruentes > Mayor que < Menor que

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TOMO IIIGEOMETRÍA

≥ ≤

Mayor o igual que Menor o igual que z Conjugado de z f(x) Función con variable independiente x f−1(x) Función inversa de f(x) ± Suma o resta ± Resta o suma ln Logaritmo natural o logaritmo en base e Σ Sumatoria [a, b] Intervalo cerrado desde a hasta b (a, b) o ]a, b[ Intervalo abierto desde a hasta b (a, b] o ]a, b] Intervalo semi-abierto desde a hasta b C(n, k) Combinación de n sobre k V (n, k) Variación de n sobre k fi Frecuencia x Media aritmética o promedio Me Mediana Mo Moda σ Desviación estándar σ2 Varianza PQ Segmento desde el punto P hasta Q // Paralelos ⊥ Perpendicular AB Arco desde A hasta B sin(α) Seno de α cos(α) Coseno de α tan(α) m n

Tangente de α Pendiente de la recta y = mx + n Coeficiente de posición de la recta y = mx + n

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HOJA DE RESPUESTAS

Capítulo 1

Capítulo 2

Capítulo 3

Capítulo 4

Capítulo 5

Capítulo 6

Página 16

Página 33

Página 49

Página 72

Página 94

Página 108

Capítulo 7 Página 127

1D

21 D

1D

21 B

1E

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1C

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20 D

40 B

20 B

40 E

Apéndice A Página 142 1A

21 B

2D

22 E

3B

23 B

4D

24 D

5C

25 A

6C

26 A

7A

27 B

8D

28 C

9C

29 A

10 D 30 C 11 E

31 B

12 D 32 B 13 B 33 E 14 D 34 C 15 D 35 B 16 D 36 B 17 A 37 C 18 E

38 A

19 A 39 D 20 C 40 A

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