Matematicas Secundaria 11

PROFESORES DE SECUNDARIA MATEMÁTICAS

SUPUESTO PRÁCTICO

0. Introducción 1. Problemas

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CENTRO DE OPOSICIONES

0. INTRODUCCIÓN El supuesto práctico de la prueba históricamente, ha consistido en la realización de una serie de problemas. En un primer momento consistía en la realización de 10 u 8 problemas en dos sesiones de unas cuatro horas de mañana y tarde. En las últimas convocatorias se ha reducido a una única sesión de cuatro horas con 4 o 5 problemas. La variedad de problemas que se pueden plantear, es cómo la matemática en si enorme. Normalmente hay un problema de cada bloque de contenidos es decir: un problema de números o álgebra, uno de análisis, uno de geometría y uno del bloque de estadística y probabilidad. Aunque los problemas no siempre utiliza conocimientos de un mismo bloque, si no que se interrelacionan. Hay que tener claro, que para la mayoría de los opositores está es la parte más dura, no hay que desesperarse durante el examen se ha de intentar hacer aquello que se sabe, normalmente siempre hay un problema de los que podríamos llamar tipo, algún estudio de una función, o algún problema de estudiar endomorfismos, o ecuaciones diofánticas. O simplemente algún apartado sencillo. Es muy importante en esta prueba el procedimiento de resolución, es decir si no se encuentra la solución del problema, realizar un esquema de lo que se está buscando y porqué. A la hora de estudiar podéis seguir la siguiente clasificación de tipos de problemas que a grandes rasgos han salido a lo largo de las oposiciones. Números/ Congruencias/ Divisibilidad/Ecuaciones diofánticas Números Reales Números complejos Teoría de conjuntos Aplicaciones lineales/ matrices Ecuaciones reales y complejas Polinomios divisibilidad Resolución de triángulos Geometría del espacio: ecuaciones de la recta y el plano Plano y espacio afín. Lugares geométricos. Funciones Sucesiones /Series Problemas de máximos y mínimos Volumen e integrales Probabilidad, probabilidad geométrica Funciones de distribución y densidad Para finalizar os dejo unos problemas resueltos que han salido durante las oposiciones de secundaria, a veces hay suerte y se repiten. Autora: Lidia Santágueda Ruiz, ISBN: 978- 84- 92655- 89- 2

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Encontrar un número abcd de 4 cifras en base 12, que sea cuadrado perfecto y además los números ab y cd sean consecutivos en base 12.

abcd12)  n2  12 3  n2  12 4 1728  n2  20376 .

Como

42  n  144 Como cd es consecutivo ab cd  a  b  1 , busco poner el número de la forma abcd  aba  b  1  abcd  1  abab n2  1  abab n

2

 n  1 n  1  abab  1   n  1 n  1 ;  n  1  n  1   a12 3  b12 2  a12  b ;  n  1 n  1  1728a  12 a  144b  b  n  1 n  1  1740 a  145b  n  1 n  1  5·3· 4·29 a  5·29b  n  1 n  1  5·29  12 a  b 

Como 29 es primo sólo tenemos dos posibilidades 29|n  1  además los múltiplos de 29 comprendidos entre 42 y 144 son: 58,87,116. Si 29|n  1 entonces analizamos las tres posibilidades de múltiplos

29|n  1 ,

  n  1  n  1   5·29  12 a  b  n  1  58  n  57   con lo que llegamos a una  58·59  5·29  12 a  b 

contradicción ya que 5 no divide a 59.   n  1 n  1  5·29  12 a  b  n  1  87  n  88    89·87  5·29  12 a  b 

llegamos

a

la

misma

contradicción ya que 5 no divide a 89   n  1 n  1  5·29  12 a  b  n  1  116  n  117   es la misma contradicción.  118·116  5·29  12 a  b 

Luego necesariamente 29|n  1 , analizamos las posibilidades

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n  1  58  n  57  n  1  56

5 | 56

n  1  87  n  86  n  1  85 5|85 , luego parece que lo hemos encontrado 87·85  5·29  12 a  b     12 a  b  . 3· 29·5·17  5·29

Como

el

sistema

de

numeración

es

el

12

51  12 a  b 51  48  3 con a  12 b  12  a  4; b  3 . Luego el número buscado es el 4344. Veamos si es un cuadrado perfecto 4·12 3  3·12 2  4·12  4  7396; 7396  86 .

En el caso que hemos dejado n  1  86  n  85  n  1  84

Sea

consideramos

M2

 a  b  2c b  2c  L   ; 0 2c  

5 |84  los

subespacios

 1 1   1 0   0 1  M   ,  ,   0 0   0 1   0 1 

Determinar L  M y comprobar que L  L  M , decir si la suma es directa   1 1  1 0   1 1     L tal que Sea BL  u   ,v   ,w     una base de L y f : L   0 0   0 1   0 1    f  u   v; f  v   u; f  w   w . Halla la matriz de f respecto de dicha base y Kerf e

Im f . a. Veamos las  1 0   1 1   2 2   1 0   1 1   1 1  a   b c   a   b   2c  .  0 1  0 0  0 2   0 1  0 0 0 1 

bases

1 0  1 1   1 1  Sean u1    ; u2  b   ; u3    . Veamos si el conjunto es sistema 0 1  0 0 0 1  generador y linealmente independiente , obviamente es sistema generador.  a  b  2c  0  luego es una base de L . b  2 c  0  2c  0  c  0  b  0  a  0  Sea M  e1 , e2 , e

veamos si es base.

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