Matematicas Resueltos (Soluciones) Areas y Perimetros 1º ESO

Áreas y perímetros de figuras sencillas Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1

a)

b) 3m

3m

4m

1,8 m 6m

a) S 3 m 3 m  9 m2 P 43 m 12 m

2

a)

6 m 1,8 m b) S  5,4 m2 2 P 3  4 6  13 m b)

3 dm

6 cm

10

,8

cm

9 cm

a) S π32 dm2 28,26 dm2

9 cm 6 cm b) S  27 cm2 2

P 2π3 dm 18,84 dm

3

a)

P6 cm9 cm10,8 cm25,8 cm b)

6 cm

17 m

7,2 cm

6 cm 10 cm

30 m

B b 10  6 a) S h6 48 cm2 2 2

b) S 30 m  17 m 510 m2

P 66 10 7,2 29,2 cm

4

a)

26 cm

P (17  2) m  (30  2) m 94 m b) m

da

P 23,94 cm  95,6 cm

18

D d 40  26 a) S  520 cm2 2 2

13,8 dam

40 cm

23,9 cm

23 dam

23 13,8 b) S  158,7 dam2 2 P 18  23 18  59 dam

1

b)

42 m 27,8 m

32 m

4m

a)

2,8 m

5

74 m

74 42 a) S 27,8 1 612,4 m2 2

P a (5 4)  2,8 b) S    28 m2 2 2

P 7442 (32 2) 180 m

b) 2,5 km

m

a) 3 km

5c

6

P5 4 20 m

5 km

a) S 52,5 12,5 km2 P (2 5)  (2 3) 16 km

a)

b)

15,3 m 5m

6 cm

4m

12 m

7,

2

cm

7

π r 2 π 52 b) S   39,25 cm2 2 2 2πr P2rπ51025,7 cm 2

7m

P a (8  6)7,2 a) S   172,8 cm2 2 2 P 68 48 cm 15,3 7 b) S 4 44,6 m2 2 P 515,3 12739,3 m

10 cm

6 cm

b)

10 m

m

a)

1

7,

m

5 3,

7,9

8

m

a) S πR 2 π r 2 π 102  π 62  64 π 200,96 cm2 P 2 π R 2 π r 32 π100,48 cm

2

14,2 7 b) S SCUADRADO SROMBO 100  50,3 m2 2 P PCUADRADO PROMBO 104 7,9 471,6 m

b)

15 m

6m

120°

5,2 m

a)

6m

9

6m

π  r 2  α π 152 120° a) S   235,5 m2 360° 360° 2 π rα 2 π  15  120° P 2r  3061,4 m 360° 360° 6 5,2 b) S 15,6 m; P 6 318 m 2 a)

b)

8m

17

8 dam

10

dam

15 dam

5m

π R 2  π r 2 64π  25π 39π a) S     61,23 m2 2 2 2 2πR 2πr P 2 (Rr)  8π 5π6 13π 646,82 m 2 2 15  8 b) S 60 dam2; P 8 1715 40 dam 2 Medir y calcular En cada una de las siguientes figuras toma las medidas que creas necesarias y calcula su superficie y su perímetro.

11

a)

b)

3

a)

b) 1,2 cm

2,4 cm

12

S 2,4 2,45,76 cm2

S π1,22  4,52 cm2

P 42,4 9,6 cm

P 2 π 1,2 7,54 cm

a)

b)

a)

b)

2 cm

2 cm

2 cm

3,5 cm

2,4 cm

13

S 2,4 24,8 cm2

3,5  2 S 3,5 cm2 2

P 22,4 2 28,8 cm

P2 4 8 cm

a)

a)

b)

1,6 cm 2,3 cm

2 cm

2,7 cm

(2,7  1,6) 2 S  4,3 cm2 2 P 2,73 1,629,3 cm

4

b) 120° 1,8 cm

1,2 cm

(π 1,82 π 0,62)120° S   3,01 cm2 360° (2 π 1,8 2 π 0,6)  120° P   21,2 7,42 cm 360°

14

a)

a)

b)

1,8 cm

3 cm

1,7 60°

cm

1,8 cm

1,6

1,5 cm cm

3,2 cm

S ATRIÁNGULO ATRAPECIO ASECTOR  1,8 3 (3,2  1,7) 1,5 π  1,82   60° 2,73,675 1,6956 2 2 360° 8,07 cm2 2π  1,8 P 1,83 1,6 3,2 609,6 1,884 11,481 cm 360° b) 2,2 cm 1,5 cm 1,6 cm

S 2,21,53,3 cm2; P 2,2 21,6 27,6 cm

5

Calcular el elemento que falta En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo, …). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

15

b) 8 cm

5m

a)

13 m

15 cm

b)

13 m

5m

8 cm

a)

15 cm

l  82 152 17 cm

c   132  52  12 m

8 15 S 60 cm2 2

12  5 S 30 m2 2

P 158 1740 cm

P12 5 13 30 m

16

a)

b) m

10 cm

30

22

cm

a)

m 2c

2

b) 30 a

b

m

10 cm

40 m

20 m

40 m

222 1 02 19,6 cm b 

a   302  2 02  22,4 m

S 10 19,6 196 cm2

40 22,4 S 448 m2 2

P 102 19,6 259,2 cm

P 30 30 40 100 m

6

17

a)

b) da m

20

m

18

26 m

9  9  12,7 dam l  2

l

S 12,72  161,3 dam2

da

9

m

P 4 12,750,8 dam

l

b)

NOTA:

En este ejercicio hemos de tener en cuenta que l92 y, por tanto, S(9 2)2 162

9

da 18 m d am

a)

2

0m

2

26 m

pero no se puede poner a los alumnos de este nivel.

D    202  1 32  15,2 m → 2 → D  30,4 m 30,4  26 S 395,2 m2 2

D

P4 20 80 m

18

a)

b) 3

m

4m

a)

b) 120° 4m

3

m

R

α360° : 3120°

2 R 3  32  4,2 m

π 42  120° S  16,7 m2 360°

S π4,22  π 32  27,1 m2

2π  4  120° P 44  16,4 m 360°

P 2π4,2 2π 3 45,2 m

7

19 39 m

28 m 32 m

34 m

24 m 47 m

8 18 39 m

28 m

32 m

34 m

24 m 47 m

S 2832 8 1847 34 2 638 m2 P28 3224 47 3439 18 40262 m

20

a)

b)

2 cm

13 c m

8 cm 5 cm

a)

14 cm

b) 8 cm

b

5 cm

2 cm

a

13 c

m

12 cm 14 cm

b  82 52 6,2 cm

a   132  1 22  5 cm

S 5 6,2 31 cm2

12  5 S 25 40 cm2 2

P 52 6,2 222,4 cm

P5 2 13 14 34 cm

8

21

B

C

A

D

— — AB  CD 41 m — BC  53 m — AD 71 m — — — AD  BC 18 m → AE  9 m

B

C a

A

412  92  40 m a  

a D

E

(71 53) 40 S   2 480 m2 2 P41 41 53 71 206 m

A

22

— OB  13,6 cm O B

A

13,62  82  11 cm a  

a O

— AB 16 cm

8 cm B

S  80 · 11 = 440 cm2 2 P = 16 · 5 = 80 cm

23

N P

–— MN 6 dm — NP 4 dm

M

Q

N 2,4

a

M

P

Q

— PQ  3,6 dm 42  2, 42  3,2 dm a   (6 3,6)  3,2 S   15,4 dm2 2 P 6 4 3,63,2 16,8 dm

9

24

Q

R

P

S

Q

d   6,52   62  2,5 cm → d 5 cm 2 5 12 S   30 cm2; P6,5 4 26 cm 2

R d

P

S

25

— — — — PQ = QR = RS = SP = 6,5 cm — PR = 12 cm

B

∧ A  60° — AB 10 m

A

B

5 a

a   102  52  8,7 m 10 8,7 ATRIÁNGULO  43,5 m2 2 π102  60° ASECTOR   52,3 m2 360° A ASECTOR  ATRIÁNGULO  8,8 m2

A

P = 10 + 2π · 10 · 60° = 20,5 m 360°

26

B

— — — AB AC  BC  8 cm — — 1 BD DE  BE 2

D

A

E

C

— BE   82 42 6,9 — — 6,9 BD DE 3,45 2 — DC   3,452  42 5,3 8 6,9 83,45 S 27,613,8 13,8 cm2 2 2 P2 8 25,3 26,6 cm

10

27

Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras. 

El lado del hexágono regular es igual al radio de su circunferencia circunscrita.

a  62  32  5,2 cm 6 cm a 3

28

SCÍRCULO  π 62  113,04 cm2 36 5,2 SHEXÁGONO  93,6 cm2 2 S SCÍRCULO  SHEXÁGONO  19,44 cm2

Para cubrir un patio rectangular, se han usado 175 baldosas de 20 dm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 50 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina? El área del patio es 175 20 3 500 dm2 El área de la baldosa cuadrada es 50  50 2 500 cm2  25 dm2 Por tanto, se necesitarán 3 500 : 25  140 baldosas.

29

El área de un rombo es 24 cm2. Una de sus diagonales mide 8 cm. Halla su perímetro. 8d 48 24  → d  6 cm l d 2 8 8 cm

42 32 5 cm l  Por tanto, el perímetro es 45 20 cm.

30

Sabiendo que el lado del cuadrado mide 30 cm, calcula el radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito. Calcula el área de la zona coloreada.

R r

El radio de la circunferencia inscrita es la mitad del lado del cuadrado, es decir, r  15 cm.

11

15 15

El radio de la circunferencia circunscrita es:

R

152  1 52  21,2 cm R 

El área pedida es: A AC. CIRCUNSCRITA  AC. INSCRITA  π 21,22  π 152  704,7 cm2

31

Un cuadrado de 1 m de lado se divide en cuadraditos de 1 mm de lado. ¿Qué longitud se obtendría si colocáramos en fila todos esos cuadraditos? 1 mm  0,001 m. Así, en el cuadrado de 1 m de lado hay: 1 m2 : 1 mm2 1 m2 : (0,001)2 m2 1 000 000 de cuadraditos de 1 mm de lado Colocados en fila alcanzan una longitud de: 1 000 0001 mm  1 000 000 mm 1 000 m  1 km

32

¿Es regular este octógono?

1 cm

Calcula su área y su perímetro. 1 cm

No es regular, porque los lados oblicuos son distintos a los otros cuatro. 12 12  2  1 Miden: l 

1

l 1

1 El área de cada triángulo es  cm2. 2 1 Así, el área del polígono es: 5 4 7 cm2 2

1 cm

1 cm

Su perímetro es: 4 4 2  9,66 cm

33

Una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. Hemos de embaldosarla con losetas cuadradas de 20 cm de lado (se llaman losetas de 20 × 20). ¿Cuántas losetas se necesitan? La superficie de una loseta de 20 × 20 es: 2020 400 cm2  0,04 m2 Por tanto, necesitaremos 25 : 0,004 625 losetas.

12

Calcula la superficie de la zona coloreada. El área pedida es:

5 cm

5 (5  4 3) S 5 4 3  20 cm2 2 2

35

2

4 cm

3 cm

2

La figura azul no es un rombo, pero tiene las diagonales perpendiculares. Justifica que también puedes calcuD d lar su área mediante la fórmula: . 2

8m

15 m

34

El área del cuadrilátero azul es la mitad que la del rectángulo grande, pues el área de cada triángulo azul es la mitad que la del rectangulito que lo contiene.

36

Calcula las dimensiones y la superficie de las siguientes secciones de un cubo. 6 cm

6 cm l

3 cm

32  32  4,24 cm l   Por tanto, es un rectángulo de 4,24 × 6, cuya área es:

3 cm 6 cm

S 4,24 625,44 cm2 6 cm

37

6c

3 cm

m

l'

l'   32  62  6,7 cm Por tanto, es un rectángulo de 6,7 × 6, cuya área es: 6,7 640,2 cm2

Los lados de un triángulo miden: a6 cm, b7 cm y c8 cm. La altura correspondiente al lado a mide ha 6,8 cm. Calcula la longitud de las otras dos alturas. Haz el dibujo con precisión, toma medidas y comprueba la solución obtenida.

a = 6 cm

b = 7 cm 6,8

hb

cm

hc c = 8 cm

13

6 6,8 El área del triángulo es  20,4 cm2 2 Por tanto: 40,8 7 hb 20,4   → hb  5,8 cm 7 2 8 h 40,8 20,4c → hc  5,1 cm 2 8

38

Halla la superficie de cada una de las piezas de este tangram. Después, súmalas y comprueba que equivalen al área del cuadrado que forman todas juntas: 

 

12 cm









12 cm

12  6  S 36 cm2 2

 S 6 318 cm2

66  S 18 cm2 2

14

63  S 9 cm2 2

66  S 18 cm2 2

12  6  S 36 cm2 2

63  S 9 cm2 2

S S S S S S S 361818918369144 cm2 STOTAL 12 12144 cm2

Las áreas o perímetros que se piden a continuación son, todos ellos, mucho más sencillos de lo que parecen. Se encuentran con algo de imaginación y muy pocos cálculos.

39 Todos los arcos con los que se ha trazado esta figura son iguales, pertenecen a circunferencias de radio 6 m. Calcula su área.

18 m

12 m

Por tanto, S 12 18216 m2

15

40 Halla el área de este dibujo de un jarro. Todos los arcos están hechos con un radio, r8 cm.







16 cm 



16 cm



Observando la igualdad de las superficies marcadas con , , : S 162  256 cm2

41 Halla el área y el perímetro de toda la figura.

4c m

60°

Con esta figura podemos formar la siguiente:

4 cm 60°

Así, queda claro que el área es: π 42  50,24 cm2 Los seis arcos completan una circunferencia. Por tanto, el perímetro de la figura es: 2 π4 2 433,2 cm

16

42 Halla la superficie de cada loseta de este embaldosado.

40 cm

50 cm

El área del rectángulo rojo es 40 50 2 000 cm2

40 cm

50 cm

Dentro del rectángulo hay ocho losetas. Por tanto, el área de cada una de ellas es: 2 000  250 cm2 8

43 La base de este rectángulo mide 20 cm más que la altura. Su perímetro es de 100 cm. Calcula el área del cuadrilátero coloreado. El área de cada uno de los dos triángulos blancos es la cuarta parte del área del triángulo. Por tanto, el área del cuadrilátero coloreado es la mitad de la del rectángulo. b = 20 + a

a

a

b = 20 + a

404a 100 → a 15 cm → b35 cm

17

Área del rectángulo 1535 525 cm2 525 Área del cuadrilátero coloreado  262,5 cm2 2

44 ¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justifica la respuesta.

Todos tienen la misma base y la misma altura. Por tanto, tienen igual área.

45

C

C

C

A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia. ¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible?

A

C

B

C

C

A

B

C

La altura tiene que ser la mayor posible. Por tanto, el vértice hay que situarlo en el punto de la circunferencia más lejano a la cuerda. Está situado en la mediatriz del segmento AB.

46 El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior? l5 l3 l2

l4

l1

l5 es cuatro veces l1. Por tanto el perímetro del cuadrado exterior es cuatro veces el del cuadrado interior, es decir, 128 cm.

18

47 Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.

SZONA SOMBREADA π 32 7 π12  (9  7) π 6,28 cm2

19

Á REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS SENCILLAS Halla el área y el perímetro de las figuras coloreadas de los siguientes ejercicios:

1

a)

b) 4 cm 5 dm

2 cm

5 cm

8 cm

a) A = 52 = 25 dm2 P = 5 · 4 = 20 dm

2

a)

b) A = 8 · 2 = 8 cm2 2 P = 8 + 5 + 4 = 17 cm b)

5m

8m

17 m 15 m

a) A = π · 52 ≈ 78,5 dm2 P = 2π · 5 ≈ 31,4 dm

3

a)

b) A = 15 · 8 = 60 m2 2 P = 15 + 8 + 17 = 40 m b) 5 mm

7 dm

5 dm 9,2 dm 11 dm

a) A = 11 + 5 · 7 = 56 dm2 2 P = 11 + 9,2 + 5 + 7 = 32,2 dm

4

a)

10 mm

b) A = 10 · 5 = 50 mm2 P = 2 · 10 + 2 · 5 = 30 mm b)

6 cm

18 cm 9,5 cm

a) A = 18 · 6 = 54 cm2 2 P = 9,5 · 4 = 38 cm

5,4 hm 28 hm

15 hm

b) A = 28 · 5,4 = 75,6 hm2 2 P = 28 + 15 · 2 = 58 hm

20

5

a)

b) 3 cm

30,4 mm

30 mm

2,1 cm

47 mm

57 mm

a) A = 47 + 57 · 30 = 1 560 mm2 2 P = 57 + 47 + 2 · 30,4 = 164,8 mm

6

b) A = 5 · 3 · 2,1 = 15,75 cm2 2 P = 5 · 3 = 15 cm

a)

b)

5d

am

6 km 4 dam 9 dam 2 b) A = π · 3 ≈ 14,13 km2 2

a) A = 9 · 4 = 36 dam2

P = 2π · 3 + 6 ≈ 9,42 dm 2

P = 2 · 9 + 2 · 5 = 28 dam

7

a)

b) 15

12 cm

7,

2

cm

6 cm

cm

43 cm cm

36 cm

a) A = 8 · 6 · 7,2 = 172,8 cm2 2 P = 8 · 6 = 48 cm a)

b) A = 43 + 36 · 12 = 474 cm2 2 P = 36 + 20 + 43 + 15 = 114 cm b)

15 m

8

20

8m 7 mm

a) A = π · 152 – π · 82 ≈ 505,54 m2 P = 2π · 15 + 2π · 8 ≈ 144,44 m

b) A = 72 – π · 3,52 ≈ 10,53 mm2 P = 7 · 4 + 2π · 3,5 ≈ 49,98 mm

21

9

a)

b) 9,9 km

3 km

120° 4 km

2 a) A = 7 · 7 – π · 3 ≈ 17,43 km2 2 4

2 b) A = π · 15 · 120 ≈ 235,5 mm2 360

P = 2 · π · 3 + 4 + 4 + 9,9 ≈ 22,61 km 4

10

m

8m

a)

P = 2π · 15 · 120 + 15 + 15 ≈ 61,4 mm 360 b) 8,6 hm

1m 5 hm

0,5 m

7 hm

2 2 a) A = π · 1,5 – π · 1 ≈ 0,98 m2 4 4

P = 2π · 1,5 + 2π · 1 + 0,5 + 0,5 ≈ 4,92 m 4 4 2 b) A = 7 · 5 + π · 5 ≈ 37,12 hm2 2 4

P = 2 · π · 5 + 8,6 + 5 + 7 ≈ 28,45 hm 4

M EDIR Y CALCULAR ÁREAS Y PERÍMETROS En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que medir algún elemento (lado, diagonal, radio…).

11

a)

b)

2,4 cm

a) A = 5,76 cm2 P = 9,6 cm

1,2 cm

b) A = 4,52 cm2 P = 7,54 cm

22

12

a)

b) 2 cm

2 cm

2,4 cm

3,5 cm

a) A = 4,8 cm2 P = 8,8 cm

13

b) A = 3,5 cm2 P = 8 cm

a)

b) 1,6 cm

2,2 cm

2 cm

a) A = 4,3 cm2 P = 8,5 cm

14

1,8 cm

0,5 cm

2,7 cm

b) A = 1,77 cm2 P = 8,41 cm

a)

b) 3 cm

60°

cm

1,6 cm

1,7 cm

1,7

1,5 cm

1,6 cm

1,5 cm 2,9 cm 3,1 cm

a) A = 7,8 cm2 P = 11,1 cm

2,2 cm

b) A = 3,3 cm2 P = 7,4 cm

Á REAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS PLANAS 15

Aquí tienes las áreas de varios cuadrados. Di, en cada caso, cuánto mide el lado. ÁREA DEL CUADRADO

cm2

16 225 cm2 36 mm2 100 dam2

LADO

ÁREA DEL CUADRADO

cm2

16 225 cm2 36 mm2 100 dam2

LADO

4 cm 15 cm 6 mm 10 dam

23

Averigua cuánto mide la altura de un rectángulo de 40 m2 de superficie y 5 m de base.

16

40 m2

40 a=—=8m 5

a

La altura del rectángulo mide 8 m. 5m

17

Halla el área de un trapecio cuyas bases miden 12 cm y 20 cm, y su altura, 10 cm. A = 12 + 20 · 10 = 160 cm2 2 El área del trapecio es 160 cm2.

18

Las medidas de los lados de un trapecio rectángulo son a = 9 m, b = 5 m, c = 12 m y d = 4 m. Los lados paralelos son a y c. Halla su área. 9m 5m

4m

Área = 12 + 9 · 4 = 42 m2 2 El área del trapecio es 42 m2

12 m

19

Las bases de un trapecio isósceles miden 26 cm y 14 cm; la altura, 8 cm, y otro de sus lados, 10 cm. Calcula el perímetro y el área de la figura. A = 26 + 14 · 8 = 160 cm2 2 P = 26 + 14 + 2 · 10 = 60 cm

20

El área de un triángulo es de 66 cm2; sus lados miden a = 20 cm, b = 11 cm y c = 13 cm. Calcula sus tres alturas y su perímetro.

a13

m 11

13 a20 20 m

m

a11

P = 20 + 11 + 13 = 44 cm 66 66 = 20 · a20 8 a20 = — = 3,3 cm 20 66 66 = 13 · a13 8 a13 = — ≈ 5,08 cm 13 66 66 = 11 · a11 8 a11 = — = 6 cm 11

24

21

Los lados de un triángulo rectángulo miden 15 dm, 8 dm y 17 dm. Calcula su área y la altura sobre la hipotenusa.

17 dm

8 dm

ah

15 dm

A = 15 · 8 = 60 dm2 2 17 · ah 120 = 8 ah = 120 ≈ 7,06 dm 2 17

22

Calcula el área y el perímetro de un hexágono regular de 6 mm de lado y 5,2 mm de apotema. A = 6 · 6 · 5,2 = 93,6 mm2 2 P = 6 · 6 = 36 mm En una circunferencia de 24 cm de radio trazamos una cuerda de 34 cm. Halla el área del segmento circular sabiendo que el ángulo central correspondiente es de 90°. 34 cm

23

24 cm 90° O

ATRIÁNGULO = 24 · 24 = 288 cm2 2 ACÍRCULO = π · 242 ≈ 1 808,64 cm2 ASEGMENTO CIRCULAR = 1 ACÍRCULO – ATRIÁNGULO = 1 808,64 – 288 = 164,16 cm2 4 4

24

Calcula el área de la zona coloreada.

5 cm

4 cm

3 cm

A = 52 + 42 + 32 – (5 + 4 + 3) · 5 = 20 cm2 2

25

25

Calcula el área y el perímetro de las figuras coloreadas. a) 31 m

49 m 37 m 40 m

35 m 54 m

b)

7c

m

5m

2,

5

m

c)

a)

5m

26 m

31 m 49 m 5m 37 m 35 m

40 m

42 m

54 m

A = 42 · 31 + 54 · 40 – 52 = 3 437 m2 P = 54 + 40 + 49 + 26 + 42 + 31 + 37 + 35 = 314 m 2 b) A = π · 7 ≈ 51,29 cm2 3

P = 2π · 7 + 2 · 7 ≈ 28,65 cm 3 c) A = 5 · 5 = 25 m2 P = 2 · π · 2,5 · 2 ≈ 31,4 m

26

26

Halla el perímetro y el área de las siguientes figuras: a)

A B

OB = 11 cm AB = 8 cm

O

b)

C

B

ì

A = 60° AB = 10 m AC = 8,7 cm A

a) A = 2 · 8 · 11 · 5 = 440 cm2 2 P = 2 · 8 · 5 = 80 cm

ì — — b) Como el triángulo es equilátero (ya que A = 60°), AB = 2BC = 10 m. 2 A = π · 10 · 60 – 10 · 8,7 ≈ 8,83 m2 2 360

P = 2π · 10 · 60 + 10 ≈ 20,47 m 360

27

El perímetro del cuadrado rojo interior es de 32 cm. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado negro exterior?

Observación: l l

Como vemos en la observación, el lado del cuadrado rojo interior es la mitad del del cuadrado azul. Por el mismo motivo, el lado del cuadrado negro exterior es el doble del del cuadrado azul. Así, el lado del cuadrado negro es cuatro veces el lado del cuadrado rojo. El perímetro del cuadrado negro será cuatro veces el perímetro del cuadrado rojo, es decir, 32 · 4 = 128 cm.

27

28

Halla el área de la parte coloreada sabiendo que el diámetro de la circunferencia grande es de 6 cm.

Radio circunferencia grande: R = 3 cm Radio circunferencias pequeñas: r = 1 cm A = π · 32 – 7 · π · 12 = 2π ≈ 6,28 cm2

29

¿Cuál de los tres triángulos tiene mayor área (azul, naranja o verde)? Justifica la respuesta.

Todos los triángulos tienen la misma área ya que la base y la altura son iguales para todos ellos.

30

A y B son puntos fijos. El punto C puede estar situado en cualquier lugar de la circunferencia. C

C

A

B

C

¿Dónde lo pondrás si quieres que el área del triángulo ABC sea la mayor posible? Pondremos C en el punto más alto de la circunferencia para que el área sea lo mayor posible. Esto es porque con la misma base, cuanto mayor sea la altura, mayor será el área del triángulo.

C

A

B

28

Á REAS Y PERÍMETROS UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS En cada una de las siguientes figuras coloreadas halla su área y su perímetro. Para ello, tendrás que calcular el valor de algún elemento (lado, diagonal, apotema, ángulo…). Si no es exacto, halla una cifra decimal.

31

a)

b) 25 m

7m

6m 5m

a = √62 – 2,52 = √29,75 = 5,5 m

a) a

A = 6 · 5,5 = 13,8 m2 2 P = 2 · 6 + 5 = 17 m

6m 2,5 m

x = √252 – 72 = √576 = 24 m

b)

A = 24 · 7 = 84 m2 2 P = 24 + 7 + 25 = 56 m

7m

25 m x

32

b) 5 cm

a)

90 m

13 cm

a = √132 – 52 = √144 = 12 m

a) 13 cm

5 cm

x

A = 12 · 5 = 60 cm2 P = 12 · 2 + 5 · 2 = 34 cm

b)

53 m

45 m x

33

53 m

a)

x = √532 – 452 = √784 = 28 m A = 2 · 28 · 90 = 2 520 m2 2 P = 53 · 4 = 212 m b)

99 m

15 cm

29

x 2 + x 2 = 992 8 2x 2 = 9 801 8

a) 99 m

x

8 x 2 = 4 900,5 8 x = √4 900,5 ≈ 70 m A = 702 = 4 900 m2 P = 70 · 4 = 280 m

x

x = √152 + 152 = √450 ≈ 21,2 cm

b) x

A = π · 21,22 – π · 152 ≈ 704,7 cm2

15 cm

15 cm

34

P = 2π · 21,2 + 2π · 15 ≈ 227,3 cm

b) 18 cm

a) cm

110

89 cm

98 cm

73 cm

x = √732 – 552 = √2 304 = 48 cm

a) 55

cm

A = 110 · 48 · 2 = 5 280 cm2 2 P = 4 · 73 = 292 cm

x

73 cm

x = √892 – 802 = √1 521 = 39

b) 18 cm

A = 18 + 98 · 39 = 2 262 cm2 2 P = 98 + 89 + 18 + 39 = 244 cm

89 cm

x

80 cm 98 cm

35

a)

b) 41 dam

41 dam

53 dam

4 dm 8 dm

5,6 dm

71 dam

a)

x = √412 – 92 = √1 600 = 40 dam

53 dam

9 dam 71 dam

b)

2,4 dm

41 dam

x

4 dm x 5,6 dm

A = 53 + 71 · 40 = 2 480 dam2 2 P = 71 + 41 · 2 + 53 = 206 dam x = √42 – 2,42 = √10,24 = 3,2 dm A = 8 + 5,6 · 3,2 ≈ 21,8 dm2 2 P = 5,6 + 4 + 8 + 3,2 = 20,8 dm

30

36

a)

b)

12 m

10,2

48 cm

m

25 cm

25 cm

a)

x = √10,22 – 62 = √68,04 ≈ 8,2 m

12 m

10,2 x

A = 12 · 8,2 · 5 = 246 m2 2 P = 12 · 5 = 60 m

m 6m

x = √252 – 242 = √49 = 7 cm

b) 24 cm

x

25 cm

25 cm

37

a)

A = 48 · 7 · 2 = 336 cm2 2 P = 4 · 25 = 100 cm

b) x 60°

8 mm

10 m

x x

x = √102 – 52 = √75 ≈ 8,7 m

a) 5m x

10 m

2 A = π · 10 · 60 – 10 · 8,7 ≈ 8,8 m2 2 360

P = 2π · 10 · 60 + 10 ≈ 20,5 m 360 (2x)2 + x 2 = 82 8 5x 2 = 82 8 x ≈ 3,6 mm

b) x 8 mm x x

38

x

A = 3,6 · 2 · 3,6 · 2 – 3,6 · 2 · 3,6 ≈ 13 mm 2 2 P = 2 · 8 + 3,6 · 2 = 23,2 mm

x

Calcula la diagonal de un cuadrado de 28 cm de perímetro. l = 28 : 4 = 7 cm x

7 cm

x = √72 + 72 = √98 ≈ 9,9 cm La diagonal del cuadrado mide 9,9 cm.

7 cm

31

Halla el perímetro de un rombo cuyas diagonales miden 42 cm y 40 cm. 21 cm

39

l

l = √212 + 202 = √841 = 29 cm P = 4 · 29 = 116 cm

20 cm

40

Los lados paralelos de un trapecio rectángulo miden 110 m y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área. 30 m

x = √892 – 802 = √1 521 = 39 m 89 m

x

80 m 110 m

41

A = 30 + 110 · 39 = 2 730 m2 2 P = 110 + 89 + 30 + 39 = 268 m

Halla el área de un triángulo equilátero de 60 dam de perímetro. l = 60 : 3 = 20 dam x

20 dam

10 dam

42

x = √202 – 102 = √300 ≈ 17,32 dam A = 20 · 17,32 = 173,2 dam2 2

Los lados de un triángulo miden 45 cm, 28 cm y 53 cm. Comprueba si es o no un triángulo rectángulo, halla su área y calcula la altura sobre el lado más largo. 532 = 2 809 cm2; 452 + 282 = 2 809 cm2 Como 532 = 452 + 282, es un triángulo rectángulo. A = 45 · 28 = 630 cm2 2 630 = 53 · ah 8 ah = 630 ≈ 11,9 cm 53 La altura sobre la hipotenusa mide 11,9 cm.

43

Un hexágono regular está inscrito en una circunferencia de 6 cm de radio. Halla el área del recinto comprendido entre ambas figuras.

32

a = √62 – 32 = √27 ≈ 5,2 cm AHEXÁGONO = 6 · 6 · 5,2 = 93,6 cm2 2 2 ACÍRCULO = π · 6 ≈ 113,04 cm2

6 cm 3 cm

a

ARECINTO = ACÍRCULO – AHEXÁGONO = 19,44 cm2

44

¿Es regular este octógono?. Calcula su área y su perímetro. 1 cm

1 cm

El octógono no es regular ya que algunos lados miden 1 cm y otros √2 ≈ 1,4 cm. El área de un cuadrado de 1 cm de lado es 1 cm2. El octógono está formado por 5 cuadrados de 1 cm2 y cuatro mitades. Esto es: Área = 5 · 1 + 4 · 1 = 7 cm2 2

45

Calcula el perímetro y el área de esta figura: 8m

12 m 8m

18 m 8m 4m

x = √102 + 42 = √116 ≈ 10,77 m 4m

x

ARECTÁNGULO = 18 · 8 = 144 m2

10 m

ATRAPECIO = 8 + 18 · 4 = 52 m2 2 8m

2 A 1/2 CÍRCULO = π · 4 ≈ 25,12 m2 2

18 m

ATOTAL = ARECTÁNGULO + ATRAPECIO – A 1/2 CÍRCULO = 144 + 52 – 25,12 = 170,88 m2 P = 18 + 8 + 10,77 + 2π · 4 + 12 ≈ 61,33 m 2

33

46

Halla el perímetro y el área de esta figura:

m 10 d

26 dm

x = √262 – 102 = √576 = 24 dm m 10 d

x 26 dm

ATRIÁNGULO = 24 · 10 = 120 dm2 2 2 A 1/2 CÍRCULO GRANDE = π · 12 ≈ 226,08 dm2 2

2 A 1/2 CÍRCULO PEQUEÑO = π · 5 ≈ 39,25 dm2 2 ATOTAL = 120 + 226,08 + 39,25 = 385,25 dm2

P = 26 + 2π · 5 + 2π · 12 ≈ 79,38 dm 2 2

47

Calcula las dimensiones y el área de cada una de las siguientes secciones de un cubo: a)

b)

6 cm 6 cm

3 cm 6 cm

3 cm 6 cm 3 cm

a)

6 cm

x = √32 + 32 = √18 ≈ 4,24 cm

x

A = 4,24 · 6 = 25,44 cm2 6 cm

b)

P = 2 · 6 + 2 · 4,24 = 20,48 cm

x = √62 + 32 = √45 ≈ 6,71 cm

6 cm

A = 6,71 · 6 = 40,26 cm2 x

P = 6,71 · 2 + 6 · 2 = 25,42 cm

34

48

Determina el perímetro y el área de la siguiente figura: 4m

5m 13 m

3,5 m

x

x = √52 – 42 = √9 = 3

1

y = √132 – 52 = √144 = 12

5m

4m

13 m

z = √122 + 3,52 = √156,25 = 12,5 m

2 y

3,5 m 3

z

A① = 4 · 3 = 6 m2; A ② = 5 · 12 = 30 m2; A③ = 3,5 · 12 = 21 m2 2 2 2 2 A = 6 + 30 + 21 = 57 m P = 3,5 + 4 + 3 + 13 + 12,5 = 36 m 8m

15 m

La figura roja no es un rombo, pero tiene las diagonales perpendiculares. Justifica que también puedes calcular su área mediante la fórmula: D·d 2 d=8m 6

4 5

D = 15 m

49

7

8

3

ARECTÁNGULO = D · d = 8 · 15 = 120 m2 1

Como vemos, A① = A②; A③ = A④; A⑤ = A⑥; A⑦ = A⑧ 2

Por esto el área de la figura roja es la mitad del área del rectángulo. Así: A AFIGURA = RECTÁNGULO = D · d = 120 = 60 m2 2 2 2

35

50

Un salón cuadrado tiene una superficie de 50 m2. Hemos de embaldosarlo con losetas cuadradas de 25 cm de lado (se llaman losetas de 25 Ò 25). ¿Cuántas losetas son necesarias? ALOSETA = 25 · 25 = 625 cm2 ASALÓN = 50 m2 = 500 000 cm2 Para cubrir el salón se necesitan 500 000 = 800 losetas. 625

51

Para cubrir un patio rectangular, se han usado 540 baldosas de 600 cm2 cada una. ¿Cuántas baldosas cuadradas de 20 cm de lado serán necesarias para cubrir el patio, idéntico, de la casa vecina? El patio tiene un área de 540 · 600 = 324 000 cm2 = 32,4 m2. La superficie de una baldosa de 20 cm de lado es 20 · 20 = 400 cm2. Por tanto, se necesitan 324 000 = 810 baldosas de 20 cm de lado para cubrir el patio. 400

36