Matematicas Resueltos (Soluciones) Algebra 1º ESO

1

Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica: • La mitad de un número. • El triple de la mitad de un número. • La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h. • El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo. • La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60 años cuando nació Pedro.

1,3x 3x 2 x 2 x – 60 1,3x 2 60x

• El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros. x • La mitad de un número →  2 3x • El triple de la mitad de un número →  2 • La distancia recorrida en x horas por un tren que va a 60 km/h → 60x • El precio de x kilos de naranjas que están a 1,3 €/kilo → 1,3x • La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años, tenía 60 años cuando nació Pedro → x – 60 1,3x • El área de un triángulo de base 1,3 m y altura x metros →  2

2

Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados: • Teresa tiene x años. • Su hija tiene 25 años menos que ella. • Su madre tiene doble edad que ella. • Su padre le saca 6 años a su madre. • Teresa tenía 8 años cuando nació su hermano Lorenzo.

1

EDAD

x

TERESA

x

LA HIJA

LA HIJA

x25

LA MADRE

LA MADRE

2x

EL PADRE

EL PADRE

2x6

LORENZO

LORENZO

x 8

TERESA

3

EDAD

Lee los enunciados y completa la tabla: • Eva recibe, de paga semanal, x euros.

PAGA SEMANAL

x

EVA

• A Leticia le faltan 10 € para recibir el doble que Eva.

LETICIA RAQUEL

• Raquel recibe 50 € más que Leticia.

ENTRE LAS TRES

PAGA SEMANAL

x

EVA

4

LETICIA

2x10

RAQUEL

2x 40

ENTRE LAS TRES

2x 30

Completa: n

1

3

7

10

15

n

20

3n + 2

5

1

5

9

15

21

27

n+1  2

n

1

3

7

10

15

20

n

1

5

9

15

21

27

3n + 2

5

11

23

32

47

62

n+1  2

1

3

5

8

11

14

Expresa algebraicamente las sucesivas transformaciones que sufre un número, n, al ser sometido a la siguiente cadena de operaciones: ENTRADA

↓ n

SALIDA

↓ ·4

+6

:2

 → 4n  →

–1

 →

 →

Completa esta tabla de entradas-salidas para la anterior cadena de transformaciones: ENTRADAS

1

SALIDAS

4

2

4

7

10

…

n

2

ENTRADA

SALIDA

↓

↓ ·4

6

+6

:2

–1

 → 4n  → 4n 6  → 2n 3  → 2n 2

n

ENTRADAS

1

2

4

7

10

…

n

SALIDAS

4

6

10

16

22

…

2n2

Completa el valor que corresponde a un número cualquiera n: 0

1

2

3

4

…

0

1

8

27

64

…

0

1

2

3

4

…

0

1

8

27

64

…

n

2

4

8

16

20

…

n

2

3

5

9

11

…

n

2

4

8

16

20

…

n

n3

2

3

5

9

11

…

n  1 2

Monomios y operaciones

7

Completa la tabla siguiente: 2 22  x y 3

2 3

2x3

–5ax

2x3

–5ax

COEFICIENTE

2

–5

PARTE LITERAL

x3

ax

x2y2

x2y3

GRADO

3

2

4

5

MONOMIO

–x y

COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO

MONOMIO

8

2 22  x y 3 2  3

2 3

–x y –1

Reduce las siguientes expresiones: a) xx xx x

b) 3x  2x

c) 10x6x

d) 3x 7

e) 3x2x x

f) 10x  6x 2x

g) a ab

h) 5a 3a 4b b

i) a 2a

j) a2  aa

2

2

3

9

k) 3a5a2a2 4a2

l) 2a2  6a a2  a2

a) xx x x x 5x

b) 3x 2x 5x

c) 10x 6x 4x

d) 3x  7 → No se puede reducir más.

e) 3x 2x x 6x

f ) 10x6x2x 6x

g) aa b 2ab

h) 5a 3a 4b b 2a 5b

i) a 2 2a 2 3a 2

j) a 2  a a a 2  2a

k) 3a  5a2a 2 4a 2 8a 6a 2

l) 2a 2  6a a 2  a 2  6a

Opera y reduce: a) 2(5a)

b) (4) (3x)

c) (5x)(x)

d) (2x)  (3x)

2 g) x (3x) 3

  2 5 h) x  x 5  2 

a) 2  (5a) 10a

b) (4) (3x)12x

c) (5x)(x)5x 2

d) (2x)  (3x) 6x 2 1 f ) (6b) b  2b 2 3

e) (2a)(5ab)

 

e) (2a)(5ab)10a 2b

 

2 g) x (3x)2x 2 3

10

1 f) (6b) b 3

2

  2 5 h) x  x  x 5  2  2

3

Quita paréntesis: a) 3(1 x)

b) 2a (a  b)

c) (3x)(x x 2)

d) (5)  (1  2a)

e) a2 (a 1)

f) 3x  (2x 3y)

g) 5ab(a 2b)

h) a2b (1  a b)

a) 3 (1  x)33x

b) 2a  (a b) 2a 2  2ab

c) (3x)(x x 2)3x 2 3x 3

d) (5) (1 2a) 5 10a

e) a 2 (a1) a 3 a 2

f ) 3x (2x  3y) 6x 2  9xy

4

g) 5ab(a 2b)5a 2b10ab2

11

h) a 2b (1 a b) a 2b a 3b a 2b2

Reduce: b) 3(x 1)  2(x 1)

a) 5(12x)5 c) a (1 a)(1 a )

d) a (a  b) b (ab)

e) 5x (2x 3)  4x (2x  3)

f) ab  (1  a) ab (1  b)

2

a) 5 (1 2x)5 510x 5 10x b) 3 (x 1) 2 (x1) 3x 32x 2x 5 c) a (1 a)(1 a 2) aa 2  1a 2  a 1 d) a (a b)b (a b)a 2  ab ba b2  a 2  b2 e) 5x (2x 3) 4x (2x 3)  10x 2  15x 8x 2  12x 2x 2  3x f ) ab (1 a) ab (1 b) ab a 2b ab ab 2  ab2  a 2b

12

Opera y reduce: a) (2x) : (2x)

b) (6a) : (3a)

c) (3b) : (6b)

d) (15x 2) : (3x)

e) (8x) : (4x 2)

f) (a3b2) : (ab2)

g) (10x) : (5x 3)

h) (2a2b) : (4ab2)

2x a) 1 2x 3b 3 b 1 c)   6b 3 2 b 2 8x 2  2  2 x 2 e)   2 4x 2  2  x x x 10x 2 5 2  x g)  2 3 5x 5  x x x x 

2  3  a 6a b) 2 3a 3  a 15x 2 3  5  x  x d)  5x 3x  3  x 3 2 ab a  a  a  b  b  f )   a 2 2  ab a  b  b 2a 2b 2 a  a  b a h)   2 4ab 2  2  a b  b 2b 

Ecuaciones para resolver por tanteo

13

x 2 25 x  5, x 5

14

x 2  1  24 x  5, x  5

5

15

x 2 10  35 x  5, x  5

16

x 2  x  30 x  5, x  6

17

(x  1)2  36 x  5, x  7

18

(x  1)2  100 x  9, x  11

19

  4 x  2

2

x  4, x  4

20

(3x)2  81 x  3, x  3

21

x (x  1)  30 x  5, x  6

22

x (x  1)  20 x  5, x  4

23

x (x  2)  120 x  10, x  12

24

x (x  2)  80 x  10, x  8

25

x  7 x  49

6

26

x 1  7  x  50

27

x 9  4  x  25

28

x 8   1 2



x  10

29

30

2x  1  21 20 2x  20; x  ; x  10 2 2x  x  5 2x  x  5; x  5

31

7x  15  1 7x  1  15 14 x   7 x  2

32

4x  1  x 1 4x  x  1  1 3x  2 2 x   3

33

2x  3 6x  1 2x  6x  1  3 4x  2 2 1 x  ; x   4 2

7

2x  5  x  4  2x

34

3x  2x  4  5

1 5x  1; x   5 23x  5  x 5

35

3x  x  5  2  5 2x  8 x4

36

x  8  2x  18  x x  x  18  8 2x  10 10 x  ; x  5 2

37

9x  x  x  4  7x 8x  8x  4 8x  8x  4 0x  4 → No tiene solución.

38

65x  9x  4  6x 5x  15x  4  6 10x  10 10 x  ; x  1 10

39

2x  6  4x  2  2x 2x  6x  8 8x  8 8 x  ; x  1 8

40

x  2x  4x  14  x  2 7x  x  2  14 6x  12 12 x  ; x  2 6

8

8x  3  5x  x  5  3x

41

3x  2x  5  3 5x  8 8 x    5 5x  8  7x  3x  9  7x

42

2x  4x  9  8 2x  17 17 x    2 7x  4  x  6x  x  3  x  1

43

2x  2x  4  4 00 La ecuación tiene infinitas soluciones.

Ecuaciones con paréntesis 5  (3x  2)  4x

46

5  3x  2  4x 3x  4x  5  2 7x  7 7 x   7 x1

47

8x  11  6  (3  7x) 8x  11  6  3  7x 8x  7x  3  11 x  8

9

3(x  2)  18

48

3x  6  18 3x  12 12 x   3 x4

49

2(x  1)  5x  3 2x  2  5x  3 2x  5x  3  2 3x  1 1 x   3

50

6  2(x  1)  2 6  2x  2  2 2x  2  8 6 x  ; x  3 2

51

5x  (1  x)  3(x  1)  2 5x  1  x  3x  3  2 6x  3x  1  1 3x  0; x  0

52

5(2x  1)  3x  7(x  1)  2 10x  5  3x  7x  7  2 7x  7x  5  5; 0  0 → La ecuación tiene infinitas soluciones.

53

3(2x  1)  2(1  2x)  5 6x  3  2  4x  5 2x  5  1 6 x  ; x  3 2

10

6(x  2)  x  5(x  1)

54

6x  12  x  5x  5 5x  5x  5  12 0x  7 → La ecuación no tiene solución. 4x  2(x  3)  2(x  2)

55

4x  2x  6  2x  4 6x  2x  4  6 1 4x  2; x   2 2(1  x)  3  3(2x  1)  2

56

2  2x  3  6x  3  2 2x  6x  5  1 8x  6 6 3 x     8 4 6  8(x  1)  5x  2(3  2x)  5(3  x)

57

6  8x  8  5x  6  4x  15  5x 2  13x  9  x 13x  x  9  2 12x  7 7 x   12 Ecuaciones con denominadores x   1  0 6

58





x 6   1  0 6 x  6  0; x  6

11

59

x 5    13 13 x 5 13  13  13 13

   

x5

60

2 x   1   7 7 2 x 7   1 7 7 7





x  7  2; x  9

61

5 7 x      3 3 3 5 7 x 3    3 3 3 3





x57 x  7  5; x  2

62

x x  4   5 x 5x  5 4   5 5x  20  x





5x  x  20 4x  20; x  5

63

5x x 6    2   3 3 5x x 3 6    3 2   3 3 18  x  6  5x



 



x  5x  6  18 6x  12 12 x  ; x  2 6

12

1 2x x   1     2 3 3

64



 



1 2x x 6   1  6    2 3 3 2x  6  3  4x 2x  4x  3  6 6x  9 9 3 x     6 2 4 2x x       1 5 5 2

65







4 2x x 10     10   1 5 5 2 5x  8  4x  10



5x  4x  10  8 x2 2x x 7 x       3 3 15

66









2x x 7 15 x    15    3 3 15 15x  5x  7  10x 10x  10x  7 0x  7

La ecuación no tiene solución. 1 3x x     1   4 2 2

67



 



1 3x x 4     4 1   4 2 2 2x  1  4  6x

2x  6x  4  1 8x  5 5 x   8

13

68

1 2x 1 x        6 9 2 9 1 2x 1 x 18     18    6 9 2 9 2x  3  4x  9









2x  4x  9  3 2x  6 x3

69

1 3 x x x          1 4 4 2 2 1 3 x x 4 x      4     1 4 4 2 2 4x  1  2x  3  2x  4



 



2x  2x  1  1 00 La ecuación tiene infinitas soluciones. Problemas para resolver con ecuaciones

70

El triple de un número, menos cinco, es igual a 16. ¿Cuál es el número? Triple de un número → 3 x 3x  5  16 3x  16  5 3x  21 x7 El número es el 7.

71

La suma de tres números consecutivos es 702. ¿Cuáles son esos números? Tres números consecutivos → x, x  1, x  2 x  x  1  x 2  702 3x  3  702 3x  699 x  233 Los números son 233, 234 y 235.

14

Un número, su anterior y su posterior suman 702. ¿Qué números son? (Compara el enunciado de este ejercicio con el anterior. ¿Qué relaciones ves?)  PRIMER NÚMERO

SEGUNDO NÚMERO TERCER NÚMERO

→ x1 → x → x1

    

72

CONSECUTIVOS

x  1  x  x  1  702 3x  702 x  234 → Su anterior es 233 → Su posterior es 235 Los números son 233, 234 y 235.

73

Al sumar un número natural con el doble de su siguiente, se obtiene 44. ¿De qué número se trata? Número natural → x Doble de su siguiente → 2(x  1) x  2(x  1)  44 x  2x  2  44 3x  42; x  14 Se trata del número 14.

74

Al sumarle a un número 60 unidades, se obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el número? x  60  5x x  5x  60 4x  60 60 x  ; x  15 4 Es el número 15.

75

Reparte 680 € entre dos personas de forma que la primera se lleve el triple que la segunda. La segunda se lleva x. La primera se lleva 3x.

15

x  3x  680 4x  680 x  170 → 3x  510 La primera se lleva 510 € y la segunda, 170 €.

76

En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que el de ellas sobrepasa en 17 al de ellos?  HOMBRES

MUJERES TOTAL

→x → x  17 → 511

x  x  17  511 2x  511  17 494 x    247 → x  17  264 2 Hay 247 hombres y 264 mujeres.

77

Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su hermano Roberto. Entre los tres igualan la edad de su madre, que tiene 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?  MARISA

ROSA ROBERTO

→x → x 3 →x1

x  x  3  x  1  38 3x  38  2 3x  36 x  12 Marisa tiene 12 años; Rosa, 15, y Roberto, 11 años.

78

Pedro, Pablo y Paloma reciben 1 200 € como pago por su trabajo de socorristas en una piscina. Si Pablo ha trabajado el triple de días que Pedro, y Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto? Pedro → x Pablo → 3x Paloma → 2 3x  6x x  3x  6x  1 200

16

10x  1 200 x  120 → 3x  360 → 6x  720 Pedro, 120 €; Pablo, 360 €, y Paloma, 720 €.

79

Marta gasta la mitad de su dinero en la entrada para un concierto, y la quinta parte del mismo, en una hamburguesa. ¿Cuánto tenía si aún le quedan 2,70 €? Su dinero → x x Concierto →  2 x Hamburguesa →  5 x x x      2,7 2 5 x x 10 x      10 2,7 2 5





10x  5x  2x  27 3x  27 x9 Marta tenía 9 €.

80

En una granja, entre gallinas y conejos, hay 20 cabezas y 52 patas. Estudia la tabla adjunta y traduce a lenguaje algebraico la siguiente igualdad: PATAS DE GALLINA

PATAS DE CONEJO

ES IGUAL A

CABEZAS

PATAS

GALLINAS

x

2x

CONEJOS

20x

4(20x)

MÁS

52

¿Cuántas gallinas y cuántos conejos hay en la granja? 2x  4(20  x)  52 2x  80  4x  52 2x  52  80 2x  28 x  14 Hay 14 gallinas y 6 conejos.

17

81

Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado 2,6 € por cuatro naturales y seis de frutas? Yogur natural → x Yogur de frutas → x  10 4x  6(x  10)  260 4x  6x  60  260 10x  200 x  20 El yogur natural vale 20 céntimos y el de frutas, 30 céntimos.

83

Paz y Petra tienen 6 y 9 años, respectivamente. Su madre, Ana, tiene 35 años. ¿Cuántos años deben pasar para que, entre las dos niñas, igualen la edad de la madre? HOY

DENTRO DE x AÑOS

PAZ

6

6x

PETRA

9

9x

35

35x

ANA

6  x  9  x  35  x 2x  15  35  x 2x  x  35  15 x  20 Han de pasar 20 años.

84

Tengo en el bolsillo 13 monedas, unas de 2 céntimos y otras de 5 céntimos. Si las cambio todas por una moneda de 50 céntimos, ¿cuántas tengo de cada clase?

NÚMERO DE MONEDAS VALOR

MONEDAS DE

MONEDAS DE

2 CÉNTIMOS

5 CÉNTIMOS

x

13x

2x

5(13 x)

2x  5(13  x)  50 2x  65  5x  50 3x  15 x5

Tiene 5 monedas de 2 céntimos y 8 de 5 céntimos.

18

85

Montse tiene el triple de cromos que Rocío. Intercambian 8 de Montse (fáciles) por 3 de Rocío (más difíciles). Ahora Montse tiene el doble que Rocío. ¿Cuántos cromos tiene ahora cada una? ROCÍO

MONTSE

x

3x

x38

3x83

TENÍAN CAMBIAN

→ Montse, doble que Rocío.

3x  5  2(x  5) 3x  5  2x  10 3x  2x  10  5 x  15 Rocío tenía 15 cromos y Montse, 45 cromos. Ahora, Rocío tiene 20 cromos y Montse, 40 cromos.

86

En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado Mario si ha obtenido 68 puntos? 5x  3(20  x)  68 NÚMERO PUNTUACIÓN

ACIERTOS

FALLOS

x

20x

5x

3(20 x)

5x  60  3x  68 8x  128 x  16

Mario ha acertado 16 preguntas y ha fallado 4.

87

Un jardín rectangular es 6 metros más largo que ancho. Si su perímetro mide 92 metros, ¿cuáles son las dimensiones del jardín? x6

2x  2(x  6)  92 2x  2x  12  92

x

x

4x  80 x  20

x6

El jardín tiene 20 m de ancho y 26 m de largo.

19

Para realizar los ejercicios que te proponemos a continuación, aplica ordenadamente esta estrategia: ESTRATEGIA:

• Estudia, primeramente, los casos sencillos. • Ordena en una tabla los datos que vayas obteniendo. • Observa regularidades en esos datos y escribe la ley general.

88 Palillos y cuadrados

7 PALILLOS

4 PALILLOS

10 PALILLOS

• ¿Cuántos palillos se necesitan para formar una tira de 5 cuadrados? • ¿Y para una tira de 10 cuadrados? • ¿Y para una tira de n cuadrados? • Completa esta tabla: No DE CUADRADOS

1

2

3

No DE PALILLOS

4

7

10

4

5

6

10

…

n

El primer cuadrado se forma con 4 palillos, y para formar los siguientes hay que añadir 3 palillos al anterior. 4 43 4 33 4 3 3 3 … Así, para hacer 5 cuadrados, por ejemplo, hay que poner:       

4 3 33 3 palillos el 3, 4 veces Y para hacer n cuadrados se necesitarán       

43 3… 3 palillos el 3, n1 veces La tabla queda así: No DE CUADRADOS o

N DE PALILLOS

1

2

3

4

5

6

10

…

n

4

7

10

13

16

19

31

… 43(n1)

 1  3n

20

89 Palillos y parejas de cuadrados

12 PALILLOS

7 PALILLOS

17 PALILLOS

Completa la siguiente tabla: No DE PAREJAS DE CUADRADOS o

N DE PALILLOS

1

2

3

4

7

12

17

5

6

10

…

n

En este caso se necesitan, para la primera pareja de cuadrados, 7 palillos, y para las siguientes, 5 más cada vez. 77 5 75 57 5 5 5 … Para formar n parejas de cuadrados se necesitará este número de palillos: 75 5 …5        el 5, n1 veces La tabla quedará así: No DE PAREJAS DE CUADRADOS o

N DE PALILLOS

1

2

3

4

5

6

10

…

n

7

12

17

22

27

32

52

… 75(n1)

↓ 2 5n

90 Palillos, bolas y cubos

12 PALILLOS 8 BOLAS

20 PALILLOS 12 BOLAS

28 PALILLOS 16 BOLAS

Completa esta tabla: No DE CUBOS o

N DE PALILLOS No DE BOLAS

1

2

3

12

20

28

8

12

16

4

5

6

10

…

n

Partiendo de 12 palillos para el primer cubo, para formar un nuevo cubo se necesitan, cada vez, 8 palillos más.

21

Partiendo de 8 bolas para el primer cubo, se necesitan, para formar nuevos cubos, 4 bolas más para cada uno. Así, para formar n cubos necesitaremos:       

12 8 8… 8 palillos n 1 veces       

8 44 … 4 bolas n 1 veces

La tabla queda así: No DE CUBOS

1

2

3

4

5

6

10

…

o

12

20

28

36

44

52

84

… 128(n 1)

 48n

o

8

12

16

20

24

28

44

…

84(n 1)

 44n

N DE PALILLOS N DE BOLAS

n

22

E xpresiones algebraicas 1

Llamando x a un número indeterminado, asocia cada enunciado con la expresión que le corresponde: a) El doble del número. b) El doble más cinco. c) El doble del resultado de sumarle cinco. d) La mitad del número. e) La mitad menos cinco. f) La mitad del resultado de restarle cinco. 2x + 5

x —–5 2

a) 2x d) x 2

2

x — 2

2x b) 2x + 5 e) x – 5 2

x–5 — 2

2 · (x + 5)

c) 2(x + 5) f) x – 5 2

Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica: a) La distancia recorrida en x horas por un camión que va a 60 km/h. b) El coste de x kilos de peras que están a 0,80 €/kg. c) El área de un triángulo de base 0,80 m y altura x metros. d) La edad de Pedro, siendo x la de su abuelo, que tenía 60 años cuando nació Pedro. 0,8x a) 60x

3

b) 0,8 · x

60x

x – 60

c) 0,8x 2

0,8 · x — 2 d) x – 60

Copia y completa la tabla, atendiendo a los siguientes enunciados: • • • • • •

Cristina tiene x años. Alberto, su esposo, tiene 3 años más. Javier, su padre, le dobla la edad. Marta, su madre, tiene 5 años menos que su padre. Loli y Mar son sus hijas gemelas. Las tuvo con 26 años. Javi, el pequeño, tiene la mitad de años que las gemelas.

EDAD CRISTINA

x

ALBERTO J AV I E R M A R TA LOLI Y MAR J AV I

EDAD CRISTINA ALBERTO J AV I E R M A R TA LOLI Y MAR J AV I

x x+3 2x 2x – 5 x – 26 x – 26 — 2

23

4 • • • • •

5

Lee y completa la tabla. El sueldo mensual de Pablo es de x euros. El gerente de la empresa gana el doble que Pablo. El ingeniero jefe gana 400 € menos que el gerente. El señor López gana un 10% menos que Pablo. Al señor de la limpieza le faltan 80 € para ganar las tres cuartas partes del sueldo de Pablo. GERENTE

INGENIERO

SR. LÓPEZ

SR. LIMPIEZA

PA B L O

GERENTE

INGENIERO

SR. LÓPEZ

SR. LIMPIEZA

x

2x

EMPLEADO

PA B L O

SUELDO

x

EMPLEADO SUELDO

x 2x – 400 x – — 10

3x — – 80 4

Copia y completa. n

1

2

3

4

5

10

100

n

1

2

3

4

5

8

11

2n – 1 3

1 3

n

1

2

3

4

5

10

100

5n – 3

2

7

12

17

22

47

497

n

1

2

3

4

5

8

11

2n – 1 3

1 3

1

5 3

7 3

3

5

7

8

10

n

40

n

5n – 3

6

Observa, reflexiona y completa. 1

2

3

5

3

5

7

11

2

4

6

10

20

2

3

4

6

11

1

2

3

5

8

10

n

3

5

7

11

17

21

2n + 1

2

4

6

10

20

40

n

2

3

4

6

11

21

n —+1 2

24

10 M onomios y operaciones 7

Copia y completa la tabla siguiente: MONOMIO

4a 2

–3xy 4 –x 2 y 2

1/3

COEFICIENTE PA R T E L I T E R A L

ab/3

–1

a2 5

GRADO

MONOMIO COEFICIENTE PA R T E L I T E R A L GRADO

8

9

10

4a 2

ab/3

4 a2 2

1/3 ab 2

–3xy 4 –x 2 y 2

–3 xy 4 5

–1 x 2y 2 4

Reduce. a) x + x + x e) 3x + x i) 7x – 7x

b) a + a f) 8a – 5a j) –3a + 4a

c) 2x – x g) 4x – 3x k) 2x – 3x

d) 5a + 2a h) 4a + 5a l) 3a – 7a

a) 3x e) 4x i) 0

b) 2a f ) 3a j) a

c) x g) x k) –x

d) 7a h) 9a l) –4a

Opera. a) 3x + 2x + x d) a – 5a + 2a

b) 10x – 6x + 2x e) –2x + 9x – x

c) 5a – 7a + 3a f) –5x – 2x + 4x

a) 6x d) –2a

b) 6x e) 6x

c) a f ) –3x

Reduce todo lo posible. a) x + x + y c) 5a + b – 3a + b e) 2 + 3x + 3 g) 2x – 5 + x i) x – 2y + 3y + x

b) 2x – y – x d) 3a + 2b + a – 3b f) 5 + x – 4 h) 3x + 4 – 4x j) 2x + y – x – 2y

a) 2x + y c) 2a + 2b e) 3x + 5 g) 3x – 5 i) 2x + y

b) x – y d) 4a – b f) x + 1 h) 4 – x j) x – y

25

10 11

Reduce, cuando sea posible. a) + 2x 2 b) x 2 + x d) a 2 – a – 1 e) x 2 – 5x + 2x g) 2a 2 + a – a 2 – 3a + 1 h) a 2 + a – 7 + 2a + 5 x2

a) 3x 2 d) a 2 – a – 1 g) a 2 – 2a + 1

12

b) x 2 + x e) x 2 – 3x h) a 2 + 3a – 2

Suprime los paréntesis y reduce. a) 3x – (x + 1) b) x + (2 – 5x) d) 2a + (1 – 3a) e) (x – 4) + (3x – 1) a) 3x – x – 1 = 2x – 1 c) 4a – 3a + 2 = a + 2 e) x – 4 + 3x – 1 = 4x – 5

13

Multiplica. a) 2 · (5a) d) (5x) · (–x)

15

c) a 2 – a f ) 2a 2 – 1

c) 4a – (3a – 2) f) (6x – 3) – (2x – 7)

b) x + 2 – 5x = 2 – 4x d) 2a + 1 – 3a = 1 – a f ) 6x – 3 – 2x + 7 = 4x + 4

b) (– 4) · (3x) e) (2a) · (3a) h) (6a) · 1 b 3

c) (–2 a ) · a 2 f) (–2x) · (–3x 2) i) 2 x · (3x) 3

a) 10a d) –5x 2 g) –10a 2b

b) –12x e) 6a 2 h) 2ab

c) –2a 3 f ) 6x 3 i) 2x 2

Divide. a) (6x) : 3 d) (2x) : (2x) g) (15a 2) : (3a)

b) (–8) : (2a) e) (6a) : (–3a) h) (–8x) : (4x 2)

c) (–15a) : (–3) f) (–2x) : (– 4x) i) (10a) : (5a 3)

a) 2x

b) –4 a

c) 5a

d) 1

e) –2

g) 5a

h) –2 x

f) 1 2 i) 22 a

Quita paréntesis. a) 5 · (1 + x) d) x 2 · (2x – 3)

b) (– 4) · (2 – 3a) e) x 2 · (x + x 2)

c) 3a · (1 + 2a) f) 2a · (a 2 – a)

a) 5 + 5x d) 2x 3 – 3x 2

b) –8 + 12a e) x 3 + x 4

c) 3a + 6a 2 f ) 2a 3 – 2a 2

g) (2a) · (–5ab)

14

c) 3a 2 – a – 2a 2 f) 4 + 2a 2 – 5

( )

( )

26

10 16

Quita paréntesis y reduce. a) x + 2(x + 3) c) 4 · (a + 2) – 8 e) 2(x + 1) + 3(x – 1)

b) 7x – 3(2x – 1) d) 3 · (2a – 1) – 5a f) 5 · (2x – 3) – 4 · (x – 4)

a) x + 2x + 6 = 3x + 6 c) 4a + 8 – 8 = 4a e) 2x + 2 + 3x – 3 = 5x – 1

b) 7x – 6x + 3 = x + 3 d) 6a – 3 – 5a = a – 3 f ) 10x – 15 – 4x + 16 = 6x + 1

E cuaciones sencillas 17

18

Resuelve estas ecuaciones: a) 3x + 2 = 14 b) 3 – 2x = 5 d) 3 = 4 – 3x e) 2x = x + 3

c) 5x + 12 = 2 f) 5x – 2 = x + 1

a) x = 4

b) x = –1

c) x = –2

d) x = 1 3

e) x = 3

f) x = 3 4

Halla el valor de x en cada caso: a) 2x – 3 = 2x + 1 b) 3x + 1 = 7x – 1 d) 3 + 4x – 7 = x – 3 e) 5x – 1 = 3x – 1 + 2x a) No tiene solución.

b) x = 1 2

c) x + 8 + 2x = 6 – 2x f) 6 – 3x + 2 = x + 7

c) x = – 2 5

e) Es una identidad. Cualquier valor de x cumple la igualdad.

19

20

Resuelve. a) 2x + 5 – 3x = x + 19 c) 11 + 2x = 6x – 3 + 3x e) x – 1 – 4x = 5 – 3x – 6

b) 7x – 2x = 2x + 1 + 3x d) 7 + 5x – 2 = x – 3 + 2x f) 5x = 4 – 3x + 5 – x

a) x = –7 c) x = 2 e) Es una identidad.

b) No tiene solución. d) x = –4 f) x = 1

d) x = 1 3 f) x = 1 4

Resuelve las ecuaciones siguientes: a) 3x – x + 7x + 12 = 3x + 9 b) 6x – 7 – 4x = 2x – 11 – 5x c) 7x + 3 – 8x = 2x + 4 – 6x d) 5x – 7 + 2x = 3x – 3 + 4x – 5 a) x = – 1 2 c) x = 1 3

b) x = – 4 5 d) No tiene solución.

27

10 E cuaciones con paréntesis 22

Resuelve estas ecuaciones: a) 4 – (5x – 4) = 3x c) 5x – (4 – 2x) = 2 – 2x

b) 7x + 10 = 5 – (2 – 6x) d) 1 – 6x = 4x – (3 – 2x)

a) 4 – (5x – 4) = 3x 8 4 – 5x + 4 = 3x 8 8 = 8x 8 x = 1 b) 7x + 10 = 5 – (2 – 6x) 8 7x + 10 = 5 – 2 + 6x 8 x = –7 c) 5x – (4 – 2x) = 2 – 2x 8 5x – 4 + 2x = 2 – 2x 8 9x = 6 8 x = 6 = 2 9 3 d) 1 – 6x = 4x – (3 – 2x) 8 1 – 6x = 4x – 3 + 2x 8 4 = 12x 8 x = 4 = 1 12 3

23

Resuelve. a) x – (3 – x) = 7 – (x – 2) b) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – x c) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x) d) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x) a) x – (3 – x) = 7 – (x – 2) 8 x – 3 + x = 7 – x + 2 8 3x = 12 8 8 x = 12 = 4 3 b) 3x – (1 + 5x) = 9 – (2x + 7) – x 8 3x – 1 – 5x = 9 – 2x – 7 – x 8 x = 3 c) (2x – 5) – (5x + 1) = 8x – (2 + 7x) 8 2x – 5 – 5x – 1 = 8x – 2 – 7x 8 8 – 4 = 4x 8 x = –1 d) 9x + (x – 7) = (5x + 4) – (8 – 3x) 8 9x + x – 7 = 5x + 4 – 8 + 3x 8 8 2x = 3 8 x = 3 2

25

Halla x en cada caso: a) 2(x + 5) = 16 b) 5 = 3 · (1 – 2x) c) 5(x – 1) = 3x – 4 d) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4) e) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7 f) 6(x – 2) – x = 5(x – 1) g) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2 h) 3(3x – 2) – 7x = 6(2x – 1) – 10x i) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2)

28

10 a) 2(x + 5) = 16 8 2x + 10 = 16 8 2x = 6 8 x = 3 b) 5 = 3 · (1 – 2x) 8 5 = 3 – 6x 8 2 = –6x 8 x = – 2 = – 1 6 3 c) 5 (x – 1) = 3x – 4 8 5x – 5 = 3x – 4 8 2x = 1 8 x = 1 2 d) 5x – 3 = 3 – 2(x – 4) 8 5x – 3 = 3 – 2x + 8 8 7x = 14 8 x = 2 e) 10x – (4x – 1) = 5 · (x – 1) + 7 8 10x – 4x + 1 = 5x – 5 + 7 8 x = 1 f ) 6(x – 2) – x = 5(x – 1) 8 6x – 12 – x = 5x – 1 8 0x = 11 No tiene solución. g) 7(x – 1) – 4x – 4(x – 2) = 2 8 7x – 7 – 4x – 4x + 8 = 2 8 –x = 1 8 x = –1 h) 3(3x – 2) – 7x = 6 (2x – 1) – 10x 8 9x – 6 – 7x = 12x – 6 – 10x 8 0x = 0 Es una identidad. i) 4x + 2(x + 3) = 2(x + 2) 8 4x + 2x + 6 = 2x + 4 8 4x = –2 8 x = – 2 = – 1 4 2

26

Resuelve estas ecuaciones: a) x – 6 = 1 2

b) x – 1 = 2 3

c) x + 1 = 1 5 5

d) x + 2 = x 7 7

e) 4 = x + x 3

f) x = 1 – x 5

a) x – 6 = 1 8 x – 6 = 2 8 x = 8 2 b) x – 1 = 2 8 x – 3 = 6 8 x = 9 3 c) x + 1 = 1 8 x + 1 = 5 8 x = 4 5 5 d) x + 2 = x 8 x + 2 = 7x 8 2 = 6x 8 x = 2 = 1 7 7 6 3 e) 4 = x + x 8 12 = 3x + x 8 12 = 4x 8 x = 3 3 f ) x = 1 – x 8 5x = 5 – x 8 6x = 5 8 x = 5 5 6

P roblemas para resolver con ecuaciones 27

Si triplicas un número y al resultado le restas 16, obtienes 29. ¿Cuál es el número? 3x – 16 = 29 8 3x = 45 8 x = 15 El número es 15.

29

10 28

¿Cuál es el número que sumado con su anterior y su siguiente da 117? ÄÄ8 x – 1 EL NÚMERO ÄÄ8 x EL POSTERIOR ÄÄ8 x + 1 EL ANTERIOR

(x – 1) + x + (x + 1) = 117 8 3x = 117 8 x = 39 El número es 39.

29

La suma de tres números consecutivos es 84. ¿Qué números son? x + (x + 1) + (x + 2) = 81 8 3x = 81 8 x = 27 Los números son 27, 28 y 29.

30

Si a un número le restas 28 unidades, obtienes el mismo resultado que si lo divides entre 3. ¿Qué número es? ÄÄ8 x EL NÚMERO MENOS 28 ÄÄ8 x – 28 EL NÚMERO DIVIDIDO ENTRE 3 ÄÄ8 x : 3 EL NÚMERO

x – 28 = x 8 3x – 84 = x 8 2x = 84 8 x = 42 3 El número es 42.

31

Si a este cántaro le añadieras 13 litros de agua, tendría el triple que si le sacaras dos. ¿Cuántos litros de agua hay en el cántaro? –2

+13 x

x

= 3 ·

x

x + 13 = 3 (x – 2) 8 x + 13 = 3x – 6 8 19 = 2x 8 x = 19 2 En el cántaro hay 19 l de agua. 2

32

En mi colegio, entre alumnos y alumnas somos 624. El número de chicas supera en 36 al de chicos. ¿Cuántos chicos hay? ¿Y chicas? CHICOS

Ä8 x CHICOS

CHICAS

+

CHICAS

Ä8 x + 36 = 624

x + x + 36 = 624 8 2x = 588 8 x = 294 Hay 294 chicos y 294 + 36 = 330 chicas.

30

10 33

Sabiendo que un yogur de frutas es 5 céntimos más caro que uno natural, y que seis de frutas y cuatro naturales me han costado 4,80 €, ¿cuánto cuesta un yogur natural? ¿Y uno de frutas? NATURAL Ä8 x € FRUTAS Ä8 (x + 0,5)€ 4x + 6 (x + 0,05) = 4,8 8 4x + 6x + 0,30 = 4,80 8 10x = 4,50 8 x = 0,45 Un yogur natural cuesta 0,45 €. Uno de frutas cuesta 0,45 + 0,05 = 0,50 €.

34

Roberta tiene un año menos que su hermana Marta, y ya tenía cinco cuando nació Antonio, el más pequeño. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que entre los tres, ahora, suman 35 años? ROBERTA 8 x MARTA 8 x + 1 ANTONIO 8 x – 5 x + x + 1 + x – 5 = 35 8 3x = 39 8 x = 13 Roberta tiene 13 años; Marta, 14, y Antonio, 8.

35

En una ferretería se venden clavos en cajas de tres tamaños diferentes. La caja grande contiene el doble de unidades que la mediana, y esta, el doble que la pequeña. Si compras una caja de cada tamaño, te llevas 500 unidades. ¿Cuántos clavos tiene cada caja? Caja pequeña: x clavos ° § Caja mediana: 2x clavos ¢ x + 2x + 4x = 500 8 7x = 500 8 x = 71,49 § Caja grande: 4x clavos £ Obviamente hay un error en el enunciado, puesto que el número de clavos tiene que ser un número entero.

36

Un kilo de chirimoyas cuesta el doble que uno de naranjas. Por tres kilos de chirimoyas y cuatro de naranjas se han pagado 11 €. ¿A cómo están las unas y las otras? NARANJAS Ä8 x CHIRIMOYAS Ä8 2x 4x + 3 (2x) = 11 8 4x + 6x = 11 8 10x = 11 8 x = 1,1 Naranjas 8 1,10 €/kg Chirimoyas 8 2 · 1,10 = 2,20 €/kg

37

Una bolsa de kilo de alubias cuesta lo mismo que tres bolsas de kilo de lentejas. Por dos bolsas, una de cada producto, he pagado 6 €. ¿Cuánto costaba cada bolsa? x + 3x = 6 8 4x = 6 8 x = 6 = 1,5 4 Bolsa de lentejas 8 1,50 € Bolsa de alubias 8 3 · 1,50 = 4,50 €

31

10 38

Un granjero ha contado, entre avestruces y caballos, 27 cabezas y 78 patas. ¿Cuántos caballos hay en la granja? ¿Y avestruces? CABEZAS CABALLOS AV E S T R U C E S

PATAS DE CABALLO

+

PATA S

x 4x 27 – x 2 · (27 – x) PATAS DE

= 78

AVESTRUZ

4x + 2 (27 – x) = 78 8 4x + 54 – 2x = 78 8 2x = 24 8 x = 12 Hay 12 caballos y 27 – 12 = 15 avestruces.

39

En una cafetería, entre sillas y taburetes hemos contado 44 asientos con 164 patas. ¿Cuántas sillas y cuántos taburetes hay?

4x + 3 (44 – x) = 164 8 4x + 132 – 3x = 164 8 x = 32 Hay 32 sillas y 44 – 32 = 12 taburetes.

40

Irene ha sacado de la hucha 14 monedas, unas de 20 céntimos y otras de 10 céntimos. Entre todas valen dos euros. ¿Cuántas ha sacado de cada clase? NÚMERO

VA L O R

x 14 – x

10x 20(14 – x)

(200 cént.) 10x + 20 (14 – x) = 200 8 10x + 280 – 20x = 200 8 80 = 10x 8 x = 8 Ha sacado 8 monedas de 10 cént. y 14 – 8 = 6 monedas de 20 cént.

41

En un concurso de 50 preguntas, dan tres puntos por cada acierto y quitan dos por cada fallo. ¿Cuántas preguntas ha acertado un concursante que ha obtenido 85 puntos? ACIERTOS Ä8 x FALLOS Ä8 50 – x 3·

ACIERTOS

–2·

FALLOS

=

PUNTOS OBTENIDOS

3x – 2 (50 – x) = 85 8 3x – 100 + 2x = 85 8 5x = 185 8 x = 37 Ha acertado 37 preguntas.

32

10 43

Mónica tiene 12 € más que Javier y esperan que mañana les den 5 € de paga a cada uno. En ese caso, Mónica tendrá mañana el doble que Javier. ¿Cuánto tiene hoy cada uno?

J AV I E R MÓNICA

DINERO DE

HOY

MAÑANA

x x + 12

x+5 x+8+5

=2·

MÓNICA MAÑANA

DINERO DE JAVIER MAÑANA

x + 12 + 5 = 2 (x + 5) 8 x + 17 = 2x + 10 8 x = 7 Javier tiene 7 €, y Mónica, 19 €.

44

Victoria tiene 50 sellos más que Aurora, y si le diera 8 sellos, aún tendría el triple. ¿Cuántos sellos tiene cada una? Aurora 8 x sellos Victoria 8 (x + 50) sellos (x + 50) – 8 = 3 (x + 8) 8 x + 42 = 3x + 24 8 18 = 2x 8 x = 9 Aurora tiene 9 sellos, y Victoria, 9 + 50 = 59 sellos.

45

Una parcela rectangular es 18 metros más larga que ancha, y tiene una valla de 156 metros. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?

x

x + 18

x + 18 + x + x + 18 + x = 156 8 4x = 120 8 x = 30 La parcela mide 30 metros de ancho y 30 + 18 = 48 m de largo.

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Los dos lados iguales de un triángulo isósceles son 3 cm más cortos que el lado desigual, y su perímetro es de 48 cm. ¿Cuánto mide cada lado?

x–3

x–3

x

x + 2 (x – 3) = 48 8 x + 2x – 6 = 48 8 3x = 54 8 x = 18 Los lados miden 18 cm, 15 cm y 15 cm.

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