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PARA LA

I NNOVACIÓN E DUCATIVA

Matemáticas re-creativas 29

Matemáticas re-creativas

Matemáticas re-creativas MANOLO ALCALÁ / JOSEFA M.a ALDANA / CLAUDI ALSINA / ALAN J. BISHOP / LILIANA CARBÓ / TRINI COLOMER / ANTONIO FERNÁNDEZ ALISEDA / LUIS FERRERO / ANA GARCÍA AZCÁRATE / JOAQUIM GIMÉNEZ / JUAN ANTONIO HANS / MARIONA MONTERDE / JOSÉ ANTONIO MORA / JOSÉ MUÑOZ / MANUEL PAZOS / NÚRIA RAMOS / ELISA RECARENS / LLUÍS SEGARRA

29 CLAVES

PARA LA

INNOVACIÓN EDUCATIVA

Dirección de la colección: Francesc López Rodríguez Selección de textos: Susanna Arànega © Manolo Alcalá, Josefa M.a Aldana, Claudi Alsina, Alan J. Bishop, Liliana Carbó, Trini Colomer, Antonio Fernández Aliseda, Luis Ferrero, Ana García Azcárate, Joaquim Giménez, Juan Antonio Hans, Mariona Monterde, José Antonio Mora, José Muñoz, Manuel Pazos, Núria Ramos, Elisa Recarens, Lluís Segarra De esta edición: © Editorial Laboratorio Educativo Apartado 63050 Caracas 1067-A Venezuela Tel.: 952 65 30 – 952 61 50 Fax: 952 65 30 e-mail: [email protected] © Editorial GRAO, de IRIF, S.L. C/ Hurtado, 29. 08022 Barcelona e-mail: [email protected] www.grao.com 1.ª edición: septiembre 2004 3.ª reimpresión: julio 2010 ISBN: 978-84-7827-342-3 D.L.: SE-4692-2010 Diseño de cubierta: Maria Tortajada Carenys Impresión: Publidisa Impreso en España

Quedan rigurosamente prohibidas, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción o almacenamiento total o parcial de la presente publicación, incluyendo el diseño de la portada, así como la transmisión de ésta por cualquier medio, tanto si es eléctrico como químico, mecánico, óptico, de grabación o bien de fotocopia, sin la autorización escrita de los titulares del copyright. Si necesita fotocopiar o escanear fragmentos de esta obra, diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org).

Índice Introducción, F. López Rodríguez | 9 1.

El juego matemático, juego de investigación, Ll. Segarra | 13 Educación de la matemática actual | 13 El juego de búsqueda matemática | 14 Actualización de la matemática funcional | 16 Nuevos contenidos matemáticos | 17

2.

El papel de los juegos en educación matemática, A.J. Bishop | 19 Los juegos en la historia de la cultura | 21 Las matemáticas y la cultura | 23 Contar | 25 Localizar | 25 Medir | 25 Dibujar | 25 Jugar | 26 Explicar | 26 Los juegos y los conceptos matemáticos | 26 Juego, razonamiento matemático y representación social | 27 Juegos y juego en la educación matemática | 28 Referencias bibliográficas | 29

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3.

¿Xornadas de matemática recreativa…? Sí…, por favor…, M. Pazos | 31 Matemática recreativa…, ¿qué es eso? | 32 Algunas características | 32 ¿Por qué debemos utilizarla? | 33 ¿Cómo empiezo…? | 34 Xornadas de matemática recreativa… y su historia | 35 Xornadas de matemática recreativa | 37 Éstos son los objetivos | 37 Éstas son las conclusiones | 38 Notas | 39

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4.

Matemáticas para todos, todos para las matemáticas, J. Giménez | 41 Popularizar sin menospreciar | 43 Ejemplo 1: la geometría real y la lectura de la imagen | 43 Usando productos naturales. Ejemplo 2: estudio de sombras | 46 Calidad y tecnología avanzada. Ejemplo 3: la hoja de cálculo | 47 Integración publicitaria. ¿Los intereses del cliente? | 49 El control de calidad | 51 Vender productos de reflexión | 51 Revisar la campaña | 52 Mejorar la producción | 52 Referencias bibliográficas | 53

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Educación infantil 5.

Aprender a apreciar las matemáticas, C. Alsina | 57 Unos ejemplos que llaman la atención | 58 Una lectura más que recomendable | 59 Una receta mágica | 59 Un último consejo sobre esta receta | 60 Referencias bibliográficas | 61

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6.

Los juegos de puntería: una propuesta lúdica para el aprendizaje de la numeración, L. Carbó | 63 ¿Qué propuesta numérica se hace en el aula? | 64 Los juegos de puntería | 65 Valoración del trabajo realizado | 70 Conclusiones | 71 Referencias bibliográficas | 72

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7.

Materiales y recursos matemáticos en educación infantil, T. Colomer, N. Ramos, E. Recarens | 75 Ejemplo de un recurso que se desarrolla en gran grupo | 77 Calendario mágico | 77 Actividades familiares y en gran grupo | 80 Vagón viajero | 80

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6

Rincones lúdicos. Ejemplo para trabajar en grupos pequeños | 82 Tienda y cocina | 82 Bibliografía | 82

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Educación primaria 8.

Empezar jugando. Juegos y trucos numéricos, L. Ferrero | 85 Educación primaria, primer ciclo | 86 Educación primaria, segundo y tercer ciclos | 87 Números mágicos | 87 Número diana | 88 Cuadrado numérico | 90 A la carta | 91 Para terminar | 93 Bibliografía | 93

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9.

«El jarrón mágico»: el misterio de la multiplicación, M. Monterde | 95 El significado de la multiplicación o la relación «tanto por uno» | 96 La historia vivida en el aula | 99 El niño como observador activo de la relación «tanto por uno» | 99 La emoción de poder interpretar los números de «El jarrón mágico» | 102 La integración curricular a través del cuento | 103 El castillo encantado | 104 Sobre los factoriales | 105 Notas | 106

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10. Un buen recurso: hacer matemáticas, AA.VV. | 107 El rechazo de las matemáticas | 107 La enseñanza de las matemáticas | 108 Materiales y recursos educativos | 109 Macedonia de recursos | 111 Para empezar, geometría | 111 Juegos | 114 Magia matemática | 116 Poesía | 117 Prensa | 118 Vídeo | 119

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Y lo que se quedó en el tintero | 120 Nota | 121 Referencias bibliográficas | 121

Educación secundaria 11. Los juegos de conocimientos: un recurso para enseñar matemáticas, A. García Azcárate | 125 ¿Cómo romper esta dinámica? | 126 Los juegos de conocimientos | 127 ¿Cómo tiene que ser un buen juego de conocimientos? | 127 Trabajar destrezas | 129 Trabajar conceptos | 131 Trabajar estrategias | 134 A modo de conclusión | 135 Nota | 136 Referencias bibliográficas | 136

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12. Las operaciones con fracciones en el primer ciclo de la ESO, M. Alcalá | 139 Hipótesis básica | 140 Planificación | 141 Problemas manipulativos | 143 El contexto | 145 La enseñanza indirecta | 146 Nota | 147 Referencias bibliográficas | 147

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13. De la calle al ordenador, J.A. Mora | 149 El gato elevador | 152 La puerta levadiza | 152 El motor de explosión | 153 El hinchador de pie | 153 Referencias bibliográficas | 155 Glosario | 157

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Introducción Francesc López Rodríguez Las matemáticas son de las pocas materias de estudio que en cualquier época de la historia, reciente o antigua, nunca han pasado desapercibidas en la escuela o en el instituto para el alumnado, que las ha sufrido o disfrutado, pero que en ningún caso han provocado indiferencia. ¿Por qué razón, en amplios sectores del alumnado de nuestros centros, han tenido y siguen teniendo fama de asignatura «hueso», difícil, críptica o aburrida? Algunos de los autores que hemos seleccionado para este libro apuntan diferentes causas, pero en la que coinciden todos es en que, casi siempre, es una signatura cuyos contenidos se presentan y se trabajan de manera muy apartada de los intereses de los alumnos y alumnas y, lo que es peor, alejada de su realidad, con lo que les es muy difícil atribuir significado a aquello que se pretende enseñar y aprender y, por consiguiente, es o puede llegar a ser una materia tremendamente pesada o extraña (para no abusar del adjetivo aburrida). No obstante, leyendo la selección de textos, el lector notará –porque así se trasluce– cómo disfrutan los estudiantes con las actividades que se plantean, tanto niños y niñas de educación infantil, como chicos y chicas del último ciclo de secundaria. De la misma manera que también se percibe la ilusión y el placer de los maestros y profesoras que enseñan matemáticas. A mi entender esa ilusión por enseñar es una de las claves del éxito de los docentes y, por tanto, de los estudiantes. Y esto es así porque concurren una serie de aspectos fundamentales. Cuando a un maestro o maestra le gusta su área –del conocimiento que sea–, indaga en ella, asiste a jornadas, cursos, u otras actividades formativas con la intención de ampliar sus conocimientos, compartirlos, actualizarlos, conocer las experiencias de otros colegas, etc. Cuando un maestro o maestra disfruta con su área, procura hacer extensivo ese interés, busca la manera de hacer la materia comprensiva, fácil y atractiva para sus alumnos, incluso para aquellos a los que les cuesta más, encuentra estrategias facilitadoras…; en definitiva, ese maestro y esa profesora transmiten lo que sienten. Y eso es lo que aprenden sus alumnos y alumnas. 9

También hay otro aspecto que querría destacar: desde hace algún tiempo, y afortunadamente cada vez es una práctica más extendida, los docentes expertos en matemáticas se despojan de un falso y nocivo halo o complejo de espécimen raro por el hecho de tratar con una simbología y un lenguaje inusual, incomprensible y poco útil en la vida cotidiana de la mayoría. En este sentido, es una suerte comprobar que cada vez son más los profesionales que demuestran a través de su práctica que se puede enseñar matemáticas de manera divertida, atractiva y, a la vez, demostrar su utilidad, sin perder ni un ápice de la rigurosidad epistemológica y, sobre todo, que se puede enseñar y aprender matemáticas de una forma lúdica. Éste es el propósito de la selección de artículos y textos con que hemos confeccionado este libro. Así iniciamos el bloque introductorio con un artículo de Lluís Segarra, donde se parte de la idea de que el alumnado debe ser el protagonista de su propio aprendizaje, ha de dominar estrategias que le permitan discernir qué opción es más conveniente. Para esto se le ha de enseñar a pensar, pero también se le tiene que enseñar a seleccionar la información pertinente para resolver las situaciones que se puede ir encontrando. Esta alfabetización matemática (en el conocimiento y el uso) puede lograrse a través del juego como indagación matemática. Le sigue un artículo muy interesante de Alan J. Bishop, que relaciona cultura, matemáticas y juegos a lo largo de la historia, además de desarrollar el concepto de juego y aportar diferentes clasificaciones. A continuación, Manuel Pazos, a través del análisis y la reflexión de unas jornadas de matemáticas recreativas, va desgranando la necesidad de plantear en las aulas unas matemáticas diferentes, más cercanas, más motivadoras, significativas y atractivas para el alumnado. Finalmente, Joaquim Giménez propone incorporar elementos cotidianos para ejemplificar y trabajar los contenidos de matemáticas desde un punto de vista más motivador para el alumnado, lo que facilitará el aprendizaje significativo. Abrimos el bloque de educación infantil con un artículo de Claudi Alsina que parte de la premisa de que los alumnos y alumnas tienen que «divertirse» y «jugar» con las matemáticas para quererlas y, así, aprenderlas. Con el objetivo de ilustrar dicha opinión, hace un repaso de cómo se han planteado y trabajado las matemáticas en diferentes ámbitos desde la perspectiva de infantil y primaria. Concluye que lo verdaderamente importante es la estima del docente por lo que enseña, además de la importancia que debe darse a la metodología; dentro de los recursos son especialmente 10

relevantes la imaginación y la creatividad como «ingredientes de la receta mágica». A continuación presentamos una experiencia muy interesante llevada a cabo por Liliana Carbó, donde plantea cómo se puede trabajar la numeración en el educación infantil, superando la forma tradicional; es decir, cómo de manera lúdica y creativa (a partir de un juego de puntería con bolas de papel), se revela a los niños y niñas la necesidad de contar. Además hay que destacar que con este planteamiento se trabajan otros aspectos muy importantes: la autonomía, la capacidad de negociación, o la gestión del conflicto. Finalmente y para cerrar este bloque, presentamos un artículo de varias maestras del Centro Pere Torrent que nos describen diferentes materiales y recursos que hacen posible que, en palabras de las propias autoras, «el trabajo de las matemáticas en el educación infantil se desarrolle de una manera lúdica y dinámica, donde el niño y la niña, a partir de la manipulación directa de diversos materiales y objetos, van formando su pensamiento lógico». El bloque de educación primaria se inicia con un artículo de Luis Ferrero, en el que destaca la importancia de los juegos y situaciones lúdicas en matemáticas para motivar a los alumnos. Para ello recurre a varios ejemplos de juegos numéricos pensados para los diferentes ciclos de esta etapa. A continuación, Mariona Monterde nos explica la experiencia –muy interesante– que llevó a cabo con alumnos y alumnas de ciclo inicial al trabajar, entre otros aspectos, el inicio de la multiplicación a través de El jarrón mágico de Mitsumasa y Masaichiro Anno, lo que, además, dio pie a inventarse otros cuentos con una estrategia parecida. Para finalizar el apartado de primaria, proponemos un artículo de unos maestros y maestras que conforman el grupo Alquerque de Sevilla, aquí se recogen materiales y juegos matemáticos de diversa índole. Iniciamos el bloque de educación secundaria con un artículo de Ana García Azcárate, en el que se desgrana la necesidad de introducir los juegos –en este caso los de conocimiento– en la ESO, tanto para motivar a los alumnos, como para «convencer» a algunos colegas de que jugando también se trabajan los contenidos conceptuales y procedimentales del área. A continuación, presentamos una propuesta de Manolo Alcalá sobre cómo trabajar de manera lúdica las fracciones. Finalizamos el bloque y el libro con un artículo de José Antonio Mora, que explica diversas y entretenidas actividades para realizar con el ordenador, así incluye un planteamiento transversal entre las matemáticas y la tecnología. 11

1 El juego matemático, juego de investigación Lluís Segarra Profesor de matemáticas y miembro de recursos matemáticos El Quinzet

Educación de la matemática actual El aprendizaje de la matemática y su metodología en la enseñanza obligatoria, tanto en educación infantil, como en primaria y secundaria, tiene una importancia fundamental en nuestros días, ya que esta matemática para todos es una matemática básica y, por tanto, debería englobar todo lo que se considera que ha de saber cualquier persona en nuestro país. El aprendizaje de la matemática básica para todos se denomina «alfabetización matemática», en el sentido de que a cualquier persona que desconozca lo que se le enseña a lo largo de estas etapas educativas obligatorias se la considera socialmente una analfabeta matemática. Estamos acostumbrados a ver campañas universales contra el analfabetismo, pero, si se pretende que las nuevas generaciones no desentonen en el ámbito de la tecnología del mundo moderno y de sus consecuencias sociales, a estas campañas debería unirse la lucha contra el analfabetismo matemático. Tradicionalmente, los contenidos de la matemática en la escuela consistían en el conocimiento y el dominio de los cuatro algoritmos ele-

Artículo publicado en Guix. Elements d’Acció Educativa , 244, pp. 5-8, mayo 1998.

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mentales con números naturales, además de algunas definiciones geométricas y las áreas y los volúmenes de las figuras y de los cuerpos más simples y regulares. La metodología solía estar en manos del personal docente, pero como la evaluación se centraba siempre en ejercicios de cálculo escritos y en definiciones, la enseñanza se reducía a la práctica del cálculo y del aprendizaje memorístico de definiciones. Lo más importante era saber sumar, restar, multiplicar y dividir. El hecho de conseguir una comprensión más amplia sobre el significado de estas operaciones pasaba a un segundo plano. Actualmente, con la ampliación de los cursos de enseñanza obligatoria, algunos de los objetivos que comentaremos en este artículo se han vuelto imprescindibles.

El juego de búsqueda matemática En todos los niveles y aspectos, la matemática ha de tener un valor formativo y otro informativo. Estos dos objetivos han de coordinarse de forma armónica, ya que cuando se ha experimentado la polarización en uno de ellos, los resultados no han sido satisfactorios. El hecho de formar la mente, educando las características de deducción lógica y las capacidades de síntesis y ordenación de los conocimientos, pensando que después el estudiante aplicará por sí mismo la formación recibida a sus problemas de la vida real, o a problemas teóricos de las distintas disciplinas o actividades laborales que se le presenten, no da el resultado esperado. El estudiante ha de ser instruido también en la aplicación en casos especiales de los conocimientos adquiridos, que los ejemplifiquen y que le sirvan, por analogía, en casos similares. Es decir, además de formar, la matemática ha de informar. La consigna debería ser «formar informando». La enseñanza ha de almacenar conocimientos sin olvidarse de instruir sobre las reglas para la correcta ordenación y uso de éstos. Se ha de enseñar a pensar, pero también se ha de enseñar a utilizar el pensamiento adecuado en cada momento. Es necesario que los alumnos y las alumnas no sólo resuelvan operaciones mecánicas, sino que piensen, es decir, que empiecen a razonar y que elaboren sus propias estrategias. No hay duda de que esto es posible, ya que en la escuela primaria las alumnas y los alumnos aprenden juegos que implican el razonamiento: cuando el niño o la niña intentan resolver un laberinto 14

y al primer intento no les sale, utilizan la estrategia de inversión (empezar por detrás) y sólo se trata de modelar estos razonamientos dándoles forma matemática. Leibniz escribió: «Las personas son tan ingeniosas como en la invención de juegos, el espíritu se encuentra aquí como en casa». Después de todo, los problemas matemáticos no son más que juegos que, convenientemente escogidos y dosificados, pueden ser muy útiles para el desarrollo del pensamiento matemático. Estos problemas se presentan actualmente como una auténtica búsqueda, en el que el alumnado debe adivinar resultados partiendo de ciertos datos. Al plantear a los chicos y chicas un problema o una situación conflictiva, nos ofrecen estrategias más o menos esquemáticas de acciones y operaciones que aplicarán sobre unos datos determinados. En estas investigaciones, el alumnado deberá conocer algunas reglas y la operatoria de estos juegos, pero después también deberá escoger, en cada caso, las estrategias apropiadas para cada situación conflictiva. La enseñanza tradicional hacía más énfasis en las propias operaciones que en su planteamiento y en su organización previa. Al plantearles un problema a los alumnos y alumnas, éstos no respondían, ya que un problema que era significativo para el personal docente según su propia estructura cognitiva, resultaba totalmente ajeno a los intereses del alumnado. Hemos de relacionar la enseñanza formativa con la enseñanza activa de la matemática. Los alumnos y las alumnas han de ser los protagonistas de su propio aprendizaje, han de sentirse motivados por los problemas, es decir, ser los protagonistas y directores de su proceso cognitivo, han de intentar encontrar soluciones ellos mismos, utilizando todos los recursos que tengan a su alcance y sin plantearse el relacionar qué algoritmo o qué regla de las que han aprendido puede servirles para solucionar su problema. Partiendo de sus estrategias, las alumnas y los alumnos deberán ser capaces de planificar una actividad en la que sus compañeros y compañeras lleguen a diferentes conclusiones para solucionar el mismo conflicto y puedan hacer preguntas sobre temas conocidos. Es necesario escuchar las opiniones de las chicas y los chicos, y deducir las posibles investigaciones a partir de esta situación. Será necesario presentar estas situaciones conflictivas partiendo de la filosofía del juego de búsqueda, de manera que todo el mundo pueda elaborar diversas estrategias de resolución que permitan aceptar muchas 15

veces diversas soluciones correctas y, al mismo tiempo, diferenciadas. En este momento, el docente invitará al alumnado a defender sus métodos y soluciones. Los distintos juegos de investigación no han de ser introducidos a la fuerza, sino adquiridos mediante la curiosidad del estudiante, quien, afortunadamente, siempre tiene curiosidad por todo aquello que se le presenta adecuadamente. Es obvio que esta enseñanza en la que se pone en juego la razón y los sentidos tiene sus dificultades, ya que para el personal docente es mucho más fácil señalar determinados problemas aritméticos complementarios a los algoritmos del libro o explicar un método operatorio único a todos los alumnos que servirá para que éstos lo repitan o lo realicen mecánicamente, sin poder aclarar la situación conflictiva del problema. Por otra parte, los alumnos y las alumnas tienen menos dificultades para recordar que para razonar: la memoria es pasiva, el razonamiento es activo, y esto conlleva un mayor esfuerzo. Claro que el hecho de memorizar, aunque represente un mínimo esfuerzo, es muy aburrido; en cambio, el intento de encontrar la solución a un problema a partir de una actividad creativa hallará nuevos conceptos y relaciones, con los que intentará, partiendo del juego de investigación, elaborar y plantear nuevas relaciones que tenderán a solucionar el problema e incorporar, de este modo, el nuevo conocimiento, es decir, buscará los medios para conectar el nuevo conocimiento dentro de la estructura cognitiva de la que disponen los chicos y las chicas. Si el objetivo de los docentes es que el alumnado aprenda determinados contenidos en un tiempo no muy largo, no hay duda de que el método memorístico es el mejor. Los alumnos y las alumnas aprenden a repetir situaciones aritméticas, contentan a la familia y a la Administración, pero lo que no queda claro es que aprendan matemáticas.

Actualización de la matemática funcional No se debe pensar de ningún modo que la matemática actual deja de lado al cálculo. Al contrario. De lo que se trata, por un lado, es de huir del cálculo rutinario sin comprender lo que se hace y, por otro, es necesario tratar problemas realmente prácticos y menos idealizados. El progreso en matemática no consiste en aumentar el número de cifras de las operaciones, 16

sino en dominar nuevas estrategias y tener gran rapidez con las cifras pequeñas y entender el motivo de su necesidad o utilidad. En nuestros días, se suele oír decir que, por culpa del uso de las calculadoras, el estudiante no aprende a calcular ni a resolver operaciones. Quizá esto haya sido cierto en algún momento, por ineficacia del docente o por una mala interpretación, pero en ningún caso los matemáticos han pretendido dejar de lado el cálculo. Sabemos muy bien que hacer matemática es principalmente razonar, resolver problemas, y que la matemática nunca será un conjunto de definiciones axiomáticas aprendidas de forma descriptiva, como quien aprende los accidentes geográficos de una comarca o la anatomía de un insecto. La matemática no es un conjunto de elementos que tengan que describirse: es el motor de una acción para descifrar enigmas que se ha de aprender a utilizar y, si se puede, contribuir a su mejora y perfección. Es más, la matemática actual no sólo pretende resolver los mismos problemas que la matemática de toda la vida, sino que no quiere desentenderse de ninguno de los que se presenten en la vida cotidiana, aunque no pueda ofrecer soluciones exactas.

Nuevos contenidos matemáticos El problema de decidir respecto a los contenidos de la matemática en el ámbito de la alfabetización, entre otros, es determinado, pero también complejo, por su variabilidad en el tiempo. No siempre se tienen las mismas necesidades. En el mundo actual, las ciudadanas y los ciudadanos necesitan más matemática, una matemática diferente de la que necesitaban hace cuarenta o cincuenta años. Es absurdo pensar que, con los mismos contenidos, se puede preparar a las personas que han de vivir en distintas épocas. Por otro lado, como la vida cada vez es más complicada, los temas que se han de aprender son cada día más complejos, lo cual obliga a introducir nuevos métodos pedagógicos y nuevas técnicas educativas para aprovechar al máximo el tiempo del que se dispone en los primeros niveles educativos. Algunos de estos nuevos aspectos que deben introducirse son los cálculos de estadística y probabilidad, la matemática creativa y de pasatiempo, y las anécdotas de la historia de la ciencia. 17

Si por tradición la matemática suele distinguir entre el cálculo aritmético y la educación de la geometría, conviene tener en cuenta que cada vez estos dos aspectos están más relacionados en el aprendizaje. La geometría se ha de utilizar para practicar y motivar la teoría de los números, y al mismo tiempo hacer una clara interpretación de los cálculos aritméticos con ejemplos geométricos. Si a medida que aumenta el nivel de la enseñanza, la división entre la teoría de los números y la geometría se vuelve necesaria para dejar claros los contenidos, en la educación matemática básica es necesario tener en cuenta sus dos aspectos fundamentales: calcular y representar. Las representaciones pueden ser figuras geométricas, esquemas, tablas de valores, representaciones gráficas de funciones, gráficos, etcétera. El diseño de los gráficos estadísticos y su interpretación ha de ser frecuente desde los primeros niveles educativos. El desarrollo histórico no ha de ser exhaustivo y se ha de formular a partir de anécdotas extraídas de la lectura de libros y artículos sobre la historia de las matemáticas. Los alumnos y las alumnas agradecerán que el profesor les haga ser conscientes de la historia de la ciencia, ya que la evolución que ha experimentado la matemática a través de los siglos ha sido la misma que han experimentado ellos, ya que este hecho es paralelo al proceso de construcción de los conocimientos del alumnado. La historia prepara un terreno donde las matemáticas presentan una actividad cultural, a la vez que nos proporciona una motivación para el aprendizaje. Además, permite realizar un compendio de los conceptos y de los problemas que han pretendido resolver, y facilitan su comprensión. En definitiva, la matemática básica actual ha de ser funcional, cualquier persona ha de tener un rápido dominio de los números y de las formas, pero sin olvidar que la matemática sirve para jugar pensando. Para finalizar, citaremos un fragmento de una carta enviada por el gran príncipe de las matemáticas, Gauss (1777-1855), a Germain: La afición por las ciencias exactas en general, y en especial por todos aquellos misterios de los números, es excesivamente extraño. Esto no tiene por qué sorprendernos: los encantos de esta ciencia sublime sólo se revelan a aquellos que tienen el valor de introducirse a fondo en su estudio.

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2 El papel de los juegos en educación matemática Alan J. Bishop Facultad de Educación, Monash University. Melbourne (Australia) La primera situación procede de un libro de Marcia Ascher (1991, p. 88). Hace referencia a un juego que practicaban en América los indios nativos de la zona en la que ella vive actualmente: los indios cayuga. Se utilizaba un bol de madera y seis discos que en realidad eran seis huesos de melocotón pulidos y alisados que ennegrecían por una cara con fuego. Si al lanzar los huesos de melocotón, éstos caían mostrando seis caras del mismo color (seis caras negras o seis blancas), el jugador se apuntaba cinco puntos. Si los huesos mostraban cinco caras del mismo color (cinco negras y una blanca o cinco blancas y una negra), el jugador se apuntaba un punto. En cada uno de estos casos, el jugador además disponía de otra tirada. Si el resultado era cualquier otro distinto a los mencionados, el jugador no se apuntaba ningún punto y debía pasar el bol a su contrincante. El ganador del juego era aquél que llegaba reunir primero un número preestablecido de puntos que se determinaba entre 40 y 100. La segunda situación procede de la tesis en PhD de Agnes Macmillan (1996, p. 396) y se sitúa en un contexto preescolar: Ricky estaba con un grupo de niños jugando con un puzle. Otra niña le hace salir de la silla con un empujón para poder hacer el puzle. Cuando ésta ya ha acabado, Artículo publicado en Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, pp. 9-19, octubrenoviembre-diciembre 1998.

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Ricky vuelve a su silla. El puzle sigue estando sobre la mesa, y entonces ve que Connie y Sophie cuchichean algo. Se miran fijamente un buen rato y después Ricky empieza a coger unas piezas del puzle. Entonces Sophie se apoya en la mesa y dice a Ricky: «Si lo vuelves a hacer, se lo diremos a la señorita». Y cuando Ricky le quita la mano de encima del puzle para coger una pieza, Connie le coge el brazo e intenta sacársela. Cuando Connie lo consigue, le dice a Sophie: «Vamos a decir lo que ha hecho». Ricky se las arregla para seguir con el puzle, pero Connie y Sophie han ido donde está la profesora. Ricky coge el puzle y se lo queda cuando ve que las otras dos niñas hablan con la profesora. Ésta llama a Ricky: «Ricky, tienes que dejar que los demás también jueguen». Ricky entrega el puzle a las otras dos niñas. Mira como lo hacen y cuando han terminado Connie dice: «Vamos a hacerlo otra vez».

Para ofrecer una visión global y una introducción a este artículo he escogido estas situaciones porque ilustran el tipo de ideas que necesitamos tener en cuenta cuando pensamos en aplicar los juegos y el juego en las clases de matemáticas. Ya no pensamos en los juegos sólo como un entretenimiento o una diversión, como algo muy útil para motivar pero poca cosa más. Actualmente, como resultado de la investigación en distintos aspectos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, somos mucho más conscientes del potencial educacional de los juegos. La primera situación citada nos ofrece una descripción de un típico juego de azar, más o menos como lanzar dados o jugar a cara y cruz, pero la verdad es que además tiene otros aspectos. Es un juego distinto de a los que normalmente jugamos. Procede de una cultura india norteamericana. Nos muestra que los juegos que se basan en la suerte no sólo se encuentran muy difundidos geográficamente, sino también que no son exclusivos de la historia y la cultura «occidentales». Los juegos existen en todas partes, como comentaremos más adelante, y cuando alguien enseña en una situación multicultural necesita conocer juegos que sean universalmente conocidos y practicados. Incluso hay algunos juegos que se practican exactamente del mismo modo en distintos países y en todos los continentes. Por eso pueden constituir un punto de contacto entre niños de grupos culturales y lingüísticos distintos que quizás no tengan otros puntos de contacto. Desde la perspectiva de las matemáticas, a primera vista los juegos de otras culturas quizás parezcan primitivos, pero sus posibilidades pueden ser muy interesantes, como por ejemplo el caso de la puntuación del juego de 20

la primera situación. El sistema de puntuación es el que escoge el grupo y se transmite generación a generación, y al hacer los cálculos se aprecia que este sistema es realmente bueno. En la segunda situación vemos la otra cara del juego, que precisamente es muy importante para el profesorado. La situación del juego es de tipo social y en ella hay varias reglas tanto explícitas como tácitas que tienen que ser negociadas y cumplidas. Aquí vemos que Ricky está pasando un mal rato por culpa de las otras dos niñas, que están ejercitando sus poderes de interacción social para poner todas las reglas de organización a su favor. Incluso llegan a involucrar a la profesora en su propio bando, a pesar de que, o precisamente por eso, la profesora no es plenamente consciente de lo que está pasando. En todas partes del mundo se juega, pero cuando queremos aprovechar los juegos con objetivos educativos la cosa cambia. Es verdad que siguen siendo juegos, pero se practican con un objetivo concreto, es decir, para aprender algo. Quizás se trate de aprender un concepto o de adquirir vocabulario nuevo, o de aprender a trabajar en grupo, o de competir. Los educadores en matemáticas han descubierto mediante su experiencia, que han apoyado con investigaciones teóricas, que jugar puede ser una parte integrante del aprendizaje. Esto ha hecho del acto de jugar y de la idea del juego una actividad de enseñanza y aprendizaje mucho más extendida de lo que había sido anteriormente. En este artículo quisiera analizar algunas de las características del juego y los juegos, algunas de las cuales tienen verdadera significación en la cultura y la historia, porque han sido fundamentales en el desarrollo de las matemáticas y porque actualmente son importantes en la enseñanza de las matemáticas. En febrero de 1998 tuve la suerte de participar en el TIEM 98 en la Universidad Autónoma de Barcelona, donde un grupo de investigadores, dirigido por Jordi Deulofeu, se ocupa de la resolución de problemas matemáticos. En ese contexto tuvimos ocasión de llevar a cabo unos interesantes debates sobre la investigación de los juegos y su utilización para desarrollar habilidades que permitan resolver problemas matemáticos.

Los juegos en la historia de la cultura Los juegos y el juego tienen una larga historia en la civilización humana y también en las matemáticas. Huizinga (1949) escribe: 21

El espíritu de competición en el juego es, como impulso social, más antiguo que la cultura misma y se extiende por todas las etapas de la vida como un fermento cultural... (Homo Ludens, p. 173)

Se refiere al juego en estos términos, y de este modo nos proporciona un contexto emocional y afectivo en el que consideramos los juegos y el juego en la educación matemática: Voluntario, libre. No es un deber, ni habitual, ni real. Esencialmente distendido en cuanto a los objetivos, aunque su práctica es seria. Ajeno a las satisfacciones inmediatas, pero parte integral de la vida y una necesidad. Repetitivo. Estrechamente relacionado con la belleza en muchos aspectos pero no idéntico. Crea orden y es orden; tiene reglas, ritmo y armonía. A menudo está relacionado con el ingenio y el humor, pero no es sinónimo de ellos. Tiene elementos de tensión, incertidumbre, riesgo. Ajeno a la antítesis entre cordura y locura, verdad o falsedad, bueno o malo, vicio y virtud, no tiene una función moral.

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Así, según Huizinga jugar es una forma particular de la actividad social en la que se establecen unas reglas y en la que los participantes se convierten en jugadores. No se abre una brecha que limite lo real y lo no real, y cada uno de los jugadores está de acuerdo en no comportarse «normalmente». Si uno de ellos decide jugar sin seguir las normas, entonces el juego no puede continuar, como mínimo no podrá continuar hasta que se negocien las nuevas normas. También se desprende de la descripción de Huizinga que los juegos son una especie de subconjunto del juego. Es decir, hay más formas de jugar que juegos. Los juegos se han analizado de muy distintas maneras, pero la descripción de Walter Roth (1902) en la que distingue siete clases de juegos que encontró en las sociedades aborígenes que él estudió sigue siendo útil. Además, afirmó que estas formas existen en todas las culturas. 22

Los juegos se clasifican según sean: Imaginativos: implican fantasía, humor. Realistas: se disfruta usando objetos naturales, orgánicos e inorgánicos, por ejemplo, jugando con animales domésticos o resbalando sobre el barro. Imitativos: de dos tipos, el primero consiste en imitar aspectos de la naturaleza; en el otro tipo, los niños imitan el comportamiento de los adultos. Discriminativos: el escondite, adivinanzas. Competitivos: luchas, combates. Propulsivos: con juguetes que incluyen movimiento, peonzas, lanzamiento de objetos, etc. De placer: música, canciones, danzas, etc.

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El juego no sólo es una actividad universal sino que podemos encontrar el mismo juego en distintos países. Por ejemplo, Jayne (1962) escribe –y al mismo tiempo ilustra– sobre la universalidad de los juegos con cuerdas. Estos juegos se practican en todos los continentes y en todos los ambientes, incluso lo hacen los esquimales, que no tienen cuerdas de materias vegetales. Ellos fabrican las cuerdas con partes del cuerpo de los animales, pero los juegos son muy parecidos. Todas las personas de todo el mundo practican algún juego y lo hacen muy seriamente. El libro de Falkener (1961) o el de Bell y Cornelius (1988) son interesantes para hacerse una idea de la importancia de los juegos en la historia de la cultura. Naturalmente, no todos los juegos ni todo lo que se juega tiene importancia desde la perspectiva de la educación en matemáticas. Entonces, ¿cuáles son las conexiones entre los juegos, el juego y el ámbito de las matemáticas?

Las matemáticas y la cultura El punto de partida de mi análisis es el siguiente. De la misma manera que podemos ver que jugar es una actividad universal, podemos considerar que las matemáticas son también una área universal de conocimiento. Las etnomatemáticas son el estudio de la relación entre las matemáticas y la cultura, y en los últimos veinte años se ha demostrado que sin duda algu23

na las ideas matemáticas existen en todas partes, aunque no sean las mismas en todas partes. Gran parte de esta investigación se ha hecho sobre las formas del conocimiento matemático encontrado en sociedades tradicionales, entendiendo por «tradicional» aquel tipo de sociedad que se ha visto relativamente poco o nada afectada por el progreso tecnológico moderno. Claudia Zaslavsky (1973) fue la primera que llamó la atención de los educadores en matemáticas sobre esta área de trabajo. Esta línea fue después continuada por investigadores que trabajaban en la tradición antropológica en países como, por ejemplo, Papúa Nueva Guinea y Oceanía (Lean, 1992), Mozambique (Gerdes, 1995), con los maoríes de Nueva Zelanda (Barton y Fairhall, (1995), con los aborígenes australianos (Cooke, 1990) y con los navajos de América del Norte (Pixten, 1983). La mayor parte de esta investigación está recogida en Gerdes (1996) y en Barton (1996), y nos ha ofrecido algunos datos interesantes. Por ejemplo, ¿sabías que...? Hay más de 2000 sistemas distintos para contar en Papúa Nueva Guinea y Oceanía, algunos usan un método de ciclo 5 y otros de ciclo 2. Hay más de un sistema para contar con las partes del cuerpo (una ampliación del sistema de contar con los dedos), en el que el nombre de cada número es el nombre de la parte del cuerpo que se señala mientras se cuenta. Hay distintas maneras de sumar, restar, multiplicar y dividir (¡pero dan la respuesta correcta!). Hay distintas maneras de encontrar el área de un rectángulo. Los campesinos del Brasil utilizan un método para encontrar el área de sus campos que consiste en encontrar la longitud media de los lados opuestos y multiplicar las medias obtenidas entre sí. Los carpinteros, los navegantes, los pescadores, los sastres... todos ellos tienen diferentes conocimientos y habilidades matemáticas.

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También hay, naturalmente, muchos juegos diferentes, puzles, deportes y danzas con puntos de conexión con las matemáticas. Basándome en los datos que yo mismo he obtenido y en los que ofrecen los trabajos anteriormente citados, he llegado a la conclusión de que no es demasiado útil definir las ideas matemáticas como algo universal porque en realidad no lo son. Más bien podemos decir que lo universal son las actividades en la que la gente las involucra. Estas actividades sí que pueden 24

considerarse matemáticas porque ellas son las que producen las distintas ideas matemáticas. Ya he expuesto en otra ocasión (Bishop, 1991) que hay seis actividades matemáticas importantes y diferentes, que realizan todos los grupos culturales cuyas practicas se han estudiado. Las actividades sobre las que se asientan los cimientos del conocimiento matemático en las distintas culturas son las que se indican a continuación.

Contar Es la actividad relacionada con la pregunta «¿cuántos?» en todas sus formas y variantes, en consecuencia, hay también distintos modos de contar y de hacer cálculos numéricos. Las ideas matemáticas derivadas de esta actividad son los números, los métodos de cálculo, los sistemas numéricos, la forma gráfica de los números, métodos numéricos, estadísticas, etc.

Localizar Es la actividad que permite encontrar un camino en el mundo espacialmente estructurado de hoy en día; o, navegando, encontrar la situación propia y la de otros objetos y describir dónde está cada cosa en relación con otras. Utilizamos distintas formas de descripción incluyendo mapas, figuras, planos, diagramas y sistemas de coordenadas. Esta área de actividades es el aspecto «geográfico» de la geometría. Y entre otros, derivan de esta actividad los temas matemáticos siguientes: medidas, coordenadas cartesianas y polares, ejes, cuadrículas, lugares geométricos, etc.

Medir «¿Cuánto?» es una pregunta que se plantea y se contesta en todas las sociedades y que puede referirse a vestidos, alimentos, terreno, dinero o tiempo. Las técnicas para medir, con todos los tipos de unidades que implican, se hacen más complejas cuanto más compleja es la sociedad de que se trata. Algunos temas matemáticos que derivan de ella: orden, talla, unidades, sistemas de medición, conversión de unidades, precisión, cantidades continuas, etc.

Dibujar Las formas son muy importantes para el estudio de la geometría y aparecen de la derivación de objetos dibujados para distintas finalidades. Lo 25

que nos interesa particularmente es saber cuántas formas diferentes se manejan, analizar sus distintas propiedades e investigar cómo se relacionan unas con otras. Los temas matemáticos que se derivan: formas, regularidad, congruencia, similitud, construcciones dibujadas, propiedades geométricas, etc.

Jugar Analizaremos con más detalle esta actividad más adelante, pero ya podemos decir que los juegos y el juego encajan en la descripción matemática general desde el punto de vista cultural del conocimiento.

Explicar Intentar explicarse a sí mismo y a los demás por qué las cosas pasan del modo que pasan es otra actividad humana universal. En lo que se refiere a las matemáticas nos interesa saber, por ejemplo, por qué funcionan los cálculos numéricos y en qué situaciones, por qué algunas formas geométricas no encajan entre sí, por qué un resultado algebraico lleva a otro y cómo están relacionados entre sí los distintos modos de simbolizar estas relaciones. Los temas matemáticos que se derivan son: reglas lógicas, pruebas, gráficos, ecuaciones, etc.

Los juegos y los conceptos matemáticos Marcia Ascher (1991), en su libro Ethnomathematics dice sobre los juegos lo siguiente: En general, las actividades que nosotros denominamos juegos se podrían definir con más precisión como objetivos hacia los que tienden los jugadores siguiendo unas reglas en las que todos ellos están de acuerdo. Podemos clasificar los juegos según impliquen habilidades físicas, estrategia, suerte o una combinación de ellas. Como lo que nos interesa son las ideas matemáticas, excluimos los juegos que sólo implican habilidades físicas y también los que dependen de informaciones que no sean exclusivamente las reglas del juego. Así pues, los juegos que consideramos de uno u otro modo matemáticos son los que dependen de la suerte o aquéllos en los que las estrategias dependen de la lógica. (p. 85) 26

Es cierto que no todos los juegos son significativos desde el punto de vista matemático, pero personalmente creo que la «definición» de los juegos de Marcia Ascher es bastante limitada. Los puzles, las paradojas, el memory, los juegos de imitación, los juegos de apuestas, por citar sólo unos cuantos, implican actividades que potencialmente son interesantes desde el punto de vista educativo. Aunque quizás pensemos que a priori sólo requieren suerte o lógica, pueden implicar otros aspectos de la actividad matemática. Además de las ideas matemáticas específicas que pueden derivarse de ellos, hay también otras ideas matemáticas más generales como las reglas, los procedimientos, planes, estrategias y modelos. Ciertamente, los juegos han sido la fuente de las principales ideas matemáticas que actualmente aceptamos como una parte central de las matemáticas, particularmente en la probabilidad, pero también más generalmente en la teoría de los números y, también podemos afirmar, en la geometría y en álgebra. Naturalmente, la teoría del juego es la más obvia de las conexiones matemáticas, pero tan pronto como consideramos el área general del modelo y la simulación, no tenemos más remedio que apreciar que hay varias áreas de las matemáticas con aspectos parecidos o comparables a las de los juegos. Por otra parte, quizás no sea casual que en las categorías establecidas por Roth la mayor parte de los juegos sean del tipo «imitativo». Pensar que la actividad matemática consiste en el desarrollo de ciertos tipos de modelos de realidad implica que los juegos imitativos pueden ser una base importante para una gran cantidad de nuestra actividad como educadores en matemáticas. La descontextualización de una idea o de un proceso desde la realidad hasta la abstracción de la realidad es una parte importante de la manera en que se han generado las ideas matemáticas, y por lo tanto los juegos de experimentación pueden ser una parte importante de la educación matemática de los estudiantes.

Juego, razonamiento matemático y representación social El juego tiene también una estrecha relación con el razonamiento matemático, y podemos considerar como válida la afirmación de que es la base del razonamiento hipotético. Desde la perspectiva de la capacidad 27

mental, parece que el juego desarrolla habilidades concretas de pensamiento estratégico, adivinación y planificación (véase, por ejemplo, Brady 1978). Situándonos en lo que Huizinga llama «el círculo mágico del juego», el pensamiento hipotético, la adivinación, el cálculo aproximado, la demostración, la verificación, serían todas ellas actividades que entrarían en lo que se llama «jugar». En otro nivel de análisis, el proceso de autocomprobación de la generación de hipótesis a través del examen de las anomalías se relaciona claramente con el desarrollo del proceso metacognitivo. En relación con todo ello, Macmillan (1997) apunta que la teoría de representación social refleja la visión de que las relaciones semióticas son inherentes a la representación social a través de procesos de significación, o marcas sociales (Moscovici, 1981). A este respecto, quizás no sea casual que la palabra inglesa recreation (entretenimento, recreo) signifique a la vez una forma de juego y literalmente una «re-creación». También nos vemos forzados a preguntarnos si estos procesos son todavía más predominantes y significativos en el mundo actual de tecnología de la información inspirado en actividades de realidad virtual.

Juegos y juego en la educación matemática Así pues, hay buenas razones culturales, matemáticas, educacionales y sociopsicológicas para incluir los juegos y el juego en la educación matemática de los niños de hoy en día. En este artículo he hecho varias referencias a la investigación. Quedan todavía muchos puntos de la investigación por explorar, y todavía también mucho por desarrollar antes de que los juegos sean plenamente aceptados y aprovechados en las aulas de matemáticas en general. Permitidme que para terminar esta breve introducción y estado de la cuestión haga una lista de los apartados de un capítulo de Dunford (1982) titulado «Juegos y entretenimientos en la clase de matemáticas». Es una contribución típica de un profesor de matemáticas que ve claramente cómo usar algunos aspectos de los juegos y del juego en la enseñanza actual de las matemáticas: 28

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¿Cómo usar los juegos y entretenimientos? Los juegos en las matemáticas. Juegos para aprender las tablas. Inventar juegos. Juegos vectoriales. Juegos para aprender las coordenadas. Juegos de cartas. Juegos para ángulos y posiciones. Juegos de funciones. Juegos y generalizaciones. Otros juegos de estrategia. Adivinanzas matemáticas. Otras actividades: la sección áurea. Doblar papeles, origami, tangrams. Puntear y dibujar curvas. Construcción de cuerpos. Juegos comerciales. El club de las matemáticas.

Referencias bibliográficas ASCHER, M. (1991): Ethnomathematics - A multi-cultural view of mathematical ideas. Pacific Grove (California). Brooks/Cole. BARTON, W. (1996): «Anthropological perspectives on mathematics and mathematics education», en BISHOP, A.J. y otros (eds.): International handbook on mathematics education. Dordrecht (Holanda). Kluwer, pp. 1035-1053. BARTON, B; FAIRHALL, U. (eds.) (1995): Mathematics in Maori education. Nueva Zelanda. University of Auckland. BELL, R.; CORNELIUS, M. (1988): Board games round the world: a resource book for mathematical investigations. Cambridge. Cambridge University Press. BISHOP, A.J. (1991): Mathematical enculturation: a cultural perspective on mathematics education. Dordrecht (Holanda). Kluwer. BRADY, J.M. (1978): «An experiment in teaching strategic thinking». Creative computing, 4 (6), pp. 106-109. 29

COOKE, M. (1990): Seeing Yolngu, seeing mathematics. Northern Territory (Australia). Batchelor College. DUNFORD, J. (1982): «Games and recreations in the mathematics classroom», en CORNELIUS, M. (ed.): Teaching mathematics. Londres. Crrom Helm, pp. 154-185. FALKENER, E. (1961): Games ancient and oriental and how to play them. Nueva York. Dover (reimpresión). GERDES, P. (1995): Ethnomathematics and education in Africa. Estocolmo. Instituto de Educación Internacional; Univesidad de Estocolmo. — (1996): «Ethnomathematics an mathematics education», en BISHOP, A.J. y otros (eds.): International handbook on mathematics education. Dordrecht (Holanda). Kluwer, pp. 909-943. HUIZINGA, J. (1949): Homo Ludens. Londres. Routledge and Kegan Paul. JAYNE, C.F. (1962): String figures and how to make them. Nueva York. Dover. LENA, G.A. (1992): Counting systems of Papua New Guinea and Oceania. Tesis de PhD no publicada. Lae PNG. Papua New Guinea University of Technology. MACMILLAN, A.J. (1997): An investigation into the initiation process of pre-school children into the culture of a formal mathematics education program in the first year at school. Tesis en PhD no publicada. Newcastle (Australia). University of Newcastle. MOSCOVICI, S. (1981): «On social representations», en CODOL, J.P.; LEYENS, J.P. (eds.): Cognitive analysis of social behaviour. La Haya. Martinus Nijhoff. PINXTEN, R.; VAN DOOREN, I.; HARVEY, F. (1983): The anthropology of space. Philadelphia. University of Pennsylvania Press. ROTH, W.E. (1902): «Games, sports and amusements». North Queensland ethnographic bulletin, 4, pp. 7-24. ZASLAVSKY, C. (1973): Africa counts. Nueva York. Prindle, Lawrence Hill Books.

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3 ¿Xornadas de matemática recreativa...? Sí..., por favor... Manuel Pazos Asesor de matemáticas en el CEFOCOP de La Coruña En las reuniones que el profesorado mantiene tanto en sus centros como en los distintos foros a los que acude, suelen oírse lamentos en abundancia y termina por caerse en el tópico de que el alumnado cada vez estudia menos, que no atiende en clase, que la gestión del aula es cada vez más difícil y que no se sabe muy bien adónde vamos a parar. Es una historia bastante descorazonadora que, con una buena dosis de certeza, encierra un pesimismo peligrosamente contagioso del que muchos compañeros y compañeras quedan cautivos. De alguna manera, es preciso rebelarse y adoptar medidas tendentes a mejorar la motivación de todos, de profesores y alumnos, de modo que los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ya de por sí complicados y nada fáciles, tengan lugar con una actitud positiva capaz de contagiar al alumnado. Seguramente no siempre nuestra reflexión sobre el quehacer diario en el aula nos lleva a un replanteamiento de las estrategias que utilizamos ni a una inversión, aunque sea fugaz, de los papeles alumno-profesor que nos

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa, 78, pp. 36-39, enero 1999.

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facilitaría el análisis de por qué el alumno cada vez «estudia menos» y «se aburre más». Cuando se instala una situación de crisis en un colectivo, sea cual sea su tamaño, es preciso romperla y para ello hay que contar con la colaboración de todas aquellas personas que se mueven en situaciones didácticas más innovadoras y favorecer una actitud positiva en el grupo, sobre todo en los que están en el umbral en disposición de que su actitud y su práctica evolucionen en el sentido deseado. Parece evidente que el mejor modelo es a través de una formación centrada en los lugares de trabajo, porque se conoce el medio, el centro y su entorno, los recursos humanos y materiales, el contexto socioeconómico, las costumbres, las necesidades, etc. Todo ello hace que la intervención sea más ajustada y que los logros respondan más y mejor a las necesidades manifestadas. De este modo, se pueden dar pasos para que: Las matemáticas en el aula sean atractivas para alumnos y profesores. Las matemáticas ayuden a comprender, plantear, resolver e interpretar situaciones próximas, del día a día. El profesorado utilice, además de su ingenio y su arte, todos aquellos recursos (materiales, lingüísticos, tecnológicos) y métodos que hagan que la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas sean agradables. Cada vez sean más los niños y niñas a los que les gusten las matemáticas.

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Pero, siendo básico el trabajo individual y grupal, es preciso que el profesorado tenga referencias más amplias sobre la actividad de otras personas y grupos más o menos próximos, lo que piensan y hacen profesionales de relieve, los métodos y materiales que utilizan, las actividades que se realizan, etc. Es preciso, más que nunca, intercambiar ideas y opiniones entre el profesorado.

Matemática recreativa..., ¿qué es eso? Algunas características No se trata de dar una definición de matemática recreativa, porque la definición, además de resultar difícil, seguramente no nos ayudaría a clari32

ficar el tema. Pero considero conveniente hacer un esfuerzo reflexivo para establecer unos parámetros y fijar unas referencias que, si es posible, ayuden a delimitar su contenido. Acudiendo a la cada vez más abundante literatura sobre matemática recreativa, observamos que no abundan las definiciones por comprensión, sino por extensión, y van apareciendo características, contenidos, metodologías, recursos, modos de presentación de actividades matemáticas, etc., que unos y otros autores, articulistas y demás consideran como tal. De este modo, parece que no sólo debemos entender por el calificativo recreativo los juegos matemáticos en sentido estricto, sino que también habría que hablar de todas aquellas situaciones didácticas activas en las que utilizamos la palabra (cuento matemático, adivinanza, jeroglífico, canción, narración, etc.), la representación, la construcción geométrica, el material didáctico más o menos estructurado (policubos, tangram, ábaco, espejos, regletas, BAM), los objetos cotidianos (botones, palillos, dados), el material tecnológico (calculadoras, ordenador), los juegos de diversa índole, las actividades de exposición en tablones de pasillo o clase (biografías, noticias de prensa, curiosidades), los problemas relevantes, etc. Bajo el nombre de matemática recreativa suelen presentarse, pues, una variada serie de contenidos, recursos y estrategias que cualquier profesor, conociendo las necesidades e intereses de sus alumnos, debe utilizar para que el proceso de aprendizaje resulte grato y motivador, y sea motor de futuros aprendizajes. Por tanto, parece que todas las actividades que se realicen deben estar relacionadas con las matemáticas y tener un carácter lúdico. En las I Xornadas de Matemática Recreativa (La Coruña, 1994), Luis Balbuena, en la conferencia inaugural («La matemática recreativa o cómo re-crear la matemática») hacía hincapié en la necesidad de que los niños recreasen las matemáticas, que volviesen a crearlas, en la medida de lo posible. Asimismo, se refería a una definición de matemática recreativa como el estudio y solución por puro pasatiempo de problemas y acertijos relacionados con las matemáticas. Pero habría que plantearse si es sólo pasatiempo, porque, como sabemos, pueden llegar a presentarse serios problemas matemáticos a partir de simples pasatiempos.

¿Por qué debemos utilizarla? Entre alumnos, ex alumnos y una parte del profesorado, suele decirse de las matemáticas que son aburridas, con excesiva carga operacional, 33

carentes de practicidad y no contextualizadas, excesivamente abstractas e inadecuadas para la edad, difíciles de entender por su riguroso lenguaje, lo que implica mecanización, etc. Consecuentemente, parece obvio que es preciso mejorar los resultados, el grado de satisfacción del alumnado1. La matemática recreativa resulta interesante y útil dentro de la educación matemática porque es atractiva para los alumnos, y además: Sirve para conectar las distintas partes de las matemáticas entre sí y con otras áreas, evitando compartimentos estancos, siempre perjudiciales para el proceso de enseñanza-aprendizaje. Permite la puesta en práctica de recursos intelectuales y estrategias diversas al intentar resolver los problemas que se plantean en cualquier situación, juego, etcétera. Ayuda a perseverar en la búsqueda de soluciones o de estrategias ganadoras al constituir para determinados alumnos un desafío e iniciarse o profundizar en la inducción, la generalización, etcétera. Facilita al profesorado una evaluación reguladora que permite suministrar a cada alumno, en cada caso, la ayuda pertinente para seguir avanzando en la construcción de su conocimiento matemático manteniéndo una estimulación adecuada. Favorece la integración e incorporación a la actividad matemática de aquellos alumnos que tienen bajo rendimiento escolar por diversos motivos, pero que reaccionan positivamente en situaciones abiertas de aprendizaje fuera del marco clásico, por el que no demuestran ningún interés. Contribuye a crear un clima distendido en clase que favorece los aprendizajes cooperativos y la regulación de comportamientos sociales en situaciones muchas veces espontáneas.

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¿Cómo empiezo...? Suele decirse que la mayoría de los conocimientos, sobre todo desde Gütenberg, están en los libros. Y hoy la producción bibliográfica sobre el tema es considerable en cualquier etapa educativa, no habiendo dificultad alguna en cuanto a información. Existen, además, revistas en las que aparecen actividades y propuestas aprovechables para matemática recreativa2. Lo mismo ocurre en cuanto a materiales y recursos para utilizar en clase, según el aspecto matemático que nos interese. 34

Pero, siendo importantes, la bibliografía y el material no bastan. Existe algo mucho más básico: la actitud del profesor, el querer hacerlo, el estar convencido de su importancia, creer en lo que se hace. Hasta tal punto es así que considero que una clase calificada como «normal» puede ser verdaderamente recreativa, mientras que otra planteada como recreativa puede ser una clase sin vida y sumamente aburrida. Es el papel del profesor y la gestión que del aula haga lo que marca la diferencia.

Algunos pasos Casi siempre introducimos modificaciones en nuestra manera de hacer las cosas porque, además de reflexionar sobre ellas, creemos que son susceptibles de mejora. Ello hace que seamos receptivos a cualquier novedad material o de procedimiento. Es así que la lectura de un libro, la asistencia a un curso, a una conferencia, a una exposición, la conversación con el compañero recién llegado al centro, pueden provocar en un profesor la curiosidad y hacer que pruebe algún tipo de actividad que, a ser posible, ha de ser: Sencilla y breve. Cuyo resultado vaya a ser satisfactorio para nosotros y para los alumnos: que deje buen sabor. Adecuada a lo que se está trabajando en clase. Motivadora, facilitadora, aclaratoria, impactante. Que exija la participación del alumnado, no sólo la actuación del profesor.

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Poco a poco, y de una manera gradual, se van incorporando actividades nuevas y los alumnos y el profesor se van encontrando más a gusto en clase recorriendo un camino que cada día está más transitado y con un punto de salida en el que podría rezar: Súmese al grupo de los que sostienen el deseo de que no exista lugar en las aulas para las matemáticas «feas». (Pérez Gómez, 1988)3

Xornadas de matemática recreativa... y su historia La idea no fue producto de un momento feliz, sino inducida por una serie de circunstancias y personas. Se fue construyendo poco a poco. Por 35

ejemplo, en aquellos largos paseos por Barcelona con M.G. Déniz, en los que la educación matemática era un tema de conversación recurrente; muchas de las ideas esbozadas entonces fueron llevadas a la práctica en varios centros a través de talleres de visualización y geometría, aulas de matemática recreativa, proyectos y seminarios nucleados en los recursos materiales. Pero la idea clave para la decisión final habría que buscarla en un curso de matemáticas para educación primaria en el que participó El Quinzet (Barba y Segarra), cuyas sesiones constituyeron un claro ejemplo práctico de enseñar y aprender disfrutando. En la primavera de 1993, comenzó en el centro de Formación Continuada del Profesorado (CEFOCOP) de La Coruña la planificación de las I Xornadas de Matemática Recreativa. A lo largo del curso escolar se convocaron entre el profesorado actividades tendentes a fomentar su participación como un banco de intercambio de juegos («¿Me cambias un juego?», «Me ensañas un juego», «Te enseño un juego», etc.) o el envío a todo el profesorado, tanto de primaria como de secundaria, de un vaciado de más de mil actividades recreativas clasificadas según distintos criterios y que se extrajeron de diferentes libros. En junio de 1994 asistieron a sus talleres, conferencias, comunicaciones, mesas redondas y exposiciones algo más de cuatrocientas personas. Un número similar de docentes acudió a la edición de 1995. En las III Xornadas4 celebradas en junio de 1998, los setecientos asistentes tuvieron ocasión de recrearse en la oferta de sesenta talleres distintos, cuatro conferencias plenarias, veinte comunicaciones, diez exposiciones, etc. La participación del profesorado de Galicia creció considerablemente, ya que fueron algo más de cien profesoras y profesores los que aportaron sus actividades, mientras que unas cuarenta personas de otras Comunidades (Madrid, Cataluña, Navarra, Canarias, Valencia, Andalucía, Castilla-León, Castilla-La Mancha, Aragón...) nos comunicaron su experiencia en el ámbito de la matemática recreativa. De este modo, conjuntamente, vamos creciendo poquito a poco tanto en Galicia como fuera de ella, y cada vez más gente se siente atraída por esta actividad que hoy se ha convertido ya en un punto de encuentro en todo el territorio estatal, pues se ofrece un marco idóneo para una visión genérica de la recreación en matemáticas y para su análisis e investigación. Estamos convencidos de que la enseñanza de las matemáticas debe evolucionar, adaptándonos tanto a las necesidades sociales de hoy como a las capacidades del alumnado y también a su mundo afectivo. Pensamos, 36

asimismo, que es preciso avanzar, no sólo en el desarrollo de programas y métodos, sino también en la manera de enseñar y aprender. Es necesario impulsar, a través del juego y del uso de recursos materiales y tecnológicos, la actividad matemática recreando situaciones motivadoras entrelazadas que faciliten el descubrimiento de los distintos aspectos matemáticos objeto de estudio. Pero para eso no basta que sepamos lo que el alumno debe o puede aprender: es preciso que consigamos que quiera aprenderlo. Éste es el problema básico con que nos encontramos en las aulas. Y no podemos vivir de espaldas a él; es preciso ponerlo a la proa e intentar encontrar una solución a toda costa. ¿Podemos buscar apoyo en la recreación matemática? Pensamos que sí, pero actuando de una manera sistemática, con intencionalidad en el hecho de educar y que no quede sólo en una tarea de relleno o para lanzar luminarias en clase. Estimamos que se necesita un mejor aprovechamiento de todo tipo de recursos, de las situaciones lúdicas, de la contextualización de las matemáticas en la vida diaria y en las demás áreas de conocimiento, de los modos de enseñar y de evaluar del profesorado, porque creemos que un niño o una niña no puede odiar las matemáticas en razón directa a sus años de estancia en la escuela. Cuando eso es así, y en algunos casos lo es, algo falla y alguna reflexión estamos obligados a realizar. En fin, sería deseable que esta actividad, y otras que puedan promoverse en la misma línea, contribuyese de alguna manera a una tarea de mejora. Es de resaltar el esfuerzo de las muchas compañeras y compañeros, tanto de Galicia como de otros lugares, que hicieron y hacen viable esta actividad, lo mismo con su presencia como asistentes que presentando actividades y comunicando sus vivencias del día a día en el aula, lo que, como bien sabemos, exige un esfuerzo de reflexión y de síntesis que, indudablemente, cada uno incorpora a su acervo de perfeccionamiento profesional. A todos, el equipo del CEFOCOP de La Coruña, nuestro agradecimiento.

Xornadas de matemática recreativa Éstos son los objetivos

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Facilitar la relación entre las personas que desempeñan su trabajo en el campo de la educación matemática, favoreciendo su reflexión en el proceso de enseñanza-aprendizaje. 37

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Proporcionar elementos de referencia entre lo que se está realizando en educación matemática en Galicia y en las demás Comunidades Autónomas. Ofrecer una visión genérica de las tendencias e investigaciones en relación con la recreación en matemáticas a través de una metodología de resolución de problemas. Aplicar materiales y recursos tecnológicos en el proceso de enseñar y aprender matemáticas. Comunicar experiencias hechas en las aulas que fomenten la actividad matemática con una metodología dinámica y un tratamiento interdisciplinar adecuados. Mostrar al profesorado materiales, juegos y procedimientos de uso que ayuden a despertar y a avivar en el alumnado el gusto por las matemáticas. Analizar la metodología empleada y posibilitar una respuesta positiva, desde las matemáticas, a la diversidad de niños y niñas que pasan sentados en nuestras aulas una buena parte de su vida infantil y juvenil.

Éstas son las conclusiones

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El profesorado es consciente de la necesidad de un cambio de actitud hacia la enseñanza de las matemáticas, pues un cambio actitudinal del alumnado pasa siempre por un cambio actitudinal del profesorado. Como decía Claudi Alsina en la magistral conferencia de clausura de las III Xornadas de Matemática Recreativa («Clases de matemáticas con música»), los que tenemos que poner música a nuestras clases somos nosotros: los profesores y profesoras. Es preciso prestar una ajustada atención a cada una de las etapas educativas, desde la educación infantil hasta la educación secundaria, teniendo en cuenta que el enfoque lúdico que se les asegura a los niños y niñas de educación infantil no debe quedar reducido a esta etapa. El placer de jugar debe procurarse, al menos, desde cero a cien años, y debemos tomar conciencia de que los niños y adolescentes, cuando juegan, es cuando realmente despliegan sus mejores recursos para percibir, conceptualizar y resolver problemas. Los profesionales debemos tomar conciencia del carácter globalizador e interdisciplinar que debe tener cualquier intervención

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educativa si queremos asegurar a los alumnos y alumnas un aprendizaje significativo y funcional; teniendo en cuenta también que el aprendizaje de las matemáticas le va a ofrecer al alumnado no sólo éxito académico en esta disciplina, sino aprendizajes transferibles a otras áreas, y sobre todo, le va a capacitar para intervenir en su ámbito social con mayor competencia y seguridad. El nuevo enfoque en la enseñanza de las matemáticas a los alumnos con necesidades educativas especiales abre un horizonte prometedor al incorporar técnicas y recursos materiales que abarcan las modernas tecnologías y favorecen la enseñanza de las matemáticas a ciegos y sordos, asegurándoles, además, una vía de mejor integración escolar y social. Debemos tener en cuenta que estamos inmersos en un momento de grandes cambios sociales y mediáticos en el que las nuevas tecnologías imponen cambios sustanciales en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Notas 1. PAZOS, M. (1993): «Materiais de clase compartidos». Revista Galega de Educación, 18. 2. PAZOS, M. (1998): «Bibliografía de matemática recreativa». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, pp. 73-92. 3. PÉREZ GÓMEZ, R. (1984): «Prólogo», en HERNÁN, F.; CARRILLO, E.: Recursos en el aula de matemáticas. Madrid. Síntesis. 4. PAZOS, M. (coord.) (1999): Actas das III Xornadas de Matemática Recreativa. Santiago de Compostela. Xunta de Galicia.

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4 Matemáticas para todos, todos para las matemáticas Joaquim Giménez Universidad Rovira i Virgili. Tarragona Los principios que justifican unas matemáticas para todos y unas matemáticas que partan de la calle y de lo cotidiano se van haciendo cada vez más evidentes. Así, no debemos buscarlos en exigencias de las nuevas programaciones de leyes cercanas (como la LOGSE), o en informes extranjeros (léase el británico Cockroft o los Estándares americanos). Hay un conjunto de motivos confluyentes que coinciden con una nueva valoración de la propia matemática. Se pueden citar ante todo varios motivos importantes de tipo social, entre los que destacamos: El redescubrimiento del valor de las matemáticas, que permiten modelizar el mundo real, acentuado por la especialización. La educación de valores propios de la democracia y de la ciencia a los que las matemáticas pueden contribuir como la crítica, el juicio, la deducción, etc. La creencia actual de que el razonamiento es aquella cualidad humana que nos puede permitir dominar la tecnología y situarnos por encima de la robótica.

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Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa , 58, pp. 6-11, enero 1997.

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La conciencia de que preparar el futuro implica una preparación para los cambios constantes (y por ello no podemos perder el contacto con la realidad que cambia). La consideración de que el grupo y el trabajo cooperativo deben ya reflejarse en la escuela (puesto que cada investigador se especializa y necesita de los demás).

Con ello se quiere eliminar el «bostezo» preocupante o la actitud negativa de los alumnos que se produce en muchas ocasiones ante las clases de matemáticas que preguntan constantemente: «Y esto... ¿para qué me va a servir?». Asimismo, hay elementos pedagógicos que han contribuido a popularizar y relacionar las matemáticas con la vida cotidiana: El reconocimiento del alumno como protagonista del aprendizaje (lo que implica considerarle un participante activo, un investigador, etc.) o sea, un pequeño gran matemático. Las consecuencias de la decisión de considerar al alumno como constructor de contenido (como no tiene un gran bagaje técnico, eso lleva a que le planteemos tareas concretas y no sólo le mostremos resultados). «Matemáticas para todos» es también una exigencia para conseguir audiencia.

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Hacer que las matemáticas surjan de la calle es un gran objetivo que muchos profesores no hemos asumido. Y popularizarlas es además un buen eslogan para conseguir este objetivo. Podríamos remontarnos a épocas antiguas para palpar la relación de las matemáticas con el mundo real, pero dicho contacto no está ni mucho menos al alcance de cualquiera que se mueva en el mundo real, sino sólo para unos iniciados. En efecto, popularizar la ciencia es algo mucho más reciente. Igual que las cadenas de TV, los profesores de matemáticas deseamos aumentar nuestro share de audiencia y por ello, entre otras cosas, pensamos que las matemáticas deben surgir de la calle para ir a la clase. Para conseguirlo, proponemos tres estrategias publicitarias para la enseñanza obligatoria: 1. Lucha contra la ridiculización y superación del menosprecio existente sobre el razonamiento matemático, mediante nuevas marcas 42

como el énfasis en la observación y nuevos productos naturales, ofreciendo tecnología moderna y avanzada. 2. Integración de todos los medios publicitarios a nuestro alcance. 3. Aumento progresivo del control de calidad sobre el producto.

Popularizar sin menospreciar En la tarea de enseñar matemáticas, parece que un programa de popularización y de contacto con la tan apasionante realidad debe superar algunas trabas y poder responder a viejas preguntas como las siguientes: ¿Observar no es algo demasiado elemental para los 12 años? ¿Cómo construir matemáticas si no se tienen herramientas? ¿Qué podemos hacer en la educación primaria para entrar en la modelización? ¿Si no se sabe calcular, o no se saben resolver ecuaciones, cómo se van a resolver problemas? ¿Hasta dónde es posible investigar en matemáticas con 14 o 15 años?

Ejemplo 1: la geometría real y la lectura de la imagen Con este ejemplo se pretende cuidar no sólo la visión simplista hablando de la ciudad como motivación populista, sino fomentar argumentaciones verbales lo más serias posibles de los estudiantes. Así, cuando se pedía a estudiantes que no eran de Madrid que observaran cuatro edificios de la ciudad de Madrid de alturas diferentes (A=Torre España, B=iglesia del Palacio Real, C=Templete del Teatro Real, D=monumento del centro de la plaza de España), se les exigía después que justificaran si las afirmaciones siguientes se deducían de la imagen o no (fotografía aérea de Madrid). Observando una ciudad Toma cuatro edificios significativos de la foto que tengan alturas diferentes. Razona cuáles son sus alturas. De las frases siguientes, ¿cuáles son ciertas y pueden afirmarse a partir de la información visual del dibujo y cuáles no? He aquí las respuestas de Sílvia (11 años): «A tiene 120 metros.» A tiene unos 32 pisos, y si cada piso tiene unos tres metros, que sería mucho, no creo que llegara nunca a 120 metros. Si me hubieras preguntado por la iglesia, no sabría qué decir, porque no tengo pisos para contar.

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«A es más alto que B.» Es más estrecho y alto. Si lo mido en la foto parece que no, pero la iglesia está más cerca y parece más alta. Las iglesias no tienen tantos pisos, y si miro el edificio rojo de abajo veo que sólo tiene 2 pisos. «La torre D es mucho menos alta que C.» A ojo parece que sí. La columna, porque parece una columna en el jardín se ve mucho más alta de lo que aparenta, pero es más alta que la casita del teatro porque está más lejos. Ahora si contamos todo y no sólo la casita, sería más bajo. Las cosas de lejos parecen pequeñas y todo depende de cómo te lo mires. «La parte de delante de la iglesia B tiene más de 4 pisos de altura.» Parece que tiene la misma altura que atrás, que lo vemos. Pero, no estoy segura. Debería mirarlo de verdad para estar segura.

El quehacer matemático, ya desde el primer ciclo de primaria en cuanto a la introducción de la geometría de la calle o ciudadana no puede reducirse a simples actividades de contacto con lo real, para pasar a hablar inmediatamente de polígonos y observar planos y vistas frontales de los objetos (véase cuadro 1). Debe ejercitarse un trabajo productivo, con acciones graduadas como las siguientes a todos los niveles: Diálogo sobre realidades cercanas (hablando, situando objetos, dibujando lo que se ve, etc.). Observación y contraste de vistas desde distintos lugares (imágenes de habitaciones, cocinas, etc.). Dibujo-recuerdo de algo que no se tiene enfrente pero se ha tenido experiencia por vía verbal (la casa de mi abuela), o vía recuerdo temporal próximo (la fachada de la escuela, un detalle del patio, un itinerario). Razonamiento sobre vistas diferentes de un lugar desconocido (distinguir la altura desde la que se hicieron diversas fotos). Justificación reflexiva (como la de la foto de Madrid anteriormente comentada).

. . . . .

Una geometría ciudadana para todos debe plantear auténticos problemas y no sólo acciones dirigidas. Experiencias como las que hemos contado han tenido éxito. Los temas de consumo y medio ambiente son especialmente ricos en posibilidades para hacer reflexiones similares. Hacer experiencias 44

Cuadro 1. Geometría de la calle débil y en profundidad. Comparación de actividades y procesos GEOMETRÍA DE LA CALLE DÉBIL Proceso

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Simple observación

GEOMETRÍA DE LA CALLE EN PROFUNDIDAD

Acciones

. Presentar

dibujos bonitos con maquetas para ilustrar que las vistas son importantes y pasar inmediatamente a trabajar con dibujos.

Acciones

Proceso

. Pedir: lee este texto, . identifica lugares co- . rres pondientes en . ma que ta. Justifícalo. . ¿Desde dónde se hizo . la foto? ¿Cómo fue posible la imagen?... Expli- .

Visualización Integración Justificación Diseño Verbalización Contraste

ca lo que no se ve...

. .

.

Sólo contextualización Descripción

Construcción dirigida

. Hablar de la ciudad . Explica

cómo imaginas... ¿Por qué en la calle... hay tantos accidentes? Monta una imagen del recorrido hecho, dásela a un compañero. ¿Está claro? ¿Faltan cosas?

o hacer una salida, sólo para ver cosas, hacer algunos dibujitos y explicar lo que se ha hecho con un resumen.

. Hacer un plano de . Cuéntale la clase, del pueblo...

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a alguien... Haz un dibujo correspondiente a un texto. Preguntar: ¿Para qué sirve la escala? ¿Qué ventajas tiene un plano a escala respecto de uno que no lo es? Elaborar un esquema por pasos sobre lo que se debe hacer para hacer un plano

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. . .

Predicción Descripción Control Cambios de representación

Construcción conceptualizada Interrogación Esquematización

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débiles como las que se muestran en el cuadro 1 son un menosprecio para la actividad geométrica y para los propios estudiantes.

Usando productos naturales. Ejemplo 2: estudio de sombras Poca gente «compra» ya logaritmos o divisiones de siete dígitos entre tres dígitos, o propiedades asociativas en los nuevos programas. Con todo, renovarse, implica reconocer que el público sigue comprando viejos productos de uso común como saber las tablas, reconocer características del círculo, resolver ecuaciones de segundo grado, calcular áreas de figuras planas, saber las funciones trigonométricas, usar las derivadas, etc. ¡Ahora es el momento! ¡Olvide las viejas explicaciones! ¡Cámbiese a investigación! ¡Un nuevo producto que provoca que sus alumnos propongan problemas y no sólo los resuelvan! Mire cómo muchas manchas del fracaso matemático desaparecen, y una nueva alegría surgirá en la clase. Vea el ejemplo ecológico: «investigando con sombras». Fíjese en Juanito, alumno de 8 años, usando este producto mediante un ejemplo especial creado por Paolo Boero (véase cuadro 2). Otros dicen cosas distintas. Algunos cortan la sombra... Nadie deja la hoja en blanco. Todos marcan la línea gruesa que indica la sombra, pero sólo Juanito y Lourdes señalan un espacio de sombra como se ve en el dibujo. ¡Todos han probado nuestro nuevo producto y se han convertido en pequeños matemáticos¡ Por eso se han equivocado algunos, otros se han explicado con mayor corrección... Lo importante es que con este nuevo producto se introduce al alumno en la modelización científica lo cual provoca un conflicto a otros clientes (los profesores). En efecto, ¿qué hago ahora? Evidentemente discutir y reflexionar sobre la situación. Proponer formas de razonamiento para refutar la conjetura, aprobarla, etc. Siempre que podamos, no deberíamos acudir a lo tangible de un modelo impuesto desde fuera del alumno. Es decir, pensar con la cabeza. Pero, como pasa con la lavadora nueva, que hace más cosas, a veces nos gusta más el viejo producto conocido que no planteaba estos nuevos problemas... De hecho, hay quien sigue vendiendo teoremas de Tales o ángulos sólo en la pizarra. Porque «sabe qué hacer cuando se estropea y lo tiene dominado». El nuevo producto Investigando con sombras trata de atacar viejos problemas pero no siempre gusta a todos. Por eso siempre se formula la famosa pregunta del detergente: «¿Está dispuesto a cambiar46

Cuadro 2. Una actividad con sombras en el ciclo medio de primaria

lleno de sombra

El dibujo representa una situación de la sombra del sol; una persona se acerca al muro y se ve su sombra. Como ves, al lado del muro hay un hueco en el terreno. Debes dibujar a la persona y el lugar dónde estará su sombra cuando avance unos tres pasos hacia el muro. A mano derecha, se ve la solución dibujada por Juanito. Su respuesta se da a continuación: «La sombra de la niña, cuando ha avanzado tres pasos es lo que voy a explicar. He marcado la línea que pasa por la cabeza y llega hasta la sombra. Después hay otras líneas que corresponden a la niña más adelante. Miro donde llega la nueva línea que le pasa por encima y así tengo el espacio que hay desde los pies hasta donde termina la sombra».

me su viejo limpiador por el nuevo?». Si la respuesta es no, no hace falta que siga leyendo. Ahora bien, es posible que dentro de unos años, ya no haya piezas de recambio para su vieja lavadora, que los múltiples bostezos en clase, se tornen inteligentes silencios de alumnos pasotas que demuestren con su desprecio la misma insatisfacción que ahora. Y que muchas veces escribamos «no progresa adecuadamente». O bien que alguna OCU venga a decirnos «sus viejos contenidos no sirven, y está vendiendo un aparato en mal estado que no desarrolla estudiantes reflexivos, críticos, con mentalidad abierta para el siglo XXI» (véase cuadro 3 en la p. 48).

Calidad y tecnología avanzada. Ejemplo 3: la hoja de cálculo Pero es bueno introducir eslóganes publicitarios de los que debemos estar convencidos: ¡Use hojas de cálculo con ordenador..., sus hijos se lo 47

Cuadro 3. Algunos productos del plan renove didáctico con lo viejo correspondiente PRODUCTOS VIEJOS ¿APROVECHABLES?

PRODUCTOS NUEVOS O «NUEVAS MARCAS» DE CALIDAD

. Precios y objetos reales. . Cálculo del interés bancario. . Operaciones en la pizarra. . Geometría con objetos madera. . Mostrar el reloj de sol.

de

. Mostrar dibujos en perspectiva.

. Precios europeos: ¿qué costará en...? . El mercado y el consumo. . Códigos de barras. . Códigos de seguridad. Préstamos e inversiones. . Reconocer métodos de cálculo en la historia. . Usar la calculadora... para lo que lo merece. . Observar las posiciones de las sombras de un palo. . Razonar sobre sombras a lo largo del tiempo. . Variación de los ángulos de las sombras. . Ver gráficas de sombras del sol durante el año. . Experiencias «de Leonardo da Vinci» pintando sobre un plástico o cristal cuadriculado.

. Fórmulas de áreas. . Dibujar con regla y compás y pintar funciones.

. Trabajar con materiales. . Cálculo mental rápido números.

. Cálculos de espacios urbanos o campestres. . Introducción del coeficiente de edificabilidad. . Usar Draw, Cabri , hoja de cálculo, calculadoras gráficas y otros programas de ordenador.

con

. Analizar un fragmento de vídeo. . Cálculo mental útil y rápido con enunciados verbales de problemas próximos a lo cotidiano.

agradecerán! ¡No pierda el tiempo con la calculadora. 89 x 91... puede hacerlo mentalmente! ¡Mire, observe, construya... la mejor forma de ver los poliedros! Y, por la noche... para mayores de 18 años, poner anuncios para el profesor o profesora. ¡No deje la pizarra, pero deje que el vídeo entre en su clase! O bien, ¡para aprender más, llame al 07-551-342342... Unos bue48

nos cursillos le enseñarán cómo mejorar la intimidad de la clase¡ !La tarifa es de llamada internacional! Las ventajas de un «plan renove modelización hoja de cálculo» son muy claras: ilusión, desarrollo y mejora en el aprendizaje matemático. Pero, como en los anuncios, nada está exento de dificultades. El elevalunas computerizado (la hoja de cálculo) un buen día no funciona (los chicos no sacan la ecuación que yo esperaba). Quizás porque no sabemos cómo usarlo bien. Lo forzamos, como hacíamos antes con la manivela... Hay que saber proponer situaciones interesantes y, eso sí, como siempre, tratar de que funcione bien. No podemos proponer el primer día un trabajo de iteración. Hay que empezar por ver cómo funcionan las casillas. Usar las fórmulas de las áreas de las figuras puede ser bueno, puesto que se verá que necesitamos dos casillas para el área del triángulo (base en A2, altura en A3), cuyo resultado aparece en una tercera casilla (área en A4)... Y usar el modo gráfico para representar funciones-ecuación concretas (A4=3xA3) cuando la base es fija (A2=6). Para posteriormente analizar propiedades y, al cabo de algunas clases, reconocer iteraciones (AN=AN-1+2) que me permitan resolver problemas como aproximarse a una raíz cuadrada, mediante acotaciones sucesivas. Es importante actuar convencidos de que no es una moda. El trabajo de investigación a veces tarda en dar el efecto esperado. No todo el mundo que ha comprado una misma paella consigue guisos iguales. Y quizás el plato que se ha preparado no guste a todos.

Integración publicitaria. ¿Los intereses del cliente? No todos los clientes son iguales. Hay que encontrar provocaciones apropiadas a distintos niveles y usar técnicas de buen vendedor del producto... ¡sin engañar a nadie! Entre la realidad que mueve a un niño de 6 a 8 años, se encuentra la fantasía. A los niños les gustan los cuentos. Muchos cuentos se sirven de los números, las series, las formas, etc. Pero no los usemos sólo para hacer bonito, sino para provocar desafíos. El cuento El amor de las 3 naranjas o Caperucita o Las botas de siete leguas deben aprovecharse para plantear problemas como el contar de tres en tres, distancias entre Caperucita, el lobo y la abuelita, y las series de siete en siete. Ahora bien, la niña de 7 49

años puede responder –a su manera– a preguntas más insidiosas y productivas como: ¿Quién hará más pasos para ir de la casa al castillo, el gigante o tú? ¿Por qué? ¿Si el palmo del lobo es más grande que el tuyo, cuántos palmos medirá la mesa para el lobo? ¿Y el gigante? ¿Y cuántos pies de lobo medirá la clase? Los ritmos, la psicomotricidad y la música son elementos simples en los que pueden percibirse sucesiones, y se enriquece el vocabulario. A menudo se aprovechan para hacer figuras, ángulos, etc. Pero podemos ir más lejos y analizar propiedades. Hacer una exposición fotográfica, es un gran elemento de motivación sin olvidar preguntar cosas a los estudiantes. Observar el entorno próximo natural es importante ya en la educación primaria. El tema interdisciplinar por excelencia es el conocimiento de la Tierra y el Sol durante el día. No necesitamos ir a buscar las sombras... están ahí. Nos llevan a problemas geométricos, a interrogantes sugerentes y a modelos sencillísimos de abordar. El mundo de los aparatos científicos aplicado al alcance de los estudiantes debe crecer en experiencias matemáticas, pero no empieza desde cero ni es sólo mecanicista. Medir es importante para conocer. Hacer ampliaciones o reducciones no es sólo un fenómeno visible y observable con la lupa o el anteojo del revés, sino que permite conocer mejor lo pequeño y lo grande. Junto a preguntas sobre «cuánto mide esto o aquello»... deben formularse otras más serias como recuerda la polémica sobre el TAV Barcelona-Madrid pasando por Zaragoza o por Valencia, y discute los «argumentos usados sobre las distancias, costos e impactos ambientales» o incluso «qué hay de incorrecto en el razonamiento del comentarista deportivo que dice que cuando el jugador está cerca de la esquina tiene menos ángulo para tirar a la portería...». El alumnado no sólo debe saber pasar de centímetros a metros, sino por qué se usan ciertas escalas en instrumentos diferentes (cuentakilómetros, termómetro no digital, indicador de aceite del auto, transportador de ángulos, intensidad del volumen de nuestro amplificador, indicador de presión en los mapas meteorológicos, etc.). La cultura de la calle. La historia de la ciencia y de la tecnología constituye la base de muchas experiencias matemáticas callejeras importantes que podemos hacer revivir a nuestros alumnos. Por ejemplo: tejidos, baldosas y teselados (repeticiones, mosaicos, etc.), cúpulas y puentes, máquinas simples y fenómenos (carretillas, grúas, elevadores, etc.), viajes guiados por instrumentos sencillos y un largo etcétera. Estos nuevos productos comer50

ciales nos llevan a los viejos movimientos isométricos, las cónicas, la proporcionalidad, las funciones y movimientos, la astronomía y la geometría de ángulos y de la esfera, etc. Lo social, económico e histórico enlazan con la geografía, las representaciones, los mapas, los códigos... y preparan para las matemáticas del ciudadano adolescente. Eso implica situar a los estudiantes en un mundo comunicativo, produciendo reflexiones útiles y comunicativas como: no perderse en el esquema del metro de una ciudad desconocida y saber comprender la explicación del guardia municipal que nos cuenta cómo ir a cierto lugar, usar adecuadamente los horarios de autobuses y trenes, analizar precios en situaciones de rebajas o de regalo del 30% en el champú, a reconocer cómo nos pueden engatusar con un anuncio, etc. Con ello, saber planificar situaciones como un viaje o analizar las implicaciones de una congelación de salarios, comprender el proceso de industrialización y la revolución industrial del siglo XIX o ir aprendiendo a aceptar la moneda única europea, etc.

El control de calidad Una buena campaña no puede dejar de analizar la calidad del producto que se trata de vender. Por eso proponemos: Vender productos de reflexión, porque tienen calidad probada. Revisar la campaña de promoción de las matemáticas de lo cotidiano. Repasar lo que hacemos como profesores, para mejorar la propia producción.

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Vender productos de reflexión ¡Aprenda a usar las calculadoras... en plural! En efecto, la calculadora de la cabeza, el papel y lápiz, las calculadoras programables o gráficas, etc. No es preciso apretar teclas para saber rápidamente cuál será el resto de la división 35.468 : 100. ¿Por qué no contar la forma de multiplicación en reja con lápiz y papel para reconocer el cálculo en la historia?

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Una misión casi imposible, que necesita subvención oficial, es poner en el mercado productos para la reflexión como revistas como ésta, para tomarse en serio los ejemplos anteriores y convertirlos en productos reflexivos que no se queden sólo en el escaparate.

Revisar la campaña La mejor publicidad es aquella que muestra cosas que están de moda, o que lo hace en tono de originalidad y usando las técnicas de comunicación de masas. De ahí que necesitemos algunas actividades aún singulares como ir a un mercado, visitar un observatorio astronómico, hacer recorridos matemáticos, usar el periódico, trabajar con el ordenador, traer cañitas de refresco y plastilina, poner un vídeo, etc. Hacer eslóganes es interesante, pero creérselos es importante para vender mejor. ¡Use programas de dibujo por ordenador, pero no para dibujar monigotes! Las acciones de cortar y pegar deben servir para reconocer los movimientos planos. ¡Ponga un vídeo en la clase, pero no deje solos a los chicos! Hablar de lo que se ve es interesante, pero la comunicación matemática es una llamada a la precisión de lo que se dice; a sacar el sonido del vídeo y que los alumnos expliquen lo que ven. No les ponga Mamá, he agrandado a mi hijo si no va a aprovechar el alegato proporcional de la película. ¡Construya, si es preciso, pero sobre todo, procure generar razonamiento productivo! Si habla del tráfico, no basta con decir cuatro cosas de la educación vial. Posiblemente será geometría de bajo nivel. Debe llegar a formular elementos de razonamiento hipotético, e incluso llegar a comprender la fórmula que se usa para calcular la distancia que hay que dejar entre los coches en la autopista.

Mejorar la producción La mejora en la profundidad productiva del trabajo matemático que surge de lo real se consigue mediante el uso de cuatro tipos de confrontaciones en el aula: Contrastar lo dicho con la realidad (razonamiento empírico). Comparar dos escritos de alumnos sobre el mismo hecho (razonamiento argumentativo). Discutir semejanzas y diferencias entre un escrito de un alumno y un texto preparado de antemano (razonamiento lógico de las hipótesis).

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Llegar a enfrentarse con un esquema lingüístico compatible con las reglas de la lógica (razonamiento deductivo).

Trabajar en grupo de profesores es lo mejor para establecer una crítica que no haga ruidos y no suba mucho el volumen del anuncio llamado Matemáticas para todos. Esperamos que muchas metáforas de los artículos de este número se conviertan en inicio de una reflexión en grupo para que ese trabajo sea lo más profundo posible. La producción de los alumnos mejorará sin duda y habremos conquistado a todos para las matemáticas. ¡Está comprobado!

Referencias bibliográficas AA.VV. (1989): «La popularización de las matemáticas». Suma: Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, 4. (Dossier. Incluye 4 artículos y diversas referencias). AA.VV. (1995): «Matemáticas y ejes transversales». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 6. AA.VV. (1996): Enseñar matemáticas. Barcelona. Graó, p. 227. ALSINA, C. (1994): «¿Para qué aspectos concretos de la vida deben preparar las matemáticas?». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 1, pp. 37-43. BARTOLINA BUSSI, M. (1995): «Geometry in contex: from pre-primary to secondary school and beyond», en Perspectives on the teaching of geometry for the 21st century: pre-proceedings for Catania Conference 28 September-2 October 1995. Catania. Department of Mathematics. University of Catania, pp. 19-22. BOERO, P. (1994): Maestri, Bambini. Realtà. Genova. Università di Genova. BRIHUEGA, J. (1995): Matemáticas: guía de recursos didácticos. Secundaria Obligatoria. Madrid. Ministerio de Educación y Ciencia, p. 318. FERNÁNDEZ, M. (1996): Matemáticas: Guía de recursos. Gobierno de Canarias. Consejería de Educación, Cultura y Deportes, (Guías de recursos de Educación Secundaria Obligatoria), p. 213.

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Educación infantil

5 Aprender a apreciar las matemáticas Claudi Alsina Universidad Politécnica de Cataluña El aprecio por las matemáticas no ha de ser el resultado de conocer esta ciencia, sino el paso previo para entrar en ella. Por eso, este artículo reclama una mayor atención hacia las dinámicas que favorezcan el aprendizaje de las matemáticas. Muestra que esto es posible y necesario y se dan recomendaciones sobre cómo debería hacerse. Aprender a «apreciar» las matemáticas no siempre es un objetivo explícito de la enseñanza infantil y de primaria. Los niños y las niñas están abiertos, sin prejuicios, a descubrir y disfrutar de todo aquello que les parece atractivo y divertido. En consecuencia, parecería razonable esperar que su aproximación al mundo de las matemáticas fuese atractiva. Sin embargo, la experiencia nos demuestra que, desgraciadamente y con demasiada facilidad, en muchos niños y niñas este encanto matemático inicial se convierte en una actitud más aburrida que motivada. ¿Dónde está el error? La tesis que queremos defender en este artículo es que el primer objetivo matemático que nos hemos de plantear en la escuela consiste en facilitar el aprecio, el interés, la curiosidad, la intriga y el gozo por realizar operaciones matemáticas, y que solamente desde esta «afición» podre-

Artículo publicado en Guix. Elements d’Acció Educativa , 273, pp. 24-27, marzo 2001.

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mos vencer el desencanto generalizado hacia una disciplina indispensable para la formación y para la vida. Ya hace veinticinco años, nuestro gran matemático Lluís A. Santaló decía, respecto a primaria: La enseñanza formativa camina de la mano con la enseñanza activa. El alumno debe participar en el aprendizaje, ha de mostrarse motivado por los problemas [...] El conocimiento no debe introducirse a presión, sino que se ha de adquirir a través de la curiosidad del niño, quien, afortunadamente, siempre despierta su curiosidad por cualquier cosa que se le presente adecuadamente.

Este proceso clave de «curiosidad versus conocimiento» sigue siendo hoy en día el reto que es necesario conseguir, y hacerlo es posible.

Unos ejemplos que llaman la atención En los dos últimos años he tenido el placer de ver como en muchos lugares están realizando experiencias interesantísimas en este campo de la motivación matemática en la escuela. En el Matemagnum de Barcelona, en 1999, vimos brillantes propuestas sobre cómo se pueden mezclar las matemáticas con el inglés (Escuela Vila Olímpica de Barcelona), o hacer magia y cálculo mental (Barba y Segarra), o aprovechar unas colonias para practicar las matemáticas... En el CEM 2000 Mataró se presentaron experiencias de cuentos y matemáticas (Tana Serra), exposiciones de atractivos materiales, el maravilloso trabajo de Carme Alemany (CEIP Roure Gros, de Santa Eulàlia de Riuprimer) con enormes cajas en las que, desde su interior, los niños y las niñas podían ver el efecto fotográfico, trabajos de arte y geometría desde P3 hasta sexto de primaria (Escola Bellaterra), propuestas sobre geometría y artistas (Teresa Claramunt), etcétera. En la Feria Matemática de Igualada fue emocionante ver cómo muchos niños enseñaban a otros sus talleres de figuras, de tiendas, de euros, de laberintos... Y en las Jornadas de Vic y Girona pudimos apreciar el gran trabajo del Grup Perímetre, y las exposiciones de materiales inventados por centros y las ferias en la calle...

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Incluso en ICME-9, en Japón, se presentaban mesas llenas de niños y niñas haciendo juegos de papiroflexia (origami), utilizando materiales interactivos, aprendiendo números y al mismo tiempo la escritura de los signos japoneses... (lo que la Asociación AMI japonesa denomina «claves divertidas» y que se basan en la idea de que, pedagógicamente, el aspecto emocional y actitudinal de las clases es el primer obstáculo que debe resolverse...).

Cuando te mueves por este mundo de jornadas, ferias y congresos, visualizas en clave de realidad posible todo lo que se puede llegar a hacer y experimentar para seducir a los niños y niñas con las matemáticas. Pero siempre queda la angustia de hasta qué punto los miles de maestros y centros «no participantes» en estos actos apoyan lo que se está haciendo.

Una lectura más que recomendable En la última escuela de verano a la que asistí, participé en la presentación del nuevo libro de M. Antònia Canals. Mi admiración por su trayectoria pedagógica resta imparcialidad a lo que ahora comentaré, pero creo, objetivamente, que en ese libro la autora ha acertado, como nunca, ofreciendo un camino claro y preciso a los profesores y las profesoras que trabajan en este ámbito. M. Antònia Canals nos invita a «acompañar a los niños y las niñas en el crecimiento de su saber matemático» y nos anima a ello haciendo «vivir la matemática», aprendiendo a «mirar matemáticamente», convirtiendo los centros de educación infantil en observatorios de maestros y niños... «el reto de irnos haciendo nuestro propio método, no de enseñar, sino de hacer posible que los niños y las niñas aprendan de verdad». Y hacer esto fijándonos en el entorno, jugando, tocando, cantando, contando cuentos, dramatizaciones, descubriendo el espacio, los números, las medidas...

Una receta mágica Si sabemos que hay tanta gente que hace tantas cosas, ha llegado el momento en que nos propongamos, entre todos y todas, difundir estas ideas de renovación y cambio a muchos centros y a muchas aulas. Me atrevería, entonces, a ofrecer una receta para mejorar nuestra forma de lograr que aprecien las matemáticas. Esta receta sólo tiene dos ingredientes: 59

Primer ingrediente (si procede): que el maestro o la maestra aprecie las matemáticas. Para empezar, es necesario que los maestros o las maestras dejen de lado sus posibles recuerdos negativos sobre la reina de las ciencias y procuren, si se da el caso, sentirse seguros respecto a lo que se ha de enseñar y cómo debe hacerse. Lo que nos hace estar tensos viendo un número en los trapecios del circo no es la altura del trapecio, sino que se pongan nerviosos antes de saltar. La formación inicial de didáctica en las matemáticas no siempre puede haber asegurado esta confianza personal sobre la disciplina y, por tanto, será necesario moverse para encontrarle remedio. Existen muy buenos libros donde se pueden encontrar orientaciones precisas y consejos pragmáticos..., y en la actualidad también existe una buena oferta de actividades formativas y jornadas que ayudarán a compartir ideas.

Segundo ingrediente: «cómo» hay que hacer las matemáticas es tan importante como «qué» hacer en ellas. Es muy simple. Nos preocuparemos «al mismo tiempo» de los temas, los conceptos, los procedimientos, etcétera que queramos que aprendan los niños y niñas, y del propio proceso que lo hará posible, añadiendo, eso sí, imaginación y creatividad. En particular, esto nos hará despreciar «el trabajo con fichas» de editoriales en el centro de educación infantil y nos motivará para buscar dinámicas con músicas, cuentos, danzas, etcétera.

Un último consejo sobre esta receta El aprecio por las matemáticas es fácil de descubrir en los niños y en las niñas. Si la receta para que les sean atractivas ha funcionado, lo notaremos enseguida: querrán más y más. Y también será conveniente comunicárselo a las familias. Los niños y niñas que aprecian las matemáticas porque con ellas juegan, las practican y se divierten, también podrán utilizarlas en casa, durante los fines de semana, en vacaciones y en todas partes. Es posible que nuestros hijos e hijas no se aburran tanto en la escuela como se aburrieron sus padres y madres... Y los diferentes ritmos de estas criaturas no deben influir en estas etapas. Si alguien se atreve a decir aquello de que «los vecinitos ya restan llevando o dividen», será necesario preguntarles inmediatamente: «¿Y bostezan mientras tanto?». 60

Nosotros no enseñamos a pobres calculadoras manuales inferiores a una máquina de dos euros. Nosotros preparamos niños y niñas que aprenderán cosas que aprecian. Llegados a este punto, la radio emite una canción clásica de soul afroamericano. El cantante enumera una serie de necesidades personales: «no sé demasiado sobre filosofía, no sé demasiado sobre trigonometría, no sé demasiado sobre el libro de ciencias...», pero finalmente afirma: «pero sé que te quiero, y si tú me quisieras un poquito... este mundo sería maravilloso». Para el soul del siglo XXI, sería deseable que «saber» y «apreciar/querer» caminasen siempre de la mano.

Referencias bibliográficas ALSINA, C. (1993): Del número 0 al 99. Fem comptes amb els contes. Barcelona. Graó. (Col·lecció Instruments Guix). — (1999): Para Elisa, tres lobos y un cerdito feroz. Granada. Proyecto Sur. — (2001): Estimar les matemàtiques. Barcelona. Columna. ALSINA, C. y otros (1996): Ensenyar matemàtiques. Barcelona. Graó. BURGUÉS, C. (1997): «Geometria = caps + mans». Perspectiva escolar, 211, pp. 18-26. CANALS, M.A. (2000): Viure les matemàtiques de 3 a 6 anys. Barcelona. Rosa Sensat. EDO, M. (1998): «Juegos matemáticos. Una experiencia en el ciclo inicial de primaria». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, pp. 21-35. GOÑI, J.M. (coord.) (2000): El currículum de matemáticas en los inicios del siglo XXI. Barcelona Graó. GUERRERO, S. (coord.) (2000): «Aprendizaje de las matemáticas para el siglo XXI». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 24. SEGARRA, Ll. (1997): «Aspectes del nou currículum a l’àrea de matemàtiques». Perspectiva escolar, 211, pp. 2-7. SERRA, T.; TORRA, M.; BATLLE, I. (1995): Matemàtiques a la carta. 3 vol. Barcelona. ICE-UAB.

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6 Los juegos de puntería: una propuesta lúdica para el aprendizaje de la numeración Liliana Carbó CP Sant Jaume. Almoines (Valencia) Esta experiencia se ha llevado a cabo en el CP Sant Jaume, de la localidad de Almoines, municipio valenciano, durante tres cursos de educación infantil, desde los tres años hasta los cinco. En una promoción anterior, ya nos habíamos aproximado a los aprendizajes matemáticos infantiles desde un planteamiento cotidiano arraigado al contexto, con unos resultados sorprendentes si tenemos en cuenta que en infantil tradicionalmente sólo se trabaja la numeración desde el 1 hasta el 9. Algunas de las propuestas con las que se experimentó partían de los juegos planteados por Kamii en sus obras. Con esta nueva promoción, que iniciábamos en el primer curso de educación infantil, teníamos la intención de realizar un seguimiento sobre los resultados que podían extraerse del hecho de trabajar los juegos de puntería a lo largo de la etapa, para constatar cómo este tipo de juegos podían facilitar al alumnado la construcción de conceptualizaciones complejas sobre la numeración, partiendo de una experiencia lúdica.

Artículo publicado en Guix. Elements d’Acció Educativa , 296-297, pp. 47-51, julio-agosto 2003.

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En el ámbito de la organización, dedicamos una sesión semanal dentro del horario escolar para realizar estos juegos, después de habérselo propuesto al alumnado, que respondió de forma muy positiva. Los juegos se realizaron normalmente en el aula, pero pueden desarrollarse en cualquier otro lugar que se considere más adecuado: el patio, la sala de usos múltiples (polivalente)...

¿Qué propuesta numérica se hace en el aula? En la evaluación inicial que se realiza cuando el alumnado de infantil se escolariza a los tres años, se constata que los niños y las niñas que no han ido a la escuela ya tienen muchos conocimientos sobre la numeración: algunos señalan con los dedos la cantidad de años que tienen, los cuentan al azar, o número a número, y en algunos casos son capaces de identificar algún signo numérico. Probablemente, en este caso los medios técnicos como el ordenador, pero sobre todo la variedad actual de canales de televisión y el sencillo manejo del mando a distancia, han facilitado este tipo de conocimientos que en otras épocas no se tenían. En el enfoque que se hace en el aula, la numeración se contempla como un objeto de conocimiento con una fuerte implantación social y cultural que la escuela no puede obviar. Por este motivo, vemos necesario «enculturar la matemática» (Bishop, 1991), la de nuestro entorno, y así, partiendo de la numeración cotidiana, poder conseguir los objetivos siguientes: Facilitar la compresión de los usos numéricos sociales. Darle un enfoque funcional para que los aprendizajes puedan tener vigencia dentro y fuera del espacio escolar. Dotar de significatividad a la numeración para poder crear un puente entre los conocimientos intuitivos infantiles, construidos a partir de su ámbito familiar (sus conocimientos previos), y los conocimientos formales que imparte la escuela.

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Las propuestas concretas realizadas han sido diversas, pero todas se han desarrollado dentro de contextos que han dado coherencia y sentido a lo que hemos hecho: el trabajo con las direcciones de sus hogares, los números de teléfono, los códigos postales (partiendo de la agenda); los núme64

ros en los precios (en el entorno de la tienda); su fecha de nacimiento y cómo van creciendo y cambian sus medidas; su perímetro craneal, su peso, la altura (en la celebración de los cumpleaños); la numeración del calendario, del reloj, de la lista de la clase (dentro de las actividades organizativas que se realizan diariamente); la talla de la ropa que utilizamos (camisetas, zapatos), y los juegos de azar (lotería, bingo, cupón). Todas estas propuestas parten del hecho de contemplar la numeración desde una vertiente perceptiva, concreta y ligada a lugares, a cosas y a objetos de la realidad, para poder pasar posteriormente a cotas de mayor abstracción y facilitarles, en un futuro, la conexión y la comprensión de lo que saben con los algoritmos formales.

Los juegos de puntería Los juegos de puntería comportan habilidades básicamente de destreza. Entre el gran abanico de posibilidades que tenemos a nuestro alcance, hemos escogido éstos porque implican una parte muy importante del conocimiento físico, esencial en esta etapa educativa: la coordinación perceptiva y motriz, la estructuración del espacio y del tiempo, la sensorialidad a partir de la observación de cómo interactúan los diferentes materiales... Además, también podemos utilizar los juegos para incorporar aspectos cognitivos básicos mediante el razonamiento numérico y su representación. Dejando de lado estos conocimientos, nos interesa mucho crear espacios donde nuestra intervención no sea necesaria y el alumnado pueda desarrollar su autonomía organizando el juego, acordando las normas, solucionando ellos mismos los conflictos que puedan ir surgiendo. Se trata, de este modo, de una propuesta lúdica que conecta de forma coherente y globalizada con todos los aspectos del currículo infantil. A pesar de esto, se puede cuestionar si un juego de eminentemente competitivo es el más adecuado para los niños y las niñas de educación infantil. Kamii (1980) hace un comentario al respecto, en el cual argumenta a favor de este tipo de propuestas porque: [...] las investigaciones demuestran que la capacidad infantil para competir es un objetivo en su desarrollo y una característica de su personalidad que, en estos momentos, todavía no ha alcanzado. [...] Pero el comportamiento no competitivo de los niños y niñas no es una manifestación de su inocencia, sino de su incapacidad de descentrarse y de 65

coordinar diferentes puntos de vista. [...] Nuestra actitud también es determinante para que comprenda que quien gana no tiene ningún premio, que sólo jugamos para pasárnoslo bien.

Este planteamiento se ha podido constatar a lo largo de toda la etapa, ya que se ha observado cómo los niños y las niñas no se centran en los resultados de los demás. El juego es como un reto personal para tener puntería y no una competición entre ellos. El objetivo del profesorado no es, por tanto, el evitar los juegos competitivos, sino el guiar a los niños para que acepten las normas establecidas entre todos, para que sean leales en su juego y aprendan a autogobernarse. El papel del profesorado es el de un espectador que va viendo lo que pasa y toma nota de las situaciones que después le pueda interesar comentar. Sólo interviene en caso de alguna circunstancia excepcional. Esta actitud está motivada porque la finalidad última de la educación consiste en conseguir la autonomía de los niños y niñas. Por esta razón es muy importante dotarles de libertad (los grupos los forman ellos mismos), dejar que puedan aflorar los conflictos, y, cuando finalice el juego, comentar en la asamblea qué es lo que ha pasado, y acordar entre todos y todas diversas normas que puedan facilitar su desarrollo en una sesión futura. Los juegos finalizados no se han realizado de la misma forma en los diferentes niveles de educación infantil. Poco a poco se han ido adecuando a las circunstancias que tienen lugar en el transcurso de su realización, elevando los niveles de dificultad, partiendo de la zona de desarrollo potencial de cada momento. También se han ido replanteando las actividades con diversos grupos de agrupaciones: la mitad de la clase, por parejas... Finalmente, nos hemos decantado por el juego en un pequeño grupo (de tres o cuatro participantes), para observar las ventajas que tiene respecto a otras agrupaciones: No han de esperar demasiado para tirar. En caso contrario, se aburren por no participar, porque en estas edades no les interesa el juego del otro, sino solamente el propio. El juego pasa a ser más dinámico. Cada grupo puede decidir de forma autónoma las reglas que aplicará. Les resulta más sencillo organizarse entre ellos cuando no son demasiados. El juego pasa a ser más rico y variado. El alumnado que tiene más dificultades para hacer el recuento o para anotar los resultados, puede ser ayudado por los demás parti-

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cipantes del grupo. Del mismo modo, cada grupo puede aportar a los demás las decisiones que ha tomado y las soluciones que ha adoptado, según las circunstancias del juego. El propio juego facilita los intercambios y la interacción. A continuación, vamos a explicar las anotaciones que hemos ido haciendo, en las cuales pueden verse los diferentes momentos de juego y cómo evolucionan hacia un desarrollo estructurado y complejo.

Primer momento. Inicios del juego En sus inicios, se trata de un juego muy libre, sin ningún ritual formal ni ninguna regla; además, se han eliminado todas las connotaciones de competitividad. Comienza con una caja que se ha hecho en clase, en la que se ha pintado la cara de un payaso con la boca muy grande, como una especie de tragabolas. Se plantea la actividad de forma que puedan participar todos y todas al mismo tiempo. Se reparte a cada uno una bola de papel hecha por ellos mismos unos días antes. La han pintado artísticamente y de forma personal, para que puedan reconocer cuál es la de cada uno. Están impacientes por empezar, no han acordado ninguna pauta de juego. Todos la tiran a la vez y se forma un gran alboroto. Surgen conflictos porque alguien se pone delante de la caja para acertar desde más cerca y los otros no pueden tirar. Hay algunos que tiran muchas veces y otros ninguna. Se dan algún que otro empujón y algunos participantes se enfadan porque no pueden jugar.

Segundo momento. Acordamos las primeras normas Después de ver lo que ha pasado, todos juntos, en asamblea, con la ayuda de la maestra, acordamos algunas normas partiendo de la situación creada y que en general no les ha gustado, «porque así no se puede jugar bien», «estábamos todos apelotonados». Se decide que todos no pueden tirar a la vez. Deberá hacerse una fila y que cada uno espere su turno. En otros momentos, se divide el grupo clase: unos realizan una actividad diferente y sólo juegan algunos niños y niñas; de este modo, el juego se organiza mejor. Diversos aspectos, como la distancia de tiro, no se establecen en las primeras sesiones; después, casi de forma espontánea, alguien coge un trozo de tiza y pinta una raya en el suelo de la clase, para que todo el mundo pueda tirar desde allí. 67

Posteriormente, se acuerda el número de bolas que tiene cada participante (tres, cuatro...). De manera intuitiva, surge la numeración y van contando las bolas que han acertado y las que no, hacen comparaciones... No dejan de producirse conflictos cuando alguien se «cuela» y adelanta a los demás sin que le toque o si tira desde más cerca de lo que se ha acordado. Por este motivo, antes de jugar, en la asamblea, los niños y las niñas recuerdan las normas, las reglas que han acordado para que el juego se realice sin problemas. En otros momentos, cuando ha finalizado, se comentan las incidencias que se han originado, que poco a poco se van reduciendo. Estos dos niveles se observan en educación infantil de tres años y al principio de la educación infantil de cuatro años.

Tercer momento. Introducimos las representaciones Cuando el juego que se ha venido realizando hasta este momento empieza a agotarse, la maestra plantea nuevos retos: después de tirar, deberán anotar los resultados en un papel que se le dará a cada alumno. De este modo, después, mirando el papel, se podrá saber cómo ha ido el juego y cuántas bolas ha encestado cada uno. Se da la consigna para que lo representen como quieran. Los resultados de la representación son diversos: algunos hacen un dibujo, otros utilizan números, en algún caso se deja el folio en blanco... A posteriori se revisa lo que ha escrito cada uno y se analiza de forma conjunta si la información anotada puede explicar el juego o no, si queda más claro en un dibujo o con los números... Partiendo de los comentarios que se han hecho en grupo, se decide que es necesario anotar el nombre de los participantes de cada grupo y el resultado del juego. Esta dinámica de trabajo se utiliza siempre que se juega a este juego y poco a poco se realizan representaciones más detalladas. También se diversifican los materiales utilizados en este juego: unas veces tiran anillas a las patas de una silla puesta boca abajo, otras tiran pequeños círculos en un cubo... (pueden utilizarse materiales de cualquier tipo, poco sofisticados y muy económicos). Veamos a continuación los diferentes niveles de realización: 1. Dejan la hoja en blanco, no saben qué anotar. 2. Escriben los nombres de los participantes y signos numéricos por toda la hoja, de forma que no se puede saber cuál es la puntuación de cada uno. 68

3. La representación muestra una estructura ordenada y el alumnado anota, al lado de su nombre, el número de veces que han encestado. Esto implica ya una anticipación de lo que registrarán, ya que clasifican previamente la información en dos columnas de datos distintos, pero relacionadas entre sí (los nombres de los participantes, por un lado, y los signos numéricos que representan las cantidades, por otro). En otros juegos hemos observado un paso previo a la utilización de los signos numéricos: ponen palos o círculos en el folio para representar los objetos encanastados, pero en este grupo no se ha constatado este tipo de representación. Estos niveles se observan en educación infantil de cuatro años y al inicio de educación infantil de cinco años.

Cuarto momento. Copiamos los datos en una tabla organizada Alrededor del segundo trimestre de tercero, momento en el que el juego ya da poco de sí, la maestra les pregunta si les gustaría representar el resultado de una forma más difícil, en una tabla en la que colocarían todos los datos y valores. Dibuja una en la pizarra como ejemplo y la mayoría dicen eso de «esto es muy fácil», «ya sabemos cómo se hace». Inicialmente, han de trasladar a la tabla los datos que antes escribían en las hojas en blanco: el nombre y el número de puntos encanastados. En la primera sesión en la que se utiliza, se comprueba que no tienen ningún problema para hacerlo correctamente. Entonces, en la asamblea se comenta si los resultados podrían plasmarse de una forma más completa, si hay algún dato que no se haya anotado en la hoja. Se dan cuenta de que las anillas que caen al suelo no se han anotado en ningún lugar. Miramos entre todos cómo podemos modificar la tabla: se deja un espacio para el nombre y, en el lugar en el que se ponían los puntos, se divide con una línea horizontal. Acuerdan escribir «sí», para el número de anillas que caen dentro, y «no» para las que caen fuera. El objetivo que se pretende lograr introduciendo este nuevo reto es el de trabajar el cálculo mental y las descomposiciones, el todo y las partes. Por este motivo, cada vez que se juega, se establece por consenso la canti69

dad de objetos que se han de encestar y se les da la consigna de que, cuando apuntan los números, han de comprobar si, juntando los de dentro y los de fuera, están todos los objetos que les hemos dado. Cuando acaba el juego, en la asamblea se observan las tablas y se leen las cantidades anotadas. Se centran en cómo está hecho, si han contado bien las de dentro y las de fuera o si es necesario fijarse más la próxima vez: «9 y 1 suman 10, está bien», «2 y 9 no, hay una de más», «7 y 2, falta uno»... A partir de esta tabla también pueden interpretarse otras circunstancias: «¿por qué algunos equipos han tirado tres veces y otros sólo una?», «¿por qué determinado participante de un grupo ha tirado muchas veces y otros muy pocas?». En este momento se pueden valorar las actitudes: si alguien molesta y no deja jugar al resto del grupo, si alguna persona no respeta los turnos de tiro, si alguien de otro grupo les ha cogido una anilla y no la quiere devolver... A veces hay un equipo que ha presentado los resultados de una forma muy ajustada y otros han tenido dificultades para hacerlo. Entre ellos acuerdan que, la próxima vez que se juegue, los miembros del grupo que saben anotarlo correctamente se mezclarán con los demás para ayudarles. La evaluación no se aplica sólo a los resultados; también se valora si la tabla puede mejorarse para incluir los nuevos datos que vayamos acordando, hasta alcanzar un modelo que se ajuste a nuestras necesidades de representación. El uso de estas tablas implica la utilización comprensiva y con significado de otra forma de organizar los datos: en este caso se utiliza un producto cartesiano con doble información para cada elemento (en este caso, la persona participante) y complementaria (los objetos de dentro y los de fuera deberán de sumar el total de objetos dados).

Valoración del trabajo realizado Los resultados de esta experiencia han sido muy positivos, ya que se ha apreciado un progreso individual en todos los casos y a todos los niveles. Este planteamiento parte de una concepción de la enseñanza y del aprendizaje que cumple las siguientes premisas: Considerar los errores como una fuente de aprendizaje, necesarios para progresar, y que facilitan la reestructuración continua del conocimiento.

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Partir del respeto a los niños y niñas, y a la zona de desarrollo potencial en la que se encuentra cada uno de ellos, haciendo propuestas más elevadas que el nivel en el que se encuentran para provocar aprendizaje, como si fuera un reto, un desafío estimulante. De este modo, se ha constatado que a los niños y niñas no les interesan la actividades que ya dominan (cuando saben utilizar algún conocimiento, el interés decae). Tener en cuenta la diversidad, la divergencia y dejarles encontrar por ellos mismos distintas soluciones para sus conflictos. Crear marcos de aprendizaje que, de forma coherente y partiendo de la vida cotidiana, sean significativos y funcionales, que puedan tener su espacio tanto en la sociedad como en la institución escolar. Se pretende que sean conscientes de su propia evolución, de cómo, poco a poco, van utilizando y comprendiendo nuestro sistema de numeración de una forma más acertada. Se ha de partir de la acción, para concluir en la reflexión y facilitar la evolución de sus estructuras cognitivas. Entender la globalización como la posibilidad de trasladar lo que saben a otros ámbitos de conocimientos. Concebir la autonomía infantil como un objetivo esencial en la formación de su identidad. Plantear la evaluación como un progreso, un crecimiento individual no homogéneo, diversificado, en el que cada uno va progresando en la medida de sus posibilidades. No olvidar nunca que se trabaja con personas y que la afectividad, la subjetividad y los sentimientos pueden favorecer el que cada uno se implique emocionalmente en aquello que hace, y por este motivo todos estos aspectos han de percibirse como factores clave de la enseñanza y del aprendizaje.

Conclusiones Este trabajo implica la aplicación de una matemática de un nivel intelectual mucho más ambicioso que el que se propone desde los textos editoriales, pero también posibilita la aplicación pedagógica de diferentes teorías relacionadas con el aprendizaje: 71

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Crear lo que Guy Brosseau denomina situaciones «adidácticas», en las que la intervención del profesorado no es necesaria y la dinámica de la actividad permita que los alumnos evolucionen por ellos. Construir espacios de aprendizaje como los que propone Vigotsky, que favorecen la interacción social, el aprendizaje desde un ámbito social, trabajando desde el respeto a todos los niveles. Partir, tal como dice Miralet, de la experiencia real para poder evolucionar hasta una matematización progresiva, evitando la imposición de esquemas lógicos de pensamiento para los cuales no está preparada la mente infantil. Desarrollar, como propugna Bishop, una matemática enraizada en el contexto cultura, pero personalizada, que tenga en cuenta los intereses y las historias de los niños y las niñas de la clase. Siguiendo las ideas de Piaget y Kamii, instar al alumnado para que incorpore algunas ideas de los demás que les parezcan mejores que las propias, en un intento por salir de ellos mismos, y que sean capaces de poner en común distintos puntos de vista, que evolucionen desde su egocentrismo.

Es evidente que lo que se ha conseguido a partir de los juegos de puntería ha ido más allá de la mejora en la coordinación óculomotriz, el ritmo o el conocimiento espacial. En esencia, ha implicado la creación en el aula de un marco de acción educativa, que ha permitido conseguir la evolución integral del alumnado desde una propuesta atractiva. Todo ello aprendiendo de una forma lúdica y divertida. ¿Se puede pedir algo más?

Referencias bibliográficas CARBÓ, L.; GRÀCIA, V. (comps.) (2002): Mirant el món a través dels números. Lerida. Pagès Editors. GALLEGO, C. (2000): Repensar l’aprenentatge de les matemàtiques: Ensenyar a compartir una visió del món. Menorca. Govern de les Illes Balears. Conselleria d’educació i cultura. GRUP XUCURRUC (2000): La matemàtica a la vida de les classes d’educació infantil. Ajuntament de Reus (Primer Premi Angeleta Ferrer i Sensat a la Innovació Pedagògica). 72

KAMII, C.; DE VRIES, R. (1980): Juegos colectivos en la primera enseñanza. Madrid. Visor. LIZARZABURU, A.E.; ZAPATA, G. (comps.) (2001): Pluriculturalidad y aprendizaje de las matemáticas en América Latina: Experiencias y desafíos. Madrid. Morata. MIRALET, G. (1984): Las matemáticas, cómo se enseñan, cómo se aprenden. Madrid. Visor. PARRA, C.; SAINZ, J. (comps.) (1994): Didáctica de Matemáticas: Aportaciones y reflexiones. Buenos Aires. Paidós.

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7 Materiales y recursos matemáticos en educación infantil Trini Colomer, Núria Ramos, Elisa Recarens Grupo Perímetre. CEIP Pere Torrent. Lloret de Mar (Gerona) Pensamos, razonamos, medimos, nos situamos, es de lógica, comparamos..., esto es lo que hacemos durante el día, durante todo el curso y durante nuestra vida. En el colegio pasamos una buena parte de nuestro día. Con todas las actividades que tenemos preparadas, los niños y las niñas desarrollan, a lo largo del curso, sus capacidades matemáticas. Cada una de ellas se trabaja en diferentes áreas, por lo que hablamos de un trabajo global y abierto (diferentes posibilidades y diferentes resultados). El trabajo de las matemáticas en educación infantil se desarrolla de una manera lúdica y dinámica donde el niño y la niña, a partir de la manipulación directa de diversos materiales y objetos, va formando su pensamiento lógico. Desde el trabajo por rincones, los talleres, la psicomotricidad, la música, la informática, la plástica, incluso en el patio y en las rutinas diarias del trabajo escolar (hacer fila, ponerse la bata, pasar lista, observar el tiempo...) se vive el mundo de la matemática: orientación espacial, orientación tem-

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa, 83-84, pp. 29-31, julio-agosto 1999.

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poral, ritmo, medidas, formas, equilibrio, colores, lateralidad, orden, cantidad, calidad, peso... Niñas y niños deben crear, imaginar, hacer y deshacer, probar, discutir con sus compañeros los posibles resultados, contrastar hipótesis, hacer estimaciones, equivocarse, clasificar, seriar, ordenar, deducir, razonar por qué se llega a un resultado y no a otro, etc. El niño y la niña, a partir del contacto directo con los objetos, va asimilando diferentes conceptos matemáticos a la vez que construye una base para posteriores aprendizajes. Por esto es necesario poner a su alcance material variado donde se tengan en cuenta los diferentes contenidos matemáticos que la niña y el niño irán adquiriendo de una manera divertida, espontánea y natural. No todos los niños y las niñas maduran al mismo tiempo, por eso en los rincones se encuentran diferentes juegos con distinto grado de dificultad para que cada uno pueda ir avanzando según su nivel. Todas las actividades están pensadas y organizadas de manera que cada niña y niño trabaje conforme a sus posibilidades. La mayor parte del material que usamos está elaborado por nosotras y alguno, el que menos, comprado, siempre teniendo en cuenta la motivación de los niños y niñas y los aspectos que queremos que desarrollen. Cabe destacar que no se usan ni libros ni fichas. Los juegos de matemáticas los concentramos todos en una clase (en las otras clases se desarrollan las otras áreas). En cada clase existen rincones de trabajo, y cada uno tiene el material necesario para trabajar los contenidos del curso. Cuando todos los niños y las niñas han pasado por el rincón y han trabajado con este material, si las maestras lo creen conveniente, éste se renueva o se cambia. Los alumnos pasan por todas las clases, lo cual nos permite economizar y disponer de más variedad. Es sabido que niñas y niños aprenden jugando e interactuando con los objetos y contrastando sus descubrimientos con los compañeros. Por ello el trabajo de clase se centra básicamente en actividades lúdicas, algunas de las cuales se realizan en gran grupo durante la primera media hora de la mañana y en pequeños grupos, rincones o talleres, el resto del día. Es una manera de trabajar muy activa e implica, sobre todo durante el primer trimestre (3 años), trabajar mucho los hábitos de organización, sociales, de higiene, etc., para que los niños y las niñas sean autónomos y responsables a la hora de elegir una actividad. 76

Ejemplo de un recurso que se desarrolla en gran grupo Calendario mágico Es un calendario que cada día nos trae una actividad que debe resolverse. El trabajo queda recogido en una carpeta junto con las actividades de los días o semanas anteriores y se deja en uno de los rincones de trabajo del aula. Todos los niños y niñas pueden ir a jugar cuando les toca este rincón. Con el calendario mágico se trabajan aspectos de numeración y cálculo, lógica, medida, geometría y estadística.

Cómo se realiza en P3 En este grupo de edad se trata de un calendario semanal que nos proporciona día tras día, mediante un dibujo, una actividad que los niños y las niñas deben resolver (véanse cuadro 1 y figura 1). Este calendario se ha de colocar en un lugar visible del aula, por ejemplo la pizarra, a la altura de los niños, ya que son ellos quienes realizan el trabajo. Como podemos ver en el ejemplo que mostramos, cada semana se cuelgan cinco actividades, colocadas de tal manera que los niños o niñas no puedan verlas hasta el día que corresponda. Así, siguiendo el ejemplo podemos ver cuál es la pregunta a resolver el primer día de la semana. El niño encargado gira la hoja que muestra la actividad correspondiente. A partir de Figura 1

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Cuadro 1 Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Actividad 1 (figura 1)

Actividad 2

Actividad 3

Actividad 4

Actividad 5

aquí se abre un turno de palabras sobre las posibles hipótesis que podamos deducir, explicando cada uno lo que entiende o parece entender: —Hay un patito que nos mira. —Son muchos patitos. —Los patitos no tienen mamá. —Hay 4 patitos. —...

Cuando las niñas y los niños han terminado las explicaciones le toca el turno a la maestra. A partir de lo que han dicho los niños y niñas empezamos a hacer preguntas: —¿Por qué creéis que hay un patito que nos mira? —¿Cuántos patitos hay? —¿Dónde creéis que pueden estar estos patitos sin su mamá?

Volvemos a abrir un debate hasta que vemos que los niños van perdiendo interés.

Cómo se realiza en P4 En P4 y en P5 el calendario mágico se convierte en mensual (véanse cuadro 2 y figura 2). El proceso es el mismo que el descrito para el grupo de tres años: el niño o la niña encargada gira la hoja del calendario y le aparece un dibujo representativo del problema que se ha de resolver. Véase a modo ilustrativo el ejemplo de la figura 2. El niño ha de buscar en un archivador, donde están las actividades de todo el mes, la que corresponde al motivo que ha salido. 78

Figura 2

Cuadro 2 Junio Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

1 (figura 2)

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Nota: los números y días de la semana subrayados corresponden a días festivos y están confeccionados en cartulina de color rojo; los demás, en cartulina de color verde.

Así como en P3 se prioriza la descripción de la imagen, en P4 ya se empieza a dar más importancia a la pregunta. 79

—¿Por qué hay un pato que va solo? —¿Cuántos patos hay? —¿Por qué el pato que va solo mira a los otros patitos? —¿Todos tienen patas? —¿Todos tienen pico?

Este trabajo se realiza dentro de las rutinas diarias de la mañana, por lo que tienen el resto de la mañana para pensar las respuestas, que verbalizarán cuando vuelvan del recreo.

Cómo se realiza en P5 En P5 se trabaja de la misma manera que en P4, con la diferencia de que es el niño encargado el que abre el turno de palabras con su propia pregunta. A partir de aquí se sigue la misma dinámica que en P4, exigiendo una pregunta más concreta. Con la misma actividad anterior las preguntas serían: —¿Cuántas patas hay aunque no las veamos? —¿Cuántos picos hay? —¿Qué hay más, patas o picos? —¿Con los patos que hay, podemos hacer parejas? —¿Cuántas parejas hay?

Tanto en P3 como en P4 y P5 este trabajo continúa en un rincón. En P3 cuando se acaba la semana se recogen las actividades y se guardan en una carpeta en el rincón, donde el niño y la niña cuando vayan las puedan seguir desarrollando. En P4 y P5 se van guardando en la carpeta diariamente.

Actividades familiares y en gran grupo Vagón viajero Se trata de un vagón que sale de viaje, una o dos veces por semana, desde el colegio a casa de los alumnos y viceversa. Dentro del vagón hay un problema para que los niños y niñas resuelvan con sus padres. Consiste en un cajón, o caja, con tapa y decorado como un vagón de tren. En su interior se 80

pone el material necesario para resolver el problema y en la tapa, fijada con velcro, se encuentra una ficha-explicación para que la puedan leer los padres. Una vez resuelto en familia, el niño o la niña lo devuelve al colegio y explica a sus compañeros lo que tenía que hacer y cómo lo ha resuelto. Esta actividad se inicia en P3 y se continúa en los cursos posteriores, aumentando el grado de dificultad. El objetivo principal es hacer participar a la familia, pero también es importante que empiecen a comprender los enunciados de los problemas, basándose en la manipulación, y que sepan verbalizar la manera en que los han llevado a cabo. Los aspectos matemáticos que se trabajan son: seriaciones, clasificaciones, colores, numeración, medida, geometría, cálculo... La figura 3 es la ficha-explicación de un problema planteado en P5. El material necesario para la elaboración de esta ficha es un catálogo, (de propaganda, de material de montaña). Se recortan un número indeterminado de mochilas y botas, de las cuales no todas deben tener pareja. Se plastifica todo por separado. El niño o la niña, con la ayuda de sus padres, debe ir juntando una mochila y un par de botas iguales para cada excursionista y así poder calcular a cuántos podrá equipar de manera completa. Se puede seguir el problema explicando cuántas mochilas sobran o cuántas botas Figura 3 no se pueden emparejar. También lo podemos complicar, calculando cuántas botas o mochilas harían falta para equipar a 2 o 3 excursionistas más. En otra actividad se trata de jugar en el agua con diferentes tipos de materiales, y experimentar qué pasa con ellos. Los objetos del vagón viajero pueden ser: pelotas, chapas, tapones de corcho, esponjas, frascos de champú o gel... A partir del trabajo que expone el niño o la niña se pueden ampliar los conocimientos de flotación, absorción, tipos de material... 81

Rincones lúdicos. Ejemplo para trabajar en grupos pequeños Tienda y cocina Se trata de un juego de imitación donde el niño va a comprar a la tienda alimentos reales y luego los cocina. Esta actividad se lleva a cabo en P4 y P5, con algunas variantes. Sólo se cocinan cosas frías. Participan 6 niños y niñas, 2 son los vendedores y los otros 4 son los compradores. Se necesitan 2 rincones determinados: una tienda y una cocina. Los aspectos matemáticos que se trabajan en el rincón de la tienda y la cocina son: numeración, cálculo mental, medidas de peso y capacidad, iniciación a la suma.

Cómo se realiza en P4 Los clientes compran los ingredientes en la tienda y los pagan. Luego se van a la cocina y se inventan la receta que quieren. La misión del vendedor es pesar los ingredientes, servirlos en el recipiente adecuado y cobrar lo que ha vendido.

Cómo se realiza en P5 Los clientes han de escoger una receta del libro que han confeccionado previamente entre todos los niños y niñas y la tutora (con dibujos o fotos para que niñas y niños vean claramente qué se debe comprar y cómo se elabora), y comprar los ingredientes necesarios para llevarla a cabo. La misión del vendedor es la misma que en P4, con la diferencia de que al final puede hacer uso de la calculadora para saber todo lo que ha cobrado.

Bibliografía JORNADAS MATEMÁTICAS II (5-95), III (5-98) de las Comarcas de Gerona, organizadas por el Grupo Perímetre. COLOMER, T.; RAMOS, N. (1999): «Las matemáticas en la educación infantil». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 17, pp. 7-11.

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Educación primaria

8 Empezar jugando. Juegos y trucos numéricos Luis Ferrero CP Fernando el Católico. Madrid Siempre he creído que el mejor camino para hacer las matemáticas interesantes a los alumnos y profanos es acercarse a ellos en son de juego [...]. El mejor método para mantener despierto a un estudiante es, seguramente, proponerle un juego matemático intrigante, un pasatiempo, un truco mágico, una chanza, una paradoja, un modelo, un trabalenguas o cualquiera de esas mil cosas de las que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son frivolidades. Martin Gardner

Por su carácter abstracto y formal («Las matemáticas son una asignatura difícil de enseñar y difícil de aprender...», Informe Cockcroft, apartado 342), es una de las áreas que más incide en el fracaso escolar en todos los niveles de enseñanza; es el área que arroja los resultados más negativos en las evaluaciones escolares. Para hacer más atractivo el estudio de las matemáticas, para motivar a los niños, se presentarán situaciones que provoquen su interés y mantengan su atención; la diversidad de estas situaciones debe ser lo más amplia y variada posible, de tal forma que aborden los diferentes bloques temáticos

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa , 78, pp. 32-35, enero 1999.

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del área. Una de estas situaciones es el juego; el juego es el trabajo más importante que pueden hacer los niños en la escuela. Sobre el juego en la actividad docente pesa un antiguo prejuicio que lo considera una actividad inútil y carente de seriedad; por el contrario, los juegos matemáticos tienen un enorme valor educativo: desarrollan técnicas intelectuales, fomentan la socialización y rompen el miedo y la aversión de los niños a la matemática; además, los juegos son un excelente material complementario que permite iniciar, estimular y ejercitar con los escolares el razonamiento lógico; crean, de una forma intuitiva, las bases para una posterior formalización del pensamiento matemático. Los juegos matemáticos, o lo que entendemos por matemática recreativa, son matemáticas, no importa de qué tipo, cargadas de un fuerte componente lúdico. Sin embargo, el contenido matemático no se debe reducir sólo a los números y a las operaciones, ya que los alumnos también tienen que aprender a calcular para resolver problemas, a medir para hallar distancias o calcular áreas, a organizar los datos e interpretar gráficas para analizar de forma crítica la información numérica que ofrecen los medios de comunicación, etc. Actualmente, en las escuelas, en la etapa de educación primaria, los números y las operaciones adquieren un papel relevante frente a otros contenidos matemáticos. Por ello, en estas páginas sólo se han seleccionado juegos numéricos. Jugar con los números y con las operaciones aritméticas puede ser una forma divertida de acercar la matemática a los chicos y las chicas; hacer que pierdan el miedo a esta área; jugar con números puede llegar a ser la mejor manera de comenzar a conocer la matemática y de mejorar la capacidad de pensar con lógica y creatividad de los escolares. Aparte de hacer más atractivo el estudio de las matemáticas a los escolares, los juegos numéricos están indicados no sólo para facilitar una mejor comprensión de las operaciones y de sus propiedades; también para desarrollar una mayor agilidad de cálculo mental, adquirir nuevos contenidos, descubrir regularidades, trabajar estrategias personales, etc.

Educación primaria, primer ciclo Para los niños y niñas que se encuentran en el primer ciclo de la etapa de educación primaria, existen muchos juegos numéricos, que más que 86

juegos matemáticos son actividades con un fuerte componente lúdico, similares a la oca o el parchís, consistentes en desplazar una o varias fichas en un tablero un determinado número de casillas, número que se obtiene lanzando uno o dos dados. La finalidad de estos juegos suele ser el conteo de cantidades o la memorización de algún contenido, como puede ser la tabla de multiplicar. Por ejemplo, una de las muchas actividades que facilitan el aprendizaje de las tablas de multiplicar consiste en que los niños, de forma alternativa, lancen dos dados y hallen el producto de los números obtenidos y, a continuación, tachen el número correspondiente en la tabla de los cien primeros números. Inicialmente se utilizarán los dados de seis caras; después de cierta práctica, se pasará a utilizar dados de ocho y de doce caras.

Educación primaria, segundo y tercer ciclos A continuación se presentan unos juegos numéricos para practicar con chicos y chicas de segundo y tercer ciclo de educación primaria.

Números mágicos Los trucos numéricos son, en la mayoría de los casos, estratagemas de cálculo que se fundamentan en las propiedades de los números, simples operaciones fáciles de dominar con un mínimo de práctica y con cierta capacidad de cálculo mental. Las propiedades de los números ofrecen múltiples ocasiones para jugar con ellos. Existen números con propiedades que les hacen muy interesantes, casi mágicos. Éste es el caso de números como 101, 1.001 o 10.101. Los números mágicos son una fuente de actividades cuyos resultados son, cuando menos, sorprendentes. Por ejemplo: Pedir a los escolares que elijan un número de dos cifras y que lo escriban tres veces seguidas para formar un número de seis cifras. A continuación se les pedirá que dividan el número de seis cifras, primero entre 37; después, que dividan el cociente obtenido entre 13; luego, el nuevo cociente entre 7 y, por último, entre 3. Por ejemplo, si han elegido el número 42, al escribirlo tres veces seguidas obtendrán el número 424.242. 87

Se hará notar a los escolares que si se han hecho bien las operaciones, el resultado final es el número de dos cifras que escribieron al principio. Asimismo, se intentará que los chicos «descubran» que el producto de los números 37, 13, 7 y 3 es 10.101, y que el producto del número 10.101 por otro de dos cifras es igual al número de seis cifras que se obtiene repitiendo tres veces el número de dos cifras. Por ejemplo: 45 x 10.101 = 454.545; 67 x 10.101 = 676.767; etc.

Número diana Éste es un juego que se puede practicar de forma colectiva con todos los chicos y chicas de la clase o formando equipos de cuatro o cinco jugadores. Este juego es muy adecuado para desarrollar la agilidad de cálculo mental, aplicar las operaciones, obtener una mayor habilidad para el cálculo operativo, comprobar la jerarquía de las operaciones y utilización del paréntesis. El objetivo del juego para cada alumno o cada equipo consiste en obtener un número acordado que se denomina número diana, realizando operaciones aritméticas (sumas, restas, multiplicaciones, o divisiones exactas) con los números dados.

Reglas del juego 1. El profesor escribe en la pizarra tres números cualesquiera y el número diana. Por ejemplo: 3, 7 y 8 —> 45

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Números

Diana

Operaciones

7, 2, 4

5

7+2-4

3, 2, 8

22

3x8-2

4, 7, 3

40

4 x (7 + 3)

5, 1, 9

54

(5 + 1) x 9

6, 3, 9

9

6+9:3

2.

3.

4. 5. 6.

Hay que tener en cuenta que se ha de poder obtener el número diana operando con los números dados. En la práctica, se escribe en la pizarra una tabla como la que se indica. Los chicos y chicas de la clase realizarán con los números escritos en la pizarra dos operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación o división exacta) con el fin de obtener el número diana. Por ejemplo, con los números 3, 7 y 8 se puede obtener 45 realizando estas operaciones: 3 x (7 + 8) = 45. Cada chico y chica escribirá en su cuaderno las operaciones realizadas, utilizando los paréntesis si es preciso. En el caso de que se juegue por equipos, cada equipo elige a uno de sus componentes como representante del grupo, y será quien anote en una hoja de papel las operaciones. En cada jugada se deben utilizar todos los números propuestos una sola vez y, además no se puede repetir operación. Cada operación bien hecha valdrá un punto. (Los puntos se pueden ir acumulando.) Ganará el alumno o alumna (o el equipo) que mayor puntuación obtenga.

Desarrollo de una jugada Por ejemplo, el profesor escribe en la pizarra los números: 3, 7 y 8. A continuación, anuncia el número diana; por ejemplo, el 45. Los alumnos deben operar con los números escritos en la pizarra con el fin de obtener el número diana. Después de algunos juegos entre el profesor y los alumnos, el juego debe pasar a realizarse por grupos. Este juego ofrece varios niveles de dificultad que dependen de la cantidad de números con los que los chicos tienen que operar, de la posibilidad de utilizar números u operaciones repetidas. También, para obtener números, se pueden utilizar dados que, por sí mismos, son una motivación para los escolares. Una posible extensión del juego consiste en obtener varias dianas con unos números dados y las operaciones aritméticas. Por ejemplo, con los números 3, 7 y 8 se puede obtener 45, realizando estas operaciones: 3 x (7 + 8) = 45; también 29, realizando estas otras operaciones: 3 x 7 + 8 = 29, etc. 89

La práctica de este juego permite compaginarlo con las actividades de cálculo mental; por ello es conveniente practicarlo a lo largo de todo el curso escolar.

Cuadrado numérico La adivinación de números tiene algo de mágico; suele ser un juego muy estimulante y excitante para los escolares. Mediante el desarrollo de este juego se «adivina» la suma de varios números antes, incluso, de conocer cuáles van a ser estos números.

Desarrollo En un cuadrado de cuatro filas por cuatro columnas, se escriben dieciséis números de una serie numérica, tal como se indica en la figura 1. A continuación se le pide a un alumno que elija un número del cuadrado y se le comunica que tache los números de la forma que se le indique y que, al final, sabrá lo que suman todos los números que han quedado sin tachar en el cuadrado.

Figura 1

Figura 2

5

9

13

17

5

9

13

17

21

25

29

33

21

25

29

33

37

41

45

49

37

41

45

49

53

57

61

65

53

57

61

65

Figura 3

90

Figura 4

5

9

13

17

5

9

13

17

21

25

29

33

21

25

29

33

37

41

45

49

37

41

45

49

53

57

61

65

53

57

61

65

A continuación se escribe en un papel el número 140, que es el que corresponde a la suma de los números escritos en una de las dos diagonales del cuadrado. Una vez escrito, este papel se coloca, boca abajo, sobre la mesa. Después, se le pide a un alumno que salga a la pizarra, elija uno cualquiera de los dieciséis números, que lo circunvale con lápiz y que tache los número que están en la misma fila y en la misma columna del número elegido. Por ejemplo, si eligió el número 25, deberá tachar los números 9, 41, 57, 21, 29 y 33 (véase figura 2). A continuación, se le pedirá que elija otro número de los que han quedado sin tachar, que lo circunvale y que tache los que se encuentran en la misma fila y en la misma columna que el número elegido. Por ejemplo, si eligió el número 13, deberá tachar los números: 5, 17, 45 y 61 (véase figura 3). De nuevo, se repite el proceso por tercera vez. Por ejemplo, si elige el número 49 tendrá que tachar el 65 y el 37 (véase figura 4). Como se puede observar, al final quedan sin tachar cuatro números, los tres que eligió el compañero y otro que quedó al azar. Los números son: 13, 25, 49 y 53. Se pedirá a los alumnos que sumen esos cuatro números y, una vez hecha la operación, el alumno que salió a la pizarra debe mirar el papel que se dejó escrito sobre la mesa al principio del juego. En dicho papel deberá aparecer escrito el número 140. Para explicar este juego hay que recurrir a contenidos matemáticos que no corresponden a los alumnos a los que va dirigido. Por otra parte, se puede aumentar o disminuir el nivel de dificultad de realización del juego, aumentando o disminuyendo la cantidad de números que forman la serie numérica, que, en cualquier caso, deberá formar un cuadrado, bien de 3 por 3, de 4 por 4, de 5 por 5, etc.

A la carta Éste es otro juego de adivinación. Hay muchas formas de adivinar números que, aunque parezcan misteriosas, se basan en simples propiedades matemáticas. Para que este juego resulte espectacular, en vez de «adivinar» dos números cualesquiera, se puede «adivinar» el valor de dos cartas de una baraja o los puntos de dos dados lanzados al azar. 91

Desarrollo Pide a un compañero que elija dos cartas de un mismo palo de una baraja (el valor de cada carta es igual al número que marcan; la sota vale ocho; el caballo, nueve y, para este juego, el valor del rey es cero) y que realice mentalmente estas operaciones con el valor de una de las cartas recogidas. Primero, que duplique su valor y que multiplique por 5; después, que sume el valor de la otra carta; luego que multiplique por 10 y, por último, que sume 1 si las cartas son de oros, 2 si son de copas, 3 si son de espadas y 4 si son de bastos. Conociendo el resultado final se puede saber qué cartas fueron las elegidas. Veamos: el resultado final es un número de tres cifras: La cifra de las unidades nos indica cuál fue el palo escogido, así: si la cifra de las unidades es 1 las cartas son de oros; si es 2, son de copas; si es 3, son de espadas, y si es 4 son de bastos. Las cifras de las decenas y centenas expresan los números de las cartas escogidas.

. .

Por ejemplo, si se han escogido el tres de copas que vale 3 y la sota de copas que vale 8, se procederá así: 1. Duplicar el valor de la primera carta: 3 x 2 = 6. 2. Multiplicar el resultado obtenido por 5 : 6 x 5 = 30. 3. Sumar el valor de la otra carta: 30 + 8 = 38. 4. Multiplicar el resultado obtenido por 10 : 38 x 10 = 380. 5. Sumar 2 por ser copas el palo escogido: 380 + 2 = 382. El resultado final es 382. La cifra 2, cifra de unidades, indica el palo. Las cifras 8 y 3, decenas y centenas respectivamente, indican los números de las cartas escogidas.

. .

Explicación La explicación de este juego queda para los chicos y chicas del tercer ciclo de educación primaria. Siendo x e y las cartas elegidas, las operaciones que se ha pedido elegir se reducen a la siguiente expresión: 100x + 10y + a 92

donde a es el número que hay que sumar según sea el palo de las cartas escogidas. La expresión: 100x + 10y + a corresponde a un número de tres cifras.

Para terminar La utilización del carácter lúdico que ofrecen los juegos como un factor motivante y atrayente, no sólo facilita la adquisición de contenidos matemáticos y favorece la creatividad; también se desarrollan en los niños hábitos y actitudes positivas, en general, frente al trabajo escolar y, en particular, hacia la matemática.

Bibliografía FERRERO, L. (1991): El juego y la matemática. Madrid. La Muralla. GARDNER, M. (1980): Carnaval matemático. Madrid. Alianza Editorial. GRATZ, W. (1933): Enigmas, entretenimientos y curiosidades matemáticas. Madrid. Sáez Hermanos. GUYK, E. (1989): Juegos matemáticos recreativos. Moscú. Mir. PERELMAN, Y. (1977): Matemáticas recreativas. Barcelona. Martínez Roca.

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9 «El jarrón mágico»: el misterio de la multiplicación Mariona Monterde CEIP Joan Marquès Casals. Terrasa En este artículo se explica una experiencia llevada a cabo en un aula de primer curso de primaria. Tomando como punto de partida la explicación del cuento El jarrón mágico1, se visualizan las posibilidades de los niños y niñas de 6 años para percibir con sutilidad series numéricas aditivas y multiplicativas, así como para relacionarse con números muy grandes, si todo ello se muestra en un contexto que dé respuesta a sus ganas de interrogarse y fabular en un ambiente de fascinación y de misterio. Un jarrón, generalmente, es sólo un jarrón. Pero ése no es un jarrón cualquiera. Es un poco mágico. En su interior no hay enanitos, sólo un poquitín de agua que se convierte en un inmenso mar por arte de magia. A partir de aquí empieza todo: nace un universo que invita al descubrimiento matemático. (Mitsumasa y Masaichiro Anno)

Así expresan los autores del cuento el misterio que encierra en su interior el jarrón protagonista del cuento. En nuestro caso, la explicación del cuento nos ha hecho descubrir cuántas cosas saben los niños y niñas de esta edad, qué significados matemáticos son capaces de intuir y de percibir y cómo son capaces de expre-

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa , 107, pp. 19-25, diciembre 2001.

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sarlos, de compartirlos, de representarlos e incluso de generalizarlos. Precisamente es el gusto y el interés por entender la abstracción lo que emociona a nuestro alumnado. Ellos tienen necesidad de argumentar, de razonar, de deducir y de sacar conclusiones sobre aquello que saben, intuyen, ven, o simplemente sobre aquello que alguien les ha contado. No les preocupa solamente saber las cosas, sino también las razones que justifican lo que ellos ya saben. La explicación de cuentos es una situación muy habitual en las aulas de educación infantil y ciclo inicial. Los cuentos y las narraciones reflejan el sentido con el que las personas construyen su propia vida y sus relaciones con el mundo. En las historias de los cuentos, los personajes se sitúan en un tiempo y en un espacio determinado e interactúan con otros personajes y con las cosas estableciendo relaciones de reconocimiento, proximidad, cuantificación…, es decir, relaciones en las que la matemática juega un papel básico. Si, como en nuestro caso, la multiplicación forma parte del nudo de la narración, la vivencia de esta narración se convierte en una auténtica aventura matemática.

El significado de la multiplicación o la relación «tanto por uno» ¿Nos hemos parado alguna vez a pensar qué puede significar para los niños y las niñas entrar en el mundo fascinante de la multiplicación? ¿Nos hemos preguntado si son capaces de percibir la naturaleza compleja de esta operación, y a partir de ello utilizarla para crear significados amplios y llegar a la comprensión del sentido que tiene? El jarrón mágico Frágil jarrón de porcelana, ¿qué escondes en tu interior? Sólo un poquitín de agua en el fondo. Parece como que sopla un poquitín de viento, el agua empieza a rizarse.

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Se convierte en un mar profundo y enorme. En medio del mar, aparece una isla. En esta isla hay 2 países. En cada país hay 3 montañas. En cada montaña hay 4 reinos amurallados. Cada reino amurallado tiene 5 pueblecitos. En cada pueblecito hay 6 casas. Cada casa tiene 7 habitaciones. En cada habitación hay 8 armarios. Cada armario contiene 9 cajas. Dentro de cada caja hay 10 jarrones. Pero, ¿cuántos jarrones hay en total, dentro de las 9 cajas? La respuesta es casi increíble: Hay ¡10 jarrones! en total. Pero ¡atención! ¡10 jarrones! no significa ¡10 jarrones! ¡10 jarrones! significa… ¡3.628.800 jarrones! ¿Tantos de golpe? Pero, ¿cómo es posible...? Es un número tan alto que cuesta de imaginar...

Para entender muchas de las circunstancias que vivimos es imprescindible abstraer de la realidad, como un dato fundamental de la experiencia, la relación «tanto por uno», de la que el «cada uno» del cuento es un caso particularmente sencillo. Por ejemplo, esto pasa si queremos entender la eficacia con la que trabaja una máquina, el interés de nuestra cuenta corriente o la pendiente de un camino. Usamos este dato para crear información significativa sobre las cosas asignándole algún significado e imaginando la manera de calcular con precisión sus consecuencias. Nuestros pequeños alumnos aprenden a aplicar todo este proceso a muchas circunstancias cotidianas, por ejemplo, a la relación entre los productos y sus precios, o entre el espacio y el tiempo de un móvil de velocidad constante, o entre las medidas y sus unidades. 97

En muchos momentos, nuestra actitud ante las circunstancias que nos plantea la vida depende directamente de la manera como entendemos el crecimiento que provoca la relación «tanto por uno». Por ejemplo, el efecto devastador que puede tener para la economía de un país el mantener tasas de inflación pequeñas durante un período de tiempo largo o la manera explosiva como puede crecer una población con tasas de natalidad, que pueden parecer bajas, si se mantienen durante un tiempo… En el caso de nuestros niños, la manera como se incrementa el valor global de una compra o el misterio que encierra el crecimiento espectacular de los números en la historia del «jarrón mágico». Por lo tanto, la educación del sentido crítico de nuestro alumnado respecto a la realidad pasa por enseñarles a usar y calcular esta relación con un sentido personal y crítico; se trata de una relación con un contenido matemático bien claro, la multiplicación, una operación básica en nuestros currículos, pero que a menudo no se presenta en nuestras aulas con la complejidad y el sentido profundo real que tiene. Desde la escuela ignoramos sistemáticamente este valor que puede tener el aprendizaje de la multiplicación para educar a los niños y las niñas en la comprensión sutil de la realidad. A menudo la reducimos a un aprendizaje trivial y memorístico, y asociada únicamente a un algoritmo de cálculo. De esta manera olvidamos y ocultamos todas las cualidades que posee la multiplicación como un conocimiento vivo y cultural. Y podríamos preguntarnos, además: ¿puede un niño pequeño construir conocimiento sobre un significado tan sutil de la multiplicación? A menudo confiamos poco en las capacidades de nuestro alumnado para vivir experiencias matemáticas simbólicas, y tenemos la tendencia a pensar que hay que darles los contenidos muy secuenciados y reducidos, de tal manera que sólo tengan que realizar experiencias manipulativas con ellos. Así despojamos a los contenidos matemáticos de la sutilidad y del valor que tienen y les vaciamos de su significado real. La experiencia llevada a cabo a partir del cuento El jarrón mágico es una auténtica aventura matemática fruto de una situación rica y compleja. Con la explicación de la historia que se vivió en clase, puede verse cómo los niños reaccionan con una gran sensibilidad respecto al significado dinámico de la multiplicación: se asombran de los cambios impresionantes que genera sobre las cantidades y se emocionan con el tipo de crecimiento numérico que provoca. Buscan incluso expresiones para explicarlo y, sobre 98

todo, demuestran un gran interés por comprender la manera misteriosa como van cambiando los números del cuento.

La historia vivida en el aula

. . . . . . .

Explicamos la primera parte del cuento: emoción y confusión al intentar comprender qué debe estar pasando con las cosas que van apareciendo. Conversamos sobre el crecimiento numérico que produce la relación multiplicativa que conduce la historia. Dibujamos el cuento de El jarrón mágico: los niños y las niñas intentan representar gráficamente la relación «tanto por uno». Explicamos la segunda parte del cuento: los alumnos hacen hipótesis de lectura y escritura de números grandes. Comparamos el cuento El jarrón mágico con otro cuento, El gato tragón, que tiene también una historia numérica como hilo conductor, pero no una relación multiplicativa. Analizamos, reflexionamos y sacamos algunas conclusiones a partir de las diferencias. Inventamos entre todos el cuento El castillo encantado: integramos contenidos de distintas áreas (lenguaje, matemáticas y plástica). Tomamos conciencia de lo que hemos aprendido a lo largo de todo el proceso. Conversamos sobre ello.

El niño como observador activo de la relación «tanto por uno» La aventura real empieza cuando, en medio de la explicación del cuento, se oye en la clase el comentario, con cara de angustia, de Carlos: CARLOS: Yo ya empiezo a marearme un poco, porque dentro de uno otro, y otro y otro... MAESTRA: ¿Estás seguro de que cada vez sólo hay uno más? CARLOS: ¡Noo, qué va! Dentro de uno, dos, dentro de dos, tres, dentro de tres, cuatro, y así todo el rato...

Carlos está a la vez confuso y emocionado por la manera como suceden las cosas en el cuento. Percibe el protagonismo que el «cada uno» tie99

ne en la magia de la historia y se siente desbordado por sus consecuencias. MAESTRA: ¿Qué os parece que pasará a continuación? MÓNICA: Que en los pueblos habrá 6 cosas. MAESTRA: ¿Por ejemplo? VARIOS ALUMNOS: Pues, 6 casitas, 6 pisos, 6 terrenos, 6 playas... MAESTRA: ¿Por qué 6? MÓNICA: Porque después del 5 va el 6. MARC: Porque si empieza 1 isla, 2 países, 3 montañas..., contando en orden toca 6. GERMÁN: ¡A lo mejor había 6 tesoros! MAESTRA (dirigiéndose a todo el grupo): ¿Seríais capaces de decir cuántos pueblos debería haber en toda la isla? GERMÁN: ¡Habrá muchos pueblos! Porque dentro de los 2 países hay 3 montañas, dentro de cada montaña hay 4 reinados... ¡y eso son muchos pueblos!

En esta conversación podemos darnos cuenta de cómo los niños y las niñas de 6 años son capaces de percibir claramente la imagen numérica del cuento. Son capaces de abstraer las dos series que hay dentro de la historia. Una de ellas, formada por los números 1, 2, 3, 4… 10, condiciona el orden de los hechos y les es muy fácil de controlar. La otra serie es la que condiciona las cantidades reales de las cosas que van apareciendo y es consecuencia de aplicar continuamente la relación «cada uno». Los niños saben de su existencia, incluso perciben que está formada por números mucho más grandes, pero no pueden controlar exactamente las cantidades que la forman. Cuando se les propone que dibujen el cuento de manera que se vea muy bien cómo pasan todas estas cosas de las que han estado hablando, la mayor parte de los niños y niñas de la clase dibujan el cuento representando islas, montañas y reinos, pero sobre todo buscando algún recurso gráfico que exprese la manera peculiar como estas cosas se relacionan unas con otras a lo largo de la historia. Hacen una abstracción global de lo que pasa. Se han creado una imagen de la transformación numérica del cuento organizando la historia alrededor del cada uno. Utilizan las flechas para expresar la relación, utilizan dibujos esquemáticos para representar los distintos elementos del cuento. 100

Germán, para representar los cinco pueblos que hay en cada reino, utiliza el simbolismo del conjunto; Adrià va un poco más lejos en la abstracción y sustituye los cinco pueblos por el número 5. Esto le permitirá poder contar cuántos pueblos hay en total en la isla. Germán expresará que, a pesar de tenerlos dibujados, no puede contarlos porque «se hace mucho lío». La combinación entre la percepción clara de la multiplicación y su incapacidad real para calcularla con precisión, hace que el cuento posea, a los ojos de nuestros niños y niñas, una extraña atmósfera misteriosa. Cuando otro alumno acaba su dibujo, quiere saber cuántos reinos y cuántos pueblos habrá. Le salen 24 reinos y 26 pueblos. A partir de esta observación iniciamos una conversación que nos permitirá reflexionar y analizar lo que acaba de representar: MAESTRA: ¿Es posible que te salgan 24 reinos y 26 pueblos? MARC: No, porque sólo son dos más. MAESTRA: ¿Y? ¿Como cuántos más crees que deberían de ser? MARC: ¡Muchos más! MAESTRA: ¿Por qué? MARC: Muchos más cada vez. Porque primero hay 1 isla, después 2 países, después 3 montañas... MAESTRA: ¡Pero cada vez sólo dices un número más! MARC: Sí, pero son 4 reinos en cada montaña, 5 pueblos en cada reino, y así todo el rato.

Continuando la conversación hemos podido comparar la historia numérica de El jarrón mágico con otra historia también numérica que rige el cuento El gato tragón2. En ella sucede que: Un gato tiene muchas ganas de comer y primero come 1 pescado, después 2 patatas, más tarde 3 tomates, luego 4 huevos fritos, 5 pizzas, 6 piñas, 7 pastelitos, 8 pastas, 9 helados y por fin 10 melones.

Este cuento se había utilizado anteriormente en la clase, ya que su estructura lingüística permite hacer un trabajo interesante de formulación de hipótesis sobre el texto escrito. 101

MAESTRA: ¿Os parece que tiene algún parecido con lo que pasa en el cuento de El gato tragón? ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? DAVID: En el cuento del gato, cada vez el gato come una cosa más y cada vez es un número más alto. MIRIAM: Pero cuando come muchas cosas, ¡¡hay muchas más cosas en el otro cuento!! En el cuento del jarrón son muchos jarrones, y en cambio en el del gato son 10 melones solamente. MARC: Es que no es lo mismo. En el cuento del gato no hay tantos como aquí. Hace lo mismo, pero sólo una cosa más cada vez. MAESTRA: Explícamelo en tu dibujo. MARC: Mira... 1 isla , 2 países, 3 montañas y 3 montañas, 4 reinos y 4 reinos y 4 reinos... etc. En este cuento los números van creciendo mucho y en el del gato se quedan.

Hay historias que dependen de una secuencia numérica. En la comparación de los dos cuentos podemos observar que los alumnos son capaces de interpretar cómo se utilizan los números para simbolizar historias diferentes con consecuencias muy distintas. Observando las intervenciones de los alumnos a lo largo de las diferentes conversaciones, puede verse que mayoritariamente no sólo se convierten en observadores activos de los hechos que pasan, sino incluso de las estructuras numéricas que forman el andamiaje de toda la historia. De estas estructuras numéricas depende toda la emoción que les genera el cuento.

La emoción de poder interpretar los números de «El jarrón mágico» Con la explicación de la segunda parte del cuento vamos escribiendo y relacionando las dos series numéricas que aparecen. Cuando se constatan las cantidades de cada uno de los elementos que aparecen en el cuento, 1 isla, 2 países, 6 montañas, 24 reinados, 120 pueblos, 720 casas, 5.040 habitaciones, 40.320 armarios, 362.880 cajas y 3.628.800 jarrones, los niños opinan que algo pasa, que esto no es posible, porque los números tendrían que estar ordenados 1, 2, 3... y además faltan muchos números. 102

MAESTRA: ¡Pero éstos son los números que salen cuando vamos dibujando lo que dice el cuento! ¿Qué pasa, pues? ADRIÁN: Que los números se hacen grandes y además faltan muchos números. MAESTRA: ¿Qué podemos ver, si miramos los números que aparecen en la segunda columna? VIOLETA: El número de jarrones parece un número de teléfono, porque es muy largo. SERGI: ¡El número de los jarrones es igual que el de las cajas, pero con un cero al final! JENNI: Yo un día vi un programa en la TV que se parecía mucho a eso y ganaban mucho dinero. Primero tenían 50, después un 5 y dos ceros, y al final ¡un 5 y muchos ceros! MÓNICA: Se nota que es un jarrón mágico porque los números van creciendo mucho. Los números se hacen muy grandes de manera muy rápida.

Esta discusión y reflexión conjunta nos crea la inquietud de leer y escribir números grandes: miles, millones, interpretación del punto del mil, número de cifras que hay entre los puntos del millón, el valor del cero en función de su situación en los números..., iniciando así el camino hacia la comprensión de la organización que rige nuestro sistema de numeración. Para los niños y las niñas es muy interesante entrar en el mundo mágico que para ellos es el sistema numérico, a partir de la emoción que les provoca la utilización y la necesidad de interpretar los números grandes, del descubrimiento de sus cualidades, así como de la familiarización con las regularidades que lo configuran. A través de las situaciones que van surgiendo a lo largo del cuento, los niños y las niñas han aprendido a construir vínculos emocionales positivos con los números y con los significados numéricos casi mágicos de la multiplicación. Poco a poco van adquiriendo como una cierta sensación de poder sobre la comprensión de los números y de la manera como crecen en algunas situaciones.

La integración curricular a través del cuento Tras la comparación de los dos cuentos, nos proponemos inventar un cuento colectivamente. En él, los niños y las niñas crean su propia historia mágica, partiendo de la secuencia numérica que marca la historia de El jarrón mágico. Esto nos lleva a un interesante trabajo de integración curricular entre las áreas de lenguaje, matemáticas y plástica. 103

Así, empezamos la planificación del cuento pensando posibles temas y personajes que puedan aparecer. Algunos sugieren que sea un cuento de miedo, de terror; otros, que sea de amor; a otros les gustaría que fuera un cuento mágico, hasta que por fin parece que se ponen de acuerdo en que trate de la historia de un castillo encantado. También proponen los personajes que serán los protagonistas de la historia: la princesa, las ranas, las brujas, los dragones, los ratones, las calabazas, los peces, los pulpos, los leones y las momias. Entre todos vamos construyendo el texto del cuento; unos inventan, otros matizan, algunos corrigen , otros amplían... hasta tener la versión definitiva del cuento, fruto de la intervención y las aportaciones de todos los miembros del grupo. La historia de El jarrón mágico tiene una coherencia cualitativa, y la serie multiplicativa aparece de una manera natural al servicio de ella. Los niños, en cambio, no pueden imaginarse una historia que responda de una manera natural a la secuencia numérica. Como en tantas situaciones de la vida cotidiana, cuando algo no se entiende es que es mágico. En su cuento crean expresamente un personaje especial para cada capítulo, que realizará la magia que les falta para dar crédito al fenómeno que no acaban de comprender. Con la invención del cuento se ha creado una situación funcional en la que los contenidos matemáticos (contar, sistema de numeración, multiplicación, sucesiones...) aparecen integrados de una manera natural con otros contenidos curriculares: lenguaje oral, lenguaje escrito, expresión plástica.

El castillo encantando

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Había una vez una princesa que vivía en un castillo encantado a la orilla del mar, y un día se puso enferma. El rey y la reina llamaron a un mago para curarla, pero se equivocó en su brujería y convirtió a la princesa en 2 ranas. Después vino un hada que quería solucionar aquel problema y les dio unos polvos mágicos a las ranas y convirtió a cada una de las ranas en 3 pequeñas brujas. Para deshacer el encantamiento vino una bruja que siempre estaba aburrida y convirtió cada una de las pequeñas brujas en 4 enormes dragones.

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Más tarde apareció por allí un enanito, les dio unos caramelos mágicos a los dragones y convirtió cada uno de…

Cuando decimos integrar se quiere expresar que el aprendizaje y comprensión de los contenidos matemáticos han sido necesarios para plantear situaciones funcionales de escribir y de leer, y asimismo, el trabajo de lectura, comprensión, planificación, construcción y escritura de cuentos han sido necesarias para plantear situaciones funcionales de matemáticas: En el momento de diseñar la estructura del cuento: la relación numérica como base de la estructura del cuento. A la hora de escribir el cuento: construcción y tipos de frases utilizadas para poder expresar y reflejar la relación «tanto por uno» (en cada uno...). Comparación entre los dos cuentos: trabajo sobre los números y sobre el lenguaje escrito. Planificación del tema y de los personajes: la idea de magia que controla todo el proceso. Trabajo constante de lenguaje oral.

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Para poder entender el significado de algunas cosas, necesitamos los números y las estructuras que crean, ya que están en la base de la explicación de algunos fenómenos. Veamos cómo explican los factoriales los autores del cuento y una niña de la clase.

Sobre los factoriales Factorial es un término utilizado por los matemáticos para designar una cierta relación numérica. Descubrir cómo crecen los números vertiginosamente a través de un proceso tan sencillo, puede permitir entrever el misterio de la matemática, universo de orden absoluto y de una lógica imparable, y por tanto, lleno de sorpresas, de alegrías y de maravillas. MÓNICA (6 años): Sí que se nota que es un jarrón mágico, ya que los números van creciendo mucho, y se hacen muy grandes, de forma muy rápida.

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1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!

=1x1=1 =2x1=2 =3x2x1=6 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5.040 = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3x 2 x 1 = 40.320 = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362.880 = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3.628.800

Los contextos complejos aportan gran cantidad de posibilidades para organizar los aprendizajes, y permiten relacionar los aspectos cuantitativos con los cualitativos. Vale la pena aprovechar estos momentos tan ricos e interesantes para poder diseñar un trabajo integrador de los contenidos matemáticos y, en definitiva, para ayudar a los niños y a las niñas a una mejor comprensión del mundo. Un mundo infinito y lleno de emociones.

Notas 1. 2.

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ANNO, M. (1993): El jarrón mágico. Barcelona. Juventud. KING, Ph. (1998): El gato tragón. Madrid. Anaya.

10 Un buen recurso: hacer matemáticas AA.VV.1 Grupo Alquerque. Sevilla Lo que un individuo aprende y cómo lo aprende depende de los modelos con que cuenta. Papert, 1981

El rechazo de las matemáticas PROFESOR: Bueno, y ahora nos toca matemáticas. ALUMNOS: Agh, ¡qué asco!

Todas aquellas personas que tienen o han tenido niños pequeños en sus casas saben el tremendo interés que muestran por descubrir cosas. Durante sus primeros años asimilan toda la información que les llega con una facilidad y unos deseos dignos de admiración: ya sea deshacer cualquier juguete para investigar qué tiene dentro, aprender palabras y cosas nuevas, descubrir los bichos que les rodean o que pueden encontrar en zoo-

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa , 83-84, pp. 32-38, julio-agosto 1999.

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lógicos o documentales, o, por lo que nos interesa a nosotros, ir descubriendo los números, aprender sus primeras cuentas o comenzar a reconocer las figuras geométricas. Este interés inicial se diluye a medida que avanzan dentro del sistema educativo. Así, cuando los alumnos y alumnas llegan a secundaria, muchos tienen ya cierto reparo, cuando no desprecio, hacia las matemáticas, sentimiento que en algunos llega a verdadero odio cuando abandonan ese nivel educativo. Este rechazo a la asignatura que les ha hecho infelices durante sus años de estudio, suele llevarse para siempre cuando se llega a la vida adulta. Hay multitud de razones que pueden tratar de explicar este rechazo. Por una parte, la dificultad inherente a la asignatura: hay razonamientos que son complicados y a los que no se acostumbra a los alumnos; existe un nivel de abstracción muy alto en determinados momentos que hace que no se entiendan ni se les vea aplicación directa; las matemáticas requieren un lenguaje específico que hay que ir aprendiendo y no olvidando y en el que las «faltas de ortografía» no permiten emitir un mensaje adecuado, como sí ocurre en otros lenguajes; en esta materia se requiere un rigor en los procedimientos que impide avanzar si no se han puesto previamente los cimientos necesarios, etc... También hay razones externas a las propias matemáticas, pues hay una concepción social de que esta materia es difícil y sólo está al alcance de algunos iniciados, se tienen ideas preconcebidas de que no se es capaz de afrontar su estudio y además se aceptan los fallos por parte de los padres, algo que no permitirían en otras materias, como dibujo o ciencias sociales.

La enseñanza de las matemáticas En nuestra opinión, parte del rechazo que se crea es debido a que los alumnos y alumnas se aburren en nuestras clases. Ese aburrimiento puede incorporar algunas de las causas que hemos señalado en el apartado anterior, pero creemos que también es debido a aspectos metodológicos de nuestra asignatura. Durante el presente siglo, salvo honrosas excepciones, la metodología ha estado reducida mayoritariamente a explicación por parte del profesor y reproducción por parte del alumno. Se ha tendido, además, a crear compar108

timientos estanco con las demás disciplinas, obligando a la matemática a mirarse su propio ombligo. Pensamos que en la enseñanza de las matemáticas, al menos en primaria y primer ciclo de secundaria, se deben potenciar los siguientes aspectos: Motivación. Los alumnos y alumnas deben estar motivados para que aborden con interés un aprendizaje como el de las matemáticas. Esta materia tiene la ventaja de que nos rodea en nuestra vida, por lo que, al menos a esos niveles, no cuesta mucho trabajo conectar con aspectos de la vida cotidiana que permiten motivarles para su trabajo en el aula. Manipulación. Está totalmente aceptado que aquello que se trabaja y maneja, se asimila y recuerda mucho más que lo que se lee o estudia. En la didáctica de nuestra asignatura, todas las corrientes actuales abogan por que el alumno «haga» matemáticas. Al crear, investigar y experimentar, los alumnos y alumnas adquieren, de un modo más fácil, un conocimiento mucho más intenso y duradero. Difusión de la cultura matemática. Vivimos inmersos en un mundo en el que la matemática está omnipresente y es una de las máximas expresiones de la inteligencia humana. Para que el alumno comprenda su importancia y necesidad, es interesante que se divulguen las relaciones de esta materia con otros aspectos de la vida. Así, podemos encontrar matemáticas en la poesía, en la pintura, arquitectura, música, en la prensa, en la fotografía, etc. Las matemáticas son un elemento cultural que es necesario conocer y que, bien presentado, es apasionante.

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Materiales y recursos educativos En los puntos anteriores hemos hablado de la importancia de la manipulación para el aprendizaje de las matemáticas. Aquí es donde entran los materiales y recursos que se pueden utilizar en la enseñanza de esta disciplina. En el último cuarto de siglo han existido muchos profesores que han creado, diseñado y probado materiales para la enseñanza, por lo que, ahora mismo, cualquier profesor interesado puede tener a su disposición unas herramientas muy poderosas para desarrollar los aspectos de los que 109

hemos hablado en el punto anterior. Basta ojear cualquier catálogo de materiales educativos para comprobar el gran número de ellos dedicados a las matemáticas; también existen muchas publicaciones donde se explican qué materiales elegir y cuáles pueden hacer los propios profesores o los alumnos para que su fabricación también forme parte del proceso de enseñanza-aprendizaje (Muñoz y otros, 1998). Aunque quizá sea conocido por nuestros lectores, es conveniente aclarar la diferencia entre estos elementos. Llamaremos material educativo a aquel elemento que se ha creado ex profeso para la enseñanza, por ejemplo, algunos de los puzles que veremos o un vídeo educativo. Se consideran recursos los elementos que, a pesar de no haber sido creados para la educación, sí pueden aprovecharse en ella, por ejemplo, la prensa o los ejemplos de magia matemática. Nuestra experiencia con los alumnos y alumnas nos indica que la utilización de materiales y recursos significa un poderoso aliciente para que, incluso aquellos alumnos que se descuelgan de las clases, se motiven y participen en las actividades que se les proponen, e incluso que algunas veces estén realizando matemáticas sin saber que lo hacen. Pero no por ello vayamos a pensar que vamos a presentar aquí una varita mágica que va a solucionar todos nuestros problemas. Abusar de los recursos, como de cualquier otra metodología, es contraproducente; y siempre habrá alguien que no quiera entrar en la dinámica que proponemos. Hay algo de lo que sí estamos firmemente convencidos: aunque en algunas ocasiones la utilización de esta metodología no mejore el rendimiento de nuestros alumnos, lo que es seguro es que no lo agrava. Al comenzar con esta dinámica, se tiene la impresión de que se va más lento y que no se van a cumplir los plazos, pero posteriormente se comprueba que, con la práctica, el aprendizaje de los alumnos es más rápido, más profundo y más duradero. Nuestra opinión es que no sirve darle todo el temario previsto a la pizarra mientras los alumnos están descolgados de nuestra explicación. Por ello, estos elementos deben permitir: Tener un acercamiento nuevo y más significativo a los conocimientos matemáticos. Romper la rutina de los ejercicios mecánicos proporcionándole al alumno mayor motivación y estímulo. Usar de aquellos conocimientos matemáticos que permitan resolver problemas cotidianos.

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Actividades que estimulen la lógica del alumno y mejoren su disposición para la resolución de problemas. La implicación activa de los alumnos en su aprendizaje. Desarrollar la capacidad de analizar, razonar, interpretar y usar signos y códigos matemáticos.

Sobre materiales y recursos existe cantidad de bibliografía. Nosotros hemos preferido, en lugar de centrarnos en un recurso concreto y desarrollarlo extensamente, dar una visión más abierta de cosas que se pueden utilizar en primaria y primer ciclo de secundaria (aunque muchas de ellas se pueden adaptar a segundo ciclo e incluso bachillerato), presentando como una especie de miscelánea con el fin de que aquel profesor que encuentre algún recurso que no conocía y le parezca interesante, pueda, a partir de la bibliografía, profundizar en ese tema.

Macedonia de recursos En esta parte vamos a presentar una selección de materiales y recursos muy diversos. No hemos querido hacer una clasificación estricta, sino que los presentamos más como una lluvia de ideas que como un trabajo estructurado; por eso saltaremos de unos a otros independientemente del área temática en la que los queramos aplicar.

Para empezar, geometría En el estudio de la geometría, el desarrollo de la percepción visual es fundamental para la adquisición del conocimiento geométrico y de las estructuras espaciales que nos rodean. La percepción visual puede ser aprendida mediante técnicas y actividades en las que el «saber ver y el saber interpretar» se tengan que poner de manifiesto, y esto ayuda a nuestros alumnos a identificar, reconocer figuras, formas, relaciones y propiedades de elementos geométricos de dos y tres dimensiones. Entre estas actividades, podemos utilizar:

La observación de ilusiones ópticas Mediante la observación de ilusiones ópticas, queremos que los alumnos y alumnas comprueben que el sentido de la vista no es exacto en la percepción de las imágenes y de las formas. 111

¿Falta o sobresale un trozo del cubo?

Las dos líneas horizontales ¿son paralelas?

El colorear dibujos de figuras imposibles En esta actividad con figuras imposibles se reúnen elementos motivadores para los alumnos y alumnas de primaria y secundaria, tales como: Dar color a un dibujo. Lo sorprendente y llamativa que es la propia figura.

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En su realización, al ser el dibujo de una figura de tres dimensiones, le pedimos que sigan estas reglas: Que cada plano direccional del espacio tenga un color diferente. Que todos los planos que sean paralelos tengan el mismo color.

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Con esto se resalta la imposibilidad tridimensional de una figura que está perfectamente dibujada en el plano.

Dividir en partes iguales La actividad consiste en que «dada una figura, trazarle las líneas rectas, quebradas o curvas que sean necesarias, para que dividan a dicha figura en dos partes exactamente iguales». 112

Aparte de favorecer la percepción visual, localizan figuras semejantes y utilizan conceptos de simetría, giro, partición, traslación, etc., para dividir las piezas. Un segundo paso en esta actividad sería que a partir de una pieza creada por ellos, obtuvieran plantillas para ser divididas.

El tangram Debemos aprovechar la tendencia natural a manipular que tienen los alumnos para, a través de la observación, la construcción y la composición de objetos, adquirir las propiedades matemáticas que en ellos existen. El tangram es un excelente material didáctico en el aprendizaje de la geometría, al manipular las piezas y conseguir las figuras geométricas que con ellas se pueden realizar. Así, fijaremos los importantes y fundamentales conceptos para primaria y secundaria de: Construcción geométrica. Construcción de polígonos convexos y cóncavos. Clasificación de polígonos.

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Tangram chino Polígonos convexos con algunas piezas Nombre: .................................................... Nivel: .............................

Polígonos convexos con dos piezas

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Y otros muchos conceptos que desarrollaremos en otra ocasión. Existen bastantes tipos tangram. El más conocido, usado y fácil de encontrar entre los materiales comercializados, es el tangram chino. Con él presentaríamos actividades del siguiente tipo: Construir polígonos convexos de la figura con sólo dos de las siete piezas que constituyen el tangram chino. Considerando el cuadrado como unidad de superficie, ver qué área ocupan las demás piezas. Medir los perímetros de las figuras. Estudiar qué piezas tienen ejes de simetría y dibujarlos. Componer figuras con las siete piezas según la creatividad de cada uno (existen cientos de figuras ya creadas).

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Juegos Éste es uno de los aspectos que más se estudian y desarrollan en los últimos tiempos. El juego tiene un atractivo tal para los alumnos, que lo convierte en uno de los mayores motores de motivación en la integración de los alumnos y alumnas en la marcha de la clase. Incluimos aquí algunos que nos parecen interesantes:

Bingo Es un juego para toda la clase. Se pueden utilizar los cartones de bingo normales o construirlos en ordenador. El equivalente a las bolas del bingo serían tarjetas con operaciones, cuyos resultados son los distintos números que pueden aparecer en las tarjetas. El grado de dificultad de las operaciones depende del curso en el que se juegue. El profesor, o un alumno, eligen una tarjeta del montón colocado boca abajo en la mesa; se plantea una operación y los alumnos y alumnas hacen los cálculos y tachan (o colocan una ficha) el número hasta conseguir bingo. Si se quiere, en cursos bajos, los alumnos pueden cantar línea.

Puzle Es un juego individual o para grupos pequeños. Consiste en construir varias cuadrículas como las que se muestran. Se resuelve el puzle (en nuestro ejemplo, de 3 por 4 piezas), uniendo las piezas por los lados donde aparezca la operación y el resultado correspondiente o las dos operaciones sean equivalentes. 114

A los alumnos se les entrega una copia del puzle desordenada, para que ellos la recorten y peguen correctamente en su cuaderno. Ejemplos de estos puzles podemos encontrarlos, entre otros, en los materiales del grupo Azarquiel que aparecen en la bibliografía, aunque, como en el caso anterior, se puede modificar el tipo de operación y su dificultad según los alumnos y alumnas con que trabajemos.

Atraviesa el panal Es un juego por parejas. Se desarrolla sobre un tablero en forma de panal, con fichas de dos colores distintos para cada jugador. Cada uno, por turno, elige dos números del rectángulo, realiza mentalmente la operación que esté practicando y, si encuentra el resultado sobre el tablero, coloca una de sus fichas. Gana el jugador que consiga unir, mediante una línea (recta o quebrada), dos bordes opuestos del tablero elegidos al comienzo de la partida. En este ejemplo, las operaciones que hay que realizar son sumas y restas. El alumno elige los números y la operación. El nivel de dificultad también es adaptable al concepto que queramos practicar; se puede plantear desde números naturales, enteros, decimales, hasta trabajo con potencias y raíces. Si se aumenta la dificultad, se puede permitir trabajar con calculadora, para comprobar el resultado que se ha elegido. Nuestra experiencia nos ha demostrado que usar la calculadora potencia el cálculo mental, pues los alumnos hacen las operaciones previamente antes de utilizarla. 115

Magia matemática Hoy día es difícil utilizar un recurso que sorprenda y mantenga la atención del alumno, dada la variedad de medios y mensajes que utilizan o reciben habitualmente. Uno de los que lo consiguen son los trucos matemáticos típicos de los magos e ilusionistas. En las clases se puede plantear este recurso como un problema que resolver, en el que hay que utilizar regularidades, propiedades o procedimientos frecuentes en nuestra materia. Suelen ser muy corrientes los trucos para adivinar un número que ha pensado alguien del público sumándole cantidades, multiplicando o dividiendo por valores concretos, etc. Podemos incluir dentro de la magia reglas de cálculo mental rápido, como veremos en los dos ejemplos siguientes, que pueden usarse en el último ciclo de primaria, aunque el segundo, para su demostración, necesita conocimientos algebraicos posteriores.

Multiplicación por 11 Un método rápido para multiplicar por 11 cualquier número consiste en escribir la cifra de las unidades del número; después, sumar la cifra de unidades a las de las decenas, las de las decenas a la de las centenas, y así hasta concluir con la cifra situada más a la izquierda. Todas las operaciones son sumas fáciles de realizar mentalmente. Por ejemplo, sería el siguiente caso: 418976 x 11 418976 418976 4608736

Cuadrado de los números terminados en 5 Para elevar al cuadrado un número terminado en 5 se multiplica el número de las decenas por su consecutivo y se le añade 25. Por ejemplo, para calcular 65 al cuadrado se multiplica 6 x 7 = 42 y se le añade 25; así: 652 = 4225. Este procedimiento sirve para números de más de dos cifras acabados en 5, pero en ese caso el producto de un número por su consecutivo es más complicado de hacer mentalmente. 116

Poesía Suele ser difícil de asimilar el que las matemáticas tengan relación con disciplinas consideradas de letras. Así, cuesta trabajo entender que puedan existir cuentos, relatos, obras de teatro o, por ejemplo, poesías de contenido matemático. A veces, los alumnos o profesores crean versos relacionados con la matemática (Muñoz y otros, 1996), pero también escritores famosos se han adentrado en este mundo. Citamos, entre otros, a Pablo Neruda y su Oda a los números, y a Rafael Alberti y sus poemas A la divina proporción y El ángel de los números. Como ejemplos, añadimos un fragmento de la popular y admirada Gloria Fuertes, dedicado a la multiplicación, y otro de la premio Nobel de literatura de 1996 Wislawa Szymborska, referido al número pi. Canción de multiplicar Con esta canción de multiplicar, cantar y contar, jugar y estudiar, todo en un momento, ¡qué mágico invento!, te aprendes la tabla, sin aburrimiento. Una por una es una, come la aceituna. Una por dos, dos, saca los cuernos al sol. Dos por una es dos, una pareja son dos. Dos por dos son cuatro, mira tu retrato. Número pi Digno de admiración es el número pi (tres coma uno cuatro uno). Todas sus cifras siguientes también son iniciales (cinco nueve dos), porque nunca se termina.

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No se deja abarcar con la mirada (seis cinco tres cinco), con los cálculos (ocho nueve), con la imaginación (siete nueve), o en broma (tres dos tres ocho), es decir, por comparación (cuatro seis) con nada (dos seis cuatro tres) en el mundo.

Leer y comentar estos poemas con los alumnos y alumnas y hacerles propuestas en esa línea, adaptadas a su nivel, suele dar sorpresas agradables y permite trabajar interdisciplinarmente. Pero no solamente en poemas se pueden encontrar conceptos matemáticos. Recientemente se han publicado dos libros escritos por no matemáticos, que han tenido un gran éxito: El diablo de los números, de Hans Magnus Enzensberger, ensayista alemán, y ¿Odias las matemáticas?, de la psicóloga Alejandra Vallejo-Nájera. Ambos libros están escritos pensando en todas aquellas personas que temen a las matemáticas, y de ellos disfrutan, además, todas las que las aman. Clásica es la novela El hombre que calculaba, de Malba Tahan, donde en un ambiente oriental se suceden situaciones que sólo puede resolver la lógica.

Prensa En un tiempo en el que la omnipresente televisión nos desinforma, entretiene y manipula como le viene en gana, puede pensarse que la prensa ha perdido su fuerza. Sin embargo, en los círculos de decisión y entre las personas cultas, la prensa conserva mucho poder e influencia. Por ello, los alumnos deben acercarse a la prensa y, además, hacerlo de una manera crítica. Existen infinidad de ejemplos de utilización de la prensa, aunque las experiencias que se conocen en nuestro país suelen estar circunscritas mayoritariamente al nivel de secundaria obligatoria (Muñoz y otros, 1995). Pero en primaria también se pueden hacer actividades con la prensa, de las que vamos a señalar algunas. Comparación de medidas: se les pide a los alumnos que busquen en el periódico cosas que sean más grandes que ellos y que las clasifiquen en distintos conjuntos. Medidas: se les pide que localicen distintas medidas en el periódico (de tiempo, de tamaño, de dinero, etc.).

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Formas: desde el momento en que empiezan a conocer las formas geométricas, se les puede indicar que busquen en el periódico, recorten y peguen en su cuaderno figuras que conozcan escribiendo el nombre junto a ellas. Tiempo: con alumnos pequeños, la guía de televisión puede servir para estudiar las horas; con alumnos algo mayores sirve para calcular la duración de un programa. Con otros alumnos y alumnas, pueden valer los anuncios de viajes para el manejo de estas medidas: cuánto dura el viaje; si tu autobús sale el lunes, cuándo llegarías, etc. Áreas: en los anuncios de viviendas suelen aparecer plantas de pisos, que los alumnos y alumnas pueden reproducir y, con ellas, calcular el valor de las superficies de cada habitación. Números: con niños muy pequeños se les puede pedir que busquen los números desde el 0 en adelante (según los que conozcan); que los recorten y que los peguen ordenadamente en su cuaderno. En otro nivel tendrán que encontrar, por ejemplo, números pares e impares y agruparlos en dos conjuntos (se pueden considerar múltiplos de cualquier número que conozcan, por ejemplo, de 5). Para contar pueden calcular el número de letras de un titular, o el número de páginas que se dedican a deportes, etc. Ordenar: pueden trabajar con las ordenaciones en los deportes, pero también, por ejemplo, con las temperaturas del día anterior, en qué ciudad ha hecho más frío y en cuál más calor, en qué ciudad ha cambiado más la temperatura, etc.

Vídeo Mientras que, en secundaria, a veces hay problemas para poder utilizar vídeos en clase, en primaria es corriente que se disponga de horas reservadas para que los grupos puedan pasar por la sala de proyección a ver películas. Desgraciadamente, a veces esas películas son más de actualidad que educativas (mucho Walt Disney, pero poco documental). Quizá no se utilicen películas didácticas en algunas materias por el desconocimiento de su existencia. En secundaria sí está muy desarrollado este tema (Muñoz y Pérez, 1998), pero en primaria hay pocas cosas escritas, a pesar de existir buenos materiales videográficos de utilización directa en clase. Veamos dos ejemplos concretos. 119

La patrulla matemática Son una serie de programas realizados para la televisión en Canadá por la TV Ontario. Se han traducido diez episodios (cada uno de ellos de 15 minutos de duración) y son muy atractivos para los primeros años de primaria. En concreto, a través de dibujos animados y teatralización de personajes, se presentan las operaciones aritméticas básicas, como sumas y restas. El hilo conductor es un personaje que representa un detective matemático que va disfrazado de canguro, y el supervillano, que debe existir en toda gran producción, tiene el atractivo nombre de Lord Menos (que es el que resta).

Alicia en el País de las Transformaciones Geométricas Colección de tres programas realizados por la Fundación Serveis de Barcelona, en los que una niña (el personaje de Alicia) llega a un mundo maravilloso, donde personajes representados por muñecos la introducen en el mundo de la geometría, a través de deformaciones del plano, simetrías, giros, etc.

Y lo que se quedó en el tintero Hemos hecho un recorrido, lo más escueto posible, por una variedad de recursos interesantes para motivar a los alumnos. Pero, por supuesto, se han quedado muchos sin poder ser incluidos en estas páginas. Hay actividades muy interesantes para los alumnos de primaria y ESO con recursos como el cómic, la fotografía (sobre la que hemos incluido un artículo en la bibliografía y que ya se ha tratado en otros monográficos de esta revista), los pasatiempos tomados de la prensa, el teatro, otros medios de comunicación, como radio o televisión, juegos de ordenador, la enorme potencialidad de Internet, etc. Tan grande es el número de recursos, que el pasado año se celebró en Granada un seminario de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas, en el que, en cada una de las mesas de trabajo, se desarrolló algún material o recurso, correspondiente al tema concreto de ese grupo de trabajo. En ese seminario había una mesa dedicada a múltiples recursos que no estaban incluidos en los precedentes, y así había matemáticas y arte, consumo, literatura, medio ambiente, deficiencias auditivas y visuales, etc. 120

En este artículo hemos querido abrir un abanico de posibilidades para que los profesores y profesoras interesados tengan caminos por donde investigar y desarrollar su trabajo cotidiano. En los artículos reseñados en la bibliografía, es posible encontrar más referencias para que cada cual ahonde en el tema que le parezca más atractivo.

Nota 1.

Juan Antonio Hans, José Muñoz, Antonio Fernández Aliseda, Josefa M.a Aldana

Referencias bibliográficas AA.VV. (1998): «Juegos y matemáticas». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 18. — (1999): «Matemáticas y juegos». Aula de Innovación Educativa, 78. CORBALÁN, F. (1998): «Matemáticas y vida cotidiana», en: Guía Praxis para el Profesorado de Matemáticas, pp. 379-479. ELFERS, J. (1982): El tangram. Barcelona. Labor. FERNÁNDEZ ALISEDA, A.; MUÑOZ, J.; PORRAS, A. (1999): «Aprovechamiento didáctico de la actividad “Fotografía y matemáticas”». Suma, 31. GRUPO ALQUERQUE (1998): «El juego en la clase de matemáticas». Revista del X Open Matemático, pp. 8-17. — (1999): «Con las matemáticas sí se juega». Andalucía Educativa, 12, pp. 20-21. GRUPO AZARQUIEL (1991): Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid. Síntesis. — (1997): En dos palabras. Madrid. SM. GRUPO CERO (1995): Matemáticas para la educación secundaria. Madrid. MEC. Edelvives. MUÑOZ SANTOJA, J. (1996): «Las matemáticas en la semana de la prensa». Epsilon, 35, pp. 259-273. MUÑOZ SANTOJA, J; PÉREZ SANZ, A. (1998): «El vídeo en clase de matemáticas: ¡Vaya unas historias!». Suma, 29, pp. 81-88. 121

MUÑOZ, J.; CASTRO, M.; PONZA, M.aV. (1996): «¿Pueden las matemáticas rimar?». Suma, 22, pp. 97-102. MUÑOZ, J.; FERNÁNDEZ, J.; BUENO, B. (1995): «El día de la prensa». Números, 26, pp. 47-64. MUÑOZ, J. y otros (1998): «Bricolaje matemático», en: Actas de las VIII JAEM. Burgos. Sociedad Castellano-Leonesa de Profesores de Matemáticas. PAPERT, S. (1981): Desafío a la mente. Computadoras y educación. Buenos Aires. Galápago.

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Educación secundaria

11 Los juegos de conocimientos: un recurso para enseñar matemáticas Ana García Azcárate ICE de la Universidad Autónoma de Madrid Si la vida corriente suministra tantos modelos y situaciones aptas para la enseñanza matemática, es natural que busquemos, asimismo, modelos matemáticos en los juguetes que tan esencial papel desempeñan en la vida del niño, promoviendo su más espontánea actividad. Este acercamiento entre matemática y juguete nos suministrará, sin duda, amplias sugerencias para alcanzar la meta ideal de nuestra enseñanza, que es la de convertirla recíprocamente en un juego para el niño. (Puig Adam, 1960)

Convertir la matemática escolar en un juego para niños, sería la meta deseada pero difícilmente alcanzable para cualquier docente que se dedique a enseñar a los estudiantes de ESO. Y para conseguir esta meta, los profesores y profesoras han recurrido siempre a todos los medios a su alcance. El empleo de todo tipo de materiales para ayudar al aprendizaje no es algo nuevo para los que enseñan matemáticas en nuestro país. En el año

Artículo publicado en Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 18, pp. 47-57, octubrenoviembre-diciembre 1998.

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1957 se celebró en Madrid el primer congreso internacional dedicado exclusivamente al material didáctico matemático y cuando se leen las aportaciones que allí se hicieron, uno se da cuenta de la auténtica tradición en buscar medios que favorezcan la relación de los alumnos y alumnas con las matemáticas. Sin embargo, la realidad es que muchos estudiantes al llegar a la etapa de la ESO sienten un auténtico rechazo hacía la asignatura. Contemplan como espectadores pasivos los intentos de los profesores y profesoras por hacerles partícipes de alguna actividad relacionada con ellas, y en general se defienden, negando significado a los contenidos vistos en clase y recurriendo a la memorización sin sentido; al volver a fracasar, se reafirman en su postura en contra de lo matemático...

¿Cómo romper esta dinámica? La introducción de juegos y pasatiempos en las clases puede servir para eliminar este bloqueo inicial, sortear el rechazo hacia todo lo matemático y hacer que estos alumnos y alumnas lleguen a experimentar un cierto placer en lo que para ellos es un juego. Camous escribe (1995): Algunos estudios lúdicos han dado origen a teorías matemáticas fundamentales.... No obstante, el valor profundo de los juegos matemáticos no se limita a estos descubrimientos magistrales; en el plano pedagógico, constituyen un material de valor excepcional para la enseñanza de la matemática. La atracción y el interés que despierta el juego garantizan el esfuerzo que requiere la investigación matemática. En nuestra época, los docentes científicos esclarecidos saben aprovechar en sus clases la motivación excepcional que suscitan las actividades recreativas. Éstas son generadoras de placer espontáneo y por esa vía la matemática deja de parecer una disciplina triste y los matemáticos unos aguafiestas.

Porque la palabra juego lleva consigo la idea de placer, de diversión, y a nuestros alumnos y alumnas, desde luego les apetece divertirse. En eso consiste el enorme potencial de los juegos matemáticos; para jugar, competir, ganar, van a apostar, adivinar, conjeturar, sacar conclusiones, organizar información, tantear, calcular, desechar... y todos éstos, son 126

objetivos que nos marcamos cuando pretendemos que los estudiantes hagan matemáticas.

Los juegos de conocimientos Los ejemplos de juegos que queremos analizar aquí, son juegos cuyos contenidos son algunos de los tópicos clásicos de las matemáticas de la ESO, los llamados juegos de conocimientos que se suelen diferenciar de los juegos de estrategia, juegos en los que se trataría de poner en marcha uno o varios procedimientos típicos de resolución de problemas. Hemos recalcado en esas definiciones que nos pueden servir para una primera clasificación de los tipos de juegos, las palabras, tópicos clásicos, para dar a entender que si uno tiene claro que los contenidos de los programas de matemáticas engloban tanto procedimientos del tipo: «resolución de ecuaciones de primer grado por transformación algebraica...» como «búsqueda y expresión de propiedades...» o «formulación de conjeturas...», la separación entre juegos de conocimientos y juegos de estrategia es muchas veces ambigua. Si añadimos a esto, el hecho de que muchos juegos de conocimientos necesitan para su desarrollo de ciertas estrategias generales, vemos claramente que la clasificación de los juegos no es una materia cerrada. Es cierto que todavía para un gran número de profesores y profesoras de matemáticas, el enseñar las estrategias propias de resolución de problemas con ejemplos prácticos no se considera avanzar en el programa, pero, según se vaya tomando conciencia de que desarrollar la habilidad para resolver problemas es una de las metas más prominentes de la educación matemática, la separación entre juegos de conocimientos y juegos de estrategia ira desapareciendo. Todos los juegos matemáticos pueden tener objetivos instruccionales y permitir que los alumnos y alumnas vayan desarrollando una actividad rica en contenidos propios de la matemática.

¿Cómo tiene que ser un buen juego de conocimientos? El elemento claro de motivación de los juegos es un cheque en blanco que nos dan nuestros estudiantes; a priori, contamos con la mejor situación en cuánto a las actitudes: están expectantes, dispuestos a actuar, a 127

jugar. Pero esta situación se puede claramente desaprovechar si los juegos que ofrecemos, no tienen unas condiciones mínimas. Por eso creemos que los juegos matemáticos deben cumplir las condiciones que se indican a continuación.

Deben tener una presentación motivadora, para que apetezca jugar con ellos No se trata de conseguir, si el juego es de fabricación propia, un aspecto semejante a los juegos modernos actuales, que venden con la imagen, pero los medios tecnológicos que se encuentran actualmente en los centros escolares posibilitan al menos que nuestros juegos tengan un soporte digno y cuidado.

Deben tener reglas sencillas y conocidas por todos Las reglas son lo que caracterizan los juegos. Estas reglas deben ser entendidas por todos los alumnos y alumnas antes de iniciarse la fase de puesta en práctica del juego. Numerosos juegos de conocimientos se basan en juegos que se utilizan fuera de la escuela y que se aprovechan en clase de matemáticas para trabajar determinados contenidos matemáticos. El ejemplo 1 que presentamos a continuación pertenece a este tipo y entre los comercializados, el caso de los dominós es muy conocido. Al utilizarlos en clase, la mayoría de los estudiantes conocen las reglas del juego tradicional y les es fácil empezar a jugar incorporando los elementos nuevos introducidos por el profesor. Se produce además un elemento positivo cuando se aprovechan juegos de procedimiento conocido. Una de las grandes dificultades a las que se enfrenta el profesor en la etapa de la ESO es cómo tener en cuenta las diferencias que existen entre los alumnos y alumnas del grupo; diferencias de aptitudes pero también diferencias de actitudes que dan lugar a papeles estables: «éste es bueno», «yo no valgo para las mates», dicen los propios estudiantes. Cuando un alumno que no vale para las matemáticas es en cambio, y los hay, un experto jugador de dominó o de cartas, su situación frente a sus compañeros y compañeras al iniciarse el juego cambia radicalmente, y puede pasar a jugar un papel activo y protagonista que en condiciones normales nunca habría llegado a tener. 128

Los contenidos matemáticos implicados en el juego deben ser adecuados para los alumnos y alumnas Uno de los problemas más graves al que se puede enfrentar un docente que decide utilizar un juego de conocimientos en su grupo, es que el juego maneje contenidos matemáticos fuera del alcance de los jugadores. Si se trata de un juego preinstruccional1 esto puede ocurrir porque el profesor o la profesora presupone unos conocimientos previos que los alumnos y alumnas no poseen o en el caso de un juego postinstruccional, porque no se han cumplido los objetivos marcados en el trabajo anterior. En todos los casos, una forma interesante de aprovechar los juegos de conocimientos ya diseñados, como los que presentamos aquí, es cambiando los contenidos concretos que aparecen, por otros más acordes al nivel del grupo. Los medios gráficos y tipográficos de los que se dispone actualmente en los centros y en los centros de profesores y recursos permiten estos tipos de cambios sin muchas dificultades. Los juegos de conocimientos permiten así, enfrentarse al problema de la diversidad. Efectivamente, un mismo juego de conocimientos, con el mismo soporte lúdico pero con distintas cartas, tarjetas, se puede estar jugando en un grupo, de forma simultánea. El profesorado, debe previamente incorporar contenidos matemáticos de distintos niveles de complejidad a las colecciones de tarjetas o cartas y elegir para cada grupo de jugadores, el nivel adecuado al equipo. Esto exige, desde luego, el formar equipos de niveles homogéneos dentro de la clase pero, a cambio, es una garantía para conseguir la participación activa de todos los alumnos y alumnas.

Deben durar aproximadamente una sesión de clase Los juegos de conocimientos, no se pueden acabar en casa, ni el día después. Además, si el nivel matemático de una partida de cartas o de un juego de conocimientos es el adecuado, no tiene por qué durar mucho; lo contrario implicaría seguramente el cansancio o el aburrimiento de los estudiantes.

Trabajar destrezas Con los juegos de conocimientos, se consigue por ejemplo trabajar destrezas numéricas o destrezas algebraicas y conseguir una mejora que en condiciones normales sólo se obtiene mediante la repetición aburrida de ejercicios. Con un juego, se puede vencer el tedio de nuestros alumnos y 129

alumnas y motivarles a una actividad matemática que en otras condiciones no habrían querido llevar a cabo. Presentamos un ejemplo de juego de conocimientos para trabajar destrezas algebraicas.

Ejemplo 1: chinchón algebraico Material: una baraja de ecuaciones para cada grupo de cuatro. Valor

Ecuaciones

1

3x + 8 = 4x + 7

x/2 + 1/2 = x

7x + 5 = 6x + 6

5 - 3x = x+1

2x - 7 = x - 6

2

8 - 3x = 10 - 4x

1 - 2 x = x-5

4x/3 - 2/3 = x

3x - 5 = 3 - x

2x + 8 = 6x

3

x/3 - 3 = 5 - 7x/3

2x + 7 = 6x - 5

4x - 7 = 3x - 4

x + 3 = 12 - 2x

x/2 + 8 = 5x/2 + 2

4

-2 - x = x - 10

2x - 3 = x/2 + 3

2(x + 1) = x + 6 -2x + 15 = 2x - 1

5

2x - 7 = 8 - x

-3x - 1 = -21 + x 3x - 10 = 15 - 2x

3x/2 - 15/2 = 0

-8x - 4 = -9 - 7x

6

2x - 4 = 14 - x

5x - 10 = 26 - x

-3x + 8 = 2x + 2

x + 8 = 20 - x

x/6 + 8 = 9

2 - x = x/2 - x

Reglas del juego: Juego para cuatro jugadores. Se establece el orden de jugada, empezando por turno cada jugador. Se reparten cuatro cartas a cada jugador, quedando las sobrantes en un montón, boca abajo, encima de la mesa. El juego consiste en conseguir un trío de ecuaciones de la misma solución (del mismo valor) y una cuarta ecuación de solución menor o igual a 2 ( de valor 1 o 2). El primer jugador, coge del montón del centro una de las cartas y deja sobre la mesa, boca arriba, otra que no le interese. El segundo jugador, puede ahora, o coger si le interesa, la carta que ha dejado el jugador anterior, o escoger al azar, una de las del montón. Una vez cogida una carta, deja a su vez una, colocándola boca arriba, encima de las que ya estaban boca arriba. De esta forma, cada jugador debe tener cuatro cartas.

. . . . . .

130

.

Gana el jugador que primero consigue un trío y una cuarta carta de solución menor o igual que 2.

El objetivo de este juego es afianzar la resolución de ecuaciones de primer grado. El nivel de las ecuaciones corresponde a 2.º o 3.º de ESO y se trata de un juego coinstruccional, a utilizar cuando ya se han empezado a resolver ecuaciones por métodos formales. Para jugar se necesita de una preparación previa: durante la hora anterior a la partida, los alumnos y alumnas deben dedicarse a clasificar las cartas según sus valores (soluciones) e incluso apuntar en su cuaderno, si es necesario, las diversas ecuaciones que componen la baraja y su valor (solución). Lo hemos llamado el «chinchón algebraico», por que se parece al juego clásico del chinchón, que se juega con una baraja tradicional. Muchos jóvenes de esas edades, conocen el juego, lo que facilita la comprensión de las reglas. Algunas veces en clase, han surgido propuestas por parte de los alumnos y alumnas del grupo, de cambiar las reglas para jugar. En algunos casos, se trataba simplemente de ampliar las posibilidades de ganar, formando no sólo tríos de cartas sino también escaleras o póquer de cartas, pero en otros, los estudiantes proponían jugar con las mismas cartas a otro juego más conocido por ellos: el juego de «las familias» o algo parecido «al mentiroso». Se pueden aceptar antes de iniciar las partidas, todos los cambios que favorezcan una mayor implicación de los alumnos y alumnas. El juego aparece publicado en García Azcárate (1998).

Trabajar conceptos La idea de que con juegos se pueden reforzar destrezas es relativamente fácil de aceptar por los profesores. Menos reconocida es la ayuda que se puede obtener con juegos de conocimientos para introducir conceptos, o reforzarlos en el caso de que ya se hayan visto anteriormente.

Ejemplo 2: tirar el dado Material: tablas para el recuento, un dado. Reglas del juego: Juego para cinco jugadores, se establecen turnos. El juego se desarrolla en seis series; en la primera serie, el primer jugador se encargará de hacer el recuento, en la segunda hará el recuento el segundo jugador, etc.

. .

131

. . .

Una serie esta formada por 4 tiradas de dado consecutivas de cada jugador, es decir 20 tiradas. Al principio de cada serie, cada jugador apuesta sobre los resultados que se van a obtener con el dado, ¿cuál será el resultado más frecuente, el segundo...?, y escribe su apuesta en una hoja de papel. Durante la serie, se va escribiendo en la tabla los resultados que van saliendo con los dados.

Desarrollo de una serie: después de las 20 tiradas del dado, se puede tener los siguientes resultados en la tabla de recuentos: Serie n.º

1

2

3

4

5

6

IIII 5 III 3 IIII 4 0 IIII I 6 0

La apuesta ganadora es por lo tanto:

o también al no haber salido ni el 4 ni el 6. Puntuación: supongamos que el primer jugador había apostado que los resultados iban a aparecer en el siguiente orden:

132

Tiene el primer puesto correcto y se lleva 1 punto, el tercer puesto correcto y se lleva otro punto y el sexto puesto correcto y se lleva otro punto. Total puntuación del primer jugador en esta serie: 3 puntos. El ganador es que se lleva más puntos con las 6 series. Se trata de un juego para la introducción del concepto de probabilidad como límite de las frecuencias relativas de los resultados del dado en el caso de muchas tiradas. En una primera parte, la clase se divide en grupos de 5 y se realizan las 6 series de 20 tiradas del dado, es decir 120 tiradas, obteniéndose un ganador en cada grupo. En una segunda parte, se plantea a la clase que para decidir cuál de todos los ganadores es el ganador absoluto del grupo, se va a jugar una serie con los resultados de todos los grupos. Para eso, cada ganador hace una nueva apuesta y se suma los resultados de las tiradas de todos los grupos. El ganador absoluto será el alumno o alumna cuya apuesta sea la más parecida al resultado global obtenido con todos los resultados parciales de cada grupo. Es de esperar que al sumar las 720 tiradas de dados hechas por los 6 grupos de clase (suponemos grupos de 30), se obtengan resultados muy parecidos para las frecuencias absolutas. El profesor puede utilizar este hecho para introducir la idea de probabilidad. Presentamos otro juego (ejemplo 3), para afianzar algunos conceptos geométricos.

Ejemplo 3: la cadena geométrica Material: una tarjeta para cada jugador. Reglas del juego: Se trata de un juego para toda la clase. Se reparte una tarjeta por estudiante. Empieza cualquier alumno leyendo la pregunta del anverso de su tarjeta, por ejemplo, empieza el alumno con la tarjeta: ¿quién tiene un triángulo isósceles y rectángulo? Todos miran su tarjeta del lado de las respuestas y contesta el alumno o alumna que posee la tarjeta con la solución. Dando la vuelta a su tarjeta, lee a su vez la pregunta en el anverso de su tarjeta, continuándose la cadena hasta que todos hayan contestado y preguntado una vez.

. . .

133

En las tarjetas, una por persona, se presenta una cadena de preguntas o instrucciones y las respuestas a estas preguntas. Las tarjetas llevan por un lado una pregunta que empieza siempre por: ¿Quién tiene...? y por el otro una respuesta, en forma de frase, número o dibujo que empieza siempre por: Yo tengo... La cadena se cierra, es decir cada pregunta de una tarjeta, tiene una respuesta y sólo una que aparece en el reverso de otra tarjeta. Una forma de ayudar a que el juego se desarrolle con rapidez, es que el profesor vaya apuntando en la pizarra las preguntas y las respuestas correspondientes. La cadena geométrica es un juego que permite consolidar conceptos ya trabajados anteriormente. Está pensada para volver sobre las propiedades de los polígonos, en particular plantea el problema de qué propiedades bastan para determinar un polígono. Por ejemplo, cuando se quiere caracterizar un triángulo equilátero, se puede preguntar: ¿Quién tiene un triángulo con todos sus ángulos iguales? o si se quiere hablar de un cuadrado, se puede preguntar: ¿Quién tiene un cuadrilátero con sus lados y sus ángulos iguales? No se trata por lo tanto de identificar sólo los polígonos más importantes, sino de tener claro qué condiciones bastan para determinar un cuadrado, un rectángulo, un rombo etc. El nivel matemático de las tarjetas está, por lo tanto entre un primer y un segundo nivel de Van Hiele y podría ser utilizado en 2.o o 3.o de ESO. Todas las tarjetas del juego aparecen publicadas en Azarquiel (1997a). La cadena geométrica, es un buen ejemplo de juego de aplicaciones múltiples. Cambiando el contenido de las tarjetas, se pueden formar cadenas para trabajar otros conceptos y destrezas. En Azarquiel (1991) aparecen otros dos ejemplos de cadenas, con contenidos algebraicos.

Trabajar estrategias Los juegos de conocimientos permiten, además de tópicos clásicos, trabajar estrategias como hacer conjeturas, observar regularidades, etc.

Ejemplo 4: sumas de letras Material: una baraja de 10 cartas con 10 sumas diferentes. Reglas del juego: Juego de todo el grupo de clase. Se forman equipos. Cada equipo va escogiendo, boca abajo, una de las 10 cartas de la

. . 134

.

baraja. Resolver la suma entre todos los componentes del equipo con las letras que les han tocado.

5

a

e

a

a

= 14

e

4

a

i

a

= 14

u

o

2

u

e

= 14

o

e

u

3

i

= 14

u

u

e

i

0

= 14

. Gana el equipo que resuelve antes su suma. Con este juego se quiere iniciar a los alumnos y alumnas a la resolución de sistemas. Esta competición con pasatiempos de sumas, permite, además, trabajar estrategias de todo tipo, no sólo relacionadas con el álgebra y los sistemas, como hacer lo mismo de los dos lados de una ecuación, sino mucho más generales, como observar regularidades, hacer conjeturas para el valor de alguna letra, confrontar esta conjetura con el resto de las condiciones... Es un juego preinstruccional, que se puede introducir cuando todavía no saben resolver formalmente sistemas de ecuaciones. Una vez jugado en clase, es importante que los propios estudiantes reflexionen sobre el razonamiento que han seguido para llegar a descubrir los valores de las letras.

A modo de conclusión Los juegos de conocimientos permiten, no sólo motivar, interesar a nuestros alumnos y alumnas, hacerles pasar unos ratos agradables que les muestren que las matemáticas también pueden ser amenas, sino trabajar 135

en clase muchos aspectos matemáticos, tanto conceptuales como procedimentales. Suponen para muchos profesores y profesoras un primer paso hacia una enseñanza más activa, que implique más al estudiante, primer paso no demasiado costoso para ellos, pues no tienen que romper con los contenidos habituales de matemáticas. Una vez dado ese primer paso, y a la vista de los resultados obtenidos en su grupo, modificación de las actitudes de los alumnos y alumnas, participación amplia, trabajo realizado, el docente se podrá plantear seguir con esa metodología. Para ser efectivos, los juegos deben cumplir unas condiciones, ser motivadores, suponer un reto, estar al nivel de los alumnos y alumnas, ser conocidos por ellos y tener una duración limitada. Para los estudiantes, los juegos de conocimientos ofrecen, además de los elementos de motivación de todos los tipos de juego, la posibilidad de la intervención del azar, de la suerte, en el desarrollo del juego, intervención que sirve de igualación para todos. ¡Cuántas veces he visto, en un grupo de clase, con su diversidad de niveles socialmente reconocida, perder en un juego de azar, al bueno o a la mejor de la clase frente al alumno o alumna que nunca había conseguido nada en las clases habituales de matemáticas! ¡Qué motivación para ese estudiante! ¡Con qué ganas, quería seguir jugando y participando!

Nota 1.

Los juegos se suelen clasificar según el lugar que ocupan en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Se distinguen los juegos preinstruccionales, previos a la adquisición de algún contenido, conceptual o procedimental, los juegos coinstruccionales que se utilizan al mismo tiempo que mediante otras actividades se esta introduciendo los contenidos implicados, y los juegos postinstruccionales que sirven para reforzar contenidos ya conocidos.

Referencias bibliográficas PUIG ADAM, P. (1960): La matemática y su enseñanza actual. Madrid. MEC. 136

CAMOUS, H. (1995): Problemas y juegos con la matemática. Barcelona. Gedisa. GARCÍA AZCÁRATE, A. (1998): Pasatiempos y juegos en clase de matemáticas. Madrid. Universidad Autónoma de Madrid. GRUPO AZARQUIEL (1991): Ideas y actividades para enseñar álgebra. Madrid. Síntesis. — (1996): Proyecto Azarquiel. Matemáticas para 1.o de ESO. Madrid. Ediciones de la Torre. — (1997a): En dos palabras. Madrid. S.M. — (1997b): Proyecto Azarquiel. Matemáticas para 2.º de ESO. Madrid. Ediciones de la Torre.

137

12 Las operaciones con fracciones en el primer ciclo de la ESO Manolo Alcalá Maestro de secundaria Para muchas personas, las operaciones con fracciones son un claro ejemplo de aprendizaje matemático escolar: verbalista, rutinario y sin aplicación en el mundo real. El autor escoge precisamente este contenido para reinterpretar el significado de las matemáticas escolares y para hablar del contexto que permite hablar de una enseñanza educativa de las matemáticas. ¿Es posible realizar una enseñanza de las cuatro operaciones aritméticas elementales con fracciones de modo? En otras palabras, ¿es posible suplir la enseñanza constreñida a la memorización de retahílas verbales (como «para dividir fracciones se multiplican en cruz», por ejemplo) y al ejercicio rutinario, que es lo habitual en la ESO, por otra en la que los escolares vayan dando significado a sus aprendizajes, comprendan el porqué de las reglas operatorias y sepan cuándo y cómo aplicar una operación, por ejemplo, la división de fracciones? Aunque teniendo en cuenta que hemos de contemplar distintos niveles de comprensión, podemos decir que el aprendizaje comprensivo de las operaciones con fracciones está al alcance de la mayoría del alumnado de la ESO, pero siempre y cuando persigamos con nuestra enseñanza ese obje-

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa, 107, pp. 38-42, diciembre 2001.

139

tivo. Desde luego, en una semana o dos, esto es, en unas pocas sesiones de trabajo o «explicaciones», que es lo que viene a ser común siguiendo los programas que se derivan de los libros de texto, no alcanzamos tal objetivo, no tanto por la premura del tiempo, sino por la concepción misma del aprendizaje matemático que se desprende de ello: aprender matemáticas viene a ser memorizar y aplicar unas reglas operatorias incorporadas de modo verbal (aunque con ayuda de alguna ilustración y de la explicación verbal) cuyo significado se desconoce, pero que nos llevan al resultado certero valorado por el profesor. Concepción demasiado extendida que conduce, como señalan atinadamente Usón y Ramírez (2000), lamentándose de que la matemática escolar se reduzca a la práctica de algoritmos, a que «en ocasiones, incluso, se definen los conceptos a partir de uno de los algoritmos posibles para desarrollarlos o calcularlos» ocultando así la complejidad del concepto de que se trate. Pues bien, aunque dediquemos a este núcleo del programa más tiempo del habitual, merece la pena perseguir la meta de la enseñanza comprensiva de estas operaciones por las razones que más adelante veremos. En cualquier caso, es sobradamente conocido que el aprendizaje memorístico es epidérmico y, por tanto, efímero, mientras que el aprendizaje comprensivo es significativo y sirve de soporte y facilitador de ulteriores aprendizajes. ¿Cómo enfocar la enseñanza por comprensión de las operaciones en este campo numérico, sabiendo que los niños traen ya un importante bagaje de conocimientos sobre fracciones? En el trabajo de aula que sirve de base al contenido de este artículo se parte, curso tras curso, de dos supuestos básicos: uno, la organización del contexto en el que vamos a trabajar, es decir, de la vida en el aula; otro, la hipótesis básica de aprendizaje. Bien, hablemos primero de la segunda y, después, comentaremos la primera.

Hipótesis básica Las ideas que tenemos sobre cómo se produce el aprendizaje matemático son determinantes a la hora de planificar y realizar nuestro trabajo; ideas que, habitualmente, van imbricadas con otras concernientes a la concepción misma que tengamos del conocimiento matemático. Es decir, qué son las matemáticas escolares y cómo se aprenden: psicología del aprendizaje y epistemología forman un sustrato ineludible sobre el que se 140

asientan nuestras actuaciones en el aula (secuenciación, selección de contenidos, evaluación...). Pues bien, en nuestro caso partimos de la hipótesis de aprendizaje (que luego se convertirá en verdadera tesis) de que las operaciones con fracciones se aprenden como las operaciones con naturales y, por tanto, conviene afrontarlas como una extensión de las operaciones con números naturales. Así como las operaciones con naturales aprendidas tras un largo proceso (varios cursos) de construcción personal a partir de situaciones problemáticas con cantidades, a partir de hechos concretos (y también gracias al trabajo numérico, vale decir, simbólico: cálculo escrito, cálculo mental, etc., pero sabiendo que el resultado obtenido es siempre susceptible de comprobación empírica), así las operaciones con fracciones también son aprendidas gracias a la resolución de situaciones reales con cantidades concretas y teniendo como telón de fondo la comprobación empírica del resultado obtenido. Por tanto, y como en el ámbito de los naturales, la actuación con material físico y la reflexión personal en el seno del grupo sobre lo que hacemos para resolver determinada situación, para encontrar la solución a un interrogante, serán los dos pies sobre los que los aprendices van construyendo, inicialmente, las operaciones con fracciones. Y seguimos un recorrido que tiene como inicio los dos pies citados y como centro la construcción del código operatorio (simbología y normas operatorias) para, una vez elaborado el modelo operacional y su transcripción notacional, aplicarlo a la resolución de otras situaciones, matizándolo, ampliándolo y, progresivamente, convirtiéndolo en herramienta de nuestro propio pensamiento. Pues, como es sabido, en el aprendizaje matemático tan importante es la resolución de situaciones como la construcción significativa del código expresivo (verbal o notacional), ya que, con el tiempo, los aprendices irán abandonando la manipulación concreta y se irán apoyando sólo en el código notacional para resolver problemas. Esas ideas que conforman el núcleo de la hipótesis básica, junto con la experiencia de años, nos llevan a establecer una planificación, una secuenciación de la actividad a lo largo del ciclo que, grosso modo, es como sigue.

Planificación El aprendizaje compresivo de las operaciones con fracciones requiere unos conocimientos previos, entre los que son claves dos que casi todos los 141

alumnos, en mayor o menor medida, poseen a su llegada a la ESO: la noción de equivalencia y la generalización de las estrategias operatorias del sistema métrico decimal. Y en ellos nos apoyaremos para descubrir y convenir estrategias para la resolución de problemitas concretos y para la convención de vías algorítmicas. Al igual que en el mundo de los naturales, en el ámbito fraccionario trabajamos con cantidades de magnitudes ya continuas, ya discretas: un cuarto de hora, la cuarta parte de sesenta minutos, respectivamente, por ejemplo. De modo que al resolver un problema actuamos sobre subdivisiones de un todo continuo o bien sobre unidades sueltas de un todo discontinuo. Y nos valemos para ello de la imprescindible noción de equivalencia, noción que los niños vienen trabajando desde los primeros cursos y en diferentes contextos operacionales. Gracias a la idea de equivalencia descomponemos y recomponemos, y resolvemos con éxito problemitas básicos en los que intervienen agrupamientos o particiones diferentes. Así calculamos con monedas de distinto valor («Si pagas con una moneda de 10 duros y te devuelven veinte pesetas, ¿cuánto te gastaste?»), o expresamos una cierta porción de tiempo («Ha tardado tres horas menos quince minutos en recorrer el camino»), o medimos una longitud («Si de esa cuerda que mide 2 metros cortamos 40 cm, ¿cuánto queda?»). Es un aprendizaje fundamental saber que da igual decir diez decenas que una centena, diez duros que cincuenta pesetas...; escribir 1/2 o bien 4/8; 0,5 m que 50 cm, etc. En definitiva, nos vamos habituando a aplicar estrategias operatorias mediante las que pasamos rápidamente de las expresiones complejas a las incomplejas y viceversa. Es decir, la descomposición en unidades menores o, inversamente, la recomposición en otras mayores es una estrategia operatoria típica del mundo de los naturales en el currículum escolar que, por necesidad, pasa al ámbito de los fraccionarios. Pero pasa con una diferencia fundamental: el código. Tanto a nivel verbal como notacional, el código fraccionario es más complejo y, por menos usado, extraño. En el itinerario que hay que seguir estableceremos tres fases. En la primera fase, la idea de operación con fracciones es la de operación concreta, la misma que con naturales. Comenzaremos por las operaciones aditivas antes de adentrarnos en las multiplicativas. Y trabajaremos los mismos tipos de problemitas y de situaciones que, habitualmente, se trabajan con naturales para que transfieran al ámbito fraccionario los aprendiza142

jes con naturales, especialmente las estrategias de descomposición y/o recomposición derivadas de la noción de equivalencia. Como en el ámbito de lo natural, resolveremos mediante adición problemitas de cambio y/o transformación; mediante la resta, problemas de diferencia entre cantidades fraccionarias, de sustracción, de igualación; mediante división, problemitas en los que la acción sea repartir, agrupar, incluir, etc. A lo largo de esta primera fase vamos realizando, ejecutando la acción concreta con el material (o el apoyo gráfico de los árboles) que más adelante comentaremos acompañándola de su transcripción a código aritmético. Es el mejor modo de ir dotando de significado a la expresión matemática. Pero a medida que van obteniendo agilidad en la resolución de situaciones gracias al cada vez mayor manejo de estrategias de cálculo numérico, es aconsejable ir abandonando la manipulación del material (o el dibujo) y acercarse a la algoritmización. En este sentido, y en lo que se refiere a suma y resta, una estrategia fundamental es la construida para convertir las fracciones en otras equivalentes, pero con el mismo denominador (reducir a común denominador multiplicando los numeradores entre sí). Lo comentado antes sobre la noción de equivalencia muestra en este momento todo su potencial. Los problemitas del formato típico de multiplicación y división son, quizá, de más fácil resolución si su formulación se asemeja a los problemas realizados en cursos anteriores con naturales. Su resolución manipulativa persigue la comprensión real de la situación problemática y la búsqueda de soluciones reales. Y el que esa actividad vaya acompañada de transcripción numérica nos va llevando a descubrir qué técnicas operatorias numéricas (qué «trucos») son las mejores para agilizar la resolución. Una vez encontradas, y practicadas, podemos decir que la primera fase está cubierta. Los problemas propios de esta primera fase son problemas que se resuelven teniendo como telón de fondo la acción concreta, aunque al final de la fase los resolvamos ya sólo a nivel numérico.

Problemas manipulativos 1. En el cumpleaños de Pablo, Irene se tomó 2/4 de litro de coca cola, y Elena, 4/8 de litro. ¿Cuánta coca cola consumieron entre las dos? 2. Si de media tableta de chocolate tomas 1/8, ¿qué te queda? 143

3. Haciendo los deberes, Tatiana le dedicó ayer 1/4 de hora a ciencias sociales, 1/3 a lenguaje, 4/12 a matemáticas y media hora a inglés. ¿Cuánto tiempo estuvo Tatiana haciendo los deberes? 4. En un sorteo, han correspondido 2/3 de tableta a Mirian, y 6/12 a Mario. ¿Quién tiene más chocolate? ¿Cuál es la diferencia? 5. ¿Cuánto he de añadir a 1/3 para obtener 2/4? 6. Si quiero repartir mis 3/4 de tableta entre cinco amigos, ¿cuánto daré a cada uno? ¿Y si fueran sólo dos amigos? 7. En una botella grande de coca cola caben dos litros, es decir, 6/3 de litro; si voy vertiéndola en vasitos de 1/6 de litro, ¿cuántos vasos podré llenar? 8. Sandra tiene en su mesa 9/12 de la tableta de chocolate; ¿puede dar a cada una de sus tres compañeras 1/4 de tableta? 9. En un grupo hay cinco niñas. Si cada una tiene 2/6 de una tableta de chocolate, ¿cuánto tienen entre todas? 10. Pablo tiene 2/16 de tableta; Antonio dice que tiene 4 veces más que Pablo. ¿Cuánto tienen entre los dos? ¿Material? El material que usamos, y que dada la brevedad de este artículo no comentaremos, es, por orden: Cuartillas (la unidad) de papel y subdivisiones sucesivas para las dos familias principales: medios, cuartos, octavos, dieciseisavos y tercios, sextos, doceavos. Las subdivisiones van acompañadas de su expresión en árboles1. Juegos de cartas y dominós diversos. Dos juegos de las dos familias anteriores en cartulina para la realización concreta o simulación de problemas y, sobre todo, el significado del «denominador común» y las estrategias para conseguirlo.

. . .

Pero de la operación concreta pasamos, en una segunda fase que habitualmente coincide con el curso segundo de ESO (según grupos), a otra idea de operación más abstracta y necesaria para secundaria: es la de operación como patrón operatorio numérico con propiedades peculiares. Ahora retomamos, pues, lo realizado con anterioridad, pero entramos ahora en: Problemas aditivos (suma o resta) con fracciones de números de más tamaño, lo que nos conduce a abandonar la anterior técnica

.

144

. .

de reducir a común denominador por la técnica del mcm de los denominadores. Trabajar la «fracción de otra fracción». Y aplicar a una fracción un operador fraccionario.

En esta fase, la comprobación empírica va dejando su espacio a la comprobación y argumentación sobre la base de las propiedades operatorias de las operaciones mismas. Ahora, el algoritmo elegido muestra su eficacia y virtualidad. El mayor o menor dominio adquirido en esta segunda fase nos va a permitir abordar una tercera fase en la que, alejándonos de la realidad física, nos adentramos en el exclusivo reino de lo numérico con: Fracciones en las que entran los negativos. Se retoman las cuatro operaciones anteriores, pero con la simbología propia de los enteros. Dos operaciones nuevas: potenciación y radicación de fracciones en el contexto de los enteros.

. .

Será a posteriori de este largo proceso de creciente abstracción cuando podremos abordar en el ciclo siguiente el tratamiento de las fracciones desde la perspectiva de los números racionales con ciertas garantías de que buena parte del alumnado alcance ese grado de formalización.

El contexto Es conocido por todos que el aprendizaje es un proceso personal, pero que se da en el seno de un grupo y dentro de un contexto. Es decir, el aprendizaje escolar es un aprendizaje «situado», que, a diferencia del aprendizaje informal (el realizado fuera del aula en situaciones de cotidianidad), tiene, entre otras características, la de producirse en el seno de una dinámica ritualizada. En efecto, el rito escolar se concreta en un compendio de normas, unas tácitas, otras explícitas, que han de seguir aprendices y maestro para que el desenvolvimiento de la actividad en el aula sea provechosa: planificar el trabajo y marcar unos objetivos entre alumnos y maestro; seguir las indicaciones, responsabilizarse en el trabajo, respetar el turno de palabra, etc. 145

El aprendizaje escolar puede ser vivo y significativo para la mayoría del alumnado si se inscribe en un contexto adecuado, pues es el contexto lo que determina la cualidad del aprendizaje. El contexto del que hablamos es el de investigación colectiva en clase. O expresado de otro modo: un ambiente de clase guiado por la idea de aprender entre todos: un ambiente cooperativo en el que el maestro organiza, propone, anima y conduce el trabajo centrado en la realización de, en palabras de Miera, «actividades que requieran una reflexión sobre los conceptos matemáticos a partir de situaciones problemáticas» (sin que por ello se menosprecie la necesaria ejercitación y la asimilación de rutinas). Las actividades hay que realizarlas con algo. Ese algo es el material antes citado, que contextualiza la ejecución y el sentido, que proporciona referentes mentales para operar. El material mismo es un elemento importante que contextualiza el aprendizaje. El material, los tipos de actividades que hay que realizar, la ambientación en el aula y el talante del maestro son las cuatro esquinas de ese contexto que comentamos y que nos lleva a un determinado tipo de enseñanza.

La enseñanza indirecta Pues bien, la idea de hacer del aula un contexto que confiera validez cultural y personal a los significados que en él se construyen, junto con la hipótesis básica ya comentada, conduce a la práctica de la enseñanza indirecta. Es éste un estilo de enseñanza caracterizado por trocar la práctica habitual basada en el esquema metodológico explicación-ejercicios por un enfoque abierto centrado en la resolución de actividades problemáticas concatenadas que va proponiendo el maestro. En este enfoque se combina la explicación verbal del maestro con actividades de investigación del alumno, la resolución de problemas abiertos con la ejercitación en problemas típicos, el uso del texto con la indagación con material concreto, etc. Pero siempre pidiéndole al aprendiz que sea él el protagonista de su aprendizaje participando, poniendo de su parte y responsabilizándose de su trabajo. Hay quien dice que este enfoque que comentamos hace una enseñanza seductora al pretender atraer a los niños hacia el saber matemático, hacia el descubrimiento de la magia que posee la matemática, hacia la construcción del saber por uno mismo. Por mi parte prefiero hablar de ense146

ñanza educativa, pues me parece más relevante destacar que lo importante no es tanto «aprender» mucho de, en este caso, de fracciones, sino desarrollar capacidades y hábitos; y, sobre todo, aprender a ser personas respetuosas con los demás, cooperativas y responsables. De ahí que al principio de este artículo expresara la importancia de dos pies: uno, la interpretación del aprendizaje que nos lleva a establecer una secuencia de enseñanza ajustada a las posibilidades «naturales» de la mayoría de los alumnos; y otro, el contexto que ha de ser a la vez motivador y educativo.

Nota 1.

ALCALÁ, M. (1986): Fracciones (Otras matemáticas, otra escuela, 2). Granada. Escuela Popular.

Referencias bibliográficas MEIRA, L. (2000): «Lo real, lo cotidiano y el contexto en la enseñanza de las matemáticas». Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 25, p. 69. USÓN, C.; RAMÍREZ MARTÍNEZ, A. (2000): «¿Por qué seguir anclados en Egipto?». Suma, 35, p. 28.

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13 De la calle al ordenador José Antonio Mora Profesor de secundaria. Alicante La rápida evolución de la tecnología tiene su principal reflejo en la mejora de los programas que facilitan la comunicación entre la persona y la máquina. Esto nos permite trabajar en nuestras clases con situaciones más cercanas a la realidad. En principio, la introducción del ordenador en la escuela produce una sensible mejora en el rendimiento de los estudiantes en otras áreas del currículo; cuando pueden aplicar sus conocimientos informáticos se muestran más motivados; el problema es que tan sólo algunas situaciones prácticas y/o escolares son trasladables al ordenador: unas son demasiado complejas para el nivel de los estudiantes y, para otras, no tenemos las herramientas adecuadas que faciliten la traducción de la situación. Este vínculo entre lo que ocurre en la calle y el ordenador se produce cuando encontramos la confluencia de tres hechos relevantes: 1. Una situación potencialmente rica en conocimientos: aquella respecto a la cual estamos convencidos de que las ideas que surgen de su estudio provocarán en los estudiantes un mejor aprendizaje de los conocimientos matemáticos. Es el caso de las matemáticas utilizadas en la tecnología, varillas articuladas, ruedas, engranajes, poleas, etc., que tanto tienen que ver con

Artículo publicado en Aula de Innovación Educativa , 58, pp. 20-21, enero 1997.

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conceptos matemáticos elementales, como la idea de polígono y sus propiedades; y otros más complejos, como las ideas de proporcionalidad, la construcción de curvas o el estudio de los movimientos. 2. Una masa crítica: suficiente acumulación de experiencias. Tenemos ejemplos en los intentos ya clásicos de hacer matemáticas con el mecano, la bicicleta o las marchas de los vehículos. Muchos de estos mecanismos están recogidos en el excelente libro de Bolt (1992). 3. La herramienta adecuada para la traducción de esas situaciones reales. La posibilidad de trasladar ese conjunto de ideas –junto a otras nuevas que surgirán por el camino– al ordenador, que, con su capacidad de cálculo y sus posibilidades de tratamiento de la información, se constituye en una herramienta que da nueva forma a nuestras ideas. Éste es el caso del programa Cabri II, cuyo objetivo principal es el del aprendizaje de la geometría, y que podemos utilizar como un instrumento eficaz para la simulación de fenómenos reales. Una vez que tenemos estos tres requisitos, ya sólo queda la sencilla tarea de mezclarlos en las proporciones adecuadas para producir el efecto deseado. Durante el camino hay que sortear pequeños obstáculos que provienen de la dificultad de la misma situación, de la adecuada selección de los elementos esenciales del proceso y también del proceso de aprendizaje del lenguaje de programación. En este sentido, Cabri II se compone de unos pocos elementos básicos: puntos, líneas, polígonos, etc., posibilidades de combinación y transformación de esos elementos, una colección de instrumentos de medida y cálculo junto a herramientas que facilitan la presentación. Con ese sencillo bagaje es posible diseñar elementos complejos, que incluyen nuevas posibilidades de las que no disponíamos en anteriores herramientas para el aprendizaje de la geometría: Admite el movimiento. Puede construirse el diseño de forma que, cuando se accione el pedal con la herramienta animación, todo el sistema –los puntos que hayamos asociado al que actúa como pedal– se mueva con él simulando el funcionamiento de la máquina. Permite la inclusión de algunos elementos variables que podemos modificar a nuestra elección. En este caso, con un simple movi-

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miento del ratón podemos variar el radio del plato, el del piñón y también el tamaño de la rueda. Posibilita el que el programa aprenda con nosotros mediante la construcción y ejecución de procedimientos o macroconstrucciones que, una vez construidas, podrán utilizarse en cualquier momento. Introduce el color, haciendo que los diseños sean más atractivos y realistas.

Para ver las posibilidades de este programa, puede analñizarse una composición básica utilizada en tecnología, como es el triángulo de base variable, que en Cabri II produce un diseño como el de las figuras 1 y 2: dos barras OQ y PQ de longitud fija están articuladas junto a una tercera, PQ, en forma de triángulo en el que la base OP es variable, y P se mueve entre los Figura 1 puntos X e Y. Resulta difícil explicar sobre el papel y con sólo un par de imágenes, una secuencia que en el ordenador puede verse en movimiento; el lector debe representar en su mente el punto P, moviéndose de izquierda a derecha; el segmento OP se hace más o Figura 2 menos largo, el segmento OQ gira alrededor de O y PQ se mueve para cerrar el triángulo. Esta construcción tan sencilla tiene importantes aplicaciones prácticas en muchos de los aparatos que nos rodean, como en los casos siguientes. 151

El gato elevador Prolongamos el segmento PQ y situamos sobre él ciertos puntos donde colocar soportes que actuarán como elevadores. Cuando desplacemos el punto P para acercarlo o alejarlo de O, podemos estudiar la trayectoria que describen que esos puntos Q, Q’, Q’’, Q’’’.

La puerta levadiza Al subir o bajar el punto P –modificar la longitud del segmento OP–, conseguimos variar la inclinación de la puerta en la que está situado el segmento PQ para que se abra o se cierre el portón. Es un tipo de puerta muy utilizada en garajes.

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El motor de explosión El émbolo que se mueve en el interior del cilindro está conectado por una biela a un volante que gira alrededor de un eje con centro en O.

El hinchador de pie El triángulo de base variable se acciona desde una palanca en A, que obliga al émbolo a avanzar por el interior de un cilindro para expulsar el aire. El freno hidráulico de los automóviles tiene un funcionamiento muy parecido al de este hinchador. Con el triángulo de base variable podemos diseñar estos y otros mecanismos como el dispositivo para abrir o cerrar la hamaca, simular el movimiento de la aguja en la máquina de coser, transformar el movimiento circular de un motor en otro de vaivén para una conseguir una limadora, o accionar la palanca acodada para cerrar el pasador de la ventana. Si ampliamos el punto de vista a las articulaciones basadas en otros polígonos, como el paralelogramo, el trapecio, los cuadriláteros en general o el círculo, tendremos otros mecanismos con 153

resultados tan interesantes como el limpiaparabrisas del autobús, que siempre se mantiene vertical; el diseño de una máquina de calar, el mecanismo para levantar la tapa del cubo de basura, la máquina excavadora o los engranajes de combinaciones de poleas. El pequeño inconveniente y la gran ventaja de este tipo de proyectos es la dificultad de agotar las líneas de trabajo iniciadas, y además no cesan de surgir nuevos temas para su análisis desde esta nueva óptica: trazado de curvas mecánicas, trayectorias y curvas de persecución, construcción de mosaicos y celosías, resolución de problemas clásicos de la geometría y el diseño de poliedros y figuras en tres dimensiones son temas que han ido abriéndose en el trabajo. Esta forma de utilizar el ordenador abre nuevas perspectivas para el aprendizaje de las matemáticas: Fomenta el aprendizaje de la geometría dinámica frente a la geometría estática del papel impreso. Nuestros estudiantes se pueden preparar para el análisis de muchos mecanismos que encuentran en la calle. Conecta las matemáticas con un área de conocimiento importante en nuestra sociedad como es la tecnología. Permite dar a las matemáticas un enfoque práctico que atrae a los estudiantes a la investigación y el estudio. El carácter interactivo del programa de ordenador: la posibilidad de introducir cambios y comprobar el efecto de esos cambios difícilmente puede conseguirse con otros materiales.

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Para terminar, cabe señalar dos posibilidades para la utilización didáctica de los mecanismos realizados en Cabri II, dependiendo del tipo de trabajo que se desee proponer a los estudiantes: Diseño de mecanismos sencillos: los estudiantes de secundaria se familiarizan rápidamente con las herramientas y la filosofía del programa, y en poco tiempo muchos se encuentran en disposición de elaborar algunos diseños sencillos (el gato, la puerta levadiza, etc.). Manipulación de máquinas complejas: la preparación por parte del profesor de matemáticas, si es posible junto con el de tecnología, de algunos diseños que inciden en los temas del currículo de cualquiera de las dos asignaturas. En matemáticas tenemos el estudio de polígonos, las transformaciones geométricas o el trazado de curvas.

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Referencias bibliográficas BOLT, A.B.; HISCOCKS (1970): Machines, mechanims and mathematics. Mathematics for the Majority Project. Londres. Chatto & Windus. The School Council. BOLT, B. (1992): Matemáquinas. La matemática que hay en la tecnología. Barcelona. Labor. CUNDY, H.M.; ROLLET, A.P. (1978): Modèles mathematiques. París. CEDIC.

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Glosario APA: Asociación de Padres de Alumnos BUP: Bachillerato Unificado Polivalente CAES: Centro de Acción Educativa Singular CC.AA.: Comunidades Autónomas CEIP: Centro de Educación Infantil y Primaria CEP: Centro de Profesores CI: Comisión Impulsora COU: Curso de Orientación Univeristaria CP: Colegio Público CPR: Centro de Profesores y Recursos CRA: Centro Rural Agrupado CRP: Centro de Recursos Pedagógicos DCB: Diseño Curricular Base EAP: Equipo de Asesoramiento Psicopedagógico EE.MM.: Enseñanzas Medias EGB: Educación General Básica EPA: Educación Permanente de Adultos ESO: Educación Secundaria Obligatoria FP: Formación Profesional ICE: Instituto de Ciencias de la Educación LGE: Ley General de Educación LODE: Ley Orgánica del Derecho de Educación LOGSE: Ley Orgánica General del Sistema Educativo MEC: Ministerio de Educación y Ciencia NEE: Necesidades Educativas Especiales OCDE: Organización de Cooperación y Desarrollo Económico PAEP: Proyecto de Acción Educativa Preferente PAFPZ: Plan de Actividades de Formación del Profesorado de la Zona PC: Proyecto Curricular PCC: Proyecto Curricular del Centro PE: Proyecto Educativo PEC: Proyecto Educativo del Centro PFC: Proyecto de Formación en Centros PGA: Programación General Anual RRI: Reglamento de Régimen Interior ZER: Zona Escolar Rural 157

C LAVES

PARA LA I NNOVACIÓN E DUCATIVA Los títulos publicados desde el inicio de la colección se pueden encontrar en www.grao.com 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Figuras, formas, colores: propuestas para trabajar la educación plástica y visual Motivación, tratamiento de la diversidad y rendimiento académico. El aprendizaje cooperativo La música en la escuela: la audición Emociones y educación. Qué son y cómo intervenir desde el aula La educación física desde una perspectiva interdisciplinar Educación para la salud: la alimentación La escuela inclusiva. Prácticas y reflexiones La planificación didáctica La composición escrita (de 3 a 16 años) Matemáticas re-creativas Eduación ambiental. Propuestas para trabajar en la escuela Hablar en clase. Cómo trabajar la lengua oral en el centro escolar La mediación escolar. Una estrategia para abordar el conflicto Filosofía en la escuela. La práctica de pensar en las aulas Aprender autónomamente. Estrategias didácticas Las lenguas extranjeras en el aula. Reflexiones y propuestas Transformando la escuela: comunidades de aprendizaje La sostenibilidad, un compromiso de la escuela La secuencia formativa. Fases de desarrollo y de síntesis La transición entre etapas. Reflexiones y prácticas La creatividad en la clase de música: componer y tocar Sexualidad, identidad y afectividad. Cómo tratarlas desde la escuela La educación artística en la escuela Educar desde la discapacidad. Experiencias de escuela El juego como estrategia didáctica Hacemos ciencia en la escuela. Experiencias y descubrimientos Escuela/territorio. Experiencias desde los centros y desde la comunidad Recursos y estrategias para estudiar ciencias sociales Los proyectos de trabajo en el aula. Reflexiones y experiencias prácticas Escuela y cultura digital. Internet como recurso La salud física y emocional del profesorado. Reflexiones y recursos