Matemáticas PES Volumen II

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Matemáticas Temario Volumen II

Jesús Gómez Gómez Fulgencio García Gómez Emilio M. Pina Coronado Jorge Navarro Camacho

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Matemáticas

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Coordinación: Isabel García Lucas TRIVIUM. Centro de Oposiciones de Murcia

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Jesús Gómez Gómez Licenciado en Ciencias Exactas y en Ciencias de la Educación-Pedagogía. Catedrático de Matemáticas en el IES Diego Tortosa, de Cieza (Murcia). Fulgencio García Gómez Licenciado en Ciencias Exactas. Profesor de Matemáticas en el IES Infanta Elena, de Jumilla (Murcia). Emilio M. Pina Coronado Licenciado en Psicología. Profesor en el IES José Castillo Puche, de Yecla. Jorge Navarro Camacho Doctor en Ciencias Matemáticas por la Universidad de Murcia. Profesor Titular de Facultad del Departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Universidad de Murcia.

© Editorial MAD, S.L. © Los autores. Segunda edición, julio 2007. Depósito Legal: SE-3787-2007 (II) (550 páginas) Derechos de edición reservados a favor de EDITORIAL MAD, S.L. Prohibida la reproducción total o parcial sin permiso escrito del editor. IMPRESO EN ESPAÑA. Diseño Portada: EDITORIAL MAD, S.L. Edita: EDITORIAL MAD, S.L. Plg. Merka, c/B. Nave 1. 41500 ALCALÁ DE GUADAÍRA (Sevilla). Telf.: +34 902 452 900. WEB: www.mad.es ISBN-13: 978-84-665-7920-9. ISBN-10: 84-665-7920-6. ISBN-13 obra completa: 978-84-665-0948-0. ISBN-10 obra completa: 84-665-0948-8.

Presentación El libro que tiene en las manos corresponde al temario de Oposiciones para el Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria de la especialidad de Matemáticas que Editorial MAD pone a disposición de todos aquéllos que aspiren a conseguir una excelente preparación que garantice, en la medida de lo posible, su éxito en las oposiciones. A la hora de escribir un temario de oposiciones de gran calidad el criterio básico ha de ser redactar cada tema con la finalidad de que el opositor no tenga necesidad de acudir a ninguna otra obra de consulta, es decir, que encuentre en el propio temario absolutamente todo el material que necesita. La premura con que casi siempre se estudia una oposición hace necesario que toda la materia esté presentada de forma clara, al mismo tiempo que sistemática y rigurosamente expuesta, conjugando esto con un nivel de comprensión que no haga que el opositor deba realizar un doble esfuerzo: entender el tema, y entender al redactor del tema. Disponer de un temario contrastado y actualizado otorga al futuro profesor la garantía de contar con un material que le ahorre múltiples esfuerzos y que le asegure una excelente preparación. Nuestra experiencia durante bastantes años en el campo de la preparación de opositores nos ha permitido comprobar, por haber tenido alumnos de todas las Comunidades Autónomas, que, por lo general, aproximadamente una cuarta parte de los temas son “nuevos” (en su contenido) tanto para los recién licenciados como para muchos doctorados, al no haber estudiado los aspectos fundamentales de éstos durante su formación como alumnos en las diferentes universidades. Por eso este temario incorpora no sólo todo el material (y de forma abundante) necesario para la comprensión del tema, sino también la definición clara de cualquier concepto relevante que aparezca, así como las aclaraciones cuando sean pertinentes y también muchos otros datos que posibiliten la comprensión. Es preferible que los datos y las explicaciones sobreabunden a que sean demasiado escasos; el opositor siempre podrá “recortar” el tema o sintetizar lo que estime más relevante. Los resultados obtenidos durante bastantes años por muchos de nuestros alumnos han sido extraordinarios, y han logrado en diferentes convocatorias y en tribunales de oposición varios números uno y muchísimos aprobados con plaza. Esto siempre nos ha estimulado a seguir actualizando y “puliendo” los temas, así como animando a los opositores a conseguir la preparación de la mayor calidad posible, con la confianza en que su esfuerzo finalmente tendrá el resultado anhelado.

Los autores TRIVIUM. Centro de Oposiciones de Murcia.

Índice Tema 25. Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de Bolzano. Ramas infinitas................................................................................................

11

Tema 26. Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Aplicaciones................................................................................................

25

Tema 27. Desarrollo de una función en serie de potencias. Teorema de Taylor. Aplicaciones al estudio local de funciones. ............................................................

43

Tema 28. Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones..............................................................................................................

61

Tema 29. El problema del cálculo del área. Integral definitiva............................

83

Tema 30. Primitiva de una función. Cálculo de algunas primitivas. Aplicaciones de la integral al cálculo de magnitudes geométricas..............................................

113

Tema 31. Integración numérica. Métodos y aplicaciones. ....................................

135

Tema 32. Aplicación del estudio de funciones a la interpretación y resolución de problemas de la Economía, las Ciencias Sociales y la Naturaleza .......................

151

Tema 33. Evolución histórica del cálculo diferencial ...........................................

161

Tema 34. Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos: incidencia, paralelismo, perpendicularidad, ángulo, etc. ..............................................

175

Tema 35. Las magnitudes y su medida. Fundamentación de los conceptos relacionados con ellas. ...................................................................................................

195

Tema 36. Proporciones notables. La razón áurea. Aplicaciones...........................

203

Tema 37. La relación de semejanza en el plano. Consecuencias. Teorema de Thales. Razones trigonométricas. ............................................................................

237

Tema 38. Trigonometría plana. Resolución de triángulos. Aplicaciones. ............

253

Tema 39. Geometría del triángulo..........................................................................

277

Tema 40. Geometría de la circunferencia. Ángulos en la circunferencia. Potencia de un punto a una circunferencia. ...........................................................................

297

547

Bibliografía ..............................................................................................................

523

Tema 48. Espirales y hélices. Presencia en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica. Números naturales. Sistemas de numeración.................................................

Tema 41. Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Aplicación al estudio de las teselaciones del plano. Frisos y mosaicos.......................................

323

507

Tema 47. Generación de curvas como envolventes...............................................

461

Tema 46. Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio, ecuaciones de curvas y superficies.............................................................................................

Tema 42. Homotecia y semejanza en el plano. .....................................................

Tema 43. Proyecciones en el plano. Mapas. Planisferios terrestres: principales sistemas de representación. ......................................................................................

371

395

447

Tema 45. Poliedros. Teorema de Euler. Sólidos platónicos y arquimedianos........

417

Tema 44. Semejanza y movimientos en el espacio. ..............................................

395

Tema 43. Proyecciones en el plano. Mapas. Planisferios terrestres: principales sistemas de representación. ......................................................................................

Tema 44. Semejanza y movimientos en el espacio. .............................................. Tema 45. Poliedros. Teorema de Euler. Sólidos platónicos y arquimedianos........

Tema 46. Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio, ecuaciones de curvas y superficies.............................................................................................

417 447

461

371

Tema 42. Homotecia y semejanza en el plano. .....................................................

323

Tema 41. Movimientos en el plano. Composición de movimientos. Aplicación al estudio de las teselaciones del plano. Frisos y mosaicos.......................................

Tema 47. Generación de curvas como envolventes...............................................

Tema 48. Espirales y hélices. Presencia en la Naturaleza, en el Arte y en la Técnica. Números naturales. Sistemas de numeración.................................................

507

523

297

Tema 40. Geometría de la circunferencia. Ángulos en la circunferencia. Potencia de un punto a una circunferencia. ...........................................................................

277

Tema 39. Geometría del triángulo..........................................................................

253

Tema 38. Trigonometría plana. Resolución de triángulos. Aplicaciones. ............

237

Tema 37. La relación de semejanza en el plano. Consecuencias. Teorema de Thales. Razones trigonométricas. ............................................................................

Bibliografía ..............................................................................................................

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TEMA

25 Límites de funciones. Continuidad y discontinuidades. Teorema de Bolzano. Ramas infinitas

Emilio M. Pina Coronado

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 2.1. Definición de límite de una función 2.2. Límites laterales 2.3. Proposición: unicidad del límite 2.4. Álgebra de límites

3.

LÍMITES INFINITOS 3.1. Ampliación de los números reales 3.2. Entornos e intervalos en R 3.3. Definición de límites infinitos

4.

FUNCIONES CONTINUAS 4.1. Definición de función continua en un punto 4.2. Función continua en un intervalo

5.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS 5.1. Continuidad de la función compuesta

6.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO 6.1. Conservación del signo de la función en un entorno del punto donde es continua 6.2. Acotación de la función en un entorno del punto donde es continua

7.

TEOREMA DE BOLZANO

8.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

9.

TEOREMA DE WEIERSTRASS

RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS 13.1. Ramas infinitas de las curvas planas 13.2. Definición de rama hiperbólica 13.3. Definición de asíntotas

13.

DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN 12.1. Definición de discontinuidad 12.2. Tipos de discontinuidades

12.

CONTINUIDAD UNIFORME

11.

CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA

10.

TEOREMA DE WEIERSTRASS

9.

TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

8.

TEOREMA DE BOLZANO

7.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO 6.1. Conservación del signo de la función en un entorno del punto donde es continua 6.2. Acotación de la función en un entorno del punto donde es continua

6.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS 5.1. Continuidad de la función compuesta

5.

FUNCIONES CONTINUAS 4.1. Definición de función continua en un punto 4.2. Función continua en un intervalo

4.

LÍMITES INFINITOS 3.1. Ampliación de los números reales 3.2. Entornos e intervalos en R 3.3. Definición de límites infinitos

3.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 2.1. Definición de límite de una función 2.2. Límites laterales 2.3. Proposición: unicidad del límite 2.4. Álgebra de límites

2.

INTRODUCCIÓN

1.

10.

CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA

11.

CONTINUIDAD UNIFORME

12.

DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN 12.1. Definición de discontinuidad 12.2. Tipos de discontinuidades

13.

RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS 13.1. Ramas infinitas de las curvas planas 13.2. Definición de rama hiperbólica 13.3. Definición de asíntotas

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Límites de funciones

1. INTRODUCCIÓN A la hora de abordar el tema se plantea la necesidad de justificar el orden en el que se plasman los distintos tópicos que lo componen. Aquí se ha considerado la definición de límite como previa a la de continuidad, básicamente por seguir la propuesta que se recoge en el título, pero actualmente es frecuente proceder a la inversa, teniendo en cuenta que desde un punto de vista del estudio global, el concepto de continuidad es el que realmente tiene sentido ya que el concepto de límite es de naturaleza local. No obstante, hay que tener en cuenta que ambos puntos de partida son correctos y que, dependiendo de las ocasiones, puede interesar partir de uno o de otro.

2. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 2.1. Definición de límite de una función Dada una función f ( x ), diremos que si cuando x tiende hacia a, la función tiende hacia l, su límite es l, lo denotaremos como lim f ( x ) = l, cuando para cada entorno de l, existe un entorno de a tal que el valor de x ®a la función en cualquier punto de ese entorno, resulta ser un punto del entorno de l. lim f ( x ) = l Û Para cada E ( l ), $ E ( a )| "x Î E ( a ) ® f ( x ) Î E ( l ) x ®a

Si atendemos a los radios de los entornos anteriores, e , d, respectivamente, se puede escribir: f ( x ) Î E ( l, e ) Û f ( x ) – l < e x Î E * (a,d ) Û 0< x – a < d con lo que podemos reformular la definición de límite: “Una función f ( x )tiende a l, su límite es l, cuando x tiende hacia a, si "e > 0, $ d > 0: f ( x ) – l < e siempre que 0< x – a < d.

+e

-e

"e > 0, $ d > 0|0 < x – a < d Þ | f ( x ) – l |< e a-d

Una función puede tener límite en un punto a y no estar definida en dicho punto. Si dos funciones coinciden en todos los puntos de un cierto entorno de a, difiriendo a lo sumo en a, entonces ambas funciones tienen el mismo límite en a.

a

a+d

Figura 1.

2.2. Límites laterales Cuando una función f ( x )tiende a l , cuando x tiende hacia a por la derecha, es decir, tomando valores mayores que a, diremos que l es el límite lateral por la derecha de f ( x ). lim f ( x ) = l Û "e > 0, $ d > 0: si x Î ( a , a + d ) Þ f ( x ) – l < e

x ®a+

es decir: "e > 0, $ d > 0: si 0 a Þ | f ( x ) – l |< e "e > 0, $ d > 0: si 0 < ( x – a ) < dÞ | f ( x ) – l |< e

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

13

Volumen II. Matemáticas

14 x ®a

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA x ®a

x ®a

Análogamente podemos afirmar que cuando una función f ( x ) tiende a l, cuando x tiende hacia a por la izquierda, es decir, tomando valores menores que a, diremos que l es el límite lateral por la izquierda de f ( x ). lim( f ( x )+ g ( x )) = lim f ( x )+ lim g ( x ) = l + l '

x ®a

lim f ( x ) = l Û "e > 0, $ d > 0: si x Î ( a , a – d ) Þ f ( x ) – l < e

x ®a

Si lim f ( x ) = l y lim g ( x ) = l ', entonces:

x ®a –

Proposición 1:

Teniendo en cuenta las posibilidades que abre el valor absoluto, la condición 0 0, $d1 > 0: | f ( x ) – l |< ; 0 0: si x Î ( a , a – d ) Þ f ( x ) – l < e x ®a

Análogamente podemos afirmar que cuando una función f ( x ) tiende a l, cuando x tiende hacia a por la izquierda, es decir, tomando valores menores que a, diremos que l es el límite lateral por la izquierda de f ( x ). lim( f ( x )+ g ( x )) = lim f ( x )+ lim g ( x ) = l + l ' x ®a

x ®a

14

x ®a

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Límites de funciones Demostrémoslo: ì e ï | f ( x ) – l | < , 0 0, $d2 > 0|0 < x – a < d2 Þ g ( x ) – l ' < l '2×

6.

Como el límite de una constante es igual a esa constante y el límite de un producto es igual al producto de los límites, se verifica que lim c× xn = c × a n, siendo c una constante "a , c Î R, "n Î N .

7.

Apoyándonos en las notas 5 y 6 podemos calcular el límite de una función polinómica:

Recurrimos, una vez más, a tomar d = min( d1, d2 ) para 0 0 ï (– ¥ ) = – ¥ï þ x ü (+¥ ) = – ¥ï x ï ý "x Î R < 0 ï (– ¥ ) = ¥ï þ x quedan sin definir las expresiones

+¥ +¥ – ¥ –¥ , , y +¥ – ¥ – ¥ +¥

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

18

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

y, evidentemente, una función será continua en un punto cuando sea continua en dicho punto por la izquierda y por la derecha.

3.2. Entornos e intervalos en R

Además de los usuales en R, en R definimos los siguientes:

x ®a

Por la derecha Û lim+ f ( x ) = f ( a )

E (– ¥ ) = (– ¥, a ) = {x, a Î R | x < a}

–

E (+¥ ) = ( a ,+¥ ) = {x, a Î R | x > a}

–

x ®a

Por la izquierda Û lim– f ( x ) = f ( a )

(– ¥, a ] = {x, a Î R | x £ a}

Podemos hablar de continuidad lateral:

[ a ,+¥ ) = {x, a Î R | x ³ a} " e > 0, $ d > 0: f ( x ) – f ( a ) < e , x – a < d

3.3. Definición de límites infinitos

Una función es continua en un punto a cuando existe lim f ( x ) = f ( a ). x ®a También podemos escribir:

Utilizando la definición de límite que se plantea en el punto 2.1. sólo habrá que contemplar en su extensión a R las particularidades que arrojan cada una de las definiciones de entorno en R antes expuestas. Así la expresión lim f ( x ) = "e > 0, $ d > 0|0 < x – a < d Þ f ( x ) – l < e admite las siguientes variaciones:

4.1. Definición de función continua en un punto

x ®a

4. FUNCIONES CONTINUAS

–

lim f ( x ) =+¥ Û " r Î R , $ d > 0|0 < x – a < d Þ f ( x ) > r

–

lim f ( x ) = – ¥ Û " r Î R , $ d > 0|0 < x – a < d Þ f ( x ) < r

x ®– ¥

lim f ( x ) = l Û "e > 0, $ s Î R , s > 0| x > s Þ f ( x ) – l < e

x ®– ¥

lim f ( x ) = l Û "e > 0, $ s Î R , s > 0| x < s Þ f ( x ) – l < e

x ®+¥

lim f ( x ) = +¥ Û "r Î R , $ s Î R | x > s Þ f ( x ) > r

x ®+¥

lim f ( x ) = – ¥ Û "r Î R , $ s Î R | x > s Þ f ( x ) < r

x ®– ¥

lim f ( x ) = +¥ Û "r Î R , $ s Î R | x < s Þ f ( x ) > r

x ®+¥

lim f ( x ) = – ¥ Û "r Î R , $ s Î R | x < s Þ f ( x ) < r

x ®a

lim f ( x ) = – ¥ Û " r Î R , $ d > 0|0 < x – a < d Þ f ( x ) < r x ®a

lim f ( x ) =+¥ Û " r Î R , $ d > 0|0 < x – a < d Þ f ( x ) > r

4. FUNCIONES CONTINUAS

–

lim f ( x ) = l Û "e > 0, $ s Î R , s > 0| x > s Þ f ( x ) – l < e

x ®– ¥

–

lim f ( x ) = l Û "e > 0, $ s Î R , s > 0| x < s Þ f ( x ) – l < e

x ®– ¥

–

lim f ( x ) = +¥ Û "r Î R , $ s Î R | x > s Þ f ( x ) > r

x ®+¥

–

x ®+¥

–

lim f ( x ) = – ¥ Û "r Î R , $ s Î R | x > s Þ f ( x ) < r

–

x ®– ¥

–

–

lim f ( x ) = +¥ Û "r Î R , $ s Î R | x < s Þ f ( x ) > r

–

x ®+¥

–

–

lim f ( x ) = – ¥ Û "r Î R , $ s Î R | x < s Þ f ( x ) < r

–

x ®a

–

–

x ®a

x ®a

Utilizando la definición de límite que se plantea en el punto 2.1. sólo habrá que contemplar en su extensión a R las particularidades que arrojan cada una de las definiciones de entorno en R antes expuestas. Así la expresión lim f ( x ) = "e > 0, $ d > 0|0 < x – a < d Þ f ( x ) – l < e admite las siguientes variaciones:

4.1. Definición de función continua en un punto

Una función es continua en un punto a cuando existe lim f ( x ) = f ( a ). x ®a También podemos escribir:

3.3. Definición de límites infinitos

" e > 0, $ d > 0: f ( x ) – f ( a ) < e , x – a < d [ a ,+¥ ) = {x, a Î R | x ³ a} Podemos hablar de continuidad lateral:

(– ¥, a ] = {x, a Î R | x £ a}

E (+¥ ) = ( a ,+¥ ) = {x, a Î R | x > a}

–

Por la izquierda Û lim– f ( x ) = f ( a )

–

Por la derecha Û lim+ f ( x ) = f ( a )

x ®a

E (– ¥ ) = (– ¥, a ) = {x, a Î R | x < a} Además de los usuales en R, en R definimos los siguientes:

x ®a

y, evidentemente, una función será continua en un punto cuando sea continua en dicho punto por la izquierda y por la derecha.

3.2. Entornos e intervalos en R

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

18

Límites de funciones

4.2. Función continua en un intervalo Sea un intervalo abierto ( a , b ) diremos que una función es continua en ese intervalo cuando lo es en todo punto del mismo. Si se trata de un intervalo cerrado [ a , b ] diremos que la función es continua en él cuando es continua en ( a , b ) y continua por la derecha de a y continua por la izquierda de b. Al tratar con intervalos semiabiertos ( a , b ], [ a , b ) requeriremos en ambos casos que sea continua en ( a , b ) y, en el primer caso continua por la izquierda en b, y en el segundo caso continua por la derecha en a.

5. ÁLGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS Sean f ( x ), g ( x ) dos funciones continuas en a. Las funciones f + g , f – g , f × g son también continuas en a, y si, además g ( a )¹ 0, entonces la función f / g es continua en a. Demostrémoslo: ìlim f ( x ) = f ( a ) Como f ( x ), g ( x ) son dos funciones continuas en a í x ®a g (x )= g (a ) î lim x ®a

–

Suma:

lim( f + g )( x ) = lim( f ( x )+ g ( x )) = f ( a )+ g ( a ) = ( f + g )( a )

–

Diferencia:

lim( f – g )( x ) = lim( f ( x ) – g ( x )) = f ( a ) – g ( a ) = ( f – g )( a )

–

Producto:

lim( f × g )( x ) = lim( f ( x )× g ( x )) = f ( a )× g ( a ) = ( f × g )( a )

–

Cociente (Con la restricción antes mencionada g ( a )¹ 0):

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

æfö f (x ) f (a ) æ fö ÷ ÷ = =ç limç ( x ) = lim ç ÷( a ) ç ÷ x ®aè g ø x ®a g ( x ) g (a ) è g ø Como consecuencia de lo anterior se puede extender el razonamiento a n funciones continuas, n

fi , i = 1,..., n, pudiendo plantear que å fi es también una función continua. i=1

n

Análogamente para el producto, obteniéndose que Õ fi es también una función continua. i=1

Si consideramos la función continua f ( x ) = x, "x Î R, entonces la función f ( x ) = xn , n Î N es también continua "x Î R. Consecuencia de lo anteriormente presentado, una función polinómica es continua, al igual que una expresión racional en la que el denominador no sea nulo.

5.1. Continuidad de la función compuesta Sea la función f ( x ) una función continua en a, y sea g ( x ) una función continua en f ( a ), su función compuesta g o f es continua en a. Demostrémoslo: Si es cierto lo que afirmamos, habrá de cumplirse que: " e > 0, $d > 0: x – a < d Þ g ( f ( x )) – g ( f ( a )) < e TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

19

Volumen II. Matemáticas

20

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

f ( a ) – 1< f ( x ) < f ( a )+ 1 lo que nos indica que f ( x ), "x Î R : x – a < d es un conjunto acotado inferiormente por f ( a ) – 1 y superiormente por f ( a )+1. Al ser g ( x ) una función continua en f ( a ),

$d1 > 0: f ( x ) – f ( a ) < d1 Þ g ( f ( x )) – g ( f ( a )) < e

y como la función f ( x ) una función continua en a

" e = 1> 0, $ d > 0: f ( x ) – f ( a ) < 1, x – a < d

"d1 > 0, $d > 0: x – a < d Þ f ( x ) – f ( a ) < e

Demostrémoslo: Tomo para e el valor 1, con lo que la expresión de la continuidad quedaría como:

luego, en consecuencia, g ( f ( x )) – g ( f ( a )) < e siempre que x – a < d. Figura 2.

6. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO 6.1. Conservación del signo de la función en un entorno del punto donde es continua a

c

b

Sea una función f ( x ) no nula, continua en un punto a, existe un entorno simétrico de a en el que la función tiene el mismo signo que f ( a ). Demostrémoslo:

–

Si f ( a ) > 0

Existe un entorno del punto a, donde los valores que toma la función forman un conjunto acotado, es decir, la función está acotada en un entorno de a. Como la función es continua " e > 0, $ d > 0: f ( x ) – f ( a ) < e , x – a < d si tomamos e =

f (a ) , 2

6.2. Acotación de la función en un entorno del punto donde es continua Una demostración análoga si consideramos que f ( a ) < 0.

la expresión del valor absoluto podemos considerarla como: f ( a ) – e < f ( x ) < f ( a )+ e f (a ) f (a ) f (a ) – < f ( x ) < f ( a )+ 2 2 3 f (a ) f (a ) < f (x )< 2 2 y, en consecuencia, f ( x ) y f ( a ) tienen el mismo signo "x Î R : x – a < d

–

–

la expresión del valor absoluto podemos considerarla como: f ( a ) – e < f ( x ) < f ( a )+ e f (a ) f (a ) f (a ) – < f ( x ) < f ( a )+ 2 2 3 f (a ) f (a ) < f (x )< 2 2 y, en consecuencia, f ( x ) y f ( a ) tienen el mismo signo "x Î R : x – a < d Una demostración análoga si consideramos que f ( a ) < 0.

6.2. Acotación de la función en un entorno del punto donde es continua Como la función es continua " e > 0, $ d > 0: f ( x ) – f ( a ) < e , x – a < d si tomamos e =

f (a ) , 2

Existe un entorno del punto a, donde los valores que toma la función forman un conjunto acotado, es decir, la función está acotada en un entorno de a.

–

Si f ( a ) > 0

Demostrémoslo: Sea una función f ( x ) no nula, continua en un punto a, existe un entorno simétrico de a en el que la función tiene el mismo signo que f ( a ). c

b

6. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS EN UN PUNTO 6.1. Conservación del signo de la función en un entorno del punto donde es continua a

Figura 2. luego, en consecuencia, g ( f ( x )) – g ( f ( a )) < e siempre que x – a < d.

Demostrémoslo: Tomo para e el valor 1, con lo que la expresión de la continuidad quedaría como: "d1 > 0, $d > 0: x – a < d Þ f ( x ) – f ( a ) < e

" e = 1> 0, $ d > 0: f ( x ) – f ( a ) < 1, x – a < d

y como la función f ( x ) una función continua en a

f ( a ) – 1< f ( x ) < f ( a )+ 1 lo que nos indica que f ( x ), "x Î R : x – a < d es un conjunto acotado inferiormente por f ( a ) – 1 y superiormente por f ( a )+1. $d1 > 0: f ( x ) – f ( a ) < d1 Þ g ( f ( x )) – g ( f ( a )) < e

Al ser g ( x ) una función continua en f ( a ),

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

20

Límites de funciones

7. TEOREMA DE BOLZANO Sea f ( x ) una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] que toma valores de distinto signo en los extremos de dicho intervalo, entonces existe algún punto c Î ( a , b ) en el que f ( c )= 0. Demostración: Vamos a demostrarlo considerando que f ( a )> 0 y que f ( b )< 0, aunque la demostración sería análoga si consideramos negativo el valor en el primer extremo y positivo en el segundo. æ a+ b ö ÷= 0, ya que el punto que buscamos sería el Una solución trivial nos la daría el caso en el que fç è 2 ø æ a+ b ö ÷¹ 0, tomando los extremos del intervapunto medio del intervalo, pero si consideramos que fç è 2 ø lo en el que la función tiene signo opuesto formaremos un nuevo intervalo en el que el nuevo punto a+ b a+ 2 y si el valor de la función en ese punto es cero, quedaría el teorema medio vendría dado por 2 demostrado, pero de no anularse reiteraríamos el proceso teniendo siempre en cuenta a la hora de definir los nuevos intervalos que en sus extremos la función debe tener signo contrario. En el momento en que encontremos un punto en el cual la función dé como valor cero el teorema queda demostrado. Pero si en la incrustación sucesiva de intervalos no encontramos ningún punto medio en el que la función valga cero, podemos presumir que existirá un cierto punto común a todos los intervalos en el que la función valga cero, ya que de tener un valor distinto de cero la función tendría, por ejemplo, signo positivo en un entorno de dicho punto según el teorema del signo, y esto está en contradicción con el criterio seguido en la construcción de los intervalos. Análogamente si el signo lo tomamos como negativo, luego, en consecuencia, el único valor posible para la función en ese punto será cero.

8. TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO Sea f ( x ) una función continua en un intervalo abierto ( a , b ), y sea un cierto valor c tal que f ( a )< c < < f ( b ) (análogamente si consideramos f ( a ) > c > f ( b )), entonces existe un cierto x Î ( a , b ) tal que f ( x )= c. Demostrémoslo: Suponemos que f ( a ) < c < f ( b ), y definimos la función g ( x ) = f ( x ) – c que es continua en [ a , b ], ya que es la diferencia de funciones continuas, estudiándola en los extremos del intervalo tenemos: g ( a ) = f ( a ) – c < 0ü ý g ( b ) = f ( b ) – c > 0þ con lo que nos encontramos con que se satisfacen las condiciones requeridas por el teorema de Bolzano y, en consecuencia $ x Î ( a , b )| g ( x ) = 0 g (x )= 0 Û 0= f (x ) – c Þ f (x )= c Proposición: Como consecuencia de la definición de función continua y acotación en un punto, podemos afirmar que toda función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] está acotada en [ a , b ]. Demostración: Al ser f ( x ) continua en [ a , b ], lo es en todo punto x0 de ( a , b ), y en consecuencia: f ( x ) – f ( x0 ) < e Û f ( x0 ) – e < f ( x ) < f ( x0 )+ e luego f ( x ) está acotada y, en consecuencia, tendrá supremo e ínfimo. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

21

Volumen II. Matemáticas

22

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

aunque resulta evidente que una función uniformemente continua en I es continua en I, por lo general el recíproco no es cierto.

9. TEOREMA DE WEIERSTRASS

Sea f ( x )una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ], entonces f ( x )está acotada en [ a , b ] y en consecuencia tendrá un máximo y un mínimo en [ a , b ], es decir, existen puntos c, d Î [ a , b ] tales que: " e > 0, $ d > 0 | " x, y Î I , x – y < d Þ f ( x ) – f ( y ) < e f ( c ) = Sup{ f ( x )| x Î [ a , b ]}

Una función se dice que es uniformemente continua en un intervalo I cuando:

11. CONTINUIDAD UNIFORME

f ( d ) = Inf { f ( x )| x Î [ a , b ]}

Demostrémoslo: Supongamos que f ( x ) es una función continua y creciente en un cierto intervalo I, y sean y1, y2 Î f ( I ), y1 < y2 y supongamos que x1 = f –1( y1 ), x2 = f –1( y2 ), entonces y1 = f ( x1 ), y2 = f ( x2 ). Al ser f ( x ) creciente y f ( x1 ) < f ( x2 ) Þ x1 < x2, y en consecuencia f –1( y1 ) < f –1( y2 ) Þ f –1( x ) es creciente en f ( I ). Demostrémoslo:

Si llamamos S = Sup{ f ( x )| x Î [ a , b ]}, y suponemos que no existe ningún punto del intervalo que satis1 face que f ( x )= S , entonces S – f ( x ) > 0, " x Î [ a , b ] y podemos definir la función g ( x ) = S – f (x ) que es continua por ser el cociente de funciones continuas y ser el denominador no nulo y también estará acotada en [ a , b ], por lo que existirá un cierto k > 0 tal que g ( x ) < k , " x Î [ a , b ]

Sea f ( x ) una función continua creciente (o decreciente) en un cierto intervalo I, entonces, su función inversa f –1( x ) es también continua y creciente (o decreciente) en el intervalo f ( I ). g (x )< k Þ

1 1 1 < k Þ S – f (x )> Þ f (x )< S – S – f (x ) k k

10. CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA

1 y, en consecuencia, S – es una cota superior de f ( x ), que es menor que el supremo de dicho conk junto que al ser, por definición, la menor de las cotas superiores resulta imposible, luego es necesaria la existencia de un cierto c Î [ a , b ] tal que f ( c )= S . La demostración para el mínimo es análoga a la anterior. Puede demostrarse por reducción al caso del máximo antes expuesto, si consideramos la función – f que es continua en [ a , b ], y que tendrá un máximo d Î [ a , b ] que, en realidad, se trata del mínimo que estamos buscando. f ( d ) = Inf { f ( x )| x Î [ a , b ]}

Inf { f ( x )| x Î [ a , b ]}= Sup{– f ( x )| x Î [ a , b ]} – f ( d ) = Sup{– f ( x )| x Î [ a , b ]}

– f ( d ) = Sup{– f ( x )| x Î [ a , b ]}

1 es una cota superior de f ( x ), que es menor que el supremo de dicho conk junto que al ser, por definición, la menor de las cotas superiores resulta imposible, luego es necesaria la existencia de un cierto c Î [ a , b ] tal que f ( c )= S . La demostración para el mínimo es análoga a la anterior. Puede demostrarse por reducción al caso del máximo antes expuesto, si consideramos la función – f que es continua en [ a , b ], y que tendrá un máximo d Î [ a , b ] que, en realidad, se trata del mínimo que estamos buscando. Inf { f ( x )| x Î [ a , b ]}= Sup{– f ( x )| x Î [ a , b ]} f ( d ) = Inf { f ( x )| x Î [ a , b ]}

y, en consecuencia, S –

10. CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN INVERSA

g (x )< k Þ

1 1 1 < k Þ S – f (x )> Þ f (x )< S – S – f (x ) k k

Sea f ( x ) una función continua creciente (o decreciente) en un cierto intervalo I, entonces, su función inversa f –1( x ) es también continua y creciente (o decreciente) en el intervalo f ( I ).

Si llamamos S = Sup{ f ( x )| x Î [ a , b ]}, y suponemos que no existe ningún punto del intervalo que satis1 face que f ( x )= S , entonces S – f ( x ) > 0, " x Î [ a , b ] y podemos definir la función g ( x ) = S – f (x ) que es continua por ser el cociente de funciones continuas y ser el denominador no nulo y también estará acotada en [ a , b ], por lo que existirá un cierto k > 0 tal que g ( x ) < k , " x Î [ a , b ]

Demostrémoslo: Supongamos que f ( x ) es una función continua y creciente en un cierto intervalo I, y sean y1, y2 Î f ( I ), y1 < y2 y supongamos que x1 = f –1( y1 ), x2 = f –1( y2 ), entonces y1 = f ( x1 ), y2 = f ( x2 ). Al ser f ( x ) creciente y f ( x1 ) < f ( x2 ) Þ x1 < x2, y en consecuencia f –1( y1 ) < f –1( y2 ) Þ f –1( x ) es creciente en f ( I ). Demostrémoslo:

f ( d ) = Inf { f ( x )| x Î [ a , b ]}

11. CONTINUIDAD UNIFORME

f ( c ) = Sup{ f ( x )| x Î [ a , b ]}

Una función se dice que es uniformemente continua en un intervalo I cuando: Sea f ( x )una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ], entonces f ( x )está acotada en [ a , b ] y en consecuencia tendrá un máximo y un mínimo en [ a , b ], es decir, existen puntos c, d Î [ a , b ] tales que: " e > 0, $ d > 0 | " x, y Î I , x – y < d Þ f ( x ) – f ( y ) < e

aunque resulta evidente que una función uniformemente continua en I es continua en I, por lo general el recíproco no es cierto.

9. TEOREMA DE WEIERSTRASS

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Límites de funciones

12. DISCONTINUIDADES DE UNA FUNCIÓN 12.1. Definición de discontinuidad Una función f ( x ) decimos que es discontinua en un punto a, que presenta una discontinuidad en a, cuando f ( x ) no es continua en a.

12.2. Tipos de discontinuidades –

Discontinuidad evitable: No existe f ( a ), pero si existe lim f ( x ).

–

Discontinuidad de primera especie: Pese a existir f ( a ) y existir lim f ( x ), no se cumple que lim f ( x ) = f ( a ).

–

Discontinuidad de segunda especie con salto finito: Pese a existir lim– f ( x ) y lim+ f ( x ), no se cumple que lim– f ( x ) = lim+ f ( x ).

–

Discontinuidad de segunda especie con salto infinito: lim f ( x ) = ±¥ü ï x ®a – ï ý ï lim f ( x ) = ±¥ï þ x ®a+

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

x ®a

13. RAMAS INFINITAS. ASÍNTOTAS 13.1. Ramas infinitas de las curvas planas Sea f ( x ) una función continua en un intervalo abierto en el que uno de los extremos es a, y tomamos por convenio f ( x )= y, decimos que un punto P ( x, y ) describe una rama infinita de una curva de ecuación y = f ( x ) cuando x ® a+ (o también x ® a – ) si OP ® +¥.

O'

a

Î

Figura 3.

Πδ

c irec A (D

P

ión)

O

a puede ser un valor finito,+¥, –¥; O es un punto cualquiera, y el resultado OP ® +¥ es independiente de la elección del punto O. Demostrémoslo: Atendiendo a las relaciones entre los lados del triángulo OO ' P podemos escribir: OP – OO ' £ O ' P £ OP + OO ' Por lo tanto O ' P ® ¥ Û OP ® ¥. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

13.2. Definición de rama hiperbólica Una rama infinita de una curva es hiperbólica si admite una $ tiende dirección asintótica OA, cuando el ángulo agudo e = AOP a cero si x ® a.

Si la distancia PM de un punto de la curva a una dirección asintótica LM tiende a infinito decimos que esa rama es parabólica. O'

Πδ

a

P

Proposición: La dirección asintótica es independiente del puntoO elegido.

Si una rama de curva tiene una dirección asintótica, LM , y la distancia PM tiende a un límite finito, d, la curva tiene una asíntota paralela a LM a la distancia d.

2.

Si la curva no tiene dirección asintótica, tampoco tendrá asíntota.

1.

Demostración:

) ción irec

Al ser r una asíntota de la curva, la dirección de la recta es una dirección asintótica para la curva y de esto se deducen los siguientes corolarios: Î

A (D

Sea PB ||OA, y teniendo en cuenta que por ser ángulos alter$ = OPB $ nos internos e = AOP $ $ ' e '= O ' PB a = OPO

O

Figura 5.

L

Figura 4.

d

M

e – a £ e '< e + a O

P

Aplicando el teorema del seno en el triángulo OPO' tenemos: sen a sen O$ ' OO 'sen O$ ' OO ' = Þ sen a = £ OO ' OP OP OP Q

r

C

en consecuencia, si OP ® +¥ Þ sen a ® 0 y e '® e Þ e ® 0 Una recta r es una asíntota de una curva C cuando la distancia desde un cierto punto P de la curva a la recta r (d ( P , r )= PQ) tiende a cero cuando P describe una rama infinita de la curva.

13.3. Definición de asíntotas

13.3. Definición de asíntotas

Una recta r es una asíntota de una curva C cuando la distancia desde un cierto punto P de la curva a la recta r (d ( P , r )= PQ) tiende a cero cuando P describe una rama infinita de la curva. en consecuencia, si OP ® +¥ Þ sen a ® 0 y e '® e Þ e ® 0 r

sen a sen O$ ' OO 'sen O$ ' OO ' = Þ sen a = £ OO ' OP OP OP C

Q

Aplicando el teorema del seno en el triángulo OPO' tenemos: P

O

e – a £ e '< e + a M

Figura 4.

L

Figura 5. O

d

$ e '= O ' PB

$ ' a = OPO

Sea PB ||OA, y teniendo en cuenta que por ser ángulos alter$ = OPB $ nos internos e = AOP

A (D

Al ser r una asíntota de la curva, la dirección de la recta es una dirección asintótica para la curva y de esto se deducen los siguientes corolarios: ) ción irec

Î

Demostración:

1.

Si la curva no tiene dirección asintótica, tampoco tendrá asíntota.

2.

Si una rama de curva tiene una dirección asintótica, LM , y la distancia PM tiende a un límite finito, d, la curva tiene una asíntota paralela a LM a la distancia d. a

La dirección asintótica es independiente del puntoO elegido.

Πδ

Proposición: P

Si la distancia PM de un punto de la curva a una dirección asintótica LM tiende a infinito decimos que esa rama es parabólica. O'

Una rama infinita de una curva es hiperbólica si admite una $ tiende dirección asintótica OA, cuando el ángulo agudo e = AOP a cero si x ® a.

13.2. Definición de rama hiperbólica CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

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TEMA

26 Derivada de una función en un punto. Función derivada. Derivadas sucesivas. Aplicaciones

Emilio M. Pina Coronado

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

26

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

CONCEPTO DE DERIVADA 2.1. Definición de derivada en un punto 2.2. Definición de derivada en un intervalo 2.3. Interpretación geométrica de la derivada 2.4. Interpretación física de la derivada 2.5. Derivadas laterales 2.6. Definición de derivada

3.

ÁLGEBRA DE DERIVADAS

4.

FUNCIÓN DERIVADA

5.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA)

6.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

7.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7.1. Definición de función diferenciable en un punto 7.2. Definición de diferencial de una función en un punto 7.3. Interpretación geométrica de la diferencial 7.4. Álgebra de diferenciales

8.

REGLAS DE DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES SIMPLES MÁS UTILIZADAS 8.1. Derivada de una constante 8.2. Derivada del producto de una constante por una función 8.3. Derivada de una potencia de x 8.4. Derivada de la función polinómica 8.5. Derivada de la función potencial de exponente negativo 8.6. Derivada de la función logarítmica 8.7. Derivada de la función exponencial 8.8. Derivada de la función potencial - exponencial 8.9. Derivada de la función seno 8.10. Derivada de la función coseno 8.11. Derivada de la función tangente 8.12. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 8.13. Derivadas de las funciones inversas de las funciones trigonométricas

9.

DERIVADAS SUCESIVAS 9.1. Definición de derivadas sucesivas 9.2. Fórmula de Leibniz

10. 9.

DIFERENCIACIÓN SUCESIVA DERIVADAS SUCESIVAS 9.1. Definición de derivadas sucesivas 9.2. Fórmula de Leibniz

REGLAS DE DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES SIMPLES MÁS UTILIZADAS 8.1. Derivada de una constante 8.2. Derivada del producto de una constante por una función 8.3. Derivada de una potencia de x 8.4. Derivada de la función polinómica 8.5. Derivada de la función potencial de exponente negativo 8.6. Derivada de la función logarítmica 8.7. Derivada de la función exponencial 8.8. Derivada de la función potencial - exponencial 8.9. Derivada de la función seno 8.10. Derivada de la función coseno 8.11. Derivada de la función tangente 8.12. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 8.13. Derivadas de las funciones inversas de las funciones trigonométricas

8.

DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7.1. Definición de función diferenciable en un punto 7.2. Definición de diferencial de una función en un punto 7.3. Interpretación geométrica de la diferencial 7.4. Álgebra de diferenciales

7.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA

6.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA)

5.

DIFERENCIACIÓN SUCESIVA

FUNCIÓN DERIVADA

4.

ÁLGEBRA DE DERIVADAS

3.

CONCEPTO DE DERIVADA 2.1. Definición de derivada en un punto 2.2. Definición de derivada en un intervalo 2.3. Interpretación geométrica de la derivada 2.4. Interpretación física de la derivada 2.5. Derivadas laterales 2.6. Definición de derivada

2.

INTRODUCCIÓN

1.

10.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Derivada de una función en un punto

1. INTRODUCCIÓN La derivación tiene su origen en el problema de la aproximación lineal de una función real de variable real en la proximidad de un valor de la variable, lo que consiste en aproximar una curva por su tangente. La definición de derivada como límite de un cociente restringe la posibilidad de extensión a aplicaciones generales, pues sólo tiene sentido cuando el denominador es un escalar y para las funciones vectoriales de variable escalar. Las derivadas sucesivas se definirán por recurrencia. Cuando se trata de aproximar una función por una de primer grado en la variable escalar, la derivada primera resuelve el problema, obteniéndose la aplicación afín tangente; y cuando se trata de aproximar la función por una polinómica es necesario utilizar tantas derivadas sucesivas como unidades tiene el grado del polinomio, siendo en este caso la utilización de las fórmulas de Taylor el elemento necesario para resolver la cuestión. y = f(x)

2. CONCEPTO DE DERIVADA Sea f ( x ) una función continua en un [ a , b ], dado un x0 Î [ a , b ]y un cierto h Îú*, tal que x0 + h Î [ a , b ], se denomina cociente incremental a la expresión:

f(x0 + h) – f(x0)

a

f ( x0 + h ) – f ( x0 ) h

h

el cociente incremental representa la tangente del ángulo que forma el vector definido por el origen en el punto ( x0 , f ( x0 )) y el extremo en el punto ( x0 + h , f ( x0 + h )) con el eje de abscisas.

x0

x0 + h

Figura 1.

Se denomina recta tangente a la función f ( x ) en el punto A, a la recta que pasando por dicho punto $ que tiende a cero cuando x ® x . define el ángulo BAC 0

Tangente y = f(x)

ante Sec

C

b A

a

B

h

x0

x

Figura 2. También se puede afirmar que la tangente es la recta límite de la secante determinada por A y un punto B de abscisa x, tal que x ® x0. Denominando a al ángulo que forma AB con el eje OX , y b al ángulo que forma AC con el eje OX , se verifica que: lim( b – a ) = 0 Þ b = lim a

x ®x0

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

x ®x0

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Volumen II. Matemáticas

28

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Se llama tangente a una curva en un punto A, a la posición límite, si existe, de las secantes AB cuando B se aproxima al punto A.

2.1. Definición de derivada en un punto

Sea f : I ® ú una función definida en un intervalo I, siendo éste no nulo y no reducido, es decir: x ®x0

f '( x0 ) = lim tg a = tg b

I = [ a , b ] ( a < b ); sea x0 Î ( a , b ) y h Î ú, entonces x0 + h Î ( a , b )

En consecuencia f '( x0 ) es la pendiente de la tangente a la curva y = f ( x )en el punto de coordenadas ( x0 , f ( x0 )), verificándose además que:

Llamamos derivada de la función f en el punto x0, lo que representamos por f '( x0 ), al siguiente límite, si existe: f ( x0 + h ) – f ( x0 ) f '( x0 ) = lim h ®0 h lo que también se puede escribir, mediante un cambio de notación en la que llamamos x = x0 + h, con lo que cuando h ® h0 entonces x ® x0, como: f ( x ) – f ( x0 ) f '( x0 ) = lim x ®x0 x – x0 Dx0 ®0

m = lim

Dy0 Dx0

Hasta aquí ha bastado con un sencillo razonamiento geométrico, pero si hacemos que A1 se desplace sobre la curva acercándose a A, la pendiente vendría dada por la expresión: f ( x + h ) – f ( x0 ) 0 m = lim h ®0 h si tenemos en cuenta que Dy0 = f ( x0 + h ) – f ( x0 ), y que Dx0 = h = x – x0, la expresión anterior se puede escribir como:

2.2. Definición de derivada en un intervalo

Figura 3.

Una función f es derivable en un intervalo ( a , b ) cuando es derivable en todo punto del intervalo. x0

donde la pendiente vendría dada por m =

x1

y1 – y0 . x1 – x0

2.3. Interpretación geométrica de la derivada ( y – y0 ) =

Sean A y A1 dos puntos distintos de la curva definida por la función y = f ( x ), la ecuación de la recta que pasa por esos puntos viene dada por: A

x– x y – y0 0 = x1 – x0 y1 – y0

A1

x – x0 y – y0 = x1 – x0 y1 – y0

y1

y1

y0

y1 – y0 ( x – x0 ) x1 – x0

y = f(x)

A1

Sean A y A1 dos puntos distintos de la curva definida por la función y = f ( x ), la ecuación de la recta que pasa por esos puntos viene dada por:

y = f(x)

y0

A

( y – y0 ) =

y1 – y0 ( x – x0 ) x1 – x0

2.3. Interpretación geométrica de la derivada x0

donde la pendiente vendría dada por m =

x1

y1 – y0 . x1 – x0

Una función f es derivable en un intervalo ( a , b ) cuando es derivable en todo punto del intervalo.

2.2. Definición de derivada en un intervalo

Figura 3.

Hasta aquí ha bastado con un sencillo razonamiento geométrico, pero si hacemos que A1 se desplace sobre la curva acercándose a A, la pendiente vendría dada por la expresión: f ( x0 + h ) – f ( x0 ) m = lim h ®0 h si tenemos en cuenta que Dy0 = f ( x0 + h ) – f ( x0 ), y que Dx0 = h = x – x0, la expresión anterior se puede escribir como: Dy0 m = lim Dx0 ®0 Dx 0 x ®x0

f '( x0 ) = lim

f ( x ) – f ( x0 ) x – x0

Llamamos derivada de la función f en el punto x0, lo que representamos por f '( x0 ), al siguiente límite, si existe: f ( x0 + h ) – f ( x0 ) f '( x0 ) = lim h ®0 h lo que también se puede escribir, mediante un cambio de notación en la que llamamos x = x0 + h, con lo que cuando h ® h0 entonces x ® x0, como:

En consecuencia f '( x0 ) es la pendiente de la tangente a la curva y = f ( x )en el punto de coordenadas ( x0 , f ( x0 )), verificándose además que: f '( x0 ) = lim tg a = tg b I = [ a , b ] ( a < b ); sea x0 Î ( a , b ) y h Î ú, entonces x0 + h Î ( a , b ) x ®x0

Sea f : I ® ú una función definida en un intervalo I, siendo éste no nulo y no reducido, es decir:

Se llama tangente a una curva en un punto A, a la posición límite, si existe, de las secantes AB cuando B se aproxima al punto A.

2.1. Definición de derivada en un punto

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

28

Derivada de una función en un punto

2.4. Interpretación física de la derivada La derivada desde el punto de vista físico representa la variación instantánea de una magnitud dependiente con respecto a otra independiente. Es clásico el ejemplo del estudio de la velocidad que se puede entender partiendo del movimiento de una partícula material que se desplaza en función del tiempo t a lo largo de una trayectoria f ( t ). La velocidad media de dicha partícula en un intervalo de tiempo viene dada por el espacio recorrido en ese intervalo de tiempo con relación al tiempo invertido en ese desplazamiento. Así la velocidad media entre los instantes t 0 y t 0 + h viene dada por el cociente incremental: f (t0 + h ) – f (t0 ) h así la velocidad media se denomina, también, tasa de variación media del espacio. Hemos de tener en cuenta que la velocidad media de un móvil en un trayecto no coincide, generalmente, con la velocidad real del móvil en cada instante. Para ello sería necesario que la velocidad fuese constante. No obstante, si el intervalo de tiempos (t 0, t 0 + h) se va haciendo cada vez más pequeño, la velocidad media en él se aproximará a la velocidad real del móvil, y en consecuencia, la velocidad instantánea de la partícula en el instante t 0 vendrá dada por: lim h ®0

f (t0 + h ) – f (t0 ) h

Análogamente al estudio de la velocidad del móvil en un movimiento rectilíneo, se desarrolla el concepto de aceleración. Así, si consideramos un móvil cuya velocidad, en función del tiempo, viene dada por la expresión v = f ( t ), definiremos la aceleración media como la variación de velocidad experimentada por el móvil en la unidad de tiempo. Al intervalo de tiempos (t 0, t 0 + h), le corresponde el intervalo de velocidades [ f ( t 0 ), f ( t 0 + h )], con lo que la aceleración media vendrá dada por el cociente incremental: f ( t0 + h ) – f (t0 ) h

am =

a la aceleración media también se la denomina tasa de variación media de la velocidad. Aplicando el mismo razonamiento que hemos introducido para la velocidad, la aceleración media, a no ser que el móvil se desplace con aceleración constante, de un móvil a lo largo de una trayectoria no coincide con la aceleración media. Haciendo el intervalo de tiempos cada vez más pequeño, la aceleración media en ese intervalo temporal se acercará a la real del móvil, lo que se denomina aceleración instantánea, que para el instante t 0 vendrá dada por la expresión: a = lim h ®0

f ( t0 + h ) – f (t0 ) h

2.5. Derivadas laterales –

Derivada lateral por la izquierda: Sea f :( a , b ) ® ú, y sea x0 Î ( a , b ), diremos que la función es derivable por la izquierda si existe lim

h ®0 –

–

f ( x0 + h ) – f ( x0 ) h

Derivada lateral por la derecha: Sea f :( a , b ) ® ú, y sea x0 Î ( a , b ), diremos que la función es derivable por la derecha si existe lim+

h ®0

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

f ( x0 + h ) – f ( x0 ) h 29

Volumen II. Matemáticas

30

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

( f + g )( x + h ) – ( f + g )( x ) [ f ( x + h )+ g ( x + h )] – [ f ( x0 ) – g ( x0 )] 0 0 0 0 = = h h f ( x0 + h ) – f ( x0 ) g ( x0 + h ) – g ( x0 ) + h h

2.6. Definición de derivada

=

Teniendo en cuenta las definiciones de derivada en un punto y de derivadas laterales, antes expuestas, podemos afirmar que f es derivable en x0 si y sólo si existen las derivadas laterales en ese punto y son coincidentes. En el caso de que aun existiendo las derivadas laterales no sean coincidentes, no existe la derivada en ese punto, y se le denomina punto anguloso. Diremos que una función f :[ a , b ] ® ú es derivable en [ a , b ] si es derivable en cualquier x0 Î ( a , b ) y existen las derivadas laterales a la derecha de a ( f '+ ( a )) y a la izquierda de b ( f '– ( b )). Demostrémoslo: Por ser f y g dos funciones derivables, para cualquier h ¹ 0 se verifica que: ( f – g )'( x0 ) = f '( x0 ) – g '( x0 )

( f + g )'( x0 ) = f '( x0 )+ g '( x0 )

Proposición:

Si f y g son dos funciones derivables en un cierto punto x0, entonces f + g y f – g son también derivables en x0 y se verifica que: Si f es derivable en x0, entonces f es continua en x0.

Proposición:

Demostrémoslo: x ®x0

3. ÁLGEBRA DE DERIVADAS

Por ser f derivable en x0, entonces existe f '( x0 ) = lim

f ( x ) – f ( x0 ) , y como para x ¹ x0 se puede esx – x0

cribir que:

Esta proposición proporciona un criterio de no derivabilidad ya que si una función no es continua en un punto x0 tampoco será derivable en ese punto, ya que si lo fuese en virtud de la proposición sería continua. f ( x ) – f ( x0 ) =

f ( x ) – f ( x0 ) ( x – x0 ) x – x0

Hay que tener en cuenta que la proposición recíproca no es cierta, ya que hay funciones continuas, por ejemplo la función f ( x ) = | x |, que es continua pero no es derivable, en este caso en el punto x0 = 0. entonces, tomando límites, tenemos que:

x ®x0

x ®x0

x ®x0

lim( f ( x ) – f ( x0 )) = f '( x0 )× lim( x – x0 ) = f '( x0 )× 0 = 0

x ®x0

es decir: lim( f ( x ) – f ( x0 )) = 0 Þ lim f ( x ) = f ( x0 ), lo que nos indica que f es continua en x0.

es decir: lim( f ( x ) – f ( x0 )) = 0 Þ lim f ( x ) = f ( x0 ), lo que nos indica que f es continua en x0. x ®x0

x ®x0

x ®x0

lim( f ( x ) – f ( x0 )) = f '( x0 )× lim( x – x0 ) = f '( x0 )× 0 = 0

x ®x0

Hay que tener en cuenta que la proposición recíproca no es cierta, ya que hay funciones continuas, por ejemplo la función f ( x ) = | x |, que es continua pero no es derivable, en este caso en el punto x0 = 0. entonces, tomando límites, tenemos que:

f ( x ) – f ( x0 ) =

f ( x ) – f ( x0 ) ( x – x0 ) x – x0

Esta proposición proporciona un criterio de no derivabilidad ya que si una función no es continua en un punto x0 tampoco será derivable en ese punto, ya que si lo fuese en virtud de la proposición sería continua. cribir que:

x ®x0

Por ser f derivable en x0, entonces existe f '( x0 ) = lim

f ( x ) – f ( x0 ) , y como para x ¹ x0 se puede esx – x0

3. ÁLGEBRA DE DERIVADAS

Demostrémoslo:

Proposición:

Si f y g son dos funciones derivables en un cierto punto x0, entonces f + g y f – g son también derivables en x0 y se verifica que: ( f + g )'( x0 ) = f '( x0 )+ g '( x0 ) Si f es derivable en x0, entonces f es continua en x0. Proposición:

( f – g )'( x0 ) = f '( x0 ) – g '( x0 )

Teniendo en cuenta las definiciones de derivada en un punto y de derivadas laterales, antes expuestas, podemos afirmar que f es derivable en x0 si y sólo si existen las derivadas laterales en ese punto y son coincidentes. En el caso de que aun existiendo las derivadas laterales no sean coincidentes, no existe la derivada en ese punto, y se le denomina punto anguloso. Diremos que una función f :[ a , b ] ® ú es derivable en [ a , b ] si es derivable en cualquier x0 Î ( a , b ) y existen las derivadas laterales a la derecha de a ( f '+ ( a )) y a la izquierda de b ( f '– ( b )). Demostrémoslo: Por ser f y g dos funciones derivables, para cualquier h ¹ 0 se verifica que:

( f + g )( x0 + h ) – ( f + g )( x0 ) [ f ( x0 + h )+ g ( x0 + h )] – [ f ( x0 ) – g ( x0 )] = = h h f ( x0 + h ) – f ( x0 ) g ( x0 + h ) – g ( x0 ) = + h h

2.6. Definición de derivada

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

30

Derivada de una función en un punto y tomando límites obtenemos: lim h ®0

( f + g )( x0 + h ) – ( f + g )( x0 ) f ( x0 + h ) – f ( x0 ) g ( x0 + h ) – g ( x0 ) = lim + lim h ®0 h ®0 h h h

en conclusión: ( f + g )( x0 ) = f ( x0 )+ g ( x0 ) Con un razonamiento análogo podemos probar que ( f – g )( x0 ) = f ( x0 ) – g ( x0 ). Por inducción se puede generalizar esta proposición a fi funciones derivables, pudiendo escribir que: n æ n ö çå f ÷( x ) = å f ' ( x ) ç i÷ 0 i 0 è i=1 ø i=1 '

Proposición: Si f y g son dos funciones derivables en un cierto punto x0, entonces f × g es también derivable en x0 y se verifica que: ( f × g )'( x0 ) = f '( x0 )× g ( x0 )+ f ( x0 )× g '( x0 ) Demostrémoslo: Por ser f y g dos funciones derivables, para cualquier h ¹ 0 se verifica que: ( f × g )( x0 + h ) – ( f × g )( x0 ) f ( x0 + h )× g ( x0 + h ) – f ( x0 )× g ( x0 ) = = h h f ( x0 + h )× g ( x0 + h ) – f ( x0 )g ( x0 + h )+ f ( x0 )g ( x0 + h ) – f ( x0 )g ( x0 ) = = h f ( x0 + h ) – f ( x0 ) g ( x0 + h ) – g ( x0 ) = g ( x0 + h )+ f ( x0 ) h h y dado que f y g son funciones derivables en x0, tomando límites podemos escribir: f '( x0 ) = lim

f ( x0 + h ) – f ( x0 ) h

g '( x0 ) = lim

g ( x0 + h ) – g ( x0 ) h

h ®0

h ®0

además, como g es derivable, también es continua, luego lim g ( x0 + h ) = g ( x0 ). h ®0 En consecuencia: ( f × g )'( x0 ) = lim h ®0

( f × g )( x0 + h ) – ( f × g )( x0 ) = f '( x0 )g ( x0 )+ f ( x0 )g ( x0 ) h

Proposición: æ 1ö Sea g una función derivable en x0, siendo g ( x0 ) ¹ 0, la funciónç ç ÷ ÷también es derivable en x0, y se èg ø verifica que: æ 1ö g '( x0 ) ç ç ÷ ÷ ( x0 ) = – èg ø [g ( x0 )]2 '

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

31

Volumen II. Matemáticas

32

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Demostrémoslo: Sea f :( a , b ) ® ú una función derivable en ( a , b ), "x0 Î ( a , b ), $f '( x0 ), ello nos permite definir una función que denominamos función derivada de f , f '( o Df ):( a , b ) ® ú tal que hace corresponder a cada x Î ( a , b ) su derivada f '( x ). Por ser g una función derivable, para cualquier h ¹ 0 se verifica que: æ 1ö æ 1ö ç ç ÷ ÷( x0 ) ç ÷ ÷( x0 + h ) – ç èg ø èg ø h

=

1 1 – g ( x0 + h ) – g ( x0 ) 1 g (x + h ) g (x ) 0 =– × h h g ( x0 )g ( x0 + h ) 0

4. FUNCIÓN DERIVADA

Como g es derivable, también es continua, luego podemos escribir:

æ g '( x ) ö f '( x ) f ( x )g '( x ) f '( x0 )g ( x0 ) – f ( x0 )g '( x0 ) f '( x0 ) ç ÷ 0 0 0 0 – + f ( x0 )ç – = 2 ÷= 2 ) g ( x0 ) g ( x [ ] [ ] [g ( x0 )]2 g ( x0 ) 0 è g ( x0 ) ø g '( x0 ) = lim h ®0

g ( x0 + h ) – g ( x0 ) h

=

æ 1ö æ 1ö æ 1ö æfö ÷( x0 )+ f ( x0 )ç ç ç ÷ ç ÷ ÷ ( x0 ) = ç f× ÷ ÷ ( x0 ) = f '( x0 )×ç ç ÷ ÷ ( x0 ) = ç èg ø èg ø è gø èg ø lim g ( x0 + h ) = g ( x0 ) h ®0

'

'

y en consecuencia:

'

f 1 = f × y basándonos en las proposiciones anteriores tenemos que: g g æ 1ö æ 1ö ç ' ç ÷ ÷g ( x ) ç ÷ ÷( x + h ) – ç 0 æ ö g 0 1 èg ø ç 1÷ ÷ ( x0 ) = limè ø = – g '( x0 )× ç 2 h ®0 h èg ø g [( x0 )]

Proposición:

Escribimos

Demostrémoslo:

æfö f '( x0 )g ( x0 ) – f ( x0 )g '( x0 ) ç ç ÷ ÷ ( x0 ) = 2 èg ø g [( x0 )] '

Si f y g son dos funciones derivables en un cierto punto x0 y g ( x0 ) ¹ 0, entonces

f es también derivag

ble en x0 y se verifica que:

ble en x0 y se verifica que:

Si f y g son dos funciones derivables en un cierto punto x0 y g ( x0 ) ¹ 0, entonces

f es también derivag

æfö f '( x0 )g ( x0 ) – f ( x0 )g '( x0 ) ç ç ÷ ÷ ( x0 ) = 2 èg ø g [( x0 )] '

Demostrémoslo: Escribimos

Proposición:

æ 1ö æ 1ö ç ' ç ÷ ÷g ( x0 ) ç ÷ ÷( x0 + h ) – ç æ 1ö gø 1 èg ø è ç ÷ = x ( ) lim = – g '( x0 )× ç ÷ 0 2 h ®0 h èg ø [ g ( x0 )]

f 1 = f × y basándonos en las proposiciones anteriores tenemos que: g g y en consecuencia:

æ 1ö æ 1ö æ 1ö æfö ÷ ç ( x0 )+ f ( x0 )ç ç ÷ ç ÷ ÷ ( x0 ) = ç f× ÷ ÷ ( x0 ) = f '( x0 )×ç ç ÷ ÷ ( x0 ) = ç èg ø èg ø è gø èg ø '

'

'

h ®0

lim g ( x0 + h ) = g ( x0 )

g ( x0 + h ) – g ( x0 ) h

=

h ®0

g '( x0 ) = lim

æ ö f '( x0 )g ( x0 ) – f ( x0 )g '( x0 ) f '( x0 ) ç g '( x0 ) ÷ f '( x0 ) f ( x0 )g '( x0 ) – + = f ( x 0 )ç – 2 ÷= g ( x0 ) [g ( x0 )]2 [g ( x0 )]2 è [g ( x0 )] ø g ( x0 )

Como g es derivable, también es continua, luego podemos escribir:

æ 1ö æ 1ö 1 1 ç – ç ÷ ÷( x0 ) ç ÷ ÷( x0 + h ) – ç g ( x0 + h ) – g ( x0 ) 1 g ( x0 + h ) g ( x0 ) èg ø èg ø = =– × h h h g ( x0 )g ( x0 + h )

4. FUNCIÓN DERIVADA

Sea f :( a , b ) ® ú una función derivable en ( a , b ), "x0 Î ( a , b ), $f '( x0 ), ello nos permite definir una función que denominamos función derivada de f , f '( o Df ):( a , b ) ® ú tal que hace corresponder a cada x Î ( a , b ) su derivada f '( x ). Por ser g una función derivable, para cualquier h ¹ 0 se verifica que: Demostrémoslo: 32

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Derivada de una función en un punto

5. DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA (REGLA DE LA CADENA) Sea f una función derivable en x0, y sea g una función derivable en f ( x0 ), la función compuesta g o f es derivable en x0, y la derivada viene expresada por: ( g o f )'( x0 ) = g '( f ( x0 )) × f '( x0 ) Demostrémoslo: Definimos una función h como sigue: ì g ( y ) – g ( f ( x0 )) ï y – f ( x0 ) ï h ( y ) =í ï ( g ' f ( x0 )) ï î

si y ¹ f ( x0 ) si y = f ( x0 )

Al ser g derivable en f ( x0 ) podemos escribir que: g ( y ) – g ( f ( x0 )) = g '( f ( x0 )) = h( f ( x0 )) y ® f ( x0 ) y – f ( x0 )

lim h ( y ) = lim

y ® f ( x0 )

en consecuencia h es continua en f ( x0 ). Además como f es derivable, también es continua en x0, así pues, tomando en cuenta la proposición de continuidad de la función compuesta podemos escribir: lim h( f ( x )) = h( f ( x0 )) = g '( f ( x0 ))

x ®x0

Si consideramos la definición de h para x ¹ x0 entonces: g ( f ( x )) – g ( f ( x0 )) f ( x ) – f ( x0 ) = h( f ( x )) x – x0 x – x0 y, en consecuencia: lim

x ®x0

g ( f ( x )) – g ( f ( x0 )) f ( x ) – f ( x0 ) = lim h( f ( x )) = g '( f ( x0 )) × f '( x0 ) x ® x 0 x – x0 x – x0

6. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Sea f una función monótona y continua en un intervalo. Si f es derivable en un punto x0 del interior de dicho intervalo, y se verifica que f '( x0 ) ¹ 0, entonces su función inversa f –1 es derivable en b = f ( x0 ), y su derivada viene dada por: ( f –1 )'( b ) =

1 1 = ( f '( x0 ) f ' f –1( b ))

Demostrémoslo: Para demostrarlo habrá que probar que lim k ®0

f –1 ( b + k ) – f –1 ( b ) 1 = k f '( x0 )

Sea h = f –1( b + k ) – f –1( b ) = f –1( b + k ) – x0, entonces x0 + h = f –1( b + k ) y por lo tanto k = = f ( x0 + h ) – b = f ( x0 + h ) – f ( x0 ).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

33

Volumen II. Matemáticas

34

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

La longitud del segmento CD representa el error cometido al sustituir Dy por dy.

Además, si k ¹ 0 y también h ¹ 0, como f –1 es monótona, podemos escribir:

Figura 4.

f '( b + k ) – f '( b ) h 1 = = f ( x0 + h ) – f ( x0 ) k f ( x0 + h ) – f ( x0 ) h

Dx

Por otra parte, hemos de tener en cuenta que BD representa el incremento de la función y = f ( x )correspondiente al incremento en x.

B

y teniendo en cuenta que al ser f continua, también lo es f –1, luego: f '( x )Dx = BC

lim( f –1( b + k ) – f –1( b )) = 0 k ®0

A

CD y

Teniendo en cuenta que f '( x ) viene dada por la tangente del ángulo formado por la recta tangente a la función en el punto x y el semieje positivo de abscisas, podemos escribir:

así pues, h ® 0 cuando k ® 0 y dado que f es derivable en x0 y f '( x0 ) ¹ 0 tenemos que: D

( f –1( b + k ) – f –1( b )) 1 1 lim = lim = k ®0 h ®0 f ( x + h ) – f ( x0 ) k f '( x0 ) 0 h

7.3. Interpretación geométrica de la diferencial pudiendo apreciar que cuando Dx ® 0, entonces Dy = dy.

7. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Dy = dy + F( x , Dx )

7.1. Definición de función diferenciable en un punto

Dada la función y = f ( x )se denomina diferencial de la función en el punto x, y lo denotaremos como df ( x ) o dy, al producto f '( x )Dx. Utilizando este concepto, podemos expresar la diferencial de una función como una combinación lineal de Dx:

Sea la función y = f ( x ) definida en un conjunto abierto A Ìú, será diferenciable en un cierto x Î A si "x+ Dx Î A se verifica que: f ( x+ Dx ) – f ( x ) = f '( x )Dx + F( x , Dx )

7.2. Definición de diferencial de una función en un punto

donde sabemos que

F( x, Dx ) ® 0 cuando Dx ® 0. Dx

donde sabemos que

F( x, Dx ) ® 0 cuando Dx ® 0. Dx

7.2. Definición de diferencial de una función en un punto f ( x+ Dx ) – f ( x ) = f '( x )Dx + F( x , Dx )

Dada la función y = f ( x )se denomina diferencial de la función en el punto x, y lo denotaremos como df ( x ) o dy, al producto f '( x )Dx. Utilizando este concepto, podemos expresar la diferencial de una función como una combinación lineal de Dx:

Sea la función y = f ( x ) definida en un conjunto abierto A Ìú, será diferenciable en un cierto x Î A si "x+ Dx Î A se verifica que:

7.1. Definición de función diferenciable en un punto Dy = dy + F( x , Dx )

7. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

pudiendo apreciar que cuando Dx ® 0, entonces Dy = dy.

( f –1( b + k ) –

1 1 = f ( x0 + h ) – f ( x0 ) f '( x0 ) h

7.3. Interpretación geométrica de la diferencial

k

k ®0

lim

h ®0

f –1( b ))

= lim

Teniendo en cuenta que f '( x ) viene dada por la tangente del ángulo formado por la recta tangente a la función en el punto x y el semieje positivo de abscisas, podemos escribir:

D

así pues, h ® 0 cuando k ® 0 y dado que f es derivable en x0 y f '( x0 ) ¹ 0 tenemos que: CD y

k ®0

lim( f –1( b + k ) – f –1( b )) = 0

A

f '( x )Dx = BC

y teniendo en cuenta que al ser f continua, también lo es f –1, luego: B

Por otra parte, hemos de tener en cuenta que BD representa el incremento de la función y = f ( x )correspondiente al incremento en x.

f '( b + k ) – f '( b ) h 1 = = f ( x0 + h ) – f ( x0 ) k f ( x0 + h ) – f ( x0 ) h

Dx

La longitud del segmento CD representa el error cometido al sustituir Dy por dy.

Además, si k ¹ 0 y también h ¹ 0, como f –1 es monótona, podemos escribir:

Figura 4. 34

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Derivada de una función en un punto

7.4. Álgebra de diferenciales –

Diferencial de la suma de funciones. Sea y( x ) = u ( x )+ v( x ) ® dy( x ) = du ( x )+ dv( x ) Probémoslo: y ( x ) = u ( x )+ v ( x ) ® y '( x ) = u '( x )+ v'( x ) Þ y'( x )dx = u '( x )dx + v '( x )dx = du ( x )+ dv( x )

–

Diferencial de un producto. y( x ) = u ( x )× v( x ) ® Sea ® d [ y( x )] = d [ u ( x )× v( x )] = [ du ( x )]v( x )+ u ( x )[ dv( x )] Probémoslo: y( x ) = u ( x )× v( x ) ® y'( x ) = u '( x )v( x )+ u ( x )v'( x ) Þ Þ y'( x )dx = u '( x )v( x )dx+ u ( x )v'( x )dx Þ Þ y'( x )dx = u '( x )dxv( x )+ u ( x )v'( x )dx Þ Þ dy( x ) = du ( x )× v ( x )+ u ( x )× dv ( x )

–

Diferencial de la función compuesta. Sea z = g ( f ( x )) ® dz = g '( y )dy, siendo y = f ( x ). Probémoslo: z ( x ) = ( g o f )( x ) = g [ f ( x )] = F ( x ) ® ® dz ( x ) = F '( x )dx = f '( x )g '( y )dx = g '( y )dy

8. REGLAS DE DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES SIMPLES MÁS UTILIZADAS 8.1. Derivada de una constante Sea y = f ( x ) = k , "x Î ú. y'= lim

Dx ®0

f ( x+ Dx ) – f ( x ) k–k = lim =0 D x ® 0 Dx Dx D ( y( x ) = k ) = 0

8.2. Derivada del producto de una constante por una función Sea y = kf ( x ) = F ( x ); "x, y Î ú. y'= F '( x ) = lim

Dx ®0

F ( x + Dx ) – F ( x ) kf ( x + Dx ) – kf ( x ) = lim = Dx ®0 Dx lim Dx ®0

f ( x+ Dx ) – f ( x ) = k lim = kf '( x ) Dx ®0 lim Dx ®0

D ( kf ( x )) = k × f '( x )

–

Linealidad de la derivación. Basándonos en el razonamiento anterior: D ( k1 f1( x )+ k 2 f2 ( x )) = k1D ( f1( x ))+ k2D ( f2 ( x )) = k1 f '1 ( x )+ k2 f '2 ( x )

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

35

Volumen II. Matemáticas

36

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

1 1 = Le = x x

8.3. Derivada de una potencia de x Sea y = xn, n Î ù

x 1 x x x é ù é ù öDx ú æ öDx x öDx ú ê æ ê æ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 1 ÷ 1 ÷ ú 1 ê ç 1 ÷ ú ê ç = L limç1+ L lim = + = lim 1 1 L = + ê Dx ®0ç Dx ®0ç x ÷ ú x ÷ x ÷ ú x ê Dx ®0ç ç ÷ ú ç ÷ ç ÷ ê è ú ê è è Dx ø Dx ø û Dx ø û ë ë

f ( x+ Dx ) – f ( x ) ( x+ Dx )n – ( x )n = lim = Dx ®0 Dx ®0 Dx Dx æ n ö n–1 æn ö ç ÷x Dx+ç ÷x n– 2Dx 2+...+Dx n – x n æn ö è 1ø è 2ø = lim = ç ÷xn–1 = nxn–1 Dx ®0 Dx è 1ø y'= lim

1

æ öDx 1 1 ç ÷ æ Dx öDx æ Dx öDx 1 ÷ = lim Lç1+ ÷ = L limç1+ ÷ = L limç1+ = Dx ®0ç Dx ®0 Dx ®0 x ÷ è ø è ø x x ç ÷ è Dx ø D ( y = xn ) = nxn–1

8.4. Derivada de la función polinómica 1

1 Sea la función y = ln x = Lx ® D ( y = ln x ) = x æ x+ Dx ö ÷ Lç L( x+ Dx ) – Lx 1 æ Dx ö è x ø y'= lim = = lim Lç1+ ÷= Dx ®0 Dx è Dx Dx x ø

Sea f ( x ) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3+...+anx n, si aplicamos las estrategias de cálculo descritas anteriormente podemos escribir: Dx ®0

D ( y = a0 + a1x + a2x 2+...+anx n ) = 0+ a1+ 2a2x+...+nanx n

8.5. Derivada de la función potencial de exponente negativo

8.6. Derivada de la función logarítmica

Sea y = x– n ® D ( y = x – n ) = – nx – n–1, n Î ù. Es cierto, ya que y = x– n =

1 , y si llamamos f ( x )= xn, aplicando lo antes visto para la derivada de xn

Si consideramos una cierta función u ( x ):( a , b ) ® ú, que es derivable en ( a , b ) y n Îù, con n > 1, entonces D ( y = u ( x )– n ) = – nu ( x )– n–1u '( x ) para aquellos puntos donde u ( x )¹ 0. la función inversa tenemos:

f '( x )

nxn–1

[ f ( x )]

[xn]2

= – nx– n–1

[ f ( x )]2 f '( x )

2 = –

y'= –

=–

[xn]2

nxn–1

y'= –

= – nx– n–1

Si consideramos una cierta función u ( x ):( a , b ) ® ú, que es derivable en ( a , b ) y n Îù, con n > 1, entonces D ( y = u ( x )– n ) = – nu ( x )– n–1u '( x ) para aquellos puntos donde u ( x )¹ 0. la función inversa tenemos:

Es cierto, ya que y = x– n =

1 , y si llamamos f ( x )= xn, aplicando lo antes visto para la derivada de xn

Sea y = x– n ® D ( y = x – n ) = – nx – n–1, n Î ù.

8.6. Derivada de la función logarítmica

8.5. Derivada de la función potencial de exponente negativo

1 x æ x+ Dx ö ÷ Lç L( x+ Dx ) – Lx 1 æ Dx ö è x ø y'= lim = = lim Lç1+ ÷= Dx ®0 Dx ®0 Dx è Dx Dx x ø

Sea la función y = ln x = Lx ® D ( y = ln x ) =

D ( y = a0 + a1x + a2x 2+...+anx n ) = 0+ a1+ 2a2x+...+nanx n

Sea f ( x ) = a0 + a1x + a2x 2 + a3x 3+...+anx n, si aplicamos las estrategias de cálculo descritas anteriormente podemos escribir:

8.4. Derivada de la función polinómica 1

æ öDx ç ÷ æ Dx ö æ Dx ö 1 ÷ = = lim Lç1+ ÷ = L limç1+ ÷ = L limç1+ Dx ®0ç Dx ®0 è Dx ®0è x ÷ x ø x ø ç ÷ è Dx ø 1 Dx

1 Dx

D ( y = xn ) = nxn–1

Dx ®0

1

= lim

Dx

æn ö = ç ÷xn–1 = nxn–1 è 1ø

f ( x+ Dx ) – f ( x ) ( x+ Dx )n – ( x )n y'= lim = lim = Dx ®0 Dx ®0 Dx Dx æ ö æn ö n ç ÷x n–1Dx+ç ÷x n– 2Dx 2+...+Dx n – x n è 1ø è 2ø

36

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

1 1 = Le = x x

8.3. Derivada de una potencia de x

æ ö ç ÷ 1 ÷ = L limç1+ Dx ®0ç x ÷ ç ÷ è Dx ø

x x x é ù é ù öDx ú öDx ú ê æ ê æ ç ÷ ç ÷ 1 ÷ ú 1 1 ÷ ú = Lê limç1+ = = Lê limç1+ ê Dx ®0ç ê Dx ®0ç x ÷ ú x ÷ ú x ç ÷ ç ÷ ê è Dx ø ú ê è Dx ø ú ë û ë û

Sea y = xn, n Î ù

x 1 Dx x

Derivada de una función en un punto Si consideramos una cierta función u ( x ):( a , b ) ® ú, que es derivable en ( a , b ), tal que "x Î ( a , b ), u '( x ) , lo que es cierto ya que si consideramos y = L( u ( x )) como la u ( x )> 0 entonces D ( y = L( u ( x )) = u(x ) composición: y: x ¾¾® u ( x ) = z ¾¾® L( z ) = L( u ( x )) u

v

si aplicamos la regla de la cadena llegaremos a: y'= u '( x )× v'( x ) = u '( x )

1 u(x )

Si no trabajamos con logaritmos neperianos, hemos de introducir la condición de que la base de los 1 logaritmos cumpla que a Î ú+, siendo a ¹ 1, entonces D ( y = log a x ) = log a e. x Veámoslo: Si partimos de y = log a x, por la definición de logaritmo tenemos que x = a y = eLx . Si ahora tomamos logaritmos de base a tendríamos: 1 1 1 y'= log a e = x x La Análogo razonamiento podemos aplicar con y = log a u ( x )reiterando la regla de la cadena, con lo que se obtendría: u '( x ) u '( x ) 1 D ( y = log a u ( x )) = log a e = u(x ) u ( x ) La

8.7. Derivada de la función exponencial Sea la función y = a x , si sobre ella tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros tenemos: Ly = La x aplicamos las propiedades de los logaritmos: Ly = xLa derivando ambos miembros: y' = La y despejando y': y'= yLa = a x La Con un razonamiento análogo podemos afirmar que D ( y = a u( x ) ) = u '( x )× a u( x ) × La

8.8. Derivada de la función potencial - exponencial v (x ) Sea la función y = [u ( x )] donde u ( x ) y v( x ) son funciones definidas en ú+, tomando logaritmos neperianos en ambos miembros tenemos: Ly = L[u ( x )]

v (x )

aplicando las propiedades de los logaritmos: Ly = v ( x )Lu ( x ) TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

37

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

u '( x ) = u '( x )(1+ tg 2 u ( x )) cos 2 u ( x )

derivando miembro a miembro:

38

D ( tg u ( x )) =

y' u '( x ) = v'( x )Lu ( x )+ v( x ) y u(x )

Considerando y = tg u ( x ), mediante un razonamiento análogo al anterior escribimos: cos x×cos x – sen x(– sen x ) cos 2 x+ sen 2 x 1 = = = 1+ tg 2 x 2 2 cos x cos x cos 2 x

despejamos y'

y'=

æ ö æ ö ç v'( x )Lu ( x )+ v( x ) u '( x ) ÷ ÷= [u ( x )]v ( x )ç ç v'( x )Lu ( x )+ v( x ) u '( x ) ÷ ÷ y'= yç u(x ) ø u(x ) ø è è

Sea la función y = tg x, mediante un sencillo razonamiento trigonométrico podemos formularla sen x , y teniendo en cuenta lo que se abordó al tratar el álgebra de derivadas en lo concerniente a como y = cos x la derivada del cociente de funciones, podemos escribir:

8.9. Derivada de la función seno

Sea la función y = sen x, su derivada vendrá dada por:

8.11. Derivada de la función tangente

sen ( x+ h ) – sen x sen x cos h + cos xsen h – sen x y'= lim = lim = h ®0 h ®0 h h sen x ×1+ cos x× h – sen x h cos x = cos x = lim h ®0 h h D ( y = cos u ( x )) = – u '( x )sen u ( x )

= lim

Si ahora atendemos a la función y = cos u ( x ), su derivada vendrá dada por:

h ®0

cos ( x+ h ) – cos x cos x cos h – sen x sen h – cos x = lim = h ® 0 h h cos x ×1 – sen x × h – cos x – hsen x = lim = lim = – sen x h ®0 h ®0 h h

Con análogo razonamiento podemos tratar la función y = sen u ( x ), obteniéndose que: D ( y = sen u ( x )) = u '( x )cos u ( x )

h ®0

y'= lim

Sea la función y = cos x, su derivada vendrá dada por:

8.10. Derivada de la función coseno

8.10. Derivada de la función coseno

Sea la función y = cos x, su derivada vendrá dada por:

cos ( x+ h ) – cos x cos x cos h – sen x sen h – cos x y'= lim = lim = h ®0 h ®0 h h cos x ×1 – sen x × h – cos x – hsen x = lim = – sen x h ®0 h h D ( y = sen u ( x )) = u '( x )cos u ( x )

= lim

Con análogo razonamiento podemos tratar la función y = sen u ( x ), obteniéndose que: h ®0

sen ( x+ h ) – sen x sen x cos h + cos xsen h – sen x = lim = h ®0 h h sen x ×1+ cos x× h – sen x h cos x = cos x = lim = lim h ®0 h ® 0 h h

Si ahora atendemos a la función y = cos u ( x ), su derivada vendrá dada por: D ( y = cos u ( x )) = – u '( x )sen u ( x )

h ®0

y'= lim

8.11. Derivada de la función tangente

Sea la función y = sen x, su derivada vendrá dada por:

Sea la función y = tg x, mediante un sencillo razonamiento trigonométrico podemos formularla sen x , y teniendo en cuenta lo que se abordó al tratar el álgebra de derivadas en lo concerniente a como y = cos x la derivada del cociente de funciones, podemos escribir:

8.9. Derivada de la función seno

æ u '( x ) ö u '( x ) ö v ( x )æ ÷ ÷ y'= yç ç v'( x )Lu ( x )+ v( x ) ÷= [u ( x )] ç ç v'( x )Lu ( x )+ v( x ) ÷ u ( x ) u(x ) ø è è ø y'=

cos x×cos x – sen x(– sen x ) cos 2 x+ sen 2 x 1 = = = 1+ tg 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x

despejamos y'

Considerando y = tg u ( x ), mediante un razonamiento análogo al anterior escribimos: y' u '( x ) = v'( x )Lu ( x )+ v( x ) y u(x )

D ( tg u ( x )) =

38

u '( x ) = u '( x )(1+ tg 2 u ( x )) cos 2 u ( x )

derivando miembro a miembro:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Derivada de una función en un punto

8.12. Derivadas de las funciones trigonométricas inversas –

Cosecante. 1 , teniendo en cuenta lo que se abordó al tratar el álgebra de sen x cos x . derivadas en lo concerniente a la derivada de la inversa de una función, tenemos y'= – sen 2 x Dada la función y = cosec x =

Para la función y = cosec u ( x ) =

1 , su derivada vendrá dada por: sen u ( x )

æ 1 ö u '( x )cos u ( x ) ÷ Dç ç y = cosec u ( x ) = ÷= – sen u ( x ) ø sen 2 u ( x ) è

–

Secante. 1 , teniendo en cuenta lo que se abordó al tratar el álgebra de decos x sen x rivadas en lo concerniente a la derivada de la inversa de una función, tenemos y'= . cos 2 x

Dada la función y = sec x =

Para la función y = sec u ( x ) =

1 , su derivada vendrá dada por: cos u ( x )

æ 1 ö u '( x )sen u ( x ) ÷ Dç ç y = sec u ( x ) = ÷= cos u ( x ) ø cos 2 u ( x ) è

–

Cotangente. Sea la función y = cot g x, mediante un sencillo razonamiento trigonométrico podemos formucos x , y teniendo en cuenta lo que se abordó al tratar el álgebra de derivadas en lo larla como y = sen x concerniente a la derivada del cociente de funciones, podemos escribir: y'=

– sen x×sen x – cos x×cos x – sen 2x – cos 2 x –1 = = = –(1+ ctg 2 x ) sen 2x sen 2x sen 2x

Considerando y = ctg u ( x ), mediante un razonamiento análogo al anterior escribimos: D (ctg u ( x )) =

u '( x ) = – u '( x )(1+ ctg 2 u ( x )) sen 2 u ( x )

8.13. Derivadas de las funciones inversas de las funciones trigonométricas –

Arco seno. Dada la función y = f ( x ) = sen x, su función inversa será f –1( x ) = arcsen x, aplicando lo visto en álgebra de funciones a propósito de la función inversa, seguiremos el siguiente razonamiento: Sean

f ( x ) = arcsen x Þ x = sen f ( x ) , por lo tanto: g ( x ) = sen x Þ x = arcsen g ( x ) f '( x ) =

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

1 1 = g '( f ( x )) cos f ( x ) 39

Volumen II. Matemáticas

40

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA n æ nö ( f × g )( n ( x ) = åç ÷ f ( k ( x )× g ( n– k ( x ) k k=0è ø

teniendo en cuenta que por el teorema fundamental de la trigonometría se puede escribir que: cos f ( x ) = ± 1 – sen 2 f ( x ) y como habíamos definido x = sen f ( x ), obtenemos: La fórmula de Leibniz permite calcular la derivada n - ésima de un producto. Sean f ( x )y g ( x )dos funciones que admiten derivadas hasta la de orden n en un cierto punto x, entonces: 1

± 1 – x2

Por el mismo razonamiento D (arcsen u ( x )) =

9.2. Fórmula de Leibniz

f '( x ) =

u '( x ) ± 1 – [u ( x )]

2

Por inducción podemos definir las derivadas sucesivas de f , así si llamamos a f ( n–1( x ) a la derivada de orden n – 1de la función f ( x ), si existe su derivada se denominará derivada n - ésima (o de orden n) de la función f ( x ).

–

Arco coseno.

f ( x ) = arccos x Þ x = cos f ( x ) , si realizamos un razonamiento análogo al anterior tenemos: g ( x ) = cos x Þ x = arccos g ( x )

Dada una función f , la función que a cada x Îú en donde f sea derivable, le hace corresponder la derivada f '( x ) de f en x, se denomina función primera derivada de f , designándola por f 'o f (1. A la función derivada de f 'se denomina derivada segunda de f y la representaremos por f ''o f (2. A la función derivada de f '' se denomina derivada tercera de f y la representaremos por f ''' o f (3 y así sucesivamente. Sean

f '( x ) =

1 1 –1 –1 = = = g '( f ( x )) – sen f ( x ) ± 1 – cos 2 f ( x ) ± 1 – x 2

9.1. Definición de derivadas sucesivas 1 1 1 = = 2 g '( f ( x )) 1+ tg f ( x ) 1+ x2

Por el mismo razonamiento D (arccos u ( x )) =

± 1 – [u ( x )]

9. DERIVADAS SUCESIVAS

u '( x ) 1+ u ( x )2

Arco tangente.

extendiendo el razonamiento D (arctg u ( x )) =

–

1 1 1 = = g '( f ( x )) 1+ tg 2 f ( x ) 1+ x2

reiterando el razonamiento anterior: f '( x ) =

f ( x ) = arctg x Þ x = tg f ( x ) g ( x ) = tg x Þ x = arctg g ( x )

f ( x ) = arctg x Þ x = tg f ( x ) g ( x ) = tg x Þ x = arctg g ( x )

Sean

u '( x ) 1+ u ( x )2

Sean

2

reiterando el razonamiento anterior: f '( x ) =

Arco tangente.

± 1 – [u ( x )]

extendiendo el razonamiento D (arctg u ( x )) =

–

– u '( x )

9. DERIVADAS SUCESIVAS

Por el mismo razonamiento D (arccos u ( x )) =

2

– u '( x )

9.1. Definición de derivadas sucesivas

1 1 –1 –1 = = = g '( f ( x )) – sen f ( x ) ± 1 – cos 2 f ( x ) ± 1 – x 2

Dada una función f , la función que a cada x Îú en donde f sea derivable, le hace corresponder la derivada f '( x ) de f en x, se denomina función primera derivada de f , designándola por f ' o f (1. A la función derivada de f 'se denomina derivada segunda de f y la representaremos por f ''o f (2. A la función derivada de f '' se denomina derivada tercera de f y la representaremos por f ''' o f (3 y así sucesivamente. f '( x ) =

Sean

f ( x ) = arccos x Þ x = cos f ( x ) , si realizamos un razonamiento análogo al anterior tenemos: g ( x ) = cos x Þ x = arccos g ( x )

Por inducción podemos definir las derivadas sucesivas de f , así si llamamos a f ( n–1( x ) a la derivada de orden n – 1de la función f ( x ), si existe su derivada se denominará derivada n - ésima (o de orden n) de la función f ( x ).

–

Arco coseno.

Por el mismo razonamiento D (arcsen u ( x )) =

± 1 – [u ( x )]

2

u '( x )

9.2. Fórmula de Leibniz

± 1 – x2

La fórmula de Leibniz permite calcular la derivada n - ésima de un producto. Sean f ( x )y g ( x )dos funciones que admiten derivadas hasta la de orden n en un cierto punto x, entonces: f '( x ) =

1

n æn ö ( f × g )( n ( x ) = åç ÷ f ( k ( x )× g ( n– k ( x ) k k=0è ø

teniendo en cuenta que por el teorema fundamental de la trigonometría se puede escribir que: cos f ( x ) = ± 1 – sen 2 f ( x ) y como habíamos definido x = sen f ( x ), obtenemos: CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

40

Derivada de una función en un punto Demostrémoslo: Utilizaremos el método de inducción completa sobre n, partiendo de que para n = 1 la derivada se corresponde con la expresión usual de la derivada de un producto. Suponemos que es cierto hasta la derivada de orden n – 1, con lo que la de ese orden vendrá dada, según la expresión propuesta por Leibnit, por: n–1 æ n – 1ö ( k ÷ f ( x )× g ( n–1– k ( x ) ( f × g )( n–1( x ) = åç k è ø k=0

probemos si se cumple para n: n–1 æ n – 1ö ( k ' ÷[ f ( x )× g ( n– k ( x )+ f ( k+1( x )g ( n–1– k ( x )] = ( f × g )( n ( x ) = [ ( f × g )( n–1( x )] = åç k ø k=0è n–1 æ n – 1ö ( n æ n – 1ö éæ n – 1ö æ n – 1öù ( k ÷ f ( x )g ( x ) = ÷+ç ÷ f ( x )g ( n ( x )+ åêç ÷ú f ( x )g ( n– k ( x )+ç =ç k ø è k – 1øû è n – 1ø è0 ø k=1ëè n–1 æn ö æn ö æn ö = ç ÷ f ( x )g ( n ( x )+ åç ÷ f ( k ( x )g ( n– k ( x )+ç ÷ f ( n ( x )g ( x ) = k è 0ø èn ø k=1è ø n æn ö = åç ÷ f ( k ( x )g ( n– k ( x ) k k=0è ø

10. DIFERENCIACIÓN SUCESIVA Partimos de dy = f '( x )dx, expresaremos la diferencial de esta función como: d ( dy ) = [ f '( x )dx] dx = f ''( x )( dx )2 '

a esta expresión la denominamos diferencial segunda (de orden 2) de la función, lo que denotaremos como d 2 y. Por inducción llegamos a la diferencial de orden n – 1, cuya diferencial se denominará diferencial n - ésima de la función y representaremos como d n y. d ( d n–1 y ) = [ f ( n–1( x )( dx )n–1] dx = f ( n ( x )( dx )n '

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

41

TEMA

27 Desarrollo de una función en serie de potencias. Teorema de Taylor. Aplicaciones al estudio local de funciones

Emilio M. Pina Coronado

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

44

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

SERIES FUNCIONALES 2.1. Concepto de sumas parciales 2.2. Concepto de serie funcional 2.3. Convergencia de series

3.

SERIE DE POTENCIAS 3.1. Intervalos de convergencia 3.2. Radio de convergencia 3.3. Criterios para la determinación del radio de convergencia

4.

TEOREMA DE TAYLOR 4.1. Primera fórmula de Taylor 4.2. Segunda fórmula de Taylor 4.3. Desarrollo por Taylor 4.3.1. Resto de Taylor 4.3.2. Desarrollo de Taylor con resto de Lagrange 4.4. Infinitésimos. Conceptos relacionados 4.5. Acotación del error

5.

DESARROLLO DE Mc LAURIN

6.

DESARROLLO EN SERIE CON RESTO DE CAUCHY 7.4. 7.5.

APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES 7.1. Monotonía: crecimiento y decrecimiento 7.2. Criterios de crecimiento y decrecimiento 7.3. Extremos relativos. Máximos y mínimos 7.3.1. Condiciones suficientes para la existencia del extremo relativo Curvatura. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión Generalización de la determinación de máximos y mínimos

7.

DESARROLLO EN SERIE CON RESTO DE CAUCHY

6.

DESARROLLO DE Mc LAURIN

5.

APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES 7.1. Monotonía: crecimiento y decrecimiento 7.2. Criterios de crecimiento y decrecimiento 7.3. Extremos relativos. Máximos y mínimos 7.3.1. Condiciones suficientes para la existencia del extremo relativo 7.4. Curvatura. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión 7.5. Generalización de la determinación de máximos y mínimos

TEOREMA DE TAYLOR 4.1. Primera fórmula de Taylor 4.2. Segunda fórmula de Taylor 4.3. Desarrollo por Taylor 4.3.1. Resto de Taylor 4.3.2. Desarrollo de Taylor con resto de Lagrange Infinitésimos. Conceptos relacionados Acotación del error

4.

SERIE DE POTENCIAS 3.1. Intervalos de convergencia 3.2. Radio de convergencia 3.3. Criterios para la determinación del radio de convergencia

3.

SERIES FUNCIONALES 2.1. Concepto de sumas parciales 2.2. Concepto de serie funcional 2.3. Convergencia de series

2.

INTRODUCCIÓN

1.

7.

4.4. 4.5.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

44

Desarrollo de una función en serie de potencias

1. INTRODUCCIÓN En este tema nos centraremos en el estudio de una función f : A ® R, pretendiendo determinar, si existe, un intervalo en torno a un cierto punto x0 Î A y una serie de potencias que nos permitan escribir la función de la forma: ¥

f ( x ) = åan ( x- x0 )n; "x Î ( x0 - e , x0 + e ) n=0

y, además, averiguar cuál es esa serie. A continuación abordaremos los teoremas de Taylor que nos ayudarán a resolver el problema planteado y posteriormente lo aplicaremos al estudio local de una función.

2. SERIES FUNCIONALES 2.1. Concepto de sumas parciales Dada una sucesión de funciones { fn}llamamos sumas parciales a las funciones obtenidas en el desarrollo del sumatorio, de modo que: S 1 = f1 S 2 = f1+ f2 K S n = f1+ f2+...+ fn

" nÎN

2.2. Concepto de serie funcional Se denomina serie funcional de término general fn a cada pareja de sucesiones funcionales ({ fn}{ , S n}) y ¥

se representa por å fn. n=1

2.3. Convergencia de series –

Convergencia puntual. ¥

Decimos que la serie funcional å fn converge puntualmente a una función S en un conjunto n=1

¥

A Ì R, cuando se verifica que " x Î A el å fn ( x ) converge a S ( x ) que es la suma de la serie y n=1

considerando que x Î A nos indica que {S n} converge puntualmente a S en A.

–

Convergencia absoluta. ¥

Decimos que la serie å fn converge absolutamente en un conjunto A Ì R, cuando la serie de n=1 ¥

los valores absolutos å fn , converge puntualmente en A. n=1

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

45

Volumen II. Matemáticas

46

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

do del teorema ya que nos encontraríamos con un cierto x0 para el cual la serie converge y un cierto x1, siendo x0 > x1 para el cual la serie diverge.

3. SERIE DE POTENCIAS

Se denomina serie de potencias a la serie funcional cuyos términos son de la forma an ( x- x0 )n, donde an representa una constante. La serie de potencias viene representada por n=0

valor de x, por ejemplo x = x0, con x0 > x1 para el cual åanx0n converge. Esto ocntradice el enuncia¥

¥

n=0

åa ( x - x

Para probar la segunda parte del teorema supondremos que la serie åanx1n diverge, y que existe otro n

0

)n

n=0

¥

lo que nos permite compararla con una serie geométrica de razón menor que 1, por lo que sería convergente. Si a la expresión ( x - x0 ) se le denomina z podemos escribir la serie de potencias como: ¥

n

xn x = anx0n < M × rn x0n x0 n

n=0

anxn = anx0n

åa z

n

el cambio de nomenclatura es equivalente a hacer x0 = 0 en la expresión ( x - x0 ). Si tomamos un cierto x tal que x < x0 , definiendo la razón r =

x < 1, podemos escribir: x0

3.1. Intervalos de convergencia ge, luego está acotada, existiendo entonces M Ì R tal que anx0n < M , " n Î [ 0,¥). ¥

Cualquier serie de potencias åanxn converge para el valor x = 0 ya que en este caso todos los térn=0

Supongamos que la serie åanxn converge para x = x0, esto nos indica que la sucesión{anx0n} convern=0

minos, excepto a0 se anulan y, en consecuencia, todas las sumas parciales {S n} son iguales a a0. ¥

Demostrémoslo:

Teorema.

convergente para todos los valores de x, tales que x < x0 , y si la serie diverge para que x = x1, podemos afirmar que diverge para todos los valores de x tales que x > x1 . ¥

Si la serie de potencias åanxn converge para x = x0, entonces decimos que la serie es absolutamente n=0

n=0

Si la serie de potencias åanxn converge para x = x0, entonces decimos que la serie es absolutamente

convergente para todos los valores de x, tales que x < x0 , y si la serie diverge para que x = x1, podemos afirmar que diverge para todos los valores de x tales que x > x1 . ¥

Teorema.

Demostrémoslo:

minos, excepto a0 se anulan y, en consecuencia, todas las sumas parciales {S n} son iguales a a0. ¥

Supongamos que la serie åanxn converge para x = x0, esto nos indica que la sucesión{anx0n} convern=0

Cualquier serie de potencias åanxn converge para el valor x = 0 ya que en este caso todos los térn=0

ge, luego está acotada, existiendo entonces M Ì R tal que anx0n < M , " n Î [ 0,¥). ¥

3.1. Intervalos de convergencia Si tomamos un cierto x tal que x < x0 , definiendo la razón r =

x < 1, podemos escribir: x0

el cambio de nomenclatura es equivalente a hacer x0 = 0 en la expresión ( x - x0 ). n

xn x anx = a x n = anx0n < M × rn x0 x0 n n 0

n=0

åa z n

n

n

¥

lo que nos permite compararla con una serie geométrica de razón menor que 1, por lo que sería convergente. Si a la expresión ( x - x0 ) se le denomina z podemos escribir la serie de potencias como: ¥

n=0

Para probar la segunda parte del teorema supondremos que la serie åanx1n diverge, y que existe otro

åa ( x - x n

n=0

¥

0

)n

¥

valor de x, por ejemplo x = x0, con x0 > x1 para el cual åa x converge. Esto ocntradice el enuncia-

Se denomina serie de potencias a la serie funcional cuyos términos son de la forma an ( x- x0 )n, donde an representa una constante. La serie de potencias viene representada por n n 0

n=0

do del teorema ya que nos encontraríamos con un cierto x0 para el cual la serie converge y un cierto x1, siendo x0 > x1 para el cual la serie diverge.

3. SERIE DE POTENCIAS

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

46

Desarrollo de una función en serie de potencias

3.2. Radio de convergencia ¥

Dada una serie convergente åanxn, el conjunto C formado por todos los puntos en los que la serie es n=0

convergente está acotado, por lo que existe un extremo superior del mismo. Llamando R al extremo superior de C, tendremos que "x Î C ® x < R, y en consecuencia por el teorema anterior la serie es absolutamente convergente, mientras que si x > R la serie es divergente. A R se le denomina radio de convergencia de la serie, y al intervalo (-R , R ) se le denomina intervalo de convergencia. En base al estudio de R podemos afirmar que: ¥ ì n ï Si R = 0 ® åanx converge para x = 0 = 0 n ï ¥ ï í Si R = +¥ ® åanx n converge para todo x ï n=0 ¥ ï n ïSi R = SupC x ® åanx converge para C î n=0 Para la determinación de las cotas de R, resulta sencillo si conocernos un punto x = x0 la sucesión es convergente, y otro punto x = x1 a partir del cual la sucesión diverge, ya que: x0 £ R £ x1

3.3. Criterios para la determinación del radio de convergencia Teorema. ¥

Sea la serie åanx n para la cual existe Lím n ®¥

n=0

an+1 = L, entonces el radio de convergencia viene dado an

1 por la expresión R = . L Demostrémoslo: Lím n ®¥

an+1x n+1 a = Lím n+1 x = L x n ®¥ a anxn n

1 1 1 y R = , ya que la serie converge para x < y diverge para x > . L L L Teorema. ¥

Para cualquier serie de potencias åanxn, el radio de convergencia toma un valor caracterizado por: n=0

ìR = 0 si Lím sup n a = ¥ n ï n ®¥ ï ï ïR = ¥ si Lím sup n an = 0 n ®¥ í ï ï 1 si 0 < Lím sup n an < ¥ ïR = n ®¥ n Lím a = ¥ sup ï n î n ®¥

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

47

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Demostrémoslo:

48

siendo l una constante a determinar y x Î [ a , b ] . Lím sup n anx n = Lím sup x n an =

f '( a ) f ( n-1( a ) ( x - a )-...( x- a )n-1- l ( x- a )n 1! ( n - 1)! n ®¥

n ®¥

F( x ) = f ( x )- f ( a )-

x Lím sup n an = x L

Para ello consideraremos una función real, F, de variable real definida como sigue: n ®¥

Demostrémoslo:

obtendremos la convergencia cuando x L< 1, lo que se verifica para cualquier valor de x si L = 0, pero si L = +¥ sólo se cumplirá cuando x = 0, en cualquier otro caso sólo se cumple cuando x<

1 L

siendo f ( 0 ( a ) = f ( a ); 0!= 1.

n-1 æ f (k ( a ) ö f (n ( m ) f ( b ) = åç ( b - a )k + ( b - a )n ÷ ç ÷ k ! n ! ø k=0è ¥

Podernos extraer un Corolario: Para una serie de potencias åanxn si definimos L = Lím sup n an y n ®¥

n=0

f (x) se define en [a, b].

2.

f (x) es continua en [a, b].

3.

f (x) tiene derivadas hasta la de orden n en (a, b.)

ì ï R = 0 si L = ¥ ï existe, entonces: íR = ¥ si L = 0 ï 1 si 0 < L < ¥ ïR = î L

Entonces, existe un punto m Î ( a , b ) tal que se verifica:

1.

Dada la función y = f ( x ) sujeta a las siguientes restricciones:

4. TEOREMA DE TAYLOR

4.1. Primera fórmula de Taylor

Las fórmulas de Taylor permiten desarrollar, bajo determinadas condiciones, una función en serie de potencias. Las fórmulas de Taylor permiten desarrollar, bajo determinadas condiciones, una función en serie de potencias.

4.1. Primera fórmula de Taylor

4. TEOREMA DE TAYLOR

Dada la función y = f ( x ) sujeta a las siguientes restricciones:

f (x) tiene derivadas hasta la de orden n en (a, b.)

3.

f (x) es continua en [a, b].

2.

f (x) se define en [a, b].

1.

n=0

Entonces, existe un punto m Î ( a , b ) tal que se verifica:

ì ï R = 0 si L = ¥ ï existe, entonces: íR = ¥ si L = 0 ï 1 R= si 0 < L < ¥ ï î L

n ®¥

Podernos extraer un Corolario: Para una serie de potencias åanxn si definimos L = Lím sup n an y n-1 (n æ (k ö ç f ( a ) ( b - a )k + f ( m ) ( b - a )n ÷ ÷ f ( b ) = åç k! n! ø k=0è ¥

1 L

siendo f ( 0 ( a ) = f ( a ); 0!= 1.

x<

obtendremos la convergencia cuando x L< 1, lo que se verifica para cualquier valor de x si L = 0, pero si L = +¥ sólo se cumplirá cuando x = 0, en cualquier otro caso sólo se cumple cuando Demostrémoslo:

Para ello consideraremos una función real, F, de variable real definida como sigue: n ®¥

x Lím sup n an = x L

f '( a ) f ( n-1( a ) ( x - a )-...( x- a )n-1- l ( x- a )n 1! ( n - 1)! n ®¥

F( x ) = f ( x )- f ( a )-

n ®¥

Lím sup n anx n = Lím sup x n an =

siendo l una constante a determinar y x Î [ a , b ] .

48

Demostrémoslo:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Desarrollo de una función en serie de potencias Por hipótesis podemos aplicar a F(x) el teorema de Rolle ya que esta función satisface: 1.

F(x) está definida en [a, b] F( a ) = 0 F( b ) = f ( b )- f ( a )-

f '( a ) f ( n-1( a ) ( b - a )-...( b - a )n-1- l ( b - a )n 1! ( n - 1)!

2.

F(x) es continua en [a, b] , al ser la composición de funciones continuas.

3.

F(x) es derivable en (a, b) siendo su derivada: F'( x ) = f '( x )-

f '( a ) f ( n-1( a ) ×1-...( x - a )n-2 × ( n - 1)- l ( x- a )n-1× n 1! ( n - 1)!

F'( x ) = f '( x )- f '( a )4.

f ''( a ) f ( n-1( a ) ( x- a )-...( x- a )n-2 - l ( x- a )n-1× n 1! ( n - 2 )!

F( a ) = F( b ) = 0.

Por el teorema de Rolle, para la función F(x) existe un cierto m1 Î ( a , b) tal que F'( m1 ) = 0, así pues, si particularizamos para ese m1, obtendremos: F'( m1 ) = 0 = f '( m1 )- f '( a )-

f ''( a ) f ( n-1( a ) -...( m - a )n-2 - l ( m1- a )n-1 1! ( n - 2 )! 1

Si particularizamos en la expresión de la derivada para x = a tendremos: F'( a ) = f '( a )- f '( a )-

f ''( a ) f ( n-1( a ) ( a - a )-...( a - a )n-2 - l ( a - a )n × n = 0 1! ( n - 2 )!

la función F'( x ) verifica: 1.

Está definida en [a, m1].

2.

Es continua en [a, m1].

3.

Es derivable n – 1 veces en (a, m1).

4.

F'( a ) = F'( m1 ) = 0. Podemos volver a aplicar el teorema de Rolle, existiendo un punto m2 Î ( a , m1 ) tal que F''( m2 ) = 0. F''( x ) = f ''( x )- f ''( a )-

f '''( a ) f ( n-1( a ) ( x - a )n-3 - ln ( n - 1)( x - a )n-2 ( x- a )-...1! ( n - 3 )!

F''( m2 ) = 0 = f ''( m2 )- f ''( a )-

f '''( a ) f ( n-1( a ) ( m2 - a )-...( m - a )n-3 - ln ( n - 1)( m2 - a )n-2 1! ( n - 3 )! 2

si particularizamos para x = a se obtiene: F''( a ) = f ''( a )- f ''( a )-

f '''( a ) f ( n-1( a ) ( a - a )n-3 - ln ( n - 1)( a - a )n-2 = 0 ( a - a )-...1! ( n - 3 )!

así estamos ante una función F''( x ), a la que podemos volver a aplicar el teorema de Rolle ya que satisface: 1.

Está definida en [a, m2].

2.

Es continua en [a, m2].

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

49

Volumen II. Matemáticas

50

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

con m Î ( a , x ), lo que permite calcular el valor de una ftinción en un punto cualquiera del intervalo conocidas sus n primeras derivadas. 4.

F''( a ) = F''( m2 ) = 0.

k=0

Es derivable n – 2 veces en (a, m2).

f (x )= å

3.

f (k ( a ) f (n ( m ) ( x- a )k + ( x- a )n k! n!

Podemos volver a aplicar el teorema de Rolle, existiendo un punto intermedio m3 Î ( a , m2 ) tal que F'''( m3 ) = 0. Si recordamos la hipótesis inicial, la función es derivable n veces, luego iterando el proceso antes descrito n – 1 veces llegamos a una expresión para la derivada de orden n – 1. n-1

Teniendo en cuenta que x Î [ a , b ] se puede repetir el razonamiento en un intervalo encajado [a, x] donde se verificarían las hipótesis generales, pudiéndose escribir la expresión de Taylor como:

2.

Se puede optar por la determinación del punto a, sin más que alternar la posición de b y de a en la expresión, sin que por ello se altere la expresión, sólo su morfología.

l.

F( n-1 = f ( n-1( x )- f ( n-1( a )- ln ( n - 1)!( x- a ) = f ( n-1( x )- f ( n-1( a )- ln !( x- a )

Sobre la expresión de la Primera Fórmula de Taylor hay que tener en cuenta:

función que se anula para x = a, así F( n-1( a ) = 0.

2.

Es continua en [a, mn–1].

3.

Es derivable en (a, mn–1).

n-1

f (k ( a ) f (n ( m ) ( b - a )k + ( b - a )n k! n!

Está definida en [a, mn–1].

k=0

1.

f (b )= å

Esta función tiene las siguientes características:

lo que podemos escribir como:

f (n ( m ) f '( a ) f ''( a ) f ( n-1( a ) ( b - a )n-1+ ( b - a )n ( b - a )+ ( b - a )2+...+ 1! 2! ( n - 1)! n!

luego podemos aplicar, una vez más, el teorema de Rolle y, en consecuencia, existe un punto intermedio mn = m Î ( a , mn-1 ) tal que F( n ( m ) = 0. f ( b ) = f ( a )+

F( n ( x ) = f ( n ( x )- 0- ln != f ( n ( x )- ln !

y teniendo en cuenta que F( b ) = 0 llegamos a la expresión, que se denomina Primera Fórmula de Taylor. F( b ) = f ( b )-

F( n ( m ) = 0 = f ( n ( m )- ln !

f '( a ) f ( n-1( a ) ( b - a )-...( b - a )n-1- l( b - a )n 1! ( n - 1)!

f (n ( m ) n! Si introducimos este valor de l en la expresión original,

f '( a ) f ( n-1( a ) ( b - a )-...( b - a )n-1- l( b - a )n 1! ( n - 1)! F( n ( m ) = 0 = f ( n ( m )- ln !

F( b ) = f ( b )-

f (n ( m ) despejando el valor de l obtenemos: l = n! Si introducimos este valor de l en la expresión original,

despejando el valor de l obtenemos: l =

y teniendo en cuenta que F( b ) = 0 llegamos a la expresión, que se denomina Primera Fórmula de Taylor. F( n ( x ) = f ( n ( x )- 0- ln != f ( n ( x )- ln !

f (n ( m ) f '( a ) f ''( a ) f ( n-1( a ) ( b - a )n-1+ ( b - a )n ( b - a )+ ( b - a )2+...+ 1! 2! ( n - 1)! n!

luego podemos aplicar, una vez más, el teorema de Rolle y, en consecuencia, existe un punto intermedio mn = m Î ( a , mn-1 ) tal que F( n ( m ) = 0. Es continua en [a, mn–1].

Está definida en [a, mn–1].

1.

f (k ( a ) f (n ( m ) ( b - a )k + ( b - a )n k! n!

Esta función tiene las siguientes características:

k=0

2.

n-1

f (b )= å

Es derivable en (a, mn–1).

lo que podemos escribir como:

3.

f ( b ) = f ( a )+

función que se anula para x = a, así F( n-1( a ) = 0.

Sobre la expresión de la Primera Fórmula de Taylor hay que tener en cuenta:

Se puede optar por la determinación del punto a, sin más que alternar la posición de b y de a en la expresión, sin que por ello se altere la expresión, sólo su morfología. F( n-1 = f ( n-1( x )- f ( n-1( a )- ln ( n - 1)!( x- a ) = f ( n-1( x )- f ( n-1( a )- ln !( x- a )

l.

Podemos volver a aplicar el teorema de Rolle, existiendo un punto intermedio m3 Î ( a , m2 ) tal que F'''( m3 ) = 0. Si recordamos la hipótesis inicial, la función es derivable n veces, luego iterando el proceso antes descrito n – 1 veces llegamos a una expresión para la derivada de orden n – 1.

Teniendo en cuenta que x Î [ a , b ] se puede repetir el razonamiento en un intervalo encajado [a, x] donde se verificarían las hipótesis generales, pudiéndose escribir la expresión de Taylor como:

Es derivable n – 2 veces en (a, m2).

3.

k=0

f (k ( a ) f (n ( m ) ( x- a )k + ( x- a )n k! n!

F''( a ) = F''( m2 ) = 0.

n-1

f (x )= å

4.

2.

con m Î ( a , x ), lo que permite calcular el valor de una ftinción en un punto cualquiera del intervalo conocidas sus n primeras derivadas. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

50

Desarrollo de una función en serie de potencias

4.2. Segunda fórmula de Taylor Si consideramos b muy próximo a a, mn-1- a < b - a , el valor absoluto de l difiere del valor de f (n ( a ) f (a ) tan poco como se desee; y en consecuencia se puede escribir el valor de l como: l = + e n ( b ), n! n! este e n ( b ) es dependiente de b y es tal que Lím e n ( b ) = 0. b ®a Introduciendo esto en la Primera Fórmula de Taylor tenemos: (n

n-1

f (b )= å k=0

n æ f (n ( a ) ö f (k ( a ) f (k ( a ) n ÷ ( b - a )k +ç + e ( b ) ( b a ) = å k ! ( b - a )k + en ( b )( b - a )n ç ÷ n k! è n! ø k=0

Si llamamos jn ( b ) = e n ( b )× n ! y tomamos límites, Lím e n ( b ) = 0 = Lím b ®a

b ®a

jn ( b ) 1 = Lím jn ( b ) Þ Lím jn ( b )= 0 b ®a n! n ! b®a

así, pues, la expresión de Taylor quedaría como: n

f (b )= å k=0

f (n ( a ) j (b ) ( b - a )k + n ( b - a )n k! n!

que constituye la Segunda Fórmula de Taylor, la cual aproxima el valor de la función para cualquier punto dentro del entorno de un punto dado, en el que se conozcan las n primeras derivadas.

4.3. Desarrollo por Taylor Sea y = f (x) una función real de variable real, con las siguientes características: 1.

y = f (x) está definida en el entorno de un punto a, el cual contiene a dicho punto.

2.

y = f (x) es continua en ese entorno.

3.

y = f (x) es derivable n veces en el punto a y en cualquier punto lo suficientemente próximo a a.

4.3.1. Resto de Taylor En la Segunda Fórmula de Taylor para f (x): n

f (x )= å k=0

f (n ( a ) j (x ) ( x- a )k + n ( x- a )n k! n!

jn ( x ) ( x- a )n y representa el error cometido en la apron! ximación de la función y = f (x) como un polinomio en x de grado n. Si tomarnos límites tendremos que: se denomina resto de Taylor a la expresión Rn ( x ) =

LímRn ( x ) = Lím x ®a

x ®a

jn ( x ) ( x- a )n = 0 n!

lo que nos indica que el error cometido será menor cuanto mayor sea el grado del polinomio.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

51

Volumen II. Matemáticas

52

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

4.3.2. Desarrollo de Taylor con resto de Lagrange n=0

f (x )= å

f (n ( a ) ( x- a )n n!

Si entre las características que definen a la función y = f (x) incluimos que sea derivable n + 1 veces en el punto a y en cualquier punto lo suficientemente próximo a a, entonces existirá un cierto m Î Ea tal que permite definir f (x) como: ¥

Sea y = f ( x ) una función indefinidamente derivable en- R < x - a < R. Si Rn ( x ) ® 0cuando n ® ¥ entonces f ( x ) puede expresarse como una serie de potencias. n

f (x )= å k=0

f (n ( a ) f ( n+1( m ) ( x- a )k + ( x- a )n+1 k! ( n + 1)!

Teorema.

a lo que se denomina Desarrollo de Taylor con resto de Lagrange de una función en las proximidades de un punto. El resto de Lagrange lo constituye la expresión Rn ( x ) = -

f ( n+1( m ) ( x- a )n+1 ( n + 1)!

donde despejando y haciendo b = a, cuando b tiende a x quedaría: ìm Î ( x, a ) f ( n+1( m ) ( x- a )n+1 con í ( n + 1)! îm Î ( a , x )

Rn ( x ) =

f ( n+1( m ) ( b - m )n 0- Rn ( x ) n! = 0- ( b - x )n+1 - ( n + 1)( b - m )n -

Demostrémoslo:

siendo x < m < b, y tomando j( x ) = ( b - x )n+1, la expresión anterior quedaría como:

Partimos de la expresión:

Rn ( b )- Rn ( x ) R 'n ( m ) = j( b )- j( x ) j'( m ) n

f (b )= å k=0

f (k ( a ) ( b - a )k + Rn ( b ) k!

Sabemos que Rn ( b )= 0, así, eligiendo otra función j( x ) que también se anule en b, y suponiendo que ambas funciones cumplan las condiciones impuestas por el teorema de Cauchy se puede escribir: como a cada valor de a le corresponde otro de Rn podemos considerar que: Rn ( x ) = f ( b )- f ( x )-

f '( x ) f (n ( x ) ( b - x )-...( b - x )n 1! n! R 'n ( x ) = -

f ( n+1( x ) ( b - x )n n!

y al derivar, podemos observar que los términos se reducen unos con otros, quedando la expresión: f ( n+1( x ) ( b - x )n n!

y al derivar, podemos observar que los términos se reducen unos con otros, quedando la expresión: R 'n ( x ) = -

f '( x ) f (n ( x ) ( b - x )-...( b - x )n 1! n!

Rn ( x ) = f ( b )- f ( x )-

Sabemos que Rn ( b )= 0, así, eligiendo otra función j( x ) que también se anule en b, y suponiendo que ambas funciones cumplan las condiciones impuestas por el teorema de Cauchy se puede escribir: como a cada valor de a le corresponde otro de Rn podemos considerar que: k=0

f (k ( a ) ( b - a )k + Rn ( b ) k!

R ( b )- R ( x ) R ' ( m ) n n = n j( b )- j( x ) j'( m )

f (b )= å n

Partimos de la expresión:

siendo x < m < b, y tomando j( x ) = ( b - x )n+1, la expresión anterior quedaría como:

Demostrémoslo:

f ( n+1( m ) ( b - m )n 0- Rn ( x ) n! = 0- ( b - x )n+1 - ( n + 1)( b - m )n

Rn ( x ) =

ìm Î ( x, a ) f ( n+1( m ) ( x- a )n+1 con í ( n + 1)! îm Î ( a , x )

donde despejando y haciendo b = a, cuando b tiende a x quedaría: a lo que se denomina Desarrollo de Taylor con resto de Lagrange de una función en las proximidades de un punto. El resto de Lagrange lo constituye la expresión Rn ( x ) = -

f ( n+1( m ) ( x- a )n+1 ( n + 1)!

n

f (n ( a ) f ( n+1( m ) ( x- a )k + ( x- a )n+1 k! ( n + 1)!

Teorema.

k=0

f (x )= å

Sea y = f ( x ) una función indefinidamente derivable en- R < x - a < R. Si Rn ( x ) ® 0cuando n ® ¥ entonces f ( x ) puede expresarse como una serie de potencias.

Si entre las características que definen a la función y = f (x) incluimos que sea derivable n + 1 veces en el punto a y en cualquier punto lo suficientemente próximo a a, entonces existirá un cierto m Î Ea tal que permite definir f (x) como: ¥

f (x )= å n=0

f (n ( a ) ( x- a )n n!

4.3.2. Desarrollo de Taylor con resto de Lagrange

52

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Desarrollo de una función en serie de potencias Para demostrarlo, si aplicamos la fórmula de Taylor a cualquier x de ese intervalo, tenemos: ¥

f (x )= å k=0

n

y si llamamos S n ( x ) = å k=1

f (k ( a ) ( x- a )k + Rn ( x ) k!

(k

f (a ) ( x- a )k tenemos que f ( x )- S n ( x ) = Rn ( x ). k!

Esta serie cuando a = 0 se denomina serie de Mc Laurin. Teorema. Toda serie de potencias es la serie de Taylor de su suma. f (n ( a ) . n!

La demostración es trivial si consideramos que an =

4.4. Infinitésimos. Conceptos relacionados 1.

Una función f definida en un entorno de a, decimos que es un inifinitésimo en a cuando Lím f ( x ) = 0.

2.

Dadas dos funciones f y g que son infinitésimos en a, diremos que f es un infinitésimo de orden supef (x ) rior a g, lo que notaremos como f = 0( g ), cuando Lím = 0. x ®a g ( x )

3.

Dadas dos funciones f y g que son infinitésimos en a, se dice que f es un infinitésimo de orden equivaf (x ) lente a g, lo que notaremos como f ~ g , si Lím = 1. x ®a g ( x )

4.

Si en un límite aparece un infinitésimo como factor, puede ser sustituido por otro infinitésimo de orden equivalente, a excepción de en la suma o diferencia. Para probarlo consideremos f ~ g en a, y consideremos también el Lím f ( x )× h ( x ), entonces:

x ®a

x ®a

Lím f ( x )× h ( x ) = Lím x ®a

x ®a

f (x ) f (x ) Límg ( x )h ( x ) = 1× Límg ( x )h ( x ) = Límg ( x )h ( x ) g ( x )h ( x ) = Lím x ®a g ( x ) x ®a x ®a x ®a g (x )

Proposición. Sea Pn ( x ) un polinomio de Taylor de grado n de f en a, definido como: n

Pn ( x ) = å k=0

f (k ( a ) ( x- a )k k!

se verifica que f ( x )- Pn ( x ) = 0( x- a )n, lo que es equivalente a afirmar que: Lím x ®a

f ( x )- Pn ( x ) =0 ( x - a )n

Demostrémoslo: n

Lím x ®a

f ( x )- Pn ( x ) = Lím x ®a ( x - a )n

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

f (k ( a ) ( x - a )k k! 0 k=1 = ( x- a )n 0

f ( x )- å

53

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

f ( x ) está definida en el origen, a = 0, y en un entorno próximo de él.

2.

f ( x ) es continua en ese entorno.

3.

f ( x ) admite n + 1 derivadas finitas en el entorno.

hay que tener en cuenta que:

54

1.

ì0 ï f ( p[( x- a )r ] = í r! ï r- p îr( r- 1)...( r- p + 1)( x - a )

si p > r si p = r si r > p

Habíamos enunciado anteriormente el desarrollo de Mc Laurin definiendo en el desarrollo de Taylor, a en el origen, así pues las condiciones que se imponen a una función real de variable real serán las siguientes: para deshacer la indeterminación aplicamos la regla de L’Hôpital, reiteradamente, con lo que queda:

5. DESARROLLO DE Mc LAURIN

x ®a

f ( x )- P ( x ) f ( n ( x )- f ( n ( a ) n = Lím =0 x ®a n! ( x - a )n n!

b- a n!

Lím

Rn ( b ) =

lo que nos indica que f ( x )- P ( x ) es un infinitésimo de orden superior a ( x- a )n, por lo que se aproxima a cero, en un entorno de a más rápidamente que ( x- a )n y esto resulta equivalente a afirmar que, en un entorno de a, Pn ( x ) se aproxima a f (x) más rápidamente que ( x- a )n se aproxima a 0. Como la función ( x- a )n toma valores muy próximos a 0, para valores de x muy próximos a a, los polinomios de Taylor son una buena aproximación a la función f (x) en puntos suficientemente próximos a a, por lo que es apropiado utilizarlos para calcular valores aproximados de la función en puntos próximos a a, conociendo f y sus derivadas. Rn ( b ) £ M

f (n ( m ) b- a

£M

n

n

b- a f (n ( m ) . Y esto es cierto ya que sabiendo que Rn ( b ) = ( b - a )n con a < m < b, entonces: n! n! n

f (n ( m ) ( b - a )n con a < m < b, bajo ciertas condiciones puede fijarse una cota de este error. n! Así, sea f una función definida en [a, b] y tal que sus (n – 1) primeras derivadas son continuas en [a, b], y existiendo en (a, b) , existe, además, un cierto M Î ( a , b) tal que " x Î ( a , b) ® f ( n ( b ) £ M , entonces,

y como Rn ( b ) =

4.5. Acotación del error

f ( b )- Pn-1( b ) = Rn ( b )

Las condiciones del Teorema de Taylor nos indican:

En consecuencia $ m Î ( a , b ) tal que f ( b ) = Pn-1( b )+ Rn ( b ), por lo que el error cometido, en valor absoluto, al tomar el polinomio de Taylor (n – 1) - ésimo en lugar de la función, vendrá dado por el resto: Que existe f ( n en (a, b).

4.

Que f tiene derivadas hasta la orden n- 1en (a, b).

3.

Que f es continua en [a, b].

2.

Que f es una función definida en [a, b].

1.

1.

Que f es una función definida en [a, b].

2.

Que f es continua en [a, b].

3.

Que f tiene derivadas hasta la orden n- 1en (a, b).

4.

Que existe f ( n en (a, b).

En consecuencia $ m Î ( a , b ) tal que f ( b ) = Pn-1( b )+ Rn ( b ), por lo que el error cometido, en valor absoluto, al tomar el polinomio de Taylor (n – 1) - ésimo en lugar de la función, vendrá dado por el resto: Las condiciones del Teorema de Taylor nos indican:

f ( b )- Pn-1( b ) = Rn ( b )

4.5. Acotación del error

f (n ( m ) y como Rn ( b ) = ( b - a )n con a < m < b, bajo ciertas condiciones puede fijarse una cota de este error. n! Así, sea f una función definida en [a, b] y tal que sus (n – 1) primeras derivadas son continuas en [a, b], y existiendo en (a, b) , existe, además, un cierto M Î ( a , b) tal que " x Î ( a , b) ® f ( n ( b ) £ M , entonces,

lo que nos indica que f ( x )- P ( x ) es un infinitésimo de orden superior a ( x- a )n, por lo que se aproxima a cero, en un entorno de a más rápidamente que ( x- a )n y esto resulta equivalente a afirmar que, en un entorno de a, Pn ( x ) se aproxima a f (x) más rápidamente que ( x- a )n se aproxima a 0. Como la función ( x- a )n toma valores muy próximos a 0, para valores de x muy próximos a a, los polinomios de Taylor son una buena aproximación a la función f (x) en puntos suficientemente próximos a a, por lo que es apropiado utilizarlos para calcular valores aproximados de la función en puntos próximos a a, conociendo f y sus derivadas. n

b- a f (n ( m ) . Y esto es cierto ya que sabiendo que Rn ( b ) = Rn ( b ) £ M ( b - a )n con a < m < b, entonces: n! n! Rn ( b ) =

f (n ( m ) b- a

n

£M

n!

b- a n!

n

x ®a

Lím

f ( x )- Pn ( x ) f ( n ( x )- f ( n ( a ) = Lím =0 n x ®a n! ( x- a )

5. DESARROLLO DE Mc LAURIN

para deshacer la indeterminación aplicamos la regla de L’Hôpital, reiteradamente, con lo que queda:

Habíamos enunciado anteriormente el desarrollo de Mc Laurin definiendo en el desarrollo de Taylor, a en el origen, así pues las condiciones que se imponen a una función real de variable real serán las siguientes: ì0 ï f [( x- a ) ] = í r! ï r- p îr( r- 1)...( r- p + 1)( x - a )

si p > r si p = r si r > p

f ( x ) es continua en ese entorno.

2.

f ( x ) está definida en el origen, a = 0, y en un entorno próximo de él.

1. 3.

r

(p

hay que tener en cuenta que:

f ( x ) admite n + 1 derivadas finitas en el entorno.

54

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Desarrollo de una función en serie de potencias Entonces, existe un punto m del entorno tal que: n

f (x )= å k=0

f (n ( 0) k x + Rn ( x ) k!

donde Rn es el resto de Lagrange. Particularizando el desarrollo de Mc Laurin de una función f ( x ) a un cierto punto b conocido, obtendremos: n

f (b )= å k=0

f (n ( 0) k b + Rn ( b ) k!

esto nos permite determinar el valor de la función en b.

6. DESARROLLO EN SERIE CON RESTO DE CAUCHY Impuestas las mismas condiciones que en desarrollo de Taylor con resto de Lagrange, bastaría con considerar un cierto m del entorno de a, con lo que obtendríamos: n

f (x )= å k=0

f (n ( a ) f ( n+1( m ) ( x- a )k + ( x- m )n ( x- a ) k! n!

Para demostrarlo, si sabemos que Rn ( b )= 0, así, eligiendo otra función j( x ) que también se anule en b, y suponiendo que ambas funciones cumplan las condiciones impuestas por el teorema de Cauchy se puede escribir: Rn ( b )- Rn ( x ) R 'n ( m ) = j( b )- j( x ) j'( m ) siendo x < m < b, y tomando j( x ) = ( b - x ), la expresión anterior quedaría como: 0- Rn ( x ) = 0- ( b - x )

-

f ( n+1( m ) ( b - m )n n! -1

donde despejando y haciendo b = a, cuando b tiende a x quedaría: Rn ( x ) =

f ( n+1( m ) ( x- m )n ( x- a ) n!

que es el resto de Cauchy. Si el desarrollo es de Mc Laurin con resto de Cauchy, bastaría con hace a = 0, con lo que quedaría: n

f (x )= å k=0

f ( n ( 0 ) k f ( n+1( m ) x + ( x- m )n x k! n!

7. APLICACIONES AL ESTUDIO LOCAL DE FUNCIONES 7.1. Monotonía: crecimiento y decrecimiento Una función y = f ( x ) decimos que es creciente en un cierto punto x0 cuando en un determinado entorno de ese punto se verifica que f (x0) es mayor o igual que los valores que toma f ( x ) para x situados a la izquierda de x0, mientras que f ( x0 ) es menor o igual que los valores que toma f ( x )para x situados a la derecha de x0. (Si es mayor o menor, respectivamente, pero no igual, decimos que f ( x ) es estrictamente creciente). TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

55

Volumen II. Matemáticas

56

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

f '( x0 ) no puede ser mayor que cero ya que en ese caso f (x) sería creciente, pero tampoco puede ser f '( x0 ) menor que cero porque f (x) sería decreciente. Luego el único valor posible para f '( x0 ) será cero.

Una función y = f ( x ) decimos que es decreciente en un cierto punto x0 cuando en un determinado entorno de ese punto se verifica que f (x0) es menor o igual que los valores que toma f ( x )para x situados a la izquierda de x0, mientras que f ( x0 ) es mayor o igual que los valores que toma f ( x )para x situados a la derecha de x0. (Si es menor o mayor, respectivamente, pero no igual, decimos que f ( x )es estrictamente decreciente). Definimos la monotonía en un intervalo afirmando que una función y = f ( x ) es creciente (o decreciente) en un intervalo cuando es creciente (o decreciente) en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. Demostrémoslo.

Si una función f (x) admite un extremo relativo en un punto x0, entonces f '( x0 ) = 0. Teorema. Condición necesaria de existencia de máximo y mínimo.

7.2. Criterios de crecimiento y decrecimiento

Diremos que una función f ( x ), tiene un máximo absoluto en un punto x0 de un intervalo cerrado, si f ( x0 ) es mayor que cualquier otro posible valor de la función en ese intervalo. Y diremos que una función f ( x ), tiene un mínimo absoluto en un punto x0 de un intervalo cerrado, si f ( x0 ) es menor que cualquier otro posible valor de la función en ese intervalo. Teorema.

Una función f ( x ) cuya primera derivada no se anula en el punto x0 es estrictamente creciente si f '( x0 ) > 0. Análogamente, una función cuya primera derivada no se anula en el punto x0 es estrictamente decreciente si f '( x0 ) < 0. f ( x0 ) < f ( x ), " x|0 < x - x0 < d

Análogamente, dada una función f ( x ), diremos que tiene un mínimo relativo en un punto x0, si f ( x0 ) es menor que cualquier otro posible valor de la función en un cierto entorno del punto x0, lo que nos indica la existencia de un cierto d > 0 tal que: Demostrémoslo.

Haremos la demostración para el caso de f '( x0 ) > 0, siendo similar en el otro. Si f '( x0 ) > 0, entonces el cociente incremental

Dy0 f ( x )- f ( x0 ) será positivo ya que es positivo = Dx0 x - x0

f ( x0 ) > f ( x ), " x|0 < x - x0 < d

Dada una función f ( x ), diremos que tiene un máximo relativo en un punto x0, si f ( x0 ) es mayor que cualquier otro posible valor de la función en un cierto entorno del punto x0, lo que nos indica la existencia de un cierto d > 0 tal que: su límite en un cierto entorno de x0.

ìsi x > x0 Þ f ( x ) > f ( x0 ) ï í ï îsi x < x0 Þ f ( x ) < f ( x0 )

7.3. Extremos relativos. Máximos y mínimos

lo que caracteriza, como hemos visto anteriormente, a la función como creciente.

lo que caracteriza, como hemos visto anteriormente, a la función como creciente. ìsi x > x0 Þ f ( x ) > f ( x0 ) ï í ï îsi x < x0 Þ f ( x ) < f ( x0 )

7.3. Extremos relativos. Máximos y mínimos

Dada una función f ( x ), diremos que tiene un máximo relativo en un punto x0, si f ( x0 ) es mayor que cualquier otro posible valor de la función en un cierto entorno del punto x0, lo que nos indica la existencia de un cierto d > 0 tal que: su límite en un cierto entorno de x0.

Dy f ( x )- f ( x0 ) 0 será positivo ya que es positivo = Dx0 x - x0

f ( x0 ) > f ( x ), " x|0 < x - x0 < d

Si f '( x0 ) > 0, entonces el cociente incremental

Análogamente, dada una función f ( x ), diremos que tiene un mínimo relativo en un punto x0, si f ( x0 ) es menor que cualquier otro posible valor de la función en un cierto entorno del punto x0, lo que nos indica la existencia de un cierto d > 0 tal que: Haremos la demostración para el caso de f '( x0 ) > 0, siendo similar en el otro. Demostrémoslo.

f ( x0 ) < f ( x ), " x|0 < x - x0 < d

Una función f ( x ) cuya primera derivada no se anula en el punto x0 es estrictamente creciente si f '( x0 ) > 0. Análogamente, una función cuya primera derivada no se anula en el punto x0 es estrictamente decreciente si f '( x0 ) < 0.

Diremos que una función f ( x ), tiene un máximo absoluto en un punto x0 de un intervalo cerrado, si f ( x0 ) es mayor que cualquier otro posible valor de la función en ese intervalo. Y diremos que una función f ( x ), tiene un mínimo absoluto en un punto x0 de un intervalo cerrado, si f ( x0 ) es menor que cualquier otro posible valor de la función en ese intervalo. Teorema.

7.2. Criterios de crecimiento y decrecimiento

Teorema. Condición necesaria de existencia de máximo y mínimo. Una función y = f ( x ) decimos que es decreciente en un cierto punto x0 cuando en un determinado entorno de ese punto se verifica que f (x0) es menor o igual que los valores que toma f ( x )para x situados a la izquierda de x0, mientras que f ( x0 ) es mayor o igual que los valores que toma f ( x )para x situados a la derecha de x0. (Si es menor o mayor, respectivamente, pero no igual, decimos que f ( x )es estrictamente decreciente). Definimos la monotonía en un intervalo afirmando que una función y = f ( x ) es creciente (o decreciente) en un intervalo cuando es creciente (o decreciente) en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo. Si una función f (x) admite un extremo relativo en un punto x0, entonces f '( x0 ) = 0.

Demostrémoslo.

f '( x0 ) no puede ser mayor que cero ya que en ese caso f (x) sería creciente, pero tampoco puede ser f '( x0 ) menor que cero porque f (x) sería decreciente. Luego el único valor posible para f '( x0 ) será cero. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Desarrollo de una función en serie de potencias

7.3.1. Condiciones suficientes para la existencia de extremo relativo Teorema. Sea una función f ( x ) tal que f '( x0 ) = 0 y f ''( x0 ) > 0, podemos afirmar que la función presenta un mínimo relativo para x = x0. Demostrémoslo: Desarrollamos por Taylor hasta la segunda derivada la función f (x). f ( x ) = f ( x0 )+

f '( x0 ) f ''( x0 ) ( x- x0 )+ ( x- x0 )2 + R2 ( x ) 1! 2!

habíamos visto que la condición necesaria para la existencia de extremo imponía que f '( x0 ) = 0, luef ''( x0 ) go teniendo en cuenta que R2 ( x ) < ( x - x0 )2 , podemos admitir que signo ( f ( x )- f ( x0 )) = 2! æ f ''( x0 ) ö = signoç ( x- x0 )2 ÷, y en consecuencia, al ser f ''( x0 ) > 0 también será positivo f ( x )- f ( x0 ), è 2! ø para un entorno simétrico de x0, es decir, f ( x0 ) < f ( x ), " x|0 < x - x0 < d, pudiendo concluir que f ( x ) presenta un mínimo relativo para x = x0. Teorema. Sea una función f ( x ) tal que f '( x0 ) = 0 y f ''( x0 ) < 0, podemos afirmar que la función presenta un máximo relativo para x = x0. Demostrémoslo: Una vez más, desarrollamos por Taylor hasta la segunda derivada la función f ( x ). f ( x ) = f ( x0 )+

f '( x0 ) f ''( x0 ) ( x- x0 )+ ( x- x0 )2 + R2 ( x ) 1! 2!

habíamos visto que la condición necesaria para la existencia de extremo imponía que f '( x0 ) = 0, luef ''( x0 ) go teniendo en cuenta que R2 ( x ) < ( x - x0 )2 , podemos admitir que signo ( f ( x )- f ( x0 )) = 2! æ f ''( x0 ) ö = signoç ( x- x0 )2 ÷, y en consecuencia, al ser f ''( x0 ) < 0 también será negativo f ( x )- f ( x0 ), è 2! ø para un entorno simétrico de x0, es decir, f ( x0 ) > f ( x ), " x|0 < x - x0 < d, pudiendo concluir que f ( x ) presenta un máximo relativo para x = x0.

7.4. Curvatura. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión Decimos que una función f ( x ) es cóncava en un intervalo cuando la recta tangente a la gráfica de la función en cualquier punto del intervalo está situada por debajo de la gráfica de la función en cualquier punto del intervalo a excepción del punto de tangencia. Análogamente, decimos que una función f ( x ) es convexa en un intervalo cuando la recta tangente a la gráfica de la función en cualquier punto del intervalo está situada por encima de la gráfica de la función en cualquier punto del intervalo a excepción del punto de tangencia. Podemos definir, también, la curvatura a partir de los siguientes criterios: La curvatura de la función f ( x )es cóncava en x0, si existe un entorno E ( x0 , r ) en el que las diferencias entre la ordenada de la curva y la ordenada de la tangente a la curva en x0 sea negativa. Análogamente la curvatura será convexa si las diferencias son positivas, en ambos casos " x Î E * ( x0 , r ). Una función será cóncava o convexa en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del mismo.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

58

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Si la primera derivada, en el punto x0, no nula de la función f ( x ) es de orden impar, la función presenta un punto de inflexión en x0. Teorema.

Sea la función y = f ( x ), si existe f ''( x0 ) y f ''( x0 ) < 0, cuando x0 no es un punto de tangencia, la curva representativa de esa función es cóncava en x0. Teorema.

Dada la función f ( x )diremos que presenta un punto de inflexión en x0, si la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente cambia de signo a la izquierda y a la derecha del punto x0. Demostrémoslo.

Desarrollamos por Taylor hasta la segunda derivada la función f ( x ).

f '( x0 ) f ''( x0 ) ( x- x0 )+ ( x- x0 )2 + R2 ( x ) 1! 2!

Definición de punto de inflexión.

f ( x ) = f ( x0 )+

por otra parte la ecuación de la recta tangente a la curva en x0 es:

æ f ''( x0 ) ö y como ya habíamos visto signo ( f ( x )- g ( x )) = signoç ( x- x0 )2 ÷y si, como hemos afirmaè 2! ø do, f ''( x0 ) > 0, también será positivo f ( x )- g ( x ) y en consecuencia la función será convexa en x0. g ( x ) = f ( x0 )+ f '( x0 )( x - x0 )

estudiamos las diferencias de las ordenadas de la curva y la tangente: f ''( x0 ) ( x- x )2 + R2 ( x ) 2!

f ''( x0 ) ( x- x )2 + R2 ( x ) 2! f ( x )- g ( x ) =

f ( x )- g ( x ) =

æ f ''( x0 ) ö y como ya habíamos visto signo ( f ( x )- g ( x )) = signoç ( x- x0 )2 ÷y si, como hemos afirmaè 2! ø do, f ''( x0 ) < 0, también será negativo f ( x )- g ( x ) y en consecuencia la función será cóncava en x0. estudiamos las diferencias de las ordenadas de la curva y la tangente: g ( x ) = f ( x0 )+ f '( x0 )( x - x0 )

por otra parte la ecuación de la recta tangente a la curva en x0 es: f ( x ) = f ( x0 )+

f '( x ) f ''( x0 ) 0 ( x- x0 )+ ( x- x0 )2 + R2 ( x ) 1! 2!

Teorema.

Sea la función y = f ( x ), si existe f ''( x0 ) y f ''( x0 ) > 0, cuando x0 no es un punto de tangencia, la curva representativa de esa función es convexa en x0.

Al igual que en la demostración anterior, volvemos a desarrollar por Taylor hasta la segunda derivada la función f ( x ). Demostrémoslo:

Demostrémoslo:

Al igual que en la demostración anterior, volvemos a desarrollar por Taylor hasta la segunda derivada la función f ( x ).

Sea la función y = f ( x ), si existe f ''( x0 ) y f ''( x0 ) > 0, cuando x0 no es un punto de tangencia, la curva representativa de esa función es convexa en x0. f '( x0 ) f ''( x0 ) ( x- x0 )+ ( x- x0 )2 + R2 ( x ) 1! 2!

Teorema.

f ( x ) = f ( x0 )+

por otra parte la ecuación de la recta tangente a la curva en x0 es:

æ f ''( x ) ö 0 y como ya habíamos visto signo ( f ( x )- g ( x )) = signoç ( x- x0 )2 ÷y si, como hemos afirmaè 2! ø do, f ''( x0 ) < 0, también será negativo f ( x )- g ( x ) y en consecuencia la función será cóncava en x0. g ( x ) = f ( x0 )+ f '( x0 )( x - x0 )

estudiamos las diferencias de las ordenadas de la curva y la tangente: f ''( x0 ) ( x- x )2 + R2 ( x ) 2!

f ''( x0 ) ( x- x )2 + R2 ( x ) 2! f ( x )- g ( x ) =

f ( x )- g ( x ) =

æ f ''( x0 ) ö y como ya habíamos visto signo ( f ( x )- g ( x )) = signoç ( x- x0 )2 ÷y si, como hemos afirmaè 2! ø do, f ''( x0 ) > 0, también será positivo f ( x )- g ( x ) y en consecuencia la función será convexa en x0. estudiamos las diferencias de las ordenadas de la curva y la tangente: g ( x ) = f ( x0 )+ f '( x0 )( x - x0 )

por otra parte la ecuación de la recta tangente a la curva en x0 es: f ( x ) = f ( x0 )+

f '( x ) f ''( x0 ) 0 ( x- x0 )+ ( x- x0 )2 + R2 ( x ) 1! 2!

Definición de punto de inflexión.

Dada la función f ( x )diremos que presenta un punto de inflexión en x0, si la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente cambia de signo a la izquierda y a la derecha del punto x0. Desarrollamos por Taylor hasta la segunda derivada la función f ( x ). Demostrémoslo.

Sea la función y = f ( x ), si existe f ''( x0 ) y f ''( x0 ) < 0, cuando x0 no es un punto de tangencia, la curva representativa de esa función es cóncava en x0. Teorema.

Si la primera derivada, en el punto x0, no nula de la función f ( x ) es de orden impar, la función presenta un punto de inflexión en x0. Teorema.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Desarrollo de una función en serie de potencias Demostrémoslo. Supongamos que las sucesivas derivadas en x0, de la función f ( x ) son nulas hasta una cierta f ( n ( x0 ) ¹ 0, n Î N * (n impar). Desarrollamos por Taylor hasta esa derivada para x = x0 n

f (x )= å k=0

f ( k ( x0 ) ( x- x0 )k + Rn ( x ) k!

y teniendo en cuenta la ecuación de la recta tangente a la curva que pasa por el punto ( x0 , f ( x0 )), que sería g ( x ) = f ( x0 )+ f '( x0 )( x - x0 ), la diferencia entre las ordenadas vendría dada por: f ( n ( x0 ) ( x- x )n + Rn ( x ) n! y, una vez más, considerando los signos, sabemos que æ f ( n ( x0 ) ö signo ( f ( x )- g ( x )) = signoç ( x- x0 )n ÷ ç ÷ n ! è ø f ( x )- g ( x ) =

lo que presenta las siguientes posibilidades para n impar.

x < x0 (x - x0 )n < 0 x > x0 (x - x0 )n > 0

f ( n (x0 ) > 0

f ( n (x0 ) < 0

f (x ) - g (x ) < 0

f (x ) - g (x ) > 0

f (x ) - g (x ) > 0

f (x ) - g (x ) < 0

luego, la presencia de distintos signos nos indica la existencia de un punto de inflexión.

7.5. Generalización de la determinación de máximos y mínimos Teorema. Si la primera derivada, en el punto x0, no nula de la función f ( x ) es de orden par, la función presenta un mínimo relativo en x0, si f ( n ( x0 ) > 0 y presenta un máximo relativo si f ( n ( x0 ) < 0. Demostrémoslo. Desarrollamos por Taylor en x0, hasta n par. n

f (x )= å k=0

f ( k ( x0 ) ( x- x0 )k + Rn ( x ) k!

lo que, dado que las derivadas anteriores son nulas nos quedaría como: f ( n ( x0 ) f ( x ) = f ( x0 )+ ( x- x0 )n + Rn ( x ) n! y basándonos, una vez más, en la igualdad de signos tenemos: æ f ( n ( x0 ) ö signo ( f ( x )- g ( x )) = signoç ( x- x0 )n ÷ ç ÷ è n! ø y en consecuencia: ìSi í îSi

f ( n ( x0 ) > 0 Þ f ( x ) > f ( x0 ) ® Mínimo relativo en x0 f ( n ( x0 ) < 0 Þ f ( x ) < f ( x0 ) ® Máximo relativo en x0

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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TEMA

28 Estudio global de funciones. Aplicaciones a la representación gráfica de funciones

Fulgencio García Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

62

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.1. Teorema de Bolzano 2.2. Teorema del valor intermedio

3.

ACOTACIÓN DE FUNCIONES CONTINUAS

4.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 4.1. Determinación de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado 4.2. Teorema del valor medio para derivadas

5.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

6.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES

7.

CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

8.

ASÍNTOTAS

9.

ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS EXPLÍCITAS 9.1. Determinación del dominio o campo de existencia 9.2. Determinación de las simetrías de la función 9.3. Periodicidad 9.4. Cortes con los ejes y regionamiento 9.5. Crecimiento y decrecimiento 9.6. Máximos y mínimos 9.7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión 9.8. Asíntotas

10.

REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA DADA POR SUS ECUACIONES EN FORMA PARAMÉTRICA ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS EXPLÍCITAS 9.1. Determinación del dominio o campo de existencia 9.2. Determinación de las simetrías de la función 9.3. Periodicidad 9.4. Cortes con los ejes y regionamiento 9.5. Crecimiento y decrecimiento 9.6. Máximos y mínimos 9.7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión 9.8. Asíntotas

9.

ASÍNTOTAS

8.

CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN

7.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES

6.

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

5.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES 4.1. Determinación de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado 4.2. Teorema del valor medio para derivadas

4.

ACOTACIÓN DE FUNCIONES CONTINUAS

3.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.1. Teorema de Bolzano 2.2. Teorema del valor intermedio

2.

INTRODUCCIÓN

1.

10.

REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA DADA POR SUS ECUACIONES EN FORMA PARAMÉTRICA

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

62

Estudio global de funciones

1. INTRODUCCIÓN Para estudiar globalmente una función nos harán falta conceptos desarrollados en temas anteriores, tanto relativos al estudio local de una función (ya que la representación global de una función supone estudiarla localmente en todos los puntos de su dominio), como los referidos a las derivadas y ramas infinitas o asíntotas. Así, empezaremos dando la definición de función, y aplicaremos las derivadas sucesivas de una función en el estudio de máximos, mínimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y convexidad, y por último haremos un estudio de sus ramas infinitas o asíntotas. Los orígenes de la noción de función y de su influencia significativa en el desarrollo de la ciencia pueden fijarse en el siglo XVII, apareciendo explícitamente en Leibniz (1692) y siendo utilizado por los Bernoulli desde 1694. Se debe a Euler en 1734 la introducción del símbolo f(x) y el concepto general de función algebraica. El problema de la cuerda vibrante, resuelto por D’Alembert (1747), indujo a Euler a admitir funciones arbitrarias definidas gráficamente, puesto que la forma inicial de la cuerda puede ser arbitraria. Además Bernoulli dio una expresión por serie trigonométrica de la forma de la cuerda en cada momento, por lo que hubo que suprimir la distinción entre función arbitraria y función matemática ya que aquellas son expresables mediante operaciones aritméticas. Todo esto condujo a prescindir del modo de dar la correspondencia entre los valores de x y los de y, para atender solamente a la correspondencia en sí misma, y así quedó establecido por Dirichlet en 1854 el concepto general de función como correspondencia arbitraria entre dos variables. Así, diremos que una variable y es función de otra variable x, cuando a cada valor de x (dentro de un cierto conjunto X, llamado campo de variación de x) corresponde un valor determinado de y (función uniforme) o varios valores de y (función multiforme). En lo sucesivo y mientras no se diga lo contrario, con la palabra función nos referiremos exclusivamente a funciones uniformes. Como se ha dicho anteriormente, la continuidad y derivabilidad de funciones se ha estudiado con profundidad en otros temas. Lo que haremos a continuación será enunciar teoremas basados en la continuidad y derivabilidad de funciones, pero aplicados a intervalos con objeto de poder estudiar las funciones de forma global.

2. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.1. Teorema de Bolzano Bernardo Bolzano (1781-1848), sacerdote católico, fue uno de los primeros en reconocer que muchas de las propiedades sobre funciones continuas que parecían obvias, requerían una demostración formal. Sus demostraciones referentes a continuidad fueron publicadas en 1850 en su importante obra póstuma Paradojas del infinito. Uno de sus resultados es conocido como el teorema que lleva su nombre y que enunciamos como sigue: Teorema (1) de Bolzano. Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo cerrado [a,b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos. Existe entonces por lo menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) tal que f ( c )= 0. (Gráfica en figura 1). Para demostrar el teorema de Bolzano, enunciaremos y demostraremos otro teorema o propiedad sobre las funciones continuas. Teorema (2) de la conservación del signo. Sea f una función continua en un punto c y supongamos que f ( c )¹ 0. Existe entonces un intervalo ( c – d, c+ d ) en el que f tiene el mismo signo que f ( c ). Demostración: Supongamos que f ( c )> 0. Por ser continua en c, para cada e > 0, existe un d > 0, tal que: f ( c ) – e < f ( x ) < f ( c )+ e siempre que c – d < x < c + d. Si tomamos el d correspondiente a e = f ( c ) / 2 (este valor de e es positivo), transformamos la desigualdad anterior en: f (c ) 3 f (c ) < f (x )< 2 2

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

63

Volumen II. Matemáticas

64

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

siempre que c – d < x < c + d. de donde podemos deducir que f ( x )> 0 en ese intervalo y por tanto f(x) y f ( c ) tienen el mismo signo en ese intervalo. f (c ) y se Si f ( c )< 0 se toma el d correspondiente a e = – 2 llega a la misma conclusión.

Demostración: Basta aplicar el teorema de Bolzano a la función g ( x ) = f ( x ) – c, que es una función continua en [ a , b ].

Teorema (3) del valor intermedio. Sea f ( x ) una función continua en el intervalo [ a , b ]. Entonces f ( x ) toma todos los valores comprendidos entre f ( a ) y f ( b ), es decir que para todo valor c tal que f ( a ) < c < f ( b ) (suponiendo que f ( a ) < f ( b )), existe un valor z Î ( a , b ) tal que f ( z )= c. a

c

b

Es una consecuencia inmediata del teorema de Bolzano y su demostración se basa en el mismo, apareciendo en algunos textos como corolario del teorema de Bolzano. Lo enunciamos a continuación:

2.2. Teorema del valor intermedio

Figura 1.

Además a < c < b, puesto que f ( a )< 0y f ( b )> 0, con lo que queda demostrado el teorema de Bolzano. Demostración del teorema de Bolzano:

Sólo queda la posibilidad de que f ( c )= 0.

–

Si f ( c )< 0, hay un intervalo ( c – d, c+ d ) o [c, c+ d) si c = a, en el cual f es negativa y por tanto f ( x )< 0 para algún x > c, contradiciendo también la hipótesis de que c es una cota superior de S, por lo que f ( c )< 0 también es imposible.

–

Si f ( c )> 0hay un intervalo ( c – d, c+ d ) o ( c – d, b] si c = b en el que f ( x ) es positivo si x pertenece a ese intervalo. Por tanto ningún punto de S puede estar a la derecha de c – d, y por tanto c – d es una cota superior del conjunto S, contradiciendo la hipótesis de que c es el extremo superior de S, ya que c – d < c. Por tanto, la desigualdad f ( c )> 0 es imposible.

–

Supongamos sin perder generalidad que f ( a )< 0y f ( b )> 0. Puede haber muchos valores de x entre a y b, para los cuales f ( x )= 0, aunque nos bastará demostrar la existencia de uno, y lo haremos determinando el mayor x para el cual f ( x )= 0. Sea S el conjunto de todos los puntos del intervalo [ a , b ] para los cuales f ( x )£ 0. Al menos tenemos un punto en S, pues f ( a )< 0, por lo que S será un conjunto no vacío y además está acotado superiormente puesto que todos sus puntos están en el intervalo [ a , b ], y puesto que todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un extremo superior, llamaremos al mismo c. Se trata de demostrar que f ( c )= 0. Para el valor de la función en c, tenemos tres posibilidades: f ( c )> 0, f ( c )< 0 y f ( c )= 0.

–

Si f ( c )> 0hay un intervalo ( c – d, c+ d ) o ( c – d, b] si c = b en el que f ( x ) es positivo si x pertenece a ese intervalo. Por tanto ningún punto de S puede estar a la derecha de c – d, y por tanto c – d es una cota superior del conjunto S, contradiciendo la hipótesis de que c es el extremo superior de S, ya que c – d < c. Por tanto, la desigualdad f ( c )> 0 es imposible.

Supongamos sin perder generalidad que f ( a )< 0y f ( b )> 0. Puede haber muchos valores de x entre a y b, para los cuales f ( x )= 0, aunque nos bastará demostrar la existencia de uno, y lo haremos determinando el mayor x para el cual f ( x )= 0. Sea S el conjunto de todos los puntos del intervalo [ a , b ] para los cuales f ( x )£ 0. Al menos tenemos un punto en S, pues f ( a )< 0, por lo que S será un conjunto no vacío y además está acotado superiormente puesto que todos sus puntos están en el intervalo [ a , b ], y puesto que todo conjunto no vacío de números reales que está acotado superiormente tiene un extremo superior, llamaremos al mismo c. Se trata de demostrar que f ( c )= 0. Para el valor de la función en c, tenemos tres posibilidades: f ( c )> 0, f ( c )< 0 y f ( c )= 0.

–

Si f ( c )< 0, hay un intervalo ( c – d, c+ d ) o [c, c+ d) si c = a, en el cual f es negativa y por tanto f ( x )< 0 para algún x > c, contradiciendo también la hipótesis de que c es una cota superior de S, por lo que f ( c )< 0 también es imposible.

–

Sólo queda la posibilidad de que f ( c )= 0.

Demostración del teorema de Bolzano:

Además a < c < b, puesto que f ( a )< 0y f ( b )> 0, con lo que queda demostrado el teorema de Bolzano.

Figura 1.

2.2. Teorema del valor intermedio

Es una consecuencia inmediata del teorema de Bolzano y su demostración se basa en el mismo, apareciendo en algunos textos como corolario del teorema de Bolzano. Lo enunciamos a continuación: Teorema (3) del valor intermedio. Sea f ( x ) una función continua en el intervalo [ a , b ]. Entonces f ( x ) toma todos los valores comprendidos entre f ( a ) y f ( b ), es decir que para todo valor c tal que f ( a ) < c < f ( b ) (suponiendo que f ( a ) < f ( b )), existe un valor z Î ( a , b ) tal que f ( z )= c. a

c

b

llega a la misma conclusión. siempre que c – d < x < c + d. de donde podemos deducir que f ( x )> 0 en ese intervalo y por tanto f(x) y f ( c ) tienen el mismo signo en ese intervalo. f (c ) y se 2

Demostración: Basta aplicar el teorema de Bolzano a la función g ( x ) = f ( x ) – c, que es una función continua en [ a , b ].

Si f ( c )< 0 se toma el d correspondiente a e = –

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Volumen II. Matemáticas

64

Estudio global de funciones

3. ACOTACIÓN DE LAS FUNCIONES CONTINUAS Sea f ( x ) una función definida en el intervalo [ a , b ]. El conjunto imagen, f ([ a , b ]) de f ( x ) es un conjunto de números reales, para el cual son válidas las definiciones de cota superior, cota inferior, etc. Las recordaremos, adaptándolas al conjunto imagen de f ( x ).

–

Se llamará cota superior de una función f ( x ) en un intervalo [ a , b ] a un número real K, que no sea superado por ningún valor de la imagen de f ( x ), es decir, que sea mayor o igual que todos los valores de f ( x ) en ese intervalo: f (x )£ K

–

"x Î [ a , b ]

Análogamente se llama cota inferior de una función f ( x )en un intervalo [ a , b ] a un número real k, que no supere a ningún valor de la imagen de f ( x ), es decir, que sea menor o igual que todos los valores de f ( x ) en ese intervalo: f (x )³ k

"x Î [ a , b ]

Si una función tiene cota superior, diremos que está acotada superiormente; si tiene cota inferior diremos que está acotada inferiormente y diremos que está acotada si lo está superior e inferiormente. Teorema (4) de acotación para funciones continuas. Sea f ( x )una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ]. Entonces f ( x ) está acotada en [ a , b ], es decir, existe un número C ³ 0 tal que f ( x ) £ C para todo x en [ a , b ]. Demostración: Veremos en primer lugar que f ( x ) está acotada superiormente. Para ello consideremos el conjunto A = {x Î [ a , b ] / f ( x ) está acotada superiormente en [ a , x ]}. Como a Î A, es A ¹ Æ y como A Ì [ a , b ], A está acotado superiormente por b. Por tanto A tiene un extremo superior a. Este extremo superior a es igual a b, pues si fuese a < b, existiría un entorno de a, ( a – d, a+ d) en el que, por ser f ( x )continua en a, f ( x )estaría acotada superiormente en él y en particular estaría acotada en el intervalo cerrado [a , x1] con a < x1 < a + d, lo que estaría en contradicción con la definición de a. Así pues a = b y f ( x ) está acotada en todo intervalo cerrado de la forma [ a , x] con x < b. Por otra parte, por ser f ( x ) continua en b, existe un entorno de b, ( b – h , b + h ) en el que f ( x ) está acotada superiormente (de hecho el entorno se reduce a ( b – h , b] pues la función f ( x ) no está definida a la derecha de b). Si tomamos un z tal que b – h < z < b tenemos que f ( x )estará acotada superiormente en [ z , b ] y como z < b, también f ( x ) estará acotada en [ a , z ], con lo que llegamos a la conclusión de que f ( x )está acotada superiormente en [ a , b ]. Análogamente se demuestra que f ( x ) está acotada inferiormente en [ a , b ]. Definición. Sea f(x) una función definida en un intervalo [ a , b ]. Se dice que la función tiene un máximo absoluto en el intervalo [ a , b ] si existe por lo menos un punto c perteneciente a [ a , b ], tal que f ( x ) £ f ( c ) para todo x Î [ a , b ].

–

El número f(c) se llama máximo absoluto de f(x) en [ a , b ].

Diremos también que f(x) tiene un mínimo absoluto en el intervalo [ a , b ] si existe por lo menos un punto d perteneciente a [ a , b ], tal que f ( d ) £ f ( x ) para todo x Î [ a , b ].

–

El número f(d) se llama mínimo absoluto de f(x) en [ a , b ].

Teorema (5) de Bolzano-Weierstrass. Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [ a , b ], tiene un máximo y un mínimo absolutos en [ a , b ]. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Demostración: Por ser f ( x ) continua en el intervalo [ a , b ], está acotada en [ a , b ] (teorema 4), es decir, el conjunto A = f ([ a , b ]) = { y Î R / y = f ( x ) para todo x Î [ a , b ]} está acotado (superiormente) y además A ¹ Æ, pues f ( a ) Î A. Por tanto A tiene un extremo superior a. Así tendremos que f ( x )£ a para todo x Î [ a , b ]. Entonces para ver que f ( x ) tiene un máximo bastará demostrar que existe un z Î [ a , b ] tal que f ( z )= a. Si no existiera este z Î [ a , b ] tal que f ( z )= a, sería a ¹ f ( x ) para todo x Î [ a , b ] y la función g ( x ) definida por

Si el máximo y el mínimo de una función en un intervalo cerrado [ a , b ] coinciden y la función es continua en dicho intervalo, dicha función es constante.

Corolario 2.

Si f(x) es continua en [ a , b ], el conjunto imagen de f(x) es el intervalo cerrado [ m, M ].

Corolario 1.

1 a – f (x )

lo que nos dice aplicando el teorema de Bolzano que existe un punto z comprendido entre a y b (es decir, perteneciente al intervalo [ a , b ]) en el que g ( z )= 0, es decir f ( z ) – c = 0, o lo que es lo mismo f ( z )= c, con lo que queda demostrado el teorema. g (x )=

sería continua en [ a , b ], ya que el denominador no es nunca cero y que f ( x ) y a son ambas continuas en [ a , b ]. Por otra parte por ser a el extremo superior de A, los valores f ( x )se aproximan tanto como se quiera a a, es decir, dado un e > 0, existe siempre un punto t Î [ a , b ] tal que a – f ( t ) < e. Esto significa que, por pequeño que sea e > 0, siempre se puede encontrar un t Î [ a , b ] tal que g (a )= f (a ) – c = m – c < 0

g ( b )= f ( b ) – c = M – c > 0

Demostración: Por ser f(x) continua en [ a , b ], existe un punto b Î [ a , b ] tal que f ( b ) = M y un punto a Î [ a , b ] tal que f ( a ) = m (teorema 5). Si c es tal que m < c < M , consideramos la función g ( x ) = f ( x ) – c, que es evidentemente continua en [ a , b ] por serlo f(x) y c y además g (t )=

1 1 > a – f (t ) e

1 y al ser e muy pequeño, es tan grande como queramos, resultando que la función g ( x ) es continua y e no está acotada (superiormente) en [ a , b ] lo que contradice el teorema 4. Esta contradicción proviene de suponer a ¹ f ( z ) y en consecuencia debe existir un z perteneciente a [ a , b ], tal que a = f ( z ). Análogamente se demuestra la existencia de un mínimo.

Teorema 6. Si f ( x )es una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] y c es un valor comprendido entre los valores mínimo m y máximo M de la función en [ a , b ], existe un z Î [ a , b ] tal que f ( z )= c. Es decir, la función alcanza todos los valores comprendidos entre el mínimo y el máximo.

Teorema 6. Si f ( x )es una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] y c es un valor comprendido entre los valores mínimo m y máximo M de la función en [ a , b ], existe un z Î [ a , b ] tal que f ( z )= c. Es decir, la función alcanza todos los valores comprendidos entre el mínimo y el máximo.

1 y al ser e muy pequeño, es tan grande como queramos, resultando que la función g ( x ) es continua y e no está acotada (superiormente) en [ a , b ] lo que contradice el teorema 4. Esta contradicción proviene de suponer a ¹ f ( z ) y en consecuencia debe existir un z perteneciente a [ a , b ], tal que a = f ( z ). Análogamente se demuestra la existencia de un mínimo.

Demostración: Por ser f(x) continua en [ a , b ], existe un punto b Î [ a , b ] tal que f ( b ) = M y un punto a Î [ a , b ] tal que f ( a ) = m (teorema 5). Si c es tal que m < c < M , consideramos la función g ( x ) = f ( x ) – c, que es evidentemente continua en [ a , b ] por serlo f(x) y c y además g (t )=

1 1 > a – f (t ) e

sería continua en [ a , b ], ya que el denominador no es nunca cero y que f ( x ) y a son ambas continuas en [ a , b ]. Por otra parte por ser a el extremo superior de A, los valores f ( x )se aproximan tanto como se quiera a a, es decir, dado un e > 0, existe siempre un punto t Î [ a , b ] tal que a – f ( t ) < e. Esto significa que, por pequeño que sea e > 0, siempre se puede encontrar un t Î [ a , b ] tal que g ( b )= f ( b ) – c = M – c > 0 g (a )= f (a ) – c = m – c < 0

lo que nos dice aplicando el teorema de Bolzano que existe un punto z comprendido entre a y b (es decir, perteneciente al intervalo [ a , b ]) en el que g ( z )= 0, es decir f ( z ) – c = 0, o lo que es lo mismo f ( z )= c, con lo que queda demostrado el teorema. g (x )=

1 a – f (x )

Demostración: Por ser f ( x ) continua en el intervalo [ a , b ], está acotada en [ a , b ] (teorema 4), es decir, el conjunto A = f ([ a , b ]) = { y Î R / y = f ( x ) para todo x Î [ a , b ]} está acotado (superiormente) y además A ¹ Æ, pues f ( a ) Î A. Por tanto A tiene un extremo superior a. Así tendremos que f ( x )£ a para todo x Î [ a , b ]. Entonces para ver que f ( x ) tiene un máximo bastará demostrar que existe un z Î [ a , b ] tal que f ( z )= a. Si no existiera este z Î [ a , b ] tal que f ( z )= a, sería a ¹ f ( x ) para todo x Î [ a , b ] y la función g ( x ) definida por Corolario 1.

Si f(x) es continua en [ a , b ], el conjunto imagen de f(x) es el intervalo cerrado [ m, M ].

Corolario 2.

Si el máximo y el mínimo de una función en un intervalo cerrado [ a , b ] coinciden y la función es continua en dicho intervalo, dicha función es constante.

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4. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES La derivación puede utilizarse en la localización de los máximos y mínimos de las funciones. En realidad existen dos significados de las palabras “máximo” y “mínimo” que se distinguen con los adjetivos absoluto y relativo. El concepto de máximo absoluto se ha introducido en el epígrafe 3 y podemos recordarlo diciendo que una función f(x) definida en un intervalo [ a , b ] tiene un máximo absoluto en dicho intervalo si existe por lo menos un punto c perteneciente a [ a , b ], tal que f (x )£ f (c )

x Î [a, b]

El concepto de máximo relativo se define así:

–

Definición de máximo relativo. Una función f ( x )definida en un intervalo [ a , b ] tiene un máximo relativo en un punto c Î [ a , b ] si existe un entorno ( c – h , c+ h ) de c tal que para todo x de dicho entorno excepto c, se verifica que f ( x ) < f ( c ). El concepto de mínimo relativo se define del mismo modo con la desigualdad invertida. La palabra relativo indica que se compara el valor de la función en un punto con los valores en su vecindad solamente, por lo que un máximo relativo en c es un máximo absoluto en un cierto entorno de c, si bien no es necesariamente un máximo absoluto en el intervalo [ a , b ], ya que la función puede tomar valores superiores a ese máximo relativo en otros puntos del intervalo. Por el contrario, cualquier máximo absoluto es, en particular un máximo relativo. (Obsérvese la figura 2).

máximo relativo

máximo absoluto

a b mínimo absoluto

Figura 2.

–

Definición de extremo. Un número que es un máximo o un mínimo relativo de una función f ( x ) se denomina valor extremo o extremo relativo de f ( x ).

Teorema 7. Sea f(x) una función definida sobre ( a , b). Si c es un extremo (un máximo o un mínimo) para f(x) sobre ( a , b) y f(x) es derivable en c, entonces f '( c )= 0. (Obsérvese que no suponemos la derivabilidad, ni siquiera la continuidad de f ( x ) en otros puntos). Demostración: Definamos en ( a , b) una función g ( x ) como sigue: g (x )=

f (x ) – f (c ) si x ¹ c x– c

g ( c ) = f '( c )

Puesto que f '( c ) existe, g ( x ) ® g ( c ) cuando x ® c, con lo que g es continua en c. Queremos demostrar que g ( c )= 0 y lo conseguiremos demostrando que cada una de las desigualdades g ( c )> 0 y g ( c )< 0 nos llevan a una contradicción. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Supongamos que g ( c )> 0. Por la propiedad de conservación del signo de las funciones continuas, existe un entorno de c en el que g ( x ) es positiva. Por tanto el numerador del cociente g ( x ) tiene el mismo signo que el denominador para todo x ¹ c en ese intervalo. Dicho de otro modo, f ( x ) > f ( c ) cuando x > c y f ( x ) < f ( c ) cuando x < c. Esto contradice la hipótesis de que f ( x ) tiene un extremo en c, por lo que la desigualdad g ( c )> 0 es imposible. De forma parecida se demuestra que no puede ser g ( c )< 0, por lo que tendrá que ser g ( c )= 0, tal como se afirmó y como g ( c ) = f '( c ) = 0, queda demostrado el teorema.

El teorema del valor medio para derivadas es importante en Cálculo porque muchas de las propiedades de las funciones pueden deducirse a partir de él. Antes de establecer el teorema del valor medio, enunciaremos uno de sus casos particulares a partir del cual puede deducirse el teorema general. Este caso particular lo descubrió en 1690 el matemático francés Michel Rolle (1652-1719). Teorema (8) de Rolle. Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo cerrado [ a , b ] y derivable en todos los puntos del abierto ( a , b), y supongamos también que f ( a ) = f ( b ). Entonces existe por lo menos un c perteneciente al intervalo ( a , b) tal que f '( c )= 0.

Obsérvese que no se puede sustituir ( a , b) por [ a , b ] en el teorema a no ser que se añada a la hipótesis la condición de que c está en ( a , b). Además es importante resaltar que el recíproco del teorema no es cierto ya que es posible que f '( x ) sea cero aunque no sea un extremo de f. Un ejemplo claro de esto es la función f ( x )= x3, donde f '( 0 ) = 0 y la función no presenta ningún extremo en toda la recta real.

4.2. Teorema del valor medio para derivadas

Si x es un punto máximo o un punto mínimo de f sobre [ a , b ], entonces x debe estar en una de las tres clases arriba enumeradas, pues si no está en el segundo o en el tercer grupo, entonces estará en el abierto ( a , b) y f es derivable en x, por lo que según el teorema 7, f '( x )= 0, significando esto que x pertenece al primer grupo. Si hay muchos puntos en esas tres categorías, puede no ser fácil hallar el máximo y el mínimo de f, pero cuando existen solo unos pocos puntos de cada clase, el procedimiento es bastante directo: se halla simplemente f(x) para cada x que satisface f '( x )= 0, f ( x ) para cada x en que la función no sea derivable y finalmente f(a) y f(b), siendo el mayor de todos estos valores el máximo y el menor el mínimo. Con este método, si es factible, localizaremos siempre los valores máximo y mínimo de una función continua en un intervalo cerrado, pero si la función no es continua o estamos buscando el máximo y el mínimo sobre un intervalo abierto o sobre toda la recta real, entonces no podemos ni siquiera asegurar que existan dichos valores por lo que toda la información obtenida con este procedimiento puede no servirnos de nada. Así, que enunciaremos algunos teoremas que tienen que ver con la función derivada y con posterioridad retomaremos el tema de obtener valores máximos y mínimos locales en intervalos abiertos y en toda la recta real.

Definición. Se llama punto singular de una función f(x) a todo número c tal que f '( c )= 0. Al número f(c) se le llama valor singular de f(x). Los valores singulares de f(x) junto con algunos otros números, resultan ser los que deben tomarse en consideración para hallar los máximos y mínimos de una función dada.

4.1. Determinación de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado

Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [ a , b ] (si f es continua podemos afirmar que existe un máximo y un mínimo en ese intervalo). Para hallar el máximo y el mínimo de f debemos considerar tres clases de puntos: 1.

Los puntos singulares de f en [ a , b ].

2.

Los extremos del intervalo: a y b.

3.

Los puntos x de [ a , b ] en los que la función f no es derivable.

Los puntos x de [ a , b ] en los que la función f no es derivable.

3.

Los extremos del intervalo: a y b.

2.

Los puntos singulares de f en [ a , b ].

1.

Si x es un punto máximo o un punto mínimo de f sobre [ a , b ], entonces x debe estar en una de las tres clases arriba enumeradas, pues si no está en el segundo o en el tercer grupo, entonces estará en el abierto ( a , b) y f es derivable en x, por lo que según el teorema 7, f '( x )= 0, significando esto que x pertenece al primer grupo. Si hay muchos puntos en esas tres categorías, puede no ser fácil hallar el máximo y el mínimo de f, pero cuando existen solo unos pocos puntos de cada clase, el procedimiento es bastante directo: se halla simplemente f(x) para cada x que satisface f '( x )= 0, f ( x ) para cada x en que la función no sea derivable y finalmente f(a) y f(b), siendo el mayor de todos estos valores el máximo y el menor el mínimo. Con este método, si es factible, localizaremos siempre los valores máximo y mínimo de una función continua en un intervalo cerrado, pero si la función no es continua o estamos buscando el máximo y el mínimo sobre un intervalo abierto o sobre toda la recta real, entonces no podemos ni siquiera asegurar que existan dichos valores por lo que toda la información obtenida con este procedimiento puede no servirnos de nada. Así, que enunciaremos algunos teoremas que tienen que ver con la función derivada y con posterioridad retomaremos el tema de obtener valores máximos y mínimos locales en intervalos abiertos y en toda la recta real.

Sea f(x) una función definida en el intervalo cerrado [ a , b ] (si f es continua podemos afirmar que existe un máximo y un mínimo en ese intervalo). Para hallar el máximo y el mínimo de f debemos considerar tres clases de puntos:

4.1. Determinación de máximos y mínimos absolutos en un intervalo cerrado

Definición. Se llama punto singular de una función f(x) a todo número c tal que f '( c )= 0. Al número f(c) se le llama valor singular de f(x). Los valores singulares de f(x) junto con algunos otros números, resultan ser los que deben tomarse en consideración para hallar los máximos y mínimos de una función dada. Obsérvese que no se puede sustituir ( a , b) por [ a , b ] en el teorema a no ser que se añada a la hipótesis la condición de que c está en ( a , b). Además es importante resaltar que el recíproco del teorema no es cierto ya que es posible que f '( x ) sea cero aunque no sea un extremo de f. Un ejemplo claro de esto es la función f ( x )= x3, donde f '( 0 ) = 0 y la función no presenta ningún extremo en toda la recta real.

4.2. Teorema del valor medio para derivadas

El teorema del valor medio para derivadas es importante en Cálculo porque muchas de las propiedades de las funciones pueden deducirse a partir de él. Antes de establecer el teorema del valor medio, enunciaremos uno de sus casos particulares a partir del cual puede deducirse el teorema general. Este caso particular lo descubrió en 1690 el matemático francés Michel Rolle (1652-1719). Teorema (8) de Rolle. Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo cerrado [ a , b ] y derivable en todos los puntos del abierto ( a , b), y supongamos también que f ( a ) = f ( b ). Entonces existe por lo menos un c perteneciente al intervalo ( a , b) tal que f '( c )= 0.

Supongamos que g ( c )> 0. Por la propiedad de conservación del signo de las funciones continuas, existe un entorno de c en el que g ( x ) es positiva. Por tanto el numerador del cociente g ( x ) tiene el mismo signo que el denominador para todo x ¹ c en ese intervalo. Dicho de otro modo, f ( x ) > f ( c ) cuando x > c y f ( x ) < f ( c ) cuando x < c. Esto contradice la hipótesis de que f ( x ) tiene un extremo en c, por lo que la desigualdad g ( c )> 0 es imposible. De forma parecida se demuestra que no puede ser g ( c )< 0, por lo que tendrá que ser g ( c )= 0, tal como se afirmó y como g ( c ) = f '( c ) = 0, queda demostrado el teorema.

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Estudio global de funciones El significado geométrico de este teorema está representado en la figura 3, y en el mismo se afirma tan solo que la curva debe tener al menos una tangente horizontal en algún punto entre a y b. f´´(c) = 0

B

A f(a)

Figura 3.

f(b)

c

a

b

Demostración: Supongamos que f '( x )¹ 0 para todo valor x perteneciente al intervalo abierto ( a , b) y llegaremos a una contradicción. Según el teorema 5 si la función f es continua en el intervalo cerrado [ a , b ], alcanza en él un máximo absoluto M y un mínimo absoluto m. El teorema 7 nos dice que ningún punto extremo puede ser alcanzado en puntos interiores (al suponer f '( x )¹ 0), por lo que ambos valores extremos deben ser alcanzados en los extremos a y b del intervalo. Pero como f ( a ) = f ( b ), entonces M = m y por tanto f es constante en el intervalo [ a , b ], lo que contradice el hecho de que f '( x )¹ 0 para todo valor x perteneciente a ( a , b). Por tanto existirá al menos un c, a < c < b tal que f '( c )= 0, lo que demuestra el teorema. Observemos que para poder aplicar el teorema 7, es necesaria la hipótesis de que f sea derivable en ( a , b), ya que de otro modo el teorema es falso. B

(c,f(c))

A

Figura 4.

c

a

b

Aunque el teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio, podemos utilizarlo para hacer una demostración sencilla de éste. Antes de enunciarlo, examinaremos su significado geométrico. Si observamos la figura 4, vemos que es la gráfica de una función continua f, con tangente en cada punto del intervalo abierto ( a , b). En el punto ( c, f ( c )) la tangente es paralela a la cuerda AB. Hay gráficas en las que existe más de un punto del intervalo abierto donde se cumple esta propiedad, pero el teorema del valor medio asegura la existencia de al menos un punto que la cumpla. Para traducir al lenguaje analítico esta propiedad geométrica, aplicaremos que la propiedad de paralelismo de dos rectas implica la igualdad de sus pendientes, por lo que igualaremos la pendiente de la curva en ese punto (valor de la derivada de la función) con la pendiente de la cuerda, con lo que tendríamos la expresión f (b ) – f (a ) = f '( c ) b– a para algún punto c del intervalo abierto ( a , b). TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

f '( c )[g ( b ) – g ( a )] = g '( c )[ f ( b ) – f ( a )]

Si queremos hacer más intuitiva la validez de la expresión escrita arriba, podemos suponer que f(t) es el camino recorrido por un móvil en el tiempo t. Entonces el primer miembro de la expresión representa la velocidad media en el trayecto y la derivada la velocidad instantánea en cualquier punto del recorrido. Así, la expresión nos asegura que debe existir al menos un punto del recorrido donde la velocidad instantánea del móvil coincida con la velocidad media del trayecto. Enunciaremos ahora formalmente el teorema del valor medio. Teorema (9) del valor medio. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto ( a , b), existe por lo menos un punto c interior a ( a , b) tal que

Teorema (10) del valor medio de Cauchy. Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo cerrado [ a , b ] y que admitan derivadas en todo el intervalo abierto ( a , b). Entonces existe un punto c perteneciente a ( a , b), tal que Demostración: Para todo x del intervalo tenemos que ( f – g )'( x ) = f '( x ) – g '( x ) = 0, por lo que según el corolario anterior ( f – g ) es constante. Con frecuencia es útil la siguiente extensión del teorema del valor medio. f ( b ) – f ( a ) = f '( c )( b – a )

Demostración:

Corolario. Si f y g están definidas en un mismo intervalo y f '( x ) = g '( x ) para todo valor x del intervalo, entonces las funciones f y g se diferencian en una constante.

Como aplicaremos el teorema de Rolle, buscaremos una función que cumpla sus premisas. Así, sea h ( x ) = f ( x )( b – a ) – x[ f ( b ) – f ( a )]

Podemos observar que la función h es continua en el intervalo cerrado [ a , b ], tiene derivada en todos los puntos del abierto ( a , b) y su valor es

pero como para todo punto del intervalo la derivada es nula, sean cuales sean los valores a y b escogidos en el intervalo tendremos que f ( a ) = f ( b ), por lo que la función será constante en el intervalo. h '( x ) = f '( x )( b – a ) – [ f ( b ) – f ( a )] f ( b ) – f ( a ) = f '( c )( b – a )

y además h ( a ) = h ( b ) = bf ( a ) – af ( b ) por lo que aplicando el teorema de Rolle, existirá un c perteneciente al intervalo ( a , b) tal que h '( c )= 0 con lo que se cumplirá para ese valor c

Sean a y b dos puntos cualesquiera del intervalo con a ¹ b. Entonces existe algún c perteneciente a ( a , b) donde f ( b ) – f ( a ) = f '( c )( b – a )

Demostración:

quedando demostrado el teorema.

Corolario. Si se define f sobre un intervalo (con las premisas anteriores) y f '( x )= 0 para todo valor x del intervalo, entonces la función f es constante en ese intervalo.

Corolario. Si se define f sobre un intervalo (con las premisas anteriores) y f '( x )= 0 para todo valor x del intervalo, entonces la función f es constante en ese intervalo. quedando demostrado el teorema.

Demostración:

f ( b ) – f ( a ) = f '( c )( b – a )

Sean a y b dos puntos cualesquiera del intervalo con a ¹ b. Entonces existe algún c perteneciente a ( a , b) donde

y además h ( a ) = h ( b ) = bf ( a ) – af ( b ) por lo que aplicando el teorema de Rolle, existirá un c perteneciente al intervalo ( a , b) tal que h '( c )= 0 con lo que se cumplirá para ese valor c f ( b ) – f ( a ) = f '( c )( b – a )

h '( x ) = f '( x )( b – a ) – [ f ( b ) – f ( a )]

pero como para todo punto del intervalo la derivada es nula, sean cuales sean los valores a y b escogidos en el intervalo tendremos que f ( a ) = f ( b ), por lo que la función será constante en el intervalo.

Podemos observar que la función h es continua en el intervalo cerrado [ a , b ], tiene derivada en todos los puntos del abierto ( a , b) y su valor es h ( x ) = f ( x )( b – a ) – x[ f ( b ) – f ( a )]

Corolario. Si f y g están definidas en un mismo intervalo y f '( x ) = g '( x ) para todo valor x del intervalo, entonces las funciones f y g se diferencian en una constante.

Como aplicaremos el teorema de Rolle, buscaremos una función que cumpla sus premisas. Así, sea Demostración:

Demostración: Para todo x del intervalo tenemos que ( f – g )'( x ) = f '( x ) – g '( x ) = 0, por lo que según el corolario anterior ( f – g ) es constante. Con frecuencia es útil la siguiente extensión del teorema del valor medio. f ( b ) – f ( a ) = f '( c )( b – a )

Si queremos hacer más intuitiva la validez de la expresión escrita arriba, podemos suponer que f(t) es el camino recorrido por un móvil en el tiempo t. Entonces el primer miembro de la expresión representa la velocidad media en el trayecto y la derivada la velocidad instantánea en cualquier punto del recorrido. Así, la expresión nos asegura que debe existir al menos un punto del recorrido donde la velocidad instantánea del móvil coincida con la velocidad media del trayecto. Enunciaremos ahora formalmente el teorema del valor medio. Teorema (9) del valor medio. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] que tiene derivada en cada punto del intervalo abierto ( a , b), existe por lo menos un punto c interior a ( a , b) tal que

Teorema (10) del valor medio de Cauchy. Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo cerrado [ a , b ] y que admitan derivadas en todo el intervalo abierto ( a , b). Entonces existe un punto c perteneciente a ( a , b), tal que f '( c )[g ( b ) – g ( a )] = g '( c )[ f ( b ) – f ( a )]

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Estudio global de funciones Demostración: Aplicaremos el teorema de Rolle a la función definida como h ( x ) = f ( x )[g ( b ) – g ( a )] – g ( x )[ f ( b ) – f ( a )] ya que vemos que cumple las condiciones del teorema de Rolle al ser continua en [ a , b ], derivable en ( a , b) y h ( a ) = h ( b ) = f ( a )g ( b ) – g ( a ) f ( b ), por lo que existirá un punto c perteneciente a ( a , b) donde h '( c )= 0, con lo que queda demostrado. Si nos fijamos, observaremos que el teorema 9 es un caso particular de éste, tomando g ( x )= x.

5. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Definición. Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo [ a , b ] si f ( x ) < f ( y ) siempre que x e y sean dos puntos del intervalo con x < y. Análogamente decimos que f es decreciente en [ a , b ], si f ( x ) > f ( y ) para cualesquiera puntos del intervalo con x < y. Teorema (11). Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ a , b ] y que admite derivada en cada punto del intervalo abierto ( a , b). Tenemos entonces: a) b) c)

Si f '( x )> 0 para todo x de ( a , b), f es estrictamente creciente en [ a , b ]. Si f '( x )< 0 para todo x de ( a , b), f es estrictamente decreciente en [ a , b ]. Si f '( x )= 0 para todo x de ( a , b), f es constante en [ a , b ]. Demostración: Para probar a) tenemos que demostrar que f ( x ) < f ( y ) siempre que a £ x < y £ b. Supongamos que x < y y apliquemos el teorema del valor medio al intervalo cerrado [x, y], de donde obtendremos f ( y ) – f ( x ) = f '( c )( y – x ) Donde x < c < y y como f '( c ) e ( y – x ) son positivos, también debe serlo f ( y ) – f ( x ), lo que significa que f ( x ) < f ( y ), quedando demostrado a). La demostración de b) es análoga y para demostrar c) tomaremos x = a y al ser f '( c )= 0, nos quedará que f ( y ) = f ( a ) para todo valor y perteneciente a [ a , b ], con lo que f será constante en [ a , b ].

6. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES El teorema 11 podemos emplearlo para demostrar que se presenta un extremo relativo siempre que la derivada cambia de signo (ver figura 5). f´(x) > 0

f´(x) < 0 f´(x) < 0 f´(x)>0

a

c

a

b

Máximo relativo en c

c

b

Mínimo relativo en c

Figura 5. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Teorema (12). Supongamos una función f continua en un intervalo cerrado [ a , b ] y que existe la derivada f’ en todo punto del intervalo abierto ( a , b), excepto acaso en un punto c. Entonces: Entonces: 1. Si n es par y f n ( a )> 0, entonces f tiene un mínimo local en a. 2. Si n es par y f n ( a )< 0, entonces f tiene un máximo local en a. 3. Si n es impar, entonces f no tiene ni máximo ni mínimo local en a.

Si f '( x ) es positiva para todo x < c y negativa para todo x > c, f tiene un máximo relativo en c. Si f '( x ) es negativa para todo x < c y positiva para todo x > c, f tiene un mínimo relativo en c. Demostración:

ì f '( a ) = f ''( a ) =... f n–1( a ) = 0 ï Teorema (15). Supongamos que í ï n î f (a )¹ 0

a) b)

En el caso a), el teorema 11, nos dice que es estrictamente creciente en [ a , c] y estrictamente decreciente en [ c, b ]. Así, f ( x ) < f ( c ) para todo x ¹ c en ( a , b), con lo que f tiene un máximo relativo en c. La demostración es análoga para el apartado b). La representación gráfica de ambos casos se encuentra en la figura 5.

Demostración: Supongamos que f tiene un mínimo local en a. Si f ''( a )< 0, f tendría también un máximo local en a según el teorema anterior. Así pues f sería una función constante con lo que f ''( a )= 0, lo cual es una contradicción, por lo que f ''( a )³ 0. En caso de que sea un máximo local la demostración es análoga. Los signos ³ y £ no pueden ser sustituidos por > y 0, con lo que debe ser positivo para h suficientemente peh queño, por lo que f '( a + h ) debe ser positivo para h > 0 suficientemente pequeño y f '( a + h ) debe ser negativo para h < 0 suficientemente pequeño. Esto significa que f crece en algún intervalo a la derecha de a y f decrece en algún intervalo a la izquierda de a. En consecuencia f tiene un mínimo en a. La demostración para el caso f ''( a )< 0 es análoga. f ''( a ) = lim h ®0

f '( a + h ) – f '( a ) h

Puesto que f '( a )= 0, esto puede escribirse

f '( a + h ) h f '( a + h ) Supongamos ahora que f ''( a )> 0, con lo que debe ser positivo para h suficientemente peh queño, por lo que f '( a + h ) debe ser positivo para h > 0 suficientemente pequeño y f '( a + h ) debe ser negativo para h < 0 suficientemente pequeño. Esto significa que f crece en algún intervalo a la derecha de a y f decrece en algún intervalo a la izquierda de a. En consecuencia f tiene un mínimo en a. La demostración para el caso f ''( a )< 0 es análoga. f ''( a ) = lim h ®0

Demostración:

Teorema (14). Supongamos que existe f ''( a ). Si f tiene un mínimo local en a, entonces f ''( a )³ 0 y si tiene un máximo local en a, entonces f ''( a )£ 0. Teorema (13). Supongamos f '( a )= 0. Si f ''( a )> 0, entonces f tiene un mínimo local en a. Si f ''( a )< 0 entonces f tiene un máximo local en a.

Demostración: Supongamos que f tiene un mínimo local en a. Si f ''( a )< 0, f tendría también un máximo local en a según el teorema anterior. Así pues f sería una función constante con lo que f ''( a )= 0, lo cual es una contradicción, por lo que f ''( a )³ 0. En caso de que sea un máximo local la demostración es análoga. Los signos ³ y £ no pueden ser sustituidos por > y c, f tiene un mínimo relativo en c. Entonces: 1. Si n es par y f n ( a )> 0, entonces f tiene un mínimo local en a. 2. Si n es par y f n ( a )< 0, entonces f tiene un máximo local en a. 3. Si n es impar, entonces f no tiene ni máximo ni mínimo local en a.

a) b)

ì f '( a ) = f ''( a ) =... f n–1( a ) = 0 ï Teorema (15). Supongamos que í ï n î f (a )¹ 0

Teorema (12). Supongamos una función f continua en un intervalo cerrado [ a , b ] y que existe la derivada f’ en todo punto del intervalo abierto ( a , b), excepto acaso en un punto c. Entonces: CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

72

Estudio global de funciones Demostración: La fórmula de Taylor para f ( x ) nos da, si x es próximo a a: f n (a ) f ( x ) = f ( a )+ ( x – a )n + Rn ( x ) n! de donde f (x ) – f (a ) f n (a ) R (x ) = + n n n (x – a ) n! (x – a ) y por tanto lim x ®a

ya que por el teorema de Taylor lim x ®a

f (x ) – f (a ) f n (a ) = n (x – a ) n!

Rn ( x ) = 0. Así, esta igualdad nos dice que en un entorno de a, ( x – a )n

f (x ) – f (a ) tiene el mismo signo que f n ( a ). ( x – a )n Si f n ( a )> 0, existe un entorno de a, en el que para todo x de ese entorno se verifica f (x ) – f (a ) >0 ( x – a )n es decir [ f ( x ) – f ( a )] y ( x – a )n tienen el mismo signo en el entorno considerado. Si n es par ( x – a )n es siempre positivo y por lo tanto f ( x ) – f ( a ) tiene que ser positivo en las proximidades de a. En consecuencia, f ( x ) > f ( a ), lo que indica que a es un mínimo local de f ( x ). Si n es par y f n ( a )< 0, es f ( x ) – f ( a )< 0en las proximidades de a y por tanto f ( x )tiene un máximo local en a. f (x ) – f (a ) que f n ( a ) (que podemos considerar positivo), Si n es impar, al tener el mismo signo ( x – a )n para valores de x > a, ( x – a )n > 0, por lo que f ( x ) – f ( a )> 0y por lo tanto f ( x ) > f ( a ) y para valores de x < a, ( x – a )n < 0, por lo que f ( x ) – f ( a )< 0 y por lo tanto f ( x ) < f ( a ), lo que demuestra que f ( x ) no tiene ni máximo ni mínimo local en el punto a.

7. CONCAVIDAD, CONVEXIDAD Y PUNTOS DE INFLEXIÓN Aunque la gráfica de una función puede trazarse con bastante exactitud sobre la base de información suministrada por la derivada, hay algunos aspectos sutiles de la misma, para cuya aclaración hace falta examinar la derivada segunda. Según diferentes autores las definiciones de concavidad y convexidad son totalmente contrarias, definiendo algunos concavidad como definen otros convexidad y viceversa. Definición. Se dice que una función f es convexa en un intervalo, si para todo a y b de ese intervalo, el segmento rectilíneo que une los puntos ( a , f ( a )) con ( b , f ( b )) queda por encima de la gráfica de f (ver figura 6). (a,f(a)) (b,f (b))

(b,f(b)) (a,f(a))

a

Figura 6.

b Función cóncava

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

a

b Función convexa

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Una situación parecida se presenta para h negativo. Si h2 < h1 < 0, entonces a + h2 < a + h1 < a

La condición geométrica que aparece en esta definición puede expresarse de manera analítica, que generalmente resulta más útil en las demostraciones. La recta entre los puntos ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )), tiene por ecuación f (b ) – f (a ) g (x )= ( x – a )+ f ( a ) b– a y quedará por encima de la gráfica de la función f si g ( x ) > f ( x ), que analíticamente puede expresarse como f (b ) – f (a ) ( x – a )+ f ( a ) > f ( x ) Þ b– a f (b ) – f (a ) (x – a )> f (x ) – f (a ) Þ b– a f (b ) – f (a ) f (x ) – f (a ) > b– a x– a lo que nos da otra definición equivalente de convexidad: que pasa por los puntos ( a , f ( a )) y ( a + h2 , f ( a + h2 )), ( a + h2 , f ( a + h2 )), queda por encima de la recta tangente.

por lo que la pendiente de la recta tangente en el punto a es menor que la pendiente de la recta secante lo que implica que el punto f '( a ) <

f ( a + h2 ) – f ( a ) h2

y al ser derivable f en a, tendremos

Si tomamos límites cuando h ® 0+ , tendremos 1 f (a+ h ) – f (a ) f ( a + h2 ) – f ( a ) 1 < lim+ h1 ®0 h1 h2 h1 ®0+

lim

f ( a + h1 ) – f ( a ) f ( a + h2 ) – f ( a ) < h1 h2

Definición. Una función f es convexa en un intervalo si para cualesquiera a, x y b del intervalo con a < x < b se tiene f (x ) – f (a ) f (b ) – f (a ) < x– a b– a Si sustituimos en la primera definición la palabra “encima” por “debajo”, o la desigualdad de la segunda definición la sustituimos por f (x ) – f (a ) f (b ) – f (a ) > x– a b– a obtenemos la definición de función cóncava. Es fácil observar que las funciones cóncavas son precisamente las de la forma –f donde f es convexa. Por eso los teoremas siguientes se refieren a funciones convexas, existiendo otros análogos que se demuestran de forma inmediata, teniendo en cuenta que si la función f es convexa, –f es cóncava.

Demostración: Observemos la figura 7. Sea 0 < h1 < h2. Consideremos los puntos a < a + h1 < a + h2. Al ser la función f convexa, tendremos

Teorema (16). Sea f una función convexa. Si f es derivable en a, entonces la gráfica de f queda por encima de la tangente a f en el punto ( a , f ( a )), excepto en ( a , f ( a )) mismo. Si a < b y f es derivable en a y en b, entonces f '( a ) < f '( b ), es decir, la pendiente va creciendo. Definición. Una función f es convexa en un intervalo si para cualesquiera a, x y b del intervalo con a < x < b se tiene f (x ) – f (a ) f (b ) – f (a ) < x– a b– a Si sustituimos en la primera definición la palabra “encima” por “debajo”, o la desigualdad de la segunda definición la sustituimos por f (x ) – f (a ) f (b ) – f (a ) > x– a b– a obtenemos la definición de función cóncava. Es fácil observar que las funciones cóncavas son precisamente las de la forma –f donde f es convexa. Por eso los teoremas siguientes se refieren a funciones convexas, existiendo otros análogos que se demuestran de forma inmediata, teniendo en cuenta que si la función f es convexa, –f es cóncava.

Teorema (16). Sea f una función convexa. Si f es derivable en a, entonces la gráfica de f queda por encima de la tangente a f en el punto ( a , f ( a )), excepto en ( a , f ( a )) mismo. Si a < b y f es derivable en a y en b, entonces f '( a ) < f '( b ), es decir, la pendiente va creciendo. Demostración: Observemos la figura 7. Sea 0 < h1 < h2. Consideremos los puntos a < a + h1 < a + h2. Al ser la función f convexa, tendremos f ( a + h1 ) – f ( a ) f ( a + h2 ) – f ( a ) < h1 h2

La condición geométrica que aparece en esta definición puede expresarse de manera analítica, que generalmente resulta más útil en las demostraciones. La recta entre los puntos ( a , f ( a )) y ( b , f ( b )), tiene por ecuación f (b ) – f (a ) g (x )= ( x – a )+ f ( a ) b– a y quedará por encima de la gráfica de la función f si g ( x ) > f ( x ), que analíticamente puede expresarse como f (b ) – f (a ) ( x – a )+ f ( a ) > f ( x ) Þ b– a f (b ) – f (a ) (x – a )> f (x ) – f (a ) Þ b– a f (b ) – f (a ) f (x ) – f (a ) > b– a x– a lo que nos da otra definición equivalente de convexidad: Si tomamos límites cuando h1 ® 0+ , tendremos f ( a + h1 ) – f ( a ) f ( a + h2 ) – f ( a ) lim < lim+ h1 ®0+ h ® 0 h1 h2 1

y al ser derivable f en a, tendremos

f '( a ) <

f ( a + h2 ) – f ( a ) h2

por lo que la pendiente de la recta tangente en el punto a es menor que la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos ( a , f ( a )) y ( a + h2 , f ( a + h2 )), lo que implica que el punto ( a + h2 , f ( a + h2 )), queda por encima de la recta tangente. Una situación parecida se presenta para h negativo. Si h2 < h1 < 0, entonces a + h2 < a + h1 < a

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Estudio global de funciones y como f es convexa, tendremos f ( a + h1 ) – f ( a ) f ( a + h2 ) – f ( a ) > h1 h2 y si tomamos límites cuando h1 ® 0– , tendremos lim

h1 ®0 –

f ( a + h1 ) – f ( a ) f ( a + h2 ) – f ( a ) > lim– h1 ®0 h1 h2

y al ser f derivable en a f '( a ) >

f ( a + h2 ) – f ( a ) h2

lo que nos indica que la pendiente de la recta tangente es mayor que la de la secante que pasa por los puntos ( a + h2 , f ( a + h2 )) y ( a , f ( a )) de modo que la gráfica queda por encima de la tangente. Esto demuestra la primera parte del teorema.

Figura 7.

a

a+h1

a+h2

a+h2

a+h1

a

Para demostrar la segunda parte, supongamos a < b. Entonces f '( a ) <

f ( a + ( b – a )) – f ( a ) b– a

por ser b – a > 0, con lo que f '( a ) <

f (b ) – f (a ) b– a

y f '( b ) >

f ( b + ( a – b )) – f ( b ) a– b

por ser a – b < 0, con lo que Lema. Supongamos que f es derivable y f’ es creciente. Si a < b y f ( a ) = f ( b ), entonces f ( x ) < f ( a ) = f ( b ) para a < x < b. Demostración: Supongamos que f ( x ) > f ( a ) = f ( b ) para algún x del intervalo abierto ( a , b). Entonces el máximo de f sobre el intervalo [ a , b ] se presenta en algún punto x0 perteneciente a ( a , b) y por ser máximo se cumplirá que f '( x0 ) = 0. Por otra parte, aplicando el teorema del valor medio al intervalo [a , x0], encontramos que existe un x1, con a < x1 < x0, que cumple f ( x0 ) – f ( a ) f '( x1 ) = >0 x0 – a TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

en contradicción con el hecho de ser f ' creciente, ya que f '( x1 ) > f '( x0 ) = 0, con x1 < x0. Así queda demostrado que f ( x ) £ f ( a ) = f ( b ) para a < x < b y sólo nos queda demostrar que f ( x ) ¹ f ( a ), para cualquier x perteneciente a ( a , b). Supongamos que f ( x ) = f ( a ) para algún x de ( a , b). Sabemos que f no es constante al ser f ' creciente sobre [ a , x], de modo que existe algún x1, con a < x1 < x y f ( x1 ) < f ( a ). Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x1, x], vemos que existe un valor x2 del mismo tal que

Si f ''( x0 ) > 0 la función sería convexa en x0. Si f ''( x0 ) < 0, la función sería convexa en x0. Como no es ni cóncava ni convexa, entonces f ''( x0 ) = 0. Demostración:

Si f es derivable de orden dos en x0 y x0 es un punto de inflexión de f, entonces f ''( x0 ) = 0. f ( x ) – f ( x1 ) >0 x – x1

Proposición:

f '( x2 ) =

lo que nos vuelve a contradecir la hipótesis del crecimiento de f ', al ser f '( x2 ) > f '( x ) = 0 y x2 < x. Si f ''( x0 ) > 0, entonces f ' es creciente y por el teorema anterior es convexa en x0. Teorema (17). Si f es una función derivable y su derivada f ' es creciente entonces f es convexa. Demostración:

Si f es derivable de orden dos en x0 y f ''( x0 ) > 0, entonces f es convexa en x0.

Demostración:

Sea a < b. Definamos la función g como

Proposición:

g (x )= f (x ) –

f (b ) – f (a ) (x – a ) b– a

Definición: Un número c recibe el nombre de punto de inflexión de f, si la tangente a la gráfica de f en ( a , f ( a )), corta a la misma. de donde

f (b ) – f (a ) b– a

por lo que f es convexa.

g '( x ) = f '( x ) –

f (x ) – f (a ) f (b ) – f (a ) < x– a b– a

Es fácil ver que g 'es creciente al serlo f 'y además g ( a ) = g ( b ) = f ( a ), por lo que aplicando el lema anterior a la función g, deducimos que g ( x ) < g ( a ) si a < x < b, o lo que es lo mismo f (b ) – f (a ) (x – a )< f (a ) b– a f (x ) –

f (b ) – f (a ) (x – a )< f (a ) b– a f (x ) –

Es fácil ver que g 'es creciente al serlo f 'y además g ( a ) = g ( b ) = f ( a ), por lo que aplicando el lema anterior a la función g, deducimos que g ( x ) < g ( a ) si a < x < b, o lo que es lo mismo f (x ) – f (a ) f (b ) – f (a ) < x– a b– a g '( x ) = f '( x ) –

f (b ) – f (a ) b– a

por lo que f es convexa.

de donde

Definición: Un número c recibe el nombre de punto de inflexión de f, si la tangente a la gráfica de f en ( a , f ( a )), corta a la misma. g (x )= f (x ) –

f (b ) – f (a ) (x – a ) b– a

Sea a < b. Definamos la función g como

Si f es derivable de orden dos en x0 y f ''( x0 ) > 0, entonces f es convexa en x0.

Demostración:

Proposición:

Demostración:

Teorema (17). Si f es una función derivable y su derivada f ' es creciente entonces f es convexa. Si f ''( x0 ) > 0, entonces f ' es creciente y por el teorema anterior es convexa en x0. lo que nos vuelve a contradecir la hipótesis del crecimiento de f ', al ser f '( x2 ) > f '( x ) = 0 y x2 < x. f '( x2 ) =

f ( x ) – f ( x1 ) >0 x – x1

Proposición:

Si f es derivable de orden dos en x0 y x0 es un punto de inflexión de f, entonces f ''( x0 ) = 0. en contradicción con el hecho de ser f ' creciente, ya que f '( x1 ) > f '( x0 ) = 0, con x1 < x0. Así queda demostrado que f ( x ) £ f ( a ) = f ( b ) para a < x < b y sólo nos queda demostrar que f ( x ) ¹ f ( a ), para cualquier x perteneciente a ( a , b). Supongamos que f ( x ) = f ( a ) para algún x de ( a , b). Sabemos que f no es constante al ser f ' creciente sobre [ a , x], de modo que existe algún x1, con a < x1 < x y f ( x1 ) < f ( a ). Aplicando el teorema del valor medio al intervalo [x1, x], vemos que existe un valor x2 del mismo tal que Demostración:

Si f ''( x0 ) > 0 la función sería convexa en x0. Si f ''( x0 ) < 0, la función sería convexa en x0. Como no es ni cóncava ni convexa, entonces f ''( x0 ) = 0.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Estudio global de funciones Teorema (18). Supongamos que f es una función n veces derivable en a y con derivada f n continua ì f ''( a ) = f '''( a ) =...= f n–1( a ) = 0 en a y que cumple: í n . Entonces î f (a )¹ 0 1. 2. 3.

Si n es par y f n ( a )> 0, entonces f es convexa. Si n es par y f n ( a )< 0, entonces f es cóncava. Si n es impar, entonces f tiene un punto de inflexión en a. Demostración: Si desarrollamos f ( x ) por la fórmula de Taylor en un entorno del punto a y teniendo en cuenta las hipótesis del teorema, tenemos f ( x ) = f ( a )+ f '( a )( x – a )+

f n (a ) ( x – a )n + Rn,a ( x ) n!

de donde f ( x ) – f ( a ) – f '( a )( x – a ) f n ( a ) R n ,a ( x ) = + n (x – a ) n! ( x – a )n y tomando límites cuando x ® a y teniendo en cuenta que lim x ®a

lim x ®a

R n ,a ( x ) = 0, tenemos ( x – a )n

f ( x ) – f ( a ) – f '( a )( x – a ) f n (a ) = n (x – a ) n!

es decir que en un entorno del punto a la función

f ( x ) – f ( a ) – f '( a )( x – a ) tiene el mismo signo ( x – a )n

f n (a ) . Como f ( x ) es la ordenada de la curva correspondiente al punto x del entorno de a y n! f ( a )+ f '( a )( x – a ) es la ordenada de la tangente a la curva en el punto a, tenemos que

que

–

Si n es par y f n ( a )> 0, como ( x – a )n > 0, el signo de f ( x ) – ( f ( a )+ f '( a )( x – a )) es igual al signo de f n ( a ) en un entorno del punto a, es decir f ( x ) – ( f ( a )+ f '( a )( x – a )) > 0, o sea f ( x ) > f ( a )+ f '( a )( x – a ) y por lo tanto la curva es convexa en el punto considerado ya que la gráfica se encuentra por encima de la tangente.

–

Si n es par y f n ( a )< 0, como ( x – a )n > 0, el signo de f ( x ) – ( f ( a )+ f '( a )( x – a )) es igual al signo de f n ( a ) en un entorno del punto a, es decir f ( x ) – ( f ( a )+ f '( a )( x – a )) < 0, o sea f ( x ) < f ( a )+ f '( a )( x – a ) y por lo tanto la curva es cóncava en el punto considerado ya que la gráfica se encuentra por debajo de la tangente.

–

f ( x ) – ( f ( a )+ f '( a )( x – a )) tiene el mismo signo que f n ( a ), ( x – a )n pero el signo de la primera expresión depende de que el valor de x sea mayor o menor que a, ya que si f n ( a )> 0 y x < a entonces f ( x ) – ( f ( a )+ f '( a )( x – a )) < 0, es decir f ( x ) < f ( a )+ + f '( a )( x – a ) y si x > a, f ( x ) > f ( a )+ f '( a )( x – a ), con lo que la tangente atraviesa a la curva en ese punto y por lo tanto a es un punto de inflexión. De manera análoga se demuestra si f n ( a )< 0. Si n es impar, tendremos que

8. ASÍNTOTAS Se dice que un punto se aleja infinitamente sobre una curva, cuando su abscisa, su ordenada o ambas coordenadas crecen infinitamente. Se llama asíntota una recta t tal que la distancia entre ella y un punto P TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Una función f ( x )es periódica de periodo T (T > 0 y mínimo), si para todo valor x del dominio, se verifica f ( x+ T ) = f ( x ).

de la curva que se aleje infinitamente tiende a cero. Se pueden distinguir tres casos, según que tienda a infinito x, f(x) o ambas.

2.

Asíntotas horizontales. Si cuando x ® ¥,+¥, –¥, el límite de f ( x ) es b diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal de f ( x ). Asíntotas verticales. Si cuando x ® a, a+ , a – , el límite de la función es+¥, –¥, diremos que la recta x = a es una asíntota vertical de f ( x ). Asíntotas oblicuas. Si al alejarse infinitamente un punto sobre una rama de la curva x e y crecen infinitamente, para que la recta y = mx + n sea un asíntota basta con que tienda a cero la diferencia de ordenadas de recta y curva para la misma abscisa, cuando esta tiende a infinito. Por lo tanto podemos escribir la ecuación de la curva como f ( x ) = mx + n + e ( x )

9.3. Periodicidad

1.

Estudiaremos las dos posibilidades de simetrías de la función según sea esta par o impar. Una función f ( x ) es simétrica respecto al eje de ordenadas o función par si al sustituir x por –x la función no varía, es decir f (– x ) = f ( x ), para todos los valores x del dominio. Así si una función es par, basta construir la gráfica para valores x > 0 y obtener el resto por simetría respecto al eje de ordenadas. Una función f ( x ) es simétrica respecto al origen o función impar si al sustituir x por –x la función cambia de signo, es decir f (– x ) = – f ( x ), para todos los valores x del dominio. Así si una función es impar, basta construir la gráfica para valores x > 0 y obtener el resto por simetría respecto al origen. 3.

siendo e( x ) un infinitésimo cuando x ® ¥,+¥, –¥. Si dividimos la expresión anterior por x, tendremos f (x ) n e( x ) = m+ + x x x

9.2. Determinación de las simetrías de la función

Es el conjunto de valores de la variable independiente x, para los cuales está definido el valor de la función f ( x ). Habrá que estudiar los valores para los que no está definida la función, bien por falta de expresión analítica, bien porque la expresión no tenga sentido en esos valores o bien porque la función sea “infinita” en ellos.

f (x ) = m, es decir, si existe la asíntota x oblicua, su pendiente debe coincidir con el límite indicado. Además como lim[mx+ n – f ( x )] = 0, y tomando límites cuando x ® ¥,+¥, –¥, tendremos que lim x ®¥

x ®¥

tendremos que n = lim[ f ( x ) – mx].

9.1. Determinación del dominio o campo de existencia

x ®¥

Construir la curva que representa gráficamente la función y = f ( x ) consiste en determinar las propiedades características de la misma y sus elementos notables de manera que aun no conociendo el valor de la función en todos los puntos de la curva, se pueda deducir del examen de la gráfica las propiedades de la función. Es difícil precisar cuáles son las propiedades que se han de considerar como características y los elementos que hemos llamado notables, pero nos ocuparemos de dar los pasos enumerados a continuación.

9. ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS EXPLÍCITAS

Construir la curva que representa gráficamente la función y = f ( x ) consiste en determinar las propiedades características de la misma y sus elementos notables de manera que aun no conociendo el valor de la función en todos los puntos de la curva, se pueda deducir del examen de la gráfica las propiedades de la función. Es difícil precisar cuáles son las propiedades que se han de considerar como características y los elementos que hemos llamado notables, pero nos ocuparemos de dar los pasos enumerados a continuación.

9. ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS EXPLÍCITAS x ®¥

9.1. Determinación del dominio o campo de existencia

tendremos que n = lim[ f ( x ) – mx].

x ®¥

f (x ) y tomando límites cuando x ® ¥,+¥, –¥, tendremos que lim = m, es decir, si existe la asíntota x ®¥ x oblicua, su pendiente debe coincidir con el límite indicado. Además como lim[mx+ n – f ( x )] = 0,

Es el conjunto de valores de la variable independiente x, para los cuales está definido el valor de la función f ( x ). Habrá que estudiar los valores para los que no está definida la función, bien por falta de expresión analítica, bien porque la expresión no tenga sentido en esos valores o bien porque la función sea “infinita” en ellos. f (x ) n e( x ) = m+ + x x x

9.2. Determinación de las simetrías de la función

siendo e( x ) un infinitésimo cuando x ® ¥,+¥, –¥. Si dividimos la expresión anterior por x, tendremos

Estudiaremos las dos posibilidades de simetrías de la función según sea esta par o impar. Una función f ( x ) es simétrica respecto al eje de ordenadas o función par si al sustituir x por –x la función no varía, es decir f (– x ) = f ( x ), para todos los valores x del dominio. Así si una función es par, basta construir la gráfica para valores x > 0 y obtener el resto por simetría respecto al eje de ordenadas. Una función f ( x ) es simétrica respecto al origen o función impar si al sustituir x por –x la función cambia de signo, es decir f (– x ) = – f ( x ), para todos los valores x del dominio. Así si una función es impar, basta construir la gráfica para valores x > 0 y obtener el resto por simetría respecto al origen. 3.

2.

1.

Asíntotas horizontales. Si cuando x ® ¥,+¥, –¥, el límite de f ( x ) es b diremos que la recta y = b es una asíntota horizontal de f ( x ). Asíntotas verticales. Si cuando x ® a, a+ , a – , el límite de la función es+¥, –¥, diremos que la recta x = a es una asíntota vertical de f ( x ). Asíntotas oblicuas. Si al alejarse infinitamente un punto sobre una rama de la curva x e y crecen infinitamente, para que la recta y = mx + n sea un asíntota basta con que tienda a cero la diferencia de ordenadas de recta y curva para la misma abscisa, cuando esta tiende a infinito. Por lo tanto podemos escribir la ecuación de la curva como f ( x ) = mx + n + e ( x )

9.3. Periodicidad

Una función f ( x )es periódica de periodo T (T > 0 y mínimo), si para todo valor x del dominio, se verifica f ( x+ T ) = f ( x ).

de la curva que se aleje infinitamente tiende a cero. Se pueden distinguir tres casos, según que tienda a infinito x, f(x) o ambas.

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Volumen II. Matemáticas

78

Estudio global de funciones

9.4. Cortes con los ejes y regionamiento Los cortes con los ejes son los puntos en los que la curva corta a los ejes coordenados. Para hallarlos se le da a x el valor cero (dándonos los puntos de corte con el eje de ordenadas) y a f(x) el valor cero, resolviendo dicha ecuación (dándonos los puntos de corte con el eje de abscisas). Una vez calculados los puntos de corte con el eje de abscisas y los puntos de discontinuidad de la función, procederemos a estudiar el signo de la misma en los diferentes intervalos de la recta real generados por los mismos, viendo en qué regiones del plano estará la gráfica de f(x).

9.5. Crecimiento y decrecimiento Apoyándonos en lo estudiado en el tema, daremos el siguiente criterio de crecimiento y decrecimiento de una función f(x). Sea la función y = f ( x ); supongamos que existe la derivada primera y que no se anula en un punto x0. Si f '( x0 ) > 0 la función es estrictamente creciente en x0 y si f '( x0 ) < 0 la función es estrictamente decreciente en x0. Así, calcularemos la derivada primera y veremos en qué puntos es f '( x )> 0 y f '( x )< 0.

9.6. Máximos y mínimos Sabemos que si la función f ( x ) es derivable, o sea, admite derivada finita en el punto x0 es condición necesaria para que en él tenga un máximo o un mínimo que f '( x0 ) = 0. Sin embargo, esta condición no es suficiente, por lo que para calcular los máximos y mínimos de una función y = f ( x ), calcularemos inicialmente los valores de x para los cuales f '( x )= 0 y aplicaremos con posterioridad los criterios expuestos en el tema para saber qué valores de x son máximos y cuáles mínimos.

–

Primer criterio. Si al crecer x pasando por el valor x0, la derivada f '( x ) pasa de: a) b) c)

–

Negativa a positiva, hay un mínimo en el punto x = x0. Positiva a negativa, hay un máximo en el punto x = x0. Positiva a positiva o negativa a negativa no hay extremo.

Segundo criterio. Cuando en el punto crítico x0 existe la derivada segunda, y no se anula, entonces si: a) f ''( x0 ) > 0, x = x0 es un mínimo relativo. b) f ''( x0 ) < 0, x = x0 es un máximo relativo.

9.7. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión Recordaremos el concepto de punto de inflexión: “Se llama punto de inflexión de una curva a todo punto P en el cual la misma cambia el sentido de su concavidad”. Recordaremos los criterios para estudiar la concavidad y convexidad de una curva:

–

Si en el punto x0, la segunda derivada existe y es finita, si: a) b)

–

f ''( x0 ) > 0, la función es convexa en ese punto. f ''( x0 ) < 0, la función es cóncava en ese punto.

Si f ''( x0 ) = 0, tomamos un entorno arbitrario de x0 y si la derivada segunda: a) b) c)

Cambia de signo, puede haber un punto de inflexión. Si pasa de positiva a positiva, la función es convexa. Si pasa de negativa a negativa, la función es cóncava.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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y sen t = = tg t x cos t

9.8. Asíntotas

Recordemos que recibe el nombre de asíntota de una curva aquella recta que se acerca indefinidamente a una curva sin llegar a tocarla y esto ocurre cuando los puntos de la curva se alejan infinitamente. Cabe distinguir tres tipos de asíntotas, según la posición que adopten: horizontales, verticales y oblicuas. Para su estudio y localización daremos los pasos que se han explicado en el epígrafe 8 del tema. Lo que también nos interesa mucho a la hora de hacer la posterior representación gráfica es la posición de la curva respecto a las asíntotas, que deberemos estudiar según sea la asíntota: y como

x2 + y 2 = a 2t 2 cos 2 t + a 2t 2 sen 2 t = a 2t 2[cos 2 t + sen 2 t ] = a 2t 2

representan una espiral (espiral de Arquímedes). Si queremos eliminar t para hallar su ecuación implícita basta observar que debemos elevar al cuadrado los miembros de ambas ecuaciones y sumar, con lo que tendremos

Si la asíntota es y = mx + n (asíntota oblicua), basta estudiar el signo de f ( x ) – mx – n, cuando x ® ¥, +¥, – ¥ y según sea positivo o negativo la curva está por encima o por debajo de la asíntota. Si la asíntota es y = b (asíntota horizontal), veremos el signo de f ( x ) – b, cuando x ® ¥, +¥, – ¥ y según sea positivo o negativo la curva está por encima o por debajo de la asíntota. Si la asíntota es x = a (asíntota vertical), estudiaremos el signo de f ( x )cuando x tiende a a, por la derecha y por la izquierda, es decir, cuando x ® a+ y cuando x ® a – . y = a × t sen t

x2 y2 + =1 a2 b2

c)

que es la ecuación en forma implícita de dicha cónica. Las ecuaciones paramétricas

b)

x = a × t cos t

a)

son las ecuaciones paramétricas de una elipse. De ellas se deduce

10. REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA DADA POR SUS ECUACIONES EN FORMA PARAMÉTRICA x = a cos t

y = b sen t

expresión que liga a las variables x e y, y que define a y como función de x si se hace corresponder a cada valor de x el valor o valores de y que junto con dicho valor de x satisfacen la condición anterior. Así por ejemplo, las ecuaciones Sean x, y funciones de un mismo parámetro t, o sea, x = f (t )

y = g (t )

F ( x , y )= 0 Para cada valor de t se tendrá un par de valores x, y que pueden considerarse como coordenadas de un punto P del plano. Al variar t, el punto P variará también. E1 conjunto de puntos P cuyas coordenadas están dadas por las dos funciones anteriores, al variar t, se dice que forma una curva dada por las ecuaciones paramétricas

Si las ecuaciones paramétricas permiten eliminar el parámetro t, se puede pasar de ellas a la ecuación de la curva en forma implícita x = f (t )

y = g (t )

x = f (t )

y = g (t )

Para cada valor de t se tendrá un par de valores x, y que pueden considerarse como coordenadas de un punto P del plano. Al variar t, el punto P variará también. E1 conjunto de puntos P cuyas coordenadas están dadas por las dos funciones anteriores, al variar t, se dice que forma una curva dada por las ecuaciones paramétricas

Si las ecuaciones paramétricas permiten eliminar el parámetro t, se puede pasar de ellas a la ecuación de la curva en forma implícita F ( x , y )= 0 x = f (t )

y = g (t )

expresión que liga a las variables x e y, y que define a y como función de x si se hace corresponder a cada valor de x el valor o valores de y que junto con dicho valor de x satisfacen la condición anterior. Así por ejemplo, las ecuaciones Sean x, y funciones de un mismo parámetro t, o sea,

10. REPRESENTACIÓN DE UNA CURVA DADA POR SUS ECUACIONES EN FORMA PARAMÉTRICA x = a cos t

y = b sen t

son las ecuaciones paramétricas de una elipse. De ellas se deduce

y = a × t sen t

a)

x = a × t cos t

b)

Si la asíntota es y = mx + n (asíntota oblicua), basta estudiar el signo de f ( x ) – mx – n, cuando x ® ¥, +¥, – ¥ y según sea positivo o negativo la curva está por encima o por debajo de la asíntota. Si la asíntota es y = b (asíntota horizontal), veremos el signo de f ( x ) – b, cuando x ® ¥, +¥, – ¥ y según sea positivo o negativo la curva está por encima o por debajo de la asíntota. Si la asíntota es x = a (asíntota vertical), estudiaremos el signo de f ( x )cuando x tiende a a, por la derecha y por la izquierda, es decir, cuando x ® a+ y cuando x ® a – . que es la ecuación en forma implícita de dicha cónica. Las ecuaciones paramétricas

c)

x2 y2 + =1 a2 b2

representan una espiral (espiral de Arquímedes). Si queremos eliminar t para hallar su ecuación implícita basta observar que debemos elevar al cuadrado los miembros de ambas ecuaciones y sumar, con lo que tendremos

Recordemos que recibe el nombre de asíntota de una curva aquella recta que se acerca indefinidamente a una curva sin llegar a tocarla y esto ocurre cuando los puntos de la curva se alejan infinitamente. Cabe distinguir tres tipos de asíntotas, según la posición que adopten: horizontales, verticales y oblicuas. Para su estudio y localización daremos los pasos que se han explicado en el epígrafe 8 del tema. Lo que también nos interesa mucho a la hora de hacer la posterior representación gráfica es la posición de la curva respecto a las asíntotas, que deberemos estudiar según sea la asíntota: x2 + y 2 = a 2t 2 cos 2 t + a 2t 2 sen 2 t = a 2t 2[cos 2 t + sen 2 t ] = a 2t 2

y como

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80

9.8. Asíntotas

y sen t = = tg t x cos t

Estudio global de funciones deducimos t = arctg

y x

y por tanto æ yö x2 + y2 = a 2ç arctg ÷ è xø

2

que es la ecuación implícita de la espiral de Arquímedes. Sin embargo para el estudio de una curva dada por sus ecuaciones paramétricas, no siempre es conveniente pasar a la forma implícita por eliminación del parámetro, sino que muchas veces es preferible hacer el estudio directamente, manteniendo las ecuaciones en forma paramétrica. Para representar una curva en coordenadas paramétricas se deben seguir los siguientes pasos: 1.

Determinación del campo de definición. Cada una de las funciones x = f (t ) y = g (t ) tendrá un campo de existencia, y la parte común de éstos es el campo en que, al dar valores a t, obtenemos un valor para x y otro para y, teniendo así las coordenadas de un punto de la curva. En principio haremos variar t de –¥a+¥, pero este intervalo se puede restringir por no estar definida alguna de ellas o por ser funciones trigonométricas en cuyo caso y en virtud de la periodicidad bastará considerar el intervalo [ 0,2p ]. Por ejemplo, la curva de ecuaciones 3t 2 4t 3 x= 2 y= 3 t +1 t +1 tiene x definido para todo valor de t e y sólo en el intervalo –1< t < ¥, luego este último será el intervalo de variación de t para el cual existen puntos de la curva.

2.

Simetrías. A1 cambiar t por –t, pueden presentarse los siguientes casos: a) x e y no cambian. Se obtiene, por tanto, el mismo punto. Basta, pues, tomar como intervalo de variación el [ 0,¥ ) para representar toda la curva. b) x se cambia en –x; y no cambia. Existe simetría con respecto al eje de ordenadas. c) x no cambia; y cambia en –y. Existe simetría con respecto al eje de abscisas. d) x cambia en –x; y cambia en –y. Existe simetría con respecto al origen. Si para un valor de t se obtiene dos valores opuestos de x y un solo valor de y, la curva es simétrica respecto al eje de ordenadas. Si para un valor t se obtienen dos valores de y opuestos y un solo valor de x, la curva es simétrica respecto al eje de abscisas. Si para un valor de t se obtienen los valores opuestos de x y los valores opuestos de y, la curva es simétrica respecto al eje x, y al eje y. Por ejemplo la curva x= t4+3

y = 3t

da para un t determinado dos valores opuestos de x y uno solo de y, luego es simétrica respecto al eje de ordenadas. 3.

Cortes con los ejes. Para calcular la intersección con el eje de abscisas se resuelve la ecuación g ( t )= 0; si t i son las raíces de esta ecuación entonces xi = f ( t i ) son las abscisas de estos puntos de corte. Para calcular la intersección de la curva con el eje de ordenadas se resuelve la ecuación f ( t )= 0 y si son t i las raíces de esta ecuación entonces y = g ( t i ) son las ordenadas de estos puntos de corte. Por ejemplo, dada la elipse de ecuación: x = a cos t y = b sen t Los puntos de intersección con el eje x son en los que b ×sen t = 0, es decir t = 0y t = p, dándonos los puntos ( a ,0 ) y (– a ,0 ).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Asíntotas. Se buscan los valores de t para los cuales y = g ( t ) ® ¥ y tales que x = f ( t ) ® a ¹ ¥. Entonces x = a es una asíntota vertical. Análogamente si x = f ( t ) ® ¥ e y = g ( t ) ® b ¹ ¥, entonces y = b es una asíntota horizontal. Si cuando t ® t 0 se tiene f (t ) ® ¥ g (t ) ® ¥ pueden presentarse uno de estos casos: g (t ) a) Si lim = m, con lo que y = mx es una dirección asintótica. Si lim( g ( t ) – m× f ( t )) = h ¹ ¥, t ®t0 f ( t ) t ®t0 entonces existe una asíntota oblicua y = mx + h. g (t ) b) Si lim = ¥, existe una rama parabólica en la dirección del eje y. t ®t0 f ( t ) g (t ) c) Si lim = 0 existe una rama parabólica en la dirección del eje x. t ®t0 f ( t )

Crecimiento y decrecimiento. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos las derivadas x'( t ) e y '( t ) y vamos variando el valor del parámetro t a lo largo de todo el campo de definición, calculando el signo, positivo o negativo, de cada una de estas derivadas, calculando previamente los valores de t para los que se anulan.

9.

Puntos múltiples. Resultan de hallar los valores de t que hacen simultáneamente nulo x'( t ) e y '( t ).

8.

Puntos de cruzamiento. Son aquellos puntos en los que para dos valores distintos del parámetro t : t1 y t 2 se verifica: f ( t1 ) = f ( t 2 ) Þ x1 = x2 g ( t1 ) = g ( t 2 ) Þ y1 = y2 Para hallarlos, basta resolver el sistema formado por las ecuaciones anteriores.

7.

Máximos y mínimos. Puntos de inflexión. Concavidad y convexidad. No ofrece ninguna novedad sobre lo ya visto para las curvas en forma explícita, salvo que pueden ser máximos y mínimos de tangente vertical cuando x'( t )= 0 e y'( t )¹ 0 y de tangente horizontal cuando y '( t )= 0 y x'( t )¹ 0.

6.

Intersección con las asíntotas. Sea y = mx + h una asíntota cualquiera. Sustituimos cada función x e y por sus valores f ( t ) y g ( t ), respectivamente, con lo que tenemos g ( t ) = m× f ( t )+ h Sean t i las raíces de esta ecuación. Los puntos de corte con la asíntota son los Pi ( xi , yi ) dados por xi = f ( t i ), yi = g ( t i ).

5.

4.

Por ejemplo, sea la curva

y=

Para t ® –1

x®¥

y®

–6 8

y la ordenada en el origen será: é ù 5 t–5 t+2 4 h = limê – ú= t ®1ë ( t – 3 )( t – 1) 3 ( t – 1)( t + 1) û 6

–6 es una asíntota horizontal. 8 Para t ® –1, x ® ¥, y ® ¥ y tenemos y ( t – 5 )( t + 1) (1 – 5 )(1+ 1) 4 = ® = x ( t + 1)( t – 3 ) (1+ 1)(1 – 3 ) 3

y la ordenada en el origen será: é ù 5 t–5 t+2 4 h = limê – ú= t ®1ë ( t – 3 )( t – 1) 3 ( t – 1)( t + 1) û 6

Intersección con las asíntotas. Sea y = mx + h una asíntota cualquiera. Sustituimos cada función x e y por sus valores f ( t ) y g ( t ), respectivamente, con lo que tenemos g ( t ) = m× f ( t )+ h Sean t i las raíces de esta ecuación. Los puntos de corte con la asíntota son los Pi ( xi , yi ) dados por xi = f ( t i ), yi = g ( t i ). x=

t+2 t2 – 1

y=

5.

4 5 x + es una asíntota oblicua. 3 6

a)

Luego y =

b)

Para t ® –1 –6 x®¥ y® 8 –6 por tanto y = es una asíntota horizontal. 8 Para t ® –1, x ® ¥, y ® ¥ y tenemos y ( t – 5 )( t + 1) (1 – 5 )(1+ 1) 4 = ® = x ( t + 1)( t – 3 ) (1+ 1)(1 – 3 ) 3

por tanto y = b)

t–5 ( t – 3 )( t – 1)

4 5 x + es una asíntota oblicua. 3 6

a)

t+2 t2 – 1

Luego y =

x=

t–5 ( t – 3 )( t – 1)

Por ejemplo, sea la curva

Asíntotas. Se buscan los valores de t para los cuales y = g ( t ) ® ¥ y tales que x = f ( t ) ® a ¹ ¥. Entonces x = a es una asíntota vertical. Análogamente si x = f ( t ) ® ¥ e y = g ( t ) ® b ¹ ¥, entonces y = b es una asíntota horizontal. Si cuando t ® t 0 se tiene f (t ) ® ¥ g (t ) ® ¥ pueden presentarse uno de estos casos: g (t ) a) Si lim = m, con lo que y = mx es una dirección asintótica. Si lim( g ( t ) – m× f ( t )) = h ¹ ¥, t ®t0 f ( t ) t ®t0 entonces existe una asíntota oblicua y = mx + h. g (t ) b) Si lim = ¥, existe una rama parabólica en la dirección del eje y. t ®t0 f ( t ) g (t ) = 0 existe una rama parabólica en la dirección del eje x. f (t )

c)

t ®t0

Si lim

6.

Máximos y mínimos. Puntos de inflexión. Concavidad y convexidad. No ofrece ninguna novedad sobre lo ya visto para las curvas en forma explícita, salvo que pueden ser máximos y mínimos de tangente vertical cuando x'( t )= 0 e y'( t )¹ 0 y de tangente horizontal cuando y'( t )= 0 y x '( t )¹ 0.

7.

Puntos de cruzamiento. Son aquellos puntos en los que para dos valores distintos del parámetro t : t1 y t 2 se verifica: f ( t1 ) = f ( t 2 ) Þ x1 = x2 g ( t1 ) = g ( t 2 ) Þ y1 = y2 Para hallarlos, basta resolver el sistema formado por las ecuaciones anteriores.

8.

Puntos múltiples. Resultan de hallar los valores de t que hacen simultáneamente nulo x'( t ) e y'( t ).

9.

Crecimiento y decrecimiento. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos las derivadas x'( t ) e y '( t ) y vamos variando el valor del parámetro t a lo largo de todo el campo de definición, calculando el signo, positivo o negativo, de cada una de estas derivadas, calculando previamente los valores de t para los que se anulan.

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4.

Volumen II. Matemáticas

TEMA

29 El problema del cálculo del área. Integral definida

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

EL PROBLEMA DEL ÁREA COMO ORIGEN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL 2.1. Génesis histórica del cálculo integral 2.2. Reformulación del problema del área 2.3. Hacia una formalización del concepto del área 2.3.1. Conjuntos cuadrables del plano 2.3.2. Axiomatización del área

3.

INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCIÓN ACOTADA 3.1. Particiones de un intervalo 3.2. Sumas de Riemann 3.3. Definición de función R-integrable 3.4. Integral inferior e integral superior 3.5. La condición de Riemann. Criterios de integrabilidad 3.6. La integral y el área

4.

TIPOS DE FUNCIONES R-INTEGRABLES 4.1. Integrabilidad-Riemann de las funciones monótonas 4.2. Integrabilidad-Riemann de las funciones continuas 4.3. Integrabilidad-Riemann de funciones no continuas. Caracterización de Lebesgue 4.4. Integrabilidad-Riemann de funciones escalonadas y regladas

APÉNDICES I. Cambio de variable en una integral definida II. Integración por partes III. El segundo teorema de la media IV. Integrales impropias

RELACIÓN ENTRE INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN 7.1. El primer teorema de la media 7.2. El teorema fundamental del Cálculo 7.3. Cálculo de una integral mediante una primitiva: la fórmula de Newton-Leibniz

7.

SOBRE EL PROCESO DE INTEGRACIÓN 6.1. La integral definida como un límite 6.2. Acerca del símbolo de integración

6.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 5.1. Linealidad 5.2. Aditividad respecto del intervalo 5.3. Signo de la integral 5.4. Monotonía

5.

TIPOS DE FUNCIONES R-INTEGRABLES 4.1. Integrabilidad-Riemann de las funciones monótonas 4.2. Integrabilidad-Riemann de las funciones continuas 4.3. Integrabilidad-Riemann de funciones no continuas. Caracterización de Lebesgue 4.4. Integrabilidad-Riemann de funciones escalonadas y regladas

4.

INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCIÓN ACOTADA 3.1. Particiones de un intervalo 3.2. Sumas de Riemann 3.3. Definición de función R-integrable 3.4. Integral inferior e integral superior 3.5. La condición de Riemann. Criterios de integrabilidad 3.6. La integral y el área

3.

EL PROBLEMA DEL ÁREA COMO ORIGEN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL 2.1. Génesis histórica del cálculo integral 2.2. Reformulación del problema del área 2.3. Hacia una formalización del concepto del área 2.3.1. Conjuntos cuadrables del plano 2.3.2. Axiomatización del área

2.

INTRODUCCIÓN

1.

5.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 5.1. Linealidad 5.2. Aditividad respecto del intervalo 5.3. Signo de la integral 5.4. Monotonía

6.

SOBRE EL PROCESO DE INTEGRACIÓN 6.1. La integral definida como un límite 6.2. Acerca del símbolo de integración

7.

RELACIÓN ENTRE INTEGRACIÓN Y DERIVACIÓN 7.1. El primer teorema de la media 7.2. El teorema fundamental del Cálculo 7.3. Cálculo de una integral mediante una primitiva: la fórmula de Newton-Leibniz APÉNDICES I. Cambio de variable en una integral definida II. Integración por partes III. El segundo teorema de la media IV. Integrales impropias

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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El problema del cálculo del área

1. INTRODUCCIÓN Puede considerarse que el Cálculo Infinitesimal trata de dos problemas fundamentales: encontrar la tangente a una curva en uno de sus puntos y determinar el área encerrada por una curva. Ambos son resueltos por sendos procesos de paso al límite, denominados diferenciación e integración, respectivamente. Se sabe que el problema del área que dio origen a la noción de integral es históricamente anterior al de la recta tangente a una curva, que dio asimismo origen al concepto de derivada. Obviamente, desde los métodos aproximativos primitivos (Eudoxo de Cnido, Arquímedes de Siracusa, Hipócrates de Chíos…) hasta nuestros días, la teoría de la integración ha llegado a unas cotas de desarrollo que permiten enfoques teóricos modernos y diversos. Desde un punto de vista didáctico no es necesario abordar el tema al más alto nivel de formalización, lo cual no significa renunciar a cierto rigor científico. Lo que se cree oportuno aquí es “sacrificar” cierto grado de generalidad, en aras de poder optar por la vía menos engorrosa y más intuitiva para introducir el concepto. Así pues definiremos la integral a la manera de Riemann, estableceremos la integrabilidad de las funciones continuas en un intervalo [ a , b ] y acabaremos ciñéndonos prácticamente a este tipo de funciones. No obstante, es preciso también manejar la integral de funciones no necesariamente continuas, lo cual tiene gran aplicación en otras partes de la matemática, como la teoría de la probabilidad (recuérdense los sencillos ejemplos de la d de Dirac o la u de Heaviside). Por ello hace casi un siglo la integral de Lebesgue generalizó a la integral de Riemann. Grosso modo, la integral de Riemann se construye a partir de sumas asociadas a una partición del intervalo (sumas de Riemann) que se ajustan cada vez más valor al buscado, a medida que se va afinando la partición. La integral de Lebesgue se introduce partiendo de un tipo muy peculiar de funciones –las escalonadas–, para las que la definición de integral resulta muy simple y acorde con la intuición. Se extiende después el concepto, recurriendo a la convergencia uniforme, a funciones regladas o casi-escalonadas, que pueden tener una infinidad numerable de discontinuidades y de las que forman parte las funciones continuas y las funciones monótonas. Para ello es preciso dotar antes de una “norma” al espacio x de funciones escalonadas sobre el intervalo [ a , b ]. Obtenemos así el concepto de integral para una clase bastante amplia de funciones, todas ellas integrables en el sentido Riemann, que cubren las necesidades elementales del cálculo. Mayor generalización se consigue con la integración Riemann-Stieljes, que incluye no una función b sino dos. El símbolo para esta integral es òa ¦ ( x ) da ( x ), que tiene aún sentido para funciones a( x ) (“integradores”) discontinuas. La integral de Riemann es un caso particular para a( x ) = x, al igual que la sumación (Euler). En la teoría de la probabilidad la integral de Riemann-Stieljes es un instrumento útil que hace posible la consideración simultánea de variables aleatorias continuas y discretas. Ni que decir tiene que el objetivo del presente tema no es desarrollar estas generalizaciones teóricas de la noción de integral, sino que, al contrario, trataremos deliberadamente de no perder de vista la propia génesis del concepto: el problema del área. De ahí que el enfoque sea más conceptual e intuitivo que formal y abstracto, lo cual no es óbice para tratar de “conciliar” en modo alguno las diferentes perspectivas posibles del tema.

2. EL PROBLEMA DEL ÁREA COMO ORIGEN DEL CONCEPTO DE INTEGRAL 2.1. Génesis histórica del cálculo integral El equivalente griego del cálculo integral lo constituye el llamado método de exhausción, basado en lo que se conoce como axioma de Arquímedes, aunque el propio Arquímedes reconoció que fue Eudoxo de Cnido el que verdaderamente lo dio. Según ese lema o axioma, dadas dos magnitudes del mismo tipo (de modo que ninguna de las dos sea cero) siempre puede hallarse un múltiplo de una que exceda a la otra. A partir del axioma anterior es fácil demostrar la llamada propiedad de exhausción: Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad, y si continuamos este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

85

Volumen II. Matemáticas

86

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Los griegos ya hicieron uso de esa propiedad para demostrar teoremas acerca de áreas de figuras curvilíneas. Figura 4.

0

a

Pero Fermat, algo más tarde, descubrió un método para hallar el área encerrada bajo curvas de la forma y = xn. En el cálculo de dichas áreas utilizó fórmulas para la suma de potencias de enteros. Los resultados obtenidos supusieron un avance importante sobre los anteriores de Cavalieri, quien se había limitado a casos particulares. La idea de Fermat consistía ya en subdividir el intervalo de x = 0 hasta x = a en infinitos subintervalos mediante los puntos a , ak , ak 2 , ak 3..., donde k es un número positivo menor que la unidad. De esa manera el área bajo la curva se aproximaba mediante rectángulos circunscritos, tal como se indica en la figura 4.

Figura 1.

Se había sugerido anteriormente que el área del círculo se podría obtener inscribiendo en él un polígono regular y aumentando indefinidamente el número de lados (figura 1). Pero no sabían cerrar el razonamiento, ya que la idea de límite era desconocida, y lo seguiría siendo durante más de dos milenios. Así pues, la pro1 piedad de exhausción, que equivale en términos modernos a límM (1 – r )n = 0 (si £ r < 1), sirvió para n ®¥ 2 hacer más riguroso ese método. Si consideramos las áreas que quedan fuera de los polígonos inscritos, pero dentro del círculo, está claro que al duplicar el número de lados, sustraemos de estas áreas intermedias más de su mitad. Por tanto, en virtud de la propiedad exhausción las áreas intermedias se pueden reducir cada vez más, duplicando el número de lados. Figura 2. Ese procedimiento iterativo fue perfeccionado por Arquímedes (III a. C.) para llegar a estimar el área del círculo con una precisión mayor que egipcios y babilonios. Se le atribuye la demostración, por el método de exhausción, de que el área del círculo es igual a la del triángulo rectángulo que tiene uno de sus catetos igual a la longitud de la circunferencia y el otro igual al radio, aunque se cree más probable que dicho resultado se deba a Dinostrato, quien lo presuponía en sus intentos sobre la cuadratura del círculo. De los tratados referentes al citado método de exhausción, el que mejor se puede considerar como un precedente del cálculo integral es la obra de Arquímedes titulada Sobre la cuadratura de la parábola. En ella el gran genio matemático de la antigüedad consigue puC lir aún más el método estándar y demuestra rigurosamente que el B 4T , siendo T el área del segmento parabólico ABCDE es igual a D 3 área del mayor triángulo ACE inscrito, es decir, el de la misma base y la misma altura (figura 3). Posteriormente, el monje Buenaventura Cavalieri, desarrollando y generalizando resultados de Kepler y Galileo, aporta una idea fundamental en su obra Geometría indivisubilibus, publicada A E en 1635: un área se puede considerar compuesta por segmentos rectilíneos o “indivisibles” . Sin saberlo, se encontraba siguiendo Figura 3. las huellas del verdadero proceso de integración como sumación de elementos infinitesimales. Entre otros, llega por la vía geoméa a n+1 n

Se había sugerido anteriormente que el área del círculo se podría obtener inscribiendo en él un polígono regular y aumentando indefinidamente el número de lados (figura 1). Pero no sabían cerrar el razonamiento, ya que la idea de límite era desconocida, y lo seguiría siendo durante más de dos milenios. Así pues, la pro1 piedad de exhausción, que equivale en términos modernos a límM (1 – r )n = 0 (si £ r < 1), sirvió para n ®¥ 2 hacer más riguroso ese método. Si consideramos las áreas que quedan fuera de los polígonos inscritos, pero dentro del círculo, está claro que al duplicar el número de lados, sustraemos de estas áreas intermedias más de su mitad. Por tanto, en virtud de la propiedad exhausción las áreas intermedias se pueden reducir cada vez más, duplicando el número de lados. Figura 2. Ese procedimiento iterativo fue perfeccionado por Arquímedes (III a. C.) para llegar a estimar el área del círculo con una precisión mayor que egipcios y babilonios. Se le atribuye la demostración, por el método de exhausción, de que el área del círculo es igual a la del triángulo rectángulo que tiene uno de sus catetos igual a la longitud de la circunferencia y el otro igual al radio, aunque se cree más probable que dicho resultado se deba a Dinostrato, quien lo presuponía en sus intentos sobre la cuadratura del círculo. De los tratados referentes al citado método de exhausción, el que mejor se puede considerar como un precedente del cálculo integral es la obra de Arquímedes titulada Sobre la cuadratura de la parábola. En ella el gran genio matemático de la antigüedad consigue puC lir aún más el método estándar y demuestra rigurosamente que el B 4T , siendo T el área del segmento parabólico ABCDE es igual a D 3 área del mayor triángulo ACE inscrito, es decir, el de la misma base y la misma altura (figura 3). Posteriormente, el monje Buenaventura Cavalieri, desarrollando y generalizando resultados de Kepler y Galileo, aporta una idea fundamental en su obra Geometría indivisubilibus, publicada A E en 1635: un área se puede considerar compuesta por segmentos rectilíneos o “indivisibles” . Sin saberlo, se encontraba siguiendo Figura 3. las huellas del verdadero proceso de integración como sumación de elementos infinitesimales. Entre otros, llega por la vía geoméa a n+1 . trica a resultados equivalentes a ò0 xndx = n+1 trica a resultados equivalentes a

ò x dx = n + 1. 0

Pero Fermat, algo más tarde, descubrió un método para hallar el área encerrada bajo curvas de la forma y = xn. En el cálculo de dichas áreas utilizó fórmulas para la suma de potencias de enteros. Los resultados obtenidos supusieron un avance importante sobre los anteriores de Cavalieri, quien se había limitado a casos particulares. La idea de Fermat consistía ya en subdividir el intervalo de x = 0 hasta x = a en infinitos subintervalos mediante los puntos a , ak , ak 2 , ak 3..., donde k es un número positivo menor que la unidad. De esa manera el área bajo la curva se aproximaba mediante rectángulos circunscritos, tal como se indica en la figura 4.

Figura 1. 0

a

Los griegos ya hicieron uso de esa propiedad para demostrar teoremas acerca de áreas de figuras curvilíneas. Figura 4.

86

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

El problema del cálculo del área El método de Fermat fallaba evidentemente para n = –1, pero dicho inconveniente vino a resolverlo otro contemporáneo de Fermat, el jesuita Gregory de St.Vincent. Este tomó a partir de x = a puntos tales que determinaran intervalos crecientes en progresión geométrica y vio que levantando en esos puntos las ordenadas correspondientes a la hipérbola xy = 1, entonces las áreas bajo la curva encerradas entre cada dos ordenadas sucesivas son iguales. Ello viene a significar que, según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva crece aritméticamente. Por lo tanto, aun de manera imprecisa, lo equivalente a nuestra b igualdad òa x-1dx = ln b – ln a , ya era conocido. Así pues, Fermat y Gregory de St. Vincent, se interesaron por cuestiones propias del análisis infinitesimal (tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas, etc.). Pero el carácter inverso del problema de hallar las tangentes a la curva y = kx n y el de hallar áreas encerradas bajo la misma pasó inadvertido. Al parecer Fermat no prestó atención a lo que hoy se llama teorema fundamental del cálculo. Aunque la integración se reducía prácticamente a funciones del tipo xn, podemos decir que el cálculo integral se anticipó al cálculo diferencial. Las generalizaciones del algoritmo arquimediano vinieron después fundamentalmente con John Wallis, James Gregory e Isaac Barrow, todos ellos ligeramente anteriores a Newton. De todos, fue este último el que más se aproximó a la relación entre integración y derivación. Sin conocer directamente la obra de Fermat, Barrow fue el primero en reconocer el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes y cuadraturas, pero su empecinamiento en los métodos geométricos le impidió hacer uso de esa relación. Afortunadamente su joven sucesor y discípulo, Isaac Newton, continuó trabajando en esos problemas. Los avances que constituyeron sus nuevos métodos infinitesimales (“método de fluxiones”) le permitieron explotar la relación inversa entre pendiente y área. De hecho, en su tratado De Analysi, escrito en 1669, aparece por primera vez el cálculo de un área mediante el proceso inverso de lo que llamamos diferenciación. Por ello se considera a Newton el verdadero inventor del cálculo, aunque probablemente, como él mismo llegó a reconocer, no fuera el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco en ver las relaciones entre ambas operaciones, expresadas en el teorema fundamental. Una agria disputa sobre la prioridad en el descubrimiento del cálculo tuvo lugar entre Newton y otro de los matemáticos más grandes y fecundos de esa época: el alemán Gottfried W. Leibniz. Hoy día está claro que el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz, así como que éste hizo sus descubrimientos independientemente de los de aquél. Así pues, Leibniz publicó en 1686 una exposición del cálculo integral en las Acta Eruditorum (especie de “revista matemática” mensual), en la que muestra que las cuadraturas son un caso especial del método inverso de las tangentes, haciendo hincapié en la relación inversa entre diferenciación e integración y llegando prácticamente hasta el teorema fundamental del cálculo. Es destacable la aceptación que tuvo por la plausibilidad de sus ideas y por acertadísima notación que empleó, siendo el primero en utilizar el símbolo ò. Podemos decir que Newton y Leibniz son los verdaderos “padres” del cálculo integral, tal como se conoce en nuestros días.

2.2. Reformulación del problema del área El método exhaustivo de Eudoxo de Cnido, posteriormente completado por Arquímedes, fue el precursor del método de aproximaciones sucesivas. Como vimos, consistía en aproximar el recinto plano  mediante figuras poligonales inscritas o circunscritas, haciendo cada vez mayor el número de lados de la poligonal (figura 5).

Â

P5

P7

n=5

n=7

área (R) = lím área (Pn ) n ¥

Figura 5.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

87

Volumen II. Matemáticas

88

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Figura 8.

nk = nº de intervalos de Ek contenidos en A. n 'k = nº de intervalos de Ek con intersección no vacía con A.

Podemos considerar otro tipo de configuraciones elementales para aproximar el área del recinto (rectángulos, cuadrículas, trapecios, etc.). En cualquier caso la idea será la misma (figura 6). En el plano afín euclídeo A2 ( R ) llamamos intervalo generalizado de rané m m+ 1ö é p p + 1ö go k al conjunto ê k , k ÷´ê k , k ÷con m, p Î Z y n Î N , que se trata ë2 2 ø ë2 2 ø de un cuadrado. Notemos por Ek la familia de intervalos generalizados de rango k del plano. Dado un conjunto plano acotado cualquiera A, denotemos por

Figura 6.

M

M

A

M

2.3.1. Conjuntos cuadrables del plano

N

N

N

El concepto de área está incluido en la teoría general de la medida. Se han dado varias definiciones de área (Jordan, Lebesgue,…), pero en la mayoría de ellas se parte de unas figuras elementales (cuadrados, rectángulos, polígonos…) a las que se les asigna un área de manera simple (áreas básicas). Después las figuras casi-elementales pueden definirse como uniones casi-disjuntas (en el sentido de que su intersección se reduce a puntos-frontera). La definición de área debe ser tal que comprenda la mayor cantidad posible de conjuntos del plano como conjuntos dotados de un área. Pero no todos los subconjuntos del plano tienen área.

En todos ellos, área ( M ) y área ( N ) son aproximaciones por defecto y exceso, respectivamente, de área( Â ): área ( M ) £ área ( Â ) £ área ( N ). El valor de área( Â ) se asignaría por paso al límite. Pero formalizar esto no es tan simple. Aunque el concepto último de integral es independiente por sí mismo, pretendemos llegar a él sin perder de vista la idea motivadora. Si asumimos ciertas restricciones para una función y = f ( x ) definida en un intervalo cerrado [ a , b ] , tendremos un arco de curva en el semif plano superior respecto del eje OX, que encierra bajo sí una región plana dada por el conjunto

2.3. Hacia una formalización del concepto del área Figura 7.

En la figura adjunta, donde se ha tomado f continua y no negativa en [ a , b ], la región  es el trapecio “mixtilíneo” (figura 7) delimitado por el arco de curva, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. La noción de integral definida surgirá del problema de asignar un área al citado recinto.

 = {( x, y ) Î R 2 / 0 £ x £ a , 0 £ y £ f ( x )}

X

En la figura adjunta, donde se ha tomado f continua y no negativa en X

[ a , b ], la región  es el trapecio “mixtilíneo” (figura 7) delimitado por el

 = {( x, y ) Î R 2 / 0 £ x £ a , 0 £ y £ f ( x )}

arco de curva, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y x = b. La noción de integral definida surgirá del problema de asignar un área al citado recinto. Â

Figura 7.

Y

b

b

a

a

Â

Y

Si asumimos ciertas restricciones para una función y = f ( x ) definida en un intervalo cerrado [ a , b ] , tendremos un arco de curva en el semiplano superior respecto del eje OX, que encierra bajo sí una región plana dada por el conjunto

f

2.3. Hacia una formalización del concepto del área

En todos ellos, área ( M ) y área ( N ) son aproximaciones por defecto y exceso, respectivamente, de área( Â ): área ( M ) £ área ( Â ) £ área ( N ). El valor de área( Â ) se asignaría por paso al límite. Pero formalizar esto no es tan simple. Aunque el concepto último de integral es independiente por sí mismo, pretendemos llegar a él sin perder de vista la idea motivadora.

El concepto de área está incluido en la teoría general de la medida. Se han dado varias definiciones de área (Jordan, Lebesgue,…), pero en la mayoría de ellas se parte de unas figuras elementales (cuadrados, rectángulos, polígonos…) a las que se les asigna un área de manera simple (áreas básicas). Después las figuras casi-elementales pueden definirse como uniones casi-disjuntas (en el sentido de que su intersección se reduce a puntos-frontera). La definición de área debe ser tal que comprenda la mayor cantidad posible de conjuntos del plano como conjuntos dotados de un área. Pero no todos los subconjuntos del plano tienen área. N N

N

2.3.1. Conjuntos cuadrables del plano

M

M

A

En el plano afín euclídeo A2 ( R ) llamamos intervalo generalizado de rané m m+ 1ö é p p + 1ö go k al conjunto ê k , k ÷´ê k , k ÷con m, p Î Z y n Î N , que se trata ë2 2 ø ë2 2 ø de un cuadrado. Notemos por Ek la familia de intervalos generalizados de rango k del plano. Dado un conjunto plano acotado cualquiera A, denotemos por M

Figura 6.

nk = nº de intervalos de Ek contenidos en A. n 'k = nº de intervalos de Ek con intersección no vacía con A.

Podemos considerar otro tipo de configuraciones elementales para aproximar el área del recinto (rectángulos, cuadrículas, trapecios, etc.). En cualquier caso la idea será la misma (figura 6). 88

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Figura 8.

El problema del cálculo del área Es trivial que nk £ n 'k , y además: n j+1 n1 n2 . 2 , n1 £ 2 , ..., y en general n j £ 2 2 22 n ' j+1 n' n' n '1£ 4 n '0 , n '2£ 4 n '1, de donde n '0³ 21 , n '1³ 22 , ..., y en general n ' j³ 2 . 2 2 2 n1 ³ 4 n0 , n2 ³ 4 n1, de donde n0 £

Por tanto, se tiene: n0 £

n1 n n n £ 2 £ 3 £...£ 2×kk £... 22 22×2 22×3 2

n '0³

n '1 n '2 n '3 n 'k 2 ³ 2×2 ³ 2×3 ³ ...³ 2×k ³... 2 2 2 2

Como nk £ n 'k , entonces se cumplen: nk n' k £ £ n '0 22k 22k

y

n 'k nk ³ ³ n0 22k 22k

æn ö æ n' ö Tenemos, pues, un par de sucesiones ç kk ÷ yç kk ÷ , ambas monótonas, la primera creciente y maè 2 øk Î N è 2 øk Î N n yorada y la segunda decreciente y minorada. En consecuencia ambas son convergentes. Sean a( A ) = lím kk y k ®¥ 2 n' a '(A) = lím kk . k ®¥ 2 Diremos que el conjunto A es cuadrable si a ( A ) = a '( A ). Al valor común de ambos límites le llamaremos área de A y lo denotaremos m( A ). Llamaremos W a la familia de los conjuntos cuadrables del plano. Se verifican: 1. Si A, B Î W, entonces A Ç B Î W y A È B Î W . 2.

Si A, B Î W y A Ç B = Æ, se tiene m ( A È B ) = m ( A )+ m ( B ).

3.

Si A, B Î W y A Ì B, entonces m ( A ) £ m ( B ).

4.

Para cualesquiera a , b , c, d Î R, con a < b y c < d , se cumple que [ a , b) ´ [ c , d ) Î W, siendo m([ a , b) ´ [ c, d ) ) = ( b – a )× ( d – c ).

5.

Æ Î W, siendo m( Æ ) = 0.

6.

Si ¶( A ) es la frontera de un conjunto cuadrable A, se tiene m(¶( A )) = 0.

Sabemos que todo rectángulo en el plano, cuyos lados tienen longitudes h y k es congruente con el rectángulo [ a , a + h ]´ [ b , b + h ] (lo cual puede particularizarse para un cuadrado de lado h).

Figura 9.

b+h

b+k

b

b

a

a+h

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

a

a+h

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Volumen II. Matemáticas

90

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Podemos tomar, pues, como figuras básicas o elementales aquellas que resulten de unión casi-disjunta de cuadrados, o aquellas que son uniones de rectángulos “rampantes” (figura 10).

Axioma de exhausción: “Sea A un conjunto del plano tal S Ì A Ì T , siendo S y T dos regiones escalonadas (reuniones finitas de rectángulos), y tal que existe un único número a que satisfaga m ( S ) £ a £ m (T ) para todas las regiones escalonadas S y T que encierren a A. Entonces A es medible y m( A ) = a”.

5.

Axioma de elección de escala: “Todo rectángulo R es medible, siendo m( R ) = hk , donde h y k son las longitudes de sus lados”.

4.

Axioma de diferencia: “Si A , B Î M y B Ì A entonces también A – B Î M”.

3.

Axioma de aditividad: “La unión y la intersección de dos conjuntos medibles son también medibles. Es decir, si A , B Î M, entonces A È B, A Ç B Î M. En el caso de que la unión sea disjunta (A Ç B = Æ), entonces se verifica: m ( A È B ) = m ( A )+ m ( B )”.

2.

Axioma de invarianza: “Sean dos conjuntos del plano A y B entre los cuales se puede una biyección que conserve la distancia (isometría). Si A Î M, entonces también B Î M, siendo m ( A ) = m ( B ). En particular el axioma establece que si A y B son dos recintos planos cuadrables congruentes (superponibles por un movimiento) su área es la misma”.

1.

S

S

Figura 10.

El área m( S ) de tales figuras será la suma de las áreas de los cuadrados o rectángulos que las componen. Entonces diremos que una figura plana F es cuadrable o admite cuadratura si dado cualquier número e > 0 arbitrariamente pequeño, es posible encontrar dos figuras elementales S e y S e¢ tales que: 1. 2.

S e Ì F Ì S ¢e . m ( S e ) – m ( S¢e ) < e.

Sólo tendrá sentido hablar de área de una figura F , cuando ésta sea cuadrable.

Hay conjuntos del plano a los que se les puede asignar un área y otros a los que no. Aquellos conjuntos del plano que tienen área se llaman medibles. La noción de área de una región plana se puede establecer a partir de una definición axiomática. Tomaremos como axiomas algunas de las propiedades fundamentales del área. Si M es la clase de conjuntos medibles del plano, podemos definir el área como una función de conjunto m: M ® R+ È {0}, que a cada conjunto medible A asocia un número real m( A ) no negativo denominado área de A, sujeto a los axiomas siguientes: Figura 11.

2.3.2. Axiomatización del área

Hay conjuntos del plano a los que se les puede asignar un área y otros a los que no. Aquellos conjuntos del plano que tienen área se llaman medibles. La noción de área de una región plana se puede establecer a partir de una definición axiomática. Tomaremos como axiomas algunas de las propiedades fundamentales del área. Si M es la clase de conjuntos medibles del plano, podemos definir el área como una función de conjunto m: M ® R+ È {0}, que a cada conjunto medible A asocia un número real m( A ) no negativo denominado área de A, sujeto a los axiomas siguientes:

2.3.2. Axiomatización del área Figura 11.

Sólo tendrá sentido hablar de área de una figura F , cuando ésta sea cuadrable.

Axioma de invarianza: “Sean dos conjuntos del plano A y B entre los cuales se puede una biyección que conserve la distancia (isometría). Si A Î M, entonces también B Î M, siendo m ( A ) = m ( B ). En particular el axioma establece que si A y B son dos recintos planos cuadrables congruentes (superponibles por un movimiento) su área es la misma”. 1. 2.

S e Ì F Ì S ¢e . m ( S e ) – m ( S¢e ) < e.

1.

El área m( S ) de tales figuras será la suma de las áreas de los cuadrados o rectángulos que las componen. Entonces diremos que una figura plana F es cuadrable o admite cuadratura si dado cualquier número e > 0 arbitrariamente pequeño, es posible encontrar dos figuras elementales S e y S e¢ tales que: 2.

Axioma de aditividad: “La unión y la intersección de dos conjuntos medibles son también medibles. Es decir, si A , B Î M, entonces A È B, A Ç B Î M. En el caso de que la unión sea disjunta (A Ç B = Æ), entonces se verifica: m ( A È B ) = m ( A )+ m ( B )”.

3.

Axioma de diferencia: “Si A , B Î M y B Ì A entonces también A – B Î M”.

4.

Axioma de elección de escala: “Todo rectángulo R es medible, siendo m( R ) = hk , donde h y k son las longitudes de sus lados”.

5.

Axioma de exhausción: “Sea A un conjunto del plano tal S Ì A Ì T , siendo S y T dos regiones escalonadas (reuniones finitas de rectángulos), y tal que existe un único número a que satisfaga m ( S ) £ a £ m (T ) para todas las regiones escalonadas S y T que encierren a A. Entonces A es medible y m( A ) = a”.

Figura 10.

S

S

Podemos tomar, pues, como figuras básicas o elementales aquellas que resulten de unión casi-disjunta de cuadrados, o aquellas que son uniones de rectángulos “rampantes” (figura 10).

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

90

El problema del cálculo del área

Algunas consecuencias: a)

& Æ, bastam( Æ ) = 0. En efecto, si tomamos un conjunto medible A, teniendo en cuenta que A = A È ría aplicar el axioma 2.

b)

Si A , B Î M y B Ì A, entonces m ( A – B ) = m ( A ) – m ( B ). Es consecuencia del axioma 2, pues en tal & ( A – B ). caso es A = B È

c)

Si A , B Î M y B Ì A, entonces m ( B ) £ m ( A ). De lo anterior tenemos m ( A ) = m ( B )+ m ( A – B ) ³ m ( B ), ya que m( A – B ) ³ 0.

d)

Toda región escalonada es medible al ser unión finita de rectángulos y en virtud del axioma de aditividad.

e)

Si A , B Î M, entonces m ( A È B ) = m ( A )+ m ( B ) – m ( A Ç B ). Basta tener en cuenta que la unión & B = A È ( B – A Ç B ), siendo además A Ç B Ì B. puede convertirse en unión disjunta poniendo A È Entonces en virtud del axioma 2 y de la consecuencia b) se obtiene la igualdad.

3. INTEGRAL DE RIEMANN DE UNA FUNCIÓN ACOTADA 3.1. Particiones de un intervalo Definición: Se llama partición del intervalo [ a , b ] a un conjunto finito P = {x0 , x1,..., xn}de puntos del intervalo, siendo: 1. 2.

x0 = a, xn = b. xi–1 < x1 ( i = 1,2,..., n ) . n

con lo cual se tiene [ a , b ] = U [xi–1, xi] . i=1

A la mayor de las amplitudes de los subintervalos [xi–1, xi] se denomina diámetro o norma de la partición, que denotaremos por DP. Se trata de la mayor de las diferencias Dxi = xi – xi–1, es decir, DP = máx{Dxi}i=1,...,n. Eventualmente los puntos de la partición pueden ser equidistantes, o sea, los subintervalos de la misb–a . n

ma amplitud. En tal caso será obviamente DP=

Una partición trivial de [ a , b ] sería P = {x0 , x1} con x0 = a, xn = b. Sean dos particiones P y Q del intervalo [ a , b ], tales todos los puntos de P son también puntos de Q ( P Ì Q ), que diremos que Q es más fina que P y escribiremos Q p P. Es obvio que entonces la más fina tiene menor diámetro, o sea: Q p P Þ DQ < DP. El conjunto P ( I ) de todas las particiones del intervalo I = [ a , b ] está parcialmente ordenado por la relación anterior, siendo además un conjunto dirigido, ya que dadas dos particiones P1 y P2, existe otra partición ( P1 È P2) más fina que ambas.

3.2. Sumas de Riemann Sea f una función real definida y acotada en el intervalo [ a , b ] . En principio supondremos que f es no negativa en dicho intervalo para enlazar mejor con la noción de área, pero dicha restricción después no será necesaria. Nos remitimos, pues, al problema planteado inicialmente de asignar un área al trapecio mixtilíneo de la figura, es decir, al recinto: Â = {( x, y) Î R / a £ x £ b , 0 £ y £ f ( x )} 2

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

f

Â

a

b

Figura 12.

91

Volumen II. Matemáticas

92

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Para una partición P = {x , x ,..., x } del intervalo, cualquier suma de la forma

Es cierta porque se verifica mi £ f ( t i ) £ M i para cualquier t i Î [xi–1, xi] . 0

1

n

Para cualquier partición del intervalo se verifica: S ( f , P ) £ S ( f , P ). n

n

S ( ¦, P )= å¦ ( t i )( xi – xi–1 ) = å¦ ( t i )Dxi

con t i Î [xi–1, xi]

1.

Propiedades de las sumas de Riemann:

i=1

i=1

–

se denomina suma de Riemann de f relativa a la partición P (figura 13 a). Está claro que para una misma partición hay infinitas sumas de Riemann, pues la elección de los ti es arbitraria. Figura 14.

Como hemos considerado f está acotada en [ a , b ], lo estará en cada subintervalo [xi–1, xi] de la partición, por lo que existen mi = inf { f ( x ) / x Î [xi–1, xi]} M i = sup{ f ( x ) / x Î [xi–1, xi]}

( i = 1,2,..., n ) ( i = 1,2,..., n )

Las sumas S ( f , P ), S ( f , P ) y S ( f , P ) definidas anteriormente, son aproximaciones del área del recinto Â. Con esos valores se pueden formar la sumas n

Figura 13.

n

S ( f , P ) = åmi ( xi – xi–1 ) = åmiDxi i=1

i=1

i=1

i=1

n

n

S ( f , P ) = åmi ( xi – xi–1 ) = åmiDxi

con t i Î [xi–1, xi] ti

con t i Î [xi–1, xi] mi

que denominamos, respectivamente, suma inferior y suma superior de f relativas a la partición P (figuras 13.b y 13.c) Mi

(a)

f(ti)

(b)

(c) (b)

(c) f(ti)

(a)

Mi

que denominamos, respectivamente, suma inferior y suma superior de f relativas a la partición P (figuras 13.b y 13.c) mi

n

n

i=1

i=1

n

n

i=1

i=1

S ( f , P ) = åmi ( xi – xi–1 ) = åmiDxi

con t i Î [xi–1, xi] ti

S ( f , P ) = åmi ( xi – xi–1 ) = åmiDxi

con t i Î [xi–1, xi]

Figura 13.

Las sumas S ( f , P ), S ( f , P ) y S ( f , P ) definidas anteriormente, son aproximaciones del área del recinto Â. Con esos valores se pueden formar la sumas

mi = inf { f ( x ) / x Î [xi–1, xi]}

( i = 1,2,..., n )

M i = sup{ f ( x ) / x Î [xi–1, xi]}

( i = 1,2,..., n )

Como hemos considerado f está acotada en [ a , b ], lo estará en cada subintervalo [xi–1, xi] de la partición, por lo que existen

se denomina suma de Riemann de f relativa a la partición P (figura 13 a). Está claro que para una misma partición hay infinitas sumas de Riemann, pues la elección de los ti es arbitraria. Figura 14.

n

i=1

i=1

Propiedades de las sumas de Riemann: 1.

con t i Î [xi–1, xi]

–

n

S ( ¦, P )= å¦ ( t i )( xi – xi–1 ) = å¦ ( t i )Dxi

Para cualquier partición del intervalo se verifica: S ( f , P ) £ S ( f , P ). Es cierta porque se verifica mi £ f ( t i ) £ M i para cualquier t i Î [xi–1, xi] .

Para una partición P = {x0 , x1,..., xn} del intervalo, cualquier suma de la forma

92

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

El problema del cálculo del área

2.

Si P' es más fina que P, entonces S ( f , P ' ) ³ S ( f , P ) y S ( f , P ' ) £ S ( f , P ). Basta probarlo para dos particiones que difieran en un solo punto. Si fuese P '= P È {c}, donde c Î [xk –1, xk ] , tomemos m'k = inf { f ( x ) / x Î [xk –1, c]}

m''k = inf { f ( x ) / x Î [c , xk ]}

M 'k = inf { f ( x ) / x Î [xk –1, c]}

M ''k = inf { f ( x ) / x Î [c, xk ]}

Entonces: k –1

n

1

k+1

S ( f , P ' ) – S ( f , P ) = åmiDxi + m'k ( c – xk –1 )+ m''k ( xk – c )+ åmiDxi – n

– åmiDxi = m'k ( c – xk –1 )+ m''k ( xk – c ) – mk ( xk – xk –1 ) = ( m'k – mk )( c – xk –1 )+ 1

+ ( m''k – mk )( xk – c ) ³ 0 ya que m'k ³ mk y m''k ³ mk k –1

n

1

k+1

S ( f , P ' ) – S ( f , P ) = åM iDxi + M 'k ( c – xk –1 )+ M ''k ( xk – c )+ åM iDxi – n

– åM iDxi = M 'k ( c – xk –1 )+ M ''k ( xk – c ) – M k ( xk – xk –1 ) = ( M 'k – M k )( c – xk –1 )+ 1

+ ( M ''k – M k )( xk – c ) £ 0 ya que M 'k £ M k y M ''k £ M k 3.

Para cualesquiera dos particiones P y P' se tienen S ( f , P ) £ S ( f , P ' ). Tomando la partición unión P È P ', que es más fina que P y P ' y, basándonos en 1 y 2, tendremos S ( f , P ) £ S ( f , P È P ' ) £ S ( f , P È P ' ) £ S ( f , P ). La partición más “grosera” de [ a , b ] es trivialmente la {x0 , x1}, siendo x0 = a y x1 = b. Cualquier otra partición P es más fina que aquella. Si m = inf{ f ( x ) / x Î [ a , b ]} y M = sup{ f ( x ) / x Î [ a , b ]}, las sumas inferior y superior relativas a aquella partición trivial son respectivamente m( b – a ) y M ( b – a ).

m(b-a) M m

Figura 15.

a

M(b-a) b

a

b

Entonces para cualquier partición P de [ a , b ] , se verifica: m( b – a ) £ S ( f , P ) £ S ( f , P ) £ S ( f , P ) £ M ( b – a )

3.3. Definición de función R-integrable Una función f :[ a , b ] ® R acotada se dice que es integrable en el sentido de Riemann (diremos integrable-Riemann o simplemente R-integrable) si existe un número real A con la propiedad siguiente: Para todo número real e> 0, es posible encontrar una partición Pe de [ a, b] cumpliéndose S ( f , Pe ) – A < e, para cualquier suma de Riemann S ( f , Pe ) relativa a dicha partición. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

93

Volumen II. Matemáticas

94

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Es posible probar fácilmente que dicho número A, si existe, es único. En tal caso lo denominamos integral b de Riemann de f en [ a , b ] y lo denotamos indistintamente por òa f ( x )dx o por I[ a,b] ( f ) (simplificado I ( f )). ì1 ï f (x )= í ï î0

si x Î [ a , b ] Ç ( R – Q )

En el símbolo òa f ( x )dx la letra x que designa la variable de integración es “muda”. Quiere esto decir b

si x Î [ a , b ] Ç Q

que puede ser reemplazada por cualquier otra, con lo que las integrales òa f ( t )dt , òa f ( u )du, òa f ( z )dz,... b

b

b

Ambas integrales pueden ser distintas. Pensemos, por ejemplo, en la restricción a [ a , b ] de la función de Dirichlet

son todas la misma que aquella. Ello explica que algunos autores prefieran escribir òa f ( x ) de manera más b

S ( f ,P )£ I ( f )£ S ( f ,P )

S ( f ,P )£ I ( f )£ S ( f ,P )

y

simplificada òa f . Esta notación para la integral definida se atribuye a Leibniz.

Para cualquier partición P de [ a , b ] , se tiene:

b)

I ( f ) £ I ( f ).

a)

b

Nota: una definición equivalente a la anterior es la siguiente

que llamaremos respectivamente integral inferior e integral superior de f en [ a , b ] . (El primero que las introdujo fue J. G. Darboux). Es fácil justificar que: ìExiste un número real A tal que para todo e > 0ü ý f integrable-Riemann en [ a , b ] Û í îexiste un d, tal que si DP < d es A – S ( f , P ) < eþ I ( f ) = inf {S ( f , P ) / P es partición de [ a , b ]}

3.4. Integral inferior e integral superior

I ( f ) = sup{S ( f , P ) / P es partición de [ a , b ]}

Volviendo al problema inicial, nuestra intuición geométrica nos dice que las sumas superiores son por lo menos tan grandes como el valor del área que buscamos, mientras que las inferiores no pueden exceder dicho área. Parece pues, natural preguntarse ¿cuál es el mayor valor posible de las sumas inferiores? ¿y el menor valor posible de las sumas superiores? Debemos precisar más esto.

son conjuntos acotados de números reales, siendo m( b – a ) y M ( b – a ) cotas inferior y superior, respectivamente. Por tanto, existen

{S ( f , P ) / P es partición de [a , b ]}

Por las propiedades de las sumas de Riemann, sabemos que cualquier suma superior S ( f , P ' ) es una cota superior del conjunto de las sumas inferiores y asimismo cualquier suma inferior S ( f , P )es cota inferior del conjunto de las sumas superiores. En definitiva, los dos conjuntos:

{S ( f , P ) / P es partición de [ a , b ]}

Por las propiedades de las sumas de Riemann, sabemos que cualquier suma superior S ( f , P ' ) es una cota superior del conjunto de las sumas inferiores y asimismo cualquier suma inferior S ( f , P )es cota inferior del conjunto de las sumas superiores. En definitiva, los dos conjuntos:

{S ( f , P ) / P es partición de [ a , b ]}

{S ( f , P ) / P es partición de [a , b ]}

Volviendo al problema inicial, nuestra intuición geométrica nos dice que las sumas superiores son por lo menos tan grandes como el valor del área que buscamos, mientras que las inferiores no pueden exceder dicho área. Parece pues, natural preguntarse ¿cuál es el mayor valor posible de las sumas inferiores? ¿y el menor valor posible de las sumas superiores? Debemos precisar más esto.

son conjuntos acotados de números reales, siendo m( b – a ) y M ( b – a ) cotas inferior y superior, respectivamente. Por tanto, existen I ( f ) = sup{S ( f , P ) / P es partición de [ a , b ]}

3.4. Integral inferior e integral superior

I ( f ) = inf {S ( f , P ) / P es partición de [ a , b ]} ìExiste un número real A tal que para todo e > 0ü ý f integrable-Riemann en [ a , b ] Û í îexiste un d, tal que si DP < d es A – S ( f , P ) < eþ

que llamaremos respectivamente integral inferior e integral superior de f en [ a , b ] . (El primero que las introdujo fue J. G. Darboux). Es fácil justificar que: Nota: una definición equivalente a la anterior es la siguiente

a)

I ( f ) £ I ( f ).

b)

Para cualquier partición P de [ a , b ] , se tiene:

simplificada òa f . Esta notación para la integral definida se atribuye a Leibniz. y

S ( f ,P )£ I ( f )£ S ( f ,P )

b

S ( f ,P )£ I ( f )£ S ( f ,P )

son todas la misma que aquella. Ello explica que algunos autores prefieran escribir òa f ( x ) de manera más

Ambas integrales pueden ser distintas. Pensemos, por ejemplo, en la restricción a [ a , b ] de la función de Dirichlet ì1 si x Î [ a , b ] Ç Q ï f (x )= í ï si x Î [ a , b ] Ç ( R – Q ) î0 b

que puede ser reemplazada por cualquier otra, con lo que las integrales òa f ( t )dt , òa f ( u )du, òa f ( z )dz,... b

b

b

En el símbolo òa f ( x )dx la letra x que designa la variable de integración es “muda”. Quiere esto decir b

Es posible probar fácilmente que dicho número A, si existe, es único. En tal caso lo denominamos integral b de Riemann de f en [ a , b ] y lo denotamos indistintamente por òa f ( x )dx o por I[ a,b] ( f ) (simplificado I ( f )).

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

94

El problema del cálculo del área Para cualquier partición de [ a , b ] en subintervalos [xi–1, xi] es mi = 0 y M i = 1, por lo que n

n

1

1

S ( f , P )= å0× Dxi = 0 y S ( f , P ) = å1× Dxi = b – a lo cual implica que I ( f )= 0 y I ( f ) = b – a, es decir I ( f ) ¹ I ( f ) . En este caso no va a ser posible asignar un área al conjunto de puntos

R ( f ,[ a , b ] ) = {( x, y ) Î R 2 / a £ x £ b , 0 £ y £ f ( x )} Un ejemplo en el otro sentido sería el de una función constante en

[ a , b ], o sea f ( x ) = k ( k > 0 ), para cualquier x Î [ a , b ] .

R

a

K

b

Figura 16.

Ahora para toda partición P es mi = k, M i = k ( i = 1,2,... n ), por lo que n

n

1

1

S ( f , P ) = S ( f , P ) = åkDxi = k åDxi = k ( b – a ) y por tanto I ( f ) = I ( f ) = k ( b – a ) . Dicho valor coincide con el área del rectángulo R de altura k y base b – a. Trataremos ahora de encontrar condiciones que aseguren la coincidencia de las integrales superior e inferior y que nos permitan resolver el problema del área.

3.5. La condición de Riemann. Criterios de integrabilidad Si se espera la igualdad de las dos integrales superior e inferior, también debemos esperar que la sumas superiores y las sumas inferiores sean tan próximas entre sí como queramos. Parece, pues, natural buscar aquellas funciones para las que la diferencia S ( f , P ) – S ( f , P ) pueda hacerse arbitrariamente pequeña. Decimos que f satisface la condición de Riemann en [ a , b ] si cumple: Para todo número real e> 0 , es posible encontrar una partición Pe de [ a, b] cumpliéndose S ( f , Pe ) – S ( f , Pe ) < e .

Notas: 1.

Para cualquier otra subpartición P de Pe también se cumple lo anterior, pues sería S ( f , P ) ³ S ( f , Pe ) y S ( f , P ) £ S ( f , Pe ), y de aquí: S ( f , P ) – S ( f , P ) £ S ( f , Pe ) – S ( f , Pe ) < e

2.

La condición de Riemann nos permite, al igual que la condición de Cauchy en los límites, determinar si la función es integrable sin necesidad de conocer su integral.

Teorema: Dada una función f :[ a , b ] ® R acotada las siguientes afirmaciones son equivalentes: a)

f es integrable-Riemann en [ a , b ] .

b)

f satisface la condición de Riemann en [ a , b ] .

c)

Coinciden las integrales superior e inferior de f en [ a , b ] , o sea I ( f ) = I ( f ) .

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

95

Volumen II. Matemáticas

96

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

De igual manera llegamos a que existe otra partición P''e tal que I ( f ) < S ( f , P ''e )+ e. Luego S ( f , P ''e ) > I ( f ) – e, para cualquier subpartición de P''e . Demostración:

a) Þ b)

Suponiendo que I ( f ) = I ( f ), llamemos A al valor común. Por definición de I ( f ) como ínfimo de las sumas superiores, dado un e > 0 existe una partición P'e tal que S ( f , P 'e ) – e < I ( f ) . Luego S ( f , P ) < I ( f )+ e, para cualquier subpartición de P'e .

Si f es R-integrable, existe un número A cumpliendo que, dado un e > 0 cualquiera, puede encontrarse una partición Pe , tal que A – S ( f , Pe ) < e, donde S ( f , Pe ) es cualquier suma de Riemann. Podemos tomar t i y t 'i de [xi–1, xi] de modo que: c) Þ a)

n

A – å f ( t i )Dxi < l

e 3

y

n

A – å f ( t 'i )Dxi < l

e 3

Ello se cumple para cualquier e > 0, por lo que podemos asegurar que I ( f ) £ I ( f ) y, como también, I ( f ) ³ I ( f ), concluimos que I ( f ) = I ( f ) . Combinando ambas desigualdades, llegaremos a n

å[ f ( t ) –

f ( t 'i )]Dxi <

2e 3

I ( f ) £ S ( f , P ) < S ( f , P )+ e £ I ( f )+ e i

i

[1]

Si f cumple la condición de Riemann, para todo e > 0, es posible encontrar una partición P para la que S ( f , P ) < S ( f , P )+ e, y por tanto:

Puesto que M i – mi = sup{ f ( x ) – f ( x' ) / x, x'Î [xi–1, xi]}, por definición de supremo, fijado un d cualquiera, existe un elemento del conjunto anterior comprendido entre M i – mi – d y M i – mi. Tomando e , podremos pues elegir t i y t 'i cumpliendo M i – mi – d < f ( t i ) – f ( t 'i ) < M i – mi , es decir 3( b – a ) b) Þ c)

d=

M i – mi < f ( t i ) – f ( t 'i )+

e 3( b – a )

que es la condición de Riemann.

[2]

1

e 2e e 2e e ( b – a )= + = e Dxi < + å 3( b – a ) 1 3 3( b – a ) 3 3

A partir de [1] y [2] resulta que para la partición Pe se cumplirá: n n é ù e S ( f , P ) – S ( f , P ) = å[M i – mi] Dxi < åê f ( t i ) – f ( t 'i )+ úDx = ë 3( b – a ) û i 1 1

= å[ f ( t i ) – f ( t 'i )] Dxi + n

n

A partir de [1] y [2] resulta que para la partición Pe se cumplirá: n n é ù e S ( f , P ) – S ( f , P ) = å[M i – mi] Dxi < åê f ( t i ) – f ( t 'i )+ úDx = ë 3( b – a ) û i 1 1 n

= å[ f ( t i ) – f ( t 'i )] Dxi + 1

e 2e e 2e e åDxi < 3 + 3( b – a ) ( b – a )= 3 + 3 = e 3( b – a ) 1 n

e 3( b – a )

que es la condición de Riemann.

M i – mi < f ( t i ) – f ( t 'i )+

[2]

Puesto que M i – mi = sup{ f ( x ) – f ( x' ) / x, x'Î [xi–1, xi]}, por definición de supremo, fijado un d cualquiera, existe un elemento del conjunto anterior comprendido entre M i – mi – d y M i – mi. Tomando e , podremos pues elegir t i y t 'i cumpliendo M i – mi – d < f ( t i ) – f ( t 'i ) < M i – mi , es decir d= 3( b – a ) b) Þ c)

Si f cumple la condición de Riemann, para todo e > 0, es posible encontrar una partición P para la que S ( f , P ) < S ( f , P )+ e, y por tanto: i

å[ f ( t ) –

2e 3

I ( f ) £ S ( f , P ) < S ( f , P )+ e £ I ( f )+ e i

n

f ( t 'i )]Dxi <

[1]

Ello se cumple para cualquier e > 0, por lo que podemos asegurar que I ( f ) £ I ( f ) y, como también, I ( f ) ³ I ( f ), concluimos que I ( f ) = I ( f ) . Combinando ambas desigualdades, llegaremos a l

A – å f ( t i )Dxi < n

l

e 3

e 3

A – å f ( t 'i )Dxi <

y

n

c) Þ a)

Si f es R-integrable, existe un número A cumpliendo que, dado un e > 0 cualquiera, puede encontrarse una partición Pe , tal que A – S ( f , Pe ) < e, donde S ( f , Pe ) es cualquier suma de Riemann. Podemos tomar t i y t 'i de [xi–1, xi] de modo que:

Suponiendo que I ( f ) = I ( f ), llamemos A al valor común. Por definición de I ( f ) como ínfimo de las sumas superiores, dado un e > 0 existe una partición P'e tal que S ( f , P 'e ) – e < I ( f ) . Luego S ( f , P ) < I ( f )+ e, para cualquier subpartición de P'e . a) Þ b)

De igual manera llegamos a que existe otra partición P''e tal que I ( f ) < S ( f , P ''e )+ e. Luego S ( f , P ''e ) > I ( f ) – e, para cualquier subpartición de P''e . Demostración:

96

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

El problema del cálculo del área Si tomamos Pe = P 'e È P ''e , que es, a la vez, una subpartición de P'e y P''e , tendremos I ( f ) – e £ S ( f , P ) £ S ( f , P ) £ S ( f , P ) £ I ( f )+ e Como I ( f ) = I ( f ) = A, concluimos que para Pe o cualquier subpartición suya P se verifica A – e £ S ( f , P ) < A + e o, lo que es lo mismo, A – S ( f , P ) < e. Con ello hemos probado que f es integrable en [ a , b ] , siendo: A = I ( f ) = òa f ( x )dx = I ( f ) = I ( f ) b

3.6. La integral y el área El concepto de integral definida es independiente del concepto de área, pues la restricción de que f sea no negativa en [ a , b ] no es necesaria. Sólo habría que exigir que f esté acotada en [ a , b ] .

A

Figura 17.

Ahora bien, si f es acotada y no negativa en [ a , b ] y A es el conjunto de puntos del plano definido como

{( x , y ) Î R 2 / a £ x £ b ,

0 £ y £ f ( x )}

la condición de Riemann nos permite enlazar con la definición dada de figura cuadrable, por lo que: f es R-integrable en [ a , b ] Û A es cuadrable, siendo m( A ) = área de A = òa f ( x )dx. b

4. TIPOS DE FUNCIONES R-INTEGRABLES 4.1. Integrabilidad-Riemann de las funciones monótonas Proposición: Si f :[ a , b ] ® R es monótona, entonces es integrable-Riemann. Demostración:

–

Si f es monótona no decreciente en [ a , b ] , puede ocurrir:

Ø

f(a) = f(b) En ese caso se trata de una función constante en [ a , b ] y, por consiguiente, integrable, sienb b b do òa f ( x )dx = òa f ( a )dx = f ( a )òa dx = f ( a )( b – a ) (el recinto R ( f ; [ a , b ] ) es un rectángulo y, por tanto, cuadrable).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

97

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA i=1

S ( f , P ) – S ( f , P ) = å[ f ( t i ) – f ( t 'i )] Dxi <

e e (b – a )= e åDx = b – a i=1 i b – a f(a) ¹ f(b)

98

Ø

Entonces para cualquier partición del intervalo tendremos mi = f ( xi–1 ) y M i = f ( xi ), de donde f ( a ) £ mi £ M i £ f ( b ) y, por tanto: n

n

Ahora bien, por ser f continua en [ a , b ] , lo será en cada subintervalo [xi–1, xi] , en donde puede aplicarse el teorema de Weierstrass, llegando a que existen t i , t 'i Î [xi–1, xi] , tales que f ( t i )= M i, f ( t 'i )= mi . Entonces, al ser t i – t 'i £ Dxi £ DP < e, se tendrá: n

n

n

i=1

i=1

i=1

S ( f , P ) – S ( f , P ) = å( M i – mi) Dxi = å( M i – mi) Dxi £ å[ f ( xi ) – f ( xi–1 )] Dxi £ i=1

S ( f , P ) – S ( f , P ) = å( M i – mi )Dxi

n

£ máx Dxi å[ f ( xi ) – f ( xi–1 )] = DP ×[ f ( b ) – f ( a )] n

i=1

Si P es una partición con norma menor que d( DP < d ), entonces:

i

Demostración: Al ser f continua en un compacto [ a , b ] de R, es uniformemente continua. Así pues, dado un e > 0 e . cualquiera, existe un d > 0(que sólo depende de e) tal que: x – x ' < d implica f ( x ) – f ( x' ) < b– a f(b)

f(b)–f(a)

Proposición: Si f :[ a , b ] ® R es continua, entonces es integrable-Riemann.

f(a)

DP

Figura 18.

4.2. Integrabilidad-Riemann de las funciones continuas Tomando una partición P suficientemente fina de modo que su diámetro sea e DP = máx Dxi < i f (b ) – f (a )

Si f fuese monótona no creciente la demostración sería análoga, bastaría tomar P de modo que e . f (a ) – f (b ) i

DP = máx Dxi <

–

podremos conseguir que

luego f satisface la condición de Riemann y es por tanto integrable. e ×[ f ( b ) – f ( a )] = e f (b ) – f (a ) S ( f , P ) – S ( f ,P )£

S ( f , P ) – S ( f ,P )£

e ×[ f ( b ) – f ( a )] = e f (b ) – f (a )

luego f satisface la condición de Riemann y es por tanto integrable. podremos conseguir que

–

Si f fuese monótona no creciente la demostración sería análoga, bastaría tomar P de modo que e . DP = máx Dxi < i f (a ) – f (b ) Tomando una partición P suficientemente fina de modo que su diámetro sea e f (b ) – f (a ) i

DP = máx Dxi <

4.2. Integrabilidad-Riemann de las funciones continuas Figura 18.

Proposición: Si f :[ a , b ] ® R es continua, entonces es integrable-Riemann. DP

f(a)

Demostración: Al ser f continua en un compacto [ a , b ] de R, es uniformemente continua. Así pues, dado un e > 0 e . cualquiera, existe un d > 0(que sólo depende de e) tal que: x – x ' < d implica f ( x ) – f ( x' ) < b– a Si P es una partición con norma menor que d( DP < d ), entonces: f(b)–f(a)

f(b)

i

i=1

£ máx Dxi å[ f ( xi ) – f ( xi–1 )] = DP ×[ f ( b ) – f ( a )] i=1

n

n

S ( f , P ) – S ( f , P ) = å( M i – mi )Dxi

Ahora bien, por ser f continua en [ a , b ] , lo será en cada subintervalo [xi–1, xi] , en donde puede aplicarse el teorema de Weierstrass, llegando a que existen t i , t 'i Î [xi–1, xi] , tales que f ( t i )= M i, f ( t 'i )= mi . Entonces, al ser t i – t 'i £ Dxi £ DP < e, se tendrá: i=1

i=1

i=1

S ( f , P ) – S ( f , P ) = å( M i – mi) Dxi = å( M i – mi) Dxi £ å[ f ( xi ) – f ( xi–1 )] Dxi £ n

n

n

Entonces para cualquier partición del intervalo tendremos mi = f ( xi–1 ) y M i = f ( xi ), de donde f ( a ) £ mi £ M i £ f ( b ) y, por tanto:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

98

n

f(a) ¹ f(b)

i=1

e e (b – a )= e åDx = b – a i=1 i b – a

Ø

n

S ( f , P ) – S ( f , P ) = å[ f ( t i ) – f ( t 'i )] Dxi <

El problema del cálculo del área

4.3. Integrabilidad-Riemann de funciones no continuas. Caracterización de Lebesgue La continuidad en [ a , b ] es condición suficiente de integrabilidad, pero no necesaria. Así por ejemplo, tenemos el caso de una función escalonada, que no es continua pero sí integrable-Riemann, como probaremos más adelante. Es posible probar que una función acotada en [ a , b ] con un conjunto finito (o incluso infinito numerable) de discontinuidades es integrable-Riemann. Por ejemplo, sea el conjunto D de puntos del intervalo [ a , b ] dado por ì b – aü ý D = ít k = a + î k þkÎ N* ì1 si x Î D y definamos la función f ( x )= í î0 si x Ï D é eù Como lim x k = a, para cualquier e > 0, en el intervaloê a , a + úestarán todos los puntos de D salvo un k ®¥ ë 2û é ù e número finito x1, x 2 ,... x k0 , los cuales estarán enê a + , b ú. Construimos intervalos disjuntos centrados en ë 2 û e esos puntos y todos de amplitud menor que . Formemos ahora una partición P, en la que estén los ex2k0 e tremos de dichos intervalos y además x0 = a, x1 = a + y xn = b. Es fácil ver que S ( f , P )= 0 y 2 e e S ( f , P )< + k = e. Por tanto S ( f , P ) – S ( f , P )< e, con lo que f cumple la condición de Riemann. 2 2k0 0 El teorema siguiente, que no probaremos, generaliza lo anterior. Teorema (caracterización de Lebesgue): Si f :[ a , b ] ® R es acotada, la condición necesaria y suficiente para que sea integrable-Riemann es que el conjunto D de puntos de discontinuidad de f a lo largo del intervalo [ a , b ] sea un conjunto de medida nula. Como corolario obtenemos que las funciones regladas en [ a , b ] son integrables en sentido de Riemann. Ahora bien, el recíproco no es cierto, pues hay funciones integrables-Riemann que no son regladas. Por ejemplo: ì 1 si x Î ( 0,1] ïsen ï x f (x )= í ï 0 si x = 0 ï î es integrable según la caracterizazión de Lebesgue y sin embargo no es reglada, ya que no existe f ( 0+ ).

4.4. Integrabilidad-Riemann de funciones escalonadas y regladas Una función j:[ a , b ] ® R es escalonada si el intervalo de definición puede ser fraccionado en un número finito de subintervalos, de manera que en el interior de cada uno de ellos j toma valor constante. Es decir, un función escalonada es una función “constante a trozos”. Así pues, tendremos: Una función j:[ a, b] ® R es escalonada si existe una partición P = {x0 , x1 ,..., xn } de modo que j es constante en cada intervalo abierto ( xi– 1 , xi).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

99

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Si se cumple lo anterior para una partición P, es obvio que también se cumplirá en cualquiera otra más fina que P. Si P es la partición de [ a , b ] con el menor número posible de puntos, para la que se cumple la definición, la llamaremos partición asociada a la función escalonada j. Una función escalonada en [ a , b ] no toma más que un número finito de valores, y por tanto está acotada, sobre el intervalo. El recíproco no es cierto, pues la función a

b

Volumen II. Matemáticas

100

ò

n ®¥

f ( x )dx = limòa jn ( x )dx b

conjunto de discontinuidades de jn. Como Dn es finito, y por ende numerable, para todo n Î N , resulta que D es numerable, al ser unión finita de conjuntos numerables. Resulta que f cumple la condición de Lebesgue, y es por tanto integrable-Riemann. Puede probarse que: n

Se sabe que el límite uniforme f de una sucesión ( jn) de funciones continuas en x0 Î I , es también una función continua en x0. Por tanto, el conjunto D de puntos de discontinuidad de f es U Dn, siendo Dn el a

b

ì1 si x Î [ a , b ] Ç Q ï h( x ) = í ï î0 si x Î [ a , b ] Ç ( R – Q )

sión ( j n ) de funciones escalonadas en [ a, b] .

Figura 19.

Una función f :[ a, b] ® R es reglada o casi-escalonada si es límite uniforme de una suce-

Decimos entonces que f es aproximada por j en menos de e. Por consiguiente, puede darse una definición equivalente de función reglada, en los términos siguientes:

sólo toma dos valores y sin embargo no es escalonada en [ a , b ]. El conjunto de discontinuidades de una función escalonada es finito (eventualmente vacío). Las únicas discontinuidades se localizan en los puntos xk de la partición asociada y serán de salto finito. Recíprocamente, toda función con un número finito de discontinuidades en el intervalo [ a , b ] y que tome en él tan sólo un número finito de valores es un función escalonada en [ a , b ], siendo la partición asociada la que se obtiene tomando los puntos de discontinuidad. Una función escalonada cumple de manera trivial la condición de Lebesgue por lo que es integrable siendo Figura 20. b

a

ò j( x )dx = ò b

I (j)

a

x1

x0

f ( x ) – j( x ) < e , "x Î [ a , b ]

Se dice que la función f :[ a , b ] ® R es reglada o casi-escalonada si cualquiera que sea e Î R+ , existe una función j escalonada en [ a , b ] tal que

Si todos los valores Ai son positivos la interpretación intuitiva de j( x òa )dx como área es inmediata.

j( x )dx+ òx j( x )dx+...+òn–1j( x )dx = òx A1dx + òx A2dx+...+òx Andx = 0

1

x1

x2

n

x2 1

xn

b

n–1

n

= A1( x1 – x0 )+ A2 ( x2 – x1 )+...+ An ( xn – xn–1 ) = å AiDxi i=1

= A1( x1 – x0 )+ A2 ( x2 – x1 )+...+ An ( xn – xn–1 ) = å AiDxi i=1

n

Si todos los valores Ai son positivos la interpretación intuitiva de

x1

1

0

1

n–1

j( x )dx+ òx j( x )dx+...+òn–1j( x )dx = òx A1dx + òx A2dx+...+òx Andx = x2

x1

n

x2

b

I (j)

b

xn

a

a

ò j( x )dx como área es inmediata.

x0

ò j( x )dx = ò

El conjunto de discontinuidades de una función escalonada es finito (eventualmente vacío). Las únicas discontinuidades se localizan en los puntos xk de la partición asociada y serán de salto finito. Recíprocamente, toda función con un número finito de discontinuidades en el intervalo [ a , b ] y que tome en él tan sólo un número finito de valores es un función escalonada en [ a , b ], siendo la partición asociada la que se obtiene tomando los puntos de discontinuidad. Una función escalonada cumple de manera trivial la condición de Lebesgue por lo que es integrable siendo Se dice que la función f :[ a , b ] ® R es reglada o casi-escalonada si cualquiera que sea e Î R+ , existe una función j escalonada en [ a , b ] tal que

a

b

Figura 20.

f ( x ) – j( x ) < e , "x Î [ a , b ]

Decimos entonces que f es aproximada por j en menos de e. Por consiguiente, puede darse una definición equivalente de función reglada, en los términos siguientes:

[ a , b ].

sólo toma dos valores y sin embargo no es escalonada en

Una función f :[ a, b] ® R es reglada o casi-escalonada si es límite uniforme de una sucesión ( j n ) de funciones escalonadas en [ a, b] .

ì1 si x Î [ a , b ] Ç Q ï h( x ) = í ï î0 si x Î [ a , b ] Ç ( R – Q )

Figura 19.

Se sabe que el límite uniforme f de una sucesión ( jn) de funciones continuas en x0 Î I , es también una función continua en x0. Por tanto, el conjunto D de puntos de discontinuidad de f es U Dn, siendo Dn el b

a

Si se cumple lo anterior para una partición P, es obvio que también se cumplirá en cualquiera otra más fina que P. Si P es la partición de [ a , b ] con el menor número posible de puntos, para la que se cumple la definición, la llamaremos partición asociada a la función escalonada j. Una función escalonada en [ a , b ] no toma más que un número finito de valores, y por tanto está acotada, sobre el intervalo. El recíproco no es cierto, pues la función

n

conjunto de discontinuidades de jn. Como Dn es finito, y por ende numerable, para todo n Î N , resulta que D es numerable, al ser unión finita de conjuntos numerables. Resulta que f cumple la condición de Lebesgue, y es por tanto integrable-Riemann. Puede probarse que:

ò

b

a

100

f ( x )dx = limòa jn ( x )dx b

n ®¥

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

El problema del cálculo del área

5. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 5.1. Linealidad Si f y g son integrables-Riemann en [ a , b ] , entonces para cualesquiera l , m Î R la función lf + mg es también integrable Riemann en [ a , b ] , siendo:

ò ( lf + mg )( x )dx = lò b

b

a

a

f ( x )dx+ mòa g ( x )dx b

Demostración: Dada una partición P de [ a , b ] tendremos n

n

n

1

1

S ( lf + mg , P ) = å( lf + mg , )( t i )Dxi = l å f ( t i )Dxi + m åg ( t i )Dxi = lS ( f , P )+ mS ( g , P ) 1

Si llamamos I ( f ) = òa f ( x )dx, I ( g ) = òa g ( x )dx. b

b

Dado un e > 0, por ser f y g integrables en [ a , b ], existen sendas particiones P'e y P''e tales que e , 2l

S ( f , P) – I ( f ) < S (g , P ) – I (g ) <

e 2m

,

para cualquier partición P más fina que P'e para cualquier partición P más fina que P''e

Entonces para cualquier partición P más fina que P 'e ÈP ''e se tiene: S ( lf + mg , P ) – lI ( f ) – mI ( g ) = lS ( f , P )+ mS ( g , P ) – lI ( f ) – mI ( g ) £ £ l S ( f ,P ) – I ( f ) + m S (g ,P ) – I (g ) < l

e e +m =e 2l 2m

Resulta que el conjunto de las funciones integrables-Riemann en [ a , b ] es un espacio vectorial y que el operador ò ba es una forma lineal sobre dicho subespacio.

5.2. Aditividad respecto del intervalo Si f es integrable-Riemann en el intervalo [ a , b ] y c Î ( a , b), entonces f es integrable-Riemann en los intervalos [ a , c] y [ c, b ] . Recíprocamente si f es integrable en [ a , c] y [ c, b ] , entonces f es integrable en [ a , b ] . Además se verifica:

ò

b

a

f ( x )dx = òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx c

b

Demostración: a)

Si f es integrable en [ a , b ], dado un e > 0, existe una partición Pe , tal que para cualquier partición P más fina que Pe se cumple S ( f , P ) – S ( f , P )< e. Podemos suponer que c Î Pe (en caso contrario tomaríamos Pe È {c}, que es más fina que Pe ). La partición Pe se puede descomponer en otras dos: P 'e = Pe Ç [ a , c] y P ''e = Pe Ç [ c, b ], que designan particiones de [ a , c] y [ c, b ] , respectivamente.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

101

Volumen II. Matemáticas

102

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Con los convenios establecidos podemos decir que la propiedad ò ba = ò ca+ò bc se verifica para cualesquiera a, b y c, aunque no sea a < c < b. Las sumas de Riemann guardan la relación

S ( f , Pe ) = S ( f , P 'e )+ S ( f , P ''e )

a1

1

f ( x )dx+ òa f ( x )dx+...+òa

n–1

n

f ( x )dx+ òa f ( x )dx = 0

S ( f , Pe ) = S ( f , P 'e )+ S ( f , P ''e )

a0

ò

a2

an

a0

por lo cual [ S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e )]+[ S ( f , P ''e ) – S ( f , P ''e )] = S ( f , Pe ) – S ( f , Pe )< e, donde cada una de las expresiones entre corchetes es no negativa, por lo que podemos concluir que S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e ) < e y S ( f , P ''e ) – S ( f , P ''e ) < e, de donde f cumple la condición de Riemann, tanto en [ a , c] como en [ c, b ]. Llegamos pues a que es integrable en [ a , c] y en [ c, b ]. Por inducción probaríamos que para una partición a = a 0 < a1 < a 2 0, pueden encone trarse sendas particiones P'e y P ''e [ a , c] y [ c, b ] tales que S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e ) < y 2 e . Considerando la partición Pe = P 'e ÈP ''e del intervalo [ a , b ], ten2

ò

b

Con objeto de generalizar la propiedad anterior convenimos que

S ( f , P ''e ) – S ( f , P ''e ) <

Observaciones:

dremos: e e S ( f , Pe ) – S ( f , Pe ) = [ S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e )]+[ S ( f , P ''e ) – S ( f , P ' 'e )] < + = e 2 2 I ( f ) = I ( f ) = òa f ( x )dx = òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx b

mos que

c

b

con lo cual f es integrable-Riemann en [ a , b ].

Entonces I ( f ) £ òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx £ I ( f ), de donde, al ser f integrable en [ a , b ], concluic) Para toda partición P de [ a , b ] , tomando P '= P Ç [ a , c] y P ''= P Ç [ b , c] tendremos: c

b

S ( f , P ) < òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx < S ( f , P ) S ( f , P ' ) < òa f ( x )dx < S ( f , P ' ) c

c

b

de las que sumando m.a.m. Obtenemos

S ( f , P '' ) < òc f ( x )dx < S ( f , P ' ' ) b

S ( f , P '' ) < òc f ( x )dx < S ( f , P ' ' ) b

de las que sumando m.a.m. Obtenemos

S ( f , P ' ) < òa f ( x )dx < S ( f , P ' )

S ( f , P ) < òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx < S ( f , P ) c

b

c

c) Para toda partición P de [ a , b ] , tomando P '= P Ç [ a , c] y P ''= P Ç [ b , c] tendremos:

Entonces I ( f ) £ òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx £ I ( f ), de donde, al ser f integrable en [ a , b ], concluic

b

con lo cual f es integrable-Riemann en [ a , b ].

mos que

e e S ( f , Pe ) – S ( f , Pe ) = [ S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e )]+[ S ( f , P ''e ) – S ( f , P ' 'e )] < + = e 2 2 I ( f ) = I ( f ) = òa f ( x )dx = òa f ( x )dx+ òc f ( x )dx b

c

b

Si f integrable-Riemann en [ a , c] y en [ c, b ] , entonces para cualquier e > 0, pueden encone trarse sendas particiones P'e y P''e [ a , c] y [ c, b ] tales que S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e ) < y 2 e [ ] S ( f , P ''e ) – S ( f , P ''e ) < . Considerando la partición Pe = P 'e ÈP ''e del intervalo a , b , ten2 dremos: Observaciones:

Con objeto de generalizar la propiedad anterior convenimos que

ò

a

b

f ( x )dx = – òa f ( x )dx b

b)

y que òa f ( x ) = 0. a

por lo cual [ S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e )]+[ S ( f , P ''e ) – S ( f , P ''e )] = S ( f , Pe ) – S ( f , Pe )< e, donde cada una de las expresiones entre corchetes es no negativa, por lo que podemos concluir que S ( f , P 'e ) – S ( f , P 'e ) < e y S ( f , P ''e ) – S ( f , P ''e ) < e, de donde f cumple la condición de Riemann, tanto en [ a , c] como en [ c, b ]. Llegamos pues a que es integrable en [ a , c] y en [ c, b ].

De ese modo la propiedad aditiva se puede formular así òa f ( x )dx+ òb f ( x )dx+ òc f ( x )dx = 0. b

c

a

Por inducción probaríamos que para una partición a = a 0 < a1 < a 2 0 g ( x0 ) en algún x0 Î [ a , b ] , en virtud de la continuidad de g, tomando e = > 0, existe un entorno de x0 2 g ( x0 ) g ( x0 ) en que g ( x0 ) – ; es decir, puede encontrarse un intervalo [a , b] que < g ( x ) < g ( x0 )+ 2 2 g ( x0 ) contenga x0 en el cual g ( x ) > , de donde 2 b b a b b g (x ) òa g ( x )dx = òa g ( x )dx+òa g ( x )dx+òb f ( x )dx ³ òa g ( x )dx > 2 0 ( b – a ) > 0 y llegaríamos a una contradicción). En este caso la igualdad [3] es trivial. b

n

n

Gráficamente la interpretación de [4] es sencilla: Existe al menos un punto x Î [ a , b ] tal que el área m( A) del trapecio mixtilíneo A coincide con el área del rectángulo de base en intervalo dado y de altura la ordenada media f ( x ) (figura 24). a b x b 1 Dicha ordenada media coincide con el valor ò f ( x )dx, el cual reb– a a Figura 24. cibe el nombre de promedio integral de f ( x ) en [ a , b ] . Veamos la justificación de tal denominación. Si tomamos las ordenadas de la curva en n puntos equidistantes del intervalo (figura 25), su media aritmética será: a b

f ( x )dx = f ( x )( b – a )

En particular si g es la función constante g ( x )= 1en [ a , b ], entonces la fórmula de la media queda:

En particular si g es la función constante g ( x )= 1en [ a , b ], entonces la fórmula de la media queda: b

a

f ( x )dx = f ( x )( b – a )

Observaciones:

ò

a)

[4]

a)

ò

Observaciones:

[4]

Si fuese òa g ( x )dx = 0, entonces será g(x) = 0 para cualquier x Î [ a , b ] (en efecto, si fuese g ( x0 ) > 0 g ( x0 ) en algún x0 Î [ a , b ] , en virtud de la continuidad de g, tomando e = > 0, existe un entorno de x0 2 g (x ) g ( x0 ) 0 en que g ( x0 ) – ; es decir, puede encontrarse un intervalo [a , b] que < g ( x ) < g ( x0 )+ 2 2 g ( x0 ) contenga x0 en el cual g ( x ) > , de donde 2 b b a b b g (x ) òa g ( x )dx = òa g ( x )dx+òa g ( x )dx+òb f ( x )dx ³ òa g ( x )dx > 2 0 ( b – a ) > 0 y llegaríamos a una contradicción). En este caso la igualdad [3] es trivial.

Gráficamente la interpretación de [4] es sencilla: Existe al menos un punto x Î [ a , b ] tal que el área m( A) del trapecio mixtilíneo A coincide con el área del rectángulo de base en intervalo dado y de altura la ordenada media f ( x ) (figura 24). a b x b 1 Dicha ordenada media coincide con el valor òa f ( x )dx, el cual re– b a Figura 24. cibe el nombre de promedio integral de f ( x ) en [ a , b ] . Veamos la justificación de tal denominación. Si tomamos las ordenadas de la curva en n puntos equidistantes del intervalo (figura 25), su media aritmética será: y + y2+...+ yn b– a 1 1 ~ Yn = 1 f ( xi ) = = å å f ( xi )Dxi n b – a i=1 n b – a i=1 n

n

b

El teorema de Darboux de valores intermedios asegura que la función continua f toma en [ a , b ] cualquier valor comprendido entre su mínimo m y su máximo M . Por tanto, existe algún x Î [ a , b ] tal que f ( x ) = l, resultando de aquí lo que queremos probar. cuyo límite cuando n ® ¥ es el promedio integral.

Como a £ x £ b, tenemos 0£ x – a £ b – a, y de aquí x–a x–a y h = b – a, la fórmula [4] 0£ £ 1 . Llamando q = b– a b– a puede ponerse en la forma: a

b

a

b

f ( x )g ( x )dx

verifica m £ l £ M .

f ( x )dx = h f ( a + qh )

mò g ( x )dx £ òa f ( x )g ( x )dx £ M òa g ( x )dx a

b

siendo 0 £ q £ 1.

b

a

b

Figura 25.

ò

b

b

ò

Si fuese ò g ( x )dx ¹ 0, el número l =

b

a

a

ò g ( x )dx

b)

Para cualquier x Î [ a , b ] se tiene mg ( x ) £ f ( x )g ( x ) £ Mg ( x ) por ser g no negativa en todo el intervalo. Entonces CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

106

El problema del cálculo del área c)

Si f y g no son continuas no podemos asegurar que la función producto f × g sea integrable, aunque lo sean f y g. Puede probarse que si f es integrable y g es de signo constante en [ a , b ] , entonces f × g es integrable (nos basamos en que si f y g son no negativas entonces sup f ( x )× g ( x ) £ sup( f ( x )×sup g ( x )).

d)

El teorema de la media puede extenderse a dos funciones f y g regladas en [ a , b ] , siendo g no b b negativa. Se tiene también òa f ( x )g ( x )dx = lòa g ( x )dx, con m < l < M , pero no se puede afir-

mar que l sea un valor de f en [ a , b ] .

7.2. El teorema fundamental del Cálculo Si f es una función integrable-Riemann en [ a , b ], lo es en cualquier subintervalo de [ a , b ] . En particular, f será integrable en [ a , x] para cualquier x Î [ a , b ], lo cual permite definir una función A:[ a , b ] ® R dada por: A ( x ) = òa f ( t )dt x

f

A(x)

Figura 26.

a

x

b

Si f es no negativa en [ a , b ], la función anterior se denomina a veces función área o función integral. Teorema: La función A ( x ) es continua en [ a , b ]. Si además f es continua en [ a , b ] , entonces A ( x ) es derivable en ( a , b ), siendo A '( x ) = f ( x ) para todo x Î [ a , b ]. Demostración: Para cualesquiera x, y Î [ a , b ], se tiene A ( y ) – A ( x ) = òa f ( t )dt – òa f ( t )dt = òx f ( t )dt . Como pary

x

y

timos de que f está acotada, existen m = inf{ f ( x ) / x Î [ a , b ]}y M = sup{ f ( x ) / x Î [ a , b ]}, teniendo m £ f ( x ) £ M ( "x Î [ a , b ] ), por lo que m( y – x ) £ òx f ( x )dx £ M ( y – x ) y

[5]

Si tomamos k = máx{ m , M }, de [5] se sigue que: A ( y ) – A (x ) £ k y – x es decir, que A ( x )es lipschitziana de razón k en [ a , b ], lo cual implica que es uniformemente continua, y e por tanto continua (para cualquier e > 0, existe d = tal que si y – x < d, entonces A ( y ) – A ( x ) < e). k Si fuese f :[ a , b ] ® R continua, la prueba de que lo es también A ( x ) es más simple que la anterior. Bastaría poner para cualquier punto x Î [ a , b ] : A ( x+ h ) = òa

x+ h

f ( t )dt = òa f ( t )dt + òx x

x+ h

f ( t )dt

Aplicando el teorema de la media en el intervalo [ x, x+ h ], lo anterior puede expresarse: [6] A ( x+ h ) = A ( x )+ f ( x+ qh )× h ( 0 £ q £ 1) Entonces, por ser f continua se tiene lím f ( x+ qh ) = f ( x ), y de h ®0 [6] resulta lím A ( x+ h ) = A ( x )+ lím f ( x + qh )× h = A ( x ), lo que h ®0 h ®0 prueba la continuidad de A ( x ).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

a

x

x+h

b

x+ h

DA (x) = òx f (t )dt = f (x + qh)

Figura 27.

107

Volumen II. Matemáticas

108

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Además, de [6] también se obtiene fácilmente la derivabilidad en cualquier x Î ( a , b), siendo: A ( x+ h ) – A ( x ) f ( x+ qh )h DA ( x ) = lím = lím = lím f ( x+ qh ) = f ( x ) h ®0 h ®0 h ®0 h Dx h A '( x ) = lím

Dx ®0

Observaciones: 1.

El teorema anterior establece la relación entre la integral definida y la integral indefinida. Esto es, si f x es continua en [ a , b ] posee al menos una primitiva en ( a , b), a saber, la función integral òa f ( t )dx.

= F ( b ) – F ( a ) que se conoce como regla de Barrow. También suele hacerse referencia a la citada igualdad denominándola fórmula de Newton-Leibniz. Pero tal denominación es convencional, ya que ni uno ni otro dieron exactamente dicha fórmula. Lo importante es que ellos establecieron por primera vez la relación entre la integración y la derivación, lo que permitió enunciar una regla de cálculo de las integrales definidas. Aunque un proceso similar al del cálculo de la integral definida como límite de una suma integral fue conocido incluso en la antigüedad (Arquímedes), las aplicaciones de este método eran muy limitadas. La fórmula de Newton-Leibniz amplió considerablemente el campo de aplicación de la integral definida, puesto que los matemáticos obtuvieron un método general que permite solucionar múltiples problemas particulares en diferentes ámbitos (técnica, mecánica, astronomía, etc.). 2.

3.

d x La fórmula òa f ( t )dt = f ( x ) es el nexo entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. De ahí que dx el teorema precedente se conozca como teorema fundamental del Cálculo. El teorema de la media no es más que el teorema de los incrementos finitos de Lagrange particularizado a la función A ( x ), pues la fórmula [4] puede fácilmente ponerse como A ( b ) – A ( a ) = A '( x )( b – a ).

La igualdad anterior (donde la letra t es “muda”), suele expresarse de la forma òa f ( x )dx = [F ( x )]a =

7.3. Cálculo de una integral mediante una primitiva: la fórmula de Newton-Leibniz b

b

Una consecuencia importante del teorema fundamental es la que permite calcular el valor de una integral definida, a partir de una primitiva cualquiera del integrando. A ( b ) = òa f ( t )dt = F ( b ) – F ( a ) b

En efecto, si F '( x ) = f ( x ) para cualquier x Î ( a , b), entonces A y F , por ser primitivas de una misma función f , diferirán en una constante, es decir A ( x ) – F ( x )= cte en [ a , b ], por lo cual A ( b ) – F ( b )= a = A ( a ) – F ( a ). Pero A ( a ) = òa f ( t )dt = 0, luego Corolario:

Si f es continua en [ a , b ] y F es una primitiva cualquiera de f en ( a , b), entonces b f ( x )dx = F ( b ) – F ( a ).

ò

a

ò

Si f es continua en [ a , b ] y F es una primitiva cualquiera de f en ( a , b), entonces b f ( x )dx = F ( b ) – F ( a ). a

En efecto, si F '( x ) = f ( x ) para cualquier x Î ( a , b), entonces A y F, por ser primitivas de una misma función f , diferirán en una constante, es decir A ( x ) – F ( x )= cte en [ a , b ], por lo cual A ( b ) – F ( b )= a = A ( a ) – F ( a ). Pero A ( a ) = ò f ( t )dt = 0, luego Corolario:

a

A ( b ) = òa f ( t )dt = F ( b ) – F ( a )

Una consecuencia importante del teorema fundamental es la que permite calcular el valor de una integral definida, a partir de una primitiva cualquiera del integrando. b

7.3. Cálculo de una integral mediante una primitiva: la fórmula de Newton-Leibniz

La igualdad anterior (donde la letra t es “muda”), suele expresarse de la forma òa f ( x )dx = [F ( x )]a = b

b

= F ( b ) – F ( a ) que se conoce como regla de Barrow. También suele hacerse referencia a la citada igualdad denominándola fórmula de Newton-Leibniz. Pero tal denominación es convencional, ya que ni uno ni otro dieron exactamente dicha fórmula. Lo importante es que ellos establecieron por primera vez la relación entre la integración y la derivación, lo que permitió enunciar una regla de cálculo de las integrales definidas. Aunque un proceso similar al del cálculo de la integral definida como límite de una suma integral fue conocido incluso en la antigüedad (Arquímedes), las aplicaciones de este método eran muy limitadas. La fórmula de Newton-Leibniz amplió considerablemente el campo de aplicación de la integral definida, puesto que los matemáticos obtuvieron un método general que permite solucionar múltiples problemas particulares en diferentes ámbitos (técnica, mecánica, astronomía, etc.). 3.

2.

1.

El teorema de la media no es más que el teorema de los incrementos finitos de Lagrange particularizado a la función A ( x ), pues la fórmula [4] puede fácilmente ponerse como A ( b ) – A ( a ) = A '( x )( b – a ). d x ò f ( t )dt = f ( x ) es el nexo entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. De ahí que dx a el teorema precedente se conozca como teorema fundamental del Cálculo. La fórmula

El teorema anterior establece la relación entre la integral definida y la integral indefinida. Esto es, si f x es continua en [ a , b ] posee al menos una primitiva en ( a , b), a saber, la función integral òa f ( t )dx. Observaciones: Además, de [6] también se obtiene fácilmente la derivabilidad en cualquier x Î ( a , b), siendo: A ( x+ h ) – A ( x ) f ( x+ qh )h DA ( x ) A '( x ) = lím = lím = lím = lím f ( x+ qh ) = f ( x ) Dx ®0 h ® 0 h ® 0 h ®0 h Dx h 108

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

El problema del cálculo del área

APÉNDICES I. Cambio de variable en una integral definida Sea f :[ a , b ] ® R continua y g una función continua que transforma el intervalo [a , b] en el intervalo

[a, b]

g

[a, b]

f

[a,b]

t

R f(x) = f [g(t)]

x = g(t) f°g

La función f o g es continua en [a , b], por ser compuesta de dos funciones continuas. Supongamos que g tiene derivada primera g 'continua en [a , b]; entonces la función f [g ( t )]× g '( t ) es continua en [a , b], ya que es el producto de funciones continuas. Podemos definir f( t ) = òa f [g ( u )]g '( u )du, que es continua f

en [a , b] y derivable en ( a , b), siendo f'( t ) = f [g ( t )]× g '( t ). Si llamamos F ( x ) = òa f ( t )dt , la función F [g ( t )] = òa x

g( t )

f ( u )du es continua, al ser compuesta de F

y g, ambas continuas. Además, según la regla de derivación de funciones compuestas: d d dg ( t ) F [g ( t )] = F ( x )× = f ( x )g '( t ) = f [g ( t )]× g '( t ) dt dx dt Resulta, pues, que las funciones f( t ) y F [g ( t )] tienen la misma derivada en [a , b], por lo que deben diferir en una constante k f( t ) – F [g ( t )] = k es decir:

ò f [g ( u )]g '( u )du = ò t

g( t )

a

a

Dando a t el valor a, resulta k = – òa

g( a )

ò f [g ( u )]g '( u )du = ò t

g( t )

a

a

f ( u )du + k

f ( u )du. Se tiene:

f ( u )du + k = òa

g( t )

f ( u )du – òa

g( a )

f ( u )du = òg( a ) f ( u )du g( t )

donde a £ t £ b. En resumen, podemos enunciar la siguiente Proposición: Sea g continua en [a , b] y derivable con derivada continua en ( a , b), y sea f continua en [ a , b ]. Supongamos además que a £ g ( t ) £ b para cualquier t Î [a , b] . Entonces se verifica:

ò f ( g ( u )) g '( u )du = ò t

g( t )

a

g( a )

f ( u )du

Observaciones: 1.

Si además de las hipótesis anteriores se cumple g ( a ) = a y g ( b ) = b, entonces obtenemos b b f ( x )dx, que es la fórmula de cambio de variable de integración en a a

ò f ( g ( u )) g '( u )du = ò la integral definida.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

109

Volumen II. Matemáticas

110

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA t ®+¥

ò

f ( x )dx = lim òa f ( x )dx

a

Podríamos haber llegado a la fórmula anterior teniendo en cuenta que si F ( x ) es una primitiva de f ( x ) entonces ( F o g )( t ) = F [g ( t )] es una primitiva de ( f o g )( t )× g '( t ) = f [g ( t )]g '( f ). Por la regla de Barrow se tiene: +¥

2.

t

[7]

y le atribuiremos como valor dicho límite

Las integrales impropias se introducen como generalizaciones del concepto de integral definida: Integrales en intervalos no acotados Sea f definida en [ a,+¥), siendo continua en cualquier sección [ a , t ] ( t > a ) (figura 28a). Si la intet +¥ gral òa f ( x )dx tiene límite finito cuando t ® +¥, diremos que la integral òa f ( x )dx es convergente b

b

a

a

= ( F o g )( b ) – ( F o g )( a ) =

= F [g ( b )] – F [g ( a )] = F ( b ) – F ( a ) = òa f ( x )dx b

a)

ò f ( g ( t )) g '( t )dt = [( F o g )( t )]

IV. Integrales impropias II. Integración por partes Si u ( x ) y v( x ) son dos funciones derivables sabemos que la función u '( x )× v( x )+ u ( x )× v'( x ) tiene como primitiva a u ( x )× v ( x ). Por tanto: ríamos probar.

Darboux de valores intermedios, existe un c Î [ a , b ] donde F ( c ) = òa f ( x )g ( x ) dx, que es lo que que-

ò [u '( x )v( x )+ u ( x )v'( x )] dx = [u ( x )v( x )] b

b

b

es decir F ( b ) £ òa f ( x )g ( x )dx £ F ( a ). Como F ( x ) es continua en [ a , b ], en virtud del teorema de a

a

b

de donde por la linealidad de la integral resulta

g ( a )òa f ( x )dx £ òa f ( x )g ( x )dx £ g ( b )òa f ( x )dx

ò u ( x )v'( x ) dx = [u ( x )v( x )] – ò v( x )u '( x )dx b

b

a

a

b

b

b

b

cualquier x Î [ a , b ], y por tanto g ( a ) f ( x ) £ f ( x )g ( x ) £ g ( b ) f ( x ), luego: a

o, lo que es lo mismo:

+g ( b )òx f ( t )dt , que es continua en [ a , b ]. Si g es no decreciente, entonces g ( a ) £ g ( x ) £ g ( b ) para

ò udv = [uv] – ò vdu b

b

a

a

b

b

Supongamos que f es no negativa en [ a , b ]. Consideremos la función F ( x ) = g ( a )òa f ( t )dt + a

x

que es la llamada fórmula de integración por partes.

Demostración: a b

f ( x )g ( x )dx = g ( a )òa f ( x )dx+ g ( b )òc f ( x )dx c

b

Teorema:

ò

III. El segundo teorema de la media

Sea f continua y g monótona, ambas definidas en [ a , b ]. Entonces existe al menos un c Î [ a , b ] tal que:

Sea f continua y g monótona, ambas definidas en [ a , b ]. Entonces existe al menos un c Î [ a , b ] tal que: f ( x )g ( x )dx = g ( a )òa f ( x )dx+ g ( b )òc f ( x )dx c

b

III. El segundo teorema de la media

b

a

Teorema:

ò Demostración:

que es la llamada fórmula de integración por partes.

Supongamos que f es no negativa en [ a , b ]. Consideremos la función F ( x ) = g ( a )òa f ( t )dt + x

ò udv = [uv] – ò vdu a

a

a

+g ( b )òx f ( t )dt , que es continua en [ a , b ]. Si g es no decreciente, entonces g ( a ) £ g ( x ) £ g ( b ) para b

b

b

cualquier x Î [ a , b ], y por tanto g ( a ) f ( x ) £ f ( x )g ( x ) £ g ( b ) f ( x ), luego:

o, lo que es lo mismo:

b

ò u ( x )v'( x ) dx = [u ( x )v( x )] – ò v( x )u '( x )dx a

a

a

g ( a )òa f ( x )dx £ òa f ( x )g ( x )dx £ g ( b )òa f ( x )dx b

b

b

b

b

b

de donde por la linealidad de la integral resulta

es decir F ( b ) £ òa f ( x )g ( x )dx £ F ( a ). Como F ( x ) es continua en [ a , b ], en virtud del teorema de b

ò [u '( x )v( x )+ u ( x )v'( x )] dx = [u ( x )v( x )] a

a

Darboux de valores intermedios, existe un c Î [ a , b ] donde F ( c ) = òa f ( x )g ( x ) dx, que es lo que queb

b

b

Si u ( x ) y v( x ) son dos funciones derivables sabemos que la función u '( x )× v( x )+ u ( x )× v'( x ) tiene como primitiva a u ( x )× v ( x ). Por tanto: ríamos probar.

II. Integración por partes IV. Integrales impropias = F [g ( b )] – F [g ( a )] = F ( b ) – F ( a ) = òa f ( x )dx b

a

ò f ( g ( t )) g '( t )dt = [( F o g )( t )]

a

b

b

a)

Las integrales impropias se introducen como generalizaciones del concepto de integral definida: Integrales en intervalos no acotados Sea f definida en [ a,+¥), siendo continua en cualquier sección [ a , t ] ( t > a ) (figura 28a). Si la intet +¥ gral òa f ( x )dx tiene límite finito cuando t ® +¥, diremos que la integral òa f ( x )dx es convergente = ( F o g )( b ) – ( F o g )( a ) =

Podríamos haber llegado a la fórmula anterior teniendo en cuenta que si F ( x ) es una primitiva de f ( x ) entonces ( F o g )( t ) = F [g ( t )] es una primitiva de ( f o g )( t )× g '( t ) = f [g ( t )]g '( f ). Por la regla de Barrow se tiene: y le atribuiremos como valor dicho límite

110

f ( x )dx = lim òa f ( x )dx t

t ®+¥

[7]

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

+¥

a

2.

ò

El problema del cálculo del área

(a)

(b)

+¥

a

(c)

-¥

-¥

a

+¥

Figura 28. En caso de que dicho límite sea ¥,+¥ó –¥, la integral se dice divergente. Si el límite no existe (ni finito ni infinito) la función f carece de integral en [ a,+¥). Análogamente, si f es continua en [ t , a ] para cualquier t > a (figura 28b), se define

ò

a

–¥

f ( x )dx = lím òt f ( x )dx a

[8]

t ®– ¥

Si son convergentes ambas integrales [7] y [8], por definición es:

ò

+¥

–¥

b)

f ( x )dx = ò–¥ f ( x )dx + òa

+¥

a

f ( x )dx

Integrales de funciones no acotadas Sea f acotada en ( a , b ], pero no en [ a , b ]. Si suponemos además que es continua en ( a , b ], entonces lo que ocurrirá es que f presentará una discontinuidad en x = a, siendo lím+ f ( x ) = ±¥ (figura 29a). Si b b x ®a existe límite de la integral òt f ( x )dx cuando t ® a+ decimos que la integral òa f ( x )dx es convergente y le asignamos como valor dicho límite. Es decir:

ò

b

a

f ( x )dx = lím+ òt f ( x )dx = límòa+ e f ( x )dx b

b

e ®0 e>0

t ®a

(a)

(b)

(c)

c

a

a

b

a

b

b

Figura 29.

De modo análogo, si f está acotada en [ a , b), pero no en [ a , b ] (figura 29b), se define:

ò

b

a

f ( x )dx = lím– òa f ( x )dx = límòa

b– e

b

e ®0 e>0

t ®b

f ( x )dx

Si f está acotada en ( a , b) pero no en [ a , b ] (figura 29c), tomamos un punto c Î ( a , b) y definimos:

ò

b

a

f ( x )dx = límòa+ e f ( x )dx+ límòa

b– e

c

e ®0

e ®0

f ( x )dx ( e > 0 )

En cualquiera de los casos si los límites existen se dice que la integral es convergente. Puede ocurrir también que f no esté acotada en [ a , b ], al presentar intervalo una discontinuidad en un punto c Î ( a , b) donde alguno (o los dos) límites laterales es infinito (figura 30a). En este caso dire-

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

111

Volumen II. Matemáticas

112

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

mos que la integral òa f ( x )dx es convergente cuando lo sean las integrales òa f ( x )dx y òc f ( x )dx, b

c

b

asignando a aquella como valor la suma de éstas. Si la integral òa f ( x )dx es convergente su valor coincide con el límite: b

lím e ®0

[ò

c– e

a

]

f ( x )dx+ òc+ e f ( x )dx b

[9]

pero puede ocurrir que este límite exista (finito) sin que la integral òa f ( x )dx sea convergente. b

En tal caso el límite [9] recibe el nombre de valor principal de la integral. La generalización a un número finito de discontinuidades c1, c2 ,..., cn en ( a , b) es inmediata (figura 30b).

(b) (a)

a c

b

b

Figura 30. a

a

c3

c2

c1

Figura 30.

b

c

a

c1

c2

b

c3

(a) (b)

En tal caso el límite [9] recibe el nombre de valor principal de la integral. La generalización a un número finito de discontinuidades c1, c2 ,..., cn en ( a , b) es inmediata (figura 30b). pero puede ocurrir que este límite exista (finito) sin que la integral òa f ( x )dx sea convergente. b

e ®0

lím

[ò

c+ e

a

b

c– e

f ( x )dx+ ò

]

f ( x )dx

[9]

Si la integral òa f ( x )dx es convergente su valor coincide con el límite: b

asignando a aquella como valor la suma de éstas. mos que la integral òa f ( x )dx es convergente cuando lo sean las integrales òa f ( x )dx y òc f ( x )dx, b

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

c

b

112

TEMA

30 Primitiva de una función. Cálculo de algunas primitivas. Aplicaciones de la integral al cálculo de magnitudes geométricas

Fulgencio García Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

114

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

FUNCIÓN PRIMITIVA

3.

INTEGRAL INDEFINIDA 3.1. Propiedades de la integral indefinida 3.2. Integrales inmediatas

4.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 4.1. Integración por descomposición 4.2. Integración por sustitución o cambio de variable 4.3. Integración por partes 4.4. Integración de funciones racionales 4.5. Método de Hermite 4.6. Integración de funciones irracionales 4.7. Integración de funciones trigonométricas

5.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE MAGNITUDES GEOMÉTRICAS 5.1. Cálculo de áreas planas 5.1.1. Área limitada por una función continua el eje OX, el eje y las rectas x = a y x=b 5.1.2. Área plana limitada por la gráfica de dos funciones continuas 5.1.3. Áreas de figuras planas en coordenadas polares 5.2. Longitud de un arco de curva 5.2.1. Longitud de un arco de curva en coordenadas cartesianas 5.2.2. Longitud de un arco de curva dada por sus ecuaciones paramétricas 5.2.3. Longitud de un arco de curva en coordenadas polares 5.3. Volumen de un cuerpo de revolución 5.4. Volumen de un cuerpo en función de secciones paralelas 5.5. Área de una superficie de revolución 5.3. 5.4. 5.5.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE MAGNITUDES GEOMÉTRICAS 5.1. Cálculo de áreas planas 5.1.1. Área limitada por una función continua el eje OX, el eje y las rectas x = a y x=b 5.1.2. Área plana limitada por la gráfica de dos funciones continuas 5.1.3. Áreas de figuras planas en coordenadas polares 5.2. Longitud de un arco de curva 5.2.1. Longitud de un arco de curva en coordenadas cartesianas 5.2.2. Longitud de un arco de curva dada por sus ecuaciones paramétricas 5.2.3. Longitud de un arco de curva en coordenadas polares Volumen de un cuerpo de revolución Volumen de un cuerpo en función de secciones paralelas Área de una superficie de revolución

5.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN 4.1. Integración por descomposición 4.2. Integración por sustitución o cambio de variable 4.3. Integración por partes 4.4. Integración de funciones racionales 4.5. Método de Hermite 4.6. Integración de funciones irracionales 4.7. Integración de funciones trigonométricas

4.

INTEGRAL INDEFINIDA 3.1. Propiedades de la integral indefinida 3.2. Integrales inmediatas

3.

FUNCIÓN PRIMITIVA

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

114

Primitiva de una función

1. INTRODUCCIÓN La noción de integral es mucho más vieja que la de derivada y sus orígenes pueden remontarse a los griegos en problemas de cálculo de áreas y volúmenes, tratados aisladamente. Antifonte, hacia el año 430 a.C. define el área del círculo mediante una sucesión de polígonos regulares inscritos y Eudoxo (409-356 a.C.) calcula los volúmenes del cono y de la pirámide, como nos ha transmitido Euclides en sus Elementos (libro 12 prop. 7 y 10). Se suele citar a Arquímedes como el primer antecesor del Cálculo integral. En su libro Sobre la cuadratura de la parábola, enuncia para áreas el llamado axioma de Arquímedes (aunque pudo ser de Eudoxo e incluso anterior): “nos hemos servido del lema siguiente: Si dos superficies son desiguales el exceso de la mayor sobre la menor, siendo agregado a sí mismo un cierto número de veces, puede llegar a sobrepasar una superficie propuesta y limitada”. Con este postulado, son eludidos los razonamientos dirigidos a infinitos o infinitésimos y reconducidos a un sistema de desigualdades, mediante demostraciones por absurdo, método llamado apagógico en el siglo XVII, que a pesar de ser irreprochable como método de demostración, no es constructivo, ya que al consistir en demostraciones por absurdo, se basa en el previo conocimiento del resultado a demostrar. Hasta el siglo XVII en el que Kepler (1571-1640) da un nuevo impulso al cálculo integral, no se encuentran grandes progresos en el mismo. Fue un problema práctico (con motivo de la gran cosecha de uva en Austria, donde Kepler se encontraba) el que le indujo a estudiar la cubicación de los toneles y en 1615 aparece su Steriometria doliorum, que contiene toda una teoría, muy imperfecta, de la cubicación de sólidos de revolución, resolviendo el problema para 92 tipos. Cavalieri (1598-1647) es otro gran precursor del cálculo integral y su Geometria indivisibilibus (1645) significa un progreso considerable en dirección distinta a la de Kepler ya que mientras que este persiste en la vía arquimediana de sumar los elementos infinitesimales en que se descompone cada figura, Cavalieri evita la sumación directa y se limita a comparar dos figuras para deducir la extensión de una mediante la otra. El resultado más relevante de su geometría es su famoso principio: “Dos figuras planas o espaciales que tienen equivalentes sus secciones paralelas, son equivalentes”. Con él logra cubicar conos, cuadrar la parábola, la elipse, la espiral de Arquímedes y perfecciona el método comparando figuras cuyas secciones son tales que la extensión de una es potencia de la otra llegando a resultados que equivalen con el tecnicismo actual a calcular integrales de las potencias de exponente natural. Nuevo impulso recibe el cálculo integral por medio de Wallis (1616-1703), que abandona el método geométrico, abordando la integración aritméticamente, que publicó en su obra Aritmetica infinitorum en 1655, llegando a integrar potencias de cualquier exponente y calculando la integral de 1- x2 , es decir, del área del círculo mediante producto de infinitos factores. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz, y en otras ocasiones era a la inversa, lo que provocó la enemistad de ambos. Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra Principia en el que se citaba a su otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es, además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y : para denotar un cociente, entre otras muchas más aportaciones.

2. FUNCIÓN PRIMITIVA Definición. Dada una función f :[ a , b ] ® Â, diremos que una función F es primitiva de f en [ a , b ], cuando esté definida y sea derivable en [ a , b ] y se cumpla en dicho intervalo que F '( x ) = f ( x ). Para denotar una primitiva cualquiera de f, adoptaremos la notación de Leibniz, quedando ò f ( x )dx. Proposición. Sea I un intervalo y F y G dos primitivas de f en I. Entonces la función F - G es constante en I. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

115

Volumen II. Matemáticas

116

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

En el desarrollo correspondiente al segundo miembro se ha utilizado el resultado de que la derivada de una constante por una función es igual a dicha constante por la derivada de la función. Las propiedades 2ª y 3ª, demuestran la linealidad de la integral indefinida. Demostración.

Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f '( x )= 0, entonces f ( x )= C . Así, si F(x) es una primitiva de f(x), F '( x ) = f ( x ) y si G(x) es otra primitiva de f(x), G '( x ) = f ( x ). Si restamos ambas igualdades tendremos

[ò k × f ( x ) dx]' = k × f ( x ) [ k ×ò f ( x ) dx]' = k[ò f ( x ) dx]' = k × f ( x )

F '( x )- G '( x ) = ( F ( x )- G ( x )) '= f ( x )- f ( x ) = 0 Demostración. Derivando en los dos miembros, se tiene

de donde se deduce que

F ( x )- G ( x ) = C Así, si F es una primitiva de la función f en el intervalo I, cualquier otra primitiva de f en I, G será de la forma G = F + C , donde C es una constante real. 3.

ò k × f ( x ) dx = k ×ò f ( x ) dx, siendo k una constante.

[ò[ f ( x )+ g ( x )] dx]' = f ( x )+ g ( x ) [ò f ( x ) dx]' = f ( x ) [ò g ( x ) dx]' = g ( x )

3. INTEGRAL INDEFINIDA Definición.

Dada una función y = f ( x ), se llama integral indefinida de f ( x ) al conjunto de todas las primitivas de f ( x ), es decir a la familia de funciones de la forma F ( x )+ C , donde F ( x )es una primitiva y C una constante real, expresándola de la forma:

Demostración. Si derivamos en los dos miembros y utilizamos la primera propiedad, llegamos a lo propuesto, ya que

2.

ò f ( x ) dx = F ( x )+C

ò[ f ( x )+ g ( x )] dx = ò f ( x ) dx+ò g ( x ) dx

3.1. Propiedades de la integral indefinida

f (x )

f (x )

[ò f ( x ) dx]' =

[ò f ( x ) dx]' = [F ( x )+C]' = F '( x ) =

1.

Si ò f ( x ) dx = F ( x )+ C , al derivar en ambos miembros, tenemos

Demostración.

f (x )

Si ò f ( x ) dx = F ( x )+ C , al derivar en ambos miembros, tenemos

Demostración.

f (x )

[ò f ( x ) dx]' =

[ò f ( x ) dx]' = [F ( x )+C]' = F '( x ) =

1.

3.1. Propiedades de la integral indefinida

ò[ f ( x )+ g ( x )] dx = ò f ( x ) dx+ò g ( x ) dx

ò f ( x ) dx = F ( x )+C

2.

Demostración. Si derivamos en los dos miembros y utilizamos la primera propiedad, llegamos a lo propuesto, ya que

Dada una función y = f ( x ), se llama integral indefinida de f ( x ) al conjunto de todas las primitivas de f ( x ), es decir a la familia de funciones de la forma F ( x )+ C , donde F ( x )es una primitiva y C una constante real, expresándola de la forma: Definición.

[ò[ f ( x )+ g ( x )] dx]' = f ( x )+ g ( x ) [ò f ( x ) dx]' = f ( x ) [ò g ( x ) dx]' = g ( x )

3. INTEGRAL INDEFINIDA

ò k × f ( x ) dx = k ×ò f ( x ) dx, siendo k una constante.

de donde se deduce que F ( x )- G ( x ) = C Así, si F es una primitiva de la función f en el intervalo I, cualquier otra primitiva de f en I, G será de la forma G = F + C , donde C es una constante real. 3.

Demostración. Derivando en los dos miembros, se tiene

[ò k × f ( x ) dx]' = k × f ( x ) [ k ×ò f ( x ) dx]' = k[ò f ( x ) dx]' = k × f ( x )

F '( x )- G '( x ) = ( F ( x )- G ( x )) '= f ( x )- f ( x ) = 0 Hay que recordar que si una función f(x) definida en un intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función f(x) es constante. Es decir, si f '( x )= 0, entonces f ( x )= C . Así, si F(x) es una primitiva de f(x), F '( x ) = f ( x ) y si G(x) es otra primitiva de f(x), G '( x ) = f ( x ). Si restamos ambas igualdades tendremos

En el desarrollo correspondiente al segundo miembro se ha utilizado el resultado de que la derivada de una constante por una función es igual a dicha constante por la derivada de la función. Las propiedades 2ª y 3ª, demuestran la linealidad de la integral indefinida. Demostración.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

116

Primitiva de una función

3.2. Integrales inmediatas Se llaman integrales inmediatas a aquellas que se calculan directamente a partir de las reglas de derivación y la regla de la cadena. Cada una de las fórmulas siguientes tiene validez en el intervalo en el que la función que se integra es continua: 1.

ò dx = x+C.

2.

ò x dx = n +1+C con n ¹ –1.

3.

ò xdx = ln x +C.

4.

ò e dx = e +C

5.

ò a dx = ln a +C

6. 7.

xn+1

n

1

x

x

ax

x

òsen x dx = -cos x+C òcos x dx = sen x+C dx

8.

ò cos

9.

ò sen

10.

ò

11.

ò 1+ x

12. 13. 14.

2

x

= ò (1+ tg 2 x ) dx = tg x+ C

x

= ò (1+ ctg 2 x ) dx = -ctg x+ C

dx 2

dx 1- x2 dx

2

= arcsen x+ C

= arctg x + C

òsh x dx = ch x+C òch x dx = sh x+C dx

ò 1- x

2

= arctg hx+ C

4. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Trataremos una serie de métodos de integración que permitan abordar el problema del cálculo de primitivas de una función. El objetivo final de dichos métodos es convertir la integral propuesta en alguno de los tipos expuestos en la tabla de inmediatas, con lo cual la resolución es directa.

4.1. Integración por descomposición Este método de integración se basa en las propiedades de linealidad de las integrales dadas anteriormente y consiste en realizar las distintas operaciones dentro del integrando para llegar a integrales inmediatas. Ejemplo:

ò ( x +1) dx = ò ( x + 2x +1) dx = ò x dx+ò 2x dx+ò dx = 2

2

4

2

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

4

2

x5 2x3 + + x+C 5 3 117

Volumen II. Matemáticas

118

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Este método permite la reducción de la integral ò u × dv a la ò v × du, y nos será útil cuando la segunda sea más sencilla que la primera. Normalmente suele utilizarse entre otros casos en el producto de dos funciones una de las cuales al derivarla se simplifica (por ejemplo una potencia de x) y la otra al integrarla no se complica (funciones seno, coseno o exponencial). Con este método se pueden obtener fórmulas recurrentes en algunas integrales, como ò xnemx dx o ò sen m x×cos n x dx.

El proceso seguido es desarrollar la potencia y aplicar después las propiedades de linealidad descomponiendo la integral de una suma en suma de integrales y la integral del producto de una constante por una función en el producto de la constante por la integral de la función.

4.2. Integración por sustitución o cambio de variable

Este método se utiliza para calcular la integral de una función reduciéndola a una integral inmediata o más fácil realizando un cambio de variable. En general, si tenemos que calcular la integral ò f ( x ) dx, el método consiste en realizar el cambio x = f( t ), siendo f( t ) una función derivable que admite función inversa uniforme, con lo que tendremos dx = f'( t ) dt y la integral nos quedará

ò u × dv = u × v- ò v× du

de donde se obtiene la fórmula de la integración por partes

u × v = ò u × dv+ ò v× du

ò f ( x ) dx = ò f [f( t )]f'( t ) dt = ò f ( t ) dt

(1)

1

con lo que

donde si el cambio ha sido bien hecho resulta que la integral de la función f1( t ) de la nueva variable es inmediata o más fácil de calcular que la inicial. Una vez integrada esta nueva función, en el resultado tendremos que deshacer el cambio sustituyendo t por su valor en función de x, es decir t = f-1( x )(de ahí la condición de que la función admita inversa uniforme). Para demostrar que los dos miembros de (1) son iguales, demostraremos que sus derivadas respecto a x lo son. Si calculamos la derivada del primer miembro, tendremos

ò d ( u × v ) = ò u × dv+ò v× du

Integrando ambos miembros, tendremos

d ( u × v ) = u × dv + v × du f (x )

que expresado simbólicamente queda

(ò f ( x ) dx)'=

d ( u × v ) = d [u ( x )× v ( x )] = u ( x )× d ( v( x )) + v( x )× d ( u ( x ))

y calculamos la derivada del segundo miembro, teniendo en cuenta que es una función compuesta, con lo que

Sean u = u ( x ) y v = v ( x ) dos funciones derivables en un intervalo abierto y con derivadas continuas en dicho intervalo. Consideremos la función producto u × v = u ( x )× v( x ). Diferenciando, tendremos dt 1 (ò f [f( t )]f'( t ) dt)' = (ò f [f( t )]f'( t ) )' dx = f [f( t )]f'( t ) = f [f( t )] = f'( t ) x

t

f (x )

4.3. Integración por partes

y por tanto las derivadas respecto a x de los dos miembros son iguales. y por tanto las derivadas respecto a x de los dos miembros son iguales.

4.3. Integración por partes

dt 1 (ò f [f( t )]f'( t ) dt)' = (ò f [f( t )]f'( t ) )' dx = f [f( t )]f'( t ) = f [f( t )] = f'( t ) x

t

f (x )

Sean u = u ( x ) y v = v ( x ) dos funciones derivables en un intervalo abierto y con derivadas continuas en dicho intervalo. Consideremos la función producto u × v = u ( x )× v( x ). Diferenciando, tendremos

y calculamos la derivada del segundo miembro, teniendo en cuenta que es una función compuesta, con lo que d ( u × v ) = d [u ( x )× v ( x )] = u ( x )× d ( v( x )) + v( x )× d ( u ( x ))

(ò f ( x ) dx)'=

f (x )

que expresado simbólicamente queda

donde si el cambio ha sido bien hecho resulta que la integral de la función f1( t ) de la nueva variable es inmediata o más fácil de calcular que la inicial. Una vez integrada esta nueva función, en el resultado tendremos que deshacer el cambio sustituyendo t por su valor en función de x, es decir t = f-1( x )(de ahí la condición de que la función admita inversa uniforme). Para demostrar que los dos miembros de (1) son iguales, demostraremos que sus derivadas respecto a x lo son. Si calculamos la derivada del primer miembro, tendremos d ( u × v ) = u × dv + v × du

Integrando ambos miembros, tendremos

ò d ( u × v ) = ò u × dv+ò v× du

ò f ( x ) dx = ò f [f( t )]f'( t ) dt = ò f ( t ) dt 1

con lo que

u × v = ò u × dv+ ò v× du

(1)

Este método se utiliza para calcular la integral de una función reduciéndola a una integral inmediata o más fácil realizando un cambio de variable. En general, si tenemos que calcular la integral ò f ( x ) dx, el método consiste en realizar el cambio x = f( t ), siendo f( t ) una función derivable que admite función inversa uniforme, con lo que tendremos dx = f'( t ) dt y la integral nos quedará de donde se obtiene la fórmula de la integración por partes

ò u × dv = u × v- ò v× du

4.2. Integración por sustitución o cambio de variable

Este método permite la reducción de la integral ò u × dv a la ò v × du, y nos será útil cuando la segunda sea más sencilla que la primera. Normalmente suele utilizarse entre otros casos en el producto de dos funciones una de las cuales al derivarla se simplifica (por ejemplo una potencia de x) y la otra al integrarla no se complica (funciones seno, coseno o exponencial). Con este método se pueden obtener fórmulas recurrentes en algunas integrales, como ò xnemx dx o ò sen m x×cos n x dx.

El proceso seguido es desarrollar la potencia y aplicar después las propiedades de linealidad descomponiendo la integral de una suma en suma de integrales y la integral del producto de una constante por una función en el producto de la constante por la integral de la función.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

118

Primitiva de una función

4.4. Integración de funciones racionales P (x ) dx, siendo P ( x ) y Q ( x ) polinomios con coeficientes reales y sin Q(x ) factores comunes. Distinguiremos dos casos en función del grado de los polinomios del numerador y denominador: Se trata de hallar la integral ò

a)

Grado P ( x )³ grado Q ( x ).

b)

Grado P ( x )< grado Q ( x ). En el caso a) se realiza la división entre los polinomios P ( x ) y Q ( x ), obteniéndose P (x ) R (x ) = C ( x )+ Q(x ) Q(x )

siendo C ( x ) el cociente de la división y R ( x ) el resto, por lo que su grado será menor que el de Q ( x ), quedando por tanto la integral como P (x )

R (x )

ò Q ( x ) dx = òC ( x ) dx+ò Q ( x ) dx donde la primera es la integral de un polinomio y es inmediata y la segunda es la integral de una función racional donde el grado del numerador es menor que el grado del denominador por lo que corresponde al caso b), por lo que de ahora en adelante nos ocuparemos de este caso. Este método se desglosa en función del tipo de raíces del denominador, al tener un tratamiento distinto, distinguiendo varios casos.

–

Primer caso: todas las raíces del denominador son reales y distintas. Supongamos que el denoP (x ) minador tiene n raíces reales distintas: x1, x2 ,..., xn, con lo que la fracción se puede descomQ(x ) poner en suma de fracciones simples de la forma P (x ) A1 A2 A = + +...+ n Q ( x ) x- x1 x- x2 x- xn donde A1, A2 ,..., An, son números reales únicos. Si realizamos la suma del segundo miembro e igualamos los numeradores, nos quedará P ( x ) = A1× ( x- x2 )×...×( x- xn )+ A2 × ( x- x1 )×...×( x- xn )+...+ An × ( x- x1 )×...×( x- xn-1 ) y para calcular los distintos Ai, tenemos dos posibilidades; la primera es desarrollar completo el polinomio del segundo término e igualar los coeficientes de los términos de igual grado del primer y segundo miembro llegando a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas y el segundo, debido a que se trata de una identidad es dar a la variable x los distintos valores de las raíces, con lo que obtendremos los valores de los Ai de la forma A1 =

P ( x1 ) ( x1- x2 )×...× ( x1- xn )

A2 =

P ( x2 ) ( x2 - x1 )×...× ( x2 - xn ) K

An =

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

P ( xn ) ( xn - x1 )×...× ( xn - xn-1 ) 119

Volumen II. Matemáticas

120

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

S (x ) P (x ) P (x ) A1 A2 An + = = + +...+ ( x- a ) R ( x ) Q ( x ) ( x- a )n × R ( x ) ( x- a )n ( x- a )n-1

con lo que la integral se nos transforma en P (x )

A

A

ò Q ( x ) dx = ò x- x dx+ò x- x 1

2

dx+...+ò

An dx x- xn

Tercer caso: hay raíces reales múltiples. Si el denominador tiene una raíz real múltiple de orden n, entonces aparece el factor ( x- a )n, que origina n fracciones simples, con lo que tendremos: 1

2

con lo que tendríamos una suma de integrales inmediatas quedándonos de la forma P (x )

n

A

n

n

ò Q ( x ) dx = åò x- x = å A × ln( x- x ) = åln( x- x )

Ai

i

i

i

Ma + N x- a Ma + N b × dt Ma + N arctg +K arctg t + K = ò 2 2 = b b 1+ t b b i

i=1

i=1

i

=

i=1

n

æ x- a ö ÷ 1+ç ç ÷ è b ø

= ln Õ ( x- xi )Ai

2

i=1

dx

–

–

Ma + N ò b2

Segundo caso: hay raíces imaginarias simples. Si una de las raíces es imaginaria z = a + bi, también lo será su conjugada z '= a - bi y los factores de la descomposición factorial del denominador que corresponden a esta raíz, son: con lo que la integral nos quedará

dx = b × dt

( x - z )× ( x- z ' ) = ( x- a - bi )× ( x+ a + bi ) = [( x- a )- bi]×[( x- a )+ bi] = ( x- a )2 + b 2 x- a =t b

y en la descomposición en fracciones simples sustituiremos las fracciones correspondientes por otra que tiene por denominador ( x- a )2 + b 2 y por numerador Mx + N , siendo M y N dos coeficientes que tendremos que determinar, quedándonos la fracción de la forma: y la segunda se reduce a un arco tangente, haciendo el cambio Mx+ N ( x- a )2 + b 2

M 2( x- a ) M dx = ln [( x- a )2 + b 2] ò 2 ( x- a )2 + b 2 2 De las dos integrales resultantes, la primera es inmediata ya que resulta que la derivada del denominador es el numerador, por lo que

cuya integral nos dará la descomposición general en dos, una de las cuales integrada será un logaritmo y la otra un arco tangente. Para integrarla, procederemos de la siguiente manera: 2

2

Ma + N Mx - Ma + Ma + N M ( x- a ) dx+ ò dx = dx = ò ( x- a )2 + b 2 ( x- a )2 + b 2 ( x- a )2 + b 2

dx = ò

æ x- a ö ÷ 1+ç ç ÷ è b ø

Mx+ N

2

ò ( x- a ) + b

2

Mx+ N

2

dx

M 2( x - a ) Ma + N dx dx + ò ò æ 2 2 ( x - a )2 + b 2 b2 ö ç x- a ÷ ÷ 1+ç è b ø

M 2( x - a ) Ma + N ò ò 2 2 dx + 2 ( x- a ) + b b2

ò ( x- a ) + b

Ma + N Mx - Ma + Ma + N M ( x- a ) dx+ ò dx = dx = ò ( x- a )2 + b 2 ( x- a )2 + b 2 ( x- a )2 + b 2

dx = ò

cuya integral nos dará la descomposición general en dos, una de las cuales integrada será un logaritmo y la otra un arco tangente. Para integrarla, procederemos de la siguiente manera:

De las dos integrales resultantes, la primera es inmediata ya que resulta que la derivada del denominador es el numerador, por lo que M 2( x- a ) M dx = ln [( x- a )2 + b 2] ò 2 ( x- a )2 + b 2 2 Mx+ N ( x- a )2 + b 2

y en la descomposición en fracciones simples sustituiremos las fracciones correspondientes por otra que tiene por denominador ( x- a )2 + b 2 y por numerador Mx + N , siendo M y N dos coeficientes que tendremos que determinar, quedándonos la fracción de la forma: y la segunda se reduce a un arco tangente, haciendo el cambio x- a =t b

( x - z )× ( x- z ' ) = ( x- a - bi )× ( x+ a + bi ) = [( x- a )- bi]×[( x- a )+ bi] = ( x- a )2 + b 2 dx = b × dt

Segundo caso: hay raíces imaginarias simples. Si una de las raíces es imaginaria z = a + bi, también lo será su conjugada z '= a - bi y los factores de la descomposición factorial del denominador que corresponden a esta raíz, son: con lo que la integral nos quedará

–

Ma + N x- a Ma + N dx Ma + N b × dt Ma + N ò ò 1+ t 2 = b arctg t + K = b arctg b + K 2 = b2 b2 æ x- a ö ÷ 1+ç ç ÷ è b ø i

i=1

i=1

i

P (x )

i

i

Ai

Ai

n

n

n

i=1

= ln Õ ( x- xi )Ai n

Tercer caso: hay raíces reales múltiples. Si el denominador tiene una raíz real múltiple de orden n, entonces aparece el factor ( x- a )n, que origina n fracciones simples, con lo que tendremos: 2

A1

P (x )

A2

dx+...+ò

An dx x- xn

–

i=1

ò Q ( x ) dx = åò x- x = å A × ln( x- x ) = åln( x- x )

con lo que tendríamos una suma de integrales inmediatas quedándonos de la forma 1

ò Q ( x ) dx = ò x- x dx+ò x- x

S (x ) P (x ) P (x ) A1 A2 An + = = + +...+ ( x- a ) R ( x ) Q ( x ) ( x- a )n × R ( x ) ( x- a )n ( x- a )n-1

con lo que la integral se nos transforma en

120

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Primitiva de una función

con lo que multiplicando todo por ( x- a )n y llamando f ( x ) =

P (x ) , tendremos R (x )

f ( x ) = A1+ A2 ( x- a )+...+ An ( x- a )n-1+ ( x- a )n ×

S (x ) R (x )

lo que nos dará los diferentes coeficientes: A1 = f ( a ) ;

A2 = f '( a ) ;

A3 =

f ''( a ) ... 2!

Este método pensamos es un más útil (en el caso de raíces reales múltiples) que el de los coeficientes indeterminados, para hallar los coeficientes de las fracciones simples.

–

Cuarto caso: el denominador tiene raíces imaginarias múltiples. Si el denominador tiene una n raíz imaginaria de orden n, aparecerá en el denominador el factor [( x- a )2 + b 2] , lo cual origina n fracciones simples. Así, quedaría: P (x ) P (x ) M 1x+ N 1 M 2x+ N 2 M nx+ N n = = =+ +...+ [( x- a )2 + b2] Q ( x ) [( x- a )2 + b 2]n [( x- a )2 + b 2]n [( x- a )2 + b2]n-1 calculándose los coeficientes M1, N1, M2, N2,… Por el método de los coeficientes indeterminados. Mx+ N Veremos ahora cómo calculamos por reducciones la integral ò dx. Para ello, [( x- a )2 + b2]n comenzaremos sumando y restando Ma en el numerador, con lo que obtendremos:

ò

Mx+ N

[( x- a )2 + b2]n

dx = M ò

x- a

[( x- a )2 + b2]n

dx+ ( Ma + N )ò

dx

[( x- a )2 + b2]n

En la primera integral del segundo miembro para que el numerador sea la derivada del denominador falta sólo el factor 2, por lo que si multiplicamos y dividimos por 2, tendremos:

ò

x– a

[( x- a )2 + b2]n

1 2× ( x- a ) 1 dx = ò n-1 + K 2 [( x- a )2 + b 2]n [ 2× ( n - 1) ( x- a )2 + b 2]

dx =

integral que resulta de hacer el cambio de variable ( x- a )2 + b 2 = t . La segunda integral se calcula por reducciones sucesivas, para lo que multiplicaremos y dividiremos por b 2 con lo que tendremos:

ò

dx

n =

[( x- a )2 + b2]

b2 1 dx ò b 2 [( x- a )2 + b 2]n

y si a esta última sumamos y restamos ( x- a )2, tendremos

ò

b2

[( x- a )2 + b ]

2 n

=ò

dx = ò

( x- a )2 + b 2

[( x- a )2 + b ]

dx

2 n

n-1 - ò

[( x- a )2 + b2]

dx- ò

( x- a )2

[( x- a )2 + b2]n

( x- a )2

[( x- a )2 + b2]n

dx =

dx

A esta última integral podemos aplicarle el método de integración por partes, tomando x- a = u ;

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

( x- a )

[( x- a )2 + b 2]n

dx = dv

121

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

con lo que

122

P u'D - D'u v = + qD D2 q

du = dx ; v = -

1

2× ( n - 1)×[( x- a )2 + b 2]

n-1

P u v dx, vemos que consta de una parte racional y otra ò dx, en la que al ser simples todos los Q D q ceros de q ( x ), está formada exclusivamente por funciones logaritmo y arco tangente. Sea n el grado de Q ( x )y h el de D ( x ). Entonces el grado de q ( x )será n – h y los de los polinomios u(x) y v(x) serán h – 1 y n – h – 1, respectivamente. Veremos que u(x) y v(x), quedan determinados aplicando la descomposición de Hermite. En efecto, de la misma deducimos que y así

ò

( x- a )2

[( x- a )2 + b2]n

dx = -

x- a

2× ( n - 1)×[( x- a )2 + b 2]

n-1

+

1 dx ò 2× ( n - 1) [( x- a )2 + b 2]n-1

de donde ò

y sustituyendo esta expresión en lugar de la integral en las igualdades anteriores, nos queda: dx

ù 1é x- a 2n - 3 dx ê ú + ò 2 2 n-1 b 2ê 2× ( n - 1) [( x- a )2 + b 2]n-1 û ú ë 2× ( n - 1)×[( x - a ) + b ] v

=

u

[( x- a )2 + b2]n

P

ò

ò Q dx = D +ò q dx

Q y u y v son polinomios (por ahora indeterminados) de grados respectivaD mente inferiores en 1 a los de D y q. Si integramos ahora miembro a miembro, obtenemos en la que D = mcd (Q ,Q ' ), q =

En esta igualdad, la integral que figura en el segundo miembro es la misma que la del primero, pero con una unidad menos en el exponente, por lo que llegamos al caso de reducciones sucesivas. dx , que ya ha sido resuelta en el caso tercero. ( x- a )2 + b 2 P ( x ) d é u ( x ) ù v( x ) = ê ú+ Q ( x ) dxë D ( x ) û q ( x )

Siguiendo así, llegaremos a la integral ò

P (x ) dx, sin Q(x ) descomponer la fracción totalmente en suma de fracciones simples. Para ello se aplica la siguiente descomposición debida a Hermite:

–

Quinto caso: caso general. Para calcular la integral de una función racional cualquiera se empieza dividiendo el numerador entre el denominador en caso de que el grado de aquel sea mayor o igual que el de este, transformando así el cociente en otro donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Una vez hecho esto, se descompone éste en fracciones simples y se integra separadamente cada una de estas, siguiendo los métodos correspondientes a cada uno de los casos anteriores. En caso de que el denominador tenga raíces múltiples, podemos emplear el método de Hermite, que estudiaremos en el epígrafe siguiente. El método de Hermite permite aislar la parte racional, resultante de la integración de ò

4.5. Método de Hermite

Quinto caso: caso general. Para calcular la integral de una función racional cualquiera se empieza dividiendo el numerador entre el denominador en caso de que el grado de aquel sea mayor o igual que el de este, transformando así el cociente en otro donde el grado del numerador es menor que el del denominador. Una vez hecho esto, se descompone éste en fracciones simples y se integra separadamente cada una de estas, siguiendo los métodos correspondientes a cada uno de los casos anteriores. En caso de que el denominador tenga raíces múltiples, podemos emplear el método de Hermite, que estudiaremos en el epígrafe siguiente.

4.5. Método de Hermite

P (x ) El método de Hermite permite aislar la parte racional, resultante de la integración de ò dx, sin Q(x ) descomponer la fracción totalmente en suma de fracciones simples. Para ello se aplica la siguiente descomposición debida a Hermite:

–

P ( x ) d é u ( x ) ù v( x ) = ê ú+ Q ( x ) dxë D ( x ) û q ( x )

En esta igualdad, la integral que figura en el segundo miembro es la misma que la del primero, pero con una unidad menos en el exponente, por lo que llegamos al caso de reducciones sucesivas. dx , que ya ha sido resuelta en el caso tercero. Siguiendo así, llegaremos a la integral ò ( x- a )2 + b 2

Q en la que D = mcd (Q ,Q ' ), q = y u y v son polinomios (por ahora indeterminados) de grados respectivaD mente inferiores en 1 a los de D y q. Si integramos ahora miembro a miembro, obtenemos ù 1é x- a 2n - 3 dx ê ú + ò 1 1 n n 2 2 2 bê 2× ( n - 1) [( x- a )2 + b 2] ú ë 2× ( n - 1)×[( x - a ) + b ] û u

=

P

[( x- a )2 + b ]

2 n

dx

v

ò Q dx = D +ò q dx

ò

y sustituyendo esta expresión en lugar de la integral en las igualdades anteriores, nos queda: P u v de donde ò dx, vemos que consta de una parte racional y otra ò dx, en la que al ser simples todos los Q D q ceros de q ( x ), está formada exclusivamente por funciones logaritmo y arco tangente. Sea n el grado de Q ( x )y h el de D ( x ). Entonces el grado de q ( x )será n – h y los de los polinomios u(x) y v(x) serán h – 1 y n – h – 1, respectivamente. Veremos que u(x) y v(x), quedan determinados aplicando la descomposición de Hermite. En efecto, de la misma deducimos que

ò

[( x- a )2 + b2]n ( x- a )2

dx = -

n-1 2× ( n - 1)×[( x- a )2 + b 2]

x- a

+

1 dx ò 2× ( n - 1) [( x- a )2 + b 2]n-1

y así

du = dx ; v = -

2× ( n - 1)×[( x- a )2 + b 2]

n-1

1

P u'D - D'u v = + qD D2 q

122

con lo que

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Primitiva de una función o sea P = qu '

qD ' u + Dv D

En el segundo miembro aparecen como indeterminados los h coeficientes de u más los n – h de v y como el grado de P es n – 1, al identificar los dos miembros se dispone de un número de ecuaciones lineales igual al número de dichos coeficientes, formando un sistema determinado, pues si fuese nulo su determinante, el sistema homogéneo que se obtendría al suponer nulos todos los coeficientes de P(x) admitiría una solución no idénticamente nula, es decir, habría dos polinomios, u ( x ) y v( x ), no idénticamente nulos que u v implicarían la igualdad de una función racional y una no algebraica ò dx. D q

4.6. Integración de funciones irracionales No es posible expresar siempre las integrales de funciones irracionales mediante funciones matemáticas elementales. De todas maneras estudiaremos varios casos, donde con los cambios adecuados las integrales irracionales pueden reducirse a racionales, pudiendo entonces resolverse mediante los métodos y procedimientos expuestos con anterioridad. a)

Integrales de la forma ò R ( xm / n , x p/ q ,..., x u/ v ) dx, donde R indica una función racional. Al ser los exponentes de x números racionales, podemos reducirlos a común denominador. Sea m = mcm( n , p ,..., v ), de modo que: m m' p p' u u' = , = , ..., = n m q m v m y haciendo el cambio x = t m, dx = m × t m-1, y sustituyendo en la integral, esta nos quedará como mò R ( t m ' , t p' ,..., t u' )× t m-1 dt , que es una integral racional.

b)

Integrales de la forma æ æ ax+ b öm / n æ ax+ b öp/ q æ ax+ b öu/ v ö ÷ ,...,ç ÷ ÷ dx ,ç è cx + d ø è cx + d ø ÷ è ø

ò Rççx,çè cx+ d ÷ø

Este tipo, generalización del anterior se integra mediante el cambio ax+ b = t m, cx + d donde m = mcm( n , p ,..., v ). De este cambio, resulta x=

d ×t m - b º r( t ) (racional); dx = r'( t ) dt (racional) a - c× t m

y la integral se transforma en

ò R(r( t ), t

m'

, t p' ,..., t u' ) r'( t ) dt

que es racional. Casos particulares del anterior son:

ò R(x,( ax+ b ) ,( ax+ b ) ,...) dx, con cambio ax+ b = t ò R(x, ax+ b ) dx con cambio ax+ b = t . m/ n

p/ q

m

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

m

m

123

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ò Rèça × tg t , cos t ø÷cos

t

ò R(x,

æ

2

Integrales de la forma

124

c)

)

a ö a dt

ax2 + bx+ c dx reduciéndose la integral a una del tipo

Si hiciéramos el cambio ax2 + bx+ c = t , racionalizaríamos el radical, pero no la x ni dx, por ser irracional en t la expresión x deducida de la ecuación de segundo grado ax2 + bx+ c = t 2. Conviene igualar el radical a una expresión racional t, tal que al elevar al cuadrado la ecuación resultante en x sea lineal. Para ello, distinguiremos tres casos: a 2 + x2 = a 2 + a 2 tg 2t = a 1+ tg 2t =

a cos t

tendremos

1.

Si a > 0, haremos el cambio ax2 + bx+ c = ax+ t , de donde bx + c = 2 axt + t 2 y de aquí, t2- c tendremos x = º r( t ), que es una función racional de t, cuya derivada r'( t )es también b - 2 at racional.

2.

Si c > 0, haremos el cambio ax2 + bx+ c = tx+ c, de donde ax2 + bx+ c = t 2x2 + 2tx c + c y 2t c - b de aquí tendremos x = º r( t ), que es una función racional de t, cuya derivada r'( t ) es a- t 2 también racional. Si a < 0y c < 0, el trinomio ax 2 + bx + c es negativo para x = 0 y x = ¥, y para que el radical tenga dos raíces reales es preciso que dicho trinomio tenga valores positivos, es decir, debe anularse en dos puntos a y b, y por tanto ax 2 + bx + c = a ( x - a )( x - b ). Así, haremos el cambio ax2 + bx+ c = t ( x- a ) y al elevar al cuadrado y simplificar, quedará a ( x- b ) = t 2 ( x- a ) y ab - t 2a de aquí tendremos x = º r( t ), que es una función racional de t, cuya derivada r'( t ) es a- t 2 también racional.

–

Caso 2. Integrales del tipo ò R x, a 2 + x 2 dx. Aquí haremos el cambio x = a ×tg t , con lo que

(

según la sustitución que hayamos elegido.

)

ì aò R ( a sen t , a cos t )cos t dt ï í ï î- aò R ( a cos t , a sen t )sen t dt

con lo que la integral se reduce a una del tipo

ì a 2 - x2 = a 2 - a 2sen 2 t = a ×cos t ï í ï 2 2 2 2 2 î a - x = a - a cos t = a ×sen t

3.

o x = a ×cos t , con lo que tendremos

–

Caso 1. Integrales del tipo ò R x, a 2 - x 2 dx. Utilizaremos los posibles cambios x = a ×sen t

(

)

Dentro de este apartado de integración de funciones irracionales estudiaremos tres casos en los que utilizando cambios trigonométricos se pueden resolver las mismas, pasándolas primero a trigonométricas y con posterioridad a racionales.

Dentro de este apartado de integración de funciones irracionales estudiaremos tres casos en los que utilizando cambios trigonométricos se pueden resolver las mismas, pasándolas primero a trigonométricas y con posterioridad a racionales.

(

)

Caso 1. Integrales del tipo ò R x, a 2 - x 2 dx. Utilizaremos los posibles cambios x = a ×sen t también racional.

Si c > 0, haremos el cambio ax2 + bx+ c = tx+ c, de donde ax2 + bx+ c = t 2x2 + 2tx c + c y 2t c - b de aquí tendremos x = º r( t ), que es una función racional de t, cuya derivada r'( t ) es a- t 2 también racional. Si a < 0y c < 0, el trinomio ax 2 + bx + c es negativo para x = 0 y x = ¥, y para que el radical tenga dos raíces reales es preciso que dicho trinomio tenga valores positivos, es decir, debe anularse en dos puntos a y b, y por tanto ax 2 + bx + c = a ( x - a )( x - b ). Así, haremos el cambio ax2 + bx+ c = t ( x- a ) y al elevar al cuadrado y simplificar, quedará a ( x- b ) = t 2 ( x- a ) y ab - t 2a º r( t ), que es una función racional de t, cuya derivada r'( t ) es a- t 2 o x = a ×cos t , con lo que tendremos

de aquí tendremos x =

ì a 2 - x2 = a 2 - a 2sen 2 t = a ×cos t ï í ï 2 2 2 2 2 î a - x = a - a cos t = a ×sen t

3.

–

con lo que la integral se reduce a una del tipo

racional. b - 2 at

Si a > 0, haremos el cambio ax2 + bx+ c = ax+ t , de donde bx + c = 2 axt + t 2 y de aquí, t2- c º r( t ), que es una función racional de t, cuya derivada r'( t )es también

(

)

Caso 2. Integrales del tipo ò R x, a 2 + x 2 dx. Aquí haremos el cambio x = a ×tg t , con lo que 1.

–

tendremos x =

según la sustitución que hayamos elegido.

2.

ì aò R ( a sen t , a cos t )cos t dt ï í ï î- aò R ( a cos t , a sen t )sen t dt

tendremos

Si hiciéramos el cambio ax2 + bx+ c = t , racionalizaríamos el radical, pero no la x ni dx, por ser irracional en t la expresión x deducida de la ecuación de segundo grado ax2 + bx+ c = t 2. Conviene igualar el radical a una expresión racional t, tal que al elevar al cuadrado la ecuación resultante en x sea lineal. Para ello, distinguiremos tres casos: a 2 + x2 = a 2 + a 2 tg 2t = a 1+ tg 2t =

a cos t

reduciéndose la integral a una del tipo

ò R(x,

a ö a dt

t

Integrales de la forma

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

124

2

c)

)

ax2 + bx+ c dx æ

ò Rçèa × tg t , cos t ÷øcos

Primitiva de una función

–

(

)

Caso 3. Integrales del tipo ò R x, x2 - a 2 dx. Haremos el cambio x = a ×sec t , de donde a ×sen t dx = dt . Así cos 2 t x2 - a 2 =

a2 - a2 = cos 2 t

a 2 - a 2 cos 2 t = a × tg t cos 2 t

reduciéndose la integral a una del tipo a ×sen t dt 2 t

ò R ( a ×sec t , a × tg t ) cos 4.7. Integración de funciones trigonométricas

Método general. El método general para integrar funciones dependientes de sen x y cos x, æxö ò R (sen x,cos x ) dx, es reducirlas a integrales racionales mediante el cambio de variable tgçè 2 ÷ø= t. Para ello tendremos en cuenta las fórmulas trigonométricas del ángulo doble y la primera fórmula fundamental, es decir sen x = 2sen

x x cos ; 2 2

x x cos x = cos 2 - sen 2 ; 2 2

x x 1= cos 2 + sen 2 2 2

por lo que x x x 2sen cos 2tg 2 2 = 2 sen x = x 2 x 2 x 1+ tg 2 cos + sen 2 2 2 x x x 1- tg 2 cos 2 – sen 2 2 2= 2 cos x = 2 x 2 x 2 x cos + sen 1+ tg 2 2 2 x 2tg sen x 2 tg x = = x cos x 1- tg 2 2 y al hacer el cambio tg

x = t , tendremos 2 sen x =

2t ; 1+ t 2

cos x =

1- t 2 ; 1+ t 2

tg x =

2t 1– t 2

y como además x = arctg t ; 2

dx =

2dt 1+ t 2

sustituyendo estos valores, la integral trigonométrica se reduce a una racional. Esta integral no es difícil de calcular, aunque este cambio de variable puede resultar muy laborioso en ciertos casos, por lo que a continuación estudiaremos algunos casos particulares que se pueden resolver por un cambio de variable distinto al general. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

125

Volumen II. Matemáticas

126

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

que se integra desarrollando el binomio (1- cos 2 x )n y haciendo el cambio cos x = t .

Primer caso: integrales del tipo ò R (sen 2x,cos 2 x,sen x ×cos x ) dx. Haremos el cambio tg x = t , con lo que nos quedará x dx = ò

sen 2nx×sen x (1- cos 2 x )nsen x dx dx = ò cos 2n+1 x cos 2n+1 x t2 tg 2x 2 = 1+ tg x 1+ t 2

2 n+1

sen 2x =

ò tg

–

Si m es impar, tendremos m = 2n + 1, con lo que

tg m-1x tg m-3x tg m-1x tg m-3x +...±tg x± x+ K +...±tg x± arctg t + K = m- 1 m- 3 m- 1 m- 3 x dx = ò

æ 1 ö tm ÷dt = dt = òç t m-2 - t m-4 + t m-6+....± è 1+ t 2 1+ t 2 ø

con lo que la integral nos quedaría:

Cuarto caso: integrales del tipo ò tg m x dx. Si m es par haremos el cambio tg x = t ; dx = x = arctg t ;

dx =

dt 1+ t 2

–

t 1+ t 2

m

sen x ×cos x =

ò tg

1 1 2 = 1+ tg x 1+ t 2

=

cos 2 x =

dt , 1+ t 2

Tercer caso: integrales del tipo ò cos m x×sen nx dx. Si es impar en seno (es decir que al sustituir sen x por –sen x la función cambia de signo), haremos el cambio cos x = t . Si la función es impar en coseno, haremos el cambio sen x = t y si es par en seno y en coseno haremos el cambio tg x = t , quedándonos la integral como en el caso primero. reduciéndose la integral inicial a una del tipo ,

1 t ö ÷ dt 2 , 2÷ 1+ t 1+ t ø1+ t 2

1 [cos ( m+ n ) x+ cos( m- n ) x] 2

Segundo caso: integrales del tipo

òsen mx×sen nx dx;

òcos mx×cos nx dx;

sen mx×sen nx =

òsen mx×cos nx dx;

cos mx×cos nx =

–

2

–

æ t2

ò Rççè1+ t

1 [-cos ( m+ n ) x+cos( m+ n ) x] 2

Aplicando las fórmulas trigonométricas de transformación de sumas en productos y viceversa, estas integrales quedarán reducidas a inmediatas de la forma: 1 sen mx×cos nx = [sen ( m+ n ) x+ sen ( m- n ) x] 2

Aplicando las fórmulas trigonométricas de transformación de sumas en productos y viceversa, estas integrales quedarán reducidas a inmediatas de la forma: 1 [sen ( m+ n ) x+sen ( m- n ) x] 2 sen mx×cos nx =

1 [cos ( m+ n ) x+ cos( m- n ) x] 2

–

òsen mx×sen nx dx;

Segundo caso: integrales del tipo

ò Rèçç1+ t

òcos mx×cos nx dx;

cos mx×cos nx =

ö dt 1 t ÷ , ÷ 1+ t 2 1+ t 2 ø1+ t 2

Tercer caso: integrales del tipo ò cos m x×sen nx dx. Si es impar en seno (es decir que al sustituir sen x por –sen x la función cambia de signo), haremos el cambio cos x = t . Si la función es impar en coseno, haremos el cambio sen x = t y si es par en seno y en coseno haremos el cambio tg x = t , quedándonos la integral como en el caso primero. æ t2

2

,

–

1 [-cos ( m+ n ) x+cos( m+ n ) x] 2

òsen mx×cos nx dx;

sen mx×sen nx =

reduciéndose la integral inicial a una del tipo x = arctg t ;

dx =

dt 1+ t 2

Cuarto caso: integrales del tipo ò tg m x dx. Si m es par haremos el cambio tg x = t ; dx = æ 1 ö tm ÷dt = dt = òç t m-2 - t m-4 + t m-6+....± è 1+ t 2 1+ t 2 ø

t2 tg 2x = 1+ tg 2x 1+ t 2

sen 2x =

x dx = ò

1 1 = 1+ tg 2x 1+ t 2

=

m

cos 2 x =

ò tg

t 1+ t 2

con lo que la integral nos quedaría:

dt , 1+ t 2

sen x ×cos x =

–

tg m-1x tg m-3x tg m-1x tg m-3x +...±tg x± x+ K +...±tg x± arctg t + K = m- 1 m- 3 m- 1 m- 3

Si m es impar, tendremos m = 2n + 1, con lo que x dx = ò

2 n+1

sen 2nx×sen x (1- cos 2 x )nsen x dx dx = ò cos 2n+1 x cos 2n+1 x

Primer caso: integrales del tipo ò R (sen 2x,cos 2 x,sen x ×cos x ) dx. Haremos el cambio tg x = t , con lo que nos quedará

que se integra desarrollando el binomio (1- cos 2 x )n y haciendo el cambio cos x = t .

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

126

–

ò tg

Primitiva de una función

5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL AL CÁLCULO DE MAGNITUDES GEOMÉTRICAS 5.1. Cálculo de áreas planas 5.1.1. Área limitada por una función continua el eje OX, el eje y las rectas x = a y x = b Distinguiremos tres casos según la función sea constantemente positiva, constantemente negativa o tome valores de ambos signos en el intervalo [ a , b ].

–

Caso 1. Función constantemente positiva. Definición. Sea f :[ a , b ] ® Â una función continua en [ a , b ] y supongamos que f ( x ) ³ 0, " x Î [ a , b ]. Llamamos R al recinto plano limitado por la gráfica de la función f ( x ), el eje OX y las rectas x = a b y x = b. El área de este recinto lo denotaremos por A ( R ) y será A ( R ) = òa f ( x ) dx. Y y = f(x)

R

a

b

X

Figura 1.

–

Caso 2. Función constantemente negativa Si la función f ( x ) £ 0, " x Î [ a , b ], su representación gráfica sería una curva situada por debajo del eje de las X. Si llamamos R' al recinto plano limitado por la gráfica de la función f ( x ), el eje OX y b las rectas x = a y x = b, y calculamos òa f ( x ) dx, obtendremos un número negativo, que no representa el valor de A ( R ' ) al no tener sentido hablar de áreas negativas. Por ello, consideramos la función g ( x ), simétrica a f ( x ) respecto del eje de las abscisas, es decir g ( x ) = - f ( x ), " x Î [ a , b ]. Vemos también que las áreas de los recintos planos R y R ' coinciden. Así A ( R ' ) = A ( R ) = òa g ( x ) dx = -òa f ( x ) dx b

b

Y y = g(x) = –f(x)

R

a

b

X

R´

y = f(x)

Figura 2. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

127

Volumen II. Matemáticas

128

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

–

Caso 3. La función toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ]. Al ser una función continua, cambia de signo un número finito de veces en el intervalo [ a , b ]. Para calcular el área del recinto R que determinan la función, el eje Y OX y las rectas x = a y x = b, tendremos que descomponer la integral definida como suma de integrales referidas cada una de ellas a los subintervalos donde la función toma valores de signo constante. Cada una de ellas representará el área R3 R1 c d e del recinto plano limitado por la función y el eje a R2 R4 b X OX en cada uno de los subintervalos, si es constantemente positiva en el mismo y el área pero con signo negativo si la función es constantemente negativa. Suponiendo las condiciones dibujadas en el gráfico siguiente Figura 3. Figura 5.

y = f(x)

a

b

Si suponemos ahora que se sigue cumpliendo que f ( x ) £ g ( x ), pero eliminamos la condición de que f ( x )³ 0, veremos que efectuando una traslación cuyo vector K sea paralelo al eje de ordenadas, podemos conseguir que se vuelva a cumplir la condición de que las nuevas funciones f '( x ) = f ( x )+ K y g '( x ) = g ( x )+ K sean constantemente positivas en el intervalo [a,b]. (Observar la figura).

X

R

K

y = f(x) + K y = g(x)

K

R´

y = g(x) + K

Y

Así, A ( R ) = A ( R2 )- A ( R1 ) = òa g ( x ) dx - òa f ( x ) dx = òa( g ( x )- f ( x )) dx b

b

b

con lo que tendremos:

a

X

b

Figura 4.

A ( R ) = A ( R1 )+ A ( R2 )+ A ( R3 )+ A ( R4 ) = òa f ( x ) dx- òc f ( x ) dx+ òd f ( x ) dx- òe f ( x ) dx c

d

e

b

En la práctica también pueden una vez hallados los ceros de la función, hallar todas las integrales que hay entre dos ceros consecutivos y sumar sus respectivos valores absolutos. y = f(x) R2 – R1

5.1.2. Área plana limitada por la gráfica de dos funciones continuas y = g(x)

Y

Sean f , g : [ a , b ] ® Â dos funciones continuas tal que f ( x ) £ g ( x ), " x Î [ a , b ]. Llamaremos R2 al recinto plano limitado por la gráfica de la función g ( x ), el eje OX y las rectas x = a y x = b; y R1 al limitado por la gráfica de la función f ( x ), el eje OX y las rectas x = a y x = b. Supondremos que f ( x ) ³ 0, " x Î [ a , b ], con lo que tendremos

Sean f , g : [ a , b ] ® Â dos funciones continuas tal que f ( x ) £ g ( x ), " x Î [ a , b ]. Llamaremos R2 al recinto plano limitado por la gráfica de la función g ( x ), el eje OX y las rectas x = a y x = b; y R1 al limitado por la gráfica de la función f ( x ), el eje OX y las rectas x = a y x = b. Supondremos que f ( x ) ³ 0, " x Î [ a , b ], con lo que tendremos Y

y = g(x)

5.1.2. Área plana limitada por la gráfica de dos funciones continuas R2 – R1

En la práctica también pueden una vez hallados los ceros de la función, hallar todas las integrales que hay entre dos ceros consecutivos y sumar sus respectivos valores absolutos. y = f(x)

A ( R ) = A ( R1 )+ A ( R2 )+ A ( R3 )+ A ( R4 ) = òa f ( x ) dx- òc f ( x ) dx+ òd f ( x ) dx- òe f ( x ) dx c

d

a

b

X

Figura 4.

e

b

con lo que tendremos:

Caso 3. La función toma valores positivos y negativos en el intervalo [ a , b ]. Al ser una función continua, cambia de signo un número finito de veces en el intervalo [ a , b ]. Para calcular el área del recinto R que determinan la función, el eje Y OX y las rectas x = a y x = b, tendremos que descomponer la integral definida como suma de integrales referidas cada una de ellas a los subintervalos donde la función toma valores de signo constante. Cada una de ellas representará el área R R d e c 1 3 del recinto plano limitado por la función y el eje a R2 R4 b X OX en cada uno de los subintervalos, si es constantemente positiva en el mismo y el área pero con signo negativo si la función es constantemente negativa. Suponiendo las condiciones dibujadas en el gráfico siguiente Figura 3. Así, A ( R ) = A ( R2 )- A ( R1 ) = òa g ( x ) dx - òa f ( x ) dx = òa( g ( x )- f ( x )) dx b

Y

y = g(x) + K R´

K

K

R

b

a

y = f(x)

128

X

Figura 5.

Si suponemos ahora que se sigue cumpliendo que f ( x ) £ g ( x ), pero eliminamos la condición de que f ( x )³ 0, veremos que efectuando una traslación cuyo vector K sea paralelo al eje de ordenadas, podemos conseguir que se vuelva a cumplir la condición de que las nuevas funciones f '( x ) = f ( x )+ K y g '( x ) = g ( x )+ K sean constantemente positivas en el intervalo [a,b]. (Observar la figura).

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

y = f(x) + K y = g(x)

b

–

b

Primitiva de una función Además, como la traslación conserva las distancias, las áreas de los recintos R y R 'son iguales, por lo que tendremos: A ( R ) = A ( R ' ) = òa( g '( x )- f '( x )) dx = òa( g ( x )+ K - f ( x )- K ) dx = òa( g ( x )- f ( x )) dx b

b

b

Así pues para calcular el área del recinto plano limitado por dos funciones la primera fórmula obtenida sigue siendo válida aunque alguna de las dos (o ambas) no sea constantemente positiva. En el caso en que la función g ( x ) no sea constantemente mayor que f ( x ), se determinarán los diferentes subintervalos donde una de las funciones es constantemente mayor que la otra, siendo el área pedida la suma de las áreas de los recintos obtenidos en cada uno de los subintervalos determinados.

5.1.3. Áreas de figuras planas en coordenadas polares Sea r = f ( q ) la ecuación de una curva en coordenadas polares, donde f es una función continua para a £ q £ b. Calcularemos el área delimitada por esta curva y los radios vectores q = a y q = b. Dado el intervalo cerrado [ a , b ] correspondiente a la variable, consideremos la siguiente partición P: a = q 0 < q1 < q 2 < ...< q n = b

Figura 6. El área limitada por la curva de ecuación r = f ( q ) entre los radios vectores q 0 = a y q n = b, es la suma de las áreas de los sectores circulares delimitados por cada dos puntos consecutivos de la partición (sabemos que el área de un sector circular es igual a la mitad del producto del cuadrado del radio por el ángulo central, expresado en radianes). Consideremos el sector OAi-1Ai y sean mi y M i el mínimo y el máximo de la función r = f ( q ) en el intervalo [ q i-1, q i ]. Es evidente que 1 2 1 m Dq £ área sector OAi-1Ai £ M i2Dq i 2 i i 2 siendo Dq i = q i - q i-1. Por lo tanto, si consideramos la suma de todos los sectores producidos por la partición P, tendremos n

1

å 2 m Dq £ S (OA A 2 i

i=1

i

0

n

n

1 ) £ å M i2Dq i i=1 2

Cuando el número de puntos de la partición P del intervalo [ a , b ] crece de modo que el radio de la misma tiende a cero, tendremos como límites las sumas inferior y superior: n ì 1 ï S ( g , P ) = lím å mi2Dq i Dq i ®0 i=1 2 ï í n ï 1 ïS ( g , P ) = lím å M i2Dq i D q ® 0 i î i=1 2

siendo g ( q ) =

1 2 f ( q ), de modo que 2 S ( g , P ) £ S (OA0 An ) £ S ( g , P )

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

129

Volumen II. Matemáticas

130

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

que nos da la longitud de un arco de curva y = f ( x ), entre las abscisas x = a y x = b.

y por ser r = f ( q ) continua en [ a , b ], tendremos que S ( g , P ) = S ( g , P ) = S (OA0 An ) y este límite es pre-

cisamente òa f 2 ( q ) d ( q ), por lo que el área en coordenadas polares viene dada por la fórmula: b

L = òa 1+ [ f '( x )] dx 2

b

S (OA0 An ) = òa f 2 ( q ) d ( q ) b

Al ser continua la función derivada f '( x ), existe el límite de las sumas anteriores cuando los Dxi ® 0, y este límite, según la definición de integral definida es i=1

i=1

åDL = å i

5.2. Longitud de un arco de curva

1+ [ f '( x i )] × Dxi 2

5.2.1. Longitud de un arco de curva en coordenadas cartesianas n

n

de donde el perímetro de la poligonal correspondiente a una partición P, será

Sea f ( x ) una función continua y derivable en el intervalo [ a , b ] y P = {x0 , x1, x2 ,..., xn}, donde a = x0 < x1 < x2 A 'O$ ' B '. AOB $ entonces: Si el lado O' B' se sitúa fuera de AOB $ < A 'O$ ' B '. AOB

–

$ entonces afirmamos que: Si el lado O' B' se sitúa dentro de AOB

–

Análogamente obtendremos la suma de varios ángulos sumándolos dos a dos y añadiendo a la suma un nuevo ángulo, así sucesivamente. La suma de ángulos tiene las mismas propiedades que la suma de números.

–

Diferencia. La diferencia de dos ángulos es otro ángulo tal que sumado con el menor de ellos da como resultado el mayor de los mismos.

Para la comparación de ángulos se sitúan en posición de superpuestos y se pueden producir las siguientes situaciones:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

182

Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos Para restar ángulos se colocan en posición de superpuestos y la diferencia vendrá dada por el ángulo determinado por los lados no comunes. B

B B´

O

A

O´

D

B´

A´

O O´

C

A´A

O

$ – A 'O$ ' B '= COD $ AOB Figura 16.

–

Producto de un ángulo por un número natural. El producto de un ángulo por un número natural es el ángulo suma de tantos ángulos iguales al dado como unidades contenga el número natural.

–

Cociente entre un ángulo y un número natural. El cociente entre un ángulo y un número natural es otro ángulo tal que multiplicado por el número natural da como resultado el ángulo inicialmente propuesto. Todo ángulo puede dividirse en n ángulos iguales, siendo n un número natural. La bisectriz de un ángulo es la recta que parte del vértice de dicho ángulo y lo divide en dos ángulos iguales. El cálculo de la bisectriz es equivalente a dividir un ángulo entre dos. Llamamos razón de dos ángulos al número por el que se ha de multiplicar uno de ellos para obtener el otro.

2.3.3. Medida de ángulos Dado que se han definido anteriormente la igualdad y la suma de ángulos podemos afirmar que estos son magnitudes mensurables, y en consecuencia, medir un ángulo es compararlo con el ángulo unidad, siendo la medida de un ángulo la razón entre dicho ángulo y el ángulo unidad.

– – – –

Ángulo recto: aquel ángulo cuya medida es la mitad de un llano.

–

Ángulos suplementarios: aquellos ángulos cuya suma es dos rectos. El suplemento de un ángulo es otro ángulo con el que complementa o suma dos rectos.

Ángulo agudo: todo ángulo menor que un recto. Ángulo obtuso: todo ángulo mayor que un recto. Ángulos complementarios: aquellos cuya suma es un recto. El complemento de un ángulo es otro ángulo con el cual complementa o suma un recto.

Axioma: Dos ángulos iguales tienen idéntico complemento y suplemento, y recíprocamente dos ángulos que tienen el mismo complemento y suplemento son iguales. Teorema:

B

Dos ángulos adyacentes son suplementarios. $ y BOC $ dos ángulos adyacentes, entonces sus laSean AOB $ es un ándos exteriores OA y OB están en línea recta, luego AOC gulo llano.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

A

C O

Figura 17.

183

Volumen II. Matemáticas

184

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

$ + BOC $ = AOC $ . Por definición de suma de ángulos AOB Como recíproco enunciar que dos ángulos consecutivos suplementarios son adyacentes.

$ $ Por hipótesis los ángulos AOB y son opuestos por el vértice. Si consideramos que AC es una líCOD $ es el suplementario de AOB $ , y BD es otra línea recta siendo AOD $ el suplemento de COD $ , ennea y BOC $ = COD $ . tonces se verifica que AOB La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y en el mismo semiplano es igual a dos rectos. La suma de todos los ángulos consecutivos que se pueden formar alrededor de un punto, en un plano, es igual a cuatro rectos. Para obtener el suplemento de un ángulo basta con realizar la prolongación por el vértice de uno de los lados de ese ángulo. o

2.

Figura 20.

1.

D

Corolarios:

A

C

3.

B

B

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. A

C O

Teorema:

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos tales que los lados del uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro. Figura 18.

Dos ángulos adyacentes iguales son rectos. Figura 19.

D

4.

C

B

A A

B

C

Figura 19.

4.

D

Dos ángulos adyacentes iguales son rectos. Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos tales que los lados del uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro. Figura 18.

Teorema:

O C

A

Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales. B

3.

B

La suma de los ángulos consecutivos formados alrededor de un punto y en el mismo semiplano es igual a dos rectos. La suma de todos los ángulos consecutivos que se pueden formar alrededor de un punto, en un plano, es igual a cuatro rectos. Para obtener el suplemento de un ángulo basta con realizar la prolongación por el vértice de uno de los lados de ese ángulo. C

A

Corolarios:

Figura 20.

1.

D

2.

o

$ y COD $ son opuestos por el vértice. Si consideramos que AC es una líPor hipótesis los ángulos AOB $ $ $ el suplemento de COD $ , ennea y BOC es el suplementario de AOB, y BD es otra línea recta siendo AOD $ = COD $ . tonces se verifica que AOB $ + BOC $ = AOC $ . Por definición de suma de ángulos AOB Como recíproco enunciar que dos ángulos consecutivos suplementarios son adyacentes.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

184

Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos

2.4. Perpendiculares Definimos la perpendicular como la línea recta que determina con otra ángulos adyacentes iguales. $ es recto, entonces también lo son los ángulos COB $ y AOD $ ya que son el supleComo el ángulo AOC $ mento de aquel respectivamente a las rectas AB y CD, y en consecuencia también será recto el ángulo BOD $ . Entonces las rectas AB y CD son perpendiculares entre sí. por ser el opuesto por el vértice del AOC Se denomina oblicua a la recta que determina con otra ángulos adyacentes desiguales.

Teorema: Por un punto situado en una recta se puede trazar una y sólo una perpendicular a dicha recta. Sea la recta PC que forma con AB dos ángulos ad$ < CPB $ . Si se hace girar la recyacentes desiguales APC $ irá aumentando, mientras que el ánta PC el ángulo APC $ irá disminuyendo hasta que ambos ángulos se gulo CPB iguales, momento en el que la recta PC será perpendicular a la AB. Para probar que sólo se puede trazar una perpendicular atendemos a la recta PC''que es oblicua a AB, al modificar su posición C'' coincide con C'' luego por el punto P sólo se puede trazar una perpendicular a AB.

C´ C´´

C

B

P

A

Figura 21.

Teorema: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una perpendicular a dicha recta. P

Sea P' el simétrico de P respecto a la recta AB. Los $ y P ' DB $ son iguales y adyacentes, y en conángulos PDB secuencia las rectas AB y PP' son perpendiculares. Para probar que sólo se puede trazar una perpendicular, atendemos a un cierto punto C. Si la recta PC fuese perpendicular a la recta AB entonces tendría que verifi$ fuese recto y análogamente el carse que el ángulo PCA $ P 'CA y su suma debería ser de dos rectos. El cumplimiento de estas condiciones llevaría a que C y D coincidiesen, y en consecuencia la perpendicular sería única.

B

C

D

A

P´

Figura 22.

Teorema: Las bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. $ y COB $ son adyacentes, siendo Los ángulos AOC OD y OE sus bisectrices respectivas, por lo tanto el ángu$ es la mitad del ángulo COB $ , y otro tanto ocurre lo EOC $ que es la mitad del ángulo AOC $ , luecon el ángulo DOC $ $ go como AOC + COB suman dos rectos por ser adyacen$ y DOC $ suman un recto y tes, entonces los ángulos EOC en consecuencia las bisectrices son perpendiculares.

C E D B

O

A

Figura 23.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

185

Volumen II. Matemáticas

186

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Mediatriz: Mediatriz de un segmento rectilíneo es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

–

Distancia de un punto a una recta: Es la longitud (del segmento) de la perpendicular desde dicho punto a la recta.

–

Teorema:

Si desde un punto exterior a una recta trazamos sobre ella una perpendicular y varias oblicuas, se verifica: 1. Que la menor distancia del punto a la recta viene definida por la trayectoria de la perpendicular. Las rectas AB y PO son perpendiculares. CalculaP mos P'que es el simétrico del punto P respecto de la recta AB. Se trata de demostrar que PO < PD. Los $ y P ' DA $ son iguales ya que son rectos ángulos PDA $ $ e iguales también las dislos ángulos POL y P 'OL B A O tancias PO y P' O. C D Podemos escribir que PO+ PO' < PD+ PD', y en consecuencia 2PO < 2PD, luego PO < PD, con lo que se prueba que es la menor de las distancias.

Como recíproco podemos afirmar que si desde un punto exterior a una recta trazamos segmentos rectilíneos a distintos puntos de esa recta, dos de esos segmentos que equidisten del pie de la perpendicular son iguales, el menor segmento que puede trazarse es perpendicular a esa recta y entre dos segmentos desiguales el pie del menor está más próximo que el pie del mayor a la perpendicular. De dos oblicuas es menor aquella que se aparta menos del pie de la perpendicular. Observando el dibujo tenemos que PO = P' O, que P PC = P' C y que PD = P' D, pero la línea poligonal PDP' es menor que la poligonal PCP', pudiendo escribir: PDP'< PCP' B O A PD + PD'< PC+ PC' E F C D 2PD < 2PC PD < PC lo que prueba que es menor al distar menos del pie de la perpendicular.

Figura 26.

P´

P´

Figura 24.

Las líneas oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son iguales. Si buscamos el simétrico del punto D con respecto P a la recta PP' encontraremos el punto E, y dado que los ángulos definidos con P, O y E son iguales a los definidos con P, O y D, entonces las distancias PE y PD son también iguales. O

D

P´

C

D

O

B

A

Figura 25.

A P´

C

Figura 25.

B

3.

2.

Las líneas oblicuas cuyos pies equidistan del pie de la perpendicular son iguales. Si buscamos el simétrico del punto D con respecto P a la recta PP' encontraremos el punto E, y dado que los ángulos definidos con P, O y E son iguales a los definidos con P, O y D, entonces las distancias PE y PD son también iguales. 3.

De dos oblicuas es menor aquella que se aparta menos del pie de la perpendicular. Observando el dibujo tenemos que PO = P' O, que P PC = P' C y que PD = P' D, pero la línea poligonal PDP ' es menor que la poligonal PCP', pudiendo escribir: PDP'< PCP' B O A PD+ PD'< PC+ PC' E F C D 2PD < 2PC PD < PC lo que prueba que es menor al distar menos del pie P´ Figura 26. de la perpendicular. 2.

Figura 24.

P´

C

D

B

O

A

Las rectas AB y PO son perpendiculares. Calculamos P'que es el simétrico del punto P respecto de la recta AB. Se trata de demostrar que PO < PD. Los $ $ ángulos PDA y son iguales ya que son rectos P ' DA $ y P 'OL $ e iguales también las dislos ángulos POL tancias PO y P' O. Podemos escribir que PO+ PO' < PD+ PD', y en consecuencia 2PO < 2PD, luego PO < PD, con lo que se prueba que es la menor de las distancias.

Como recíproco podemos afirmar que si desde un punto exterior a una recta trazamos segmentos rectilíneos a distintos puntos de esa recta, dos de esos segmentos que equidisten del pie de la perpendicular son iguales, el menor segmento que puede trazarse es perpendicular a esa recta y entre dos segmentos desiguales el pie del menor está más próximo que el pie del mayor a la perpendicular. P

Si desde un punto exterior a una recta trazamos sobre ella una perpendicular y varias oblicuas, se verifica: 1. Que la menor distancia del punto a la recta viene definida por la trayectoria de la perpendicular.

–

Distancia de un punto a una recta: Es la longitud (del segmento) de la perpendicular desde dicho punto a la recta.

–

Mediatriz: Mediatriz de un segmento rectilíneo es la recta perpendicular al segmento en su punto medio. Teorema:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

186

Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos

Teorema: Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista de los extremos de dicho segmento, y como recíproco todo punto que equidista de los extremos de un segmento rectilíneo pertenece a la recta mediatriz de dicho segmento.

3. GEOMETRÍA DEL ESPACIO 3.1. Definición intuitiva de plano Se denomina plano a una superficie ilimitada que contiene exactamente a toda recta que pase por dos puntos cualesquiera de dicha superficie.

–

Determinación del plano: a) Determinar un plano es fijar las condiciones para hallarlo y que sea sólo uno el que las satisfaga. b) Por una recta dada pasan infinitos planos (haz de planos). c) Principios intuitivos: 1. Con sólo una recta no se puede determinar un plano. 2. Con una recta y un punto exterior a ella se puede determinar un y sólo un plano. 3. Dos rectas paralelas determinan un y sólo un plano. d) Como consecuencia, un plano queda perfectamente determinado: 1. Por tres puntos no alineados. 2. Por una recta y un punto exterior a ella. 3. Por dos rectas concurrentes. 4. Por dos rectas paralelas.

3.1.1. División del espacio por un plano Entendiendo por espacio el conjunto de todos los puntos, podemos afirmar que todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios. Cualquier punto se encuentra en uno de los dos semiespacios opuestos determinados por un plano y sólo los puntos del plano pertenecen a los dos semiespacios.

3.2. Posiciones relativas de recta y plano Si una recta AB tiene dos de sus puntos en el plano, podemos afirmar que la recta está contenida en el plano. La recta CE que une contiene puntos de uno y otro semiespacios y tiene, en consecuencia, sólo un punto D en el plano y se dice que corta al plano. Al punto D que pertenece a la recta y al plano se le denomina pie o traza de la recta en el plano. Cuando una recta FG no tiene ninguno de sus puntos en el plano decimos que la recta y el plano son paralelos.

F

A D

Figura 27.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

G

C

B

E

187

Volumen II. Matemáticas

188

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

3.3. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio Dentro del espacio podemos considerar dos casos: El primero aquel en el que las rectas son coplanarias pudiendo situarse dos rectas en posiciones coincidentes (cuando tienen dos puntos en común), concurrentes (cuando tienen un punto en común) o paralelas (cuando no tienen puntos en común). Figura 30.

Si dos planos tienen tres puntos, no situados en la misma recta, en común diremos que estos planos son coincidentes, mientras que si dos planos distintos, los planos P y Q del dibujo, tienen dos puntos en común, el A y el B, la recta AB que une dichos puntos pertenece a la vez a ambos planos y decimos que es la recta de intersección de ambos planos. Si dos planos distintos tienen un punto en común, su intersección es una recta que pasa por dicho punto.

En un segundo caso las rectas no serían coplanarias y entonces las rectas se cruzan, no tienen ningún punto en común y están en distintos planos. B

A

A

C

A C

C

B

A

Q

–

P

–

D

P

D

B

D

3.4. Posiciones relativas de dos planos en el espacio B

Figura 28. Figura 29.

B D

C A A C D B

Figura 29.

Figura 28.

3.4. Posiciones relativas de dos planos en el espacio B

D

B

D

B P A

C

D

Q

Si dos planos tienen tres puntos, no situados en la misma recta, en común diremos que estos planos son coincidentes, mientras que si dos planos distintos, los planos P y Q del dibujo, tienen dos puntos en común, el A y el B, la recta AB que une dichos puntos pertenece a la vez a ambos planos y decimos que es la recta de intersección de ambos planos. Si dos planos distintos tienen un punto en común, su intersección es una recta que pasa por dicho punto.

C

A

A

C

B P

En un segundo caso las rectas no serían coplanarias y entonces las rectas se cruzan, no tienen ningún punto en común y están en distintos planos.

–

El primero aquel en el que las rectas son coplanarias pudiendo situarse dos rectas en posiciones coincidentes (cuando tienen dos puntos en común), concurrentes (cuando tienen un punto en común) o paralelas (cuando no tienen puntos en común).

–

A

Figura 30.

Dentro del espacio podemos considerar dos casos:

3.3. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

188

Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos Atendiendo al dibujo de la derecha, trazamos por el punto A dos L rectas LL' y MM' que pertenecen ambas al plano Q. Si alguna de ellas B Q estuviese también en el plano P sería la intersección de los planos P y D N Q por ser común a ambos. P A Si ninguna de las dos está en P, tomemos un punto B en la semirrecta AL y otro C en la semirrecta AM'. Uniendo B con C, la recta BC C ha de atravesar necesariamente al plano P en un punto D por unir dos M´ L´ puntos situados en semiespacios opuestos respecto a dicho plano P. El punto D está, pues, en el punto Q, ya que pertenece a la recta BC trazada en él, y a la vez en el plano P. Por hipótesis, también el Figura 31. punto A es común a los planos P y Q. Luego la recta AD es común a los dos planos e intersección de ellos. Hay planos distintos que no tienen ningún punto en común, denominándose planos paralelos.

3.5. Paralelismo en el espacio 3.5.1. Paralelismo de rectas Como hemos visto anteriormente, dos rectas son paralelas en el espacio si están en el mismo plano y no tienen ningún punto en común. Teorema: Por un punto dado P, exterior a una recta, puede trazarse una y sólo una paralela a dicha recta. Para demostrarlo tengamos en cuenta que la recta y el punto determinan un plano único, en el cual según lo visto en el postulado de Euclides sólo podemos trazar una paralela única a dicha recta.

3.5.2. Paralelismo de rectas y planos La paralela a un plano es aquella recta que no tiene ningún punto en común con el plano y, en consecuencia el plano paralelo a una recta no tiene puntos en común con ella. Teorema: Si una recta es paralela a otra situada en un plano es paralela al plano. Si atendemos al dibujo, las rectas paralelas AB y CD determinan un plano cuya intersección con el plano P es la recta AB. Todos los puntos de la recta CD están en el plano determinado por las paralelas, el cual tiene en común con el plano P sólo los puntos de la recta AB, luego CD no tiene ningún punto en común con el plano P, por lo que podemos afirmar que CD es paralela al plano P. Por un punto pasan infinitas rectas paralelas a un plano.

P

C

D

A

B

Figura 32.

Teorema: Si una recta es paralela a un plano, es paralela a la intersección de este plano con cualquier otro plano que pase por dicha recta.

B

D

Q A

Atendiendo al dibujo, las rectas AB y CD están en un mismo plano Q no tienen ningún punto en común, luego son paralelas.

C

P

Figura 33. Corolario: Toda recta paralela a dos planos que se cortan es paralela a la intersección de los mismos. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

189

Volumen II. Matemáticas

190

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

3.5.3. Paralelismo de planos

Figura 35.

Definimos como planos paralelos aquellos que no tienen ningún punto en común. Teorema: Por un punto exterior a un plano pasa otro plano paralelo al primero. C

Si en el plano tomamos dos rectas que se corten y por el punto exterior al plano trazamos dos paralelas a las que hemos trazado en el plano, éstas determinan otro plano que no puede cortar al inicial ya que si lo hiciese la intersección sería paralela a las rectas que hemos trazado en el plano inicial y esto es imposible, luego, en consecuencia el plano determinado por las rectas que se trazan en el punto es paralelo al plano inicial.

A A´ P

P

A

D D Q

B´

Q

B

B R

R

E

C´

C

Figura 34. Sean dos planos paralelos P y Q y un plano R que corta a ambos. Las intersecciones AB y CD están en un mismo plano que es, a su vez, el plano secante R, no tienen ningún punto en común por estar en planos que a su vez no tienen puntos en común, luego las intersecciones AB y CD son paralelas. Teorema:

Si un plano corta a dos planos paralelos, las intersecciones de los planos son paralelas entre sí. Si un plano corta a dos planos paralelos, las intersecciones de los planos son paralelas entre sí. Teorema:

Sean dos planos paralelos P y Q y un plano R que corta a ambos. Las intersecciones AB y CD están en un mismo plano que es, a su vez, el plano secante R, no tienen ningún punto en común por estar en planos que a su vez no tienen puntos en común, luego las intersecciones AB y CD son paralelas. Figura 34. C R

C´

B

Q

B

Si en el plano tomamos dos rectas que se corten y por el punto exterior al plano trazamos dos paralelas a las que hemos trazado en el plano, éstas determinan otro plano que no puede cortar al inicial ya que si lo hiciese la intersección sería paralela a las rectas que hemos trazado en el plano inicial y esto es imposible, luego, en consecuencia el plano determinado por las rectas que se trazan en el punto es paralelo al plano inicial. Q

B´

D

A

E

R

D

P

P A´ A

C

Por un punto exterior a un plano pasa otro plano paralelo al primero. Teorema: Definimos como planos paralelos aquellos que no tienen ningún punto en común. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

190

3.5.3. Paralelismo de planos

Figura 35.

Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos

Teorema: Los segmentos de rectas paralelas comprendidos entre planos paralelos son iguales. C Q

A

D

Figura 36.

P

B

AB y CD determinan un plano cuyas intersecciones AC y BD con los planos P y Q son paralelas. El cuadrilátero ABCD cuyos lados opuestos son paralelos entre sí es un paralelogramo por lo que se tiene que AB = CD. Teorema: Si tres planos paralelos cortan a dos rectas cualesquiera, determinan en ellas segmentos proporcionales. B

Sean P, Q y R tres planos paralelos que cortan a las rectas AC y A ' C'. Si por el punto A trazamos ADE y A ' B' C' tenemos que:

A C

AD = A ' B', DE = B' C' Además, en el triángulo ACE se cumple que BD es paralelo a CE ya que son intersecciones del plano ACE con los planos paralelos Q y R, con lo que podemos escribir: AB BC = AD DE AB BC o bien que = A ' B ' B 'C '

E D F

Figura 37.

X

(D)

3.6. Ángulo de dos rectas Dadas dos rectas no coplanarias, llamamos ángulo de dos rectas al determinado por dos rectas concurrentes respectivamente paralelas a dos rectas dadas. Dadas las rectas D y D'no situadas en el mismo plano. Por un punto cualquiera O exterior a ambas rectas trazamos las rectas OX y OX' respectivamente paralelas a D y D'. El ángulo $ 'es, por definición, el ángulo que forman las rectas D y D'. XOX $ ' es independiente del punto O. El ángulo XOX TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

O

(D´)

X´

Figura 38. 191

Volumen II. Matemáticas

192

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA A´

Figura 39.

Teorema: Dos ángulos que tienen sus lados paralelos y del mismo sentido son iguales.

Atendiendo al dibujo, prolonguemos AP una longitud PA '= PA; en el plano M tracemos una recta BDC que encuentre a las tres rectas trazadas por el punto P, y unamos los puntos A y A'con los B, C y D. Como PB es mediatriz de AA', entonces BA = BA ' y análoA gamente CA = CA '. Entonces, el triángulo BAC es igual al triángulo BCA', ya que tienen sus tres lados respectivamente iguales y, en consecuencia, sus ángulos en B habrán de ser iguales. Por otra parte, el triángulo BDA es igual al BDA', ya que tienen respectivamente iguales los lados BA = BA ' y BD = BD' B y el ángulo comprendido B, y por consiguiente se verifica que M DA = DA '. Esto nos muestra que D equidista de A y de A', es decir, que B´ D la recta PD es la mediatriz de AA' en el plano ADA' y en conseP cuencia la recta AP es perpendicular a la recta PD. C Toda recta perpendicular a un plano es perpendicular a los planos paralelos a éste. Todas las rectas perpendiculares a un plano son paralelas entre sí.

Sean los ángulos A$ y D$ con lados paralelos y del mismo sentido. Tomemos segmentos iguales AB = DE y AC = DF. Por estas igualdades el cuadrilátero ADEB es un paralelogramo, al igual que ADFC. En consecuencia, las rectas BE y CF iguales y paralelas a AD son iguales y paralelas entre sí, el cuadrilátero CFEB es un paralelogramo y entonces BC = EF. Por consiguiente, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF ya que tienen los lados respectivamente iguales y ser A$ = D$ . Corolarios: Si sus lados AB, DE fuesen del mismo sentido y los lados AC y DF de sentido contrario, los ángulos serían suplementarios. Si los lados AB, AC son, respectivamente, de sentido contrario a DE y DF, los ángulos son iguales.

1.

2.

Dos rectas del espacio cuyo ángulo es recto se denominan perpendiculares cuando se cortan y ortogonales cuando no se cortan. Por cada punto de una recta pasan infinitas perpendiculares a esa recta.

Teorema: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que la recta sea perpendicular a dos rectas no paralelas de dicho plano.

3.7. Perpendicularidad de rectas y planos 3.7.1. Recta perpendicular a un plano

Llamamos perpendicular a un plano a la recta perpendicular a todas las rectas de ese plano. Por todo punto de un plano, o exterior a él, pasa una y sólo una recta perpendicular a ese plano. Normal a un plano en un punto es la perpendicular al plano en ese punto.

Llamamos perpendicular a un plano a la recta perpendicular a todas las rectas de ese plano. Por todo punto de un plano, o exterior a él, pasa una y sólo una recta perpendicular a ese plano. Normal a un plano en un punto es la perpendicular al plano en ese punto.

3.7. Perpendicularidad de rectas y planos 3.7.1. Recta perpendicular a un plano

Teorema: Para que una recta sea perpendicular a un plano es condición necesaria y suficiente que la recta sea perpendicular a dos rectas no paralelas de dicho plano. Dos rectas del espacio cuyo ángulo es recto se denominan perpendiculares cuando se cortan y ortogonales cuando no se cortan. Por cada punto de una recta pasan infinitas perpendiculares a esa recta.

Atendiendo al dibujo, prolonguemos AP una longitud PA '= PA; en el plano M tracemos una recta BDC que encuentre a las tres rectas trazadas por el punto P, y unamos los puntos A y A'con los B, C y D. Como PB es mediatriz de AA', entonces BA = BA ' y análoA gamente CA = CA '. Entonces, el triángulo BAC es igual al triángulo BCA', ya que tienen sus tres lados respectivamente iguales y, en consecuencia, sus ángulos en B habrán de ser iguales. Por otra parte, el triángulo BDA es igual al BDA', ya que tienen respectivamente iguales los lados BA = BA ' y BD = BD' B y el ángulo comprendido B, y por consiguiente se verifica que M DA = DA '. Esto nos muestra que D equidista de A y de A', es decir, que B´ D la recta PD es la mediatriz de AA' en el plano ADA' y en conseP cuencia la recta AP es perpendicular a la recta PD. C Toda recta perpendicular a un plano es perpendicular a los planos paralelos a éste. Todas las rectas perpendiculares a un plano son paralelas entre sí. 2.

1.

Corolarios: Si sus lados AB, DE fuesen del mismo sentido y los lados AC y DF de sentido contrario, los ángulos serían suplementarios. Si los lados AB, AC son, respectivamente, de sentido contrario a DE y DF, los ángulos son iguales.

Sean los ángulos A$ y D$ con lados paralelos y del mismo sentido. Tomemos segmentos iguales AB = DE y AC = DF. Por estas igualdades el cuadrilátero ADEB es un paralelogramo, al igual que ADFC. En consecuencia, las rectas BE y CF iguales y paralelas a AD son iguales y paralelas entre sí, el cuadrilátero CFEB es un paralelogramo y entonces BC = EF. Por consiguiente, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF ya que tienen los lados respectivamente iguales y ser A$ = D$ . Figura 39.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Teorema: Dos ángulos que tienen sus lados paralelos y del mismo sentido son iguales.

A´

Análisis y formalización de los conceptos geométricos intuitivos

3.7.2. Plano perpendicular a una recta Se entiende por plano perpendicular a una recta el plano determinado por todas las rectas perpendiculares a esa recta en un mismo punto de ella. Por un punto de una recta, o exterior a ella, pasa un plano perpendicular a esa recta y sólo uno. Todos los planos perpendiculares a una misma recta son paralelos.

3.8. Perpendiculares de planos Decimos que dos planos son perpendiculares cuando entre sí determinan un diedro recto. Corolarios: 1. 2.

Todo plano perpendicular a otro determina con éste dos diedros adyacentes iguales. Dos planos perpendiculares entre sí determinan cuatro ángulos diedros iguales.

3.9. Proyecciones sobre un plano Definimos la proyección ortogonal de un punto sobre un plano como el pie de la perpendicular al plano desde dicho punto. Se llama proyectante a la perpendicular al plano desde un punto. La proyección de una figura sobre un plano es la figura formada por las proyecciones de los diferentes puntos de aquella sobre el plano. Se entiende por plano de proyección aquel sobre el que se proyecta.

– –

Si una recta es perpendicular al plano de proyección su proyección sobre él es un punto. Si una recta no es perpendicular al plano de proyección, su proyección sobre él es otra recta.

3.9.1. Ángulo de recta y plano Es el ángulo agudo formado por la recta con su proyección sobre el plano. El ángulo se obtiene mediante la prolongación de la recta hasta el plano o bien trazando una paralela a la proyección de la recta por cualquier punto de la recta. Si la recta es paralela al plano se dice que su ángulo con el plano es nulo, y si la recta es perpendicular al plano se dice que su ángulo con el plano es recto. Teorema: El ángulo de una recta con el plano es menor que cualquiera de los ángulos formados por dicha recta con otra cualquiera de las infinitas rectas del plano que pasan por el pie de la primera. B

Sea AB una recta cualquiera y AB'la proyección de la recta AB sobre el plano P, AC es una cualquiera de las infinitas rectas del plano P que pasan por el pie de AB. Por el punto A, que es la intersección de la recta AB con el plano P, y en el mismo plano trazamos una recta cualquiera AC y en ella tomamos AC = AB' y trazamos el segmento BC. La recta BB' es perpendicular al plano P, así que BB'< BC. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

A

A´

Figura 40.

a

C

B´

P

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

$ < BAC $ . En los triángulos ABB' y ABC el lado AB es común AB'= AC y BB'< BC, luego BAB B

B´´

B´

A C

Figura 41.

Figura 41.

C B´´

A

B´ B

$ < BAC $ . En los triángulos ABB' y ABC el lado AB es común AB'= AC y BB'< BC, luego BAB CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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TEMA

35 Las magnitudes y su medida. Fundamentación de los conceptos relacionados con ellas

Emilio M. Pina Coronado

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA 2.1. Concepto de magnitud 2.2. Concepto de cantidad 2.3. Magnitudes escalares continuas 2.4. Magnitudes escalares absolutas y relativas 2.5. Producto de una cantidad de cierta magnitud por un número real 2.6. Magnitudes escalares continuas

3.

MEDIDA DE MAGNITUDES 3.1. Concepto general de medida

4.

PROPORCIONALIDAD 4.1. Proporcionalidad de magnitudes 4.2. Proporcionalidad y medida 4.3. Teoría de la proporción

PROPORCIONALIDAD 4.1. Proporcionalidad de magnitudes 4.2. Proporcionalidad y medida 4.3. Teoría de la proporción

4.

MEDIDA DE MAGNITUDES 3.1. Concepto general de medida

3.

LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA 2.1. Concepto de magnitud 2.2. Concepto de cantidad 2.3. Magnitudes escalares continuas 2.4. Magnitudes escalares absolutas y relativas 2.5. Producto de una cantidad de cierta magnitud por un número real 2.6. Magnitudes escalares continuas

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

196

Las magnitudes y su medida

1. INTRODUCCIÓN Las ciencias experimentales y las ciencias aplicadas utilizan, al igual que las Matemáticas, las magnitudes en su desarrollo teórico y aplicado, pero la concepción de magnitud no es el mismo en las distintas ciencias. Así, por ejemplo, en el ámbito de la Termología (Física) se introduce el concepto de temperatura y éste no es aditivo en el sentido algebraico ya que la temperatura de equilibrio que es el resultado de la combinación de dos cuerpos a distintas temperaturas no es la suma de la temperatura de cada uno de ellos, y esto desde el punto de vista de las Matemáticas no permitiría clasificar a la temperatura como magnitud. Puig Adam (1947) define las magnitudes en el campo de las Matemáticas como cualidad común de un conjunto de entes u objetos materiales que les hace igualables y sumables. Por su parte, el profesor Rey Pastor (1948) define como magnitud todo lo capaz de aumento y disminución, lo que completa indicando que las magnitudes son entes abstractos entre los cuales se puede definir la igualdad y la suma. Evidentemente, las anteriores definiciones descalifican a la temperatura como magnitud, pero se hace necesario compaginar los conceptos de magnitud y llegar a una formulación unitaria de la misma. Así, a las magnitudes en las que no se puede definir con sentido la suma se les denomina magnitudes intensivas, mientras que a aquellas magnitudes en las que sí es posible definir la suma con sentido las denominaremos magnitudes extensivas, siendo estas últimas las propias del ámbito de las Matemáticas, y a tales nos referiremos cuando hablemos de magnitudes.

2. LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDA 2.1. Concepto de magnitud Sea un conjunto de entes, e, en el que se satisfacen las siguientes condiciones: 1.

2.

Entre los elementos de e se puede definir una relación de equivalencia.

– –

Reflexiva: "e Î E ® e = e.

–

Transitiva: "e1, e2 , e3 Î E ® e1 = e2 Ù e2 = e3 Þ e1 = e3.

Simétrica: "e1, e2 Î E ® e1 = e2 Þ e2 = e1.

En el conjunto E( e / = ) se define la suma con las siguientes propiedades:

–

Interna: "e1, e2 Î E ® $ e1+ e2 Î E.

–

Uniforme: " e1 = e2 Î E, " d1 = d 2 Î E ® e1+ d1 = e2 + d 2.

–

Conmutativa: " e1, e2 Î E ® e1+ e2 = e2 + e1.

–

Asociativa: "e1, e2 , e3 Î E ® e1+ ( e2 + e3 ) = ( e1+ e2 )+ e3.

–

Modular: "e Î E, $ 0 Î E / 0+ e = e+ 0 = e.

Los elementos de E( e / = ) presentan una cualidad común que hace que sean igualables y sumables, por lo que definen una magnitud.

2.2. Concepto de cantidad Todos los elementos que son iguales entre sí tienen la misma cantidad de magnitud. Coloquialmente se manejan indistintamente los términos magnitud y cantidad, pero en rigor matemático son conceptos distintos, diferenciables por el contexto.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

198

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

2.3. Magnitudes escalares continuas

Compatibilidad del producto con el orden total: " l Î R+ , " a,b Î E / a £ b Þ l* a £ l* b

Cualquier magnitud definida en un conjunto E se denomina escalar si los elementos del conjunto pueden ordenarse linealmente, lo que implica que en E podemos definir una relación de orden total, lo que nos indica que satisfaría las siguientes propiedades:

–

" l , m Î R+ ® l* ( m* a) = ( l* m)* a

Reflexiva: "a Î E ® a £ a.

Asociativa del producto:

–

Distributiva mixta del producto con respecto a la suma: " l Î R+ , "a , b Î E ® l* ( a + b ) = ( l* a) + ( l* b)

–

Antisimétrica: "a , b Î E ® a £ b , b £ a Þ a = b. Transitiva: "a , b , c Î E ® a £ b , b £ c Þ a £ c. Conexa: "a , b Î E ® a £ b Ú b £ a.

" l , m Î R+ , "a Î E ® ( l + m)* a = ( l* a) + ( m* a)

–

– – – –

Distributiva mixta de la suma con respecto al producto:

Introducimos una nueva propiedad, la propiedad de monotonía, que nos permite abordar la suma de magnitudes escalares de forma compatible con la relación de orden total definida anteriormente. esta ley de composición externa satisface las siguientes propiedades:

"a Î E dado l Î R+ , $ b Î E / l* a = b

–

Monotonía: "a , b , c Î E ® a £ b Þ a + c £ b + c.

Sea una magnitud escalar ( E+ , ,£ ), si definimos una ley de composición externa a la que denominaremos producto de una cantidad por un número real positivo (*) de la siguiente forma:

Así definido, la magnitud escalar integrante de ( E+ , ,£ ) tiene estructura algebraica de semigrupo conmutativo con elemento neutro y totalmente ordenado.

2.5. Producto de una cantidad de cierta magnitud por un número real

si siempre estamos en condiciones de garantizar la existencia de d = a – b nos encontramos ante magnitudes relativas, mientras que si para la definición de d = a – b hemos de fijar la restricción de b £ a estaremos ante magnitudes absolutas. En las magnitudes relativas existen cantidades que se denominan opuestas que están caracterizadas porque su suma es el elemento neutro (0).

2.4. Magnitudes escalares absolutas y relativas

Si entre dos elementos distintos de una misma magnitud escalar definimos la operación diferencia (–) del siguiente modo: " a , b Î E, $ d Î E / d = a – b Þ d + b = a

" a , b Î E, $ d Î E / d = a – b Þ d + b = a

si siempre estamos en condiciones de garantizar la existencia de d = a – b nos encontramos ante magnitudes relativas, mientras que si para la definición de d = a – b hemos de fijar la restricción de b £ a estaremos ante magnitudes absolutas. En las magnitudes relativas existen cantidades que se denominan opuestas que están caracterizadas porque su suma es el elemento neutro (0).

Si entre dos elementos distintos de una misma magnitud escalar definimos la operación diferencia (–) del siguiente modo:

2.4. Magnitudes escalares absolutas y relativas

Así definido, la magnitud escalar integrante de ( E+ , ,£ ) tiene estructura algebraica de semigrupo conmutativo con elemento neutro y totalmente ordenado.

2.5. Producto de una cantidad de cierta magnitud por un número real

Sea una magnitud escalar ( E+ , ,£ ), si definimos una ley de composición externa a la que denominaremos producto de una cantidad por un número real positivo (*) de la siguiente forma:

–

Monotonía: "a , b , c Î E ® a £ b Þ a + c £ b + c.

"a Î E dado l Î R+ , $ b Î E / l* a = b

Introducimos una nueva propiedad, la propiedad de monotonía, que nos permite abordar la suma de magnitudes escalares de forma compatible con la relación de orden total definida anteriormente. esta ley de composición externa satisface las siguientes propiedades:

Distributiva mixta de la suma con respecto al producto: " l , m Î R+ , "a Î E ® ( l + m)* a = ( l* a) + ( m* a)

Conexa: "a , b Î E ® a £ b Ú b £ a.

Transitiva: "a , b , c Î E ® a £ b , b £ c Þ a £ c.

–

Distributiva mixta del producto con respecto a la suma: " l Î R+ , "a , b Î E ® l* ( a + b ) = ( l* a) + ( l* b)

–

Asociativa del producto:

Antisimétrica: "a , b Î E ® a £ b , b £ a Þ a = b. Reflexiva: "a Î E ® a £ a.

" l , m Î R+ ® l* ( m* a) = ( l* m)* a

– – – –

–

Cualquier magnitud definida en un conjunto E se denomina escalar si los elementos del conjunto pueden ordenarse linealmente, lo que implica que en E podemos definir una relación de orden total, lo que nos indica que satisfaría las siguientes propiedades:

–

Compatibilidad del producto con el orden total: " l Î R+ , " a,b Î E / a £ b Þ l* a £ l* b

2.3. Magnitudes escalares continuas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

198

Las magnitudes y su medida Así pues, el conjunto ( E+ , ,£ ) con la ley de composición externa del producto de una cantidad por un número real positivo tiene estructura algebraica de semimódulo ordenado sobre el semianillo ( R+ ,+,* ). Una propiedad imprescindible para poder definir los conceptos de medida y unidad es la de que el semimódulo sea monógeno, para lo cual debe cumplir que cualquier cantidad pueda siempre expresarse como el producto de un cierto número por otra cantidad.

2.6. Magnitudes escalares continuas Anteriormente hemos visto que con la ley de composición externa del producto de una cantidad por un número real positivo tiene estructura algebraica de semimódulo ordenado sobre el semianillo ( R+ ,+,* ). Pues bien, cuando el semianillo es el de los reales positivos a la magnitud la denominamos magnitud escalar continua, mientras que diremos que se trata de una magnitud escalar discreta cuando sólo los números naturales son multiplicables por todas las cantidades de la magnitud, es decir, cuando estamos trabajando sobre el semianillo de los números naturales.

3. MEDIDA DE MAGNITUDES Medir significa comparar con la unidad. Medir implica la asignación de un número a una cantidad de magnitud, el cual usualmente va seguido de la unidad en la que se ha expresado la medida. La unidad es el elemento de E que multiplicado por un determinado número real nos da cualquier cantidad. Así, cualquier cantidad puede expresarse como el producto de una cantidad fija que denominamos unidad. Dada una cantidad cualquiera, c, y una cantidad unidad, u, se verifica que: $ l Î R+ / c = l* u a l se le denomina medida de c respecto de la unidad u, lo que se suele expresar mediante la notación mu ( c )= l.

3.1. Concepto general de medida Sea el semianilllo ( E,+,£), y un subanillo de los números reales S ( R+ ,+,*), definamos una aplicación tal que asocia a cada elemento de E un elemento de S , el cual constituye su medida. Esta aplicación es biyectiva, ya que a cada magnitud, c, le corresponde una imagen única, l, que es su medida, y esta a su vez tiene una única preimagen, es decir, proviene de una única cantidad. Además, la aplicación es un isomorfismo que cumple: mu ( c1+ c2 ) = mu ( c1 )+ mu ( c2 ) y, además, se verifica que si multiplicamos una cantidad por un número la medida queda multiplicada también por dicho número. Probémoslo: mu ( c )= l Þ l = c* u si multiplicamos ambos miembros por un número real m tenemos: m* l = m* c* u = ( m* c)* u mu( m* c) = m* l = m* mu ( c ) La aplicación mu ( c )= l es compatible con la relación de orden ya que si una cantidad es menor que otra entonces la medida de la primera es menor que la de la segunda. Veámoslo: " u , c1, c2 Î E ® c1 £ c2 Þ mu ( c1 ) £ mu ( c2 )

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

200

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

l = mu ( c1 ) Þ c1 = u* l ü ý Þ u* l £ c2 = u* m Þ mu ( c1 ) £Þ mu ( c2 ) m = mu ( c2 ) Þ c2 = u* mþ

donde s y t son las respectivas medidas de a y b en una unidad determinada. p(a,b )=

Máx( s, t ) Mín ( s, t )

Sea

esto, dado que identifica el orden de E con el orden de los conjuntos numéricos, nos permite ordenar cantidades ordenando números. Así llegamos a la identificación de los comportamientos en cuanto a suma y orden que es característica de las magnitudes medibles.

Dadas dos cantidades a y b, diremos que son proporcionales si se puede definir la proporción de ( a , b) como:

Podemos, en consecuencia, afirmar que los conjuntos ( E,+ £), y S ( R+ ,+,*) son isomorfos, lo que nos permite determinar la suma de dos cantidades sumando sólo los números.

4.3. Teoría de la proporción

esta función de proporcionalidad adopta la forma f ( ci )= k * ci, donde k es un número real al que se le denomina constante de proporcionalidad. Si dos magnitudes E y E' son proporcionales, p: E ® E', se verifica que las medidas de cantidades correspondientes c1 y c'1 con unidades correspondientes, mediante la misma proporcionalidad, u y u', son iguales.

4. PROPORCIONALIDAD

4.1. Proporcionalidad de magnitudes

Sean dos magnitudes escalares E y E' cuyas cantidades son, respectivamente, c1, c2 , c3 ,..., ci y c'1 , c'2 , c '3 ,..., c'i, tomando cualquier l Î R+ definimos una aplicación biyectiva, p, de modo que: p: E ® E ' p ( ci ) = c'i

Sean las magnitudes escalares proporcionales E y E', y sea p la función de proporcionalidad definida entre ellas. Si establecemos una medida en cada una de las magnitudes, las cuales constituyen respectivamente los subconjuntos de R+ que denominaremos S y S ', podemos establecer una aplicación f : S ® S ' tal que asocie a un número real de S y otro de S '. f :S ® S ' mu ( ci ) ® mu' [ p ( ci )] cuando esta aplicación cumple:

p ( c1+ c2 ) = p ( c1 )+ p ( c2 ) = c '1+c '2. p ( l* ci ) = l* p ( ci ) = l* c 'i.

4.2. Proporcionalidad y medida

1. 2.

a p se le denomina aplicación de proporcionalidad o simplemente proporcionalidad, afirmaremos entonces que E y E' son magnitudes proporcionales. Las magnitudes escalares E y E' así definidas son directamente proporcionales , y diremos que son inversamente proporcionales si existe una biyección entre los semigrupos de las magnitudes que es conservativa en cuanto al orden y además verifica que al producto de una cantidad por un número le corresponde el cociente de la cantidad correspondiente a aquella por el mismo número. En dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple que el producto de medidas de cada par de cantidades correspondientes es constante.

a p se le denomina aplicación de proporcionalidad o simplemente proporcionalidad, afirmaremos entonces que E y E' son magnitudes proporcionales. Las magnitudes escalares E y E' así definidas son directamente proporcionales , y diremos que son inversamente proporcionales si existe una biyección entre los semigrupos de las magnitudes que es conservativa en cuanto al orden y además verifica que al producto de una cantidad por un número le corresponde el cociente de la cantidad correspondiente a aquella por el mismo número. En dos magnitudes inversamente proporcionales se cumple que el producto de medidas de cada par de cantidades correspondientes es constante.

1. 2.

p ( c1+ c2 ) = p ( c1 )+ p ( c2 ) = c '1+c '2. p ( l* ci ) = l* p ( ci ) = l* c 'i.

4.2. Proporcionalidad y medida

Sean las magnitudes escalares proporcionales E y E', y sea p la función de proporcionalidad definida entre ellas. Si establecemos una medida en cada una de las magnitudes, las cuales constituyen respectivamente los subconjuntos de R+ que denominaremos S y S ', podemos establecer una aplicación f : S ® S ' tal que asocie a un número real de S y otro de S '. f :S ® S ' mu ( ci ) ® mu' [ p ( ci )] cuando esta aplicación cumple:

Sean dos magnitudes escalares E y E' cuyas cantidades son, respectivamente, c1, c2 , c3 ,..., ci y c'1 , c'2 , c '3 ,..., c'i, tomando cualquier l Î R+ definimos una aplicación biyectiva, p, de modo que: p: E ® E ' p ( ci ) = c'i

esta función de proporcionalidad adopta la forma f ( ci )= k * ci, donde k es un número real al que se le denomina constante de proporcionalidad. Si dos magnitudes E y E' son proporcionales, p: E ® E', se verifica que las medidas de cantidades correspondientes c1 y c'1 con unidades correspondientes, mediante la misma proporcionalidad, u y u', son iguales.

4.1. Proporcionalidad de magnitudes 4. PROPORCIONALIDAD

Podemos, en consecuencia, afirmar que los conjuntos ( E,+ £), y S ( R+ ,+,*) son isomorfos, lo que nos permite determinar la suma de dos cantidades sumando sólo los números.

4.3. Teoría de la proporción

Dadas dos cantidades a y b, diremos que son proporcionales si se puede definir la proporción de ( a , b) como: Máx( s, t ) p(a,b )= Mín ( s, t )

esto, dado que identifica el orden de E con el orden de los conjuntos numéricos, nos permite ordenar cantidades ordenando números. Así llegamos a la identificación de los comportamientos en cuanto a suma y orden que es característica de las magnitudes medibles. Sea

l = mu ( c1 ) Þ c1 = u* l ü ý Þ u* l £ c2 = u* m Þ mu ( c1 ) £Þ mu ( c2 ) m = mu ( c2 ) Þ c2 = u* mþ

donde s y t son las respectivas medidas de a y b en una unidad determinada.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Las magnitudes y su medida La proporción es una aplicación P tal que a todo par de cantidades les asigna un número mayor o igual que uno. P: M ´ M ® (1,+¥ ) (a,b ) ® p(a,b ) y que satisface: 1.

Propiedad de simetría: P ( a , b ) = P ( b , a ), " a , b Î M

2.

Propiedad de semejanza: P ( ra , rb ) = P ( a , b ), " r > 0Ù a , b Î M

3.

Aditividad: P ( a , b )+ P ( a , c ) = P ( a , b + c ), si a £ b Ù a £ c , siendo a , b , c Î M

4.

Continuidad: lím P ( an , bn ) = P ( a , b ) si a = lím an Ù b = lím bn n ®¥

n ®¥

n ®¥

Probémoslo: Si definimos p ( a , b ) =

Máx( s, t ) ³ 1, analizando cada una de las propiedades antes descritas tenemos: Mín ( s, t )

Máx( s, t ) Máx( t , s ) = ³ 1. Mín ( s, t ) Mín ( t , s )

1.

p(a,b )=

2.

p ( ra , rb ) =

3.

Si a £ Mín ( b , c ) entonces: Máx( s, t ) Máx( s, r ) t r t + r p ( a , b )+ p ( a , c ) = + = + = = p(a,b+ c ) Mín ( s, t ) Mín ( s, r ) s s s siendo m( a ) = s, m( b ) = t , m( c ) = r

4.

lím p ( an , bn ) = lím n ®¥

Máx( rs, rt ) Máx( s, t ) = = p ( a , b ) si r > 0. Mín ( rs, rt ) Mín ( s, t )

n ®¥

( sn , t n ) Máx( s, t ) Máx( sn , t n ) Máx lím n ®¥ = = = p(a,b ) Mín ( sn , t n ) Mín lím( sn , t n ) Mín ( s, t ) n ®¥

Las propiedades geométricas de la proporción caracterizan la expresión usual del cociente de la dimensión mayor entre la menor, que es lo que representa la razón entre dos magnitudes.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

201

TEMA

36 Proporciones notables. La razón áurea. Aplicaciones

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

204

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

RAZÓN Y PROPORCIÓN

3.

MAGNITUDES, CANTIDADES Y MEDIDAS

4.

LA PROPORCIONALIDAD DESDE EL PUNTO DE VISTA ARITMÉTICO, GEOMÉTRICO Y GRÁFICO 4.1. Razón entre cantidades 4.2. Proporcionalidad de magnitudes 4.3. Proporcionalidad geométrica 4.4. Tablas, funciones y gráficas de proporcionalidad

5.

PROPORCIONES NOTABLES 5.1. Cuarta y tercera proporcional 5.2. Media proporcional 5.3. Rectángulos DIN 5.4. Razón simple y razón doble de puntos alineados 5.5. División armónica 5.5.1. Construcción del cuarto armónico 5.6. La sección áurea 5.6.1. Construcción geométrica 5.6.2. Reproductividad de la sección áurea 5.6.3. Cuantificación de la sección áurea

6.

EL NÚMERO DE ORO Y LA DIVINA PROPORCIÓN 6.1. Proporción áurea y número áureo 6.2. Rectángulos áureos 6.3. La espiral áurea 6.4. El pentágono regular, el pentagrama y el triángulo áureo 6.5. El número de oro y la sucesión de Fibonacci 6.6. Definiciones recursivas del número áureo 6.7. La Pirámide de Keops y el triángulo sagrado

7.

APLICACIONES 7.1. Las proporciones en el arte 7.2. Las proporciones antropomórficas 7.3. Las proporciones en la música 7.4. Las proporciones en la naturaleza

APLICACIONES 7.1. Las proporciones en el arte 7.2. Las proporciones antropomórficas 7.3. Las proporciones en la música 7.4. Las proporciones en la naturaleza

7.

EL NÚMERO DE ORO Y LA DIVINA PROPORCIÓN 6.1. Proporción áurea y número áureo 6.2. Rectángulos áureos 6.3. La espiral áurea 6.4. El pentágono regular, el pentagrama y el triángulo áureo 6.5. El número de oro y la sucesión de Fibonacci 6.6. Definiciones recursivas del número áureo 6.7. La Pirámide de Keops y el triángulo sagrado

6.

PROPORCIONES NOTABLES 5.1. Cuarta y tercera proporcional 5.2. Media proporcional 5.3. Rectángulos DIN 5.4. Razón simple y razón doble de puntos alineados 5.5. División armónica 5.5.1. Construcción del cuarto armónico 5.6. La sección áurea 5.6.1. Construcción geométrica 5.6.2. Reproductividad de la sección áurea 5.6.3. Cuantificación de la sección áurea

5.

LA PROPORCIONALIDAD DESDE EL PUNTO DE VISTA ARITMÉTICO, GEOMÉTRICO Y GRÁFICO 4.1. Razón entre cantidades 4.2. Proporcionalidad de magnitudes 4.3. Proporcionalidad geométrica 4.4. Tablas, funciones y gráficas de proporcionalidad

4.

MAGNITUDES, CANTIDADES Y MEDIDAS

3.

RAZÓN Y PROPORCIÓN

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Proporciones notables

1. INTRODUCCIÓN El concepto de proporción es muy antiguo y nació con la idea de precisar cuantitativamente la noción de semejanza. Es natural el deseo de comparar objetos de la misma forma, pero que tienen distintos tamaños. Ese deseo de comparación es el antecedente de la medida. El origen del concepto es, pues, geométrico y se remonta a los trabajos del griego Thales de Mileto ( 640-546 a.C). No obstante, civilizaciones más antiguas (Babilonia, Egipto, China) conocían ya una de las proporciones más notables: la que guardan el perímetro y el diámetro de cualquier círculo. La teoría de las razones y proporciones, bajo el punto de vista aritmético, surgió probablemente en la escuela pitagórica. Euclides (300 a.C.), basándose en los trabajos de Eudoxio, discípulo de Platón, trató dicha teoría en los Elementos. En el libro V encontramos como primera definición “rigurosa”: Razón es la relación cualitativa en lo que se refiere a la dimensión entre dos cantidades homogéneas. La proporción (analogia) es la igualdad entre razones.

Esta definición se mantuvo hasta el siglo XIX. Fue Dedekind (1831-1916) quien dio la formulación actual de la teoría de las proporciones. Nuestra palabra razón corresponde al griego logos, traducido por los latinos como proporción y, a partir de 1500, también como razón. Desde el siglo XVII, la palabra dominante fue razón, mientras que la palabra proporción pasó a designar un igualdad entre razones. Los griegos preferían reservar el nombre de “números” a los numerables (enteros) y daban a los números-medidas el apelativo y la forma de “razones” o de “relaciones” (razones de una magnitud medida con la unidad de medida). Sabemos que todos los números, sean enteros o racionales, e incluso los inconmensurables (algebraicos como 2 o trascendentes, como p) pueden representar razones. También que el conjunto de números reales entre 0 y a, puede ponerse en correspondencia biunívoca con un segmento de recta si se toma a como medida de éste. Hay, pues una correspondencia absoluta entre el continuo de los número-medidas y el continuo geométrico. Jámblico (siglo IV a.C.), que frecuentó los círculos neoplatónicos y neopitagóricos, reservó el noma b bre de “continua” para la proporción = , llamando “discontinua” a aquella en la que los cuatro térmib c nos son diferentes. De ahí la observación de Nicómaco de que para establecer una proporción se necesitan como mínimo tres términos. Llevando más lejos el “principio de economía”, podemos formar una proporción continua partiendo solamente de las cantidades a y b; su suma sería el tercer término y obtendríamos a+ b a la proporción más característica o proporción continua por excelencia = . Aplicada a longitudes a b corresponde a lo que Euclides llamó “división en media y extrema razón” que es la partición asimétrica más “lógica” y más importante, por sus consecuencias aritméticas, geométricas, estéticas, etc. Los griegos, Nicómaco entre otros, solían escribir las proporciones en forma de progresión o serie. Así, hablaban de la proporción 1, 2, 4 o de la 1, 3, 9, 27. Pero al igual que el concepto griego de razón como relación numérica era más amplio que el de razón como número-medida, la noción de proporción fue a su vez generalizada y la “analogía” o proporción geométrica no era más que uno entre varios tipos de “correlaciones entre relaciones”. Según Nicómaco la proporción es la combinación de dos o más relaciones. No implica necesariamente la igualdad entre dos razones iniciales, sino también se puede considerar entre ellos una diferencia u otro tipo de correlación o comparación. Para todo tipo de proporción el menor número de términos necesario es tres. a b Aparte de la proporción geométrica continua del tipo = , en la que el término medio es la media b c geométrica de los extremos b = ac (ejemplo: 2, 4, 8), se establecieron otros dos tipos usuales:

–

–

La proporción aritmética, cuyo término medio excede al primero lo mismo que aquel es excea+ c es la media aritmética de los extremos dido por el último, c – b = b – a, o bien que b = 2 (ejemplo: 2, 4, 6). La proporción armónica, en la que el término medio excede al primero en una fracción de éste c– b 2ac igual a la fracción en que aquel es sobrepasado por el último, b – a = a , o bien b = c a+ c (ejemplo: 6, 8, 12).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

205

Volumen II. Matemáticas

206

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Esos tres tipos esenciales de proporciones fueron establecidos ya por los pitagóricos y probablemente transmitidos a Platón por Arquitas de Tarento (siglo IV a.C). Precisamente éste fue el primero en tratar oficialmente el problema délico de la duplicación del cubo. El pitagórico Hipócrates de Chíos remitió el problema a una cuestión de proporciones, reduciéndolo a otro problema conocido como el “mesolabio”: intercalar dos medias entre dos números dados, es decir, intercalar dos x e y segmentos medios proporcionaa x y les entre dos segmentos dados a y b, de manera que el segundo es el doble del primero. De = = x y 2a resulta algebraicamente, por eliminación de y, que x 3 = 2a 3, por lo que el problema es equivalente a la duplicación del cubo. Platón, Menecmo, Eratóstenes y Nicomedes encontraron soluciones mecánicas, siendo la dada por el primero la más elegante. Los discípulos de Platón y posteriormente los neopitagóricos agregaron nuevos tipos de relaciones a las tres anteriores. Así hasta llegar diez tipos de “proporciones” que se pueden establecer partiendo de tres cantidades. Utilizando un elegante “método logístico” (basado en el “principio de economía”), Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna las obtuvieron:

Esto lo aplica Platón indiferentemente al dominio de la matemática, la música o la cosmogonía. La influencia posterior de este concepto platónico de la proporción fue decisiva, tanto en filosofía (teoría del Microcosmo y del Macrocosmo) como en estética. Así podremos ver, por ejemplo, cómo el mismo invariante universal (la razón áurea) está presente tanto en los cánones de Paccioli y Leonardo, como en el descubrimiento de las leyes astronómicas que inmortalizó a Kepler. … La proporción que los griegos llaman analogia es la consonancia entre las partes y el todo.

Lo mismo viene a decir Vitrubio:

No es posible que dos términos formen por sí solos una hermosa composición sin un tercero, pues entre ellos es necesario que haya un vínculo que los aproxime. Ahora bien, de todos los vínculos el más bello es el que se da a sí mismo y a los términos que une la unidad más completa. Y es naturalmente la proporción (analogia), la que realiza esto del modo más bello.

1.

c– b c = b– a c

(ej: 1, 2, 3)

2.

c– b c = b– a b

(ej: 1, 2, 4)

Platón es probablemente el pensador que más ha meditado sobre la proporción y la armonía. En su Timeo, de clara influencia pitagórica, establece lo que entiende por “armonizar” como intercalar un término entre otros dos de modo que se dé “consonancia” o acorde entre los intervalos, es decir, poniéndolos en proporción de modo que se den en razones definidas con los términos iniciales. En el pasaje del Timeo en que Platón introduce la proporción geométrica se lee: 3.

c– b c = b– a a

(ej: 2, 3,6)

4.

b– a c = c– b a

(ej: 3, 5, 6)

5.

b– a b = c– b a

(ej: 2, 4, 5)

6.

b– a c = c– b b

(ej: 1, 4, 6)

7.

c– a c = b– a a

(ej: 6, 8, 9)

8.

c– a c = c– b a

(ej: 6, 7, 9)

9.

c– a b = b– a a

10.

c– b b = c– b a

(Nótese que las tres primeras corresponden a las medias aritmética, geométrica y armónica, ya citadas). c– a b = b– a a

9.

c– a c = b– a a

7.

(ej: 2, 4, 5)

b– a b = c– b a

5.

(ej: 2, 3,6)

c– b c = b– a a

3.

c– b c = b– a c

1.

(ej: 4, 6, 7)

c– b b = c– b a

10.

c– a c = c– b a

8.

(ej: 1, 4, 6)

b– a c = c– b b

6.

(ej: 3, 5, 6)

b– a c = c– b a

4.

c– b c = b– a b

2.

(ej: 4, 6, 7)

(ej: 3, 5, 8)

(ej: 3, 5, 8)

(Nótese que las tres primeras corresponden a las medias aritmética, geométrica y armónica, ya citadas). (ej: 6, 8, 9)

(ej: 6, 7, 9)

Platón es probablemente el pensador que más ha meditado sobre la proporción y la armonía. En su Timeo, de clara influencia pitagórica, establece lo que entiende por “armonizar” como intercalar un término entre otros dos de modo que se dé “consonancia” o acorde entre los intervalos, es decir, poniéndolos en proporción de modo que se den en razones definidas con los términos iniciales. En el pasaje del Timeo en que Platón introduce la proporción geométrica se lee: No es posible que dos términos formen por sí solos una hermosa composición sin un tercero, pues entre ellos es necesario que haya un vínculo que los aproxime. Ahora bien, de todos los vínculos el más bello es el que se da a sí mismo y a los términos que une la unidad más completa. Y es naturalmente la proporción (analogia), la que realiza esto del modo más bello. (ej: 1, 2, 3)

(ej: 1, 2, 4)

Esos tres tipos esenciales de proporciones fueron establecidos ya por los pitagóricos y probablemente transmitidos a Platón por Arquitas de Tarento (siglo IV a.C). Precisamente éste fue el primero en tratar oficialmente el problema délico de la duplicación del cubo. El pitagórico Hipócrates de Chíos remitió el problema a una cuestión de proporciones, reduciéndolo a otro problema conocido como el “mesolabio”: intercalar dos medias entre dos números dados, es decir, intercalar dos x e y segmentos medios proporcionaa x y les entre dos segmentos dados a y b, de manera que el segundo es el doble del primero. De = = x y 2a resulta algebraicamente, por eliminación de y, que x 3 = 2a 3, por lo que el problema es equivalente a la duplicación del cubo. Platón, Menecmo, Eratóstenes y Nicomedes encontraron soluciones mecánicas, siendo la dada por el primero la más elegante. Los discípulos de Platón y posteriormente los neopitagóricos agregaron nuevos tipos de relaciones a las tres anteriores. Así hasta llegar diez tipos de “proporciones” que se pueden establecer partiendo de tres cantidades. Utilizando un elegante “método logístico” (basado en el “principio de economía”), Nicómaco de Gerasa y Teón de Esmirna las obtuvieron: Lo mismo viene a decir Vitrubio:

… La proporción que los griegos llaman analogia es la consonancia entre las partes y el todo.

Esto lo aplica Platón indiferentemente al dominio de la matemática, la música o la cosmogonía. La influencia posterior de este concepto platónico de la proporción fue decisiva, tanto en filosofía (teoría del Microcosmo y del Macrocosmo) como en estética. Así podremos ver, por ejemplo, cómo el mismo invariante universal (la razón áurea) está presente tanto en los cánones de Paccioli y Leonardo, como en el descubrimiento de las leyes astronómicas que inmortalizó a Kepler.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Proporciones notables

2. RAZÓN Y PROPORCIÓN a Sean a y b dos números reales positivos, con b ¹ 0, se denomina razón entre a y b al cociente . Una b proporción desde un punto de vista estrictamente “numérico” es una igualdad que expresa la equivalencia de dos razones, esto es, una igualdad del tipo: a c = b d

[1]

Los cuatro números a, b, c y d se denominan elementos o términos de la proporción. Tradicionalmente se ha llamado antecedentes a los numeradores a y c, y consecuentes a los denominadores b y c. Asimismo, los términos a y d reciben el nombre de extremos, mientras que b y c se llaman medios. Obviamente la proporción expresada en [1] es cierta si se cumple la conocida regla del producto en cruz, esto es, si y sólo si a´ d = b´ c que en los textos más elementales se bautiza como “ley fundamental de las proporciones” (el producto de medios es igual al producto de extremos). Desde un punto de vista más formal, podríamos introducir la noción de razón como “clase de equivalencia”. Baste recordar el conocido procedimiento de construcción del número racional (de ratio, razón) a partir del número entero, o de la extensión algebraica del anillo Ã(X) de polinomios sobre R al cuerpo de las razones algebraicas Â(X). No obstante, en el tema que nos ocupa parece conveniente limitarnos al conjunto R ´ R+ donde definimos la relación de equivalencia ( a , b ) ~ ( c , d ) Û a ´ d = b ´ c. Las clases de equivalencia por dicha relación serán las razones aritméticas a las que aludíamos al principio, lo que en definitiva viene a signia c ficar que si y son dos fracciones (positivas) equivalentes, la razón entre a y b es la misma que la rab d zón entre c y d, o que a, b, c y d ( por este orden) forman una proporción. También se utiliza la expresión: “a es a b como c es a d”. Se desprenden inmediatamente de lo anterior las “clásicas” propiedades de las proporciones, cuya justificación es elemental, tales como: a) b) c) d) e)

a c a b d c d b = Û = Û = Û = . b d c d b a c a a c b d Intercambio de antecedentes por consecuentes: = Û = . b d a c a c a + b c+ d . Suma de los antecedentes a los consecuentes: = Û = b d b d a c a c . Suma de los consecuentes a los antecedentes: = Û = b d b+ a d + c a c a a+ c Suma de antecedentes y consecuentes: = Þ = b d b b+ d Intercambio de medios y/o extremos:

3. MAGNITUDES, CANTIDADES Y MEDIDAS Pese a tratarse de nociones intuitivas parece oportuno precisarlas siquiera brevemente, sin pretender una formalización rigurosa, la cual escapa del objetivo del presente tema. Es claro que la “proporcionalidad”, una de las relaciones más sencillas y omnipresentes en la realidad cercana y en la vida cotidiana, se establece entre “cantidades” de “magnitudes”. Intuitivamente nos referimos a “magnitud” como característica o propiedad física de los objetos que es susceptible de medida o cuantificación, y a “cantidad” como “porción” de una determinada magnitud. Cabe señalar que lo que esencialmente define a una magnitud es que pueden aplicársele criterios de igualdad y aditividad. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

207

Volumen II. Matemáticas

208

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Desde un punto de vista matemático las “definiciones” anteriores no son en modo alguno satisfactorias. Pero la fundamentación teórica de los conceptos citados, desde una perspectiva purista, nos adentraría en terrenos más intrincados, como la “Teoría de la medida”, que parece oportuno aquí soslayar.

Podemos decir que (A/~, +, o, £) es una estructura de “semimódulo ordenado” sobre el semianillo (R+, +, · ). Para definir luego los conceptos de unidad y medida, es preciso que dicho semimódulo sea monógeno, es decir, que exista una cantidad u tal que toda otra x pueda obtenerse como x = r o u , siendo r un número real positivo. Si la construcción anterior se hace sobre el semianillo (R+, +, · ) a la magnitud se le llama magnitud escalar continua. Si se toma el semianillo (N, +, · ) de los naturales se llama magnitud escalar discreta. Ahora surge la cuestión de la “medida” de una magnitud. Básicamente se trata de asignar a cada cantidad x de dicha magnitud un número real m(x) que deberá estar sujeto a un sistema de axiomas, entre los

En términos generales se define una magnitud en un determinado conjunto A al establecer una relación de “equivalencia” (~) en A y una “suma” (+) en el conjunto cociente A/~ de modo que (A/~, +) sea un semigrupo abeliano con elemento neutro. Esto es, la suma definida cumple: 1. 2. 3.

Asociatividad: x + ( y+ z ) = ( x + y )+ z ( " x , y, z Î A/ ~). Conmutatividad: x + y = y+ x ( " x , y Î A/ ~). Elemento neutro: existe un 0 Î A/ ~, tal que x + 0 = x ( "x Î A/ ~).

Diferencia de cantidades (cuando sólo existe en caso de que el “minuendo” sea mayor que el “sustraendo”, se trata de una magnitud escalar absoluta). Producto cantidades por números reales positivos. Se trata de una ley externa o con operadores en R+ (incluimos el 0), a la que exigiremos las propiedades: 1. Distributiva mixta de + respecto de o: ( r+ s ) o x = r o x + s o x. 2. Distributiva mixta de o respecto de +: r o ( x + y ) = r o x + r o y. 3. Pseudoasociativa: r o ( s o x ) = ( rs ) o x. 4. Compatibilidad con el orden: x £ y Þ r o x £ r o y. Entonces, a cada una de las clases de equivalencia x , y, z ,... se le denomina cantidad.

De acuerdo con lo anterior, sobre un mismo conjunto A podrían definirse distintas magnitudes. Pensemos por ejemplo en el conjunto de todos los polígonos planos convexos, en el cual pueden definirse las magnitudes “área” y “perímetro”. Una magnitud que nos va a interesar de modo especial en el presente tema es la magnitud “longitud” definida sobre el conjunto de todos los segmentos. Primero definiríamos la igualdad de segmentos como congruencia (dos segmentos son iguales si se pueden superponer mediante un movimiento en el plano) y después la suma de segmentos de la manera habitual. La longitud es una cualidad común de todos los segmentos que los hace igualables y sumables. La cantidad de longitud sería lo que tienen de común todos los segmentos iguales entre sí. Hay por el contrario cualidades de los objetos –como la forma– y nociones –como el paralelismo– que no son magnitudes. En ambos casos puede hablarse de clases de equivalencia, pero no tiene sentido definir una suma de formas o de direcciones. Conviene aclarar, sin embargo, que el concepto matemático de magnitud difiere del que se maneja en la Física. Ésta considera magnitudes como la densidad o la temperatura (que no son sumables). Se distingue entonces entre magnitudes extensivas y magnitudes intensivas, según respectivamente que tenga sentido o no definir la suma. En Matemáticas consideramos magnitudes sólo a las primeras. b) a)

Si los elementos del conjunto A pueden ordenarse mediante una relación de orden total £, compatible con la suma, entonces (A/~, +) es un semigrupo abeliano con elemento neutro, totalmente ordenado. En tal caso la magnitud recibe el nombre de magnitud escalar. Entre cantidades de una magnitud escalar pueden definirse dos nuevas operaciones: De acuerdo con lo anterior, sobre un mismo conjunto A podrían definirse distintas magnitudes. Pensemos por ejemplo en el conjunto de todos los polígonos planos convexos, en el cual pueden definirse las magnitudes “área” y “perímetro”. Una magnitud que nos va a interesar de modo especial en el presente tema es la magnitud “longitud” definida sobre el conjunto de todos los segmentos. Primero definiríamos la igualdad de segmentos como congruencia (dos segmentos son iguales si se pueden superponer mediante un movimiento en el plano) y después la suma de segmentos de la manera habitual. La longitud es una cualidad común de todos los segmentos que los hace igualables y sumables. La cantidad de longitud sería lo que tienen de común todos los segmentos iguales entre sí. Hay por el contrario cualidades de los objetos –como la forma– y nociones –como el paralelismo– que no son magnitudes. En ambos casos puede hablarse de clases de equivalencia, pero no tiene sentido definir una suma de formas o de direcciones. Conviene aclarar, sin embargo, que el concepto matemático de magnitud difiere del que se maneja en la Física. Ésta considera magnitudes como la densidad o la temperatura (que no son sumables). Se distingue entonces entre magnitudes extensivas y magnitudes intensivas, según respectivamente que tenga sentido o no definir la suma. En Matemáticas consideramos magnitudes sólo a las primeras.

Si los elementos del conjunto A pueden ordenarse mediante una relación de orden total £, compatible con la suma, entonces (A/~, +) es un semigrupo abeliano con elemento neutro, totalmente ordenado. En tal caso la magnitud recibe el nombre de magnitud escalar. Entre cantidades de una magnitud escalar pueden definirse dos nuevas operaciones:

a)

b)

Diferencia de cantidades (cuando sólo existe en caso de que el “minuendo” sea mayor que el “sustraendo”, se trata de una magnitud escalar absoluta). Producto cantidades por números reales positivos. Se trata de una ley externa o con operadores en R+ (incluimos el 0), a la que exigiremos las propiedades: 1. Distributiva mixta de + respecto de o: ( r+ s ) o x = r o x + s o x. 2. Distributiva mixta de o respecto de +: r o ( x + y ) = r o x + r o y. 3. Pseudoasociativa: r o ( s o x ) = ( rs ) o x. 4. Compatibilidad con el orden: x £ y Þ r o x £ r o y. Entonces, a cada una de las clases de equivalencia x , y, z ,... se le denomina cantidad.

1. 2. 3.

Asociatividad: x + ( y+ z ) = ( x + y )+ z ( " x , y, z Î A/ ~). Conmutatividad: x + y = y+ x ( " x , y Î A/ ~). Elemento neutro: existe un 0 Î A/ ~, tal que x + 0 = x ( "x Î A/ ~).

Podemos decir que (A/~, +, o, £) es una estructura de “semimódulo ordenado” sobre el semianillo (R+, +, · ). Para definir luego los conceptos de unidad y medida, es preciso que dicho semimódulo sea monógeno, es decir, que exista una cantidad u tal que toda otra x pueda obtenerse como x = r o u , siendo r un número real positivo. Si la construcción anterior se hace sobre el semianillo (R+, +, · ) a la magnitud se le llama magnitud escalar continua. Si se toma el semianillo (N, +, · ) de los naturales se llama magnitud escalar discreta. Ahora surge la cuestión de la “medida” de una magnitud. Básicamente se trata de asignar a cada cantidad x de dicha magnitud un número real m(x) que deberá estar sujeto a un sistema de axiomas, entre los

En términos generales se define una magnitud en un determinado conjunto A al establecer una relación de “equivalencia” (~) en A y una “suma” (+) en el conjunto cociente A/~ de modo que (A/~, +) sea un semigrupo abeliano con elemento neutro. Esto es, la suma definida cumple: Desde un punto de vista matemático las “definiciones” anteriores no son en modo alguno satisfactorias. Pero la fundamentación teórica de los conceptos citados, desde una perspectiva purista, nos adentraría en terrenos más intrincados, como la “Teoría de la medida”, que parece oportuno aquí soslayar.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

208

Proporciones notables cuales estará el de no negatividad (m(x) ³ 0, para cualquier cantidad x, siendo m(x) = 0 si y sólo si x = 0) y el de aditividad (m( x + y ) = m( x )+ m( y )). Asimismo, para una cierta cantidad u es m( u )= 1, y decimos que se ha tomado u como “patrón” o “unidad”. De esa manera es obvio que si p Î N *, entonces: p veces

p veces

p veces

m( pu ) = m( u + u + ... + u ) = m( u )+ m( u )+ ... + m( u ) = 1+ 1+ ... + 1= p q veces

También si x es una cantidad tal que x + x + ... + x = u , entonces llegamos a q veces

m( x+ x+ ... + x ) = qm( x ) = m( u ) = 1 Þ m( x ) =

1 q q veces

p veces

Si tenemos ahora dos cantidades de una magnitud x e y tales que y+ y+ ... + y = x + x + ... + x, p entonces m( y ) = m( x ). A veces se ha expresado esto diciendo que la cantidad y es parte alícuota de x q (en tal caso también x lo es de y). En consecuencia si una cantidad x es parte alícuota de la unidad u, entonp ces la medida de dicha cantidad se expresaría mediante un número racional, es decir, una razón entre dos q números enteros (en caso contrario los antiguos griegos hablaban de “inconmensurables”). No obstante lo anterior, sabido es que la medida de una cantidad no siempre es racional. La construcción teórica es la siguiente: Si tenemos una magnitud escalar continua, lo que hacemos es tomar un generador u del semimódulo (A/~, +, o, £), al que llamaremos unidad. Se establece entonces una biyección mu : (A/~, +, o, £) ® (R+, +, ·, £), definida como: mu ( x )= r Û x = r o u Dicha biyección es un isomorfismo compatible con el orden, pues:

–

mu ( x + y ) = mu ( x )+ m( y ).

–

mu ( r o x ) = rmu ( x ).

–

Si x £ y, entonces mu ( x ) £ m( y ).

El isomorfismo anterior permite identificar una cantidad de una magnitud con su medida expresada mediante un número real (racional o no). Esto es lo que se hace a un nivel elemental.

4. LA PROPORCIONALIDAD DESDE EL PUNTO DE VISTA ARITMÉTICO, GEOMÉTRICO Y GRÁFICO 4.1. Razón entre cantidades El concepto de razón (“ratio”) adquiere una gran riqueza de significado cuando se aplica no a números en abstracto, sino a “cantidades”. Cuando hablamos de razón entre cantidades homogéneas, nos referimos a cantidades de una misma magnitud, que supondremos escalar. Si se trata de una magnitud escalar continua, en tal caso dicha razón expresa la medida del antecedente cuando se toma el consecuente como unidad. Así por ejemplo, si mezclamos en un recipiente 250 cc de alcohol puro y 550 cc de agua pura, obtenemos una disolución de alcohol en agua. La razón entre el volu250 men de alcohol y el volumen total es = 0,3125; se trata de un número adimensional que expresa el 800 TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

209

Volumen II. Matemáticas

210

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

“tanto por uno”, es decir, los centímetros cúbicos de alcohol que habría en 1 cc de tal disolución. Dicho índice no es más que una forma de expresar la concentración de alcohol. Si manejamos magnitudes escalares discretas, la interpretación de razón entre dos cantidades homogéneas (que sigue siendo adimensional) tiene otro matiz. Así por ejemplo, si a una reunión asisten 36 per24 sonas de las cuales 24 son mujeres, la razón entre el número de éstas y el total de asistentes es que equi36 2 vale a . Ello significa que las mujeres suponen los dos tercios del total o que dos de cada tres asistentes a 3 dicha reunión eran mujeres. Sea ahora la razón entre dos cantidades de distinta magnitud. Disponemos de infinidad de ejemplos de tal situación. Bastaría citar algunos: f = mu ' o p o ( mu )–1

La función de proporcionalidad inducida es la biyección que resulta de

r'1 , r2' , r3' ,........., ri' …

r1 , r2 , r3 ,.........., ri …

f

mu'

mu

x1 , x2 , x3 ,.........., xi … _ (A /~,+, , C por ser exterior del triángulo BA''C, y por tanto, BC > BA '' = BA, en contra de lo supuesto. Si A'' fuese exterior a AC, se llega a la consecuencia de que A$ ''> C$ y como el triángulo A'B'C' es igual que A''BC, resulta que A$ ' > C$ ', de donde B 'C ' > B ' A ', que también contradice la hipótesis.

2.6.2. Criterios de igualdad de triángulos rectángulos Los cuatro criterios de igualdad estudiados, aplicados a los triángulos rectángulos, dan los siguientes enunciados: 1. Dos triángulos rectángulos de catetos respectivamente iguales, son iguales. 2. Dos triángulos rectángulos que tienen, respectivamente, iguales un cateto y un ángulo agudo, son iguales. 3. Si un triángulo es rectángulo, otro que tenga los lados respectivamente iguales, también lo es, y es igual que él. 4. Dos triángulos rectángulos que tengan, respectivamente, iguales un cateto y la hipotenusa, son iguales.

2.7. Relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo En un triángulo, las relaciones más importantes que tienen lugar entre sus elementos son: Teorema 3. En todo triángulo un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. D

En efecto, sea el triángulo T = A BC . Para llegar a través del mismo desde el vértice A hasta el vértice C podemos seguir dos caminos distintos: a través del lado b o a través de los lados a y c (a+c). Como sabemos, la distancia más corta entre dos puntos es la longitud del segmento que los une, por lo que bb–c

B

c

a T

b

C

Figura 9.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

283

Volumen II. Matemáticas

284

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Figura 12.

B

Teorema 4. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. En efecto, consideremos el triángulo isósceles representado en la figura, cuyos lados iguales son AB y BC. Uniendo B con el punto medio del lado opuesto

A

B

A'

B'

D

D

(M) se forman los triángulos A B M y C B M , que son iguales al ser BM mediatriz del segmento AC, por lo que A$ = C$ . Como consecuencia de este teorema podemos decir que “en un triángulo equilátero, al ser los tres lados iguales, los ángulos también son iguales”.

c

a

C''

C'

D

b

C

M

C

Teorema 7. Si dos triángulos tienen dos pares de lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido distinto, los lados opuestos a estos ángulos están en la misma relación de desigualdad. Es decir, si AB = A ' B ', AC = A 'C ' y A$ > A$ ', entonces BC > B 'C '. A

Teorema 5. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

Figura 10.

B

– a = b, con lo que el triángulo será isósceles, y A$ = B$ en contra de la hipótesis. – a < b, con lo que por el teorema anterior, A$ < B$ en contra de la hipótesis. Así, el teorema queda demostrado. b

a

D

La demostración la haremos por reducción al absurdo. Para demostrar que A$ > B$ implica que a > b, supondremos que a no es mayor que b, con lo que se nos pueden dar dos casos: C

A

Figura 11.

Teorema 6. En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado.

D

En el triángulo A BC , consideremos que el lado BC es mayor que el AB. Veremos que A$ > C$ . Para ello, a partir del vértice B y sobre el lado BC, tomamos un segmento BD, de igual medida que AB, con lo D que se forma el triángulo isósceles A B D, en el que, por lo visto, en el teorema anterior a$ = b$ . Por ser exte-

rior al triángulo A DC , el ángulo b es mayor que cualquiera de los dos interiores no adyacentes, por lo que $ Además, tal y como se deduce de la propia construcción A$ > a. $ Combinando adecuadamente las b$ > C. desigualdades y la igualdad anterior, tenemos ü ü A$ > b$ ï a$ = b$ ï ý Þ A$ >C$ ý Þ A$ > a$ ; Así ï ï A$ > a$ þ b$ >C$ þ D

rior al triángulo A DC , el ángulo b es mayor que cualquiera de los dos interiores no adyacentes, por lo que $ Además, tal y como se deduce de la propia construcción A$ > a. $ Combinando adecuadamente las b$ > C. desigualdades y la igualdad anterior, tenemos A$ > b$ ü a$ = b$ ü ï $ $ ï $ ý Þ A>C ý Þ A > a$ ; Así $ A$ > a$ ï b >C$ ï þ þ D

En el triángulo A BC , consideremos que el lado BC es mayor que el AB. Veremos que A$ > C$ . Para ello, a partir del vértice B y sobre el lado BC, tomamos un segmento BD, de igual medida que AB, con lo D que se forma el triángulo isósceles A B D, en el que, por lo visto, en el teorema anterior a$ = b$ . Por ser exteD

Teorema 6. En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado.

A

C

Figura 11.

La demostración la haremos por reducción al absurdo. Para demostrar que A$ > B$ implica que a > b, supondremos que a no es mayor que b, con lo que se nos pueden dar dos casos: – a = b, con lo que el triángulo será isósceles, y A$ = B$ en contra de la hipótesis.

a

D

b

a < b, con lo que por el teorema anterior, A$ < B$ en contra de la hipótesis. Así, el teorema queda demostrado.

–

Teorema 7. Si dos triángulos tienen dos pares de lados respectivamente iguales y el ángulo comprendido distinto, los lados opuestos a estos ángulos están en la misma relación de desigualdad. Es decir, si AB = A ' B ', AC = A 'C ' y A$ > A$ ', entonces BC > B 'C '. B

Figura 10.

Teorema 5. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

A

M

C

(M) se forman los triángulos A B M y C B M , que son iguales al ser BM mediatriz del segmento AC, por lo que A$ = C$ . Como consecuencia de este teorema podemos decir que “en un triángulo equilátero, al ser los tres lados iguales, los ángulos también son iguales”.

C

b

D

C''

C'

D

Teorema 4. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. En efecto, consideremos el triángulo isósceles representado en la figura, cuyos lados iguales son AB y BC. Uniendo B con el punto medio del lado opuesto B

A'

B'

Figura 12.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

a B 284

D

c A

Geometría del triángulo D

D

En efecto, transportando A ' B 'C ' sobre A BC de modo que coincidan AB y A ' B ' y los semiplanos que D D contienen a C y a C', obtenemos A BC '', igual que A ' B 'C '. Por ser A$ > A$ '= ang (C '' AB ), la semirrecta AC'' es interior al ángulo A y la bisectriz del ángulo CAC'' corta al lado BC en un punto D tal que DC = DC ''. D

Entonces AC = AC ''. Además, en el triángulo B DC '' es BC '' < BD + DC '' = BC (ya que DC ''= DC ), luego B 'C ' = BC '' < BC . Teorema 8. Si dos triángulos tienen dos pares de lados respectivamente iguales y el tercer lado distinto, los ángulos opuestos a estos lados están en la misma razón de desigualdad, es decir, si AB = A ' B ', AC = A 'C ' y BC > B 'C ', entonces A$ > A$ '. El teorema se demuestra por reducción al absurdo.

2.8. Construcción de triángulos 2.8.1. Casos particulares –

Triángulo equilátero: con regla y compás, con escuadra y cartabón, sobre la circunferencia o con el plegado son las formas más frecuentes de construirlos.

–

Triángulo isósceles: con regla y compás, pinchando en los dos extremos del lado desigual y con igual abertura, trazamos dos arcos de circunferencia y donde se corten se encontrará el tercer vértice. Otra forma es trazar la mediatriz del lado desigual y cualquier punto de la mediatriz, unido con los extremos del lado desigual, forman un triángulo isósceles.

–

Triángulo rectángulo: con la escuadra y el cartabón se construyen los lados del ángulo recto y llevando la medida de los catetos se delimitan los dos vértices restantes.

2.8.2. Construcción en general La construcción de un triángulo se puede realizar conociendo los tres lados, conociendo dos lados y un ángulo y conociendo dos ángulos y un lado. Conocidos los tres lados. 1. Con la regla se traza uno de los segmentos dados. 2. Con el compás medimos otro de los segmentos dados y, pinchando en uno de los extremos del segmento trazado, se dibuja un arco de circunferencia. 3. Con el compás medimos el otro segmento y trazamos un arco de circunferencia tomando como centro el otro extremo del segmento. 4. Los dos arcos de circunferencia se cortan en un punto que es el tercer vértice del triángulo. 5. Se une ese punto con los extremos del primer segmento y queda construido el triángulo. Conocidos dos lados y un ángulo. 1. Con la regla se traza uno de los segmentos dados. 2. Se traza el ángulo dado, tomando como uno de sus lados el dibujado con la regla. 3. Con el compás, pinchando en el vértice del ángulo, se señala en el lado recién trazado la medida del otro segmento conocido, obteniendo así el tercer vértice del triángulo. 4. Se une el vértice hallado, con el otro extremo, obteniéndose el triángulo.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

285

Volumen II. Matemáticas

286

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Conocidos dos ángulos y un lado. 1. Se traza el segmento dado. 2. Tomando como vértice un extremo del segmento se traza un ángulo que tenga como lado el segmento dado. 3. Se traza el otro ángulo tomando como vértice el otro extremo del segmento y como lado el segmento dado. 4. Prolongando los lados de los ángulos construidos se cortan en un punto que es el tercer vértice.

Teorema 10. La bisectriz de un ángulo de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Como en el teorema anterior, haremos la demostración en dos partes. Trazando desde P la perpendicular a la recta AC, obtendremos los triángulos A M P y C M P, que son iguales al tener ambos un ángulo recto, PA = PC y el cateto PM común. Por lo tanto, AM = MC , lo que implica que M es el punto medio del lado AC, estando así P en la mediatriz de AC. D

2.

D

Sea ahora P un punto que equidista de A y C, es decir AP = CP. Comprobaremos que P pertenece a la mediatriz DM, correspondiente al lado AC.

3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

En el apartado anterior hemos definido las rectas notables de un triángulo y en éste nos centraremos en propiedades de las mismas, así como puntos y figuras generadas por ellas.

A M P y C M P. Así, al tener los dos triángulos rectángulos A M P y C M P los dos catetos iguales, se verifica que ambos son iguales, de donde deducimos que los lados AP y CP son iguales. D

D

D

D

A MP y C M P son triángulos rectángulos en M por ser la mediatriz perpendicular a AC. Se verifica por otro lado que AM = MC , pues M es el punto medio de AC y PM es lado común de los triángulos

3.1. Teoremas relativos a mediatrices y bisectrices como lugares geométricos 1.

D

D

Si P es un punto que pertenece a la mediatriz DM, hemos de comprobar que AP = CP. Los triángulos

Teorema 9. La mediatriz correspondiente a un lado de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los vértices de dicho lado.

En efecto, sea el triángulo A BC y sea DM la mediatriz correspondiente al lado AC. Dividiremos la demostración en dos partes: 1. Todo punto perteneciente a la mediatriz DM equidista de A y C. 2. Todo punto del plano que equidista de A y C, pertenece a la mediatriz DM.

B

D

D

M

A

C

Figura 13.

A

C

M

Figura 13.

D

En efecto, sea el triángulo A BC y sea DM la mediatriz correspondiente al lado AC. Dividiremos la demostración en dos partes: 1. Todo punto perteneciente a la mediatriz DM equidista de A y C. 2. Todo punto del plano que equidista de A y C, pertenece a la mediatriz DM.

D

B

Teorema 9. La mediatriz correspondiente a un lado de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los vértices de dicho lado. 1.

Si P es un punto que pertenece a la mediatriz DM, hemos de comprobar que AP = CP. Los triángulos D

D

3.1. Teoremas relativos a mediatrices y bisectrices como lugares geométricos

A MP y C M P son triángulos rectángulos en M por ser la mediatriz perpendicular a AC. Se verifica por otro lado que AM = MC , pues M es el punto medio de AC y PM es lado común de los triángulos D

D

D

D

A M P y C M P. Así, al tener los dos triángulos rectángulos A M P y C M P los dos catetos iguales, se verifica que ambos son iguales, de donde deducimos que los lados AP y CP son iguales.

En el apartado anterior hemos definido las rectas notables de un triángulo y en éste nos centraremos en propiedades de las mismas, así como puntos y figuras generadas por ellas.

Sea ahora P un punto que equidista de A y C, es decir AP = CP. Comprobaremos que P pertenece a la mediatriz DM, correspondiente al lado AC.

3. PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DEL TRIÁNGULO

2.

D

D

Trazando desde P la perpendicular a la recta AC, obtendremos los triángulos A M P y C M P, que son iguales al tener ambos un ángulo recto, PA = PC y el cateto PM común. Por lo tanto, AM = MC , lo que implica que M es el punto medio del lado AC, estando así P en la mediatriz de AC. 4.

Conocidos dos ángulos y un lado. 1. Se traza el segmento dado. 2. Tomando como vértice un extremo del segmento se traza un ángulo que tenga como lado el segmento dado. 3. Se traza el otro ángulo tomando como vértice el otro extremo del segmento y como lado el segmento dado. Prolongando los lados de los ángulos construidos se cortan en un punto que es el tercer vértice.

Teorema 10. La bisectriz de un ángulo de un triángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Como en el teorema anterior, haremos la demostración en dos partes.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

286

Geometría del triángulo

B E F

A

Figura 14.

C

D

1.

$ veremos que equidista de los lados AB y BC, es decir, Si D es un punto de la bisectriz del ángulo B,

2.

DE = DF . Para ello construimos los triángulos rectángulos D E B y D F B, que son iguales al tener el $ Así, lado BD común y ang (EBD = ang (FBD) (al ser cada uno de ellos la mitad del ángulo B). DE = DF . $ Si D equidista de los lados AB y CB, es decir, DE = DF , entonces D pertenece a la bisectriz del ángulo B.

D

D

D

D

Si unimos B con D obtenemos los triángulos rectángulos D E B y D F B, que son iguales, pues DE = DF por hipótesis y BD es común a ambos, por lo que ang ( EBD ) = ang ( FBD ), siendo así BD $ perteneciendo D a la misma. la bisectriz del ángulo B,

3.2. Puntos notables de un triángulo Proposición 1. Las mediatrices de un triángulo concurren en un punto que llamamos circuncentro que equidista de los tres vértices, siendo el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. B

En efecto, las mediatrices m y n pertenecientes a los lados AC y AB se cortan (tienen distinta dirección) por ser perpendiculares a rectas que tienen distinta dirección (se cortan). Si O = m Ç n, por pertenecer a m equidista de A y C y por pertenecer a n equidista de A y B, por lo que equidista de B y C, perteneciendo a p (mediatriz del lado BC). Así, O = m Ç n Ç p, es decir, las tres mediatrices se cortan A en un punto que equidista de los tres vértices.

n

p O C

m

Figura 15. Proposición 2. El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y tiene de longitud la mitad de éste. D

En efecto, dado el triángulo A BC , sean D y E los puntos medios de los lados AB y BC. Tracemos por D la recta rD paralela al lado AC, que cortará al lado BC en el punto E'. Aplicando el

B

D

teorema fundamental de la semejanza a los triángulos A BC y D

B D E ', tendremos: DB BE ' DE ' BE ' DB y de aquí = = = A AB BC AC BC AB y teniendo en cuenta que D es el punto medio de AB, tendremos BE ' DB 1 = = , lo que nos dice que E' es el punto medio del BC AB 2 lado BC, por lo que coincide con E.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

D

E = E'

C

Figura 16.

287

Volumen II. Matemáticas

288

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

iguales, además de tener un lado común. Observamos que los triángulos AC M y C ' B M también tienen

Proposición 3. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G llamado Baricentro, que dista de cada vértice los dos tercios de la mediana correspondiente. D

D

A'B', con lo que se demostraría que ambas medianas coinciden. Para ello veremos que A BC = BCC ', cosa cierta, ya que por construcción son iguales al tener sus lados paralelos, lo que implica que sus ángulos son D

C

D

D

En efecto, sea el triángulo A BC y consideremos la mediana AF, trazada desde el vértice A. Una segunda mediana, la BD, correspondiente al vértice B corta a AF, por estar B y D en distinto semiplano respecto de la recta AF en el punto G.

Demostraremos que M es el punto medio del lado BC, ya que según se ha visto A es el punto medio de Figura 18.

A'

D

F

D

G A

En el triángulo G A B el segmento EH que une los puntos medios de los lados GA y GB es paralelo a AB e igual a su mitad (proposición anterior), es decir:

E

H

A

B

C

EH || AB y AB = 2×EH M

Figura 17. B'

C'

D

B

De modo análogo, en el triángulo A BC , DF es paralelo a AB e igual a su mitad, es decir:

Veremos que la mediana de A ' B 'C ', trazada por ejemplo desde C', coincide con la mediana de A BC , trazada desde A. DF || AB y AB = 2×DF

D

D

En efecto, dado el triángulo A BC y su asociado A ' B 'C ', demostraremos que sus medianas coinciden.

De lo anterior deducimos que DF y EH son paralelos y tienen la misma longitud, lo que implica que D

Proposición 4. Un triángulo y su asociado tienen el mismo baricentro.

D

D

D

los triángulos DG F y H G E son iguales. Por lo tanto GF = GE

GA 2 Þ GA = AF 2 3

GD = GH

GB 2 Þ GB = BD 2 3

Definición 2. Dado el triángulo A BC , llamaremos triángulo asociado A ' B 'C ' al que obtenemos trazando por cada vértice una paralela al lado opuesto. D

D

dos paralelos a los de A BC y la longitud de los mismos es la mitad que la de los lados de A BC . D

D

uniendo los puntos medios de los lados de A BC . Ya hemos comprobado que dicho triángulo tiene los la-

2 La tercera mediana, por razones análogas, cortará a BD en un punto que distará de B, de BD, lo que im3 plica que se trata del mismo punto G, común a las tres medianas. Dicho punto G recibe el nombre de Baricentro. D

Definición 1. Dado el triángulo A BC , llamaremos triángulo mediano de A BC al que se obtiene D

D

GB 2 GD = GH Þ GB = BD 2 3 2 La tercera mediana, por razones análogas, cortará a BD en un punto que distará de B, de BD, lo que im3 plica que se trata del mismo punto G, común a las tres medianas. Dicho punto G recibe el nombre de Baricentro. D

D

Definición 1. Dado el triángulo A BC , llamaremos triángulo mediano de A BC al que se obtiene D

uniendo los puntos medios de los lados de A BC . Ya hemos comprobado que dicho triángulo tiene los laD

D

dos paralelos a los de A BC y la longitud de los mismos es la mitad que la de los lados de A BC . D

D

Definición 2. Dado el triángulo A BC , llamaremos triángulo asociado A ' B 'C ' al que obtenemos trazando por cada vértice una paralela al lado opuesto. GF = GE

GA 2 Þ GA = AF 2 3

los triángulos DG F y H G E son iguales. Por lo tanto D

D

D

D

Proposición 4. Un triángulo y su asociado tienen el mismo baricentro.

De lo anterior deducimos que DF y EH son paralelos y tienen la misma longitud, lo que implica que

En efecto, dado el triángulo A BC y su asociado A ' B 'C ', demostraremos que sus medianas coinciden. D

DF || AB y AB = 2×DF

D

Veremos que la mediana de A ' B 'C ', trazada por ejemplo desde C', coincide con la mediana de A BC , trazada desde A. De modo análogo, en el triángulo A BC , DF es paralelo a AB e igual a su mitad, es decir: D

B

B'

C'

EH || AB y AB = 2×EH

Figura 17.

M

En el triángulo G A B el segmento EH que une los puntos medios de los lados GA y GB es paralelo a AB e igual a su mitad (proposición anterior), es decir:

A A

C

B E

H G

D

En efecto, sea el triángulo A BC y consideremos la mediana AF, trazada desde el vértice A. Una segunda mediana, la BD, correspondiente al vértice B corta a AF, por estar B y D en distinto semiplano respecto de la recta AF en el punto G. Figura 18.

D

F

A'

Demostraremos que M es el punto medio del lado BC, ya que según se ha visto A es el punto medio de D

D

C

A'B', con lo que se demostraría que ambas medianas coinciden. Para ello veremos que A BC = BCC ', cosa cierta, ya que por construcción son iguales al tener sus lados paralelos, lo que implica que sus ángulos son D

Proposición 3. Las medianas de un triángulo se cortan en un punto G llamado Baricentro, que dista de cada vértice los dos tercios de la mediana correspondiente. D

D

iguales, además de tener un lado común. Observamos que los triángulos AC M y C ' B M también tienen CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

288

Geometría del triángulo D

D

sus lados paralelos, por lo que sus ángulos son iguales y, además, BC '= AC , ya que A BC = BC C '. Así, por ser iguales los triángulos, BM = MC , por lo que M es el punto medio de BC. Por tanto, si coinciden las medianas de un triángulo con las de su asociado, se cortarán en el mismo punto, con lo que ambos triángulos tienen el mismo baricentro. Proposición 5. Las rectas que contienen a las alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. D

D

En efecto, consideremos la figura anterior, en la que aparece el triángulo A BC y su asociado A ' B 'C '. D

D

Por lo ya visto, el triángulo asociado A ' B 'C ' tiene los lados paralelos a los de A BC y dobles de los de éste. D

En consecuencia, las rectas que contienen a las alturas del triángulo A BC son las mediatrices del triángulo D

A ' B 'C ' y, por tanto, concurren en un punto al que llamaremos ortocentro. Proposición 6. Las bisectrices interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro, que equidista de sus tres lados. B En efecto, si consideramos las bisectrices de los ángulos A$ y B$ , que llamamos m y n, ambas rectas han de cortarse por forn I mar con la secante común AB ángulos cuya suma es menor que un ángulo llano. El punto de intersección I equidista de las rectas m p de los tres lados por pertenecer a una y otra bisectriz. A este punto I lo llamamos incentro y es el centro de la única circunferencia A C interior y tangente a los tres lados, a la que se llama circunferenFigura 19. cia inscrita al triángulo. Definición 3. Una circunferencia no inscrita, tangente a los tres lados de un triángulo, se llama circunferencia exinscrita y su centro exincentro. En una circunferencia exinscrita (hay 3), el centro es el punto de corte de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores. D

Definición 4. Dado un triángulo acutángulo A BC , el triángulo que tiene como vértices los pies de las tres alturas del mismo se llama triángulo órtico.

D

Proposición 7. Las alturas de todo triángulo acutángulo A BC son las bisectrices interiores de su triángulo órtico. A Demostraremos, por ejemplo, que b = b'. Hc y Hb son vértices de ángulos rectos cuyos lados pasan por B y C, luego los cuatro puntos B, Hc, Hb y C están en una cirHc cunferencia, siendo iguales los ángulos inscritos que Hb abarcan el mismo arco. Así, a = a'. Análogamente, por ser restos los ángulos CHbO y OHaC, los cuatro puntos O C, Hb, O y Ha están en otra circunferencia, verificándose por la misma razón anterior que a = b. De la misma mab b' a nera se prueba que a' = b', de donde resulta que b = b'. a' De ello se deduce que los lados de un triángulo acutángulo son las bisectrices exteriores de su triángulo órtico C Ha y que los vértices de un triángulo son los exincentros de B Figura 20. su triángulo órtico. Si el triángulo es obtusángulo, se demuestra de forma análoga que las alturas son una bisectriz interior y dos exteriores y los lados son las bisectrices restantes del triángulo órtico. Si el triángulo es rectángulo no existe triángulo órtico.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

289

Volumen II. Matemáticas

290

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

AC × AC = ( AB + BC ) × ( AB + BC ) D

Proposición 8. La circunferencia circunscrita a un triángulo A BC contiene los puntos de intersección de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. Figura 23.

Si multiplicamos escalarmente la expresión (1) por sí O –i misma, tendremos G'

c

B

Sabemos que (1) y expresando estos AC = AB + BC vectores como diferencias der losr vectoresr derposición de r r sus extremos, tendremos AC = c – a , AB = b – a y BC = c – b A

del triángulo A BC .

– j

En efecto, por los puntos medios G'c y Gc de los arcos de dicha circunferencia de extremos A y B pasan, a la vez, el diámetro perpendicular a AB (mediatriz de AB) y las bisectrices interior (ya que ésta divide al ángulo inscrito ang(ACB) en dos iguales, por lo que pasa por el centro del arco AB, es decir, por G'c) y exterior (al ser la de un ángulo no inscrito, suma de los inscritos A$ y B$ , por lo que divide el $ arco AB en dos partes iguales pasando así por Gc) del ángulo C.

D

Demostración 2. La demostración la haremos basándonos en las propiedades del plano afín euclídeo. Para ello suD $ pondremos el triángulo A BC , rectángulor en r B, representado en el sistema de referencia afín R = {O , i , j} del plano. Sean r r r a, b y c los vectores de posición de los puntos A, B y C, vértices

–c

– b

–a

C

b

A

a

c

B

Definición 5. El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo (Teorema de Euler). La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

C

Gc

m n construcción en D y además semejantes al A BC , ya que tienen con él un lado y un ángulo común además del recto (el triángulo A D b D D A D B el lado AB y el ángulo A$ y el triángulo C DB el lado BC y el Figura 22. $ ángulo C). Así, por ser semejantes: D D ü b c A B D ~ A BC Û = Þ c2 = b × mï ï c m ý Þ a 2 + c2 = b × ( m+ n ) ¾ ¾¾¾¾ ¾® b 2 = a 2 + c 2 D D b a m + n =b ï = = a2 = b × n ï þ a n

C D B ~ A BC Û Figura 21.

4. PROPIEDADES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO 4.1. Teorema de Pitágoras

Teorema 11. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa coincide con la suma de los cuadrados de los catetos. Existen varias formas de demostrar el teorema de Pitágoras, B de las que expondremos dos.

C

D

en el punto D. Los triángulos A D B y C DB son rectángulos por D

D

$ Demostración 1. Sea el triángulo A BC rectángulo en B. Trazamos desde B la altura (perpendicular a AC), que corta a AC D

$ Demostración 1. Sea el triángulo A BC rectángulo en B. Trazamos desde B la altura (perpendicular a AC), que corta a AC

c

D

c

a

D

D

a

Teorema 11. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa coincide con la suma de los cuadrados de los catetos. Existen varias formas de demostrar el teorema de Pitágoras, B de las que expondremos dos. en el punto D. Los triángulos A D B y C DB son rectángulos por D

m n construcción en D y además semejantes al A BC , ya que tienen con él un lado y un ángulo común además del recto (el triángulo A D b D D A D B el lado AB y el ángulo A$ y el triángulo C DB el lado BC y el Figura 22. $ Así, por ser semejantes: ángulo C). D D ü b c A B D ~ A BC Û = Þ c2 = b × mï ï c m ý Þ a 2 + c2 = b × ( m+ n ) ¾ ¾¾¾¾ ¾® b 2 = a 2 + c 2 D D b a m + n = b ï C D B ~ A BC Û = = a 2 = b × n ï þ a n

C

4.1. Teorema de Pitágoras

4. PROPIEDADES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

Figura 21.

Definición 5. El baricentro de un triángulo está alineado con el ortocentro y el circuncentro y a doble distancia del primero que del segundo (Teorema de Euler). La recta que contiene estos tres puntos se llama recta de Euler.

Gc

C

Demostración 2. La demostración la haremos basándonos en las propiedades del plano afín euclídeo. Para ello suD $ pondremos el triángulo A BC , rectángulor en r B, representado en el sistema de referencia afín R = {O , i , j} del plano. Sean r r r a, b y c los vectores de posición de los puntos A, B y C, vértices

En efecto, por los puntos medios G'c y Gc de los arcos de dicha circunferencia de extremos A y B pasan, a la vez, el diámetro perpendicular a AB (mediatriz de AB) y las bisectrices interior (ya que ésta divide al ángulo inscrito ang(ACB) en dos iguales, por lo que pasa por el centro del arco AB, es decir, por G'c) y exterior (al ser la de un ángulo no inscrito, suma de los inscritos A$ y B$ , por lo que divide el $ arco AB en dos partes iguales pasando así por Gc) del ángulo C.

D

del triángulo A BC .

B

A

Sabemos que AC = AB + BC (1) y expresando estos vectores como diferencias der losr vectoresr derposición de r r sus extremos, tendremos AC = c – a , AB = b – a y BC = c – b

c

a

A

–a

– j

G'

c

B

Si multiplicamos escalarmente la expresión (1) por sí O –i misma, tendremos

– b

b

–c

C

Proposición 8. La circunferencia circunscrita a un triángulo A BC contiene los puntos de intersección de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. AC × AC = ( AB + BC ) × ( AB + BC )

Figura 23.

D

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

290

Geometría del triángulo de donde AC 2 = AB 2 + BC 2, pues AB × AC = 0 al ser perpendiculares, por lo que tendremo b2 = c 2 +a 2.

4.2. Interpretación geométrica del teorema de Pitágoras El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. D

$ Sobre él construimos los cuadrados M, P y Q, soEn efecto sea el triángulo, A BC , rectángulo en A. bre la hipotenusa y los catetos, respectivamente. Probaremos que el área de M es la suma de las áreas de P y Q. Tracemos la altura relativa al vértice A (AD) y la prolongamos hasta que corte al cuadrado M en F. Esta perpendicular divide al cuadrado M en dos rectángulos: R y S. Tracemos también los segmentos AE y BH (observar la figura). D

J

K I

Q A

D

n C

D

cie del triángulo AC E es la mitad de la del rectángulo R, ya que ambos tienen por base CE y por altura CD. De la misma manera, la superficie del triángulo H C B es la mitad de la del cuadrado P, ya que la base de ambos es CH y la altura AC. Así, el rectángulo R y el cuadrado P tienen la mis-

P H

D

Los triángulos AC E y H C B son iguales, pues tienen iguales dos lados (CA = CH y CE = CB) y el ángulo comprendido (C$ = 90+ n$ ). Por otro lado, la superfi-

B

D

D

ma superficie, pues sus mitades, los triángulos AC E y D

R

H C B son iguales. Análogamente se prueba que la superficie del rectángulo S es la misma que la del cuadrado Q. Así:

S M

área = (R + S) = área M = área P + área Q E

F

G

Figura 24.

4.3. Consecuencias del teorema de Pitágoras Como consecuencias del teorema de Pitágoras enumeraremos algunos teoremas que nos dan relaciones métricas en triángulos rectángulos. Teorema 12. Teorema del cateto. En todo triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. D

En la primera demostración del teorema de Pitágoras (Teorema 11), dado el triángulo A BC rectán$ obtuvimos gulo en B, c = b × mü c2 = b × mü ï ï ý de donde ý 2 ï a = b × nþ ï a= b×nþ con lo que queda demostrado el teorema.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

291

Volumen II. Matemáticas

292

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Teorema 13. Teorema de la altura. En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a ésta. En efecto, como observamos en la figura, si trazamos la al-

B

En el triángulo B DA también se verifica h 2 = c2 – n2 Si sustituimos y operamos, tendremos a2 = (b – n)2 + c2 – n2 = b2 + c2 –2bn c

a

h

D

tura relativa al vértice B, se forman los triángulos A D B y C D B, que son semejantes por tener los mismos ángulos, uno recto y los otros dos formados por lados perpendiculares, es decir: A ì ADB $ = CDB $ por rectos. ï ï $ $ ü íDAB = DBC ï ý por lados perpendiculares. ï $ = DCB $ ï ï ABD þ î

m

n

D

D

D

C

b

a 2 = m2 + h 2 = ( b – n )2 + h 2

Figura 25.

$ Sean los dos posibles triángulos de la El teorema lo demostraremos tomando como ángulo agudo A. D figura, en los que tendremos en el triángulo B DC Figura 26.

Por lo tanto sus lados son proporcionales, con lo que m h = Þ h2 = m× n Þ h = m× n h n

b

C

D

A

m

D

n

C

A

b

m

n

a

Teorema 14. Producto de los catetos. En todo triángulo rectángulo el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura. h

a

h

c

c

D

En efecto, consideremos el triángulo A BC rectángulo en B$ (figura anterior). Como se ha visto en la D

B

D

B

demostración 1 del teorema de Pitágoras, los triángulos C D B y A BC son semejantes, por lo que sus lados serán proporcionales. Así:

Teorema 15. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. AB BD = Û AB × BC = AC × BD Û c × a = b × h AC BC

4.4. Relaciones métricas en un triángulo cualquiera

4.4. Relaciones métricas en un triángulo cualquiera

AB BD = Û AB × BC = AC × BD Û c × a = b × h AC BC

Teorema 15. En todo triángulo el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

demostración 1 del teorema de Pitágoras, los triángulos C D B y A BC son semejantes, por lo que sus lados serán proporcionales. Así: B

D

B

D

En efecto, consideremos el triángulo A BC rectángulo en B$ (figura anterior). Como se ha visto en la D

a

c

Teorema 14. Producto de los catetos. En todo triángulo rectángulo el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa por su altura. h

m

n

a

m

b

Por lo tanto sus lados son proporcionales, con lo que m h = Þ h2 = m× n Þ h = m× n h n

C

c

h

b

D

A

D

C

n

A

Figura 26.

ì ADB $ = CDB $ por rectos. ï ï ü $ ï í $ = DAB DBC ý por lados perpendiculares. ï $ $ ï ï î ABD = DCBþ

$ Sean los dos posibles triángulos de la El teorema lo demostraremos tomando como ángulo agudo A. D figura, en los que tendremos en el triángulo B DC Figura 25.

a 2 = m2 + h 2 = ( b – n )2 + h 2

tura relativa al vértice B, se forman los triángulos A D B y C D B, que son semejantes por tener los mismos ángulos, uno recto y los otros dos formados por lados perpendiculares, es decir: A

D

b D

m

C n

En el triángulo B DA también se verifica

h 2 = c2 – n2 D

h

D

Teorema 13. Teorema de la altura. En todo triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a ésta. En efecto, como observamos en la figura, si trazamos la al-

c

a

Si sustituimos y operamos, tendremos a2 = (b – n)2 + c2 – n2 = b2 + c2 –2bn

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

B

292

Geometría del triángulo Teorema 16. En todo triángulo obtusángulo el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

B a

D

D

h

c

$ Si trazaEn efecto, sea el triángulo A BC de ángulo obtuso A. mos la altura respecto al lado AC ( BD ), obtenemos dos triángulos

b

D

rectángulos en D$ ( BC D y B A D ), en el que se verifican (ver figura) C las igualdades: a 2 = m2 + h 2

n D

A

m

Figura 27.

m = b + n Þ m = ( b+ n ) = b + n + 2bn 2

2

2

2

h 2= c2 – n 2 Sustituyendo en la primera las otras dos, tendremos a2 = b2 + n2 + 2bn + c2 – n2 = b2 + c2 2bn Con lo visto en los dos teoremas anteriores, dadas las medidas de los tres lados de un triángulo, podemos reconocer si es rectángulo, acutángulo u obtusángulo sin construirlo, comprobando si el cuadrado del lado mayor es menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos.

Teorema 17. La suma de los cuadrados de los lados de un triángulo es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado del tercer lado. En efecto, sea el triángulo de la figura 28, donde suponemos que b > c, y hemos dibujado la altura ( AH ) y la mediana ( AM ) del a lado BC. Sabemos que MB = MC = y llamamos n = MH , pro2 D yección de m sobre a. En el triángulo A M C , obtuso en M$ , podemos C 2 aplicar el teorema anterior, teniendo b 2 = m2 + CM + 2 × CM × m a y como CM = , quedará a2 2 (1) b 2 = m2 + + a × n 4

A

b

c m n

a

M

H

B

Figura 28.

D

$ teniendo De la misma forma, aplicamos el teorema anterior al triángulo A M B, agudo en B, a2 – a×n 4 Si sumamos las expresiones (1) y (2), obtenemos c2 = m2 +

(2)

a2 2 Esta fórmula tiene la particularidad de que si nos dan las longitudes de los tres lados de un triángulo podemos calcular las longitudes de las tres medianas. b 2 + c2 = 2× m2 +

Teorema 18. La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al doble del tercer lado por la proyección sobre él de la mediana que le corresponde. En efecto, si a la expresión (1) del apartado anterior le restamos la expresión (2), tendremos b 2 – c2 = 2 × a × n Con esta fórmula y la anterior podemos calcular las longitudes de las alturas a partir de las longitudes de los lados aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo de la figura al conocer m y n. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

293

Volumen II. Matemáticas

294

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA D

Teorema 19. Teorema de Stewart. Dado un triángulo A BC y un punto N, perteneciente al lado AB, se verifica: 2

( a 2 + b 2 – c 2 )2 4 a 2b 2 – ( a 2 + b 2 – c2 )2 = = h =b – 4a2 4a2 ( 2ab )2 – ( a 2 + b 2 – c2 )2 = 4a2 2

BN × CA + NA × CB + AB × CN + BN × NA × AB = 0

2

2

Figura 30.

En efecto, tomamos un punto cualquiera N sobre el lado AB y llamamos c1= BN y c2= NA. Aplicando a 2 + b 2 – c2 2a Si sustituimos esta expresión de m en (1), tendremos:

a

H

D

D

los teorema 15 y 16 respectivamente a los triángulos AC N y B N C , tendremos:

c2 = a 2 + b 2 – 2am Þ m =

C

B

m

C

$ tenemos: En el triángulo A BC , agudo en C,

h

D

c

b

llamemos m = HC . En el triángulo rectángulo A H C , tenemos que h2 = b2 – m2 (1). a

b

h

n

D

En efecto, sea AH = h la altura que queremos calcular y

A

c

c

1

2

gulo A BC , si llamamos p al semiperímetro, es decir 2p = a +b + c, la altura correspondiente al vértice A 2 es ha = p ( p – a )( p – b )( p – c ). a B

N

A

H

c

Figura 29.

D

Teorema 20. Cálculo de las alturas de un triángulo A B C en función de sus lados. Dado un triánD

2 2 ü ü b 2 = c2 + n 2 – 2c2 × NH ï c1b 2 = c1c2 + c1n 2 – 2c1c2 × NH ï ýÞ ýÞ 2 2 ï ï a 2 = c1 + n 2 + 2c1 × NH þ c2a 2 = c2c1 + c2n 2 + 2c1c2 × NH þ

BN ×CA + NA×CB + AB×CN + BN ×NA× AB= 0 2

2

2

Þ c1b 2 + c2a 2 = c1 c2 + c2 c1+ c1n 2+ c2n 2 = c1c2 ( c1+ c2 ) + n 2 ( c1+ c2 ) Þ 2

2

Si atribuimos signos a los segmentos sobre la recta AB y designamos por AB la medida del lado AB con signo, la igualdad anterior se convierte en Þ c1b 2 + c2a 2 = ( c1c2 + n 2 ) × c

ya que c = c1+ c2

Þ c1b 2 + c2a 2 = ( c1c2 + n 2 ) × c

ya que c = c1+ c2

Si atribuimos signos a los segmentos sobre la recta AB y designamos por AB la medida del lado AB con signo, la igualdad anterior se convierte en Þ c1b 2 + c2a 2 = c1 c2 + c2 c1+ c1n 2+ c2n 2 = c1c2 ( c1+ c2 ) + n 2 ( c1+ c2 ) Þ 2

2

2

2

2

2 2 b 2 = c2 + n 2 – 2c2 × NH ü c1b 2 = c1c2 + c1n 2 – 2c1c2 × NH ü ï ï ýÞ ýÞ 2 2 2 2 2 2 ï a = c1 + n + 2c1 × NH þ c2a = c2c1 + c2n + 2c1c2 × NH ï þ

BN ×CA + NA×CB + AB×CN + BN ×NA× AB= 0 D

Teorema 20. Cálculo de las alturas de un triángulo A B C en función de sus lados. Dado un triánD

Figura 29.

gulo A BC , si llamamos p al semiperímetro, es decir 2p = a +b + c, la altura correspondiente al vértice A 2 p ( p – a )( p – b )( p – c ). a c1

H

es ha =

c

N

B

A

c2

En efecto, sea AH = h la altura que queremos calcular y

A

D

llamemos m = HC . En el triángulo rectángulo A H C , tenemos que h2 = b2 – m2 (1). n

h

b

a

b

D

$ tenemos: En el triángulo A BC , agudo en C,

c h

C

a 2 + b 2 – c2 c2 = a 2 + b 2 – 2am Þ m = 2a Si sustituimos esta expresión de m en (1), tendremos:

m

los teorema 15 y 16 respectivamente a los triángulos AC N y B N C , tendremos: C

a

D

D

B

H

En efecto, tomamos un punto cualquiera N sobre el lado AB y llamamos c1= BN y c2= NA. Aplicando

Figura 30.

( a 2 + b 2 – c 2 )2 4 a 2b 2 – ( a 2 + b 2 – c2 )2 = = h2 = b2 – 4a2 4a2 ( 2ab )2 – ( a 2 + b 2 – c2 )2 4a2

BN × CA + NA × CB + AB × CN + BN × NA × AB = 0 2

2

=

Teorema 19. Teorema de Stewart. Dado un triángulo A BC y un punto N, perteneciente al lado AB, se verifica: D

294

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Geometría del triángulo Descomponiendo el numerador en una suma por diferencia, quedará: ( 2ab + a 2 + b 2 – c 2 )× ( 2ab – a 2 – b 2 + c 2 ) [( a + b )2 – c 2]×[c2 – ( a – b )2] = 4a2 4a2 ( a + b + c )× ( a + b – c )× ( c + a – b )× ( c – a + b ) = 4a2 h2 =

1 ( a + b + c )× ( a + b – c )× ( c+ a – b )× ( c – a + b ) y como 2p = a + b + c tenemos 2a

de donde ha = ha =

1 2 2 p × 2( p – c ) × 2( p – b )× 2( p – a ) = 2a a

De la misma forma

ì h = ï ï b í ïh = ï î c

p×( p – a )× ( p – b )× ( p – c )

2 p×( p – a )× ( p – b )× ( p – c ) b 2 p×( p – a )× ( p – b )× ( p – c ) c

4.5. Superficie del triángulo Teorema 21. La superficie de cada triángulo es igual a la de un paralelogramo de igual base y mitad de altura, o a la mitad de un paralelogramo de igual base e igual altura. En efecto, si observamos la figura 31 vemos que si M y N son los puntos medios de los lados AB y D

A

D

AC, el triángulo M A N es igual que el M 'C N , al tener los lados paralelos y uno común y por suma, el D

área de A BC será la misma que la del paralelogramo BMM'C, de igual base y mitad de altura. Los otros dos casos se demuestran análogamente. B Como conclusión, dos triángulos de bases y alturas iguales tienen la misma superficie y al ser el área de un paralelogramo igual al producto de su base por su altura, llegamos a que

M

M'

N

H

C

Figura 31.

æ D ö BC × AH S ç A BC ÷= è ø 2 Si tomamos una base cualquiera (en este caso BC = a) y aplicamos las fórmulas de la altura en función de las longitudes de los lados obtenidas en el teorema anterior, llegamos a la Fórmula de Herón, que nos da la superficie de un triámngulo en función de las longitudes de sus lados: S=

a × ha a 2 = × × p × ( p – a )× ( p – b )× ( p – c ) = 2 2 a

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

p × ( p – a )× ( p – b )× ( p – c )

295

TEMA

40 Geometría de la circunferencia. Ángulos en la circunferencia. Potencia de un punto respecto a una circunferencia

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

298

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

DEFINICIÓN Y GENERALIDADES 1.1. Definición 1.2. Segmentos sobre la circunferencia 1.3. Posiciones relativas 1.4. Determinación de una circunferencia 1.5. Tangentes a una circunferencia

2.

ÁNGULOS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 2.1. Ángulos centrales, arcos y cuerdas 2.2. Ángulos no centrales 2.3. Medida de ángulos inscritos 2.4. Medida de ángulos semiinscritos 2.5. Medida de ángulos exteriores 2.6. Medida de ángulos interiores 2.7. Arco capaz

3.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

4.

EL NÚMERO p

5.

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA 5.1. Definición de potencia 5.2. Potencia y tangente 5.3. Eje y centro radical 5.4. Condición para que cuatro puntos sean cocíclicos 5.5. Circunferencias ortogonales

6.

ESTUDIO ANALÍTICO DE LA CIRCUNFERENCIA 6.1. Ecuación cartesiana 6.2. Ecuaciones paramétricas y ecuación polar 6.3. Rectas tangente y normal en un punto 6.4. Expresión analítica de la potencia de un punto 6.5. Ecuación del eje radical 6.6. Condición de ortogonalidad de dos circunferencias

ESTUDIO ANALÍTICO DE LA CIRCUNFERENCIA 6.1. Ecuación cartesiana 6.2. Ecuaciones paramétricas y ecuación polar 6.3. Rectas tangente y normal en un punto 6.4. Expresión analítica de la potencia de un punto 6.5. Ecuación del eje radical 6.6. Condición de ortogonalidad de dos circunferencias

6.

POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA 5.1. Definición de potencia 5.2. Potencia y tangente 5.3. Eje y centro radical 5.4. Condición para que cuatro puntos sean cocíclicos 5.5. Circunferencias ortogonales

5.

EL NÚMERO p

4.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

3.

ÁNGULOS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 2.1. Ángulos centrales, arcos y cuerdas 2.2. Ángulos no centrales 2.3. Medida de ángulos inscritos 2.4. Medida de ángulos semiinscritos 2.5. Medida de ángulos exteriores 2.6. Medida de ángulos interiores 2.7. Arco capaz

2.

DEFINICIÓN Y GENERALIDADES 1.1. Definición 1.2. Segmentos sobre la circunferencia 1.3. Posiciones relativas 1.4. Determinación de una circunferencia 1.5. Tangentes a una circunferencia

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

298

Geometría de la circunferencia

1. DEFINICIÓN Y GENERALIDADES 1.1. Definición Todos estamos familiarizados con la simetría de la circunferencia. Los griegos la consideraban la figura perfecta. Estimaban que el firmamento también lo era y que los planetas debían moverse en órbitas circulares. Su lógica era deficiente pero podemos comprender por qué recurrieron a este modelo para ilustrar el movimiento de los cuerpos celestes. Formalmente una circunferencia se define como sigue: Si C es un punto y r es cualquier número real positivo, una circunferencia de centro C y radio r , es el conjunto de puntos P en el plano cuya distancia a C es igual a r.

Por abuso del lenguaje se utiliza el término radio con una doble acepción: para designar cualquier segmento de recta que une el centro P con un punto de la circunferencia o el número real r que mide la longitud de cualquiera de esos segmentos. Una circunferencia es una curva cerrada y simple. Divide al plano en tres conjuntos de puntos disjuntos: la circunferencia misma, su interior y su exterior. Una región circular o círculo es la unión de una circunferencia y su interior; se trata de un conjunto convexo. El interior de una circunferencia de centro C y radio r es el conjunto de los puntos cuya distancia a C es menor que r; el exterior es el conjunto de los puntos cuya distancia de C es mayor que r. Es posible probar la siguiente propiedad: “si se une un punto interior y uno exterior el segmento obtenido tiene en común con la circunferencia un punto y sólo uno”. Esto se conoce como teorema fundamental. La simetría de la circunferencia es “perfecta”. De hecho tiene infinidad de ejes de simetría (a saber, cualquier recta que pase por su centro) y todos pasan por el centro de simetría que es obviamente el centro C de la definición. En general, toda circunferencia se transforma en sí misma por cualquier isometría que deje invariante su centro.

1.2. Segmentos sobre la circunferencia Desde un punto de vista muy elemental los segmentos fundamentales relacionados con la circunferencia son: G F D OA = Radio BC = Diámetro DE = Cuerda B FG = Flecha

E

O

C

A

Figura 1.

1.3. Posiciones relativas a)

Posición relativa de recta y circunferencia Una recta puede tener a lo sumo dos puntos comunes con una circunferencia. En efecto, si todos los puntos de la recta son exteriores a la circunferencia entonces recta y circunferencia no tienen ningún punto en común.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

299

Volumen II. Matemáticas

300

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Supongamos entonces que la recta tenga un punto interior a la circunferencia. Si este punto fuese el centro O, entonces en cada semirrecta de origen O hay un punto único cuya distancia a O es igual al radio r, y por tanto la recta y la circunferencia tendrían dos puntos comunes. Si M es un punto interior, distinto del centro, por donde pasa la recta, tomemos sobre cada semirrecta de origen M un punto cuya distancia a M sea 2r (figura 2). Tendríamos dos puntos P y Q tales que b)

Posición relativa de dos circunferencias Dos circunferencias se denominan concéntricas si tienen el mismo centro, y en caso contrario excéntricas. OP > PM – OM > 2r – r = r

Figura 3.

OQ > QM – OM > 2r – r = r

a)

b)

c)

Q

M O P

–

Si la distancia de O a la recta es mayor que el radio, la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común y se dice entonces que la recta es exterior a la circunferencia (figura 3c).

Figura 2.

Si la distancia de O a la recta es igual al radio, entonces la recta y la circunferencia sólo tienen un punto en común y se dice que la recta es tangente a la circunferencia (figura 3b).

–

Si la distancia del centro O de la circunferencia a la recta dada es menor que el radio, recta y circunferencia tendrán dos puntos comunes y diremos que la recta es secante a la circunferencia (figura 3a). En caso de que la recta pase por el centro se dice que corta a la circunferencia diametralmente.

–

Por tanto los puntos P y Q son exteriores. Si aplicamos el teorema fundamental a cada uno de los segmentos PM y QM tendremos dos puntos de corte de la recta con la circunferencia. Por consiguiente, para una recta y una circunferencia pueden darse los casos siguientes:

–

Si la distancia del centro O de la circunferencia a la recta dada es menor que el radio, recta y circunferencia tendrán dos puntos comunes y diremos que la recta es secante a la circunferencia (figura 3a). En caso de que la recta pase por el centro se dice que corta a la circunferencia diametralmente.

–

Si la distancia de O a la recta es igual al radio, entonces la recta y la circunferencia sólo tienen un punto en común y se dice que la recta es tangente a la circunferencia (figura 3b).

–

Si la distancia de O a la recta es mayor que el radio, la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común y se dice entonces que la recta es exterior a la circunferencia (figura 3c).

Por tanto los puntos P y Q son exteriores. Si aplicamos el teorema fundamental a cada uno de los segmentos PM y QM tendremos dos puntos de corte de la recta con la circunferencia. Por consiguiente, para una recta y una circunferencia pueden darse los casos siguientes:

Figura 2.

P

O M Q b)

OQ > QM – OM > 2r – r = r

a)

c)

Figura 3.

OP > PM – OM > 2r – r = r Supongamos entonces que la recta tenga un punto interior a la circunferencia. Si este punto fuese el centro O, entonces en cada semirrecta de origen O hay un punto único cuya distancia a O es igual al radio r, y por tanto la recta y la circunferencia tendrían dos puntos comunes. Si M es un punto interior, distinto del centro, por donde pasa la recta, tomemos sobre cada semirrecta de origen M un punto cuya distancia a M sea 2r (figura 2). Tendríamos dos puntos P y Q tales que 300

Posición relativa de dos circunferencias Dos circunferencias se denominan concéntricas si tienen el mismo centro, y en caso contrario excéntricas.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

b)

Geometría de la circunferencia Dos circunferencias tienen a lo sumo dos puntos en común. Puede haber sólo uno o no tener ningún punto común. Si denotamos por d la distancia entre los centros O y O'y por r y r'los radios respectivos (r > r'), pueden darse los casos:

d > r+r'

Exteriores

d = r+ r'

Tangentes exteriores

r+ r' > d > r - r'

Secantes

r+ r' > d = r - r'

Tangentes interiores

r+ r' > r - r' > d

C' es interior a C

1.4. Determinación de una circunferencia Una circunferencia puede determinarse de varias formas (por ejemplo: circunferencia tangente a una recta dada y que pase por dos puntos exteriores a dicha recta). Pero la determinación más simple de una circunferencia consiste en dar tres puntos de la misma. Así pues: “Una circunferencia queda unívocamente determinada por tres puntos no alineados”.

En efecto, si M, N y P no están alineados forman un triángulo. Entonces sabemos que las mediatrices de DMNP se cortan en un punto. Dicho punto equidista de M y N por ser de la mediatriz de MN, equidista de M y P por ser de la mediatriz de MP y equidista de N y P por ser de la mediatriz de NP. Por tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Obviamente, si los puntos estuvieran alineados las mediatrices de MN, MP y NP serían paralelas y no se cortarían en ningún punto.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

P

M

N

Figura 4.

301

Volumen II. Matemáticas

302

c)

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Si C y C' son exteriores tienen dos tangentes comunes exteriores y otras dos tangentes comunes interiores (figura 8a). Si C y C' son tangentes exteriores, entonces tienen dos tangentes comunes exteriores y una única tangente común interior, que pasa por el punto de tangencia de C y C'y es perpendicular a la línea de centros OO'(figura 8b). Si C y C' son secantes sólo tienen dos tangentes comunes exteriores (figura 8c).

Tres puntos alineados no determinan un circunferencia. En caso contrario habría una recta y una circunferencia con más de dos puntos comunes y quedó demostrado que ello no es posible. b)

1.5. Tangentes a una circunferencia

a)

1.

Si una recta t es tangente a una circunferencia C, entonces ambas poseen un único punto T común (punto de tangencia) y todos los demás puntos de t son exteriores a la circunferencia. En efecto, si t tuviera algún punto interior a C, entonces t cortaría a C en dos puntos y sería secante y no tangente. Por tanto d(O,T) = r y para cualquier otro punto P Î t se tiene d(O,P) > r.

En el caso de dos circunferencias C y C' puede hablarse de tangentes comunes, pudiendo presentare los casos siguientes: Figura 7.

Por cada punto A de la circunferencia pasa una única recta tangente que es perpendicular al radio OA. A

En efecto, si OH es la mediatriz de la cuerda AB, cuando B tiende a confundirse con A, la secante se confunde con la tangente AT y la mediatriz OH con el radio OA. Recíprocamente, toda perpendicular a un radio en un extremo es tangente a la circunferencia.

T

t

H

O

O

O

T´

2.

B

T

a)

b)

Figura 5.

Si t y t ' son dos rectas que están a igual distancia de un punto O, existe un única circunferencia de Figura 6. centro O que sea tangente a t y t ' (figura 7a). Si consideramos una familia de rectas con la propiedad de estar todas a igual distancia r de un punto fijo O, entonces la envolvente de dicha familia de rectas es la circunferencia de centro O y radio r (figura 7b). Esto constituye una definición tangencial de la circunferencia. 3.

Por un punto P exterior a una circunferencia pueden trazarse dos rectas tangentes a la misma en puntos T y T ', siendo PT = PT '. Si d = d(O,P) se tiene PT = PT' = d 2 – r2 .

T

En Cosmografía, al ángulo ÐTPT' se le llama, a veces, “diámetro aparente”. O

P

En Cosmografía, al ángulo ÐTPT' se le llama, a veces, “diámetro aparente”. P

T

O

Si t y t ' son dos rectas que están a igual distancia de un punto O, existe un única circunferencia de centro O que sea tangente a t y t ' (figura 7a). Si consideramos una familia de rectas con la propiedad de estar todas a igual distancia r de un punto fijo O, entonces la envolvente de dicha familia de rectas es la circunferencia de centro O y radio r (figura 7b). Esto constituye una definición tangencial de la circunferencia. Si d = d(O,P) se tiene PT = PT' = d 2 – r2 . Figura 6.

3.

Por un punto P exterior a una circunferencia pueden trazarse dos rectas tangentes a la misma en puntos T y T ', siendo PT = PT '. Figura 5.

a)

b)

En efecto, si OH es la mediatriz de la cuerda AB, cuando B tiende a confundirse con A, la secante se confunde con la tangente AT y la mediatriz OH con el radio OA. Recíprocamente, toda perpendicular a un radio en un extremo es tangente a la circunferencia. T

B H

t

A

T

T´

O

O

O

Por cada punto A de la circunferencia pasa una única recta tangente que es perpendicular al radio OA.

2.

Si una recta t es tangente a una circunferencia C, entonces ambas poseen un único punto T común (punto de tangencia) y todos los demás puntos de t son exteriores a la circunferencia. En efecto, si t tuviera algún punto interior a C, entonces t cortaría a C en dos puntos y sería secante y no tangente. Por tanto d(O,T) = r y para cualquier otro punto P Î t se tiene d(O,P) > r.

1.

Figura 7.

En el caso de dos circunferencias C y C' puede hablarse de tangentes comunes, pudiendo presentare los casos siguientes: a)

Si C y C' son exteriores tienen dos tangentes comunes exteriores y otras dos tangentes comunes interiores (figura 8a). Si C y C' son tangentes exteriores, entonces tienen dos tangentes comunes exteriores y una única tangente común interior, que pasa por el punto de tangencia de C y C'y es perpendicular a la línea de centros OO'(figura 8b). Si C y C' son secantes sólo tienen dos tangentes comunes exteriores (figura 8c).

1.5. Tangentes a una circunferencia

b)

Tres puntos alineados no determinan un circunferencia. En caso contrario habría una recta y una circunferencia con más de dos puntos comunes y quedó demostrado que ello no es posible. 302

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

c)

Geometría de la circunferencia d) e)

Si C y C'son tangentes interiores sólo hay una tangente común que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la línea de centros (figura 8d). Si C es interior a C' o viceversa, entonces no hay ninguna recta tangente común.

Figura 8.

(a)

(b)

(c)

(d)

De lo anteriormente expuesto pueden obtenerse muchas consecuencias inmediatas. Veamos un par de ejemplos: B 1. Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia: la suma de los M lados opuestos es constante. N Por la propiedad 3: A AM = AQ; BM = BN; CN = CP; DP = DQ C Entonces: Q P AB + DC = AM + BM + CP + DP =

D

= AQ + BN + CN + DQ = = (AQ + DQ) + (BN + CN) = AD + BC 2.

Tangentes comunes a dos circunferencias tangentes exteriores. La propiedad 3 nos lleva a MT = MP = MT', lo que prueba que M es el punto medio de TT'. El triángulo TPT' está inscrito en una circunferencia de centro M y diámetro TT'. Luego ÐTPT' = 90º. Lo mismo ocurre con las rectas MO y MO'que son bisectrices respectivas de ÐTMP y ÐT'MP, y siendo TMT' llano, tenemos ÐOMO' = 90º. En el triángulo rectángulo OMO' el teorema de la altura nos da que MP es media proporcional de los radios OP y O'P es decir MP2 = OP × O'P = r × r'. Además la perpendicular MN a TT'es la tercera paralela a OT y O'T'y , como M es el punto medio de TT', el punto N será el punto medio de OO'.

Figura 9.

T

O

T´

M

N

P

O´

Figura 10.

s B

2. ÁNGULOS SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 2.1. Ángulos centrales, arcos y cuerdas Si en una circunferencia se trazan dos semirrectas r y s con vértice en el centro O obtenemos dos puntos A y B de la circunferencia de modo que OA y OB son dos radios (figura 11). Consideremos el sentido de giro positivo el contrario al de las agujas del reloj. Entonces los pares ordenados de semirrectas (r,s) y (s,r) son dos ángulos orientados con vértice en O cuyas medidas suman 360º.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

O A

r

Figura 11.

303

Volumen II. Matemáticas

304

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Todo ángulo con vértice en O se denomina ángulo central . El conjunto de puntos de la circunferencia comprendido entre sus lados se llama arco correspondiente. Designaremos por AB el arco correspondiente al ángulo (r,s) y por BA el correspondiente a (s,r). El segmento AB es la cuerda subtendida por ambos ángulos centrales y ambos arcos correspondientes. En particular se llama cuadrante al arco correspondiente a un ángulo central recto. Si el ángulo central es llano el arco se denomina semicircunferencia.

Figura 15.

B

d

O A

Dos cuerdas iguales equidistan del centro. Si son desiguales, la mayor dista menos del centro. En consecuencia, la envolvente de todas las cuerdas de una longitud dada c, es una circunferencia concéntrica con la dada y de radio d (figura 15). Figura 12.

3.

Propiedades elementales:

Figura 14.

1.

En una misma circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales y viceversa. Hay, pues, proporcionalidad directa entre la medida del ángulo central y la longitud del arco correspondiente.

2.

En una misma circunferencia si dos arcos son iguales subtienden cuerdas iguales y viceversa. Si son desiguales, y ambos menores que una semicircunferencia, el mayor subtiende mayor cuerda. Si los arcos AB y CD son iguales entonces los ángulos centrales corresponB dientes a y b son iguales (por la propiedad anterior), Los triángulos isósceles OAB y OCD son iguales por tener iguales dos lados (OA = OC = r y OB = c1 = OD = r) y el ángulo comprendido. Por tanto, AB = C, es decir, c1 = c2. A a Supongamos ahora que AB < CD (figura14a). Mediante un giro de centro O O hacemos coincidir B con D y tendremos un nuevo triángulo ODA' congruente con OAB (figura 14b). La bisectriz de ÐA'OC corta a CD en un b punto H, siendo AB = A'D < A'H + HD = CH + HD = CD, o sea, c1 < c2. c2 Recíprocamente, si c1 < c2 se tiene entonces ÐAOB < ÐCOD, y de aquí D AB < CD. C

a)

b)

A'

c2

C

D

C

O

D

H

c1

Figura 13.

A

O

B

C

En una misma circunferencia si dos arcos son iguales subtienden cuerdas iguales y viceversa. Si son desiguales, y ambos menores que una semicircunferencia, el mayor subtiende mayor cuerda. Si los arcos AB y CD son iguales entonces los ángulos centrales corresponB dientes a y b son iguales (por la propiedad anterior), Los triángulos isósceles OAB y OCD son iguales por tener iguales dos lados (OA = OC = r y OB = c1 = OD = r) y el ángulo comprendido. Por tanto, AB = C, es decir, c1 = c2. A a Supongamos ahora que AB < CD (figura14a). Mediante un giro de centro O O hacemos coincidir B con D y tendremos un nuevo triángulo ODA' congruente con OAB (figura 14b). La bisectriz de ÐA'OC corta a CD en un b punto H, siendo AB = A'D < A'H + HD = CH + HD = CD, o sea, c1 < c2. c2 Recíprocamente, si c1 < c2 se tiene entonces ÐAOB < ÐCOD, y de aquí AB < CD.

2.

En una misma circunferencia a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales y viceversa. Hay, pues, proporcionalidad directa entre la medida del ángulo central y la longitud del arco correspondiente.

1.

D

B

Figura 13.

c1

O

A

H

O

C

c2

C

D

A'

a)

D

b)

Figura 14.

Propiedades elementales: 3.

Dos cuerdas iguales equidistan del centro. Si son desiguales, la mayor dista menos del centro. En consecuencia, la envolvente de todas las cuerdas de una longitud dada c, es una circunferencia concéntrica con la dada y de radio d (figura 15). Figura 12.

A O

Todo ángulo con vértice en O se denomina ángulo central . El conjunto de puntos de la circunferencia comprendido entre sus lados se llama arco correspondiente. Designaremos por AB el arco correspondiente al ángulo (r,s) y por BA el correspondiente a (s,r). El segmento AB es la cuerda subtendida por ambos ángulos centrales y ambos arcos correspondientes. En particular se llama cuadrante al arco correspondiente a un ángulo central recto. Si el ángulo central es llano el arco se denomina semicircunferencia.

d

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

304

B

Figura 15.

Geometría de la circunferencia 4.

5.

La perpendicular a una cuerda pasando por el centro O de la circunferencia divide al arco que la subtiende en dos arcos iguales. En efecto, los triángulos rectángulos OCA y OCD de la figura 16 son iguales por tener iguales las hipotenusas (OA = OB = r) y el cateto OC común. Por tanto, son iguales los otros dos catetos, es decir, B AC = CB. Los triángulos ACM y BCM son también iguales por ser M rectángulos y ser iguales sus catetos, luego las cuerdas AM y MB son iguales y por consiguiente los arcos que las subtienden, esto es AM = MB. C Esta propiedad tiene otras interpretaciones. Así pues, una misma cuerO da AB podrá pertenecer a muchas circunferencias, pero todas ellas A tendrán sus centros en la misma mediatriz MN que será el lugar geométrico de tales centros. Esto encuentra su aplicación en la herramienta llamada “escuadra de centrar” que permite hallar el centro de la circunferencia a que pertenece un arco dado. Así pues, la mediatriz de una cuerda MN contiene infinidad de centros de circunferencias pasando por M y N. Si imponemos la condición de pasar por un tercer Figura 16. punto P no alineado con M y N, entonces el centro buscado ha de estar en la mediatriz de MP y, por tanto, en la intersección de ésta con la de MN. Se trata, pues, del circuncentro del triángulo MNP, que también está en la tercera mediatriz por equidistar también de N y P. M Los arcos de una misma circunferencia comprendidos entre paralelas son iguales. D C Si AB y CD son dos cuerdas paralelas, podemos trazar la perpendicular desde O y será mediatriz de ambas. Por la propiedad anteB A O rior los arcos cumplen AM = MB y CM = MD. Restando ambas AM – CM = MB – MD, de donde AC = BD. Figura 17.

6.

Si dos circunferencias son secantes la recta que une los centros (línea de centros) es la mediatriz de la cuerda común. En caso de dos circunferencias tangentes la línea de centros pasa por el punto de tangencia. Es una consecuencia inmediata de las anteriores.

7.

Flecha de la cuerda Es posible obtener la longitud de la flecha en función del radio r y de la longitud c de la propia cuerda. Llamando d a la distancia del centro O a la cuerda, basta aplicar el teorema de Pitágoras: æcö 1 4 r2 – c 2 f = r – d = r – r2 – ç ÷ = r – è 2ø 2 2

f d

r

O

Figura 18.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

305

Volumen II. Matemáticas

306

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

2.2. Ángulos no centrales

Como vimos anteriormente, hay una proporcionalidad directa entre medida del ángulo central y del arco correspondiente. De ahí que podamos identificar la medida del arco con la del ángulo central correspondiente; de esa manera, es habitual expresar los arcos sobre una circunferencia en unidades del sistema sexagesimal. Hay una estrecha relación entre la medida de un ángulo inscrito o semiincrito y la del arco que comprenden sus lados. Esa relación se extiende para ángulos interiores y exteriores. Vamos a deducir tales relaciones en lo que sigue.

Ya definíamos en el epígrafe anterior lo que se entiende como ángulo central (aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia). Podemos considerar ahora ángulos que tienen como vértice un punto P de la circunferencia, y definimos:

–

Ángulo inscrito: ángulo con vértice sobre la circunferencia y lados secantes a la misma (figura 19b).

–

Ángulo semiinscrito: ángulo con vértice sobre la circunferencia, un lado secante y el otro tangente (figura 19c). Figura 19.

Si consideramos como vértice un punto P que no está sobre la circunferencia, tenemos dos nuevas definiciones:

Ángulo exterior

Ángulo interior

Ángulo exterior

–

Ángulo interior: ángulo con vértice en un punto interior distinto del centro y lados secantes (figura 19d).

–

Ángulo exterior: ángulo con vértice en un punto exterior y lados secantes o tangentes (figuras 19e -19f).

a

P

(c)

a

(e)

(b)

P

P

(d)

a

P

a

Ángulo inscrito

P

Ángulo semiinscrito P

Ángulo central

a

(f)

(a)

a a

P

Ángulo inscrito

Ángulo semiinscrito

a a

P

P (b)

a (e)

P

(c)

P

(d)

(f)

a

(a)

Ángulo central

P

Ángulo exterior: ángulo con vértice en un punto exterior y lados secantes o tangentes (figuras 19e -19f).

–

Ángulo interior: ángulo con vértice en un punto interior distinto del centro y lados secantes (figura 19d).

–

a

Si consideramos como vértice un punto P que no está sobre la circunferencia, tenemos dos nuevas definiciones:

Ángulo interior

Ángulo exterior

Ángulo exterior

Figura 19.

Ángulo semiinscrito: ángulo con vértice sobre la circunferencia, un lado secante y el otro tangente (figura 19c).

–

Ángulo inscrito: ángulo con vértice sobre la circunferencia y lados secantes a la misma (figura 19b).

–

Como vimos anteriormente, hay una proporcionalidad directa entre medida del ángulo central y del arco correspondiente. De ahí que podamos identificar la medida del arco con la del ángulo central correspondiente; de esa manera, es habitual expresar los arcos sobre una circunferencia en unidades del sistema sexagesimal. Hay una estrecha relación entre la medida de un ángulo inscrito o semiincrito y la del arco que comprenden sus lados. Esa relación se extiende para ángulos interiores y exteriores. Vamos a deducir tales relaciones en lo que sigue.

Ya definíamos en el epígrafe anterior lo que se entiende como ángulo central (aquel que tiene su vértice en el centro de la circunferencia). Podemos considerar ahora ángulos que tienen como vértice un punto P de la circunferencia, y definimos:

2.2. Ángulos no centrales

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

306

Geometría de la circunferencia

2.3. Medida de ángulos inscritos Sea el caso particular en que uno de los lados es un diámetro (figura 20). Entonces, si unimos O con B , tendremos que el ángulo central b es un ángulo exterior del triángulo POB, y por tanto b es la suma de los dos ángulos interiores de dicho triángulo no adyacentes a b, o sea b = ÐOPB + ÐOBP.

P a O

b

B

A

Figura 20.

Ahora bien, el triángulo POB es isósceles ya que OP = OB = r, siendo ÐOPB = ÐOBP = a, de donde b AB b = 2a. Resulta por tanto a = = . 2 2 Supongamos ahora que ninguno de los lados pasa por O (figura 21). Trazando el diámetro por P, entonces obtenemos a por adición o sustracción de otros dos ángulos inscritos a1 y a2 , que se sitúan en el caso particular anterior.

P

P (a)

(b)

a a1

a a2 B

a2

B

a1

A

A Figura 21.

M

M

En figura 21a: a = a1+ a 2 =

AM MB AM + MB AB + = = 2 2 2 2

En figura 21b: a = a 2 – a1 =

MB MA MB – MA AB – = = 2 2 2 2 P

Podemos concluir que: “La medida de un ángulo inscrito en un circunferencia equivale a la mitad del arco que abarcan sus lados”.

Del resultado anterior pueden extraerse varias consecuencias. Si tenemos una cuerda AB, todos los ángulos inscritos en la circunferencia cuyos lados pasen por las extremos de la cuerda dada interceptan el mismo arco y por lo tanto tienen igual medida, es decir, ÐAPB = ÐAP´B. Las bisectrices interiores de todos esos ángulos se cortan en el mismo punto M que es el punto medio del arco AB y las bisectrices exteriores se cortan en P. Además, los triángulos AEP y BEP´ son semejantes. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

P'

E A

B M

Figura 22. 307

Volumen II. Matemáticas

308

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

En el caso (a) es obvio que a = 90º es la mitad del arco abarcado que es una semicircunferencia. En los casos (b) y (c) se llega al resultado por adición o sustracción respectivamente.

En particular, todo triángulo rectángulo puede ser inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa (figura 23). Asimismo, un cuadrilátero será inscriptible en una circunferencia si dos de sus ángulos opuestos suman dos rectos. Por lo pronto nunca lo serán los paralelogramos que no sean cuadrados o rectángulos; en cambio estos últimos siempre serán inscriptibles. Cabe afirmar también que todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia cumple que sus dos pares de ángulos opuestos son suplementarios.

A

a

Figura 26.

a

(a)

(b)

B

a (c) Figura 23.

2.

También puede razonarse distinguiendo los casos de las figuras siguientes:

2.4. Medida de ángulos semiinscritos Figura 25.

B

a

Veamos que un ángulo semiinscrito tiene la misma medida que uno inscrito que abarque el mismo arco. En efecto, trazamos una paralela por A al lado tangente PB y razonando sobre la figura:

A

P

O

a = ÐAPB = ÐPAC por alternos-internos. Como el ángulo ÐPAC es inscrito, su medida es la mitad del PC arco que abarcan sus lados, o sea . Pero sabemos que los arcos in2 terceptados por dos paralelas en una circunferencia son iguales, luePA go PC =PA, de donde resulta a = . 2

C

a

B

Hay otra forma de llegar al resultado, y consiste en trazar dos radios perpendiculares a los lados del ángulo dado. Los ángulos ÐAPB y ÐPOC son iguales por tener los lados perpendiculares. Por tratarse de un ángulo central ÐPOC = PC . Pero sabemos que el radio perpendicular a la cuerda divide al PA 2 arco que la subtiende en dos mitades iguales por lo cual PC =

Figura 24.

Observaciones:

Observaciones:

Hay otra forma de llegar al resultado, y consiste en trazar dos radios perpendiculares a los lados del ángulo dado. Los ángulos ÐAPB y ÐPOC son iguales por tener los lados perpendiculares. Por tratarse de un ángulo central ÐPOC = PC . Pero sabemos que el radio perpendicular a la cuerda divide al PA arco que la subtiende en dos mitades iguales por lo cual PC = 2

Como el ángulo ÐPAC es inscrito, su medida es la mitad del PC arco que abarcan sus lados, o sea . Pero sabemos que los arcos in2 terceptados por dos paralelas en una circunferencia son iguales, luePA . 2

Figura 24.

go PC =PA, de donde resulta a =

A

P

C

1.

1.

A

P

C

B

a

C

a = ÐAPB = ÐPAC por alternos-internos.

O

a

Veamos que un ángulo semiinscrito tiene la misma medida que uno inscrito que abarque el mismo arco. En efecto, trazamos una paralela por A al lado tangente PB y razonando sobre la figura:

B

A

P

2.4. Medida de ángulos semiinscritos Figura 25.

2.

También puede razonarse distinguiendo los casos de las figuras siguientes: Figura 23.

(c)

En particular, todo triángulo rectángulo puede ser inscrito en una circunferencia cuyo diámetro es la hipotenusa (figura 23). Asimismo, un cuadrilátero será inscriptible en una circunferencia si dos de sus ángulos opuestos suman dos rectos. Por lo pronto nunca lo serán los paralelogramos que no sean cuadrados o rectángulos; en cambio estos últimos siempre serán inscriptibles. Cabe afirmar también que todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia cumple que sus dos pares de ángulos opuestos son suplementarios.

a

a

a

A

(b)

B

(a)

Figura 26.

En el caso (a) es obvio que a = 90º es la mitad del arco abarcado que es una semicircunferencia. En los casos (b) y (c) se llega al resultado por adición o sustracción respectivamente. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

308

Geometría de la circunferencia Podemos concluir que: “La medida de un ángulo semiinscrito en un circunferencia equivale a la mitad del arco que abarcan sus lados”.

2.5. Medida de ángulos exteriores

P

Uniendo A y C tenemos el triángulo PAC donde se cumple

B

ÐCAD = ÐPCA + ÐCPA

a

A

de donde a = ÐCPA = ÐCAD -ÐPCA pero los ángulos ÐCAD y ÐPCA son inscritos y por tanto:

C D

Figura 27.

CD AB a= – 2 2 Es decir:

La medida de un ángulo exterior es la semidiferencia de los arcos que interceptan sus lados sobre la circunferencia.

Observaciones: 1. 2.

En el caso particular de que uno o ambos lados sean tangentes, el resultado es también válido. El razonamiento es similar. Cuando ambos lados son tangentes al ángulo se le llama circunscrito.

P a

T

P T

a

A T' B Figura 28.

2.6. Medida de ángulos interiores

B A

Uniendo B y C tenemos el triángulo PBC donde se cumple P

a = ÐCPD = ÐBCA + ÐCBD pero los ángulos ÐBCA y ÐCBD son inscritos y abarcan respectivamente los arcos AB y CD. Por tanto: AB CD a= + 2 2

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 29.

a C D

309

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Figura 33.

Este resultado también se obtiene razonadamente si trazamos la paralela por B al lado AC y tendremos un punto H, siendo: C

a

a = ÐCPD = ÐHBD = B

P a

HD HC+ CD AB+ CD = = 2 2 2 A

A H

310

B

pues HC y AB son arcos interceptados por paralelas. O

C

Concluimos que: D La medida de un ángulo interior es la semisuma de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de éstos sobre la circunferencia.

Basta trazar un ángulo ÐBAC = a y el centro O del arco será la intersección de la perpendicular por A a AC con la mediatriz de AB (figura 33). El centro O' del arco simétrico se puede obtener haciendo la construcción análoga sobre el extremo B.

Figura 32.

–

Figura 30.

En el caso particular de que el punto P sea el centro de la circunferencia (figura 31) tendremos AB = CD y entonces a = AB, lo que corrobora que la medida del ángulo central equivale a la del arco que abarcan sus lados. B

Se denomina arco capaz del ángulo a sobre el segmento AB al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se “ve” el segmento dado bajo el ángulo dado. Es decir, estará formado por todos aquellos puntos P del plano para los cuales se verifica ÐAPB = a. Según vimos anteriormente, si el segmento es una cuerda de circunferencia, todos los ángulos inscritos en ésta cuyos lados pasen por A y B tendrán la misma medida (a saber la mitad de la del ángulo central). El lugar geométrico anteriormente definido es en realidad cualquiera de los arcos de sendas circunferencias que tienen a A y B como cuerda y de modo que el ángulo central sea 2a. Por ello la construcción es muy sencilla:

C

B

A

a

A

a

D

Figura 31.

2.7. Arco capaz

2.7. Arco capaz a

Se denomina arco capaz del ángulo a sobre el segmento AB al lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se “ve” el segmento dado bajo el ángulo dado. Es decir, estará formado por todos aquellos puntos P del plano para los cuales se verifica ÐAPB = a. Según vimos anteriormente, si el segmento es una cuerda de circunferencia, todos los ángulos inscritos en ésta cuyos lados pasen por A y B tendrán la misma medida (a saber la mitad de la del ángulo central). El lugar geométrico anteriormente definido es en realidad cualquiera de los arcos de sendas circunferencias que tienen a A y B como cuerda y de modo que el ángulo central sea 2a. Por ello la construcción es muy sencilla: Figura 31.

D

A

B

a

A

C

En el caso particular de que el punto P sea el centro de la circunferencia (figura 31) tendremos AB = CD y entonces a = AB, lo que corrobora que la medida del ángulo central equivale a la del arco que abarcan sus lados. B

–

Figura 32.

Basta trazar un ángulo ÐBAC = a y el centro O del arco será la intersección de la perpendicular por A a AC con la mediatriz de AB (figura 33). El centro O' del arco simétrico se puede obtener haciendo la construcción análoga sobre el extremo B.

La medida de un ángulo interior es la semisuma de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de éstos sobre la circunferencia.

Figura 30.

D

Concluimos que: C

pues HC y AB son arcos interceptados por paralelas. O

a A

Este resultado también se obtiene razonadamente si trazamos la paralela por B al lado AC y tendremos un punto H, siendo:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

HD HC+ CD AB+ CD = = 2 2 2 310

Figura 33.

B

a = ÐCPD = ÐHBD = C

P

B

a

H

A

Geometría de la circunferencia

3. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DEL CÍRCULO Una deducción rigurosa no viene al caso en el presente tema. Veremos una justificación intuitiva a la archiconocida fórmula L = 2pr. Comencemos por un hexágono regular inscrito. Evidentemente su perímetro es menor que la longitud de la circunferencia C. Llamemos p6 al perímetro de dicho hexágono. Podemos construir un dodecágono inscrito en la misma circunferencia, trazando la mediatriz de cada uno de los lados del hexágono de partida. Por la desigualdad triangular es obvio que PP 1 '1+P '1 P2 > PP 1 2 y, por tanto, el perímetro P12 del dodecágono cumple p6 < p12 < L. Si repetimos el proceso podemos construir una sucesión p6 < p12 < p24 < … < p6n < … < L monótona estrictamente creciente y acotada, y, por tanto, convergente, que se acerca tanto a L como se quiera, esto es lim p2n = L. n ®¥ Otra alternativa sería tomar una sucesión de perímetros de polígonos regulares circunscritos. Así, si q6 es el perímetro del hexágono regular circunscrito, es obvio que el perímetro q12 del dodecágono circunscrito cumple q6 > q12 > q24 > … > q6n > … > L Esta sucesión es diferente pero su límite es también L. Las sucesiones { p6n} y { q6n} son un par de sucesiones monótonas convergente que define el número real L. En general, sean pn y qn los perímetros de los polígonos inscritos y circunscritos de n lados. Entonces: El lado del polígono inscrito es l = AB y el del circunscrito es l´ = HJ. Según la figura ÐBOH = ÐKBH, pues sus lados son perpendiculares, y entonces en el triángulo rectángulo HKB tendremos: l q 2 l cos = = ; 2 l' l' 2

l '=

cos

H

A

l q 2

K

q/2

B J

1 Luego qn – pn = n(l´ – l) = nl( – 1) cos q 2

O

Si n ®¥, entonces qn - pn®0. Ello implica que dado un e > 0 arbitrariamente pequeño podemos encontrar un polígono inscrito y otro circunscrito, ambos de n lados, cuya diferencia de perímetros es meFigura 34. nor que e. Entonces lim pn = lim qn = L. n ®¥ n ®¥ L La fórmula L = 2pr escrita como = 2p se interpreta como que la razón entre la longitud de la cirr cunferencia y su radio es una constante. Mientras no podamos probar este enunciado, podemos mostrar que la razón del perímetro de un polígono regular inscrito de n lados al radio es una constante. Está claro que si se trata del hexágono perímetro 6r = = 6. radio r Consideramos ahora un polígono inscrito de 10 lados. El ángulo central q correspondiente mide 36º. q Si trazamos la apotema tendremos un triángulo rectángulo donde el ángulo ÐAOB es = 18º. Entonces 2 l q perímetro 10 l 20 sen = 2 y la razón constante del perímetro al radio es = = @ 6,18 (comparemos r 2 radio r sen 18º con 2p @ 6,283 ). TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

311

Volumen II. Matemáticas

312

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Más tarde muchos matemáticos imitaron el método para obtener el valor de p con más precisión. Así por ejemplo, en 1610 Ludolph van Ceulen, en Alemania obtuvo 35 decimales empleando polígonos de 262 lados.

A

l

q

Figura 36.

r

A

B

O

r l/2

q /2

1 22 AB= 3d + d = d @ pd = L 7 7

O

C

Figura 35. A

B

En general, si el polígono tiene n lados el ángulo central q será 360º/n y el perímetro nl = n · 2r sen perímetro nl (360º/n), con lo que = = 2n sen ( 360º/ n ) = cte. radio r Para obtener el área encerrada por una circunferencia de radio r, podemos considerar un círculo como el límite de un polígono regular de n lados cuando n ®¥. Entonces el perímetro del polígono tiende a la longitud de la circunferencia y la apotema al radio. L

La razón entre la longitud L de la circunferencia y su diámetro 2r es el número p. En la antigüedad se pensó que su valor era 3. El primer intento para encontrar esta constante fue debido probablemente a Arquímedes (casi 240 años a. de C.). El método clásico para obtener el valor de p consistía en tomar polígonos regulares inscritos y circunscritos de un número cada vez mayor de lados. Eso fue lo que hizo Arquímedes y ob22 se basa el método de rectuvo la acotación 223 71< p < 22 7. Precisamente en la aproximación p @ 7 tificación aproximada de la circunferencia (figura 36).

4. EL NÚMERO p 2pr ´ r 2 Área = ————— = pr 2

perímetro · apotema Área = —————————— 2

2pr ´ r 2 Área = ————— = pr 2

perímetro · apotema Área = —————————— 2

4. EL NÚMERO p La razón entre la longitud L de la circunferencia y su diámetro 2r es el número p. En la antigüedad se pensó que su valor era 3. El primer intento para encontrar esta constante fue debido probablemente a Arquímedes (casi 240 años a. de C.). El método clásico para obtener el valor de p consistía en tomar polígonos regulares inscritos y circunscritos de un número cada vez mayor de lados. Eso fue lo que hizo Arquímedes y ob22 se basa el método de rectuvo la acotación 223 71< p < 22 7. Precisamente en la aproximación p @ 7 tificación aproximada de la circunferencia (figura 36).

En general, si el polígono tiene n lados el ángulo central q será 360º/n y el perímetro nl = n · 2r sen perímetro nl (360º/n), con lo que = = 2n sen ( 360º/ n ) = cte. radio r Para obtener el área encerrada por una circunferencia de radio r, podemos considerar un círculo como el límite de un polígono regular de n lados cuando n ®¥. Entonces el perímetro del polígono tiende a la longitud de la circunferencia y la apotema al radio. L

B

A

C

O 1 22 AB= 3d + d = d @ pd = L 7 7

O

B

q r

l

q /2

Figura 35.

l/2

r

A Figura 36.

Más tarde muchos matemáticos imitaron el método para obtener el valor de p con más precisión. Así por ejemplo, en 1610 Ludolph van Ceulen, en Alemania obtuvo 35 decimales empleando polígonos de 262 lados.

A

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

312

Geometría de la circunferencia Los chinos alrededor del año 480 emplearon el valor 355113 y en la Edad Media se tomó 10 como

aproximación de p. En las postrimerías del siglo XVII, los matemáticos abordaron el problema desde un punto de vista diferente: mediante series, productos infinitos y fracciones continuas. Así por ejemplo, el matemático escocés James Gregory, descubrió la serie: 1 1 1 p 1 – + – +...= 3 5 7 4 que ha sido usada desde entonces, con varias modificaciones, para encontrar valores aproximados de p. 4 3× 3× 5× 5× 7× 7×... . Sería prolijo citar a todos. Wallis dio otro resultado original: = p 2× 4 × 4 × 6× 6× 8×... Si sumamos los primeros 50 términos de la serie de Gregory 1 1 1 1 1 – + – +...– 3 5 7 99

obtenemos el valor de p 4 con error menor que 1101. Utilizando una modificación de este método el inglés William Shanks calculó p con 707 decimales en 1873. La aparición de las computadoras supuso un salto importante en la obtención de cifras de p. La computadora ENIAC en 1949 dio 2.937 decimales en 70 horas. ¿Qué fue lo que llevó a muchos matemáticos a dedicar buena parte de su vida a calcular p con más decimales? Un valor de p con diez decimales nos da la circunferencia de la Tierra casi en términos de fracción de centímetro. Treinta decimales pueden dar la circunferencia completa del universo observable, con un error tan pequeño que ni siquiera el más poderoso telescopio puede medirlo. En la práctica, el más cuidadoso trabajo requiere tan sólo 4 decimales. ¿Por qué calcularlo con 100.000 decimales? La razón es que los matemáticos de la antigüedad perseveraron en la idea de encontrar una periodicidad que hubiera implicado la posibilidad de expresarlo como la razón de dos enteros. En cambio Lambert, en 1767, demostró su irracionalidad y posteriormente Lindemann en 1884 probó que se trata de un número trascendente.

5. POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA 5.1. Definición de potencia Sea la circunferencia de centro C y radio r, y un punto cualquiera P del plano. Si trazamos una secante por P a la circunferencia, se determinan dos puntos A y B de la misma. Definimos la potencia de P con respecto a la circunferencia dada como ¾ ¾® ¾ ¾®

Pot C( P ) = k = PA× PB

Al tratarse de un producto escalar, hemos de notar que si P es exterior a la circunferencia ambos vectores tendrán el mismo sentido y por tanto será k > 0. En caso de que P sea interior, será al contrario, es decir k < 0. Por último, si P está en la circunferencia, es obvio que k = 0.

B P

Figura 37.

A

B A

A

P

(a)

B P

(b)

(c)

Entonces la potencia de un punto nos servirá para determinar su posición con respecto a la circunferencia. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

313

Volumen II. Matemáticas

314

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Luego: “La potencia de un punto con respecto a una circunferencia es igual al cuadrado del segmento de la tangente trazada desde P a la circunferencia”. Veamos que la potencia no depende de la secante trazada.

PT2 = PO2 – OT2 = d 2 – r2 = k = Pot C (P)

En efecto, los ángulos inscritos con vértices en A y A´ son iguales por subtender el mismo arco BB´. Los triángulos PA´B y PAB´, que tienen además en común el ángulo en P son semejantes, de donde se sigue

B

Supongamos que en la figura 40a hacemos pivotar una secante pasando por P alrededor del punto P. La posición límite es cuando los puntos de corte A y B se confunden en uno solo T, en cuyo caso la recta PT es la tangente a la circunferencia desde P. Entonces sabemos que la tangente en T es perpendicular al radio OT, con lo cual el triángulo PTO es rectángulo en T y por tanto

A

P

PA PB ' = Þ PA × PB = PA '×PB ' PA ' PB

Figura 40.

A'

O B

Figura 38. r

A

d

T

Si es d la distancia de P al centro y r el radio de la circunferencia, se tiene (b)

T

(a)

B'

P

P

k = Pot C(P0) = PH · PJ = (d - r) × (d + r) = d 2 - r 2

5.2. Potencia y tangente r

O

J

P es exterior a la circunferencia Û P es interior a la circunferencia Û P es un punto de la circunferencia Û

d>rÛ k>0 d0 d 0 los vectores direccionalesë AB ûyë A ' B 'ûtienen el mismo sentido, mientras que si k < 0 ocurre al contrario (figura 11). r'

C'

O

B'

B A'

Figura 11. B

C C

Figura 11.

A' B

B'

C'

C

B'

B C

r A

O

A

O

r'

A'

C'

r

O

B'

Puede probarse también de un modo sencillo esta propiedad partiendo de la ecuación de la recta r en forma vectorial, que tomado el origen de coordenadas en el centro O de homotecia sería r r r r r r x = a + tv (( t Î R ), donde x =ë OX û, a =ë OA ûy v =ë AB û. El punto X ' homotético de X verifica: r r r r r r r r x '=ë OX 'û= kë OX û= kx '= k ( a + tv ) = ka + ( kt )v = a '+sv r r r lo que prueba que la transformada de r es la recta r' de ecuación vectorial x '= a + ' sv, donde r a '=ë OA 'û, que es paralela a r. A

A'

r

r A

C'

r'

r'

Nótese que cuando k > 0 los vectores direccionalesë AB ûyë A ' B 'ûtienen el mismo sentido, mientras que si k < 0 ocurre al contrario (figura 11). La transformada de una recta es la recta dada o una recta paralela. Es decir, la homotecia conserva la dirección. En efecto, en el caso de que el centro de homotecia esté en la recta r, todo punto A de r se transforma en otro punto A'de r, pues por definición de homoteciaO, A y A'están alineados. Es obvio entonces que r se transforma en sí misma. En caso de que el centro de homotecia sea exterior a r, podemos tomar tres puntos cualesquiera A, B, C de r y sus homólogos A', B', C ' mediante la homotecia H O ,k . Debido a a) tenemos que A ' B '// AB y A 'C '// AC. Como A, B, C están sobre una misma recta r, y por A' sólo se puede trazar una paralela r' a r, entonces A', B', C ' están sobre r'. Queda probado que la recta homotética de r es la paralela r'.

–

Toda figura que mediante una homotecia se transforme en una recta es otra recta. Esto es inmediato teniendo en cuenta que la homotecia es una biyección, siendo la transformación inversa otra homotecia.

–

Dos rectas paralelas son homólogas en infinitas homotecias de centro cualquier punto exterior a ambas. La razón de homotecia queda fijada al conocer el centro. Si las rectas son coincidentes, podemos tomar como centro cualquier punto de ellas y entonces la razón de homotecia puede ser cualquier número arbitrario no nulo.

Por la propiedad anterior es A 'C '= k AC , A ' B '= k AB, B 'C '= k BC . De donde resulta: k AC = k ( AB + BC ) = k AB + k BC Þ A 'C ' = A ' B '+ B 'C ', lo que prueba que A', B', C ' también están alineados y que B' está también entre A' y C '. Con lo anterior probamos que la homotecia transforma rectas en rectas y conserva la posición relativa de los puntos. Transformada de un ángulo

Una homotecia transforma puntos no alineados en puntos no alineados. En efecto, si A, B, C no están alineados se verifica AC < AB + BC

[1]

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

–

378

–

c)

Homotecia y semejanza en el plano Los transformados A', B', C ' cumplen A 'C '= k × AC , A ' B '= k × AB, B 'C '= k × BC , por lo que multiplicando en [1] por k , llegamos a A 'C ' < A ' B '+ B 'C ', que prueba que A', B', C ' no están alineados.

–

d)

Toda homotecia es una transformación isogonal directa. Es decir, la figura homotética de un ángulo es otro ángulo de la misma medida e igualmente orientado. Esto es consecuencia inmediata de la conservación del paralelismo.

Transformada de un triángulo

–

Mediante una homotecia un triángulo se transforma en otro triángulo. Dos triángulos homotéticos tienen ángulos iguales y lados proporcionales. Es consecuencia inmediata de las anteriores. Dado un triángulo DABC (figura 12), los transformados de los vértices son puntos no alineados y por tanto forman también un triángulo DA ' B 'C ', cumpliéndose la proporcionalidad de los lados, ya que según vimos en a) se tiene A ' B '= k × AB, A 'C '= k × AC , B 'C '= k × BC . Además, por c), también A$ = A$ ', B$ = B$ ', C$ = C$ '. C'

C'

C

B'

C

B

O B

B'

O

A A

A'

A'

Figura 12. e)

Transformada de una circunferencia

–

La figura homotética de una circunferencia es otra circunferencia que tiene por centro el homólogo del centro de la de partida. X' X O C

C'

Figura 13. En efecto, dada la circunferencia de centro C y radio r, la homotecia H O ,k transforma cualquier punto X de la misma en otro X ' tal que C ' X '= k ×CX = k r, siendo C '= H O ,k (C ) . Luego X ' está en una circunferencia de centro C ' y radio r'.

–

Dadas dos circunferencias cualesquiera de distinto radio existen dos homotecias respecto a las cuales son homólogas. En efecto, dadas las dos circunferencias de centros C y C ' y radios r y r', respectivamente, trazando los radios paralelos y del mismo sentido CA y C ' A ', las rectas AA' y CC ' se cortan en un punto O que es el centro de una homotecia H1 positiva de razón r'/ r que transforma la circunferencia C en C' (figura 14).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

379

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Figura 16. A'

A' A

O

O'

A

T'2

C

T'1

A' C'

A

C'

C'

O' C O

C'

T2

C

T1

C

380 A' A

A''

O An

A'n

a)

b)

A''

Figura 14.

Ð( AT1, AT2 ) = Ð( A 'T '1 , A 'T '2 )

Análogamente, trazando los radios paralelos y de sentido contrario CA y C ' A '', las rectas AA'' y CC ' se cortan en un punto O' que es el centro de una homotecia H 2 negativa de razón – r'/ r que transforma la circunferencia C en C '. En caso de que las circunferencias sean concéntricas (figura 15), ambas homotecias H1 y H 2 tienen el mismo centro, el de las circunferencias dadas. En particular, si son coincidentes serán homotéticas respecto de sendas homotecias de razones +1 (identidad) y –1 (simetría central).

como recta límite la tangente AT. Al mismo tiempo la recta A ' X 'n tiende a la tangente A 'T 'a la curva homotética C '. En consecuencia, si dos curvas C1 y C2 se cortan en un punto A, sus homotéticas C '1 y C '2 se cortan en un punto A'conservándose el ángulo que forman entre sí las tangentes a ambas curvas (figura 16b). Es decir: Si consideramos sobre la curva C un punto fijo A y otro móvil X n, sobre la curva homotética tendremos los homotéticos A'y X 'n de los mencionados (figura 16a). Por la propiedad característica de la homotecia tenemosë A ' X 'n û= kë AX n û. Si X n tiende a A la secante AX n tiene A'

A

A'

A

O

La transformada de la recta tangente a una curva en un punto es la recta tangente a la nueva curva en el punto homotético. C

O

C'

–

Transformada de la recta tangente a una curva. A''

A''

f)

Figura 15.

Si las circunferencias son distintas pero de igual radio habrá una sola homotecia que transforme una en otra. Se tratará de una simetría central (k = –1). Si las circunferencias son distintas pero de igual radio habrá una sola homotecia que transforme una en otra. Se tratará de una simetría central (k = –1). Figura 15.

Transformada de la recta tangente a una curva. C'

–

O

f)

A''

A''

C

La transformada de la recta tangente a una curva en un punto es la recta tangente a la nueva curva en el punto homotético. O

Si consideramos sobre la curva C un punto fijo A y otro móvil X n, sobre la curva homotética tendremos los homotéticos A'y X 'n de los mencionados (figura 16a). Por la propiedad característica de la homotecia tenemosë A ' X 'n û= kë AX n û. Si X n tiende a A la secante AX n tiene como recta límite la tangente AT. Al mismo tiempo la recta A ' X 'n tiende a la tangente A 'T 'a la curva homotética C '. En consecuencia, si dos curvas C1 y C2 se cortan en un punto A, sus homotéticas C '1 y C '2 se cortan en un punto A'conservándose el ángulo que forman entre sí las tangentes a ambas curvas (figura 16b). Es decir: A

A'

A

A'

Análogamente, trazando los radios paralelos y de sentido contrario CA y C ' A '', las rectas AA'' y CC ' se cortan en un punto O' que es el centro de una homotecia H 2 negativa de razón – r'/ r que transforma la circunferencia C en C '. En caso de que las circunferencias sean concéntricas (figura 15), ambas homotecias H1 y H 2 tienen el mismo centro, el de las circunferencias dadas. En particular, si son coincidentes serán homotéticas respecto de sendas homotecias de razones +1 (identidad) y –1 (simetría central). Ð( AT1, AT2 ) = Ð( A 'T '1 , A 'T '2 )

Figura 14.

A''

a)

b)

A'n

T1

C

T2

C'

C'

O'

An

C'

A

C O

T'1

A C'

A

A'

T'2

O'

O

A'' C

C

O

A

A'

A'

A'

380

Figura 16. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Homotecia y semejanza en el plano

2.4. Elementos dobles o invariantes a) b)

c)

Si k = 1 obviamente todos los puntos son dobles o invariantes, pues sería la transformación identidad. Si k ¹ 1 el único punto doble es el centro de la homoteciaO, ya que H O ,k ( P )= P Þ kë OP û=ë OP ûÞ r r Þ ( k – 1ë ) OP û= 0, siendo k – 1¹ 0. Se desprende queë OP û= 0, con lo que P = O. En toda homotecia todas las rectas que pasan por el centro O son globalmente invariantes, aunque no sean rectas de puntos dobles. Tales rectas se denominan rayos de homotecia.

2.5. Composición de homotecias Utilizando la propiedad característica es fácil probar que la composición de dos homotecias H y H ' es, salvo casos excepcionales, otra homotecia. En efecto, dados dos puntos cualesquiera P y Q, sean: H ( P ) = P ',

H (Q ) = Q ',

H ( P ' ) = P '',

H (Q ' ) = Q ''

Tendremosë P 'Q 'û= kë PQ ûyë P ''Q ''û= kë ' P 'Q 'û, de donde resultaë P ''Q ''û= k ' kë PQ û, lo que prueba que H 'o H es una homotecia siempre que k ' k ¹ 1. En caso de que la razones sean inversas, o sea k ' k = 1, entonces la composición da como resultado una traslación. Vamos a precisar más lo anterior, distinguiendo dos casos, según que las homotecias que se componen tengan el mismo o distinto centro. a)

P'

Caso de homotecias del mismo centro Sean las homotecias H O ,k y H O ,k ' . Dado un punto cualquiera P, por definición de homotecia, tendremos:

– –

P O

H O ,k ( P ) = P ', siendo O, P, P' ali-

neados yë OP 'û= kë OP û.

Figura 17.

H O ,k ' ( P ' ) = P '', siendo O, P', P''

alineados yë OP ''û= kë ' OP 'û.

De lo anterior se desprende fácilmente queO, P, P''están alineados yë OP ''û= k ' kë OP û, por lo que H O ,k ' o H O ,k = H O ,kk ' Por tanto, el conjunto de homotecias de centro O constituye el grupo abeliano ( H O ,o ), en que el elemento neutro es la identidad (homotecia de razón 1) y el inverso de H O ,k es H O ,1/ k . Nótese además que 1 para que H O ,k sea involutiva, ha de ser k = , lo cual sólo es posible si k = 1(identidad) k = –1(simek tría central). El grupo ( H O ,o ) es isomorfo al grupo multiplicativo ( R*,×) de los reales no nulos. b)

Caso de homotecias de distinto centro Supongamos que ambas razones son positivas (en los demás casos el razonamiento y es similar). Sean H O ,k ( P ) = P ' H O ',k ' ( P ' ) = P ''. Llamemos O'' al punto de corte de las rectas OO' y PP'' (en el supuesto de que no sean paralelas), y llamemos también Q al punto de corte con OO' de la paralela a O ' P ' pasando por P (figura 18).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 18.

P'

P P''

O

Q

O'

O''

381

Volumen II. Matemáticas

382

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA O

O'

O''

C1

Por semejanza de los triángulos: Figura 20.

DOQP ~ DOO ' P ' DO ''QP ~ DO ''O ' P ''

lo que indica que los puntos O, O', O'', C1 están alineados

ë O 'O ''û= kë' O 'C1û

se tiene:

O '' P '' O ' P '' k 'O ' P ' OP ' = = = k '× = k 'k O '' P QP QP OP

En el caso k ' k ¹ 1, el centro O'' de la homotecia resultante puede determinarse vectorialmente como sigue: Sea H O ,k (O '' )= C1, entonces H O ',k ' (C1 ) = O '', pues O'' es el único punto doble en la homotecia producto y se tendrá:

De aquí podemos escribir la relación vectorialë O '' P ''û= k ' kë O '' P û, de donde resulta que la transformación que pasa del punto P al P'', es decir el producto H O ',k ' o H O ,k es la homotecia H O '',k ' k .

–

æ è

kø

æ è

kø

[ PP ''] = [ P ' P ']+[ P ' P ''] = –ç1 – 1 ÷([OP '] – [O ' P ']) =ç1 – 1 ÷[OO']

Nota: en la demostración anterior faltaría justificar que el punto O'' es independiente del punto P del que se parte, lo cual es efectivamente cierto. Para probarlo es preciso utilizar el teorema de Desargues, pero lo omitimos para no alargar excesivamente el tema. Es importante hacer notar que en el caso de que las rectas OO' y PP'' P' sean paralelas, entonces, deë OP 'û= kë OP ûyë O ' P ''û= kë O ' P 'ûy del teorema de Tales, resulta: ö

ö

Sumándolas miembro a miembro:

æ è

k

kø

[ P ' P ''] = [O ' P ''] – [O ' P '] = 1 [O ' P '] – [O ' P '] = –ç1 – 1 ÷[O ' P '] æ è

kø

P''

k

ö

P

[ PP '] = [OP '] – [OP] = [OP '] – 1 [OP '] =ç1 – 1 ÷[OP '] 1 OP ' O ' P ' = Þ k= k' OP O ' P ''

–

En el caso k ' k = 1, el vector de la traslación resultanteë PP''ûpuede obtenerse teniendo en cuenta que ö O

y observamos que en este caso se pasa de P a P ' por una traslación de vector paralelo aë OO'û.

O'

Figura 19.

La composición de dos homotecias de distinto centro y razones inversas (k ' k =1) es una traslación de vector paralelo a la recta que une los centros de ambas homotecias. Si las razones no son inversas (k ' k ¹1), la composición de ambas homotecias es otra homotecia cuyo centro está alineado con los de las homotecias dadas y cuya razón es el producto de ambas razones.

Concluimos, por tanto, que:

La composición de dos homotecias de distinto centro y razones inversas (k ' k =1) es una traslación de vector paralelo a la recta que une los centros de ambas homotecias. Si las razones no son inversas (k ' k ¹1), la composición de ambas homotecias es otra homotecia cuyo centro está alineado con los de las homotecias dadas y cuya razón es el producto de ambas razones.

Concluimos, por tanto, que: Figura 19.

y observamos que en este caso se pasa de P a P' por una traslación de vector paralelo aë OO'û.

En el caso k ' k = 1, el vector de la traslación resultanteë PP''ûpuede obtenerse teniendo en cuenta que æ ö [ PP '] = [OP '] – [OP] = [OP '] – 1 [OP '] =ç1 – 1 ÷[OP '] è kø k O

O'

–

1 OP ' O ' P ' = Þ k= k' OP O ' P ''

P

P''

Nota: en la demostración anterior faltaría justificar que el punto O'' es independiente del punto P del que se parte, lo cual es efectivamente cierto. Para probarlo es preciso utilizar el teorema de Desargues, pero lo omitimos para no alargar excesivamente el tema. Es importante hacer notar que en el caso de que las rectas OO' y PP'' P' sean paralelas, entonces, deë OP 'û= kë OP ûyë O ' P ''û= kë O ' P 'ûy del teorema de Tales, resulta: æ è

ö

[ P ' P ''] = [O ' P ''] – [O ' P '] = 1 [O ' P '] – [O ' P '] = –ç1 – 1 ÷[O ' P '] k

kø

Sumándolas miembro a miembro:

æ è

ö kø

æ è

ö kø

[ PP ''] = [ P ' P ']+[ P ' P ''] = –ç1 – 1 ÷([OP '] – [O ' P ']) =ç1 – 1 ÷[OO']

De aquí podemos escribir la relación vectorialë O '' P ''û= k ' kë O '' P û, de donde resulta que la transformación que pasa del punto P al P'', es decir el producto H O ',k ' o H O ,k es la homotecia H O '',k ' k .

–

En el caso k ' k ¹ 1, el centro O'' de la homotecia resultante puede determinarse vectorialmente como sigue: Sea H O ,k (O '' )= C1, entonces H O ',k ' (C1 ) = O '', pues O'' es el único punto doble en la homotecia producto y se tendrá: O '' P '' O ' P '' k 'O ' P ' OP ' = = = k '× = k 'k O '' P QP QP OP

ë O 'O ''û= kë' O 'C1û

se tiene:

DOQP ~ DOO ' P ' DO ''QP ~ DO ''O ' P ''

lo que indica que los puntos O, O', O'', C1 están alineados O''

C1

Figura 20.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

382

O'

Por semejanza de los triángulos:

O

Homotecia y semejanza en el plano Además

ë O 'O ''û= kë O 'C1û= k(ë OC1û–ë OO 'û) = k '(kë OO ''û–ë OO 'û) = k ' kë OO ''û– kë' OO 'û, y al ser tambiénë O 'O ''û=ë OO ''û–ë OO 'û, quedaríaë OO ''û–ë OO 'û= k ' kë OO ''û– kë ' OO 'û que resolviéndola respecto aë OO''ûnos lleva hasta:

ë OO'' û=

1 – k' ë OO' û 1 – kk'

2.6. El grupo de las homotecias y las traslaciones Sabemos que el producto de dos traslaciones en el plano da como resultado la traslación según el vector suma, siendo en este caso el producto conmutativo. Asimismo se ha visto que la composición de dos homotecias puede dar, según el caso, o bien otra homotecia, o bien una traslación. Aquí el producto no es conmutativo. Veamos ahora qué se obtiene al componer una homotecia con una traslación o viceversa. Basta tener en cuenta que este tipo de transformaciones están caracterizadas mediante la propiedad de existir un número real k ¹ 0, tal que para cualesquiera dos puntos del plano P y Q se verifica, siendo P'y Q'sus transformados, queë P 'Q 'û= kë PQ û. En particular si k = 1se trata de una traslación. Sean la homotecia H O ,k y la traslación Tur .

Si H O ,k ( P ) = P ', H O ,k (Q ) = Q ', Tur ( P ' ) = P '', Tur (Q ' ) = Q '', se tendráë P 'Q 'û= kë PQ ûyë P ''Q ''û=

=ë P 'Q 'û, y por tantoë P ''Q ''û= kë PQ û, de donde la composición Tur o H O ,k es una homotecia de razón k, cuyo centro se obtiene como la intersección de las rectas PP'' y QQ'' (figura 19a). De manera análoga se prueba que H O ,k o Tur es también otra homotecia de razón k (figura 19b), no siendo la misma que Tur o H O ,k , pues como puede apreciarse en la figura el centro de la homotecia resultante no es el mismo en ambos casos. Q'

(a) Q

Q'' P'

u

Q

P''

P

P

Figura 21.

O'

O

O'

(b)

Q''

Q'

P''

P'

O

Se tiene por tanto que el conjunto T È H formado por las traslaciones y las homotecias del plano es cerrado para la composición o producto de transformaciones, siendo (T È H ,o ) un grupo no abeliano. Tanto en el conjunto de todas las traslaciones del plano como en el conjunto HO de las homotecias de centro, un punto O dado son subgrupos de aquel.

3. SEMEJANZA EN EL PLANO 3.1. Definición Si reunimos en un conjunto todas las isometrías y homotecias y la composición de isometrías con homotecias y viceversa, tendremos un conjunto de transformaciones geométricas en el que la composición o producto es una ley de composición interna. Tal conjunto tiene estructura de grupo al que denominaremos grupo de las semejanzas.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

383

Volumen II. Matemáticas

384

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

La semejanza es una transformación isogonal. También es inmediato ya que la homotecia conserva los ángulos, según se ha visto, tanto en medida como en orientación. Lo mismo ocurre con una isometría directa. En cambio las isometrías inversas conservan la medida de los ángulos, pero no la orientación. De ahí que la semejanza conserve la medida de los ángulos en cualquier caso. Si la semejanza es directa mantiene el sentido, mientras que si es inversa lo cambia.

Así pues, tenemos la siguiente Definición: Una semejanza en el plano euclídeo E2 es la composición de una isometría con una homotecia ( f o H O ,k ) o de una homotecia con una isometría ( H O ,k o f ). 3.

Observaciones:

a)

Al ser tanto las isometrías como las homotecias biyecciones de E2 en sí mismo, también lo son las semejanzas.

b)

No perdemos generalidad al considerar k > 0. En efecto, si fuese k < 0, podríamos poner H O ,k = = H O ,– k o H O ,–1 = H O ,–1 o H O ,– k , siendo – k > 0. No olvidemos que la homotecia H O,–1 no es más que la simetría central de centro O, o lo que es lo mismo un giro de 180º, y por tanto una isometría. Entonces tendríamos: 2.

Una semejanza conserva la alineación, es decir, la transformada de una recta es otra recta. Es inmediata, ya que tanto las isometrías como las homotecias transforman puntos alineados en puntos alineados. El razonamiento es análogo si fuese S = f o H .

donde A '= H ( A '' ) = H [ f ( A )] = S ( A ) y B '= H ( B '' ) = H [ f ( B )] = S ( B ).

S = f o H O ,k = f o (H O ,–1 o H O ,– k ) = ( f o H O ,–1) o H O ,– k = g o H O ,– k A ' B '= k × AB

Resulta inmediatamente:

o bien

S = H O ,k o f = (H O ,– k o H O ,–1) o f = H O ,– k o (H O ,–1 o f ) = H O ,– k o g

En una semejanza la razón entre las longitudes de cualesquiera dos segmentos homólogos es constante. Sea S = H o f ( f isometría y H homotecia de razón k). Dos puntos cualesquiera A y B se transforman mediante f en A''y B''y éstos a su vez en A'y B'mediante H. Por ser f una isometría se tiene A '' B ''= AB y, por ser H homotecia, A ' B ' = k × A '' B ''.

con – k > 0 y siendo g una isometría por ser composición de isometrías. Por consiguiente, podemos definir una semejanza como el producto de una homotecia positiva con una isometría o viceversa. Entonces la razón positiva k se denomina razón de semejanza. 1.

c)

Diremos que la semejanza es directa o inversa según lo sea la isometría f . Así, pues, la composición de homotecia y traslación o de homotecia y giro son semejanzas directas. En cambio la composición de homotecia y simetría axial es una semejanza inversa. Una semejanza inversa resulta de la composición de una semejanza directa y una simetría axial.

d)

Si f es la identidad tendremos una homotecia como caso particular de semejanza. Si fuese k = 1 tendremos las isometrías como caso también particular de semejanzas.

Las propiedades siguientes se deducen inmediatamente de las propiedades ya vistas para las isometrías y homotecias, al ser la semejanza la composición de éstas. Así, pues:

3.2. Consecuencias. Transformadas de las figuras elementales

Si f es la identidad tendremos una homotecia como caso particular de semejanza. Si fuese k = 1 tendremos las isometrías como caso también particular de semejanzas.

d)

Diremos que la semejanza es directa o inversa según lo sea la isometría f . Así, pues, la composición de homotecia y traslación o de homotecia y giro son semejanzas directas. En cambio la composición de homotecia y simetría axial es una semejanza inversa. Una semejanza inversa resulta de la composición de una semejanza directa y una simetría axial.

c)

3.2. Consecuencias. Transformadas de las figuras elementales

Las propiedades siguientes se deducen inmediatamente de las propiedades ya vistas para las isometrías y homotecias, al ser la semejanza la composición de éstas. Así, pues: 1.

En una semejanza la razón entre las longitudes de cualesquiera dos segmentos homólogos es constante. Sea S = H o f ( f isometría y H homotecia de razón k). Dos puntos cualesquiera A y B se transforman mediante f en A''y B''y éstos a su vez en A'y B'mediante H. Por ser f una isometría se tiene A '' B ''= AB y, por ser H homotecia, A ' B ' = k × A '' B ''.

con – k > 0 y siendo g una isometría por ser composición de isometrías. Por consiguiente, podemos definir una semejanza como el producto de una homotecia positiva con una isometría o viceversa. Entonces la razón positiva k se denomina razón de semejanza. o bien

S = H O ,k o f = (H O ,– k o H O ,–1) o f = H O ,– k o (H O ,–1 o f ) = H O ,– k o g

Resulta inmediatamente:

A ' B '= k × AB

S = f o H O ,k = f o (H O ,–1 o H O ,– k ) = ( f o H O ,–1) o H O ,– k = g o H O ,– k

donde A '= H ( A '' ) = H [ f ( A )] = S ( A ) y B '= H ( B '' ) = H [ f ( B )] = S ( B ).

No perdemos generalidad al considerar k > 0. En efecto, si fuese k < 0, podríamos poner H O ,k = = H O ,– k o H O ,–1 = H O ,–1 o H O ,– k , siendo – k > 0. No olvidemos que la homotecia H O,–1 no es más que la simetría central de centro O, o lo que es lo mismo un giro de 180º, y por tanto una isometría. Entonces tendríamos:

b)

Al ser tanto las isometrías como las homotecias biyecciones de E2 en sí mismo, también lo son las semejanzas.

a)

El razonamiento es análogo si fuese S = f o H .

3.

Una semejanza conserva la alineación, es decir, la transformada de una recta es otra recta. Es inmediata, ya que tanto las isometrías como las homotecias transforman puntos alineados en puntos alineados. La semejanza es una transformación isogonal. También es inmediato ya que la homotecia conserva los ángulos, según se ha visto, tanto en medida como en orientación. Lo mismo ocurre con una isometría directa. En cambio las isometrías inversas conservan la medida de los ángulos, pero no la orientación. De ahí que la semejanza conserve la medida de los ángulos en cualquier caso. Si la semejanza es directa mantiene el sentido, mientras que si es inversa lo cambia. Observaciones:

2.

Así pues, tenemos la siguiente Definición: Una semejanza en el plano euclídeo E2 es la composición de una isometría con una homotecia ( f o H O ,k ) o de una homotecia con una isometría ( H O ,k o f ).

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

384

Homotecia y semejanza en el plano 4.

La figura transformada de un triángulo es otro triángulo. En efecto, ya que tanto las isometrías como las homotecias transforman puntos no alineados en puntos no alineados. Es más, como consecuencia de las propiedades 1 y 3, dos triángulos homólogos mediante una semejanza tendrán sus lados proporcionales y sus ángulos iguales.

5.

La transformada de una circunferencia es otra circunferencia.

6.

La recta tangente a una curva en un punto se transforma mediante una semejanza en la recta tangente a la curva homóloga en el punto homólogo.

3.3. Teorema fundamental de la semejanza C'

En los temas 37 y 39 puede verse que en el caso particular del triángulo, y no en cualquier otro polígono, la proporcionalidad de los lados implica la igualdad en magnitud de los ángulos y viceversa. Es decir, dados dos triángulos DABC y DA ' B 'C ', entonces: ì A$ '= A$ ï A ' B ' A 'C ' B 'C ' = = = k Û í B$ '= B$ AB AC BC ï$ îC '= C$

C

(a) T A

B

[2]

T'

A'

B'

C

Esto permite la primera definición de triángulos semejantes, sin utilizar la noción de homotecia:

C'

(b) B'

T

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos iguales o sus lados proporcionales.

A

T'

B A'

La relación entre esta definición y la noción general de semejanza como transformación geométrica del plano nos la da el siguiente teorema.

Figura 22.

Teorema: Dados dos triángulos semejantes existe una única semejanza que transforma uno en el otro. Demostración: Sean DABC y DA ' B 'C ' tales que

A ' B ' A 'C ' B 'C ' = = = k y A$ ' = A$ , B$ ' = B$ , C$ ' = C$ . AB AC BC C'

C1

C

j

C2

B Q

v A'

A

Figura 23. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

B1 j B2

B'

X

385

Volumen II. Matemáticas

386

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

r Mediante una traslación de vector v =ë AA 'ûel triángulo DABC se transforma en el DA ' BC 1 1 (figura 24). Consideremos el ángulo orientado j= Ð( A ' B1, A ' B '). El giro GA',j transforma el punto B1 en otro B2 situado en la recta A ' B '. Finalmente llegamos a ( X 'Q ' A ' ) = ( X '*Q ' A ' ), resultando X '= X '* . ì X ' A' ï = ï XA í ïX ' A' ï * = î XA

X 'Q ' ü ì X ' A ' XA ü ï ï ï = X 'Q ' XQ XQ ï ï ï X ' A ' X ' A' ýÛí ýÞ = * Þ ( X 'Q ' A ' ) = ( X '*Q '* A ' ) X 'Q ' X '*Q '* X '*Q '*ï ï X '* A ' XA ï ï ï ï = XQ þ î X '*Q '* XQ þ

Supongamos que B2 esté en la misma semirrecta que B'con respecto a A'. Es fácil deducir de la figura que el ángulo orientado Ð( A 'C1, A 'C ') es también j, y por tanto el punto C1 se transforma mediante el giroGA',j en un puntoC 2 de la semirrecta A 'C '. Como la traslación y el giro son isometrías tendremos A ' B2 = A ' B1 = AB

, A 'C 2 = A 'C1 = AC

Análogamente A 'B ' A 'B ' A 'C ' A ' B ' = =ky = = k, estando alineados los puntos A', B2, B y los puntos A ' B2 AB A 'C 2 AC A', C 2, C. El triángulo DA ' BC 1 1 se transforma en el DA ' B 'C ' mediante la homotecia H A ',k .

y por tanto

Q 'C ' Q ' B ' y La recta CX corta a la AB en un punto Q. Sean Q '= S (Q ) y Q '*= S * (Q ), tendremos = QC QB Q '*C ' Q '* B ' Q 'C ' QC Q '*C ' QC y, por tanto , es decir, la semejanza conserva las razones y = = = QC QB Q ' B ' QB Q '* B ' QB simples (QBC ) = (Q ' B 'C ' ) y (QBC ) = (Q '* B 'C ' ). De aquí (Q ' B 'C ' ) = (Q '* B 'C ' ) y por consiguiente Q '= Q '* . Tendremos el esquema siguiente: DABC

Tv

DA'B1C1

GA',j

DA'B2C1

HA', k

DA'B'C'

Supongamos que hay dos semejanza S y S * que transforman el triángulo DABC en el DA ' B 'C '. Sea un punto cualquiera X y sean X '= S ( X ) y X '*= S * ( X ). S

Hemos de probar ahora la unicidad.

Figura 24.

La transformación S = H A ',k o GA ',j o Tvr es una semejanza que transforma el triángulo DABC en el DA ' B 'C '.

Si el punto B2 está en distinta semirrecta que B'con respecto a A', entonces es preciso utilizar también una simetría axial de eje A 'C ', y la semejanza obtenida sería inversa.

Si el punto B2 está en distinta semirrecta que B'con respecto a A', entonces es preciso utilizar también una simetría axial de eje A 'C ', y la semejanza obtenida sería inversa.

La transformación S = H A ',k o GA ',j o Tvr es una semejanza que transforma el triángulo DABC en el DA ' B 'C '. Hemos de probar ahora la unicidad.

Figura 24.

Supongamos que hay dos semejanza S y S * que transforman el triángulo DABC en el DA ' B 'C '. Sea un punto cualquiera X y sean X '= S ( X ) y X '*= S * ( X ). S

DABC

Tv

DA'B1C1

GA',j

DA'B2C1

DA'B'C'

La recta CX corta a la AB en un punto Q. Sean Q '= S (Q ) y Q '*= S * (Q ), tendremos

Q 'C ' Q ' B ' y = QC QB

HA', k

Q '*C ' Q '* B ' Q 'C ' QC Q '*C ' QC y, por tanto , es decir, la semejanza conserva las razones y = = = QC QB Q ' B ' QB Q '* B ' QB simples (QBC ) = (Q ' B 'C ' ) y (QBC ) = (Q '* B 'C ' ). De aquí (Q ' B 'C ' ) = (Q '* B 'C ' ) y por consiguiente Q '= Q '* . Tendremos el esquema siguiente:

A 'B ' A 'B ' A 'C ' A ' B ' y por tanto = =ky = = k, estando alineados los puntos A', B2, B y los puntos A 'B AB A 'C 2 AC 2 A ', C 2, C. El triángulo DA ' BC 1 1 se transforma en el DA ' B 'C ' mediante la homotecia H A ',k . Análogamente A ' B2 = A ' B1 = AB

, A 'C 2 = A 'C1 = AC

ì X ' A' ï = ï XA í ïX ' A' ï * = î XA

X 'Q ' ü ì X ' A ' XA ü ï ï ï = XQ ï ï X 'Q ' XQ ï X ' A ' X ' A ' ýÛí ýÞ = * Þ ( X 'Q ' A ' ) = ( X '*Q '* A ' ) X 'Q ' X '*Q '* ï ï ï X '*Q '* X ' A' XA ï ï ï * = XQ þ î X '*Q '* XQ þ

Supongamos que B2 esté en la misma semirrecta que B'con respecto a A'. Es fácil deducir de la figura que el ángulo orientado Ð( A 'C1, A 'C ') es también j, y por tanto el punto C1 se transforma mediante el giroGA',j en un puntoC 2 de la semirrecta A 'C '. Como la traslación y el giro son isometrías tendremos ra 24). Consideremos el ángulo orientado j= Ð( A ' B1, A ' B '). El giro GA',j transforma el punto B1 en otro B2 situado en la recta A ' B '. Finalmente llegamos a ( X 'Q ' A ' ) = ( X '*Q ' A ' ), resultando X '= X '* .

r Mediante una traslación de vector v =ë AA 'ûel triángulo DABC se transforma en el DA ' BC 1 1 (figuCUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

386

Homotecia y semejanza en el plano

3.4. Caracterización de la semejanza Lo anterior permite caracterizar la semejanza en el plano bien mediante la propiedad de conservación de los ángulos o la de proporcionalidad de longitudes de segmentos homólogos. Así, pues, podríamos haber partido de una definición equivalente de semejanza en el plano: Una biyección S del plano E2 en sí mismo es una semejanza si existe un número real positivo k, tal que para cualquier par de puntos A y B se verifica d ( A ', B ') = kd ( A , B ), siendo A '= S ( A ) y B '= S ( B ).

La propiedad d ( A ', B ' ) = kd ( A , B ) para cualesquiera dos puntos, conlleva el que todo triángulo arbitrario DABC se transforme en otro DA ' B 'C ' semejante, es decir, con lados proporcionales y ángulos iguales al de partida. Una transformación puntual que cumpla esto debe ser la composición de una homotecia y una isometría. Así pues la equivalencia entre la nueva definición y la dada, cuya demostración detallada omitiremos, se sustenta en el teorema anterior relativo a triángulos. La distinción entre semejanza directa e inversa se basa en la conservación o inversión de la orientación de los triángulos (figura 25). B' B B

INVERSA

DIRECTA + + C

Figura 25.

C

+ A

– C'

A'

A

Partiendo de aquí, podemos también caracterizar las semejanzas directas mediante la siguiente Proposición: Una transformación puntual del plano E2 es una semejanza directa si, y sólo si, el vector formado por dos puntos A y B cualesquiera y el formado por sus homólogos A' y B', forman un ángulo constante Ð( AB , A ' B ') = j. En efecto, una semejanza directa se reduce a la composición de una homotecia con un movimiento (traslación o giro). En el primer caso los vectores AB y A ' B ' son paralelos con lo que j= 0, ya que tanto una traslación como una homotecia transforman vectores en vectores paralelos. En el segundo caso j sería el ángulo del giro. Veamos el recíproco. Sean A y B dos puntos cualesquiera y sus homólogos A'y B'. Tomemos un punto auxiliarC que forme con A y B un triángulo. Por hipótesis:

H H' A

Q A'

B C

Ð( AB , A ' B ') = Ð( AC , A 'C ') = Ð(BC , B 'C ') = j

C' B'

Como vemos en la figura 26, teniendo en cuenta la igualdad de ángulos opuestos por el vértice, de los triánguFigura 26. los DAQH y DA 'QH ' se desprende H$ + A$ = H$ '+ A$ '. Pero H$ = Ð( AC , A 'C ') = j y H$ '= Ð( AB , A ' B ') = j, de donde resulta A$ = A$ '. Análogamente se probaría que B$ = B$ ' y que C$ = C$ ', es decir, los triángulos DABC y A ' B ' A 'C ' B 'C ' DA ' B 'C ' son semejantes y por tanto . = = AB AC BC TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

388

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

3.5. Determinación de una semejanza

Dada una semejanza directa S de razón k, existe un único punto O que es a la vez centro de la homotecia y del giro en que puede descomponerse S . Ese punto es el punto doble de la transformación y se llama centro de semejanza directa. Proposición:

Una semejanza directa queda determinada por dos pares de puntos homólogos.

Si los vectores homólogos AB y A ' B ' no son paralelos, sino que forman un ángulo j, la semejanza se puede descomponer de infinitas maneras como producto de homotecia y giro S = H O1 ,k o GO2 ,j , siendo O1 y O2 en general distintos. Ahora bien se tiene la siguiente propiedad:

En efecto, si los vectores AB y A ' B ' son homólogos, para cualquier otro punto X , el homólogo X ' se obtendría teniendo en cuenta que debe ser

X'

Figura 28.

Ð( AB , A ' B ') = Ð( AX , A ' X ') = Ð(BX , B ' X ') = j

X

O1 A

O

Nota: una semejanza inversa también queda determinada conociendo dos vectores homólogos. En la demostración anterior bastaría sustituir X 'por su simétrico X ''respecto de A ' B '. v

B

B'

(a)

A'

B v

j

B (b)

B'

j

A'

A

B'

A'

A

para lo cual bastaría construir sobre el segmento A ' B ' un triángulo DA ' B ' X ' tal que tenga los ángulos iguales y la misma orientación que el triángulo DABX (figura 27). A

j

B

Figura 27. Supongamos que en una semejanza S los vectores homólogos AB y A ' B ' son paralelos (si es directa tendrán además el mismo sentido). Si ambos vectores tienen igual módulo la semejanza se reduce al caso particular de una traslación (figura 28a). Si AB ¹ A ' B ', podemos considerar la homotecia de centro el punA 'B ' to O de intersección de las rectas AA' y BB' y razón k = y entonces S = H O ,k , pero también podría AB descomponerse S de infinitas maneras como producto de una homotecia y una traslación: S = H O1 ,k o Tvr (figura 28b).

3.6. Centro de semejanza directa

Supongamos que en una semejanza S los vectores homólogos AB y A ' B ' son paralelos (si es directa tendrán además el mismo sentido). Si ambos vectores tienen igual módulo la semejanza se reduce al caso particular de una traslación (figura 28a). Si AB ¹ A ' B ', podemos considerar la homotecia de centro el punA 'B ' to O de intersección de las rectas AA' y BB' y razón k = y entonces S = H O ,k , pero también podría AB descomponerse S de infinitas maneras como producto de una homotecia y una traslación: S = H O1 ,k o Tvr (figura 28b).

3.6. Centro de semejanza directa

Figura 27. B v B

B'

A'

j

para lo cual bastaría construir sobre el segmento A ' B ' un triángulo DA ' B ' X ' tal que tenga los ángulos iguales y la misma orientación que el triángulo DABX (figura 27). A

A'

A

A'

A

B

O

A

Nota: una semejanza inversa también queda determinada conociendo dos vectores homólogos. En la demostración anterior bastaría sustituir X 'por su simétrico X ''respecto de A ' B '. v

j

B

B'

(b)

B'

j

(a)

O1

X

Ð( AB , A ' B ') = Ð( AX , A ' X ') = Ð(BX , B ' X ') = j Figura 28.

X'

En efecto, si los vectores AB y A ' B ' son homólogos, para cualquier otro punto X , el homólogo X ' se obtendría teniendo en cuenta que debe ser

Si los vectores homólogos AB y A ' B ' no son paralelos, sino que forman un ángulo j, la semejanza se puede descomponer de infinitas maneras como producto de homotecia y giro S = H O1 ,k o GO2 ,j , siendo O1 y O2 en general distintos. Ahora bien se tiene la siguiente propiedad: Una semejanza directa queda determinada por dos pares de puntos homólogos.

Dada una semejanza directa S de razón k, existe un único punto O que es a la vez centro de la homotecia y del giro en que puede descomponerse S . Ese punto es el punto doble de la transformación y se llama centro de semejanza directa. Proposición:

3.5. Determinación de una semejanza

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

388

Homotecia y semejanza en el plano

3.6.1. Determinación del centro de semejanza El punto O será doble para la homotecia y doble para la rotación. Dados dos pares A, A' y B, B' de puntos homólogos se tendrá: Ð(OA ,OA ') = Ð(OB ,OB ') = j. Es decir desde O se ve-

C2

J j

A'

B'

rán los segmentos AA'y BB'bajo el ángulo j, por lo que O estará A C1 sobre el arco capaz del ángulo j construido sobre el segmento B AA' y a su vez sobre el arco capaz del mismo ángulo construido sobre el segmento BB'. Habrá que construir ambos arcos capaO ces y hallar su intersección (figura 29). Pero ambos arcos capaces pasan a su vez por el punto J de Figura 29. intersección de las rectas AB y A ' B ', con lo que la construcción se reduce a trazar las circunferencias C1 y C2 que pasan, respectivamente, por las ternas de puntos A, A', J y B, B', J . El nuevo punto de intersección O de ambas circunferencias es el centro de semejanza buscado. En efecto ÐAOA '= ÐBOB '= j, pues ambos son ángulos inscritos en C1 y C2, abarcando en cada caso el mismo arco que ÐBJB'. Por consiguiente: Ð(OA ,OA ') = Ð(OB ,OB ') = j

[3]

Se tiene ÐOBA '= ÐBOB ', ya que ambos son ángulos inscritos en C2 que abarcan el mismo arco. También ÐOAB +ÐOAJ = 180º= ÐOA ' B +Ð ' OA ' J , y como ÐOAJ = ÐOA ' J por ser ángulos inscritos en C2 que abarcan el mismo arco, entonces también ÐOAB = ÐOA ' B '. Resulta que los triángulos DOAB y DOA ' B ' son semejantes, al tener iguales dos de sus ángulos y, por tanto: A ' B ' OA ' OB ' = = =k AB OA OB

[4]

Los resultados [3] y [4] prueban que el punto O es el centro de semejanza.

3.7. El grupo equiforme En cualquier caso, aunque la semejanza no conserva el tamaño, dos figuras semejantes tienen la misma forma, sin tener en cuenta la orientación. De ahí que el grupo ( S ,o ) de las semejanzas en el plano recibe el nombre de grupo equiforme. Dicho grupo contiene gran variedad de subgrupos. Así, pues, las semejanzas directas constituyen un subgrupo, no así las semejanzas inversas. Si reunimos las homotecias y traslaciones y composiciones de ambas tendremos a la vez un subgrupo del anterior. Las homotecias de un mismo centro son asimismo otro subgrupo.

4. ESTUDIO ANALÍTICO DE LA HOMOTECIA Y LA SEMEJANZA EN EL PLANO 4.1. Ecuaciones de la homotecia La forma más sencilla de expresar las ecuaciones de una homotecia de razón k se obtiene tomando como origen de coordenadas O el centro de homotecia. Entonces si ( x, y ) y ( x', y' ) son las coordenadas de ì x'= kx que maun punto X y su homólogo X ', la relaciónë OX 'û= kë OX ûnos conduce a las ecuaciones í î y '= ky tricialmente se expresan: æ x ' ö æ k 0öæ x ö ç ÷= ç ÷ç ÷ è y 'ø è 0 k øè y ø TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

389

Volumen II. Matemáticas

390

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Si el centro de homotecia no es el origen de coordenadas, sino uno cualquiera C ( x0 , y0 ), entonces la relación entre dos puntos homólogos quedaë CX 'û= kë CX û, de donde las ecuaciones que resultan ahora ì x' = (1 – k )x0 + kx ì x '– x0 = k ( x – x0 ) , o bien í son í que pueden recogerse en la ecuación matricial: î y' = (1 – k ) y0 + ky î y'– y0 = k ( y – y0 ) motecia de razón k ' k y centro alineado con C y C '.

b)

é r 1– k ' r r ù r r Si k ' k ¹ 1, podremos poner [5] en la forma x ''= (1 – k ' k )ê c + ( c '– c )ú+ k ' kx, que es una hoë û 1– k 'k

teniendo los casos siguientes: r r r r r r Si k ' k = 1, quedará x ''= (1 – k ' )( c '– c )+ x que es una traslación de vector paralelo aë CC 'û= c '– c. a)

æ x' ö æ k 0 (1 – k )x0 öæ x ö ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y'÷= ç 0 k (1 – k ) y0 ÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 1 è 1 ø è0 0 øè 1 ø

Bastaría sustituir, y entonces obtendremos la transformación compuesta: r r r r r r r x ''= (1 – k ' )c '+k '[(1 – k )c + kx '] = (1 – k ' )c + k '(1 – k )c + k 'kx

[5]

Podemos comprobar que si k = 1, transformación se reduce a la identidad. En caso de que k = –1, se obtiene la ecuación de una simetría central (ver tema 41, epígrafe 8.3.).

Podríamos probar ahora de manera analítica algunas propiedades vistas anteriormente. Por ejemplo, que la composición de dos homotecias es otra homotecia o una traslación. Tendríamos las ecuaciones: r r r x '= (1 – k )c + kx r r r x ''= (1 – k ' )c '+k ' x ' X'

X

C

x'

x c

r r r x '= (1 – k )c + kx de donde queda la ecuación:

O

ë CX 'û= kë CX ûÞë OX 'û–ë OC û= k(ë OX û–ë OC û) Þ xr '= cr + k ( xr – cr ) Figura 30.

Entonces: También puede expresarse vectorialmente la ecuación de una homotecia, manejando vectores de por r r sición del centro de la homotecia c =ë OC û, de un punto genérico x =ë OX ûy su homólogo x '=ë OX 'û.

También puede expresarse vectorialmente la ecuación de una homotecia, manejando vectores de por r r sición del centro de la homotecia c =ë OC û, de un punto genérico x =ë OX ûy su homólogo x '=ë OX 'û. Entonces: Figura 30.

ë CX 'û= kë CX ûÞë OX 'û–ë OC û= k(ë OX û–ë OC û) Þ xr '= cr + k ( xr – cr ) O

de donde queda la ecuación: r r r x '= (1 – k )c + kx

c x

x'

Podríamos probar ahora de manera analítica algunas propiedades vistas anteriormente. Por ejemplo, que la composición de dos homotecias es otra homotecia o una traslación. Tendríamos las ecuaciones: r r r x '= (1 – k )c + kx r r r x ''= (1 – k ' )c '+k ' x ' C

X

X'

Podemos comprobar que si k = 1, transformación se reduce a la identidad. En caso de que k = –1, se obtiene la ecuación de una simetría central (ver tema 41, epígrafe 8.3.). Bastaría sustituir, y entonces obtendremos la transformación compuesta: r r r r r r r x ''= (1 – k ' )c '+k '[(1 – k )c + kx '] = (1 – k ' )c + k '(1 – k )c + k 'kx

[5]

æ ö æ öæ ö ç x' ÷ ç k 0 (1 – k )x0 ÷ç x ÷ ç y'÷= ç 0 k (1 – k ) y ÷ç y÷ 0 ç ÷ ç ÷ç ÷ 1 è 1 ø è0 0 øè 1 ø

teniendo los casos siguientes: r r r r r r a) Si k ' k = 1, quedará x ''= (1 – k ' )( c '– c )+ x que es una traslación de vector paralelo aë CC 'û= c '– c.

Si el centro de homotecia no es el origen de coordenadas, sino uno cualquiera C ( x0 , y0 ), entonces la relación entre dos puntos homólogos quedaë CX 'û= kë CX û, de donde las ecuaciones que resultan ahora ì x' = (1 – k )x0 + kx ì x '– x0 = k ( x – x0 ) , o bien í son í que pueden recogerse en la ecuación matricial: î y' = (1 – k ) y0 + ky î y'– y0 = k ( y – y0 ) 390

é r 1– k ' r r ù r r Si k ' k ¹ 1, podremos poner [5] en la forma x ''= (1 – k ' k )ê c + ( c '– c )ú+ k ' kx, que es una hoë û 1– k 'k motecia de razón k ' k y centro alineado con C y C '.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

b)

Homotecia y semejanza en el plano

4.2. Ecuaciones de la semejanza r Sea la homotecia H de centro C ( x0 , y0 ) y razón k y la traslación T de vector v ( a , b ). La semejanza S que resulta de la composición T o H vendrá dada matricialmente por æ x' ö æ 1 0 a öæ k 0 (1 – k )x0 öæ x ö æ k 0 a + (1 – k )x0 öæ x ö ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ç y'÷= ç 0 1 b ÷ç 0 k (1 – k ) y0 ÷ç y ÷=ç 0 k b + (1 – k ) y0 ÷ç y÷ ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç 1 1 øè 1 ø è 0 0 øè 1 ø è 1 ø è 0 0 1øè 0 0 r r r r Vectorialmente podemos expresarla x '= a + (1 – k )c + kx. r rHemos r de r notar aquí que si k = 1, resultará el caso particular de una traslación de vector a, de ecuación x '= a + x, que matricialmente se traduce en æ x' ö æ 1 0 a öæ x ö ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y'÷= ç 0 1 b ÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ è 1 ø è 0 0 1øè 1 ø Si se trata de la composición de la homotecia H y giro G de ángulo j, entonces G o H se obtiene mediante æ x' ö æcos j – sen j a öæ k 0 (1 – k )x0 öæ x ö ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ç y '÷= çsen j cos j b ÷ç 0 k (1 – k ) y0 ÷ç y÷= ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ç 0 1øè 0 0 1 øè 1 ø è 1ø è 0 æ k cos j – k sen j (1 – k )x0 cos j – (1 – k ) y0sen j+ a öæ x ö ç ÷ç ÷ = ç k sen j k cos j (1 – k )x0 sen j+ (1 – k ) y0sen j+ b ÷ç y÷ ç ÷ç ÷ 0 1 è 0 øè 1 ø Podríamos obtener así las ecuaciones de semejanzas que resulten de la composición de homotecia con otras isometrías. Hay que tener en cuenta que la composición no es conmutativa, al igual que no lo es el producto de matrices.

4.3. Las semejanzas como caso particular de afinidades En general una semejanza viene dada por una ecuación matricial de la forma æ x ' ö æ a11 a12 ç ÷ ç ç y '÷= ç a21 a22 ç ÷ ç 0 è 1ø è 0

a0 öæ x ö ÷ç ÷ b0 ÷ç y÷ ÷ç ÷ 1 øè 1 ø

[6]

æ a11 a12 a0 ö ç ÷ La matriz A = ç a21 a22 b0 ÷deberá estar sujeta a ciertas restricciones, además de A ¹ 0, para que ç ÷ 0 1ø è0 la transformación cumpla las propiedades métricas definitorias de una semejanza. En realidad, la semejanza es un caso particular dentro de las transformaciones del plano que vienen dadas en la forma matricial [6], a las que en general se denomina transformaciones afines o afinidades. Las ecuaciones analíticas de una afinidad son: ì x1'= a0 + a11x1+ a12x2 í îx2 '= b0 + a21x1+ a22x2 TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

391

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

–

r r ì a12a11+ a21a22 = 0 Para X = e2 = ( 0,1), tendremos í 2 r 2 îa12 + a22 = l( e2 )

o bien

ìa 2 + a 2 = l( er1 ) r r Para X = e1 = (1,0 ), tendremos í 11 21 î a11a12 + a21a22 = 0

æ x ' ö æa ö æ a a öæ x ö ç 1 ÷= ç 0 ÷+ç 11 12 ÷ç 1 ÷ è x2 'ø è b0 ø è a21 a22 øè x2 ø siendo

a11 a12 ¹ 0. a21 a22

392

–

En particular:

Obviamente una transformación puntualr de este tipo induce un automorfismo deV2 que transforma el r vector X =ë PQ û= ( X 1, X 2) en el vector X '=ë P 'Q 'û= ( X 1', X 2 '), siendo

Se trata obviamente de un sistema homogéneo compatible indeterminado, pues hay siempre vectores ortogonales a uno dado. Ello nos lleva a que los coeficientes de dicho sistema deben ser proporcionales, o sea: r ì ( a 2 + a 2 ) X + ( a a + a a ) X = l( X ) X 11 21 1 12 11 21 22 2 r 1 í [8] 2 2 î( a11a12 + a21a22) X 1+ ( a12 + a22) X 2 = l( X ) X 2 ì X 1'= a11X 1+ a12 X 2 í î X 2 '= a21X 1+ a22 X 2

[7]

æ X 1' ö æ a11 a12 öæ X 1 ö ÷ç ÷, o más simplemente X '= AX . que expresaremosç ÷= ç è X 2 'ø è a21 a22 øè X 2 ø

ì X 1Y1+ X 2Y2 = 0 í 2 2 2 2 î[( a11+ a21) X 1+ ( a12a11+ a21a22) X 2]Y1+ [( a11a12 + a21a22) X 1+ ( a12 + a22) X 2]Y2 = 0

El hecho de ser aplicación lineal implica que se conserve el paralelismo, en tanto que el transformado del vector l X es l X ' . Ahora bien, si además se conserva la ortogonalidad tendremos una semejanza. Esto es, podemos definirla como caso particular de afinidad. r r Fijado, por tanto, el vector X = ( X 1, X 2), el vector Y = (Y1,Y2) se obtendría resolviendo el sistema Definición: Una semejanza es una afinidad que conserva la perpendicularidad. r r r r Es decir, que cumple: X ×Y = 0 Þ X ' ×Y '= 0.

[( a112+ a212) X 1+( a12a11+ a21a22) X 2]Y1+[( a11a12 + a21a22) X 1+( a122 + a222) X 2]Y2 = 0

Manejando los vectores como matrices columna, se pondría: X tY = 0 Þ X 't Y '= 0. Veamos entonces qué requisitos debe cumplir la matriz A para que defina una semejanza. La relación X 't Y '= 0 equivale a X t A t AY = 0, que desarrollada es:

Manejando los vectores como matrices columna, se pondría: X tY = 0 Þ X 't Y '= 0. Veamos entonces qué requisitos debe cumplir la matriz A para que defina una semejanza. La relación X 't Y '= 0 equivale a X t A t AY = 0, que desarrollada es:

Definición: Una semejanza es una afinidad que conserva la perpendicularidad. r r r r Es decir, que cumple: X ×Y = 0 Þ X ' ×Y '= 0.

[( a112+ a212) X 1+( a12a11+ a21a22) X 2]Y1+[( a11a12 + a21a22) X 1+( a122 + a222) X 2]Y2 = 0

r r Fijado, por tanto, el vector X = ( X 1, X 2), el vector Y = (Y1,Y2) se obtendría resolviendo el sistema

El hecho de ser aplicación lineal implica que se conserve el paralelismo, en tanto que el transformado del vector l X es l X ' . Ahora bien, si además se conserva la ortogonalidad tendremos una semejanza. Esto es, podemos definirla como caso particular de afinidad. ì X 1Y1+ X 2Y2 = 0 í 2 2 2 2 î[( a11+ a21) X 1+ ( a12a11+ a21a22) X 2]Y1+ [( a11a12 + a21a22) X 1+ ( a12 + a22) X 2]Y2 = 0

æ X 1' ö æ a11 a12 öæ X 1 ö ÷ç ÷, o más simplemente X '= AX . que expresaremosç ÷= ç è X 2 'ø è a21 a22 øè X 2 ø

Se trata obviamente de un sistema homogéneo compatible indeterminado, pues hay siempre vectores ortogonales a uno dado. Ello nos lleva a que los coeficientes de dicho sistema deben ser proporcionales, o sea: ì X 1'= a11X 1+ a12 X 2 í î X 2 '= a21X 1+ a22 X 2

r ì ( a 2 + a 2 ) X + ( a a + a a ) X = l( X ) X 12 11 21 22 2 r 1 í 11 21 1 2 2 î( a11a12 + a21a22) X 1+ ( a12 + a22) X 2 = l( X ) X 2

[7]

[8]

Obviamente una transformación puntualr de este tipo induce un automorfismo deV2 que transforma el r vector X =ë PQ û= ( X 1, X 2) en el vector X '=ë P 'Q 'û= ( X 1', X 2 '), siendo ¹ 0.

En particular: ìa 2 + a 2 = l( er1 ) r r Para X = e1 = (1,0 ), tendremos í 11 21 î a11a12 + a21a22 = 0

a12

–

a21 a22 a11

–

siendo

æ x1' ö æ a0 ö æ a11 a12 öæ x1 ö ç ÷= ç ÷+ç ÷ç ÷ è x2 'ø è b0 ø è a21 a22 øè x2 ø

r r ì a12a11+ a21a22 = 0 Para X = e2 = ( 0,1), tendremos í 2 r 2 îa12 + a22 = l( e2 )

392

o bien

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Homotecia y semejanza en el plano Las ecuaciones [8] se reducen a

r ì l ( er ) X = l ( X ) X r 1 í r1 1 l ( e ) X l ( X )X 2 = î 2 2

r Si tomamos un vector X = ( X 1, X 2 ) con X 1 ¹ 0 y X 2 ¹ 0 resulta r r r l ( e1 ) = l ( e2 ) = l ( X ) = l = cte. Entonces para que la afinidad cuyo automorfismo asociado viene dado por las ecuaciones [7] sea una semejanza, se deben cumplir las condiciones: 2 ì a112+ a21 =l ï 2 2 ía12 + a22 = l ï î a11a12 + a21a22 = 0

[9]

Veamos ahora que la semejanza conserva los ángulos. Si se cumplen las [9], entonces: X× ' Y ' = X 1'×Y1'+ X 2 '×Y2 '= ( a11X 1+ a12 X 2 )( a11Y1+ a12Y2 )+ ( a21X 1+ a22 X 2 )( a21Y1+ a22Y 2 ) = 2 2 ) X 2Y 2 = = ( a112+ a21 ) X 1Y1+ ( a11a12 + a21a22 ) X 1Y2 + ( a12a11+ a22a21 ) X 2Y1+ ( a122 + a22

= lX 1Y1+ lX 2Y2 = l ( X 1Y1+ X 2Y 2 ) = lX ×Y Haciendo X = Y , se tiene X ' =

l X yY'=

l Y .

En consecuencia cos( X ',Y ' ) =

Además, el resultado

X' X

=

X ' ×Y ' = X ' ×Y '

lX ×Y lX × lY

=

X ×Y = cos ( X ,Y ) X ×Y

l = cte significa que la razón entre las longitudes de dos segmentos

homólogos es constante. La razón de semejanza es k =

l.

æ a11 a12 öæ a11 a21 ö æ l 0 ö ÷ç ÷= ç ÷, de donde A 2 = l2. Entonces la semeHemos de notar que A × A t = ç a a a a 0 l ø è 21 22 øè 12 22 ø è janza será directa o inversa según que sea A = +l o A = – l. æ l æ ö 0 ö ÷= ç k 0÷, que cumple los requisitos [9], nos proporciona un En particular la matriz A = ç ç ÷ 0 k ø lø è è 0 caso particular de semejanza. Así pues la transformación puntual æ x1' ö æ k 0öæ x1 ö ç ÷= ç ÷ç ÷ è x2 'ø è 0 k øè x2 ø la homotecia de centro el origen y razón k. æ x1' ö æ1 – k 0 öæ a ö æ k 0öæ x1 ö ÷ç ÷+ç ÷ç ÷es la homotecia de centro C ( a , b ) y razón k. Análogamenteç ÷= ç è x2 'ø è 0 1 – k øè b ø è 0 k øè x2 ø TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

393

Volumen II. Matemáticas

394

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

2 ì a112+ a21 =l æ x1' ö æ a0 ö æ a11 a12 öæ x1 ö ï 2 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ puede po, con ía12 + a22 = l Una semejanza en general dada por = + è x2 'ø è b0 ø è a21 a22 øè x2 ø ï a a a a + = 0 î 11 12 21 22 nerse en la forma:

é ù a12 / k öæ x1 ö æ k 0öêæ a0 / k ö æ a11 / k a12 / k öæ x1 öú ÷+ç ÷ç ÷ú ÷ç ÷= ç ÷êç a22 / k øè x2 ø è 0 k øêè b0 / k ø è a21 / k a22 / k øè x2 øú 123 144444244444 3 û homoteciaë isometría

æ x1' ö æ k 0öæ a0 / k ö æ k 0öæ a11 / k ç ÷= ç ÷+ç ÷ç ÷ç è x2 'ø è 0 k øè b0 / k ø è 0 k øè a21 / k

a12 / k ö 1 ÷= A es ortogonal, ya que a22 / k ø k æ 1 öæ 1 ö 1 1æ l ç A ÷×ç A ÷ = 2 A × A t = ç èk øèk ø k lè 0 t

0ö ÷= I . lø

t æ 1 öæ 1 ö 1 1æ l ç A ÷×ç A ÷ = A×At = ç èk øèk ø k2 lè 0

æ a11 / k pues la matrizç è a21 / k

0ö ÷= I . lø

a12 / k ö 1 ÷= A es ortogonal, ya que a22 / k ø k

æ x ' ö æ k 0öæ a0 / k ö æ k 0öæ a11 / k ç 1 ÷= ç ÷+ç ÷ç ÷ç è x 'ø è 0 k øè b / k ø è 0 k øè a / k 2

æ a11 / k pues la matrizç è a21 / k

0

21

é ù a12 / k öæ x1 ö æ k 0öêæ a0 / k ö æ a11 / k a12 / k öæ x1 öú ÷+ç ÷ç ÷ú ÷ç ÷= ç ÷êç a / k øè x ø è 0 k øè b / k ø è a / k a22 / k øè x2 øú 123ê 10444421 4244444 3 û homoteciaë isometría 22

2

nerse en la forma: 2 ì 2 l a a + = æ x ' ö æa ö æ a ï 11 21 a öæ x ö 1 0 11 12 2 ÷ç 1 ÷, con ía122 + a22 puede poUna semejanza en general dada porç ÷= ç ÷+ç =l è x2 'ø è b0 ø è a21 a22 øè x2 ø ï îa11a12 + a21a22 = 0

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

394

TEMA

43 Proyecciones en el plano. Mapas. Planisferios terrestres: principales sistemas de representación

Emilio M. Pina Coronado

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

396

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

PROYECCIONES PUNTUALES 2.1. Proyección sobre un plano paralelamente a una recta 2.2. Proyección sobre una recta paralelamente a un plano

3.

TEOREMA DE THALES

4.

PROYECCIONES, ÁNGULOS Y DISTANCIAS 4.1. Definición de proyección cónica 4.2. Definición de proyección cilíndrica 4.3. Proyección de una recta y de rectas paralelas 4.4. Proyección de rectas perpendiculares 4.5. Teorema de las tres perpendiculares 4.6. Recta y plano perpendiculares 4.7. Ángulo de recta y plano 4.8. Recta de máxima pendiente en un plano 4.9. Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan

5.

SISTEMAS DE PROYECCIÓN 5.1. Sistema acotado 5.2. Sistema diédrico o de Monge 5.3. Sistema axonométrico 5.4. Sistema cónico

6.

MAPAS 6.1. Definición de mapas. Tipos 6.2. Sistemas de representación en Topología

7.

PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS 7.1. Anamorfosis 7.2. Escala local 7.3. Clasificación de las proyecciones cartográficas 7.4. Clasificación por el sistema de transformación 7.4.1. Sistemas convencionales 7.4.2. Sistemas perspectivos o naturales 7.5. Sistemas artificiales o por desarrollo 7.5.1. Proyección cilíndrica conforme de Mercator 7.5.2. Proyección UTM 7.5.3. Proyección cónica conforme de Lambert

PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS 7.1. Anamorfosis 7.2. Escala local 7.3. Clasificación de las proyecciones cartográficas 7.4. Clasificación por el sistema de transformación 7.4.1. Sistemas convencionales 7.4.2. Sistemas perspectivos o naturales 7.5. Sistemas artificiales o por desarrollo 7.5.1. Proyección cilíndrica conforme de Mercator 7.5.2. Proyección UTM 7.5.3. Proyección cónica conforme de Lambert

7.

MAPAS 6.1. Definición de mapas. Tipos 6.2. Sistemas de representación en Topología

6.

SISTEMAS DE PROYECCIÓN 5.1. Sistema acotado 5.2. Sistema diédrico o de Monge 5.3. Sistema axonométrico 5.4. Sistema cónico

5.

PROYECCIONES, ÁNGULOS Y DISTANCIAS 4.1. Definición de proyección cónica 4.2. Definición de proyección cilíndrica 4.3. Proyección de una recta y de rectas paralelas 4.4. Proyección de rectas perpendiculares 4.5. Teorema de las tres perpendiculares 4.6. Recta y plano perpendiculares 4.7. Ángulo de recta y plano 4.8. Recta de máxima pendiente en un plano 4.9. Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan

4.

TEOREMA DE THALES

3.

PROYECCIONES PUNTUALES 2.1. Proyección sobre un plano paralelamente a una recta 2.2. Proyección sobre una recta paralelamente a un plano

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

396

Proyecciones en el plano

1. INTRODUCCIÓN Una cuestión que ha preocupado al hombre desde el inicio de la matematización es la fidelidad con que una representación plana era juicio fiel de entidades tridimensionales. Es la Geometría descriptiva quien tiene por objeto establecer las relaciones correlativas entre la forma del espacio, de tres dimensiones, y la forma plana, de dos dimensiones, es decir, proporcionar una vía para representar y manejar formas y cuerpos concebidos en el espacio sobre elementos que permitan su asimilación en el plano, y viceversa, estableciendo las normas por las que una forma representada en el plano con arreglo a unos criterios pueda restituirse al espacio en su forma original. Los orígenes de los trabajos al respecto hay que buscarlos en el geómetra griego Thales de Mileto (siglo VI a.C.), cuya labor está vinculada a las proyecciones en el plano, al estudio de las proyecciones en el triángulo y a la aplicación de sus técnicas geométricas a la medida de la altura de las pirámides o a los cálculos de distancias en el mar. El estudio del concepto de proyección nos permitirá abordar los mapas, los planisferios terrestres y los principales sistemas de representación, cuyo objetivo principal es representar sobre el plano un cuerpo dado en el espacio.

2. PROYECCIONES PUNTUALES Sea P un plano, y sean r y s dos rectas no paralelas definidas en P. Basándonos en el axioma de Euclides que nos indica que por todo punto P del plano P, pasa una y sólo una recta sP paralela a s, y teniendo en cuenta que las rectas r y s las hemos definido como secantes, entonces, la recta sP corta a r en un punto único. Decimos que p es el proyectado o proyección de P sobre r paralelamente a s, es decir, que p es el proyectado o proyección de P sobre r según la dirección de s. Así definimos una aplicación f , tal que a todo punto P del plano se le asocia su proyectado p sobre r paralelamente a s. f :P ® p

P

p

Sp

r

S

p

Figura 1. A esa aplicación f se le denomina proyección puntual sobre r paralelamente a s, o también podemos decir que f es la proyección de base r paralelamente a s. Al vector formado por el punto origen y su imagen (proyección) se le llama rayo proyector. Cuando r y s son rectas perpendiculares decimos que f es la proyección ortogonal sobre la recta r, o proyección ortogonal de base r. Proposición: Sean dos rectas r y s no paralelas de un planoP y f la proyección de base r paralelamente a s, entonces el conjunto de puntos invariantes por f es la recta r. Para demostrarla partimos de que P es un punto invariante por f , entonces P = p, pero teniendo en cuenta que p Î r al ser p = r Ç s, entonces, todo punto invariante por f pertenece a r. Recíprocamente, sea P un punto de r. La recta paralela S P que pasa por P corta a r en un punto único; pero como P Î r y P Î S P , entonces, P es el punto de intersección y, por definición de p, P es igual a su proyectado p, con lo que podemos afirmar que todo punto de r es invariante por f . Así queda demostrado que el conjunto de los puntos invariantes por f constituye la recta r. Corolario: “El conjunto imagen del plano P por la aplicación f es la recta r”. En efecto, el punto p = f ( P) y p Î r, con lo que la imagen del plano esta incluida en r, y como todo punto de r es igual a un transformado por f , al estar en la imagen del plano k, entonces, la imagen por f del plano P está en la recta r.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

397

Volumen II. Matemáticas

398

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

2.1. Proyección sobre un plano paralelamente a una recta

Corolario: La imagen por f del espacio x es la recta r. Sea p Î r. El conjunto de los puntos que tienen imagen mediante f ese punto p es el plano paralelo a P que pasa por p.

Sea P un plano del espacio x, y r una recta no paralela al plano P. Basándonos en el axioma de Euclides, por todo punto P Î x pasa una sola recta rP paralela a r que tampoco será paralela al plano P y al que cortará en un único punto p que será el proyectado de P sobre P paralelamente a r, o bien, podemos decir que p es el proyectado de P sobre P siguiendo la dirección de la recta r. La aplicación f que, a todo punto P Î x, asocia su proyectado p sobre P paralelamente a r se denomina proyección puntual sobre P paralelamente a r. Si P y r son ortogonales, decimos que f es la proyección ortogonal sobre el plano P. P La proyección de un punto sobre un plano P, llamado plano de proyección o plano proyectante, se obtiene haciendo pasar una recta llamada recta proyectante, por dicho punto y hallando su intersección con el plano. Si no especificamos la recta, son infinitas las proyectantes que p pasan por un punto, obteniéndose infinitas proyecciones de ese punto, y en consecuencia su proyección queda indeterminada. p Para evitar la indeterminación sometemos a la proyectante a ciertas condiciones que dan lugar a distintos sistemas de proyección.

Figura 3.

p

Sea P un plano del espacio x, y r una recta no paralela a P. Una vez más, de acuerdo con el axioma de Euclides, pasa, por todo punto P del espacio x un único plano P P paralelo a P . Este plano lo corta r en un punto p único, llamado proyectado de P sobre r paralelamente a P. La aplicación que al punto P, asocia el punto p, se denomina proyección puntual sobre r paralelamente a P (o que sigue la dirección de P).

pP

r

p

P

rp

Proposición: Sea P un plano, r una recta no paralela a P y f la proyección sobre r paralelamente a P, entonces: “El conjunto de los puntos invariantes por f es la recta r ”. La demostración es análoga a la vista anteriormente.

r

Proposición: Sea P un plano, r una recta no paralela a P y f la proyección Figura 2. sobre P paralelamente a r, entonces: “El conjunto de puntos invariantes por f es el plano P”. Para demostrarlo tendremos en cuenta que como p pertenece al plano P, todo punto P invariante, es decir, igual a p, pertenece a P . Recíprocamente, todo punto P de P es invariante, porque la paralela a r que pasa por P corta a este plano en P, y así p es igual a P, con lo que el conjunto de los puntos invariantes es consiguientemente el plano P. Con un razonamiento análogo al que podríamos hacer en la dimensión dos, la imagen del espacio x es aquí el plano P, y todo punto p de P es imagen por f de los puntos de la paralela a r que pasa por p.

2.2. Proyección sobre una recta paralelamente a un plano

p Proposición: Sea P un plano, r una recta no paralela a P y f la proyección Figura 2. sobre P paralelamente a r, entonces: “El conjunto de puntos invariantes por f es el plano P”. Para demostrarlo tendremos en cuenta que como p pertenece al plano P, todo punto P invariante, es decir, igual a p, pertenece a P . Recíprocamente, todo punto P de P es invariante, porque la paralela a r que pasa por P corta a este plano en P, y así p es igual a P, con lo que el conjunto de los puntos invariantes es consiguientemente el plano P. Con un razonamiento análogo al que podríamos hacer en la dimensión dos, la imagen del espacio x es aquí el plano P, y todo punto p de P es imagen por f de los puntos de la paralela a r que pasa por p.

2.2. Proyección sobre una recta paralelamente a un plano

r

Sea P un plano del espacio x, y r una recta no paralela a P. Una vez más, de acuerdo con el axioma de Euclides, pasa, por todo punto P del espacio x un único plano P P paralelo a P . Este plano lo corta r en un punto p único, llamado proyectado de P sobre r paralelamente a P. La aplicación que al punto P, asocia el punto p, se denomina proyección puntual sobre r paralelamente a P (o que sigue la dirección de P).

r

Sea P un plano del espacio x, y r una recta no paralela al plano P. Basándonos en el axioma de Euclides, por todo punto P Î x pasa una sola recta rP paralela a r que tampoco será paralela al plano P y al que cortará en un único punto p que será el proyectado de P sobre P paralelamente a r, o bien, podemos decir que p es el proyectado de P sobre P siguiendo la dirección de la recta r. La aplicación f que, a todo punto P Î x, asocia su proyectado p sobre P paralelamente a r se denomina proyección puntual sobre P paralelamente a r. Si P y r son ortogonales, decimos que f es la proyección ortogonal sobre el plano P. P La proyección de un punto sobre un plano P, llamado plano de proyección o plano proyectante, se obtiene haciendo pasar una recta llamada recta proyectante, por dicho punto y hallando su intersección con el plano. Si no especificamos la recta, son infinitas las proyectantes que p pasan por un punto, obteniéndose infinitas proyecciones de ese punto, y en consecuencia su proyección queda indeterminada. p Para evitar la indeterminación sometemos a la proyectante a ciertas condiciones que dan lugar a distintos sistemas de proyección. Proposición: Sea P un plano, r una recta no paralela a P y f la proyección sobre r paralelamente a P, entonces: “El conjunto de los puntos invariantes por f es la recta r ”. La demostración es análoga a la vista anteriormente.

P

p

p

r

pP

Figura 3.

Corolario: La imagen por f del espacio x es la recta r. Sea p Î r. El conjunto de los puntos que tienen imagen mediante f ese punto p es el plano paralelo a P que pasa por p.

2.1. Proyección sobre un plano paralelamente a una recta

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

398

Proyecciones en el plano

3. TEOREMA DE THALES Trabajando sobre el plano, situemos en él tres rectas (ampliable a n rectas) s1, s2 , s3 estrictamente paralelas y otras dos rectas r y r1 no paralelas a s1, como se muestra en el dibujo

r1 C B

A

r A´

Figura 4.

S1

B´ S2

C´ S3

Si llamamos A, B, C a los puntos de intersección de r1 con s1, s2 , s3 y A ', B', C', a los de intersección de r con esas mismas rectas, podemos establecer: AC A 'C ' = AB A 'B ' lo que se puede interpretar en términos de proyección sobre una recta r paralelamente a una recta si. Si tomamos tres puntos A, B, C, tales que AC = l × AB ,( l Î R) entonces si llamamos A ', B ', C 'a los puntos proyectados de A, B, C, sobre r paralelamente a si, podemos escribir la relación vectorial A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R). Proposición: Sean r, r1 dos rectas no paralelas; A, B, C, tres puntos del plano. Si existe l Î R tal que, AC = l × AB ,( l Î R) entonces los puntos proyectados A ', B', C' de A, B, C sobre r paralelamente a si verifican también que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R). Extendiendo el razonamiento anterior del teorema de Thales al espacio podemos decir que siP1,P 2 ,P 3 son tres planos estrictamente paralelos y r, r1 dos rectas distintas y no paralelas al plano P1, entre los puntos A, B, C de intersección de r1 con P1,P 2 ,P 3 , y los puntos A ', B', C' los puntos de intersección de r con esos misAC A 'C ' mos planos se puede establecer la relación = AB A 'B ' Demostrémoslo:

–

Caso 1. r y r1 coplanarias (paralelas / concurrentes). Como r, r1 son rectas coplanarias no coincidentes determinan un plano a y los planos P1,P 2 ,P 3 al ser paralelos, cortan a a definiendo tres rectas paralelas s1, s2 , s3, pudiéndose AC A 'C ' establecer que = AB A 'B '

–

Caso 2. r y r1 no coplanarias (rectas que se cruzan). Si llamamos r2 a la recta paralela a r que pasa por A, dicha recta r2 corta al plano P 2 en un punto I y al plano P 3 en un cierto punto J. Como las rectas r y r2 son paralelas, determinan un plano b que corta a los planos P1,P 2 ,P 3 de-

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

r1

r

r1

A

P1

A´

B

B´

C

r

A´ P1

A

P2

B´

C´ P3

P2

B

C

P3

C´

Figura 5. 399

Volumen II. Matemáticas

400

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

finiendo tres rectas paralelas. Así, podemos aplicar el Teorema de Thales en el plano b a las rectas paralelas ( AA ') ,( IB') ,( JC') con lo que podemos escribir:

1 1 AB, lo que implica que A ' I ' = A ' B ', por lo que I ' es el punto medio de A ' B '. 2 2 Proposición: La imagen de un paralelogramo por una proyección puntual es un paralelogramo. Para demostrarlo consideremos ABCD un paralelogramo. Sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio I. Si llamamos A ', B', C', D', I' a las proyecciones de A, B, C, D e I, por una proyección puntual, podemos afirmar que la proyección I' de I es el punto medio de A’C’ y también el punto medio de B', D' . Por tanto AC y BD tienen el mismo punto medio, lo que es una propiedad característica de todo paralelogramo. Así pues, A ', B', C', D' es también un paralelogramo.

r1 r2

r

AJ A 'C ' = AI A 'B '

A

P1

A´

Análogamente, las rectas r y r1 determinan un cierto plano a y dado que r1 y r2 son coplanarias podemos aplicar lo visto anteriormente, r1 corta a los planos P1,P 2 ,P 3 en los puntos A, I, J y dado que los planos P1,P 2 ,P 3 son paralelos podemos escribir: AI =

( l Î R), entonces A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R), y si I es el punto medio de AB, entonces podemos escribir que AJ AC = AI AB

Para demostrarlo, tal y como hemos visto anteriormente, para toda proyección puntual, si AC = l × AB , P2

Proposición: Toda proyección puntual “conserva las mitades”, es decir: si I es el punto medio del segmento AB, entonces su proyección I' es el punto medio del segmento determinado por A ' B', siendo A' y B' las proyecciones respectivas de A y B. B

I

B´

AC A 'C ' . y relacionando las expresiones anteriores llegamos a = AB A 'B ' Proposición: Sea P un plano y r una recta no paralela al plano, y sean A, B, C tres puntos con sus respectivas proyecciones A ', B', C' sobre r paralelamente a P, si existe un cierto l Î R tal que AC = l × AB ,( l Î R), se verifica entonces que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R).

Si (AB) no es paralela a r , las rectas r y (AB) determinan un plano a que corta al plano P según una recta r'entonces A 'Î r' al ser la intersección de la paralela a r que pasa por A; lo mismo puede decirse de B' y C' . Aplicando el Teorema de Thales en este plano a a las rectas paralelas a r que pasan por A, B y C, se obtiene que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R). P3

C

C´

J

– Caso 2. Si A ¹ B, entonces los puntos A, B y C están sobre la recta (AB) . Si esta recta (AB) es paralela a r, entonces los puntos A, B y C tienen la misma proyección A' y en consecuencia se tendrá entonces que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R) ya que A 'C ' = 0 = l A ' B ',( 0 Î R). Para demostrarlo partimos de la hipótesis de que AC = l × AB ,( l Î R)

y se nos presentan distintos casos:

–

Caso 1. Si A = B, entonces A = C y la proyecciones A, B y C son el mismo punto por lo que se verificaría que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R)

–

Figura 6.

Figura 6.

Caso 1. Si A = B, entonces A = C y la proyecciones A, B y C son el mismo punto por lo que se verificaría que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R)

– Caso 2. Si A ¹ B, entonces los puntos A, B y C están sobre la recta (AB) . Si esta recta (AB) es paralela a r, entonces los puntos A, B y C tienen la misma proyección A' y en consecuencia se tendrá entonces que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R) ya que A 'C ' = 0 = l A ' B ',( 0 Î R). y se nos presentan distintos casos:

AC = l × AB ,( l Î R)

Para demostrarlo partimos de la hipótesis de que

Proposición: Sea P un plano y r una recta no paralela al plano, y sean A, B, C tres puntos con sus respectivas proyecciones A ', B', C' sobre r paralelamente a P, si existe un cierto l Î R tal que AC = l × AB ,( l Î R), se verifica entonces que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R).

Si (AB) no es paralela a r , las rectas r y (AB) determinan un plano a que corta al plano P según una recta r'entonces A 'Î r' al ser la intersección de la paralela a r que pasa por A; lo mismo puede decirse de B' y C' . Aplicando el Teorema de Thales en este plano a a las rectas paralelas a r que pasan por A, B y C, se obtiene que A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R). J

C´

P3

C

Proposición: Toda proyección puntual “conserva las mitades”, es decir: si I es el punto medio del segmento AB, entonces su proyección I' es el punto medio del segmento determinado por A ' B', siendo A' y B' las proyecciones respectivas de A y B. y relacionando las expresiones anteriores llegamos a

I

B

B´

P2

AC A 'C ' . = AB A 'B '

AJ AC = AI AB

Para demostrarlo, tal y como hemos visto anteriormente, para toda proyección puntual, si AC = l × AB , ( l Î R), entonces A 'C ' = l × A ' B ',( l Î R), y si I es el punto medio de AB, entonces podemos escribir que 1 1 AI = AB, lo que implica que A ' I ' = A ' B ', por lo que I ' es el punto medio de A ' B '. 2 2 Proposición: La imagen de un paralelogramo por una proyección puntual es un paralelogramo. Para demostrarlo consideremos ABCD un paralelogramo. Sus diagonales AC y BD se cortan en su punto medio I. Si llamamos A ', B', C', D', I' a las proyecciones de A, B, C, D e I, por una proyección puntual, podemos afirmar que la proyección I' de I es el punto medio de A’C’ y también el punto medio de B', D' . Por tanto AC y BD tienen el mismo punto medio, lo que es una propiedad característica de todo paralelogramo. Así pues, A ', B', C', D' es también un paralelogramo. A

A´

P1

Análogamente, las rectas r y r1 determinan un cierto plano a y dado que r1 y r2 son coplanarias podemos aplicar lo visto anteriormente, r1 corta a los planos P1,P 2 ,P 3 en los puntos A, I, J y dado que los planos P1,P 2 ,P 3 son paralelos podemos escribir: AJ A 'C ' = AI A 'B '

finiendo tres rectas paralelas. Así, podemos aplicar el Teorema de Thales en el plano b a las rectas paralelas ( AA ') ,( IB') ,( JC') con lo que podemos escribir: 400

r

r1 r2

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Proyecciones en el plano B C

I A

D

B´ C´

I´

P

A´ D´

Figura 7.

4. PROYECCIONES, ÁNGULOS Y DISTANCIAS 4.1. Definición de proyección cónica Realizamos una proyección cónica cuando todas las proyectantes las hacemos pasar por un punto fijo, al que se denomina centro de la proyección. V

A

B

D

C

D´ A´

P

C´

B´

Figura 8.

4.2. Definición de proyección cilíndrica Realizamos una proyección cilíndrica cuando todas las proyectantes son paralelas a una dirección dada. La proyección cilíndrica puede ser ortogonal u oblicua dependiendo de que las proyectantes sean perpendiculares u oblicuas al plano de proyección.

A

P

B

C

A´

D

B´

C´

D´

Figura 9. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

401

Volumen II. Matemáticas

402

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

4.3. Proyección de una recta y de rectas paralelas Sin embargo, si las proyecciones de dos rectas sobre dos planos distintos no paralelos entre sí son paralelas, las rectas son paralelas. En efecto, al ser paralelas las proyecciones y las proyectantes de sus puntos sobre un plano, son paralelos los dos planos proyectantes y, por la misma razón, también, son paralelos los planos proyectantes de las rectas sobre el otro plano. Una recta es, por tanto, paralela a los dos planos proyectantes de la otra sobre los dos planos y cuando una recta es paralela a dos planos, es paralela a su intersección.

La proyección de una recta r sobre un plano es otra recta, puesto que siendo paralelas las proyectantes de sus puntos, todas ellas se encuentran en un plano perpendicular al plano de proyección P, que se denomina plano proyectante de la recta r. N

M

R

E

S

H

Figura 11. D

G

A C n

F

r

m

h

s

e

B c

a=b

g

d

f

s´ Q r´

Figura 10.

S R

Si la recta es perpendicular al plano de proyección, esta se reduce a un punto, si la recta es paralela al plano de proyección, su proyección es paralela a la recta, proyectándose todos sus segmentos en verdadera magnitud. Las proyecciones de dos rectas paralelas sobre un plano son paralelas ya que al ser paralelas las proyectantes de sus puntos, los planos proyectantes de ambas rectas son así mismo paralelos, al tener cada uno de ellos dos rectas paralelas al otro. La intersección de ambos planos proyectantes con el de proyección son, por lo tanto, rectas paralelas. Hay que tener en cuenta que el recíproco no se cumple ya que, como se muestra en el gráfico, las proyecciones de dos rectas puede ser paralelas y no serlo sin embargo las rectas espaciales. Basta para ello que las rectas tengan planos proyectantes paralelos sin serlo las rectas.

Si la recta es perpendicular al plano de proyección, esta se reduce a un punto, si la recta es paralela al plano de proyección, su proyección es paralela a la recta, proyectándose todos sus segmentos en verdadera magnitud. Las proyecciones de dos rectas paralelas sobre un plano son paralelas ya que al ser paralelas las proyectantes de sus puntos, los planos proyectantes de ambas rectas son así mismo paralelos, al tener cada uno de ellos dos rectas paralelas al otro. La intersección de ambos planos proyectantes con el de proyección son, por lo tanto, rectas paralelas. Hay que tener en cuenta que el recíproco no se cumple ya que, como se muestra en el gráfico, las proyecciones de dos rectas puede ser paralelas y no serlo sin embargo las rectas espaciales. Basta para ello que las rectas tengan planos proyectantes paralelos sin serlo las rectas. R

S

Figura 10. r´ Q s´

a=b

c

B

s

m

f

d

g e

n

h

r F

C A

G

D

Figura 11. H E

R

S

Sin embargo, si las proyecciones de dos rectas sobre dos planos distintos no paralelos entre sí son paralelas, las rectas son paralelas. En efecto, al ser paralelas las proyecciones y las proyectantes de sus puntos sobre un plano, son paralelos los dos planos proyectantes y, por la misma razón, también, son paralelos los planos proyectantes de las rectas sobre el otro plano. Una recta es, por tanto, paralela a los dos planos proyectantes de la otra sobre los dos planos y cuando una recta es paralela a dos planos, es paralela a su intersección. M

N

La proyección de una recta r sobre un plano es otra recta, puesto que siendo paralelas las proyectantes de sus puntos, todas ellas se encuentran en un plano perpendicular al plano de proyección P, que se denomina plano proyectante de la recta r.

4.3. Proyección de una recta y de rectas paralelas CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

402

Proyecciones en el plano

R

S

r P

S´

Figura 12.

4.4. Proyección de rectas perpendiculares Dos rectas R y S que se cortan o se cruzan, son perpendiculares en el espacio y una de ellas es paralela al plano de proyección P, sus proyecciones r y s sobre ese plano son también perpendiculares. Como la recta R es paralela al plano P su proyección r sobre P es paralela a R y, por tanto, perpendicular a la recta S, y también perpendicular a las proyectantes de los puntos de S sobre P, r es perpendicular al plano proyectante de S sobre P, al serlo a dos de sus rectas por lo que también será perpendicular a cualquier recta de ese plano. El recíproco también es cierto: si las proyecciones r y s de dos rectas sobre un plano son perpendiculares y una de ellas R es paralela al plano de proyección, las rectas R y S son perpendiculares ya que siendo R y r paralelas, y ambas perpendiculares a sus proyectantes sobre el plano P, la recta S está contenida en un plano proyectante que es perpendicular a R.

4.5. Teorema de las tres perpendiculares Si por el pie m de una perpendicular .Mm a un plano P, se traza una perpendicular m.M a una recta S de P, la recta R que une el punto N con cualquier punto de la perpendicular Mm al plano P, también es perpendicular a S. M

R

N m P

S

Figura 13.

R P

r Q

T

Figura 14.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

403

Volumen II. Matemáticas

404

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

El teorema de las tres perpendiculares se puede entender como un caso particular de la proyección de rectas perpendiculares, considerando una de ellas en el plano.

De todas las rectas situadas en un plano P que pasan por uno de sus puntos M, la que forma el mayor ángulo con otro plano Q, oblicuo con P es la perpendicular por M a la intersección T de ambos planos, a esta recta se le denomina recta de máxima pendiente de P respecto de Q. La recta MN de máxima pendiente se obtiene trazando por la proyección m de M sobre Q la perpendicular a la traza T siendo MN perpendicular a T por el teorema de las tres perpendiculares expuesto anteriormente. Para otro punto L de T el ángulo que forma ML con Q lo denominamos b, y siendo el triángulo Lnm rectángulo en N, entonces Lm > Nm, por lo que girando el triangulo LMm alrededor del cateto Mm hasta superponerlo con el plano MNm resulta que a = b + g.

4.6. Recta y plano perpendiculares

Si una recta R es perpendicular a un plano P, su proyección r sobre otro plano Q es perpendicular a la intersección T de los planos P y Q. Como R y T son rectas perpendiculares y también lo son las proyectantes de R sobre Q perpendiculares a T, entonces es la recta T perpendicular al plano proyectante de R sobre Q. Por lo tanto r y T son perpendiculares. El recíproco no es cierto pues del hecho de que r y T sean perpendiculares se deduce que el plano proyectante de R es perpendicular a T, quedando en ese plano indeterminada la posición de R con relación al plano R.

4.8. Recta de máxima pendiente de un plano

Ese ángulo es el menor de ángulos que forma la recta R con cualquier recta que situada en plano P pase por su intersección I con P. Mm Sabemos que en el triángulo IMN, sena = , y para otra recta S cualquiera situada en el plano P y IM MN , y dado que MN es una de las oblicuas que pase por el punto I, en el triángulo IMN tendremos senb = IM que pasan por M respecto del plano P, entonces MN > Mm, lo que nos permite afirmar que a < b, con lo que queda probado que es el ángulo menor.

4.7. Ángulo de recta y plano

Se llama ángulo de una recta oblicua R, con un plano P al que forma la recta R con su proyección r sobre ese plano. M

Figura 15. N S r

a

r

R

m

P

b

b

I

m I

a

P

R

S N

Figura 15. M

Ese ángulo es el menor de ángulos que forma la recta R con cualquier recta que situada en plano P pase por su intersección I con P. Mm Sabemos que en el triángulo IMN, sena = , y para otra recta S cualquiera situada en el plano P y IM MN , y dado que MN es una de las oblicuas que pase por el punto I, en el triángulo IMN tendremos senb = IM que pasan por M respecto del plano P, entonces MN > Mm, lo que nos permite afirmar que a < b, con lo que queda probado que es el ángulo menor.

Se llama ángulo de una recta oblicua R, con un plano P al que forma la recta R con su proyección r sobre ese plano.

4.7. Ángulo de recta y plano

Si una recta R es perpendicular a un plano P, su proyección r sobre otro plano Q es perpendicular a la intersección T de los planos P y Q. Como R y T son rectas perpendiculares y también lo son las proyectantes de R sobre Q perpendiculares a T, entonces es la recta T perpendicular al plano proyectante de R sobre Q. Por lo tanto r y T son perpendiculares. El recíproco no es cierto pues del hecho de que r y T sean perpendiculares se deduce que el plano proyectante de R es perpendicular a T, quedando en ese plano indeterminada la posición de R con relación al plano R.

4.8. Recta de máxima pendiente de un plano

De todas las rectas situadas en un plano P que pasan por uno de sus puntos M, la que forma el mayor ángulo con otro plano Q, oblicuo con P es la perpendicular por M a la intersección T de ambos planos, a esta recta se le denomina recta de máxima pendiente de P respecto de Q. La recta MN de máxima pendiente se obtiene trazando por la proyección m de M sobre Q la perpendicular a la traza T siendo MN perpendicular a T por el teorema de las tres perpendiculares expuesto anteriormente. Para otro punto L de T el ángulo que forma ML con Q lo denominamos b, y siendo el triángulo Lnm rectángulo en N, entonces Lm > Nm, por lo que girando el triangulo LMm alrededor del cateto Mm hasta superponerlo con el plano MNm resulta que a = b + g.

4.6. Recta y plano perpendiculares

El teorema de las tres perpendiculares se puede entender como un caso particular de la proyección de rectas perpendiculares, considerando una de ellas en el plano.

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Volumen II. Matemáticas

404

Proyecciones en el plano

P

M Q

b

L

b

a N

m

T

Figura 16. El ángulo a que forma con Q la recta MN de máxima pendiente es el mayor de todos los ángulos que forma cualquier otra recta que pase por M con Q y coincide con el rectilíneo del diedro que forman P y Q, al ser M.N y mM perpendiculares a T. Por cada punto M de P pasa una línea de máxima pendiente y al ser todas perpendiculares a la traza T, todas serán paralelas.

4.9. Mínima distancia entre dos rectas que se cruzan Se define la mínima distancia entre dos rectas R y S que se cruzan como una recta MN perpendicular a las dos rectas y que se apoya o corta a ambas. Por una de las rectas S se traza un plano P paralelo a la otra R, siendo este plano el formado por S y una recta paralela R1 a la recta R trazada por uno de sus puntos F.

P

L

R

M

l

p

(+h)

P

R2 N

S K

F

R1

Figura 18. Figura 17. Los planos perpendiculares por cada recta R y S a P proporcionan en su intersección la recta MN ya que ambos se cortan en una recta perpendicular a P y por tanto a R y S.

5. SISTEMAS DE PROYECCIÓN 5.1. Sistema acotado La forma de conseguir la proyección de la figura del espacio consiste en obtener de ella una proyección cilíndrica ortogonal sobre dicho plano, la cual, sintetizada en un punto nos proporciona p como pie de la perpendicular trazada desde P al plano; anotaremos al lado de p un número que nos indique la distancia del punto P al plano de proyección, o sea su cota h, la cual tendrá signo positivo o negativo, segun se halle

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

405

Volumen II. Matemáticas

406

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

en una región o en otra con relación al plano de proyección, el cual divide al espacio en dos partes, de las que una es de cotas positivas y la otra de cotas negativas. Figura 19.

5.2. Sistema diédrico o de Monge Para evitar el inconveniente que supone en la restitución la unión en el espacio de varios puntos situados sobre la misma proyectante, tal como vienen representados en el sistema acotado, se recurre a una segunda proyección que nos evite el afectar el mismo punto proyección de varias cotas. Para ello se dispone de un conjunto formado por dos planos ortogonales entre sí, que se colocarán, en general, uno de ellos, horizontal, y el otro vertical, adoptándose para ellos la denominación: plano horizontal de proyección H y plano vertical de proyección V. La operación en el espacio se consigue proyectando ortogonalmente el punto P sobre el plano horizontal H, dando lugar a su proyeccion horizontal p, y también se proyecta verticalmente, es decir, ortogonalmente al plano V, obteniendo así la proyección vertical p'. Ahora bien: como nosotros operaremos sobre el plano del dibujo, haremos que éste coincida con el plano H (horizontal de proyección), haciendo coincidir también el plano V en su totalidad sobre H, haciéndolo girar alrededor de su recta de intersección, a la que en lo sucesivo llamaremos línea de tierra. De esta forma, p' viene a ocupar una posición tal que se encuentren p y p' sobre la misma perpendicular a la línea de tierra. La distancia que separa la proyección vertical p'de la línea de tierra, será h, igual a la altura del punto P sobre el plano horizontal de proyección H, es decir, la magnitud del segmento Pp; de la misma forma, la distancia d que separa la proyección horizontal p de la línea de tierra, nos representa un segmento igual a la magnitud Pp', es decir, la distancia existente entre el punto del espacio P y el plano vertical V de proyección. Al conjunto de todos los puntos tales que p, proyección horizontal de los del espacio, se acostumbra a llamar planta del conjunto; y a la proyección vertical del mismo se le denomina también alzado. L

d

H

P

P´

h

h

T

V

P´

P

d

Para evitar el inconveniente que supone en la restitución la unión en el espacio de varios puntos situados sobre la misma proyectante, tal como vienen representados en el sistema acotado, se recurre a una segunda proyección que nos evite el afectar el mismo punto proyección de varias cotas. Para ello se dispone de un conjunto formado por dos planos ortogonales entre sí, que se colocarán, en general, uno de ellos, horizontal, y el otro vertical, adoptándose para ellos la denominación: plano horizontal de proyección H y plano vertical de proyección V. La operación en el espacio se consigue proyectando ortogonalmente el punto P sobre el plano horizontal H, dando lugar a su proyeccion horizontal p, y también se proyecta verticalmente, es decir, ortogonalmente al plano V, obteniendo así la proyección vertical p'. Ahora bien: como nosotros operaremos sobre el plano del dibujo, haremos que éste coincida con el plano H (horizontal de proyección), haciendo coincidir también el plano V en su totalidad sobre H, haciéndolo girar alrededor de su recta de intersección, a la que en lo sucesivo llamaremos línea de tierra. De esta forma, p' viene a ocupar una posición tal que se encuentren p y p' sobre la misma perpendicular a la línea de tierra. La distancia que separa la proyección vertical p'de la línea de tierra, será h, igual a la altura del punto P sobre el plano horizontal de proyección H, es decir, la magnitud del segmento Pp; de la misma forma, la distancia d que separa la proyección horizontal p de la línea de tierra, nos representa un segmento igual a la magnitud Pp', es decir, la distancia existente entre el punto del espacio P y el plano vertical V de proyección. Al conjunto de todos los puntos tales que p, proyección horizontal de los del espacio, se acostumbra a llamar planta del conjunto; y a la proyección vertical del mismo se le denomina también alzado. d

P

P´

V

T

h

h

P´

P

H

d

L

5.2. Sistema diédrico o de Monge en una región o en otra con relación al plano de proyección, el cual divide al espacio en dos partes, de las que una es de cotas positivas y la otra de cotas negativas. Figura 19.

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Volumen II. Matemáticas

406

Proyecciones en el plano En la siguiente figura aparece en el plano del dibujo tal y como realmente las cosas suceden; es decir, que la línea de tierra viene representada por una recta LT, y a ambos lados de la misma aparecen las porciones de plano que corresponden a la proyección horizontal y a la proyección vertical.

V p´ h L

T d p H

Figura 20. Si ahora desde p levantamos la perpendicular a H, y desde p'la perpendicular a V, observaremos que estas dos perpendiculares se cortarán en un único punto del espacio, que será el punto P, el cual dio origen a las dos proyecciones en cuestión, p - p.

5.3. Sistema axonométrico Supongamos un triedro trirrectángulo O – (X) – (Y) – (Z). Dado un punto P del espacio, proyectaremos ortogonalmente este punto sobre las tres caras de este triedro trirrectángulo, obteniendo así las proyecciones ( p ') – ( p '') – ( p '''); es decir, habiendo obtenido los segmentos Pp ''', Pp '', Pp ' iguales, respectivamente, a las coordenadas (x) (y) (z) del punto (P) con relación al sistema del espacio.

Z

D (Z)

p p´´

p´´´

p´´´ x

y p

(p´´) (x)(y) (P)

o

z

(z) p´

p´

Y

(X) (Y)

X

Figura 21.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Figura 23.

p´

Hagamos pasar ahora el plano de proyección por el vértice O' del triedro trirrectángulo, y proyectemos ortogonalmente el conjunto del espacio constituido por la forma (P) y sus respectivas proyecciones ( p ') , ( p '') y ( p'''). 3

1

Y

X

z

De esta forma obtendremos una proyección directa Pdel punto (P) y tres proyecciones, p ' – p '' – p ''', de los anteriores, ( p ') , ( p '') y ( p'''), situadas sobre las caras del triedro trirrectángulo. O

p

En esta nueva proyección se aprecian de una sola vez las tres coordenadas del punto (P); es decir, que se obtienen los segmentos x, y, z, Pp' ' ' , Pp '', Pp ' proporcionales a las coordenadas (x) – (y) – (z), que son las que aparecen en la figura siguiente, en que el plano P se ha hecho coincidir con el plano del dibujo. También se observa que este sistema es perfectamente reversible. p

p´´´

Y

X

Z

Figura 22.

p´´

Se comprende que las direcciones de las proyecciones OX ,OY ,OZ de los ejes sean cualesquiera y vengan en función del ángulo que forma el planoP con las aristas del triedro trirrectángulo; pero existe una posición tal en que los ángulos que formen entre si dichas proyecciones sean iguales a 120º, y por elIo recibe el nombre este sistema de sistema axonométrico isométrico. En la axonometría isométrica, los segmentos paralelos a las aristas del triedro, es decir, las coordenadas de los puntos, están afectadas en su proyección por el mismo coeficiente de reducción, por formar ángulos iguales los tres ejes con el plano P. Para que un punto esté representado en este sistema bastará conocer dos de sus proyecciones; es decir, por ejemplo, la directa y una de las laterales P y p'; o bien, dos laterales cualesquiera, p' y p'', pues con ellas se obtienen las otras dos, debiendo observar, sin embargo, la posición relativa que han de ocupar, pues se ha de verificar la condición de que las paralelas a los ejes trazadas por ellas se cortan en el mismo punto del tercero; es decir, que p '1, p ''1han de ser paralelas a los ejes Y y Z, respectivamente, y que lo mismo ha de suceder con respecto a p '2, p ''2 y con p '3, p ''3. 2

Un punto M queda determinado conociendo su proyección central m, intersección de su rayo proyectante MO con el plano P; y para atender a su restitución al espacio, se le proyecta además ortogonalmente sobre P, obteniéndose m'. Existe un punto notable, y es la proyección ortogonal del centro de proyección O sobre el plano del cuadro P; este punto recibe el nombre de punto principal P, y la condición a que han de sujetarse los puntos m (proyección central) y m' (proyección ortogonal) es que la recta m' m pase por el punto P, lo cual es evidente, puesto que tal recta m' mP es la traza del plano P con el plano formado por los tres puntos OPM , por ser paralelas las rectas Mm' y OP.

D

P

O

M

m´ m

p

5.4. Sistema cónico

El sistema cónico está compuesto por el plano de proyección P y el centro de proyección O. El plano P se denomina plano del cuadro. Un punto M queda determinado conociendo su proyección central m, intersección de su rayo proyecp tante MO con el plano P; y para atender a su restitución al espacio, se le proyecta además ortogonalmente sobre m´ P, obteniéndose m'. m M Existe un punto notable, y es la proyección ortogonal del centro de proyección O sobre el plano del cuaO dro P; este punto recibe el nombre de punto principal P, P y la condición a que han de sujetarse los puntos m (proD yección central) y m' (proyección ortogonal) es que la recta m' m pase por el punto P, lo cual es evidente, puesto que tal recta m' mP es la traza del plano P con el plano formado por los tres puntos OPM , por ser paralelas las rectas Mm' y OP.

El sistema cónico está compuesto por el plano de proyección P y el centro de proyección O. El plano P se denomina plano del cuadro.

5.4. Sistema cónico

Se comprende que las direcciones de las proyecciones OX ,OY ,OZ de los ejes sean cualesquiera y vengan en función del ángulo que forma el planoP con las aristas del triedro trirrectángulo; pero existe una posición tal en que los ángulos que formen entre si dichas proyecciones sean iguales a 120º, y por elIo recibe el nombre este sistema de sistema axonométrico isométrico. En la axonometría isométrica, los segmentos paralelos a las aristas del triedro, es decir, las coordenadas de los puntos, están afectadas en su proyección por el mismo coeficiente de reducción, por formar ángulos iguales los tres ejes con el plano P. Para que un punto esté representado en este sistema bastará conocer dos de sus proyecciones; es decir, por ejemplo, la directa y una de las laterales P y p'; o bien, dos laterales cualesquiera, p' y p'', pues con ellas se obtienen las otras dos, debiendo observar, sin embargo, la posición relativa que han de ocupar, pues se ha de verificar la condición de que las paralelas a los ejes trazadas por ellas se cortan en el mismo punto del tercero; es decir, que p '1, p ''1han de ser paralelas a los ejes Y y Z, respectivamente, y que lo mismo ha de suceder con respecto a p '2, p ''2 y con p '3, p ''3. 2

Figura 22.

Z

En esta nueva proyección se aprecian de una sola vez las tres coordenadas del punto (P); es decir, que se obtienen los segmentos x, y, z, Pp' ' ' , Pp '', Pp ' proporcionales a las coordenadas (x) – (y) – (z), que son las que aparecen en la figura siguiente, en que el plano P se ha hecho coincidir con el plano del dibujo. También se observa que este sistema es perfectamente reversible. p´´´

X

p´´

Y

p

p

De esta forma obtendremos una proyección directa Pdel punto (P) y tres proyecciones, p ' – p '' – p ''', de los anteriores, ( p ') , ( p '') y ( p'''), situadas sobre las caras del triedro trirrectángulo. O

X 1

( p ') , ( p '') y ( p''').

z

Y

Hagamos pasar ahora el plano de proyección por el vértice O' del triedro trirrectángulo, y proyectemos ortogonalmente el conjunto del espacio constituido por la forma (P) y sus respectivas proyecciones 3

Figura 23.

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p´

Proyecciones en el plano Pasemos ahora al plano del dibujo, como se ve en la siguiente figura, sobre el que se ha hecho coincidir el plano de proyección P, en el que tenemos representado el punto principal P y la distancia D del centro de proyección a dicho plano P. En él tendremos los puntos m – m', proyección central y ortogonal, respectivamente, del punto M del espacio. Se aprecia la reversibilidad del sistema, pues para restituir el punto M a su posición verdadera bastará efectuar la operación siguiente: 1.

2. 3.

D

p P

O M

(M) m

T (m)

L

G

Levantar a partir de P la perpendicular al plano del dibujo y tomar sobre ella la distancia D. Unir el punto O así determinado con m. Trazar desde m' la perpendicular al plano del dibujo.

Figura 24.

La intersección de esta última perpendicular con el rayo OM nos individualizará la posición del punto del espacio M Existe, sin embargo, una modalidad de la representación en el sistema cónico, que presenta grandes ventajas tanto como sistema general de representación central, como por permitirnos con gran facilidad el paso de un sistema a otro. Tal modalidad consiste en que, además del plano P de proyección y del centro O que define este sistema, se utiliza un plano perpendicular a P, que generalmente es horizontal, y que llamaremos geometral, G. La recta LT, intersección de G con P, se llama p D también línea de tierra. De esta suerte viene modificada la proyecP ción central de la siguiente forma: M Se obtiene primeramente el punto M, proyección directa central, desde O sobre P del punto del espacio (M). Seguidamente se proyecta ortogonalmente el punto (M) en (m) sobre G, y nuevamente se efectúa la proyección cónica de (m) sobre el plano de proyección P, dando lugar a m. Entonces, siendo la recta Mm del espacio perpendicular a todas las rectas del plano geometral G, lo será tambien a la de intersección LT de G con P, y su proyección sobre el plano del cuadro sera la recta Mm, también perpendicular a LT, tal y como aparece en la figura adjunta, donde se ha hecho coincidir el plano de proyección con el plano del dibujo.

m L

T

Figura 25.

p m´ m p D

Figura 26.

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6. MAPAS 6.1. Definición de mapas. Tipos

Figura 28.

Ya se ha comentado el problema que supone la representaA ción de la realidad tridimensional en un plano, a lo que hay que añadir el problema de la esfericidad terrestre. Esto conlleva la utilización de los sistemas de representación propios de la Geometría Descriptiva. C De los cuatro sistemas fundamentales de representación, la Topografía debe prescindir de los métodos perspectivos (cónico y p axonométrico) debido a que estos deforman las figuras debido a la a variación de las dimensiones en las distintas direcciones. Tampoco se puede utilizar, dentro de los sistemas métricos, el sistema diédrico o de Monge ya que al ser la proyección vertical mucho menor que la horizontal se acumularían y superpondrían las proyecciones Figura 27. con lo que se dificultaría o incluso imposibilitaría la lectura. La Topografía utiliza el sistema acotado, en donde se representan los distintos puntos del espacio tomando como referencia un plano horizontal P al que se denomina Plano de Comparación, cuya elección es arbitraria. Sobre el Plano de Comparación se proyectan ortogonalmente los diversos puntos, sustituyéndose así la realidad tridimensional por su proyección bidimensional. Hemos de imponer la condición de que la representación sea reversible, es decir, que desde la proyección podamos deducir la verdadera forma en el espacio, por lo que se hace necesario otro elemento en el sistema y éste lo constituye la distancia existente entre un punto y su proyección, a esta distancia se representa al lado de la proyección y se le denomina cota. Con la proyección y la cota cada punto queda unívocamente determinado, y se hace reversible el sistema de representación, por lo que podemos afirmar que existe biunivocidad en el mapa. El Plano de Comparación, elegido al azar, divide al espacio en dos subespacios, de modo que la cota será positiva si el punto a pro17 yectar pertenece al subespacio superior, mientras que la cota será 22 negativa si el punto pertenece al subespacio inferior, y cero si el pun35 to se encuentra en el Plano de Comparación. Desde un punto de vista 26 práctico, el Plano de Comparación se toma lo suficientemente 20 “bajo” como para que todas las cotas sean positivas. El conjunto de puntos del espacio que tienen una misma cota se representan en el plano mediante la curva de nivel de esa superficie, las cuales pueden presentar también puntos aislados.

La Topología es la ciencia a la que compete el estudio de los métodos necesarios para llegar a la representación de un terreno con todos sus detalles naturales o los creados por el hombre, junto con el conocimiento y manejo de los instrumentos y técnicas precisos. Se denomina mapa a toda representación de una parte de la superficie terrestre, la cual por su extensión y debido a la curvatura de la superficie del planeta, requiera hacer uso de sistemas especiales de transformación propios de la Cartografía. Al mapa que abarca la totalidad del globo se le denomina planisferio, y si la representación del mundo se realiza mediante los dos hemisferios se denomina Mapa Mundi. Cuando la representación se refiere a una gran superficie como puede ser un continente o una nación, la representación se denomina Mapa Geográfico, mientras que si la superficie es menor, como una nación o una provincia, la representación es, lógicamente, más detallada, denominándose Mapas Corográficos. Podemos, a su vez, subdividir los mapas atendiendo al contenido que muestran en: Mapas Físicos (describen accidentes geográficos, subdividiéndose a su vez en orográficos, hidrográficos, geológicos...), Mapas Políticos (recogen las naciones, fronteras, límites regionales y provinciales...), Mapas Biológicos, Históricos, Estadísticos, etc.

6.2. Sistema de representación usado en Topología

Ya se ha comentado el problema que supone la representación de la realidad tridimensional en un plano, a lo que hay que añadir el problema de la esfericidad terrestre. Esto conlleva la utilización de los sistemas de representación propios de la Geometría Descriptiva. C De los cuatro sistemas fundamentales de representación, la Topografía debe prescindir de los métodos perspectivos (cónico y p axonométrico) debido a que estos deforman las figuras debido a la a variación de las dimensiones en las distintas direcciones. Tampoco se puede utilizar, dentro de los sistemas métricos, el sistema diédrico o de Monge ya que al ser la proyección vertical mucho menor que la horizontal se acumularían y superpondrían las proyecciones Figura 27. con lo que se dificultaría o incluso imposibilitaría la lectura. La Topografía utiliza el sistema acotado, en donde se representan los distintos puntos del espacio tomando como referencia un plano horizontal P al que se denomina Plano de Comparación, cuya elección es arbitraria. Sobre el Plano de Comparación se proyectan ortogonalmente los diversos puntos, sustituyéndose así la realidad tridimensional por su proyección bidimensional. Hemos de imponer la condición de que la representación sea reversible, es decir, que desde la proyección podamos deducir la verdadera forma en el espacio, por lo que se hace necesario otro elemento en el sistema y éste lo constituye la distancia existente entre un punto y su proyección, a esta distancia se representa al lado de la proyección y se le denomina cota. Con la proyección y la cota cada punto queda unívocamente determinado, y se hace reversible el sistema de representación, por lo que podemos afirmar que existe biunivocidad en el mapa. El Plano de Comparación, elegido al azar, divide al espacio en dos subespacios, de modo que la cota será positiva si el punto a pro17 yectar pertenece al subespacio superior, mientras que la cota será 22 negativa si el punto pertenece al subespacio inferior, y cero si el pun35 to se encuentra en el Plano de Comparación. Desde un punto de vista 26 práctico, el Plano de Comparación se toma lo suficientemente 20 “bajo” como para que todas las cotas sean positivas. El conjunto de puntos del espacio que tienen una misma cota se representan en el plano mediante la curva de nivel de esa superficie, las cuales pueden presentar también puntos aislados. Figura 28. A

6.2. Sistema de representación usado en Topología

La Topología es la ciencia a la que compete el estudio de los métodos necesarios para llegar a la representación de un terreno con todos sus detalles naturales o los creados por el hombre, junto con el conocimiento y manejo de los instrumentos y técnicas precisos. Se denomina mapa a toda representación de una parte de la superficie terrestre, la cual por su extensión y debido a la curvatura de la superficie del planeta, requiera hacer uso de sistemas especiales de transformación propios de la Cartografía. Al mapa que abarca la totalidad del globo se le denomina planisferio, y si la representación del mundo se realiza mediante los dos hemisferios se denomina Mapa Mundi. Cuando la representación se refiere a una gran superficie como puede ser un continente o una nación, la representación se denomina Mapa Geográfico, mientras que si la superficie es menor, como una nación o una provincia, la representación es, lógicamente, más detallada, denominándose Mapas Corográficos. Podemos, a su vez, subdividir los mapas atendiendo al contenido que muestran en: Mapas Físicos (describen accidentes geográficos, subdividiéndose a su vez en orográficos, hidrográficos, geológicos...), Mapas Políticos (recogen las naciones, fronteras, límites regionales y provinciales...), Mapas Biológicos, Históricos, Estadísticos, etc.

6. MAPAS 6.1. Definición de mapas. Tipos

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Proyecciones en el plano

7. PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS Como las proyecciones topográficas, tal y como se comentó anteriormente, se muestran inadecuadas para representar superficies a partir de una determinada extensión, se hace necesario recurrir a la Cartografía; ésta es desarrollable de modo esférico o elipsoideo mediante unas transformaciones adecuadas al método que se adopte. Los métodos se fundamentan en la transformación de las coordenadas geográficas longitud y latitud (M, L) que definen la posición de un punto, sobre el elipsoide de referencia, en otras coordenadas de tipo cartesiano (X, Y) que determinan la posición de otro punto homólogo del primero, sobre una superficie plana que se denomina genéricamente mapa. Todos los puntos de la tierra situados a lo largo de un meridiano o de un paralelo tendrán sus homólogos en el mapa en ciertas líneas que constituyen los meridianos y paralelos de la proyección. La ley de transformación empleada es la que define el correspondiente sistema cartográfico, constituyendo el conjunto de transformaciones lo que se denominan Sistemas de Proyección.

7.1. Anamorfosis Se entiende por anamorfosis las deformaciones que experimenta la realidad de la superficie de la tierra al representarse en el plano. Estas pueden ser de tres tipos: 1.

Anamorfosis lineal. Designando por Dl la longitud de un elemento de una línea en el terreno, y designando como Dl'su homólogo en la proyección, se denomina anamorfosis lineal o módulo de deformación lineal a: m=

Dl Dl '

Una línea para la cual m= 1se denomina automecoica. 2.

Anamorfosis superficial. Designando por Ds la superficie de un elemento del terreno, y designando como Ds' su homólogo en la proyección, se denomina anamorfosis superficial lineal o módulo de deformación superficial en un punto al cociente dado por: s=

3.

Ds Ds'

Anamorfosis angular. Designando por a el ángulo formado por dos elementos lineales del terreno, y designando como a'su homólogo en la proyección, que viene determinado por el ángulo formado por los elementos homólogos a los que forman a se denomina anamorfosis angular o deformación a la diferencia a - a '.

7.2. Escala local Si m= 1, las líneas automecoicas, podremos aplicar la escala 1: M a la que se halla elaborado el mapa, ya que para cualquier otro lugar por haberse deformado puede variar ligeramente. Si en ese punto el módulo fuese m, la escala anterior se transformaría en lo que se denomina la escala local, que vendría dada por: E=

1 1 ×m = M M :m

En los sistemas de proyección usuales, aún refiriéndose a grandes extensiones de terreno como una nación, se suele tomar m » 1, siendo la variación muy pequeña, pudiéndose así considerar la escala constante incluso en grandes extensiones de terreno.

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7.3. Clasificación de las proyecciones cartográficas

En los sistemas perspectivos se supone la tierra esférica y dentro de ellos podemos distinguir entre varios tipos de proyecciones en función de la situación del centro de proyección: a) Proyección Gnómica: cuando el centro de proyección se toma como el centro de la tierra. b) Proyección Estereográfica: cuando el centro de proyección está en el exterior de la esfera. c) Proyección Ortográfica: cuando el centro de proyección se toma en el infinito.

Cada uno de los sistemas de proyección está orientado a la eliminación de alguna de las anamorfosis. Podemos clasificarlas en: a) Proyecciones conformes: son aquellas que resultan conservativas para los ángulos del terreno, por lo que en superficies pequeñas resultan muy semejantes a la superficie real, variando ligeramente la escala a medida que nos vamos alejando del centro de proyección. A este tipo de proyecciones se les denomina, también, Ortomorfas o Autogonales. b) Proyecciones equivalentes: son aquellas que resultan conservativas en la proyección de las áreas del terreno, aunque las figuras dejen de ser semejantes. Se denominan, también, Autálicas. c) Proyecciones aphylácticas o de mínima anamorfosis: son aquellas que, sin ser rigurosamente conformes ni equivalentes, reducen al mínimo las deformaciones. d) Proyecciones automecoicas: son aquellas que conservan las longitudes en determinadas direcciones. Figura 29.

7.4. Clasificación por el sistema de transformación 7.4.1. Sistemas convencionales En los sistemas convencionales no se sigue un verdadero sistema de proyección. En ellos para la proyección se supone el centro situado en cada uno de los trapecios curvilíneos formado por meridianos y paralelos, quedando de esta forma la Tierra sustituida por una superficie poliedral circunscrita, representándose con independencia cada hoja que, por la escasa, relativa, superficie que representa se supone coincidente con el trapecio curvilíneo. De este modo se toman tantos centros de proyección como hojas, de ahí que este sistema de transformación se denomine policéntrico o poliédrico.

Se representa la superficie mediante una verdadera proyección sobre el plano, tomando un centro de proyección único. Este sistema se emplea en la representación de grandes extensiones de la Tierra, hasta un hemisferio e incluso mayor. Los sistemas perspectivos consisten en la proyección de la superficie a considerar sobre un plano tangente a la Tierra, perpendicular al diámetro que pasa por el centro de proyección.

7.4.2. Sistemas perspectivos o naturales

7.4.2. Sistemas perspectivos o naturales

Se representa la superficie mediante una verdadera proyección sobre el plano, tomando un centro de proyección único. Este sistema se emplea en la representación de grandes extensiones de la Tierra, hasta un hemisferio e incluso mayor. Los sistemas perspectivos consisten en la proyección de la superficie a considerar sobre un plano tangente a la Tierra, perpendicular al diámetro que pasa por el centro de proyección.

En los sistemas convencionales no se sigue un verdadero sistema de proyección. En ellos para la proyección se supone el centro situado en cada uno de los trapecios curvilíneos formado por meridianos y paralelos, quedando de esta forma la Tierra sustituida por una superficie poliedral circunscrita, representándose con independencia cada hoja que, por la escasa, relativa, superficie que representa se supone coincidente con el trapecio curvilíneo. De este modo se toman tantos centros de proyección como hojas, de ahí que este sistema de transformación se denomine policéntrico o poliédrico.

7.4.1. Sistemas convencionales 7.4. Clasificación por el sistema de transformación d)

Cada uno de los sistemas de proyección está orientado a la eliminación de alguna de las anamorfosis. Podemos clasificarlas en: a) Proyecciones conformes: son aquellas que resultan conservativas para los ángulos del terreno, por lo que en superficies pequeñas resultan muy semejantes a la superficie real, variando ligeramente la escala a medida que nos vamos alejando del centro de proyección. A este tipo de proyecciones se les denomina, también, Ortomorfas o Autogonales. b) Proyecciones equivalentes: son aquellas que resultan conservativas en la proyección de las áreas del terreno, aunque las figuras dejen de ser semejantes. Se denominan, también, Autálicas. c) Proyecciones aphylácticas o de mínima anamorfosis: son aquellas que, sin ser rigurosamente conformes ni equivalentes, reducen al mínimo las deformaciones. Proyecciones automecoicas: son aquellas que conservan las longitudes en determinadas direcciones. Figura 29.

En los sistemas perspectivos se supone la tierra esférica y dentro de ellos podemos distinguir entre varios tipos de proyecciones en función de la situación del centro de proyección: a) Proyección Gnómica: cuando el centro de proyección se toma como el centro de la tierra. b) Proyección Estereográfica: cuando el centro de proyección está en el exterior de la esfera. c) Proyección Ortográfica: cuando el centro de proyección se toma en el infinito.

7.3. Clasificación de las proyecciones cartográficas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

412

Proyecciones en el plano Partiendo de que cuando tomamos como origen un punto del exterior de la esfera la inversa de la esfera es un plano, cumpliéndose las siguientes propiedades: 1. 2. 3.

En la proyección estereográfica se conservan los ángulos. La proyección estereográfica de una superficie muy pequeña es otra semejante a la primera. La proyección de una circunferencia es otra circunferencia, y en el caso particular de que la primera pase por el punto de vista la proyección será una recta. En consecuencia, la proyección estereográfica es una proyección conforme.

c

a

A´

b

q

A B Q

O

v Figura 30.

La escala local, como hemos visto, es el cociente de las distancias al centro de proyección de los elementos considerados. Así, sean A y B dos puntos de la superficie esférica y a y b sus proyecciones, suponiendo que AB y ab son longitudes tan pequeñas que en ellas la anamorfosis es despreciable, la escala local será: e=

VA VA ' = Va Vc

Si tomamos radio unitario y siendo L la latitud del punto A podemos escribir: e=

1+ OA ' 1+ senL = 2 2

Según la posición del cuadro, la proyección estereográfica puede ser:

– –

Ecuatorial: cuando es paralelo al Ecuador y el punto de vista está en el Polo.

–

Horizontal: cuando se toma como cuadro el plano del horizonte de un lugar de la Tierra y como punto de vista el extremo del diámetro que pasa por él.

Meridiana: cuando se sitúa paralelamente a un meridiano y el centro de proyección está en el Ecuador.

7.5. Sistemas artificiales o por desarrollo En estos sistemas se sustituye la Tierra por un cilindro tangente a lo largo del Ecuador o que lo corta por dos paralelos, N y S, de igual latitud o por un cilindro tangente a lo largo de su meridiano, o bien se sustituye por un cono tangente a la tierra en un cierto paralelo o que la corte por dos. Sobre estos cilindros o conos se trasladan los puntos de la Tierra según una ley analítica determinada y después se desarrollan sobre un plano, dando origen a la proyección.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

413

Volumen II. Matemáticas

414

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Podemos distinguir los siguientes sistemas de desarrollo: Figura 32.

7.5.1. Proyección cilíndrica conforme de Mercator

P

Se denomina también cilíndrica transversa conforme de Gauss, es muy utilizado (en él se representa el mapa de España). El UTM (Universal Transversal Mercatol) es una proyección cilíndrica, semejante a la de Mercator, si bien el cilindro se coloca transversalmente, es decir, con el eje sobre el Ecuador en lugar de coincidir con el de la Tierra. El cilindro tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano tomado como origen y al desarrollar la superficie cilíndrica, abriéndola por las generatrices que pasan por los polos. Figura 31.

Constituye el sistema más importante para las cartas de navegación. Fue ideado por Mercator en 1569 y consiste en circunscribir a la Tierra en un cilindro tangente a lo largo del Ecuador en el que se representan los meridianos por generatrices, con lo que en el desarrollo del cilindro aparecen como líneas paralelas equidistantes una magnitud igual al arco del ecuador rectificado comprendido entre cada dos meridianos. La utilidad para la navegación estriba en que los navíos en el mar, al dirigirse de un punto a otro no siguen la línea más corta (línea ortodrómica) sino que describen la línea loxodrómica que corta a todos los meridianos bajo el mismo ángulo, con lo que se puede seguir un rumbo constante.

7.5.2. Proyección UTM

Constituye el sistema más importante para las cartas de navegación. Fue ideado por Mercator en 1569 y consiste en circunscribir a la Tierra en un cilindro tangente a lo largo del Ecuador en el que se representan los meridianos por generatrices, con lo que en el desarrollo del cilindro aparecen como líneas paralelas equidistantes una magnitud igual al arco del ecuador rectificado comprendido entre cada dos meridianos. La utilidad para la navegación estriba en que los navíos en el mar, al dirigirse de un punto a otro no siguen la línea más corta (línea ortodrómica) sino que describen la línea loxodrómica que corta a todos los meridianos bajo el mismo ángulo, con lo que se puede seguir un rumbo constante.

7.5.2. Proyección UTM

Se denomina también cilíndrica transversa conforme de Gauss, es muy utilizado (en él se representa el mapa de España). El UTM (Universal Transversal Mercatol) es una proyección cilíndrica, semejante a la de Mercator, si bien el cilindro se coloca transversalmente, es decir, con el eje sobre el Ecuador en lugar de coincidir con el de la Tierra. El cilindro tangente al elipsoide a lo largo de un meridiano tomado como origen y al desarrollar la superficie cilíndrica, abriéndola por las generatrices que pasan por los polos. Figura 31. P

7.5.1. Proyección cilíndrica conforme de Mercator Figura 32.

Podemos distinguir los siguientes sistemas de desarrollo: CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

414

Proyecciones en el plano

7.5.3. Proyección cónica conforme de Lambert

Figura 33. En este sistema se sustituye a la Tierra por una superficie cónica tangente a lo largo del paralelo central del levantamiento, al que se denomina paralelo de origen. El mapa queda constituido por el desarrollo de una superficie cónica y adoptará la forma de un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono circunscrito. V

Figura 34.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

415

TEMA

44 Semejanza y movimientos en el espacio

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

418

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

3.

TRASLACIONES Y GIROS EN EL ESPACIO 3.1. Traslaciones 3.2. Giros

4.

SIMETRÍAS 4.1. Simetría especular o respecto a un plano 4.2. Simetría axial o respecto a una recta 4.3. Simetría central o respecto a un punto 4.4. Elementos de simetría de un cuerpo en el espacio

5.

COMPOSICIÓN DE GIROS, TRASLACIONES Y SIMETRÍAS 5.1. Composición de dos simetrías especulares 5.2. Composición de dos simetrías axiales 5.3. Movimiento helicoidal. Composición de movimientos helicoidales 5.4. Composición de dos simetrías centrales 5.5. Composición de dos giros de distinto eje 5.6. Composición de traslación y giro

6.

EL GRUPO DE LAS ISOMETRÍAS Y EL SUBGRUPO DE LOS MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO 6.1. Definición general de isometría en el espacio euclídeo 6.2. Isometrías directas e indirectas. Definición de movimiento en el espacio 6.3. Descomposición de una isometría en producto de simetrías especulares

7.

HOMOTECIA EN EL ESPACIO 7.1. Concepto de homotecia 7.2. Composición de homotecias 7.2.1. Caso de homotecias del mismo centro 7.2.2. Caso de homotecias de distinto centro 7.3. El grupo de las homotecias y las traslaciones

10.

ESTUDIO ANALÍTICO GENERAL DE LAS ISOMETRÍAS Y LAS SEMEJANZAS EN EL ESPACIO 10.1. Las isometrías en el espacio como caso particular de afinidades 10.2. Caracterización de isometrías por los puntos dobles 10.3. Ecuaciones generales de la homotecia y la semejanza ESTUDIO ANALÍTICO PARTICULAR DE ALGUNAS TRANSFORMACIONES 9.1. Ecuaciones de una traslación 9.2. Ecuaciones de un giro 9.3. Ecuaciones de un movimiento helicoidal 9.4. Ecuaciones de una simetría especular 9.5. Ecuaciones de una simetría central 9.6. Ecuaciones de una homotecia 9.7. Ecuaciones de una semejanza

9.

SEMEJANZA EN EL ESPACIO 8.1. Concepto de semejanza. Semejanza directa e indirecta 8.2. Propiedades fundamentales de la semejanza en el espacio 8.3. El grupo equiforme

8.

7.3.

HOMOTECIA EN EL ESPACIO 7.1. Concepto de homotecia 7.2. Composición de homotecias 7.2.1. Caso de homotecias del mismo centro 7.2.2. Caso de homotecias de distinto centro El grupo de las homotecias y las traslaciones

7.

EL GRUPO DE LAS ISOMETRÍAS Y EL SUBGRUPO DE LOS MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO 6.1. Definición general de isometría en el espacio euclídeo 6.2. Isometrías directas e indirectas. Definición de movimiento en el espacio 6.3. Descomposición de una isometría en producto de simetrías especulares

6.

8.

SEMEJANZA EN EL ESPACIO 8.1. Concepto de semejanza. Semejanza directa e indirecta 8.2. Propiedades fundamentales de la semejanza en el espacio 8.3. El grupo equiforme

9.

ESTUDIO ANALÍTICO PARTICULAR DE ALGUNAS TRANSFORMACIONES 9.1. Ecuaciones de una traslación 9.2. Ecuaciones de un giro 9.3. Ecuaciones de un movimiento helicoidal 9.4. Ecuaciones de una simetría especular 9.5. Ecuaciones de una simetría central 9.6. Ecuaciones de una homotecia 9.7. Ecuaciones de una semejanza

COMPOSICIÓN DE GIROS, TRASLACIONES Y SIMETRÍAS 5.1. Composición de dos simetrías especulares 5.2. Composición de dos simetrías axiales 5.3. Movimiento helicoidal. Composición de movimientos helicoidales 5.4. Composición de dos simetrías centrales 5.5. Composición de dos giros de distinto eje 5.6. Composición de traslación y giro

5.

SIMETRÍAS 4.1. Simetría especular o respecto a un plano 4.2. Simetría axial o respecto a una recta 4.3. Simetría central o respecto a un punto 4.4. Elementos de simetría de un cuerpo en el espacio

4.

10.

ESTUDIO ANALÍTICO GENERAL DE LAS ISOMETRÍAS Y LAS SEMEJANZAS EN EL ESPACIO 10.1. Las isometrías en el espacio como caso particular de afinidades 10.2. Caracterización de isometrías por los puntos dobles 10.3. Ecuaciones generales de la homotecia y la semejanza TRASLACIONES Y GIROS EN EL ESPACIO 3.1. Traslaciones 3.2. Giros

3.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

418

Semejanza y movimientos en el espacio

1. INTRODUCCIÓN A modo de introducción valdría aquí casi todo lo expuesto en las introducciones a los temas 41 y 42 y en especial, una vez más, lo referente a la sistematización de las diferentes geometrías hecha por Klein en su Programa de Erlangen. Ciertamente el contenido del presente tema se apoya en lo estudiado para el plano. No obstante el “salto” al espacio posibilita la aparición de nuevas transformaciones tales como la simetría especular o los movimientos helicoidales. Hay algunas diferencias. Por ejemplo, en lo referente a la simetría central o con respecto a un punto, que en el plano es una isometría directa, mientras que en el espacio es inversa. Las homotecias en el plano son siempre directas, mientras que en el espacio las de razón negativa invierten la orientación de los tetraedros y son por tanto inversas. Los giros y las traslaciones del espacio se descomponen en productos de simetrías respecto de planos, lo mismo que se hizo con los giros y las traslaciones del plano en simetrías respecto de rectas. No obstante, en el espacio no se verifica que el producto de una traslación por giro o viceversa, sea un solo giro o una sola traslación. En efecto, cuando en el plano componíamos, por ejemplo, un giro con una traslación, tomábamos una recta r’ que pasase por el centro de giro y fuese perpendicular al vector de la traslación; esa recta siempre existe y era uno de los ejes de las dos simetrías en que se descompone el giro o la traslación. Para seguir el mismo método, si quisiéramos componer un giro con una traslación en el espacio, tendríamos que tomar un plano que pasando por el eje de giro fuese perpendicular al vector de la traslación; pero este plano no existe, salvo en el caso muy particular de que el vector de la traslación fuese perpendicular al eje de giro. En el espacio, las composiciones de giros y traslaciones dan como resultado transformaciones que, salvo casos particulares, no se reducen a un solo giro ni a una sola traslación: los movimientos helicoidales. Cabe hacer alguna precisión previa con respecto a qué se va a entender como movimiento en el espacio. Cuando estamos en el plano no plantea ningún problema el considerar “iguales” las figuras A y A ', en tanto que si bien no se pueden superponer haciéndolas coincidir, sin salirnos del plano, sí es posible hacerlo si “sacamos” una de ellas de dicho plano y la movemos en el espacio.

B

A

B´

A´

Figura 1. Ahora bien, ¿son iguales las figuras B y B' ? Es obvio que aunque tengan la misma forma y tamaño, no se pueden hacer coincidir “moviéndolas en el espacio”. Aunque algunos autores prefieran hablar de movimientos directos e inversos, aquí se ha optado por denominar movimientos a las isometrías directas. Las isometrías inversas, como por ejemplo la simetría especular, es en todo caso rotulable como “pseudomovimiento”. Lo que se pretende en este tema es abordar en el espacio las transformaciones geométricas ya tratadas en el plano. La semejanza es la transformación más general que se estudia y que engloba como casos particulares a las isometrías y homotecias, a partir de las que se define.

2. TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN EL ESPACIO EUCLÍDEO Una transformación geométrica en el espacio es toda biyección f : E3 ® E3, siendo E3 el espacio euclídeo tridimensional. Dado un punto P Î E3, su imagen P '= f ( P) recibe el nombre de punto homólogo o transformado de P mediante la transformación f. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

419

Volumen II. Matemáticas

420

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

En particular la aplicación identidad i: E3 ® E3 es la transformación geométrica en la que el homólogo de cualquier punto es él mismo. Dadas dos transformaciones f y g, sabemos que la transformación producto o compuesta g o f se define de la siguiente manera: si un punto P se transforma en P' mediante f , y éste lo hace en P'' mediante g, entonces el homólogo de P mediante g o f es P''. Es decir:

La transformación geométrica Tur : E3 ® E3 que a cada punto P del espacio hace corresponder un punto r r homólogo P' tal queë PP 'û= u se denomina “traslación de vector u” r Tur ( P) = P ' Ûë PP 'û= u

3. TRASLACIONES Y GIROS EN EL ESPACIO 3.1. Traslaciones g

f E3

E3

E3

P

P´

P´´

Figura 3. A

Figura 2.

Nota: dos semiplanos (caras) con una recta (arista) común forman un ángulo diedro o simplemente un diedro. Denotaremos por (p1, AB , p 2) al diedro de arista orientada AB, y caras p1 y p 2. Si un observador situado sobre la arista, con los pies en A y la cabeza en B, ve la primera cara p1 a su derecha y la segunda p 2 a su izquierda, diremos que el diedro está orientado positivamente. En caso contrario, diremos que está orientado negativamente. En el caso de una transformación isogonal, diremos que es directa si conserva tanto la medida de los diedros como su orientación. En caso de que invierta la orientación, se denomina inversa.

g° f

( g o f ) ( P ) = g [ f ( P)] = g ( P ') = P ''

p2

La composición de transformaciones no es conmutativa. En general, las transformaciones g o f y f o g son distintas. Al definir una transformación geométrica f como una biyección, garantizamos la existencia de la transformación inversa o recíproca f -1 , que cumple f o f -1 = f -1 o f = i. Si la transformación directa asocia al punto P su homólogo P' , la inversa actúa asociando a P ' su antihomólogo o preimagen P. Vamos a dar a continuación algunas definiciones que se van a utilizar en el presente tema:

–

B

p1

+

Análogamente, si f conserva los ángulos recibe el nombre de transformación conforme o isogonal.

–

Si un punto P coincide con su homólogo, es decir f ( P) = P, decimos que se trata de un punto doble, fijo o invariante. Puede hablarse, en general, de figura invariante para una transformación f como aquella figura que se transforma en sí misma. Obviamente, una transformación en la que todos los puntos del plano son dobles no puede ser otra que la identidad i. a poner PQ = P 'Q ' .

Si una transformación f conserva las distancias se denomina transformación isométrica, o simplemente isometría. Esto es, si para cualesquiera dos puntos P y Q del plano se tiene: d ( P ,Q) = d ( f ( P) , f (Q)). Como manejaremos la métrica euclídea, lo anterior es equivalente

–

Una transformación geométrica es involutiva si f o f = i.

–

Si una transformación f conserva las distancias se denomina transformación isométrica, o simplemente isometría. Esto es, si para cualesquiera dos puntos P y Q del plano se tiene: d ( P ,Q) = d ( f ( P) , f (Q)). Como manejaremos la métrica euclídea, lo anterior es equivalente

–

Una transformación geométrica es involutiva si f o f = i.

–

Si un punto P coincide con su homólogo, es decir f ( P) = P, decimos que se trata de un punto doble, fijo o invariante. Puede hablarse, en general, de figura invariante para una transformación f como aquella figura que se transforma en sí misma. Obviamente, una transformación en la que todos los puntos del plano son dobles no puede ser otra que la identidad i.

–

a poner PQ = P 'Q ' .

–

Análogamente, si f conserva los ángulos recibe el nombre de transformación conforme o isogonal.

La composición de transformaciones no es conmutativa. En general, las transformaciones g o f y f o g son distintas. Al definir una transformación geométrica f como una biyección, garantizamos la existencia de la transformación inversa o recíproca f -1 , que cumple f o f -1 = f -1 o f = i. Si la transformación directa asocia al punto P su homólogo P' , la inversa actúa asociando a P' su antihomólogo o preimagen P. Vamos a dar a continuación algunas definiciones que se van a utilizar en el presente tema: p1

+

B

p2

Figura 2. A

Figura 3. P

P´

P´´

E3 f

E3

( g o f ) ( P ) = g [ f ( P)] = g ( P ') = P ''

3. TRASLACIONES Y GIROS EN EL ESPACIO 3.1. Traslaciones

E3

g° f

Nota: dos semiplanos (caras) con una recta (arista) común forman un ángulo diedro o simplemente un diedro. Denotaremos por (p1, AB , p 2) al diedro de arista orientada AB, y caras p1 y p 2. Si un observador situado sobre la arista, con los pies en A y la cabeza en B, ve la primera cara p1 a su derecha y la segunda p 2 a su izquierda, diremos que el diedro está orientado positivamente. En caso contrario, diremos que está orientado negativamente. En el caso de una transformación isogonal, diremos que es directa si conserva tanto la medida de los diedros como su orientación. En caso de que invierta la orientación, se denomina inversa.

g

En particular la aplicación identidad i: E3 ® E3 es la transformación geométrica en la que el homólogo de cualquier punto es él mismo. Dadas dos transformaciones f y g, sabemos que la transformación producto o compuesta g o f se define de la siguiente manera: si un punto P se transforma en P' mediante f , y éste lo hace en P'' mediante g, entonces el homólogo de P mediante g o f es P''. Es decir:

La transformación geométrica Tur : E3 ® E3 que a cada punto P del espacio hace corresponder un punto r r homólogo P' tal queë PP 'û= u se denomina “traslación de vector u” r Tur ( P) = P ' Ûë PP 'û= u CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

420

Semejanza y movimientos en el espacio

P'

Al igual que el plano, las traslaciones en elr espacio son biyecr ciones de E3 en sí mismo. En el caso trivial de u = 0, tendremos la

u

identidad (Tr0 = i)

Propiedad característica: “Para que una transformación geométrica T del espacio sea una traslación es condición necesaria y suficiente que el vector determinado por dos puntos cualesquiera sea equipolente al determinado por sus homólogos. Es decir, que para cualesquiera P y Q, se verifiqueë PQ û=ë P 'Q 'û, siendo P '= T ( P) y Q' = T (Q)”.

1. 2. 3. 4.

Q'

P Q Figura 4.

La demostración es la misma que para el plano (véase Tema 41, §3.2) También son consecuencias inmediatas: “Toda traslación es una transformación isométrica”. “En una traslación toda recta se transforma en otra recta paralela (distinta o coincidente con la dada)”. “En una traslación todo plano se transforma en otro plano paralelo (distinto o coincidente con el dado)”. “Toda traslación es una transformación isogonal directa”. En este enunciado resumimos que si A, B y C son tres puntos no alineados, entonces los homólogos A ', B ' y C ' tampoco está alineados y están situados en el mismo plano determinado por A, B y C, o en un plano paralelo, siendo Ð( AB , AC ) = Ð( A ' B ', A 'C ')

Además, una traslación transforma un diedro orientado en otro diedro de igual medida e igualmente orientado.

C

C´

B´

B

A

A´

Figura 5.

5. 6. 7. 8.

“En una traslación toda circunferencia se transforma en otra circunferencia del mismo radio, que tiene por centro el homólogo del centro y está situada en el mismo plano o en un plano paralelo ”. “La transformada de la recta tangente a una curva en un punto es la recta tangente a la nueva curva en el punto homólogo”. “La transformada de una superficie esférica es otra superficie esférica del mismo radio y de centro el homólogo del centro”. “La transformada del plano tangente a una superficie en un punto es el plano tangente a la superficie homóloga en el punto homólogo”.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

421

Volumen II. Matemáticas

422

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

El giro de eje e y ángulo p se llama simetría axial respecto del eje e.

–

Además, se verifica Ge ,j = Ge ,j+ 2kp ( k Î Z), y en particular Ge ,0o = Ge ,2kp = i (identidad).

–

Todo giro con respecto a un eje es una biyección de E3 en sí mismo.

–

Elementos invariantes La traslación Tr0 deja invariantes todos los puntos del plano, ya que se trata de la transformación identidad. r r En cambio, si u ¹ 0, para la traslación Tur no hay ningún punto doble o invariante. Sin embargo, cualquier recta paralela al vector que define la traslación es globalmente invariante (se transforma en ella misma), aunque no esté constituida por puntos dobles. Lo mismo ocurre con cualquier plano paralelo al vector de traslación. Observaciones:

3.

2.

Figura 7.

Ð(OP ,OP ') = j OP = OP '

P

El grupo de las traslaciones La composición de dos traslaciones Tur y Tvr cualesquiera es otra traslación definida por el vector suma. Es decir: Tvr o Tur = Tur+ vr . Como la adición de vectores en el espacio posee las mismas propiedades que en el plano, las traslaciones en el espacio constituyen también un grupo abeliano respecto de la composición, denominado grupo de las traslaciones del espacio (T ,o), que es isomorfo al grupo aditivo (V3 ,+).

r Sea una recta e, en la que tomamos un vector direccional v. Tendremos un eje de rotación orientado. Dado un punto P exterior a e y su proyección ortogonal O sobre la recta e, si el punto P describe una circunferencia de centro O, podemos establecer el sentido de la rotación mediante un convenio sencillo: el del avance del “tornillo” o “regla del sacacorchos”. Podemos definir ahora un giro de eje e y ángulo j como una transformación puntual, que denotaremos por e G , tal que a cada punto P asocia un homólogo P', cume ,j pliéndose: P´ 1. El punto P' está en el plano que contiene a P y es perO j pendicular a e, es decir, OP^e y OP^ ' e

3.2. Giros

El estudio de los giros en el espacio se apoya también en el de los giros en el plano, aunque de forma no tan inmediata como las traslaciones. Figura 6. P´ P

P

P´

+

-

+

P´

P

P

P´

Figura 6. El estudio de los giros en el espacio se apoya también en el de los giros en el plano, aunque de forma no tan inmediata como las traslaciones.

r Sea una recta e, en la que tomamos un vector direccional v. Tendremos un eje de rotación orientado. Dado un punto P exterior a e y su proyección ortogonal O sobre la recta e, si el punto P describe una circunferencia de centro O, podemos establecer el sentido de la rotación mediante un convenio sencillo: el del avance del “tornillo” o “regla del sacacorchos”. Podemos definir ahora un giro de eje e y ángulo j como una transformación puntual, que denotaremos por e Ge ,j , tal que a cada punto P asocia un homólogo P', cumpliéndose: P´ 1. El punto P' está en el plano que contiene a P y es perO j pendicular a e, es decir, OP^e y OP^ ' e

3.2. Giros

El grupo de las traslaciones La composición de dos traslaciones Tur y Tvr cualesquiera es otra traslación definida por el vector suma. Es decir: Tvr o Tur = Tur+ vr . Como la adición de vectores en el espacio posee las mismas propiedades que en el plano, las traslaciones en el espacio constituyen también un grupo abeliano respecto de la composición, denominado grupo de las traslaciones del espacio (T ,o), que es isomorfo al grupo aditivo (V3 ,+). 2.

3.

OP = OP '

P

Ð(OP ,OP ') = j

Elementos invariantes La traslación T0r deja invariantes todos los puntos del plano, ya que se trata de la transformación identidad. r r En cambio, si u ¹ 0, para la traslación Tur no hay ningún punto doble o invariante. Sin embargo, cualquier recta paralela al vector que define la traslación es globalmente invariante (se transforma en ella misma), aunque no esté constituida por puntos dobles. Lo mismo ocurre con cualquier plano paralelo al vector de traslación. Figura 7.

Observaciones:

Todo giro con respecto a un eje es una biyección de E3 en sí mismo.

–

Además, se verifica Ge ,j = Ge ,j+ 2kp ( k Î Z), y en particular Ge ,0o = Ge ,2kp = i (identidad).

–

El giro de eje e y ángulo p se llama simetría axial respecto del eje e.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

422

–

Semejanza y movimientos en el espacio Son inmediatas las siguientes propiedades: 1.

“Todo giro en el espacio es una transformación isométrica (conserva la distancia)”.

2.

“Todo giro en el espacio es una transformación isogonal directa (conserva la medida de los ángulos y su orientación)”.

3.

“Todo giro en el espacio transforma puntos alineados en puntos alineados (conserva la alineación)”.

En consecuencia son fáciles de obtener las transformadas de las figuras elementales. Así pues, una recta, un plano, una circunferencia, una esfera, etc., se transforman mediante una rotación respecto de un eje en otra recta, otro plano, otra circunferencia, otra esfera, etc. Elementos invariantes En el caso particular de j = 2kp, se trata de la identidad, y obviamente en este caso todos los puntos del espacio son dobles. En caso de que j ¹ 2kp, los únicos puntos dobles son los que están situados sobre el eje de giro, que será por tanto una recta de puntos dobles. Cualquier plano perpendicular al eje es globalmente invariante, aunque no es un plano de puntos dobles. Lo mismo ocurre con cualquier circunferencia situada en un plano ortogonal al eje y centrada en un punto de éste. El grupo de los giros de un mismo eje Denotaremos por Ge al conjunto de todos los giros respecto al eje e. Es sencillo demostrar que “la composición de dos giros de eje e es otro giro del mismo eje y de ángulo suma” Supongamos que Ge ,a ( P) = P ' y Ge , b( P¢) = P¢¢. Por la propia definición de giro, la proyección ortogonal sobre e de P , P 'y P¢¢ es el mismo punto O, resultando además que los cuatro puntosO , P , P¢y P¢¢ están en el plano perpendicular por O al eje de giro. Se tiene ÐPOP¢¢ = ÐPOP¢+ÐP¢OP¢¢ = a + b, con lo que queda probado que Ge , b o Ge ,a = Ga+ b La asociatividad y la conmutatividad son inmediatas. El giro identidad Ge ,2kp = i es el elemento neutro y cada giro Ge ,j tiene su simétrico o inverso que es el de ángulo igual y de sentido contrario, esto es, el giro Ge ,-j . Por consiguiente ( Ge ,o) es un grupo abeliano.

4. SIMETRÍAS 4.1. Simetría especular o respecto a un plano Se define la simetría respecto de un plano p como una transformación geométrica que a cada punto P de E3 asocia un homólogo P¢ tal que p es el plano mediador del segmento PP¢. Tendremos por tanto (figura 8): PP¢^p

y

ë A¢O û=ë OA û

P'

P O

La transformación así definida es biyectiva y la denotaremos por S p . Resulta ser involutiva, esto es, inversa de sí misma, ya que S p2 = S p o S p = i, como es fácil de ver.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 8.

423

Volumen II. Matemáticas

424

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Cabe hacer ahora una consideración con respecto a la orientación, al igual que ocurría con la simetría axial en el plano. Así por ejemplo, el tetraedro ABCD de la figura 11 y su transformado A¢B¢C ¢D¢, teniendo iguales sus aristas y sus caras están orientados de manera distinta. En efecto, un observador situado en el vértice D ve el triángulo ABC recorrido según sentido positivo u opuesto al de las agujas del reloj. Ocurre lo contrario con un observador en D¢ respecto del triángulo A¢B¢C ¢. Decimos que el tetraedro ABCD está orientado “a derechas” (dextrógiro) mientras que el A¢B¢C ¢D¢ lo está “a izquierdas” (levógiro). La simetría especular es, por tanto, una transformación isogonal inversa.

Las propiedades esenciales de la simetría especular en el espacio se justifican de modo similar a las de la simetría axial en el plano: 1. “La simetría especular conserva la alineación”. Es decir, transforma puntos alineados en puntos alineados y puntos no alineados en puntos no alineados. Por tanto, la figura transformada de una recta r es otra recta r'. a) Si r está contenida en el plano p, la recta homóloga es ella misma. b) Si r es paralela a p, entonces r y r¢ son paralelas. c) Si r es secante a p, la recta homóloga r¢ corta también a p en el mismo punto. Figura 11.

B

B'

A'

A

C

C'

D

D

r

r

p

p

En estos dos últimos casos el plano que contiene a r y r¢ es perpendicular a p (figura 9). “La simetría especular transforma puntos coplanarios en puntos coplanarios”. En efecto. Si X es un punto coplanario con los puntos no aliX C neados A,B,C podemos tomar el punto M de intersección de H las diagonales del cuadrilátero ABXC (figura 10). Al ser M A B un punto de las rectas AX y BC su simétrico M 'estará en las rectas A¢X ¢ y B¢C ¢, por lo que éstas rectas son secantes y por tanto coplanarias. El punto X ¢ está en ese plano, en el que también están A¢, B¢ y C ¢. La simetría especular es una transformación isométrica”. Todo segmento XY se transforma en otro segmento X ¢Y ¢ C' X' de igual longitud. En consecuencia, un triángulo se transforma en otro triángulo con los lados de igual medida que H ' B' A' los del triángulo de partida, y por lo tanto un ángulo en un ángulo igual. Asimismo, un tetraedro se transformaría en otro tetraedro con las aristas de igual longitud y la caFigura 10. ras iguales.

r'

r'

Figura 9.

2.

3.

3.

2.

En estos dos últimos casos el plano que contiene a r y r¢ es perpendicular a p (figura 9). “La simetría especular transforma puntos coplanarios en puntos coplanarios”. En efecto. Si X es un punto coplanario con los puntos no aliX C neados A,B,C podemos tomar el punto M de intersección de H las diagonales del cuadrilátero ABXC (figura 10). Al ser M A B un punto de las rectas AX y BC su simétrico M 'estará en las rectas A¢X ¢ y B¢C ¢, por lo que éstas rectas son secantes y por tanto coplanarias. El punto X ¢ está en ese plano, en el que también están A¢, B¢ y C ¢. La simetría especular es una transformación isométrica”. Todo segmento XY se transforma en otro segmento X ¢Y ¢ C' X' de igual longitud. En consecuencia, un triángulo se transforma en otro triángulo con los lados de igual medida que H ' B' A' los del triángulo de partida, y por lo tanto un ángulo en un ángulo igual. Asimismo, un tetraedro se transformaría en otro tetraedro con las aristas de igual longitud y la caFigura 10. ras iguales. Figura 9.

r'

r'

p

p

r

r

D

Cabe hacer ahora una consideración con respecto a la orientación, al igual que ocurría con la simetría axial en el plano. Así por ejemplo, el tetraedro ABCD de la figura 11 y su transformado A¢B¢C ¢D¢, teniendo iguales sus aristas y sus caras están orientados de manera distinta. En efecto, un observador situado en el vértice D ve el triángulo ABC recorrido según sentido positivo u opuesto al de las agujas del reloj. Ocurre lo contrario con un observador en D¢ respecto del triángulo A¢B¢C ¢. Decimos que el tetraedro ABCD está orientado “a derechas” (dextrógiro) mientras que el A¢B¢C ¢D¢ lo está “a izquierdas” (levógiro). La simetría especular es, por tanto, una transformación isogonal inversa.

D

Las propiedades esenciales de la simetría especular en el espacio se justifican de modo similar a las de la simetría axial en el plano: 1. “La simetría especular conserva la alineación”. Es decir, transforma puntos alineados en puntos alineados y puntos no alineados en puntos no alineados. Por tanto, la figura transformada de una recta r es otra recta r'. a) Si r está contenida en el plano p, la recta homóloga es ella misma. b) Si r es paralela a p, entonces r y r¢ son paralelas. c) Si r es secante a p, la recta homóloga r¢ corta también a p en el mismo punto. C'

A

A'

B'

B

Figura 11.

424

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

C

Semejanza y movimientos en el espacio En cuanto a los elementos invariantes por una simetría especular tenemos:

–

El plano de simetría p es un plano de puntos dobles y toda recta contenida en dicho plano es también una recta de puntos dobles.

–

Todos los planos y todas las rectas perpendiculares a p son globalmente dobles.

4.2. Simetría axial o respecto a una recta Una simetría axial de eje e es una transformación del espacio tal que a cada punto P hace corresponder un homólogo P¢ tal que e es la mediatriz del segmento PP¢. O sea: PP¢^e

Y

ë PM û=ë MP¢û

e Q

Q N

P M

Es evidente que esta transformación equivale a un giro de±180º respecto de la recta e. De ahí que también reciba el nombre de semigiro o transposición. La denotaremos por S e . Obviamente, cumplirá todas las propiedades esenciales del giro. Se tiene la particularidad de que es un transformación involutiva, o sea, inversa de sí misma. Aparte del eje, que es una recta de puntos dobles, como en cualquier giro, en una simetría axial cualquier plano que contiene al eje e y cualquier recta o plano perpendicular a dicho eje son globalmente invariantes.

P' Figura 12.

4.3. Simetría central o respecto a un punto Se denomina simetría central respecto de un punto O, a la transformación S O que a cada punto P del espacio asocia el punto P¢ tal que O es el punto medio del segmento PP¢, es decirë PO û=ë OP¢û(figura 13).

P H' Q

B'

D

O Q'

H

C

A'

O C'

A B

D'

P' Figura 13.

Son inmediatas las siguientes consecuencias:

–

La simetría central es una biyección de E3 en E3, siendo su inversa ella misma. Esto es, se trata de una transformación involutiva: S O2 = S O o S O = i.

–

El centro O es el único punto doble. Cualquier recta y cualquier plano que contengan a O son dobles considerados globalmente.

–

La simetría central es una isometría inversa. Es decir, conserva la distancia y la medida de los ángulos, pero invierte la orientación (figura 14).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

425

Volumen II. Matemáticas

426

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

4.4. Elementos de simetría de un cuerpo en el espacio –

e3

Una figura F tiene centro de simetría si existe un punto O, tal que mediante una simetría central de centro O la figura dada es homóloga de sí misma.

Resulta que el producto S p¢ o S p es la traslación de vector el doble del de la traslación que transforma el plano p en el p¢: S p¢ o S p = T2vr El producto anterior no es conmutativo pues al cambiar el orden de las simetrías cambia el sentido del vector.

–

O

e2

Igualmente si existe una recta e, de manera que la simetría axial S e transforma la figura dada en sí misma, diremos que e es un eje de simetría de F (figura 14).

Decimos que F tiene a p como plano de simetría si la simetría especular respecto a p deja a F invariante (figura 15).

ë XX ¢¢û=ë XX ¢û+ë X ¢X ¢¢û= 2ë MX ¢û+ 2ë X ¢M ¢û= 2(ë MX ¢û+ë X ¢M ¢û) = 2ë MM ¢û= 2vr –

e1

Sean S p y S p¢ las simetrías respecto los planos p y p¢. Caso de planos coincidentes. Si ambos planos son el mismo ya vimos que S p¢ o S p = S p o S p = i Caso de planos paralelos. Supongamos que p y p¢ son paralelos distintos. Dado un punto cualquiera X , sean M y M ¢ sus proyecciones ortogonales sobre ambos planos (figura 16). Entonces, llamando X ¢ = S p ( X ) y X ¢¢ = S p¢ ( X ¢), tendremos: Figura 14.

b) a)

p´

p

p´´

5.1. Composición de dos simetrías especulares En los epígrafes anteriores se han estudiado los casos particulares del producto de dos traslaciones y del producto de dos giros del mismo eje. Vamos a tratar aquí de estudiar otros casos de composición de isometrías. Figura 15.

5. COMPOSICIÓN DE GIROS, TRASLACIONES Y SIMETRÍAS 5. COMPOSICIÓN DE GIROS, TRASLACIONES Y SIMETRÍAS En los epígrafes anteriores se han estudiado los casos particulares del producto de dos traslaciones y del producto de dos giros del mismo eje. Vamos a tratar aquí de estudiar otros casos de composición de isometrías. Figura 15.

5.1. Composición de dos simetrías especulares p´´

Sean S p y S p¢ las simetrías respecto los planos p y p¢. a) Caso de planos coincidentes. Si ambos planos son el mismo ya vimos que S p¢ o S p = S p o S p = i b) Caso de planos paralelos. Supongamos que p y p¢ son paralelos distintos. Dado un punto cualquiera X , sean M y M ¢ sus proyecciones ortogonales sobre ambos planos (figura 16). Entonces, llamando X ¢ = S p ( X ) y X ¢¢ = S p¢ ( X ¢), tendremos: ë XX ¢¢û=ë XX ¢û+ë X ¢X ¢¢û= 2ë MX ¢û+ 2ë X ¢M ¢û= 2(ë MX ¢û+ë X ¢M ¢û) = 2ë MM ¢û= 2vr p

p´

Figura 14.

–

e1

Decimos que F tiene a p como plano de simetría si la simetría especular respecto a p deja a F invariante (figura 15).

Resulta que el producto S p¢ o S p es la traslación de vector el doble del de la traslación que transforma el plano p en el p¢: S p¢ o S p = T2vr El producto anterior no es conmutativo pues al cambiar el orden de las simetrías cambia el sentido del vector. e2

forma la figura dada en sí misma, diremos que e es un eje de simetría de F (figura 14).

O

–

e3

–

Igualmente si existe una recta e, de manera que la simetría axial S e trans-

Una figura F tiene centro de simetría si existe un punto O, tal que mediante una simetría central de centro O la figura dada es homóloga de sí misma.

4.4. Elementos de simetría de un cuerpo en el espacio CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

426

Semejanza y movimientos en el espacio

e

v

X

p¢

X

O a

p

M M

X

r

Figura 16. c)

Figura 17.

Caso de planos secantes. Supongamos que los planos p y p¢ son secantes en una recta e y forman un ángulo a (figura 17). Par~ que contiene a X y es perpendicular a e, y el punto O en tiendo de un punto X, consideremos el plano p ~ de S y S , son las simetrías planas que dicho plano intersecta a e. Las restricciones sobre el plano p p¢ p ~ ~ ¢ ¢ respecto de r y r respectivamente, siendo r= p Ç p y r = p Ç p¢. Teniendo en cuenta lo estudiado ~ en el tema 41 para el plano, la restricción de S p¢ o S p sobre p será un giro de centro O y ángulo 2a. Luego hemos probado que: S p¢ o S p = Ge ,2a Los resultados recíprocos de los anteriores son ciertos: r maneras como producto de rdos – Toda traslación de vector 2v se puede descomponer de infinitas r simetrías respecto de dos planos, ambos perpendiculares a v y siendo la distancia entre ellos v .

–

Toda rotación de ángulo 2a alrededor de un eje e se puede descomponer de infinitas maneras como producto de dos simetrías respecto de dos planos secantes en la recta e y formando entre ellos un ángulo a.

Observación: En el caso particular de la composición de dos simetrías respecto a dos planos perpendiculares, resulta un giro de 180º respecto de la recta e intersección de ambos planos; esto es una simetría axial de eje e. Recíprocamente una simetría axial de eje e puede obtenerse de infinitas maneras como el producto de dos simetrías especulares respecto de sendos planos que se cortan perpendicularmente en la recta e. En este caso es S p¢ o S p = S p o S p¢ .

p X

X M e X

Figura 18.

5.2. Composición de dos simetrías axiales a) b)

Sean S e y S e¢ dos simetrías respecto a los ejes e y e¢. Caso de ejes coincidentes. Por ser involutiva la simetría axial, se tendrá S e¢ o S e = S e o S e = i. Caso de ejes paralelos. Si e y e¢ son paralelos, podemos tomar el plano p¢¢ que contiene a ambas rectas y los dos planos pr y p¢ perpendiculares a p¢¢ conteniendo respectivamente a e y e¢ (figura 19). El vector de traslación v que transforma la recta e en e¢ es el mismo que el de la traslación que transforma p en p¢. Entonces: S e¢ o S e = ( S p¢ o S p¢¢ ) o ( S p¢¢ o S p ) = S p¢ o ( S p¢¢ o S p¢¢ ) o S p ) = S p¢ o S p = T2vr 14243 identidad

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

427

Volumen II. Matemáticas

428

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Figura 22.

Figura 21.

Se obtiene una traslación de vector perpendicular a los dos ejes en el sentido del primero al segundo y de módulo el doble de la distancia entre ellos. p''

X'

e

e'

a

A

M

e'

v

e

e'

O

e A

N a

A

O

p

p''

X

X'

p'

p

X

p'

p p

Se obtiene una rotación de eje la perpendicular común por el punto de intersección de los dos ejes y ángulo el doble del que forman dichos ejes y orientado del primero al segundo.

X' '

X

identidad

S o S = ( S o S ) o ( S o S ) = S o ( S p¢¢ o S p¢¢ ) o S p ) = S p¢ o S p = G p,2a 14243 e¢

p¢

e

p¢¢

p¢¢

p

p¢

El producto anterior no es conmutativo pues al cambiar el orden de las simetrías cambia el sentido del vector. Caso de ejes secantes secantes. Supongamos que e y e¢ se cortan en un punto O formando un ángulo a. Sea p¢¢ el plano que contiene a ambas rectas y p y p¢ los dos planos perpendiculares a p¢¢ conteniendo respectivamente a e y e¢. Estos dos últimos, que también forman un ángulo a se cortan en la recta p perpendicular común por O a los ejes e y e¢ (figura 21). Entonces: Figura 20.

Figura 19.

Puede probarse de otra manera, siguiendo la figura 20. Dado un punto cualquiera X, sea X ¢ su simétrico respecto de e y sea X ¢¢ el simétrico de X ¢ respecto de e¢. Los tres puntos X, X ¢ y X ¢¢ están en un plano perpendicular a los ejes e y e' que intercepta con ellos sendos puntos M y M ¢. Entonces, por la definición de simetría axial se tiene: ë XX ¢¢û=ë XX ¢û+ë X ¢X ¢¢û= 2ë MX ¢û+ 2ë X ¢M ¢û= 2(ë MX ¢û+ë X ¢M ¢û) = 2ë MM ¢û= 2vr c)

ë XX ¢¢û=ë XX ¢û+ë X ¢X ¢¢û= 2ë MX ¢û+ 2ë X ¢M ¢û= 2(ë MX ¢û+ë X ¢M ¢û) = 2ë MM ¢û= 2vr

El producto anterior no es conmutativo pues al cambiar el orden de las simetrías cambia el sentido del vector. Caso de ejes secantes secantes. Supongamos que e y e¢ se cortan en un punto O formando un ángulo a. Sea p¢¢ el plano que contiene a ambas rectas y p y p¢ los dos planos perpendiculares a p¢¢ conteniendo respectivamente a e y e¢. Estos dos últimos, que también forman un ángulo a se cortan en la recta p perpendicular común por O a los ejes e y e¢ (figura 21). Entonces:

Puede probarse de otra manera, siguiendo la figura 20. Dado un punto cualquiera X, sea X ¢ su simétrico respecto de e y sea X ¢¢ el simétrico de X ¢ respecto de e¢. Los tres puntos X, X ¢ y X ¢¢ están en un plano perpendicular a los ejes e y e' que intercepta con ellos sendos puntos M y M ¢. Entonces, por la definición de simetría axial se tiene: Figura 19.

c)

Figura 20.

S e¢ o S e = ( S p¢ o S p¢¢ ) o ( S p¢¢ o S p ) = S p¢ o ( S p¢¢ o S p¢¢ ) o S p ) = S p¢ o S p = G p,2a 14243 identidad

Se obtiene una rotación de eje la perpendicular común por el punto de intersección de los dos ejes y ángulo el doble del que forman dichos ejes y orientado del primero al segundo.

X

X' '

p

p

p'

p'

p

X

X'

X

p''

p

O

e

M

A

e' e

A

a

N

e

e'

p''

a

e'

v

O

A

X'

Se obtiene una traslación de vector perpendicular a los dos ejes en el sentido del primero al segundo y de módulo el doble de la distancia entre ellos. 428

Figura 22.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Figura 21.

Semejanza y movimientos en el espacio También podemos justificar lo anterior a partir de la figura 22. Dado un punto cualquiera X, sea X ¢ su simétrico respecto de e y sea X ¢¢ el simétrico de X ¢ respecto de e'. Consideremos también las proyecciones ortogonales A, A¢ y A¢¢ de los puntos X, X ¢ y X ¢¢ sobre el plano p determinado por los ejes e y e¢. Por la simetría respecto a e: MX = MX ¢, MA = MA¢, AX = A¢X ¢, OA = OA¢, ÐAOM = ÐMOA¢ Por la simetría respecto a e¢: NX ¢ = NX ¢¢, NA¢ = NA¢¢, A¢X ¢ = A¢¢X ¢¢, OA¢ = OA¢¢, ÐA¢ON = ÐNOA¢¢ Resulta: A¢X ¢ = A¢¢X ¢¢, OA = OA¢¢ ÐAOA¢¢ = ÐAOA¢+ÐA¢OA¢¢ = 2ÐMOA¢+ 2ÐA¢ON = = 2(ÐMOA¢+ÐA¢ON ) = 2ÐMON = 2a

d)

lo que prueba que X ¢¢ es el homólogo de X en un giro de eje p y ángulo el doble del que forman los ejes e y e¢. Recíprocamente a lo obtenido en b) y c), se verifica que: “Toda traslación puede descomponerse de manera no única en producto de dos simetrías axiales respecto de dos rectas paralelas y todo giro en producto de dos simetrías axiales de ejes concurrentes”. Caso de ejes que se cruzan. Si e y e¢ se cruzan tracemos la perpendicular común p cortando a ambas rectas en sendos puntos O y O¢. Sea la recta r paralela a e¢ pasando por O, esto es, la recta r será la proyección ortogonal de e'sobre el plano paralelo a e¢ que contiene a e (figura 23).

p

A'

e'

p

O'

2d

r

d a

e

O

A Figura 23.

Figura 24.

La distancia entre las rectas paralelas r y e¢ es la mínima distancia entre e y e¢, es decir, el módulo del r vector d =ë OO¢û. Las rectas r y e son secantes formando una ángulo a. Resulta: S e¢ o S e = S e¢ o ( S r o S r ) o S e = ( S e¢ o S r ) o ( S r o S e ) = T2dr o G p.,2a 1424 3 identidad

es decir, el producto de un giro por una traslación de vector paralelo al eje del giro.

5.3. Movimiento helicoidal. Composición de dos movimientos helicoidales r La composición de un giro de ángulo a respecto de un eje e con una traslación rde vector v paralelo al eje del giro recibe el nombre de movimiento helicoidal de eje e, ángulo a y vector v.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

429

Volumen II. Matemáticas

430

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

r r Los giros y las traslaciones son los casos particulares de movimiento helicoidal cuando v = 0 y cuando a = 0 respectivamente. Según se vio antes, el producto de dos simetrías respecto de dos ejes que se cruzan es un movimiento helicoidal. Recíprocamente, todo movimiento helicoidal puede descomponerse de infinitas maneras en producto de dos simetrías axiales. Podemos probar también que la composición de dos movimientos helicoidales da otro movimiento helicoidal. r En efecto, sea el primero un movimiento helicoidal H de eje p, ángulo a y vector a y el segundo H ¢ de r eje p¢, ángulo a¢ y vector a¢, tomemos la recta e¢ perpendicular común a p y p¢, a los que corta en O y O¢ respectivamente. identidad

Ge¢ , b o Ge ,a = ( S p¢ o S p¢¢ ) o ( S p¢¢ o S p ) = S p¢ o ( S p¢¢ o S p¢¢ ) o S p = S p¢ o S p 14243

En el caso de composición de dos giros del mismo eje ya se vio que resulta otro giro del mismo eje y ángulo suma, o sea: Ge , b o Ge ,a = Ga+ b. Vamos a estudiar ahora otros casos. a) Caso de ejes paralelos. Consideremos el plano p¢¢que contiene a ambos ejes e y e¢. Seguidamente elegimos dos planos p y p¢conteniendo a los ejes e y e¢ respectivamente, de manera queGe¢ , b = S p¢ o S p¢¢ yGe ,a = S p¢¢ o S p (figura 27). Entonces

5.5. Composición de dos giros de distinto eje

p'

e'

Elegimos ahora una recta e que se cruce con e¢, forme con ella un r ángulo a 2 y diste de ella a¢ 2 y será entonces H = S e¢ o S e Análogamente tomamos la recta e¢¢rtal que el ángulo que forma e¢ con ella sea a¢ 2 y la distancia entre ellas a¢ 2. Se verifica H ¢ = S e¢¢ o S e¢ . Componiendo tenemos:

Obviamente el producto no es conmutativo, ya que al cambiar el orden en que se componen las simetrías cambia el sentido del vector de la traslación resultante. e''

a'/2

S O¢ o S O = T2[ OO¢ ] p

Resulta que la composición de dos simetrías centrales da una traslación de vector doble del que une los centros de las simetrías dadas. Es decir:

H ¢ o H = ( S e¢¢ o S e¢ ) o ( S e¢ o S e ) = S e¢¢ o ( S e¢ o S e¢ ) o S e = S e¢¢ o S e 1424 3

a /2

X ''

e

Figura 26. identidad

X

Como vemos, resulta el producto de dos simetrías axiales y, por tanto, un movimiento helicoidal. Este quedará reducido a un giro o a una traslación si las rectas e'' y e se cortan o son paralelas.

[ XX ¢¢] = [ XX ¢]+[ X ¢X ¢¢]= 2[OX ¢]+ 2[ X ¢O¢] = = 2 ([OX ¢]+[ X ¢O¢]) = 2[OO¢] Figura 25.

O'

5.4. Composición de dos simetrías centrales

O

Sean S O y S O¢ las simetrías respecto a los puntos O y O¢. Dado un punto cualquiera X del espacio, si S O ( X ) = X ¢ y S O¢ ( X ¢) = X ¢¢, se verifica:

X'

Sean S O y S O¢ las simetrías respecto a los puntos O y O¢. Dado un punto cualquiera X del espacio, si S O ( X ) = X ¢ y S O¢ ( X ¢) = X ¢¢, se verifica:

X'

5.4. Composición de dos simetrías centrales

[ XX ¢¢] = [ XX ¢]+[ X ¢X ¢¢]= 2[OX ¢]+ 2[ X ¢O¢] =

Como vemos, resulta el producto de dos simetrías axiales y, por tanto, un movimiento helicoidal. Este quedará reducido a un giro o a una traslación si las rectas e'' y e se cortan o son paralelas.

O

O'

=2

([OX ¢]+[ X ¢O¢]) = 2[OO¢]

Figura 25.

a /2

Resulta que la composición de dos simetrías centrales da X X '' una traslación de vector doble del que une los centros de las simetrías dadas. Es decir: Figura 26. S O¢ o S O = T2[ OO¢ ] Obviamente el producto no es conmutativo, ya que al cambiar el orden en que se componen las simetrías cambia el sentido del vector de la traslación resultante. identidad

p

a'/2

e

e''

H = S e¢ o S e Análogamente tomamos la recta e¢¢rtal que el ángulo que forma e¢ con ella sea a¢ 2 y la distancia entre ellas a¢ 2. Se verifica H ¢ = S e¢¢ o S e¢ . Componiendo tenemos: H ¢ o H = ( S e¢¢ o S e¢ ) o ( S e¢ o S e ) = S e¢¢ o ( S e¢ o S e¢ ) o S e = S e¢¢ o S e 1424 3

r r Los giros y las traslaciones son los casos particulares de movimiento helicoidal cuando v = 0 y cuando a = 0 respectivamente. Según se vio antes, el producto de dos simetrías respecto de dos ejes que se cruzan es un movimiento helicoidal. Recíprocamente, todo movimiento helicoidal puede descomponerse de infinitas maneras en producto de dos simetrías axiales. Podemos probar también que la composición de dos movimientos helicoidales da otro movimiento helicoidal. r En efecto, sea el primero un movimiento helicoidal H de eje p, ángulo a y vector a y el segundo H ¢ de r eje p¢, ángulo a¢ y vector a¢, tomemos la recta e¢ perpendicular común a p y p¢, a los que corta en O y O¢ respectivamente. Elegimos ahora una recta e que se cruce con e¢, forme con ella un r ¢ y será entonces y diste de ella ángulo a 2 a 2 p' e'

5.5. Composición de dos giros de distinto eje

En el caso de composición de dos giros del mismo eje ya se vio que resulta otro giro del mismo eje y ángulo suma, o sea: Ge , b o Ge ,a = Ga+ b. Vamos a estudiar ahora otros casos. a) Caso de ejes paralelos. Consideremos el plano p¢¢que contiene a ambos ejes e y e¢. Seguidamente elegimos dos planos p y p¢conteniendo a los ejes e y e¢ respectivamente, de manera queGe¢ , b = S p¢ o S p¢¢ yGe ,a = S p¢¢ o S p (figura 27). Entonces Ge¢ , b o Ge ,a = ( S p¢ o S p¢¢ ) o ( S p¢¢ o S p ) = S p¢ o ( S p¢¢ o S p¢¢ ) o S p = S p¢ o S p 14243 identidad

430

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Semejanza y movimientos en el espacio Si los planos p y p¢ no son paralelos, entonces S p¢ o S p es un giro de eje e¢¢, con la orientación que se observa en la figura 27 y ángulo d. Del triángulo æa bö d DAA¢A¢¢ se desprende = 180º-ç + ÷, es deè 2 2ø 2 cir d = 360º-( a + b) = -( a + b). Cambiando de sentido el eje e¢¢ podemos tomar como ángulo a + b. a b En particular, si + = 180º es p¢ paralelo a p 2 2 y el resultado anterior equivale a una traslación de vector doble del de la traslación que transforma p y p¢. Concluimos que: “El producto de dos giros de ejes paralelos es un giro o una traslación”. b)

e

e''

d 2

A

A' '

e'

A' b 2

Figura 27.

Caso de ejes secantes. Si los ejes e y e¢ se cortan en un punto O, trazamos las siguientes rectas que pasan por O (figura 28):

– –

-a/2

r¢¢perpendicular común a e y e¢.

r

r'' b/2 r'

r que resulta de girar r¢¢ alrededor de e un ángulo-a 2 (es perpendicular a e).

r¢ que resulta de girar r¢¢ alrededor de e¢ un ángulo b 2 (es perpendicular a e¢). Teniendo en cuenta que todo giro se puede descomponer en producto de dos simetrías axiales y que la simetría axial es involutiva, llegamos a:

–

O e

p

Ge¢ , b o Ge ,a = ( S r¢ o S r¢¢ ) o ( S r¢¢ o S r ) =

e'

Figura 28.

= S r¢ o ( S r¢¢ o S r¢¢ ) o S r = S r¢ o S r 14243 identidad

c)

Según se vio, el producto S r¢ o S r es un producto de simetrías axiales de ejes secantes y resulta ser un giro de un eje p perpendicular por O a r y r¢. Luego, “el producto de dos giros de ejes concurrentes en un punto es otro giro de eje también concurrente en ese punto”. r' Caso de ejes que se cruzan. r r'' Al igual que antes se trazan

– –

r¢¢ perpendicular común a e y e¢.

O'

r que resulta de girar r¢¢ alrededor de e un ángulo -a 2 (es perpendicular a e).

r¢ que resulta de girar r¢¢ alrededor de e¢ un ángulo b 2 (es perpendicular a e¢). Las rectas r y r¢ se cruzan, pues de lo contrario serían coplanarias y las e y e¢ por ser perpendiculares a su plano serían paralelas, en contra de lo supuesto. Igual que antes tenemos

e'

–

O e Figura 29.

Ge¢ , b o Ge ,a = ( S r¢ o S r¢¢ ) o ( S r¢¢ o S r ) = S r¢ o ( S r¢¢ o S r¢¢ ) o S r = S r¢ o S r 14243 identidad

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

431

Volumen II. Matemáticas

432

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Como sabemos, la composición de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan es el producto de una traslación por un giro, o lo que es lo mismo, un movimiento helicoidal. Por tanto: “el producto de dos giros cuyos ejes se cruzan es un movimiento helicoidal”. YZ = XZ - XY = ( XZ - XY )×( XZ - XY ) = XZ - 2 XY × XZ + XY 2

2

2

2

De la igualdad YZ = XZ - XY se deduce :

En efecto, llamemos X ¢ = f ( X ) , Y ¢ = f (Y ) , Z¢ = f ( Z). e

“Si f es una isometría, entonces conserva el producto escalar. O sea, para cualesquiera X ,Y , Z Î E3 se cumple XY × XZ = f ( X ) f (Y ) × f ( X ) f ( Z)”.

5.6. Composición de traslación y giro

Sea la traslación Tvr y el giro Ge ,a . Consideremos un plano p perpendicular al eje del giro y sea O el punto de corte de ambos. Sea p¢ el plano que contiene a O y es perpendicular al vector de la traslación. Tomaremos las rectas siguientes.

v

Proposición:

Veamos ahora que la definición anterior implica la conservación del producto escalar, y como consecuencia los ángulos. O

r¢¢ recta intersección de los planos p y p¢.

– –

r recta que resulta de aplicar a r¢¢ la traslación: T– vr 2.

–

r¢ recta que resulta de aplicar a r¢¢ el giro Ge ,a 2.

Nota: ni que decir tiene que en la definición anterior nos referimos a distancia asociada a la norma euclídea, es decir d ( X ,Y ) = XY .

a/2

r'

Definición: Se dice que una aplicación f : E3 ® E3 es una isometría si conserva la distancia, es decir, si para cualesquiera dos puntos X ,Y Î E3 se verifica d ( X ,Y ) = d ( f ( X ) , f (Y )). r''

Entonces:

Ge ,a o Tvr = ( S r¢ o S r¢¢ ) o ( S r¢¢ o S r ) =

r

= S r¢ o ( S r¢¢ o S r¢¢ ) o S r = S r¢ o S r 14243

6. EL GRUPO DE LAS ISOMETRÍAS Y EL SUBGRUPO DE LOS MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO 6.1. Definición general de isometría en el espacio euclídeo Figura 30.

identidad

Resulta un movimiento helicoidal ya que la composición de simetrías axiales S r¢ o S r es una traslación si r y r¢ son paralelos, un giro si r y r¢ se cortan y un movimiento helicoidal propiamente dicho si r y r¢ se cruzan. Análogamente, si tomamos como r y r¢ la que resultan respectivamente de someter a r¢¢ a la traslación Tvr 2 y al giro Ge ,-a 2 , entonces será:

En cualquier caso podemos concluir: “la composición de traslaciones y giros en el espacio da como resultado movimientos helicoidales”. Tvr o Ge ,a = ( S r o S r¢¢ ) o ( S r¢¢ o S r¢ ) = S r o ( S r¢¢ o S r¢¢ ) o S r¢ = S r o S r¢ 14243 identidad

Tvr o Ge ,a = ( S r o S r¢¢ ) o ( S r¢¢ o S r¢ ) = S r o ( S r¢¢ o S r¢¢ ) o S r¢ = S r o S r¢ 14243 identidad

Resulta un movimiento helicoidal ya que la composición de simetrías axiales S r¢ o S r es una traslación si r y r¢ son paralelos, un giro si r y r¢ se cortan y un movimiento helicoidal propiamente dicho si r y r¢ se cruzan. Análogamente, si tomamos como r y r¢ la que resultan respectivamente de someter a r¢¢ a la traslación Tvr 2 y al giro Ge ,-a 2 , entonces será:

En cualquier caso podemos concluir: “la composición de traslaciones y giros en el espacio da como resultado movimientos helicoidales”.

6. EL GRUPO DE LAS ISOMETRÍAS Y EL SUBGRUPO DE LOS MOVIMIENTOS EN EL ESPACIO 6.1. Definición general de isometría en el espacio euclídeo identidad

= S r¢ o ( S r¢¢ o S r¢¢ ) o S r = S r¢ o S r 14243

Figura 30.

Ge ,a o Tvr = ( S r¢ o S r¢¢ ) o ( S r¢¢ o S r ) =

Definición: Se dice que una aplicación f : E3 ® E3 es una isometría si conserva la distancia, es decir, si para cualesquiera dos puntos X ,Y Î E3 se verifica d ( X ,Y ) = d ( f ( X ) , f (Y )). r

Entonces:

r''

r¢ recta que resulta de aplicar a r¢¢ el giro Ge ,a 2.

–

r recta que resulta de aplicar a r¢¢ la traslación: T– vr 2.

– –

a/2

r'

Nota: ni que decir tiene que en la definición anterior nos referimos a distancia asociada a la norma euclídea, es decir d ( X ,Y ) = XY . r¢¢ recta intersección de los planos p y p¢.

O

Veamos ahora que la definición anterior implica la conservación del producto escalar, y como consecuencia los ángulos. Sea la traslación Tvr y el giro Ge ,a . Consideremos un plano p perpendicular al eje del giro y sea O el punto de corte de ambos. Sea p¢ el plano que contiene a O y es perpendicular al vector de la traslación. Tomaremos las rectas siguientes.

Proposición:

“Si f es una isometría, entonces conserva el producto escalar. O sea, para cualesquiera X ,Y , Z Î E3 se cumple XY × XZ = f ( X ) f (Y ) × f ( X ) f ( Z)”.

v

5.6. Composición de traslación y giro

e

En efecto, llamemos X ¢ = f ( X ) , Y ¢ = f (Y ) , Z¢ = f ( Z). De la igualdad YZ = XZ - XY se deduce :

Como sabemos, la composición de dos simetrías axiales cuyos ejes se cruzan es el producto de una traslación por un giro, o lo que es lo mismo, un movimiento helicoidal. Por tanto: “el producto de dos giros cuyos ejes se cruzan es un movimiento helicoidal”. YZ = XZ - XY = ( XZ - XY )×( XZ - XY ) = XZ - 2 XY × XZ + XY

432

2

2

2

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

2

Semejanza y movimientos en el espacio y de aquí: 2 1 2 2 XY × XY = é XZ + XY - YZ ù ë û 2

[1]

2 2 2 1 X ¢Y ¢× X ¢Y ¢ = é X ¢Z¢ + X ¢Y ¢ - Y ¢Z¢ ù ë û 2

[2]

Análogamente

La igualdad de los segundos miembros de [1] y [ 2] es inmediata consecuencia de la definición de isometría, pues: 2

XZ = d ( X , Z) = d ( X ¢, Z¢) = X ¢Z¢ 2

2

XY = d ( X ,Y ) = d ( X ¢,Y ¢) = X ¢Y ¢ 2

YZ = d (Y , Z) = d (Y ¢, Z¢) = Y ¢Z¢

2

2

Concluyendo que XY × XZ = X ¢Y ¢× X ¢Z¢. De la proposición anterior, a su vez, se deduce la conservación de los ángulos. Proposición: “Si f es una isometría, entonces conserva los ángulos. O sea, para cualesquiera X ,Y , Z Î E3 se cumple Ð( XY , XZ) = Ð f ( X ) f (Y ) , f ( X ) f ( Z) ”.

(

) En efecto, llamando q = Ð( XY , XZ) y q¢ = Ð( f ( X ) f (Y ) , f ( X ) f ( Z)), se tendrá: cos q =

XY × XZ XY × XZ

=

X ¢Y ¢× X ¢Z¢ X ¢Y ¢ × X ¢Z¢

= cos q¢

Luego q¢ = ±q + 2kp. Prescindiendo del número entero de vueltas, podemos poner q¢ = ±q, con lo que se conserva el módulo del ángulo pudiendo cambiar el sentido u orientación.

6.2. Isometrías directas e indirectas. Definición de movimiento en el espacio Todas las transformaciones estudiadas hasta ahora, es decir, las traslaciones, los giros y las simetrías, son isometrías. Las traslaciones, los giros y las simetrías axiales conservan además el sentido de los ángulos y la orientación de los tetraedros. Se denominan isometrías directas. En cambio, la simetría central y la simetría especular invierten el sentido y la orientación. Son, por lo tanto, isometrías inversas. Denotaremos por Isom( E3) al conjunto de todas las isometrías del espacio. Es fácil verificar que ( Isom E3) es estable o cerrado para la composición. Es decir, si f , g Î Isom( E3) será g o f Î Isom( E3), pues por definición de isometría, para cualesquiera dos puntos X e Y se verifica:

d (( g o f )( X ) ,( g o f )(Y )) = d (g ( f ( X )) , g ( f (Y )) = d ( f ( X ) , f (QY )) = d ( X ,Y )

La identidad i: E3 ® E3 es obviamente una isometría. Toda isometría f, al ser una biyección, tiene una transformación inversa f -1 que es otra isometría. Esto último se prueba fácilmente, pues dados dos puntos X ¢ e Y ¢, existen X = f -1( X ¢) e Y = f -1(Y ¢), para los cuales, por ser f isometría, tendremos d ( f ( X ) , f (Y )) = d ( X ,Y ), y de aquí d ( f ( f -1( X ¢)) , f ( f -1(Y ¢))) = = d ( f -1( X ¢) , f -1(Y )) de donde d ( X ¢,Y ¢) = d ( f -1( X ¢) , f -1(Y ¢)).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

433

Volumen II. Matemáticas

434

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Así pues, tenemos el grupo no abeliano (Isom( E3) o) de las isometrías del espacio. identidad

Ge ,a o S n = ( S p¢ o S p ) o S p = S p¢ o ( S p o S p ) = S p¢ 1424 3

Asimismo, vamos a denotar por Isom+ ( E3) y Isom-( E3) a los subconjuntos de Isom( E3) formados por las isometrías directas y las isometrías inversas, respectivamente. Se tendrá: + ì ïIsom( E3) = Isom ( E3) È Isom ( E3) í ïIsom+ ( E3) Ç Isom-( E3) = Æ î

Es interesante reducir una isometría a la composición de un número mínimo de simetrías axiales. Por ejemplo: La composición de una simetría respecto de un plano por un giro respecto de un eje contenido en dicho plano se reduce a una sola una simetría respecto de un plano que pasa por el eje de giro. En efecto, sea el plano p¢ que contiene a e y forma con p un ángulo a 2. Entonces S p¢ o S p = Ge ,a, de donde:

Figura 32.

Se tiene que Isom+ ( E3) es estable para la composición, ya que si dos isometrías conservan la orientación, el producto de ambas también la conservará. Sin embargo, no podemos decir lo mismo para Isom-( E3), ya que si f , g Î Isom-( E3) es obvio que g o f Î Isom+ ( E3). p

movimiento

p'

f=S

pn

oS

p n-1

p3

p2

oKo S o S

p1

oS =S

pn

o (S p n-1 oKo S p3 o S p 2 ) 144424443

Definiremos un movimiento en el espacio como una isometría directa. El subgrupo de los movimientos (Isom+ ( E3) o) está constituido por las traslaciones, los giros y las composiciones de giros y traslaciones o viceversa; esto es, lo que antes habíamos llamado los movimientos helicoidales. A su vez el conjunto de las traslaciones y el conjunto de los giros de un mismo eje son subgrupos del de los movimientos. El resto de las isometrías son las isometrías inversas o negativas (algunos autores las denominan también movimientos inversos).

a/2

o bien

movimiento

f=S

pn

oS

p n-1

oKo S

p3

oS

p2

o S = (S p n o S p n-1 oKo S p3 o S p 2 ) o S p1 1444442444443 p1

Si n es par la isometría es directa, o sea, un movimiento. Si n es impar tendremos una isometría inversa, que será el resultado de componer un movimiento con una simetría especular o viceversa, pues

e

f = S p o S p n-1 oKo S p3 o S p 2 o S p1

Figura 31.

6.3. Descomposición de una isometría en producto de simetrías especulares En definitiva, cualquier f Î Isom( E3) puede ponerse

Vimos antes que cualquier traslación y cualquier giro se pueden descomponer en producto de dos simetrías especulares. En particular, una simetría axial es un giro de ángulo±180º, y puede descomponerse en dos simetrías respecto de planos perpendiculares. Igualmente, un simetría central se puede descomponer en producto de tres simetrías especulares, tomando tres planos perpendiculares dos a dos y cuya intersección sea el centro de la simetría (figura 31). Resulta, por tanto, que cualquier composición de un número finito de traslaciones, giros y simetrías se puede considerar como la composición de un número finito de simetrías respecto a planos. X ''

X'''

X'

X'

X

X

X'''

Vimos antes que cualquier traslación y cualquier giro se pueden descomponer en producto de dos simetrías especulares. En particular, una simetría axial es un giro de ángulo±180º, y puede descomponerse en dos simetrías respecto de planos perpendiculares. Igualmente, un simetría central se puede descomponer en producto de tres simetrías especulares, tomando tres planos perpendiculares dos a dos y cuya intersección sea el centro de la simetría (figura 31). Resulta, por tanto, que cualquier composición de un número finito de traslaciones, giros y simetrías se puede considerar como la composición de un número finito de simetrías respecto a planos. X ''

En definitiva, cualquier f Î Isom( E3) puede ponerse

6.3. Descomposición de una isometría en producto de simetrías especulares Figura 31.

f = S p o S p n-1 oKo S p3 o S p 2 o S p1 Si n es par la isometría es directa, o sea, un movimiento. Si n es impar tendremos una isometría inversa, que será el resultado de componer un movimiento con una simetría especular o viceversa, pues

Definiremos un movimiento en el espacio como una isometría directa. El subgrupo de los movimientos (Isom+ ( E3) o) está constituido por las traslaciones, los giros y las composiciones de giros y traslaciones o viceversa; esto es, lo que antes habíamos llamado los movimientos helicoidales. A su vez el conjunto de las traslaciones y el conjunto de los giros de un mismo eje son subgrupos del de los movimientos. El resto de las isometrías son las isometrías inversas o negativas (algunos autores las denominan también movimientos inversos). e

f = S p n o S p n-1 oKo S p3 o S p 2 o S p1 = (S p n o S p n-1 oKo S p3 o S p 2 ) o S p1 1444442444443 movimiento

a/2

o bien

p'

p

f = S p n o S p n-1 oKo S p3 o S p 2 o S p1 = S p n o (S p n-1 oKo S p3 o S p 2 ) 144424443

Se tiene que Isom+ ( E3) es estable para la composición, ya que si dos isometrías conservan la orientación, el producto de ambas también la conservará. Sin embargo, no podemos decir lo mismo para Isom-( E3), ya que si f , g Î Isom-( E3) es obvio que g o f Î Isom+ ( E3). movimiento

Es interesante reducir una isometría a la composición de un número mínimo de simetrías axiales. Por ejemplo: La composición de una simetría respecto de un plano por un giro respecto de un eje contenido en dicho plano se reduce a una sola una simetría respecto de un plano que pasa por el eje de giro. En efecto, sea el plano p¢ que contiene a e y forma con p un ángulo a 2. Entonces S p¢ o S p = Ge ,a, de donde:

Asimismo, vamos a denotar por Isom+ ( E3) y Isom-( E3) a los subconjuntos de Isom( E3) formados por las isometrías directas y las isometrías inversas, respectivamente. Se tendrá: ìIsom( E3) = Isom+ ( E3) È Isom-( E3) ï í ïIsom+ ( E3) Ç Isom-( E3) = Æ î Figura 32.

Ge ,a o S n = ( S p¢ o S p ) o S p = S p¢ o ( S p o S p ) = S p¢ 1424 3

Así pues, tenemos el grupo no abeliano (Isom( E3) o) de las isometrías del espacio. identidad

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

434

Semejanza y movimientos en el espacio

7. HOMOTECIA EN EL ESPACIO 7.1. Concepto de homotecia Se define igual que en el plano (ver tema 42). Así pues, dado un punto O del espacio y k un número real ( k ¹ 0), se llama homotecia de centro O y razón k, que denotaremos por H O ,k , a la transformación del espacio euclídeo E3 en sí mismo, que transforma cada punto P en un homólogo P¢ tal queë OP¢û= kë OP û. Escribimos, pues H O ,k ( P) = P¢, y decimos que P¢ es homotético de P. En particular , si k =1 la homotecia se reduce a la identidad i, y si k = -1 a la simetría de centro O. Respecto a los elementos invariantes tenemos:

– –

Si k =1, obviamente todos los puntos son dobles. Si k ¹ 1entonces el único punto doble es O y los únicos planos y rectas dobles son los que contienen a O.

Al ser las propiedades de los vectores del espacio las mismas que para los vectores del plano, se pueden trasladar aquí las propiedades de las homotecias planas. Así pues, una homotecia es una biyección de E3 en sí mismo que transforma rectas en rectas paralelas y planos en planos paralelos. “Un segmento se transforma mediante una homotecia en otro segmento de longitud la del dado multiplicada por k ”. En efecto: ' B

ë A¢B¢û=ë OB¢û-ë OA¢û= kë OB û- kë OA û=

(

)

B

= k [OB]- [OA] = k[ AB]

A'

de donde A¢B¢ = A¢B¢ = k AB = AB

A

O

En consecuencia, la homotecia conserva los ángulos. En efecto, sean tres puntos A, B, C, y sus homólogos A¢, B¢,C ¢. Denotemos por j= Ð( AB , AC ) y j¢ = Ð( A¢B¢, A¢C ¢). Se verifica: cos j¢ =

A¢B¢× A¢C ¢ A¢B¢ × A¢C ¢

=

k AB × k AC k AB × k AC

=

k 2 AB × k AC k AB × AC 2

=

Figura 33.

AB × k AC AB × AC

= cos j

Por tanto un triángulo se transforma en otro triángulo con lados proporcionales y ángulos iguales al de partida. Asimismo un tetraedro tiene como figura homóloga otro tetraedro de ángulos y diedros iguales y aristas proporcionales. Las homotecias conservan por tanto la forma de las figuras, aunque no el tamaño, salvo que k = 1. Pero aquí hay que señalar que mientras que en el plano toda homotecia conserva la orientación, en el espacio la orientación se conserva o no dependiendo de que sea k positiva o negativa. Esto puede ilustrarse como sigue: mientras que en la figura 34 (a) a los tetraedros OABC y OA¢B¢C ¢ están igualmente orientados, en la 34 (b) ocurre lo contrario. C

C'

(a)

B

(b)

A'

B'

C

O

B

A

O A

Figura 34.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

A'

B' C'

435

Volumen II. Matemáticas

436

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

OP¢ O¢P¢ 1 Þ k= = k¢ OP O¢P¢¢

Una homotecia inversa o negativa puede obtenerse a partir de una positiva componiéndola con una simetría central, ya que H O ,-k = H O ,-k o H O ,-1 = H O ,-1 o H O ,-k , y sabemos que H O ,-1 = S O . Hay que hacer notar también que si una homotecia H O ,k en el espacio se restringe a un plano que contiene a O, se tiene una homotecia plana de igual centro y razón.

¢ O¢P¢ûy del teorema de Thales, resulta: ë OP¢û= kë OP ûyë O¢P¢¢û= kë

Es importante hacer notar que en el caso de que las rectas OO¢ y PP¢¢ sean paralelas, entonces, de

7.2. Composición de homotecias Nota: en la demostración anterior faltaría justificar que el punto O¢¢ es independiente del punto P del que se parte, lo cual es efectivamente cierto. Para probarlo es preciso utilizar el teorema de Desargues, pero lo omitimos para no alargar excesivamente el tema.

7.2.1. Caso de homotecias del mismo centro

Figura 36.

Sean las homotecias H O ,k y H O ,k¢ .Dado un punto cualquiera P, por definición de homotecia, tendremos: O

H O ,k ( P) = P¢, siendo O, P, P¢ alineados yë OP¢û= kë OP û O'

P'

= k¢kë O¢¢P û, de donde resulta que la transformación que pasa del punto P al P¢¢ , es decir el producto H O¢ ,k¢ es la homotecia H O¢¢ ,k¢k .

¢ OP¢û H O ,k¢ ( P¢) = P¢¢, siendo O, P¢, P¢¢ alineados yë OP¢¢û= kë R

Q'

–

R Q’

O

P

–

P

O' '

P'

De lo anterior se desprende fácilmente que O, P, P¢¢ están alineados yë OP¢¢û= k¢kë OP û, por lo que

De aquí podemos escribir la relación vectorialë O¢¢P¢¢û=

Q''

O¢¢P¢¢ P¢¢R¢¢ P¢¢R¢¢ P¢R¢ × = k ¢k = = O¢¢P PR P¢R¢ PR

H O ,k¢ o H O ,k = H O ,kk¢

P''

Figura 35.

R ''

Por tanto, el conjunto de homotecias de centro O constituye el grupo abeliano ( H 0 ,o), en que el elemento neutro es la identidad (homotecia de razón 1) y el inverso de H O ,k es H O ,1 k . Nótese además que para 1 que H O ,k sea involutiva, ha de ser k = , lo cual sólo es posible si k =1 (identidad) o si k = -1 (simetría k central). El grupo ( H 0 ,o) es isomorfo al grupo multiplicativo ( R*,×) de los reales no nulos.

Supongamos que ambas razones son positivas (en los demás casos el razonamiento es similar). Consideremos un triángulo DPQR y su homólogo DP¢Q¢R¢ mediante H O ,k . Sea ahora DP¢¢Q¢¢R¢¢ el homólogo de DP¢Q¢R¢ mediante H O¢k¢ . Llamemos O¢¢ al punto de corte de las rectas OO¢ y PP¢¢ (en el supuesto de que no sean paralelas). Podemos aplicar las propiedades de la homotecia plana y resulta:

7.2.2. Caso de homotecias de distinto centro

7.2.2. Caso de homotecias de distinto centro

Por tanto, el conjunto de homotecias de centro O constituye el grupo abeliano ( H 0 ,o), en que el elemento neutro es la identidad (homotecia de razón 1) y el inverso de H O ,k es H O ,1 k . Nótese además que para 1 que H O ,k sea involutiva, ha de ser k = , lo cual sólo es posible si k =1 (identidad) o si k = -1 (simetría k central). El grupo ( H 0 ,o) es isomorfo al grupo multiplicativo ( R*,×) de los reales no nulos.

Supongamos que ambas razones son positivas (en los demás casos el razonamiento es similar). Consideremos un triángulo DPQR y su homólogo DP¢Q¢R¢ mediante H O ,k . Sea ahora DP¢¢Q¢¢R¢¢ el homólogo de DP¢Q¢R¢ mediante H O¢k¢ . Llamemos O¢¢ al punto de corte de las rectas OO¢ y PP¢¢ (en el supuesto de que no sean paralelas). Podemos aplicar las propiedades de la homotecia plana y resulta: O¢¢P¢¢ P¢¢R¢¢ P¢¢R¢¢ P¢R¢ × = k ¢k = = O¢¢P PR P¢R¢ PR

Figura 35.

R ''

H O ,k¢ o H O ,k = H O ,kk¢

De lo anterior se desprende fácilmente que O, P, P¢¢ están alineados yë OP¢¢û= k¢kë OP û, por lo que

De aquí podemos escribir la relación vectorialë O¢¢P¢¢û=

Q''

= k¢kë O¢¢P û, de donde resulta que la transformación que pasa del punto P al P¢¢ , es decir el producto H O¢ ,k¢ es la homotecia H O¢¢ ,k¢k .

Q'

¢ OP¢û H O ,k¢ ( P¢) = P¢¢, siendo O, P¢, P¢¢ alineados yë OP¢¢û= kë

–

H O ,k ( P) = P¢, siendo O, P, P¢ alineados yë OP¢û= kë OP û

–

P

P'

O'

O

Nota: en la demostración anterior faltaría justificar que el punto O¢¢ es independiente del punto P del que se parte, lo cual es efectivamente cierto. Para probarlo es preciso utilizar el teorema de Desargues, pero lo omitimos para no alargar excesivamente el tema.

Sean las homotecias H O ,k y H O ,k¢ .Dado un punto cualquiera P, por definición de homotecia, tendremos: Figura 36.

7.2.1. Caso de homotecias del mismo centro

O' '

P'

R Q’

P

R

O

P''

7.2. Composición de homotecias Es importante hacer notar que en el caso de que las rectas OO¢ y PP¢¢ sean paralelas, entonces, de ¢ O¢P¢ûy del teorema de Thales, resulta: ë OP¢û= kë OP ûyë O¢P¢¢û= kë Una homotecia inversa o negativa puede obtenerse a partir de una positiva componiéndola con una simetría central, ya que H O ,-k = H O ,-k o H O ,-1 = H O ,-1 o H O ,-k , y sabemos que H O ,-1 = S O . Hay que hacer notar también que si una homotecia H O ,k en el espacio se restringe a un plano que contiene a O, se tiene una homotecia plana de igual centro y razón. OP¢ O¢P¢ 1 Þ k= = k¢ OP O¢P¢¢

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

436

Semejanza y movimientos en el espacio y observamos que en este caso se pasa de P a P¢ por una traslación de vector paralelo aë OO¢û.

P'

P

Concluimos, por tanto, que: “La composición de dos homotecias de distinto centro y razones inversas ( k¢k = 1) es una traslación de vector paralelo a la recta que une los centros de ambas homotecias. Si las razones no son inversas ( k¢k ¹ 1), la composición de ambas homotecias es otra homotecia cuyo centro está alineado con los de las homotecias dadas y cuya razón es el producto de ambas razones”.

O

P''

O'

Figura 37.

7.3. El grupo de las homotecias y las traslaciones Sabemos que el producto de dos traslaciones da como resultado la traslación según el vector suma, siendo en este caso el producto conmutativo. Asimismo se ha visto que la composición de dos homotecias puede dar, según el caso, o bien otra homotecia, o bien una traslación. Aquí el producto no es conmutativo. Veamos ahora qué se obtiene al componer una homotecia con una traslación o viceversa. Basta tener en cuenta que este tipo de transformaciones están caracterizadas mediante la propiedad de existir un número real k ¹ 0, tal que para cualesquiera dos puntos del espacio P y Q se verifica, siendo P¢ y Q¢ sus transformados, queë P¢Q¢û= kë PQ û. En particular si k = 1 se trata de una traslación. Sean la homotecia H O ,k y la traslación Tur .

Si H O ,k ( P) = P¢, H O,k (Q) = Q¢, Tur ( P¢) = P¢¢, Tur (Q¢) = Q¢¢, se tendráë P¢Q¢û= kë PQ ûyë P¢¢Q¢¢û=

=ë P¢Q¢û, y por tantoë P¢¢Q¢¢û= kë PQ û, de donde la composiciónTur o H O ,k es una homotecia de razón k, cuyo centro se obtiene como la intersección de las rectas PP¢¢ y QQ¢¢ (figura 38a). De manera análoga se prueba que H O ,k o Tur es también otra homotecia de razón k (figura 38a), no siendo la misma que Tur o H O ,k , pues como puede apreciarse en la figura el centro de la homotecia resultante no es el mismo en ambos casos.

Q'' Q'

(a) Q

Q''

u

Q

P'

P O'

O

Q'

P''

P O'

(b) P''

P'

O

Figura 38.

Se tiene por tanto que el conjunto T È H formado por las traslaciones y las homotecias del espacio es cerrado para la composición o producto de transformaciones, siendo (T È H ,o) un grupo no abeliano. Tanto el conjunto T de todas las traslaciones como el conjunto H0 de las homotecias de centro un punto O dado, son subgrupos de aquel.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

437

Volumen II. Matemáticas

438

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

La semejanza conserva la alineación ya que las isometrías como las homotecias transforman puntos alineados en puntos alineados. La homotecia positiva, según se ha visto, conserva tanto la medida como el sentido de los ángulos. Lo mismo ocurre con una isometría directa. En cambio las isometrías inversas conservan la medida de los án-

8. SEMEJANZA EN EL ESPACIO

8.1. Concepto de semejanza. Semejanza directa e indirecta

Una semejanza en el plano euclídeo E3 es la composición de una isometría con una homotecia

( f o H O ,k ) o de una homotecia con una isometría (H O ,k o f ).

Proposición: “Una biyección S del espacio euclídeo E3 es una semejanza si y sólo existe un número real positivo k , tal que para cualesquiera dos puntos X e Y de E3 se verifica d ( S ( X ) , S (Y )) = d ( X ,Y ).” Observaciones:

a)

Al ser tanto las isometrías como las homotecias, biyecciones de E3 en sí mismo, también lo son las semejanzas.

b)

No perdemos generalidad al considerar k > 0. En efecto, si fuese k < 0, podríamos poner H O ,k = H O ,-k o H O ,-1 = H O ,-1 o H O ,-k siendo- k > 0. No olvidemos que la homotecia H O,-1 no es más que la simetría central de centro O, o lo que es lo mismo un giro de 180º , y por tanto una isometría. Entonces tendríamos:

Las propiedades de la semejanza, al igual que en el plano, se deducen inmediatamente de las propiedades ya vistas para las isometrías y homotecias. Así pues, se cumple también la propiedad esencial de que “la razón entre las longitudes de cualesquiera dos segmentos homólogos mediante una semejanza S es constante”. En efecto, sea S = H o f ( f isometría y H homotecia de razón k > 0). Dos puntos cualesquiera A y B se transforman mediante f en A¢¢ y B¢¢ y éstos a su vez en A¢ y B¢ mediante H. Por ser f una isometría se tiene A¢¢B¢¢ = AB y , por ser H homotecia, A¢B¢ = k × A¢¢B¢¢. Resulta inmediatamente A¢B¢ = k × AB. El razonamiento es análogo si fuese S = f o H . El recíproco es también cierto y posibilita una forma de caracterizar la semejanza mediante la siguiente proposición, cuya demostración rigurosa omitiremos. S = f o H O ,k = f o (H O ,-1 o H O ,-k ) = ( f o H O ,-1) o H O ,-k = g o H O ,-k

o bien

S = H O ,k o f = (H O ,-k o H O ,-1) o f = H O ,-k o (H O ,-1 o f ) = H O ,-k o g

8.2. Propiedades fundamentales de la semejanza en el espacio

con- k > 0 y siendo g una isometría por ser composición de isometrías. Por consiguiente, podemos definir una semejanza como el producto de una homotecia positiva con una isometría o viceversa. Entonces la razón positiva k se denomina razón de semejanza. Diremos que la semejanza es directa o inversa según lo sea la isometría f. Así pues, la composición de homotecia y traslación o de homotecia y giro son semejanzas directas. En cambio la composición de homotecia y simetría especular es una semejanza inversa. Una semejanza inversa resulta de la composición de una semejanza directa y una simetría especular. Si f es la identidad tendremos una homotecia como caso particular de semejanza. En general una homotecia de razón k, positiva o negativa, es una semejanza de razón k . Si fuese k = 1 tendremos las isometrías como caso también particular de semejanzas. c)

d)

d)

con- k > 0 y siendo g una isometría por ser composición de isometrías. Por consiguiente, podemos definir una semejanza como el producto de una homotecia positiva con una isometría o viceversa. Entonces la razón positiva k se denomina razón de semejanza. Diremos que la semejanza es directa o inversa según lo sea la isometría f. Así pues, la composición de homotecia y traslación o de homotecia y giro son semejanzas directas. En cambio la composición de homotecia y simetría especular es una semejanza inversa. Una semejanza inversa resulta de la composición de una semejanza directa y una simetría especular. Si f es la identidad tendremos una homotecia como caso particular de semejanza. En general una homotecia de razón k, positiva o negativa, es una semejanza de razón k . Si fuese k = 1 tendremos las isometrías como caso también particular de semejanzas. c)

8.2. Propiedades fundamentales de la semejanza en el espacio

S = H O ,k o f = (H O ,-k o H O ,-1) o f = H O ,-k o (H O ,-1 o f ) = H O ,-k o g

Las propiedades de la semejanza, al igual que en el plano, se deducen inmediatamente de las propiedades ya vistas para las isometrías y homotecias. Así pues, se cumple también la propiedad esencial de que “la razón entre las longitudes de cualesquiera dos segmentos homólogos mediante una semejanza S es constante”. En efecto, sea S = H o f ( f isometría y H homotecia de razón k > 0). Dos puntos cualesquiera A y B se transforman mediante f en A¢¢ y B¢¢ y éstos a su vez en A¢ y B¢ mediante H. Por ser f una isometría se tiene A¢¢B¢¢ = AB y , por ser H homotecia, A¢B¢ = k × A¢¢B¢¢. Resulta inmediatamente A¢B¢ = k × AB. El razonamiento es análogo si fuese S = f o H . El recíproco es también cierto y posibilita una forma de caracterizar la semejanza mediante la siguiente proposición, cuya demostración rigurosa omitiremos. o bien

S = f o H O ,k = f o (H O ,-1 o H O ,-k ) = ( f o H O ,-1) o H O ,-k = g o H O ,-k

No perdemos generalidad al considerar k > 0. En efecto, si fuese k < 0, podríamos poner H O ,k = H O ,-k o H O ,-1 = H O ,-1 o H O ,-k siendo- k > 0. No olvidemos que la homotecia H O,-1 no es más que la simetría central de centro O, o lo que es lo mismo un giro de 180º , y por tanto una isometría. Entonces tendríamos:

b)

Al ser tanto las isometrías como las homotecias, biyecciones de E3 en sí mismo, también lo son las semejanzas.

a)

Observaciones:

Proposición: “Una biyección S del espacio euclídeo E3 es una semejanza si y sólo existe un número real positivo k , tal que para cualesquiera dos puntos X e Y de E3 se verifica d ( S ( X ) , S (Y )) = d ( X ,Y ).”

( f o H O ,k ) o de una homotecia con una isometría (H O ,k o f ).

Una semejanza en el plano euclídeo E3 es la composición de una isometría con una homotecia

La semejanza conserva la alineación ya que las isometrías como las homotecias transforman puntos alineados en puntos alineados. La homotecia positiva, según se ha visto, conserva tanto la medida como el sentido de los ángulos. Lo mismo ocurre con una isometría directa. En cambio las isometrías inversas conservan la medida de los án-

8.1. Concepto de semejanza. Semejanza directa e indirecta 8. SEMEJANZA EN EL ESPACIO

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438

Semejanza y movimientos en el espacio gulos, pero no el sentido. De ahí que la semejanza conserve la medida de los ángulos en cualquier caso. Si la semejanza es directa mantiene el sentido, mientras que si es inversa lo cambia. En consecuencia, mediante una semejanza en el espacio un triángulo se tranforma en otro triángulo con lados proporcionales y ángulos iguales al de partida. Asimismo un tetraedro tiene como figura homóloga otro tetraedro de ángulos y diedros iguales y aristas proporcionales. Las semejanzas directas conservan la orientación de las figuras, mientras que las inversas la cambian.

8.3. El grupo equiforme Hemos visto que la composición de dos homotecias da como resultado otra homotecia, o bien una traslación. Asimismo toda homotecia de centro O y razón k, tiene una homotecia inversa, la de centro o y razón 1 k. En consecuencia el conjunto de todas las homotecias, todas las isometrías, y todas las composiciones de isometrías con homotecias o viceversa, constituyen un grupo no abeliano ( S ,o), que no es otro que el grupo de las semejanzas del espacio. Se trata de todas la transformaciones que conservan la forma, aunque no necesariamente el tamaño ni la orientación de las figuras. De ahí que tal grupo reciba el nombre de grupo equiforme. Las semejanzas directas constituyen un subgrupo. Asimismo, el grupo de las homotecias del mismo centro, el grupo de los giros del mismo centro, el grupo de las traslaciones, etc., son subgrupos del grupo equiforme.

9. ESTUDIO ANALÍTICO PARTICULAR DE ALGUNAS TRANSFORMACIONES 9.1. Ecuaciones de una traslación r La traslación en el espacio Tvr de vector v = ( a , b , c), se obtienen fácilmente, ya que cada punto X ( x, y , z) y su homólogo X ¢( x¢, y¢, z¢) deben cumplir: ë XX ¢û=ë OX ¢û-ë OX û= xr¢- xr = vr r r r De donde la ecuación vectorial de una traslación es x¢ = x + v, que se traduce en cualquiera de estas formas: ìx¢ = x + a ï í y¢ = y + b ; ï ¢ îz = z + c

æ x¢ ö æ x ö æ a ö æ a ö æ 1 0 0öæ x ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y¢÷= ç y÷+ç b ÷= ç b ÷+ç 0 1 0÷ç y ÷ ; ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ è z¢ ø è z ø è c ø è c ø è 0 0 1øè z ø

æ x¢ ö æ 1 ç ÷ ç ç y¢÷ ç 0 ç z¢÷= ç 0 ç ÷ ç è 1 ø è0

0 0 a öæ x ö ÷ç ÷ 1 0 b ÷ç y÷ 0 1 c ÷ç z ÷ ÷ç ÷ 0 0 1øè 1 ø

9.2. Ecuaciones de un giro

r r r Si tomamos un sistema de referencia ortonormal {O; i , j , k} de modo que el eje e del giro coincida con el eje OZ, las ecuaciones del giro se simplifican, pues la restricción al plano OXY sería un giro en el plano. Tendríamos: ìx¢ = x cos a - ysena ï í y = xsena + y cos a ï î z = z¢ que se podrían expresar matricialmente: æ x¢ ö æcos a -sena 0öæ x ö ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y¢÷= ç sena cos a 0÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 0 1øè z ø è z¢ ø è 0 TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

X' X

a

O a

Figura 39.

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9.3. Ecuaciones de un movimiento helicoidal

ìx¢ = 2dn + (1- 2n 2) x- 2n n y- 2n1n3 z 1 1 1 2 ï 2 ( ) í ¢ y = 2 dn 2 - 2n1n2 x + 1- 2n2 y - 2n2 n3 z ï 2 î z¢ = 2dn3 - 2n1n3x - 2n2n3 y+ (1- 2n3 ) z

r Si tomamos un sistema de referencia con eje OZ que coincida con el eje e, el vector v de ese movi( ) miento, al ser paralelo a OZ tendrá de componentes 0,0,c . Si el ángulo de giro es a, cada punto ( x, y, z) se transformará por dicho giro en el punto

( xcos a- ysen a, xsen a+ ycos a, z)

Si X ¢ es el punto simétrico de X con respecto a p se ha de cumplirë XX ¢û= 2ë XP û, por lo que de [ 3] r r r r r r r r r r resultaë XX ¢û= x ' x = 2( n × x - d ) n. Luego x¢ = x + 2( n × x - d ) n, que nos da las ecuaciones de la simetría especular: r y éste mediante la traslación de vector v en el

( xcos a- ysena, xsena+ ycos a, z + c)

Figura 40. X'

con lo que las ecuaciones del movimiento helicoidal serán: ìx¢ = x cos a - ysena ï í y¢ = xsena + y cos a ï ¢ îz = z + c

ë PX û= ( nr × xr - d ) nr

[3]

En general, podemos obtener las ecuaciones de una simetría respecto del plano p de ecuación normal n1x+ n2 y+ n3 z = d , siendo r n = ( n1, n2 , n3) un vector unitario y perpendicular a p. Para cualquier r r punto X ( x, y , z), su distancia al plano viene dada por n × x - d , que r r es el módulo del vector x - p =ë OX û-ë OP û=ë PX û, siendo P la proyección ortogonal de X sobre el plano p. Por tanto: Matricialmente

X

æ x¢ ö æ 0ö æcos a -sena 0öæ x ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y¢÷= ç 0÷+ç sena cos a 0÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 0 1øè z ø è z¢ ø è c ø è 0

ìx¢ = x æ ¢ö æ öæ ö ç x ÷ ç 1 0 0 ÷ç x ÷ ï í ¢ y = y , o sea ç y¢÷= ç 0 1 0 ÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ï î z¢ = - z è z¢ø è 0 0 –1øè z ø

9.4. Ecuaciones de una simetría especular

En casos particulares las ecuaciones que resultan son sencillas. Por ejemplo, la simetría respecto del plano OXY, vendría dada por las ecuaciones:

En casos particulares las ecuaciones que resultan son sencillas. Por ejemplo, la simetría respecto del plano OXY, vendría dada por las ecuaciones:

9.4. Ecuaciones de una simetría especular

æ ¢ö æ ö æ öæ ö ç x ÷ ç 0÷ çcos a -sena 0÷ç x ÷ ç y¢÷= ç 0÷+ç sena cos a 0÷ç y ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 0 1øè z ø è z¢ ø è c ø è 0

X

ìx¢ = x æ x¢ ö æ 1 0 0 öæ x ö ç ÷ ç ÷ç ÷ ï í y¢ = y , o sea ç y¢÷= ç 0 1 0 ÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ï ¢ îz = - z è z¢ø è 0 0 –1øè z ø

En general, podemos obtener las ecuaciones de una simetría respecto del plano p de ecuación normal n1x+ n2 y+ n3 z = d , siendo r n = ( n1, n2 , n3) un vector unitario y perpendicular a p. Para cualquier r r punto X ( x, y , z), su distancia al plano viene dada por n × x - d , que r r es el módulo del vector x - p =ë OX û-ë OP û=ë PX û, siendo P la proyección ortogonal de X sobre el plano p. Por tanto: [3] ë PX û= ( nr × xr - d ) nr Matricialmente

Figura 40.

con lo que las ecuaciones del movimiento helicoidal serán: ìx¢ = x cos a - ysena ï í y¢ = xsena + y cos a ï î z¢ = z + c

X'

( xcos a- ysena, xsena+ ycos a, z + c)

Si X ¢ es el punto simétrico de X con respecto a p se ha de cumplirë XX ¢û= 2ë XP û, por lo que de [ 3] r r r r r r r r r r resultaë XX ¢û= x ' x = 2( n × x - d ) n. Luego x¢ = x + 2( n × x - d ) n, que nos da las ecuaciones de la simetría especular:

( xcos a- ysen a, xsen a+ ycos a, z) r y éste mediante la traslación de vector v en el

ìx¢ = 2dn1+ (1- 2n12) x- 2n1n2 y- 2n1n3 z ï í y¢ = 2dn2 - 2n1n2x + (1- 2n22) y- 2n2n3 z ï 2 î z¢ = 2dn3 - 2n1n3x - 2n2n3 y+ (1- 2n3 ) z

Si el ángulo de giro es a, cada punto ( x, y, z) se transformará por dicho giro en el punto

r Si tomamos un sistema de referencia con eje OZ que coincida con el eje e, el vector v de ese movimiento, al ser paralelo a OZ tendrá de componentes ( 0,0,c).

9.3. Ecuaciones de un movimiento helicoidal

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

440

Semejanza y movimientos en el espacio

9.5. Ecuaciones de una simetría central Si el centro de simetría es el punto C ( a , b , c), para dos puntos homólogos X ( x, y , z) y X ¢( x¢, y¢, z¢) ha r r r de cumplirseë CX ¢û= -ë CX û, de donde x¢ = - x + 2c, es decir: ìx¢ = - x+ 2a ï í y¢ = - y+ 2b que matricialmente se pueden poner ï ¢ î z = - z + 2c

æ x¢ ö æ 2a ö æ-1 0 0 öæ x ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y ¢÷= ç 2b ÷+ç 0 -1 0 ÷ç y÷, ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ è z¢ ø è 2c ø è 0 0 -1øè z ø

o bien: æ x¢ ö æ-1 0 0 2a öæ x ö ÷ç ÷ ç ÷ ç ç y¢÷ ç 0 -1 0 2b ÷ç y ÷ ç z¢÷= ç 0 0 -1 2c ÷ç z ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç è 1 ø è 0 0 0 1 øè 1 ø

9.6. Ecuaciones de una homotecia Dado un punto genérico X ( x, y , z) y su homólogo X ¢( x¢, y¢, z¢) mediante la homotecia de razón k y centro C ( x0 , y0 , z 0), se tendrá:

ë CX û= kë CX û r r r Tomando vectores de posición c =ë OC û, x =ë OX û, x¢ =ë OX ¢û, podemos poner:

ë OX ¢û-ë OC û= k(ë OX û-ë OC û)

C

X

X'

O

Figura 41.

r r r r r r r de donde obtenemos la ecuación vectorial de la homotecia x¢ = c + k( x - c), o bien x¢ = (1- k) c + kx. Las ecuaciones de H C ,k son, pues, las siguientes: ìx¢ = (1- k) x0 + kx ï í y¢ = (1- k) y0 + ky ï î z¢ = (1- k) z 0 + kz que matricialmente se expresarían: æ x¢ ö æ (1- k ) x0 ö æ x ö æ (1- k) x0 ö æ k 0 0öæ x ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ç y¢÷= ç(1- k ) y0 ÷+ kç y ÷= ç(1- k ) y0 ÷+ç 0 k 0÷ç y÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç è z¢ø è(1- k ) z 0 ø è z ø è(1- k) z 0 ø è 0 0 k øè z ø o también: æ x¢ ö æ k ç ÷ ç ç y¢÷ ç 0 ç z¢÷= ç 0 ç ÷ ç è 1 ø è0

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

æxö 0 0 (1- k ) x0 ö ÷ç ÷ k 0 (1- k ) y0 ÷ç y ÷ 0 k (1- k ) z 0 ÷ç z ÷ ÷ç ÷ 0 0 1 øè 1 ø

441

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

9.7. Ecuaciones de una semejanza

Así pues, en la transformación [ 4 ] la imagen del origen O(0,0,0) es el punto P0( a0 , b0 , c0) y para cualquier otro punto X ( x1, x2 , x3) se tendrá r X ¢ = PO + f ( x) X'

X' ' X

o brevemente X ¢ = AX

O

En el caso sencillo de una semejanza que sea la composición del giro de centro el origen de coordenadas O(0,0,0) y ángulo a con una homotecia de centro también O(0,0,0) y razón k, las ecuaciones se obtienen de forma casi inmediata: P0

ìx¢ = kx¢¢ = kx cos a - kysen a ï í y¢ = ky¢¢ = kxsen a + kycos a ï î z¢ = kz¢¢ = kz X'

æ ö a13 ö ÷ç X 1 ÷ a23 ÷ç X 2 ÷, ÷ç ÷ a33 øè X 3 ø

a

442

Figura 43. O

x

X

æ X 1¢ö æ a11 a12 ç ÷ ç ç X 2¢ ÷= ç a21 a22 ç ÷ ç è X 3¢ ø è a31 a32

Toda afinidad lleva asociada una aplicación lineal f, la inducida por la matriz A. En efecto, el vector X =ë PQ û= ( X 1, X 2 , X 3) se transforma en el vector X ¢ = ( X 1¢, X ¢2 , X 3¢), que vendrá dado por: que en forma matricial se expresaría:

æ ¢ö æ öæ ö ç x ÷ ç k cos a - k sen a 0÷ç x ÷ ç y¢÷= ç k sen a k cos a 0÷ç y ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 0 k øè z ø è z¢ ø è 0

Figura 42.

æ a11 a12 a13 ö ç ÷ Si denominamos A a la matrizç a21 a22 a23 ÷, la condición A ¹ 0 garantiza que exista transformaç ÷ è a31 a32 a33 ø ción inversa, es decir, que se trate de una biyección de E3 en sí mismo.

10. ESTUDIO ANALÍTICO GENERAL DE LAS ISOMETRÍAS Y LAS SEMEJANZAS EN EL ESPACIO æ x1¢ö æ a0 ö æ a11 a12 ç ÷ ç ÷ ç ç x¢2 ÷= ç b0 ÷+ç a21 a22 ç ÷ ç ÷ ç è x¢3 ø è b0 ø è a31 a32

æ x1¢ö æ a11 a12 ç ÷ ç æ x1 ö a13 ö ÷ç ÷ ç x¢2 ÷ ç a21 a22 a23 ÷ç x2 ÷, o bien ç ÷= ç x¢ a a ÷ç ÷ ç 3 ÷ ç 31 32 a33 øè x3 ø 1 0 0 è ø è

a33 0

a0 öæ x1 ö ÷ç ÷ b0 ÷ç x2 ÷ c0 ÷ç x3 ÷ ÷ç ÷ 1 øè 1 ø

10.1. Las isometrías en el espacio como caso particular de afinidades a23

En general, en E3 una transformación afín o afinidad viene dada por unas ecuaciones del tipo: a13

æ ¢ ö ç x1 = a0 + a11x1+ a12x2 + a13x3 ÷ ç x¢2 = b0 + a21x1+ a22x2 + a23x3 ÷ ç ÷ è x1¢= c0 + a31x1+ a32x2 + a33x3 ø

que matricialmente pueden expresarse de las formas:

æ x1¢= a0 + a11x1+ a12x2 + a13x3 ö ç ÷ ç x¢2 = b0 + a21x1+ a22x2 + a23x3 ÷ ç ÷ è x1¢= c0 + a31x1+ a32x2 + a33x3 ø

[4]

[4]

que matricialmente pueden expresarse de las formas: æ ¢ö æ ö æ ç x1 ÷ ç a0 ÷ ç a11 a12 ç x¢2 ÷= ç b0 ÷+ç a21 a22 ç ÷ ç ÷ ç è x¢3 ø è b0 ø è a31 a32

æ x¢ö æ a a ç 1 ÷ ç 11 12 öæ x1 ö a13 ÷ ç ÷ x¢ a a22 ç ÷ ç 2 21 a23 ÷ç x2 ÷, o bien ç ÷= ç x¢ a a ÷ç ÷ ç 3 ÷ ç 31 32 a33 øè x3 ø 0 è 1ø è 0

a13

a0 öæ x1 ö ÷ç ÷ b0 ÷ç x2 ÷ c0 ÷ç x3 ÷ ÷ç ÷ 1 øè 1 ø

En general, en E3 una transformación afín o afinidad viene dada por unas ecuaciones del tipo: a23

10.1. Las isometrías en el espacio como caso particular de afinidades a33 0

10. ESTUDIO ANALÍTICO GENERAL DE LAS ISOMETRÍAS Y LAS SEMEJANZAS EN EL ESPACIO

æ ö ç a11 a12 a13 ÷ Si denominamos A a la matrizç a21 a22 a23 ÷, la condición A ¹ 0 garantiza que exista transformaç ÷ è a31 a32 a33 ø ción inversa, es decir, que se trate de una biyección de E3 en sí mismo. æ x¢ ö æ k cos a - k sen a 0öæ x ö ç ÷ ç ÷ç ÷ ç y¢÷= ç k sen a k cos a 0÷ç y÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ 0 k øè z ø è z¢ ø è 0

Figura 42.

Toda afinidad lleva asociada una aplicación lineal f, la inducida por la matriz A. En efecto, el vector X =ë PQ û= ( X 1, X 2 , X 3) se transforma en el vector X ¢ = ( X 1¢, X ¢2 , X 3¢), que vendrá dado por: que en forma matricial se expresaría:

ìx¢ = kx¢¢ = kx cos a - kysen a ï í y¢ = ky¢¢ = kxsen a + kycos a ï ¢ î z = kz¢¢ = kz

æ ¢ö æ ç X 1 ÷ ç a11 a12 ç X 2¢ ÷= ç a21 a22 ç ÷ ç è X 3¢ ø è a31 a32

X'

X x

öæ X 1 ö a13 ÷ ç ÷ a23 ÷ç X 2 ÷, ÷ç ÷ a33 øè X 3 ø

o brevemente X ¢ = AX X' '

P0

a

O

X

En el caso sencillo de una semejanza que sea la composición del giro de centro el origen de coordenadas O(0,0,0) y ángulo a con una homotecia de centro también O(0,0,0) y razón k, las ecuaciones se obtienen de forma casi inmediata:

Así pues, en la transformación [ 4 ] la imagen del origen O(0,0,0) es el punto P0( a0 , b0 , c0) y para cualquier otro punto X ( x1, x2 , x3) se tendrá r X ¢ = PO + f ( x)

O

X'

9.7. Ecuaciones de una semejanza

Figura 43. 442

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Semejanza y movimientos en el espacio

Una afinidad conserva el paralelismo y la alineación, ya que la aplicación lineal inducida transforma el vector l X en el vector l X ¢. Para que la transformación [ 4 ] sea una isometría deberá cumplir que r la aplicación lineal f inducida conserve la norma de cualquier vector, es decir, que para cualquier X =ë PQ û= ( X 1, X 2 , X 3 ,) sea X = PQ = P¢Q¢ = X ¢ , por tanto debe cumplirse: X 12 + X 22 + X 32 = X 1¢2 + X 2¢2 + X 3¢2 Matricialmente æ X1ö æ X 1¢ö ç ÷ ç ÷ ( X 1 X 2 X 3)ç X 2 ÷= ( X 1¢ X 2¢ X 3¢)ç X ¢2 ÷. ç ÷ ç ÷ èX 3ø è X ¢3 ø En forma abreviada manejando matrices columna X t X = X 't X ¢ = ( X t A t )( AX ) = X t ( A t A) X Þ A t A = I Por tanto, resulta que para que la afinidad [ 4 ] sea una isometría la matriz A de la aplicación lineal inducida debe ser una matriz ortogonal. Deben ser, pues, las columnas de A una base ortonormal de E3, y por tanto cumplir las relaciones: a1ha1k + a2ha2k + a3ha3k = dhk (d de Kronecker)

r r En consecuencia, se conserva el producto escalar ya que para cualesquiera dos vectores X e Y se tendrá: r r r r X ¢×Y ¢ = X 't Y ¢ = ( X t A t )( AY ) = X t ( A t A)Y = X t IY = X tY = X ×Y Nota: lo anterior es en realidad una simple consecuencia de la conservación de la norma, ya que podemos escribir. r r 2 r r 2 r r 2 r r 2 f ( X )+ f (Y ) + f ( X )- f (Y ) f ( X +Y ) + f ( X - Y ) r r f ( X )× f (Y ) = = = 4 4 r r2 r r2 r r X +Y + X - Y = = X ¢×Y ¢ 4 2

2

Al ser ortogonal la matriz de una isometría tendremos A t A = A t × A = A = I = 1. Por tanto A = ±1.

–

Si A = +1 tendremos una isometría directa (que aquí se denominó movimiento o congruencia).

–

Si A = -1se trata de una isometría inversa.

10.2. Caracterización de isometrías por los puntos dobles Supongamos que hay doble O y lo tomamos como origen de coordenadas del sistema de rer un r punto r ferencia ortonormal {O; u1, u2 , u3}. Entonces las ecuaciones de la isometría se reducen a: ìx1¢= a11x1+ a12x2 + a13x3 ï íx¢2 = a21x1+ a22x2 + a23x3 ï¢ îx1 = a31x1+ a32x2 + a33x3

[5]

Los puntos dobles de la transformación serán los que cumplan x1¢= x1, x2¢ = x2 , x¢3 = x3

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

443

Volumen II. Matemáticas

444

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

lo que nos lleva a las soluciones del sistema lineal homogéneo:

a31 = 0; a32 = 0; a33 - 1= n

ì( a11- 1) x1+ a12x2 + a13x3 = 0 ï ía21x1+ ( a22 - 1) x2 + a23x3 = 0 ï îa31x1+ a32x2 + ( a33 - 1) x3 = 0

a21 = 0; a22 - 1= 0; a23 = m

Las ecuaciones de sistema homogéneo representan tres planos coincidentes. Hay pues un plano de puntos dobles y la transformación será una simetría especular respecto de dicho plano. Con un cambio de base adecuado podemos conseguir que ese plano sea el x3 = 0. Entonces: a11- 1= 0; a12 = 0; a13 = l

[6]

es decir, al núcleo de la aplicación lineal definida por la matriz A - I . Así pues, Ker( f - I ) es el conjunto de puntos dobles de la isometría dada por [ 5]. Haremos nuestra discusión con el rango de la matriz

–

Caso 2: Rango ( A - I ) = 1.

ì1 si i = j Todos los elementos de la matriz A - I son nulos, resultando aij = dij = í con lo que î0 si i ¹ j A = I y la isometría es la identidad i. Todos los puntos son dobles. æ ö a12 a13 ÷ ç a11- 1 A - I = ç a21 a22 - 1 a23 ÷ ç ÷ a32 a33 - 1ø è a31

–

Caso 1: Rango ( A - I ) = 0.

Ya se puede anticipar que si la isometría es directa y tiene puntos dobles ha de tener infinitos ya que en este caso A = +1, por lo que A - I = 0 y el sistema homogéneo [ 6] tendría infinitas soluciones. Se presentan los siguientes casos: cuyo determinante desarrollado es:

é a22 A - I = A -ê ë a32

a23 a33

+

a11

a12

a21 a22

+

a11 a13 ù ú+ ( a11+ a22 + a33) - 1 a31 a33 û

[7]

A - I = A - ( a11+ a22 + a33) A + ( a11+ a22 + a33) - 1= (1- A )( a11+ a22 + a33 - 1)

Al ser ortogonal la matriz, se tiene A-1A t y por tanto:

a23 = A11 = a11 A a33 a13

[8]

a22 a32

que al reemplazar en [ 7] nos dan:

a31 a33 a11

= A22 = a22 A

a11 a12 = A33 = a33 A a21 a22

a11 a12 = A33 = a33 A a21 a22 a11

a13

= A22 = a22 A

a23 = A11 = a11 A a33 a31 a33

que al reemplazar en [ 7] nos dan:

a22 a32

Al ser ortogonal la matriz, se tiene A-1A t y por tanto:

A - I = A - ( a11+ a22 + a33) A + ( a11+ a22 + a33) - 1= (1- A )( a11+ a22 + a33 - 1)

[8]

é a22 A - I = A -ê ë a32

a33 a23

+

a21 a22 a11

a12

+

a31 a11

a13 ù ú+ ( a11+ a22 + a33) - 1 a33 û

[7]

Ya se puede anticipar que si la isometría es directa y tiene puntos dobles ha de tener infinitos ya que en este caso A = +1, por lo que A - I = 0 y el sistema homogéneo [ 6] tendría infinitas soluciones. Se presentan los siguientes casos: cuyo determinante desarrollado es:

–

æ a11- 1 a12 a13 ö ç ÷ A - I = ç a21 a22 - 1 a23 ÷ ç ÷ a32 a33 - 1ø è a31

Caso 1: Rango ( A - I ) = 0.

ì1 si i = j Todos los elementos de la matriz A - I son nulos, resultando aij = dij = í con lo que î0 si i ¹ j A = I y la isometría es la identidad i. Todos los puntos son dobles.

es decir, al núcleo de la aplicación lineal definida por la matriz A - I . Así pues, Ker( f - I ) es el conjunto de puntos dobles de la isometría dada por [ 5]. Haremos nuestra discusión con el rango de la matriz

–

Caso 2: Rango ( A - I ) = 1.

Las ecuaciones de sistema homogéneo representan tres planos coincidentes. Hay pues un plano de puntos dobles y la transformación será una simetría especular respecto de dicho plano. Con un cambio de base adecuado podemos conseguir que ese plano sea el x3 = 0. Entonces: a11- 1= 0; a12 = 0; a13 = l ì( a11- 1) x1+ a12x2 + a13x3 = 0 ï ía21x1+ ( a22 - 1) x2 + a23x3 = 0 ï îa31x1+ a32x2 + ( a33 - 1) x3 = 0

[6]

a21 = 0; a22 - 1= 0; a23 = m a31 = 0; a32 = 0; a33 - 1= n

lo que nos lleva a las soluciones del sistema lineal homogéneo:

444

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Semejanza y movimientos en el espacio y las ecuaciones de la transformación se reducirían a ìx1¢= x1+ lx3 æ x1¢ö æ 1 0 l öæ xö ç ÷ ç ÷ç 1 ÷ ï íx¢2 = x2 + mx3 Þ ç x¢2 ÷= ç 0 1 m ÷ç x2 ÷ ÷ç ÷ ç ÷ ç ï ¢ n øè x3 ø 0 0 1 + x ( ) ¢ è 1 n ø x = + x è î3 3 3 Ahora bien, como las columnas de la matriz A constituyen una base ortonormal debe ser 2 l = 0; m = 0 y l2 + m 2 + (1+ n) = 0, de donde v = -1. La transformación que queda es ìx1¢= x1 ï íx¢2 = x2 ï¢ îx3 = x3

æ1 0 0 ö ç ÷ cuya matriz A = ç 0 1 0 ÷ y ç ÷ è 0 0 -1ø

A = -1

Se trata de la simetría respecto al plano x3 = 0 y es un pseudomovimiento o isometría directa.

–

Caso 3: Rango ( A - I ) = 2. En este caso, resultan en [ 6] dos ecuaciones independientes con lo que el sistema homogéneo representa tres planos secantes en una misma recta. Tendremos una isometría con una recta de puntos dobles. Cada plano perpendicular a esa recta se transformará en él mismo, ya que han de conservarse los ángulos, y sobre estos planos tendremos un movimiento subordinado por el anterior, con un punto doble. Se tratará de un giro, o en particular una simetría, respecto de ese punto. En el espacio tendremos un giro respecto a la recta de puntos dobles, que eventualmente puede ser una simetría respecto de ella.

–

Caso 4: Rango ( A - I ) = 3.

Si el determinante |A- I| ¹ 0, se desprende de [ 8] que debe ser A = -1, y tendremos el único punto doble el O elegido como origen. Tal es el caso de la simetría central. Hay isometrías que no tienen puntos dobles. Baste pensar en la traslación. En general, si una isometría con puntos dobles se compone con una traslación podemos obtener una isometría sin puntos dobles, como el caso de un movimiento helicoidal (giro+ traslación). Podemos hacer el resumen siguiente: Isometrías directas

Isometrías inversas

Traslación o movimiento helicoidal (giro + traslación)

Simetría + traslación

Un solo punto doble

No hay

Simetría central o composición de 3 simetrías especulares (cuyos planos se cortan en un punto)

Una recta de puntos dobles

Rotación respecto de un eje (simetría axial como caso particular)

No hay

Un plano de puntos dobles

No hay

Simetría especular

Sin puntos dobles

Todos los puntos son dobles

r Identidad (traslación de vector O)

No hay

10.3. Ecuaciones generales de la homotecia y la semejanza Las semejanzas en el espacio se obtienen también como caso particular de afinidades. Al igual que vimos para el plano (tema 42, § 4.3) partir de la condición de que conserve r r la ortogonalidad, r res decir, r podemos r para cualesquiera dos vectores X ,Y ,el automorfismo inducido f, verifique X ×Y = 0 Þ f ( X )× f (Y ) = 0. Por un procedimiento similar al que utilizó en el plano se llega a la forma que debe tener la matriz A de f que para que la afinidad cumpla lo anterior.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

445

Volumen II. Matemáticas

446

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Dicha matriz debe tener como columnas una base ortogonal de E2, normalizada o no, cuyos vectores tengan todos de norma k. Es decir, que cumpla: a1ha1k + a2ha2k + a3ha3k = k 2dhk . Por tanto debe ser æ ka11 ka12 ç A = ç ka21 ka22 ç è ka31 ka32

æ a11 a12 ka13 ö ÷ ç ka23 ÷dondeç a21 a22 ÷ ç ka33 ø è a31 a32

a13 ö ÷ a23 ÷es una matriz ortogonal. ÷ a33 ø

La constante k es la razón de semejanza. Por lo tanto, una semejanza en general puede ponerse en la forma: æ x1¢ö æ a0 ö æ ka11 ka12 ç ÷ ç ÷ ç ç x¢2 ÷= ç b0 ÷+ç ka21 ka22 ç ÷ ç ÷ ç è x¢3 ø è c0 ø è ka31 ka32

æ x1¢ö æ ka11 ka12 ç ÷ ç æ ö ka13 ö ÷ç x1 ÷ ç x¢2 ÷ ç ka21 ka22 ka23 ÷ç x2 ÷, o bienç ÷= ç x¢ ka ka32 ÷ç ÷ ç 3 ÷ ç 31 ka33 øè x3 ø 0 è 1ø è 0

ka13 ka23 ka33 0

a0 öæ x1 ö ÷ç ÷ b0 ÷ç x2 ÷ c0 ÷ç x3 ÷ ÷ç ÷ 1 øè 1 ø

En particular una homotecia de centro el punto ( x0 , y0 , z 0) tendrá de ecuaciones:

é ù öæ x1 ö æ k 0 0öêæ a0 k ö æ a11 a12 a13 öæ x1 öú a13 ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ç ÷ú ÷êç a23 ÷ç x2 ÷= ç 0 k 0÷êç a0 k ÷+ç a21 a22 a23 ÷ç x2 ÷ú ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ ç a a32 a33 øè x3 øú a x è 0 0 k øê a k ø è ø è è ø 3 31 14243ê 104444 4 24444 4 3ú û homotecia ë isometría 33

La semejanza en general puede ponerse de la forma

æ ö æ ö öæ ka13 ö ÷ç x1 ÷ ç k 0 0÷ç a0 k ÷ ka23 ÷ç x2 ÷= ç 0 k 0÷ç a0 k ÷ ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ka33 øè x3 ø è 0 0 k øè a0 k ø

öæ x1 ö æ k 0 0öæ a0 k ö ka13 ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ç ka23 ÷ç x2 ÷= ç 0 k 0÷ç a0 k ÷ ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ka33 øè x3 ø è 0 0 k øè a0 k ø

é ù æ x1 ö æ k 0 0öêæ a0 k ö æ a11 a12 a13 öæ x1 öú a13 ö ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ú ÷êç a23 ÷ç x2 ÷= ç 0 k 0÷êç a0 k ÷+ç a21 a22 a23 ÷ç x2 ÷ú ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ÷ ç a33 øè x3 ø è 0 0 k øêè a0 k ø è a31 a32 a33 øè x3 øú 14243ê 14444 4244444 3ú û homotecia ë isometría

La semejanza en general puede ponerse de la forma

æ x¢ö æ k ç 1÷ ç æ ¢ö æ(1- k) x0 ö æ k 0 0öæ x1 ö ÷ ç ç x1 ÷ ç ÷ç ÷ ç x¢ ÷ ç 0 2 ç x¢2 ÷= ç(1- k) y0 ÷+ç 0 k 0÷ç x2 ÷ o bienç ÷= ç x¢ 0 ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç 3÷ ç è x¢3 ø è(1- k) z 0 ø è 0 0 k øè x3 ø è 1 ø è0

æ k 0 0öæ a11 a12 ç ÷ç +ç 0 k 0÷ç a21 a22 ç ÷ç è 0 0 k øè a31 a32

æ ¢ö æ ö æ ç x1 ÷ ç a0 ÷ ç ka11 ka12 ç x¢2 ÷= ç b0 ÷+ç ka21 ka22 ç ÷ ç ÷ ç è x¢3 ø è c0 ø è ka31 ka32

æ x1¢ö æ a0 ö æ ka11 ka12 ç ÷ ç ÷ ç ç x¢2 ÷= ç b0 ÷+ç ka21 ka22 ç ÷ ç ÷ ç è x¢3 ø è c0 ø è ka31 ka32

æx ö 0 0 (1- k) x0 ö ÷ç 1 ÷ k 0 (1- k) y0 ÷ç x2 ÷ 0 k (1- k) z 0 ÷ç x3 ÷ ÷ç ÷ 0 0 1 øè 1 ø

æ öæ ç k 0 0÷ç a11 a12 +ç 0 k 0÷ç a21 a22 ç ÷ç è 0 0 k øè a31 a32

æ x1¢ö æ k ç ÷ ç æ x1¢ö æ(1- k) x0 ö æ k 0 0öæ x1 ö ÷ ç ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç x¢2 ÷ ç 0 ç x¢2 ÷= ç(1- k) y0 ÷+ç 0 k 0÷ç x2 ÷ o bienç ÷= ç x¢ 0 ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ç 3÷ ç è x¢3 ø è(1- k) z 0 ø è 0 0 k øè x3 ø è 1 ø è0

öæ x1 ö 0 0 (1- k) x0 ÷ ç ÷ k 0 (1- k) y0 ÷ç x2 ÷ 0 k (1- k) z 0 ÷ç x3 ÷ ÷ç ÷ 0 0 1 øè 1 ø

En particular una homotecia de centro el punto ( x0 , y0 , z 0) tendrá de ecuaciones: æ ¢ö æ ö æ ç x1 ÷ ç a0 ÷ ç ka11 ka12 ç x¢2 ÷= ç b0 ÷+ç ka21 ka22 ç ÷ ç ÷ ç è x¢3 ø è c0 ø è ka31 ka32

æ x¢ö æ ka ka12 ç 1 ÷ ç 11 öæ x1 ö ka13 ÷ ç ÷ ç x¢2 ÷ ç ka21 ka22 ka23 ÷ç x2 ÷, o bienç ÷= ç x¢ ka ka32 ÷ç ÷ ç 3 ÷ ç 31 ka33 øè x3 ø 0 è 1ø è 0

0 33

ka

ka13 ka23

a0 öæ x1 ö ÷ç ÷ b0 ÷ç x2 ÷ c0 ÷ç x3 ÷ ÷ç ÷ 1 øè 1 ø

La constante k es la razón de semejanza. Por lo tanto, una semejanza en general puede ponerse en la forma: æ ç ka11 ka12 A = ç ka21 ka22 ç è ka31 ka32

ö æ ka13 ÷ ç a11 a12 ka23 ÷dondeç a21 a22 ÷ ç ka33 ø è a31 a32

ö a13 ÷ a23 ÷es una matriz ortogonal. ÷ a33 ø

Dicha matriz debe tener como columnas una base ortogonal de E2, normalizada o no, cuyos vectores tengan todos de norma k. Es decir, que cumpla: a1ha1k + a2ha2k + a3ha3k = k 2dhk . Por tanto debe ser CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

446

TEMA

45 Poliedros. Teorema de Euler. Sólidos platónicos y arquimedianos

Fulgencio García Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

448

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

POLIEDROS 2.1. Definición de diedro 2.2. Definición de triedro. Ángulo poliedro 2.3. Definición de poliedro convexo. Superficie poliédrica 2.4. Elementos de un poliedro 2.5. Construcción de un poliedro no convexo 2.6. Clasificación de los poliedros 2.7. Teorema de Euler

3.

POLIEDROS PLATÓNICOS 3.1. Tipos de poliedros regulares 3.2. Desarrollo de la superficie de los poliedros platónicos

4.

TIPOS DE POLIEDROS

5.

POLIEDROS REGULARES 5.1. Elementos fundamentales de los poliedros regulares

6.

POLIEDROS ARQUIMEDIANOS 6.1. Truncamiento

POLIEDROS ARQUIMEDIANOS 6.1. Truncamiento

6.

POLIEDROS REGULARES 5.1. Elementos fundamentales de los poliedros regulares

5.

TIPOS DE POLIEDROS

4.

POLIEDROS PLATÓNICOS 3.1. Tipos de poliedros regulares 3.2. Desarrollo de la superficie de los poliedros platónicos

3.

POLIEDROS 2.1. Definición de diedro 2.2. Definición de triedro. Ángulo poliedro 2.3. Definición de poliedro convexo. Superficie poliédrica 2.4. Elementos de un poliedro 2.5. Construcción de un poliedro no convexo 2.6. Clasificación de los poliedros 2.7. Teorema de Euler

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

448

Poliedros

1. INTRODUCCIÓN Desde la antigüedad, el hombre en sus construcciones ha utilizado todo tipo de cuerpos geométricos. A medida que ha ido aumentando lo que se sabe de los cuerpos geométricos ha sido posible hacer construcciones más grandes y más bellas. Las formas poliédricas están presentes en la naturaleza. Por ejemplo, los granos de polen y las semillas de ciertas plantas tienen formas poliédricas basadas fundamentalmente en pentágonos y hexágonos. También aparecen los poliedros en el campo de la virología. Algunos virus pueden formar cristales con formas geométricas regulares. Por ejemplo, la cobertura de numerosos virus está formada por 20 caras triangulares formando un icosaedro. Platón y sus discípulos estaban fascinados con la idea de que sólo existan 5 poliedros regulares. En su particular visión filosófico-poética del mundo asociaban cada uno de ellos con un elemento natural:

– – – – –

El octaedro con el aire. El icosaedro con el agua. El cubo con la tierra. El tetraedro con el fuego. El dodecaedro con el orden del universo.

En general se entiende por poliedro a una parte del espacio limitada por polígonos. El estudio histórico de los mismos se inicia en los tiempos prepitagóricos y llega hasta nuestros días, donde se sigue realizando nuevas clasificaciones y nuevos descubrimientos. En este tema vamos a ver una definición de poliedro y varios tipos de clasificaciones atendiendo a varios atributos. A continuación realizaremos un estudio detallado de los sólidos platónicos o poliedros regulares convexos. Finalizaremos el tema exponiendo qué son los truncamientos, los tipos que hay y un estudio de los sólidos arquimedianos.

2. POLIEDROS 2.1. Definición de diedro Dados dos semiplanos a y b con un borde común r, pero situados en planos distintos, llamaremos diedro convexo al conjunto de puntos comunes a los semiespacios limitados por a y b que contienen respectivamente a y b. La recta r es la arista del diedro y a y b son las caras del diedro. El ángulo de dos semirrectas OA y OB, obtenidas por sección del diedro por un plano p perpendicular a la arista r se llama ángulo rectilíneo del diedro (es independiente del plano p). Consecuencias:

– – – –

r

O

B A

Dos planos secantes dividen al espacio en 4 diedros convexos. El semiplano determinado por r y un punto interior al diedro tiene todos sus puntos pertenecientes a él. Cada semiplano interior a un diedro convexo lo divide en dos diedros. El segmento que une dos puntos situados en las caras del diedro convexo pertenece al mismo.

Definición. Dos diedros con una cara común y la otra en semiplanos opuestos se llaman adyacentes. Un diedro convexo y sus dos adyacentes forman un diedro cóncavo.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

450

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

2.2. Definición de triedro. Ángulo poliedro

Llamemos superficie poliédrica convexa al conjunto de un número finito de polígonos, llamado caras tal que cada lado de una cara pertenece a otra y sólo a otra (ambas caras se dice que son contiguas), dos caras contiguas están en distinto plano y el plano de cada cara deja en el mismo semiespacio a todas las demás (si no se verifica esta última condición, la superficie poliédrica es no convexa). Definimos un poliedro convexo como el conjunto de los puntos comunes a todos estos semiespacios. Los vértices y lados de las caras se llaman vértices y aristas del poliedro. En todo lo que sigue, a menos que se indique lo contrario, los poliedros serán siempre convexos.

Sean tres semirrectas x, y, z no coplanarias con origen común O, llamamos triedro al conjunto de puntos comunes a los semiespacios limitados por los planos xy, yz y zx y que contienen las semirrectas restantes. Cada uno de los ángulos convexos Oxy, Oyz, Ozx se llama cara del triedro y O es el vértice. Z

2.3. Definición de poliedro convexo. Superficie poliédrica X

O

x5

Y

x4

Dadas varias semirrectas x1, x2, ..., xn con origen común O y tales que el plano determinado por cada dos consecutivas deje a las demás en un mismo semiespacio, el conjunto de los puntos comunes a todos los semiespacios se llama ángulo poliedro convexo o anguloide convexo. Las semirrectas x1, x2, ..., xn se llaman aristas, los ángulos convexos x1x2, x2x3, ..., xn x1 se llaman caras. Los diedros definidos por cada dos caras consecutivas se llaman también diedros del ángulo poliedro. Una sección del ángulo poliedro es un polígono. x6

x3

O

x2 x1 x1 x2 O

Dadas varias semirrectas x1, x2, ..., xn con origen común O y tales que el plano determinado por cada dos consecutivas deje a las demás en un mismo semiespacio, el conjunto de los puntos comunes a todos los semiespacios se llama ángulo poliedro convexo o anguloide convexo. Las semirrectas x1, x2, ..., xn se llaman aristas, los ángulos convexos x1x2, x2x3, ..., xn x1 se llaman caras. Los diedros definidos por cada dos caras consecutivas se llaman también diedros del ángulo poliedro. Una sección del ángulo poliedro es un polígono. x3

x6

x4 Y

x5 O

X

2.3. Definición de poliedro convexo. Superficie poliédrica Llamemos superficie poliédrica convexa al conjunto de un número finito de polígonos, llamado caras tal que cada lado de una cara pertenece a otra y sólo a otra (ambas caras se dice que son contiguas), dos caras contiguas están en distinto plano y el plano de cada cara deja en el mismo semiespacio a todas las demás (si no se verifica esta última condición, la superficie poliédrica es no convexa). Definimos un poliedro convexo como el conjunto de los puntos comunes a todos estos semiespacios. Los vértices y lados de las caras se llaman vértices y aristas del poliedro. En todo lo que sigue, a menos que se indique lo contrario, los poliedros serán siempre convexos. Z

Sean tres semirrectas x, y, z no coplanarias con origen común O, llamamos triedro al conjunto de puntos comunes a los semiespacios limitados por los planos xy, yz y zx y que contienen las semirrectas restantes. Cada uno de los ángulos convexos Oxy, Oyz, Ozx se llama cara del triedro y O es el vértice.

2.2. Definición de triedro. Ángulo poliedro

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Volumen II. Matemáticas

450

Poliedros

2.4. Elementos de un poliedro Hemos visto que un poliedro es un conjunto de puntos limitados por planos, por tanto está constituido por:

– –

Un conjunto finito de polígonos llamados caras del poliedro.

–

En cada arista concurren dos caras del poliedro, en cada vértice concurren al menos tres aristas, luego cada vértice es vértice de un ángulo poliedro convexo.

–

Los polígonos de las caras son convexos y su conjunto forma la superficie poliédrica. Los puntos del poliedro no situados en la superficie se llaman interiores, los demás exteriores.

–

Una recta cualquiera del espacio corta a un poliedro convexo en dos puntos y no en más, ya que si consideramos un plano cualquiera que pase por esa recta, cortará al poliedro según un polígono convexo al que la recta cortará en dos puntos que pertenecerán al poliedro.

–

Se define la diagonal de un poliedro como la recta que une dos vértices que no están en la misma cara.

–

Dos vértices cualesquiera de un poliedro están conectados por una poligonal formada por aristas de dicho poliedro.

–

Cada poliedro convexo divide al espacio en dos regiones: una convexa (el poliedro) y otra no (ya que toda semirrecta r con origen en un punto interior corta a la superficie en un único punto).

–

Tanto el interior como el exterior son regiones conexas (es decir, se pueden unir sus puntos por una línea quebrada que no corte a la superficie).

Dos caras consecutivas se cortan en un arista y forman un ángulo diedro. La arista es lado de dos caras.

2.5. Construcción de un poliedro no convexo Por ejemplo, a partir de un ortoedro, tomando un punto interior y eliminando el poliedro determinado por O y una cara.

A

D

C

D B

A

O

C B

Es obvio que el nuevo poliedro no es convexo. El poliedro anterior tiene una superficie poliédrica que divide al espacio en dos regiones conexas. Este tipo de superficies se llama simple. La clase de poliedros simples contiene a la de los poliedros convexos. Proposición. Todo poliedro convexo tiene como mínimo cuatro vértices, cuatro caras y seis aristas. Demostración. Sea V un vértice, entonces pertenece al menos a tres caras y a tres aristas. Si a es una de las aristas que contienen a V, seaV ' el otro vértice de la arista a.V ' también pertenece al menos a tres caras y a tres aristas; pero de las tres caras, como mínimo, que contienen aV ', sólo dos de ellas pueden contener a la arista a. Así pues, al menos hay una cara de las que contienen aV ' que no contiene a V. Cada una de las tres aristas a las que pertenece V, tienen otro vértice. Por tanto, hay, además de V, otros tres vértices que forman una arista con V. Hay como mínimo cuatro vértices, lo que supone que al menos hay cuatro caras. Por otro lado, cada cara tiene al menos tres aristas, por lo que tenemos doce aristas y como cada arista es compartida por dos caras, por tanto hay como mínimo seis aristas. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

451

Volumen II. Matemáticas

452

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

2.6. Clasificación de los poliedros

Sean c, v y a el número de caras, vértices y aristas, respectivamente, de un poliedro convexo. Veamos que c + v = a + 2. Realizamos inducción sobre c. El poliedro más sencillo tiene c = 4, v = 4, a = 6 (es un tetraedro). Eliminamos una de las caras del poliedro, y deformamos la superficie restante hasta extenderla sobre un plano. Las áreas de las caras y sus ángulos se alterarán, pero la red plana de vértices y aristas contendrá el mismo número de unos y otros que en el poliedro original, mientras que ha disminuido en una unidad el número de caras. Probando que en la red plana v – a + c = 1, se habrá probado que en el poliedro v – a + c = 2. Por tanto, eliminada una cara en el tetraedro se tiene c = 3, v = 4, a = 6, entonces c + v = a + 1. Supongamos por inducción que c + v = a + 1 para todas las redes planas con n – 1 aristas, y sea ahora una red plana con n aristas, que tendrá c caras, v vértices y a = n aristas. Eliminamos una arista de esta red que no sea común con ninguna otra cara. La nueva red tiene c – 1 caras, v vértices y a – 1 aristas, y por hipótesis de inducción (c – 1) + v = (a – 1) + 1 entonces c + v = a + 1 y sobre el poliedro c + v = a + 2 cqd. Poliedros regulares

Iguales

Deltaedros

Poliedros de caras regulares

Poliedros arquimedianos

No todas iguales

Poliedros de caras iguales pero no todas iguales

Poliedros de Catalán

Demostración. Prismas Poliedros que no tienen todas las caras regulares ni todas las caras iguales

Excepto los de caras regulares

En todo poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Antiprisma Pirámides

2.7. Teorema de Euler Estos poliedros serán analizados más adelante. Estos poliedros serán analizados más adelante.

2.7. Teorema de Euler Pirámides

En todo poliedro convexo, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. Poliedros que no tienen todas las caras regulares ni todas las caras iguales

Antiprisma

Excepto los de caras regulares

Prismas

Demostración. Sean c, v y a el número de caras, vértices y aristas, respectivamente, de un poliedro convexo. Veamos que c + v = a + 2. Realizamos inducción sobre c. El poliedro más sencillo tiene c = 4, v = 4, a = 6 (es un tetraedro). Eliminamos una de las caras del poliedro, y deformamos la superficie restante hasta extenderla sobre un plano. Las áreas de las caras y sus ángulos se alterarán, pero la red plana de vértices y aristas contendrá el mismo número de unos y otros que en el poliedro original, mientras que ha disminuido en una unidad el número de caras. Probando que en la red plana v – a + c = 1, se habrá probado que en el poliedro v – a + c = 2. Por tanto, eliminada una cara en el tetraedro se tiene c = 3, v = 4, a = 6, entonces c + v = a + 1. Supongamos por inducción que c + v = a + 1 para todas las redes planas con n – 1 aristas, y sea ahora una red plana con n aristas, que tendrá c caras, v vértices y a = n aristas. Eliminamos una arista de esta red que no sea común con ninguna otra cara. La nueva red tiene c – 1 caras, v vértices y a – 1 aristas, y por hipótesis de inducción (c – 1) + v = (a – 1) + 1 entonces c + v = a + 1 y sobre el poliedro c + v = a + 2 cqd. Poliedros de caras iguales pero no todas iguales

Poliedros de Catalán

No todas iguales

Poliedros arquimedianos

Poliedros de caras regulares

Deltaedros

Iguales

Poliedros regulares

2.6. Clasificación de los poliedros

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

452

Poliedros

3. POLIEDROS PLATÓNICOS Llamamos poliedros platónicos a los poliedros regulares convexos en los que sus caras son polígonos regulares, todas iguales y, además, todos sus vértices tienen el mismo orden (es decir en cada vértice concurren el mismo número de caras).

3.1. Tipos de poliedros regulares Del teorema de Euler obtenemos los siguientes resultados:

–

Cada cara contiene tres o más aristas, y como cada arista está en dos caras será a ³ 3c/2, entonces 3c £ 2a.

–

En cada vértice concurren tres o más aristas, y cada una de ellas tiene dos vértices, luego a ³ 3v/2, es decir 3v £ 2a.

Por el teorema de Euler a + 2 = c + v, entonces multiplicando por tres esta igualdad tenemos 3a + 6 = = 3c + 3v £ 4a, por tanto a ³ 6. Por otro lado es 3a + 6 = 3c + 3v £ 2a + 3v y 3a + 6 = 3c + 3v £ 2a + 3c. De aquí tenemos

a + 6 £ 3c £ 2a. a + 6 £ 3v £ 2a.

Por tanto: c ³ 4 y v ³ 4. Nota: no existe ningún poliedro convexo con siete aristas, ya que 13 £ 3c £ 14 y 13 £ 3v £ 14 no es posible. Sea un poliedro de c caras, siendo cada cara un polígono regular de n lados, y en cada vértice concurren m aristas. a)

Por un lado 2a = mv, ya que de cada vértice salen m aristas y cada arista sale de dos vértices y, por tanto, se cuenta dos veces.

b)

2a = nc, ya que cada arista pertenece a dos caras y cada cara tiene n aristas (todos los polígonos tienen n lados).

Sustituyendo c = 2a/n y v = 2a/m en la fórmula de Euler tenemos

2a 2a + = a + 2, dividiendo por a n m

nos queda: 1 1 1 1 + = + n m a 2

n ³ 3, m ³ 3

Nota: n y m no pueden ser mayores de tres simultáneamente. Demostración: Si n ³ 3v y m ³ 3 entonces

1 1 1 1 £ y £ . n 4 m 4

1 1 1 1 2 1 1 Ahora tenemos: + = + £ = , por tanto £ 0. Contradicción. a 2 n m 4 2 a

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

453

Volumen II. Matemáticas

454

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Veamos qué valores toma n para m = 3, y qué valores toma m para n = 3. a D

a

h M

Ø Ø Ø

H

a

1 1 1 – = , de aquí m puede ser 3, 4 ó 5. m 6 a

h

a

Caso n = 3

a

–

m = 3 entonces a = 6, v = 4, c = 4 Tetraedro regular.

a

m = 4 entonces a = 12, v = 6, c = 8 Octaedro regular.

Tetraedro

Octaedro

Hexaedro o cubo

Icosaedro

Dodecaedro

m = 5 entonces a = 30, v = 12, c = 20 Icosaedro regular. A continuación tenemos el dibujo de los cinco poliedros regulares o platónicos.

Caso m = 3, de aquí n puede ser 3, 4, ó 5.

Icosaedro: poliedro regular cuyas veinte caras son triángulos equiláteros y cuyos ángulos poliedros son pentaedros. Tiene 12 vértices y 30 aristas.

Ø Ø Ø

n = 3 entonces a = 6, v = 4, c = 4 Tetraedro regular.

–

–

n = 4 entonces a = 12, v = 8, c = 6 Hexaedro regular.

Dodecaedro: poliedro regular cuyas doce caras son pentágonos regulares y cuyos ángulos poliedros son triedros. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

–

Octaedro: poliedro regular cuyas 8 caras son triángulos equiláteros y cuyos ángulos poliedros son tetraedros. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

–

Hexaedro o cubo: poliedro regular cuyas 6 caras son cuadrados y cuyos ángulos poliedros son triedros. Tiene 8 vértices y 12 aristas.

–

Podemos resumir los resultados en la siguiente tabla: n

m

c

Nombre del poliedro

3

3

4

Tetraedro (caras triangulares)

3

4

8

Octaedro (caras triangulares)

–

n = 5 entonces a = 30, v = 20, c = 12 Dodecaedro regular.

Tetraedro: poliedro regular cuyas caras son cuatro triángulos equiláteros y sus ángulos poliedros son triedros. Tiene 4 vértices y 6 aristas.

Según lo anterior podemos dar las siguientes definiciones de los sólidos platónicos: Hexaedro (caras cuadradas)

Dodecaedro (caras pentagonales) 12

6

6

3

12

5

3

3

Icosaedro (caras triangulares) 3

4

20

Dodecaedro (caras pentagonales) 4

5

5

3

Hexaedro (caras cuadradas)

Según lo anterior podemos dar las siguientes definiciones de los sólidos platónicos: 3 3

20

5

8

4

4

3

c

m

Icosaedro (caras triangulares) Octaedro (caras triangulares)

–

Tetraedro: poliedro regular cuyas caras son cuatro triángulos equiláteros y sus ángulos poliedros son triedros. Tiene 4 vértices y 6 aristas.

–

Hexaedro o cubo: poliedro regular cuyas 6 caras son cuadrados y cuyos ángulos poliedros son triedros. Tiene 8 vértices y 12 aristas.

–

Octaedro: poliedro regular cuyas 8 caras son triángulos equiláteros y cuyos ángulos poliedros son tetraedros. Tiene 6 vértices y 12 aristas.

–

Dodecaedro: poliedro regular cuyas doce caras son pentágonos regulares y cuyos ángulos poliedros son triedros. Tiene 20 vértices y 30 aristas.

–

Icosaedro: poliedro regular cuyas veinte caras son triángulos equiláteros y cuyos ángulos poliedros son pentaedros. Tiene 12 vértices y 30 aristas.

3

n

Tetraedro (caras triangulares) Nombre del poliedro

Podemos resumir los resultados en la siguiente tabla:

Ø Ø Ø

–

n = 5 entonces a = 30, v = 20, c = 12 Dodecaedro regular. n = 4 entonces a = 12, v = 8, c = 6 Hexaedro regular. n = 3 entonces a = 6, v = 4, c = 4 Tetraedro regular.

Caso m = 3, de aquí n puede ser 3, 4, ó 5.

A continuación tenemos el dibujo de los cinco poliedros regulares o platónicos. m = 5 entonces a = 30, v = 12, c = 20 Icosaedro regular. Hexaedro o cubo

M

m = 3 entonces a = 6, v = 4, c = 4 Tetraedro regular.

1 1 1 – = , de aquí m puede ser 3, 4 ó 5. m 6 a

a

h

a

a

Caso n = 3

D

Veamos qué valores toma n para m = 3, y qué valores toma m para n = 3. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

h

–

H

Icosaedro

a

454

Dodecaedro

m = 4 entonces a = 12, v = 6, c = 8 Octaedro regular.

a

a

Octaedro

Ø Ø Ø

Tetraedro

Poliedros

3.2. Desarrollo de la superficie de los sólidos platónicos Dada una superficie poliédrica, perteneciente a uno de los sólidos platónicos, podemos obtener una figura plana formada por polígonos consecutivos e iguales a las caras. Esta figura recibe el nombre de “desarrollo de la superficie poliédrica”. Para un mismo poliedro puede haber diversos desarrollos. En las siguientes figuras se ha representado el desarrollo de cada uno de los poliedros regulares. Observa la forma de las caras y el número de ellas.

Dodecaedro Icosaedro

Tetraedro Hexaedro Octaedro

4. TIPOS DE POLIEDROS –

Prisma: Consideramos un polígono convexo y una recta r no contenida en el plano del polígono. El lugar geométrico de los homólogos de los puntos del contorno del polígono por traslaciones de la misma dirección que r es una superficie prismática. Se llama prisma al poliedro convexo obtenido al cortar una superficie prismática por dos planos paralelos que no contengan a la dirección de la recta r. Las caras contenidas en dichos planos se llaman bases del prisma y las demás caras se llaman caras laterales. La distancia entre las dos bases es la altura del prisma. Si los planos de las bases son perpendiculares a las aristas laterales, el prisma se llama recto, y en caso contrario, oblicuo. Igualmente el prisma es triangular, cuadrangular, etc., según sea el polígono de la base. Dentro de éstos distinguimos dos especiales: los paralelepípedos, en los que las bases son paralelogramos (pueden ser rectos y oblicuos) y los ortoedros (paralelepípedos rectos de base rectangular). Los ortoedros quedan definidos dando las longitudes de tres aristas concurrentes en un vértice, y en ellos se verifica, trivialmente, que la longitud de una diagonal es la suma de los cuadrados de las aristas concurrentes en su vértice.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

455

Volumen II. Matemáticas

456

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Un tipo especial de ortoedro es el cubo (el que tiene sus tres aristas iguales). Es un poliedro regular de seis caras cuadradas.

Hemos visto que los únicos poliedros regulares que pueden existir son los cinco platónicos. La construcción efectiva de los cinco poliedros regulares es fácil en el caso del tetraedro y del cubo. Veamos el dodecaedro: Construimos un pentágono regular, y sobre cada uno de sus lados otro pentágono igual. Plegamos la figura hasta unir las aristas numeradas igual. Obtenemos un casquete formado por seis pentágonos que determinan cinco triedros. Los planos bisectores de todos los diedros de estos triedros se cortan en un punto O. Hallando la figura simétrica respecto O se completa el dodecaedro. El poliedro resultante tiene doce caras y veinte vértices. Si unimos los centros de las caras del dodecaedro concurrentes en un vértice, obtenemos un triángulo equilátero. Repitiendo la operación con los veinte vértices del dodecaedro obtenemos veinte caras triangulares, concurriendo cinco de ellas en cada vértice. Tendrá entonces doce vértices y treinta aristas. Hemos obtenido el icosaedro regular. Esta curiosa propiedad permite obtener un poliedro regular a partir de otros. Uniendo los centros de tres caras concurrentes en un vértice del cubo, obtenemos un triángulo equilátero. Haciendo lo mismo con los ocho vértices obtenemos un poliedro de ocho caras concurriendo cuatro en cada vértice. Tendrá seis vértices y doce aristas. Es el octaedro regular. Igualmente haciendo esto con el octaedro obtenemos un cubo, y con el icosaedro nuevamente el dodecaedro. Por tanto el cubo y el octaedro, y por otro lado el icosaedro y dodecaedro son conjugados. El tetraedro es conjugado de sí mismo. Paralelepípedo

Ortoedro

–

Pirámides: Si cortamos un ángulo poliedro convexo por un plano que no contenga al vértice queda delimitado un poliedro convexo llamado pirámide. El vértice del ángulo poliedro se llama vértice de la pirámide. La única cara que no contiene al vértice es la base y es un polígono convexo de n lados (tantas como caras tenga el ángulo poliedro). Las aristas que contienen al vértice se llaman aristas laterales, y las caras correspondientes, caras laterales. La distancia del vértice a la base es la altura de la misma. La pirámide se llama regular cuando la base es un polígono regular y el vértice está en la perpendicular al plano de la base, trazada por el baricentro de ella. Dicha recta es el eje de la pirámide y las caras laterales son triángulos isósceles.

–

Tronco de pirámide: Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base que no contenga al vértice obtenemos un tronco de pirámide y una pirámide (pirámide deficiente). Las bases del tronco son polígonos semejantes y la razón de semejanza es igual a la razón entre la altura de la pirámide y la altura de la deficiente.

5. POLIEDROS REGULARES –

Tronco de pirámide: Si cortamos una pirámide por un plano paralelo a la base que no contenga al vértice obtenemos un tronco de pirámide y una pirámide (pirámide deficiente). Las bases del tronco son polígonos semejantes y la razón de semejanza es igual a la razón entre la altura de la pirámide y la altura de la deficiente.

5. POLIEDROS REGULARES

Hemos visto que los únicos poliedros regulares que pueden existir son los cinco platónicos. La construcción efectiva de los cinco poliedros regulares es fácil en el caso del tetraedro y del cubo. Veamos el dodecaedro: Construimos un pentágono regular, y sobre cada uno de sus lados otro pentágono igual. Plegamos la figura hasta unir las aristas numeradas igual. Obtenemos un casquete formado por seis pentágonos que determinan cinco triedros. Los planos bisectores de todos los diedros de estos triedros se cortan en un punto O. Hallando la figura simétrica respecto O se completa el dodecaedro. El poliedro resultante tiene doce caras y veinte vértices. Si unimos los centros de las caras del dodecaedro concurrentes en un vértice, obtenemos un triángulo equilátero. Repitiendo la operación con los veinte vértices del dodecaedro obtenemos veinte caras triangulares, concurriendo cinco de ellas en cada vértice. Tendrá entonces doce vértices y treinta aristas. Hemos obtenido el icosaedro regular. Esta curiosa propiedad permite obtener un poliedro regular a partir de otros. Uniendo los centros de tres caras concurrentes en un vértice del cubo, obtenemos un triángulo equilátero. Haciendo lo mismo con los ocho vértices obtenemos un poliedro de ocho caras concurriendo cuatro en cada vértice. Tendrá seis vértices y doce aristas. Es el octaedro regular. Igualmente haciendo esto con el octaedro obtenemos un cubo, y con el icosaedro nuevamente el dodecaedro. Por tanto el cubo y el octaedro, y por otro lado el icosaedro y dodecaedro son conjugados. El tetraedro es conjugado de sí mismo.

–

Pirámides: Si cortamos un ángulo poliedro convexo por un plano que no contenga al vértice queda delimitado un poliedro convexo llamado pirámide. El vértice del ángulo poliedro se llama vértice de la pirámide. La única cara que no contiene al vértice es la base y es un polígono convexo de n lados (tantas como caras tenga el ángulo poliedro). Las aristas que contienen al vértice se llaman aristas laterales, y las caras correspondientes, caras laterales. La distancia del vértice a la base es la altura de la misma. La pirámide se llama regular cuando la base es un polígono regular y el vértice está en la perpendicular al plano de la base, trazada por el baricentro de ella. Dicha recta es el eje de la pirámide y las caras laterales son triángulos isósceles. Paralelepípedo

Ortoedro

Un tipo especial de ortoedro es el cubo (el que tiene sus tres aristas iguales). Es un poliedro regular de seis caras cuadradas.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

456

Poliedros

5.1. Elementos fundamentales de los poliedros regulares Además de las caras, vértices, aristas y de sus ángulos poliedros, se consideran elementos fundamentales de un poliedro regular las esferas: inscrita, circunscrita y tangente a sus aristas. Igualmente se consideran elementos fundamentales el centro de esas esferas y las distancias o ángulos entre unos y otros elementos. Para determinar los elementos fundamentales de un poliedro regular, se recurre a la búsqueda de planos de simetría que contengan el mayor número de elementos del mismo y a ejes de simetría del poliedro. Todos los poliedros regulares tienen centro de simetría, excepto el tetraedro, pero en todos los casos hay un punto O que equidista de las caras, vértices y aristas del poliedro, y que es centro de una esfera inscrita, circunscrita y tangente a las aristas. Veamos cómo se obtiene O: Sean a y b los planos de dos caras consecutivas de un poliedro regular y sean O1 y O2 sus respectivos centros. Sea AB la arista común. Sea g el plano perpendicular a AB en su punto medio M. Los planos a y b cortan a g en las rectasO1M y O2M , perpendiculares a AB (g por ser perpendicular a a y b contiene a las perpendiculares a estos planos en O1 y O2). Las rectas O1M y O2M por estar en un mismo plano y ser perpendiculares a rectas que se cortan, D

D

también se cortan en un punto O. Los triángulos OO1M y OO2M son iguales (ya que tienen un lado común y son rectángulos). Por tanto OO1 = OO2, entonces O equidista de las dos caras. Además OM Î g entonces es mediatriz de AB por lo que O también equidista de A y B. La igualdad de los cuadriláteros análogos al OO1MO2, correspondientes a cada par de caras, demuestra que O es común a todos ellos. Por tanto, O equidista de las caras, de los vértices y de los puntos medios de las aristas.

6. POLIEDROS ARQUIMEDIANOS Se llaman poliedros arquimedianos o semirregulares a los poliedros convexos formados por caras regulares, pero no del mismo número de lados (cada uno tiene más de un tipo de polígonos). Su nombre se debe a que Arquímedes fue el primero que los describió indicando el número de polígonos que concurren en cada vértice y el número de lados de estos polígonos. Kepler le dio nombre a estos poliedros y probó que hay trece poliedros semirregulares, además de los prismas y antiprismas de caras regulares. Algunos de estos poliedros arquimedianos se utilizan como elementos decorativos. El balón de fútbol actual es un poliedro arquimediano: el pequeño rombicosidodecaedro que está formado por veinte triángulos, treinta cuadrados y doce pentágonos. Este poliedro es el más redondeado de todos.

–

Suma de los ángulos de las caras de un poliedro convexo. Si el poliedro tiene c caras, y los números de lados de sus caras son n1, n2, ..., nc se tendrá que sumarán: S = ( n1+ n2+...+nc – 2c) × 2R Como se verifica que n1 + n2 + … + nc = 2 · a, pues cada arista es lado de dos caras. Por tanto: S = 4 ( a – c )× R = 4 ( v – 2 )× R ­ Teorema de Euler

Relación válida incluso aunque no sea convexo pero sí euleriano.

“La suma de los ángulos de las caras de un poliedro convexo es igual a tantas veces cuatro rectos como vértices tiene el poliedro menos dos”. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

457

Volumen II. Matemáticas

458

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

En los poliedros arquimedianos se verifica:

Ø Ø Ø

Se trunca el dodecaedro o icosaedro y se obtiene el icosidodecaedro.

–

Las caras serán de dos o tres tipos diferentes (no pueden ser de cuatro tipos pues entonces sumarían más de cuatro rectos).

–

Los ángulos poliedros estarán formados por tres, cuatro o cinco caras (no pueden ser seis por la misma razón anterior).

–

Se trunca el cubo o octaedro y se obtiene el cuboctaedro. Se trunca el tetraedro y se obtiene el octaedro.

El corte se realiza por planos que pasan por los puntos medios de las aristas que concurren en un vértice. Los poliedros que se obtienen por este tipo de truncamiento son:

Estas limitaciones y el teorema de Euler nos dan 15 posibilidades, de las que consideramos sólo 13, designando cada poliedro con un número romano. Las otras dos posibilidades son:

Se llama truncamiento a la operación que consiste en cortar las esquinas de los poliedros regulares de manera que se obtengan poliedros que tengan todas las caras regulares (los cortes en torno a los vértices tienen que ser perpendiculares al eje de rotación que pasa por esos vértices). Estos cortes pasan por puntos de las aristas equidistantes del vértice. Dos tipos de truncamientos: a)

Una que no cierra el espacio.

b)

Cualquier prisma con base regular de cinco o más lados y caras laterales cuadrados. Cada uno de los ángulos poliedros está formado por:

6.1. Truncamiento

– – – – – – – – – – – – –

I. Tronco-tetraedro: un triángulo y dos hexágonos en cada vértice. II. Tronco-cubo: un triángulo y dos octógonos en cada vértice.

Todos ellos al prolongar las caras y/o aristas nos proporcionan los cinco poliedros regulares, luego los poliedros arquimedianos pueden obtenerse truncando los vértices y/o aristas de estos cincos poliedros. VIII. Tronco-dodecaedro: un triángulo y dos decágonos. V. Rombicuboctaedro: un triángulo y tres cuadrados.

X. Troncoicosaedro: un pentágono y dos hexágonos.

XII. Troncoicosidodecaedro: un cuadrado, un hexágono y un decágono.

III. Cuboctaedro: dos triángulos y dos cuadrados.

VI. Troncocuboctaedro: un cuadrado, un hexágono y un octógono.

IX. Icosidodecaedro: dos triángulos y dos pentágonos.

IV. Tronco-octaedro: un cuadrado y dos hexágonos.

VII. Cubo romo: cuatro triángulos y un cuadrado (a partir del hexaedro u octaedro).

– – – – – – – – – – – – –

XI. Rombicoicosidodecaedro: un triángulo, dos cuadrados y dos pentágonos.

XIII. Dodecaedro romo: cuatro triángulos y un pentágono (a partir del dodecaedro o icosaedro).

XIII. Dodecaedro romo: cuatro triángulos y un pentágono (a partir del dodecaedro o icosaedro).

VII. Cubo romo: cuatro triángulos y un cuadrado (a partir del hexaedro u octaedro). IV. Tronco-octaedro: un cuadrado y dos hexágonos.

IX. Icosidodecaedro: dos triángulos y dos pentágonos.

VI. Troncocuboctaedro: un cuadrado, un hexágono y un octógono.

III. Cuboctaedro: dos triángulos y dos cuadrados.

XII. Troncoicosidodecaedro: un cuadrado, un hexágono y un decágono.

XI. Rombicoicosidodecaedro: un triángulo, dos cuadrados y dos pentágonos.

X. Troncoicosaedro: un pentágono y dos hexágonos.

V. Rombicuboctaedro: un triángulo y tres cuadrados.

Todos ellos al prolongar las caras y/o aristas nos proporcionan los cinco poliedros regulares, luego los poliedros arquimedianos pueden obtenerse truncando los vértices y/o aristas de estos cincos poliedros. VIII. Tronco-dodecaedro: un triángulo y dos decágonos.

II. Tronco-cubo: un triángulo y dos octógonos en cada vértice. I. Tronco-tetraedro: un triángulo y dos hexágonos en cada vértice.

6.1. Truncamiento

Cada uno de los ángulos poliedros está formado por:

Se llama truncamiento a la operación que consiste en cortar las esquinas de los poliedros regulares de manera que se obtengan poliedros que tengan todas las caras regulares (los cortes en torno a los vértices tienen que ser perpendiculares al eje de rotación que pasa por esos vértices). Estos cortes pasan por puntos de las aristas equidistantes del vértice. Dos tipos de truncamientos: Cualquier prisma con base regular de cinco o más lados y caras laterales cuadrados.

b)

Una que no cierra el espacio.

a)

Estas limitaciones y el teorema de Euler nos dan 15 posibilidades, de las que consideramos sólo 13, designando cada poliedro con un número romano. Las otras dos posibilidades son:

–

El corte se realiza por planos que pasan por los puntos medios de las aristas que concurren en un vértice. Los poliedros que se obtienen por este tipo de truncamiento son:

Los ángulos poliedros estarán formados por tres, cuatro o cinco caras (no pueden ser seis por la misma razón anterior).

–

Las caras serán de dos o tres tipos diferentes (no pueden ser de cuatro tipos pues entonces sumarían más de cuatro rectos).

–

Ø Ø Ø

Se trunca el tetraedro y se obtiene el octaedro.

Se trunca el cubo o octaedro y se obtiene el cuboctaedro.

Se trunca el dodecaedro o icosaedro y se obtiene el icosidodecaedro.

En los poliedros arquimedianos se verifica: CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

458

Poliedros

–

El corte se realiza por una distancia adecuada para que por cada cara del poliedro nos aparezca un polígono regular que tenga el doble número de lados que el polígono de las caras del poliedro de partida. Los poliedros obtenidos con este tipo de truncamiento son:

Ø Ø Ø Ø Ø

Tetraedro truncado (puede obtenerse cortando las aristas a 1/3 de cada vértice). Cubo truncado. Octaedro truncado. Dodecaedro truncado Icosaedro truncado.

Los restantes se obtienen truncando las aristas a distancia adecuada del vértice y después biselando las aristas, como por ejemplo el rombocuboctaedro.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

459

TEMA

46 Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio. Ecuaciones de curvas y superficies

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

462

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO 2.1. Coordenadas cartesianas en el plano afín 2.2. Cambio del sistema de referencia 2.3. Coordenadas cartesianas en el plano euclídeo. Sistemas de referencia ortonormales 2.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal: traslación y giro de ejes 2.5. Coordenadas polares en el plano

3.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO 3.1. Coordenadas cartesianas en el espacio afín 3.2 Cambio del sistema de referencia 3.3. Coordenadas cartesianas en el espacio euclídeo. Sistemas de referencia ortonormales 3.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal 3.5. Fórmulas de Euler 3.6. Coordenadas curvilíneas en el espacio: sistemas de coordenadas cilíndricas y polares

4.

CURVAS Y SUPERFICIES. GENERALIDADES 4.1. Distintas formas de definir curvas y superficies en el plano y en el espacio 4.2. Ecuaciones de una curva en el plano 4.3. Ecuaciones de una curva en el espacio 4.4. Ecuaciones de una superficie en el espacio

5.

ALGUNOS EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS Y ALABEADAS 5.1. Algunos ejemplos de curvas en forma explícita 5.2. La recta y su ecuación polar 5.3. La circunferencia 5.4. Las cónicas 5.5. Curvas obtenidas por generación mecánica 5.6. Otras curvas planas interesantes ALGUNOS EJEMPLOS DE SUPERFICIES

6.

ALGUNOS EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS Y ALABEADAS 5.1. Algunos ejemplos de curvas en forma explícita 5.2. La recta y su ecuación polar 5.3. La circunferencia 5.4. Las cónicas 5.5. Curvas obtenidas por generación mecánica 5.6. Otras curvas planas interesantes

5.

CURVAS Y SUPERFICIES. GENERALIDADES 4.1. Distintas formas de definir curvas y superficies en el plano y en el espacio 4.2. Ecuaciones de una curva en el plano 4.3. Ecuaciones de una curva en el espacio 4.4. Ecuaciones de una superficie en el espacio

4.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO 3.1. Coordenadas cartesianas en el espacio afín 3.2 Cambio del sistema de referencia 3.3. Coordenadas cartesianas en el espacio euclídeo. Sistemas de referencia ortonormales 3.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal 3.5. Fórmulas de Euler 3.6. Coordenadas curvilíneas en el espacio: sistemas de coordenadas cilíndricas y polares

3.

SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO 2.1. Coordenadas cartesianas en el plano afín 2.2. Cambio del sistema de referencia 2.3. Coordenadas cartesianas en el plano euclídeo. Sistemas de referencia ortonormales 2.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal: traslación y giro de ejes 2.5. Coordenadas polares en el plano

2.

INTRODUCCIÓN

1.

6.

ALGUNOS EJEMPLOS DE SUPERFICIES

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

1. INTRODUCCIÓN Los griegos ya estudiaron las propiedades asombrosas de algunas curvas y superficies, desde un punto de vista geométrico y en relación con los problemas clásicos (trisección del ángulo, duplicación del cubo y cuadratura del círculo). Hay curvas, como la cuadratriz, la cisoide, la conchoide, etc., que van indisociablemente unidas a los nombres de geómetras helenos (Dinostrato, Diocles, Nicomedes, etc.). De igual manera hablamos de la espiral de Arquímedes, las cónicas de Apolonio o los ciclos y epiciclos de Ptolomeo. También la historia de la Matemática está jalonada de otros problemas de índole geométrica que han motivado el estudio de ciertas curvas o superficies, como es el caso de la cicloide. La mayoría de las curvas anteriores eran obtenidas por los matemáticos de la antigüedad como lugares geométricos, incluso llegando a ser representadas mediante sencillos instrumentos mecánicos. Por ello recibieron el nombre de curvas mecánicas. Parece ser que Apolonio en su obra Cónicas vislumbra lo que sería en cierto modo una anticipación a la moderna geometría analítica de Descartes. Pero las relaciones que da Apolonio no son más que formas retóricas de las ecuaciones analíticas de las curvas. En realidad el sistema de coordenadas se da a posteriori superpuesto a la curva, pues Apolonio toma como rectas de referencia el diámetro de la cónica, para las abcisas, y la tangente en un extremo, para las ordenadas. El no contar con los números negativos también supuso un hándicap importante. De cualquier manera, en la geometría griega las ecuaciones vienen determinadas por las curvas, pero no puede decirse que las curvas vengan determinadas por las ecuaciones. Tampoco les era suficiente definir curvas de manera abstracta como lugares geométricos, sino que para aceptarlas como tales los antiguos griegos consideraban necesario o bien producirlas de manera estereométrica como una sección de un sólido, o bien construirlas de manera cinemática. Más tarde, el nacimiento de la geometría analítica con Descartes (s. XVII) supuso un hito importantísimo en la historia de la matemática. La “aritmetización de la geometría” permitió superar las limitaciones anteriores y abordar el estudio de curvas y superficies mediante sus respectivas ecuaciones (cúbicas, cuárticas, etc.); es decir, sustituir el enfoque “sintético” griego por un moderno enfoque “algebraico”. Descartes llegó a distinguir entre curvas que nosotros llamaríamos ahora “algebraicas”, como la conchoide o la cisoide, y otras, como la cuadratriz o la espiral, que conocemos como “trascendentes”. A las primeras les concedió un estatus geométrico pleno, junto a la recta, la circunferencia y las cónicas, denominándolas curvas geométricas. A las del segundo tipo les negó el carácter geométrico bautizándolas despectivamente como curvas mecánicas. El propio Descartes profundiza en el estudio de curvas como la espiral equiangular y los óvalos. En la misma línea, Fermat desarrolla analíticamente el estudio de las cónicas como lugares geométricos y ya aplica rotaciones en los ejes para reducir las ecuaciones mediante el cambio de coordenadas. Luego surgiría el cálculo diferencial, que añadía nuevas posibilidades. Los métodos infinitesimales permiten tratar las nociones de tangente y normal, punto doble, punto singular, punto de retroceso, etc. Entre otros matemáticos del siglo XVII, Pascal y Huygens recuperan el interés por la cicloide y otras curvas mecánicas. Por su parte Newton y Leibniz profundizan en el estudio de curvas y superficies, atribuyéndosele al primero la introducción de lo que hoy se conoce como las coordenadas polares. Asimismo, conceptos tales como “curvatura”, “torsión”, “geodésica”, etc., aparecen en el estudio de curvas y superficies desde la perspectiva de la geometría diferencial elemental, que impulsan sobre todo Monge y Legendre a finales del siglo XVIII. Pero vamos a centrarnos en la perspectiva analítica, pues, tal como sugiere su título, el objetivo primordial del tema que nos ocupa es la introducción de los diferentes sistemas de coordenadas, posibilitando así la obtención de ecuaciones sencillas que caractericen a los tipos más interesantes de superficies y curvas, tanto planas como alabeadas.

2. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL PLANO 2.1. Coordenadas cartesianas en el plano afín Sea A2 el espacio afín real bidimensional o plano afín, que entenderemos como una estructura formada por la terna ( p 2 ,V2 , p), donde p 2 es el conjunto de puntos del plano “geométrico”,V2 es el espacio vecto-

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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rial de vectores libres del plano (espacio vectorial “subyacente” o “asociado”) y p la aplicación de p 2´p 2 enV2 que a cada par de puntos ( A , B) asocia el vector libreë AB û. Como axiomas establecemos: r 1. ë AB û= 0 Û A = B ì[OO '] = x ur + y ur 0 1 0 2 ïr r r íu'1= c11u1+ c21u2 r r ïr îu' 2= c12u1+ c22u2

[1]

Para cualesquiera A , B ,C Î p 2 se verifica ë AB û+ë BC û=ë AC û(Relación de Chasles). r r Para cualesquiera v Î V2 y A Î p 2 existe un único punto X Î p 2tal queë AX û= v .

2.

Supongamos que los vectoresë OO¢û, u1¢ y u¢2 se expresan en la base vectorial de V2, mediante:

3.

Si ( x, y) y ( x¢, y¢) son respectivamente las coordenadas de un punto P referidas a los anteriores sistemas, tratamos de encontrar fórmulas de paso de unas otras.

En A2 unr sistema de referencia cartesiano es cualquier conjunto r  = {O; u1, u2}, donde O es un punto arbitrario de p 2 al que denomir r naremos origen de coordenadas y {u1, u2} una base del plano vectorial V2. Obviamente los vectores básicos deben ser linealmente independientes, y por tanto de distinta dirección. U El axioma 3 anterior garantiza la existencia y unicidad de senr r u2 dos puntosU1 y U 2 tales queë OU 1û= u1 yë OU 2 û= u2. Las rectas U OU1 y OU 2 se denominan ejes coordenados. O Las coordenadas cartesianas de un punto P del plano afín resu1 pecto del sistema de referencia anterior, se definen como las coordenadas o componentes de su vector de posiciónë OP ûrespecto de la Figura 1. r r r r base vectorial {u1, u2}. Es decir: sië OP û= xu1+ yu2, entonces decimos que el par (x, y) son las coordenadas cartesianas del punto P. Las coordenadas de un punto están unívocamente determinadas, lo que se justifica por la unicidad de la expresión de un vector dado como combinación lineal de los vectores de una base. Geométricamente, las coordenadas se obtendrían por proyección paralela del punto P sobre cada eje, como muestra la figura. Se Y obtendrían de manera unívoca sendos puntos P1 y P2 , de tal manera que las coordenadas de P serían las razones: OP OP P2 x=± 1 y=± 2 P(x,y) OU1 OU1 r r r r Sean dos sistemas de referencia del plano afín  = {O; u1, u2} y ¢ = {O¢; u1¢, u¢2}.

2.2. Cambio del sistema de referencia Figura 2.

O

U1

P1

X

Usualmente a la primera coordenada ( x) del punto P se le denomina abscisa y a la segunda ( y) ordenada. Los ejes coordenados OU1 y OU 2 se denominan respectivamente “eje de abscisas” y “eje de ordenadas”, denotándose habitualmente por OX y OY. El sistema de referencia se simboliza entonces por OXY.

( P1 o P2) esté en la misma o distinta semirrecta que el punto unidad (U1 o U 2) respecto del origen O.

U1

El signo es + o - según que la proyección en cada caso

En A2 un sistema de referencia cartesiano es cualquier conjunto r r  = {O; u1, u2}, donde O es un punto arbitrario de p 2 al que denomir r naremos origen de coordenadas y {u1, u2} una base del plano vectorial V2. Obviamente los vectores básicos deben ser linealmente independientes, y por tanto de distinta dirección. U El axioma 3 anterior garantiza la existencia y unicidad de senr r u2 dos puntosU1 y U 2 tales queë OU 1û= u1 yë OU 2 û= u2. Las rectas U OU y OU 2 se denominan ejes coordenados. 1 O Las coordenadas cartesianas de un punto P del plano afín resu1 pecto del sistema de referencia anterior, se definen como las coordenadas o componentes de su vector de posiciónë OP ûrespecto de la Figura 1. r r r r base vectorial {u1, u2}. Es decir: sië OP û= xu1+ yu2, entonces decimos que el par (x, y) son las coordenadas cartesianas del punto P. Las coordenadas de un punto están unívocamente determinadas, lo que se justifica por la unicidad de la expresión de un vector dado como combinación lineal de los vectores de una base. Geométricamente, las coordenadas se obtendrían por proyección paralela del punto P sobre cada eje, como muestra la figura. Se Y obtendrían de manera unívoca sendos puntos P1 y P2 , de tal manera que las coordenadas de P serían las razones: OP OP 1 y=± 2 OU1 OU1 P(x,y)

x=±

X

O

P2

El signo es + o - según que la proyección en cada caso

( P1 o P2) esté en la misma o distinta semirrecta que el punto unidad (U1 o U 2) respecto del origen O.

U1

U1

P1

Figura 2.

Usualmente a la primera coordenada ( x) del punto P se le denomina abscisa y a la segunda ( y) ordenada. Los ejes coordenados OU1 y OU 2 se denominan respectivamente “eje de abscisas” y “eje de ordenadas”, denotándose habitualmente por OX y OY. El sistema de referencia se simboliza entonces por OXY.

2.2. Cambio del sistema de referencia

r r r r Sean dos sistemas de referencia del plano afín  = {O; u1, u2} y ¢ = {O¢; u1¢, u¢2}.

Si ( x, y) y ( x¢, y¢) son respectivamente las coordenadas de un punto P referidas a los anteriores sistemas, tratamos de encontrar fórmulas de paso de unas otras. 2. 1.

Para cualesquiera A , B ,C Î p 2 se verifica ë AB û+ë BC û=ë AC û(Relación de Chasles). r r Para cualesquiera v Î V2 y A Î p 2 existe un único punto X Î p 2tal queë AX û= v .

ë AB û= 0 Û A = B

ì[OO '] = x ur + y ur 0 1 0 2 ïr r r íu'1= c11u1+ c21u2 r r ïr îu' 2= c12u1+ c22u2

3.

Supongamos que los vectoresë OO¢û, u1¢ y u¢2 se expresan en la base vectorial de V2, mediante:

[1]

rial de vectores libres del plano (espacio vectorial “subyacente” o “asociado”) y p la aplicación de p 2´p 2 enV2 que a cada par de puntos ( A , B) asocia el vector libreë AB û. Como axiomas establecemos: r

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Las expresiones [1] son únicas. Entonces tendremos: ë OP û=ë OO¢û+ë O¢P û= x0ur1+ y0ur2 + x¢ur1¢+ y¢ur2 = r r r r r r = x0u1+ y0u2 + x¢( c11u1+ c21u2) + y¢( c12u1+ c22u2) = r r = ( x0 + c11x¢+ c12 y¢) u1+ ( y0 + c21x¢+ c22 y¢) u2 r r La unicidad de la expresión del vectorë OP ûen la base {u1, u2} nos lleva a las fórmulas del cambio de coordenadas: ìx = x0 + c11x¢+ c12 y¢ í î y = y0 + c21x¢+ c22 y¢ las cuales se expresan matricialmente como sigue: æ x ö æ x0 ö æ c11 c12 öæ x¢ ö ÷ç ÷ ç ÷= ç ÷+ç è yø è y0 ø è c21 c22 øè y¢ø

Y

Y'

P

X'

O' O

X

Figura 3.

[ 2]

En forma abreviada escribiremos x = x 0 + Cx¢. æ c11 c12 ö ÷de cambio de coordenadas es regular ( C ¹ 0) ya que sus dos columnas son, La matriz C =ç è c21 c22 ø r r r r respectivamente, las coordenadas de los vectores u1¢ y u¢2 en la base {u1, u2 }y por tanto son vectores columna linealmente independientes. Ello significa que la matriz C es inversible. El cambio de coordenadas es æ c11 ¢ c12 ¢ö ÷, y las coordenadas de O en el sistema de referencia ¢ por tanto reversible. En efecto, si C-1 = ç ¢ ¢ è c21 c22 ø r r ì[O 'O] = x ' u' 0 1+ y '0 u' 2 ïr r r y las ecuaciones de paso de coordenadas en  a son ( x¢0 , y¢0), entonces se tendrá íu1 = c'11 u'1+c'21 u' 2 r r r ï îu2 = c'12 u'1+c'22 u' 2 æ x¢ ö æ x¢0 ö æ c11 ¢ c12 ¢ öæ x ö ÷ç ÷. coordenadas en ¢ vendrán dadas matricialmente porç ÷= ç ÷+ç è y¢ø è y¢0 ø è c¢21 c¢22 øè yø Nota: la ecuación matricial del cambio de coordenadas [ 2] también podría expresarse de la forma æ 1 ö æ 1 0 0 öæ 1 ö ÷ç ÷ ç ÷ ç ç x ÷= ç x0 c11 c12 ÷ç x ' ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ è y ø è y0 c21 c22 øè y'ø

2.3. Coordenadas cartesianas en el plano euclídeo. Sistemas de referencia ortonormales Si al espacio lineal de vectores libres del plano V2 lo dotamos del producto escalar ordinario, tendremos el plano vectorial euclídeo E2. La estructura ( p 2 , E2 , p) recibirá ahora el nombre de “espacio afín eur r r r clídeo” y lo denotaremos por E2 . La norma asociada al producto escalar ( a = + a × a = a ) permite definir en E2 la métrica euclídea. Nos referiremos en adelante a E2 con la denominación de plano euclídeo. En E2 podemos definir vectores ortogonales (producto escalar nulo) y vector unitario (norma o módulo unidad). r r Entonces un sistema de referencia  = {O; e1, e2}de E2 es ortonormal, si lo es la base vectorial de E2 r r r r asociada; esto es, si los vectores básicos son unitarios y ortogonales entre sí: e1 = e2 = 1 y e1× e2 = 0. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

En r un rsistema r de referencia ortonormal del plano euclídeo, las componentes de cualquier vector unitario u = u1e1+ u2e2 son los cosenos directores de dicho vector, es decir, los cosenos de los ángulos que dicho vector forma con cada uno de los vectores básicos: r r u × e1 rr ( ) a = Ð u,e1 cos a = r r = u1 u e1 Y u r r u ×e r b = Ð( u¢, e2) cos b = r r 1 = u2 = sena b e2 u e1 a r El vector unitario u podrá expresarse, pues, de la forma r r r X u = cos ae1+ sen ae2. O e1 Un sistema de referencia OXY que sea ortonormal tiene como particularidades: Figura 4. Ð(OX ,OY ) = Ð(O¢X ¢,O¢Y ¢) = 90º

OU 2 = O¢U ¢2 = 1 OU 1 = O¢U1¢= 1

En consecuencia, la matriz C verifica Ct ×C = I; es decir, la matriz de paso debe ser una matriz ortogonal. Hemos de tener en cuenta que para transformar el sistema de referencia ortonormal OXY en otro O¢X ¢Y ¢ también ortonormal han de conservarse las longitudes OU 1 y OU 2 , así como el ángulo (recto) que forman los ejes coordenados. O sea: æ c11 c12 ö ÷, La matriz de cambio de coordenadas ( x¢, y¢) a ( x, y), según vimos en el epígrafe 2.2., esC= ç è c21 c22 ø r r r r siendo las columnas de dicha matriz las coordenadas de los vectores e1¢y e2¢ en la base{e1, e2}. Por ser ortonormales los sistemas de referencia, se tendrá: r 2 2 ì e' = c112+ c21 =1 ï 1 ïr 2 2 [ 3] í e' 2 = c122 + c22 =1 ïr r ïe'1×e' 2= c11× c12 + c21× c22 = 0 î

– –

Y

x

P(x,y) y

U2

U1

Los puntos unidad U1 y U2 están a igual distancia del origen O. Las coordenadas (x, y) de un punto P reciben ahora el nombre particular de coordenadas cartesianas rectangulares. Los puntos del plano tales que x > 0 e y > 0 constituyen el primer cuadrante. Los puntos del plano tales que x < 0 e y > 0 constituyen el segundo cuadrante. Los puntos del plano tales que x < 0 e y < 0 constituyen el tercer cuadrante. Los puntos del plano tales que x > 0 e y < 0 constituyen el cuarto cuadrante.

r r r r Sean  = {O; e1, e2} y ¢ = {O¢; e1¢, e2¢} dos sistemas de referencia ortonormales de E2. X

2.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal: traslación y giro de ejes Figura 5.

– Los puntos unidad U1 y U2 están a igual distancia del origen O. Las coordenadas (x, y) de un punto P reciben ahora el nombre particular de coordenadas cartesianas rectangulares. Los puntos del plano tales que x > 0 e y > 0 constituyen el primer cuadrante. Los puntos del plano tales que x < 0 e y > 0 constituyen el segundo cuadrante. Los puntos del plano tales que x < 0 e y < 0 constituyen el tercer cuadrante. Los puntos del plano tales que x > 0 e y < 0 constituyen el cuarto cuadrante.

Figura 5.

2.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal: traslación y giro de ejes U1

r r r r Sean  = {O; e1, e2} y ¢ = {O¢; e1¢, e2¢} dos sistemas de referencia ortonormales de E2.

O

O

Los ejes coordenados OX y OY son perpendiculares.

X

æ c11 c12 ö ÷, La matriz de cambio de coordenadas ( x¢, y¢) a ( x, y), según vimos en el epígrafe 2.2., esC= ç è c21 c22 ø r r r r siendo las columnas de dicha matriz las coordenadas de los vectores e1¢y e2¢ en la base{e1, e2}. Por ser ortonormales los sistemas de referencia, se tendrá: r 2 2 ì e' = c112+ c21 =1 ï 1 ïr 2 2 [ 3] í e' 2 = c122 + c22 =1 ïr r e' ×e' = c × c + c × c = 0 ï î 1 2 11 12 21 22 U2

y

x

P(x,y)

Y

–

Figura 4.

Los ejes coordenados OX y OY son perpendiculares.

Un sistema de referencia OXY que sea ortonormal tiene como particularidades:

e1

En r un rsistema r de referencia ortonormal del plano euclídeo, las componentes de cualquier vector unitario u = u1e1+ u2e2 son los cosenos directores de dicho vector, es decir, los cosenos de los ángulos que dicho vector forma con cada uno de los vectores básicos: r r u ×e rr a = Ð( u,e1) cos a = r r 1 = u1 u e1 Y u r r u ×e r b = Ð( u¢, e2) cos b = r r 1 = u2 = sena b e 2 u e1 a r El vector unitario u podrá expresarse, pues, de la forma r r r u = cos ae1+ sen ae2. O

X

En consecuencia, la matriz C verifica Ct ×C = I; es decir, la matriz de paso debe ser una matriz ortogonal. Hemos de tener en cuenta que para transformar el sistema de referencia ortonormal OXY en otro O¢X ¢Y ¢ también ortonormal han de conservarse las longitudes OU 1 y OU 2 , así como el ángulo (recto) que forman los ejes coordenados. O sea: OU 1 = O¢U1¢= 1

OU 2 = O¢U ¢2 = 1

Ð(OX ,OY ) = Ð(O¢X ¢,O¢Y ¢) = 90º

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

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Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Ello nos lleva a pensar en una transformación isométrica. Es decir el cambio de sistema de referencia ortonormal se reducirá a un movimiento de ejes (traslación y/o giro), o a un movimiento más simetría axial. En lo que sigue veremos cómo se pueden obtener de manera sencilla las fórmulas de cambio de coordenadas rectangulares. Y

a)

Traslación de ejes r r OO '= x0e1+ y0e2 r r e'1= e1 r r e' 2= e2

P P y'

y

x'

X'

O'

y0

æ x ö æ x0 ö æ 1 0öæ x' ö ì x = x0 + x' ç ÷= ç ÷+ç ÷ç ÷Þ í è yø è y0 ø è 0 1øè y 'ø î y = y0 + y'

b)

Y'

O

X

x0 x

Figura 6.

Giro o rotación de ejes O = O' r r r e'1= cos ae1+ sen ae2

Y Y'

æ p ör r r r r e' 2= cosç a + ÷e1+ cos ae2 = -sen ae1+ cos ae2 è 2ø

a X' a

æ x ö æcos a –sen a öæ x ' ö ì x = x' cos a - y' sen a ç ÷= ç ÷ç ÷Þ í è yø èsen a cosa øè y 'ø î y = x' sen a + y' cos a

X

O

Figura 7. c)

Traslación más giro de ejes æ x ö æ x0 ö æcos a -sena öæ x¢ ö ÷ç ÷ ç ÷= ç ÷+ç è yø è y0 ø è sena cosa øè y¢ø ì x = x0 + x' cos a - y' sen a í î y = y0 + x' sen a + y' cos a

Y' Y X'

O'

Figura 8. d)

O

X

Simetría respecto de uno de los ejes coordenados O = O' r r e'1= e1 Y r r e' 2= - e2 æ x ö æ 1 0 öæ x ' ö ì x = x' ÷ç ÷Þ í ç ÷= ç è yø è 0 -1øè y 'ø î y = - y'

Figura 9.

O

X = X'

Y'

El sistema de referencia ortonormal OX¢Y¢ tiene los mismos ejes que el OXY, pero distinta orientación. Esto es, si en el OXY el ángulo que hay que girar con respecto al origen del semieje OX+ para hacerlo coincidir con el OY+ es +90º, en el OX¢Y¢ dicho ángulo es -90º. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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e)

468

Movimiento de ejes más simetría Si combinamos las transformaciones de ejes de los apartados c) y d), tendremos un cambio de coordenadas dado por: X' æ x ö æ x ö æcos a -sen a öæ 1 0 öæ x' ö ç ÷= ç 0 ÷+ç ÷ç ÷ç ÷= è yø è y0 ø èsen a cos a øè 0 -1øè y'ø Se tiene r³ 0 y 0 £ q < 2p.

P = ( r, q)

Al origen O se le denomina polo, y a la semirrecta origen de ángulos orientados eje polar (en nuestro caso OX + ). Por definición, el origen de coordenadas tiene de módulo 0 y de argumento 0. Los números r y q así definidos se llaman coordenadas polares de P y escribimos Y

æ x0 ö æcos a sen a öæ x ' ö ÷ç ÷ = ç ÷+ç è y0 ø èsen a –cosa øè y 'ø

O'

ì x = x0 + x' cos a + y¢sen a í î y = y0 + x' sen a - y¢cos a

r donde OU 1 = u1 es el vector unitario que marca la dirección positiva del r r eje OX , en el sistema de referencia ortonormal {O; u1, u2}.

Figura 10.

Y' X

O

Figura 11.

q = Ð(OU1,OP)

La primera de las condiciones [ 3] permite asegurar la existencia de un ángulo a tal que c11 = cos a y c21 = sen a. Como no pueden ser nulos a la vez cos a y sen a , supongamos que cos a ¹ 0. Podemos poner entonces c22 = l cos a, y sustituyendo en la tercera de las condiciones [ 3]: c12 cos a + lsen a cos a = 0. Resulta que debiera ser c12 = - lsen a. La segunda de las condiciones [ 3] nos lleva ahora a que: O

U1

x

X

Asimismo se define el argumento o ángulo polar de P como el menor ángulo orientado q ³ 0 que forma el semieje positivo de abscisas y el segmento OP. Es decir:

q

r

v

P

2 c122 + c22 = ( l cos a) + ( – lsen a) = l2(cos 2 a + sen 2a) = l2 = 1 2

2

Si P es un punto del plano euclídeo distinto del origen O llamaremos módulo o radio polar de P al módulo del vector de posición OP, es decir la longitud del segmento OP. Denotaremos r= OP .

De donde l = ±1. Con l = +1, tendremos la transformación del apartado c), es decir, una transformación isométrica directa (movimiento). La matriz de cambio C es ortogonal, siendo en este caso C = +1. Con l = -1, tendremos la transformación del apartado d), es decir, una transformación isométrica inversa (con cambio de orientación de los ejes). La matriz de cambio C es ortogonal, siendo en este caso C = -1. Y

Es patente la analogía entre las coordenadas polares de un punto P en el plano y la forma polar o módulo-argumental de un número complejo.

2.5. Coordenadas polares en el plano

2.5. Coordenadas polares en el plano

De donde l = ±1. Con l = +1, tendremos la transformación del apartado c), es decir, una transformación isométrica directa (movimiento). La matriz de cambio C es ortogonal, siendo en este caso C = +1. Con l = -1, tendremos la transformación del apartado d), es decir, una transformación isométrica inversa (con cambio de orientación de los ejes). La matriz de cambio C es ortogonal, siendo en este caso C = -1.

Es patente la analogía entre las coordenadas polares de un punto P en el plano y la forma polar o módulo-argumental de un número complejo. Si P es un punto del plano euclídeo distinto del origen O llamaremos módulo o radio polar de P al módulo del vector de posición OP, es decir la longitud del segmento OP. Denotaremos r= OP .

Y

2

2

v

2 c122 + c22 = ( l cos a) + ( – lsen a) = l2(cos 2 a + sen 2a) = l2 = 1

P

Asimismo se define el argumento o ángulo polar de P como el menor ángulo orientado q ³ 0 que forma el semieje positivo de abscisas y el segmento OP. Es decir:

La primera de las condiciones [ 3] permite asegurar la existencia de un ángulo a tal que c11 = cos a y c21 = sen a. Como no pueden ser nulos a la vez cos a y sen a , supongamos que cos a ¹ 0. Podemos poner entonces c22 = l cos a, y sustituyendo en la tercera de las condiciones [ 3]: c12 cos a + lsen a cos a = 0. Resulta que debiera ser c12 = - lsen a. La segunda de las condiciones [ 3] nos lleva ahora a que: r

q

O

x

U1

X

Figura 11.

q = Ð(OU1,OP)

r donde OU 1 = u1 es el vector unitario que marca la dirección positiva del r r eje OX , en el sistema de referencia ortonormal {O; u1, u2}.

Figura 10.

ì x = x0 + x' cos a + y¢sen a í î y = y0 + x' sen a - y¢cos a

O

Y' X

Al origen O se le denomina polo, y a la semirrecta origen de ángulos orientados eje polar (en nuestro caso OX + ). Por definición, el origen de coordenadas tiene de módulo 0 y de argumento 0. Los números r y q así definidos se llaman coordenadas polares de P y escribimos æ x0 ö æcos a sen a öæ x ' ö ÷ç ÷ = ç ÷+ç è y0 ø èsen a –cosa øè y 'ø

O'

Y

Movimiento de ejes más simetría Si combinamos las transformaciones de ejes de los apartados c) y d), tendremos un cambio de coordenadas dado por: X' æ x ö æ x0 ö æcos a -sen a öæ 1 0 öæ x' ö ç ÷= ç ÷+ç ÷ç ÷ç ÷= è yø è y0 ø èsen a cos a øè 0 -1øè y'ø P = ( r, q)

Se tiene r³ 0 y 0 £ q < 2p.

468

e)

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Las coordenadas polares ( r, q) de un punto P determinan unívocamente sus coordenadas cartesianas ( x, y), mediante las fórmulas de paso: ìx = rcos q í î y = rsen q Recíprocamente dadas las cartesianas ( x, y) determinan también unívocamente las polares ( r, q). En efecto, para el módulo es: r= + x2 + y2 El argumento se obtendría como sigue:

–

Si x = y = 0

: q = 0.

–

Si x > 0, y = 0 : q = 0.

–

Si x = 0, y > 0 : q = p 2

–

Si x < 0, y = 0 : q = p

–

Si x = 0, y < 0 : q = 3p 2

y y p p Si x e y son no nulas, entonces se tiene tgq = . Si denotamos por a = arc tg , siendo- £ a £ , x x 2 2 entonces según el cuadrante en que esté P se tiene:

–

æ pö Si x > 0, y > 0 Þ Primer cuadranteç 0 < a < ÷ è 2ø

–

æ p ö Si x < 0, y > 0 Þ Segundo cuadranteç- < a < 0÷ : è 2 ø

q = a+ p

–

æ pö Si x < 0, y < 0 Þ Tercer cuadranteç 0 < a < ÷ è 2ø

:

q = a+ p

–

æ pö Si x < 0, y < 0 Þ Cuarto cuadranteç 0 < a < ÷ è 2ø

:

q = a + 2p

:

q= a

a+p a+p

a

a +2p

a

Figura 12. El argumento q también puede venir determinado por: x y cos q = , sen q = , 0£ q < 2p 2 2 2 x +y x + y2

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

469

Volumen II. Matemáticas

470

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

æ 1ö æ 1 ç ÷ ç ç x ÷ ç x0 ç y ÷= ç y ç ÷ ç 0 è z ø è z0

c21 c22 c31 c32

0 öæ 1 ö ÷ç ÷ c13 ÷ç x¢ ÷ c23 ÷ç y¢÷ ÷ç ÷ c33 øè z¢ø

3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO 3.1. Coordenadas cartesianas en el espacio afín 0 c11

0 c12

Z

De manera similar a la seguida para el plano, partiremos del espacio afín tridimensional A3 = ( p 3 , V3 , p), donde un sistema der referencia cartesiano será ahora un r r conjunto  = {O; u1, u2 , u3}, siendo O el origen de r r r coordenadas y {u1, u2 , u3} una base de V3 (es decir, una terna de vectores que forman un tetraedro). [OU1] = ur1; [OU 2] = ur2; [OU 3] = ur3

El cambio es, por tanto, reversible a través de la matriz inversa C-1. También puede ponerse: es regular.

öæ x¢ ö c13 ÷ ç ÷ c23 ÷ç y¢÷ ÷ç ÷ c33 øè z¢ø

Û

U1

x = x 0 + Cx¢

X

Figura 13.

æ ö æ ö æ ç x ÷ ç x0 ÷ ç c11 c12 ç y÷= ç y0 ÷+ç c21 c22 ç ÷ ç ÷ ç è z ø è z 0 ø è c31 c32

Y

U2

3x 3

O

donde la matriz C= ( cij)

U3

Las rectas OU1, OU 2 , OU 3 se denominan ejes coordenados y se denotan respectivamente por OX, OY, OZ. Asimismo los planos OXY, OXZ y OYZ reciben el nombre de planos coordenados. Las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P respecto del sistema de referencia Â, se definen como las componentes del vector de posiciónë OP û r r r en la base {u1, u2 , u3}.

el cambio de coordenadas se expresaría mediante la ecuación matricial Z

r r r r r r Al igual que vimos en el plano, si  = {O; u1, u2 , u3} y  = {O¢; u1¢, u¢2 , u¢3}son dos sistemas de referencia en el espacio afín, puede obtenerse la relación entre las coordenadas ( x, y, z) y ( x¢, y¢, z¢) de un punto P, referidas respectivamente a los sistemas  y ¢, si se conocen las expresiones (únicas) de los vecr r r r r r toresë OO¢û, u1¢, u¢2 y u¢3 en la base {u1, u2 , u3}. Entonces, pues, si ì[OO '] = x ur + y ur + z ur 0 1 0 2 0 3 ïr r r r ïu' = c u +c u +c u í 1 11 1 21 2 31 r3 r r r ïu' 2= c12u1+ c22u2 + c32u3 r r r ïr îu' 3= c13u1+ c23u2 + c33u3 P

O

y

Y

x

X

Es decir, la terna (x, y, z) son las coordenadas del punto P si, y sólo si, se tiene que ë OP û= xur1+ yur2 + zur3.

Figura 14.

3.2. Cambio del sistema de referencia

3.2. Cambio del sistema de referencia

z

r r r r r r Al igual que vimos en el plano, si  = {O; u1, u2 , u3} y  = {O¢; u1¢, u¢2 , u¢3}son dos sistemas de referencia en el espacio afín, puede obtenerse la relación entre las coordenadas ( x, y, z) y ( x¢, y¢, z¢) de un punto P, referidas respectivamente a los sistemas  y ¢, si se conocen las expresiones (únicas) de los vecr r r r r r toresë OO¢û, u1¢, u¢2 y u¢3 en la base {u1, u2 , u3}. Entonces, pues, si ì[OO '] = x ur + y ur + z ur 0 1 0 2 0 3 ïr ïu'1= c11ur1+ c21ur 2 + c31ur 3 ír r r r ïu' 2= c12u1+ c22u2 + c32u3 r r r r ïu' î 3= c13u1+ c23u2 + c33u3 Figura 14.

X

x

Y

y

P

Z

Figura 13.

X U

1

U2 O

Las rectas OU1, OU 2 , OU 3 se denominan ejes coordenados y se denotan respectivamente por OX, OY, OZ. Asimismo los planos OXY, OXZ y OYZ reciben el nombre de planos coordenados. Las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P respecto del sistema de referencia Â, se definen como las componentes del vector de posiciónë OP û r r r en la base {u1, u2 , u3}.

Y

[OU1] = ur1; [OU 2] = ur2; [OU 3] = ur3

De manera similar a la seguida para el plano, partiremos del espacio afín tridimensional A3 = ( p 3 , V3 , p), donde un sistema der referencia cartesiano será ahora un r r conjunto  = {O; u1, u2 , u3}, siendo O el origen de r r r coordenadas y {u1, u2 , u3} una base de V3 (es decir, una terna de vectores que forman un tetraedro). es regular.

Z

El cambio es, por tanto, reversible a través de la matriz inversa C-1. También puede ponerse: æ 1ö æ 1 0 0 0 öæ 1 ö ÷ç ÷ ç ÷ ç ç x ÷ ç x0 c11 c12 c13 ÷ç x¢ ÷ ç y ÷= ç y c c c ÷ç y¢÷ ç ÷ ç 0 21 22 23 ÷ç ÷ è z ø è z 0 c31 c32 c33 øè z¢ø

U3

3x 3

z

Es decir, la terna (x, y, z) son las coordenadas del punto P si, y sólo si, se tiene que donde la matriz C= ( cij)

O

ë OP û= xur1+ yur2 + zur3.

el cambio de coordenadas se expresaría mediante la ecuación matricial æ x ö æ x0 ö æ c11 c12 c13 öæ x¢ ö ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç Û x = x 0 + Cx¢ ç y÷= ç y0 ÷+ç c21 c22 c23 ÷ç y¢÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ¢ è z ø è z 0 ø è c31 c32 c33 øè z ø

3.1. Coordenadas cartesianas en el espacio afín

3. SISTEMAS DE COORDENADAS EN EL ESPACIO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

470

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

3.3. Coordenadas cartesianas en el espacio euclídeo. Sistemas de referencia ortonormales Sea E3 = ( p 3 , E3 , p) el espacio euclídeo, esto es, el espacio afín tridimensional con el espacio vectorial subyacente dotado del producto escalar ordinario. De ese modo E3 queda dotado de la métrica euclídea. r r r Al igual que el plano, un sistema de referencia  = {O; e1, e2 , e3} es ortonormal si se cumple ì1 si i = j r r i , j Î {1,2,3}, lo que equivale a que los vectores básicos sean unitarios y ortogoei × e j = dij = í î0 si i ¹ j nales dos a dos. r Un vector unitario uvendrá expresado en el sistema Â, a través de sus Z u cosenos directores, que son los cosenos de los ángulos a , b , y g que dicho g vector forma con los ejes coordenados r r r r r r r a u = u1e1+ u2e2 + u3e3 = cos ae1+ cos be2 + cos ge3. b Obviamente cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Para que el sistema de referencia OXYZ sea ortonormal, los ejes coordenados deben ser perpendiculares y los puntos unidad U1, U2 y U3 deben estar a la misma distancia del origen O. Las coordenadas de un punto P en dicho sistema de referencia se denominan coordenadas cartesianas ortogonales.

Y

X Figura 15.

3.4. Cambio de sistema de referencia ortonormal Al igualrque r en r el plano, si tenemos r r r dos sistemas de referencia ortonormales de E3, que denotaremos por  = {O; e1, e2 , e3} y ¢ = {O¢; e1¢, e2¢ , e3¢}, el paso de coordenadas de uno a otro puede concretarse en la ecuación matricial x = x 0 + Cx' donde la matriz C = ( cij) es ortogonal. Las columnas de dicha matriz son las componentes de los vecto3´3 r r r r r r res e'1 , e' 2 y e' 3 en la base {e1, e2 , e3}, o sea, los cosenos directores de cada uno de aquellos en el sistema de referencia ortonormal Â. Por ser ortonormales los sistemas de referencia dados, se cumplirá: 3

åc c

ij jk

j=1

ì1 si i = j = dik = í î0 si i ¹ j

Lo que significa que la matriz de paso C cumpleCt ×C = I, es decir, se trata de una matriz ortogonal. En particular:

–

Si la matriz C es la identidad, tendremos una traslación paralela de ejes coordenados y la ecuación de paso de coordenadas se reduce a x = x 0 + x¢, es decir: ìx = x0 + x¢ ï í y = y0 + y¢ ï î z = z 0 + z¢

–

Si O = O¢, entonces la ecuación de paso se reduce a x = Cx¢ y será un cambio de sistema de referencia ortonormal con origen fijo.

Como la matriz C es ortogonal se tendrá C = ±1. En caso de que sea C = +1decimos que los sistemas de referencia  y ¢ tienen la misma orientación. En caso de que C = -1, ambos sistemas tienen distinta orientación. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

471

Volumen II. Matemáticas

472

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

r r r En Física se utiliza la notación {O; i , j,k} para un sistema de referencia canónico (ortonormal).

De los nueve ángulos que intervienen en la matriz basta conocer r rtres de ellos r r . Los otros seis se pueden calcular a partir de ellos como consecuencia de las relaciones ei , e j = dij y ei¢, e¢j = dij. Euler encontró unas fórmulas para expresar los nueve coeficientes cij de un cambio de referencia ortonormal sin traslación ( a1 = a2 = a3 = 0), en función de tres parámetros independientes, que son las medidas de tres ángulos correspondientes a tres rotaciones alrededor de tres rectas que pasan por O. Dichos ángulos se conocen como ángulos de Euler. Sea XYZ el triedro primitivo y X ¢Y ¢Z¢ el nuevo triedro. Sea X 1 la intersección de los planos XY y X ¢Y ¢ y sean Y1 e Y1¢ las perpendiculares a X 1 trazadas por O en cada uno de los planos XY y X ¢Y ¢. Z

Z

(b)

(a)

X

Y

X

Y

Figura 16.

öæ 1 ö æ 1ö æ 1 0 0 0 ç ÷ ç r r r r r r ÷ç ÷ ç x ÷ ç a1 cos( e1, e1¢) cos( e1, e2¢) cos( e1, e3¢) ÷ç x¢ ÷ ç y÷= ç a cos( er , er¢) cos( er , er¢) cos( er , er¢) 1÷ç y¢÷ 2 1 2 2 2 3 ç ÷ ç 2 r r r r ÷ç ÷ r r è z ø è a3 cos( e3 , e1¢) cos( e3 , e2¢) cos( e3 , e3¢) øè z¢ø

Los ejes coordenados suelen tomarse de tal manera que si se girara un tornillo en el mismo sentido que el que habría que girar el semieje OX+ para hacerlo coincidir con OY+, entonces el avance de dicho tornillo se produciría según OZ+. En este caso el sistema der referencia r r se denomina dextrógiro o a derechas (figura 16a), y para el producto vectorial se tiene que i ´ j = k . es En caso contrario, si los ejes se toman de tal modo que al girar OX+ hacia OY+ el avance delr tornillo r r según OZ-, el sistema de referencia es levógiro o a izquierdas (figura 16b), siendo entonces i ´ j = –k . con lo cual, la ecuación matricial anterior se expresa así:

3.5. Fórmulas de Euler

Multiplicando escalarmente en las [ 4 ] tenemos r r r r ei × e¢j = cij = cos( ei , e¢j)

Si los vectores de la nueva base ortonormal son r r r r ìe¢= c11e1+ c21e2 + c31e3 ïr1 r r r íe2¢ = c12e1+ c22e2 + c32e3 r r r ïr îe3¢ = c13e1+ c23e2 + c33e3

æ x ö æ a1 ö æ c11 c12 ç ÷ ç ÷ ç ç y ÷= ç a2 ÷+ç c21 c22 ç ÷ ç ÷ ç è z ø è a3 ø è c31 c32

æ ¢ö c13 ö ÷ç x ÷ c23 ÷ç y¢÷ ÷ç ÷ c33 øè z¢ø

o

æ 1ö æ 1 ç ÷ ç ç x ÷ ç a1 ç y÷= ç a ç ÷ ç 2 è z ø è a3

0 0 c11 c12 c21 c22 c31 c32

0 öæ 1 ö ÷ç ÷ c13 ÷ç x¢ ÷ c23 ÷ç y¢÷ ÷ç ÷ c33 øè z¢ø

[4]

la ecuación general del cambio de coordenadas puede ponerse matricialmente como

la ecuación general del cambio de coordenadas puede ponerse matricialmente como æ ö æ ö æ ç x ÷ ç a1 ÷ ç c11 c12 ç y ÷= ç a2 ÷+ç c21 c22 ç ÷ ç ÷ ç è z ø è a3 ø è c31 c32

æ 1ö æ 1 ç ÷ ç ç x ÷ ç a1 ç y÷= ç a ç ÷ ç 2 è z ø è a3

0 0 c11 c12 c21 c22 c31 c32

0 öæ 1 ö ÷ç ÷ c13 ÷ç x¢ ÷ c23 ÷ç y¢÷ ÷ç ÷ c33 øè z¢ø

Si los vectores de la nueva base ortonormal son r r r r ìe1¢= c11e1+ c21e2 + c31e3 ïr r r r íe2¢ = c12e1+ c22e2 + c32e3 r r r ïr¢ îe3 = c13e1+ c23e2 + c33e3 öæ x¢ ö c13 ÷ ç ÷ c23 ÷ç y¢÷ ÷ç ÷ c33 øè z¢ø

o

3.5. Fórmulas de Euler

[4]

Multiplicando escalarmente en las [ 4 ] tenemos r r r r ei × e¢j = cij = cos( ei , e¢j)

es En caso contrario, si los ejes se toman de tal modo que al girar OX+ hacia OY+ el avance delr tornillo r r según OZ-, el sistema de referencia es levógiro o a izquierdas (figura 16b), siendo entonces i ´ j = –k . con lo cual, la ecuación matricial anterior se expresa así:

öæ 1 ö æ 1ö æ 1 0 0 0 ç ÷ ç r r r r r r ÷ç ÷ ç x ÷ ç a cos( e , e¢) cos( e , e¢) cos( e , e3¢) ÷ç x¢ ÷ 1 1 1 1 2 1 ç y÷= ç a cos( er , er¢) cos( er , er¢) cos( er , er¢) 1÷ç y¢÷ 2 1 2 2 2 3 ç ÷ ç 2 r r r r ÷ç ÷ r r è z ø è a3 cos( e3 , e1¢) cos( e3 , e2¢) cos( e3 , e3¢) øè z¢ø

Los ejes coordenados suelen tomarse de tal manera que si se girara un tornillo en el mismo sentido que el que habría que girar el semieje OX+ para hacerlo coincidir con OY+, entonces el avance de dicho tornillo se produciría según OZ+. En este caso el sistema der referencia r r se denomina dextrógiro o a derechas (figura 16a), y para el producto vectorial se tiene que i ´ j = k . Y

Y

X

Figura 16.

X

De los nueve ángulos que intervienen en la matriz basta conocer r rtres de ellos r r . Los otros seis se pueden calcular a partir de ellos como consecuencia de las relaciones ei , e j = dij y ei¢, e¢j = dij. Euler encontró unas fórmulas para expresar los nueve coeficientes cij de un cambio de referencia ortonormal sin traslación ( a1 = a2 = a3 = 0), en función de tres parámetros independientes, que son las medidas de tres ángulos correspondientes a tres rotaciones alrededor de tres rectas que pasan por O. Dichos ángulos se conocen como ángulos de Euler. Sea XYZ el triedro primitivo y X ¢Y ¢Z¢ el nuevo triedro. Sea X 1 la intersección de los planos XY y X ¢Y ¢ y sean Y1 e Y1¢ las perpendiculares a X 1 trazadas por O en cada uno de los planos XY y X ¢Y ¢. (a)

(b)

Z

Z

r r r En Física se utiliza la notación {O; i , j,k} para un sistema de referencia canónico (ortonormal).

472

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio La primera rotación, de ángulo j= Ð(OX ,OX 1), tiene lugar alrededor del eje OZ y en ella el triedro XYZ pasa al X 1Y1Z, siendo las fórmulas en este caso: ìx = x1cos j- y1sen j í î y = x1sen j+ y1cos j

[ 5]

La segunda rotación, de ángulo q = Ð(OZ ,OZ¢) = Ð(OY1,OY1¢), tiene lugar alrededor de OX 1, y en ella el triedro X 1Y1Z pasa al X 1Y1¢Z¢, mediante las fórmulas: ì y1 = y1¢cos q - z¢sen q í î z = y1¢sen q + z¢cos q

[ 6]

Z Z' q

Y' O

y

Y1'

q

j

y

X'

Y1

X

j

X1

Y

Figura 17.

La tercera rotación, de ángulo y = Ð(OX 1,OX ¢), alrededor de OZ¢, pasa en el triedro X 1Y1¢Z¢ a la posición definitiva X ¢Y ¢Z¢, siendo: ìx1 = x¢cos y - y¢sen y í î z = x¢sen y + y¢cos y

[ 7]

Eliminando x1, y1, y1¢ entre las relaciones [ 5], [ 6] y [ 7] se llega a las fórmulas de Euler: ìx = (cos jcos y - sen j sen y cos q) x¢- (cos j sen y + sen jcos y cos q) y¢+ sen j sen qz¢ ï í y = (sen jcos y + cosj sen y cos q) x¢- (sen j sen y + cosjcos y cos q) y¢- cosj sen qz¢ ï î z = sen y sen qx¢+ cos y sen qy¢+ cosqz¢ Las fórmulas anteriores tienen como aplicación interesante las secciones planas de superficies en el espacio, para las que basta hacer una transformación de coordenadas tomando por plano X ¢Y ¢ el de la sección, adoptando el eje X ¢ confundido con X 1. Con ello y = 0, por lo que se simplifica bastante. Como para obtener la sección plana hay que hacer z¢ = 0, resultan las fórmulas: ìx = x¢cos j- y¢senjcos q ï í y = x¢senj+ y¢cosjcos q ï î z = y¢senq que nos dan la ecuación de la curva de sección sustituyendo en la de la superficie x, y , z por los valores anteriores. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

473

Volumen II. Matemáticas

474

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

La terna de números ( r, q , j) son las coordenadas polares del punto P, siendo r > 0, 0 £ q £ p y 0 £ j < 2p. Al origen de coordenadas se le asignan las coordenadas polares ( 0,0,0), por definición.

Figura 19.

P = ( x, y, z) es un punto del espacio euclídeo tridimensional distinto del origen. Sea r el módulo de P (que por definición es el del vector OP). Denotaremos por j al argumento de P¢ respecto de las coordenadas polares en el plano OXY y por q (distancia cenital) al menor ángulo ( 0£ q £ p) que forma OP con el semieje positivo OZ+ . Los dos ángulos q y j se denominan respectivamente argumentos primero y segundo del punto P, o también colatitud y longitud. Al ángulo p - q se le denomina latitud. 2

j

En particular:

Si el plano de sección pasa por el eje de las x, entonces j= 0, y las fórmulas se reducen a x y

O

r

Si el plano secante pasa por el eje de las y, entonces j = p 2 y queda: ìx = - y¢cos q ï í y = x¢ ï î z = y¢sen q

q

–

P

z

b)

ìx = x¢ ï í y = y¢cos q ï î z = y¢sen q

P'

–

Coordenadas polares

3.6. Coordenadas curvilíneas en el espacio: sistemas de coordenadas cilíndricas y polares para determinar q se tendrá el cuadrante del plano OXY en que está situada la proyección P¢. ìr = + x2 + y2 ï ï y Las relaciones “recíprocas” son ítgq = z ï ïz = z î

a)

Coordenadas cilíndricas

Sea P = ( x, y, z) un punto del espacio euclídeo tridimensional, cuyas coordenadas cartesianas vienen r r r dadas en un sistema de referencia ortonormal{O; u1, u2 , u3}. Supondremos que P no está sobre el eje OZ. Si la proyección P¢ de P sobre el plano OXY tiene de coordenadas polares r y q, entonces las coordenadas cilíndricas o semipolares de P son ( r, q , z), donde r³ 0 y 0 £ q £ 2p. Las coordenadas cilíndricas determinan unívocamente las cartesianas y viceversa. ìx = rcos q ï En efecto, para el paso a cartesianas se tiene: í y = rsen q ï îz = z q

r

y

o

P

z

ìx = rcos q ï En efecto, para el paso a cartesianas se tiene: í y = rsen q ï îz = z

Si la proyección P¢ de P sobre el plano OXY tiene de coordenadas polares r y q, entonces las coordenadas cilíndricas o semipolares de P son ( r, q , z), donde r³ 0 y 0 £ q £ 2p. Las coordenadas cilíndricas determinan unívocamente las cartesianas y viceversa. q

x

y

r

x

o

P'

P

Figura 18.

z

ìr = + x2 + y2 ï ï y Las relaciones “recíprocas” son ítgq = z ï ïz = z î

P'

Sea P = ( x, y, z) un punto del espacio euclídeo tridimensional, cuyas coordenadas cartesianas vienen r r r dadas en un sistema de referencia ortonormal{O; u1, u2 , u3}. Supondremos que P no está sobre el eje OZ. a)

Figura 18.

Coordenadas cilíndricas

3.6. Coordenadas curvilíneas en el espacio: sistemas de coordenadas cilíndricas y polares para determinar q se tendrá el cuadrante del plano OXY en que está situada la proyección P¢. Coordenadas polares z

ìx = - y¢cos q ï í y = x¢ ï î z = y¢sen q

Si el plano secante pasa por el eje de las y, entonces j = p 2 y queda: y

j x

ìx = x¢ ï í y = y¢cos q ï î z = y¢sen q

r O

La terna de números ( r, q , j) son las coordenadas polares del punto P, siendo r > 0, 0 £ q £ p y 0 £ j < 2p. Al origen de coordenadas se le asignan las coordenadas polares ( 0,0,0), por definición.

Si el plano de sección pasa por el eje de las x, entonces j= 0, y las fórmulas se reducen a 474

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Figura 19.

En particular:

P'

–

P

q

P = ( x, y, z) es un punto del espacio euclídeo tridimensional distinto del origen. Sea r el módulo de P (que por definición es el del vector OP). Denotaremos por j al argumento de P¢ respecto de las coordenadas polares en el plano OXY y por q (distancia cenital) al menor ángulo ( 0£ q £ p) que forma OP con el semieje positivo OZ+ . Los dos ángulos q y j se denominan respectivamente argumentos primero y segundo del punto P, o también colatitud y longitud. Al ángulo p - q se le denomina latitud. 2

–

b)

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Para los puntos del eje OZ no estaría definido el argumento j. Puede asignarse en este caso el valor 0 a dicho argumento, por lo que las coordenadas de tales puntos serían de la forma ( r,0,0) para los del semieje OZ+ y ( r, p ,0) para los del semieje OZ-. Las coordenadas polares determinan de manera unívoca las coordenadas cartesianas, pues llamando ìx = rcos j ï r= OP¢, tendremos: í y = rsen j ï î z = rcos q Pero como r= rsen q, las fórmulas de paso de cartesianas a polares quedarán como sigue: ìx = rsen q cos j ï í y = rsen q sen j ï î z = rcos q Recíprocamente las coordenadas cartesianas determinan unívocamente las polares:

–

r= x2 + y2 + z 2

–

El longitud j se calcula a partir de x e y igual que en las coordenadas polares planas, es decir con y tgj= y teniendo en cuenta el cuadrante de OXY en que se encuentra la proyección P¢. x

–

Para calcular la colatitud q podemos optar por cualquiera de la fórmulas: cos q =

z = r

z x2 + y2 + x2

o

tgq =

r = z

x2 + y2 z

teniendo en cuenta que debe ser 0£ q £ p. Observaciones: a) Si en las coordenadas polares se toma la latitud p f = - q como primer argumento, en lugar de la cola2 titud q, entonces la terna ( r, f, j) son las coordenadas coordenadas esféricas. Se tendrá p p 0 £ j < 2p y- £ f £ . 2 2 Se observa la similitud con las “coordenadas geográficas” sobre la superficie terrestre. b)

P f j

Figura 20.

Un punto P del espacio puede venir dado también por su radio vector r= OP y por los tres ángulos a , b y g que el vector de posiciónOP forma con los semiejes OX+ ,OY+ y OZ+. Tales ángulos están ligados por la relación cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1.

4. CURVAS Y SUPERFICIES. GENERALIDADES 4.1. Distintas formas de definir curvas y superficies en el plano y en el espacio La definición de curvas y superficies puede hacerse desde varias perspectivas: a)

Geométrica El conjunto de puntos del plano o del espacio caracterizado mediante una determinada propiedad, se denomina lugar geométrico. Una curva o una superficie pueden ser definidas a veces como lugares geométricos. Así, pues, la circunferencia y la superficie esférica son, en el plano y en el espacio, respectiva-

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

475

Volumen II. Matemáticas

476

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ì f ( x , y , z) = 0 ï í ïg ( x, y, z) = 0 î

mente, los lugares geométricos definidos por la propiedad característica de equidistar de un punto fijo. Aunque hay que hacer notar que hay lugares geométricos que no son ni curvas ni superficies. También hay curvas o superficies obtenidas mediante transformaciones geométricas (isometrías, homotecias…).

Algebraica Las curvas y las superficies pueden también venir definidas como conjuntos de soluciones de ecuaciones o sistemas de ecuaciones de dos o tres incógnitas. Así, pues, ecuaciones como f ( x, y) = 0 o f ( x, y, z) = 0, pueden definir una curva en el plano o una superficie en el espacio. Sabido es que si f cumple ciertas condiciones, las ecuaciones anteriores definen, en cada caso, a y como función implícita de x, o a z como función implícita de x e y (véase en cualquier tratado de Análisis Matemático el importante teorema de la función implícita). Asimismo una curva alabeada en el espacio puede ser el conjunto de puntos solución de un sistema Dinámica

d)

b)

Desde este punto de vista una curva o una superficie se pueden entender como la gráfica de una función explícita de una o dos variables respectivamente.

Figura 21.

Figura 22. Algunas curvas planas o alabeadas se obtienen por generación mecánica; bastará pensar en la cicloide o en la hélice. Se puede entender una curva como la trayectoria de un punto móvil. Tal movimiento tendrá un solo grado de libertad. Si pensamos en un punto móvil con dos grados de libertad, el conjunto de posiciones posibles de dicho punto configurará una superficie en el espacio. También veremos cómo los movimientos en el plano y en el espacio (traslaciones, giros, rotaciones alrededor de un eje) pueden ser el fundamento de la definición de ciertas curvas o superficies. Pensemos por ejemplo en las espirales, en las cuádricas de revolución o en las superficies helicoides.

(x , y)

x

y

y =f(x)

z

Analítica

Analítica

c)

z =f(x, y)

c)

Algunas curvas planas o alabeadas se obtienen por generación mecánica; bastará pensar en la cicloide o en la hélice. Se puede entender una curva como la trayectoria de un punto móvil. Tal movimiento tendrá un solo grado de libertad. Si pensamos en un punto móvil con dos grados de libertad, el conjunto de posiciones posibles de dicho punto configurará una superficie en el espacio. También veremos cómo los movimientos en el plano y en el espacio (traslaciones, giros, rotaciones alrededor de un eje) pueden ser el fundamento de la definición de ciertas curvas o superficies. Pensemos por ejemplo en las espirales, en las cuádricas de revolución o en las superficies helicoides. z =f(x, y)

z

y =f(x)

y

x

(x , y)

Figura 22. Figura 21.

Desde este punto de vista una curva o una superficie se pueden entender como la gráfica de una función explícita de una o dos variables respectivamente. Algebraica Las curvas y las superficies pueden también venir definidas como conjuntos de soluciones de ecuaciones o sistemas de ecuaciones de dos o tres incógnitas. Así, pues, ecuaciones como f ( x, y) = 0 o f ( x, y, z) = 0, pueden definir una curva en el plano o una superficie en el espacio. Sabido es que si f cumple ciertas condiciones, las ecuaciones anteriores definen, en cada caso, a y como función implícita de x, o a z como función implícita de x e y (véase en cualquier tratado de Análisis Matemático el importante teorema de la función implícita). Asimismo una curva alabeada en el espacio puede ser el conjunto de puntos solución de un sistema ì ï f ( x , y , z) = 0 í ï îg ( x, y, z) = 0 b)

d)

Dinámica

mente, los lugares geométricos definidos por la propiedad característica de equidistar de un punto fijo. Aunque hay que hacer notar que hay lugares geométricos que no son ni curvas ni superficies. También hay curvas o superficies obtenidas mediante transformaciones geométricas (isometrías, homotecias…).

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

476

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

4.2. Ecuaciones de una curva en el plano La ecuación de una curva en el plano euclídeo, puede venir dada de varias formas:

–

En coordenadas cartesianas puede adoptar la forma explícita y = f ( x). En la forma implícita vendrá dada por F ( x, y) = 0, ecuación que, bajo determinadas condiciones de la función F , define implícitamente a y como función de x.

–

Asimismo, en coordenadas polares puede adoptar la forma explícita r = f ( q) o la forma implícita F ( r, q) = 0.

–

Finalmente, una curva puede venir dada por dos ecuaciones dependientes de un parámetro, como veremos a continuación. Una curva parametrizada (o en paramétricas) en E2 es una aplicación continua f:R ® E2. Si tomamos un sistema de referencia canónico en E2 y respecto de dicho sistema las coordenadas de f( t ) son ( x( t ) , y( t )), entonces una curva no es más que una aplicación que a cada número real t Î R hace corresponder un único punto ( x( t ) , y( t )), cuyas coordenadas son funciones del “parámetro” t, es decir: f( t ) = ( g1, g 2)( t ) = ( g1( t ) , g 2( t )) Ni que decir tiene que f es continua si lo son g1 y g 2. ìx = x( t ) = g1( t ) Las ecuaciones í reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva. Las î y = y( t ) = g 2( t ) funciones g1 y g 2 han de ser continuas. Si identificamos el parámetro t con el tiempo, podemos dar una interpretación cinemática de las ecuaciones paramétricas. La curva que definen será la trayectoria de un punto móvil. r Si denotamos por x( t ) al vector de posición de un punto genérico de la curva, la ecuación vectorial de la curva es r r r x( t ) = x( t ) e1+ y( t ) e2 Dada una curva parametrizada en el plano mediante su ecuación vectorial, se suele identificar dicha curva con el conjunto imagen de la aplicación f:R ® E2, dada por f( t ) = ( x( t ) , y( t )), es decir con el conjunto de puntos G = {( x , y) Î E2 $t 0 Î R , f( t 0) = ( x , y)}

x(t)

O Figura 23.

Si para un punto P de G es único el valor t 0 se dice entonces que P es un punto simple de la curva. En caso contrario decimos que P es un punto múltiple. Si las funciones x( t ) e y( t ) son continuas y la curva carece de puntos múltiples recibe el nombre de curva de Jordan. r r Si f está definida sobre el intervalo [ a , b ] siendo x( a) = x( b) decimos que la curva es cerrada, o que se tiene un bucle. ìx = cos t Por ejemplo, la aplicación f:[ 0,2p ] ® E2 dada por í P0 G î y = sen t Y x'(t0) es una curva cerrada, pues f( 0) = f( 2p) = (1,0). r r r La derivada de la función vectorial x( t ) = x( t ) e1+ y( t ) e2 x(t0) para t 0, si existe, es el límite: r r x( t 0 + h) - x( t 0) r r r = x¢( t 0) e1+ y¢( t 0) e2 x¢( t 0) = lim O X h ®0 h que nos da un vector tangente a la curva.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 24.

477

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

La pendiente en un punto genérico será

478

dy y¢( t ) dy . = dt = x¢( t ) dx dx dt

ìx = x( t ) = g1( t ) ï Las ecuaciones í y = y( t ) = g 2( t ) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva. Las ï î z = z( t ) = g 3 ( t ) funciones g1, g 2 y g 3 han de ser continuas. En forma vectorial una curva parametrizada G de E3 viene dada por: r r r r x( t ) = x( t ) e1+ y( t ) e2 + z( t ) e3 r siendo x( t ) el vector de posición de un punto genérico de dicha curva. En el espacio, una curva puede interpretarse como la trayectoria que describe un punto móvil. Así al parámetro “t” se le puede dar un G Z sentido físico, considerándolo como el tiempo. Las curvas contenidas en un plano se denominan curvas planas; las no planas se llaman curvas alabeadas. O Al igual que una recta puede expresarse como la intersección de dos planos, una curva en el espacio puede venir dada mediante la interX x(t) sección de dos superficies Y ì ïF1( x, y, z) = 0 í Figura 25. ï îF2( x, y, z) = 0

Si se tiene x¢( t 0) ¹ 0, decimos entonces que P0(x( t 0) , y( t 0)) es un punto ordinario de la curva G. En caso de que x¢( t 0) = 0, se dice que es un punto singular. En un punto ordinario la ecuación de la recta tangente es y- y( t 0) =

y¢( t 0) (x- x( t 0)) x¢( t 0)

En caso de un punto singular tal que

x¢( t 0) = x¢¢( t 0) = x¢¢¢( t 0) = K= x( n)( t 0) = 0;

x( n+1)( t 0) ¹ 0

la ecuación de la recta tangente vendrá dada por y- y( t 0) =

y( n+1)( t 0)

x( n+1)( t 0)

(x- x( t 0))

Supondremos que una “curva elemental” es la unión de un número finito de arcos de Jordan, de modo que tenga a lo sumo un número finito de puntos múltiples y un número finito de puntos sin tangente. f( t ) = ( g1, g 2 , g 3)( t ) = ( g1( t ) , g 2( t ) , g 3( t ))

4.3. Ecuaciones de una curva en el espacio

Una curva en E3 es una aplicación continua f:R ® E3. Si tomamos un sistema de referencia canónico en E3 y respecto de dicho sistema las coordenadas de f( t ) son ( x( t ) , y( t ) , z( t )), entonces una curva no es más que una aplicación que a cada número real t Î R hace corresponder un único punto ( x( t ) , y( t ) , z( t )), cuyas coordenadas son funciones del “parámetro” t, es decir:

Una curva en E3 es una aplicación continua f:R ® E3. Si tomamos un sistema de referencia canónico en E3 y respecto de dicho sistema las coordenadas de f( t ) son ( x( t ) , y( t ) , z( t )), entonces una curva no es más que una aplicación que a cada número real t Î R hace corresponder un único punto ( x( t ) , y( t ) , z( t )), cuyas coordenadas son funciones del “parámetro” t, es decir: f( t ) = ( g1, g 2 , g 3)( t ) = ( g1( t ) , g 2( t ) , g 3( t ))

4.3. Ecuaciones de una curva en el espacio

ìx = x( t ) = g1( t ) ï Las ecuaciones í y = y( t ) = g 2( t ) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva. Las ï î z = z( t ) = g 3 ( t ) funciones g1, g 2 y g 3 han de ser continuas. En forma vectorial una curva parametrizada G de E3 viene dada por: r r r r x( t ) = x( t ) e1+ y( t ) e2 + z( t ) e3 r siendo x( t ) el vector de posición de un punto genérico de dicha curva. En el espacio, una curva puede interpretarse como la trayectoria que describe un punto móvil. Así al parámetro “t” se le puede dar un G Z sentido físico, considerándolo como el tiempo. Las curvas contenidas en un plano se denominan curvas planas; las no planas se llaman curvas alabeadas. O Al igual que una recta puede expresarse como la intersección de dos planos, una curva en el espacio puede venir dada mediante la intersección de dos superficies

Supondremos que una “curva elemental” es la unión de un número finito de arcos de Jordan, de modo que tenga a lo sumo un número finito de puntos múltiples y un número finito de puntos sin tangente. y- y( t 0) =

y( n+1)( t 0) (x- x( t 0)) x( n+1)( t 0)

la ecuación de la recta tangente vendrá dada por

x¢( t 0) = x¢¢( t 0) = x¢¢¢( t 0) = K= x( n)( t 0) = 0;

x( n+1)( t 0) ¹ 0

En caso de un punto singular tal que

y- y( t 0) =

y¢( t 0) (x- x( t 0)) x¢( t 0)

En un punto ordinario la ecuación de la recta tangente es

X

x(t)

Si se tiene x¢( t 0) ¹ 0, decimos entonces que P0(x( t 0) , y( t 0)) es un punto ordinario de la curva G. En caso de que x¢( t 0) = 0, se dice que es un punto singular. Y

Figura 25.

dy y¢( t ) dy . = dt = x¢( t ) dx dx dt

478

ìF1( x, y, z) = 0 ï í ïF2( x, y, z) = 0 î

La pendiente en un punto genérico será

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Si las coordenadas utilizadas son cilíndricas o polares, una curva G vendrá definida respectivamente por dos ecuaciones de la forma ì ï f1( r, q , z) = 0 í ï f2( r, q , z) = 0 î

o

ì ïg1( r, q , j) = 0 í ïg 2( r, q , j) = 0 î

4.4. Ecuaciones de una superficie en el espacio Una superficie en el espacio se puede representar de forma paramétrica como ìx = x( t , s) = g1( t , s) ï í y = y( t , s) = g 2( t , s) ï î z = z( t , s) = g 3( t , s)

Z

En cierto modo, se pueden interpretar las expresiones anteriores considerando una superficie como una deformación de un plano, ya que los puntos del plano están descritos por dos parámetros. Una superficie parametrizada S (o en paramétricas) en el espacio euclídeo E3 viene dada por una aplicación continua j: ( t , s) ® ( x( t , s) , y( t , s) , z( t , s)) de un dominio D del plano euclídeo en E3. Se suele identificar la superficie con la imagen de dicha aplicación. r r r r En forma vectorial x( t , s) = x( t , s) e1+ y( t , s) e2 + z( t , s) e2.

P

O

Y X

Figura 26.

Para un punto P( x , y , z) de dicha superficie a ( t , s) se les denomina coordenadas intrínsecas de P.

Otra forma de describir una superficie en el espacio es mediante la ecuación implícita F( x , y , z) = 0 En determinadas condiciones para la función F, la ecuación anterior permitirá obtener la ecuación explícita z = f ( x, y). En tal caso una parametrización inmediata sería ìx = t ï íy= s ï î z = f ( t , s) También puede venir dada en cilíndricas f ( r, q , z) = 0 o en polares f ( r, q , j) = 0.

5. ALGUNOS EJEMPLOS DE CURVAS PLANAS Y ALABEADAS 5.1. Algunos ejemplos de curvas en forma explícita En la forma explícita una curva se interpreta como la gráfica de una función real de variable real. Si una curva viene dada en forma explícita y = f ( x), fácilmente se puede expresar en forma paramétrica ìx = t í î y = f ( t) No nos explayaremos aquí, sino que nos limitaremos a recoger de modo sucinto algunas curvas que se asocian con la gráfica de funciones conocidas. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

479

Volumen II. Matemáticas

480

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

.../...

Función

Denominación

Curva Y

Parábola cúbica

O

X

y = x2

y=3 x

Y

Parábola X O

X

O

Parábola (rama superior) y = x3

Y

Parábola cúbica O

1

X

O

Curva de Agnesi Y 1

Y

Hipérbola equilátera

-1

1

X

O

Gráfica de la función fraccionaria

1 -1 O

1 y= x

y =+ x

Y 1

X

1 y= 1+ x 2 -1

1

1 x2

y=

1

X

Y Y

Gráfica de la función fraccionaria O

Hipérbola equilátera

-1

-1

1 y= 2 x

1 -1 O

1

1 x

1

X

1

X

Y 1

1 y= 1+ x 2 X

Curva de Agnesi X O

1

1

Y

y =+ x

y=

Y O

Parábola cúbica

y = x3

Y

Parábola (rama superior) O

X

O X Y

Parábola y=3 x

Parábola cúbica

y = x2

O

X

Y

Función

Denominación

Curva

.../...

480

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio .../... Y

ìx = t 3 2 y = x 3í 2 îy=t

Parábola de Neil

X O Y

ìx = t 2 3 y = x 2í 3 îy=t

Parábola semicúbica

Y

y=cos x

y = senx y = cos x

X

O

y=sen x

1

Sinusoide y cosinusoide

p -¾

-p

p

p ¾

O

2

2

-1

y= tgx

y = tgx y = ctgxx

y= ctgx 3

Tangentoide y cotangentoide

2 1 p -p - ¾

3p -¾

0

2

2

p

p ¾ 2

3p ¾ 2

-1 -2 -3

Y 1 1

y = ln x

Curva logarítmica

O

e

X

y

y = ex y = e-x

Curvas exponenciales y= ex -1

1

y= e-x O

1

X

.../...

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

481

Volumen II. Matemáticas

482

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

.../... u cos q + v sen q =

1 r

[ 8] y = e-x

y 1

Campana de Gauss

2

Según nuestras definiciones la recta sería la “curva” más sencilla. Tanto la forma cartesiana como la vectorial y paramétrica son de sobra conocidas. Nos limitaremos sólo a obtener la ecuación de la recta en polares. Si la recta pasa por el polo, su ecuación polar es q = q 0 (figura 27 a). Si partimos de la ecuación cartesiana en forma general Ax+ By+ C = 0 de una recta que no pasa por el polo, podemos efectuar el cambio a polares obteniendo Arcos q + Brsen q + C = 0, de donde la ecua-C . Al no pasar por el origen es C ¹ 0, ción polar de la recta puede expresarse como A cos q + B sen q = r -A -B y v= , quedando la ecuación polar de la forma: C C

por lo que podemos tomar u = -

O

1 ¾

1 ¾

2

2

Y

5

4

ex - e-x y = shx = 2 ex - e-x y = chx = 2

3

2

Gráficas de las funciones hiperbólicas

y= chx

-3

y= shx

1

-2

0

-1

1

2

X

3

-1

5.2. La recta y su ecuación polar -2

-3 -4

O

-5

a

Y

X

x y = ach a

Catenaria

5

Y

4

y=cthx

3

ex - e-x y = thx = x -x e +e ex + e-x y = cthx = x -x e -e

Gráficas de las funciones hiperbólicas

2

y=thx

1 -3

-2

0

-1

1

2

X

-4

-3

y= cthx

-2

-1

ex - e-x y = thx = ex + e-x ex + e-x ex - e-x

-1

-2

y = cthx =

y= cthx

-3

-4

Gráficas de las funciones hiperbólicas

-2

-3

-1

0

1

X

2

1

y=thx

2 3

Y

y=cthx

4 5

x a

Catenaria

Y

y = ach

a X O

-5 -4 -3

-2

5.2. La recta y su ecuación polar Gráficas de las funciones hiperbólicas

ex - e-x y = shx = 2 ex - e-x 2

Campana de Gauss

y = e-x

y = chx =

-1

-3

-2

-1

0

1

2

3

Según nuestras definiciones la recta sería la “curva” más sencilla. Tanto la forma cartesiana como la vectorial y paramétrica son de sobra conocidas. Nos limitaremos sólo a obtener la ecuación de la recta en polares. Si la recta pasa por el polo, su ecuación polar es q = q 0 (figura 27 a). Si partimos de la ecuación cartesiana en forma general Ax+ By+ C = 0 de una recta que no pasa por el polo, podemos efectuar el cambio a polares obteniendo Arcos q + Brsen q + C = 0, de donde la ecua-C . Al no pasar por el origen es C ¹ 0, ción polar de la recta puede expresarse como A cos q + B sen q = r -A -B y v= , quedando la ecuación polar de la forma: por lo que podemos tomar u = C C 1 [ 8] u cos q + v sen q = r 1

y= chx

X

y= shx

2

3

4

5

Y

2

-

2

1 ¾

2

O

1 ¾

1

y

.../... CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

482

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

r P

r

H

(b)

(a)

r

q0

j d

q

O

O

Figura 27.

También podemos llegar a la ecuación polar a partir de la distancia d del polo a la recta y del ángulo j que forma el eje polar y la perpendicular a la recta desde el polo (figura 27 b). En efecto, si P( r, q) es un punto de la recta r, considerando el triángulo OHP tendremos ÐPOH = j- q, de donde: cos( j- q) =

OH d = Þ OP r

r=

d

[ 9]

cos( j- q)

Si la ecuación viene dada de la forma anterior, para representar la recta bastaría determinar el punto H de coordenadas polares ( d ,j) y la recta sería la perpendicular por H a OH. Desarrollando [ 9] 1 cos( j- q) cos jcos q + sen j sen q = = r d d cos j sen q . , v= d d Veamos otra manera de llegar a la ecuación polar. De la ecuación cartesiana Ax+ By+ C = 0 llegamos a Arcos q + Br sen q + C = 0. Sabemos que

que se identifica con [ 8] poniendo u =

OD =

-C A2+B2

Þ

C = -OD A 2 + B 2

Las componentes del vector OD son (OD cos j,OD sen j). Pero como ese vector es perpendicular a la recta será proporcional al ( A , B) que también lo es. Entonces: A = kOD cos j, B = kOD sen j Þ A 2 + B 2 = k 2 ×OD Þ k ×OD = De donde A =

A 2 + B 2 cos j y B =

A2+B2

A 2 + B 2senj.

Si llevamos los valores de A, B y C a la ecuación polar de la recta: A=

A 2 + B 2 cos jrcos q + A 2 + B 2sen j rsen q - OD A 2 + B 2 = 0

Simplificando: r(cos jcos q + sen j sen q) - d = 0, donde d = OD. Queda, por tanto: rcos( q - j) - d = 0 TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

483

Volumen II. Matemáticas

484

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Hay una forma elegante de obtenerla como lugar geométrico sencillo: Tomemos dos circunferencias concéntricas con centro en O(0,0) y radios respectivos a y b (supondremos a > b). Toda semirrecta que parte de O y forma un ángulo t con el eje OX intercepta en las circunferencias dadas sendos puntos A( a cos t , asent ) y B( b cos t , bsent ).

5.3. La circunferencia Figura 29.

Las ecuaciones paramétricas

ìx = rcos t í î y = rsent

[10]

O

definen una curva cuyos puntos verifican x2 + y2 = r2(cos 2 t + sen 2t ) = r2, es decir, son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia centrada en O(0,0) y de radio r.

a) Elipse

B

En el tema 54 se hace un estudio detallado de estas curvas, por lo que nos limitaremos tan sólo a algunos aspectos.

P

La ecuación cartesiana x 2 + y 2 = r2 contempla la circunferencia como lugar geométrico, mientras que las ecuaciones paramétricas [10] la describen como la trayectoria de un punto móvil. Si variamos t entre 0 y 2p la circunferencia se recorre en sentido positivo, es decir, contrario al de las agujas del reloj. Asimismo, ìx = rcos t describastaría cambiar t por -t, y las ecuaciones í î y = - rsent ben la misma circunferencia, aunque recorrida en sentido negativo, cuando t varía entre 0 y 2p. Una generalización de lo dicho anteriormente es una circunferencia de radio r centrada en ( x0 , y0), cuyas ecuaciones paramétricas son

5.4. Las cónicas

X

A

r C d

r2 + d 2 - 2 rd cos( q - a) = r2

q

( rcos q - d cos a) 2 +( rsen q - d sen a) 2 = r2

r

de donde resulta desarrollando:

a

O

( d ,a) donde x0 = d cos a e y0 = d sen a. Sustituyendo en la ecuación ( x- x0) + ( y- y0) = r2, tendremos 2

2

Si el polo no coincide con el centro de la circunferencia, entonces las coordenadas polares de éste serán

Figura 28.

ìx = x0 + rcos t í î y = y0 + rsen t

r= r = cte

Si tomamos como polo el centro de la circunferencia, el cambio a polares x = rcos q , y = rsen q, nos lleva, sustituyendo en la ecuación x2 + y2 = r2, hasta la ecuación polar: y cuya ecuación cartesiana implícita es, como sabemos: ( x- x0) + ( y- y0) = r2. 2

2

Si tomamos como polo el centro de la circunferencia, el cambio a polares x = rcos q , y = rsen q, nos lleva, sustituyendo en la ecuación x2 + y2 = r2, hasta la ecuación polar: y cuya ecuación cartesiana implícita es, como sabemos: ( x- x0) + ( y- y0) = r2. 2

r= r = cte

Figura 28.

2

ìx = x0 + rcos t í î y = y + rsen t 0

Si el polo no coincide con el centro de la circunferencia, entonces las coordenadas polares de éste serán

La ecuación cartesiana x 2 + y 2 = r2 contempla la circunferencia como lugar geométrico, mientras que las ecuaciones paramétricas [10] la describen como la trayectoria de un punto móvil. Si variamos t entre 0 y 2p la circunferencia se recorre en sentido positivo, es decir, contrario al de las agujas del reloj. Asimismo, ìx = rcos t bastaría cambiar t por -t, y las ecuaciones í descriî y = - rsent ben la misma circunferencia, aunque recorrida en sentido negativo, cuando t varía entre 0 y 2p. Una generalización de lo dicho anteriormente es una circunferencia de radio r centrada en ( x0 , y0), cuyas ecuaciones paramétricas son

( d ,a) donde x0 = d cos a e y0 = d sen a. Sustituyendo en la ecuación ( x- x0) + ( y- y0) = r2, tendremos 2

( rcos q - d cos a) 2 +( rsen q - d sen a) 2 = r2

O

2

a

q

de donde resulta desarrollando:

d

r

r2 + d 2 - 2 rd cos( q - a) = r2

C r

En el tema 54 se hace un estudio detallado de estas curvas, por lo que nos limitaremos tan sólo a algunos aspectos.

A

P

5.4. Las cónicas

X

definen una curva cuyos puntos verifican x2 + y2 = r2(cos 2 t + sen 2t ) = r2, es decir, son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia centrada en O(0,0) y de radio r.

B

a) Elipse

O

ìx = rcos t í î y = rsent

Hay una forma elegante de obtenerla como lugar geométrico sencillo: Tomemos dos circunferencias concéntricas con centro en O(0,0) y radios respectivos a y b (supondremos a > b). Toda semirrecta que parte de O y forma un ángulo t con el eje OX intercepta en las circunferencias dadas sendos puntos A( a cos t , asent ) y B( b cos t , bsent ).

[10]

Las ecuaciones paramétricas

5.3. La circunferencia

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

484

Figura 29.

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio El lugar geométrico de los puntos que tienen la misma abscisa que A y la misma ordenada que B ìx = a cos t constituye una curva de ecuaciones paramétricas í , que resulta ser una elipse de centro O y seî y = bsent miejes a y b. Es fácil verlo, ya que eliminando el parámetro llegamos a la ecuación cartesiana implícita æ x ö æ yö cos 2 t + sen 2 t = ç ÷ +ç ÷ = 1 èaø è b ø 2

2

Þ

x2 y2 + =1 a2 b2

Asimismo una elipse de centro ( x0 , y0) y semiejes a y b, puede venir dada en forma paramétrica meìx = x0 + a cos t diante las ecuaciones í î y = y0 + b sent Para obtener la ecuación polar de la elipse, tomemos como polo uno de los focos F y como eje polar la semirrecta FA, siendo A el vértice de la elipse más próximo a F. Entonces las coordenadas polares del punto P( r, q) cumplen: ìPD = d- rcos q í , siendo d la distancia del foco F a la diîPF = r = r rectriz. Como se verifica PF = ePD, siendo e la excentricidad obtenemos r = e( d- rcos q), de donde r=

ed 1+ ecos q

P r

D

q

F

d

Figura 30.

que es la llamada ecuación polar o focal de la elipse. æa ö a 2 - c2 b 2 El numerador es también ed = eç - c÷= a - ec = = por lo que la ecuación anterior pueèe ø a a b2 x2 y2 , a la que también se llega efectuando en 2 + 2 = 1 el cambio a de ponerse en la forma r = a + ccos q a b ìx- c = rcos q polares í î y = rsen q

b) Hipérbola Una hipérbola que tiene su centro de simetría en el origen de coordenadas y sus focos en el eje OX, admite una parametrización sencilla utilizando las funciones hipérbolicas, a saber: ì et + e-t ï ïx = acht = a 2 í e t - e-t ï y = b sh t = b ï î 2 x2 y2 - = ch 2t - sh 2t = 1. a2 b2 ì a ïx = También sirven las í cos t , ya que entonces también sería: ï î y = btgt En efecto, tendríamos

x2 y2 a2 b 2tg 2t 1 sen 2t 1- sen 2t cos 2 t = =1 = = 2- 2 = 2 2 2 2 cos 2 t cos 2 t a b a cos t b cos t cos 2 t TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

485

Volumen II. Matemáticas

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

que como vemos es similar a la de la elipse y la hipérbola para e = 1.

De manera similar a la elipse, para una hipérbola de eje real horizontal centrada en el origen de coordenadas, podemos expresar su ecuación en coordenadas polares, tomando como polo uno de los focos. Por ejemplo, para la rama de la izquierda, tomamos como polo el foco F ¢.

p p - rcos q + y se llega a la ecuación polar o focal: 2 2

Si P ( r, q) es un punto de la hipérbola se tiene ì ïPD = d- rcos q í , donde d es la distancia del foco F a ï îPF = r = r la directriz.

Figura 32.

F

X

p - rcos q 2

r

ed 1+ ecos q

Sea una parábola de eje de simetría OX y vértice en el origen de coordenadas. Tomamos como polo el foco F y como eje polar el eje de simetría. Si las coordenadas polares de un punto cualquiera de la parábola son P ( r, q), entonces:

P

r=

D

x=

p 2

Como se verifica PF = ePD, obtenemos r = e( d- rcos q), de donde

q

r = PF = PD = x+

Figura 31.

A

d

Sustituyendo r =

p 1+ cos q

q

r=

D

r

F

486

P

que es la ecuación polar o focal de la hipérbola. El numerador puede ponerse como

Y

æ aö c2 - a 2 b 2 ed = eç c - ÷= ec - a = = è eø a a ìx = t 2 2 p í îy= t

ìx = t í 2 îy= t 2p

por lo que la ecuación anterior quedaría en la forma

o

r=

b2 a + ccos q

La parábola es también fácilmente parametrizable. Así, pues, para la y2 = 2 px o la x2 = 2 py, por ejemplo, bastaría tomar respectivamente las ecuaciones paramétricas: x2 y2 - = 1 el cambio a polares x + c = rcos q e y = rsen q. a2 b2

c) Parábola

x2 y2 - = 1 el cambio a polares x + c = rcos q e y = rsen q. a2 b2

c) Parábola

a la que también se llega efectuando en

a la que también se llega efectuando en

La parábola es también fácilmente parametrizable. Así, pues, para la y2 = 2 px o la x2 = 2 py, por ejemplo, bastaría tomar respectivamente las ecuaciones paramétricas: b2 a + ccos q o

r=

ìx = t í 2 îy= t 2p

por lo que la ecuación anterior quedaría en la forma

ìx = t 2 2 p í îy= t

æ aö c2 - a 2 b 2 ed = eç c - ÷= ec - a = = è eø a a

Y

Sea una parábola de eje de simetría OX y vértice en el origen de coordenadas. Tomamos como polo el foco F y como eje polar el eje de simetría. Si las coordenadas polares de un punto cualquiera de la parábola son P ( r, q), entonces:

que es la ecuación polar o focal de la hipérbola. El numerador puede ponerse como ed 1+ ecos q

r

p p - rcos q + y se llega a la ecuación polar o focal: 2 2

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

486

D

que como vemos es similar a la de la elipse y la hipérbola para e = 1.

P

p 1+ cos q

r

De manera similar a la elipse, para una hipérbola de eje real horizontal centrada en el origen de coordenadas, podemos expresar su ecuación en coordenadas polares, tomando como polo uno de los focos. Por ejemplo, para la rama de la izquierda, tomamos como polo el foco F ¢. r=

p 2

q

Sustituyendo r =

r = PF = PD = x+

d

Si P ( r, q) es un punto de la hipérbola se tiene ìPD = d- rcos q ï í , donde d es la distancia del foco F a ï îPF = r = r la directriz.

Figura 32.

p - rcos q 2

F

F

x=

Figura 31.

A

X

Como se verifica PF = ePD, obtenemos r = e( d- rcos q), de donde

q

r=

P

D

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

5.5. Curvas obtenidas por generación mecánica Ya se dijo que una curva puede entenderse como la trayectoria de un punto móvil; es decir, como el lugar de las distintas posiciones del punto al variar el tiempo t . Pero hay curvas que pueden ser obtenidas mecánicamente con parámetros distintos del tiempo. Veremos algunos ejemplos interesantes.

a) La cicloide La cicloide, que es el lugar descrito por un punto P de una circunferencia (“ruleta”) que rueda sin deslizarse por una recta fija. Puede visualizarse pegando un adhesivo en un punto del borde de la rueda de una bicicleta; al correr con dicha bicicleta, el adhesivo describe una cicloide. Consideremos que en su posición inicial dicho punto es el punto de tangencia y coincide con el origen de coordenadas.

C

2a

X

Figura 33.

O A

D t

B

Sea a el radio de la circunferencia que rueda. Para una posición genérica X del punto P tomamos como parámetro el ángulo girado t en radianes, es decir t = ÐBCX . Entonces, teniendo en cuenta que OB = arco BX = at , las coordenadas ( x, y) de X vendrán dadas por: ìx = OA = OB - AB = OB - XD = at - asent = a( t - sent ) í î y = AX = BC - CD = a - a cos t = a(1- cos t ) Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son, pues : ìx = a( t - sen t ) í î y = a(1- cos t ) Como vemos x e y son funciones continuas de t. Si hacemos variar t desde 0 hasta 2p obtenemos un arco de Jordan. Para t = 0 , tenemos la posición inicial (0,0) y para t = 2p la posición ( 2pa,0), en que la “ruleta” ha dado una vuelta completa y el punto P vuelve de nuevo a la posición de contacto con la recta fija. La ordenada máxima en ese intervalo es igual al diámetro; se obtiene obviamente para t = p, que es cuando la posición del punto es ( pa ,2a). Para valores de t superiores a 2p, la forma de la curva se va repitiendo de manera periódica. Los puntos obtenidos para t = 2kp, con k entero, se denominan puntos de retroceso de la cicloide. La cicloide tiene asombrosas propiedades tanto geométricas como físicas. Así, pues:

–

La longitud de cicloide entre dos puntos de retroceso consecutivos es 8 veces mayor que el radio de la circunferencia giratoria.

–

El área encerrada bajo el arco de cicloide es tres veces el área del círculo que la genera.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

P1

P2

H Figura 34.

487

Volumen II. Matemáticas

488

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Epicicloide: la definición es similar a la anterior, con la diferencia de que la rodadura se produce por el exterior. La ruleta gira sin resbalar, permaneciendo siempre la tangente exterior a la circunferencia directriz.

–

Hipocicloide: la base y la ruleta son circulares, produciéndose la rodadura por el interior de la base. Se trata, pues, de la curva que describe un punto invariable de una circunferencia móvil, al rodar ésta en contacto interior con otra circunferencia.

–

– –

Si dejamos caer por su propio peso una bolita colocada sobre un arco de cicloide invertida, el tiempo que tarda en llegar al punto más bajo H es el mismo, independientemente del punto de partida. Decimos que se trata de una curva tautócrona. Asimismo, la cicloide es una curva isócrona. Esto quiere decir que un punto material que se desplace sobre ella por su propio peso, sigue un movimiento periódico cuyo período es independiente del punto de partida.

En general, un curva cíclica es la generada por un punto de una línea móvil, cuando ésta rueda sin resbalar sobre una línea situada en su mismo plano. A efectos de nomenclatura, se denomina “base” o directriz” de la rodadura al elemento fijo, mientras que al elemento móvil se le llama “ruleta” o elemento generador. Según vimos, en el caso de la cicloide la base es recta y la ruleta circular. Pero cuando la base es también circular se obtienen otras curvas cíclicas, que se denominan:

–

Si A y B son dos puntos de un plano vertical, el camino más corto es el segmento AB obviamente, pero no es el más rápido. La curva de descenso más rápido entre tales puntos es la cicloide.

La cicloide es una curva con mucha historia. Ptolomeo (200 a.C.) la utilizó para describir los movimientos de los planetas del sistema solar. El estudio de sus propiedades ocupó a muchos matemáticos y se vincula al nacimiento del cálculo de variaciones, que fue la antesala del nacimiento del cálculo infinitesimal, allá por el siglo XVII. Así, pues, Johan Bernouilli, en 1696, planteó el problema de la braquistócrona (del griego “tiempo breve”), curva de descenso más rápido entre dos puntos de un plano vertical. Con ello Johan Bernouilli retó a los matemáticos de la época a que le B enviaran en un plazo determinado la solución correcta. Se cree que la intención de Johan Bernouilli era derrotar a su hermano Jakob, o tal vez humillar al gran Newton. Este último le hizo llegar, no obstante, una de las Figura 35. cuatro soluciones que recibió aquel. Al final el propio Bernouilli reveló que la braquistócrona no era más que la cicloide de Huygens invertida. Efectivamente, Christian Huygens (1629-1695), físico-matemático holandés, con motivo de sus investigaciones sobre el movimiento pendular, había realizado un estudio minucioso de la cicloide. Llegó a demostrar que si un péndulo oscila entre dos topes en forma de cicloide invertida, ese período es el mismo sea cual sea la amplitud de las oscilaciones. Esto se conoce como péndulo isócrono de Huygens (figura 36). Si se elige el punto P bien en el interior de círculo o bien en la prolongación del radio, se obtienen variantes de la cicloide que se denominan trocoides (figura 37). Figura 36. A

b) Otros tipos de curvas cíclicas: hipocicloides y epicicloides Figura 37.

(b)

(a)

P

P

Figura 36.

La cicloide es una curva con mucha historia. Ptolomeo (200 a.C.) la A utilizó para describir los movimientos de los planetas del sistema solar. El estudio de sus propiedades ocupó a muchos matemáticos y se vincula al nacimiento del cálculo de variaciones, que fue la antesala del nacimiento del cálculo infinitesimal, allá por el siglo XVII. Así, pues, Johan Bernouilli, en 1696, planteó el problema de la braquistócrona (del griego “tiempo breve”), curva de descenso más rápido entre dos puntos de un plano vertical. Con ello Johan Bernouilli retó a los matemáticos de la época a que le B enviaran en un plazo determinado la solución correcta. Se cree que la intención de Johan Bernouilli era derrotar a su hermano Jakob, o tal vez humillar al gran Newton. Este último le hizo llegar, no obstante, una de las Figura 35. cuatro soluciones que recibió aquel. Al final el propio Bernouilli reveló que la braquistócrona no era más que la cicloide de Huygens invertida. Efectivamente, Christian Huygens (1629-1695), físico-matemático holandés, con motivo de sus investigaciones sobre el movimiento pendular, había realizado un estudio minucioso de la cicloide. Llegó a demostrar que si un péndulo oscila entre dos topes en forma de cicloide invertida, ese período es el mismo sea cual sea la amplitud de las oscilaciones. Esto se conoce como péndulo isócrono de Huygens (figura 36). Si se elige el punto P bien en el interior de círculo o bien en la prolongación del radio, se obtienen variantes de la cicloide que se denominan trocoides (figura 37). P

P

Figura 37.

(a)

(b)

b) Otros tipos de curvas cíclicas: hipocicloides y epicicloides

En general, un curva cíclica es la generada por un punto de una línea móvil, cuando ésta rueda sin resbalar sobre una línea situada en su mismo plano. A efectos de nomenclatura, se denomina “base” o directriz” de la rodadura al elemento fijo, mientras que al elemento móvil se le llama “ruleta” o elemento generador. Según vimos, en el caso de la cicloide la base es recta y la ruleta circular. Pero cuando la base es también circular se obtienen otras curvas cíclicas, que se denominan:

Si A y B son dos puntos de un plano vertical, el camino más corto es el segmento AB obviamente, pero no es el más rápido. La curva de descenso más rápido entre tales puntos es la cicloide.

–

Asimismo, la cicloide es una curva isócrona. Esto quiere decir que un punto material que se desplace sobre ella por su propio peso, sigue un movimiento periódico cuyo período es independiente del punto de partida.

–

Si dejamos caer por su propio peso una bolita colocada sobre un arco de cicloide invertida, el tiempo que tarda en llegar al punto más bajo H es el mismo, independientemente del punto de partida. Decimos que se trata de una curva tautócrona.

–

–

488

Hipocicloide: la base y la ruleta son circulares, produciéndose la rodadura por el interior de la base. Se trata, pues, de la curva que describe un punto invariable de una circunferencia móvil, al rodar ésta en contacto interior con otra circunferencia.

Epicicloide: la definición es similar a la anterior, con la diferencia de que la rodadura se produce por el exterior. La ruleta gira sin resbalar, permaneciendo siempre la tangente exterior a la circunferencia directriz. CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

–

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Nota: si la base es circular y la ruleta es recta, al contrario que la cicloide, se tiene la envolvente de la circunferencia. Vamos a suponer que el radio de la circunferencia fija o directriz es R y el de la móvil o ruleta es r. Si se trata de hipocicloides las ecuaciones paramétricas que se obtienen son

R

r t

ì æR ö x = ( R – r) cos t + rcosç – 1÷t ï ï èr ø í æ R ï y = ( R – r) sen t + rsenç – 1ö ÷t ï èr ø î

Figura 38.

Para diferentes razones de rodadura R r se obtienen tipos particulares de hipocicloides: (a)

(b)

P P

Figura 39.

–

Si R r= 3, tenemos la hipocicloide de tres retrocesos, también llamada deltoide o hipocicloide natural de Steiner (figura 39 a).

–

Si R r= 4, tenemos la hipocicloide de cuatro retrocesos o astroide (figura 39 b).

En caso de epicicloides destacaremos tres casos especiales:

–

Si R r< 1, es decir, si el radio de la ruleta es mayor que el de la directriz, se tiene la denominación de pericicloide.

–

Si R r= 1, es decir, la ruleta y la directriz tienen igual radio, se obtiene la cardioide.

–

Si R r= 2, es decir, si el radio de la directriz es el doble del de la ruleta, tenemos la nefroide. r

Vamos a obtener las ecuaciones particulares de algunas de ellas.

–

Astroide Haciendo R = 4r en las ecuaciones paramétricas de las hipocicloides tendremos ì x = 3rcos t + rcos 3t í î y = 3rsen t + rsen 3t Utilizando la fórmula de Moivre, a partir de (cos t + i sen t )3 = cos 3t + i sen 3t

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

R

Figura 40. 489

Volumen II. Matemáticas

490

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

llegaremos fácilmente a cos 3t = 4 cos 3 t – 3cos t , sen 3t = 3sen t – 4 sen 3t que permiten llegar a una parametrización sencilla de la astroide: ì x = R cos 3 t í 3 î y = R sen t

ì x = r – 2rcos t + rcos 2t Por tanto, una parametrización de la cardioide sería í î y = 2rsen t – rsen 2t æ pö = 2rsen t – rcosç 2t – ÷= 2rsen t + rsen 2t è 2ø

y = AX = A ' X ' = A 'C ' – X 'C ' = 2rsen t – rcos(ÐA 'C ' X ) =

El paso a cartesianas es inmediato, quedando la ecuación implícita x2 3 + y2 3 = R 2 3. æ ö p = ( r – 2rcos t ) – rsenç 2t – ÷= r – 2rcos t + rcos 2t è 2ø

–

Cardioide La denominación de esta bella curva se debe a su forma de corazón. Se trata de un caso particular del llamado caracol de Pascal. Sean dos circunferencias de radio r tangentes entre sí, una fija y la otra que rueda sin resbalar permaneciendo tangente a aquella. El lugar geométrico de las diferentes posiciones de un punto de la circunferencia móvil es la cardioide. A partir de la figura adjunta vamos a obtener una parametrización de la cardioide. Sea c la circunferencia fija y c'la móvil. Suponemos que el punto de tangencia en la posición inicial es O y que, al moverse c' este punto va tomando posiciones X y describiendo la curva. x = – OA = OA ' – AA ' = (OC – A 'C ) – AA ' = ( r – 2rcos t ) – rsen (ÐA 'C ' X ) =

Entonces

Tomaremos como parámetro t el ángulo barrido por el segmento CC ' que une los centros de ambas circunferencias, es decir t = ÐOCC ' = ÐOCT , siendo T el punto de tangencia correspondiente a la posición X del punto que genera la cardioide. Ahora bien, se tiene arco OT = arco OX, por lo cual ÐOCT = ÐTC ' X = t . æp ö p Además ÐA 'C ' X = ÐCC ' X – ÐA 'C 'C = t – ç – t ÷= 2t – . è2 ø 2

Figura 41.

C’

X

X’ c

X

c

O t A’ C

c’

A’ C

A

A

c’

O t

Figura 41.

X’ C’

Tomaremos como parámetro t el ángulo barrido por el segmento CC ' que une los centros de ambas circunferencias, es decir t = ÐOCC ' = ÐOCT , siendo T el punto de tangencia correspondiente a la posición X del punto que genera la cardioide. Ahora bien, se tiene arco OT = arco OX, por lo cual ÐOCT = ÐTC ' X = t . æp ö p Además ÐA 'C ' X = ÐCC ' X – ÐA 'C 'C = t – ç – t ÷= 2t – . è2 ø 2

Cardioide La denominación de esta bella curva se debe a su forma de corazón. Se trata de un caso particular del llamado caracol de Pascal. Sean dos circunferencias de radio r tangentes entre sí, una fija y la otra que rueda sin resbalar permaneciendo tangente a aquella. El lugar geométrico de las diferentes posiciones de un punto de la circunferencia móvil es la cardioide. A partir de la figura adjunta vamos a obtener una parametrización de la cardioide. Sea c la circunferencia fija y c'la móvil. Suponemos que el punto de tangencia en la posición inicial es O y que, al moverse c' este punto va tomando posiciones X y describiendo la curva. Entonces

x = – OA = OA ' – AA ' = (OC – A 'C ) – AA ' = ( r – 2rcos t ) – rsen (ÐA 'C ' X ) =

–

æ pö = ( r – 2rcos t ) – rsenç 2t – ÷= r – 2rcos t + rcos 2t è 2ø

El paso a cartesianas es inmediato, quedando la ecuación implícita x2 3 + y2 3 = R 2 3. y = AX = A ' X ' = A 'C ' – X 'C ' = 2rsen t – rcos(ÐA 'C ' X ) = ì x = R cos 3 t í 3 î y = R sen t

æ pö = 2rsen t – rcosç 2t – ÷= 2rsen t + rsen 2t è 2ø

llegaremos fácilmente a cos 3t = 4 cos 3 t – 3cos t , sen 3t = 3sen t – 4 sen 3t que permiten llegar a una parametrización sencilla de la astroide:

ì x = r – 2rcos t + rcos 2t Por tanto, una parametrización de la cardioide sería í î y = 2rsen t – rsen 2t

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

490

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Podemos obtener a partir de éstas la ecuación en polares de la cardioide. En efecto, el radio polar del punto X sería: r2 = x2 + y2 = ( r – 2rcos t + rcos 2t ) + ( 2rsen t + rsen 2t ) = 2

2

= r2 + 4 r2 cos 2 t + r2 cos 2 2t – 4 r2 cos t + 2r2 cos 2t – 4 r2 cos t cos 2t + 4 r2 sen 2t +

+r2 sen 2 2t – 4 rsen t sen 2t = 6r2 + 2r2(cos 2t – 2cos t – 2cos t cos 2t – 2sen t sen 2t ) Son conocidas las fórmulas trigonométricas cos 2t = cos 2 t – sen 2t = 2cos 2 t – 1 ; sen 2t = 2sen t cos t Sustituyendo queda: r2 = 6r2 + 2r2( 2cos 2 t – 1 – 2cos t – 4 cos 3 t + 2cos t – 4 sen 2 t ×cos t ) = = 6r2 + 2r2 ( 2cos 2 t – 1 – 4 cos 3 t – 4 sen 2t ×cos t ) = 4 r2 (1+ cos 2 t – 2cos 3 t – 2sen 2 t cos t ) = = 4 r2 (1+ cos 2 t – cos 3 t – 2cos t + cos 3 t ) = 4 r2 (1+ cos 2 t – 2cos t )= 4 r2 (1 – cos t )2 Finalmente r= 2r(1 – cos t ). De aquí podemos obtener la ecuación en polares de la cardioide polar, ya que x r – 2rcos t + rcos 2t r – 2rcos t + r( 2cos 2 t – 1) 2rcos t (–1+ cos t ) cos q = = = = = – cos t r 2r(1 – cos t ) 2r(1 – cos t ) 2r(1 – cos t ) Por tanto la ecuación quedaría: r = 2r(1+ cos q )

X

Esta ecuación polar puede obtenerse directamente si se toma el polo en O y como eje polar el eje de simetría OX0 de la cardioide. El punto de partida (para q = 0) será X0. Tendremos OX 0 = 4 r y ÐX 0OX = ÐC 0CC '. Entonces r= OX = OB + BX Como ÐOBA es recto, serácos q =

[11]

C' B O q

C

A

C0

P0

OB OB , de donde = 2r OA

[12] OB = 2rcos q Observemos que BX y CC ' son paralelas y además CB = C ' X , por lo cual en la figura BCC ' X es un paralelogramo, siendo

Figura 42.

[13] BX = CC ' = 2r Sustituyendo [12] y [13] en [11] llegaremos a r = 2r+ 2rcos q = 2r(1+ cos q )

–

Nefroide Según se dijo, se trata de la epicicloide cuando R = 2r. Recibe este nombre por su forma parecida a la de un riñón. Sus ecuaciones se obtienen de forma similar a la de la cardioide, resultando las que siguen: ì x = 3r cos q – r cos 3q í î y = 3r sen q – r sen 3q

Figura 43.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

p

491

Volumen II. Matemáticas

492

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA x

Figura 45.

x

c) Espirales y hélices

Las espirales son curvas planas que se forman en general cuando un móvil se desplaza girando alrededor de un “centro” o “polo”, a la vez que se va alejando de éste a cada vuelta. Es decir, es la trayectoria o curva descrita por un punto que se ve afectado simultáneamente por dos movimientos: uno lineal de desplazamiento sobre una recta, y otro angular. Así, pues, si el punto A(a,0) lo sometemos a un giro de ángulo t alrededor de O y a continuación a una homotecia de centro O y razón t, dicho punto se transformaría en el A '( at cos t , at sen t ). El lugar geométrico de los puntos del plano obtenidos para cada valor del parámetro t es una curva de ecuaciones paramétricas y

y

2p 2p

z

z

(b)

(a)

Se trata de una hélice cilíndrica (figura 45 a).

ì x = at cos t í î y = at sen t

Para cada valor de t la distancia del punto al eje OZ es a, por lo cual la hélice anterior está contenida en el cilindro circular de la ecuación x2 + y2 = a 2. ì x = a cos t ï í y = a sen t ï î z = bt

Se trata de la espiral de Arquímedes.

Figura 44.

Resulta la ecuación polar de la citada curva: r = aq. Además de la espiral arquimediana, hay otros tipos de espirales cuyas ecuaciones polares son bastana te sencillas. Tenemos la espiral logarítmica (r = eaq ) y la espiral hiperbólica (r = ). q Las hélices son curvas alabeadas que desde un punto de vista “mecánico” podrían considerarse como trayectorias de móviles en el espacio. Así, pues, un movimiento helicoidal es el que seguiría un punto sometido simultáneamente a un movimiento giratorio alrededor de un eje y a otro movimiento lineal de avance paralelo al eje de rotación. Puede incluso añadirse un tercer movimiento: el alejamiento respecto al eje de rotación. Si partimos del punto A(a,0,0) y lo sometemos a un giro de ángulo t y a un avance paralelo al eje OZ proporcional al ángulo girado, obtendremos el punto A '( a cos t , a sen t , bt ). Si hacemos que el parámetro t recorra todos los valores posibles, entonces el punto A' recorrerá una hélice circular de ecuaciones paramétricas: La ecuación polar se obtiene fácilmente, pues:

r2 = x2 + y 2 = a 2t 2 cos 2 t + a 2t 2 sen 2 t = a 2t 2, de donde r= at. tg q =

y at sen t = = tg t , de donde q = t. x at cos t

Resulta la ecuación polar de la citada curva: r = aq. Además de la espiral arquimediana, hay otros tipos de espirales cuyas ecuaciones polares son bastana te sencillas. Tenemos la espiral logarítmica (r = eaq ) y la espiral hiperbólica (r = ). q Las hélices son curvas alabeadas que desde un punto de vista “mecánico” podrían considerarse como trayectorias de móviles en el espacio. Así, pues, un movimiento helicoidal es el que seguiría un punto sometido simultáneamente a un movimiento giratorio alrededor de un eje y a otro movimiento lineal de avance paralelo al eje de rotación. Puede incluso añadirse un tercer movimiento: el alejamiento respecto al eje de rotación. Si partimos del punto A(a,0,0) y lo sometemos a un giro de ángulo t y a un avance paralelo al eje OZ proporcional al ángulo girado, obtendremos el punto A '( a cos t , a sen t , bt ). Si hacemos que el parámetro t recorra todos los valores posibles, entonces el punto A' recorrerá una hélice circular de ecuaciones paramétricas: tg q =

y at sen t = = tg t , de donde q = t. x at cos t

r2 = x2 + y 2 = a 2t 2 cos 2 t + a 2t 2 sen 2 t = a 2t 2, de donde r= at.

La ecuación polar se obtiene fácilmente, pues: Figura 44.

ì x = a cos t ï í y = a sen t ï î z = bt

Se trata de la espiral de Arquímedes. ì x = at cos t í î y = at sen t

Para cada valor de t la distancia del punto al eje OZ es a, por lo cual la hélice anterior está contenida en el cilindro circular de la ecuación x2 + y2 = a 2. Se trata de una hélice cilíndrica (figura 45 a).

Las espirales son curvas planas que se forman en general cuando un móvil se desplaza girando alrededor de un “centro” o “polo”, a la vez que se va alejando de éste a cada vuelta. Es decir, es la trayectoria o curva descrita por un punto que se ve afectado simultáneamente por dos movimientos: uno lineal de desplazamiento sobre una recta, y otro angular. Así, pues, si el punto A(a,0) lo sometemos a un giro de ángulo t alrededor de O y a continuación a una homotecia de centro O y razón t, dicho punto se transformaría en el A '( at cos t , at sen t ). El lugar geométrico de los puntos del plano obtenidos para cada valor del parámetro t es una curva de ecuaciones paramétricas z

(a)

(b)

z

2p

2p

y

492

x

Figura 45.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

x

c) Espirales y hélices

y

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Si modificamos las ecuaciones paramétricas anteriores, poniendo t en lugar de a, obtenemos ì x = t cos t ï í y = t sen t ï î z = bt

[14]

Observamos ahora que a medida que varía t el valor de z “avanza”. El punto móvil se aleja cada vez más del eje OZ, mientras que su proyección ( x, y ) sobre el plano OXY no describe ahora una circunferencia sino una espiral. 1 Además los puntos de la curva verifican la ecuación cartesiana x2 + y2 = 2 z 2 (que es la ecuación de b un cono circular de eje OZ y vértice en el origen). Las ecuaciones [14] son la ecuaciones paramétricas de una hélice cónica (figura 45 b).

5.6. Otras curvas planas interesantes a) Estrofoide

Y

Esta curva la definiremos como un lugar geométrico. Sea el punto A(a,0) desde el cual se trazarán semirrectas que corten al eje de ordenadas. Sea para una de tales semirrectas el punto Q de corte con OY. Tomemos sobre el mismo semiplano de A con respecto a OY el punto X de la semirrecta AQ tal que XQ = OQ, y sea X ' el simétrico de X respecto de Q. Tendremos, pues, que XQ = X 'Q = OQ. La estrofoide es el lugar geométrico de los puntos X y X '. Si las coordenadas polares de X son (r,q), se tendrá, teniendo en cuenta que el triángulo DOXQ es isósceles: ÐQOX = ÐQXO = p/2 -q ÐOQX = p - 2(p/2 -q ) = 2q

X

Figura 46.

Ahora pasemos al triángulo rectángulo DOAQ y se tendrá ÐOAQ = ÐOAQ = p/2 -2q. Entonces, por el teorema de los senos aplicado al triángulo DOAX: sen (ÐOAX ) sen (ÐOXA) sen ( p 2 – 2q ) sen ( p 2 – q ) cos 2q cos q = Þ = Þ = r a r a OX OA De aquí resulta la ecuación polar que quedaría: cos 2q r= a cos q La ecuación cartesiana es fácil de obtener, ya que sustituyendo cos q = x r y sen q = y r

( x r) – ( y r) cos 2q x2 – y2 =a =a Þ xr2 = a ( x2 – y2 ) cos q x r xr 2

r= a

2

Como r2 = x2 + y 2, quedará en forma implícita: x( x 2 + y 2 ) = a ( x 2 – y 2 ) a+ x Operando puede llegarse a y2 = x2 , que nos daría la forma explícita a– x y = ±x

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

a+ x a– x 493

Volumen II. Matemáticas

494

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

r = r1 – r2 =

a a – a cos 2 q a(1 – cos 2 q) asen 2 q = Þ r= – a cos q = cos q cos q cos q cos q

b) Rosas

Son curvas cuya ecuación polar es de uno de los tipos r = a sen nq o r = a cos nJ . Según que n sea par o impar la rosa tiene 2n o n pétalos .

Para a > 0, consideremos el punto A ( a ,0 ), la circunferencia de diámetro OA y la recta d de ecuación x = a (su tangente en A). Si desde O trazamos una recta que corta a la circunferencia en el punto C y a la tangente en el punto D, podemos determinar de modo único un punto X de dicha recta tal que OX = CD. El lugar geométrico de todos los puntos X del plano así obtenidos es la cisoide. La ecuación polar de la cisoide de Diocles es fácil de obtener si partimos de la ecuación de la recta d a , y la de la circunferencia, que es r2 = acos q. Entonces el radio en coordenadas polares, que es r1 = cos q vector de los puntos de la cisoide será:

a

a

a

O

X

X

O

a

Figura 48.

Rosa de tres pétalos

Rosa de cuatro pétalos

r = asen 3q

r = a sen 2q Figura 47.

O

x A

X

c) Cisoide de Diocles

En general las cisoides constituyen una familia de curvas definidas como el lugar geométrico de los puntos cuyo radio vector es la suma o diferencia de los de dos curvas dadas C1 y C 2. En el caso particular de que la cisoide se obtenga por diferencia de los radios vectores de una recta ( x = a ) y una circunferencia ( x2 + y2 – ax = 0 ) obtenemos la cisoide de Diocles, descubierta por este matemático griego (s. III a.C) en su intento de resolver el problema de la duplicación del cubo. D

C

y

d

En general las cisoides constituyen una familia de curvas definidas como el lugar geométrico de los puntos cuyo radio vector es la suma o diferencia de los de dos curvas dadas C1 y C 2. En el caso particular de que la cisoide se obtenga por diferencia de los radios vectores de una recta ( x = a ) y una circunferencia ( x2 + y2 – ax = 0 ) obtenemos la cisoide de Diocles, descubierta por este matemático griego (s. III a.C) en su intento de resolver el problema de la duplicación del cubo. d

y

C

D

c) Cisoide de Diocles

X

Figura 47.

O

A x

r = a sen 2q

r = asen 3q

Rosa de cuatro pétalos

Rosa de tres pétalos Figura 48.

a

Para a > 0, consideremos el punto A ( a ,0 ), la circunferencia de diámetro OA y la recta d de ecuación x = a (su tangente en A). Si desde O trazamos una recta que corta a la circunferencia en el punto C y a la tangente en el punto D, podemos determinar de modo único un punto X de dicha recta tal que OX = CD. El lugar geométrico de todos los puntos X del plano así obtenidos es la cisoide. La ecuación polar de la cisoide de Diocles es fácil de obtener si partimos de la ecuación de la recta d a , y la de la circunferencia, que es r2 = acos q. Entonces el radio en coordenadas polares, que es r1 = cos q vector de los puntos de la cisoide será: O

O

a

X

X

a

a

Son curvas cuya ecuación polar es de uno de los tipos r = a sen nq o r = a cos nJ . Según que n sea par o impar la rosa tiene 2n o n pétalos .

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

494

a a – a cos 2 q a(1 – cos 2 q) asen 2 q = Þ r= – a cos q = cos q cos q cos q cos q

b) Rosas

r = r1 – r2 =

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Al pasar ahora a cartesianas, fácilmente se tiene la ecuación cartesiana: rcos q = a sen 2 q Þ x = a

y2 Þ x( x2 + y 2) = ay2 x + y2 2

x3 . a– x Esta curva puede expresarse paramétricamente como sigue:

que puede ponerse incluso en la forma explícita y2 =

ì at 2 ïx = 1+ t 2 ï í ï at 3 ïy= î 1+ t 2 Eliminando el parámetro, es sencillo ver que queda la ecuación cartesiana anterior.

d) Folium de Descartes d

y

Se obtiene de forma similar a la anterior. Ahora la recta d es el diámetro perpendicular al OA. Si desde O trazamos una recta que corta a la circunferencia en el punto C y a la tangente en el punto D, podemos determinar de modo único un punto X de dicha recta tal que OX = CD. El lugar geométrico de todos los puntos X del plano así obtenidos es el folium de Descartes. Tomando como origen de coordenadas el punto doble de la curva y como ejes coordenados las tangentes en dicho punto (figura 50) podemos obtener una parametrización de la curva, a saber:

C D O'

X O

ì 3at ïx = 1+ t 3 ï í ï 3at 2 ïy= î 1+ t 3

A x

Figura 49.

Eliminando el parámetro se llega a la ecuación cartesiana: x3 + y 3 – 3axy = 0.

a

3 2 a

y

x

O

x+ y– a = O

Figura 50. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

495

Volumen II. Matemáticas

496

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

r2 = 2a 2 cos 2q

e) Trisectriz de MacLaurin

Pasando a polares, la ecuación de la lemniscata queda como sigue:

Si la recta d es perpendicular al diámetro, pero pasando por el punto medio del segmentoOO', la curva que resulta se denomina trisectriz de MacLaurin. El nombre de esta curva se debe a que está vinculada al problema clásico de la trisección del ángulo, irresoluble con regla y compás. De igual manera, la cisoide vista antes resuelve otro de tales problemas: el de la duplicación del cubo. ( x,– y ), (– x, y ), (– x ,– y )

Los ejes coordenados son entonces los ejes de simetría de la curva, ya que si un par ( x, y ) es solución de tal ecuación, también lo son los pares

f) Lemniscata de Bernouilli Figura 52.

Sea una circunferencia de radio r y centrada en el punto de coordenadas (r, r). Trazamos por el origen una recta secante a la circunferencia en los puntos C y C '. El lugar geométrico de los puntos X tales que ë OX û=ë CC 'ûo queë OX û=ë C 'C ûes la lemniscata. C'

X

C

O

Y

( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 – y 2 ) Si sometemos los ejes coordenados a un giro de 45º se obtiene la ecuación implícita en coordenadas cartesianas Figura 51.

Figura 51.

Si sometemos los ejes coordenados a un giro de 45º se obtiene la ecuación implícita en coordenadas cartesianas ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 – y 2 ) O

Y

C X

C'

ë OX û=ë CC 'ûo queë OX û=ë C 'C ûes la lemniscata.

Sea una circunferencia de radio r y centrada en el punto de coordenadas (r, r). Trazamos por el origen una recta secante a la circunferencia en los puntos C y C '. El lugar geométrico de los puntos X tales que Figura 52.

f) Lemniscata de Bernouilli Los ejes coordenados son entonces los ejes de simetría de la curva, ya que si un par ( x, y ) es solución de tal ecuación, también lo son los pares Si la recta d es perpendicular al diámetro, pero pasando por el punto medio del segmentoOO', la curva que resulta se denomina trisectriz de MacLaurin. El nombre de esta curva se debe a que está vinculada al problema clásico de la trisección del ángulo, irresoluble con regla y compás. De igual manera, la cisoide vista antes resuelve otro de tales problemas: el de la duplicación del cubo. ( x,– y ), (– x, y ), (– x ,– y )

Pasando a polares, la ecuación de la lemniscata queda como sigue:

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496

e) Trisectriz de MacLaurin

r2 = 2a 2 cos 2q

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio Y

Y

2

Q P

2

K -a a

b> a

h) Cuadratriz de Dinostrato

b= a

b< a

En el caso particular de que la curva C sea la circunferencia x2 + y2 – ax = 0, se obtienen los caracoles de Pascal (figura 56), que tienen también relación con el problema de la trisección del ángulo. En polares vienen dados por la ecuación r = a cos q + b. Cuando b = a, la ecuación queda r = a(1+ cos q ), que corresponde a la cardioide (5.5.).

En el caso particular de que la curva C sea la circunferencia x2 + y2 – ax = 0, se obtienen los caracoles de Pascal (figura 56), que tienen también relación con el problema de la trisección del ángulo. En polares vienen dados por la ecuación r = a cos q + b. Cuando b = a, la ecuación queda r = a(1+ cos q ), que corresponde a la cardioide (5.5.). Figura 55.

–

Figura 56.

–

Figura 55.

Figura 56.

b< a

h) Cuadratriz de Dinostrato

b= a

b> a

b> a

A Hipias (s. V a.C.) se le atribuye la introducción de la primera curva, aparte de la circunferencia y la recta. A tal curva se le conoce como trisectriz de Hipias, y se obtiene de la siguiente manera: Sea el cuadrado ABCD. Supongamos que el lado DA gira uniformemente en sentido horario alrededor de D, y simultáneaA B mente el lado AB se desplaza paralelamente con movimiento uniforme, hasta que ambos acaban coincidiendo con DC en el P mismo intervalo de tiempo. En un instante cualquiera las posiB' ciones respectivas de los segmentos móviles son DA'' y A ' B ', y G el punto de intersección P. Entonces la trisectriz de Hipias es el M lugar geométrico de P a lo largo del movimiento. El nombre de la curva se debe a que una vez construida H N permite la trisección de un ángulo cualquiera. En efecto, si queremos trisecar el ángulo Ð( PDC ) simplemente tenemos que dividir el segmento B 'C en tres partes iguales mediante los puntos C D M y N y trazar por ellos dos paralelas al segmento A ' B '. EntonQ ces las rectas DG y DH trisecan el ángulo Ð( PDC ). La curva anterior sirve también para cuadrar el círculo, Figura 57. pero parece ser que Hipias desconocía esta aplicación, o tal vez no supiera justificarla. Sin embargo, Dinostrato sí fue capaz de b= a b< a

x

o

x

o

y

y

La ecuación polar de dichas curvas (figura 55) sería a ±b cos q r=

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

498

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio dar de manera detallada un método de cuadratura del círculo, por medio de la curva anterior. De ahí que se la suele conocer más como cuadratriz de Dinostrato. La ecuación en polares de la cuadratriz resulta ser: r=

2aq p sen q

siendo a el lado del cuadrado asociado a la curva. Si hacemos q ® 0, tendremos la longitud del segmento OQ, o sea: OQ = lím q ®0

2aq 2a = p sen q p

Como puede apreciarse, la longitud del arco AC, que es segmentos OQ y AB, ya que se cumple

pa , resulta ser la tercera proporcional de los 2

2a p a y por tanto = a pa 2 OQ AB = AB AC

Esto último fue lo que llegó a probar Dinostrato. En consecuencia puede construirse fácilmente un segmento b que sea una rectificación del arco AC, y entonces un rectángulo de lados 2b y a tendrá de área pa 2ba = 2 a = pa 2, que es el área del círculo de radio a. Construir un cuadrado de área igual a la del rec2 tángulo es un problema geométrico sencillo, pues bastaría tomar como lado la media proporcional de los lados del rectángulo. Hay que señalar que las soluciones aportadas por Hipias y Dinostrato a la trisección del ángulo y a la cuadratura del círculo fueron consideradas como sofismas, ya que sólo se aceptaba utilizar rectas y circunferencias. Pero en su intento de buscar soluciones “legítimas” los geómetras griegos fueron encontrando curvas nuevas en sus investigaciones. Una forma análoga de obtención mecánica de la cuadratriz es la que sigue: Supongamos que de un mismo punto A de una circunferencia parten dos puntos móviles M y M ', descriA biendo sendos movimientos uniformes a lo largo de la M circunferencia y a lo largo de su diámetro, respectiva' M mente, y llegando al mismo tiempo al otro extremo B del X diámetro. Es decir mientras que M recorre la semicircunferencia AMB el punto M ' recorre el diámetro AB. Denominamos X al punto que se obtiene en un instante determinado como intersección del radio OM y la recta perpendicular a AB desde M '. El lugar de los punB Figura 58. tos X es la cuadratriz.

i) La curva de Agnesi María Gaetana Agnesi nació en Milán en 1718, coetánea de Euler y Kant. A muy temprana edad empezó a dar muestras de su capacidad para las matemáticas. A los 30 años publicó con el dinero de su padre el primer tomo de una obra titulada Instituzioni Analitiche, que tenía forma de libro de texto y recogía de modo claro y riguroso la geometría cartesiana. Posteriormente publicó un segundo tomo que trataba sobre cálculo diferencial e integral, y que tuvo una excelente acogida en la Academia de Ciencias de París. Tras el éxito del libro, el papa Benedicto XIV la propuso para la cátedra de matemáticas de la Universidad de Bolonia, pero no se sabe si llegó a ejercer o no.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

499

Volumen II. Matemáticas

500

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ì x = tg t ï é p pù Una parametrización de la curva podría ser í con t Îê – , ú. ë 2 2û ï 2 î y = cos t

Entre las dificultades que tuvo por su condición de mujer y el impacto producido por la muerte de su padre, a los 34 años abandonó las matemáticas y se dedicó al cuidado de mujeres pobres y enfermas. A lo largo de casi tres siglos, su nombre sólo ha trascendido por una curva que María Gaetana Agnesi analizó con detalle e intención didáctica. El nombre de dicha curva ha sido desgraciadamente adulterado. Se trata de la curva de la bruja de Agnesi. Dicha curva fue bautizada por Guido Grandi como versiera (que procede del latín vetere, girar, rodar). El italiano vulgar deformó el término y llegó a decirse avversiera, voz similar a avversiere, que significa esposa del demonio. Los traductores cayeron en esta confusión y para la posterioridad quedó el injusto calificativo de bruja. La curva agnesiana se genera de siguiente manera: y=

1 1+ x2

de donde resulta

Se tiene una circunferencia, un punto P de la misma y la recta tangente en el punto diametralmente opuesto de P. Se hace girar una semirrecta con origen en P, la cual va cortando respectivamente en puntos A y B a la circunferencia y a la recta tangente mencionada. Dos paralelas trazadas respectivamente desde esos dos puntos a la tangente y al diámetro, se intersecan en un punto X. El lugar geométrico descrito por X a medida que se mueve la semirrecta giratoria es la curva de Agnesi (figura 59). y (1 – y ) x

=

1 Þ y

y (1 – y ) = xy Þ y (1 – y ) = x 2 y 2 Þ 1 – y = x 2 y Þ 1= (1+ x 2 ) y

que sustituyendo nos da:

CA = PC ×QC =

y (1 – y )

y

Por el teorema de la altura aplicado al triángulo rectángulo DPAQ:

Q

B

1 QB PQ x = Þ = y CA PC CA

O C

Es fácil obtener la ecuación cartesiana de dicha curva, razonando sobre la figura, en la que supondremos que el diámetro de la circunferencia es la unidad. Por ser semejantes los triángulos DPQB y DPCA, tendremos:

A

X

P Figura 59.

Figura 59.

P Es fácil obtener la ecuación cartesiana de dicha curva, razonando sobre la figura, en la que supondremos que el diámetro de la circunferencia es la unidad. Por ser semejantes los triángulos DPQB y DPCA, tendremos:

X

A

O C

1 QB PQ x = Þ = y CA PC CA

B

Q

Por el teorema de la altura aplicado al triángulo rectángulo DPAQ:

y

CA = PC ×QC =

y (1 – y )

Se tiene una circunferencia, un punto P de la misma y la recta tangente en el punto diametralmente opuesto de P. Se hace girar una semirrecta con origen en P, la cual va cortando respectivamente en puntos A y B a la circunferencia y a la recta tangente mencionada. Dos paralelas trazadas respectivamente desde esos dos puntos a la tangente y al diámetro, se intersecan en un punto X. El lugar geométrico descrito por X a medida que se mueve la semirrecta giratoria es la curva de Agnesi (figura 59). que sustituyendo nos da: x

y (1 – y )

=

1 Þ y

y (1 – y ) = xy Þ y (1 – y ) = x 2 y 2 Þ 1 – y = x 2 y Þ 1= (1+ x 2 ) y

Entre las dificultades que tuvo por su condición de mujer y el impacto producido por la muerte de su padre, a los 34 años abandonó las matemáticas y se dedicó al cuidado de mujeres pobres y enfermas. A lo largo de casi tres siglos, su nombre sólo ha trascendido por una curva que María Gaetana Agnesi analizó con detalle e intención didáctica. El nombre de dicha curva ha sido desgraciadamente adulterado. Se trata de la curva de la bruja de Agnesi. Dicha curva fue bautizada por Guido Grandi como versiera (que procede del latín vetere, girar, rodar). El italiano vulgar deformó el término y llegó a decirse avversiera, voz similar a avversiere, que significa esposa del demonio. Los traductores cayeron en esta confusión y para la posterioridad quedó el injusto calificativo de bruja. La curva agnesiana se genera de siguiente manera: de donde resulta

y=

1 1+ x2

ì x = tg t ï é p pù Una parametrización de la curva podría ser í con t Îê – , ú. ë 2 2û ï 2 î y = cos t

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

500

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

6. ALGUNOS EJEMPLOS DE SUPERFICIES Algunas superficies en el espacio vienen dadas de manera tan simple como las siguientes:

–

En coordenadas cilíndricas: z = cte ® plano perpendicular a OZ. r = cte ® cilindro de revolución del eje OZ. q = cte ® semiplano de borde el eje OZ.

–

En coordenadas polares: r = cte ® superficie esférica de centro O y radio r. q = cte ® cono de revolución del eje OZ. j = cte ® semiplano de borde el eje OZ.

Sin ánimo de ser exhaustivos, vamos a ver algunos ejemplos de superficies que admiten ecuaciones sencillas bien en paramétricas, bien en cilíndricas o polares. Para un estudio más minucioso de superficies se puede consultar el tema 49 (volumen III).

a) Superficie esférica Como sabemos es el lugar de los puntos del espacio cuya distancia al centro C(a,b,c) es el radio constante R. La ecuación cartesiana es ( x – a )2 + ( y – b )2 + ( z – c )2 = R 2 Una expresión paramétrica se obtiene a partir de dos magnitudes angulares (que pueden interpretarse como las coordenadas geográficas que describen los puntos de la superficie terrestre): la longitud j y la latitud f. P

f r

j Figura 60. Si el centro de la esfera es el origen de coordenadas (0,0,0), las coordenadas de un punto P de la misma (figura 60) serán: ì x = rcos j ï í y = rsen j ï î z = R sen f y teniendo en cuenta que r = R cos f, llegamos a las ecuaciones paramétricas de la superficie esférica ì x = R cos fcos j ï í y = R cos fsen j ï î z = R sen f donde f Î [– p 2 ,+ p 2] y j Î [ 0,2p). Si el centro de la esfera es el punto C(a,b,c) la parametrización obtenida sería: ì x = a + R cos fcos j ï í y = b + R cos fsen j ï î z = c+ R sen f TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

501

Volumen II. Matemáticas

502

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ì x = t cos v ï í y = t sen v ï î z = bt

Figura 62.

b) Toro circular

Se trata de la superficie engendrada al girar una circunferencia alrededor de una recta contenida en su mismo plano. x

y

es un ejemplo de helicoide alabeado. Dicha superficie puede obtenerse sometiendo la semirrecta OX+ a un movimiento helicoidal de eje OZ. Así, pues, si partimos de un punto A ( t ,0,0 ) y lo giramos en el plano OXY un ángulo v alrededor del origen, llegamos r al punto A '( t cos v, t sen v ,0 ). Aplicando ahora una traslación de vector tb paralelo a OZ, llegamos al punto P ( t cos v, t sen v, bt ). Al variar los parámetros t y v obtenemos todos los puntos del helicoide. Por tanto sus ecuaciones paramétricas son

z

ì x = a cos t ï í y = a sen t ï î z = bt

z

x

La superficie formada por todas las rectas paralelas al plano z = 0 que se apoyan en el eje OZ y en la hélice de ecuaciones paramétricas

y Figura 61.

c) Superficie helicoidal

Supongamos la circunferencia de centro A ( a ,0,0 ) y radio r contenida en el plano OXZ, cuyas ecuaciones paramétricas son ì x = a + rcos t ï íy= 0 ï î z = rsen t Las ecuaciones [15] constituyen una parametrización de la superficie tórica. ì x = ( a + rcos t )cos s ï í y = ( a + rcos t )sen s ï î z = rsen t

[15]

Si un punto genérico de dicha circunferencia P ( a + rcos t ,0, rsen t ) describe un giro de ángulo s alrededor de OZ, llegamos al punto de coordenadas ì x = ( a + rcos t )cos s ï í y = ( a + rcos t )sen s [15] ï î z = rsen t

Si un punto genérico de dicha circunferencia P ( a + rcos t ,0, rsen t ) describe un giro de ángulo s alrededor de OZ, llegamos al punto de coordenadas ì x = a + rcos t ï íy= 0 ï î z = rsen t

Las ecuaciones [15] constituyen una parametrización de la superficie tórica. Supongamos la circunferencia de centro A ( a ,0,0 ) y radio r contenida en el plano OXZ, cuyas ecuaciones paramétricas son

c) Superficie helicoidal

La superficie formada por todas las rectas paralelas al plano z = 0 que se apoyan en el eje OZ y en la hélice de ecuaciones paramétricas ì x = a cos t ï z í y = a sen t ï î z = bt

y Figura 61.

x

es un ejemplo de helicoide alabeado. Dicha superficie puede obtenerse sometiendo la semirrecta OX+ a un movimiento helicoidal de eje OZ. Así, pues, si partimos de un punto A ( t ,0,0 ) y lo giramos en el plano OXY un ángulo v alrededor del origen, llegamos r al punto A '( t cos v, t sen v ,0 ). Aplicando ahora una traslación de vector tb paralelo a OZ, llegamos al punto P ( t cos v, t sen v, bt ). Al variar los parámetros t y v obtenemos todos los puntos del helicoide. Por tanto sus ecuaciones paramétricas son ì x = t cos v ï í y = t sen v ï î z = bt

z

y

Se trata de la superficie engendrada al girar una circunferencia alrededor de una recta contenida en su mismo plano. 502

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Figura 62.

b) Toro circular

x

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

d) Superficie cónica de revolución

P

Supongamos que el cono de revolución tiene el vértice en el origen de coordenadas y su eje es OZ. Si a es el ángulo que forma dicho eje con cualquier generatriz entonces para cualquier punto genérico P(x,y,z) de la superficie cónica se tendrá: r OP × k z cos a = = 2 OP x + y2 + z 2

a

O

Figura 63.

que desarrollando nos da ö æ 1 z 2 = ( x2 + y 2 + z 2 )cos 2 a Þ x2 + y2 – ç 2 – 1÷z 2 = 0 Þ x 2 + y 2 – ( tg 2a ) z 2 = 0 è cos a ø y llamando m = tg a, llegamos a la ecuación cartesiana de la superficie cónica: x 2 + y 2 – m2 z 2 = 0 Si en las fórmulas de transformación de polares a cartesianas hacemos j = a tendremos ì x = rsen a cos q ï í y = rsen a sen q ï î z = rcos a de donde haciendo u = r y v = q, obtenemos una parametrización del cono de revolución. Éste será la imagen de la aplicación ( u , v ) ® ( u sen a cos v, u sen a sen v, u cos v) de [ 0,+¥) ´ [ 0,2p) en E3.

e) Superficie cilíndrica de revolución Si tomamos un cilindro de radio R y eje de simetría OZ, cualquier punto P(x,y,z) de la superficie cumple que su distancia al eje OY es R. El punto de mínima distancia será obviamente el de coordenadas (0,0, z) y por tanto deberá verificarse

( x – 0) 2 + ( y – 0) + ( z – z) 2 = R 2

de donde resulta la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica: x2 + y2 = R 2

z

Una parametrización sencilla de dicha superficie sería:

R P

ì x = R cos t ï í y = R sen t ï îz= s con s Î (– ¥+¥ , ) y t Î [ 0,2p).

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 64. x

y

503

Volumen II. Matemáticas

504

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

f) Elipsoide ì x = a cos u cos v ï Las ecuaciones paramétricas del elipsoide son í y = b cos u sen v ï î z = csen u

z

y

x Figura 65. Eliminando los parámetros x2 y2 + = cos 2 u cos 2 v+ cos 2 u sen 2 v = cos 2 u (cos 2 v+sen 2 v ) = cos 2 u a2 b2 x2 y2 z 2 + + = 1, que es la ecuación cartesiana implícita de un elipsoide. a 2 b 2 c2

x2 y2 z 2 + + = 1, que es la ecuación cartesiana implícita de un elipsoide. a 2 b 2 c2 z2 =sen 2 u c2

Sumando ambas se llega a

Sumando ambas se llega a

z2 =sen 2 u c2

Eliminando los parámetros x2 y2 + = cos 2 u cos 2 v+ cos 2 u sen 2 v = cos 2 u (cos 2 v+sen 2 v ) = cos 2 u a2 b2 Figura 65.

x y z ì x = a cos u cos v ï Las ecuaciones paramétricas del elipsoide son í y = b cos u sen v ï î z = csen u

f) Elipsoide CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

504

Distintas coordenadas para describir el plano o el espacio

CUADRO RESUMEN DE LAS CUÁDRICAS Nombre

Ecuación reducida

Figura Z

Elipsoide

x 2 y2 z2 + + =1 a2 b2 c2

Y

O X

z

Hiperboloide de una hoja

x 2 y2 z2 + – =1 a2 b2 c2

Hiperboloide de dos hojas

x 2 y2 z2 – – =1 a2 b2 c2

Cono elíptico

x 2 y2 z2 + – =0 a2 b2 c2

y

o x

z y o

x

z y

o

x

z

Paraboloide elíptico

x 2 y2 + – 2 pz = 0 a2 b2 x

o

y

.../...

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

505

Volumen II. Matemáticas

506

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

.../... z y

x 2 y2 – – 2 pz = 0 a2 b2

Paraboloide hiperbólico

x

z

x 2 y2 + =1 a2 b2

Cilindro elíptico

y2 – 2 px = 0

x 2 y2 – =1 a2 b2

Cilindro parabólico

x

Cilindro hiperbólico

x 2 y2 – =1 a2 b2

y

y2 – 2 px = 0

Cilindro hiperbólico

o

Cilindro parabólico

x 2 y2 + =1 a2 b2

Cilindro elíptico

x o

y

z

Paraboloide hiperbólico

x 2 y2 – – 2 pz = 0 a2 b2

x y z

.../... CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

506

TEMA

47 Generación de curvas como envolventes

Fulgencio García Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

508

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN

2.

DEFINICIONES PREVIAS

3.

ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS 3.1. Determinación de la envolvente 3.2. Cálculo de la envolvente mediante la diferenciación 3.3. Aplicaciones

4.

EVOLUTA DE UNA CURVA PLANA 4.1. Definiciones previas 4.2. Definición de evoluta 4.3. Caracterización de la evoluta 4.4. Aplicación

5.

CONCLUSIÓN

CONCLUSIÓN

5.

EVOLUTA DE UNA CURVA PLANA 4.1. Definiciones previas 4.2. Definición de evoluta 4.3. Caracterización de la evoluta 4.4. Aplicación

4.

ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS 3.1. Determinación de la envolvente 3.2. Cálculo de la envolvente mediante la diferenciación 3.3. Aplicaciones

3.

DEFINICIONES PREVIAS

2.

INTRODUCCIÓN

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

508

Generación de curvas como envolventes

1. INTRODUCCIÓN La búsqueda de las envolventes generalmente se efectúa mediante la operación de diferenciación, una de las operaciones fundamentales en la matemática superior. El concepto de envolvente también es evidente geométricamente y puede ser aclarado con ejemplos sencillos que facilitan la comprensión.

2. DEFINICIONES PREVIAS Definición 1:

r Una función vectorial f : [ a , b ] Ì Â ®  k r r t ¾¾® f ( t ) = x se denomina curva en  k . También se llama curva al lugar geométrico de todos los puntos P de  k , tal que existe un “t” en [a,b] con: r f ( t )= OP r r se dice entonces que dicho lugar geométrico tiene por ecuación vectorial x = f ( t ). Si el vector OP tiene coordenadas ( x1, x2 ,..., xk ), las ecuaciones paramétricas de la curva son: x1 = f1( t ) ü ï x2 = f2 ( t )ï ý – – – – – –ï xk = fk ( t )ï þ Eliminando el parámetro t obtenemos k – 1 ecuaciones que reciben el nombre de implícitas: h1( x1, x2 ,..., xk ) = 0 ü ï h2 ( x1, x2 ,..., xk ) = 0 ï ý – – – – – – – – – – –ï hk ( x1, x2 ,..., xk )= 0 ï þ Definición 2:

r r Se llama tangente en el punto P de la curva de ecuación x = f ( t )a la recta que más se aproxima a la curva en un entorno del punto. El vector director de la tangente viene dado por el límite: r r r f (t + h ) – f (t ) f '( t ) = lím h ®0 h r r r La recta tangente tiene por ecuación: x = f ( t )+ lf '( t ). Las ecuaciones paramétricas son: x1 = f1( t )+ lf1'( t ) ü ï x2 = f2 ( t )+ lf2 '( t )ï ý – – – – – – – – – – –ï xk = fk ( t )+ lfk '( t )ï þ TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

509

Volumen II. Matemáticas

510

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Eliminando el parámetro l se tienen las ecuaciones implícitas: x1 – f1( t ) x2 – f2 ( t ) x – fk ( t ) = =...= k f1'( t ) f2 '( t ) fk '( t ) L R

Definición 3:

r Una función vectorial f : [ a , b ] Ì Â ® Â 2 r r t ¾¾® f ( t ) = x = ( x , y )

2.

se denomina curva plana. c

En lo que sigue consideraremos siempre que la curva viene definida por una función vectorial diferenciable y con derivada continua. C

1. Ejemplos:

3. ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS Definición:

Se familia de curvas de parámetro l al conjunto de curvas que vamos a designar como r r llama x = f ( t , l ). Si vamos dando a l todos los valores posibles, obtenemos para cada uno de estos valores un vector de posición que es función de t, y que representará una curva.

Sea {C l } una familia de curvas planas. Se dice que una curva C es la envolvente de la familia si en cada uno de sus puntos es tangente al menos a una curva de la familia y si cualquier segmento de la misma es tangente a un conjunto infinito de curvas de la familia. Definición:

La familia de curvas puede venir dada en forma explícita como y = f ( x , l ) o también en forma implícita como f ( x, y , l ) = 0. Denominaremos a este conjunto {C l }.

Denominaremos a este conjunto {C l }.

La familia de curvas puede venir dada en forma explícita como y = f ( x, l ) o también en forma implícita como f ( x, y , l ) = 0. Definición:

Sea {C l } una familia de curvas planas. Se dice que una curva C es la envolvente de la familia si en cada uno de sus puntos es tangente al menos a una curva de la familia y si cualquier segmento de la misma es tangente a un conjunto infinito de curvas de la familia.

Se familia de curvas de parámetro l al conjunto de curvas que vamos a designar como r r llama x = f ( t , l ). Si vamos dando a l todos los valores posibles, obtenemos para cada uno de estos valores un vector de posición que es función de t, y que representará una curva. Definición:

3. ENVOLVENTE DE UNA FAMILIA DE CURVAS

Ejemplos: 1.

C

En lo que sigue consideraremos siempre que la curva viene definida por una función vectorial diferenciable y con derivada continua. c

se denomina curva plana. Definición 3: r Una función vectorial f : [ a , b ] Ì Â ® Â 2 r r t ¾¾® f ( t ) = x = ( x , y )

2. R L

x – f (t ) x – f (t ) x – fk ( t ) 1 2 = 2 =...= k f1'( t ) f2 '( t ) fk '( t ) 1

Eliminando el parámetro l se tienen las ecuaciones implícitas: CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

510

Generación de curvas como envolventes La envolvente de una familia de circunferencias de un mismo radio R con centros en una recta dada L, se compone de dos rectas paralelas que se encuentran a la distancia R de la recta L. 3.

A partir de la familia compuesta por todas las rectas que pasan a una misma distancia R respecto al punto O, se obtiene como envolvente una circunferencia de radio R y centro O.

R O

3.1. Determinación de la envolvente Vamos a obtener la envolvente de una familia de curvas, sin utilizar técnicas de diferenciación. Sea C la envolvente de cierta familia de curvas. Si C a es una curva de dicha familia entonces corta a la envolvente C en un punto M. Si tomamos otro punto M ' de C próximo a M, entonces existe otra curva C b que corta a la envolvente en M '. Esta curva C b estará próxima a C a . Si en las proximidades de M la curva C b estuviera totalmente hacia un lado de C a , resultaría que C b o bien no tendría puntos comunes con C o bien tendría una doble intersección (ver figura 1). Pero llegamos a contradicción ya que la curva C b corta a la envolvente en un punto por definición. Por tanto, C b corta a C a en un punto P (ver figura 2). A medida que C b se aproxima a C a más cerca está P de M. C

C M'

M

M

Ca

P

Cb

Ca

Figura 1.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 2.

511

Volumen II. Matemáticas

512

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Podemos concluir: Proposición: Todo punto M de la envolvente es un punto de intersección de dos curvas infinitamente próximas de la familia. O

X

Ejemplo: Sea una familia de circunferencias de centro en el eje OX y radio R, es decir ( x – l) + y2 = R 2 (centro (l, 0) y radio R, donde l es el parámetro). 2

Y

Tenemos desarrollando:

Resolviendo el sistema se obtiene y2 = R 2 y se descompone en y = R, y = – R, que representa dos rectas paralelas al eje OX. x 2 + y 2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0

x2 + y2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0ü ý –2x+ 2 l = 0 þ

Consideramos dos circunferencias de esta familia próximas entre sí: ü x2 + y2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0 ý e muy pequeño. x2 + y2 – 2( l + e )x+ ( l + e )2 – R 2 = 0þ

Como tenemos que aproximar infinitamente las dos circunferencias, hacemos tender e ® 0y nos queda: x2 + y2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0ü ý –2x+ 2 l + e = 0 þ

Restamos a la segunda ecuación la primera y obtenemos:

x 2 + y 2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0ü ý e distinto de cero, por lo que: –2ex + 2el + e 2 = 0 þ x 2 + y 2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0ü ý e distinto de cero, por lo que: –2ex + 2el + e 2 = 0 þ x2 + y2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0ü ý –2x+ 2 l + e = 0 þ

Restamos a la segunda ecuación la primera y obtenemos:

Como tenemos que aproximar infinitamente las dos circunferencias, hacemos tender e ® 0y nos queda: ü x2 + y2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0 ý e muy pequeño. 2 2 2 2 x + y – 2( l + e )x+ ( l + e ) – R = 0þ x2 + y2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0ü ý þ –2x+ 2 l = 0

Consideramos dos circunferencias de esta familia próximas entre sí: x 2 + y 2 – 2 lx+ l2 – R 2 = 0

Resolviendo el sistema se obtiene y2 = R 2 y se descompone en y = R, y = – R, que representa dos rectas paralelas al eje OX. Tenemos desarrollando:

Y

Sea una familia de circunferencias de centro en el eje OX y radio R, es decir ( x – l) + y2 = R 2 (centro (l, 0) y radio R, donde l es el parámetro). 2

Ejemplo: O

X

Todo punto M de la envolvente es un punto de intersección de dos curvas infinitamente próximas de la familia. Proposición: Podemos concluir: 512

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Generación de curvas como envolventes

3.2. Cálculo de la envolvente mediante la diferenciación

r r Sea la familia de curvas dependientes de un parámetro x = f ( t , l ). Para determinar la envolvente consideramos un punto M de la curva de la familia que corresponde a un valor de l y supongamos que a dicho punto corresponde, a su vez, un cierto valor de t. Para que el punto M sea de contacto de la curva de la familia con la envolvente, es preciso que entre los citados valores de l y t exista cierta relación que vendrá expresada en la forma: l = l ( t ). r r Por tanto, la ecuación de la envolvente será x = f (t , l(t )). Por otra parte, en M coinciden las rectas a la curva de la familia y a la envolvente, por tanto r tangentes r ¶f ¶f ¶l el vector tangente a la envolvente que es + debe ser proporcional al vector tangente a la curva que ¶t ¶l ¶t r ¶f es , es decir: ¶t r r r r r r r r ¶f ¶f ¶l ¶f ¶f ¶f ¶l ¶f ¶f ¶f han de ser colineales + = k× Þ , = ( k – 1) × Þ los vectores y ¶t ¶l ¶t ¶t ¶t ¶l ¶t ¶t ¶t ¶l r r æ ¶f ¶f ö ç Þ detç , ÷ ÷= 0 è ¶t ¶l ø

[1]

Eliminando l y t entre las ecuaciones r r ü x = f (t , l ) r r ï æ ¶f ¶f ö ý ç ÷ detç , ÷= 0ï è ¶t ¶l ø þ obtenemos la ecuación implícita de la envolvente.

•

Dos casos: a)

b)

Si la familia de curvas viniera dada por su ecuación explícita y = f ( x, l), podremos reducirlo al caso anterior haciendo x = x. 1 0 ¶f ( x, l) = 0, y entre esta condiLa ecuación [1] toma en este caso la forma ¶f ¶f = 0 Þ ¶l ¶x ¶l ción y la y = f ( x, l), eliminamos l, obteniendo así la ecuación implícita de la envolvente. Si la familia de curvas viniera dada en forma implícita f ( x, y, l) = 0, ya hemos visto que la envolvente es una curva tangente a todas ellas. También hemos visto que la envolvente puede considerarse como el lugar geométrico de las posiciones límites de las intersecciones de cada dos curvas de la familia cuando tienden a confundirse. En efecto, sean f ( x, y, l) = 0 y f ( x, y, l + Dl) = 0 dos curvas. La curva f ( x, y, l + Dl) – f ( x, y, l) =0 Dl

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

513

Volumen II. Matemáticas

514

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

que es una combinación lineal de las anteriores pasa evidentemente por el punto común a las curvas dadas y cuando Dl ® 0, es el movimiento que lleva a la segunda a confundirse con la primera, de modo que la posición límite del punto común será:

f ( x, y, l) = 0ü ï ý de aquí se obtienen las ecuaciones paramétricas de la Recíprocamente, si se verifica ¶f =0 ï þ ¶l línea x = x( l), y = y( l) cuyos puntos satisfacen f ( x( l ), y( l ), l) = 0, y derivando respecto l, se ¶f ¶y ¶f ¶x ¶f ¶y ¶f ¶f ¶ x ¶l tiene + + = 0 y como = 0 Þ = – , que nos dice que la curva obtenida y ¶f ¶x ¶x ¶l ¶y ¶l ¶l ¶l ¶y ¶l cada una de las de la familia son tangentes. ü f ( x, y, l) = 0ï ý ¶f =0 ï þ ¶l

que son precisamente las condiciones de envolvente de una familia de curvas. Por lo tanto, la ecuación de la envolvente se obtiene eliminando el parámetro l en el sistema anterior.

Nota: por tanto, conviene, cuando hallamos la envolvente de una familia de curvas, eliminar el lugar de los posibles puntos singulares de las curvas de la familia.

Nota: conviene indicar que no todos los puntos de intersección de dos curvas próximas se desplazan hacia una envolvente cuando Dl ® 0, por tanto habrá que comprobar en cada caso particular si las curvas obtenidas son tangentes a las de la familia. ¶f = 0, que es la condición de envolvente. ¶l

Teorema:

queda

La envolvente contiene al lugar geométrico de los puntos singulares de las curvas. Demostración:

ü ¶f = 0ï ¶f ¶x ¶f ¶y ¶f ¶x ý + + = 0, y al ser ¶f ¶x ¶l ¶y ¶l ¶l = 0ï ¶y þ

Dada la familia de curvas f ( x, y, l) = 0, sabemos que los puntos singulares vienen dados por las ¶f ¶f = 0, = 0. ¶x ¶y

Si en estas ecuaciones despejamos x e y en función de l, obtenemos un punto singular para cada valor de l, el cual debe satisfacer la ecuación de la familia, esto es f ( x( l ), y( l ), l) = 0, y derivando respecto a l: condiciones

Si en estas ecuaciones despejamos x e y en función de l, obtenemos un punto singular para cada valor de l, el cual debe satisfacer la ecuación de la familia, esto es f ( x( l ), y( l ), l) = 0, y derivando respecto a l:

Dada la familia de curvas f ( x, y, l) = 0, sabemos que los puntos singulares vienen dados por las ¶f ¶f condiciones = 0, = 0. ¶x ¶y ü ¶f = 0ï ¶f ¶x ¶f ¶y ¶f ¶x ý + + = 0, y al ser ¶f ¶x ¶l ¶y ¶l ¶l = 0ï ¶y þ

Demostración:

La envolvente contiene al lugar geométrico de los puntos singulares de las curvas. queda

¶f = 0, que es la condición de envolvente. ¶l

Teorema:

Nota: conviene indicar que no todos los puntos de intersección de dos curvas próximas se desplazan hacia una envolvente cuando Dl ® 0, por tanto habrá que comprobar en cada caso particular si las curvas obtenidas son tangentes a las de la familia.

Nota: por tanto, conviene, cuando hallamos la envolvente de una familia de curvas, eliminar el lugar de los posibles puntos singulares de las curvas de la familia. ü f ( x, y, l) = 0ï ý de aquí se obtienen las ecuaciones paramétricas de la Recíprocamente, si se verifica ¶f =0 ï þ ¶l línea x = x( l), y = y( l) cuyos puntos satisfacen f ( x( l ), y( l ), l) = 0, y derivando respecto l, se ¶f ¶y ¶x = – ¶l , que nos dice que la curva obtenida y ¶f ¶x ¶y ¶l

que son precisamente las condiciones de envolvente de una familia de curvas. Por lo tanto, la ecuación de la envolvente se obtiene eliminando el parámetro l en el sistema anterior. f ( x, y, l) = 0ü ï ý ¶f =0 ï þ ¶l

¶f ¶x ¶f ¶y ¶f ¶f tiene + + = 0 y como = 0 Þ ¶x ¶l ¶y ¶l ¶l ¶l

que es una combinación lineal de las anteriores pasa evidentemente por el punto común a las curvas dadas y cuando Dl ® 0, es el movimiento que lleva a la segunda a confundirse con la primera, de modo que la posición límite del punto común será: cada una de las de la familia son tangentes.

514

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Generación de curvas como envolventes

3.3. Aplicaciones Veamos ahora algunas aplicaciones de tipo práctico para construir algunas curvas. a)

La circunferencia como envolvente. Dada la familia de rectas de parámetro t: x cos t + y sen t = R

(R constante)

su envolvente es una circunferencia de centro el origen y radio R. Derivamos respecto del parámetro t: –x sen t + y cos t = 0. Obtenemos el sistema:

xcos t + ysen t = R ü ý – x sen t + y cos t = 0þ

Multiplicamos la primera ecuación por “x” y la segunda por “y”, sumamos miembro a miembro. Multiplicamos la primera ecuación por “y” y la segunda por “–x”, y sumamos miembro a miembro. Resulta: cos t ( x 2 + y 2) = Rx ü ý sen t ( x 2 + y 2) = Ry þ Elevando al cuadrado y sumando las dos ecuaciones: x2 + y2 = R 2 cqd. b)

La parábola como envolvente. Veamos que la envolvente de una familia de rectas que son los lados de un ángulo recto que se desplaza por el plano de modo que uno de sus lados pase por un punto fijo y el ángulo recto circunscriba una recta, es una parábola. Demostración: Elegimos un sistema de referencia adecuado tal que el punto fijo sea F(p, 0) y el eje Y la recta dada (x = 0). El vértice del ángulo recto será P(0, t). La recta que pasa por los puntos P y F tiene como vector director (p, –t). Su ecuación es: x– p y = p –t

Þ

y=

( p – x) × t p

La recta perpendicular a la anterior que tiene como vector director (t, p) y pasa por el punto P es: x y– t = t p

Þ

yt – px = t 2

[1]

Derivando [1] respecto de t obtenemos: y = 2t y sustituimos esta expresión en [1] obteniendo: y y2 y× – px = 2 4

Þ 2× y2 – 4 px = y2 Þ

y2 = 4 px

que es la ecuación de una parábola cqd.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

515

Volumen II. Matemáticas

516

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

x y + = 1 Þ xsen t + ycos t = 2asen t cos t 2a cos t 2a sen t

La hipérbola como envolvente.

x – 2a cos t y = –2a cos t 2a sen t

Þ

c)

Consideramos un sistema de referencia en  2, OXY y se trazan todas las rectas posibles que corten a los ejes OX y OY, cuya área es constante. La envolvente de todas estas rectas es una hipérbola equilátera.

(1)

PQ (–2a cos t ,2asen t ) Demostración:

Consideramos un sistema de referencia ortonormal y a Î Â+ . Sea la familia de rectas que cortan a los ejes en dos puntos tal que la distancia entre ellos es igual a 2a. Una recta de la familia corta a los ejes en los puntos P y Q (d(P, Q) = 2a). Entonces las coordenadas de M son ( a cos t , a sen t ). Por tanto P(2a cos t , 0), Q(0, 2a sen t) y la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es:

Sean A( a,0) y B( 0, b) los puntos de corte de una recta genérica con los ejes. La recta AB tiene de ecuación: ay+ bx – ab = 0. O

P

Por otro lado, el área de los triángulos es constante, e igual a k: ab = 2k. t

El cálculo de la envolvente supone eliminar a y b del sistema:

d)

La astroide como envolvente.

M

ü ay+ bx – ab = 0 ï ý ab = 2k ï f 'a×g ' b – g 'a× f ' b= 0(*)þ

Q

donde f ( x, y, a , b) = ay + bx – ab y g ( a , b) = ab – 2k.

Ahora sustituyendo en (2): ( 2 y )× ( 2x ) = 2k Þ xy =

k que es una hipérbola equilátera cqd. 2

Nota: (*) es la derivación correspondiente a la utilización de dos parámetros a y b. A(a, 0)

(1) – ( 2 ) Þ

b= 2y

1 bx = ab Þ a = 2x 2

Obtenemos:

ay+ bx – ab = 0 ® (1) ü ï ý ab = 2k ® ( 2 ) ï ay+ bx = 0 ® ( 3 ) þ

b= 2y

K

1 (1)+ ( 2 ) Þ ay = ab Þ 2

B(0, b)

1 (1)+ ( 2 ) Þ ay = ab Þ 2

B(0, b)

K

1 bx = ab Þ a = 2x 2

(1) – ( 2 ) Þ

Obtenemos:

ay+ bx – ab = 0 ® (1) ü ï ý ab = 2k ® ( 2 ) ï ay+ bx = 0 ® ( 3 ) þ

A(a, 0)

Nota: (*) es la derivación correspondiente a la utilización de dos parámetros a y b. Ahora sustituyendo en (2): ( 2 y )× ( 2x ) = 2k Þ xy =

k que es una hipérbola equilátera cqd. 2

donde f ( x, y, a , b) = ay + bx – ab y g ( a , b) = ab – 2k.

La astroide como envolvente.

ü ay+ bx – ab = 0 ï ý ab = 2k ï f 'a×g ' b – g 'a× f ' b= 0(*)þ

d)

Consideramos un sistema de referencia ortonormal y a Î Â+ . Sea la familia de rectas que cortan a los ejes en dos puntos tal que la distancia entre ellos es igual a 2a. Una recta de la familia corta a los ejes en los puntos P y Q (d(P, Q) = 2a). Entonces las coordenadas de M son ( a cos t , a sen t ). Por tanto P(2a cos t , 0), Q(0, 2a sen t) y la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es:

Q M

El cálculo de la envolvente supone eliminar a y b del sistema: t

Por otro lado, el área de los triángulos es constante, e igual a k: ab = 2k. O

P

Sean A( a,0) y B( 0, b) los puntos de corte de una recta genérica con los ejes. La recta AB tiene de ecuación: ay+ bx – ab = 0. Demostración:

PQ (–2a cos t ,2asen t ) x y + = 1 Þ xsen t + ycos t = 2asen t cos t 2a cos t 2a sen t

La hipérbola como envolvente.

(1)

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

516

Þ

c)

Consideramos un sistema de referencia en  2, OXY y se trazan todas las rectas posibles que corten a los ejes OX y OY, cuya área es constante. La envolvente de todas estas rectas es una hipérbola equilátera. x – 2a cos t y = –2a cos t 2a sen t

Generación de curvas como envolventes xcos t – ysen t = 2a (cos 2 t – sen 2 t )

Derivamos respecto a t:

(2).

El sistema formado por (1) y (2) se resuelve, obteniendo la ecuación de la envolvente en paramétricas: x( t ) = 2a cos 3 t ü ý y( t ) = 2asen 3 t þ Dicha envolvente se llama astroide.

4. EVOLUTA DE UNA CURVA PLANA Un caso especial de curva envolvente es cuando la familia de curvas está formada por las rectas normales a una curva dada g. En este caso la envolvente coincide con una curva relacionada con g llamada evoluta. Veamos algunas definiciones previas.

4.1. Definiciones previas Definición 1:

r r Se llama elemento de arco de la curva x = f ( t ) a un nuevo parámetro s. Contando a partir de un t r cierto punto t ', se define s( t ) = ò f '( t ) dt . t'

r r Por tanto, s'( t ) = f '( t ) . Además ds = f '( t ) dt . Definición 2: Sean P y Q dos puntos de la curva, es decir:

r OP = f ( a ) r OQ = f ( b )

Se llama longitud del arco P,Q de la curva a: b

L( P ,Q ) = ò f '( t ) dt a

r El parámetro “s” permite calcular las derivadas de f ( t ) respecto a esa nueva variable. r r r r 1 df ( t ) df ( t ) dt f '( t ) = = f '( t ) r = r ds dt ds f '( t ) f '( t ) r r df ( t ) r Llamamos T = , luego T es un vector que tiene la misma dirección de la tangente a la curva y ds además es unitario. r r f '( t ) T = r =1 f '( t ) Lo llamamos vector tangente.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

518

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

r r Si multiplicamos escalarmente el vector tangente por sí mismo tenemos: T ×T = 1(1), ya que teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar y de la norma asociada: r 2 r r r r f '( t ) df ( t ) df ( t ) f '( t )× f '( t ) × = = r r 2 2 =1 ds ds f '( t ) f '( t ) ( D 'a ):– x sen a + y cos a = r'( a )

De donde se obtiene (1). La envolvente se obtiene resolviendo el sistema formado por (1) y la que se deduce de ella derivando respecto al parámetro: Da

– i

r r Sea un sistema de referencia ortonormal {O , i , j} y la r r r familia de rectas ( Da ) donde a = ang ( i , u), siendo u un vector unitario normal a Da . La ecuación de Da es: x cos a + y sen a = r(a) (1), donde r(a) es la distancia de O a la recta. r Esto es debido a que las coordenadasr de u son (cos a, sen a), por tanto el vector perpendicular a u que determina la recta Da es (–sen a, cos a) y un punto por el que pasa la recta es (r(a)cos a, r(a)sen a). Por tanto:

r dT Por tanto el vector es perpendicular al vector tangente. ds

O

x – r( a )cos a y – r( a )sen a = – sen a +cos a

Si derivamos la expresión (1) respecto a s obtenemos: r r dT r dT r 2 ×T = 0 Þ ×T = 0 ds ds

– – j u r(a)

r r dT y módulo 1. A este vector lo llamamos vector normal. Sea N el vector con la dirección de ds r r r dT dT 1 r A la inversa del módulo de lo llamamos radio de curvatura r en f ( s ), es decir: = N, y ds ds r r r como T × N = 0, será (derivando respecto a s): r r r r dT r r dN 1 r dN dN 1r × N +T = 0 Þ – =T× Þ =– T ds ds r ds ds r

Definición: r r r Dado un arco x = f ( t )donde f es dos veces derivable, el conjunto de normales a este arco es una familia de rectas dependientes de un parámetro. r r Esta familia posee, en general, una envolvente que llamaremos evoluta del arco x = f ( t ).

4.2. Definición de evoluta

4.2. Definición de evoluta Definición:

r r r Dado un arco x = f ( t )donde f es dos veces derivable, el conjunto de normales a este arco es una familia de rectas dependientes de un parámetro. r r Esta familia posee, en general, una envolvente que llamaremos evoluta del arco x = f ( t ).

r r dT y módulo 1. A este vector lo llamamos vector normal. Sea N el vector con la dirección de ds r r r dT dT 1 r A la inversa del módulo de lo llamamos radio de curvatura r en f ( s ), es decir: = N, y ds ds r r r como T × N = 0, será (derivando respecto a s): r r r r dT r r dN 1 r dN dN 1r × N +T = 0 Þ – =T× Þ =– T ds ds r ds ds r r dT es perpendicular al vector tangente. ds

Si derivamos la expresión (1) respecto a s obtenemos: r r dT r dT r ×T = 0 Þ ×T = 0 ds ds

Da

2

– i

Por tanto el vector

r(a) – – j u O

r r Sea un sistema de referencia ortonormal {O , i , j} y la r r r familia de rectas ( Da ) donde a = ang ( i , u), siendo u un vector unitario normal a Da . La ecuación de Da es: x cos a + y sen a = r(a) (1), donde r(a) es la distancia de O a la recta. r Esto es debido a que las coordenadasr de u son (cos a, sen a), por tanto el vector perpendicular a u que determina la recta Da es (–sen a, cos a) y un punto por el que pasa la recta es (r(a)cos a, r(a)sen a). Por tanto: x – r( a )cos a y – r( a )sen a = – sen a +cos a

De donde se obtiene (1). La envolvente se obtiene resolviendo el sistema formado por (1) y la que se deduce de ella derivando respecto al parámetro:

r r Si multiplicamos escalarmente el vector tangente por sí mismo tenemos: T ×T = 1(1), ya que teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar y de la norma asociada: r 2 r r r r f '( t ) df ( t ) df ( t ) f '( t )× f '( t ) × = = r r 2 2 =1 ds ds f '( t ) f '( t ) ( D 'a ):– x sen a + y cos a = r'( a )

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

518

Generación de curvas como envolventes r r La recta D'a es normal al vector u' y pasa por r'( a )u ', con lo que la envolvente de la familia ( Da ) admite ( D'a ) como familia de normales. r r Para hallar la envolvente de ( D'a ) (evoluta de x = f ( t )) derivamos de nuevo, obteniendo: ( D ''a ): – xcos a – y sen a = r''( a ) r r r r r La recta D''a es normal a u, y pasa por – r''( a )u. La evoluta c del arco x = f ( t )está definida por la solución del sistema ( D 'a , D ''a ).

4.3. Caracterización de la evoluta Teorema 1: La evoluta de una curva plana es el conjunto de los radios de curvatura de la curva. Demostración:

r La ecuación vectorial de la normal a f es: r r r p ( s ) = f ( s )+ lN Determinamos l para ello derivamos respecto a s: r r r r æ 1 ö r dl r æ l ö r dl r dp df dN dl r = +l + N = T + lç ç1– ÷ ÷T + N ç– ÷ ÷T + N = ç ds ds ds ds ds ds è rø è rø

Como debe ser

r r dp colineal con N ds

Þ 1–

l =0 Þ r

l = r.

r Por tanto, la envolvente de las normales viene determinada por los radios de curvatura en f ( s ).

Teorema 2: El arco de evoluta es igual a la diferencia entre los radios de curvatura correspondientes a los extremos del arco de evoluta. Demostración: r r r r r Sea la curva x = f ( s ) y la ecuación de su evoluta p ( s ) = f ( s )+ rN . Vamos a demostrar que el arco CD de dicha evoluta es igual a la diferencia de los radios de curvatura en A y B. Derivando:

r r r dr r æ dp r dr r dN =T+ N+r = T + N + rç ç– ds ds ds ds è

r dr r 1ö ÷ N ÷T = rø ds

Ahora llamamos s al arco de evoluta entre C y D 1 ds dr = Þ s CD = ò dr = rB – rA ds ds s0

s

Þ

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

519

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4.4. Evoluta de la elipse

520

æ ax ö3 ÷ cos t = ç 2 è a – b2 ø

Consideramos la elipse de ecuaciones:

x = a cos t ü ý y = b sen t þ

Por tanto:

1

æ – by ö3 ÷ sen t = ç 2 è a – b2 ø

La recta normal en el punto (a cos t, b sen t) tiene dirección perpendicular a la tangente es ese punto. La tangente tiene la dirección del vector derivada, es decir (–a sen t, b cos t). El vector perpendicular a éste es (b cos t, a sen t), que será la dirección de la normal. Por tanto, la ecuación de la normal es: 1

sen 3 t =

– by a2 – b2

x – a cos t y – b sen t = b cos t a sen t

– by = ( a 2 – b 2) sen 3 t

xa sen t – a 2 sen t cos t = yb cos t – b 2 cos t sen t

Si ahora multiplicamos (1) por cos t y (2) por sen t, y restamos miembro a miembro, obtenemos: axsen t – by cos t – ( a 2 – b 2) cos t sen t

( Dt ): axsen t – bycos t – ( a 2 – b 2) cos t sen t = 0

( a 2 – b 2) ax

Derivando la ecuación:

cos 3 t =

ax = ( a 2 – b 2) cos 3 t

( D 't ): axcos t + bysen t +( a 2 – b 2) sen 2 t – ( a 2 – b 2) cos 2 t = 0

Multiplicamos (1) por sen t y (2) por cos t, y sumamos miembro a miembro obteniendo:

( D 't ): axcos t + bysen t +( a 2 – b 2)(sen 2 t – cos 2 t ) = 0 axcos t + by sen t – ( a – b 2

2

)(cos

2

t – sen t ) = 0

(2)

2

Ahora los puntos de la envolvente de esta familia deben satisfacer el sistema: axsen t – by cos t – ( a 2 – b 2) cos t sen t = 0

(1)

axsen t – by cos t – ( a 2 – b 2) cos t sen t = 0

(1)

Ahora los puntos de la envolvente de esta familia deben satisfacer el sistema: axcos t + by sen t – ( a 2 – b 2)(cos 2t – sen 2 t ) = 0

(2)

( D 't ): axcos t + bysen t +( a 2 – b 2)(sen 2 t – cos 2 t ) = 0 Multiplicamos (1) por sen t y (2) por cos t, y sumamos miembro a miembro obteniendo:

( D 't ): axcos t + bysen t +( a 2 – b 2) sen 2 t – ( a 2 – b 2) cos 2 t = 0 ax = ( a 2 – b 2) cos 3 t cos 3 t =

Derivando la ecuación:

ax

( a 2 – b 2)

( Dt ): axsen t – bycos t – ( a 2 – b 2) cos t sen t = 0 axsen t – by cos t – ( a 2 – b 2) cos t sen t

Si ahora multiplicamos (1) por cos t y (2) por sen t, y restamos miembro a miembro, obtenemos: xa sen t – a 2 sen t cos t = yb cos t – b 2 cos t sen t – by = ( a 2 – b 2) sen 3 t

x – a cos t y – b sen t = b cos t a sen t – by sen 3 t = 2 a – b2

La recta normal en el punto (a cos t, b sen t) tiene dirección perpendicular a la tangente es ese punto. La tangente tiene la dirección del vector derivada, es decir (–a sen t, b cos t). El vector perpendicular a éste es (b cos t, a sen t), que será la dirección de la normal. Por tanto, la ecuación de la normal es: 1

æ – by ö3 ÷ sen t = ç 2 è a – b2 ø x = a cos t ü ý y = b sen t þ

Por tanto:

1

æ ax ö3 ÷ cos t = ç 2 è a – b2 ø

Consideramos la elipse de ecuaciones:

520

4.4. Evoluta de la elipse

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Generación de curvas como envolventes Sustituyendo estas dos expresiones en (1), tenemos: 1

1

1

1

æ – by ö3 æ ax ö3 æ – by ö3æ ax ö3 ÷ – byç 2 ÷ = ( a 2 – b 2)ç 2 ÷ç ÷ axç 2 2 2 èa – b ø èa – b ø è a – b2 ø è a2 – b2 ø 1

1

æ – by ö3æ ax ö3 ÷ç ÷ y queda: Lo dividimos todo por: ( a – b )ç 2 è a – b2 ø è a2 – b2 ø 2

2

ax

( a 2 – b 2)

2

( ax)

(a

2

+

1 3

–b

2

)

1 3

by

=1

1

( a 2 – b 2)

( by) 3 1

( a 2 – b 2) 3

2

æ ax ö3 æ by ö3 ÷ +ç ÷ = 1 que es la ecuación de la evoluta de la elipse. Por tanto:ç 2 è a – b2 ø è a2 – b2 ø

5. CONCLUSIÓN Este tema lo hemos iniciado con algunas definiciones previas para definir después el concepto de envolvente de una familia de curvas. A continuación hemos visto cómo determinar la envolvente de una familia de curvas acompañado de algunos ejemplos. Un caso particular de envolvente es cuando la familia de curvas está formada por las rectas normales a una curva dada y recibe el nombre de evoluta. Para su estudio hemos visto algunos conceptos previos. Hemos acabado el tema con un ejemplo práctico de cálculo de la evoluta.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

521

TEMA

48 Espirales y hélices. Presencia en la naturaleza, en el arte y en la técnica

Jesús Gómez Gómez

Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria

Volumen II. Matemáticas

524

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

ÍNDICE SISTEMÁTICO 1.

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

2.

ECUACIONES DE UNA CURVA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

3.

ESPIRALES

4.

LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES 4.1. Ecuación polar 4.2. El paso de lo discreto a lo continuo 4.3. Propiedades características 4.4. Construcción de la espiral arquimediana 4.5. Espiral de Arquímedes y trisección del ángulo

5.

LA ESPIRAL LOGARÍTMICA O EQUIANGULAR 5.1. Ecuación polar 5.2. Propiedades características 5.3. Trazado de la espiral logarítmica

6.

OTRAS ESPIRALES

7.

HÉLICES 7.1. Ecuaciones paramétricas de una hélice 7.2. Estudio particular de la hélice circular 7.3. Otras formas helicoidales

8.

PRESENCIA EN LA NATURALEZA, LA TÉCNICA Y EL ARTE 8.1. En la Naturaleza 8.2. En la Técnica 8.3. En el Arte

PRESENCIA EN LA NATURALEZA, LA TÉCNICA Y EL ARTE 8.1. En la Naturaleza 8.2. En la Técnica 8.3. En el Arte

8.

HÉLICES 7.1. Ecuaciones paramétricas de una hélice 7.2. Estudio particular de la hélice circular 7.3. Otras formas helicoidales

7.

OTRAS ESPIRALES

6.

LA ESPIRAL LOGARÍTMICA O EQUIANGULAR 5.1. Ecuación polar 5.2. Propiedades características 5.3. Trazado de la espiral logarítmica

5.

LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES 4.1. Ecuación polar 4.2. El paso de lo discreto a lo continuo 4.3. Propiedades características 4.4. Construcción de la espiral arquimediana 4.5. Espiral de Arquímedes y trisección del ángulo

4.

ESPIRALES

3.

ECUACIONES DE UNA CURVA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

2.

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

1.

ÍNDICE SISTEMÁTICO CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

524

Espirales y hélices

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA Aunque en el libro II de los Elementos, Euclides ilustra una propiedad iterativa de la sección áurea con una figura que conduce a una espiral, es Arquímedes en su tratado Sobre las espirales quien hace un primer estudio exhaustivo de la espiral que lleva su nombre. Atraído por los tres famosos problemas clásicos, y en concreto el de la trisección del ángulo, trató de dar solución a éste utilizando la espiral, que él mismo atribuyó a su amigo Conon de Alejandría. El libro Sobre las espirales fue muy admirado, pero poco leído, ya que se consideró la más difícil de todas las obras de Arquímedes. En cualquier caso fue la que más impresionó a sus sucesores. En ella determinaba Arquímedes la tangente a la espiral por medio de consideraciones cinemáticas que son un auténtico precedente del cálculo diferencial. Considerado un punto de la espiral sometido simultáneamente a un movimiento radial uniforme de alejamiento y a un movimiento circular de centro el origen, halló la dirección instantánea del movimiento y por lo tanto la dirección de recta tangente. Parece ser la primera vez que se determinó la tangente a una curva que no fuera una circunferencia. También hay en el libro varias proposiciones referentes a áreas relacionadas con la espiral. Por ejemplo, se demuestra que el área barrida por el radio vector en su primera vuelta completa es igual a un tercio del área del “primer círculo”, es decir, del círculo de centro el polo y radio la longitud del radio vector al finalizar la primera vuelta. Aunque es fácil probarlo ahora, teniendo en cuenta que el área es la integral 1 2p 2 ò r dq, hay que tener en cuenta que Arquímedes demostró ese resultado por el método más difícil de ex20 hausción. En el Renacimiento se recupera el interés por estas curvas en relación con el arte (Pacioli, Da Vinci, Durero,…). Así por ejemplo, este último obtuvo diversas espirales proyectando hélices. No obstante, en este período pasó un tanto desapercibida la posibilidad de desarrollar la geometría pura en la dirección que sugería el arte y la perspectiva. Posteriormente Cavalieri, a mediados del siglo XVII, obtuvo otro resultado que iba a tener consecuencias importantes. La espiral de Arquímedes P r = aq y la parábola de Apolonio x2 = ay eran curvas conocidas desde la antigüedad, pero nadie había descubierto ninguna relación entre ellas, hasta que Cavalieri tuvo la idea de compararlas. Si se deseara, por ejemplo, torcer la parábola x2 = ay en torno al vértice O dándole la forma de una espiral, de modo que O permanezca fijo y P pase a ocupar la posición P', entonces las ordenadas de los puntos de la parábola las O P' podemos considerar como transformadas en radios vectores por medio de las relaciones x = r e y = rq entre lo que llamamos ahora coordenadas cartesianas y polares. Aquí se aprecia una interacción entre elementos de geometría analítica Figura 1. con otros que corresponden al cálculo diferencial, cuando ambas ramas de la matemática no se habían iniciado formalmente. Descartes (1596-1650) tropezó con una “curva mecánica” que era rectificable después de todo. Se había divulgado y discutido ampliamente el problema de la trayectoria de caída de un cuerpo a través de una tierra en rotación (suponiendo dicha tierra permeable al movimiento), problema que condujo a Descartes a la espiral equiangular o logarítmica r = aebq como posible trayectoria. Si Descartes no se hubiese mantenido tan firme en rechazar tales curvas no-geométricas, podría haberse anticipado a Torricelli en descubrir, en 1645, la primera rectificación de una curva de la era moderna. Torricelli obtuvo, utilizando los métodos infinitesimales que había aprendido de Arquímedes, Galileo y Cavalieri, la longitud total de la espiral logarítmica desde q = 0 hacia atrás, según se enrolla asintóticamente en torno al polo. Durante la década de los 1640 Cavalieri había probado que la longitud de la primera vuelta de la espiral r = aq es igual a la longitud de la parábola x2 = ay desde x = 0 a x = 2pa. Gregory llegó precisamente a la curva y = lnx a partir de la espiral equiangular r = e q . Por una transformación geométrica que consiste en hacer la abscisa x igual al radio vector r de un punto variable, y la ordenada y igual al arco q. Jacques Bernoulli (1654-1705) estaba extraordinariamente interesado tanto en el cálculo como en el estudio de curvas. La que atrajo más fuertemente su imaginación fue la espiral logarítmica. Esta curva había sido mencionada ya por Descartes y había sido rectificada por Torricelli, pero Bernoulli profundiTEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Exigimos que las funciones anteriores del parámetro t sean continuas y derivables. Una curva en el espacio puede estar contenida en un plano; se denominaría entonces curva plana. En caso contrario tendríamos una curva alabeada. En el presente tema estudiaremos dos tipos de curvas, unas planas (espirales) y otras alabeadas (hélices) que suelen obtenerse por generación mecánica; o sea vinculadas al movimiento (rotación + traslación), y que podemos englobar bajo el rótulo de “formas enrolladas”.

zó en su estudio y mostró que tenía varias propiedades sorprendentes que no habían sido observadas con anterioridad: 1. 2. 3.

La evoluta de una espiral logarítmica es otra espiral logarítmica igual. La curva pedal de una espiral logarítmica con respecto a su polo (es decir, el lugar geométrico de las proyecciones del polo sobre las tangentes a la curva dada) es otra espiral logarítmica igual. La cáustica de reflexión para los rayos que parten del polo (es decir, la envolvente de los rayos reflejados en puntos de la curva dada) es otra espiral logarítmica igual. La cáustica de refracción para los rayos que surgen del polo (es decir, la envolvente de los rayos refractados en puntos de la curva) es otra espiral logarítmica igual.

Se entiende, pues, que la curva es la trayectoria que sigue un punto móvil en el plano. En el espacio, podemos decir lo mismo con tan sólo cambiar a tres el número de coordenadas, es decir r r r r r ( t ) = ( x( t ), y( t ), z ( t )) = x( t )i + y( t ) j+z(t)k 4.

Escribe Bernoulli: Me gusta de modo tan sorprendente esta maravillosa espiral, por sus propiedades singulares y admirables que apenas puedo saciarme de su contemplación. Resulta fácil comprender los sentimientos que le llevaron a pedir que grabaran sobre su tumba de Basilea la spira mirabilis junto con la inscripción Eadem mutata resurFigura 2. go (“Aun siendo modificada, surjo de nuevo la misma”). Jacques Bernoulli se vio conducido a un tipo de espiral diferente al repetir el procedimiento de Cavalieri de “doblar” la mitad de la parábola x2 = ay alrededor del origen para obtener una espiral de Arquímedes, pero con la diferencia de que, mientras que Cavalieri había estudiado esta transformación por métodos esencialmente sintéticos, Bernoulli utilizó en cambio coordenadas rectangulares y polares. Newton había usado ya anteriormente las coordenadas polares (quizá tan tempranamente como en 1671), pero la prioridad en la publicación parece corresponder a Bernoulli, que propuso medir las abscisas a lo largo de la circunferencia de un círculo fijo, y las ordenadas radialmente a lo largo de las llamas normales, en el Acta Eruditorum de 1691. Tres años más tarde propuso en la misma revista una modificación que estaba más de acuerdo con el sistema de Newton; la coordenada y era ahora la longitud del radio vector del punto, y x era el arco determinado por los lados del ángulo vectorial en una circunferencia de radio a trazada con centro en el polo. Estas coordenadas eran esencialmente lo que hoy escribiríamos como ( r, aq ). Bernoulli, lo mismo que Newton, estaba interesado principalmente en las aplicaciones de este nuevo sistema al cálculo, y dedujo por lo tanto fórmulas para la longitud del arco y para el radio de curvatura de una curva en coordenadas polares. Para el caso de su “espiral parabólica” r2 = aq, observó que el cálculo de la longitud del arco mediante la fórmula ds = dr2 + r2dq 2 , conduce a una integral en la que figura la raíz cuadrada de un polinomio de cuarto grado, primer ejemplo concreto de lo que llamamos ahora una integral elíptica.

En el plano, las ecuaciones paramétricas de una curva nos dan la posición de cada punto de la misma en función del parámetro t. Si damos a t el sentido físico del tiempo, podemos considerar que una curva viene dada por el vector de posición variable r r r r ( t ) = ( x( t ), y( t )) = x( t )i + y( t ) j

2. ECUACIONES DE UNA CURVA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

Escribe Bernoulli: Me gusta de modo tan sorprendente esta maravillosa espiral, por sus propiedades singulares y admirables que apenas puedo saciarme de su contemplación. Resulta fácil comprender los sentimientos que le llevaron a pedir que grabaran sobre su tumba de Basilea la spira mirabilis junto con la inscripción Eadem mutata resurFigura 2. go (“Aun siendo modificada, surjo de nuevo la misma”). Jacques Bernoulli se vio conducido a un tipo de espiral diferente al repetir el procedimiento de Cavalieri de “doblar” la mitad de la parábola x2 = ay alrededor del origen para obtener una espiral de Arquímedes, pero con la diferencia de que, mientras que Cavalieri había estudiado esta transformación por métodos esencialmente sintéticos, Bernoulli utilizó en cambio coordenadas rectangulares y polares. Newton había usado ya anteriormente las coordenadas polares (quizá tan tempranamente como en 1671), pero la prioridad en la publicación parece corresponder a Bernoulli, que propuso medir las abscisas a lo largo de la circunferencia de un círculo fijo, y las ordenadas radialmente a lo largo de las llamas normales, en el Acta Eruditorum de 1691. Tres años más tarde propuso en la misma revista una modificación que estaba más de acuerdo con el sistema de Newton; la coordenada y era ahora la longitud del radio vector del punto, y x era el arco determinado por los lados del ángulo vectorial en una circunferencia de radio a trazada con centro en el polo. Estas coordenadas eran esencialmente lo que hoy escribiríamos como ( r, aq ). Bernoulli, lo mismo que Newton, estaba interesado principalmente en las aplicaciones de este nuevo sistema al cálculo, y dedujo por lo tanto fórmulas para la longitud del arco y para el radio de curvatura de una curva en coordenadas polares. Para el caso de su “espiral parabólica” r2 = aq, observó que el cálculo de la longitud del arco mediante la fórmula ds = dr2 + r2dq 2 , conduce a una integral en la que figura la raíz cuadrada de un polinomio de cuarto grado, primer ejemplo concreto de lo que llamamos ahora una integral elíptica.

2. ECUACIONES DE UNA CURVA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

En el plano, las ecuaciones paramétricas de una curva nos dan la posición de cada punto de la misma en función del parámetro t. Si damos a t el sentido físico del tiempo, podemos considerar que una curva viene dada por el vector de posición variable r r r r ( t ) = ( x( t ), y( t )) = x( t )i + y( t ) j Se entiende, pues, que la curva es la trayectoria que sigue un punto móvil en el plano. En el espacio, podemos decir lo mismo con tan sólo cambiar a tres el número de coordenadas, es decir r r r r r ( t ) = ( x( t ), y( t ), z ( t )) = x( t )i + y( t ) j+z(t)k 4. 3.

La evoluta de una espiral logarítmica es otra espiral logarítmica igual. La curva pedal de una espiral logarítmica con respecto a su polo (es decir, el lugar geométrico de las proyecciones del polo sobre las tangentes a la curva dada) es otra espiral logarítmica igual. La cáustica de reflexión para los rayos que parten del polo (es decir, la envolvente de los rayos reflejados en puntos de la curva dada) es otra espiral logarítmica igual. La cáustica de refracción para los rayos que surgen del polo (es decir, la envolvente de los rayos refractados en puntos de la curva) es otra espiral logarítmica igual.

Exigimos que las funciones anteriores del parámetro t sean continuas y derivables. Una curva en el espacio puede estar contenida en un plano; se denominaría entonces curva plana. En caso contrario tendríamos una curva alabeada. En el presente tema estudiaremos dos tipos de curvas, unas planas (espirales) y otras alabeadas (hélices) que suelen obtenerse por generación mecánica; o sea vinculadas al movimiento (rotación + traslación), y que podemos englobar bajo el rótulo de “formas enrolladas”. 1. 2.

zó en su estudio y mostró que tenía varias propiedades sorprendentes que no habían sido observadas con anterioridad:

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Volumen II. Matemáticas

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Espirales y hélices En el plano podemos comparar las ecuaciones paramétricas siguientes con t ³ 0: ì x = r cos t [1]í î y = r sen t

ì x = t cos t [ 2]í î y = t sen t

ì x = t 2 cos t [ 3]í 2 î y = t sen t

Las ecuaciones [1] corresponden a un circunferencia de radio r, mientras que las otras dos son ecuaciones paramétricas de espirales en el plano. Mas observemos que en [2] el radio vector OP crece uniformemente, lo cual no ocurre en [3] en que el radio crece cada vez “más deprisa”. Por las características de tales curvas las coordenadas más adecuadas para expresar su ecuación son las polares.

3. ESPIRALES De manera aproximada podemos definir la espiral como una curva plana que se forma al desplazarse un punto alrededor de otro (o de varios puntos), llamado centro o polo, alejándose de éste a cada vuelta. Es decir, es la trayectoria o curva descrita por un punto que se ve afectado simultáneamente por dos movimientos: uno lineal de desplazamiento sobre una recta, y otro angular. Aunque una espiral puede ser plana o alabeada, nos referiremos aquí a la primera. Cada vuelta de la curva se denomina “espira”, y llamaremos “paso” a la distancia radial entre el principio y el fin de una espira o vuelta. La espiral variará según sean los movimientos de desplazamiento y de rotación. A efectos gráficos se suelen también considerar como espirales otras curvas abiertas compuestas por arcos de circunferencias enlazadas. Existen mucho tipos de espirales, que pueden agruparse más o menos de la forma siguiente: a) b)

c) d) e) f)

Espirales aproximadas o falsas espirales: se parte como base de un polígono, generalmente regular, y haciendo centros en sus vértices se van enlazando arcos de circunferencia. Evolvente de la circunferencia: es la curva descrita por un punto de una recta móvil (“ruleta”) que va siendo constantemente tangente a una circunferencia base. Se forma así una curva indefinida que, partiendo de un punto de la circunferencia completa infinitas vueltas alrededor de ella y alejándose. Volutas: son falsas espirales utilizadas en ornamentación y arquitectura. Hay procedimientos de trazado específicos (Vignola, Golman...) más propios del dibujo técnico. Espirales arquimedianas: cuando a ángulos iguales descritos en el giro corresponden aproximaciones o alejamientos del punto generador también iguales. Espirales especiales: exigen un cálculo previo, como la parabólica, hiperbólica, logarítmica... En esta última el radio-vector crece en progresión geométrica, mientras el ángulo lo hace en progresión aritmética. Hélices: son espirales dibujadas sobre superficies cilíndricas, cónicas o esféricas.

4. LA ESPIRAL DE ARQUÍMEDES 4.1. Ecuación polar Ya sabemos que la espiral que debe su nombre al gran genio de Siracusa es la más antigua conocida (s. III a.C). Veamos cómo llegar de un modo sencillo a su ecuación polar, tratándose de una curva de generación mecánica. Sea un punto móvil P que parte de la posición inicial O y está sometido simultáneamente a un movimiento de giro de velocidad angular w y a un crecimiento uniforme del radio-vector r= OP . Si denominamos v a la velocidad constante con que crece r, entonces se tienen: ìq = wt í î r = vt

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

2p 4p 6p

Figura 3.

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Volumen II. Matemáticas

528

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

q v donde q es el ángulo de giro en radianes y t el tiempo. Si eliminamos el tiempo se llega a r = v× = q = aq. w w Luego la ecuación polar de una espiral de Arquímedes que parte del origen es

Uniendo mediante segmentos de recta los puntos O, H1, H3, H5,... o los O, H2, H4, H6,… tendremos una línea poligonal que se va enrollando sobre sí misma (“espiral poligonal”). Figura 5.

r = aq

(q ³ 0)

donde a es un número real no nulo, que adquiere un significado dinámico como cociente entre dos velocidades. H2 H1

O

O

H3

O

H2

H1

Nota: si cambiamos el sentido de giro (como el de las agujas del reloj o el contrario) obtendremos espirales simétricas entre sí H4

H3

H4

H5 H5

H6

H6

H7 H8

H7

H8

Figura 4.

t 0 ,G( O ,j ) , t1,G( O ,j ) , t 2 ,G( O ,j ) , t 3...

Vamos a hacer una pequeña reflexión sobre la propia definición de la espiral, que encierra tal vez más complejidad de lo que aparenta, pues implica la simultaneidad de dos movimientos continuos y uniformes. En principio puede ser interesante, al menos desde un punto de vista de la simplificación didáctica, asociar la espiral con el recorrido de una hormiga deslizándose sobre una varilla, la cual está fija en un extremo y gira alrededor de él, al mismo tiempo que la hormiga se aleja del extremo fijo. Sea un ángulo determinado Dq = j y una longitud determinada Dr = d. Supongamos que, partiendo de un extremo O de la varilla, la hormiga avanza una distancia d, llega a la posición H1 y se para. Después la varilla gira una ángulo j, transportando a la hormiga hasta la posición H2. La varilla se detiene y nuevamente la hormiga se aleja de O otra distancia d (H3). A continuación otro giro de varilla hasta H4, y así sucesivamente. r Consideramos que la posición inicial de la varilla es la dirección positiva del eje OX y llamemos vk al vector de módulo d y argumento kj. r Sea G(O, j) el giro de centro O y ángulo j, y sea t k la traslación de vector vk . Entonces la secuencia de posiciones H1, H2, H3, H4,... que va ocupando la hormiga se obtiene a partir de la inicial H0 en O, aplicando sucesivamente las transformaciones

4.2. El paso de lo discreto a lo continuo

Vamos a hacer una pequeña reflexión sobre la propia definición de la espiral, que encierra tal vez más complejidad de lo que aparenta, pues implica la simultaneidad de dos movimientos continuos y uniformes. En principio puede ser interesante, al menos desde un punto de vista de la simplificación didáctica, asociar la espiral con el recorrido de una hormiga deslizándose sobre una varilla, la cual está fija en un extremo y gira alrededor de él, al mismo tiempo que la hormiga se aleja del extremo fijo. Sea un ángulo determinado Dq = j y una longitud determinada Dr = d. Supongamos que, partiendo de un extremo O de la varilla, la hormiga avanza una distancia d, llega a la posición H1 y se para. Después la varilla gira una ángulo j, transportando a la hormiga hasta la posición H2. La varilla se detiene y nuevamente la hormiga se aleja de O otra distancia d (H3). A continuación otro giro de varilla hasta H4, y así sucesivamente. r Consideramos que la posición inicial de la varilla es la dirección positiva del eje OX y llamemos vk al vector de módulo d y argumento kj. r Sea G(O, j) el giro de centro O y ángulo j, y sea t k la traslación de vector vk . Entonces la secuencia de posiciones H1, H2, H3, H4,... que va ocupando la hormiga se obtiene a partir de la inicial H0 en O, aplicando sucesivamente las transformaciones

4.2. El paso de lo discreto a lo continuo

t 0 ,G( O ,j ) , t1,G( O ,j ) , t 2 ,G( O ,j ) , t 3...

Figura 4. H8

H7

H8

H7 H6

H6

H5 H5

H4

H3

H4

Nota: si cambiamos el sentido de giro (como el de las agujas del reloj o el contrario) obtendremos espirales simétricas entre sí H2 H1

H3

O

H1

O

H2

donde a es un número real no nulo, que adquiere un significado dinámico como cociente entre dos velocidades. r = aq

O

(q ³ 0)

Figura 5.

Luego la ecuación polar de una espiral de Arquímedes que parte del origen es q v donde q es el ángulo de giro en radianes y t el tiempo. Si eliminamos el tiempo se llega a r = v× = q = aq. w w

Uniendo mediante segmentos de recta los puntos O, H1, H3, H5,... o los O, H2, H4, H6,… tendremos una línea poligonal que se va enrollando sobre sí misma (“espiral poligonal”). CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

528

Espirales y hélices Imaginemos ahora que tanto el ángulo j como la distancia d se reducen a la mitad. El primer tramo de O a H2 puede descomponerse en dos más pequeños: avanzar d 2 , girar

j

2

j ; avanzar d 2 , girar 2

Luego podemos hacer lo mismo que antes y tendremos cada uno de estos descompuesto en otros dos: avanzar d 4 , girar

j

4

j ; avanzar d 4 , girar 4

En el límite de este proceso el desplazamiento y el giro serán simultáneos y las espirales poligonales se aproximarán a la curva espiral arquimediana.

4.3. Propiedades características a)

Espiral y proporcionalidad Se observa un paralelismo entre la ecuación polar r = aq y la ecuación en cartesianas y = ax, que es como sabemos la ecuación de una recta que pasa por el origen O. En ambos casos está presente la proporcionalidad directa: abscisa y ordenada en la recta, ángulo y radio en la espiral.

b)

Paso de la espiral La propiedad más peculiar de esta espiral y que la distingue de otras espirales es que la distancia entre espiras, es decir, el paso de la espiral es constante. En efecto, tal paso depende del valor de la constante a. Si a partir de una posición dada por P( r, q ) se efectúa una vuelta completa llegaremos a otro punto P'( r', q + 2p ). Los puntos P y P' están alineados con O y la distancia entre ellos es r'– r = a ( q + 2p ) – aq = 2pa lo que prueba que la “anchura” de la espiral es constante.

c)

Similitud con la circunferencia Sean los dos puntos P y P'determinados en dos espiras “consecutivas” al cortar por una semirrecta de origen O. Obviamente OP'= OP+ d , y si las espiras son muy exteriores, d será muy pequeño frente a OP y OP', por lo cual OP'@ OP. Podemos decir lo mismo para todos los puntos Q del arco PP', es decir OQ @ OP. Con ello probamos que el arco PP' es aproximadamente una circunferencia. Asimismo a medida que una espira es más exterior, el ángulo que forma en cada uno de sus puntos la tangente con el radio se acerca más a 90º, es decir, tiende a cumplirse la propiedad, exclusiva de la circunferencia, de que en cada punto la tangente y el radio trazado al punto de tangencia son perpendiculares. Cuanto más aumenta r más se asemejan las espiras a circunferencias.

d)

Similitud entre arcos de espirales Denotaremos por A(O; d ) a una transformación sencilla en el plano: “alejarse una distancia d del origen”. Salvo el punto O, cualquier otro punto P se transforma de manera unívoca en otro P' definido como el único punto alineado con O y P y en la misma semirrecta que P, tal que PP ' = d . La transformación anterior no es una traslación, pues cada punto se mueve en un dirección distinta aunque sea siempre la misma la magnitud del desplazamiento. Tampoco es una homotecia, pues el alargamiento no es proporcional a la distancia al origen, sino constante.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

P' P

d

O

Figura 6. P' P

Q' Q

O R R'

Figura 7. 529

Volumen II. Matemáticas

530

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Ahora bien, tal transformación está presente, como vimos, en los movimientos que generan la espiral de Arquímedes o en los procedimientos para imitarlos. Una característica fundamental de las formas enrolladas es que al crecer, la B3 parte “nueva” tiene la misma forma que lo que ya había. A3 Vamos a fundamentar más esta aseveración. Supongamos dos arcos de espira consecutivos. Dividamos el ángulo en dos A2 B 2 partes iguales de medida j. Si giramos el arco B1B2 con respecto al origen un a ángulo j se transforma en el trozo A2A3 de la espira anterior. Usando la transa formación “alejarse” se obtiene el trozo B2B3. A 1 B1 Es decir, el proceso es:

Procedimientos dinámicos: a) Método del alfarero: el alfarero centra el plato a decorar en el torno y lo pone a girar. Coloca el dedo en el centro del plato y los desliza hacia fuera siguiendo una dirección fija (hacia él por ejemplo) y a velocidad constante. Se puede simular con un tocadiscos o cualquier aparato que gire. Adosando un papel y con la ayuda de una regla, deslizamos un lápiz en línea recta, desde el pivote hacia fuera, procurando que lleve una velocidad constante. Se puede cambiar la velocidad de giro del tocadiscos y combinarla con desplazamientos más o menos rápidos del lápiz. No deja de ser inquietante que siendo nuestro trazo “recto”, exactamente desde el pivote central hasta el borde en que acaba el papel, paradójicamente la línea que aparece en el dibujo tenga una longitud mucho mayor.

3.

Con programas informáticos (LOGO).

2.

O

B1B2

Figura 8.

G(O ,j )

¾¾¾ ¾® A 2A 3

A(O,d )

¾¾¾ ¾® B2B3

Figura 10.

Figura 9.

De esta manera el trozo B1B2 genera al B2B3 y éste al siguiente, etc. No podemos decir estrictamente que el arco B1B2 tiene la misma forma que el B2B3, pues en el primer paso del proceso sí se trata de un giro, pero el segundo no es ni un giro ni un movimiento. Lo que sí podemos decir es que a partir de un arco de espiral se puede generar toda ella mediante transformaciones sucesivas.

4.4. Construcción de la espiral arquimediana Hay varios procedimientos para la visualización y el trazado de la espiral, algunos de ellos interesantes sobre todo desde un punto de vista didáctico. A partir de la ecuación polar: con papel “polar” o marcando con ayuda de un semicírculo graduado ángulos cada 5º y determinando los radios correspondientes. Es un procedimiento parecido al que utiliza la araña para construir sus telas o los cesteros de mimbre para hacer los fondos de las cestas. El papel polar es un tipo de papel gráfico especial que se comercializa al igual que el papel milimetrado, aunque un poco más caro. Lo que hacemos es aproximar la espiral arquimediana por una poliespiral (formada por segmentos). 1.

1.

A partir de la ecuación polar: con papel “polar” o marcando con ayuda de un semicírculo graduado ángulos cada 5º y determinando los radios correspondientes. Es un procedimiento parecido al que utiliza la araña para construir sus telas o los cesteros de mimbre para hacer los fondos de las cestas. El papel polar es un tipo de papel gráfico especial que se comercializa al igual que el papel milimetrado, aunque un poco más caro. Lo que hacemos es aproximar la espiral arquimediana por una poliespiral (formada por segmentos).

Hay varios procedimientos para la visualización y el trazado de la espiral, algunos de ellos interesantes sobre todo desde un punto de vista didáctico.

4.4. Construcción de la espiral arquimediana De esta manera el trozo B1B2 genera al B2B3 y éste al siguiente, etc. No podemos decir estrictamente que el arco B1B2 tiene la misma forma que el B2B3, pues en el primer paso del proceso sí se trata de un giro, pero el segundo no es ni un giro ni un movimiento. Lo que sí podemos decir es que a partir de un arco de espiral se puede generar toda ella mediante transformaciones sucesivas. Figura 9.

Figura 10.

Figura 8.

B1B2

¾¾¾ ¾® A 2A 3 G(O ,j )

¾¾¾ ¾® B2B3 A(O,d )

2.

Con programas informáticos (LOGO).

3.

Procedimientos dinámicos: a) Método del alfarero: el alfarero centra el plato a decorar en el torno y lo pone a girar. Coloca el dedo en el centro del plato y los desliza hacia fuera siguiendo una dirección fija (hacia él por ejemplo) y a velocidad constante. Se puede simular con un tocadiscos o cualquier aparato que gire. Adosando un papel y con la ayuda de una regla, deslizamos un lápiz en línea recta, desde el pivote hacia fuera, procurando que lleve una velocidad constante. Se puede cambiar la velocidad de giro del tocadiscos y combinarla con desplazamientos más o menos rápidos del lápiz. No deja de ser inquietante que siendo nuestro trazo “recto”, exactamente desde el pivote central hasta el borde en que acaba el papel, paradójicamente la línea que aparece en el dibujo tenga una longitud mucho mayor.

O

Ahora bien, tal transformación está presente, como vimos, en los movimientos que generan la espiral de Arquímedes o en los procedimientos para imitarlos. Una característica fundamental de las formas enrolladas es que al crecer, la B3 parte “nueva” tiene la misma forma que lo que ya había. A3 Vamos a fundamentar más esta aseveración. Supongamos dos arcos de espira consecutivos. Dividamos el ángulo en dos A2 B 2 partes iguales de medida j. Si giramos el arco B1B2 con respecto al origen un a ángulo j se transforma en el trozo A2A3 de la espira anterior. Usando la transa formación “alejarse” se obtiene el trozo B2B3. A 1 B1 Es decir, el proceso es:

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

530

Espirales y hélices

Figura 11. b)

4.

Figura 12.

Desenrollando un hilo: Tomamos un pivote rígido sobre el que se enrolla el hilo y se mantiene perpendicular al plano y con el punto de apoyo fijo. Por el extremo libre se sujeta un lápiz o punzón como indica la figura. Manteniendo tenso el hilo se hace girar suavemente para que se vaya desenrollando el hilo. La línea obtenida se aproxima a una espiral cuyo paso será precisamente el perímetro del pivote.

Figura 13.

Procedimiento gráfico: Para el trazado consideramos como elemento básico el paso OL. Dividimos éste en un determinado número de partes iguales, por ejemplo doce, aunque cuanto mayor sea el número de divisiones la espiral quedará mejor concretada a efectos de trayectoria y trazado. Dibujamos circunferencias concéntricas, de centro O y radios r, para la primera, 2r para la segunda, 3r para la tercera, etc. Dividimos también estas circunferencias en las doce partes inicialmente adoptadas mediante rectas que pasen por O y unimos, mediante un arco, el punto O con el punto de corte entre la recta y la primera circunferencia, con otro arco este punto y el de corte con la segunda circunferencia, así sucesivamente. B' 31

41

21

A' 51 11 C

D

B

E

A

F

61

0

1 2 3 4

5 6 7

1 8 9 10 11 12 1' 2'

G K 71

111

H I 81

Figura 14.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

J

101 91

531

Volumen II. Matemáticas

532

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

4.5. Espiral de Arquímedes y trisección del ángulo

Ángulo q0 = 0º q1 = j q2 = 2j ... qj = jj

Radio OP0 = r0 OP1 = r1 = r0(1 + k) OP2 = r2 = r0(1 + k)2 ... OPj = rj = r0(1+k)j

Las espirales arquimedianas son una de las curvas que permiten resolver uno de los clásicos problemas, el problema de la trisección de un ángulo. El procedimiento es el siguiente: Situemos el ángulo de manera que el vértice y el lado inicial coincidan con el origen O de la espiral y la posición OA de la semirrecta que gira. Sea P el punto de intersección del segundo lado del ángulo con la espiral, y dividamos el segmento OP en tres partes iguales por medio de los puntos R y S. Sean RS y SV arcos de circunferencias de centro O y radios OR y OS respectivamente. Si estas circunferencias cortan a la espiral en los puntos U y V, entonces las semirrectas OU y OV trisecan el ángulo ÐAOP. El valor k tiene como significado el porcentaje de crecimiento del radio. Entonces podemos establecer la relación entre ángulo q (múltiplo de j) y radio r, teniéndose: rn = 1+ k rn–1

Figura 16.

P

Esta espiral se genera de manera similar a la arquimediana, combinando un movimiento rotatorio respecto a un polo O con un alejamiento simultáneo. La diferencia estriba en que no se mantiene la distancia entre espiras, es decir, el paso no es constante. Vamos a llegar a la ecuación polar de esta espiral por un proceso de aproximación. Supongamos un conjunto de n semirrectas con vértice en O, for360º 2p mando entre cada dos consecutivas un ángulo j = = rad. p p Siguiendo el sentido de giro contrario al de las agujas del reloj, vamos tomando radios OP0 , OP1, OP2 ,... de modo que formen progresión geométrica de razón mayor que la unidad, es decir

P5 P4

V

j j P1

P2

5. LA ESPIRAL LOGARÍTMICA O EQUIANGULAR

j

P0

Figura 15.

O

A

j

U

O

j

R

P3

(k > 0)

S

5.1. Ecuación polar

Esta espiral se genera de manera similar a la arquimediana, combinando un movimiento rotatorio respecto a un polo O con un alejamiento simultáneo. La diferencia estriba en que no se mantiene la distancia entre espiras, es decir, el paso no es constante. Vamos a llegar a la ecuación polar de esta espiral por un proceso de aproximación. Supongamos un conjunto de n semirrectas con vértice en O, for360º 2p mando entre cada dos consecutivas un ángulo j = = rad. p p Siguiendo el sentido de giro contrario al de las agujas del reloj, vamos tomando radios OP0 , OP1, OP2 ,... de modo que formen progresión geométrica de razón mayor que la unidad, es decir

5.1. Ecuación polar

P0

Figura 15.

O j

U

P4

R

P1 j

A

j

j

O

j

V

P5

S

P3

5. LA ESPIRAL LOGARÍTMICA O EQUIANGULAR

P2

rn = 1+ k rn–1 P

Figura 16.

(k > 0)

Situemos el ángulo de manera que el vértice y el lado inicial coincidan con el origen O de la espiral y la posición OA de la semirrecta que gira. Sea P el punto de intersección del segundo lado del ángulo con la espiral, y dividamos el segmento OP en tres partes iguales por medio de los puntos R y S. Sean RS y SV arcos de circunferencias de centro O y radios OR y OS respectivamente. Si estas circunferencias cortan a la espiral en los puntos U y V, entonces las semirrectas OU y OV trisecan el ángulo ÐAOP. El valor k tiene como significado el porcentaje de crecimiento del radio. Entonces podemos establecer la relación entre ángulo q (múltiplo de j) y radio r, teniéndose: Ángulo q0 = 0º q1 = j q2 = 2j ... qj = jj

Radio OP0 = r0 OP1 = r1 = r0(1 + k) OP2 = r2 = r0(1 + k)2 ... OPj = rj = r0(1+k)j

Las espirales arquimedianas son una de las curvas que permiten resolver uno de los clásicos problemas, el problema de la trisección de un ángulo. El procedimiento es el siguiente:

4.5. Espiral de Arquímedes y trisección del ángulo CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

532

Espirales y hélices Así pues, los puntos Pj ( rj , q j ) cumplen que mientras los ángulos crecen en progresión aritmética, los radios lo hacen en progresión geométrica. Por otro lado, hemos de notar que los triángulos OPj–1Pj y OPjPj+1 son semejantes, pues tienen igual el OPj OPj+1 ángulo en O y dos de sus lados son proporcionales = = 1+ k. Por consiguiente los otros lados OPj–1 OPj también están en la misma razón, o sea:

PjPj+1 Pj–1Pj

= 1+ k. Como consecuencia los ángulos girados en Pj–1 y en

Pj son iguales. Vamos a pasar ahora de lo discreto a lo continuo para llegar a la ecuación de la curva. Según obtuvimos anteriormente, si q es múltiplo de j el radio viene dado por r = r0 (1+ k )q j Para pasar de la espiral poligonal a la curva, hemos de suavizarla, pero conservando las mismas reglas de juego. Podemos subdividir el ángulo j en n partes iguales (giros más pequeños) y asimismo reducir k también a el porcentaje de crecimiento del radio. n Entonces la expresión [4] del radio se convertirá ahora en

[4]

Figura 17. nq

æ k öj r = r0ç1+ ÷ è nø

[5]

Si continuamos este proceso de subdivisión de manera indefinida, la espiral poligonal tenderá a la espiral logarítmica cuando n ® ¥, en cuyo caso la expresión del radio en función de q queda nq

q æ k öj r = lím r0ç1+ ÷ = r0e j n ®¥ è nø k

de donde la ecuación polar de dicha espiral podrá ponerse como r = r0ebq

[6]

El nombre de “logarítmica” proviene de la relación entre radio y ángulo que se expresa a través del lo1 r garitmo: q = ln . b r0 En general la ecuación polar de una espiral equiangular puede expresarse mediante una exponencial de base cualquiera, por ejemplo: r = r0a q , siendo a un número real positivo (a ¹ 1).

5.2. Propiedades características La propiedad fundamental que tienen estas espirales, de ahí su nombre (equiangulares), es la siguiente: En cualquier punto el ángulo que forma la recta tangente con la recta que une ese punto con el centro es constante.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 18. O 533

Volumen II. Matemáticas

534 B

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Figura 20.

Veamos ahora otra propiedad importante relacioR nada con la similitud entre diferentes trozos de una espiQ' Q ral de este tipo. P' Puede decirse que la espiral logarítmica es la forma que tienen las conchas de las mayoría de los caracoles, así como la forma de disponerse las semillas de girasol o P incluso la forma que adopta una galaxia en su expansión. Cuando un caracol crece no sólo respeta la parte de la concha anterior, que permanece invariable, sino O que además el trozo nuevo que segrega es una repetición, ampliada, de lo anterior. En este caso, la repetición es una semejanza en el estricto sentido matemático de la palabra. Recordemos que ello no ocurría en la esFigura 19. piral de Arquímedes. En efecto, sean dos trozos “consecutivos” PQ y QR correspondientes a un mismo ángulo j. Recordemos OQ OR . Si giramos el arco PQ un ángulo j, se transforma en P 'Q ', siendo P 'Q 'y QR según vimos antes que = OP OQ homotéticos respecto del origen. En resumen, del trozo “viejo” PQ se llega al “nuevo” QR mediante un giro y una homotecia de centro O, o sea: G ( O,j ) H(O ,k ) ¾® P 'Q ' ¾ ¾ ¾® QR PQ ¾ ¾ ¾ F

C

X

G

I

H

E

A

D

Y

No es sencillo obtener espirales de este tipo por procedimientos dinámicos. Necesitaríamos además de un giro uniforme y continuo, un desplazamiento radial continuo cuya velocidad creciera exponencialmente. Por ello se recurre a procedimientos gráficos aproximados como el siguiente:

5.3. Trazado de la espiral logarítmica

Si fijamos un r1 (valor del radio r para un ángulo q1), entonces para cualquier otro q > q1, tendremos bq ' . Lo cual significa que a partir del punto P1( r1, q1 ), la q = q1+ q ', con lo que r = r0eb( q1+ q ') = r0e bq1 × e bq ' = re 1 espiral es una copia ampliada de la espiral inicial. Por todo lo anterior se justifica el hecho de que algunos autores hayan bautizado a la espiral logarítmica como la “curva del crecimiento armonioso”.

Concluimos que los trozos PQ y QR son semejantes. Lo anterior se puede justificar de manera equivalente si tomamos la ecuación en polares de la espiral equiangular r = r0ebq . A partir de un punto P( r, q ), al cabo de una vuelta completa llegamos al P'( r', q + 2p ), cumpliéndose:

Concluimos que los trozos PQ y QR son semejantes. Lo anterior se puede justificar de manera equivalente si tomamos la ecuación en polares de la espiral equiangular r = r0ebq . A partir de un punto P( r, q ), al cabo de una vuelta completa llegamos al P'( r', q + 2p ), cumpliéndose: r' r0eb( q+ 2p ) = = e2bp = cte r r0ebq r' r eb( q+ 2p ) = 0 bq = e2bp = cte r r0e

Si fijamos un r (valor del radio r para un ángulo q1), entonces para cualquier otro q > q1, tendremos 1 bq ' . Lo cual significa que a partir del punto P1( r1, q1 ), la q = q1+ q ', con lo que r = r0eb( q1+ q ') = r0e bq1 × e bq ' = re 1 espiral es una copia ampliada de la espiral inicial. Por todo lo anterior se justifica el hecho de que algunos autores hayan bautizado a la espiral logarítmica como la “curva del crecimiento armonioso”.

Veamos ahora otra propiedad importante relacionada con la similitud entre diferentes trozos de una espiQ ral de este tipo. P' Puede decirse que la espiral logarítmica es la forma que tienen las conchas de las mayoría de los caracoles, así como la forma de disponerse las semillas de girasol o P incluso la forma que adopta una galaxia en su expansión. Cuando un caracol crece no sólo respeta la parte de la concha anterior, que permanece invariable, sino O que además el trozo nuevo que segrega es una repetición, ampliada, de lo anterior. En este caso, la repetición es una semejanza en el estricto sentido matemático de la palabra. Recordemos que ello no ocurría en la esFigura 19. piral de Arquímedes. En efecto, sean dos trozos “consecutivos” PQ y QR correspondientes a un mismo ángulo j. Recordemos OQ OR . Si giramos el arco PQ un ángulo j, se transforma en P 'Q ', siendo P 'Q 'y QR según vimos antes que = OP OQ homotéticos respecto del origen. En resumen, del trozo “viejo” PQ se llega al “nuevo” QR mediante un giro y una homotecia de centro O, o sea: G ( O,j ) H(O ,k ) ¾® P 'Q ' ¾ ¾ ¾® QR PQ ¾ ¾ ¾

5.3. Trazado de la espiral logarítmica

No es sencillo obtener espirales de este tipo por procedimientos dinámicos. Necesitaríamos además de un giro uniforme y continuo, un desplazamiento radial continuo cuya velocidad creciera exponencialmente. Por ello se recurre a procedimientos gráficos aproximados como el siguiente: Y

D

H

C

I

A

E

G

X

F

R Q'

B

Figura 20.

534

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

Espirales y hélices Partiendo de unos ejes coordenados, trazamos un segmento que corte al semieje positivo de abscisas en A y al negativo de ordenadas en B. Por B trazamos la perpendicular a este segmento que corta al semieje negativo de abscisas en C. Por C trazamos la perpendicular al segmento BC que corta al semieje positivo de ordenadas en D, y continuando con este proceso, obtenemos los puntos E, F, G, H. Uniendo, mediante arcos o segmentos curvilíneos, los puntos A, E, C, D, E..., obtenemos la espiral logarítmica o equiangular. Si nos basamos en la propiedad fundamental podemos hacer una construcción aproximada como la que se muestra en la figura siguiente, trazando semirrectas con igual separación angular y formando un “caracol” con triángulos semejantes “adosados”.

Figura 21.

6. OTRAS ESPIRALES Entre las numerosas espirales que existen, de Cornu, de Côtes o espiga, de Fermat, de Galileo, de Sturm, etc., hacemos mención de la espiral hiperbólica, de ecuación r× q = a o r = a q, siendo a un número real positivo. Consta, como puede verse en el dibujo del margen, de una asíntota que es una recta paralela al eje polar y alejada de él una distancia a.

y

a x

O

Figura 22. Una imitación de las espirales estudiadas son las falsas espirales, llamadas así por ser curvas “a trozos”. Así por ejemplo la “falsa espiral lineal” o de dos centros se construye partiendo como base de un segmento AB, en cuyos extremos están los centros. Prolongando el segmento AB por ambos lados y haciendo centro en A, trazamos una semicircunferencia de radio AB, que corta a la prolongación del segmento en un punto C. Haciendo centro en B y con radio BC se traza otra semicircunferencia que corta a la prolongación del segmento en D. Continuamos el proceso alternando los centros en A y en B.

D

B

A

C

Figura 23. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

535

Volumen II. Matemáticas

536

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Tomando como base un polígono regular y por un procedimiento análogo pueden construirse falsas espirales de tres o más centros. Figura 26.

C D

A

C

B

BA

F 1 A 2 B D C E

Si sustituimos los arcos de circunferencia por segmentos y utilizando procedimientos de construcción inspirados en las espirales anteriores podemos obtener otras formas enrolladas: las espirales poligonales o poliespirales. Par ejemplo, partamos de un punto P0 y desplacémonos hacia la derecha hasta un nuevo punto P1, después hacia arriba hasta otro punto P2, a continuación hacia la izquierda hasta P3, y así sucesivamente de modo que cada paso cambiamos la dirección girando 90º. Si procuramos que cada desplazamiento sea siempre mayor (Pi–1Pi > PP i i+1) o siempre menor (Pi–1Pi < PP i i+1) que el precedente, tendremos una forma que se va enrollando sobre sí misma de dentro hacia fuera o de afuera hacia adentro. Se trata de una poliespiral cuadrada. Figura 24.

Hay otras falsas espirales interesantes, que se construyen enlazando arcos de circunferencia cuyos radios, y por ende sus longitudes, están en progresión geométrica de una razón dada. Tenemos como ejemplos la espiral áurea, la espiral de Durero (construida a partir de los números de Fibonacci), o la espiral de paso gnómico 2. Todas ellas son aproximaciones de la espiral equiangular. 3

Figura 25. 8

5

1

2 1

1 2

1

5

8

Figura 25. 3

Si sustituimos los arcos de circunferencia por segmentos y utilizando procedimientos de construcción inspirados en las espirales anteriores podemos obtener otras formas enrolladas: las espirales poligonales o poliespirales. Par ejemplo, partamos de un punto P0 y desplacémonos hacia la derecha hasta un nuevo punto P1, después hacia arriba hasta otro punto P2, a continuación hacia la izquierda hasta P3, y así sucesivamente de modo que cada paso cambiamos la dirección girando 90º. Si procuramos que cada desplazamiento sea siempre mayor (Pi–1Pi > PP i i+1) o siempre menor (Pi–1Pi < PP i i+1) que el precedente, tendremos una forma que se va enrollando sobre sí misma de dentro hacia fuera o de afuera hacia adentro. Se trata de una poliespiral cuadrada.

Hay otras falsas espirales interesantes, que se construyen enlazando arcos de circunferencia cuyos radios, y por ende sus longitudes, están en progresión geométrica de una razón dada. Tenemos como ejemplos la espiral áurea, la espiral de Durero (construida a partir de los números de Fibonacci), o la espiral de paso gnómico 2. Todas ellas son aproximaciones de la espiral equiangular. Figura 24.

C BA D

B A

D E

C

F 1 A 2 B

C

Tomando como base un polígono regular y por un procedimiento análogo pueden construirse falsas espirales de tres o más centros. Figura 26.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

536

Espirales y hélices Obtendríamos una similitud con la espiral arquimediana, en cuanto a la regla de formación, si las longitudes de los tramos sucesivos estuviesen en progresión aritmética. También podemos fijar la razón de crecimiento, al igual que hicimos en la formación de la espiral equiangular, en cuyo caso las longitudes de los tramos estarían en progresión geométrica. Si tomamos el ángulo de giro de 60º, en lugar de 90º, obtendríamos poliespirales hexagonales. En ge360º neral el ángulo de giro puede ser y tendríamos espirales poligonales, bien de paso constante o de paso n creciente (con cierta razón de crecimiento).

Figura 27.

Figura 28.

Las citadas formas pueden obtenerse con la ayuda de programas informáticos (LOGO, por ejemplo) y para n grande constituyen buenas aproximaciones discretas de las curvas espirales.

7. HÉLICES Las hélices constituyen un tipo de curvas alabeadas (no planas) que se englobarían dentro de las formas enrolladas estudiadas. Podemos decir que las hélices son espirales espaciales. Desde un punto de vista “mecánico” la hélice sería la trayectoria de un punto sometido simultáneamente a un movimiento giratorio alrededor de un eje y a otro movimiento lineal de avance paralelo al eje de rotación. Puede incluso añadirse un tercer movimiento: el alejamiento respecto al eje de rotación.

7.1. Ecuaciones paramétricas de una hélice La ecuación cartesiana x2 + y2 = r2 define en el espacio un cilindro circular recto de eje OZ. Una “paì x = r cos q ï rametrización” de dicha superficie sería í y = r sen q . ï îz= b Observemos que tales ecuaciones son las ecuaciones paramétricas de una superficie, ya que incluyen dos parámetros arbitrarios. En la ecuación implícita observamos que no interviene la variable z; dicha variable tiene “completa libertad”. ¿Qué pasa si en las ecuaciones del cilindro cambiamos b por el propio q ? Tendríamos ahora las ecuaciones paramétricas ì x = r cos q ï í y = r sen q ï îz= q

[7]

que no definen ahora una superficie sino una curva. La z va aumentando paulatinamente conforme la proyección ( x, y ) sobre el plano OXY va describiendo circunferencias. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

537

Volumen II. Matemáticas

538

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Las ecuaciones [7] determinan una curva alabeada en el espacio denominada “hélice circular”. Cada intervalo de q de amplitud 2p se tiene una “espira”.

Z

que corresponden también a una hélice cónica, contenida en el cono de ecuación cartesiana x2 + y2 = ì x = q cos q ï í y = q sen q ï î z = bq

1 2 z . b2 [10]

2p

Además los puntos de la curva verifican la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = z 2, que es la ecuación de un cono circular recto de eje OZ y vértice (0,0,0), que en paramétricas sería x = b cos q, y = b sen q, z = b. Por tanto, las ecuaciones [9] definen una curva contenida en dicho cono, que se denomina “hélice cónica”. En general podemos introducir una ligera modificación en las ecuaciones [9] y tendríamos las ecuaciones 2p

O

Figura 29.

Figura 30.

X

X

Y

Si modificamos ligeramente las ecuaciones [7] y ponemos Y

ì x = rcos q ï í y = rsen q ï î z = bq

[8]

seguimos teniendo una hélice. En caso de que sea b > 0 la hélice se llama “dextrógira” y en caso de que b < 0 “levógira”. Tanto [7] como [8] están contenidas en el cilindro de partida, por ellos se llaman hélices cilíndricas. Modifiquemos ahora de nuevo las ecuaciones paramétricas de las hélices anteriores y pongamos Z

Observamos ahora que a medida que varía a el valor de z “avanza” mientras que la proyección ( x, y ) sobre el plano OXY no describe ahora una circunferencia sino una espiral. ì x = q cos q ï í y = q sen q ï îz= q

ì x = q cos q ï í y = q sen q ï îz= q

[9]

[9]

seguimos teniendo una hélice. En caso de que sea b > 0 la hélice se llama “dextrógira” y en caso de que b < 0 “levógira”. Tanto [7] como [8] están contenidas en el cilindro de partida, por ellos se llaman hélices cilíndricas. Modifiquemos ahora de nuevo las ecuaciones paramétricas de las hélices anteriores y pongamos

Observamos ahora que a medida que varía a el valor de z “avanza” mientras que la proyección ( x, y ) sobre el plano OXY no describe ahora una circunferencia sino una espiral. Z

ì x = rcos q ï í y = rsen q ï î z = bq

[8]

Y

Si modificamos ligeramente las ecuaciones [7] y ponemos Figura 30.

Figura 29.

X

X

Además los puntos de la curva verifican la ecuación cartesiana x 2 + y 2 = z 2, que es la ecuación de un cono circular recto de eje OZ y vértice (0,0,0), que en paramétricas sería x = b cos q, y = b sen q, z = b. Por tanto, las ecuaciones [9] definen una curva contenida en dicho cono, que se denomina “hélice cónica”. En general podemos introducir una ligera modificación en las ecuaciones [9] y tendríamos las ecuaciones Y

O

2p

2p

ì x = q cos q ï í y = q sen q ï î z = bq

[10]

Las ecuaciones [7] determinan una curva alabeada en el espacio denominada “hélice circular”. Cada intervalo de q de amplitud 2p se tiene una “espira”.

que corresponden también a una hélice cónica, contenida en el cono de ecuación cartesiana x2 + y2 = Z

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

Volumen II. Matemáticas

538

1 2 z . b2

Espirales y hélices

7.2. Estudio particular de la hélice circular Z

Partamos de un cilindro de revolución de radio r y fijemos una de sus generatrices g. Sea P un punto de dicha superficie y R su proyección sobre un plano fijado que sea perpendicular al eje del cilindro. El punto P vendrá determinado por el arco QR = s (“abscisa curvilínea”) y la cota RP = z. Convendremos en asignar para s sentido positivo el usual, es decir, contrario a las agujas del reloj. La hélice cilíndrica circular es, por definición, la línea contenida en la superficie cilíndrica tal que todos sus puntos cumplen z = ks.

Q'

P

La longitud del segmentoQQ '= h comprendido entre dos puntos sucesivos de la hélice en una misma generatriz se denomina “paso” y es igual a h = k ×2pr. Entonces z=

Y X

R

Q

h h h s= rq = q = bq 2pr 2pr 2p

Figura 31.

Como las coordenadas ( x, y ) de la proyección R, referidas a los ejes OX y OY son x = r cos q ,

y = r sen q

tendremos las ecuaciones paramétricas de la hélice. Hemos de hacer notar la siguiente propiedad: En el desarrollo plano del cilindro la hélice se transforma en una recta.

En efecto, pues para cualquier punto P se cumple: RP z = = k = cte QR s Al desarrollar, tendremos R1P1 = x2

h P1

, Q1R1 = x2

cumpliéndose también: RP RP = k = 1 1 = tg a QR Q1R1

Q1

A

R1 2pr

Figura 32.

de donde x2 = kx1, que es la ecuación de una recta. El ángulo a se llama “inclinación” de la hélice. Veamos además cuáles son las proyecciones de la hélice sobre los tres planos coordenados: a)

Proyección sobre el plano OXY: El punto P ( r cos q , r sen q , bq ) se proyecta en el punto P ( rcos q , rsen q ,0 ), obteniéndose la curva ì x = r cos q ìx2 + y2 = r2 ï í y = r sen q que es la circunferencia contenida en el plano OXY dada por í . îz = 0 ï îz= 0

b)

Proyección sobre el plano OYZ: ìx= 0 ì ï x= 0 ï z. í y = rsen q . Se obtiene la sinusoide contenida en el plano OYZ dada por í y = r sen ï ï î b î z = bq

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Volumen II. Matemáticas

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CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

c)

Proyección sobre el plano OXZ: ìx = r cos q ì ï ïx = r cos z í y= 0 . Se obtiene la cosinuoide contenida en el plano OXZ dada por í b. ïy= 0 ï î î z = bq

Por tanto es muy fácil hacer la plantilla plana sobre cartulina, sin más que tener en cuenta que los puntos A y A', B y B', etc., estén a la misma altura para que casen bien al hacer el cilindro. Lo anterior sugiere además que si se dan dos puntos A y B de un cilindro circular recto, la trayectoria más corta para ir desde A hasta B sobre la superficie del cilindro es un segmento de hélice.

Figura 34.

ìr= r ï En coordenadas cilíndricas ( r, q , z ) cualquier punto de la hélice verifica: íq = t que se reducen a ï î z = bt ìr = r í que son las ecuaciones de la hélice. î z = bq A´

A

B´

B

C´

C

D´

D

E´

E

Para un mismo radio r, lo que cambia de una hélice a otra es la separación entre las espiras. Al variar b, éstas se comprimen o estiran. El “paso de la hélice” o “paso de rosca” es lo que varía z cuando el argumento pasa de q a q + 2p, es decir:

Podemos construir un modelo que simule una hélice circular, con la ayuda de una plantilla rectangular de cartulina que se enrollará hasta formar un cilindro. La hélice (de paso constante) se visualizará dibujada sobre dicho cilindro. Si damos un corte a dicho cilindro por una generatriz y desplegamos las espiras se convierten en rectas paralelas. b( q + 2p) – bq = 2pb

Para obtener la longitud de una espira podemos suponer la hélice dibujada sobre un cilindro, que cortamos por una de sus generatrices y desenrollamos:

Figura 33.

2pr L L

L = 2p r2 + b 2

2p

L = 2p r2 + b 2

2p 2pr

Para obtener la longitud de una espira podemos suponer la hélice dibujada sobre un cilindro, que cortamos por una de sus generatrices y desenrollamos:

Figura 33.

Podemos construir un modelo que simule una hélice circular, con la ayuda de una plantilla rectangular de cartulina que se enrollará hasta formar un cilindro. La hélice (de paso constante) se visualizará dibujada sobre dicho cilindro. Si damos un corte a dicho cilindro por una generatriz y desplegamos las espiras se convierten en rectas paralelas. b( q + 2p) – bq = 2pb

Para un mismo radio r, lo que cambia de una hélice a otra es la separación entre las espiras. Al variar b, éstas se comprimen o estiran. El “paso de la hélice” o “paso de rosca” es lo que varía z cuando el argumento pasa de q a q + 2p, es decir: D´ C´

E

ìr = r í que son las ecuaciones de la hélice. î z = bq

E´

D C

ìr= r ï En coordenadas cilíndricas ( r, q , z ) cualquier punto de la hélice verifica: íq = t que se reducen a ï î z = bt B´

A´

B

A

Figura 34.

ìx = r cos q ì z ï ï x = r cos í y= 0 . Se obtiene la cosinuoide contenida en el plano OXZ dada por í b. ïy= 0 ï î î z = bq

Por tanto es muy fácil hacer la plantilla plana sobre cartulina, sin más que tener en cuenta que los puntos A y A', B y B', etc., estén a la misma altura para que casen bien al hacer el cilindro. Lo anterior sugiere además que si se dan dos puntos A y B de un cilindro circular recto, la trayectoria más corta para ir desde A hasta B sobre la superficie del cilindro es un segmento de hélice. c)

Proyección sobre el plano OXZ:

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Volumen II. Matemáticas

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Espirales y hélices En una hélice circular todos los trozos tienen la misma forma. En efecto, si la sometemos a una traslación de vector paralelo al eje y módulo el paso de rosca d, la hélice permanece invariante, pues cada espira completa se transforma en la siguiente espira. Así pues, una única espira genera toda la hélice. Pero podemos tomar un trozo más pequeño, por ejemplo media espira, y trasladarla una paralelamente al eje una distancia d 2girando a la vez 180º. Podría hacerse también con un cuarto de espira (subiendo d 4 y girando 90º). La hélice es pues invariante para infinidad de pares giro-traslación.

7.3. Otras formas helicoidales A veces se utiliza el término “helicoide” al referirse a formas enrolladas sobre superficies no cilíndricas (conos o esferas). Si bien la proyección de una hélice circular sobre cualquier plano perpendicular a su eje es una circunferencia, en los helicoides la proyección es una espiral. Por ello la foto de un caracol tomando como visual el eje sirve como modelo de espiral. 23 23 22 21 20 19 18 17 18 16 15 17 16 14 13 15 12 14 13 11 12 10 9 8 7 6 5 5 6 4 4 3 3 2 1 1 2

22 21 20 19

9

10 8

11

7

12

11

1 13

Figura 35. Proyección plana del caracol “Facelaria”.

Figura 36. Dibujo de Alberto Durero. Proyección de un helicoide sobre un plano.

2

10

21

9

20 8

22

14

17

18 7

15

23

19

6

16

3

4

5

Si cortamos un cono, sobre el que se ha dibujado una hélice cónica, por una generatriz, al igual que hicimos en el caso de la hélice circular, obtendríamos una plantilla sobre la que aparecen unos trazos que tienen apariencia de espirales. La única diferencia es que aquí no damos “vueltas” de 360º , sino del ángulo b que tenga la plantilla. Por eso, para que al plegar casen los trozos el final de cada tramo debe estar a la misma distancia de O que el principio de tramo siguiente. Si los tramos son espirales arquimedianas obtendremos helicoides sobre anchura constante entre espiras.

Figura 37.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

Figura 38.

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Volumen II. Matemáticas

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8. PRESENCIA EN LA NATURALEZA, LA TÉCNICA Y EL ARTE

Cuando un insecto es atraído por un foco de luz se orienta en cada momento por la dirección de los rayos que recibe, girando respecto de ellos un ángulo constante. Su trayectoria es una espiral equiangular.

Figura 40.

8.1. En la Naturaleza

Existen en la naturaleza numerosos ejemplos de formas enrolladas, cuya representación gráfica es una espiral o una hélice. Se trata en casi todos los casos de un crecimiento en forma de giro ligado a una expansión, por ejemplo en organismos que crecen fundamentalmente por un solo extremo, conservando sin modificar los estadios anteriores, o en algunos fenómenos tipo “turbulencias” como los huracanes o la expansión de ciertas galaxias. Las espirales son curvas muy conocidas por su presencia en nuestro entorno. Pueden observarse espirales en las telarañas, en las conchas de los caracoles, en la disposición de las semillas de las tortas de girasol, etc. Hay que señalar que en la naturaleza, la espiral de Arquímedes se presenta, salvo excepciones, de manera “artificial”. Es decir no forma parte de los seres vivos, sino que es creada esporádicamente y de forma reversible por ellos. Concha de nautilus.

Amonites.

En cambio más frecuente es la presencia de la espiral equiangular. Así por ejemplo, en los caracoles planos la forma típica de la concha es una espiral en que las espiras se van ensanchando a medida que dan vueltas, es decir una espiral logarítmica. Los caracoles planos (planispirales) son muy raros, pero suele casi siempre ser una espiral de este tipo su proyección plana. Ocurre igualmente con algunos fósiles (amonites, numulites, etc.). En concreto, la concha del Nautilus pompilius es la más hermosa que existe, crece como una espiral áurea. Se trata de un cefalópodo con cámara de aire del que hace millones de años existían unas diez mil especies. Hoy día tan sólo hay una especie que puede encontrarse en las profundidades de Océano Pacífico (a unos 500 m de la superficie) o en una barrera coralina en la isla de Nueva Caledonia, donde puede encontrarse a tan sólo 15 ó 20 m de profundidad. Figura 39.

En cambio más frecuente es la presencia de la espiral equiangular. Así por ejemplo, en los caracoles planos la forma típica de la concha es una espiral en que las espiras se van ensanchando a medida que dan vueltas, es decir una espiral logarítmica. Los caracoles planos (planispirales) son muy raros, pero suele casi siempre ser una espiral de este tipo su proyección plana. Ocurre igualmente con algunos fósiles (amonites, numulites, etc.). En concreto, la concha del Nautilus pompilius es la más hermosa que existe, crece como una espiral áurea. Se trata de un cefalópodo con cámara de aire del que hace millones de años existían unas diez mil especies. Hoy día tan sólo hay una especie que puede encontrarse en las profundidades de Océano Pacífico (a unos 500 m de la superficie) o en una barrera coralina en la isla de Nueva Caledonia, donde puede encontrarse a tan sólo 15 ó 20 m de profundidad. Figura 39.

Concha de nautilus.

Amonites.

Existen en la naturaleza numerosos ejemplos de formas enrolladas, cuya representación gráfica es una espiral o una hélice. Se trata en casi todos los casos de un crecimiento en forma de giro ligado a una expansión, por ejemplo en organismos que crecen fundamentalmente por un solo extremo, conservando sin modificar los estadios anteriores, o en algunos fenómenos tipo “turbulencias” como los huracanes o la expansión de ciertas galaxias. Las espirales son curvas muy conocidas por su presencia en nuestro entorno. Pueden observarse espirales en las telarañas, en las conchas de los caracoles, en la disposición de las semillas de las tortas de girasol, etc. Hay que señalar que en la naturaleza, la espiral de Arquímedes se presenta, salvo excepciones, de manera “artificial”. Es decir no forma parte de los seres vivos, sino que es creada esporádicamente y de forma reversible por ellos.

8.1. En la Naturaleza

Cuando un insecto es atraído por un foco de luz se orienta en cada momento por la dirección de los rayos que recibe, girando respecto de ellos un ángulo constante. Su trayectoria es una espiral equiangular.

8. PRESENCIA EN LA NATURALEZA, LA TÉCNICA Y EL ARTE

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

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Figura 40.

Espirales y hélices En cuanto a la hélice, está presente en multitud de situaciones y fenómenos naturales tales como el crecimiento de los zarzillos de las plantas trepadoras a lo largo de un soporte o el crecimiento de las astas de los carneros. Las brácteas de las piñas y otros frutos, así como la clorofila de algunas algas, se disponen helicoidalmente, como cuando soltamos la peladura de una naranja. En Botánica se llama hélice fundamental de un planta a la línea obtenida al ir uniendo alrededor del tallo los puntos de imbricación de las hojas. No se trata en general de una hélice de paso constante, sino que las espiras se van apretando más hacia el extremo joven del tallo. Asimismo sabemos también que las moléculas de ADN se disponen en forma de doble hélice. La Vía Láctea se desplaza por el Universo, el resultado es la trayectoria en hélice. La mayoría de la galaxias se expanden helicoidalmente.

Una forma sencilla de construir una hélice es imitando los tallos trepadores.

Fotografía de un huracán tomada desde un satélite. Las moléculas que forman el ADN están unidas por enlaces de oxígeno formando una hélice doble.

Sol

El sol describe una órbita cada 200 millones de años. A su vez, la Vía Láctea se desplaza por el Universo. El resultado es la trayectoria en hélice.

Figura 41. TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

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Tanto la mayoría de los caracoles como la disposición de las hojas sobre troncos cónicos adoptan formas de helicoides.

Esto también se aplica por los alfareros, siendo un motivo ornamental frecuente en la cerámica popular. Como la construcción de la espiral arquimediana es tan sencilla, aparece dibujada o tallada en numerosas obras de arte, incluso las más primitivas (por ejemplo: vasijas estruscas, etc.) y en muchos adornos y construcciones (barandas, rejas, etc.). Otro ejemplo de presencia en manifestaciones artísticas son las volutas en arquitectura.

8.3. En el Arte Figura 43. Construcción moderna en espiral. Figura 42.

8.2. En la Técnica

Igualmente, el hombre ha necesitado también de estas formas, unas veces por necesidades prácticas y otras por necesidades estéticas. El diseño de una escalera de caracol, construcción de muelles y solenoides, el sacacorchos, etc., son algunos de los múltiples ejemplos de utilización de las hélices en la técnica. Las espirales arquimedianas se usan a menudo en artificios mecánicos de determinadas máquinas, por ejemplo, las máquinas de coser, ya que transforman el movimiento circular en movimiento lineal.

Igualmente, el hombre ha necesitado también de estas formas, unas veces por necesidades prácticas y otras por necesidades estéticas. El diseño de una escalera de caracol, construcción de muelles y solenoides, el sacacorchos, etc., son algunos de los múltiples ejemplos de utilización de las hélices en la técnica. Las espirales arquimedianas se usan a menudo en artificios mecánicos de determinadas máquinas, por ejemplo, las máquinas de coser, ya que transforman el movimiento circular en movimiento lineal.

8.2. En la Técnica

Figura 42. Figura 43. Construcción moderna en espiral.

8.3. En el Arte Esto también se aplica por los alfareros, siendo un motivo ornamental frecuente en la cerámica popular. Como la construcción de la espiral arquimediana es tan sencilla, aparece dibujada o tallada en numerosas obras de arte, incluso las más primitivas (por ejemplo: vasijas estruscas, etc.) y en muchos adornos y construcciones (barandas, rejas, etc.). Otro ejemplo de presencia en manifestaciones artísticas son las volutas en arquitectura.

Tanto la mayoría de los caracoles como la disposición de las hojas sobre troncos cónicos adoptan formas de helicoides.

CUERPO DE PROFESORES DE ENSEÑANZA SECUNDARIA

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Espirales y hélices Han sido halladas bóvedas en espiral en un complejo funerario del arte prehistórico irlandés, que indican que la espiral de Arquímedes se conocía mucho antes. Posteriormente se han encontrado también en cruces célticas de Monasterboice (1000 d.C.). En la Basílica de San Marcos en Venecia, las bóvedas interiores decoradas por Paolo Ucello contienen motivos con espiral. También está presente en los platos de filigrana, llamada de redecilla, de los maestros vidrieros de Murano. Aunque con mucha menos frecuencia que las arquimedianas, también encontramos espirales equiangulares en el arte.

Piedra esculpida de un túmulo fechada en la Edad de Bronce.

Dos espirales unidas en una vasija etrusca.

Testero de un violín.

Detalle de una fachada francesa del siglo XV.

Figura 44.

TEMARIO DE MATEMÁTICAS. PRUEBA A

545

Bibliografía

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Volumen II. Matemáticas

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