Matematicas para economistas

22. Dada la función f ( x, y )=

 x 2 + xy   x − y 

a) Estúdiese su homogeneidad, determinando, en su caso, el grado. b) Determínese cuánto vale: ∂  f  

 x

∂ x

+  y

∂  f   ∂ x

Solución: a) En general, una función   f  ( x ) se dice que es homogénea homogénea de grado r  (  ( r  ∈ ℜ) si,  ara cualquier  x en el dominio de f  de  f , ! ara cualquier λ  >  > ", se verifica que λ .  x  ertenece

al dominio ! se da la relación (#):   f  (λ  x ) = λ r   f  ( x )

En nuestro e$emlo,   f  ( x , y ) es una función de dos varia%les or tanto su dominio será será un su%c su%con on$u $unt nto o de ℜ&. 'l ser ser un coci cocien ente te,, su deno denomi mina nado dorr no se de%e de%e anul anular ar,,  x − y ≠ "

, ! adem además ás el nume numerad rador or tien tienee una una raí raí cuad cuadra rada da,, lo que que iml imlica ica que que el

radicando tiene que ser ositivo  x & + xy ≥ ", con lo que el dominio de la función estará formado or los untos que verifiquen:   x ( x +  y ) ≥ "  D = ( x ,  y ) ∈ ℜ   x ≠  y   Es evidente, que si ( x ,  y ) ∈  D ! λ  >  > ", entonces el unto (λ  x , λ y ) tam%ién es un unto del dominio. na ve analiada la rimera condición, veamos entonces la segunda:   f  ( λ  x , λ  y ) =

(λ  x ) & + (λ  x)(λ  y ) λ  x − λ  y

&

=

λ 

( x & +  xy )

λ ( x −

=

λ 

 y )

( x & +  xy ) λ ( x −

 y )

"

= λ    f  (  x

,  y )

 or lo que f  que f  es  es homogénea de grado ". b) 'licando el *eorema de Euler ara funciones homogéneas (#), tenemos garantiada la

siguiente relación  x

(#)

∂  f   ∂ x

+  y

 +éase a%allero, -onále ! *riguero ág./"/

∂  f   ∂ x

= "  f  (  x ,  y ) = "