MATEMATICAS - LIBRO - FUNCIONES

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN ESCUELA DE GRADUADOS CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

2003

Índice general FUNCIONES Y GRAFICAS 0.1. FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . 0.2. FUNCIONES REALES . . . . . . . . 0.3. OPERACIONES CON FUNCIONES 0.4. FUNCION INVERSA . . . . . . . . 0.5. FUNCION EXPONENCIAL . . . . . 0.6. FUNCION LOGARITMICA . . . . . 0.7. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . .

i

II

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

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ii v xvii xxi xxvii xxix xxxiv

FUNCIONES Y GRAFICAS 0.1.

FUNCIONES

De…nición 0.1.1 Sean A y B dos conjuntos no vacíos. Se llama FUNCION DE A en B a toda ley o regla que asigna a cada elemento de A un único elemento de B: Es común usar las letras f; g; h; F; ; ::: para designar funciones. Para indicar que f es una función de A en B se escribe: f :A!B Para indicar que a un elemento x de A, la función f le asocia un solo elemento y de B; se escribe: x 7! f (x) = y; o más simplemente: f (x) = y: Es decir: f : A ! B , 8 x 2 A; 9! y 2 B tal que f (x) = y El elemento y se llama IMAGEN de x por f o también se dice que y es EL VALOR DE f en x o que y es la VARIABLE DEPENDIENTE. El elemento x se llama PRE-IMAGEN de y por f o VARIABLE INDEPENDIENTE. El conjunto A se llama DOMINIO de f y se denota por Dom (f ) ; el conjunto B se llama CODOMINIO de f y se denota por Cod (f ) :

ii

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

iii

El conjunto de los valores que toma f en los elementos de A se llama conjunto imagen o RECORRIDO de f y se denota por Rec (f ) ; es decir: Rec (f ) = ff (x) 2 B : x 2 Ag = fy 2 B : 9 x 2 A tal que f (x) = yg : Ejemplo 0.1.1 La fórmula familiar de geometría A (r) = r2 ;

(r > 0)

describe el área de un círculo en función del radio. Es decir, A : R+ ! R + ;

r 7! A (r) = r2 :

Ejemplo 0.1.2 F = 32 + 59 C expresa la temperatura de un cuerpo en grados Fahrenheit, F, en función de su temperatura en grados Celsius, C. F : R ! R;

9 C 7! F (C) = 32 + C: 5

Ejemplo 0.1.3 Sea g: N ! Z n 7! g (n) = 2n + 1 entonces la imagen por g de 3 es g (3) = 7; la preimagen de 7 por g es 3. 1. Observe que todo número del dominio de g, es decir, todo número natural, tiene imagen en Z. Sin embargo, no todo número en Z tiene una preimagen por g. Por ejemplo: 8 2 Z y no existe n 2 N tal que g (n) = 2n + 1 = 8; ya que se debería tener n = 72 pero 72 2 = N: 4) La ley que asocia a cada número real su inverso multiplicativo, no es una función de R en R pues el cero no tiene inverso multiplicativo. Para obtener una función se debe considerar como dominio el conjunto R n f0g ; así f : R n f0g ! R x 7! f (x) = x1 es una función, ya que todo número no nulo tiene un único inverso multiplicativo.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

iv

5) Sean A y B dos conjuntos no vacíos y b 2 B; b …jo. La función f de A en B con Rec (f ) = fbg ; es decir, f: A ! B a 7! f (a) = b se llama FUNCION CONSTANTE de valor b. 6) Sea A un conjunto no vacío. La función de…nida por f : A ! A tal que f (x) = x se llama FUNCION IDENTICA en A y se denota por IA : De…nición 0.1.2 Una función de A en B, f : A ! B; es: 1) SOBREYECTIVA: Si Rec (f ) = B: 2) INYECTIVA: Si elementos diferentes de A tienen imágenes diferentes en B; o sea si: 8 x1 ; x2 2 A; x1 6= x2 ) f (x1 ) 6= f (x2 ) ; o lo que es equivalente: 8 x1 ; x2 2 A; f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 3) BIYECTIVA: Si es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Observación 0.1.1 f no es inyectiva si y sólo si existen x1 2 A; x2 2 A; x1 6= x2 ; tales que f (x1 ) = f (x2 ) : Ejemplo 0.1.4

1.

2. La función idéntica de un conjunto A es biyectiva ¿Por qué? 3. Una función constante normalmente no es biyectiva ¿Por qué?

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

0.2.

v

FUNCIONES REALES

El concepto de función no impone condiciones a la clase o especie de objetos que pertenecen al dominio o codominio. En particular, dominio y codominio no son necesariamente conjuntos de números. Sin embargo, nuestro interés se centra casi exclusivamente en funciones cuyos dominios y codominios son subconjuntos del conjunto de los números reales. Estas son las funciones a valores reales de variable real o FUNCIONES REALES. Además, si bien la ley que de…ne la función no está dada generalmente por una fórmula o ecuación, la mayoría de las funciones con las cuales trabajaremos serán de este tipo. Observación 0.2.1 : 1) Una función está deteminada por su dominio, codominio y ley de asociación. 2) Si el dominio de una función real no está especi…cado, se conviene en que es el mayor subconjunto del conjunto de los números reales a los cuales la ley les asigna como imagen un número real (es decir, para los cuales la ley tiene sentido): 3) Si el codominio no se especi…ca se subentenderá que es el conjunto de los números reales. De…nición 0.2.1 Dos funciones f y g son IGUALES si y sólo si: Dom (f ) = Dom (g) Cod (f ) = Cod (g) y f (x) = g (x) ;

8 x 2 Dom (f )

Ejemplo 0.2.1 : 1) Si f (x) = 3x 2) Si

f (x) =

x x

2

y

y

g (x) = 1;

g (x) =

6x 4 ; 2

entonces f = g:

entonces f 6= g: ¿Por qué?.

De…nición 0.2.2 Sea f : A ! B y C A: La función g : C ! B; g (x) = f (x) se llama RESTRICCION DE f a C. Se suele denotar g = f=C :

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

vi

Nota: Por abuso de lenguaje suele denotarse la restricción de f a un subconjunto del dominio, simplemente, por f: De…nición 0.2.3 Sea f una función real. Se llama GRAFICO de f al conjunto Gr (f ) = f(x; y) 2 R R : y = f (x)g Ejemplo 0.2.2 : 1) Sea f (x) = x: Se puede considerar a R como el Dom (f ) ; entonces la imagen de cualquier número es el mismo número y Rec (f ) = R: Luego la función idéntica es sobreyectiva. y

5

2 .5

0 -5

-2 .5

0

2 .5

5 x

-2 .5

-5

Además, cualesquiera sean x1 2 R y x2 2 R; f (x1 ) = f (x2 ) ) x1 = x2 ; por lo tanto, la función f es también inyectiva. 2) Si f (x) = x2 ; el dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales no negativos. y

5

3 .7 5

2 .5

1 .2 5

0 -5

-2.5

0

2 .5

5 x

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

vii

En efecto, y 2 Rec (f ) , 9 x 2 Dom (f ) ,9x2R ,9x2R , y 0:

y e y

f (x) = y y = x2 p x= y

Luego, Rec (f ) = R+ [ f0g :

Como Cod (f ) = R y Rec (f ) = R [ f0g ; f no es sobreyectiva. ¿Es f inyectiva? Si x1 2 R; x2 2 R y f (x1 ) = f (x2 ) ; entonces x21 = x22 ; luego x21 x22 = 0: Por lo tanto, (x1 x1 = x2 _ x1 = x2 :

x2 ) (x1 + x2 ) = 0, de donde

Es decir, no necesariamente x1 = x2 : Luego f no es inyectiva. Para probar la no inyectividad, basta exhibir un contraejemplo. En la función anterior se tiene: f (2) = f ( 2) = 4

y

2 6=

2

Por lo tanto la función f no es biyectiva. OBSERVACION: Se vio que la función f (x) = x2 no es inyectiva en R. Si consideramos a R+ [ f0g como dominio, se tiene que g : R+ [ f0g ! R x 7! g (x) = x2 es inyectiva. Así, g; la restricción de f a R+ [ f0g es inyectiva. p 1. Sea f (x) = x; x 0: y

5

3 .7 5

2 .5

1 .2 5

0 -5

-2.5

0

2 .5

5 x

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

viii

¿Es f biyectiva? p Para que x sea un número real, x debe ser un número real no negativo. Además, todo número no negativo es una raíz cuadrada, luego el dominio y el recorrido son el mismo conjunto: el conjunto de los números reales no negativos. En efecto, claramente Dom (f ) = R+ [ f0g ; ahora determinemos el recorrido de f : p y 2 Rec (f ) , 9 x 2 R+ [ f0g e y = x , 9 x 2 R+ [ f0g ; x = y 2 ; y 0 2 + , y 2 R [ f0g ; y 0 ,y

0

) Rec (f ) = R+ [ f0g Luego, f no es sobreyectiva y por lo tanto no es biyectiva. Observemos que f es inyectiva: Si x1 2 R+ [ f0g ; x2 2 R+ [ f0g y f (x1 ) = f (x2 ) ; entonces p

x1 =

p

p 2 p x2 ) x1 = x2 ) x1 = x2

2

) f es inyectiva. Luego, f no es biyectiva. 4) Sea f (x) = x1 ; x 6= 0: y

5

2.5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-2.5

-5

Luego, Dom (f ) = R n f0g : Además, todo número real distinto de cero es el recíproco (inverso multiplicativo) de algún número real no nulo

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

ix

¿por qué?. Luego, el recorrido es el conjunto R n f0g : Como Cod (f ) = R; es evidente que la función no es sobreyectiva. Es fácil veri…car la inyectividad. f (x) =

1 x

de…ne la FUNCION RECIPROCA. x; x 0 x; x < 0

5) Sea f (x) = jxj =

y

5

3.75

2.5

1.25

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

El dominio de f es R. Como jxj R+ [ f0g :

0; 8 x 2 R; el recorrido de f es

OBSERVACION: f (x) = jxj de…ne la FUNCION VALOR ABSOLUTO; f no es inyectiva. ¿Por qué?. 6) Sea f (x) = [x] ; llamada función PARTE ENTERA. El símbolo [x] indica el mayor entero menor o igual que x. y

2

1

0 -2

-1

0

1

2 x

-1

-2

Por ejemplo: [5] = 5; En general:

[8;2] = 8;

[ ] = 3;

[ 1;4] =

2:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas Si Si Si Si

2 1 0 1

x < 1; x < 0; x < 1; x < 2;

entonces entonces entonces entonces

x

[x] = 2: [x] = 1 [x] = 0 [x] = 1

y así sucesivamente. El dominio de f es R y el recorrido de f es Z. Observe que la función parte entera no es inyectiva ni sobreyectiva. 7) Una función f (x) = an xn +an 1 xn 1 +:::+a1 x+a0 ; con a0 ; a1 ; :::; an 2 R; n 2 N [ f0g y an 6= 0; se llama FUNCION POLINOMIAL DE GRADO n. El dominio de una función polinomial es R: Si la función polinomial es de grado 1, su ecuación de de…nición es: f (x) = a1 x + a0 y se llama FUNCION LINEAL. La función lineal es biyectiva. Su grá…co es una recta con pendiente a1 que intersecta al eje Y en el punto (0; a0 ) : y

4

2

0 -4

-2

0

2

4 x

-2

-4

Si la función polinomial es de grado 2 su ecuación de de…nición es: f (x) = a2 x2 + a1 x + a0 y se llama FUNCION CUADRATICA. No es inyectiva y su grá…co es una parábola.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xi

Ejercicio 0.2.3 Averigüe si la función f (x) = Solución:

x 1 x2

es inyectiva en Rnf0g :

f (x1 ) = f (x2 ) ) x1x2 1 = x2x2 1 1 2 ) x22 x1 x22 = x21 x2 x21 ) x22 x1 x21 x2 x22 + x21 = 0 ) x2 x1 (x2 x1 ) (x22 x21 ) = 0 ) (x2 x1 ) (x2 x1 (x2 + x1 )) = 0 x2 = x1 ) o x2 x1 x2 x1 = 0

(1)

Observemos que no necesariamente x2 = x1 :

3 1) = x1 ; haciendo x1 = 3 se obtiene x2 = ; y 2 2 f (x1 ) = f (3) = 9 1 3 2 f (x2 ) = f = 2 = : 9 2 9 4 Así, existen x1 ; x2 en R n f0g ; x1 6= x2 y f (x1 ) = f (x2 ) : Luego, f no es inyectiva. De (1) x2 (x1

La de…nición de una función puede darse a través de varias igualdades, como lo ilustra el caso de las llamadas FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS. Ejemplo 0.2.4 De…namos: g (x) =

(x

x 1 ; x 2 2)2 + 1 ; x > 2 2

-5

- 2 .5

0 0

-2

-4

-6

y

2 .5

x 5

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xii

Dom (f ) = R: f es inyectiva en ( 1; 2] : ¡Comprobarlo! Veamos que también es inyectiva en (2; 1) : f (x1 ) = f (x2 ) ) (x1 2)2 + 1 = (x2 2)2 + 1 ) (x1 2)2 = (x2 2)2 ) jx1 2j = jx2 2j ) x1 2 = x2 2; pues x1 > 2 y x2 > 2 ) x1 = x2 : Sin embargo, observemos que f (1) = f (3) = 0 y 1 6= 3: Por lo tanto f no es inyectiva en R: Comente y veri…que que Rec (f ) = ( 1; 1] : De…nición 0.2.4 Una función f : A

R ! R es:

1) ESTRICTAMENTE CRECIENTE en A si: 8x1 ; x2 2 A ;

x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 )

2) ESTRICTAMENTE DECRECIENTE en A si: 8x1 ; x2 2 A ; Ejemplo 0.2.5

x1 < x2 ) f (x1 ) > f (x2 )

1) f (x) = 3x + 2 es estrictamente creciente en R.

En efecto: x1 < x2 ) 3x1 < 3x2 ) 3x1 + 2 < 3x2 + 2 ) f (x1 ) < f (x2 ) (b) f (x) =

3x + 2 es estrictamente decreciente en R.

En efecto: x1 < x2 ) 3x1 > 3x2 ) 3x1 + 2 > 3x2 + 2 ) f (x1 ) > f (x2 ) Observación 0.2.2 Toda función estrictamente creciente (decreciente) es inyectiva.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xiii

Demostración. Supongamos x 6= y entonces x < y ó x > y: Como f es estrictamente creciente, x < y ) f (x) < f (y) ó x > y ) f (x) > f (y) luego, f (x) 6= f (y) : Por lo tanto, x 6= y ) f (x) 6= f (y) y f es inyectiva. De…nición 0.2.5 Una función f : A 1) PAR si y sólo si: x 2 A )

R ! R es:

x 2 A y f ( x) = f (x) :

2) IMPAR si y sólo si: x 2 A )

x 2 A y f ( x) =

f (x) :

En particular cuando A = R resulta que: 1) f es PAR si y sólo si: f (x) = f ( x) ; 8 x 2 R. 2) f es IMPAR si y sólo si: f ( x) =

f (x) ;

8 x 2 R:

f (x) = x2 = ( x)2 = f ( x) ;

8x 2 R:

Ejemplo 0.2.6 : 1) f (x) = x2 es par. En efecto: 2) f (x) = x3 es impar. En efecto: f ( x) = ( x)3 =

x3 =

f (x) ;

8x 2 R:

Observemos que en general una función par no es inyectiva. AYUDAS PARA GRAFICAR

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xiv

I: Si se conoce el grá…co de una función f entonces se puede conocer el grá…co de una función g donde g (x) = f (x + k) ; k constante. El grá…co de g se obtiene trasladando el de f , en el sentido del eje de las x, k unidades hacia la derecha si k < 0 y k unidades hacia la izquierda si k > 0: 2)2 :

EJEMPLO: Gra…car g (x) = (x

Es conocido el grá…co de f (x) = x2 ; luego el grá…co de g es: y

7 .5

5

2 .5

0 -5

-2 .5

0

2 .5

5 x

II: Si se conoce el grá…co de una función f entonces el grá…co de una función g de la forma g (x) = f (x) + k; donde k es constante, se obtiene del de f trasladándolo, en el sentido del eje de las y; k unidades hacia arriba si k > 0 y k unidades hacia abajo si k < 0: EJEMPLO: Gra…car g (x) = x2

2:

Es conocido el grá…co de f (x) = x2 ; luego el grá…co de g es: y

5

2 .5

0 -4

-2

0

2

4 x

- 2 .5

III: Si se conoce el grá…co de una función f el grá…co de una función g de…nida por g (x) = f (x) es el simétrico del de f respecto del eje X:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xv x2 es:

EJEMPLO: El grá…co de g (x) = y

4

2

0 -4

-2

0

2

4 x

-2

-4

x2

EJEMPLO: Gra…car f (x) = Como

x2

6x

4 = =

6x

4:

x2 6x 4 (x + 3)2 + 5

el grá…co de f se obtiene del de y = x2 como lo indican los siguientes pasos: y

y

3 .7 5

-6

-4

-2

0 0

x 2

2 .5 -2

1 .2 5 -4

0 -5

- 3 .7 5

- 2 .5

- 1 .2 5

0 -6

x - 1 .2 5

-8

y 5

2 .5 0 -8

-6

-4

-2

0 x - 2 .5

-5

- 7 .5

-10

IV: El grá…co de una función par es simétrico respecto del eje Y: Es decir: 8 (x; y)

(x; y) 2 Gr (f ) ) ( x; y) 2 Gr (f ) :

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas EJEMPLO: f (x) =

p

x2

xvi

4: y

6

4

2

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-2

V: El grá…co de una función impar es simétrico respecto del origen. Es decir: 8 (x; y) ; (x; y) 2 Gr (f ) ) ( x; y) 2 Gr (f ) : EJEMPLO: f (x) = x3 : y 2.5

1.25

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5 x

-1.25

-2.5

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

0.3.

xvii

OPERACIONES CON FUNCIONES

Sean f : A

R!R y g:B

R ! R:

1) La función suma de f y g se denota f + g y se de…ne por: f +g : A\B ! R x 7! (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2) La función producto de f y g se denota f g y se de…ne: f g : A\B ! R x 7! (f g) (x) = f (x) g (x) 3) La función cuociente de f y g se denota por f =g y se de…ne por: f =g : A \ B ! R x

7! (f =g) (x) =

f (x) g (x)

siempre que g (x) 6= 0 8 x 2 A \ B: 4) La función producto de una constante denota f y se de…ne:

por la función f se

f: A ! R x 7! ( f ) (x) = f (x) siendo

un número real.

5) La función compuesta de f y g se denota por g f y se de…ne por: g f: X ! R x 7! (g f ) (x) = g (f (x)) donde X = Dom (g f ) = fx 2 R : x 2 Dom (f ) ^ f (x) 2 Dom (g)g

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xviii

Ejemplo 0.3.1 : 1) Sean f: A y g: B

R ! R p x 7! f (x) = x2 R ! R p x 7! g (x) = 4

1

x2

Luego, A = Dom (f ) = fx 2 R : fp(x) 2 Rg = x 2 R : x2 1 2 R = fx 2 R : x2 1g = fx 2 R : jxj 1g = ] 1; 1] [ [1; +1[ B = Dom (g) = fx 2 R : gp(x) 2 Rg = x 2 R : 4 x2 2 R = fx 2 R : 4 x2 0g = fx 2 R : 2 jxjg = [ 2; 2] Por tanto, Dom (f + g) = A \ B = [ 2; 1] [ [1; 2] y (f + g) (x) =

p

x2

1+

p

4

x2 :

Podemos gra…car sumando punto a punto y

3

2

1

0 -2.5

-1.25

0

1.25

2.5 x

-1

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xix

2) Considere las funciones f : [1; +1) ! R p x 7! f (x) = x y g : [0; 5] ! R x 7! g (x) = x + 3

entonces:

f + g : [1; 5] ! R p x 7! (f + g) (x) = x + x + 3 f g : [1; 5] ! R p x 7! (f g) (x) = x (x + 3) f =g : [1; 5] ! R x

7! (f =g) (x) =

p

x x+3

g f: X ! R donde X = Dom (g f ) = fx 2 R : x 2 Dom (f )p^ f (x) 2 Dom (g)g = fx 2 R : x 1 ^ 0 x 5g = fx 2 R : x 1 ^ 0 x 25g = [1; 25] : Luego: g f : [1; 25] ! R p p x 7! (g f ) (x) = g (f (x)) = g ( x) = x + 3 f

g: X ! R

donde X = Dom (f

g) = fx 2 R : x 2 Dom (g) ^ g (x) 2 Dom (f )g = fx 2 R : 0 x 5 ^ x + 3 1g = fx 2 R : 0 x 5 ^ x 2g = fx 2 R : 0 x 5g = [0; 5] :

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xx

Luego: f

g : [0; 5] ! R x 7! (f

g) (x) = f (g (x)) = f (x + 3) =

p

x+3

3) Sean f (x) = y

x2 ; si x 2 x + 2 ; si x < 2

( 1 ; si x < g (x) = x 2x ; si x

1 1

Determinemos g f: Dom (g f ) = fx 2 R : x 2 Dom (f ) ^ f (x) 2 Dom (g)g = R (g f ) (x) = g (f (x)) =

g (x2 ) ; si x 2 g (x + 2) ; si x < 2

(i) (ii)

Para (i) Si x

2; evidentemente x2

1:

) g (x2 ) = 2x2 :

Para (ii) 1 1; entonces g (x + 2) = ; es decir, si x+2 1 x < 3; entonces g (x + 2) = : x+2 Si x < 2 y x + 2 1; entonces g (x + 2) = 2 (x + 2) ; es decir, si 3 x < 2; entonces g (x + 2) = 2 (x + 2) :

Si x < 2 y x + 2 <

En resumen tenemos: g f : R ! R: 8 1 > ; si x < 3 < x + 2 (g f ) (x) = 2 (x + 2) ; si 3 x : 2 2x ; si x 2

Ejercicio 0.3.2 Sean f : A ! B; g : B ! C y h : C ! D: Demuestre que: a) (h g) f = h (g f ) b) f IA = f c) IB f = f

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

0.4.

xxi

FUNCION INVERSA

Observemos que si f es una función biyectiva de A en B; podemos de…nir una función g de B en A de manera que g (x) = y si y sólo si f (y) = x: Ejemplo 0.4.1 : x f (x) a 0 b 1 c 2 d 3

x 0 1 2 3

g (x) a b c d

De…nición 0.4.1 Sea f : A ! B una función biyectiva. La función g : B ! A de…nida por: 8x 2 B; 8y 2 A;

g (x) = y , f (y) = x

se llama función inversa de f y se denota por f 1 ¡Cuidado! f 1 6= : f

1

:

Ejemplo 0.4.2 : 1) f: R ! R x 7! f (x) = 2x + 1 es biyectiva, luego existe f f )f

1

(x) =

1

1

: R ! R tal que:

(x) = y , f (y) = x , x = 2y + 1 , y = x

1 2

:

x

1 2

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas 2) Sea f (x) =

p

x2

xxii

1: De…na la función inversa si existe.

Solución: (a) x 2 Dom (f ) , p f (x) 2 R , x2 1 2 R , x2 1 0 , x2 1 , jxj 1:

) Dom (f ) = ( 1; 1] [ [1; +1) :

(b)

y 2 Rec (f ) , 9 ,9 ,9 ,9

x 2 Dom (f ) x; jxj 1 x; jxj 1 x; jxj 1 p , y2 + 1 1 , y2

0

e y

^ ^ ^ ^

fp(x) = y x2 1 = y e 2 2 x = yp +1 e 2 jxj = y + 1 e

e y

y y y

0 0 0

0

0

Luego, Rec (f ) = R+ [ f0g :

Si Cod (f ) = R; f evidentemente no es sobreyectiva. Es claro que: f : Dom (f ) ! Rec (f ) es sobreyectiva.

p p (c) De la igualdad jxj = y 2 + 1; que equivale a x = p y 2 + 1se tiene que la función no es inyectiva, por ejemplo para y = 8 existen x1 = 3 y x2 = 3 y, f (x1 ) = f (x2 ) : Luego, f : Dom (f ) ! Rec (f ) no tiene inversa. Ahora, la restricción g de f al nuevo dominio ( 1; 1],con codominio R+ [ f0g ; es biyectiva (¡pruébelo!), luego, existe su inversa. g

1

: R+ [ f0g ! ( 1; 1]

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas 1

g

(x) = y , p g (y) = x , y 2 p1 = x , jyj = x2 + 1

como y 2 ( 1; 1] ; entonces 1

g

(x) =

p

x2 + 1:

h : [1; +1) ! R+ [ f0g :

Estudie la restricción de f; 3) Sea f (x) = 3x2

xxiii

1: De…na la función inversa, si existe.

2x

Solución: Evidentemente Dom (f ) = R: Completando cuadrados tenemos que: 1 3

f (x) = 3 x

2

4 3

Estudiemos la inyectividad: 2

1 2 3

4 f (x1 ) = f (x2 ) ) 3 x1 13 = 3 x2 3 2 1 2 ) x1 3 = x2 13 ) x1 13 = x2 13 ) x2 = x1 _ x2 = 23 x1

4 3

De aquí observamos que: (a) Si x1 = 0 y x2 =

2 3

se tiene que

f (x1 ) = f (0) = f

2 3

= f (x2 )

) f no es inyectiva. (b) Si x1

1 3

1 ; 3

y x2 x1

1 3

entonces x1

= x1

1 3

x2

1 3 1 3

0 y x2 = x2

1 3

1 3

y así resulta x1 = x2 : En forma análoga: si x1

1 3

y x2

1 ; 3

entonces x1 = x2 :

0; luego

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxiv

Luego, restringiendo el dominio de f al intervalo valo 13 ; +1 la función resulta inyectiva.

1; 31

o al inter-

Veamos la sobreyectividad: y 2 Rec (f ) , 9 x 2 Dom (f ) ^ ,9x2R ^

f (x) = y 2 3 x 13 1 3

,9x2R

^

x

,9x2R

^

x=

4 : 3

,y

1 3

4 3

=y 4 y + 2 3 = r 3 y + 43 3

( )

Luego, Rec (f ) = 34 ; +1 y la función resulta sobreyectiva si restringimos el codominio a 34 ; +1 y el dominio al intervalo 1; 13 ; o bien al intervalo 13 ; +1 ; en vista de ( ) : Así, las funciones g:

1 ! 3

4 ; +1 3

x 7! g (x) = 3 x

1 3

2

;

4 3

1 ; +1 ! 3

4 ; +1 3

x 7! h (x) = 3 x

1 3

2

;

4 3

1;

y h:

resultan biyectivas. Por lo tanto, admiten inversa. La inversa para g es: g g

1

1

:

4 ; +1 ! 3

1;

1 3

(y) = x , g (x) = y 2 1 4 ,3 x =y 3v 3 u 4 u 1 ty + 3 ,x= 3 3

v u uy + 4 t 1 3: ) g 1 (y) = 3 3 La inversa para h se deja a cargo del lector.

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxv

Proposición 0.4.3 Si f : A ! B es biyectiva, entonces f f 1 f = IA :

f

1

= IB y

Demostración. A cargo del lector. Proposición 0.4.4 Si f admite inversa, entonces ésta es única. Demostración. Sea f : A ! B biyectiva y supongamos que f admite dos funciones inversas f1 y f2 f1 : B ! A; y por lo tanto: (a) f f1 = IB

f2 : B ! A

(b) f1 f = IA

(c) f f2 = IB (d) f2 f = IA Probemos que: f1 = f2 : De (a) y (c) f f1 = f

f2

componiendo a izquierda con f1 f1 (f

f1 ) = f1 (f

f2 )

por asociatividad (f1 f ) f1 = (f1 f ) f2 : Por (b) IA f1 = IA f2 luego f1 = f2 :

Proposición 0.4.5 Si g : A ! B y f : B ! C son inversibles, entonces f g es inversible y (f g) 1 = g 1 f 1

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxvi

Demostración. (f

(g

g) (g

1

f

1

1

1

f

) = f (g g 1 ) f = f IC f 1 =f f 1 = IB

g) = g 1 (f = g 1 IB =g 1 g = IB

) (f

1

1

f) g g

Luego: (f

g)

g

1

1

f

= IB

y g

1

f

1

(f

g) = IB :

Por lo tanto, (f

g)

1

=g

1

f

1

Observación 0.4.1 : 1) Usando la proposición anterior, también se puede obtener la ecuación de de…nición de f 1 : En el ejemplo 3.4.2 (2:) ; la función f : ( 1; 1] ! R+ [ f0g tiene inversa f 1 ; su ecuación se obtiene de (f f 1 ) (x) = x; 8x 2 R+ [ f0g : q 1 f (f (x)) = x , (f 1 (x))2 1 = x 2 , (f 1 (x)) 1 = x2 2 , (f 1 (x)) =px2 + 1 , f 1 (x) = x2 + 1: 2) El grá…co de f efecto:

1

es simétrico del de f respecto de la recta y = x. En (x; y) 2 Gr (f ) , f (x) = y , f 1 (y) = x , (y; x) 2 Gr (f

1

)

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas Los grá…cos de f y f guiente …gura.

1

xxvii

del ejemplo 3.4.2 (2:) ; se muestran en la siy 2 .5

1 .2 5

0 -2 .5

- 1 .2 5

0

1 .2 5

2 .5 x

- 1 .2 5

-2 .5

0.5.

FUNCION EXPONENCIAL

De…nición 0.5.1 Sea b 2 R; b > 0; b 6= 1: La función f : R ! R+ de…nida por f (x) = bx se llama FUNCION EXPONENCIAL de BASE b. Observación 0.5.1 : 1) La función exponencial de base b suele denotarse por expb : Así: expb (x) = bx : 2) El grá…co de la función expb no corta al eje X y corta al eje Y en el punto (0; 1) pues expb (0) = 1; 8 b > 0: 3) Si 0 < b < 1; entonces expb es una función estrictamente decreciente y por lo tanto es inyectiva, su grá…co es de la forma y

x

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxviii

4) Si b > 1; entonces expb es una función estrictamente creciente y por lo tanto es inyectiva, su grá…co es de la forma y

x

5) Si la base b de la función exponencial es el número irracional e = 2; 7182::: la función se llama FUNCION EXPONENCIAL NATURAL y se denota exp; es decir: exp (x) = ex 6) expb (x1 + x2 ) expb (x1 x2 )

= expb (x1 ) expb (x2 ) = expb (x1 ) : expb (x2 ) 1 expb ( x) = expb (x)

7) Ciertos fenómenos de la naturaleza pueden describirse mediante funciones exponenciales, por ejemplo: - Crecimiento de una población (personas, animales, bacterias) : - Desintegración radioactiva. - Crecimiento de un capital colocado a una tasa de interés. - Aumento o disminución de la temperatura de una sustancia cuando se calienta o enfría. - Absorción de la luz al pasar a través del aire, agua o vidrio. - Descenso de la presión atmosférica cuando aumenta la altura. Ejemplo 0.5.1 Una persona coloca un capital al 8 % anual. Determinar el capital acumulado después de t años. Sean:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxix

C0 = capital inicial: C (t) = capital acumulado: entonces: C (0) = C0 8 108 C (1) = C0 + C0 = C0 100 100 8 108 C (1) = C (1) = C (2) = C (1) + 100 100 108 8 C (3) = C (2) + C (2) = C (2) = 100 100 .. . 8 108 C (t) = C (t 1) + C (t 1) = 100 100 ) C (t) = C0

0.6.

108 100

108 100 108 100

2

C0 3

C0

t

C0

t

en t años.

FUNCION LOGARITMICA

Sabemos que expb : R ! R+ es biyectiva. Luego existe una función inversa de R+ en R, que llamaremos FUNCION LOGARITMO en BASE b, tal que: 8 x 2 R+ ; logb (x) = y , expb (y) = x = by Así, logb : R+ ! R x 7! y = logb (x) Observación 0.6.1 : 1) logb (bx ) = x

y

blogb (x) = x

2) La función logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal o vulgar y se denota por log : La función logaritmo en base e se llama logaritmo natural y se denota por ln : Así, log 10 = 1 y ln e = 1

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxx

Ejemplo 0.6.1 : 1)

algunos valores son:

log2 : R+ ! R x 7! y = log2 (x) exp2 (1) = 21 = 2 exp2 (2) = 22 = 4

log2 (2) = 1 porque log2 (4) = 2 porque 1 log2 = 3 porque 8 p 1 porque log2 2 = 2 Su grá…ca:

3

exp2 ( 3) = 2 1 2

exp2

=

p

=

1 8

2

y

2

0 0

1.25

2.5

3.75

5 x

-2

-4

2) log3 (9) = 2 3) logp2 (4) = 4

porque porque

32 = 9: p 4 2 = 4:

PROPIEDADES DE LA FUNCION LOGARITMO EN BASE b. 1) logb (1) = 0 2) Si b > 1 y 0 < x < 1; entonces logb (x) < 0 Si b > 1 y x > 1; entonces logb (x) > 0 3) logb (x1 ) = logb (x2 ) ) x1 = x2 4) logb (b) = 1 5) logb (x1 x2 ) = logb (x1 ) + logb (x2 )

¿Por qué?

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas 6) logb

x1 x2

7) logb

1 x

= logb (x1 ) =

8) logb (x ) = 9) loga (N ) =

xxxi

logb (x2 )

logb (x) 2R

logb (x) logb N logb (a)

10) Si b > 1; entonces logb es función creciente. Si b < 1; entonces logb es función decreciente. Demostración. (Propiedad 5)) Sean y1 = logb x1 ; y2 = logb x2 ; por tanto, by1 = x1 ; by2 = x2 : Luego, x1 x2 = by1 by2 = by1 +y2 pero, x1 x2 = by1 +y2 ) logb (x1 x2 ) = y1 + y2 = logb x1 + logb x2 : Demostración. (Propiedad 8)) Sea y = logb x; por tanto, by = x: Luego, para 2 R; x = (by ) = by = b

y

con lo que concluimos que: x =b

y

) logb (x ) = y =

logb x:

Demostración. (Propiedad 9)) Sea y = loga N; por tanto, ay = N: Luego, logb N = logb ay = y logb a = loga N logb a Por lo tanto, logb N = loga N: logb a

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxxii

Ejercicio 0.6.2 : 1) Encuentre todos los números reales x tales que log2 (3x2 + x + 1) > 0: Solución: log2 (3x2 + x + 1) > 0 , 3x2 + x + 1 > 1 , 3x2 + x > 0 , x (3x + 1) > 0 , x > 0 ^ 3x + 1 > 0 o x < 0 ^ (3x + 1) < 0 1 ,x>0 _ x< 3 2) Si logb (a) =

p

3 y loga (x) = 2; calcular logb (x) :

Solución: loga (x) loga (b) Por lo tanto,

pero

logb (x) =

loga (b) = 2

logb (x) =

p1 3

logb (b) 1 =p : logb (a) 3

p = 2 3:

3) Resolver, para x 2 R; la ecuación ex

e

x

= 1:

Solución:

Note que: ex

e

x

=1

es equivalente con e2x

ex = 1

Luego, 2x

e

x

e

x

1=0)e =

p

1

1+4 2

Por tanto, p 1+ 5 e = 2 x

ó

x

e =

1

p 2

5

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas Ahora,

xxxiii

p 1+ 5 x e = ) x = ln 2 1

p

5

p ! 1+ 5 2

Como < 0; no existe x en R tal que ex = 2 la única solución es: p ! 1+ 5 : x = ln 2 4) Resolver, para x 2 R; la ecuación:

1

p

5

2

: Luego,

log x + log (x + 3) = 1:

Solución:

log x + log (x + 3) = 1 , log (x (x + 3)) = 1 , x (x + 3) = 10 , x2 + 3x 10 = 0 , (x 2) (x + 5) = 0 ,x=2 _ x= 5 Observemos que x = 5 no es solución de la ecuación dada ¿por qué?. La única solución es x = 2:

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

0.7.

xxxiv

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En los siguientes problemas determine: Dominio, Recorrido. Decida si existe la función inversa. En caso negativo, haga las restricciones adecuadas de modo que exista y defínala. (a) R ! Rn f0g

f: A x

7! f (x) =

1 1

x

(b) f: A

R ! R x 7! f (x) = 2x2

2x

R ! R x 7! f (x) = x2

5x + 6

4

(c) f: A (d) R ! R

f: A x

x2 1 7 ! f (x) = 2 x + 2x 3

(e) f: A

R ! R x 7! f (x) = ln (x2

9)

R ! R x 7! g (x) = log2 (5

x2 )

(f ) g: A (g) h: A

R ! R p x 7! h (x) = log (2x + 3)

2. Dadas las funciones f y g; de…na f

g y g f:

(a) f: A

R ! R x 7! f (x) = x2

5

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

g: A

xxxv

R ! R p x 7! g (x) = x + 8

(b) f : [ 3; 3] ! R x 7! f (x) = x2

6x + 9

g : R n f0g ! R x

7! g (x) =

1 x

(c) f : [0; 4] ! R p x 7! f (x) = x + 1 g : [1; 15] ! R x 7! g (x) = x2

3

(d) f : [0; 6] ! R x 7! f (x) = x2 g : R+

4x + 3

! R p x ! 7 g (x) = x

(e) f: R ! R

8 x < +1 ; x 0 2 x 7! f (x) = : 1 +1 ; x>0 x

g: R ! R

x 7! g (x) =

(

2x 2 ; x 1 1 ; x>1 x 1

(f ) f: A x

R ! R 7! f (x) = log (x

1)

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxxvi

g: R ! R x 7! g (x) =

2x + 1 ; x 2 5 ; x>2

3. Demuestre que: (a) Si f y g son inyectivas, entonces f

g es inyectiva.

(b) Si f y g son sobreyectivas, entonces f (c) Si f y g son biyectivas entonces, f

g es sobreyectiva.

g es biyectiva.

(d) Si f

g es sobreyectiva, entonces f es sobreyectiva.

(e) Si f

g es inyectiva, entonces g es inyectiva.

(f ) Si f es biyectiva, entonces f

1

es biyectiva.

(g) Si f es sobreyectiva y estrictamente creciente (decreciente) ; entonces f 1 es estrictamente creciente (decreciente) : 1

(h) Los grá…cos de f y f 4. Resolver: log5 (35 (a) log5 (5

son simétricos con respecto a la recta y = x:

x3 ) = 3: x)

(b) 32x 56x 7 = 9x 2 71 x : 4 log p 42 (c) + log2x 2 log1=2 2x = 0: logx 2 2 +1

(d) (0;4)log x 3x

(e) 4x (f ) ex

1 2

2 +4x

(g) log2 (9x x

(h) e

e

(k)

x

:

22x 1 :

=3 1:

1 x

(i) log (7x (j) 35

x+ 12

2

log x3

= (6;25)2

52x

+ 7) = 2 + log2 (3x

1

+ 1) :

= 2: 9)2 + log (3x 4

= 1511

3x

4)2 = 2:

:

ax b y = ab 2 loga x = log 1 y logpa b b

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas

xxxvii

4. El estroncio 90 tiene una vida media de 28 años, es decir, en 28 años la mitad de cualquier cantidad de estroncio 90 cambiará a otra sustancia por desintegración radioactiva. Se coloca una base que contiene 100 grs: de estroncio 90 en un reactor nuclear; escriba la ecuación que da la cantidad de estroncio 90 presente después de t años. 5. Si una bacteria en un cierto cultivo se duplica cada 20 minutos, escribir una fórmula que nos de el número N de bacterias que hay en el cultivo después de n horas, suponiendo que N0 es el número de bacterias que hay al iniciar el experimento. 6. Cierta clase de algas, puede duplicar su población cada dos días. Suponiendo que la población de algas crece exponencialmente, comenzando ahora con una población de 106 , determinar la población que habría después de una semana. 7. Sea f (x) la cantidad de C 14 presente en un organismo x años después de muerto. Determine la constante K en la ecuación f (x) = f (0) e Kx y el porcentaje de C 14 que debería quedar 1000 años después del deceso del organismo, sabiendo que la vida media del C 14 es de 5700 años aproximadamente 1 de la cantidad original de C 14 queda hoy en un 8. Suponga que sólo 10 hueso humano descubierto en Kenya. ¿Cuántos años hace que ocurrió la muerte?.

9. Gra…que las siguientes funciones: (a) f (x) = (b) f (x) = x

3 + jx

1j

[x]

(c) f (x) = [x] x x+1 (d) f (x) = x+2 (e) f (x) = log (x 1) (f ) f (x) =

log jx + 3j

(g) f (x) = 3ex 1 (h) f (x) = 22 2

1

x

5

CAPÍTULO 3: Funciones y Grá…cas (i) f (x) = jlog (x

1)j

(j) f (x) = log jx 1j p x+2+5 (k) f (x) =

xxxviii