Matematicas IV Pinglo
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Descripción: MATEMATICAS...
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Optimización Optimiz ación Dinámica Dinámica:: Cálculo de Va Variacion riaciones es / Control Óptimo
Renzo R. Ta Tapia pia Va Vargas rgas " L"
1.
En una Ec Econ onom oma a cerra cerrada da do dond ndee e! e!is iste te una po po"l "lac ació ión n co cons nsta tant ntee co comp mpue uest staa po porr
tra"a#adores$ % el
" c (t )" consumo per cápita de cda tra"a#ador es
. Cada indi&iduo tiene una 'unción de utilidad logartmica
U (c ) = Ln c . (demás$ un plan'icador central desea determinar un plan de consumo )ue ma!imice el 'luo
"δ " de utilidades 'uturas de la sociedad descontadas a la tasa
V [ c ]
=
Maximizar
∞
∫ e
:
−δ t
U (c)∂t ,
0
En esta economa$ la producción se genera a partir
de los insumos capital % tra"a#o mediante una 'unción de
( F ( K , L) = K L1− ) α
α
producción Co""*Douglas
+or otro lado$ la producción puede destinarse a consumo
o a in&ersión con el 'in de incrementar el stoc, de capital. De esta 'orma: .
F ( K , L) = Lc(t ) + K Partiendo de la Función del Stock de Capital: .
F ( K , L ) = Lc (t ) + K En términos Per-cápita .
F ( K , L) L
L
+
L
.
= c + k + nk
k α
∴
=
Lc(t ) K
.
k = k
α
− c − nk
"δ " -.
En una economa economa se se desea desea ma!imizar ma!imizar el 'lu#o 'lu#o 'uturo 'uturo de utilidades utilidades de la socied sociedad$ ad$ descontad descontadas as a la tasa
(δ > 0).
V [ c ] Maximizar
=
∞
∫ e
−δ t
U (c)∂t ,
0
(U (c ) = Ln(c)) i se sa"e )ue la sociedad tiene una 'unción de utilidad logartmica
(c )
% )ue el consumo
(k ) depende el stoc, de capital
de acuerdo con la siguiente 'unción: •
c (t )
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= rk (t ) − k (t )
1
Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones / Control Óptimo (r > 0)
"r " Donde
Renzo R. Tapia Vargas
representa la tasa de inter2s
(k )
(c) a.
3allar las sendas óptimas del consumo
% del stoc, de capital
" β " capital es igual a
óptimas$ considerando )ue el stoc, de
"T " (T > 0)
% el stoc, en el perodo
es igual a cero.
4a 5unción 6ntermedia
•
•
f (t , k , k ) = U (c )e −δ t = Ln (rk (t ) − k ) e −δ t
4as deri&adas parciales
r f k = rk −
−δ t 1 e f • = − • k rk − k • • •• ∂ δ (rk − k ) + (r k − k ) −δ t f = e • ∂t y• 2 (rk − k )
−δ t e • k
4a Ecuación de Euler:
∂ f • = 0 ∂t k t =T • • •• r ( ) ( ) −δ t rk − k + r k − k δ − δ t e − f k = e =0 • • rk − k ( rk − k ) 2
f k −
• • •• • r rk (t ) − k (t ) − δ rk (t ) − k (t ) − r k (t ) − k (t ) = 0 • •• • ( r − δ ) rk (t ) − k (t ) − r k (t ) − k (t ) = 0
Ordenando t2rminos: ••
•
k (t ) + (δ − 2r ) k (t ) + ( r − δ )rk (t )
=0
+olinomio Caracterstico:
ω 2 − (2r − δ )ω + (r − δ )r = 0
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2
Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones / Control Óptimo
ω 1 , ω 2 ω 1 , ω 2
=
− (δ − 2r ) ±
=
− (δ − 2r ) ±
2r − ! + ! 2
2r − ! − !
1
=
∴
k (t )
∴
2
•
k (t )
− 4(r − δ )r
4δ 2
− 4r δ + 4r 2 − 4r 2 + 4r δ 2
=
1 "2
=
(δ − 2r ) 2 2
1 "2
1
Renzo R. Tapia Vargas
2r − ! ±
=
2 2r − ! ± δ
⇒ ⇒
!2
2 1
1
=
=
2r
⇒ ∴
2 2(r − δ )
ω 1
⇒ ∴
2
= r ω 1
= r − δ
= #1ert + #2e( r −δ )t = r#1e rt + (r − δ ) #2e( r −δ )t
4as condiciones del pro"lema: *
Condición inicial:
k (0) *
= #1 + #2 = β
Condición de Trans&ersalidad:
=0 t → ∞ k • • 1 −δ t δ t − e =0 Lim Ln( rk − k ) e − k − • t → ∞ rk − k • • k δ t − e = 0 Lim Ln(rk − k ) + • t → ∞ rk − k •
Lim f − k f •
Lim t → ∞
Ln (Φ) +
r#1e rt + ( r − δ ) #2e( r −δ ) t (Φ )
−δ t e =0
Φ = r#1ert + r#2e( r −δ )t − r#1ert − (r − δ ) #2e( r −δ )t
$on%e&
∴ Φ = δ #2 e( r −δ )t Lim t → ∞
r#1e rt + ( r − δ ) #2e ( r −δ )t −δ t ( r −δ ) t )+ Ln ( δ #2e e = 0 ( r −δ ) t δ # e 2
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'
Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones / Control Óptimo
Lim [ Ln ( δ #2e
( r −δ )t
t → ∞
) ]e
−δ t
Renzo R. Tapia Vargas
r#1e rt + (r − δ ) #2e( r −δ )t −δ t + Lim e = 0 ( r − δ ) t t → ∞ δ # e 2
(dicionalmente se de"e cumplir:
Lim k (t ) = 0 t → ∞
Lim [ #1e rt t → ∞
+ #2e( r −δ )t ] = 0
$e $on%e se %e%(ce&
∴ #1 = 0 ∧
#2
= β
Las )en%as *ptimas %e +a ,aria+e %e cons(mo y %e+ )tock %e capita+ serán&
∴
k * (t )
= β e( r −δ )t •
∴ c* (t ) = rk * (t ) −k * (t ) ∴ c* (t ) = δβ e( r −δ )t δ > r . ".
6ndi)ue el signo de la tasa de crecimiento del consumo si
6nterprete el resultado.
( r − δ < 0 ), La trayectoria %e +a ,aria+e %e .ons(mo es (na f(nci/n exponencia+ ne0ati,a por +o (e se comenta (e +a %ecisi/n %e+ a0ente econ/mico ,a+ora más e+ cons(mo presente (e s( cons(mo pr/ximo
1.
El siguiente pro"lema de control óptimo: T
Maximizar : V =
∫ f ( y, ()∂t ; 0
•
)(3eto a : y
= 0 ( y, ( );
y (0) = y 0 ( y 0 , %a%o); y (T ) = yT ( y T , %a%o). e denomina autónomo de"ido a )ue no depende e!plcitamente del tiempo 7t8
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4
Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones / Control Óptimo a.
Renzo R. Tapia Vargas
Demuestre )ue en el pro"lema anterior$ el 3amiltoniano óptimo es constante en todo el 0orizonte temporal. La f(nci/n 5ami+toniano %e+ pro+ema
5 (t , y, ( , λ ) = f ( y, ( ) + λ [ 0 ( y , ( )] $iferencian%o +a ec(aci/n 678 con respecto a+ tiempo" para e++o ap+icamos +a 9:e0+a %e +a ca%ena;
∂ ∂ 5 ∂ y ∂ 5 ∂( ∂ 5 ∂λ ∂ 5 + + + [ 5 ] = ∂t ∂ y ∂t ∂( ∂t ∂λ ∂t ∂t .omo +a f(nci/n 5ami+toniana no %epen%e 9exp+
Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones / Control Óptimo
Renzo R. Tapia Vargas
∂ [ 5 ] = 0 ∂t ∂ ∫ ∂t [ 5 ] = ∫ 0 ∂t ∴ 5 = c
c ≡ .onsta nte
0 ( y, ( ) = ( ".
Demuestre )ue para
se cumple la condición: •
f − y f •
=c
y
∀t ∈ [ 0, T ]
Donde c pertenece a los n9meros reales. La f(nci/n 5ami+toniana %e+ pro+ema
5 (t , y , ( , λ ) = f ( y , ( ) + λ (
E+ Principio %e+ Máximo %e Pontrya0in
Max[ 5 ] (
∂ 5 = f + λ = 0 ∂( (
∴λ = − f ( La Ec(aci/n %e Mo,imiento %e +a ,aria+e %e Esta%o
y =
∂ 5 =( ∂λ
Lo c(a+ imp+ica (e&
λ = − f y La f(nci/n 5ami+toniana /ptima
5 *
= f ( y * , ( * ) + λ *( *
5 *
= f − y f y
$e +o c(a+ se %e%(ce (e&
∴ f − y f y = c
-.
4a cur&a de demanda de un mercado en el instante t; &iene dada por:
1 (t )
= a − -p(t )
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( a, -
> 0)
?
Optimización Dinámica: Cálculo de Variaciones / Control Óptimo
Renzo R. Tapia Vargas
1(t ) p(t ) Donde % representan la cantidad % el precio$ respecti&amente. En este mercado e!iste una 'irma grande )ue 'i#a el precio$ % un grupo de pe)ue
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