MATEMATICAS-IV Guia PDF
December 10, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Matemáticas IV
Dirección y realización del proyecto LCC. Gabriel Barragán Casares Director General del Colegio de Bachilleres del Estado de Yucatán
Planeación y coordinación Lic. Alejandro Salazar Ortega Director Académico
Metodología y estrategia didáctica Lic. Lorenzo Escalante Pérez Jefe del departamento de Servicios Académicos
Coordinación de la asignatura L.M. Davy Alejandro Pérez Chan
Colaboradores Ing. Armín Jesús Gorocica Borges Lic. Alicia Guillermina Sosa Martín L.C.C. Gessey Adrián Góngora Rosado
Revisor L.M. Davy Alejandro Pérez Chan
2a edición Diciembre de 2011 Impreso en México
Matemáticas IV ISBN:978-607-489-331-1
Matemáticas IV La reforma integral de la Educación Media Superior La Educación Media Superior (EMS) en México enfrenta desafíos que podrán ser
permita a sus distintos actores avanzar ordenadamente hacia los objetivos propuestos. Es importante saber que la EMS en el país está compuesta por una serie de subsistemas que operan de manera independiente, sin correspondencia a un
El reto es encontrar los objetivos comunes de esos subsistemas para potenciar sus alcances y de esta manera lograr entre todos reglas claras de operación. Es importante para el desarrollo de la EMS, que ustedes docentes y estudiantes conozcan los ejes que la regulan, cómo opera y los retos que enfrenta en la actualidad para asumir a partir de dicho conocimiento una actitud diferente que nos permita coadyuvar en este esfuerzo. Los diferentes subsistemas de la EMS han realizado cambios en sus es
para que la población a la que atiende (jóvenes entre los 15 y 21 años aproximadamente) adquiriera conocimientos y habilidades que les permitan desarrollarse de manera satisfactoria, ya sea en sus estudios superiores o en el trabajo y, de manera más general, en la vida. En esta misma línea, no se debe perder de vista el contexto social de la EMS: de ella egresan individuos en edad de ejercer sus derechos y obligaciones como ciudadanos, y como tales deben reunir, en adición a
actitudes y valores que tengan un impacto positivo en su comunidad y en el país en su conjunto. Es en este contexto que las autoridades educativas del país, han propuesto la Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS), cuyos objetivos consisten en dar identidad, calidad, equidad y pertinencia a la EMS, a través de mecanismos que permitan articular los diferentes actores en un Sistema Nacional de Bachillerato, dentro del cual se pueda garantizar además de lo anterior, trán
de los mismos. Lo anterior será posible a partir del denominado Marco Curricular Común (MCC) de la RIEMS, el cual se desarrolla considerando el modelo de competencias, y que incluye: Competencias Genéricas, Competencias Disciplinares (básicas y extendidas) y Competencias Profesionales (básicas y extendidas). Esta estructura permite observar de manera clara, los componentes comunes entre los diversos subsistemas, así como aquellos que son propios de cada uno y que por consiguiente, los hace distintos. Lo anterior muestra cómo la RIEMS respeta la diversidad del nivel educativo del país, pero hace posible el Sistema Nacional del Bachillerato, conformado por las distintas instituciones y subsistemas que operan en nuestro país. Bachillerato Universitario
Bachillerato General
Bachilleratos Tecnológicos
Competencia Genéricas Competencias Disciplinares Básicas Competencias Profesionales Básicas Competencias Profesionales Extendidas
III
MIV
Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y acti !
y programas de estudio existentes y se adapta a sus objetivos; no busca reempla "
# !$%
Nuestro subsistema pertenece al conjunto de los que ofrecen bachille $&& ' * sarrollar en los estudiantes capacidades que les permitan adquirir competencias genéricas, competencias disciplinares básicas y extendidas, además de competencias profesionales básicas. Las competencias genéricas son las que todos los bachilleres deben estar en capacidad de desempeñar; las que les permiten comprender el mundo e # + / '
de sus vidas, y para desarrollar relaciones armónicas con quienes les rodean, así ' "
+
%
continuación se listan las once competencias genéricas, agrupadas en sus categorías correspondientes: Se autodetermina y cuida de sí 1)
Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2)
Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
3)
Elige y practica estilos de vida saludables.
Se expresa y comunica 4)
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
5)
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
6)
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia ge
#
Aprende de forma autónoma 7)
> +
8)
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Participa con responsabilidad en la sociedad 9)
Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
10) Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales. IV
11) Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Matemáticas IV Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimientos, habilidades y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada '* rentes contextos y situaciones a lo largo de la vida. Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas. Las competencias disciplinares básicas procuran expresar las capacidades que todos los estudiantes deben adquirir, independientemente del plan y programas de estudio que cursen y la trayectoria académica o laboral que elijan al terminar sus estudios de bachillerato. Las competencias disciplinares básicas dan sustento a la formación de los estudiantes en las competencias genéricas que inte !$% ' * vos, contenidos y estructuras curriculares; se organizan en los campos disciplinares siguientes: Matemáticas, Ciencias Experimentales (Física, Química, Biología y Ecología), Ciencias Sociales y Humanidades (Historia, Sociología, Política, Economía, > ? @ A ' ! +J & K? !* presión oral y escrita, Literatura, Lengua extranjera e Informática). Para la asignatura Matemáticas IV que pertenece al área de Ciencias Exactas, la RIEMS señala las competencias disciplinares básicas que a continuación se enumeran, buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y crítico entre los estudiantes. Un estudiante que cuente con las competencias disciplinares de matemáticas puede argumentar y estructurar mejor sus ideas y razonamientos. Las competencias reconocen que a la solución de cada tipo de problema matemático corresponden diferentes conocimientos y habilidades, y el despliegue de diferentes valores y actitudes. Por ello, los estudiantes deben poder razonar matemáticamente, y no simplemente responder ciertos tipos de problemas mediante la repetición de procedimientos establecidos. Esto implica el que puedan hacer las aplicaciones de esta disciplina más allá del salón de clases. 1)
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2)
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3)
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4)
> + +
* mático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
5)
>
natural para determinar o estimar su comportamiento.
6)
&
las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7)
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8)
O *
V
Estrategia didáctica
MIV
Para contribuir al desarrollo de las sesiones de aprendizaje en el aula, se estableció una estrategia que permita integrar los elementos del programa de la asignatura, con los materiales de apoyo y la actividad de docentes y estudiantes. % #
pretende ser un algoritmo que el docente deba seguir al pie de la letra, sino que debe adaptarlo a las características propias del contexto en el que se desarrollan las sesiones de aprendizaje. La estrategia consta de siete pasos o etapas, que deberán conocerse en las primeras sesiones, para un mejor desarrollo de las mismas. Los pasos se listan y describen a continuación:
Dinamización
Contextualización
Problematización
Desarrollo de saberes
Síntesis
Realimentación
Evaluación de la competencia
Dinamización En el proceso de construcción del aprendizaje, es indispensable para el facilitador adentre al alumno en la materia y considere que es a partir de actividades que el estudiante desarrollará nuevos conocimientos. En el desarrollo de competencias es necesario el aprendizaje contex + * tivos a los estudiantes. Dichas actividades deberán realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio. Contextualización En el desarrollo de competencias es necesario el aprendizaje contextual, es decir, +
* tudiantes. La contextualización deberá realizarse al inicio de cada bloque en los que se organizan los contenidos en los programas de estudio. Problematización En el modelo de competencias que la RIEMS establece, el contenido toma un signi + +
por tanto la problematización debe estar presente a lo largo de toda la estrategia en el aula. Desarrollo de saberes ! ' = T > K=T>J
facilita el quehacer del estudiante en la adquisición de competencias. En esta etapa de la estrategia, estudiantes y docentes deben estar pendientes del proceso de asimilación. Galperin lo describe como un proceso de etapas y no como un fenómeno inmediato. VI
Matemáticas IV Las distintas etapas del proceso de asimilación que el alumno experimenta para desarrollar el aprendizaje son: la etapa de motivación, la cual debe fomentarse y mantenerse durante todo el curso, recordemos que si un alumno no está motivado, difícilmente aprenderá. La segunda etapa de este proceso es la ' =T> + ' '
alumno desarrolle una competencia. La RIEMS sugiere la creatividad como método ' W ? =T>
'
importantes, la orientación al alumno, que como ya dijimos debe estar precedida por una buena carga de motivación, dicha orientación puede ser de dos tipos, completa en la que el maestro le proporciona al alumno todos los aspectos de un contenido, e incompleta en la cual se dejan ciertos aspectos de un contenido para que el alumno pueda descubrir o investigar por sí mismo. La generalidad es otro =T> + * neralizada, es decir, el docente puede mostrar hechos concretos relativos a algún contenido o puede abarcar el mismo contenido por medio de hechos generales, que tengan alguna relación con el concepto que se expone al alumno. ! X =T>
Este se presenta de dos formas: pre-elaborada e independiente. En la primera, el alumno llega a obtener el aprendizaje de manera conjunta con el facilitador; y en la segunda, los alumnos adquieren el conocimiento en forma independiente. Síntesis > + * cias de conocimiento, desempeño, producto y actitud de manera que el docente cuente con estrategias para la evaluación formativa logrando involucrar al estudiante en procesos de coevaluación. Realimentación > +
en cada asignatura, el facilitador y los estudiantes ante la evidencia recopilada en la etapa anterior, pueden establecer estrategias que permitan mayor grado de * mados por los estudiantes. Para llevar a cabo la evaluación sumativa de las competencias que se indican en los programas de estudio, se contempla esta etapa la cual debe verse como parte del proceso, es decir, no debe en ningún momento separarse de la formativa. La mejor forma de lograr esta unidad será integrando un portafolio de evidencias de aprendizaje.
VII
Simbología empleada en la guía
MIV 1. Dinamización y motivación
2. Contextualización
3. Problematización
4. Desarrollo de criterios
5. Síntesis
6. Realimentación
7. Evaluación de la competencia
VIII
Matemáticas IV
Índice Bloque I: Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
2
Preliminares
4
Conjuntos
4
Intervalos
9
Desigualdades
% >Y Z '
12
[\
Relaciones
20
Funciones
21
> ]
]^
% =Y & '
]_
& '
]`
T '
k`
Composición de funciones
39
= OOY > '
'
w^
% >Y A
{]
Función inversa
55
A
^[
A
^[
A
^]
A
^k
A
^w
IX
% = | '
MIV
^_
|
^\
>
_}
Z#
_[
Bloque III: Empleas funciones polinomiales de
`}
% >Y A
? '
`^
? ' !
`_
% =Y ? '
!
de la función cuadrática
\`
100
Máximos y mínimos. Modelos cuadráticos
104
Bloque IV: Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
120
% >Y A k w
&
[]` ? ' ~ 130
Bloque V: Utilizas funciones factorizables en la
[w` % >Y A
y cuatro Funciones polinomiales actorizables
X
153 153
Matemáticas IV
= OY > '
[_^
% >Y >
[`]
'
[`]
Bloque VII: Utilizas funciones exponenciales
% >Y A
Función exponencial
Sesión B: Funciones logarítmicas ?
= OOOY > '
]}^ ][] 215
225 ]]_
]w]
% >Y ? ' > ]w^
XI
Bloque I
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones Objetos de aprendizaje
Funciones
Relaciones
Dominio
Contradominio
Imagen
Regla de correspondencia
Desempeños del estudiante
'
relación dada es funcional o no.
" ' '
su dominio y rango.
Emplea la regla de correspondencia de una función y los valores del dominio implícito o explicito, para obtener las imágenes correspondientes.
> ' '
' +
de nuevas relaciones.
> '
su entorno.
Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. ` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. { >
para determinar o estimar su comportamiento. _ & * tudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. ` O
MIV
Introducción "
a lo largo del curso. Se trata de la teoría básica de conjuntos e intervalos que, aunque no se contemplan de manera directa en el programa, serán de gran utili
necesarios.
Conjuntos ? >
algo intuitivo, cada persona lo entiende según su propia experiencia. Cuando se habla de conjuntos la mayor parte de la gente entiende que se trata de una colec >
les llama miembros o elementos del conjunto. Z * >
interior al círculo y el elemento que no pertenece al conjunto se representará con un punto exterior al círculo. Representamos un conjunto de alumnos que juegan >
K J * mento Federico (que no juega basquetbol) de la siguiente manera: A
Federico
Jorge
AO~Z> [
* Nota: para representar el conjunto se le añade una literal mayúscula, >
! '
"
> Z Y >
"
> Z Y se lee como: >
"
> Z También puede denotarse así: > En forma general, se dice que un elemento pertenece o está en cualquier 4
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
conjunto usando el símbolo
K J !
no forme parte de conjunto se utiliza K J
> A > Considera la letra M, que designa al conjunto descrito como {a, b, c, d}, es decir, M es el conjunto cuyos elementos son las primeras cuatro letras del alfabeto. Podemos entonces decir que: a M, b M, c M y d M. Es preciso mencionar que existen otros tipos de conjuntos los cuales de Y Si se cumple la condición de que todo elemento o miembro que está contenido en un conjunto D, está también contenido en un conjunto E, enton " ! %
como D E. + * presiones: D es parte de E o D está contenido en E, también se puede expresar como E contiene a D o E incluye a D. Puedes notar que todo conjunto es un subconjunto de sí mismo. Para señalar que no es subconjunto o la no inclusión se utiliza el símbolo . ! > A
A Y
> A {
> A A > B. Z
B Vicente
Fernando A Juan Agustín Francisco
AO~Z> ]
5
MIV
! > %
> + Pues ni más ni menos que un conjunto sin elementos. El conjunto vacío es aquel conjunto que no contiene elementos. Se representa por el símbolo . Ejemplos de conjuntos de este tipo son: {Los p '
El conjunto {0} no es un conjunto vacío, pues contiene un elemento, el cero (0).
Podemos citar algunos ejemplos de conjunto universo: {Los héroes de la patria} si este es el universo en discusión. Podemos esquematizar este conjunto universo de la siguiente manera:
U Héroes de la Independencia Héroes de la Revolución Niños Héroes
AO~Z> k
Los conjuntos suelen representarse de dos maneras: por extensión (o forma explícita) o por comprensión (o forma implícita). ! ~ '
por las caras de un dado de la siguiente manera:
{
}
~ [ ] k w { ^ G = x ∈ N 1 ≤ x ≤ 6
El uso de una proposición abierta en la representación de conjunto (por J X +
{
}
E = y ∈ N y es par se leería “E es el conjunto de todos los y elementos de los X < X ! ! ] w ^ `
> [ 6
1)
Escribir los elementos del conjunto de los nombres de los meses del W ? >
2)
! >
tengan como máximo 30 días. Llámalo B.
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
3)
% Z
o , según corresponda.
4)
En los siguientes ejercicios, describe verbalmente cada uno de los conjuntos representados por comprensión: a. b. c.
BI
{ } Z = { x ∈ N 5 < x} J = { x ∈ N x ÷ 2 ∈ N}
V = x ∈ N x < 10
Operaciones con conjuntos Y > = > =
' > = / > B. O Y > =
> = ' > +
=/ > B.
& W > [ ] k w = [ ] { ^
entonces: > = [ ] k w { ^
! Y
A∪ B B 3
1
5
4
2
a b v
6
AO~Z> w
! > =
> B tiene 9 porque el 1 y el 2 son elementos comunes a los dos conjuntos, es decir: 1 A, 1 B y 2 A, 2 B .
7
A B = {1, 2} . En diagrama de Venn se tiene lo siguiente:
MIV
A ∩B B 3
1
5
4
6
a b v
2
AO~Z> {
% > =
mismo tiempo.
% [ ] k w { ^ > ] w ^ Ac = {1, 3, 5}
Ac 1 A
5 2 6
4
3
AO~Z> ^
> ] 1)
8
[ % ] k ^ { [] [k ` [} [{ ]} > ] [] { ^ = [] `
{ ^ [{ & [} k ] [k ]} "Y a.
AB
b.
AC
c.
cc
d.
( A C )c
e.
( A ∪ B) ∩ C
2)
Representa mediante diagramas de Venn los cinco incisos anteriores.
3)
O >*=
conjuntos anteriores.
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Intervalos >
X /
todos los números entre 10 y 10, estamos haciendo referencia a un intervalo de números, eso quiere decir que cualquier valor entre estos dos números, como el ` w } w{^_`w 4 3, , etcétera, estará en dicho subconjunto.
Los intervalos pueden representarse de varias formas, las cuales se muestran a continuación: Si a y b son dos números reales tales que se cumple que a < b. Tipos de intervalos
Intervalo abierto
Intervalo cerrado
Notación de intervalos
o ⎤⎦ a , b ⎡⎣
(a, b)
⎡⎣a , b ⎤⎦
( a, b⎤⎦ Intervalos semiabiertos o semicerrados
O
o ⎤⎦ a , b ⎤⎦
⎡⎣a , b ) o ⎡⎣a , b ⎡⎣
Notación por comprensión
{x ∈ a < x < b} {x ∈ a ≤ x ≤ b} {x ∈ a < x ≤ b} {x ∈ a ≤ x < b}
( −∞,a ⎤⎦
{x ∈ x ≤ a}
( −∞,a )
{x ∈ x < a}
( b,∞ )
{x ∈ x > b}
⎡⎣b,∞ )
{x ∈ x ≥ b}
( −∞, ∞ )
{x ∈ }
9
MIV
La diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado es que en los intervalos abiertos NO contienen los valores extremos mientras que los cerrados, sí los contienen, por ejemplo: 2, (2, 2) mientras que 22, 2] y lo mismo ocurre para el número 2. Habrás notado un pequeño símbolo en la tabla anterior que es como un ocho acostado /
inconmensurable e inimaginable. Ejemplo. Dados los intervalos A = ⎡⎣ −3, 3⎤⎦ / = K2, 0); C = ( 0, 4 ⎤⎦ y D
Kk^J 'X
intervalos y por comprensión. a.
AB
d.
BC
b.
AB
e.
Ac
c.
BD
Solución: %
observar cómo quedan los intervalos con respecto a los demás. A) 3
3
B) 2
0
C) 0
4
D) 3 a)
6
% > = * = > 3 2
0
3
Siendo los extremos del intervalo 3 y 3 cerrados, si recordamos la de-
{
}
Y A B = ⎡⎣ −3, 3⎤⎦ o A B = x − 3 ≤ x ≤ 3 b) |
> =
mismo tiempo. 3 2
0
3
% 2 a 0 en
{
}
los dos conjuntos; así, podemos decir que A B = ( −2, 0 ) o A B = x − 2 < x < 0 10
Matemáticas IV
c)
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Para calcular la intersección de B con D podemos trabajar de la misma ' Y 2
0
3
6
Si observ
sobre otro, entonces, podemos decir que no hay intersección entre los intervalos. > es el conjunto vacío.
BD = ∅ Se = & >
punto 0, pero hay que tener cuidado con los intervalos abiertos. 2
0
4
Para este inciso debemos tener en cuenta la diferencia entre un intervalo abierto y uno cerrado. Cabe recordar que uno abierto no contiene los valores extremos, entonces para este caso la unión de ambos intervalos es:
{}
B ∪ C = ( −2, 0 ∪ ( 0, 4 ⎤⎦ o B ∪ C = x -2 k Planteen, discutan y resuelvan en equipos las siguientes situaciones: 1)
w{ `}
pesos. Representen el intervalo del precio en notación por intervalos y por comprensión.
2)
Después de realizar sus compras, Carlos sabe que en la tienda de su tío k{ {{ ' w{ `{ Z* &
Es importante recordar que al resolver una desigualdad, nunca debemos dividir entre una expresión que contenga a la incógnita, pues no sabemos si dicha expresión es positiva o negativa.
11
3)
MIV
" > K{ k/ = K} [J/ & K} w " 2, 5), efectúen las siguientes operaciones y expresen los resultados en notación de intervalos y por comprensión: a.
AB
d.
Cc
b.
AB
e.
c.
BD
(A ∪ B ∪ C) ∩ D
Desigualdades Quizá haya un momento en el transcurso de tu semestre en donde pienses si vas a deber una materia o no; con esta idea abordaremos el tema de desigualdades. O
$
% {` _k
podemos plantear una desigualdad para obtener un intervalo que nos diga cuáles K
_} J Si x
entonces:
58 + 73 + x ≥ 70 3 131 + x ≥ 70 3 Multiplicando por 3 a cada término de la desigualdad tenemos, entonces, que:
⎛ 131 + x ⎞ ⎜ ⎟ ( 3) ≥ 70 ( 3 ) ⎝ 3 ⎠ 131 + x ≥ 210
Restando 131 a cada término tenemos que: 131 − 131 + x ≥ 210 − 131 x 79
_\
_\ Resolver una desigualdad es muy parecido a despejar una ecuación lineal de una incógnita, como lo has hecho en tus anteriores cursos de Matemáticas. %
KJ
que se pueden mover los términos de miembro a miembro tomando en cuenta que si multiplicamos o dividimos los miembros de la desigualdad por una cantidad + * tivamente o viceversa. 12
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Ejemplo: Resolver la siguiente desigualdad: 5x 2 < 4 3x Solución: Resolver una desigualdad consiste en encontrar un intervalo que dé solución o que cumpla con la condición. De manera sencilla, dejamos a las variables en un mismo lado de la desigualdad y a los números en el otro lado, obteniendo: 5 x + 3x < 4 + 2
Realizando la suma de términos semejantes: 8 x 6 Despejando x 68 , esto señala que la solución representa al intervalo
( −∞, ) ~ Y
6 8
6/8 Existen desigualdades dobles, es decir, se deben cumplir dos desigual
K^{ __J +
_} `} Z Y
70 ≤
65 + 77 + x ≤ 80 3
Para resolver este tipo de desigualdades podemos trabajarla como dos desigualdades que deben cumplirse al mismo tiempo. Ejemplo: Z Y ^x 3 < 5 x wx ^ %
^x 3 < 5 x y 5 x wx ^ Solución: Se resuelve cada desigualdad de manera individual:
6x − 3 < 5 − x 5 − x ≤ 4x + 6 6x + x < 5 + 3 5 − 6 ≤ 4x + x −1 ≤ 5 x 7x < 8 x<
Es importante recordar que al resolver una desigualdad, nunca debemos dividir entre una expresión que contenga a la incógnita, pues no sabemos si dicha expresión es positiva o negativa.
x ≥ − 15
8 7
~ Y x 8/7
x 1/5 Como las dos desigualdades deben cumplirse al mismo tiempo, tenemos que calcular la intersección de los dos intervalos. x 1/5
x 8/7 13
MIV
Tenemos que la intersección de los dos intervalos es de 1 5 a 8 7 . Siendo x ∈ ⎡⎣ − 15 , 87 )
> w 1)
Halla el conjunto solución para las siguientes desigualdades. a.
3 x + 4 ≥ 7 x − 12
b.
7x + 5 >
3x − 2 > 2x 2
c.
4 − 5 x < 7 x − 10
d.
7x − 3 ≤ 4 − 2x ≤ 4 x − 8
2)
Realiza una investigación acerca de las desigualdades cuadráticas, cómo resolverlas y obtener el conjunto solución.
3)
Con base en tu investigación anterior, resuelve las siguientes desigualdades cuadráticas. a.
x 2 + 3 x > 40
b.
x 2 + 2x < x + 6
c. 3 x + 3 x ≥ −3 x − 2 x + 4 % ^` _`
_} `} !
_} `} & 2
4)
2
Dinamización y motivación Responde en tu libreta cada uno de los siguientes ejercicios, realizando en su caso las operaciones necesarias y escribe o representa el resultado correspondiente. 1)
14
Un objeto cae libremente y presenta las posiciones que se señalan a continuación. Tiempo t (segundos)
Posición y (metros)
0
0
1
[^
2
20
3
24
4
]`
5
32
Matemáticas IV
2)
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
" y 2
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-2
-4
-6
AO~Z> [[
3)
& '
4)
Si tengo las funciones f ( x ) = 2 x + 5 y g ( x ) =
x +3 x
'
f (x) + g(x),f (x) g(x)
5)
Trabajando con las funciones anteriores, calcula las siguientes composiciones f g ( x ) y g f ( x ) .
&
profesor, ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla si #
Importante: tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y va a dar de ' +
!
te habrán dicho que la visita al circo estaría en función de que no lloviera, en ese caso se tendrían las siguientes opciones:
A
B
Llueve el día que llega el circo.
No vas al circo.
No llueve el día que llega el circo.
Vas al circo.
AO~Z>% [] [k
Desde luego que desde pequeño se te han presentado muchas opciones de escoger algo con respecto a una condición establecida. Z * ' * | $
' % '
' >
> * tinuación te presentamos algunas situaciones para que desarrolles las unidades de ' Situación 1. Supongamos que quieres dedicarte a elaborar pan francés, entonces deberás obtener el costo que tendría hacerlo de acuerdo al precio de la [`} w[`}
el kilo. 16
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
& ¢
*
! * laciones entre el costo del pan y el precio de la
X
% *
BI
Situación 2. En la carrera de los 100 metros varonil de los juegos olímpicos se impuso un nuevo récord por el jamaiquino Usain Bolt, que promedió 9 segun {` + % Y
% {} £ _{
& ' ' *
%
Se tiene que tomar en cuenta si eres capaz de comprender, analizar y > * tás en camino de aplicar las unidades de competencia de este bloque.
Proyecto Proyecto
Desarrollo y análisis de fórmulas utilizando funciones y operaciones entre ellas.
Problema
O ' '
operaciones entre ellas para generar nuevas fórmulas.
Duración
Una semana
Puntuación
Competencias
15 puntos
&
magnitudes y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. >
17
MIV
En este proyecto realizarás las actividades que se te describen. Primero acuerden con tu profesor si se realizará en equipos o no. Las actividades son:
Investiga cuáles son las fórmulas para la conversión de °C a °F y de °C a °K (grados Centígrados, Farenheit y Kelvin).
Con cuidado, pon a calentar agua y con ayuda de un termómetro mide su temperatura 5 veces cada 3 minutos. Completa la siguiente tabla: °C
°F
°K
Responde:
>
1)
> ¥C y aplicar las formulas para encontrar los °F y °K * ' +
2)
& '
3)
%X ' '
4)
Escribe por qué la fórmula para convertir de °C a °F es biunívoca.
5)
Si tengo las funciones (fórmulas) °F = 1.8°C + 32 y ° K = ° C + 32.
Calcula las operaciones: °F + K , °F −°K .
> '
¥C que encontraste por segunda vez. Realiza la suma de los valores que encontraste en la tabla y compáralos con el valor encontrado con la nueva fórmula.
&
' ¥F + °K sobre la aplicación indi '
^ Z ' K' JY
° C = °F1−.832 ,°K = °C + 273
Recursos
18
Determina °K o °C.
" + *
% ww ¥F a cuántos °K
&ál sería la ventaja de aplicar la composición de funciones sobre las '
Libro de texto, termómetro, recipiente, libros de consulta de la biblioteca.
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Deberá entregarse en la fecha indicada por el docente y en caso de ser por equipos, si un miembro del equipo faltase el día de entrega, se resolverá con el criterio de tu profesor. Normas
El trabajo se entregará cuando cuente con los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.
% >Y Z
y funciones Criterios Del saber
Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones.
Enuncio las características de una relación y de una función.
O '
O
Del saber hacer
Reconozco una relación o una función a partir de su descripción numé
Obtengo el dominio y el rango de una relación o función en representaciones diversas.
Desarrollo desigualdades diversas.
Del saber ser
Considero la importancia del orden de los elementos que conforman las parejas ordenadas en la solución de ejercicios.
> ' * ciones reales.
Demuestro respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable.
>
Problematización En tercer semestre de bachillerato cursaste las asignaturas de Física I, Literatura, Historia, Matemáticas III, Inglés III, Informática, Biología, que pueden designarse como el conjunto de asignaturas o materias que se cursan en el tercer semestre de bachillerato en el Cobay. % > * ción de conjuntos de la forma siguiente: > A O ? $ OOO O + OOO O'
Biología}
19
MIV
% Y
'
W ? / ? W A $ /
enseña Biología; Sergio, que enseña Informática, y Rocío, que enseña Inglés III, a este conjunto de maestros lo nombraremos como el conjunto: =
' ?
% Z
Si representamos en diagramas de Venn los dos conjuntos e indicamos # tenemos que: A
B Josefa
Física I
Luis
Literatura
Juan
Historia
Sergio
Matemáticas III
Rocío
Inglés III Informática Biología
AO~Z> [w
En este diagrama podemos observar una relación o correspondencia entre el nombre del profesor o profesora y las asignaturas que imparte.
Desarrollo de saberes
Relaciones
En el curso de Matemáticas III trabajaste con pares ordenados; cada conjunto de pares ordenados es una relación.
! >
conjunto B como el rango. Sin embargo, los roles se pueden invertir. Habrás notado que en las relaciones no se necesita que cada elemento del dominio esté asociado con un solo elemento de la imagen. > * pañero. 1)
20
El conjunto de pares ordenados {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1,5)} es una relación. El dominio de la relación es el conjunto {1}; su rango es el conjunto {2, 3, 4, 5}.
Matemáticas IV
2)
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
? K J¦ ] {1, 2}} puede escribirse como {(1, 3), (2, 4)}, en esta relación el dominio es {1, 2} y el rango {3, 4}.
> # ?
se representan de cualquiera de las siguientes formas:
Como un enunciado, como cuando decimos “El tiempo que tardo en lle $+
En forma de ecuación, como en el teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c 2
Con un conjunto de pares ordenados, de la forma siguiente: R K []
kwJ Kw{ k^J K^_ k`J
Como una tabla de valores.
En forma de diagrama de Venn.
En una relación entre conjuntos de números reales se presentan dos tipos de cantidades: constantes y variables.
La variable independiente puede tomar cualquier valor del dominio y se acostumbra representarla generalmente con la letra x, mientras que la variable * presenta con la letra y.
Funciones En algunas ocasiones las relaciones de correspondencia son numéricas, como cuando decimos que el área de un cuadrado se relaciona con la longitud de su lado, o el costo de fabricar las hogazas de pan se asocia con el precio de la harina. Sin embargo, en otros casos las relaciones de correspondencia son entre conjuntos no numéricos, como en un mapa de la ciudad o las canciones con los grupos que las interpretan, etcétera. Pongamos un ejemplo: sea el conjunto A = {−1, 12 , 1} y el conjunto B = {−2, 1, 2} ; tenemos entonces la siguiente relación:
21
−1
MIV
−2 Es preciso que recuerdes lo siguiente: toda función es una relación, pero sólo algunas relaciones son funciones.
1 2
1
1
2
AO~Z> [{
& >
uno, y solo un elemento del conjunto B. De esta manera:
Para denotar una función se usa casi siempre la letra f , pero puede utilizarse cualquier otra. Si f ' > =
escribir su correspondencia con la notación: f : A B
que puedes leer “ f ' > = > ' =
es el codominio o contradominio. Si x > =
a este último elemento del contradominio se le llama imagen de x y se denota por y f ( x ) , que se lee “y es igual a f de x Para que te familiarices con esta notación, veamos un ejemplo de su uso: Si llegas a ver la expresión f (2) , que se lee como “ f ]
valor de y cuando x ] % f ( x ) = x 3 + 3 y deseamos hallar el valor de f (2) , entonces hacemos lo siguiente:
f ( x ) = x 3 + 3, f (2) = (2)3 + 3, f ( 2) = 8 + 3 f (2) 11
Es decir y [[
22
Matemáticas IV
BI
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
En una función f : A B , el conjunto de todas las imágenes y que está en B recibe el nombre de rango. En muchos casos es imposible enumerar todos los pares ordenados que forman una función particular, sin embargo, podemos establecer la correspondencia entre los elementos del dominio y los del rango por medio de una ecuación, como en el siguiente caso: 3 x − y = 1, x ∈ R >
* dad de la proposición. Podemos escribir de la siguiente forma al conjunto solución de la ecuación dada.
{( x , y ) 3x − y = 1, x ∈ R} , que se lee “el conjunto de todos los pares orde-
nados (x, y) tales que, 3 x − y = 1, x ∈ R
Ejemplo 1: Determinar el dominio y el rango del siguiente conjunto:
{( x , y ) y = x , x ∈ R} Solución: ! ' y x y tiene un X Y K} }J K[ [J K1, 1), (3, 3), (^
^J
El dominio de la función es el conjunto de los números Reales (R) y su
(
)
imagen es el conjunto de los números Reales no negativos R + {0} . Ejemplo 2: Sea f =
>
que
y f (x) .
{( x , y ) 3 + 2 y = 4, x ∈ R} Dar una expresión para f ( x )
y encontrar f (1) y f (2) . Solución: Se resuelve o despeja la ecuación para y. Obteniendo tras el 4 − 3x y= despeje que 2 , entonces con cada x R .Para obtener f (1) y f (2) se sustituyen los valores dados de la siguiente manera: f (x) =
4 − 3x 4 −3 1 , f (1) = = 2 2 2
f (2) =
4−6 = −1 2
Podemos representar el dominio de una función f, como Df.
Ejemplo 3: Sea una función f ( x ) = x 3 + 2 . Hallar el argumento del dominio de f que corresponde al valor de 10 en el rango. Solución: & [} f , tenemos y f ( x ) 10 , es decir, x 3 + 2 = 10 , entonces x 3 8 o x 2 . O sea, f (2) 10 .
23
MIV >
* > 1)
Z ' +
a
c
b
d
AO~Z>% [^ [_
2)
? ' +
AO~Z> [`
> [ >
%W '
no, escribiendo función o relación. Da argumentos del porqué de tus respuestas.
24
1)
Z K] ^J K` kJ K} ^J K1, 3)}
2)
{(4, 5), (w ]J K{ ^J Kk }J Kw 2), (3, 5)}
Matemáticas IV
3)
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
6
36
7
49
8
64
BI
a a 4)
e
b
i
c
AO~Z>% [\ [[}
A
W
B
X
C
Y
D
Z
5)
AO~Z>% [[[ [[]
y 2 12 x x 2 + y 2 = 100
25
MIV
Síntesis
> ]
1)
Escribe por extensión y por comprensión el conjunto de los primeros 10 números naturales impares.
2)
% ] k ^ { [] [k ` [} [{ ]} > ] [] { ^ = [] `
{ ^ [{ & [} k ] [k ]} { "Y a. b. c.
AC
(A ∪ C) ∩ B Bc
(A C) d. Un investigador observó los días de crecimiento en dos poblaciones de >
] { = K]{ ` &
& * tervalo de días en que las dos poblaciones crecen simultáneamente (se J Z c
3)
4)
? &
+ [{} [\}
% & {}
+ +
%W '* ciones y cuáles no.
a.
26
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
b. y
x
c. AO~Z>% [[k [[w [[{
d.
f ( x ) = 3x + 5
e.
x2 − y2 = 4
% =Y &
funciones Criterios Del saber
& ' Y / * continuas, uno a uno, sobre y biunívocas.
Del saber hacer
" '
Realizo las operaciones básicas con funciones.
> '
Del saber ser
Muestro disposición en las diversas actividades relacionadas con la asignatura.
>
W
Otorgo ideas de forma colaborativa en un ambiente de respeto. 27
MIV
Problematización Es posible que en algún momento de tu vida hayas escuchado una misma melodía ejecutada por distintos músicos e instrumentos musicales y su ritmo sea prácticamente el mismo, esto se debe a que las notas musicales que ellos utilizan es un lenguaje universal, así que sin importar el idioma materno que X
lenguaje musical. Este ejemplo guarda relación con las funciones matemáticas. Es decir, cuando los fenómenos físicos de la naturaleza o problemas son modelados por medio de ecuaciones, se realiza una correspondencia entre dos conjuntos que involucran la situación del problema a resolver; para ello se utilizan expresiones algébricas, trigonométricas, logarítmicas, etcétera, y a semejanza de las notas musicales, no importa el idioma que ha %
!
diferente nacionalidad puedan entender y resolver el mismo problema.
>ividad de aprendizaje 3 '
reúnete en triadas y consideremos la siguiente situación: un estudiante se ayuda con la venta de periódicos por la mañana para que en las tardes @
}]{
* ]} &
hipotética si tú fueras el vendedor. Con tus compañeros de equipo, determina el modelo funcional para las condiciones anteriores y responde: a) &
]{k [^w * ]`{ [_` k}{
de Venn para representar la relación venta-ganancia. b) & / *
Desarrollo de saberes
& ' ? '
* nuación:
28
Una de ellas resulta al dividirla en dos grandes grupos, algebraicas y trascendentes, como se ve a continuación.
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Polinomiales Algebraicas
Racionales Irracionales
Funciones
Exponenciales Trascendentes
Logarítmicas Trigonométricas
AO~Z> [[^
Algebraicas: consisten o provienen de realizar operaciones aritméticas, de potenciación y radicación, con las funciones constante e identidad. Las funciones algebraicas se pueden subdividir en:
Funciones polinomiales: las cuales se consiguen al efectuar operaciones de adición, sustracción y multiplicación con expresiones algebraicas. Ejemplo de estas son:
f ( x ) = 3 x + 1, f ( x ) = x 2 − 3 x + 5, f ( x ) = x 3 + 5 x 2 − 3 x + 1 . Y, como puedes observar, solamente se realizan las tres operaciones antes mencionadas.
g( x ) =
El dominio de una función polinomial es , o sea, todos los números K©ª ªJ
Funciones racionales: estas se obtienen por el cociente de dos funciones polinomiales, considerando el denominador distinto de una función constante, por ejemplo:
x2 + 4x − 5 5x + 3 2 , h( x ) = , f (x) = , etcétera. x −7 x +9 x2 − 4
Funciones radicales: provienen de usar los radicales. Ejemplo:
f (x) =
x 2 + 9 , g( x ) =
3
5x + 1 4 5x + 1 , h( x ) = − x x 2
Las funciones algebraicas antes mencionadas son utilizadas en muchas ramas de estudio, por ejemplo la Economía, Biología, Estadística, Psicología, Quí A + >
nuestra vida. ! ' Y
Funciones trascendentes: son las que no pueden ser expresadas con +
29
MIV
Funciones exponenciales: estas funciones tienen una base que es una constante, y la variable independiente o argumento se presenta como exponente; la denotamos con y f ( x ) a x . Ejemplo de estas son:
(
P(t ) = 2600 1 − 0.5e −0.075t
)
3
, M( x ) = (10)4 x , g( x ) =
20000 1 + (6)2−0.1xx
Entre las aplicaciones que tienen estas funciones está la de modelar problemas que involucren situaciones de crecimiento y decrecimiento poblacional, así como el interés compuesto y otras áreas de importancia que estudiaremos a detalle en el bloque VII.
Funciones logarítmicas: resultan las inversas (la inversa se verá en el siguiente bloque) de las funciones exponenciales. Su representación es
y f ( x ) loga x (se lee “logaritmo de x con base aJ %
todos los números reales positivos R + y su rango son todos los números reales ( R ) . Entre las expresiones logarítmicas tenemos y log3 9 x ,
( )
y = log5 (125 x ) , y In64 x 2 , y log89 .
Las situaciones o problemas que son planteados a través de ecuaciones exponenciales pueden ser resueltas aplicando logaritmos y, por lo tanto, estamos hablando de que las aplicaciones para funciones exponenciales involucran a las funciones logarítmicas.
Funciones trigonométricas: estas funciones relacionan en su primer conjunto dominio magnitudes angulares con un segundo conjunto contradominio formado de valores numéricos; ejemplo de estas tenemos f ( x ) sen x , f ( x ) tan x , etcétera.
T Y
30
Funciones continuas y discontinuas: ' * '
de límites. Como esta obra está al nivel de pre-cálculo, consideraremos otro enfoque. Una función es continua en un intervalo dado cuando la
intervalo. Si seguimos la lógica podemos pensar que será discontinua cuando presente saltos o interrupciones en un intervalo dado. También podríamos considerar, a propósito de intervalos, que una función es con
si se requieren dos o más intervalos será discontinua.
Matemáticas IV
BI
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Ejemplo de estas son: y
y
y= f (x)
y= f (x)
x x
-1
o
-2
= ( −∞, 2 ) ∪ (−2, ∞ )
Nota que los extremos de los intervalos abiertos
representan con bolitas abiertas. Los cerrados con puntos llenos.
= ( − ∞ , −1 ) ∪ ( − 1, ∞ )
AO~Z>% [[_ [[`
La primera presenta discontinuidad en x = −2 y la segunda en x = −1 . En el caso de funciones continuas te presentamos las siguientes:
y
y y= g (x)
y = g (x) x
x
o
o
Dg = (−∞ , ∞) = R Dg = (−∞ , ∞ ) = R AO~Z>% [[\ []}
T ' ' Y
31
MIV
Una función es par cuando cumple que f ( x ) = f ( − x ) , para toda x del dominio de f. Es impar cuando − f ( x ) = f ( − x ) , para toda x del dominio de f.
~ ' + £ %
simétrica respecto al origen. Consideremos los siguientes ejemplos:
Pares: f ( x ) = 2 x 4 − x 2 , g( x ) =
3x 2 2x 4 − 2
Impares: h( x ) = 5 x 3 − 2 x + 1, i( x ) = senx Ejemplo 1: Determina si las funciones son pares, impares o ninguna de ellas. a)
f ( x ) = x3 − x
b)
g( x ) = −3 x 2 Solución:
a)
Veamos primero si es par, es decir, si cumple que f(xJ fK« x): f (− x ) = ( − x )3 − ( − x ) = − x 3 + x
lo cual no es igual a f ( x ) >
es decir, si cumple que − f ( x ) = f ( − x ). − f ( x ) = − x 3 + x . f ( − x ) , ya se hizo anteriormente y nos dio f ( − x ) = − x 3 + x . Por lo tanto, sí es impar. b)
Esta función satisface la relación f ( x ) = f ( − x ) >
Si consideramos la relación que guarda cada argumento del dominio con
continuación analizaremos. Una función f : X Y se llama inyectiva o uno a uno cuando para argumentos distintos del dominio, x1 x2 , les corresponden imágenes distintas del contradominio f ( x1 ) f ( x2 ) . Esquemáticamente la función inyectiva resulta uno a uno cuando se relaciona en la forma siguiente:
32
Matemáticas IV
BI
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
f
f Y
X
Y
X
Sí es inyectiva
No es inyectiva AO~Z>% [][ []]
& '
uno se usa el criterio de la recta horizontal; este criterio consiste en trazar rectas
' [w [_Y
y
Sí es inyectiva
No es inyectiva
y
y= g (x)
y= f (x) x
x
o
o
AO~Z>% []k []w
" ' Y Una función f : X Y se llama función sobre o suprayectiva cuando para cada elemento del contradominio existe su correspondiente elemento en el dominio. En otros términos, ningún elemento del contradominio debe quedar sin relacionarse.
33
f
MIV
f Y
X
Y
X
Sí es sobre
No es sobre AO~Z>% []{ []^
A Una función f : X Y se llama función biyectiva o biunívoca si resulta inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo. f Y
X
Es biyectiva AO~Z> []_
£ '
realizar algunos ejemplos en los que se apliquen estos conocimientos. Ejemplo 2: Las ecuaciones f ( x ) = 2 x + 1 y g( x ) = 1 representan fun( x +2) ciones, determina si son continuas o discontinuas.
34
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Solución: Recordando lo visto en cursos anteriores, una expresión racio
'
(como veremos más adelante), pero para la segunda sí, esto nos obliga a eliminar del dominio de la función g(x) el o los valores de la variable x que anulen el denominador.
Para f ( x ) = 2 x + 1 , como no existen restricciones su dominio son los números reales R > * A []`
x
y = f ( x ) = 2x + 1
2
3
0
1
1
3
4
y
3 2
f ( x) = 2x + 1
1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
-1 -2 -3 -4
AO~Z> []`
'
Por las razones dadas anteriormente igualamos a cero el denominador para saber el valor de x que anula el denominador y eliminarlo del do
x + 2 = 0 → x = −2 , valor que no será parte del dominio, es decir, el do KJ x 1+ 2 − {− 2} . Tabulemos algunos pares de puntos cerca de valor –2
para K []`J
x
y = g( x ) =
5
13
3
1
1 x +2
35
MIV
2.25
4
1.75
4
0
1 2
3
1 y 4 3 2
g ( x) = 1 x+ 2
1
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1 -2 -3 -4
AO~Z> []\
de x = −2 y, por lo tanto, será discontinua en dicho valor. Ejemplo 3: Para las funciones a) f ( x ) = 4 x + 1 y b) h( x ) = x 2 − 3 , determina si es inyectiva, suprayectiva o biunívoca en cada caso. Solución: a)
La función f ( x ) = 4 x + 1 no tiene restricciones, pues no es racional ni tiene raíces (como estudiaremos más adelante), siendo su dominio todos los reales. Partamos de los argumentos 2 y 1 para determinar sus imágenes. f ( −2) = 4( −2) + 4 = −8 + 2 = −6 y para f (1) = 4(1) + 2 = 4 + 2 = 7
Las imágenes anteriores nos sugieren que con argumentos distintos del >
todo elemento del dominio. Consideremos a1 y a2 dos argumentos distintos del dominio. Determinemos sus imágenes: f ( a1 ) = 4 ( a1 ) + 1 = 4a1 + 1 , y f ( a2 ) = 4 ( a2 ) + 1 = 4a2 + 1
Siendo que a1 a2 4a + 1 ≠ 4a2 + 1 , siendo entonces f ( a1 ) ≠ f ( a2 ) . 36
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
& Y f ( x ) = 4 x + 1 es una función inyectiva o uno ? Y y 6 4
f ( x) = 4x + 1 2
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2 -4 -6
AO~Z> [k}
Estamos considerando la función con dominio y contradominio en R. Supongamos que tenemos el elemento y 0 del contradominio de la función, entonces sólo nos resta encontrar un elemento x0 del dominio de los reales de manera que y −1 , que es un número real, ya que f ( x0 ) = y 0 . Considerando el valor de x0 = 0 4 ⎛ y −1⎞ ⎛ y0 − 1 ⎞ y 0 lo es, se nota que f ( x0 ) = f ⎜⎜ 0 ⎟⎟ = 4 ⎜⎜ ⎟⎟ + 1 = y 0 − 1 + 1 = y 0 . Por lo ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ tanto, f sí es sobre y biyectiva. b)
Determinemos en h( x ) = x 2 − 3 las imágenes correspondientes a los valores de 2 y 2.
h( −2) = ( −2)2 − 3 = 1 y h(2) = (2)2 − 3 = 1 , de estas vemos que para argumentos distintos se tienen imágenes iguales, de modo que no es una función uno a uno. Realizando una tabla de valores para esta función h( x ) se tendrá:
x
y
3
_
2
1
1
2
0
3
1
2
2
1
3
_
37
~
MIV
5
y
4 3
y = x2 − 3
2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
AO~Z> [k[ ~ h( x )
= x2 − 3 .
" '
mayores a 3 >
3 !
decir, para un valor del contradominio (por ejemplo 4 J
que corresponda a una imagen menor a 3 , digamos 4
x tal que x 2 − 3 < −4 , de donde x 2 < −4 + 3 y así x 2 < −1 , por lo que el valor de x no existe, pues ningún número real al cuadrado resulta un número negativo. Entonces, existen valores del contradominio que no están relacionados con el dominio. Se concluye que no es sobre, y por lo tanto no es biyectiva.
Operaciones con funciones En el primer semestre en la parte de aritmética realizaste operaciones de suma, X >
realizar usando funciones. Consideremos las funciones f y g cuyos dominios son M y N, respecti %
como sigue:
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) , resultando su dominio M N ( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) , resultando su dominio M N ( f ⋅ g )( x ) = f ( x ) g ( x ) , resultado su dominio M N
( )= f g
38
f (x) g( x )
, resultando su dominio { x x ∈ M N y g( x ) ≠ 0}
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
£ ' * cación en el siguiente ejemplo. Ejemplo 4: Dadas las funciones f ( x ) = 2 x + 5 y g( x ) = 9 − x 2 y determina f + g , f − g , f ⋅ g y
f g
Solución: Ya que f ( x ) = 2 x + 5 es un polinomio, entonces no tiene restricciones en su dominio, siendo este Df = R = ( −∞ , ∞ ) . Para el caso de g( x ) = 9 − x 2 , es una función radical, presentando restricciones en su dominio, ya que la raíz cuadrada de cantidades negativas no está X Dg = ⎡⎣ −3, 3⎤⎦ . Como los dominios están en términos de las intersecciones, tenemos que:
( −∞, ∞ ) ⎡⎣−3, 3⎤⎦ = ⎡⎣−3, 3⎤⎦ .
( f + g )( x ) = f ( x ) = f ( x ) + g ( x ) = 2 x + 5 +
9 − x 2 , siendo su dominio
⎡⎣ −3, 3⎤⎦
( f − g )( x ) = f ( x ) − g ( x ) = 2 x + 5 −
( )= f g
f (x) g( x )
=
2 x +5 9− x 2
9 − x 2 , siendo su dominio ⎡⎣ −3, 3⎤⎦
K«kkJ
Composición de funciones >
forma de combinar las funciones, a esta forma se le denomina composición. Para entenderla partamos de la siguiente situa Y
'
se las da a crédito a Pepe, quien fabrica zapatos. La producción de Pepe es comprada a crédito por el comerciante Toño;
cobra a Pepe y este a la vez le cobra a Toño, entonces es lógico
|W
Traduzcamos la situación anterior a conceptos matemáticos y = M(t ) = t + 5 y t = N( x ) = 3 x 2 + 1 . De esta secuencia vemos que y está en función de t , y que t está en función de x , siguiendo y estará en función de x . Para no realizar cálculos en forma separada resulta práctico hacer un solo desarrollo integrando las fórmulas en una sola de la siguiente manera y = M ( N( x ) ) = (3 x 2 + 1) + 5 = 3 x 2 + 6 .
39
MIV
La combinación que se obtuvo de las funciones anteriores se denota con f g (se lee f círculo de g o f compuesta con g J
como: ( f g )( x ) = f ( g( x ) ) y ( g f )( x ) = g ( f ( x ) ) respectivamente. ! K' ¬ J KJ Dg g(x) Df K ¬ 'JKJ Df f(x) Dg} Es importante resaltar que la función resultante de componer la función f con g no es siempre igual a la que resulta de componer g con f .
Ejemplo 5. Con las funciones f ( x ) = x − 1 y g( x ) =
x + 3 determina la
composición de ( f g )( x ) y ( g f )( x ) , también obtén su dominio. Solución: Y
( f g )( x ) = f ( g( x )) = f (
)
x +3 =
x + 3 −1
El dominio de f g 3, ) el procedimiento para obtenerlo lo veremos a continuación. Df = ( −∞ , ∞ ) ; Dg = ⎣⎡ −3, ∞ ) * nio de f g .
{
} = {x ∈ ⎡⎣−3, ∞ )
{
}
Df g = x ∈ Dg / g( x ) ∈ Df
Df
g
}
{
= x ∈⎡⎣− 3, ∞ ) x ≥ −3 = ⎡⎣−3, ∞)
> Y
( g f )( x ) = g ( f ( x )) = g ( x − 1) =
( x − 1) + 3 =
x +2
El dominio de f g es ⎡⎣ −2, ∞ ⎡⎣ . El procedimiento para obtenerlo lo veremos a continuación. Df = ⎤⎦ −∞ , ∞ ⎡⎣ ; Dg = ⎡⎣ −3, ∞ ⎡⎣ * nio de f g .
{
Dg f = x ∈ Df / f ( x ) ∈ Dg
{
} {
}=
}
x ∈ x−1∈⎡⎣− 3 , ∞ )
}
= x ∈ −3 ≤ x − 1 = x ∈ −2 ≤ x = ⎡⎣ −2, ∞ )
Concluimos este bloque con una serie de ejercicios que se reforzarán en la retroalimentación. 40
}
x + 3 ∈ = x ∈ ⎡⎣ −3, ∞ ) x + 3 ≥ 0
Matemáticas IV
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
BI
Síntesis 1)
Realiza lo que se te pide en cada caso. a.
b.
Demuestra si las funciones a continuación son inyectivas. i.
g( x ) = x − 2
ii.
g( x ) =
iv.
g( x ) =
2 x −4
f (x) = x2 − 2
f ( x ) = 12 x − 5 ii. Demuestra si las funciones a continuación son biyectivas o biunívocas.
i. ii. 3)
x+4
Demuestra si las funciones a continuación son suprayectivas. i.
2)
2 3
3 iii. g( x ) = x + 1
h( x ) =
1 2
x−4
f ( x ) 12 x 3 2 x
Determina la composición de ( f g )( x ) y ( g f )( x ) y obtén su dominio en cada caso, con las funciones f ( x ) = x 2 + 3 y g( x ) = 4 − x
4)
Determina la composición de ( f g )( x ) y ( g f )( x ) y obtén su dominio en cada caso, con las funciones f ( x ) = x − 5 y g( x ) =
5)
3 x 2 −9
Con todas las funciones dadas en el ejercicio 1, determina cuáles son pares, impares o ninguna de las dos.
> Responde de nuevo la evaluación diagnóstica que se encuentra al principio del blo W !
de tu aprendizaje. Me encuentro en este nivel Pre-formal
Inicial
Básico
>
Estratégico
41
MIV
Realimentación % * petencias por desarrollar en este bloque. I.
Subraya la respuesta correcta en cada uno de los incisos: a)
Este conjunto es una función i.
{(1, 2), (3, 5), (3, 1), (2, 1)}
ii.
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (2, 2)}
iii. {(2, 3), (3, 2), (2, -3), (3, 0)} b)
El rango de la función f ( x ) x 2 i.
c)
R
ii. R
iii. R $
La función f ( x ) = 2 x − 1 es i.
inyectiva pero no sobre
ii.
biyectiva
iii. sobre pero no inyectiva
II.
d)
> ] w [ k Y
e)
⎡⎣1, 3⎤⎦ ii. ⎡⎣2, 4 ⎤⎦ iii. ⎤⎦1, 4 ⎡⎣ i. > *] { { ^ Y
⎤⎦ −3, 5 ⎤⎦ ii. ⎤⎦ −2, 5⎤⎦ iii. i. % ] w ^ ` [} [] [w [^ [` ]} > ] ^ ` [] = [] ^ { w
[[ & ] [k [_ "Y
a)
AB
b) A C
c) c c
d) ( A C )
c
e) ( A ∪ B ) ∩ C
III. Representa mediante diagramas de Venn los cinco incisos del ejercicio anterior. IV. Discute en tríadas qué se necesita para que una relación se convierta en una ' > + * yectiva. V.
42
Dadas las parejas de funciones f y g, determina f ¬ g y g ¬ f. a)
f ( x ) = x 2 − 2 x + 1, g( x ) = 1 x
b)
f ( x ) = ( x + 2) 3 , g ( x ) = x − (2 x )
c)
f (x) =
3
x 2 − 2 , g( x ) =
x3 − 2
Matemáticas IV
BI
Reconoces y realizas operaciones con distintos tipos de funciones
Evaluación de mis competencias
Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, además de que enuncio las características de una relación y de una función.
Conocimientos
O
dominio y el rango de una función e
conjuntos y sus operaciones. &
funciones en: algebraicas y trascendentes; continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biunívocas.
Habilidades
Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, además de que enuncio algunas de las características de una relación y de una función. O
dominio y el rango de una función e
conjuntos y sus operaciones. &
funciones en: algebraicas y trascendentes; continuas y discontinuas, uno a uno, sobre y biunívocas.
Pre-formal
1
Inicial
2
Básico
3
4
Autónomo
Estratégico
Nivel de logro o desempeño
5
Producto, logro o desempeño
Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, pero no enuncio las características de una relación y de una función.
Comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, pero no enuncio las características de una relación y de una función.
No comprendo la diferencia entre relaciones y funciones, además de que no enuncio las características de una relación y de una función.
O
dominio o el rango de una función e
conjuntos y sus operaciones.
O
dominio o el rango de una función,
diversos conjuntos y sus operaciones.
# * lución de problemas teóricos prácticos. Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. _ > +
` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ` O *
MIV
Dinamización y motivación En tu libreta de trabajo responde cada una de las siguientes cuestiones realizando
1)
Determina la inversa de f ( x ) = − 23 x + 1
2)
Encuentra la inversa de h( x ) = trada es su inversa.
3)
Si la base de una expresión es y x efectúa las transformaciones X Y i.
f (x) =
x −1
ii.
g( x ) =
x +1
5x x −3
y demuestra que la función encon-
iii. h( x ) = − x − 1 4)
iv. i( x ) = − x Z 3
y
2.5 2 1.5 1 0.5
x −2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
2
−0.5 −1 −1.5 −2 −2.5
5)
De la función f ( x ) x realiza las condiciones verbales que se indican a continuación y transfórmala a condiciones analíticas en una ecuación. a.
Traslación de dos unidades a la izquierda del origen la función.
b.
Traslación de 3 unidades por arriba del origen.
c.
Una compresión de
1 2
.
&
profesor, ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla si #
Observación: al dar las soluciones tu profesor sólo dará comentarios ge '
de este bloque se estudiarán en detalle.
48
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
& Y ]
[
punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto.
Coloca una X en el puntaje que alcanzaste.
%
alcanzado
9 a 10 puntos
Domino los conceptos y obtengo las funciones inversas y las traslaciones requeridas en las funciones que correspondan.
_ `
Determino varias funciones inversas y realizo trasformaciones en la mayoría de las funciones.
Nivel Básico
{ ^
Obtengo algunas funciones inversas y algunas trasformaciones sencillas.
2 a 4 puntos
Tengo nociones de algunas funciones inversas pero no logro que las funciones especiales tengan las trasformaciones requeridas.
0 a 1 puntos
No logro obtener la inversa de una función y tampoco puedo realizar las transformaciones requeridas en las funciones especiales.
Nivel Estratégico
Nivel Inicial
Nivel Preformal
| +
del bloque retomaremos este importante aspecto de tus avances.
Contextualización ! #
(que aún afecta y seguirá afectando), en la que el miedo a contraerla nos hacía precavidos y medirnos la temperatura en forma continua. La medición se realiza con un termómetro cuyas graduaciones comunes están en grados centígrados y grados Fahrenheit. Supongamos que el termómetro que pudiste conseguir sólo tiene una graduación en grados Fahrenheit y tú necesitas saber tu temperatura corporal en grados centígrados para determinar si tu rango de temperatura se sale o no de los límites propios de tu cuerpo. Para saber la conversión que te interesa podríamos partir de la fórmula que obtuviste en el proyecto del bloque uno, es decir, f (c ) = 59 c + 32 , e invertir los roles, ya que los grados Fahrenheit están directamente en función de c, por lo tanto, al invertir los papeles c estaría en función de F. La nueva función que se obtendría se le denomina inversa de F. Te proponemos que determines esta nueva función y que respondas lo que se te solicita.
49
MIV
En distintos momentos tu temperatura en grados Fahrenheit fue: 101.3, \\{ \^` & "
respuesta en plenaria. Otra de las funciones que utilizamos en nuestra vida diaria es la función escalón, que permite modelar situaciones como el costo del consumo de agua, electricidad, copias de algún escrito o documento en volúmenes, pues en todos
modelos resulte con peldaños o escalones en distintos niveles. Las funciones mencionadas anteriormente, entre otras, son las que estudiaremos en este bloque.
Proyecto
docente para evidenciar las competencias que se necesitan generar en el presente > '
comunicación, que también forman parte de las competencias genéricas a desarrollar. Manos a la obra y ¡éxito! Proyecto
software informático
Problema
Z '
Duración
Dos semanas
Puntuación
15 puntos
Competencias
50
O
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
Matemáticas IV
Proyecto
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
software informático
En equipos diseñados por el profesor encontrarán en internet un software ' !
profesor les proporcionará uno. En su defecto pueden usar cualquier otro que sea recomendado por el docente y que sea de fácil acceso. Existen incluso ' '
de ellas, basta escribir la ecuación en la forma y = f ( x ) . Realicen un consenso con tu docente sobre las opciones de software que existan disponibles. Deberán realizar lo siguiente:
Desde el inicio de la cuenta regresiva del tiempo señalado para el proyecto deberán entregar a su docente las opciones que han encontrado de software para tal propósito (de 2 a 3 días de búsqueda e investigación J ! software, esto último no aplica.
Realizar un consenso sobre cuál software se va a utilizar, esto para que sea el único.
> W K
abarca el proyecto) deberán reconocer el manejo básico del software (con la ayuda del docente solo si es necesaria), es decir, conocer sus X ' "
forma que entre su equipo se ayuden a utilizarlo.
Su docente le indicará a cada equipo las funciones que representarán utilizando el software O ' * fesor para que compruebe el manejo básico del software. Entre las funciones a representar estarán las espaciales.
% ' ' + * ' + * ciar el manejo del programa y el conocimiento de las transformaciones.
relevantes, curiosas o sorprendentes.
>
Recursos
Libro de texto, PC, software '
impresora, libros de consulta en la biblioteca
Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte, el profesor lo resolverá de acuerdo con su criterio. Normas
El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.
51
MIV
% >Y A
y especiales Saberes Del saber
O '
que la componen.
Describo tanto en forma geométrica como algebraica la inversa de una función.
Del saber hacer
Obtengo la relación inversa de una función y determino si esta es también una función.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones inversas o especiales para comprender su utilidad en diferentes áreas.
Del saber ser
>
W ' #
Promuevo diferentes métodos de solución a los problemas presentados.
Valoro las utilidades de las funciones inversas y especiales en las ciencias y en la vida real.
Problematización Hasta ahora se han desarrollado las características y conceptos de relaciones y funciones, además de las diferentes operaciones que se pueden realizar entre ellas. En este bloque consideraremos ciertos tipos de funciones especiales, así como su aplicación en diferentes ramas del saber. Desde que conocimos las operaciones aritméticas básicas hemos considerado que tienen cierto orden o relación entre ellas; cada una de estas operaciones básicas tiene una operación que llamamos inversa, la cual realiza lo contrario o $
contraria o inversa de la suma es la resta, y así de modo contrario (la operación contraria de la resta es la suma); por lo tanto, se dice que la suma y resta son ope >
con la potenciación y la radicación. Estos conceptos de operaciones inversas se pueden aplicar también a las funciones, de ahí que estudiaremos las funciones inversas o también llamadas funciones recíprocas. Para ir comprendiendo el concepto de inversa te propongo analizar esta serie de operaciones. Situación. Observa detenidamente las siguientes operaciones.
52
a)
3+ 4 5
b)
(
− 6 = −4.6
)
9 − 5 (3) = 6
(Número inicial 3) (Número inicial 9)
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
Para el primer caso, supón que el número inicial es el 3 y para el segundo el 9. En el primer inciso, después de una serie de operaciones se obtuvo el resultado 4.6 / ^ !
obtener 4.6 a partir del número 3 fue: sumarle 4, dividir esa suma entre 5 y res ^ ?
w { ^
4.6 K J
k K J & +* ca básica podremos realizar las operaciones inversas mentalmente. El resultado a este proceso será, entonces:
( −4.6 + 6 )(5 ) − 4 = 3 Observemos que se aplicaron las operaciones aritméticas inversas para llegar al resultado buscado, 3. > Y +
de 3, que obtuvimos con las operaciones inversas, le aplicamos las operaciones + +
!
! Propongan en equipos dos operaciones aritméticas y que tus compañeros de otros equipos encuentren las operaciones inversas. Discutan si existen otras formas de aplicar las operaciones inversas.
W * rados para entrar en materia con las funciones inversas. > ' Supongamos que nos referimos a la función f ( x ) = x + 2 . Considera los valores de la siguiente tabla de acuerdo a esta función: x
y f (x)
2
0
1
1
0
2
1
3
2
4
Podemos representar a f ( x ) como y, es decir, f (x) y .
Donde, f ( x ) = x + 2 Esto señala que los valores y son: 0, 1, 2, 3 y 4 respectivamente para cada una de las x ? '
como valores x a 0, 1, 2, 3 y 4 nos dé valores y = −2, −1, 0, 1 y 2
Es decir: x
y g( x )
0
2
1
1
53
MIV
x
y g( x )
2
0
3
1
4
2
Donde g( x ) ? '
! X ¯ ' g( x ) = x − 2 , lo cual es cierto, puesto que los valores de 0, 1, 2, 3 y 4 de x , al sustituirlos en g( x ) , obtenemos los valores de la tabla anterior, pero discute con tus compañeros lo que pasa con la función h( x ) = ción g( x ) .
x 2 − x −2 x +1
al sustituir los valores x que usaste con la fun-
Lo antes visto no quiere decir que para obtener una función inversa es + * ciones para comprender y aplicar mejor este tipo de funciones. Para concluir esta parte, realicen la siguiente actividad en equipos.
> [ De acuerdo a las tablas de valores dadas y a las funciones que las generaron, encuentren las funciones respectivas de tal manera que las tablas se inviertan, como Z Y X a)
b)
54
f (x) =
f (x) =
2− x 3
g( x ) ? x
y
1
1
2
0
5
1
`
2
x
y
1
0
0
1
3
2
`
3
x + 1 g( x ) ?
Comenzaremos esta sección con las funciones inversas y posteriormente con las funciones especiales.
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
Desarrollo de saberes
Función inversa Es de utilidad recordar la composición de funciones y lo que cumplen las funciones '
+ ' > +
la siguiente actividad.
> ] En equipos, consideren las tres siguientes funciones: h, g y f, que son de diferente O
1
a
1
a
1
2
b
2
b
2
3
c
c
3
a b c 4
AO~Z>% ][ ]] ]k A '
La función h es inyectiva, pero no suprayectiva; la función g es suprayectiva, pero no inyectiva; y la función f es inyectiva y suprayectiva, es decir, biyectiva. Si ahora se intercambian el dominio y el contradominio e invertimos la regla de correspondencia de cada una de las funciones, entonces tendremos los siguientes tres diagramas respectivos, en donde vamos a denotar las relaciones obtenidas como h’, g’ y f’, respectivamente. 1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
c
1
a
2
b
3
c
4
AO~Z>% ]w ]{ ]^Z h’, g’ y f’, respectivamente.
&
' + " '
+ X 55
MIV
Después de haber realizado este encuadre con los dominios, contradominios, la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de las funciones podemos llegar a la conclusión de que, para garantizar que al intercambiar el dominio y contradominio de una función, así como la regla de correspondencia y podamos generar así otra relación que sea también una función, se ha de considerar que la ' & ' Y Si una función f : X Y es biyectiva en su dominio entonces tiene 1 una función inversa única que se representa con el símbolo f
Recuerda que
f =
{( x , y ) x ∈ X }
y que
y f (x) .
"
−1 f : X Y es biyectiva, entonces la función f : Y → X es la función inversa de f , donde f −1 = ( y , x ) x ∈ X .
{
}
Toman '
acuerdo a la composición de funciones. Si una función f : X Y es biyectiva en su dominio y se tiene una función f −1 : Y → X , entonces f 1 es la función inversa de f si y sólo si
( fof ) ( x ) = x , para elementos del dominio de f −1
Debido a que la función es biyectiva, la función inversa
f 1 también será biyectiva.
1
( ) ( x ) = x , para ele-
1 y f of
mentos del dominio de f
Consideremos primero de forma analítica cuándo dos funciones son inversas una de la otra. Observa los siguientes ejemplos. Ejemplo 1: Considera cada una de las parejas de funciones y determina si son inversas una de la otra mediante las composiciones fog y gof . a)
f ( x ) = 2 x + 3; g( x ) =
b)
_0 f ( x ) = x 2 ; g( x ) = x , >
x −3 2
Solución: De aquí en adelante, cuando tratemos de la biyectividad, se comprenderá el dominio de la función respectiva
Determinemos las funciones fog y gof para cada una de las parejas: a)
( fog )( x ) = f ( x 2−3 ) = 2 ( x2−3 ) + 3 = ( x − 3) + 3 = x ( gof )( x ) = g ( 2 x + 3) = (
b)
( fog )( x ) = f (
2
) ( x) = x ( gof )( x ) = g ( x ) = ( x ) = x 2
x = 2
56
2 x + 3 ) −3
2
=
2x 2
=x
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
&
de funciones son inversas una de la otra. Se puede representar a g como f 1 . Una vez que se demuestra que una función tiene inversa, entonces se determina la forma analítica que tendrá la inversa de una función cuando se da una de ellas. El proceso se puede resumir en los siguientes pasos: 1)
Intercambiar f(x) por y, pues y = f ( x )
2)
Despejar la variable x de la ecuación
3)
Intercambiar las literales x por las y y viceversa
4)
−1 Realizar el último cambio de variable y = f ( x )
Ejemplo 2: Obtener de forma analítica la regla de correspondencia de las funciones inversas para cada una de las funciones en los incisos. a)
f ( x ) = 3x − 4
b)
h( x ) =
4 −5 x x
;x ≠ 0
Solución: Realizaremos cada uno de los pasos anteriores en los incisos: 1)
Intercambiar f(x) por y, pues y f ( x ) , es decir, se tendrá y = 3 x − 4 .
2)
Despejar la variable x de la ecuación: y + 4 = 3x y +4 3
3)
4)
=x
Intercambiar las literales x por las y y viceversa, de donde resulta que x +4 =y 3 . −1 Realizar el último cambio de variable y = f ( x ) , con lo que −1 4 x + es decir, la inversa de f ( x ) es f ( x ) = 3 .
(
x +4 3
= f −1 ( x ) ,
Queda como ejercicio comprobar que las composiciones fof −1
(
−1
y f of c)
)( x ) = x .
)( x ) = x
> ' &* zamos con: y=
4 −5 x x
, por lo cual sigue que
yx = 4 − 5 x , despejando x yx + 5 x = 4 , x ( y + 5) = 4 , con término común y luego 57
MIV
x=
4 y +5
y=
4 x +5
−1
,
,
h (x) =
4 x +5
; x ≠5
Como en este caso la función original era h( x ) , entonces encontramos 1
h ( x ) . Es importante recalcar que tanto en la función original como en la inversa se dan los valores de x no admitidos, lo cual indica el dominio de la función en cuestión. Completando el análisis de las funciones inversas consideramos su forma ! ' f ( x ) = 3 x − 1 > * ' Primero. Obtenemos una tabla de valores para representar algunos puntos de la función y trazarla. Por ejemplo, la tabla siguiente contiene valores negativos y positivos, ya que es biyectiva en R (todos los números reales). Z Y x
y
« k
« [}
« ]
« _
« [
« w
0
« [
1
2
2
5 6
y
4
y = 3x − 1 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
-2
-4
-6
-8
-10
AO~Z> ]_ Z ' f ( x )
58
= 2x − 3 .
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
Segundo. Representamos una línea punteada que pase por el primer y cuarto cuadrante, que pase por el origen y tenga una inclinación de 45%. Esta rec ' >
de estas dos funciones queda de esta manera: y 6
y = 3x − 1
4 identidad
2
x -12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
-2 -4 -6 -8 -10
AO~Z> ]` A f ( x ) e identidad.
Tercero. | + '
tomando como eje de simetría a la recta identidad que ya hemos trazado. Esto lo
' '
'* >
inversa, es decir, puntos como los siguientes: (10,3), ( . Lógicamente estos puntos serán de utilidad si previamente tenemos una tabla de valores '
' ' !
nuestro caso representaremos algunos, como se indica a continuación: 6
y
y = 3x − 1 identidad
4 2
x -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2 3 4
5 6 7
8
-2 -4 -6 -8 -10
AO~Z> ]\ +
59
MIV
1
' f será la que resulte de
> + * ' f ( x ) = 2 x − 3 . Como ya se ha indicado, podemos dar con la función inversa de forma analítica y obtener f −1 ( x ) =
x +1 3
.
> + 8
6
y
y = x −1
identidad
4
y = x+1 3
2
x -12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
-2
-4
-6
-8
-10
AO~Z> ][} Z f , f 1 y la identidad.
> * cimientos, habilidades y actitudes.
> k Reúnanse en equipos de tres integrantes y mediante colaboración activa y una '
a través de tablas o puntos simétricos. a)
f (x) =
x +3 4
b) 5
y
4 3 2 1 x -2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2
60
AO~Z> ][[
6
7
8
9
10
Matemáticas IV
BII
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Comparen sus respuestas con las de los demás equipos para observar posibles diferencias, al tiempo que uno o dos integrantes del equipo explican los
Una vez que se analizaron las funciones inversas podemos considerar otros tipos de funciones, que por su simplicidad, utilidad y que al combinarlas generan funciones más elaboradas, se han considerado como las funciones especiales.
Funciones especiales > mo parte de la familia de las funciones especiales a la:
Función constante
Función identidad o idéntica
Función valor absoluto
Función escalonada
Función constante Representemos una función f : R R , de forma que f ( x ) c , donx , c R de . Es decir, las variables x pueden ser cualesquiera en los reales
c , también tomado del conjunto de números reales. Esta función se llama función constante.
{
}
Mediante conjuntos, la función se representa por f = ( x , y ) y = c ; x , c ∈ R . Ejemplo 3: En el caso de que el valor de c 2 , entonces una tabla de
án: y
x
y
2
2
1
2
0
2
1
2
4 3
y= 2 2 1
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
> W*
'
de que:
-2 AO~Z> ][] ~ ' f ( x )
No es biyectiva
Su dominio D son todos los reales, es decir D R
Su contradominio es R y su rango {c}
2.
61
MIV
Función identidad > ' ' * '
Sea f : R R , tal que f ( x ) = x , x ∈ R De otra forma se representa por f = ( x , y ) y = x , x ∈ R . Esta es la función identidad o idéntica.
{
}
Construimos una tabla de valores para esta función: x
y
1
1
0
0
1
1
2
2
%
+ ? * tada pasará por el primer y cuarto cuadrantes, a la vez que tiene una inclinación de 45% respecto al eje X. y 3 2
f (x) = x
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 -2 -3 -4
AO~Z> ][k ~ ' f ( x )
x.
Respecto a sus propiedades resaltamos que:
62
Es biyectiva
Su dominio D son todos los reales, es decir D R
Su contradominio C son todos los reales, es decir C R
5
Matemáticas IV
BII
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
Función valor absoluto > '
representa por el símbolo x / x es de signo positivo se queda igual, si es negativo se le cambia de signo para que quede positivo. Por ejemplo, −5 = −( −5) = 5, 4 = 4 . El valor cero queda igual. Lo anterior se resume así: ⎧ x , si x > 0 ⎪ x = ⎨0, si x = 0 ⎪− x , si x < 0 ⎩
El valor absoluto de un número será positivo o cero, pero no negativo.
Utilizando este hecho entonces se describe la función valor absoluto.
{
a f : R R , tal que f ( x ) = x , x ∈ R . De otra forma se representa
}
por f = ( x , y ) y = x , x ∈ R . Esta es la función valor absoluto.
Para representar esta función tomamos otra tabulación con algunos valores negativos y positivos. x
y
y
2
2
1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
5
f (x ) = x 4 3 2 1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-1 -2
AO~Z> ][w Z '
f ( x )
x
.
Sus características son:
No es biyectiva
Su dominio D son todos los reales, es decir D R
Su contradominio es R y su rango C = R + {0} , donde R+ R x > 0}
63
MIV
Función escalonada Tomemos un ejemplo de la vida real para formar una función de tipo escalonado. Ejemplo 4: '+ [}
' >
después de la tercera y hasta un máximo de 12 horas (pues el ciber abre de 10:00 [}Y}} J w{ " Solución: Considerando a la variable t como la cantidad de horas, la variable y como el total a pagar de renta y a la función como f, podemos representar esto en una tabla tomando en cuenta los signos de desigualdad. t
y
0
el dominio de la inversa.
a.
f ( x ) = −4 x + 6
b.
g( x ) = 3 + 2 x 3
c.
h( x ) =
2x x −3
,x≠3
d. i( x ) = 4 − x , x ≤ 0 Z a. f (x)
y 8 6 4 2
x -4
-3
-2
-1
1
2
3
4
3.5
4
-2 -4 -6 -8
AO~Z> ][^
b. y 2
1
f (x) x
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-1
-2
-3
AO~Z> ][_
65
4)
MIV
Z a.
f (x) = x − 3
b.
g( x ) = x − 3
c.
h( x ) 3 x
d.
i( x ) x 3
Con base en las r * 5)
Cerca de tu escuela pondrán una fotocopiadora; por inauguración, los precios que ofrece son: Número de copias
Costo por copia
De 1 a 99
}k{
De 100 a 499
}k}
De 500 a 999
}]{
De 1000 en adelante
}]}
Con los datos de la tabla determina la función de la 6)
+ * net y para hacerlos llegar a sus clientes los envía por paquetería. Una compañía de envíos le ofrece sus servi Y {}}}
[ ¢ w}} ]}}
adicionales a un 1 kg, hasta un máximo de 15 kg. Con los
'
Síntesis Z * cimientos en las habilidades necesarias para la sesión. 1)
1 En cada inciso calcula de forma analítica la inversa f y compruébalo
(
)
(
)
al observar las composiciones fof − 1 = x y f −1of = x . a.
f (x) = 3 − 4x
b.
f ( x ) = 3x − 2
c.
f ( x ) = ( x + 2)3
d. e. 66
f (x) =
x +5 x −2
f (x) = − x2 − 9 , x ≥ 3
Matemáticas IV
2)
BII
Demuestra en cada inciso que la función f es su propia inversa. a.
3)
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
4 − x2 ,0 ≤ x ≤ 4
b.
f (x) =
x +6 x −1
c.
f (x) =
2 x +1 x −2
$ ' W
para que se resuelvan las posibles dudas a tu ejemplo. Si es necesario corríjanlo entre todos.
Sesión B. Transformaciones Criterios Del saber
& '
situaciones prácticas.
>
#
o sobre la recta y x '
Del saber hacer
# * minar su regla de correspondencia.
Z ' # '
para obtener nuevas funciones.
Del saber ser
Demuestro una actitud propositiva hacia la utilidad de las transformaciones en la solución de problemas teóricos o prácticos.
Considero los puntos de vista de mis compañeros y aporto los míos.
'
+
Problematización Hasta ahora se han abordado las funciones inversas y especiales, sin embargo, podemos seguir detallando las representaciones de las funciones; antes de entrar en forma a esta sesión vamos a realizar el siguiente ejemplo: >
+
le ha encargado colocar una cantidad considerable de letreros 67
MIV
con las diferentes direcciones y nombres de las calles y avenidas de la localidad. !
+
X >
le añade que cada uno de esos letreros debe llevar el logotipo del ayuntamiento. > +
'
ayuden. Considerando que el logotipo del ayuntamiento es el mismo en forma y W + +
Discútelo con tus compañeros en equipos de tres y posteriormente en plenaria.
Desarrollo de saberes Te preguntarás qué tiene que ver el ejemplo anterior con las funciones. Posible X W
+ * lice un molde con la imagen del logotipo del ayuntamiento y, así, con un simple
en lugar de dibujar lo mismo en cada uno de los letreros correspondientes. Esta ' ' /
ello se te sugiere la siguiente situación. Situación. % ' ' y f ( x ) 2 x quedará como sigue: y 2 1.5
y = f (x) = 2x 1 0.5
x -2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
-0.5 -1 -1.5 -2
AO~Z> ][` A
y 2x .
>
las representaciones de las funciones y ' = 2 x + 1, y '' = 2 x − 1, y ''' = 2( x − 1) . Discutan lo que ocurre. Podrán notar que en este caso se tienen las siguientes funciones: y ' = 2 x + 1 = f ( x ) + 1, y '' = 2 x − 1 = f ( x ) − 1, y ''' = f ( x − 1), donde f ( x ) 2 x es la función que dimos originalmente. Discutan a qué conducen estas pautas.
68
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
Después de analizar los comportamientos de la función f ( x ) 2 x , representamos las funciones discutidas anteriormente para su análisis. y 2
2x + 1 1.5
2x
1
2x −1
0.5
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
2(x −1) 0.5
1
1.5
x 2
2.5
-0.5 -1 -1.5
AO~Z> ][\ ~ 2 x
+ 1, 2 x − 1 y 2( x − 1) .
Notamos funciones similares (las paralelas) a la función inicial f ( x ) 2 x , es decir, las funciones 2 x + 1, 2 x − 1 y 2( x − 1) son idénticas en forma a la inicial, salvo que están trasladadas horizontalmente o verticalmente. Es como si copiáramos f ( x ) 2 x y la pegáramos a distancias de una unidad vertical u horizontalmente. Es decir, 2 x $ 1 se mueve hacia arriba una unidad, 2 x 1 una unidad hacia abajo y 2( x 1) una unidad a la derecha. Todo considerando como función inicial a f ( x ) 2 x |
+
'
> f ( x ) 2 x . De aquí se deduce que existen diferentes tipos de transformaciones grá Y
Para este punto consideramos una función de la que ya se conocen sus y f ( x ) , la cual jugará el papel de función base.
Traslaciones Tomemos un valor constante, real y positivo. Denotémosle por c , y sea y f ( x ) ' * tonces: 1)
y = f ( x ) + c ! f ( x ) hacia " c unidades.
2)
y = f ( x ) − c ! f ( x ) ha "#$c unidades. 69
MIV
3)
y = f ( x + c ) %$ &$ ! f ( x ) hacia &' c unidades.
4)
y = f ( x − c ) %$ &$ ! f ( x ) hacia %c unidades. ! Y 10
y
8 y = f (x) + c
6
4 y = f (x + c)
y = f (x)
y = f (x − c)
2
x -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
y = f (x) − c
-2
AO~Z> ]]} Z
f ( x )
.
Deduzcan el valor de c para cada traslación.
> Consideremos un valor c . 1 y y sea y f ( x ) una función cuya representación Y
70
1)
y cf ( x ) ( $ ! f ( x ) en un factor c.
2)
y f ( x ) c $( ! f ( x ) en un factor c.
3)
y f (cx ) $( %$ &$ ! f ( x ) en un factor c.
4)
y f ( x c ) ( $%$ &$ ! f ( x ) en un factor c.
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
Ejemplo 1: &
x para valores positivos de x > c 2 .
tomando como función base a y
y y=2 x
2
1.5
y= x
y = 2x
1
y=
x 2
y= x 2
0.5
x 0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
x.
2.2
-0.5
AO~Z> ]][ > '
! Y >
y 2 x
' c 2 , o sea el doble de alto. x La compresión vertical dada por y 2
' c 2 , o sea a la mitad de alto.
La compresión horizontal dada por y 2 x
' c 2 , o sea a la mitad de ancho. El alargamiento horizontal dado por y ' c 2 , o sea el doble de ancho.
x 2
*
Z# Sea y f ( x ) ' * tonces: 1) 2)
y = − f ( x ) ) * ! f ( x ) respecto al eje X. y = f ( − x ) ) * ! f ( x ) respecto al eje Y .
71
Ejemplo 2: Observa los siguientes esquemas utilizando la función base
MIV
y
x
. y 1.5 1
y= x
y= − x 0.5
x -1.2
-1
-0.8
-0.6 -0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
-0.5
y= − x -1 -1.5
AO~Z> ]]] Z# '
y
Como se observa aquí, la función base es y y = − x ; respecto al eje Y es y = − x .
x. x # X,
Z "
> w +
'
+
W
'
la siguiente serie de ejemplos. Ejemplo 3: Z '* ' '
a)
f ( x ) = −2 x + 4
b)
h( x ) = 2 x 2 + 4 x − 1 Solución:
c)
En el caso de f ( x ) , la función base será nuestra conocida función identidad y x . Lo que se indica a realizar es lo siguiente, siempre comen
d)
x # x respecto al eje X.
e)
2( − x ) = −2 x + ( $ ) * ,$ unidades.
f)
−2 x + 4 , % " ) * ( / to ya realizados. % Y
72
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
y 8
f (x) = x
6 4 2
x -8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-2
f (x) = −2x + 4
-4
(transformación)
-6 -8
AO~Z> ]]k f ( x )
a)
x y su transformación f ( x ) = −2 x + 4 .
! '
W ' h( x ) original veremos cómo queda. En primer lugar vamos a completar el trinomio cuadrado perfecto para obtener los siguiente:
(
)
(
)
(
)
2x 2 + 4 x − 1 = 2x 2 + 4 x + 2 − 2 − 1 = 2x 2 + 4 x + 2 − 1 − 2 = 2 x 2 + 2x + 1 − 3 = 2 ( x + 1) − 3 2
2 Entonces observamos que se trata de la función base y x .
Recuerda que esta función es una parábola con vértice en el origen que 2
' x serán:
( x $ 1)2 , una traslación horizontal de una unidad a la izquierda respecto a x2
2( x $ 1)2 , un alargamiento vertical de ( x + 1 ) en un factor de 2 unidades 2
2( x + 1)2 − 3 , una traslación vertical de 3 unidades debajo de la traslación y alargamientos ya realizados previamente. Observémoslo en el siguiente bosquejo. y 8 6
h(x) = x2 4 2
h(x) = 2x2 + 4x −1
x -6
-4
-2
2
4
6
-2 -4 -6
AO~Z> ]]w h( x )
2 x 2 h( x ) = 2 x + 4 x − 1 .
Con esta parte terminamos las indicaciones y conocimientos requeridos para generar las competencias exigidas en el bloque; para este propósito se ha dispuesto una serie de situaciones para que las resuelvas. 73
MIV
Síntesis De acuerdo con la base indicada para los incisos siguientes representa la transfor 1)
2)
3)
Base y x 2 a.
f ( x ) = ( x + 2)2
b.
g( x ) = − ( x − 1 )
5)
h( x ) = x 2 − 4
d.
i( x ) = − x 2 − 1
2
Base y
x
a.
f (x) =
x +3
c.
h( x ) = − x − 2
b.
g( x ) = x − 2
d.
i( x ) = −2 x
Base y x a.
4)
c.
f (x) = x − 1
b. g( x ) = x + 2
c. h( x ) = − x
3 Tomando como base la función y x , realiza las siguientes traslacio Y
a.
f ( x ) = x3 − 3
c.
g( x ) = −( x + 2)3
b.
g( x ) = −( x + 2)3
d.
h( x ) = 2 − ( x − 1)3
1
1 1
Si f es inversa de f , entonces qué es ( f ) . Discútelo con tus comW
> Responde el examen diagnóstico dado al inicio del bloque y ubícate en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado. Me encuentro en este nivel Pre-formal
Inicial
Básico
>
Estratégico
Realimentación >
hacia las competencias por desarrollar en este bloque. I.
74
Determina la respuesta o respuestas correctas a cada una de las siguientes cuestiones, subrayando la que resulte correcta.
Matemáticas IV
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
& ' a.
f ( x ) = 2 x + 3; g( x ) = ( x − 3) 2
b.
f ( x ) = 4 − 5 x ; g( x ) = ( x − 4 ) 5
Si f ( x ) =
x x −1
c.
f (x) =
3
x −1 x
x 2 − 3 ; g( x ) =
x3 + 3
, entonces la inversa es:
a.
g( x ) =
−x x −1
c.
h( x ) =
b.
k( x ) =
1+ x −x
d.
i( x ) =
−x 1− x
Considerando la función base y x , la función f ( x ) = 2 x − 6 representa, en orden: a.
un alargamiento vertical y traslación horizontal
b.
un alargamiento vertical y una traslación vertical
c.
un alargamiento horizontal y una traslación vertical 3
Considerando la función base y x , la función f ( x ) = −( x − 3) − 3 representa, en orden: a. # Y y una traslación vertical 3
b.
# X y una traslación vertical
c.
# Y y una traslación vertical
La inversa de f ( x ) = a.
g( x ) = x 2 + 3
b.
h( x ) =
x 2 + 9 es:
x2 − 9
c.
i( x ) = −(9 − x 2 )
d.
k( x ) = − 9 + x 2
Obtén la función inversa f 1 de cada una de las siguientes funciones: a.
f ( x ) 3x
b.
f ( x ) = −(2 − x ) x
c.
f (x) =
x +2 2 x −3 3
7)
2 d. f ( x ) = 3 − 2 x Con las inversas obtenidas en el ejercicio anterior comprueba utilizando composición de funciones que las funciones obtenidas son realmente las inversas de las funciones respectivas.
75
MIV
Evaluación de las competencias Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Conocimientos
Nivel de logro o desempeño 5
3
&
las funciones inversas, sus
y las ubico en los ejes coordenados.
Conozco las
funciones inversa y sus interpretaciones
Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen y reconozco otras aplicaciones opcionales.
Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen.
Reconozco todas las funciones especiales vistas y señalo su importancia en las transformaciones.
Habilidades
Utilizo siempre la terminología exacta en las '
en el software.
En ocasiones utilizo la terminología exacta en las transformaciones software.
$
el software, contienen elementos distintivos y originales.
$
el software, contienen los elementos básicos.
Represento de forma
solicitadas, al tiempo que puedo realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor visualización. Puedo representar e imprimir en presencia de
o transformaciones que indique y respondo de manera correcta y aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.
76
Reconozco algunas de las funciones especiales vistas.
Represento de forma
solicitadas. Puedo representar o imprimir en presencia de mi
transformaciones que indique y respondo de manera correcta y aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.
1
&
de las funciones inversas, pero no sus
ni las ubico en los ejes coordenados. Describo el funcionamiento básico del software. Reconozco algunas de las funciones especiales. No utilizo la terminología exacta en las '
en el software.
No puedo realizar mis software sin la ayuda de alguien. No represento de forma
solicitadas ni puedo realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor visualización. Puedo representar o imprimir en presencia de
o transformaciones que indique, pero no respondo de manera correcta ni aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.
Matemáticas IV
Aplicas funciones especiales y transformaciones de gráficas
BII
Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
Tengo un alto compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto, de forma que colaboro con él en todo momento. Prevengo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo acertadamente, oportunamente y con tacto. >
Puntaje
Mantengo una actitud positiva en todo momento del trabajo, además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje digno en todo tiempo.
3
Tengo compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto, de forma que colaboro la mayoría del tiempo con él. Observo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo en ocasiones con lenguaje impropio. Mantengo una actitud positiva del trabajo, además de que ocasionalmente expreso mis ideas y aportaciones.
Demuestro interés en el manejo del software, dando otras posibles interpretaciones del mismo.
Ocasionalmente demuestro interés en el manejo del programa.
15
9
1
Tengo muy poco compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto, de manera que no colaboro con él. No prevengo errores que mi equipo pueda generar. Mantengo una actitud negativa durante el trabajo y no expreso ideas ni aportaciones. No demuestro interés alguno en el manejo del programa.
3
77
MIV
Conocimientos
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
O '
inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la componen, además de señalar algunas de sus características.
O '
inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la componen.
O
mayoría de las veces la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la componen.
O
ocasionalmente la función inversa de acuerdo a su dominio, rango y variables que la componen.
Habilidades
Producto, logro o desempeño
Puntaje
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
Obtengo siempre la función inversa '
analítica de acuerdo a los dominios y rangos asignados de funciones complejas.
Obtengo la mayoría de las veces la función inversa de forma
de acuerdo a los dominios y rangos asignados de funciones complejas.
Obtengo en ocasiones la función inversa de forma
de acuerdo a los dominios y rangos asignados de funciones complejas.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones inversas y especiales para comprender su utilidad en diferentes áreas, además de señalar cuáles son.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones inversas y especiales para comprender su utilidad en diferentes áreas.
Z
las transformaciones #
a funciones para obtener nuevas funciones.
Realizo las transformaciones #
a funciones para obtener nuevas funciones.
Considero la importancia de las funciones inversas y especiales en la solución de ejercicios y explico por qué.
Considero la importancia de las funciones inversas y especiales en la solución de ejercicios.
Considero la importancia de las funciones inversas o especiales en la solución de ejercicios.
>
la utilidad de las transformaciones
solución de situaciones reales.
>
ocasiones la utilidad de las transformaciones
solución de situaciones reales.
>
la utilidad de las transformaciones
solución de situaciones reales.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones inversas o especiales para comprender su utilidad en diferentes áreas. Realizo las transformaciones #
a funciones para obtener nuevas funciones.
Demuestro siempre respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y aporto ideas.
Demuestro siempre respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable.
Demuestro en la mayoría de las ocasiones respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable.
15
12
9
Obtengo en ocasiones la función inversa de forma
de acuerdo a los dominios y rangos asignados de funciones complejas. Resuelvo pocas veces problemas aplicativos a las funciones inversas o especiales para comprender su utilidad en diferentes áreas. Realizo, solo en ocasiones, las transformaciones #
a funciones para obtener nuevas funciones.
Considero la importancia de las funciones inversas o especiales en general. >
la utilidad de las transformaciones Demuestro pocas veces respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable.
^
No obtengo la función inversa '
o analítica de acuerdo a los dominios y rangos asignados de funciones complejas. No resuelvo problemas aplicativos a las funciones inversas o especiales. No realizo ni
transformaciones #
aplicadas a funciones para obtener nuevas funciones. No logro considerar la importancia de las funciones inversas ni especiales en la solución de ejercicios. No aprecio en ningún momento la utilidad de las transformaciones
solución de situaciones reales. No demuestro respeto hacia las ideas de mis compañeros ni aporto ideas.
3 79
Bloque III
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos Objetos de aprendizaje
Modelo general de las funciones polinomiales
Forma polinomial de funciones de grados: cero uno y dos
Z ' Y
Características de las funciones polinomiales de grados: cero, uno y dos
Parámetros de las funciones de grados: cero, uno y dos..
Desempeños del estudiante Compara el modelo general de las funciones polinomiales con los de funciones particulares y/o determina si corresponden a dicha clase de funciones. O ' '
Determina si la situación corresponde a un modelo de grados cero, uno y dos, empleando criterios de comportamiento de datos en tablas, des
observadas. Emplea los modelos lineales y cuadráticos para describir situaciones teóricas o prácticas que implican o no, razones de crecimiento o decrecimiento constante que se asocien con el modelo. Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. ` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ^ & * tudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. _ ! ' ' * meno, y argumenta su pertinencia. ` O *
MIV
Dinamización y motivación En esta sección se abordan ejercicios que te servirán para medir tus conocimientos y saber en qué nivel te encuentras. Responde cada uno de los siguientes ejercicios, realizando en su caso las operaciones necesarias. Los puntajes son solo para referencia. 1)
O K}]
c/u)
f (x) 2
_____________________
f ( x ) = 2x 2 + 4 x
_____________________
f ( x ) = 3x − 5 7
_____________________
2 y + 3x = 7
_____________________
−a 2 + y = 4 a + 4
_____________________
2)
Para la ecuación 3 x + 2 y − 10 = 0
al origen. Grafícala. (2 pts.)
3)
Para la función f ( x ) = x 2 + 2 x − 15
' ~' K] J
4)
! k^ ¢ +
pesan 44.5 kg. Expresa la función lineal del peso con la edad en meses. & W % ^} ¢ + W * K]{ J
5)
Una persona desea realizar un canal de desagüe para la lluvia y cuenta con una lámina de forma rectangular. Si el ancho de la lámina es de 1
K]{ J 1m
x
x
Importante: tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y explicará ' + ¹
Proyecto
las funciones lineales como modelo de un caso de la vida real. Solo nos resta decirte ¡adelante! Proyecto
Modelaje matemático con funciones lineales
Problema
Obtener modelos lineales de situaciones comunes
Duración
Una semana
Puntuación
15 puntos
Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen.
O '
funciones polinomiales.
Competencias
84
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
En equipos (si es posible del mismo sexo) diseñados por el profesor, los cuales w ^
establecido.
Construyan tablas de valores de dos variables. Los nombres de las variables las decidirán ustedes en el transcurso del proyecto.
En la primera tabla de valores, que se denominará Peso-Talla, realizarán lo siguiente. Entre todos los integrantes del equipo obtengan el peso en kg >
en la columna de la izquierda y nombren a esa columna con la variable que deseen (p de peso, por ejemplo). De igual manera, obtengan la altura en cm de cada uno de ustedes y coloquen esa medida a su peso respectivo en la columna de la derecha, nombrándola con la variable deseada. Obtendrán
alturas de cada uno.
De forma parecida, en una segunda tabla que llamarán Pie-Fémur anoten en la columna izquierda las longitudes de las plantas de sus pies derechos y en la columna derecha las longitudes de sus fémures. Esto lo pueden hacer desde el inicio de la cadera hasta la parte media de la rodilla.
~
Para cada tabla de datos encuentren la mejor relación lineal que se ajuste a ellos. Es decir, hallen la ecuación lineal que contenga a la mayoría de ellos.
Z ' * tos anteriores.
*| Y +
[_` ¯+ `} ¢
Para la ecuación de la tabla Pie-Fémur, respondan: una persona con una ]` + '+ &
'+ {}
> * fesor les pedirá que realicen algunos cálculos como los anteriores, con base en sus modelos lineales.
>
Recursos
Libro de texto, báscula, cinta métrica, hojas en blanco, libros de consulta en la biblioteca.
Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte o no se entreguen los documentos que avalen sus operaciones o los que solicite tu docente, él resolverá la situación de acuerdo a su criterio. Normas
El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.
85
MIV
% >Y A
polinomiales. La función lineal Saberes Del saber
& '
Describo las características algebraicas de las funciones polinomiales
Del saber hacer
" ' *
> +
y/o reales en diferentes áreas.
Del saber ser
>
W
' #
Muestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Valoro las utilidades de los modelos lineales en diversos problemas prácticos.
Problematización En muchos aspectos de nuestras vidas hemos tenido o estado presentes en situaciones que se pueden comprender matemáticamente con funciones, en particular con funciones lineales, por ejemplo los días de la semana y la hora de entrar a clases. Los días se pueden entender en función de la hora de entrada a clases, teniendo _ W
' >
función lineal. Teniendo esto en cuenta, ¡comenzamos! Una vez concluidas las aplicaciones para las funciones inversas y las ' * so. En este caso las funciones polinomiales. > $ O
º '/
embargo aquí abordaremos las funciones polinómicas, es decir, cada polinomio de 86
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
una variable puede dar origen a una función polinómica que contenga a esa misma variable. Por ejemplo, el siguiente polinomio de una variable f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 5 pue ' K
adelante) de la forma f ( x ) = 3 x 2 − 2 x + 5 o y = 3 x 2 − 2 x + 5 . Z +
' >
' ' * cas. Esto es precisamente lo que abarcará este bloque, a saber, la representación de las funciones polinomiales y sus aplicaciones en diferentes disciplinas. Para entrar en sintonía sobre las aplicaciones de las funciones polinómicas, consideraremos la actividad de la siguiente sección.
> d de aprendizaje 1 Comenta y detalla la siguiente situación: Una empresa de taxis aplica sus tarifas de la siguiente manera: al subir al taxi el usuario ya debe por el “ban ] '
/ { [} * [} [` % '
con estos datos, responde lo siguiente: a)
& [{
b)
% kw
Tras discutir sus opiniones con su profesor, lleguen a un consenso sobre las posibles soluciones y las argumentaciones que destaque el profe
aplicativos. Una vez adentrados en los contenidos aplicativos que se verán en esta sesión, solo resta recalcar que necesitamos los conceptos básicos antes >
#
sesión. > W '
'
Desarrollo de saberes
Las funciones polinomiales. Elementos Damos inicialmente un recordatorio sobre la conformación de un polinomio de grado n. La expresión de una variable de la forma an x n + an −1 x n −1 + an −2 x n −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 x 2 + a1 x + a0 , 87
MIV
donde an , an −1 , an −2 , ⋅ ⋅ ⋅, a2 , a1 , a0 son números reales y an 0, representa un polinomio de grado n. El grado del polinomio es determinado por la potencia mayor de la variable en cuestión. En este caso es n. Una función polinomial de grado n se conforma por f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + an −2 x n −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 x 2 + a1 x + a0 ,
donde n es un número que cumple que n ∈ ∪ {0} y an 0 . El término an + + a0 es el término independiente. El dominio consta de todos los números reales o R.
Cuando tenemos que f ( x ) 0 es una función polinomial de grado n. Todo aquel valor x0 que satisface a la ecuación f ( x ) 0 , se llama raíz, cero o solución de la ecuación. Si tomamos diferentes potencias n ' * mial, entonces podemos obtener diferentes caracterizaciones de funciones polinomiales; por ejemplo, consideremos los valores de n = 0, 1 y 2, de donde la forma general de la función polinomial quedará: N
f (x)
f (x)
Función
0
a0
c
Constante
1
a1 x $ a0
mx $ b
Lineal
2
a2 x 2 $ a1 x $ a0
ax 2 $ bx $ c
Cuadrática
Cabe señalar que las funciones se han colocado como quedarían las respectivas funciones polinomiales, y a la derecha se han colocado las representaciones más utilizadas para cada una de ellas, aunque ambas son equivalentes en cada caso, así como sus respectivos nombres. En esta primera sesión estudiaremos la función constante y lineal, aunque con mayor profundidad la función lineal. De esta tabla se desprende que las funciones constante, lineal y cuadrática son casos especiales de la función polinomial. Obviamente se obtendrán más tipos de funciones polinomiales de grado mayor a 2, cuando n . 2 , pero estos casos se estudiarán en los bloques subsecuentes.
88
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Función constante y función lineal La función constante (cuando n = 0) ya ha sido tratada en el bloque 2, aquí sólo recordaremos sus características principales. La función constante es de la forma f ( x ) c , donde c es un valor constante y c , x R . Su rango es el único valor c . Esta función no es inyectiva ni suprayectiva. Z ' * zontal que corta al eje Y en el valor de c . Pasemos a la segunda función en cuestión, cuando n [ 0 , $ ( $ ,$( f ( x ) = mx + b donde m , b , x R y m, b $ $ 1 $ R . Esta función es biyectiva.
Cuando se analizaron las ecuaciones de la recta en el curso de Matemáticas III se distinguió que la ecuación general de la recta Ax + By + C = 0 se podría transcribir a la forma ordenada al origen (si B 0 ), la cual adquiría la forma y = − BA x − CB o mejor conocida como y = mx + b . Relacionando esto se compren '
>
m representa el valor de la pendiente o razón de cambio de ' !
b representa la ordenada al origen, es decir, la ordenada del punto de intersección Y.
Consideremos la función lineal f ( x ) = 3 x + 2 . Notamos que en este caso m 3 y que b 2 > $ OOO
m tan , es decir, la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la 3 tan , por lo que tan−1 3 = , de donde = 60° &
función lineal tocará al eje Y en y ] ^}¥ ? * Y
Recuerda que cuando m > 0 la recta está inclinada a la derecha, es decir, es creciente; cuando m }
es constante, y si m < 0 la recta está inclinada a la derecha, es decir, es decreciente.
( )
89
y
MIV
8
f(x) = 3x + 2
6
4
2
x
θ=60° -8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-2
-4
-6
FIGURA 3.1 ~ ' f ( x )
= 3x + 2 .
> ' Es importante comentar que: La función constante con c 0 no tiene raíces o ceros, es decir, no toca al eje X en ningún momento. La función lineal, donde m 0 tiene como grado uno (n [J
variable, indica que tendrá una raíz o cero. Es decir, su intersección con el eje X es en un solo punto.
> ' $
lineales
Seguramente en cursos de Física habrás escuchado o utilizado las escalas de temperatura de los grados Celsius y Fahrenheit. Con ellas se pueden cambiar las mediciones de temperatura entre unidades, por ejemplo, 100°C equivalen a 212°F. Z '
+
complicado, pero fíjate en el proceso y descubrirás todo lo contrario. Tenemos los ' > ¸
por esas fórmulas! 90
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Ejemplo 1: Deduce las fórmulas que relacionan las escalas de grados Celsius y Fahrenheit, sabiendo que están relacionadas linealmente y tomando como datos que el agua se congela a 0°C o a 32°F; además hierve a 100°C o a 212°F. Solución: Con los datos recabados podemos utilizar los valores de los puntos de congelación y de ebullición del agua, de manera que las relacionaremos como coordenadas del tipo (c, f), en donde c son valores de °C y f de °F. Llamemos C a la coordenada del punto de congelación y E al de ebullición. Estas coordenadas serán C(0, 32) y E(100, 212). Tomando en cuenta que la relación entre las temperaturas es lineal, podremos encontrar, en primer lugar, la razón de cambio o pendiente entre las coordenadas C y E. Esta se encontrará al utilizar la fórmula de pendiente dados dos puntos, a saber: m = tan =
y 2 − y1 x2 − x1
Sólo que en nuestro caso son coordenadas del tipo (c, f). Usando esta relación tenemos: m=
212 −32 100 −0
=
180 100
=
9 5
Una vez obtenida la razón de cambio procedemos a determinar la relación lineal y, cómo una ecuación puede generar una función, si calculamos la ecuación de la recta de los puntos C y E entonces podremos determinar la función > ' * pendiente, es decir:
y − y1 = m( x − x1 ) En este caso utilizaremos el punto C. Sustituyendo los valores en la fórmula: f − 32 =
9 5
(c − 0)
f − 32 = 59 c f = 59 c + 32 5 Si despejamos la variable c de esta ecuación tendremos c = 9 ( f − 32 ) . Si colocamos variables con letras mayúsculas entonces obtendremos las fórmulas que se analizan en Física para convertir de °C a °F o viceversa:
°F = 59 °C + 32 °C =
5 9
( °F − 32)
? %
'
91
MIV
Cabe recalcar que este método sólo es funcional cuando los datos tienen un comportamiento lineal; por ello, es necesario distinguir esto en nuestros problemas, ya que de otro modo nuestras soluciones no serán las correctas o carecerán de sentido. Esta es una de las aplicaciones que tiene la función lineal, pero no sólo se aplica en las Matemáticas o en la Física, sino también en otros aspectos de nuestra vida cotidiana. Para evidenciarlo vamos a considerar la actividad del inicio del blo >
Ejemplo 2: Determina una función lineal y responde a las preguntas de > [ '
lineal. Solución: Como los datos se comportan de manera lineal, podremos utilizar el método anterior, salvo que en este caso consideremos lo siguiente respecto a las variables:
La variable x representará el tiempo en minutos del uso del servicio de taxi.
La variable y
después de una cantidad x de minutos
Primero obtenemos la razón de cambio de los datos, los cuales serán dados en la forma (x, yJ ! >K} ]J =K{ [}J T
&K[} [`J
que el comportamiento es lineal. m=
10 −2 5 −0
=
8 5
y − 2 = 58 ( x − 0) y = 58 x + 2 o f (x) =
8 5
x +2
Esta última será la relación o función lineal que relaciona el tiempo de uso x con el costo de uso y W >
' > m 8 5 y b 2 .
92
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
y 16 14 12 10 8 6 4 2
x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
FIGURA 3.2 Representación de la función lineal del problema de la compañía de taxis.
Señalamos que no se representaron valores de x negativos puesto que generalmente no existen valores negativos para el tiempo (recuerda que x representa el tiempo en minutos). Respondamos las preguntas dadas. a)
& [{
b)
% kw Respondemos la primera. Dado que nos dan como dato x = 15, nos
falta hallar y. Este valor se sustituye en la relación y = 58 x + 2 , es decir, y = 58 (15) + 2 = 24 + 2 = 26 > ]^ [{
Recuerda que pode
utilizando la pendiente como razón de cambio. La b representa la ordenada al origen, es decir, la ordenada del punto de intersección de
eje Y.
Para responder la segunda pregunta hemos de calcular x, ya que nos dan y = kw >
x solicitado. Es decir, 34 = 5 x + 2 , de donde 34 − 2 = 5 x 8 (32) x , de donde x = ]} ! kw
20 minutos. 8
8
5
Con este ejemplo es necesario que ahora consideres una actividad en donde emplearás los métodos estudiados anteriormente.
> ] En parejas formadas por tu profesor, respondan las interrogantes que se generarán >
presión en libras por pulgada cuadrada y, a medida que se tiene una mayor profundidad en metros, mayor será la presión que resistirá su cuerpo. De esta manera, ha recabado los siguientes datos con base en su experiencia e instrumentos: al descender 10 m la presión es de 30 lb/pul2, y cuando desciende a una profundidad de 40 m tendrá una presión de 75 lb pul2 . Consideren las variables de la siguiente forma: x representa la profundidad en metros, y representa la presión en lb/pulg2. Con estas premisas, y considerando que los datos se comportan de forma lineal, obtengan: 93
MIV
a)
La razón de cambio obtenida por estas variables
b)
La función lineal generada con los datos
c)
La presión que tendrá un buzo al sumergirse a 55 m
d)
La profundidad a la que ha de sumergirse un buzo para experimentar una presión de 35 lb pul2
e)
? '
Cuando los datos se agrupan de forma que no se relacionan linealmente, se necesita realizar una aproximación que trate de ajustarlos en una recta, de ! +
realizar esto se conoce como correlación lineal, pero que no abarcaremos en esta obra.
> 3 > gunas situaciones que te servirán para practicar las ' * fesor y compañeros. 1)
Cierto modelo de automóvil tiene un tanque de gasolina con una capacidad de 50 litros. El rendimiento de este auto es de 20 km por litro de combustible. La compañía de autos sabe que la relación lineal entre la cantidad de combustible y que resta tras haber recorrido cierta distan1000 − x
cia x está dada por la función f ( x ) = 20 . Suponiendo que un auto de este modelo tiene su tanque lleno, obtén lo que se te pide en cada inciso:
2)
a.
& } {}
[}} {}} [}}} ¢
b.
Con las coordenadas obtenidas en el inciso anterior, representa la '
c.
Calcula el valor de m y b en la función.
d.
¯+
Una pizzería contrata a sus repartidores con un sueldo de acuerdo a la relación f ( x ) = 10 x + 100 , donde x representa los días trabajados desde [ _
3)
94
a.
Determina el pago que tendrá un repartidor si trabaja durante 1, ] kw { ^ _
b.
Z
c.
> ' + '
o decreciente.
Una empresa que vende bicicletas tiene 500 en existencia al iniciar el %
[^ '
lineal que determine la cantidad de bicicletas que hay en existencia en cualquier día x K& k} J &
&
Matemáticas IV
4)
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
En una industria de zapatos el costo total C(x) para producir un número determinado x de zapatos se calcula mediante la función C ( x ) = 75 x + 20000 . Determina:
5)
a.
El costo de realizar 5000 zapatos.
b.
&
c.
&
? ¼ W
al precio de venta, en miles de dólares, de una serie de 3 máquinas excavadoras. Antigüedad x
Precio y
10
30
5
43
2
55
a.
Encuentra la razón de cambio de los datos.
b.
Calcula la función lineal que determine el precio de la máquina en función de su antigüedad.
c.
% ¼ W
d.
%
k` + ¼
Síntesis 1)
Determina la función lineal que pasa por los puntos (2, 2) y ( 3, 4 ) .
2)
Si f ( x ) = 2 x + 3 , obtén el resultado de
3)
Dada la ecuación lineal 3 y − 4 x + 9 = 0 , determina:
f (1 )− f
( 12 )
f (0)
.
Su pendiente y ordenada al origen. Expresa la ecuación lineal como una función lineal y grafícala para el
4)
intervalo ⎡⎣ −1, 2⎤⎦ . & '
95
7
MIV
6
5
4
3
2
1
− 0.5
5)
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
? ' '
en cada caso obtén la razón de cambio y las ecuaciones respectivas. a. b. c. d. e.
(3, 0 ) , (1, 9 ) ( 6,1) , ( −1, −2) ( 2 3, 4 ) , (5, −7 ) ( 0, 2 7 ) , ( −3 5, 4 11) ( 2, −2) , (5, −5)
6)
Z
en el ejercicio anterior.
7)
Describe los elementos m y b de cada ecuación obtenida en el ejercicio 5.
8)
En cierta población la temperatura ambiente al nivel del mar es de ]\¥& } ` ¢
3 se obtiene mediante la función lineal T (a ) = 29 − 100 a , donde a es la altitud dada en metros y T está dada en °C.
9)
a.
Calcula la temperatura del aire para esa población a una altura de 3 km.
b.
Determina la altitud para encontrar una temperatura de 25°C.
c.
! '
El costo de construcción de un apartamento, según una compañía constructora, depende de la cantidad de metros cuadrados por construir. Si el costo está dado por C en pesos y la cantidad de metros cuadrados es x, entonces la relación lineal es: C ( x ) = 400 x + 25000 .
96
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
a.
Calcula el costo de construcción de un apartamento que tendrá k_}} 2.
b.
% [`}}{}}
*
BIII
10) Una tienda tiene los siguientes gastos anuales en mantenimiento, sueldos y otros varios en miles de pesos. Año
2006
2007
2008
Gastos (miles de pesos)
90
135
[`}
a.
Encuentra la razón de cambio de los datos.
b.
Calcula la función lineal que determina el gasto en función del tiempo (años).
c.
& ]}[[
d.
! + W k^}
11) ! >
población de 3 millones, y a los 4 meses hay 9 millones de bacterias. En una población B de bacterias a los cero meses hay 9 millones y al primer _ % * miento lineal: a.
Con base en los datos que se proporcionan determina la función lineal del total de la población en función del tiempo (meses) >
b.
& > +
`
c.
> > [] *
d.
Con base en los datos que se proporcionan determina la función lineal del total de la población en función del tiempo (meses) para la población B.
e.
& = +
k
f.
> =
g.
& ' > = * termina en qué mes las dos poblaciones son iguales y cuál sería la cantidad de bacterias.
h.
Z
' > =
} w
i.
Z '
97
MIV
Sesión B: La función cuadrática Saberes Del saber
Describo las características algebraicas de las funciones polinomiales de
O ' *
Del saber hacer
Calculo las raíces de funciones cuadráticas.
> +* ticas y/o reales en diferentes áreas.
Encuentro los valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas y los aplico en situaciones de la vida cotidiana.
Del saber ser Valora las utilidades de los modelos cuadráticos en diversos problemas práticos.
Reconozco mis errores en la utilización de los modelos cuadráticos y muestro disposición para solucionarlos.
Muestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Problematización Como vimos en la sesión anterior, hay situaciones cotidianas que podemos comprender mediante funciones lineales. En esta sesión veremos problemas en los cuales se aplicarán modelos cuadráticos, por ejemplo, cuando lanzamos algún objeto podemos calcular la altura máxima del lanzamiento, o cuando juegas fútbol y pateas el balón por encima de tus compañeros. Si observamos a nuestro alrededor podemos encontrar que en muchas estructuras se construyen arcos o parábolas, por ejemplo, en los arcos del Palacio Municipal de tu >
bloque se te presentó una situación de un niño que suelta una piedra en un pozo; tu maestro, tus compañeros y tú dialogaron sobre unas preguntas y les dieron respuesta.
98
En esta sesión vamos a recordar las características de las ecuaciones cuadráticas, su relación con la función cuadrática, su vértice como valor máximo o mínimo, sus raíces, y su aplicación para resolver modelos cuadráticos.
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Desarrollo de saberes £ W ' >
analizar la función cuadrática, la cual tiene la expresión que sigue: La función cuadrática o de segundo grado es de la forma
f ( x ) = ax 2 + bx + c , donde a , b, c , x ∈ R , a ≠ 0 y a , b, c son constantes. Esta función no es inyectiva ni suprayectiva.
£ Z* cuerdas cómo resolver una ecuación de una incógnita de segundo grado de la forma
ax 2 + bx + c = 0 ¯ ' x=
− b ± b2 − 4 ac 2a
! ! '
grado que, como su nombre lo indica, es la relación que nos sirve para resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 Z ' '
& ?
para introducir de forma más contundente la sesión.
> w De forma individual, calcula las soluciones usando la fórmula general en cada una de las ecuaciones cuadráticas y represéntalas en los ejes coordenados. Es decir, calcula las raíces o ceros de las ecuaciones respectivas. a)
−2 x 2 + x + 3 = 0
b)
x2 + 4x + 4 = 0
c)
3x 2 + 2 x + 1 = 0
Recuerda tomar de forma correcta los valores de a, b y c en las ecuaciones para sustituirlas en la fórmula general.
Una vez que has concluido con esta serie de aplicaciones de la fórmula
simple hecho de saber cuáles son las raíces o dónde toca al eje X Z
' parábolas. > * rábolas verticales, que tienen sus ramas hacia abajo o abren hacia abajo, y las que > Y
99
10
MIV
y
8
6
4
Abre hacia arriba 2
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
-2
-4
-6
Abre hacia abajo -8
FIGURA 3.3. Parábolas verticales con ramas hacia abajo y hacia arriba.
"
&
+ Con estas preguntas guía nos encontramos en los terrenos de las funciones cuadráticas, sólo resta analizar algunos conceptos de importancia en el estudio de estas funciones.
Elementos y representación ' £
funciones cuadráticas en las ecuaciones: a)
- 2x 2 + x + 3 = 0
b)
x2 + 4x + 4 = 0
3x 2 + 2 x + 1 = 0 > '
soluciones: c)
x1 = 3 2 , x2 = −1
a) b)
x = −2
c)
No hay solución en los reales, pues se llega a tener la siguiente raíz
8
> X se indica que una ecuación cuadrática puede tener 2, 1 o 0 intersecciones en dicho eje. Tomando esto como funciones cuadráticas podemos concluir, como en el caso de las funciones constantes y lineales (n = 0 y n = 1, respectivamente), que:
100
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
En cuanto a la orientación de las parábolas que describirán las funciones cuadráticas, se ofrecen los siguientes enunciados:
La forma más simple de una función cuadrática es f ( x ) ax 2 , que es simétrica al eje Y.
2 En su forma general f ( x ) = ax + bx + c +
con respecto a una recta vertical.
Cuando su término principal es positivo la parábola abre hacia arriba, es decir, cuando a > 0.
Cuando su término principal es negativo la parábola abre hacia abajo, es decir, cuando a < 0.
&
funciones anteriores. y 8
6
f(x) = 3x2 + 2x + 1
f(x) = x2 + 4x + 4 4
2
x -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-2
3
4
5
6
7
8
9
f(x) = −2x2 + x + 3
-4
-6
-8
AO~Z> kw Z ' ' X
Resta dar las localizaciones de los vértices de cada una de ellas; para este propósito damos el siguiente resultado: El vértice de una parábola dada por una función cuadrática de la forma f ( x ) = ax 2 + bx + c está dado por la relación
(
( ))
V − 2ba , f − 2ba
> ' '
funciones cuadráticas. Veamos algunos ejemplos.
101
Ejemplo 1: Z ' *
MIV
nando: i.
Para qué lado abre
ii.
Su vértice
iii. Sus ceros iv. > v.
Su rango
a.
f ( x ) = −3 x 2 + 9 x
b.
f ( x ) = x 2 + 3 − 2x
Solución: a)
(
> a = −3, b = 9 y c 0 i.
Como a = −3 < 0 , entonces es una parábola que abre hacia abajo.
ii.
El vértice es:
(
V − 2( 9−3) , f − 2( 9−3)
)) = V (
−9 −6
,f
( )) = V ( , f ( )) = V ⎛⎜⎝ −9 −6
3 2
3 2
3 2
, −3
() 3 2
2
+9
( ) ⎟⎠⎞ = V ( 3 2
3 27 , 2 4
)
iii. Usando la fórmula general para las constantes se tendrán dos soluciones o ceros, x1 0 y x2 3 . iv. Construimos una tabla de valores, generalmente cerca del punto − 2ba =
102
3 2
= 1.5 . Una tabulación junto con sus valores será: x
y = −3 x 2 + 9 x
1
12
0
0
1
^
1.5
27 4
2
^
3
0
4
12
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Una vez recabados estos datos podremos realizar una representación de la función: y 10
8
V(3/2, 27/4)
6
y=-3x2+9x 4
2
x -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2
-4
-6
-8
FIGURA 3.5
i.
&
( −∞, a. ii.
27 ⎤ , 4 ⎦
es decir, para valores de y /
27 4
.
En este caso se tiene que a 1 , b = −2 y c 3 . Por lo que: > a = 1 > 0 , entonces abre hacia arriba.
(
(
iii. V − 2−(12) , f − 2−(12)
)) = V (1, f (1)) = V (1, 2)
iv. Las raíces no existen, pues al aplicar la fórmula general se obtie ! X. v.
Una tabla sería: X
Y
1
^
0
3
1
2
2
3
3
^
103
? Y
MIV
y 10
8
6
y=x2−2x+3
4
2
v(1,2) -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
x 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-2
-4
-6
-8
AO~Z> k^
vi. El rango es C = ⎡⎣2, ∞ ) , es decir, para valores de y 2 . Una vez que se ha señalado la forma de representar la función cuadrática, procedemos a determinar sus aplicaciones.
Máximos y mínimos. Modelos cuadráticos Entre las aplicaciones de las funciones cuadráticas está el cálculo de sus valores máximos y mínimos, los cuales se encuentran en los vértices de las parábolas. De lo anterior se tiene que: 2 En una función cuadrática de la forma f ( x ) = ax + bx + c , se tiene que:
( )
Si a > 0 hay un valor mínimo en el punto
x0 = − 2ba
y cuyo valor es
f − 2ba
Si a < 0 hay un valor máximo en el punto
x0 = − 2ba
y cuyo valor es
f − 2ba
( )
La función cuadrática se utiliza mayormente en situaciones de modelaje
>
un problema de modelaje cuadrático requiera obtener una optimización, se tratará de un valor máximo o mínimo. Con estos conceptos entramos a los modelos cuadráticos, los cuales se darán mediante ejemplos aplicativos.
104
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Ejemplo 2: Cierto cultivo de hongos tiene un crecimiento parabólico debido a su tiempo de reproducción y de vida, de manera que P representa la cantidad de hongos de acuerdo al tiempo t transcurrido en semanas, P(t ) = 12t − t 2 . Con base en este modelo cuadrático, predice el tiempo en que habrá un máximo de hongos. Solución: Tenemos que se trata de un modelo cuadrático donde a = −1, b = 12, c = 0 , al tener el término principal negativo se tratará de un valor máximo. Calculemos el valor donde se encuentra el valor máximo, esto es, la abs=6 cisa del vértice, o sea t0 = − 2ba = − 2(12 −1 ) " + ^ X
!
2 b vértice, es decir P − 2a = P(6) = 12(6) − 6 = 36 . Resumiendo este último paso se
( )
k^ + ^
? W
' ^
k^
valor máximo se encuentra en t0 6 /
k^ P
40
V(6,36) Valor Máximo = 36
30
20
10
t0=6 -20
-15
-10
-5
5
t 10
15
20
25
30
35
40
45
-10
FIGURA 3.7 Máximo de la función
P(t ) = 12t − t 2 .
Ejemplo 2: Se lanza un proyectil de prueba militar y se determina que la trayectoria que describirá está dada por el modelo cuadrático H(t ) = −4t 2 + 48t , donde H representa la altura en metros del proyectil respecto al nivel del cual es lanzado y t representa el tiempo en segundos de vuelo transcurrido del proyectil desde que es lanzado. Encuentra el tiempo en el que el proyectil alcanzará su máxima altura. Si t [k + ¯+
105
MIV
Solución: > a = −4 y b 48 , donde se observa que el signo de a es negativo, por lo que se tratará de un máximo. El tiempo en segundos requerido = 6 . El valor máximo de alpara alcanzar la altura máxima será t0 = − 2ba = − 2(48 −4 )
( )
tura será entonces H − 2ba = H(6) = −4(6)2 + 48(6) = 144 . Por lo visto el proyectil ^ [ww
Respecto a la altura que tendrá el proyectil a los 13 s, tenemos que será
H(13) = −4(13)2 + 48(13) = −52 . Esto indica que el proyectil estará a 52 m debajo A H
150
V(6, 144) Valor Máximo = 144
100
50
t0=6 -15
-10
-5
5
t 10
15
20
25
30
35
-50
(8, -52)
-100
FIGURA 3.8. ~ ' H(t )
= −4t 2 + 48t .
Estos dos primeros ejemplos nos dan idea de cómo se comporta un modelo cuadrático. En ambos casos el modelo ya estaba establecido, aunque en la mayoría de los problemas de optimización la función no está a la mano, razón por la que hay que recurrir a algunas herramientas matemáticas para plantear y relacio
' & * sentamos un segundo par de ejemplos de optimización de este tipo. Observa el proceso que lleva a cada ejemplo a obtener su modelo. Ejemplo 3: Se necesita cercar un terreno de forma rectangular que tiene un lado a la orilla de un barranco, por lo cual este lado no se cercará. En los dos lados laterales se utilizará alambrado y en el tercer lado, paralelo al barranco, se usará una malla ciclónica. El `
[]
lineal. Se ha designado a un ingeniero un to k^}}
& K * go y ancho) que podrá tener el terreno para k^}}
& 106
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Solución: Primero debemos comprender que este problema se trata de +
terreno ya cercado. O sea, deberemos calcular los valores de las dimensiones para maximizar el área. !
&
?
x. El tercer lado, paralelo al barranco, será y. Tenemos, pues, una representación de la situación vista desde arriba: Barranco
Área del terreno
x
x
y
FIGURA 3.9
De ello se observa que el área del terreno será: A xy Esta es la función a maximizar, pero la función del área obtenida hasta ahora posee dos variables y solo hemos de trabajar con una. En este caso con la variable x &
y, de forma tal que en nuestra función solo exista x
de donde podamos despejar la variable y. La relación auxiliar sale de los costos del alambrado y malla. Como el `
total de x + x = 2 x metros, entonces el costo de los laterales será de (8)(2 x ) 16 x Z []
longitud única de y []y. Recuerda k^}}
los 3 lados a cercar es de: 16 x + 12 y = 3600 Con esta segunda relación podremos despejar el valor de y para sustituir >
y se tendrá: y=
3600 −16 x 12
= 300 − 34 x
> A xy estaremos formulando la relación del área a una sola variable; veamos:
(
)
A = xy = x 300 − 34 x = 300 x − 34 x 2
>
'
>
ingeniero sólo tendrá que optimizar la función del área:
A( x ) = 300 x − 34 x 2 107
MIV
@
+
* mo, pues el término principal es negativo. El vértice será: ⎛ ⎞ V ⎜ − 300 , A ⎛⎜ − 300 ⎞⎟ ⎟ = V ⎝ 2( − 4 3 ) ⎝ 2( − 4 3 ) ⎠ ⎠
(
225 2
,A
( )) = V (112.5,16875) 225 2
El valor máximo estará en x [[]{/ [^`_{ ¯* da calcular el valor de la incógnita y. Sustituyendo x 112.5 en y se tiene que y = 300 −
4 3
(112.5) = 150 .
En conclusión, las dimensiones del terreno para maximizar el área a un k^}} [[]{ [{}
[^`_{ 2. Ejemplo 4: " ]}} >* k[} ? >
w} · = k} · " +
B 30t
200 – 40t
M
A
40t
D(t)
N FIGURA 3.10
Solución: ? >
= % * mizar la distancia que existe entre ellas después de determinado tiempo, digamos t. Después de transcurrir el tiempo t la persona A llegará a un punto M, y la persona B a un punto N. Recordando la fórmula de distancia estudiada en Física (v = d/t), podremos relacionar las distancias recorridas por ambas personas. La distancia d, conocida la velocidad v y el tiempo t de un cuerpo, se calcula por medio del despeje d = vt, así que la distancia que recorre A para llegar al punto M en el tiempo t es de d A 40t ; la distancia que recorre B para llegar a N en ese mismo periodo es
dB 30t . > k[} AB es de 200m, se tiene que la distancia BM = 200 − 40t . La distancia a optimizar es la que existirá entre los puntos M y N, llamémosla D. Por ahora determinemos la función del modelo cuadrático. Las variables son el tiempo t y la distancia D. Para ello observemos que el triángulo BMN es rectángulo con hipotenusa MN = D y catetos BM = 200 − 40t y BN 30t . >
teorema de Pitágoras se tendrá: D2 = ( BM ) + ( BN ) 2
108
2
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
D2 = ( 200 − 40t ) + ( 30t ) 2
2
D2 = 2500t 2 − 16000t + 40000 D(t ) = 2500t 2 − 1600t + 40000 Esta es la función a optimizar, que tiene como variable al tiempo t en segundos. Como esta raíz cuadrada tiene una misma optimización que su subradical, bastará con optimizar el subradical, es decir:
d = 2500t 2 − 16000t + 40000 −16000 >
t será t0 = − 2( 2500 ) = 3.2 , es decir, el tiempo en que se encontrarán más próximos será de 3.2 seg. Se observa claramente que en la función D(t) se determinará un mínimo, el cual es la distancia entre A y B. La distancia mínima es:
D(3.2) = 2500(3.2)2 − 16000(3.2) + 40000 = 14400 = 120 En conclusión dentro de 3.2 seg las personas A y B estarán lo más próximo / []} >
será mayor a 120 m. ¡Hemos realizado con éxito nuestra optimización!
Con esta parte terminamos las indicaciones y conocimientos necesarios para generar las competencias requeridas en el bloque, así que para este propósito se han dispuesto una serie de situaciones y problemas de optimización para que plantees y resuelvas.
> { Lee detenidamente cada uno de los siguientes ejercicios de funciones cuadráticas y, de ser posible, resuélvanlo en parejas. 1)
Encuentra el valor del máximo o mínimo de cada una de las funciones. Z ' a.
f ( x ) = 2 + 4 x − 3x 2
b.
f ( x ) = 3x 2 + 6 x + 9
c. d.
(
) f ( x ) = ( − 1 2) ( x + 8 x + 8 )
f ( x ) = (1 2 ) 4 x 2 − 9 + 12 x 2
109
2)
MIV
Una pelota es lanzada hacia arriba verticalmente con una velocidad \^ · ? + t segundos está dada por h(t ) = 96t − 16t 2 .
3)
a.
Estima el tiempo en el que alcanza su máxima altura.
b.
&
c.
Z '
Un proyectil se lanza hacia arriba verticalmente desde una altura de [{
[_^ · ?
altura alcanzada del proyectil se da por f (t ) = 15 + 176t − 16t 2 , donde t está dada en segundos. a.
Determina la altura máxima que alcanzará el proyectil y en qué tiempo.
b.
>
4)
Se va a construir una cerca de madera a un terreno rectangular. Si la cerca abarcará los cuatro lados del terreno rectangular que tendrá un ]w}
5)
Utilizando funciones cuadráticas encuentra dos números cuya suma sea 10 y su multiplicación sea máxima.
6)
Usando la función cuadrática halla dos números cuya resta sea 14 y su multiplicación sea mínima.
7)
Calcula las raíces y vértices de las siguientes funciones cuadráticas y a.
f ( x ) = x 2 + 3x
b.
f ( x ) = − x 2 + 5x + 6 2
8)
110
c. f ( x ) = 2 x + 8 x + 8 Z ' '
+ a.
f (x) = x2 + 4
b.
f (x) = x2 + x − 6
c.
f (x) = −x2 + 9
Matemáticas IV
BIII
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
8
10
6 8 6
4
6 2 4
4
−4 2
−4
−3
−2
−1
−3
−2
−1
1
2
1
2
3
2
3
−2 −4
4 −3
−2
−1
1
2
3
−2
−6 −2
−8
−4
f ( 2 )$ f (1 ) f (3) 10) Encuentra el valor de su máximo o mínimo, según sea el caso: 9)
Sea f ( x ) = x 2 + 2 ; calcula el valor de
a.
f ( x ) = x 2 − 2x − 3
b.
f ( x ) = −2 x 2 + 2 x + 1
c.
f ( x ) = x 2 − 3x + 1
Síntesis Resuelve la siguiente serie de ejercicios aplicando las funciones cuadráticas. Cuando sea necesario trabaja en equipo. 1)
2)
Encuentra el valor de las raíces o ceros de las funciones en cada inciso. 2
a.
f ( x ) = x − 2 x − 3x
b.
f (x ) = 6x2 − 7x − 5
c.
f ( x ) = x 2 − 3x + 1
2 d. f ( x ) = −2 x + 1 + 2 x Organícense en equipos para representar cada una de las siguientes funciones, obteniendo en cada una:
i.
Sus raíces
ii.
Su vértice
iii. Si abre hacia arriba o abajo iv. % a.
f (x) = x2 − 4x
d.
f ( x ) = −4 x 2 + 8 + 8 x
b.
f (x) = x2 − 3
e.
f ( x ) = 2x 2 + 4 x + 1
c.
f (x) = −x2 + 4
f.
f ( x ) = (1 8 ) 4 x 2 + 20 x + 49
(
) 111
3)
MIV
Una fábrica de juguetes de plástico ha encontrado que si se venden a cierto precio x en pesos, adquieren una ganancia G dada por la relación
G( x ) = 15000 x − 750 x 2 .
4)
a.
&
w
b.
&
c.
&
{} !
costo al producir una cantidad de x camisetas está dado por:
C ( x ) = (5 1000 ) x 2 + 10 x + 45000 a.
Determina el costo de producción de 14000 camisetas.
b.
Obtén la función cuadrática que relacione la ganancia por camiseta y halla el número de ellas para tener una ganancia máxima.
5)
k^ ' * bre. Encuentra la función cuadrática que modele la situación si se quieren tener sus dimensiones para hallar un área máxima.
6)
Si al cuadrado de un número se le resta ocho veces el mismo número da kk X
7)
& ^} 2 y los lados iguales miden 13 cm.
8)
En una población de bacterias su comportamiento de vida está dado por
P(t ) = −t 2 + 5t , donde P(t) es el total de la población en miles de bacterias y t representa el tiempo en meses.
9)
a.
& [{
b.
>
c.
&
Para las funciones del ejercicio 1, con ayuda del software Excel realiza una tabla para calcular los valores de y mediante fórmulas y realiza la rsión con líneas suavizadas.
> En esta parte te corresponde resolver los 5 ejercicios de la sección Evaluación > * ciones debes darle una argumentación sólida de por qué se debe realizar de esa manera. Una vez que hayas terminado y estés convencido de lo que has realizado, consulta las respuestas obtenidas con tu profesor y analicen el porqué de tus
#
ubicarte. Todo esto te servirá para determinar en qué nivel te encuentras después > ½
y sigue preparándote para superarlo. Me encuentro en este nivel
112
Pre-formal
Inicial
Básico
>
Estratégico
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Realimentación En esta sección se propone una serie de ejercicios que contemplan las dos sesiones del presente bloque. I.
Subraya la respuesta correcta en cada inciso. 1)
2)
3)
Con la pareja ordenada ( 3, 1 ) , ( 4 , −2 ) se tiene una razón de cambio de: a.
m 3 2
b.
m 3
c.
m = −3
d.
m 1
Si una función lineal tiene una pendiente m = −3 7 Y a.
creciente
b.
horizontal
c.
vertical
d.
decreciente
La función lineal dada por f ( x ) = (3 x − 5) 10 tiene una intersección con el eje Y en: a.
4)
5)
1 2 5 10
b. c.
5
d.
5
La función cuadrática f ( x ) = −2 x 2 + 4 x − 5 tiene un valor: a.
mínimo en 1
b.
mínimo en 1
c.
máximo en 1
d.
máximo en 1
El valor mínimo en la función f ( x ) = x 2 − 2 x + 1 es de: a.
1
b.
1
c.
1/2
d.
0
113
II.
MIV
En cierta población se ha establecido que la relación lineal que existe entre el peso en kg y la estatura en cm de los niños de edades de 0 hasta 4 años se da mediante la ecuación lineal 8 x − y = 23 . Mediante esta relación completa la tabla siguiente: Peso x
Altura y
3.1 {^
{^ _k
_\ III. En una granja se ha determinado que cierto tipo de carneros tienen un peso {^ ¢ ^ {`_ ¢ %
el peso P está relacionado con el tiempo t en meses de forma lineal, entonces: a)
Expresa una función lineal del peso P en términos de la edad t.
b)
+
edad pesarán los carneritos cerca _{k ¢
c)
& _{
IV. Una máquina revolvedora de cemento _]}}
` W X
cual carece de valor alguno en pesos. Representa una función lineal que relacione su valor V ` W t de vida útil. V.
Un hotel de Puerto Vallarta tiene 100 habitaciones en total. En tiempo de va ]{}
% k]} _`
por ciento. Supón que la relación entre ingreso diario I por la renta de los cuartos x es lineal. a)
Obtén la función lineal de los ingresos I del hotel en función de los cuartos ocupados x.
b)
& ]_}
VI. Se va a construir una cerca de alambre a un terreno rectangular. Si la cerca abarcará los cuatro lados del terreno rectangular, que tendrá un perímetro [}}
VII. Determina el vértice de cada función cuadrática y, de acuerdo al signo de su +
114
Matemáticas IV
a)
f (x) = x2 + x − 6
b)
f ( x ) = −2 x 2 + 6 x − 4
c)
f (x ) = 4x2 + 8x + 3
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
2 d) f ( x ) = 4 x − 4 VIII. Con el procedimiento de modelaje, encuentra dos números de tal manera que su diferencia sea 40 y su producto sea mínimo.
IX. Cierta empresa ha detectado que el costo total C en la fabricación de x productos de la misma clase está dado por C ( x ) = x 2 + 10000 − 30 x . Determina el nivel de producción para que el costo sea mínimo.
115
MIV
Evaluación de mis competencias Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5 O
datos obtenidas tras la medición de lo solicitado y comprendo la relación entre ellos.
Conocimientos
Reconozco la relación lineal existente entre los datos de cada tabla y considero las parejas ordenadas necesarias para determinar la función lineal. Comprendo los elementos de la fórmula punto-pendiente para determinar las ecuaciones lineales de los datos de cada tabla. Z
la serie de puntos obtenidos en cada tabla.
Habilidades
116
3
O
datos obtenidas tras la medición de lo solicitado. Reconozco la relación lineal existente entre los datos de cada tabla. Comprendo algunos de los elementos de la fórmula punto-pendiente para determinar las ecuaciones lineales de los datos de cada tabla.
Z
pequeños errores, la serie de puntos obtenidos en cada tabla.
Determino la ecuación lineal que se ajuste a cada una de las tablas al utilizar la fórmula punto-pendiente. Represento esta ecuación con la serie de puntos.
Determino la ecuación lineal que se ajuste a cada una de las tablas al utilizar la fórmula punto-pendiente, pero no la represento junto a la serie de puntos.
Puedo responder correctamente a las cuestiones planteadas al utilizar la relación lineal calculada para cada conjunto de datos.
Respondo con ciertos problemas las cuestiones planteadas al utilizar la relación lineal calculada para cada conjunto de datos.
1 O
parejas de datos obtenidas tras la medición de lo solicitado. No reconozco la relación lineal existente entre los datos de cada tabla ni considero las parejas ordenadas necesarias para determinar la función lineal. No comprendo los elementos de la fórmula punto-pendiente para determinar las ecuaciones lineales de los datos de cada tabla.
No puedo representar
puntos obtenidos en cada tabla. No puedo determinar la ecuación lineal que se ajuste a cada una de las tablas al utilizar la fórmula punto-pendiente. No puedo responder correctamente a las cuestiones planteadas al utilizar la relación lineal calculada para cada conjunto de datos.
Matemáticas IV
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
BIII
Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5 Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el proyecto, además de que aporto puntos de vista personales al mejoramiento del trabajo.
>
Puntaje
>X
propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, de manera que prevengo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo acertadamente, oportunamente y con tacto. 15
3
1
Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el proyecto.
Presento disposición discontinua al trabajo colaborativo en el proyecto.
>X
al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, pero no prevengo errores que mi equipo genera ni los corrijo.
9
No actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros ni prevengo errores que mi equipo genera.
3
117
MIV
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
Caracterizo las funciones polinomiales de una variable e
componentes.
Caracterizo las funciones polinomiales de una variable
todos sus componentes.
Caracterizo las funciones polinomiales de una variable pero no
componentes.
No caracterizo las funciones polinomiales de una variable ni
componentes.
Caracterizo las funciones polinomiales de una variable e
componentes y enuncio las relaciones entre ellos. Conocimientos
Habilidades
Describo las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero y uno, junto con sus parámetros
Distingo los grados,
constantes de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos para representarlas
y aporto ideas que lleven a un mejor análisis de ellas. >
modelos lineales y cuadráticos para la resolución de situaciones hipotéticas y/o reales en diferentes áreas y las resuelvo de manera hábil y de forma independiente.
118
Describo algunas de las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero y uno, junto con sus parámetros
Distingo los grados,
constantes de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos para representarlas >
modelos lineales y cuadráticos para la resolución de situaciones hipotéticas y/o reales en diferentes áreas y las resuelvo con ayuda.
Describo las características algebraicas de algunas de las funciones polinomiales de grados cero y uno, junto con sus parámetros
Distingo algunos de los grados,
constantes de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos para representarlas. >
modelos lineales y cuadráticos para la resolución de situaciones hipotéticas y/o reales en diferentes áreas.
Describo algunas de las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero y uno.
Distingo algunos de los grados,
constantes de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos, pero no puedo representarlas. >
modelos lineales o cuadráticos para la resolución de situaciones hipotéticas y/o reales en diferentes áreas y las resuelvo.
No describo las características algebraicas de las funciones polinomiales de grados cero y uno, ni sus parámetros.
No puedo distinguir los grados,
constantes de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos ni las represento. >
modelos lineales o cuadráticos para la resolución de situaciones hipotéticas y/o reales en diferentes áreas, pero no las resuelvo.
Matemáticas IV
BIII
Empleas funciones polinomiales de grados cero, uno y dos
Producto, logro o desempeño
>
Puntaje
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
>
en pocas ocasiones, puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma poco #
tolerante, además de que demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
>
en nulas ocasiones, puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma #
poco tolerante, pero demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Valoro, en ocasiones, las utilidades de los modelos lineales y cuadráticos en diversos problemas prácticos.
Valoro, en ocasiones, las utilidades de los modelos lineales o cuadráticos en diversos problemas prácticos.
9
^
>
de vista con apertura y considero los de mis compañeros de ' #
y tolerante, además de que demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
>
de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma #
tolerante, pero en ocasiones demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Valoro en toda ocasión las utilidades de los modelos lineales y cuadráticos en diversos problemas prácticos.
Valoro en toda ocasión las utilidades de los modelos lineales o cuadráticos en diversos problemas prácticos.
15
12
No aporto puntos de vista con apertura ni considero los de mis compañeros de ' #
y tolerante, además de que no demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos. No valoro las utilidades de los modelos lineales ni cuadráticos en diversos problemas prácticos.
3
119
Bloque IV
Utilizas funciones polinomiales de grados 3 y 4 Objetos de aprendizaje
Modelo matemático de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.
Propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados: tres y cuatro.
Métodos de solución de las ecuaciones factorizables asociadas a una función polinomial de grados: tres y cuatro.
& ' '
los valores que toman sus parámetros.
Z ' Y
Desempeños del estudiante
Z ' * miales de grados tres y cuatro.
Describe las propiedades geométricas de las funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
Utiliza transformaciones algebraicas y propiedades geométricas para ' * mente las funciones polinomiales de grados tres y cuatro en la resolución de problemas.
Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. ` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. w > + + *
de las tecnologías de la información y comunicación. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ` O *
Dinamización y motivación
MIV
En esta sección se abordan ejercicios que te servirán para medir tus conocimientos y saber en qué nivel te encuentras. Responde cada una de los siguientes ejercicios, realizando en su caso las operaciones necesarias. 1)
Escribe un ejemplo de una función polinomial de grado 3 y una de grado 4.
2)
Entre las cuatro opciones dadas encuentra las que se relacionan con las + a.
x3 + 5x 2 + 6x = 0
b.
x 4 + 3x 3 + 2 x 2 − x − 3 = 0
c.
2 x5 + 4 x 3 + 5 x 2 + x = 0
d.
− x 3 + x 2 − 3x + 2 = 0 2 2
1
−2
−1.5
−1
−0.5
1
0.5
1
1.5
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
−1
−1
−2
−2 −3
−3
AO~Z>% w[ w]
3)
4 3 2 = x + 4 x − x − 16 x − 12 = 0 .
4)
" Y El grado del polinomio___________ ! ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ Número de puntos de retorno ______________ Cuáles son sus raíces _______________
122
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
4
2
−2
−1
1
2
−2
AO~Z> wk
5)
Factoriza el polinomio x 4 − 13 x 2 + 36 = 0 . Con base en sus raíces y ca
Importante: tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y explicará +
Coloca una X en el puntaje que alcanzaste
%
9 a 10 puntos
O ' k
y 4. Tengo conocimientos sobre sus características y aplico los conceptos ' k w >
transformaciones algebraicas para encontrar sus raíces y bosquejo sus
_ `
O ' k
y 4. Tengo conocimientos sobre sus características e ideo cómo aplicar los conceptos sobre el bosquejo de sus
123
MIV Básico
{ ^
O '
3 y 4. Tengo nociones sobre sus características e ideo cómo aplicar los
Inicial
2 a 4 puntos
Tengo algunas nociones sobre los elementos de las funciones de grado 3 y 4.
Pre-formal
0 a 1 puntos
No recuerdo las características de los polinomios de grados 3 y 4.
Contextualización Hay fenómenos que son modelados por ecuaciones de grado mayor que 2.En el bloque anterior estudiamos las características y modelamos situaciones con funciones de grado 0, 1 y 2. En el presente bloque estudiaremos las características de los k w &* zaremos el estudio de este bloque mediante las siguientes situaciones: Situación1. Imagina que eres un ingeniero civil y estás planeando hacer una carretera con un tramo con curvas para una pista de carreras y necesitas que pase por determinados puntos. Las curvas tienen que cumplir ciertas características y te piden modelarlas matemáticamente para su localización y trayectoria.
124
1)
¯+
2)
& ½
3)
% ] + '
Matemáticas IV
BIV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
2
1
−3.5
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
−1
−2
−3
AO~Z> ww
Situación 2. !
'* ma de curvas que describen el comportamiento de algún fenómeno, el crecimiento > * +
durante el ciclo de año de una cierta empresa de comida rápida.
Ganancias en miles de pesos
Ganancias durante el año 50 40 30 20 10 0 -10
0
2
4
6
8
10
12
14
AO~Z> w{
T W 1)
&
2)
& +
3)
¯+
4)
! +
5)
& ' 125
MIV
Como habrás observado, las funciones polinomiales de grado 3 y 4 son útiles para representar fenómenos que siguen trayectorias curvas. En este bloque *
Proyecto
'
¸> ¹ Proyecto
Modelaje matemático con funciones polinomiales de grados 3 y 4
Problema
Obtener modelos de funciones polinomiales de grados 3 y 4 de situaciones comunes y análisis de funciones
Duración
Una semana
Puntuación
15 puntos
Competencias
Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos polinomiales, en el contexto de las situaciones reales o hipotéticas que describen. O ' '
126
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
Observa tu entorno y localiza 3 formas de polinomios de grados 3 y 4. Realiza un dibujo y señala la trayectoria de la función polinomial y describe sus características. Realiza el trazo de las siguientes funciones polinomiales utilizando Excel.
f ( x ) = x3 − x 2 + 2x f ( x ) = x 4 + 3 x 3 − 7 x 2 − 27 x − 18 Determina:
1)
El grado de la función y si es par o impar.
2)
!
3)
Número de puntos de retorno.
4)
Número de raíces reales. 5
4
2
Para la función f ( x ) = −2 x + 4 x − 2 x , determina:
1)
&
2)
El número de puntos de retorno.
3)
=
4)
! '
de líneas suavizadas. X
>
Y
0 0.2 0.4 }^ }` 1 1.2 1.4 [^ [`
! Excel, indicando sus similitudes, diferencias, y la ventaja de utilizar un software ' Recursos
Libro de texto, hojas en blanco, libros de consulta en la biblioteca.
127
MIV
Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte o no se entreguen los documentos que avalen sus operaciones o los que solicite tu docente, este resolverá la situación con base en su criterio. Normas
El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.
Se >Y A
polinomiales de grados 3 y 4. & Saberes Del saber
Caracterizo el comportamiento general de las funciones polinomiales de grados 3 y 4.
" # ' k w
! '* K[ kJ
funciones de grado par (2 y 4).
Del saber hacer
= ' k w
" ½
factorizables.
> ' k w
la resolución de problemas.
Del saber ser
>
W
' #
Muestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Valoro las utilidades de las funciones polinomiales en diversos problemas prácticos.
Problematización En el bloque anterior observamos el comportamiento de las funciones de grados 1 y 2; vimos que la de grado 1 representa una recta y la de grado 2 una parábola. 128
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
| k w |
[ ] k w | ' w ' £
sabemos qué es una función y cuáles son sus características, ahora abordaremos la relación entre las funciones polinomiales. ! * / +
tipo de función polinomial representan, y entender sus características. Realizaremos una actividad para recordar y visualizar qué sucede cuando cambiamos ciertos elementos de los polinomios; posteriormente generalizaremos sus características.
> [ ! '* K J > * puestas con sus compañeros y realicen una autoevaluación de su trabajo.
b)
f (x) x f (x) = −x
c)
f ( x ) x3
d)
f ( x ) = −x3
e)
f (x) x2
f)
f (x) = −x2
g)
f (x) x4
a)
h) 1)
f (x) = −x 4 & spondan: ¯+
2)
! + ' [ k
3)
& ' [ k *
Recuerda que
principal de un polinomio es el valor numérico que acompaña al término que tiene la mayor potencia. Por ejemplo, de
−3 x + 4 x 2 − 5 4)
& ' [ k *
5)
! + ' ] w
principal es 4.
129
6)
& ' ] w *
7)
& ' ] w *
8)
&
'
9)
&
'
MIV
10) Si se tiene la función f ( x ) = x 5 + 3 x
11) Si se tiene la función f ( x ) = x 6 − 2 x 5 − x
Con esta actividad, y con base en las preguntas que ya contestaste, generalicen en plenaria sus conclusiones, tomando como moderador a su docente.
Desarrollo de saberes
Las funciones polinomiales. Grado Si recordamos, una función polinomial tiene la forma: f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + an −2 x n −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 x 2 + a1 x + a0
Donde n es el grado y an ~ > [
Y
130
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
Si n an * pieza y termina positiva.
Si n an * pieza y termina negativa.
Si n an
empieza negativa y termina positiva.
Si n an
empieza positiva y termina negativa.
BIV
Ejemplos: Donde f ( x ) = x 4 − 5 x 2 + 4 5 4 3 2 1
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
.5
1
1.5
2
2.5
-1 -2
AO~Z> w^
131
y
Donde f ( x ) = − x 4 − 3 x 3 + 2 x 2 + 12 x + 8
MIV
15
10
5
-4
-2
2
-5
AO~Z> w_
Donde f ( x ) = x 3 + 5 x 2 + 6
2
1
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
-1
-2
-3
132
AO~Z> w`
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
Donde f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 + 5 x + 3
5
-4
-2
2
-5
-10
AO~Z> w\
Estas reglas se cumplen para cualquier función polinomial. Otra característica importante de las funciones de grados 3 y 4 son sus raíces y sus puntos de retorno.
Ejemplo 1: Un polinomio de grado 3 puede tener 1 o 2 puntos de retorno; un polinomio de grado 4 puede tener 1, 2 o 3 puntos de retorno. Ejemplo 2: % ' X f ( x ) = − x 3 − 3 x 2 + 5 x + 3 , tiene 2 puntos de retorno.
Recordemos que las raíces son los números que hacen cero a la función;
observa que es
corta o toca al eje X.
133
Puntos de retorno de la gráfica
MIV 5
-4
-2
2
-5
-10
AO~Z> w\
Para la función f ( x ) x 3 , observaremos que presenta un solo punto de retorno. Puntos de retorno de la gráfica
1
0.5
-0.8
0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
.8
-0.5
-1
AO~Z> w[}
Ejemplo 3: $ * cipal y sabiendo que sus raíces son x1 0 , x2 2 y x3 3 , bosqueja la función
x3 − 5x 2 + 6x . 134
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
Solución: ! '
] * zando las raíces pero, como ya las conocemos, entonces el bosquejo quedará como sigue:
AO~Z> w[[
Ejemplo 4: O '
a)
El grado
b)
!
c)
Número de puntos de retorno
d)
Número de raíces reales
AO~Z> w[]
Solución: a)
empieza y termina positiva, entonces el grado es par y, como tiene 3 puntos de retorno, el grado es 4. 135
MIV
b)
De acuer * pal es positivo.
c)
Tiene 3 puntos de retorno.
d)
>
X, entonces tiene 2 raíces reales.
del polinomio. Se pueden aplicar diferentes métodos de factorización y de transformaciones algebraicas para calcular las raíces. El siguiente ejemplo nos servirá para recordar las fa Ejemplo 5: Bosquejar la función polinomial f ( x ) = x 3 + 4 x 2 + 4 x . Solución: Si igualamos el polinomio a cero, nos queda:
x3 + 4 x2 + 4 x = 0 > x se repite en todos los términos del polinomio, eso quiere decir ' ' X > + * cionado:
x( x 2 + 4 x + 4) = 0 Lo que está dentro del paréntesis es un trinomio, factorizándolo obtenemos:
x 2 + 4 x + 4 = ( x + 2 )( x + 2) Retomando el polinomio original, se tendrá que:
x 3 + 4 x 2 + 4 x = x ( x + 2)( x + 2) = 0 , donde las raíces son: x1 = 0, x2 = −2 y x3 = −2 Para bosquejar la g /
en este caso tenemos una raíz doble.
Z*
empieza negativa y termina positiva. ? siguiente manera:
136
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
4
2
-3
-2
-1
1
-2
-4
AO~Z> w[k
Recuerden que son curvas las que se deben formar, y queda de esta forma porque hay una raíz doble en x = −2 .
> ] Z [}
K J
intersecciones, si empieza positiva o negativa, sus puntos de retorno, etcétera, y *
+
Síntesis 1)
=
valores de las raíces dadas. a.
f ( x ) = x 4 + 1 , no tiene raíces reales
b.
f ( x ) = x 3 + 2 x 2 − x − 2, x1 = −2, x2 = −1 y x3 1
c.
f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x , x1 = 0, x2 = −3 y x3 = -3
d.
f ( x ) = − x 4 + 5 x 2 − 4 , x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1 y x 4 2
137
2)
Y
MIV
a.
El grado de la función y si es par o impar.
b.
!
c.
Número de puntos de retorno.
d.
Numero de raíces reales. 4
6
2
4
2 -3
-2
-1
1
2
3
-2 -3
-2
-1
-4
1
2
-2
4
2
2 -3
-2
-1
1
2
-2
-2
-1
1
2
AO~Z>% w[w > w[_
3)
A '
las siguientes funciones polinomiales.
f ( x ) = x3 − 6x2 + 9x f (x ) = x 4 − 6x2 + 8 4)
138
Se está realizando la construcción de un tramo de una pista de carreras para motos y se requiere que pase por los siguientes puntos. Toma los puntos como las raíces reales de una función y responde las preguntas. a.
%
b.
& '
c.
Traza la trayectoria que debería seguir el pavimento de acuerdo al inciso a.
Matemáticas IV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
BIV
2
-3
-2
-1
1
2
-2
AO~Z> w[`
5)
> +
acuerdo a la simetría indicada.
Simétricas con respecto al origen
Simétricas respecto al eje Y
AO~Z>% w[\ w]]
139
MIV
> En este apartado te corresponde resolver los cinco ejercicios de la sección Dinami >
argumentación sólida de por qué se debe realizar de esa manera. Una vez que hayas terminado y estés convencido de lo que has realizado, consulta las respuestas obtenidas con tu profesor y analicen el porqué de tus
Z#
ubicarte. Todo esto te servirá para determinar en qué nivel te encuentras después > ½
y sigue preparándote para superarlo. Me encuentro en este nivel Pre-formal
Inicial
Básico
>
Estratégico
Realimentación Subraya la respuesta correcta para cada uno de los siguientes ejercicios. 1)
2)
Para la función f ( x ) = 4 x 3 + 2 x 2 − 6 a.
Negativa
b.
Positiva
c.
Horizontal
d.
Hacia abajo
& a.
x3 + 2x 2 − 2
c.
2x3 + 6x 2 − x − 2
b.
− x 4 + 3x 3 − 5
d.
4 x 4 2x 2 2
1
-1.5
-1
-0.5
0.5
-1
-2
-3
AO~Z> w]k
140
1
1.5
Matemáticas IV
3)
BIV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
O a.
x1 = −2, x2 = −1, x3 = 0
b.
x1 = −2, x2 = −1, x3 = 1
c. d.
x1 = −2, x2 = −1, x3 = −2 No tiene raíces
2
-2
-1
1
2
-2
AO~Z> w]w
4)
& ' x 3 + 2 x 2 − x − 2 2 2
-1 -2
-1
1
1
2 -2
-2
2
2
-1
1
-2
-1
1
2
-2
-2
AO~Z>% w]{ > w]`
141
5)
MIV
& ' Y
3 x 80 + 2 x 75 + ... + 2 x 2 − x + 1
6)
7)
a.
Inicia positiva y termina negativa
b.
Inicia positiva y termina positiva
c.
Inicia negativa y termina negativa
d.
Inicia negativa y termina positiva
!
a.
x3 + 7x2 − 8x + 1
b.
10 x 4 $ 6 x 3
c.
−89 x 3 + x 2 − 23
4 3 2 d. −12 x + 6 x + 3 x + 12 Mediante algún método de factorización, calcula las raíces de la función
f ( x ) = x 3 − 16 x . a.
x1 = 0, x2 = 2, x3 = −2
b.
x1 = 8, x2 = 0, x3 = −8
c. d.
x1 = −4 , x2 = 4 , x3 = 0 No tiene raíces reales
8)
Z '
9)
⎡⎣ −5, 5 ⎤⎦ . T
¯+ ' ' &
& % ½
142
AO~Z> w]\
Matemáticas IV
BIV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
Evaluación de las competencias Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5 O
correctamente las características de las funciones polinomiales de grados par e impar.
Conocimientos
Reconozco correctamente las características de
funciones polinomiales de grados par e impar. >
las funciones o fórmulas de Excel para el cálculo de valores. O
correctamente las
de líneas suavizadas. Bosquejo correctamente las funciones polinomiales dadas.
Habilidades
Calculo correctamente en Excel los valores para realizar las Realizo correctamente Realizo correctamente el resumen de acuerdo a los puntos dados.
3
O
características de las funciones polinomiales de grados par e impar. Reconozco algunas de las
de las funciones polinomiales de grados par e impar. > '
o fórmulas de Excel para el cálculo de valores. O
suavizadas.
1
O
características de las funciones polinomiales de grados par e impar. Reconozco pocas de las características de las '
polinomiales de grados par e impar. >
funciones o fórmulas de Excel para el cálculo de valores.
Puntaje
144
Nivel de logro o desempeño 5
3
1
Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el proyecto, además de que aporto puntos de vista personales al mejoramiento del trabajo.
Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el proyecto.
Presento disposición discontinua al trabajo colaborativo en el proyecto.
>X
propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, de manera que prevengo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo acertadamente, oportunamente y con tacto.
>X
al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, pero no prevengo errores que mi equipo genera ni los corrijo.
No actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros ni prevengo errores que mi equipo genera.
15
9
3
Matemáticas IV
BIV
Utilizas funciones polinomiales de grado 3 y 4
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
O
correctamente las funciones de grados 3 y 4.
O
funciones de grados 3 y 4.
O
el grado de
mediante sus características, cómo empieza y termina.
Conocimientos
Caracterizo
de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las Bosquejo correctamente
de funciones polinomiales de grados 3 y 4 de acuerdo a sus características del grado y
principal.
O
el grado de
mediante sus características. Caracterizo
mediante algunas de sus características, de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las Bosquejo las
funciones polinomiales de grados 3 y 4 de acuerdo a sus características del grado y
principal.
O
algunas de las funciones de grados 3 y 4. O
el grado de
mediante sus características, cómo empieza y termina. Caracterizo
de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las Bosquejo las
funciones polinomiales de grados 3 y 4.
O
erróneamente las funciones de grados 3 y 4. O
el grado de
mediante sus características, cómo empieza y termina. Caracterizo
de acuerdo a sus puntos de retorno, sus raíces, y relaciono las reglas con las Bosquejo con algunos errores
de funciones polinomiales de grados 3 y 4 de acuerdo a sus características del grado y
principal.
O
erróneamente las funciones de grados 3 y 4.
de vista con apertura y considero los de mis compañeros de ' #
y tolerante, además de que demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
>
de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma #
tolerante, pero en ocasiones demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
>
pocas ocasiones puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma poco #
tolerante, además de que demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Valoro en toda ocasión las utilidades de los modelos lineales y cuadráticos en diversos problemas prácticos.
Puntaje
15
Valoro en toda ocasión las utilidades de los modelos lineales o cuadráticos en diversos problemas prácticos.
Valoro en ocasiones las utilidades de los modelos lineales y cuadráticos en diversos problemas prácticos.
12
9
>
nulas ocasiones puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma #
pero demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos. Valoro en ocasiones las utilidades de los modelos lineales o cuadráticos en diversos problemas prácticos.
^
No aporto puntos de vista con apertura ni considero los de mis compañeros de ' #
y tolerante, además de que no demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos. No valoro las utilidades de los modelos lineales ni cuadráticos en diversos problemas prácticos.
3
147
Bloque V
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas Objetos de aprendizaje
Ceros y raíces de la función
Teoremas del factor y del residuo
División sintética
Teorema fundamental del álgebra
Teorema de factorización lineal
~ ' '
Desempeños del estudiante
Utiliza consecutivamente los teoremas del factor y del residuo, y la división sintética, para hallar los ceros reales de funciones polinomiales.
Emplea la división sintética para obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a.
Emplea la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal para hallar los ceros de una función polinomial factorizable.
> + '
'
la resolución de problemas teóricos y/o prácticos.
Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. ^ % + *
# ` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. w > + + *
de las tecnologías de la información y comunicación. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ` O *
MIV
Dinamización y motivación Responde en tu libreta cada uno de los siguientes ejercicios, realizando en su caso ! * ciones pertinentes en cada ejercicio. 1)
T Y 5
y
4
3
2
1
x −2
−1
1
2
3
4
5
6
7
−1 −2 −3 −4
2)
a.
&
b.
" +
c.
&
Factoriza completamente la siguiente expresión algebraica: 3 x 6 − 75 x 4 − 48 x 2 + 1200
3)
Obtén el producto de los siguientes factores: 3 x ( x 2 − 1)( x + 2)( x − 3)2 y los ceros de la ecuación polinomial que resulte.
4)
Determina los ceros de la $ $( 3 f ( x ) = 3 x 3 − x 2 − 2 x + 12
5)
=
&
profesor, ubica en qué nivel de comprensión te ubicas de acuerdo a la tabla si #
Importante: Tu profesor sólo va a examinar tus soluciones y explicará de ' + '
las funciones polinomiales, es acertado que entremos de lleno a la resolución de este tipo de ecuaciones. En primer semestre aprendiste a resolver las ecuaciones lineales. Después seguiste con la resolución de las cuadráticas, donde manejaste conceptos diferentes a las prime >
mayor; desde luego que, para hacerlo, deberás adquirir herramientas que te sirvan para solucionarlas de forma rápida y Desde hace varios siglos los problemas para encontrar los ceros, es decir, las raíces de una función polinomial cualquiera, preocuparon a muchos matemáticos. Es así que surgieron varias herramientas importantes para dar solución a esa situación, dichas herramientas son la base de la presente sesión.
AO~Z> {[ + +
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. O
! W ' w ^
las siguientes actividades en el orden establecido.
>
En una hoja de Excel deberán introducir las fórmulas necesarias para resolver ecuaciones polinomiales de cualquier grado. ! !
polinomiales que planteen.
Recursos
Computadora, programa Excel, guía didáctica. Deberá entregarse en formato electrónico en la fecha indicada por el docente y en caso de que un miembro del equipo falte o no se entregue en tiempo y forma, el docente resolverá la situación con base en su criterio.
Normas
El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.
152
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
% >Y A
polinomiales de grados tres y cuatro Funciones polinomiales actorizables Saberes Del saber
O ' x a es factor de un polinomio, por medio del teorema del factor.
Comprendo el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x a
" '* les del álgebra y de la factorización lineal.
Reconozco los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables.
Del saber hacer
Obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a, utilizando el teorema del residuo.
Determino si un binomio de la forma x a es factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.
Obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio
T ' '
> '
problemas.
Del saber ser
>
W
' #
Muestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
Propongo alternativas para dar solución a problemas matemáticos aplicativos.
Problematización
! * ' * cándole que debería analizarla y tratar de obtener su ecuación. Por alguna razón desconocida no pudo realizar la actividad, pero como quería saber la respuesta 153
MIV
&T=>£
!
siguiente actividad: Reúnete con dos compañeros y resuelvan paso a paso las siguientes problemáticas: a)
Obtengan los ceros de la siguiente ecuación polinomial:
b)
f ( x ) = x + x 3 − 2 − 3x 2 T Y " + * & * y 6
5
4
3
2
1
x −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1 −2
AO~Z> {]
Tras discutir sus opiniones, en diálogo con su profesor lleguen a un con
' * les de grado mayor a dos. Ya se han mencionado a grandes rasgos los contenidos aplicativos de esta sesión, sólo resta reiterarte que necesitas los conceptos básicos para dar una so >
#
Desarrollo de saberes Recuerda que los ceros o raíces de una función polinomial y = f(x) son los valores de x que solucionan a la ecuación f(x) } % X
estaremos hablando de la intersección con el eje x '
Teoría de las ecuaciones Para resolver una ecuación polinomial de grado n > 2 pueden usarse métodos algebraicos, pero estos no son prácticos, así que mejor utilizaremos la teoría de las ecuaciones para hallar los ceros de las funciones polinomiales, utilizando la técnica del ensayo y error con orden y precisión. 154
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
Con la teoría de las ecuaciones procederemos a hallar los ceros de los polinomios de grado n ] X * les. Recuerda que: Una ecuación polinomial de grado n en la variable x es de la forma an x n + an −1 x n −1 + an −2 x n −2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 donde an , an −1 , an −2 , ⋅ ⋅ ⋅, a2 , a1 , a0 son números reales, y que an 0 .
En primer semestre aprendiste a obtener las raíces o ceros de una ecua > +
hallar los de ecuaciones polinomiales de cualquier grado. Iniciemos entonces conociendo el teorema fundamental del álgebra. Teorema fundamental del álgebra: Toda ecuación polinomial f ( x ) 0 de grado n [ 3 ? ' f ( x ) = x + x − 3 tiene al menos una raíz real o compleja. La solución de esta ecuación la veremos más adelante.
Siguiendo con el planteamiento de conceptos para resolver las ecuaciones > * nición, recuerda que un cero de una función f es un número a, tal que f (a ) 0 , es decir, que a es una raíz de la ecuación f ( x ) 0 .
Por el momento sólo trabajaremos raíces reales y algunos casos de raíces complejas. Estas últimas se estudian a detalle en cursos más adelantados.
Teorema del residuo. Si f es una función polinomial de grado n [
real y si a R , entonces f (a ) es igual al residuo de dividir f ( x ) entre x a .
Para demostrar lo anterior usamos el algoritmo de la división que permite que expresemos f ( x ) en la forma: f ( x ) = g( x )( x − a ) + r , donde g( x ) es el cociente y r es un residuo constante que no contiene x, pero como x a , tenemos entonces que: f (a ) = g(a )(a − a ) + r . Ten en cuenta que x a es de grado 1; fíjate ahora en lo siguiente: f (a ) = g(a ) ⋅ 0 + r y entonces: f (a ) r Para tratar de aclarar lo anterior, observa este ejemplo: Ejemplo 1: Si f ( x ) = 2 x 3 − 3 x 2 − 5 x + 1 hallar f (2) en dos formas diferentes. Solución 1: '
x por 2 en el polinomio y tenemos que: f (2) = 2(2)3 − 3(2)2 − 5(2) + 1 f (2) = 2(8) − 3( 4 ) − 5(2) + 1 f (2) = −5
155
Solución 2: Utilizando el teorema del residuo, tenemos que:
MIV
)
x −2
2x 2 + x − 3 2 x 3 − 3x 2 − 5 x + 1 −2 x 3 + 4 x 2 x2 − 5 x − x 2 +2x − 3x + 1 3x − 6 −5
El residuo es 5 , entonces, por el teorema del residuo, f (2) = −5 Como habrás notado, el primer método puede resultar más fácil de reali ' * tes, se te hubiera hecho más simple. > Y + f (a ) 0 &
Pues bien, para facilitar lo anterior atiende al teorema del factor. Teorema del factor. Si f es una función polinomial real de grado n
1 y si f (a ) 0 , en donde a R , entonces x a es factor de f ( x ) .
Demostrando el teorema del factor tenemos que f ( x ) = g( x )( x − a ) + r en donde r es una constante, pero como ya dijimos que r f (a ) , sustituyendo tenemos que f ( x ) = g( x )( x − a ) + f (a ) . Sin embargo, como f (a ) 0 , escribimos la expresión de la siguiente manera: f ( x ) = g( x )( x − a ) , donde puedes observar que ( x a ) es un factor de la expresión polinomial. Consideremos un ejemplo de este teorema.
Ejemplo 2: Demostrar, utilizando el teorema del factor, que x 2 es un factor de f ( x ) = 2 x 4 + 3 x 3 − x 2 − 52 Solución: f (2) = 2(2)4 + 3(2)3 − 22 − 52 f ( 2) = 0 Entonces, podemos decir que por el teorema del factor, x (2) , es decir x 2 , es un factor de f ( x ) > * tos relativos a la resolución de ecuaciones de tercer y cuarto grado, resolvamos las siguientes actividades.
156
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
> [ En binas, resuelvan lo que se solicita. 1)
Si f ( x ) = 3 x 3 − 4 x 2 − 9 x + 7 , hallar f (3) en las dos formas estudiadas.
2)
4 Si g( x ) = 12 x − 8 x − 4 , hallar g( 2) en dos formas distintas.
3)
Usar el teorema del factor para demostrar que x 3 es un factor de 8 x 3 − 25 x 2 + 12 x − 27 .
4)
Utilizando el teorema del factor, demostrar que x 1 es un factor de −3 x 4 + 8 x 2 − 5 .
5)
Utilizando el teorema del factor, hallar el valor real que debe tener k para que x 4 sea un factor de 9 x 4 − 35 x 3 + kx 2 + kx − 4 .
Hasta ahora hemos avanzado en la búsqueda de la solución de una ecuación de grado tres y cuatro, sin embargo, aún faltan algunos elementos por estudiar. >
f ( x ) mediante la división de este entre un binomio x a , existe un método sencillo para que efectúes esa operación algebraica; a este procedimiento se + Z
División sintética & ' * mios 2( x 3 + 5 x 2 − 7 x + 6) ÷ ( x + 4 ) . Para hacer más fácil la obtención de este procedimiento, señalaremos el procedimiento a seguir: a)
forma descendente de la siguiente forma:
]
{
À _
^
En caso de no haber un término se coloca un cero para respetar su lugar.
b)
Seguidamente al lado derecho ubica la raíz del divisor.
2
5
−7
6 −4
c)
=
2
5
−7
6 −4
d)
$ 4 y se coloca este producto debajo del siguiente + * * tener 3 y seguimos de la misma manera
* lor de 14.
5
−7
6 −4
−8
12
−20
−3
5
−14
2 2
2
157
MIV
Ya para terminar, fíjate bien cómo se interpreta el resultado de la divi " X * cientes del polinomio resultante, pero con un grado menor, es decir, si el dividendo es de grado 3 el cociente será de grado 2. Por ello el cociente en este caso es el polinomio 2 x 2 − 3 x + 5 y un residuo de –14. Ejemplo 3: Dividir los polinomios ( x 3 − 7 x − 6) ÷ ( x + 1) mediante la división sintética. Solución:
sintética. Nota lo siguiente: el polinomio original tiene tres términos, pero le falta uno, el que correspondería al término x 2 , por lo que se ha puesto un cero en su lugar. 1
1
0
−7
−6
−1
1
6
−1
−6
0
−1
El resultado, entonces, es un cociente de x 2 x 6 y un residuo de 0. Recuerda que al obtener el cociente deberás disminuir un grado, porque al dividir se restan los exponentes. Ejemplo 4: Determinar el valor de la constante k para que el binomio x $ 2 sea factor del polinomio f ( x ) = 3 x 3 − 4 x 2 + kx + 12 , usando como herramienta la división sintética. Solución: > ' f ( −2) = 0 tenemos que x 2 es un factor del polinomio dado. > + Y 3
3
−4
k
12
−6
20
(−40 −2k)
−10
(20 + k)
(−28 −2k)
−2
El cociente de la división es 3 x 2 − 10 x + 20 + k y el residuo es 28 2k . Como ya mencionamos que f ( −2) = 0 , si y sólo si −28 − 2k = 0 , al ser este el residuo de la división, resolveremos entonces esta ecuación: −28 − 2k = 0 . Despejando, obtenemos −2k = 28 k=
28 −2
k = −14 Por lo tanto, la respuesta es que si k = −14 , entonces ( x $ 2) será un factor del polinomio dado. 158
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
> ] >
+ +
de cada una de las siguientes expresiones: 1)
2 x 3 − 7 x 2 + 8 x − 15 entre x − 3
2)
9 x 4 + 3 x 2 − 5 entre x − 1
3)
( z 3 − z 2 + 3) ÷ ( z + 1)
4)
( x 4 − 3 x 3 + 5 x 2 − 10 x + 11) ÷ ( x − 2)
5)
Determinar para qué valor de k , x 3 es un factor del polinomio f ( x ) = 5 x 4 − 15 x 3 + kx 2 − 4 x − 4 .
Empecemos a resolver las ecuaciones de grados tres y cuatro utilizando los elementos planteados hasta ahora. Recordemos el teorema fundamental del álgebra y hagamos unas precisiones. Según el teorema fundamental del algebra toda ecuación polinomial f ( x ) } n . 0 tiene al menos una raíz real o compleja. Cuando un polinomio tiene una raíz compleja se presenta la siguiente propiedad:
Realiza una breve consulta * bre los números complejos.
Si un número complejo a + bi es una raíz de una ecuación polinomial f(x) } a bi también es una raíz de f(x) } ! '
~
x. Vamos ahora a enunciar otro teorema que es de utilidad y se relaciona también con el teorema fundamental del álgebra: Un polinomio f ( x ) de grado n 1 tiene exactamente n raíces o ceros no necesariamente diferentes.
>
una cantidad de k veces, llamada multiplicidad k, se cuenta como k raíces. Si, por ejemplo, tuviéramos que ( x − 5)( x + 2)( x + 1)3 = 0 tiene 5 raíces, que serían x = 5, x = −2 y x = −1 es una raíz de multiplicidad 3, o sea, una raíz triple.
159
El teorema sobre los ceros racionales facilita encontrar los ceros de una función polinomial. Veamos:
MIV
n Sea f ( x ) = an x + ⋅ ⋅ ⋅ + a1 x + a0
" % st , en donde s , t Z es s una fracción en sus términos más simples, y si t es un cero de f, entonces s es un factor de a0 y t es un factor de an .
Veamos diversos ejemplos de la aplicación de este teorema. Ejemplo 5: Sea f ( x ) = x 4 − 18 x 2 + 32 x − 15 . Hallar sus raíces. Solución: En primer lugar utilizaremos la división sintética para hallar el residuo 0 y aplicar el teorema del residuo. Notamos que el término independiente es 15 ; sus factores serían ±1, 03, 05, 015. Tendremos que probar cuál hace cero al residuo. Este es un método de ensayo y error. Comencemos con el valor de 1. 1
1
0
−18
32
−15
1
1
−17
15
1
−17
15
0
1
El residuo es cero
? ( x 1) es un factor del polinomio. Tenemos entonces que el cociente de la división da lugar al polinomio f ( x ) = ( x + x 2 − 17 x + 15)( x − 1) . 3
Sin embargo, aún es posible encontrar otros factores del polinomio de grado tres, así que procederemos a efectuar nuevamente la división sintética. Los factores a probar de 15 siguen siendo los mismos: 01, 03, 05, 015 ; probemos ahora con 1
1
1
160
1
−17
15
−1
0
17
0
−17
32
−1
El residuo es 32 Entonces (x+1) no es factor del polinomio
Matemáticas IV
BV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Probemos con 3. 1
1
1
−17
15
3
12
−15
4
−5
0
3
El residuo es 0, por lo tanto (x−3) es factor del polinomio
Tenemos que la factorización queda de la forma siguiente:
f ( x ) =(x 2 + 4 x − 5)( x − 1)( x − 3) Factorizando el trinomio f ( x ) = ( x 2 + 4 x − 5) = ( x + 5)( x − 1) , los factores de la ecuación polinomial f ( x ) = x 4 − 18 x 2 + 32 x − 15 = ( x − 1)2 ( x − 3)( x + 5) y, por lo tanto, sus raíces son: x = 1 (raíz doble), x = 3 y x = −5 Ejemplo 6: Hallar la ecuación polinomial de grado tres si tenemos que sus raíces son 4 y 1 $ 5i . Solución: Como la ecuación es de grado tres, tenemos ya las tres raíces. (Recuerda que la otra raíz es el conjugado del número complejo.) x = 4 ; x = 1 + 5i y x = 1 − 5i (el conjugado complejo) Para encontrar la ecuación sólo nos resta efectuar las operaciones necesarias en: ( x − 4 )( x − 1 + 5i )( x − 1 − 5i )
Se toma el valor de
i = −1 , por lo que
i = −1 . 2
> + Y ( x − 4 ) ⎡⎣( x − 1) + 5i ⎤⎦ ⎡⎣( x − 1) − 5i ⎤⎦ ( x − 4 ) ⎡⎣( x − 1)2 − (5i )2 ⎤⎦ ( x − 4 )( x 2 − 2 x + 1 − 25i 2 ) pero como i 2 = −1 ( x − 4 )( x 2 − 2 x + 26) = x 3 − 2 x 2 + 26 x − 4 x 2 + 8 x − 104 La ecuación buscada es: x 3 − 6 x 2 + 34 x − 104 = 0 Ejemplo 7: Hallar la expresión del polinomio f ( x ) de grado tres cuyos ] ^ 5 , tal que f (3) = −24 . Solución: f ( x ) = an ( x − r1 )( x − r2 )( x − r3 )
Realiza una breve consulta * ca sobre las propiedades de los números complejos.
Sustituyendo por los ceros, tenemos: f ( x ) = an ( x − 2 ) ( x − 6 ) ( x − ( −5) ) f ( x ) = an ( x − 2)( x − 6)( x + 5) 161
Multiplicando, tenemos: f ( x ) = an ( x 3 − 3 x 2 − 28 x + 60)
MIV
Sustituimos f (3) = −24 f (3) = an ⎡⎣(3)3 − 3(3)2 − 28(3) + 60 ⎤⎦ = −24 Resolviendo: an ⎡⎣27 − 27 − 84 + 60 ⎤⎦ = −24 an ( −24 ) = −24 an =
−24 −24
=1
La ecuación polinomial es: f ( x ) = 1( x 3 − 3 x 2 − 28 x + 60) f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 28 x + 60 que es la ecuación buscada. Ejemplo 8. Si f ( x ) = 3 x 4 + 4 x 3 − 6 x 2 − 9 x − 10 , hallar todos los ceros racionales de f. Solución: Las posibilidades para s son los factores de 10: ±1, ±2, ±5 y ± 10. Las posibilidades para t son los factores de 3: 01 y 0 3 , entonces las posibles raíces racionales
s t
son 01, 02, 05, 010, 0 13 , 0 23 , 0 53 y 0 103 .
Probamos mediante división sintética siguiendo el orden en que aparecen enlistadas y encontraremos que 2 es un cero, como se muestra a continuación. 3
3
4
−6
−9
−10
−6
4
4
10
−2
−2
−5
0
−2
entonces f(x) = (3x3− 2x2 −2x −5)(x + 12)
> 3 x 3 − 2 x 2 − 2 x − 5 = 0 ; las posibilidades para s son 01 y 0 5 y las posibilidades para t son 01 y 0 3 . Tenemos que las posibles raíces racionales s son 01, 05, 0 13 y 0 53 , al probar con los posibles t
factores tenemos que
5 3
es un cero de f. 3
3
162
−2
−2
−5
5
5
5
3
3
0
5 3
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
La ecuación que resulta es x 2 + x + 1 = 0 , resolviendo por la fórmula cuadrática da como resultado x = −1 +2i 3 y x = −1 −2i 3 , sólo que estos resultados no son racionales. Fíjate que los ceros racionales de f son 2 y 53 .
Regla de los signos de Descartes La regla de Descartes de los signos establece que: El número de raíces positivas de la ecuación polinomial f ( x ) 0 es igual al número de variaciones de signo del polinomio f ( x ) , o bien a este número menos un entero positivo y par. El número de raíces negativas de f ( x ) 0 es igual al número de variaciones de signos de f ( x ) , o bien a este número menos un entero positivo y par.
> f ( x )
con potencias ordenadas de forma decreciente.
Recuerda que se produce una variación de signo cuando dos términos consecutivos son de signo contrario.
Ejemplo 9: Hallar el número de raíces positivas y negativas de la ecuación f ( x ) = x 8 − 2 x 6 + 2 x 3 − 3 x + 14 = 0 . Solución: Positivas: como podrás observar, el polinomio tiene 4 variaciones de signo, por tanto el número de raíces positivas del polinomio f ( x ) son 4 ,( 4 2) o ( 4 4 ) , según la regla de los signos de Descartes.
Negativas: veamos ahora lo que sucede con el polinomio f ( − x ) = ( − x )8 − 2( − x )6 + 2( − x )3 − 3( − x ) + 14 = x 8 − 2 x 6 − 2 x 3 + 3 x + 14 Este polinomio tiene dos variaciones de signo, por lo tanto posee 2 o 0 raíces negativas. Entonces tenemos que la ecuación puede tener 4, 2 o 0 raíces positivas, 2 o 0 raíces negativas y al menos 8 − ( 4 + 2) = 2 raíces complejas. Ejemplo 10: Establecer el número de raíces positivas, negativas y complejas de la ecuación f ( x ) = 2 x 4 + 7 x 2 + 6 = 0 , aplicando la regla de los signos de Descartes. Solución: f ( x ) no presenta ningún cambio de signo. f ( − x ) = 2( − x )4 + 7( − x )2 + 6 = 0 , tampoco presenta ningún cambio de signo, entonces las 4 raíces son complejas, ya que f (0) 0 . Resumimos esta sección con una actividad grupal.
163
MIV
> k ZX * mientos a cada uno de los ejercicios. 1)
Hallar el número de raíces positivas, negativas y complejas de las siguientes ecuaciones, aplicando la regla de los signos de Descartes.
2)
a.
3 x 3 + 2 x 2 − 12 x + 5 = 0
b.
x 2 − 5x + 3 = 0
c.
x 6 + 2x 3 − 2 = 0
d.
x 6 − 4 x 2 − 3x + 1 = 0
e.
x 4 − 2x 2 − 3 = 0
f.
x 4 − x 2 − 2x − 1 = 0
Hallar las raíces racionales, si existen, de las siguientes ecuaciones, aplicando la regla de los signos de Descartes. a.
2 x 3 − x 2 + 3 x − 27 = 0
b.
x 3 + 5 x + 12 = 0
c.
x 5 + 2 x − 66 = 0
Resolución de ecuaciones polinomiales factorizables > ' ! * gunos casos parece obvio el resultado, sin embargo, deberás seguir el procedimiento para asegurar que tu resultado sea correcto; en algunos otros casos no será muy sencillo efectuar la factorización, pero deberás estar consciente de que el esfuerzo que hagas te reportará una gran recompensa. Pasemos a la primera situación. Resolver la siguiente ecuación: f ( x ) = −2 x 3 − 3 x 2 + 3 x + 2 = 0 Los posibles ceros racionales son: 01, 02 . Utilizando estos divisores evaluemos el polinomio. Con x = −1 : f (1) = −2( −1)3 − 3( −1)2 + 3( −1) + 2 = −2 . No es solución porque −2 ≠ 0 . x = −2 : f ( −2) = −2( −2)3 − 3( −2)2 + 3( −2) + 2 = 0 . Sí es solución por } } x = 1 : f (1) = −2(1)3 − 3(1)2 + 3(1) + 2 = 0 % } }
164
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
x = 2 : f (2) = −2(2)3 − 3(2)2 + 3(2) + 2 = −20 . No es solución porque
−20 ≠ 0 .
Ya que encontramos un cero racional, procedemos a encontrar los factores utilizando los divisores encontrados para realizar la división sintética. 2
2
3
3
2
4
2
2
1
1
0
−2
entonces el polinomio queda (−2x2 + x + 1) (x + 2)
Pues el factor 2x2+ x + 1 puedes factorizarlo de forma directa. Las raíces de la ecuación son x = − 12 , x = −2, x = 1 y el polinomio queda (2x 1)(x + 2)(x1) ? K * queña tabulación). y 4
3
2
1
x −3
−2
−1
1
2
3
−1 −2 −3 −4
AO~Z> {k
Nota las raíces colocadas en sus respectivos lugares.
165
MIV
> w Z Y
a)
f ( x ) = 2 x 3 + 3 x 2 − 17 x − 30 = 0
b)
x 4 + 3 x 2 − x − 27 = 0
c)
x 3 + 7 x 2 + 11 x + 5 = 0
d)
x3 − x2 − 7x + 3 = 0
Síntesis &
resuelve en tu libreta lo que se solicita. I.
En binas, realicen las siguientes actividades. 1)
II.
166
Hallen el residuo de las divisiones siguientes: a.
(2 x 3 + 3 x 2 − 18 x − 4 ) ÷ ( x − 2)
b.
( x 4 − 3 x 3 + 5 x + 8 ) ÷ ( x + 1)
c.
( 4 x 3 + 5 x 2 − 1) ÷ ( x + 12 )
2)
Hallar los valores de k para los cuales 2 x 3 − kx 2 + 6 x − 3k es divisible entre x $ 2 .
3)
> + * siones siguientes: a.
(3 x 5 − 4 x 4 − 5 x 3 − 8 x + 25) ÷ ( x − 2)
b.
( 4 x 3 − 10 x 2 + x − 1) ÷ ( x − 12 )
c.
Dado f ( x ) = x 3 − 6 x 2 − 2 x + 40 calcular f ( 4 ) .
En equipos, resuelvan las siguientes actividades. 1)
Se sabe que una raíz de x 3 + 2 x 2 − 23 x − 60 = 0 es 3 . Encontrar las otras raíces.
2)
Dos raíces de x 4 + 4 x 3 − 3 x 2 − 10 x + 8 = 0 son 2 y 1. Encontrar las otras raíces.
3)
Las raíces de la ecuación (2 x + 1)(3 x − 2)3 (2 x − 5) = 0 son:
4)
Escribir la ecuación de grado 3 cuyas raíces son: 5, 1, 3 .
5)
Escribir la ecuación que corresponde a ( x +
1 4
) ( x + ) ( x − 2) = 0 . 1 2
Matemáticas IV
6)
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
!
dos raíces iguales a 2 y 1 3i .
7)
Hallar las raíces reales, si existen de x 3 − x − 6 = 0 .
8)
Hallar las raíces reales, si existen de 2 x 3 + x 2 + 2 x − 4 = 0 .
9)
~ ' f ( x ) = x 3 + x − 3 " * &
x 3 + x − 3 = 0 %W x 3 + x − 3 = 0 . (Redondea a dos decimales.)
10) > " * les, si existen, de la ecuación 2 x 5 + x − 66 = 0 .
Realimentación >
sesión del presente bloque. En forma individual, responde lo que se solicita. Realiza con cuidado tus operaciones y checa bien tus signos. I.
II.
Encuentra los ceros reales y complejos de las siguientes funciones polinomiales. a)
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 5 x + 12
b)
f ( x ) = x 4 − 3x + 5
c)
f ( x ) = 3x 3 + x 2 − 2 x + 4
d)
f ( x ) = x 4 − 2x 2 + 8
Dos raíces de la ecuación polionomial x 3 − x 2 − 8 x + 6 = 0 son 3, 1 . Halla la tercera raíz.
III. Dos raíces de la ecuación polinomial x 4 + x 2 − 2 = 0 son 1 y − 2 . Hallar las otras dos raíces. IV. Responde las siguientes cuestiones subrayando únicamente la respuesta correcta.
167
MIV
1)
? − x 3 + x 2 + x − 1 es: y 7 6 5 4 3 2 1
x −7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7
a) y 7 6 5 4 3 2 1
x −7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7
b)
168
2
3
4
5
6
7
Matemáticas IV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
y 7 6 5 4 3 2 1
x −7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7
c) d) y 7 6 5 4 3 2 1
x −7
−6
−5
−4
−3
−2
−1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7
AO~Z>% {w {_
2)
> f ( 3) en la función x 4 + 5 x 3 − 2 x + 2 , se obtiene: a.
212
b.
46
c.
224
d.
58 169
MIV
3)
4)
5)
6)
El residuo de dividir 8 x 4 − 30 x 2 + 5 − 2 x − 15 x 3 ) ÷ ( x − 3) es: a.
k`
b.
[^
c.
]^
d.
28
> ' x 3 + 3 x 2 + 10 x − 24 = 0 , se obtiene: a.
( x + 4 )( x − 6)( x + 2)
b.
( x 4 )( x 3)( x 2)
c.
( x + 4 )( x − 3)( x + 2)
d.
( x + 6)( x − 3)( x + 2)
& f ( x ) = x 4 + 9 x 3 + 21 x 2 − x − 30 a.
6
b.
5
c.
3
d.
1
5 4 3 2 En f ( x ) = 2 x − 3 x − 2 x − 2 x + x + 1 el número de ceros negativos posibles
de f ( x ) es:
170
a.
3, 1 o 0
b.
1
c.
2o0
d.
4, 2 o 0
Matemáticas IV
7)
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
BV
" ' 5
y
4 3 2 1
x −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10
AO~Z> {`
8)
a.
2 x ( x 1)2 ( x 3)
b.
x ( x − 1)( x + 1)( x − 3)
c.
x ( x − 3)( x + 1)
d.
x 2 ( x 1)( x 3)
? Y 5
y
4 3 2 1
x −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10
AO~Z> {\
a.
x 3 − 4 x 2 + 3x
b.
x 3 − 2 x 2 + 3x
c.
x 3 5 x 2 3x
d.
x3 $ 4x2 $ 4
171
>
MIV
Responde de nuevo la evaluación diagnóstica que se encuentra al principio del blo W !
de tu aprendizaje. Me encuentro en este nivel Pre-formal
Inicial
Básico
>
Estratégico
Evaluación de las competencias Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
Habilidades
Conocimientos
O
forma x a es factor de un polinomio, al momento de ingresar la fórmula en la celda.
>
172
1
O '
O
x a
es factor de un polinomio,
fórmula en la celda de Excel.
Describo la prueba del cero
fundamentales del algebra y de la factorización lineal, por lo +
hoja de Excel.
Describo la prueba del cero
fundamentales del algebra y de la '
la hoja de Excel.
T
de funciones polinomiales factorizables mediante la hoja de cálculo de Excel.
Obtengo los ceros pero represento
y pequeños errores la función polinomial de que se trate.
Determino los ceros de la ecuación polinomial de que se trate mediante la hoja de cálculo de Excel.
"
de la ecuación polinomial mediante el uso de la hoja de Excel.
>
funciones polinomiales en la resolución de problemas, utilizando la tecnología.
Puntaje
3
Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el proyecto, además de que aporto puntos de vista personales al mejoramiento del trabajo. >X
al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, de manera que prevengo errores que mi equipo pueda generar y los corrijo acertadamente, oportunamente y con tacto.
15
>
funciones polinomiales en la resolución de problemas, pero
tecnología.
binomio de forma x a es factor de un polinomio, por lo que no puedo ingresar la fórmula en la celda de Excel. No describo la prueba del cero
fundamentales del álgebra y de la factorización lineal, por lo que
seguir en la hoja de Excel.
No puedo obtener los ceros y
función polinomial dada. No puedo determinar los ceros de la ecuación polinomial usando la tecnología. No puedo aplicar las propiedades de las funciones polinomiales en la resolución de problemas ni usar la tecnología.
Presento buena disposición al trabajo colaborativo en el proyecto.
Presento disposición discontinua al trabajo colaborativo en el proyecto.
>X
al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros y docente, pero no prevengo errores que mi equipo genera ni los corrijo.
No actúo de manera propositiva al resolver el proyecto en un ambiente de respeto hacia mis compañeros ni prevengo errores que mi equipo genera.
9
3
Matemáticas IV
BV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
La mayoría de las veces obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a , utilizando el teorema del residuo.
>
obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a , utilizando el teorema del residuo.
Pocas veces obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a, utilizando el teorema del residuo.
No obtengo el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma x a, ni utilizo el teorema del residuo.
Pocas veces
binomio de la forma x a es factor de un polinomio, usando el teorema del factor.
binomio de la forma x a es factor de un polinomio, usando el teorema del factor.
>
comprendo el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x a .
>
describo la prueba del cero
los teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal.
>
reconozco los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables.
Pocas veces comprendo el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x a .
forma x a es factor de un polinomio, ni uso el teorema del factor.
No comprendo el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma x a .
Pocas veces describo la prueba del cero racional y
fundamentales del álgebra y de la factorización lineal.
No describo la prueba del cero racional
teoremas fundamentales del álgebra y de la factorización lineal.
Pocas veces reconozco los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables.
No reconozco los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables.
173
MIV
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
Frecuentemente determino si un binomio de la
4 ( $ " $( $
Pocas veces determino si un binomio de la
No determino si un binomio de la
Determino si un binomio de la forma
x a es factor de
Habilidades
un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.
Obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio
x a.
La mayoría de las veces obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio
x a.
,$( x
a es
factor de un $ $( $ necesidad de efectuar la división.
4 $" $ ,$( abreviada el cociente y el residuo de la división de un $ $( $ " $( $
x a. Obtengo los ceros
de funciones polinomiales factorizables.
Obtengo los ceros
de funciones polinomiales factorizables.
174
forma x a es factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.
La mayor parte de las veces obtengo los ceros
de funciones polinomiales factorizables.
Frecuentemente obtengo los ceros
de funciones polinomiales factorizables.
4 $" $$ $ ! de funciones $ $( factorizables.
4 $" $$ $ ! de funciones $ $( factorizables.
forma x a es factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.
Pocas veces obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio
x a.
forma
x a es
factor de un polinomio, sin necesidad de efectuar la división.
No obtengo en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio
x a.
Pocas veces obtengo los ceros
de funciones polinomiales factorizables.
No obtengo los ceros y
de funciones polinomiales factorizables.
Pocas veces obtengo los ceros
de funciones polinomiales factorizables.
No obtengo los ceros y
de funciones polinomiales factorizables.
Matemáticas IV
BV
Utilizas funciones factorizables en la resolución de problemas
>
Producto, logro o desempeño
Puntaje
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
>
vista con apertura y considero los de mis compañeros de ' #
tolerante, además que demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
>
vista con apertura y considero los de mis compañeros ' #
y tolerante, pero en ocasiones demuestro poca disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
5$$ $ $ ocasión alternativas para dar solución $" ( ( (! $
5$$ $ , ( alternativas para dar solución $" ( ( (! $.
15
12
>
mayoría de las ocasiones, puntos de vista con apertura y considero los de mis compañeros de forma poco #
tolerante, además que demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
>
ocasiones, puntos de vista con apertura, pero no considero los de mis compañeros de forma #
demuestro poca disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
5$$ $ ( $ $ $ alternativas para dar solución $" ( ( (! $
Propongo, pocas veces, alternativas de solución para problemas matemáticos.
9
^
No aporto puntos de vista con apertura ni considero los de mis compañeros de ' #
y tolerante, además que no demuestro disposición para trabajar en forma colaborativa con mis compañeros en la resolución de los problemas aplicativos.
No propongo alternativas para dar solución a problemas matemáticos. 3
175
Bloque VI
> '
racionales Objetos de aprendizaje:
Función racional
" '
>
>
Criterios de existencias de las asíntotas horizontales y oblicuas.
Desempeños del estudiante
O ' * mina la existencia de asíntotas verticales.
Emplea la calculadora para tabular valores de funciones racionales.
> * '
racional.
> '
rectas que son asíntotas para solucionar problemas teóricos o prácticos.
Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. ^ % + *
# ` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. w > + + *
de las tecnologías de la información y comunicación. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ` O *
MIV
Dinamización y motivación > * zando los procedimientos que sean necesarios para sustentar tus repuestas. 1)
Determina el dominio de las siguientes expresiones: a.
f (x) =
b.
g( x ) =
5− x x x2 x +4
2)
En la función h( x ) =
3)
?
x2 +7 2 x 2 + 9 x +5
. &
sufrió y 3x , con base en estas determina la nueva expresión (una sola expresión) que contenga todas estas traslaciones.
y 5 4 3 2 1 x −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2 −3 −4 AO~Z> ^[
4)
5)
Para la función h( x ) =
x −1 x +3
, obtén:
a.
Su intersección con los ejes
b.
Sus asíntotas verticales y horizontales
c.
%
Obtener en la función h( x ) =
x 2 +1 x +1
:
a.
Sus intersecciones con los ejes.
b.
Sus asíntotas oblicua y vertical según corresponda.
c.
%
Las soluciones que dé tu profesor te permitirán situarte en el nivel que te corresponda según la tabla, el objetivo es valorar y considerar lo que se requiere para mejorar. 178
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
Observación: al dar las soluciones tu profesor solo realizará comentarios '
de este bloque se estudiará en detalle lo concerniente a la evaluación anterior.
!" #$ punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto
Coloca una X en " alcanzaste
'* alcanzado
Nivel Estratégico
9 a 10 puntos
Reconozco y determino el dominio así como las asíntotas de las funciones racionales.
_ `
Establezco en varias funciones racionales su dominio y sus asíntotas.
Nivel Básico
{ ^
En algunas funciones racionales determino su dominio y ciertas asíntotas.
2 a 4 puntos
algunas funciones racionales su dominio y algunas asíntotas.
0 a 1 puntos
resolver tu evaluación para conocer los avances que has logrado.
Contextualización Cuántas veces a través de la televisión, la prensa, la radio u otros medios nos hemos enterado de que a ciertas horas del día nos debemos proteger con bloqueadores solares contra los rayos ultravioleta, ya que pueden causar daños a nuestra piel. La efectividad de los bloqueadores solares antes mencionados es modelada a través de funciones racionales, funciones que estudiaremos en este bloque. Consideremos la función v ( x ) = 132 xx−−1174 , que representa la efectividad de un bloqueador recién salido a la venta en el mercado. Si dicho bloqueador es aplicado a las 11 de la mañana, responde las siguientes cuestiones (pueden formar equipos para solucionarlas):
179
%e
MIV
Protección rayos ultravioleta
8 7 E f e c t i v i d a d
6 5 4 3 2 1
-1
0 -1
(1=10%)
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
0=11.a.m; donde 1=10 minutos AO~Z> ^]
1)
& 2) ! Las funciones racionales también se usan para obtener promedios, para analizar la capacidad de memoria o más bien su pérdida, los ecologistas o biólogos las utilizan para conocer la extinción de alguna especie, etcétera. Como habrás observado, el estudio de las funciones racionales no sólo es interesante, sino que además reviste una gran importancia para modelar situaciones de la vida diaria. Por lo tanto, iniciemos su estudio a detalle.
Proyecto Para concluir este bloque se te presenta una situación en forma de proyecto, para que sirva de evidencia de las competencias que se necesitan generar en el presen > '
comunicación, que también forma parte de las competencias genéricas a desarro > Proyecto
Variación directa como caso particular de una función racional
Problema
Emplear la variación inversa en la solución de problemas
Duración
Una semana
Puntuación
15 puntos Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Competencias
180
>
determinar o estimar su comportamiento.
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
En equipos diseñados por el profesor (no más de 3 integrantes) realizarán actividades
Y
“x varía inversamente o es inversamente proporcional a y si y kx , donde k es una constante de proporcionalidad. Es decir, y está en variación inversa con x, e inversamente. Otra manera de verla es mediante la relación xy k !
de variación directa son: en una obra, el número de obreros respecto al tiempo de conclusión de la misma; otro sería el espacio vacío de volumen en un vaso, respecto a la cantidad de líquido que se deposita dentro de él. & % '
+
no cómo. 1. Según la ley de Boyle, a temperatura constante la presión P ejercida por un gas comprimido está en variación inversa al volumen V que ocupa. a) Representen la relación con su constante de variación. 3
2
b) Si en un volumen de 300 cm se ejerce una presión de 20 libras por cm , determinen el valor de la constante de variación. >
3
c) Si tienen un volumen de 400 cm , determinen cuál será la presión esperada por el gas. 2. La ley de la gravitación descubierta por sir Isaac Newton indica que la fuerza F de atracción de dos objetos varía conjuntamente respecto a sus masas m1 y m2 , e inversamente respecto al cuadrado de la distancia d que las separa. a) Encuentren la relación de esta variación. b) % ^ k +
'
c) % +
' d) +
3. Encuentren una situación de la vida real que aplique la variación inversa, y en donde con unos datos se pueda determinar la constante de variación y así resolver otras situaciones que se desprendan de ello.
Recursos
Tras resolver las tres actividades, preparen una exposición sobre el método que emplearon en cada uno de ellos, así como sus resultados.
La actividad 3 no debe coincidir con ninguno de los equipos restantes.
Libro de texto, PC, software '
libros de consulta en la biblioteca. Este trabajo deberá entregarse en la fecha señalada por el docente y, en caso de que un elemento del equipo falte, se resolverá según el criterio de tu profesor.
Normas
El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada integrante del equipo trabajará, explicará y argumentará oral y analíticamente lo necesario cuando se le solicite. Si dos o más equipos tienen coincidencias en la actividad 3, entonces recibirán la penalización que el docente sugiera.
181
MIV
% >Y >
'
racionales Saberes Del saber
O ' * nar su comportamiento.
" '
asíntotas de las funciones racionales provenientes de situaciones hipotéticas o reales.
Del saber hacer Obtengo los diferentes tipos de asíntotas que posea una función racio
" ' * duzcan a su utilidad en diferentes áreas.
Del saber ser >
W
' #
>X ' + * potéticos o reales presentados.
Reconozco mis errores en los procedimientos y tengo disposición para solucionarlos.
Problematización Ya se han tratado las funciones polinomiales de diferentes tipos, es decir, desde la función constante hasta las funciones de grado mayor a tres. Has trabajado con /
unidad nos corresponde examinar las funciones llamadas racionales, las cuales son una extensión de las funciones polinomiales.
>
de los números reales. Estos números reales se dividían o agrupaban en varios con ? ' Y Reales Racionales Enteros Naturales
182
AO~Z> ^k ? X
Irracionales
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
Como podrás observar, los primeros elementos que estudiaste fueron los X K[ ] k wJ ( 2, 1, 0, 1, 2, 3,...) al añadirles signo negativo a los naturales y considerar al cero. Después se construyó el conjunto de los números racionales (2 3 , 1 / 2, 5 / 11,...) o fraccionarios, estos últimos se formaron al colocar dos enteros en la forma qp , donde q 0 ,es decir, al poner dos enteros, uno en el numerador y otro en el denominador, se obtuvo una nueva categoría de número: el racional. Este último conjunto es mayor al de los enteros, pues los enteros están comprendidos en los racionales, esto es, + ?
cada uno de los números naturales se puede ver como un número racional, por ejemplo, el número entero 2 se puede ver como el número racional 21 , el entero 0 como el racional 10 y así sucesivamente. Por lo tanto, los números enteros están comprendidos en los racionales. Es importante en este recordatorio que el denominador q del número racional sea diferente de cero, pues en caso contrario
estos hechos con las funciones polinomiales ya vistas y las funciones racionales que !
comportamiento y características de las funciones racionales, es decir, los números racionales y las funciones racionales (que también se puede considerar como un conjunto) tienen ciertas características en común. En plenaria, discutan cómo se formaría una función racional, considerando lo señalado anteriormente. Relacionen las similitudes con la ayuda de tu ' $ '
Desarrollo de saberes > '
Supongamos que tenemos la función f ( x ) =
x +2 x −3
Una tabla de valores ha de considerarse como sigue:
2
x
1
0
1
2
3
4
y
Calculando los valores de las ordenadas a cada una de estas abscisas con la función dada, se obtiene: x
2
1
0
1
2
3
4
y
0
0.25
0.66
1.5
4
^
183
¯+
x 3 >
+
cero. Por el momento le colocamos el símbolo de interrogación. En los valores de x 2 obtenemos un valor negativo, en el valor de x 4
+
MIV
x 3 por la izquierda y por la derecha, sin usar el valor 3. Para ello tenemos la siguiente tabla extendida: x
2.9
2.99
2.999
3.001
3.01
3.1
y
49
499
4999
5001
501
51
Observamos que mientras nos acercamos cada vez más al valor de x 3 por la izquierda la función tiende a darnos valores negativos muy grandes; mien
|
función, pero esto es algo que detallaremos más adelante. > * '
> [ Completa la siguiente tabla de valores que corresponde a la función f ( x ) = contesta las cuestiones que se te solicitan. x
10
5
2
1
0.5
0.2
0.1
0.01
0.01
0.1
0.2
0.5
1
2
5
−1 x
y
10
y
a)
¯+
y cuando los valores de x van siendo cada
W
b)
¯+
y cuando los valores de x están cercanos al +
c)
¯+
y cuando los valores de x van siendo cada
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y con tu profesor y ' Después del análisis realizado, pasamos a desarrollar la teoría básica de las funciones racionales.
184
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
Función racional > X '
similar se construyen las funciones racionales, pero estas a partir de los polinomios. Una función racional se forma como: f (x)
P( x ) Q( x )
Donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) no es el polinomio cero. El dominio de esta función f, es R a excepción de los ceros de Q(x Cabe señalar que en el denominador el polinomio Q no es el polinomio cero, es decir que Q( x ) 0 . Vamos a suponer también que los polinomios P y Q no tienen factores en común. Después de esto, queda claro que todo polinomio se puede ver como una función racional, por ejemplo:
f ( x ) c 1c , g( x ) = 3 x 2 − 2 x + 1 =
3 x 2 − 2 x +1 1
.
Esto mismo ocurre en el ámbito de los números reales, es decir, cada entero se podía representar como un racional, además de que el denominador debe ser diferente de cero. De ahí la relación básica entre las funciones racionales, además de otras pautas de similitud y correspondencia que no se tratan en esta obra.
> as En el caso de la función f ( x ) =
x +2 x −3
, señalada al inicio del bloque, observamos que
existe un problema con el valor x 3 . Razón por la que tomamos valores cercanos a 3 por la izquierda y por la derecha, tal como el caso de 2.99, 2.999, 3.001 y 3.01. Los valores por la izquierda de 3 (2.99 y 2.999) nos dieron valores cada vez más pequeños, es decir, cada vez que nos acercamos más al 3 obtenemos números decrecientes hasta lograr valores inimaginablemente grandes en valor absoluto, pero negativos. Para representar este hecho utilizamos la siguiente notación: f ( x ) → −∞ cuando x 3 por la izquierda
Esto se lee: “ f ( x )
* res de x k Z
1 K Y J
representa un número extremadamente grande e inalcanzable, ya sea positivo o negativo.
Ten presente las siguientes relaciones: a 0
= ∞ , ∞a = 0 .
Por otro lado, cuando consideramos valores a la derecha del 3, tales como 3.01 y 3.001, se determinan valores cada vez mayores que cualquier número preestablecido. De forma similar, esto se describe matemáticamente: f ( x ) → ∞ cuando x 3 por la derecha
185
MIV
Esto es: “ f ( x ) x k T ' '
del valor de x 3 .
y 8 6 4 2
x −4
−2
2
4
6
8
10
12
−2 Asíntota vertical x = 3
−4 −6 −8
Observa la leyenda de la figura
AO~Z> ^w ~ ' f ( x )
=
x +2 x −3
.
> ' f ( x ) = −1x . En este caso el detalle ocurre cerca del punto x }
'
y 8
Observa la leyenda de la figura
6 4 2
Asíntota vertical x = 0
x −8
−6
−4
−2
2
4
6
−2 −4 −6 −8
AO~Z> ^{ ~ ' f ( x )
Se observa que:
186
f ( x ) → ∞ cuando x 0 por la izquierda
f ( x ) → −∞ cuando x 0 por la derecha
=
−1 x
.
8
10
Matemáticas IV
Aplicas funciones racionales
BVI
! ^[ ^]
f en el valor x a está presente si se cumple cualquiera de las siguientes relaciones:
f ( x ) → ∞ cuando x a por la izquierda
f ( x ) → −∞ cuando x a por la izquierda
f ( x ) → ∞ cuando x a por la izquierda
f ( x ) → −∞ cuando x a por la izquierda
! ^k ^w
x 3 y x 0 (eje Y) respectivamente. ~ * cho, pero sin llegar a cortarla.
En el caso de las dos funciones anteriores f ( x ) = xx +−32 y f ( x ) = −1x , vemos que ya están reducidas a sus mínimas expresiones, es decir, el denominador y numerador no poseen factores comunes, así que consideremos los denominadores de cada uno. Para el primer caso se tiene que el denominador x 3 tiene un cero en 3. Esto se determina al hacer el denominador Q }
x − 3 = 0 , y despejando x se tiene que x 3 . Razón por la cual determinamos que el dominio de f ( x ) =
x +2 x −3
serán todos los reales a excepción del valor 3; en términos
matemáticos: D = R − {3} . Observamos que en el valor 3 de la expresión f (3) 5 0 En el segundo caso el denominador es x, por lo que su cero será x 0 . Entonces su dominio estará dado por D = R − {0} . Estamos en la posición de señalar un criterio para determinar una asíntota vertical.
? ' f ( x ) QP (( xx )) , donde P( x ) y Q( x ) no tienen factores comunes, tiene a la recta x a como una asíntota vertical sólo si a es un cero de Q( x ) , es decir, si Q(a ) 0 .
187
Consideremos unos ejemplos.
MIV
Ejemplo 1: Determina el dominio y las asíntotas verticales de cada una de las funciones racionales que se dan a continuación: a)
f (x) =
x +2 3x +4
b)
f (x) =
x 2 + x −6 x −2
Solución: a)
El numerador y denominador no tienen factorización, por lo que no poseen ' > 3 x + 4 = 0 , de donde x = − 4 3 . Claramente el dominio de esta función será D = R − {− 4 3} . >
x = − 4 3 .
b)
En este inciso observamos primero el dominio de la función, por lo que tomamos el denominador y observamos que es x − 2 = 0 , por lo que x 2 , así que el dominio es D = R − {2} . Para determinar la asíntota notamos que el numerador es factorizable, de manera que la función ( x − 2 )( x + 3 )
'
f ( x ) = x −2 = x −2 = x + 3 tras cancelar los factores comunes. Esta función no corresponde al principio señalado arriba para determinar las asíntotas verticales, ya que el nux 2 + x −6
merador y denominador tenían el factor común ( x 2) que al cancelarlo
%W X ' y 6 5 4 3 2
2 f (x) = x + x − 6 x− 2
1 x
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −1
0.5 1
1.5 2
2.5 3
3.5 4
4.5 5
5.5 6
−2 2 AO~Z> ^^ ~ ' f(x) = x + x − 6
x− 2
T
inaceptable x 2 ' !
Proponemos una actividad que introducirá el siguiente tipo de asíntota.
188
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
> ] En equipos de tres integrantes propongan, con argumentos claros, soluciones a los cuestionamientos. Consideren la función f ( x ) x12 . En caso necesario hagan consensos para establecer sus conocimientos previos y que se aplicarán aquí.
x
a)
& '
b)
+
x '
c)
+
x '
d)
Determina su asíntota vertical
e)
Calcula sus intersecciones con los ejes
f)
Completen la tabla siguiente:
10
5
2
1
0.5
0.2
0.1
0.01
0.01
0.1
0.2
0.5
1
2
5
10
y
g)
|
Tras haber completado la actividad, podremos observar que los valores de f ( x ) se van haciendo más pequeños y acercándose a cero a medida que los valores de x son grandes, tanto positivos como negativos; por ejemplo f ( −10) = f (10) = 0.01 , así que notamos que: f ( x ) 0 cuando x → −∞ y f ( x ) 0 cuando x → ∞
Esto indica que f ( x ) se acerca o tiende al valor 0 cuando x se aproxima a −∞ y a 1 , es decir, cuando x decrece sin límite o cuando crece sin límite.
&
asíntotas horizontales, que en el caso anterior es la recta y 0 , que equivale al eje X. Una asíntota horizontal f en el valor y b está presente si se cumple cualquiera de las siguientes relaciones:
f ( x ) b por la derecha cuando x → ∞
f ( x ) b por la derecha cuando x → −∞
f ( x ) b por la izquierda cuando x → ∞
f ( x ) b por la izquierda cuando x → −∞
Damos una proposición que nos servirá para determinar las asíntotas horizontales:
189
MIV
La función racional f ( x ) = rizontal:
an x n + an−1 x n−1 +⋅⋅⋅+ a1 x + a0 bm x m + bm−1 x m−1 +⋅⋅⋅+ b1 x + b0
tendrá por asíntota ho-
> X ( y 0) , cuando n m
> y
>
n.m
an bm
, cuando n m
Una vez tratados estos conceptos, procedemos a aplicarlos en algunos ejemplos. Ejemplo 2: Determina las asíntotas verticales y horizontales de las funciones: a)
f (x) =
x x 2 −16
b)
g( x ) =
8 x2 3 x 2 − 27
Solución: En ambos casos las funciones están en su mínima expresión. a)
Verticales. En el denominador observamos sus ceros, los cuales son x 2 − 16 = 0 , entonces x 2 16 , de lo cual se tiene x 4 y x = −4 ; estas son las dos asíntotas verticales. El dominio será D = R − {4 , −4} . Horizontales. Como el grado del numerador es n 1 y el del denominador m 2 , nos colocamos en el primer caso, en donde n m , por lo cual la asíntota horizontal es la recta y 0 (eje X).
b)
> 3 x 2 − 27 = 0 , de donde se tendrá que x 3 y x = −3 . Estas son las asíntotas verticales. El dominio es D = R − {3, −3} .
Horizontales. Es el segundo caso donde n 2 m , por lo cual la asíntota vertical es la recta y 8 3 . | ' g( x ) .
190
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
y 6 5
g (x) =
4
x= −3
8x2 3x2 − 27
3
x= 3
2 1
y=3 8
−4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −1
0.5
1
x 1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
−2
AO~Z> ^_ ~ ' g( x )
=
8 x2 3 x 2 − 27
y sus asíntotas verticales y horizontales.
! ' g( x ) está representada en 3 ]
!
pues están dadas por secciones, ramas o pedazos. Por último, pasamos a las asíntotas oblicuas. Una asíntota oblicua es una que no es vertical ni horizontal. La función racional f ( x )
P( x ) Q( x )
, donde el grado de P( x ) es mayor en uno que el
grado de Q( x ) , tendrá una asíntota oblicua. Para determinar esta asíntota oblicua se procede a:
Dividir el polinomio del numerador entre el del denominador, obteniendo una función cociente y lineal más otra racional. Esto lo representaremos como
P( x ) Q( x )
= C ( x ) + Qr ((xx)) , en donde C ( x ) es el cociente de grado uno
y r ( x ) el residuo de dividir
P( x ) Q( x )
.
Hacer crecer o decrecer a x sin límite para que
r( x ) 0 cuando Q( x ) x → ∞ o x → −∞, por-
que el eje x ( y 0) es una asíntota horizontal de
r(x ) Q( x )
0 con lo que
f ( x ) C ( x ) , la cual es la función lineal C ( x ) y esta será la asíntota
r( x ) , ya que el graQ( x )
do de r(x) es menor que el grado de Q(x).
oblicua de f ( x ) . Consideramos esto en un ejemplo. Ejemplo 3: Determina las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la función f ( x ) =
x2 − 4 x +1
.
Solución: > ' Verticales. Se obtiene que x = −1 es la asíntota vertical.
191
MIV
Horizontales. Ya que n = 2 > 1 = m , entonces no tiene asíntota horizontal. Oblicua. Puesto que n − m = 1 , entonces habrá una asíntota oblicua. Primero se realiza la división de x 2 4 entre x $ 1, de lo cual se obtiene que f ( x ) =
x2 − 4 x +1
= ( x − 1) −
3 x +1
.
> x → ∞, se tendrá que f ( x ) → ( x − 1) , así que la ecuación de la asíntota oblicua será y = x − 1 . % ' y 8 2
f (x) = x − 4 x+1
Asíntota oblicua
6
y = x −1
4 2 x
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−2 −4
x = −1
−6 −8
AO~Z> ^` > ' f ( x )
=
x2 − 4 x +1
.
Para reforzar el conocimiento de las asíntotas, aquí te propongo una actividad en equipo.
> k ZX k Y
recta x 4 es una asíntota de la función f ( x )
&T=>£ w
@ + %
!
"
a su grupo. Concluimos el análisis de estas funciones mediante las herramientas de utilidad para su representación.
~ ' Ya señaladas la conformación, dominio y los tipos de asíntotas de las funciones racionales, preparamos esta última sección, donde se aplicarán los conceptos para ' '
&
representación de una función racional. 192
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
Ejemplo 4: O ' f ( x ) =
x2 − 4 x +1
.
Solución: Ya discutimos en parte esta función, de manera que retomaremos de manera breve lo realizado. Comencemos siguiendo las sugerencias: Intersecciones. En el eje X se tiene que x 2 − 4 = 0 , de donde x 2 y x = −2 . En el eje Y se considera y = −4 & X en 2 y 2 , y al eje Y en 4 . > ! k
' x = −1 . No tiene horizontal. La oblicua es la recta y = x − 1 .
Recuerda que en las intersecciones con el eje X se toma y 0 para después despejar x. Con el eje Y se toma x
0 para después despejar y.
Tabulación. El único detalle es considerar valores cercanos a la asíntota x = −1 . Una tabla podría ser la siguiente: x
6
4
2
1.5
1.1
0.9
0.5
0
2
4
^
y
6.4
4
0
3.5
]_\
31.9
7.5
4
0
2.4
w{_
? ^{ %
con el análisis que realizamos de forma analítica en estos tres pasos. Ejemplo 5: Realiza el análisis de la función f ( x ) =
−2 x x 2 − 25
.
Solución: Intersecciones. En el eje X se tendrá que −2 x = 0, de donde x 0 . En el eje Y da y 0 &
tocará al origen. > Y
Verticales: nos da x 5 y x = −5 . Horizontales: como n =1 ^\ ~ f ( x )
=
−2 x x 2 − 25
.
> w Comparte con tus compañeros las posibles formas de obtener las intersecciones y asíntotas con tan solo visualizar los términos de las funciones racionales. Comprue W Una vez que hemos señalado la parte principal de esta sesión, lo consecuente es que desarrolles y complementes las habilidades y actitudes necesarias para conformar las competencias disciplinares. Para ello prosigue con la sección, aplicando lo aprendido.
> { Resuelve las siguientes series de ejercicios aplicando las funciones racionales de forma que en cada uno de ellos des una argumentación con evidencias matemáticas del porqué llegaste a tal decisión. Tu docente te hará preguntas relacionadas
proporciones. 1.
194
En la siguiente serie de funciones racionales, determina lo siguiente, cuando sea posible. a)
Su dominio
b)
Sus intersecciones a los ejes X e Y
c)
Sus asíntotas
d)
Una tabla de valores
Matemáticas IV
e)
% i.
f (x) =
−1 ( x + 2 )2
ii.
g( x ) =
x 2 −9 x −2
iii. h( x ) = iv. 2.
BVI
Aplicas funciones racionales
i( x ) =
x −5 x 2 − 8 x +12
2x4 x 4 +1
Un rectángulo tendrá un área de 121 cm2 . a)
Considerando que la longitud de este rectángulo es x, expresa el perímetro en cm de tal forma que sea una función de variable x.
b)
Halla el dominio de la función encontrada.
c)
Encuentra las dimensiones para las cuales el perímetro sea mínimo (puedes usar un software J
3.
Realiza el ejercicio anterior si el rectángulo tiene un área de 49 cm2 .
4.
!
respuesta: “la recta y = −2 es una asíntota de la función g( x )
' w cm2 [k
por cm2. a)
Si la longitud del lado de la base cuadrada es de x cm, expresa el costo total que llevaría construir la caja con esas características. Nótenlo en pesos y como una función que dependa de x.
b)
Hallen el dominio de la función encontrada en el inciso anterior.
c)
Determinen la longitud del lado de la base cuadrada para que el costo del material sea mínimo.
Realimentación I.
Subraya la respuesta correcta, si la hay, a cada una de las siguientes cuestiones. 1)
2)
3)
4)
Son las asíntotas de la función f ( x )
x3 1
.
i.
x 2, y 2
iii. x = −1, y = −3
ii.
No hay
iv.
Son las asíntotas de la función f ( x ) = i.
x 2, y 0
ii.
No hay
Es el dominio de g( x ) =
Recuerda que un máximo es representado como una cresta
y un mínimo como un valle.
4 2− x
x 1
. iii. x = −2, y = 4 iv. x 2
x −1 x 2 −2− x
.
i.
R − {−2, 1}
iii. R − {2, −1}
ii.
R − {1, −1}
iv.
Son las intersecciones con los ejes de h( x ) =
R − {2}
x −4 x 2 −3 x − 4
.
i.
x = 4 , x =-1, y = 4
iii. x = −1, x = 2, y = 1
ii.
x = −1, x = −2, y = 1 2
iv.
x = 2, x = −1, y = 1 2
197
MIV
5)
6)
? f ( x ) =
1 x 2 +1
toca al eje X 3
i.
2 valores
iii. 1
ii.
Ningún valor
iv. 0
Se ha investigado que en cierta pequeña población cercana al mar las epidemias de conjuntivitis se extienden siguiendo la relación 2 P( x ) = ( x252 +x1 )2 , donde P representa la población en porcentaje con la infección y x está dada en meses. Encuentra el valor de x que determina la cantidad de meses que transcurren desde el brote de la enfermedad, para encontrar a la mayoría de la población infectada. Puedes usar un software
7)
" '
el análisis completo visto en este bloque. a. b.
8)
9)
f (x) =
x2 + 4 x2 − 4
g( x ) =
3 x 2 −12 x
Se quiere construir una cajita sin tapa con un volumen de 30 cm2 con un material mínimo. La base es rectangular y su longitud es el doble de su ancho. a.
Si el ancho de la base es x, expresa en cm2 * cie total a utilizar que sea de variable x.
b.
Usando un software
Resuelve lo que se pide en cada ejercicio dado a continuación: a.
Determinar el dominio de f ( x ) =
x +5 x 2 − 25
b.
Determinar el dominio de f ( x ) =
x +3 2 x 2 + 9 x − 35
c.
Dada la función racional f ( x ) = tota vertical.
d.
Dada la función racional f ( x ) = asíntota horizontal.
x −6 x 2 −10 x + 24
, hallar la ecuación de su
e.
Dada la función racional f ( x ) = de sus asíntotas.
3 x 2 + 4 x −5 x 2 −16
, determinar su ecuación
f.
Hallar la ecuación de la asíntota vertical y horizontal de la función racional f ( x ) =
g.
198
.
, hallar la ecuación de su asín-
.
Hallar la ecuación de las asíntotas de la función racional f (x) =
h.
x 3 − 27 x 2 −9
4 x −2
.
x3 + 2 x −6 x2 − x − 4
.
Determinar la ecuación de las asíntotas de la función racional
Matemáticas IV
f (x) =
i.
x2 +7 x +3
BVI
Aplicas funciones racionales
.
En la función racional f ( x ) =
x −3 x 2 − x −12
, hallar:
i.
Los valores de x '
ii.
La ecuación de la asíntota vertical.
iii. La ecuación de la asíntota horizontal, si existe. iv. La ecuación de la asíntota oblicua, si existe. j.
En la función racional f ( x ) =
x 2 − x −8 x −2
, hallar:
i.
Las intersecciones en x.
ii.
La ecuación de la asíntota vertical.
iii. La ecuación de la asíntota horizontal. iv. La ecuación de la asíntota oblicua. II.
Subraya únicamente la respuesta correcta que corresponda a cada cuestión: 1)
2)
3)
El dominio de la función racional f ( x ) = a.
R
b.
R, excepto 2
c.
R, excepto 3 y 5
d.
R, excepto cero
e.
R, excepto 3 y 5
x −1 x 2 + 2 x −15
es:
¿Para qué valores de x la función racional f ( x ) = da? a.
x 2 x = −1
b.
x 1 x = −1
c.
x = −4 x 0
d.
x = −2 x 1
e.
x = −1 x = −2
x 2 − 3 x −10 x 2 − x −2
$ ! /
La ecuación de la asíntota vertical de la función racional f ( x ) = a.
x 0
b.
x = −3
c.
x 2
d.
x = −2
e.
x 3
x 2 −9 x 2 − x −6
es:
199
4)
MIV
5)
La ecuación de la asíntota oblicua de la función racional f ( x ) = a.
y = 2x − 3
b.
y = 2x − 1
c.
y = 2x + 1
d.
y = 2x + 8
e.
y = 2x + 4
La asíntota horizontal de la función racional f ( x ) = a.
x −7 2 x2 − 4 x +6
2 x 2 −7 x −4
es:
es:
y 0 1 2
b. c.
No tiene
d.
y 2
y 3 e. III. 2 $ $( " $ 7 &' ! ' $ $ , $ y 10 MR) 5
x −4
−2
2
−5
(
) f (x) =
x x −3
−10
−15
−20
200
4
6
8
10
12
14
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
15
y
PH)
10
5 x −8
(
) f (x) =
−6
−4
−2
x 2 − x − 20 2 x 2 − x −3
2
4
6
8
10
−5
−10
−15
−20
y AX)
x
(
) f (x) =
x +2 x 2 −3 x + 2
20
y
XN) 15
10
5
(
) f (x) =
x2 x 2 −16
x -10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
-5
-10
-15
201
y
MIV
SD)
(
202
) f (x) =
2 x 3 −3 x − 2 x
x
Matemáticas IV
BVI
Aplicas funciones racionales
> Te invitamos a resolver de nuevo la evaluación diagnóstica que realizaste al inicio del bloque y sitúate en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado. Me encuentro en este nivel Pre-formal
Inicial
Básico
>
Estratégico
Evaluación de mis competencias Rúbrica del proyecto
Conocimientos
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5 8$ $&$ $ ( $ la constante de variación y las variables que se presenten en cada una de las actividades propuestas. Sé dónde obtener buenas , ,$( $ la tercera situación.
3
8$ $&$ $ $ $ ( $$ o las variables que se presenten
propuestas.
Habilidades
:$$ $&$ $ ( $ la constante de variación ni las variables que se presenten en cada una de las actividades propuestas.
Sé dónde obtener buenas fuentes Sé dónde obtener buenas fuentes ,$( $ ,$( $ $$ pero con ayuda externa. &$$ ' $
Reconozco las aplicaciones Reconozco las aplicaciones de las de las variaciones inversas
( $ variaciones inversas en diversas 9$ ($ ( $ ellas.
Hallo las soluciones a todas las cuestiones planteadas & $ ( $ 6 $
1
Hallo las soluciones a una o dos de las cuestiones planteadas al utilizar $ ( $ 6 $
No reconozco las aplicaciones de las variaciones inversas en ( $ 9$ ($
Hallo las soluciones de una de las cuestiones planteadas al utilizar $ ( $ 6 $
8$( $ &$ $ ( " presentadas en cada una $ (! ' $
&( $ variabilidad respectiva.
8$( $ " presentadas en cada una de las $ (! ' $ &( $ variabilidad respectiva.
Puedo exponer con $ ( $ ( los datos y resultados del $" (;
No puedo exponer con 5 $ *$ $ $ ( $ $ ( $ ( $ $ $ $" ( persuasiva los datos y resultados ; $" (;
8$( $ " presentadas en cada una de $ (! de que calculo la constante de variabilidad respectiva.
203
MIV
Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
3
1
8$ $ ($ las variaciones inversas en la solución de las situaciones y explico por qué.
8$ $ ($ variaciones inversas en la solución de las situaciones.
:$$ $ ($ variaciones inversas en la solución de las situaciones ni explico por qué.
< ( $ ( $ % ( $(9 $ (" $ ( $ " aporto ideas.
< ( $ ( $6 ocasiones respeto hacia las ideas ( $(9 $ (" $ ( $ " $$ ideas.
< ( $ $ $ $ $% ( $(9 $ (" $ ( $ " $$$ ideas.
15
9
3
Conocimientos
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
O
características de las funciones racionales para determinar su comportamiento en todas las situaciones presentadas a lo largo del bloque.
O
características de las funciones racionales para determinar su comportamiento en la mayoría de las situaciones presentadas a lo largo del bloque.
O
algunas de las características de las funciones racionales para determinar su comportamiento en las situaciones presentadas a lo largo del bloque.
O
algunas de las características de las funciones racionales para determinar su comportamiento en algunas de las situaciones presentadas a lo largo del bloque.
Considero la importancia de las funciones racionales en la solución de las situaciones y explico por qué.
Puntaje
Determino el dominio
de funciones racionales que me conduzcan a su utilidad en diferentes áreas. Considero la importancia de las funciones racionales en la solución de ejercicios.
Obtengo los diferentes tipos de asíntotas que posea una función racional para estudiar su comportamiento analítico y
Determino el dominio
de funciones racionales con cierta ayuda. Considero la importancia de las funciones racionales en la solución de ejercicios.
Demuestro siempre respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y aporto ideas.
Demuestro frecuentemente respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y aporto ideas.
Demuestro en la mayoría de las ocasiones respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y aporto ideas en muchas ocasiones.
15
12
9
Obtengo algunas de las diferentes asíntotas que posea una función racional para estudiar su comportamiento analítico y
Determino el dominio de
algunas funciones racionales que me conduzcan a su utilidad en diferentes áreas.
Considero la importancia de las funciones racionales en general.
Demuestro pocas veces respeto hacia las ideas de mis compañeros en un ambiente socialmente tolerable y casi no aporto ideas.
^
No obtengo ninguna asíntota que posea una función racional.
No determino el dominio de
ninguna función racional.
No logro considerar la importancia de las funciones racionales en la solución de ejercicios.
No demuestro respeto hacia las ideas de mis compañeros ni aporto ideas.
3
205
Bloque VII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas Objetos de aprendizaje
Función exponencial
Función logarítmica
~ '
Propiedades de los exponentes
Propiedades de los logaritmos
Cambio de una expresión exponencial a una logarítmica y viceversa
Ecuaciones exponenciales
Ecuaciones logarítmicas
Desempeños del estudiante
> ' + * ciente o decreciente.
Obtiene valores de funciones exponenciales y logarítmicas utilizando tablas o calculadora.
| '
'
Utiliza las propiedades de los logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
> '
logarítmicas para modelar y resolver problemas.
Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. _ > +
` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. w > + + *
de las tecnologías de la información y comunicación. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ^ & * tudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean. ` O *
MIV
Dinamización y motivación > * zando los procedimientos que sean necesarios para sustentar tus repuestas. 1)
2) 3)
En las siguientes funciones escribe en la parte inferior de cada una si son crecientes o decrecientes, así como su valor de inicio (intersección con Y). a.
h( x ) = 5 ( 12 )
b.
g( x ) = ( 53 )
x
x
( x −1 ) + 4. Determina el rango de la función f ( x ) = −2
La compañía MKB se encarga de realizar fumigaciones para eliminar parásitos en una línea camionera. Según datos que proporciona la función k ( x ) = 150000e −0.1917t , aporta información de la cantidad de parásitos t horas de realizada la fumigación. & KJ * { KJ
se eliminaron `}}}}
4) Z ' y log2 x , calculando su inversa. 5) 4" $$( $ _ }}} X '*
`Å W "
$$ =
Las soluciones que dé tu profesor permitirán situarte en el nivel que te corresponda según la tabla, el objetivo es valorar y considerar lo que se requiere para mejorar. Observación: las soluciones de tu profesor las comentará en forma gene '
este bloque se estudiará en detalle lo concerniente a la evaluación anterior.
208
!" #$ punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto
Coloca una X en " alcanzaste
'* %
Nivel Estratégico
9 a 10 puntos
O
de las funciones exponenciales y logarítmicas, así como sus aplicaciones.
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
!" #$ punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto
Coloca una X en " alcanzaste
'* %
_ `
Determino en varias funciones exponenciales y logarítmicas sus elementos y sus aplicaciones.
Nivel Básico
{ ^
En ciertas funciones exponenciales y
y sus aplicaciones.
Nivel Inicial
2 a 4 puntos
algunos elementos de las funciones exponenciales y logarítmicas, al igual que sus aplicaciones.
Nivel Preformal
0 a 1 puntos
$ ( $10 ejercicios variados con los $ $ ( $ %" "$' 1$, $ &!
$ $ # $' " ! $' $ $ # $ ' $$ # $ $$$ $ ! ' $ ' $8 ' $ " $
# $' $ $ 7 $ ' cuentan con el visto bueno de su docente. " ! $ $ ( $ 10 ( $ 5 de %$ $ $10 # $ $0 $
# $ $ $ ! $%$#' ' $ ( #! $ $ !"$ ,$(3 El profesor elegirá aleatoriamente el rol de parejas a disputar el pase a la siguiente fase del torneo. De manera que en la primera ronda habrá
Se competirá únicamente entre dos equipos a la vez, es decir, no habrá
Actividades
Sin que los otros equipos sepan los ejercicios que los demás tengan, el docente elegirá para cada contienda a un equipo “juez“ diferente. Este equipo, que no es ninguno de los que competirán al momento, mezclará sus tarjetas en una urna. Los dos equipos completos pasan al pizarrón o a cada una de sus mesas asignadas, lejos, pero a la vista de los demás equipos. Tras un acuerdo mutuo, un equipo comienza sacando una de las tarjetas y se la entrega a un miembro del equipo juez, el cual leerá o escribirá el problema a cada uno de los dos equipos y al auditorio. Cada uno de los equipos resolverá el problema planteado con el solo !
el equipo juez si su respuesta es correcta. En caso de ser errónea, el equipo restante tendrá la oportunidad de terminar el problema y ser evaluado, de forma tal que si tiene la respuesta correcta entonces ellos tendrán el punto bueno. En caso de fallar se acordará empate de medio punto cada uno. En combate cada equipo sacará dos tarjetas de preguntas, de forma tal que el equipo que tenga mayor puntaje pasará a la siguiente ronda y el otro será eliminado. En caso de empate el docente resolverá la situación a su criterio. Una vez acabada la primera fase se realizará al azar otro rol con los >
ganador. El docente discutirá con ustedes sobre el estímulo al equipo ganador.
211
MIV
Recursos
Libro de texto, hojas en blanco, libros de consulta en la biblioteca, cartulinas, gises, pizarrón
Normas
Deberá de efectuarse en el lugar que designe el docente a la vez que todos los equipos estarán presentes de testigos realizando las anotaciones que consideren pertinentes. Los demás equipos que no participan estarán en silencio. Si un equipo es eliminado seguirá acudiendo a los encuentros con sus tarjetas de preguntas y su hoja de respuestas. Cada miembro del equipo participará, de lo contrario el docente arreglará la situación a su criterio.
% >Y A
exponenciales Saberes Del saber
Reconozco la estructura de las funciones exponenciales ya sean crecientes o decrecientes.
O '
el valor de e.
Del saber hacer
> '
exponenciales, así como en la obtención de sus dominios y rangos.
Explico cuándo y por qué una función exponencial es creciente o decreciente.
Uso la función exponencial para modelar y resolver situaciones que involucren al valor e.
Del saber ser
> ' * ciones que la involucren.
Presento una actitud constructiva y congruente con los conocimientos, habilidades y actitudes con las que cuento, dentro de los equipos de trabajo formados.
Problematización Ya hemos llegado al análisis de las funciones polinomiales, abarcando desde la función constante hasta la de grado mayor a tres; además, en el bloque dos se abordaron las funciones especiales, tales como las funciones identidad, valor ab212
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
soluto y escalonada. También hemos logrado un análisis de las funciones racionales con sus asíntotas de diferentes tipos. Por lo tanto, en este bloque nos corresponde investigar dos de las funciones llamadas trascendentes, tales como la función exponencial y logarítmica. Como veremos, el estudio de estas funciones tiene aplicaciones en las ciencias exactas, antropológicas, médicas, mercantiles, etcétera.
& * [\`^ % ' '
ecológicas, médicas y sociales que haya ocurrido. La cantidad de radiación liberada en ese accidente fue cerca de 500 veces mayor a la que se liberó en la ciudad de Hiroshima en la Segunda Guerra Mundial. Después de casi 25 años la radiación del reactor nuclear afectado todavía sigue siendo peligrosa, razón por la cual fue sellado para evitar daños al menos por 100 años más. La pregunta que surge es, + ntinúa el contaminante tras haber ocurrido esa desgracia, aparte de [}} W '
> * ta a estas interrogantes, estamos seguros de que con lo que veamos en este bloque y los ejemplos dados en su tiempo, captarás y comprenderás el porqué de esta situación de la vida real. >
de estas funciones, hemos de recordar ciertos conceptos básicos de álgebra y aprender el uso correcto de la calculadora 34 , al valor de 3 se le denomina base y al valor 4 exponente o potencia. Esta expresión
34 (3)(3)(3)(3) 81 .
213
MIV
a0 1
(ab)m a m a n
am an = am+ n
1 am
am = am−n an
a−m =
(a m )n a mn
a = n am
m n
m
⎛a⎞ am = ⎜ ⎟ bm ⎝b⎠ ? X
potencia fraccionaria, equivale a obtener la raíz de grado igual al denominador a 3
> * presentamos dentro de un pequeño cuadro las teclas de la calculadora a oprimir.
la base elevada a la potencia que indique el numerador. Por ejemplo: 24 = 4 23 . Repasa con tus compañeros estas leyes de exponentes y comenten sobre la utilidad de realizar estos tipos de operaciones. Si te pidieran calcular los siguientes valores 23 , 2−3 , ( 12 ) , ( 12 ) 3
−3
y
() 1 2
3
4
cómo
' !
generalmente una tecla de función de potencia con cualquiera de los siguientes símbolos: 2 o x y . 5 &$ $ ( $ " 7 $ ( , $ $@ ($ $ $ 46' $ # ($ $ 2 3 63
De preferencia, y para evitar errores, escribe dentro de paréntesis los valores de las potencias y también la base cuando esta no sea un entero positivo.
214
2∧ ( −3 ) = cuyo resultado es 0.125.
Para el valor de ( 1 ) 4 se usará la tecla donde se obtienen las raíces de 2 grado 4 o mayores, generalmente es una tecla como y x . Esta tecla, por ser comúnmente una tecla secundaria, se oprime después de la tecla Shift. Entonces el valor 3
(
)
solicitado se tecleará como: (1 2 ) ∧ 3Shift x 4 =, }kk]__}k`w
más decimales. Practiquen con valores que su profesor les proporcione. y
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
> [ En parejas, llenen correctamente las siguientes tablas de valores con la ayuda de y 3x
x
3 2 1 0 1 2 3
y = (1 2 )
x
x
3 2 1 0 1 2 3
Comparen los resultados con sus compañeros, de manera que todos ten
Función exponencial En la actividad anterior realizaron los cálculos en las tablas de valores con una ' Consideremos a > 0 y a ≠ 1 entonces la función exponencial de base a, considerando a x R
f ( x ) ax
215
MIV
'* ciones dadas en la actividad anterior; por ello, comprueba que tus cálculos están ? Y y 25 20 y = 3x
15 10 5 x −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
AO~Z> _[ ~ ' y 3 . x
y 25 20
y = ⎛⎜⎜ 1 ⎞⎟ ⎝ 3⎠
x
15 10 5 x
−3
−2.5 −2
−1.5 −1
−0.5
0.5
1
1.5
( )
AO~Z> _] ~ ' y = 1 3
2 x
2.5
3
.
T X, es decir: 3x → 0 cuando x → −∞ y
() 1 3
x
→ 0 cuando x → ∞
> a0 1 , entonces ambas pasan por el punto coordenado K}[J Z '* ción exponencial 3x
+
por otra parte, (1 3) es decreciente. x
216
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
Resumiendo, se presenta la tabla que contiene las propiedades de las funciones exponenciales cuando la base a . 0 .
El dominio equivale a todos los números reales R.
El rango son los reales positivos, es decir R+.
Cuando a . 1 la función es creciente. Cuando a 1 es decreciente.
La función pasa por el punto (0, 1).
Es inyectiva.
Cuando a . 1 el eje X es asintótico por la izquierda y cuando a 1 lo es por la derecha.
> ] 1.
2.
| ' y 3x
los conocimientos previos y sin realizar cálculo alguno, cómo obtener la repre ' Y a)
f ( x ) = 3x + 2
b)
g( x ) = 3x − 2
c)
h( x ) = 3− x
d)
i( x ) = −(3x )
Z '
f ( x ) = 4 ( 32 ) . x
> '
El número e > ' '
cuales por su importancia tienen un sinfín de usos en diferentes campos, como se dijo al inicio del bloque. Debido al avance del curso, sólo tocaremos unas cuantas aplicaciones, tales como:
Crecimiento poblacional
Desintegración radiactiva
Interés compuesto
Cada una se estudiará con sus variantes para adaptarlas con el valor de e
>
217
Crecimiento poblacional
MIV
Esta aplicación puede referirse a una población en general, ya sea de personas, animales, bacterias, etcétera. Estas poblaciones comienzan con un número determinado P0 de elementos y crecen a un ritmo o tasa constante r. La función de crecimiento poblacional P(x) para una población inicial P0 de elementos, que crece a una tasa r, es: P( x ) P0 r x , donde P es la cantidad de elementos después de transcurrir cierto
período x de tiempo.
Ejemplo 1. En una prueba de laboratorio se ha determinado que en un k^_ %
]}}}}} ! $ ( = Solución: Estamos tratando una situación hipotética, por lo que aplicaremos la función de crecimiento poblacional, en donde se tienen los siguientes datos: r 3.67, P0 200000 . Como la razón está dada en días, entonces x 7 ; sustituyendo en la fórmula, observamos que aproximadamente hay P(7) 200000(3.67)7 200 000(8 967.315496) 1 793 463 099 bacterias en el cul >
Existen muchas aplicaciones para esta fórmula, que varía dependiendo de la razón de crecimiento y de la población inicial. Pasamos a una segunda de las aplicaciones de la función exponencial. Desintegración radiactiva En el caso de la desintegración radiactiva, la fórmula puede aplicarse en diferen ' $ ¯ A > +
Para comprender mejor esta sección, aclaramos que un elemento radiactivo tiende ' K '
y = (1 3 ) J >
etapa de decaimiento tiene un perIodo de tiempo determinado para el cual se desintegra la mitad de su masa o material; a este tiempo se le denomina vida media del elemento. x
Por ejemplo, los arqueólogos utilizan el elemento llamado Carbono-14 (simbolizado 14 C ). Este elemento se encuentra presente en todos los seres vivos; al momento de que muere el ser, el 14 C empieza a desintegrarse, teniendo una
{ _k} W
14 C los investigadores y antropólogos pueden saber el tiempo de muerto que lleva el ser. De esta manera les es posible hallar, por ejemplo, el tiempo de muerto que lleva un mamut o una momia de Egipto.
218
Cómo aplicar la función de desintegración radiactiva.
Matemáticas IV
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
La vida media de cada elemento radiactivo varía, pero hemos de considerar el del
14
C por su utilidad.
La función de desintegración radiactiva M(t) para una cantidad inicial de material radiactivo M0 , que tiene una vida media h es: t
M(t ) = M0 ( 12 ) h , donde M es la cantidad de material radiactivo que resta y t es
el tiempo transcurrido tras la muerte del ser vivo.
Consideremos un ejemplo de aplicación. Ejemplo 2: $% $ ( $ $ ' 14
C ' %" ( $ AB($C8! $( 14 C le ' !2010 años? Solución: 8$($ 14 C " ($' 9$ ' ( 5, 7309$46' ( % $ (20109$ !3 2010
M(2010) = 19.4 ( 12 ) 5730 = 19.4(0.78415712) = 15.21 .
Por lo tanto, tras pasar 2010 años la cantidad de material restante debería ser, en teoría, de 15.21 gramos. En otras palabras, solo se desintegró un total 14 de 19.4 − 15.21 = 4.19 gramos de C ¡en tan solo 2010 años! Más adelante observaremos la aplicación de la función exponencial a la desintegración o decaimiento. Entremos a una tercera aplicación, en este caso en la Economía. Interés compuesto % + + !
índice dado en porcentaje que se usa para medir los ahorros hechos o el coste de un crédito. Es decir, lo que pagamos por usar el recurso o dinero ajenos. Existen los intereses simples y compuestos. El interés simple es el que se paga solamente por la cantidad que % + [}}} [{Å
[{} W El interés compuesto es cuando el interés se calcula en varias oca W ~ +
al interés compuesto, a menos que se indique lo contrario. Pasemos directamente a la fórmula de interés compuesto.
La función de interés compuesto.
219
MIV
La función de interés compuesto C(t) para un capital inicial de C0 , a un interés anual r dado en decimales, un número de periodos n de interés anual después de un periodo de t años en que se invierte el capital es: C (t ) = C0 (1 + nr )nt
Ejemplo 3: < ( $" $3 y 6 años de un capital invertido de $4000 a un interés de 7% $( $ ( ( Solución: > C0 4000, t 3 y 6, r 0.07 , y como un año tiene 4 trimestres, entonces n 4 . De esta manera, para los valores de t tenemos: C (3) = 4000 (1 +
0.07 4
C (6) = 4000 (1 +
0.07 4
) )
( 4 )( 3 )
= $4925.75
( 4 )( 6 )
= $6065.77
Una vez que observamos un pequeño abanico de aplicaciones de la función exponencial, realizaremos una actividad que nos llevará a un número importante para las Matemáticas. El número e En la fórmula de interés compuesto se ha adquirido la relación (1 + nr ) . Esta nos servirá para relacionarla con una similar y adquirir un valor muy usado. nt
> k " '
la tabla siguiente. Coloca de forma ordenada los valores en la relación y = (1 + 1x ) . Utiliza todos los decimales posibles. x
x
y = (1 +
1 x
)
x
1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000
Verás en esta tabla que y va aumentando cada vez que x aumenta sin límite, este valor es conocido como la constante de Euler. Se denota por e. 220
Matemáticas IV
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
x De manera formal tendremos que (1 + 1x ) → e cuando x → ∞ .
Este valor es un número irracional, al igual que el número . Tomando sólo 10 de sus decimales se muestra que: e 2.7182818284...
Como indicábamos antes, este valor de e es de suma importancia en las funciones exponenciales, tanto que se puede considerar como las más importantes ' ' ' La función exponencial de base e o función exponencial natural tiene como base al número e y para todo x R es: Leonhard Euler, matemático y físico.
f (x) ex
Esta función cumple las propiedades ya señaladas con anterioridad, así que como ya sabemos que e . 1
asíntota al eje X
K}[J > R y su rango R $ ? Y x
4
3
1
0
1
1.5
y ex
0.01
0.04
}k^
1
]_[
ww`
Los valores de e x se pueden determinar de igual forma con la calculadora mediante la tecla e x , que puede ser la primera o segunda tecla de función. Generalmente la potencia se coloca en la calculadora, no como una potencia, sino como un argumento, es decir, si deseamos hallar e3 entonces teclearíamos e x (3) 20.08553692. y 4 3
y = ex
2 1 −4.5 −4 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −1
(0,1)
x
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
−2 −3 −4
AO~Z> _k ~ ' f ( x )
ex . 221
MIV
Una vez comprendido este valor, podremos hacer unas adaptaciones o ' >
vamos a detallar las de crecimiento y desintegración o decaimiento.
Crecimiento y decaimiento sin límite Si deseas calcular el valor de e en tu calculadora hazlo usando el exponente uno, o sea, calcula 1
e .
Las fórmulas anteriores de crecimiento poblacional P(x) y desintegración radiactiva pueden emplearse como funciones exponenciales con la base conocida e. quedando los modelos como sigue. La función de crecimiento poblacional sin límite P(x) para una población inicial P0 de elementos, tras un periodo de tiempo x, es: P( x ) P0 e kx , donde k es la constante de crecimiento positiva. > ' Ejemplo 4: Se ha detectado que cierto tipo de insecto que amenaza los sembrados de maíz tiene una razón de crecimiento de 0.3 por hora. Si al inicio hay {} Solución: Se habla de un crecimiento de k 0.3 por hora, por lo tanto, ( 0.3 )( 24 ) 50e 7.2 66971.53 . x 24 horas y P0 50 . Entonces P(24 ) 50e
Seguramente se tratará de una plaga de estos insectos. Pasemos a la otra función. La función de decaimiento radiactivo sin límite M(t) para una cantidad inicial de material radiactivo M0 , tras un periodo de tiempo t es: M(t ) M0 e kt , donde k es la constante negativa de decaimiento. Ejemplo 5: Si se conoce qué cantidad de cierto elemento químico es de 12 ml y este se degenera a una razón de 0.0578
W Solución: M(365) = 12e
Como
( −0.0578 )( 365 )
se
trata
= 8.25791791 × 10
de −9
días
entonces
t 365 ,
por
eso
ml.
Volviendo al tema de Chernóbil, comprenderás que los elementos radiactivos tienen espacios de tiempo considerables de desintegración o descomposición. De ahí el peligro existente en esa zona del mundo en la actualidad y por mucho tiempo más. En última instancia damos la fórmula de la cual obtuvimos el valor de e, pero con su implicación en la misma; se trata del caso en que n crece sin límite.
222
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
La función de interés compuesto continuamente C(t) para un capital inicial de C0 , a un interés anual r dado en decimales después de un período de t años en que se invierte el capital es: C (t ) C0 e rt
'
problema sea de interés compuesto continuamente y no como en el caso anterior, de interés compuesto, en donde se nos daba el periodo de composición anual. ? '
exponencial, no sin antes dar una serie de aplicaciones de estas fórmulas y de la función exponencial natural.
Síntesis Obtén las soluciones a cada una de las presentes situaciones que se te dan. Tu docente señalará los incisos en los cuales él podrá dar guía en la solución de las situaciones. Si la requieres, solicítala. 1)
+ ' f ( x ) = a con a > 1 "
' W
2)
Determina el dominio y rango de cada una de las funciones (grafícalas si consideras necesario).
x
a.
f ( x ) = e x +1
b. g( x ) = 2 − 3 % [}}}}
dos bancos que te ofrecen lo siguiente: x
3)
»
F $GJK88% 7$( $ ( (
»
F $J$ 8% 7$( $$ (
1 $ $ $ $ $ 59$ C!" $ 6 $'7=CL7 , % = 4)
Un tipo de virus ha demostrado que de 50 elementos crece a 200 después de un día. Determina la población de la muestra si mantiene ese ritmo de crecimiento después de medio mes.
5)
! $+ ]k{Å %
[}\ ]}
W ¯+
223
6)
MIV
! ' * te determina su dominio y rango. a.
f (x ) 4x
b.
g( x ) = ( 2 5 )
c.
h( x ) e
x 2
x −x
7)
d. i( x ) = 3 − e % & & [
>+ * {Å + &
hoy en día uno de sus descendientes en herencia si el banco genera el interés anual compuesto: a.
%
b.
=
c.
&
8)
W
^_Å %
]}}
k
9)
El elemento radiactivo del bismuto tiene una vida media de tan solo w`\ | {^
determina la cantidad de material que disminuye tras pasar un mes.
10) & {}}} + [} W
+ wkÅ + Y
224
a.
Semestralmente
b.
Mensualmente
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
Sesión B: Funciones logarítmicas Saberes Del saber
O ' ' * nozco cuál es la función inversa de la exponencial.
Comprendo las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Del saber hacer
& '
inversa de la exponencial y obtengo su dominio y rango.
Resuelvo ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además resuelvo situaciones modeladas con funciones logarítmicas.
Del saber ser
Participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una actitud de apertura y colaborativa cuando se requiera.
Propongo formas creativas de modelar y resolver los problemas matemáticos presentados.
Considero las aportaciones hechas por mis compañeros.
Problematización ! # ' * > ' ' * tinentes sobre logaritmos y sus propiedades; después señalaremos la importante ' * nes de estas funciones. ' * w >
la relación: P( x ) 50e 0.3 x Donde 50 era la cantidad inicial de gusanos de maíz. Queremos averiguar más sobre el comportamiento de esos insectos y nos piden averiguar a qué tiempo x en horas se triplica la cantidad de ellos, es decir, a qué cantidad de tiempo son 150. Trascribiendo esto en la ecuación se tendrá: 150 50e 0.3 x 3 e 0.3 x Hasta aquí llegaría nuestro intento de despejar el valor de x, ya que se trata de un exponente. De ahí la necesidad de utilizar las relaciones logarítmicas. 225
MIV
Desarrollo de saberes Para entrar de lleno con los conceptos de logaritmos, primero vamos a comprender su funcionamiento. Supongamos que deseamos encontrar el valor de cada una de las siguientes relaciones: a)
3t 9
b)
2m 8
c)
8z 2
d)
4 k 13
Para el primer caso, quizá sea sencillo averiguar el valor de la potencia a la que hay que elevar la base 3 para obtener 9. Desde luego que es 2, por lo que t 2 . En el segundo, con un poco de pericia, logramos analizar que m 3 , pues 1
23 8 z 1 3 , ya que 8 3 8 2 . X + ¢
w [k 3
!
como sigue: El logaritmo y de un número x con una base a es la potencia a la que hay que elevar la base para obtener dicho número, es decir: y loga x si y sólo si a y x
La expresión
indica que la equivalencia de las expresiones se da por ambos lados, o sea, si se cumple la igualdad de la izquierda entonces se cumple la de la derecha y de forma inversa. Esta expresión se simboliza por 6.
226
Con lo anterior, se tiene que: a)
2 = log3 9 ↔ 9 = 32
b)
3 = log2 8 ↔ 8 = 23
c)
1 3
1
= log8 2 ↔ 2 = 8 3
Y, para el último caso: d)
k = log4 13 ↔ 13 = 4 k = 4
log4 13
log 13 De lo último se desprende que 13 4 4 , por lo que se pretende cancelar el término 4 con su potencia log4 y se conserva el argumento 13. Es aquí de donde entra la función inversa de la función exponencial (ya que es uno a uno).
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
BVII
> w Usando las propiedades de los logaritmos, determina los valores de las incógnitas siguientes. Puedes recurrir a la ayuda de tu docente. a)
y log7 49
b)
z log5 5
c)
w log10 0.001
Logaritmos Cuando la base de un logaritmo es 10 o el número e, se tienen dos casos especiales. > Y
1 (logaritmo común$ ($ " log10 log .
1 (logaritmo natural$ ($ " e y se representa loge In .
" Y y Inx si sólo si e y x
Las leyes de los logaritmos para a 1 y a, u, v y positivos son:
loga uv = loga u + loga v
loga
u = loga u − loga v v
loga u n = n loga u donde n ∈ R
loga 1 0
loga a 1
alogax = x
loga a x x
& '
227
MIV
La función logaritmo de base a, con a 1
x R por: f ( x ) loga x
La función logaritmo natural es: f ( x ) Inx Para ello hemos de recurrir a una tabla de logaritmos o a la calculadora ! log y In , ya que las calculadoras sólo pueden determinar estos dos tipos de logaritmos.
> { Localiza las teclas log y ln
correspondiente a cada una de las funciones dadas. x
y log( x )
0.2
0.698970004
0.5
1
2
3
x
y In( x )
0.2
0.609437912
0.5 Recuerda colocar entre paréntesis tus ( $ 5$ # ($log
1 2 3
Después de completar las tablas de valores, procedemos a señalar cómo quedaría cada una de ellas. 228
Matemáticas IV
1 y
y = ln x
0.5 −1
−0.5 −0.5
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
(1,0)
0.5
1
y = log(x)
1.5
2
2.5
x 3
3.5
−1 −1.5 −2 −2.5 −3 −3.5
AO~Z> _w ~ '
y log x y y Inx .
Las propiedades de las funciones logarítmicas para las bases a ≠ 1 y a > 0 y son:
Su dominio es R+
Su rango es R
Cuando a >1 es creciente. Cuando a < 1 es decreciente
? K[ }J
Es inyectiva
Tiene como asíntota al eje Y
! &
de logaritmo y de las últimas dos propiedades de los logaritmos, a saber, a
loga x
x
y loga a x , (lo cual son las dos composiciones fog y gof ) entonces podemos Y x
~ * dad y las funciones, por ejemplo y e x y y O
229
y
y = ex
2.5
MIV
y= x
2 1.5 1
y =ln(x)
0.5
−3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 −0.5
(1, 0 )
0.5
1
x 1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
−1 −1.5
AO~Z> _{ ? ' e
x
Inx .
Consideremos dos ejemplos de obtención de dominio y rango de funciones logarítmicas. Ejemplo 1. Determina el dominio y rango de las funciones: a)
f ( x ) = log( x − 3)
b)
g( x ) In( x 2 )
Solución: Importante, la función logaritmo sólo acepta valores de argumento positivos. Como x − 3 > 0 entonces x . 3 '
para valores de x mayores a 3. Una tabla de valores podría ser:
a)
X
3.2
4
^
`
10
20
y
0.69
0
}w_
}^\
}`w
1.23
> Y y 3 2 y = log⎛⎜⎝ x − 3⎞⎟⎠
1
x 1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1 −2 −3
230
AO~Z> _^ ~
y = log( x − 3)
10
11
12
Matemáticas IV
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Se nota la asíntota en x k & x . 3 entonces su dominio son los valores mayores a 3. Su rango R. b)
Como x 2 . 0 entonces acepta cualquier valor de x real a excepción del ! * diente.
x
2
1
0.5
0.1
0.1
0.5
1
2
y
[k`
0
1.38
4.6
4.6
1.38
0
[k`
y 5
y = ln ⎛⎜⎝x2 ⎞⎟⎠
4 3 2 1
x −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−2 −3 −4 AO~Z> __ ~ y Inx . 2
Su dominio será R − {0} , su rango R.
> '
Ecuaciones Recalcamos lo acordado anteriormente antes de dar a conocer que la función exponencial y logarítmica son inversas, que a a x y loga a x x >
las funciones exponencial de base e y logarítmica natural se concluye que: log x
e Inx x y lne x x Por lo tanto, estamos en el mejor momento de usar estas relaciones y así despejar variables que sean exponentes dentro del logaritmo natural o en el número e. Para ello consideramos un ejemplo que se dio al inicio de la sesión. Ejemplo 2. Retomar la situación del problema dado al inicio de la sesión. Solución: Se indicó que se deseaba conocer el tiempo en que se triplicaría la cantidad de ciertos gusanos de maíz y se obtuvo que 3 e 0.3 x >
eliminar el número e de la parte derecha aplicando la función logaritmo natural a ambos lados; la ecuación no se altera debido a la inyectividad de la función. 231
Tendremos:
MIV
In3 Ine 0.3 x In3 0.3 x In3 x 0 .3 x 3.66
> + k^^ {} [{}
¡Qué rapidez! Vamos a relacionar esto con otros ejemplos, usando las fórmulas exponenciales vistas anteriormente. Ejemplo 3: Un encargado de cuentas de cierta empresa realiza un depó [}}}} + `\Å * mente, de manera que el dinero no se toca durante cierto tiempo hasta que se ]{}}} ! W
]{}}} Solución: En los datos de la fórmula de interés compuesto continuamente C (t ) C0 e rt se tiene que C 25000, C0 10000 y r 0.089 , por lo que: 25000 10000e 0.089t 2.5 e 0.089t In2.5 Ine 0.089t ln 2.5 0.089
t
t 10.29 años Ejemplo 4: Unos arqueólogos descubrieron una momia egipcia y le extrajeron una
& ]{}}}
W > wk_Å 14 C ¯+
Solución: La relación en la función de decaimiento radiactivo sin límite es M(t ) M0 e kt , pero en el problema no se tiene el valor negativo k, por eso es lo primero a encontrar. Para ello usamos el dato de que la vida media del 14 C es de {_k} W M0 {_k}
restará la mitad, o sea M0 2 . Sustituyendo en la relación: M0 2 M0 2M0
= M0 e k (5730 ) = e k (5730 )
In ( 12 ) = k (5730) In0.5 =k 5730 k = −0.0 000120968
232
Matemáticas IV
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Tomando este valor y sustituyéndolo en la relación quedará M(t ) = M0 e −0.000120968t " wk_Å 14 C de un inicio de M0 , K}wk_J (M0 ) de material. Finalmente, vamos por el valor de t: 0.437M0 = M0 e −0.000120968t 0.437 = e −0.000120968t In(0.437) =t −0.000120968 t = 6843.31 años Hasta aquí llegaremos con las aplicaciones directas de los logaritmos a las ciencias aunque, recalcamos, existe un sinfín de ellas. Las matemáticas son Concluimos el bloque con unas ecuaciones que se derivan de las leyes de los exponentes y de los logaritmos. Ecuaciones Las ecuaciones que manejaremos serán del tipo logarítmica y exponencial. Cabe señalar que debes repasar de forma concisa las leyes de los exponentes y de los logaritmos. Vamos a aclararlas mediante ejemplos didácticos. Ejemplo 5: Usando las leyes de los exponentes y/o logaritmos, encuentra el valor de las incógnitas indicadas. a)
Log(3 + x ) = 2
b)
Log(3 x + 2) − log( x + 5) = − log 9
c)
Log3 x + log3 (2 x − 3) = 3
Soluciones: a)
loga a x x ,
Como
o
equivalentemente
log10 x x ,
entonces
log10 2 , por lo que se tendrá log(3 + x ) = log102 ; debido a la inyec2
tividad de la función logaritmo se obtendrá que (3 + x ) = 102 , de donde x = 100 − 3, x = 97 . log(3 x + 2) + log 9 = log( x + 5) b)
log ( 9(3 x + 2) ) = log( x + 5) 27 x + 18 = x + 5 x = −1 2
(
)
log3 x ( 2 x − 3 ) = log3 33
c)
2 x − 3 x = 27 2
2 x 2 − 3 x − 27 = 0
que, resolviendo por fórmula general o factorización, resulta x = −3, 9 2 .
233
MIV
Ejemplo 6: Usando las leyes de los exponentes y/o logaritmos, encuentra el valor de las incógnitas indicadas. a)
3x 16
b)
7 x = 3 x +1
c)
52 x −1 = 8
Soluciones: > ' X * a)
L og 3x log16
xLog3 log16 x log16 log 3 2.23719014 b)
Log7 x = log 3x +1
xLog7 = ( x + 1)log 3 x log 7 = x log 3 + log 3 x(log 7 − log 3) = log 3 x log(7 3) log 3 x log 3 log(7 3) 1.296606943 c)
Ln52 x −1 = ln 8 (2 x − 1)ln5 = ln 8
2 x ln5 − ln5 = ln 8
(
2 x ln5 = ln ( 8 )(5 )
)
x ln 40 (2 ln5) 1.146014837 " ' ' * les y logarítmicas, y sus diversas aplicaciones.
Síntesis > W
problemas reales o hipotéticos. 1)
En una fábrica de tornillos se ha concluido que en un período de t días −0.32 t ). un obrero puede producir T(t) tornillos, donde T (t ) = 3000(1 − e Halla el número de días que han de pasar para que el obrero produzca 1,000 de esos tornillos especiales.
234
Matemáticas IV
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
2)
Unos investigadores han logrado adquirir 50 mg del isótopo del radio,
[^\} W
^{ W
3)
En un cultivo de bacterias con una población inicial de 5000, se ha kwÅ
&
4)
Dos poblaciones de seres tienen su función de crecimiento sin límite,
BVII
0.15 t A(t ) 150e 0.06t y B(t ) 103e , donde t está en años. Halla el tiempo t en que ambas poblaciones serán iguales.
5)
! > ^} = ww
% > =
}^Å [_Å =
>
6)
Determina el valor de en cada una de las ecuaciones exponenciales: a.
4 x 16
d.
100 x 50
b.
32 x 5
e.
32 x −1 = 53 x +1
x +2
7)
c. 2 = 5 ! ' a.
f ( x ) log x 2
b.
g( x ) = ln( x − 2)
c.
h( x ) = − ln(1 x )
d.
i( x ) = log( −2 x ) + 4
8)
Con cada una de las funciones del ejercicio anterior, determina su dominio y rango.
9)
Pasa las siguientes expresiones de forma logarítmica a exponencial: a.
log 0.0001 = −4
b.
logz w r
c.
3 2
d.
log5 630 y
e.
log1 c 3 6
ln x t
10) Encuentra el valor de la incógnita en cada inciso: a.
log3 27 z
b.
loga 125 3
c.
log
d.
log x + log( x + 5) − 2 = 0
e.
log3 ( x + 6) − log3 ( x − 2) = 2
f.
log2 (3 x − 5) + log2 ( x + 1) − log2 (5 x − 3) = 2
8
( )=s 1 8
235
11) En cada expresión, utiliza las propiedades de logaritmos para pasar a un
MIV
a.
log t + 2 log u − log 2
b.
3 2
log x 6 log r 56 log z
c.
ln a + ln b + 2 ln r − ln5
d.
loga 4 $ loga b $ dc loga 1
12) En la siguiente ecuación sismológica de Richter, x = log ( dc ) + d , despeja cada una de las variables que la comprenden.
> Te recomendamos responder de nuevo tu evaluación diagnóstica realizada al inicio del bloque y ubicarte en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado. Me encuentro a este nivel Pre-formal
Inicial
Básico
>
Evaluación de mis competencias I.
Subraya la respuesta correcta en cada uno de los incisos. 1)
2)
3)
4)
236
x La función f ( x ) 3 :
a.
Tiene dominio R+
b.
Tiene asíntota al eje X
c.
Tiene rango R
La función f ( x ) = log( x − 2) : a.
Pasa por el punto
b.
Tiene asíntota al eje Y
c.
Tiene dominio R
El dominio de f ( x ) = log( x + 1) : a.
Es R
b.
Es para x . 0
c.
Es para x . 1
> log3 (2 x + 51) + log3 x − 4 = 0 es: 47 3
a. b.
10
c.
32
Estratégico
Matemáticas IV
5)
7)
8)
32 Ninguno
23 c. Resuelve cada una de las ecuaciones logarítmicas: a.
Log3 (2 x − 1) − log3 (2 + 5 x ) + 2 = log3 ( x − 2)
b.
Log5 ( 4 x − 3) = 2
Resuelve cada una de las ecuaciones exponenciales: a.
103 x −1 = 35
b.
e3 x 27
0$' $$ 9 $ # ($4 @ ( / " ' ($( $ 50% de ( $ $($( $=
9)
BVII
El valor de x en la expresión 2 x = eln( 2 − x ) es: a. b.
6)
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
De la relación k = conforman.
log D −log E log(1 − r )
14
C CL7 ($
, despeja cada una de las variables que la
237
MIV
Rúbrica del proyecto
Nivel de logro o desempeño Producto, logro o desempeño
Conocimientos
Inicial-receptivo
Básico
Autónomo
(5-6)
(7-8)
(9-10)
Comprendo lo básico de la relación existente entre la función exponencial y logarítmica para determinar sus
Comprendo correctamente la relación existente entre la función exponencial y logarítmica para determinar sus
No comprendo correctamente la relación existente entre la función exponencial y logarítmica para determinar sus características No realizo en buen orden el programa de competencia del minitorneo, de manera que no desarrollo los conceptos vistos en el bloque. No puedo resolver con prontitud y correctamente los ejercicios planteados por el otro equipo.
Habilidades
>
No puedo realizar de forma ordenada las tarjetas de preguntas junto con su hoja de respuestas a cada una de las 10 cuestiones. No explico y detallo con seguridad y exactitud las soluciones a los problemas planteados, además de que casi no participo con mi equipo en competencia y ante el auditorio. No tengo paciencia para ayudar a mi equipo y para realizar el proyecto de forma colaborativa.
Puntaje
238
3
Realizo en buen orden el programa de competencia del minitorneo, de manera que desarrollo los conceptos básicos en el bloque.
Puedo resolver los ejercicios planteados por el otro equipo. Puedo realizar de forma ordenada las tarjetas de preguntas junto con su hoja de respuestas a cada una de las 10 cuestiones.
Explico las soluciones a los problemas planteados, además de que a veces participo con mi equipo en competencia y ante el auditorio. Regularmente, tengo paciencia para ayudar a mi equipo y para realizar el proyecto de forma colaborativa.
9
Realizo en buen orden el programa de competencia del minitorneo, de manera que desarrollo los conceptos vistos en el bloque.
Puedo resolver con prontitud y correctamente los ejercicios planteados por el otro equipo. Puedo realizar de forma ordenada las tarjetas de preguntas junto con su hoja de respuestas a cada una de las 10 cuestiones.
Explico y detallo con seguridad y exactitud las soluciones a los problemas planteados, además de que participo con mi equipo en competencia y ante el auditorio. Tengo paciencia para ayudar a mi equipo y para realizar el proyecto de forma colaborativa.
15
Matemáticas IV
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
Conocimientos
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
Reconozco la estructura de las funciones exponenciales y logarítmicas, ya sean crecientes o decrecientes,
algebraica y
funciones.
Reconozco la estructura de las funciones exponenciales y logarítmicas, ya sean crecientes o decrecientes, pero
algebraica ni
Reconozco algunas de las estructuras de las funciones exponenciales y logarítmicas, ya sean crecientes o decrecientes, pero no las
algebraica ni
Solo reconozco la estructura de las funciones exponenciales y logarítmicas.
No reconozco la estructura de las funciones exponenciales ni logarítmicas, ya sean crecientes o decrecientes, ni
funciones.
Comprendo las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
Comprendo las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales o logarítmicas.
Comprendo algunas de las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales o logarítmicas.
Comprendo algunas de las propiedades de ecuaciones exponenciales o logarítmicas.
No comprendo las propiedades ni técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.
239
MIV
Habilidades
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
>
propiedades de los exponentes y logaritmos en
de funciones exponenciales y logarítmicas, así como en la obtención de sus dominios y rangos.
>
propiedades de los exponentes y logaritmos en
de funciones exponenciales o logarítmicas, así como en la obtención de sus dominios y rangos.
>
propiedades de los exponentes o logaritmos en
de funciones exponenciales o logarítmicas, así como en la obtención de sus dominios y rangos.
>
propiedades de los exponentes o logaritmos en
de funciones exponenciales o logarítmicas.
No aplico las propiedades de los exponentes ni logaritmos, así como tampoco en la obtención de sus dominios y rangos.
Explico cuándo y por qué una función exponencial y logarítmica es creciente o decreciente y uso ambas funciones para modelar y resolver situaciones que involucren al valor e.
Explico cuándo y por qué una función exponencial y logarítmica es creciente o decreciente y uso ambas funciones para modelar situaciones que involucren al valor e.
Explico cuándo y por qué una función exponencial o logarítmica es creciente o decreciente y uso una de las dos funciones para modelar situaciones que involucren al valor e.
Construyo analíticamente
la función logarítmica como la inversa de la exponencial y obtengo su dominio y rango. Resuelvo ecuaciones exponenciales y logarítmicas a la vez que resuelvo situaciones modeladas con funciones logarítmicas y exponenciales.
240
Construyo analíticamente
la función logarítmica como la inversa de la exponencial y obtengo su dominio y rango. Resuelvo ecuaciones exponenciales y logarítmicas a la vez que resuelvo situaciones modeladas con funciones logarítmicas o exponenciales.
Construyo analíticamente
la función logarítmica como la inversa de la exponencial y obtengo su dominio o rango. Resuelvo ecuaciones exponenciales o logarítmicas a la vez que resuelvo situaciones modeladas con funciones logarítmicas o exponenciales.
Explico cuándo y por qué una función exponencial o logarítmica es creciente o decreciente, pero no las uso. Construyo analíticamente o
función logarítmica como la inversa de la exponencial. Resuelvo ecuaciones exponenciales o logarítmicas,pero no resuelvo situaciones modeladas con ambas funciones.
No explico cuándo ni por qué una función exponencial o logarítmica es creciente o decreciente ni las uso. No construyo analíticamente ni
función logarítmica como la inversa de la exponencial. No resuelvo ecuaciones exponenciales ni logarítmicas ni tampoco resuelvo situaciones modeladas con ellas.
Matemáticas IV
BVII
Utilizas funciones exponenciales y logarítmicas
>
Producto, logro o desempeño
Puntaje
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
>
utilidad de la función exponencial y logarítmica en la resolución de situaciones que las involucren.
>
ocasiones,la utilidad de la función exponencial y logarítmica en la resolución de situaciones que las involucren.
No aprecio la utilidad de la función exponencial o logarítmica en la resolución de situaciones que las involucren.
No aprecio la utilidad de la función exponencial ni logarítmica en la resolución de situaciones que las involucren.
Participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una actitud de apertura y colaborativa cuando se requiera y propongo formas creativas de modelar y resolver los problemas matemáticos presentados.
>
mayoría de las veces,la utilidad de la función exponencial y logarítmica en la resolución de situaciones que las involucren. Participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una actitud colaborativa cuando se requiera y propongo formas creativas de modelar y resolver los problemas matemáticos presentados.
Participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una actitud colaborativa cuando se requiera y propongo formas creativas de modelar los problemas matemáticos presentados.
Participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una colaborativa cuando se requiera.
No participo en la resolución de los ejercicios y problemas con una actitud de apertura y colaborativa ni propongo formas creativas de modelar y resolver los problemas matemáticos presentados.
15
12
9
^
3
241
Bloque VIII
> '
periódicas Desempeños del estudiante
Funciones trigonométricas: Seno Coseno
Funciones circulares: Seno Coseno
Formas senoidales
Z ' +
Características de las funciones periódicas: > Frecuencia Periodo
Desempeños del estudiante
Describe la relación que existe entre las funciones trigonométricas y las funciones circulares seno y coseno.
> '
'
T '
Describe la relación entre periodo y frecuencia.
Resuelve o formula problemas de su entorno u otros ámbitos que pueden representarse mediante funciones senoidales.
Competencias a desarrollar Genéricas: 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue. 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. _ > +
` ' 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Disciplinares extendidas: 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales hipotéticas o formales. 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. w > + + *
de las tecnologías de la información y comunicación. { >
para determinar o estimar su comportamiento. ^ & * tudes del espacio y propiedades físicas de los objetos que lo rodean. ` O *
MIV
Dinamización y motivación En tu libreta de trabajo responde cada una de las siguientes cuestiones realizando
1)
& ' y senx y y cos x
2)
¯+ '
y senx y y cos x
3)
Z '
f ( x ) = 3sen ( 2x ) .
4)
En la función f ( x ) = −3 + 2 cos(2 x − ) , determina: amplitud, periodo, '
5)
! # * tra la variación de su temperatura corporal. Supongamos que esta varía con un mínimo de 35°C y un máximo de 40.5°C en un periodo de 15 días. Si la descripción que presenta dicha variación de la temperatura tiene una forma senoidal, determina: a.
0, (' $ $ , ($t
b.
0! , $ 0 / t / 30
Las respuestas que dé tu profesor en plenaria respecto a la evaluación diagnóstica te permitirán ubicarte en el nivel de comprensión que te corresponda #
tu nivel. Observación: al dar las soluciones tu profesor solo ofrecerá comentarios ' * curso de este bloque se estudiarán en detalle.
244
!" #$ punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto
Coloca una X en " alcanzaste
'* %
Nivel Estratégico
9 a 10 puntos
Determino los distintos elementos, características y aplicaciones de la función senoidal.
_ `
En varias funciones senoidales determino sus elementos, características y su aplicación.
Nivel Básico
{ ^
Obtengo, en algunas funciones senoidales, sus elementos, características y aplicación.
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
!" #$ punto por un razonamiento cercano a la verdadera, 0 puntos si no se realizó o no hay ningún argumento cercano al correcto
Coloca una X en " alcanzaste
'* %
Nivel Inicial
2 a 4 puntos
Comienzo a obtener en algunas funciones senoidales ciertas características y algunos elementos, pero no logro aplicarlas.
Nivel Preformal
0 a 1 puntos
No logro determinar los distintos elementos, características y la aplicación de la función senoidal.
| +
del bloque retomaremos este aspecto importante de tus avances.
Contextualización Una gran cantidad de situaciones de la naturaleza se comportan de forma oscilatoria, es decir, cuando se mueven en forma periódica con respecto a una posición, la cual podríamos comparar con la forma de la curva que describen las olas del mar en su movimiento. Entre los fenómenos que se comportan de forma oscilatoria se encuentran: corriente eléctrica alterna (que consumimos en nuestro domicilio), las cuerdas de algún instrumento, algunos estudios psicológicos, la variación en la población animal, etcétera; para modelar los fenómenos antes mencionados se utilizan las funciones seno o coseno. La música es de gran importancia para el ser humano y mucha de ella +
¯+ ' ZX
tres o cinco elementos e investiga los cuestionamientos anteriores para que en el siguiente módulo presenten sus respuestas y las comparen en plenaria.
Proyecto 0 $ $$ $ $ ( ' , "$' 2 7 $$ ( $ ) * $ $" &4 Proyecto
~ ' software
Problema
Representar ondas senoidales
Duración
Dos semanas
Puntuación
Competencias
15 puntos O
Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
245
En equipos diseñados por el profesor, usarán el software empleado en el proyecto del bloque dos (ver el proyecto de dicho bloque para referencia).
MIV
Se realizará lo siguiente:
> W K
proyecto), deberán reconocer el manejo básico del software (con la ayuda sólo necesaria del docente), es decir, conocer sus principales características, posi X ' " '
utilizar este software. Todo esto aplicado a las funciones senoidales.
Su docente le indicará a cada equipo las funciones que representarán utilizando el software O ' '
compruebe el manejo básico del software. Entre las funciones a representar estarán las que se generen de aplicaciones y modelos matemáticos que las involucren.
X ' ' +
' +
el manejo del programa y el conocimiento de las transformaciones.
>W k
cuyas aplicaciones o modelos no sean las vistas en este bloque. Estas ecuaciones las representarán mediante el software.
>
Libro de texto, PC, software '
impresora, libros de consulta en la biblioteca.
Recursos
Deberá de entregarse en la fecha indicada por el docente y, en caso de que un miembro del equipo falte, se resolverá con el criterio de tu profesor. El trabajo se entregará cuando contenga los elementos básicos requeridos, aunque pudiera contener elementos extra. Cada elemento del equipo trabajará y explicará lo necesario cuando se le pregunte.
Normas
Las ecuaciones que se investiguen serán únicas por equipo y se dará la fuente de información usada.
% >Y ? '
> Saberes Del saber
" '
frecuencia, periodo y fase.
Z '* ciones senoidales.
Del saber hacer
246
Interpreto y determino los elementos y características de las funciones senoidales.
Z '
comprender su utilidad en diferentes áreas.
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
Del saber ser
Tengo disposición al trabajo en equipo cuando se requiera y actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas.
> W
#
Valoro las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias y en situaciones cotidianas.
Problematización ! $
semestre, esperamos que estés consciente de que debes abarcar las ocho competencias disciplinares básicas. Razón por la que, a lo largo de estos semestres, se > '
motivación para lograr el objetivo. ! X ' ¯+
&
Como quizá ya hayas intuido, se trata de funciones relacionadas con las funciones trigonométricas que estudiaste en pasados cursos de matemáticas, pero en nuestro caso se considerarán las representaciones y aplicaciones de ciertos tipos de funciones relacionadas, como ya indicamos, con las funciones trigonométricas para los triángulos. Las funciones trigonométricas se relacionan con fenómenos que tienen repeticiones o periodicidad, como en el caso del movimiento ondulatorio, la vibración de cuerdas, la corriente eléctrica alterna, péndulos en oscilación, ritmos biológicos, las ondas sonoras, entre otros. Posiblemente con el que tengas más cercanía ocurra en la Medicina, que utiliza estas funciones para determinar el ritmo & %
mediante el electrocardiograma, que es una representación o
Z
¯ * > '
'
Desarrollo de saberes
La Medicina utiliza las funciones trigonométricas para determinar el ritmo cardiaco.
Habrás notado que de nuevo las Matemáticas hicieron de las suyas al aparecer en un problema que aparentemente no es de su rama. Esto indica la gran relación que tiene con las demás disciplinas y su utilidad para resolver situaciones complejas. Las funciones trigonométricas que se estudiaron son: seno, coseno, tan >
sólo consideraremos las relaciones que se obtengan de las primeras dos, es decir, de seno y coseno. Siguiendo con el repaso, las funciones seno y coseno aceptaban argu Z +
detalles sobre estos tipos de ángulos, realiza la siguiente actividad. 247
> [
MIV
&
se te dan. En una circunferencia de radio r. Un radián, abreviado rad, es un ángulo central en el cual el arco comprendido por el ángulo es igual al radio r. La equivalencia entre grados y radianes es:
360° = 2 π rad &
radianes se multiplica por el valor
( π). 180°
Responde:
° rad
a)
&
b)
Si un ángulo mide
c)
Completa la tabla de ángulos realizando las conversiones necesarias.
30°
π
6
^}¥
5π 3
150°
π
2
2π
3
]_}¥
π 7π
6
4π
3
300°
k^}¥
11π
6
Compara tus respuestas con las de tus compañeros para llegar a un solo acuerdo grupal. Las funciones senoidales, como se ha indicado, están en relación directa con las funciones trigonométricas. Por lo tanto:
Para comprender algunos elementos de su composición, así como sus pro
' + f(x) = senx y de f(x) = cosx. ! W
eje X, generalmente enteros o fraccionarios, pero ahora, cuando trabajemos con las funciones trigonométricas lo haremos con valores de x que sean radianes que, como sabemos, contienen a X >
* π res x aparecerán los valores tales como 2 , 2π , −π , etcétera. De forma sencilla usaremos los valores en radianes que correspondan a los múltiplos de 30°. El eje Y no sufrirá variación alguna.
248
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
En la actividad anterior pudiste crear una tabla de radianes correspondiente a los valores múltiplos de 30°, aunque establecimos que las funciones senx W >
lo que nos aseguraremos que nuestras calculadoras estén en el modo radián, el cual la programa para trabajar con ángulos en radianes y no en grados. Cuando el modo radián está activado en la calculadora generalmente aparece en el display la Z Z > X $ ( #$ $
~ f(x) = senx y f(x) = cosx Comencemos primero con la función y = senx. La tabla a trabajar sería la siguiente, junto con sus resultados ya colocados. X
0
π
y x
0
0.5
6
π
π
3
}`^^
2
1
2π
3
5π
}`^^
7π 5π 3π 4π 6 6 π 3 2 3
0.5
0
-0.5
*}`^^
-1
*}`^^
11π
13π 6 2π 6
-0.5
0
0.5
Observamos que la función senx se repite a partir del valor 2π por la derecha. Lo mismo ocurre, pues su dominio son los reales, si tomáramos valores x negativos; éstos se repetirían en un ciclo establecido. Para mayor claridad se ' x se han colocado los equivalentes de cada radián en decimales. 1.5
y
1
y =sen x 0.5
x −3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
−0.5
−1
AO~Z> `[ ~ ' 'KJ
%
? ' '
si se tomaran valores negativos o mayores a 2π . Por su parte, la función y = cosx quedará de la forma siguiente:
249
MIV X
0
1
π
π
6
}`^^
3
0.5
π
2
0
2π
3
0.5
5π
6
0.8666
π 1
7π
6
0.866
4π
3
3π
0.5
0
2
5π
3
0.5
11π
13π 6 2π 6
}`^^
1
1.5 y 1 y = cosx
0.5
−3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
x 5π/2
−0.5 −1
AO~Z> `] ~ f(xJ x.
! ' Y Una función f es periódica si existe un valor positivo k, tal que para todo x R se cumple que f ( x + k ) = f ( x ) >
W k se llama periodo de la función f
le llama ciclo. Para las funciones senx y cosx el valor más pequeño k es igual a 2π , por lo que el periodo de ambas es 2π ~ ' '
cada 2π ½ > W * $
valor máximo de cada una es de 1 y su valor mínimo de 1 > Y
Entonces, la amplitud de senx y cosx es de 1 en cada caso. Tras realizar un breve análisis con ambas funciones, ahora podemos abordar sus propiedades.
250
}`^^
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
Para las funciones y senx y y cosx
Su dominio es R
Su rango es ⎡⎣ −1, 1⎤⎦
Su periodo es 2π
Se valor máximo es 1 y su valor mínimo es 1
Su amplitud es 1
~ ' y x se dan estos conceptos: 1.5 y Período = 2π
1
Máximo = 1
Amplitud = 1
y = senx
0.5
x −3π/2
−π
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
−0.5 −1
Mínimo = −1
AO~Z> `k '
x
de senx al trasladarla horizontalmente
π 2 unidades a la izquierda, es decir:
cos x = sen ( x + π2 ) !
~ f(x) = a sen(bx)+ c y f(x) = a cos(bx) + c ! OO ' !
aplicables en nuestras ondas, por eso damos de forma directa las reglas que se usa ' >
' 'KJ 'KJ '
de las cuales determinaremos las del tipo f ( x ) = asen(bx ) + c y f ( x ) = a cos(bx ) + c .
251
Para las funciones del tipo:
MIV
f ( x ) = asen(bx ) + c f ( x ) = a cos(bx ) + c
donde a , b, c ∈ Ry a , b ≠ 0 . % Y
2π b
La amplitud se determina por: > ¦¦
Si a > 1, la onda tiene un alargamiento vertical con un factor de a unidades.
Si 0 < a < 1, la onda tiene una compresión vertical con un factor de a unidades.
Si b > 1, la onda se comprime horizontalmente.
Si b < 1, la onda se estira horizontalmente.
Si c > 0, la onda se traslada verticalmente hacia arriba c unidades.
Si c < 0, la onda se traslada verticalmente hacia abajo c unidades.
Ciertamente esta es una poderosa herramienta analítica para determinar las representaciones de las funciones senoidales. Consideremos la siguiente actividad.
> ] Z
funciones:
a) b)
⎛ 2x ⎞ f ( x ) = 2sen ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠
⎛x⎞ f ( x ) = − cos ⎜ ⎟ + 1 ⎝2⎠
& W
A '
ejemplos para aplicar lo discutido.
252
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
Ejemplo 1. " a)
f ( x ) = cos(3 x ) − 1
b)
f ( x ) = −3senx
c)
⎛x⎞ f ( x ) = 2 cos ⎜ ⎟ − 3 ⎝4⎠ Soluciones:
a)
2π 2 π [ k c = −1 . El periodo es de b = 3
cada
, es decir,
2π
? ¦¦ [ !
3
de c = −1 indica una traslación vertical de una unidad hacia abajo. Por '
2π tener un ciclo de
+ ' k
3 desplaza una unidad hacia abajo. ? Y
y 0.5 y=cos(3x)-1
−3π/2
−π
x
2π/3
−π/2
π/2
π
3π/2
2π
5π/2
−0.5 −1 −1.5 −2 AO~Z> `w ~ ' f ( x )
= cos(3 x ) − 1 .
El valor máximo es 0 y el mínimo 2. b)
> a = −3 [ } ! 2π . La amplitud es de −3 = 3 , por lo que sufre un alargamiento vertical en un factor de 3. El signo menos # ½ > '
' k # ½
razón por la que su valor mínimo es de 3 y máximo de 3. Esta es:
253
y 3
MIV
y=-3senx
2 1
x
−3π
−2π
−π
π
2π
3π
4π
5π
6π
−1 −2 −3 AO~Z> `{ ~ f ( x )
c)
a 2, b
1 4
= −3senx .
y c = −3 . Notamos que el periodo es
2π 2π = = 8π , la am1 b 4
plitud 2 2 ! ' ' * zontal para tener un periodo de 8π , con lo cual cada ciclo lo da en múltiplos de 8π . Presenta un estiramiento de un factor 2 y después se desplaza verticalmente hacia abajo 3 unidades.
y 1 8π
−π
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
x
8π
−1 −2
y=2cos(x/4)−3
−3 −4 −5 AO~Z> `^ ~ ' f ( x )
= 2 cos ( 4x ) − 3 .
%
en la actividad anterior. Expón a tus compañeros cuál es, para ti, la mejor forma ' !
qué. 254
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
Es necesario y X #
' '
sobre lo que estás efectuando al realizar un ejercicio o actividad matemática.
> Ha quedado pendiente analizar las aplicaciones de las funciones senoidales. Como se indicaba al principio, existen diferentes facetas en donde estas funciones son necesarias. Vamos a considerar algunas de estas estructuras y modelos matemáticos en donde se usen dichas funciones. Ejemplo 2: La ecuación de la intensidad I(t) de la corriente eléctrica alterna en un aparato viene dada por la siguiente relación matemática: I(t ) = 20sen(100π t )
En donde t está en segundos e I en amperes. Realizar un análisis del comportamiento del artículo bajo estas condiciones. Solución: £ ¦¦ ]} ]}
por lo que la corriente máxima del aparato será de 20 amperes. Una de los elementos utilizados con frecuencia en ondas es la frecuencia, que equivale al recíproco
de tiempo que contempla. Esta se calcula con:
A f
b 2π
b 100π = = 50 y radica en que se dan 50 ciclos La frecuencia será f = 2π 2π en un segundo. > ' X
así como la música que llega a nuestros oídos se propagan en el medio como unas ondas longitudinales que tienen un modelo de función senoidal. Estas ondas ejercen presión al medio donde están. Su velocidad depende en gran parte de la presión y la temperatura presentes en el medio de transmisión. En el caso de las ondas de sonido, la frecuencia se llama tono. La amplitud se le denomina sonoridad, que se da en decibeles. Generalmente la velocidad del sonido se mide en segundos, por lo que el modelo para relacionar estas variables será uno de la forma: f (t ) asen( bt )
> o en unos ejemplos. Ejemplo 3. >
__\
segundo y que tiene una amplitud de 3 × 10 −5 m. Solución: El músico desea encontrar la ecuación, de modo que vamos a
b
−5 , de ayudarle. Se tiene que la amplitud a = 3 × 10 y que la frecuencia f es f = 2π b y así b = (779)(2π ) = 1558 π . Con esto la ecuación solicitada es: &
donde 779 = 2π f (t ) = 3 × 10 −5 Sen(1558π t )
255
MIV
Ejemplo 4. Si un físico observa en un osciloscopio que su generador de ondas de sonido está produciendo unas vibraciones o ciclos de 129 por segundo, '
que la intensidad del sonido producido es de 31 Solución: Hemos marcado que la amplitud está en relación con los decibeles, ¦¦ k[ Responde de nuevo el examen diagnóstico dado al inicio del bloque y ubícate en el nivel que te corresponda de acuerdo a tu resultado. Me encuentro a este nivel Pre-formal
258
Inicial
Básico
>
Estratégico
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
Evaluación de mis competencias Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
Conocimientos
Conozco las características de las funciones senoidales, sus
y las ubico en los ejes coordenados. Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen y reconozco otras aplicaciones opcionales. Reconozco todas las funciones senoidales vistas y señalo su importancia en las transformaciones. Utilizo siempre la terminología exacta en las '
en el software.
Habilidades
$
el software, contienen elementos distintivos y originales. Represento de forma
solicitadas e investigadas, a la vez que puedo realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor visualización. Puedo representar e imprimir en presencia de
o transformaciones que indique y respondo de manera correcta y aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.
3
Conozco las características de las funciones senoidales y
Describo el funcionamiento básico del software así como los elementos que lo componen. Reconozco algunas de las funciones senoidales vistas.
Utilizo, en ocasiones, la terminología exacta en las '
el software.
$
software, contienen los elementos básicos.
Represento de forma
solicitadas e investigadas.
Puedo representar o imprimir en presencia de
transformaciones que indique y respondo de manera correcta y aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.
1
Conozco las características de las funciones senoidales, pero no sus
ni las ubico en los ejes coordenados. Describo el funcionamiento básico del software.
Reconozco algunas de las funciones especiales.
No utilizo la terminología exacta en las transformaciones 'Ç
No puedo realizar mis 'Ç
sin la ayuda de alguien. No represento de forma
solicitadas ni puedo realizarles ciertos ajustes opcionales para su mejor visualización. Puedo representar o imprimir en presencia de mi
o transformaciones que indique, pero no respondo de manera correcta ni aporto ideas a las preguntas planteadas al exponer lo realizado.
259
MIV
Rúbrica del proyecto Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
>
Tengo un alto compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto, de forma que colaboro con él en todo momento. Mantengo una actitud positiva en todo momento del trabajo, además de que expreso mis ideas y aportaciones con un lenguaje digno en todo tiempo. Demuestro interés en el manejo del software dando otras posibles interpretaciones del mismo. Puntaje
260
15
3
1
Tengo compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto, de forma que colaboro la mayoría del tiempo con él.
Tengo muy poco compromiso con mi equipo y con la resolución del proyecto, de forma que no colaboro con él.
Mantengo una actitud positiva del trabajo, además de que expreso ocasionalmente mis ideas y aportaciones.
Mantengo una actitud negativa durante el trabajo y no expreso ni ideas ni aportaciones.
Demuestro ocasionalmente interés en el manejo del programa.
No demuestro interés alguno en el manejo del programa.
9
3
Matemáticas IV
BVIII
Aplicas funciones periódicas
Habilidades
Conocimientos
Producto, logro o desempeño
Nivel de logro o desempeño 5
4
3
2
1
Estratégico
Autónomo
Básico
Inicial
Pre-formal
"
elementos de las funciones senoidales, tales como amplitud, frecuencia, periodo y fase.
"
mayoría de los elementos de las funciones senoidales, tales como amplitud, frecuencia, periodo y fase.
Reconozco y puedo interpretar las representaciones
las funciones senoidales.
Reconozco, pero no interpreto las representaciones
las funciones senoidales.
Interpreto y determino los elementos y características de las funciones senoidales.
Interpreto y determino la mayoría de los elementos y características de las funciones senoidales.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones senoidales con el
su utilidad en diferentes áreas.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones senoidales
comprender su utilidad en diferentes áreas.
"
algunos de los elementos de las funciones senoidales, tales como amplitud, frecuencia, periodo y fase.
"
ayuda, algunos los elementos de las funciones senoidales, tales como amplitud, frecuencia, periodo y fase.
Reconozco, pero no interpreto algunas de las representaciones
las funciones senoidales.
Reconozco
o no puedo interpretar las representaciones
las funciones senoidales.
Interpreto y determino sin ayuda los elementos y características de las funciones senoidales.
Interpreto y determino con ayuda los elementos y características de las funciones senoidales.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones senoidales con el
su utilidad en diferentes áreas.
Resuelvo problemas aplicativos a las funciones senoidales con el
su utilidad en diferentes áreas.
>
y acertados comentarios y considero los de mis compañeros en un ambiente #
tolerancia. Valoro las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias y en situaciones cotidianas.
Puntaje
262
15
Tengo buena disposición al trabajo en equipo cuando se requiera y actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas. >
comentarios y considero los de mis compañeros en un ambiente #
tolerancia. Valoro poco las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias y en situaciones cotidianas. 12
Tengo poca disposición al trabajo en equipo cuando se requiera, pero actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas. >
comentarios y considero, en ocasiones, los de mis compañeros en un ambiente #
tolerancia. Valoro poco las utilidades de las funciones senoidales en alguna ciencia. 9
Tengo poca disposición al trabajo en equipo cuando se requiera, pero no actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas. >
comentarios y considero pocas veces los de mis compañeros. Valoro poco las utilidades de las funciones senoidales en las ciencias o en situaciones cotidianas.
^
No tengo disposición al trabajo en equipo cuando se requiera ni actúo de manera propositiva al resolver las situaciones planteadas. No aporto comentarios ni considero los de mis compañeros en un ambiente #
tolerancia. No valoro las utilidades de las funciones senoidales en las diferentes facetas y aplicaciones. 3
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