MATEMATICAS FINANCIERAS

7.38

-

6.61

-

.0 0

-

8.20

-

-

-

-

6.89

-

-

-

7.23

Préstamos a más de 360 días

8.23

10.00

7.24

12.00

-

-

-

7.90

-

-

-

7.31

-

-

-

8.08

Medianas Empresas

13.05

17.71

10.16

11.78

10 .9 5

9.39

5.41

12.87

21.00

10. 86

-

8.64

-

-

-

11.10

Descuentos

12.49

21.37

9.86

9.41

10 .5 3

9.36

6.43

9.84

-

10. 86

-

8.50

-

-

-

10.43

Préstamos hasta 30 días

13.10

12.59

9.72

15.00

13 .2 7

8.61

6.75

14.21

20.33

9.3 2

-

-

-

-

-

10.73

Préstamos de 31 a 90 días

13.52

12.20

10.98

10.79

11 .9 4

7.56

5.11

10.46

22.68

10. 61

-

-

-

-

-

10.16

Préstamos de 91 a 180 días

13.44

13.18

11.61

10.68

11 .9 4

10.15

7.78

9.48

-

11. 87

-

-

-

-

-

12.19

Préstamos de 181 a 360 días

13.51

-

8.88

12.83

10 .1 1

8.19

8.25

12.14

22.95

13. 33

-

8.66

-

-

-

11.58

Préstamos a más de 360 días

12.62

14.07

11.31

18.56

11 .4 3

15.94

-

19.61

20.54

12. 00

-

-

-

-

-

14.00

Pequeñas Empresas

23.29

27.97

16.86

25.08

14 .2 3

25.05

8.25

19.30

25.87

10. 30

-

-

-

-

-

23.32

Descuentos

26.41

26.09

13.83

12.96

14 .4 4

13.94

-

11.38

-

10. 23

-

-

-

-

-

15.94

Préstamos hasta 30 días

24.84

14.00

13.28

38.00

-

20.20

-

11.82

23.95

10. 46

-

-

-

-

-

23.33

Préstamos de 31 a 90 días

22.56

26.80

19.72

27.27

10 .1 9

19.95

-

20.37

31.33

10. 48

-

-

-

-

-

21.56

Préstamos de 91 a 180 días

22.73

34.00

23.64

25.72

18 .7 6

21.03

8.25

24.50

29.17

15. 50

-

-

-

-

-

23.34

Préstamos de 181 a 360 días

23.20

29.67

8.35

26.01

16 .2 8

24.62

-

20.42

28.09

-

-

-

-

-

-

25.55

de 181 a 360 días

Préstamos a

17

Matemáticas Financieras Autor: Cuarta Edición Editorial: McGraw Hill Matemáticas Financieras Autor: Alfredo Díaz Mata / Victor M. Aguilera Gómez Cuarta Edición Editorial: McGraw Hill Problemario de Matemáticas Financieras Autor: Abraham Hernández Hernández / Abraham Hernández Villalobos / Alejandro Hernández Suarez Editorial: Thomson

Las Matemáticas Financieras o Ingeniería Económica tienen como objetivo fundamental el estudio y análisis de todas aquellas operaciones y planteamientos en los cuales intervienen las magnitudes de: Capital, Interés, Tiempo y Tasa.

La Matemática Financiera la podemos asociar con dos símbolos es decir el de los números (#) y el de los soles (S/.), ya, que cuando hablamos de Matemáticas automáticamente hacemos relación con los números; y cuando hablamos de Finanzas lo relacionamos con el signo soles; de allí la asociación.

FUNDAMENTACIÓN FINANCIERA

Es la disciplina que se encarga del estudio de la teoría y de su aplicación en el tiempo y el espacio, sobre la obtención de los recursos, su asignación, distribución y minimización del riesgo en las organizaciones a efectos de lograr los objetivos que satisfagan sus requerimientos. Decía Bernard Shaw que “no tenemos mas derecho a consumir felicidad sin producirla, que a consumir riqueza sin producirla”, por lo cual es importante poner en claro que esta disciplina tiene por finalidad servir de apoyo, dar información y coordinación y ser facilitadora de las actividades que realizan las otras áreas de la organización, producción (de bienes y/o servicios), marketing (de bienes y/o servicios).

Filosóficamente pensamos que el dinero no es importante por si solo, sino como medio o instrumento que nos sirve para lograr satisfacer algunas de las necesidades que tienen los seres humanos, como las fisiológicas, de seguridad, de estatus, etc.

Actividad Financiera Sector Publico

Sector Privado

Determinacion de necesidades publicas Gasto publico como causa del ingreso publico Ingreso publico Maximizacion del bienestar integral de la poblacion

Estimacion de ingresos e inversiones Financiamiento Maximizacion del valor del capital invertido Distribucion de dividendos

Podemos diferenciar tres periodos de las finanzas: La visión descriptiva de las finanzas empresariales hasta la segunda guerra mundial Desde mediados de la década de los 40 hasta la cimentación de la moderna teoría de la finanzas empresariales Finanzas empresariales expansión y profundización de las finanzas hasta nuestros días.

El origen del dinero como unidad de cuenta o de valor se remonta en una de las citas de la Biblia, pinturas rupestres y jeroglíficos. Antes de Cristo Existencia de elementos que favorecían los intercambios comerciales y el cobro de impuesto como por ejemplo el código de Hammurabi, asimismo aparecen una especie de “opciones “ descritas por Aristóteles. Anos 1500 – 1900 En el siglo XV nacen los bancos internacionales con el poder de los grandes bancos florentinos (Italia). En 1590 nacen sociedades con el capital distribuidos entre varios inversores que se denominaron inversionistas en Inglaterra con el registro de East India Compani.

En 1650 nacen los “futuros” (protección ante la fluctuación de los precios de los mercados) . En 1792 nace la bolsa de Nueva York. A principio del siglo XVIII la inquietud de las finanzas era como obtener los fondos de la forma mas económica posible descuidando el financiamiento a corto plazo . En el siglo XIX avanza considerablemente la teoría económica como disciplina académica surgiendo el llamado modelo clásico de la mano de Adan Smith hasta principios del siglo XIX los gerentes financieros se dedicaron a llevar libros de contabilidad o controlar la teneduría, siendo su principal tarea buscar financiación cuando fuera necesario.

Anos 1900-1930 Las innovaciones tecnológicas y las nuevas industrias provocaron la necesidad de mayor cantidad de fondo. En 1929 la economía se encuentra inmersa en una crisis internacional caída la bolsa de Nueva York y enfrentamiento de grupos norteamericanos y británicos se encontraban enfrentados (excesos de prestamos) como consecuencia de ello empresas fueron quebradas y otras liquidadas. Aparece al interes por la preocupación financiera de la empresa y el intervencionismo estatal . Después de la segunda guerra mundial a mediados de la década de los 50, adquiera importancia la planificación y control reorganizando la estructura orgánica de las empresas. Priman los objetivos de rentabilidad; crecimiento y diversificación internacional. Se analizan profundamente la teoría del riesgo.

En la década de los 50 después de la segunda guerra mundial como se ve a la gerencia financiera como parte de la gerencia total. Se le da importancia al presupuesto de capital; aparecen nuevos métodos y técnicas para seleccionar proyectos de inversión, basados fundamentalmente en el valor presente de los flujos de fondo. En la década de los 60 se da en el mercado los dos tipos de riesgo el Diversificable y el Sistemático. En la década de los 70 hasta nuestros días crece el interes del estudio de las finanzas surgiendo nuevas líneas de investigaciones como: La teoría de valoración de opciones. La teoría de valoración por arbitraje. La teoría de agencia.

Durante la década de los 80 se da gran atención a las imperfecciones del mercado y su efecto sobre el valor . Nace las ideas de calidad total y la ingeniería financiera, además se implementan nuevas formas de las operaciones con títulos , valores y nuevos tipos de contrato. Se avanza en la teoría sobre opciones, futuros y swaps , etc. En la década de los 90 aparecen las pymes y la globalización de la finanzas produciéndose la integración de los mercados financieros mundiales en forma creciente.

La

función financiera actual presta especial atención al costo de capital correspondiente al proyecto de inversión. Nivel de endeudamiento que mas le conviene a la empresa. Gestión de la liquidez y la tesorería Planificación financiera a largo y mediano plazo Control financiero. Técnicas analíticas para la adopción de decisiones internas en el campo de la inversión y financiación de la empresa.

Teoría Financiera- Política Financiera – Objetivo Financiero. Las decisiones empresariales suponen un aumento o disminución del empleo de los recursos de las empresas y responden a las tres interrogantes planteadas: Cual debe ser la dimensión de la empresa y su ritmo de crecimiento. Que clase de activos debe poseer la empresa. Cual debe ser la composición de su pasivo. La empresa debe ser frente a tres categorías de decisiones financieras: Volumen y destino de sus inversiones. Volumen de los dividendos a distribuir. Volumen y origen de los recursos a utilizar.

Las funciones de la administración financiera en una organización adquieren gran importancia por tratarse del que administra ( la planificación , gestión y control), del recurso que oficia como unidad de cuenta, medida de valor, coordinador y facilitador de las actividades de las demás áreas ( producción , comercialización, dirección ).

PROVEEDORES

CLIENTES

COMUNIDAD

EMPRESA

SINDICATOS

COMPETIDORES

GOBIERNO

BANCOS

ACCIONISTAS

PROCESOS DE TESORERIA a Caja y bancos b Cobranzas c Planeamiento y control de los fondos d Analisis de los costos financieros e Relevamiento de las fuentes de fondos y sus costos y plazos f Relevamiento de inversiones de corto plazo y su rendimiento Analisis del riesgo implicado en todas las operaciones g financieras tanto de inversion como de financiamiento Custodia de titulos, valores, polizas y toda otra documentacion h que represente la propiedad de bienes de capital i Resguardo documentacion legal de la oprganizacion Relacionarse con Instituciones financieras y mantener j actualizadas las carpetas de credito con la documentacion que las mismas exigen

PROCESO DE REGISTRO Contabilidad general: registro, analisis y confeccion de balances a y estados de resultado y anexos Contabilidad de costos: determinacion costos b estandares,analisis de desvios, niveles de equilibrio Liquidacion y registros de sueldos y jornales, control de la c documentacion y legajos del personal de la organizacion. d Supervision y seguimiento area procesamiento de datos METODOS Y PROCEDIMIENTOS a Analisis de la organizacion, estructura y proceso b Diseno de la estructura, procedimientos y formularios c Redaccin de manuales d Control y organizaciones de archivos

PLANEAMIENTO ECONOMICO-FINANCIERO a Cordinacion del planeamiento estrategicode la organizacion b Coordinacion del presupuesto c Evaluacion de las inversiones d Analisis de la informacion micro y macroeconomica e Seguimiento y anticipacion del mercado f Confeccion del tablero de comando o control COMPRAS a Organizacion del sector b Deteccion de proveedores c Supervision de la logistica interna d Control de las existencias AUDITORIA a Control interno b Mantener relaciones con el control externo

Objetivo tradicional de las empresas: Maximización del beneficio. Objetivo planteado por la gestión financiera: Maximización del valor del mercado de la empresa desde el punto de vista de sus propietarios (accionistas en el caso de una SA). Este objetivo, puede ser criticado puesto que no todas las empresas cotizan en bolsa, sin embargo es un esquema que permite demostrar la debido a que puede tener una demostración operativa, sencilla, única y con objetivos cuantificables. Ello puede darse debido a que la toma de decisiones en una empresa es tomada no por los propietarios sino por los directivos, que tienen a satisfacer los intereses de los accionistas maximizando el precio de las acciones.

A mediano plazo, se puede optar por maximizar las ganancias con productos de baja calidad, consecuencia de la utilización de insumos también de baja calidad, lo que repercutirá en que en el largo plazo se pierdan los clientes y reduzca la productividad. Los rendimientos a largo plazo, dependerán de la planeación que se realice en el inicio de algún proyecto, siendo responsabilidad de los directivos de la empresa, adoptar una actitud sistémica y una metodología de mejora continua.

•Proporcionar

las herramientas necesarias para plantear soluciones a problemas generales o específicos de las finanzas empresariales. •Dar a conocer el análisis, uso y el desarrollo de las distintas herramientas y estrategias financieras. •Desarrollar la capacidad para identificar, analizar y dar soluciones a los diferentes problemas financieros. •Orientar el diseño de estrategias. •Generar habilidades que permitan prever tendencias y escenarios negativos. •Análisis correcto de la información financiera. •Proporcionar herramientas a la alta gerencia para liderar procesos de desarrollo empresarial y toma de decisiones.

(2)

(1)

Gerente Financiero (3)

(4a)

Mercado de capitales (inversores que poseen activos financieros)

Operaciones de la empresa (conjunto de activos reales)

El principal objetivo de la gerencia financiera, es la maximización del valor de las acciones de la empresa.

(4b)

El flujo comienza cuando se emiten los títulos para obtener dinero ( línea 1 en la figura ). El dinero es utilizado para comprar activos reales empleados en las operaciones de la empresa (línea 2). (Puede usted imaginar las operaciones de la empresa como un Conjunto de activos reales). Mas tarde, si la empresa marcha bien, los activos reales generan flujos de tesorería superiores al reembolso de la inversión inicial (línea 3). Finalmente el dinero es reinvertido (línea 4ª) o devuelto a los inversores que adquirieron la emisión inicial de títulos (línea 4b). Por supuesto la elección entre las líneas 4a y 4b no es algo completamente libre. Por ejemplo, si un banco presta dinero a la etapa 1, este debe recobrar su dinero a la empresa en la etapa 1, este debe recobrar su dinero mas los intereses en la etapa 4b.

¿En qué debe invertir la empresa? ¿Cómo conseguir los fondos para esas inversiones? DECISIONES DE INVERSION DECISIONES DE FINANCIAMIENTO Cuanto invertir y en que activos hacerlos? Como conseguir los fondos necesarios? Identificacion de fuentes de Analisis de proyectos (estimacion de financiacion (fondos propios, acciones y costos, riesgos y opciones futuras. deuda) Tesoreria (calculo y colocacion de fondos) Calculo de costos de financiacion. Adquisicion de otras empresas (calculo de Estimacion de contribucion de metodos costos y riesgos) de financiacion al riesgo de la empresa. Evaluacion de otras ventajas y Gastos independientes de proyectos (de desventajas (impacto sobre el control capital fijo y administrativo) de la empresa, senales del mercado, etc)

¿En qué consiste la planificación financiera de un individuo?

•Maximización

de las utilidades. •Maximización del patrimonio neto. •Maximizar el valor actual neto de la empresa – Valor de una empresa. •Maximización de la creación de valor. •Responsabilidad social.

la responsabilidad social de las empresas se refiere a aspectos relacionados con los empleados y aspectos medioambientales; lo mismo que con las comunidades locales, socios comerciales, proveedores, compradores, los derechos humanos y problemas ecológicos mundiales. Su practica requiere de la voluntad política de las diferentes naciones así como el dialogo y la negociación de los diferentes accionistas

Interés es el pago por el uso del dinero ajeno, se denota con I. Otra forma de conceptualizar el interés o rédito es “el cambio en el valor del dinero con el paso del tiempo”. El dinero que produce un capital al prestarlo o invertirlo para que otros lo usen sin ser de su propiedad. Por ejemplo, si usted consigue un préstamo bancario, estará utilizando un dinero que no es suyo, sino del banco. También se invierte un capital en un banco, entonces el banco le pagará intereses por usar el dinero de usted. El precio que tiene el dinero como cualquier otro bien, es el pago por la adquisición de bienes y servicios en operaciones de crédito, etc. Numéricamente hablando, los intereses son la diferencia entre dos cantidades: el capital y el monto.

Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero P, se incrementa hasta otra S, entonces el interés es I = S-P, donde P es el capital y S el monto del capital. Dependiendo del caso y las circunstancias, el capital también tiene el nombre de principal, valor presente o valor actual. De igual manera algunos sinónimos del monto del capital son valor futuro, valor acumulado o simplemente monto.

Al numero de días u otras unidades de tiempo que transcurren entre las fechas inicial y final en una operación financiera se le llama plazo o tiempo.

INTERESES CAPITAL

CAPITAL

Fecha Terminal

Fecha Inicial Plazo

De este punto de vista, el monto siempre es mayor que el capital y se ubica en un tiempo futuro respecto del capital.

La razón entre el interés I y el capital P por unidad de tiempo se llama tasa de interés, por lo tanto:

i = I/P Gracias a la estabilidad económica que actualmente se vive en el país, las tasas de interés son relativamente bajas, muy por debajo a la de épocas anteriores. No obstante a pesar de lo anterior, estas tasas son variable y se determinan sumando puntos porcentuales a las tasas de referencia siguientes:

La

tasa líder, de rendimiento. El costo porcentual promedio de captación. La tasas de interés interbancaria de equilibrio. Estas varían con lapsos diferentes y su nuevo valor se publica en la pagina web del BCRP. Si la tasa de interés se multiplica por 100 se obtiene la tasa de interés en porcentaje. De esta manera la tasa de interés es el valor de una unidad monetaria en el tiempo. Si esta en proporción será el valor de 100 unidades monetarias en el tiempo.

Cuando la tasa de interés se expresa en porcentaje se le llama tipo de interés, y al valor correspondiente expresado en decimales, el que se emplea en las operaciones, se denomina como tasa de interés., pero en la practica es al primero al que le llaman tasa de interés.

http://www.sbs.gob.pe/app/stats/TasaDiaria_7A.asp?FECHA_CONSULTA=02/08/2011

La licenciada Adriana invierte $ 4000 a al termino de 01 año recibe $ 4500 por su inversión. El valor presente del capital es P = $ 4000, el monto es S = $ 4500 y los intereses son la diferencia de S y P: I = 4500 – 4000 I = 500 La tasa de interés es i = 500/4000 = 0.125. El tipo de interés es, por lo tanto, 0.125 (100) = 12.5% anual y el plazo de 01 año.

En diapositivas anteriores se dijo que la tasa de interés por unidad de tiempo es i = I/P. Si se despeja I multiplicando los dos miembros de la ecuación por P, se obtienen los intereses: I = Pi Pero si el plazo no es la unidad sino cualquier otro valor, digamos n periodos, entonces los intereses serán: I = Pni Es decir, que son proporcionales al capital, al plazo y a la tasa de interés, lo cual se formaliza en el siguiente teorema:

Los intereses que produce un capital P con una tasa de interés simple anual i durante n años, están dados por:

I = Pin

¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si con $ 14,644 se liquida un préstamo de $ 14,000 en un plazo de 06 meses?. Los intereses son la diferencia entre el monto y el capital prestado I = 14,644-14000 (I = S – P) I = $ 644 El plazo es n = ½, que equivale a un semestre. La tasa anual i, se despeja de la ecuación siguiente que resulto de sustituir los valores anteriores en I = Pin 644 = 14,000(i)(1/2) De donde, 644(2)/14000 = i I = 0.092 o 9.2% simple anual.

La unidad de tiempo para la tasa de interés puede no ser anual, sino mensual, diaria, trimestral, o de cualquier otra unidad de tiempo. Sin embargo, en cualquier caso es importante hacer coincidirla con las unidades de tiempo del plazo; por ejemplo, si la tasa de interés es semanal entonces el plazo debe expresarse y manejarse en semanas. Si no se dice otra cosa con respecto a la tasa de interés, esta se considerará como simple anual. Por ejemplo, al decir una tasa del 11.5% se sobreentenderá como 11.5% simple anual. Recuerde además, que para las operaciones la tasa dada debe dividirse entre 100, recorriendo el punto decimal dos lugares hacia la izquierda y lo mas importante, que debemos en todo caso aclarar, la forma en que se están tratando las tasas de interés de cualquier operación financiera o comercial, ya que de no hacerlo podrían podrían suscitarse ciertos problemas entre las partes que intervienen en tales operaciones. Veremos que, una tasa del 13% arroja diferentes resultados si es simple, compuesta por meses o compuesta por semestres, por ejemplo, aunque en todo caso es una tasa anualizada.

Anteriormente se menciono que los intereses son la diferencia entre el monto y el capital: I=S–P Si pasamos sumando la P al lado izquierdo, se despeja S S=P+I y I = Pin Entonces, S = P + Pin Factorizando: S = P(1+in)

El valor acumulado S de un capital P que devenga intereses con la tasa de interés simple anual i, al final de n periodos anuales es: S = P(1+in) Es muy importante insistir en que si la tasa de interés no es anual, entonces es necesario que tanto la tasa como el plazo esten en las mismas unidades de tiempo.

¿Cuánto acumula en 2 años en su cuenta bancaria el señor Morales, si invierte $ 28,000 ganando intereses del 7.3% simple anual. Solución. Los valores a sustituir en la ecuación anterior son: P= $ 28,000, el capital N = 2 el plazo en años. I = 0.073, la tasa de interés simple anual M = la incógnita, entones,

M = 28,000[ 1+0.073(2)] M = $ 32,088 Recuerde que de esta formula, o de cualquier otra, puede determinarse una de las variables que en ella aparecen. Para despejar una cualquiera, es recomendable hacerlo hasta despues de haber reemplazadolos valores que son conocidos, es decir los datos.

¿En cuanto tiempo se duplica una inversión con un tipo de interés del 13% simple anual? Solución:Si P es el capital inicial, entonces el monto S al final del plazo será el doble de P, es decir S = 2p, por lo que al reemplazar esto en la ecuación del teorema, esta quedará así: 2P = P(1+0.13n) ya que S = P(1+in) Paradespejar la incognita n, la ecuación se divide entre P y se anula, se resta el 1 y por último, se dividen los dos miembros entre 0.13 2 = 1+0.13n N= 1/0.13 o n = 7.69.2307692

Para expresar este plazo en años con meses y días, la parte decimal se multiplica por 12, que son los meses que tien el año: 0.692307692(12) = 8.307692304 Esto significa que 0.692307692 años equivalen a 8.307692304 meses. Ahora bien, la parte fraccionaria de este número se multiplica por 30, los días contenidos en un mes. 0.307692304(30) = 9.23076912 Resultado que se redondea a 9, por lo que el plazo queda como: 7 años, 8 meses y 9 días Note que el plazo puede expresarse en horas, mediante la multiplicación de la fracción por 24, por lo que esto pudiera continuar sucesivamente. En el resultado no tiene importanciael tamaño del capital que se invierta, P, puesto que se elimino desde el primer paso en el dearrollo anterior, lo cual quiere decir que cualquier capital se duplicará en este plazoa una tasa del 13% simple anual

¿Cuál es el precio de un televisor que se paga con un anticipo del 30% y un documento a tres meses con valor nominal de $ 3,600? Suponga que la tasa de interes es igual a la TIIE mas 4 puntos porcentuales y que el día de la compra la TIIE fue de 9.8%. Solución. Prmero se encuentra el valor presente de los $ 3600, sustituyendo la tasa I = 0.098+0.04 = 0.138 en la formula del interes simple y los demas valores: S por $ 3600, el valor futurodel credito, y n por 3/12 o 0.25 años, que es el plazo. La ecuación queda así: 3600 = P[1+0.138(0.25)] S = P(1+in) C= $ 3479.94

El valor presente del documento es $ 3479.94, puesto que el anticipo fue del 30%, este resultado corresponde al 70% del precio del televisor y por eso: (0.70) Precio = 3479.94 De donde: Precio = 4971.35

¿Con que tasa de interessimple se realizó una operación crediticia que se liquedo con un pago a los 10 meses con $ 42,350, suponiendo que el credito fue por $ 37644.44? Solución. Los valores a sustituir en la formula del interes simple son: S = 42,350, el calor futuro del credito P = 37,644.44, el valor presente, es decir, el valor del crédito. n = 10 meses, el plazo o n = 10/12 años i = la tasa de interes simple annual es la incógnita.

Entonces: 42,350 = 37,644.44 [1+(10/12)i] S = P(1+in) 42350/37644.44 = 1+(10/12)I 1.125-1 = (10/12)I I = 0.15 o 15% simple anual.

1) ¿Cuál de las siguientes opciones de gratificación conviene mas a los intereses de un empleado? a. Recibir ahora $7,700. b. Recibir $ 4,400 ahora y otros $ 4,000 en dos meses. c. Recibir tres pagos de $ 2,800 cada uno a 30, 60 y 90 días. 2) La Exportadora Quiriarte SA realizo un importante operación de compra venta por $ 350,000 y le pagan en tres bonos iguales. El primero el día de la compra y los otros dos a 30 y 60 días. ¿De cuanto es cada uno si tienen cargos del 13.2% de interés simple anual.

Para plantear y resolver situaciones en las que interviene un numero relativamente grande de cantidades y fechas – por ejemplo, cuando un conjunto de obligaciones que deudores y acreedores contrajeron con anterioridad se reemplaza por otro que es equivalente, pero con otros tiempos y cantidades – se utilizan graficas que se conocen como diagramas de tiempo. Estos consisten en una simple linea recta en la que se anotan los valores, los montos, los capitales, las fechas y los plazos del problema a resolver. Algunas veces, cuando los periodos son iguales, en el tema de anualidades, por ejemplo, en lugar de una recta se utilizan rectangulos que representan los periodos. En todo caso es preciso senalar que un diagrama de tiempo o temporal sirve para ilustrar cantidades en el tiempo.

Cuanto deberá invertirse al 5.1% simple anual el 15 de febrero, para disponer de $ 7000 el 9 de mayo, $ 15500 el 20 de junio y de $ 10000 el 23 de diciembre? SOLUCION

P3

P2 P1

7000

15 febrero

9 mayo

84 dias Formula: S = P(1+in)

15500 20 junio

41 dias

10000

23 diciembre

183 dias

El 11 de marzo Adriana depositó $ 10000 en una cuenta que devenga intereses del 12.48% simple anual. El 15 de diciembre había depositado otros $ 15000, pero el 28 de enero retiro $ 9500 Cuánto podrá retirar el 9 de mayo?. Cuanto gano por intereses? SOLUCION

Formula: S = P(1+in)

El 15 de noviembre un comerciante compro mercancia que liquido con un 35% de contado, un pago por $ 32050, que corresponde al 40% el dia 3 de marzo, y otro por el resto el dia 22 de abril. Considerando cargos del 16.8% anual. Determinar: a)El valor de la mercancia el dia de la compra. b)El monto que se paga el 22 de abril. c)Los intereses o cargos por no pagar de contado.

SOLUCION

Formula: P= S(1+in)-1

INTERES Y TASAS DE INTERES

Tipos de tasas de interés: Tasa de interés activa: Es el precio que un individuo paga por un crédito o por el uso del dinero (no es en sí el precio del dinero). Tasa de interés Pasiva: es la que pagan los intermediarios financieros a los oferentes de recursos por el dinero captado

Tasa Nominal: es la tasa que se pacta en la operación. Una tasa anual que se capitaliza en períodos más cortos que el año. Ej: Tasa Nominal Anual que capitaliza trimestralmente Tasa Proporcional (en el caso de las tasas nominales): Fijada una tasa anual, se llama tasa proporcional ( semestral, cuatrimestral, trimestral, etc ) al cociente entre la tasa anual por el número de períodos ( semestres, cuatrimestres, trimestres, etc ) Ej. i/2 ; i/3 ; i/4

Tasas Equivalentes: las que correspondiendo a períodos de tiempo diferentes y aplicadas a capitales iguales, producen montos iguales al cabo de un mismo tiempo. Tasa Efectiva Anual: es la que se obtiene reinvirtiendo periódicamente durante un año, capital más intereses, obtenidos por el uso de la tasa proporcional

Tasa Contínua: es la tasas que se obtiene capitalizando contínuamente intereses • e = 2,71828 • S = P x e nx i

Tasa de interés compuesto discreto: Es la tasa de interés que se aplica cuando el período de capitalización es una variable discreta, es decir, cuando el período se mide en intervalos fijos de tiempo tales como año, semestre, cuatrimestre, trimestre, bimestre, mes, día u otro. Ademas…

Interés compuesto discreto: Es el que se aplica cuando los intereses causados, no retirados o pagados, pasan a su vez a causar intereses cada cierto período de tiempo especificado previamente.

AHORA, VEAMOS LAS TASAS CON LAS TRABAJAREMOS CONSTANTEMENTE… …Tasas nominales y efectivas…

Período de Capitalización El interés puede ser convertido en capital anual, semestral trimestral, y mensual así como diario,dicho período es denominado período de capitalización. Al número de veces que el interés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión. Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?

Un año = 12 meses/3 meses= 4

4 es el período de capitalización trimestral

Tasa de Interés Nominal, Efectiva (o real) y Equivalente Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, ésta es denominada tasa de interés nominal. Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral , trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva de interés. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de capitalización es se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenido por capitalización es igual al final del año.

Ejemplos de tasas nominales: … conversiones… ejercicios de la hoja de trabajo.

Conversión de las tasas nominales a efectiva…

Conversión entre tasas efectivas y alternativa de conversión…

TIPS: Puntos porcentuales: 1 punto porcentual = cambio de un 1% en la cotización.

Ejemplo: Ejemplo: La tasa de interés se redujo en 5 puntos porcentuales: Tasa de interés menos 5%

Puntosa básicos: 100 puntos básicos = 1 punto porcentual (1%)

Ejemplo: La tasa de interés se redujo en 50 puntos básicos: Tasa de interés menos 0.5%

Concepto: Es el interés que se genera sobre intereses. Los intereses que se generan en el primer período de capitalización se convierten en capirtal para generar mas intereses para el segundo periódo de capitalización y así sucesivamente.

Si por ejemplo en una inversión a plazo fijo, no se retiran el capital ni los intereses que se generaron, entonces estos pueden agregarse al capital, por lo que a partir del segundo periodo producirán sus propios intereses, y si esto continua, el capital en la inversión, al comenzar un periodo cualquiera, será mayor que el que se tenia al empezar el periodo anterior. Se trata de la caracteristica escencial del interes compuesto, lo cual lo hace diferente del interes simple, en cuyo caso solo el capital original genera intereses, es decir, al comenzar cualquier periodo el capital es constante, es el mismo. Si bien es cierto que el interes compuesto ha existido desde siempre, se puso de manifiesto con el llamado anatocismo, cuando los deudores de la banca no pueden liquidar sus deudas, ya que aun estando al corriente en sus pagos, el capital que debian, en vez de reducirse, crecia cada vez mas, por lo que se buscaron otras formas para liquidarlas. El interes compuesto no es mas que una aplicación importante de las progresiones geometricas.

Suponga que nuestra población aumenta un 3% cada año. ¿Cuánto crecerá en 3 años?

Cuando la variación de los valores es uniforme y se expresa como un tanto por ciento, se distinguen dos tasas de crecimiento, o reducción, la que corresponde al porcentaje dado, el 3% del incremento anual en la población por ejemplo y la que resulta de dividir cualquier termino, es decir, cualquier valor entre el que precede, 1.03 en el mismo ejemplo. Ésta, el 1.03, es la que se aplica en las formulas de las progresiones geométricas, denotándola como r, la razón común, y estará dada en general por r = 1+v, donde v es el porcentaje del incremento en la suceción de valores.

INTERES COMPUESTO FORMULA GENERAL

S=P(1+i)

n

El monto acumulado S de un capital P al final de n periodos es

S = P(1+i) Donde: n es el plazo de tiempo S el monto que se acumula P el capital inicial. i es la tasa de interés efectiva.

n

Despejemos otras incógnitas… P=… i=… n=… … y ahora, el interés será…

Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto Capital Tasa Tiempo Periodo en años 0 1 2 3 4 5

$ 100,000 10% Anual 5 Años Interés simple Monto Interes Int. Acumul. 0 0 110,000 10,000 10,000 120,000 10,000 20,000 130,000 10,000 30,000 140,000 10,000 40,000 150,000 10,000 50,000

Interés compuesto Diferencia Monto Interes Int. Acumul. en intereses 0 0 0 110,000 10,000 10,000 0 121,000 11,000 21,000 1,000 133,100 12,100 33,100 3,100 146,410 13,310 46,410 6,410 161,051 14,641 61,051 11,051

Comparativo entre el interés simple y el interés compuesto

Periodo en años 0 1 2 3 4 5

Int. Sim. Monto 110,000 120,000 130,000 140,000 150,000

Int. Com. Monto 110,000 121,000 133,100 146,410 161,051

Veamos un ejemplo gráfico: MAT. FIN\Comparación I simple i compuesto.xls

Decir que el interés es compuesto por meses significa que cada mes los intereses que se generan se capitalizan, es decir se suman al capital.

¿Qué capital debe invertirse ahora al 12.69% anual capitalizable por bimestres para tener $ 40,000 en 10 meses?

Obtenga el monto que se acumula en tres años, si un capital de $ 65,000 se invierte al 10% compuesto por semestres.

¿Que día deberá invertir $10,000 el matemático Gutierrez para disponer de $10,512.00 el 11 de mayo? Suponga que la inversión genera intereses del 13% compuesto por semanas.

El 25% del precio de un mueble de sala se paga con un documento con valor nominal de $4,000 y vencimiento a 30 días. Un 30 % se liquida mediante un pago a 60 días de plazo, otro 30% con un documento a 90 días de la compra y el 15% restante se deja como anticipo. Obtenga: a)El precio del mueble. b)El anticipo y los otros dos pagos. c)El cargo total por intereses. Suponga que la mueblería carga el 22.20% anual compuesto por meses en sus ventas a crédito.

¿Con que tasa de interés anual capitalizable por bimestres se duplica un capital por tres años?.

INTERES COMPUESTO

0

1

2

3

4

4.0 00

5.0 00

Regla comercial:

5

6

7

8

9

x

10

11

12 fecha

10 .00 0

focal

INTERES COMPUESTO

0

1

2

3

4

4.0 00

5.0 00

Regla de saldos insolutos:

5

6

7

8

9

x

10

11

12 fecha

10 .00 0

focal

En el interés simple, estudiamos los diagramas de tiempo que constituyen herramientas útiles para plantear y resolver problemas financieros, ya que facilitan los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estos desplazamientos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia.

Con todos los valores en esa fecha focal y separando aquellos que corresponden a las deudas de los que corresponden a los pagos, es decir, agrupando por un lado los del debe y por otro los del haber , se establece una igualdad que se conoce como ecuación de valores equivalentes o simplemente como ecuación de valor. Después esta ecuación se resuelve despejando la incógnita o las incógnitas que en cela aparezcan, para lograr así la solución del problema.

Esta solución varia un poco de acuerdo con la localización de la fecha focal tratandose de interés simple; pero cuando el interés es compuesto, la solucióin es la misma para cualquier ubicación de la fecha focal. Cabe señalar que las cantidades de dinero pueden estar antes o despues de la fecha de referencia. Si la cantidad de dinero A esta antes de esa fecha, se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal; pero si esta después, entonces se restaran los intereses obteniendo su valor presente equivalente en la misma fecha focal.

En la siguiente figura se ilustran las dos posibilidades, donde SA es el monto de A y PB es el valor presente de P PB

B

A

SA FECHA FOCAL

En ambos casos, el traslado se realiza con la formula del interés compuesto o del interés simple si así lo estipula el problema

LIQUIDACION DE CREDITOS CON PAGOS DIFERIDOS El día de hoy se cumplen 5 meses de que un comerciante de alimentos consiguió un crédito de $ 30000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace tres meses le concedieron otro y firmo un documento con valor nominal de $ 54000, valor que incluye los intereses de los 6 meses de plazo. Hoy abona $ 60000 a sus deudas y acuerda con su acreedor liquidar el resto a los cuatro meses, contados a partir de ahora. ¿Por qué cantidad es este pago, si se tienen cargos o intereses del 11.76% nominal mensual.

INTERESES EN CREDITO CON ABONOS DIFERIDOS Hallar los intereses que se cargan en el ejemplo anterior.

COMPRAS A CREDITO, PAGOS EQUIVALENTES E INTERESES Con intereses del 16.56% nominal diario, el 21 de abril se otorga un crédito en mercancía por $ 63000, para pagarse el 01 de octubre. El 30 de junio se concede otro por $ 46000 que vence el 15 de diciembre y otro el día 25 de julio por $ 76000, incluidos los intereses, con vencimiento al 3 de setiembre. En un arreglo se acuerda liquidar los compromisos con 2 pagos, uno el 10 de agosto y otro el 10 de noviembre, de tal manera que el segundo duplica al primero. Determine: ¿Por qué cantidad es cada uno de los dos pagos? ¿Cuánto se paga por intereses?

EJEMPLO Suponiendo que una persona realiza los siguientes depósitos y disposiciones en una cuenta que bonifica el 9.36% nominal diario en los primeros tres meses y el 10.32% capitalizable por meses, después, obtenga el monto en su cuenta el día 20 de diciembre luego de su disposición, considerando que cuando hizo su primer retiro tenia $ 47925.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

FLUJO DE CAJA EN CONSTRUCCION DE VIVIENDA Para la construcción de un núcleo de vivienda, un contratista requiere de $ 5´000,000 distribuidos de la siguiente forma: 40% al comenzar las obras, 30% a los tres meses, 20% a los 6 meses y el 10% restante al entregar las viviendas, 8 meses después de haber empezado las obras. Con este propósito, el propietario deposita $ 2´000,000, un mes antes de comenzar la construcción. Tres meses después del primer deposito, hace otro, equivalente al resto del presupuesto, en un banco que paga el 13.92% de interés anual capitalizable por meses. ¿De que cantidad es este pago?

REESTRUCTURACION DE UN CREDITO AUTOMOTRIZ Se compra un camión con precio de contado de $ 193,500 con un anticipo y tres abonos bimestrales iguales al anticipo, con un interés del 16.2% anual capitalizable por bimestres. Poco antes de hacer el primer pago bimestral se conviene en reestructurar la deuda con dos pagos a 3 y 6 meses de la compra, de tal manera que el segundo pago es un 25% mayor que el primero. ¿De cuanto es cada pago? ¿Cuánto se paga por intereses?

CONSTITUCION DE UN FIDEICOMISO CON TASA VARIABLE ¿Cuánto debe depositarse ahora, cuanto dentro de 2 años y cuanto mas 3 años despues, para constituir un fideicomiso y disponer de 4.5 millones de soles, al cabo de 12 años contados a partir de ahora, considerando que el segundo deposito es un 25% mayor que el primero y que el ultimo exede en S/. 450,000 al anterior? Suponga que se devengan intereses del 9.3% nominal mensual en los primeros cuatro años, del 10.4% anual capitalizable por semestres en los 3 años siguientes y del 11.8% efectivo en los últimos cinco. ¿A cuanto ascienden los intereses que se

PLAZOS EQUIVALENTES ¿Qué día deberá efectuarse un pago único por $ 60000 que sustituye a dos montos, el primero por $ 25000 con plazo de 5 meses y el segundo por 35000 con plazo de 8 meses, suponiendo intereses del 10% efectivo?

EJEMPLO ¿Qué día deben pagarse $ 50500 en sustitución de 3 pagos: el primero por $ 9000 del día 10 de julio, el segundo por $ 28500 del 25 de agosto y el otro por $ 13000 del 3 de octubre, considerando intereses del 12.87% nominal mensual?

Una operación de descuento, es una de las formas de crédito que consiste en obtener el pago anticipado de títulos valores – letras de cambio, pagares u otros documentos, mediante la cesión del mencionado titulo a otra persona, generalmente una institución de crédito, la cual adelanta el importe del valor nominal del titulo deduciendo los intereses anticipadamente, por el tiempo que falta para el vencimiento de la obligación.

El descuento constituye la diferencia entre el valor nominal o monto de una deuda a su vencimiento y su respectivo importe recibido en el presente: D = VN-VL

Donde VN : Valor nominal VL : Valor liquido D : Descuento

Es necesario distinguir los diferentes conceptos del termino descuento aplicados en el sistema financiero y en las actividades comerciales y mercantiles: CLASES DE DESCUENTO RACIONAL

BANCARIO

COMERCIAL

SIMPLE

SIMPLE

UNITARIO

COMPUESTO

COMPUESTO

SUCESIVO

El descuento racional aplicado a un titulo de crédito que vence en el futuro es el interés deducido anticipadamente calculado con la tasa i, sobre el importe que verdaderamente recibe el descontante. Este importe es el respectivo valor presente del valor nominal del titulo. De este modo el interés y el descuento racional calculados para el mismo plazo y aplicando la misma tasa generan iguales resultados.

Descuento racional simple (equivalencia)

Descuento racional compuesto (equivalencia)

¿Cual es el descuento real de un documento con valor nominal de $ 25300, 72 dias antes de su vencimiento con una tasa de descuento del 11.4% simple annual?

Una letra de S/. 3800 con vencimiento el 26 de febrero es descontada el 18 de enero a una tasa de interes simple annual del 24%. Calcule el importe del descuento racional.

En la fecha se tienen dos obligaciones de S/. 3000 y S/. 4000 que vencen dentro de 28 y 46 días respectivamente. ¿Cuál será el pago total por ambas obligaciones si deciden cancelarse hoy?. El acreedor aplica una tasa annual de interes simple del 15% para la letra a 28 días y del 18% para la letra a 46 días.

Hallar el valor nominal de un documento sabiendo que su descuento racional es S/ 20000 y la tasa de interés es 50%. Se sabe además, que faltan 75 días para el vencimiento del plazo.

Un equipo dental cuyo precio al contado es de S/ 4 000 000, se vende mediante una inicial de S/ 1 000 000 y el resto en tres letras de 30, 60 y 90 días, utilizando una tasa de descuento del 50% anual. Hallar el importe de las letras sabiendo que son iguales.

La empresa X firmo letras a favor de sus proveedores por S/ 10’000000 a 90 días; S/ 8’000,000 a 60 días, mientras que tiene en su poder 7 letras con vencimiento cada 30 días por un importe de S/ 1’000,000 cada una; 4 letras de S/ 2000000 a 45, 90, 135 y 180 días, respectivamente, 3 letras de S/. 2’000,000 a 30, 60 y 90 días respectivamente. Hallar su saldo financiero el día de hoy, utilizando 50% para sus obligaciones y deudores.

Calcule el descuento racional compuesto a practicarse a un pagare con valor nominal de S/. 10,000 y vencimiento a 60 días. Utilice una tasa efectiva mensual del 4%.

Por qué monto deberá aceptarse un pagaré con vencimiento a 60 días, para descontarlo racionalmente hoy, si se requiere disponer un importe de S/. 10,000?. Utilice una tasa efectiva mensual del 4% y compruebe la respuesta.

El Comite de Descuentos del Banco Interbank aprobo hoy (7 de enero) a la empresa Transur su cartera de letras, de acuerdo a la siguiente relación: Letra # 420 510 586

Vencimiento 01-Feb 18-Feb 23-Feb

Importe 6348 8946 9673

Aceptante Cargil Transportec Alitec

El banco cobra una tasa efectiva mensual del 5% y portes de S/.5 por cada documento. ¿Cual será el importe que dispondra Transur?

Supongamos un pagare de valor nominal de S/. 30,000 que genera intereses del 6.25% fue descontado en el banco el mismo día de su emisión a una tasa de descuento del 7%, siendo su producto liquido de S/. 29,950. ¿Cuál fue la vida del pagaré?

El descuento bancario constituye el interes calculado sobre el valor nominal o valor futuro (S) de un titulo valor, importe a deducir del monto del documento para encontrar su valor liquido, el cual va a representar el verdadero importe financiado. La tasa de interes aplicada es conocida como tasa adelantada o tasa de descuento “d”, la cual se diferencia de la tasa vencida “i” en que esta se aplica sobre P y aquella sobre S, lo que origina un importe liquido menor al valor presente del documento.

Descuento bancario simple

Descuento bancario compuesto

Calcule el descuento bancario simple al 3 de marzo, sobre un documento con valor nominal de S/ 5000 y fecha de vencimiento el 15 de abril. La tasa de descuento mensual es del 5%?

Calcule la tasa de descuento bancario simple aplicada a un pagaré de valor nominal de S/. 6,666.66 y cuyo descuento ha sido S/. 500 en un periodo de 45 días.

Supongamos que un pagare de S/. 10000, fue descontado en el banco el 1º de Marzo de 2007 y que tenia esa misma fecha, devengaba el 5 % de interés y vencía el 1º de Septiembre de 2007. El tipo de descuento del banco también fue del 5 %. ¿Cuál fue le descuento retenido por el banco?

¿A cuantos días se ha efectuado el descuento bancario de un pagaré con valor nominal de S/. 4000 utilizando una tasa de descuento simple mensual del 4%, si recibio un importe liquido de S/. 3500.

¿Cual es el valor comercial el 12 de mayo de un documento que ampara un prestamo de $ 26500 recibido el 25 de enero pasado con intereses del 12% simple annual y cuyo vencimiento es el 30 de julio. Suponga que la tasa de descuento simple anual es de 12.5%?

Que dia se negocia en $ 32406 el siguiente documento con descuento del 10.02% simple anual? Cual fue la tasa de interes simple anual?

Pagare por $ 33050 Por este pagare me obligo a pagar incondicionlamente a la orden de CB DATA SRL en lima el 17 de diciembre del 2010 la cantidad de $ 33050 (treinta y tres mil cincuenta dolares americanos) valor recibido a mi entera satisfaccion. Lugar y fecha: Lima, Republica del Peru a 11 de agosto del 2010 Nombre: Paolo Cesar Davila Escudero Domicilio: Victor Estremadoyro 172 San Borja ______ Acepto

El Banco de Comercio descuenta al Sr. Grandez el 15% de interes simple anual (tasa de descuento) de un documento con valor nominal de $ 30000 que vence 45 dias despues. El mismo dia, el banco descuenta el pagare en el Banco Interbank con el 13.5% annual. Cual fue la utilidad del Banco de Comercio?

¿En cuanto se descuenta un documento con valor nominal de $ 20,250 el 10 de abril, si vence el 10 de octubre y se descuenta el 13.5% nominal mensual.

El 21 de julio se transfiere, es decir, se comercializa un pagaré en $ 55,770 con descuento compuesto del 11% nominal diario. ¿Por qué cantidad fue el crédito que origino el documento, si se cargan intereses del 10% simple anual?. Suponga que la firma se realizó el 5 de marzo con plazo hasta el 10 de diciembre.

Un pagaré con valor nominal de S/. 5000 y que se vence dentro de 4 meses, ha sido descontado bancarimanete aplicando una tasa de descuento mensual del 3% para el primer mes y 4% para los ultimos 3 meses. ¿Cuál será el valor liquido?

Un pagaré con valor nominal de S/. 5000 y que se vence dentro de 4 meses, ha sido descontado bancarimanete aplicando una tasa de descuento mensual del 3% para el primer mes y 4% para los ultimos 3 meses. ¿Cuál será el valor liquido?

En el financiamiento de un auto cuyo precio de contado es de $ 10000 la institución financiera exige al cliente una cuota inicial de $ 4000, un pago adelantado de $ 1000 y una letra a 90 días por $ 5312.41, en la cual le han cargado una tasa de descuento bancario compuesto mensual del 2%. Si el cliente solicita que el importe de los $ 1000 se incluya en la letra a los 90 días. ¿Cuál será el nuevo valor nominal de la letra?

Determine el tiempo que falta para el vencimiento de una letra de S/. 5000, la que descontada bancariamente a una tasa de descuento del 1% mensual, ha producido un valor liquido de S/. 4938.40.

Calcule el descuento bancario compuesto efectuado a una letra con valor nominal de S/. 2500 faltando 37 días para su vencimiento , si a este titulo valor se le aplico una tasa de descuento mensual del 1.5%.

El 21 de julio se transfiere, es decir, se comercializa un pagaré en $ 55,770 con descuento compuesto del 11% nominal diario. ¿Por qué cantidad fue el crédito que origino el documento, si se cargan intereses del 10% simple anual?. Suponga que la firma se realizó el 5 de marzo con plazo hasta el 10 de diciembre.

Determinar el valor liquido de un documento comercial cuyo valor nominal es de S/. 130,000 que vence dentro de 16 meses, si le hacen los siguientes ajustes en cuento a las tasas de descuento del 2.5%, 4% y 5% mensuales al 4º, 5º y 7º mes respectivamente.

En cuanto tiempo podrá vencerse un documento de crédito, si al decontarlo hoy día al tipo de descuento del 10% se ha obtenido un valor efectivo de 1/8 de su valor nominal.

El descuento comercial es la rebaja concedida sobre el precio de lista de un articulo. Descuento comercial unitario: Se practica una sola vez. Descuento comercial sucesivo: Mas de un descuento sobre el mismo articulo.

La Depreciación Es la pérdida del valor de un activo fijo, la depreciación es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo, producido por el paso del tiempo, desgaste por uso, el desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia u otros factores de carácter operativo, tecnológico, tributario, etc. La depreciación puede calcularse sobe su valor de uso, su valor en libros, el número de unidades producidos o en función de algún índice establecido por la autoridad competente o por estudios técnicos de ingeniería económica sobre reemplazamientos de activos. La depreciación constituye la pérdida progresiva de valor de una máquina, equipo o inmueble por cada año que envejece. Algunos autores señalan la depreciación como un arrendamiento que la empresa se paga así misma por el uso y deterioro de sus instalaciones y equipos. Según la Superintendencia Nacional de Administración Tributaria – SUNAT. Pérdida o disminución del valor de un activo fijo debido al uso, a la acción del tiempo o a la obsolescencia. La depreciación tiene por objeto ir separando y acumulando fondos para restituir un determinado bien, que va perdiendo valor por el uso.

Finalidad de la Depreciación Las depreciaciones se realizan con el fin de cargar a gastos es costo del activo, y que este valor será reembolsable en un futuro próximos, ya sea para la adquisición de otro activo, o el mejoramiento de ella, dependiendo de las decisiones gerenciales de la empresa. Así mismo tiene las siguientes finalidades: • Lograr que cada ejercicio económico venga gravado por el total de gastos que le corresponden y han contribuido a forma el producto de éste. • Valorar el desgaste anual de los elementos que forman su Activo Fijo. • Constituir una reserva para reponer el valor inicial de los elementos que forman el Activo Fijo.

Importancia Realizar las depreciaciones es tan importante para la empresa ya que mediante ellas la empresa deduce los gastos, siempre y cuando estas estén aceptadas por Ley. Mediante las depreciaciones se pueden reponer una unidad completa, o de lo contrario reacondicionarlos. Para cubrir la depreciación del activo fijo es necesario formar un fondo de reserva (F) a través de los cargos por depreciación efectuados periódicamente de acuerdo con el método previamente escogido. El fondo de reserva o depreciación acumulada permitirá sufragar el costo de reemplazo del activo al final de su vida útil. Con la excepción de los terrenos, la mayoría de los activos fijos tienen una vida útil limitada, o sea, que darán servicio a la compañía durante un número determinado de futuros periodos contables

Métodos de Depreciación • • • • •

Línea Recta Doble saldo decreciente Decreciente Suma de años dígitos Unidades producidas

Bienes Ganado de trabajo y reproducción Vehículos de transporte terrestre; hornos en general Maquinarias y equipo para actividad minera y petrolera (excepto muebles) Equipo de Procesamiento de Datos Otros bienes del Activo Fijo

Vida útil Porcentaje 4 años 25% 5 años 20% 5 años 20% 5 años 20% 10 años 10%

Selección del Método Para decidir respecto del mejor método aplicable a la depreciación, las consideraciones desde el punto de vista fiscal deben separarse de las consideraciones de la contabilidad financieras. Para los fines fiscales, el mejor método es aquel que minimiza los efectos de los impuestos en la empresa. Generalmente se escoge uno de los métodos de depreciación acelerada permitidos. Con respecto a la contabilidad financiera, cada uno de sus conceptos que se han descrito con anterioridad tiene sus partidarios. La gran mayoría de los negocios usan el método de línea recta, en razón de su simplicidad, pero el número de empresas que van aplicando los otros métodos está aumentando. Debe hacerse hincapié en que en una sola negociación pueden usarse diferentes métodos para diferentes tipos de activos. Por ejemplo, el de línea recta para los edificios uno de los acelerados para ciertos tipos de maquinaria y equipo, y el de unidades de producción para otras clases de activo. Un imperativo esencial es que exista un método. La práctica de antaño de cargar depreciación en la medida que aguanten los resultados es insubstancial.

CASO PRÁCTICO Enunciado Se compra una camioneta al precio de S/. 7,000, su vida útil estimada es de 5 años, su valor de desecho de S/. 1000. Se pide elaborar tablas de depreciación por los métodos conocidos. Para el caso del sistema de unidades producidas, considerar 75,000 kms.

ANUALIDADES

El objetivo de este estudio es reconocer, definir y clasificar los diferentes tipos de anualidades y manejar los distintos factores que intervienen en las anualidades. Al terminar este estudio, podremos calcular los montos o valores futuros, valores actuales o presentes, rentas de anualidades, tasas de interés o tiempos de las anualidades ciertas ordinarias. Podremos elaborar diagramas de flujo y resolver ecuaciones de equivalencia entre anualidades.

En matemáticas financieras, la expresión anualidad se emplea para indicar el sistema de pago de sumas fijas a intervalos iguales. La palabra anualidad se utiliza por costumbre desde sus orígenes. Asi es que se usa en las anualidades contingentes, en las que interviene la probabilidad anual de vida de las personas. En finanzas anualidad no significa pagos anuales, sino pagos a intervalos iguales. Por consiguiente, se consideran anualidades los dividendos sobre las acciones, fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos de las compañías de seguros y en forma mas general los sueldos y todos los tipos de rentas. La expresión anualidad puede cambiarse por la de rentas, series uniformes, pagos periódicos, amortizaciones u otros, según el caso y costumbres.

Definición de anualidad Una anualidad es una sucesión de pagos periódicos iguales. Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás, la anualidad toma, según el caso los nombre de las anualidades variables o anualidades impropias.

TEMPORAL CIERTA VENCIDA U ORDINARIA ANTICIPADA O DIFERIDA SIMPLE PERPETUA GENERAL VITALICIA EVENTUAL VENCIDA O ANTICIPADA IMPROPIA O VARIABLE TEMPORAL Anualidades Ciertas: Son aquellas anualidades cuyas condiciones se conocen de antemano (plazo tasas días del periodo capitalizable, etc.) y se establecen previamente, generalmente por contrato entre las partes intervinientes. Estas anualidades de acuerdo a duración pueden ser: Temporales (leasing, cuotas, sueldos a plazo determinado, pensiones estudios,etc) Perpetuas (emisión de bonos)

Anualidades eventuales o contingentes: Son aquellas cuya fecha inicial o terminal dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede especificarse por estar en función de algún acontecimiento externo no previsible (ej. seguros de vida). El desarrollo de estos flujos corresponden al campo de las matemáticas actuariales, el cual de manda no solo el conocimiento del interes compuesto, sino también las probabilidades. Estas anualidades a su vez pueden ser: Vitalicia: Dura mientras dure la vida del rentista. Temporales: Esta determinada por una fecha de inicio y de fin, aun cuando el rentista continúe con vida.

Las anualidades ciertas y contingentes pueden se a su vez: ANULAIDAD VENCIDA: ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL DE CADA PERIODO. EJEMPLO: COMPRA A CUOTAS, SERVICIOS BASICOS, PRESTAMOS, EN GENERAL EL SISTEMA COMERCIAL. ANULAIDAD ANTICIPADA: ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SE REALIZAN AL INICIO DE CADA PERIODO. EJEMPLO: PAGO DE PRIMAS DE SEGURO, ALQUILERES, ESTUDIOS, ETC.

ANULAIDAD DIFERIDA: ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SE REALIZAN AL INICIO O FINAL DE CADA PERIODO, CONSIDERANDO UN PERIODO DE GRACIA (DIAS, SEMANAS, MESES, ETC) EJEMPLO: PAGO DENTRO DE 90 DIAS, “PAGUE DENTRO DE TRES MESES” HIOTECAS, COMPRAS COMERCIALES (SAGA, RIPLEY, CURACAO, ETC)

ANUALIDADES VENCIDAS

ANUALIDADES VENCIDAS ES AQUELLA EN QUE LOS PAGOS SE REALIZAN AL FINAL DE CADA PERIODO. APLICACIÓN: COMPRA A CUOTAS, SERVICIOS BASICOS, PRESTAMOS, EN GENERAL EL SISTEMA COMERCIAL. CARACTERISTICAS •Todos los pagos deben tener el mismo valor. •Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. •A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés. •El numero de pagos es igual al numero de periodos. PRINCIPIO ANULAIDAD El valor presente de una anualidad queda ubicado a principio del periodo en que se efectúa el primer pago

Renta.- Es el valor de cada pago periódico Período de Pago.- Tiempo que se fija entre dos pagos sucesivos Plazo de la Anualidad.- Intervalo de tiempo que transcurre entre el comienzo del primer período de pago y el final del último. Tasa de la anualidad.- Tipo de interés que se fija a la anualidad, puede ser nominal o efectivo.

Supongamos que queremos calcular el valor de una anualidad, existen dos formas: cuando la calculamos a su terminación es el Monto, y cuando la calculamos a su comienzo es el valor actual. Supongamos nuevamente que al final de cada año recibimos una renta de S/. 2000.oo, durante 6 años, tendrá un Monto S, al finalizar los seis años y tendrá un valor actual A, en su fecha inicial. Gráficamente tenemos

A

0

S

1

2

3

4

5

2000

2000

2000

2000

2000

6 años

2000

Monto.- Los pagos efectuados al final de cada periodo ganan intereses, hasta la fecha final, entonces tenemos para el primer pago, el segundo pago y hasta el final de la anualidad, suponga que esta renta gana una tasa de interés del 10 % efectivo anual.

S=15431,22 S = 15431.22 1

2

3

4

5

6

2000(1 0,1) 5  2000(1  0,1) 4  2000(1  0,1) 3  2000(1  0,1) 2  2000(1  0,1)1  2000(1 0,1) 0 " 3221,02 +

" 2928,20

" +

2662,00

" +

2420,00

" +

2200,00

“ +

2000,00

Es decir el monto de una anualidad de S/. 2000 pagaderos al final de año, durante 6 años, a la tasa de interés del 10 % ascenderá a S/. 15431,22.

Supongamos que la anualidad se efectúa durante n periodos, gráficamente tenemos:

0

1

R

2

3

R

............ n-2

R

n-1

R

R

n años

R

En que R es el pago periódico de una anualidad es decir la Renta. Entonces el primer pago se acumula durante (n – 1) períodos, el segundo (n – 2) períodos y así sucesivamente hasta él último pago que no ganará intereses ya que su pago coincide con la fecha del término de la anualidad:

S  R (1  i ) n 1  R (1  i ) n  2  R (1  i ) n  3  .....  R (1  i ) 2  R (1  i ) 1  R (1  i ) 0 Invirtiendo la suma, tenemos:

S  R  R (1  i )  R (1  i ) 2  .....  R (1  i ) n  2  R (1  i ) n 1 Los términos del segundo miembro forman una progresión geométrica términos, la razón es (1+i) y el primer miembro es R. Si multiplicamos la ecuación por (1+i), tenemos:

S (1  i )  R (1  i )  R (1  i ) 2  .....  R (1  i ) n 1  R (1  i ) n Esta ecuación la restamos de la primera:

S (1  i )   S  R 

R (1  i )  R (1  i ) 2  .....  R (1  i ) n 1  R (1  i ) n R (1  i )  R (1  i ) 2  .....  R (1  i ) n 1

S (1  i )  S   R

 R (1  i ) n

S (1  i )  1   R  R (1  i ) n Si  R (1  i ) n  R Reordenando la ecuación tenemos que:

 (1  i ) n  1  S  R  i  

(1)

de n

Cálculo del Valor Actual.- El valor actual de una anualidad es aquella cantidad A, de dinero que con sus intereses compuestos, en el tiempo de la anualidad dará una cantidad equivalente al monto de la anualidad. Regresando al ejemplo anterior, tenemos: A = 8710,52

A (1  i )  S n  (1  i )  1   n A  R (1  i )  i   quedando finalmente  n  1  (1  i )  AP  R  (2)  i  

1 años

n

2

2000 (1  0,1) "

2000 (1  0,1) 2 "

3

2000 (1  0,1) 3 "

4

5

6

2000 2000 2000 (1  0,1) 4 (1  0,1) 5 (1  0,1) 6 " " "

1818,18 + 1852,89 + 1502,63 + 1366,03 + 1241,84 + 1128,95 = 8710.52

Formulando la ecuación de equivalencia y utilizando como fecha focal la fecha final:

A (1 

 S i )  (1  i ) n  1  A  R   (1  i   quedando finalmente  1  (1  i )  n  P  R   i   n

i )



n

( 2 )

Fórmula para calcular el valor actual de una anualidad de R por año, durante n años a la tasa de interés i efectiva anual.

P

S

TASA DE INTERÉS %

0

1

R

2

R

3

4

R

R

P

P

1

0

1

2

1

2

3

2

3

1

4

3

4

4

5

0

2

1

1

3

2

2

4

3

3

4

4

ANUALIDADES VENCIDAD S

P

0

1

2

1

3

2

4

3

4

1  (1  i )   (1  i )  1 P  R S  R ( 1 )    i i     n

P



 1  R  

(1  i

i )



n

  

n

EJEMPLO ¿Cuanto podrá retirar cada viernes durante 8 meses el Ingeniero Serrano, si al comienzo del plazo se deposita $ 30000 devengando intereses del 26% compuesto por semanas?

Valor presente se un seguro de vida La beneficiaria de un seguro de vida recibiría $ 3100 mensuales durante 10 anos, aunque prefieren que le den el equivalente total al inicio del plazo. Cuanto le darán si el dinero reditua un promedio del 19.35% anual compuesto por meses.

Plazo en la compra de un tractor ¿Cuantos abonos trimestrales vencidosde $ 40000 son necesarios para pagar el precio de un tractor que se compro con un anticipo y un crédito de $ 350000? Suponga intereses del 13.8% capitalizable por bimestres.

Toma de decisiones al vender un camión El dueño de un volquete tiene opciones para vender su unidad:

las siguientes

•Un cliente puede pagarle $300000 al contado. •Otro le ofrece $ 100000 de contado mensualidades de $ 30000 cada una.

y

7

•Un tercero le ofrece $ 63000 de contado y 20 abonos quincenales de $12500 cada uno. Determine cual le conviene mas, si sabe que el dinero reditúa el 9.6% de interés anual capitalizable por quincenas.

EJERCICIOS TIPO Una inversión se inicia hoy con $300.oo, además, cada mes el inversionista deposita $60.oo, pero también cada mes le hacen una retención del 1% sobre los intereses devengados en ese mes por concepto de mantenimiento de cuenta. Si la tasa de interés es del 3.23%, nominal anual que se capitaliza mensualmente. Determinar el monto total que tendrá el inversionista al cabo de tres años, antes del depósito de esa fecha.

EJERCICIOS TIPO Un joven estudiante desea disponer de $ 230.oo mensuales desde enero hasta Diciembre de cada año de carrera universitaria durante los cinco años de estudio .¿Que cantidad uniforme debió haberle depositado anualmente el padre del estudiante , desde que el hijo cumplió diez años de edad, en una institución financiera (digamos fondos mutuos) que paga un interés del 2.8% efectivo anual durante los tres primeros años y de 3.2% los siguientes años, sabiendo que el hijo ingresa a la universidad cuando cumpla los 17 años de edad y que los depósitos se harán hasta la fecha de ingreso.

EJERCICIOS TIPO

Una persona adquiere un apartamento con el siguiente plan: cuota inicial financiada a seis pagos mensuales de $2100.oo cada una y un interés del 14% al rebatir, es decir 14%/12 = 1.167 mensual y el resto a diez años en cuotas mensuales iguales; debe pagar la primera una vez que haya cancelado la ultima cuota de la inicial, es decir en el mes séptimo y el interés es del 11,25% también al rebatir. Determinar el valor de las cuotas mensuales, si el apartamento tiene un valor de contado (VA) $ 42500.oo

EJERCICIOS TIPO

Una empresa construyó una gran bodega en el cual sobra un espacio considerable. La empresa puede arrendar parte de la bodega y depositar ese dinero al 3.1% efectivo anual. Si el metro cúbico de bodega puede arrendarse por $6.50/mes ¿Cuantos metros cúbicos deberá arrendar la empresa para lograr tener, por este concepto un total acumulado en la cuenta de $6000 al cabo de cuatro años?

EJERCICIOS TIPO

Financiar dos obligaciones, una por $23000.oo de hoy otra de $ 17000.oo para dentro de quince meses, ambas con un interés de 8.7% efectivo anual, por su equivalente en 36 cuotas mensuales iguales y un interés del 6.9% efectivo mensual para el primer año y del 9.15% efectivo anual de allí en adelante, sabiendo que la primera de estas cuotas se pagara dentro de tres meses.

EJERCICIOS TIPO

Una persona compra un automóvil que de contado tiene un valor de $16000.oo. Lo adquiere con una cuota inicial del 30% del valor de contado y el resto en 36 cuotas mensuales iguales; siendo la primera después del pago de la cuota inicial y a un interés del 14% efectivo anual. Cada mes debe pagar un seguro del 0.15% del crédito. Determinar el valor de las cuota.

EJERCICIOS TIPO Una empresa adquiere un crédito por el valor de $70000 de una institución bancaria con el fin de ampliar la producción. La deuda debe pagarse en diez años en cuotas trimestrales iguales y un interés del 7.6% nominal anual capitalizable trimestralmente. El gerente de finanzas de la empresa ordena ahorrar cada mes la cuarta parte de las utilidades mensuales en una institución de fondos mutuos que le abona el 6% efectivo anual. Cuales deberán ser las utilidades mensuales de la empresa para que con este plan de ahorros la deuda quede saldada al cabo de los diez años.

EJERCICIOS TIPO

Una inversión requiere hoy $160000 los cuales se obtienen de una entidad financiera que cobra un interés del 10.8% efectivo anual y deben cubrirse con dos pagos iguales a uno y dos años. Para cubrir esta obligación, el gerente de finanzas deberá depositar mensualmente cantidades iguales en un fondo mutuo que paga el 8.55 % nominal anual capitalizable mensualmente,.. Determinar el valor de los depósitos mensuales.

EJERCICIOS TIPO Un individuo acaba de jubilarse de una empresa y decide seguir trabajando libremente y para tal fin compra un taxi amarillo. Debe pagar de cuota inicial el equivalente al 30% del valor del auto y el resto a cuatro años con cuotas mensuales iguales y un interés del 8.1% nominal anual capitalizable mensualmente. Al cabo de dos años y medio de estar pagando las cuotas, el banco que financio la compra del auto le informa al propietario que las cuotas que aún faltan pagar tienen un valor actual de $ 5925. Determinar el valor de contado del taxi.

EJERCICIOS TIPO

Un pequeño inversionista abre una cuenta en un fondo mutuo hoy con $860.oo y liego hace depósitos mensuales de $ 75.oo cada uno. El fondo tiene invertidos los depósitos una tasa anual del 4.7%, pero cuando el saldo sea igual o superior a $3500, se hará un descuento cada mes del 1% sobre los intereses devengados en ese mes por concepto de mantenimiento de cuenta. ¿Dentro de cuanto tiempo tendrá $4250.oo?

ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada (o inmediata) es cuando los pagos se hacen al comienzo del período, es decir el 1º de Enero de cada año o el primer día de cada mes. Ejemplo de anualidades anticipadas son los pagos del alquiler de inmuebles, pago de la pensión en los colegios, o pagos de deudas contraídas.

ANUALIDADES ANTICIPADAS Una anualidad anticipada (o inmediata) es cuando los pagos se hacen al comienzo del período, es decir el 1º de Enero de cada año o el primer día de cada mes. Ejemplo de anualidades anticipadas son los pagos del alquiler de inmuebles, pago de la pensión en los colegios, o pagos de deudas contraídas.

ANUALIDADES ANTICIPADAS La diferencia entre una anualidad simple vencida y una anualidad simple anticipada, dado un numero igual de rentas, radica en que en la anualidad vencida la ultima renta no percibe interés porque coincide con el termino del plazo de la anualidad, mientras que en la anualidad anticipada la ultima renta no coincide con el final del plazo de la anualidad, ubicándose al inicio del ultimo periodo de la renta y percibiendo el interés o beneficio hasta el final del periodo, fecha en que concluye el plazo de la anualidad.

ANUALIDADES ANTICIPADAS P

S

0

1

1

2

2

3

3

4

4

 (1  i ) n 1  1  S  R  1 i   1  (1  i )  ( n 1)  P  R A  1 i  

(

(11)

ANUALIDADES ANTICIPADAS En lugar de estar pagando S/. 125 por una renta al principio de cada mes, por los próximos 8 anos, el Sr. Cavero decide comprar una casa. ¿Cuál es el valor actual en efectivo de los 8 anos de renta al 5% convertible mensualmente?

ANUALIDADES ANTICIPADAS El señor Lescanito esta percibiendo una renta de S/. 150,000 a principio de cada mes, faltan 8 anos para que se agote, pero este señor espera recibir S/. 250,000 a principio de cada mes. Por cuanto tiempo percibirá esta renta, si el interés es del 51% capitalizable semestralmente?.

ANUALIDADES ANTICIPADAS El Señor Ruben Calderon deposito S/. 100,000 a principio de cada mes, excepto en dos oportunidades: el tercer mes del segundo ano, no pudo depositar nada, mas bien retiro S/. 200,000 que necesitaba con urgencia y el cuarto mes del tercer ano deposito a parte de los S/. 100,000, S/. 300,000 mas por haber recibido el pago de un préstamo que había hecho un pariente. Si el banco paga 55% capitalizable semestralmente ¿Cuánto tendrá en su cuenta final al final del tercer ano?

ANUALIDADES ANTICIPADAS El Sr. Enrique Zapata compro una poliza de seguro de vida, por la cual cuando llegará a los 60 años de edad, recibiria S/. 15’000,000. Al llegar a esta fecha, la compañía de seguros le ofrecio en lugar de esa suma de dinero, una renta de S/. 600,000 a principio de cada mes, durante 15 años, y si el fallecia a sus herederos. ¿Cuál de las dos alternativas le conviene, si el interés es de 55% capitalizable semestralmente?.

ANUALIDADES ANTICIPADAS El Sr. Daniel Hernández recibe una renta de S/. 700,000 al principio de cada año, durante 7 años. Después comienza a recibir durante los 10 años siguientes S/. 400,000 al principio de cada año, durante 5 años. Durante los 10 años siguientes transfiere una renta de S/. 300,000 a principios de cada año para su hijo y él percibe una renta de solo S/. 200,000 al principio de cada año. La renta se le agota al final de estos 10 años. Si los intereses han sido del 30.5% capitalizable semestralmente, durante los 7 primeros años, los 5 años siguientes y los últimos 10 años respectivamente. Calcular: ¿Cuando se hubiese agotado la renta del Sr. Hernández si recibía S/. 700,000 durante todo el tiempo y no hacia ninguna transferencia. Si el Sr. Hernández Hubiese cobrado S/. 200,000 a principio de cada año durante todo el tiempo ¿Cuánto hubiese recibido su hijo al principio de cada año durante los 10 años?. Calcular el monto para cada una de las rentas al final de los 22 años y el monto total.

RENTAS PERPETUAS Rentas perpetuas son aquellas que empiezan a pagarse en una fecha definida, y se pagaran siempre debido a que provienen solo de los intereses generados de un capital. Los términos R por periodo, son iguales, mínimo a los intereses por periodo generado por el capital. Si los términos fuesen mayores que el interés por periodo, el capital se agotaría con el transcurso del tiempo y la renta ya no sería perpetua. Si los términos fuesen menores que los intereses por periodo, el capital crecería con el transcurso del tiempo y la renta seguiría siendo perpetua. Nosotros consideraremos que los términos R, son iguales a los intereses por periodo.

MONTO DE LAS RENTAS PERPETUAS Como los términos de la renta perpetua se pagan durante un numero infinito de periodos, el monto es imposible de ser calculado. VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA Se presentan tres casos: •Valor actual de una renta perpetua de pago vencido. •Valor actual de una renta perpetua de pago anticipado. •Valor actual de una renta perpetua de pago diferido, ya sean vencidas o adelantadas.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGO VENCIDO Digamos que P es el capital cuyos intereses por periodo constituyen el término de la renta perpetua de pago vencido entonces:

R=Pxi es el termino de la renta perpetua, y

P=R/i Formula del valor actual, la misma que puede ser deducida de la formula del valor actual de rentas de pago vencido:

En efecto: La formula (17) podemos obtenerla como un limite de: Ran i 1

1  (1  i )  n lim Ran i  lim R R n  n  i 1 pero lim 0 cuando n n  (1  i ) n

Por lo tanto él, lim Ra i  R  n 

1 (1  i ) n i tiende

a

inf inito

1 i

Es decir P = R * 1/i Resulta la misma fórmula hallada por definición, con lo que las rentas perpetuas resultan un caso particular, cuando , de las rentas de pago vencido. Ejemplos: Material de trabajo.

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGO ANTICIPADO El valor actual en este caso, es el capital, digamos P que posibilita cobrar los intereses R a inicio de cada periodo. Es decir:

P = R + R/i o

P = R [ (1+i)/i ] Donde R es el cobro a inicio del primer periodo y R/i es el valor actual del resto de periodos. Despejando R, obtendremos:

R = Pi / 1+i

VALOR ACTUAL DE UNA RENTA PERPETUA DE PAGO DIFERIDO

Dependiendo de si se trata de rentas vencidas o anticipadas, a cada formula se le multiplica por el factor (1/1+i)y Para el caso de las rentas perpetuas diferidas de pago vencido, la formula del valor actual es:

P = R/i (1/1+i)y Para el caso de las rentas perpetuas diferidas de pago anticipado, la formula del valor actual es:

P = R [ (1+i)/i ] [(1/1+i)y]

Valor presente de una perpetuidad a pagar al final de cada cierto numero de periodos de capitalización Sucede en la practica que las rentas perpetuas estipulan pagos que deberán efectuarse a intervalos de mas de un año, por ejemplo carreteras, edificios o activos fijos. Como el coste de sustitución ocurre un número infinito de veces y por lo tanto constituye una renta perpetua, es conveniente hallar el valor actual de esos cargos que se renuevan perpetuamente. La formula es la siguiente:

W i W P  P k k i (1  i)  1 (1  i)  1

(19)

Donde: k = Numero de años o periodos que median entre dos pagos sucesivos de una renta perpetua. W: Monto de los k pagos de importe R, efectuados al final de cada periodo de capitalización.

Capitalización Capitalización es el valor presente de una renta perpetua.

Ejemplo No 24. – La Empresa Eléctrica resuelve crear un fondo para proveer a perpetuidad las reposiciones de los postes de alumbrado publico, que ha costado S/. 150000 en un distrito de la capital, los postes deben ser reemplazados cada 10 años, con un coste de S/. 91000. ¿Hallar el valor que habrá que poner en el fondo para proveer los reemplazos futuros, si la tasa de interés es del 7 % efectivo anual? Solución:

W = 91000;

k = 10;

i = 0,07;

P =?

91000 91000 P P  94090 ,75 10 1,07  1 0,96715136 Respuesta.- Al cabo de 10 años se tendrá un valor de S/ 185,090.75, de los cuales S/. 91000 se utilizaran para reponer los postes de alumbrado publico y S/. 94,090.75 se utilizará para generar un nuevo monto de 91000 para futuros reemplazos.

VALOR CAPITALIZADO

Se conoce como costo capitalizado al valor de un activo, mas la actualización de todos los costos futuros que garanticen su reposición perpetuamente. El coste capitalizado de un activo se define como el coste inicial del activo mas el valor actual de un número infinito de renovaciones. Símbolos: K = coste capitalizado del activo C = coste inicial del activo W = coste de reemplazo del activo k = número de años de vida útil del activo i = tasa de interés supuesta.

Por definición el Coste Capitalizado es:

K=C+P Donde P es el valor actual de la renta perpetua, necesaria para las renovaciones futuras. Sustituyendo P por su valor tenemos:

W K C k (1  i )  1

( 20 )

Ejemplo: Hallar el coste capitalizado de una máquina que se compra en S/. 50000, si su vida útil es de 10 años, al final de los cuales debe ser reemplazarse al mismo coste. El precio del dinero es del 5 % efectivo anual? Solución:

W = 50000; K =?

C = 50000;

k = 10;

i = 0,05;

Reemplazando estos valores en la formula (20) tenemos:

50000 K  50000   129504 ,57 10 (1  0,05 )  1 Respuesta.- El coste de la maquina es S/. 50000 y S/. 79504.57 generará dentro de 10 años S/. 50000 para la renovación.

Cuando C = W, podemos utilizar a siguiente fórmula:

C K k 1  (1  i )

(21)

Ecuaciones del Coste Capitalizado.Muchas veces es necesario tomar decisiones sobre activos que hay que comprar o construir, cuando este tiene que ser reemplazado periódicamente, en estos casos la decisión tiene que basarse en la comparación de costes capitalizados.

Ejemplo. - La municipalidad de un pueblo debe tomar una decisión para la construcción de un puente, las ofertas más convenientes son: • Construir un puente de madera con un coste de $ 75000 y su vida de 20 años que debe ser reemplazado al mismo coste. • Construir un puente de acero con un coste de $ 140000, su vida útil de 50 años y que debe ser reemplazado también al mismo coste. ¿Cuál de los puentes resulta a la larga mas económico?. La tasa de interés se supone del 4 % efectivo anual. Solución: Puente de Madera: C = W = 75000; k = 20; i = 0,04; Km =? Reemplazando en la formula tenemos:

75000 Km   137965 ,78  20 1  (1  0,04 ) Respuesta.- El Coste Capitalizado del puente de madera es de $ 137965,78 Puente de Acero: C = W = 140000;

k = 50;

i = 0,04;

Ka =?

140000 Ka   162925 ,70 50 1  (1  0,04 ) Respuesta.- Así el coste capitalizado del puente de acero es $ 162925,70. Puesto que el coste del puente de madera es menor, resulta más económico.

Estos casos de gastos comparados de construir o comprar un activo, sugieren otro tipo de problema. ¿Cuánto podrá gastarse en la construcción de un puente de acero para que el desembolso, en un período de tiempo infinitamente largo fuera igual al desembolso para el puente de madera? Regresemos al ejemplo anterior: Si el coste del puente de madera se fija en $ 75000 y su vida en 20 años. ¿Cuánto deberá gastarse en construir uno de acero que dure 50 años, prestando el mismo servicio y que a la larga sea tan económico como el puente de madera?. La tasa de interés es del 4 % efectivo anual? En este caso tenemos que hallar el coste inicial y de reemplazo de un puente de acero tal que su coste capitalizado sea igual al coste capitalizado del puente de madera. Designemos, el coste inicial y de reemplazo del puente de madera por K, su duración por k años y la tasa de interés por i. Entonces el coste capitalizado “K” del puente de madera es.

C K 1  (1  i )  k La incógnita, esto es, el coste inicial y de reemplazo del puente de acero, lo representamos por el símbolo C,la duración del puente por k años y la tasa de interés por i. El coste capitalizado K del puente de acero es, según formula es:

C K k 1  (1  i )

Puesto que el coste capitalizado del puente de madera debe ser igual al coste capitalizado del puente de acero, para que a la larga sean ambos económicamente iguales, entonces puede establecerse la siguiente relación: K=K 

C C  k k 1  (1  i ) 1  (1  i )

Despejando C. Que es coste inicial del puente acero, tenemos  k50   1  ( 1  i )  C  C  k 20  1  ( 1  i )  

Reemplazando valores tenemos: 50

1  (1  0,04 ) C  75000  20 1  (1  0,04 ) 

 0,859287 C  75000  118552,26   0,543613 

Respuesta: Así, para que el puente de acero resulte a la larga tan económico como el de madera, su coste de construcción y de reemplazo debe ser de $ 118552,26.

ANUALIDADES VARIABLES las anualidades variables, son aquellas en las que las cuotas sufren variaciones de aumento o de disminución, son cantidades constantes y las definimos como anualidades de variación uniforme. La cantidad de variación recibe el nombre de gradiente y la primera cantidad del flujo de caja es la base. El gradiente puede ser positivo o negativo.

GRADIENTES En una anualidad vencida cuyas rentas consecutivas varían de acuerdo con una ley predeterminada, se denomina gradiente a la diferencia entre cualquier renta a partir de la segunda y la anterior. Cada renta es igual a la cuata base más la suma de los gradientes acumulados, siendo la cuota base un importe igual a la primera renta.

GRADIENTE ARITMETICO En una anualidad cuyas rentas varían en progresión aritmética, los gradientes son uniformes, es decir la diferencia entre una renta y la anterior es siempre la misma. El siguiente gráfico representa una anualidad con gradientes uniformes: A 1

2

3

n-1

n

R R+g R+2g R+(n-2)g

R+ (n-1) g

FORMULAS DEL GRADIENTE ARITMETICO INCREMENTO n 1  1  i  n   g 1  1  i  n P  R    n  i i i 1  i     

n  1  i n  1  g  1  i   1 S  R  n   i i  i   

DISMINUCIÓN n 1  1  i  n   g 1  1  i  n P  R    n  i i i   1  i     n  1  i n  1  g  1  i   1 S  R  n   i i  i   

GRADIENTE GEOMETRICO Se llama gradiente geométrico a una serie de pagos periódicos en la cual cada pago es igual al del período inmediatamente anterior incrementando en un mismo porcentaje. Sea una serie de n pagos, por período vencido, en la que el primero tiene un valor de R y cada uno de los siguientes es igual al del período inmediatamente anterior aumentando en un porcentaje de G % y en la tasa de interés es i % por período. Se trata de hallar expresiones que nos midan el monto y el valor actual en esta serie. El presente diagrama muestra la serie de pagos.

S A

St

0

1

2

3 ..

t

St+1

t+1

...

n

R R(1+G)

R (1  G ) t

R(1  G ) n 1

en que el primer pago es R, el segundo pago es R ( 1 + G ), el tercero es R ( 1  G ) 2 y así sucesivamente. En n 1 R ( 1  G ) general el pago n-ésimo será .

FORMULAS DEL GRADIENTE GEOMETRICO INCREMENTO PORCENTUAL R P  i G

S 

R i G

n  1 G   1   1  i    

1  i 

n

   

 1  G 

n



DISMINUCIÓN PORCENTUAL R P  i G

S 

R i G

n  1  G    1    1 i   

1  i 

n

   

 1  G 

n

