MATEMATICAS FINANCIERAS

PROBLEMARIO DE MATEMÁTICA III 734

PROBLEMARIO DE MATEMÁTICA III 734 Universidad Nacional Abierta

Autor: Prof. Frankie Gutiérrez Diseñadora Académica: Prof. Nancy Ojeda

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN.................................................................................................................. 5 MÓDULO I ............................................................................................................................ 6 REGÍMENES DE CAPITALIZACIÓN ........................................................................................................ 6 UNIDAD 1

................................................................................................................................................ 7

CAPITALIZACIÓN SIMPLE............................................................................................................................... 7

APLICAR LOS CONCEPTOS Y FÓRMULAS DERIVADOS DEL RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE, EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ....................... 7 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... 8

CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS, MONTO O VALOR FUTURO Y TIEMPO ...................................................................................... 9 DESCUENTO SIMPLE: RACIONAL Y BANCARIO .............................. 18 Descuento Simple Racional................................................................................................................19 Descuento Comercial..........................................................................................................................20

RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE Y LA TASA DE DESCUENTO BANCARIO .......................................................................... 23 UNIDAD 2

...............................................................................................................................................26

CAPITALIZACIÓN COMPUESTA....................................................................................................................26

APLICAR LOS CONCEPTOS Y FÓRMULAS FUNDAMENTALES DERIVADAS DEL RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTA EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. ..........................................................................................26 INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................................27

QUEREMOS CALCULAR EL MONTO M PRODUCIDO POR UNA CAPITAL INICIAL DE BS 10 000 000. COMO SE PUEDE NOTAR DEL ENUNCIADO, ESTE PROBLEMA CONSTA DE DOS PARTES, EN LA PRIMERA DE ELLAS TENEMOS QUE LA CAPITALIZACIÓN ES CADA 91 DÍAS POR UN LAPSO DE DOS AÑOS, Y EN LA SEGUNDA, TENEMOS QUE LA CAPITALIZACIÓN ES MENSUALMENTE. ........... 38 DESCUENTO COMPUESTO ...................................................................... 39 TASAS EQUIVALENTES ............................................................................ 41 ECUACIONES DE VALOR ......................................................................... 44 MÓDULO II ......................................................................................................................... 55 ANUALIDADES..........................................................................................................................................55 Y ...................................................................................................................................................................55 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN .............................................................................................................55 UNIDAD 3

...............................................................................................................................................56

ANUALIDADES .................................................................................................................................................56 INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................................57

ANUALIDAD, TÉRMINO, MONTO, VALOR ACTUAL, PLAZO O TASA ............................................................................................................... 58 Monto y Valor Actual para una anualidad con capitales iguales ...................................................58 Término con capitales iguales............................................................................................................61 Monto y Valor Actual para una anualidad con capitales diferentes ..............................................62

UNIDAD 4

...............................................................................................................................................66

SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN.....................................................................................................................66 INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................................67

AMORTIZACIÓN ......................................................................................... 68 PERIODO ................................................................................................................................................69

F Ó R M U L A S F U N D A M E N T A L E S ............................................................................ 76 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................... 78

INTRODUCCIÓN El presente problemario ha sido escrito con el propósito de: servir de complemento al medio maestro (entiéndase libro UNA) y ayudar a aquellos estudiantes cursantes de la asignatura Matemática III (Cód 734), pertenecientes al nuevo pensum de las carreras Administración de Empresas, Mención: Riesgos y Seguros, y Contaduría Pública, de la Universidad Nacional Abierta, quienes debido a circunstancias ajenas a su voluntad no tienen la posibilidad de consultar otros textos o no cuentan con la ayuda de un asesor en su Centro Local o Unidad de Apoyo. Los ejemplos y ejercicios propuestos van de menor a mayor grado de complejidad, en lo que respecta a los ejemplos, éstos han sido resueltos con el mayor detalle posible, mientras que los ejercicios podrán ser o no objeto de evaluación en los momentos de prueba e incluso es posible que en alguna de ellas sólo aparezcan preguntas del problemario. El problemario está estructurado de tal forma que el estudiante no tenga problema alguno para establecer una correspondencia entre éste, el Plan de Evaluación y el Plan de Curso. El mismo consta de dos módulos, cada uno de los cuales consta a su vez de dos unidades, el primer módulo denominado REGÍMENES DE CAPITALIZACIÓN, en el cual se estudian todos los conceptos e ideas fundamentales de los regímenes de capitalización simple y compuesta; y el segundo módulo es el de ANUALIDADES Y SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN, dedicado al estudio de los diferentes tipos de rentas y los diferentes tipos de sistemas de amortización. Es recomendable, para un mayor aprovechamiento y mejor comprensión de los ejercicios de este problemario, auxiliarse tanto con el texto de Matemática III (Cód 734) como con la bibliografía recomendada en el Plan de Curso. A menos que se diga explícitamente lo contrario, los ejercicios deberán ser resueltos usando cuatro o cinco cifras decimales, muy especialmente los ejercicios relacionados con amortización. Al final del problemario se anexa una tabla de las fórmulas necesarias para la resolución de los ejercicios, así como también una lista de direcciones de Internet, que por su contenido pueden ser de interés.

6

MÓDULO I REGÍMENES DE CAPITALIZACIÓN OBJETIVO GENERAL Aplicar los regímenes de capitalización simple y compuesto a situaciones de tipo financiero donde se identifique el crecimiento de un capital en el tiempo

7

UNIDAD 1 CAPITALIZACIÓN SIMPLE OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos y fórmulas derivados del régimen de capitalización simple, en la resolución de problemas.

8

INTRODUCCIÓN “Capitalización Simple”, es la primera de las dos unidades que conforman el Módulo I, y es también el primero y “mas sencillo” de los dos regímenes de capitalización que estudiaremos, en ésta unidad daremos algunas de las definiciones e ideas básicas necesarias sobre las que descansan las Matemáticas Financieras, definiciones e ideas que por su importancia serán fundamentales para el desarrollo y pleno entendimiento del resto de las unidades. Entre estas definiciones están las de: capital, interés, tasa de interés, monto o valor futuro y tiempo. Estas definiciones son y serán usadas constantemente tanto en ésta como en el resto de las unidades. También se usarán los “diagramas de tiempo” como una herramienta de gran utilidad para el análisis y la solución de problemas. Los ejercicios se pueden considerar divididos en dos grandes grupos; uno en el cual los problemas han sido desarrollados con el mayor detalle posible y otros en los que solamente aparecen las respuestas o simplemente el enunciado del ejercicio; con éstos últimos se pretende que el estudiante adquiera confianza y seguridad en si mismo. Se ha implementado el uso de la hoja de cálculo electrónica Excel para resolver uno que otro problema. Algunos ejercicios tienen un asterisco, esto no es porque sean más difíciles que los demás, sino porque me parecen interesantes. Es posible que al comienzo, por más que lo intente no le salgan algunos de los ejercicios, no se desaliente por esto, siga avanzando, ya le saldrán.

CAPITAL, INTERÉS, TASA DE INTERÉS, MONTO O VALOR FUTURO Y TIEMPO Cuando una persona natural o jurídica pide dinero prestado, paga una renta por el uso de ese dinero que no le pertenece. Dicho dinero es llamado CAPITAL o PRINCIPAL, en lo particular haremos uso del término capital. La renta pagada por el uso del dinero se denomina INTERÉS y representa una fracción del capital tomado en préstamo, tal fracción viene expresada como un porcentaje y es llamada TASA DE INTERÉS. El MONTO o VALOR FUTURO no es más que la suma del capital y los intereses. TIEMPO es el lapso comprendido entre el momento en que se toma el dinero en préstamo y el vencimiento, es decir; es el momento en el que se paga el monto. RECUERDE SIEMPRE: • LA TASA DE INTERÉS SE DEBE UTILIZAR EN FORMA DECIMAL • LA TASA DE INTERÉS Y EL TIEMPO DEBEN ESTAR SIEMPRE EXPRESADOS EN LAS MISMAS UNIDADES DE TIEMPO 1. * Una persona firma el día de hoy dos documentos de descuento. El primero de ellos por Bs 10 000 y el segundo por Bs 15 000, con interés simple del 18%, a 6 y 10 meses, respectivamente. a. Calcular el monto del descuento sabiendo que para el primer documento se utilizó descuento bancario y para el segundo descuento racional. b. Determinar el monto del dinero recibido por la persona en el día de hoy. 2. Una persona quiere cambiar tres títulos, con valores finales de Bs 5 000, 80 000 y 10 000, cuyos vencimientos serán dentro de 2, 4 y 6 meses respectivamente, por dos pagos iguales cuyos vencimientos serán dentro de 3 y 6 meses. Si la tasa de interés simple es del 21%, ¿cuál será el valor de los pagos a realizar? [Tips… Elabore un diagrama de tiempo] 3. Una persona compra un equipo de sonido cuya oferta al contado es de Bs 432 000. Sin embargo, por no disponer de esa cantidad, acepta adquirirlo a crédito, pagando un interés simple del 24% anual sobre el saldo pendiente y cancelando un pago inicial del 25% del precio de contado; además decide cancelar Bs 90 000 tres meses después de aceptar el negocio y Bs 78 000 luego de nueve meses de iniciada la compra del equipo de sonido. Utilizando como fecha de comparación la correspondiente a seis meses después del pago inicial y el descuento racional, calcular el monto del pago que debe hacer, al cabo de un año de iniciada la compra, para cancelar la deuda. Solución: Consideremos el siguiente diagrama de tiempo: 108 000

90 000

0

3

78 000

x

9

12

Meses

432 000

6

10 donde x representa el monto del pago que debe hacer la persona al cabo de un año ( 12 meses ) de iniciada la compra. Luego, en virtud del diagrama, tenemos que:

6 6 3    432 000 1 + 0,24x  = 108 000 1 + 0,24x  + 90 000 1 + 0,24x  + 12  12  12     78 000 x + 3 6   1 + 0,24x  1 + 0,24x  12  12    x . 483 840 − 289 944,91 = 1,12 Por lo tanto: x = 217 162,5. 4. Una persona solicita un préstamo de Bs 60 000 y firma documentos de descuento simple al 18% anual a 4, 5 y 6 meses y con un valor nominal de Bs 2 000 cada uno. Si la persona acuerda con la entidad, que le otorgó el préstamo, utilizar descuento bancario, ¿cuál es la cantidad de dinero que debe recibir? 5. Una persona compra un vehículo usado que vale Bs 8 500 000 al contado. Sin embargo, lo cancela aceptando las siguientes condiciones de crédito: a) Un pago inicial del 30% del valor de contado. b) Un pago final de Bs 20 000 dentro de seis meses. c) Cinco cuotas consecutivas, comenzando al final del primer mes, hechas de tal forma que estén en progresión aritmética de razón Bs 2 000. d) Aceptar una tasa de interés simple anual del 18%. e) Fijar como fecha focal el final del tercer mes. Determinar el monto de cada una de las cuotas. 6. Una persona obtiene un préstamo de Bs 2 000 000 y acuerda saldarlo en seis cuotas mensuales. Si acepta pagar un interés simple del 12% y cada cuota es el doble de la anterior, ¿cuál es el monto de cada una de las cuotas? 7. Una persona compró un documento con vencimiento en 11 meses al 18% de interés simple y con un valor inicial de Bs 1 200 000, descontándolo al 21% tres meses antes del vencimiento. Si en la transacción se utilizó descuento racional, ¿cuánto debió pagar la persona por el documento? 8. Una persona quiere cambiar dos títulos con valores finales de Bs 500 000 y Bs 800 000, y vencimientos de 3 y 5 meses respectivamente por seis títulos de Bs 21 760 pagaderos al final de los meses 2, 3, 4, 5, 6 y 7. ¿Qué tasa de interés simple se debe utilizar en la transacción? 9. Un comerciante obtiene un préstamo a una tasa del 35% de interés simple anual; transcurridos 2,4 meses el comerciante paga la deuda y contrae un nuevo préstamo igual al doble del anterior, pero pagando intereses del 33%. 6 meses después del segundo préstamo el comerciante cancela el valor del segundo préstamo. Sabiendo que pagó Bs 241 200 de intereses, determine el valor del primer préstamo.

11 10.Un comerciante obtiene un préstamo a la tasa del 42% de interés simple anual; transcurridos 3,6 meses el comerciante paga la deuda y contrae un nuevo préstamo igual al doble del anterior pero pagando intereses del 39%. 8,5 meses después del primer préstamo el comerciante cancela el valor del segundo préstamo. Sabiendo que el comerciante pagó en intereses el equivalente al 9/20 del primer préstamo más Bs 100 000, determine el monto de cada uno de los préstamos y de los intereses cancelados. 11.Una persona solicitó un crédito de Bs 3 390 000 el día de hoy, acordando pagar Bs 1 130 000 cuatro meses después y Bs 1 130 000 cuatro meses después de ese primer pago. Si la tasa de interés fue del 48%, determinar la cantidad que pagó cuatro meses después de ese segundo pago para saldar la deuda. Considere como fecha focal la correspondiente al último pago. Resp. Bs 2 215 600 12.Se tiene un documento de interés simple de 36% a 1 año, cuyo valor nominal es de Bs 5 650 000. Suponga que 6 meses antes de la fecha de vencimiento necesita algún dinero para realizar una inversión y decide vender el documento a otro inversionista con 44% de descuento. ¿Cuánto recibirá por el documento? Resp. Bs 5 993 520 13.Una persona que tiene Bs 27 000 000 emplea una parte de esta suma en la compra de una casa. Coloca la tercera parte del resto al 33% anual y las otras dos terceras partes al 30% anual, de esta manera su renta anual es de Bs 745 000. Se desea conocer el precio de la casa y cada una de las sumas colocadas. Resp. 2 403 225,81 14.Hace 8 meses deposité Bs “C” en un banco al 36% anual de interés simple; hoy retiré Bs 180.000 del capital inicial y el capital restante lo dejé depositado en el banco durante 10 meses más y obtuve un monto de Bs 1.773.000. Calcule “C”. Resp. 1.303.246,75 15.* Un pagaré de Bs 50 000 al 15% de interés simple que vence dentro de 9 meses es descontado por una entidad de ahorro y prestado al 7% de descuento simple 60 días antes de su vencimiento. Un mes después de haber realizado ese primer descuento, la entidad lo descuenta nuevamente a otra entidad que carga una tasa de interés racional del 8% anual. ¿Cuánto ganó la primera entidad en esas dos operaciones? Resp. 95,63 16.Un empresario debe a su banco dos pagarés; uno por Bs 2 800 000 con vencimiento el 20 de agosto y otro por Bs 4 200 000 con vencimiento el 20 de octubre. El 25 de agosto, vencido el primer pagaré, conviene con su banco recoger los dos pagarés y remplazarlos por otro, con vencimiento para el 30 de noviembre. Si la tasa de descuento es del 24% y los intereses de mora del 30%, ¿cuál es el valor del nuevo pagaré? Solución:

Calculemos primero el valor actual de los dos pagarés para el 25 de agosto. • Pagaré vencido el 20 de agosto. Se calcula su monto M, con los intereses de mora del 30% para 5 días M = C( 1 + rt )

12 5   = 2 800 000 1 + 0,3x  360   = 2 800 000 (1 + 0,00417) = 2 811 676

•

Pagaré de Bs 4 200 000 con vencimiento para el 20 de octubre. Se calcula su valor actual para el 25 de agosto 56   A′ = C(1 + dt ) = 4 200 000 1 + 0,24x  360   = 4 200 000 (1 + 0,03733) = 4 043 214 El valor actual de los pagarés para el 25 de agosto es: A = M + A′ = 6 854 890 Por lo tanto, el valor del nuevo pagaré para el 30 de noviembre es: M =

A 6 854 890 6 854 890 6 854 890 = = 7 328 846,50337 . = = 97 1− d t 1 − 0,06467 0,93533 1 − 0,24 360

17. Calcule el monto al final del sexto año de un capital de Bs 500 000 colocado a la tasa del 0,5% mensual de interés simple durante los primeros tres años y del 1% mensual durante los siguientes años, si al final del sexto mes retira Bs 100 000 de capital, al final del segundo año retira los intereses devengados en el último semestre, al final del tercer año retira Bs 100 000 de capital y los intereses devengados durante el último año. Solución:

Hagamos una representación gráfica de la situación: 500 000 AÑOS 0

½

1

0,5% Mensual

2

3

4

1% Mensual

5

6

M

Calculemos primero los intereses producidos durante los primeros seis meses. [1] I1 = 500 000(0,005)6 = 15 000 Calculemos ahora los intereses producidos por un capital de Bs 400 000 durante un período de tres semestres. I2 = 400 000(0,005)18 = 36 000 [2] Calculemos el monto producido por un capital de Bs 400 000 a una tasa del 0,5% mensual por un período de un año, esto es: M′ = 400 000 (1 + 0,005x12) = 424 000 Si de M′ = 424000 retiramos Bs 100 000 de capital y Bs 24 000 por concepto de intereses, nos queda que nuestro capital para los restantes tres años es de Bs 300 000. Calculemos ahora el monto M′′ que produce un capital de Bs 300 000 colocados durante un periodo de tres años y a una tasa del 1% mensual. M′′ = 300 000 (1 + 0,001x36) = 408 000 [3]

13 Por lo tanto, para obtener el monto M sumamos [1], [2] y [3], esto es: M = 15 000 + 24 000 + 408 000 = 447 000 bolívares. 18.Una persona tiene las siguientes obligaciones: • Una letra de Bs 100 000 que vence dentro de tres meses. • Dos letras de Bs 200 000 cada una que vencen dentro de 6 meses y devengan un interés mensual del 1%. • Una letra de Bs 50 000 que venció hace dos meses. Hoy abona Bs 200 000 más el 25% del valor actual de la deuda, y pide al acreedor que se emita una letra con vencimiento a cuatro meses por el saldo deudor. Calcule el valor nominal de la letra a la tasa de descuento d = 1% mensual. La tasa de interés de la operación es del 1,5% mensual. Solución:

Consideremos el siguiente diagrama 500 000

200 000(1 + 0,01x6)  200 000(1 + 0,01x6)

100 000

MESES 0

–2

25 000 + 25%

3

4

6

x

Donde A representa el valor actual de la deuda y x el monto de la nueva letra con vencimiento a cuatro meses. Comencemos por calcular el valor actual de la deuda. A = 50 000(1+ 0,015x2) + 100 000(1 – 0,01x3) + 200 000(1 + 0,01x6)(1 – 0,01x6) + 200 000(1 + 0,01x6)(1 – 0,01x6) = 51 500 + 97 000 + 199 280 + 199 280 = 547 060. Una vez conocido el valor actual de la deuda, estamos listos para calcular el valor de x, para esto establezcamos la siguiente ecuación de valor: 547 060 = 200 000 + 25% (547 060) + (1 – 0,01x4) = 200 000 + 0,25 (547 060) + 0,96x 347 060 = 136 765 + 0,96x Por lo tanto: x = 219 057,29 19.Un deudor debe pagar Bs 4 500 000 conjuntamente con sus intereses calculados a la tasa del 24% anual al final de 30 meses. Con el fin de disponer de tal cantidad en ese período desea conocer la cuota mensual que será necesaria depositar al comienzo de cada mes si devenga un interés del 12% anual. Solución:

Consideremos el siguiente diagrama: C

C

C

C

C

C

C

C

0

1

2

3

27

28

29

30

14 Donde C representa el valor de la cuota mensual que será necesario depositar al comienzo de cada mes. Determinemos el monto M que debe pagar el deudor al final de los 30 meses y a la tasa del 24% anual o 2% mensual. M = 4 500 000( 1 + 0,02x 30 ) = 7 200 000. Durante 30 meses, el deudor realiza 31 depósitos de Bs C cada uno, así que deposita en total 31C. Consideremos: Ii = el interés del depósito hecho al inicio del mes i. Entonces: Ii = Cix12%/12 = Ci1% = 0,01Ci. Luego el interés total obtenido al finalizar los 30 meses es: 30

30

30

i =1

i =1

i =1

I = ∑ Ii = ∑ 0,01Ci = 0,01C ∑ i = C( 0,01 )

30 ( 30 + 1 ) = 4,65C 2

Determinemos el valor de C. Por lo tanto: 7 200 000 = 31C + 4,65C = 35,65C. de donde resulta que: 7 200 000 C= ≈ 201 963,53 35,65 [Comentario… Esta forma de resolución es como la que se da en el texto de Matemática III (Cód. 734), página 32, ejercicio N°13. Este ejercicio también pudo haber sido resuelto, planteándolo como una ecuación de valor] 20.¿Qué capital colocado durante 2 años, 3 meses y 10 días, forma un monto de Bs 6 000 000 si la tasa de interés es del 0,5% mensual durante los primeros 9 meses y 2% bimestral durante el resto del período? Solución:

Grafiquemos la situación: C

MESES

18 MESES Y 10 DÍAS

9 0,005

0,02

6 000 000

Donde C representa el capital. Para determinar C usaremos que:

  0,02  550  M = C + I1 + I2 = C + Cr1t1 + Cr1t2 = C 1 + 0,005x9 +   .  60  360   Luego: 6 000 000 = C(1 + 0,045 + 5,093) = 6,138C

15 Por lo tanto: C=

6 000 000 ≈ 977 517,107 6,138

21.Una persona deposita Bs 50 000 al final de cada mes durante un año, siendo la tasa de la operación del 3% semestral. Determine el monto al cabo de un año y el interés producido desde el quinto mes hasta el noveno mes ambos inclusive. Solución:

Hagamos una representación gráfica de la situación:

0

5 0 0 0 0

5 0 0 0 0

5 0 0 0 0

5 0 0 0 0

5 0 0 0 0

1

2

3

4

5

5 0 0 0 0 6

7

8

9

5 0 0 0 0

5 0 0 0 0

5 0 0 0 0

10

11

12

Consideremos C = 50 000, t = 1 año y r = 3% semestral = 0,5% mensual. [Tips… No olvide que estamos trabajando bajo el régimen de capitalización simple] Durante un año, la persona realiza 12 depósitos de Bs 50 000 cada uno, así que deposita en total la cantidad de Bs 600 000. Consideremos: Ii = interés del depósito hecho al final del mes i - ésimo. Entonces: Ii = 50 000 i( 0,005) = 250i Luego, el interés total obtenido al finalizar el año es: 11 11  11( 11 + 1 )  I = ∑ Ii = 250 = ∑ i = 250   = 16 500 2   i =1 i =1 Por lo tanto, el monto al cabo de un año es: M = 600 000 + 16 500 = 616 500. Para calcular el interés producido desde el quinto mes hasta el noveno mes ambos inclusive, calculamos la diferencia: I9 – I4 donde I9 e I4 se definen de manera análoga a como se hizo con Ii. Por tanto: I9 – I4 = 250(9) – 250(4) = 1250. 22. Un padre al morir, deja dispuesto en su testamento que su capital de Bs 18 000 000 sea repartido entre sus 4 hijos, de modo que colocando cada uno su parte al 10% anual, todos tengan la misma cantidad de dinero al cumplir 21 años. ¿Qué cantidad recibió cada hijo al morir su padre, si en ese momento sus hijos tenían 10, 12, 14 y 18 años respectivamente?

Solución: Hagamos un diagrama de tiempo: 18 000 000

3

7

x

x

9

11 x

AÑOS

16 En el diagrama de tiempo x representa la cantidad que recibirá cada uno de los 4 hermanos; 3, 7, 9 y 11 el tiempo que falta por transcurrir para que los hermanos cumplan los 21 años. Por lo tanto: x x x x 18 000 000 = + + + 1 + (0,1)3 1 + (0,1)7 1 + (0,1)9 1 + (0,1)11

=

x x x x 20,81 + + + = x 1,3 1,7 1,9 2,1 8,8179

de lo anterior resulta que x = 7 627 208,073. 23. El señor Pérez posee dos letras que suman Bs 800 000, una de las cuales vence dentro de 5 meses y se descuenta en forma comercial al 3% mensual, la otra vence dentro de 10 meses y se descuenta en forma comercial al 3,5% mensual. Si hoy le ofrecen por ellas la suma de Bs 620 000, ¿cuál será el valor nominal de cada una de las letras? Considere como fecha focal correspondiente la de hoy. [Pregunta… ¿Cómo afecta la respuesta el hecho de considerar otra fecha focal?]

Solución: Hagamos un diagrama de tiempo: L1

L2

5

10

0

MESES

L1 + L2 = 620 000

en dicho diagrama de tiempo L1 y L2 representan el valor nominal de cada una de las letras respectivamente. Sabemos L1 + L2 = 800 000 Planteando ahora nuestra ecuación de valor y tomando como fecha focal la de hoy, nos queda: 620 000 = L1(1 – 0,03x5) + L2(1 – 0,035x10) = L1(1 – 0,15) + (800 000 - L1)(1 – 0,35) = 0,85L1 + (800 000 - L1)(0,65) = 0,85L1 + 520 000 - 0,65L1 ⇒ L1 = 500 000 y L2 = 300 000 24. Si ciertos depósitos suman Bs 7 000 000 al final de 3 años, ¿cuánto debió depositarse mensualmente en una corporación que reconocía el 2,5% mensual de interés simple? Los depósitos se realizan al final de cada mes.

Solución: Consideremos el siguiente diagrama de tiempo: C 0

C

C

C

C

C

C

C 36

MESES

17 C representa el valor de la cuota mensual que será necesario depositar al final de cada mes durante un período de 3 años para tener al final de los mismos Bs 7 000 000. Consideremos: Ii = el interés del depósito hecho al final del mes i. Entonces: Ii = Ci 2,5%/100 = 0,025Ci Luego, el interés total, obtenido al final de 3 años es: 35 35 35 35(35 + 1) I = ∑ Ii = ∑ 0,025Ci = 0,025C ∑ i = 0,025 C = 51,75 C. 2 i =1 i =1 i =1 Puesto que: M = C + I, tenemos: 7 000 000 = 36C + 51,75C⇒C ≈ 135 265,70. [Comentario… El capital es la suma de todos los depósitos hechos, en este caso, tenemos que fueron 36] 25. Se depositan Bs 50 000 cada bimestre en una corporación que reconoce el 4,5% bimestral de interés simple, ¿cuánto se acumulará al final de dos años? [Tips…Cuando no se especifique, se sobrentenderá que los depósitos son al vencimiento]

Solución: Consideremos el siguiente diagrama de tiempo: 50000 . . .

50000 BIMESTRES

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 M

Por lo tanto: M = 50 000[1+0,045(11)] + 50 000[1+ 0,045(10)] +...+50 000[1 + 0,045(1)] + 50 000 = 50 000[(1 + 0,045(11) + (1 + 0,045(10)) + ... + (1 + 0,045(1) + 1] = 50 000[12 + 0,045(11 + 10 + 9 + 8 + ... + 3 + 2 + 1)] 11 (11 + 1)   = 50 000 12 + 0,045x  = 748 500. 2   M representa el monto al final de los dos años. [Pregunta… Según el texto de Matemática III ( Cód. 734 ), ¿qué tipo de renta es esta?] 26.Calcule el monto que obtendrá una persona dentro de 18 meses si efectuó hace 3 meses un deposito de Bs 300 000, deposita hoy Bs 1 000 000 y dentro de 6 meses depositará Bs 500 000 más una cantidad igual al 75% de los intereses devengados hasta esa fecha. El banco abona el 1% mensual de interés simple, pero 6 meses antes del vencimiento correspondiente al mes 18 aplicará el 2% de interés simple.

Solución: Sea M el monto que obtendrá la persona al cabo de los 18 meses.

18 Recordemos que bajo el régimen de capitalización simple los intereses no ganan intereses y que: M = C + I. Tenemos que: M = M 1 + M2 + M3 donde: M1 = [ 300 000 + 300 000( 0,01 )15 + 300 000( 0,02 )6 ] M2 = [ 1 000 000 + 1 000 000( 0,01 )12 + 1 000 000( 0,02 )6 ] M3 = [ 565 250 + 565 250( 0,01 )6 + 565 250( 0,02 )6 ]. Por lo tanto: M = [ 300 000 + 45 000 + 36 000 ] + [ 1 000 000 + 120 000 + 120 000 ] + [ 565 250 + 33 915 + 67 830 ] = 2 287 995. [Comentario… 565 250 = 500 000 + 75%( 300 000X9X0,01 + 1 000 000X6X0,01 )] 27.Se obtiene un préstamo de Bs 1 000 000 a 9 meses, con intereses al 12% anual. ¿Qué cantidad tendremos que pagar para cancelar el préstamo 5 meses después de efectuado, suponiendo una tasa de descuento comercial del 6% anual?

Solución: Lo que queremos es cancelar el préstamo 4 meses antes de su vencimiento, esto es, el valor actual, por lo tanto en virtud de la sección 5 de la página 33 del texto de Matemática III ( 734 ), tenemos que calcular primero el valor final de la deuda, para luego poder calcular el valor actual A. El valor final C viene dado por: C = 1 000 000[ 1 + ( 0,01 )9 ] = 1 090 000, luego: A = 1 090 000[ 1 – ( 0,005 )4 ] = 1 068 200.

DESCUENTO SIMPLE: RACIONAL Y BANCARIO Entendemos por DESCUENTO, encontrar el valor presente o actual de alguna operación financiera antes de su vencimiento. Existen dos clases de descuento simple: • El descuento racional (matemático, justo o real) y, • El descuento bancario (o comercial).

DESCUENTO RACIONAL Es equivalente al interés sobre el valor actual del préstamo a la TASA DE INTERÉS dada, durante el plazo que existe desde su adquisición (la del préstamo) a la fecha de su vencimiento, lo denotaremos por DR . DESCUENTO BANCARIO Es equivalente al interés cobrado sobre el valor final del préstamo a la TASA DE DESCUENTO dada, durante el plazo que existe desde su adquisición (la del préstamo) a la fecha de su vencimiento, será denotado DB .

19 CUANDO NO SE ESPECIFIQUE QUE TIPO DE DESCUENTO SE ESTÁ APLICANDO SE ENTENDERÁ QUE ES DESCUENTO RACIONAL. CUANDO EL DESCUENTO ES EFECTUADO POR UN BANCO, EL DESCUENTO APLICADO ES BANCARIO O COMERCIAL.

[Tips…Para mas detalles ver páginas 33 y 34, sección 5 del texto de Matemáticas III (Código 734)] Descuento Simple Racional 28.¿Qué tasa de descuento “real” se aplicó a un documento con valor nominal (monto) de Bs 1 505 000, si se descontó 60 días antes de su vencimiento y se recibieron Bs 1 433 333,33?

Solución: Para dar respuesta a esta pregunta usaremos la fórmula: M = C(1 + rt). Sustituyendo: 1 505 000 = 1 433 333,33(1 + r60), luego de efectuar operaciones, resulta que r = 0,08333% diario, o lo que es lo mismo, r = 29,9988% anual. [Nota… 29,9952% = 0,08332%x360 días] 29.Calcular el descuento por anticipar un capital de Bs 5 000 000 4 meses a un tipo de descuento racional del 12%. Resp. D = 192 307,69 30.Se ha descontado racionalmente un documento de Bs 1 000 000, valor éste que incluye los intereses por 3 meses, el descuento asciende a Bs 40 000. Calcular el tipo de interés aplicado. Resp. r = 16,66% anual 31.Se descuenta racionalmente un documento con valor nominal es de Bs 10 012 006 al 12% y el descuento asciende a Bs 750 900,45. Calcular el plazo del descuento.

Solución: Recordemos como se definió el descuento racional, por lo tanto: D D D = Crt ⇒ t = = , ( M − D)r Cr Sustituyendo y operando queda: 750 900,45 750 900,45 t= = 0,675675 años. = ( 9 261105,55 )0,12 1111 332,67 Luego: t = 8,1081 meses = 8 meses 3 días. [Nota… 0,675675 años x 12 meses = 8,1081 meses] 32.El descuento racional de anticipar un valor futuro 8 meses, al 10%, asciende a Bs 120 000. Calcular el importe del capital.

20

Resp. C = 1 800 000 33.El día 09/03/2 005 se descontó racionalmente una letra de valor nominal de Bs 18 000 000, si la tasa que se utilizó fue 30% anual y la fecha de vencimiento de la letra es el 15/06/2 001. Determinar el descuento. 34.El día 07/03/2005 se descontó racionalmente una letra de valor nominal Bs 2 000 000, si el descuento correspondiente fue de Bs 580 000 y la tasa utilizada fue del 1,5% mensual, hallar la fecha de vencimiento de la letra. 35.El día 14/08/2 005 se descontó un pagaré de valor nominal Bs 30 000 000. Si la tasa utilizada y el descuento correspondiente fueron 3% mensual y Bs 1 620 000 respectivamente, determinar la fecha de vencimiento. 36.El día 14/08/2 005 se descontó una letra de valor nominal Bs 30 000 000. Si la tasa utilizada y el descuento correspondiente fueron 3% mensual y Bs 1 620 000 respectivamente, determinar la fecha de vencimiento. 37.Pedro le debe a Juan Bs 505 250 y éste acepta como pago un documento a 7 meses y 15 días. Si Juan descuenta de inmediato el documento en un banco que aplica una tasa de interés simple anual del 30%, ¿cuál es el valor nominal del documento para que Juan reciba del banco Bs 505 250?

Descuento Comercial 38.Se obtiene un préstamo de Bs 1 000 000 a 9 meses, con intereses al 12% anual. ¿Qué cantidad tendremos que pagar para cancelar el préstamo 5 meses después de efectuado, suponiendo una tasa de descuento comercial del 6% anual?

Solución: Lo que queremos es cancelar el préstamo 4 meses antes de su vencimiento, por lo tanto en virtud de la sección 5 de la página 33 del texto de Matemática III ( 734 ), tenemos que calcular primero el valor final de la deuda, para luego poder calcular el valor actual A, con el cual cancelaremos la deuda. El valor final C viene dado por: C = 1 000 000[ 1 + ( 0,01 )9 ] = 1 090 000, luego: A = 1 090 000[ 1 – ( 0,005 )4 ] = 1 068 200. 39.El Banco Ganadero descuenta un pagaré por Bs 80 000 000 al 10%, 90 días antes de la fecha de su vencimiento, 15 días después lo redescuenta (cuando la operación de descuento se efectúa entre bancos) en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero. Resp. La utilidad del Banco Ganadero fue de Bs 500 000 40.Los valores nominales de dos pagarés suman Bs 2 500 000. El primero de los dos se descontó 120 días antes de su vencimiento a una tasa d = 12% y el segundo fue descontado 90 días antes de su vencimiento y a una tasa d = 10%. La suma de los efectivos asciende a Bs 2 422 500. Calcular los nominales. Resp. M1 = 1 000 000 y M2 = 1 500 000

21 41.Concertamos con un proveedor la sustitución de un pago de Bs 500 000 a 120 días por tres pagos iguales a 30, 60 y 90 días. Si el tipo de descuento aplicado es el 6% anual, calcular el importe de los pagos. Resp. El importe de cada uno de los pagos es de Bs 168 350,16835 42.Calcular el tanto de descuento anual aplicado a un capital de Bs 1 500 000 que vence dentro de 4 meses si el descuento comercial asciende a Bs 50 000. 43.Calcular el vencimiento de un capital de Bs 150 000 que sustituye a dos capitales de Bs 55 000 y Bs 95 000 a 60 y 90 días respectivamente. Tasa de descuento empleada en la operación 5% anual. Resp. 79 días 44.Se descuentan Bs 200 000 6 meses y Bs 900 000 5 meses, a una tasa de descuento del 15%. Calcular el capital actual total de las dos operaciones. Resp. El capital total actual de las dos operaciones asciende a Bs 1 020 000 45.Un empresario debe a su banco dos pagarés; uno por Bs 2 800 000 con vencimiento el 20 de agosto y otro por Bs 4 200 000 con vencimiento el 20 de octubre. El 25 de agosto, vencido el primer pagaré, conviene con su banco recoger los dos pagarés y remplazarlos por otro, con vencimiento para el 30 de noviembre. Si la tasa de descuento es del 24% y los intereses de mora del 30%, ¿cuál es el valor del nuevo pagaré?

Solución: Calculemos primero el valor actual de los dos pagarés para el 25 de agosto. • Pagaré vencido el 20 de agosto. Se calcula su monto M, con los intereses de mora del 30% para 5 días 5   M = C( 1 + rt) = 2 800 000 1 + 0,3x  360   = 2 800 000 (1 + 0,00417) = 2 811 676 • Pagaré de Bs 4 200 000 con vencimiento para el 20 de octubre. Se calcula su valor actual para el 25 de agosto 56   A′ = C(1 + dt) = 4 200 000  1 + 0,24x  = 4 200 000 (1 + 0,03733) = 4 043 214 360   El valor actual de los pagarés para el 25 de agosto es: A = M + A′ = 6 854 890 Por lo tanto, el valor del nuevo pagaré para el 30 de noviembre es: A M= 1 − dt 6 854 890 6 854 890 = = 97 1 − 0,06467 1 − 0,24 360 6 854 890 = = 7 328 846,50337 . 0,93533

22 46.Un banco ofrece pagar el 96,823% del precio de un bono de la deuda pública de valor nominal (valor facial) Bs 100 000 000 a 91 días. Si se acepta la oferta, ¿qué rendimiento obtendrá el banco, con una base de descuento bancario?

Solución: Que el banco ofrezca pagar el 96,823% del precio facial del bono quiere decir, que está dispuesto a pagar Bs 96 823 000 del precio del bono con vencimiento a 91 días. Y lo que deseamos saber cuál será la tasa de descuento “d” que el banco gana. Por lo tanto, recordando que: Dc = Mdt , obtenemos: D M − A 100 000 000 − 96 823 000 = 0,12568 = 12,568%. = d= c = Mxt Mxt 100 000 000x 91 360

47.Un banco cobra 24% de interés adelantado (descuento) sobre préstamos a corto plazo. Un prestatario solicita Bs 1 935 000 a 90 días, calcular la suma que recibe. [Tips…Prestatario: Persona que solicita el préstamo] Solución:

Lo que queremos es calcular el valor actual de Bs 1 935 000 a 90 días y a una tasa de descuento bancario (o racional) del 24%, para esto usaremos la fórmula: A = C( 1 – dxt ), Sustituyendo obtenemos: 90 A = 1 935 000( 1 – 0,24x ) = 1 935 000( 1 – 0,06 ) = 1 935 000( 0,94 ) 360 = 1 818 900. 48.Un banco cobra 24% de descuento en préstamos a corto plazo. Un prestatario necesita Bs 4 300 000 en efectivo para pagarlos con intereses en 9 meses. ¿Cuánto debe solicitar? Solución:

Lo que nos están pidiendo calcular es el valor futuro de una deuda de Bs 4 300 000 a 9 meses, para esto usaremos que: A C= . 1 − dxt Por lo tanto: 4 300 000 4 300 000 4 300 000 = = = 5 243 902,439. C= 9 1 − 0,18 0,82 1 − 0,24x 12 El prestatario debe solicitar en préstamo la cantidad de Bs 5 243 902,439. 49.El 15 de noviembre “Juguetes, S.A.” vende mercancía a crédito por Bs 8 000 000, con una tasa de interés simple de 52% anual. El compromiso se formaliza mediante un documento que vence el 7 de enero del año siguiente, pero el 20 de noviembre se descuenta el documento en un banco, recibiendo la empresa Bs 8 400 000. ¿Cuál es el valor nominal del documento? y ¿cuál es la tasa de descuento que se aplicó?

23 50.Una obligación de Bs 1 397 500 tiene por vencimiento el 10 de agosto. ¿Cuál será su valor el 6 de abril del mismo año, si se actualiza a una tasa de descuento del 12%? Resp. 1 458 768,26722 51.Una persona necesita Bs 1 720 000 el 10 de febrero, a liquidar el 30 de junio. ¿Qué cantidad debe solicitar al banco si la tasa de descuento que éste aplica es del 11%? 52.Un banco cobra una tasa anticipada del 24% sobre el valor del préstamo en préstamos a un plazo máximo de 4 meses. Determinar el valor del documento que queda en poder del banco, si el prestatario recibe Bs 3 655 000, por un préstamo a 60 días. 53.Se tienen dos documentos por Bs 500 000 y Bs 600 000 con vencimiento a 6 meses y 5 meses respectivamente. Con el fin de expedir un solo documento por Bs 1 100 000 se ha practicado una tasa de descuento de 2,5% mensual, ¿a qué plazo debe expedirse el nuevo documento?

Solución: Consideremos la siguiente ecuación de valores donde t representa el plazo al cual debe expedirse el nuevo documento. 1 100 000( 1 – 0,025xt ) = 500 000( 1 – 0,025x6 ) + 600 000( 1 – 0,025xt ) = 525 000 + 425 000 = 950 000. Por lo tanto: t = 5,456 meses = 5 meses y 13,68 días.

RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS SIMPLE Y LA TASA DE DESCUENTO BANCARIO A veces es necesario cambiar una tasa de interés i, con la cual el pago de los intereses se efectúa al final del período, por una tasa de descuento d, con la cual el pago de los intereses se efectúa al inicio del período, o sea, anticipadamente. Para que exista una equivalencia entre las tasas anteriormente citadas, es necesario que ambas produzcan el mismo valor presente para un mismo periodo t, es decir, se debe verificar que: 1 1+ rt

= 1− dt,

para “r” tasa de interés, “d” tasa de descuento bancario (o simplemente tasa de descuento) y “t” tiempo. Por lo tanto, despejando r de la igualdad anterior obtenemos: r=

d , 1− dt

igualdad esta que nos permite obtener la tasa de interés, conocida la tasa de descuento.

24 Por un razonamiento análogo al anterior, obtenemos: d=

r , 1+ rt

igualdad que nos permite obtener la tasa de descuento a partir de la tasa de interés. 54.Calcular el descuento bancario en cada uno de los siguientes casos: • Bs 4 300 000 a 20 días y una tasa del 24%. • Bs 2 150 000 a 91 días y una tasa del 19,66%. • Bs 10 750 000 del 21 de abril al 17 de mayo y una tasa 25%. 55.Un banco carga una tasa de descuento del 13,5% sobre una letra de valor nominal Bs 1 290 000 y con vencimiento en 2 meses. ¿Cuál es la tasa de interés equivalente? 56.Se obtiene un préstamo de Bs 1 000 000 a 9 meses, con intereses al 12% anual. ¿Qué cantidad tendremos que pagar para cancelar el préstamo 5 meses después de efectuado, suponiendo una tasa de descuento comercial del 6% anual?

Solución: Lo que queremos es cancelar el préstamo 4 meses antes de su vencimiento, para lo que necesitamos el valor actual, por lo tanto en virtud de la sección 5 de la página 33 del texto de Matemática III ( 734 ), tenemos que calcular primero el valor final de la deuda, para luego poder calcular el valor actual A. El valor final C viene dado por: C = 1 000 000[ 1 + ( 0,01 )9 ] = 1 090 000 , luego: A = 1 090 000[ 1 – ( 0,005 )4 ] = 1 068 200. 57.El señor Pérez tiene en su poder una letra de Bs 1 000 000 que vence dentro de 5 meses y reconoce intereses del 30% anual, y quiere negociarla con su banco en forma comercial, el banco acepta la letra pero la descuenta al 3% mensual. ¿Cuál es el precio de la letra? Resp. El precio de la letra es de Bs 956 250 58.Si la diferencia entre el descuento comercial y racional es de Bs 13,2924 calcular el descuento racional si la operación dura 60 días con un tanto de descuento del 10% anual.

Solución: En virtud del enunciado tenemos: Pero además:

DB – DR = 13,2924.

 Mdt dt = Mdt − 1+ dt 1+ dt  por lo tanto, sustituyendo los valores de DB – DR , d y t, obtenemos: DB – DR = Mdt – Cdt = Mdt –

 , 

25

60   0,1  60 360  = M  0,0167 − 0,0167  13,2924 = M  0,1 −   1 + 0,0167  360 1 + 0,1 60    360   = M [ 0,0167 − 0,0164 ] = M [ 0,0003 ], de lo anterior resulta que: M = 44 308. Calculemos ahora el descuento comercial, para luego por un simple despeje obtener el valor del descuento racional, que es en definitiva lo que nos piden. DB = Mdt = 44 308(0,1)(0,0167) = 73,9944, así: DR = DB – 13,2924 = 73,9944 – 13,2924 = 60,7004. 59.Un banco cobra 27% de interés por adelantado, en préstamos a corto plazo. Calcular la cantidad que recibe un prestatario que solicita Bs 3 225 000 a 180 días. 60.Si un banco cobra 24% de interés por adelantado, en préstamos a corto plazo, calcular la tasa de interés simple que pagan los prestatarios que solicitan préstamos en este banco.

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UNIDAD 2 CAPITALIZACIÓN COMPUESTA OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos y fórmulas fundamentales derivadas del régimen de capitalización compuesta en la resolución de problemas.

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INTRODUCCIÓN “Capitalización Compuesta”, es la segunda y última de las dos unidades que conforman el Módulo I, y es también el segundo de los dos regímenes de capitalización que estudiaremos, en ésta unidad haremos uso, como ya se mencionó, de las definiciones e ideas dadas con anterioridad, por lo cual deberemos tenerlas claras. Se resolverán problemas de tasas equivalentes y de equivalencia de capitales, para estos últimos se seguirán usando los diagramas de tiempo como herramienta que nos permitirá el planteamiento de ecuaciones de valor. También se resolverán y plantearán problemas de “vencimiento común y vencimiento medio”. Es posible que algunos de los problemas que se resuelvan se dejen a medio camino, para que usted los complete. A diferencia de los ejercicios de la unidad anterior, se pueden considerar divididos en dos grandes grupos; uno en el cual los problemas han sido desarrollados con el mayor detalle posible y otros en los que solamente aparecen las respuestas o simplemente el enunciado del ejercicio; con estos últimos se pretende que el estudiante adquiera confianza y seguridad en si mismo. Al igual que antes, algunos ejercicios tienen un asterisco, y al igual que antes también esto no es porque sean más difíciles o complejos que los demás, sino porque me parecen interesantes.

28 1. Un capital de Bs X fue colocado en una institución bancaria que paga a sus cuentas de ahorro un interés del i% anual, durante dos años; luego capital e intereses fueron transferidos a una cuenta a plazo fijo durante 5 años con un interés del 12% anual. Si el dinero al término de los 7 años se duplicó, utilice las tablas que aparecen al final de su texto para determinar: a) El interés al cual se colocó el capital inicialmente. b) El monto transferido a la cuenta a plazo fijo, si el capital X es de Bs 10 000. 2. Si se coloca en una cuenta de ahorros un capital de Bs 250 000 a una tasa de interés del 6% anual con capitalización semestral y al final del primer año es retirado el 80% de los intereses devengados, ¿cuál es el capital acumulado al final del tercer año? 3. Calcule el monto compuesto de Bs 600 000 en 4 años 8 meses al 6% con capitalización anual. 4. Un acreedor de una sociedad en liquidación acepta que se le pague al contado el 75% del valor de dos pagarés a cargo de la sociedad; un de Bs 100 000 está vencido desde hace un año y el otro, con valor nominal de Bs 250 000, vence dentro de dos años; si el rendimiento convenido es del 30% con capitalización trimestral, halle la suma que recibe el acreedor. 5. * En el cuerpo dedicado a economía de un diario de circulación nacional, fue insertado el siguiente comentario: “La tasa de interés para las prestaciones sociales subió al cierre de junio 4,57 puntos para ubicarse en 51,22%, apunta el boletín de indicadores del BCV.” Suponga que la tasa de interés señalada es la efectiva anual y que el alza registrada es con respecto a la tasa para el mes de mayo. Calcule las tasas nominal y efectiva para el bimestre mayo - junio. 6. Si depositamos en un banco que paga el 18% efectivo anual una cantidad C durante 10 años, al final de los cuales retiramos la mitad de lo depositado dejando la diferencia por 5 años, después de los cuales retiramos la mitad de lo que tenemos para esa fecha, dejando el resto por 5 años más, tendremos al final 1 238 805,84 bolívares. ¿Qué cantidad depositamos inicialmente? 7. ¿Cuál será el valor actual de un pagaré, si su valor nominal es de Bs 250 000, la tasa de descuento es del 5% trimestral y vence en 5 años? 8. Una persona contrajo con un banco el 1° de julio de 1981 una deuda de Bs 300 000, la cual debería cancelar en 8 años pagando intereses del 18% anual con capitalizaciones trimestrales. El día 1° de julio de 1985 la deuda es transferida a una entidad financiera, con intereses del 7% anual y capitalizaciones trimestrales. ¿Cuál es el monto del traspaso a la entidad financiera? 9. ¿En cuánto tiempo un capital igual a Bs 250 000 dará un monto igual a Bs 3 500 000 si la tasa de interés es del 12% convertible trimestral?

29 10. * Una persona compra un autobús que cuesta Bs 61 900 881, pagando el 30% de cuota inicial y amortizando el resto en 42 meses a la tasa del 18% anual mediante pagos mensuales iguales. a) Calcular a cuánto asciende el monto de cada pago. b) Calcule cuánto tiene que pagar de intereses y cuál es el valor que pagará en definitiva por la compra del autobús. [Tips… Utilice la tabla VI que aparece en su texto UNA] 11. Una empresa contrae una deuda de Bs 250 000 con un banco que cobra un interés compuesto del 14% anual con capitalizaciones semestrales. Transcurridos 3 semestres la empresa cancela Bs 100 000 y conviene liquidar el saldo restante al término de los 2,5 años siguientes. Calcular el monto de este pago final utilizando como fecha de comparación la correspondiente al pago final. 12. Una fábrica contrae, en un momento dado, deudas de Bs 100 000 para pagar en 6 semestres con un interés compuesto capitalizado al 6% semestral y de Bs 250 000 para ser cancelada en 9 semestres con una tasa de interés compuesto del 7% semestral. Posteriormente, la fábrica acuerda cancelar ambas deudas mediante la realización de dos pagos iguales a efectuar al finalizar el 4° y 7° semestre respectivamente después de la fecha del contrato inicial. Usando como fecha de comparación el final del segundo año, determinar cuál es el monto de estos pagos, sabiendo que, en la nueva forma de pago, se acepta una tasa de interés compuesto del 8% semestral. 13. Una empresa adquiere una maquinaria para ser cancelada en 6 cuotas anuales y consecutivas de Bs 20 000, pero luego de haber hecho los 2 primeros pagos decide, en un acuerdo con la compañía otorgadora del crédito, cancelar el resto de la deuda en 2 cuotas iguales. La primera al finalizar el tercer año y la segunda al comenzar el sexto año. Sabiendo que la tasa de interés utilizada en la primera forma de pago es del 10% y en la segunda del 10,5%, calcular, utilizando como fecha focal la correspondiente al último de los pagos realizados, el monto de las cuotas en la nueva forma de pago. [Tips… Utilice las tablas que aparecen en su texto UNA] 14. Una persona contrae una deuda y conviene pagarla en 3 cuotas anuales X consecutivas e iguales durante los 3 siguientes años, contados a partir de la fecha del convenio y al final de cada uno de ellos. Ocho meses después de haber contraído la deuda acuerda con la empresa que le otorgó el préstamo pagar en 2 cuotas iguales. La primera dos años después del convenio inicial y la segunda al final del tercer año. Sabiendo que una cuota en la nueva forma de pago equivale a 13/8 de una cuota en la forma de pago inicial, calcular la tasa de interés i utilizada en la nueva forma de pago. [Tips…Considere 185 = 13,6 ] 15. Una persona desea cambiar tres documentos con valores nominales de Bs 3 000, 4 000 y 8 000 pagaderos en 3, 4 y 5 años respectivamente, por otro documento con valor nominal de Bs 15 000. Sabiendo que la tasa de interés compuesto utilizada es del 14%, determinar la fecha de vencimiento del nuevo documento, usando como fecha de comparación la correspondiente al quinto año. [Tips… Considere en sus cálculos log(0,897253) = 0,047 y log(1,14) = 0,057]

30 16. Una persona adquirió una deuda que pensó pagaría en 3 cuotas de Bs 100 000 cada una, dentro de 4 y 6 años, respectivamente, con un interés variable estimado en 12% para los dos primeros años. 13% para los siguientes tres años y 14% para el último año. Sin embargo, el interés que se utilizó en la transacción fue el 12% en los tres primeros años y 15% en los últimos tres años. ¿Cuál será el monto de cada uno de los pagos realizados si la persona canceló la deuda con dos cuotas iguales al final del tercero y sexto años y no se cargaron intereses de mora? [Tips… Se sugiere utilizar como fecha de comparación el inicio del primer año o el final del último año] 17. ¿Cuál es el tiempo equivalente para el pago de deudas de Bs 15 000 con vencimiento en 4/3 de año y Bs 25 000 con vencimiento en 5/3 de año, si el interés utilizado es del 18% con capitalizaciones bimestrales? [Tips… Para responder utilice la ecuación de equivalencia] 18. Una firma obtiene dos préstamos con una diferencia de dos años entre sí, el primero por un monto de Bs 500 000 y el segundo por un monto de Bs 1 000 000, comprometiéndose a pagarlos en cuatro cuotas semestrales y consecutivas a partir del final del tercer año después del primer préstamo. Sabiendo que la tasa de interés utilizada en la transacción fue del 24% anual para los dos primeros años y 30% anual a partir del otorgamiento del segundo préstamo ( ambas capitalizaciones semestrales ), determine el monto de cada una de las cuotas. [Tips… Utilice en sus cálculos las tablas que aparecen al final de su texto] 19. Una pareja que posee H hectáreas de tierras cultivables decidió alquilarlas a una compañía productora de alimentos concentrados. El objetivo primordial de la pareja, era obtener un ingreso de inversión a mediano plazo y dinero suficiente para financiar la educación de sus dos hijos. Dado que los hijos tenían 15 y 11 años de edad en el momento en que ellos estaban negociando el contrato, sabían que los niños estarían en la universidad en un plazo de 3 a 7 años a partir del momento actual. Por lo tanto propusieron a la compañía que les pagara 400 000 bolívares anuales durante 5 años empezando de aquí a un año, más 200 000 bolívares dentro de tres años y 300 000 bolívares dentro de 7 años. Si la compañía deseara pagar su alquiler en dos partes iguales dentro de 2 y 4 años, ¿cuál sería el monto de cada pago si la tasa de interés es del 30% anual? 20. Un capital de Bs 10 000 000 fue colocado durante cinco años, ha aumentado en 5/6 su valor. Determinar la tasa de colocación si los intereses se acumularan mensualmente.

Solución: Puesto que el capital ha aumentado en 5/6 su valor, tenemos: 5 11 C. M=C+ C= 6 6 Por otra parte: M = C ( 1 + i ) n, i' para i = ( ¿Por qué? ) y n = 12x5 = 60 meses. 12 Sustituyendo, queda:

31 60

11 i'   C = C 1 +  , 6 12  

de aquí que: i'  11  = 1 +  6 12  

60

60

i'  i'  1/ 6 0 ≈ 1+ ⇒ 1,83333 ≈  1 +  ⇒ ( 1,83333 ) 12  12  ⇒ i’ ≈ 0,12186. Por lo tanto, la tasa de interés a la cual fue colocado el capital de Bs 10 000 000 fue i’ = 12,186% anual. 21. Pedro Pérez firma un documento comprometiéndose a pagar Bs 1 000 000 en 5 años, más intereses al 44% nominal anual con capitalización trimestral. Transcurridos 2 años el acreedor vende el documento a una Financiadora. ¿Cuánto pagó la Financiadora por el documento si la tasa de interés era del 48% anual con capitalización mensual? Solución:

Calculemos el monto M que tendrá que pagar Pedro Pérez en 5 años, para lo cual n usaremos la fórmula M = C(1 + i) , C = 1 000 000 intereses del 44% anual con capitalización trimestral y n = 5x4 = 20 trimestres. Sustituyendo: 20 M = 1 000 000 (1,11) ≈ 8 062 311,53613 . Ahora bien, queremos el valor actual de este monto dos años después de la firma, es decir, tres años antes de su vencimiento. −n EL valor actual viene dado por: C = M (1 + i ) , donde M = 8 062 311,53613 ; 48% i= = 4% = 0,04 y n = 3x12 = 36 ; luego 12 −36 C ≈ 8 062 311,53631(1,04) ≈ 1 964 543,45201 , que es la cantidad que la financiadora pagó por el documento. 22.Me otorgan un préstamo de Bs 41 250 000 a una tasa nominal de 24% capitalizable mensualmente y a pagar a los 8 meses. Si mi acreedor va a un banco 40 días antes de su vencimiento y descuenta el pagaré a una tasa simple de descuento del 27,84%, ¿cuánto dinero recibe? Solución:

Comencemos por calcular el monto M que debo cancelar para pagar mi deuda de Bs 41 250 000 dentro de 8 meses. M = 41 250 000 ( 1 + 0,02 )8 = 41 250 000 ( 1,02 )8 = 41 250 000 ( 1,17166 ) = 48 330 975. Calculemos ahora la cantidad de dinero que recibe mi acreedor luego de ir al banco y descontar éste el pagaré. Sea C la cantidad de dinero que recibe mi acreedor, por lo tanto, en virtud de la fórmula: A = C( 1 – rt ) ( ver página 33, sección 5, Descuento Simple, fórmula ( 12 ) del texto de Matemática III - 734 ), tenemos:

32 40   A = 48 330 975  1 − 0,2784x  = 48 330 975 (1 − 0,03093 ) = 46 836 097,9432. 360   23.Depositamos en un banco que paga el 6% anual con capitalización anual una cierta cantidad durante 10 años. Al finalizar los 10 años, retiramos la mitad de la cantidad depositada inicialmente y volvemos a colocar la diferencia por otros 10 años, obteniendo un monto de Bs 26 480 000. Determine el capital inicial. Solución:

Por una parte tenemos: [1] M = C( 1 + 0,06 )10 = C( 1,06 )10 y por otra C  10 [2]  M −  ( 1 + 0,06 ) = 26 480 000 2   Sustituyendo [1] en [2] queda: C  10 10  C ( 1,06 ) − 2  ( 1 + 0,06 ) = 26 480 000   ( C( 1,7908 ) – 0,5C )( 1,7908 ) = 26 480 000 2,3116C = 26 480 000 C = 11 455 467,3035. 24.Una persona depositó hoy en un Banco Bs 100 000, al cabo de 4 años después deposita Bs 50 000, y 5 años después deposita Bs 100 000. Determine el monto acumulado al cabo de 20 años, a partir de hoy, si durante los primeros 7 años los intereses se acumulan anualmente a la tasa del 20%, durante los próximos 7 años los intereses se capitalizan bimestralmente al 4% bimestral, y de ahí en adelante se capitalizan mensualmente al 3% mensual. 25.Las tasas de interés para las prestaciones sociales para el primer semestre del año 1 999 dadas por el BCV según un artículo de un diario capitalino, publicado en el mes de agosto son: Enero: 24,14% Abril: 18%

Febrero: 20,76% Mayo: 18,72%

Marzo: 18,12% Junio: 20,55%

Suponga que las tasas dadas son las efectivas anuales y que se espera un rendimiento del 12% efectivo anual para el segundo semestre del año. Calcule la tasa efectiva e esperada para el año. Solución:

Tenemos que: ( e + 1)12 = (e1 + 1)(e2 + 1)(e3 + 1)(e4 + 1)(e5 + 1)(e6 + 1)(e7 + 1)6 donde: (e1 + 1) = 1,2414 ; (e2 + 1) = 1,2076 ; (e3 + 1) = 1,1812 , ... , (e7 + 1) = 1,12. Por lo tanto: ( e + 1)12 = (1,2414 )(1,2076 )(1,1812 )(1,18 )(1,1872 )(1,2055 )(1,12 )6 ( e + 1)12 = 5,9026 ⇒ e + 1 ≈ 1,15945 Así, la tasa efectiva e esperada para el año 1.999 es:

33 e ≈ 0,15945 = 15,945%.

26.Una persona coloca a interés compuesto Bs 1 000 000 al 0,5% mensual durante los primeros 3 años y al 1% mensual los siguientes 2 años. En los primeros 59 meses retira 4/5 de los intereses. Se quiere saber cuanto tendrá al vencimiento. Solución:

Representemos la situación mediante un diagrama de tiempo. 1 000 000 ( 1 + 0,005 )36

1 000 000 0

1

2

3

4

1 000 000 ( 1 + 0,005 )36 (1 + 0,01 )23 5

AÑOS

El monto al final del mes 59 viene dado por: M’ = 1 000 000( 1 + 0,005 )36( 1 + 0,01 )23 = 1 000 000( 1,19668 )( 1,25716 ) = 1 504 418,2288. Calculemos los intereses ganados al cabo de 59 meses: I = M’ − C = 1 504 418,2288 − 1 000 000 = 504 418,2288. Puesto que al final de los primeros 59 meses son retirados 4/5 de los intereses, esto es lo mismo que decir, que quedan Bs 100 883,64579 ( 504 418,2288 / 5 ). Por lo tanto, para calcular cuanto habrá al vencimiento, usaremos como capital la cantidad de Bs 1 100 883,64578. Luego: M = 1 100 883,64578( 1 + 0,01 ) = 1 111 892,482238. 27.Un inversionista efectúa un depósito a plazo fijo de un año. Transcurrido el plazo, retira el monto de Bs 1 350 000 y vuelve a colocar todo el dinero durante dos años a una tasa 10% mayor que la primera vez. Sabiendo que el monto final es de Bs 2 322 000. ¿Cuál es el valor del depósito inicial y cuáles fueron las tasas aplicadas? [Tips… Utilice dos cifras decimales en sus cálculos] Solución:

Sea C el valor del depósito inicial, tenemos que al r1% anual durante un año, el monto retirado es de Bs 1 350 000, luego [*] 1 350 000 = C( 1 + r1 ). Ahora, durante otros dos años el inversionista coloca Bs 1 350 000 a la tasa de interés r2 = r1 + 0,1r1 = 1,1r1 , obteniendo el monto final de Bs 2 322 000, luego 2 322 000 = 1350 000( 1 + 2( 1,1r1 ) ) = 1 350 000( 1 + 2,2r1 ), así 2 322 000 − 1 = 2,2 r 1 ⇒r1 ≈ 32,73% y r2 ≈ 36%. 1 350 000 Sustituyendo r1 = 32,73% en [ * ], obtenemos que el valor del depósito inicial es C = Bs 1 017 102,39. [Sugerencia… Piense en otra forma de resolverlo]

34 28.El 3 de septiembre de 1984, el señor Octavio Batta adquiere unos artículos en cierto establecimiento comercial, firmando un pagaré con valor inicial de Bs 180 000 que vence en 18 meses y devenga un interés del 24% capitalizable semestralmente. El 3 de diciembre de 1984 el establecimiento vende el pagaré del señor Batta a una empresa financiera que lo descuenta al 32% convertible trimestralmente. ¿En cuánto se vendió el pagaré? Por lo tanto, la tasa de interés a la cual fué colocado el capital de Bs 10 000 000 fué i’ = 12,186% anual. 29.¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años si se invierten Bs 8 000 000 al 2,06% mensual con intereses capitalizables bimestralmente? [Tips… Use todos los decimales dados por su calculadora] Solución:

Lo que se pide es calcular el monto, pero antes de hacer eso, debemos transformar la tasa dada mensualmente en una tasa bimestral, que es la forma en la que capitalizan los intereses. Para calcular la tasa bimestral usaremos la fórmula: e = ( 1 + i ) p – 1, con i la tasa dada y p = 2 por ser la capitalización bimestral. Sustituyendo, nos queda: e = ( 1 + 0,0206 ) 2 – 1 = ( 1,0206 ) 2 – 1 = 0,04162436 = 4,162436% bimestral. Calculemos ahora el monto. M = 8 000 000( 1 + 0,04162436 )30 = 8 000 000( 1.04162436 )30 = 27 190 915,2825. [Comentario… Para calcular la tasa bimestral se pudo haber razonado así: El monto producido por los Bs 8 000 000 a una tasa i ( a determinar ) durante un bimestre, debe ser igual al monto producido por esos mismos Bs 8 000 000 a la tasa dada del 2,06% mensual durante 2 meses, esto es: 8 000 000( 1 + i ) = 8 000 000( 1 + 0,0206 )2, de esta igualdad resulta que i = 4,162436% bimestral] 30.Un capital de Bs 10 000 000 se coloca durante cierto número de años a capitalización compuesta a una tasa de interés del 12% anual, obteniéndose un monto de Bs 17 623 000. Calcule el número de años que duró esta operación. Solución:

Puesto que M = C( 1 + i )n, despejando n tenemos: M Ln   C  n= Ln( 1 + i ) Sustituyendo  17 623 000   Ln 10 000 000  Ln( 1,7623 ) ( 0,5666 )  = = ≈ 5,0009 ≈ 5. n= Ln ( 1 + 0,12 ) ( 0,1133) Ln( 1,12 )

35 Por lo tanto el número de años que duró la operación fue de 5 años. 31.Una señora depositó 2 500 dólares en un Banco que otorga un 6% de interés capitalizable trimestralmente, con la intención de mantenerlo en depósito 6 años y después retirarlo para realizar con él un viaje. Sin embargo, al cabo de 2 años necesitó retirar 500 dólares. ¿Cuál es el monto de su cuenta al finalizar el periodo programado de 6 años?

Solución: Dividamos el problema en dos partes (¿por qué?), en la primera de ellas calcularemos un monto M1 del cual retiraremos 500 dólares. La cantidad que queda será usada en la segunda parte como el nuevo capital a invertir por el resto del período, y con el cual obtendremos el monto al finalizar el período programado de 6 años. Por lo tanto: 8

0,06   M1 = 2 500  1 +  = 2 500( 1,12649 ) = 2 816,225. 4   16

0,06   M = 2 316,225  1 +  4  

= 2 316,225( 1,26899 ) = 2 939,26636

32.Se desea invertir cierta cantidad de dinero a plazo fijo ganando 10% de interés compuesto anualmente por un periodo de cuatro años. Al término de este tiempo los intereses provenientes de la inversión se usarán para pagar una deuda de Bs x xxx xxx que deberá saldar. ¿Cuánto deberá invertir, de modo que tenga lo suficiente, para pagar la deuda? [Tips… x xxx xxx representa su número de cédula, desde 6 dígitos en adelante]

Solución: Sea C la cantidad de dinero que se desea invertir a plazo fijo y que queremos calcular. Tenemos que: C( 1 + i )n = M = C + I. Por lo tanto sustituyendo obtenemos que: C( 1 + 0,1 )4 = C + x xxx xxx C( 1,1 )4 = C + x xxx xxx C( 1,1 )4 – C = x xxx xxx C[( 1,1 )4 – 1 ] = x xxx xxx C( 1,4641 – 1 ) = x xxx xxx C( 0,4641 ) = x xxx xxx x xxx xxx = ? C = 0,4641 33.Una deuda por un monto de Bs 2 500 000 es sometida a descuento compuesto, durante cierto tiempo, al 7,5% de descuento trimestral, produciendo un descuento de Bs 250 000. Calcular durante cuánto tiempo fue descontado. [Tips… Considere en sus cálculos log(0,925) ≈ - 0,033858]

Solución: Sabemos que: M = 2 500 000, d = 0,075 trimestral y Dc = 250 000.

36 Entonces, puesto que C = M - Dc = 2 250 000 y como C = M( 1 – d )n, resulta: 2 250 000 = 2 500 000( 1 – 0,075 )n 2 250 000 = (0,925)n ⇔ 0,9 = (0,925)n. 2 500 000 De donde: Log( 0,9 ) = nlog(0,925), con lo cual resulta que: n=

log (0,9) ≈ 1,35 trimestral. log (0,925)

34.Dos personas colocan un capital en un negocio, la primera persona colocó Bs 1 000 000 y la otra Bs 2 000 000, conviniendo en las siguientes condiciones. Al capital se le reconocerá el 14% semestral con capitalización semestral, el exceso de las utilidades se repartirá en las siguientes proporciones, 30% a la primera persona y el resto a la segunda. El beneficio total fue de Bs 10 000 000, después de 5 años. ¿Cuál fue la tasa de cada capital? 35.Si se coloca en una cuenta de ahorros un capital de Bs 2 000 000 a la tasa de interés del 12% anual con capitalización bimestral y al final del primer año es retirado el 80% de los intereses devengados, ¿cuál es el capital acumulado al final del tercer año?

Solución: Determinemos primero el monto M1 al cual se le va a restar el 80% de los intereses devengados, luego el 20% que resta de los intereses se lo sumamos al capital inicial, y así obtenemos un nuevo capital C1 , el cual nos servirá para calcular el monto el resto del periodo, esto es, los dos años que faltan. Por lo tanto: M1 = 2 000 000(1 + 0,02)6 = 2 252 324,83852. Luego: I = M1 − C = 2 252 324,83852 − 2 000 000 = 252 324,83852. Calculemos el 80% de I, esto es: Ix80% = 252 324,83852x0,8 = 210 859,870816. El nuevo capital que nos va a servir para calcular el monto es: C1 = 2 000 000 + 50 464,967704 = 2 050 464,967704, donde: 50 464,967704 = 252 324,83852 − 201 859,870816. Así: M = 2 050,967704(1 + 0,02)12 = 2 600 485,37032. [Comentario… El interés I se pudo haber calculado usando que: I = C[(1 + i)n − 1]]. 36.Una persona dispone de un capital de Bs 12 000 000 y quiere dividirlo en dos partes diferentes CA y CB de manera que al colocarlos en dos entidades bancarias A y B las cuales ofrecen las siguientes tasas de interés compuesto anual 6,5% y 8% respectivamente le produzcan al cabo de 9 años y 11 años respectivamente los mismos montos. Calcular cada uno de estos capitales CA y CB y calcular cuál es el monto M que producirán cada uno de ellos. [Tips…Utilice sólo 5 decimales de los valores que proporciona su calculadora]

37

Solución: Tenemos que: CA + CB = 12 000 000 ⇒CB = 12 000 000 − CA , también tenemos: rA = 6,5%yrB = 8% tA = 9 años ytB = 11 años. Calculemos los montos asociados a cada uno de estos capitales: MA = CA( 1 + 0,065 )9 MB = CB( 1 + 0,08 )11 = ( 12 000 000 − CA )( 1 + 0,08 )11 MB = 12 000 000( 1 + 0,08 )11 − CA( 1 + 0,08 )11. En virtud del enunciado tenemos que: CA( 1 + 0,065 )9 = 12 000 000( 1 + 0,08 )11 − CA( 1 + 0,08 )11 CA( 1 + 0,065 )9 + CA( 1 + 0,08 )11 = 12 000 000( 1 + 0,08 )11 CA( 1,065 )9 + CA( 1,08 )11 = 12 000 000( 1,08 )11 1,76257CA + 2,33164CA = 27 979 680 4,09421CA = 27 979 680 27 979 680 ≈ 6 833 963,08445. CA = 4,09421 CB ≈ 5 166 036,91555. Y el monto que producirán cada uno de estos capitales es: MA = 6 833 963,08445( 1,065 )9 ≈ 12 045 338,31376 MB = 5 166 036,91555( 1,08 )11 ≈ 12 045 338,31377 37.Una persona coloca dos capitales en dos bancos. La suma de ambos capitales es de Bs 10 000 000. En el 1e banco se colocó al 6% anual con capitalización semestral, y en el 2º banco al 10% anual con capitalización anual. Al cabo de 15 años el monto de la segunda colocación es de Bs 1 500 000 mayor que el primero. Hallar los dos capitales.

Solución: Tenemos: CA + CB = 10 000 000⇒CB = 10 000 000 – CA [1] rA = 6% anual capitalizable semestralmente rB = 10% anual capitalizable anualmente n = 15 años o 30 semestres [2] MB = MA 1 500 000 Sabemos: MB = CB( 1 + 0,1 )15 [3] MA = CA( 1 + 0,03 )30 [4] Sustituyendo [ 1 ] y [ 2 ] en [ 3 ], obtenemos: MA + 1 500 000 = (10 000 000 – CA )( 1 + 0,1 )15 [5] sustituyendo ahora [ 4 ] en [ 5 ] queda: CA( 1 + 0,03 )30 + 1 500 000 = (10 000 000 – CA )( 1 + 0,1 )15 CA( 1,03 )30 + 1 500 000 = (10 000 000 – CA )( 1,1 )15 CA( 1,03 )30 + 1 500 000 = 10 000 000( 1,1 )15 – CA( 1,1 )15

38 CA( 1,03 )30 + CA( 1,1 )15 = 10 000 000( 1,1 )15 – 1 500 000 ( 2,427 )CA + ( 4,177 )CA = 41 772 481,69 – 1 500 000 ( 6,604 )CA = 40 272 481,69 40 272 481,69 ≈ 6 098 195,289. CA = 6,604 38.Se depositan Bs 10 000 000 en una cuenta que paga el 23% capitalizable cada 91 días. La tasa se mantiene constante durante 2 años. Al cabo de ese tiempo, la tasa cambia al 20% capitalizable cada mes. Obtenga el monto después de 2 años más. Utilice año comercial.

Solución: Queremos calcular el monto M producido por una capital inicial de Bs 10 000 000. Como se puede notar del enunciado, este problema consta de dos partes, en la primera de ellas tenemos que la capitalización es cada 91 días por un lapso de dos años, y en la segunda, tenemos que la capitalización es mensualmente. Es de hacer notar que el capital que se usará para la segunda parte del problema es el monto obtenido en la primera. 1.Primera parte: C1 = 10 000 000 i1 = 23% cap. cada 91 días ≈ 5,8058% cada 91 días t1 = 2 años ≈ 7,9120 períodos de 91 días M’ = ? Por lo tanto: M’ = 10 000 000( 1 + 0,0581 )7 , 9 1 2 = 10 000 000( 1,5633 ) = 15 633 000. 2.Segunda Parte: C2 = M’ I2 = 20% cap. mensualmente ≈ 1,6666% mensual t2 = 2 años = 24 meses M=? Por lo tanto: M = 15 633 000( 1 + 0,0166 )24 ≈ 15 633 000( 1,4846 ) = 23 208 751,8. 39.Un capital de Bs 10 000 000 fue colocada al iniciar el año, determinar cuánto se tiene acumulado a fin de año si la tasa de interés empleada en la operación fue del 36% nominal capitalizable trimestralmente.

Solución: Empleando la hoja de cálculo electrónica Excel. Pasos a seguir: • Hacer clic en el menú insertar • Una vez dentro del menú insertar, hacer clic en función • Dentro del menú insertar función, seleccionar la categoría “Financieras” • Seleccionar función “VF” y hacer clic en aceptar • En el cuadro de diálogo que aparece, denominado “Argumentos de la función”, insertar donde dice: Tasa: 0,09; Nper: 4 (el año tiene cuatro trimestres); Va: -10 000 000 (el signo menos indica que lo que se está

39 efectuando es un egreso, una inversión); Tipo: en este caso el programa toma por defecto “0” (dicho valor es omitido) para indicar que el pago es al final del período • Hacer clic en “Aceptar “ para terminar La fórmula en Excel queda de la siguiente forma: =VF(0,09;4;;10000000). [Sugerencia… Resolver el ejercicio usando fórmulas] 40.Si por una inversión nos pagan el 1% mensual efectivo, ¿cuál será la tasa efectiva trimestral que deberán pagarnos si cambia de este modo el régimen de capitalización de intereses?

Solución: Para dar respuesta a esta pregunta emplearemos la fórmula: p

 i  e =  1 +  − 1. p   Primero calcularemos la tasa efectiva anual, ésta la usaremos como tasa intermedia. e = ( 1 + 0,01 )12 – 1 = 1,126825 – 1 = 0,126825 = 12,6825% efectivo anual. Luego por aplicación nuevamente de la fórmula antes mencionada, calcularemos haciendo uso de esa tasa intermedia la tasa efectiva trimestral. 4

1 i   0,126825 =  1 +  − 1 ⇒ i = 4  (1 + 0,126825) 4 − 1    4  ⇒ i = 4 [ (1,030301) − 1 ] ⇒ i = 4 [ 0,030301 ] = 0,121204 ⇒ i = 0,121204 = 12,1204% ⇒ i = 12,1204% convertible trimestral. Por lo tanto, la tasa efectiva trimestral es: 12,1204 i= % = 3,0301. 4 [Vale la pena mencionar que no es la única forma de calcular la tasa]

41.Tres capitales de Bs 1 000 000, cada uno se coloca al 6% anual con capitalización anual, el primero durante n años, el segundo durante ( n + 1 ) años y el tercero durante ( n + 2 ). Entre los tres capitales se obtuvo un interés de Bs 4 008 735. Calcular el tiempo que estuvo colocado el primer capital. DESCUENTO COMPUESTO

Previamente en la página 17 de la Unidad 1 se definió el descuento como: encontrar el valor presente o actual (A) de alguna operación financiera antes de su vencimiento, esta definición sigue siendo válida para el caso de interés compuesto, en este caso lo denotaremos DC . Para calcular el valor actual A usaremos la fórmula:

40

  1 A = M [ (1 + i ) − n ] = M  n ,  ( 1 + i )  y para calcular el DESCUENTO COMPUESTO: n   1  −n  DC = M[ 1 − (1 + i ) ] = M  1 −   1 + i 

 . 

DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO Es cobrado sobre el valor final del préstamo a la TASA DE DESCUENTO dada “d”.

“ESTA FORMA DE DESCUENTO ES POCO FRECUENTE Y NO TIENE APLICACIONES PRÁCTICAS” Para calcular el valor actual A con tasa de descuento “d”, usaremos la fórmula: A = M (1 − d) n . Para calcular el DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO, empleamos la fórmula: DB = M[1 − (1 − d) n ) ]. RELACIÓN ENTRE LA TASA DE INTERÉS COMPUESTO Y LA TASA DE DESCUENTO COMPUESTO Fórmula que permite pasar de una tasa de interés compuesto a una tasa de descuento compuesto y viceversa: i d= . 1 + i

42.Hallar la tasa mensual ordinaria (tasa vencida) equivalente al 3% mensual anticipado. Solución:

Despejando i de la fórmula que la relaciona con d, obtenemos d , i= 1 − d sustituyendo d por su valor expresado en forma decimal 0,03 0,03 i= = = 0,03092783505 ≈ 3,09%. 1 − 0,03 0,97 Por lo tanto, la tasa de interés efectiva mensual equivalente al 3% efectivo mensual anticipado es 3,09%. 43.Dado el 3,09% efectivo mensual anticipado, hallar la tasa de interés efectiva mensual equivalente. Solución:

Sustituyendo i = 0,039 en la fórmula d= queda

i , 1 + i

41 0,0309 0,0309 = = 0,02997380929 ≈ 2,997% ≈ 3%. 1 + 0,0309 1,0309 Por lo tanto, la tasa de interés efectiva mensual equivalente al 3,09% efectivo mensual anticipado es 3% aproximadamente. Decimos aproximadamente, debido al error cometido al aproximar la parte decimal; puesto que si hubiéramos utilizado todos los decimales habríamos obtenido el valor exacto de i, en este caso de 3%. d=

44.Una deuda de Bs 3 225 000 es descontada a una tasa de descuento desconocida, pero equivalente a una tasa de interés compuesto del 4,1667% anual. ¿Cuál será el valor actual 3 años antes de su vencimiento? Solución:

Como la tasa de descuento “d” es desconocida, pero equivalente a una tasa de interés compuesto, podemos usar esta última para calcularla, por lo tanto: 0,041667 0,041667 d= = = 0,04 = 4% anual anticipada. 1 + 0,041667 1,041667 Por lo tanto, el valor actual es: A = 3 225 000( 1 – 0,04 )3 = 3 225 000( 0,96 )3 = 3 225 000( 0,884736 ) = 2 853 273,6. [Se pudo resolver, usando directamente la tasa de interés dada, ¡inténtelo!] 45.¿Cuál es el descuento compuesto a una tasa de interés nominal anual capitalizable trimestralmente del 8% , sobre un monto de Bs 10 750 000 con vencimiento en 5 años? TASAS EQUIVALENTES

Recuerde que dos tasas de interés son equivalentes si producen el mismo resultado cuando operan bajo diferentes períodos de capitalización pero durante el mismo plazo. LAS TASAS DADAS EN LA SECCIÓN ANTERIOR TAMBIÉN SON TASAS EQUIVALENTES 46.Si por una inversión nos pagan el 24% convertible bimestralmente, ¿cuál será la tasa efectiva quincenal que deberán pagarnos si cambia de este modo el régimen de capitalización de intereses? Solución:

Para dar respuesta a esta pregunta emplearemos la fórmula: p

 i   − 1, e =  1 + p   válida para tasas nominales. Primero calcularemos la tasa efectiva anual, ésta la usaremos como tasa intermedia. e = ( 1 + 0,04 )6 – 1 = 1,265319 – 1 = 0,265319

42 = 26,5319% efectivo anual. Luego por aplicación nuevamente de la fórmula antes mencionada, calcularemos haciendo uso de esa tasa intermedia la tasa efectiva quincenal. i   0,265319 =  1 +  24  

24

− 1 ⇒ i = 2 4  (1 + 0,265319) 24 − 1    ⇒ i = 24 [ (1,009853) − 1 ] ⇒ i = 24 [ 0,009853 ] = 0,236472 ⇒ i = 0,236472 = 23,6472% ⇒ i = 23,6472% conv. quincenalmente. Por lo tanto, la tasa efectiva quincenal es: 23,6472 i= % = 0,9853%. 24 [Comentario… Vale la pena mencionar que usando la potencia 1/4 en la ecuación e = ( 1 + 0,04 )1/4 – 1 se obtiene el resultado directamente] 1

47.Dado el 10% semestre anticipado, hallar la tasa equivalente nominal convertible trimestralmente. Solución:

Antes de comenzar a realizar cálculos a la ligera, notemos que las fórmulas empleadas en la resolución de algunos de los ejercicios de la sección anterior, nos permiten obtener tasas con el mismo período de conversión, por lo cual antes de proceder a hallar la tasa nominal convertible trimestralmente, debemos pasar por tasas intermedias. • Primer paso: ( De anticipada a vencida ) Cálculo de la tasa efectiva semental: d 0,1 0,1 = = = 0,1111 = 11,11% efectiva semestral. iS = 1 − d 1 − 0,1 0,9 • Segundo paso: ( De efectiva semestral a efectiva trimestral ) Cálculo de la tasa efectiva trimestral: 0,1111 = ( 1 + iT )2 – 1 ⇒ iT = 0,054087 = 5,4087% efectivo trimestral. • Tercer y último paso: ( De efectiva trimestral a nominal conv. trimestralmente ) Cálculo de la tasa nominal convertible trimestralmente: Para esto, solo multiplicamos la tasa efectiva trimestral por 4. i = 4( 5,4087% ) = 21,6348% nominal convertible trimestralmente. La anterior es una de las dos formas en las cuales se puede resolver este ejercicio, consideremos ahora la segunda forma, en la cual el segundo y tercer pasos son combinados en uno solo que da directamente la tasa nominal convertible trimestralmente. • El primer paso NO se puede omitir en ninguna de las dos formas. • Segundo paso: ( De efectiva semestral a nominal convertible trimestralmente ) 2

i   0,1111 =  1 +  − 1 4 

⇒ i = 21,6348% nom. conv. trimestralmente.

43 48.Dado el 38% nominal convertible trimestralmente, hallar la tasa equivalente nominal mensual anticipada. 49.¿Cuál será la tasa efectiva cuatrimestral equivalente a una tasa nominal convertible mensualmente de 12%? [Tips… Tenga en mente la definición de tasas equivalentes] Solución:

Este problema es análogo al anterior, por lo cual esta vez lo resolveremos de la forma abreviada, es decir, la tasa efectiva trimestral buscada es: e = ( 1 + 0,01 )4 – 1 = ( 1,01 )4 – 1 = 0,040604 = 4,0604%. 50.Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 24% anual. Resp. 1,808758% 51.Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 31% nominal mensual. Resp. 2,583% 52.Calcule la tasa efectiva mensual equivalente al 10,2 trimestral. Resp. 3,2905% 53.Calcule la tasa nominal mensual equivalente al 3% mensual. 54.Calcule la tasa nominal mensual equivalente al 36% nominal semestral. 55.Calcule la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa nominal es de 18% capitalizable anualmente. 56.Calcule la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa nominal es de 18% capitalizable bimestralmente. 57.Calcule la tasa de interés efectiva que se recibe de un depósito bancario si la tasa nominal es de 18% capitalizable quincenalmente. 58.Calcule la tasa nominal que produce un rendimiento de 30% anual efectivo, si el interés se capitaliza cuatrimestralmente. 59.Calcule la tasa nominal que produce un rendimiento de 30% anual efectivo, si el interés se capitaliza trimestralmente. 60.Calcule la tasa nominal que produce un rendimiento de 30% anual efectivo, si el interés se capitaliza mensualmente. 61.Calcule la tasa nominal capitalizable trimestralmente que resulte equivalente a una tasa de 29% capitalizable semestralmente. 62.Calcule la tasa semestral equivalente a una tasa de interés del 1,5% capitalizable mensualmente. 63.Determine la tasa semestral equivalente a una tasa nominal capitalizable mensualmente del 50%. Resp. 27,7534396% semestral Solución:

Empleando la hoja de cálculo electrónica Excel. Teclee TEXTUALMENTE lo siguiente: =TASA.NOMINAL(INT.EFECTIVO(0,5;12);2)/2 64.Determinar la tasa promedio efectiva de las tasa efectivas 1005 y 200%. Resp. 144,9489743%

44

ECUACIONES DE VALOR

Los ejercicios que siguen son para ser resueltos mediante el uso de ECUACIONES DE VALOR, entendiéndose por estas: una igualdad en la que de un lado figura una deuda o conjunto de deudas y del otro un pago o conjunto de pagos; o también de un lado una forma de pago y en el otro, otra. El estudiante debe tener “presente” que dicha igualdad solo es válida ( tiene sentido ) en la FECHA FOCAL, recuerde que el valor del dinero cambia con el tiempo; no valen lo mismo en términos de poder adquisitivo, Bs 1 000 000 hoy que dentro de un año. [Sugerencia… Es recomendable, más no obligatorio que antes de plantear la ecuación de valores elabore un “diagrama de tiempo”] 65.Una empresa textilera contrae una deuda de Bs 5 000 000 con vencimiento al término de 6 años, conjuntamente con el interés compuesto del 14% anual. Tres años después de contraída la deuda la textilera decide cambiar la forma de pago, proponiendo pagar Bs 2500000 de inmediato y el resto mediante un único pago a realizar 2 años después. Calcular el valor de ese pago único, si la textilera acepta un cambio en una tasa de interés al 16% anual 66.El día de hoy se cumplen 5 meses de que un comerciante consiguió un crédito de Bs 12 000 000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace 3 meses le concedieron otro crédito y firmó nuevamente un documento con valor nominal de Bs 21 600 000, valor este que incluye los intereses de los 6 meses de plazo. Hoy abona Bs 24 000 000 a sus deudas y acuerda con su acreedor cancelar el resto con un pago único en 4 meses, contados a partir de ahora. ¿Por qué cantidad es este pago si la tasa de interés aplicada en la operación es del 36% anual convertible mensualmente? Se recomienda elaborar un diagrama de tiempo. Solución:

Sea x la cantidad que cancela ese pago único, y tomemos como fecha focal la correspondiente al día de hoy, por lo tanto 5

0,36  0,36    12 000 000  1 +   + 21 000 000  1 + 12  12   

−3

0,36   = 24 000 000 +  1 +  12  

−4

12 000 000 ( 1,03 ) + 21 000 000 ( 1,03 ) = 24 000 000 + x ( 1,03 ) 12 000 000( 1,1593 ) + 21 000 000( 0,9151 ) = 24 000 000 + x( 0,8885 ) 5

−3

−4

13 911 600 + 19 217 100 = 24 000 000 + x( 0,8885 ) 9128 700 9 128 700 = x( 0,8885 ) ⇒ x = = 10 274 282,4986. 0,8885 67.Se tienen tres giros: el primero venció hace año y medio, el segundo de Bs 100 000 vence en año y medio y el tercero de Bs 50 000 vence en 40 meses. Se acuerda reemplazar estos tres giros por otros dos de Bs 150 000 cada uno, el primero de ellos con vencimiento en dos años y el segundo con vencimiento en 30 meses. Si la

45 tasa de interés utilizada es del 36% anual con capitalización trimestral, determinar el importe del giro vencido hace año y medio. [Sugerencia… Tome como fecha focal la correspondiente al día de hoy]

Solución: La situación es la siguiente: x – 1,5

100 000 0

1,5

50 000 2

30/12

150 000

150 000

Podemos escribir la ecuación de equivalencia con i =

40/12

AÑOS

36% = 9% = 0,09 y fecha focal la 4

correspondiente al día de hoy, de la manera siguiente: 1,5x4 −1,5x4 − 40 x4 −2x4 − 30 x4 x (1,09 ) + 100 000(1,09 ) + 50 000(1,09 ) 12 = 150 000(1,09 ) + 150 000(1,09 ) 12 de donde resolviendo obtenemos que: x ≈ 37664,85 . 68.Una persona realizó las siguientes compras: • Hace 5 meses: Bs 4 500 000 a una tasa efectiva de 26,82418% para pagar hoy. • Hace 3 meses: Bs 1 500 000 a una tasa nominal capitalizable mensualmente de 24% para pagar hoy. • Hace 1 mes: Bs 1 125 000 a una tasa anual simple de 30% para pagar hoy. El vendedor acepta convertir estas deudas en dos nuevos pagarés a 6 y 8 meses a partir del día de hoy bajo condiciones de interés nominal capitalizable trimestralmente de 36%. ¿Qué importe debe pagar en el último pagaré, si el primero, a pagar en 6 meses, debe ser por la mitad que el segundo pagaré?

Solución: Comencemos por calcular primero el monto correspondiente a cada una de las deudas, para esto debemos hallar la tasa efectiva aplicada a cada una de las mismas ( ¿Por qué debemos hallar la tasa efectiva aplicada a cada una de las deudas? ). Para hallar la tasa efectiva asociada con la primera deuda, usaremos la fórmula: p

 i  e =  1 +  − 1, p 

con e = 26,82418% y p = 12. Asi pues: 12

i   0, 2682418 =  1 +  − 1 ⇒i = 0,24000 = 24% , 12   por lo tanto, la tasa nominal capitalizable mensualmente es 24%, y la tasa efectiva mensual es del 2%. Para la segunda deuda, la tasa efectiva mensual es del 2% y para la tercera deuda es del 2,5% mensual, nótese que en este caso el interés es simple. Luego el monto correspondiente a cada una de las tres deudas viene dado por:

46 M1 = 4 500 000( 1 + 0,02 )5 = 4 500 000( 1,02 )5 = 4 968 360. M2 = 1 500 000( 1 + 0,02 )3 = 4 500 000( 1,02 )3 = 1 591 815. M3 = 1 125 000( 1 + 0,025 ) = 1 125 000( 1,025 ) = 1 153 125. Elaboremos ahora el diagrama de tiempo de la situación antes descrita. 7 713 300 4

0

6

8

x

2x

MESES

En este diagrama x representa el importe que debe pagar la persona en el primer pagaré. Escojamos como fecha focal la correspondiente al sexto mes ( es de hacer notar que bajo el régimen de capitalización compuesta es indiferente para efectos del resultado donde se fije la fecha focal ). Luego, en virtud del diagrama de tiempo tenemos que: 7 713 300( 1 + 0,09 )2 = x + 2x( 1 + 0,09 )– 2 / 3 7 713 300( 1,1881 ) = x + 2x( 1,09 ) – 0,66667 9 164 171,73 = x + 2x( 0,94417 ) 9 164 171,73 = x + 1,88834x 9 164 171,73 = 2,88834x 9 164 171,73 x= ≈ 3 172 816,12622. 2,88834 Por lo tanto, se debe pagar en el segundo pagaré la cantidad de Bs 6 345 632,25244. 69.Una empresa vende una maquinaria en Bs 3 500 000. Le pagan Bs 1 500 000 de contado y le firman dos documentos por Bs 1 000 000 cada uno, con vencimiento a 6 y 12 meses. ¿Qué cantidad adicional habrá que cancelar a los 6 meses para cubrir la deuda totalmente? Considere una tasa de interés del 30% anual convertible mensualmente. [NOTA: Use en sus cálculos 4 cifras decimales]

Solución: Representemos la situación en un diagrama de tiempo. 2 000 000 0

MESES

6

12

1000 000 + x

1000 000

Tomemos como fecha focal ( f.f ) la correspondiente a 6 meses, y sea x la cantidad de dinero que liquidará la deuda. Por lo tanto: 6

0,30  0,30    2 000 000  1 +   = x + 1 000 000 + 1 000 000  1 + 12  12    2 000 000( 1,1597 ) = x + 1 000 000 + 1 000 000( 0,8623 ) 2 319 400 = x + 1 000 000 + 862 300 2 319 400 = x + 1 862 300 x = 457 100.

−6

47 70.Un pagaré de Bs 1 680 000, que vence dentro de 6 meses se va a pagar mediante 3 abonos: Bs 280 000 ahora, Bs 840 000 en 3 meses y un pago final al término de 5 meses. ¿De cuanto debe ser este pago si se supone una tasa de interés del 36% anual capitalizable mensualmente? 71.A un inversionista le deben cancelar dos pagarés así: Bs 1 750 000 con vencimiento en 7 meses más intereses del 18% convertible trimestralmente, Bs 7 000 000 con vencimiento en 15 meses más intereses del 24% convertible semestralmente. Si al inversionista le proponen cancelar las deudas mediante dos pagos iguales uno a 3 meses y otro a 12 meses, ¿cuál debería ser el valor de los pagos suponiendo un rendimiento del 24% convertible mensualmente? 72.Una pareja que posee H hectáreas de tierras cultivables decidió alquilarlas a una compañía productora de alimentos concentrados. El objetivo primordial de la pareja, era obtener un ingreso de inversión a mediano plazo y dinero suficiente para financiar la educación de sus dos hijos. Dado que los hijos tenían 15 y 11 años de edad en el momento en que ellos estaban negociando el contrato, sabían que los niños estarían en la universidad en un plazo de 3 a 7 años a partir del momento actual. Por lo tanto propusieron a la compañía que les pagara Bs 400.000 anuales durante 5 años empezando de aquí a un año, más Bs 200 000 dentro de 3 años y Bs 300 000 dentro de 7 años. Si la compañía deseara pagar su alquiler en dos partes iguales dentro de 2 y 4 años, ¿cuál sería el monto de cada pago si la tasa de interés es del 30% anual?

Solución: Representemos la situación en un diagrama de tiempo. 400 000 + 200 000 400 000 400 000 400 000 400 000 0

1

2

3

4

5

300 000 6

7

AÑOS

x

x

Escojamos como fecha focal la correspondiente a 3 años. Por lo tanto, en virtud del diagrama de tiempo tenemos que: 400 000(1 + 0,3)2 + 400 000(1 + 0,3) + 600 000 + 400 000(1 + 0,3)−1 + 400 000(1 + 0,3)−2 + 300 000(1 + 0,3)−4 = x(1 + 0,3) + x(1 + 0,3)−1 Con lo cual resulta que: 676 000 + 520 000 + 600 000 + 307 692,31 + 236 686,39 + 105 038,34 = 1,3x + 0,77x 2 445 417,04 = 2,07x. Por lo tanto: x = 1 181 360,89. 73.Un pagaré de Bs 9 000 000 pagadero dentro de 2 años y otro de Bs 11 250 000 pagadero dentro de 5 años van a liquidarse mediante un pago único dentro de 42 meses. Determinar el valor del pago único suponiendo un interés del 18% anual capitalizable trimestralmente.

Solución: Hagamos el diagrama de tiempo correspondiente a la situación descrita. 9 000 000 0

1

2

11 250 000 3

4 x

5

6

7

AÑOS

48 Sea x el valor del pago único. Como estamos trabajando bajo el régimen de capitalización compuesta, NO importa la fecha que se elija como fecha focal ( ver texto ), nosotros tomaremos la correspondiente a los 42 meses o 3 años y medio. Por lo tanto: −6

6

0,18  0,18    9 000 000  1 +  + 11 250 000 1 +  =x 4  4    6 −6 9 000 000 (1+0,045 ) +11250000(1+0,045 ) = x 9 000 000 (1,045 ) +11250000(1,045 ) = x 9 000 000 ( 1,3 ) + 11250000 ( 0,77 ) = x 11 700 000 + 8 662 500 = x x = 20 362 500. −6

6

74.Se ha pactado cubrir una obligación con tres pagos así: Bs 1 550 000 hoy, Bs 2 100 000 dentro de 6 meses y Bs 1 800 000 dentro de 15 meses, con un interés del 24% nominal mensual; se desea sustituir por tres pagos así: Bs 2 000 000 dentro de 3 meses, Bs 1 500 000 dentro de un año y un último pago dentro de un año y medio. Determinar el valor de este último pago si para este caso la tasa de interés es del 2,13% mensual. Use como fecha focal la correspondiente al día de hoy. [Pregunta… ¿Cambia el resultado, si cambiamos la fecha focal?]

Solución : Hagamos el diagrama de tiempo correspondiente a la situación descrita:

1 550 000 0

2 100 000 3 2 000 000

6

1 800 000 12 1 500 000

15

18

MESES

x

Sea x el valor del último pago, el cual debe realizarse en año y medio. Por lo tanto, en virtud del diagrama de tiempo tenemos: 1 550 000 + 2 100 000( 1 + 0,02 )− 6 + 1 800 000( 1 + 0,02 )– 1 5 = 2 000 000( 1 + 0,0213 )– 3 + 1 500 000( 1 + 0,0213 )– 12 + x( 1 + 0,0213 )– 1 8 4 752 155 = 3 042 255 + 0,68429 x 1 709 900 = 0,68429 x 1 709 900 x = = 2 498 749,37081. 0,68429 75.César le debe a Roberto dos sumas de dinero: Bs 3 000 000 mas intereses al 12% capitalizable mensualmente, con vencimiento en 5 meses y Bs 9 000 000 mas intereses al 10,8% capitalizable bimestralmente, con vencimiento en 8 meses. Si se van a cancelar ambas deudas mediante un pago único al final de 11 meses, obtener la cantidad

49 que debe pagarse si la tasa de interés de la operación es 24% anual capitalizable mensualmente.

Solución: Elaboremos el diagrama de tiempo de la situación. 3 000 000( 1,01 )5

0

1

2

4

3

5

6

9 000 000( 1,018 )4

7

8

9

10

11

12

MESES

x

Tomemos como fecha focal ( línea punteada ) la correspondiente al mes 8. Tenemos en virtud del diagrama de tiempo que: 3 000 000( 1,05 )5( 1,02 )3 + 9 000 000( 1,018 )4 = x( 1,02 ) – 3 3 000 000( 1,0510 )(1,0612 ) + 9 000 000(1,0739 ) = x( 0,9423 ) 3 345 963,6 + 9 665 100 = x(0,9423 ) 13 011 063,6 = 13 807 772,0471. x = 0,9423 76.Un televisor tiene un valor de contado de Bs 295 000 y se debe financiar en tres pagos asi: Bs 100 000 dentro de 3 mese, y los otros dos pagos iguales a 8 y 12 meses respectivamente. Hallar el valor de estos pagos si la tasa de interés que paga por el financiamiento es del 4% mensual.

Solución: Hagamos el diagrama de tiempo correspondiente a la situación descrita: 295 000 0

3 100 000

6

8

12

x

x

MESES

Sea x el valor de cada uno de los dos pagos que deben realizarse a los 8 y 12 meses respectivamente. Como estamos trabajando bajo el régimen de capitalización compuesta, NO importa la fecha que se elija como fecha focal ( ver texto ), nosotros tomaremos la correspondiente a los 6 meses. Por lo tanto, en virtud del diagrama de tiempo tenemos: x x 6 3 295 000 ( 1 + 0,4 ) = 100 000 ( 1 + 0,04 ) + + 2 ( 1 + 0,04 )6 ( 1 + 0,04 ) x x + 295 000(1,26532) = 100 000(1,12486) + 1,0816 1,26532 x x + 373 269,4 = 112 486 + 1,0816 1,26532

50

260 783,4 =

1,26532 x + 1,0816 x 2,34692 x = 1,71487x, 1,36875 1,36857

de aquí que: x = 152 071,81886. 77.Un carro fue comprado en Bs 7 000 000 pagándose el 40% de inicial y el resto será pagado con tres pagarés de igual valor: el primero a un año de plazo, el segundo a dos años de plazo y el tercero a 3 años de plazo. Si la tasa de interés es el del 30% nominal anual con capitalización mensual, ¿cuál es el valor de cada uno de los pagarés?

Solución: La situación planteada es la siguiente: 4 200 000 0

1

3

2

AÑOS x

x

x

tomemos como fecha focal la correspondiente al día de la transacción, en la gráfica está representada por la línea punteada, siendo x el valor de cada uno los pagarés. Así: − 1×12

− 2 × 12

− 3 × 12

0,3  0,3  0,3     4 200 000 = x  1 + + x  1+ + x 1 +    12  12  12     = x(1,025)-12 + x(1,025)-24 + x(1,025)-36 = 2 800 000 + x[(1,025)-12 + (1,025)-24 + (1,025)-36] 4 200 000 = [(1,025) - 12 + (1,025) - 24 + (1,025) - 36]x ≈ [0,7435 + 0,5528 + 0,411]x ≈ 1,7073x 4 200 000 x ≈ ≈ Bs 2 460 024,6. 1,7073 78.Se han firmado los siguientes giros: $1 000 con vencimiento dentro de 2 años, $5 000 con vencimiento dentro de 5 años y $7 500 con vencimiento dentro de un año y medio, y queremos reemplazarlos por un giro de $7 500 que venza dentro de 6 años y medio y otro giro que venza dentro de 5 años. Si el interés es del 10% anual con capitalización semestral, indique el monto del segundo giro. 79.Se deben las siguientes facturas: Bs 7 565 000 a pagar dentro de 2 meses. Bs 12 104 000 a pagar dentro de 4 meses. Se desea renegociar la deuda anterior y pagarla de la siguiente forma: Bs 4 450 000 dentro de 2 meses. Bs 7 120 000 dentro de 4 meses y el saldo dentro de 6 meses. Si la tasa de la operación se fija en un 2% mensual capitalizable cada bimestre, obtenga el pago final.

51

Solución: Antes que nada, debemos hallar la tasa efectiva aplicada al bimestre, para esto, usaremos la fórmula: p

 i  e =  1 +  − 1, p  pero sin dividir por “p”, esto porque la tasa dada es efectiva ( estamos buscando una tasa efectiva conocida una efectiva ). Por lo tanto: e = ( 1 + 0,02 )2 – 1 = 4,04% bimestral. Elaboremos un diagrama de tiempo de la situación planteada. 7 565 000

12 104 000

2

4

6

4 450 000

7 120 000

x

MESES

Sea x el saldo a cancelar dentro de 6 meses, y tomemos como fecha focal la correspondiente a 4 meses, es de hacer notar dos cosas: • se pudo escoger cualquier otra fecha como fecha focal, en virtud de que estamos trabajando bajo el régimen de capitalización compuesta y, • que se tomó como fecha focal la correspondiente a 4 meses por estar la mayor concentración de capitales. Del diagrama de tiempo, obtenemos que la ecuación de valores es: 7 565 000( 1 + 0,0404 ) + 12 104 000 = 4 450 000( 1 + 0,0404 ) + 7 120 000 + x( 1 + 0,0404 )-1 7 870 625 + 12 104 000 = 4 629 780 + 7 120 000 + x( 1 + 0,0404 )-1 19 974 624 = 11 749 780 + 0,96x 8 224 846 = 0,96x x = 8 567 547,91. De lo anterior resulta que el saldo a cancelar en 6 meses es de Bs 8 567 547,91. 80.Se tienen tres giros: el primero venció hace año y medio, el segundo de Bs 1 000 000 vence en año y medio y el tercero de Bs 5 000 000 vence en 40 meses. Se acuerda reemplazar estos tres giros por dos de Bs 3 000 000 cada uno, el primero de ellos con vencimiento en dos años y el segundo con vencimiento en 30 meses. Si la tasa de interés utilizada es del 36% anual con capitalización trimestral, determinar el importe del giro vencido hace año y medio. [Sugerencia… Tome como fecha focal la correspondiente al día de hoy] 81.Una persona tiene 3 deudas así: Bs 630 000 con vencimiento en 5 meses e intereses del 20% convertible trimestralmente, Bs 1 260 000 con vencimiento en 9 meses e intereses del 24% con vencimiento semestralmente y Bs 2 520 000 con vencimiento en 21 meses e intereses del 30% efectivo.

52 Estas deudas se van a cancelar mediante 2 pagos iguales uno el día de hoy y otro al final de 2 años. Suponiendo un rendimiento del 24% convertible mensualmente. Hallar el valor de los pagos.

Solución: Sea x el valor de los pagos. Hagamos un diagrama de tiempo. 630 000(1,05)5 / 3

0

3

5 6

1 260 000(1,12)3 / 2

9

12

2 520 000(1,3)2 1 / 1 2

15

18

21

24

MESES

x

x

Escojamos como fecha focal la correspondiente a 24 meses (2 años). Así: 630 000(1,05)5/3(1,02)19 + 1 260 000(1,12)3/2(1,02)15 + 2 520 000(1,3)21/12(1,02)3 = x(1,02)24 + x 995 541,368655 + 2 010 018,96705 + 4 232 548,29821 = 2,60843724948x 7 238 108,63391 = 2,60843724948x 7 238 108,63391 = 2 774 883,17396. x= 2,60843724948 82.Una compañía adquiere una deuda de Bs 32 500 000 con un banco que cobra intereses del 15% anual, capitalizable semestralmente. Dos años después de contraída la deuda la compañía cancela Bs 16 250 000 y acepta pagar el saldo restante al final de los siguientes 3 años. ¿A cuánto asciende el monto con el cual se cancela la deuda final de los últimos 3 años? [Sugerencia… Considere como fecha focal la correspondiente al final del 5° año]

Solución: Consideremos el siguiente diagrama de tiempo: 32 500 000 AÑOS 0

1

2

3

4

5 x

16 250 000

donde x representa el monto con el cual se cancela la deuda al final de los últimos 3 años. Por lo tanto, en virtud del diagrama, tenemos la siguiente ecuación de valor: 10

6

0,15  0,15    32 500 000  1 +  = 16 250 000  1 +  + x 2  2    10 6 32 500 000(1 + 0,075) = 16 250 000(1 + 0,075) + x 32 500 000( 1,075 )10 = 16 250 000( 1,075 )6 + x

53 32 500 000( 2,061032 ) = 16 250 000( 1,543302 ) + x 66 983 540 = 25 078 657,5 + x ⇒ x = 41 904 882,5. 83.Una deuda que se convino en cancelar con una cuota de Bs 8 000 000 dentro de dos años y cuotas iguales a x dentro de cuatro y cinco años, será cancelada con tres pagos iguales a las cuotas x en 1, 3 y 6 años respectivamente. Si la tasa de interés utilizada en la transacción fue del 36% anual con capitalización semestral, ¿cuál es el monto de la deuda?

Solución: Elaboremos el diagrama de tiempo. 8 000 000 0

1

2

3

x

x

4

5

6 x

x

x

AÑOS

Sea x el valor de cada uno de los pagos. Escojamos como fecha focal la correspondiente al 3e año. Luego, en virtud del diagrama tenemos: 2

0,36  0,36    8 000 000  1 +  + x 1 +  2  2   

−2

0,36   + x 1 +  2  

−4

= 4

0,36  0,36    x + x 1 +  + x 1 +  2  2    8 000 000( 1,18 )2 + x( 1,18 )– 2 + x( 1,18 )– 4 = x + x( 1,18 )4 + x( 1,18 )– 6 11 120 000 + ( 0,72 )x + ( 0,52 )x = x + ( 1,94 )x + ( 0,37 )x 2,07x = 11 120 000 ⇒ x = 5 371 980,676.

−6

84.Una fábrica de artículos metálicos adquiere materia prima la cual acuerda pagar en 3 cuotas de Bs 5 000 000 cada una, a 1, 2 y 3 meses de plazo. Transcurrido un mes, la fábrica se ve obligada a renegociar su deuda de la siguiente forma: pagar mediante 2 pagos iguales a 2 y 4 meses, a partir de ese momento. ¿Cuál será el monto de éstos pagos iguales, si la tasa de interés efectiva anual acordada es del 35,912799%, pero los intereses se capitalizan mensualmente?

Solución: Elaboremos un diagrama de tiempo de la situación: 5 000 000 5 000 000 5 000 000 0

1

2

3 x

4

5 x

MESES

54 Antes de plantear la ecuación de valores basados en el diagrama precedente, calculemos la tasa efectiva correspondiente al período de capitalización, en este caso, el mes. Por lo tanto, usando que:  i e =  1 + p  para e = 35,912799% y p = 12, obtenemos:

p

  − 1, 

12

i   0,35912799 =  1 +  − 1 ⇒ i ≈ 2,5899% mensual. 12   En el diagrama de tiempo x representa el monto de cada uno de los pagos a realizar, y la línea punteada la fecha focal. Luego: 5 000 000( 1 + 0,0258 )2 + 5 000 000( 1 + 0,0258 ) + 5 000 000 = x + x( 1 + 0,0258 )–2 2 5 000 000( 1,0258 ) + 5 000 000( 1,0258 ) + 5 000 000 = x + x( 1,0258 )–2 5 000 000( 1,0523 ) + 5 000 000( 1,0258 ) + 5 000 000 = x + x( 0,9503 ) 5 261 500 + 5 129 000 + 5 000 000 = ( 1,9503 )x 15 390 500 = ( 1,9503 )x x = 7 891 350,04871 Por lo tanto el monto de cada uno de los pagos será de Bs 7 891 350,04871. 85.El día de hoy se cumplen 5 meses de que un comerciante consiguió un crédito de Bs 12 000 000 firmando un documento a 7 meses de plazo. Hace 3 meses le concedieron otro crédito y firmó nuevamente un documento con valor nominal de Bs 21 600 000, valor este que incluye los intereses de los 6 meses de plazo. Hoy abona Bs 24 000 000 a sus deudas y acuerda con su acreedor cancelar el resto con un pago único en 4 meses, contados a partir de ahora. ¿Por qué cantidad es este pago si la tasa de interés aplicada en la operación es del 36% anual convertible mensualmente?. [Sugerencia… Se recomienda elaborar un diagrama de tiempo]

Solución: Sea x la cantidad que cancela ese pago único, y tomemos como fecha focal la correspondiente al día de hoy, por lo tanto 5

−3

0,36  0,36  0,36     12 000 000  1 +  = 24 000 000 + x  1 +   + 21 000 000  1 + 12  12  12     5 −3 −4 12 000 000 ( 1,03 ) + 21 000 000 ( 1,03 ) = 24 000 000 + x ( 1,03 ) 12 000 000( 1,1593 ) + 21 000 000( 0,9151 ) = 24 000 000 + x( 0,8885 ) 13 911 600 + 19 217 100 = 24 000 000 + x( 0,8885 ) 9128 700 = 10 274 282,4986. 9 128 700 = x( 0,8885 ) ⇒x = 0,8885

−4

86.Un pagaré de Bs 1 680 000, que vence dentro de 6 meses se va a pagar mediante 3 abonos: Bs 280 000 ahora, Bs 840 000 en 3 meses y un pago final al término de 5 meses. ¿De cuanto debe ser este pago si se supone una tasa de interés del 60% anual capitalizable mensualmente?

MÓDULO II ANUALIDADES Y SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos, propiedades y procedimientos específicos en la resolución de problemas sobre rentas, y reducción o extinción de deudas

UNIDAD 3 ANUALIDADES OBJETIVO GENERAL Aplicar los conceptos y propiedades de las rentas constantes y variables en la resolución de problemas de la Matemática Financiera.

INTRODUCCIÓN “Anualidades”, es la primera de las dos unidades que conforman el Módulo II, del presente problemario. Aquí definiremos lo que es una anualidad, y consideraremos los diferentes elementos que la conforman. Se resolverán problemas en los que haya que calcular los diferentes elementos: término, monto, valor actual, plazo o tasa. Es muy importante, y repito, muy importante, que se tenga bien clara la diferencia que existe entre los términos “valor actual y monto”, pues de lo contrario se corre el riesgo de mal interpretar los ejercicios, lo cual conlleva a planteamientos y soluciones incorrectas de los mismos. Como siempre, algunos problemas estarán resueltos con lujo de detalles, otros solamente tendrán la respuesta, en otros sólo se dará una idea de cómo solucionarlos, en otros los pasos necesarios a seguir para resolverlos y otros no tendrán absolutamente nada. Como antes, el uso de los diagramas de tiempo sigue siendo una herramienta fundamental para la solución de los ejercicios.

ANUALIDAD, TÉRMINO, MONTO, VALOR ACTUAL, PLAZO O TASA Entendemos por ANUALIDAD o RENTA una sucesión de capitales iguales o diferentes disponibles en períodos diferentes. Dichos capitales reciben el nombre de TÉRMINOS. El MONTO de una anualidad, no es más que la suma de los montos de cada capital en la fecha final. Análogamente a como se definió el monto de una anualidad, el VALOR ACTUAL es la suma de todos los valores actuales en la fecha inicial. PLAZO es el tiempo transcurrido entre el comienzo del primer período y el final del último, entendiéndose por PERÍODO el tiempo entre dos pagos consecutivos. TASA es el tipo de interés fijado.

Monto y Valor Actual para una anualidad con capitales iguales 1. Un padre de familia está interesado en llevar a su familia a conocer la isla de Margarita en la época de vacaciones escolares de su hijo, hecho éste que ocurrirá en 6 meses. Sin embargo, para disponer del dinero necesario para tal fin, se propone hacer depósitos mensuales de Bs 500 000 en una cuenta de ahorros que le paga el 6% de interés anual, hallar la cantidad de dinero que podrá reunir el padre de familia para la realización de este viaje.

Solución: Puesto que se desea saber cuanto “tendrá” el padre de familia al cabo de 6 meses, lo que debemos calcular es el monto, para lo cual usaremos la siguiente fórmula:  (1 + i ) n − 1  M = S  . i   Sustituyendo:  ( 1 + 0,005 ) 6 − 1   ( 1,005 ) 6 − 1   0,0304  M = 500 000  = 500 000    = 500 000   0,005 0,005  0,005      = 500 000 [ 6,08 ] = 3 040 000. 2. Una tienda de electrodomésticos vende televisores SONY pantalla plana de 30 pulgadas con una cuota inicial de Bs 950 000 y 12 cuotas mensuales de Bs 105 000, si se carga una tasa de interés del 24% anual capitalizable mensualmente, hallar el valor de contado. [Tips… La clave para solucionar este problema es entender el significado de: “valor de contado” ] 3. Una persona debe pagar mensualmente la suma de Bs 450 000 mensuales durante 5 años. Si por razones ajenas a su voluntad, no realiza los primeros 4 pagos, ¿cuánto

deberá pagar al vencer la quinta cuota, para ponerse al día con su deuda, si la tasa de interés aplicada en la operación es del 24% convertible mensualmente? 4. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: Bs 43 000 000 de contado; Bs 2 150 000 mensuales durante 2 años y 6 meses y un último pago de Bs 5 375 000 un mes después de pagada la última mensualidad. Para, utilizar el 12% anual capitalizable mensualmente.

Solución: • • •

Elabore un diagrama de tiempo, donde de un lado coloque los pagos realizados y del otro la deuda. Con base al diagrama del punto anterior plantee la ecuación de valores. Aplique la fórmula o fórmulas necesarias, utilice la ecuación de valores.

5. En el momento de nacer su hija, un padre depositó Bs 1 000 000 en una cuenta de ahorros que abona el 6% de interés anual convertible anualmente; dicha cantidad la sigue depositando cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumentó sus depósitos en un 100%. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

Solución: Elaboremos un diagrama de tiempo para tener una idea mas clara de la situación. 1 000 000 0

1

1 000 000 2

3

. . .

1 000 000 8

9

2 000 000 1 000 000 10

11

12

. . .

13

2 000 000

17

18

AÑOS

M

A primera vista, el problema pareciera NO ser de rentas vencidas, en virtud de que el primer depósito es efectuado al momento de nacer la niña, y no al momento de cumplir el primer año; sin embargo, podemos considerar este primer depósito, simplemente como el depósito de apertura de la cuenta de ahorros, y que a pesar de ser de la misma cuantía que los siguientes 11 depósitos, el mismo NO forma parte de esta renta. Como el estudiante ya habrá notado, hay dos rentas involucradas en este problema, la primera por Bs 1 000 000 durante 11 años y la segunda por Bs 2 000 000 durante 7 años. Una vez aclarado el punto, el planteamiento del problema es el siguiente:  ( 1 + 0,06 )11 − 1  7 M = 1 000 000( 1 + 0,06 )18 + 1 000 000   ( 1 + 0,06 ) 0,06  

 ( 1 + 0,06 ) 7 − 1  + 2 000 000   0,06  

 ( 1,06 )11 − 1  7 = 1 000 000( 1,06 )18 + 1 000 000   ( 1,06 ) 0,06  

 ( 1,06 ) 7 − 1  + 2 000 000   0,06  

 ( 1,8983 ) − 1  = 1 000 000( 2,8543 ) + 1 000 000   ( 1,5036 ) 0,06    ( 1,5036 ) − 1  + 2 000 000   0,06   = 2 854 300 + 22 511 448,12 + 16 786 600 = 42 152 348,12. 6. En el momento de nacer su primogénito, un padre depositó Bs 5 000 000 en una cuenta de ahorros que abona el 6% de interés anual convertible anualmente; posteriormente sigue depositando cada cumpleaños la cantidad de Bs 1 200 000. Al cumplir 12 años, aumentó sus depósitos a Bs 3 000 000. Calcular la suma que tendrá a disposición de él a los 18 años. 7. En el momento de nacer su hija, un padre depositó Bs 1 000 000 en una cuenta de ahorros que abona el 1% de interés mensual; dicha cantidad la sigue depositando cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumentó sus depósitos en un 100%. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

Solución: Elaboremos un diagrama de tiempo para tener una idea mas clara de la situación. 1 000 000 0

1

1 000 000 2

3

. . .

1 000 000 8

9

2 000 000 1 000 000 10

11

12

13

. . .

2 000 000

17

18

AÑOS

M

A primera vista, el problema pareciera NO ser de rentas vencidas, en virtud de que el primer depósito es efectuado al momento de nacer la niña, y no al momento de cumplir el primer año; sin embargo, podemos considerar este primer depósito, simplemente como el depósito de apertura de la cuenta de ahorros, y que a pesar de ser de la misma cuantía que los siguientes 11 depósitos, el mismo NO forma parte de esta renta. Como el estudiante ya habrá notado, hay dos rentas involucradas en este problema, la primera por Bs 1 000 000 durante 11 años y la segunda por Bs 2 000 000 durante 7 años. Una vez aclarado el punto, el planteamiento del problema es el siguiente:  ( 1 + 0,12 )11 − 1  7 M = 1 000 000( 1 + 0,12 )18 + 1 000 000   ( 1 + 0,12 ) 0,12    ( 1 + 0,12 ) 7 − 1  + 2 000 000   0,12  

 ( 1,12 )11 − 1  7 = 1 000 000( 1,12 ) + 1 000 000   ( 1,12 ) 0,12   18

 ( 1,12 ) 7 − 1  + 2 000 000   0,12    ( 3,4785 ) − 1  = 1 000 000( 7,7 ) + 1 000 000   ( 2,2107 ) 0,12  

 ( 2,2107 ) − 1  + 2 000 000   0,12   = 7 700 700 + 45 660 239,94 + 20 178 400 = 73 538 639,94. La solución dada a este problema es incorrecta, ¿dónde se cometió el error al resolverlo?, localícelo y resuélvalo correctamente.

Término con capitales iguales 8. Una persona necesita reunir Bs 30 000 000 en 5 años y con este fin hace depósitos iguales, cada fin de mes, en un banco que abona el 6% de intereses nominal anual convertible mensualmente. Transcurridos 2 años, el banco baja la tasa al 5%. Halle el valor de los depósitos mensuales, antes y después de que se modificara la tasa de interés. 9. Una persona contrae una deuda de Bs 4 800 000 y acuerda pagarla en 2 años mediante 24 cuotas mensuales iguales y 4 cuotas semestrales iguales. Sabiendo que una cuota semestral es el triple de una cuota mensual y que la tasa de interés utilizada es del 30% efectiva bienal ( cada 2 años ), calcular el valor de cada una de las cuotas.

Solución: Estamos interesados en calcular T, es decir; el valor de cada una de las cuotas mnesuales, para esto, nótese que estamos en presencia de una renta constante inmediata. Por lo tanto, para calcular T, usaremos la siguiente fórmula: 1 − U −n  A = T an i = T  , i   donde: A = 4 800 000, n = 24 e i = 30% bienal. Antes de comenzar a calcular el valor de T, es necesario primeramente calcular las tasas de interés mensual y semestral equivalentes al 30% bienal, esto lo haremos en tres pasos: • Primero calcularemos la tasa efectiva anual como una tasa intermedia Tasa efectiva anual = ( 1 + 0,3 )1/2 – 1 = ( 1,3 )1/2 – 1 = 14,0175% •

Segundo, usando el resultado anterior calcularemos la tasa efectiva mensual Tasa efectiva mensual = ( 1 + 0,140175 )12 – 1 = ( 1,140175 )12 – 1 = 1,0987%

•

Tercero, calcularemos la tasa efectiva semestral Tasa efectiva semestral = ( 1 + 0,140175 )1/2 – 1 = ( 1,140175 )1/2 – 1 = 6,779%

Sustituyendo, nos queda:

1 − (1 + 0,010987 )− 24  1 − (1 + 0,06779 )− 4  + 3T 4 800 000 = T     0,010987 0,06779     1 − 0,7693  1 − 0,7692  + 3T  4 800 000 = T     0,010987   0,06779 

 0,2307   0,2308  + 3T  4 800 000 = T     0,010987   0,06779  4 800 000 ≈ T( 20,9975 ) + 3T( 3,4046 ) 4 800 000 ≈ T( 20,9975 ) + T( 10,2138 ) 4 800 000 4 800 000 ≈ T( 31,2113 ) ⇒ T ≈ , 31,2113 de lo anterior, resulta que: T ≈ 153 790,4541. 10. Plantéese un problema donde tenga que calcular el valor de las cuotas.

Monto y Valor Actual para una anualidad con capitales diferentes 11. Un corredor de bienes inmobiliarios ofrece una propiedad para ser cancelada mediante 5 cuotas anuales en progresión geométrica, siendo la primera cuota de Bs 150 000 y la razón igual a 5. Si la tasa de interés compuesto es del 25%. 1. ¿Cual es el valor a la vista ( valor actual ) de la propiedad? 2. ¿Cual es el monto pagado por la propiedad al finalizar los 5 años?

Solución: 1. Utilicemos que A = Tv

(q v )n − 1

para hallar el valor a la vista de la propiedad, siendo q v −1 T = 1 500 000, n = 5, q = 5, i = 25% = 0,25. Así:

A = 150 000 (1,25)

-1

(5 (1,25) ) − 1 = 150 000 ( 0,8 ) ( 4 ) − 1 = 120 975 1024 − 1 -1 5

5 (1,25) − 1 -1

5

4 −1

 1023  = 120 975   = 120 975 ( 341 ) = 41 252 475  3  2. El monto M pagado es: n 5 M = A( 1 + i ) = 41 252 000(1,25) ≈ 125 894 383,205 .

4 −1

12.Calcule el valor actual y el valor final de una renta en progresión geométrica de razón 7 diferida en 9 períodos y de 5 anualidades a la tasa del 25% por periodo de capitalización, siendo la primera anualidad de Bs 600.

Solución: Tenemos que: T = 600, q = 7, n = 9; i = 0,25 y m = 9. Así, el valor actual Ad es: ( qv )n -1 , Ad = Tvm + 1 qv - 1 de donde sustituyendo queda que: 9

 7   −1 10   1   1,25  Ad = 600  ≈ 75 590 872,65 .   1,25   7  − 1  1,25  Por lo tanto, Ad ≈ 75 590 872,65. Por otra parte: (qv )n -1 , Md = TUn-1 qv - 1 de lo cual por sustitución resulta que: 9

 7    −1 8  1,25  ≈ 4 210 809 579,321. Md = 600(1,25)  7    −1  1,25 

Con lo que resulta que Md = 4 210 809 579,321. 13.Una persona desea comprar un apartamento a un costo de Bs 28 000 000; si ofrece pagar de contado de contado Bs 7 000 000 y el resto la va a pagar mediante una amortización mensual durante 15 años. ¿Cuál debe ser el valor de su primera cuota si estima que cada una de las cuotas subsiguientes puede ser incrementada en la suma de Bs 2 800? Suponga interés del 32,4% convertible mensualmente.

Solución: Queremos calcular el valor T de la primera cuota en capitalización compuesta de una renta inmediata en progresión aritmética. Para esto, usaremos que:  1 + a n −1 i − n v n  n , M = U (T − d ) a n i + d   i   siendo M = 21 000 000, n = 15, T = ?, d = 2 800 e i = 0,027.

Sustituyendo nos queda: 21 000 000 = (1,027)15 [(T − 2 800 )12,2011553734 + 2 800x91,5575738741] = (1,027)15[(T − 2.800)12,2011553734 + 256.361,206847] 14 081 944,9033 = (T − 2.800)12,2011553734 + 256 361,206847 T − 2.800 = 1 133 137,25409 T = 1 130 337,25409. 14.Hallar el valor de contado de un artículo adquirido con el siguiente plan: cuota inicial de Bs 130 000 y 20 cuotas mensuales; Bs 15 500 es el valor de la primera, Bs 15 700 la segunda, Bs 15 900 la tercera y así sucesivamente, sabiendo que la tasa de interés sobre saldo es del 30% nominal mensual.

Solución: Estamos en el caso de una renta inmediata en progresión aritmética de razón d = 200, de esta renta conocemos también el número de periodos n = 20, la tasa de interés i = 30% nominal mensual y el valor de la primera cuota T = 15 500. Lo que nos interesa es el valor actual A, de dicha renta. Para el calculo usaremos la expresión: 1 + an − 1 i − nv n . A’ = ( T – d )an i + d i y que: A = A’ + 130 000. ¿Por qué A es de esta forma? Luego: 1 − (1,025)− 19  − 20 + 1   − 20(1,025 ) 0,025  1 − (1,025)− 20    A’ = 15 300   + 200 0,025 0,025   = 238 514,76 + 30 187,2 = 268 701,96. Por lo tanto: A = 268 701,96 + 130 000 = 398 701,96. 15. Sea desea constituir un capital de Bs 300.000, mediante el depósito de 10 cuotas mensuales en progresión aritmética de razón Bs 1.000. ¿Cuáles son los valores de la primera y quinta cuota, si la tasa de interés es del 12% con capitalización mensual?

Solución: Como claramente se aprecia del enunciado, estamos interesados en calcular los valores de la primera y quinta cuota de una renta inmediata en progresión aritmética. Para el cálculo de la primera cuota usaremos la expresión: n

M = u [( T − d )an i + d

1 + an −1 i − nvn i

]

con M = 300 000, n = 10, d = 1 000 e i = 0,01. Por lo tanto:

1 + a 9  0,01 − 10 (1,01)

−10

10

300 000 = ( 1,09 ) [( T − 1 000 )a10 0,01 + 1 000

0,01

1 + 9 − 9,1 ] 0,01 = (1,1)[( T − 1 000 )9 + 1 000(90)] 272 727,27 = [( T − 1 000 )9 + 90 000] ⇒ 182 727,27 = ( T − 1 000 )9 20 303,03 = T − 1 000 ⇒ T = 21 303,03. Y para el cálculo de la quinta cuota usaremos: T5 = T1 + 4d. Luego: T5 = 21 303,03 + 4( 1 000 ) = 21 303,03 + 4 000 = 25 303,03.

= (1,1)[( T − 1 000 )9 + 1 000

]

UNIDAD 4 SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN OBJETIVO GENERAL Aplicar los distintos métodos para la determinación de la amortización de una deuda.

INTRODUCCIÓN “Sistemas de Amortización”, es la última de las cuatro unidades que conforman el problemario y la segunda del Módulo II. Aquí definiremos el término AMORTIZACIÓN. Amortización, sea lo que sea que ésto signifique, es una de las aplicaciones mas importantes de las anualidades. Cuando se amortiza una deuda realizando pagos periódicos de igual valor, la deuda es el valor actual o presente de la anualidad, ésta se calcula usando la fórmula de valor actual correspondiente al tipo de anualidad, inmediata, anticipada o diferida. El proceso de amortización puede ser visualizado mediante la elaboración de una tabla que muestre lo que sucede con los pagos periódicos. En dicha tabla, se puede apreciar que cantidad de los pagos va a los intereses y que cantidad va a la deuda. En esta última unidad se han planteado y resuelto la mayor parte de los ejercicios, esto con la finalidad de que el estudiante los analice y estudie en detalle. Al igual que en las anteriores unidades, el uso de los diagramas de tiempo es fundamental.

AMORTIZACIÓN Entendemos por AMORTIZACIÓN, la reducción gradual de una deuda hasta su extinción, mediante la cancelación de pagos periódicos, que pueden ser de igual o diferente cuantía. Una parte de los pagos se destina a la cancelación de los intereses y otra, a disminuir el importe de la deuda original1. Hay que pagar un préstamo de Bs 36 200 000 durante un periodo de cinco años, mediante pagos parciales realizados al final de cada año. Si se carga una tasa de interés de 18% anual sobre el saldo insoluto y el cálculo de los intereses se realiza al final de cada año, determinar el monto de cada pago parcial, de modo que el préstamo ( capital mas intereses ) se amortice al final de los cinco años. Preparar la tabla de amortización correspondiente.

Solución: Consideremos el siguiente diagrama: 36 200 000 AÑOS 0

1

2

3

4

5

T

T

T

T

T

T representa el monto de cada pago parcial que hay que cancelar al final de cada año, para saldar el préstamo. Para el cálculo de T usaremos la expresión D D = , D = Tan i ⇒ T = an  i  1 − ( 1 + i )− n    i   donde D = 36 200 000, n = 5 e i = 0,18. Sustituyendo: T=

36 200 000 1 − ( 1 + 0,18 )   0,18   −5 

=

36 200 000 1 − ( 1,18 )   0,18   −5 

Luego, la tabla de amortización solicitada es:

≈

36 200 000 ≈ 11 575 961,6522 3,12717

PERIODO

CUOTA

INTERES

AMORTIZACION

TOTAL AMORTIZACION

0

SALDO DEUDOR 36 200 000

1

11 575 961,65220

6 516 000

5 059 961,65220

5 059 961,65220

31 140 038,34780

2

11 575 961,65220

5 605 206,903

5 970 754,75

11 030 716,40180

25 169 283,59820

3

11 575 961,65220

4 530 471,048

7 045 490,605

18 076 207,00632

18 123 792,99368

4

11 575 961,65220

3 262 282,739

8 313 678,913

26 389 885,91966

9 810 114,08034

5

11 575 961,65220

1 765 820,534

9 810 141,118

36 200 027,03740

-27,03739

2. Una deuda de Bs 4 300 000 debe ser cancelada mediante el pago de 7 cuotas trimestrales a una tasa efectiva trimestral de 33%. Elaborar un cuadro del plan de amortización de la deuda.

Solución: Consideremos el siguiente diagrama: 4 300 000 TRIMESTRES 0

1

2

3

4

5

7

T

T

T

T

T

T

T representa el monto de cada cuota trimestral que hay que cancelar, para saldar la deuda. Para el cálculo de T usaremos la expresión D D = , D = Tan i ⇒T = an  i  1 − ( 1 + i )− n    i   donde D = 4 300 000, n = 7 e i = 0,33. Sustituyendo: 4 300 000 4 300 000 4 300 000 ≈ 1 642 054,93628. T= = ≈ − 7 − 7 2,61867 1 − ( 1 + 0,33 )  1 − ( 1,33 )      0,33 0,33     Luego, la tabla de amortización solicitada es: TOTAL SALDO DEUDOR AMORTIZACIÓN

PERIODO

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

0

-

-

-

-

4 300 000

1

1 642 054,93628

1 419 000

223 054,93628

223 054,93628

4 076 945,06372

2

1 642 054,93628

1 345 391,87103

296 663,06525

296 663,06525

3 780 281,99847

3

1 642 054,93628

1 247 493,05949

394 561,87679

394 561,87679

3 385 720,12168

4

1 642 054,93628

1 117 287,64016

524 767,29612

524 767,29612

2 860 952,82556

5

1 642 054,93628

944 114,43243

697 940,50385

697 940,50385

2 163 012,32171

6

1 642 054,93628

713 794,06616

928 260,87012

928 260,87012

1 234 751,45160

7

1 642 054,93628

407 467,97903

1 234 586,95725

1 234 586,95725

164,49434

3. Un préstamo por Bs 16 420 000 se amortizará mediante 6 pagos semestrales iguales. Si la tasa de interés es del 36%, encontrar el pago semestral y elaborar la tabla de amortización.

Solución: Esta es una renta constante inmediata. Lo que deseamos calcular es el valor del pago semestral T. Para determinar T, usaremos la fórmula  1 − ( 1 + i )− n  A = Tan i = T  , i   en virtud de que conocemos el valor actual de la deuda. Sustituyendo A = 16 420 000, i = 18% y n = 6, obtenemos:  1 − ( 1 + 0,18 )− 6  16 420 000 = T   = 3,4978T, 0,18   De donde resulta que: T = 4 694 379,3242. Elaboremos la tabla de amortización. PERÍODO

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

0 1 2 3 4 5 6

4 694 379,3242 4 694 379,3242 4 694 379,3242 4 694 379,3242 4 694 379,3242 4 694 379,3242

2 955 600,0000 2 642 619,7216 2 273 302,9932 1 837 509,2536 1 323 272,6409 716 473,4379

1 738 779,3242 2 051 759,6025 2 421 076,3310 2 856 870,0706 3 371 106,6833 3 977 905,8863

TOTAL AMORTIZACIÓN 1 738 779,3242 3 790 538,9267 6 211 615,2577 9 068 485,3283 12 439 592,0116 16 417 497,8979

SALDO DEUDOR 16 420 000 14 681 220,6758 12 629 461,0733 10 208 384,7423 7 351 514,6717 3 980 407,9884 2 502,1021

El saldo deudor es debido al uso de sólo 4 cifras decimales. 4. Una deuda de Bs 10 000 000 al 36% efectivo anual debe amortizarse en 5 años, mediante cuotas anuales consecutivas. Construir el cuadro de amortización. 5. Hay que pagar un préstamo de Bs 5 000 000 durante un periodo de cinco años, mediante pagos parciales realizados al final de cada año. Si se carga una tasa de interés de 24% anual sobre el saldo insoluto y el cálculo de los intereses se realiza al final de cada año, determinar el monto de cada pago parcial, de modo que el préstamo ( capital mas intereses ) se amortice al final de los cinco años. Preparar la tabla de amortización correspondiente.

Solución: Consideremos el siguiente diagrama: 5 000 000 AÑOS 0

1

2

3

4

5

T

T

T

T

T

T representa el monto de cada pago parcial que hay que cancelar al final de cada año, para saldar el préstamo. Para el cálculo de T usaremos la expresión D D D = Tan i ⇒T = = , an  i 1 − ( 1 + i )− n    i   donde D = 5.000.000, n = 5 e i = 0,24. Sustituyendo: 5 000 000 5 000 000 5 000 000 T= = ≈ ≈ 1 818 181,82 − 5 − 5 2,75 1 − ( 1 + 0,24 )  1 − ( 1,24 )      0,24 0,24     Luego, la tabla de amortización solicitada es: PERIODO

CUOTA

INTERES

AMORTIZACION

TOTAL AMORTIZACIÓN

SALDO DEUDOR

0 1 2 3 4 5

1 818 181,82 1 818 181,82 1 818 181,82 1 818 181,82 1 818 181,82

1 200 000 1 051 636,4 867 665,45 639 541,53 356 667,85

618 181,82 766 545,45 950 516,36 1 178 640,29 1 461 513,96

618 181,82 1 384 727,27 2 335 243,64 3 513 883,93 4 975 397,90

5 000 000 4 381 818,19 3 615 272,73 2 664 756,35 1 486 116,06 24 602,09

El saldo deudor es debido al uso de sólo 2 cifras decimales, vale la pena mencionar también, que éste NO debe ser tan exageradamente grande. Para evitar tal error, lo recomendable es usar el mayor número de decimales que sea posible. 6. Una deuda de $ 8 000 con intereses al 9% capitalizable semestralmente se está amortizando con 10 pagos semestrales iguales. Determine el importe del pago y prepare la tabla de amortización correspondiente.

Solución: T representa el importe de cada pago parcial que hay que cancelar al final de cada semestre, para saldar la deuda. Para el cálculo de T usaremos la expresión D D D = Tan i ⇒T = = , a n i 1 − ( 1 + i )− n    i   donde D = 8 000, n = 10 e i = 0,045. Sustituyendo: 8 000 8 000 8 000 = ≈ T= ≈ 1 011,03673. − 10 − 10 7,91267 1 − ( 1 + 0,045 )  1 − ( 1,045 )      0,045 0,045     Luego, la tabla de amortización solicitada es:

0

-

-

-

TOTAL AMORTIZACION -

1

1 011,03673

360,00000

651,03673

651,03673

7 348,96327

2

1 011,03673

330,70335

680,33338

1 331,37011

6 668,62989

3

1 011,03673

300,08834

710,94839

2 042,31850

5 957,68150

4

1 011,03673

268,09567

742,94106

2 785,25956

5 214,74044

5 6

1 011,03673 1011,03673

234,66332 199,72652

776,37341 811,31021

3 561,63297 4372,94318

4 438,36703 3627,05682

7

1011,03673

163,21756

847,81917

5220,76236

2779,23764

8

1011,03673

125,06569

885,97104

6106,73339

1893,26661

9

1011,03673

85,19700

925,83973

7032,57313

967,42687

10

1011,03673

43,53421

967,50252

8000,07565

-0,07565

PERIODO

CUOTA

INTERES

AMORTIZACION

SALDO DEUDOR 8 000

7. Una deuda de Bs 50 000 000 con la tasa preferencial del 21% efectivo, se debe amortizar en 4 años con el siguiente plan: cuotas semestrales iguales más cuotas extraordinarias de Bs 5 000 000 cada final de año. Hallar el valor de las cuotas y preparar la tabla de amortización correspondiente.

Solución: Consideremos el siguiente diagrama: 50 000 00 0

1 T

2

3

4

6

5

SEMESTRES 7

8

T T T T T T T + + + + 5 000 000 5 000000 5 000 000 5 000 000

T representa el valor de las cuotas semestrales que hay que cancelar. Por lo tanto, como el valor actual de la deuda es igual a la suma de los valores actuales de las cuotas semestrales más las cuotas extraordinarias, tenemos: 50.000.000 = T a8 i + 5.000.000 a4 0 , 2 1 donde i es la tasa nominal, esta la calculamos como sigue: p

 i e =  1 +  − 1 , p  siendo p = 2 ( ¿por qué? ). Sustituyendo: 2

i  0,21 =  1 +  − 1 ⇒ i = 0,2 = 20%. 2  De lo anterior se desprende que la tasa semestral es del 10%, así: 50.000.000 = T a8 0 , 1 + 5.000.000 a4 0 , 2 1 −8 −4 1 − ( 1,1 ) 1 − ( 1,21 ) 50 000 000 = T + 5 000 000 0,1 0,21 = T(5,335) + 5.000.000(2,54047)

= T(5,335) + 12 702 350 37 297 650 = T(5,335) 37 297 650 T= ≈ 6 991 124,64854. 5,335 Luego, la tabla de amortización solicitada es: PERIODO

CUOTA

INTERESES

AMORTIZACIÓN

TOTAL AMORTIZACIÓN

DEUDA

0

-

-

-

-

50 000 000

1

6 991 265,066

5 000 000

1 991 265,06600

1 991 265,06600

48 008 734,93400

2

11 991 265,066

4 800 873,49340

7 190 391,57260

7 190 391,57260

40 818 343,36140

3

6 991 265,066

4 081 834,33614

2 909 430,72986

2 909 430,72986

37 908 912,63154

4

11 991 265,066

3 790 891,26315

8 200 373,80285

8 200 373,80285

29 708 538,82869

5

6 991 265,066

2 970 853,88287

4 020 411,18313

4 020 411,18313

25 688 127,64556

6

11 991 265,066

2 568 812,76456

9 422 452,30144

9 422 452,30144

16 265 675,34412

7

6 991 265,066

1 626 567,53441

5 364 697,53159

5 364 697,53159

10 900 977,81253

8

11 991 265,066

1 090 097,78125

10 901 167,28475

10 901 167,28475

-189,47222

8. Consideremos la deuda de Bs 10 000 000 pagadera en cuotas anuales al 36% de interés compuesto anual, la cual va a ser cancelada mediante 8 pagos anuales consecutivos en progresión aritmética de razón 250 000. Construir el cuadro de amortización 9. Una persona compra un carro. El valor de éste es de Bs 10 880 000. Le exigen una cuota inicial del 40% y el resto lo cancela en 12 cuotas mensuales. Para reducir el costo de la cuota mensual, ofrece dar 2 cuotas extraordinarias de Bs 870 400 cada una, la primera a los 6 meses y la segunda a los 12 meses. Elaborar una tabla de amortización. Suponga intereses del 30% convertible mensualmente.

Solución: Calculemos el valor de las cuotas, para esto consideremos la siguiente ecuación de valor: 6 528 000 = Tan i + 870 400(1 + 0,025)− 6 + 870 400( 1 + 0,025)− 1 2 donde T es el valor de las cuotas, n = 12 e i = 0,025. 1 − ( 1 + i )− n  6 528 000 = T   + 750 543,192132 + 647 191,042343. i   1 − ( 1,025 )−12  6 528 000 = T   + 1 397 734,23448. 0,025   5 130 265,76552 = T(10,2577645983). 5 130 265,76552 T= = 500 134,870162. 10,2577645983

PERIODO

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

TOTAL AMORTIZACIÓN

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

500 134,87016 500 134,87016 500 134,87016 500 134,87016 500 134,87016 1 370 534,87016 500 134,87016 500 134,87016 500 134,87016 500 134,87016 500 134,87016 1 370 534,87016

163 200 154 776,62825 146 142,67220 137 292,86725 128 221,81718 118 923,99085 87 633.71887 77 321,19009 66 750,84808 55 916,24753 44 810,78197 33 427,67976

336 934,87016 345 358,24191 353 992,19796 362 842,00291 371 913,05298 1 251 610,87931 412 501,15129 422 813,68007 433 384,02208 444 218,62263 455 324,08819 1 337 107,19040

336 934,87016 682 293.11207 1 036 285.31004 1 399 127,31295 1 771 040,36593 3 022 651,24524 3 435 152,39653 3 857 966,07660 4 291 350,09868 4 735 568,72130 5 190 892,80950 6 527 999,99989

DEUDA 6 528 000 6 191 065,12984 5 845 706,88793 5 491 714,68996 5 128 872,68705 4 756 959,63407 3 505 348,75476 3 092 847,60347 2 670 033,92340 2 236 649,90132 1 792 431,27870 1 337 107,19050 0,00011

10. Un electrodoméstico vale de contado Bs 620 000; se adquiere con una cuota inicial de Bs 125 000 y el resto financiado a 8 meses con cuotas mensuales iguales y un interés del 2% mensual. Elaborar la tabla de amortización. 11. Cynthia compra un juego de recibo en Bs 3 260 000 y acuerda pagar esa cantidad en abonos mensuales vencidos de Bs 592 960,14, los cuales incluyen un interés del 30,695% capitalizable cada mes. ¿Cuántos pagos hará?. Elabore la tabla de amortización de la deuda.

Solución: Este es el caso de una renta inmediata en progresión aritmética de razón d = 0, de la misma conocemos A = 3 260 000, T = 592 960,14 e i = 30,695% capitalizable mensualmente, lo único que no conocemos es “n”, pero para calcularla usaremos la fórmula:  1 − ( 1 + i )− n  A = Tan i = T  . i   Despejando n en la igualdad anterior, obtenemos: Axi   Ln  1 − T   n=– . Ln ( 1 + i ) Sustituyendo resulta:  3 260 000( 0,02557 )  Ln  1 −  592 960,14   = – Ln [ 0,85943 ] ≈ 0,15148 ≈ 6,0015. n=– Ln ( 1 + 0,02557 ) Ln ( 1,02557 ) 0,02524 La tabla de amortización es la siguiente:

PERIODO

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

TOTAL AMORTIZACIÓN

SALDO 3 260 000

0 1

592 960,14000

83 390,80000

509 569,34000

509 569,34000

2 750 430,66000

2

592 960,14000

70 356,016283

522 604,12372

1 032 173,46372

2 227 826,53628

3

592 960,14000

56 987,802798

535 972,33720

1 568 145,80092

1 691 854,19908

4

592 960,14000

43 277,630412

549 682,50959

2 117 828,31051

1 142 171,68949

5

592 960,14000

29 216,751817

563 743,38818

2 681 571,69869

578 428,30131

6

592 960,14000

14 796,195948

578 163,94405

3 259 735,64274

264,35726

Es de hacer notar que el saldo de Bs 264,35726 es debido al redondeo de los cálculos.

FÓRMULAS FUNDAMENTALES RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN SIMPLE Interés:

I = C rt

Monto:

M = C( 1 + rt )

Valor actual bancario:

A = M( 1 − dt )

Valor actual racional:

A =

C 1 + rt

Descuento bancario:

DB = M d t

Descuento racional:

DR = A rt

Tasa de descuento:

d =

r 1 + rt

RÉGIMEN DE CAPITALIZACIÓN COMPUESTO Tasa proporcional:

ip =

i p p

Tasa efectiva: Monto: Valor actual: Interés: Tasa de descuento:

 i   − 1 e =  1 + p   M = C( 1 + i ) n A = M( 1 + i ) −n I = C[ ( 1 + i ) n − 1 ] d =

i 1 + i

Descuento compuesto:Dc = M[ 1 − (1 + i ) − n ] = M [ 1 − (1 − d) n ) ] m

Monto para un número no entero de períodos: M = C( 1 + i ) (1 + i )

k p

INTERÉS COMPUESTO ( Monto y Valor actual )

M = Cu n

,

A = M v n con:u = 1 + i ,v = u− 1

RENTAS CONSTANTES Inmediatas:

A = Ta ni i ,

Anticipadas: A a = uA , Diferidas: Ad = v m A ,

con:

ani i =

un − 1 , iu n

M = TS ni i M a = uM Md = M Sni i =

un − 1 i

RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Inmediatas:

A = ( T – d ) a ni i + d Anticipadas: Diferidas:

1 + a n - 1 i − n v n

A a = uA, Ad = v m A,

i

,

M = unA

Ma = un+1A Md = M

RENTAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Inmediatas:

A = Tv

( qv ) n

− 1 , qv − 1

Anticipadas: A a = uA , Diferidas: A d = vmA ,

M = unA

M = u n+1A Md = M

BIBLIOGRAFÍA

Álvarez, A. (1 999). Matemáticas Financieras. Colombia: Mc Graw-Hill. Segunda Edición. Álvarez A., A. (2 005). Matemáticas financieras. Colombia: Mc Graw-Hill. Tercera Edición. Ávalos S., M. (2 004). Matemáticas Financieras. México: CECSA. Primera Edición. Baca, G. (1 992). Ingeniería Económica. Colombia: editorial educativa. Segunda Edición. Blank, L. y Tarquin, A. (2 003). Ingeniería Económica. México: Mc Graw-Hill. Quinta Edición. Cissel - Cissel y Flaspohler (1 987). Matemáticas Financieras. México: CECSA. Segunda Edición. Portus, L. (1 997). Matemáticas Financieras. México: Mc Graw-Hill. Cuarta Edición. Toledano y C., M. y Himmelstine, L. (1 999). Matemáticas Financieras. México: CECSA. Zima, P. y Brown, R. (2 005). Matemáticas financieras. México: Mc Graw-Hill. Segunda Edición.

Páginas Web Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos28/aplicaciones-financieras/aplicacionesfinancieras.shtml#capit http://www.monografias.com/trabajos15/amortizacion-gradual/amortizacion-gradual.shtml