Matematicas Financieras - Rodriguez Franco Jesus

SERIE UNIVERSITARIA

PATRIA

interactivo en esta edición

C

Esta obra presenta a las matemáticas financieras con un lenguaje ameno. Contiene ejercicios resueltos paso a paso cuya complejidad va aumentando, con la idea de que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera relacionado que se les llegue a presentar en su vida académica o profesional. En la actualidad la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la administración, la economía y en las políticas públicas; así como en diversas ramas en donde es empleada, por ejemplo, como auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y en general, cualquier transacción que traiga consigo un proceso de evaluación del proyecto. No solo en estas áreas de inversión es útil la matemática financiera, un pequeño inversionista puede aplicarla para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero.

M

Y

CM

De entre las características que convierten a esta obra en una lectura indispensable para el alumno que curse cualquier carrera del área de ciencias sociales, económico-administrativo, destacan las siguientes:

MY

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K

Cuenta con breves, pero claras, explicaciones de los fundamentos teóricos matemáticos. Explica a detalle los pasos necesarios para resolver los problemas propuestos que se plantean a lo largo de todas las unidades temáticas. Es flexible, el lector puede utilizarlo según sus propias necesidades. Los ejemplos y problemas expuestos están acompañados de breves textos, destacados con la etiqueta de Alerta, cuyo objetivo es preparar al lector para que esté pendiente de detalles importantes del contenido, que le serán útiles para la resolución de problemas. Contiene más de 500 problemas para resolver, presentados en distintas categorías, según sus características, para ser resueltos con el apoyo de tecnología o bien relacionados con la experiencia cotidiana del lector. Se incluye al final de cada unidad una sección de problemas reto. Como una herramienta adicional, el texto se acompaña de un CD-ROM de apoyo, donde el estudiante puede encontrar, entre otras cosas: simuladores y respuestas a problemas seleccionados.

EMPRESA DEL GRUPO

www.editorialpatria.com.mx

Jesús Rodríguez Franco / Elva Cristina Rodríguez Jiménez Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

MATEMÁTICAS Financieras

UNIDAD

II

1

Contenido

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

Jesús Rodríguez Franco Elva Cristina Rodríguez Jiménez Alberto Isaac Pierdant Rodríguez

PRIMERA EDICIÓN EBOOK MÉXICO, 2014

GRUPO EDITORIAL PATRIA

info

editorialpatria.com.mx

www.editorialpatria.com.mx

Dirección editorial: Javier Enrique Callejas Coordinación editorial: Verónica Estrada Flores Producción: Gerardo Briones González Revisión Técnica: M.C. Alex Polo Velázquez Universidad Autónoma Metropolitana Azcapotzalco ( U.A.M.) Diseño de interiores: Jorge Martínez J. y Gustavo Vargas M. Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx

Matemáticas Financieras. Serie Patria Derechos reservados: © 2014, Jesús Rodríguez Franco, Alberto Isaac Pierdant Rodríguez y Elva Cristina Rodríguez Jiménez © 2014, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V. Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro Núm. 43 ISBN ebook: 978-607-744-033-8 ISBN Material Impreso: 978-607-438-722-3 Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor. Impreso en México Printed in Mexico Primera edición ebook: 2014

Grupo Editorial Patria©

Semblanza autoral Jesús Rodríguez Franco Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X). Profesor en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (FCA-UNAM) de asignatura “B” en Matemáticas Financieras y Estadística. Estudió la carrera de Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la maestría en Ciencias en la especialidad de Bioelectrónica del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (CINVESTAV-IPN). Diplomados en: “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” (FCA-UNAM), “Formación Docente” y “La Estadística IX” (UAM-X). Tiene 34 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática. Cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Es miembro de la Academia de Matemáticas en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM), e integrante de la Comisión Dictaminadora en Matemáticas (FCA-UNAM). También es miembro del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” (UAM-X) y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP), cuenta con el reconocimiento de Profesor Distinguido otorgado por la Facultad de Contaduría y Administración UNAM en mayo de 2013. A la fecha ha publicado 12 libros de matemáticas como coautor, más de 15 artículos, en revistas especializadas de difusión, enfocados a la pequeña y mediana empresa mexicana, informática y educación. También ha coordinado un libro temático de matemáticas. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, congresos, encuentros, foros y simposios a nivel nacional e internacional. Ha participado en la organización en congresos, foros, ciclos de conferencias, en semanas de matemáticas y en maratones de matemáticas financieras y estadística. También ha otorgado diversas entrevistas radiofónicas en Radio Educación, Radio UAEM y MVS-Noticias. Es fundador y primer Presidente de la Academia de Matemáticas de la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM) de noviembre de 1999 a junio 2004. Fue representante ante el Consejo Académico del Departamento de Política y Cultura (UAM-X) y Colegiado de la División de Ciencias Sociales y Humanidades ante el Colegio Académico de la Universidad Autónoma Metropolitana periodo 20072009. Fue Jefe del área de investigación “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en el periodo 2003 a 2005 (UAM-X). Trabajó como Ingeniero en Comunicaciones y Electrónica en la Refinería 18 Marzo y en Dirección de Construcción y Obras de Petróleos Mexicanos (1984-1989). Ha sido profesor en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) del Instituto Politécnico Nacional, en el Instituto Tecnológico de Monterrey División de Preparatoria Campus Ciudad de México y en la Universidad Latina Campus Sur. 

Elva Cristina Rodríguez Jiménez Profesora de matemáticas del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Xochimilco (UAM-X) y profesora definitiva de asignatura “B” Estadística I y asignatura “A” Estadística II en la Facultad de Contaduría y Administración de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Estudió la licenciatura en Química Farmacobióloga con mención honorífica en la Facultad de Química de la Universidad Nacional Autónoma de México, los diplomados en “Matemáticas Aplicadas a la Economía” en la Facultad de Economía, el de “Formación Docente para las Disciplinas Financiero Administrativas” en la Facultad de Contaduría y Administración, ambos en la Universidad Nacional Autónoma de México. Tiene 19 años de experiencia docente impartiendo diferentes cursos de matemáticas, es miembro de la “Academia de Matemáticas” en la Facultad de Contaduría y Administración (UNAM). Es coautora de los libros: Libro electrónico Fundamentos de Matemáticas, producto PAPIME Fomento Editorial FCAUNAM, México, 2005; Estadística para Administración, Grupo Editorial Patria, segunda reimpresión, México, 2013 y Estadística aplicada II, Estadística en administración para la toma de decisiones, Grupo Editorial Patria, México, 2010. También ha participado en diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional. Participó en la investigación para el desarrollo de un método fotocolorimétrico para la determinación de metionina, para la Organización de Estados Americanos (OEA) y la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Química de la UNAM (1984). Ocupó el cargo de Jefe y subjefe del laboratorio de Gases, también como química analista en el laboratorio Analítico, experimental y de gases en la Refinería 18 de Marzo (1985-1991).

Alberto Isaac Pierdant Rodríguez Profesor-investigador Titular “C” del Departamento de Política y Cultura en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco (UAM-X) y socio director de Pierdant y Asociados, S.C. Estudió la carrera de Ingeniero Industrial en el Instituto Politécnico Nacional (IPN), tiene la Maestría en Ingeniería en la especialidad de Planeación de la División de Estudios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. Es candidato a Doctor en Ciencias Sociales con especialidad en Sociedad y Educación en la Universidad Autónoma Metropolitana unidad Xochimilco. Ha participado en diferentes cursos de actualización, entre los que destacan:“Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos I”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Evaluación Económica de Proyectos de Exploración de Hidrocarburos II”, en la Universidad de los Andes-Banco Interamericano de Desarrollo, Bogotá, Colombia. “Petroleum Energy” en The Institutte of Energy Economics, Japan, septiembre-noviembre 1989, Tokio, Japón. Tiene 35 años de experiencia docente impartiendo cursos de matemáticas e informática, cuenta con la acreditación de Profesor de Perfil Idóneo otorgada por la Secretaría de Educación Pública (SEP). Es miembro del área de investigación: “Desarrollo de las Matemáticas en las Ciencias Sociales” en la UAM-X y del Cuerpo Académico de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales (UAM-X y SEP). Ha publicado cuatro libros como autor y 10 de matemáticas como coautor, también ha publicado más de 30 artículos científicos y de difusión enfocada a la educación, informática, a las políticas públicas y para la pequeña y mediana empresa mexicana. Ha presentado diferentes ponencias en ciclos de conferencias, encuentros y foros a nivel nacional e internacional. Fue fundador y en la actualidad director del despacho de consultoría Pierdant y Asociados, S.C. (1979). Dentro de consultoría ha elaborado trabajos para diversas empresas y organismos como SHCP, ISSSTE, la Comisión Federal de Electricidad, Petróleos Mexicanos, Coca-Cola FEMSA, el INBA, entre otros.

VI

Presentación En la actualidad, la matemática financiera ha adquirido una gran importancia por su utilidad en la admi­ nistración, la economía y en las políticas públicas, así como en diversas ramas en donde se emplea como la auxiliar de cálculos en la ingeniería económica para la valuación de inversiones en maquinaria, equipos, instalaciones, tecnología, infraestructura y, en general, cualquier inversión que signifique un proceso en el cual debe de realizarse una evaluación del proyecto. Pero no solo en estas áreas sofisticadas de la inversión es útil la matemática financiera, ya que un pequeño inversionista puede utilizarla para analizar opciones de crédito en la adquisición de bienes y servicios cotidianos que le permitan tener mejores condiciones de vida. La matemática financiera también es necesaria para toda persona que tenga la necesidad de utilizar el sistema financiero. El libro Matemáticas Financieras Serie Patria responde a los programas de bachillerato y licenciatura. Su estructura motiva al estudiante a ser el protagonista en la construcción de su aprendizaje, basado en el enfoque educativo por competencias en el ámbito constructivista, esto con el objetivo de potencializar el saber qué hacer en la vida académica y profesional; lo anterior lleva al estudiante al aprendizaje significativo. El libro presenta los conceptos con un lenguaje sencillo y ameno. Contiene de tres a cinco ejercicios resueltos (paso a paso) del ámbito nacional en cada subtema, inicia con los sencillos y aumenta su complejidad, con la idea que el alumno adquiera seguridad y confianza. Lo anterior le permitirá resolver los problemas propuestos al final de cada unidad o cualquiera que se le llegue a presentar en la vida académica o profesional con éxito. Al inicio de cada unidad se plantean los objetivos y la sección ¿Qué sabes?, en ella se exponen una serie de preguntas y problemas que permiten al estudiante recordar sus conocimientos previos o despertar la inquietud de conocer más del tema. También contiene pequeños cuadros de alerta como son: el histórico, que contiene breves biografías de personajes vinculados con la matemática o pasajes de la misma; para pensar, que encierra los pasos que se realizan mentalmente; de definiciones, para resaltar definiciones importantes, teoremas y conceptos; de advertencia, para indicar las operaciones y pasos que no deben realizarse. En las ocho unidades que conforman el libro se da una breve información teórica del subtema a estudiar y se plantean de dos a cuatro problemas resueltos paso a paso. Al final de cada unidad se cuenta con un formulario, un glosario, los problemas a resolver y la sección de problemas reto. El contenido del texto está estructurado en ocho unidades. Unidad 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes. En nuestro país, la realidad comercial y, sobre todo, la financiera se han influenciado por los avances tecnológicos que más impactan a la sociedad. Dos de estos avances lo representan las calculadoras modernas y las computadoras. El manejo de estas y sus programas de cálculo permiten a los alumnos, profesores y analistas de datos financieros obtener resultados de manera rápida y certera y logra al mismo tiempo un máximo beneficio que se refleja en atractivos rendimientos en sus inversiones. Por esta razón nos hemos preocupado por incluir en esta unidad la forma de resolver las operaciones aritméticas básicas, exponentes, radicales, logaritmos, proporciones, regla de tres y porcentajes, utilizando estas herramientas indispensables en el aprendizaje de las matemáticas financieras. Unidad 2 Series y sucesiones. Inicia con las sucesiones o progresiones aritméticas, al explicar la forma de encontrar el n-ésimo término y la suma de los términos de la progresión. Después VII

UNIDAD

1

Contenido se estudian las progresiones geométricas, se indica la forma de encontrar el n-ésimo término, número de términos y la suma total de términos en una serie. Unidad 3 Interés simple. Comienza con la explicación del concepto de interés simple, la tasa de interés y la forma de calcularlos. Se continúa con el interés simple o real, el ordinario o comercial, el monto, el valor presente o actual y el tiempo (plazo). También se incluye el descuento simple y se estudian los siguientes casos: el valor descontado o ganancia, tasa de rendimiento, valor de vencimiento, relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento, plazo y el pagaré. Por último, se ven las ecuaciones de valor equivalentes o de valor, la diferencia entre interés ordinario y exacto, ecuaciones de valor, descuento bancario y descuento comercial. Unidad 4 Interés compuesto. Empieza con la forma de calcular el monto compuesto, la comparación del interés simple con el compuesto, el valor actual o presente y el tiempo. Después se estudia el concepto y forma de cálculo de las tasas de interés equivalentes, efectivas y nominales. También se ve la aproximación a la tasa de interés y la ecuación de valor y de tiempo equivalente. Unidad 5 Anualidades. En esta se muestra el cálculo del valor futuro, el valor presente, el plazo y la renta para las anualidades simples o vencidas, anticipadas y diferidas. Además, se incluye el estudio de la anualidad general y anualidades perpetuas. Unidad 6 Amortización. Se inicia con la amortización gradual y tasa negativa. Se presentan casos sobre cómo es la amortización de una deuda, hipotecas, inflación, refinanciamiento de un crédito y fondos de amortización. Se continúa con la depreciación y se explica en qué activos se aplica y en cuáles no. Después, se explica la forma de utilizar los diferentes métodos como la línea recta, porcentaje fijo, suma de dígitos, de unidades de producción o servicio y de fondo de amortización. Tanto para la amortización como para la depreciación se enseña cómo utilizar Excel para elaborar cuadros de amortización y depreciación. Unidad 7 Análisis de proyectos de inversión. En esta unidad se muestra la metodología empleada en el ámbito financiero para realizar un proyecto de inversión, como es el caso del análisis de flujo de efectivo de un proyecto y su variabilidad, al emplear los conocimientos adquiridos en las unidades anteriores. Se estudia la forma de calcular el valor presente en la metodología denominada Valor Actual Neto (VAN) y el costo de capital (TIR) para calcular el valor presente de un proyecto de inversión. Unidad 8 Bonos y obligaciones. Se estudia lo referente a bonos y obligaciones como principales mecanismos de financiamiento para proyectos de inversión pública y privada. También a conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro, las relativas a bonos de cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento. Es importante mencionar que los resultados de los problemas resueltos pueden variar un poco debido a los que se obtengan. Esto se debe a la forma en que esté programada la calculadora con respecto a la fracción decimal o el número de fracciones decimales que utilice. Se espera que con Matemáticas Financieras Serie Patria, nuestros lectores puedan resolver los problemas financieros que se les presenten.

Los autores

VIII

Grupo Editorial Patria©

Contenido UNIDAD 1 Exponentes, logaritmos y porcentajes

1

1.1  Exponentes

2

1.2  Exponentes enteros

3

1.3  Exponente negativo

4

1.4  Radicales

5

1.5 Suma de radicales semejantes 1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice con subradical diferente 1.7  Multiplicación de radicales del mismo índice

7

1.8  División de radicales del mismo índice

8

1.9 Redondeo 1.10 Notación científica

9

1.11 Propiedades de los logaritmos base 10

10

1.12 Únicos números cuyos logaritmos son enteros

11

1.13 Propiedades de los logaritmos

13

1.14 Antilogaritmo

14

1.15 Logaritmos naturales

15

1.16  Tanto por ciento

16

Problemas para resolver Problemas reto

23 26

UNIDAD 2 Series y sucesiones

27

2.1 Introducción 2.2  Sucesiones o progresión aritmética

28

2.3  Progresiones aritméticas

30 IX

Contenido 2.4  Progresiones geométricas

33

2.5  Aplicaciones

38

Problemas para resolver Problemas reto

42 43

UNIDAD 3 Interés simple

45

3.1  Introducción

46

3.2  Cálculo del monto

53

3.3  Valor presente o actual

55

3.4  Cálculo del tiempo o plazo

57

3.5  Descuento simple

59

3.6  Valor descontado o ganancia

60

3.7 Tasa de rendimiento

62

3.8  Valor de vencimiento

63

3.9  Tasa de descuento

64

3.10 Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento

65

3.11  Plazo

67

3.12  Pagaré

68

3.13  Aplicaciones

71

3.14  Inversión en cetes

72

3.15  Inversión en udis

73

3.16  Ecuaciones de valor equivalente o de valor

75

Problemas para resolver Problemas reto

80 84

UNIDAD 4 Interés compuesto

85

4.1 Introducción 4.2  Monto 4.3 Comparación del interés simple con el interés compuesto 4.4  Valor actual o presente



86 93 95

4.5  Tasas equivalentes, efectivas y nominales

100

4.6  Ecuación de valor

105

4.7  Tiempo equivalente

110

Grupo Editorial Patria© 4.8  Inflación

113

Problemas para resolver Problemas reto

120 122

UNIDAD 5 Anualidades

123

5.1  Introducción

124

5.2 Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua 5.3  Anualidades vencidas

125

5.4  Anualidades anticipadas

138

5.5  Anualidades diferidas

147

5.6  Anualidades generales

166

5.7  Anualidades generales anticipadas

176

5.8  Anualidad general diferida

177

5.9  Anualidad general variable

178

5.10  Anualidades perpetuas

183

Problemas para resolver Problemas reto

191 194

UNIDAD 6 Amortización y depreciación

195

6.1  Introducción

196

6.2  Inflación

209

6.3  Unidades de inversión (udi)

212

6.4  Fondos de amortización

213

6.5  Depreciación

216

6.6  Depreciación e inflación

226

6.7  Método de la suma de dígitos o enteros

229

6.8  Método de unidades de producción o servicio

231

6.9  Método del fondo de amortización

234

Problemas para resolver Problemas reto

241 244

XI

Contenido

UNIDAD 7 Análisis de proyectos de inversión

245

7.1  Introducción

246

7.2  Metodologías de evaluación de inversiones

247

7.3  Método del valor actual neto (van)

248

7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir) o costo de capital

252

7.5  Análisis de inversiones con van y tir

255

Problemas para resolver Problemas reto

262 263

UNIDAD 8 Bonos y obligaciones

265

8.1  Introducción

266

8.2  Bonos de descuento puro o bonos cupón cero

267

8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento

268

275 Problemas para resolver Problemas reto

XII

Referencias bibliográficas

276

Bibliografía final

277

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes OBJETIVOS Identificar y manejar expresiones algebraicas con exponentes enteros positivos, negativos y fraccionarios. Aprender a dividir, multiplicar y reducir expresiones con radicales. Convertir expresiones con radicales a exponentes fraccionarios. Conocer y comprender el sistema de logaritmos y sus propiedades. Aprender a encontrar el logaritmo de base a, base 10 y base e. Aprender a encontrar el antilogaritmo de base 10. Realizar el cálculo e interpretación de los porcentajes. Aprender a utilizar la calculadora y hoja de cálculo Excel, con exponentes radicales y logaritmos. Comprender la trascendencia de los temas estudiados y su importancia en la aplicación en matemáticas financieras.

¿QUÉ SABES? Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema Encontrar el resultado de las operaciones aritméticas 9 + 6 × 4 - 5 + 48/8 = El producto de las potencias (x 3)(x 6) es igual a: ______________. Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: [(2)(6)]3 =

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes 1  Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora:   3 

−3

=

Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 3 8 9 = Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 5 7 − 8 7 = Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: 2 3 11 (3 3 48 ) = Completar el cuadro Logaritmo

Característica

Mantisa

Log = 0.4771 3

Encontrar el resultado utilizando calculadora y computadora: log 3 999 = Andrea compró un refrigerador en $5 400.00; ella dio 20% de enganche del precio del refrigerador. ¿Cuánto pagó de enganche (en pesos)?

1.1 Exponentes La potenciación es la operación que toma una expresión algebraica como factor dos o más veces, y al resultado de la operación se le llama potencia. Si x ∈ R y n ∈ N entonces: Ï Ô Ì Ô Ó

xn = (x)(x) … (n) = n-ésima potencia de x n factores

n entero positivo es el exponente x es la base ■■ ■■ ■■

La primera potencia de una expresión es: x1 = x La segunda potencia de una expresión es: x2 = (x)(x) La tercera potencia de una expresión es: x3 = (x)(x)(x)

Problema resuelto 1. a) 25 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 32

b) 123 = 12 ⋅ 12 ⋅ 12 = 1  728

c) (x + 1)2 = (x + 1)(x + 1) d ) (x + a)n = (x + a)(x + a) …, n = 1, 2, 3…

Una expresión algebraica se obtiene al combinar una o varias operaciones, con números y símbolos, ejemplo: 4x2, 7x + 4a, 6 x + 8 x 5 En la calculadora la tecla para encontrar la potencia de una expresión es la siguiente: yx o ∧   Encontrar la elevación a potencia.

Problema resuelto 2.



2

Problema

Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

a)

(23) = 8

2  y x 3 =

8

b)

(4 ) = 64

4  ∧ 3 =

64

3

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 3. Con la hoja de cálculo Excel a) Con la función = POTENCIA(número, potencia) b) Con el acento circunflejo = número[alt gr] + [^] potencia

1.2  Exponentes enteros ❚❚ 1.2.1  Producto de potencias de igual base (an)(am) = an + m

Problema resuelto 4. a) (32)(34) = 36 = 729

c) (a2)(a6) = a4 + 6 = a10

b) (12 )(12 ) = 12 = 248  832 3

2

5

 

d ) (x + a)2(x + a)3 = (x + a)5

Problema resuelto 5.



Problema

Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

a)

(22)(24) = 22 + 4 = 26 = 64

2  y x  2  ×  2  y x  4  =

64

b)

(4 )(4 ) = 64 × 16 = 1 024

3 ∧ 4 × (2 ∧ 4) =

1 024

3

2

❚❚ 1.2.2  Elevar una potencia a otra potencia (an)m = a(n)(m)

Problema resuelto 6. a) (42)3 = 42 · 3 = 46 = 4  096

d ) (22)6 = 22 · 6 = 212 = 4  096

b) (8 ) = 8

= 8 = 16  777  216

e) ((x + m)3)5 = (x + m)3 · 5 = (x + m)15

c) (4 ) = 4

= 4 = 4  096

f  ) (25)4 = 2(5)(4) = 220 = 1  048  576

2 4 2 3

2·4 (2)(3)

8

6

 

 

 

3

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes ❚❚ 1.2.3 Producto elevado a una potencia n El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión: [(a)(b)]n = (a)n(b)n

Problema resuelto 7. a) [(2)(3)]2 = (22)(32) = 4 × 9 = 36 b) [(4)(3)]3 = (43)(33) = 64 × 27 = 1  728 c) [(8)(5)]4 = (84)(54) = 4 096 × 625 = 2  560  000 d ) [(x + 1)(x + a)]2 = (x + 1)2(x + a)2 e) [(2)(5)]2 = (22)(52) = (4)(25) = 100 f  ) [(3)(2)]3 = (33)(23) = (27)(8) = 216

❚❚ 1.2.4  Elevar un cociente a una potencia n El producto elevado a una potencia se calcula con la siguiente expresión:  a   b

n

=

an bn

si b ≠ 0

;

Problema resuelto  2 8. a)    3

2

 4 b)    7

3

=

=

22 3

2

43 3

7

=

=

4 9



64 343

 8 d )   7

4

 5 e)    6

2



2

=

=

84 74 52 62

=

=

4 096 2 401 25 36

3

 6 2  36 6 c)   =   = = 0 .73469388 7  72  49

 33  3 27 f  )   =   = = 0 .078717 7  73  343

1.3  Exponente negativo Se encuentra al dividir dos potencias de igual base, con un exponente menor en el numerador y mayor en el denominador. a2 a3

= a 2 − 3 = a −1

Se conoce a 1/a como el inverso multiplicativo de a, cuando a ≠ 0. a −1 =

1 a

Problema resuelto 9. a) ax −1 =

4

a x



b) m 2 ( xy ) −1 =

m2 xy

Grupo Editorial Patria©

e) a 2 4 −3 =

c) 4-3 = 0.015625

 1  2  d ) 3 −2 =

1 32

=

1 = 0.111 9

a2 43

−9

=

f  ) =

=

1  1   2

9

a2 64 =

1 19

=

29

1 1 = = 512 1 0.001953 512

1.4 Radicales ❚❚ 1.4.1  Exponentes fraccionarios El exponente fraccionario se obtiene de extraer una raíz a una potencia. a1 n = n

es el índice de la raíz

a

cantidad subradical o radicando

n

a ; con a ∈ R+ y n ≠ 0

símbolo del radical

Problema resuelto 10. a) x 3 4 =

4

x 3 c) ( x + a )2 5 =

b) am1 3 = a 3 m d ) 81 2 =

x

2

5

( x + a )2

8

y  o x1/y o ∧  teclas para encontrar raíces con índice igual a dos o superior a dos.

Si el índice es un número par, entonces la raíz es un número positivo y debe satisfacer: n

a = c ⇔ cn = a

Si c n = a y n es un entero positivo, entonces c es la raíz n-ésima de a.

Problema resuelto 11. a) (-3)2 = 9,

entonces: la raíz cuadrada de 9 es +3 y -3,

2

9 = ±3

b) (-2)3 = -8,

entonces: la raíz cúbica de -8 es solamente -2,

3

−8 = −2

n

a

Si n es par y a positiva entonces: la raíz es positiva y negativa   Si n es impar y a negativa entonces: la raíz es solamente negativa

Si m y n son enteros, la base a diferente de cero y la potencia fraccionaria es m/n, se puede expresar como radical, en donde n es el índice del radical, a es el subradical y m el exponente del subradical. am n =

n

am 5

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes

Problema resuelto 12. a) b)

3

c) 3 3 6 2 = 3 3 36

85 = 85 3 = 32

 1 109 =   ( 10 .44 ) = 5 .22  2 2 1

d )

3

= 3 ( 361 3 ) = ( 3.30 )( 3 ) = 9.9

− 27 = ( − 27 )1 3 = − 3

Problema resuelto 13.

Operación a)

4

b)

16 = 2

16 = 2 1/4

Teclas en la calculadora 4 

n

Resultado en pantalla 2

x   16  =

1  ÷  4  =  Min C 16  y   RM  =

2

x

2.828

x

Para otro tipo de calculadora c)



d )

4

64 = 2 .828 27 = 3 1/3

4  SHIFT 

  64  =

( 1  ÷  3 ) =  Min C 27  ∧  RM ) =

3

Con la hoja de cálculo Excel

Problema resuelto a) Con la función = RAIZ(número), solo se obtiene la raíz cuadrada de un número. Por ejemplo, la expre­sión

2

9 = 3 , en Excel con la función = RAIZ(9)

b) Con el acento circunflejo = número[alt gr ] + [ ˆ ] potencia. Por ejemplo, la expresión Excel = 27 ˆ (1/3)

Problema resuelto Problemas en Excel

6

3

27 = 3 , en

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1.5  Suma de radicales semejantes En los radicales semejantes se deben sumar algebraicamente los coeficientes, y la suma de estos es el coeficiente del radical común.

Problema resuelto c) 3 9 + 4 9 = ( 3 + 4 ) 9 = 7( 3 ) = 21.0

14. a) 2 5 − 4 5 = ( 2 − 4 ) 5 = −2 5 = − 4 .472

d ) 5 6 − 3 6 + 2 6 = ( 5 − 3 + 2 ) 6

b) 2 7 + 3 7 = ( 2 + 3 ) 7

=4 6 = 4 × 2.4494 = 9.80

=5 7 = 5 × 2 .645 = 13 .228

1.6 Suma y resta de radicales del mismo índice con subradical diferente Problema resuelto 15. a) 2 5 − 3 9 = 2 ( 2 .236 ) − 3 ( 3 ) = 4 .472 − 9 = − 4 .528

d ) 5 64 + 2 10 = 5 ( 8 ) + 2 ( 3 .162 ) = 40 + 6 .324 = 46 .324

b) 4 16 + 3 7 = 4 ( 4 ) + 3 ( 2 .64 ) = 16 + 7 .937 = 23 .937

e) 3 21 − 7 6 + 4 6 = 3 ( 4 .58 ) + ( − 7 + 4 ) 6

c) 5 25 + 4 11 = 5 ( 5 ) + 4 ( 3 .3166 ) = 25 + 13 .26 = 38 .266

f  ) 6 26 − 3 6 + 2 6 = 6 ( 5 .099 ) + ( − 3 + 2 ) 6

= 13 .748 − 3 6 = 6 .399

= 30 .59 − 6 = 28 .145

1.7  Multiplicación de radicales del mismo índice En la multiplicación de radicales del mismo índice se deben multiplicar los radicales, y el resultado de esta operación es el nuevo subradical, siendo el índice el mismo en el nuevo radical. n

)

a (n b =

n

( a )( b )

Problema resuelto 16. a)

5 ( 9) =

b)

3 ( 27 ) =

5×9 =

3 5 ( 4 12 ) = 3 ( 2 .236 ) [ 4 ( 3 .464 )] = ( 6 .708 )( 13 .8564 ) = 92 .9 9 52

45 = 6 .7 c)

3 × 27 =

81 = 9

d )

3

)

64 ( 3 10 = 4 ( 2 .15 ) = 8 .617

7

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes 2 3 81 ( 3 27 ) = 2 ( 4 .32 × 3 ) f  ) 5 25 ( 3 18 + 2 = 5 ( 5 ) [3 ( 4 .24264 )] + 2 = 2 ( 12 .96 ) = ( 25 )( 12 .72792 ) + 2 = 25 .96 = 3 18 .198 + 2 = 320 .198

)

e)

1.8  División de radicales del mismo índice En la división de radicales del mismo índice se obtiene un radical con el mismo índice y el cociente de ambos radicales. n n

a b

=

n

a b

Problema resuelto 12

17. a)

5

12

=



5

=

d )

3

84

3

11

2 .4

= 1 .549 9

b)

25

=



e)

5

93

5

4

0.36

= 0.6 c)

3 3

81 27

81

=

3

=

3

27

3

=

3

84 11 7 .636

= 1 .969

9 25

=

=

=

5

=

5

93 4 23 .25

= 1 .876

f  )

3

= 1.44

4 4

48 11

=

4

=

4

48 11 4 .36364

= 1 .445

Problema resuelto Resuelve las ecuaciones exponenciales  i  18. a)  1 +   12  12

12

 i   1 +  12 

1+ i 12

i 12

=

 0 .125  = 1 +   6 

6

12

12

=

12

( 1 + 0 .020833 )6

1 .13169

= ( 1 .13169 )1 12 − 1

i = 12 ( 1 .13169 )0.0833 − 1 i = 12 ( 0 .01036 ) i = 0 .1243 6

8

6

 0 .22  b) e = 1 +  −1 6   e = ( 1 .03667 )6 − 1 e = 1 .2412 − 1 e = 0 .2 4 12

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 i  c)  1 +   12  12

12

 i   1 +  12 

1+

i 12

=

 0 .116  = 1 +   4 

4

12

12

=

12

( 1 + 0 .029 )4

1 .1211443

i

= ( 1 .1211443 )1 12 − 1 12 i = 12 ( 1 .1211443 )0.0833 − 1 i = 12 ( 0 .009574 ) i = 0 .1 149

1.9 Redondeo Redondeo de una cantidad hacia arriba a cuatro cifras.

Problema resuelto 19.



Número

Redondeo

a)

0.204688

0.2047

b)

9.711768

9.712

c)

0.7988745

0.7989

Redondeo hacia abajo a cuatro cifras de las siguientes cantidades:

Problema resuelto 20.



Número

Redondeo

a)

0.6184142

0.6184

b)

0.1246397

0.1246

c)

3.4161853

3.416

1.10  Notación científica Cuando se trabaja con números muy grandes o pequeños utilizamos la notación científica. El punto decimal se mueve a la derecha cuando el exponente es positivo y a la izquierda si es negativo, el exponente indica el número de lugares que se tiene que mover el punto decimal.  EXP o EE  tecla para escribir la notación científica en la calculadora

Problema resuelto 21.



a)

12 × 10-2 = 0.12

12  EXP  -  2  =

0.12

b)

1.578E - 1 = 0.1578

1.578  EXP  -  1  =

0.1578

c)

0. 9510E + 2 = 95.1

0.9510  EXP  +  2  =

95.1

9

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes Forma de representar una cantidad en notación científica hacia arriba.

Problema resuelto 22.



Número

Notación científica

Con calculadora EXP

a)

679.19

6.7919 × 10

6.7919 × 1002

b)

48.56

4.856 × 101

4.856 × 1001

c)

5.31

5.31 × 10

d )

258 916

2.58916 × 105

2

5.31

0

2.58916 × 1005

Forma de representar una cantidad en notación científica hacia abajo.

Problema resuelto 23.

Número

Notación científica

Con calculadora EXP

0.3471

3.471 × 10-1

3.471 × 10-01

b)

0.0126

-2

1.26 × 10

1.26 × 10-02

c)

0.00879

8.79 × 10-3

8.79 × 10-03

d )

0.0002978

-4

2.978 × 10

2.978 × 10-04

e)

793.24

7.9324 × 102

7.9324 × 1002

a)



El logaritmo de un número es el exponente al que se debe elevar otro número llamado base para obtener un tercer número.

Problema resuelto Ejemplos: 24. a) 90 = 1

c) 92 = 81

b) 9 = 9

d ) 9 = 729 etcétera

1

e) 94 = 6 561

3

La base es un número positivo y este es la base de un sistema de logaritmos.    Sistema     de   logaritmos

*  * * 

Logaritmos vulgares o Briggs la base es 10

( log10 x = log x )

Logaritmos naturales o neperianos la base es:

e = 2.71828182845 …

loge x = ln x

Se puede tomar como base para un sistema de logaritmos cualquier número positivo.

1.11  Propiedades de los logaritmos base 10 ❚❚ 1.11.1 Progresiones

Problema resuelto

10

25 a) 100 = 1

c) 102 = 100

b) 101 = 10

d ) 10 −1 =

1 101

e) 10 −2 =

= 0 .1

f  ) 10 −3 =

1 10 2 1 10 3

= 0 .01

= 0 .001

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1.12  Únicos números cuyos logaritmos son enteros Problema resuelto 26. a) log 1 = 0

c) log 100 = 2

e) log 0.01 = -2

b) log 10 = 1

d ) log 0.1 = -1

f  ) log 0.001 = -3

El logaritmo de los números entre 1 y 10, su logaritmo se encuentra entre 0 y 1.

Problema resuelto 27. a) log 1 = 0

c) log 3 = 0.4771

e) log 9 = 0.9542

b) log 2 = 0.3010

d ) log 8 = 0.9031

f  ) log 10 = 1

El logaritmo de los números entre 100 y 1  000, su logaritmo se encuentra entre 2 y 3.

Problema resuelto 28. a) log 100 = 2

c) log 500 = 2.6990

e) log 700 = 2.8451

b) log 200 = 2.3010

d ) log 600 = 2.7781

f  ) log 1  000 = 3

Por analogía el logaritmo de los números entre 1  000 y 10  000, su logaritmo se encuentra entre 3 y 4.

Problema resuelto 29. a) log 2  000 = 3.3010

c) log 6  000 = 3.7781

b) log 5  000 = 3.6990

d ) log 10  000 = 4

 

Alerta Los números negativos no tienen logaritmo.

Todo logaritmo de un número que no sea potencia de 10 con exponente entero, está formado de una parte entera y una parte decimal. A la parte entera se le llama característica y a la parte decimal mantisa, por ejemplo:

Problema resuelto 30.



 

Logaritmo

Característica

Mantisa

a)

log 4 = 0.6020

0

0.6020

b)

log 600 = 2.7781

2

0.7781

c)

log 7  500 = 3.8750

3

0.8750

d )

log 85  000 = 4.9294

4

0.9294

 

Mantisa ∗  Característica ∗ ∗ 

{∗

Siempre es Positiva

Positiva si el número es mayor o igual a 10 Cero si el número es mayor o igual a 1 y menor que 10 Negativa si el número es mayor que 0 y menor que 1

Para conocer la característica de un número mayor a 1, se resta una unidad al número total de cifras de la parte entera del número. 11

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes

Problema resuelto 31.

 



Logaritmo

Cifra

Operación

Característica

Mantisa

a)

log 5 = 0.6989

1

1-1=0

0

0.6989

b)

log 650 = 2.8129

3

3-1=2

2

0.8129

c)

log 5  700 = 3.7558

4

4-1=3

3

0.7558

d )

log 76  000 = 4.8808

5

5-1=4

4

0.8808

 

Para conocer la característica de un número menor a 1, se suma una unidad al número total de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra significativa del número.

Problema resuelto 32.



 

Logaritmo

Ceros

Operación

Característica

Mantisa

a)

log 0.1 = -1

0

0+1=1

-1

0

b)

log 0.01 = -2

1

1+1=2

-2

0

c)

log 0.001 = -3

2

2+1=3

-3

0

d )

log 0.0001 = -4

3

3+1=4

-4

0

Al escribir un logaritmo, cuya característica es negativa, el signo menos se coloca sobre la característica y nunca delante de ella, porque las mantisas son positivas, por lo tanto, un logaritmo no se debe representar como: -2.3846; la forma correcta es: 2 .3846. En la calculadora cuando la característica de un número menor a 1, en la pantalla indicador aparece de la siguiente forma: log 0.6 = -0.2218, lo que significa que la característica es -1 y la mantisa 0.7782. Si la característica de un número igual o mayor a 1, en la pantalla aparece de la siguiente forma: log 260 = 2.414973, lo que significa que la característica es 2 y la mantisa 0.414973. Para encontrar el logaritmo utilizando la calculadora se sigue la siguiente secuencia de tecleo dependiendo de la calculadora. log  x o x log ln  x o x ln

Problema resuelto Alerta En honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), se eligió la letra e para tomarla como base del logaritmo natural (o neperiano).

33.



Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

a)

log 57 = 1.755874856

57 log =

1.755874856

b)

log 0.8735 = -0.05873709 o 1.941262909

log  0.8735  =

-0.05873709

c)

ln 26 = 3.2580906

ln  26  =

3.2580906

d )

ln e = 1

ln  2.718281828459  =

1

El logaritmo de base a se define como: Sea a la base del logaritmo, en donde a es un número real distinto de uno, se tiene: y = loga x   si y solo si  x = ay para toda x > 0, todo número real y 12

Grupo Editorial Patria© Si analizamos la definición encontramos dos funciones: una logarítmica (y = loga x) y la otra exponencial (x = ay), con la misma base a. Exponente loga x = y    ay = x Base De la interpretación del logaritmo como un exponente están las siguientes propiedades:

Núm.

Propiedad

Motivo

1.

loga 1 = 0

a0 = 1

2.

loga a = 1

a1 = a

3.

loga ax = x

ax = ax

4.

a

=x

ay = x



loga x

Problema resuelto 34.



loga x = y

x = ay

a)

log8 x = 2

82 = x

b)

loga 16 = 2

a2 = 16

c)

log10 x = y

10y = x

1.13  Propiedades de los logaritmos ❚❚ 1.13.1  Logaritmo del producto El logaritmo del producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log(A × B) = log A + log B

Problema resuelto 35. a) log (4 × 10) = log (4) + log (10) = 0.602059 + 1 = 1.602059 b) log (12 × 31) = log (12) + log (31) = 1.07918 + 1.49136 = 2.57054 c) log (231 × 51) = log (231) + log (51) = 2.36361 + 1.70757 = 4.07118

❚❚ 1.13.2  Logaritmo de un cociente El logaritmo del cociente es igual al logaritmo dividendo menos el logaritmo divisor. log

A = log A − log B B

Problema resuelto 36. a) log

12 = log (12 ) − log ( 8 ) = 1.07918 − 0.90308 = 0.17609 8

b) log

5 = log ( 5 ) − log (17 ) = 0.69897 − 1.23044 = − 0.53147 17

c) log

33 = log ( 33 ) − log (15 ) = 1.51851 − 1.17609 = 0.34241 15

13

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes ❚❚ 1.13.3  Logaritmo de una potencia El logaritmo del cociente es igual a la multiplicación del exponente por el logaritmo de la base. log An = n(log A)

Problema resuelto 37. a) log 35 = 5 log ( 3 )  = 5 ( 0 .47712 ) = 2 .38560 b) log 234 = 4 log ( 23 )  = 4 ( 1 .36172 ) = 5 .44691 c) log 2473 = 3 log ( 247 )  = 3 ( 2 .39269 ) = 7 .17809

❚❚ 1.13.4  Logaritmo de una raíz El logaritmo de la raíz es igual al logaritmo del subradical dividido entre el índice del radical. log n A =

log A n

Problema resuelto 57 =

38. a) log

b) log 3 39 =

c) log

4

72 =

log 57

= 0 .8779

2 log 39 3

= 0 .5304

log 72 4

= 0 .4643

1.14 Antilogaritmo Cuando se conoce el logaritmo de un número desconocido x, al encontrar el valor de x a este proceso se le conoce como antilogaritmo y se abrevia antilog.

Problema resuelto 39. a) Sea el log 76 = 1.88081, encontrar el antilogaritmo de 1.88081 es: 76 b) Sea el log 25 = 1.39794, encontrar el antilogaritmo de 1.39794 es: 25 c) Sea el log 397 = 2.59879, encontrar el antilogaritmo de 2.59879 es: 397

Utilizando la calculadora existen dos caminos para encontrar el antilogaritmo: SHIFT log x o 2nf log x

Problemas resueltos 40. Sea el log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de 1.1760912 es: 15 Con calculadora a) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de: SHIFT log 1.1760912 = 15

14

Grupo Editorial Patria© b) log 15 = 1.1760912, encontrar el antilogaritmo de: 1.1760912 2nf log = 15 41. Sea el log x = 1.30102999 y si 101.30102999 = x,

∴ x el antilogaritmo de 1.30102999, se representa como:

x = antilog 1.30102999 = 101.30102999 x = 10 ˆ 1.30102999 x = 20

Problemas resueltos Con calculadora 42.

Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

antilog 1.5563025 = 36

SHIFT log 1.5563025  = 2nf log 1.5563025  =

36 36

101.5563025 = 36

10  y x  1.5563025  = 10  ∧  1.5563025  =

36 36

Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

antilog 2.1986571 = 158 102.1986571 = 158

2nf log =  2.1986571 10  y x  2.1986571  =

158 158

43.



Problema resuelto 44. Encuentra el resultado de x = 3.21.2 × 5 Solución:

Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad: log x = log (3.21.2 × 5) log x = log 3.21.2 + log 5 log x = 1.2 log 3.2 + log 5

1.15  Logaritmos naturales Una función logarítmica de base a(y = loga x) es la inversa de una función exponencial (x = ay ). A partir de esto se puede llegar a una definición. Cuando se sustituye la base a por la base e, se obtiene la siguiente expresión (si x > 0): y = loge x, si y solo si x = ey

Alerta Definición: El loga x se expresa de la siguiente forma: y = loga x, si y solo si x = ay

A partir de lo anterior la definición de logaritmo natural es: ln x = loge (x), para todo x > 0

❚❚ 1.15.1  Leyes de los logaritmos naturales 1. ln (AB) = ln A + ln B  A 2. ln   = ln A − ln B B 3. ln An = n ln A 15

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes Es importante aclarar que ln an ≠ (ln a)n 4. ln n A =

1 ln A n

Cambio de base: 5. loga x =

ln x ln a

Teorema: aloga x = x ⇒ eln x = x ⇒ ln ex = x Propiedades para cuando x = 0: En cualquier sistema de logaritmos: 1. El logaritmo de la base (a) es uno. e1 = e ∴ ln e = 1 2. El logaritmo de uno es cero, si la base es a se tiene: e0 = 1 ∴ ln 1 = 0 Expresión para cambiar de base log10 x =

ln x 1     log e = ln 10 ln 10

Problema resuelto 45. Encuentra el valor de x ln x = 2.3 eln x = e 2.3 x = e 2.3 x = 9.974

1.16  Tanto por ciento Todo número puede ser divisible entre una o varias partes, entonces si todo número lo podemos dividir en las partes que se nos ocurra, por ejemplo en diez partes, en veinticinco, en cien, en quinientas, en mil, etc. Cuando hablamos en un caso particular del tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que fue dividido el número.

Alerta

Unidad = 1

El signo de tanto por ciento (%) aparece por un error al utilizar la abreviatura de ciento (Cto.), esta siempre se empleaba en las operaciones comerciales o mercantiles.

1

2

3

.

.

.

.

100

Cada cuadro representa un centésimo (1/100) del número (1).

Problema resuelto Ejemplos: 46. a) Si seleccionamos 6 cuadros, estos representan 6 partes de un total de 100 partes y se representa de la siguiente forma: 6/100, expresándolo en tanto por ciento: 6%.

16

Grupo Editorial Patria© Unidad = 1 1

2

3

4

5

6

100

b) Si deseamos conocer el 3% de 80, lo que se debe hacer es dividir a 80 en cien partes iguales y de ellas se toman tres. Unidad = 80 1

2

3

100

El 3% de 80 o 3/80 de 80 equivale a tres centésimas partes de 80. El 100% de 80 es 80, el 3% de 80, es lo que se desea conocer x, para encontrar el valor de x se emplea la regla de tres. Datos

Tanto por ciento (%)

Partes

Supuesto

100

80

Pregunta

3

x

Entonces: x =

80 × 3 100

x = 2.4 El 3% de 80 es 2.4

Problema resuelto 47. a) Obtén el 16% de 779 b) Obtén el 18% de 250 c) Obtén el 23.75% de 1  890 Solución

 16  a) El 16% de 779 =  (779) = 124.64  100   18  b) El 18% de 250 =  (250) = 45  100   23 .75    c) El 23.75% de 1  890 =  (1  890) = 448.875  100 

Problema resuelto 48. ¿Qué porcentaje de: a) 17  500 es 2  300

b) 22  500 es 13  250?

17

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes Solución

a) x(17  500) = 2  300 x =

b) x(22  500) = 13  250

2 300 13 250 = 0.1314 = 13.14% x = = 0.5888 = 58.88% 17500 22 500

Problema resuelto 49. ¿De qué número es: a) 18 el 6% b) 350 el 5%

c) 900 el 36%?

Solución

a) x es la base, el 6% de x es igual a 18 b) x(0.05) = 350

c) x(0.36) = 900

x(0.06) = 18 350 900 x= = 7  000 x = = 2  500 0 .05 0 .36 18 x = = 300 0 .06

Problema resuelto 50. a) El transporte en el D.F., costaba 60 centavos en 1970 y cinco pesos en 2012, ¿qué incremento ha tenido el precio del transporte? Expresarlo en porcentaje. b) El precio del bolillo era de un peso en el año 2010 y en 2012 cuesta $1.50, ¿qué incremento ha tenido el precio del bolillo? Expresarlo en porcentaje. Solución

a) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de 0.60 es igual al incremento se tiene: x(0.60) = (5.00 - 0.60) x(0.60) = 4.4

x = 7.3



x = 733.33%

b) Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal. Como el % de $1.00 es igual al incremento se tiene: x(1.00) = (1.50 - 1.00) x(1.00) = 0.5

Alerta Utilidad bruta = Gastos de operación + Utilidad neta.



x = 0.5



x = 50%

El precio de venta de un producto o servicio, se determina aumentando al costo del artículo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operación para poder tener una utilidad, a esta cantidad se le llama utilidad bruta. Y se conoce como utilidad neta a la cantidad que queda después de cubrir los gastos de operación. Los gastos de operación son las cantidades que se pagan por concepto de luz, agua, renta, seguros, salarios, publicidad, etcétera. El costo de un artículo son todos los gastos realizados para fabricar o adquirir el artículo. Mientras que el costo de un servicio son todos los gastos realizados para proporcionar el servicio.

18

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 51. Un fabricante desea producir ángeles de porcelana y venderlos cada uno en $540.00. Con la experien­cia de la fabricación de productos anteriores, él considera que si añade 65% del costo de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto puede gastar para poder producir los ángeles? Solución:

x es el costo de producción Utilidad bruta = 65% de x = 0.65x Precio de venta = x + 0.65x = 540 1.65x = 540 x=

540 1 .65

x = $327.27

Cuando se desea conocer la tasa de interés compuesto (i ) es necesario despejarla de la ecuación de monto de interés compuesto. M = C(1 + i )n Existen dos caminos para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos alternativas. Raíz M C n

M C

n

Logaritmos M

= ( 1+ i )n

C

= ( 1+ i )n

= n ( 1+ i )n

 M log   = log ( 1 + i ) n C

M

 M log   = n log ( 1 + i ) C

C

= 1+ i

 M i = n −1  C 

4 .6

log ( 1 + i ) =

 M log   C n

  M   log  C    1 + i = antilog   n    M   log  C   −1 i = antilog   n 

4.6 a

Problema resuelto 52. El gerente de una empresa depositó en una institución financiera $600  000.00 y después de tres años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950  000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución financiera a su inversión? Solución

Datos: C = $600  000.00

M = $950  000.00

n = 3 años y 4 meses

n = 20 bimestres

19

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes Incógnita i Desarrollo  M i = n −1  C   950 000  i =  20 −1  600 000 

‚

i =

[20 1.583333 ] − 1

1 20 −1 i = (1.58333) 0.05 −1 i = (1.58333)

i = 1.023243 − 1 i = 0.023243 T = 2.3243%



bimestral bimestral

Problema resuelto 53. El señor Martínez invirtió $22  000.00 en Banorte, por un plazo de cuatro años, con un interés de 9.7% capitalizable trimestralmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.

Solución:

Datos: C = $22  000.00 T = 9.7% A. C. Trimestral np = (2.5 años) (4 trimestres por año) = 10 trimestres n = 2.5 años p = 4 trimestres al año

Alerta Tasa efectiva o rendimiento anual efectivo. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que la tasa compuesta.

Incógnita M

Desarrollo



 i  M = C 1 +  p  



 0 .097  M1 = 22  000 1 +   4 



M1 = 22  000 [1 .02425]



M1 = 22  000 (1.2707)



M1 = 27  956.47

np

10

10

La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en “p” periodos por año.

[Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año]

Dividiendo ambos términos entre C se tiene:  i C ( 1 + e ) = C 1 +  p   i e = 1 +  p 

p

p

−1

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo. 20

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 54. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestral­ mente. Solución: 6

 0 .22  e = 1 +  −1 6   e = ( 1 .03667 )6 − 1 e = 1 .2412 − 1 e = 0 .2 4 12 e = 24 .12 % anual Es lo mismo invertir al 22% capitalizable bimestralmente que al 24.12% con capitalización anual.

Problema resuelto 55. Crecimiento de población El crecimiento de la población en la República Mexicana en el año 2005 es de aproximadamente 103.9 millones de habitantes, la tasa de crecimiento promedio 1.3% anual. Determinar la población esperada para el año 2013. Se sabe que el comportamiento del crecimiento de una población es aproximadamente exponencial, a partir de lo anterior resolver el problema utilizando la siguiente expresión: P = P0ekt

En donde: Literal

Significado

P

Número de habitantes de los esperados para un determinado año.

P0

Número de habitantes en el año de referencia o base.

k

Tasa de crecimiento promedio anual.

t

Tiempo transcurrido.

Solución:

Datos P0 = 103.9 millones de habitantes k = 1.3% anual t = 8 años Incógnita P Sustituyendo valores P = P0e kt P = 103.9 [e (0.013)(8)] Aplicando logaritmos a los dos lados de la igualdad P = P0 e k t

ln P = ln 103.9 [e ( 0.013 )( 8 ) ]

ln P = ln 103.9 + ( 0.013 )( 8 ) [ln ( e )] ln P = 4.643428898 + 0.104 (ln e ) ln P = 4.643428898 + 0.104 (1) P = anti ln 4.747428898 P = 115.287 millones de habitantes

21

UNIDAD

1

Exponentes, logaritmos y porcentajes

Problema resuelto Con calculadora 56. a) Calcular 16% de $1  500.00 b) Encontrar qué porcentaje es $1  660.00 de $2  880.00 Solución:

a)

Problema Calcular el porcentaje de una cantidad.

Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

16×1 500.00 100

1 500  ×  16  SHIFT %

240.00

24 000.00 100

1 500  ×  16 2da.  =  =

240.00

x = $ 240 .00

1 500  ×  16 %

240.00

Operación

Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

1 660 2 880

1 660  ÷  2 880  SHIFT %

57.64

1 660.00 2 880.00

1 660  ÷  2 880 2da. =

57.64

1 660  ÷  2 880 % =

57.64

x=

x=

b)

Problema Calcular el porcentaje a que le corresponde una parte de la cantidad.

x=

x=

x = 0 .576 x = 57 .64 %



22

Problemas para resolver 1.1 a) 26 =

c) (x + 4)3 =

b) 134 =

d ) (3x + a)n =

Grupo Editorial Patria©

 3 ya 2 b  b)  −   2x3 

1.2  Realizar la operación con calculadora y con la hoja de cálculo: a) (53) =

c) (36) =

b) (144) =

d ) (56.253) =

a) (44)(43) =

c) (82)(83) =

b) (3.53)(52) =

d ) (8.133)(2.252) =

1.13 a) (3)2(3)2 = b) (2)4(2)3 = c) (-5)3(-5)2 = Eleva la potencia a otra potencia:

b) [(7)(5)]4 =

b) [(-13)]4 =

c) [(3x + n)(x + m)]4 =

c) [(-xa)2]4 = Realiza el producto elevándolo a una potencia:

4

=

1.15 a) (3xy)4 = b) -2(3ax)4 =

2

=

c) (-xab)4 =

1.6 a) z7/6 = =

b) 2ab x

b)

4

 xy  b)    2

=

d ) 8x

1/3

210 =

d )

3

3

c)

5

=

 ax  b)   = − x2 

d ) 361/4 =

1.9 a) 4 6 − 2 9 =

c) 5 21 − 9 6 + 2 7 =

b) 8 25 − 5 7 =

d ) 5 36 − 4 10 + 3 10 =

1.10 a)

6 ( 7) =

c)

b)

5 ( 72 ) =

d ) 3 3 77 ( 3 39 =

34 9 8 13

=

125 ( 3 27 ) =

3

)

c)

3

44

3

19

5

=

d )

46

5

5

 x  1.17 a)   =  ay  5

85 =

b) 161/6 =

b)

2

4

16 =

1.11 a)

=

Eleva el cociente a una potencia n:

− 10 =

1.8  Realizar la operación con calculadora y con la hoja de cálculo: a)

3

 4xab  c)   5 

5

c) 4 ax 72 =

47 =

1

1.16 a) (-xab)3 =

c) (3x + 4ab)2/7 =

4 2/3

3

=

2

1.14 a) (x2)4 =

1.7 a)

3

c) ( 6 a 4 x 3 ) =

1.4 a) [(3)(4)]2 =

 5.5  b)   6.35 

1

Realiza producto de potencia de igual base:

1.3  Realizar la operación con calculadora y con la hoja de cálculo:

 3 1.5 a)    5

UNIDAD

3

 4 xb  1.18 a)   =  y  2

 −3 x  b)   =  ab  Realiza el cociente de dos potencias de igual base con ex­ ponente diferente:

= 1.19 a) = b)

Potencia de un monomio: 1.12 a) ( − 5 x a b ) = 4

3

2

Problemas aplicados a la realidad

c)

16 abx 2

=

256 x 5 27 ax 4 3x2 5 ax 6 ( 5 x 4 )2

Problemas para resolver con tecnología

= = 23

1

UNIDAD

1.20 a)

256 a 6 b 2 x 6 2

16 a x 4

b)

Problemas para resolver

6

=

8 a2 x 3

Realiza la suma de radicales semejantes: 1.29 a) 2 ax 2 + 3 ax 2 =

Exponente cero y negativo: 1.21 a) (4ax)0 = 3

b)

1.22 a)

a x

2

b) 4 x 2

=

ax 2

1.30 a)

( 4 ax )2 ( 4 ax )( 4 ax )

=

( 4 ab )( 25 x 6 ) 3

(5x )

2

1.33 a)

4

b)

6

27 a bx

4

1.34 a)

=

108 x

4

48 x 3

5

(

1.27 a) ax 2

)

)

3x2 y3

3

3

2

=

( 8 x ) ( a − 1)( a + 1)

)

4( a + 1

(

4

7 a2 x 3

( (

1.35 a) 5 x 2

)=

a b)  2

)

=

)

(

3

2

)

= 2

=

2 a2 y 3

))

)

=

 4y3  

2

=

2

Realiza la radicación de radicales:

108 a 4 b 2 x =

1.36 a)

Introduce el coeficiente dentro del radical: a2 =

3

a = 625 =

b) c)

b) 3a ax =

3

729 =

Resuelve las ecuaciones exponenciales

c) 4 mx 3 am = 24

(

3

(

b) 2 a 3 32 x 3 = ax

4

4

b) 7 3 3 a 2 x

b) 3 3 81 =

c)

2

3

Potenciación de radicales

Simplifica los siguientes radicales:

3

(

6

m2 n3 x 5 =

(

3

Realiza la división de radicales del mismo índice:

7

b) 7 a 3 x 4 y 3 =

1.26 a)

)=

)

2

4

1.24 a) 3 ab (mn ) 4 =

1

( mn )3

)(

3

5

1.25 a)

5

( bmnx ) = ) 1.32 a) ( 2 ax ) ( mxy ) ( x ) 3 y  (bx ) x  =  3x  b) ( − 3 ax 3 ax )  2 xy  ( 4 ax 3 a ) =  2 

c) 2 xa 7 b 3 =

3

(

(

b) ( 9 ) 6 =

7

5

b) 2 m 3 amx 2  − 8 m 3

3

5

2x

)(

(

1.23 a) (16 ) 3 =

c)

)

( mn )3 +

1.31 a) 2 a 4 ax 6 4 ax − 3 x 4 ax =

=

2

3

5

ax 2 =

Realiza la multiplicación de radicales semejantes con el mis­ mo índice:

Exponente fraccionario:

3

(

x 5

ax 2 − 3 x 2

b) 4 mn 4 33 x − 8 mn 33 x + 7 mn 4 33 x =

 4 2 ax 6  b) 2 c   =  16 ax 6  c)

xy 2 =

3

b) 4 ax 4 2 b =

5

64 a b x

1.28. a) x 2

=

2

1.37 a) (1 + x)12 = Problemas aplicados a la realidad

b) 700(1 + x)12 =

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria©

c) 1  500(1 + x)12 =

d )

( 1 + x )6 − 1 0 .3

b) log

=

( 32 ) = (1.24 )

Completa los cuadros de acuerdo con lo solicitado en el encabezado del cuadro:

Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­ tencia:

1.38

1.45 a) log 235.2335 = Logaritmo

a)

log 9 =

b)

log 10 =

c)

log 12 =

Cifra

Operación

Característica

Mantisa

b) log 59.323 = Obtén el logaritmo del radical: 1.46 a) log 81.47 =

Operaciones con logaritmo base 10

b) log 3 235.85 =

Realiza el producto: c) log 4 4 532.81 =

1.39 a) log (5 × 7) = b) log (12 × 27) =

Encuentra el antilogaritmo:

c) log (55 × 9) =

1.47

Encuentra el cociente:

Antilogaritmo

( 66 ) 1.40 a) log = ( 94 )

a)

(122 ) b) log = ( 324 ) c) log

( 7422 ) = ( 6 534 )

antilog (0.95424)

b)

antilog (1.0000)

c)

antilog (1.07918)

1.48 Antilogaritmo

Encuentra el logaritmo de un número elevado a una po­ tencia: 1.41 a) log 235 =

a)

antilog (1.62324)

b)

antilog (2.17609)

c)

antilog (1.44715)

b) log 32 = 3

Logaritmos naturales

c) log 1203 =

Encuentra el logaritmo:

Obtén el logaritmo del radical

1.49 a) ln 28 =

1.42 a) log 81 =

b) ln 42 =

b) log 85 =

1.50 a) ln 250 =

3

Realiza las siguientes operaciones con logaritmo de base (las respuestas tienen: de base 10) Encuentra el producto: 1.43 a) log (25.55 × 39.29) = b) log (720 × 24.10) = Obtén el cociente: ( 2 022 ) 1.44 a) log = ( 3.41)

b) ln 420 = Operaciones con logaritmos naturales Realiza las siguientes operaciones: 1.51 a) ln (5) + ln (7) = b) ln (12) + ln (27) = 1.52 a) 5(ln (123)) = b) 3(ln (32)) = c) 3(ln (120)) =

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

25

1

UNIDAD

1.53 a)

ln 81 = 2

b)

ln 85 = 3

Problemas para resolver 1.56  Expresa las siguientes cantidades en notación cien­ tífica: Respuesta Número a)

c)

ln 281 = 4

1.54  Redondea a cuatro cifras significativas:

Notación científica

Con calculadora

1  033  756

b)

0.0133756

c)

0.000018739

d )

0.00035

a) 0.4118235

Resuelve los siguientes problemas de porcentaje:

b) 4.8794854

1.57 a) Obtener 16.75% de 2  600

c) 2.4822016

b) Obtener 20% de 5  400

1.58 ¿Qué porcentaje de a) 900 es 250?

1.55  Redondea a cuatro cifras significativas:

b) 4  427 es 777.50?

a) 0.5158618

1.59 a) ¿De qué número es 480 el 15%?

b) 9.677712

b) ¿De qué número es 4  427.50 el 16%?

c) 0.4467823

c) ¿De qué número es 14  542.50 el 18.9%?

PROBLEMAS RETO 1

a) El año pasado, el señor Orozco recibía un salario de $9  500 mensuales; en este año, con la revisión salarial, tiene un pago de $10  600 mensuales. ¿De cuánto es el aumento salarial? b) En el reparto de utilidades de una empresa, el señor Pedro Martínez recibió $12  800 y Rosa María Juárez $14  981. ¿De cuánto es la diferencia del reparto de utilidades de Pedro y Rosa María, expresado en %?

2

a) Se representa de la siguiente forma: 7/100, expresándolo en tanto por ciento es 7%, represéntalo en una figura. b) Se representa de la siguiente forma: 4/80, expresándolo en tanto por ciento es 5%, representa en una figura el 5%.

3

a) El 1/8% de 46 es:

4

Utilizando la calculadora a) Calcular 12% de $1  500.00. Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

1500  ×  12  SHIFT % 1500  ×  12 2da.  =  = 1500  ×  12 %

b) Encontrar qué porcentaje es $660.00 de $880.00. Teclas en la calculadora

Resultado en pantalla

660  ÷  880  SHIFT % 660  ÷  880 2da.  =  = 660  ÷  880 %

26

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

UNIDAD

2

Series y sucesiones OBJETIVOS Identificar las progresiones, aprender a encontrar los elementos de la progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman. Aprender a encontrar los elementos de la serie aritmética utilizando fórmula, la suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos de las progresiones aritméticas. Identificar las progresiones geométricas, aprender a encontrar los elementos de la progresión utilizando fórmula y la suma de los elementos que la forman. Aprender a encontrar los elementos de la progresión geométrica utilizando fórmula, la suma de los elementos que la forman y calcular el número de elementos.

¿QUÉ SABES? Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema Encuentra los 3 primeros términos y el décimo de:aann =

n2

. 5n Obtén la suma de los 3 primeros términos de la progresión: an = 5n - 6. Determina los 3 primeros términos de la sucesión aritmética: an = 5n + 6. Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 6, n = 9 y d = 3. Halla la suma de los primeros 14 términos de la sucesión aritmética 25, 31, 37,…

UNIDAD

2

Series y sucesiones Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 9, 45, 225,… Determina el valor del sexto término de la progresión geométrica: 2.5, (2.5)4,… Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica: 9, 45, 225,... Halla el décimo sexto término y la suma de los 17 primeros términos, si la razón es dos y el primer término es 18.

2.1 Introducción Las series y sucesiones son una herramienta matemática básica que permite deducir algunas fórmulas que se utilizan en el aprendizaje de la matemática financiera, computación, economía, finanzas e ingeniería. Las sucesiones en matemática financiera se usan para resolver problemas de interés compuesto, de anualidades, la amortización de un crédito, las compras a plazos, etcétera.

2.2  Sucesiones o progresión aritmética Definición Una progresión es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de una regla; a cada número se le llama término de la sucesión y se denota con an, en donde n indica la posición del término. a1, a2, a3, …, an Toda progresión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos.

Problema resuelto 1. a) Las ventas anuales de los últimos 5 años de una tienda de abarrotes (en miles de pesos): 130.25, 195.38, 312.68, 437.72 en donde el primer término es 130.25 y el último 437.72. b) La inflación anual en un país de Latinoamérica (en %): 3.2, 4.5, 4.8, 5.3, 6.7, 7.3,… Los ejemplos anteriores son de progresiones donde los términos no tienen relación alguna.

Con frecuencia las sucesiones se designan mediante fórmulas, por ejemplo:

Problema resuelto 2. a) Encuentra los primeros 4 términos de la fórmula an = 3n - 1: an = 3n - 1 a1 = 3(1) - 1 = 2 a2 = 3(2) - 1 = 5 a3 = 3(3) - 1 = 8 a4 = 3(4) - 1 = 11 b) Encuentra los primeros 3 términos: an = 4n + 3 a1 = 4(1) + 3 = 7 a2 = 4(2) + 3 = 11 a3 = 4(3) + 3 = 15

28

Grupo Editorial Patria© c) Escribe los primeros 4 términos: an = a1 = a2 = a3 =

n−1 n+1 1− 1 1+ 2 2−1 2+2 3−1 3+2

=0 = =

1 4 2 5

4−1 3 a4 = = 4 +2 6

Una serie es la suma de los términos de una progresión y se simboliza con Sn. Si n es un número entero positivo y la sucesión a1, a2, a3, …, an; se tiene: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 



Sn = a1 + a2 + a3 + ··· + an

Problema resuelto

Alerta La sucesión aritmética se forma sumando al primer término una cantidad constante conocida como diferencia común para obtener el segundo término y así sucesivamente. Término a1 4 a2 8 a3 12

4+d=4+4=8 8 + d = 8 + 4 = 12

3. a) Encuentra la suma de los 3 primeros términos de la progresión: an = 3n - 9 a1 = 3(1) - 9 = -6 a2 = 3(2) - 9 = -3 a3 = 3(3) - 9 = 0 S3 = -6 - 3 + 0 = -9 b) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la progresión: an = 3n + (2)n + 1 a1 = 3(1) + (2)1 + 1 = 7 a2 = 3(2) + (2)2 + 1 = 14 a3 = 3(3) + (2)3 + 1 = 25 a4 = 3(4) + (2)4 + 1 = 44

S4 = 7 + 14 + 25 + 44



S4 = 90

c) Calcula la suma de los 4 primeros términos de la sucesión: an = 3n + (-1)n + 1 a1 = 3(1) + (-1)1 + 1 = 4 a2 = 3(2) + (-1)2 + 1 = 5 a3 = 3(3) + (-1)3 + 1 = 10 a4 = 3(4) + (-1)4 + 1 = 11 S4 = 30

29

UNIDAD

2

Series y sucesiones

Problema resuelto 4. Escribe los 4 primeros términos de la progresión definida recursivamente, comenzando con: a) a1 = 0 an = an - 1 + 1.5 El primer término: a1 = 0 El segundo término: a2 = a2 - 1 + 1.5 = a1 + 1.5 = 0 + 1.5 = 1.5 El tercer término: a3 = a3 - 1 + 1.5 = a2 + 1.5 = 1.5 + 1.5 = 3 El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 1.5 = a3 + 1.5 = 3 + 1.5 = 4.5 b) a1 = 3 an = an - 1 + 3(n - 1) El primer término: a1 = 3 El segundo término: a2 = a2 - 1 + 3(2 - 1) = a1 + 3(2 - 1) = 3 + 3 = 6 El tercer término: a3 = a3 - 1 + 3(3 - 1) = a2 + 3(2) = 6 + 6 = 12 El cuarto término: a4 = a4 - 1 + 3(4 - 1) = a3 + 3(3) = 12 + 9 = 21 c) a1 = 2 an =

n

(a1 + an - 1) 2 El primer término: a1 = 2 2 El segundo término: a2 = (2 + a2 - 1) = 1(2 + a1) = 1(2 + 2) = 4 2 El tercer término: a3 = El cuarto término: a4 =

3 2 4 2

(2 + a3 - 1) =

3 2

(2 + a2) =

3 2

(2 + 4) =

18 2

=9

(2 + a4 - 1) = 2(2 + a3) = 2(2 + 9) = 22

2.3  Progresiones aritméticas Las progresiones aritméticas se construyen considerando 2 números consecutivos cualesquiera, separados por una diferencia fija también conocida como diferencia común (d ), por ejemplo: el litro de gasolina aumenta 8 centavos el segundo sábado de cada mes, con esta información puedes conocer su precio en un mes cualesquiera, teniendo en cuenta el costo del mes anterior más el valor constante de 8 centavos. Considera la siguiente progresión aritmética cuyo primer término es a1 y su diferencia común es d: a1, (a1 + d ), (a1 + 2d ), (a1 + 3d ),… El conjunto 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57 es una progresión, si observas con atención los elementos del conjunto, te darás cuenta de que existe una regla para conocer el elemento siguiente. Analiza cómo aplica esta regla, si al primer elemento (29) le sumas 4 unidades, entonces el segundo elemento (29 + 4 = 33), para conocer el tercer elemento suma al segundo 4 unidades (33 + 4 = 37) y así sucesivamente. La sucesión aritmética 50, 47, 44, 41, 38, 35, 32,…, cuya regla indica que después del primer término, el precedente se obtiene restando 3 unidades al antecedente, por lo tanto, la diferencia común es de 3 unidades. an = an - 1 + d

Problemas resueltos 5. Encuentra la diferencia común en la serie aritmética: a) 11, 21, 31, 41,…

d = 10

b) 17, 21, 25,…

d=4

c) 41, 49, 57,…,

d = 8

d ) 63, 69, 75, 81,…, 111

d=6

6. Escribe los 2 siguientes términos de la serie aritmética: a) 43, 51, 59, … c) 34, 41, 48, … R. 43, 51, 59, 67, 75, … R. 34, 41, 48, 55, 62, … b) 115, 100, 85, … d ) 534, 549, 564, … R. 115, 100, 85, 70, 55, … R. 534, 549, 564, 579, 594, …

30

Grupo Editorial Patria© 7. Encuentra los 3 primeros y el octavo términos: an = a) a1 = a2 =

n2 2

12 1

2

2

2

22

n

b) an = 1 +

n

=

1

1

a1 = 1 +

2

2 2

a2 = 1 +

=1

2 2

=

3 2

=1

1 2

=2

1 3 5 a3 = 1 + = = 2 32 9 1 a3 = = =1 2 2 2 8 8 23   8 10 =5 a8 = 1 + = 82 64 1 2 2 = = a8 = 256 4 28

Problema resuelto 8. Las compras de materia prima para un taller de camisetas en los últimos 7 meses es el siguiente: 43  680, 44  930, 46  180, 47  430, 48  680, 49  930, 51  180 pesos.

La diferencia común es:

Mes

Término

Compras ($)

Primero

a1

43  680

Segundo

a2

44  930

Tercero

a3

46  180

Cuarto

a4

47  430

Quinto

a5

48  680

Sexto

a6

49  930

Séptimo

a7

51 180

d = 44  930 - 43  680 = $1  250.

Si a1 es el primer término de una sucesión aritmética, d la diferencia común y n el total de términos. Entonces se genera la siguiente sucesión: a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, … , a1 + (n - 2)d, a1 + (n - 1)d Siendo el último término de la sucesión aritmética el siguiente: an = a1 + (n - 1)d

Problema resuelto 9. a) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética 10, 15, 20, … , 135? a − a1 Primer paso, se encuentra la diferencia común: n = n +1 d d = 15 - 10 = 5 135 − 10 Segundo paso, se despeja a n de la fórmula: n= +1 5 an = a1 + (n - 1)d 135 − 10 Tercer paso n= +1 5 n= n= n= n=

an − a1 d

135 − 10 5 135 − 10 5 125 5

+1

n = 25 + 1

n=

+1

5

+1

n = 25 + 1

+1 +1

125

     

n = 26

31

UNIDAD

2

Series y sucesiones b) ¿Cuántos términos tiene la progresión aritmética -11, -7, -3, … , 33? Primer paso, se encuentra la diferencia común: d = -7 - (-11) = -7 + 11 = 4 Segundo paso, encontrar el total de términos: n= n= n= n=

an − a1 d

+1

33 − ( − 11) 4 33 + 11 4 44 4

+1

+1

+1

n = 11 + 1 n = 12

Alerta

La suma de una progresión aritmética se realiza sumando los términos y se simboliza con Sn , en donde n es el número de términos de la sucesión. Sea la sucesión a1, a2, a3, a4, … , an, n es un número entero positivo y d la diferencia común, se tiene:

La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada factor común. Término a1 2 (2)(r) = (2)(4) = 8 a2 8 (8)(r) = (8)(4) = 32 a3 32

S n = a1 + a2 + a3 +  + an S1 = a1 S 2 = a1 + d S 3 = a1 + 2 d S 4 = a1 + 3 d  Entonces: Sn = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) … (an - 2d ) + (an - d ) + an (1) Reacomodando los términos en orden inverso se tiene: Sn = an + (an - d ) + (an - 2d ) … (a1 + 2d ) + (a1 + d ) + a1 (2) Sumando las expresiones 1 y 2: 2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ··· + (a1 + an) + (a1 + an) 2Sn = n(a1 + an) Despejando a Sn se obtiene: Sn =

n 2

( a1 + an )

Problema resuelto 10. a) Encuentra la suma de los primeros 10 términos de la sucesión aritmética 13, 20, 27, … Primer paso, encuentra la diferencia común: d = 20 - 13 = 7

32

Grupo Editorial Patria© Segundo paso, encuentra el décimo término: a10 = 13 + ( 10 − 1)( 7 ) a10 = 13 + ( 9 )( 7 ) a10 = 13 + 63 a10 = 76 Tercer paso, encuentra la suma:  10  S10 =   ( 13 + 76 )  2 S10 = 5 ( 89 ) S10 = 445 b) Encuentra la suma de los primeros 30 términos de la sucesión aritmética 3, 10, 17, … Primer paso, encuentra la diferencia común: d = 10 - 3 = 7 Segundo paso, encuentra el término 30: a30 = 3 + ( 30 − 1)( 7 ) a30 = 3 + ( 29 )( 7 ) a30 = 3 + 203 a30 = 206 Tercer paso, encuentra la suma:  30  S 30 =   ( 3 + 206 )  2 S 30 = 15 ( 209 ) S 30 = 3135

2.4  Progresiones geométricas La sucesión geométrica se forma multiplicando el término anterior en la sucesión por una cantidad constante llamada factor común (r). an = an - 1(r) Por ejemplo, la progresión 3, 6, 18, 54, 162 es geométrica, porque la regla dice que después del primer término, el siguiente se obtiene multiplicando por tres al antecedente y así sucesivamente.

Problema resuelto 11. a)



Razón r =

1 2

Término

Razón r = 4

a1

2

a1

6

a2

2r = 2(4) = 8

a2

 1 6 r = 6  = 3  2

a3

8r = 8(4) = 32

a3

 1 3 1 3 r = 3  = = 1  2 2 2

a4

32r = 32(4) = 128

a4

b)

Término

3 2

3  1 3 r=  = 2 2 4

33

UNIDAD

2

Series y sucesiones En una sucesión geométrica la razón común se encuentra dividiendo un término entre el término anterior: an r = an −1

Problema resuelto 12. De las siguientes progresiones geométricas encuentra la razón. a) 12, 48, 192,… r =

b) 1, 3, 9, 27,…

an

an

r =

an −1

an −1

48 3 r = r = =3 =4 12 1

Para saber cómo encontrar el n-ésimo término de una progresión geométrica es necesario analizar el siguiente desarrollo: Sea a1, a2, a3, … , an una sucesión geométrica, con a1 ≠ 0 y r ≠ 0: a1 = a1

Alerta

a2 = a1 r

Todo número real al multiplicarse por cero da como resultado cero a(0) = 0.

a3 = a2 r = ( a1 r ) r = a1 r 2

La división entre cero no está permitida (a/0).

an = a1 r n −1

a4 = a3 r = ( a1 r 2 ) r = a1 r 3 



Problema resuelto 13. a) Encuentra el sexto término de una progresión geométrica: 28, 84, 252,… Primero se calcula la razón: r = r =

an an −1 84 28

=3

Después se encuentra el sexto término: an = a1r n −1 a6 = 28 ( 3 )6 −1 a6 = 28 ( 3 )5 a6 = 28 ( 243 ) a6 = 6 804 b) Encuentra el séptimo término de una progresión geométrica: 6, 24, 96,… Primero se calcula la razón: r =

34

24 6

=4

Grupo Editorial Patria© Después se encuentra el séptimo término: an = a1r n −1 a7 = 6 ( 3 )7−1 a7 = 6 ( 3 )6 a7 = 6 ( 729 ) a7 = 4 374 c) Encuentra el décimo término de una progresión geométrica: 1 16

,-

1 1 , ,... 8 4

Primero se calcula la razón: −1 r =

16 8 =− = −2 1 8 16

Después se encuentra el décimo término: an = a1r n −1 a10 = a10 = a10 =

1 16 1 16 1 16

a10 = −

( − 2 )10 −1 ( − 2 )9 ( − 51 2 )

512 16

a10 = − 32

Propiedades de los logaritmos ■■

loga (p)n = n [loga (p)]

■■

loga (AB) = loga (A) + loga (B)

Para conocer el número de términos de una progresión se despeja la literal n de la siguiente expresión: an = a1r n −1 log an = log a1 + ( n − 1) log r log an − log a1 = ( n − 1) log r n −1=

n =

log an − log a1 log r

log an − log a1 log r

+1 35

UNIDAD

2

Series y sucesiones

Problema resuelto 14. Encuentra el número de términos de las progresiones geométricas: 1 3 3 3 a) b) a1 = 12 , r = , an = a1 = 14 , r = , an = 2 4 4 8 n= n= n= n=

log an − log a1 log r

+1

log 3 4 − log 14 log 1 2

+1

log 0.75 − log 14 log 0.5

log an − log a1 n= +1 log r log 3 8 − log 12 n= +1 log 3 4

+1

− 0 .12493 − 1 .14612 − 0 .30102

log 0.375 − log 12 n= +1 log 0.75 +1

− 0 .425968 − 1 .079181 n= +1 − 0 .124938

− 1 .27105 − 1 .505149 n= +1 n= +1 − 0 .124938 − 0 .30102 n = 4 .22 + 1 n=5

n = 12 .05 + 1 n = 13

La serie geométrica es la suma de términos de una sucesión geométrica. Para calcular la suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica, es necesario deducir una fórmula. Sea la progresión geométrica a1, a2, a3, … , an y “r” la razón de cambio. S n = a1 + a2 + a3 +  + an S1 = a1 S 2 = a1r S 3 = a1r 2 S 4 = a1r 3 



Entonces:

S n = a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 +  + a1r n − 2 + a1r n −1 (1)

Multiplicando por r a la ecuación (1):

rS n = a1r + a1r 2 + a1r 3 + a1r 4 +  + a1r n −1 + a1r n (2)

Realizando la diferencia de la ecuación (1) y (2): S n − rS n = a1 − a1r n S n ( 1 − r ) = a1 ( 1 − r n ) Despejando Sn: Sn = 36

a1 (1 − r n ) 1− r

; si r ≠ 1

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 15. a) Calcula la suma de los 10 primeros términos de la sucesión geométrica: 2, 6, 18, 54, … Sn =

a1 (1 − r n ) 1− r

S10 =

2 (1 − 310 ) 1− 3

S10 =

2 (1 − 59 049) 1− 3

S10 =

− 118 096 −2

S10 = 59 048 b) La progresión geométrica tiene 6 términos, el primero es 18 y el último 3/8 y la razón es 1/2. Calcula la suma de los 6 términos. 9 Datos: a1 = 18, a6 = y r = 1/2. 16 Solución: a1 (1 − r n ) Sn = 1− r S6 =



18 1 − (1 2 )6  1 − (1 2 )

S6 =

18 (1 − 1 64 ) 1 − (1 2 )

S6 =

18 ( 63 64 ) 12

S6 =

1134 64 12

S6 =

2 (1134 ) 64

S6 =

2 268 64

S 6 = 35.4375

c) Calcula la suma de los primeros 12 términos, si se conocen los siguientes datos: a2 = 7/4, a5 = 14. Solución: Se sabe que: a2 = a1r = 7/4 y a5 = a1r4 = 14 despejando de la primera expresión a1 y sustituyéndola en la segunda se tiene:







a1 =

7 4r

 7 a5 =   (r 4 ) = 14  4r  7 3 (r ) = 14 4

37

UNIDAD

2

Series y sucesiones 14 ( 4 )

r3 =



7 56

r3 =



7

=8

r = 2 d ) Encuentra la suma de los 12 primeros términos: a1 (1 − r n )

Sn =



S12

S12

1− r

7 [1 − 212 ] 4 = r 1− 2 7 (1 − 212 ) 8 = −1

S12 =

7( − 4 095 ) −8

S12 =

28 665 8

S12 = 3 583.125



2.5 Aplicaciones Problemas resueltos Alerta La inflación, el desempleo, entre otros, son factores que influyen para que una moneda, de un país, pierda su poder adquisitivo (adquirir bienes y servicios) al paso del tiempo.

16.  El valor de una computadora en el mes de diciembre de cada año es 70% de su valor que en el mes de enero del mismo año. Si la computadora costó 14  000 pesos, encuentra el valor final después de 4 años. Datos: a1 = 14  000, r = 0.70 y n = 4. an = a1 ( r n −1 ) a4 = 14 000 ( 0.70 4 −1 ) a4 = 14 000 ( 0.70 3 ) a4 = 14 000 ( 0.343 ) a4 = $4 802 17.  Supón que el euro aumenta de precio a $0.0383 por día, hoy se cotiza en 16.7361 pesos a la venta. ¿En cuántos días alcanzará la cotización de 17.4512 pesos? n=

an − a1 d

+1

n=

17.4512 − 16.7361 +1 0.0383

n=

0.7151 +1 0.0383

n = 18.67 + 1 n = 19.67 días

38

Grupo Editorial Patria© 18. En qué porcentaje disminuye el poder adquisitivo del peso en el transcurso de 3 años, si la inflación es de 3.5% anual.

En el primer año:

a1 = a − 0 .035 ( a ) a1 = ( 1 − 0 .035 ) a



En el segundo año:

a1 = 0 .965 pesos a2 = ( 1 − 0 .035 ) a a2 = ( 0 .965 )( 0 .965 ) a



a2 = 0 .9312 pesos

En el tercer año: a3 = ( 1 − 0 .035 ) a a3 = ( 0 .965 ) ( 0 .965 )2 a



a3 = 0 .8986 pesos

Problema resuelto 19. El corporativo K-VISTA está formado por 20 mini-autoservicios y 4 papelerías, el corporativo tiene 8 años de antigüedad, el año pasado tuvo utilidades de 20 millones de pesos y en el primer año de 6.7 millones de pesos. a) Calcula la tasa de incremento anual de las utilidades, partiendo de que el incremento tiene un comportamiento geométrico. Año

Utilidad

Primero

U1

Segundo

U2 = U1 + U1(r) = U1(1 + r)

Tercero

U3 = U1(1 + r)2

Cuarto

U4 = U1(1 + r)3

.. .

.. .

n-ésimo

Un = U1(1 + r)n - 1

Alerta Ganancia o utilidad es el beneficio que se obtiene de la diferencia del precio de compra y de venta de un producto o servicio (sin considerar el IVA) en actividades comerciales.

U n = U1 ( 1 + r ) n − 1 20 = 6 .7 ( 1 + r )8 −1 20 6 .7 7

= ( 1 + r )7

2 .985074 = 1 + r

r = 1 .1690975 − 1 r = 0 .1690975 El incremento es de 16.91% anual.

Problema resuelto 20. El señor Pedro Juárez pidió prestados 15  000 pesos en el banco Axtek, acordando pagar 200 pesos al final de cada mes y pagar 28% de interés anual, sobre el saldo no pagado. Calcular la suma del interés no pagado.

39

UNIDAD

2

Series y sucesiones Datos:

Tasa de interés 28% anual o 0.0233 mensual



Total de pagos mensuales =

15 000 = 75 200

Solución: Pago

1

2

3

Saldo

15  000.00

14  800.00

14  600.00

…

200.00

Interés

349.50

344.84

340.18

…

4.66





75

S 75 =

75 (349.5 + 4.66) 2

S 75 =

26 562 2

S75 = 13  281 pesos



❚❚ Fórmulas empleadas en el capítulo Sucesión o progresión

a1, a2, a3, … , an

Serie

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an

Sucesión aritmética

an = an - 1 + d an = a1 + (n - 1)d

Diferencia común

d=

Número de términos en sucesión aritmética

n=

Serie aritmética

n S n = ( a1 + a n ) 2

Sucesión geométrica

an = an - 1(r) an = a1rn - 1

Razón común

r=

Número de términos sucesión geométrica

n=

Serie geométrica

Sn =

a n − a1 n −1 a n − a1 d

an a n −1 log a n − log a1 log r a1 ( 1 − r n ) 1− r

❚❚ Terminología

40

+1

Diferencia común

d

Número de términos

n

Razón común Serie aritmética y geométrica

r Sn

Término de la sucesión

an

La posición del término

n

+1

; si r ≠ 1

Grupo Editorial Patria© ❚❚ Glosario Bien. Cualquier objeto o servicio capaz de satisfacer una necesidad. Compra. Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También, conjunto de bienes y servicios adquiri­ dos en el acto de compra. Costo. Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes o servicios. Precio o gasto de elaboración de un producto. Cotización. Precio al que se puede efectuar en un mercado determinado de compra o venta de un bien, valor o divisa. También se aplica al precio al que compradores y vendedores están dispuestos a cerrar operaciones, pero que no es necesariamente el precio al que realmente se cierra. Divisa. Término que engloba la moneda de curso legal de terceros países, medios de pago y activos financieros denominados en moneda extranjera, e ingresos en monedas extranjeras originados por transacciones en el exterior. Ganancia. Beneficio, lucro o provecho que se obtiene de la relación de un trabajo o actividad. En las actividades comerciales es el beneficio obtenido como diferencia del precio de compra de un producto y el precio de venta. Inflación. Elevación general del nivel de precios que normalmente es medida con el índice de precios al consumidor. Materias primas. Es un subgrupo del Plan General de Contabilidad que reconoce los elementos naturales, no elaborados, que se incorporan al inicio del proceso de producción para ser elaborados o transformados en productos fabricados o terminados. Poder adquisitivo. Volumen de bienes y servicios a los que puede acceder, por término medio, una persona o grupo de personas dado su nivel de renta. Razón. Es el resultado de la comparación entre dos cantidades; razón directa o inversa. Renta. Cantidad que una persona denominada rentista tiene derecho a percibir periódicamente duran­ te un periodo limitado (renta temporal) o durante toda su vida (renta vitalicia). Utilidad, beneficio o incremento de riqueza que una persona física o jurídica percibe en un periodo en forma de retribuciones del trabajo o rendimientos del capital o de la tierra. Serie. Es la suma de los términos de una sucesión. Serie aritmética. Se forma realizando la suma de los términos de la sucesión aritmética, se simboliza con Sn , en donde n es el número de términos de la sucesión aritmética. Serie geométrica. Es la suma de términos de una sucesión geométrica. Servicio. Acción o efecto de servir. Sucesión. Es un conjunto ordenado de números reales, construidos a partir de una regla; a cada número se le llama término de la sucesión. Sucesión aritmética. Se forma sumando al primer término una cantidad constante conocida como diferencia común para obtener el segundo término y así sucesivamente. Sucesión geométrica. Se forma multiplicando el término anterior por una cantidad constante llamada factor común. Término. Cada una de las cantidades que componen un polinomio, razón, quebrado, entre otros. Utilidad. Satisfacción que proporciona al usuario el empleo de un bien. En países latinoamericanos, beneficio o ganancia. Valor. De un número cualesquiera sin tener en cuenta su signo. Cualidad de las cosas en virtud de la cual se da por poseerlas cierta suma de dinero o equivalente.

41

UNIDAD

2

Problemas para resolver

Series y sucesiones 2.1 a) Encuentra los primeros 3 términos de la siguiente progresión: an = 2n + 3. b) Escribe los primeros 3 términos y el vigésimo primero de la progresión definida por: an =

2.8 a) Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 4, n = 8 y d = 4. b) Encuentra el último término de la sucesión aritmética si: a1 = 7, n = 18 y d = 3.

n−2 n

2.2 a) Escribe los primeros 3 términos y el ­­­­­vigésimo primero de la progresión definida por: an =

d ) La diferencia entre los términos décimo y vigésimo segundo en la progresión aritmética es 120, el cuarto término es -2. Encuentra los 4 primeros términos.

2n − 2 n+1

b) Escribe los primeros 3 términos de la progresión dada por: an = 10n2 - 3n. 2.3 a) Escribe los primeros 2 términos de la progresión dada por: an = 2 log n2. b) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones y encuentra sus resultados: y = 4x + 3, si x toma valores 1, 2, 3. c) Sustituye cada uno de los valores de x en las expresiones x −1 , si x toma valores 1, 2, 3, 4. y encuentra sus m = x +1 Progresiones aritméticas 2.4  Encuentra los valores que faltan en las sucesiones: a) 5, ____, 11, 14, ____, 20, 23,… b) 3, ____, 12, 24, ____, 96, 192,… c) 15, 21, ____, 33, 39, 45, ____, 57, 63,… 2.5  Encuentra la diferencia común de las siguientes series aritméticas: a) 7, 9, 11, … d = b) 28, 24, 20, 16, 12, … d = c) 155, 170, 185, … d = 2.6  Encuentra la diferencia común de las siguientes series aritméticas: a) 10, 16, 22, 28, 34, … d = b) 50, 45, 40, 35, 30, … d = c) 42, 50, 58, 66, 74, … d = 2.7 a) Encuentra el décimo cuarto término de la progresión aritmética, siendo el primer término -3 y la diferencia común es 18.

2.9 a) ¿De cuántos términos estará formada la sucesión 3, 6, 9, … , 51? b) Se desea conocer el número de términos de la sucesión aritmética: 19, 30, 41, … , 338, cuya diferencia común es 11. 2.10  ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la progresión aritmética, si el cuarto término es 21 y el octavo es -3? 2.11  Encuentra la suma de los primeros 20 términos de la sucesión aritmética: 19, 26, 33, … 2.12  Encuentra el primer término de una sucesión aritmética cuya suma de 25 términos es 3  200, si el último término es 224. Progresiones geométricas 2.13 a) Encuentra el noveno término de una sucesión geométrica: 12, 48, 192,… b) Encuentra el décimo segundo término de una sucesión geométrica: 7, 14,… c) Encuentra el quinto y el décimo término de la progresión geométrica: 3, -1, … 2.14 a) Encuentra el valor del sexto término de la progresión geométrica: 9, 45, 225, … b) Encuentra el valor del sexto término de la progresión geométrica: 1.5, (1.5)4, … c) Encuentra el valor del sexto término de la progresión geométrica: 7, 21, 63, … 2.15 a) Encuentra el número de términos de la progresión geométrica, conociendo: a1 = 12, r = 3/4, an = 3/8. b) Encuentra el número de términos de la progresión geo­ métrica: 17, 34, 68, … , 34  816. c) Encuentra el número de términos de la progresión geo­ métrica, conociendo: a1 = 8, an = 17  496 y r = 3. 2.16  El décimo y vigésimo términos de una progresión geométrica son: a10 = 1/128 y a26 = 512. Encuentra los primeros 4 términos. 2.17 a) Encuentra el décimo término y la suma de los 12 primeros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.

b) Obtén el valor de x en la progresión aritmética: -3, x, 15,…

b) Determina la suma de los 15 primeros términos de la progresión geométrica, si el tercero y el quinto son 12 y 48.

c) Encuentra el vigésimo término de la serie aritmética: -4, 16,…

c) Encuentra el décimo término y la suma de los 16 primeros términos, la razón es 3 y el primer término es 7.

42

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© Aplicaciones 2.18  La señora Josefina pide prestados 2  500 pesos y acepta pagar 100 pesos al final de cada mes y 12% anual de interés sobre el saldo. Calcula la suma de todo el interés pagado. 2.19 Un activo cuesta 20  000 pesos y la depreciación por año se estima en 50%. ¿Cuál es el valor del activo después de cinco años?

2.20  El bufete de abogados AK compró una aspiradora industrial que les costó 8  500 pesos, la Secretaría de Hacienda solo les reconoce una depreciación por año de 75%, valor al principio de cada año. Calcula el valor de la aspiradora después de 10 años. 2.21  ¿Cuáles son los 3 primeros términos y el noveno de la progresión aritmética si el cuarto término es 21 y el octavo es -3?

PROBLEMAS RETO 1

Encuentra los valores que faltan en las siguientes sucesiones: a) 5, ______, 11, 14, ______, 20, 23 b) 3, ______, 12, 24, ______, 96

2

Sustituye cada uno de los valores de x en las siguientes expresiones y encuentra sus resultados: a) y = 4x + 3, si x toma los valores de: 1, 2, 3 b) m =

3

4

5

6

x −1 x +1

R. ______, ______, ______.

, si x toma los valores de: 1, 2, 3, 4

R ______, ______, ______, ______.

Encuentra la diferencia común de las siguientes sucesiones: a) 4  430, 4  680, 4  930

d = ______.

b) 70, 110, 150

d = ______.

Escribe en la línea (F ) si el enunciado es falso o (V ) si es verdadero. a) a3 representa el décimo tercer término de una sucesión.

___________ .

b) El subíndice n indica el término de una sucesión.

___________ .

c) El sexto término de la sucesión aritmética 3, 7, 11, … es 25.

___________ .

Las siguientes sucesiones son geométricas: a) 3, 6, 12, 36, 108

Sí ___________ . No ___________ .

b) 18, 21, 25, 30

Sí ___________ . No ___________ .

Escribe los 4 primeros términos de la sucesión: an =

n−2 n

7

Encuentra los 3 primeros términos de la sucesión: an = n(n - 4).

8

El primer término es 10 y el vigésimo primero 210, encuentra la diferencia común...

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

43

UNIDAD

44

2

Series y sucesiones 9

¿De cuántos términos estará formada la sucesión: 3, 14, 25, … , 201?

10

Encuentra el último término de la sucesión aritmética: 10, 16, 22, … La sucesión está formada por 20 términos.

11

Se desea conocer el número de términos de la sucesión aritmética: 42, 51, 60, … , 168, cuya diferencia común es 9.

12

Supón que la udi aumenta de precio en 0.000132 por día, el día de hoy la 3.690061. ¿En cuántos días alcanzará la cotización de 3.692569?

13

Encuentra el número de términos de la sucesión: 17, 34, 68, … , 1  088.

14

Encuentra el número de términos de la sucesión: 9, 45, 225, … , 3  515  625. … .

15

La suma de los 12 primeros términos de una sucesión geométrica es: 531  440, la razón es 3, encuentra el primer término.

udi

se cotiza en

UNIDAD

3

Interés simple OBJETIVOS Comprenderá el concepto de Interés simple y aprenderá a aplicarlo. Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tipo de interés. Resolverá problemas de: • Interés simple • Monto • Capital y valor presente • Plazo • Tasa de interés y tipo de interés Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: descuento simple, valor descontado, pagaré, tasa de rendimiento. Resolverá problemas de: • Descuento simple • Valor descontado • Tasa de rendimiento

¿QUÉ SABES? Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema ¿Qué interés simple produce un capital de $15 600.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 11.9% anual?

UNIDAD

3

Interés simple Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $25 350.00 a 9.52% en 240 días. El dueño de la tlapalería del pueblo recibe un préstamo de $18 650.00 a dos años. Si la tasa de interés es de 1.5% trimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años? Un banco entrega al licenciado Aldama la cantidad $1 255 000.00 por un préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%, ¿cuál es el capital inicial del préstamo? Una deuda de $7 545.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque cuyo importe es de $8 800.00. Si la tasa de interés simple es de 11.75%, ¿cuánto tiempo estuvo prestado? Se descuenta un préstamo de $150 000.00 a un plazo de 91 días, con una tasa de descuento de 13% anual. Calcular: a) ¿De cuánto es el descuento al momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad recibe? Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor de $368 056.00, con una tasa de descuento de 13% anual. Si la fecha de vencimiento es el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía? La señora Mendoza solicita un préstamo por una determinada cantidad de dinero. El plazo es de siete meses y la tasa de descuento de 12%. Calcular la tasa mensual de rendimiento. El arquitecto Rodríguez recibe la cantidad de $80 500.00 por un préstamo a pagar en ocho meses, con una tasa de descuento de 15% anual. ¿Qué cantidad de dinero se debe solicitar prestada? El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de descuento? El señor Martínez firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial 18%, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $12 245.00. ¿Cuál es la tasa de rendimiento?

3.1 Introducción El interés simple se utiliza generalmente en el cálculo de operaciones financieras en préstamos de dinero a corto plazo (de un año o menos). Definición El interés es el pago por el uso del dinero ajeno que se hace durante un periodo determinado y se representa con la letra I. También se conoce al interés como el rendimiento que se tiene al invertir el dinero en forma productiva, al adquirir y otorgar un préstamo, al adquirir bienes o servicios en operaciones crediticias. Los prestamistas en la Edad Media cobraban a los particulares intereses hasta de 42% anual, y en operaciones comerciales el interés variaba desde 12 hasta 20% anual. En la actualidad la mayoría de los países establecen mecanismos de regulación o leyes que prohíben la usura. A toda cantidad de dinero prestada o invertida se le conoce como capital, siendo esta una operación financiera que en el transcurso del tiempo se incrementa a un valor M. 46

Grupo Editorial Patria© Se usarán los siguientes conceptos con la siguiente nomenclatura: C = Capital, principal o valor presente de M, o valor presente de M, o la ganancia M = Monto, o cantidad, o valor futuro de C, o valor acumulado de C, o valor pagadero de C n = Tiempo El interés se obtiene de restar al monto del capital el capital prestado inicialmente, entonces se utiliza la expresión: I = M - C 3.1



Otra forma de calcular el interés simple cuando no se conoce el valor futuro del préstamo. I = CnT 3.2



El interés simple, en una operación financiera pactada a un año, se obtiene al multiplicar el capital por la tasa de interés dividida entre 100 .  T  I = Cn  3.3  100 



T = tasa de interés o tipo de interés en tanto por ciento (T = 16% anual). i = tasa de interés o tipo de interés en tanto por uno (i = 0.16 anual). i =



T 3.4 100

Cuando se desea calcular el interés con base en una unidad monetaria. I = Cni 3.5



La tasa de interés simple aplica desde la fecha de inicio hasta la fecha final. Esto quiere decir que los intereses se pagan hasta el final del periodo (en la fecha final). La tasa de interés se calcula como la razón entre el interés I y el capital C por unidad de tiempo n (debe estar en años).

i =

I 3.6 Cn

El plazo o tiempo es el número de días, meses o años que transcurren en un intervalo dado entre la fecha inicial y la fecha final en una operación financiera. Cuando el tiempo está dado en días se calcula. El interés simple exacto o real: a) Año calendario en tiempo exacto es 365 días.

 T  n  I = C 3.7  100   365 

Las instituciones financieras calculan los intereses de las tarjetas de crédito y débito, con base en el año real o exacto. b) Año bisiesto en tiempo exacto es 366 días.

 T  n  I = C 3.7a  100   366  47

UNIDAD

3

Interés simple El interés simple ordinario:

a) Año comercial en tiempo real es 360 días.  T  n  I = C 3.7b  100   360 



El año comercial está constituido por 12 meses y cada mes del año tiene 30 días, entonces el año comercial está formado por 360 días. Con este año las instituciones financieras acostumbran calcular los intereses. Cuando el tiempo está en meses:  T  n  3.7c I = C  100   12 



Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma mensual). I =



Cni 3.7d 30

El primer banco moderno se funda en 1407 en Génova, Italia. El nombre de este banco es la “Casa de San Giorgio”.

Problema resuelto 1.  El ingeniero Juan López abrió una cuenta de inversión en el banco al depositar $20 000.00, después de un año recibe $22 348.00 por su inversión. Calcular: a) El interés b) La tasa de interés c) El tipo de interés Solución

a) El interés se obtiene sustituyendo el valor del capital y el monto en la ecuación 3.1. Datos: Desarrollo: C = $20 000.00 I = M - C M = $22 348.00 I = 22 348.00 - 20 000.00 n = Un año I = $2 348.00 Incógnita I. b) La tasa de interés Incógnita i.

i =

2 348 I = = 0.1174 anual Cn 20 000

c) El tipo de interés Incógnita T.

48



T = (0.1174)(100)



T = 11.74% anual

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 2. ¿A qué tasa de interés simple se acumularán intereses de $350.00 por $2 100.00 a seis años? Solución

Datos: Desarrollo: C = $2 100.00 I = $350.00 i = n = 6 años

I 350.00 = = 0.02777 anual Cn 2100.00 ( 6 )

Incógnita T. T = 2.77% anual

Problema resuelto 3.  La doctora Martínez compra un automóvil y pacta pagarlo en dos años, a una tasa de interés de 13.5%. El automóvil cuesta $219 850.00. Determinar el interés simple a pagar por la doctora Martínez. Solución

Incógnita I Datos: Desarrollo: C = $219 850.00 I = Cni T = 13.5% anual I = 219 850.00(2)(0.135) i = 0.135 anual I = $59 359.50 n = 2 años

Alerta En ocasiones se acostumbra expresar la tasa de interés en porcentaje sin indicar el periodo, en este caso se debe entender que el periodo es de un año o que la tasa es anual, ejemplo: tasa de 8%.

Problema resuelto 4. U  n banco paga 4% anual en sus cuentas de inversión inmediata, los intereses simples se abonan trimestralmente. ¿Cuánto se recibirá de intereses por los primeros 90 días, si el depósito fue de $7 400.00? Solución

Datos: Desarrollo: C = $7 400.00 I = C(T/100)(n/360) T = 4% anual I = 7 400.00(0.04)(90/360) n = 90 días I = $74.00 Incógnita I

Problema resuelto 5.  ¿Qué interés simple produce un capital de $46 400.00, a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 5% anual? Solución

Datos: Desarrollo: C = $46 400.00 I = C(T/100)(n/52) T = 5% anual I = 46 400(0.05)(13/52) n = 13 semanas I = $580.00 Incógnita I

49

UNIDAD

3

Interés simple

Problema resuelto 6.  Prestar un capital a 4.8% simple anual es más redituable que invertirlo a 0.15% simple semanal. Solución

Primer paso: Datos: Desarrollo: C = $1.00 I = C(T/100)(n) T = 4.8% anual I = (1)(0.048)(1) n = 1 año I = $0.048 en un año Incógnita I Segundo paso: Datos Desarrollo: C = $1.00 I = C(T/100)(n ) T = 0.15% semanal I = (1)(0.0015)(1) n = 1 semana I = $0.0015 en una semana Incógnita I I = (1)(0.0015)(52) = $0.078 en un año Lo más recomendable es invertir a 0.15% semanal.

Problema resuelto Alerta

7.  La licenciada Adriana recibió un préstamo personal de una institución financiera por $30 000.00 y acuerda pagarlo en un año, a una tasa de interés de 26.5%. Determinar el interés simple a pagar por la licenciada Adriana.

Las tasas de interés, cuando se pide dinero prestado, son altas, por ejemplo: en créditos hipotecarios entre 10 y 14%, en préstamos personales entre 24 y 29%, con tarjetas de crédito entre 40 y 70%.

Solución

Incógnita I Datos Desarrollo C = $30 000.00 I = Cni T = 26.5% anual I = 30 000.00(1)(0.265) i = 0.265 anual I = $7 950.00 n = 1 año

Problema resuelto 8.  La tasa de interés aplicable a las personas que compran a crédito en “Puerto de Veracruz, S.A.” es la tiie de 18.75% anual más 15.65 puntos porcentuales. Encontrar la tasa de interés aplicable. Solución

Las instituciones financieras y comerciales calculan las tasas de interés sumando puntos porcentuales a las tasas de referencia en la mayor parte de los casos. Tasa de interés (T) = 18.75 + 15.65 = 34.40% anual El interés simple se clasifica:

Interés simple Ordinario o Comercial (Io) el año es de 360 días Tiempo exacto 50



Figura 3.1

Tiempo aproximado

Exacto o Real (Ie) el año es de 365 días Tiempo exacto

Tiempo aproximado

Grupo Editorial Patria© ❚❚ 3.1.1  Tiempo exacto El tiempo exacto se refiere a los días que tiene cada mes del año. Cuadro 3.1  Días de los meses del año (Tiempo real)



Mes del año Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre Abril, Junio, Septiembre, Noviembre Febrero Febrero (año bisiesto)

Días 31 30 28 29

Existen dos métodos para calcular el número de días exactos: 1) Contar el día inicial para el pago de intereses y no contar el día final. Este caso se emplea en Europa. El uno de marzo se depositan $2 000.00 en su cuenta de inversión, y el día 28 de marzo lo retira. ■■ Desde el uno de marzo genera intereses hasta el día 27 de marzo. ■■ El día 28 no genera intereses. Día inicial C

Día del pago final M

1 Hoy

2

3

...

26

27

Marzo

Figura 3.2

2) No contar el día inicial para el pago de intereses y sí contar el día final. Este caso es el utilizado en México. El día 28 de marzo se depositan $6 500.00 en una cuenta de ahorros, y se retiran el 20 de abril. ■■ El día 28 no genera intereses. ■■ A partir del día 29 marzo hasta el 20 de abril inclusive genera intereses. Día inicial C

Día del pago final M

Hoy

29

30 (Marzo)

...

18

19

20 (Abril)

Figura 3.3

❚❚ 3.1.2  Tiempo aproximado Es el periodo en el que se considera el mes de 30 días, este caso corresponde al año comercial.

Cuadro 3.2  Días de los meses del año (Tiempo aproximado) Mes del año Enero, Marzo, Mayo, Julio, Agosto, Octubre, Diciembre Abril, Junio, Septiembre, Noviembre Febrero Febrero (año bisiesto)

Días 30 30 30 30

Interés real o exacto:

Ie =

Cni 3.8 365

Io =

Cni 3.9 360

Interés comercial u ordinario:

51

UNIDAD

3

Interés simple Relación del Interés Comercial u Ordinario (Io) y el Interés Real o Exacto (Ie). El interés exacto es menor que el interés ordinario Ie = 0.9863 Io

3.10

El interés ordinario es mayor que el interés exacto Io = 1.0139 Ie 3.11



De las ecuaciones 3.10 y 3.11 se observa que el interés ordinario siempre es mayor que el interés exacto (Io > Ie). Ie = 0.9863 3.12 Io



Problema resuelto 9. ¿Qué interés produce un capital de $10 600.00 a 6% durante el mes de marzo? Solución

a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. Año comercial 360 días Tiempo exacto, el mes tiene 31 días. Io = 10 600(0.06)(31/360) = $54.76 b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Año comercial 360 días Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días. Io = 10 600(0.06)(30/360) = $53.00 c) Interés simple, real y tiempo exacto. Año real 365 días Tiempo exacto, el mes tiene 31 días. Ie = 10 600(0.06)(31/365) = $54.02 d ) Interés simple, real y tiempo aproximado. Año real 365 días Tiempo aproximado, el mes tiene 30 días. Ie = 10 600(0.06)(30/365) = $52.27

Problema resuelto 10.  Una persona invierte $20 000.00 desde el 17 de mayo de 2013 hasta el 9 de abril de 2014, a 8.5% de interés simple. ¿Cuál es el interés ganado? Solución:

a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. Año comercial 360 días Tiempo exacto es 325 días. Io = 20 000(0.085)(325/360) = $1 534.72 b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. Año comercial 360 días Tiempo aproximado es 320 días. Io = 20 000(0.085)(320/360) = $1 511.11

52

Grupo Editorial Patria© c) Interés simple, real y tiempo exacto. Año real 365 días Tiempo exacto es 325 días. Ie = 20 000(0.085)(325/365) = $1 513.69



d ) Interés simple, real y tiempo aproximado. Año real 365 días Tiempo aproximado es 320 días. Ie = 20 000.00(0.085)(320/365) = $1 490.41

Problema resuelto 11. Calcular el interés exacto que se paga por un préstamo de $35 042.00 al 24.32% durante 154 días. Solución

Datos Desarrollo C = $35 042.00 Ie = Cn(i/365) T = 24.32% Ie = 35 042.00(0.2432)(154/365) n = 154 días Ie = $3 595.67 Incógnita Ie

Alerta Si el tiempo de un préstamo está dado en días, se necesita convertir la tasa de interés simple anual a una tasa de interés por día.

3.2  Cálculo del monto El monto o valor futuro del capital se obtiene de la suma del capital más el interés simple ganado. El monto se simboliza por la letra M. C

Tasa de interés anual (T )

Hoy

M=C+1 un año

Figura 3.4  Diagrama valor-tiempo para determinar el valor del monto al final del plazo.

M = C + I 3.13 M = C (1 + ni )

3.14

Problema resuelto 12. Calcular el monto de un préstamo de $4 150.00 a 26% de interés simple, durante dos años. Solución

Datos Desarrollo C = $4 150.00 T = 26% anual i = 0.26 n = 2 años Incógnita M

M = C(1 + ni ) M = 4 150.00[1 + (0.26)(2)] M = 4 150.00(1.52) M = $6 308

Alerta Forma de agrupar los meses del año: Bimestre = 2 meses Trimestre = 3 meses Cuatrimestre = 4 meses Semestre = 6 meses Un año = 12 meses

Problema resuelto 13. E  l profesor Álvaro Fernández Aguilera consigue un préstamo de $18 000.00 a dos años, para comprar una computadora, la tasa de interés simple es de 4% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 12 bimestres?

53

UNIDAD

3

Interés simple Solución

Datos: Desarrollo: C = $18 000.00 M = C(1 + ni ) T = 4% bimestral M = 18 000.00[1 + (0.04)(12)] t = 0.04 bimestral M = 18 000.00[1 + (0.48)] n = 12 bimestres M = 18 000.00[1.48] Incógnita M M = $26 640.00

Problema resuelto 14.  Armando Morales depositó en su cuenta de ahorros $33 000.00 el día 6 de marzo y el día 25 de marzo lo retira, la tasa de interés simple es de 3.7% anual. Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto. Solución

Datos: Incógnitas: C = $33 000.00 n T = 3.7% anual M

Alerta

1. Los días transcurridos n = 25 - 6 = 19 días 2. Monto Desarrollo

La abreviatura A.C.; significa: Anual con capitalización.

M = 33 000.00 1 +  

Ejemplo:

M = $33 063.39

T = 10% A.C. mensual.

  0.037   366  (19 )  

Problema resuelto 15.  Calcular el monto de un préstamo de $7 300.00 a una tasa de interés simple de 26% anual, con un plazo del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año bisiesto. Solución

Datos: Incógnitas: C = $7 300.00

n

T = 26% anual

M

a) Los días transcurridos

Cuadro 3.3 Mes

Días

Septiembre

30 - 3 = 27

Octubre

31

Noviembre

30

Diciembre

28

Total

116

b) Monto Desarrollo 0.26    M = 7 300.00 1 +   (116 )    366   M = $7 901.55

54

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Problema resuelto 16.  Calcular el monto de un préstamo que solicitó Gabriel García de $35 000.00 a 26% de interés simple, durante tres años, al banco IVURSA. Solución

Datos: Desarrollo: C = $35 000.00 M = C(1 + ni ) T = 26% anual

` M = 35 000[1 + (0.26)(3)]

i = 0.26 M = 35 000[1.78] n = 3 años M = $62 300.00

Problema resuelto 17.  ¿Qué monto hay que pagar al Monte Pio por el empeño de una pulsera de oro de 24 quilates, la cantidad recibida por el préstamo es de $18 000.00 a 12% anual, y después de 1 año y 6 meses, recupera la pulsera? Solución

Datos: Desarrollo: C = $18 000.00 M = C(1 + ni ) n = 18 meses T = 12% anual

  0.12   M = 18 000.00 1 +   (18 )    12  

Incógnita M M = 18 000.00[1 + (0.01)(18)] M = $21 240.00

3.3  Valor presente o actual Se entiende por valor presente al valor del dinero en cualquier fecha que nos convenga y se simboliza con VP. La fecha de conveniencia puede ser el día de hoy o dentro de una semana o dentro de dos meses, en un semestre, entre otros. El valor presente de un valor futuro (M) es la cantidad de dinero invertida el día de hoy a una determinada tasa de interés. Para entender estos conceptos supongamos que el día de hoy nos dan un peso, el valor de este peso recibido el día de hoy no tiene el mismo valor que dentro de un año. ¿Por qué razón no tiene el mismo valor? La respuesta es debido a la inflación y esta tiene repercusiones en la economía de las personas y de los países. El dinero por si solo tiene un poder de compra, si el día de hoy se tiene un peso y existe la inflación, el peso perderá poder de compra en una fecha futura, otra forma de explicarlo es si el peso que recibimos en una fecha futura vale menos que un peso recibido el día de hoy. Ahora analicemos el caso en que un peso es invertido durante un periodo. Si invertimos un peso el día de hoy en una institución financiera, ¿cuál será el valor del dinero dentro de un año? Para poder contestar correctamente es necesario plantear tres posibles resultados: 1. Si la inflación es mayor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale menos en una fecha futura (pierde poder de compra). 2. Cuando la inflación es menor que la tasa de interés bancaria entonces: el peso vale más en una fecha futura (gana poder de compra). 3. La cuenta de inversión es contratada en udis peso más tasa de interés más inflación, entonces el peso invertido no debe perder su valor al transcurso del tiempo, porque estas cuentas de inversión están pensadas para que el peso aumente siempre su poder adquisitivo, en otras palabras el peso nunca vale menos en el transcurso del tiempo.

Alerta No siempre coincide el valor presente con el capital originalmente prestado, por la fecha de conveniencia.

55

UNIDAD

3

Interés simple

Problema resuelto 18. El señor Alfonso Godínez es el dueño de una tienda y solicita un préstamo a una institución de crédito. El día de hoy recibe $38 000.00 a pagarse dentro de 10 meses con una tasa de interés simple de 8% anual. ¿Cuál es el valor futuro (M) del préstamo? Solución

M = 38 000.00[1 + (0.08/12)(10)] = $40 533.30.

Para interpretar el resultado anterior y el concepto de valor presente se plantean tres casos: 1. El día de hoy, los $38 000.00 son equivalentes a $40 533.30 dentro de un año, por haber sido invertidos a una tasa de interés simple de 8% anual. 2. El señor Godínez deberá de pagar $40 533.30, que son el monto o valor futuro de $38 000.00 del préstamo. 3. Los $38 000.00 del préstamo son el valor presente o actual de los $40 533.30 a pagar por el señor Godínez en un futuro. Para calcular el valor presente, se requiere despejar a C de la ecuación 3.14, obteniéndose: C =



M 3.15 1 + ni

o también C = M(1 + ni )-1 3.16



Problema resuelto 19. Encontrar el valor presente de $38 000.00, pagaderos a 10 meses, con tasa de interés simple de 8%. Solución

Datos:

VP = ?

M = $38 000.00

M = 38 000.00

T = 8%

Hoy

T = 8% anual

10 meses

n = 10 meses VP = 38 000.00[1 + (0.08)(10/12)]

-1

Incógnita VP VP = $35 625.00

Problema resuelto 20.  ¿Cuánto debe invertir la contadora Axel de la Rosa el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.23% trimestral, para disponer de $500 000.00 dentro de cuatro años? Solución

Datos:

Desarrollo:

M = $500 000.00 C = 500 000.00[1+ (16)(0.0123)]-1 T = 1.23% trimestral C = 500 000.00(0.78125) n = 16 trimestres C = $417 780.75 Incógnita C

C=? Hoy 56

T = 1.23%

M = 500 000.00 4 años

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Problema resuelto 21.  ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Porto el día de hoy, a una tasa de 0.8% simple bimestral para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años? Solución

Datos: Desarrollo: M = $23 500 C = 23 500.00[1+ (24)(0.08)]-1 T = 0.8% bimestral C = 23 500.00[2.92]-1 n = 24 bimestres C = $8 047.94

Problema resuelto 22.  El Dr. Vicente Ramírez pagó $1 850 400.00, por un préstamo bancario a un año, seis meses y quince días, a una tasa de 15% por la compra de un camión de transporte de personal. Encontrar el capital inicial del préstamo. Solución

Datos: Desarrollo:

( 0.15 )( 555 )   M = $1 850 400.00 C = 1 850 400.00 1 +  360 

−1

T = 15% anual C = 1 850 400.00[1.23125]-1 n = 360 + 180 + 15 C = 1 850 400.00(0.81218) n = 555 días C = $1 502 862.94

3.4  Cálculo del tiempo o plazo Despejando n de 3.14 obtenemos: M −1 C n= 3.17 i

O bien

n=



M−C 3.18 Ci

Problema resuelto 23.  El día de hoy depositamos $7 800.00 en una cuenta de inversión. ¿En cuánto tiempo se acumularían $9 500.00 a una tasa de interés de 11.2%? Solución

Datos:

Desarrollo:

C = $7 800.00

9 500.00 M −1 −1 7 800.00 1.2179 − 1 C = = = 1.946 años n= i 0.112 0.112

M = $9 500.00 T = 11.2% anual Incógnita n

Cálculo de los meses y días



Años = 1



Meses = 1.946 - 1 = 0.946



Meses = (0.946)(12)

57

UNIDAD

3

Interés simple

Meses = 11.352



Días = 11.352 - 11



Días = (0.352)(30)



Días = 10.55

Como la tasa está dada en forma anual, el periodo también es anual, entonces el resultado está expresado en años. n = 1 año 11 meses 10 días

Problema resuelto 24. ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $25 000.00, si el capital invertido es de $18 700.00 a una tasa de 4.5% anual? Solución

Datos:

Desarrollo:

C = $18 700.00 T = 4.5% anual

25 000.00 M −1 −1 18 700.00 1.336898 − 1 C = = = 7.48663 años n= i 0.045 0.045



n = 7 años 5 meses 25 días

M = $25 000.00

Problema resuelto 25. ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $7 550.00, si el capital invertido es de $4 800.00 a una tasa de 3.5% anual? Solución

Datos:

Desarrollo:

C = $4 800.00 T = 3.5% anual

7550 M −1 −1 4 800 1.57292 − 1 C = = = 16.369 años n= i 0.035 0.035

Incógnita n

n = 16 años 4 meses 13 días

M = $7 550.00

Problema resuelto 26. U  na deuda de $18 000.00 se liquidó el 19 de noviembre con un cheque cuyo importe es de $20 500.00, y la tasa de interés aplicada de 23.75%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero? Solución

Datos:

Desarrollo:

C = $18 000.00 T = 23.75% anual

2 0 500.00 M −1 −1 18 000.00 1.13888 − 1 C = = = 0.5848 años n= i 0.2375 0.2375

Incógnita n

n = 7 meses 1 día

M = $20 500.00

Problema resuelto 27. ¿ Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se triplique si la tasa de interés es de 10.5% anual?

58

Grupo Editorial Patria© Solución

Como el capital inicial es C, entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 3C).

M = C(1 + ni )



3C = C(1 + ni )



3C = 1 + ni C



3 = 1 + ni



3 - 1 = ni



2 =n i



n=

2 = 19 años 0.105

3.5  Descuento simple Cuando se obtiene un préstamo por una cantidad C, se extiende un pagaré que es una promesa de pago, el cual ampara una cantidad de dinero con o sin interés, en una fecha determinada por el deudor y el acreedor o dueño del documento, este documento se suscribe a favor del acreedor. El descuento a los documentos se puede realizar de dos maneras: el llamado descuento comercial o bancario y el descuento real o justo. El descuento comercial o bancario o simplemente descuento, consiste en cobrar el interés en el momento en que se realiza el préstamo; en otras palabras, se cobran los intereses por anticipado y no hasta la fecha de vencimiento. Este se calcula considerando el valor final del documento (valor futuro del capital). Descuento (D ) Es la cantidad descontada, en un periodo (n), con una tasa de descuento simple (d ) de una cantidad de dinero solicitado. El monto o valor final del documento, es la cantidad solicitada en el préstamo, pero esta nunca se recibe. D = Mnd 3.19

Problema resuelto 28.  ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $4 800.00, a un plazo de siete meses, con una tasa de descuento simple de 12% anual? Solución

Datos: Desarrollo: M = $4 800.00 D = Mnd = 4 800.00(7)(0.12/12) = $336.00 n = 7 meses d = 12% anual d = 0.12/12 = 0.01 Incógnita D

Problema resuelto 29.  ¿Cuál es el descuento que hace Bansureste a un préstamo de $29 500.00, a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual?

59

UNIDAD

3

Interés simple Solución

Datos: Desarrollo: M = $29 000.00 D = Mnd = 29 500.00(18)(0.24/12) = $10 620.00 n = 18 meses d = 24% anual d = 0.02 mensual Incógnita D

Problema resuelto 30.  Un banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica el banco al señor Cabrera. Solución

Datos: Desarrollo: M = $5 500.00 D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00 n = 165 días T = 24% anual (es 24% de descuento bancario) Incógnita D

Problema resuelto 31.  Calcular el valor presente de $3 000.00 a 12% de interés simple a un plazo de 6 meses. ¿Cuál es el descuento que realizó Bansureste por el préstamo? Solución

Datos: Desarrollo: M = $3 000.00 VP = M(1 + ni )-1 = 3 000[1 + (6)(0.01)]-1 = $2 830.19 n = 6 meses D = M - VP = 3 000 - 2 830.19 = $169.81 T = 12% anual i = 0.01 mensual Incógnitas VP y D

3.6  Valor descontado o ganancia Cantidad de dinero que recibe el solicitante del préstamo, después de haber descontado anticipadamente los intereses del monto, también se le conoce como valor efectivo o líquido o actual, y se calcula como: C = M - D 3.20



C = M(1 - nd )



3.21

Problema resuelto 32.  El profesor Juan López solicita un préstamo a la caja de ahorro de su trabajo de $30 000.00 a un plazo de diez meses, con una tasa de descuento de 1% mensual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Gómez?

60

Grupo Editorial Patria© Solución

Datos: Desarrollo: M = $30 000.00 D = Mnd = 30 000.00(10)(0.01) = $3 000 n = 10 meses d = 1% mensual Incógnitas D y C La cantidad que recibe el profesor López es de: C = M - D = 30 000 - 3 000 = $27 000 El profesor López recibe $27 000.00, en lugar de los $30 000.00 solicitados, pero dentro de nueve meses debe pagar $30 000.00, porque la caja de ahorro le aplicó el descuento comercial.

Problema resuelto 33.  La Compañía Electrolux, S.A., solicita $6 800 000.00 de préstamo a Banorte, a tres años, con una tasa de descuento de 18% anual. a) Calcular el descuento. b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la Compañía Electrolux, S.A., por el préstamo? Solución

Datos: Desarrollo: M = $6 800 000.00 D = Mnd = 6 800 000.00(3)(0.18) = $3 672 000 d = 18% anual n = 3 años Incógnitas D y C La cantidad recibida por la Compañía Electrolux, S.A., es de: C = M - D = 6 800 000 - 3 672 000 = $3 128 000

Problema resuelto 34. U  n banco cobra 24% de interés por adelantado al señor Cabrera, por un préstamo a corto plazo de $5 500.00, del 3 de mayo al 15 de octubre del presente año. Calcular la suma que recibe del banco el señor Cabrera. Solución

Datos: Desarrollo: M = $5 500.00 D = Mnd = 5 500.00(165)(0.24/360) = $605.00 n = 165 días C = M(1 - nd ) = 5 500[1 - (0.24)(165/360)] = $4 895 T = 24 % anual (es 24% de descuento bancario) Incógnita D

Problema resuelto 35.  Banejército cobra 6% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $60 000.00, para pagarlos con intereses en cinco años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés?

61

UNIDAD

3

Interés simple Solución

Datos: Desarrollo: M = $60 000.00 M = C(1 - nd )-1 = 60 000[1 - (0.06)(5)]-1 = $85 714.28 n = 5 años I = M - C = 85 714.28 - 60 000 = $25 714.28 T = 6% anual Incógnitas C e I

3.7  Tasa de rendimiento En el descuento comercial, el prestamista dispone de inmediato del dinero generado por los intereses (al cobrarlos por adelantados). El deudor, al pagar por adelantado los intereses del préstamo, en realidad está pagando una mayor cantidad de intereses, que la estipulada (o pactada); a esta tasa se le conoce como tasa de rendimiento (R ). Despejando M de la ecuación 3.20 y sustituyendo el valor de D (ecuación 3.18) por el de I tenemos:

M = C + D 3.22



M = C + Cni 3.23

La tasa de descuento (d ) y una tasa de interés (i ) son equivalentes, si producen el mismo valor presente (c) para una cantidad (M) si dan como resultado la misma cantidad al pagarse en n años. Al despejar i de la ecuación 3.23 se tiene: i =



M−C 3.24 Cn

Como i = R, entonces: M−C 3.25 Cn Otra forma de calcular es considerar que la tasa de descuento (d ) y la tasa de interés (i ) son equivalentes, se igualan las ecuaciones: R =



M(1 - nd ) = M(1 - nR )-1



R =



d 3.26 1 − nd

Problema resuelto 36.  El Banco de Centroamérica aplica un descuento de $64 120.00 a la tienda de ropa CITA, por un préstamo a ocho meses con una tasa de descuento de 25% anual, por la compra de lencería en su tienda. ¿Cuál es la tasa de rendimiento? Solución

a) Calculamos el monto Datos: Desarrollo: d = 25% anual M =

D = $64 120.00 n = 8 meses

64120 64120 D = = = $384 720 dn 0.1666 0.25 ( 8 12)

b) Calculamos el valor descontado C = M - D = 384 720 - 64 120 = $320 600



c) Se calcula el valor de la tasa de rendimiento

62

38 4720 − 320 600 64120 M−C = = = 0.025 Cn 320 600 ( 8 ) 2 564 800



R =



R = 2.5% mensual

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Problema resuelto 37.  Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 13 meses es de $32 598.00, y el monto de $35 000.00. Solución

Datos: Desarrollo: M = $35 000.00 C = $32 598.00

R =

35 000 − 32 598 2 402 M−C = = = 0.0057 Cn 32 598 (13 ) 423 774

n = 13 meses R = 0.57% mensual Incógnita R R = 6.8% anual

Problema resuelto 38. E  l señor Jaime Moreno López solicita un préstamo por una determinada cantidad. El plazo es de seis meses y la tasa de descuento de 22%. Calcular la tasa mensual de rendimiento. Solución

Datos: Desarrollo: d = 22% n = 6 meses

R =

0.22 12 d 0.018333 = = = 0.020599 1 − nd 1 − ( 0.22 12 )( 6 ) 0.89

Incógnita R R = 2.0599% mensual R = 24.72% anual

Problema resuelto 39.  El banco IXE cobra 18% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el banco IXE a la señora Berenice Arámbula, por un préstamo de $4 000.00 a un plazo de nueve meses? Solución

Datos: Desarrollo: d = 18% n = 9 meses

R =

0.18 12 d 0.015 = = = 0.01734 1 − nd 1 − ( 0.18 12 )( 9 ) 0.865

Incógnita R R = 1.73% mensual R = 20.81% anual

3.8  Valor de vencimiento Cuando se desea liquidar un préstamo, es necesario sumar al capital el interés generado en el periodo, obteniendo la cantidad total a pagar o valor de vencimiento (M = C + I). ■■ Si el pagaré no genera intereses, el valor al vencimiento es el mismo que el valor nominal. ■■ Cuando el pagaré genera intereses, el valor de vencimiento es el valor nominal más el interés. VALOR DE VENCIMIENTO = VALOR NOMINAL + INTERESES M=C+I 63

UNIDAD

3

Interés simple

Problema resuelto 40.  El señor José Soto descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $18 679.00, a una tasa de descuento de 22% anual, siendo el vencimiento del pagaré nueve meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento? Solución

Datos: a) Calculamos el descuento C = $18 679.00

Desarrollo: D =

n = 9 meses

(18 679.00) (9)(0.01833) Cnd = = $3 690.26 1 − dn 1 − ( 9 )( 0.01833)

d = 22% anual d = 0.22/12 = 0.01833 b) Calcular el valor del monto

M = C + D = 18 679.00 + 3 690.38 = $22 369.26

Problema resuelto 41.  Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual. Solución

Datos: C = $19 540.00 n = 6 meses

Desarrollo: M =

19 540 19 540 C = = = $21472.53 1 − nd 1 − ( 6 ) ( 0.015 ) 0.91

d = 18% anual d = 0.015 mensual

Problema resuelto 42.  La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo? Solución

Datos: C = $10 000.00 n = 13 meses

Desarrollo: M =

10 000 10 000 C = = = $13 129.10 1 − nd 1 − (13 ) ( 0.01833 ) 0.76166

d = 22% anual d = 0.01833 mensual

3.9  Tasa de descuento Las ganancias de capital se obtienen al comprar un pagaré a un valor menor y cobrarlo a futuro con su valor nominal, este tipo de operaciones es muy frecuente en valores que se venden con descuento. Entonces la diferencia que existe entre el precio de venta y el precio de cobro es la ganancia de capital. En los pagarés que se venden a un precio inferior al que tienen a su vencimiento, el precio de venta se determina calculando la tasa de descuento. 64

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Problema resuelto 43. E  l dueño de la chicharronera Santa Rosa vendió al Banco del Pacífico un pagaré a cuatro meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $23  555.00 y recibió del banco la cantidad de $20 165.00. Encontrar la tasa de descuento. Solución

Datos:

Desarrollo:

C = $20 165.00 D = M - C = 23 555.00 - 20 165.00 = $3 390.00 M = $23 555.000 n = 4 meses

d =

3 390.00 3 390.00 D = = = 0.03598 Mn ( 23 555.00 ) ( 4 ) 94 220.00

Incógnita d

d = 3.598% mensual



d = 43.18% anual

Problema resuelto 44.  El señor Luis Vega firmó un pagaré el uno de enero por la cantidad de $180 000.00, con vencimiento en agosto del mismo año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $11 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento? Solución

Datos: Desarrollo: M = $180 000.00 D = $11 240.50

d =

11240.50 D = = 0.0078 Mn (180 000.00 ) ( 8 )

n = 8 meses d = 0.78% meses Incógnita d d = 9.36% anual

Problema resuelto 45.  El dueño del restaurante Toitto vendió un pagaré tres meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $18 355.00 y recibió la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento. Solución

Datos: Desarrollo: C = $16 835.00 D = M - C = 18 355.00 - 16 835.00 = $1 520.00 M = $18 355.00 n = 3 meses

d =

1520.00 1520.00 D = = = 0.0276 Mn (18 355.00 ) ( 3 ) 55 065.00

Incógnita d d = 2.76% mensual d = 33.12% anual

3.10  Relación entre la tasa de descuento y la tasa de rendimiento El descuento es:

D = Mnd 3.19

El valor descontado:

C = M - D 3.20

Sustituyendo D de 3.19 en la ecuación 3.20 obtenemos

C = M - Mnd 3.20a 65

UNIDAD

3

Interés simple La tasa de rendimiento es: R =



M−C 3.25 Cn

Sustituyendo la ecuación 3.20a en la ecuación 3.25: R =



M − (M − Mdn ) ( M − Mdn )( n ) R =



d 3.26 1 − dn

Se obtiene que d y n estén expresadas en la misma unidad de tiempo, por lo que R solamente depende de la tasa de descuento y del tiempo que dura el préstamo.

Problema resuelto 46. E  ncontrar la tasa de rendimiento de un préstamo a la distribuidora de agua Cristal, a pagar en nueve meses, con una tasa de descuento de 20% anual. Solución

Datos: Desarrollo: d = 20% anual d = 0.20/12 = 0.0166 mensual

R =

d ( 0.01666 ) = = 0.0196 1 − dn 1 − ( 0.01666 )( 9 )

n = 9 meses R = 1.96% mensual R = 23.52% anual

Problema resuelto 47.  El banco Alajuela descuenta un pagaré de $78 000.00, con vencimiento en 11 meses y una tasa de descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco? Solución

Datos: Desarrollo: d = 22% anual d = 0.22/12= 0.01833 mensual n = 11 meses

R =

( 0.22 12 ) d = 1 − dn 1 − ( 0.22 12 )(11)

R =

( 0.01833 ) = 0.02296 1 − ( 0.01833 )(11)

R = 2.296% mensual R = 27.55% anual

Problema resuelto 48.  El banco IXE-MEX ofrece $986 420.00 por una deuda de $1 000 000.00 a plazo de 91 días. 1) ¿Qué rendimiento tendrá el banco IXE-MEX: a) con base en el descuento bancario b) con base en el interés simple? 2) El banco IXE-MEX vendió la deuda a Nacional Financiera a 45 días y recibió $989 978.00, calcular: c) ¿Cuál es la tasa de interés que ganó el banco? d ) ¿Cuál es el rendimiento que tendrá el nuevo comprador con base en el descuento, hasta el final de la deuda?

66

Grupo Editorial Patria© Solución

Datos: M = $1 000 000.00 C = $986 420 n = 91 días a) D = M - C = 1 000 000 - 986 420 = $13 580 d =

13 580 13 580 D = = = 0.05372 Mn 1000 000 ( 91 360 ) 252 777.77

d = 5.372% b) i =

13 580 13 580 I = = = 0.05446 Cn 986 420 ( 91 360 ) 249 345.06

d = 5.446% c) I = M - C = 989 978 - 986 420 = $3 558 r =

3 558 3 558 I = = = 0.02886 Cn 986 420 ( 45 360 ) 123 302.5

r = 2.886% d ) d =

3 558 3 558 I = = = 0.01408 Mn 1000 000 ( 91 360 ) 252 777.78

d = 1.408%

3.11 Plazo Es común ofrecer un descuento a un pagaré en una fecha anterior a la de vencimiento. Cuando se decide vender el pagaré a una tercera persona se fija la cantidad deseada y se establece la tasa de descuento, entonces la pregunta que se debe hacer es: ¿en qué fecha se debe vender el documento?

d =

D 3.27 Mn

n=

D 3.28 Md

despejando n se obtiene la ecuación de plazo:

Problema resuelto 49.  La distribuidora de agua Alpina descuenta un pagaré, por el cual recibe $48 545.00, a una tasa de descuento de 24% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $90 000.00? Solución

Datos: Desarrollo: M = $90 000.00 D = M - C = 90 000.00 - 48 545 = $41 455 C = $48 545.00 d = 24% anual

n=

41455.00 D = = 0.191898 Md 90 000.00 ( 0.24 )

Plazo = 2 meses 9 días

67

UNIDAD

3

Interés simple

Problema resuelto 50.  Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $18 500.00 con vencimiento el 12 de julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $4 350.00, con una tasa de descuento de 29% anual. Solución

Datos: Desarrollo: M = $18 500.00 D = $4 350.00

n=

4 350 D = = 0.8108 Md 18 500 ( 0.29 )

d = 29% anual n = (0.8108)(360) n = 291.89 días = 292 días n = 9 meses 22 días n = 27 de septiembre del año pasado

3.12 Pagaré El pagaré o documento, es un compromiso por escrito para el pago de una determinada cantidad de dinero (la cual puede o no incluir intereses) por parte del deudor en una fecha de vencimiento determinada por el acreedor. ■■ El deudor u otorgante es la persona que hace la promesa de pagar. ■■ El acreedor o beneficiario o tenedor es la persona que cobra el pagaré. Elementos que intervienen en un pagaré: 1. Valor nominal. Es la cantidad estipulada en el pagaré. Siempre se presenta con números y palabras en el documento. Existen tres casos para indicar el valor nominal: a) Cuando en el pagaré se estipula que el capital causará intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal es el obtenido en el préstamo. b) En caso de que en el pagaré tenga una tasa de interés cero (0%), su valor nominal es el mismo del préstamo, y corresponderá a la cantidad a pagar en la fecha de vencimiento. c) Si en el pagaré se indica que el valor nominal incluye intereses a una tasa dada, entonces el valor nominal será el monto a pagar en la fecha de vencimiento. 2. Fecha. Es aquella fecha en la que se extiende y firma el pagaré. 3. Fecha de vencimiento. Es la fecha en que se pagará o liquidará el pagaré. 4. Plazo. Es el tiempo que transcurre entre la fecha de expedición y la fecha de vencimiento del pagaré. 5. Tasa. Es el porcentaje sobre el que se calcula el interés. 6. Valor de vencimiento o final. Es la suma de dinero que se debe de pagar (M ) en la fecha de vencimiento. Pueden presentarse los siguientes casos: a) Es el valor nominal más los intereses (estos deben estar especificados en el pagaré). Valor inicial (Nominal) C 0

68

Figura 3.5

T %

Valor de vencimiento M=C+I n

Grupo Editorial Patria© b) Cuando no se especifique ninguna tasa de interés, el valor nominal es igual al valor de vencimiento, ya que el pagaré no produce intereses (esto no es muy usual). Valor inicial (Nominal) C

Valor de vencimiento M=C

T  = 0%

0

n

Figura 3.6

c) En algunos casos al capital se le suman los intereses, dando la impresión de que el préstamo original carecería de estos. La tasa de interés no se especifica en el pagaré. Valor inicial



C1 = C + I

Valor de vencimiento (Nominal) M = C1

0

n

Figura 3.7

Problema resuelto 51.  Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a la “Compañía Sombeamex, S. A.”, el 6 de mayo de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 15%. Solución

1. Identificar los siguientes puntos del pagaré

• E  n el pagaré, el señor Javier Barrera Daz es el deudor y la compañía “Sumbeamex, S. A,” es el acreedor o beneficiario.



• El valor nominal del documento es por $1 200 000.00.



• E  l diez de marzo de 2013 es la fecha en que fue expedido el documento, y el 18 de octubre de 2013 es la fecha de ven­cimiento, el plazo es de 222 días.

2. Calcular el valor de vencimiento del pagaré

Documento 1 de 1. México D. F. a 10 de marzo

No ________ del 2013

$1 200 000.00 Por este pagaré me (nos) obligo(amos) a pag ar incondicional a la Compañía Sombeame orden de x, S. A., en México D. F. el día 18 de octubr la cantidad de: un e de 2013 millón doscientos mil pesos 00/100. Valor mi(nuestra) entera recibido a satisfacción en merca ncía. La suma anterior causará intereses de 28% anual hasta vencimiento. En cas la fecha de o de que no pague(m os) puntualmente, obliga(mos) a cub me(nos) rir 48% anual por con cep to de sin que por esto se intereses moratori entienda como pro os, rrogado el plazo. Nombre Javier Barrer a Daz Domicilio Av. Cafeta les no. 56 481 Colonia El Rosario. ______________ Ciudad México D. F. _____ C. P. 04836. Acepto(amos)

Datos:

Desarrollo:

C = $1 200 000.00

I = Cni = 1 200 000.00(222)(0.28/365) = $204 361.64

n = 222 días

M = C + I = 1 200 000.00 + 204 361.64 = $1 404 361.64

T = 28% anual Incógnitas I y M En el tercer paso se calcula el descuento y el valor descontado (valor efectivo), ya conociendo el valor de vencimiento. Datos:

Desarrollo:

M = $1 404 361.64

D = Mnd = 1 404 361.64(165)(0.15/365) = $95 227.26

d = 15% anual

C = M - D = 1 404 361.64 - 95 227.26 = $1 309 134.38

n = 165 días Incógnitas D y C

Valor nominal C = $1 200 000.00

Valor de vencimiento M = C + I = $1 404 361.64

T = 28% anual

18 de octubre

10 de marzo Valor descontado C = 1 309 134.38 Descuento D = 95 227.26

Figura 3.8 

D = 15% anual

6 de mayo Fecha de descuento

165 días

69

UNIDAD

3

Interés simple

Problema resuelto 52.  Encontrar el valor descontado del pagaré del Centro Sport, S. A., del 25 de febrero de 2013, en un banco que ofrece una tasa de descuento de 20%.

febrero del 2013 México D. F. a 25 de

Solución

Datos:

Desarrollo:

M = $2 800 000.00

D = Mnd = 2 800 000.00(131)(0.20/360) = $203 777.78

d = 20% anual

C = M - D = 2 800 000.00 - 203 777.78 = $2 596 222.22

n = 131 días Incógnitas D y C

Jiménez Oleaga Nombre Remberto ente ______ Domicilio Calle 7 Ori ______________ . tro Cen a Coloni Acepto(amos) la. Ciudad Apizaco,Tlaxca C. P. 08765.

Valor de vencimiento M = C + I = $2 800 000.00 11 de diciembre

25 de febrero

d = 20% anual

Valor descontado C = 2 596 222.22 Descuento D = 203 777.78



$2 800 000.00

la orden ar incondicional, a s) obligo(amos) a pag (no bre de me iem aré dic pag de e Por est xcala, el día 11 A.. en Apizaco, Tla os 00/100. Valor pes mil del Centro Sport, S. os ent oci dos millones och 2013, la cantidad de: en material. ) entera satisfacción recibido a mi(nuestra la fecha de de % anual hasta causará intereses almente, me(nos) ntu La suma anterior pu os) e(m gu o de que no pa moratorios, vencimiento. En cas cepto de intereses 48% anual por con zo. pla el obligamos a cubrir rrogado entienda como pro sin que por esto se

 n este caso no es necesario calcular el valor de vencimiento del pagaré porE que este no indica la tasa interés a pagar. Entonces se procede a calcular el descuento y el valor descontado (valor efecto), sabiendo que el valor de vencimiento es igual al valor nominal.

Valor inicial nominal C = $2 800 000.00

No _______

Documento 1 de 1.

131 días

3 de agosto Fecha de descuento

Figura 3.9 

Problema resuelto 53.  El señor René Barbosa Hernández le firma un pagaré a la tienda Diasa, de material para construcción, con valor de $1 500 000.00 pagaderos a diez meses, con una tasa de interés de 24%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré siete meses antes de su vencimiento con la misma tasa de descuento? Solución

Datos:

Desarrollo:

C = $1 500 000.00

M = C(1 + ni ) = 1 500 000[1 + (0.24/12)(10)] = $1 800 000

n1 = 10 meses

D = Mnd = 1 800 000.00(7/12)(0.24) = $252 000.00

n2 = 7 meses

C = M - D = 1 800 000.00 - 252 000.00 = $1 548 000.00

T = 24% anual Incógnita M

Valor inicial C = $1 800 000.00 0

T = 24% anual 7

Valor descontado C = 1 548 000.00 Descuento D = $252 000.00

70

Figura 3.10 

Valor de vencimiento M = C + I = $1 800 000.00 10 meses d = 24% anual 7 meses

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 54. D  el siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar. Solución

Datos: C = $834 000.00 n = 316 días d = 20% anual

Incógnitas M e Im

El valor de vencimiento del pagaré es:    0.20  M = 834 000.00 1 +   ( 316 ) = $980 413.33  360     0.48   Interés moratorio: Im = 980 413.33    (12)  = $15 686.61  360  

Documento 1 de 1. No_____ México D. F. a 14 de Enero

del 2013 $834 000.00 Por este pagaré me (nos) obligo(amos) a pagar incondicional de Sr. Miguel Herre a la orden ra Rosales en Méxic o D. F. el día 26 de 2013. la cantidad de: Noviembre del Ochocientos treinta y cuatro mil pesos 00/ recibido a mi (nuest 100. Valor ra) entera satisfacció n. La suma anterior causará intereses al 20% anual ha de vencimiento. sta la fecha En caso de que no pague(mos) pu me(nos) obliga(m ntualmente, os) a cubrir el 48% anual por concepto moratorios, sin qu de intereses e por esto se entie nda como prorroga do el plazo. Nombre Antonio Sot elo Herrera Domicilio Av. Candel aria no. 648 Colonia El Fuego Nu evo Ciudad México D. F. ____________________ Acepto(amos) C. P. 04814.

Cantidad a pagar = (capital + intereses ordinarios) + intereses moratorios Cantidad a pagar = 980 413.33 + 15 686.61 = $996 099.94

3.13 Aplicaciones Alerta

Problema resuelto 55.  El día de hoy, la señora Magali acude a empeñar una Tablet marca Sell, para lo cual presenta el equipo y su factura. El valuador le ofrece un préstamo de $5 400.00. El Monte Abellaneda carga un interés mensual de 3% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar la señora Magali para recuperar su Tablet, dos meses después?

La palabra Monte significaba banco. En 1462 nació en Perusa, Italia, el primer Monte, teniendo el nombre de Monte de Misericordia.

Solución

M = 5 400.00[1 + (0.03)(2)] = $5 724.00

Problema resuelto 56.  El señor Armando Morales acude a empeñar una pulsera de oro. El valuador le ofrece un préstamo de $2 300.00. La casa de empeño Pesta Prend carga un interés semanal de 1.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Morales para recuperar su pulsera, después de 77 días de haber realizado la operación? Solución

M = 2 300.00[1 + (0.018)(11)] = $2 755.40

Problema resuelto 57.  El señor Gilberto acude al Monte Trigo el día 8 de marzo de 2014 a empeñar un refrigerador de la marca MIG, para lo cual presenta el equipo y su factura en donde indica que el valor de contado del refrigerador es de $6 799.00 y fue comprado el 20 de diciembre de 2013. El valuador le ofrece, con base en lo establecido, un tercio del valor del refrigerador (ya que tiene poco tiempo de uso y se encuentra en buenas condiciones). El monte de piedad carga un interés mensual de 2.8% sobre el préstamo. ¿Cuánto deberá pagar el señor Gilberto para recuperar su refrigerador, a los 150 días de haber realizado la operación?

71

UNIDAD

3

Interés simple Solución

El valor de la factura es de $6 799.00, el préstamo fue: 6 799.00/3 = $2 266.33. M = 2 266.33[1 + (0.028)(5)] = $2 583.62 El señor Gilberto no acude el 9 de agosto de 2013 a desempeñar su refrigerador ni a pagar el refrendo. El Monte Trigo pone en remate el refrigerador y cuando este sea vendido se descuenta la cantidad prestada, los intereses más un cierto porcentaje por comisión y gastos, lo restante se le da al dueño del artículo. La fecha de venta fue el 15 de agosto del 2014 y el precio de venta del refrigerador fue de:

$5 500.00

Menos el préstamo

$2 266.00

Menos intereses generados en los 5 meses

$374.24

Porcentaje por comisión y gastos 15%

$339.90

La diferencia se le entrega al señor por su refrigerador

$2 519.86

El señor Gilberto tiene tres meses para recoger su dinero a partir de la notificación de venta del refrigerador.

3.14  Inversión en cetes Problema resuelto 58. Calcular el descuento y precio del cete para la siguiente emisión de certificados. Datos hipotéticos: Fecha de emisión Fecha de vencimiento Plazo Valor nominal Tasa de descuento

27 de diciembre de 2012. 24 de enero de 2013. 28 días $10.00 4.35%

En todos los cálculos de cetes se considera el año comercial (360 días).

Solución

 0.0435  = $0.033833 a) Descuento = (10 )( 28 )   360  b) Precio de cete = Valor nominal - Descuento Precio de cete = 10 - 0.033833 = $9.966166

Problema resuelto 59.  El contador Benjamín Sánchez compra en una casa de bolsa 110 000 cetes, y pagará por cada cete la cantidad de $9.95055, a un plazo de 28 días. Calcular la utilidad de capital. Solución

a) E  n la fecha de vencimiento el contador Benjamín Sánchez cobra la cantidad de: (10)(110 000) = $1 100 000.00 b) Su compra fue de: (110 000.00)(9.95055) = $1 094 560.50 c) Ganancia de capital = 1 100 000.00 - 1 094 560.50 = $5 439.50

72

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 60. E  l contador Tomás Rosales adquiere cetes a un plazo de 91 días, con valor nominal de $10.00 y una tasa de descuento de 4.8% anual. Encontrar el valor comercial del cete. a) ¿A cuánto ascienden sus utilidades sin descontar impuestos, si invierte un millón de pesos? b) ¿Cuál es la tasa de interés anual? Solución

Datos: M = $10.00 valor nominal d = 0.048 n = 91 días a) Valor comercial del cete   91   P = 10.00 1 − ( 0.048)  = $ 9.8787  360   



b) Total de certificados adquiridos: 1000 000.00 = 101228.923 CETES 9.8787



En pesos a 91 días recibirá: 101 228.23(10.00) = $1 012 282.36 Sus utilidades sin descontar impuestos ascienden a: 1 012 289.19 - 1 000 000.00 = $12 282.36



c) Para conocer la tasa de interés anual, se despeja la tasa de la fórmula de monto de interés simple.



 10.00    9.8786  − 1 0.01228   i = = = 0.04858 = 4.858% anual 91 0.25277 360

3.15  Inversión en udis Problema resuelto 61. El señor Dávila invierte el 4 de agosto de 2013 la cantidad $950 000.00 en udis. En este tipo de inversiones Bancréditos paga 5.4% de interés anual y el valor de las udis es de $4.884549. a) Encontrar el monto acumulado al 8 de enero de 2014, si el valor de las (los valores de las udis son hipotéticos).

udis

es de $5.084549

Solución

Datos: C = $950 000.00 T = 5.4% anual n = 157 días Valor udis 4/Ago/2013 $4.884549 Valor udis 8/Ene/2014 $5.084549 El precio de las udis el 4 de agosto se divide entre la cantidad a invertir, para saber el número de que se pueden adquirir con $950 000.00. Número de UDIS =

udis

950 000.00 = 194 490.8322 UDIS 4.884549

73

UNIDAD

3

Interés simple Se calcula el valor del monto con la fórmula de interés simple   157   M = C (1 + in ) = 194 490.83 1 + ( 0.054 )  = 199 071.089 UDIS  360    Para saber el monto en pesos se multiplica el resultado anterior, por el valor de las de 2014.

udis

el 8 de enero

M = (199 071.089) (5.084549) = $1 012 186.71

Problema resuelto Alerta La palabra factoraje proviene de factor. La palabra factor (del latín facio hacer, facere el que hace) persona que hace una cosa.

62.  Virsa casa de bordado, S. A., en estos momentos tiene un problema de liquidez y decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $1 975 194.00 y fecha de vencimiento a 55 días, a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la fábrica textil de 85%, la tasa de descuento aplicada es de 26% y le cobrará de comisión 1%. a) Encontrar el valor aforado b) ¿De cuánto es el descuento? c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje? d ) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A.? e) ¿Qué cantidad recibe Virsa casa de bordado, S. A., después de cobradas las facturas? Solución

a) Valor aforado = (1 975 194.00)(0.85) = $1 678 914.90  0.26  b) Descuento = (1678 914.90 ) (55)  = $66 690.23  360  c) Comisión = (1 678 914.90)(0.01) = $16 789.15 d ) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A.:

= 1 678 914.90 - 66 690.23 - 16 789.15 = $1 595 435.52

e) Cantidad que recibe Virsa casa de bordado, S.A. después de cobradas las facturas:

= 1 975 194.00 - 1 678 914.90 = $296 279.10

Problema resuelto 63. L a panificadora La Viga, S.A., decide vender sus cuentas por cobrar con valor de $867 994.00 y fecha de vencimiento a 55 días a una empresa de factoraje; esta le entrega un adelanto a la panificadora de 90%. La tasa de descuento es igual a la tiie 4.8475% y le cobrará de comisión 0.9%. a) Encontrar el valor aforado b) ¿De cuánto es el descuento? c) ¿Qué cantidad recibirá de comisión la empresa de factoraje? d ) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A.? e) ¿Qué cantidad recibe la panificadora La Viga, S.A. después de cobradas las facturas? Solución

a) Valor aforado = (867 994.00)(0.90) = $781 194.60  0.0485  b) Descuento = ( 781194.60 )( 55 )  = $5 788.43  360 

74

Grupo Editorial Patria© c) Comisión = (781 194.60)(0.09) = $70 307.51 d ) Cantidad que recibe la panificadora = 781 194.60 - 70 307.51 - 5 788.43 = $705 098.66 e) Cantidad que recibe la panificadora después de cobradas las facturas: = 867 994.00 - 781 194.60 = $86 799.40



3.16  Ecuaciones de valor equivalente o de valor La ecuación de valor es una igualdad, que se emplea en operaciones financieras, cuando existen dos o más transacciones diferentes y se desea cambiar una o algunas de las formas de liquidar las obligaciones contraídas, mediante pagos y fechas diferentes a las originales. Para replantear las diferentes obligaciones en una ecuación de valor, en una operación única, es necesario trasladar todas las obligaciones originales a una sola fecha, denominada fecha focal, la cual es elegida en forma arbitraria dentro del tiempo que duran las obligaciones. En esta fecha focal todas las operaciones financieras replanteadas deben producir el mismo resultado económico y son equivalentes en valor a las obligaciones originales. Si la ecuación de valor equivalente está bien planteada, esta será básica para determinar cuál de las diferentes alternativas financieras es la más conveniente. Para lo cual se recomienda construir un diagrama de valor tiempo, siguiendo los pasos que a continuación se describen: 1. Trazar una línea horizontal. 2. Ubicar la fecha focal en la línea de valor-tiempo. La fecha focal está determinada en la redacción de los problemas de interés simple, ya que si se deja la alternativa a cada persona para seleccionar la fecha focal a su conveniencia, el resultado puede variar un poco. 3. En la línea de valor-tiempo, fijar las fechas de los préstamos (o deudas) y los pagos. El cero representa siempre el día de hoy. ■■ Las operaciones de contratación de deuda se recomienda indicarlas en la parte superior de la línea de valor-tiempo. ■■ Las operaciones de pago en la parte inferior de la línea de valor-tiempo. 4. Unir con una flecha las operaciones de adeudo con la fecha focal y también las operaciones de pago. Fecha focal (o dada)

Fecha anterior x(1 + ni)-1

Fecha posterior x(1 + ni)1 un año

un año

Figura 3.12

Problema resuelto 64.  Una persona firma un pagaré por $4 000.00, para ser pagados en cuatro meses a 31% anual; dos meses después contrae otra deuda por $8 000.00 para pagarla dos meses después. A los tres meses de la primera fecha ofrece pagar $2 000.00 y el resto en un solo pago final a los seis meses después de la última fecha (cuarto mes). ¿Cuál debe ser el valor del pago final, para cancelar los adeudos? Solución

Es importante colocar las operaciones de deuda y de pago en una tabla. Cuadro 3.4

$2 000

OPERACIONES DEUDA

PAGOS

$4 000.00 a cuatro meses a 31%.

Tres meses después $2 000.00.

Dos meses después $8 000.00.

Pago final seis meses después de la última fecha.

$4 000 1



2 3 $8 000

F. F. 4

5

6

7

8

9

10 x

Figura 3.13

75

UNIDAD

3

Interés simple Se debe trasladar las deudas a la fecha focal empleando la tasa de 31%, entonces la deuda de $4 000.00 debe avanzar seis meses, la deuda de $8 000.00 avanza seis meses. El pago de $2 000.00 debe avanzar del tercer mes hasta la fecha focal X. Al final todas las deudas ya tienen la misma fecha de vencimiento, se plantea la ecuación de la siguiente forma: OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO    4   6   2   6  4 000.00 1 + ( 0.31)    1 + ( 0.31)    + 8 000.00 1 + ( 0.31)    1 + ( 0.31)     12     12    12     12       7  = 2 000.00 1 + ( 0.31)    + X  12   



4 000.00(1.1033)(1.155) + 8 000.00(1.05166)(1.155) = 2 000.00(1.1808) + X 5 097.24 + 9 717.34 = 2 361.66 + X



X = 14 814.58 - 2 361.66



X = $12 453.92

Problema resuelto 65.  El licenciado Adolfo Pérez adquirió mercancía por $15 000.00 y ofrece hacer tres pagos iguales a su acreedor. El primero dentro de tres meses, el segundo en seis meses y el último en nueve meses. Si la tasa de interés es de 2% mensual. ¿Cuál es el valor de cada uno de los tres pagos? Solución

Cuadro 3.5

OPERACIONES

X

DEUDA

PAGOS

$15 000.00 en tres

Tres meses X

pagos iguales a Seis meses X 2% mensual.

Nueve meses X

$15 000 1

2

3

F. F.

X 4

5

6

7

8

9 X

Figura 3.14

OPERACIONES DE DEUDA = OPERACIONES DE PAGO 15 000.00[1 + (0.02)(9)] = X [1 + (0.02)(3)] + X [1 + (0.02)(6)] + X [1 + (0.02)(9)]0 15 000.00[1.18] = X [1.06] + X [1.12] + X



17 700 = 3.18X



X =



X = $5 566.03

17 700 3.18

❚❚ Nomenclatura empleada

76

Interés simple

I

Descuento único

Du

Monto

M

Precio descontado

C

Capital

C

Interés moratorio

Im

Valor actual o presente

VP

Tasa de descuento

d

Tiempo

N

Tasa de rendimiento

R

Tasa de interés (al tanto por ciento)

T

Valor descontado

C

Tasa o tipo de interés (al tanto por uno)

I

Valor del vencimiento

M

Descuento

D

Descuento

D

Grupo Editorial Patria© ❚❚ Fórmulas utilizadas ■■ Interés simple

■■ Valor actual o presente



I = M - C 3.1



I = CnT 3.2

■■ Interés simple tomando como base el año comercial y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

 T  I = Cn  3.3  100 

C = M[1 + ni]-1 3.16 ■■ Tiempo

T 3.4 100





I = Cin 3.5





i =



i =

I 3.6 Cn

■■ Interés simple tomando como base el año real y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

 T  n  I = C 3.7  100   365 

■■ Interés simple tomando como base el bisiesto y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

 T  n  I = C 3.7a  100   366 

■■ Interés simple tomando como base el comercial y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

 T  n  I = C 3.7b  100   360 

■■ Interés simple tomando como base en meses y la tasa al tanto por uno (expresada en forma anual).

 T  n  3.7c I = C  100   12 

■■ Interés simple tomando como base en días y la tasa al tanto por uno (expresada en forma mensual).

I =

Cni 3.7d 30

M 3.15 1 + ni

C =



M −1 C 3.17 n= i n=

M−C 3.18 Ci

■■ Descuento

D = Mnd 3.19



D = M - C 3.19a



D =

Cdn 3.19b 1 − dn

■■ Valor descontado C = M - D 3.20



C = M (1 - nd )

■■ Monto

M = C + D 3.22



M = C + Cni 3.23

■■ Tasa de rendimiento

i =

M−C 3.24 Cn



R =

M−C 3.25 Cn



R =

d 3.26 1 − dn

■■ Tasa de descuento

d =

D 3.27 Mn

n=

D 3.28 Md

■■ Relación de interés comercial y del interés real

Ie = Io =

Cni 3.8 365 Cni 3.9 360

■■ Plazo ■■ Tasa de interés



Ie = 0.9863 Io 3.10



Io = 1.0139 Ie 3.11





Ie = 0.9863 3.12 Io



■■ Monto

3.21

M −1 C 3.29 i = n i =

M−C 3.29a Cn

M = C + I 3.13 M = C(1 + ni )

3.14 77

UNIDAD

3

Interés simple ❚❚ Glosario Acreedor.  Es la persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado. Actividad financiera.  Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado. Capital.  En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (dinero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés. Cuentas de inversión. También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los intereses son bajos. Compra.  Acción de adquirir algo a cambio de dinero. También se refiere a un conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de compra. Compra a crédito.  Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que en la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada por medio de créditos por una autoridad bursátil. Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra. Compra de contado.  Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición. Comprador.  Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa. Compraventa.  Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor) se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden. Contado.  Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida monetaria en ese mismo momento. Contrato.  Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mutuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria. Crédito.  Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obligaciones financieras. Crédito a clientes.  Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suministros que reciben. Debe.  Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago. Demora.  Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento en que esta venció. Depósito a plazo.  Es el dinero depositado en una cuenta bancaria por la persona o razón social; su retiro es en una sola fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes. Descuento.  Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto pago, por volumen de venta, entre otros. Descuento en precios.  Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquidación de existencias. Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil antes de la fecha de su vencimiento. Descuento por pronto pago.  Descuento concedido por pagar las mercancías adquiridas al contado o en un plazo menor al establecido en la transacción comercial. Se trata de un porcentaje sobre las ventas que compensan el menor riesgo de insolvencia y la inmediata obtención de liquidez por parte de la empresa. Cuando se trata de descuento sobre compras por pronto pago, se refiere a una modalidad de descuento de proveedores en el que es la empresa la que reduce la cantidad a pagar a sus proveedores por realizar el pago dentro de unos días determinados

78

Grupo Editorial Patria© por estos. Los descuentos se registran en las cuentas de pérdidas y ganancias bajo el epígrafe ingresos financieros. Descuento por volumen de compra. Descuento concedido a la empresa, cuando su volumen de compras con un determinado proveedor excede de una cierta cuantía en un periodo, independientemente del tamaño de los pedidos que haya ido realizando con anterioridad. Estos descuentos se registran en la cuenta de pérdidas y ganancias como un menor importe de la compra que los origina. Descuento por volumen de venta.  Descuento que la empresa concede a sus clientes cuando su volumen de ventas con ellos en un periodo determinado supera una cierta cuantía. Descuento sobre compras.  Descuento concedido a las empresas por sus proveedores por diversas causas: volumen de compras, por pronto pago, entre otros. Deuda.  Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero. Deudor.  Es la persona o razón social que solicita un dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormente, extendiendo para ello un pagaré. Dinero.  Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes de circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda circulante. Dinero circulante.  Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa. Dinero de plástico. Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de pago sustituyendo al dinero. Dinero en circulación. Suma del efectivo en manos del público, compuesto de billetes y moneda metálica de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario. Empeñar.  Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda. Empresa.  Unidad económica de producción y decisión que, mediante la organización y coordinación de una serie de factores (capital y trabajo), persigue obtener un beneficio produciendo y comercializando productos o prestando servicios en el mercado. Fábrica.  Recinto en el que se instalan máquinas y otro tipo de equipos conjunta y ordenadamente para producción en masa de un determinado producto u objeto o para la transformación industrial de una fuente de energía. Fabricar.  Producir bienes o servicios mediante la transformación de materias primas o productos intermedios, valiéndose de una maquinaria y organización determinadas, de unos sistemas respectivos y haciéndolo en gran volumen. Factura.  Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos personales de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra. Moneda en circulación.  Son las monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). También a los billetes se les llama papel moneda. Rédito.  Renta de un capital. Tanto por uno.  Es el rendimiento que produce una moneda. Tasa.  También llamada tipo de interés o tanto por ciento, es el rendimiento que producen 100 unidades de moneda en una unidad de tiempo. Tiempo.  Es el número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

79

UNIDAD

3

Interés simple ❚❚ Tipo de tasas En el país las tasas de interés que se utilizan en las operaciones comerciales y financieras no permanecen constantes por periodos grandes, por lo que es necesario fijar tasas de referencia. Las tasas de referencia más utilizadas son: la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), el Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), el Costo de Capitalización a Plazo (ccp) y la tasa de los Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes). ■■ Tasa de interés activas, son las tasas que los bancos cobran por los diferentes tipos de crédito a los usuarios de éstos. ■■ Tasa de interés pasivas, son las tasas de interés que los bancos pagan a los ahorradores e inversionistas. ■■ Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (tiie), es el punto de equilibrio entre las tasas de interés pasivas y activas; estas se obtienen a partir de la información que proporcionan diariamente al Banco de México (banxico) de las diferentes instituciones bancarias del país (por lo menos seis), a las 12:00 horas de la Ciudad de México.

Las tasas son precios reales que los bancos están dispuestos a pedir prestado o prestar a

banxico.



Existen diferentes plazos de la tiie, el más usual es 28 días.

■■ Costo Porcentual Promedio de Capitalización (cpp), mide el costo al cual se fondean los bancos para cubrir sus pasivos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo el día 20 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación. ■■ Costo de Capitalización a Plazo (ccp), es la estimación mensual del costo de capitalización a plazo por concepto de la tasa de interés de los pasivos a plazo en la moneda nacional a cargo de la banca múltiple y este se utiliza para la tasa de interés de créditos en pesos. El Banco de México es el encargado de calcularlo y publicarlo los días 21 y 25 de cada mes en el Diario Oficial de la Federación. ■■ Certificados de la Tesorería de la Federación (cetes), son instrumentos financieros de inversión cuya tasa de interés tiene un plazo de 28, 90 o 180 días y por lo regular, dicha tasa se utiliza como tasa de referencia.

UNIDAD

3

Problemas para resolver

Interés 3.1  La contadora Alma invierte $5 000.00 y al término de un año recibe $5 250.00 por su inversión. Calcular: a) El interés

c) El tipo de interés

b) La tasa de interés 3.2  El señor Martínez solicitó un préstamo al issste de $18 500.00 a 9% anual durante un año. Calcular el interés simple a pagar. 3.3  ¿Cuál es la tasa de interés por un préstamo de $15 000.00 a un año, si se pagaron intereses de $1 900.00? 3.4  Un capital de $4  950  000.00 fue prestado a un fabricante de juguetes durante tres años, la compañía pagó un interés preferencial de $1 860 000.00. ¿Cuál fue la tasa de interés pactada? 80

Problemas aplicados a la realidad

3.5  El señor Tomás Baroja le presta a su cuñado la cantidad de $3 550.00 a una tasa de interés simple de 1.5% mensual, por 21 días. ¿Cuánto recibirá de intereses? 3.6  Si un automóvil se compra en $399 999.00 a pagarse en un año, a una tasa de interés simple de 12.4%. Calcular el interés simple y comercial correspondiente al primer mes de pago. 3.7  ¿Qué interés produce un capital de $1 500.00 a 4% durante el mes de marzo? a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. c) Interés simple, real y tiempo exacto. d ) Interés simple, real y tiempo aproximado. Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 3.8  ¿Qué interés produce un capital de $8 500.00, a 4.6% de interés simple, del 18 de mayo de 2012 al 8 de abril de 2013? a) Interés simple, comercial y tiempo exacto. b) Interés simple, comercial y tiempo aproximado. c) Interés simple, real y tiempo exacto.

3.21  Encontrar el valor presente de $18 000.00, pagaderos a 9 meses, con tasa de interés simple de 10%. 3.22  ¿Cuál será el valor presente de $25 845.35, pagaderos a 12 meses, con tasa de interés simple de 26%? 3.23  Calcular el valor presente de $200 000.00, pagaderos a 19 meses, con tasa de interés simple de 22%.

d ) Interés simple, real y tiempo aproximado. 3.9  ¿Qué interés produce un capital de $8 500, a 16% de interés simple, del 18 de mayo de 2006 al 8 de abril de 2007? 3.10  Calcular el interés exacto si el interés ordinario es de $189.25. Cálculo del monto 3.11  Calcular el monto de un préstamo de $3 150.00 a 16% de interés simple, durante 1.5 años. 3.12  El arquitecto Ignacio Aguilera Hernández consigue un préstamo de $9 000.00 a 15 bimestres, para comprar una computadora. La tasa de interés simple es de 2% bimestral. ¿Cuánto pagará dentro de 15 bimestres? 3.13  El alumno Eduardo Arteaga Mora depositó en su cuenta de ahorros $3 000.00, lo que recibió de su beca, el día 5 de enero y el día 31 de enero lo retira para comprarse un teléfono celular. La tasa de interés simple es de 4.7% anual. Calcular el monto, considerando que el año es bisiesto. 3.14  Calcular el monto de un préstamo personal al Banco del Ejército, de $5 500.00 a una tasa de interés simple de 24% anual del 3 de septiembre al 28 de diciembre del mismo año, considerando que el año es bisiesto. 3.15  Calcular el monto de un préstamo de $18 000.00 a 26% de interés simple, durante dos años. 3.16  ¿Qué monto hay que pagar al issste por un crédito de corto plazo de $49 000.00 pesos a 9% anual, después de 1 año y 6 meses? 3.17  Magaly recibe un préstamo de Alexa, para adquirir calzado con valor de $32 500.00, acuerda pagar la deuda cuatro meses después con una tasa de interés de 24% anual. ¿Cuánto deberá pagar Magaly después de cuatro meses? 3.18  El comunicador Jesús Miguel deposita $55 000.00 en un fondo de inversión, que da un rendimiento de 0.9% mensual. Para comprar más equipo para su negocio, él decide retirar el depósito 28 días después. ¿Cuánto le entregarán al retirar capital e intereses? 3.19  El ingeniero Tomás Aguirre consigue un préstamo de $26 000.00 a dos años, para comprar una computadora; la tasa de interés simple es de 3% bimestral. ¿Cuánto deberá pagar dentro de dos años? 3.20  Calcular el monto acumulado al 24 de marzo de 2014, de un depósito de $22 600.00 realizado el 14 de octubre de 2013 en una cuenta que abona una tiie de 25.5% anual más 5.8 puntos porcentuales. Para dar solución al problema utilice el interés simple ordinario con tiempo aproximado. Problemas aplicados a la realidad

Valor presente o actual

3.24  Encontrar el valor presente de $23 480.00 de un pagaré que vencen dentro de seis meses, si la tasa de interés simple es de 6%. 3.25  ¿Cuánto debe invertir una psicóloga el día de hoy, si la tasa de interés es de 1.75% trimestral para disponer de $450 000.00 dentro de tres años? 3.26  ¿Cuánto debe invertir la señora Andrea Portos, el día de hoy, para disponer de $23 500.00 dentro de cuatro años, a una tasa de 0.8%? 3.27 Don Jacinto pagó $1 525 300.00, por un préstamo bancario con un plazo a dos años, seis meses y 28 días, a una tasa de 17% por la compra de un camión de carga. Encontrar el capital inicial del préstamo. 3.28  Una persona compró un automóvil compacto, por el cual pagó $212 480.00 el uno de diciembre, y lo vende el 31 de agosto del año entrante en $216 500.00. ¿Es conveniente la compra realizada si la tasa de interés que ofrece el banco es de 0.9% mensual? Tiempo o plazo 3.29 El uno de septiembre se depositan $9 500.00. ¿En cuánto tiempo se acumularían $11 000.00 a una tasa de interés de 6%? 3.30  ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $34 500.00, si el capital invertido es de $28 800.00 a una tasa de 5.1% anual? 3.31  ¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $5 740.00, si el capital invertido es de $4 287.00 a una tasa de 4.5% anual? 3.32  Una deuda de $48 000.00 se liquidó el 11 de octubre con un cheque cuyo importe es de $50 800.00, y la tasa de interés aplicada de 23.73%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado el dinero? 3.33  ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital se duplique si la tasa de interés es de 8.5% anual? Como el capital inicial es C; entonces el monto al final del plazo es el doble de C (M = 2C). 3.34  ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que un capital de $1 500.00 alcance un monto de $3 000.00, si la tasa de interés es de 25% anual? 3.35  Encontrar el tiempo exacto y aproximado, del día 4 de mayo al 20 septiembre del mismo año.

Problemas para resolver con tecnología

81

UNIDAD

3

Problemas para resolver

Descuento simple 3.36  ¿Cuál es el descuento que se hace a un préstamo de $3 500.00, a un plazo de seis meses, con una tasa de descuento simple de 20% anual? 3.37  ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un préstamo de $19 500.00, a un plazo de 13 meses, con una tasa de descuento simple de 1.8% mensual? 3.38 ¿Cuál es el descuento que se hace en un préstamo de $8 300.00, a un plazo de ocho meses, con una tasa de descuento simple de 24% anual? 3.39  ¿Cuál es el descuento que hace Banorte en un préstamo de $7 500.00, a un plazo de 16 meses, con una tasa de descuento simple de 1.5% mensual? 3.40  Un banco cobra 26% de interés por adelantado al señor Cabrera por un préstamo a corto plazo, de $10 000.00 del 2 de mayo al 30 de octubre del presente año. Calcular el descuento que aplica el banco al señor Cabrera. 3.41  Calcular el valor presente de $2 000.00 a 24% de interés simple a un plazo de 9 meses. ¿Cuál es el descuento que realizó Invemex Banco por el préstamo? Valor descontado o ganancia 3.42 El profesor Arriaga solicita un préstamo a Bansur de $12 000.00 a un plazo de 13 meses, con una tasa de descuento de 2.2% mensual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el profesor Arriaga? 3.43  La “Compañía Electrohogar, S.A.”, solicita $3 500 000.00 de préstamo al banco de Sonora, a dos años con una tasa de descuento de 12% anual. a) Calcular el descuento. b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la “Compañía Electrohogar, S.A.”, por el préstamo? 3.44  El administrador de la compañía papelera Gabo, S.A., solicita un préstamo al banco INBURSA de $13 500 000.00 a un plazo de 18 meses, con una tasa de descuento de 1.2% mensual. a) ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo? b) ¿Qué cantidad en realidad recibe el administrador Gómez? 3.45  El banco Inbursa cobra 7% de descuento bancario en préstamos a largo plazo. Juan Luis Trejo necesita $40 000.00, para pagarlos con intereses en seis años. ¿Qué cantidad debe solicitar en préstamo y cuánto paga de interés?

tasa de descuento de 19% anual, por la compra de remodelación de su despacho. ¿Cuál es la tasa de rendimiento? 3.47 Calcular la tasa de rendimiento, si el valor descontado a los 11 meses es de $22 948.00, y el monto de $24 000.00. 3.48  El abogado Amando Suárez Copel solicita un préstamo por una determinada cantidad de dinero. El plazo es de nueve meses y la tasa de descuento de 19%. Calcular la tasa mensual de rendimiento. 3.49  El Banco IXE-MEX cobra 12% de descuento bancario en préstamos a corto plazo. ¿Qué interés simple le cobra el Banco IXE-MEX a la señora Ana Lucía Vega, por un préstamo de $14 000.00 a un plazo de seis meses? Valor de vencimiento 3.50  El doctor Jerry Alfaro descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $19 167.00, a una tasa de descuento de 20% anual, siendo el vencimiento del pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento? 3.51 Encontrar el valor de un pagaré, si seis meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $19 540.00, a una tasa de descuento de 18% anual. 3.52  Encontrar el valor de un pagaré, si ocho meses antes de su vencimiento se descontó en un banco y se recibió por este la cantidad de $8 450.00, a una tasa de descuento de 20% anual. 3.53  La señora Lucía Vega solicita un préstamo a un banco, este le entrega la cantidad de $10 000.00, para pagar en 13 meses, a una tasa de descuento de 22% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo? 3.54  El señor Durán solicita un préstamo al banco BANCA, este le entrega la cantidad de $20 000.00, para pagar en 12 meses, a una tasa de descuento de 23% anual. ¿Qué cantidad debe solicitar como préstamo? 3.55  El profesor de matemáticas descontó en el banco un pagaré, por el cual recibió la cantidad de $16 766.00, a una tasa de descuento de 23% anual, siendo el vencimiento del pagaré seis meses después de su descuento. ¿Cuál sería el valor del documento en la fecha de su vencimiento? Tasa de descuento 3.56  El dueño de la tintorería De Héctor, vendió a un banco un pagaré 3 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $18 355.00 y recibió del banco la cantidad de $16 835.00. Encontrar la tasa de descuento.

Tasa de rendimiento

3.57  El dueño de la tintorería De Héctor vendió a un banco un pagaré 6 meses antes de su vencimiento, con valor nominal de $19 355.00 y recibió del banco la cantidad de $17 855.00. Encontrar la tasa de descuento.

3.46  Bansur aplica un descuento de $640 120.00 a la contadora Pamela Alfaro por un préstamo a seis meses, con una

3.58  El señor Chavarría firmó un pagaré el uno de diciembre del año pasado por la cantidad de $200 000.00, con

82

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© vencimiento en agosto de este año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $21 240.50. ¿Cuál es la tasa de descuento? 3.59  Encontrar la tasa de rendimiento de un préstamo solicitado por el administrador Adrián Salvatorio, a pagar en seis meses, con una tasa de descuento de 18% anual. 3.60 Un banco descuenta un pagaré de $55 000.00, con vencimiento en 7 meses y una tasa de descuento de 22%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco? 3.61 El Banco del Bajío descuenta un pagaré de $150  000.00, con vencimiento en 9 meses y una tasa de descuento de 24%. ¿Qué tasa de rendimiento obtiene en realidad el banco? Plazo 3.62  La compañía Londres, S. A., descuenta un pagaré, por el cual recibe $28 879.00, a una tasa de descuento de 30% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $70 000.00? 3.63 La casa de ropa Adrianos descuenta un pagaré, por el cual recibe $29 887.00, a una tasa de descuento de 26% anual. ¿Cuánto tiempo falta para el vencimiento del pagaré, si este tiene valor nominal de $60 000.00? 3.64  Encontrar la fecha en que fue descontado un pagaré de $34 000.00 con vencimiento el 12 de julio del presente año. Como el descuento es comercial, el banco le descontó en el momento de entregar el préstamo la cantidad de $3 670.00, con una tasa de descuento de 26% anual. Pagaré

3.66  Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré, a la compañía Kolvi, S. A., del 30 de agosto de 2013 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 18%.

Documento 1 de 1. México D. F. a 30 de marzo

$1 300 000.00 Por este pagaré me (nos) obligo(amos) a pag ar incondicional a la Compañía Kolvi, S. orden de A., en Puebla, Puebla , el día 30 de noviem la cantidad de: un bre de 2013 millón trescientos mil pesos 00/100. mi(nuestra) entera Valor recibido a satisfacción en mater ial. La suma anterior causará intereses anual hasta la vencimiento. En fecha de caso de que no pague(mos) puntu me(nos) obligamos almente, a cubrir el 48% an ual por concepto moratorios, sin qu de intereses e por esto se entie nda como prorroga do el plazo. Nombre Mauricio Sol ís Martínez Domicilio Calle 57 Ori ente Colonia Centro. ____________ Ciudad Puebla. ________ Acepto(amos) C. P. 08765.

3.67 El agrónomo Javier Domínguez Pedrosa le firma un pagaré a la tienda de fertilizantes Viarsa con valor de $800 000.00 pagaderos a nueve meses, con una tasa de interés de 20%. ¿Cuál es el valor descontado del pagaré dos meses antes de su vencimiento con la misma tasa de descuento? 3.68  Del siguiente pagaré encontrar el valor de vencimiento. Si este pagaré se liquidó 12 días después de su vencimiento, calcular el interés moratorio y la cantidad a pagar.

3.65  Encontrar el valor descontado del siguiente pagaré a Hielo del Atlántico, S. A., el 15 de julio de 2014 en un banco que ofrece una tasa de descuento de 14%.

Documento 1 de 1. México D. F. a 14 de enero

No_____ 1. de 1 o ent Docum $900 000.00 marzo de 2014 México D. F. a 15 de orden de ar incondicional a la obligo(amos) a pag s) (no del 2014 me bre aré pag tiem e Por est el día 15 de sep S. A. en México D. F. ibido a mi(nuestra) rec or Hielo del Atlántico, Val . 100 00/ entos mil pesos la cantidad de: noveci en mercancía. entera satisfacción la fecha de al 24% anual hasta causará intereses almente, me(nos) ntu La suma anterior pu os) e(m gu o de que no pa moratorios, vencimiento. En cas cepto de intereses rir 48% anual por con zo. pla el obliga(mos) a cub rrogado entienda como pro sin que por esto se

No_____ de 2013

No_____ de 2014

$348 000.00 Por este pagaré me (nos) obligo(amos) a pagar incondicional Sr. Juan Barreda Suá a la orden de rez en México D. F., el día 26 de noviem cantidad de: trescie bre de 2014, la ntos cuarenta y och o mil pes a mi(nuestra) entera os 00/100. Valor rec ibido satisfacción. La suma anterior causará intereses al 20% anual hasta vencimiento. En cas la fecha de o de que no pague(m os) puntualmente, obliga(mos) a cub me(nos) rir 45% anual por con cep to de intereses mo sin que por esto se ratorios, entienda como pro rrogado el plazo. Nombre Juan Luis He rrera Rosales Domicilio Av. Coyoac án no. 56481 Colonia Árbol del Fue go. ____ ____________ Ciudad México D. F. ____ Acepto(amos) C. P. 04814.

Montes Nombre Oscar Calva o no. 56 481 ________ Domicilio Av. Pacífic ____________ Colonia Cafetalera. Acepto(amos) Ciudad México D. F. C. P. 04836.

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

83

UNIDAD

3

Interés simple

PROBLEMAS RETO

84

1

¿Qué interés produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés simple de 12% anual?

2

Un capital de $5 000.00 se duplica en cuatro años con un tipo de interés simple de:

3

La señora Prudencia solicita a una institución financiera un préstamo de $6 500.00 a una tasa de interés simple de 18% con un plazo de 55 días. Calcular el interés comercial y exacto.

4

¿Cuál es la tasa de interés simple mensual equivalente a una tasa de 34% anual?

5

La señora Andrea López obtiene un préstamo por $3 000.00. Paga la cantidad de $3 400.00 después de siete meses. ¿Qué tasa de interés simple le cobraron?

UNIDAD

4

Interés compuesto OBJETIVOS Comprenderá el concepto de interés compuesto. Entenderá y aprenderá aplicar los conceptos de: capital, valor presente, valor descontado, ganancia, monto, valor pagadero, tasa de interés y tasas equivalentes. Resolverá problemas de interés compuesto determinando el valor del dinero a través del tiempo: • interés compuesto • monto • capital y valor presente • plazo • tasas equivalentes

¿QUÉ SABES? Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema ¿Qué interés compuesto produce un capital de $76 600.00 a pagarse dentro de 13 semanas a una tasa de interés de 12% anual? Encontrar el interés exacto que se paga por un préstamo de $16 350.00, a 11.52% en 240 días. El arquitecto Juárez recibe un préstamo de $48 750.00 a dos años, si la tasa de interés es de 1.2% bimestral, ¿cuánto pagará dentro de dos años?

UNIDAD

4

Interés compuesto Un banco entrega al señor Juan Álvarez la cantidad de $2 255 000.00, por un préstamo a un año, tres meses y quince días, con una tasa de 27%. ¿Cuál es el capital inicial del préstamo? Una deuda de $8 400.00 se liquidó el 29 de junio de este año con un cheque cuyo importe es de $9 080.00, siendo la tasa de interés simple de 11.75%. ¿Cuánto tiempo estuvo prestado? Se descuenta un préstamo de $350 870.00 a un plazo de 180 días, con una tasa de descuento de 13% anual. ¿De cuánto es el descuento en el momento de recibir el préstamo?, ¿qué cantidad de dinero recibe? Una compañía decide descontar un documento el 30 de abril con valor $683 656.00, con una tasa de descuento de 10% anual. Siendo la fecha de vencimiento el 30 de junio de este año. ¿Cuánto dinero recibirá la compañía? Juan Torres recibe la cantidad de $100 000.00 por un préstamo a pagar en 10 meses, con una tasa de descuento de 10.5% anual. ¿Qué cantidad de dinero se debe solicitar?

4.1 Introducción En la unidad de interés simple se estudió el caso en el que el capital permanece constante desde la fecha inicial de la operación hasta la fecha final. En el caso del interés compuesto el capital no permanece constante desde la fecha inicial hasta la final del plazo, ya que el capital va a cambiar al final de cada periodo (se agrega al capital inicial los intereses al término del periodo), este nuevo capital genera intereses en el siguiente periodo y así sucesivamente mientras dure la operación financiera, entonces se dice que los intereses se capitalizan en cada periodo.

4.2 Monto Definición Periodo de capitalización. Es el tiempo que existe entre dos fechas consecutivas en la que los intereses se le adicionan al capital.

M = C + I 4.1



I = Cni 4.2

Problema resuelto 1.  El abogado Martínez deposita $15 000.00 el día 2 de mayo de 2013 en ICA Banco. Él retirará su dinero dentro de un año. Al retirar el capital inicial también le entregarán los intereses generados en el periodo (M = C + I ). Solución

Analicemos el problema, si el periodo es de un año por consecuencia el plazo también lo será y la tasa de interés T = 4% anual, la expresión matemática que cumple con estas características es la del interés simple.

I = 15 000(0.04)(1) = $600



M = 15 000 + 600 = $15 600

Entonces el 2 de mayo del 2014 el abogado Martínez recibirá $600.00 de intereses más los $15 000.00 que invirtió.

86

Grupo Editorial Patria© Periodo = Plazo = 1 año

C

M=C+1

Fecha inicial 2 Figura 4.1  mayo 2013

Fecha final 2 mayo 2014

Si el abogado Martínez decide recibir sus intereses de manera mensual, en vez de cada año, entonces el periodo será de un mes. Si el plazo de la inversión es de un año, se tendrán 12 periodos de capitalización mensual, de esta manera el abogado Martínez recibirá 12 pagos de intereses al transcurso de un año, en lugar de un pago único de intereses al final del año.

C

C1

C2

C3

C4

0 1 Fecha inicial Figura 4.2  2 mayo 2013

2

3

4

Periodo ≠ Plazo C5 C6 C7 C8 5

6

7

8

C9

C10 C11

M

9

10 11 12 Meses Fecha final 2 mayo 2014

Problema resuelto 2. Adela invierte un capital de $24 000.00 a 4% anual durante tres años en ICA Banco. ¿Qué cantidad recibe? a) Cuando es interés simple. b) Si es interés compuesto. Solución

a) Interés simple. Datos Desarrollo C = $24 000.00 I = Cni T = 4% anual I = 24 000(3)(0.04) n = 3 años I = $ 2 880.00 Incógnita I El monto después de tres años será de: M = 24 000.00 + 2 880.00 = $26 880.00 b) Cálculo del interés compuesto.

• M  onto inicial del primer año (M1) = Capital inicial + Intereses del primer año. El monto obtenido en el primer año (M1) se convertirá en el capital inicial del segundo año.



M2 = $25 958.40

• E  l monto del segundo año (M2) se convertirá en el capital inicial del tercer año, como se observa en el cuadro 4.1.

Cuadro 4.1  Comportamiento del capital y el incremento del interés Número de periodos en años 1 2 3



Capital al inicio del periodo ($) 24 000.00 24 960.00 25 958.40

Intereses en el periodo ($)  960.00  998.40 1 038.34

Capital al final ($) 24 960.00 25 958.40 26 996.74

Interés Simple (IS) ≠ Interés Compuesto (IC) $26 880.00 ≠ $26 996.74



Entonces el:  IS < IC



El interés simple siempre será menor que el interés compuesto.

87

UNIDAD

4

Interés compuesto El comportamiento del capital se muestra en forma algebraica en el cuadro 4.2.

Cuadro 4.2  Comportamiento del capital Números de periodos

Capital al inicio del periodo

Interés en el periodo I = Cni

Capital final M=C+I

1

C

Ci

M1 = C + C i = C(1 + i ) M1 = C(1 + i )

2

C(1 + i )

C(1 + i )i

M2 = C(1 + i ) + C(1 + i ) i = C(1 + i ) (1 + i ) M2 = C(1 + i )2

3

C(1 + i )2

C(1 + i )2 i

M3 = C(1 + i )2 + C(1 + i )2 i = C(1 + i )2 (1 + i ) M3 = C(1 + i )3

4

C(1 + i )3

C(1 + i )3 i

M4 = C(1 + i )3 + C(1 + i )3 i = C(1 + i )3 (1 + i ) M4 = C(1 + i )4

LM n

LM C(1 + i )n - 1

LM C(1 + i )n - 1 i

LM Mn = C(1 + i )n

Del cuadro 4.2 se ve que los valores acumulados sucesivos forman una progresión geométrica [C(1 + i ), C(1 + i )2, C(1 + i )3,…] cuyo n-ésimo término es: M = C (1 + i )n 4.3

Donde:

C = Valor inicial, valor presente de M o valor descontado M. M = Valor compuesto de C, valor acumulado de C o monto. T = Tasa nominal de interés (anual). i = Tasa de interés en el periodo. n = Número total de periodos de capitalización que intervienen. (1 + i )n = Factor de acumulación o factor de interés compuesto. La ecuación 4.3, solo se puede aplicar en periodos de capitalización unitarios, algunos ejemplos: un mes, un bimestre, un semestre, un año.

Problema resuelto 3. El costo del predial en la casa de don Jesús se incrementa en 6% al bimestre. ¿Cuánto tendrá que pagar en el próximo bimestre?, si su tarifa bimestral es de $930.00. Solución

Datos Desarrollo C = $930.00 M = 930.00 [1 + 0.06 ]1 = $985.80 n = un bimestre T = 6% bimestral Incógnita M

Problema resuelto 4. En el taller de costura de doña Leonor la producción se incrementa en 3% mensual. Calcular la producción del taller de costura para el próximo mes, si actualmente produce 15 930 piezas mensuales. Solución

Datos Desarrollo C = 15 930 piezas M = 15 930 [1 + 0.03 ]1 = 16 408 piezas n = un mes T = 3% mensual

88

Grupo Editorial Patria© En la actualidad las instituciones financieras ofrecen diferentes planes de inversión con periodos de capitalización menores a un año (ver cuadro 4.3). A este número de veces que en un año los intereses se capitalizan se le conoce como frecuencia de capitalización y se denota por la letra p.

Cuadro 4.3  De periodos de capitalización Periodo Anual Semestral Cuatrimestral Trimestral Bimestral Mensual 28 días Catorcena Quincenal Semanal Diario

Frecuencia (p) 1 2 3 4 6 12 13 26 24 52 360 o 365

Problema resuelto

Alerta En interés compuesto la tasa de interés y el tiempo deben expresarse en la misma unidad de tiempo. Ejemplo: si el periodo de capitalización de los intereses es bimestral, entonces el interés es capitalizable bimestralmente o es convertible bimestralmente o es compuesto bimestralmente (A.C. Bimestral).

5.  Encontrar la frecuencia de conversión de un depósito que paga 14% anual de interés capitalizable trimestralmente. Solución

P =



1 año 12 meses = = 4 periodos de capitalización trimestral 1 trimestre 3 meses

❚❚ 4.2.1  Tasa de interés por periodo (T ) Para conocer el interés por periodo se utiliza la siguiente fórmula: Interés por periodo ( T ) =

Tasa de interés nominal Número de periodos de capitalización en un año

❚❚ 4.2.2  Número de periodos El número total de periodos por año se encuentra de la siguiente forma: Número total de  Número de periodos  periodos de  = de capitalización  Número  capitalización  en un año  de años 

Problema resuelto 6. D  eterminar el interés de cada periodo de capitalización y el número de periodos de capitalización, si la tasa nominal es de 18% capitalizable bimestralmente, durante cuatro años. Solución



Primero encontrar el número de periodos de capitalización



12 meses = 6 periodos de capitalización bimestral. 2 meses

Después calcular el interés por periodo:



P =

T =

18% = 3% de interés bimestral. 6

Por último, se encuentra el número total de periodos de capitalización para los cuatro años: m = 6 × 4 = 24 periodos de capitalización bimestral durante cuatro años.

89

UNIDAD

4

Interés compuesto Cuando el periodo de capitalización de intereses no es anual y se desea conocer el monto de un capital, se emplea la siguiente expresión:  i M = C 1 +  p 



np

4.4

Donde:

n = plazo en años i = tasa de interés anual capitalizable en p periodos en un año

p = frecuencia de capitalización Cuando el periodo tiene el componente continuo (capitalización continuamente) M = Ce j∞(n)



4.5

Donde: n = plazo en años j∞ = tasa de interés anual con componente continuo e = base de los logaritmos naturales = 2.718

Problema resuelto 7.  ¿Qué cantidad podrás tener dentro de dos años, si inviertes $20 800.00 en Banco Nacional y el interés que paga es de 0.75% bimestral? Solución

Datos: Desarrollo: C = $20 800.00 M = 20 800 [1 + 0.0075]12 = 20 800 (1.0938) n = 2 años M = $22 751.18 np = (2) (6) = 12 bimestres T = 0.75% bimestral Incógnita M

Problema resuelto 8.  Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del: a) 28% capitalizable semestral (A.C.S.) b) 28% capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 28% capitalizable mensual (A.C.M.) Solución

a) Datos: C = $ 3 545.00 T = 28% A.C.S. n = 2 años np = 2(2) = 4 Incógnita M b) Datos: C = $3 545.00 T = 28% A.C.T. n = 2 años np = 2(4) = 8 Incógnita M

90

Desarrollo:  i  M = C 1 +  p 

np

0.28   = 3 545 1 + 2  

2(2)

= 3 545 (1.14 )4 = 3 545 (1.6889 )

M = $5 987.36 Desarrollo: 0.28   M = 3 545 1 + 4   M = $6 091.00

4(2)

= 3 545[1.07 ]8 3 545 (1.7182 )

Grupo Editorial Patria© c) Datos: C = $3 545.00 n = 2 años T = 28% A.C.M. np = 2(12) = 24 Incógnita M

Desarrollo: 0.28   M = 3 545 1 + 12  

12 ( 2 )

= 3 545[1.023333 ]24 = 3 545[1.7394 ]

M = $6 166.17

Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral, mientras que esta a su vez tendrá mayor rendimiento que la semestral.

Problema resuelto 9. Encontrar el monto acumulado en tres años, si el capital es de $6 700.00 y se invierte a un tipo de interés del: a) 8% anual capitalizable semestral (A.C.S.) b) 8% anual capitalizable trimestral (A.C.T.) c) 8% anual capitalizable mensual (A.C.M.) Solución

a) Datos:

Desarrollo:

C = $ 6 700.00 6 0.08   n = 3 años M = 6 700 1 + = 6 700 (1.04)6 = 6 700 (1.26532) = $8 477.63 2   T = 8% A.C.S. 6 0.08   6 M = 6 700 1 +  = 6 700 (1.04) = 6 700 (1.26532) = $8 477.63 0.08 2  i = = 0.14 p 2 np = 3(2) = 6 Incógnita M b) Datos: Desarrollo: C = $ 6 700.00 12 0.08   n = 3 años M = 6 700 1 + = 6 700 (1.02)12 = 6 700 (1.26824) = $8 497.22  4   T = 8% A.C.T. 12 0.08   M = 6 700 1+ = 6 700 (1.02)12 = 6 700 (1.26824) = $8 497.22 i  0.08 4  = = 0.02 p 4 np = 3(4) = 12 Incógnita M c) Datos: Desarrollo: C = $ 6 700.00 36 0.08   n = 3 años M = 6 700 1 + = 6 700 (1.00666)36 = 6 700 (1.006666) = $8 510.38 12   T = 8% A.C.M. 36 0.08   36 M = 6 700 1i + 12  = 6 700 (1.00666) = 6 700 (1.006666) = $8 510.38 0.08   = 0.00666 = p 12 np = 3(12) = 36 Incógnita M Como se puede observar en los tres resultados anteriores, a mayor frecuencia de capitalización e igual tasa anual nominal, mayor será el interés obtenido por la inversión. En el inciso “c” la conversión es mensual y tendrá mayor rendimiento que en la trimestral; esta, a su vez, tendrá mayor rendimiento que la semestral.

91

UNIDAD

4

Interés compuesto

Problema resuelto 10.  El ingeniero Roberto Valero depositó $2 500.00 en una cuenta de ahorros en el banco Serfin el 10 de febrero de 1994, a 4.5% anual capitalizable diariamente (A.C.D.). ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta el 10 de febrero de 2013? Solución

a) Con tiempo exacto Datos:

Desarrollo:

C = $ 2 500.00

0.045   M = 2 500 1 + 365  

T = 4.5% A.C.D.

7300

= 2 500 (1.0001233 )7 300 = 2 500 (2.459467) = $6148.67

np = 20(365) = 7 300 días 7300 0.045   Incógnita M 2 500 (1.0001233 )7 300 = 2 500 (2.459467) = $6148.67 M = 2 500 1 + =  365   b) Con tiempo aproximado Datos:

Desarrollo:

C = $ 2 500.00

0.045   M = 2 500 1 + 360  

T = 4.5% A.C.D.

7 200

= 2 500 (1.000125 )7 200 = 2 500 (2.459465) = $6148.66

np = 20(360) = 7 200 días 7 200 0.045   M = 2 Incógnita 500 1 + M = 2 500 (1.000125 )7 200 = 2 500 (2.459465) = $6148.66 360   La diferencia es de tan solo $0.01. Por esta razón los bancos utilizan el tiempo exacto para la aplicación diaria.

Problema resuelto 11.  Una cuenta de ahorros en banco Aztek paga un interés 6.2% al año. El banco calcula el interés diariamente sobre el saldo diario mínimo y se deposita el último día de cada mes. ¿Calcular el interés de los siguientes movimientos en la cuenta de Elsa Calderón del 15 de febrero al 27 de junio de 2013?

Cuadro 4.4  De movimientos e intereses generados Fecha (año 2013)

Depósitos ($)

Febrero 15

1 000.00

Capital (El día uno de cada mes)

0.00

1 000.00 1 002.718

16

1 002.718

4.428

1 807.146

26

1 807.146

1.228

1 808.374

04

Abril 1 al 30

1 808.374

9.215

1 817.59

30

Mayo 1 al 31

1 817.59

9.571

1 827.16

31

1 827.16

4.657

1 831.82

15

1 831.82

3.423

1 835.24

11

Marzo 1 al 27

• A mayor número de capitalizaciones más intereses se obtienen en el mismo plazo. • A menor número de capitalizaciones menos intereses se tendrán en el mismo plazo.

800

92

Junio 1 al 15

500

Junio 16 al 27 Solución

Desarrollo: I1 = 1 000 (0.062)(16/365) = $2.718 I2 = 1 002.718 (0.062)(26/365) = $4.428 I3 = 1 807.146 (0.062)(4/365) = $1.228 I4 = 1 808.374 (0.062)(30/365) = $9.215 I5 = 1 817.58 (0.062)(31/365) = $9.571 I6 = 1 827.16 (0.062)(15/365) = $4.657

Plazo (en días)

2.718

Marzo 27 al 31

A mayor frecuencia de capitalización de intereses, se van a producir nuevos intereses y al final del plazo se tendrá un monto mayor, que el alcanzado si el número de capacitaciones es menor.

Monto ($) M=C+I

1 000.00

Febrero 15 al 28

Alerta

Intereses ($) I = Cni

I7 = 1 831.82 (0.062)(11/365) = $3.425

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4.3  Comparación del interés simple con el interés compuesto Con el siguiente ejemplo se podrá comparar la diferencia que existe en la cantidad de dinero recibido con el interés simple y la cantidad recibida con el interés compuesto. Con ello podemos observar sus diferencias.

Problema resuelto 12. Una persona invierte un capital de $10 000.00 a 10% anual durante cuatro años. a) Calcular el interés simple. b) Calcular el interés compuesto. Solución

a) Cálculo del interés simple Datos: Desarrollo: C = $10 000.00 I = Cni = 10 000(4)(0.10) = $4 000.00 T = 10% anual n = 4 años Incógnita I El monto a cuatro años será: M = C + I = 10 000 + 4 000 = $14 000.00 b) Cálculo del interés compuesto Datos: Desarrollo: Capital inicial $10 000.00 I = C1ni = 10 000 (1) (0.10) = $1 000.00 i = 0.10 anual n = un año Incógnitas I y M1 El monto al primer año es: M1 = C + I = 10 000 + 1 000 = $11 000.00 El monto obtenido en el primer año (M1) se convierte en el capital inicial del segundo año (C2). Datos: Desarrollo: M1 = C2 = $11 000.00 I2 = i = 0.1 anual I2 = 11 000 (1) (0.10) = $1 100.00 n = un año Monto final del segundo año es: M2 = 11 000 + 1 100 = $12 100.00 El monto del segundo año (M2) se convierte en el capital inicial en el tercer año (C3). Datos: Desarrollo: M2 = C3 = $12 100.00 I3 = 12 100 (1) (0.10) = $1 210.00 T = 0.1 anual n = un año Monto final al terminar el tercer año: M3 = 12 100.00 + 1 210.00 = $13 310.00 El monto del tercer año se convierte en el capital inicial en el cuarto año. Datos: Desarrollo: M3 = C4 = $13 310.00 I4 = 13 310 (1) (0.10) = $1 331.00 i = 0.10 anual n = un año Monto final al terminar el cuarto año: M4 = 13 310.00 + 1 331.00 = $14 641.00

93

UNIDAD

4

Interés compuesto Como observamos en los resultados del ejemplo, el interés compuesto es mayor que el interés simple, con un mismo capital, tasa y tiempo. La mejor forma de comparar los montos es dibujando la gráfica correspondiente.

Cuadro 4.5  Comparativa de interés simple e interés compuesto Año

Interés simple M = C [1 + ni ]

Interés compuesto M = C [1 + i]n

0

10 000

10 000

1

11 000

11 000

2

12 000

12 100

3

13 000

13 310

4

14 000

14 641

14 500 13 500 Interés simple

12 500

Interés compuesto

11 500 10 500 9 500 0

1

2 año

3

4

Figura 4.3  Comparativo de interés simple con interés compuesto.

El monto a interés compuesto crece en forma geométrica y su gráfica es una función exponencial, en donde para cada periodo existe un incremento que es mayor con respecto al periodo anterior, al hacer que la curva ascienda de izquierda a derecha cada vez con mayor velocidad. Su ecuación, como ya se indicó, es la de una función exponencial. M = C[1 + i]n En el interés simple el monto crece en progresión aritmética y la gráfica es una línea recta, en donde para cada periodo el incremento es constante. Su ecuación será la de una línea recta. M = C + (Ci ) n Y = b + mx El interés compuesto siempre será mayor que el interés simple, porque el primero gana intereses por sí mismo, mientras que el segundo no.

Problema resuelto 13. Melisa Reyes deposita en su cuenta de ahorro en Banejército la cantidad de $5 000.00 a una tasa de 7% durante tres años. ¿Cuál será el monto al final de los tres años? Solución

Cuadro 4.6



94

Periodos

Capital inicial ($)

Intereses ($)

Capital final ($)

1 2

5 000.00

350.00

5 350.00

5 350.00

374.50

5 724.50

3

5 724.50

400.71

6 125.21

Monto final al terminar el tercer año: M3 = 5 724.50 + 400.71 = $6 125.21

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Problema resuelto 14.  Calcular el monto de $10 000.00, pagaderos a cinco años y siete meses, a una tasa de 20% capitalizable semestralmente. a) Exacto b) Aproximado Solución

20% A.C.S.

a)

10 000

M 5 años y 7 meses

0

Figura 4.4  Cálculo del monto por el método exacto.

Datos: Desarrollo: C = $10 000.00

11.16

0.20   M = 10 000  1 + = 10 000 (1.1)11.16 = 10 000 ( 2.8969 ) = $28 969.59 n = 5 años 7 meses  2  11.16 T = 20% A.C.S. 0.20   M = 10 000  1 + = 10 000 (1.1)11.16 = 10 000 ( 2.8969 ) = $28 969.59 n = 5(12) + 7 = 67 meses 2  67 meses = 11.16 semestres 6 meses por semestre

20% A.C.S.

b)

20% A.C.S. 5 años y 6 meses

0

5 años y 7 meses

Figura 4.5  Cálculo del monto por el método aproximado. 5 años y 6 meses = 11 semestres 0.20   M = 10 000  1 +  2 

11

  1  11 1 + ( 0.20 )  12   = 10 000 (1.1) (1.016666 )  

M = 10 000 (2.85312)(1.016666) = 29 006.70

4.4  Valor actual o presente El valor actual es un concepto muy utilizado en las matemáticas financieras, porque permite conocer el valor en un determinado momento, de una cantidad que se recibirá, que deba pagarse o que se desea reunir en un tiempo futuro. A partir de la fórmula de monto en interés compuesto.

M = C (1 + i )n 4.3

Despejando a C se tiene:

C =

M (1 + i )n

4.6

O también puede escribirse como:

C = M (1 +i )-n 4.7  i C = M 1 +  p 

– np

4.8

C = M (e)-(nj∞) 4.9

Alerta El valor actual o presente es el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, para llegar a tener un cierto monto.

95

UNIDAD

4

Interés compuesto

Problema resuelto 15.  ¿Qué cantidad tiene que depositar hoy en un fondo de inversión que paga 9.4% capitalizable mensualmente para tener $8 000.00 dentro de cuatro años? Solución

Datos: Desarrollo: M = $8 000.00

 i T = 9.4% A.C.M. C = M  1 +  p  np = 4 (12) = 48

– np

0.094   = 8 000  1 +  12 

–48

C = 8 000(1.00783)-48 C = 8 000(0.6876) = $5 500.87

Problema resuelto 16.  Encuentra el valor presente de $20 000.00 a pagarse dentro de cuatro años a 4.2% compuesto. a) Diariamente b) Continuamente Solución

Capitalización diaria: Datos: Desarrollo: M = $20 000.00

 i T = 4.2% anual C = M  1 +  p  np = 4 (365) = 1 460

– np

0.042   = 20 000  1 +  365 

–1460

C = 20 000(1.000115)-1460 C = 20 000(0.84536) = $16 907.24 Capitalización continua Datos: Desarrollo: M = $20 000.00 C = M (e)-nj∞ = 20 000 (e) -0.168 i∞ = 0.042 anual C = 20 000(0.84535) = $16 907.08 n=4

Problema resuelto 17.  ¿Cuál es el valor presente de $64 000.00 invertidos 18 meses antes, a una tasa de 22% capitalizable bimestralmente? Solución

Datos: Desarrollo M = $64 000.00

− np

−9  i 0.22   = 64 000  1 + = 64 000 (1.03666 ) −9 = 64 000 ( 0.723 n = 18 meses C = M  1 +    p 6   T = 22% A.C.B. − np −9  i 0.22   C = M C 1+  = 64 000  1 + = 64 000 (1.03666 ) −9 = 64 000 ( 0.723182 ) Incógnita  p 6   C = $46 283.67

El valor 18 meses antes de $64 000.00 a esa tasa de interés es de $46 283.67.

96

Grupo Editorial Patria© ❚❚ 4.4.1 Tiempo El tiempo se puede calcular despejando “n” de la ecuación 4.4:  i M = C 1 +  p 



np

4.4

Despejando a “n” M  i = 1 +  C p 

np

Aplicando logaritmos  i M log   = log  1 +  C p 

Alerta

np

Propiedad de los logaritmos log (x)n = n log (x)

Empleando la propiedad de logaritmos

np =

n=



M log   C   i  log  1 +   p     M log   C

  i  p log  1 +   p    

4.10

Problema resuelto 18.  Un capital de $11 873.15 produce intereses a una tasa de 20% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $19 459.55? Solución

Datos: Desarrollo: C = $11 873.15 M = $19 459.55

T = 20% A.C.M. n = Incógnita n

M log   C   i  p log  1 +   p    

=

 19 459.55  log   11873.15  0.20     12 log  1 +  12   

=

log(1.63895 ) 12[log (1.01666 )]

=

0.214566 0.214566 = 12 ( 0.007178 ) 0.086143

 19 459.55  M log  log   C  11873.15  log(1.63895 ) 0.214566 0.214566 n = = = = = 0.20   12[log (1.01666 )] 12 ( 0.007178 ) 0.086143     i  p log  1 +   12 log  1 +  12   p      n = 2.4908 n = 2 años, 5 meses y 27 días

Problema resuelto 19.  ¿Cuánto tardarán $20 000.00 en acumular $36 000.00 de interés 4.9% capitalizable trimestral­ mente?

97

UNIDAD

4

Interés compuesto Solución

Datos: Desarrollo: C = $20 000.00 M = $36 000.00

T = 4.9% A.C.T. n = Incógnita n

M log   C   i  p log  1 +   p    

=

 36 000  log   20 000  0.049     4 log  1 +  4   

=

log(1.8 ) 4 [log(1.01225 )]

=

 36 000  M log  log   C  20 000  log(1.8 ) 0.255272 0.255272 n = = = = = 4 [log(1.01225 )] 4 ( 0.0052878 ) 0.021151 0.049       i  4 log  1 + p log  1 +      4 p       n = 12.06897 n = 12 años y 25 días

Problema resuelto 20.  ¿En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del: a) 14%? b) 10%? c) 5%? Solución

a) Datos: Desarrollo: M = $1.00 C = $0.50 p = uno n = T = 14% anual

 1  log   0.5  (1) [log (1.14 )]

=

log ( 2 ) (1) [log (1.14 )]

=

0.3010299 = 5.29 (1) ( 0.056905 )

Incógnita n n = 5 años, 3 meses y 14 días b) Datos: Desarrollo: M = $1.00 C = $0.50 p = uno n = T = 10% anual

 1  log   0.5  (1) [log (1.10 )]

= 7.27254

Incógnita n n = 7 años, 3 meses y 8 días c) Datos: Desarrollo: M = $1.00 C = $0.50 p = uno n = T = 5% anual

 1  log   0.5  (1) [log (1.05 )]

=

log ( 2 ) log (1.05 )

= 14.2066

Incógnita n n = 14 años, 2 meses y 14 días

En la capitalización diaria. ■■

Se debe entender que el mes es de 30 días, sino se indica el nombre del mes en la redacción del problema.

■■

Cuando en la redacción del problema dice el nombre del mes, se consideran los días calendario del mismo.

Ejemplo: marzo número de días 31, febrero en año bisiesto 29 días.

98

0.255272 0.2552 = 4 ( 0.0052878 ) 0.0211

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Problema resuelto 21.  ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $89 999.00, para alcanzar la cantidad de $94 800.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 4% capitalizable trimestralmente? Solución

Datos: Desarrollo: C = $89 999.00 M = $94 800.00 n = 4% A.C.T.

n=

Incógnita n

M log   C   i  p log  1 +   p    

=

 94 800  log   89 999  0.04     4 log  1 +  4   

=

log (1.053345 ) 4 [log (1.01)]

=

0.0225706 4 ( 0.00432137 )

 94 800  M log  log   C  89 999  log (1.053345 ) 0.0225706 n= = = = 4 [log (1.01)] 4 ( 0.00432137 ) 0.04       i  4 log  1 + p log  1 +    4   p      0.0225706 n = = 1.30576 0.0172855   n = 1 año, 3 meses y 20 días

Problema resuelto 22.  ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $21 000.00 a una tasa de 8% capitalizable continuamente y 6% capitalizable diariamente? Solución

Datos: Desarrollo: C = $17 000.00 21 000 = 17 000 e0.08 (n) M = $21 000.00

21 000 = e 0.08 ( n ) j∞ = 8% A.C. Continua 17 000 Incógnita n 1.235294 = e 0.08 (n) Fórmula: M = C e j∞(n) ln (1.235294) = ln (e 0.08 (n)) ln (1.235294) = 0.08 n 0.211309 = 0.08 n n =

0.211309 = 2.64 años 0.08

Con tiempo exacto (365 días) Datos: Desarrollo: j∞ = 6% A.C. Diaria

0.06   21000 = 17 000  1 + Incógnita n  365 

n

pn

n  i 21000  0.06  Fórmula: M = C  1 +  = + 1   p  365  17 000 

1.235294 = (1.00016438)n log (1.235294) = nlog (1.00016438) 0.091770373 = n (0.000071385) n =

0.091770373 0.000071385

n = 1 285.56 días n = 3.5222 años n = 3 años, 6 meses y 8 días

99

UNIDAD

4

Interés compuesto

4.5  Tasas equivalentes, efectivas y nominales ❚❚ 4.5.1  Cálculo de la tasa Es importante recordar que los periodos de la tasa de interés son periodos de capitalización y es en donde los intereses se acumulan al capital para que produzcan nuevos intereses.

Problema resuelto 23.  Banorte ofrece una tasa de interés de 4.6% capitalizable anualmente, mientras que Banco Aztek ofrece 4.6% con capitalización trimestral. ¿En qué banco es recomendable hacer la inversión? Solución

La respuesta es en el Banco Aztek, porque los intereses los pagan cada trimestre y al reinvertirse se ponen a trabajar el capital cuatro veces al año. Mientras que en Banorte solo se capitalizan los intereses una vez al año.

Para comprobar el resultado anterior, se debe conocer la tasa real de interés que se obtiene con cada inversión. Para conocer esta tasa i es necesario despejarla de la ecuación de monto. M = C (1 + i )n 4.11



Existen dos alternativas para despejar la tasa i; a continuación se muestran las dos.

n

Raíz

Logaritmos

M = ( 1 + i )n C

M = ( 1 + i )n C

M n = ( 1 + i )n C

 M log   = log ( 1 + i ) n C

M = 1+ i C

 M log   = n log ( 1 + i ) C

n



 M i =  n  − 1 4.11  C 

log ( 1 + i ) =

 M log   C n

  M   log  C    1 + i = antilog   n 



  M   log  C    − 1 4.11a i = antilog   n 

Problema resuelto 24.  Una inversión de $20 000.00 en 10 años cuadruplica su valor. Calcular la tasa anual. Solución

Datos: Desarrollo: C = $20 000.00

 80 000   M 4 n M = $80 000.00 i =  C  − 1 =  4 20 000  − 1 =  4  − 1 = 1.4142 − 1 = 0.4142     n = 10 años  80 000   M i = n  − 1 =  4 4  − 1 = 1.4142 − 1 = 0.4142  − 1 = 4 Incógnita i  C   20 000  i = 0.4142 Anual T = 41.42% Anual

100

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Problema resuelto 25.  Una inversión de $82 350.00 a 16 meses alcanzó un monto de $88 640.00. Calcular la tasa anual. Solución

Datos: Desarrollo: C = $82 350.00

 88 640   M 16 n M = $88 640.00 i =  C  − 1 = 16 82 350  − 1 =  1.0763813  − 1 = 1.004611 − 1     n = 16 meses  88 640   M i = n  − 1 = 16 1.0763813  − 1 = 1.004611 − 1  − 1 = 16 Incógnita i  C   82 350  i = 0.004611 Mensual T = 0.4611% Mensual T = 5.53%

Anual

❚❚ 4.5.2  Tasas equivalentes Las tasas equivalentes son aquellas que producen el mismo interés durante un año con diferentes periodos de capitalización.

Problema resuelto 26. ¿ A qué tasa de interés compuesto mensualmente producirá el mismo monto, que a 9.5% capitalizable trimestralmente? Solución

i   Monto acumulado a un año M1 = C  1 +  12 

12

tasa capitalizable mensualmente.

Monto acumulado en un año a 9.5% anual capitalizable trimestral: 0.095   M2 = C  1 +  4 

4

Igualando los montos:

M1 = M2



i   C 1 +  12 



i    1 + 12 



12



1+



i = (1.02375 )0.3333  − 1 12



i = 12 (1.007855 - 1)



i = 12 (0.007855)



i = 0.09426 anual convertible mensualmente

12

i    1 + 12 

12

0.095   = C 1 +  4 

0.095   = 1 +  4 

4

4

12

=

12

(1.02375 )4 4

i = (1.02375 ) 12 12

La tasa de 9.426% anual convertible mensualmente es equivalente a la tasa de 9.5% anual convertible trimestralmente.

101

UNIDAD

4

Interés compuesto

Problema resuelto 27. Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22% capitalizable mensualmente. Solución

0.22   Monto acumulado a 22% convertible mensualmente M1 = C  1 +  12 

12

i  Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente M2 = C  1 +   4

4

Igualando los montos:

M1 = M2



0.22   C 1 +  12 



4



0.22    1 + 12 



(1.018333)3 - 1 = 0.25i



i = (1.0560145 - 1)/0.25



i = (0.0560145)/0.25



i = 0.224



i = 22.4% anual convertible trimestralmente.

0.22    1 + 12 

12

i  = C 1 +   4

4

12

=

4

(1 + 0.25 i )4

3

= 1 + 0.25 i

La tasa de 22% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 22.4% anual capitalizable trimestralmente.

Problema resuelto 28.  Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimestralmente a una equivalente de 6.8% capitalizable mensualmente. Solución

0.068   Monto acumulado a 6.8% convertible mensualmente M1 = C  1 +  12 

12

i  Monto acumulado a una tasa convertible trimestralmente M2 = C  1 +   3 Igualando los montos:

102



M1 = M2



0.068   C 1 +  12 



3



0.068   1+  12 

0.068    1 + 12 

12

i  = C 1 +   3

3

12

=

3

(1 + 0.333 i )3

4

= 1 + 0.3333 i

3

Grupo Editorial Patria©

(1.00566667)4 - 1 = 0.3333i



i = (1.02286 - 1)/0.3333



i = (0.02286)/0.3333



i = 0.06858



i = 6.858% anual convertible cuatrimestralmente.

La tasa de 6.8% anual capitalizable mensualmente es equivalente a la tasa de 6.858% anual capitalizable cuatrimestralmente.

❚❚ 4.5.3  Tasa efectiva La tasa efectiva (e) capitalizable anualmente es equivalente a la tasa nominal (i ) compuesta en (p) periodos por año. [Tasa efectiva al cabo de un año] = [Tasa nominal en p periodos por año] Dividiendo ambos términos entre C se tiene:  i C (1 + e ) = C  1 +  p   i e = 1 +  p 



p

p

− 1 4.12

La tasa efectiva es la que actúa directamente sobre un periodo.

Alerta Tasa efectiva o rendimiento anual efectivo. Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que la tasa compuesta.

Problema resuelto 29. Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 12% capitalizable bimestralmente. Solución



T = 12% A.C. Bimestral



0.12   e = 1 + − 1 = (1.02 )6 − 1 = 1.126162 − 1 = 0.126162 6  



e = 12.62% anual

6

Es lo mismo invertir a 12% capitalizable bimestralmente que a 12.61% con capitalización anual.

Problema resuelto 30. Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 25.9% anual capitalizable semestralmente. Solución



T = 25.9% A.C. Semestral



0.259   e = 1 + − 1 = (1.1295 )2 − 1 = 1.27577 − 1 = 0.27577 2  



e = 27.58% anual

2

Es lo mismo invertir a 25.9% compuesto semestralmente que a 27.58% con capitalización anual.

103

UNIDAD

4

Interés compuesto

Problema resuelto 31.  Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 32.7% anual capitalizable trimestralmente. Solución

T = 32.7% A.C. trimestral 4

0.327   e = 1 + − 1 = (1.08175 )4 − 1 = 1.3693 − 1 = 0.3693 4   e = 36.93% anual Es lo mismo invertir a 32.7% compuesto trimestralmente que a 36.93% con capitalización anual.

❚❚ 4.5.4  Tasa nominal La tasa nominal se aplica para todo el año y es convertible en (p) periodos.  i e = 1 +  p 

p



p



 i e + 1 = 1 +  p  p



Alerta

e + 1 = 1+ 1

Advertencia



La tasa nominal es la tasa de interés anual fijada sin tomar en cuenta la capitalización.



( e + 1) p − 1 =

−1

i p

i p

1   i = p ( e + 1) p − 1

4.13

Problema resuelto 32. Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 9%. Solución

Datos: Desarrollo e = 9% i = 6[(0.09 + 1)1/6 - 1] = 6[(1.09)0.1666 - 1] = 6[1.01446 - 1] p = 6 i = 6(0.01446) = 0.0868 T = 8.68% El 8.68% compuesto bimestralmente es equivalente a 9% de interés efectivo.

Problema resuelto 33.  ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 18% capitalizable trimestralmente? Solución

Desarrollo: i    1 + 12 

104

12

0.18   = 1 +  4 

4

Grupo Editorial Patria© 4

1+

i = (1.045 ) 12 12

4   i = 12 (1.045 ) 12 − 1

i = 12[(1.045)0.3333 - 1] i = 12(0.0148) = 0.17737 i = 17.74% La tasa nominal de 17.74% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 18% capitalizable trimestralmente.

Problema resuelto 34.  ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente? Solución

i    1 + 12 

12

0.24   = 1 +  4 

4

4

1+

i = (1.06 ) 12 12

i = 12[(1.06)0.3333 - 1] i = 12[1.019612 - 1] i = 12(0.019612) i = 0.23535 i = 23.54% La tasa nominal de 23.54% convertible mensualmente será equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestralmente.

4.6  Ecuación de valor Una ecuación de valor en interés compuesto es la igualdad de dos conjuntos diferentes de obligaciones, la original y la propuesta en una fecha determinada en forma arbitraria; a la cual se le conoce como fecha focal, de comparación o fecha de evaluación (F.F.). Para resolver un problema utilizando la ecuación de valor, es necesario seguir los pasos que se describen a continuación: 1. Identificar el primer conjunto de obligaciones, el conjunto original, el cual es intercambiado por un segundo conjunto de obligaciones, el propuesto, que es diferente al original en lo referente a pagos y vencimientos. 2. Trasladar los dos conjuntos de obligaciones a una fecha focal. 3. Plantear una ecuación de valor igualando los dos conjuntos de obligaciones, para ello, ambos conjuntos deben de referirse a una misma fecha focal (F.F.). a) Cualquier suma de dinero puede determinarse a futuro con:

M = C (1 + i )n

b) Cualquier suma de dinero puede ser descontada, para poder anticipar su disponibilidad con:

C = M (1 + i )-n 105

UNIDAD

4

Interés compuesto

Problema resuelto 35. La compañía de bordados Viraza, S. A., tiene dos préstamos que debe pagar en fechas ya acordadas con Bancrédito. Después de realizar un minucioso estudio el nuevo administrador de la compañía decidió modificar la forma de pago a una sola exhibición, la cual fue fijada y acordada por ambas partes (F.F.). Solución

a) Se tiene que fijar un punto en el tiempo (fecha focal). b) La fecha focal es propuesta por el administrador para cubrir la deuda en un solo pago, para ello, deberá trasladar a esta fecha (F.F.), las dos deudas, utilizando las expresiones de valor presente o el valor futuro (monto), según sea el caso. Ver figura 4.6.

Alerta Conjunto de obligaciones Un conjunto de obligaciones puede estar constituido por una o más cantidades que se pagan o se reciben. A este conjunto de obligaciones también se le conoce como paquete de obligaciones o flujos de efectivo.

En la figura 4.6, X1 y X2 representan las fechas de pago de las dos deudas de la compañía Viarza, F.F. ubica la nueva fecha de pago (único) la cual cubrirá las dos deudas originales y está fijada en común acuerdo por Bancrédito y la Compañía Viarza, las flechas representan el traslado de las deudas en el tiempo. Para trasladar el flujo X1 a la F.F. se utiliza la expresión de monto C = M (1 + i )n y para el flujo X2 se utiliza la expresión de valor presente C = M (1 + i )-n.

F. F.

X2

X1 Tiempo Figura 4.6

En las ecuaciones de valor en interés compuesto los resultados del pago único o los pagos parciales no varían al cambiar la fecha focal. En el caso ya estudiado de las ecuaciones de valor en interés simple, al cambiar la fecha focal los resultados de los pagos van a ser diferentes.

Problema resuelto 36. E  l restaurante Totto tiene una obligación de $92 500.00 que vence en nueve años, a una tasa de interés de 11% convertible mensualmente. ¿Cuál es el valor de la deuda equivalente al final de: a) seis años? b) doce años? Solución

Datos: Desarrollo: a) T = 11% A.C.M. C6 años = M (1 + i )-n = 92 500(1 + 0.009166)-12(3) i = 0.009166 mensual

= 92 500(1.009166)-36 = 92 500 (0.72)

Un pago de $92 500.00 C6 años = $66 600 n = 9 años n6 = 6 años Fecha focal: a los seis años de la fecha de contratación de la obligación.

T = 11% A.C.M.



106

Flujo 1

F. F.

$92 000

0 Flujo 2

6

9

Figura 4.7

12 años

Grupo Editorial Patria© Datos: Desarrollo: b) T = 11% A.C.M. M12 años = C (1 + i )n = 92 500(1 + 0.009166)12(3) i = 0.009166 mensual

= 92 500(1.009166)36 = 92 500(1.38885)

Un pago de $92 500.00 M12 años = $128 468.22 n = 9 años n12 = 12 años Fecha focal: a los doce años de la fecha de contratación de la obligación.

T = 11% A.C.M. $92 000 0

6

9

F. F. 12 años

Figura 4.8

Es importante hacer notar que C6 años es equivalente a M12 años Desarrollo: C6 años = M12 años (1 + i )-6n = 128 468.22(1 + 0.009166)-12(6) = 128 468.22(1.009166)-72 C6 años = 128 468.22(0.518432) = $66 602.08

T = 11% A.C.M.

0

F. F.

$92 000

6

9

12 años

Figura 4.9

Problema resuelto 37.  La fábrica de hielo del Atlántico debe $100 000 pagaderos al final de 18 meses y $150 000 pagaderos al final de cuatro años. La tasa de interés que aplicó Bancrédito fue de 24% convertible trimestralmente. El contador de la fábrica le propuso al administrador de la misma dos alternativas para liquidar en un pago el adeudo. La primera el día de hoy y la segunda dentro de dos años. Solución

Datos: Desarrollo: a) T = 24% A.C.T. x = 100 000(1 + 0.06)-6 + 150 000(1.06)-16 i = 0.06 trimestral x = 100 000(0.70496) + 150 000(0.3936) Un pago x x = 70 496.05 + 59 046.94 n6 = 18 meses = 6 trimestres x = $129 542.99 n16 = 4 años = 16 trimestres Fecha focal: el día de hoy.

Pago

F. F. x 0

Deuda



T = 24% A.C.T.

6 $100 000

16 trimestres $150 000

Figura 4.10

107

UNIDAD

4

Interés compuesto Datos: Desarrollo: b) T = 24% A.C.M. x = 100 000(1 + 0.06)2 + 150 000(1.06)-8 i = 0.06 trimestral x = 100 000(1.1236) + 150 000(0.6274) Un pago x x = 112 360.00 + 94 111.86 n6 = 18 meses = 6 trimestres x = $206 471.86 n16 = 4 años = 16 trimestres Fecha focal: a los dos años = 8 trimestres.

T = 24% A.C.T. F. F. x $100 000 0

6

$150 000

8

16 trimestres

Figura 4.11

Problema resuelto 38.  El Centro Sport debe pagar $37 000.00 dentro de tres meses y $17 400.00 en ocho. El Centro Sport acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el sexto mes a una tasa de 28% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único. Solución

Datos: Desarrollo: T = 28% A.C. Mensual Flujo 1 = Flujo 2 Fecha focal: sexto mes. x = 37 000(1.023333)3 + 17 400(1.023333)-2 x = 37 000(1.0716) + 17 400(0.9549) x = 39 650.86 + 16 616.57 x = $56 266.44

T = 28% A.C.M. Flujo 1

0 Flujo 2

3 37 000

F. F. x

6

8 meses 17 400

Figura 4.12

Problema resuelto 39.  Para comprar un comedor con valor de $60 000.00, el Sr. José Soto decidió realizar dos pagos de $25 000.00, uno a los seis meses y el otro a doce. Los pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable trimestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $19 000.00, el segundo de $25 000.00 y el tercero por la diferencia; para este caso se acordó un interés de 24% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último pago? Solución

T1 = 22% A. C. Trimestral T2 = 24% A.C. Trimestral Fecha focal: nueve meses.

108

Grupo Editorial Patria© Deuda

T1 = 22% A.C.T.

60 000 0

6 25 000 + I

Pagos

12 meses 25 000 + I

Figura 4.13

Los pagos originales serían a los seis meses de: 25 000(1 + 0.055)2 = $27 825.62 y a los doce meses de: 25 000(1 + 0.055)4 = $30 970.61 Al renegociar la deuda, queda como se muestra en la gráfica 4.14.

T2 = 24% A.C.T.

Deuda

F. F.

27 825.62 0 Pagos

1 19 000

2 25 000

30 970.61 3 x

4 trimestres

Figura 4.14

Desarrollo 19 000(1.06)2 + 25 000(1.06)1 + x = 27 825.62(1.06)1 + 30 970.61(1.06)-1 21 348.40 + 26 500 + x = 29 495.16 + 29 217.56 47 848.40 + x = 58 712.72 x = 58 712.12 - 47 848.40 x = $10 864.32

Problema resuelto 40.  La casa de ropa deportiva Uribe compra mercancía con valor de $150 000. Acuerda con su acreedor realizar un pago de contado de $50 000 y $90 000 después de seis meses. La fábrica textil cobra intereses a 18% capitalizable mensualmente sobre saldos insolutos. ¿Qué pago final deberá realizar la casa de ropa deportiva al final de un año? Solución

Datos: Desarrollo: T = 18% A.C.M. x(1.015)12 = 100 000 + 90 000(1.015)-6 i = 0.015 mensual x(0.836387) = 100 000 + 90 000(0.914542) Deuda 150 000 - 50 000 = 100 000 x(0.836387) = 100 000 + 82 308.7973 x =

182 308.7973 0.836387

x = $217 971.82

Deuda

Pagos

F. F. 100 000 0 50 000

T = 18% A.C.M.

6 $90 000

12 meses x

Figura 4.15

109

UNIDAD

4

Interés compuesto

4.7  Tiempo equivalente El tiempo es equivalente cuando en una fecha determinada se puede cancelar, mediante un pago, la suma de los valores de un conjunto de obligaciones que tienen diferentes fechas de vencimiento.

Problema resuelto 41.  La química Susana Altamirano tiene que pagar las siguientes obligaciones de $18  000.00, $25 000.00 y $30 000.00 con diferentes fechas de pago en 3, 9 y 12 meses, respectivamente. La química acordó con el banco realizar un pago único en una fecha, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente. Solución

El pago único se determina a través del cálculo del tiempo equivalente. Para tener una idea más clara se grafica el problema, colocando los pagos en sus respectivas fechas de vencimiento y se ubica la fecha focal.

T = 24% A.C.M.

Deuda

F. F.

$18 000

$25 000

$30 000

3

9

12

0

. . .  . . . . . .  . . .

n meses

Tiempo

Figura 4.16

La fecha focal se determina de manera lógica, para este ejemplo se ubica en el doceavo mes, ya que en este, se cancelarán todas las obligaciones. El pago único será de 18 000 + 25 000 + 30 000 = $73 000 El tiempo entre el pago de $73 000 y la fecha focal en n, se obtiene planteando la siguiente ecuación de tiempo equivalente. Desarrollo: 18 000(1.02)9 + 25 000(1.02)3 + 30 000 = 73 000(1.02)n 18 000(1.195) + 25 000(1.0612) + 30 000 = 73 000(1.02)n 21 511.6662 + 26 530.20 + 30 000 = 73 000(1.02)n 78 041.866 = 73 000(1.02)n 78 041.866 = (1.02 )n 73 000 (1.02)n = 1.069066 n log (1.02) = log (1.069066) n (0.00860017) = 0.0290048 n=

0.0290048 0.00860017

n = 3.372584 meses n = 3 meses, 11 días Entonces, existen 3.372584 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente. Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (3 meses 11 días) = 8 meses y 19 días. El pago será de $73 000.00 y se realizará dentro de 8 meses y 19 días.

110

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 42.  El talabartero Ronaldo Montero es un pequeño fabricante de carpetas y llaveros de piel, requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Para ello, de­ cidió contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente manera: $40 000.00 con vencimiento en seis meses, $60 000.00 a ocho y $90 000.00 en 12 meses. El talabartero Ronaldo decide renegociar su deuda para realizar un pago único, a una tasa de 20% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente. Solución

T = 20% A.C.M.

Deuda

0

F. F.

$40 000

$60 000

$90 000

6

8

12

. . .  . . . . . .  . . .

n meses

Tiempo

Figura 4.17

La fecha focal se ubica en el doceavo mes, ya que en este se cancelarían todas las obligaciones. El pago único es de 40 000 + 60 000 + 90 000 = $190 000 El tiempo entre el pago de $190 000 y la fecha focal en n, se obtiene al plantear la siguiente ecuación de tiempo equivalente. Desarrollo: 40 000(1.016666)6 + 60 000(1.016666)4 + 90 000 = 190 000(1.016666)n 40 000(1.104256) + 60 000(1.068349) + 90 000 = 190 000(1.016666)n 44 170.24 + 64 100.95 + 90 000 = 190 000(1.016666)n 198 271.19 = 190 000(1.016666)n 198 271.19 = (1.016666 )n 190 000 (1.016666)n = 1.0435326 n log (1.016666) = log (1.0435326) n (0.0071783) = 0.018506 n=

0.018506 0.0071783

n = 2.57805 meses n = 2 meses y 17 días Entonces, existen 2.57805 periodos mensuales antes de la fecha focal, el tiempo equivalente para el pago único será el siguiente. Fecha pago único = (11 meses 30 días) - (2 meses 17 días) = 9 meses y 13 días. El pago único será de $190 000 y deberá pagarse dentro de 9 meses y 13 días.

Problema resuelto 43.  La embotelladora de agua Alpina adeuda al Banco Nacional $45 000.00 con vencimiento en tres meses y $15 000.00 con vencimiento en nueve. La embotelladora desea liquidar la deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente si la tasa de interés es de 30% capitalizable mensualmente?

111

UNIDAD

4

Interés compuesto Solución

60 000(1.025)x 0

3

9 meses

45 000

15 000

Figura 4.18

Desarrollo: 60 000(1.025)n = 45 000(1.025)-3 + 15 000(1.025)9 60 000(1.025)n = 45 000(0.928599) + 15 000(0.800728)-9 60 000(1.025)n = 41 786.97 + 12 010.92 60 000(1.025)n = 53 797.89 (1.025 )n =

53 797.89 60 000

(1.025)n = 0.89663159 n= n=

log ( 0.89663159 ) log (1.025 ) −0.04738596 = −4.41874 0.010723865

n = 4 meses y 13 días La embotelladora debe liquidar sus préstamos con un pago único de $60 000.00 dentro de cuatro meses y 13 días.

Problema resuelto 44.  El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero consiste en pagar de contado la cantidad de $248 500.00. El segundo es pagar un anticipo de $90 000.00 y el saldo en dos pagarés de $98 000.00 a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera en el banco el dinero a una tasa de 16% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene? Solución



248 500 90 000

98 000

98 000

0

6

12 meses

Figura 4.19.  Primero se necesita trasladar todas las cantidades al mismo tiempo.

Valor actual de los dos pagares 0.16   C1 = 90 000 + 98 000  1 +  12 

−6

0.16  −12  + 98 000  1 +  12 

C1 = 90 000 + 90 513.24 + 83 598.43 C1 = $264 111.67 Valor actual de la segunda propuesta. C2 = 264 111.67 - 248 500 = $15 611.67 Le conviene aceptar la primera propuesta, ya que tendrá un ahorro de $15 611.67 si compra ahora el automóvil.

112

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 45.  El señor Leonardo García firma un pagaré por la cantidad de $583 350.00, a plazo de trece meses, con una tasa de interés de 2% mensual. El señor García va a descontar el documento siete meses antes de su vencimiento, con una tasa de 1.8% mensual. ¿Cuál es el valor actual del documento? Solución

Calcular el valor de vencimiento del pagaré. Datos: Desarrollo: C = $583 350.00 M = 583 350(1.02)13 = 583 350(1.2936) = $754 625.43 T = 2% mensual n = 13 meses Incógnita M Se encuentra el valor actual a la fecha de descuento. Datos: Desarrollo: − np M = $754 625.43  i C = M 1 + = 754 625.43 (1.018 ) −7 = 754 625.43 ( 0.8826 ) = $666 034.91  T = 1.8% mensual p   n = 7 meses − np  i C = M  1C +  = 754 625.43 (1.018 ) −7 = 754 625.43 ( 0.8826 ) = $666 034.91 Incógnita p  Descuento compuesto 754 625.43 - 666 034.91 = $88 590.52

4.8 Inflación Es importante saber de qué manera se incorpora la inflación a un análisis financiero, ya que hasta este momento se ha estudiado en los dos capítulos el manejo del dinero sin considerar la inflación, o considerando un incremento tan bajo en los precios de los bienes o servicios que prácticamente este problema no se toma en consideración. ¿Qué efecto tiene la inflación en el poder adquisitivo? La respuesta es, el valor del dinero disminuye, por tanto el poder de compra. Lo anterior también se puede entender con un ejemplo: si con $64.00 se compran ocho gomas y cada una cuesta $8.00 en el mes de enero, con los mismos $64.00 en diciembre del mismo año solo se podrá comprar siete gomas y cada una costará $8.32. Entonces, el incremento en el precio de cada goma será 4% en un año; por tanto, la inflación para el caso de los gomas será 4% anual. En la economía de un país no solo se venden y producen gomas, también diferentes bienes y servicio. La inflación se representa por lo regular en términos del porcentaje que presenta la tasa de incremento de los precios en una quincena, mes o año, con respecto a los precios de la quincena, mes o año anterior.

Alerta Definición La inflación es el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios que se producen en un país, se simboliza con la letra griega l (lambda).

Problema resuelto 46.  Supón que la tasa de inflación anual se mantiene constante desde enero de 2006 hasta enero de 2015 (6.35%). Encontrar el precio de una silla para escritorio de piel en el mes de enero del 2015, si en el mes de enero del año 2006 costaba $6 700.00. Solución

Datos: Desarrollo: l = 6.35% anual M = C (1 + i )n C = $6 700.00 M = 6 700 (1 + 0.0635)9 n = 9 años M = 6 700 (1.0635)9 Incógnita M M = 6 700 (1.740353) M = $11 660.36 El costo de una silla de piel para escritorio en enero del año 2015 será de $11 660.36.

113

UNIDAD

4

Interés compuesto La inflación es un problema económico que tiene causas muy complejas.

Alerta Definición Deflación es cuando los precios de los bienes o servicios bajan.

Alerta Advertencia Cuando se habla de una inflación baja, no significa que se presente una deflación.

■■

El incremento de monedas y billetes circulantes, sin un incremento de la producción de bienes y servicios equivalente.

■■

Cuando se recurre a la emisión de dinero para cubrir el déficit presupuestal del gobierno.

■■

Si la demanda de un bien o servicio es mayor que la oferta los precios suben. Esto se debe al exceso de moneda circulante, ya que la gente tiene más dinero para comprar entonces la demanda aumenta.

Al hablar de una inflación baja, se debe entender como el incremento mínimo en los precios de los bienes o servicios en un periodo determinado; por ejemplo, una inflación anual de 0.5% o de 1.2%. La tasa de inflación se calcula con la siguiente expresión. I1 + lI1 = I2 4.14



I1 (1 + l) = I2

1+ λ =



λ=

I2 I1

I2 I1 − 1 4.15

l Tasa de inflación. I1 Índice de precios al inicio del periodo. I2 Índice de precios al final del periodo.

Problema resuelto 47.  Encontrar la tasa de inflación presentada de enero de 2009 a enero de 2014. Solución

Datos: Desarrollo: Índice Nacional de Precios al Consumidor l= Año Enero Índice



2009

13.11855899

I1

2014

17.98345675

I2

Incógnita l

I2 I1

−1

17.98345675 l= −1 13.11855899

l = 1.37084 - 1 l = 0.37084 l = 37.084%

Problema resuelto 48.  ¿Qué tasa de inflación acumulada se tendrá a finales de 2016? Si la inflación en el mes de enero de 2016 fue de 0.3564%, suponer que la tasa de inflación es la misma para todo el año. Solución

Datos: Desarrollo: l = 0.3564% mensual l = (1 + l)n - 1

4.16

Incógnita l1 l = (1 + 0.003564) - 1 12

l = 1.0436164 - 1 l = 0.0436164 l = 4.36164% anual

114

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Problema resuelto 49.  El señor Gómez desea comprar un refrigerador para su taller en el mes de enero de 2015, el refrigerador cuesta $8 400.00, un gasto imprevisto le impide comprar el refrigerador, por lo que se pregunta cuánto le costará en el mes de diciembre del mismo año, si la tasa anual acumulada constante fue de 4.76825% anual. Solución

Datos Desarrollo: C = $8 400.00 Costo + Inflación = Nuevo Costo n = 1 año Costo1 + l Costo1 = Costo2 l = 4.76825% anual (8 400) + (8 400) (0.0476825) = $8 800.53 Incógnita I2 (M)

Problema resuelto 50.  Encontrar la inflación en los dos primeros trimestres de 2015. Solución

Datos Desarrollo l = (1 + l1)(1 + l2)(1 + ln) - 1l Mes Inflación

l = (1.00003554)(1.00333173)(1.00450726) Enero 0.003554% (1.00356142)(1.00002512)(1.00095988) - 1 Febrero

0.333173%

Marzo

0.450726%

l = 1.0124757 - 1 l = 0.0124757 Abril

0.356142%

Mayo

0.002512%

Junio

0.095988%

l = 1.2476%

Incógnita l

l = (1 + l1)(1 + l2)(1 + ln) - 1



l1, l2, ln   Tasa de inflación por periodo

4.17

La inflación acumulada en los dos primeros trimestres de 2015 es de 1.2476%.

Problema resuelto 51. E  ste ejemplo muestra de qué manera se puede tomar una decisión para invertir el dinero en una institución bancaria con base al concepto de interés compuesto. El objetivo final de esta inversión será alcanzar a reunir la máxima cantidad de dinero a futuro para comprar o adquirir los bienes o servicios deseados. El historiador Arturo Moreno Camargo recibió la cantidad de $500 000.00 de una herencia. Él y su esposa María de los Ángeles analizaron en qué gastarían el dinero. Decidiendo utilizar $320 000.00 para realizar arreglos a su casa, $100 000.00 guardarlos para imprevistos y $80 000.00 invertirlos en una institución bancaria, con el objetivo de utilizar ese dinero para cuando su hijo Jesús Miguel ingresara a la universidad; ya que los costos de la inscripción, mensualidades y libros se incrementarán conforme trascurra el tiempo. En la actualidad Jesús Miguel tiene tres años de edad, para cuando ingrese a la universidad transcurrirán 15 años. Ellos deciden visitar tres instituciones financieras para decidir en cuál depositarán el dinero, la primera que visitaron fue Banorte. Esta les ofreció invertir a plazo fijo con interés de 12.5% capitalizable bimestralmente; la segunda fue Banejército, que ofreció invertir a plazo fijo con un interés de 11.6% capitalizable trimestralmente; el último, Bonos del Ahorro les ofreció ganar 15.6% capitalizable semestralmente. Suponiendo que las tres instituciones financieras ofrecen la misma liquidez. ¿Por cuál banco deben decidirse para invertir su dinero?, con el objetivo de que dentro de 15 años alcance el máximo monto. Considerar que la tasa de interés permanece constante durante todo el plazo y no hay inflación.

115

UNIDAD

4

Interés compuesto Solución

Se tienen que calcular las tres tasas anuales compuestas por mes para poder hacer la comparación. Pasos a considerar para tomar una decisión de inversión. • No es necesario conocer el capital con el que se cuenta. • L o que sí es importante es conocer la tasa anual para cada alternativa que se tenga (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro). • L a tasa anual se capitaliza con la misma frecuencia y debe ser equivalente a las alternativas presentadas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro). Primero calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banorte. i   Tasa i anual capitalizable cada mes M1 = C  1 +  12 

12

0.125   Tasa i anual capitalizable cada bimestre M2 = C  1 +  6 

6

Igualando M1 = M2

M1 = M2



i   C 1 +  12 



12



1+



i = (1.13169 ) 12 − 1 12



i = 12[(1.13169)0.0833 - 1]



i = 12(0.01036)



i = 12.43% anual convertible mensualmente

12

i    1 + 12  i = 12

12

0.125   = C 1 +  6 

6

12

=

12

(1 + 0.020833 )6

1.13169 1

Después calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Banejército. i   Tasa i anual capitalizable cada mes M3 = C  1 +  12 

12

0.116   Tasa i anual capitalizable cada trimestre M4 = C  1 +  4 

4

Igualando M3 = M4

116



M3 = M4



i   C 1 +  12 



12



1+

12

i    1 + 12  i = 12

12

0.116   = C 1 +  4 

4

12

=

12

(1 + 0.029 )4

1.1211443

Grupo Editorial Patria©

1



i = (1.1211443 ) 12 − 1 12



i = 12[(1.1211443)0.0833 - 1]



i = 12(0.009574)



i = 11.49% anual convertible mensualmente

Por último, calculamos la tasa anual compuesta mensualmente para Bonos del Ahorro. i   Tasa i anual capitalizable cada mes M5 = C  1 +  12 

12

0.156   Tasa i anual capitalizable cada semestre M6 = C  1 +  2 

2

Igualando M5 = M6

M5 = M6



i   C 1 +  12 



12



1+



i = (1.162084 ) 12 − 1 12



i = 12[(1.162084)0.0833 - 1]



i = 12(0.012597)



i = 15.12% anual convertible mensualmente

12

i    1 + 12  i = 12

12

0.156   = C 1 +  2 

2

12

=

12

(1 + 0.078 )2

1.162084 1

La mejor opción en la que conviene invertir es la de Bonos del Ahorro, ya que la tasa que ofrece de 15.6% anual capitalizable cada semestre es equivalente a una tasa de 15.12% anual capitalizable mensualmente, esta tasa mensual fue la más alta de las tres alternativas (Banorte, Banejército, Bonos del Ahorro). Para conocer la cantidad de dinero con que contarán dentro de 15 años, es necesario calcular el monto. Datos: Desarrollo: C = $80 000.00

np

 i  T = 15.12% A.C. Mensual M = C 1 +  p   15.12 = 1.26% mensual i = ( 15 )( 12 ) 0.1512  12  M = 80 000 1 + 12   n = 15 años Incógnita M M = 80 000[1 + 0.0126]180 M = 80 000[1.0126]180 M = 80 000[9.52415] M = $761 931.86 La cantidad de dinero con que contarán después de 15 años es de $761 931.86.

117

UNIDAD

4

Interés compuesto

Problema resuelto 52.  El comerciante Luis Eduardo Chavarría Barbosa cuando llevó a cabo su testamento, como acto de personalísima voluntad en una de sus cláusulas estipuló que $800 000.00 de sus bienes se aplicara en un fondo de inversión de bajo riesgo. Este dinero deberá ser entregado en partes iguales a cada uno de sus hijos como beneficiarios al cumplir la edad de 24 años. Cuando el señor Chavarría falleció sus hijos tenían 15,18 y 21 años, respectivamente. El fondo de inversión generó en promedio intereses de 10% con capitalizaciones semestrales. Solución

Datos: x el pago equitativo requerido Alejandro de 15 años recibirá $ x dentro de nueve años. Héctor de 18 años recibirá $ x dentro de seis años. Mónica de 21 años recibirá $ x dentro de tres años. La fecha focal para el cálculo de x se fija para hoy.

Flujo 1

T = 10% A.C.S.

F. F. $800 000 0  

12 x

6 x

18 semestres x

Flujo 2

Figura 4.20

Desarrollo: x (1.05)-6 + x (1.05)-12 + x (1.05)-18 = 800 000 x (0.7462) + x (0.5568) + x (0.4155) = 800 000 x (1.7185) = 800 000 x = $465 512.26

❚❚ Fórmulas empleadas Capitalización anual:

M = C (1 + i )n 4.1



I = Cni 4.2



M = C (1 + i )n

4.3

Capitalización fraccionaria:

 i M = C 1 +  p  

np

4.4

Cuando el periodo tiene el componente continuo (capitalización continuamente) M = Ce j∞(n)

4.5

Valor actual o presente:

118

C =

M

(1 + i )n

4.6



C = M (1 + i )-n



C = M (1 + i ) 4.8



C = M (e)-(nj∞) 4.9

4.7

-n

Grupo Editorial Patria© Tiempo:

n=



M log   C   i  p log  1 +   p    

4.10

Tasa: ˘  M i = n  − 1˙ 4.11  C  ˚



 M   log  C    − 1 4.11a i = antilog    n

Tasa efectiva:

 i e = 1 +  p 



p

− 1 4.12

Tasa nominal: i = [(1 + e)1/p] - 1



4.13

Inflación: I1 + lI1 = I2 4.14

Tasa de inflación:

λ=



I2 I1

− 1 4.15

Tasa de inflación acumulada constante: l1 = (1 + l)n - 1

4.16

l = (1 + l1)(1 + l2) … (1 + ln) - 1

4.17

Tasa de inflación acumulada variable: Tasa de inflación por periodo

l1, l2, … ln

❚❚ Nomenclatura LETRA

SIGNIFICADO

C

Es el capital inicial (valor actual)

n

Número total de periodos de capitalización

M

Monto (valor futuro)

T

Tasa de interés compuesto

e

Tasa efectiva

i

Tasa nominal

i

Interés compuesto al tanto por uno

(1 + i )

n

P

Factor de acumulación o factor de interés compuesto Frecuencia de capitalización

119

UNIDAD

4

Interés compuesto ❚❚ Glosario Actualizar.  Conociendo el monto se desea saber el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, durante un plazo determinado (ir del futuro al presente). Capitalizar.  Es cuando se agrega el interés al capital al final de un determinado periodo (ir del presente al futuro). Frecuencia de capitalización de intereses.  Periodo en el que se van a producir nuevos intereses (mes, bimestre, trimestre, semestre, etc.). A mayor frecuencia de capitalización mensual (12) bimestral (6) en un año, se obtienen más intereses. Interés compuesto.  Es el capital al que se le acumulan los intereses devengados al final del periodo, este da origen a un nuevo capital sobre el que se generan nuevos intereses. Liquidez.  Característica de ciertos activos que son fácilmente convertibles en efectivo; como son depósitos bancarios a la vista, activos financieros que pueden ser vendidos instantáneamente. Periodo de capitalización.  Es un intervalo regular, en el que se generan intereses, los cuales se le agregan al capital al final de éste. Tasa efectiva.  Es la tasa de interés simple que da el mismo rendimiento en un año que una tasa compuesta. Tasa nominal.  Es la tasa de interés anual, sin tomar la capitalización. Valor actual o presente.  Es el capital que es necesario invertir ahora, a una tasa de interés determinada, para llegar a tener un monto al final de un periodo dado.

UNIDAD

4

Problemas para resolver

Frecuencia de conversión 4.1  ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 18% capitalizable bimestralmente?

4.6  Encontrar el monto acumulado en dos años, si el capital es de $3 545.00 y se invierte a un tipo de interés del: a) 28% anual capitalizable semestral (A.C.S.)

4.2  ¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito que paga un interés de 7% capitalizable mensualmente?

b) 28% anual capitalizable trimestral (A.C.T.)

4.3  Si la tasa de interés es de 13.8% capitalizable trimestralmente durante dos años determinar:

4.7  Se desea conocer el monto acumulado, cuando el capital es de $18 000.00, invertido a 18% anual capitalizable bimestralmente, siendo el plazo de 18 meses.

a) frecuencia de capitalización. b) el interés por periodo. c) el número total de periodos de capitalización. 4.4  Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestralmente durante tres años determinar: a) frecuencia de capitalización. b) el interés por periodo. c) el número total de periodos de capitalización. 4.5  ¿Qué cantidad podrá tener Lorena García dentro de cuatro años, si invierte $5 800.00 en Banorte y los intereses que paga son de 1.8% trimestral? 120

Problemas aplicados a la realidad

c) 28% anual capitalizable mensual (A.C.M.)

4.8  Se invierten $15 500.00 durante 24 meses a una tasa de 7.56%, para comprar una computadora portátil, encontrar el valor acumulado. 4.9  El señor Martínez invirtió $22 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un interés de 9.7% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la tasa se modificó a 8% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años. 4.10  La bióloga Roxana Hernández obtuvo un préstamo bancario por $12 500.00 a un año y con un interés de 22% capitalizable bimestralmente. Ella decidió liquidarlo en forma anticipada habiendo transcurrido seis meses y medio. ¿Cuál será la cantidad que debe pagar? Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 4.11  La socióloga Alondra Rea invierte $19 500.00 en Banorte a un año y medio a una tasa de interés nominal de 4.5%. ¿Qué cantidad recibe al final del plazo?

4.23  ¿En cuánto tiempo se triplica un capital que se invierte al 23% capitalizable mensualmente?

a) Con capitalización bimestral.

4.24  En cuánto tiempo reduce un peso su valor adquisitivo a la mitad si se tiene una inflación del:

b) Con capitalización continua.

a) 50%

4.12  Si la tasa de interés es de 15% capitalizable semestralmente durante tres años determinar:

b) 30%

a) Frecuencia de capitalización.

d) 14%

b) El interés por periodo.

e) 10%

c) El número total de periodos de capitalización. 4.13  ¿Cuál será el valor presente de $11 600.00 invertidos nueve meses antes, a una tasa de 24% capitalizable mensualmente? 4.14  ¿Cuál será el valor presente de $28 000.00 invertidos 14 meses antes, a una tasa de 18% capitalizable bimestralmente? 4.15  ¿Cuánto debe depositar la estudiante Alejandra Martínez, si desea tener un monto de $14 600.00, dentro de tres años a una tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de graduación? 4.16  El contador Alejandro Herrera desea comprar un automóvil, para ello analiza dos planes de compra. El primero, es pagar de contado la cantidad de $125 000.00, y el segundo es pagar un anticipo de $50 000.00 y el saldo en dos pagarés de $45 210.00 cada uno a 6 y 12 meses. Si el contador invirtiera su dinero en un fondo de inversión a una tasa de 8.9% capitalizable mensualmente, ¿cuál de los dos planes le conviene? 4.17  Calcular el valor actual de $69 572.00, pagaderos a un año ocho meses, con una tasa de 24% capitalizable cada tres meses. 4.18  Calcular el valor actual de $25 840.00, pagaderos a un año ocho meses, a una tasa de 20% capitalizable cada tres meses. 4.19  Calcular el valor actual de $45 000.00, pagaderos a ocho meses y 13 días, a una tasa de 24.6% capitalizable mensualmente. 4.20  La señora Amanda García firmó un pagaré por la cantidad de $11 349.00, a plazo de un año, con una tasa de interés de 1.5% mensual. La señora García piensa descontar el documento cinco meses antes de su vencimiento, con una tasa de 18% con capitalización mensual. ¿Cuál será el valor actual del documento a los cinco meses? Calcular el valor de vencimiento del pagaré 4.21  ¿En cuánto tiempo un capital de $700.00 se convierte en un monto de $1 000.00 a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente? 4.22  Un capital de $19 870.00 produce intereses a una tasa de 24% capitalizable cada mes. ¿En cuánto tiempo la inversión llegará a $21 873.15? Problemas aplicados a la realidad

c) 17%

f ) 5% 4.25  ¿En cuánto tiempo un capital de $5 700.00 se convierte en un monto de $7 000.00 a una tasa de 15% capitalizable diariamente? 4.26  ¿Cuánto tiempo debe estar invertido un capital de $2 800.00, para alcanzar la cantidad de $3 999.00 incluyendo los intereses, si la tasa es de 8% capitalizable trimestralmente? 4.27  ¿En cuánto tiempo un capital de $17 000.00 se convierte en un monto de $19 000.00 a una tasa de 8% capitalizable bimestralmente? 4.28  El administrador Ramón Mendieta depósito en una institución financiera $600 000.00 y después de tres años y cuatro meses le entregarán la cantidad de $950 000.00. ¿Cuál es la tasa de interés bimestral que le dio la institución financiera a su inversión? 4.29  Una inversión de $10 000.00 en 10 años quintuplica su valor. Calcular la tasa anual. 4.30  Una inversión de $75 000.00 a 18 meses alcanzó un monto de $82 354.27. Calcular la tasa anual. 4.31  La tasa de 14.816% anual convertible mensualmente es equivalente a la de 15% anual convertible trimestralmente. 4.32  Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 21.8% capitalizable mensualmente. 4.33  Encontrar la tasa de interés convertible cuatrimes­ tralmente a una equivalente de 10.8% capitalizable mensual­ mente. 4.34  Encontrar la tasa de interés convertible bimestralmente a una equivalente de 8% capitalizable mensualmente. 4.35  Encontrar la tasa efectiva que corresponde a una tasa nominal de 22% capitalizable bimestralmente. 4.36  Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 18% anual capitalizable semestralmente. 4.37  Encontrar la tasa efectiva que se paga por un préstamo, a una tasa de interés de 12% anual capitalizable trimestralmente. 4.38  Encontrar la tasa nominal bimestral equivalente a una tasa de interés efectivo de 10%.

Problemas para resolver con tecnología

121

UNIDAD

4

Problemas para resolver

4.39  ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 24% capitalizable trimestral­ mente? 4.40  ¿Cuál será la tasa nominal convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14% capitalizable trimestral­ mente? 4.41  ¿Qué cantidad debe pagarse en un trimestre para saldar una deuda de tres pagos mensuales de $1 000.00 dada una tasa de 12% capitalizable mensualmente? 4.42  La contadora Alma Robles debe pagar $3 000.00 dentro de tres meses y $7 400.00 dentro de seis. Acuerda con su acreedor liquidar sus deudas mediante un pago único en el quinto mes a una tasa de 26.7% convertible mensualmente. Calcular el valor del pago único. 4.43  Un taller textil solicitará un préstamo de $2 000 000.00 dentro de dos años a pagar en uno y otro de $3 500 000.00 dentro de cuatro. La forma de pago será de la siguiente manera: el día de hoy paga $1 000 000.00 y posteriormente dos pagos iguales, el primero dentro de un año y el segundo a los tres años con una tasa de interés de 24% capitalizable bimestralmente. ¿Cuál fue el importe de cada pago? 4.44  Al adquirir un escritorio y tres libreros con valor de $30  000.00, el doctor Suárez decidió realizar dos pagos de $15  000.00, uno a los seis meses y el otro al año. Los pagos se harán más los intereses de 22% anual capitalizable

semestralmente. Después de tres meses decide renegociar la deuda y acuerda pagarla en tres pagos trimestrales: el primero de $9 000.00, el segundo de $15 000.00 y el tercero por la diferencia, para este caso se acordó un interés de 24% capitalizable trimestralmente. ¿Cuál será el valor del último pago? 4.45  El contador Salvador Rodríguez tiene que pagar las siguientes obligaciones de $5 000.00, $10 000.00 y $20 000.00 con diferentes fechas de pago de 3, 8 y 10 meses, respectivamente. El contador piensa realizar un pago único en una fecha determinada, con una tasa de 18% capitalizable mensualmente. 4.46  El ingeniero Pedro Morales es un pequeño fabricante de llaveros que requiere introducir nuevos modelos con el objetivo de aumentar las ventas de su empresa. Decide contraer una deuda con una institución bancaria de la siguiente forma: $20 000.00 con vencimiento en cinco meses, $30 000.00 a ocho meses y $40 000.00 con vencimiento en 12 meses. Al empresario le interesa realizar un pago único, con una tasa de 24% capitalizable mensualmente. Encontrar el tiempo equivalente. 4.47  La compañía productos de agrícola, adeuda al banco $35 000.00 con vencimiento a dos meses y $25 000.00 con vencimiento a seis meses. La compañía desea liquidar la deuda hoy con un pago único. ¿Cuál será el tiempo equivalente suponiendo un interés de 2% mensual?

PROBLEMAS RETO 1

Problemas complementarios de interés compuesto Si la tasa de interés es de 10% capitalizable semestralmente durante tres años determinar: a) frecuencia de capitalización. b) el interés por periodo. c) el número total de periodos de capitalización.

122

2

El director de la escuela invirtió $42 000.00 en Bansur, por un plazo de cuatro años, con un interés de 12% capitalizable trimestralmente. Después de dos años y medio de inversión la tasa se modificó a 15% convertible mensualmente. Encontrar el monto al final de los cuatro años.

3

¿Cuánto debe depositar una persona, si desea tener un monto de $16 600.00, dentro de tres años a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente para su fiesta de graduación?

4

¿En cuánto tiempo un capital de $7 530.00 se convierte en un monto de $7 980.00 a una tasa de 15% capitalizable diariamente?

5

Una inversión de $7 000.00 en tres años triplica su valor. Calcular la tasa anual.

6

Encontrar la tasa de interés convertible trimestralmente a una equivalente de 22.5% capitalizable mensualmente. Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

UNIDAD

5

Anualidades OBJETIVOS Comprenderá el concepto de anualidad y su aplicación. Identificará los diferentes tipos de anualidades como son las simples, vencidas u ordinarias, anticipadas, diferidas, generales y a perpetuidad. Resolverá problemas de anualidades determinando el valor del dinero a través del tiempo: • Monto • Capital y valor presente • Plazo • Renta

¿QUÉ SABES?

¿Sabes qué significa el término anualidad? ¿Qué entiendes por una anualidad a perpetuidad o perpetua? ¿Sabes cuándo se efectúan los pagos en una anualidad ordinaria? ¿Qué nombre recibirá la anualidad, en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo? ¿En una anualidad diferida sabes qué es el periodo de gracia o periodo de diferimiento? Los periodos de capitalización de la tasa de interés, son periodos en donde los ______________. ¿Sabes cómo se llama la anualidad, cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización?

UNIDAD

5

Anualidades

5.1 Introducción Alerta El término anualidad o renta: • Es la suma fija que se entrega o recibe en forma anual durante un periodo o en forma perpetua. • E n términos bancarios la anualidad es una cuota anual de devolución de un pago a un préstamo, en el cual normalmente se incluyen el capital y los intereses.

En la actualidad, el término anualidad se encuentra muy arraigado en la matemática financiera, siendo esta una sucesión de pagos iguales que se realizan al final de cada año. El concepto de anualidad también se emplea en periodos de pago cuya frecuencia puede ser: semestral, trimestral, bimestral, mensual, quincenal, semanal, diaria o cualquier otra. En los siguientes casos se efectúan una serie de pagos iguales, a intervalos iguales, en un plazo de­ terminado por el deudor y acreedor. En lugar de realizar pagos anuales durante un plazo determinado. El pago mensual por compra a crédito de un automóvil, el pago mensual a tarjeta de crédito por la compra de un servicio o artículo a meses sin intereses, el pago mensual por la renta (anticipada) de una casa habitación, el abono mensual por dividendo de acciones, los abonos a un fondo de amortiza­ ción, el descuento se le realiza al trabajador vía nómina para el pago quincenal de un seguro de vida o para el pago a fonacot por un artículo del hogar adquirido por el trabajador, el pago mensual de cuo­ tas al imss por parte del patrón. Definición La anualidad es una serie de pagos, depósitos o retiros iguales que se efectúan a intervalos iguales con interés compuesto. Cuando los periodos de pago son menores a un año se acostumbra utilizar el término renta para realizar el pago de una anualidad. Definición La renta en una anualidad es el pago, depósito o retiro que se realiza en forma periódica y se simboliza con la letra R.

                              

Plazo de la anualidad R

R

R

R

0

1

2

3

4 años

       

C

Intervalo o periodo de pago

Figura 5.1  Plazo de la anualidad, renta e intervalo.

Es importante aprender el significado de los siguientes conceptos: Periodo o intervalo de pago es el tiempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo de la anualidad es el tiempo transcurrido desde la fecha inicial del primer pago hasta la fecha final del último pago. Clasificación de las anualidades

Cuadro 5.1  Clasificación de las anualidades Criterio

Tipo de anualidad Cierta  Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

Tiempo

Interés

Contingentes o eventual La fecha del primer pago, segundo o ambos no se determinan con anterioridad, esto va a depender de que el suceso ocurra, pero se desconoce la fecha. Simple  Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. General  El periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Vencido u ordinario  Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.

Pagos

Anticipados  Los pagos se efectúan al principio de cada periodo o intervalo. Inmediatos  El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la formalización del trato.

Iniciación

124

Anticipada  Es aquella en la que los pagos se realizan al principio de cada periodo. Diferida  Se pospone la realización de los pagos. No se realizan a partir del primer periodo.

Grupo Editorial Patria©

5.2  Anualidades a perpetuidad o anualidad perpetua Es otro tipo de anualidad, con la característica de que no se conoce cuándo se realizará el último pago de la renta (o por tiempo ilimitado).

5.3  Anualidades vencidas Existen varios tipos de anualidades vencidas, entre las más comunes encontramos: Anualidad simple Se conoce así porque el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses. Anualidad cierta

Donde las fechas de pago se determinan con anterioridad y son fijas.

Anualidad vencida

Consiste en efectuar los pagos al vencimiento del periodo.

Anualidad inmediata

Se presenta cuando se realiza el pago en el primer periodo después de la formalización del trato.

En el cuadro 5.2 se explica cómo identificar los diferentes tipos de anualidades vencidas cuando son planteadas para resolver un ejemplo o problema:

Cuadro 5.2  Forma de identificar la anualidad vencida Criterio

Anualidad vencida

Ejemplo

Tiempo (Cierta)

Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

Al final del mes (el día 28 o 30 o 31).

Plazo

Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.

El plazo puede ser de dos años.

Iniciación (Inmediata)

El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato).

Al final del mes de mayo (el día 31).

Pagos

Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.

•  Al final del mes. •  El día último del mes. •  El día 31 del mes (el periodo que comprende del día 1 al día 31 de mayo).

Interés (Simple)

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Periodo de pago de un mes y la tasa de interés es de 10% anual convertible mensualmente.

Alerta A la anualidad vencida también se le conoce como anualidad ordinaria.

❚❚ 5.3.1  Monto en anualidades vencidas El ejemplo que se presenta a continuación permitirá comprender cómo calcular el monto de una anualidad mediante varios depósitos de renta fija. Primero se encontrará la solución utilizando los co­ nocimientos de progresiones, interés compuesto y de ecuaciones equivalentes y después se obtendrá la expresión para calcular el monto de la anualidad vencida.

Problema resuelto 1. Para incrementar el saldo promedio mensual se depositará una cantidad mínima de $150.00 mes con mes y por medio de ellos poder escalar en los niveles de ahorro que le permitan participar en sorteos bimestrales para poder ganar un premio, el alumno Alejandro Ortiz se pregunta, ¿qué cantidad de dinero necesitaría acumular en un año si depositara $150.00 al final de cada mes en una cuenta de inversión que rinde 4.8% anual convertible mensualmente?

125

UNIDAD

5

Anualidades Solución

Datos T = 4.8% anual R = $150.00 n = 12 meses Incógnita M

M=? 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 150 0

1

2

3

5

4

6

7

8

9

10

11

12 meses

Figura 5.2  Plazo de la anualidad, renta e intervalo (de tiempo).

1. Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equivalentes: Poner los datos en el orden de la serie: M=$  150.00(1.004)11 + $150.00(1.004)10 + $150.00(1.004)9 + $150.00(1.004)8 + $150.00(1.004)7 + $150.00(1.004)6 + $150.00(1.004)5 + $150.00(1.004)4 + $150.00(1.004)3 + $150.00(1.004)2 + $150.00(1.004)1 + $150.00(1.004)0 Cambiando el orden de la serie se tiene: M=$  150.00 + $150.00(1.004)1 + $150.00(1.004)2 + $150.00(1.004)3 + $150.00(1.004)4 + $150.00(1.004)5 + $150.00(1.004)6 + $150.00(1.004)7 + $150.00(1.004)8 + $150.00(1.004)9 + $150.00(1.004)10 + $150.00(1.004)11 M = $1 840.13 Al estar el orden invertido se puede ver que el monto es una serie geométrica. La serie geométrica se define como: S = t1

n (1 − r n ) t 1 − t 1r = 1− r 1− r

Donde:

Cuadro 5.3  Serie geométrica S

Suma

t1

Primer término

r

Razón

n

Número de términos

Al sustituir la simbología de anualidades en la serie geométrica se tiene:

Cuadro 5.4  Serie geométrica de una anualidad Serie geométrica

Anualidad

S

Suma

M

Monto

t1

Primer término

R

Renta

r

Razón

(1 + t)

Razón

n

Número de términos

n

Periodo

Utilizando la siguiente forma algebraica:

126

M =

R − R (1 + i )n 5.1 1 − (1 + i )

Grupo Editorial Patria© Simplificando en forma algebraica se obtiene:  (1 + i )n − 1 M = R  5.2   i

R = pago periódico de la anualidad

n = número de periodos de conversión de interés durante el tiempo de la anualidad i = tasa de interés por periodo de conversión M = Valor acumulado o suma de una anualidad Valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de n pagos de $1 cada uno valor acumulado de $1 por periodo.  (1 + i )n − 1 Factor de acumulación de n pagos     i La ecuación 5.2 permite obtener el cálculo del monto de una anualidad simple, cierta, vencida e inme­ diata. 2. Cálculo del monto de la anualidad vencida con las fórmulas 5.1 y 5.2: a) Se utiliza la fórmula 5.1:

S =

$150.00 − $150.00 (1.004 )12 $150.00 − $150.00 (1.04907 ) = −0.004 1 − 1.004



S =

$150.00 − $157.3605 −7.3605 = = $184 40.125 −0.004 −0.004

b) Ahora se emplea la fórmula 5.2:  (1.004 )12 − 1  1.04907 − 1  0.04907  = $150.00  M = $150.00   = $150.00    0.004  0.004   0.004    M = $150.00(12.268) = $1 840.13

Problema resuelto 2. El hermano del arquitecto Demetrio Duarte deposita cada tres meses $50 000.00 en su cuenta de inversión, la cual paga 1.32%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de marzo de 2017, si el primer depósito se realizó el 31 de marzo de 2013? Solución

Datos: R = $50 000 Incógnita M T = 1.32% A.C.T. i = 0.0033 trimestral n = 17 trimestres  (1 + i )n − 1 M = R    i  (1.0033 )17 − 1  0.058203   1.058203 − 1 = 50 000.00  = 50 000.00   = 50 000.00  0.0033   0.0033    0.0033  M = 50 000(17.63735) = $921 522.16

127

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 3. Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $40 000 anuales durante seis años, a una tasa de interés de 18%. Solución

Datos Desarrollo: R = $40 000

 (1.18 )6 − 1  (1 + i )n − 1  2.699554 − 1  = 40 000   = 40 000   = 40 000 T = 18% A M1 = R   0.18 i 0.18    n = 6 años  (1.18 )6 − 1  (1 + i )n − 1  2.699554 − 1  1.699554  Incógnita M1 = R  M = 40 000   = 40 000   = 40 000    0.18 i 0.18      0.18  M1 = 40 000(9.441967) = $377 678.70

Problema resuelto 4. Para abrir una cuenta de inversión en Banejército se requiere depositar $3 000 y mantener un saldo promedio de $1 500 mensuales. El capitán Antonio Suárez abre una cuenta el 1 de febrero en Banejército, a partir de 1 de marzo 2013 empieza a realizar depósitos de $400 mensuales duran­ te seis años. El primero de marzo de 2019 empezará a realizar retiros de $300 mensuales durante cuatro años. ¿Cuál es el saldo que tendrá el capitán Suárez en su cuenta de inversión después de haber realizado el último retiro (1 de febrero de 2023) si la tasa de interés es de 4.5% convertible mensualmente. Solución



$3 000

400

1 feb 13

1 mar 13

M=? 300

T = 4.5% A.C.M. 300 400 . . .  . . .

1 feb 19

1 mar 19

. . .  . . .

1 mar 23

Figura 5.3.

M = M1 + M2 - M3 M = 4 700.98 + 32 992.33 - 15 745.15 M = $21 948.16 0.045   M1 = 3 000 1 + 12  

120

= 3 000 (1.00375 )120 = 3 000 (1.566992 )

M1 = $4 700.98  (1.00375 )72 − 1  0.309303   1.309303 − 1 M2 = 400   = 400   = 400  0.00375  0.00375  0.00375    M2 = 400(82.48082) = $32 992.33  (1.00375 )48 − 1  0.196814   1.96814 − 1 M3 = 300   = 300   = 300  0.00375  0.00375  0.00375    M3 = 300(52.483833) = $15 745.15

❚❚ 5.3.2  Valor actual (A) o presente (VP) en anualidades vencidas

Problema resuelto 5. ¿Cuál es el valor actual de una renta mensual de $2 000 si los depósitos se realizaron al final de cada mes durante seis meses en la institución financiera Banejército que ofrece una tasa de interés de 12% anual capitalizable mensualmente?

128

Grupo Editorial Patria© Solución:

C=? 2 000

2 000

2 000

2 000

2 000

2 000

1

2

3

4

5

6

0

2 000

Figura 5.4  Anualidad, renta e intervalo de tiempo.

Datos R = $2 000 T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n=6 Incógnita A 1. Utilizando los conocimientos previos de progresiones, interés compuesto y ecuaciones equiva­ lentes: a) Poner los datos en el orden de la progresión: A = 2 000(1.01)-1 + 2 000(1.01)-2 + 2 000(1.01)-3 + 2 000(1.01)-4 + 2 000(1.01)-5 + 2 000(1.01)-6 A = $11 590.95

Cuadro 5.5  Progresión geométrica de una anualidad Progresión geométrica

Anualidad

S

Suma

Valor actual

t1

Primer término

R(1 + i )

Primer término

R

Razón

(1 + t)-1

Razón

n

Número de términos

n

Periodo

A -1

b) Serie geométrica S = t1

n (1 − r n ) t 1 − t 1r = 1− r 1− r

c) Sustituyendo en la serie geométrica la simbología de anualidades término por término, se ob­ tiene: A =

R (1 + i ) −1 − R (1 + i ) −1 (1 + i ) −1 

n

1 − (1 + i ) −1

d ) Simplificando algebraicamente obtenemos la siguiente relación:

 1 − (1 + i ) − n  A = R  5.3   i

Con la ecuación 5.3 se obtiene el cálculo del valor actual de las anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas.

Problema resuelto 6. Cálculo del valor actual de la renta mensual empleando la ecuación 5.3: Datos R = $2 000.00 Incógnita C T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n=6

129

UNIDAD

5

Anualidades Solución:



 1 − (1 + i ) − n  A = R    i  1 − ( 1.01) −6   1 − ( 0.942045 )   0.0579547  = 2 000   = 2 000   = 2 000  0 01 0 . 01 0.01  .     



A = $2 000(5.795476) = $11 590.95

Problema resuelto 7. Encontrar el valor actual pagado por un calentador solar si se dio un enganche de $2 500 y se rea­ lizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 300 y un séptimo pago de $1 000. La tasa de interés pactada es de 24% capitalizable mensualmente. Solución

A=?



2 500

2 300

2 300

2 300

2 300

2 300

2 300

1 000

0

1

2

3

4

5

6

7

Figura 5.5 Anualidad.

Datos: Desarrolllo: Enganche = $2 500 El valor actual pagado por el calentador solar sería: R = $2 300

 1 − ( 1.02 ) −6  −7 Séptimo pago = $1 000 A = 2500 + 2 300   + 1000 ( 1.02 ) 0.02   T = 24% A.C.M. n = 6 meses A = 2500 + 2 300  1 − 0.887971 + 1000 ( 0.87056 )   0.02 Incógnita A i = 0.02 mensual A = 2 500 + 2 300(5.601431) + 870.56 A = 2 500.00 + 12 883.29 + 870.56 = $16 253.85

Problema resuelto 8. El señor Juan Alberto firmó un contrato con una mueblería por la compra de una sala, esta le pidió de enganche $4 000 y pagos mensuales de $480 durante cinco años, con una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. El señor Juan Alberto no realizó los primeros siete pagos. ¿Cuán­ to debe pagar en el octavo mes para saldar el total de la deuda? Solución

Sea X el pago requerido al señor Juan Alberto, este debe realizar los ocho primeros pagos más el valor descontado de 60 - 8 = 52.

480

480

X 480

1

... 7

8

9

60

                               

0

480

480

... 8 pagos

130

Figura 5.6 Anualidad.

52 pagos

Grupo Editorial Patria©

 (1.01)8 − 1  1 − (1.01) −52   1.0828567 − 1  1 − 0.596058  X = 480  + 480   + 480   = 480    0.01  0.01 0.01 0.01         0.0828567   0.403942  X = 480  + 480   = 480 ( 8.28567 ) + 480 ( 40.394194 ) = 3 977.12 + 19 389 0.01    0.01  X = $23 366.34

Problema resuelto 9. La distribuidora AMAC firmó un contrato con la fábrica Tremek por la compra de herramienta. La distribuidora dio un enganche de $300 000 y pagos mensuales de $35 000 durante seis años, a una tasa de interés de 12% capitalizable mensualmente. Al principio del cuarto año después de haber realizado 36 pagos el contrato es vendido a Banorte a un precio que rinde al comprador 15% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuánto debe pagar Banorte? Solución



 es el precio que debe pagar el comprador. X es el valor descontado de los 72 - 36 = 36 pagos a X una tasa de 15% capitalizable mensualmente.



 1 − (1.0125 ) −36   1 − 0.63941  0.36059  X = 35 000   = 35 000   = 35 000  0.0125  0.0125    0.0125   



X = 35 000(28.847267) = $1 009 654.35

Alerta Valor Presente Neto (VPN) o next present value (NPV) El valor presente neto se calcula realizando la diferencia del valor presente de las entradas de efectivo y el valor presente de las salidas de efectivo. El valor negativo del VPN representa costos para la empresa.

Problema resuelto 10. La panificadora La Espiga analiza la posibilidad de adquirir una nueva batidora con valor de $80 000, se estima que el valor de salvamento sea de $12 000 al final de 10 años. Los costos de los seguros contra robo y mantenimiento del equipo $400 pagaderos al final de cada mes. La misma batidora se puede arrendar por 10 años por $1 500 mensuales de arrendamiento, este incluye el seguro contra robo y de mantenimiento, el arrendatario gana 18% capitalizable mensualmente sobre su capital. El administrador de la panadería debe tomar una decisión entre comprar o rentar la batidora. Solución

Para cada caso se debe calcular el Valor Presente Neto (VPN) VPN = Valor presente de entradas en efectivo - Valor presente de salidas en efectivo   1 − (1 + 0.015 ) −120 −120 − 80 000 + 400  VPN de Compras = 12 000 (1.015 ) 0.015  

   

VPN de Compras = 2 010.28 -[80 000.00 + 400(55.498454)] VPN de Compras = 2 010.28 - (80 000.00 + 22 199.38) VPN de Compras = 2 010.28 - 102 199.38 VPN de Compras = -$100 189.1  1 − ( 1 + 0.015 ) −120  VPN de Renta = 1500   0.015   VPN de Renta = 1 500(55.498454) VPN de Renta = $83 247.68 Como el VPN de renta es de menor valor absoluto que el VPN de compra, entonces la panifi­ cadora La Espiga debe rentar la batidora.

131

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 11. La psicóloga María José Flores para saldar la deuda de una beca-crédito contraída con la Universi­ dad del Caribe para realizar su tesis, acuerda realizar 18 pagos de $800 al final de cada trimestre y un pago final de $389.50 nueve meses después, la tasa de interés compuesto trimestralmente es de 24%. ¿Cuánto adeuda la psicóloga María José Flores? Solución

X 800

800

800

800

17

18

389.50

... 1

2

                    

0

18 pagos

19

20

21 Trimestres un pago final

Figura 5.7 Anualidad.



 1 − (1.06 ) −18   1 − 0.350344  −21 X = 800  + 389.50 (0.294155) = 800   + 389.50 (1.06) 0.06 0.06      0.649656  X = 800  + 114.573529 = 800 (10.8276 ) + 114.57 = 8 662.08 + 114.57  0.06  X = $8 776.65

❚❚ 5.3.3 Renta La renta es el pago periódico de la misma cantidad que se realiza en tiempos iguales. Para calcular el valor de una renta se analizan primero los datos del problema para identificar si se conoce el valor del monto o del valor actual. Si se conoce el valor del valor futuro (M), se deberá despejar la renta de la ecuación 5.2:  (1 + i )n − 1 M = R  5.2   i

Obteniendo la ecuación:

R =



M (i ) (1 + i )n − 1

5.4

Cuando el capital o el valor actual (A) se conocen, se despeja la renta de la ecuación 5.3:  1 − (1 + i ) − n  A = R  5.3   i

Se obtiene:

R =



A (i ) 1 − (1 + i ) − n

5.5

Problema resuelto 12. ¿Cuánto debe aportar la señora Andrea Méndez al final de cada mes en la caja de ahorros de su trabajo, si desea hacerle arreglos a su baño y cocina dentro de tres años? Ella estima que en el último depósito debe contar con una cantidad acumulada de $95 000.00. La tasa de interés que aplica la caja de ahorros es de 4% mensual.

132

Grupo Editorial Patria© Solución

Datos M = $95 000.00 Incógnita R n = 3 años = 36 meses i = 0.04 mensual R =

M(i ) ( 1 + i )n − 1

=

95 000 ( 0.04 ) ( 1.04 )36 − 1

=

3 800 4.103933 − 1

=

3 800 3.103933

= $1 224.25 mensual

Problema resuelto 13. ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el sociólogo Alejandro Fuentes durante los próximos seis años para acumular $800 000, ya que desea dar el enganche para una casa de interés social? Una institución Banorte le ofrece una tasa de interés de 8.5% convertible mensual­ mente. Solución

Datos M = $800 000 Incógnita R n = 6 años = 72 meses i = 0.0070833 mensual R =

M(i ) n

(1 + i ) − 1

=

800 000 ( 0.0070833 ) (1.0070833 )

72

−1

=

5 666.64 5 666.64 = = $8 556.08 mensual 1.662296 − 1 0.662296

Problema resuelto 14. El Capitán Solís solicita a Banejército un crédito de seis meses de su sueldo. La cantidad que le deposita en su cuenta de inversión la Secretaría de Marina es de $30 000 quincenales. El contrato firmado con Banejército establece que los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de 18 meses, y una tasa de interés de 24% anual convertible quincenalmente. El pago quincenal no incluye el iva. ¿Cuánto debe pagar el Capitán Solís quincenalmente? Solución

Datos M = 30 000(12) = $360 000 Incógnita R n = 18 meses = 36 quincenas T = 24% A.C. Quincenal R =

M(i ) n

(1 + i ) − 1

=

360 000 (0.24/24) (1.01)

36

−1

=

3 600 1.430768 − 1

=

3 600 0.430768

= $8 357.15 quincenal

Problema resuelto 15. La pastelería El Globo en su sucursal de Cd. Jardín estima que será necesario cambiar el horno de pan dentro de 12 años, a un costo $680 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión si el banco ofrece una tasa 4.0% anual? Solución

Datos M = $680 000 Incógnita R n = 12 años T = 4% anual R =

M(i ) ( 1 + i )n − 1

=

680 000 ( 0.04 ) (1.04 )12 − 1

=

27 200 1.601032 − 1

=

27 200 0.601032

= $45 255.47 anual

133

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 16. El señor José Acevedo compra a crédito un multifuncional de $4 990 más iva. El señor Acevedo acuerda pagarla en 12 mensualidades vencidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le cobran es de 1.8% mensual? Solución

Datos A = $4 990.00 + iva Incógnita R A = $4 990.00 + $798.40 A = $5 788.40 n = 12 meses T = 1.8% mensual R =

A (i ) 1 − ( 1 + i )− n

=

5 788.40 ( 0.018 ) 1 − ( 0.018 ) −12

=

104.1912 104.1912 = = $ 540.65 mensual 1 − 0.8072846 0.192715

Problema resuelto 17. ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del sindicato de la unam, por un crédito de $80 000 pagaderos a dos años a una tasa de interés de 3% mensual? Solución

Datos A = $80 000 Incógnita R n = 2 años = 24 pagos i = 0.03 mensual R =

A (i ) 1 − (1 + i ) − n

=

80 000 ( 0.03 ) 1 − (1.03 ) −24

=

2 400 2 400 = = $ 4 723.79 mensual 1 − 0.4919337 0.508066

❚❚ 5.3.4 Plazo El número de periodos (plazo o tiempo) de pago en una anualidad vencida se calcula de la siguiente manera: Analizar los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Cuando se conoce el valor actual (A) se despeja el periodo de la expresión de anualidad vencida de valor actual de la ecuación 5.3.

R =

Ai 1 − (1 + i ) − n

5.5

Para obtener n se pueden utilizar las ecuaciones 5.6 o 5.6a:



134

 1  log  Ai  1 −   R  n= 5.6 log (1 + i ) A (i )     log  1 −   R   n = − 5.6a  log (1 + i ) 

Grupo Editorial Patria© Si se conoce el monto (M) se despeja el periodo (n) de la ecuación 5.2 de anualidad vencida de monto.  (1 + i )n − 1 M = R  5.2   i

Para obtener n se utiliza la ecuación 5.7:

n=



 Mi  log  + 1  R  log (1 + i )

5.7

Problema resuelto 18. Se tiene que saldar una deuda al día de hoy de $18 000. Realizando pagos de $3 000 al final de cada bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $3 000 tendrá que hacer para saldar su deuda? Solución

Datos T = 11% bimestral Incógnita R i = 0.11 bimestral R = $3 000 A = $18 000 1 1     1  log  log   log    18 000 0 11 ( . 1 ) 1 980  Ai   log  1  1 − 1 − 1 −   0.34    3 000 3 000    R  = = n= = log( 1.11) log( 1.11) log( 1 + i ) log( 1.11) n=

log[ 2.941176 ] log (1.11)

=

0.4685211 = 10.33 pagos bimestrales 0.0453229

No se pueden realizar 10.33 pagos, entonces existen dos alternativas: 1. Hacer 10 pagos de $3 000 + otro pago menor Con n pagos bimestrales que se obtuvieron se encuentra el valor futuro del adeudo (al final de los 10 bimestres): Si el adeudo es de $18 000, se debe calcular el valor futuro del adeudo al final de los 10 bimestres. M = C(1 + i )n = $18 000(1.11)10 = 18 000(2.839421) = $51 109.58 Posteriormente, debemos encontrar el valor futuro de los 10 pagos realizados al final de cada bimestre.  (1.11)10 − 1  (1 + i )n − 1  1.839421  2.839421 − 1 M = R  = 3 000   = 3 000   = 3 000  0.11  = 3 000 (16.722 )   i 0.11 0.11    M = $50 166.01 Después de realizar el pago 10 todavía se tiene un adeudo, pero se desconoce de cuánto es: MIC - MAnualidad = 51 109.58 - 50 166.01 = $943.55 El adeudo anterior se tiene que pagar a final del bimestre 11, para lo cual es necesario calcular su valor futuro.

M = C(1 + i )n = 943.55(1.11)1



M = $1 047.34 lo que representa un pago menor para el bimestre 11

135

UNIDAD

5

Anualidades 2. Hacer 9 pagos de $3 000 + otro pago mayor

Se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 9 bimestres. M = C(1 + i )n = 18 000(1.11)9 = 18 000(2.55804) = $46 044.72

Como segundo paso encontraremos el valor futuro de los 9 pagos realizados al final de cada bi­ mestre.  ( 1 + i )n − 1  ( 1.11)9 − 1  1.558  M = R = 3 000 ( 14.1639 ) = $ 42 490.90  = 3 000   = 3 000    i 0.11   0.11   Después de realizar el noveno pago todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la manera siguiente: MIC - MAnualidades = 46 044.72 - 42 491.70 = $3 553.02 El adeudo anterior se tiene que pagar al final del décimo bimestre, por lo que es necesario calcular su valor futuro correspondiente: M = C(1 + i )n = 3 553.02(1.11)1 = $3 943.85

El décimo pago es mayor al pago bimestral normal.

Problema resuelto 19. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $1 500.00 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $24 000.00, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 24% convertible mensualmente? Solución

Datos T = 24% A.C. Mensual Incógnita n i = 0.02 mensual R = $1 500.00 A = $24 000.00 Obtener los pagos mensuales vencidos (n): 1 1     1  log  log  log     24 000 ( 0.02 ) 480  1    1  Ai  1−  1−  1 − log  log  1 500  1 500  1 − 0.32    0.68     R  = = = = = n= log (1.02 ) log (1.02 ) log (1.02 ) log (1 + i ) log (1.02 )

log (1.470588 ) log (1.02 )

=

0.167491 = 19.4757 pagos mensuales 0.00860

No se pueden realizar 19.4757 pagos, entonces existen dos alternativas: 1. Hacer 19 pagos de 1 500 pesos + un pago menor Si el adeudo es de $24 000 primero se debe conocer el valor futuro del adeudo al final de los 19 meses. M = C(1 + i )n = 24 000.00(1.02)19 = 24 000(1.4568112) = $34 963.47 Posteriormente debemos encontrar el valor futuro de los 19 pagos realizados al final de cada mes.  (1.02 )19 − 1  (1 + t )n − 1  1.4568112 − 1  0.4568112  = 1 500.00  M = R  = 1 500.00   = $1 500.00    = 0.02 0.02 t 0.02         

136

M = 1 500(22.84) = $34 260.84

Grupo Editorial Patria© Cuando ya se realizó el pago 19 todavía existe un adeudo y se desconoce de cuánto es. El pago correspondiente se encuentra de la siguiente forma: MIC - MAnualidad = 34 963.47 - 34 260.84 = $702.63 El adeudo anterior se tiene que pagar a final del mes 20, por lo que es necesario calcular su valor futuro: M = C(1 + i )n = 702.63(1.02)1 = $716.68 que corresponde a un pago menor en el mes 20. 2. Hacer 18 pagos de $1 500 y un pago final mayor.

Se calcula el valor futuro del adeudo al final del mes 18. M = C(1 + i )n = 24 000(1.02)18 = 24 000(1.428246) = $34 277.90



Entonces el valor futuro de los 18 pagos realizados al final de cada mes sería.  (1.02 )18 − 1  (1 + i )n − 1  1.428246 − 1  0.428246  M = R  = 1500   = 1500   = 1500  0.02  =   0.02 i 0.02   



M = 1 500(21.4123124) = $32 118.47

Después de realizar el pago 18 el deudor todavía tiene un adeudo y desconoce de cuánto es. El pago correspondiente a este último adeudo se calcula en la forma siguiente:  (1 + i )n − 1 MIC − Manualidades = C (1 + i )n − R   = 34 277.90 − 32118.47 = 2159.43   i El adeudo anterior se tiene que pagar al final del mes 19, por lo que se necesita calcu­lar su valor futuro. M = C(1 + i )n = 2 159.43(1.02)1 = $2 202.62 el cual representa un pago mayor en el mes 19

Problema resuelto 20. ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $19 238 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $850 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 18% convertible mensualmente? Solución

Datos T = 18% A.C. Mensual Incógnita n i = 0.015 mensual R = $19 238 C = $850 000 1 1     1  log  log  log      850 000 ( 0.015 ) 12 750 Ai 1   1−  1−   1 − log  19 238 19 238      1 − 0.66275081  R  n= = = = = log (1 + i ) log ( 0.015 ) log (1.015 ) log (1.015 ) 1   log   0.33724919  log ( 2.96516646 ) 0.47204908 = = = 73 pagos mensuales log (1.015 ) log (1.015 ) 0.006466042

137

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 21. Se desea acumular la cantidad de $89 950, para reunirla se hacen depósitos de $1 000 bimestrales vencidos, en una cuenta de inversión la cual paga 4.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En cuánto tiempo se reunirán los $89 950? Solución

Datos T = 4.5% A.C.B.

Incógnita n

i = 0.0075 bimestral R = $1 000 M = $89 950

n=

n=

 M (i )  + 1 log   R  log (1 + i ) log( 1.674625 ) log( 1.0075 )

=

=

 89 950 ( 0.0075 )  + 1 log  1000   log (1 + 0.0075 )

=

 674.625  + 1 log   1000  log (1.0075 )

=

log ( 0.674625 + 1) log (1.0075 )

=

0.22391757 = 69 pagos bimestrales 0.00324 4505

5.4  Anualidades anticipadas La anualidad anticipada puede ser: Simple

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Cierta

Porque las fechas se determinan con anterioridad y estas son fijas.

Anticipada

Porque los pagos se efectúan al principio del periodo.

Inmediata

Porque se realiza el pago en el mismo periodo después de la formalización del trato.

En el cuadro 5.6 se indica la forma de identificar una anualidad anticipada cuando es planteada como un problema.

Cuadro 5.6  Forma de identificar la anualidad anticipada Criterio Tiempo (Cierta)

Anualidad anticipada Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

Ejemplo El primer día del mes. Al principio de la quincena (día 16). El día cuatro de cada mes.

Plazo

Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.

Un bimestre o un semestre o un año o tres años.

Iniciación (Inmediata)

El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato o firma del crédito).

Primer día en que se inicia el periodo de pago. El día 16 de cada mes. El primer día de cada bimestre.

Pagos

Los pagos se efectúan al inicio del periodo o intervalo.

El primer día de semana. El día 25 de mayo de cada año.

Interés (Simple)

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

Periodo de pago de un mes y la tasa de interés 12% anual convertible mensualmente o 24% convertible semestralmente.

Las figuras 5.8 y 5.9 muestran la diferencia de la anualidad anticipada y vencida. 138

Grupo Editorial Patria© Hoy

R

R

R

R

R

R

R

R

R

n-1

n periodos

... 0

2

1

3

4

5

6

7

R

R

R

Figura 5.8  Anualidad anticipada.

R

R

R

R

R

R ...

0

1

2

3

4

5

6

7

n periodos

n-1

Figura 5.9  Anualidad anticipada.

❚❚ 5.4.1  Monto en anualidades anticipadas El monto se calcula con la ecuación 5.8:

 (1 + i )n + 1 − 1  M = R − 1 5.8   i



 (1 + i )13 − 1  − 1 5.8a M = R   i

En la ecuación 5.8a se plantea con 13 periodos vencidos (siendo n = 12). El pago de más está repre­ sentado por -1, el cual se descuenta al utilizar la fórmula de anualidad vencida con plazo de un año. R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

R12

R13

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

                                  

-1

R1

12 periodos

Hoy

Figura 5.10  Anualidad anticipada valor futuro con 13 pagos (R ).

El plazo es de 12 meses y la manera de utilizar la fórmula de anualidad vencida donde solo se recorre el punto de origen de la gráfica al lado izquierdo (en -1) y el número de pagos considerados son en total de 13.

Problema resuelto 22. Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $100 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 1% de interés mensual. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año? Solución

Datos R = $100 Incógnita M n = 12 meses i = 1% mensual 1. 1.1 En este primer caso se encuentra el monto utilizando la anualidad vencida durante el periodo 11, realizando para ello 12 pagos.  (1 + 0.01)12 − 1  (1 + t )n − 1  0.126825  M11 = R  = $1 268.25  = 100   = 100  t 0.01      0.01  1.2 Para cubrir el plazo de un año, hace falta calcular el periodo número 12, ya que, en el cálculo anterior, el periodo inicio en el punto -1 y el cálculo del monto se realizó hasta el periodo 11.

Si, M11 = C1 M12 = C1(1 + i ) = 1 268.25(1.01) = $1 280.93

139

UNIDAD

5

Anualidades 2.

2.1 En este segundo caso utilizaremos la ecuación 5.9 que se deduce de los pasos planteados en los incisos 1.1 y 1.2:  (1.01)12 − 1  (1 + i )n − 1 1 1 M = R  (1.01) = 1 280.93  (1 + i ) = 100    i 0.01  

3. 3.1 En el tercer caso, los cálculos se hacen con base en 12 periodos, por lo que se tendrán que realizar 13 pagos. Para calcular el monto se utiliza la ecuación de la anualidad vencida en la que se deberá restar del pago 13:  (1.01)13 − 1  (1 + t )n − 1 M = R  = $1 380.93  = 100    i 0.01   3.2 El monto de 13 pagos calculado con la anualidad vencida en 12 periodos es superior al calcu­ lado en los incisos 1.1 y 2.1 porque se realizó un pago de más. Para corregir dicho pago, debemos corregir la ecuación de la siguiente forma:  (1.01)13 − 1  (1 + t )n − 1 M = R  − 100 = 1380.93 − 100 = $1 280.93  − R = 100    i 0.01   3.3 De los pasos anteriores se deduce que la ecuación para calcular el monto de la anualidad anticipada es:

 (1 + i )n + 1 − 1  M = R − 1 5.8   i

Si sustituimos los valores del problema, encontraremos el mismo resultado de los incisos 1.2, 2.1 y 3.2:  (1.01)13 − 1  M = 100  − 1 = $1 280.93 0.01  

Problema resuelto 23. Encuentre el monto de 20 pagos de $2 000 que se realizan al principio de cada bimestre por la química Rosa Suárez en la compra de una centrifugadora para su laboratorio. El tipo de interés es de 20% anual capitalizable bimestralmente. Solución

Datos R = $2 000 Incógnita M n = 20 bimestres T = 20% A.C. Bimestral i = 0.0333 bimestral  (1.0333 )20 − 1  (1 + i )n − 1  1.92543387 − 1 1 M = R  (1 + i ) = 2 000   (1.033 ) = 2 000   (1.033 )   i 0.033 0.033     0.92543378  0434 ) ( 1.033 ) = 2 000 ( 28.96888 ) = $57 937.76 M = 2 000   ( 1.033 ) = 2 000 ( 28.0 0.033 

Problema resuelto 24. Encuentre el monto de ocho pagos que debe realizar el día uno de cada mes el carpintero Tomás Baroja, por la cantidad de $1 550 para adquirir herramienta para su carpintería. El tipo de interés contratado es de 24% anual capitalizable mensualmente.

140

Grupo Editorial Patria© Solución

Datos R = $1 550

Incógnita M

n = 8 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual  (1.02 )8 − 1  (1 + i )n − 1  1.1716594 − 1 1 M = R  (1.02 ) = 1 550   (1 + i ) = 1 550   (1.02 )   0.02 i 0.02     0.1716594  M = 1550   (1.02 ) = 1 550 ( 8.582969 ) (1.02 ) = 1 550 ( 8.754628 ) = $13 569.67 0.02 

❚❚ 5.4.2  Valor actual en anualidades anticipadas Para encontrar el valor actual de una anualidad anticipada es necesario auxiliarnos de las figuras 5.11 y 5.12. FF R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

R12

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 meses

                                     

C

1 mes

1 año (plazo)

Figura 5.11  Anualidad anticipada valor actual para 12 pagos.

FF R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

R11

R12

R13

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 meses

                                     

C

1 mes

1 año (plazo)

Figura 5.12  Anualidad anticipada valor actual para 13 pagos.

Utilizando la ecuación de anualidad vencida para el cálculo del valor actual se debe considerar que se realiza con base en 13 pagos vencidos. Si realizamos un ajuste al exponente, obtenemos la siguiente relación:  1 − (1 + i ) − n  A = R    i Así que es necesario efectuar un ajuste al exponente, con lo cual se obtiene la relación siguiente:

 1 − (1 + i ) − n + 1  A = R  5.9   i

Ahora bien, a la ecuación debemos sumarle una renta para completar los 13 pagos para obtener el valor actual de una anualidad anticipada (5.10):  1 − (1 + i ) − n + 1  A = R +R   i Factorizando a R

 1 − (1 + i ) − n + 1  A = R 1 +  5.10   i 141

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 25. ¿Cuál es el valor de contado de una casa que compró Esmeralda en la colonia Lomas Verdes, hace 20 años, si realizaba pagos anticipados de $60 000 mensuales, con una tasa de interés de 18% anual convertible mensualmente? Solución

Datos R = $60 000 Incógnita A n = 240 meses T = 18% A.C.M. i = 0.015 mensual   1 − (1 + i ) − n + 1  1 − (1.015 ) −240 + 1  1 − 0.028484978   = A R 1 +  = 60 000 1 +  = 60 000 1 +    i 0.015 0.015    0.971515   = A 60 000 1 + = 60 000 [1 + 64.76766807 ] = 60 000 ( 65.76766807 ) = $3 946 060.08 0.015  

Problema resuelto 26. ¿Cuál es el valor actual de 18 pagos trimestrales anticipados de $2 855, con un interés de 17.89% anual capitalizable trimestralmente? Solución

Datos R = $2 855 Incógnita A n = 18 trimestres T = 17.89% A.C.T. i = 0.044725 trimestral   1 − (1 + i ) − n + 1  1 − (1.044725 ) −18 + 1  1 − 0.4752982   A = R 1 +  = 2 855 1 +  = 2 855 1 +   i 0.044725 0.044725     0.524702   A = 2 855 1 + = 2 855[1 + 11.7317384 ] = 2 855 (12.7317384 ) = $36 349.11 0.044725  

Problema resuelto 27. Encontrar el valor de contado de un teléfono celular, por el cual se realizaron 24 pagos mensuales anticipados de $499 con una tasa de interés de 23.6% convertible mensualmente. Solución

Datos R = $499 Incógnita A n = 24 meses T = 23.6% A.C.M. i = 0.019666 mensual   1 − (1.019666 ) −24 + 1  1 − (1 + i ) − n + 1  1 − 0.6389508   A = R 1 +  = 2 855 1 +  = 2 855 1 +   0.019666 0.019666  i    0.361049   A = 2 855 1 + = 2 855 [1 + 18.35905621] = 2 855 (19.35905621) = $55 270.11 0.019666  

142

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 28. El chofer Francisco Méndez compró un camión a crédito de 40 asientos para transporte. Él tiene que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $17 650, con intereses de 14% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado del camión? Solución

Datos R = $17 650 Incógnita A n = 24 meses T = 14% A.C.M. i = 0.011666 mensual   1 − (1 + i ) − n + 1  1 − (1.01166 ) −24 + 1  1 − 0.7659575   A = R 1 +  = 17 650 1 +  = 17 650 1 +   i 0.011666 0.011666     0.2340425   A = 17 650 1 + = 17 650 [1 + 20.06193211] = 17 650 ( 21.06193211) = $371 743.10 0.011666  

❚❚ 5.4.3  Renta en anualidades anticipadas Para calcular el valor de la renta primero se tienen que analizar los datos del problema e identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Si se conoce el monto, deberá despejarse la renta de la ecuación 5.8, se obtiene la ecuación 5.11:  (1 + i )n + 1 − 1  M = R − 1 5.8   i



R =



M  (1 + i )n + 1 − 1  − 1    i

5.11

Problema resuelto 29. ¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Aldama por la compra de un comedor para su casa, si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día uno de cada mes? Cuando realizó su pago 12 acumuló $53 726 y la tasa de interés aplicada fue de 24% anual convertible mensualmente. Solución

Datos M = $53 726 Incógnita R n = 12 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual R =

R =

M n +1

 (1 + i )   i

−1

 − 1 

53 726  1.2936 − 1  − 1  0.02 

=

=

53 726 12 + 1

 (1.02 ) −1  − 1  0.02   53 726

 0.2936   0.02 − 1

=

=

53 726  (1.02 )13 − 1  − 1  0.02  

53 726 [14.680331 − 1]

=

53 726 13.680331

R = $3 927.24

143

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 30. La diseñadora gráfica Estrella Uribe tiene que pagar $150 000 por un préstamo que solicitó para la compra de material de una maqueta que tiene que elaborar y vender, los préstamos personales que ofrece Banorte es a un plazo de tres años y la forma de pago es al principio de cada mes. ¿Cuánto debe pagar mensualmente la diseñadora Uribe, si la tasa de interés aplicada es de 26% anual convertible mensualmente? Solución

Datos M = $150 000 Incógnita R n = 36 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual R =

R =

M n +1

 (1 + i )   i

−1

150 000

=

 − 1 

150 000

36 + 1

 (1.021666 ) −1  − 1  0.021666  

=

 2.210196 − 1   0.021666 − 1

150 000  1.210196   0.021666 − 1

=

=

150 000  (1.021666 )37 − 1  − 1  0.021666  

150 000 150 000 = [ 55.859386 − 1] 54.859386

R = $2 734.26

Otra manera de conocer la renta es despejar la (R) de la ecuación del valor actual de anualidad antici­ pada, con lo que obtendremos su valor con base en el capital o valor actual.  1 − (1 + i ) − n + 1  A = R 1 +  5.10   i



Despejando (R) de la ecuación 5.10 se obtiene la ecuación 5.11: R =



A  1 − (1 + i ) − n + 1  1 +    i

5.11

Problema resuelto 31. El sociólogo Dimas Martínez desea regalarle a su hermana, el día de su boda, una batería de co­ cina de 11 piezas con un precio de $6 400.00 y también decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6 litros con un precio de $1 499.00. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante 12 meses, si la tasa de interés es de 28% anual capitalizable mensualmente? Solución

Datos A = 6 400 + 1 499 = $7 899 Incógnita R n = 12 meses T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual R =

R =

A  1 − (1 + i ) 1 +  i

  

7 899 1 − 0.775913   1 + 0.023333 

R = $744.92

144

− n +1

=

=

7 899  1 − (1.023333 ) 1 + 0.02333  7 899 0.224087   1 + 0.023333 

=

−12 + 1

  

=

7 899  1 − (1.023333 ) −11  1 +  0.023333  

7 899 7 899 = [1 + 9.603737 ] 10.603737

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 32. Una tienda departamental pone a la venta en el mes de diciembre motocicletas, con valor de $18 950 al contado o mediante 24 pagos mensuales anticipados. Si Margarita Rosas se decide a comprar la motocicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés a pagar es de 23.5% anual capitalizable mensualmente? Solución

Datos A = $18 950 Incógnita R n = 24 meses T = 23.5% A.C.M. i = 0.019583 mensual R =

R =

A  1 − (1 + i ) − n + 1  1 +    i

=

18 950 1 − 0.64014339   1 + 0.019583 

18 950  1 − (1.019583 ) −24 + 1  1 +  0.019583   =

18 950 0.35986566   1 + 0.019583 

=

=

18 950  1 − (1.019583 ) −23  1 +  0.019583   18 950

[1 + 18.3759695 ]

=

18 950 19.3759695

R = $978.02

❚❚ 5.4.4  Plazo en anualidad anticipada Para conocer el número de periodos de pago en una anualidad anticipada, primero se analizan los datos del problema para identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Si se conoce el valor actual se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de valor actual.  1 − (1 + i ) − n + 1  A = R 1 +  5.10   i



Ai      log (1 + i ) − R    5.13 n = 1−  log(1 + i )  



Cuando se conoce el monto se despeja el plazo de la ecuación de anualidad anticipada de monto:  (1 + i )n + 1 − 1  M = R − 1 5.8   i



  Mi   log  R + (1 + i )   + 1 5.14 n=  log(1 + i )  



Problema resuelto 33. El bufete de abogados Mariles, S.A., desea comprar una mesa y 18 sillas para su sala de juntas con valor de $68 000 al contado. La casa de muebles para oficina ofrece venderlos en abonos anticipa­ dos mensuales de $3 699, siendo el interés de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el bufete de abogados si se decide hacer la compra?

145

UNIDAD

5

Anualidades

Solución

Datos A = $68 000 Incógnita n T = 26% A.C.M. i = 0.0216666 mensual R = $3 699 Ai      log ( 1 + i ) − R    = 1− n = 1−  log( 1 + i )  

( 68 000 ) ( 0.021666 )      log ( 1.021666 ) −  3 699     = 1−  log( 1.021666 )  

1473.33       log ( 1.021666 ) − 3 699       log 1.021666  

 log[1.021666 − 0.39830585 ]   log ( 0.62336 )   −0.205261  n = 1−   = 1 −  log (1.021666 )  = 1 −  0.009309224  = 1 − ( −22.05 ) log (1.021666 )       n = 23.05 pagos

Problema resuelto 34. La arqueóloga Itzayana Sotelo desea comprar un paquete de utensilios de cocina para campamen­ to, el cual cuesta al contado $18 586, ella decide pagarlo en abonos con una tasa de interés de 22% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $985 al principio de cada mes? Solución

Datos A = $18 586 Incógnita n T = 22% A.C.M. i = 0.018333 mensual R = $985 ( 18 586 ) ( 0.018333 )      log ( 1.018333 ) −   985.00   = 1− n = 1−    log( 1.018333 )  log[1.018333 − 0.34593232 ]  n = 1−   = 1− log (1.018333 )  

340.7433     3) −  log ( 1.018333 985.00     log( 1.018333 )  

 log ( 0.672401)   log (1.018333 )  = 1 −  

 −0.17237166    0.0078899598 

n = 1 - (-21.847) = 22.85 pagos

Problema resuelto 35. La tienda Benedetti vende de contado una bicicleta de montaña en $9 580 o mediante pagos mensuales anticipados de $995. El interés es de 22.64% anual convertible mensualmente. ¿Cuán­ tos pagos se deben realizar si se compra a crédito? Solución

Datos A = $9 580 Incógnita n T = 22.64% A.C.M. i = 0.018866 mensual R = $995

146

Grupo Editorial Patria©

( 9 580 ) ( 0.018866 )      log (1.018866 ) −   995.00   = 1− n = 1−    log (1.018866 )

180.74      log (1.018866 ) − 995.00        log (1.018866 )

 log[1.018866 − 0.1816509 ]   log ( 0.837215745 )  = 1−  n = 1−    = 1− log (1.018866 )    log (1.018866 ) 

 −0.0771626    0.00811735 

n = 1- (-9.50588) = 10.51 pagos

5.5  Anualidades diferidas Una anualidad diferida es aquella en la que el inicio de los cobros o depósitos se realizan después de que transcurrió algún tiempo desde el momento en que se formalizó la operación. Al tiempo comprendido desde el momento inicial o de convenio hasta el inicio del plazo se le conoce como periodo de gracia o periodo de diferimiento. En el cuadro 5.7 se describe la manera de identificar una anualidad vencida cuando es planteada en un ejemplo o problema a solucionar:

Cuadro 5.7  Identificación de una anualidad vencida Criterio

Anualidad vencida

Ejemplo

Tiempo (Cierta)

Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

•  Tres meses de gracia y plazo de 18 meses.

Plazo

Tiempo que transcurre desde la fecha de emisión hasta la fecha de vencimiento.

•  Un año •  Seis meses •  Un trimestre

Iniciación (Diferida)

El pago o cobro se realiza después del periodo de gracia.

•  Tres meses •  Un bimestre •  Dos años

Pagos

Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo.

•  A finales de mes, el día 30 o 31 de cada mes.

Simple

Cuando el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

•  P eriodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual capitalizable mensualmente.

En la figura 5.13 se muestra que el primer pago de la anualidad es diferido en cuatro meses y el plazo de la anualidad es de seis meses, la renta es de $350 y se paga al final del periodo, por esta razón el comienzo del plazo de la anualidad vencida se ubica en el tercer mes.

Hoy

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 meses M=?

1

2

3

4

0

R2

R3

R4

R5

R6

1

2

3

4

5

6 meses

                                   

Hoy

R1

Periodo de gracia

Plazo

Figura 5.13.  Anualidad diferida cuatro meses, plazo seis meses y renta de $350 cada mes.

Para resolver los problemas de anualidades diferidas no se necesitan nuevas fórmulas, se utilizan las de anualidades vencidas o anticipadas.

❚❚ 5.5.1  Monto en anualidades diferidas El monto se calcula utilizando las mismas ecuaciones de anualidades vencidas o anticipadas según sea el caso, ya que durante el periodo de gracia no se cobran intereses. 147

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 36. El señor Fernando Valdez compró a crédito un molino de nixtamal el día de hoy para su negocio y su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semes­ trales anticipados de $54 800 por la compra del molino de nixtamal, si el interés es de 8% anual convertible semestralmente, encontrar el monto. Solución

Datos: R = $54 800 Incógnita M n = 6 semestres Periodo de gracia un año = dos semestres T = 28% A.C.S. i = 0.02 semestral

M=?

-1

R2

R3

R4

R5

R6

1

2

3

4

5

6 semestres

        

0

R1

Periodo de gracia

Figura 5.14  Anualidad diferida dos semestres, plazo seis semestres y renta de $54 800 cada mes.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al prin­ cipio del periodo (pagos semestrales anticipados).  (1.02 )6 + 1 − 1   (1 + i )n + 1 − 1   (1.02 )7 − 1  − 1 = 54 800  M = R − 1 = 54 800  − 1   0.02 i 0.02      1.148685668 − 1   0.148685668  M = 54 800  − 1 = 54 800  − 1 = 54 800 [ 7.4342834 − 1] 0.02 0.02     M = $54 800(6.4342834) = $352 598.73

Problema resuelto 37. Encontrar el pago total que debe realizar el señor Héctor Serrano por la compra de una compu­ tadora el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $999 con un interés de 28% anual convertible mensualmente. Solución

Datos R = $999 Incógnita M T = 28% A.C.M. i = 0.023333 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 2 meses

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10 R11

R12

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

11 meses

-1

        

-3 -2

M=?

10

Periodo de gracia

148

Figura 5.15  Anualidad diferida dos meses, plazo 12 meses y renta de $999 cada mes.

Grupo Editorial Patria© Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al principio del periodo (al inicio de cada mes).  (1.023333 )12 + 1 − 1   (1 + i )n + 1 − 1   (1.023333 )13 − 1  − 1 = 999  M = R − 1 = 999  − 1   0.023333 i 0.023333      1.34965438 − 1   0.34965438  M = 999  − 1 = 999  − 1 = 999 [14.9851877 − 1]  0.023333   0.023333  M = 999(13.9851877) = $13 971.20

Problema resuelto 38. Encontrar el pago que debe realizar la astrónoma Silvia Torres por la compra de un telescopio electrónico portátil el día de hoy. Acuerda con su acreedor que después de cuatro meses realiza 12 pagos al final de cada mes de $50 950 con un interés de 23% anual convertible mensualmente. Solución

Datos R = $50 950 Incógnita M T = 23% A.C.M. i = 0.0191666 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 4 meses

M=?

2

3

4

0

          

1

R1

R2

R3

R4

R5

1

2

3

4

5

...

R16 R17

R18

16

12 meses

17

Periodo de gracia

Figura 5.16  Anualidad diferida cuatro meses, plazo 12 meses y renta de $50 950 cada mes.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).  (1.0191666 )12 − 1  (1 + i )n − 1  1.25586377 − 1 M = R  = 50 950   = 50 950    i 0.0191666    0.0191666   0.25586377  M = 50 950  = 50 950 [13.34941409 ]  0.0191666  M = $680 152.65

Problema resuelto 39. ¿Cuál es el monto de una renta semestral de $20 000 durante ocho años, si el primer pago vencido semestral se realiza dentro de tres años y el interés es de 18% capitalizable semestralmente? Solución

Datos Primer pago = después de 3 años

Incógnita M

m = periodo de gracia 6 meses

149

UNIDAD

5

Anualidades n = 16 semestres R = $20 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestral

M=?

2

3

4

0

          

1

R1

R2

R3

R4

R5

1

2

3

4

5

...

R14 R15

R16

14

16 semestres

15

Periodo de gracia

Figura 5.17  Anualidad diferida tres años y medio, plazo ocho años y renta de $20 000 cada mes.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad vencida, porque el pago se realiza al final del periodo (al final de cada semestre).  ( 1 + i )n − 1  ( 1.09 )16 − 1  3.97030588 − 1 M = R  = 20 000   = 20 000     0.09 i 0.09     2.97030588  M = 20 000   = 20 000 [ 33.00339868 ] = $660 067.97 0.09 

❚❚ 5.5.2  Valor presente en anualidades diferidas En el cálculo del valor presente de una anualidad diferida los intereses generados dentro del periodo de gracia se capitalizan. FF CT

Primer pago

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

12 meses 7

                                     

Hoy

n

m

Figura 5.18  Anualidad diferida valor actual.

Donde m es igual al periodo de gracia y n el periodo pactado para la inversión o transacción comercial.  1 − (1 + i ) − n  −m A = R  (1 + i ) 5.15   i



Problema resuelto 40. El dueño de una vulcanizadora compra una compresora industrial con un pago inicial de $6 000 y ocho mensualidades de $3 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cuatro me­ ses de la compra; además, le cobran 20% de interés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio del equipo. Solución

Datos Pago inicial = $6 000 Incógnita A Primer pago después de 4 meses = $3 800

150

Grupo Editorial Patria© m = periodo de gracia = 3 meses n = 8 meses R = $3 800 T = 20% A.C.M. i = 0.01666 mensual

A Enganche ($6 000)

1

2

3

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

4

5

6

7

8

9

10

11 meses

          

0

R1

Periodo de gracia

Figura 5.19  Anualidad diferida valor actual para ocho pagos mensuales de $3 800.

Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).  1 − (1 + 0.016666 ) −8   1 − (1 + i ) − n  −m −3 = 3 800  A = R   (1 + 0.0166666 )  (1 + i )   i 0.016666    1 − 0.87613559   0.1238644  (1.0166666 ) −3 (1.016666 ) −3 = 3 800  A = 3 800   0.016666   0.016666  A = 3 800(7.4318645)(0.9516215) = $26 874.82 Precio = A + Pago inicial Precio = 26 874.82 + 6 000 Precio = $32 874.82

Problema resuelto 41. El director de una secundaria particular compra mobiliario para un salón de clases a crédito, en el mes de mayo, y acepta pagarlo mediante 12 mensualidades de $2 800 con una tasa de interés de 26% anual convertible mensualmente. El primer pago lo realizará a finales del mes de agosto del mismo año. ¿Cuál es el valor de contado? Solución

Datos Primer pago = finales de agosto Incógnita A m = periodo de gracia 2 meses n = 12 meses R = $2 800 T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual

A=? 1

2

3 Agosto

R2

R3

R4

4

5

6

7

... ... ...

R10

R11

R12

13

14

15 meses

...

          

0 Mayo

R1

Periodo de gracia

Figura 5.20  Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $2 800.

151

UNIDAD

5

Anualidades Se emplea la fórmula de valor actual de una anualidad vencida, porque al no indicarse si el pago se realiza al principio o al final del periodo, se debe entender o interpretar que el pago se realiza al final del periodo (al final de cada mes).  1 − (1 + 0.021666 ) −12   1 − (1 + i ) − n  −m −3 = 2 800  A = R  (1 + 0.021666 )  (1 + i )   i 0.021666    1 − 0.77319549   0.2268045  (1.021666 ) −3 (1.021666 ) −3 = 2 800  A = 2 800   0.021666   0.021666  A = 2800(10.4679)(0.9377199) = $25 772.94

Problema resuelto 42. ¿Cuál es el valor presente de una renta semestral vencida de $8 000 durante 10 años, si el primer pago semestral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 18% capitalizable semes­ tralmente? Solución

Datos Primer pago = Después de 3 años y medio m = periodo de gracia 6 semestres n = 20 semestres R = $8 000 T = 18% A.C.S. i = 0.09 semestral

A=? 0

1

2

... ...

5

R1

R2

R3

6

7

8

Incógnita A

... ... ...

R18

R19

R20

18

19

20 meses

                

... Periodo de gracia

Figura 5.21  Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $8 000.

 1 − (1 + 0.09 ) −20   1 − (1 + i ) − n  −m −6 = 8 000  A = R  (1 + i )  (1 + 0.09 ) 0.09 i      1 − 0.17843089   0.8215691 −6 −6 A = 8 000   (1 + 0.09 ) = 8 000  0.09  (1.09 ) 0.09  A = 8 000(9.12854567)(0.59626733) = $43 544.43

Problema resuelto 43. Determina el valor presente por la compra de un pantalla plana el día de hoy, si después de dos meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $680 con un interés de 28% anual convertible mensualmente. Solución

Datos R = $680 Incógnita M T = 28% A.C.M.

152

Grupo Editorial Patria© i = 0.023333 mensual n = 12 meses Periodo de gracia 2 meses

A=? 0

1

R1

R2

R3

R4

R5

R6

2

3

4

5

6

7

... ... ...

R10

R11

R12

12

13

14 meses

  

... Periodo de gracia

Figura 5.22  Anualidad diferida valor actual para 12 pagos mensuales de $680.

Se emplea la fórmula de monto de una anualidad anticipada, porque el pago se realiza al prin­ cipio del periodo (al inicio de cada mes).   1 − (1 + i ) − n +1  1 − (1 + 0.023333 ) −12 +1  −m −1 = 680 1 + A = R 1 +  (1 + 0.023333 )  (1 + i )   i 0.023333    1 − 0.7759108  1 − (1 + 0.023333 ) −11   −1 (1.023333 ) −1 A = 680 1 +  (1.023333 ) = 680 1 + 0.023333  0.023333    0.224084238   (1.023333 ) −1 = 680 (1 + 9.60383245 )( 0.977199 ) = A = 680 1 + 0.023333   A = 680(10.60383245)(0.977199) = $7 046.20

❚❚ 5.5.3  Renta en anualidades diferidas Para calcular el valor de la renta se deben analizar primero los datos del problema, lo que permitirá identificar si se proporciona el monto o el valor actual. Cuando se conoce el capital o el valor actual pero se desea conocer la renta, esta se despeja de la ecuación del valor actual de la anualidad diferida (5.15).  1 − (1 + i ) − n A =R   i



 −m  (1 + i ) 5.15 

Despejando la renta de la ecuación 5.15 se obtiene: R =



A (1 + i )m 1 − (1 + i ) − n i

5.16

Problema resuelto 44. El papá de la alumna Andrea Martínez deposita el 5 de julio la cantidad de $900 000 en un fondo de inversión, ese mismo día inscribe a su hija en la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a partir de cuando inscriba a su hija en el mes de julio en la universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 8% anual capitalizable se­ mestralmente. Solución

Datos A = $900 000 Incógnita R m = periodo de gracia = 5 semestres n = 9 semestres

153

UNIDAD

5

Anualidades T = 8% A.C.S. i = 0.04 semestral

5 julio

5 julio

1

3

2

0 5

4

R2

R3

1

2

3

... ... ...

R7

R8

R9 = ?

7

8

9 semestres

                

0

R1

Periodo de gracia R =

R =

Figura 5.23.  Anualidad diferida valor actual para nueve pagos semestrales. A (1 + i )m 1 − (1 + i ) i

−n

=

900 000 (1 + 0.04 )5 1 − (1 + 0.04 ) 0.04

−9

=

900 000 (1.2166529 ) 1 − 0.7025867 0.04

1094 987.61 1094 987.61 1094 987.61 = = 1 − 0.70258674 0.29741326 7.43533161 0.04 0.04

R = $147 268.16 en cada semestre

Problema resuelto 45. El señor Darío Velásquez compra una cocina integral que tiene un precio de contado de $47 550, pero él decide realizar seis pagos mensuales, el primero debe realizarse cinco meses después de la compra y el interés es de 1.5% mensual. ¿De cuánto serán las mensualidades a pagar? Solución

Datos A = $47 550 Incógnita R m = periodo de gracia = 4 meses n = 6 meses T = 1.5% mensual i = 0.015 mensual

1

2

3

4

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9 = ?

5

6

7

8

9

10

11

12

13 meses

            

0

R1

Periodo de gracia R =

R =

Figura 5.24.  Anualidad diferida valor actual para nueve pagos mensuales. A (1 + i )m 1 − (1 + i ) i

−n

=

47550 (1 + 0.015 )4 1 − (1 + 0.015 ) −9 0.015

47550 (1.06136355 ) 1 − (1.015 ) −9 0.015

1094 987.61 1094 987.61 1094 987.61 = = 1 − 0.87459224 0.125407759 3.135193995 0.04 0.04

R = $349 256.73 en cada semestre

154

=

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 46. El dueño del restaurante de mariscos Al Estilo Nayarita deposita el día de hoy $100 000 en una cuenta de inversiones que paga 12% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimes­ tres comenzará a realizar retiros bimestrales vencidos hasta completar 24. ¿De qué cantidad serán estos retiros? Solución

Datos A = $100 000 Incógnita R m = periodo de gracia = 7 bimestres n = 24 bimestres T = 12% A.C.B. i = 0.02 bimestral

$100 000 1

2

3

4

5

6

7

R2

R3

8

9

10

...

R22

R23

R24 = ?

29

30

31 bimestres

                    

0

R1

Periodo de gracia

Figura 5.25  Anualidad diferida valor actual para 24 retiros bimestrales.

R =

R =

A ( 1 + i )m 1 − ( 1 + i )− n i

=

100 000 ( 1 + 0.02 )7 1 − ( 1 + 0.02 ) −24 0.02

=

100 000 ( 1.14868567 ) 1 − ( 1.02 ) −24 0. 02

114 868.57 114 868.57 114 868.57 = = 1 − 0.621721488 0.3782785121 18.9139256 0.02 0.02

R = $6 073.23 en cada bimestre

❚❚ 5.5.4  Plazo en anualidades diferidas El número de periodos de pago en una anualidad diferida se calcula analizando los datos del problema para identificar cuándo se proporciona el valor actual o el valor del monto. ■■

Se calcula en valor del depósito inicial al final del periodo de gracia. M = C(1 + i )m = A

■■

Cuando se conoce el valor actual se despeja la renta de la expresión de anualidad vencida de valor actual.  1 − (1 + i ) − n  A = R  5.3   i



R   log   m i i − + (1 ) ( ) R A ( )   5.17 n= log(1 + i )



Problema resuelto 47. La comunicóloga Carmen Loera contrae una deuda de $125 000 por la compra de equipo para una cabina de radio para transmitir por internet. Ella acordó comenzar a pagar dentro de tres meses, realizando cuantos pagos sean necesarios de $9 000 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda?

155

5

UNIDAD

Anualidades

Solución

Datos A = $125 000 Incógnita n R = $9 000 m = periodo de gracia = 2 meses T = 24% A.C.M. i = 0.02 mensual

$125 000 1

2

R2

R3

R4

R5

3

4

5

6

7

... ... ...

Rn - 1

Rn

n-1

n meses

     

0

R1

Periodo de gracia

Figura 5.26  Anualidad diferida valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $9 000.

R 9 000     log   log   m 2    R −  A (1 + i )  ( i )   9 000 − [125 000 (1.02 ) ]( 0.02 )  n= = log (1.02 ) log (1 + i ) 9 000 9 000     log   log  9 000 − (130 050 )( 0.02 )     900 − [125 000 (1.0404 )]( 0.02 )  n= = log (1.02 ) log (1.02 ) 9 000  9 000    log   log  6 399  0.148130399   log[1.40646976 ]  9 000 − 2 601 = n= = = log (1.02 ) log (1.02 ) 0.0086 log (1.02 ) n = 17.22 pagos Como n = 17.22 pagos, deberá pagar 17 pagos de $9 000 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:   (1.02 )17 − 1    1.400241 − 1  X = 125 000 (1.02 )19 − 9 000    (1.02 )   (1.02 ) = 125 000 (1.456811) − 9 000  0.02 0.02         1.40024142 − 1  X = 125 000 (1.456811) − 9 000    (1.02 ) = [182101.38 − 9 000 ( 20.012071)](1.02 )  0.02   X = (182 101.38 - 180 108.64)(1.02) = (1 992.714)(1.02) = $2 032.57 También se pueden realizar 16 pagos de $9 000, más otro de mayor cantidad:   ( 1.02 )16 − 1    1.372786 − 1  X = 125 000 ( 1.02 )18 − 9 000    ( 1.02 )   ( 1.02 ) = 125 000 ( 1.428246 ) − 9 000  0.02 0 . 02         0.372786   X = 178 530.75 − 9 000  02 ) = [ 178 530.75 − 9 000 ( 18.6393 )]( 1.02 )   ( 1.0  0.02    X = (178 530.75 - 167 753.7)(1.02) = (10 777.05)(1.02) = $10 992.73

156

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 48. Claudia Salazar contrae una deuda por $78 585 por la compra de equipo fotográfico, el que co­ menzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $2 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 26% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe realizar para saldar su deuda? Solución

Datos A = $78 585 Incógnita n R = $2 900 m = periodo de gracia = 5 meses T = 26% A.C.M. i = 0.021666 mensual

$78 585 1

2

3

4

5

R2

R3

6

7

8

... ... ...

Rn - 1

Rn

n-1

n meses

              

0

R1

Periodo de gracia

Figura 5.27  Anualidad diferida, valor actual para conocer el número de pagos mensuales de $2 900.

2 900 R     log   log  2 900 − [ 78 585 (1.0216666 )5 ]( 0.0216666 )  m   R − [ A (1 + i ) ]( i )   = n= log (1 + i ) log (1.0216666 ) 2 900 2 900     log   log  2 900 − ( 87 475.08 )( 0.0216666 )   2 900 − [ 78 585 (1.11312697 )]( 0.0216666 )    n= = log (1.02 ) log (1.02 ) 2 900    2 900  log  log    2 900 − 1895.29 log[ 2.8862614 ] 0.46032853    1004.71 n= = = = log (1.021666 ) log (1.021666 ) log (1.021666 ) 0.00930894 n = 49.45 Como n = 49.45 pagos, deberá pagar 49 pagos de $2 900 más otro pago menor y para saber de cuánto sería utilizamos la siguiente ecuación:   (1.021666 )49 − 1  X = 78 585 (1.021666 )54 − 2 900    (1.021666 ) 0.021666      2.85849934 − 1  X = 78 585 ( 3.1818727 ) − 2 900   (1.021666 )  0.021666      1.85849934   X = 250 047.47 − 2 900   (1.021666 )  0.021666    X = [250 047.47 - 2 900(85.779532)](1.021666) X = (250 047.47 - 248 760.64)(1.021666) = (1 286.83)(1.021666) = $1 314.71

157

UNIDAD

5

Anualidades También se pueden realizar 48 pagos de $2 900, más otro de mayor cantidad:   (1.021666 )48 − 1  X = 78 585 (1.021666 )53 − 2 900    (1.021666 ) 0.021666      2.7978805 − 1  X = 78 585 ( 3.1143962 ) − 2 900   (1.021666 )  0.021666      1.7978805   X = 244 744.83 − 2 900   (1.021666 )  0.021666    X = [244 744.83 - 2 900(82.98165159)](1.021666) X = (244 744.83 - 240 646.79)(1.021666) = (4 098.04)(1.021666) = $4 186.83

❚❚ 5.5.5  Tasa de interés en anualidades diferidas Como ya se ha estudiado, al realizar el pago de la renta al final de cada periodo se tiene que emplear la fórmula de valor presente para anualidad vencida.

 1 − (1 + i ) − n  A = R  5.3   i

La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor pre­ sente para anualidad vencida.

 1 − (1 + i ) − n  A = R    i



A 1 − (1 + i ) − n = 5.18 R i

Como se observa en la expresión 5.18 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Entonces qué se puede hacer para conocer el valor de la tasa. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos: 1. Sustituir los valores en la expresión 5.18 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente

A 1 − (1 + i ) − n = 5.18 R i



k =

1 − (1 + i ) − n i

2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado dere­ cho de la expresión 5.18 sea lo más cercano al valor de k. 3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.18 para determinar el valor de i. Para entender con mayor facilidad los pasos anteriores, se utilizará un ejemplo:

Problema resuelto 49. Gilberto debería pagar el día de hoy $22 648.28 por la compra de mercancía para su mercería. Él había reestructurado su deuda con anticipación y acordó con el banco realizar siete pagos trimes­ trales de $4 500.00. ¿Qué tasa de interés le están cobrando?

158

Grupo Editorial Patria© Solución

Datos C = $22 648.28

Incógnita i

R = $4 500.00 n = 7 trimestres 1.

A 1 − (1 + i ) − n = 5.18 R i $22 648.28 $4 500.00

=

1 − (1 + i ) − n i

5.03295 =

1 − (1 + i ) − n i



5.03295 =

1 − (1 + 0.085 ) −7 0.085



5.03295 =

1 − (1.085 ) −7 0.085



5.03295 =

1 − 0.564926 0.085



5.03295 =

0.4350736 0.085

2. Si i = 0.085 entonces:

 5.03295 = 5.118513 Si i = 0.087 entonces:

5.03295 =

1 − (1 + 0.087 ) −7 0.087



5.03295 =

1 − (1.087 ) −7 0.087



5.03295 =



5.03295 =

1 − 0.55769 0.087 0.4423096 0.087

 5.03295 = 5.084 Si i = 0.098 entonces:

5.03295 =

1 − (1 + 0.098 ) −7 0.098



5.03295 =

1 − (1.098 ) −7 0.098



5.03295 =

1 − 0.519737 0.098



5.03295 =

0.480263 0.098

 5.03295 = 4.90064

159

UNIDAD

5

Anualidades 3. El paso siguiente es interpolar los dos valores más cercanos a 5.03295, calculados en el paso ante­ rior, la interpolación nos sirve para encontrar el valor más exacto de la tasa de interés i.  En todo procedimiento de interpolación se debe realizar un diagrama el cual mostrará las con­ diciones de la interpolación permitiendo analizar y comprender de una forma más clara los cálculos a realizar.



4.90064

d1

5.03295

d2

5.084

0.098

d3

i

dT

0.087

Figura 5.28  De Interpolación para el cálculo de la tasa de interés.

Con base en la figura 5.28 se realizan los siguientes cálculos:

La distancia total entre las cantidades 4.90064 y 5.084.



Distancia total (dt) = 5.084 - 4.90064 = 0.18336



La distancia (d1) entre las cantidades 4.90064 y 5.03295. d1 = 5.03295 - 4.90064 = 0.13231

Se plantea la relación: d1 dt

=

0.13231 = 0.72159 0.18336

La distancia (d3) entre las cantidades 0.098 e i. d3 = i - 0.098



La distancia (dT) entre las cantidades 0.087 y 0.098. dT = 0.087 - 0.098 = -0.011

La proporción queda de la siguiente forma:

d1 d

=

d2 dT



5.03295 − 4.90064 i − 0.098 = 5.084 − 4.90064 0.087 − 0.098



0.13231 i − 0.098 = 0.18336 −0.011



0.72159 =



i - 0.098 = 0.72159(-0.011)



i - 0.098 = -0.007937



i = -0.007937 + 0.098



i = 0.090062



i = 9.0062% trimestral

i − 0.098 −0.011

Comprobación de la mejor aproximación de la tasa de interés, utilizando la ecuación 5.18. 1 − (1.090062 ) −7 1 − 0.5468165 0.04531835 = = = 5.0319 0.090062 0.090062 0.090062

160

Grupo Editorial Patria© El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecua­ ción 5.18. 5.0319 ≈ 5.3295 La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00085 debido a las fracciones decimales en los cálculos.

Problema resuelto 50. Raquel compra un calentador solar para su casa a plazos. Ella acuerda con la ferretería realizar 12 pagos mensuales de $1 030. ¿Cuál es la tasa anual efectiva, si el precio de contado del calen­ tador solar es de $10 300? Solución

Datos A = $10 300 Incógnita i R = $1 030 n = 12 meses 1.

A 1 − (1 + i ) − n = R i $10 300.00 $1030.00

=

1 − ( 1 + i )− n i

10 =

1 − (1 + i ) − n i



10 =

1 − (1 + 0.03 ) −12 0.03



10 =

1 − (1.03 ) −12 0.03



10 =

1 − 0.701379 0.03



10 =

0.29862 0.03

2. Si i = 0.03 entonces:

 10 = 9.954 Si i = 0.028 entonces:

10 =

1 − (1 + 0.028 ) −12 0.028



10 =

1 − (1.028 ) −12 0.028



10 =

1 − 0.71793 0.028



10 =

0.282069 0.028

 10 = 10.073897

161

UNIDAD

5

Anualidades 3.



10.073897

d1

10

d2

9.954

0.028

dt

i

dT

0.03

Figura 5.29  Interpolación cálculo de la tasa de interés.

Con base en la figura 5.29 se realizan los siguientes cálculos:

La proporción queda de la siguiente forma:



d1 d

=

dt dT



10.073897 − 9.954 0.028 − i = 10.073897 − 9.954 0.028 − 0.03



0.073897 0.028 − i = 0.119898 −0.002



0.6163374 =



0.028 - i = 0.6163374(-0.002)

0.028 − i −0.002



0.028 - i = 0.001232675



i = 0.001232675 + 0.028



i = 0.0292327



i = 2.92% efectiva mensual



La tasa efectiva anual es:



e = (1 + i )p 5.19



e = (1.02923)12 - 1



e = 1.413023 - 1



e = 0.413023



e = 41.3023% efectiva mensual

Problema resuelto 51. Jacinto realizó 20 depósitos trimestrales de $19 000.00 en el Banco del Atlántico, para juntar la cantidad de $400 000.00. ¿Cuál es la tasa nominal convertible trimestralmente? Solución

Datos M = $400 000.00 R = $19 000.00 n = 20 trimestres

Incógnita i

1.





162

M (1 + i )n − 1 5.20 = R i $400 000.00 $19 000.00 21.0526 =

=

(1 + i )n − 1 i

(1 + i )n − 1 i

Grupo Editorial Patria© 2. Si i = 0.005 entonces:

21.0526 =

(1 + 0.005 )20 − 1 0.005



21.0526 =

(1.005 )20 − 1 0.005



21.0526 =

1.104895 − 1 0.005



21.0526 =

0.1048955 0.005

 21.0526 = 20.9791 Si i = 0.0055 entonces:

21.0526 =

(1 + 0.0055 )20 − 1 0.055



21.0526 =

(1.0055 )20 − 1 0.055



21.0526 =

1.115942 − 1 0.055



21.0526 =

0.115942 0.0055

 21.0526 = 21.0803 3.



20.9791

d1

21.0526

d2

21.0803

0.005

dt

i

dT

0.0055

Figura 5.30  Interpolación cálculo de la tasa de interés.

Con base en la figura 5.30 se realizan los siguientes cálculos:

La proporción queda de la siguiente forma:



d1 d

=

dt dT



21.0526 − 20.9791 i − 0.005 = 21.0803 − 20.9791 0.0055 − 0.005



0.07353 i − 0.005 = 0.1012 0.0005



0.72658 =



i - 0.005 = 0.72658(0.0005)



i - 0.005 = 0.000363



i = 0.000363 + 0.005



i = 0.00536329



i = 0.53633% trimestral

i − 0.005 0.0005

163

UNIDAD

5

Anualidades Comprobación (1 + 0.0053633 )20 − 1 (1.0053633 )20 − 1 1.1129113 − 1 0.1129113 = = = = 21.05258 0.0053633 0.0053633 0.0053633 0.0053633 El resultado obtenido de la comprobación casi es igual al calculado en el cociente de A/R de la ecua­ ción 5.18. 21.0526 ≈ 21.05258 La diferencia en el cálculo de la tasa es de 0.00002 debido a las fracciones decimales en los cálculos.

❚❚ 5.5.6  Tasa de interés en anualidad diferida La incógnita en este caso es la tasa de interés i y es necesario despejarla de la fórmula de valor pre­ sente para anualidad vencida.

 1 − (1 + i ) − n + 1  A = R 1 +  5.10   i



1 − (1 + i ) − n + 1 A = 1+ 5.21 R i

Como se observa en la expresión 5.21 tenemos tanto en numerador como en el denominador a la i, por lo que no se puede despejar a i. Para darle solución a este problema se utiliza el procedimiento de aproximación o tanteo, el cual consta de varios pasos: 1. Sustituir los valores en la expresión 5.21 de renta y valor actual, posteriormente realizar el cociente.

1 − (1 + i ) − n + 1 A = 1+ 5.21 R i Si: k − 1 =

1 − (1 + i ) − n i

2. Conociendo el valor de k, ensayar dando valores de tasa de interés i uno mayor y otro menor. El objetivo es que al sustituir el valor de la tasa y realizar las operaciones, el resultado del lado dere­ cho de la expresión 5.21 sea lo más cercano al valor de k. 3. Interpolar los valores encontrados en la expresión 5.21 para determinar el valor de i.

Problema resuelto 52. ¿A qué tasa de interés anual de nueve pagos bimestrales anticipados de $800.00 equivalen a un valor actual de $6 788.74? Solución

La solución de la tasa de anualidad antici­ pada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.10, los cálculos se realizaron con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.

164

Cuadro 5.8  Cálculo de la tasa de interés en anualidad diferida (Valor actual)

Grupo Editorial Patria©

d1



dt

=

d3 dT



i − 0.0145 7.502257 − 7.48593 = 0.015050 − 0.0145 7.502257 − 7.48429



i − 0.0145 0.03664 = 0.00055 0.03828



i - 0.0145 = 0.95716(0.00055)



i - 0.0145 = 0.0005



i = 0.015



i = 1.5% bimestral



i = 9% anual

Problema resuelto 53. ¿A qué tasa de interés anual de 15 pagos anuales anticipados de $1 800 acumulan un valor futuro de $481 831.24? Solución

La solución de la tasa de anualidad anticipada en esta ocasión se realiza en la hoja electrónica utilizando la fórmula de valor presente para anualidad anticipada 5.8, los cálculos se realizarán con base en los tres pasos que utilizaron para el cálculo de la tasa en anualidades vencidas.  (1 + i )n + 1 − 1  M = R − 1 5.8   i



 (1 + i )n + 1 − 1 M +1=   5.22   R i



Cuadro 5.9  Cálculo de la tasa de interés en anualidades anticipadas (monto)



d1 dt

=

d3 dT



i − 0.32215 268.684022 − 268.561749 = 0.32225 − 0.32215 268.806351 − 268.561749



i − 0.32215 0.122273 = 0.0001 0.244602

165

UNIDAD

5

Anualidades

i - 0.32215 = 0.499886(0.0001)



i - 0.32215 = 0.00004999



i = 0.32219



i = 32.219% anual

5.6  Anualidades generales Una anualidad general tiene la característica de que el periodo de pago nunca coincide con el periodo de capitalización. Existen dos casos de anualidades generales: ■■

Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización.

■■

El periodo de capitalización es más largo que el periodo de pago.

Cuadro 5.10  Cómo identificar una anualidad general, cuando es planteada en ejemplo o problema a resolver Criterio

Anualidad general

Ejemplo

Tiempo (Cierta)

Las fechas son fijas y se determinan con anterioridad.

Antes de realizar la firma del documento.

Periodo

Tiempo que transcurre desde la fecha de su emisión hasta la fecha de su vencimiento.

Un año.

Iniciación (Inmediata)

El pago o cobro tiene lugar en el primer periodo, inmediatamente después de la emisión de un empréstito (formalización del trato).

Pagos

Los pagos se efectúan al vencimiento del periodo o intervalo.

Al final de cada mes, El día 30 o 31.

General

Cuando el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalización de los intereses.

El periodo de pago es de un mes y la tasa de interés de 10% anual convertible bimestralmente.

Es necesario convertir la anualidad general en una anualidad simple, para posteriormente utilizar la ecuación de anualidad vencida y calcular la anualidad general. Para convertir la anualidad general a simple se cuenta con los dos procedimientos: 1. Calcular la tasa de interés equivalente i ′. 2. Encontrando el valor de la renta o pago periódico equivalente R ′. I. Cuando el periodo de pago es más largo que el de capitalización

Problema resuelto 54. Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre si el interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. Solución

Datos R = $150 Incógnita M T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 4 bimestres

A

i=?

0

R1

R2

R3

R4

1

2

3

4 bimestres

2

4

6

8 meses

i = 0.02 mensual Figura 5.31  Anualidad general. 

166

0

Grupo Editorial Patria© En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses de un mes, entonces, el periodo de pago es mayor que el de capitalización. Para encontrar la anualidad general primero se calcula la tasa de interés equivalente.

i ′ = 6[1.0404 - 1]



i ′ = 6(0.0404)



i ′ = 0.2424



i ′ = 24.24% A.C. Bimestral



i ′ = 0.0404 bimestral

Una vez encontrada la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple.  (1 + 0.0404 )4 − 1  (1 + i ′ )n − 1  1.17165938 − 1 MB = R   = 150   = 150   = 150 ( 4.249 ) = $637.35   0.0404 i′ 0.0404    Encontrar la renta equivalente mensual (R ′) durante dos meses que sea equivalente a una renta bimes­ tral (R ) de $150; es decir, debemos calcular a partir del monto la renta mensual utilizando la fórmula de anualidad simple.  (1 + t ) p − 1 M = R′  t   Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene: R′ =

150  (1 + 0.02 )2 − 1   0.02  

=

150  1.0404 − 1  0.02 

=

150 = $74.26 2.02

El monto MB = MM  (1 + 0.02 )8 − 1  (1 + i ′ )n − 1 MM = R   = 74.26   = $637.37   0.02 i′  

II. Si el periodo de pago es más corto que el de capitalización

Problema resuelto 55. Calcular el monto de cuatro pagos de $150 al final de cada bimestre, si el interés es de 24% anual capitalizable trimestralmente. Solución

Datos R = $150 Incógnita M T = 24% A.C. Trimestral n = 4 bimestres a) En los datos del problema, el periodo de pago es de dos meses y el de capitalización de los intereses es cada tres meses, entonces, el periodo de pago es menor que el de capitalización. Para dar solución a este problema, a la anualidad general primero se le calcula la tasa de interés equivalente.

A

i=?

0 i = 0.02 mensual Figura 5.32  Anualidad general. 

0

R1

R2

R3

R4

1

2

3

4 bimestres

1

2

3 trimestres 167

UNIDAD

5

Anualidades Calcular la tasa de interés equivalente: i ′   1 +  6

6



i ′   1 +  6

6





1+



i ′ = 6  6 (1.06 )4 − 1



i ′ = 0.23766



i ′ = 23.766% A.C. Bimestral

i′ = 6

0.24   = 1 +   4 

4

= ( 1 + 0.06 )4

6

(1.06 )4

b)  Al encontrar la tasa anual capitalizable bimestralmente se transforma la anualidad general a una anualidad simple.

 (1 + i ′ )n − 1 M = R  i′  



 (1 + 0.03961)4 − 1 M = $150   0.03961  



M = $636.60

c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de tres meses.

 ( 1 + t ) p − 1 R′ = R  t  



 ( 1 + 0.03961)0.5 − 1 R ′ = 150   0.03961  



R ′ = $630.60 trimestral



Si R ′ = R, entonces:



 ( 1 + 0.06 )24 9 − 1 M = $227.21  0.06  



M = $636.60

Problema resuelto 56. Encontrar el monto de 10 depósitos mensuales de $550, si el interés es de 23% anual capitalizable semestralmente. Solución

Datos R = $550 Incógnita M n = 10 depósitos mensuales T = 23% A.C. Semestral i = 11.5% efectivo semestral

168

Grupo Editorial Patria© a) Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 11.5% también efectivo semestral.

A i=? 0

R1

1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

R10

2 3 4 i = 0.115 semestral

5

6

7

8

9

10 meses

0

1

2 semestres

Figura 5.33  Anualidad general. i′    1 +  12 

12



i′    1 +  12 

12





12 1 +



i ′ = 12[1.018308 - 1]



i ′ = 12(0.018308)



i ′ = 0.219695



i ′ = 21.97% A.C. Mensual



i ′ = 1.83% mensual

i′ = 12

0.23   = 1 +   2 

2

= (1 + 0.115 )2

12

1.243225

b) Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple.

 (1 + 0.01830833 )10 − 1  (1 + i ′ )n − 1  0.19892762  M = R  = 550   = 550    0.01830833 i′    0.01830833 



M = 550(10.865416) = $5 975.98

c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de seis meses.  (1 + i ′ )n − 1 M = R′    i′ Despejar R ′ de la ecuación anterior y se obtiene:

 (1 + 0.01830833 )6 − 1  0.11500234  R ′ = 550   = 550  0.01830833    0.01830833 

 R ′ = 550(6.22814216) = $3 454.78

 ( 1 + 0.115 )10 6 − 1  0.1989234  M = 3 454.78   = 3 454.78  0.115    0.115 

  M = 3 454.78(1.72977) = $5 975.97

169

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 57. Encontrar el monto de nueve depósitos mensuales de $1 000 que realiza un alumno de la univer­ sidad para comprarse una computadora, si el interés es de 2% capitalizable semestralmente. Solución

Datos Depósitos mensuales n = 9 R = $1 000 T = 2% A.C.S. i = 0.02/2 = 0.01 semestral a) De los datos del problema y como se muestra en la gráfica, se deduce que el periodo de capi­ talización es más largo que el periodo de pago:

i=? 0 Figura 5.34  Anualidad general. 

R1

1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

R8

R9

2 3 4 i = 0.01 semestral

5

6

7

8

9

0

10

11

1

12 meses 2 semestres

Determinar la tasa de interés equivalente. Como las rentas son mensuales es necesario encontrar el interés efectivo mensual equivalente a 1% efectivo semestral. i ′   1 +  6

6

1+

6

i′ = 6

0.02   = 1 +   2  6

1

1.01



i ′ = 6[1.0016598 - 1]



i ′ = 6(0.0016598)



i ′ = 0.00996



i ′ = 0.996% mensual

b)  Al encontrar la tasa anual capitalizable mensualmente se transforma la anualidad general en una anualidad simple.  (1 + 0.00996 )10 − 1  (1 + i ′ )n − 1  1.104185 − 1  0.104185  = 1 000  M = R  = 1 000   = 1 000    i′ 0.00996    0.00996   0.00996  M = 1 000(10.460314) = $10 460.31 c) Encontrar la renta equivalente que coincide con el periodo de capitalización de seis meses.  (1 + i ′ )n − 1 M = R′    i′ Despejar R ′ de la ecuación anterior se obtiene:  (1 + 0.00996 )6 − 1  1.061268 − 1  0.061268  R ′ = 1000  = 1 000   = 1 000  0.00996    0.00996   0.00996  R ′ = 1 000(6.151406) = $6 151.41  ( 1 + 0.001)10 6 − 1  ( 1.001)1.666667 − 1  0.001667  M = 6151.41  = 6151.41  = 6151.41 0.01 0.01    0.01    M = 6 151.41(1.667) = $10 254.40

170

Grupo Editorial Patria© ❚❚ 5.6.1  Valor actual en anualidades generales

Problema resuelto 58. Encontrar el valor actual de un conjunto de cuatro pagos trimestrales de $200, si el interés es de 26% anual convertible mensualmente. Solución

Datos R = $200 Incógnita A n = 4 trimestres T = 26% A.C. Mensual i = 0.021666 mensual a) Se resuelve utilizando la tasa equivalente. Para su cálculo se considera un solo trimestre.

1 + i ′ = (1 + i )p



i ′ = (1 + 0.021666)3 - 1



i ′ = 0.0664165 trimestral

b) Para calcular el valor presente:

 1 − (1.0664165 ) −4   1 − (1 + i ) − n   1 − 0.7732013  A = R  = 200   = 200    0.0664165 i    0.0664165 



 0.2267987  A = 200  = 200 ( 3.4147945 ) = $682.96  0.0664165 

c) Para calcular el monto:

 (1.0664165 )4 − 1  (1 + i )n − 1  1.293324 − 1 M = R  = 200   = 200    0.0664165 i    0.0664165 



 0.2933243  A = 200  = 200 ( 4.4164372 ) = $883.29  0.0664165 

O bien, si A = M entonces: M = 682.96(1.0664165)4 = 682.96(1.2933243) = $883.29 d ) Para la renta equivalente, la solución es:

 (1 + t ) p − 1 M = R′  t  



 (1.021666)3 − 1 200 = R ′    0.021666 



 0.066416  200 = R ′   0.021666 



R′ =

200 = $65.24 mensual 3.0654482

e) El cálculo del valor presente sería:

 1 − (1.021666 ) −12   1 − (1 + i ) − n   1 − 0.7732013   0.226798  = 65.24 (10.46791) A = R = 65.24   = 65.24   = 65.24     0.021666 i    0.021666   0.021666 

1.021666 ) −12   1 − 0.7732013   0.226798  = 65.24 (10.46791) = 65.24   = 65.24  0.021666   0.021666   0.021666 

A = $682.93

171

UNIDAD

5

Anualidades f ) Para calcular el monto:

 (1 + 0.021666 )12 − 1  (1 + t ) p − 1  0.293324  M = R′ =  = 65.24   = 65.24  0.021666   0.021666  t  



M = 65.24(13.53845) = $883.25 mensual

Problema resuelto 59. ¿Cuál es el monto y el valor presente de un conjunto de 18 pagos bimestrales de $10 600 si el interés es de 3% trimestral efectivo? Solución

Encontrar la tasa efectiva bimestral equivalente a la efectiva trimestral: (1 + i ′)3/2 = (1 + 0.03) i ′ = (1.03)2/3 - 1 i ′ = 1.0199013 - 1 i ′ = 0.0199013 efectiva bimestral  (1 + 0.0199013 )18 − 1  (1.0199013 )18 − 1  1.42576 − 1 M = 10 600   = 10 600   = 10 600  0.0199013 0.0199013      0.0199013   0.42576  M = 10 600  = 10 600 ( 21.393609 ) = $226 772.25  0.0199013  El valor presente es: C = 226 772.25(1.0199013)-18 = 226 772.25(0.70138) C = $159 053.52

❚❚ 5.6.2  Plazo en anualidades generales

Problema resuelto 60. Una persona desea acumular $20 395 mediante depósitos semestrales de $911.90 en una cuenta que rinde 1.25% bimestral. Solución

La tasa semestral equivalente a 1.25% bimestral: i ′   1 +  2

2



i ′   1 +  2

2



1+

= (1 + 0.0125 )1

=

2

1.0125

i′ = 1.00623059 2

 i ′ = 2[1.00623059 - 1]

 i ′ = 2(0.00623059)



 i ′ = 0.0124612 A.C. Semestral

 i ′ = 0.0124612/2 = 0.00623059 semestral

172

Grupo Editorial Patria© De la expresión de monto de la anualidad vencida se despeja n:  (1 + i ′ )n − 1 M = R  i′  

n=

∴

 Mi ′  + 1 log    R

n=

 20 395 ( 0.00623059 )  log  + 1   911.90 log (1 + 0.00623059 )

log (1 + i ′ )

=

 127.07288  log  + 1  911.90  0.002697516

=

log (1.13935 ) 0.002697516

=

0.056657 = 21 0.002697516

Problema resuelto 61. La banda Del Recodo debe pagar un préstamo para la compra de un autobús, el costo de contado es de $1 950 000 y lo debe liquidar con pagos mensuales de $134 400 comenzando un mes des­ pués de la autorización del crédito, el interés es de 15% efectivo anual. ¿Cuántos pagos completos debe hacer? Solución

La tasa mensual equivalente a 15% efectivo anual: 12



i′   1+   12 



i′  1+  =  12 



1+



i ′ = 12(0.01171492)



i ′ = 0.0140579 A.C. mensualmente



i ′ = 0.140579/12 = 0.011715 mensual

= (1 + 0.15 )

12

( 1.15 )1

i′ = 1.01171492 12

De la expresión de valor actual de la anualidad vencida se despeja n:



 1 − ( 1 + i ′ ) −n  A = R    i′

   n =

1  1950 000 ( 0.011715 )   1− 140 000  log (1 + 0.011715 )

1   log  22 844.25   1− 134 400  

= 0.005058189

∴

n=

1   log  1950 000 ( 0.011715 )   1− 140 000   log (1 + 0.011715 )

=

1   log  Ai ′   1−  R  log( 1 + i ′ ) 1   log  22 844.25   1− 134 400   0.005058189

1 1     log  log   1 − 0.16317   0.8300279  = = 0.005058189 0.005058189

1 1     log  log   1 − 0.16317   0.8300279  = = 0.005058189 0.005058189

n=

log(1.1949858 ) 0.005058189

=

0.077362759 = 15.29 0.005058189

Tiene que realizar 15 pagos completos y un pago 16 de una cantidad menor. 173

UNIDAD

5

Anualidades ❚❚ 5.6.3  Renta en anualidades generales

Problema resuelto 62. El 10 de febrero de 2014, el comerciante Miguel Mancera compró un local en una nueva plaza comercial en el centro de la ciudad con valor de $4 000 000, dio de enganche 50% y el resto fue en un pago único el 10 de mayo 2015. El 20 abril de 2015, el señor Mancera acuerda con Banorte cambiar la forma de liquidar el local por seis pagos mensuales, realizando el primero el 10 de sep­ tiembre de 2015. La tasa de interés efectivo anual acordada es de 10.5%. ¿Cuánto tiene que pagar mensualmente el señor Mancera? Solución

Enganche $2 000 000

Adeudo $2 000 000 ... 10 May. 2015

10 Ago. 2015

R2

R3

10 Sep. 2015

R4

R5

R6 10 Feb. 2016 meses

        

10 Feb. 2014

R1

...

Periodo de gracia

Figura 5.35  Anualidad diferida, cálculo de la renta.

Valor del local - enganche = 4 000 000 - 0.5 (2 000 000) = $1 000 000 Periodo de gracia tres meses Seis pagos mensuales de = ? Tasa equivalente

(1 + i )12 = 1 + 0.105



1+ i =



i = 1.0083552 - 1



i = 0.0083552

12

1.105

El valor del adeudo al 10 de agosto de 2015 2 000 000(1.0083552)3 = $2 050 551.22 La anualidad equivalente:

 1 − (1.0083552 ) −6  2 050 551.22 = R   0.0083552  



 1 − 0.95130274  2 050 551.22 = R   0.0083552 



 0.0486973  2 050 551.22 = R   0.0083552 



R =

2 050 551.22 = $351821.68 5.8283822

Problema resuelto 63. La costurera María Pérez desea ahorrar $35 000 en los próximos tres años para comprar una máqui­ na de tejido. Ella puede realizar depósitos semanales en una cuenta que paga 3.6% capitalizable mensualmente, ¿qué cantidad de dinero tiene que depositar María cada semana?

174

Grupo Editorial Patria© Solución

Se calcula la tasa semanal equivalente a 3.6% capitalizable mensualmente 52

0.036   = 1 +   12 

12



i′    1 +  52 



1+

i′ = 52



1+

i′ = 52



i′ = 1.0006915 − 1 52



i ′ = 52(0.0006915)



i ′ = 0.03596 A.C. semanalmente



i ′ = 0.3596/52 = 0.0006915 semanal

52

(1.003 )12

52

1.0366

Despejando R

=

35 000  (1.0006915 )156 − 1   0.0006915  



 (1 + i ′ )n − 1 M = R    i′



R =

M  (1 + i ′ ) − 1     i′ n

∴

=

R =

M  (1 + i ′ )n − 1     i′

35 000  (1.0006915 ) − 1   0.0006915   156

=

35 000  1.11386586 − 1  0.0006915 

=

35 000  0.11386586   0.0006915 

=

35 000 164.665

= $212.55

35 000 35 000 35 000 = = = = $212.55  1.11386586 − 1  0.11386586  164.665  0.0006915   0.0006915 

Problema resuelto 64. Un nuevo plan de ventas de la mueblería Delher para un paquete de comedor, sala, recámara, cocina y refrigerador con valor de $97 325. El plan consiste en dar 25% de enganche del precio de contado, 36 pagos mensuales y la tasa de interés de 2.26% efectivo trimestral, ¿de cuánto es cada pago mensual? Solución

La tasa mensual es: (1 + i )3 = 1.0226 i′ =



3

1.0226 − 1 = 0.0074773

El valor actual del adeudo Saldo = Precio - enganche = 97 325 - 0.25 (97 325) = 97 325 - 24 331.25 = $72 993.75

 1 − (1 + i ′ ) − n  A = R    i′



R =

∴

72 993.75  1 − (1 + 0.0074773 ) −36    0.0074773  

R =

=

A  1 − (1 + i ′ ) − n      i′

72 993.75  1 − 0.764769   0.0074773 

=

72 993.75  0.235231   0.0074773 

=

72 993.75 31.459288

= $2 320.26

175

5

UNIDAD

Anualidades

5.7  Anualidades generales anticipadas Problema resuelto 65. La historiadora Nitza Aragón realiza por anticipado depósitos quincenales durante seis bimestres para acumular $23 000, a una tasa de interés capitalizable 24% cada mes. Solución

Encontrar la tasa efectiva quincenal: i′    1 +  24 

24



i′    1 +  24 

24





1+



i ′ = 24[1.00995 - 1]



i ′ = 24(0.00995)



i ′ = 0.2388 A.C. quincenal



i ′ = 0.00995 quincenal

i′ = 24

0.24   = 1 +   12 

12

= (1 + 0.02 )12

24

(1.2682418 )

Un bimestre tiene cuatro quincenas.

R =

M n +1

 (1 + i ′ )   i′

−1

 − 1 

=



n = 6(4) = 24



 (1 + i ′ )n + 1 − 1  − 1 M = R   i′



R =

M n +1

 (1 + i ′ )   i′

−1

 − 1 

=

∴

R =

M  (1 + i ′ )n + 1 − 1  − 1    i′

23 000 24 + 1

 (1 + 0.00995 )  0.00995 

−1

 − 1 

=

23 000  1.2808458 − 1  − 1  0.00995 

=

23 000  0.2808458   0.00995 − 1

23 000 23 000 23 000 = = = 24 + 1 − 1.2808458 1 0.2808458  (1 + 0.00995 )     −1  − − 1 1 − 1     0.00995   0.00995 0.00995  

R =

23 000  0.2808458   0.00995 − 1

=

23 000 28.2257 − 1

= $844.80

Problema resuelto 66. Encontrar el valor actual de un conjunto de 25 pagos semestrales anticipados de $5 500 si el inte­ rés es de 24% capitalizable trimestralmente. Solución

Encontrar la tasa efectiva semestral:

176

i ′   1 +  2

2

0.24   = 1 +   4 

4

=

′ )− n +1

Grupo Editorial Patria©

2



i ′   1 +  2



1+



i ′ = 2 [1.1236 - 1]



i ′ = 2(0.1236)



i ′ = 0.2472 A.C. Semestral



i ′ = 0.1236 semestral

i′ = 2

= (1 + 0.06 )4 2

(1.262477 )

El valor actual de la anualidad anticipada:

 1 − (1 + 0.1236 )−25 + 1   1 − (1 + i ′ ) − n + 1   1 − (1.1236 ) −24   1 − 0.0609984  + 1 = 5 500  + 1 = 5 500  + 1 = 5 500  A = R + 1   0.1236 0.1236 i′ 0.1236      

 1 − (1 + 0.1236 )−25 + 1    1 − (1.1236 ) −24   1 − 0.0609984  + 1 = 5 500  + 1 = 5 500  + 1 = 5 500  + 1  0.1236 0.1236 0.1236        0.939  + 1 = 5 500 ( 8.5971) + 5 500 = $47 284.05 A = 5 500   0.1236 

5.8  Anualidad general diferida Problema resuelto 67. La mueblería RC ofrece una pantalla plana con 36 abonos semanales de $230 e intereses de 30% capitalizable mensualmente, el primer pago se realiza dentro de tres meses después de la compra. ¿Cuál es el precio de contado de la pantalla plana? Solución

La tasa de capitalización por semana equivalente a la tasa de 30% anual capitalizable mensualmente. i′    1 +  52 

52



i′    1 +  52 

52



1+



i ′ = 52[1.005715 - 1]



i ′ = 52(0.005715)



i ′ = 29.716% A.C. semanal



i ′ = 0.005715 semanal

i′ = 52

0.30   = 1 +   12 

12

= (1 + 0.025 )12 52

(1.344889 )

El valor presente de la pantalla plana una semana antes de hacer el primero de los 36 pagos de $230 a la semana.  1 − (1 + 0.29716 52) −36  1 − (1 + i ) − n  A = R  = 230     0.29716 52 i

 −36    0.185467   = 230  1 − (1 + 0.005715 )  = 230   0.005715    0.005715 

 1 − (1 + 0.29716 52) −36  −36  1 − (1 + i ) − n     0.185467    = 230  1 − (1 + 0.005715 ) = 230 = R   = 230     0.29716 52 i 0.005715    0.005715  

A = 230(32.452668) = $7 464.11

177

UNIDAD

5

Anualidades Para conocer el precio de contado de la pantalla se tiene que encontrar el valor actual 12 semanas antes del primer pago. C = 7 464.11(1.005715)-12 = 7 464.116(0.9339) = $6 970.74

Problema resuelto 68. Al día siguiente de su titulación, José Manuel deposita en su cuenta de inversión $30 000, la cual produce 4.5% capitalizable mensualmente. Él piensa realizar retiros trimestrales de $1 800 dentro de cuatro años, ¿cuántos retiros completos de $1 800 realizará? Solución

Tasa equivalente: i ′   1 +  4

4



i ′   1 +  4

4



1+



i ′ = 4[1.011292234 - 1]



i ′ = 4(0.011292234)



i ′ = 0.04517 A.C. Trimestral



i ′ = 0.0112925 trimestral



4 años × 4 trimestres por año = 16 bimestres.

i′ = 4

0.045   = 1 +   12 

12

= (1 + 0.00375 )12 4

(1.0459398 )

El valor del depósito antes de cumplir los cuatro años: 30 000(1.0112925)15 = 30 000(1.183450569) = $35 503.65 Anualidad simple:  1 − (1 + i ′ ) − n  A = R    i′



n= −



n= −

35503.65 ( 0.0112925 )   log  1 −  1800  log( 1 + 0.0112925 )

∴

Ai ′   log  1 −   R  n= − log (1 + i ′ )

35503.65 ( 0.0112925 )   log  1 −  1800  log( 1 + 0.0112925 )

= −

400.925   log  1 − 1800  

400.925   log  1 − 1800   log( 1 − 0.222736 ) log( 0.777264 ) = − = − = − 0.0048768 0.0048768 0.0048768 n=



0.0048768

= −

log( 1 − 0.222736 ) 0.0048768

0.1094315 = 22.43 0.0048768

Él realiza 22 retiros completos de 1 800 pesos.

5.9  Anualidad general variable Las anualidades estudiadas con anterioridad se caracterizaban porque la serie de pagos se realizaban a intervalos de tiempo iguales o uniformes a un importe constante o valor constante.

0

R1

R2

R3

R4

1

2

3

4

...

Rn - 1

Rn

n-1

n (años)

Figura 5.36  Anualidad con importe constante y uniformes (R1 = R2 = R3 = R4 = . . . = Rn - 1 = Rn cada año).

178

= −

log( 0.777264 ) 0.0048768

Grupo Editorial Patria© En la vida cotidiana se presentan casos en donde el importe es variable y la serie de pagos se realizan en intervalos uniformes, a estos casos se les conoce como anualidades variables. En las anualidades variables como el importe es variables, este se puede incrementar o decremen­ tar en forma de series aritméticas o geométricas y el conjunto de pagos que se realizan a intervalos iguales. En el caso de las anualidades variables aritméticas, cada término es el resultado de sumar o restar un mismo número al número anterior. En las anualidades geométricas, cada término es el resultado de multiplicar el anterior por un mismo número, el cual recibe el nombre de razón de la progresión geométrica r y el primer término se representa con t1.

0

R1

2R2

3R3

4R4

1

2

3

4

...

(n - 1)Rn - 1

nRn

n-1

n (años)

Figura 5.37  Anualidad con pagos uniformes e importe variable y uniformes (R1 ≠ R2 ≠ R3 ≠ R4 ≠ . . . ≠ Rn - 1 ≠ Rn).

La suma de los términos en una serie geométrica creciente o decreciente se encuentra utilizando las siguientes ecuaciones: Progresión decreciente, la razón es menor a uno (r < 1). 1 − r n  Sn = t1    1− r  Progresión creciente, la razón es mayor a uno (r > 1).  r n − 1 Sn = t1    r −1 Para calcular cualquier término basta con conocer el valor del primer pago (t ) y la razón de la progre­ sión (r ). U = t1r n - 1 Suma de términos: a) Progresión creciente en este caso la razón es mayor a 1 (r > 1).  r n − 1 S = t1    r −1 b) Progresión creciente en este caso la razón es menor a 1 (r < 1). 1 − r n  S = t1    1− r 

❚❚ 5.9.1  Valor presente de una anualidad variable En el cálculo del valor presente de una anualidad variable es necesario trasladar todos los términos a la fecha focal que está ubicada en punto cero como se muestra en la figura 5.38. FF

A

R

2R

3R

(n - 1)R

nR

n-1

n

... 0

1

2

3

Figura 5.38  Valor presente de una anualidad variable.

179

UNIDAD

5

Anualidades En donde los n pagos al final de los periodos de interés son: R, 2R, 3R, . . . , nRn. A = R(1 + i )-1 + 2R(1 + i )-2 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 1) + nR(1 + i )-n (5.23)



Multiplicando la ecuación (1) por (1 + i ) se tiene: (1 + i ) A = R + 2R(1 + i )-1 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 2) + nR(1 + i )-(n - 1) (5.24) Restando las ecuaciones 5.23 y 5.24: iA = R[1 + (1 + i )-1 + (1 + i )-2 … + (1 + i )-(n - 1)] - nR(1 + i )-n (5.25)                         



Suma de la progresión geométrica

Sea Sn la suma de los n términos de la progresión geométrica siendo el primer término es t1 = 1 y la razón común (1 + i )-1. 1− rn 1− r



Sn = t i



1 + (1 + i ) −1 + (1 + i ) −2  + (1 + i ) − ( n − 1 ) = t i



 1 + i  1 − (1 + i ) 1 + (1 + i ) −1 + (1 + i ) −2  + (1 + i ) − ( n − 1 ) =   1 + i  1 − (1 + i ) −1



 1 − (1 + i ) − n  1 + (1 + i ) −1 + (1 + i ) −2  + (1 + i ) − ( n − 1 ) = (1 + i )     i

1− rn 1− r −n

La ecuación 5.23 queda:

  1 − (1 + i ) − n Ai = R (1 + i ) − n (1 + i ) − n    i



A =

 R 1 − (1 + i ) − n − n (1 + i ) − n  5.26 (1 + i )  i  i

El valor acumulado S de la anualidad simple creciente se calcula con la siguiente ecuación: S = A(1 + i )n 5.27   1 − (1 + i ) − n − n (1 + i ) − n  (1 + i )n (1 + i )   i



S =

R i



S =

 R  1 − (1 + i ) − n (1 + i )n + 1 − n  5.28   i  i

Problema resuelto 69. Ángel Rivera invierte $9 000 al final de cada año, durante siete años, en un fondo de inversión (fi ) que paga 10%, el fondo paga los intereses al final de cada año. La persona deposita su pago anual de intereses en una cuenta de inversión inmediata (cii ) en EXE Banco, paga de intereses 4% anual. ¿Cuánto dinero tendrá dentro de siete años? Solución

180



• C  omo los intereses se pagan al final de cada año, el señor Rivera tendrá al final de los siete años $63 000 en el fondo de inversión.



• L os depósitos realizados en EXE Banco también se pagan al final de cada año, pero su primer pago de intereses será a partir del segundo año.

Grupo Editorial Patria© R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

1

2

3

4

5

6

7 (años)

R1

R2

R3

R4

R5

R6

900

2(900)

3(900)

4(900)

5(900)

6(900)

2

3

4

5

6

Fondo de inversión 0

Cuenta de inversión 0

1

7 (años) S



Figura 5.39  Anualidad variable.



M = 9 000(1 + i ) = 9 000(1.10) = $9 900



I = 9 900 - 9 000 = $900

Si I = R, sustituyendo en la ecuación 5.25

S =

 900   1 − (1 + 0.04 ) −6  6 +1 − 6   (1 + 0.04 ) 0.04   0.04  



S =

900   1 − 0.790314525   7   (1.04 ) − 6  0.04   0.04 



S =

900   0.209685474     (1.315931779 ) − 6  0.04   0.04 



S =

900 [( 5.242136857 )(1.315931779 ) − 6 ] 0.04



S = (22 500)[6.898294481 - 6]



S = (22 500)(0.898294481)



S = $20 211.62

Problema resuelto 70. La familia Rosales va a impermeabilizar el techo de su casa, lo cual costará $15 400; ellos también tienen la alternativa de poner piso antiderrapante plastificado, que también hace la función de impermeabilizar. Ellos saben que este gasto lo tienen que realizar cada cinco años (por siempre), se sabe que el impermeabilizante aumentará 2% anual (por siempre), ¿cuánto deben estar dispuestos a pagar los integrantes de la familia por el piso antiderrapante plastificado?, ellos pueden ganar 8% anual con su dinero. Solución

A = 15 400 + 15 400(1.02)5(1.08)-5 + 15 400(1.02)10(1.08)-10 + 15 400(1.02)15(1.08)-15 + … La progresión geométrica en general: t1, t1r, t1r2, t1r3, … entonces la suma de los n primeros términos se escribe en la forma:

1− rn  Sn = t1   1 − r  1− rn  t1 t 1r n Sn = t1  = −  1 − r  1 − r 1 − r

181

UNIDAD

5

Anualidades Cuando -1 < r < 1 y si n aumenta sin límite entonces el término r n tiende a cero y Sn tiende a t1/(1 - r). La suma de la progresión geométrica infinita se expresa de la siguiente forma: t1

S =

1− r

Como: 0 < r = (1.02)5(1.08)-5 < 1 El valor descontado se calcula de la siguiente forma:

A =



A =

t1 1− r

=

15 400 5

1 − (1.02 ) (1.08 )

−5

=

15 400 1 − (1.04080803 )( 0.680583197 )

15 400 15 400 = = $61 951.60 1 − 0.751418842 0.2485811573

La familia Rosales debe estar dispuesta a pagar hasta $61 951.60 por el piso antiderrapante.

Problema resuelto 71. Calcular el valor descontado de una perpetuidad creciente. La serie de pagos que se realizan son de $30 000 al final de año, iniciando el primer pago el 31 de diciembre de 2014 y se incrementan en $4 000 por siempre cada año, siendo el interés de 4.6%. Solución

A = 30 000(1.046)-1 + 34 000(1.046)-2 + 38 000(1.046)-3 (1)



Multiplicando por (1 + i ) = 1.046, se obtiene: 1.046 A = 30 000 + 34 000(1.046)-1 + 38 000(1.046)-2 (2)



Restando la ecuación (1) de (2):

0.046 A = 30 000 + 4 000[(1.046)-1 + (1.046)-2 + (1.046)-3 + …] (3)

                      





Suma de la progresión geométrica infinita



t1 = (1.046)-1



r = (1.046)-1

Suma de una progresión geométrica infinita: (1 + i )-1, (1 + i )-2, (1 + i )-3, (1 + i )-4, (1 + i )-5, … Donde i > 0, para este caso t1 = (1 + i )-1 y r = (1 + i )-1, (-1 < r < 1). S =



(1 + i ) −1 1 − (1 + i )

−1

=

(1 + i ) −1

1 1 1 + i  = 5.29  = 1 − (1 + i ) −1  1 + 1 (1 + i ) − 1 i

Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:  (1.046 ) −1   1.046  1 1 (1.046 ) −1 + (1.046 ) −12 + (1.046 ) −3 +  =   1.046  = 1.046 − 1 = 0.046 = 21.74 −1    1 − (1.046 )  Sustituyendo en la ecuación (3):

182



0.046 A = 30 000 + 4 000(21.74) = 30 000 + 86 960 = 116 960



A =

116 960 = $2 542 608.70 0.046

Grupo Editorial Patria©

5.10  Anualidades perpetuas Esta anualidad se caracteriza porque el capital se mantiene constante y el valor de la renta es igual a los intereses generados durante el periodo (la tasa de interés nunca puede cambiar), por lo que los retiros se mantienen constantes de manera perpetua, siempre y cuando el capital original se mantenga invertido, lo cual hace que el plazo no tenga fin. A las anualidades perpetuas también se les conoce como rentas perpetuas o a perpetuidad, por ejemplo: Los dividendos de acciones preferentes de una empresa que son los intereses que se retiran al final de cada periodo para ser utilizados en beneficio de asociaciones civiles, centros de investigación o universidades, entre otras, son rentas perpetuas. Algunos puntos importantes de las anualidades a perpetuidad son: ■■

Desde un punto de vista idealizado los pagos de la renta nunca terminan, entonces:

No es posible conocer el valor a futuro; sin embargo, el valor presente de la renta perpetua siempre será conocido. ■■

Ahora si analizamos la tasa de interés por periodo, esta puede ser simple o compuesta.

Cuando la tasa se considera compuesta, no da oportunidad a que se capitalice al final del pe­ riodo, porque los intereses son retirados al final del mismo, originando que la tasa de interés compuesto actúe en la práctica como una tasa de interés simple. ■■

También se puede presentar el caso en el que la renta sea menor a los intereses generados durante el periodo:

Lo que origina que el capital se incremente con el tiempo, obteniéndose un capital relativa­ mente pequeño. Este caso no se tratará en este libro. Valor de la renta a) Se obtiene a partir de la ecuación 5.30 I = Cin

Si: R = I  \

R = Cin 5.30

Como:

n = 1 periodo \

R = Ci 5.31

Problema resuelto 72. Se tiene una renta perpetua de $800 000 pagadera al final de cada año. El interés que paga la institución financiera por la inversión es de 10.15% anual. Calcular el valor actual del legado. Solución

Datos R = $800 000 Incógnita C T = 10.15% anual R = Ci ∴

C =

800 000 R = = $7 881 773.40 i 0.1015

183

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 73. ¿Cuál es el pago mensual de una perpetuidad de $675 000, suponiendo una tasa de interés 0.85% mensual? Solución

Datos: C = $675 000 Incógnita R T = 0.85% mensual R = Ci = (675 000)(0.0085) = $5 737.50

Problema resuelto 74. El empresario Ángel Licona establece que parte de sus bienes serán invertidos de tal forma que los intereses generados se paguen al Instituto Nacional de Cancerología mediante una renta perpetua de $450 500, al inicio de cada semestre. ¿Cuál es el valor presente de este legado, suponiendo que se encuentra invertido a 7.5% interés semestral? Solución

Datos: R = $450 500 Incógnita R T = 7.5% semestral i = 0.0375 R = Ci ∴

C =

450 500 R = = $12 013 333.33 i 0.0375

Problema resuelto 75. El señor Matías González compra un local en una plaza comercial al sur de la ciudad el valor del inmueble es de $1 960 000, el señor González el día 14 de abril entrega la cantidad de $160 000 de apartado y el enganche es de 25% del valor del inmueble, este se cubrirá con seis pagos quin­ cenales a una tasa de 10.5% efectiva. El señor González solicita un crédito hipotecario a Banorte por 75% del valor del local, para ello realizará 120 pagos mensuales a una tasa nominal de 9.2%. Solución

Valor de apartado $160 000 C1 = Precio - Apartado = 1 960 000 - 160 000 = $1 800 000 El enganche 25% del valor del local: C2 = 0.25(C1) = 0.25(1 960 000) = $490 000 Se tiene ahora que calcular la tasa de interés capitalizable por quincena equivalente a 10.5%.

184



Un año = 24 quincenas



i′    1 +  24 



1+



i ′ = 24[1.0041689 - 1]



i ′ = 24(0.0041689)



i ′ = 0.100053312

i′ = 24

24

= (1 + 0.105 ) 24

1.105

Grupo Editorial Patria© Se tiene dos anualidades: 1. De seis rentas vencidas quincenales. 2. Con 120 pagos mensuales.



 1 − (1 + i ) − n  C = R′    i



 1 − (1 + 0.100053312 ) −6  490 000 = R ′   0.100053312  



 1 − 0.564309813  490 000 = R ′   0.100053312 



 0.435690187  490 000 = R ′   0.100053312 



490 000 = R ′(4.354580356)



R′ =

490 000 4.354580356

= $112 525.19

La segunda anualidad diferida tres periodos mensuales, y está constituida de 120 mensualidades y una tasa nominal de 9.2%. El valor presente de la segunda anualidad es igual al valor futuro de 75% del precio del local comercial.

0.75(1 960 000) = $1 470 000 - 160 000 = $1 310 000



M = 1 310 000(1 + 0.092/12)3



M = 1 310 000(1 + 0.0076666)3



M = 1 310 000(1.023176784)



M = $1 340 361.59

Ya conociendo el valor presente del local se calcula el valor de la renta.

 1 − (1 + i ) − n  C = R′    i



 1 − (1 + 0.076666 ) −120  1340 361.59 = R ′   0.076666  



 1 − 0.00014135  1340 361.59 = R ′   0.076666 



 0.99985866  1340 361.59 = R ′   0.076666 



 1 340 361.59 = R ′(13.0417481)



R′ =

1340 361.59 = $134126.56 13.0417481

185

UNIDAD

5

Anualidades

Problema resuelto 76. E  ste problema está basado en un hecho real. Roberto Mendoza, estudiante de una universidad pública, a solicitud de su profesor Jesús Rodríguez, realizó una investigación para saber cuánto dinero tendría que gastar para su titulación y fiesta de graduación dentro de cuatro años. Roberto Mendoza piensa depositar en su cuenta de inversión inmediata $50.00 a principio de cada mes. Se estima que el banco pagará en promedio una tasa de 12% anual convertible mensualmente. ¿Cuánto podría ahorrar dentro de cuatro años?

Cuadro 5.11  Presupuesto estimado con plazo de cuatro años Concepto

Costo ($)

Seminario de titulación

$8 000.00

Paquete de titulación (diploma, carta de agradecimiento a los padres, etc.)

$ 900.00

Foto del grupo enmarcada

$ 350.00

Foto panorámica

$ 500.00

Boleto para fiesta de graduación (solo del alumno)

$ 550.00

Alquiler del traje (solo para la fiesta de graduación)

$ 900.00

Total estimado

$11 200.00

Solución:

Datos: R = $50 Incógnita M T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual n = 4 años a) Con los depósitos de $50 obtendría:

 (1 + i )n +1 − 1   (1.01)48 +1 − 1   0.628348  M1 = R  − 1 = 50  − 1 = 50  − 1   i 0.01    0.01 



M1 = 50[62.8348 - 1] = 50[61.8348] = $3 091.74

b) Con los depósitos mensuales de $50 no podría cubrir los gastos estimados para el seminario de titulación y la fiesta de graduación dentro de cuatro años, por lo que Roberto se pregunta, ¿qué cantidad de dinero tiene que ahorrar al principio de cada mes durante cuatro años para cubrir estos gastos? Datos: M = $11 200 Incógnita R n = 4 años (48 meses) T = 12% A.C.M. i = 0.01 mensual c) Partiendo del presupuesto estimado de $11 200 tendríamos que:

R =



R =

M  ( 1 + i )n + 1 − 1  − 1    i

=

$11200  ( 1.01)49 − 1  − 1  0.01  

=

$11200  0.628348   0.01 − 1

$11200 $11200 = = $181.13 [ 62.8348 − 1] 61.8348

d ) Con un depósito mensual de $181.13, Roberto alcanza la cantidad deseada de $11 200 para ayudarse a cubrir los gastos de la fiesta y del seminario de titulación.

186

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 77. L os socios de empresa de comunicación RR-Hermanos en el año 2014 deciden crear una fun­ dación Apoyo Educativo para los hijos de comunicadores fallecidos, con un capital invertido de $2 500 000 a una tasa que dará pagos de $400 000 al final de cada año. a) ¿Qué tasa de interés gana la inversión? b) Después de pago del año 2017 se espera que la tasa cambie a 11%. c) La fundación decide seguir realizando pagos de $400 000, ¿cuántos pagos anuales podrá rea­ lizar? Solución

a) Tasa de interés que gana la inversión: Datos: C = $2 500 000 i =

400 000 R = = 0.16 C 2 500 000

b) Después de los tres primeros pagos. Datos: C = $2 500 000 R=? R = Ci = 2 500 000(0.11) = $275 000 sería el pago anual c) Si la fundación decide seguir realizando pagos de 400 000, se procede al cálculo del número de pagos que podrá realizar. Datos: C = $2 500 000 R = $400 000 i = 0.11  1 − (1.11) − n  2 500 000 = 400 000   0.11  

2 500 000 400 000

=

1 − (1.11) − n 0.11



6.25(0.11) = 1 - (1.11)-n



(1.11)-n = 1 - 0.6875



-n log(1.11) = log(0.3125)



-n log(1.11) = -0.50515



n=

0.50515 = 11.15 0.045323

Se pueden realizar 11 pagos anuales más los tres ya realizados (2015, 2016 y 2017).

187

UNIDAD

5

Anualidades

❚❚ Fórmulas empleadas

Anualidad anticipada

Terminología de anualidades

■■

Anualidad Monto

M

Renta

R

Razón

(1 + t)

Periodo

N

Valor actual

A



 (1 + i )n + 1 − 1  M = R − 1 5.8   i



 (1 + i )n − 1 1 M = R  (1 + i ) 5.8a   i ■■

Primer término

R(1 + i )-1

Razón

(1 + t)-1

Precio

P

Capital

C

 1 − (1 + i ) − n + 1  A = R  5.9   i



 1 − (1 + i ) − n + 1  A = R 1 +  5.10   i ■■

I

Tasa efectiva

E

Tasa nominal

I

Anualidades vencidas ■■



 (1 + i )n − 1 M = R  5.2   i

 1 − (1 + i ) − n  A = R  5.3   i Renta R =



R =







188

R =



R =

■■

M (i ) n

(1 + i ) − 1 A (i ) 1 − (1 + i ) − n

5.4



n=

 Mi  + 1 log   R 

A  1 − (1 + i ) − n + 1  1 +    i

log(1 + i )

5.11

5.12

Valor presente  1 − (1 + i ) − n  −m A = R  (1 + i ) 5.15   i

Renta

R =



■■





A (1 + i )m 1 − (1 + i ) − n i

5.16

Plazo R   log   m ( ) (1 ) ( ) i i R − A +   n= 5.17 log(1 + i )

■■

5.7

 − 1 

Anualidades diferidas

■■

Ai      log  1 − R    5.6a n = −  log(1 + i ) 

−1

  Mi   log  R + (1 + i )   + 1 5.14 n=  log(1 + i )  



Plazo  1  log  Ai   1 −  R  n= 5.6 log(1 + i )

 (1 + i )   i

Ai     log (1 + i ) − R    5.13 n = 1−  log(1 + i )  

■■

5.5

M n +1

Plazo

Valor actual o presente



■■



R − R (1 + t )n 5.1 1 − (1 + t )

M =

■■

Renta

Monto



■■

Valor actual o presente



Tasa Tasa

Monto

Tasa en anualidad vencida 1 − ( 1 + i )− n A = 5.18 R i

Grupo Editorial Patria© ■■

Tasa efectiva

■■

5.19



1 − (1 + i ) − n + 1 A = 1+ 5.21 R i

M (1 + i )n − 1 = 5.20 R i



 ( 1 + i )n + 1  M +1=  − 1 5.22   R i

e = (1 + i )p - 1



Tasa en anualidad anticipada

Anualidad general variable ■■

Valor presente

A = R(1 + i )-1 + 2R(1 + i )-2 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 1) + nR(1 + i )-n 5.23 (1 + i ) A = R + 2R(1 + i )-1 + … + (n - 1)R(1 + i )-(n - 2) + nR(1 + i )-(n - 1) 5.24 iA = R[1 + (1 + i )-1 + (1 + i )-2 … + (1 + i )-(n -1)] - nR(1 + i )-n 5.25 A =

■■

  1 − (1 + i ) − n − n (1 + i ) − n  5.26 (1 + i )   i

R I

Suma

S = A(1 + i )n 5.27 S =

■■

 R  1 − (1 + i ) − n (1 + i )n + 1 − n  5.28   i  i

Suma infinita S =



(1 + i ) −1 1 − (1 + i )

−1

=

(1 + i ) −1 1 − (1 + i )

−1

1 1  1 + 1  1 + 1 = (1 + i ) − 1 = i 5.29

Anualidades perpetuas ■■

Renta

R = Cin 5.30 R = Ci 5.31

Tasa de interés ■■

Tasa  M i = n  − 1 5.32  C 



 M   log  C    − 1 5.32a i = antilog    n

■■

Tasa nominal i = p ( e + 1)1 p − 1 5.33

■■



Tasa efectiva i  e = 1 +  p 

p

− 1 5.34

189

UNIDAD

5

Anualidades ❚❚ Glosario Acreedor.  Persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado. Actividad financiera.  Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado. Anualidad.  Cuota anual de devolución de un crédito. Capital.  En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (di­ nero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés. Compra.  Acción de adquirir algo a cambio de dinero. Conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de una compra. Compra a crédito.  Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada a través de créditos por una autoridad bursátil. Compra a plazos. Contrato de compra-venta en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra. Compra de contado.  Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición. Comprador.  Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compra-venta. Compra-venta.  Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor), se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden. Contado.  Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida monetaria en ese mismo momento. Crédito.  Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obliga­ ciones financieras. Crédito a clientes.  Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suminis­ tros que reciben. Debe.  Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago. Deuda.  Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero. Deudor.  Persona o razón social que solicita dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormen­ te, extendiendo para ello un pagaré. Factura.  Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos persona­ les de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra. Operación.  Registro de una entrada o salida de dinero de un depósito bancario. Rédito.  Renta de un capital. Saldo.  Diferencia existente en un momento dado entre el debe y el haber en una cuenta corriente. Tiempo.  Número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

190

Problemas para resolver

Grupo Editorial Patria©

5.1 Calcular el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $20 000 anuales durante cinco años, a una tasa de interés de 12.5%. 5.2  Encontrar el valor acumulado de una anualidad simple ordinaria de $3 000 anuales durante cuatro años, siendo la tasa de interés de 9.5% anual capitalizable anualmente. 5.3  Carlos Hernández paga cada mes una deuda de $500 por la compra de un librero. Él se atrasó seis meses en sus pagos. Carlos llega a un acuerdo con Bancrecer para po­ nerse al corriente en sus pagos en el mes de noviembre del mismo año. ¿Qué cantidad tiene que pagar en el mes de septiembre, si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente? 5.4  Juan deposita cada tres meses $5 000 en su cuenta de ahorros, la cual paga 6%. ¿Cuánto dinero tendrá después del depósito del 31 de mayo 2010, si el primer depósito se realizó el 31 de mayo 2014? 5.5  La doctora Antonia Cortés, al leer el periódico, encuen­ tra un anuncio de venta de automóviles de la marca Maztra. La unidad se puede adquirir con un pago inicial de $82 000 y 36 pagos fijos mensuales de $4 616.00 (no se incluye el segu­ro automotriz). La tasa de interés es de 10% anual convertible mensualmente. La fecha fijada por la empresa financiadora Maztra es el día 30 de cada mes. ¿Cuánto en realidad pagaría la doctora Cortés por el automóvil si se de­ cidiera a comprarlo? 5.6  El comunicólogo Jesús Rodríguez ha depositado $5 000 al final de cada año, en su Afore durante 15 años, los depó­ sitos ganaron intereses de 9.5% durante los primeros cuatro años, 8% durante los siguientes cuatro años y 7% en los últi­ mos siete años. Encontrar la cantidad acumu­lada en el fondo para el retiro y los intereses ganados. 5.7  Encontrar el valor actual pagado por una sala si se dio un enganche de $12 000 y se realizaron seis pagos mensuales vencidos de $2 500 y un séptimo pago de $2 000. La tasa de interés pactada es de 18% capitalizable mensualmente. 5.8 El contador Francisco Castro compró un equipo de enfriamiento para su oficina mediante 36 pagos semanales vencidos de $1 240, con una tasa de interés de 18% conver­ tible semanalmente. Encontrar el valor actual. 5.9  La señora Bertha Aguilar compró un servicio de lavado Mabe para su negocio de planchado. Electro-Hogar ofreció un crédito, mediante el cual consiste en 52 pagos semanales vencidos de $540, con una tasa de interés de 18% conver­ tible semanalmente (VP = $25 657.04). Al llegar a su casa escucha una promoción para la compra del mismo mode­ lo de lavadora de la mueblería Villalpando Hermanos, S.A., realizando un pago inicial de $540.00 y 51 pagos semanales con una tasa de 18% convertible semanalmente. Encontrar el valor actual de esta promoción. 5.10  Francisco Javier Zamudio compró automóvil usado y paga $66 000 de enganche y $1 424.50 al final de cada mes durante tres años. Calcular el precio del automóvil, si la tasa de interés es de 18%, y calcular los intereses totales sobre el préstamo. Problemas aplicados a la realidad

UNIDAD

5

5.11  La fábrica textil Tacoma, S.A., está analizando qué tipo de equipo nuevo de cómputo debe comprar. El equipo se­ leccionado tiene un valor de contado de $88 000, con valor de salvamento de $9 000 al final del sexto año, los costos de mantenimiento serán $400 al mes, pagaderos al final de cada mes, la fábrica textil puede ganar 18% sobre el ca­ pital. Si decidieran rentar el equipo de cómputo les costaría $3 500 al mes durante los seis años, es importante recordar que el arrendatario paga el costo de mantenimiento. ¿Cuál de los dos casos es el más recomendable? 5.12  La comerciante Alba Rosales compró mercancía para miscelánea, dando un enganche de $6 000 y acuerda pagar la mercancía realizando pagos de $2 250 mensuales durante tres años, a una tasa de 24%. a) Encontrar el valor de contado de la mercancía. b) Después del pago 24 el contrato es vendido a una ins­ titución financiera en un precio que rinde 20%. ¿Cuánto pagó la institución financiera por el documento? 5.13 Encontrar el valor presente de una anualidad de $2 400 al final de cada mes durante cuatro años, pagando una renta de $2 400 al final de cada mes durante tres años a una tasa de interés de 10.38% capitalizable mensualmente. 5.14  La pastelería La Espiga, en su sucursal de Calzada del Hueso, estima que será necesario cambiar dos hornos pe­ queños de pan dentro de 10 años, a un costo $1 568 000. ¿Cuánto se debe guardar cada año en un fondo de inversión si el banco ofrece una tasa 4.6% anual? 5.15  ¿Cuánto debe depositar Alma al final de cada mes en cuenta de ahorros durante tres años? Alma estima acumular la cantidad de $65 000 en el momento de realizar el último depósito, si la tasa de interés que es de 1% mensual. 5.16  ¿Cuántos depósitos al final de cada mes debe realizar el administrador de un bufete de abogados en los próximos tres años para acumular $130 000, ya que desea comprar unos sillones para la sala de espera y una mesa con 12 sillas para la sala de juntas? Una institución financiera le ofrece una tasa de interés de 8.35% convertible mensualmente. 5.17 El sociólogo Olguín solicita a Banorte un crédito de tres meses de su sueldo para pagar la operación de su espo­ sa en un hospital particular. El sueldo que le deposita en su cuenta de inversión la compañía Constructora del Sureste, S. A., es de $30 000 quincenales. Por política de Banorte los pagos del crédito son fijos y quincenales con un plazo de 18 meses, y una tasa de interés de 18% anual converti­ ble quincenalmente. El pago quincenal no incluye el IVA. ¿Cuánto debe pagar el arquitecto Olguín quincenalmente? 5.18 El señor Víctor Delgadillo compra una computadora de $15 990 más iva para su hija el día de hoy a crédito. El señor Delgadillo acuerda pagarla en 12 mensualidades ven­ cidas. ¿Cuánto tiene que pagar cada mes si el interés que le cobran es de 1.5% mensual? 5.19  ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes un trabajador a la caja de ahorros del sindicato del imss, por un crédito de $100 000 pagaderos a tres años y con una tasa de interés de 4% mensual?

Problemas para resolver con tecnología

191

UNIDAD

5

Problemas para resolver

5.20  Una sala cuesta $27 500.00, usted puede dar un engan­ che de $2 000.00 y la diferencia en pagos mensuales vencidos durante dos años. ¿Cuánto debe pagar al final de cada mes si el interés es de 15% anual capitalizable mensualmente? 5.21  La licenciada Verónica Zamora ha realizado depósitos mensuales vencidos de $850.00 en su cuenta de ahorros que paga intereses de 9.25% capitalizable mensualmente. ¿Qué cantidad debe depositar mensualmente durante los próximos tres años siguientes, para alcanzar la cantidad de $108 000? 5.22  Tiene que saldar una deuda el día hoy de $980. Acuer­ da diferir su adeudo realizando pagos de $165 al final de cada bimestre con una tasa de interés de 11% bimestral. ¿Cuántos pagos bimestrales vencidos de $165 tendrá que hacer para saldar su deuda? 5.23  ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $540 se ten­ drían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $10 450, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 24% convertible mensualmente? 5.24  ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $3 019.25 se tendrían que realizar para saldar una deuda, pagadera el día de hoy de $500 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 12% convertible mensualmente? 5.25 El físico Javier Mendoza desea acumular la cantidad de $50 000, para reunir esta cantidad decide hacer depósi­ tos de $600 bimestrales vencidos, en una cuenta de inver­ sión, la cual paga 8.5% anual capitalizable bimestralmente. ¿En cuánto tiempo el físico reunirá los $50 000? 5.26.  ¿Cuántos pagos mensuales vencidos de $3 019.25 se tendrían que realizar para juntar la cantidad de $300 000, si el primer pago se realiza dentro de un mes y el interés es de 12% convertible mensualmente? 5.27  Un artesano deposita en una cuenta de ahorros $50.00 al principio de cada mes. Si la cuenta paga 2.3% mensual de interés. ¿Cuánto habrá ahorrado durante el primer año? 5.28  Encuentre el monto de 18 pagos que debe realizar al principio de cada bimestre el anestesista Joaquín Murillo, si la cantidad que deposita bimestralmente es de $1 985. El interés es de 15% anual capitalizable bimestralmente. 5.29  Encuentre el monto de seis pagos que debe realizar el día 1 de cada mes el plomero Feliciano Arrollo, por la cantidad de $985 de su herramienta para su negocio. El tipo de interés contratado es de 25% anual capitalizable men­ sualmente. 5.30  El pianista Alfredo Cerdán desea comprar una casa den­ tro de cuatro años y acuerdan guardar su dinero en un fondo de inversión realizando 24 depósitos bimestrales adelantados de $22 850.00. El interés que proporciona este fondo es de 13% anual capitalizable bimestralmente. ¿Cuánto dinero ten­ drá el pianista Alfredo Cerdán dentro de cuatro años? 5.31  Encuentre el monto de seis pagos de $775 que debe realizar el día 1 de cada mes el señor Enrique Pruneda, por la compra de un desayunador para su consultoría. El tipo de interés es de 25% anual capitalizable mensualmente. 192

Problemas aplicados a la realidad

5.32 ¿Cuál es el valor de contado de una casa que com­ pró la diputada Amalia González en la colonia Fuentes del Pedregal, hace 15 años, si realizaba pagos anticipados de $50 000.00 mensuales, con una tasa de interés de 28% anual convertible mensualmente? 5.33  ¿Cuál es el valor actual de 12 pagos trimestrales anti­ cipados de $1 500.00, con un interés de 7.68% anual capita­ lizable trimestralmente? 5.34 Encontrar el valor de contado de un sistema de vi­ deojuego por el cual se realizaron 18 pagos mensuales anti­ cipados de $433.00 con una tasa de interés de 13.6% capi­ talizable mensualmente. 5.35  La licenciada Jimena Soria compró a crédito una ca­ mioneta usada para transportar sus mercancías, teniendo que realizar 24 pagos mensuales anticipados de $5 890.00, los intereses que le cobran son de 18% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el valor de contado de la ca­ mioneta? 5.36  ¿Cuánto debe pagar mensualmente el señor Cándido por la compra de un comedor y una sala, si él acuerda con la mueblería realizar sus pagos el día 1 de cada mes. Si cuando realizó su noveno pago acumuló $44 819.00 y la tasa de in­ terés aplicada fue de 18% anual convertible mensualmente? 5.37 La psicóloga Angélica Oviedo tiene que pagar un préstamo personal de $100 000.00 en un plazo de dos años, el día de pago fijado por Bansur es primero de cada mes durante el tiempo que dure el plazo. ¿Cuánto debe pagar mensualmente la psicóloga Oviedo, si la tasa de interés apli­ cada es de 18% anual convertible mensualmente? 5.38  Juan Manuel decide regalarle a su mamá una batería de cocina de 12 piezas con un precio de $3 540.00 y tam­ bién decide comprarle una olla de presión de aluminio de 6 litros con un precio de $999. ¿Cuánto debe pagar al inicio de cada mes durante seis meses, si la tasa de interés es de 24% anual convertible mensualmente? 5.39  La fábrica de muebles Delgado Hermanos, S.A., pone a la venta un comedor con valor de contado de $68 000.00 o mediante doce abonos mensuales anticipados. El interés es de 16.8% anual convertible mensualmente. Encontrar el valor de cada pago. 5.40  Una Bici-mundo pone a la venta en el mes de diciem­ bre bicicletas de montaña rodada 28, con valor de $7 819.50 al contado o mediante nueve pagos mensuales anticipados. Si el joven Juan de Dios se decide a comprar una bicicleta a crédito, ¿cuánto tiene que pagar al principio de cada mes, si el interés a pagar es de 26% anual capitalizable mensual­ mente? 5.41 El arquitecto Martín Morales desea comprar cuatro archiveros de tres cajones, hechos de madera, para su ofi­ cina con valor de $20 000.00 al contado, el almacén tam­ bién ofrece comprarlo en abonos anticipados mensuales de $1 569.15, siendo el interés de 27% anual capitalizable men­ sualmente. ¿Cuántos pagos tendría que hacer el arquitecto Morales si se decide a comprar el juego de archiveros? Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© 5.42 La trabajadora social Isabela compra un paquete de cocina que consta de una cafetera para 10 tazas, extractor de jugos, juego de sartenes con teflón (16 piezas). El precio de contado del paquete es de $5 866.00, Isabela decide pagar­ lo en abonos con una tasa de interés de 18% anual capita­ lizable mensualmente. ¿Cuántos pagos deben realizarse de $585.00 al principio de cada mes? 5.43  La tienda Ciclo-bici vende de contado una motocicle­ ta en $8 560 o mediante pagos mensuales anticipados de $995. El interés es de 19.64% anual convertible mensual­ mente. ¿Cuántos pagos se deben realizar si se compra a crédito? 5.44  ¿Cuántos pagos de $1 975 debe realizar el señor Ar­ teaga, el día 1 de cada mes para saldar una deuda por la compra de una estufa? Al cubrir su último pago acumuló $6 560. La tasa de interés aplicada fue de 22% anual conver­ tible mensualmente. 5.45 Gabriela abre una cuenta de ahorros en Bonos del Ahorro Nacional el día de hoy. Ella acuerda con el banco realizar depósitos mensuales de $3 550, pero al inicio de cada mes. Desea reunir la cantidad $30 000. La tasa de inte­ rés es de 1% mensual. ¿En cuánto tiempo reunirá la cantidad deseada? 5.46  La bióloga Adriana Dussel compró a crédito una cen­ trifugadora de plasma el día de hoy para su laboratorio y su acreedor le concede un periodo de gracia de un año; sin embargo, realizará seis pagos semestrales anticipados de $34 850 por la compra de la centrifugadora de plasma, si el interés es de 19% anual convertible semestralmente, encontrar el monto. 5.47 Encontrar el pago que debe realizar la dentista Ana Karen por la compra de material dental el día de hoy si des­ pués de cuatro meses realiza 18 pagos al final de cada mes de $1 950 con un interés de 18% anual convertible mensual­ mente. 5.48  ¿Cuál es el monto de una renta semestral de $16 000 durante 10 años, si el primer pago vencido semestral se rea­ liza dentro de tres años y medio y el interés es de 16% capi­ talizable semestralmente? 5.49  El periodista Ulises Gutiérrez compra un comedor con un pago inicial de $5 000 y ocho mensualidades de $4 800 cada una, pagando la primera mensualidad después de cua­ tro meses de la compra; además, le cobran 19.56% de in­ terés anual capitalizable mensualmente. Encontrar el precio del equipo. 5.50  El alpinista Juan Antonio Sierra compra en el mes de abril una casa de campaña a crédito y acepta pagarla en 12 mensualidades de $3 300 con una tasa de interés de 24% anual capitalizable mensualmente. El primer pago lo reali­ zará en el mes de julio del mismo año. ¿Cuál es el valor de contado? 5.51  ¿Cuál es el valor presente de una renta semestral ven­ cida de $16 000 durante 10 años, si el primer pago semes­

Problemas aplicados a la realidad

tral se realiza dentro de tres años y medio y el interés es de 16% capitalizable semestralmente? 5.52  Encontrar el valor presente por la compra de un estufa eléctrica el día de hoy, si después de tres meses realiza 12 pagos al inicio de cada mes de $790 con un interés de 24% anual capitalizable mensualmente. 5.53  El médico Federico Toscano deposita el 13 de julio la cantidad de $500 000 en un fondo de inversión en el Banco Central, ese mismo día inscribe a su hijo a la preparatoria. El papá tiene la idea de realizar nueve retiros semestrales a partir del mes de julio, cuando quede inscrito su hijo en la universidad. Encontrar el valor de cada retiro semestral que realizará si la tasa es de 12% anual capitalizable semestral­ mente. 5.54  La mueblería Hermanos Velásquez, S.A., por su aniver­ sario ofrece un comedor para ocho personas con un valor de contado de $43 550, pero también se puede adquirir me­ diante seis pagos mensuales, el primero de los cuales debe realizarse dentro de cinco meses después de la compra con un interés de 2.25% mensual. ¿De cuánto será la mensuali­ dad a pagar? 5.55 El dueño de una pastelería deposita el día de hoy $80 000 en una cuenta de inversiones que paga 27% anual capitalizable bimestralmente, dentro de ocho bimestres rea­ lizará 28 retiros bimestrales vencidos, ¿de qué cantidad se­ rán estos? 5.56  El señor Ordóñez contrae una deuda de $15 000 por la compra de equipo de sonido. Él acordó comenzar a pagar dentro de tres meses realizando cuantos pagos sean necesa­ rios de $900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 23.25% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos se deben realizar para saldar su deuda? 5.57  Karla Díaz contrae una deuda por $48 585 por la com­ pra de una pantalla plana, la que comenzará a pagar dentro de seis meses y realizando cuantos pagos sean necesarios de $1 900 hasta saldar la deuda. La tasa de interés es de 24% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuántos pagos debe realizar para saldar su deuda? 5.58 ¿A qué tasa nominal capitalizable semestralmente el sociólogo Juan Molina acumulará $500 000 para el engan­ che del departamento que habita actualmente? Él acordó con el dueño del departamento realizar 15 depósitos semes­ trales y con el último depósito haber acumulado la cantidad acordada, para pagar la cantidad faltante por el valor del departamento, él solicitará un préstamo hipotecario al issste. 5.59  El señor Francisco Peña desea comprar una camioneta cuyo costo al contado es de $350 000. Él solicita un crédito a la agencia automotriz, realizando seis abonos mensuales de $62 000. ¿Cuál es la tasa de interés si el primer pago lo realizará dentro de un mes? 5.60 Se realizan seis depósitos anuales anticipados de $18 338.90 equivalentes a un valor actual de $55 000. ¿Cuál es la tasa de interés?

Problemas para resolver con tecnología

193

UNIDAD

5

Anualidades

PROBLEMAS RETO Al resolver los problemas del 1 al 5, se debe indicar los datos, fórmula, diagrama de valor tiempo y desarrollo. 1

Un préstamo de $38 000 a dos años, para comprar una televisión plana, si la tasa de interés simple es de 3% mensual. ¿Cuánto deberá pagar dentro de dos años?

2

¿En cuánto tiempo se acumula un monto de $26 500, si el capital invertido es de $18 700 a una tasa de 6.8% anual?

3

Una compañía solicita $500 000 de préstamo a un banco, a dos años con una tasa de des­ cuento de 12% anual. a) Calcular el descuento. b) ¿Qué cantidad recibe en realidad la compañía, por el préstamo?

194

4

¿Cuánto recibe la señora Josefina por un pagaré de $45 600, cuatro meses antes de su ven­ cimiento, con una tasa de descuento de 15% simple anual?

5

Un capital de $2 556 es invertido a un tipo de interés de 14% capitalizable trimestralmente. Calcular el valor futuro, si el plazo es de dos años.

UNIDAD

6

Amortización y depreciación OBJETIVOS Comprenderá el concepto de Amortización y su aplicación. Identificará los diferentes casos de amortización, como es el Sistema de amortización gradual, Amortización constante y Amortización con renta variable. Aprenderá a construir e interpretar cuadros de amortización y de fondo de inversión. Identificará los diferentes casos de depreciación de un bien, en problemas financieros, utilizando el método de Línea recta, Porcentaje fijo, Suma de dígitos, Unidades de producción o servicios y Fondo de amortización. Aprenderá a construir e interpretar cuadros de depreciación de un bien.

¿QUÉ SABES? Aplica tus conocimientos y encuentra los resultados de cada problema ¿Cómo se llama al proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda en pagos periódicos con interés compuesto? Cuando un acreedor recibe pagos por un bien, ¿seguirá siendo dueño de todos los derechos del mismo? y explica, ¿por qué? ¿Para qué sirve un fondo de amortización? ¿Sabes qué significa la palabra depreciación? ¿Qué entiendes por activo fijo? Menciona un método que conozcas de depreciación.

UNIDAD

6

Amortización y depreciación ¿El método de unidades de producción o servicio es un método reconocido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público para ser utilizado en los libros contables? Menciona tres activos fijos. Menciona un método para construir una tabla de depreciación, que tú conozcas. ¿Cuál es el método de la suma de dígitos o enteros reconocido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público? ¿Sabes cómo puede depreciarse un activo fijo por el método de unidades de producción o servicio?

6.1 Introducción La amortización es muy utilizada en la actualidad cuando se compran a crédito bienes: una casa, un departamento, un vehículo de transporte, maquinaria, herramienta, una cocina integral, un refrigerador, fertilizantes, granos, minerales, entre otros. En matemáticas financieras la palabra amortizar se emplea para cancelar una deuda y cada pago (o abono) que se realiza sirve para abonar los intereses y reducir el importe de la deuda. La palabra amortización proviene del latín y significa dar muerte. Amortización Definición Es un proceso financiero mediante el cual se cancela una deuda y sus intereses por medio de pagos periódicos. La amortización es la parte del abono que se emplea para reducir la deuda (el saldo insoluto), mientras que la cantidad restante de ese saldo se utiliza para pagar los intereses que se devengan durante un periodo. Abono = amortización + intereses

6.1

A la deuda se llama saldo insoluto o principal insoluto y es el valor descontado de todos los pagos que no se han realizado. En la amortización de un crédito existen diferentes sistemas de amortización de una deuda, los más usuales son: el sistema de amortización gradual, amortización constante y amortización con renta variable. Amortización gradual Es el sistema más común para liquidar deudas con pagos periódicos, ya que estos tienen la misma frecuencia y cantidades iguales. Aquí se utilizan las anualidades ordinarias, en donde el capital que se amortiza es el valor presente. El valor de la renta debe ser mayor que los intereses producidos en el primer periodo, de lo contrario la deuda se incrementaría con el transcurso del tiempo y nunca se podría cancelar en su totalidad. Amortización constante Este sistema se caracteriza porque la porción del abono que amortiza al capital es constante, es la misma en todos los pagos, lo que hace que cada renta se reduzca en el tiempo, aunque este sistema no es muy usado porque en situaciones económicas con inflación alta los abonos crecen. Amortización con renta variable Este sistema, a diferencia de los anteriores, se caracteriza porque cada abono realizado y su correspondiente porción de amortización son mayores. Los primeros pagos son pequeños, en algunas ocasiones 196

Grupo Editorial Patria© no cubren los intereses del periodo, lo que origina que la deuda aumente en lugar de disminuir, pero posteriormente comienza a reducir cuando los pagos son más grandes. La acción que ejercen las tasas de interés en operaciones de inversión y crédito son muy importantes en el sistema financiero, más aún, si se considera al crédito como el punto más vulnerable. Los efectos que produce el alza significativa en las tasas de interés en los créditos contratados se muestra mediante la descomposición del pago periódico del capital y el interés. El instrumento analítico que permite ver esa descomposición es el cuadro de amortización (tabla de amortización) y también se puede apreciar cómo disminuye sustancialmente el adeudo y cómo se acumula el pago de los intereses a través del tiempo hasta llegar a la extinción de la deuda. Si bien las tasas de interés provocan directamente incremento del capital, existen variables macroeconómicas que inciden en su comportamiento, pero la inflación es el mejor ejemplo.

❚❚ Amortización gradual En esta unidad solo se analizará la amortización gradual, en donde la renta periódica debe ser mayor que los intereses que se generen durante el primer periodo para evitar que la deuda aumente.

Problema resuelto 1. La química Andrea pide prestado $20 000, que se van a amortizar mediante seis pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual. Solución

Datos A = C = $20 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 6 meses El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:

 1 − (1 + ip )− np C = R  i p 



R =



20 000 ( 0.02 ) 1 − (1.02 )

−6

=

 C (i )    despejando R se tiene:   R =  1 − (1 + i ) − n  400 400 = = $3 570.52 1 − 0.88797 0.112028

Cuadro 6.1  Amortización con renta fija y tasa de interés constante

197

UNIDAD

6

Amortización y depreciación Realizando un análisis del cuadro 6.1 se puede llegar a las siguientes conclusiones: a) Al primer pago de $3 570.52 (E10) le corresponde un interés de $400 (D10) y también reduce su saldo insoluto (o principal insoluto) en $3 170.52 (C10) dejándolo en $16 829.48 (F10). b) El total de los pagos periódicos es igual (E10 a la E15) al total de los intereses (D16) más el total pagado (C16). 20 000 + 1 423.10 = 21 423.10



c) Los elementos de la columna del principal pagado (C10 a la C15) están en la relación (1 + i ). 3 298.61 3 233.93 = 1.020000433 ≅ 1.019999874   y   3170.52 3 233.93 La diferencia es de 55 891 x 10-7 = 0.00000055891 3 233.93 3170.52

≅

3 298.61 3 233.93

≅ 1.02

d ) También se observa que la cantidad total del principal pagado (C16) es igual a la deuda original (F9), que es de $20 000. e) Al realizar seis pagos mensuales vencidos de $3 570.52 se amortiza una deuda de $20 000.00 con interés de 24% anual capitalizable mensualmente.

Problema resuelto 2. Una deuda de $14 500.00, con interés de 16% compuesto semestralmente, se tiene que amortizar con pagos semestrales iguales durante los próximos tres años. Solución

Datos A = C = $14 500 Incógnita R i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 3 años = 6 semestres Cálculo del pago semestral: R =



198

C (i ) 1 − (1 + i ) − n

=

14 500 ( 0.08 ) 1 − (1.08 ) −6

=

1160 1160 = = $3136.57 1 − 0.630169626 0.369830373

Cuadro 6.2  Amortización con renta fija sin redondeo y tasa de interés constante

Grupo Editorial Patria© Datos R1 - 5 = $3 137 Incógnita último pago X i = 0.16/2 = 0.08 semestral n = 6 semestres  (1 + 0.08 )5 − 1 6 X + 3137   (1.08 ) = 14 500 (1.08 ) 0.08    0.469328077  X + 3137   (1.08 ) = 14 500 (1.586874323 ) 0.08   X + 3 137(5.86661)(1.08) = 23 009.678 X + 19 875.84 = 23 009.678 X = $3 133.84



Cuadro 6.3  Amortización con renta fija redondeada al peso y tasa de interés constante

F.F.



A = $14 500

R1

R2

R3

R4

R5

X

0

1

2

3

4

5

6 semestres

Figura 6.1  Amortización con cinco rentas fijas redondeada al peso, X es el valor del último pago (R6).

Problema resuelto 3. El señor Efraín Nava pide prestado $30 000, que se van a amortizar mediante nueve pagos mensuales vencidos. Si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente, encontrar de cuánto es el abono mensual. Solución

Datos A = C = $30 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 9 meses El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación:

 1 − (1 + ip ) − np  C (i ) C = R    despejando R se tiene:   R = i p   1 − (1 + i ) − n



R =

30 000 ( 0.02 ) 1 − (1.02 ) −9

=

600 600 = = $ 3 675.46 1 − 0.836755265 0.163244734

199

UNIDAD

6

Amortización y depreciación

Cuadro 6.4  Amortización con renta fija y tasa de interés constante

Se realizarán nueve pagos mensuales vencidos de $3 675.46 que amortizan una deuda con valor de $30 000.00, con interés de 24% anual capitalizable mensualmente

Problema resuelto 4. El contador Abraham Levi pide un préstamo de $2 000 a Banco Invex; acuerda realizar pagos trimestrales, durante dos años, a una tasa 24% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de amortización. Solución

Datos A = C = $2 000 Incógnita R i = 0.24/12 = 0.02 mensual n = 2 años = 8 trimestres Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual (1 + i ′)4 = (1.02)12 i ′ = (1.02)3 - 1 i ′ = 0.061208 trimestral i ′ = 6.12% trimestral El pago trimestral R =

C (i ) 1 − (1 + i ) − n

=

2 000 ( 0.061208 ) 1 − (1.061208 ) −8

=

122.416 122.416 = = $ 323.6134 1 − 0.621721487 0.378278512

Elaborar un cuadro de amortización (programa completo de amortización).



200

Cuadro 6.5  Amortización con renta fija y tasa de interés constante

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 5. El centro de reciclado de pet “Reciclado del Sur”, realizó la compra de una compresora de pet, la cual tiene un precio de contado de $60 000. El dueño solo cuenta con la cantidad de $25 000, esta cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando realizar seis pagos mensuales, siendo la tasa de interés 23% anual capitalizable mensualmente. a) Calcular el valor de la renta. b) ¿Cuánto pagó de intereses? c) Construir una tabla de amortización. Solución

Datos Enganche = $25 000 Incógnita R C = 60 000 - 25 000 = $35 000 i = 0.23/12 = 0.0191666 mensual n = 6 meses El abono mensual se obtiene con la siguiente ecuación: R =

C (i ) 1 − (1 + i )

−n

=

35 000 ( 0.01916666 ) 1 − (1.01916666 )

−6

=

670.833 670.833 = = $6 230.84 1 − 0.892336692 0.107663308

El interés total pagado es de $2 385.05



Cuadro 6.6  Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Problema resuelto 6. El Cabo Juan Antonio Solís está pagando un préstamo a 10 años, siendo abonos iguales al final de cada año, el interés que cobra Banejército es de 20%, se sabe que la cantidad pagada en el quinto año es de $1 238.15. Calcular: a) La cantidad del préstamo y la cantidad del principal pagada en el séptimo año. b) El monto de los 10 años del principal. Solución

a) Se calcula el principal pagado en el séptimo año. Como se sabe que la columna de principal tiene la relación (1 + i ) entonces: 1 238.15(1.2)2 = 1 782.936

201

UNIDAD

6

Amortización y depreciación b) Cálculo del monto de los 10 años del principal.  (1.2)10 − 1 1 238.15 (1.2 ) −4 +  + 1 238.15 +  + 1 238.15 (1.2 )5 = 1 238.15 (1.2 ) −4   = $15 499.97 0.2   Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.7.



Cuadro 6.7  Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Cantidad pagada en el quinto año



Cuando se pide una cantidad prestada C y se van a realizar pagos iguales R al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo para amortizar la deuda A y se desea conocer o analizan un caso específico k en el programa de amortización (1 ≤ k ≤ n) se utilizan los siguientes casos: ■■

El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) = n - k + 1 pagos restantes.  1 − (1 + i ) − ( n − k + 1 )  Saldo insoluto = R   6.1 i  

■■

El interés pagado en el k-ésimo pago es: I = R 1 − (1 + i ) − ( n − k + 1 )  6.2

■■

El k-ésimo pago de la amortización es: A = R (1 + i ) − ( n − k + 1 ) 6.3



Para calcular el saldo insoluto P de una deuda que se amortiza con pagos R iguales al final de cada periodo durante n periodos, a una tasa i por periodo, existen dos métodos el prospectivo (viendo hacia el futuro) y el retrospectivo (viendo hacia el pasado) como se muestra en la figura 6.2. Prospectivo

0

R1

R2

1

2

...

Rk

Rk + 1

k

k+1

...

Rn n Retrospectivo

Figura 6.2  Amortización de deuda A con pagos R iguales al final del periodo con tasa i por periodo durante n periodos.

Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor descontado de los n - k pagos que quedan por realizar. 202

 1 − (1 + i ) − n − k  P = R  6.4 i  

Grupo Editorial Patria© Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.  (1 + i ) − k − 1  P = A (1 + i )k − R   6.5 i  



Problema resuelto 7. El dueño de una lavandería está pagando un préstamo de $45 000 por la compra de dos lavadoras de 16 kilogramos; este se va a amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de interés de 25% capitalizable mensualmente. Calcular: a) El saldo insoluto después de seis meses. b) El interés del séptimo pago. c) La amortización (A) del séptimo pago. d ) La renta mensual con la tasa continua de 25%. Solución

Datos C = $45 000 Incógnitas R, P6, I7 y A7 i = 0.25/12 = 0.0208333 mensual n = 24 meses k=6 Cálculo del abono mensual: R =

Ci 1 − (1 + i ) − n

=

45 000 ( 0.0208333 ) 1 − (1.0208333 ) −24

=

937.50 937.50 = = $2 401.72 1 − 0.609654967 0.390345032

El saldo insoluto P, después de seis pagos:

 (1.0208333 )6 − 1  P = 45 000 (1.0208333 )6 − 2 401.72   0.0208333    1.131693889 − 1  P = 45 000 (1.131693889 ) − 2 401.72   0.0208333  



 0.131693889  P = 50 926.225 − 2 401.72    0.0208333 



P = 50 926.225 - 2 401.72(6.321316795)



P = 50 926.225 - 15 182.033



P = $35 744.19

La parte del interés en el séptimo pago: I = (35 744.19)(0.020833) = 744.65871 ≈ $744.66 Amortización “A” (o valor del principal): A = R - I = 2 401.72 - 744.66 = $1 657.06 Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.8.

203

UNIDAD

6

Amortización y depreciación

Cuadro 6.8  Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Se calcula la tasa i ′ trimestral equivalente a 24% capitalizable mensual

(1 + i )12 = e0.20



(1 + i )12 = 1.221402758



1+ i =



i = 1.01680633 - 1



i = 0.01680633 mensual



i ≈ 1.68% mensual

12

1.221402758

El pago mensual R =

C (i ) 1 − (1 + i )

−n

=

45 000 ( 0.01680633 ) 1 − (1.01680633 ) −24

=

756.2885 756.2885 = = $ 2 294 1 − 0.670320052 0.329679947

El saldo insoluto P, después de seis pagos:

 (1.01680633 )6 − 1 P = 45 000 (1.01680633 )6 − 2 294   0.01680633  



 1.105170916 − 1 P = 45 000 (1.105170916 )6 − 2 294    0.01680633 



 0.105170916  P = 49 732.69 − 2 294    0.01680633 



P = 49 732.69 - 2 294(6.257815716)



P = 49 732.69 - 14 355.42925



P = $35 377.26

La parte del interés en el séptimo pago:

I = (35 377.26)(0.01680633) = 594.5619061 ≅ $594.56



I = (35 377.26)(0.01680633) = $594.56

Amortización “A” (o valor del principal): A = R - I = 2 294 - 594.56 = $1 699.44 Los resultados anteriores se pueden comprobar en el cuadro 6.9.

204

Grupo Editorial Patria©

Cuadro 6.9  Cálculo en Excel sobre la amortización con renta fija y tasa de interés constante

Problema resuelto 8. La familia Martínez adquiere una casa en condominio valuada en $4 800 000 por el cual paga un enganche de $1 200 000. El resto se financia con préstamo de Banorte a 20 años, con tasa de interés de 9% convertible mensualmente. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) El saldo insoluto al final de los 15 años. Solución

Datos Precio de contado $ 4 800 000 Incógnitas R y P180 Enganche $1 200 000 Cantidad a financiar $3 600 000 T = 9% A.C. Mensual i = 0.0075 mensual n = 20 años = 240 meses n15 = 180 meses a) Cálculo de la renta: Ci



R =



R = $32 390.13

1 − (1 + i )

−n

=

3 600 000 ( 0.0075 ) 1 − (1.0075 )

−240

=

27 000 1 − 0.166412844

=

27 000 0.833587155

b) Saldo insoluto al final de los 15 años.

 (1.0075 )180 − 1 P = 3 600 000 (1.0075 )180 − 32 390.13   0.0075  



 3.838043267 − 1 P = 3 600 000 ( 3.838043267 ) − 32 390.13   0.0075  



 2.838043267  P = 3 600 000 ( 3.838043267 ) − 32 390.13   0.0075  



P = 3 600 000(3.838043267) - 32 390.13(378.4057689)



P = 13 816 955.76 - 12 256 612.05



P = $1 560 343.71

En 15 años habrá liquidado menos de $1 560 343.71 del préstamo original.

205

UNIDAD

6

Amortización y depreciación

Problema resuelto 9. La familia Aragón adquirió un condominio valuado en $650 000 el 1 de febrero del año pasado, por el cual dieron un enganche de 20%. El resto se financia con crédito hipotecario de Banejército a 20 años, con tasa de interés de 10% convertible mensualmente sobre el saldo iniciando en el mes de marzo del mismo año, el préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año pasado, el tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente año? Solución

Datos Precio de contado $650 000 Incógnitas R e I1-10 Enganche $130 000 Cantidad a financiar A = $520 000 T = 10% A.C. Mensual i = 0.008333 mensual n = 20 años = 240 meses n1 = 10 meses a) Cálculo de la renta: R =

Ci 1 − (1 + i )

−n

=

520 000 ( 0.00833333 ) 1 − (1.00833333 )

−240

=

4 333.3316 1 − 0.136461619

=

4 333.3316 0.86353838

R = $5 018.11 b) Saldo insoluto al final de los 10 meses, en el primer año de la compra del departamento.  (1.00833333 )10 − 1 P1-10 = 520 000 (1.00833333 )10 − 5 018.11  0.00833333    1.086528765 − 1 P1-10 = 520 000 (1.086528765 ) − 5 018.11    0.00833333   0.086528765  P1-10 = 564 994.95 − 5 018.11    0.00833333  P1-10 = 564 994.95 - 5 018.11(10.38345593) P1-10 = 564 994.95 - 52 105.32 P1-10 = $512 889.6378 c) La amortización el año pasado de marzo a diciembre: A1 - 10 = 520 000 - 512 889.63 = $7 110.37 d ) El total de intereses pagados el año pasado son: I1 - 10 = 10(5 018.11) - 7 110.37 = 50 181.1 - 7 110.37 = $43 070.73 El señor Aragón puede declarar $43 070.73 en su declaración fiscal como deducción por el préstamo hipotecario (este documento lo extiende la institución financiera con la cual se tiene contratado el préstamo, es el documento oficial que reconoce el sat).

206

Grupo Editorial Patria©

Cuadro 6.10  Amortización con renta fija y tasa de interés constante

En los ejemplos anteriores se mostró la forma de construir un cuadro de amortización, ahora describiremos la construcción de un cuadro de amortización en el que se incluirá el cálculo del impuesto al valor agregado (iva) con tasa fija y renta fija.

Problema resuelto 10. Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del miento por dos años para la compra de un automóvil Sedán.

iva

(16%) con un plan de financia-

Cuadro 6.11  Amortización con iva de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto El precio de lista (incluye el iva)

$214 500.00

La inversión inicial mínima (enganche) 35%

- $75 075.00

Comisión por apertura de crédito. Pago que debe efectuarse al contado (incluye el iva)

+ $1 200.00

Seguro automotriz de cobertura amplia. Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e iva) más un año gratis.

+ $14 400.00

Tasa de interés fija

5.4% anual

Monto a financiar

$153 825.00

Otros gastos Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (mayor a $250 000) sin incluir el iva, lo anterior solo aplica en el D.F.

No aplica

Placas

$1 650.00

Gestoría

$300.00

Verificación (calcomanía doble cero), solo aplica en el D.F.

$385.00

Solución

a) La tasa de interés está en forma anual, por lo que debe transformarse a una tasa de interés mensual.

i =

5.4 = 0.054 anual 100

i =

0.054 = 0.0045 mensual 12

b) Cálculo del interés a pagar durante el primer periodo:

I = 153 825(1)(0.0045)



I = $692.21

207

UNIDAD

6

Amortización y depreciación c) Cálculo del iva sobre los intereses generados en el primer periodo:

iva

= 692.21(0.16)



iva

= $110.75 para el primer mes

entonces: Intereses + iva = 692.21 + 110.75 = 802.964 d ) La renta es el pago total en la columna de la tabla de amortización: 153 825 ( 0.0045 )



R =



R = $6776.10 cada mes

1 − (1.0045 )

−24

=

692.2125 692.2125 = 1 − 0.897845094 102154905

Cuadro 6.12  Amortización con renta fija, tasa fija e iva (16%)

Problema resuelto 11. U  na tienda de electrodomésticos en el mes de julio de este año ofrece una promoción de compre ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los meses subsecuentes, con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El arquitecto Camargo compra un refrigerador con valor de $ 13 500.00 el último día de septiembre. Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización Solución

Datos C = $ 13 500 T = 24% A.C. Mensual i = 0.02 mensual n = 6 pagos a) Como el arquitecto Camargo disfruta desde el día 30 de septiembre de su refrigerador, entonces desde este día contrae la deuda. Primero se realiza el cálculo de su deuda al 31 de enero, que es de: Deuda hasta el 31 de enero = C (T)4



Deuda hasta el 31 de enero = $13 500.00(1.02)4 Deuda hasta el 31 de enero = $14 612.83



b) El cálculo para conocer el valor del pago (renta) se hace a partir de una anualidad vencida: R =

208

Ai 1 − (1 + i )

−n

R = $2 608.7674

=

14 612.83 ( 0.02) 1 − (1 + 0.02 )

−6

=

2 92.2566 1 − 0.887971382

=

2 92.2566 0.112028617

Grupo Editorial Patria© c) En el mes de septiembre el saldo es $13 500.00, y el interés generado en ese mes es de:

I = Saldo (n)(T ) = 13 500(1)(0.02) = $270.00



M = 13 500.00 + 270 = $13 770

d ) En octubre el saldo es de $13 770.00. En el mes de octubre el interés generado es:

I = Saldo (n)(T ) = 13 770(1)(0.02) = $275.4



M = 13 770.00 + 275.4 = $14 045.40

e) Se continúan realizando los cálculos del interés y el saldo insoluto para los meses de noviembre, diciembre y enero, como se realizó para el mes de octubre y de febrero a julio los cálculos se realizan con base en lo estudiado para la construcción del cuadro de amortización.



Cuadro 6.13  Amortización diferida con renta fija y tasa fija

6.2 Inflación En los casos analizados anteriormente, el manejo del dinero se realizó partiendo de una situación económica en donde la inflación tenía un valor de cero, pero no es la única causa para que no exista inflación: ■■

Se puede suponer que el aumento de precios en los bienes o servicios es tan lento o tan pequeño que no se considera para tomar decisiones al respecto por los individuos o las empresas.

■■

La inflación también origina que el poder de compra (adquisitivo) del dinero disminuya.

Inflación Es el incremento continuo y generalizado de los precios de los bienes y servicios producidos por la economía de un país. Inflación baja Se alcanza cuando el poder adquisitivo de la moneda es estable o cuando el nivel precios no ha disminuido sino que su aumento ha sido a un ritmo menor. Cuando la estabilidad se rompe entonces surge el fenómeno de inflación económica, que es nociva para un país y trae como consecuencia: a) El crecimiento económico inestable hace más riesgosos los proyectos de inversión b) Se elevan las tasas de interés, tanto activas como pasivas c) Se deteriora el poder adquisitivo de la moneda d ) Disminuye la demanda de bienes y servicios e) Disminuye el otorgamiento de créditos 209

UNIDAD

6

Amortización y depreciación ¿Qué es lo que puede originar principalmente la inflación en un país? a) El aumento de la moneda circulante (moneda o billete) sin incrementar en forma equivalente la producción de bienes o servicios. b) La emisión de dinero por parte del gobierno para cubrir un déficit presupuestal. Al aumentarse la moneda circulante, las personas tienen más dinero para comprar y trae como consecuencia un incremento de la demanda de bienes y servicios. Deflación Es cuando los precios de los bienes o servicios disminuyen de un periodo a otro. Todo inversionista espera que la tasa de interés que recibe por su inversión sea lo suficientemente alta para compensar la pérdida del poder adquisitivo originado por la inflación en el capital invertido y al mismo tiempo obtener ganancias por su inversión. Rendimiento real obtenido Si al vencimiento de una inversión, la tasa de inflación resulta mayor que la anticipada por el inversionista, el rendimiento real obtenido será menor que el esperado. Prima de riesgo y la tasa real no negativa Cuando el rendimiento real obtenido es menor que el esperado, origina que las tasas nominales tengan una prima de riesgo, debido a la incertidumbre por no saber cuál será la tasa de inflación durante el plazo de la inversión. Cuando el inversionista no sabe a cuánto asciende la tasa de interés tendrá que pedir una tasa superior para cubrir el riesgo, de tal forma que evite que la inflación sea mayor que la tasa de interés pactada y de esta forma tener una tasa real no negativa.

Derechos transferidos de un bien con inflación

Problema resuelto 12. El señor José Juan Sotelo compró un departamento hace tres años. El valor del inmueble era de $2 250 000.00 y $ 200 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre otros). El señor Sotelo dio de enganche 40% del valor, y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipotecario otorgado por Banorte durante cinco años de plazo contados desde el día de la compra en abonos mensuales vencidos. El día de hoy el señor Sotelo quiere saber en realidad cuánto vale el departamento si le cobran intereses con una tasa de 18% anual capitalizable mensualmente. El valor del inmueble aumentó 0.5% mensual con la inflación. Solución

Datos Valor del inmueble = $ 2 250 000.00 Gastos fijos = $200 000.00 Enganche = 40% del valor de la casa Crédito hipotecario = 60% del valor de la casa Inflación = 0.5% Tasa de interés = 18% A.C. Mensual i = 0.18/12 = 0.015 mensual a) El valor presente de las mensualidades es igual a 60% del precio de la casa:

C = (Porcentaje de crédito hipotecario)(Valor del inmueble)



C = 0.60($2 250 000.00)



C = $1 350 000

b) Encontrar el valor de la renta para los cinco años: R =

Ci 1 − (1 + i p )

R = $34 281.13

210

− np

=

1350 000 ( 0.015 ) 1 − (1 + 0.015 )

−60

=

20 250 20 250   =  1 − 0.409295966  0.590704033 

Grupo Editorial Patria© c) Después de dos años se han pagado 24 mensualidades, por lo tanto el saldo insoluto es igual al valor presente de los 36 meses restantes.  1 − (1 + 0.015 ) −36   1 − 0.585089735   0.414910264  C = 34 281.13   = 34 281.13   = 34 281.13   0.015 0.015 0.015       C = 34 281.13(27.66068431) = $948 239.51 d ) La diferencia del crédito inicial es lo que se ha transferido al señor Sotelo (deudor):

Diferencia del crédito inicial = C - Saldo insoluto



Diferencia del crédito inicial = 1 350 000 - 948 239.51



Diferencia del crédito inicial = $ 401 760.49

e) Entonces el señor Sotelo es propietario de los gastos fijos, el enganche y el nuevo capital (después de dos años)

C2 = 200 000 + (0.40)(2 250 000) + 401 760.49



C2 = 200 000 + 900 000 + 401 760.49



C2 = $1 501 760.49

f  ) El valor futuro de este nuevo capital (C2) después de dos años y con la inflación a una tasa de 0.5% por mes será de: M2 = 1 501 760.49(1 + 0.005)24



M2 = 1 501 760.49(1.127159776)



M2 = $1 692 724.02

Cambio de tasas de interés y amortización constante

Problema resuelto 13. El director de una secundaria compró el 10 de enero de 2014 una pantalla de proyección de $12 500.00; él acuerda pagar en nueve pagos mensuales. Para los primeros cinco meses se aplica una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro meses una tasa de 21%, ambas con capitalización mensual y si además debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago. ¿Cómo serán sus pagos y la amortización de esta deuda? Construir un cuadro de amortización que muestre los cambios en las tasa de interés considerando una amortización constante. Solución

Datos Precio de contado: $12 500 n = 9 pagos mensuales T = 18% primeros 5 meses T = 21% últimos 4 meses a) La amortización es constante, por lo que debemos dividir el precio de contado entre los nueve meses de plazo: A =

12 500 C = = $1388.89 n 9 meses

b) Convertir la tasa anual en tasa mensual: i =

0.18 = 0.015 mensual 12

c) Se calcula el interés a pagar el 10 de febrero: I = C(1)(T) = $12 500(1)(0.015) = $187.50

211

UNIDAD

6

Amortización y depreciación d ) Pago por periodo: R = A + I = $1 388.89 + $187.5 = $1 576.39 e) Repetir los pasos a), b), c) y d ), para cada mes hasta el quinto mes. f  ) Convertir la segunda tasa anual en tasa mensual: i =

0.21 = 0.0175 mensual 12

g) Se calcula el interés que se va a pagar el 10 de julio: I = C(1)(i ) = 5 555.56(1)(0.0175) = $97.2223 h) Pago por periodo: R = A + I = $1 388.89 + 97.2223 = $1 486.11 i ) Repetir los pasos a), b), c) y d ), con la segunda tasa para cada mes hasta terminar el cuadro en el noveno mes (cuando el saldo sea cero). En el cuadro 6.14 de Excel se muestra la amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante.



Cuadro 6.14  Amortización con cambio de tasas de interés y amortización constante

6.3  Unidades de inversión (udi) ¿Cómo se puede conocer el valor real de una inversión, un crédito u otro tipo de operación financiera cuando son afectadas por el efecto inflacionario?

212

■■

Un mecanismo muy simple para obtener este valor real es mediante las Unidades de Inversión (udi ), que es un instrumento financiero creado para tomar en cuenta el efecto inflacionario en las operaciones financieras.

■■

Estas unidades de inversión se crearon en México desde el 4 de abril de 1995 con el objetivo de tener un sistema de referencia para realizar operaciones financieras y bancarias que permitieran contrarrestar los efectos de incertidumbre inflacionaria.

■■

El Banco de México es el organismo encargado de calcular y publicar el valor en moneda nacional de las udi y cada día 10 del mes se publica el valor que corresponde al periodo que comprende entre el 11 y el 25 de dicho mes, a más tardar el día 25 de cada mes se publicará el valor correspondiente del día 26 de ese mes al día 10 del mes inmediato siguiente.

■■

La variación porcentual del valor de la udi entre el 10 y el 25 de cada mes será igual a la variación del Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc) de la segunda quincena del mes inmediato anterior.

■■

La variación del valor de la udi del día 25 de un mes al día 10 del mes inmediato siguiente será igual a la variación del inpc en la primera quincena del mes referido en el primer término.

■■

La variación será uniforme durante esos días para garantizar que quienes requieran hacer operaciones tengan un mínimo de certidumbre.

Grupo Editorial Patria© Las udi iniciaron su cotización el día 4 de abril de 1995 y su valor era de $1.00 por cada udi; a partir de ese día su valor se ha incrementado diariamente de acuerdo con la tasa de inflación, así por ejemplo: Si después de 90 días el inpc crece 6%, entones una udi tiene un valor mayor en 6% a lo que costaba el día de su lanzamiento (4 de abril de 1995) entonces el día 4 de julio de 1995 vale $1.06. Si se considerara que la inflación acumulada en un año es de 30%, entonces cada udi tiene un valor de $1.30 (del 4 de abril de 1995 al 4 de abril de 1996).

❚❚ 6.3.1 Tasas negativas En las inversiones tradicionales a corto y largo plazos las tasas nominales por muy altas que sean siempre estarán por debajo de la tasa de inflación, obteniéndose entonces tasas negativas. La ventaja de invertir en udi es que incrementan su valor en la misma proporción que el Índice Nacional de Precios al Consumidor (inpc) haciendo con esto que las inversiones en udi siempre estén protegidas de la inflación. Por ello, es bueno invertir en udi cuando la inflación es alta; sin embargo, cuando la inflación es baja no se recomienda invertir ya que la tasa de interés real es baja o casi nula y solo se recibe la parte proporcional al fenómeno inflacionario.

Problema resuelto 14. El señor Joel Sánchez compra una computadora con valor de $15 600.00 más iva y acuerda realizar seis pagos mensuales en udi con una tasa de interés de 18% anual capitalizable cada mes, el primero de los pagos se hace al final del mes, si en el momento en que se celebra la operación el valor de las udi es de $4.90594 y se supone una inflación mensual de 0.43%; calcule el pago mensual en pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)? Solución

Datos C = 15 600 + 2 496 = $18 096 T = 0.18/12 = 0.015 mensual n = 6 meses udi = $4.90594 Los pagos constituyen una anualidad simple cierta, vencida e inmediata con valor actual de $15 600.00 más iva. a) Valor de la deuda en udi: UDI

=

18 096 C = = 3 688.59 Valor de las UDI 4.90594

b) El pago mensual en udi será: 3 688.59 ( 0.18 12 )



R =



R = 647.44 udi

0.18   1 − 1 +  12 

−6

=

3 688.59 ( 0.015 ) 1 − (1.015 )

−6

=

55.3288 55.3288 = 1 − 0.9145422 0.085478

c) Con una inflación de 0.43% mensual, el pago mensual en pesos será de: Pago mensual en pesos = (Pago mensual en udi )(Valor de la udi al final del mes) Pago mensual en pesos = (647.44 udi )(4.90594) Pago mensual en pesos = $3 176.30

6.4  Fondos de amortización El fondo de amortización es inverso de la amortización, porque se crea para pagar una obligación en fecha futura, como pueden ser: ■■

La compra de equipo nuevo para sustituir el equipo depreciado u obsoleto, para prevenir gastos de jubilación de empleados en una compañía, para comprar un automóvil, para la construcción de un inmueble, para el mantenimiento de equipo e inmuebles, o cualquier otro bien o servicio a futuro. 213

UNIDAD

6

Amortización y depreciación El fondo de amortización acumula cantidades de dinero con pagos iguales al inicio o al vencimiento de periodos iguales que devengan intereses para alcanzar el monto deseado utilizando una cuenta de inversión. ■■

Al utilizar la cuenta de inversión se reúne la cantidad de dinero necesario en la fecha futura deseada; es decir, el fondo de amortización es la acumulación de pagos periódicos para liquidar una deuda futura.

■■

El tener un fondo de inversión le permite al inversionista ganar intereses y de esta manera acumular con mayor tranquilidad la cantidad de dinero pensada a futuro.

■■

Este tipo de instrumento financiero genera el hábito del ahorro.

■■

Otra ventaja de tener un fondo de inversión es la de disponer de su propio dinero para comprar lo deseado de contado, evadiendo de esta manera el pago de intereses, que por lo regular son altos, y otros cargos por comprar a crédito.

Problema resuelto 15. Una tortillería obtiene un préstamo de $800 000 que debe liquidar en una sola exhibición dentro de cinco años. El dueño de la tortillería decide realizar reservas anuales iguales con el objetivo de pagar la deuda a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario con 6% de interés anual. Solución

Datos C = $ 800 000 T = 6% anual n = 5 años a) Para obtener las reservas anuales para pagar la deuda utilizar la siguiente ecuación:  (1 + t )n − 1 M = R  t   despejando R queda: R =

Mi n

(1 + i ) − 1

=

800 000 (0.06) 5

(1 + 0.06) − 1

=

48 000 48 000 48 000 = = (1 + 0.06)5 − 1 1.338225578 − 1 0.338225578

R = $141 917.12 b) Los cálculos que se deben realizar para elaborar el cuadro para el fondo de amortización son: 1. El interés obtenido en un año, se calcula con la fórmula de interés simple.

I = Cni



I = 141 917.12(1)(0.06)



I = $8 515.03

2. Este interés se suma al total del ahorro para obtener la cantidad que se va a depositar durante el segundo periodo.

Total que se suma al monto = $141 917.12 + 8 515.03



Total que se suma al monto = $150 432.15

3. El monto al final del año (5) se encuentra sumando al saldo del año anterior (4) el depósito anual, más los intereses del periodo.

214



Monto al final del año (5) = Saldo del año anterior + Depósito anual durante el periodo más intereses



Monto al final del año (5) Saldo = $620 832.91 + 141 917.12 + 37 249.97



Monto al final del año (5) = $800 000.00



Es decir, los $800 000.00 deseados.

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Cuadro 6.15  Comportamiento del fondo de amortización

Problema resuelto 16. El arquitecto Saturnino Torres debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $1 600 000, por la compra de un camión y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inversión que paga 9% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acumula el fondo. Solución

Datos C = $1 600 000 T = 9% A.C.M. i = 0.0075 mensual n = 6 meses a) Para calcular los depósitos en su cuenta se utiliza la siguiente ecuación:  (1 + t )n − 1 M = R  t   Si despejamos R de la ecuación tenemos que: Mi



R =



R = $261 710.25

(1 + i )n − 1

=

1600 000 ( 0.0075)

(1 + 0.0075)

6

−1

=

12 000 12 000 = 1.045852235 − 1 0.045852235

b) El cuadro sobre el fondo de amortización queda de la siguiente manera:



Cuadro 6.16  Fondo de amortización

215

UNIDAD

6

Amortización y depreciación

Problema resuelto 17. ¿Cuántos depósitos debe realizar la contadora Delia Morales si desea comprar de contado dos archiveros de $3 000 cada uno para su despacho? Para lograr esta compra, Delia deposita al principio de cada mes en la cuenta de inversión del despacho la cantidad de $423.38; si el banco paga una tasa de interés de 4.5% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder realizar la compra de los archiveros? Solución

Datos M = $6 000 R = $423.38 T = 4.5% A.C. Quincenal i = 0.001875 quincenal a) Los depósitos que deberá realizar serían:



 6 000 ( 0.001875)  11.25  Mi   + 1 log  log  + 1 log   423.38 + 1 log (1.026501767) 0.011389361 423.38  R     n= = = = = 0.00081354 log (1 + i ) log (1 + 0.001875) log (1.001875) log (1.001875)

 6 000 ( 0.001875)   Mi  + 1 log  11.25 + 1 + 1 log  log   423.38  log (1.026501767) 0.011389361 423.38  R     = = n= = = 0.00081354 log (1.001875) log (1 + i ) log (1 + 0.001875) log (1.001875)



n = 13.9998 ≈ 14 quincenas

Cuadro 6.17  Fondo de amortización

6.5 Depreciación Cuando se adquiere un activo fijo, por ejemplo: equipo o maquinaria, mobiliario de oficinas, equipo de cómputo, edificios y otros; estos comienzan a perder valor con el transcurso del tiempo, a esta pérdida se le conoce como depreciación. De modo que los activos fijos reducen su valor desde el momento en que son adquiridos o se ponen en servicio u operación por el desgaste, descomposturas y cambios tecnológicos. La depreciación de un bien se debe a tres causas básicas: 1. Causas físicas Son los principales motivos de la depreciación de un bien, es decir, este se deprecia debido al uso, al desgaste, la acción de los elementos naturales y la combinación de estos. 216

Grupo Editorial Patria© 2. Insuficiencia Se presenta cuando un activo no puede cubrir, alcanzar o hacer frente a las necesidades que se le piden. 3. Obsolescencia del activo La obsolescencia del activo se debe a que este sufre un desgaste mínimo de un periodo a otro pero el activo sigue trabajando, al transcurrir el tiempo se deberá sustituir porque en el mercado aparece un nuevo activo con mejoras técnicas. Este nuevo activo es más eficiente que el anterior, por lo tanto deberá sustituirlo. Existe una excepción en la obsolescencia de los activos: los terrenos, que adquieren un valor mayor de un periodo a otro, es decir, crece su valor con el tiempo. La palabra depreciación viene del latín y significa rebajar el precio o valor de una cosa. Valor del bien adquirido El valor del bien adquirido se registra en libros como uno de los activos fijos en el balance general, esto se realiza para efectos contables. La depreciación del equipo se registra en forma anual y los cargos de depreciación son determinados por el gobierno. Depreciación Es la pérdida gradual en el valor de un activo fijo con el transcurso del tiempo, por su uso, desgaste, la acción de los elementos naturales, la insuficiencia, la obsolescencia o la combinación de estos. Se denota con la letra D. Activos fijos Son los bienes que están sujetos a descomposturas, desgaste, deterioro y a los cambios de las nuevas tecnologías. Vida útil de un activo fijo Se mide en años y se representa con la letra n. Es el tiempo que transcurre entre su compra y su retiro o remoción. Valor de desecho, de salvamento o de rescate de un activo fijo Se representa con la letra S y su valor puede ser positivo cuando se vende el activo a otros usuarios (clientes) porque representa una recuperación económica para la empresa. Se considera negativo si se requiere de un gasto adicional para su remoción (demoler un edificio, desinstalar equipo o maquinaria). Valor de salvamento de un activo fijo Es el que tiene o tendrá al final de su vida útil. El valor de todos los activos se reduce con el tiempo. Otros conceptos empleados en el ámbito de la depreciación son: Precio original o costo original del activo Es el valor que se toma como punto de partida de la depreciación y se representa con la letra C. Precio original o costo original del activo = C Depreciación acumulada Es la suma de la depreciación de cualquier año con la de años anteriores, con excepción de la del primer año de vida del bien. 217

UNIDAD

6

Amortización y depreciación Cargos por depreciación Contablemente son los cargos periódicos que se aplican a los resultados de la depreciación del activo fijo. Valor en libros o valor contable Es el valor después de depreciarse que tiene el activo fijo al final del k-ésimo año. Se representa con: Vk donde k = 1, 2, 3, …, n ■■

Es muy importante entender que al comenzar la vida útil del activo, el valor en libros es igual al precio original.

■■

Con el transcurso del tiempo, la diferencia que existe entre el valor original y la depreciación acumulada hasta determinada fecha es la que se registra en los libros, en el último año el valor en libros debe coincidir con el valor de desecho.

■■

El valor en libros nunca corresponde con el valor del mercado, sobre todo en época de inflación alta, el valor de mercado es superior al de libros.

Costo total de depreciación o base a depreciar Es la diferencia entre el costo original y el valor de desecho de un activo fijo y es el valor que debe cargarse con el transcurso de los años. Es igual a la diferencia entre el precio original y el valor de desecho (C - Sk). Este valor también puede ser nulo si el activo es un desperdicio total. ■■

Valor que debe cargarse = Costo original - Valor de desecho de un activo fijo

■■

Valor que debe cargarse = Precio original - Valor de desecho

■■

Valor que debe cargarse = (C - Sk)

Valor de desecho, valor de rescate o valor de salvamento Es el valor que tiene el activo al final de su vida útil y este debe coincidir con el valor en libros en esa fecha de desecho. Agotamiento Se utiliza cuando el activo no se puede remplazar por otro, esto significa literalmente: “consumir todo, terminar con una cosa o gastar todo”. Por ejemplo, en el ámbito petrolero agotar un yacimiento de petróleo o de gas; en la minería, agotar una mina de carbón, oro, plata, uranio, entre otros.

❚❚ 6.5.1 Método de línea recta Recibe este nombre porque al graficar el tiempo contra el valor en libros o contra la depreciación acumu­lada se obtiene una línea recta.

Ventajas del método de línea recta: ■■

El método de depreciación de línea recta es el único aprobado por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público para cumplir con las disposiciones fiscales.

■■

Es el método más sencillo de todos para calcular la depreciación de activos fijos.

■■

Este método tiene como característica principal que la depreciación anual de un activo fijo, es constante para cada año de su vida útil (en cada año esta siempre es la misma).

Debilidades del método de línea recta:

218

■■

La depreciación real es diferente a la encontrada con el método de línea recta puesto que los bienes se deprecian más rápido en los primeros años y menos en los últimos años de su vida útil.

■■

El valor de compra del activo fijo no es igual al valor de reposición, esta diferencia se debe a la inflación como principal causa. También los avances tecnológicos son un factor que interviene con esa diferencia.

■■

Cuando se crea el fondo de reserva de depreciación, la cantidad depositada al final del año 1 gana intereses, pero el método no contempla esta posibilidad.

Grupo Editorial Patria© Terminología Letra

Significado

Letra

Significado

C

Costo original del activo

D

Depreciación anual

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

DA

Depreciación acumulada

VR

Valor de reemplazo

n

Vida útil en años

Vk

Valor en libros en el año k

d

Tasa de depreciación anual

B

Base de depreciación del activo

j

Tasa de inflación

Cálculo de la depreciación a) La depreciación para cada año se calcula a partir de la siguiente expresión: ( Costo original ) − ( Valor de desecho )

Depreciación por año =

Vida útil en años D =



C −S B = 6.7 n n

b) La base de depreciación sería: B = C - S 6.8



Problema resuelto 18. Un laboratorio compra un cromatógrafo con valor de $134 000. El administrador espera que la vida útil del equipo sea de nueve años con un valor de desecho de $9 000. a) Encontrar la base de depreciación. b) Calcular la depreciación anual. c) Valor de reemplazo. d ) Construir el cuadro de depreciación. e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros. f  ) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada. Solución

Datos C = $134 000 S = $9 000 n = 9 años a) La base de depreciación:

B=C-S



B = $134 000 - 9 000



B = $125 000

Representa la depreciación acumulada con el transcurso de los nueve años de la vida útil del activo. b) Depreciación anual: 134 000 − 9 000 124 991 C −S = = n 9 9



D =



D = $13 888.89 por año

219

UNIDAD

6

Amortización y depreciación La depreciación anual es $13 888.89, que es la mínima que se debe guardar en el fondo de depreciación al final de cada año durante nueve años. c) El valor de reemplazo se obtiene de la siguiente manera: Valor de reemplazo = (depreciación acumulada) + (valor de desecho)

VR = DA + S 6.9



VR = (13 888.89)(9) + 9 000.00



VR = $134 000.01

d ) Cuadro de depreciación: Valor en libros al final del primer año

V1 = 134 000 - 13 888.89



V1 = $120 111.11

Valor en libros al final del segundo año V2 = 120 111.11 - 13 888.89 V2 = $106 222.22



e) Así sucesivamente podemos seguir calculando la depreciación hasta el último año (nueve años) como se muestra en el cuadro 6.19.



Cuadro 6.19  Depreciación con el método de línea recta

En el cuadro 6.19, de depreciación en línea recta, se muestra cómo aumenta la depreciación acumulada y disminuye el valor en libros. El valor de $9 000.00 en el año 9 corresponde al valor de desecho, en el mismo año los $134 000.00 de depreciación acumulada representa la cantidad guardada en el fondo de reserva de depreciación, sin generar intereses. f ) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros (con apoyo del Excel).

220



D =



D =

Base de depreciación del activo fijo Vida útil (en un año) B 125 000 = n Un año

=

B 6.10 n

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Figura 6.3  La pendiente de la línea recta es negativa; la interpretación de la pendiente negativa se debe a que por cada año que transcurre, el activo fijo se deprecia en $13 888.89.

g) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumulada. DA =

( Depreciación )( vida útil en años ) Un año

≈

(13 888.89 )(1) D = = $13 888.89 1 n

Para calcular la depreciación acumulada:

DA = (Depreciación)(vida útil en años)



DA = (D )(n) 6.11



DA = (13 888.89)(1 año)



DA = $13 888.89 para el primer año



DA = (13 888.89)(2 años)



DA = $27 777.78 para el segundo año

Figura 6.4  Se puede observar que la pendiente de la línea recta es positiva y significa que por cada año que transcurre, la depreciación acumulada aumenta en $13 888.89, cantidad que representa el dinero que se encuentra en el fondo de depreciación.



Problema resuelto 19. Encontrar el valor de salvamento de un horno para panadería que costó $134 000.00 con una vida útil de 10 años. Este equipo se deprecia $12 500.00 cada año. Debido a la inflación su valor aumenta en promedio anual 5%. Solución

Datos C = $ 134 000 D = $12 500 n = 10 j = 5% anual

221

UNIDAD

6

Amortización y depreciación a) En el primer año el valor del horno para panadería aumenta 5%:

Vre = C(1 + j )n 6.12



Vre = (134 000)(1 + 0.05)



Vre = $140 700

b) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería en un año será:

Vre = C(1 + j )n - D1 al fin del primer año



C1 = 140 700 - 12 500



C1 = $128 200

c) Al final del segundo año, el valor del horno para panadería aumenta 5%:

Vre = C1(1 + j )n



C2 = (128 200)(1 + 0.05)1



C2 = $134 610

d ) Si se deprecia en $12 500.00 por año, entonces el valor del horno para panadería después del segundo año sería:

Vre = C2(1 + j )n - D2



C2 = 134 610 - 12 500



C2 = $122 110

e) Esta forma de solucionar el problema es más complicada porque se tiene que calcular hasta los 10 años; sin embargo, existe otra forma para calcular el valor de salvamento utilizando la siguiente ecuación de valor:



 (1 + j )n − 1 S = C (1 + j )n − D   6.13 j  



 (1 + 0.05 )10  S = 134 000 (1 + 0.05 )10 − 12 500   0.05  



S = 218 271.88 - 157 223.66



S = $61 048.22



222

Cuadro 6.20  Cálculo del valor de salvamento

Grupo Editorial Patria© ❚❚ 6.5.2 Método del porcentaje fijo Es un método de depreciación anual que decrece con el tiempo, ya que emplea un porcentaje constante, llamado tasa de depreciación, la cual se aplica al valor que aparece en libros del activo fijo del año siguiente, por lo que a medida que transcurre el tiempo, su valor decrece (año con año). Los cargos de depreciación van a ser mayores en los primeros años de vida útil del activo y menores hacia los últimos años, esto quiere decir que decrecen con menor rapidez que en los primeros.

Cuadro 6.21  Tasa de depreciación en el método de porcentaje fijo Año

Depreciación

Valor en libros

0

C

C

1

C(d )

V1 = C - Cd V1 = C(1 - d )

2

V1(d )

V2 = V1 - V1(d ) V2 = V1(1 - d ) V2 = [C(1 - d )](1 - d ) V2 = C(1 - d )(1 - d ) V2 = C(1 - d )2

3

V2(d )

.. .

.. .

V3 = V2 - V2(d ) V3 = V2(1 - d ) V3 = [C(1 - d )2](1 - d ) V3 = C(1 - d )2 (1 - d ) V3 = C(1 - d )3 .. .

K

(Vk - 1) (d )

❚❚ 6.5.3 Valor en libros de un activo fijo ■■

El valor en libros de un activo fijo que se deprecia con el método de tasa fija al final del k-ésimo año es: Vk = C(1 - d )k 6.14

■■

El valor en libros al final de la vida útil del activo fijo, k es igual a n, sustituyendo la n en la ecuación 3.7 se tiene: Vn = C(1 - d )n 6.15

■■

Despejando la tasa de depreciación anual de la ecuación 6.15, obtenemos: Vn = C(1 - d )



Vk = C(1 - d )k

n

Vn



C

= (1 − d )n

Vn



n



 Vn  d = 1 − n   C 



 Vn  n d = 1 −   6.16 C

C

= 1− d

1

■■

Si el valor de desecho es cero (S = 0).

■■

Entonces, la tasa de depreciación anual es igual a la unidad (d = 1).

■■

Lo que indica que en el primer año de vida útil el activo se deprecia en su totalidad, lo cual es muy difícil que ocurra, pero no imposible.

Terminología Letra

Significado

Letra

Significado

C

Costo original del activo

d

Tasa de depreciación anual

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

d’

Tasa de inflación anual equivalente

VR

Valor de reemplazo

DA

Depreciación acumulada

Vk

Valor en libros en el año k

n

Vida útil en años

Vn

Valor en libros al final de la vida útil

j

Tasa de inflación

Problema resuelto 20. El administrador de una carpintería compra una camioneta para transportar los closets, puertas, libreros y materia prima; esta tiene un valor de $450 000.00 de contado. Estimar su vida útil en cinco años y al final un valor de salvamento de $20 000.00. a) Encontrar la tasa de depreciación que debe aplicarse. b) Elaborar el cuadro de depreciación correspondiente.

223

UNIDAD

6

Amortización y depreciación Solución

Datos C = $450 000 Incógnita d S = $20 000(Vn) n = 5 años  Vn  a) d = 1 −   C

1 n

1

 $20 000.00  5 = 1−  = 0.4635  $450 000.00 

d ≈ 46% b) el cuadro de depreciación es:



Cuadro 6.22  Depreciación por el método de porcentaje fijo

Problema resuelto 21. El señor Montiel compró un camión de 24 asientos para el transporte de personal. El valor de contado es de $1 196 000.00. Se espera que tenga una vida útil de seis años y valor de salvamento de $290 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo. Solución

Datos C = $1 196 000 D = $290 000 n = 6 años a) Calcular primero la tasa fija a aplicar:  Vn  d = 1−   C

224

1 n

 290 000  = 1−   1196 000 

d ≈ 21%

1 6

= 0.21033

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Cuadro 6.23  Depreciación por el método de porcentaje fijo

Mediante la función POTENCIA de EXCEL se calcula la tasa de depreciación: = POTENCIA(valor a elevar, exponente)

Problema resuelto 22. Encontrar la depreciación anual de una batidora industrial con valor de $90 000.00, si se estima un valor de desecho de $15 000.00 dentro de seis años. Encontrar la depreciación hasta el tercer año. Solución

Datos C = $ 90 000 S = $15 000 n = 6 años k = 3 años a) Encontrar la tasa de depreciación fija.

1 1  15 000  6  Vn  d = 1−   n = 1−  = 0.258163624 C  90 000 



d ≈ 26%

b) Depreciación en el primer año:

D1 = Cd 6.17



D1 = Cd = 90 000(0.258163624)



D1 = $23 234.73

c) Valor en libros

V1 = C - D1 6.18



V1 = 66 765.27

d ) Depreciación en el segundo año:

D2 = V1d = 66 765.6(0.258163624)



D2 = $17 236.37

225

UNIDAD

6

Amortización y depreciación e) Valor en libros:

V2 = V1 - D2 = 66 765.60 - 17 236.37



V2 = $49 528.91

f  ) Depreciación en el tercer año: D3 = Cd = 49 529.39(0.258163624)

D3 = $12 786.56

g) Valor en libros:

V3 = V2 - D3 = (49 529.39) - (12 786.56)



V3 = $36 742.83

h) El problema se puede resolver de manera más rápida si se calcula primero el valor en libros al final del tercer año y después la depreciación acumulada hasta el tercer año.

Vk = C(1 - d )k = 90 000(1 - 0.258163624)3 - (12 786.56)



Vk = $36 742.346 ≈ $36 742.35

i ) Depreciación acumulada al tercer año

DA = C - VK = 90 000 - 36 742.35



DA = $53 257.65

j ) En la hoja electrónica del cuadro 6.24 se muestra la solución del problema.

Cuadro 6.24  Depreciación del método de porcentaje fijo

6.6  Depreciación e inflación Para evaluar la depreciación anual considerando la inflación en el método de porcentaje fijo se requiere calcular la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación. Con base en este cálculo es posible considerar tres casos: 1. Cuando la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá al paso de los años y el factor (1 - d ) será mayor de 1. 2. Si la tasa de inflación j es menor que la de depreciación d, el valor en libros decrecerá al paso de los años y el factor (1 - d ) será menor de 1. 3. Cuando la tasa de inflación no se especifica en periodos de capitalización anuales, deberá encontrarse una tasa anual equivalente. 226

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Problema resuelto 23. El arquitecto Juventino Andrade desea vender una revolvedora de cemento después de ocho años de uso que le costó $1 500 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 0.6% mensual, el arquitecto considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 7% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo. Solución

Datos C = $1 500 000 n = 8 años j = 0.6 % mensual d = 7% anual a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente a 0.6% mensual:

j = (1 + 0.006)12 - 1



j = 1.1003 - 1



j = 0.074424167 anual

b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la inflación y la de depreciación:

d ′ = j - d 6.19



d ′ = 0.074424167 - 0.07



d ′ ≈ 0.004424167 anual

c) Como la tasa de inflación j es mayor que la de depreciación d, el valor en libros crecerá con el paso de los años (véase el cuadro 6.25) y el factor (1 - d ) será mayor de 1.



Cuadro 6.25  Depreciación del método de porcentaje fijo

Problema resuelto 24. La fundidora Cristal Contemporáneo desea vender un horno de fundición después de cinco años de uso que le costó $1 250 000. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 8% anual. El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 12% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo.

227

UNIDAD

6

Amortización y depreciación Solución

Datos C = $1 250 000 n = 5 años j = 8% anual d = 12% anual a) Realizar la diferencia entre las dos tasas, inflación y depreciación:

d ′ = 0.12 - 0.08



d ′ = 0.04

b) Como la tasa de depreciación d es mayor que la de inflación j, el valor en libros reducirá al paso de los años y el factor (1 - d ) será menor de 1, como puede observarse en el cuadro 6.26.



Cuadro 6.26  Depreciación del método de porcentaje fijo Año

Depreciación anual

Depreciación anual

Valor en libros

0 1 2 3 4 5 6 7 8

$50 000.00 $48 000.00 $46 080.00 $44 236.80 $42 467.33 $40 768.63 $39 137.89 $37 572.37

  $50 000.00   $98 000.00 $144 080.00 $188 316.80 $230 784.13 $271 552.76 $310 690.65 $348 263.03

$1 250 000.00 $1 200 000.00 $1 152 000.00 $1 105 920.00 $1 061 683.20 $1 019 215.87   $978 447.24   $939 309.35   $901 736.97

Problema resuelto 25. Encontrar el precio original de un refrigerador que se compró hace seis años, ya que el señor Juanito lo desea vender en $1 000. Él considera una tasa de depreciación de 7% anual y una tasa de inflación de 1.2% por bimestre. Solución

Datos S = $ 1 000 n = 6 años j = 1.2% bimestral d = 7% anual a) Encontrar la tasa de inflación anual equivalente al 1.2% bimestral:

j = (1 + 0.012)6 - 1



j = 1.074194872 - 1



j = 0.074194872 anual

b) Realizar la diferencia entre las dos tasas, la de inflación y la de depreciación:

d ′ = 0.074194872 - 0.07



d ′ = 0.004194872

c) La incógnita es el precio original C:

228

S



C =



S = C(1 - 0.004194872)-6



$1 000 = C(1 - 0.004194872)-6

(1 − d )− n

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C =



C =

1000 (1 − 0.004194872 ) −6 1000 1.025542941

C = $975.0932506 Costo de venta (original) d ) Como la tasa de inflación es mayor que la tasa de depreciación, el activo aumentó su valor de venta por la tasa de inflación.

6.7  Método de la suma de dígitos o enteros Con la suma de dígitos o enteros se consigue que el cargo por depreciación sea mayor en los primeros años de la vida útil del activo fijo y después año con año disminuya. Se utiliza por las empresas para depreciar contablemente su activo, aunque el método no es reconocido por la Secretaría de Hacienda y Crédito Público. Para calcular el cargo anual se debe multiplicar la base de depreciación del activo por una fracción que se obtiene realizando los siguientes pasos: 1. Se encuentra la base de depreciación del activo B = C - S 6.21



2. Se suman los dígitos del año 1 al año n de vida esperada del activo fijo. s = k1 + k2 + k3 + ◊◊◊ + kn  n = 1, 2, 3, ...



6.22

3. También se puede utilizar la fórmula: s =



n ( n + 1) 2

6.23

en donde: s = Factor a depreciar 4. Los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil del activo fijo se ordenan de mayor a menor (años en orden invertido). años en orden invertido = n, ..., k3, k2, k1  n = 1, 2, 3, ... 5. La depreciación para cada año se expresa por una fracción en donde el denominador es la suma(s) de los dígitos enteros correspondientes a los años de vida útil estimada y en el numerador se tiene al entero que corresponde, en el orden invertido, al año de la depreciación que se calcula. Año Fracción a depreciar en el año correspondiente

n 

3

2

=

n s



1 k3 s

,

k2 s

,

k1 s

6. La fracción obtenida para depreciar se multiplica por la base de depreciación y así obtener el cargo anual (k) correspondiente.  n − k + 1 Dk =   ( C − S ) 6.24 s  



Terminología Letra

Significado

Letra

Significado

C

Costo original del activo

DA

Depreciación acumulada

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

Dk

Depreciación por kilómetro, hora, etcétera

n

Vida útil en años

d

Tasa de depreciación anual

B

Base de depreciación del activo

Vk

Valor en libros en el año k

D

Depreciación anual

s

Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo

229

UNIDAD

6

Amortización y depreciación

Problema resuelto 26. Una empresa compra equipo de cómputo con valor de $120 000. La empresa estima la vida útil de este activo en cinco años y un valor de desecho de $10 000. Elaborar un cuadro de depreciación por el método de suma de dígitos. Solución

Datos: C = $120 000 S = $ 10 000 n = 5 años 1. Base de depreciación de activo:

B = C - S = 120 000 - 10 000



B = $110 000

2. Suma de dígitos: n ( n + 1)



s =



s =



s = 15

2

6.23

5 ( 5 + 1) 2

3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente: Año

1

2

3

4

5

Numerador

5

4

3

2

1

Fracción

5/15

4/15

3/15

2/15

1/15

4. Calcular el cargo anual para el primer año:

 n − k + 1 D1 =   (C − S ) s  



 5  5 − 1 + 1 D1 =  (120 000 − 10 000 ) =   (110 000 )   15   15 



D1 = $36 666.66

5. Elaboración del cuadro 6.27 para calcular los cinco años.

Cuadro 6.27  Método de la suma de dígitos o enteros

230

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 27. El administrador del hotel Del Fortín, en el estado de Puebla, compra colchones para sus cuartos con un costo de $2 950 000. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de $350 000. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos. Solución

Datos: C = $2 950 000 S = $350 000 n = 6 años 1. Base de depreciación de activo: B=C-S



B = $2 950 000 - $350 000



B = $2 600 000

2. Suma de dígitos: 6 ( 6 + 1) n ( n + 1) = 2 2



s =



s = 21

3. Encontrar el denominador de la fracción a depreciar en el año correspondiente: Año

1

2

3

4

5

6

Numerador

6

5

4

3

2

1

Fracción

6/21

5/21

4/21

3/21

2/21

1/21

4. Calcular el cargo anual para el primer año:  6  n − k + 1  6 − 1 + 1 D1 =   ( C − S ) =  21  ( 2 950 000 − 350 000 ) =  21 ( 2 600 000 ) s     D1 = $742 857.14 5. Elaboración del cuadro 6.28 de depreciación para la vida útil de este bien.



Cuadro 6.28  Método de la suma de dígitos o enteros

6.8  Método de unidades de producción o servicio Al comprar un activo se espera buen servicio durante determinado tiempo (años, meses, días y horas) o bien que produzcan un determinado número de kilómetros, kilogramos o unidades. Se considera que se puede conocer la vida útil esperada del bien en función de estos parámetros. Entonces, el activo puede depreciarse de acuerdo con las unidades de producción o de servicio que 231

UNIDAD

6

Amortización y depreciación genera durante determinado periodo. Con este método la depreciación, por lo regular, es diferente para cada uno de los años de su vida útil. El fabricante de un activo es quien determina la capacidad de producción o de horas de servicio. Para conocer la depreciación del activo el analista se basa en la información histórica que tenga de activos semejantes.

Terminología Letra

Significado

Letra

Significado

C

Costo original del activo

DA

Depreciación acumulada

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

Dk

Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)

n

Vida útil en años

d

Tasa de depreciación anual

B

Base de depreciación del activo

Vk

Valor en libros en el año k

D

Depreciación anual

s

Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo

Problema resuelto 28. Una compañía adquiere un automóvil con un costo de $340 000 y espera que la vida útil del automóvil sea de 80 000 kilómetros; el valor de desecho del automóvil será de $122 000. El kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de: Año

Kilómetros

1

40 000

2

48 000

3

42 000

Total

130 000

a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido. b) Construir el cuadro de depreciación. Solución

Datos C = $340 000 S = $122 000 T = 130 000 kilómetros n = 3 años a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido 1. Determinar la base de depreciación:

B = C - S = 340 000 - 122 000



B = $218 000

2. Calcular la depreciación por kilómetro recorrido: a) La base de depreciación se distribuye entre los kilómetros recorridos durante tres años Dk =



Dk =



Dk = 1.68



232

B 6.25 T



218 000 130 000

La depreciación por kilómetro es de 1.68

Grupo Editorial Patria©

b) Construir el cuadro 6.29 sobre depreciación por unidad de producción o servicio.

Cuadro 6.29  Método de depreciación en unidades de servicio

Problema resuelto 29. El hotel Paraíso adquiere refrigeradores para los cuartos, con un costo de $171 400 y espera que la vida útil sea de 30 000 horas y que tenga un valor de desecho de $30 000. El número de horas de servicio de los refrigeradores durante los cuatro primeros años es de: Año 1 2 3 4 Total

Horas de servicio 2 000 1 950 1 800 1 900 7 650

a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio. b) Construir la tabla de depreciación. Solución

Datos C = $171 400 S = $30 000 T = 7 650 horas n = 4 años a) Encontrar la base de depreciación por hora de servicio 1. Determinar la base de depreciación:

B=C-S



B = 171 400 - 30 000



B = $141 400

2. Calcular la depreciación por hora de servicio: a) La base de depreciación se distribuye entre las horas de servicio de cuatro años. B T



Dk =



Dhr =



Dhr = 18.48266



141 400 7 650

La depreciación por hora de servicio es de $18.48

233

UNIDAD

6

Amortización y depreciación b) Construir el cuadro sobre depreciación por hora de servicio.



Cuadro 6.30  Método de unidades de producción o servicio

6.9  Método del fondo de amortización Este método considera los intereses que gana el fondo de reserva de depreciación y está determinado por la suma del cargo anual por depreciación más los intereses ganados durante el periodo de referencia. La aportación anual del fondo de reserva de depreciación se obtiene a partir de la fórmula de renta de anualidad vencida. R =

M (i ) (1 + i )n − 1

Equivalencia de la nomenclatura de la anualidad vencida y la depreciación. Anualidad vencida

Depreciación

M

B

R

D

El monto es igual a la base de depreciación: B=M Porque el monto se acumula después de n años, a una tasa de interés i. Por otro lado, la renta es igual a la depreciación anual. D=R El cargo anual o aportación a realizar al fondo se calcula con la fórmula siguiente: D =



B (i ) (1 + i )n − 1

6.26

Problema resuelto 30. Un hotel de la ciudad de Cuernavaca compró equipo de aire acondicionado para sus oficinas con valor de $987 000, estiman un tiempo de vida útil de cinco años, al cabo de los cuales el valor de desecho será $196 500. Los cargos por depreciación anual se invierten en un fondo de reserva de depreciación que paga un interés de 10% anual. Calcular: a) La base de depreciación. b) El cargo anual por depreciación. c) Elaborar una tabla de depreciación.

234

Grupo Editorial Patria© Solución

Datos C = $987 000 S = $196 500 n = 5 años T = 10% anual a) La base de depreciación: B=C-S



B = 987 000 - 196 500



B = $790 500

b) El cargo anual por depreciación: B (i )



D =



D = $129 481.91

n

(1 + i ) − 1

=

( 790 500 ) ( 0.10 ) 5

(1 + 0.10 ) − 1

=

79 050 1.61051 − 1

=

79 050 0.61051

La cantidad que se debe depositar en el fondo de reserva de depreciación al final de cada año es de $129 481.91 para alcanzar el monto de $790 500 en cinco años. c) Para elaborar el cuadro de depreciación se deben seguir los siguientes pasos. 1. La columna de interés ganado al final del año (columna E) se encuentra de la siguiente manera: (Depreciación del año anterior) (Tasa de interés 0.10) + Interés ganado en ese segundo periodo 2. La columna de depreciación anual (columna F) en cualquier año se calcula: Depósito realizado (columna D ) + Interés ganado (columna E) en ese año 3. La columna de depreciación acumulada (columna G) se obtiene: Depreciación acumulada del año anterior (columna G) + depreciación anual (columna F) en ese año



Cuadro 6.31  Depreciación obtenida por el método del fondo de amortización

Problema resuelto 31. El hotel Playa Linda compró 1 000 toallas para alberca por un valor de $330 000. Con la experiencia que tiene el administrador estima una vida útil promedio de seis años y ningún valor de desecho (cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 8% anual. Construir un cuadro de depreciación utilizando el método de fondo de amortización.

235

UNIDAD

6

Amortización y depreciación Solución

Datos C = $330 000 S = $ 0.00 n = 6 años T = 8% anual a) Véase el cuadro 6.32.



Cuadro 6.32  Depreciación por el método del fondo de amortización

Problema resuelto 32. El restaurante Camila compró mesas y sillas con valor de $470 690 y estima una vida útil para este mobiliario de 10 años. Al cumplir estos años se espera venderlas en $40 000. Considerando una tasa para depreciación de 14% anual, determinar: a) b) c) d )

La base de depreciación. El cargo anual por depreciación. La depreciación acumulada. El valor en libros después de seis años de uso.

Solución

Datos C = $470 690 S = $40 000 n = 10 años T = 14% anual i = 0.14 a) Base de depreciación:

B = C - S = 470 690 - 40 000



B = $430 690

b) El cargo anual por depreciación:

236

B (i )



D =



D =



D = $22 272.50

(1 + i )n − 1

(430 690) (0.14 ) (1 + 0.14)10 − 1

=

60 296.60 3.707221314 − 1

=

60 296.60 2.707221314

Grupo Editorial Patria© c) La depreciación acumulada al sexto periodo.  (1.14 )6 − 1  2.194972624 − 1  1.194972624  D A = 22 272.50   = 22 272.50   = 22 272.50   = 22 272.50 ( 8.535518742 ) 0.14 0.14 0.14      

 (1.14 )6 − 1  2.194972624 − 1 50   = 22 272.50   = 22 272.50 0.14 0.14    

 1.194972624    = 22 272.50 ( 8.535518742 ) 0.14  

DA = $190 107.34

d ) El valor en libros después de seis años de uso.

Valor en libros = costo - depreciación acumulada



Valor en libros = $470 690 - $190 107.34



Valor en libros = $280 582.66

e) Se pueden comprobar los resultados de los incisos anteriores en el cuadro 6.33.



Cuadro 6.33  Depreciación por el método del fondo de amortización

❚❚ Formulario El saldo insoluto después del (k - 1)-ésimo pago, es el valor descontado de los n - (k - 1) = n - k + 1 pagos restantes.

 1 − (1 + i ) − ( n − k + 1 ) Saldo insoluto = R  i 

  6.1 

El interés pagado en el k-ésimo pago es: I = R[1 - (1 + i )-(n - k + 1)] 6.2

El k-ésimo pago de la amortización es:

A = R(1 + i )-(n - k + 1) 6.3

Método prospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, será igual al valor descontado de los n - k pagos que quedan por realizar.

 1 − (1 + i ) − n − k P = R i 

  6.4 

Método retrospectivo: el saldo insoluto P inmediatamente después del k-ésimo pago, es igual al valor acumulado de la deuda menos el valor acumulado de los k-ésimo pagos hechos hasta la fecha.

 (1 + i ) − k − 1  P = A (1 + i )k − R   6.5 i   Valor de la operación = Derechos del deudor + Derechos del acreedor

6.6 237

6

UNIDAD

Amortización y depreciación

Método de línea recta

Método del porcentaje fijo

Terminología

Terminología Letra

Significado

Letra

C

Costo original del activo

C

Costo original del activo

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

VR

Valor de reemplazo

VR

Valor de reemplazo

Vk

Valor en libros en el año k

Vk

Valor en libros en el año k

VRE

Valor de reposición

Vn

Valor en libros al final de la vida útil

B

Base de depreciación del activo

D

Tasa de depreciación anual

D

Depreciación anual

d`

Tasa de inflación anual equivalente

DA

Depreciación acumulada

DA

Depreciación acumulada

N

Vida útil en años

N

Vida útil en años

D

Tasa de depreciación anual

j

Tasa de inflación

j

Tasa de inflación ■■

■■

Depreciación para cada año

(Costo original) - (Valor de desecho) Depreciación por año = ___________________________________ Vida útil en años

Base de depreciación

■■

VR = DA + S 6.9



Depreciación D =

■■

Vida útil (en un año) B 6.10 n

Vn = C(1 - d )n 6.15 ■■

DA = (D )(n) 6.11

■■

Valor de reposición Vre = C(1 + j )n 6.12

■■

Tasa de depreciación anual  Vn  d = 1−   C

Valor de desecho o salvamento  (1 + j )n − 1 S = C (1 + j ) − D   6.13 j   n

1 n

6.16

Depreciación en el primer año D1 = Cd 6.17

■■

Valor en libros V1 = C - D1 6.18

■■

Depreciación e inflación d ′ = j - d 6.19

■■

Precio original C C =



Depreciación acumulada DA = (depreciación)(vida útil en años)



Valor en libros al final de la vida útil del activo fijo



Base de depreciación del activo fijo

D =



238

■■

■■

VR = (depreciación acumulada) + (valor de desecho)

■■



Vk = C(1 - d )k 6.14



Valor de reemplazo



Valor en libros



B = C - S 6.8





C −S B = 6.7 n n

D =

■■

Significado

S (1 − d ′ ) − n

6.20

Método de la suma de dígitos o enteros Terminología Letra

Significado

C

Costo original del activo

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

n

Vida útil en años

B

Base de depreciación del activo

D

Depreciación anual

Grupo Editorial Patria© DA

Depreciación acumulada

Dk

Depreciación por unidad de servicio (kilómetro, hora, etc.)

d

■■

Método de unidades de producción o servicio Terminología Letra

Tasa de depreciación anual

Vk

Valor en libros en el año k

s

Suma de dígitos de la vida útil del activo fijo

Depreciación del activo B = C - S 6.21



s = k1 + k2 + k3 + ◊◊◊ + n  n = 1, 2, 3, ...



s =



■■

n (n + 1) 2

Base de depreciación para obtener el cargo anual





s =

n ( n + 1) 2

■■

6.23

6.23

 n − k + 1 Dk =   ( C − S ) 6.24 s  

Significado

C

Costo original del activo

S

Valor de desecho, rescate o salvamento

n

Vida útil en años

B

Base de depreciación del activo

D

Depreciación anual

DA

Depreciación acumulada

Dk

Depreciación por kilómetro, hora, etcétera

d

Tasa de depreciación anual

Vk

Valor en libros en el año k

T

Total de kilómetros horas , etcétera

La base de depreciación Dk =



B 6.25 T

Método del fondo de amortización ■■

El cargo anual o aportación a realizar al fondo



D =

Bi (1 + i )n − 1

6.26

❚❚ Glosario Acreedor.  Persona o razón social a la que se debe pagar el dinero que nos han prestado. Actividad financiera.  Costumbre de pagar un rédito por el uso de dinero prestado. Activo fijo.  Son los bienes sujetos al desgaste. Capital.  En términos financieros, es una determinada cantidad de dinero que permite ganar más (dinero) en operaciones de préstamo, llamada esta última interés. Cuentas de inversión.  También conocidas como cuentas de ahorro. En estas cuentas las personas pueden hacer depósitos y retiros del capital, en cualquier momento (con tan solo solicitarlo) y los intereses son bajos. Compra.  Acción de adquirir algo a cambio de dinero. Conjunto de bienes y servicios adquiridos en el acto de una compra. Compra a crédito.  Compra cuyo importe no es pagado en efectivo en el momento de la adquisición, sino que la propia entidad vendedora o una tercera entidad concede crédito por la suma debida. En bolsa es la adquisición de acciones financiada a través de créditos por una autoridad bursátil. Compra a plazos. Contrato de compraventa en el cual el vendedor entrega el bien objeto de la transacción en el momento en que esta se produce, y el comprador puede postergar sus pagos a futuras cuotas o plazos, pudiendo efectuar uno de estos pagos en el momento de la compra. Compra de contado.  Compra cuyo importe es pagado en el momento de la adquisición. Comprador.  Persona que adquiere un bien o derecho producto de una operación de compraventa. Compraventa.  Contrato por el que uno de los contratantes (vendedor), se obliga a entregar una cosa determinada y el otro (comprador) a pagar por ella un precio determinado. Negocio de objetos que se revenden. 239

UNIDAD

6

Amortización y depreciación Contado.  Procedimiento de cobro o pago que implica la entrega del bien o servicio con contrapartida monetaria en ese mismo momento. Contrato.  Negocio jurídico bilateral por el que dos o más personas físicas o jurídicas se obligan mutuamente a dar, hacer o no hacer algo, surgiendo entre ellas una relación obligatoria. Costo.  Precio pagado o solicitado para la adquisición de bienes y servicios. Costo de adquisición.  Es el resultado de la suma del precio de compra de una mercancía más los costos necesarios para poner dicha mercancía a disposición de la empresa (aranceles, impuestos, seguros, transporte, recepción, instalación, etc.). Crédito.  Reputación, fama, prestigio que tiene una persona respecto al cumplimiento de sus obligaciones financieras. Crédito a clientes.  Cantidad que los clientes de una empresa le adeudan en función de los suministros que reciben. Debe.  Adeudar, estar en deuda con otra persona, estar obligado a cumplir una obligación o realizar un pago. Demora.  Retraso en el cumplimiento de una obligación de pago de una deuda, desde el momento en que esta venció. Depreciación.  Desgaste, pérdida de valor o deterioro que sufre un activo fijo por su uso, el paso del tiempo o la aparición de activos más eficientes. Depósito a plazo.  Dinero depositado en una cuenta bancaria por una persona o razón social, su retiro es en una fecha determinada, de común acuerdo por ambas partes. Descuento.  Disminución concedida por las empresas a sus clientes por diversas causas: por pronto pago, por volumen de venta entre otros. Descuento en precios.  Reducción en el precio de venta de un producto o servicio por motivos muy diversos: campañas de promoción, ferias, rebajas estacionales, fidelidad del comprador, liquidación de existencias. Descuento financiero. Operación financiera realizada por las entidades de crédito, consistente en abonar al prestatario el importe, con rebaja de intereses, de una letra de cambio u otro mercantil antes de la fecha de su vencimiento. Derecho.  Facultad de hacer o exigir todo aquello que la ley establece a favor de cada uno. Deuda.  Obligación que se ha contraído con un tercero y que se ha de satisfacer. En general, es una obligación de pagar cierta cantidad de dinero. Deudor.  Persona o razón social que solicita dinero prestado y se compromete a pagarlo posteriormente, extendiendo para ello un pagaré. Dinero.  Todo aquello aceptado como medio de pago o medición del valor. Las monedas y billetes de circulación son la forma final adoptadas por las economías como dinero. Es la suma de moneda circulante. Dinero circulante.  Dinero en efectivo, es decir, tesorería que la empresa en un momento determinado tiene como consecuencia de su funcionamiento. Una gestión eficiente de tesorería que maximice su rentabilidad evitando fondos ociosos, incrementará el valor de la empresa Dinero de plástico.  Tarjetas (de crédito, débito, de prepago, etc.) que se utilizan como medio de pago sustituyendo el dinero. Dinero en circulación.  Suma de efectivo en manos del público compuesto de billetes y monedas metálicas de curso legal más los depósitos de todo tipo en el sistema bancario. Empeñar.  Entregar algo en prenda como garantía del pago de una deuda. Factura.  Documento o recibo entregado por el vendedor al comprador como prueba de que este ha adquirido una mercancía determinada o recibo de un servicio a un precio dado, y que representa, por lo tanto, el derecho de cobro a favor del vendedor. En la factura se especifican datos personales de ambos, las características de los productos, así como la fecha y el precio de compra.

240

Grupo Editorial Patria© Moneda en circulación.  Monedas constantes y sonantes (aleaciones de metales). A los billetes se les llama papel moneda. Operación.  Registro de una entrada o salida de dinero de un depósito bancario. Rédito.  Renta de un capital. Saldo.  Diferencia existente en un momento dado entre el debe y el haber en una cuenta corriente. Valor. Como el grado de utilidad proporcionada por un bien o servicio para la satisfacción de las necesidades. Valor amortizable.  Valor de los elementos de activo fijo que se considera a la hora de determinar las cuotas de amortización de que es necesario dotar a cada ejercicio económico y por lo general con el costo de adquisición. Valor contable.  Valor que figura para un activo en los libros contables. Valor de costo.  Expresión que, de acuerdo al contexto en que se encuentre, se utiliza para indicar la idea de costo de adquisición. Valor de liquidación.  Valor que se obtendría por un determinado activo de una empresa en el supuesto que este se vendiese. Valor de reposición.  Precio de mercado que habría que pagar para sustituir determinado bien por otro de iguales características. Vida útil.  Estimación del tiempo lógico que se espera pueda estar en funcionamiento un elemento inmovilizado tanto material como inmaterial. Tiempo.  Número de periodos (tiempo predeterminado) que dura el préstamo de un capital.

Problemas para resolver

UNIDAD

6.1  Sandra pide prestado la cantidad de $20 000.00, que se van a amortizar mediante seis pagos mensuales vencidos, si la tasa de interés es de 24% capitalizable mensualmente. Encontrar de cuánto es el abono mensual. 6.2  El centro de lavado “Hernán”, realizó la compra de una compresora para agua, la cual tiene un precio de contado de $46 000.00. El administrador del negocio solo cuenta con $18 000.00, esta cantidad le sirve para realizar el enganche del equipo y la diferencia pagarla a crédito, acordando realizar cinco pagos mensuales, siendo la tasa de interés 24% anual capitalizable mensualmente. a) Calcular el valor de la renta. b) Construir una tabla de amortización. c) ¿Cuánto pagó de intereses? 6.3 La costurera Juana Morales solicita un préstamo de $17 000.00 al Banco Invex, ella lo va a pagar en seis mensualidades vencidas. Si la tasa de interés es de 26% capitalizable mensualmente. Encontrar de cuánto es el abono mensual y construir una tabla de amortización. 6.4  El señor Abelardo Uscanga pide un préstamo $20 000 al Banco Nacional, él acuerda realizar pagos trimestrales, Problemas aplicados a la realidad

6

duran­te dos años, a una tasa de 29% capitalizable mensualmente. Elaborar un cuadro de amortización. 6.5 El señor Ramón Valdez pidió prestado $18 000.00 al Banco Invex a pagar en abonos mensuales iguales durante cuatro años a una tasa de 9% capitalizable mensualmente. Calcular el interés total a pagar por el señor Valdez. 6.6 El dueño de una planchadora está pagando un préstamo de $8 000.00 por la compra de dos planchadoras de vapor, este se va amortizar con pagos mensuales iguales durante dos años a una tasa de interés de 25% capitalizable mensualmente. Calcular el saldo insoluto después de cinco meses. 6.7  Mirtha Hernández compra una camioneta con un costo de $528 998.85; acuerda realizar seis pagos mensuales con una tasa de interés de 12% anual, el primero de los pagos se hace a fin de mes. a) ¿Cuál es el valor de la renta? b) Construir una tabla de amortización. c) Indicar los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor.

Problemas para resolver con tecnología

241

UNIDAD

6

Problemas para resolver

6.8 El dueño de una ferretería adquiere una deuda de $95 000.00 por la compra de mercancía, la tasa de interés es de 20% convertible semestralmente y se acordó liquidar en seis pagos semestrales al final de cada semestre. a) Calcular el valor de la renta.

Tenencia por un año, 3% sobre el valor del automóvil (sin incluir el iva)*

$4 995.00

Placas**

$ 1 650.00

Gestoría

$ 850.00

Verificación (calcomanía doble cero)en el D.F.**

$ 385.00

b) Construir una tabla de amortización.



c) Indicar los derechos adquiridos por el deudor y el saldo a favor del acreedor en el segundo mes.

* Cada estado de la República tiene un porcentaje diferente, en el D.F. y en algunos de los estados no se cobra.



** Cada estado de la República tiene un costo diferente.

6.9  El señor Gómez adquiere un departamento en condominio valuado en $1 600 000.00, por el cual paga un enganche de $400 000.00. El resto se financia con préstamo de Banco Ixe a 20 años, con tasa de interés de 8.75% convertible mensualmente. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) El saldo insoluto al final de los ocho años. 6.10 La dueña de un restaurante compró mesas y sillas a crédito para su negocio, el valor del mobiliario de contado era de $89 500.00. Ella dio de enganche 15% del valor del mobiliario y acordó realizar 36 abonos al final de cada mes, la tasa de interés que cobra el Banco Inbursa es de 24% capitalizablemente mensualmente. ¿Qué proporción del saldo habrá amortizado exactamente al realizar el décimo quinto abono mensual? 6.11 Una pareja adquirió un condominio valuado en $1 600 000.00 el 1 de marzo del año 2014, por el cual dieron 25% de enganche El resto se financia con crédito hipotecario de Banco HBC a 20 años, con tasa de interés de 8.75% convertible mensualmente sobre el saldo, iniciando en el mes de abril del mismo año. El préstamo se amortizará con pagos al final de cada mes. Calcular: a) El valor de los pagos mensuales. b) ¿Cuánto de interés puede deducir al realizar su declaración anual de persona física del año pasado? El tiempo límite que tiene para realizar su declaración es el día 30 de abril del presente año. 6.12 Construir un cuadro de amortización que incluye el cálculo del iva (16%) con un plan de financiamiento por dos años para la compra de un automóvil Sedán.

Cuadro 6.34  Amortización con iva de un plan de financiamiento por dos años para la compra de un auto El precio de lista (incluye el iva)

$ 143 000.00 - $ 50 050.00

La inversión inicial mínima (enganche) 35% Comisión por apertura de crédito Pago que debe efectuarse al contado (incluye el iva)

+ $ 1 850.00

Seguro de cobertura amplia Se debe pagar de contado por un año (incluye gastos de expedición e iva) más un año gratis

+ $ 8 300.00

Tasa de interés fija 12% anual Monto a financiar

$ 103 100.00

Otros gastos

242

Problemas aplicados a la realidad

6.13  Una mueblería en el mes de julio ofrece una promoción de compre ahora y realice su primer pago el último día de enero del año entrante y los siguientes seis pagos en los meses subsecuentes con una tasa de interés de 24% capitalizable mensualmente. El señor Suárez compra una sala con valor de $16 000.00 el último día de septiembre. Encontrar el valor de cada uno de los pagos y construir un cuadro de amortización. 6.14  El doctor Gabriel Urquiza compró una casa hace dos años como regalo de bodas para cuando su única nieta decidiera casarse. El valor del inmueble era de $2 000 000.00 y $300 000.00 en gastos fijos (escrituración, avalúo, entre otros). El doctor Urquiza dio de enganche 40% del valor de la casa y el 60% restante, lo pagaría con un crédito hipotecario otorgado por banco Inbursa durante cinco años de plazo contados desde el día de la compra en abonos mensuales vencidos. El día de hoy su nieta le da la noticia que se va a casar. El doctor Urquiza quiere saber en realidad cuánto le está dando de regalo a su nieta con la casa. La tasa de interés que le cobran es de 10.5% anual capitalizable mensualmente. El valor del inmueble aumentó 0.5% mensual con la inflación. Su nieta y su futuro esposo después de una larga plática acordaron seguir pagando la casa durante los próximos tres años hasta liquidar el préstamo. 6.15 El arquitecto Zúñiga compró el 6 de enero de 2015 una computadora de $22 500.00; acuerda pagar mediante nueve pagos mensuales, para los primeros cinco meses se aplica una tasa de interés de 18% y en los últimos cuatro una tasa de 24%, ambas con capitalización mensual y si además debe amortizarse una novena parte de la deuda por pago. ¿Cómo serán sus pagos y la amortización de esta deuda? Construir un cuadro de amortización que muestre los cambios en las tasas de interés considerando una amortización constante. 6.16 La señora Julia Jiménez compra un refrigerador de $11 499.00 más iva, la señora Jiménez acuerda realizar seis pagos mensuales en udi con una tasa de interés de 21% anual capitalizable cada mes. El primero de los pagos se hace al final del mes, si en el momento en que se celebra la operación el valor de las udi es de $4.971272 y se estima una inflación mensual de 0.48% calcule el pago mensual en pesos. ¿Cuál es el valor de la renta (el pago mensual)? 6.17  La dueña de un molino de nixtamal obtiene un préstamo de $1 250 000.00, el cual debe liquidar en una sola exhibición dentro de cinco años. Por lo que decide realizar reservas anuales iguales con el objetivo de pagar la deuda Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria© a su vencimiento mediante un fondo de inversión bancario con 9% de interés anual.

en $3 500.00. Ella considera una tasa de depreciación de 6% anual y una tasa de inflación de 1.1% por bimestre.

6.18  El psicólogo Diego Tovar debe pagar dentro de seis meses la cantidad de $980 500.00, por la compra de un local comercial y para tener el dinero en la fecha de liquidación decide realizar depósitos mensuales en una cuenta de inversión que paga 12% anual capitalizable mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos en su cuenta de inversión? Construir un cuadro que muestre la forma en la que se acumula el fondo.

6.24  La empresa de fertilizantes compra equipo de cómpu­ to con valor de $190 000.00. La empresa estima la vida útil de este activo en cinco años y un valor de desecho de $15 000.00. Elaborar un cuadro de depreciación por el método de suma de dígitos.

6.19 ¿Cuántos depósitos debe realizar la doctora Valeria Escalona si desea comprar de contado una cama de exploración de $13 800.00 para su consultorio? Para lograr esta compra, la doctora Escalona deposita al principio de cada mes en la cuenta de inversión la cantidad de $665.74; si el banco paga una tasa de interés de 9% convertible quincenalmente, ¿cuántos depósitos deberá hacer para poder realizar la compra de la cama de exploración? 6.20 La fábrica Plásticos de México, S.A., compra equipo por valor de $150 000.00. El administrador espera que la vida útil del equipo sea de 12 años con un valor de desecho de $10 000.00.

6.25 El dueño de un balneario, en el estado de Morelos, compra una caldera para calentar el agua de las albercas que tiene un costo de $3 700 000.00. Estima una vida útil de seis años y un valor de salvamento de $750 000.00. Elaborar el cuadro de depreciación utilizando el método de la suma de dígitos. 6.26  Una consultoría de contadores adquiere una camioneta de carga con un costo de $480 000.00 y espera que la vida útil del automóvil sea de 150 000 kilómetros, el valor de desecho del automóvil será de $122 000.00. El kilometraje recorrido por la unidad durante los tres primeros años es de:

a) Encontrar la base de depreciación. b) Calcular la depreciación anual. c) Valor de reemplazo.

Kilómetros

1

50 000

2

58 000

3

52 000

Total

160 000

a) Encontrar la base de depreciación por kilómetro recorrido.

d ) Construir el cuadro de depreciación.

b) Construir el cuadro de depreciación.

e) Construir una gráfica de tiempo contra valor en libros. f ) Construir una gráfica de tiempo contra depreciación acumula­da. 6.21  El ingeniero Andrés Martínez desea vender una góndola de carga después de ocho años de uso que le costó $2 600 000.00. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 0.8% mensual, el ingeniero considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 10% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo. 6.22  La Distribuidora Vidrio Sacro desea vender mobiliario después de cinco años de uso que le costó $250 000.00. La inflación promedio durante este tiempo ha sido de 7% anual. El administrador considera una tasa de depreciación de porcentaje fijo de 13% anual. Elaborar el cuadro de depreciación por el método de porcentaje fijo. 6.23  Encontrar el precio original de un comedor que se compró hace 10 años; la hija de la señora Gema lo desea vender

Problemas aplicados a la realidad

Año

6.27 La Universidad Autónoma de Tonalá compró equipo de aire acondicionado para sus oficinas con valor de $798 400.00, estiman un tiempo de vida útil de cinco años, al cabo de los cuales el valor de desecho será $180 000.00. Los cargos por depreciación anual se invierten en un fondo de reserva de depreciación que paga un interés de 8% anual. Calcular: a) La base de depreciación. b) El cargo anual por depreciación. c) Elaborar una tabla de depreciación. 6.28  Un gimnasio compró 30 colchones, para sus salas de gimnasia con valor de $680 000.00. Con la experiencia que tiene el área de mantenimiento se estima una vida útil promedio de ocho años y ningún valor de desecho (cero pesos). Se sabe que la tasa promedio de interés es de 10% anual. Construir un cuadro de depreciación utilizando el método de fondo de amortización.

Problemas para resolver con tecnología

243

UNIDAD

6

Amortización y depreciación

PROBLEMAS RETO 1

El contador Quintero compró un librero para su consultoría con valor de $6 000.00 y acuerda con la mueblería realizar seis pagos mensuales iguales vencidos. a) Encontrar el abono mensual si la tasa de interés es de 33% capitalizable mensualmente. b) Construir el cuadro de amortización.

2

La fábrica Textil Tacoma, S.A., adquirió un telar y estima que su vida útil sea de cinco años. El ingeniero de producción propone al administrador crear un fondo de amortización con el objetivo de reemplazar el equipo al final de los cinco años. Los depósitos se realizarían al final de cada año, con interés de 9.6% anual. Se estima que el costo del telar dentro de cinco años sea de $1 442 740.00. Calcular el valor del depósito y construir el cuadro de capitalización.

3

La maestra Carmen Márquez compró un departamento para rentarlo; el inmueble está valuado en $530 000.00 y pagó $159 000.00 de enganche. Cuando la maestra compró al issste el departamento este le otorgó un crédito hipotecario por 20 años para pagar su saldo. El interés es de 18% capitalizable cada mes. a) ¿Cuál es el valor del pago mensual? b) Elaborar el cuadro de amortización para los primeros ocho meses.

4

La escuela secundaria número 22 Enrique O. Aragón, en el Distrito Federal, compró una esterilizadora con valor de $3 100.00, que se pagará de la manera siguiente: cuatro pagos quincenales iguales y $1 000.00 que se entregarán junto con el último pago. La tasa de interés es de 10% anual capitalizable quincenalmente. a) Calcular el pago quincenal. b) Construir una tabla de amortización.

5

244

La panadería La Viga compra un horno para pan con un precio de lista de $90 000, el cual debe amortizarse mediante seis pagos bimestrales vencidos. Los tres primeros pagos son de $15 000.00 cada uno, el cuarto y quinto pagos son de $20 000.00 cada uno. Utilizando el cuadro de amortización encontrar el valor del último pago, si la tasa pactada es de 4.5% capitalizable bimestralmente.

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión OBJETIVOS Conocer, entender y aplicar la metodología empleada en el ámbito financiero para realizar el análisis de un proyecto de inversión. Determinar mediante el análisis de los flujos de efectivo de un proyecto su viabilidad financiera. Seleccionar de un conjunto de proyectos de inversión, aquel que represente la mejor opción para el inversionista. Aplicar los conocimientos en matemáticas financieras sobre el cálculo del valor presente en la metodología denominada Valor Actual Neto (van). Aplicar el método del costo de capital (tir) para calcular el valor presente de un proyecto de inversión. Aplicar las herramientas básicas de matemáticas financieras en el análisis de los proyectos de inversión para determinar su viabilidad y con ello tomar una decisión adecuada de inversión.

¿QUÉ SABES?

¿Sabes qué significa el término proyecto de inversión? ¿Qué entiendes por un flujo de efectivo? ¿Cuándo se presenta la viabilidad financiera de un proyecto? ¿Cuál es el valor actual de $100 000 que me darán dentro de cinco años, si la tasa de interés actual en el mercado es de 5.5%?

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión ¿Qué es el valor presente de una inversión (van)? ¿Qué entiendes por costo de capital? ¿Cómo se calcula el van de un proyecto?

7.1 Introducción Los proyectos de inversión se inician con la idea de aumentar la riqueza de un inversionista o el accionista de una empresa, mediante la elaboración de un producto o servicio nuevo o la mejora de un producto o servicio existente. Los proyectos de inversión se analizan como una secuencia de decisiones, que empiezan con el concepto original (la idea nueva o su mejora), la recolección de la información apropiada para estimar los costos y beneficios obtenidos al realizar el proyecto, así como el diseño de una estrategia óptima para establecerlo formalmente a lo largo del tiempo. (Bodie y Merton, 2003) Un proyecto de inversión ■■

Debe analizarse siempre como una secuencia de decisiones.

Brojt (2007) indica que las principales actividades que un analista debe realizar al evaluar un proyecto, independientemente de su complejidad, son las siguientes. ■■

Definir los objetivos del proyecto

■■

Definir los alcances y supuestos

■■

Definir la propuesta de cambio (modelo conceptual)

■■

Metodología

■■

Organigrama

■■

Cronograma

■■

Identificación de riesgos

■■

Justificación económica (análisis de la inversión)

■■

Acciones para su rápida implementación

Con base en estas ideas, podemos decir que el análisis de un proyecto de inversión no es más que un estudio económico que permite definir, para un inversionista o accionista, si su riqueza aumentará al valorar en el presente, si los flujos de efectivo positivos (ingresos, utilidades) superarán el valor presente de los flujos negativos o desembolsos (inversión inicial, gastos o costos) durante la vida del proyecto en el que ha pensado invertir (figura 7.1). +Ingresos del proyecto

1 2 3 4

- Inversión inicial

- Gastos o costos del proyecto

Periodos de vida del proyecto

Figura 7.1

En la figura 7.1, por convención para los gráficos de tiempo de flujo de efectivo en este capítulo, las flechas hacia arriba (vectores positivos) indican entradas de recursos económicos producto de la inversión realizada (ingresos por venta del producto o servicio del proyecto, intereses, utilidades, etcétera), 246

Grupo Editorial Patria© y las flechas hacia abajo (vectores negativos) indicarán los desembolsos (inversión inicial, gastos, costos o nuevas inversiones) del proyecto en los distintos periodos de su vida. Pero también pueden ser iguales a cero, cuando en un periodo no se presentan ni ingresos ni egresos. En estos gráficos, los flujos de efectivo se registran al final del año o del periodo en que se realizan, a menos que se indique lo contrario. Como se observa, un proyecto genera un flujo de efectivo (entradas y salidas de efectivo) el cual primero debe ser estimado y luego evaluado económicamente; esto para indicar al inversionista, si es conveniente invertir su dinero en el proyecto. En el gráfico de flujo de efectivo ■■

Una entrada de recursos económicos se expresa con una flecha hacia arriba.

■■

Una salida de recursos económicos se expresa con una flecha hacia abajo.

Por ejemplo, suponga que una compañía que quiere producir un nuevo detergente para el mercado mexicano, piensa colocar en una de sus plantas una nueva línea de producción. Los inversionistas en el proyecto deben aportar 500 000 dólares para llevar a cabo este nuevo producto al mercado. Las preguntas, de los inversionistas, serían: ¿este nuevo producto tiene en México un mercado suficiente?, ¿es la inversión realizada recuperable?, ¿qué utilidad genera esta inversión?, ¿invierto o no mi dinero en el proyecto? Es, precisamente un análisis del proyecto lo que le permite al inversionista tomar una decisión.

7.2  Metodologías de evaluación de inversiones Existen en la literatura diversas metodologías para evaluar financieramente los flujos de efectivo que se producen al realizar un proyecto. El manual para la preparación de estudios de viabilidad industrial de las Naciones Unidas (1978) propone como criterios de rentabilidad comercial, los siguientes. ■■

El cálculo del valor neto actual (valor presente neto)

■■

La tasa interna de rendimiento (tir)

■■

El periodo de reembolso

■■

La tasa sencilla de rendimiento

■■

Análisis de umbral de rentabilidad

■■

Análisis de sensibilidad

Por otro lado, el Centro de Desarrollo de la Organización para la Cooperación Económica y el Desarrollo (1974), con sede en París, propone lo siguiente. ■■

El criterio del beneficio actualizado (valor presente neto)

■■

La tasa media (o interna) de rentabilidad (tir)

■■

El periodo de recuperación

■■

Los criterios de rentabilidad derivados del análisis contable

Todos estos métodos tienen como objetivo para un empresario, inversionista o accionista de una empresa mostrar el rendimiento financiero del capital invertido; es decir, las utilidades que se logran al realizar una inversión en un proyecto específico. En otras palabras, el análisis de proyectos, o de la rentabilidad de proyectos, consistirá en determinar la relación entre las utilidades obtenidas y el capital invertido. Para el Centro de Desarrollo de la Organización para la Cooperación Económica y el Desarrollo los criterios de evaluación de un proyecto más usados son los siguientes. ■■

El criterio del beneficio actualizado (valor presente neto)

■■

La tasa media (o interna) de rentabilidad (tir) 247

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión Como ya indicamos, todos los cálculos financieros en estos métodos se fundamentan en los precios de mercado previstos para los insumos y productos. Asimismo, estos se hacen ex ante “antes del suceso” (por definición), siempre al final de cada año (o periodo de evaluación) y de preferencia para toda la duración del proyecto. Dos de estos métodos son los más utilizados en la actualidad dentro del ambiente empresarial en México. El cálculo del valor neto actual, valor presente neto o valor actual neto y el método de la tasa interna de rendimiento, también conocido como tir.

7.3  Método del valor actual neto (van) Alerta El valor actual neto (Net Present Value, npv) de un proyecto es el monto al que se espera que aumente la riqueza de los inversionistas al realizar sus inversiones en el proyecto.

El valor actual neto (Net Present Value, npv) de un proyecto es el monto al que se espera que aumente la riqueza de los inversionistas al realizar sus inversiones en el proyecto. El van de un proyecto se define como el valor obtenido actualizado, separado para cada año (o periodo de vida del proyecto), la diferencia entre todas las entradas (ingresos) y salidas (egresos) de efectivos que se suceden durante la vida de un proyecto a una tasa de interés fija predeterminada. Esta diferencia se actualiza hasta el momento en que se supone se iniciará la ejecución del proyecto. (NU, 1978) Si consideramos a las entradas o ingresos del proyecto como Ij, para toda j que se producen del periodo 1 a n; y a Ej, como los egresos o salidas que se producen del periodo 1 al n; así como a In I como la inversión inicial del proyecto, dada una tasa de interés fija i previamente establecida. Entonces, matemáticamente el van puede expresarse como sigue: VAN

= − In I +

( I1 − E 1 ) (1 + i )1

+

( I2 − E 2 ) (1 + i )2

+

( I3 − E 3 ) (1 + i )3

++

( In − E n ) (1 + i )n

O bien VAN

=

n

(Ij − E j )

j =1

(1 + i ) j

∑

− In I

En la figura 7.2 se indica el procedimiento de actualización (dada una tasa de interés fija i ) al periodo cero (0), o periodo en donde inicia la inversión en el proyecto (In I ), de todos los ingresos (entradas) y egresos (salidas) de efectivo que produce el proyecto durante sus “n” periodos de vida. En dicho periodo (cero) obtenemos precisamente el van del proyecto.

I 1 van

0

I2

I3

In

1 2 3 E1

E2

E3

n En

In I Figura 7.2

En este método de análisis, la tasa de actualización (o nivel de rechazo) debe ser igual a la de interés actual sobre préstamos a largo plazo en el mercado de capitales o a la de interés pagada por el prestatario. Esta tasa de actualización debe reflejar el costo de oportunidad de capital, es decir, el posible rendimiento de la misma cantidad de capital invertida en otro proyecto. Expresado de otra manera, esta sería una tasa de rendimiento mínima por debajo de la cual el empresario o inversionista considera que no le conviene invertir en el proyecto. 248

Grupo Editorial Patria© Una vez que calculamos el van de un proyecto, debemos decidir si se invierte en él o no. Si el van es positivo, la rentabilidad de la inversión está por sobre la tasa de actualización o rechazo; si es cero, la rentabilidad será igual a la tasa de rechazo. Por tanto, un proyecto con un van positivo o cero puede considerarse aceptable. Si el van es negativo, la rentabilidad estará por debajo de la tasa de rechazo, por lo que ese proyecto debe descartarse. Por otro lado, si el inversionista o empresario debe escoger entre diversas alternativas o proyectos, deberá optar por aquel proyecto o alternativa que genere mayor van. Una de las grandes deficiencias de este método es la dificultad para seleccionar una tasa de actualización apropiada. Por otro lado, tampoco permite conocer la tasa de rentabilidad exacta del proyecto. 1. Una compañía ubicada en la zona industrial de Guadalajara desea ampliar su capacidad instalada para los próximos seis años. Por ello contrata una consultora para que realice el análisis de la inversión. Los datos proporcionados a la compañía consultora son los siguientes. ■■

El departamento de ingeniería ha establecido que la capacidad instalada máxima es de 120 000 unidades, las cuales podrán obtenerse de acuerdo con el siguiente programa de producción en la nueva línea como:



65% de la capacidad para los años 1 y 2



75% de la capacidad para los años 3 y 4



88% de la capacidad para los años 5 y 6

■■

El precio actual de venta del producto es de $26. Este precio crece con el tiempo por efectos de la inflación 7% anual.

■■

El costo del equipo y las nuevas instalaciones representan una inversión de $7 500 000. El equipo y las instalaciones deben depreciarse linealmente.

■■

El costo de la mano de obra es de $120 000 anuales para el primer año. Este costo se incrementa anualmente 8%.

■■

El costo de mantenimiento del equipo es de $25 000 durante los dos primeros años y de $30 000 los últimos cuatro.

■■

Los costos administrativos de esta nueva línea ascienden a $100 000 anuales el primer año y se incrementan 8% anual.

■■

La tasa impositiva para esta empresa es de 34%.

Mediante el método de van, la compañía consultora evaluará el proyecto, considerando que la tasa de rendimiento del mercado es de 15%. Solución: Primero se estima la oferta del producto considerando las condiciones establecidas por el departamento de ingeniería para los próximos seis años.

Estimación de producción Año

1

2

3

4

5

6

Capacidad (porcentaje)

0.65

0.65

0.75

0.75

0.88

0.88

Producción (unidades)

78 000

78 000

90 000

90 000

105 600

105 600

Estimación de ventas Precio (precio/unidad)

26

27.82

29.77

31.85

34.08

36.47

Ingresos ($)

2 028 000

2 169 960

2 679 066

2 866 601

3 598 922

3 850 846

249

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión Se calculan los costos asociados al proyecto y se elabora un flujo de caja del mismo. En el flujo de caja se determinan los ingresos y egresos que se producen en cada periodo (año): Ij - Ej. Con ello se obtiene el flujo de caja neto que debe actualizarse (llevarse al periodo 0) para obtener el van buscado.

Flujo de caja del proyecto Periodos Concepto

0

1

2

3

4

5

6

2 028 000

2 169 960

2 679 066

2 866 601

3 598 922

3 850 846

1 495 000

1 512 600

1 536 608

1 557 137

1 579 308

1 603 252

120 000

129 600

139 968

151 165

163 259

176 319

INGRESOS Por ventas

EGRESOS

7 500 000

Inversión inicial

7 500 000

Mano de obra Mantenimiento

25 000

25 000

30 000

30 000

30 000

30 000

Costos administrativos

100 000

108 000

116 640

125 971

136 049

146 933

Depreciación

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

-7 500 000

533 000

657 360

1 142 458

1 309 464

2 019 614

2 247 594

-Impuestos

Flujo de fondos antes de impuestos

-181 220

-223 502

-388 436

-445 218

-686 669

-764 182

+Depreciación

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 601 780

1 683 858

2 004 022

2 114 246

2 582 945

2 733 412

FLUJO DE CAJA NETO

-7 500 000

VALOR ACTUAL NETO

158 504

VAN

= − 7 500 000 +

+

(

( 1 601 780 ) 1

( 1 + 0 . 15 ) )

5

(2 582 + . 945 ) 1

0 15

+

+

( 6

(2 + ) 733. 412 1

0 15

( 1 683 858 ) (1 + .

)

(

2

) + 0 15 =1

(

) 3

+

(2 004. 022 ) 1 + 0 15

) 4

+

(2 114. 246 5) 1 + 0 15

158 504

En Excel, el cálculo del van se realiza en la hoja empleando la siguiente función: = Inversión Inicial + VNA(tasa de descuento, flujo de caja neto del proyecto) En el ejemplo, la inversión inicial se ubicó en la celda (C30) y el flujo de caja neto del proyecto de las celdas (D30 a I30), por lo que el cálculo estaría definido en la celda (C32) como: = C30+VNA(0.15,D30:I30). Dado que la rentabilidad de la inversión, para este ejemplo, está por encima de la tasa de actualización o rechazo (15%), se genera un van positivo, la empresa deberá invertir en el proyecto. 2. Una empresa, establecida en la ciudad de Monterrey, fabrica herramientas y desea aumentar su producción. Para ello tiene dos alternativas. Puede duplicar su capacidad instalada con equipo semiautomático o bien comprar equipo automático moderno. El departamento de ingeniería de la empresa ha estudiado el problema y prefiere comprar el equipo automático. El gerente de finanzas, al revisar los datos, ha encontrado que los costos de inversión se duplican si se adquiere el equipo automático. Esto es fundamental dado el nivel de endeudamiento de la empresa. 250

Grupo Editorial Patria© Las dos alternativas de inversión tienen las siguientes características de costos. Concepto

Equipo automático

Equipo semiautomático

Inversión ($)

2 000 000

1 000 000

Costo anual de operación ($)

200 000

410 000

Vida útil (años)

6

6

Depreciación ($)

333 333

166 667

Costo total anual ($)

533 333

576 667

Producción anual (unidades)

10 000

10 000

Costo unitario ($/uni )

53.33

57.66

El estado de Nuevo León no aplica tasa impositiva a estas nuevas inversiones y allí la inflación es considerada como cero. Finanzas evalúa ambas alternativas con una tasa de descuento de 10% anual y considera que ambos equipos tienen un valor nulo de salvamento. Solución: Primero construimos un flujo de caja para cada alternativa de inversión. Posteriormente calculamos su van.

Flujo de caja del equipo automático Periodos Concepto

0

1

2

3

4

5

6

INGRESOS

0

0

0

0

0

0

EGRESOS

533 333.00

533 333.00

533 333.00

533 333.00

533 333.00

533 333.00

Costos de operación

200 000

200 000

200 000

200 000

200 000

200 000

Depreciación

333 333

333 333

333 333

333 333

333 333

333 333

-533 333

-533 333

-533 333

-533 333

-533 333

-533 333

0

0

0

0

0

0

333 333

333 333

333 333

333 333

333 333

333 333

-200 000

-200 000

-200 000

-200 000

-200 000

-200 000

-2 000 000

Inversión inicial

Flujo de fondos antes de impuestos

-2 000 000

-Impuestos +Depreciación

FLUJO DE CAJA NETO

-2 000 000

VALOR ACTUAL NETO

-2 871 052

VAN

= − 2 000 000 +

+

( − 200 000 )

( − 200 000 ) (1 + 0.10 )5

1

(1 + 0.10 ) +

+

( − 200 000 ) (1 + 0.10 )

( − 200 000 ) (1 + 0.10 )6

2

+

( − 200 000 ) (1 + 0.10 )

3

+

( − 200 000 ) (1 + 0.10 )4

= − 2 871 052 251

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión En Excel: =C29+VNA(0.1,D29:I29) Flujo de caja del equipo semiautomático Periodos Concepto

0

1

2

3

4

5

6

INGRESOS

0

0

0

0

0

0

EGRESOS

576 667.00

576 667.00

576 667.00

576 667.00

576 667.00

576 667.00

Costos de operación

410 000

410 000

410 000

410 000

410 000

410 000

Depreciación

166 667

166 667

166 667

166 667

166 667

166 667

-576 667

-576 667

-576 667

-576 667

-576 667

-576 667

0

0

0

0

0

0

166 667

166 667

166 667

166 667

166 667

166 667

-410 000

-410 000

-410 000

-410 000

-410 000

-410 000

-1 000 000

Inversión inicial

Flujo de fondos antes de impuestos

-1 000 000

- Impuestos + Depreciación

FLUJO DE CAJA NETO

-2 785 657

VALOR ACTUAL NETO

-2 871 052

VAN

= − 2 000 000 +

+

( − 410 000 )

( − 410 000 ) (1 + 0.10 )

5

(1 + 0.10 )1 +

+

( − 410 000 )

( − 410 000 ) (1 + 0.10 )6

(1 + 0.10 )2

+

( − 410 000 ) (1 + 0.10 )3

+

( − 410 000 ) (1 + 0.10 )4

= − 2 785 656

En Excel: =C49+VNA(0.1,D49:I49) Como puede observarse, dado que no se reportan ingresos para estas alternativas, el análisis debe realizarse mediante los costos que presentan. El equipo automático representa un mayor costo en valor actual (-$2 871 052) que el semiautomático (-$2 785 656); por lo que, con base en esto, la dirección de la empresa debe seleccionar la inversión correspondiente al equipo semiautomático. Al seleccionar esta inversión se obtiene un ahorro en costos de $85 396.

7.4 Método de la tasa interna de rendimiento (tir) o costo de capital Alerta La tir es la tasa de actualización a la cual el valor actual de los ingresos de efectivo es igual al valor actual de las salidas de efectivo de un proyecto.

252

El costo de capital es la tasa de descuento i ajustada al riesgo que se usa para calcular el valor presente neto de un proyecto. En general, la forma de manejar la incertidumbre de los fondos de efectivo futuros es usar una tasa de descuento mayor a la que existe en el mercado. (Bodie y Merton, 2003:172) La tasa de descuento (i ) o tasa interna de rendimiento (tir) es, como ya indicamos, la tasa de actualización a la cual el valor actual de los ingresos en efectivo es igual al valor actual de las salidas en efectivo de un proyecto. Es decir, es la tasa a la cual el valor actual de lo producido por el proyecto es igual que el valor actual de la inversión, esto es, el valor actual neto del proyecto es cero. En este método se puede emplear el mismo cuadro de flujo de fondos que se emplea en el método del valor actual neto, pero en vez de actualizar los flujos o corrientes de liquidez a una tasa de

Grupo Editorial Patria© descuento (rechazo) predeterminada, se pueden probar varias tasas de actualización, hasta que se encuentre la que tenga como van cero. Esta tasa será la tir y representará la rentabilidad exacta del proyecto. (NU, 1978:190) Matemáticamente, la tir es la tasa de descuento (i ) que permite un van = 0. 0 = − In I +

( I1 − E 1 ) 1

(1 + i )

+

( I2 − E 2 ) (1 + i )

2

+

( I3 − E 3 ) (1 + i )

3

++

( In − E n ) (1 + i )n

Es decir, In I =

( I1 − E 1 ) 1

(1 + i )

+

( I2 − E 2 ) (1 + i )

2

+

( I3 − E 3 ) (1 + i )

3

++

( In − E n ) (1 + i )n

o bien, In I =

n

(Ij − E j )

j =1

(1 + i ) j

∑

Donde: In I: es la inversión inicial del proyecto Ij: son las entradas o ingresos que produce el proyecto en el periodo j (j = 1, 2, 3, ..., n) Ej: son las salidas o egresos que produce el proyecto en el periodo j (j = 1, 2, 3, …, n) i: tasa de descuento ajustada al riesgo. El procedimiento de cálculo de la tir se inicia con la construcción de un cuadro de flujo de fondos del proyecto. Se usa una tasa de actualización estimada para obtener un primer van. Si es positivo, se aplicará una tasa de actualización mayor. Si es negativo, la tir se encontrará entre estas dos tasas. En el caso de que la tasa de actualización mayor todavía dé un van positivo, se debe aumentar la tasa de actualización hasta que el van pase a ser negativo. (NU, 1978:190-191) Si los van positivos y negativos se acercan a cero, debe emplearse la siguiente fórmula de interpolación lineal: TIR

= i1 +

VP ( i 2 − i1 ) VP + VN

Donde: VP: es el van positivo a la tasa de actualización baja de i1 VN: es el van negativo a la tasa de actualización alta de i2 3. Con los datos del ejemplo 1 determine la tasa interna de rendimiento de ese proyecto. Flujo de caja del proyecto Periodos Concepto

1

2

3

4

5

6

INGRESOS

0

0

0

0

0

0

0

Por ventas

2 028 000

2 169 960

2 679 066

2 866 601

3 598 922

3 850 846

1 495 000

1 512 600

1 536 608

1 557 137

1 579 308

1 603 252

Mano de obra

120 000

129 600

139 968

151 165

163 259

176 319

Mantenimiento

25 000

25 000

30 000

30 000

30 000

30 000

EGRESOS

7 500 000

Inversión inicial

7 500 000

Costos administrativos

100 000

108 000

116 640

125 971

136 049

146 933

Depreciación

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

253

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión -7 500 000

Flujo de fondos antes de impuestos

533 000

657 360

1 142 458

1 309 464

2 019 614

2 247 594

-Impuestos

-181 220

-223 502

-388 436

-445 218

-686 669

-764 182

+Depreciación

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 250 000

1 601 780

1 683 858

2 004 022

2 114 246

2 582 945

2 733 412

FLUJO DE CAJA NETO

-7 500 000

VALOR ACTUAL NETO

158 504

Debemos buscar una tasa de descuento que produzca un van = 0. 7 500 000 =

(1 601 780 ) 1

(1 + i ) +

(1 683 858 )

+

(1 + i )

( 2 582 945 ) (1 + i )

+

( 2 004 022 ) (1 + i )

3

+

( 2 114 246 ) (1 + i )4

( 2 733 412 )

+

5

2

(1 + i )6

Para una i1 de 15% el van es: 158 504 Para una i2 de 16% el van es: -64 521 La tir por lo tanto debe estar entre 15 y 16%. Interpolando: TIR

TIR

= 0.15 +

= i1 +

VP ( i 2 − i1 ) VP + VN

158 504 ( 0.16 − 0.15 ) = 0.157107 158 504 + 64 521

Es decir, la tir para este proyecto es de: 15.7107%. Por otro lado, el cálculo en Excel se efectúa mediante la siguiente función: =TIR(flujo de caja neto) En el ejemplo, el flujo de caja neto se ubica de las celdas C30 a I30, por lo que la función se define como:

=TIR(C30:I30)



TIR = 15.705982%

La diferencia en los cálculos se debe a que Excel, por lo general, usa 15 decimales para realizar los cálculos. La rentabilidad exacta de este proyecto es de 15.705982%. 4. Con los datos del ejemplo 2 determine las tir de las opciones de inversión. ■■

Equipo automático 2 000 000 =



1

(1 + i ) +

+

( − 200 000 ) (1 + i )5

( − 200 000 ) (1 + i ) +

tir



En Excel:1 =TIR(C29:I29)

2

+

( − 200 000 ) (1 + i )6

= -12.8949%



1

254

( − 200 000 )

El valor de la inversión inicial debe tener signo positivo.

( − 200 000 ) (1 + i )

3

+

( − 200 000 ) (1 + i )4

Grupo Editorial Patria© ■■

Equipo semiautomático 1 000 000 =



( − 410 000 ) 1

(1 + i ) +

+

( − 410 000 ) (1 + i )5

( − 410 000 ) (1 + i ) +

2

+

( − 410 000 ) (1 + i )

3

+

( − 410 000 ) (1 + i )4

( − 410 000 ) (1 + i )6

= 33.8798%



tir



En Excel:2 =TIR(C49:I49)

Puesto que el equipo semiautomático genera una tasa de rendimiento positiva, esta será la alternativa en donde debemos invertir.

7.5  Análisis de inversiones con van y tir El uso de ambos métodos al analizar un proyecto de inversión se mostrará mediante el siguiente ejemplo. Un proyecto es viable si su van es positivo y si su interés ofrecida en el mercado.

tir

es mayor a la tasa de

Una compañía en México que vende cremas corporales para humectar la piel quiere reemplazar un producto Lubripiel por un nuevo producto Superhumectante. La producción de Lubripiel cesará de todas formas al final del año, esto debido a que las condiciones de mercado han cambiado. En el nuevo producto, la compañía ha gastado $65 000 en investigación y desarrollo, por lo que se espera iniciar la producción dentro de un año. Las estimaciones de Superhumectante para los próximos años son: 5 000 unidades anuales en los primeros tres años y 4 000 unidades anuales en los últimos dos años de este proyecto. Los departamentos de ingeniería y mercadotecnia han estimado los siguientes ingresos y costos unitarios, a precios corrientes de hoy. Superhumectante Precio de venta unitario ($)

35.00

Costo unitario ($)

■■

Mantenimiento

1.20

Materia prima

8.00

Mano de obra

6.00

Depreciación

10.00

Otros costos

9.00

Costo total unitario

34.20

Utilidad/unidad

0.80

Mano de obra

Cada unidad de producto requiere de dos horas de trabajo a un costo de $3 por hora. La empresa tiene seis operarios que trabajan en la actualidad en la línea de producción de Lubripiel. Si se decide no producir el nuevo humectante, todos los trabajadores deberán ser liquidados con base en lo establecido en la ley. Pero si se decide producir Superhumectante, tres de estos empleados deberán ser liquidados al final del tercer año. El costo de liquidación es el equivalente a 1 000 horas de trabajo. 2

El valor de la inversión inicial debe tener signo positivo.

255

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión ■■

Inversión inicial

El equipo e instalaciones necesarias para producir el nuevo humectante requieren de una inversión de $200 000. La vida útil de esta línea de producción es de cinco años y no tiene valor de salvamento. Su mantenimiento es anual, y solo el primer año cuesta $6 000; pero este costo crece anualmente con la inflación. El modelo de depreciación empleado por la empresa es la depreciación lineal. ■■

Los costos variables por unidad son de $4.00 y los costos administrativos fijos $5.00 por unidad.

Los costos laborales se estima crecerán a 10%. Todos los otros costos e ingresos crecerán de acuerdo con una tasa estimada promedio de inflación de 5%. La tasa impositiva al ingreso neto es de 40%, una vez deducida la depreciación, y debe ser pagada en el año que se causa. La compañía tiene acceso a fondos a 10% anual nominal. Si suponemos que todos los flujos ocurridos en cada año se producen al final del año respectivo, estime el Valor Actual Neto del proyecto bajo los supuestos enunciados y determine cuál es el costo de capital del proyecto. Solución:3 Primeramente, se estiman los ingresos esperados a partir del primer año de producción. Ingresos

0

1

2

3

4

5

Precio/unidad

35

36.75

38.59

40.52

42.54

44.67

5 000

5 000

5 000

4 000

4 000

183 750.00

192 937.50

202 584.38

170 170.88

178 679.42

Venta esperada Unidades $

Si se inicia la producción del nuevo humectante el primer año se tiene un ahorro de $19 800, debido a que no se liquidarán seis empleados. Se estiman los costos de producción anuales. EGRESOS

0

1

2

3

4

5

8.00

8.40

8.82

9.26

9.72

10.21

42 000.00

44 100.00

46 305.00

38 896.20

40 841.01

6.60

7.26

7.99

8.78

9.66

33 000.00

36 300.00

39 930.00

35 138.40

38 652.24

Costos ($) Materia prima Materia prima para producción Mano de obra

6.00

Mano de obra para producción Liquidación de personal

10 418.63

Mantenimiento

6 000.00

6 300.00

6 615.00

6 945.75

7 293.04

4.20

4.41

4.63

4.86

5.11

21 000.00

22 050.00

23 152.50

19 448.10

20 420.51

5.25

5.51

5.79

6.08

6.38

Costo administrativo para producción

26 250.00

27 562.50

28 940.63

24 310.13

25 525.63

Depreciación

40 000.00

40 000.00

40 000.00

40 000.00

40 000.00

Costo variable/u

4.00

Costo variable/u para producción Costo administrativo/u

5.00

Los cálculos de este problema se efectuaron en una hoja electrónica de cálculo. En los flujos de caja solo se reportan dos decimales, por lo que los resultados finales pueden variar.

3

256

Grupo Editorial Patria© Se elabora el flujo de caja del proyecto. Flujo de caja del proyecto Periodos Concepto

0

1

2

3

4

5

INGRESOS

203 550.00

192 937.50

202 584.38

170 170.88

178 679.42

Ventas

183 750.00

192 937.50

202 584.38

170 170.88

178 679.42

Ahorro por no liquidación

19 800.00

162 250.00

170 012.50

188 746.75

157 792.83

165 439.39

Materia prima para producción

42 000.00

44 100.00

46 305.00

38 896.20

40 841.01

Mano de obra para producción

33 000.00

36 300.00

39 930.00

35 138.40

38 652.24

EGRESOS

200 000.00

Inversión

200 000.00

Liquidación de personal

10 418.63

Costo variable/u para producción

21 000.00

22 050.00

23 152.50

19 448.10

20 420.51

Costo administrativo para producción

26 250.00

27 562.50

28 940.63

24 310.13

25 525.63

Depreciación

40 000.00

40 000.00

40 000.00

40 000.00

40 000.00

41 300.00

22 925.00

13 837.63

12 378.05

13 240.03

-Impuestos

-16 520.00

-9 170.00

-5 535.05

-4 951.22

-5 296.01

+Depreciación

40 000.00

40 000.00

40 000.00

40 000.00

40 000.00

64 780.00

53 755.00

48 302.58

47 426.83

47 944.02

-200 000.00

Flujo de fondos antes de impuestos

FLUJO DE CAJA NETO

-200 000.00

VALOR ACTUAL NETO

1 769.60

El van del proyecto es: VAN

= − 200 000 +

( 64 780.00 ) 1

+

( 53 755.00 )

(1 + 0.10 ) (1 + 0.10 ) ( 47 944.02 ) + = 1 769.60 (1 + 0.10 )5

2

+

( 48 302.58 ) (1 + 0.10 )

3

+

( 47 426.83 ) (1 + 0.10 )4

En Excel el cálculo del van es: =C67+VNA(0.10,D67:H67) van

= 1 769.60

La tir del proyecto se calcula mediante el siguiente procedimiento. Primero, buscamos una tasa de descuento que produzca un van = 0. 200 000 =

( 64 780.00 ) 1

+

+

(1 + i ) ( 47 944.02 )

( 53 755.00 ) (1 + i )

2

+

( 48 302.58 ) (1 + i )

3

+

( 47 426.83 ) (1 + i )4

(1 + i )5

Para una i1 de 10% el van es: 1 769.60 Para una i2 de 11% el van es: -2 998.49 257

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión La tir por tanto debe estar entre 10 y 11%. Interpolando: TIR

TIR

= 0 . 10 +

= i1 +

VP ( i 2 − i1 ) VP + VN

1 760 . 60 ( 0 . 11 − 0 . 10 ) 1 760 . 60 + 2 998 . 49

=0 0 . 10371134

Es decir, la tir para este proyecto es de: 10.371134% Con la función para calcular la tir en Excel obtenemos: 10.366496% El proyecto de producir el nuevo Superhumectante genera un van positivo, lo que indica que debe realizarse. Por otro lado, el costo de capital del proyecto es de: 10.366496%. Este costo de capital o tasa de rendimiento del proyecto es superior a la tasa de interés de los fondos que se ofrecen en el mercado; otra razón más para invertir en el proyecto.

Problema resuelto 1. A un inversionista le han propuesto iniciar un restaurante. La inversión inicial es de $140 000.00. Una estimación de los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $24 500.00, $31 000.00, $40 000.00, $43 000.00 y $55 000.00. Los costos de operación anual del restaurante se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17, 000.00 y $20 000. También se cree que el restaurante podría traspasarse a los cinco años en $75 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 6%. ¿Debe realizar esta inversión? Solución Flujo de caja del proyecto Años 1

2

3

4

5

Ingresos

0

24 500.00

31 000.00

40 000.00

43 000.00

130 000.00

Ventas

24 500.00

31 000.00

40 000.00

43 000.00

55 000.00

11 000.00

12 500.00

15 000.00

17 000.00

20 000.00

11 000.00

12 500.00

15 000.00

17 000.00

20 000.00

13 500.00

18 500.00

25 000.00

26 000.00

110 000.00

Valor de salvamento

75 000.00

Egresos

140 000.00

Inversión inicial

140 000.00

Costos de operación FLUJO DE CAJA NETO

-140 000.00

van =

12 984.10

tir =

8%

Debe invertir, ya que tiene un van positivo y una tasa de rendimiento de 8% superior a la del mercado.

Problema resuelto 2. Una compañía desea comprar un robot industrial para su línea de producción. El robot cuesta $950 000.00. Se estima que su vida útil sea de seis años. Los tres primeros producirá 12 000 uni­ dades y los últimos tres 14 000. Se pacta un costo de mantenimiento fijo de $22 500.00. Los costos de operación anuales estimados son prácticamente los mismos durante la vida útil de la máquina y ascienden a $60 000.00. Los impuestos que causa esta empresa son de 35%. La depreciación es lineal y se considera que el robot tiene un valor de salvamento de $65 500.00. La gerencia de finanzas considera que el precio unitario de venta del producto en el mercado centroamericano sería de $27.50 por unidad. Por otro lado, la empresa tiene acceso a fondos de financiamiento de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?

258

Grupo Editorial Patria© Solución Flujo de caja del proyecto Años 0

1

2

3

4

5

6

Ingresos

330 000.00

330 000.00

330 000.00

385 000.00

385 000.00

450 500.00

Ventas ($)

330 000.00

330 000.00

330 000.00

385 000.00

385 000.00

385 000.00

Ventas (unidades)

12 000

12 000

12 000

14 000

14 000

14 000

Precio unitario

27.50

27.50

27.50

27.50

27.50

27.50

Valor de salvamento

65 500.00

Egresos

950 000.00

Inversión inicial

950 000.00

240 833.33

240 833.33

240 833.33

240 833.33

240 833.33

240 833.33

Costos de operación

60 000.00

60 000.00

60 000.00

60 000.00

60 000.00

60 000.00

Mantenimiento

22 500.00

22 500.00

22 500.00

22 500.00

22 500.00

22 500.00

Depreciación

158 333.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

Flujo de fondos antes de impuestos

-950 000.00

-Impuestos +Depreciación -950 000.00

FLUJO DE CAJA NETO van =

82 834.68

tir =

12.77%

89 166.67

89 166.67

89 166.67

144 166.67

144 166.67

209 666.67

-31 208.33

-31 208.33

-31 208.33

-50 458.33

-50 458.33

-73 383.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

158 333.33

216 291.67

216 291.67

216 291.67

252 041.67

252 041.67

294 616.67

Problema resuelto 3. Un microempresario desea comprar una tienda de barrio en Morelia, México. La tienda opera actualmente con ingresos anuales de $150 000.00. Los gastos de operación actuales son de $75  000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es de $555  950.00 y estima que puede traspasar nuevamente el negocio a los siete años en $250 000.00. En el mercado de capitales del estado los financiamientos se obtienen con tasas de interés de 12% anual. ¿Debe el microempresario invertir en la tienda? Solución Flujo de caja del proyecto Años INGRESOS

0

1

2

3

4

5

6

7

150 000

157 500

165 375

173 644

182 326

191 442

201 014

211 065

Valor de traspaso

250 000

EGRESOS

75 000

Inversión

555 950

FLUJO DE CAJA NETO

-480 950

van =

41 073.94

tir =

14%

78 750

82 688

86 822

91 163

95 721

100 507

105 533

78 750

82 688

86 822

91 163

95 721

100 507

355 533

259

UNIDAD

7

Análisis de proyectos de inversión

Problema resuelto 4. Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

Flujo de caja neto

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1 250 000

50 500

123 250

165 320

235 400

285 450

290 500

235 000

210 000

El financiamiento en el mercado es de 10%. ¿Debe realizarse la inversión? Solución

No. van = -257 462.3.  

tir

= 4.93%, menor a la que se obtiene en el mercado.

Problema resuelto 5. Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

Flujo de caja neto

0

1

2

3

4

5

6

-125 000.00

12 500.00

17 500.00

24 500.00

34 300.00

48 020.00

67 228.00

La tasa de financiamiento en el mercado es de 8%. ¿Debe realizarse la inversión? Solución

Sí. van = $21 284.57  

tir

= 12.14%, superior a la tasa de financiamiento del mercado.

Problema resuelto 6.  Una compañía analiza la inversión en una nueva línea de producción, cuyo costo asciende a $3 500 000.00. El costo de capital en el mercado es de 8%. Los flujos de efectivo para los próximos siete años son los siguientes (en miles de pesos): 500, 800, 500, 600, 920, 800 y 400. ¿Debe la compañía invertir? Solución

No. van = -$149 563.45  

260

tir

= 6.76%.

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 7. Una pequeña compañía en el sur de Estados Unidos puede adquirirse por 30 000 dólares estadounidenses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 6 000 dólares y los gastos anuales en 2 000. Se espera que se pueda revender en 15 000 dólares dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos es de 5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál la de rendimiento de esta inversión? Solución

van

= 1 496 dólares  

tir

= 6.20%

Problema resuelto 8. Si la compañía del problema anterior se adquiere con 15 000 dólares de inversión inicial y 15 000 dólares el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál la tasa de rendimiento de esta inversión? Solución

van

= 2 210.28 dólares  

tir

= 7.04%

Lea, estudie y analice el capítulo 12: “El proyecto de carreteras de cuota TRIBASA”, del libro: Finner­ ty D. John (1998), Financiamiento de Proyectos. Técnicas Modernas de Ingeniería Económica (pp. 236:255), Prentice Hall, México. En él se muestra de manera práctica todo el análisis de un proyecto de inversión en carreteras de cuota realizado por la empresa TRIBASA en México.

261

UNIDAD

7

Problemas para resolver

7.1 A un inversionista le han propuesto iniciar un negocio. La inversión inicial es de $180 000.00. Una estimación de los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $48  500.00, $60  000.00, $80  000.00, $86  000.00 y $110 000.00. Los costos de operación anual del proyecto se estiman en: $22 500.00, $25 000.00, $30 000.00, $34 000.00 y $40 000.00. Se estima también que el negocio podría traspasarse a los cinco años en $75 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 7.5%. ¿Debe realizar esta inversión?

$850  000.00. Se estima que su vida útil sea de seis años. Los tres primeros producirá 12  500 unidades y los últimos tres 15  000. Se pacta un costo de mantenimiento fijo de $24 500.00. Los costos de operación anuales estimados son prácticamente los mismos durante la vida útil de la línea y ascienden a $50 000.00. Los impuestos que causa esta empresa son de 35%. La depreciación es lineal y se considera que tiene un valor de salvamento de $75 500.00. La gerencia de finanzas considera que el precio unitario de venta del producto en el mercado sería de $25.00 por unidad. Por otro lado, la empresa tiene acceso a fondos de financiamiento de 10%. ¿Debe realizarse la inversión?

7.2  Una franquicia de helados requiere de una inversión inicial de $200 000.00. Los ingresos anuales ($) para los próximos cinco años son: $25  000.00, $35  000.00, $45  000.00, $85 000.00 y $95 000.00. Los costos de operación anual del proyecto se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17 000.00 y $20 000. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 5.0%. ¿Debe realizar esta inversión?

7.4  Un microempresario desea comprar una tienda. La tienda opera actualmente con ingresos anuales de $160 000.00. Los gastos de operación actuales son de $85  000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es de $650 000.00 y estima que puede traspasar el negocio a los siete años en $200 000.00. En el mercado de capitales los financiamientos se obtienen con tasas de interés de 9% anual. ¿Debe el microempresario invertir en la tienda?

7.3  Una compañía desea comprar una línea de producción automatizada para el producto principal. La línea cuesta

7.5  Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja para ocho años es: Flujo de caja neto

-650 000

50 500

123 250

125 320

135 400

185 450

190 500

195 000

200 000

El financiamiento en el mercado es de 7.5%. ¿Debe realizarse la inversión? 7.6  Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

Flujo de caja neto

0

1

2

3

4

5

6

-50 000.00

8 000.00

9 000.00

9 500.00

10 000.00

12 000.00

15 000.00

El financiamiento en el mercado es de 4.5%. ¿Debe realizarse la inversión? 7.7  Determine el van y la tir de una inversión cuyo flujo de caja es:

Flujo de caja neto

0

1

2

3

4

5

6

-75 300.00

15 400.00

15 000.00

13 250.00

11 750.00

10 420.00

10 000.00

El financiamiento en el mercado es de 8.5%. ¿Debe realizarse la inversión? 7.8  Una compañía analiza la inversión en una nueva planta cuyo costo asciende a $4 500 000.00. El costo de capital en el mercado es de 8%. Los flujos de efectivo para los próximos siete años son los siguientes (en miles de pesos): 600, 880, 890, 900, 990, 990 y 990. ¿Debe la compañía invertir? 7.9  Una compañía en el sur de Estados Unidos puede adquirirse por 300 000 dólares estadounidenses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 60  000 dólares y los gastos anuales en 20  000. Se espera que se pueda revender en 155 000 dólares dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos es de 4.0%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?

262

Problemas aplicados a la realidad

7.10  Una compañía inglesa vende una filial en México por 65  000 libras. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 30  000 libras y los gastos anuales en 4  000 libras. Se espera que se pueda revender en 20  000 libras dentro de seis años. La tasa de interés en los bancos es de 3.5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión? 7.11 Si la compañía del problema 7.10 se adquiere con 35 000 libras de inversión inicial y 30 000 libras de inversión el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál sería la tasa de rendimiento de esta inversión?

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria©

PROBLEMAS RETO 1

A un inversionista le han propuesto iniciar un negocio. La inversión inicial es de $155 500.00. Una estimación de los ingresos anuales ($) para los proximos seis años son: $24  550.00, $31 200.00, $40 100.00, $43 050.00, $55 000.00 y $52 325.00. Los costos de operación anual del negocio se estiman en: $11 000.00, $12 500.00, $15 000.00, $17 000.00 y $20 000.00 para los dos últimos años. Se estima también que este negocio podría traspasarse a los seis años en $85 000.00. El inversionista tiene acceso a fondos en el mercado a una tasa de 6%. ¿Debe realizar esta inversión?

2

Un microempresario desea comprar una línea de producción de fabricación de telas en Tlaxcala, México. El taller opera actualmente con ingresos anuales de $1 500 000.00. Los gastos de operación anuales son de $750 000.00. Los ingresos y gastos crecen con la inflación a 5% anual. La inversión inicial es de $5 559 500.00 y estima que puede traspasar nuevamente el taller a los siete años en $2 500 000.00. En el mercado de capitales del estado los financiamientos se obtienen con tasas de interés del 12% anual. ¿Debe el microempresario invertir en el taller?

3

Una pequeña compañía en la ciudad de Toronto, Canadá puede adquirirse por 35 000 dólares canadienses. Los ingresos anuales para los próximos seis años se estiman en 6 250 dólares y los gastos anuales en 2 300. Se espera que se pueda revender en 15 500 dólares canadienses dentro de seis años. La tasa promedio de interés en los bancos canadienses es de 5%. ¿Cuál es el valor actual y cuál es la tasa de rendimiento de esta inversión?

4

Si la compañía canadiense del problema anterior se adquiere con 15 000 dólares de inversión inicial y 20 000 dólares el primer año de operación. ¿Cuál es el valor actual y cuál sería la tasa de rendimiento de esta inversión?

263

UNIDAD

264

7

Análisis de proyectos de inversión

UNIDAD

8

Bonos y obligaciones OBJETIVOS Conocer los bonos y obligaciones como principales mecanismos de financiamiento para los grandes proyectos de inversión pública o privada. Entender y operar las matemáticas financieras básicas relativas a los bonos, como fuente de financiamiento de los grandes proyectos públicos. Entender y operar las matemáticas financieras básicas relativas a las obligaciones, como fuente de financiamiento de los grandes proyectos privados. Conocer y operar las operaciones básicas relativas a los bonos de descuento puro. Conocer y operar las operaciones básicas relativas a bonos con cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento.

¿QUÉ SABES?

¿Recuerdas qué significa el término proyecto de inversión? ¿Para qué se usan los bonos y las obligaciones? ¿Quiénes pueden financiar los proyectos de inversión? ¿Qué es una obligación? ¿Qué es un bono? ¿Qué diferencia existe entre una obligación nominativa y una al portador? ¿Qué es una obligación fiduciaria?

UNIDAD

8

Bonos y obligaciones ¿Qué es una obligación hipotecaria? ¿Qué es una obligación prendaria? Menciona dos elementos que constituyan el documento de un bono.

8.1 Introducción Los proyectos de inversión de gran tamaño (carreteras, hospitales, grandes edificios de oficinas, puertos, refinerías, plantas de generación eléctrica, sistemas de transporte colectivo, grandes fábricas para productos, etc.) requieren de gran cantidad de recursos económicos (dinero) para su realización. Y, a diferencia del análisis de inversiones revisada en el capítulo anterior, en donde el proyecto es realizado por un solo inversionista en la mayoría de los casos, en estos proyectos, un solo inversionista —ya sea el gobierno o un inversionista privado— no cuenta, en muchas ocasiones, con los recursos suficientes para realizar estas inversiones, lo que lo obliga a recurrir a diversas fuentes de financiamiento para llevarlas a cabo. Por otro lado, los riesgos son tan grandes en estos proyectos, que no es prudente que solo un inversionista principal arriesgue sus recursos económicos en ello.

Alerta Los bonos y obligaciones permiten distribuir los riesgos operativos y financieros entre los diversos inversionistas de un proyecto, sea este público o privado.

Alerta Las obligaciones son instrumentos financieros emitidos por una empresa privada. Los bonos, también son instrumentos financieros, pero son emitidos por una entidad gubernamental.

Alerta Los cupones son pagarés que están impresos en serie y unidos a la misma obligación o bono, indicándose en ellos la fecha de su vencimiento.

266

El financiamiento de proyectos permite distribuir los riesgos operativos y financieros entre las diversas partes interesadas, esto lo hace de una manera más flexible que el financiamiento basado en el crédito general de un solo patrocinador. (Finnerty, 1996:9) En este sentido, la principal fuente de financiamiento para este tipo de proyectos, empleada por los gobiernos, las grandes empresas o los grupos de inversionistas son los bonos y obligaciones. Estos instrumentos financieros, son obligaciones financieras (títulos de crédito o certificados de deuda) o promesas de pago a futuro de un préstamo que ha sido recibido por los inversionistas de estos proyectos. En estos documentos (bonos/obligaciones) se establece el monto a pagar, el plazo, la moneda y la sucesión de pagos (intereses) que amortizarán el préstamo recibido para la inversión. Es decir, un bono u obligación representa para el emisor la responsabilidad de pagar en el largo plazo el capital prestado, en una fecha específica y además pagar intereses periódicos durante la vida del instrumento hasta la fecha de su vencimiento. Cuando el instrumento financiero es emitido por una empresa privada se le llama obligación; mientras que al ser emitido por alguna entidad de gobierno recibe el nombre de bono. Sin embargo, esta clasificación, no es estricta. Por lo que en muchas ocasiones en el ámbito financiero generalmente se habla de obligaciones. Las obligaciones se clasifican en nominativas y al portador. Las primeras son aquellas en las que se especifica el nombre del propietario, mientras que las segundas no lo especifican; su propietario, es el inversionista que las adquiere. De acuerdo con el tipo de garantía que las respalda, las obligaciones se clasifican en: fiduciaria, hipotecaria y prendaria. La obligación fiduciaria es aquella que está constituida por un fideicomiso como garantía de pago. La obligación hipotecaria es aquella que está garantizada por la hipoteca de algún bien propiedad de la empresa emisora. Y la obligación prendaria es aquella que está garantizada por diversos bienes de la empresa emisora. Los bonos y las obligaciones vienen acompañados de cupones para el pago de los intereses a los inversionistas. Los cupones son pagarés que están impresos en serie y unidos a la misma obligación o bono, en ellos se indica la fecha de su vencimiento. Para cobrar el interés ganado en un determinado periodo, el inversionista debe desprender el cupón correspondiente y presentarlo al banco. Algunas obligaciones no pagan intereses periódicamente, carecen de cupones. En estos casos el interés generado se capitaliza y se paga al vencimiento de la obligación. También existen obligaciones que no pagan ningún interés, ya que se venden en una cantidad muy inferior a su valor nominal; es decir, se venden aplicando una tasa de descuento. Este tipo de obligaciones se llaman obligaciones o bonos de descuento puro o bonos u obligaciones cupón cero. Los bonos, como indicamos, son préstamos que solicita un gobierno a largo plazo. En el caso de México, este préstamo al gobierno federal es mayor a un año. Entre algunos de estos bonos están: bondes (bonos bancarios de desarrollo del gobierno federal), ajustabonos (bonos ajustables del gobierno federal), tesobonos (bonos de la tesorería de la federación, en dólares estadounidenses), Bonos Bancarios (emitidos por las instituciones bancarias autorizadas en México).

Grupo Editorial Patria© El documento que constituye un bono u obligación contiene los siguientes elementos. ■■

El nombre o razón social de la empresa emisora.

■■

El valor nominal o denominación. Que es el capital que recibe el emisor, salvo cuando el documento se coloca con descuento. Por lo general son valores múltiplos de $10.00 (100, 1 000, 10 000).

■■

La fecha de emisión. Aquella fecha en la que la empresa prestataria emite o coloca en el mercado de valores sus obligaciones o bonos.

■■

La fecha de redención o vencimiento. Aquella fecha en la que el organismo emisor se compromete a reintegrar a los inversionistas el capital prestado.

■■

La tasa de interés r. Es la tasa de interés que el emisor paga al inversionista en periodos regulares desde la emisión hasta la redención. Es una tasa de interés simple, ya que estos se liquidan totalmente al final de cada periodo. Se expresa generalmente con la letra r.

■■

Las fechas de pago de los cupones. Son las fechas establecidas para el pago de intereses en los cupones.

■■

El total de bonos emitidos.

■■

Nombre del propietario. Si el documento es nominativo.

■■

Cláusulas adicionales. Aquellas que permiten estipular determinadas condiciones para redimir anticipadamente el título.

En cada cupón, a su vez, se definen los siguientes elementos. ■■

La cantidad por la que es canjeable (los intereses) con letra y número.

■■

La fecha en la que es cobrable y la emisión del bono u obligación a la cual corresponde.

■■

El nombre de la empresa emisora.

■■

El número de bono u obligación correspondiente.

■■

El número de cupón (seriado).

En estos documentos es importante distinguir que hay dos tasas de interés. La tasa de interés simple r, que son los intereses periódicos que se le pagan al inversionista; y la tasa i, que corresponde al rendimiento o ganancia de capital que determina cuánto produce el propio bono u obligación por la inversión. Entre algunos bonos emitidos por el gobierno federal en México están: los bondes (bonos bancarios de desarrollo del gobierno federal), ajustabonos (bonos ajustables del gobierno federal), y los tesobonos (bonos de la tesorería de la federación, en dólares estadounidenses).

8.2  Bonos de descuento puro o bonos cupón cero Como ya indicamos, estos bonos u obligaciones prometen un solo pago de efectivo en una cierta fecha en el futuro, llamada fecha de vencimiento. Los bonos cupón cero son los elementos básicos para la valuación de aquellos proyectos que prometen una serie de flujos de efectivo conocidos. (Bodie y Merton, 2003:218) El pago prometido de efectivo de este tipo de bono se conoce como su valor nominal o valor a la par. El interés ganado por los inversionistas con estos bonos es la diferencia entre el precio pagado por el bono y el valor nominal recibido en su fecha de vencimiento. Por ejemplo, un bono cupón cero con valor nominal de $1 000 que vence dentro de un año y que tiene un precio de compra de $900, genera un interés de $100 por la diferencia entre el valor nominal y el precio de compra. Los bonos cupón cero son los elementos básicos para la valuación de aquellos proyectos que prometen una serie de flujos de efectivo conocidos. (Bodie y Merton, 2003:218) 267

UNIDAD

8

Bonos y obligaciones El rendimiento (tasa de interés) del bono del ejemplo, es la tasa de rendimiento anualizada para los inversionistas que lo compran y lo conservan hasta su vencimiento. En este caso el rendimiento de este bono se calcula con: Rendimiento bono cupón cero a un año =

Valor nominal − Precio de compra Precio de compra

(100)

Para el ejemplo: Rendimiento bono cupón cero a un año =

1 000 − 900 (100 ) = 11.11% 900

Sin embargo, si el bono tiene un vencimiento diferente a partir de un año, se deberá usar la fórmula del valor presente para encontrar su rendimiento anualizado. Supongamos un bono cupón cero (bono de descuento puro) a dos años con un valor nominal de $1 000 y un precio de compra de $905. El rendimiento de este bono (i ) se calculará de la siguiente manera. M = 1 000    C = 905   n = 2 Valor Presente: C = M(1 + i )-n (ecuación 3.4)

Despejando i, obtenemos:

M i =n − 1 (8.1) C



Sustituyendo los valores del problema obtenemos: i =

2

1 000 − 1 = 0.05117 es decir, 5.12% de rendimiento 905

8.3 Bonos con cupón, rendimiento actual y rendimiento al vencimiento Un bono que tiene cupones, que paga intereses periódicos, obliga al emisor a realizar el pago de intereses en los periodos indicados y su valor nominal a su vencimiento. La tasa de cupón del bono es la tasa de interés simple aplicada al valor nominal para calcular los pagos periódicos. Por ejemplo, un bono con valor nominal de $1 000 genera pagos anuales con una tasa de cupón de 10% iguales a $100 para cada año (I = valor nominal × tasa de cupón). Si su vencimiento es a los cinco años, en el quinto año debe pagarse el cupón correspondiente ($100) y el valor nominal del bono ($1 000). Los bonos con cupón obligan al emisor a realizar el pago de intereses en los periodos indicados y su valor nominal a su vencimiento. Como puede observarse, el pago de cupón se fija en el momento de emisión del bono y permanece constante hasta la fecha de vencimiento de este. La relación entre precios y rendimientos de bonos con cupón es más complicada que la de los bonos cupón cero.

❚❚ 8.3.1  Bonos a la par Son aquellos con cupón cuyo precio de mercado es igual a su valor nominal. Cuando el precio de mercado de un bono es igual a su valor nominal, su rendimiento es el mismo que la tasa de cupón. Por ejemplo, considere un bono con cupón cuyo valor nominal es $100 y su vencimiento dentro de un 268

Grupo Editorial Patria© año con una tasa de 10%. Este bono pagará a su tenedor $110 dentro de un año. Un pago de cupón de $10 y el valor nominal de $100. Es decir, si el precio actual de nuestro bono con cupón de 10% es de $100, su rendimiento será de 10%. Un bono a la par es aquel bono cuyo precio de mercado es igual a su valor nominal. El rendimiento actual (un año) se calcula con la siguiente relación:

Rendimiento bono a la par ( un año) =

Cupón Precio de mercado

(8.2)

Para el ejemplo: Rendimiento bono a la par ( un año) =

$10 = 0.10 o 10% $100

Por lo general, el precio de un bono con cupón y su valor nominal no son iguales. Esta situación ocurriría, por ejemplo, si el nivel de tasa de interés de la economía disminuyera drásticamente después de la emisión del bono. Cuando el vencimiento de un bono con cupón es mayor que un año, el cálculo de su rendimiento es más complejo, ya que tienen que involucrarse un cálculo de valor presente (capítulo 3) junto con un cálculo de anualidades (capítulo 5).

❚❚ 8.3.2  Bonos con prima Si un bono con cupón tiene un precio de compra en el mercado mayor que su valor nominal, su rendimiento al vencimiento es menor que su rendimiento actual, que a su vez es menor que la tasa de cupón. A este tipo de bonos u obligaciones se les llama bono con prima. Para un bono con prima se observa siempre que: Rendimiento al vencimiento < Rendimiento actual < Tasa cupón

Problema resuelto 1.  Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 100. Su valor nominal es de $1 000, con un cupón de 10% a dos años. ¿Cuál es su rendimiento? Solución

Su rendimiento actual es de: Rendimiento actual =

$100 = 9.09% $1100

Sin embargo, el bono es a dos años, por lo que el rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento (tir) que hace que el valor presente de la serie de pagos sea igual al precio de compra del bono. En la figura 8.1 se muestran las condiciones que presenta este bono.

$1 000 $100 1

$100 2 años

-$1 100 Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono i=? Figura 8.1

269

UNIDAD

8

Bonos y obligaciones

Precio de compra del bono =

n

cupón j

∑ (1 + i ) j

+

valor nominal del bono (1 + i )n

j =1

Para j = 1, 2, 3, … n periodos de tiempo Se busca la tasa de descuento i que cumple con: 1100 =

100 (1 + i )1

+

100 (1 + i )2

+

1000 (1 + i )2

i = 4.65%

En Excel el cálculo es:

años 0

1

2

del bono

-1 100

100

1 100

TIR =

4.65%

Flujo de fondos

La función en Excel es: =TIR(C4:E4) El rendimiento real de este bono es de 4.65% menor que el proporcionado por el cupón (10%), por lo que a estos bonos se les denomina bonos con prima.

❚❚ 8.3.3  Bonos de descuento Son aquellos bonos con cupón que tienen un precio menor a la compra que su valor nominal. En este tipo de bonos su rendimiento al vencimiento es mayor que su rendimiento actual, que a su vez es mayor que la tasa de cupón. Los bonos de descuento con cupón tienen un precio menor a la compra que su valor nominal. Para un bono de descuento se observa siempre lo siguiente. Rendimiento al vencimiento > Rendimiento actual > Tasa cupón

Problema resuelto 2.  Un inversionista desea adquirir en el mercado un bono con cupón en $965. El bono tiene un valor nominal de $1 000 y vence en dos años con una tasa de cupón de 4% anual. ¿Cuál será su rendimiento? Solución:

Su rendimiento actual es de: Rendimiento actual =

270

$40 = 4.15% $965

Grupo Editorial Patria© Sin embargo, el bono es a dos años, por lo que el rendimiento al vencimiento es la tasa de descuento (tir) que hace que el valor presente de la serie de pagos sea igual al precio de compra del bono. En la figura 8.2 se muestran las condiciones que presenta este bono.

$1 000 $40

$40

1

2 años

$965 Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono i=? Figura 8.2

Precio de compra del bono =

n

cupón j

∑ (1 + i ) j

+

valor nominal del bono (1 + i )n

1+ i

Para j = 1, 2, 3, ... n periodos de tiempo Se busca la tasa de descuento i que cumple con: 40



965 =



i = 5.91%

1

(1 + i )

+

40 (1 + i )

2

+

1000 (1 + i )2

En Excel el cálculo es: años 0

1

2

del bono

-965

40

1 040

TIR =

5.91%

Flujo de fondos

Si usamos las mismas celdas que las empleadas en el problema 8.1 obtenemos: =TIR(C4:E4) El rendimiento real de este bono es de 5.91% mayor que el proporcionado por el cupón (4%), por lo que a estos bonos se les denomina bonos de descuento.

Problema resuelto 3.  A qué precio debe comprar un inversionista un bono con cupón, que tiene un valor nominal de $1 000 y genera dividendos a 5% pagaderos semestralmente, redimible a la par en ocho años. La tasa de rendimiento deseada por este inversionista para realizar esta operación es de 6% anual.

271

UNIDAD

8

Bonos y obligaciones Solución:

La figura 8.3 muestra el flujo de fondos que generaría este bono.

$1 000 $25 $25

$25

$25

1 2 3 4 5 6 7 16 semestres Precio =?   i = 3% de compra Precio de compra del bono = VP de los cupones + VP del valor nominal del bono Figura 8.3 Si el cupón se considera como una anualidad (R), la relación de cálculo es: Precio de compra = ? R = (1 000 × 0.025) = $25/semestre, M = $1 000, i = (6%/2) = 3% semestral Con la ecuación (4.3) del valor actual de una anualidad del capítulo 4 y la ecuación (3.4) para el cálculo del valor presente del capítulo 3 obtenemos:  1 − (1 + i ) − n  −n Precio de compra = R   + M (1 + i )   i  1 − (1 + 0.03 ) −16  −16 Precio de compra = 25   + 1 000 (1 + 0.03 ) 0.03   Precio de compra = 314.03 + 623.17 = $937.20 En Excel, la función que debemos usar es: = VA (tasa, número de periodos, cupón (R), Valor nominal o de redención del bono) = VA (0.03, 16, 25, 1 000) Precio de compra = -937.19 El inversionista debe comprar el bono a $937.19 (tiene un descuento de $62.81). Dado que el precio de compra es menor que el valor nominal, se trata de un bono de descuento. También puede observarse que la tasa de rendimiento (6%) es mayor que la tasa cupón (5%).

Problema resuelto 4.  Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a tres años con un valor nominal de $1 100, se vende en el mercado en $910. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista? Solución:

M = 1 100    C = 910   n = 3 Con la ecuación (8.1) obtenemos: i =

272

3

1 100 − 1 = 0.065 es decir, el bono proporciona un rendimiento de 6.52%. 910

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 5.  Un bono cupón cero a un año tiene un valor nominal de $2 000. Se vende en $1 850. ¿Qué rendimiento proporciona? Solución:

Rendimiento bono cupón cero a un año =

Valor nominal − Precio de compra

Rendimiento bono cupón cero a un año =

Precio de compra

(100 )

2 000 − 1850 (100 ) = 8.11% 1850

Problema resuelto 6.  Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 500. Su valor nominal es de $1 300, con un cupón de 10% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento? Solución:

Problema resuelto 7.  En el mercado de valores se venden obligaciones con cupón en $950. Su valor nominal es de $820, con un cupón de 6% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento? Solución

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UNIDAD

8

Bonos y obligaciones

Problema resuelto 8.  Un inversionista desea adquirir en el mercado 1 000 bonos del tipo bono con cupón en $95. El bono tiene un valor nominal de $100 y vence en cuatro años con una tasa de cupón de 5% anual. ¿Cuál es el rendimiento esperado por el inversionista? Solución

Problema resuelto 9.  Una empresa agroindustrial ha emitido 10 000 obligaciones por un valor nominal de $1 000, cada uno con la finalidad de allegarse recursos para realizar una ampliación en una de las plantas que tiene en el sur de México. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a cinco años. ¿Cuál es el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal. Solución

Precio de compra de la obligación = $810.46 En Excel: =VA(0.10,5,50,1000,)

Problema resuelto 10.  El señor Rodríguez desea ganar 18.5% de interés capitalizable mensualmente en una inversión que le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar hoy por una obligación que tiene un valor nominal de $5 000, si paga una tasa cupón de 15% y su redención será a la par dentro de cinco años? Solución

Precio de compra de la obligación para el señor Rodríguez = $4 431.75 En Excel: =VA(0.015417,60,62.5,5000,)

274

Grupo Editorial Patria©

Problema resuelto 11.  Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno de Costa Rica en 500 000 colones ($1 000 pesos mexicanos) que paga intereses de 4% anual capitalizable semestralmente y redimible al 104 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 4.5% anual convertible semestralmente. Solución

Precio de compra de cada bono costarricense (en pesos mexicanos) = $985.72 En Excel: =VA(0.0225,20,20,1040,)

Problemas para resolver

UNIDAD

8

8.1  Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a cinco años con un valor nominal de $2 500, se vende en el mercado en $2 000. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

8.9 Un inversionista desea comprar en el mercado 1 000 obligaciones con cupón a un precio unitario de $250. Si su valor nominal es de $310, y tienen un cupón de 7% a cinco años. ¿Qué rendimiento proporcionan?

8.2  Un bono de descuento puro a 10 años con un valor nominal de $1  000, se vende en el mercado en $550. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

8.10  Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a siete años con un valor nominal de $200, se vende en el mercado en $155. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

8.3  Un bono cupón cero a un año, tiene un valor nominal de $3 000. Se vende en $2 850. ¿Qué rendimiento proporciona?

8.11  En la Bolsa Mexicana de Valores (bmv) se venden obligaciones con cupón en $350. Su valor nominal es de $300, con un cupón de 5% a cinco años. ¿Cuál será su rendimiento?

8.4  Un bono cupón cero a un año se vende en $1 550. Tiene un valor nominal de $2 100. ¿Qué rendimiento da este bono?

8.12  Una empresa de capital coreano ha emitido 100 000 obligaciones por un valor nominal de $500 cada una con la finalidad de allegarse recursos para construir un anexo en una de las plantas que tiene en el centro de México. Estas pagan un cupón de 4.5% y vencen a seis años. ¿Cuál será el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal. ¿Cuánto recibe la empresa para la inversión?

8.5  Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 000. Su valor nominal es de $1 250, con un cupón de 12% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento? 8.6  Un inversionista piensa comprar en el mercado 100 bonos de tipo bono con cupón en $150 cada uno. Su valor nominal es de $125, con un cupón de 10% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento? 8.7  Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 110. Su valor nominal es de $1 300, con un cupón de 8% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento? 8.8  En el mercado de valores se venden obligaciones con cupón en $550. Su valor nominal es de $610, con un cupón de 5.5% a siete años. ¿Cuál será su rendimiento? Problemas aplicados a la realidad

8.13  Un inversionista desea ganar 12% de interés capitalizable mensualmente en una inversión que le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar por una obligación que tiene un valor nominal de $1 000, si paga una tasa cupón de 10% y su redención será a la par dentro de cinco años? 8.14 Una empresa mexicana emite 10  000 obligaciones por un valor nominal de $250 cada uno con la finalidad de

Problemas para resolver con tecnología

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UNIDAD

8

Problemas para resolver

allegar­se recursos para operar. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a 10 años. ¿Cuál será el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal. ¿Cuánto recibe la empresa?

8.16  Un inversionista español desea ganar 12% de interés capitalizable semestralmente en una inversión que le han propuesto. ¿Cuánto deberá pagar hoy por una obligación en el mercado mexicano que tiene un valor nominal de $900, si paga una tasa cupón de 10% y su redención será a la par dentro de cinco años?

8.15 Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno de Inglaterra de £100 (2  000 pesos mexicanos) que paga intereses de 3% anual capitalizable semestralmente y redimible al 103 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 3.5% anual convertible semestralmente.

8.17  En el mercado de valores mexicano se emite un bono del gobierno francés de €100 (1 700 pesos mexicanos) que paga intereses de 2% anual capitalizable semestralmente y redimible al 103 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 3% anual convertible semestralmente.

PROBLEMAS RETO 1

Un bono cupón cero (bono de descuento puro) a tres años con un valor nominal de $1 500, se vende en el mercado en $1 210. ¿Qué rendimiento proporciona al inversionista?

2

Un inversionista desea comprar en el mercado un bono con cupón en $1 600. Su valor nominal es de $1 400, con un cupón de 10% a cuatro años. ¿Cuál es su rendimiento?

3

En el mercado de valores se están vendiendo obligaciones con cupón en $1 050. Su valor nominal es de $920, con un cupón de 6% a cinco años. ¿Cuál es su rendimiento?

4

Una empresa industrial ha emitido 20 000 obligaciones por un valor nominal de $1 100 cada una con la finalidad de allegarse recursos para realizar una ampliación en una de las plantas que tiene en el norte de México. Estas pagan un cupón de 5% y vencen a cinco años. ¿Cuál es el precio de compra de la obligación en la fecha de emisión si se descuentan con una tasa de interés de 10%? El pago de dividendos se efectúa al final de cada año y se calcula sobre el valor nominal.

5

Un corredor de bolsa debe encontrar el precio de compra de un bono emitido por el gobierno del Reino Unido en £50 (1 000 pesos mexicanos) que paga intereses de 5% anual capitalizable semestralmente y redimible al 105 en pesos mexicanos en 10 años. Los inversionistas desean comprar el bono para que rinda 5.5% anual convertible semestralmente.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ávalos S. Mauricio (2004), Matemáticas Financieras, CECSA-Universidad Anáhuac del Sur, México. Bodie Z. y Merton R.C. (2003), Finanzas, Pearson Prentice Hall, México. Daniel Ch. Yolanda (2008), Matemáticas Financieras. Para el crédito, el ahorro y la inversión, Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Xochimilco, México. Finnerty D. John (1998), Financiamiento de Proyectos. Técnicas Modernas de Ingeniería Económica, Prentice Hall, México. Rivera S. Jorge (2002), Matemáticas Financieras, Alfaomega-IPN, México. Vidaurri A. Héctor M. (1997), Matemáticas Financieras, ECAFSA, México. Villalobos J.L. (1997), Matemáticas Financieras, Grupo Editorial Iberoamérica, México. 276

Problemas aplicados a la realidad

Problemas para resolver con tecnología

Grupo Editorial Patria©

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UNIDAD

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Bonos y obligaciones

Grupo Editorial Patria©

APÉNDICE A ❚❚ DÍAS DEL AÑO REAL (365 DÍAS)

DÍAS DEL AÑO REAL (365 DÍAS) DÍA MES

ENE

FEB

MAR

ABR

MAY

JUN

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1

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60

91

121

152

2

2

33

61

92

122

3 4

3

34

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93

4

35

63

94

5

5

36

64

6

6

37

7

7

8

8

9

AGO

SEP

OCT

NOV

DIC

182

213

244

274

305

335

153

183

214

245

275

306

336

123

154

184

215

246

276

307

337

124

155

185

216

247

277

308

338

95

125

156

186

217

248

278

309

339

65

96

126

157

187

218

249

279

310

340

38

66

97

127

158

188

219

250

280

311

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39

67

98

128

159

189

220

251

281

312

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9

40

68

99

129

160

190

221

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313

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10

10

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130

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222

253

283

314

344

11

11

42

70

101

131

162

192

223

254

284

315

345

12

12

43

71

102

132

163

193

224

255

285

316

346

13

13

44

72

103

133

164

194

225

256

286

317

347

14

14

45

73

104

134

165

195

226

257

287

318

348

15

15

46

74

105

135

166

196

227

258

288

319

349

16

16

47

75

106

136

167

197

228

259

289

320

350

17

17

48

76

107

137

168

198

229

260

290

321

351

18

18

49

77

108

138

169

199

230

261

291

322

352

19

19

50

78

109

139

170

200

231

262

292

323

353

20

20

51

79

110

140

171

201

232

263

293

324

354

21

21

52

80

111

141

172

202

233

264

294

325

355

22

22

53

81

112

142

173

203

234

265

295

326

356

23

23

54

82

113

143

174

204

235

266

296

327

357

24

24

55

83

114

144

175

205

236

267

297

328

358

25

25

56

84

115

145

176

206

237

268

298

329

359

26

26

57

85

116

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177

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269

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330

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27

27

58

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208

239

270

300

331

361

28

28

59

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118

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179

209

240

271

301

332

362

29

29

88

119

149

180

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302

333

363

30

30

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273

303

334

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212

243

31

31

31

31

Total

31

90 28

31

151 30

31

30

JUL

304 30

31

365 30

31

279

UNIDAD

8

Apéndice B

APÉNDICE B

DÍAS DEL AÑO BISIESTO (366 DÍAS) DÍA

280

MES

ENE

FEB

MAR

ABR

1

1

32

61

92

122

MAY

153

JUN

183

JUL

214

AGO

245

SEP

275

OCT

306

NOV

336

DIC

2

2

33

62

93

123

154

184

215

246

276

307

337

3

3

34

63

94

124

155

185

216

247

277

308

338

4

4

35

64

95

125

156

186

217

248

278

309

339

5

5

36

65

96

126

157

187

218

249

279

310

340

6

6

37

66

97

127

158

188

219

250

280

311

341

7

7

38

67

98

128

159

189

220

251

281

312

342

8

8

39

68

99

129

160

190

221

252

282

313

343

9

9

40

69

100

130

161

191

222

253

283

314

344

10

10

41

70

101

131

162

192

223

254

284

315

345

11

11

42

71

102

132

163

193

224

255

285

316

346

12

12

43

72

103

133

164

194

225

256

286

317

347

13

13

44

73

104

134

165

195

226

257

287

318

348

14

14

45

74

105

135

166

196

227

258

288

319

349

15

15

46

75

106

136

167

197

228

259

289

320

350

16

16

47

76

107

137

168

198

229

260

290

321

351

17

17

48

77

108

138

169

199

230

261

291

322

352

18

18

49

78

109

139

170

200

231

262

292

323

353

19

19

50

79

110

140

171

201

232

263

293

324

354

20

20

51

80

111

141

172

202

233

264

294

325

355

21

21

52

81

112

142

173

203

234

265

295

326

356

22

22

53

82

113

143

174

204

235

266

296

327

357

23

23

54

83

114

144

175

205

236

267

297

328

358

24

24

55

84

115

145

176

206

237

268

298

329

359

25

25

56

85

116

146

177

207

238

269

299

330

360

26

26

57

86

117

147

178

208

239

270

300

331

361

27

27

58

87

118

148

179

209

240

271

301

332

362

28

28

59

88

119

149

180

210

241

272

302

333

363

29

29

60

89

120

150

181

211

242

273

303

334

364

30

30

90

121

151

182

212

243

274

304

335

365

31

31

91

213

244

Total

31

31

31

29

31

152 30

31

30

305 30

31

366 30

31

Grupo Editorial Patria©

APÉNDICE C

DÍAS DEL AÑO COMERCIAL (360 DÍAS) DÍA MES

ENE

FEB

MAR

ABR

1

1

31

61

91

121

MAY

151

JUN

181

JUL

211

AGO

241

SEP

271

OCT

301

NOV

331

DIC

2

2

32

62

92

122

152

182

212

242

272

302

332

3

3

33

63

93

123

153

183

213

243

273

303

333

4

4

34

64

94

124

154

184

214

244

274

304

334

5

5

35

65

95

125

155

185

215

245

275

305

335

6

6

36

66

96

126

156

186

216

246

276

306

336

7

7

37

67

97

127

157

187

217

247

277

307

337

8

8

38

68

98

128

158

188

218

248

278

308

338

9

9

39

69

99

129

159

189

219

249

279

309

339

10

10

40

70

100

130

160

190

220

250

280

310

340

11

11

41

71

101

131

161

191

221

251

281

311

341

12

12

42

72

102

132

162

192

222

252

282

312

342

13

13

43

73

103

133

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223

253

283

313

343

14

14

44

74

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224

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15

15

45

75

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225

255

285

315

345

16

16

46

76

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136

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196

226

256

286

316

346

17

17

47

77

107

137

167

197

227

257

287

317

347

18

18

48

78

108

138

168

198

228

258

288

318

348

19

19

49

79

109

139

169

199

229

259

289

319

349

20

20

50

80

110

140

170

200

230

260

290

320

350

21

21

51

81

111

141

171

201

231

261

291

321

351

22

22

52

82

112

142

172

202

232

262

292

322

352

23

23

53

83

113

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173

203

233

263

293

323

353

24

24

54

84

114

144

174

204

234

264

294

324

354

25

25

55

85

115

145

175

205

235

265

295

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26

26

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86

116

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176

206

236

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296

326

356

27

27

57

87

117

147

177

207

237

267

297

327

357

28

28

58

88

118

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178

208

238

268

298

328

358

29

29

59

89

119

149

179

209

239

269

299

329

359

30

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

Total

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

30

281

UNIDAD

II

1

Contenido

UNIDAD

II

1

Contenido

UNIDAD

282

8

Apéndice B