Matematicas Financieras - Jorge Rivera Salcedo

MATEMATICAS FI NANCI ERAS

DIRECTORIO JOSE ENRIQUE VILLA RIVERA Director General EFREN PARADA ARIAS Secretario General YOLOXOCHITL BUSTAMANTE DIEZ Secretaria Academica JOSE MADRID FLORES Secretario de Extension e Integracion Social LUIS HUMBERTO FABILA CASTILLO Secretario de investigacion y Posgrado HECTOR MARTINEZ CASTUERA Secretario de Servicios Educativos MARIO ALBERTO RODRIGUEZ CASAS Secretario de Administracion LUIS ANTONIO RIOS CARDENAS Secretario Tecnico LUIS EDUARDO ZEDILLO PONCE DE LEON Secretario Ejecutivo de la Comision de Operacion y Fomento de Actividades Academicas JES Ds ORTIZ GUTIERREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e Instalaciones JULIO DI-BELLA ROLDAN Director de XE-IPN TV Canal 11 LUIS ALBERTO CORTES ORTIZ Abogado General ARTURO SALCIDO BELTRAN Director de' Publicaciones

Jorge Rivera Salcedo

~

MATEMATICAS FIN AN C I ERA S

I NSTITUTO

POLlTECNlco NACIONAL MEXIco

Maternaticas financieras Primera edici6n: 1994 Cuarta reimpresi6n: 2007 D.R. © 1994 INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL Direcci6n de Pu blicaciones Tresguerras 27, 06040 Mexico, DF ISBN 968-29-7536-0 Impreso en Mexico/Printed in Mexico

PREFACIO El estudio de las matematicas financieras otorga al estudiante los conocimientos necesarios para que pueda plantear los modelos matematicos que Ie ayudaran a resolver los problemas que atanen a las finanzas. Y a raiz de la problematica que se ha venido planteando en torno ala aplicacion de las financieras dentro de las ciencias sociales, es que se presenta un estudio adecuado para los estudiantes de primer nivel de esta materia. Ademas, con el objeto de que los alumnos dispongan de esta herramienta tanto para cubrir el programa, como para que les pennita fijar toda su atencion al profesor sin preocuparse de escribir nota alguna, a excepcion~ claro esta, de las notas adicionales que el profesor juzgue conveniente. Con el propos ito de que este libro sea de utilidad en este tiempo yen el venidero, es que no se utiliza una unidad monetaria, dejando la libertad allector para que sea el quien se la asigne. El presente texto abarca desde las bases de los logaritmos hasta su aplicacion a los problemas de interes compuesto y las anualidades. En el primer capitulo se presenta la relacion que existe entre una ecuacion de la fonna exponencial con una ecuacion de la fonna logarftmica. Ademas, se demuestran las propiedades de los logaritmos y se describe la manera como se calculan~ se aborda la aplicacion de estos elementos para el despeje de incognitas de ecuaciones exponenciales. En el segundo capitulo se lleva a cabo el desarrollo de las progresiones, aritmetica y geometrica, pa"ra su posterior aplicacion a los problemas de depreciacion y anualidades. En el tercer capitulo se muestran los problemas de la depreciacion contable, tanto por el metodo lineal, como por el del porcentaje 4'jjo. En el cuarto capitulo se presenta, por un lado, un estudio sobre el interes simple, que abarca desde un interes real y comercial hasta una comparacion

del interes con el monto simple y, por el otro, un breve analisis sobre las ecuaciones de valor equivalente en el interes simple. En el capitulo cinco se desarrollan los problemas del interes compuesto, haciendo una comparacion grafica de este con el interes simple. En el sexto capitulo se definen los aspectos inherentes a las anualidades, haciendo uso de los logaritmos y de las tablas financieras que se refieren a ello. En el septimo capitulo se considera la amortizacion de una deuda mediante anualidades simples y generales, haciendo la construccion de la tabla de amortizacion. ' En el capitulo ocho se hace un breve estudio de los bonos, calculando el valor actual de los mismos comprados a 1a fecha de pago de cupon, premio y descuento, valor en libros y amortizacion de la prima. Ademas, el valor de los bonos comprad6s entre fecha de pago de cupon.

SIMBOLOGiA Sfmbolo

Significado

...

hnplica Por 10 tanto

E

1R

Pertenece Nillneros reales Aproximadamente igual a

>

<

R

Mayor que Menor que Valor presente de una anualidad de "R" pesos Monto Valor presente de un peso en "R" perlodos Valor de la anualidad 0 renta Valor presente de una serle de anualidades de un peso anual Monto de un solo periodo de la anualidad

Nota: La mayoria de las operaciones, estan efectuadas con 6 cifras despues delpunto.

iNnICE pAGINAS CAPiTULO I LOGARITMOS Defuricion ................................... '. . . . . . . . . . . . . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Decimales 0 comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AIltilogarit:rn.os ............................................ Cologariflnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones exponenciales ................................... Logarit:rn.o de un nUmero en diferentes bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

7 10 12 14 15 17 20

CAPiTULOll PROGRESIONES Ariflnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Geometrica ...............................................

25 29

CAPtruLOllI DEPRECIACION Metodo de promedios 0 metodo lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Metodo de porcentaje fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35

CAPiTULO IV INTERES SIMPLE Y DESCUENTO SIMPLE' Interes simple ............................................. Relacion entre el interes comercial y el interes real . . . . . . . . . . . . . . .. Monto de un capital a interes simple ........................... Descuento real 0 racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Descuento bancario 0 comercial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Representacion gnifica del interes y del monto simple ............. Ecuaciones de valor equivalentes en el interes simple. . . . . . . . . . . . . .

49 50 55 57 57 65 68

CAPiTULO V UNTERESCOMPUESTO Monto ....................................... -......... . .. Problemas de monte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas de capital 0 valor presente .......................... Problemas de tasa de interes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Problemas de tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tiempo en que se multi plica un capital a interes compuesto . . . . . . . . . Descuento a interes compuesto ............................... Crecimiento comparativo del monte a interes simple con el monte a interes compuesto ............................ . Capitalizacion de intereses en fracciones de atio 0 tiempo fraccionario Relacion entre tasa nominal y tasa efectiva 0 real. . . . . . . . . . . . . . . .. CAPiTULO VI ANUALIDADES Introduccion .............................................. Anualidades ordinarias (ciertas simples-vencidas) ................ Anualidades anticipadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Anualidades diferidas vencidas ............................... Anualidades diferidas anticipadas ............................. Anualidades generales ......................................

79 80 82 84 86 90 92 93 94 94

105 106 120 132 139 142

CAPITULO VII AMORTIZACION Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 Tablas de amortizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 151 CAPITULO VIII BONOS Generalidades .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Tasas de interes y valor actual de los bonos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Valor de los bonos comprados a la fecha de pago de cupon ......... . Compra de bonos con premio 0 descuento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. Valor en libros y amortizacion de la prima ...................... Valor de los bonos comprados entre fechas de pago de cupan . . . . . ..

157 158 159 165 168 169

TABLASFINANCIERAS ................................... 179 BIBLIOGRAFIA .......................................... 197 APENDICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 199

CAPITULO

LOGARITMOS Objetivo Sabemos que los logaritmos representan una herramienta muy importante en todas las areas de las matematicas, en particular en las matematicas aplicadas a las finanzas, ya que con ellos podemos despejar los exponentes, que en esta parte de las finanzas representan el tiempo en el monto a interes compuesto, y las anualidades.

Dejinici6n Si tenemos un nillnero C > 0, C:I: 1 Y un nillnero Y E ecuacion: Cy .... X

mentonces en la

A "Y" se Ie conoce como logaritmo en base "c'" de ..X .... Dicho de otra manera ··Y'" es el exponente de la base "C" para obtener "X". Lo anterior representa que C Y = X y la defInicion 10gcX = Y son equivalentes, es decir, son 10 mismo, solo que C Y = X esta escrita en forma exponencial y 10gcX - Y esta, segun la definicion, en forma logatftmica. Nota. Dado que C > 0 y Y E 7R, entonces C Y es siempre un numero positivo (por propiedad de los exponentes). Sea por ejemplo: 22

=

4

=> 22> 0

2° - 1 =>2° > 0 2- 2

-!

=> 2- 2 > 0 4 En conclusion, solamente existen 10garitmos de nUmeros positivos, ya que, al menos dentro de los nUmeros reales no hay logaritmos de nUmero negativos. 7

EJEMPLOS 1) La ecuaci6n exponencial dellado izquierdo, transfonnemosla a su forma logarftmica dellado derecho. y

Y == log eX

C == X 3

3 == 27

3 = log327

4

3 == 81 4 -log381 -1 1 1 4 =-1 = log o 4 5 = 1 0= 10gs1 -3 -2 1 3 1 9 =-2 = log9 27 27 2) La ecuaci6n logaritmica del lado izquierdo, transfonnemosla a su forma exponencial dellado derecho.

44

y

Y = logcX

C =X

logbb = 1

b =b

1

1

6

log6- =-2 36 logrt9 = 2

-2

1

=-

2 36 7 =49 o 10 == 1 -3 1 9 = 729

log 10 1 == 0 1 log9 729 = -3 3) Calcular la base "C" de loge51

=

5 3

pasandolo a su fonna exponencial tenemos:

s C3 = 51 por propiedad de los exponent.es, tenemos que el numerador "5" pasa como raiz quinta del 51, y el denominador "3~' pasa como potencia, esto es: C=s~

C == 10.581375 1 4) Calcular "Y" de Y == log6 36 pasando a su fonna exponencial tenemos: 6Y 8

=2... 36

Y 1 que se puede escrl°boIr como 6 = '2' 6 Y por propiedad de los exponentes se tiene: 6 Y == 6-2 Y para que 6 Y sea igual a 6- 2 se observa que Y = -2

SERIENool La ecuaci6n exponencial dellado izquierdo, transf6rmela a su forma logaritmica dellado derecho: 1) 5-4=~ 54 1 2) 16 = 16 3)

2 10 == 100

4)

3° = 1

5)

3 7 = 343

La ecuaci6n logaritmica del lado izquierdo, transf6rmela a su forma exponencial dellado derecho: 1)

log21 = 0

2)

log99 == 1

3)

log1515

4)

log31 ... 0

5)

log

=

1

1

18

5832 =-3

Calcular la base "C" 0 el exponente "yn de las siguientes ecuaciones: 1)

loge17 == 3

2)

loge

3)

1 8 = 4 Y = log3 3[9 4rn Y

9

4)

Y

=

log..L 49 343

II

5)

Ioge 315 =

3

Propiedades 1a. Propiedad. Ellogaritmo de un. cociente: Sea:

e

x

=

A

}

por definicio~

eZ=B

eX A eZ = B e X- z = A

I

logeB = Z

A log -=X-Z eB

por defInicion

B

log e A = X

A

log - ::: log A - log. B eB e e

2a. Propiediu1. Ellogaritmo de un producto: Sea:

e

X

-A

x

e

Z

} =B

eX+Z -

10

por definicion

AB

por definicion

=>

log c (AB)

=

I

loge A .... X lo&: B

=

Z

lo&:AB'" X+ Z

log c A + log c B

3a. Propiedad. Ellogai'itmo de una potencia: Sea: x ~ x=A n n [C] = A

I

lo&: A = X n

lo&: A = nX

4a. Propiedad. Ellogaritmo de una rafz (caso particular):

n.fA = A lIn .'.

log

queda:-

c

n.fA n.fA

log

log C

06

n.fA

c

!

=

n

C

o bien,

log A ltn aplicando la propiedad 3'.

=

log A C

log A =

C

n

EJEMPLOS

1) log (58) (31.5) 1031 32 =

=

log 58

+

log 31.5

2)

log

log 1031 -log 32

3)

log 184 = 4 log 18

4)

log ./90=

5)

15 2 (3.4) 2 _ 2 ! _ log 5(17) - log 15 (3.4)2 log 5(17)

'21 log 90 =

log 90 2

I

2

I

.. log 15 + log (3.4)2 - [log 5 + log 17] = 2 log 15 +

'21 log 3.4 -log 5 -log 17

11

SERIENo.2 Aplicar las propiedades de los logaritmos (si es posible) a las siguientes expresiones: 1) log (7.12) 4)

log

7)

log

3

16 {51) 36 8 3-197 4../87

2)

15 log 50(17)

1

4

3)

log (2) 13 {8) 116

6)

log 42 + logn

9)

log 3

3

5) 1 75 .[9 og 25/ 4(7) log 49 8) log 73

rn [log 28]

Para iniciar el calculo nwnerico de los logaritmos, recordemos primero que existen dos sistemas. El sistema decimal y el sistema de los logaritmos naturales. Los logaritmos decimales son aquellos cuya base es el nUmero lOy los escribiremos con la expresion 10glO A 0 simplemente log A (dando por entendido que si no se indica la base, esta se considera base 10). Los logaritmos naturales son aquellos cuya base es el numero !"e" (2.718281828) y los escribiremos con la expresion "LA". Logaritmos decimales: Los logaritmos decimales constan de dos partes, una entera que puede ser positiva, negativa 0 cero Hamada caracterlstica y otra parte decimal llamada mantisa. Si el nnmero al cual se Ie quiere calcular ellogaritmo tiene parte entera, entonces la caracterfstica es igual (en nnmero) al nUmero de cifras de la parte entera, menos una; por ejemplo, si queremos calcular ellogaritmo del nnmero 4.583, entonces la caracterfstica sera 0 (cero); si el nnmero es 45.83, la caracterfstica sera 1 (uno); si el numero es 458.3, la caracteristica sera 2 (dos). Para aqueHos nnmeros cuya parte entera es cero, la caracterfstica es negativa, tomando en cuenta el valor segUn el lugar que ocupa la primera cifra significativa, por ejemplo: Si queremos calcular el logaritmo del nUmero 0.513, entonces la caracteristica es (-1). Si el nnmero es 0.00513, la caracterfstica es (~3), etcetera. Ahora bien, 10 dicho en los dos parrafos anteriores 10 podemos justificar de la siguiente manera: Calculemos los logaritmos de las potencias de 10. Esto es: 12

Funci6n logar{tmica

Funci6n exponencial 0

10

o = loglO 1

1

=

1

1 - loglO 10

10 - 10 10

2 =0

100

2

3

=

loglO 100

10 = 1000

3 ... loglO 1000

• • • •

• • •

10-1

=

• 1 = 0.1 10

1 - log 10 0.1

10- =

1~0 = 0.01

2

10-3

_1_ 1000

3 - log 10 0.001

2

-4

10

=

=

1

0001 . 0000

= 10000 =.

1

=

loglO 0.01

4 - log10 0.0001

La otra parte de los logaritmos, que se llama mantisa, se obtiene de las tabIas de logaritmos 0 de la calculadora.

En resumen, si queremos calcular el logaritmo de los nillneros 3348 y 0.03348 tenemos: log 3348 = 3.524785

I

caracteristica

~ _____

mantisa

log 0.03348 - 2.524785 Nola: La caracteristica puede ser positiva 0 negativa, pero la mantisa siempre es positiva. Sin embargo, por conveniencia, ellogaritmo de un nUmero 10 podemos expresar como una cantidad total negativa. Por ejemplo:

log 0.0253

II:

2.403121 13

que se puede escribir como log 0.0253 = -2 + 0.403121

-2.000000

aSl:

+0.403121 -1.596879

:::::>

log 0.0253

=

-1.596879

Notese que en el numero 2.403121, el signo negativo 10 colocamos arriba de la caracterfstica, indicando as! que solo la caracterfstica es la negativa, ya que si 10 escri bimos como -2.403121, indicamos que todo el nilmero es negativo y es diferente de -1.596879.

A ntiloga ritm os

Si tenemos que

log A - Y

entonces

A = antilog Y

Esto significa que ellogaritmo de un nilmero y el antilogaritmo, son operaciones inversas, as! que: antilog

=>

log A A

=

=

antilog Y

antilog Y

Porejemplo, si Y = 3.401401, entonces: A

=

antilog 3.401401

Con el numero fraccionario 0.401401, se recurre a la calculadora 0 a la tabla y se obtiene el antilogaritmo 252000 y, con el nilmero entero se ubica el punto decimal de la siguiente manera: Si la caracterfstica es (3.) el resultado consta de 3+ 1 = 4 cifras enteras, as! que: A Si ahora A

14

=

=

2520.0

antilog 2.401401 entonces A = 252.0

si A - antilog 1.401401 entonces A

=

25.20

si A - antilog 0.401401 entonces A

=

2.520

si N

=

antilog 1.401401 entonces N

=

0.2520

si N -= antilog 2.401401 entonces N ... 0.02520 Observese que en las caracteristicas negativas, la primera cifra significativa del resultado ocupani ese lugar despues del punto; es decir, si la caracteristica es T la primera cifra ocupani el primer lugar despues del pun to, si la caracteristica es 11a primera cifra significativa ocupara el segundo lugar despues del punto, etcetera.

Co logaritm os El cologaritmo de un numero UN" es ellogaritmo del recfproco de dicho nlimero. EJEMPLOS Calcular por medio de logaritmos los resultados de las operaciones que se indican. 1)

a

=

283.4 asi: log a 0.085

=

log 283.4 - log 0.085

log 283.4

2.452400

log 0.085 = 2.929419 3.522981 .. log a ... 3.522981 }ptifog ~ a = antilog 3.522981

=> 2)

b

==

(68.7) (986) asf: log b

=

a=

3334.11

log 68.7 + log 986

log 68.7

=

log 986

= +

1.836957 2.993877 4.830834

.. b

=

=>

antilog 4.830834

b = 67738.25 15

3)

C

=

(1.10)4 aSl: log C = 4 log 1.10 log C = 4 (0.041393) = 0.165571 .'. C = antilog 0.165571 ~

C

=

1.464

4) d = (0.90)21 aSl: log d = 21 log 0.90 log d

21(1)-21

=

21 (1.954243)

-

21 (0.954243) - 20.039103

-

:. 21 + 20 - 1 aSl: log d

=

-

1.039103

d = antilog 1.039103 ~

d = 0.10942 -

5)

/0. 020 ,'. Iog g = log 0.020 g= 2

2.301030 2

log g - 2+0.3~1030 - T.150515 g - antilog T.150515

=>

g - 0,14142

6) h = 3 /0.020 :. log h _ log ~.020

=

2.30~030

2+1-1 + 0.301030 log h 3 log h ... -1.433677

=> 7)

h - 0.27144

Calcular el cologaritmo de 385: 1 Esto es: co log 385 - log 385

16

-3+1.301030 3

1 log 385

=

log 1 - log 385

1 log 385" 0 -(2.585461)

Puesto que -2.585461 es tOOo negativo, entonces utilizaremos el siguiente artificio para poner, al menos, positiva la mantisa, as!: -2 + 1 - 1 - 0.585461

=

-3 + 1 -0.585461

1.000000 0.585461 -

colog 385 = 3.414539

0.414539 8) colog 0.823875

=

1 log 0.823875 = - (-

=>

=

0 -log 0.823875

0.084139)

colog 0.823875 = 0.084139

Ecuaciones exponenciales Cuando en una ecuaci6n la variable que queremos despejar se encuentra como exponente, entonces utilizaremos las propiedades de los logaritmos para pOOerla despejar, y recibe el nombre de ecuaci6n exponencial. Esto es: Sea: AX ... B entonces X log A

=

log B

=>

X ... 10gB log A

EJEMPLOS 1) Cuanto vale "X" si 2x - 128 X

=

log 128 ... 2.107210 log 2 0.301030

=>

X-7

17

Notese que "X" se calculo exclusivamente con el cociente de dos logaritmos, motivo por el cual al "1" no se Ie calculo el antilogaritmo, puesto que dicho resultado es el valor de .oX" y no ellogaritmo de "X". 2)

Cuanto vale un" de la ecuacion (1.0 12rn -n log 1.012

=

0.675

log 0.675

=

-0.170696 - n = 0.005 181 .. -n

=> 3)

-32.9465

n

32.9465

=

Calcular "X" en la ecuacion 7 (4)X - 1 = 53 - 2X log 7 + (X - I) log 4 log 7

+

==

X log 4 - log 4

2X log 5 + X log 4

=

(3 - 2X) log 5 =

3 log 5 - 2x log 5

3 log 5 + log 4 - log 7

X(2 log 5 + log 4) = 3 log 5 + log 4 - log 7 :. X X

=

=

3 log5 + log4 - log7 2 logS + log4

2.096910 + 0.602060 - 0.845098 1.397940+0.602060

=> 4)

X

=

1.853872

=

2

0.926936

Resolver la ecuacion logs (2X + 1) + logs (3X-l)= 2 por propiedad,

log 5 [( 2X + 1) (3X - 1 ) ]

2

por definicion de logaritmo, tenemos: (2X+ I) (3X-I)

=

2

6X - 2X + 3X 6X X

18

2

+

X - 26

=

5

2 2

6X + X-I == 25

1 = ;25;

0

-1 ± J 1 - 4(6)(-26) =

12

=

-1± f625 -1±25 12 - -1-2-

.. Xl

26 12

= -

.

(no se torna por ser negatlvo)

Comprobacion: logs [2(2)+1] + logs [3(2)-1]

=

2

log5 5 + logs 5

=

2

=

2

~~

1 +

1

5) Determinar el valor de "X" de modo que:

"21 loge 81 - "21 10& I

10& (81)

-

2

9 + loge 7

1 2 9 +

-

-10&;

=

loge X

10& 7 = 10& X

10&; I8f - loge f9+loge 7 = lo&: X loge 9 - loge 3 + loge 7 por propiedad loge ~ + loge 7 loge 3 + loge 7 por propiedad loge 3(7)

=

=

=

loge X

loge X

loge X loge X

=

loge 21 = loge X

=:>

X

=

21

6) Hallar "X" si log 5 + log (2X-l) = log (X + 13) log 5 (2X-l)

=

log (X + 13)

log (lOX-5)·= log (X+13) Calculando antilogaritmos en ambos miembros queda: lOX - 5

=

X + 13

9X::: 18

=:>

X=2

19

SERlE No. 3 Obtener por medio de logaritmos los resultados de las operaciones que se indican.

3)

I3.4T I34T

5)

(0.82)

7)

7.324 46.51

8)

9)

colog 217

10) co]og 200

1)

16

2)

./3410

4)

(0.0251) 0.088 216 115.3 0.077

6)

11

Obtener el valor de "X" de las siguientes ecuaciones exponenciales. /'

1) 7 x - 343 4) 2 x _1 8 3 x 7) 10 - -1OO 10)

82X 2-3 _ 64x

5 X-2 _ 25 x

5)

3- 2X == 3- 2

6 2X _ (36)4 6) 16x -4 - 256

8)

2 X- 1

9)

2)

os

3)

4- x

11) 5 2X2 -3 __1_ 125

12)

l00x"" 3X 7x __ 1 49

Obtener el valor de "X" de las siguientes ecuaciones exponenciales. I)

4) 7)

x 5 - 9

2)

(0.180)X-l ... 2.93 7 x- 1 _ 6 x

5)

10) 7 x _ 3(17)2X-l

15 x +4 := (72)x-s 2(8)x = 13 x

8)

(0.5) x

11)

(43.8r

=

Y

0.7 -

0~0228

3) 6) 9)

12)

42X ... 6 2X 102X+3 == 5 15x = 2 x 2 - 13

Logaritmo de un mlmero en diferentes bases Si necesitamos cambiar la base de un logaritmo decimal a otra base, podemos hacer 10 siguiente: De 1a ecuaci6n exponencial C Y ... X obtengamos su logaritmo en otra base diferente de "10", digamos en base "a", esto es:

20

y

loga C

=

10ga X

asf: Yloga C = loga X loga X y ... - loga C

(1)

Si ahora Ie aplicamos la definicion de logaritmo a la expresion C Y tonces Y "" loge X. Sustituyendo este ultimo valor en (1) queda:

=

X, en-

10ga X loge X = - 1 C oga Dado que los logaritmos en base distinta de "10" no estan tabulados, hagamos la siguiente consideracion: "C" es la base a que queremos cambiar y "a t, es la base 10, de esta manera se tiene: _logX loge X - log C Considerando 10 anterior, podemos calcular el logaritmo natural de un numero, haciendo el siguiente cambio. loge X

10glO X =

I

ogIO e

que podemos escribir: logIO X LX--..;;..;;;.....loglO e

EJEMPLOS 1)

Hallar el valor de "X" si Le2X) + LeX-I) - 2 por propiedad por defInicion

L [2XeX-I)]

=

2

2X - 2X

=

2 e

2

2

2X - 2X -7.389046 = 0 2

X - X - 3.694523 - 0 X = 1± J 1 + 14.7780 = 1 ± J 15.7780 2 2

1 ± 3.97215 2 21

Xl = 2.48607 X 2 = -1.48607 (valor no pennitido) 2)

Hallar el valor ~'yn si L(4Y) + L(2Y - e 2 ) 2

L(4Y) (2Y - e ) - L(2)

=

=

L(2) + 4

4

2

L [4Y(2Y - e ) ] = 4 2 2

L [ 2Y(2Y - e ) ]= 4

por definicion de logaritmo 2Y(2Y - e 2

2

4Y - 2e Y - e

4 =

2

2

Y I

2e + e 8

) =

e

4

0

2e2 ± .; 4e4 + 16e4 Y=-----8 Y= 2e±e 8

2

2e±~ 8

f20

120

2

Y2 =

3)

2e-e8 120 (va 1or no penult! ' 'd0)

Obtener log5 2 log5 2

=>

=

log 102 log 5 10

log5 2

=

=

0.301010 0,698970

0.430677

SERlE No. 4 Calcular por medio de logaritmos los resultados de las operaciones que se indican. 1) Hallar "W" si L2W + L(W -1)

22

=

0

2) Hallar "X" si LX - L(l5-X)

=

1

3) Obtener logs 6 4) Obtener log7 2 5) Obtener L(l7.1) 6) Obtener IA 7) Hallar "W" si 2LW - L3

=

Le

8) Hallar "H" si LH + L(3H+2)

=

4

9) Obtener log2 7 10) Obtener loge 2.71828

23

CAPITULO II

PROGRESIONES Objetivo Que entiendas que es una progresion aritmetiea y que una progresion geometriea, y comprendas sus diferencias para as! aplicarlas en problemas de depreciacion y anualidades. Progresion aritmetica Es una sueesi6n de terminos que se obtienen del anterior, sumando a este una cantidad constante Hamada razon. Esto es: a, (a+r), (a+2r), (a+3r), ,." a + (n-l)r Ultimo tennino 0 termino enesimo:

I t.. - a

+ (n-l)r

I dande

I

a = primerternrrbno n = nillnero de terminos r

==

razon

Cilculo de la suma de los "n>9 terminos: Sn - a + (a+r) + (a+2r) + .......... + [a + (n-l)r 1 +

Sn - [a +'(n-l)r] + [a + (n-2)r] + [a + (n-3)r 1+ '" + (a+r) + a 2Sn - a + [ a+(n-l)r 1 + {(a+r) + [a+(n-2)r 1 } + {(a+2r) + [ a+(n-3)r] }+ '" ,'. 2Sn - a + [a+(n-l)r] + {a+ [a+(n-l)r] }+ { a+ [a+(n-l)r] }+ ...

25

Observese que los tenninos a + [a + Cn-l)r] aparecen "n" veces, por 10 tanto 2S n = n {a + [a + (n-l)r] }, pero [a + (n-l)r ] es igual al tennino enesirno, por 10 que: 2S

n

=

n (a + t ) n

n ( a+t )

=>

n

Sn

2

EJEMPLOS 1) Calcular el tennino nillnero 12 de la progresion 5,8,11, .... obtener su suma y fonnar la progresion. Datos

Fonnulas

a=5

~= a +

n = 12

Sn

Incognitas

(n-l)r

n ( a+~l)

2

=

Para detenninar la razon, es necesario aplicar la definicion, esto es; que hay que surnarle a 5 para obtener 8 y que hay que sumarle a 8 para obtener 11.

I

5+3 = 8 8+3 = 11 ••

aSl:

=>

=>

t12 =

5 + (12-1)3

t12 =

5 + 33

S12 =

S12 =

=>

12 (5+38) 2

que

t12 = =

r =3

38

6 (43)

258

La progresion es .5,8,11,14,17,20.,23,26,29,32,35,38 2) EI tennino nillnero 5 de una progresion aritrnetica es (-3), Y el tennino nillnero 8 es (-9), calcular el tennino oillnero 12. -,-,-,-,-3-,-,-9,-,-,-,-,

26

a- -3 n-4

suponiendo que la progresion es entre -3 y -9 .·.tt=a+(n-l)r

tt =-9

-9

=

-3 + 3r

3-9 = 3r

=>

-6 = 3r

r = -2

:. -,-,-,-,-3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17

tt2 = -17 n

=

12

-17=a+ll(-2) -17

=

a -22 .'. a

=

22 - 17

=>

a

=

5

asi: 5,3,1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, -15, -17 3) Calcular el nillnero de tenninos que hay que tomar en la progresion 1315, 1360, 1405, .. " para que su suma sea 20605. Calculemos la razon:

1405 1360

1360 1315

45

45

Sn = 20605 r- 45

a = 1315 .. tn

=

1315 + (n-l)45

tn = 1315+45n-45 tn

=

45n + 1270 --------------------------- (1)

Despejando "tn·' de Sn se tiene: 20605 = n(1315 + tn) 2

41210

-=

1315 + in

n

tn = 41210 - 1315 n

27

41210-1315n

.'. ~ =

n

--------------------------

(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) obtenemos: 45n

1270

+

=

41210-1315n n

45n

2

1270n = 41210 - 1315n

+ 2

45n + 2585n = 41210 2

:.45n

+

2585n - 41210 = 0

Resolviendo la ecuacion: -2585±J 6682225 + 7417800

90 -2585 ± 3755 1170 n= 90 =90

n

=

=> Prueba: t13 S

n

=

13

1315 + 12(45) - 1855 = 13(1315+1855) 13 2 ==

=>

S13 =

20605

4) Insertar 5 medias aritmeticas entre 2 y 21 Y formar la progresion. a=2 n- 5+2

(5 que vamos a insertar mas dos rerminos que tenemos, el2 yeI21).

:. n= 7 t,- 21

entonces: t, -= 2 + 6r 21 - 2 - 6r 6r = 19

28

r-

19 6

Calculo de la progresion: 1er. tennino

2 19 ... -31 6 6

2do. tennino

2+ -

3er. tennino

-+-=-

31 19 50 666

50 19 69 666

40. tennino

-+-=-

50. tennino

-+-=-

60. tennino

-+-=--

70. tennino

107 + 12 = 126 = 21 666

69 19 88 666 19 6

88 6

107 6

" 31 50 69 88 107 Por 10 tanto la progreslon es: 2, 6' 6' 6' 6' 6' 21

Progresi6n Geometrica

Es una sucesion de tenninos tales, que se obtienen del anterior multiplicando a este (el anterior) por una cantidad constante Hamada razon. Esto es a, ar, ar2,ar3 ,ar4 , .......... , arJl-I Ultimo tennino 0 tennino enesimo:

I .tn - ar"-I Calculo de la suma de los "n" tenninos: 2

3

4

n-I

Sn co a + ar + ar + ar + ar + .......... + ar Si multiplicamos por r" ambos miembros, queda: U

2

3

4

5

n

rS n .. ar + ar + ar + ar + ar + ........ ar

29

Si restamos estas dos expresiones queda: _ Sn - a

jt;l/ ;;/it>............. + it'

rsn~~~7l~ n

Sn - rS n = a - ar

n n

Sn(l-r) = a(l-r );

S

= n

a(l-r ) 1-r

Multiplicando por (-1) numerador y denominador queda: S

=

n

a«(1-1) r-1

EJEMPLOS

1) Calcular el termino No.8 de la progresion 5, 10, 20, .. fonnular la progresion y obtener su suma. Datos a=5

Formulas n-l ~ = ar

n=8

Sn =

Incognitas t8

a(rl1 -1) r-l

S8

Para determinar la razon, es necesario aplicar la definicion, esto es, por cminto hay que multiplicar a 5 para obtener 10, y por cminto hay que multiplicar a 10 para obtener 20. 5(2)

=

10(2)

10 =

:. t8 = 5(2 t8

30

=

r

20 8-1

7

)

=

5(2 )

5(128)

=

640

=

2

8

5(~_~1)

S8 ""

= 5(256 - 1) = 5(255)

=>

S8"" 1275

Progresion: 5, 10,20,40,80, 160,320,640 2) EI tennino No.4 de una progresion geometrica es 16 y el tennino No.7 es 128, calcular el tennino nllinero 10. --,--,--,16,--,--,128,--,--,-Supongase que la progresion es desde 16 hasta 128, por 10 tanto: a

=

128

16

I

n=4 t4 = 128

=

(4-1) 16r

3

r = 128/16 = 8 3

r= 18 ... r=2

asf: --,--,--,16,32,64,128,256,512,1024 Ahora bien, si n r

=

tlO

=

10

2 =

1024

tenemos: 1024 = a(2 9) 1024 = 512a a = 1024 512

=>

a =2

entonces la progresion es: 2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024 3) l,Cuantos tenninos hay que tomar en la progresion 2, 1, I,

2

63

que su suma sea 16 ?

..... para

Calculemos la razon: 1 2 1

1 2

1 2

1 2

-

}

=>

1 r= 2

31

" Sl tenemos que Sn Ahora blen,

==

63 16

1 r=2 a=2

63 Entonces', -16

63 16

63 16

2[(~)n_l] =

1

--1 2 2

[(~)n -1] -1 2

-4

[(~)n -1]

," nlog 0~5 -= log 1 - log 64

n-

0-1.806180 log 0,5

Calculando ellog 0.5 con la calculadora, se tiene -1.806180 n - -0.301010 32

=>

n'" 6

Por 10 tanto la progresion consta de 6 tenninos y queda: 1 1 1 1 2, 1, 2' 4' 8' 16 4) Insertar 4 medias geometricas entre 3 y 96 Y formar la progresion. a=3 n = 4 + 2 = 6 (4 que vamos a insertar y 2 que ya se tienen, el 3 y el 96) asi: t() = 96 .. 96 = 3r(6-1) 5

96 - 3r r

r

5 =

=

32 5132

=>

r

=

2

La progresion queda: 3,6, 12,24,48, 96

SERIENo.5 1) Calcular el termino No.8 de la progresion 2,5,8, ..... , obtener su swna y

formular la progresion. 2) Si a-II, r - -2 obtener la progresion aritmetica y la swna de elIas,

con n =- 10 3) Insertar 7 medias aritmeticas entre -9 y 9 . ,. 1 . 7 · 4) Insertar 8 medlas antmetlcas entre '2 y - 10 5) HaHar el tennino No.8 de la progresion y fonnar la progresion.

1 3' 1, 3, ...... , obtener su suma

6) EI termino No.3 de una progresion geometrica es (No.6 es (-

1~) Y el tennino

3~4)' calcular el termino No.9 33

7) (,Cmintos tenninos hay que tomar en la progresion 3,6,12, ... para que su suma sea 381? 8) Insertar 5 medias geometricas entre 3 y 2187. 9) El sexto termino de una progresion geometrica es lIar el primer termino.

l~ y la razon ~. Ha-

10) Hallar la razon entre 2 y 64 en 6 terminos de una progresion geometrica.

34

CAPITULOITI

DEPRECIACION

Es la perdida de valor de un activo fijo (edificios, maquinaria, equipo de oficina, equipo de transporte, etc.), como consecuencia del uso. Ahora bien, tomando en cuenta que ese activo hay que reemplazarlo al final de su vida litil, entonces, cada ano se traspasa parte de las utilidades a un fondo especiaillamado FONDO PARA LA DEPRECIACION. A esos depositos se les llama CARGOS POR DEPRECIACION. (CxD). En un momento determinado, si al costo original del activo Ie restamos el importe del fondo para la depreciacion obtendremos el llamado VALOR EN LIBROS. EI valor en libros de un activo al final de su vida liti! debe ser su valor de salvamento 0 valor de desecho. Este valor, al igual que la vida litil, es estimado, pues es imposible precisar cminto podran damos en el futuro por el activo que vend amos como desperdicio (como fierro, madera, etc.). Como resultado de los elementos estimados que representa la depreciacion, esta es una cifra tambien estimada. Analizaremos dos metod os para depreciar activos, uno conocido como METODO DE PROMEDIOS 0 METODO LiNEAL, Y otro como el METODO DE PORCENTAJE FIJO. En el metodo lineal, que es el metodo mas simple para depreciar acti vos, se efectlian depositos anuales iguales en el fondo para la depreciacion, durante toda la vida litil del activo. EJEMPLO: Se estima que una maquina de 4,000,000.00 tendra una vida litil de 6 anos y al final de dicho perfodo un valor de salvamento de 400,000.00 (a) Encontrar la depreciacion promedio anual, (b) Elaborar una tabla de depreciacion en donde se muestre el valor en libros cada ano.

35

SoIucion: a) Depreciacion total- Cos to -valor de salvamento Depreciacion total - 4,000,000 - 400,000 - 3,600,000.00 ... Depreciacion promedio anual -

36~OOO = 600,000.00

Ahora bien, hagamos el siguiente analisis; como la Depreciacion total - Costo - valor de salvamento (D - C - VS) podrfamos compararla con la ecuacion de la recta en su forma simplificada Y ,. mX + b. Esto es:

Y-mX+b VS - - Dn + C donde: Y - VS (El eje de las yes es el eje de los valores de salvamento 0 rescate)

X- n

(EI eje de las equis es el eje de los tiempos)

b- C

(La ordenada al origen es el costo original)

m - - D (La pendiente "m" es la depreciacion promedio anual o cargo por depreciacion) Que llevados a una grafica tendrfamos:

VS

Recta en donde se marca que el valor de salvamento, nunca puede ser cero

VS {

---+------4---------------------vida util 36

n

Observese que el valor de salvamento nunca puede valer cero, ya que la depreciacion a que nos referimos, es una depreciacion contable y el activo depreciado, tendni entonces, siempre un valor de rescate que depende de la vida uti! y la depreciacion promedio anual. b) La tabla se puede fonnular de la siguiente manera: VS .... -Dn+ C donde D - 600 000 ... 6( 10)5 n

=

VS o =

-

6(10)5(0) + 40(10)5

=

VS 1 =

-

6(10)\1) + 40(10)5

=

VA 2

= -

VS 3 =

-

tiempo en anos 105(40 - 0) = 4 000000 105(40 - 6) = 3 400000

6(10/(2) + 40(10)5 = 10\40 - 12) = 2 800 000 6(10)\3) + 40(10)5 = 10\40 - 18) = 2200 000

y asf sucesivamente hasta el sexto anD:

Por otra parte, puesto que el cargo por depreciacion anual es de 600 000, el fondo para la depreciacion se incrementa en esa cantidad cada ano, mientras que el valor en libros decrece anualmente en esa misma cantidad, esto es: 4 000 000 - 600 000 = 3 400 000 3 400 000 - 600000 = 2 800000 2 800 000 - 600 000 = 2 200 000 y asf sucesivamente hasta el sex to ano.

TABLA DE DEPRECIACION LINEAL Tie~po

n

anos 0 1

2 3 4 5 6

Cargopor Importe del fondo Valor en libros al DEPRECIACI6N Eara DEPRECIACI6N fmal del ano 000000.00 0000000.00 4000000.00 600 000.00 3400000.00 600000.00 1200000.00 2800000.00 600000.00 1800000.00 2200000.00 600000.00 1600000.00 600000.00 2400000.00 600000.00 3000000.00 1000000.00 3600000.00 400000.00 600000.00 37

En el metodo del porcentaje fijo, la depreciacion de un activo en su primer ano de uso es frecuentemente mayor que la del segundo, y la del segundo es mayor que la del tercero, y as! sucesivamente. EI cargo por depreciacion (C x D) que debe hacerse al final de cada ano, es un porcentaje fijo del valor contable al principio del ano. Sean:

C

el costo original del activo

VS

valor de salvamento

n

anos de vida util

p

porcentaje fijo anual

0

tasa de depreciacion

Ahora bien si C es el costo original de un activo Cp sera la depreciacion, por 10 tanto C - Cp es el valor contable. Esto es. Costo original .......................... C Cargo por depreciacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ Valor contable al final deller. ano ......... C - Cp factorizando: ........................... C - Cp

=

C (l - p)

Costo al principio del segundo ano ......... C (l - p) Cargo por deprec.iacion ................... C (l - p)p Valor contable al final del 20. ano .......... C(l- p) - C(1 - p)p factorizando: ........................... C(l - p) (1 - p)

=

C(l- p)2

Costo al principio del tercer ano . . . . . . . . . . . . CO _ p)2 Cargo por depreciacion .................. ~ C(1 - p)22 Valor contable al final del 3er. ano ......... C(I - p / -C( 1 _ P)2p factorizando: C(1 - p)2(1 - p) = C(1 - p)3 Y as! sucesivamente, los valores contables durante la vida util del activo, corresponden a los terminos de una progresi6n geometrica, esto es:

por 10 tanto, el valor contable al final de la vida uti! es C(l - p)n, que sera igual al valor de salvamento.

38

Que escribiremos como: VS

=

C(l- pt

EJEMPLOS

1) Se estiina que una caja registradora tiene un costo de 5,000,000.00, una vida util de 5 aiios y un valor de salvamento de 500,000.00 . Determinar el porcentaje fijo de depreciacion y construir la tabla de depreciacion. C

Solucion:

=

5 000000

VS

500000

n = 5 aiios VS

C (1- p)

n

500000 = 5000 000(1- p)

5

500000 5 5000000 = (1 - p)

5 50

-

=

:. (l-p)

(1 - p) 5 =

5

0.1

I_p=5/IT - logO. 1 - -1.00 - 02 1og (1 - P) 5 - 5 - - .

(1 - P )

=

antilog (-0.2)

1 - P = 0.630957

P = 1 - 0.630957

P = 0.369043 :::} p

=

36.90%

39

Para obtener los valores contables al [mal de cada ano se utiliza la siguiente progresion geometrica.

co - p) C(l- p)

C(I- p)

=

5 000 000 (0.630957)

=

5 000000 (0.630957)

1 990533

=

VC2

=

5 000 000 (0.630957) == 1 255 941

=

VC 3

=

5 000000 (0.630957)

2

3

C(l - p)

=

3 154 785

2 =

VC l

=

3

4

s

4 =

792 445 ;: VC 4

s

C(I - p) == 5 000 000 (0.630957) == 499998.65 == VCs

Nota.- EI valor contable resulta 499 998.65-500 000 del valor de salvamento, que es la diferencia debida al redondeo de cifras. Para obtener el cargo por depreciacion 0 depreciacion anual, se utiliza la siguiente fonnula:

I (C x D) = VCn - VC n+l

I

Es decir, el valor contable de un ano menos el valor contable del siguiente

ano.

Asf:

ano 1 C x D == 5 000 000 - 3 154 785 .. 1 845 215 ano 2 C x D = 3 154 785 - 1 990533

ano 3 C x D -

=

1 164 252

1990533 - 1 255941 == 734592

ano 4 C x D .. 1 255 941 - 792 445 ""' 463 496 ano 5 C x D

40

=

792 445 - 499 998.65



2500000 + 6796875

9296 875 = total de la deuda 4) A un motor con un costo de 150,000.00 se Ie ha estimado un valor de salvamento de 5,000.00 y una vida probable de 30 anos. Detenninar, a) la tasa de depreciacion anual, b) el valor en libros al final del 200. ano y c) el cargo por depreciacion del 250. ano. Solucion:

c

=

150000

VS = 5 000 n a)

=

30 anos

5000 = 150000 (l _ p)30 5 30 150= (1 - p)

1 - P = 30JO.033333 .'. p

=

1 - 0.892817

P = 0.107183

=>

p = 10.718%

b) 150000 (1 - 0.10718)20 = 150000 (0.10358) Valor en libros es 15,537.07 c) ex D = VC del ano anterior - VC de ese ano

.. ex D = 150000 (1 - 0.10718)24 - 150000 (1 -0.1071Sl5 43

CxD

=

=>

9872.454 - 8814.324 CxD

=

1058.13

5) Una maquina troqueladora cuyo costo fue de 1,850,000.00, se Ie supone un valor de salvamento de 35Q,000.00 y se cree capaz de producir 500,000 piezas. La produccion real en el primer ano fue de 45,000 unidades. Determinese la depreciacion del primer ano, corranse asientos y presentese el balance por la compra en efectivo y la depreciacion mencionada. Solucion:

c=

1 850000 VS = 350000 1500000 depreciacion por unidad

=

base a depreciar 1500000 15 5 0000 = == 3

5

°

(fa.c,tor de producclon)

por 10 tanto la depreciacion en el primer ano sera: 3(45000) = 135,000.00 Asientos de diario:

Debe

Maquinariay equipo

1,850,000.00

Haber

1,850,000.00

Bancos Costos indirectos de produccion 135,000.00

Depreciacion Depreciacion acumulada de equipo

135,000.00

Representacion del bal3nce: Activo fijo Maquinaria y equipo Depreciacion acumulada

44

1,850,000.00 135,000.00

1,715,000.00

6) Una maquina se compra en 100,000.00 Y se Ie calcula una producci6n de 400 000 unidades. Su producci6n real en el prinler ano es de 150 000 unidades, en el segundo ano es de 160 000 y, en el tercero de 120 000. Calcular la depreciaci6n de cada ano y c6rranse los asientos. Soluci6n: F d d .. 100000 0 25 actor e pro UCClon = 400000 = . Depreciaci6n:

primer ano 150000 (0.25) segundo ano 160 000 (0.25) tercer ano ............

37,500.00 =

40,000.00

=

22,500.00 100,000.00

Como las unidades producidas excedieron de las que se habian estimado, la depreciaci6n en el tercer ano no se calcula como las de los anos anteriores, puesto que el importe de la depreciaci6n acumulada no debe exceder del costo de la maquinaria. En consecuencia la depreciaci6n en el tercer ano sera la suma de las depreciaciones del primer ano y el segundo restados del costo inicial. Esto es: Unidades de producci6n calculadas 400 000 Unidades producidas

150000 +

160 000 120000 430000

Depreciaci6n en el tercer ano: 100 000 - (37 500 + 40 000) 100 000 - 77 500 Asientos de diario Maquinaria yequipo

=

22500 Debe

Haber

100 000

Bancos

100 000

Costos indirectos de producci6n Depreciacion en el primer ana

37500 45

Debe Depreciacion acumulada de equipo y maquinaria

Haber

37500 40 ()()()

Depreciacion en el 20. ano

40 ()()()

Depreciacion acumulada Depreciacion en el 3er. ano

22500

Depreciacion acumulada

22500

7) Un equipo electrico costa 50,000.00 y tiene una especificacion de 7 anos de vida util al final de los cuales no tiene ningun valor, por 10 cual se debeni reemplazar por otro de igual valor. Calcular el porcentaje de depreciacion. Solucion:

50 ()()() (l - p) 7

=

Se iguala a la unidad y no acero, ya que, para que la formula VS=C (l_p)fl sea iguaI acero, tendria que ser (l-p)=O y eso no es posible, puesto que (l-p) es la razon de una progresion geometrica y por definicion de progresion geometric a la razon no puede ser cero.

1

(1- p)

(1 - p)

1 50000

7

=--

7 =

1- P=

0.000020 7 ';~O-=-. OOOO-=---=--=-20-=1

1 - P = (0.000020)7 1 - P = 0.213166 P = 1 - 0.213166 p = 0.786834

46

=> p= 78.68%

8) Una maquina se compra en 18,000,000.00 y se Ie supone un valor de salvamento de 4,000,000.00, y se estima que podra funcionar 10 000 horas. El tiempo real trabajando fue el siguiente: primer ano 4 000 horas segundo ano 3 000 horas tercer ano 2500 horas cuatro ano 1 000 horas Calcular la depreciacion de 4 anos y suponer que el dfa 10. del 50. ano se vende esta maquina en 3,800,000.00. Corranse asientos. Solucion: C

==

18000000

VS

=

4000000 14000000

d ... h epreclaclOn por ora

=

14000000 10000

base a depreciar

=

1400

depreciacion primer ano 4000 (1 400)

=

5 600 000

segundo ano 3 000 (1 400)

c:

4 200 000

tercer ano 2 500 (1 400)

=

3 500 000

cuarto ano 1 000 (1 400) ... 1 400 000 14700000

Presentaci6n en el balance: Activofijo Maquinaria y equipo

18000000

Depreciacion acumulada

14700 000

Asientos de diario Bancos Depreciacion acumulada Maquinaria y equipo Otros productos

Debe

3300 000 Haber

3800000 14700000 18000000 500000 47

9) Un equipo industrial tiene un cos to de 400,000.00 y una vida util de 10 arios con un valor de salvamento del 20% del costo inicial. Calcular la depreciacion total y la depreciacion anual. Solucion: VS

=

400 000 (0.20)

VS

=

80000

Depreciacion total = 400 000 - 80 000

::::::>

Depreciacion total

=

320 000

'" I 320000 D epreclaclon anua = 10

::::::>

Depreciacion anual

)

48

=

32 000

CAPITULO IV

INTERES SIMPLE Y DESCUENTO SIMPLE

El interes se define como el rendimiento de un capital. Tambien se dice que interes 0 redito es la cantidad de dinero que se cobra 0 se paga por el alquiler 0 compra de un bien, 0 por un dinero tornado en prestamo.

Interis simple Se dice que el interes es simple, cuando los intereses que debe pagar el deudor por cada lapso de tiempo convenido, NO SE INCORPORAN AL CAPITAL, 0 porque el capital que produce interes es siempre el mismo. El interes simple y descuento simple generalmente solo se utilizan en plazos cortos (a menudo con una duracion no mayor a un ano). En realidad observamos en la practica, que el interes 0 redito cobrado 0 pagada a corto plazo depende del tipo de ano cursado, es decir; si utilizamos el llamado ano real manejaremos 365 dias 0 366 si es bisiesto (a cada 4 afios se Ie agrega un dia al 28 de febrero); y si utilizamos el ano comercial 10 consideraremos de 360 dfas. Es facil deducir que el interes

0 redito se obtiene de restarle a una cantidad acumulada Hamada MONTO otra cantidad inicial Hamada CAPITAL, 0 PRINCIPAL. Es decir:

I=M-C

Ahora bien, para conocer el interes es necesario establecer una proporcionalidad que se conoce con el nombre de tasa de interes (i), es decir, es una proporcionalidad que se relaciona con cada 100 unidades (%). 49

Dado que "in es una tasa de interes que depende del tiempo, y el tiempo convenido en un interes simple es de un ano, entonces:

I::z C n i . . pero 1 (tanto por clento) por ejenlplo:

12%

o sea que i % = i

=

=

i 100 (tanto por uno)

~o =

..

0.12 (decimal)

unidades por cada 100

De esta manera, se puede escribir para eI ailo comercial: I

Cni (decimal) 360

=

c

o bien:

I::: Cni(%) 100(360)

c

Para el ano real se tiene: Ir =

Cni(decimal) 365

(no tiene bisiesto)

I r.b-

Cni(decimal) 366

(bisiesto)

Relaci6n entre el interes comercial y el interes real Si hacemos ; calcularemos la relacion existente entre ambos intereses, esto r es .. Cni Ie

=

~

-Ie ~

50

100(360) Cni 100(365) 365Cni 360Cni

..

Ie

365 360

-=-

~

sacando 5a. en el numerador y en el denominador queda:

Ie Ir

Ie ~

73 72 73 ~ 72

=

72 73 Ie

=

EJEMPLOS

1) Calcular el interes simple que produce un capital de 50,000.00 en 3 alios, 6 meses, 15 dfas a120% anual. Solucion: I =?

C

=

50000

i

=

20%

n

=

3(360) = 1080

=

6(30)

0.20

=

180

15 = 15 1275 dfas

=

1275 360 alios

I .... 50000 (~~~) (0.20) o bien:

~ 1= 35416.66

1- 50000 (1275) 20 "" 3541666 100 (360) .

2) Calcular el interes real y el comercial de 2,500.00 prestados al 8 % durante 8 meses. 51

Soluci6n: C = 2 500

i = 8% = 0.08

n

=

8(30)

=

240 dias

Observaci6n: Es costumbre suponer para cuando se da "n" en meses que el mes es de 30 dias cada uno.

Interes real: I = 2500 (240) 8 = 131.50 r 100 (365) .

o bien:

Ir

2500 (~:~) 0.08

=

=

131.50

Interes comercial: I

=

c

2500 (240) 8 100 (360)

133.33

3) Calcular el interes real y comercial de 6,000,000.00 durante 63 dias al 9% anual.

Soluci6n: I = 6000000 (63) 0.09 = 94 500 c 360 72 Ir = 73 (94 500) ~ Ir = 93 205.48

4) Calcular el interes real y ordinario 0 comercial de 1 mi1l6n a una tasa de interes del 8 %, para cobrar del 9 de julio de 1991 al 10. de octubre del mismo ano, a) ambos en fonna exacta y b) en fonna aproximada. Soluci6n: Para calcular el tiempo exacto vease tabla (pag. 195). En dicha tabla se observa que del 9 de julio al 10. de octubre han transcurrido 84 dias, esto es: 274 - 190 = 84. 52

Para calcular el tiempo aproximado, salo al mes completo de agosto se Ie considera de 30 dias, al mes de julio no, ya que no se toma todo el mes, sino a partir del 9 (incluso), por 10 tanto el tiempo aproximado es de 83 dfas. a)

Ie

=

100000~6~4) 0.08

=

18666.66

72 Ir = 73 (18666.66) = 18410.95

b)

I

=

c

1000000 (83) 0.08 = 1844444 360 .

72 Ir = 73 (18 444.44) = 18 191. 7 8

5) Una persona paga 2,500.20 por un pagare de 2,400.00 firmado el10 de abril de 1993 con 4.5% de interes simple. loEn que fecha 10 paga? Solucian: M

=

2 500.20

e

=

2400.00

i

=

4.5%

eni I= 100 (360) I (36000) n=

pero

ei

1= M I

=

e

2 500.20 - 2 400

1=100.20

n=

100.20 (36000) 2400 (4.5)

10 paga en 11 meses ( 3:;

=

n

=

334 dfas

11.13),3 dias (0.13 x 30 = 3.90)

o sea el 14 de marzo de 1994 6) loA que tasa ha estado invertido un capital de 25,000,000.00 que durante 2 afios 6 meses y 15 dfas produjo 5,000,000.00 de interes? 53

Soluci6n: C

25 000000

=

1=5000000 n

720 dfas

=

180 dfas 15 dfas 915 dfas . _ I (36000) _ 5000000 (36000) nC - 915 (25000000)

=>

1-

i= 7.868%

a

7) Calcular el capital que impuesto a interes simple a la tasa del 5 % semestral, durante 6 afios y medio, produce un interes de 41,350.00 Soluci6n: I

=

41 350

n

=

6 afios 6 meses

i I CCZ ---:-

C

= =

ru

=

13 semestres

0.05 semestral 41350 13 x 0.05

=>

C

=

63,615.38

8) "Que capital impuesto durante 3 afios, 18 dfas a la tasa deI5.5% trimestral, produce un interes de 33,218.00? Soluci6n: I

=

33218

n .... 3 (360) + 18 = 1 098 dias

i

=

I

=

~~ donde 90 es el no. de dfas del trimestre

=

I (~O)

.. C

0.055 trimestral

ru

C 54

=

2989620 1098 (0.055)

=>

C

=

49,505.22

Monto de un capital a interes simple

Volviendo a nuestra formula I esto es:

=

M - C podemos obtener el monte simple,

si I = C n i yM=I+C

entonces

M

=

Cni + C

factorizando M = C [ 1 + ni ] Ahora bien, al capital "C" se Ie conoce como valor presente 0 actual de una deuda, ya que es aquel capital que con una tasa de interes determinada es anterior a su vencimiento. EI monte es el valor calculado a la tenninacion de la deuda, por 10 tanto el valor presente estani dado por:

c= -M1+ ni

EJEMPLOS

1) Calcular en forma aritmetica y utilizando la formula, el monte a interes simple para un capital de 10,000.00 a una tasa del 10% en 5 aftosa Solucion: Capital inicial primer perfodo .................... 10000 Interes al final del primer perfodo ................. 1 000 Capital inicial segundo perfodo .................. 10 000 Interes al final del segundo perfodo ................ 1 000 Capital inicial tercer periodo .................... 10 000 Interes al final del tercer periodo .................. 1 000

+

Capital inicial cuarto periodo .................... 10 000 Interes al final del cuarto periodo .................. 1 000 Capitalinicial quinto periodo .................... 10000 Interes al final del quinto periodo .................. 1 000 5000

55

:. Monto

10,000.00 + 5,000.00

=

=>

M

=

15,000.00

Utilizando la fonnula se tiene: M = 10000 [I + 5(0.1) ] = 10000(1.5)

=>

M = 15,000.00

2) Se quiere saber cuanto se invertici para obtener 100,000.00 dentro de 10 meses si se otorga un 9% a interes simple. Solucion:

. C

..

M

=

i

=

0.09

n

=

lQ = ~ de ano

100000

6

12

100000

=

5

1 +"6 (0.09)

100000 1.075

93 023.25

Implica que se deben invertir 93,023.25

3) Si se tiene un capital de 38,277.51 Y despues de 6 meses son 40,000.00 se quiere saber la tasa de interes simple otorgada. Solucion: M

C n

40000

=

= =

40000

38277.51

~= 12

38277.51 (1 + ni)

=

. 1 + 0.51

56

0.5 de ano

=

0.5i

=

i

=

40000 38277.51 1.045000 - 1 0.090

=>

i

=

9%

Descuento: Si el que solicita un prestamo finna un documento de descuento simple 0 bancario, el prestamista deducira el interes del valor nominal del documento al principio, y el que solicita el prestamo recibira el resto. Al final del perfodo de tiempo, aquel que solicito el prestamo pagara al prestamista el valor nominal (cantidad antes de hacerse deducible el interes). En realidad se tienen dos tipos de descuento; el descuento real el descuento bancario 0 comercial.

0

racional y

Descuento real 0 racional Es facil aceptar que si una cantidad a pagar a futuro Ie restamos su valor actual, obtenemos una cantidad Hamada descuento, esto es : D=M-C y dado que

M = C (l

entonces

Dr

=

+ ni)

C + eni - C

Como se puede observar, el descuento racional es igual al interes simple que ya habiamos calculado (I = Dr).

Descuento bancario 0 comerciai Consideremos una tasa de descuento "d~ en lugar de "i" y monto "M" en lugar de "c" , ya que, como dijimos antes, el descuento es la diferencia del monto y el valor presente de un pagare; por 10 tanto si reemplazamos en I = C n i estos valores queda:

57

CALCULO DEL VALOR PRESENTE DE UN DESCUENTO BANCARIO

Si entonces pero as!

Db = M - C C

=

M - Db

Db = Mnd C

M - Mn d

factorizando I c

=

M (1- nd) Inamado tambien valor IIquido

CALCULO DE LA RELACION QUE EXISTE ENTRE EL VALOR PRESENTE DE UN DESCUENTO RACIONAL CON UN DESCUENTO BANCARIO

C

ya que d

=

M 1 + ni M (l-ni)

r

i; entonces: M M (l+ni) (l-ni) Cr Cb

como (1 + ni) (1- ni)

entonces

58

=

= ----

(l+ni) (l-ni)

12 - (ni)2 (dif. de cuadrados) Cr Cb

= ---

.2

1 - (ru)

CALCULO DE LA T ASA DE INTERES SIMPLE "'i~ CONOCIDA LA TASA DE DESCUENTO BANCARIO El valor presente del descuento bancario, esta dado por: C M

ycomo

M(l- nd) =

C(l + ni)

C = C(l + ni) (l - nd)

entonces ..

. C I + ru = C (l-nd) ni=_I_-1 1- nd

ni

=

1 - (l - nd) = 1 - 1 + nd _ _n_d_ 1 - nd 1 - nd 1 - nd

. 1=

nd n(l-nd)

~~ ~

CALCULO DE LA TASA DEL DESCUENTO BANCARIO "d" CONOCIDA LA TASA DE INTERES SIMPLE Despejando "d" de la f6nnula anterior, tenemos: d

=

i(l- nd)

d = i - nid d + nid = i d(1 + ni)

=

i 59

~ I d~ \:ru

I

EJEMPLOS 1) Una persona finna un pagare por 20,000.00 el 15 de mayo con vencimien to al 13 de agosto del mismo ano y recibe solo 19,559.90. Calcular las tasas de descuento racional y bancario, a las que fue descontado el pagare. Solucion: Descuento racional: M = 20000

C = 19559.90 n = 3 meses = .! de ano 4

Dr = 20000 - 19559.90 Dr = 440.1 1 .

:. 440.1 = 19 559.90 (4) 1.

4

1

=

440.1 19559.90; ;

1

i

4 (440.1) 19559.90

=

i = 0.09

=>

i=9%

Descuento bancario: Db = 20000 - 19559.90 Db = 440.1 440.1 = 20000

.! 4

d

=

(i)

d d=4(440.1) 20000

440.1 20000

d

=> 60

=

0.08802

d = 8.802%

2) Detenninar el valor presente de una serie de bonos cuyo monto alcanza 5,800.00 y que vencen en dos meses, ~cmil es el descuento racional si se supuso una tasa de interes del 5 %? Solucion: M

5 800

==

i "" 0.05 n

2 meses = 2

12 6"1 de ano

==

=

5800 1.00833

5800

C= - - - I

1+ 6" (0.05)

=>

C

5752.07

EI descuento racional sera: Dr = 5 800 - 5 752.07 Dr = 47.93

=> Dr - 48

3) El senor gamma se compromete a pagar una cantidad de 1,000,000.00 a

una institucion bancaria que de antemano Ie descuenta el 6 % de interes simple. ~Cual es la cantidad real que recibira en prestamo si el compromiso es a 7 meses? Solucion:

El descuento es bancario, por 10 tanto: C

=

M (1- nd)

M= 1000000 d

=

n

0.06 ==

7 meses

=

2.. de ano 12

7 -12 (0.06)]

Cb

=

1 000 000 [l

Cb

=

1 000 000 (0.96500)

=>

C == 965,000.00 61

4) Una persona finna un pagare de 50,000.00 que se Ie deseuenta 120 dias antes de veneer y se Ie apliea una tasa de 24% anual. Calcular el vaJor presente para un deseuento racional y el valor presente para un deseuento baneario, este ultimo, a) por medio de la fonnula direeta y b) haciendo uso de la fonnula de la relacion. Solucion: M = 50000 =

n

Cr

0.24 =

' 120 dlas

50000 --1--1 +"3 (0.24)

=

120 360

= -

1 de ano 3

= -

50000 1.0800

Cr

=

46,296.30

Para ealcular el valor presente con un deseuento baneario tenemos: a)

Cb

=

M (1 - ni)

Cb = 50 000 [I

-i

(0.24) ]

:::::>

Cb = 50000 (0.92)

b) Cb

=

46296.3 [1-

[i

Cb = 46,000.00

(0.24)] 2]

Cb "" 46296.3 (l - 0.0064) Cb - 46 296.3 (0.9936)

Cb

=

46,000.00

5) Se desea saber en que feeha se hizo el deseuento a un doeumento de 10,000.00 que vencio el 17 de noviembre, del eual se recibio Ifquido una eantidad de 9,000.00 y al que se Ie aplieo una tasa de deseuento baneario de 8 %. Solucion: C

=

9 000

M ='10 000 d

62

=

0.08

9000 .... 10000 [ 1 - n(0.08) ] 1 - 0.08n

=

9000 10000

0.9

=

0.08n

n

=

0.1 0.08

n

=

1.25 de ano

n

=

1.25(360)

=

450 dias

EI pagare fue descontado el dia 17 de agosto del ano anterior. 6) Calcular la tasa de interes simple Hi", si el descuento bancario para una transaccion fue de 5 % a 123 dias. Solucion: d = 0.05 n

i=

=

~~~ =

0.341667 de ano

0.05 1 - (0.341667) (0.05) i

==

=

0.05 0.982917

=

0.050869

5.0869%

7) Calcular la tasade descuento bancario "d" si la tasa de interes simple fue de 10.34%, en 120 dias. Solucion: formula i d= l+ni d

0.1034

=

1+

±(0.1034)

::::::>

0.1034 1.034467

=

0.0999

d-IO% 63

8) Un cliente se presenta en una empresa y flrma un pagare por la compra de una mercancia, dicha empresa desconto el valor del docwnento en el banco a un 40% y recibio 500,000.00. l.Cmil es el valor nominal del pagate en la fecha de su vencimiento, si esta era 6 meses despues del descuento? Solucion: C = M(1- nd)

M=~ 1- nd

M = 500000 1

625 000.00

1 - 2 (0.4) 9) Una empresa recibe un pagare finnado y 10 descuenta en el banco a un 45 % y recibe 450,000.00, Se quiere saber cminto tiempo faltaba para que venciera el pagare, si el valor nominal de este era de 790,000.00. Solucion: Formulas

Datos: M

=

790000

D=M-C

C

=

450000

Db=Mnd

d = 0.45 Db = 790 000 - 450 000 = 340 000

Db n=Md

:. 340 000 = 790 000 (n) (0.45) 340000 n - 355500

=>

a::

_ ' 0.956399 anos

n - 11 meses 14 dfas

10) Una persona recibe un cheque de 500,000.00 que vence en 60 dfas y 10 desea negociat con otta persona a14% mensual a fin de recuperar el dinero de inmediato. l.Cminto Ie entregaran?

64

Solucion: M

=

500000

d

=

0.04

n

=

60 dfas

Para hacer la tasa mensual haremos 10 siguiente: 60 n = - = 2meses 30 asf:

D = 500 000(2)(0.04) = 40000

C == valor presente del documento

=>

C

=

=

500 000 - 40 000

460,000.00

Representaci6n grtifica del interes y del monto simple Representemos primero graficamente Y = mx y Y = mx + b Y

__~_____________ X

o

x

Y-mx

Y-mx+b

Ecuacion de la recta en su fonna simplificada y que pasa por el origen del plano (x,y).

Ecuacion de la recta en su fonna simplificada y que tiene una ordenada al origen (b), en el plano (x,y). 65

Ahora bien, si llevamos estas ecuaciones al plano de coordenadas (n,l) para Y - mx, y (n,M) para Y - mx + b, tendremos: Para Y

=

mx: x=n

SI

y

Y

C = 1queda:

si hacemos

I =

I

1= C n i

entonces

Para Y

=

donde i

in

==

=

m (pendiente de la recta)

mx + b:

M "" C(l + ni) si hacemos C =- I queda:

M - 1 + ni donde

M=Y n-x i = m (pendiente de la recta)

I

=

b

M

=

in + 1

Grafiquemos estas rectas para "n" afios y distintos porcentajes de interes. Sea 1 - in, y dado que esta recta pasa por el origen y es funci6n del tiempo, basta con dar valores a "i", esto es: para

i-lO%

para

i - 30%

I ... O.ln

1

0.1

1

0.3

2

0.2

2

0.6

i - 50% 1== 0.5n

1 -= 0.3n

* *

66

para

1

0.5

2

1.0

*

I

1.0

50%

0.9 0.8 0.7 0.6 30% 0.5 0.4 0.3 0.2 10%

0.1 0

1

2

n

( aiios)

Sea M = in + I, y dado que esta ecuacion y la anterior tienen la misma pendiente "i"; entonces son paralelas las rectas de la ecuacion I a las rectas de la ecuacion M, solo que las de M cortan al eje M en uno, esto es:

67

M 1.0

50% 30%

0.5

0.3

10%

b= I 0_._1__~~________________________________ n (anos)

o Ecuaciones de valor equivalenles en el in teres simple

En la practica se presentan frecuentemente casos como el siguiente: Un deudor que se ha comprometido a pagar varios prestamos adquiridos bajo documentos finnados con diferentes cantidades, tiempos y tasas de interes simple, se ve en la posibilidad de hacer un solo pago para cubrir sus deudas, ya sea anticipando 0 difiriendo el pago, para ello se requiere establecer una equivalencia entre los pagos a que se comprometi6 y el pago unico que se pretende; es decir, (,que valor se requiere como pago unico para que en valor y tiempo se produzca el mismo resultado economico? Obviamente el deudor y el acreedor se pondran de acuerdo en la fecha de equivalencia y en la tasa de interes utilizada. Es muy comun Hamar a esta fecha de equivalencia, FECHA FOCAL.

EJEMPLOS 1) Detenrunar el valor requerido 0 pago uruco con fecha focal a) al dia de hoy, b) un ano despues. Con interes simple del 6%; de una persona que finna un pagare de 10,000.00 que vence el dia de hoy, 6 meses despues 68

se venda otro de 20,000.00 con interes del 7%, y un ano despues se venda otro pagare de 38,000.00 con un interes de 9%. Soluci6n: Hagamos una figura donde se muestre el valor requerido 0 el pago linieo y el tiempo, Hamada ORAFICA DE V ALOR-TIEMPO. En dicha grafica anotaremos el valor de los montos con el in teres simple aceptado en cada periodo. Esto es: 1 ano 9%

t

Hoy

ano 7%

~----------------------~------------------~

o

12 meses

6meses

t

,- 38000 [1 + 1(0.09) ]

10000

20000 [1 +

10000

M = 20000(1.035)

M

=

38 OOO( 1.09)

M

M

=

41,420.00

=

(0.07) ]

20,700.00

a) Obviamente el pago \:mico al dia de hoy, quedara formado por la suma de los valores presentes C

=

1M. a16% de los 3 pagares u obligaciones, +nt

como se puede observar en la siguiente figura: 20700

10000

41420

x 1 ano 6%

al dia de hoy

Establezcamos la eeuaci6n de valor:

X= 10000+

20700 I

1 + 2" (0.06)

x=

41420 + ---1 + 1 (0.06)

10000+ 20700 + 41420 1.03 1.06 69

x=

10000 + 20097.087 + 39075.47

=>

X

69,172.55

=

b) Para resolverlo can fecha focal a un ano despues haremos 10 siguiente: Observese en la grafica anterior, que el monto can fecha focal al dia de hoy es un capital "X n , por 10 que de la f6nnula C

1 M. se deduce +ru que "xn a un ano sera X [I + ni ], es decir, X [l + 1(0.06) ] = X(1.06). =

Asi que en este caso, denominaremos con X(1.06) al valor unico dentro de un ano. De 1a misma manera calcu1aremos los montos producidos por los 10,000; 20,700 Y 41,420 Y hagamos su grafica de valor-tiempo.

1 ano 6%

1 ana 6% 2 41420

20700

10000

1 ana 6%

Para C

=

10000;

=> Para C

=

20 700;

n

=

1

i

=

0.06

M

=

M

10000 [I + 1(0.06)]

=

10,600.00

n

=

-

i

=

0.06

1 _ ano 2

M = 20 700 [1 +

=> 70

M

=

21,321.00

!

(0.06) ]

Para C = 41 420;

n = 0 anos

i

=

0.06

M = 41 420 [1 + 0(0.06)]

=>

M = 41,420.00

Por 10 tanto, el pago linico con fecha focal para dentro de un ano sera: X(1.06) = 10600

+

21 321

+

41 420

X = 73341 1.06

=>

X

=

69,189.62

Observese que hay una pequena diferencia entre los valores requeridos de las dos fechas, 10 que significa que el valor limco varia dependiendo de la fecha focal, si esta no es cuidadosamente analizada. 2) Una persona adquiere un prestamo de 9,500.00 que vence dentro de 1.5 aiios; pero requiere de pagarlos a los 2 aiios 1 mes y la tasa de interes simple fue del 2 % mensual, determinar el valor del nuevo prestamo. Soluci6n: Este problema se puede resolver por medio de dos procedimientos; uno llama do de valor actual, y otro Hamado directo. Procedimiento de valor actual:

~8meses2%1~

~----------------~'--------------------------~------~1~~12 anos

Olano

c

=

9500 9500 1 + 18 (0.02) "" 1.36

1.5 anos 9500

2

1 mes

C == 6,985.2941

71

25 meses 2%

o

1

2

1.5

2 afios 1 mes

6985.2941 M = 6985.2941 [ 1 + 25 (0.02)] M

=

M

6 985.2941(1.50)

=

10,477.941

Procedimiento directo: 7meses2%

~

I

0

1

1.5

I

2

~ 2 afios 1 mes

9500

M = 9 500 [1 + 7 (0.02) ]

=>

M

=

9500 (1.14)

10,830.00

Como puede observarse, en el interes simple no hay correspondencia de resultados, esto es: Procedimiento directo

10830.00

Procedimiento de valor actual

10477.94 352.06

Esto se debe a que el capital que sirve de base para el procedimiento directo, ya incluye una capitalizaci6n de intereses, que no se toma en cuenta al operar con el procedimiento de valor actual.

Nota: El descuento verdadero, es el Unico que produce resultados exactos y es el que se obtiene con calculos a INTERESES COMPUESTOS (problemas de este tipo seran resueltos en el capitulo correspondiente). 72

3) Una persona debe 2,000,000.00 con vencimiento a 3 meses y 1,600,000.00 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante 2 pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un ailo respectivamente. Determinar el valor de los nuevos pagares con el 8% de rendimiento (tomese como fecha focalla fecha dentro de un ailo). Solucion:

t

4 MESES

o

3

6

2 000 000

de ailo 8% 12

8

1600000

i

x

de ailo 8%

La ecuacion de valor sera:

1 3 1 X [1 + 2" (0.08) ] + X = 2000000 [1 + 4" (0.08)] + 1 600 000 [1 + 3" (0.08)]

X(1.04) + X

=

2000000(1.06) + 1 600000(1.026667)

2.04X

=

2 120000+ 1 642667.2

X

=>

I:

3762667.2 2.04

X == 1 844444.706

4) Una persona debe los siguientes pagares con el 8% a: 50,000.00 exigibles dentro de 3 meses, pero finnado a 6 meses plazo; 60,000.00 exigibles dentro de 6 meses y finnado a un ailo plazo; y otro de 30,000.00 sin intereses exigible dentro de 9 meses. Su acreedor acepta recibir 3 pagos iguales con el 9% de rendimiento, a cambio de las anteriores obligaciones, as!: EI primer pago de contado, el segundo a 6 meses y el tercero a un ailo plazo. Determinar el valor de estos pagos iguales.

73

Soluci6n:

1 ano 8% 30000

ano 8%

t

50000 [1 +

,

6000 O[ 1+ 1(0.08)]

(0.08) ] /

v

Monto de la deuda:

1 ano

9

6

3

0

64800

52000

Ahora bien, como son exigibles a los 3, 6 Y 9 meses calculemos los valores presentes de dichos montos.

t

'41 deano

ano 8%

3~

0

9

64800 1 1 +"2 (0.08)

52000 1 1 +'4 (0.08) v

~

30000

12 1 ano

v

62,307.692

50,980.392

30000

3 deano-9%

t

o

62307.692

x

X

1 ano

74

1

9

3 50980.392

ano--9%-

30000 1 ano 2

1.

de ano 4 9%

ano

x

X [1 + 1(0.09) ]+ X [ 1 + -iCO.09) ]+ X

=

50980.392 [1 + ~CO.09)] +

+ 62 307.692 [1 + +

X(1.09) + X(1.045) + X

=

=

(0.09)] +

4"1 0.09]

50980.392(1.0675) + 62307.692(1.045) + +

3.135 X

30000 [1 +

t

30 OOO( 1.0225)

54421.5684 + 65 111.5381 + 30675.00 X = 150208.1065 3.135

=>

X

=

47,913.27 (valor de cada uno de los 3 pagos)

5) Una persona debe 50 millones por un prestamo que realizo, con vencimiento a 6 meses y que originalmente fue contratado a un ano y medio con una tasa de 20% y debe, ademas por un prestamo anterior, 5 millones con vencimiento a 9 meses, sin intereses. Esta persona desea pagar 10 millones de inmediato y liquidar el saldo en un solo pago dentro de un ano, con una tasa de rendimiento de 25 %. Solucion: Primero calculemos el monto al vencimiento que originalmente se habfa contratado. M

=

50000000 [ 1 + %(0.20)]

=

50000000(1.30)

M = 65000000

~ ano o 10000000

25%

~~~~ 65000000

5000000

X

25% 75

10000000 [1 + 1(0.25) ]+ X

=

65 000000 [1 + t(0.25) ]+

+ 5 000000 [1 + ±(0.25)]

10000000(1.25) + X = 65000000(1.125) + 5 000000(1.0625) 12500000 + X

=

73 125000 + 5 312500

X = 78437 500 - 12 500000

=>

X

=

65,937,500.00

6) Una persona debe pagar 2,000,000.00 dentro de 4 meses y 8,000,000.00 dentro de 8 meses. l.Que pago Unico necesita efectuar dentro de 6 meses si quiere amortizar por completo la deuda, si se acuerda una tasa de interes del 12% y una fecha focal situada dentro de 6meses? Soluci6n: '61 deano

~

0

~

2000 000

=>

'61 deano

12%

X

X

=

2000000 [1 + 1.(0.12) ]+ 8000000 6 1 + (0.12)

X

=

2040000 + 7 843 137.25

12%

~ 8000 000

i

X == 9,883,137.25

7) EI senor alfa fmna un documento por 1,000,000.00 con vencimiento en un ano a interes del 6%. Tres meses despues de la firma del contra to, el poseedor del documento 10 vende a un tercero, el cual determina su valor a18% de interes simple, l.cuanto recibini el vendedor del docwnento? 76

Soluci6n: 1 ano

6%

---o~ ~lafio M = 1 000000 [1 + 1(0.06) M = 1060000

"43

de ano -

,e

80t

3~

o

x x

=

~lano 1060 000

1060000 3 1 (0.08)

+"4

=>

X

=

1,000,000.00

8) Una persona debe pagar 10,000,000.00 en un ano. Se compromete a pagar 5,000,000.00 en 3 meses y el complemento en 15 meses. Si el rendimiento se val~ra en 15% de interes, i,que cantidad debe desembolsar dentro de esos 15 meses para liquidar completamente la deuda? Considerese como fecha focal 15 meses. Soluci6n:

~

o

12 ---=-====:=4

x 5000000

10000 000

77

x=

10000000 [1 + ±(0.15)] - 5 000 000 [1 + 1(0.15)]

X

10000000(1.0375) - 5750000

=

X = 10 375 000 - 5 750 000

=>

X

=

4,625,000.00

9) Una persona consigui6 un prestamo a130%3 que debera pagar a traves de 2 altemativas, una de ell as es pagar 4,000,000.00 a los 6 meses y 3,000,000.00 a los 9 meses y la otra alternativa es pagar ··X pesos a los 4 meses y U2X" pesos a los 7 meses. M

Considerando que las altemativas mencionadas son equivalentes, obtener los valores de "X" y H2X" tomando como fecha focal 8 meses. Soluci6n:

i

de ano 30%

112 de ano

30%

~9~ ~1 4

7 12 30 % 8 2X

6 4 000 000

9 3 000 000

x~-----

jde ano 1

30% 1

1

X [ 1 + 3(0.30)] + 2X [1 + 12(0.30) ]= 4000000 [1 + "6(0.30) ]+ +

X(1.1) + 2X(1.025) 1.1X + 2.05X

=

=

4000000(1.05) + 3000 000(1.025r 1 4200000 + 2926829.268

3.15X ... 7 126 829.268 X

=

2X 78

2,262,485.48 =

3000000 1 1 + 12 (0.30)

4,524,970.96

CAPITULO V

INTERES COMPUESTO La importancia de este tema, radica en el hecho de que, muchas veces, te-

nemos que ver en la vida con actividades comerciales donde intervienen este tipo de problemas, entre elias tenemos la compraventa de automoviles, compra de una casa 0 condominio, prestamos de instituciones bancarias 0 de credito, etc. Calculemos una formula para obtener el MONTO a un interes compuesto. Supongamos que se quiere saber cmil es elmonto al final de "n" anos, si se tiene un capital de "c" pesos y una tasa de interes anual "i". Capital inicial .......................... C +

Interes al fin de un ano ................... Ci

---

Monto al fin de un ano ................... C + Ci Factorizando: C + Ci

=

C(l + i)

Capital al iniciar el 20. ano ............... C(l + i) +

Interes al fin del 20. ano

................. C( 1 + i)i

Monto al fin del 20. ano .................. C( 1 + i) + C( 1 + i)i Factorizando: C(l + i) (l + i) - Ct 1 + i)2 Capital al iniciar el 3er. ano ............... C(l + i)2 +

Interes al fin del 3er. ano ................. C(l + i)2i Monto al fin del 3er. ano .................. C(l + il + C(l + i)2i Factorizando: C(l + i)2 (l + i)

=

C(l + i)3

Capital al iniciar e140. ano ............... C(1 + i)3 Interes al fin del 40. ano

+

................. C(l + i)3 i 79

Monto al fm del 40. afio .................. C(1 + i)3 + C(1 + i)3i Factorizando: C(1

+

i)3 (1 + i)

=

C(1 + i)4

Y as! sucesivamente, por 10 tanto el monte al enesimo afio sera:

I M = C(l + i)D ! Formula que nos indica el interes compuesto, y que es la acumulacion sucesiva del capital mas el interes al siguiente perfodo. EJEMPLOS

Problemas de monto

1) Se depositan en un banco 5,000,000.00 al 35% do al final del cuarto afio.

ayse desea saber el sal-

Solucion: M - 5 000 000(1 M

=>

=

+

0.35)

4

5 000000(3.321506)

M ""' 16,607,530.00

2) EI primero de febrero de 1975, una persona adquirio un prestamo de 200,000.00 al5 % convertible trimestralmente. i Cminto debe al primero de febrero de 1995? Solucion: C == 200000

i=

~ = 1.25%

n - 20 afios - 80 trimestres ..

M = 200 000(1 + 0.0125)80 M

=>

=

200 000(2.701485)

M == 540,297.00

3) Una persona abri6 una cuenta bancaria con 200,000.00 y durante los 4 primeros afios gano intereses del 10% convertible semestralmente, despues de esos 4 afios la tasa de interes se elevo al 16% convertible se80

mestralmente. i., Cminto habra en la cuenta de esta persona despues de 8 anos de haber cambiado la tasa de interes? Soluci6n: Este problema se refiere a fechas focales en el interes compuesto.

8sem.

5%

~

o

8sem.

200000(1.05)8 \

w

24 semestres

,

295491.00

295491.00

8~

o

8%

/'24 16 sem

M - 295 491(1.08)16

==>

M - 1,012,335,323

4) La senora Casanova tenia planeado formar un capital a 10 anos, abriendo su cuenta en el banco con 5,000,000.00 que Ie redituarfa el 35% anual de intereses capitalizables semestralmente. Pero por necesidades imprevistas tuvo que retirar 2,000,000.00 a los 6 anos y medio. La senora quiere saber cuanto obtendra al finalizar los 10 anos que habfa planeado originahnente. Soluci6n: n" 10 anos

=

20 semestres

i = 0~5 = 0.175 n'" 13 semestres 81

Calculemos primero el monto al finalizar los 6 arIOs y medio: M = 5000000(1.175)

13

- 2000000

M = 38687620

Por 10 tanto: n

=

7 semestres (que es 10 que falta para los 10 arios)

M

=

38687620(1.175)

7

M = 38687620(3.092182)

=>

M

119,629,162.2

=

Problemas de capital 0 valor presente

1) Que cantidad debe depositarse en un banco que abona el 20% de interes anual, para que el saldo de la cuenta al fin de 5 arios sea de 2,000,000.00 Soluci6n:

Si M

=e(l + i)" C=~

entoncestenemos

(1 + i)n

C

o bien:

=

M (l +

irn

Usando la primera fonnula tenemos: C = 2000000 = 2000000 (1.2)5 2.488320

=>

C

=

803,755.14

Usando la segunda f6nnula tenemos:

=> 82

-5

C

=

2000000(1.2)

C

=

2 000 000(0.401878)

c=

803,755 .20

2) Se tiene una emisi6n de 5,000,000.00 reembolsables en un solo pago, con capitalizaci6n de intereses a un plazo de 15 alios y que paga el 7% a de interes, se desea saber el valor de colocaci6n de la emision a una tasa real de 8 % a. Solucion: Se halla primero el monto de la deuda al vencimiento y luego el valor presente del monto encontrado. Datos nominales: C=5000000 n

=

15 afios

i

=

0.07

M

=

5 000000(1.07)

M

=

5 000000(2.759032)

M

=

13,795,160.00

15

Datos reales:

M = 13795 160 i

=

n

=

15 alios

.'. C

=

13 795 160(1.08r

C

=

13 795 160(0.315242)

C

=

=>

0.08 15

4,348,809.759

Resolviendolo de otra manera (como fecha focal):

~~OS7%~ oI

_ 1

M - 5 000000(1.07)

15 anos

15

M - 13795160

83

o~

7115 afios 13795 160

~5atlOS8%~ C - 13795 160(1.08)

=>

-15

C - 4,348,809.69

3) Que eantidad debe depositarse en un banco que abona 35% de interes anual, para que el saldo de 1a euenta al fin de 7 afios 20 dfas sea de 1,250,000.00 Soluci6n: M - 1250000

i - 0.35 n

:a:

7 afios 20 dfas

lano 360 dias

X afios 20 20 dias ; X = 360 = 0.055556

,', n - 7.055556 afios 1250000 C=

7.055556

(1.35)

1250000 C = 8.309544

=>

C= 150,429.43

Problemas de tasa de interes 1) Si se abre una cuenta bancaria eon un capital de 12,500,000.00, y al final de 5 alios se obtiene un monto de 25,000,000,00, se desea saber emil es el valor de la tasa otorgada. Soluci6n:

Si M .. C(l + i) Entonces 84

(1+ it = M C

n

:.l+i=n.../~ => y como M

=

25 000 000

C

=

12500000

n

=

5 alios

. sf 25000000

entonces:

i=

C

1

12500000-

1=

nlM"

i= "~--l

s

12-1

i

=

1.148698 - 1

i

=

0.148698

::::::>

i

=

14.87%

2) Un sefior otorga a su nieta de 8 alios de edad 2,000,000.00 que deposita en el banco, con el objeto de que la jovencita al cumplir los 18 afios pueda retirar el dinero. Si la jovencita al cabo de cumplir los 18 alios recibe 11,345,600.00 i,Cmil fue la tasa de capitalizacion anual que gano? Solucion: M

=

11 345600

C - 2000000

n

=

18 - 8 '"" 10 afios

.'. 11 345 600 == 2 000 000(1 + i) 10 (1 + i)

10

i

... 5.6728 = 10

15.6728-1 1

i = (5.6728)

10 -

1

i - 1.189542 - 1 i - 0.189542

=>

i

a::

18.95%

3) Si se abre una cuenta bancaria con un capital de 50,000.00, se qui ere saber que tasa de interes se otorgo si el capital estuvo en el banco 5 afios y se recibieron 200,000.00 85

Soluci6n: M

=

200000

C

=

50000

n

=

5 afios

.'. i

=

5.[4 - 1

i

=

(4)5 - 1

i

=

0.319508

1

~

i

31.95%

=

Problemas de tiempo 1) En cmintos afios un capital de 5,000,000.00 produce un monto de 75,000,000.00 si se aplica una tasa del 40% anual.

Soluci6n: Si M

C(1 + i)

=

(1+i)

n

n

M C

=-

Por 10 tanto, para despejar "n" tenemos que usar los logaritmos, as! que: n log (l + i)

.

=

log M

C

M loge n=--log (1+ i)

o bien n _ log M - log C log (1 + i)

sustituyendo valores tenemos: log M

=

log 75000000 =

log C == log 5 000000 log (1 + i)

=

6.698970 1.176091

log 1.4 = 0.146128

1.176091 .'. n = 0.146128 86

=

7.875061

n = 8.048362 atlos

=>

n

=

8 afias 17 dias

2) Una persona deposita 7,500.00 en una cuenta de ahorros que paga el 20% a con capitalizacion bimensual, l.en que tiempo tendra un monto de 100,000.00? Solucion:

M

=

100000

C

=

7500

i

=

20%

i

=

o~o = 0.03333

a

. n = log 100 000 - log 7 500 .. log 1.03333 n

5.0 - 3.875061 0.014236

=

1.124939 0.014236

=

. 79.020722 bltnestres

para convertirlos a ailos, tenemos:

79.0~0722

=

0.170120(12) 0.041 (30)

=>

n

=

=

13.170120 ailos =

2.041 meses

1.23 dfas

13 ailos 2 meses 1 dfa

3) Una persona contrajo 2 deudas; una a 90 dfas de 10,000,000.00 y otra de 18,000,000.00 a 180 dfas, pretende cubrir su deuda en un solo pago, pero quiere saber emil es el tiempo equivalente a pagar, si la tasa de interes se estipulo a 30% a. Solucion: Resolvamos este problema de 3 maneras diferentes: A) Coloeamos arbitrariamente la feeha focal en el dfa de hoy. 0.30 1. = -= 12

00 . 25 mensua I 87

C

=

(10 + 18)

M

=

28000000(1.025)

=

28 nllllones n

como se puede observar es una ecuacion con 2 incognitas. Para poder resolverla se plantea la ecuacion de valor, de la siguiente manera:

o

MESES 6 = 180 dias

3 = 90 dias

hoy

10000000

18 000000

EI monto es igual a la suma de los capitales con la tasa y tiempos contratados. Esto es: (10000000 + 18000000) (1.025)

-3

n =

10000000(1.025) + +

(1.025)

9285994.1 + 15 521 343.66 28000000

n

n

(1.025) asi:

=

=

-6

24807337.76 28000000

0.8859763

n log(1.025) = log 0.8859763 n

n

18000 000(1.025)

=

log 0.8859763 log 1.025

=

-0.052578 0.010724

-4.90283

para evitar que el tiempo quede negativo, se ealcula eI cologaritmo de 0.8859763 con el eual el signo negativo se eonvierte en positivo. Esto es: colog 0.8859763

1

= log 0.8859763 - log 1 - log 0.8859763 .... 0 - (-0.052578)

88

•

=

-

.. n

(-0.052578) 0.010724

=>

n

=

4 90283 .

4 meses 27 dias

=

B) Tomando como fecha focal dentro de 6 meses

o

~,6

3 10000000

28000000(1.025)

n =

10000000(1.025)

18000000

3

+

18000000

(l 025t = 10768910 + 18000000 = 28768910

. (1.025) donde:

28 000 000 n

=

28 000 000

1.027461

n = log 1.027461 = 0.011765 log 1.025 0.010724 .'. n

=>

n

=

=

1.097072 1 mes 3 dias

Pero para saber la fecha real, hay que restar esta ultima a la fecha focal establecida. Esto es: 5 meses 30 dfas = 6 meses 1 mes 3 dias 4 27

=>

n

=

4 meses 27 dfas

C) Despejando "n ~ de la formula del monto se tiene: n

=

log M - log C log (l + i)

89

donde M

=

28 000 000

"C~~ se calcula a valor presente Unicamente, Es decir, tomando como fecha focal el dfa de hoy (no se puede hacer tomando otra fecha, como fecha focal), Esto es:

as!: n

C

=

10000000(1.025)

C

=

24 807 337,76

7.447158 - 7.394580 0.010724 .'. n

=

:::::>

-3

+

18000 000(1.025)

-6

0.052578 0.010724

4.90 n = 4 meses 27 dias

Tiempo en que se multiplica un capital a interes compuesto Si de la formula M = C(1 +it sustituimos el manto par 2 veces el capital, considerando que el manto en el caso que nos ocupa a de ser el doble del capital, entonces tenetnos: • n

M

Y hacemos M

C(1 + 1)

=

2C

=

. n

2C = C(l + 1)

entonces

2C C = (1 +

n

2

,', n log (1 + i) n

.n

1)

= =

(1 + i)

log 2

log 2 log (1 + i)

=

Par 10 tanto, se puede entender facilmente que: Para el triple

n

=

log 3 log (1 + i)

Para el cuadruple

n

=

log 4 log (1 + i)

90

Y asf sucesivamente. Observese que en estas fonnulas el capital no interviene. Es decir, nada tiene que ver la cantidad de dinero con el tiempo en que se muitiplica el mismo, solo esta en funcion del interes. EJEMPLOS 1) Calcular el tiempo en que se duplica un capital cualquiera a una tasa de 7% anual. Soludon:

=>

n

=

0.301030 log 1.07

n

=

10 afios 2 meses 28 dias

=

0.301030 0.029384

=

10.244768

2) Cmintos afios se necesitaran para que el monto de 4,000,000.00 sea de.

5,000,000.00 a140% anual, convertible mensualmente. Solucion: M

=

5 000000

C=4000000 i=

O~~O =

0.03333

n = log M - log C log (1 + i)

=

log 5 000 000 - log 4 000 000 log 1.03333

n = 6.698970 - 6.602060 = 0.096910 = 6 805955 0.014239' 0.014239 n = 6.805955 meses

=>

n

=

6 meses 24 dias

3) ;"A que tiempo se debe invertir un capital de 100,000.00 al 20% anual, para obtener un monto del triple que el capital? soludion: n=

=>

n

=

log 3 log 1.2

0.477121 0.079181

=

60256 .

6 afios 9 dias 91

Descuento a interes compuesto Sabemos que el deseuento esta dado por D res eompuesto podemos decir que: si C

=

M - C, por 10 tanto, si es inte-

M

=

n

(1 + i)

M

entonees D

=

M - -(l+it

.'. D

=

M - M(1 + i)

-n

I

D - M [1 - (1 + i) -oJ

I

EJEMPLOS 1) Por un doeumento con valor de 4,100,000.00 con vencimiento dentro de 4 afios, nos han eoneedido un deseuento. Si la tasa de la operaci6n es del 4% anual, l,emil sera el importe de dieho deseuento? Solucion: -4

D

=

4 100 000 [ 1 - (1.04) ]

D

=

4 100000(0.145196)

=>

D

=

595 302.78

2) Se quiere saber emil es el valor del deseuento que nos haran por un pa-

gare de 300,000.00 euya feeha de vencimiento es a 6 meses a un 16% anual. Solucion: M

=

300000

n

=

6 meses

i

=

16%

D

=

300000 [1 - (1.16)

=

1

afio = 0.5

= 0~16

D == 300000(0.071523)

=> 92

D

=

21,456.90

-0.5

]

Crecimiento comparativo delmonto a interes simple con el monto a interes compuesto Dibujemos las grcificas correspondientes a un monto con capital de 1,000.00 a interes simple y a interes compuesto al 8 % anual.

PARA EL INTERES SIMPLE

PARA EL INTERES COMPUESTO M

M = C(l + ni)

Es una progresion aritmetica y su grcifica una linea recta n

o 10 20 25

=

C(1 + i)n

Es una progresion geometrica y su grcifica una curva

M 1000 1 800 2600 3000

M 1000 2 158.92 4660.95 6848.47

n

o 10 20 25

Monto M ... C(1 + i)n

8000

/

7000 6000 5000 4000 3000 2000

n (afios)

1000

o

10

20

25

93

Capitalizacion de intereses enfracciones de afio o tiempo fraccionario Es costumbre enunciar en la practica la tasa diciendo, por ejemplo 8 %

anual capitalizable por semestre, en casos como este debe entenderse que se trata del 4 % semestral. La tasa que se enuncia como anual para capitalizarse varias veces en un ano se simboliza de la siguiente manera:

j J(m) = m La literal ··m~ representa el nillnero de veces que la tasa real "J~ (que para diferenciarla de la tasa real "i·· la llamaremos tasa nominal) se capitaliza en un ano.

Relaci6n entre rasa nominal y tasa efectiva 0 real Si consideramos como tasa efectiva la ganancia y en un ano se obtiene como capital "C~ pesos y designamos esta tasa real con la literal "i~, el monto de "cn pesos en un ano sera C(l + i). Si ahora consideramos una tasa nominal "J~ capitalizada "m~ veces en un ano encontramos el valor del monto a esa tasa nominal de los "m~ perfodos de capitalizacion de un ano. Capital inicial ....................... C Interes al fin deller. periodo ........... C(Jm) Monto al fin deller. periodo ........... C + C(Jm) Factorizando C( 1 + 1m) Capital al iniciar el2o. periodo ......... C(1 + 1m) Interes al fin del 20. perfodo ............ C( I

+

Jm)lm

Monto al fin del 20. perfodo ............ C(l

+

1m) + C(1

Factorizando C(1 + 1m) (1 + 1m)

=

+

Im)lm

C(1 + Im)2

Y as! sucesivamente.

Consideremos una tasa que se va a capitalizar "m" nillnero de veces en un ano y convengamos en representar el exponente del factor de acuerdo tambien con la letra ~'m" entonces el monto al final de un ano seria (1 + Im)m. Si trataramos de establecer la equivalencia entre la tasa real "i" y la tasa nominal "1m", considerando ambos anualmente entenderemos que SERAN EQUIVALENTES SIEMPRE Y CUANDO EN UN ANO PROPORCIONEN EL MISMO MONTO. Esto es: 94

C(I

+

it

=

C(l

+

1m)1II

Si n = 1: (1 + i) = (1 + 1m)1II

Despejando para detenninar la tasa equivalente anual en los casos de operaciones cuya tasa de interes se capitalice varias veces en un ano, se tiene.

[~~~~~,)n~I

J

Ahora calculemos una fonnula que nos pennita encontrar la tasa nominal

j 1m=-. m Si de la formula (l + i)

=

(1 + 1m)tn despejamos 1m queda:

(1 + 1m) =

~

Jm

o bien: si de 1 + i =

HIIT+T

~ "'IT+T - I

1

(I + 1m)Hl elevamos ambos miembros a la Un" se tiene: (1 + i)n

=>

(I +

=

it =

[(1 + 1m)mt (I + 1mt

Ul

E1EMPLOS 1)

a

Si tenemos un capital de 100 al 10% en 3 anos, y hacemos su calculo aritmetico considerando la tasa nominal capitalizable en anos y en semestres, tendremos:

Metodo aritmetico (ayuda para observar el comportamiento de los intereses): A) Capitalizacion anual

c=

100

i

=

10%

n

=

3 arios

a 95

Capital inicial .......................... 100.00 Interes 1er. aiio .........................

10.00

Monto = capital en el2do. afio ............. 110.00 Interes 2do. afio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

11.00

Monto'" capital en el3er. afio ............. 121.00 Interes en el3er. ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

12.10

Monto al fin del3er. afio .................. 133.10 B) Capitalizacion semestral

C

=

100

n

=

3 anos

=

6 semestres

m - 2 (semestres por afio) J(2) =

j

010

2= 2

~

J(2) = 0.05

Capital inicial .......................... 100.00 Interes 1er. semestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.00

Monto'" capital en el2do. semestre ......... 105.00 Interes 2do. semestre ....................

5.25

Monto - capital en el3er. semestte ......... 110.25 Interes 3er. semestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.51

Monto - capital en el40 semestre .......... 115.76 Interes 40. semestre .....................

5.79

Monto - capital en e150. semestre .......... 121.55 Interes 50. semestre .....................

6.08

Monto - capital en el 60. semestre . . . . . . . . .. 127.63 Interes 60. semestre ..................... Monto - capital al fin del 60. semestre 96

6.38 134.01

Podemos decir que la tasa real efectiva es mayor que ellO%, en este ejemplo, cosa que verificaremos aplicando Ia formula. C) Obtengamos el valor real de "i".

i

=

(1 + Jm)m - 1

. 10 donde J(2) _1. = - = 5%

2

2

.'. i - (1

2

+

0.05) - 1

i == 1.1025 - 1 i == 0.1025

=>

i

=

10.25%

D) Obtengamos el valor real de "Jm" Jm == mIT+T

-1

Jm - .ff.1O - 1 Jm - 1.048809 - 1

Jm == 0.048809

=> 2)

Jm-4.88%

l,A que tasa nominal "j" convertible mensualmente, el monto de 200,000.00 sera de 300,000.00 en 2 aiios?

Solucion: n - 2 aiios m - 24meses

M- 300000 C - 200000 . 1-

24 .; 300000 200000 - 1

i_24{3 -1 2

i - 0.017038

=>

i - 1.703% mensual

Ahora bien, podemos observar que: 97

i

donde m

=

=

tasa capitalizable m

i

12 meses por ano

*.*=--L 12

* *

asi que:

=> 3)

j

=

12i

j

=

12(0.017038)

j

=

0.204456

j

20.44% (tasa nominal) anual

=

Hallar la tasa nominal "j", convertible mensualnlente, equivalente al 8% convertible semestrahnente.

Soluci6n: Se tiene que 1m 1m tenemos:

=

--L

A

y segun la f6nllula

m IT+T - 1

= 12'; (l + i)2 - I

12

2

--L =

(l + i) 12 -,I

--L

{l + i)6 - 1

12

1

12

* •

1

= (1.04)6 - 1

A

=

1.006558 - 1

--L = 0 006558 12 . 98

j = 12(0.006558)

j

=>

=

0.078696

j = 7.869%

4) Calcular la tasa efectiva 0 real "i" equivalente a una tasa de interes del 36 % convertible semestralmente. Solucion:

j = 36% = 0.36 m-2 .'. i = (1 + i

=

0.~6

)2 -1

(1.39240) - 1

i = 0.39240

i

=

39.24%

EJERCICIOS 1) i.,A que tanto por ciento mensual de interes cotnpuesto se invirtio un ca-

pital de 100,000.00 si en 3 afios se cuatruplico? Solucion: log 4

n = log (1 + i) pero m" 36 perfodos m=

log 4 log (1 + 1m)

de donde: log (1 + Jm) = log (1 + Jm)

-=

log 4 36 0.016724

De otra fonna: • _ 36 1-

.

=

I 400 000

V. 100000 -1

36

14 -1

1 + Jm = antilog 0.016724

1

J(36)

i = 1.039259 - 1

J(36) = 0.039259

=

1.039259 - 1

=> J(36)

=

3.925%

i

=

0.039259

=>

i

=

3.925 %

99

2) Calcular la cantidad acumulada de 3,000,000.00 por 5 afios y cuarto al 4 % convertible mensuahnente. Soluci6n: C - 3,000,000

i

-=

0~~4 :::

0.003333

n ... 5 ~ anos; pero 5 anos = 60 meses

~de ano = 3 meses

=> M

=

M

=>

M

=

n

=

63

3 000 000 (1 + 0.003333)

63

3 000 000 (1.233221) 3,699,663.0

3) Se quiere saber cU(into tiempo tardo un capital de 40,000.00 colocado a interes compuesto de 2 % semestral, para convertirse en 68,280.00. Solucion: n

log 68280 - log 40000 log 1.02

=

4.834294 - 4.602060 n= 0.008600

0.232234 0.008600

n = 27 semestres

=>

n

=

13 anos 6 meses

4) iCmil es el valor actual de un pagare de 1,000,000.00 pagaderos dentro de un ano 8 meses, si el interes cobrado es del 10% a capitalizado semestralmente? Soluci6n: i-l0%a=O.10 J(2)

100

=

0.05

6meses lsemestre n

=

2 X'

X=

"62 =

0.3333

1 ano 8 meses

m = 3.3333 semestres C

=

1 000000 (1.05)

-3.3333

C - 1000000 (0.849904) C

=

849,904.0

==> C - 850000.0

5) Hallar la tasa nominal "j" convertible cuatrimestralmente en la que

800,000.00 en 2 anos crece hasta alcanzar 2,000,000.00. Solucion: Datos: n

Formulas: (l + i)

2 aiios

=

m

=

3 cuatrimestres por ano

M

=

2 000000

C

=

M

=

n

=

1- mn

(l +

C(1 + i)

m

)

n

800000

(1 + .)fl = M= 2000000 1 C 800000

=

25 .

ycomo entonces ..

(1 +

(1

~)6

. M +;)nID =C - 2.5;

=

2.5

1+

~

1+

i3

=

~

= 0.164993

j

=

=>

-

(2.S)~ 1.164993

3(0.164993)

==

0.494979

j - 49.5% 101

6) Si la tasa nominal de interes es del 8 % capitalizable semestrahnente, se quiere saber emil es la tasa efectiva anual equivalente si se hizo una inversion de 1,000,000.00. Soluci6n: Datos:

Formulas:

m

1=

=

.

2 semestres

n = 1 afio

1. = m

i

:=

i

M

i m

(1 +....L.) - 1

m

=

CO

n

+ i)

0.04 (1.04)2 - 1

=>

= 0.081600

i = 8.16% equivalente anual

Haciendo el calculo de otra manera, se tiene: Si M = 1 000000 (1.04)2 M=10816oo entonces; 1 081 600 - 1 000000 = 81 600 que equivale a una tasa anual de: 81 600 1 000 000

=

0.081600

:::::>

i

=

8.16%

7) Hallar la tasa nominal convertible trimestrahnente equivalente al 20% convertible mensuahnente. Soluci6n:

j = 20% (convertible mensuahnente)

~ = 0.20 = 0016667 12

~-

12

.

? (convertible trirnestrahnente)

.. (1 + 0.016667)12... (l +

~)4

(se hace esta igualaci6n ya que en un afio

debe dar el mismo resultado econ6mico)

102

Sacando raiz 4a. en arnbos miembros queda:

4"; (1.016667) 12

=

4,f (I +i) 4

3

(1.016667)

i

:t ~

j

i .

=

1+

=

1.050839 - 1

co

=

0.050839;

j

c:

4(0.050839)

20.33%

103

CAPiTULO VI

ANUALIDADES

Introducci6n Podemos definir una anualidad como una sucesion de pagos iguales en tiempos iguales, como 10 son las rentas, abonos, sueldos, etc. Las anualidades, se clasifican segUn el tipo de pago en 2 grupos CIERTAS 0 SEGURAS y CONTINGENTES. Las anualidades ciertas son aquellas en las que se conoce la fecha tanto de inicio como de terminacion; y las contingentes son las anualidades en las que por algun motivo no se puede fijar alguna de las dos fechas. Para su clasificacion consideramos tambien que las anualidades pueden ser ANTICIPADAS 0 VENCIDAS. En el primer caso es cuando el pago se hace al principio del periodo, y en el segundo caso es cuando se hace al final. Representemos en unas graficas las anualidades "ciertas 0 seguras" (que tambien reciben el nombre de anualidades a plazo). Existen ademas otros tipos de anualidades, entre ellas estan las perpetuidades, que dado el poco uso que estas tienen no tocaremos en este curso. Anualidad vencida R

R---------R

Anualidad anticipada R

R --------------- R

I Anualidad diferida vencida R

I

R ---------R

I

I

I

I

I 105

Anualidad diferida anticipada R

R --------R

Anualidades ordinarias (ciertas simples-vencidas) Por valor presente 0 actual de una serie de anualidades se entiende el valor calculado en la epoca 0 fecha inicial de pagos de toda la serie (capital que impuesto a tasa y tiempo conocido, produce un monto detenninado). Recordemos las siguientes literales: all] i

=

Valor presente de una serie de anualidades de un peso (lease a sub "nn i). R

=

Valor de la anualidad 0 renta.

Anl i = Valor presente de una anualidad de uR" pesos. i = Tasa de interes. n = NUtnero de ejercicios (tiempo). n V = Valor presente de un peso en "R" periodos, 0 factor de descuento. Mnl i

=

Monto de la anualidad.

Deduccion de la formula del valor presente de una serie de anualidades cualquiera que sea el importe de sus pagos. Esta formula se puede deducir de 2 maneras diferentes: A) Tomando como base una serie de anualidades cuyo valor de los pagos asciende a la cantidad de un peso. De la formula del monto M

=

C (1 + it despejamos "C" y queda: M C=-(1+

Ahora bien, si hacemos que M

=

it

1, entonces C 1 1=-(1+ it

106

=

1, por 10 tanto:

=>

1 = 1(I + i)-n

Sustituyendo el valor de un peso por el valor presente de un peso en "R'" perfodos (Vn), nos queda: v n = (l + i)-n El factor (l + i) -n se llama factor de descuento y nos permite calcular el valor presente de un capital. Si el valor presente de una serie de anualidades de un peso 10 hemos Hamado anl i y ese valor presente es igual a la suma de los valores presentes 0 actuales de un peso en cada una de las anualidades 0 pagos de que se compone la serie, podemos escribir la siguiente igualdad: anl i = (l + i)-I + (l + i)-2 + (l + i)-3 + ... + (1 + i)-(n-I) + (1 + i)-n La igualdad que nos ocupa es una progresi6n geometrica descendiente cuya

raz6n es (1

+

ifl, puesto que: (l + i)-I (l + i)-I

=

(I' + i)-2

(l + i)-2 (1 + i)-I

==

(l + if 3

• • •

• • •

• • •

(1 + i)-(n-I) (l + if I

=

(1 + i)-(n-I)-I

=

(1 + i)-n

Sin embargo, para mayor facilidad de calculo, podemos invertir el orden de los sumandos sin alterar el valor de la igualdad y obtener una progresi6n geometrica ascendente de raz6n (1 + i) I. &toes: a.il i - (1 + ifn + (l + i)-(n-l) + (1 + if(n-2) + ... + (1 + ir3 + (1 + ir2 + (1.+ i)-I

Calculemos la suma de los "n·· terminos de esta progresi6n, haciendo uso de la f6rmula respectiva. S n

=

a(rn_l) r-I

107

Efectuando las sustituciones de acuerdo con los tenninos de nuestra igualdad, tenemos: So = aoli a == (1

+

r= (1 +i)

a~ i =

ifo :. a~

j=

(1 +iro [(1 +i)0 -1] (1 +i) -1

(1 + ir°(1 + it- (1 + iro 1+ i - 1

=

(1 + ir

n

o - (1 + iro

+

Si ahora consideramos la posibilidad de que el valor de los pagos sea de "R"" en sustitucion de $1.00, entonces la fonnula general queda: _

Raol.- R 'ji

1- (1+ iro

.

1

pero "A"" es el valor presente de una anualidad de "R"" pesos

o bien

-

(1)

-

(2)

Para la expresion (I), utilizaremos la calculadora. Para la expresion (2), utili~aremos las tablas financieras B) Tomando como base una serie de anualidades cuyo valor de los pagos asciende ala cantidad de "Rn pesos:

108

R

R

R-----R

R

R

o ----------------------------------------------R 1+ i

R

R

R (1+

it

A~ j= R(1 + ifl + R(l + ir2 + R(l + i)-3 + ... + R(l + i)-(n-l) + R(l + ifn

Anlj= R(l + ifn + R(l + i)-(n- O + ... + R(l + i)-2 + R(l + i)-I a

=

R(1 + ifn

r

=

(1 + i)

S n

=

AT nil

=

R (1+ ifn [(1+ it -1] {l + i)-1

109

CALcULO DEL TIEMPO EN FUNCION DEL VALOR PRESENTE De la fonnula anterior, tenemos: A(i)

=

R[1 - (1 + if0]

AC i )= 1- (1+ iro R (l + i )

-0

=

1-

~ R

_ l__ R-ACi) (1+ it R

R

=

(1 + i)" (R - Ai)

(1 +i)"= R- : ( i )

aplicando logaritmos queda:

n log(l + i)= log R -log(R - Ai)

n = logR -log(R -Ai) log(1 + i)

CALCULO DE LA RENTA De la fonnula

A

=

Ra~

i

se tiene

que podemos escribir tambien como; R = A [a01 i ]

110

-1

CALCULO DE LA TASA DE INTERES El calculo de la tasa de interes (i), 10 podemos hacer de dos maneras diferentes: Una es despejando a,~ i de la formula

A,~ j= Ra,~ j

,

quedando

A

al~i= R

y luego con base en las tablas financieras haremos una interpolacion. La otra forma es por tanteos, es decir; suponiendo el valor de "i" segun creamos que este sea, 10 sustituimos en la formula, hacemos operaciones y revisamos si el valor presente es el valor dado originalmente en el problema, si no, entonces seguiremos dando valores a "i" hasta llegar al valor presente establecido. CALCULO DEL MONTO Una anualidad, esta formada por una serie de pagos ""R" que a su vez son "montos de la parte vencida", por 10 que el monto de una anualidad es la suma de los montos compuestos por esos pagos ··R". Es decir; como los pagos se hacen en forma vencida, cada pago efectuado capitaliza intereses, excepto el ultimo (puesto que con el se termina la deuda), por 10 tanto el primer pago acumula intereses durante (n - 1) perfodos; el segundo pago acumula durante (n - 2) period os y asf sucesivamente, por 10 tanto podemos escribir la progresion siguiente: M~

i =

R(1 + i)n-l + R(1 + i)n-2 +R (l + i)n-3 + ... + R(1 + i)2 + R(1 + i)l + R

invirtiendo el orden para tener una progresion ascendente queda: Mnl i

=

R + R(1 + i) + R(l + i)2 + ..... + R(l +

it-2 + R(1

+ i)n-l

esta progresion, como puede verse, es geometrica de razon (l + i), por 10 tanto: n

Sn= M~i

y si en la fonnula Sn "'" a(r -11) hacemos las sustituciones correspondientes, queda: r-

IJI

M :1 .= R[(1+ it -1] np (l+i)-1

donde uR" son los pagos iguales. Se puede entender facilmente que el monto de un solo pedodo de la anualidad esta dado por:

.·1

Mnli=Rrnnli

Observaci6n.- Es conveniente subrayar aquella frase que nos indica de alguna manera, el tipo de anualidad de que se trata. EJEMPLOS 1) l,Cual sera el valor de un prestamo que nos harlan eldia de hoy para pagar con 9 letras de 3,500,000.00 cada una, de vencimientos escalonados de un alio y al fin de cada ano transcurrido a la fecha de operaci6n al 30 % anual? Soluci6n:

i R

=

0.30

=

3500000

n

=

9 alios

A =?

A= 3500000 [1- (1.30) -9]

0.30 A= 3500 000 [0.905700]

A

=> 112

A

=

=

0.30 3500000 (3.019001) 10,566,503.50

2) l,Cuantos pagoshabran de hacerse semestralmente de 5,000.00 para poder cerrar una deuda de 40,000.00 con e16% de interes capitalizable semestralmente. Solucion: R

=

5000

A

=

40000

i

=

6%

a

i= ~ = 3 % semestral 2 n= log5000 -log [5000 - (40000 xO.03)] log 1.03 _ 3.698970 -log[50oo - 1200] n0.012837

=:>

3.698970 - 3.579784 0.012837

n - 9.284 periodos semestrales

3) Se pretende comprar un lote de terreno que cuesta 500 millones y se quiere saber a cuanto asciende el monto de los pagos de las anualidades que tendriamos que cubrir, si nos comprometemos a pagar en 5 pagos cada fin de ano, con un interes del 20% anual. Soluci6n: A ... 500 000 000 n

=

5 anos

i

=

0.20

si A == Ranli entonces R ==

~

aflJi

R _ 500 000 000 30]0.20

_ 1 - (1.20r 5 perc a5]O.20 0.20 asl o.20 = 2.990612

1 - 0.401878 0.20

0.598122 0.20

113

R

=>

R

=

500 000 000 2.990612 167,189,859.50 (monto de los pagos)

-=

4) Una nina ha depositado alfinal de cada mes 10,000.00 en su cuenta de ahorros; despues de 3 anos tiene en su cuenta la cantidad de 1,000,000.00. Calcular la tasa promedio que se Ie otorgo. Solucion: M = 1000000 R=10000 n

3( 12)

36 meses

Para encontrar los valores de m361 i usamos Ia tabla II Esto es, de la formula M =

Rml~ i

se tiene:

m36l . = 1 000000 'II 10000

=

100

Se busca e1 100, mismo que observamos que se 10caliza entre los siguientes numeros; 106.76518879 ala tasa 5.5% y 95.83632272 a la tasa 5 % por 10 tanto realizaremos la siguiente interpolacion: 106.76518879

5.5%

100.00000000

95.83632272

5.0%

95.83632272

10.92886607

0.5% _ _ _ _ _

4.16367728 ____ (i - 5%)

. . .

I -

5% _ (0.5) (4.16367728) 0 10.92886607

i - 5 % = 0.190490 i

=> 114

=

O. 190490 + 5

i = 5.19%

5%

5) Hallar el monto de una anualidad de 200,000.00 mensuales durante 2 afios 3 meses a130% convertible mensualmente. Solucion: R

200000 30 = - = 25% mensual 12 . = 0.025

=

n = 27 meses 27 M = 200 000 (1.025) - 1 0.025 M

=

200 000(37.912000)

=>

M

=

7,582,400.00

6) Un hombre de negocios envia a su hijo a otra ciudad, y Ie asigna un presupuesto mensual de 800,000.00. Para evitar frecuentes remesas de dinero hace un solo deposito en una cuenta bancaria que devenga intereses del 3% mensual. l.Cminto debera depositar para cubrir el presupuesto de un afio, si el primer retiro 10 hace su hijo al termino del primermes? Solucion: R

=

800,000

i

=

0.03 mensual

n

=

12 meses -12 A - 800000 1 - (1.03)

..

0.03

A

=>

=

800 000(9.954003)

A - 7,963,202.40

7) En una tienda de autoservicio hay una oferta de un televisor de color, con 200,000.00 de enganche y 100,000.00 mensuales durante un afio. Si se carga un interes de 45 % convertible mensualmente, hallar el valor de contado equivalente. Solucion: Los 200,000.00 de enganche no fonnan parte de la anualidad, por 10 tanto:

115

Valor de contado = 200000 + el valor presente (A) de una anualidad de 12 pagos mensualmente. Esto es: Valor de contado pero

200000 + 100000

1 - (1 + 0-12

-

i = 45% a . 45 ~ I 1 = 12 = 3.75 yo mensua = 0.0375

Valor de contado = 200000 + 100000

::::::>

1 - (1.0375r 0.0375

=

200000 + 100000(9.522693)

=

200000 + 952 269.3

Precio de contado

=

12

1,152,269.30

8) Una persona desea comprar un automovil de 36,000,000.00 los cuales pretende ahorrar en el banco con depositos de 1,000,000 cada fin de meso Quiere saber cmintos depositos debera hacer y a cuanto asciende el valor del ultimo deposito; si este ultimo incluye la renta, una tasa de 2.5 % mensual y una cantidad extra para complementar los 36 millones. Soluci6n: M = 36000000 R = 1000000

i "" 0.0250 mensual Planteando la ecuaci6n equivalente tendremos que: 36 000 000 = monto + una cantidad extra

Por otta parte tenemos que: 36000000 =: ~li n 36000000= 1 000000 (1.0250) - 1 0.0250 Despejando un.... tenemos: n

36 000 000 1 000 000

=

36 (0.0250)

=

(1.0250) - 1 0.0250 n

n

(1.0250) -1

(1.0250) - 0.9 + 1 116

n

(1.0250) = 1.9 n

0.278754 0.010724 = 25.993788 meses

log 1.9 log 1.0250

=

n = 26meses Regresando a nuestra ecuacion equivalente queda: 36000000=~l.+X 26

-II

36 000 000

=

1 000 000 (1.0250) - 1 + X 0.0250

36 000 000 = 36 011 720 + X X

=

X

= -

36000000 - 36011 720 11 720

ultimo pago 1 000 000 - 11 720 = 988,280.00 9) Se va a constituir un fondo de 50,000,000.00 mediante depositos de 9,000,000.00 cada 3 meses. Si el fonda gana 24% convertible trimestralmente, hallar el nillnero de depositos que tendnin que hacerse. Solucion: M

=

R 1.

=

50000000

9000000 24 = 6{)f' 1mente = 10 trimestra 4 n M=R(1+9 -1 1

Mi

'R=

(1 + i) - 1

(1 06t

.

n

=

50 000 000 (0.06) + 1 9000000

n log (1.06) n

= =

log (0.333333 + 1) log (1.333333) log (1.06)

=

0.124939 0.025306

n - 4.93713 perlodos trimestrales

117

n = 4 trimestres 2 meses 24 dias n - 5 depOsitos 10) EI senor Beta compra un automovil nuevo de 37,500,000.00, Y Ie reciben su coche usado en 12,500,000.00 l,Cminto tendni que pagar en efectivo si el saldo restante 10 liquidara mediante el pago de 1,250,000.00 al final de cada mes durante 18 meses, cargandole intereses a16% mensual? Solucion: Costo original

37 500 000 12500 000 25 000 000 Costo definitivo

1250000

R

=

n

::z

18 meses

i

=

0.06 mensual

.'. Pago

=

25 000000 -

_

Ra~

_

. 1

-18

1 - (1.06)

pero A - RaI81o.06 - 1 250000 [

pago

=>

Pago

0.06

=

1 250000 (10.827603)

=

13 534503.50

]

25 000000 - 13 534503.50

=

11,465,496.50

=

11) Con el fin de reunir durante un ano 30,000,000.00 para la gratificacion

de sus trabajadores, una empresa deposita una renta bimestral en una cuenta bancaria que rinde 6% bimestral, l,cminto habra acwnulado en su fondo de amortizacion al final del tercer bimestre? Solucion: M = 30000000

n = 12 meses i 118

=

6% him.

= =

6 himestres 0.06

Primero calculemos el deposito 0 renta bimestral 30000000

M R=---. n (1 + 1) - 1

=>

R

=

6

i 4,300, 879.80

(1.06) - 1 0.06

30000000 6.975317

Ahora obtengamos el monto acumulado al cabo de los 3 bimestres 3

.n

M = R (1 + i) - 1 = 4 300 879 80 [(1.06) - 1 ] i . 0.06. M = 4 300 879.80(3.183600)

=>

M

=

13,692,280.93

12) Encontrar el valor de contado de un motor, del eual se pagaron de enganche 280,000.00 con 10 abonos mensuales vencidos de 25,000.00 y un ultimo pago de 19,000.00 con una tasa anual del 36% convertible mensualmente. Solucion: R = 25 000

i

=

~~

3%

=

0.03

Valor del motor = Enganche + 10 pagos mens. venc.

+

ultimo pago

-10

280000 + 25 000 [ 1 - (1.03) ] + 19000(1.03)-11 0.03 280000 + 25 000(8.530203) + 19000(0.722421) 280000 + 213255.075 + 13725.999 Valor del motor = 506,981.07 13) El senor Cruz, realizQ depositos de 50,000.00 cada bimestre en una cuenta de ahorros; despues de 6 anos retiro un capital de 8,341,023.80 lcmil fue la tasa bimestral que se Ie otorgo?

119

Solucion: M

=

8341023

R - 50000 n

=

6 aiios

=

8341 023 50000

36 bimestres (1 + i)

36

- 1

166.820476

Ahora calculemos Ia tasa, haciendoia por tanteos en Iugar de interpolar. Tasa propuesta 0.0500 0.0650 0.0700 0.0750

95.836322 133.096945 148.913459 166.820476

=>

i

=

Renta

Monto

50000 50000 50000 50000

4 791 81~13 6654847.25 7445672.99 8341023.80

7.5 % bimestral

Anualidades anticipadas

Una anualidad anticipada es aquella que se cubre al comienzo de cada pedodo. Observemos el siguiente diagrama, en donde se puede apreciar con claridad la diferencia entre una anualidad vencida con una anualidad anticipada, y en el que se supone el pago de algunas anualidades ordinarias, en comparacion con algunas anualidades anticipadas: R

R

R ........

R

R

R

0

1

2

3 ........

(n-3)

(n-2)

(n-l)

R

R

R

R ........

R

R

R

R n Anual. ord. Anual. anti.

Se puede advertir que en la anualidad ordinaria, la primera anualidad se paga al final del primer pedodo, mientras que en las anticipadas se paga inmediatamente al iniciarse el plazo. Esto trae por consecuencia que el pago de la ultima anualidad ordinaria eoincida eon la terminacion del tiempo, razon por la eual no devenga intereses y que su inversion se haga solamente para 120

completar el monto de la serie. En cambio cuando las anualidades son anticipadas, la ultima de ell as se paga al principio del ultimo perfodo, por 10 que esta sf causa intereses. Asf, podemos establecer una equivalencia entre ambas anualidades, ya que como se puede observar en la siguiente grafica, que el ultimo pagode una anualidad vencida para que coincida con el ultimo pago de la anticipada se tendni que iniciar en el perfodo (-1). Esto es:

(Vencida)

R

R

R ....... .

R

R

(Antidpada)

R

R

R ....... .

R

R

Observese tambien, que la fecha focal es (n - 1) Y no "n··.

Formula del valor presente: Consideremos que suprimimos el p'rimer pago R de una anualidad anticipada, por 10 que tendremos una anualidad vencida y no anticipada, solo que durante (n - 1) perfodos, por 10 tanto su valor presente sera:

A

=

Ran-tli

Que es el equivalente a una anualidad vencida pero que termina en (n - 1) Y no en "n"

Ahora bien tomando como fecha focalla fecha inicial podemos notar que el primer pago se hace efectivo puesto que es anticipado, por 10 que podemos plantear la siguiente equivalencia: A

=

Ran-1l i + R

donde la segunda R es, de hecho, el primer pago que se habia suprimido.

: : :} I

A - R [an-q ,+ 1]

donde (an-ll i+ 1) es el valor presente de una serie de anualidades de un peso de una anuaHdad anticipada. Tambien podemos hacer 10 siguiente: 121

-n

A = R [ 1 - (1. + i) ](1 + i) 1

A=R[

(1 + i) - (l + i) .

-n + 1

]

1

1 - (1 +

A=R[

i)-(n-l)

+ 1]

.

1

F6nnula del monto: El monto de la ultima anualidad ordinaria es R, mientras que la ultima anualidad ANTICIPADA se convierte en un monto de: R(1 + i). Es decir, el monto de las anualidades ordinarias es igual al valor actual en un perfodo, del monto de las anualidades anticipadas. Ahora bien, tomando en cuenta 10 anterior tenetnos:

Rmnl i Monto de la anualidad anticipada .... M == Rmnl i (1 Monto de la anualidad ordinaria ....... M

=

. n

as1:

M

=

R [(1

+~)

- 1] (1 + i)

1

M= R [

(1 +

it (1 +. i) - (1 + i) ] n+11

M

=

R [(l + i)

. - (l + i)] 1 n+l

M

=

R [(1 + i). 1

M

=

R [ (1 + i). I

122

(1 +

1

n+l

=> pero

- 1 _ ~]

nn i

+ 1-

1 mn+qi

- 1 _ 1]

+

i)

Por 10 tanto la fonnula anterior se puede escribir de la siguiente manera: M=R(m

o+lli

-1)

De Ia formula del valor presente y del monto, despejemos el tiempo "n", A) Del valor presente: -0

Ai = R [1 - (1 + i) ] (1 + i) Ai 1 (1 R(1 + i) = (1 +

1

,-n

1)

=

-

(1 + it

') n Iog (1 + 1

~

n

Ai R(1 + i)

R\1 + i) - Ai R(1 + i)

I (l + i)n

'-0

+ 1)

R(1 + i) R(I + i) - Ai

=

=

'I

[ R(l + i) ] og R(1 + i) _ Ai R(l + i) log [ R{l + i) - Ai ] log (1 + i)

=

B) Del monto:

Mi = R [ (1 Mi R(1 + i)

( II:

n

+

')0

1+1

i) - I ] (1 -

+ i)

1

Mi 1 ')0 R(1 + i) + =: (1 + 1 , Mi + R(l+i) n.log (1 + 1) - log [ R{l + i) ]

123

I [ Mi + R( 1 + i) ] og R(l + i) n= log{l + i)

EJEMPLOS 1) Una persona que hace su testamento, indica al Seguro que irunediatamente despues de morir, Ie sea entregado a sus herederos la cantidad de 25,000,000.00 mas 3 anualidades (necesariamente por la misma cantidad), mismas que les seran entregadas al principio de cada afio. Los beneficiarios quieren saber cuanto recibicin si el dinero se les entregara todo, sin esperar los 3 afios que indica el testamento, y si la tasa de rendimiento en ese momento es de 15 % anual. Solucion: Hagamos el siguiente analisis; primero aritmetico, para observar como recibiran los herederos el dinero y ver cuanto recibiran si se les entregara de inmediato; segundo, calculandolo con la formula directamente. Solucion aritmetica: Cantidad inicial ................................... 25 000000.00 l

1a. anualidad 25 000 OOO(l.lSr (Valor presente) ...... 21 739 130.00 2

2a. anualidad 25000 000(1. 15r

3

3a. anualidad 25000 000(1. 15r

. . . . . . . . . . . . . . . . . .~

18903592.50

•••••••••••••••••••

16437905.00

I

82,080,627.50 Los datos encerrados en la Have, es como recibiran los herederos el dinero, y la suma es cuanto recibirian si se les entregara todo sin esperar los 3 afios. Solucion mediante la formula: Datos; n

=

primer pago + 3 anualidades

R

=

25000 000

n-l

=

3

A

=

25000000 [ 1- (l.15r + 1] 0.15

124

=

3

4

A

=>

A

=

=

25000000(3.283225)

82,080,625.00

2) Una persona desea comprar un terreno por el cual Ie exigen pagos de 30,000,000.00 cada principio de mes, durante 3 meses. Si esta persona esta de acuerdo en abonar el 5 % mensual sobre saldos, (,cuanto pagara en total? Solucion: Resolvamoslo primero aritmeticamente; para ver como se manejan tanto los pagos como el interes; y segundo mediante la formula. Solucion aritmetica: 1a. anualidad (principio ler. mes) ................... 30000 000.00 Interes en el 1er. mes .............................

1 500 000.00

2a. anualidad (principio 2do. mes) ................... 30 000 000.00 Monto al final del 1er. mes ................... , ..... 61 500000.00 Interes en el 2do. mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

3 075 000.00

3a. anualidad (principio 3er. mes) ....... . ........... 30000 000.00 Monto al final del 2do. roes ........................ 94575 000.00 Interes en el 3er. roes ............................. 4 728 750.00 Monto al final del 3er. mes ......................... 99,303,750.00

Soluci6n mediante la formula: Datos:

R = 30 000 000 i

=

0.05 mensual

n'" 3 roeses n+ 1 = 4

4

M = 30 000 000 [ (1.05) - 1 1] 0.05 M

=

30 000 000(3.310120)

=>

M

=

99,303,600.00 125

3) La senora Respigi cobrara un seguro de vida, que Ie deja su esposo, y puede optar por recibir 10 millones de pesos de imnediato 0 preferir el pago de 10 anualidades iguales cada ano, el primero de los cuales tendrfa de inmediato. Si el dinero rinde un 30% anual, l.que monto alcanzarian dichas anualidades? Solucion: A modo de ejercicio y ampliar algunos conceptos financieros, es conveniente resolverlo de 2 maneras: la.) Solucion: A

=

10000 000

= 30% - 0.30 n

=

10

n-l = 9 A = R [ 1 - (1 ~ ir(o-l) + 1 ] 1

10 000 000

=

R [ 1 - (1. 3 0.3

r

9

+ 1]

10000000 .... R(4.0190013) 10000000 R ... 4.0190013

=>

R - 2,488,180.3

2a.) Solucion: Como los 10 millones es un pago de inmediato no es la renta, as! que el monto de esos 10 millones a 9 perfodos, como se puede ver en la siguiente grafica, es M = C( 1 + i)9 y si el beneficiario decide recibir las 10 rentas anuales, entonces su monto sera M = R mlOl i' es decir como anualidad vencida, de esta manera podremos igualar el monto de la anualidad vencida en 10 periodos con el monto de los 10 millones a interes compuesto, pero en el perfodo 9, ya que ambos coinciden. Esto es:

126

n - 9 perfodos

3

2

1

4

, ,

0

1

J

R

R

2

3

R

IR RI

4

7

6

5

,

9

8

5

6

7

R

IR

IR

,

9

R

R

8

t

9

R m101 == C(1 + i) i

asi;

R-

R=

=::)

10000000 (1.3)9 (1.3)10_ 1 0.3

10000000 (10.6044990) 42.619497

=

10000000 (0.248818)

R - 2,488,180.0

127

4) EI duefio de una tienda de abarrotes piensa reunir 100 millones para poder jubilarse, y qui ere saber en cuanto tiempo lograra tal cantidad, si hace depositos mensuales de 500,000.00 en un banco que otorga una tasa de interes de 3.5% mensual. Solucion: Esta anualidad se puede resolver como vencida 0 como anticipada, en este caso la resolveremos como anticipada ya que de esta forma el abarrotero acumulara sus intereses desde el principio del mes y no al final. Datos: M = 100000000

R = 500000 i = 0.035

log [ Mi + R (1 + i) ] R (1 + i) n= log (I + i)

log [ 3 500 ~oo + 517 500] n -

0.890046 n .... 0.014940

::::>

log (7.763285) 0.014940

0.014940

n

=

59.574665 meses

n = 4 afios 11 meses 17 dias

5) AI principio de cada trimestre se realizo un deposito de 10,000.00 y al cabo de 3 afios se retiro una cantidad de 160,000.00. Calculese la tasa de interes trimestral.

128

Soluci6n:

M

=

160000

R

=

10000

n

=

3(4)

=

12 trimestres n+ 1

M

=

R [(1+ i).

-1

-11

1

M

=

R(

mn+ I1 i-I)

Calculemos Mn+ 11 i-I

M

=R

mn+l1i

160000 +1 10000

mn+ 11 j =

16 + 1 = 17

Ahora bien, busquemos en la tabla II el factor 17 en el rengl6n n+ 1 - 12 1 = 13 Y10 encontraremos comprendido entre las tasas siguientes:

17.15991327

- - - - - 4.5%

16.62683768

-----4%

+

Para convertirlos a anticipados Ie restamos la unidad al 17 y al 16 e interpolamos, ya que los factores que dan la tabla son vencidos y no anticipados. Estoes:

16.15991327

0.045

16.00000000

15.62683768

0.040 _

15.62683768 -

0.53307559

0.005

0.37316232

X

=

0.040 X

0.005(0.37316232) = 0.00186581 0.53307559 0.53307559

=> =>

0.040 + X

X

=

.'. i

=

0.040 + 0.0035

i

=

0.0435

0.00350009

i = 4.35% trimestral

129

6) Una persona alquila un departamento dando por adelantado una renta de 500,000.00. Como sale mucho de viaje, propone al arrendatario pagar una renta anual equivalente y tambien por adelantado, el cualle impone unos intereses de 48.5 % anual convertible mensualmente, i.,se quiere saber que monte alcanza dicha renta anual? Solucion: n - 12 n-l "" 11

R

500 000

==

i = 48.5%

a 0.:~5 =

=

0.0404166

1- (l + i)-(n-l)

A

R[

=

A

=

.

1

+ 1] 11

500000 [1- (1.04041r +1] 0.04041

A = 500 000(8.741137 + 1) = 500000(9.741137) ~

A

=

4,870,568.5

7) Una persona desea reunir 10,000,000.00 en 5 afios para dedicarse a viajar. Si puede depositar al 63.3% capitalizable al mes, y suponiendo que en todo ese tiempo no cambia la tasa de interes, i.,cminto debera depositar cada mes con el objeto de reunir la cantidad que desea exactamente antes de realizar el ultimo deposito? Solucion: M

=-

10000000

n - 5(12) = 60 meses

.

1-

R=

63.3 5 I 12= 0.0527 mensua 10000000 61

=

[(1.05275) -1 _ 1 ] 0.05275 ~

130

R = 24,028.38

10000000 416.174483

8) Una jovencita desea ahorrar 50,000.00 al principio de cada mes durante 3 afios. Si sus ahorros ganan 40% convertible mensualmente, i.cminto habra acumulado al mes siguiente del ultimo deposito? Solucion: R

=

50000

n

=

.

1=

3 afios

40 12

=

3(12)

=

36 meses

at 3.33 3333,0

=

0.033333

=

37

M

=>

M

=

=

50000 [(1.033333) -1 -1] - 50000(69928869) 0.033333 .

3,496,443.45

9) En una mueblerfa se vende un antecomedor por 900,000.00 en abonos, mediante pagos mensuales anticipados de 100,000.00. Si el interes es de 48 % convertible mensualmente, i.cwintos pagos es necesario hacer? Solucion:

R

=

100000

A

=

900000

.

1=

48 at 12 = 4,0 = 0.04

100000(1.04) n: 100000 (1.04) - 900000(0.04) log 1.04

10.

log 104000 _ 68000 _ log1.529412 n - 0.017033 - 0.017033

0.184524 0.017033

n = 10.833324

=>

n

=

10 meses 24 dias

10) Un comerciante vende hieleras con valor de 420,000.00 y las ofrece en 18 abonos mensuales de 27,465.57. Obtener el valor de la tasa mensual si no se cobra enganche y el primer pago se hace de inmediato. 131

Solucion: A

=

420000

R

=

27465.57

n

=

18

420000 ... 27465.57 1- (1 ~ i)-17 + 1

n -1 - 17

1

Ahora calculemos la tasa, haciendola por tanteos en lugar de interpolar. 1-(1+i)-17 .

Tasa propuesta

+ 1

1

0.04 0.05 0.03 0.02

13.165670 12.274066 14.166120 15.291870

=>

i

=

Renta

Valor Presente

27465.57 27465.57 27465.57 27465.57

361 602.63 337 114.21 389080.56 419999.92

0.02

Anualidades diferidas

Si una anualidad vencida 0 anticipada se inicia cuando ha transcurrido algun tiempo, en el que no se efedua ninguna condicion en la anualidad, entonces decimos que su pago se ha diferido. En este tipo de anualidades anotaremos 2 tiempos; uno diferido "K" y otro de pago "n", mismos que hay que determinar con cuidado y con el auxilio de un diagrama para poder visualizar en donde se coloca el valor presente y las rentas de la anualidad de que se trata. Anualidades diferidas vencidas

Valor presente: Cuando el primer pago se efectua al final de UK" periodos, se observa que la anualidad se ha diferido (K-l) periodos. En el siguiente diagrama se muestra una anualidad vencida diferida UK" pedodos.

132

o

1

2

3

(K-l)

K

I

(K+l) - - - K + n - l

K+n

I

A

Anli

Ahora bien, si consideramos el valor presente (A) en la fecha inicial (0), entonces se capitalizan intereses al transportar el valor presente (A) los "K'" periodos, por 10 cual podemos escribir: A( 1 + i)K

de dondeA

=

=

Anl i

Ran"'II (1+ i)K

donde : Kesel intervalo diferido n es el tiempo de pago a partir de

"K~'

o sea que: n = (K+n) - K Podemos obtener una formula equivalente a la anterior, pero desde otro punto de vista. Aprovechando el diagrama anterior, podemos calcular los valores presentes como una diferencia entre dos anualidades no diferidas, esto es: Primero. Si colocamos el valor presente en cero y tomamos a 6'n'" como K +n, entonces: A'

=

R a K+nl i

Segundo. Si colocamos el valor presente en cero y tomamos "K'" perlodos, entonces: A" =RaKli 133

Tercero. EI valor presente sera, como habiamos dicho: A=A'-A"

De donde "A'" diferida "K'" perfodos es: A

RaK+nli - RaKli

=

Monto: EI monto de las anualidades diferidas es igual al monto de las anualidades ordinarias, solo que hay que considerar el tiempo en que se aplaza el primer vencimiento. Trataremos de entender este concepto, a traves del siguiente ejemplo. En una institucion de credito que abona el 2.5 % mensual, se hacen depositos de 500,000.00 cada fin de mes durante 3 ailos. Calcular el monto que se tendci 5 ailos despues de haber efectuado el ultimo deposito. Solucion: Esta anualidad es vencida, as! que el monto se calcula con la fonnula Mnl i = R mnl i' pero observese que dicho monto viene siendo el capital inicial despues de "K" perfodos, K = 60, por 10 tanto haremos 10 siguiente:

M

=

donde n

C

=>

=

C(l :::0

+

it

k (fecha focal)

Mnl i

=

RmrJ i

I

M-Rmn',(l +i)K

Luego entonces: K = 5(12) = 60 n = 3(12)

134

=

36

i

=

0.025

R

=

500000

.. M

=

500000 m3610.025 (1.025)60

De la tabla II se tiene que: m3610.Q2S - 57.30141263

.. M

=

500000(57.30141263)(4.399790)

=>

M .... 126,057,091.0 EJEMPLOS

1) Se pretende saber emil es el valor presente de una renta de 30,000.00 anuales al 6% anual cuando el primer pago se obtendni dentro de 2 afios y el ultimo dentro de 8 afios. Soluci6n:

o

R

R

2

3

4

30 000

30 000

30 000

1 K

R

5

6

7

8

30000

A

donde R

=

30 000

i

=

0.06

n=7

K=1 K+n = 1 + 7 = 8

A == 30 000(a81 0.06 - a11 0 .(6 ) De la tabla I se tiene: A == 30 000(6.20979381 - 0.94339623)

A

=>

=0

30 000(5.266398)

A -= 157,991.94

2) Un inversionista desea acumular en su cuenta bancaria 20,000,000.00 al 31 de diciembre de 1990. Para ello hace 4 depOsitos iguales en su cuenta que Ie paga un 36% capitalizable trimestralmente, pagandole los intereses los dias ultimo de marzo, junio, septiembre y diciembre. Si los 135

depositos coincidieron con las 4 fechas de pago de intereses en el ano de 1989, l.cmil fue el valor de cada uno de los depositos? Soluci6n: M

=

20000000

n=4 K=4

i R

= 36%

a = 346 = 0.09 trimestral

M

=

mn 1 (1+

20000000 4.573133(1.411582)

20000000

il [(1.g~;-11(l.09)4

=>

R:: 20000000 6.455352

R

3,098,204.40

3) Una persona hereda 20,000,000.00 y los invierte al 30% anual capitalizable semestraImente, conviniendose que recibira 20 pagos semestrales iguales debiendo recibir el pago inicial dentro de 5 afios. Encontrar a cuanto asciende la anualidad. Solucion: R

n-

~5-19

20

~~~

o

1

2

n= 20 K=9

i

=

30%

a=

15% semestral

=

0.15

A'" 20000000

a291 0 IS =

.

136

1- (1. 15r 0.15

29 =

6 550877

.

__ 1- (1.15r 9 -~----'-~=4.771584 0.15

R

20000000 6.550877 - 4.771584

=>

20000000 1.779293

R = 11,240,419.65

4) Algunos almacenes ofrecen al publico planes de venta para las fiestas decembrinas, en el mes de noviembre. Un trabajador aprovecha esto para comprar un antecomedor, con la promesa que se 10 entregaran el dfa 10. de diciembre y el compromiso de pagarlo a un afio con mensualidades de 50,000.00 empezando su primer pago el primero de febrero del siguiente aiio. La tasa pactada para fa transaccion es de 4 % mensual. i. Cual es el precio de contado del antecomedor? Solucion:

R= 50000 i

=

0.04 mensual

n= 12 K= 1

10. Die.

10. Feb.

10. Ene. n

Aqui 10

A

=

10. Ene.

1---------12

50 000 -

50 000

50 000

recibe

A-50 000 [1_(~::rI2] (l.04rl- 50000(9.385075)(0.961538)

=>

A = 451,205.55

5) Calcular el valor presente de una anualidad diferida 2 afios, de 7 pagos de 150,000.00 cada uno semestralmente, si la tasa de interes es del 6.5 % semestral. Resolverlo con las dos formulas. 137

Soluci6n: Semestre:

0

2

I

3

4

5

6

7

8

K-3

A·

n-7

150000 R i

9

10

~C:V=V=V=Y='vC~

I

150000

150000

=

0.065

=

K=3 n

=

7

Usando la f6nnula A

=

R(aK+n1 j-aK1 j )

A = 150000(7.18883022 - 2.64847551)

=>

A

=

681,053.25

Usando la otra f6nnula tenemos: A = R(I +i)-Kanl i A A

=>

A

= =

=

3

150000(1.065r a71 0 .065 150 000(0.82784909)(5.48451977)

681,053.20

6) Se invierte la cantidad de 70,000.00 y se recibiran despues de 4 anos, una serle de rentas de 20,597.46 a una tasa de interes de 7% anual. Calcular el nUmero de pagos que se recibiran. Soluci6n: A= 70000

R= 20597.46 i- 0.07 K=5

70000 = 20 597.46(1.07rs an10.07

138

a~ ni

=

70000 20597.46 (0.712986)

anl i

=

4.766540

EI factor 4.76654 se encuentra en la tabla I a la altura de 6 periodos, por 10 tanto: n = 6 pagos 0 anualidades

Anualidades diferidas anticipadas Valor presente: Para poder demostrar la f6nnula del valor presente de una anualidad anticipada diferida, nos valdremos del siguiente diagrama. Periodos

0 1 2 -K-l I

K

K+l

I

K+2 - - K+n-2 I I R R

I

Rentas

R

R

K+n-l

K+n

R

Valores actuales: R (1 + i)K

R (1 + i)K+I

R (1 + i)K+ n-2

R (1+ i)K+2

R (1 + i)K+ n-I

Para mayor facilidad de calculo invertimos el orden de la progresi6n y sumamos. Esto es: A=

R (1 + i)K+l

R R + + (1 + i)K+n -1 (1 + i)K+ n -2

+--::..:....- +

R (1+ i)K

Esta progresi6n, como puede verse, es de orden creciente cuya raz6n es (1 + ~) -1- (1 +i); as/ que, aplicando la fonnula de la suma en una progresion geornetrica, se tiene:

s _ a (rP-l) r-l

n

S == A n

R

=

(1 + i)K + n -1

[(I+·t 1] I-

(l+i)-l 139

A=

A

R

R

(1+ i)K+ n -1(1+ if n

(1+ i)K+ n-1

~~~--~--~--~---~----

R (1 + i)K+ n -1-n =

R (1 + i)K+ n-l .

-

1

A

=

R

R

(1 + i)K-l

(1 + i)K+ n -1

->----''----~---'

0.05

10 2

=

5% semestral

10000 0.163300

10000 0.008165 0.05

=>

R

=

61,236.98

Una persona desea conocer el monto de su dinero si realiza 12 pagos vencidos de 1,000,000.00 cada 2 meses, comenzando a los 6 meses, si el rendimiento de su dinero es del 25 % capitalizable mensualmente.

3)

Soluci6n: n= 12 R= 1 000000 •

at

= 2510

1

0.25 =12= 0.020833 mens.

dado que el pago es mas largo que cl. de capitalizaci6n, utilizaremos la siguiente f6nnula: In

i =[1 + J(m)]p - 1 donde; m

=

12

p=6 g

"

i =(1.020833)6 - 1 =0.042100

=

4.21% bimestral

12

asi: M

=

1 000 000 [( 1.042100) -1]= 1 000000(15.208076) 0.042100

=> 146

M

=

15,208,076.00

4) Se paga una renta de 1,000,000.00 de pesos por aiio vencido durante 7 aiios. Se quiere saber cmil es el monto y el valor presente de dicha renta, si la tasa es de 16% convertible trimestralmente. Solucion: n= 7 anos p= 1 (pagos por ano) m= 4 (No. de trimestres)

R= 1000000 J(m)

=

16%

=

0~6 = 0.04

Como el nillnero de capitalizaciones es menor que el nillnero de pagos, entonces usamos la formula siguiente: i =[1 + J(m)]p - 1 para calcular la tasa equivalente. 4

..

i

=

(1.04)1 - 1 == 0.169859 M

7

=

1 000000 [(1.169859) -1]= 1 000000 [1.998711] 0.169859 0.169859

M - 1 000000(11.766883)

=>

M .... 11,766,883.00

A ... 1000000 [1-(1.169859 0.169859

A == 1 000 000 (3.923978)

r7 ]= 1000000 [0.666523]

~

0.169859

A

=

3,923,978.00

5) Una persona efectua 20 pagos cada 2 meses de 200,000.00 pesos, si la tasa de interes es de 10% trimestral, calcular el monto y el valor presente de esos pagos.

Soluci6n: n .... 20 pagos bimestrales

R= 200000 i == 10% trimestral 147

p= 2 (No. de pagos) m= 3 (No. de capitalizaciones)

o

I I ler. Bim.

20.

30.

Bim.

Bim.

- - - - - - - 20 avo. Bim.

El tiempo de capitalizacion es mas largo que el tiempo de pago . .£.

...

J(m)'" (1 + i)m - 1

J(3) - (1.1 )2/3 - 1 ... 0.065602 20

M - 200000 [(1.065602) -1] = 200000 [2.563695] 0.065602 0.065602 M

M - 200000(39.079525) A - 200000 [1- (1.065602

r20

] ...

0.065602 A - 200 000(10.966013)

=>

=

7,815,905.00

200000 [0.719392] 0.065602 A

=

2,193,202.60

6) Calcular el monto de una anualidad ordinaria de 2 millones por ano si se dejan 5 anos en el banco. Ademas se consideran unos intereses de 30% anual capitalizable semestralmente. Solucion:

2000000

6 1 ano °Primero calculamos la renta que corresponde a un pago semestral.

i - 30% it .. o~o n .. 2 semestres A - 2 000000 148

... 0.15

R =~ =

2000000 2 1-(1.15r 0.15

a2\.lS

2000000 1.625730

1,230,232.47

=

Ahora calculamos el monto con la nueva renta y n

=

10 semestres

10

MlO10 . 1s

..

=

1 230 232.47

=>

[(1.~~i5 -1] = M

=

1 230232.47(20.303720)

24,978,295.61

7) Se pretende saber cmil es el valor de las rentas mensuales anticipadas que sustituiran a rentas semestrales, tambien anticipadas de 10,000,000.00. Si se tiene una tasa del 35% de interes convertible semestralmente. Solucion: A= R'

=

10000000 sem. anticip.

R = ? mens. anticip. i= 0.175

n= 6 n -1= 5

1.

i=(I+i)m-l

R

R

R

R

R

I

I

I

I

o

1

2

3

I 4

R

I 5

6

.!.

i =(1.175)6 - 1 = 0.027242 mensuales .. 10000000 == R + R(1.027242r 1 + R(l.027242r2 + R(1.027242r 3 +

R(I.027242)-4

10000000 ... R + R(0.973480) +

R(0.898067)

+ +

+

R(1.027242)-5

R(0.947664) + R(0.922533) + R(0.87425 1) 149

Factorizando "R" se tiene: 10000000 = R(1 + 4.615995) R = 10000000 5.615995

=>

150

R = 1,780,628.36

CAPiTULO VII

AMORTIZACION

Concepto

Podemos considerar que el tennino amortizar es la extinci6n gradual de una deuda mediante pagos "R" peri6dicos, es decir realizados en intervalos de tiempos iguales que comprenden el interes y una parte del capital total. Recordemos que la parte de la deuda no pagada en cierta fecha, se Ie conoce como capital insoluto. Dicho capital al inicio del plazo es la deuda original. Ahora bien, para poder llevar un registro que indique tanto el capital pagado, como los intereses y el saldo al principio de cada perfodo, fonnularemos una tabla llamada, TABLA DE AMORTIZACION. Dicha tabla se podci llenar de la siguiente manera: a) Se encuentra el nu.mero de pagos necesarios para amortizar la deuda. b) Se calcula el valor de los pagos "R", que constituyen una anualidad cuyo valor presente es el capital insoluto al inicio del plazoo c) Obtener el interes sobre saldos 0 'capital insoluto. La diferencia de los pagos "R" con interes vencido sera el capital pagado al fmal del perfodo, que en consecuencia disminuinin tanto la deuda como el interes, y por ende, la cantidad destinada para disminuir la deuda aumenta en cada perfodo.

151

Con base en 10 anterior, resolveamos los siguientes ejemplos y fonnemos la tabla de amortizacion. 1) Una deuda de 10,000,000.00 con interes del 40% convertible semestralmente, se va a amortizar mediante pagos semestrales iguales en los proximos 4 afios, el primero con vencimiento al termino de 6 meses. Solucion:

Formula:

A= 10000000 i

=

40%

a = 0.2 semestral

n= 4 afios

R=

=

8 semestres

10000000 1-(1.2r 0.2

8

10000000 3.837160

=>

R

=

2,606,094.090

CONSTRUCCION DE LA TABLA

N

Capital insoluto al principio del perfodo

Interes vencido al final del periodo sobre capital insoluto

Pago periOdico

1 2 3 4 5 6 7 8

10000 000.000 9393905.910 8666593.002 7793817.512 6746486.924 5 489 690.219 3981 534.173 2 171 746.918

2 000 000.000 1 878 781.182 1 733 318.600 1 558 763.502 1 349297.385 1 097938.044 796306.834 434349.383

2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090 2 606 094.090' 2 606 094.090 2 606 094.090

Suma

Capital pagado al final delperiodo 606094.090 727312.908 872775.490 1 047 330.588 1 256 796.705 1 508 156.046 1 809787.255 2 171 744.706

10.848.754.930 20.848--,-752.720 9,999,997.788

Podemos observar en la tabla que: Suma del pago periodico = Suma del capital pagado + Suma de intereses Ahora bien, si queremos calcular el capital insoluto al finalizar un perfodo determinado, 10 podennos hacer con la siguiente fonnula: 152

donde: n" es el tiempo en que se debe amortizar la deuda. 46

"k" es el tiempo al finalizar el periodo convenido. Tomemos como muestra de la tabla, el periodo 6; es decir, al finalizar e150. semestre: Por 10 tanto: n

8

=

k=5 asf: C = 2 606 094.090 as-sl

0.2

C = 2 606 094.090 a 3 10.2

C C

=

=

:::::> c =

2606 094.090 [1-

~~~r31

2 606 094.090(2.106482) 5,489,690.291

Observese que con esta f6nnula, se pudo calcular el capital insoluto al principio del periodo requerido, sin necesidad de elaborar toda la tabla.

2) Una deuda de 100,000,000.00 se debe amortizar en 10 aiios con pagos semestrales a una tasa de 18% semestral. HaHar el capital insoluto al final del 70. aiio. Soluci6n: A = 100000000 i = 0.18 semestral n = 10(2) = 20 semestres .'. R

0=

100000000 = 100000000 a2010.18 5.352747

=

18,681,996.37

EI cal'ital insoluto al finalizar e170. ano sera: C

=

c=

18681 996.37 a20-1410.18 18681996.37 a61o.18 153

C = 18681 996.37(3.497603)

=>

C

=

65,342,206.55

3) Una deuda alcanza un monto total de 4,501,776.00 que debe ser cubierta el dia 20 de julio, para ella se realizan depositos de 500,000.00 mensuales al 48.5 % anual. Se quiere saber cmindo se debe hacer el primer deposito. Solucion: M= 4501 776

R

=

500000

i = 48.5 % a (tasa efectiva anual) Como el periodo de capitalizacion es mas largo que el periodo de pago, entonces calcularemos la tasa efectiva mensual de la siguiente manera: J(m) donde:

= (

. .E. I + l)m - 1

P = 1 (mes)

m

=

12 (meses por ano)

.. J(12)

=

(1.485)1/12 - 1 = 0.033500

Ahora, calcularemos el nUmero de pagos que se deben hacer para poder conocer el mes en el que hay que realizar ese primer deposito. 4501 776 =500 000 [ (1.0335)n-l ] 0.0335 9.003552(0.0335)

=

(1.0335)n - 1

0.301619 + 1 = (1.0335)n n log 1.0335 = log 1.301619 n = log1.301619 logl.0335

=> 154

n=8meses

=

0.114484 0.014310

De tal manera, que si la deuda debe ser cubierta el 20 de julio, entonces ese dia se hace el ultimo pago, asi que el primer deposito se realizara el dia 20 de diciembre del ano anterior. 4) Con motivo de las ventas de primavera, una bodega ofrece al publico lotes de ropa de segunda en 500,000.00 dando faeilidades de pagar en 3 meses con abonos mensuales iguales y no de inmendiato, a una tasa de interes de 5 % mensual. Si un cliente aprovecha la citada faeilidad ellS de mayo pero puede efectuar su primer pago el dia 15 de agosto; se quiere saber cmil es la amortizacion mes ames. Solucion: Como los abonos son mensuales iguales y no de irunediato, la operaci6n se convierte en una anualidad diferida vencida. Esto es: R

R

R

n=~ Mayo

Junio

Julio

Agosto

Sept.

Detubre

15

15

15

15

15

15

K=

1

2

Dia compra

A

pago Fonnula

n - 3 (No. de pagos)

A = Ra~ i (1+irk

K = 2 (tiempo diferido) A ...... 500000 .. 0.05 mensual 500000

-3 =

R [ 1-

6~O~5)

] (1.05)-2

500000 = R (2.723248) (0.907029)

155

500000 = R (2.470066)

..

500 000 R = 2.470066

=>

R = 202,423.74

CONSTRUCCION DE LA TABLA

Periodo Jun. 15 Jul. 15 Ago. 15 Sep. 15 Oct. 15 Suma

Cap. insoluto al principio del periodo 500000.00 525000.00 551250.00 376388.76 192784.45

Int. vencido (5%) 25000.00 26250.00 27562.50 18819.43 9639.22 107271.15

Pago periodico

Capital pagadoo amortizacion

-------------------------

-------------------------

202423.74 202423.74 202423.74 607271.22

174861.24 183604.30 192784.51 551250.05

Hagamos un analisis de los resultados de la tabla: Observemos que 607,271.22 - 107,271.15 = 500,000.00 es el capital insoluto al principio del periodo 0 bien ell1amado "saldo 0 deuda original" y la "amortizacion" total de 551,250.05 es, obviamente, la deuda al dia que vence el primer pago.

156

CAPITULO VIII

BONOS

Generalidades Las inversiones llamadas BONOS u OBLIGACIONES son promesas escritas de pago. Por ejemplo, la sociedad 0 gobiemo que requiere de mover grandes capitales, no puede en muchas ocasiones, obtener dichos capitales de una sola fuente, entonces tiene que recurrir a la inversion de muchos individuos 0 companfas. De tal manera que puede solucionar su problema emitiendo dichos bonos u obligaciones. Se dice que los inversionistas que adquieren los bonos, estan prestando su dinero a esa sociedad que los emitio, por 10 tanto se hacen acreedores a recibir sus INTERESES PAGADEROS EN PERIODOS REGULARES DE TIEMPO.

Diversos tipos de bonos: Los bonos son documentos de credito que pueden ser transferidos a otras personas, unos por simple venta 0 al portador, y otros por endoso. En caso de que un bono cambie de dueno por simple venta, se Ie llamara BONO NO REGISTRADO; y aquel bono que tiene el nombre de su propietario, y que carece de valor para cualquier otra persona se Ie llamani BONO REGISTRADO. Todos aquellos bonos al portador 0 registrados pagaran el valor nominal (capital 0 principal) y los intereses; al portador, con la presentacion de un cupon que esta impreso y va unido a la obligacion (son desprendibles), y el bono registrado no requiere de dicho cupon, ya que tanto el capital como los intereses solo se pagaran a la persona registrada como tenedor del bono.

157

Tenninologfa: Valor Nominal. Es el capital que esta sefialado en el bono. Valor de Redenci6n. Es el valor que el tenedor del bono rescata cuando se Ie reintegra su dinero. Nota: Cuando el valor de redencion es igual al valor nominal se dice que el bono es redimible a la par, y si no, dicho valor de redencion se anota como un porcentaje de valor nominal del bono u obligacion, y se les suele denominar;BONOS SOBRE LA PAR 0 PREMIO, Y BONOS BAJO LA PAR 0 CON DESCUENTO. Los bonos generalmente son multiplos de 10, y los valores mas utilizados son 100; 500; 1000; 10000 Y 50000. Tasas de interes y valor actual de los bonos

Al comprar un bono en una fecha de pago de intereses, se espera que produzca un rendimiento sobre el precio de compra, 10 cual involucra DOS TASAS DE INTERES; una, la tasa que la empresa emisora paga sobre el valor nominal (sobre el bono) 6'rH; y la otra, es el rendimiento hasta el vencimiento (sobre inversion) "in, Esto es: Valor actual de los bonos = Valor actual de los intereses + Valor actual del principal EI valor actual del principal = C (1

+

irn

El valor actual de los intereses 0 anualidad, esta constituida por los cupones

Franl i Donde: V = Valor 0 precio de compra del bono para obtener un rendimiento "in.

F:= Valor nominal (0 a la par) del bono r

=

Tasa de interes que se paga sobre el bono por perfodo

i = Tasa de rendimiento sobre la inversion porpedodo de cup6n (en realidad es 10 que el inversionista gana por su inversion) 158

Fr =R = Anualidad vencida nominal a la tasa r "

0

valor de los intereses sobre el valor

U

A = Valor presente de la anualidad C

=

n

=

Precio de redencion (igual al valor nominal del bono, salvo que se senale 10 contrario) Numero de perfodos de interes (0 numero de cuponc3) hasta que se redima 0 venza el titulo

Podemos calcular el valor de los bonos a 2 fechas; uno a Lafecha de cupon, el otro entre fechas de pago de cupon, esto es: VaLor de Los bonos comprados a La fecha de pago de cupon

Sabemos que el poseedor de un bono obtiene dos beneficios que son: a) El valor 0 precio de redencion, en una fecha Hamada FECHA DE REDENCrON b) Pago periodico de intereses, a traves de un cUpOn a medida que vence. Sea: Precio al

Fr

Fr

Fr

Fr

dia de hoy

I I

I

I

1 0

1

3

2

n-1

Fr+ C

I

n

Donde la anualidad vencida es: A = Ranli ycomo entonces

interes compuesto es

R-Fr A = Franli

ademas C ... Valor nominal del bono que a C = C (1 + i)-n (1 + i)n

159

Por 10 tanto el valor del bono comprado a la fecha de pago de cup6n es:

v= v

o bien;

=

Franli + C (l + i)-n

Fr [ 1 - (1. + ifn ] +

-- - - - - - (1) C

1

Ahora bien, esta formula se puede expresar de la siguiente manera: d e arlJ i da:

=

1 - (1. + i)-n despeJamos . (1 + 1.)-n para poderI f' a actonzar y que1 -n

ianl i = 1 - (1 (1 + i)

-n =

+

i)

1 - i anl i

si ahora multiplicamos ambos miembros por "c" queda: -n

C (1 + i)

=

C [ 1 - ianlJ

=

C - Cianli ----- 2

-n

C (1 + i)

sustituyendo 2 en 1 queda: V = Franlt

[C - Cianli ]

Factorizando aD] i queda: V = anl i (Fr - Ci) + C V

=

C + (Fr - Ci) anl i -n

o bien:

V = C + (Fr _ Ci) 1 - (1. + i) 1

EJEMPLOS 1) Un bono de 10,000 redimible a 10250, se anota como UN BONO DE 10,000 REDIMIBLE A 102.5. De hecho; como el bono no es a la par, entonces tiene un potcentaje del valor nominal, esto es:

160

\og~oo

=

1.025%, pero no se acostumbra escribir la palabra porciento, asi

10250 que 10 que se hace es 10000 x 100 = 102.5

2) De un bono de 1,000 a16% redimible (pagadero) el10. de enero, 10. de mayo y 10. de septiembre de cada afio, desde su emision hasta el 10. de septiembre de 1992 inclusive que se estipula a 105, se quiere obtener el pago all0. de septiembre de 1992 y los pagos cuatrimestrales. Solucion: El pago al10. de septiembre de 1992 es de: 1,000 (1.05)

=

1050

Los pagos cuatrimestrales son de 1,000 (6%) = 1,000(0.02) = 20 los dfas primero de los meses de 3 enero, mayo y septiembre de cada ano basta 1992 inclusive.

3) Un bono de 500 al 8% en los meses julio y diciembre redimible ellS

de diciembre de 1994 a 110, marca el pago al 15 de die. de 1994 de 500( 1.1 0) - 550. Y pagos semestrales de:

5oo(O.~8) -

500(0.04) - 20 los dias 15 de los meses de julio y

dicietnbre de cada aiio hasta 1994. 4) Un bono de 50,000 aI5%, reditnible por 1020 a 10 aiios y con un renditniento de 7%, estipula un valor 0 precio de: Solucion: Datos

F6nnula

C - 1020

paa 50,000 n - 10

r

=

v - C + (Fr -

Ci)

anl

i

0.05 161-

i = 0.07 .'. V

1020 +[50000(0.05) - 1020(0.07~alO 10.07

=

=>

V

V

=

1020 + (2500 - 71.4)(7.023581)

V

=

1020 + 17057.46882

=

18,077.468

Dado que el valor del bono "V" es mayor que el precio de redenci6n "c se dice que es un bono SOBRELAPAR n

5) Obtener el valor que se puede pagar por un bono de 100,4%, febrero mayo - agosto - noviembre redimible a la par el 10. de noviembre de 1995, fue comprado el dia 10. de febrero de 1985 con una tasa de rendimiento sobre la inversion y por perfodo de cupon de 6% convertible trimestralmente.

Solucion: Por un lado, se comprende que el comprador recibira 100 ello. de noviembre, ya que el bono es a la par; por otro lado el valor del bono sera:

Datos: n

=

11 atlos (de 1985 a 1995 inclusive)

aSl: n

=

1 1(4)

=

44 trimestres - 1 del trimestre de noviembre de

1984 a febrero de 1985 n

=

43 trimestres

r

=

0.04 anual 6% trimestral

0.06 4

0.015

C=I()()=F

Fr .. V

=

=

1, esto es

1()() (0.04) 4' trIm.

4

-=1 4

Franl i + ('(1 + i) -11 ya que el bono fue comprado a la fecha de pago de cuprin.

aSl; V = 1 a4310.015 + 100 (l.OlSr

162

43

v

= 31.521233 + 100 (0.527182)

-=>

V = 84.239 (BAJO LA PAR)

6) Un bono de 1,000,4% redimible 0 pagadero semestralmente con 6 pagos y con un rendimiento de 5 % sobre la inversion. Obtener el precio del bono. Solucion:

c= 1,000 =

F

no:: 6 r= 2 % semestral i

=

5% anual

.. i = 2.5% sem.

Fr = 1 000(0.02) Usando la fonnula V

=

=

0.025

20

Franli + C(1 + i)-H tenemos: 6 V- 20a61 0.02.5 + l000(1.025r =

V= 20(5.508124) + 1 000(0.862297) V= 110.16248 + 862.297

=>

V = 972.46

Verifiquemos este resultado usando la otra f6nnula: V= C + (Fr - Ci)anli ; esto es: V= 1000+ [20 - l000(0.025)]a610.02.5 V= 1000+ (20 - 25) (5.508124) V= 1000 - 27.540620

=>

V = 972.46

7) Una empresa emite 2000 obligaciones de 1,000.00 cada una, con cupones semestrales de 70.00 para ser reembolsados al fro de 6 afios con una tasa de 4 % semestral. Calcular el valor de la emisi6n.

163

Solucion: F= C

=

2000( 1000)

=

2,000,000.00

n = 6 afios = 12 semestres 70 r= 1000 0.07 = 7% i= 4% semestral =- 0.04 Usemos ahara una formula equivalente a las usadas en los problemas anteriores.

1

V = Fr [

(1+0-n] i

F + (1 +ir

V = 2 000 000(0.07) 1- (1. O4 ) 0.04

-12 +

2000000 (1.04)12

V= 140000(9.385075) + 2000000

1.601032

V= 1 313910.50 + 1 249 194.27

=>

V = 2,563,104.77 Emision sabre la par

8) Se compra un bono de 1,000.00 redimible a la par, para ser reembolsado al fin de 3 anos. Dicho bono paga intereses semestrales de 40% anual. Obtener el valor del bono si la tasa de rendimiento es de 30% convertible trimestralmente. Solucion: F- C ... 1,000 40 r= 40% =2 = 0.20 semestral

i= 30% =30 ... 7.5%

4 n= 3 anos - 6 semestres

m= 2 trimestres (de un semestre)

:. i -=[ 1 + J(m) ]m -1 i- (1.075)2 -I "" 0.1556 164

(l~ i)-n]+ F (1 + if"

V= Fr [1 -

1

6

V= 1 000(020) [1- (1. 1556r ]+ looo(ll556f6 . 0.1556 . V= 200(3.728094) + 1 000(0.419909) V= 745.6188 + 419.909

=>

V

=

1,165.52

Compra de bonos con premio 0 descuento

Si e1 valor de un bono "V" es menor que el valor de redencion "C", se dice que fue comprado con DESCUENTO. Esto sucede si 1a tasa de interes del bono (r) es menor que 1a tasa de rendimiento sobre la inversion (i). Esto es: D=C

V

Un bono se compra a PRIMA 0 PREMIO si su valor de compra "V" es mayor que su valor de redencion 0 a la par "C". Esto sucede si la tasa de interes del bono (r) es mayor que la tasa de rendimiento sobre 1a inversion (i). Esto es: P=V-c

Ahora calculernos una formula en la que obtengamos el valor del descuento y el valor de la prima en forma directa, simplificando as! un poco las operaciones. Esto es: Dado que V = Franli + F(l

+

i)-n

y D-C-V donde C

F ya que estamos considerando un bono redimible a la par

=

entonces D :. D

= =

D

F-V F - Fr anl i =

-

F (1 + i)-n

F[1 - (1 + i)-n]- Franl i

Observemos en esta ultima expresion que si [1 - (1 + i)-n] estuviera dividido entre "i", entonces seria igual a anl i (valor presente de una serie de anualidades de un peso), por 10 que si multiplicamos por 44i" Y dividimos entre "i", queda:

165

~ [1 -

(1 +irn]

I

[

1- (1+ i)-n

.

I

]

. 1- (1 + i)-n .. D

FI

=

D

i

Fianl i

=

- Franl i -

Franl i

Factorizando anl i tenemos:

D

=

(Fi - Fr) anl i

Haciendo las mismas consideraciones para calcular la prima tenemos: n V = Franli + F(1 + ir P=V -F

:. P = Franl i + F (1 + i)-n

-

F

P= Franl i - F [ 1 - (1 + irn] P= Franli - Ft [1- (I + irn] n p~ Franl i - Fi [ 1- ir 1

(\+

P= Franl i - Fianl i

EJEMPLOS 1) Detenninar el descuento para una emisi6n de 1,000.00 obligaciones de 50,000.00 cada una, con cupones semestrales de 5,000.00 reembolsables al fm de 5 aiios con una tasa de rendimiento de 15% semestral.

166

Solucion: Resolvamos este problema en 2 formas diferentes. a)

F= C

=

Calculemos primero el valor del bono y luego el descuento

1,000(50,000)

5000 r= 50000 0.10

=

50 000 000

10%

=

i= 15% = 0.15 n= 5 anos

=

10 semestres

Fr = 50 000 000(0.10)

Ci ::: Fi

=

5 000 000

=

50 000 000(0.15 )= 7 500 000

1O

V = 50000000 + (5000000 - 7 500000) 1- (1.15r

.. V= 50 000 000 + (-2,500,000) (5.018769)

0.15

V = 50 000 000 - 12 546 922.50

V= 37,453,077.50 Por 10 que aplicando la formula D

D

=

=

C - V queda:

50 000 000 - 37 453 077.50

=>

D

12,546,922.50

b) Ahora, calculemos el descuento directamente

FOrmula

Datos F= C

=

50 000 000

r= 10%

i= 15%

D == (Fi - Fr) an'li

n= 10 semestres Fr = 5000000

Fi .. D

=

=

7500 000 (7 500 000 - 5 000 000) awl 0.15

167

D= (2500000) (5.018769) D = 12,546,922.50 2) Detenninar la prima para una emision de 1,000 bonos, de 1,000.00 cada uno, con cupones anuales de 500.00 por titulo, reembolsables al fin de 6 anos con una tasa de rendimiento del 25 % anual. Solucion: Datos

Formula

F= 1 000(1 000) 1000000 500 r= 1000 0.5 = 50% i= 0.25 n= 6 anos .'. p

= [

1 000 000 (0.5) - 1 000 000 (0.25) ]

a61

0.25

p= (500000 - 250000) (2.951424) p= (250000) (2.951424)

=>

p

=

737,856.00

Valor en libros y amortizaci6n de la prima Cuando un bono se compra con premio 0 con descuento, al transcurrir el tiempo su valor varia hasta llegar a su valor de redencion, esto se puede calcular haciendo una tabla de inversion donde se muestre el cambio del valor en libros de los bonos. En dicha tabla se puede observar que la inversion siempre gana la tasa de rendimiento "i" Y 10 que sobra del cupon se utiliza para amortizar la prima. Sea por ejemplo: Se tiene una obligacion de 1,000, valor nominal que vence a la par dentro de 2 anos al 5 % semestral. Paga un rendimiento de 8 %. Hacer la tabla de inversiones 0 valores. Soluci6n: Se calcula primero el valor de compra del bono, esto es: C

=0

F .. 1 000 por ser a Ia par

.'. Fr - 1 000(0.05) "" 50

168

r= 5% = 0.05 i= 0.~8

=

0.04

n= 2 (2 ) = 4 semestres as1: V

=

1 000 +

1 000 (0.05) - 1 000 (0.04) ] a410.04

V = 1 000

+

(50 - 40) (3.62989)

[

V = 1 000 + 36.2989 V= 1,036.29 (valor en libros con prima) (la. columna)

Perfodo 1 2 3 4

3a Interes sobre elbono "Fr"

2a

la

Valor en Interes sobre libros inversion "i ... "V" 1,036.29 1,027.74 1,018.85 1,000.60

Total

4a Amortizacion de la prima

41.45 41.11 40.75 40.38

50 50 50 50

8.55 8.89 9.25 9.62

163.69

200

36.31

Sa Valor en libros al final del perfodo 1,027.74 1,018.85 1,009.60 1,000.00

Calculo de las columnas: 1a. columna: 1,036.29 = V 2a. columna: 1,036.29 (0.04) = 41.452 3a. columna: Fr = 50 4a. columna: 50 - 41.45

=

8.55

Sa. columna: 1,036.29 - 8.55

=

1,027.74

Valor de los bonos eomprados entre feeMs de pago de eupon Hasta ahora, hemos analizado situaciones en que la compra del bono se ha hecho exaetamente en la fecha de pago de cupon, pero si hacemos la compra de un bono entre dos fechas de pago, es obvio que una parte del cupon no vencido pertenece al vendedor, y la otra parte al comprador, as! que para calcular el precio total que se pagara por la compra del bono, haremos 10 siguiente: 169

a) Detenninar el precio " P " de cotnpra de un bono sin aCUlnular el valor del cupon. b) Detenninar el precio II P /I de cotnpra de un bono aCUlnulando el valor del cupon (recibe el notnbre de precio efectivo, neto 0 flat). Este ultimo se puede calcular a traves de 3 tnetodos, que son: 1) Metodo exacto 0 de interes cotnpuesto 2) Metodo aproxitnado 0 de interes sitnple 3) Metodo por interpolacion a) Precio de cotnpra de un bono sin aCUlnular el valor del cup6n. Representeruos en la siguiente figura, los precios de cotnpra del bono exactatnente en la fecha de pago de cup6n /I Po" Y II PI " 0

1

K

Kl

I

Po

P

I

I

PI

donde:

Po es el precio en la fecha de pago inmediatamente anterior a la fecha de venta. P es el precio del bono despues de transcurrido un tiempo "K" (entre fechas de cup6n). PI es el precio en la ultitna fecha de pago 0 valor de redenci6n. Kesel tietnpo transcurrido despues de la pritnera fecha (Po). KI es el tietnpo por transcurrir. Ahora bien, establezcatnos la siguiente raz6n:

p-p

__ 0

K

de donde se concluye que:

170

Kl (P - Po) - K (PI - P) KP-KP -KP -KP 1

I

I

0

de esta exptesion despojamos lip II que es el precio que andamos buscando, asf:

KP+KP-KP +KP 1

1

P(K + K) 1

pero Kl + K

=

=

1

0

KP + K P 1

1

0

I

.', Kl -= 1- K

asf

P(l)

=

KPI + (l - K)P0

P = Kl'l + Po - PoR

po: P + K(P - P) o

1

0

EJEMPLO 1) Una obligacion de la compania JIGA S.A. de 1,000 tiene cupones fechados el10. de enero con precio del bono de 950.10, y ello. de julio con precio de 950.80. Se quiere saber el precio del bono sin el valor acumulado del cupon, si dicho bono se vende el 5 de abril. Solucion: Datos Po= 950.10 PI ... 950.80 Los dfas transcurridos del dfa 10. de enero al5 de abril son 94 (considerando los meses de 30 dias), as! que: K

=

94 180

donde 180 - 6 meses x 30 dfas

171

P P

=>

=

950.10

=

94 (950.80 - 950.10) 180

950.10 + 0.3655

P = 950.465

Observacion: el valor del bono se obtuvo por medio de una interpolacion. b) Precio de compra de un bono acumulando el valor del cupon.

EJEMPLOS 1) Un bono emitido por RICO, S.A. de 500 con interes del 4% semestral, redimible a la par el 10. de febrero de 1995 se pago el 10. de agosto de 1980. Se desea, con un rendimiento del 6% semestral, obtener el precio al 10. de noviembre de 1980. Calcularlo por: a) el metodo de interes compuesto y b) el metodo aproximado 0 de interes simple.

Solucion: Calculemos primero el valor de "Po". Datos: C= F = 500 por ser a la par i= 6% r= 4% n= 29 semestre (Ver siguiente grafica) Nov.

=

fecha de transaccion

1 I

10. de agosto

/ 1980 febrero

2

28

3

29

~ 94

agosto

febrero _

1993 febrero

a

f aqui redime C II

1994 -1980 (porque es desde el principio del ano) 14

2 (semestres) 28 + 1

X

172

II

.'. n = 28 + 1 semestre de la fecha inmediatamente anterior a la fecha de transaccion = 29 asi: V V

=

Po'" 500

=

Po

500 + 135.9072

=

=> a)

[500(0.04) - 500(0.06) ] a291 0,06

500 + (20 - 30 (13.59072)

=

Po

+

Po = 364.0928

Para obtener "P" en forma exacta, utilizaremos la formula del monto a interes compuesto; esto es:

M= C (l

+ i)n

o sea P = PoCl

+

i)K

de tal modo que: P

364.09( 1 + 0.06)K

=

Ahora bien, para conocer "K" haremos 10 siguiente: oct.

sept. I

I

10. de nov.

10. de agosto

agosto, sept. yoct.

30 (3)

1995

90 dias

K=---~~--

180 (diasdesem.)

1

2 (de semestre)

1

luego P

=

364.09(1.06)2

P

=

364.09(1.029)

=>

P = 374.65

Por otra parte, calculando Pi se tiene: PI == 500 + (20 - 30)a2810,06

Pi

=

365.94

y utilizando la formula P

=

Po + K(P. - Po), se tiene:

P= 364.09 + 0.5(365.94 - 364.09)

=>

P = 375.0l 173

b) Obtengamos "P por el metoda aproximado 0 de interes simple. /I

M= CO + ni) o sea P

=

Po(l + Ki)

P = 364.09 [ I + 0.5 (0.06)]

=> P

=

375.01

2) Se tiene un bono de 5,000 con 4 % de intereses capitalizables semestralmente y pagaderos los dias primeros de mayo y noviembre de 1991. Dicha obligacion fue negociada ello. de septiembre de 1989: con la intencion de obtener un 6% de interes, capitalizable semestrahnente. Se desea conocer el precio de compra si vence el 10. de mayo.

Solucion: En este caso no puede aplicarse la fottnula P = Po + K (PI - Po) directamente, por no ser perfodos exactos entre fechas de cupon, as! que se tendria que calcular Po Y PI con V - C + (Fr Ci) anl i pero tampoco esta ultima se puede manejar, ya que los periodos NO SON exactamente semestrales. Sabemos que hay que tomar en cuenta que para calcular el precio, hay que detenninar el valor del bono a las fechas de cupon irunediatamente antes y despues de la fecha de compra, obteniendo primero sus primas y luego interpolando. Esto es: Para ello. de mayo de 1989

P = (Fi - Fr) all] i donde n

=

No. de semestres de 1989 a 1991 n

1989

1989

I

I

Mayo

Nov.

= 4 sem. 1990

I

Mayo n = 3sem.

.. p = [ 5000(0.03) - 5000 (0.02) ] aJ 3~

p

=

(150 - 1(0) (3.717098)

p ... 185.85

Para ello. de noviembre de 1989

P - (50) a313~ 174

1990 I

Nov.

1991 I

Mayo

P = 50(2.828610) P = 141.43

Asi, tenemos un incremento en el precio desde:

5000 - 185.85 = 4,814.15 del 10. de mayo hasta 5000 - 141.43 = 4,858.57 el 10. de noviembre de 1989, 10 cual representa una diferencia de: 4,858.57 - 4,814.15 = 44.42 y como dijimos, vamos a interpolar entre mayo y noviembre para saber cminto a aumentado a septiembre, esto es: 1 1 -1 3 3 3 Mayo Jun. Jul. Ago. Sept. Oct. Nov. I

I

I

Septiembre se encuentra a

I

I

~ partes de distancia del

I

I

10. de mayo al 10. de

noviembre, entonces 44.42 10 multiplicamos por ~ puesto que es proporcional, y queda: 29.61 Luego el precio all0. de septiembre es: 4,814.15

+

29.61

=

4,843.76

Ahora bien, tambien al 10. de septiembre ha devengado el .interes del cupon, 10 cual hace que el pago de Fr = 5000(0.02) = 100 sea 100 (~ )= 66.66, asf que el precio real de venta allo. de septiembre de 1989 sera: 4,843.76 + 56.66 = 4,910.42 3) Se compra un bono de 10,000 a la par siete meses antes de redimir, con un interes sobre bono de 8 % bimestra. Se quiere saber el valor del bono con un rendimiento sobre inversion de 15 % pagadero bimestralmente.

175

Soluci6n: Como el bono se compra entre fechas de pago de cup6n, entonces calcularemos primero los valores de Po Y PI

o - - 1. - - - - 1. ---- 1. - - 1. 24

24

I

'I

I

Po Para Po: n

24

24

I

P

=

4

Para PI: n == 3

K=1. 4

Datos para obtener Po = F

=

e=

10,000

r = 0,08

i

=

0.15

n=4 ,', Po = Franl i + e(l + i)-n Po

~ 10000(0.08) [1- (1.1:)-4 ] + 10000 (l.1Sr4 0,1

Po = 800 (2.854979) + 5 717,532 Po = 2283,9832 + 5717.532

=>

Po

=

8,001.5152

Datos para obtener PI: F

=

C

=

10,000

r = 0,08

i

0,15

=

n=3 ,', PI = Franli +

e (1 + i)-n

PI - 10 000(0,08) [ 1- ~\~r3

176

]

+

10 000 (US)

-3

1

PI

=

800(2.283225) + 6575.162

PI

=

1 826.580 + 6575.162

=>

PI = 8,401.742

Para obtener "P" aplicamos la formula P

=

Po + K(PI - Po)

as!:

P = 8001.5152 + -!- (8 401.742 - 8 001.5152) P

=

=>

8001.5152 + 100.0567 P

=

8,101.57

177

TABLA I

Valor presente de una anualidad de 1 par periodo 1 - (1 +

n 1 2 3 4 !5

!,., 4

1,., 3

5

12%

irn

!,., 2

0,99750623 1,9925 2492 2,98.50 6727 3,97512446 4,96271766

0,99661774 1,99004426 2,98011056 3,9668 8700 4,9S038631

0,99585062 1,98756908 2,97517253 3,9586 7804 4,93810261

0,99502488 1,98.50 9938 2,97024814

5,94784804

7

12%

1% 3

n

4,92586633

0,99420050 1,98263518 2,96533732 3,94234034 4,91361722

0,99331748 1,98017631 2,9604 4004 3,9342lJ96 4,901!5 3506

1 2 3 4 5

5,91346318 6,88477661 7,85205970 8,81!532916 9,17460165

5,89638441 6,86207404 7,82295924 8,77906392 9,73041186

5,87938083 6,8394 8384 7,7940 1874 8,7430 1780 9,6865 1314

!5,86245205 6,81700535 7,76523710 8,70718917 9,64290315

6 7 8 9 10

3,95049~

6 7 8 9 10

7,91074487 8,8885 2357 9,86386391

5,93061759 6,907!5 9228 7,8813 2121 8,85181516 9,&190 8487

11 12 13 14 IS

10,83677198 11,8072 5384 12,1753 1S55 13,74096314 14,70420264

10,78314107 11,74399442 12,70165557 13,65613512 14,60744364

10,72989376 11,68122200 12,62860283 13,5720 5261 14,51158766

10,65702673 11,61893207 12,55615131 13,48870717 14,4166 2665

10,62453667 11,55712014 12,48429509 13,4000 9288 14,32254470

10,5724 2035 11,49578180 12,4130 2828 13,32420028 14,22938802

11 12 13 14 15

Hi 17 18 19 20

15,66S0 4004 16,62348133 17,6795 3250 18,533199SO 19,4844 882&

U,5S!559167 16,50058970 17,44244821 18,3&11 1762 19,31678832

15,44722422 16,37897848 17,3068 6654 18,2209 0443 19,15110815

15,3399 2S02 16,2586 3186 17,17276802 18,0823 5624 18,9874 1915

15,2336 8156 16,13953427 17,040133SO 17,93!55 0969 18,8256 9315

15,1284 8J48 16,02167035 16,9089440S 17,7903 4J 17 18,66590242

16 17 18 19 20

21 22 23 24

20,2492 9069 21,1786 9504 22,1050 1167 23,0282 SOB3 23,9484 2275

20,0674 9359 20,9800 7661 21,88887297 22,79389839 23,69516853

19,88797925 20,7440 5896 21,6756 8055 22,5628 6622 23,4456 3802

19,7107 1398 20,5906 0213 21,46338738 22,3350 9930 23,19976732

19,53566466 20,3996 6688 21,26794723 22,110!5 4361 22,9574 9365

21 22 23 24

25

20,43340417 21,3799 5488 22,32414452 23,2659 7957 24,20S4 6591

25

26 27 28 29 30

25,14260939 26,0174 1585 27,0098 911 2 27,94004102 28,86787134

24,865!5 3763 25,17960561 26,6906 3682 27,5986 4135 28,5036 2925

24,59269895 25,4865 05 17 26,3766 0266 27,26300680 28,14573291

24,3240 1794 25,1980 2780 26,0676 8936 26,9630 2423 27,7940!5397

24,OS94 2070 24,9140 8852 25,7637 9968 26,6085 8295 27,4484 6689

23,79983475 24,6346 0406 25,4648 3847 26,289!5 7464 27,10884898

26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

29,7933 8787 30,71659638 31,63750262 32,5561 1234 33,47243126

29,4056 1055 30,3045 9523 31,20059325 32,09361454 32,9836 6898

29,02479626 29,90021205 30,77199540 31,64016139 32,504 7 2.S04

28,6S07 9997 29,50328355 30,35155392 31,19555818 32,0353 7132

28,2838 7993 29,1136 SOlO 29,39900610 30,7595 7524 31,57538549

27,92269766 29,53426154 30,33204789 31,1245 S088

31 32 33 34 35

36 37 38 39 40

34,3864 6S 10 35,2982 1955 36,2077 0030 37,11491302 lS,01986336

33,8707 6642 34,7549 1670 35,63612960 36,5144 1488 37,38978228

33,J6S70128 34,22310501 35,076951OS 35,92725416 36,1740 2904

32,87101624 33,702S 0372 34,5298 5445 35,3530 8900 36,17222786

32,3864 6445 33,192& 3955 33,9945 3808 34,7915 &716 3!5,5840 1374

31,911805S1 32,6938 4653 33,47070848 34,2424 2564 35,0090 3209

36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

38,9225 5697 39,82299947 40,7211 9648 41,6171 !5359 42,5108 7640

38,26224147 39,13180213 39,9984 7388 40,86226633 41,72318903

37,6172 9033 38,45705261 39,2933 3040 40,12618816 40,9554 9028

36,9872 9140 37,79829991 38,0052 7354 39,40822338 40,2071 9640

36,37184465 37,15510653 37,93382588 38,70802904 39,41774221

35,77056168 36,52714803 37,2785 2453 38,0250 2487 38,7665 BOSO

41 42 43

46 47 48 49

43,4223 7047 44,29164137 45,1786 9463 46,0635 3!580 46,9461 7037

42,58125153 43,4364 6332 44,2888 3387 45,1383 7263 45,9850 8900

41,7&140111 42,00388492 43,4229 5594 44,2386 2832 45,0509 1617

41,00218547 41,7932 1937 42,5803 1778 43,3635 0028 44,14278635

40,24299143 41,00380258 41,70020241 42,5122 1349 43,2598 6428

39,5032~

40,2349 9238 40,9619 1296 41,7840 1949 42,4013 4387

46 47 4& 49 50

so

6,9~2174

28.7311~2

44

45

179

TABLA I

Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - (1 + i)-n 7

~%

n

44,0031 7907 44,74218301 45,47690103 46,20735816 46.9335 7895

43,11391775 43,8217 7260 44,~249 3967 45,2234 6000 45,91733444

51 52 53 54 55

48.7377 5657 49.49030505 50,2391 0950 50,9841 8855 51,72556075

47.65528802 48.37340980 49,08706856 49,7965 &&46 50,50 199350

46,6066 2362 47,29134796 47,97153771 48.6472 22&9 49,31843334

56 57 58 59 60

53,7666 7&50 54,.5.194 .3087 55,3089 7680 56,07.53 12.59 56,838~ 0250

52.46324453 .53,1972 5824 53.92762014 54,65434839 55,37746109

51,20330754 .51,90056431 52.69375739 53.28294024 53.9681 2612

49,9851 9368 50,64754836 51,J0551161 .51.9591 1749 52.6083 9486

61 62 63 64 65

62,3409 2989

57,59850371 58,35536137 59,10907357 59,85965832 60,6071 2862

56.0969 7621 56,81291165 57.52528522 58.2341 146.5 58,9394 1756

54,6493 3836 55,3265 9986 55.9999 3358 56,6693 6230 57,33490867

53,2533 7238 53,8940 7852 54,53054158 55,1627896.5 55,79085064

66 67 68 69 70

64,9813 9989 6~,8168 5774 66,65023216 67.48152834 6&,3107 5146

63,1304 9490 63,91743678 64,70176424 6.5,4&348595 66,2626 1058

61,38179738 62,0927 7748 62,8309 8172 63,.5661 2287 64,2982 1365

59,64121151 60,33951394 61,03434222 61,72571366 62,41364543

57.99659520 58,6544 4427 59,30347815 59.9587 1&96 60,6051 &869

56,41475230 57,03452215 57.6501 87.56 58,26177573 5&,8693 1363

71 72 73 74 75

76 77 78 79 80

69,13790670 69,96299920 70,7&60 3411 71,60701657 72,42595169

67,1391 4676 67,&131030& 68,5&44 8& 12 ()9,3533 1042 70,11957849

65,0272 6670 65,7532 9464 66,4763 1002 67,19632533 67,9) J3 5303

63,0981 5466 63,7792 5836 64,4.5697350 65,1313 1691 65,81230538

61,24790922 61.&869 0229 62.52218952 63,15379239 63,7817 3229

59,472& 2&11 60,072345&1 60.66789319 61,25949654 61,8471 8200

76 77 78 79 80

81 82 83 85

73,2428 4458 74,0577 0033 74,87152402 75,6813 2072 76,4900 9548

70,8833 00&2 71,6444 8~87 72,4031 4206 73,15927780 73,91290146

68,62740550 69,3384 9511 70,0466 3413 70,75183482 71,45410936

66,4699 5561 67,1342841.9 67.7953176.5 68,4530 4244 69,10750491

64,4060 J044 6.5,02670798 6.5.64378590 66,25 72 8.507 66,8672 2625

62,4309 7549 63,0109 0281 63.58698954 64,15926114 64,7277 4285

81 82 83 84 85

86 87 88 89 90

77,29685335 78,10159935 78,90433850 79,70507581 80,5038 1627

74,6640 2139 75,41264591 76,15878330 76,90244182 77,64362972

72,1537 6991 72,8499 2854 73,54349730 74,23418818 74,92201313

69,75871135 70,4066 7796 71,15142086 71,6929 S608 72,33129958

67,47363007 68,0765 1706 68,67590759 69,27182197 69,8642 8033

6.5,2924 5979 6.5,8534 3687 66,4J06 9888 66,96427041 67,51417591

86 87 88 89 90

91 92 93 94 95

81,30056486 82,0953 2654 82,8881 0628 83,67890900 84,4677 3966

78,38235521 79,1186 2645 79,85245161 80,5838 3882 81,31279616

75,6069 8403 76,2891 1272 76,9684 1101 77,64489063 78,31856329

72,9664 6725 73,59847487 74,22733818 74,85307282 75,47569434

70.4533 0273 71,03890910 71,6211 1923 72,1999 5284 72.7754 2950

68,0604 3964 68,6030 8574 69,14213815 69,67762068 70.209~ .5696

91 92 93 94 95

96 97 98 99 100

85,2546031.5 86,03950439 86,8224 4827 87,60343967 88,3824 8346

82,03933172 82,76345355 83,4851696.5 84,2()44 8802 84,92141663

78,9894 4062 79,6.5753422 80,3228 55.56 80,9834 1642 81,64522797

76,19521825 76,71165995 77.3250 3478 77,93535799 78,54264477

73,34756869 73,91638975 74,48191193 75,04415436 75,60313606

70,7379 7049 71.26288460 71,78432245 72.3023 0707 72,81686132

96 97 98

1.%

1.%

47,82660386 411,70484176 49,5808 89~3 ~,4~47 5205 ~ 1,3264 36~6

46,8211992]6 47,6700 920~ 48,~8J 9739 49,3439 1767 50,1766 6213

4~,3~98

52,19594609 53,03328847 :'U,92846730 54,79148858 55,65235769

65

50,5110 7999 .57,36766083 58,22210557 59,07441952 59,92460800

66 67 68 69 70

60,7726 7631 61,61862954 62,462473.55 63,3042 1302 64,14385339

59.15626311 59,9564 0842 60.75389543

71 72 73 74 75

1/

~1

~2

5.1 54 5~

56 57 58 59 ()()

61 62 63 64

84

180

4

1..%

1.%

3353 9439 47,46761267 48,2665 0224 49,06207692

44,91819537 45,6897 4664 46,45745934 47,22135258 47,98144535

51,0066 3999 51,8.'-186046 52,M833268 53,4800 6580 54,~990 6890

49,8~43 .5046 50,6433 3656 51,42904885 52,21150093 52,99070632

5~,11~3 ~106

3

55,92M2133 56,73978870 57,54596216 58,3~34 .506~

61S4873299

12

46,66~3

2

12%

3

99 100

TABLA I

Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - (1 + 5

irn

1.%

7

1%

n

76,1588 7596 76,71139283 77.26070538 77,80683219 78,3497 9174

73,3280 0794 73,83576948 74.34016835 74,8412 2684 75.33896706

101 102 103 104 105

82.12344104 82.70989158 83,2934 2446 83.87405419 84,45179522

78.8896 0240 79,42628241 79.95984996 80.4903 2307 81.01771971

75.8334 1099 76,3245 8045 76.81249714 77 ,2971 8259 77.77865820

106 107 108 109 110

88,72493581 89.3526 3317 89,9777 2598 90.6002 2504 91.22014112

85.02666191 85.5986 6856 86.16782942 86.73415502 87.2976 7027

81,54205770 82.0633 5480 82.5816 2863 83.0968 9674 83.60917654

78,25694523 78.73206480 79,20403788 79,67288531 80.1386 2779

111 112 113 1)4 115

96.07366536 96,7511 6149 97.4264 0680 98.0994 0877 98,77017486

91.83748493 92.45226715 93.06449841 93.67418929 94,28135033

87,8583 7838 88,41629690 88,97143970 89,52382059 90.0734 5333

84,1184 8537 84,62484047 85,12825896 85,62875787 86,12635414

80,60128589 81,06088002 81,51743048 81,9709 5743 82.42148089

116 117 118 119 120

104.30100058 105,0384 0457 105.77396965 106,5077 0040 107,2396 0139

90.4387 1248 100,1050 2905 100,7691 3195 \01.43102852 102,09072610

94.88599203 95.48812484 96.0877 5918 96.68490541 97.2795 7385

90.62035157 91,16452892 91,70599893 92,24477505 92,78087070

86.62106460 87.11290598 87.60189493 88.0880 4798 88,5713 8159

82.8690 2076 83.3135 9678 83.75522859 84.19393568 84,6297 3743

121 122 123 124 125

126 127 128 129 130

107.9696 7720 108.69793237 109,42437144 110.14899894 110,87181939

102,74823199 103.40355348 104.0566 9782 104.70767225 105.3564 8397

97.87177479 98.4615 1846 99.0488 1506 99,63367475 100.21610764

93,31429921 93.84507384 94,37320780 94.89871423 95,42160619

89.05191210 89,5296 5577 90.00462877 90,47684716 90.9463 2692

85.0626 5308 85.49270173 85,9199 0238 86,34427389 86,76583499

126 127 128 129 130

131 132 133 134 135

111,59283720 112,3120 5716 113,0294 8345 113.7451 2065 114,4589 7321

106.00314016 106,64764800 107,2900 1462 107.9902 4713 108~835262

100,79612379 101,3737 3323 101.94894596 102,52177191 103.09222099

95,94189671 96.4595 9872 96,97472509 97.4872 8865 97,99730214

91.41308393 91,87713399 92,3384 9278 92.79717592 93,25319893

87,18460430 87.6006 0029 88,01384135 88.42434571 88.83213UO

131 132 133 134 135

136 137 138 139 140

115.17104560 115,88134224 116,58986758 117,2966 2601 118.00162196

109,20433816 109.8382 1079 110,4699 775-4 111.0996 4538 111.7272 2131

103.66030306 104,2260 2794 104,7894 0542 105.3504 4523 105,9091 5708

98.30477825 99.00972960 99.51216876 100.01210821 100,.50956041

93.70657722 94,1573 2616 94.6054 ro97 95.0509 9682 95,4939 4878

89,2372 1673 89,6396 1926 90,0393 5688 90,4364 4724 90.8309 0785

136 137 138 139 140

141 142 143 144 145

118,70485981 119.40634395 120.1060 7875 120,80SO 6858 121,5003 1778

112,3527 1227 112,97612519 113,59746696 114,21674448 114,83396460

106.46555061 107,0196 3547 107,57142121 108.12091739 108,6681 33SO

101.00453772 101.4970 5246 101.9871 1688 102.47474316 102.9599 4344

95.9343 3185 96.37216091 96.8074 S078 97,2402 1619 97.6704 7177

91,22275614 91.61200941 91,99868485 92.38279952 92.76437038

141 142 143 144 145

146 147 148 149 ISO

122.19483071 122.88761168 123,57866502 124,26799503 124.95560601

115.44913415 116.06225995 116.67334879 117,28240743 It7.8894 4262

109,2130 7900 109.75576332 110,2961 9584 110.83438590 111,37034280

103,44272979 103.9231 1422 104.4011 0868 104.87672.S06 105.3499 7518

98,0982 3208 98,5235 1160 98.9463 2470 99,3666 8570 99,7&460882

93,1434 1429 93,5199 4797 93.8939 880S 94,26555104 94.6346 5335

146 147 148 149 ISO

n

1.%

1.%

101 102 103 104 105

89.15958450 89.93474763 90.7079 7768 91.47927948 92,24865784

85.63596342 86.3481 3630 87.05794315 87.76539185 88.4704 9021

82.30230172 82.9566 4901 83.60828117 84,2572 0947 84.9034 4511

79,14691021 79,74816937 80.3464 3718 80.9417 2854 81,53405825

106 107 108 109 110

93.01611755 93.78166339 94,54530014 95.30703256 96,06686539

89.1732 4606 89,87366717 90.57176130 91,26753618 91.96099951

85.54699928 86,18788310 86,82610765 87,46168397 88.0946 2304

111 112 113 114 115

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92.65215898 93,34102224 94,0275 9692 94.71189062 95,3939 1092

116 117 118 119 120

100,5862 3564 101.33290338 102.0777 0911 102.8206 5747 103,56175308

121 122 123 124 125

4

3

12%

2

12%

3

181

TABLA I

Valor presente de una anualidad de 1 por periodo 1 - (1 +

n

~% 4

irn

1%

lL~

}1% 2

1~%

4

4

2%

n

1 2 3 4 5

0,9925 5583 1,9777 2291 2,95555624 3,92611041 4,8894 3961

0,99009901 1,97039506 2,94098521 3,90196555 4,8534 3124

0,98765432 1,96311538 2,9265 3371 3,87805798 4,81783.504

0,98522167 1,95588342 2,91220042 3,85438455 4,78264497

0,98280098 1,94869875 2,89798403 3,83094254 4,74785508

0,98039216 1,94156094 2,88388327 3,80772870 4,7134 5951

1 2 3 4 5

6 7 8

5,84559763 6,7946 3785 7,73661325 8,67157642 9,59957958

5,7954 7647 6,72819453 7,65167775 8,S660 1758 9,47130453

5,74(i() 0992 6,66272585 7,56812429 8,46234498 9,34552591

5,69718717 6,59821396 7,48592S08 8,36051732 9,22218455

5,64899762 6,53464139 7,4050 5297 8,26049432 9,10122291

5,60143089 6,47199107 7,3254 8144 8,16223671 8,9825 8501

6 7 8 9 10

10,5206 7452 11,43491267 12,34234508 13,2430 2242 14,13699495

10,36762825 11,25527747 12,13374007 13,00370304 13,86505252

10,2178 0337 ll,07931197 11,9301 8466 12,77055275 13,6005 4592

10,0711 1779 10,90750521 ll,73153222 12,54338150 13,3432 3301

9,92749181 10,73954969 11,53764097 12,32200587 13,0928 8046

9,7868 480S 10,57534122 11,3483 7375 12,10624877 12,84926350

11

12 13 14 IS

12 13 14 15

16 17 18 19 20

15,0243 1261 15,9150 2492 16,7791 8107 17,64682984 18,5080 1969

14,71787378 15,56225127 16,39826858 17,2260 0850 18,04555297

14,42029227 15,22991829 16,02954893 16,81930759 17,59931613

14,13126405 14,90764931 15,67256089 16,4261 6837 17,1686 4931

13,8504 9677 15,32686272 16,0460 5673 16,75288130

13,5777 0931 14,29187188 14,99203125 15,6784 6201 16,35143334

16 17 18 19 20

21 22 23 25

19,36279870 20,2112 1459 21,0533 1473 21,88914614 22,71875547

18,85698313 19,66037934 20,45582113 21,24338726 22,02315570

18,3696 9495 19,13056291 19,88203744 20,62423451 21,3572 6865

17,90013673 18,6208 2437 19,33086145 20,0304 0537 20,71961120

17,44754919 18,13026948 18,80124764 19,4606 8S6S 20,,0878196

17,01120916 17,6580 4820 18,28220412 18,91392560 19,52345647

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

23,54218905 24,3594 9286 25,17071251 25,97589331 26,7750 8021

22,79520366 23,5596 0759 24,31644316 25,0657 8530 25,8077 0822

22,08125299 22,79629925 23,5025 1778 24,2000 1756 24,8889 0623

21,3986 3172 22,0676 1746 22,7267 1671 23,3760 7558 24,01583801

20,74573166 21,37172644 21,98695474 22,59160171 23,18584934

20,12103576 20,71689780 21,28127236 21,84438466 22,3964 55S5

26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

27,5683 1783 28,3556 S045 29,1311 2203 29,91277621 30,6826 5629

26,5422 8537 27,26958947 21,9896 9255 28,7026 6589 29,40858009

25,56929010 26,241274.18 26,9049 6215 27,5604 S644 28,2078 5822

24,64614582 25,2671 3874 25,8789 5442 26,48172849 27,07559458

23,76981650 24,3438 5897 24,90796951 25,4623 7789 26,0072 5100

22,93110152 23,4683 3482 23,9885 6355 24,4985 9172 24,99861933

31 32 33 34 35

36 37 38 39 40

31,44680525 32,20526576 32,9580 8016 33,70529048 34,4469 3844

30,4175 0S04 30,7995 0994 31,48466330 32,1630 3298 32,8346 8611

28.84726737 29,4787 8259 30,10250133 30,71851983 31,32693316

27,6606 8431 28,23712740 28,8050 5163 29,36458288 29,91584520

26,5427 5283 27,0690 4455 27,5862 8457 28,0946 2857 28,59422955

25,4888 4248 25,96945341 26,4406 4O(i() 26,9025 8883 27,3554 7924

36 37 38 39 40

41 42 43 44 45

35,18306545 35,91371260 36,6389 2070 37,35873022 38,07318136

33,4996 8922 34,15810814 34,81000806 35,4554 5352 36,0945 0844

31,92783522 32,5213 1874 33,10747530 33,68639536 34,25816825

30,45896079 30,9940 5004 31,52123157 32,0406 2223 32,55233718

29,08523789 29,56780136 30,04206522 30,50817221 30,96626261

27.7994 8945 28,23479358 28,66156233 29,49015987

41 42 43 44 45

46 47 48 49

38,7823 1401 39,4861 6775 40,18478189 40,8781 9542 41,5664 4707

36,7272 3608 37,35369909 37,9739 5949 38,5880 7871 39,1961 1753

34,8228 8222 35,3806 2442 35,93148091 36,4755 3670 37,01287575

33,0564 8983 33,55319195 34,0425 5365 34,5246 8339 34,9996 8807

31,4164 7431 31,85894281 32,29380129 32,7211 8063 33,14120946

29,8923 1360 30,28658196 30,6731 1957 31,0520 7801 31,42360589

9

10 11

24

so

182

14,595082~

29,O799~

46 47 48 49

so

TABLA I

Valor presente de una anualidad de 1 por periodo

aol i

=

1 - (1 + if° 1~%

2%

n

35.4656 7298 35,92874185 36,3829 9690 36,8305 3882 37,27146681

33,5540 1421 33,9597 1913 34,3584 4632 34,7S03 1579 35,135445SO

31,78784892 32,14494992 32,49SO 4894 32,8382 8327 33,17478752

51 52 53 54 55

40,1004 3128 40,59301855 41.07952449 41,SOOO2419 42,03459179

37,70587863 38.13387058 38,55553751 38.9709 7292 39.38026889

35,51395135 35,88594727 36,25154523 36,61085526 36,9639 8552

33,5046 9365 33,82813103 34,145226SO 34,45610441 34,76088668

56 57 58 59 60

45,.50113803 46,0396 4161 46,57390258 47,10987385 47.62660777

42,.50330054 42,96622275 43,4234 2988 43,87499247 44,3209 8022

39,78351614 40,1808040& 40,57222077 40,9578 5298 41,3377 8618

37,31104228 37,65213000 37,98735135 38,3168 0723 38,6405 9678

35,0596 9282 35,3526 4002 35,63984316 35.9214 1486 36,19746555

61 62 63 64 65

51.9069 5497 52,51310667 53,11474607 53.71190677 54,30462210

48.14515621 48,6585 7OSO 49,16690149 49.6701 9949 SO,16851435

44,76146195 45,1965 0563 45,62617840 46,OS05 4656 46,4696 7562

41.71210461 42,08089125 42,4442 2783 42,8021 9490 43,15487183

38,95881748 39,27156S09 39,5789 3375 39,8810 1597 40,17790267

36,46810348 36,73343478 36,99356351 37,24859168 37,49861929

66 67 68 69 70

71 72 73 74 75

54.89292516 55.47684880 56,0564 2561 56,63168795 57,2026 6794

SO,66189539 51,1S039148 51,6340 S097 52,11292175 52,58705124

46,8836 3024 47,29247431 47,69627093 48,0950 8240 48,48897027

43,50233678 43,8446 6677 44,18193771 44,51422434 44,84160034

40,4696 8321 40,7564 4542 41,03827560 41,31525857 41,58747771

37.74374441 37,9840 6314 38,2196 6975 38,4506 5662 38,6771 1433

71 72 73 74 75

76 71 78 79 80

57,76939746 58,33190815 58,89023141 59.44439842 59.99444012

53,0564 8638 53,52127364 53,98145905 54,43708817 54,8882 0611

48,87799533 49,26221761 49,64169640 SO,OI64 9027 SO,3866 5706

45,16413826 45,48190962 45,79498485 46,10303335 46,4073 2349

41,85501495 42,1179 S081 42,3763 6443 42,6303 3359 42,8799 3474

38,8991 3170 39.1177 9578 39,33019194 39,5394 0386 39,7445 1359

76 77 78 79 80

81 82 83 84 85

60,5403 8722 61.08227019 61,6204 1930 62,15396456 62,6838 3519

55,33485753 55,77708676 56,21493729 56,6484 5276 57,0776 7600

SO,75225389 51,11333717 51,46996264 51,8221 8532 52,1700 5958

46,70672265 47,00169720 47,2923 1251 47,5786 3301 47,86072218

43,12524298 43,36633217 43,6032 7486 43,8361 4237 44,06S00419

39,9456 0156 40,14274663 40,3360 2611 40,5255 1519 40,71128999

81 82

86 87 88 89 90

63,2097 6257 63,73177427 64,2499 0002 64,76416875 65,27460918

57,50264951 57,9234l.S35 58,3400 1S20 58,7524 9030 59,16088148

52,5236 3909 52,8529 7688 53,1881 2531 53,5191 3611 53,84ro 6035

48,1386 4254 48.41245571 48,6822 2237 48,9480 0234 49,2098 5452

44,2899 3099 44,5109 8869 44,72824441 44,9417 6355 45,15161037

40.89342156 41,07198192 41,24704110 41,4186 6774 41,58692916

86 87 89 90

91 92 93 95

65,78124981 66,28411892 66,78324458 67,2786 5467 67,77037685

59,56522819 59,96557346 60,36195392 60,7544 0982 61,14298002

54,168948SO 54,4878 S037 54,8028 1S18 55,11389154 55,4211 2744

49,4678 3696 49.72200686 49,9724 2055 SO,2191 3355 SO,4622 0054

45.35784803 45,5605 3860 45,75974310 45,95552147 46,16793265

41,75189133 41,91361895 42,07217545 42,22762299 42,8800 2254

91 92 93 94 95

96 97 98 99 100

68,2584 3856 68,74286105 69,22368938 69,7009 3239 70,1746 2272

61,5277 0299 61,90861682 62,2857 5923 62,6591 6755 63,0288 7877

55,72451031 56,0242 6698 56,3202 6368 56,61260610 56,90133936

SO,70167541 SO,93761124 51,17006034 51,3990 7422 51,62470367

46,3370 3455 46,5228 8408 46,10553118 46,88S0 4882 41,04147304

42,5294 3386 42,6759 ISSS 42,81952505 42,96031867 43,09835164

96 97 98 99 100

n

.L",

1%

1!% 4

1!% 2

51 52 53 54 55

42.2495 7525 42.92761812 43.6006 1351 44,2685 9902 44,93161193

39.708[ 3617 40.3941 9423 40,9843 S072 41,5686 6408 42.14719216

37,54358099 38,06773431 38,5854 1660 39,09670776 39,60168667

56 57 58 59 60

45.5896 8926 46,2428 6776 46.8911 8388 47.53467382 48.17337352

42,7199 9224 43.2871 2102 43.8486 3468 44.4045 8879 44.95SO 3841

61 62 63 64 65

48,8073 1863 49,4365 4455 SO,061O 8640 SO,68197906 51,29625713

66 67 68 69 70

94

4

4

83 84 85

88

183

TABLA I

Valor presente de una anualidad de 1 por periodo

anl i

1 - (1 + =

irn

n

2.!.% 2

1 2 3 4 5

0,97560976 1,92742415 2,8S602356 3,76197421 4,64582850

0,97087379 1,91346970 2,8286 1135 3,71709840 4,57970719

0,96618357 1,89969428 2,80163698 3,67307921 4,51505238

0,96153846 1,88(i() 9467 2,77509103 3,62939522 4,45182233

0,9569 3780 1,87266775 2,74896435 3,58752570 4,3899 7674

0,95238095 1,3594 1043 2,72324803 3,54595050 4,3294 7667

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

5,50812536 6,34939060 7,17013717 7,97086553 8,75206393

5,41719144 6,23028296 7,01969219 7,78610892 8,53020284

5,32855302 6,11454398 6,87395554 7,00768651 8,31660532

.5,24213686 6,00205467 6,73274487 7,43533161 8,11089578

5,15787248 5,89270094 6,59588(i()7 7,26879050 7,9127 1818

5,07669207 5,78637340 6,46321276 7,10732168 7,72173493

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

9,51420871 10,25776400 10,9831 8497 11,6909 1217 12,3813 7773

9,25262411 9,95400399 10,6349.5.533 11,,29607314 11,93793509

9,00155104 9,66333413 10,3027 3849 10,920.5 2058 11,51741090

8,7004 7671 9,38507376 9,98.56 4785 10,.56312293 11,11838743

8,52891692 9,11858078 9,68285242 10,22282528 10,73954573

8,3064 1422 8,86325164 9,39357299 9,89864094 10,3796 5804

11 12 13 14 15

It? 17 18 19 20

13,05500266 13,71219772 14,35336363 14,97889134 15,58916229

12,.5611 0203 13,1661 1847 13,75351308 14,32379911 14,87747486

12,0941 1681 12,65132059 13,1896 8173 13,71983742 14,21240330

11,65229561 12,16566885 12,65929697 13,13393940 13,5903 2634

11,2340 1505 11,70719141 12,1599 9180 12,59329359 13,0079 3645

10,8377 6956 11,2740 6525 11,6896 8690 12,08532086 12,4622 1034

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

16,18454857 16,7654 1324 17,33241048 17,88498582 18,42437642

15,4150 2414 15,9369 1664 16,44360839 16,93554212 17,41314769

14,69797420 15,1671 2484 15,6204 1047 16,05&36700 16,48161459

14,0291 5995 14,45111533 14,85684167 15,24696314 15,62207994

13,40472388 13,78442476 14,14777489 14,49547837 14,82820896

12,8211 5271 13,16300258 13,4885 7288 13,7986 4179 14,09394457

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

18,9506 1114

19,4640 1087 19,96488866 20,453.54991 20,93029259

17,87684242 18,32702147 18,76410823 19,1884 5459 19,6004 4135

16,89035226 17,28536451 17,66701835 18,03576700 18,3920 4541

15,98276918 16,3295 3575 16,66306322 16,9837 1463 17,29203330

15,1466 1145 15,45130282 15,74287351 16,02188853 16,28888854

14,3751 3530 14,6430 3362 14,89812726 15,14107358 15,37245103

26 27 28 29 30

31 32 33 34 35

21,39540741 21,8491 7796 22,2918 8094 22,7237 8628 23,14515734

20,0004 2849 20,38876553 20,76579178 21,1318 3668 21,4872 2007

18,73627576 19,06886547 19,39020818 19,7006 8423 20,00066110

17 ,5884 9356 17,87355150 18,14764567 18,4JJ19776 18,6646 1323

16,54439095 16,78889086 17 ,0228 6207 17,24675796 17,4610 1240

15,59281050 15,80267667 16,00254921 16,19290401 16,37419429

31 32 3l 34 35

3 2,0650 000> 3,19922500 4,40717463 5,69364098

1,000> 000> 2,0700 000> 3,2149000> 4,4399 4300 5,75073901

1,000> 000> 2,0750 000> 3,2306 2400 4,47292188 5,80839102

1,00000000 2,08000000 3,2464 0000 4,50611200 5,86660096

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

6,88805103 8,26689334 9,72157300 11,25625951 12,87535379

6,97531854 8,39383765 9,89746791 11,4913 1598 13,18079494

7,06372764 8,52286994 10,0768 5648 11,73185215 13,48442254

7,1532 9074 8,6540 2100 10,25980257 11,97798875 13,8164 4796

7,24402034 8,78732187 10,44637101 12,22984883 14,14708750

7,33592904 8,92280336 10,6366 2763 12,48755784 14,48656247

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

14,58349825

14,97164264

16,3~59065

16,~994120

18,28679814 20,2925 7203 22,4086 6350

18,88213767 21,01506593 23,27596988

15,37156001 17,37071141 19,49980765 21,7672 9515 24,18216933

15,78359932 17,88845127 20,14064286 22,5504 8786 25,1290 2201

16,2081 1906 18,42372799 20,8055 0759 23,36592066 26,11836470

16,64548746 18,9771 2646 21,49529658 24.21492030 27,1521 1393

11 12 13 14 IS

16 17 18 19 20

24,6411 3999 26,9964 0269 29.48120483 32,10267110 34,86831801

25,6725 2808 28,21287976 30,90565255 33,7599 9170 36,7~59120

26,75401034 29,49302101 32,41006738 35,51672176 38,82530867

27,8880 5355 30,8402 1730 33,9990 3251 37,37896479 40,99549232

29,0772 4206 32,2580 3521 35,6773 87~ 39,35319194 43,3046 8134

30.3242 8304 33,75022569 37,45024374 41,44626334 45,76196430

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

37,7860 7550 40,86430965 44,11184669 47,53799825 51,1.52.5 8816

39,99272668 43,39229028 46,9958 2769 50,8155773.5 54.864.5 1200

42,3489537J 46,10163573 .50.0982 420.5 54.3546 2778 58,8876 7859

44,8651 7678 49,00.573916 53,4361 4090 58,1766 7076 63.2490 3772

47,.5.52.5 3244 52,11897231 57,02789530 62,3049 8744 67.97786150

.50,42292144 .55.45615516 60,8932 9551 66,16415922 13,10.593995

21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

54,96.59 8051 58,98910943 63,2335 1045 67,7113.SH3 72,43547797

59.1.5638272 63,70576.568 68,5281 1162 73,6397 9832 79,0581 8622

63,71537769 68,8568772.5 74,3325 7427 80,16419159 86,37486405

68,6764 7036 74,4838 2328 80,69769091 87,34652927 94,46708632

14,01620112 80,63191620 87,67930991 95,25.525816 103,3994 0252

79.9544 ISIS 87,3.507 6836 95,3388 2983 103,9659 3622 113,2832 1111

26 27 28 29 30

31 32 33 35

77,41942926 82,67749787 88,22476025 94,0771 2207 100,2.513 6318

84,80167739 90,8897 7803 97,34316471 104,18375460 111,0411981

92,98923021 100,03353017 107,5357 0963 11.5,52553076 124,03469026

102,0730 4137 110,21815426 118,9334 2506 128,2.5876481 138,2368 7835

112,15435771 121,56593454 131,68337963 142,5596 3310 154,25160.558

123,34586800 134,213S 3744 145,9506 2044 1.58,6266 7007 172,3168 0368

31 32 33 34 35'

36 )1 38 39 40

106,76518819 113,63721411 120,88132425 128,53612708 136.6056 1401

119,1208 6666 )21,268) )866 135,90420.578 145,0.584 5813 154.76196562

133,0969 4.513 )42,74824656 1.53,0268 8259 163.9736 2996 175.63191590

148,9134 .5984 160,33740202 172,5610 2017 185.6402 9158 199,63.51 1199

166,8204 7600 180,33291170 194,8569 1258 210.4711 8102 227,25651960

187,10214791 203,0103 1981 220,31.59 4540 238,94122103 259,0S6S 1871

36 )1 38 39 40

41 42 43

145,1189 2285 154,1004 6360 163,51598910 113,5726 68SO 184,11916.527

165.04768356 115,9S0S 4457 187.so15 7724 199,1580 3188 212,7435 1379

188.04 79 9044 201,2711 0981 215,35373195 230,3517 2453 246,3245 8662

214.60956983 230,6322 3972 247,7764 96SO 266,1208 512.5 285,7493 1084

245,JOO1 5SS7 264,69831546 2~,5506 8912 307,9669 9080 332,0645 1.5 11

280,7810,4021 304,2435 2342 329,5830 0530 356,9496 4572 386,50.S6 1138

41 42 43

195,24571936 206,9842 3392 219,36836679 232,4336 2696 246,21747645

226,50812462 241,0986 1210 2S6,564S 2882 272,9.584 005S 290,3359 0458

263,33.56 8475 281,452.5 0426 300,7469 1704 321,2954 666S 343,17961198

306,1617 6260 329,2243 8598 353,2700 9300 378,9989,9951 406,5289 2947

3S7,9693S)7S 385,81705528 41S,7S3) 3442 447,934834.51 482,5299 4709

418,4260 6677 452,9001 .5211 490,13216428 530.,3427 3742 573,7701 5642

46 47 48 49

34

44

45 46 47 48 49

so

194

44

45

so

INTERES SIMPLE

TABLA DE DiAS FEB

MAR

ABR

MAY

ruN

1UL

AGO

SEP

C.'T

NOV

DIe

1 2 3 4 .5

1 2 3 4 5

32 33 34 3.5

60 61 62

91 92 93 94 95

121 122 123 124 125

152 153 154 1.55 156

182 183 184 185 186

213 214 21.5 216 217

244 245 246 247 248

274 275 276

J05 J06 307

278

308 309

335 336 337 338 339

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

6 7

96 97 98

9 10

37 38 39 40 41

1.57 158 159 160 161

187 188 189 190 191

218 219 220 221 222

249 2SO 2.51 2.52 2.53

279 280 281 282 293

310 311 312 313 314

340 341 342 343 344

6 7 8 9 10

11 12 13 14 1.5

162 163 164

192 193 194 19.5 196

223 224 22S

2S4 2.55 256 2.57 2.58

284 285 286 287 288

31.5 316 317 318 319

345

12 13 14 15

347 348 349

11 12 13 14 1.5

197 198 199 200 201

228 229 230 231 232

2.59

289 290 291 292 293

320 321 322 323 324

350 3.51 352 3.53 354

16 17 18 19 20

202 203 204

233 234 23.5 236 237

264

294 295 296 297 298

32.5 326 327 328 329

35.5 356 3.57 358 359

21 22 23 24

330 331 332 333 334

360

26 21 28 29 30 31

No.

ENE

8

11

16 17 18 19 20

18 19 20

21 22 23 24 2.5

21 22 23 24 2.5

26 27 28 29 30 31

16

17

26 27 28 29 30 31

36

63 64

6S

68

99

69

100

126 127 128 129 130

42 43 44 45 46

70 71 72 73 74

101 102 103 104 10.5

131 132 133 134 13.5

47 48 49 50 .51

75 76

106 107 108 109 110

136 137 138 139 140

171

111 112 113 114 115

141 142 143 144 145

172 173 174 175 176

146 147 148 149 150 1.51

In

52 .53

.54 .5.5 56 .57 .58 .59

-

-

-

66 67

n

78 79 80

81 82 83 84 8S 86 87 88 89 90

116 117 118 119 120

-

165 166 167 168 169 170

178 179 180 181

-

20.5 206 207 208 209 210 211 212

226 227

238 239 240 241 242 243

260 261 262 263

265 266 267 268 269 270 271 272 273

-

2n

299 300 301 302 303

304

-

346

361 362 363 364

365

No.

2S

195

BIBLIOGRAFIA ELementos de Matematicas Financieras, C.P. Carlos Morales Felgueres, Edit. ECASA Fundamentos de Matematicas Financieras, Delfin Zennan, Edit. ECASA Matematicas Financieras, Lineoyan Portus Goviden, Edit. Nc. Graw-Hill Matematicas Financieras, Frank Ayres, Jr., Edit. Me. Graw-Hill Algebra Elemental, Gordon Fuller, Edit. CECSA Matematicas para La Administracion y Ciencias SociaLes, R. A. Barnett, Edit. Interamerieana Matematicas Financieras, Cissel Cissel Flaspohler, Edit. CECSA Matematicas Financieras, Diaz Mata y Aguilera Gomes, Edit. Me. GrawHill Matemtiticas Financieras, Benjamin de la Cueva, Edit. Porrua, S.A.

197

APENDICE Respuesta a los problemas de las series

CAPiTULO I Serie No. 1. Pagina 9 lao Parte: 1

1)

logs 54

4)

log31

=

=

-4

0

2)

log16 16 = 1

5)

log7343

2)

91 = 9

5)

18

2)

c

5)

c =5

=

3)

loglO 100 = 2

3)

151 = 15

3)

Y =-

3

2a. Parte: 1) 2° = 1

-3

=

1 5832

3a. Parte: 1)

c

m

= 3

2 4) Y =-3

=

8

2

3

Serie No.2. Pagina 12 1) 3 log 7.12 3)

3"1 log 2 + 4 log 8 - log 116

2)

log 15 -log 50 -log 17

4)

log 16 + log 51 - log 36 199

log 4 + log 7 5) 1og 75 + log 9 3 25 7) 9)

[log 8 + log 97] _ log 87 3 4

10;

6)

8)

log 42 + log 7 2

. d d log 4 9 . log 73 (no tlene prople a )

78 (log 28)

Serle No.3. Pagina 20 1a. Parte: 1)

1.84

2)

58.395

3)

18.466

4)

2.491213

5)

0.04178

6)

0.000407

8)

1497.4005

9)

0.004608

1) x=3

2)

x =-2

3) x=4

4) x =-3

5)

x= 1

6)

7) x=5

1 8) x=3

10) xl = 1.822876

x2 = -0.822876

11) xl = 0, x2 = 0

12) x =-2

7) 0.15747 10) 0.0050 2a. Parte:

x=6

9) x=o

3a. Parte:

200

1) x = 1.365213

2) x

=

20.537554

3) x=o

4) x = 0.373102

5) x

=

1.427677

6)

x - -1.150515

7) x = 12.62428

8)

10)

11) x = -1.00036

x

0.466225

=

x = 0.514573

x = 0.255958

9) 12)

x

=

3.70044

Serle No.4.. Pagina 22 1) w l == 1.366025, w 2

=

-0.366025

2)

3) 0.861654

4) 0.356207

6)

7)

1.386296

WI =

= 14.816537, x2 = 0.18346

Xl

5) 2.839078

2.855669, w 2 = -2.855669

8) Hl = 3.94574, Hz = -4.612410 10)

9) 2.807355

1

CAPITULO II Serle No.5. Pagina 33 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23

23, S8 = 100

1)

t8

2)

11, 9, 7, 5, 3, 1, -1, -3, -5, -7, S10 = 20

3)

8' 8' &' 9 1. !! .l 2..- _1- _~ _~ _11

=

54

4)

-9,

36

18

-&' -&' -&'

2' 30' 30' 30'

30'

18 36 54

.

0,

30'

30'

30'

17 30'

7 10

3280 1 5) t8 == 729, S8 = -3-' 3' 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729

6)

~

-1 =

8748

9) a - 2

7) n = 7 10) r

8) ==

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187

2

201

Impreso en los Talleres GrMicos de la Oirecci6n de Publicaciones del INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL,

Tresguerras 27, 06040 Mexico, OF Noviembre 2007. Edici6n: 1 000 ejemplares.