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Jhonny de Jesús Meza Orozco Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia. Especialista en Finanzas y especialista en Gestión Gerencial de la Universidad de Cartagena. Diplomado en Ingeniería Financiera en el ITSM de Monterrey. Diplomado en Finanzas Avanzadas de la Uninorte y Eafit. Profesor de tiempo completo en la Universidad Popular del Cesar. Catedrático de Matemáticas Financieras en la Universidad de Santander. Profesor de Posgrado en el área financiera de las universidades del Norte, del Sinú, de Sucre, Tecnológica de Bolívar, de Cartagena, Popular del Cesar; en la Corporación Universitaria del Caribe. Vicerrector de Investigación y Extensión de la Universidad Popular del Cesar. Miembro de la Sociedad Colombiana de Ingenieros. Autor de Evaluación Financiera de Proyectos.
Quinta edición
Matemáticas financieras aplicadas
Jhonny de Jesús Meza Orozco
Tabla de contenido
Prólogo................................................................................................................................................... XIII CAPÍTULO 0. PRELIMINARES...................................................................................................... 1 1. Introducción................................................................................................................................ 1 2. Ecuaciones de primer grado con una incógnita........................................................... 2 2.1 Principios fundamentales de las ecuaciones......................................................... 2 3. Potenciación................................................................................................................................ 4 3.1 Operaciones con potencias......................................................................................... 4 3.2 Operaciones inversas de la potenciación........................................................ 6 Radicación.......................................................................................................................... 7 Operaciones con radicales.......................................................................................... 8 4. Logaritmos................................................................................................................................... 9 4.1 Propiedades de los logaritmos.................................................................................. 9 4.2 Operaciones con logaritmos...................................................................................... 10 4.3 Sistemas de logaritmos................................................................................................ 11 Logaritmos decimales o vulgares (Logaritmos de Briggs).............................. 11 Logaritmos naturales o neperianos......................................................................... 12 Antilogaritmos.................................................................................................................. 12 5. Ecuaciones exponenciales..................................................................................................... 13 CAPÍTULO 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES................................................................... 15 0. Introducción............................................................................................................................ 15 1. Valor del dinero en el tiempo........................................................................................... 16 2. Interés........................................................................................................................................ 18 2.1 Tasa de interés................................................................................................................. 19 3. Equivalencia............................................................................................................................. 20 4. Resumen de los conceptos fundamentales................................................................. 21 5. Símbolos y su significado................................................................................................... 22 6. Flujo de caja............................................................................................................................ 23 Cuestionario...................................................................................................................................... 26 Ejercicios de autoevaluación ..................................................................................................... 27 Ejercicios propuestos..................................................................................................................... 28
Matemáticas financieras aplicadas
CAPÍTULO 2. INTERÉS SIMPLE............................................................................................... 31 0. Introducción............................................................................................................................ 31 1. Definición de interés simple.............................................................................................. 32 1.1 Características del interés simple............................................................................. 32 2. Cálculo del interés................................................................................................................. 32 3. Interés comercial y real....................................................................................................... 34 4. Cálculo del número de días entre fechas..................................................................... 35 5. Valor futuro a interés simple............................................................................................. 38 6. Desventajas del interés simple......................................................................................... 39 7. Intereses moratorios............................................................................................................. 41 8. Valor presente a interés simple........................................................................................ 42 9. Cálculo de la tasa de interés simple............................................................................... 42 10. Cálculo del tiempo de negociación............................................................................... 43 11. Operaciones de descuento................................................................................................ 44 11.1 Descuento comercial.................................................................................................. 44 11.2 Descuento racional o justo....................................................................................... 45 Cuestionario...................................................................................................................................... 47 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 48 Ejercicios propuestos..................................................................................................................... 48 CAPÍTULO 3. INTERÉS COMPUESTO....................................................................................... 51 0. Introducción............................................................................................................................ 51 1. Definición del interés compuesto................................................................................... 52 1.1 Capitalización................................................................................................................... 52 1.2 Período de capitalización............................................................................................ 52 2. Valor futuro a interés compuesto................................................................................... 52 3. Características del interés compuesto........................................................................... 54 4. Análisis de la fórmula de interés compuesto.............................................................. 55 5. Introducción al manejo de la calculadora financiera.............................................. 59 5.1 La hoja de cálculo EXCEL............................................................................................. 66 6. Valor futuro con tasa variable........................................................................................... 70 7. Valor presente a interés compuesto.............................................................................. 73 7.1 Valor presente con tasa variable............................................................................... 76 8. Tasa de interés compuesta................................................................................................. 78 9. Tiempo de negociación...................................................................................................... 80 10. Ecuaciones de valor ............................................................................................................. 82 10.1 Pasos para construir una ecuación de valor...................................................... 83 11. Cálculo de fechas desconocidas...................................................................................... 92 12. Ecuaciones de valor con Buscar objetivo de Excel................................................... 98 Referencias relativas y referencias absolutas.............................................................. 98 Amortización........................................................................................................................... 99 Composición de los pagos................................................................................................ 100 Tabla de amortización......................................................................................................... 100
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Jhonny de Jesús Meza Orozco
Cuestionario...................................................................................................................................... 109 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 110 Ejercicios propuestos..................................................................................................................... 111 CAPÍTULO 4. TASAS DE INTERÉS.............................................................................................. 123 0. Introducción............................................................................................................................ 123 1. Tasa nominal............................................................................................................................ 124 1.1 Formas de expresar la tasa nominal........................................................................ 124 1.1.1 En bancos comerciales, compañías de financiamiento comercial y corporaciones financieras........................................................ 124 1.1.2 Tasa nominal referenciada con la D.T.F....................................................... 124 1.1.3 Tasa nominal referenciada con la UVR....................................................... 125 2. Tasa efectiva............................................................................................................................ 125 3. Tasa periódica......................................................................................................................... 125 4. Relación entre la tasa nominal y la tasa periódica................................................... 127 5. Diferencia entre la tasa nominal y la tasa efectiva................................................... 128 6. Ecuación de la tasa efectiva.............................................................................................. 128 7. Relación entre las tasas efectivas periódicas............................................................... 130 8. Tasas equivalentes................................................................................................................. 132 8.1 Caso 1 (Efectiva ⇔ Efectiva)....................................................................................... 133 8.1.2 Caso de efectiva periódica menor a efectiva periódica mayor............................................................................................................ 133 8.1.3 Caso de efectiva periódica mayor a efectiva periódica menor........ 135 8.2 Caso 2 (Efectiva ⇔ Nominal)..................................................................................... 139 8.3 Caso 3 (Nominal ⇔ Efectiva)..................................................................................... 141 8.4 Caso 4 (Nominal ⇔ Nominal)................................................................................... 144 9. Tasa de interés anticipada ................................................................................................. 147 9.1 Conversión de una tasa anticipada en vencida.................................................. 149 9.2 Conversión de una tasa vencida en anticipada.................................................. 151 10. Ecuación de la tasa efectiva en función de la tasa efectiva periódica anticipada............................................................................................ 162 11. Diagrama de conversión de tasas de interés.............................................................. 165 12. Aplicación de la tasa anticipada con interés compuesto....................................... 166 13. Descuentos por pronto pago........................................................................................... 167 14. D.T.F. (depósito a término fijo).......................................................................................... 172 15. Unidad de valor real (UVR)................................................................................................ 174 15.1 Características de la UVR.......................................................................................... 174 15.2 Cálculo de la UVR........................................................................................................ 175 16. Tasa de inflación.................................................................................................................... 176 17. Tasa real o tasa deflactada................................................................................................. 187 17.1 Rentabilidad neta de una inversión...................................................................... 188 17.2 Costo de la deuda después de impuestos......................................................... 191 17.3 Rentabilidad real de una inversión........................................................................ 193
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Matemáticas financieras aplicadas
17.4 Costo real de un crédito............................................................................................ 198 Apéndice: factores que determinan el costo del dinero.................................................. 200 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 203 Ejercicios propuestos..................................................................................................................... 204 CAPÍTULO 5. ANUALIDADES O SERIES UNIFORMES...................................................... 219 0. Introducción............................................................................................................................ 219 1. Definición de anualidad...................................................................................................... 221 1.1 Renta o pago.................................................................................................................... 221 1.2 Período de renta............................................................................................................. 221 2. Condiciones para que una serie de pagos sea una anualidad............................ 221 3. Clases de anualidades......................................................................................................... 221 4. Anualidad vencida................................................................................................................ 222 4.1 Valor presente de una anualidad vencida............................................................. 222 4.2 Valor presente de una anualidad vencida con tasa variable......................... 228 4.3 Valor de la cuota en función del valor presente................................................. 229 4.4 Valor futuro de una anualidad vencida.................................................................. 234 4.4.1 Valor futuro de una anualidad vencida con tasa variable................... 237 4.5 Valor de la cuota en función del valor futuro...................................................... 242 4.6 Cálculo del tiempo de negociación........................................................................ 247 4.7 Cálculo de la tasa de interés...................................................................................... 256 5. Anualidad con interés global............................................................................................ 263 6. Cálculo del saldo insoluto.................................................................................................. 269 7. Anualidad anticipada........................................................................................................... 283 7.1 Valor presente de una anualidad anticipada....................................................... 284 7.2 Valor de la cuota de una anualidad anticipada.................................................. 296 7.3 Cálculo del tiempo de negociación........................................................................ 302 7.4 Cálculo de la tasa de interés de una anualidad anticipada............................ 304 7.5 Valor futuro de una anualidad anticipada............................................................ 312 8. Anualidad diferida................................................................................................................ 314 9. Anualidad perpetua.............................................................................................................. 320 9.1 Valor presente de una anualidad perpetua.......................................................... 320 10. Anualidad general................................................................................................................. 321 10.1 Período de capitalización.......................................................................................... 322 10.2 Período de pago........................................................................................................... 322 Apéndice: arrendamiento financiero (LEASING)................................................................. 328 Cálculo del canon de arrendamiento vencido..................................................................... 329 Cálculo del canon de arrendamiento anticipado............................................................... 333 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 337 Ejercicios propuestos..................................................................................................................... 338
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Jhonny de Jesús Meza Orozco
CAPÍTULO 6. GRADIENTES O SERIES VARIABLES............................................................. 353 Introducción.......................................................................................................................................... 353 1. Definición................................................................................................................................. 355 2. Condiciones para que una serie de pagos sea un gradiente............................... 355 3. Gradiente lineal o aritmético............................................................................................ 355 3.1 Gradiente lineal creciente........................................................................................... 356 4. Gradiente lineal decreciente............................................................................................. 370 4.1 Valor presente de un gradiente lineal decreciente........................................... 370 5. Gradiente geométrico o exponencial............................................................................ 376 5.1 Gradiente geométrico creciente............................................................................... 376 5.2 Gradiente geométrico decreciente.......................................................................... 382 Valor presente de un gradiente geométrico decreciente............................. 382 6. Gradiente escalonado o en escalera................................................................................ 385 6.1 Valor presente de un gradiente geométrico escalonado............................... 385 Conclusiones del ejemplo resumen......................................................................................... 393 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 397 Ejercicios propuestos..................................................................................................................... 397 CAPÍTULO 7. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN..................................................................... 405 Definición............................................................................................................................................... 405 1. Sistema de amortización...................................................................................................... 405 1.1 Composición de los pagos......................................................................................... 406 1.2 Tabla de amortización.................................................................................................. 406 1.3 Cálculo del saldo insoluto........................................................................................... 406 2. Sistemas de amortización.................................................................................................. 406 2.1 Amortización con pago único del capital al final del plazo.......................... 407 2.2 Sistema de cuota fija..................................................................................................... 408 2.3 Sistema de cuota fija con cuotas extraordinarias............................................... 410 2.4 Sistema de cuota fija con período de gracia....................................................... 412 2.5 Sistema de abono constante a capital................................................................... 416 Con intereses vencidos........................................................................................................ 416 Con intereses anticipados.................................................................................................. 421 2.6 Sistema de cuota fija con interés global................................................................ 425 2.7 Sistema de cuotas crecientes en forma lineal..................................................... 427 2.8 Sistema de cuotas crecientes en forma geométrica......................................... 430 2.9 Amortización con cuotas mensuales fijas, crecientes anualmente en un porcentaje fijo................................................................................... 432 2.10 Sistema de cuota fija con tasa variable (D.T.F.)................................................. 434 2.11 Sistema de abono constante a capital con tasa variable (D.T.F.)................ 437 2.12 Financiación de la vivienda en Colombia .......................................................... 438 Comparación entre los sistemas de amortización ........................................ 445 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 446 Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 446
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Matemáticas financieras aplicadas
CAPÍTULO 8. EVALUACIÓN DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN................................ 455 Introducción.......................................................................................................................................... 455 1. Tasa de descuento................................................................................................................. 456 2. Valor presente neto (VPN)................................................................................................. 456 2.1 Criterios para seleccionar alternativas usando el VPN..................................... 462 2.2 ¿Qué muestra el VPN?.................................................................................................. 470 2.3 Conclusiones sobre el VPN......................................................................................... 471 2.4 Valor presente neto no periódico (VPN. NO PER.)............................................ 471 3. Tasa interna de retorno (TIR)............................................................................................. 474 Método gráfico para calcular la TIR............................................................................... 480 ¿Cómo se grafica el perfil del VPN?............................................................................... 481 Significado de la TIR............................................................................................................. 481 Criterios de selección de alternativas usando la TIR................................................ 483 4. Tasa verdadera de rentabilidad (TIR modificada)...................................................... 483 5. Tasa interna de retorno no periódica (TIR. NO. PER.).............................................. 487 Cuestionario...................................................................................................................................... 489 Ejercicios de autoevaluación....................................................................................................... 490 Ejercicios propuestos .................................................................................................................... 491 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................................... 501
XII
Prólogo
Los oportunos comentarios recibidos de parte de profesores de la materia, alumnos de pregrado y posgrado, así como de pequeños empresarios y consultores financieros sobre la cuarta edición de este libro, y el avance tecnológico en materia de herramientas computacionales aplicables a las finanzas hicieron imperiosa la necesidad de escribir esta quinta edición. Son muchos los cambios con respecto a la cuarta edición. El uso eficiente de la hoja de cálculo Excel modifica el sistema tradicional de enseñanza de las Matemáticas Financieras, que se apoyan en el supuesto de la reinversión a una misma tasa de interés, y esto en la práctica es, muchas veces, irreal. Bajo esta concepción se enseña todavía la Matemática Financiera y así fueron concebidas las fórmulas para hacer cálculos financieros. En la vida real las tasas de interés son fluctuantes en períodos cortos de tiempo, de tal forma que la concepción tradicional presenta sus limitaciones. Por estas razones, en este texto, se plantean nuevas situaciones a través de ejercicios resueltos y propuestos, en las cuales es necesario considerar el escenario de tasas variables. En el capítulo 3, Interés compuesto, se incluye el cálculo del valor futuro y valor presente con tasa variable. En este mismo capítulo se utiliza, para los ejercicios que eran resueltos con una ecuación matemática conocida como ecuación de valor, la herramienta de Excel, Buscar objetivo que resuelve cualquier ecuación de una incógnita, como lo son las ecuaciones de las Matemáticas Financieras. También se incorporan a los cálculos financieros las nuevas calculadoras financieras FC 100V y FC 200V. En el capítulo 4, Tasas de interés, se resuelven nuevos ejercicios de conversiones de tasas de interés, orientados al sector financiero y aplicado a la vida práctica. Se establece una importante discusión sobre la consideración de las tasas periódicas como tasas efectivas. Se estudia en detalle la tasa de referencia DTF y la unidad de valor real (UVR). En los capítulos 5 y 6 (Anualidades y Gradientes) los ejercicios se resuelven, además de la aplicación de las fórmulas y la calculadora financiera, con la función de Excel Buscar objetivo, escenario este que le permitirá al lector visualizar a través de una tabla de amortización la evolución de la operación financiera.
XIII
Matemáticas financieras aplicadas
En el capítulo 7, Sistemas de amortización, además de los sistemas tradicionales que se utilizan para amortizar una obligación financiera, se plantea el caso del sistema de cuota fija y tasa variable, específicamente el caso de un crédito bancario o comercial referenciado con la tasa DTF. En el capítulo 8, además del estudio del VPN y la TIR en proyectos con flujos netos de efectivo periódicos, se estudian situaciones financieras en las cuales éstos no necesariamente tienen que ser periódicos, que se resuelven por medio del VPN y la TIR no periódicos. Creemos que de esta forma presentamos a la comunidad universitaria y al sector empresarial una obra actualizada, con las nuevas concepciones y herramientas financieras que les permitan potenciar su acervo académico, y contar con los suficientes elementos de juicio para tomar en forma acertada las decisiones financieras. Jhonny de Jesús Meza Orozco
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XIV
Hay dos tipos de expertos en finanzas: los que han hecho enormes fortunas personales y los que no poseen nada en absoluto. Para un millonario, mil millones de pesos es algo concreto y comprensible. Para el experto en matemáticas aplicadas y para el conferencista de temas económicos (suponiendo que ambos se encuentren en la miseria) mil millones de pesos son tan irreales como un millón de pesos, pues nunca han poseído esas sumas. Pero el mundo está lleno de personas que se hallan entre ambas categorías extremas, personas que nada saben de millones pero que están muy acostumbradas a pensar en miles, y son precisamente éstas las que forman los comités de finanzas. C. Northcote Parkinson
Capitulo 0
Preliminares La Matemática es la reina de las ciencias y la Aritmética la reina de la Matemática. C. F. Gauss
1. Introducción Ha sido evidente para el autor, por su experiencia como docente universitario en el área de finanzas, el bajo nivel de preparación que, en la ciencia de los números, exhibe una buena parte del alumnado que asiste al curso de Matemáticas Financieras, no obstante haber cursado las matemáticas básicas en los primeros semestres de educación superior. Las causas son diversas, entre las que se destacan circunstancias sicológicas y, sobre todo, metodológicas. En primer lugar, poco es lo que se ha hecho por desarraigar la prevención de que la ciencia matemática es demasiado difícil y está destinada a personas dotadas de condiciones excepcionalmente especiales. Y, por otra parte, la metodología desarrollada por algunos docentes no despiertan el entusiasmo y el interés hacia esta ciencia. La Matemática Financiera es una rama de la matemática básica cuyo soporte es la Aritmética. Tanto es así, que algunos autores coinciden en afirmar que bien podría llamarse Aritmética Financiera, ya que para su manejo y comprensión sólo es necesario aplicar las operaciones fundamentales de la aritmética, algo de sentido común y capacidad de análisis. Consciente el autor de esta realidad y con el ánimo de que el lector pueda abordar sin prejuicios el estudio de este texto, se propone exponer en este capítulo, en una forma clara y resumida, las operaciones fundamentales de la Aritmética, haciendo referencia a los temas específicos que se aplican en la solución de los problemas de las Matemáticas Financieras, aunque lo ideal sería que el lector hiciera un repaso general y concienzudo de esta materia utilizando cualquiera de los tantos textos que sobre este tema existen.
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Otros títulos de interés Evaluación Financiera de proyectos Jhonny de Jesús Meza Orozco Contabilidad administrativa Gonzalo Sinisterra Contabilidad general Ángel María Fierro Estado de flujo de efectivo Rodrigo Estupiñan Gaitán Costos para PyME Carlos Augusto Rincón Contabilidad de costos Gonzalo Sinisterra Valencia Estados Financieros Javier A. Carvalho Gstión financiera Marcial Córdoba Padilla
Matemáticas financieras aplicadas Es común para cualquier persona que abre una cuenta de ahorros, constituye un CDT, solicita un crédito bancario, comercial o de vivienda y tiene en mente realizar una inversión; sentirse agobiado por la dificultad de comprender los indicadores y sistemas de pagos propios de nuestros sistemas financiero y comercial, tales como tasa efectiva, tasa nominal, DTF, UVR, TIR, VPN, sistemas de amortización de créditos, etcétera. En esta quinta edición se tratan en una forma sencilla estos, y otros, aspectos propios de las Matemáticas Financieras utilizando además de los procedimientos de cálculo tradicionales, los equivalentes con las diferentes calculadoras financieras y el Excel. Como material de enseñanza complementario el lector podrá descargar del SIL (Sistema de Información en Línea) los siguientes archivos: 1.. plicativo de conversión de tasas de interés 2.. plicativo para el cálculo de intereses moratorios 3.. olucionario de ejercicios El texto está orientado más al aprendizaje que a la enseñanza, de tal forma que cualquier persona con los fundamentos matemáticos básicos y con deseos de aprender esta disciplina, puede abordarlo sin dificultad. Colección: Ciencias administrativas Área: Contabilidad y finanzas.
e-ISBN: 978-958-771-003-8
9 789587 710021 ISBN: 978-958-771-002-1
