Matemáticas Elementales Ed2010rev6may2015

´ UNIVERSIDAD AUTONOMA DE PUEBLA ´ FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICO–MATEMATICAS

´ MATEMATICAS ELEMENTALES

˜ DE 2010 PUEBLA, PUE., OTONO (rev. 6 de mayo de 2015)

A esa de quien olvid´e sus generales pero recuerdo sus particulares

PROLEGOMENO El verano de 1991 vio nacer un libro escrito por un grupo de profesores de la Facultad de Ciencias F´ısico–Matem´aticas —“La Comisi´on” (Celestino Soriano Soriano, Juan Angoa Amador, Jaime Arroyo Garc´ıa David Herrera Carrasco, Agust´ın Contreras Carreto, Fernando Vel´azquez Castillo y Ra´ ul Linares Garc´ıa) — y que lleva el mismo nombre que la materia para la que serv ´ıa de texto: “Matem´aticas B´asicas”. En vista de la “renovaci´on” de los planes de estudio realizadas en la B.U.A.P. desde 1992, fue necesaria la adaptaci´on de dicha obra, introduciendo algunos temas, reduciendo otros y transformando otros m´as, hasta dar a luz a un un hijo bastardo del “Matem´aticas B´asicas” en la misma facultad, pero cuatro veranos despu´es que su padre, y con una finalidad an´aloga: servir de texto para el curso que le d´a nombre: “Matem´aticas Elementales”. Los parteros —“Una subcomisi´on” de la “La Comisi´on– esperan con fervor que, en este nene, los genes heredados y las mutaciones operadas, sean las adecuadas ya que, de resultar contrahecho, tendr´a que ser abandonado en “la Pe˜ na”de los espartanos y los u ´nicos responsables de ello —“Una subcomisi´on– ser´an merecedores de una “actuaci´on” en el circo romano. El trabajo de transcribir nuestro manuscrito a LATEX, fue realmente cicl´opeo. Agradecemos infinitamente a Luis Alberto Torres Ram´ırez el que se hubiera animado a realizarlo. ATENTAMENTE “Una subcomisi´ on” J. Juan Angoa Amador Agust´ın Contreras Carreto Manuel Ibarra Contreras Ra´ ul Linares Gracia Armando Mart´ınez Garc´ıa

´Indice general 1. L´ ogica 1.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . 1.2. Proposiciones l´ogicas y conectivos 1.3. Tablas de verdad y equivalencias 1.4. Cuantificadores . . . . . . . . . . 1.5. Razonamiento . . . . . . . . . . . 1.6. M´etodos de Demostraci´on . . . . 1.6.1. Demostraciones directas. . 1.6.2. Demostraciones indirectas. 1.6.3. Ejemplos y contraejemplos 1.7. Ap´endice 1 . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ap´endice 2 . . . . . . . . . . . . . 2. Conjuntos 2.1. Introducci´on . . . . . . 2.2. Conjunto Universal . . 2.3. Subconjuntos . . . . . 2.4. Igualdad de conjuntos 2.5. Construcci´on de nuevos

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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . conjuntos a

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3. N´ umeros reales 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Consecuencias de los Axiomas de Campo . 3.3. Consecuencias de los Axiomas de Orden . 3.4. El Axioma del Supremo . . . . . . . . . . 3.5. Los n´ umeros Naturales . . . . . . . . . . . 3.6. N´ umeros Enteros, Racionales e Irracionales iii

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1 1 2 5 14 24 32 34 37 40 43 47

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48 48 55 56 59 63

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73 73 76 90 121 133 146

´INDICE GENERAL

iv

3.7. Representaci´on a-naria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.8. Ap´endice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4. Funciones 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . 4.2. Formas de definir una funci´on 4.3. Igualdad de funciones . . . . . 4.4. Gr´afica de una funci´on . . . . 4.5. Composici´on de funciones . . 4.6. Funcion inyectivas . . . . . . . 4.7. Funciones suprayectivas . . . 4.8. Funcion biyectivas . . . . . . 4.9. Funci´on inversa . . . . . . . . 4.10. Algebra de funciones reales . . 4.11. Algunas funciones especiales .

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206 . 206 . 215 . 227 . 229 . 239 . 243 . 248 . 253 . 254 . 260 . 268

Cap´ıtulo 1 ´ LOGICA §1

1.1.

Introducci´ on

En el lenguaje cotidiano las expresiones adolecen de poder tener distintos significados, cosa que hace interesante a la literatura, pero en matem´aticas no podemos darnos ese lujo: no es posible que cada quien le de un significado distinto a expresiones como “si x es mayor que 3, entonces x es mayor que 2”. Con la intenci´on de, en la medida de lo posible, darle exactitud al discurso, el estudio de los procesos l´ogicos cobra inter´es. Tambi´en es necesario distinguir entre argumentos correctos, Recordar que en matem´aticas as´ı como en la ciencia, la actividad demostrativa juega un papel importante. En este curso no pretendemos estudiar a fondo la l´ogica formal, sino reafirmar algunas actividades centrales como: analizar la estructura l´ ogica del discurso matem´ atico, as´ı como decidir si los pasos que se siguen en una demostraci´ on son v´ alidos o no.

1

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

2 §2

1.2.

Proposiciones l´ ogicas y conectivos

Para nuestros prop´ositos una frase que tenga la propiedad de ser falsa ´n o verdadera y s´olo una de estas posibilidades se llamar´a Proposicio ´ gica. Lo Si una proposici´on es verdadera diremos que su valor de verdad es V , y si es falsa diremos que su valor de verdad es F . La frase ¡Viva M´exico!, al interrogarse de si es verdadera o falsa, uno encontrar´a que no es ninguna de las dos cosas. Podemos concluir que dicha frase no es proposici´on l´ogica. Ahora veamos las siguientes proposiciones l´ogicas: a) 1 + 1 = 2 b) La suma de n´ umeros enteros es un n´ umero entero. c) 3 es mayor que 2. d) 4 es un n´ umero negativo. e) Est´a lloviendo ahora en la Plaza Roja de Mosc´ u. Es claro que todas ellas s´ı tienen un valor de verdad; es m´as, podemos afirmar que las tres primeras son verdaderas y la pen´ ultima es falsa. Resumiendo: a), b) y c) tienen valor de verdad V y d) tiene valor de verdad F . ¡Atenci´on!: La proposici´on e) es proposici´on l´ogica a pesar de no poder decidir su valor de verdad (desde C.U. y sin la magia de la comunicaci´on). Analicemos las siguientes proposiciones l´ogicas:

´ 1.2. PROPOSICIONES LOGICAS Y CONECTIVOS

3

a) 3 y 2 son n´ umeros enteros. b) M´exico y Guatemala son pa´ıses centroamericanos. c) 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4. Notemos que tienen una forma com´ un: (. . . . . . ) y (. . . . . . ), donde los par´entesis (. . . . . . ) representan proposiciones l´ogicas. Las proposiciones l´ogicas a), b) y c) escritas en esta forma quedan: a) 3 es n´ umero entero y 2 es n´ umero entero. b) M´exico es pa´ıs centroamericano y Guatemala es pa´ıs centroamericano. c) 3 + 1 = 4 y 2 + 2 = 4 Esto nos lleva a la definici´on: Definici´ on 1.2.1 Si una proposici´on l´ogica se puede llevar a la forma: ´ n) (Proposicio

y

´ n), (proposicio

a tal proposici´on se le llama conjunci´ on. En seguida enunciaremos formas cl´asicas de proposiciones l´ogicas que nos permitan una clasificaci´on inicial de ´estas. Definici´ on 1.2.2 Cuando una proposici´on se puede llevar a la forma: ´ n) (proposicio

o

´ n), (proposicio

a dicha proposici´on se le llamar´a disyunci´ on. Definici´ on 1.2.3 si una proposici´on l´ogica se puede escribir en la forma: ´ n) Si (proposicio

entonces

´ n), (proposicio

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

4

a tal proposici´on se le llamar´a implicaci´ on o condicional. Es conveniente saber que la proposici´on condicional si p entonces q, tambi´en se puede escribir como: q si p, p implica q, p s´olo si q, p es suficiente para q, q es necesaria para p y q siempre que p. Definici´ on 1.2.4 Llamaremos negaci´ on a la proposici´on que tenga la forma: ´ n). Es falso que (proposicio Ejemplos: 1. Si est´a lloviendo me mojar´e. (condicional) 2. Juan es electr´onico y Pedro tambi´en. (conjunci´ on) 3. El d´ıa de ma˜ nana ser´a lluvioso o caluroso. (disyunci´on) 4. 3 o 2 son mayores que 1. (disyunci´ on) 5. No es posible que exista transporte barato y c´omodo. (negaci´ on) 6. S´olo estudiando aprobar´e el curso. (implicaci´on) En las proposiciones del tipo disyunci´on, conjunci´on e implicaci´on, participan dos proposiciones. En las disyunciones y conjunciones es indistinto donde se coloquen tales proposiciones; sin embargo, en la implicaci´on no. As´ı: “si llueve me mojo” cambia radicalmente si se transforma en “si me mojo entonces llueve”.

1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS

5

Para distinguir el diferente papel que juegan las dos proposiciones que forman la implicaci´on, tenemos: Definici´ on 1.2.5 En una impicaci´on llamaremos antecedente a la proposici´on colocada entre “si” y “entonces” y llamaremos consecuente a la proposici´on colocada despu´es de “entonces”. Veamos las proposiciones: 1. Es condici´on suficiente para que Avelino vuele, ser poeta. 2. Jaime podr´a adelgazar si deja de comer.

1 y 2 son condicionales ya que se pueden escribir de la forma: 1. Si Avelino es poeta, Avelino vuela. 2. Si Jaime deja de comer entonces Jaime podr´a adelgazar. Ya escritas as´ı uno podr´a distinguir claramente el antecedente y el consecuente. Finalmente, a las siguientes part´ıculas: y, o, si . . . entonces . . . , es falso que, se les agrupa con el nombre de conectivos l´ogicos. Tambi´en a partir de ahora, escribiremos simplemente proposici´on en vez de proposici´on l´ogica.

§3

1.3.

Tablas de verdad y equivalencias

Planteamos las siguientes preguntas: ¿Es posible que una conjunci´on sea verdadera si alguna de las proposiciones que la forman es falsa?

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

6

¿Bajo qu´e condiciones de las proposiciones inmersas en una conjunci´on, ´esta podr´a ser falsa? Para dar luz acerca de estas preguntas, va la: Definici´ on 1.3.1 Una conjunci´on es verdadera cuando y s´olo cuando las dos proposiciones que la forman son verdaderas. An´alogas preguntas podr´ıan plantearse respecto de las disyunci´on y de la negaci´on. Para esto: Definici´ on 1.3.2 Una disyunci´on es verdadera cuando y s´olo cuando alguna de las proposiciones que la forman es verdadera. Definici´ on 1.3.3 Una negaci´on es verdadera si y s´olo si la proposici´on negada es falsa. Ahora bien, ¿pasa con la implicaci´on? Veamos las siguientes proposiciones: “si dos es par, entonces 3 + 2 es impar ”. “siempre que dos es par, 3 + 2 es impar ”. “No ocurre que dos sea par y 3 + 2 no sea impar ”. Intuitivamente podemos aceptar que las tres proposiciones dicen lo mismo, es decir, estamos aceptando que: “Una implicaci´on es la negaci´on de una conjunci´on”. As´ı que una implicaci´on es verdadera si la conjunci´on es falsa; pero la tal conjunci´on est´a constitu´ıda por el antecedente y la negaci´on del consecuente de la implicaci´on; as´ı que la conjunci´on ser´a falsa si el antecedente es falso o el consecuente es verdadero. Resumiendo: Definici´ on 1.3.4 Una implicaci´on es verdadera en cualquiera de los dos casos siguientes: a) El consecuente es verdadero.

1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS

7

b) El antecedente es falso. Observando estas condiciones, vemos que la u ´nica posibilidad que no se incluye es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Una manera de recordar esta conclusi´on es usando la siguiente afirmaci´on: “Nunca una verdad implica una falsedad”. En lo que sigue adoptaremos formas simb´olicas para las proposiciones. As´ı las letras p, q, r, s, t, . . . , simbolizar´an proposiciones, y nuestros tipos de proposiciones se simbolizar´an: 1) p ∧ q

conjunci´on de las proposiciones p y q.

2) p ∨ q

disyunci´on de la proposiciones p y q.

3) ¬q

negaci´on de la proposici´on q.

4) p ⇒ q

implicaci´on con antecedente p y consecuente q.

Ahora, si tenemos una proposici´on en forma simb´olica, trataremos de sacar informaci´on acerca del comportamiento de su valor de verdad; para ´esto, listaremos todas las combinaciones posibles en que aparezcan los valores de verdad de las proposiciones que forman tal proposici´on. Por ejemplo: ¬(¬p ∧ q) tiene 4 posibles combinaciones, a saber: 1) p verdadera y q verdadera. 2) p falsa y q verdadera. 3) p verdadera y q falsa. 4) p falsa y q falsa.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

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En cada uno de estos casos, cada combinaci´on determina un valor de verdad para ¬(¬p ∧ q) (¡claro!, uno de los dos posibles, F o V ). Enseguida ilustraremos una forma de listar las combinaciones de valores de verdad, as´ı como sus consecuencias en el valor de verdad de la porposici´on total. p

q

¬p ∧ q

¬(¬p ∧ q)

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

F

F

V

A tal lista se le llama Tabla de verdad de la proposici´on. Ahora observaremos la siguiente proposici´on: “Pedro es carpintero o no lo es” Tiene la forma simb´olica p ∨ ¬p, donde p simboliza la proposici´on “Pedro es carpintero”. Su tabla de verdad es: p

¬p

p ∨ ¬p

V

F

V

F

V

V

es decir, p ∨ ¬p, sea como sea p, siempre es verdadera; su verdad no depende de qui´en sea p, sino de la forma que tiene la proposici´on. Una t´ecnica con la que podremos saber cu´ando una proposici´on es verdadera por su forma, se´ıa: “Escribamos la proposici´on en la forma simb´olica; construyamos su tabla de verdad y si siempre es verdadera, entonces tal proposici´on es verdadera por su forma”. Definici´ on 1.3.5 Las proposiciones l´ogicas que son verdaderas por su forma son llamadas Tautolog´ıas.

1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS

9

Es importante tener en mente las principales formas simb´olicas que dan lugar a tautolog´ıas. algunas de ´estas se podr´an hallar en los ejercicios o expl´ıcitamente en los siguientes temas. Observemos las siguientes parejas de proposiciones: 1) Ni Pedro ni Juan son matem´aticos. 2) Es falso que Pedro o Juan sean matem´aticos. Notamos que dicen lo mismo; sin embargo quisieramos tener un m´etodo, m´as seguro que la intuici´on, para asegurarnos que dos proposiciones dicen lo mismo. Para esto notemos que si dos proposiciones tinen igual contenido, no puede suceder que una de ellas sea falsa y la otra verdadera, asi que deben cumplir que ambas son verdaderas o ambas son falsas. Para continuar con esto analicemos la siguiente forma: (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) El estudiante comprobar´a sin lugar a dudas que esta proposici´on es falsa si p y q no coinciden en sus valores de verdad. Con esto justificamos la siguiente: Definici´ on 1.3.6 Dos proposiciones p y q son equivalentes (tienen el mismo contenido) si (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) es tautolog´ıa. Simbolizaremos que p y q son equivalentes escribiendo: p ≡ q Nota 1 (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) se simboliza como: (p ⇔ q) y se lee: “p si y s´olo si q” A este tipo de proposiciones se les llama bicondicionales.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

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Nota 2 2 = 1 ⇔ “Salinas fue un presidente muy honrado”. es una bicondicional verdadera, evidentemente, aunque no es tautolog´ıa. ¿Por qu´e? Nota 3 La proposici´on: “Si don Pr´ospero Torres es due˜ no de una parcela, entonces voto por el tricolor”. es de la forma p ⇒ q, donde p: ”Don Pr´ospero Torres es due˜ no de una parcela” y q: “Don Pr´ospero Torres voto por el tricolor” y es equivalente a su contrarec´ıproca (¬q ⇒ ¬p, ver ejercicio 7,b) de Ejercicios 2), es decir: “Si Don Pr´ospero Torres no vota por el tricolor entonces no ser´a due˜ no de una parcela” La misma proposici´on se puede escribir como: “Es necesario que Don Pr´ospero Torres vote por el tricolor para que sea due˜ no de una parcela” Por otro lado, hemos sabido que Don Pr´ospero Torres sigue gritando: “Yo soy campesino y no tengo tierra” (ver “Matem´aticas B´asicas” UAP 1991 La Comisi´ on), y eso que ha votado por el tricolor, es decir q es condici´on necesaria pero no suficiente para que ocurra p. As´ı que, en general una bicondicional, q ⇔ p, suele leerse “p es condici´on necesaria y suficiente para q” o “q es condici´on necesaria y suficiente para p” (al fin y al cabo son equivalentes p ⇒ q y q ⇒ p.

Ejercicios 1. 1. ¿Cu´ales de las siguientes afirmaciones son proposiciones l´ogicas?

1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS

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a) ¿Come o fuma? b) ¡Come o fuma! c) 3 es mayor que 4. d ) Todos los tri´angulos son equilateros. 2. Clasifique las siguientes proposiciones de acuerdo a nuestras definiciones. En las negaciones, aclare cu´ales son las proposiciones negadas. a) El carro de Pedro es tan bueno como el de Juan. b) No es posible que exista Transporte barato y c´omodo. c) Aunque 3 no es par, s´ı es primo. d ) Si los precios aumentan, los salarios aumentan. e) Es falso que la natalidad disminuya en los pa´ıses pobres. f ) Es falso tanto que M´exico es una potencia como que es un pa´ıs pobre. g) S´olo si David trabaja podr´a dejar el vicio. h) Alguno de los dos casos sucede: si 3 es par entonces 3 + 2 es impar o si 3 es par entonces 3 + 2 es par. i) es falso que todo tri´angulo es equil´atero y es escaleno, pero es verdad que algunos tri´angulos son equil´ateros y otros no. j ) S´olo cuando estemos organizados ser´a posible cambiar el Estado. 3. En las siguientes condicionales diga cu´al es el antecedente y cu´al el consecuente. a) Queda claro que siempre que Pedro ha resuelto los problemas, Luis se los ha copiado. b) Si fuera 3 no primo, tendr´ıa otros divisores distintos de 1 y 3. c) Resulta que si usas autom´ovil, inmediatamente tienes problemas card´ıacos. d ) Al menos cada vez que tu maestro me ha explicado el tema de funciones, a m´ı no me ha quedado claro.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

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¿No se ha cansado todav´ıa? A´ upe su existencia con estos otros.

Ejercicios 2. 1. Denote con s la proposici´on “yo estudio”, y con p la proposici´on “yo pasar´e el curso”. Exprese simb´olicamente las siguientes proposiciones: a) No estudio. b) Si estudio pasar´e el curso. c) Pasar´e el curso solamente si estudio. d ) Parar´e el curso si estudio. e) Estudio o no pasar´e el curso. f ) Si estudio no pasar´e el curso. g) Ni estudio ni pasar´e el curso. h) Pasar´e el curso si y solamente si estudio. 2. Suponga que l es la proposici´on “la l´ogica es f´acil” y que m es la proposici´on “las matem´aticas son f´aciles”. Exprese con palabras las siguientes proposiciones: a) l ∧ m c) l ⇒ m

b) ¬l d) l ⇔ m

c) ¬m ∧ ¬l e) ¬l ⇒ ¬m

3. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones, suponga que p es verdadera y q es falsa.

a) p ∧ q d) p ∨ (¬p ∧ q) g) ¬(q ⇒ (p ∨ q))

b) p ∧ ¬q e) q ⇒ p h) ¬(p ⇔ q)

c) ¬(p ∨ q) f) ¬q ⇒ (p ∨ q) i) p ⇒ (¬p ∧ q)

4. Calcule el valor de verdad de las siguientes proposiciones, usando los conocimientos matem´aticos que hasta la fecha posea.

1.3. TABLAS DE VERDAD Y EQUIVALENCIAS

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a) 3 es mayor que 2 o 3 es igual a 2. b) Si 2 fuera mayor que 4 entonces 3 ser´ıa mayor que 4. c) Si 2 fuera mayor que 4 entonces 3 ser´ıa igual a 2. d ) Ni 3 ni 7 son pares. e) Si 3 fuera par, 3 + 2 tambi´en lo ser´ıa. f ) 4 u 8 son pares. g) Es falso que: 8 y 2 son impares. h) 3 no es par o 7 es par. 5. ¿Cu´ales de las siguientes formas dan lugar a tautolog´ıas: a) (p ∧ q) ⇒ p b) (p ∨ q) ⇒ q c) (p ∧ ¬p) ⇒ r d) p ⇒ ¬p e) [(p ∧ (q ⇒ q)) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ r f) (p ∧ ¬p ⇒ (r ∧ ¬r) g) [(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ q)] ⇒ q h) [(p ∨ q) ∧ ((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r))] ⇒ r i) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r)] 6. ¿Cu´ales de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes?: a) Ni 3 ni 7 son pares. Es falso que: 3 o 7 son pares. b) 3 es par pero 7 es impar. Es falso que: 3 par implica que 7 es par. c) Si 3 es par entonces 5 es par. Si 5 es impar entonces 3 es impar. d ) S´olo si lavas los platos vas al cine. Si lavas los platos vas al cine. 7. Demuestre que las siguientes formas dan lugar a tautolog´ıas: a) (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ (r ∧ ¬r)] b) (¬q ⇒ ¬p) ⇔ (p ⇒ q) c) ¬(p ∨ q) ⇒ (¬p ∧ ¬q) d ) ¬(p ∧ q) ⇒ (¬p ∨ ¬q) e) ¬(¬p) ⇔ p

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

14 f) p∨q ⇔ q∨p g) [p ∨ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∨ r] h) p ∧ q ⇔ q ∧ p i) [p ∧ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∧ r] j ) [p ∧ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)] k ) [p ∨ (q ∧ r)] ⇔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] l ) ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q

§4

1.4.

Cuantificadores

Analicemos las siguientes proposiciones: 1) Todos los autom´oviles son enfriados por agua. 2) Hay mujeres solteras. 3) Alg´ un estudiante de la BUAP es millonario. Estas proposiciones tienen en com´ un que son afirmaciones acerca de un conglomerado o conjunto de objetos. As´ı, la primera es una afirmaci´on sobre el conjunto de autom´oviles, la segunda sobre el conjunto de las mujeres, etc. . . Ahora toca discutir alg´ un m´etodo para calcular el valor de verdad de este tipo de proposiciones. As´ı pues, para el primer ejemplo, concluir que es verdadera tal proposici´on, ser´ıa s´olo cuando hubi´eramos investigado todos y cada uno de los autom´oviles y adem´as supi´eramos que todos y cada uno de ellos son efectivamente enfriados por agua. Sabemos que existe un autom´ovil de conocida marca que no es enfriado por agua; entonces podemos concluir que la proposici´on 1) es falsa. Sin embargo, para la segunda proposici´on, para ser verdadera se necesitar´a s´olo que,

1.4. CUANTIFICADORES

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para alg´ un elemento del conjunto, la afirmaci´on sea verdadera, y ¡claro que es verdadera!: cualquier solterona puede servir como justificante. Si ahora convenimos en que: U denota la colecci´on de todos los autom´oviles, ∀ denota las frases “cada uno”, “para cada”, “para todo”, “todo”, “cualquiera” o cualquier otra del mismo tipo. x ∈ U denota la frase “x pertenece a U ”, nuestra proposici´on 1) quedar´ıa simb´olicamente como: ∀ x ∈ U : x es enfriado por agua. Es m´as, si p(x) simboliza: “x enfriado por agua”, nuestra proposici´on quedar´ıa: ∀ x ∈ U : p(x) U se denomina conjunto universo. ∀ se denomina cuantificador universal. p(x) se denomina frase abierta en U Las proposiciones del tipo: ∀ x ∈ U : p(x) son verdaderas si la frase p(x) se convierte en una proposici´on verdadera cada vez que x sea reemplazada por cualquier elemento de U y falsa en caso contrario. Ahora, si ∃ denota las frases: “hay”, “algunos”, “alg´ un”, “existe” o cualquiera otra del mismo jaez, U denota el conjunto de estudiantes de la BUAP y q(x) la frase abierta: “x es millonario”, la tercera proposici´on de los ejemplos quedar´ıa simbolizada: ∃ x ∈ U : q(x)

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

16

y proposiciones de este tipo son verdaderas siempre que se pueda encontrar un elemento a de U que haga verdadera a p(x) es decir, que p(a) sea una proposici´on verdadera. ¡Atenci´on! : Para que expresiones del tipo: ∀ x ∈ U : p(x)

o

∃ x ∈ U : p(x)

sean efectivamente proposiciones l´ogicas, p(x) debe ser una frase abierta tal que cada elemento a de U , p(a) sea una proposici´on l´ogica. Veamos algunos ejemplos: Ejemplos: 1) Todos los m´ usicos son gente alegre. 2) Todas las personas que no son alegre no son m´ usicos. 1) en forma simb´olica queda: ∀ x ∈ U : p(x) ⇒ q(x), donde U denota el conjunto de los seres humanos y p(x) la frase : x es m´ usico, y q(x) la frase : x es alegre. 2) en forma simb´olica es: ∀ x ∈ U : ¬q(x) ⇒ ¬p(x) 3) Dos n´ umeros primos diferentes son coprimos. Este ejemplo motiva la presentaci´on de las proposiciones abiertas en mas de una variable. Observemos las siguientes proposiciones abiertas: p y q son coprimos. x es mayor que y. Si x + y = x + z, entonces y = z.

1.4. CUANTIFICADORES

17

Aqu´ı las variables pueden tomar valores en diferentes conjuntos universales o en el mismo, pero eso se entiende del contexto en que se d´e la proposici´on en particular. As´ı, si Z es el conjunto de los enteros, nuestra proposici´on escrita en forma esquem´atica quedar´ıa como sigue: ∀ p ∈ Z : ∀ q ∈ Z : p ̸= q ⇒ p y q son coprimos 4) Si m y n son n´ umeros enteros pares cualesquiera, entonces m + n tambi´en es un entero par. Si Z denota al conjunto de los n´ umeros enteros, esta proposici´on se puede escribir as´ı: ∀ m ∈ Z : ∀ n ∈ Z : si m y n son pares ⇒ m + n es un entero par. Tambi´en se puede escribir as´ı ∀ m ∈ P : ∀ n ∈ P : m + n ∈ P, Si P representa al conjunto de los enteros pares. Algunos autores, en vez de usar dos cuantificadores universales hubieran preferido escribir la proposici´on as´ı: ∀ m, n ∈ Z : si m y n son pares ⇒ m + n es un entero par o de este modo ∀ m, n ∈ P : m + n ∈ P 5) Dado cualquier n´ umero real, siempre existe un n´ umero entero mayor que ´el . Si R representa al conjunto de n´ umeros reales y Z al de los enteros, podemos escribir esta proposici´on del modo siguiente: ∀ x ∈ R : ∃ n ∈ Z : n es mayor que x. 6) Todo n´ umero natural es mayor que cero.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

18

Esta proposici´on se puede escribir en forma simb´olica de dos modos diferentes, seg´ un sea el conjunto universal seleccionado: ∀x ∈ R : x ∈ N ⇒ x > 0 O bien ∀x ∈ N : x > 0 Donde N es el conjunto de los n´ umeros naturales y el s´ımbolo “>” significa “mayor que”. Como se vi´o, para negar una proposici´on, es suficiente anteponer la frase: “es falso que”. Lo mismo es v´alido para el tipo de proposiciones que estamos estudiando. As´ı por ejemplo: Todo n´ umero natural es mayor que cero. Su negaci´on Es falso que: Todo n´ umero natural es mayor que cero Sin embargo es u ´til tener formas equivalentes de estas proposiciones. Recordemos que siempre que ∀ x ∈ U : p(x) es verdadera, significar´a que p(a) es verdadera para cada elemento a de U , es decir, ¬p(a) es falsa para todo elemento a de U , o sea que es falsa la proposici´on: ∃ x ∈ U : ¬p(x) Ahora, si ∀ x ∈ U : p(x) es falsa, tenemos que para alg´ un a en U , p(a) es falsa, es decir, para este a, ¬p(a) es verdadera, as´ı que la proposici´on ∃ x ∈ U : ¬p(x) es verdadera. Ejemplifiquemos lo anterior. Sea U = {11, 12, 13, 14}

1.4. CUANTIFICADORES

19

y consideremos la proposici´on ∀ x ∈ U : x es divisible por 2 Hagamos una lista de los valores de verdad de la frase abierta para cada uno de los elementos de U . 11 es divisible por 2 — F 12 es divisible por 2 — V 13 es divisible por 2 — F 14 es divisible por 2 — V Vemos que la proposici´on es falsa, as´ı que de antemano sabremos que la proposci´on ∃ x ∈ U : ¬(x es divisible por 2) es verdadera. Podemos entonces concluir en general que: ¬(∀ x ∈ U : p(x)) es equivalente a ∃ x ∈ U : ¬p(x) Ahora, si ∃ x ∈ U : ¬p(x) es falsa, significa que p(a) es falsa para cualquier a en U , de aqu´ı que ¬p(a) es verdadera para cualquier a en U . Por lo tanto: ∀ x ∈ U : ¬p(x) es verdadera. Si sabemos que ∃ x ∈ U : ¬p(x) es verdadera, esto significa que para alg´ un a en U , p(a) es verdadera, as´ı que ¬p(a) es falsa para este mismo a en U , y podemos concluir que ∀ x ∈ U : ¬p(x) es falsa. Entonces podemos asentar que: ¬(∃ x ∈ U : ¬p(x)) es equivalente a ∀ x ∈ U : ¬p(x).

Ejemplos: En los siguientes ejemplos comentaremos algunos tipos de proposiciones en las que el cuantificador no esta expl´ıcito.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

20 1. Ning´ un n´ umero al cuadrado es negativo

Esta proposici´on se puede escribir de la siguiente forma: “No existe n´ umero que, elevado al cuadrado sea negativo”. O tambi´en: “Todo n´ umero cumple que, elevado al cuadrado, no es negativo”. De forma esquem´atica podemos decir que si una proposici´on tiene la forma: “Ning´ un x ∈ U cumple p(x)” ´esta, en realidad, es la proposici´on universal “∀ x ∈ U : ¬p(x)” . As´ı, nuestro ejemplo se escribe en forma esquem´atica como: ∀ x ∈ R : ¬(x2 < 0), donde R es el conjunto de los n´ umeros reales y “ x) es decir, ∃x ∈ R : ¬(∃n ∈ Z : n > x) simplificando m´as: ∃x ∈ R : ∀n ∈ Z : ¬(n > x) Ahora veamos otros ejemplos de negaciones:

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

22

6. “Es falso que exista alg´ un funcionario que no es corrupto” es equivalente a “Todos los funcionarios son corruptos”. Invitamos al estudiante a hacer todos los c´alculos con estas dos proposiciones: Pasarlas a sus formas simb´olicas, calcular sus valores de verdad y convencerse de la equivalencia. 7. ¬(∀ n ∈ P : ∀ m ∈ P : n + m ∈ P) es equivalente a: ∃ n ∈ P : ¬(∀ m ∈ P : n + m ∈ P) que a su vez es equivalente a: ∃n ∈ P : ∃m ∈ P : n + m ∈ /P Conv´enzase el lector de estas equivalencias, por favor. 8. ¬(∀ x ∈ R : ∃ n ∈ Z : n es mayor que x) es equivalente a: ∃ x ∈ R : ¬(∃ n ∈ Z : n es mayor que x) que a su vez es equivalente a : ∃ x ∈ R : ∀ n ∈ Z : ¬(n es mayor que x) ¿Verdad?

Ejercicios 3. 1. Determine cu´ales de las siguientes proposiciones son del tipo ∀ x ∈ U : p(x)

o

∃ x ∈ U : p(x),

precisando el conjunto universal y la proposici´on abierta p(x), y expr´eselas simb´olicamente. a) Cualquier d´ıa es bueno para estudiar.

1.4. CUANTIFICADORES

23

b) Cada comerciante pretende sacar ganancia de la crisis. c) Cualquier hombre, si trabaja, se agota. d ) Todo tri´angulo que tiene sus tres lados iguales es equil´atero. e) Alg´ un tri´angulo puede ser equil´atero y no tener los 3 lados iguales. f ) Cada par de rectas, sin son paralelas, no se intersectan. g) Pueden haber dos rectas no paralelas que se corten en m´as de un punto. h) Ning´ un hombre vive m´as de 150 a˜ nos. i) Algunos n´ umeros naturales son positivos. j ) Hay un punto en el plano tal que cualquier recta pasa por ´el. k ) Para cualquier n´ umero positivo, hay un natural que es mayor que ´el. l ) Todos los n´ umeros reales cumplen que su cuadrado es positivo. m) Nunca sucede que el cuadrado de un entero sea 1/3. 2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) Todo estudiante de esta facultad naci´o en Puebla. b) Cada vez que sumamos dos n´ umeros impares se obtiene un n´ umero impar. c) Todo entero es par y primo. d ) Si un n´ umero es par entonces es igual a 1. e) Si un n´ umero es par, al sumarle uno “se vuelve” impar. f ) Si U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, ∀ x ∈ U : x es impar g) Si U es como en (f), ∀ x ∈ U : x es mayor que 0 pero menor que 11. h) si U es como en (g), ∃ x ∈ U : x es mayor que 11. i) si U es como en (h), ∃ x ∈ U : x m´ ultiplo de 2. 3. ¿Cu´ales de los siguientes pares de proposiciones son equivalentes?

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

24

a) Todas las personas oyen consejo, o no llegan a viejos. Cada persona que oye consejo llega a viejo. b) ∀ x ∈ Z : x2 ̸= 1 ⇒ x2 + 1 ̸= 2 ¬(∃ x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2) c) ∃ x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 + 1 ̸= 2 ¬(∀ x ∈ Z : x2 = 1 ⇒ x2 + 1 = 2) d ) ∀ x ∈ Z : x2 = 1 ∧ x2 ̸= 0 ∀ x ∈ Z : es falso que: x2 = 1 ⇒ x2 = 0 Nota: Recuerde que Z es el conjunto de los n´ umeros enteros, o sea: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .} 4. Diga si en las siguientes parejas de proposiciones, son una la negaci´on de la otra. a) Todas las funciones cont´ınuas son integrales. Todas las funciones cont´ınuas no son integrales. b) Hay alg´ un n´ umero primo que no es par. Hay alg´ un n´ umero primo que es par. c) Todos los seres vivos est´an en peligro de morir. Alg´ un ser vivo no tiene el peligro de morir. d ) Para cada n´ umero positivo, hay un n´ umero natural mayor que ´el. Hay un n´ umero positivo, tal que todo n´ umero natural es menor o igual que ´el. §5

1.5.

Razonamiento

En el lenguaje que cotidianamente empleamos, suele usarse la palabra Razonamiento para indicar una actividad o proceso del pensamiento en

1.5. RAZONAMIENTO

25

el que se exponen razones sobre las que se basa la veracidad o falsedad de una proposici´on. En un razonamiento, la conlusi´on es la proposici´on sobre la que se afirma su veracidad o falsedad, bas´andose en las otras proposiciones del razonamiento que son las premisas. Por ejemplo: } Todos los animales son mortales Premisas Todos los hombres son animales Por lo tanto: Todos los hombres son mortales } conclusi´on Como hemos dicho, en un razonamiento se pretende que de las premisas se pueda concluir con seguridad algo. en este sentido puede hablarse de razonamientos mal hechos, si de las premisas no se puede seguir la conclusi´on. Antes de proseguir, notemos que un razonamiento adopta la forma de una implicaci´on, as´ı que: Definici´ on 1.5.1 Un razonamiento es una implicaci´on en donde el antecedente es una conjunci´on de un n´ umero finito de proposiciones, llamadas premisas del razonamiento; el consecuente es llamado la conclusi´ on del razonamiento. L´ogicamente un razonamiento es una implicaci´on de la forma: (P1 ∧ P2 ∧ . . . ∧ Pn ) ⇒ | {z } Premisas

r |{z} Conclusi´ on

que suele tambi´en escribirse del modo siguiente: P1 P2 .. . Pn r Ejemplos: 1)

Si Jaime deja de comer pan, adelgazar´a. Jaime no ha adelgazado Jaime no ha dejado de comer pan.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

26 2)

Alonso habl´o mal de Reagan. Reagan es anticomunista Alonso es comunista.

3)

´ Toda Aguila vuela. Guillermo no es ´aguila. Guillermo no vuela.

4)

Corro o como. Si corro me canso. Si como me canso. Me canso. Observemos los razonamientos 2) y 3). En 2), las premisas pueden ser verdaderas y sin embargo la cunclusi´on es falsa. En este caso, la veracidad de las premisas no asegura la veracidad de la conclusi´on. En 3), las premisas y la conclusi´on pueden ser verdaderas y sin embargo, la forma de razonamiento no es “correcta”, ya que podemos establecer un razonamiento de igual forma que puede tener premisas verdaderas y conclusi´on falsa, por ejemplo:

5)

Todos los perros son mam´ıferos Pedro no es perro. Pedro no es mam´ıfero. 3) y 5) tienen la forma

6)

∀ x ∈ U : p(x) a no es elemento de U . ¬p(a) En 5) tenemos premisas verdaderas y conclusi´on falsa; adem´as podemos asegurar que todos los razonamientos escritos en la forma 6) son incorrectos (que no es lo mismo que falsos).

1.5. RAZONAMIENTO

27

Ahora observemos 1) y 4). 1) acepta la siguiente forma simb´olica: 7)

p ⇒q ¬q ¬p

p: Jaime dej´o de comer. q: Jaime ha adelgazado.

No importan c´omo sean p y q, si las premisas son verdaderas, la conclusi´on es verdadera. No puede suceder que las premisas sean verdaderas y la conclusi´on falsa ¿por qu´e?. En todo razonamiento de la forma 7), si aseguramos la veracidad de las premisas, aseguramos la veracidad de la conclusi´on. Podemos decir que todo razonamiento de esta forma es “correcto”. 4) acepta la siguiente forma simb´olica: 8)

p ∨ q p ⇒ r p ⇒ r r

p: Yo corro. p: Yo como. p: Yo me canso.

An´alogo al caso anterior verificamos que no importa como sean p, q y r, si las premisas son verdaderas, la conclusi´on es verdadera. Analicemos con m´as cuidado este ejemplo: Aceptemos que p∨q, p ⇒ r y q ⇒ r son verdaderas; puede suceder que p sea verdadera y q falsa. Como p ⇒ r es verdadera y p verdadera, aseguramos que r es verdadera. Si q es verdadera y p falsa, el razonamiento es el mismo, y es f´acil convencerse de que r es verdadera cuando p y q son verdaderas. Notar que el caso en que p y q son falsas, no sucede. As´ı que 8) es otra forma “correcta” de razonamiento. Despu´es de esta presentaci´on tenemos la siguiente: Definici´ on 1.5.2 Sean P1 , P2 , · · · , Pn las premisas de un razonamiento y p su conclusi´on. El razonamiento es correcto o v´ alido si (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ . . . ∧ Pn ) ⇒ p es tautolog´ıa. Ejemplos:

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

28 1. Si un razonamiento es de la forma P1 : P2 : p :

∀x ∈ U : ∀x ∈ U : ∀x ∈ U :

(p(x) ⇒ q(x)) (q(x) ⇒ r(x)) (p(x) ⇒ r(x))

El razonamiento es v´alido, ya que si P1 y P2 son verdaderas y p falsa, tendr´ıamos a ∈ U tal que p(a) ⇒ r(a) es falsa, o sea p(a) verdadero y r(a) falso; pero q(a) ⇒ r(a) debe ser verdadera y como r(a) es falsa, esto s´olo puede ser si q(a) es falsa, pero como p(a) ⇒ q(a) es verdadera, p(a) resulta falsa, que no es lo que ten´ıamos antes, as´ı que resulta imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusi´on falsa. 2. El razonamiento: P1 : P2 : p :

Todos los tiburones son cuadr´ upedos. Todos los cuadr´ upedos tienen alas. Todos los tiburones tienen alas.

El razonamiento es correcto aunque las premisas y la conclusi´on sean falsas. Es un razonamiento de la forma del ejemplo anterior. Para comprobarlo bastar´a tomar a: U = conjunto de animales. p(x) : q(x) : r(x) :

x es tibur´on. x es cuadr´ upedo. x tiene alas.

En general, si tenemos una forma de razonamiento correcto, por ejemplo: p∨q p⇒r q⇒r r

1.5. RAZONAMIENTO

29

Podemos colocar cuantificadores universales de la siguiente manera: P1 : P2 : P3 : p :

∀x ∈ U ∀x ∈ U ∀x ∈ U ∀x ∈ U

: : : :

(p(x) ∨ q(x)) (p(x) ⇒ r(x)) (q(x) ⇒ r(x)) r(x)

Y obtener otra forma de razonamiento correcto. El argumento que justifica la validez de esta forma de razonamiento es an´alogo al caso anteriormente comentado. Veamos: si p es falsa y P1 , P2 y P3 verdaderas, entonces existe a ∈ U , tal que r(a) es falso, y como p(a) ⇒ r(a) es verdadera, podemos concluir que p(a) es falsa; de manera an´aloga , como q(a) ⇒ r(a) es verdadera, entonces tambi´en q(a) es falsa, es decir, (p(a) ∨ q(a)) es falsa, contradiciendo el hecho de que P1 es verdadera. En este tipo de proceso, observemos que el cuantificador en cada una de las premisas y conclusi´on es el cuantificador universal; an´alogamente, el conjunto universo, en premisas y conclusi´on es el mismo, y las proposiciones abiertas que aparecen en las premisas y conclusi´on est´an relacionadas en tal forma que constituyen un razonamiento correcto. ¡Atenci´ on! Observemos la siguiente forma de razonamiento: P1 : P2 : P3 : p :

∀x ∈ U ∀x ∈ U ∀x ∈ U ∃x ∈ V

: : : :

(p(x) ∨ q(x)) (p(x) ⇒ r(x)) (q(x) ⇒ r(x)) r(x)

Esta es una forma de razonamiento incorrecta, ya que permite construir un razonamiento con esta forma pero con premisas verdaderas y conclusi´on falsa. Si tomamos: U = {2, 4}, p(x) : q(x) : r(x) :

V = {1}

x es par. x0

para hacerlo directamente constru´ımos el siguiente razonamiento v´alido: p : p ⇒ p1 : p1 ⇒ p2 :

1 ̸= 0 ∧ 12 = 1 ∧ [∀ x ∈ R, x2 ≥ 0] 1 ̸= 0 ∧ 12 = 1 ∧ [∀ x ∈ R, x2 ≥ 0] ⇒ 1 ̸= 0 ∧ 12 = 1 ∧ 12 ≥ 0 1 ̸= 0 ∧ 12 = 1 ∧ 12 ≥ 0 ⇒ 1 ̸= 0 ∧ 1 ≥ 0

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

36 p2 ⇒ t : t :

1 ̸= 0 ∧ 1 ≥ 0 ⇒ 1 > 0 1>0

donde p1 es: 1 ̸= 0 ∧ 12 = 1 ∧ 12 ≥ 0, y p2 es: 1 ̸= 0 ∧ 1 ≥ 0. Este razonamiento es v´alido y como las premisas son verdaderas, podemos concluir que t es verdadera. Es conveniente advertir que en la literatura matem´atica suelen estar escritas las demostraciones de manera m´as concisa, sin explicar el o los razonamientos usados. Por ejemplo, el ejemplo 1 podr´ıa estar escrito as´ı: n0 es un entero par ⇒ n0 = 2m para alg´ un entero m ⇒ n20 = (2m)2 para el entero m ⇒ n20 = 2(2m2 ) y 2m2 es entero ⇒ n20 es entero par. Con la pr´actica el alumno podr´a reconocer los razonamientos involucrados en las demostraciones, as´ı como proponer los razonamientos adecuados para la feliz realizaci´on de su demostraci´on. 3. Demostremos: t:

∀ x ∈ R : x > 0 ⇒ x + 1 > 0.

Para esto probaremos que para cada x0 ∈ R, x0 > 0 ⇒ x0 + 1 > 0 es verdadera. El siguiente razonamiento es v´alido p : p ⇒ p1 : p1 ⇒ q : q :

x0 > 0 x0 > 0 ⇒ x0 + 1 > 1 ∧ 1 > 0 x0 + 1 > 1 ∧ 1 > 0 ⇒ x0 + 1 > 0 xo + 1 > 0

Obs´ervese que la premisa p puede no ser verdadera, pero si se supone que es verdadera, como las restantes premisas, son verdaderas y el

´ ´ 1.6. METODOS DE DEMOSTRACION

37

razonamiento es v´alido, q resultar´ıa verdadera. Si p es falsa, con este razonamiento no aseguramos que q sea verdadera pero p ⇒ q es verdadera. En general, para demostrar que una proposici´on del tipo p ⇒ q es verdadera, bastar´a construir un razonamiento del tipo p p ⇒ p1 p1 ⇒ p2 .. . pn ⇒ q q donde todas las premisas, excepto quiz´a p, son verdaderas.

1.6.2.

Demostraciones indirectas.

Si se logra demostrar que una proposici´ on equivalente a t es verdadera, se demuestra indirectamente que t es verdadera. Por ejemplo, puede demostrarse indirectamente que una proposici´on de la forma p ⇒ q, demostrando su contrarrec´ıproca ¬q ⇒ ¬p. Este m´etodo se llama m´etodo de demostraci´on por contraposici´ on. Otra forma indirecta de demostrar es la siguiente: dada una proposici´on t, si demostramos que ¬t es falsa, indirectamente demostramos que t es verdadera. Demostrar que ¬t es falsa se puede hacer de la siguiente forma: demostremos que una proposici´on de la forma ¬t ⇒ s es verdadera y s se asegura que es falsa (por ejemplo si s es una contradicci´on 1 ), esto justificar´a que t es verdadera. Esta manera de demostrar se conoce como reducci´ on al absurdo o por contradicci´ on”. Ejemplos: 1

Una contradicci´ on es una proposici´on falsa por su forma l´ogica.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

38

1. Demostremos por contradicci´on la proposici´on t:

1>0

Para ello demostremos una proposici´on de la forma: ¬(1 > 0) ⇒ s,

donde s es falsa, es decir:

(1 < 0 o 1 = 0) ⇒ s,

donde s es falsa.

He aqu´ı el razonamiento constru´ıdo en esta ocasi´on: ¬t ⇒ p1 p1 ⇒ p2 p2 ⇒ p3 p3 ⇒ s ¬t ⇒ s

: 1=0o10 a

Sea a ∈ R. Demostremos por contradicci´on que: p:

a>0⇒

1 >0 a

es verdadera. Para esto, demostremos que ¬p ⇒ s, donde s es falsa. He aqu´ı la prueba: ¬p ⇒ p1 : p1 ⇒ p2 : p2 ⇒ s : ¬p ⇒ s :

a > 0 ∧ a−1 ≤ 0 ⇒ a−1 a ≤ 0.a a−1 a ≤ 0 · a ⇒1≤0 1≤0 ⇒1≤0 ∧ 1>0 a > 0 ∧ a−1 ≤ 0 ⇒ 1 ≤ 0 ∧ 1 > 0

Aqu´ı s es la proposici´on falsa: 1 ≤ 0 ∧ 1 > 0

´ ´ 1.6. METODOS DE DEMOSTRACION

39

3. Demostraremos la proposici´on t:

∀ n ∈ Z : n2 es impar ⇒ n es impar.

Sea n0 ∈ Z. Probemos por contraposici´on que la implicaci´on: n20 es impar ⇒ n0 es impar es verdadera. Esta proposici´on es de la forma r ⇒ s, donde r es: “n20 es impar” y s es “n0 es impar”. La contrarrec´ıproca es: n0 no es impar ⇒ n20 no es impar es decir: n0 es par ⇒ n20 es par La demostraci´on de esta u ´ltima proposici´on se hizo ya. (ver ejemplo 1 p´agina 34). 4. Ahora demostraremos la proposici´on t:

∀a ∈ R :

a>0⇒

1 >0 a

de forma distinta a la realizada en el ejemplo 2. Sean a ∈ R. Demostraremos que a > 0 ⇒ contrarrec´ıproca de esta proposici´on es:

1 a

> 0 es verdadera. La

1 ≤0⇒a≤0 a una demostraci´on de dicha contrarrec´ıproca es: a−1

a−1 ≤ 0 < 0 y a2 ≥ 0 a2 a−1 ≤ a2 · 0 a−1 ≤ 0

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

a−1 < 0 y a2 ≥ 0 a2 a−1 < a2 · 0 a≤0 a≤0

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

40

Puede demostrarse indirectamente que una proposici´on de la forma (p ∨ q) ⇒ r es verdadera, demostrando que la conjunci´on [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] es verdadera ya que estas proposiciones son equivalentes. Por ejemplo, demostraremos que: t:

∀x ∈ R :

x > 0 ∨ x < 0 ⇒ x2 > 0

Sea a ∈ R. Probaremos que: a > 0 ∨ a < 0 ⇒ a2 > 0 es verdadera. Demostraremos que [ ] (a > 0 ⇒ a2 > 0) ∧ (a < 0 ⇒ a2 > 0) es verdadera. Los siguientes razonamientos demuestran que (a > 0 ⇒ a2 > 0) es verdadera y que (a < 0 ⇒ a2 > 0) es verdadera y por tanto, que su conjunci´on tambi´en es verdadera. a0 a < 0 ⇒ −a > 0 a > 0 ⇒ a·a > a·0 −a > 0 ⇒ (−a)(−a) > (−a) · 0 (−a)(−a) > (−a) · 0 ⇒ a2 > 0 a · a > a · 0 ⇒ a2 > 0 a2 > 0 a2 > 0.

1.6.3.

Ejemplos y contraejemplos

A veces se requiere que una afirmaci´on del tipo ∀x ∈ U :

p(x)

es falsa. Para hacerlo basta probar que su negaci´on, ∃x ∈ U :

¬p(x)

es verdadera. En otras palabras, para comprobar la falsedad de una proposici´on: ∀ x ∈ U : p(x), basta encontrar alg´ un x0 , elemento de U , para el cual p(x0 ) es falsa. A este m´etodo se le denomina demostraci´on por contraejemplo. An´alogamente, si se requiere demostrar que una afirmaci´on del tipo ∃x ∈ U :

p(x)

´ ´ 1.6. METODOS DE DEMOSTRACION

41

es verdadera, bastar´a encontrar un elemento de x0 de U tal que p(x0 ) es verdadera. Es decir, x0 es un ejemplo que demuestra la proposici´on en cuesti´on. ¡Atenci´ on!: con un ejemplo solo se pueden demostrar proposiciones existenciales, esto no vale para una proposici´on universal, con un ejemplo solo se logra aumentar nuestra sospecha de la veracidad de una proposici´on universal pero no su demostraci´on. Ejemplos: 1. Comprobaremos que la proposici´on ∀x ∈ R :

a2 < 1

es falsa. Veamos que existe un real x0 tal que x2 < 1 es falso. Si x0 = 1, la proposici´on x20 < 1 es falsa. 2. Para darnos cuenta que la proposici´on ∀ x ∈ R : x + x = 3x es falsa, bastar´a observar que si x0 = 1, la proposici´on x0 + x0 = 3x0 es falsa.

Ejercicios 5. 1. Demuestre directamente que: a) ∀ x ∈ R: si x > 5 entonces x > 3. b) Si a y b son reales entonces a = 0 o b = 0 ⇒ a · b = 0. (Use que ∀ x ∈ R, x · 0 = 0.) c) Si m y n son enteros impares, entonces m + n es entero par. d ) Si m y n son enteros impares, entonces mn es entero impar. 2. Demuestre por contraposici´on que: a) a · b ̸= 0 ⇒ a ̸= 0 y b ̸= 0, (a, b ∈ R). b) x2 < 0 ⇒ x ∈ / R. c) Si mn es par entonces m es par o n es par (m, n enteros).

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

42 3. Demuestre por contradicci´on:

a) Si x es racional y y es irracional, entonces x + y es un n´ umero irracional. b) Si x es racional y y es irracional, entonces x − y es un n´ umero irracional. (Para estos ejercicios use que la suma y resta de racionales es racional). 4. Demuestre por contraejemplo la falsedad de las siguientes proposiciones: a) Para cualesquiera enteros a, b, c, d con b ̸= 0 y d ̸= 0, a c a+c + = . b d b+d b) Para cualesquiera a, b reales positivos, √ c) Para cualquier a ∈ R, a2 = a.

√ √ √ a + b = a + b.

5. Demuestre las siguientes proposiciones: a) (∀ x ∈ R :

x2 + 6 = 10) es falsa.

b) (∀ x ∈ {−2, 2},

x2 + 6 = 10) es verdadera.

c) (∃ x ∈ R :

x2 + 6 = 0) es verdadera.

d ) (∀ x ∈ R :

x > 2 ⇒ x2 + 6 = 0) es falsa.

e) (∀ x ∈ R :

x2 < 0 ⇒ x2 + 6 = 10) es verdadera.

´ 1.7. APENDICE 1

1.7.

43

Ap´ endice 1

1. Consideremos el conectivo l´ogico “o”. Se puede interpretar la proposici´on compuesta “p o q” de dos maneras: (a) “p o q o ambas”. (b) “p o q, pero no ambas” La interpretaci´on (a) la estudiamos suficientemente en el texto. Es el “o” inclusivo que denotamos con ∨. La interpretaci´on de (b) es el “o” exclusivo denotado por ∨. Aparece mucho en la vida cotidiana, como en la siguiente frase: “El s´abado a las 6 de la tarde tengo dos opciones: o voy al partido de f´ utbol, o voy a la fiesta” Se entiende que no se pueden realizar las dos actividades. La tabla de verdad del “o” exclusivo ser´ıa, por supuesto, p

q

p∨q

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

F

Una raz´on plausible para estudiar el “o” exclusivo es su uso en proposiciones como el axioma de tricotom´ıa (Definici´on O1, del cap´ıtulo 3, p´agina 75), aunque en dicho axioma se componen 3 proposiciones y no solamente 2. Quiz´a tendr´ıamos que definir: Definici´ on 1.7.1 Sea n ∈ N. Si p1 , p2 , . . . , pn son n proposiciones l´ogicas, p1 ⊔ p2 ⊔ . . . ⊔ pn es la proposici´on que es verdadera si y solo si exactamente una de las proposiciones p1 , p2 , . . . , pn es verdadera.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

44 Tres ejercicios inmediatos ser´ıan: a) Demuestre que p ⊔ q ≡ p∨ q b) Pruebe que p ⊔ q ⊔ r ̸= p∨ (q∨ r)

c) Demuestre que p ∨ q ≡ (p∨ q)∨ (p ∧ q) Dadas las proposiciones p, q y r, demostrar que: d ) p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q)∨ r e) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q)∨ (p ∧ r) f ) (q ∨ r) ∧ p ≡ (q ∧ p)∨ (r ∧ p) g) p ∨ (q ∧ r) ̸= (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 2. Entre los razonamientos v´alidos que podr´ıamos estudiar, est´a el siguiente: P ⊔Q⊔R p⊔q⊔r P ⇒p Q⇒q R⇒r (P ⇒ p) ∧ (Q ⇒ q) ∧ (R ⇒ r) Es un bonito ejemplo de un razonamiento en el que la demostraci´on de su validez por medio de tablas de verdad es poco menos que imposible (¡26 renglones!), mientras que la demostraci´on de su validez “razonando”, como solemos hacer en matem´aticas, es muy f´acil. 3. El razonamiento v´alido anterior lo us´o De Morgan en su “L´ogica Forma” (1847), para deducir las proposiciones I.6 e I.19 de Euclides, a partir de las proposiciones I.5 e I.18, mucho m´as f´acilmente que Euclides (Notaci´on I.6, I.5, I.18 e I.19 son las proposiciones 6, 5, 18 y 19 del libro primero de los “Elementos” de Euclides). Ahi les va: Antes un poco de notaci´on. En un tri´angulo △ABC, denotaremos por a al lado que se opone al ´angulo interior con v´ertice en A, por b

´ 1.7. APENDICE 1

45

al lado que se opone al ´angulo con v´ertice en B y por c al lado que se opone al ´angulo con v´ertice en C. Las proposiciones de Euclides aludidas antes son: I.5 “En todo tri´angulo is´osceles, los ´angulos que se oponen a los lados iguales son todos iguales” Es decir, en todo tri´angulo △ABC, a = b ⇒ ∠A = ∠B C a b

B A

c

I.6 “Si en un tri´angulo dos ´angulos son iguales, los lados que se oponen a dichos ´angulos, son tambi´en iguales” Es decir, en todo tri´angulo △ABC, ∠A = ∠B ⇒ a = b I.18 “ En todo tri´angulo, el lado m´as grande se opone al ´angulo m´as grande” As´ı, en todo tri´angulo △ABC a > b ⇒ ∠A > ∠B y b > a ⇒ ∠B > ∠A I.19 “En todo tri´angulo, el ´angulo m´as grande es subtendido por el lado m´as grande” Es decir, en todo tri´angulo △ABC ∠A > ∠B ⇒ a > b y ∠B > ∠A ⇒ b > a Vamos a demostrar, como De Morgan, las proposiciones I.6 y I.19, suponiendo que I.5 e I.18 son verdaderas. Sea △ABC un tri´angulo cualquiera con lados a, b y c opuestos, respectivamente, a los ´angulos interiores con v´ertices en A, B y C. Entonces, el siguiente razonamiento es v´alido y sus premisas son verdaderas, as´ı que la conclusi´on es verdadera.

´ CAP´ITULO 1. LOGICA

46 Tricotom´ıa Tricotom´ıa I.5 I.18 I.18

a=b⊔a>b⊔a ∠B ⊔ ∠A < ∠B a = b ⇒ ∠A < ∠B a > b ⇒ ∠A > ∠B a < b ⇒ ∠A < ∠B

I.6 e I.19 (∠A = ∠B ⇒ a = b) ∧ (∠A > ∠B ⇒ a > b) ∧ (∠A < ∠B ⇒ a < b)

´ 1.8. APENDICE 2

1.8.

47

Ap´ endice 2

No est´a de m´as que el lector tenga presente la siguiente lista de tautolog´ıas pues, si duda, le ser´an u ´tiles en la construcci´on de demostraciones. 1. (p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) 2. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] 3. (p ⇔ q) ⇔ [(p ⇒ q) ∧ (¬p ⇒ ¬q)] 4. p ∨ ¬p 5. [p ∧ (p ⇒ q)] ⇒ q 6. [¬q ∧ (p ⇒ q)] ⇒ ¬p 7. [¬p ∧ (p ∨ q)] ⇒ q 8. [p ∧ q] ⇒ p 9. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) 10. [(p ∨ q) ⇒ r] ⇔ [(p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)] 11. [(p ∧ q) ⇒ r] ⇔ [p ⇒ (q ⇒ r)] 12. [(p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ (p ⇒ r)] ⇒ (q ∨ s) 13. [p ⇒ (q ∨ r)] ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ r] y si t es una contradicci´on, es decir, una proposici´on falsa por su forma, tambi´en son tautolog´ıas: 14. (p ∧ ¬p) ⇔ t 15. (¬p ⇒ t) ⇔ p 16. (p ⇒ q) ⇔ [(p ∧ ¬q) ⇒ t]

Cap´ıtulo 2 CONJUNTOS §1

2.1.

Introducci´ on

Comenzaremos a hablar de conjuntos, tratando de ponernos de acuerdo acerca de lo que vamos a entender por conjunto. Esto no es nada simple, ya que conjunto es un concepto bastante primitivo, an´alogo al concepto de punto o de la recta. De un punto se dice que es aquello que no tiene parte o dimensi´on; de una recta se dice que es una longitud sin anchura que tiene todos sus puntos en la misma direcci´on; finalmente, de un conjunto suele decirse que es una colecci´on o reuni´on de objetos. Las “definiciones” de estos tres conceptos hacen uso de otras palabras que tend´ıamos que haber definido antes: ¿qu´e es una dimensi´on?, ¿qu´e es una longitud?, ¿qu´e es una colecci´on?, ¿qu´e es una reuni´on?. Las palabras colecci´on y reuni´on no son m´as que sin´onimos de la palabra conjunto. Al decir que conjunto no es m´as que una reuni´on de objetos, no estamos caracterizando los conjuntos sino s´olo dando una idea: la idea de que un conjunto es algo que tiene objetos, algo que tiene elementos. Podemos hablar por ejemplo del conjunto de los ´arboles de C.U., del conjunto de los coches estacionados en el patio de la escuela, del conjunto de las monta˜ nas de Puebla, del conjunto formado por los n´ umeros 2, 4, 6, 48

´ 2.1. INTRODUCCION

49

8 y 10; del conjunto de nuestros parientes, del conjunto de los libros de una biblioteca, del conjunto de las bibliotecas de Puebla, del conjunto de rectas en un plano que pasan por un punto dado, del conjunto de factores que influyen en un problema, del conjunto de m´etodos que permiten resolver ese problema. En la mayor´ıa de estos conjuntos hay una relaci´on clara (definida expl´ıcitamente) entre sus elementos, en el sentido de que existe una propiedad com´ un que los define. Por ejemplo, todos los elementos del conjunto de monta˜ nas de Puebla, tienen esa propiedad com´ un, la de ser monta˜ nas de Puebla. Cada vez que decimos “el conjunto de objetos con cierta propiedad”, a parte de hacer menci´on de alguna caracter´ıstica particular de los elementos del conjunto, parece que estamos hablando de un conjunto bien definido en el sentido de que se pueden conocer cu´ales son sus elementos y cu´ales no lo son. Si decimos “el conjunto de todos los borregos gordos”, cabe preguntar ¿qu´e tan gordo es gordo?. Si nos muestran alg´ un borrego, ¿c´omo podemos saber si es gordo o no?, ¿podemos considerar al conjunto de todos los borregos gordos como un conjunto bien definido?. Otro ejemplo de un conjunto del que no podemos conocer sus elementos es el siguiente “El conjunto de los diez mejores m´ usicos del mundo”; son los mejores ¿seg´ un quien?. El problema que se presenta con este tipo de “conjuntos” puede subsanarse fac´ılmente si nos ponemos de acuerdo en los criterios de calificaci´on de los objetos, por ejemplo, si nos ponemos de acuerdo en que un borrego gordo es aq˘’el que pesa m´as de 100 kg. o en que un buen m´ usico es el que ha vendido m´as de dos millones de discos y que los diez mejores m´ usicos son los diez primeros que lo logren, entonces se desvanece el problema en estos ejemplos particulares. Sin embargo, el determinar los elementos de un conjunto sabiendo que son los que satisfacen cierta propiedad, sigue siendo complicado. Para ilustrar esta afirmaci´on, construiremos “un conjunto” en el que ser´a m´as dif´ıcil ponerse de acuerdo en un criterio que permita definir bien el conjunto: Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato, hab´ıa un

50

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

barbero llamado As-Samet, “ducho en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y piernas, y en poner ventosas y sanguijuelas”. Un d´ıa el Emir, d´andose cuenta de la escacez de barberos del emirato, di´o ordenes de que todos lo barberos del emirato s´olo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por s´ı mismas (todas las personas del pueblo tienen que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellas mismas). Un cierto d´ıa el barbero fue llamado a afeitar al Emir y le cont´o a ´este sus congojas. ´nico barbero. Si me afeito, entonces puedo afei— En mi pueblo soy el u tarme por m´ı mismo y por lo tanto no deber´ıa afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo!. Pero si no me afeito, lo debe hacer un barbero por m´ı ¡pero no hay all´ı m´as barbero que yo!. El Emir pens´o que tales razonamientos eran muy profundos, a tal grado que premi´o al barbero con la mano de la m´as virtuosa de sus hijas y el barbero vivi´o eternamente feliz. Llamemos B al conjunto de personas del pueblo que no se afeitan a s´ı mismas (y por tanto son afeitadas por el barbero). Sea b el barbero. ¿b es un elemento de B. Si b es un elemento de B, entonces b no se afeita a s´ı mismo y es afeitado por el barbero. Pero b es el barbero, as´ı que b se afeita a s´ı mismo. Esto significa que b no es elemento de B. Si b no es elemento de B entonces b se afeita a s´ı mismo, por lo que no es afeitado por el barbero. Como b es el barbero, entonces b no se afeita a s´ı mismo, as´ı que b es elemento de B. No sabemos si b es elemento de B o no. En este sentido, B no est´a bien definido. De ahora en adelante convendremos en que para que a algo le podamos llamar Conjunto, debemos ser capaces de decir, acerca de cualquier objeto b, si es elemento o no del conjunto en cuesti´on. Dicho de otra forma, si B es un conjunto, entonces la afirmaci´on “b es un elemento de B” es una proposici´on l´ogica. En general, un “conjunto” no est´a bien definido (no es conjunto) si hay ambig¨ uedad en relaci´on a los elementos que lo componen. En nuestro intento por ponernos de acuerdo en lo que vamos a entender por conjunto, comenzamos con la idea de que un conjunto es “algo que

´ 2.1. INTRODUCCION

51

tiene elementos”. Despu´es hemos restringido nuestra atenci´on a aquellos conjuntos “bien definidos”, es decir, con la propiedad de que s´ı para un objeto cualquiera nos pregunt´aramos ¿pertenece al conjunto?, se puede dar una respuesta clara y segura: s´ı o no. Sin embargo, aunque parezca extra˜ no, resulta conveniente hablar acerca de conjuntos sin elementos, de “conjuntos vac´ıos”. Por ejemplo, del “conjunto de los perros que hablan”, del “conjunto de los dinosaurios vivos que existen en Africam”, del “conjunto de las personas de m´as de doscientos a˜ nos de edad”, el “conjunto de los n´ umeros menores que 6 y mayores que 7”. A pesar de no tener elementos, estos “conjuntos vac´ıos” satisfacen la propiedad mencionada arriba, porque dado cualquier objeto, a la pregunta ¿pertenece al conjunto? podemos responder diciendo no. Dichos “conjuntos” est´an bien definidos en este sentido y de hecho son distintas descripciones de un mismo conjunto sin elementos el conjunto vac´ıo (esto se entender´a mejor cuando se precise el concepto de igualdad de conjuntos). Vamos a aceptar a este “conjunto” como un conjunto y lo denotaremos por el s´ımbolo ∅, o con el s´ımbolo {}. Con este ejemplo observamos que el no poseer elementos no anula la calidad de ser conjunto. A los objetos (si los hay) que forman un conjunto, les llamaremos elementos de dicho conjunto. Ahora bien, si A es un conjunto, la proposici´on “x es elemento de A” se denotar´a por x ∈ A. La negaci´on de esta proposici´on, es decir, la proposici´on “x no es elemento de A” se denotar´a por x ∈ / A. (x ∈ A suele leerse tambi´en “x pertenece a A”). Por ejemplo, si A es el conjunto de los primeros tres n´ umeros naturales pares, entonces 2 ∈ A, 4 ∈ A, 6 ∈ A, 24 ∈ / A, 9 ∈ / A, son proposiciones verdaderas. Note que “pertenencia” es una relaci´on que vincula cada elemento con un conjunto; no es una relaci´on entre elementos de un conjunto. Podemos representar a un conjunto de dos maneras: diciendo expl´ıcitamente cu´ales son sus elementos, o enunciando alguna propiedad que caracteriza a esos elementos, es decir, alguna propiedad que cumplan los

52

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

elementos del conjunto, pero que s´olo ellos la cumplan. En el ejemplo de arriba se puede definir: los elementos de A son 2, 4, 6, o bien A es el conjunto cuyos elementos son los tres primeros n´ umeros naturales pares. Si B es el conjunto cuyos elementos son: Oaxaca, Tlaxcala, Morelos, Estado de M´exico, Guerrero, Hidalgo y Veracruz, B se puede describir diciendo: B es el conjunto de todos aquellos estados que colindan con el Estado de Puebla. Si enumeramos todos los elementos de un conjunto, decimos que lo hemos representado por extensi´ on, mientras que si enunciamos una propiedad definitoria de los elementos del conjunto, se dice que est´a representado por comprensi´ on. Convendremos en escribir entre llaves a los elementos de un conjunto cuando est´e representado por extensi´on. As´ı, nuestro conjunto B queda representado por extensi´on de la siguiente manera:

B = {Guerrero, Morelos, Oaxaca, Tlaxcala, Edo. de M´exico, Hidalgo, Veracruz} La representaci´on por extensi´on es sumamente sencilla y no da lugar a ambig¨ uedades. Sin embargo, no todos los conjuntos se pueden representar enumerando sus elementos. Por ejemplo, si A es el conjunto de los n´ umeros naturales, lo m´as cercano a una representaci´on de A por extensi´on es: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, . . .}, representaci´on que no es precisa, aunque en este caso da una idea de a qu´e conjunto nos estamos refiriendo. M´as pat´etico es el caso del conjunto de los numeros reales que, a parte de ser infinito, no lo podemos escribir “ordenadamente”. Para este tipo de conjuntos, se prefiere la representaci´on por comprensi´on, que adem´as proporciona un criterio pr´actico para determinar si un elemento arbitrario pertenece o no a un conjunto determinado: los objetos que poseen la propiedad y s´olo ellos, pertenecen al conjunto. A su vez, esto nos obliga a precisar con toda claridad la propiedad definitoria, para evitar ambig¨ uedad e incertidumbre. Si H es un conjunto, p una propiedad que define a los elementos de

´ 2.1. INTRODUCCION

53

H, suele escribirse: H = {x | x tiene la propiedad p}, para indicar que “H es el conjunto de todos los objetos x tales que x tiene la propiedad p” (la barra vertical | se lee: “tal que”). Hay que advertir que el s´ımbolo x que hemos adoptado para denotar los elementos de un conjunto, es enteramente arbitrario y que podemos emplear y, z, w, etc. Por ejemplo, Si A es el conjunto de los n´ umeros naturales, se puede escribir A = {y | y es un n´ umero natural}, o si B = {a, e, i, o, u}, entonces B se puede escribir por comprensi´on as´ı: B = {w | w es una vocal del alfabeto espa˜ nol}. Observemos que puede ocurrir que alg´ un elemento de un conjunto tambi´en sea un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {1, {2, 3}, 4, {5, 6}} tiene 4 elementos, dos de los cuales son conjuntos: {2, 3} y {5, 6}. Los siguientes ejemplos muestran al menos una de las caracter´ısticas mencionadas antes: Ejemplos: 1. El conjunto de n´ umeros naturales positivos que tienen la propiedad de que al elevarlos al cubo nos dan un n´ umero menor que 100, tambi´en se puede escribir como: {1, 2, 3, 4, } . 2. Al conjunto {n | n es un n´ umero entero y n3 = n} tambi´en lo podemos escribir como {−1, 0, 1} ¿o no?

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

54

3. ¿Se podr´an construir conjuntos A, B y C que tengan las propiedades: A ∈ B, B ∈ C y a ∈ / C ? Un an´alisis sencillo muestra que los conjuntos A = {1}, B = {{1}, 2} y C = {−1, {{1}, 2}, 3} satisfacen las propiedades solicitadas.

Ejercicios 1. 1. Determinar cu´ales de los siguientes conjuntos est´an representados por extensi´on y cu´ales por comprensi´on. a) A es el conjunto de todos los habitantes de Puebla. b) B = {10, x, 3x}. c) C es el conjunto de los n´ umeros naturales. d ) D es el conjunto de todos los n´ umeros naturales x tales que x > 5, x < 9 y x ̸= 7. e) E = {x | x ∈ C, x es par, x > 5, y x < 9}. f ) F = {6, 8} g) G = {x | x es una recta del plano} h) H es el conjunto de las bibliotecas de Puebla. i) I es el conjunto de todos los libros de todas las bibliotecas de Puebla. j ) J = {{x | x ∈ C}, {x | x ∈ E}}. k ) K = {{x | x ∈ E}, 6}. l ) L = {0, {1, 2}, 3, 4}. 2. Siguiendo con la notaci´on del ejercicio 1, responda las siguientes preguntas. a) Si x es un libro, ¿es cierto que x ∈ H? b) ¿La biblioteca Nicol´as Cop´ernico es elemento de H? c) ¿Es cierto que 2 ∈ J? d ) ¿Es cierto que 6 ∈ K? e) ¿Es cierto que 2 ∈ C?

2.2. CONJUNTO UNIVERSAL

55

3. Representar por extensi´on los conjuntos siguientes. a) A = {x | x es natural y x2 < 20}. b) B = {x | x es natural x > 1, x ≤ 21 y x es impar}. c) C = {x | x es entero y x2 + 1 ≤ 20}. d ) D = {x | x es natural y x = 4 o bien x = 6}. e) E = {x | x es real y x2 = −1}. §2

2.2.

Conjunto Universal

Cuando hablamos de una propiedad que caracteriza a los elementos de un conjunto dado, generalmente esta propiedad se refiere a un conglomerado de objetos de cierto tipo. Por ejemplo, si p es la propiedad de ser vocal del abecedario, esta es una propiedad que se refiere a las letras del alfabeto y no por ejemplo a seres humanos o a materiales para construcci´on de casas o a estrellas del firmamento. En la teor´ıa de Conjuntos que estamos desarrollando, trabajaremos a veces con varios conjuntos cuyos elementos son todos del mismo tipo, es decir, pertenecen todos a un mismo conglomerado de cosas, al que podemos llamar conjunto universal. Por ejemplo, en el siguiente cap´ıtulo de este curso, trabajaremos con n´ umeros reales, racionales, irracionales, enteros, naturales; pero todos estos son n´ umeros reales. El conjunto de los n´ umeros reales juega el papel de conjunto universal, pues no se har´a menci´on de otro tipo de objetos. En el an´alisis de una situaci´on particular, dicho conjunto universal U , consta de todos los elementos a los que se pueda referir esa situaci´on. Es algo as´ı como la fuente de todos los elementos que forman parte de los conjuntos sobre los que vamos a trabajar en esa situaci´on particular; el conjunto en donde tendr´an sentido las propiedades que caracterizan a los elementos de esos conjuntos. No es dif´ıcil convencerse de que el conjunto universal no es u ´nico; depende del problema que se est´e considerando y puede cambiar seg´ un

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

56

la situaci´on de que se trate. Podemos elegirlo a nuestra conveniencia a relativa libertad. Por ejemplo, si los conjuntos a considerar son: Los futbolistas, los beisbolistas, los tenistas, los esquiadores y los nadadores, el universo m´as adecuado es el de los deportistas, aunque tambi´en servir´ıa el de los seres humanos y el de los animales (biol´ogicamente hablando). Debemos subrayar que esta libertad de elecci´on es relativa: al analizar una situaci´on determinada, una vez que se ha decidido cu´al es el conjunto universal U , este conjunto permanece fijo y todos los dem´as conjuntos mencionados en la misma situaci´on se forman con elementos de U . Es com´ un usar diagramas para representar al conjunto universal U y a los conjuntos formados con elementos de U . Al conjunto universal se le puede representar con un c´ırculo grande o con un rect´angulo o alguna otra figura dentro de la cual se dibujen otras figuras que representen a los dem´as conjuntos, como indicando con ello que todos los elementos de estos conjuntos est´an en U A B

C

U

Figura 2.1: A, B y C son subconjuntos cuyos elementos est´ an en U

A un diagrama de este tipo se le llama com´ unmente diagrama de Venn §3

2.3.

Subconjuntos

Dentro de un conjunto universal U , pueden existir dos conjuntos A y B con la propiedad de que todo elemento de A es un elemento de B, es decir, con la propiedad de que ∀x ∈ U :

a∈A⇒x∈B

2.3. SUBCONJUNTOS

57

es una proposici´on verdadera. Tal situaci´on la representar´ıamos mediante un diagrama de Venn, por ejemplo as´ı: U

B U

B A

A

Ejemplos: 1. Sea U el conjunto de letras del alfabeto espa˜ nol y sean A = {a, e, i, o, u} y B el conjunto de letras de la palabra murci´elago. Escrito por extensi´on: B = {m, u, r, c, i, e, l, a, g, o} Los elementos de A son tambi´en elementos de B. 2. Sea U el conjunto de los seres vivos y sean A el conjunto de las personas mayores de 18 a˜ nos y B el conjunto de los organismos pluricelulares. Cada elemento de A es elemento de B ¿o no? Definici´ on 2.3.1 Supongamos que A y B son conjuntos cuyos elementos est´an en un conjunto universal U . Diremos que el conjunto A es subconjunto del conjunto B si todo elemento de A es tambi´en elemento de B, es decir, si la proposici´on ∀x ∈ U : es verdadera.

x∈A⇒x∈B

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

58

Denotaremos a la proposici´on “A es subconjunto de B” como A ⊆ B. Algunas consecuencias sencillas de esta definici´on son las siguientes. Sea U un conjunto universal cualquiera y A, B y C conjuntos cuyos elementos est´an en U . Entonces son verdaderas: a) A ⊆ U , b) A ⊆ A, c) Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C d) ∅ ⊆ A Demostraci´ on: a) Por hip´otesis, los elementos de A son elementos de U . b) Es claro que la proposici´on ∀ x ∈ U : (x ∈ A ⇒ x ∈ A) es verdadera y entonces A ⊆ A es verdadera. c) Supongamos que A ⊆ B y B ⊆ C son verdaderas. Esto significa que las dos proposiciones siguientes son verdaderas ∀x ∈ U : ∀x ∈ U :

x∈A⇒x∈B y x∈B⇒x∈C

De esto se concluye que la proposici´on ∀x ∈ U :

x∈A⇒x∈C

es verdadera (Decir por qu´e) d) Si x ∈ U , la proposici´on x ∈ ∅ es falsa y por lo tanto la implicaci´on x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es verdadera. Como esto es cierto para cualquier elemento x de U , la proposici´on ∀ x ∈ U : x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A es verdadera.

2.4. IGUALDAD DE CONJUNTOS

59

La proposici´on “A no es subconjunto de B”, se acostumbra escribir as´ı: A * B. A * B es la negaci´on de A ⊆ B, es decir, es equivalente a la proposici´on. ∃ x ∈ U : x ∈ A y x ̸= B.

Ejemplos: 1. Supongamos que A = {1, 2} y B = {1, 2, 5}. Como (2 ∈ A y 2∈ / B) es verdadera, A * B es verdadera. 2. Supongamos que A = {∅}. Como (∅ ∈ A y ∅ ∈ / ∅) es verdadera, A * ∅ es verdadera. 3. Consideremos los conjuntos: A = {2, 3, 4, 5}, B = {n | n es un n´ umero natural par} y C = {x | x es un n´ umero natural menor que 6}. entonces, las proposiciones {2, 3} ⊆ A, A ⊆ C, {10, 8, 6} ⊆ B y C * A son verdaderas, mientras que C ⊆ B, {3} ∈ A, 5 ∈ B y C ⊆ A son proposiciones falsas. Compruebe el lector estas afirmaciones. §4

2.4.

Igualdad de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, subconjuntos de U (¡ya podemos poner “subconjuntos de U ”!), se podr´ıan tener verdaderas A ⊆ B y B ⊆ A. En tal caso los elementos de A son elementos de B y los elementos de B son elementos de A, es decir, A y B tienen los mismos elementos. Diremos entonces que A y B son iguales. Definici´ on 2.4.1 Sean A y B subconjuntos de un conjunto universo U . Diremos que A y B son iguales si es verdadera la proposici´on A⊆B

∧

B ⊆ A.

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

60

En caso contrario diremos que A no es igual a B. Denotaremos la proposici´on “A es igual a B” por A = B y “A no es igual a B” por A ̸= B. Observemos que las proposiciones (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) y (∀ x ∈ U : x ∈ A ⇔ x ∈ B) son equivalentes. De esta forma, podemos decir que dos conjuntos A y B son iguales si la proposici´on ∀x ∈ U :

x∈A⇔a∈B

es verdadera y que A ̸= B si y solo si [∃ x ∈ U : x ∈ A y x ∈ / B] o [∃ y ∈ U : y ∈ B y y ∈ / A]. Tambi´en observemos que si A = {x | p(x)}, B = {x | q(x)} y la proposici´on (∀ x ∈ U | p(x) ⇔ q(x)) es verdadera, entonces A = B. Ejemplos: 1. Si ∅1 y ∅2 son conjuntos vac´ıos (o sea, sin elementos) y si x es un elemento cualquiera del universo, son falsas las proposiciones x ∈ ∅1 y x ∈ ∅2 , o sea, es verdadera x ∈ ∅1 ⇔ x ∈ ∅2 y por lo tanto es verdadera: ∅1 = ∅2 Esto aclara la afirmaci´on de que s´olo hay un conjunto vac´ıo. 2. Sea U el conjunto de las letras del alfabeto espa˜ nol. Sean A el conjunto de las letras de la palabra “alumno” y B el conjunto de letras de la frase “no mula”. Entonces A = B es verdadera. 3. A = {4, 8, 23 , 3}, B = {(−2)2 , 8, 3}. Entonces A = B es verdadera. ¿Por qu´e? 4. Es verdadera: ∅ ̸= {∅}, pues ya hab´ıamos visto que {∅} no es subconjunto de ∅. 5. En el u ´ltimo ejemplo de la secci´on anterior son verdaderas las proposiciones A ̸= B, B ̸= C y A ̸= C.

2.4. IGUALDAD DE CONJUNTOS

61

Ya hemos dicho que para que dos conjuntos A y B sean igualitos, se necesita que (A ⊆ A ∧ B ⊆ A) sea verdadera. ¿Qu´e pasar´ıa si solamente tuvi´eramos que A ⊆ B es verdadera pero B ⊆ A es falsa?. En este caso todos los elementos de A son tambi´en elementos de B, pero no al rev´es, es decir, existe al menos un elemento de B que no es elemento de A. Entonces A y B son distintos. Definici´ on 2.4.2 Sean A y B subconjuntos de U . Cuando A ⊆ B y A ̸= B son verdaderas, diremos que A es un subconjunto propio de B. Simbolizaremos con A(B a la proposici´on “A es subconjunto propio de B”. Nota: No confundir A ( B con A * B. Ejemplos: 1. Sea U el abecedario espa˜ nol. Sea B el conjunto de letras de la palabra caperucito y A = {a, e, i, o, u}. Entonces A ( B es verdadera. 2. Sea U el conjunto de todos los libros, sea B el conjunto de libros de la biblioteca “Niels Bohr” y sea C el conjunto de libros de Qu´ımica de la misma biblioteca. Entonces C ( B es verdadera, porque el libro “Geometric Transformations” de I. N. Yaglom no es de qu´ımica y se dice que est´a en la biblioteca Niels Bohr. 3. En el Ejemplo 3 de la secci´on anterior A ( C.

Ejercicios 2. 1. Consideremos los siguientes conjuntos P = {r, s, t, u, v, w}, R = {s, u, y, z},

Q = {u, v, w, x, y, z},

S = {u, v},

V = {s}, Diga cu´al o cu´ales de estos conjuntos:

Z = ∅.

T = {s, u},

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

62

a) Son subconjuntos de P y de Q u ´nicamente. b) Son subconjuntos de R pero no de Q. c) No son subconjuntos de R pero s´ı de Q. d ) No son subconjuntos de P ni de R. e) Son subconjuntos de todos. 2. Diga si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones y expl´ıquese el por qu´e. a) ∅ ⊆ ∅, b) 5 = {5}, c) ∅ ∈ ∅, d) 3 ∈ {3, 5}, e) {a, b, c} = {c, b, d, e, a}, f) ∅ ⊆ {1, 2, a, b}, g) 0 ∈ ∅, h) 4 ∈ {{1, 4}, {2, 4}}, i) {3, 4} ∈ {{1, 2}, {3, 4}}, j) {2, 4} = {{2}, {4}}, k) {p} = {p, ∅}, l) {∅, 0, 1} = {∅, 1}, m) {∅}, n) {2 − 2} = {0}, n ˜) ∅ = {∅}, o) {x | x ∈ N ∧, x < 3} = {2, 1}, p) {x | x ∈ N ∧ 1 < x < 2} = {0}, q) {a, i} ∈ {a, e, i, o, u} r) {e, i} ⊆ {a, e, i, o, u}. 3. Determine el conjunto S formado por los subconjuntos de m´as de dos elementos del conjunto {a, b, c, d, e}. Responda lo siguiente: ¿El conjunto {a, b, c} es subconjunto de S?, ¿{{a, b, c}} ⊆ S. Fundamente sus respuestas. 4. Colocar un signo = o ̸= seg´ un corresponda. a) {a + b, (b − a)(b + a), a + a} {b2 − a2 , 2a, a + b}. b) {5 + 1, 7, 34 + 16, 0} {5 − 5, 50, 6, 8 − 1}. √ c) {34 , 1, 52 , 25} {81, 12 , 25}. √ d ) {34 , 1, 52 , 25} {81, 12 , 25}. {0 4 } e) 15 , 4, 1 {0, 1} 5. Dado el conjunto K = {500, 17, 315}, determine los conjuntos L tales que la proposici´on ({500} ⊆ L y L ⊆ K y L ̸= K) es verdadera. 6. Sea U el conjunto de n´ umeros naturales y sean A = {x ∈ U | x ≤ 5} y B = {x ∈ U | − 1 ≤ 4 − 3x}. Pruebe que A = B (Sugerencia: Demuestre que: ∀ x ∈ U : (x ≤ 5 ⇔ −1 ≤ 4 − 3x) es verdadera).

´ DE NUEVOS CONJUNTOS A PARTIR DE OTROS63 2.5. CONSTRUCCION §5

2.5.

Construcci´ on de nuevos conjuntos a partir de otros

Sea U un conjunto universal y sea A = {x ∈ U | p(x)}, donde p(x) es una proposici´on abierta en U . Es claro que A es subconjunto de U . Podemos formar un conjunto que conste de aquellos elementos de U que no satisfacen p(x), es decir, para los cuales ¬p(x) es verdadera. A este conjunto le llamaremos el complemento del conjunto A en U . Lo denotaremos por A{ . As´ı pues A{ = {x ∈ U | ¬p(x)} = {x ∈ U | x ∈ / A}. Es decir, A{ es el conjunto de los elementos de U que no pertenecen al conjunto A. Empleando los llamados diagramas de Venn, vemos que si el universo U est´a representado por todos los puntos que est´an dentro de un rect´angulo (o alguna otra figura) y A est´a representado por los puntos que est´an dentro de un c´ırculo (por ejemplo) que est´e dentro del rect´angulo, entonces A{ estar´a representado por los puntos que est´an dentro del rect´angulo pero fuera del c´ırculo. Ac

A

U

Ejemplos: 1. Si U = {1, 2, 3, 4} y A = {1, 3}, entonces A{ = {2, 4}

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

64

2. Si U = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} y A = {n | n es natural y x es par}, entonces A{ = {n ∈ U | n no es par} = {n ∈ U | n es impar} 3. Sea U el conjunto de alumnos de C´alculo Diferencial que se imparte en la Facultad de Ciencias F´ısico–Matem´aticas. Si A = {x ∈ U | x aprob´o el curso de C´alculo Diferencial}. Entonces A{ = {x ∈ U | x sac´o menos de 6 en el curso de C´alculo Diferencial}. 4. Observemos que el complemento de un conjunto A depende del conjunto universal donde se est´an considerando los elementos de A; por ejemplo, si A = {1, 2, 3, 4} y el universo es el conjunto de los n´ umeros naturales menores que 6 entonces, A{ = {5}; sin embargo, si consideramos ahora al conjunto de los n´ umeros naturales menores { que 10, tendr´ıamos que A = {5, 6, 7, 8, 9}. Algunas propiedades: Sea U un conjunto universal a) Para todo conjunto A, subconjunto de U , (A{ ){ = A. b) ∅{ = U . c) U { = ∅. d) A ⊆ B ⇒ B { ⊆ A{ . Demostraci´on: a) Sea A = {x ∈ U | p(x)}. A{ = {x ∈ U | ¬p(x)}. (A{ ){ = {x ∈ U | ¬(¬p(x))} Como ∀ x ∈ U : ¬(¬p(x)) ⇔ p(x) es verdadera, entonces (A{ ){ = A.

´ DE NUEVOS CONJUNTOS A PARTIR DE OTROS65 2.5. CONSTRUCCION b) Sea C(x) una proposici´on abierta en U tal que para toda x ∈ U , C(x) es falsa. Entonces ∅ = {x ∈ | C(x)}, y ∅{ = {x ∈ U | ¬C(x)}. Como ¬C(x) es verdadera para cada x ∈ U , por lo tanto ∅{ = U . c) Ejercicio. d) Sean A y B dos subconjuntos cualesquiera de U . A ⊆ B ⇒ ∀ x ∈ U : (x ∈ A ⇒ x ∈ B) ⇒ ∀ x ∈ U : (¬(x ∈ B) ⇒ ¬(x ∈ A)) ⇒ ∀ x ∈ U : (x ∈ /B⇒x∈ / A) ⇒ ∀ x ∈ U : x ∈ B { ⇒ x ∈ A{ ⇒ B { ⊆ A{ . Nota: De aqu´ı en adelante omitiremos la frase “es verdadera”, salvo cuando sea necesaria. Definici´ on 2.5.1 Si A y B son subconjuntos de U , entonces a) La Uni´ on de A y B es el subconjunto de U formado por aquellos elementos que est´an en A o bien est´an B. Se denota por A ∪ B, es decir A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B} b) La Intersecci´ on de A y B es el conjunto formado por los elementos de U que est´an en A y est´an en B. Se denota por A ∩ B, es decir A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B} Si p(x) y q(x) son proposiciones abiertas en U tales que A = {x ∈ U | p(x)} y B = {x ∈ U | q(x)} se tiene que A ∪ B = {x ∈ U | p(x) ∨ q(x)} Ejemplos:

A ∩ B = {x ∈ U | p(x) ∧ q(x)}

3. Si A = {1, 3} y B = {1, 2}, entonces A∪ B = {1, 2, 3} y A∩ B = {1}.

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

66 U

B B A

A

Figura 2.2: Ejemplos: 1.- En la figura izquierda A ∪ B es lo rayado. 2.- En la figura derecha, lo rayado es A ∩ B.

4. Si A = {x | x es natural y par} y B = {x | x es natural e impar}, entonces A ∪ B = {x | x es natural} y A ∩ B = ∅.

Propiedades: Para cualesquiera A, B y C subconjuntos de U , se tiene a) A ∪ B = B ∪ A

i) A ∪ U = U

b) A ∩ B = B ∩ A

j) A ∩ ∅ = ∅

c) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

k) A ⊆ A ∪ B y B ⊆ A ∪ B

d) (A ∩ B) ∪ C = A ∩ (B ∪ C)

l) A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B

e) A ∪ A{ = U

m) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

f) A ∩ A{ = ∅

n) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

g) A ∪ ∅ = A

n ˜) (A ∪ B){ = A{ ∩ B {

h) A ∩ U = A

o) (A ∩ B){ = A{ ∪ B {

A las propiedades n ˜) y o) se les llama leyes de D’Morgan. Demostraci´ on: (de algunas propiedades)

´ DE NUEVOS CONJUNTOS A PARTIR DE OTROS67 2.5. CONSTRUCCION j) A ∩ ∅ = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ ∅} = ∅ ya que para cualquier elemento x ∈ U , x ∈ A ∧ x ∈ ∅ es falsa. l) A ∩ B = {x ∈ U | x ∈ A ∧ x ∈ B}. Pero para cada x ∈ U , son verdaderas x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ A y x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ x ∈ B, y por lo tanto A ∩ B ⊆ A y A ∩ B ⊆ B. m) Para cada x ∈ U son verdaderas las bicondicionales siguientes x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ (x ∈ A) ∨ x ∈ (B ∩ C) ⇔ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ⇔x∈A∪B ∧ x∈A∪C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). ∴ ∀ x ∈ U : x ∈ A ∪ (B ∩ C) ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), o sea A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). n ˜) A ∪ B = {x ∈ U | x ∈ A ∨ x ∈ B} Por eso (A ∪ B){ = {x ∈ U | ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B)}. Pero ∀ x ∈ U : (¬(x ∈ A ∨ x ∈ B) ⇔ x ∈ /A ∧ x∈ / B) . Por lo tanto (A ∪ B){ = {x ∈ U | x ∈ /A ∧ x∈ / B} = A{ ∩ B { . 

Dados los conjuntos A y B, subconjuntos de U , A ∩ B { = {x ∈ U | x ∈ A y x ∈ / B},

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

68

es decir, A ∩ B { est´a formado por los elementos de U que est´an en A pero no est´an en B. Es un “complemento relativo” y suele llamarse a este conjunto la diferencia de A y B y de denota por A − B. En el caso particular en que A = U , A−B coincide con el complemento de B. Nota: A − B es distinto de B − A. Ejemplos: 1. Sean A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} y B = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} sobre el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, entonces: A − B = {7, 9, 11}, B − A = {2, 8, 21}, A ∩ B = {1, 3, 5, 13}, A ∪ B = {{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 21}, U − A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21} = A{ , (A ∩ B) − A = ∅, (A ∪ B) − A = {2, 8, 21} y (A − B) − (B − A) = {7, 9, 11}. 2. Sean A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13} y B = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21} sobre el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}, calcular U − A, U − B y A − B. 3. Sea N = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}, entonces (N − {1}) − {2} = N − {1, 2}, ya que N − {1} = {n ∈ N | n ̸= 1} y por ende (N − {1}) − {2} = {n ∈ N | n ̸= 1 y n ∈ / {2}} = {n ∈ N | n ̸= 1 y n ̸= 2} = {n ∈ N | n ∈ / {1, 2}} = N − {1, 2}.

´ DE NUEVOS CONJUNTOS A PARTIR DE OTROS69 2.5. CONSTRUCCION 4. A − B es la regi´on sombreada en la siguiente figura

U

A B

Para que el educando se familiarice con la uni´on, intersecci´on, complemento y diferencia de conjuntos, demostraremos algunos teoremas que involucran estos aspectos. 1. Sea U un conjunto universo; A y B subconjuntos de U . a) Si A ⊆ B entonces i) A ∩ B = A y ii) A ∪ B = B Demostraci´on (de i):) Queremos probar que A ∩ B = A, suponiendo que A ⊆ B. Para ello hay que demostrar que A∩B ⊆ A y A ⊆ A ∩ B. Ya demostramos que A ∩ B ⊆ A (ver l) de la p´agina 66), as´ı que s´olo falta demostrar que A ⊆ A ∩ B (suponiendo A ⊆ B). Ahora bien, si x ∈ A entonces x ∈ B, pues A ⊆ B. Por lo tanto x ∈ A y x ∈ B, es decir, x ∈ A ∩ B. Hemos probado ∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ A ∩ B y, por eso, A ⊆ A ∩ B. (de ii):) Como B ⊆ A ∪ B (ver k) de la p´agina 66), s´olo resta demostrar que A ∪ B ⊆ B, suponiendo A ⊆ B.

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

70

Si x ∈ A ∪ B entonces x ∈ A o x ∈ B. Pero si x ∈ A entonces x ∈ B. As´ı que x ∈ B. Por lo tanto: ∀ x ∈ U : x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ B, o sea, A ∪ B ⊆ B y de aqu´ı que A ∪ B = B. b) Si B ⊆ A, entonces A − (A − B) = B. Demostraci´on: A − (A − B) = A ∩ (A ∩ B { ){ = A ∩ (A{ ∪ (B { ){ ) = A ∩ (A{ ∪ B) = (A ∩ A{ ) ∪ (A ∩ B) = ∅ ∪ (A ∩ B) = A ∩ B. Como B ⊆ A, por (a)–i), A ∩ B = B. Por lo tanto, B ⊆ A ⇒ A − (A − B) = B. c) (A ∩ B { ){ ∪ A = U Demostraci´on: Vamos a demostrar esta proposici´on de dos maneras. La primera es (A ∩ B { ){ ∪ A = (A{ ∪ (B { ){ ) ∪ A = (A{ ∪ B) ∪ A = A{ ∪ (B ∪ A) = A{ ∪ (A ∪ B) = (A{ ∪ A) ∪ B = U ∪ B = U La segunda manera es: A ∩ B { ⊆ A. Por lo tanto, A{ ⊆ (A ∩ B { ){ . Entonces U = A{ ∪ A ⊆ (A ∩ B { ){ ∪ A (ver ejercicio 7–h). Pero por a) de la pagina 58, (A ∩ B { ) ∪ A ⊆ U . Por lo tanto (A ∩ B { ){ ∪ A = U. 2. La proposici´on “para cualesquiera (A − B) − C = A − (B − C)” es falsa. Demostraci´on: Contraejemplo:

A,

B

y

C

⊆

U,

´ DE NUEVOS CONJUNTOS A PARTIR DE OTROS71 2.5. CONSTRUCCION U

U

A

A

C

C

B

B

Ejercicios 3. 0. Probar que si U es un conjunto universo, U { = ∅. 1. Haga las demostraciones de las propiedades enunciadas en los incisos a), b), c), d), e), f), g), h), i), k), n) y p) de la p´agina 66. 2. Si A, B, C son subconjuntos cualesquiera de un conjunto universo U , probar que (A−B)−C = A−(B∪C). ¿A qu´e es igual A−(B−C). 3. Dados el conjunto universal U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los conjuntos A = {1, 3, 5, 9}, B = {2, 3, 5, 8}, C = {1, 4, 8, 9}, determine a) (A{ ∪ C) − (B − C { ). b) (A{ − (B { ∩ C)) − (C { ∩ B). c) (A ∩ B { ){ ∪ (B { − C){ d ) ((A − B) ∩ (A ∩ B)) ∪ ((A − B) ∩ (B − A)). 4. Sea A un conjunto cualquiera en un conjunto universo U . Halle expresiones diferentes para los conjuntos siguientes a) A − ∅,

e) {∅} = ∅,

b) A − A,

f ) {∅, {∅}} − {∅},

c) A ∩ {∅},

g) {∅} ∩ {∅},

d ) ∅ − A,

h) ∅ ∩ {∅}.

5. Proponer tres conjuntos H, J, K, que satisfagan las relaciones siguientes: H * K, J ∩ K = ∅, H ∩ K ̸= ∅, H ̸= J, K * H, J ⊆ H (Para auxiliarse puede usar diagramas de Veen).

CAP´ITULO 2. CONJUNTOS

72

6. Si A, B y C son subconjuntos de U , determine cu´al de las siguientes proposiciones es falsa. Para cada proposici´on falsa, construya un diagrama de Venn que muestre que es falsa. a) (A ∩ B){ ⊆ A{ ,

e) B ⊆ A ∩ B,

b) A ∪ B ⊇ A ∩ B,

f ) B ∪ (B ∩ A){ = U ,

c) (A ∩ B) ∪ A = A,

g) B { ⊆ (B ∩ A){ ,

d ) (A ∩ B){ ⊆ (A ∩ B){ ,

h) A ∩ B ⊆ A ∪ B,

(i) (A − B) ∩ (A − C) = A − (B ∪ C), (j) A ∩ B ⊆ C { ∧ A ∪ C ⊆ B ⇒ A ∩ C = ∅, (k) A ⊆ (B ∪ C) ∧ B ⊆ (A ∪ C){ ⇒ B = ∅ 7. Dados A, B y C subconjuntos cualesquiera de un conjunto universo U , demuestre las siguientes propiedades: a) Si A ⊆ B entonces A ∪ (B − A) = B. b) Si A ∩ B = ∅ entonces A ⊆ B { . c) Si A ∪ B = U entonces A{ ⊆ B. d ) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C). e) A − B = B − A si y s´olo si A = B. f ) (A − B) ∩ B = (B − A) ∩ A. g) A{ − B { = B − A. h) A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C ∧ A ∩ C ⊆ B ∩ C. 8. Si A, B y C son subconjuntos de U , use las leyes de D’Morgan para simplificar. [ ]{ a) (A{ ∩ B { ) ∪ A{ . [ ]{ b) A{ ∪ (B ∩ C) . [ ]{ c) (A{ ∩ B { ) ∪ (B { ∩ C { ) ∪ (A{ ∩ C { ) . 9. Descanse. ¡Buena falta le hace!

Cap´ıtulo 3 ´ NUMEROS REALES §1

3.1.

Introducci´ on

Todo estudiante que llega a una escuela profesional ha tenido una relaci´on m´ınima con los n´ umeros. Al menos sabe operar los n´ umeros con las leyes de la aritm´etica, conoce algunas propiedades de ellos y m´ınimamente aprendi´o a usarlos en problemas concretos. Sin embargo, las posibilidades de estos n´ umeros no han sido explotados en toda su amplitud, ya que ciertas propiedades esenciales no pueden ni siquiera enunciarse, con los conocimientos que se tienen en este momento. Otro hecho que impide hacer un uso adecuado de los n´ umeros es: no saber sus limitaciones. Es decir, qu´e propiedades no se pueden cumplir, ya que si se cumplieran contradir´ıan los “fundamentos de los n´ umeros”. A este nivel tenemos planteado un problema: c´omo distinguir una propiedad esencial de otra que, aunque sea importante no es esencial. Estas propiedades esenciales son los llamados axiomas. En lo que sigue postularemos cierto n´ umero de propiedades y trataremos de ver que 73

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

74

todas las dem´as son consecuencias de estas. As´ı pues, los axiomas de los n´ umeros reales –as´ı llamaremos a los n´ umeros que estudiaremos–, implicar´an las propiedades que el alumno ha usado y much´ısimas otras m´as. Una aclaraci´on, no pretendemos que lo que el alumno ha aprendido sea negado, sino m´as bien queremos que se sit´ ue en su real importancia. Los Axiomas de los n´ umeros Reales En este cap´ıtulo, presentamos a los n´ umeros reales como un conjunto (al cual denotaremos como R) sujeto a dos operaciones (la suma y el producto), junto con una relaci´on de orden total (la de “ser menor que”) tal que cumple el axioma del supremo. Distinguiremos tres grupos de axiomas para nuestro conjunto de n´ umeros reales: 1.- Axiomas de Campo (referente a las operaciones de suma y producto). 2.- Axiomas de Orden (que se refieren a la relaci´on “ser menor que”). 3.- Axioma del Supremo (tambi´en referente a la relaci´on de orden). Adem´as de la relaci´on de orden en los reales, existe la relaci´on de igualdad. Para ´esta recordemos que cumple: Sean a, b, c ∈ R a) Si a = b, entonces b = a. b) Si a = b y b = c entonces a = c. c) Si a+c denota al real que resulta de sumar a y c, y ac denota al real que resulta de multiplicar a y c, entonces a = b implicar´ a que a + c = b + c y que ac = bc.

´ 3.1. INTRODUCCION

75

Ahora enunciaremos los llamados axiomas de campo: C1: Si a, b ∈ R, entonces a + b, ab ∈ R (leyes de cerradura). C2: Si a, b ∈ R, entonces a + b = b + a y ab = ba (leyes conmutativas). C3: Si a, b, c ∈ R, entonces a + (b + c) = (a + b) + c y a(bc) = (ab)c (leyes asociativas). C4: Si a, b, c ∈ R, entonces a(b + c) = ab + ac (ley distributiva). C5: Existen 0, 1 ∈ R, con 0 ̸= 1, tales que: si a ∈ R, entonces a + 0 = a y a · 1 = a (0 se llamar´a neutro aditivo y 1 se llamar´a neutro multiplicativo). C6: Si a ∈ R, existe a1 ∈ R tal que a + a1 = 0 y si a ∈ R con a ̸= 0, entonces existe a2 ∈ R tal que a · a2 = 1. Si estos 6 axiomas se cumplier´an en alg´ un otro conjunto, este conjunto se llamar´ıa campo. As´ı pues, R es un campo. En seguida los axiomas de orden: (la proposici´on “a menor que b se denotar´a a < b o b > a). O1: Si a, b ∈ R, entonces una y s´olo una de las siguientes proposiciones es verdadera: i) a = b. ii) a < b. iii) b < a

(ley de tricotom´ıa)..

O2: Si a, b, c ∈ R y a < b, b < c, entonces a < c (ley transitiva). O3: Si a, b, c ∈ R, c > 0 y a < b, entonces ac < bc (consistencia del producto respecto a la relaci´on de orden. Para referencias posteriores a ella, se escribir´a: c.p.). O4: Si a, b, c ∈ R y a < b, entonces a + c < b + c (consistencia de la suma respecto a la relaci´on de orden. Para referencias posteriores a ella, se escribir´a: c.s.).

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

76

Un campo que cumpla con estos 4 axiomas se llamar´a campo ordenado; los reales son un campo ordenado. Ahora, finalmente, el axioma del supremo: S1: Si A ⊆ R tal que: 1. A ̸= ∅. 2. A es acotado superiormente, entonces A tiene un supremo en R. A campos ordenados que cumplan S1, se les llamar´a campos ordenados completos. Los reales son un ejemplo de estos campos. Una aclaraci´on: a primera vista, el axioma del supremo resulta bastante extra˜ no, ya que t´erminos como cota superior, cota de un conjunto y supremo son conceptos con los que el alumno del nivel medio superior no est´a familiarizado, pero a medida que avancemos en este cap´ıtulo, el alumno los conocer´a y ver´a la importancia de este axioma. §2

3.2.

Consecuencias de los Axiomas de Campo

Ahora iniciaremos la demostraci´on de algunas consecuencias de los axiomas de campo, en donde el alumno podr´a reconocer algunas de las m´as comunes reglas de la aritm´etica. ¡Atenci´on!: pedimos al alumno revisar la parte de m´etodos de demostraci´on del cap´ıtulo de l´ogica; adem´as de consultarla cada vez que alg´ un paso de las demostraciones no quede claro.

3.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO

77

Teorema 3.2.1 i) Si a, b, c ∈ R y a + c = b + c, entonces a = b. ii) Si a, b, c ∈ R, c ̸= 0 y ac = bc, entonces a = b. (Ambas proposiciones son conocidas con los nombres de ley de cancelaci´ on para la suma y ley de cancelaci´ on para el producto). Debe notarse que en la primera, la ley se cumple para cualquier c ∈ R, en cambio, en la segunda, se requiere que c ̸= 0. Demostraci´on: (de i)) i) Sea c1 ∈ R tal que c + c1 Entonces a+c = ⇒ (a + c) + c1 = ⇒ a + (c + c1 ) = ⇒ a+0 = ⇒ a =

=0

(Axioma C6).

b+c (b + c) + c1 (propiedad de la igualdad) b + (c + c1 ) (ley asociativa) b+0 (Axioma C6) b (Axioma C5)

(de ii)) Si c ̸= 0, el axioma C6 garantiza la existencia de un n´ umeros real c2 tal que cc2 = 1. Por lo tanto: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

ac = (ac)c2 = a(cc2 ) = a·1 = a =

bc (bc)c2 b(cc2 ) b·1 b

(propiedad de la igualdad) (ley asociativa) (Axioma C6) (Axioma C5). 

Como una primera consecuencia de la ley de cancelaci´on se tiene el siguiente resultado: Teorema 3.2.2 Si a ∈ R, entonces a · 0 = 0 Demostraci´on:

⇒ ⇒ ⇒

a·0 a·0 a·0+0 a·0

= a(0 + 0) (axioma C5) = a · 0 + a · 0 ∧ a · 0 + 0 = a · 0 (ley distributiva y neutro aditivo) =a·0+a·0 (por transitividad) = 0 (ley de cancelaci´on). 

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

78

Los siguientes resultados resaltar´an la importancia de las leyes de cancelaci´on, ya que estos son consecuencia inmediata de ´estos. Teorema 3.2.3 i) Si a, b ∈ R, existe un u ´nico x ∈ R tal que a + x = b ii) Si a, b ∈ R, a ̸= 0 existe un u ´nico x ∈ R tal que ax = b. Observaci´on: Una vez m´as como en el teorema 3.2.1, debemos notar que en el caso i), el n´ umero real a puede ser cualquiera, mientras que la hip´otesis de ii) exige que a ̸= 0. Demostraci´on: i) Sea a1 ∈ R tal que c1 + a = 0 (Axioma C6) y sea x0 = b + a1 . Entonces x0 ∈ R y adem´as a + x0

= = = = =

a + (b + a1 ) a + (a1 + b) (a + a1 ) + b 0+b b

(ley conmutativa) (ley asociativa) (C6) (C5)

Por lo tanto x0 = b + a1 satisface la igualdad. Para hacer ver la unicidad, suponemos que existen x0 , y0 ∈ R tales que satisfacen la expresi´on a + x = b. Entonces a + x 0 = b y a + y0 = b ⇒ a + x0 = a + y0 ⇒ x0 = y0

(transitividad de la igualdad) (ley de cancelaci´on)

Por lo tanto, s´olo existe un n´ umero real que satisface la relaci´on anterior; tal n´ umero es x = b + a1 . ii) Como a ̸= 0, existe a2 ∈ R tal que aa2 = 1. Sea x0 = a2 b. Entonces ax0

= = = =

a(a2 b) (aa2 )b 1·b b

(propiedad de la igualdad) (ley asociativa) (C6) (C5)

3.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO

79

De aqu´ı, x0 = a2 b satisface la proposici´on y la unicidad se demostrar´a como en el caso anterior. Supongamos que existen x0 , y0 ∈ R tales que satisfacen la expresi´on ax = b, con a ̸= 0. Entonces ⇒ ⇒

ax0 = b y ay0 = b ax0 = ay0 x0 = y0

(propiedad de la igualdad) (ley de cancelaci´on)

En consecuencia, s´olo existe un u ´nico n´ umero real tal que cumple que ax = b y tal n´ umero es x = a2 b.  Hemos visto ya la existencia de n´ umeros a1 , a2 ∈ R para cada a ∈ R tales que a + a1 = 0 y aa2 = 1 (a2 existe si a ̸= 0) que est´an garantizados por el axioma C6; sin embargo, no se especif´ıca cu´antos n´ umeros de este tipo tiene cada n´ umero real. El siguiente teorema, consecuencia del anterior, se refiere a tal situaci´on. Teorema 3.2.4 i) Para cada a ∈ R existe un u ´nico a1 ∈ R tal que a + a1 = 0. ii) Para cada a ∈ R con a ̸= 0, existe un u ´nico a2 ∈ R tal que aa2 = 1. Demostraci´on: i) Sea a ∈ R. Por el axioma C6, existe a1 ∈ R tal que a + a1 = 0, es decir, a1 satisface la relaci´on: a + x = 0 y por el teorema 3.2.3, este n´ umero es u ´nico. ii) Si a ∈ R y a ̸= 0, existe un a2 ∈ R tal que aa2 = 1 (axioma C6). Esto significa que a2 satisface la relaci´on ax = 1 y por el teorema 3.2.3, este n´ umero es u ´nico.  Este teorema nos permite establecer la siguiente definici´on.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

80

Definici´ on 3.2.1 Si a ∈ R, −a denotar´a al u ´nico n´ umero real que cumple a + (−a) = 0 y lo llamaremos el inverso aditivo de a. Si a ∈ R, a ̸= 0, a−1 denotar´a al u ´nico n´ umero real que cumple aa−1 = 1 y lo llamaremos el inverso multiplicativo de a. Con esta definici´on, el teorema 3.2.3 puede enunciarse diciendo que el u ´nico n´ umero real que satisface la relaci´on a + x = b es x = b + (−a), y tambi´en que el u ´nico n´ umero real que satisface la relaci´on ax = b con −1 a ̸= 0 es el n´ umero x = a b. En lo que sigue denotaremos a−b = a+(−b), y si b ̸= 0, ab = ab−1 . Haremos uso del teorema anterior para establecer los siguientes resultados. Teorema 3.2.5 i) Si a ∈ R, −(−a) = a. ii) Si a ∈ R y a ̸= 0 entonces (a−1 )−1 = a. Demostraci´ on: i) El n´ umero −(−a) satisface la relaci´on −a + x = 0. Tambi´en el n´ umero real a satisface la misma relaci´on, entonces por unicidad, −(−a) = a. ii) Si a ̸= 0, el n´ umero real (a−1 )−1 satisface la relaci´on a−1 x = 1 y tambi´en el n´ umero real satisface la misma relaci´on. Por tanto, por unicidad, a = (a−1 )−1 .

Teorema 3.2.6 Sean a, b, c ∈ R. Entonces i) −(a + b) = (−a) + (−b). ii) −(ab) = (−a)b = a(−b). iii) Si a ̸= 0, b ̸= 0, entonces (ab)−1 = a−1 b−1 .

3.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO

81

Demostraci´on: i) (a + b) + [(−a) + (−b)] = a + (b + [(−a) + (−b)]) (asosiativa) = a + (b + [(−b) + (−a)]) (conmutativa) = a + ([b + (−b)] + (−a)) (asosiativa) Por lo tanto (a + b) + [(−a) + (−b)] = a + (0 + (−a)) (propiedad del inverso) = a + (−a) =0 Entonces [(−a) + (−b)] es inverso aditivo de (a + b) y por unicidad resulta que −(a + b) = (−a) + (−b). ii) (ab) + (−a)b = [a + (−a)]b (ley distributiva) = (0)b (prop. del inverso aditivo) =0 Entonces (−a)b satisface ab + x = 0 y por unicidad, (−a)b = −(ab). De la misma manera se demuestra el resto del teorema.  Y Ahora, . . . ¡“Los quebrados”! Teorema 3.2.7 Si a, b, c, d ∈ R, con b ̸= 0, d ̸= 0 y a ̸= 0, entonces i)

a b

+

ii)

a b

·

iii)

c d

c d

=

( a )−1 b

ad+bc . bd

=

ac . bd a−1 b−1

=

= ab .

Demostraci´on: i)

a b

+

c d

= ab−1 + cd−1 = (ab−1 ) 1 + (cd−1 )1 = (ab−1 )(dd−1 ) + (cd−1 )(bb−1 ) = a(b−1 dd−1 ) + c(d−1 bb−1 ) = a(db−1 d−1 ) + c(bd−1 b−1 )

(por definici´on) (propiedad del 1) (inv. multiplicativo) (asocistividad) (conmutatividad)

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

82

Por lo tanto a + dc = (ad)(b−1 d−1 ) + (cb)(b−1 d−1 ) b = (ad)(b−1 d−1 ) + (bc)(b−1 d−1 ) = (ad + bc)(b−1 d−1 ) = (ad + bc)(bd)−1 = ad+bc bd ii)

iii)

a b

·

c d

( a )−1 b

= (ab−1 )(cd−1 ) = a[b−1 (cd−1 )] = a[(b−1 c)d−1 ] = a[(cb−1 )d−1 ] = a[c(b−1 d−1 )] = (ac)(bd)−1 = ac bd

(asociativa) (conmutativa) (distributiva) ((iii) del teorema 6) (conmutatividad)

(definici´on) (asociatividad) (asociatividad) (conmutatividad) (asociatividad) ((iii) del teorema 6) (definici´on).

= (ab−1 )−1 (definici´on) = a−1 (b−1 )−1 ] ((iii) del teorema 6) = a−1 b ((ii) del teorema 5) −1 = ba (conmutatividad) (definici´on).  = ab

Ra´ız Cuadrada

Para los estudiantes no es ajena la propiedad que tienen ciertos n´ umeros, que consiste en ser el cuadrado de otro (aqu´ı el cuadrado de un n´ umero real x significa x · x y se denota por x2 . As´ı pues, 2 tiene como cuadrado a 4, 9 es el cuadrado de 3. Tambi´en recordar´a el alumno que si un n´ umero a era el cuadrado de un n´ umero b, a b se le llamaba la ra´ız cuadrada de a. As´ı, 2 es ra´ız cuadrada de 4 y 3 es ra´ız cuadrada de 9. Hay que aclarar que −2 tambi´en cumplir´ıa que su cuadrado es 4, por tanto, tambi´en se podr´ıa llamar ra´ız cuadrada de 4.

3.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO

83

Para aclarar esto, veamos el siguiente resultado, que se demostrar´a usando algunos axiomas de orden. Teorema 3.2.8 Sean a, b ∈ R tales que a > 0 y b > 0. Entonces: a2 = b2 si y s´olo si a = b. Demostraci´on: Demostraremos primero que si a > 0, b > 0 y a2 = b2 , entonces a = b. As´ı que sea a > 0, b > 0 y a2 = b2 . Entonces

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

a > 0, b > 0 y a2 − b2 = 0 a > 0, b > 0 y (a − b)(a + b) = 0 a > 0, b > 0 y ((a − b) = 0 o (a + b) = 0) a + b > b y b > 0 y ((a − b) = 0 o (a + b) = 0) (a + b > 0 y a + b = 0) o ((a + b) > 0 y a − b = 0) a+b>0 y a−b=0

⇒ ⇒

a−b=0 a = b.

(comprobar igualdad) (ver ejercicio 1) (C5) (contradice la tricotom´ıa la primera parte de la disyunci´on)

Ahora demostraremos que Si a > 0, b > 0 y a = b, entonces a2 = b2 . Sean a > 0, b > 0 y a = b. Entonces a=b ⇒ aa = ab ⇒ aa = bb ⇒ a2 = b2

y

ab = bb

(propiedad de la igualdad) (transitividad de la igualdad) 

El teorema 3.2.8 nos permite demostrar el teorema 3.2.9 Teorema 3.2.9 Si a > 0, b > 0 y a2 = b, entonces a es el u ´nico n´ umero real con esta propiedad.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

84

Demostraci´ on: ′ Si a > 0 y (a′ )2 = b, entonces (a′ )2 = a2 . Entonces a′ = a (teorema 3.2.8). Es claro que si b = 0, el u ´nico n´ umero que tiene cuadrado igual a 0, es el 0. As´ı que, dado b > 0 o b = 0, si existe a > 0 o a = 0 tal que a2 = b, este n´ umero a es u ´nico. Esto nos lleva a la definici´on: Definici´ on 3.2.2 Sea b ∈ R tal que b > 0 o b = 0. Si a ∈ R es tal que a > 0 o a = 0 y cumple a2 √ = b, a se llamar´a la ra´ız cuadrada de b. En adelante denotaremos a = b. N´otese que si a2 = b, tambi´en (−a)2 = b, entonces Definici´ on 3.2.3 Si b ∈ R con b >√0 0 b = 0. Si a = −a la ra´ız negativa de b (−a = − b).

√

b, llamaremos a

Una aclaraci´on importante, si b < 0, no puede existir un n´ umero real que sea su ra´ız, ya que el cuadrado de cualquier n´ umero real es mayor o igual que cero 1 , y por tricotom´ıa, no podr´ıa ser igual a b. Hecho que demostraremos como consecuencia del teorema 3.2.3. Sin embargo, quedar´a la pregunta ¿Siempre que un n´ umero es mayor o igual a cero, existe su ra´ız cuadrada?. Esta pregunta se resolver´a al final de este cap´ıtulo. En lo que sigue demostraremos resultados acerca de ra´ıces cuadradas, que estar´an condicionados a la existencia de ellas. Adelant´andonos un poco al §3, es f´acil probar, como consecuencia del axioma O3 que si a > 0 y b > 0, entonces ab > 0. En efecto: 1

a > 0 ∧ b > 0 ⇒ ab > 0 · b ⇒ ab > 0 Tambi´en es f´acil probar que si a < 0, entonces (−a) > 0. Entonces

si

si a > 0 ⇒ a2 = aa > 0, a < 0 ⇒ −a > 0 ⇒ a2 = (−a)2 > 0

3.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO

85

Teorema 3.2.10 Si a > 0 o a = 0 y b > 0 o b = 0, entonces √ √ √ a b = a b. Demostraci´on: √ √ √ √ Bastar´a demostrar que ( a b)2 = ab, ya que como a b es mayor o√igual √ que √ cero y por la unicidad de la ra´ız cuadrada, concluir´ıamos que a b = a b. Para esto, ver los ejercicios 1.  Ecuaciones En problemas concretos, la soluci´on de estos, depende de poder encontrar n´ umeros que satisfagan cierta relaci´on num´erica, como √ por ejemplo 2 2 5 + x = 22, 3x + 548233 = x, ax + b = 0, a x + b = 0, ax2 + b = c, donde a, b, c ∈ R. El alumno habr´a reconocido en este tipo de relaciones num´ericas a las llamadas proposiciones abiertas. A este tipo de proposiciones abiertas se les llama ecuaciones. M´as exactamente, las proposiciones abiertas sobre los n´ umeros reales en las que se encuentre el s´ımbolo de igualdad, y la variable x operada como un n´ umero real, se les llamar´a ecuaciones. Pero ahora el problema frente a las ecuaciones es: “Hallar todos los n´ umeros que hagan verdadera la proposici´on abierta.” Entenderemos como soluci´ on de la ecuaci´ on, a un n´ umero que haga verdadera la proposici´on abierta. Al conjunto de verdad de la proposici´on abierta, le llamaremos el conjunto soluci´ on de la ecuaci´ on. Solucionar una ecuaci´on es hallar su conjunto soluci´on. Con este nuevo lenguaje, el teorema 3.2.3 quedar´ıa enunciado como: i) Si a, b ∈ R, existe una u ´nica soluci´on de la ecuaci´on: a+x=b ii) Si a, b ∈ R y a ̸= 0, existe una u ´nica soluci´on de la ecuaci´on: ax = b A continuaci´on daremos algunos ejemplos de c´omo solucionar ciertos tipos de ecuaciones:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

86 Ejemplos: 1. Sea la ecuaci´on

3x + 5 = x − 3 veamos que: c ∈ R es soluci´on de la ecuaci´on ⇔ 3c + 5 = c − 3 ⇔ 3c + (−c) = (−5) − 3 ⇔ 2c = −8 ⇔ c = − 28 = −4. As´ı que el conjunto soluci´on es: {−4}. 2. Sea la ecuaci´on x2 − 5 = −4x c es soluci´on de x2 −5 = −4x ⇔ c2 +4c−5 = 0 ⇔ (c+5)(c−1) = 0 ⇔ c + 5 = 0 o c − 1 = 0 ⇔ c = −5 o c = 1 As´ı que el conjunto soluci´on es: {−5, 1} 3. Veamos en general una ecuaci´on del tipo x2 + px + q = 0, donde p, q ∈ R

( )2 ( ) c ser´a soluci´on de ella ⇔ c2 + pc + q = 0 ⇔ c2 + 2 p2 c + p2 − ( p )2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2 + q = 0 ⇔ c + p2 = −q + p2 ⇔ c)+ p2 = p2 − 2 ( ( p )2 ( p )2 ( p )2 − q > 0 o − q = 0 o − q < 0 (tricotom´ıa) ⇔ q y 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 c + p2 = p2 − q y p2 − q > 0 o p2 − q = 0 . ( )2 Note que si p2 − q < 0, entonces no puede ser el cuadrado de un n´ umero real, entonces los c ∈ R que sean soluci´on de la ecuaci´on, no existen y el conjunto soluci´on ser´a el ∅. Pero tambi´en c+

p p p >0 o c+ =0 o c+ 0 o c + = 0 y c+ = 2 −q ) (( ) ( ) 2 p 2 − q > 0 o p2 − q = 0 y 2 √( ) √( ) p p 2 p p 2 ⇔c+ 2 = − q o sea c = − 2 + −q 2 2 p 2

p 2

o bien ) ) ( ) (( ( p )2 p p 2 b) c + 2 < 0 y c + 2 = 2 − q (( ) ) ( )2 2 y p2 − q > 0 o p2 − q = 0 ⇔c+

p 2

=−

√( ) p 2 2

− q o sea c =

− p2

−

√( ) p 2 2

−q

Resumiendo: I) El conjunto soluci´on de x2 + px + q = 0 es el conjunto vac´ıo ( )2 ⇔ p2 − q < 0 II) El conjunto soluci´on de x2 + px + q = 0 es { } √( ) √( ) ( )2 ( )2 p p 2 p p 2 −2 + − q, − 2 − − q ⇔ p2 −q > 0 o p2 − 2 2 q=0 4. Ahora sea la ecuaci´on ax2 + bx + c = 0, con a ̸= 0. Entonces d es soluci´on de ax2 + bx + c = 0 ⇔ ad2 + bd + c = 0 ⇔ (como a ̸= 0) a1 (ad2 + bd + c) = 0 ⇔ d2 + ab d + ac = 0 ⇔ d es soluci´on de x2 + ab x + ac = 0. Ahora, usando lo anterior tenemos:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

88

El conjunto soluci´on de ax2 + bx + c = 0 es el conjunto vac´ıo ( )2 b c ⇔ − 0, b > 0, ab = √ab . √ √ √ n) Si a > 0, b > 0 ¿Cu´ando a + b = a + b ?.

3.2. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE CAMPO n ˜) Si b ̸= 0, c ̸= 0,

a b

=

ac . bc

o) Si b ̸= 0, c ̸= 0, entonces p) ¿Cu´ando

a b

89

a b

=

c d

⇔ ad = bc.

= ab .

2. Halle el conjunto soluci´on de las siguientes ecuaciones + (x − 5) = 0.

a)

3x 2

b)

x−4 x

+

x−1 3

= −2.

c) x−1 (x − 3) + x(2x−1 + 5) = 9. [ x ]−1 −1 = 4. d ) (3−2x) + −1 x 3−2x e) (x − 7)x−1 + (x−1 − 7)x = 0. 3. Halle la base de un rect´angulo de altura 7cm y cuya ´area es el tripe de la longitud de su per´ımetro. 4. Un padre de familia de 22 a˜ nos tiene un hijo de 2. ¿Dentro de cu´anto tiempo la edad del padre ser´a el triple de la del hijo?. 5. Demuestre: √ b > 0 y a < 0 tal que a2 = b ⇔ a = − b. 6. Demostrar que existen n´ umeros reales a y b (a + b)2 = a2 + b2 7. Cu´al o cu´ales de las afirmaciones siguientes es verdadera: a) a2 = b2 ⇒ a = b. b) a2 = b2 ⇒ a = −b. c) a2 = b2 ⇒ a3 = b3 (a3 = a2 · a). 8. Demostrar que a3 = 1 ⇔ a = 1. 9. Demostrar que a3 = b3 ⇔ a = b.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

90

10. Hallar el error en la “demostraci´on” de la afirmaci´on: Si a ∈ R, entonces a = 0. a∈R ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

a2 = a2 a2 − a2 = a2 − a2 (a − a)(a + a) = a(a − a) a+a=a a=0 §3

3.3.

Consecuencias de los Axiomas de Orden

En esta secci´on demostraremos algunas consecuencias de los axiomas de orden, ya enunciados antes, pero previamente comentaremos la llamada recta num´erica. Un auxiliar en la soluci´on de problemas matem´aticos, es la descripci´on gr´afica del problema. As´ı pues, en los conjuntos el uso de diagramas, permit´ıa entender el problema con mayor facilidad. En el caso de los n´ umeros reales, usaremos una recta “horizontal”, como descripci´on de este conjunto (a la que llamaremos recta num´ erica), en la que la propiedad x < y para n´ umeros, significar´a geom´etricamente que el punto correspondiente al n´ umero x est´a a la “izquierda” del punto correspondiente al n´ umero y. As´ı, si queremos describir todos lo n´ umeros mayores que cero, estos formar´an la semirrecta de la recta num´erica (sin incluir al cero) que se extiende a la derecha del punto correspondiente al cero. Para menores que cero, ser´a la semirrecta complementaria, sin incluir el punto inicial. x>0 0 x 0. Sabemos por tricotom´ıa, que s´olo una de ellas se cumplir´a, adem´as por el axioma C5, 1 ̸= 0, as´ı que s´olo alguna de las dos restantes se cumplir´a. Si suponemos 1 < 0, tendremos: 1 < 0 ⇒ 1 + (−1) < −1 (c.s) ⇒ 0 < −1 Ahora bien, como 0 < −1 y suponemos que 1 < 0, entonces 1 < 0 ⇒ 1(−1) < 0(−1) (consistencias del producto) ⇒ −1 < 0 Resumiendo, si 1 < 0 entonces 0 < −1 y −1 < 0 (contradice la tricotom´ıa). Por lo tanto, 0 < 1. As´ı que 0 estar´a a la izquierda de 1. Use esta misma estructura de la demostraci´on para ver que −1 < 0. Este comentario ilustra el uso de la ley de tricotom´ıa en demostraciones, pero adem´as demuestra que existen n´ umeros a la izquierda del cero y a la derecha de cero. (−1 y 1 respectivamente). As´ı, si definimos Definici´ on 3.3.1 R+ = {x ∈ R | x > 0},

R− {x ∈ R | x < 0}.

R+ se llamar´a el conjunto de los reales positivos. R− se llamar´a el conjunto de los reales negativos. Lo anterior demuestra que R+ ̸= ∅ y R− ̸= ∅ y la tricotom´ıa demuestra que R = R+ ∪ {0} ∪ R−

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

92

Antes de entrar en materia demos una notaci´on m´as: Si x < y o x = y, escribiremos x 6 y o y > x De acuerdo a esta notaci´on: Si x < y, entonces x 6 y Si x = y, entonces x 6 y o x > y Pero si x 6 y no necesariamente x < y, y tambi´en si x 6 y no necesariamente x = y. Ahora demostraremos tres teoremas que permitir´an operar con pares de n´ umeros que est´an en la relaci´on de menor que. Teorema 3.3.1 Si a ∈ R, se cumple 1) a > 0 ⇔ −a < 0 2) a > 0 ⇔ a−1 > 0 Demostraci´ on: 1) Demostraremos la implicaci´on: a > 0 ⇒ −a < 0. Ahora bien: si a > 0 entonces a + (−a) > −a ⇒ 0 > −a. De igual manera: Si −a < 0 entonces (−a) + a < a ⇒ a > 0. 2) Queremos demostrar que si a > 0 entonces a−1 > 0 sea a > 0 y supongamos que a−1 < 0 o a−1 = 0. Si a−1 = 0 entonces aa−1 = 0. Pero aa−1 = 1. Entonces 1 = 0. Contradicci´on con el axioma C5. Si a > 0 y a−1 < 0

entonces (consistencia del producto) aa−1 < 0 · a ⇒1 0 entonces a−1 > 0. Resta demostrar que a−1 > 0 ⇒ a > 0 Como a = (a−1 )−1 y si a−1 > 0 entonces (a−1 )−1 > 0 (por la implicaci´on anterior). As´ı que a > 0. 

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

93

Antes de enunciar el siguiente teorema demos la: Definici´ on 3.3.2 Sean x, y ∈ R − {0}. tienen signos iguales si 1) x, y ∈ R+

2) x, y ∈ R−

o

Pero en caso que: 1) x ∈ R+ y y ∈ R−

2) x ∈ R− y y ∈ R+

o

Se dir´a que x y y tienen signos contrarios o distintos. Es f´acil ver que si x, y tienen signos iguales, entonces xy ∈ R+ . Tambi´en, si x, y tienen signos distintos, entonces xy ∈ R− . Teorema 3.3.2 Si a, b ∈ R, se cumple 1. a < b ⇔ −b < −a 2. Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b ⇔ b−1 < a−1 . Demostraci´on: 1. Si a < b

⇒ (−a) + a < (−a) + b ⇒ 0 < (−a) + b ⇒ −b + 0 < ((−a) + b) + (−b) ⇒ −b < −a

(C5) (C5)

Rec´ıprocamente −b < −a ⇒ −b + b < −a + b ⇒ 0 < −a + b ⇒ a + 0 < a + ((−a) + b) ⇒a 0√ ∧ (−a) < b = b b = ( b)2 y b ∈ R+ ⇒ −a < b

(teorema 3.3.1) (teorema 3.3.4)

√ √ b entonces − b < a < b √ √ Ahora: Si a < 0 y − b < a < b √ −a > 0, − b 0, −a √ 0 ⇒ |x| > x, por lo tanto ∀ x ∈ R, x 6 |x|. 2. La demostraci´on se deja como ejercicio.  Como una consecuencia del teorema 3.3.6 tenemos: ∀ x ∈ R,

x 6 |x|

y

− |x| 6 x

entonces −|x| 6 x 6 |x|. lo cual resumimos en el siguiente teorema. Teorema 3.3.7 Si x ∈ R, entonces −|x| 6 x 6 |x|. Ahora si |x| = 0,

entonces −|x| 6 x 6 |x| (teorema 3.3.7) entonces −0 6 x 6 0 entonces x = 0 y como por definici´on si x = 0, entonces |x| = 0. Podemos resumir estas observaciones en el siguiente teorema. Teorema 3.3.8 |x| = 0 ⇔ x = 0. Con lo cual tenemos que: |x| > 0 ⇔ x ̸= 0.

100

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Continuemos con algunas propiedades m´as que satisface el valor absoluto. Teorema 3.3.9 Sean a, c ∈ R, entonces |a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c Demostraci´ on: Observemos que si c < 0, |a| ≤ c y −c ≤ a ≤ c son proposiciones falsas y por lo tanto es verdadera la bicondicional. Con lo que nuestro resultado se reduce a demostrar que si a ∈ R y c ≥ 0 |a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c. (⇒) Supongamos que |a| ≤ c, demostraremos que −c ≤ a ≤ c. Sea a ∈ R ⇒ a ≥ 0 o a < 0 (tricotom´ıa) i) Si a ≥ 0 entonces |a| = a y |a| ≤ c ⇒ a ≤ c y como c ≥ 0 ⇒ −c ≤ 0 y 0 ≤ a ⇒ −c ≤ a. Entonces −c ≤ a ≤ c ii) Si a < 0 entonces |a| = −a y |a| ≤ c ⇒ −a ≤ c ⇒ −c ≤ a y como a < 0 y 0 ≤ c, entonces a ≤ c. Entonces −c ≤ a ≤ c. Por lo tanto si |a| ≤ c entonces −c ≤ a ≤ c. (⇐) Ahora supongamos que −c ≤ a ≤ c, demostraremos que |a| ≤ c. Sea a ∈ R, entonces a ≥ 0 o a < 0.

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

101

i) Si a ≥ 0, entonces |a| = a y a ≤ c ⇒ |a| ≤ c ii) Si a < 0, entonces |a| = −a y −c ≤ a ⇒ |a| ≤ c Por lo tanto, si −c ≤ a ≤ c, entonces |a| ≤ c. Con lo cual queda demostrado nuestro teorema.  Para el caso en que c > 0 podemos dar una interpretaci´on geom´etrica de este resultado. Sabemos que si c > 0, entonces −c < 0 y que la distancia de cero a c y de cero a −c es en ambos casos |c| de donde a

-c

0

c

Pudiendo ser el caso de que a = c o a = −c. De forma an´aloga se puede dar la demostraci´on del siguiente resultado. Teorema 3.3.10 Sean a, c ∈ R, entonces |a| < c ⇔ −c < a < c. De la misma forma tenemos los siguientes resultados Teorema 3.3.11 Sean a, c ∈ R, entonces |a| ≥ c ⇔ a ≥ c

o

−a≥c

Demostraci´on: (⇔) Una proposici´on equivalente a la que queremos demostrar es: ¬(|a| ≥ c) ⇔ ¬(a ≥ c o − a ≥ c).

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

102 es decir,

|a| < c ⇔ (a < c y − a < c) o sea |a| < c ⇔ −c < a < c que es precisamente la afirmaci´on del teorema 3.3.10 , con lo cual queda demostrado nuestro teorema.  De este teorema podemos tambi´en dar una interpretaci´on geom´etrica. Si c < 0, entonces a puede ser cualquier real y puede estar por cualquier parte de la recta num´erica. Si c ≥ 0 a

a

-c

0

c

De igual manera tenemos el siguiente resultado cuya demostraci´on se deja como ejercicio. Teorema 3.3.12 Sean a, c ∈ R, entonces |a| > c ⇔ a > c

o

−a>c

Recordemos que ∀ x, y ∈ R, por el teorema 3.3.7 } −|x| ≤ x ≤ |x| ⇒ −(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ (|x| + |y|) −|y| ≤ y ≤ |y| ⇒ |x| + |y| ≥ |x + y|

por teorema 3.3.9

lo cual nos permite enunciar el siguiente resultado que hemos demostrado. Teorema 3.3.13 ∀ x, y ∈ R, |x + y| ≤ |x| + |y|. (Este teorema es conocido como la desigualdad del tri´angulo)

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

103

Pudi´endose dar la igualdad en un u ´nico caso, que ser´ıa el siguiente: Teorema 3.3.14 Sean a, b ∈ R, a ̸= 0, b ̸= 0. Entonces |a + b| = |a| + |b| ⇔ a y b tienen signos iguales. Demostraci´on: (⇒) Probaremos que si |a + b| = |a| + |b| entonces a y b tienen signos iguales. |a + b| = |a| + |b| ⇒ |a + b|2 = (|a| + |b|)2 ⇒ |(a + b)2 | = |a|2 + 2|a||b| + |b|2 ⇒ (a + b)2 = |a2 | + 2|a||b| + |b2 | ⇒ a2 + 2ab + b2 = a2 + 2|a||b| + b2 ⇒ ab = |a||b| ⇒ ab > 0 ⇒ a y b tienen signos iguales. (⇐) Ahora probaremos que si a y b tienen signos iguales, entonces |a + b| = |a| + |b|. Si a y b tienen signos iguales, entonces i) a, b ∈ R+ . ii) a, b ∈ R− . i) Si a, b ∈ R+ , entonces |a| = a y |b| = b y a + b ∈ R+ ⇒ |a + b| = a + b = |a| + |b| ⇒ |a + b| = |a| + |b|. ii) Si a, b ∈ R− , entonces |a| = −a y |b| = −b y a + b ∈ R− ⇒ |a + b| = −(a + b) = (−a) + (−b) = |a| + |b| ⇒ |a + b| = |a| + |b|.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

104

Por lo tanto, si a y b tienen signos iguales, entonces |a + b| = |a| + |b|.  Observemos que los teoremas 3.3.13 y 3.3.14 nos dicen cual es el comportamiento del valor absoluto con respecto a la suma. D´andose el caso que tambi´en podemos enunciar y demostrar un resultado que nos dice cual es el comportamiento del valor absoluto con respecto al producto. Teorema 3.3.15 Sean x, y ∈ R, entonces |xy| = |x||y|. Demostraci´ on: Si x o y es cero, el resultado es inmediato. Por lo que lo u ´nico que nos faltar’ıa para obtener nuestro resultado es fijarse en el caso en que tanto x como y no son cero. Sean x, y ∈ R − {0}, entonces x ̸= 0 ⇒ x > 0

o

x < 0.

y ̸= 0 ⇒ y > 0

o

y < 0.

Teniendo los siguientes cuatro casos posibles: i) x > 0 y y > 0,

iii) x < 0 y y > 0,

ii) x > 0 y y < 0,

iv) x < 0 y y < 0,

Demostraremos que nuestra proposici´on se cumple en el caso i) y iii) dejando como ejercicio la demostraci´on de ii) y iv). i)

 x > 0 ⇒ |x| = x  y > 0 ⇒ |y| = y ⇒ |xy| = |x||y|.  xy > 0 ⇒ |xy| = xy

iii)

 x < 0 ⇒ |x| = −x  y > 0 ⇒ |y| = y ⇒ |xy| = |x||y|.  xy < 0 ⇒ |xy| = −xy

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

105

Como en cualquiera de los cuatro casos obtenemos que: |xy| = |x||y|. podemos concluir que: ∀ x ∈ R, |xy| = |x||y|.



Ejercicios 2. 1. ¿Es cierto que si a = b y c < d ⇒ a − d < b − c? 2. ¿Es cierto que si a = b y c < d ⇒ a − c < b − d? 3. Demuestre: no existe x ∈ R tal que si c > 0, entonces x2 + c = 0. √ 4. Si 0 < a < b demuestre: a < a b < a+b < b. 2 √ A ab se le llama el promedio geom´etrico de a y b y a a+b se le 2 llama el promedio aritm´etico de a y b. 5. Demuestre que si a, b ∈ R, entonces a2 + b2 = 0 ⇔ a = 0 = b. 6. Demuestre que no existe z ∈ R tal que x ≤ z ∀ x ∈ R. 7. Demuestre que no existe z ∈ R tal que x ≥ z ∀ x ∈ R. 8. Demuestre −1 < 0. 9. Determinar cu´ales son los n´ umeros reales que satisfacen: a) |x2 − 6x − 2| = 0. b) |x2 + 1| = 0. c) |4x − 6| = 3x − 7. 10. Demostrar que si a, b ∈ R, entonces: a) | − a| = |a|. √ b) a2 = |a|. c) |a − b| = |b − a|. d ) |a2 | = |a|2 .

e) |a − b| ≤ |a| + |b| f ) ||a| − |b|| ≤ |a − b|. 1 g) a ̸= 0, a1 = |a| . h) b ̸= 0, ab = |a| . |b|

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

106 11. Si x, y ∈ R − {0}, entonces

a) Si x, y tienen igual signo, entonces xy ∈ R+ . b) x, y ∈ R+ ⇒ xy, x + y ∈ R+ . c) Si x, y tienen signos contrarios, entonces xy ∈ R− . d ) x, y ∈ R− ⇒ x + y ∈ R− . 12. Demostrar que ∀x ∈ R : x2 ≥ 0 13. ¿Existe x ∈ R que sea soluci´on de la ecuaci´on x6 + 2x2 + 1 = 0? ¿Por qu´e? 14. Sea x ∈ R − {0}. Demostrar que si x

1 x

< 2, entonces x < 0

15. Pruebe que si a > 0 y b > 0, entonces

1 a+b

16. Pruebe que si b > a y c > 0, entonces

a b

<

< a1 . a+c . b

17. Si x ̸= 2, ¿es cierto que los siguientes n´ umeros est´an en R+ ? a)

x2 , |x−2|

c)

x+2 , |x−2|

b)

x , |x−2|

d)

1 , |x−2|

18. Demuestre que si a ≤ r ≤ a, entonces r = a. 19. Si c < 0, ¿existe a ∈ R tal que a ≤ c y a ≥ −c 20. (a) Niegue ambos lados de la bicondicional: √ √ a2 < b ⇔ − b < a < b ¿Qu´e teorema obtiene?

e)

x−2 , |x−2|

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN (b) Niegue ahora ambos lados de la bicondicional: √ √ a2 < b ⇐⇒ a > b ∨ a < − b ¿Qu´e teorema obtiene? 21. Probar los Teoremas 3.3.10 y 3.3.12. 22. Probar que ∀x ∈ R : |x|2 = x2 .

107

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

108

Intervalos Definimos aqu´ı algunos conceptos que se emplean cotidianamente en los cursos de c´alculo y que emplearemos en estas notas para simplificar algunas notaciones. Intuitivamente, un intervalo de n´ umeros reales est´a formado por todos aquellos n´ umeros reales que est´an entre un par de n´ umeros reales fijos, m´as precisamente: Definici´ on 3.3.4 Sean x, y ∈ R con x < y. El conjunto A = {t ∈ R | x < t < y} se llama intervalo abierto de n´ umeros reales y se denota por (x, y) o por ]x, y[ Posteriormente se ver´a que (x, y) ̸= ∅. Si al conjunto A se le agragan los n´ umeros x, y, al conjunto obtenido {t ∈ R | x ≤ t ≤ y} se le llamar´a intervalo cerrado y se denotar´a como [x, y] Si al conjunto A le agregamos s´olo un extremo, x o y. As´ı: {t ∈ R | x ≤ t < y} = [x, y) {t ∈ R | x < t ≤ y} = (x, y] se llamar´an intervalos semicerrado o semiabierto. Conjunto de n´ umeros reales de la forma: {t ∈ R | x < t},

y

{t ∈ R | t < y},

donde x, y son n´ umeros reales fijos, se les llamar´a intervalos infinitos y se denotan por: (x, ∞) y (−∞, y)

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

109

respectivamente. Si se les agrega x y y, respectivamente, se obtienen los intervalos infinitos cerrados; [x, ∞) y (−∞, y] Con base en estas definiciones podemos dar una nueva interpretaci´on de los teoremas 3.3.9 y 3.3.10. |a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c ⇔ [−c, c] |a| < c ⇔ −c < a < c ⇔ (−c, c) donde (−c, c) ser´a el intervalo abierto, con centro en cero y radio c. O sea que |a| < c ⇔ a

est´a en el intervalo abierto con centro en cero y radio c.

Ejemplos:

√ √ √ √ 3 < t < 3} = (− 3, 3). √ √ 2. {t ∈ R | t2 > 3} = {t ∈ R | t > √ 3 o − t > 3}√ = {t ∈ R | t√< − √ 3} ∪ {t ∈ R | t > 3} = (−∞, − 3) ∪ ( 3, ∞). 1. {t ∈ R | 3 > t2 } = {t ∈ R | −

3. {t ∈ R | |t − 1| < 5} = {t ∈ R | − 5 < t − 1 < 5} = {t ∈ R | − 4 < t < 6} = (−4, 6). 4. (−4, 6) ∩ (−1, ∞) = = = =

{t ∈ R | − 4 < t < 6} ∩ {t ∈ R | t > −1} {t ∈ R | − 4 < t < 6 y t > −1} {t ∈ R | − 1 < t < 6} (−1, 6).

5. Sean x0 ∈ R y c > 0. Recordemos que |x − x0 | < c ⇔ −c < x − x0 ⇔ −c + x0 < x < c + x0 ⇔ x0 − c < x < x0 + c ⇔ x ∈ (x0 − c, x0 + c) Esto lo podemos leer de las siguientes formas, siendo todas ellas equivalentes entre si.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

110

i) Valor absoluto de x − x0 menor que c. ii) La distancia de x a x0 es menor que c. iii) x est´a en el intervalo con centro en x0 y radio c. 6. Sean x0 ∈ R y c > 0, como |x − x0 | > c ⇔ x − x0 > c ⇔ x > x0 + c

o o

x − x0 < −c x < x0 − c

que como en el caso anterior, lo podemos leer de las siguientes formas, siendo todas ellas equivalentes entre si i) Valor absoluto de x − x0 mayor que c. ii) La distancia de x a x0 es mayor que c. iii) x est´a en el intervalo (−∞, x0 − c) o (x0 + c, ∞). 7. Sea x0 ∈ R, c > 0 y |x − x0 | < c. Como |x| − |x0 | ≤ |x − x0 | ⇔ |x| − |x0 | < c ⇔ |x| < c + |x0 | o sea, que si x est´a en el intervalo con centro en x0 y radio c, entonces x est´a en el intervalo con centro en centro en cero y radio c + |x0 |. 8. Sea x ∈ R, c > 0 y |x − x0 | < c. Como |x0 | − |x| ≤ |x0 − x| = |x − x0 | ⇔ |x0 | − |x| < c ⇔ |x0 | − c < |x| 1 Si |x0 | − c > 0, entonces |x| < |x01|−c . 1 Como x1 = |x| , entonces x1 < |x01|−c

O sea, que si x est´a en el intervalo abierto con centro en x0 y radio c, entonces x1 est´a en el intervalo abierto con centro en cero y radio 1 . |x0 |−c

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

111

Inecuaciones Nos proponemos aqu´ı, al igual que en el caso de las ecuaciones, emplear las propiedades que hemos estudiado, para determinar el conjunto de verdad de proposiciones abiertas como: |x − x0 | < 5,

1 < x + 1, x−2

x2 + 3 < x − 1.

Ilustremos con ejemplos, c´omo hallar el conjunto de verdad de este tipo de proposiciones. Consideremos la proposici´on abierta x + 2 < 5 + 3x supongamos que x0 ∈ R. Como x0 + 2 < 5 + 3x0 ⇔ x0 − 3x0 < 5 − 2 ⇔ −2x0 < 3 ⇔ − 32 x0 < 1 ⇔ x0 > − 32 tenemos que x0 + 2 < 5 + 3x0 es verdadera si y s´olo si − 23 < x0 es verdadera. Por tanto, el conjunto soluci´on de { ser´a: t ∈ R | −

3 2

x + 2 < 5 + 3x } ( ) < t = − 32 , ∞ .

Definimos aqu´ı lo que entenderemos por inecuaci´on y por soluci´on de una inecuaci´on Definici´ on 3.3.5 Una inecuaci´ on es una proposici´on abierta, sobre R, en la que se encuentra el s´ımbolo “ q(x),

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

112

donde p(x) y q(x) son expresiones del tipo ax + b,

ax2 + bx + c,

k,

|ax + b|,

|ax2 + bx + c|,

ax + b , c1 x + d1

donde a, b, c, d, k, c1 , d1 ∈ R y c1 y d1 no son simult´aneamente cero. ¡Atenci´on!. Aqu´ı p(x) y q(x) no denotan proposiciones abiertas. Definici´ on 3.3.6 A los n´ umeros reales que hagan verdadera a una inecuaci´on, se les llamar´a soluciones de la inecuaci´on, y al conjunto de verdad de tal inecuaci´on se le llamar´a conjunto soluci´ on de la inecuaci´on. Solucionar una inecuaci´on es hallar su conjunto soluci´on. En lo que sigue ilustraremos con ejemplos, la forma en que se aplican las propiedades de los n´ umeros reales para solucionar una inecuaci´on. I. Inecuaciones del tipo ax + b < cx + d. El ejemplo resuelto al principio de esta secci´on ilustra la forma en que se obtiene el conjunto soluci´on de este tipo de inecuaciones. II. Inecuaciones del tipo ax2 + c < dx + t. En la soluci´on de este tipo de inecuaciones emplearemos el teorema 3.3.5. 1. Sea la inecuaci´on x2 + 5x < 3x + 2. Sean x0 ∈ R, x20 + 5x0 < 3x0 + 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

x20 + 5x0 − 3x0 < 2 x20 + 2x0 + 1 < 2 + 1 2 (x√ 0 + 1) < 3 √ −√3 < x0 + 1 < 3 √ − 3 − 1 < x0 y x0 < 3 − 1.

3.3. CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS DE ORDEN

113

Por lo tanto el conjunto soluci´on ser´a: √ √ {t ∈ R | − 3 − 1 < t} ∩ {t ∈ R | √ t < 3 − 1} √ = (−∞, 3 −√1) ∩ (− 3 − 1, ∞) √ = (− 3 − 1, 3 − 1) 2. Consideremos otro ejemplo de este tipo: sea la inecuaci´on: 3 + 3x < x2 − 7x + 25. Para cada x0 ∈ R, se tiene: 2 3 < x20 − 10x0 + 25 ⇔ 3 < (x0 − 5)√ 3 + 3x0 < x20 − 7x0 + 25 ⇔ √ ⇔ √3 < (x0 − 5) o (x0 −√ 5) < − 3 ⇔ 3 + 5 < x0 o x0 < − 3 + 5.

Concluimos que el conjunto soluci´on es: √ √ ( 3 + 5, ∞) ∪ (−∞, − 3 + 5). 3. Un u ´ltimo ejemplo de este tipo. Sea la inecuaci´on −2x − 28 < x20 + 8x. Sean x0 ∈ R. Entonces: −2x0 − 28 < x20 + 8x0 ⇔ −28 < x20 + 10x0 ⇔ −28 + 25 < x20 + 10x0 + 25 ⇔ −3 < (x0 + 5)2 Aqu´ı no es aplicable el teorema 3.3.5 ya que −3 < 0, pero como el cuadrado de cualquier n´ umero real es mayor o igual que cero, para toda x ∈ R, −3 < 0 ≤ (x + 5)2 . Por lo tanto, el conjunto soluci´on es R. III. Inecuaciones que involucran el valor absoluto. Para solucionar este tipo de inecuaciones usaremos los teoremas 3.3.10 y 3.3.12. Afirmamos que apoy´andonos en estos teoremas, la soluci´on de inecuaciones que involucran valor absoluto, se reduce a resolver inecuaciones del

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

114 tipo que ya hemos estudiado.

Igual que en los casos anteriores, ilustraremos con ejemplos la validez de esta afirmaci´on. Ejemplos: como sabemos, dado x0 , r ∈ R con r > 0, los x que cumplan la inecuaci´on o desigualdad |x − x0 | < r, se pueden interpretar de las siguientes formas, siendo ellas equivalentes entre s´ı: (i) Los x ∈ R, tales que la distancia (ii) Los x ∈ R que est´an en el intervalo abierto con centro x0 y radio menor que r. En los siguientes ejemplos usaremos alguna de estas interpretaciones para plantear el problema dado. 1. Encontrar los x ∈ R tal que la distancia de 4x a 2 sea menor que 1. Por el inciso (i), concluimos que x0 = 2 y r = 1. De donde podemos observar que debemos resolver la inecuaci´on: |4x − 2| < 1. Aplicamos el Teorema 3.3.10 y tenemos: |4x − 2| < 1 ⇔ −1 < 4x − 2 < 1 ⇔ 1 < 4x < 3 ⇔ x ∈ ( 14 , 34 ).

1 4

3. |5x − 3| < 7. |x + 2| < 2x. |x2 − 4| < −2x + 4. 9. Pruebe que |x − 3| < 1 ⇔ 6 < x + 4 < 8 10. Resuelva las siguientes inecuaciones a) b)

3x−2 < 4. x+1 2 4 < 1−x . 14x

c) |x2 − 3x + 1| < |x + 2|.

3.4. EL AXIOMA DEL SUPREMO

121

11. Sean x0 , y0 ∈ R y r > 0. Si la distancia de x a x0 es menor que r y la distancia de y a y0 es menor que r. Pruebe que la distancia de (x + y) a (x0 + y0 ) es menor que 2r. 12. Sean x0 , y0 ∈ R, r > 0 Si y est´a en el intervalo con centro en y0 y radio r y x est´a en el intervalo con centro en x0 y radio r. Pruebe que (xy) est´a en el intervalo con centro en (x0 y0 ) y radio r(|x0 | + |y0 | + r).

§4

3.4.

El Axioma del Supremo

En la secci´on 3.1 dividimos los axiomas que satisface el conjunto de todos los n´ umeros reales, con la suma, con el producto y la relaci´on de orden, en tres grupos: axiomas de campo, axiomes de orden y el axioma del supremo. Entre aquella secci´on y la que ahora comenzamos hemos trabajado con los dos primeros grupos de axiomas, sin tocar para nada el axioma del supremo, Ahora es el momento de aclarar su escueto enunciado que, como se recordar´a, se˜ nala: Axioma del supremo: Si A ⊆ R es tal que A ̸= ∅ y A est´a acotado superiormente, entonces A tiene supremo. Definici´ on 3.4.1 Sea A ⊆ R (1) Si x0 ∈ R diremos que x0 es una cota superior de A si ∀a ∈ A :

a ≤ x0

(2) Diremos que A est´a acotado superiormente si existe una cota superior de A.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

122 Ejemplos:

1. Sea A = {−2, −1.5, 0, 1, 1.5, 2}. Entonces 2 es una cota superior de A porque es mayor o igual que cualquier otro elemento de A. En general, si A es un conjunto finito, el mayor de sus elementos es una cota superior de A. 2. Sean a, b ∈ R con a < b. A = (a, b) como ∀ x ∈ A, a < x < b, entonces b es cota superior de A. 3. B = [a, b] como ∀ x ∈ B, a ≤ x ≤ b, entonces b es cota superior de B. 4. Supongamos que A = (2, 3). Como vimos √ en el Ejemplo 2, 3 es una cota superior de A. Pero π, 3.5, 4, 5, 10 y cualquier otro n´ umero mayor que 3 tambi´en son cotas superiores de A. En general, dados un conjunto A ⊂ R y una cota superior, x0 , de A, cualquier y ∈ R mayor que x0 tambi´en es una cota superior de A (ver ejercicio 3 de Ejercicios 4). 5. Sean A = ∅. Demostraremos que cualquier n´ umero real es una cota superior de A. Sea x0 ∈ R. Entonces es verdadera la proposici´on ∀ x ∈ ∅ : a ≤ x0 (¿Por qu´e?). Como se deduce de los ejemplos anteriores, cuando un conjunto A de n´ umeros reales est´a acotado superiormente, el conjunto de todas sus cotas superiores es infinito. En el caso de que A = ∅, dicho conjunto de cotas superiores es R y sabemos, por el ejercicio 2 (7), que no existe el n´ umero real “m´as peque˜ no” de todos. Entonces no existe “la menor” de las cotas superiores de ∅. Ahora bien, si A ̸= ∅, entonces A tiene elementos de A. Entonces tiene sentido preguntarnos si existe una cota superior m´as peque˜ na que todas las dem´as: una “m´ınima cota superior” de A. Cuando existe una m´ınima cota superior de A suele d´arsele un nombre especial.

3.4. EL AXIOMA DEL SUPREMO

123

Definici´ on 3.4.2 Sea A ⊆ R y x0 ∈ R. Diremos que x0 es un supremo de A, si se cumplen s1 ) x0 es cota superior de A. s2 ) Si m es cota superior de A, entonces x0 ≤ m. Entonces un supremo del conjunto A es una cota superior con la propiedad adicional s2 ). Esto nos permite demostrar su unicidad, es decir, que en contraste con el concepto de cota superior un conjunto A puede tener a lo m´as un supremo. Teorema 3.4.1 Sea A ⊂ R y x0 , y0 supremos de A. Entonces x0 = y0 . Demostraci´on: Que x0 y y0 sean supremos de A significa que ambos satisfacen s1 ) y s2 ). As´ı, como x0 satisface s1 ) y y0 satisface s2 ), y0 ≤ x0 ; pero, como y0 satisface s1 ), x0 ≤ y0 . Por consiguiente x0 = y0 .  Entonces, si un conjunto A tiene un supremo x0 , ya le podemos llamar el supremo de A (con el art´ıculo determinado el) y representarlo de cierta forma: La preposici´on “x0 es el supremos d A”se denotar´a x0 = sup A. En algunos libros suelen referirse al supremo como la “m´ınima cota superior”. En particular, en los de habla inglesa, el supremo de A es “The least upper bound of A” y se denota por lub A. Como veremos en secciones posteriores, hay muchos campos ordenados, es decir, conjuntos que, con una suma y un producto, y con una relaci´on de orden, satisfacen axiomas como los de campo y de orden que se cumplen para R. Por ejemplo, el conjunto de los n´ umeros racionales (que se estudiar´a en la secci´on 3.6), con su suma, producto y orden usuales, es un campo ordenado; pero en dicho campo (y en muchos otros) no se cumple que todo subconjunto no vac´ıo del campo, que est´e acotado superiormente, tiene un supremo. Esto significa que el axioma del supremo no es una propiedad que pueda demostrarse a partir de los axiomas de campo y de orden. Si queremos que esta propiedad la cumplan los reales

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

124

–y ¡claro que queremos!, pues con ella se podr´a demostrar la existencias de ra´ıces cuadradas y de n´ umeros irracionales, entre otras cosas–, se debe presentar como un nuevo axioma. Lo enunciaremos otra vez, con la seguridad de que el elector ya entiende cada concepto mencionado: Axioma del supremo: Si A ⊆ R es tal que A ̸= ∅ y A est´a acotado superiormente, entonces existe x0 ∈ R, tal que x0 = sup A. Ejemplos: 1. Sea B = [2, 3]. Sabemos ya que 3, y todo n´ umero mayor que 3, son cotas superiores de B. Intuitivamente, es claro que 3 es la menor de las cotas superiores de B, as´ı que proponemos que 3 = sup B. Para demostrar esto solo resta probar la propiedad s2 ), lo cual es sencillo: Sea m una cota superior de B. Entonces, para cada b ∈ B, b ≤ m, 3 ≤ m y ya. 2. Sea A = (2, 3). En esta caso tambi´en demostraremos que 3 = sup A. Ya Sabemos que 3 es un cota superior de A. Para ver que se cuple s2 ), tendr´ıamos que demostrar que, dado m ∈ R, entonces m es una cota superior de A ⇒ 3 ≤ m Pero en este caso conviene demostrar la contrarrec´ıproca de dicha implicaci´on: m < 3 ⇒ m no es una cota superior de A Para demostrarla, supongamos que m < 3. Entonces (i) Si m ≤ 2, 2.5 ∈ A y m < 2.5. Esto demuestra que m no es una cota superior de A. (ii) Si m > 2, por Ejercicios 2 (4), el promedio aritm´etico de m y 3, x0 = m+3 , est´a entre m y 3, as´ı que 2 2 < m < x0 < 3 Gracias a esto podemos asegurar que x0 ∈ A y que m < x0 , lo cual implica que m no es una cota superior de A.

3.4. EL AXIOMA DEL SUPREMO

125

3. R− = {x ∈ R|x < 0}, entonces sup R− = 0 (ejercicio). 4. Si A es un conjunto que no est´a acotado superiormente, entonces A no tiene supremo, porque el supremo ser´ıa una cota superior de A. 5. R+ = {x ∈ R|x > 0}, entonces R+ no tiene supremo (¿por qu´e?). {( ) } { } 6. Sea A = 1 − n1 , n ∈ N = 0, 1 − 12 , 1 − 13 , 1 − 14 , . . . { } = 0, 12 , 23 , 45 , . . . Claramente A ̸= 0 y 1 − n1 < 1, para cada n ∈ N, as´ı que A ̸= 0 y est´a acotado superiormente. Por el axioma del supremo, A tiene supremo. Todav´ıa no hemos desarrollado la teor´ıa necesaria para saber qui´en es exactamente el supremo de A, pero el axioma del supremo nos permite saber que s´ı existe. Demostraremos algunas propiedades relacionadas con el supremo. Teorema 3.4.2 Sea A ⊆ R, A ̸= ∅, A acotado superiormente, a0 = sup A, entonces ∀ r ∈ R+ ∃ a ∈ A tal que a0 − r < a ≤ a0 . Demostraci´on: Sea r > 0. Entonces a0 − r < a0 y por s2 ), a0 − r no es una cota superior de A, as´ı que existe a ∈ A tal que a0 − r < a.  Corolario 3.4.3 Sea A ⊆ R, A ̸= ∅, A acotado superiormente y a0 = sup A. Entonces ∀ r > 0, ∃ a ∈ A tal que |a − a0 | < r. Demostraci´on: Sea r > 0. Por el Teorema 3.4.2, existe a ∈ A tal que a0 − r < a ≤ a0 . Por consiguiente a0 − r < a < a0 + r. Es decir, −r < a0 < r lo cual equivale a |a − a0 | < r.  Lo cual podemos interpretar de la siguiente forma:

126

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Si a0 es el supremo de A, entonces en cualquier intervalo abierto con centro a0 y radio r, siempre hay elementos del conjunto. Las demostraciones que dimos de que 3 = sup(2, 3) y de que 3 = sup[2, 3], son esencialmente diferentes porque, en el primer caso 3 no es elemento de (2, 3) y en el segundo caso 3 s´ı es elemento de [2, 3]. Este caso fue m´as sencillo porque existi´o un elemento m´as grande en el conjunto (el 3). En general, si un conjunto tiene un elemento mayor, es f´acil demostrar que ese mismo elemento ser´a el supremo del conjunto. Antes de que enunciemos este hecho como un teorema, bauticemos formalmente al elemento mayor del conjunto. Definici´ on 3.4.3 Sea A ⊆ R, si existe x0 ∈ R, Diremos que x0 es un m´ aximo de A si se cumplen: M1 ) x0 es una cota superior de A. M2 ) x0 ∈ A Como en el caso del supremo, un conjunto A no puede tener m´as de un m´aximo (ejercicio), as´ı que hablaremos de “el m´aximo de A” y le daremos una notaci´on especial: A ⊂ R, si existe x0 ∈ R, a la proposici´on “x0 es el m´aximo de A” la representaremos con: x0 = max A. Teorema 3.4.4 Sea A ⊆ R, A ̸= ∅ y x0 = max A, entonces sup A = x0 Demostraci´ on: Como x0 = max A, por M1 ) x0 es una cota superior de A. Para demostrar s2 , sea m cualquier cota superior de A. Entonces m es mayor o igual que cualquier elemento de A. Como x0 ∈ A, m ≥ x0 .  Ejemplos: 1. Como 3 = sup(2, 3), pero 3 ̸∈ (2, 3), entonces 3 no es el m´aximo de (2, 3). El conjunto (2,3) no tiene m´aximo, porque si lo tuviera, por el Teorema 3.4.4, sabr´ıamos que este m´aximo ser´ıa el supremo, o sea 3, pero como ya vimos, 3 no puede ser el m´aximo del conjunto. Entonces un conjunto puede tener supremo pero no m´aximo.

3.4. EL AXIOMA DEL SUPREMO

127

2. Sea A = {x1 , x2 , x3 } ⊂ R. El m´aximo de este conjunto es el mayor de los tres elementos. } { 3. Si A = 1 − n1 : n ∈ N , entonces A no tiene m´aximo. En efecto, si existiera x0 = max A, entonces, como x0 ∈ A, existir´ıa n ∈ N tal que x0 = 1 − n1 . Pero 1 1 1 n + 1 > n ⇒ n+1 < n1 = − n1 < − n+1 ⇒ 1 − n1 < 1 − n+1 ⇒ x0 < 1 1 1 − n+1 y 1 − n+1 ∈ A, esto u ´ltimo es una contradicci´on porque x0 es una cota superior de A.

En forma an´aloga a los conceptos de cota superior, supremo y m´aximo de un conjunto tenemos los conceptos sim´etricos de cota inferior, ´ınfimo y m´ınimo de un conjunto y los correspondientes teoremas. Definici´ on 3.4.4 A ⊆ R (1) si y0 ∈ R, diremos que y0 es una cota inferior de A si ∀ a ∈ A : y0 ≤ a. (2) Diremos que A est´a acotado inferiormente, si existe una cota inferior de A. Definici´ on 3.4.5 Sean A ⊆ R y x0 ∈ R. Diremos que y0 es un ´ınfimo de A si se cumplen: i) y0 es cota inferior de A. ii) si m es una cota inferior d A, entonces y0 ≥ m. Coloquialmente, un ´ınfimo de A es una m´axima cota inferior de A, De hecho, ´este es otro nombre que suele d´arsele a un ´ınfimo. Tambi´en puede demostrarse que un conjunto no puede tener m´as de un ´ınfimo: Teorema 3.4.5 Sean A ⊆ R y x0 , y0 ´ınfimos de A. Entonces x0 = y0 . Demostraci´on: Ejercicio 4 (11).  Si un conjunto A tiene un ´ınfimo y0 , a y0 se le llama el ´ınfimo de A y la proposici´on “”y0 es el ´ınfimo de A” se y0 = ´ınf A.

128

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

La propiedad sim´etrica expresada en el axioma del supremo ser´ıa el “axioma del ´ınfimo”, se puede demostrar usando el axioma del supremo y, por lo tanto, ya no es un axioma, sino el siguiente teorema: Teorema 3.4.6 Si A ⊆ R, A ̸= ∅ y A est´ a acotado inferiormente, entonces A tiene ´ınfimo. Demostraci´on: Sea A ̸= ∅ y A acotado inferiormente, entonces ∃y ∈ R tal que y ≤ a ∀ a ∈ A ⇔ −a < −y∀a ∈ A definamos B = {−a|a ∈ A}. Como −a < −y∀a ∈ A, entonces B es acotado superiormente y A ̸= ∅ implica B ̸= ∅. Entonces, por el axioma del supremo ∃a0 ∈ R tal que a0 sup B. Demostraremos que −a0 es el ´ınfimo de A. Para eso veremos que −a0 satisface I1 ) e II2 ) de la definici´on de ´ınfimo. i’) Como

a0 = sup B ⇒ −a ≤ a0

∀a ∈ A

⇒ −a0 ≤ a ∀a ∈ A ii’) Supongamos que y0 es cota inferior de A tal que −a0 < y0 como y0 es cota inferior de A, y0 ≤ a ∀a ∈ A ⇔ −a ≤ −y0 ⇒ −y0 es cota superior de −A = {−a|a ∈ A} y y0 < a0 lo cual es una contradicci´on. ∴ −a0 = ´ınf A.



Algunos ejemplos de cotas inferiores e ´ınfimos se describir´an en los ejercicios. Mientras, enunciaremos otras propiedades del ´ınfimo de un conjunto. Teorema 3.4.7 Si A ⊆ R, A ̸= ∅, A est´ a acotado inferiormente y a0 ∈ R tal que a0 = ´ınf A, entonces ∀ r > 0, ∃ a ∈ A : a0 ≤ a < a0 + r. Demostraci´ on: Se deja como ejercicio. 

3.4. EL AXIOMA DEL SUPREMO

129

Corolario 3.4.8 Sea A ⊆ R, A ̸= ∅, A est´a acotado inferiormente y a0 ∈ R tal que a0 = ´ınf (A). Entonces ∀ r > 0,

∃a ∈ A :

|a − a0 | < r

Demostraci´on: Ejercicio.  Este resultado lo podemos interpretar de la siguiente forma: Si a0 es el ´ınfimo de A, entonces cualquier intervalo abierto con centro en a0 y radio r, hay elementos de A. Existe el concepto sim´etrico al concepto de m´aximo de un conjunto. Definici´ on 3.4.6 Sea A ⊆ R y a0 ∈ R diremos que a0 es un m´ınimo de A si se cumplen m1 ) a0 es una cota inferior de A m2 ) a 0 ∈ A Por supuesto en este caso tambi´en hay unicidad: si un conjunto A tiene un m´ınimo, ´este es el u ´nico n´ umero real que satisface m1 ) y m2 ). Por eso se habla de “el m´ınimo de A” y la proposici´on “a0 es el m´ınimo de A” se representa como: a0 = m´ın A Teorema 3.4.9 Sea A ⊆ R, A ̸= ∅ y x0 = m´ın A, entonces ´ınf (A) = x0 . Demostraci´on: Ejercicio.  como se ver´a en los ejercicios, un conjunto puede tener un ´ınfimo y no tener m´ınimo, as´ı que estos dos conceptos son diferentes. Una u ´ltima definici´on. Definici´ on 3.4.7 Sea A ⊆ R. Decimos que A es acotado si y s´olo si A es acotado superior e inferiormente.

130

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Ejercicios 4. 1. ¿Cu´al es el m´aximo de (2, 3) ∪ {4}? ¿Cu´al es el supremo? 2. Demuestre que si A ⊂ R, x0 es una cota superior de A y y > x0 , entonces y tambi´en es una cota superior de A. 3. Sean I, J dos intervalos tales que I ∩ J ̸= ∅. (a) Probar que I ∩ J es un intervalo que s´ı tiene m´as de un punto. (b) D´e un ejemplo que muestre que I ∩ J puede ser un conjunto de un solo punto. (c) Suponga que I y J son intervalos abiertos y acotados. Probar que I ∩ J es un intervalo abierto acotado. (d) Dar un ejemplo de intervalos semi-abiertos I y J tales que I ∩ J sea un intervalo cerrado. 4. Sean A = (a, b) y B = [a, b], donde a < b. Demuestre que a = ´ınf A = ´ınf B. 5. Si sup A = sup B e ´ınf A = ´ınf B. ¿Es cierto que A = B? 6. Si sup A = ´ınf A. ¿Qu´e puede decir acerca del conjunto A? 7. Si A ̸= ∅ y acotado tal que ´ınf A > 0, entonces pruebe que sup{ a1 : A} = ´ınf1A 8. Demuestre que el ´ınfimo de un conjunto A no necesariamente es un elemento del conjunto A (D´e un ejemplo). 9. Demuestre que el ´ınfimo de un conjunto de cotas inferiores de ∅ es R, pero ∅ no tiene ´ınfimo. 10. ¿Tiene m´ınimo un conjunto finito? ¿Cu´al ser´ıa? 11. Pruebe que 0 = sup R− , pero que R− no tiene ´ınfimo. 12. Compruebe que R+ no tiene supremo ¿tiene ´ınfimo?

3.4. EL AXIOMA DEL SUPREMO

131

13. Demuestre que el conjunto A = { n1 : n ∈ N} tiene ´ınfimo pero no tiene m´ınimo. 14. Demuestre que A ⊆ R tien a lo m´as un m´aximo, tiene a lo m´as un m´ınimo y tiene a lo m´as un ´ınfimo. 15. Si A y B est´an acotados superiormente, demuestre que A∪B

y

A ∩ B est´an acotados superiormente.

16. Si A ̸= ∅ ̸= B y A y B est´an acotados superiormente, entonces sup(A ∪ B) = max {sup A, sup B}. 17. Si A ̸= ∅ ̸= B y A y B est´an acotados superiormente y A ∩ B ̸= ∅, entonces sup(A ∩ B) ≤ m´ın {sup A, sup B}. 18. Si A ̸= ∅ ̸= B, acotados superiormente y A ⊆ B, entonces sup A ≤ sup B. 19. Si A ̸= ∅ ̸= B, acotados inferiormente y A ⊆ B, entonces ´ınf A ≥ ´ınf B. 20. Si A est´a acotado, existen a1 , a2 ∈ R tales que A ⊆ [a1 , a2 ]. 21. Si A y B est´an acotados, ¿qu´e puede decir de A − B? 22. A acotado superiormente ⇔ R − A acotado inferiormente, ¿es siempre verdadera? 23. Demuestre el Teorema 3.4.7 24. Demuestre el Corolario 3.4.8

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

132 25. Demuestre el Teorema 3.4.9

26. Sean A, ⊆ R y −A = {−a : a ∈ A} Demuestre que (a) A est´a acotado inferiormente s´ı y solo s´ı −A est´a acotado superiormente (b) x0 = ´ınf A s´ı y solo s´ı − x0 = sup(−A) (c) x0 = m´ın A s´ı y solo s´ı − x0 = max (−A) 27. Describir los siguiente subconjuntos de R y cuando existan d´e el ´ınfimo y el supremo y de ser posible discuta la geometr´ıa del conjunto (a) {x ∈ R| |x + 3| < 4} (b) {x ∈ R| |x − 1| < x1 } (c) {x ∈ R| |1 − 2x| < x + 1} (d) {x ∈ R| |x3 | < 3}

´ 3.5. LOS NUMEROS NATURALES

133

§5

3.5.

Los n´ umeros Naturales

En este cap´ıtulo hemos hablado de mucho de n´ umeros reales. A partir de los axiomas de campo, de orden y del supremo, hemos deducido la mar de propiedades y, a partir de unos cuantos t´erminos indefinidos (n´ umero real, igualdad, suma, producto, menor que), hemos ido introduciendo conceptos mediante definiciones cuidadosas. En suma, hemos ofrecido al estudioso el conjunto de conceptos y propiedades de dichos conceptos, que nos ha parecido imprescindible para su bagaje de conocimientos matem´aticos, –un cacho importante del sistema axiom´atico de los n´ umeros reales–, M´as, aunque parezca inveros´ımil, hasta aqu´ı no hemos demostrado expl´ıcitamente que existen n´ umeros reales distintos de los tres que nos dan los axiomas directamente: 0, 1 y −1 (recordar que −0 = 0 y que 1−1 = 1), y todos esos n´ umeros con los que hemos √ tropezado √ en nuestro derrotero por la vida, como el 2, el 3, el 3/4, el 28, el 3 −5.5, π y otros m´as, ¿no merecen llamarse reales?; los hemos usado en el mercado o durante el juego, en la escuela, o los ha usado el m´ usico o el f´ısico o el qu´ımico o hasta nosotros en el tema de ecuaciones, por ejemplo. Entonces ¿c´omo definirlos usando el lenguaje de nuestro sistema axiom´atico?. Para empezar, sabemos que los n´ umeros como 1, 2, 3, 4, 5, etc., constituyen la primera clase de n´ umeros que construy´o la cultura humana y que hoy conocemos como el conjunto de n´ umeros naturales. Distintos grupos humanos, sin aparente conexi´on entre ellos, como babilonios, egipcios, griegos, romanos, aztecas, mayas, ind´ ues, etc., conquistaron el n´ umero natural como respuesta a problemas sociales similares determinados por el desarrollo social hasta niveles semejantes. Aunque para cada cultura se trata de una conquista propia –prueba de ello son las grandes diferencias de formas entre los diferentes sistemas de numeraci´on–, su contenido esencial es el mismo y sirvi´o al hombre para contar y manejar representaciones num´ericas de conjuntos concretos como caballos, mamutes, guerreros, mujeres, ni˜ nos, hormigas, estrellas, flechas y dem´as. Toca a nosotros abstraer ese contenido esencial y caracterizarlo con el lenguaje

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

134 de nuestro sistema axiom´atico.

Una primera idea es que, dado que los n´ umeros naturales son 1, el 1+1 (que se denota por 2), el 2 + 1 (que se denota por 3), y as´ı sucesivamente, este conjunto de n´ umeros posee ciertamente estas propiedades: a) 1 es elemento del conjunto. b) Si el real x es elemento del conjunto, x + 1 tambi´en lo es. Sin embargo, no bastan estas dos propiedades para caracterizar al conjunto de naturales, pues muchos otros conjuntos las comparten. Por ejemplo: R+ , [1, ∞], (−3, ∞). A este tipo de conjuntos se les llama inductivos. Definici´ on 3.5.1 Si A ⊆ R, A es inductivo si: a) 1 ∈ A. b) ∀ x ∈ R :

x ∈ A ⇒ x + 1 ∈ A.

Otros ejemplos de conjuntos inductivos son R, R+ ∪{0}, {1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, . . .}, todo intervalo de la forma [a, ∞) con a ≤ 1, y otros m´as. Observemos que si A es inductivo, A tiene a 1 como elemento, por la propiedad a) y, por la propiedad b), tiene a 2 (= 1 + 1), a 3, a 4, etc., es decir, contiene al conjunto {1, 2, 3, . . .}. Esto nos lleva a la siguiente definici´on. Definici´ on 3.5.2 El conjunto N = {x ∈ R | x es elemento de cualquier conjunto inductivo } se llama el conjunto de N´ umeros Naturales. Veamos cuanto antes que esta definici´on formal no nos hace perder las propiedades a) y b) de la definici´on de conjunto inductivo.

´ 3.5. LOS NUMEROS NATURALES

135

Teorema 3.5.1 1. N es inductivo. 2. Si A es inductivo, N ⊆ A. Demostraci´on: 1. Como 1 es elemento de todo conjunto inductivo, 1 ∈ N. Ahora probaremos que ∀ x ∈ R : x ∈ N ⇒ x + 1 ∈ N. Sea x ∈ R. x ∈ N ⇒ x es elemento de cualquier conjunto inductivo y esto implica que x+1 es elemento de cualquier conjunto inductivo, es decir, x + 1 ∈ N. Por lo tanto N es inductivo. 2. Por definici´on de N.  En una sola frase este teorema dice: “N es el conjunto inductivo m´as peque˜ no”. Un primer corolario es: Corolario 3.5.2 ∀ n ∈ N :

n ≥ 1.

Demostraci´on: Como [1, ∞] es inductivo, N ⊆ [1, ∞).  Otro corolario, casi igual de simple, pero de capital importancia es este: ´ n Matema ´ tica) Corolario 3.5.3 (Principio de Induccio Si A ⊆ N y A es inductivo, entonces A = N . Demostraci´on: Como A es inductivo, N ⊆ A pero, por hip´otesis, A ⊆ N. Por consiguiente A = N. El valor de este principio estriba b´asicamente en que nos dota de un m´etodo para demostrar que ciertas propiedades son satisfechas por

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

136

todos los n´ umeros naturales. El m´etodo puede resumirse del siguiente modo: “Sea P (n) una propiedad de la que tiene sentido preguntarse si la cumplen o no los n´ umeros naturales (o sea, una proposici´on abierta en N). Para demostrar que es verdadera la proposici´on ∀n ∈ N :

P (n),

fij´emonos primero en aquellos n´ umeros naturales que satisfacen tal propiedad. Llamemos A, por ejemplo, a tal subconjunto de N. En seguida hay que probar que A es inductivo, lo que probar´ıa de inmediato que N ⊆ A. Como partimos con A ⊆ N resultar´ıa que A = N, es decir, los naturales que hacen verdadera la proposici´on P (n) son todos los naturales, ¡valga la expresi´on!. En resumen: ∀n ∈ N :

P (n) es verdadera

es verdadera”.  Debemos observar que ´este es un m´etodo para deducir y no para inducir. Su mal puesto nombre de inducci´on se debe quiz´a a que muchas proposiciones del tipo ‘∀ n ∈ N : P (n)’ son conjeturadas por los matem´aticos mediante alg´ un razonamiento inductivo, de esos que sirven para engendrar sentencias generales a partir de unos cuantos casos particulares. Un ejemplo t´ıpico es el siguiente: De la observaci´on de que: 1+2=3

=

2×3 2

1+2+3=6

=

3×4 2

1 + 2 + 3 + 4 = 10

=

4×5 2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

=

5×6 2

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

=

6×7 , 2

´ 3.5. LOS NUMEROS NATURALES

137

se conjetura que ∀n ∈ N :

1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

(3.1)

En este caso la proposici´on abierta P (n) es 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

(3.2)

Es err´oneo pensar que una proposici´on del tipo ‘∀ n ∈ N : P (n)’ es verdadera s´olo porque P (n) es verdadera para un n´ umero finito de valores de n y no conozcamos ning´ un valor de n que la haga falsa. Por ejemplo, sustituyendo n sucesivamente en la expresi´on 991n2 + 1, por los n´ umeros 1, 2, 3, . . . , no se obtiene un n´ umero que sea un cuadrado perfecto (el cuadrado de alg´ un n´ umero natural), aun dedicandole a˜ nos a este c´alculo. Sin embargo, si de esto se concluyera que todos los n´ umeros de esta forma no son cuadrados perfectos (o sea, la veracidad de ‘∀ n ∈ N : 991n2 + 1 no es cuadrado perfecto’), se caer´ıa en un error porque algunos n´ umeros de la forma 991n2 + 1 s´ı son cuadrados perfectos, pero el menor valor de n para el que esto sucede es: n = 12, 055, 735, 790, 331, 359, 447, 442, 538, 767. ¡Qu´e horror! ¿verdad?. Creemos que nuestros lectores a estas alturas del curso consideran ya verdad de perogrullo la necesidad de la prueba rigurosa para aceptar la veracidad de las proposiciones l´ogicas. En el caso de las proposiciones del tipo ‘∀ n ∈ N : P (n)’, el m´etodo de inducci´on matem´atica resulta de un valor gigantesco que nos evita tener que comprobar que P (n) es verdadera al sustituir uno por uno cada natural, en vez de la variable n. No es uno de los objetivos de este curso entrenar al estudiante en el uso de este m´etodo. Ya llevar´a cursos m´as adecuados para ello. S´olo lo usaremos para probar otras propiedades de los n´ umeros naturales que no deben pasar desapercibidas, como el hecho de que N es un conjunto cerrado bajo la suma y el producto. Expl´ıcitamente:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

138 Teorema 3.5.4 1. ∀ m, n ∈ N :

m + n ∈ N.

2. ∀ m, n ∈ N :

mn ∈ N.

Demostraci´ on: 1. La proposici´on ∀ m, n ∈ N :

m + n ∈ N es en realidad esta

∀ m ∈ N : (∀ n ∈ N : m + n ∈ N). Para probar que es cierta, sea m ∈ N y demostremos, usando el principio de inducci´on matem´atica que ∀ n ∈ N : m + n ∈ N. Sea A = {n ∈ N | m + n ∈ N}. Probaremos que A es inductivo: a) 1 ∈ A dado que como m ∈ N y N es inductivo, m + 1 ∈ N. Ahora hay que demostrar: b) ∀ n ∈ R : n ∈ A ⇒ n + 1 ∈ A. Sea pues n ∈ R. Entonces n∈A

⇒ m + n ∈ N ⇒ (m + n) + 1 ∈ N ⇒ m + (n + 1) ∈ N ⇒ n + 1 ∈ A.

Por ende, A es inductivo y por el principio de inducci´on, A = N, o sea: ∀ n ∈ N : m + n ∈ N. 2. Vea el ejercicio 4 al final de esta secci´on.  Teorema 3.5.5 Todo n´ umero natural diferente de 1 se puede escribir como la suma de 1 m´as alg´ un otro n´ umero natural. Demostraci´ on: Sea A = {n ∈ N |

n = 1 o n se puede escribir como la suma de 1 m´as alg´ un n´ umero natural}.

´ 3.5. LOS NUMEROS NATURALES

139

A es inductivo pues 1 ∈ A claramente, y si n ∈ R, entonces n∈A⇒n∈N⇒n+1∈N y n + 1 es la suma de 1 con el natural n ⇒ n + 1 ∈ A. Por el principio de inducci´on, A = N .  Corolario 3.5.6 1. No existe m ∈ N :

1 < m < 2.

2. ∀ m ∈ N :

m > 1 ⇒ m ≥ 2.

3. ∀ m ∈ N :

m ≥ 2 ⇒ ∃ r ∈ N : 1 + r = m.

4. ∀ m ∈ N :

m ≥ 2 ⇒ m − 1 ∈ N.

Demostraci´on: 1. Si existiera n ∈ N tal que 1 < n < 2 entonces n ̸= 1 y por el teorema 3.5.5 ∃ r ∈ N : n = r + 1. As´ı que: 1 0, ∃ n ∈ N : propiedad Arquimediana.) { } 18. Pruebe que 1 = sup n−1 : n∈N . n

1 n

< ε. (Sugerencia: Use la

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

146

§6

3.6.

N´ umeros Enteros, Racionales e Irracionales

No solo los n´ umeros naturales son introducidos en la primera ense˜ nanza, sino tambi´en los “horrendos quebrados” o fracciones positivas, una tenebrosa noci´on del cero –m´as bien relacionada con la calificaci´on– y nada de los n´ umeros negativos. Toca a estos u ´ltimos convertirse en poderosos refuerzos de la personalidad del estudiante de secundaria en tanto le permiten restar cualesquiera dos n´ umeros naturales en el orden que sea, y retar al hermano menor: – A ver, Benjam´ın, ¿cu´anto es 83 − 100? –¡Ah?, pues no se puede. –Claro que s´ı, tontito; es −17. Dos posibles reacciones puede tener Benjam´ın; una envidia hacia su sabio hermano Delf´ın o la fuerte sensaci´on de que su hermano mayor se halla bajo los efectos de una buena dosis de cannabis o, lo que es lo mismo, de que est´a chiflado. Como en el curr´ıculum usual, en el de la humanidad aparecieron antes las fracciones positivas que los n´ umeros negativos. Aquellas ya las conoc´ıan los egipcios desde mucho antes de Cristo; los negativos no vinieron a ser incorporados sino hasta 1545, con la publicaci´on del Ars Magna de Girolamo Cardano. A continuaci´on les presentamos a ustedes lo m´as b´asico de estos conjuntos de n´ umeros: los enteros y los racionales (fracciones positivas y negativas). Definici´ on 3.6.1 a) N− = {−n | n ∈ N}. b) Al conjunto Z = N ∪ {0} ∪ N− se le llama conjunto de n´ umeros enteros.

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

147

As´ı pues, Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} y es f´acil ver que la suma y el producto de enteros es tambi´en un n´ umero entero (ver ejercicio 1). As´ı mismo, la resta es una operaci´on cerrada en Z, lo que no ocurre en N (83 − 100 < 0 ⇒ 83 − 100 ∈ / N). Otra cosa ocurre con el cociente. Esta operaci´on no es cerrada en Z. Por ejemplo, si n es un natural mayor que 1, entonces 0 < n1 < 1 por el / N y por lo tanto n1 ∈ / Z pues n1 no corolario 3.5.2 del teorema 3.5.1, n1 ∈ es cero y no es negativo. Un conjunto en el que s´ı son cerradas las cuatro operaciones fundamentales: adici´on, producto, resta y cociente, es el conjunto de los n´ umeros racionales, que definiremos a continuaci´on: Definici´ on 3.6.2 El conjunto de los n´ umeros racionales es el conjunto } {a | a, b son enteros y b ̸= 0 . Q= b Otra observaci´on inmediata es que Z ⊆ Q, ya que si a ∈ Z, entonces a = a1 ∈ Q. En particular el 1 y el 0 son racionales. Por lo tanto, al satisfacer la suma y el producto de reales, las propiedades de conmutatividad, asociatividad y distributividad en todo R, tales operaciones, restringidas s´olo a elementos de Q siguen satisfaciendo dichas Adem´as, si ( a )−1 propiedades. a b ∈ Q con a y b distintos de cero, entonces b = a tambi´en es racional. b Por todas estas observaciones es f´acil concluir que Q es un campo. Veamos otras importantes propiedades de Z y Q. Teorema 3.6.1 1. ∀ a ∈ Z : 2. ∀ a, b ∈ Z : Demostraci´on: 1. Sea a ∈ Z

(a, a + 1) ∩ Z = ∅. a ̸= b ⇒ [a, a + 1) ∩ [b, b + 1) = ∅.

148

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES i) Si a > 0, entonces a ∈ N y en el teorema 3.5.7 se prob´o que (a, a + 1) ∩ N = ∅. Pero como a > 0, (a, a = ∩(N− ∪ {0}) = ∅ y por eso (a, a + 1) ∩ Z = ∅. ii) Si a = 0, (a, a + 1) = (0, 1) y es claro que (0, 1) ∩ N = ∅. (0, 1)∩N− = ∅ y que 0 ∈ / (0, 1) y es por esto que (0, 1∩Z) = ∅. iii) Si a < 0 es ejercicio (ver ejercicio 3).

2. Sean a, b ∈ Z con a ̸= b, podemos suponer que a < b. Entonces existe r ∈ N tal que b = a + r (ver ejercicio 4). as´ı que b ≥ a + 1. Por lo tanto x ∈ [a, a + 1) ⇒ a ≤ x ≤ a + 1 ≤ b ⇒ x ∈ / [b, b + 1).  Una consecuencia de este teorema y del principio del buen orden (teorema 3.5.11) es el siguiente teorema.

Teorema 3.6.2 Para cada n´ umeros real x, existe un u ´nico n´ umero entero a tal que a ≤ x ≤ a + 1. Demostraci´ on: Demostraremos primero la existencia de un n´ umero a ∈ Z tal que a ≤ x ≤ a + 1. Si x ∈ Z, basta escoger a = x, puesto que x ∈ {x, x + 1). Supongamos ahora que x ∈ / Z. Como Z no est´a acotado inferiormente (ver ejercicio 6 de Ejercicios 6), el conjunto A = {z ∈ Z |z < x} no es vac´ıo y, dado que x es una cota superior de A, por el ejercicio 7 de ejercicios 6, existe a = max A. Entonces a ∈ Z y a < x. Como Z no est´a acotado superiormente, el conjunto B = {z ∈ Z |x < z} no es vac´ıo y, dado que x es una cota inferior de B, por el ejercicio 8 de ejercicios 6, existe b = m´ın B. Entonces b ∈ Z y b > x. As´ı que a, b ∈ Z y x ∈ (a, b). Ahora observemos que no existe z ∈ Z tal que a < z < b: Si existiera tal z, tendr´ıamos a < z < x o x < z < b. En el primer caso z ser´ıa un elemento de A mayor que el m´aximo de A y, en el segundo caso, z ser´ıa un elemento de B menor que el m´ınimo de B. ninguno de estos casos puede ocurrir. Entonces b = a − 1 y as´ı, x ∈ [a, a + 1) (ver 5 de Ejercicios 6)

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

149

La unicidad es inmediata de (2) del teorema 3.6.1.  Este resultado nos permite definir el concepto de parte entera de un n´ umeros real. Definici´ on 3.6.3 Sea x ∈ R. La parte entera de x es el u ´nico entero a tal que x ∈ [a, a + 1). A este n´ umeros lo denotaremos por [x]. [ 1Por ] ejemplo [3] = 3, [−3] = −3, [3.5] = 3, [−3.5] = −4, [π] = 3, − 2 = −1. Los Teoremas 3.6.1 y 3.6.2 nos dicen que entre dos enteros b y b + 1 dados consecutivos, no hay ning´ un otro entero, aunque la uni´on de todos los intervalos de la forma [a, a +1) con a ∈ Z es todo R. Q en cambio s´ı es un conjunto bien metiche: en cualquier intervalo, por peque˜ no que sea, hay un racional por lo menos. Expresado con m´as formalidad presentamos esta propiedad como: Teorema 3.6.3 (Propiedad de densidad de Q) Sea x, y ∈ R. Si x < y, existe r ∈ Q tal que x < r < y. Demostraci´on: Como x < y, se tiene que y − x > 0 y por la propiedad arquimediana, existe n0 ∈ N tal que 1 < n0 (y − x) y por lo tanto n0 x + 1 < n0 y.

(3.3)

Por otro lado, si [n0 x] se denota por m, se tiene que m ≤ n0 x < m + 1 y entonces n0 x < m + 1 ≤ n0 x + 1 < n0 y, as´ı que, dividiendo entre n0 , queda m+1 m+1 x< < y, con ∈ Q.  n0 n0 El hecho de que Z ⊆ Q se puede expresar diciendo que hay enteros a y b, con b ̸= 0, cuyo cociente es entero. Por ejemplo 42 , 63 , −6 , 414 , −15 , 3 2 9 3 etc. Resulta u ´til dar un nombre especial a esta situaci´on.

150

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Definici´ on 3.6.4 Sean a, b enteros con b ̸= 0. Se dice que b divide a a si el cociente ab es un entero, es decir, si existe un entero c tal que a = bc. A la proposici´on “b divide a a” se le denota por b|a y a la proposici´on “b no divide a a” se le denota por b ̸ |a. Otras formas muy usadas para decir que b divide a a, son i) a es divisible entre b. ii) a es m´ ultiplo de b. iii) b es divisor de a. Nota: No confundir a|b con ab . Por eso rogamos que para decir que a divide a b, ponga el palito bien parado y para dividir a entre b, bien acostado. Ejemplos: 3|63, −2|6, 2| − 6, 9|414, −9| − 414, 3| − 15, etc. Enunciemos algunas propiedades del concepto de divisibilidad. Teorema 3.6.4 Sean a, b, c, u, v enteros. Entonces: 1. a|a y −a|a, 2. a|b y b|c ⇒ a|c, 3. a|b y a|c ⇒ a|b + c y a|b − c, 4. a|b ⇒ ac|bc, 5. a|ab, 6. a|b y a|c ⇒ a|ub + vc, 7. a|0, 1|a y −1|a, 8. a|1 ⇒ a = 1 o a = −1, 9. a|b y b|a ⇒ a = b o a = −b,

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

151

10. b|a y a ̸= 0 ⇒ |a| ≥ |b|. Demostraci´on: S´olo probaremos (6), (8), (9) y (10). (5)

6. a|b y a|c ⇒ (a|b y b|ub) y (a|c y c|vc) (2)

⇒ a|ub y a|vc (3)

⇒ a|uv + vc 8. a|1 ⇒ ∃ c ∈ Z : 1 = a · c ⇒ 1 = |a||c| con |a| y |c| en N. Pero |c| ∈ 1 N ⇒ |c| ≥ 1 ⇒ |c| ≤ 1 ⇒ |a| ≤ 1 y |a| ∈ N y 0 < |a| ≤ 1 ⇒ |a| = 1. 9. a|b ⇒ ∃ c1 ∈ Z tal que b = a · a1 y b|a ⇒ ∃ c2 ∈ Z tal que a = b · c2 . Por lo tanto se tiene que a = b·c2 = a·(c1 c2 ) y como a ̸= 0, c1 c2 = 1, es decir, c1 |1 y por (8) c1 = 1 o c1 = −1 de donde obtenemos que b = a o b = −a. 10. b|a ⇒ ∃ c ∈ Z : a = bc ⇒ |a| = |b||c| y como |a| ̸= 0, |c| = ̸ 0 y por lo tanto |c| ≥ 1, es decir |a| ≥ |b|.  Teorema 3.6.5 Si a, b ∈ Z con b ̸= 0 entonces b|a ⇔ |b| | |a|. Demostraci´on: b|a ⇒ ∃ c ∈ Z : a = bc ⇒ |a| = |b||c| con |c| ∈ Z ⇒ |b| | |a|. Ahora bien, |b| | |a|, existe c ∈ Z tal que |a| = |b|c. Si a = 0, entonces a , b|a por (7) del teorema 3.6.4. Si a ̸= 0, entonces c > 0 y |b| = |a| = c c a a de donde c = b o c = −b. De aqu´ı: a = bc o a = b(−c). En cualquier caso b|a.  Bas´andose en este teorema, bastar´ıa limitarse en adelante a la divisibilidad de enteros no negativos. Pero en aras de la claridad, cuando esto hagamos, lo diremos expl´ıcitamente.

152

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Definici´ on 3.6.5 a) Si a, b ∈ Z − {0}, se dice que un entero c es un multiplo com´ un de a y de b si a|c y b|c. b) Si a ∈ Z − {0} y b, c ∈ Z se dice que a es un divisor com´ un de b y c si a|b y a|c. Algunas propiedades relacionadas con estos conceptos son presentadas en los siguientes dos teoremas. Teorema 3.6.6 Si a, b ∈ Z − {0}, existe un u ´nico natural M tal que i) M es m´ ultiplo com´ un de a y b. ii) Si c es multiplo com´ un de a y b entonces M |c. Demostraci´ on: Sean a, b ∈ Z − {0} y sea A = {n ∈ N | a|n y b|n}. Por (5) del teorema 3.6.4 y por el teorema 3.6.5 |ab| ∈ A, as´ı que por el principio del buen orden, existe M = m´ın A. Por lo tanto M ∈ N y se cumple i) pues M ∈ A. [ ] Para probar ii), sea c un m´ ultiplo com´ un de a y b y sea k = Mc . Entonces k ≤ Mc + 1 y de aqu´ı que kM ≤ c < (k + 1)M . Por lo tanto c − kM ≥ 0

(3.4)

c − (k + 1)M < 0.

(3.5)

y Si c−kM > 0 entonces c−kM ∈ A ya que c−kM ∈ N y es m´ ultiplo com´ un de a y b (por 3) del teorema 3.6.4 pues c y kM son m´ ultiplos de a y b. Por lo tanto, como M = m´ın A, M ≤ c − kM y entonces c − (k + 1)M ≥ 0, lo que contradice a (3.5). Como se vale (3.4) concluimos que c − kM = 0 y con ello que c = kM , es decir, M |c. La unicidad se tiene por (10) del teorema 3.6.4 y es un ejercicio para el lector. 

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

153

Definici´ on 3.6.6 Si a, b ∈ Z − {0}, al u ´nico natural M que satisface i) y ii) del teorema anterior, se le llama el m´ınimo com´ un multiplo de a y b y lo denotaremos por m.c.m. (a, b). Teorema 3.6.7 Si a, b ∈ Z − {0} y M = m.c.m. (a, b), entonces el ab n´ umero d = M es siempre un divisor com´ un de a y b. ab Demostraci´on: d es entero, ya que M |b por el teorema anterior. d = M ⇒ M M dM M b = d a con a ∈ Z. Por eso d|b. Tambi´en a = b con b ∈ Z y por eso d|a. 

En la primaria suelen ense˜ nar a obtener el m´ınimo com´ un multiplo de dos (o m´as) n´ umeros, usando un misterioso procedimiento para descomponer cada uno de los n´ umeros dados en sus respectivos “factores primos”. ¿Se acuerda de los primos?, si no, ah´ı les va la siguiente. Definici´ on 3.6.7 Se dice que un n´ umeros natural p es un n´ umero primo si p ̸= 1 y p no es divisible entre ning´ un otro natural distinto de 1 y p. Un n´ umero natural n > 1 que no es primo se llama n´ umero compuesto. As´ı, los n´ umeros primos menores que 20 son: 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17 y 19, y los n´ umeros compuestos menores que 20 son: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18. Observe que, por el teorema 3.6.5, si p es primo y a|p entonces a = 1 o a = −1 o a = p o a = −p. Ahora s´ı, el misterioso procedimiento para descomponer un n´ umero natural dado en sus factores primos consiste en ir dividiendo el n´ umero progresivamente entre los primos que lo dividen, teniendo cuidado en anotar dichos primos y los cocientes que se van obteniendo hasta que el u ´ltimo cociente es 1. Por ejemplo

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

154 420 210 105 35 7 1

2 2 3 5 7

75 3 25 5 5 5 1

As´ı 420 = 22 · 3 · 5 · 7 y 75 = 3 · 52 . Una vez desnudados estos n´ umeros en sus factores primos, podemos formar un n´ umero con cada uno de los primos que aparecen en ambas descomposiciones y elevando al mayor exponente con el que se presente. En este caso ser´ıa el n´ umero 22 · 3 · 52 · 7 = 2100 Este es el m´ınimo com´ un multiplo de 420 y 75. ¡Compru´ebelo por favor! Lo que podemos cuestionar ahora que estamos en “La Universidad” es si todo n´ umero natural mayor que 1 puede representarse en forma de un producto de n´ umeros primos, y m´as a´ un, si la expresi´on de un n´ umero como producto de primos es u ´nico. La respuesta a ambas preguntas es afirmativa y su enunciado constituye el teorema fundamental de la aritm´etica. ´tica) Teorema 3.6.8 (Teorema Fundamental de la Aritme Supongamos que a ∈ N y a > 1. Entonces: 1. (Existencia). Existe un n´ umero finito de n´ umeros primos, no necesariamente diferentes, digamos P1 , P2 , . . . , Pn tales que a = P1 · P2 · · · Pn

(∗)

2. (Unicidad del teorema de factorizaci´on). La representaci´ on de a en factores primos como en (∗) es u ´nica, salvo por el orden.

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

155

Demostraci´on: 1. Sea A = {n ∈ N | n > 1

y

n no se puede escribir como un producto finito de primos}.

Queremos demostrar que a ∈ / A. Supongamos que a ∈ A. Entonces A ̸= ∅ y por el principio del buen orden, existe n0 = m´ın A. Como n0 ∈ A, n0 es un compuesto (si n0 fuera primo n0 = n0 ser´ıa su descomposici´on en factores primos). Por lo tanto n0 tiene un divisor natural b, distinto de n0 y de 1. Pero b|n0 ⇒ ∃ c ∈ N : n0 = bc ⇒ 1 < b < n0 y 1 < c < n0 . Como n0 = m´ın A, b y c no son elementos de A, y como son mayores que 1, b y c se pueden escribir como producto finito de primos y por lo tanto n0 tambi´en, lo cual es falso pues n0 ∈ A. Esta contradicci´on viene de suponer que a ∈ A. Por lo tanto a ∈ / A y se tiene 1. 2. Para demostrar esta parte, necesitaremos el siguiente lema: Lema 3.6.9 Si p es un primo y divide al producto ab de dos enteros, entonces p|a o p|b. Demostraci´on: (Del Lema) Sea m = m.c.m. (p, a). Como a|ab y p|ab por hip´otesis, entonces m|ab as´ı que existe n ∈ Z tal que ab = nm

(3.6)

, por el teorema 3.6.7, d|p y d|a pero como p es primo, Si d = pa m d = p o d = 1. Si d = p entonces p|a (pues d|a). Si d = 1 entonces 1=

pa (3.6) ⇒ pa = m ⇒ ab = npa ⇒ b = np ⇒ p|b. m

Y un corolario del Lema 3.6.9::

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

156

Corolario 3.6.10 Si un primo p divide al producto de un n´ umero finito de n´ umeros enteros entonces p divide por lo menos a uno de sus factores. Ahora s´ı la demostraci´on de 2. Supongamos que a puede ser expresado como un producto de s primos, digamos: a = p1 · p2 · · · ps (3.7) y tambi´en como un producto de t primos, digamos a = q1 · q2 · · · qt

(3.8)

donde t ≥ s. Probaremos que s = t y que las p′ s son las mismas que las q ′ s excepto posiblemente por el orden en que aparecen escritos. Tenemos p 1 · p 2 · · · p s = q1 · q2 · · · qt (3.9) p1 |a ⇒ p1 |q1 · · · qt . As´ı, p1 divide a una de las q ′ s. Por conveniencia, podemos renombrar los q ′ s si fuera necesario, para tener p1 |q1 . Dado que p1 y q1 son primos, entonces p1 debe ser igual a q1 y podemos dividir ambos lados de (3.9) entre p1 y obtener p2 · p3 · · · Ps = q2 · q3 · · · qt

(3.10)

Ahora, p2 |q2 q3 · · · qt as´ı que p2 divide a alguno de los q ′ s, digamos q2 . Como antes p2 = q2 y dividiendo ambos lados de (3.10) entre p2 , obtenemos p3 · p4 · · · Ps = q3 · q4 · · · qt (3.11) Podemos continuar aplicando este procedimiento a cada una de las p′ s. Si s < t, despu´es de aplicar el procedimiento a ps , tendr´ıamos 1 = qs+1 · · · qt , lo que implicar´ıa (por 8 del teorema 3.6.4) que qs+1 = qs+2 = · · · = qt = 1 lo cual es falso pues son primos. Por lo tanto s = t.  Ejemplos: 1. 50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 52 .

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

157

2. 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5. 3. 1400 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 7 = 23 · 52 · 7. 4. 98000 = 2 · 2 · 5 · 7 · 5 · 2 = 24 · 53 · 72 . Hemos visto ya algunas propiedades de Z y de Q. En los ejercicio y en la siguiente secci´on podran conocer otras propiedades, pero no queremos abandonar esta secci´on sin hacer el siguiente comentario. Q satisface la propiedad de densidad, o sea que “hay racionales por doquier”. Q es un campo, como mencionamos antes del teorema 3.6.1. Como Q ⊆ R, tambi´en es f´acil convencerse de que 1. ∀ x, y ∈ Q una y s´olo una de las afirmaciones siguientes se cumplen: x < y, x = y, x > y. 2. ∀ x, y, z ∈ Q : x < y ∧ y < z ⇒ x < z. 3. ∀ x, y, z ∈ Q : x < y ⇒ x + z < y + z. 4. ∀ x, y, z ∈ Q : x < y ∧ z > 0 ⇒ xz < yz. es decir, que si estuvi´eramos estudiando solamente n´ umeros racionales en vez de todos lo reales, de todos modos contar´ıamos con las importantes propiedades de orden y campo y todas sus consecuencias. Tal vez algunos de ustedes (¡ojal´a!) ya se hayan hecho la pregunta de si en Q se valdr´ıa tambi´en una proposici´on que hiciera las veces del axioma del supremos en R, es decir:  Si A ⊆ Q, A ̸= ∅ y A es acotado superiormente,    entonces existe β ∈ Q tal que: (∗∗) i) β es cota superior de A    ii) Si b es cota superior de A, b ≥ β. Esto es precisamente lo que le falta a Q. En efecto, (∗∗) es falsa en Q. Veamos un contraejemplo: A = {x ∈ Q | x > 0 y x2 < 2}

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

158

A ̸= ∅ pues 1 ∈ A y A est´a acotada superiormente, ya que x ∈ A ⇒ x2 < 2 < 22 ⇒ x < 2 (aqu´ı se us´o que x > 0, 2 > 0 y el teorema 3.3.4, 95). Entonces existe α ∈ R con α = sup A, por el axioma del supremo en R. Como vimos en la secci´on 4 de este cap´ıtulo, si hubiera un n´ umero β que satisficiera i) y ii), tendr´ıa que coincidir con α, as´ı que para concluir que no existe ning´ un n´ umero β ∈ Q que satisface i) y ii), basta ver que α∈ / Q. La prueba la haremos por reducci´on al absurdo: Supongamos que α ∈ Q. Probaremos que no puede pasar que α2 > 2, ni que α2 < 2, ni que α2 = 2, lo cual contradice el teorema de tricotom´ıa (O1). a) Supongamos que α2 < 2 entonces (

α2 2

2

< 1)y por lo tanto 0 < 1− α2 < 1. 2

Sea h ∈ Q tal que 0 < h < 21 1 − α2 . Entonces h < 0 < 1 − h < 1 y 1 − 2h > 0. As´ı que:

1 2

y con ello

1 1 1 = ≤ 2 2 (1 − h) 1 − 2h + h 1 − 2h y por eso

(

α a−h

)2 ≤

α2 1 − 2h

(3.12)

Por otro lado h<

1 2

(

1−

α2 2

)

2 α2 ⇒ 1 − 2h > α2 2 (3.12) ( α )2 ⇒ a−h < 2.

⇒ 2h < 1 − ⇒

α2 1−2h

α (pues > 1). 1−h 1−h

Esto contradice el hecho de que α = sup A. Por lo tanto, no es cierto que α2 < 2. b) Supongamos que α2 > 2. α2 > 2 ⇒ 1 >

2 2 2 ⇒ 1 > ⇒ 1 > 1 − > 0. α2 α2 α2

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES Sea h ∈ Q tal que 0 < h < 1 > 1 − h > 0. Por lo tanto

1 2

(

1−

2 α2

)

159

. Entonces 0 < h < 1 y por eso

(α(1 − h))2 = α2 (1 − h)2 = α2 (1 − 2h + h2 ) ≥ α2 (1 − 2h). Pero h<

1 2

(

1−

2 α2

)

⇒ 2h < 1 − α22 ⇒ 1 − 2h > α22 ⇒ α2 (1 − 2h) > 2 ⇒ (α(1 − h))2 > 2.

Sin embargo α(1−h) < α y como α = sup A, ∃ x ∈ A tal que α(1−h) < x ≤ α ⇒ (α(a − h))2 < x2 < 2. Por lo tanto (α(1 − h))2 > 2 y (α(1 − h))2 < 2 y esto es super falso. c) Supongamos que α2 = 2. Como estamos suponiendo α ∈ Q existen a, b ∈ N tales que α = ab , es decir, 2=

a2 . b2

(3.13)

Por otro lado, b ̸= 1 ya que si no, α = a y 2 = a2 no ser´ıa primo. Tambi´en a ̸= 1 pues de otro modo α=

1 1 ⇒ 2 = 2 ⇒ 2b2 = 1 ⇒ b2 |1 ⇒ b = 1. b b

Entonces, por el teorema de factorizaci´on u ´nica a y b se pueden descomponer de manera u ´nica, en primos: a = p1 · . . . · ps ,

b = q1 · . . . · qt

y por (3.13) 2(q1 · . . . · qt )(q1 · . . . · qt ) = (p1 · . . . · ps )(p1 · . . . · ps ). El lado izquierdo y el lado derecho son factores primos del mismo n´ umero y por el teorema de factorizaci´on u ´nica deber´ıa contar con el mismo n´ umero de factores primos, lo cual no se cumple pues del lado derecho hay un n´ umero par de factores primos (2s) y del lado izquierdo un n´ umero impar (2t + 1 por culpa del 2). Esta contradicci´on prueba que es falso que α2 = 2.

160

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Por lo tanto, de (a), (b) y (c) concluimos que α ∈ / Q es decir, no existe β ∈ Q que satisface i) y ii) en (∗∗). Observe que de paso hemos probado que existen n´ umeros que no son racionales, a saber, el supremo de nuestro conjunto A. Definici´ on 3.6.8 Al conjunto R − Q se le llama el conjunto de n´ umeros irracionales. Es interesante a˜ nadir que el descubrimiento de la existencia de n´ umeros irracionales constituy´o el inicio de la que se considera la primera crisis en los fundamentos de las matem´aticas. Se sabe que Pit´agoras vi´o en los n´ umeros la clave para la comprensi´on del Universo. Pit´agoras y sus seguidores atribu´ıan n´ umeros a todos los aspectos de la naturaleza, pero no conoc´ıan a´ un el concepto abstracto de n´ umero, por lo que todo n´ umero era presentado por ellos en forma de figura geom´etrica. Los n´ umeros que usaban los Pitag´oricos sol´ıan representarse como tri´angulos, cuadrados, pent´agonos (estos ser´ıan sus “n´ umeros naturales”) pero tambi´en ten´ıan una teor´ıa de las proporciones para longitudes de segmentos. Si cada medida de longitud de un segmento se puede expresar por medio de un n´ umero, entonces la proporci´on entre dos medidas diferentes ser´ıa expresable por medio de la raz´on entre dos n´ umeros (enteros). Los pitag´oricos trabajaban s´olo con n´ umeros racionales, cre´ıan que ′ ′ para cualesquiera segmentos AB y A B exist´ıa un segmento U V que cab´ıa un n´ umero entero de veces en cada uno de ellos, es decir, cr´ıan que cualesquiera dos segmentos eran conmensurables. Fu´e precisamente un desdichado Pitag´orico, llamado seg´ un se cree, Hipasso de Metaponto, el que descubri´o los n´ umeros irracionales. Hipasso sab´ıa que su descubrimiento daba al traste con el Universo de los griegos y lo ocult´o. Mas el secreto s´olo dur´o unos meses ya que una hermosa mujer, traidora cual mujer, acech´o, acorral´o y sedujo al embriagado sabio y le arranc´o el precioso secreto. El resultado no se hizo esperar: la congregaci´on de los pitag´oricos no soport´o que el cielo les cayera en la cabeza, y aplic´o toda clase de torturas para castigar al blasfemo. No con-

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

161

tentos con los estigmas causados por su ira en Hipasso de Metaponto, dos fuertes hombres lo echaron a un estanque repleto de pira˜ nas hambrientas, muriendo Hipasso inmediatamente . . . o antes. Como era de esperarse, el descubrimiento de la existencia del n´ umero irracional, constituy´o una seria conmoci´on para la escuela Pitag´orica y se cree que contribuy´o a su destrucci´on. A partir del momento en que se descubrieron los irracionales, los griegos se apartaron de los n´ umeros y dedicaron su atenci´on a las l´ıneas y superficies, entre las cuales no se suscitaban esas dificultades l´ogicas. El resultado fu´e el desarrollo de una geometr´ıa de las medidas que es tal vez la principal aportaci´on de los griegos a las matem´aticas.

Ejercicios 6. 1. Demuestre que ∀ a, b ∈ Z; a + b ∈ Z, a − b ∈ Z y a · b ∈ Z. 2. Pruebe que ∀ r, s ∈ Q; r + s ∈ Q, r · s ∈ Q, y si s ̸= 0,

r s

∈ Q.

3. Probar que si a ∈ Z y a < 0, entonces (a, a + 1) ∩ Z = ∅. 4. Demuestre que si a, b ∈ Z y a < b, existe n ∈ N tal que a + n = b. 5. Probar que si a, b ∈ Z y (a, b) ∩ Z = ∅, entonces b = a + 1. 6. Demuestre que Z no est´a acotado superiormente y no est´a acotado inferiormente. 7. Pruebe que si A ⊆ Z, A ̸= ∅ y A est´a acotado superiormente, entonces A tiene m´aximo (Usar ejercicio 5.9). 8. Pruebe que si A ⊆ Z, A ̸= ∅ y A est´a acotado inferiormente, entonces A tiene m´aximo. 9. Si x ∈ R − {0}, definimos |x0 = 1| y, si n ∈ N, x−n = x1n , ( )n (a) Compruebe que si n ∈ N y x ∈ R − {0}, x1n = x1

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

162

(b) Demuestre las “leyes de los exponentes enteros” (puede usar el teorema 5.5): Sean x, y ∈ R − {0} y a, b ∈ Z. Entonces i) xa xb = xa+b . a ii) xxb = xa−b . iii) (xy)a = xa xb . iv) (xa )b = xab . [√ ] [ ] [ ] [ ] 10. Calcule 37 , 3 41 , −85 , [−3.1416], 2 , [−215 ]. 3 11. Sean x, y ∈ R. Demuestre las siguientes afirmaciones: (a) x − 1 < [x] 6 x. (b) ∀ a ∈ Z : [x + a] = [x] + a. (c) −[−x] es el elemento m´as peque˜ no no menor que x. (d) [x] + [y] 6 [x + y] 6 [x] + [y] + 1 (use que [x + +y] es el mayor entero menor o igual que x + y 6 [x + y]). { 0 si x ∈ Z (e) [x] + [−x] = −1 si x ∈ /Z (f) [2x] − 2[x] ∈ {0, 1} (use (d)). [ ] [ ] (g) ∀ a ∈ Z : a2 − − a2 = a 12. Si r, s ∈ Q y r < s, halle expl´ıcitamente un racional t tal que r < s < t (¿Qu´e tal “el promedio” de r y s?). 13. Compruebe que 4| − 8, que −3| − 6, que 7|0 y que 3 ̸ |5. 14. Demuestre (1), (2), (3), (4), (5) y (7) del teorema 3.6.4 (checar Enrique 2010). 15. Definici´ on 3.6.9 Sean a y b enteros que no son cero al mismo tiempo. El M´ aximo Com´ un Divisor de a y b es el m´aximo de todos los divisores comunes de a y b . Este n´ umero se denotar´a como m.c.d.(a, b). Sean a y b enteros que no son cero al mismo tiempo. Pruebe que:

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

163

(a) existe m.c.d.(a, b). (Use Teorema 3.6.7 y ejercicio 5.6). (b) m.c.d.(a, b) > 1. (c) m.c.d.(a, b) = m.c.d.(b, a) (d) m.c.d.(a, b) = m.c.d.(−a, b) = m.c.d.(a, −b) = m.c.d.(−a, −b) = m.c.d.(|a|, |b|). (Use teorema 3.6.4). (e) m.c.d.(a, b) = |a| ⇔ a|b. (f) m.c.d.(a, 0) = |a| (si a ̸= 0). (g) d = m.c.d. (a, b) si y solo si i) d|a y d|b. ii) Si c es divisor com´ un de a y b, c|d 16. Demostrar el Corolario 3.6.10 17. He aqu´ı un procedimiento para hallar el m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros a y b usando el Teorema Fundamental de la Aritm´etica. “Descomponga en factores primos a a y a b y escriba las descomposiciones de la forma: a = pn1 1 · pn2 2 · . . . · pnk k donde p1 , . . . , pk son primos distintos entre s´ı. b = q1m1 · q2m2 · . . . · qlml donde q1 , . . . , ql son primos distintos entre s´ı. Entonces m.c.d.(a, b) es el producto de todos aquellos primos que aparezcan en ambas descomposiciones, pero elevados al menor de los exponentes”. Ejemplo: 3500 = 22 · 53 · 7,

4400 = 24 · 52 · 11

Entonces m.c.d.(3500, 4400) = 22 · 52 = 100.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

164

Para formar este n´ umero no consideramos ni 7 ni 11 ya que no aparecen en ambas descomposiciones (en la de 3500 y en la de 4400) Encuentre el el m´aximo com´ un divisor y el el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de las siguientes parejas de n´ umeros, usando las descomposiciones en primos de ambos n´ umeros. En los ejercicios (d) y (e) deje sus respuestas en forma factorizada: a) 72 y 81. b) 336 y 72. c) 72000 y 18000.

d ) 22 · 33 · 5 y 24 · 3 · 52 · 73 . e) 24 ·35 ·52 ·11 y 25 ·36 ·54 ·7·112 .

18. Pruebe que el n´ umero que propuso como m´aximo com´ un divisor en el ejercicio (d) lo es, en efecto. ¿Puede demostrar en general la regla dada en el problema 13?. ¡Int´entelo! 19. En cada uno de los ejercicios (a), (d) y (e) multiplique el m´aximo com´ un divisor y el el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de los n´ umeros dados. ¿Qu´e obtiene en cada caso? ¡Compare con el producto de los n´ umeros dados!. Trate de demostrar que, en general: m.c.d.(a, b) × m.c.m.(a, b) = |ab|. 20. Definici´ on 3.6.9 Un n´ umero entero m que es m´ ultiplo de a1 , . . . , ak y que tiene la propiedad de que todo m´ ultiplo com´ un de a1 , . . . , ak es un m´ ultiplo de m, se llama m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a1 , . . . , ak y se denota por m.c.m. (a1 , . . . , ak ). Se puede obtener el m.c.m. (a1 , . . . , ak ) usando, como en el caso en que k = 2, el teorema de factorizaci´on en primos. a) Halle m.c.m. (32, 24, 14, 20). b) Encuentre el m´ınimo com´ un denominador (o sea, el m.c.m. de los denominadores) en las siguientes fracciones: i) ii)

1 3 7 , , . 14 20 72 1 , 3 , 1 . 200 500 700

iii) iv)

1 1 1 1 , , , . 32 24 14 20 1 , 1 , 1 , 1 . 400 600 900 800

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

165

21. Definici´ on 3.6.10 Sean a y b enteros no cero al mismo tiempo. Si m.c.m. (a, b) = 1, se dice que a y b son primos relativos. a) Pruebe que a y b son primos relativos si y s´olo si no tienen divisores comunes distintos de 1 y −1. b) Pruebe que si m.c.d. (a, b) = 1 y a|bc entonces a|c. (Sugerencia: Sea m = m.c.m. (a, b) entonces m = ab por el ejercicio 15. Pero m|bc y . . . , etc., etc., etc.,). c) Pruebe que si r ∈ Q ∃ a, b ∈ Z : r = relativos.

a b

con a y b primos

22. Definici´ on 3.6.11 Un n´ umero entero es par si es divisible entre 2 y es impar o non si no es divisible entre 2. a) Pruebe que si a ∈ Z entonces a es par ⇒ a2 es par.

√ b) Justifique cada paso en la prueba de Arist´oteles de que 2 ∈ / Q: √ Supongamos que 2 ∈ Q √ ⇒ ∃ n, m ∈ N tales que 2 = m y (m, n) = 1 n 2 2 ⇒ 2n = m ⇒ m es par y 2n2 = m2 ⇒ ∃ a ∈ N : m = 2a y 2n2 = 4a2 ⇒ m es par y n2 = 2a2 ⇒ m es par y n es par y esto es una contradicci´on al hecho de que (m, n) = 1.

23.

a) Suponga que a y b son enteros no cero al mismo tiempo. Pruebe que m.c.d. (a, b) = 1 ⇔ m.c.d. (a2 , b2 ) = 1. √ √ b) Demuestre que si n ∈ N, n ∈ Z o n ∈ / Q. √ √ √ (Sugerencia: Si n ∈ Q pero n ∈ / Z, exprese n como ab donde a, b ∈ Z, b ̸= 1 y m.c.d. (a, b) = 1. Use (a) para llegar a una contradicci´on).

166

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES √ √ c) He aqu´ı otra prueba de que ∀ n ∈ N : n ∈ Z o n ∈ / Q, sin usar divisibilidad. Justifique cada paso. √ √ Sea n ∈ N y supongamos que n ∈ / Z pero que n ∈ Q ⇒ ∃ a ∈ Z y b ∈ N tales que

√ a n = y b > 1. b

Sea m0 = m´ın A, donde { } √ l A = m ∈ N| m > 1 y ∃l ∈ Z : n = . m [ ] √ Sea l ∈ Z tal que n = ml 0 y t = ml 0 ; entonces l2 = nm20 ⇒ l2 − tlm0 = nm20 − tlm0 ⇒ l(l − tm0 ) = m0 (n − tl) √ n−tl ⇒ n = ml 0 = l−tm . 0

24.

Pero l − tm0 ̸= 1 y t < ml 0 < t + 1 ⇒ m0 t < l < m0 t + m0 ⇒ 0 < l − m0 t < m0 . Por lo tanto l − m0 t ∈ A y l − m0 t < m0 lo cual es una contradicci´on. √ a) Pruebe que si r ∈ Q − {0}, 2 r ∈ / Q.

b) Pruebe que si x, y ∈ R y x < y existe α irracional tal que x < α < y. (Sugerencia: x < y ⇔ √x2 < √y2 y use la densidad de Q). √ 25. Ahora s´ı, pruebe que 2 existe, es decir, que existe β ∈ R tal que β ≥ 0 y β 2 = 2. (Sugerencia: Sea B = {x ∈ R | x > 0 y x2 < 2}. Demuestre que B tiene supremo. Sea β = sup B; pruebe que β 2 = 2. Le pueden ser u ´tiles much´ısimas ideas de la prueba de que α = sup{x ∈ R | x > 0 y x2 < 2}, ver p´aginas 157 y 158). 26. Eval´ ue la validez de la demostraci´on del siguiente resultado. Si x ∈ R − Q y y ∈ Q, entonces z = x − y ∈ R − Q. Demostraci´on: Supongamos que la conclusi´on no es cierta, es decir, que z = x − y ∈ Q, entonces existen a, b ∈ Z con b ̸= 0 tales que

´ 3.6. NUMEROS ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES

167

√ √ z = ab . Como 2 ∈ R − Q consideremos x = 2. Dado que y ∈ Q, existen n´ umeros enteros c y d con d ̸= 0 y y = dc . Por lo tanto √ c a ad + bc 2=x=y+z = + = d b bd como ad + bc y bd son enteros con bd ̸= 0, se sigue que cual es una contradicci´on.

√

2 ∈ Q, lo

27. En este ejercicio suponga que “∀ a ∈ R+ existe una u ´nica ra´ız positiva de√a, de grado n, cualquiera que sea n ∈ N, la cual ser´a denotada por n a.” √ m n t n = Se define para a ∈ R+ y t = m ∈ Q a = a am . n √ √ m (a) Pruebe que n am = ( n a) . (b) Pruebe las leyes de los exponentes racionales: Para a, b ∈ R+ y t, s ∈ Q. i) at as = at+s . ii) (at )s = ats . iii) (ab)s = as + bs . 28. (a) Demuestre que si a es un n´ umero compuesto, tiene por lo menos √ un divisor primo menor o igual que a. (b) Pruebe que todo n´ umero compuesto menor o igual que 100 es divisible entre un primo p menor o igual que 10. (c) Use (b) para hallar todos los primos entre 1 y 100 (escriba los n´ umeros del 2 al 100 y tache los compuestos divisibles entre 2, 3, 5 y 7). 29. Dos segmentos AB y CD son conmensurables, si existe un segmento U V que cabe un n´ umero entero de veces en AB y un n´ umero finito de veces en CD, es decir, si existen naturales m y n tales que |AB| = m|U V y |CD| = n|U V | (dado un segmento cualquiera LM , estamos denotando su longitud como |LM |). Pit´agoras pensaba que cualesquiera dos segmentos son conmensurables. En esto

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

168

basaba su teor´ıa de la proporci´on y, por tanto, todos los teoremas de semejanza de tri´angulos. (a) Demuestre que dos segmentos AB y CD son conmensurables si AB ∈ Q. y solo si CD (b) Demuestre que si ABCD es un cuadrado, entonces la diagonal AC y el lado AB no son conmensurables. 30. Si x, y ∈ R, demostrar que:

x = y ⇔ ∀ r ∈ Q : (r < x ⇒ r < y)∧(r > x ⇒ r > y)∧(r = x ⇒ r = y) 31. Usando el ejercicio anterior, probar que si a, b, c, d ∈ N, entonces a c = ⇔ ∀ m, n ∈ N : (mb < na ⇒ md < nc) ∧ b d (mb > na ⇒ md > nc) ∧ (mb = na ⇒ md = nc) Esta fue la manera en que Eudoxio de Cnidus (408-355 a.c.) defini´o la igualdad de dos razones, lo que constituy´o la piedra de la te´or´ıa de las proporciones que sustituy´o a la pitag´orica §7

3.7.

Representaci´ on a-naria (con el gui´ on por favor)

Cuando dividimos un n´ umero entero a entre otro entero b distinto de cero, el resultado, como ya hemos mencionado, puede no ser un n´ umero

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

169

entero, pero siempre es factible efectuar una “divisi´on con residuo” como la que hac´ıamos en la primaria para obtener un cociente y un residuo: c b| a. r Hay veces en que conocer el cociente es importante, como cuando dividimos a manzanas entre b personas, pero tambi´en hay situaciones en las que el residuo es m´as importante que el cociente. Supongamos, por ejemplo, que queremos saber qu´e d´ıa de la semana ser´a el primero de Enero del a˜ no 2000. Es f´acil enterarse por el calendario que el primero de Enero de 1995 “cay´o” en Domingo. Los cinco a˜ nos que separan ambas fechas est´an formadas por 5.365 + 1 d´ıas (el 1 es porque 1996 ser´a a˜ no bisiesto), 260 ( ) 7 | 1826 o sea 1862 d´ıas, los cuales forman 260 semanas y 6 d´ıas . 42 06 Al cabo de las 260 semanas volver´a a ser Domingo y, con los 6 d´ıas m´as, el primero de Enero del a˜ no 2000 ser´a s´abado. Es evidente que para resolver el problema no tiene importancia precisamente cu´antas semanas completas transcurrieron en 5 a˜ nos y s´olo nos interesa la cantidad de d´ıas restantes despu´es de estas semanas. A continuaci´on enunciaremos (y demostraremos) la posibilidad de efectuar la “divisi´on con residuo” o “divisi´on completa” entre dos enteros, como un teorema importante. Esta secci´on viene a ser en realidad un estudio de dicho teorema y de algunas de sus m´as interesantes consecuencias. ´ n (con residuo) Teorema 3.7.1 Algoritmo de la Divisio Sean a y b enteros, con b ̸= 0. Entonces existen enteros u ´nicos c, r tales que a = bc + r y 0 ≤ r < |b|. Demostraci´on: Sean a, b ∈ Z y b ̸= 0. Probaremos primero la existencia de c y r.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

170

(a) Supongamos que a ∈ Z y b ∈ N. Sea c = c≤

[a] . Entonces b

a < c + 1 ⇒ bc ≤ a < bc + b. b

Si r = a − bc, se tiene r ≥ 0 y bc + r = a < bc + b, es decir, r < b. Por lo tanto a = bc + r,

con

0 ≤ r < b = |b|.

(b) Ahora supongamos que a ∈ Z y b < 0. Por lo hecho en el caso (a), existen enteros c′ y r tales que a = (−b)c′ + r, donde 0 ≤ r < −b. Por ende, a = b(−c′ ) + r, con 0 ≤ r < |b|. Demostraremos ahora la unicidad. Para ello supongamos que c, r, c′ y r son enteros tales que ′

a = bc + r y 0 ≤ r < |b| a = bc′ + r′ y 0 ≤ r′ < |b|

(3.14) (3.15)

Por 3.14 y 3.15, 0 6 r′ < |b| y −|b| < −r 6 0, as´ı que −|b| < r′ −r < |b| y por lo tanto |r′ − r < |b|. Pero bc + r = bc′ + r′ ⇒ (c − c′ ) = r′ − r ⇒ |b||c−c′ | = |r′ −r|, as´ı que |b||c−c′ | < |b| y por consiguiente 0 6 |c−c′ | < 1. Como |c − c′ | ∈ Z, |c − c′ | = 0 (por Teorema 3.6.1), o sea, c = c′ . De 3.14 y 3.15 se concluye que tambi´en r = r′ .  Definici´ on 3.7.1 Si a y b son enteros, b ̸= 0 y c y r son los u ´nicos enteros tales que a = bc + r con 0 6 r < |b|, entonces c se llama el cociente y r el residuo que se obtienen al dividir a entre b. Ejemplos: 1. Si a = 17 y b = 5, 17 = 5 · 3 + 2, as´ı 3 es el cociente y 2 es el residuo que se obtienen al dividir 17 entre 5. [ ] 2. Si a = −17 y b = 5, − 17 = −4 y entonces −17 = 5(−4) + 3. 5

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

171

3. Si a = 17 y b = −5, 17 = (−5)(−3) + 2. 4. Si a = −17 y b = −5, −17 = (−5) · 4 + 3. 5. Si b|a entonces existe c ∈ Z tal que a = bc. Por la unicidad en el teorema 3.7.1, esta ya es la “descomposici´on de a al dividirlo con residuo entre b”. En este caso el residio es 0. 6. Si a = 4 y b = 21, entonces 4 = 0 · 21 + 4. Observemos que para aplicar el algoritmo de la divisi´on a dos enteros a y b o, m´as expl´ıcitamente, para dividir con residuo a entre b, no es necesario que a sea mayor que b. Otro hecho que debemos subrayar y que se muestra en la demostraci´on del algoritmo es que, [cuando b es positivo, ] el cociente que dividir a entre b, es precisamente ab , el mayor entero menor o igual que ab . Este hecho nos permite demostrar nuestra siguiente observaci´on, que redactaremos como un corolario del teorema 3.7.1 y que ser´a usado posteriormente. Corolario 3.7.2 Sean b un entero mayor que 1 y a ∈ N. Si c es el cociente que se obtiene al dividir a entre b, entonces a > c > 0. Demostraci´on: Si a = bc + r con 0 6 r < b, como ya observamos, c = Por consiguiente, dado que ab > 0 y 1b < 1, se concluye que [a] a 06c= 6 < a.  b b

[a] . c

Otro corolario del algoritmo de la divisi´on es un importante algoritmo para hallar el m´aximo com´ un divisor de dos enteros y que era conocido desde tiempos de los pitag´oricos all´a por el a˜ no 600 a. de C. Aparece como la Proposici´on 2 del libro VII de los “Elementos” del gran Euclides.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

172

Quiz´a desde entonces se llama Algoritmo de Euclides, y consiste en lo siguiente. Sean a y b n´ umeros naturales. Por el algor´ıtmo de la divisi´on a = bq1 + r1 ,

0 6 r1 < b.

(3.16)

Si r1 = 0, entonces b|a y m.c.d. (a, b) = b, y el proceso termina. Si r = ̸ 0, dividiendo b entre r1 , obtenemos: b = r1 q2 + r2 ,

0 6 r2 < r 1 .

(3.17)

Si r2 = 0 entonces r1 |b y por la igualdad (3.16), r1 |a. Si un entero d fuera tal que d|a y d|b entonces d dividir´ıa a r1 = a − bq1 . As´ı que r1 = m.c.d. (a, b) (ver ejercicio 12 (g) de “ejercicios 6”). Si r2 ̸= 0, el algoritmo de la divisi´on asegura que existen q3 y r3 tales que r1 = r2 q3 + r3 ,

0 6 r3 < r2 .

(3.18)

Si r3 = 0, r2 resultar´a ser el m´aximo com´ un divisor de a y b, ya que (3.17)

r3 = 0 ⇒ r2 |r1 ⇒ r2 |r1 q2 + r2 = b y r2 |r1 (3.16)

⇒

r2 |bq1 + r1 = a.

Por lo tanto r2 |a y r2 |b, y si d|a y d|b entonces d|r1 = a − bq1 y d|r2 = b − r 1 q2 . Si r3 ̸= 0 se contin´ ua el proceso de aplicar el algoritmo de la divisi´on. Mientras se sigan obteniendo residuos distintos de cero, el proceso tendr´a que continuar, pero podemos asegurar que el proceso no es infinito, sino que habr´a un primer residuo rk+1 que es cero, ya que los residuos que se van obteniendo satisfacen b > r1 > r 2 > r3 > · · ·

(3.19)

y por lo tanto son naturales distintos que pertenecen al conjunto finito {0, 1, 2, 3, . . . , b − 1}. Si ning´ un residuo fuera cero, la continuaci´on eterna del procedimiento producir´ıa un n´ umero infinito de residuos que satisfacen (3.19), lo cual no es posible. Entonces hay un residuo rk+1 que es cero y rk resultar´a ser el m´aximo com´ un divisor de a y b.

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

173

Teorema 3.7.3 Algoritmo de Euclides Dados los n´ umeros naturales a y b, se hace una aplicaci´ on repetida del algoritmo de la divisi´on para obtener una serie de igualdades:  a = bq1 + r1 ,     b = r1 q2 + r2 ,     r1 = r2 q3 + r3 , (⋆) ..  .     rk−2 = rk−1 qk + rk ,    r k−1 = rk qk+1 .

0 < r1 < b 0 < r2 < r1 0 < r3 < r2 .. . 0 < rk < rk−1

Entonces rk , el u ´ltimo residuo diferente de cero, es el m´aximo com´ un divisor de a y b. Demostraci´on: Ya se argument´o por qu´e existe tal residuo rk . Vemos que rk = m.c.d. (a, b) Por la ecuaci´on rk−1 = rk qk+1 vemos que rk |rk−1 . Como rk−2 = rk−1 qk + rk se sigue que rk |rk−2 . Subiendo a lo largo de las igualdades (⋆), hallamos que rk divide a cada uno de los residuos que lo preceden. Entonces, dado que b = r1 q2 +r2 , rk |b, y dado que a = bq1 +r1 , se tiene que rk |a. Entonces rk es divisor com´ un de a y b. Supongamos que d es un divisor com´ un de a y b, entonces d divide a r1 = a − bq1 y consecuentemente a r2 = b − r1 q2 . Continuando hacia abajo la sucesi´on de ecuaciones (⋆), se encuentra que d|r, d|r4 , d|r5 , . . . , d|rk . Por lo tanto rk = m.c.d. (a, b).  Este resultado se puede extender a cualesquiera dos enteros a y b que no sean simult´aneamente cero, ya que por el ejercicio 15(f) p´agina 163, m.c.d. (a, 0) = |a| y m.c.d. (a, b) = m.c.d. (|a|, |b|). Como ejemplo, sean a = 963 y b = 657. Entonces 963 = 657 · 1 + 306 657 = 306 · 2 + 45 306 = 45 · 6 + 36 45 = 36 · 1 + 9 46 = 9 · 4

174

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Por lo tanto, m.c.d. (963, 657) = 9. Observemos que para hallar el m´aximo com´ un divisor de dos enteros aplicando el algoritmo de Euclides, el objetivo de la divisi´on con residuo es obtener precisamente un residuo y, en cada paso, el cociente s´olo se considera como material de partida para las siguientes operaciones. Algo an´alogo ocurre en la representaci´on de un n´ umero dentro de un cierto sistema de numeraci´on posicional. Por ejemplo, es un hecho muy conocido por todos que el conjunto de s´ımbolos que usamos com´ unmente para representar los n´ umeros naturales es el sistema indo–ar´abigo: se origin´o en la India y fue introducido en Europa por los ´arabes. En este sistema s´olo necesitamos diez s´ımbolos, a saber 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y cualquier otro n´ umero natural se puede expresar convenientemente usando una combinaci´on de estos diez d´ıgitos. As´ı cuando nosotros escribimos 23, esto no representa 2 × 3 ni 2 + 3, sino (2 × 10) + 3. Tambi´en 6343 es el s´ımbolo o “numeral” para 6 × 103 + 3 × 102 + 4 × 10 + 3. La posici´on de cada d´ıgito dentro del numeral es importante: En 6343, el 3 de la derecha representa 3, pero el otro representa 3 × 102 = 300. Cada uno de nuestros numerales (s´ımbolos para los n´ umeros naturales) tienen la forma. rk . . . r2 r1 r0 , donde las r′ s son llamados d´ıgitos y cada uno de ellos es uno de los numerales 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. El s´ımbolo rk . . . r2 r1 r0 es el natural: rk × 10k + . . . + r2 × 102 + r1 × 10 + r0 y r0 es llamado el d´ıgito de las unidades, r1 el de las decenas, r2 el de las centenas, etc. Todo n´ umero entero no negativo (y, con un bien puesto signo de menos, todo entero) puede ser expresado de esta manera como una suma de t´erminos, cada uno de los cuales es uno de los n´ umeros 0, 1, . . . , 9 multiplicado por 10 elevado a alg´ un exponente entero no negativo. Diez es la

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

175

base de nuestro sistema de numeraci´on, que es llamado sistema decimal de numeraci´on. Es importante advertir que el papel tan privilegiado que desempe˜ na el n´ umero 10, no se debe a que el 10 es un “n´ umero redondo” o que es muy f´acil multiplicar por 10 cualquier n´ umero. Estas cualidades se deben precisamente a que se ha tomado como base de numeraci´on, pero el sistema de decimal tard´o mucho en ocupar la posici´on dominante que tiene actualmente. En distintos per´ıodos hist´oricos, muchos pueblos emplearon sistemas de numeraci´on diferentes del decimal. En la Babilonia antigua (2000 a. de C., aproximadamente), cuya cultura era bastante elevada, exist´ıa un sistema sexagesimal (de base 60) del que subsisten en la actualidad la divisi´on de la hora en 60 minutos de 60 segundos cada uno, y de la circunferencia en 360 grados. El sistema de base 60 ten´ıa un inconveniente derivado de su amplia base. Para representar cada n´ umero desde 1 hasta 59 (no conoc´ıan el cero), los mesopotamios tuvieron que idear 59 s´ımbolos diferentes. Nadie, ni siquiera los sumerios y babilonios que habitaron Mesopotamia, quiso jam´as aprender de memoria 59 nombres y 59 s´ımbolos diferentes. Para superar esta dificultad utilizaron combinaciones de dos s´ımbolos cuneiformes: uno que representa al 1, y otro que representa al 10: . As´ı:

representa al n´ umero 44 × 602 + 26 × 60 + 40 = 160 000 Los nahoas y los mayas usaron el sistemas vigesimal (de base 20). El sistema maya empleaba s´ımbolos para 0, 1, 2, 3, 4 y 5, que se agrupaban verticalmente para formar los signos num´ericos compuestos hasta 19. Cada punto representa una unidad; cada barra representa cinco unidades: Los n´ umeros mayores emplean el cero y la posici´on vertical, apareciendo el valor de posici´on. Por ejemplo 20 se escrib´ıa con dos d´ıgitos:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

176 5

lahuml 10

15

hum 1

vac 6

11

16

ca 2

vuc 7

12

17

ox 3

voxac 8

13

18

can 4

bolom 9

14

19

0

ho

la posici´on inicial o de unidades (kines) tiene un cero en ella; la segunda posici´on (de las “veintenas” o uinales) tiene un uno en ella. El n´ umero completo se lee de arriba abajo como 1 × 20 + 0 = 20: Uinales

1 × 20 =

kines

0×1

=

20 + 0 20

160 000 se escribe as´ı en maya: cielos katunes tunes uinales kines

1 × 204 0 × 203 0 × 202 0 × 20 0×1

= 160 000 = 0 = 0 + = 0 = 0 160 000

¿C´omo expresar´ıan los mayas el n´ umero 41033? Para responder, tendr´ıamos que expresar primero dicho n´ umero en base 20, es decir, en la forma: rk × 20k + rk−1 × 20k−1 + · · · + r2 × 202 + r1 × 20 + r0 ,

(3.20)

donde r0 , r1 , . . . , rk son enteros no negativos menores que 20. Para hacerlo podemos auxiliarnos del algor´ıtmo de la divisi´on: Comencemos dividiendo 41033 entre 20

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

177

2051 20 | 41033 103 033 13

o sea: 41033 = (2051) × 20 + 13

(3.21)

Como 2051 > 0, volvemos a dividir: 102 20 | 2051 051 11

o sea: 2051 = 102 × 20 + 11

(3.22)

Como 102 > 0, volvemos a dividir: 5 20 | 102 2

o sea: 102 = 5 × 20 + 2

(3.23)

Como 5 > 0, volvemos a dividir: 0 20 | 5 5

o sea: 5 = 0 × 20 + 5

(3.24)

Como el u ´ltimo cociente es 0, ya no dividimos m´as, porque ya acabamos. En efecto, combinando nuestras 4 igualdades obtenemos la representaci´on de 14033 en la forma (3.20): 41033 = 2051 × 20 + 13 = (102 × 20 + 11) × 20 + 13 = = 102 × 202 + 11 × 20 + 13 = = (5 × 20 + 2) × 202 + 11 × 20 + 13 = = 5 × 203 + 2 ×2 +11 × 20 + 13. Aqu´ı r0 = 13, r1 = 11, r2 = 2, r3 = 5. 41033 escrito por los mayas quedar´ıa:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

178

o sea 13 kines + 11 uinales + 2 tunes + 5 katunes. Notemos que en la expresi´on 41033 = 5 × 203 + 2 × 202 + 11 × 20 + 13, los n´ umeros r0 = 13, r1 = 11, r2 = 2 y r5 = 5 que acompa˜ nan a las potencias de 20, son precisamente los residuos que se van obteniendo al aplicar reiteradamente el algoritmo de la divisi´on. En el procedimiento descrito para escribir 41033 en la forma (3.20), o sea en base 20, bien puede hacerse si comenzamos, en vez de con 20 un n´ umero natural a mayor que 1 y, en vez de con 41033, con cualquier n´ umero natural n: Aplicando el algoritmo de la divisi´on, tendr´ıamos: n = a q0 + r0 ,

0 ≤ r0 < a

(3.25)

Si q0 = 0, detenemos el proceso. Si q0 > 0, continuamos aplicando el algoritmo de la divisi´on, pero ahora a q0 y a a: q0 = a q 1 + r 1 ,

0 ≤ r1 < a

(3.26)

Si q0 = 0, nos detenemos. Si q1 > 0, continuamos con q1 y a: q1 = a q 2 + r 2 ,

0 ≤ r2 < a

(3.27)

Si q1 = 0, ahi le paramos. Si q2 > 0, seguimos: q2 = a q 3 + r 3 ,

0 ≤ r3 < a

(3.28)

En alg´ un momento obtendremos un cociente qk que es 0 y ahi le paramos. La k−´esima igualdad ser´ıa: qk−1 = a · 0 + rk ,

0 ≤ rk < a

(3.29)

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

179

Combinando las igualdades (3.25), (3.26), . . . , (3.29), obtenemos n = a q0 + r0 = a(a q1 + r1 ) + r0 = a2 q1 + a r1 + r0 = a2 (a q2 + r2 ) + a r1 + r0 = a3 q2 + a2 r2 + a r1 + r0 = · · · = = ak qk−1 + ak−1 rk−1 + · · · + a r1 + r0 = ak rk + ak−1 rk−1 + · · · + a r1 + r0 y esta es ya la representaci´on de n en base a. Obervemos que la posibilidad de llegar a tal representaci´on del modo en que acabamos de hacerlo, depende de dos afirmaciones que hemos usado sin justificarlas para no estorbar la exposici´on: (1) Que los cocientes q0 , q1 , q2 , . . . , que fuimos obteniendo, son enteros no negativos. Esto se sigue inmediatamente del corolario 3.7.2 (p´agina 171). (2) Que el proceso descrito se acaba porque en alg´ un momento obtenemos un cociente qk que es 0. En efecto, usando las igualdades (3.25), (3.26), . . . , y el mismo corolario 3.7.2, vamos obteniendo las siguientes desigualdades: n > q0 ≥ 0

(3.30)

y si q0 > 0, por (3.26) y el corolario, q0 > q 1 ≥ 0

(3.31)

y si q1 > 0, por (3.27) y el corolario, q1 > q 2 ≥ 0

(3.32)

y si q2 > 0, etc., etc., etc. Entonces los cocientes q0 , q1 , q2 , . . . son enteros no negativos que satisfacen n > q 0 > q1 > q 2 > · · ·

180

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

y s´olo puede haber un n´ umero finito de ellos, dado que son elementos distintos del conjunto {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Por eso en alg´ un momento del proceso, un cociente qk debe ser cero. De otro modo el proceso continuar´ıa per s´ecula seculorum, produciendo un n´ umero infinito de elementos distintos del conjunto {0, 1, 2, . . . , n − 1}. Ahora s´ı, hemos hecho una demostraci´on completa de que si a es un entero mayor que 1 y n es natural, existe un n´ umero finito de enteros r0 , . . . , rk , no negativos y menores que a tales que n = ak rk + ak−1 rk−1 + · · · + ar1 + r0 . (3.33) Debe advertirse que si existiera una segunda expresi´on n = al sl + al−1 sl−1 + · · · + as1 + s0 .

(3.34)

obtenida por alg´ un otro procedimiento, y en la cual s0 , s1 , . . . , sl son enteros no negativos menores que a, resultar´ıa que l = k y que r0 = s0 , r1 = s1 , . . . , rk = sk . En efecto, por (3.33) y (3.34), tendremos: n = a(ak−1 rk + ak−2 rk−1 + · · · + r1 ) + r0 y n = a(al−1 sl + al−2 sl−1 + · · · + s1 ) + s0 Como 0 ≤ r0 < a y 0 ≤ s0 < a, r0 y s0 son los residuos que se obtienen al aplicar el algoritmo de la divisi´on para dividir n entre a. Pero el residuo que se obtiene al aplicar tal algoritmo es u ´nico, as´ı que r0 = s0 . Como tambi´en es u ´nico el cociente, se tiene: ak−1 rk + ak−1 rk−1 + · · · + r1 = al−1 sl + al−1 sl−1 + · · · + s1 , o sea: a(ak−2 rk + · · · + r2 ) + r1 = a(al−2 sl + · · · + s2 ) + s1 y nuevamente, por la unicidad del cociente y del residuo que afirma el teorema 3.7.1, obtenemos: r1 = s1 y ak−2 rk + · · · + r2 = al−2 sl + · · · + s2

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

181

y as´ı sucesivamente. Damos al lector la posibilidad de que termine la demostraci´on ´el mismo. esp Resumamos nuestros comentarios en este importante teorema sobre la representaci´on de n´ umeros naturales: Teorema 3.7.4 Sea a un n´ umero natural mayor que 1. Entonces todo n´ umero natural n puede ser representado de manera u ´nica en la forma n = rk ak + rk−1 ak−1 + · · · + r1 a + r0 , donde k es alg´ un entero no negativo y r0 , r1 , . . . , rk son enteros no negativos menores que a. Definici´ on 3.7.2 Sean a y n como en el teorema 3.7.4. En la expresi´on n = rk ak + rk−1 ak−1 + · · · + r1 a + r0 ,

0 ≤ ri < a,

a se llama la base (o ra´ız) de la representaci´on y la expresi´on misma se llama representaci´ on de n en base a o representaci´ on a−naria de n. r0 , r1 , . . . , rk son los d´ıgitos de la representaci´on. Como en el caso de la representaci´on decimal, es conveniente abreviar rk a + rk−1 ak−1 + · · · + r1 a + r0 con el s´ımbolo: k

(rk rk−1 . . . , r1 )a . La desventaja de esta u ´ltima notaci´on es que si a > 10, entonces debemos introducir nuevos s´ımbolos para los n´ umeros que en notaci´on decimal son 10, 11, 12, . . . , a − 1, si aparecen como d´ıgitos de la representaci´on. El uso de 10, 11, 12, . . . , a − 1 podr´ıa dar lugar a confusi´on. Por ejemplo, el n´ umero 160 000 en base 60 tiene la siguiente representaci´on: 160 00 = 44 × 602 + 26 × 60 + 40. Aqu´ı r0 = 40, r1 = 26 y r2 = 44. En la notaci´on abreviada quedar´ıa: (44 60 40)60 que puede confundirse con: 4 × 605 + 4 × 604 + 2 × 603 + 6 × 602 + 4 × 60 + 0.

182

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

Suele solucionarse este problemar escribiendo entre par´entesis los d´ıgitos mayores que 10. As´ı: (160 000)10 = ((44)(26)(40))60 .

El n´ umero 41 033 que maya se escribir´ıa: por nosotros as´ı: (5 2 (11)(13))20 .

, quedar´ıa representado

En algunos textos (cuando la base a no excede mucho de 10) prefieren usar letras: A para 10, B para 11, C para 12, etc.: (7A1B0)12 representa 7 · 124 + 10 · 123 + 1 · 122 + 11 · 12 + 0. La demostraci´on del teorema 3.7.4 (descrita en las p´aginas 160 y 161) no da la forma de pasar un n´ umero escrito en base 10 a otra base cualquiera.

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

183

Ejemplos: 1. Escribir (7 2 2)10 es sistema binario (o de base 2). Las cifras del sistema binario son los n´ umeros 0 y 1. Tenemos que escribir 722 por medio de los n´ umeros 0 y 1. Para que sea m´as f´acil calcular los residuos r0 , r1 , . . . , rk al dividir entre dos reiteradamente, vamos a “llenar” una tabla de dos columnas: en la izquierda figurar´an los cocientes q0 , q1 , . . . , qk y en la de la derecha los residuos r0 , r1 , . . . , rk . As´ı queda nuestro ejemplo:

q0 q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9

722 361 180 90 45 22 11 5 2 1 0

0 1 0 0 1 0 1 1 0 1

r0 r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9

Entonces: (722)10 = (1011010010)2 2. Escribir (722)10 en sistema duodecimal (base 12). Las cifras ser´an los n´ umeros 0, 1, 2, . . . , 9, A, B. Procediendo como en el ejemplo anterior, obtenemos: 722 60 2 5 0 0 5 Entonces: (722)10 = (502)12 3. Escribir (722)10 en sistema 722−nario. La tabla en este caso es:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

184

722 1 0

0 1

o sea: (722)10 = (10)722 4. En general, en el sistema a−nario, a se escribe como (10)a . Por consiguiente, para multiplicar por a (o sea por (10)a ) un n´ umero escrito en el sistema a−nario, basta agregarle un cero a la derecha, exactamente como en el sistema decimal. Por ejemplo (1011010010)2 × (10)2 = (10110100100)2 (205)12 × (10)12 = (2050)12 (rk rk−1 · · · r1 r0 )a × (10)a

= (rk ak + rk−1 ak−1 + · · · + r1 a + r0 ) × a = = rk ak+1 + rk−1 ak + · · · + r1 a2 + r0 a + 0 = = (rk rk−1 . . . r1 r0 0)a

5. Las mismas reglas de adici´on, multiplicaci´on y resta “en columnas” y de divisi´on “en ´angulo” que usamos en el sistema decimal, son v´alidas para n´ umeros escritos en cualquier otra base. Sumamos (en el caso de la adici´on) primero las unidades, pasamos luego al orden siguiente y as´ı sucesivamente hasta llegar al mayor de los ´ordenes, con la particularidad de que se hace un traslado al orden siguiente cada vez que en un orden se obtiene una suma mayor o igual a la base del sistema empleado. Por ejemplo a)

(23651)8 +(17043)8 (42714)8

b)

(423)6 (1341)6 (521)6 (3125)6

Si A = (rn rn−1 . . . r1 r0 )a y B = (sm sm−1 . . . s1 s0 )a , para calcular la diferencia AB hay que resolver primero cu´al de los dos n´ umeros es mayor: si n > m, entonces A > B; si, por el contrario, n < m ser´a, como es natural, A < B. Si n = m hay que comparar rn con sm : si rn > sm entonces A > B, si rn < sm , ser´a A < B. Si rn = sm , hay que comparar rn−1 con sm−1 y as´ı sucesivamente. Si se establece que rn = sm , rn−1 = sm−1 , rn−2 = sm−2 , . . . , r1 = s1 , r0 = s0 entonces

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

185

A = B y A − B ser´a cero. Ahora bien, si A < B, para calcular A − B hay que buscar la diferencia B − A y despu´es poner delante de la respuesta el signo menos. Por ejemplo, en la base octal (base ocho), calcular AB , donde A = (724135)8 y B = (2635410)8 . Como B tiene m´as d´ıgitos que A, B > A. Hallemos entonces B − A:

(2635410)8 ( 724135)8 (1711253)8

"5 para 8, 3 y llevamos 1 1 y 3 son 4, para 9 son 5 y llevamos 1. 1 y 1 son 2 para 4, 2. 4 para 5 son 1, 2 para 3, 1. 7 para 14 ((14)10 = (16) 8 )son 7 y llevamos 1. 1para 2 es 1" y ya.

(2 6 3 5 4 1 0)8 ( 7 2 4 1 3 5)8 (1 7 1 1 2 5 3)8

\

A - B = -(1711253) 8

La multiplicaci´on se basa en la tabla de multiplicar que ofrece el producto de los n´ umeros menores que la base del sistema de numeraci´on. En el sistema senario (base 6), la tabla es:

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

186 0

1

2

3

4

5

0

0

0

0

0

0

0

1

0

1

2

3

4

5

2

0

2

4

10 12 14

3

0

3

10 13 20 23

4

0

4

12 20 24 32

5

0

5

14 23 32 41

En cada celda aparece el producto de los n´ umeros que corresponden a la fila y a la columna de dicha celda, tomando en cuenta que todos los n´ umeros est´an escritos en el sistema senario (se omite el sub´ındice 6 para no complicar la tabla).

Vali´endose de esta tabla, podemos multiplicar f´acilmente en base 6: (el lector debe comprobar la siguiente “cuenta” pasando a base 10). (3 5 2)6 × (2 4 5)6 (3 1 2 4)6 (2 3 3 2)6 (1 1 4 4)6 (1 4 5 2 4 4)6 6. Al preguntarle cu´antos alumnos hab´ıa en su clase, un maestro respondi´o: “100 alumnos, y de ellos 24 son varones y 36, hembras”. Primero nos extra˜ n´o la respuesta y hasta nos espant´o la posibilidad de que 40 estudiantes no tuvieran definido su sexo, pero luego comprendimos que l maestro no emple´o el sistema decimal ¿Qu´e sistema hab´ıa empleado? La soluci´on es sencilla. Sea x la base del sistema usado por el maestro. Entonces (24)x + (36)x = (100)x

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

187

es decir: 2x + 4 + 3x + 2 = x2 , o sea, x2 − 5x − 6 = 0. Las soluciones de esta ecuaci´on son x1 = 6 y x2 = −1, y la de nuestro probema es, por supuesto, x = 6. 7. “Un n´ umero escrito en base 10 es divisible entre 3 si la suma de sus d´ıgitos es divisible entre 3”, reza una famosa regla de divisibilidad. Ello se debe a que todo n´ umero de la forma 10m , al dividirse entre 3, da residuo igual a 1: 10m = 3 × 333 . . . 3} +1 | {z m veces

Entonces, dado n = (rk rk−1 . . . r1 r0 )10 , existen b1 , . . . , bk tales que 10 = 3b1 + 1, 100 = 3b2 + 1, . . . , 10k = 3bk + 1 y por lo tanto: (rk rk−1 . . . r1 r 0)10 = = =

= rk · 10k + rk−1 · 10k−1 + · · · + r1 · 10 + r0 rk (3bk + 1) + rk−1 (3bk−1 + 1) + · · · + r1 (3b1 + 1) + r0 (rk + rk−1 + · · · + r0 ) + 3(rk bk + · · · + r1 b1 ) (rk + rk−1 + · · · + r0 ) + B,

donde B es un n´ umero entero divisible entre 3. Por lo tanto, para que un natural n sea divisible entre 3, es necesario y suficiente que rk + rk−1 + · · · + r0 sea divisible entre 3. Este criterio no se cumple en otras bases. Por ejemplo, (86)10 = (126)8 y la suma de las cifras de (126)8 es 1 + 2 + 6 = 9 que es divisible entre 3. Sin embargo, 86 no es divisible entre 3 (o lo que es lo mismo: (126)8 no es divisible entre (3)8 ). 2 es el menor de los n´ umeros que se puede tomar como base de un sistema de numeraci´on. El sistema correspondiente a esta base, llamado binario, tiene un defecto: para medir n´ umeros a´ un no muy grandes, hay que emplear muchos d´ıgitos. Sin embargo, este defecto es compensado por una serie de ventajas entre las que se encuentran: i) Las operaciones de adici´on y multiplicaci´on son particularmente simples en forma binaria.

188

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

ii) La mayor´ıa de los componentes b´asicos de las modernas computadoras (l´amparas, semiconductores, switches, diodos, rectificadores, relays, etc.) se caracterizan por la existencia de dos posiciones estables, es decir, ellos est´an siempre en uno de dos estados que corresponden convenientemente a los d´ıgitos 0 y 1 de un n´ umero binario. iii) Adem´as de la sencillez en la ejecuci´on de las operaciones aritm´eticas en el sistema binario importa, para la construcci´on de una computadora, lo que suele denominarse capacidad del sistema, entendi´endose por tal el conjunto de n´ umeros que en este sistema puede ser escrito con una cantidad determinada de d´ıgitos. Expliquemos esto con un ejemplo: Para escribir en el sistema decimal 1000 n´ umeros (de 0 a 999), se necesitan 30 d´ıgitos (10 para las unidades, 10 para las decenas y 10 para las centenas). En cambio en el sistema binario, con 30 d´ıgitos se pueden escribir 215 n´ umeros (para cada posici´on u orden binario hacen falta s´olo dos cifras 0 o 1 y, por eso 30 d´ıgitos permiten escribir n´ umeros que contienen hasta 15 ´ordenes binarios). 15 Como 2 > 1000, el sistema binario tiene mayor capacidad que el decimal. Por estas ventajas, entre otras, es que el sistema binario se ha difundido mucho en distintas ramas de la t´ecnica y en particular en las computadoras. Hemos demostrado, en esta secci´on, que todo n´ umero natural tiene una representaci´on a−naria (teorema 3.7.4). Esta propiedad se puede extender a todos los n´ umeros enteros. dado que 0 ya esta escrito en la forma: rk ak + rk−1 ak−1 + · · · + r1 a + r0 donde k es un entero no negativo y r0 , r1 , . . . , rk son enteros no negativos y menores que a. En el caso de cero, k = 0 y r0 = 0. Es decir, para cualquier entero a > 1, la representaci´on de cero en base a es: 0. Y si m es un entero negativo ¿Cu´al es su representaci´on a−naria?. Pues esta: m = −(rk ak + rk−1 ak−1 + · · · + r1 a + r0 ),

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

189

donde rk ak + · · · + r1 a + r0 es la representaci´on a−naria del natural −m. Y . . . ¿Cu´al ser´ıa la representaci´on a−naria de un n´ umero racional que no fuera entero?, o ¿acaso los quebrados no tienen este tipo de representaci´on?. Veamos el caso de la representaci´on decimal. Cuando se habla de representaci´on decimal, no s´olo se piensa en la de los n´ umeros enteros, sino que tambi´en nos vienen a la mente expresiones como estas: 1.04, 311.001, −11.9999, 3.1416, en donde aparece el famos´ısimo “punto decimal”. Al igual que en el caso de la representaci´on decimal de enteros, las expresiones con punto decimal tienen que ver con las potencias de 10. En nuestro ejemplo se tiene: 1.04 = 1 +

0 4 + = 1 + 0 × 10−1 + 4 × 10−2 10 100

311.001 = 3 × 102 + 1 × 10 + 1 +

0 10

+

0 102

+

1 1000

= 3 × 102 + 1 × 10 + 1 + 0 × 10−1 + 0 × 10−2 + 1 × 10−3 ( −11.999 = − 1 × 10 + 1 +

9 10

+

9 100

+

9 1000

)

= −(1 × 10 + 1 + 9 × 10−1 + 9 × 10−2 + 9 × 10−3 4 4 1 6 + 2+ 3+ 4 10 10 10 10 Expresiones de este tipo reciben un nombre especial: 3.1416 = 3 +

Definici´ on 3.7.3 Una fracci´ on decimal es un n´ umero racional r que, o se puede escribir de la forma: bk 10k + bk−1 10k−1 + · · · + b1 10 + b0 + c1 10−1 + c2 10−2 + · · · + cl 10−l , (3.35) donde k es un entero no negativo, l es un natural y b0 , . . . , bk , c1 , . . . , cl son enteros no negativos menores que 10, o bien, r es el inverso aditivo de un n´ umero que se puede escribir en dicha forma.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

190

La expresi´on (3.35) se denota por: bk bk−1 bk−2 · · · b1 b0 · c1 c2 · · · cl Es f´acil ver que toda fracci´on decimal se puede escribir en la forma donde d ∈ Z y m ∈ N, pues si:

d , 10m

r = bk bk−1 bk−2 · · · b1 b0 · c1 c2 · · · cl−1 cl , poniendo m = l y d = 10l r, se tiene que d = 10l r = bk bk−1 · · · b1 b0 c1 c2 · · · cl−1 cl (se “recorri´o” el punto decimal l lugares). d Entonces d es un n´ umero entero y r = 10 . An´alogamente, si r = −(bk bk−1 · · · b1 b0 · c1 c2 · · · cl ), entonces r=

−(bk bk−1 · · · b0 c1 · · · cl ) 10l

La afirmaci´on inversa tambi´en es cierta: que todo racional r de la forma 10dm , donde d ∈ Z y m es un natural entonces r es una fracci´on decimal. Este hecho es una sencilla consecuencia del teorema 3.7.4 (representaci´on a−naria), pues basta dividir la representaci´on decimal del entero d entre 10m . Hag´amoslo con unos ejemplos: 345 102

=

3×102 +4×10+5 102

= 3+

−52867 106

=

4 10

+

5 102

=

3×102 102

+

4×10 102

+

5 102

= 3.45

−(5×104 +2×103 +8×102 +6×10+7) 106

= −

(

5 102

+

2 103

+

8 104

Podemos entonces afirmar que:

+

6 105

+

7 106

)

= −(0.052867)

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

191

Teorema 3.7.5 Un n´ umero racional r es una fracci´ on decimal y si y s´olo d si puede ser escrito en la forma 10m , donde d ∈ Z y m es alg´ un natural. Por ejemplo, sea r = ab , donde a ∈ Z y b ∈ N. Supongamos que los u ´nicos divisores primos de b son 2 y 5. Tendremos entonces que b = 2α · 5β donde α y β son enteros no negativos. Si m = max {α, β} entonces 2m−α 5m−β b = 2m 5m = 10m , as´ı que r=

a 2m−α 5m−β a d = m−α m−β = m . b 2 5 b 10

Concluimos entonces que: Un racional ab en donde b es un natural cuyos u ´nicos factores primos son 2 y 5, es una fracci´on decimal. Ejemplos: 1 3 1 = 0.2, = 0.075, − = −(0.5) 5 40 2 Pero ¿qu´e pasa con n´ umeros escritos en la forma ab en donde b tiene un divisor primo que no es 2 ni es 5? De que los hay, los hay. Por ejemplo: 1 4 1 7 , , , − 16 , 30 . Resultan no ser fracciones decimal. Veamos la raz´on: 3 9 7 Supongamos que r = ab es un racional tal que b ∈ N y a y b son primos relativos (o sea que a y b no tienen divisores comunes, o lo que es lo mismo, que 1 = m.c.d. (a, b), ver ejercicio 21a) p´agina 165). Entonces la igualdad a d = m con d ∈ Z y m ∈ N b 10 nos llevar´ıa a a × 10m = bd. Si b tiene un divisor primo p que no es ni 2 ni 5, entonces b = p k para alg´ un k ∈ N y a × 10m = p · k · d.

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

192

Por lo tanto p|a · 10m y por eso p|10m (ejercicio 21b) p´agina 165). Entonces p|2m 5m y esto implica que p = 2 ´o p = 5, lo cual es falso. Por lo tanto r no se puede escribir en la forma 10dm . Resumiendo: Teorema 3.7.6 Un racional r = ab , con b ∈ N y a y b primos relativos es una fracci´on decimal si y s´olo si los u ´nicos divisores primos de b son 2 y 5. As´ı que, definitivamente, n´ umeros tan bonitos, sencillos e importantes como 13 , 17 y 49 no se pueden representar en la forma bk 10k + bk−1 10k−1 + · · · + b0 +

c1 c2 cl + 2 + ··· + l. 10 10 10

Sin embargo todo n´ umero racional, e incluso todo n´ umero irracional pueden ser aproximados por una fracci´on decimal. Ejemplos: 1. 0.3 =

3 10

0.33 =

33 102

0.333 =

333 103

<

1 3

<

4 10

<

1 3

<

34 100

= 0.34

<

1 3

<

334 103

= 0.334

= 0.4

Entonces 13 difiere de la fracci´on decimal de n d´ıgitos: 0.333 . . . 3 en menos que 101n . √ 2. Es posible aproximar 2 por “ensayo y error”.√Notemos que 12 = 1 < 2 y 22 = 4 > 2. Parece plausible entonces que 2 est´a entre una pareja de fracciones decimales 1.b y 1.(b + 1), donde 0 ≤ b < b + 1 ≤ 9. Por ensayo obtenemos: (1.1)2 = 1.21,

(1.2)2 = 1.44,

(1.3)2 = 1.69,

´ A-NARIA 3.7. REPRESENTACION

(1.4)2 = 1.96,

193

(1.5)2 = 2.25

√ Entonces 2 est´a entre 1.4 y 1.5. Si este procedimiento contin´ ua, obtenemos (1.41)2 = 1.9881, (1.42)2 = 2.0664. √ As´ı 1.41 < 2 < 1.42 (1.411)2 = 1.990921,

(1.412)2 = 1.993744,

(1.414)2 = 1.999396, √ Por ende, 1.414 < 2 < 1.415 (1.4141)2 = 1.99967881,

(1.413)2 = 1.996569,

(1.415)2 = 2.002225.

(1.4142)2 = 1.99996064,

(1.4143)2 = 2.00024549. √ y entonces 1.4142 < 2 < 1.4143 (1.41421)2 = 1.99999899241, (1.41422)2 = 2.0000181084. √ Por consiguiente 1.41421 < 2 < 1.41422 y con ello: √ 1 2 − 1.41421 < 1.41422 − 1.41421 = 0.000011 = 5 10 √ Se dice entonces que 1.41421 es una aproximaci´on a 2 con un “error” menor que 1015 . Continuando este proceso prodr´ıamos apro√ ximar 2 por medio de una fracci´on decimal con un error tan peque˜ no como queramos. El engorroso procedimiento es sin embargo tan claro que podemos aplic´arselo a cualquier n´ umero real positivo. Sea x un real cualquiera mayor que cero. Entonces buscamos dos enteros consecutivos entre los que este x: Sea m = [x]. ¡No hay otra!, porque entonces: m≤x b ⇒ a2 > b 2 (a2 = b2 ⇒ a = b) ∧ (a2 < b2 ⇒ a < b) ∧ (a2 > b2 ⇒ a > b)  Teorema 3.8.2 (3.3.5) Si b > 0 y a ∈ R, entonces √ √ (1) a = b ∨ a = − b ⇔ a2 = b √ √ (2) − b < a < b ⇔ a2 < b √ √ (3) a > b ∨ a < − b ⇔ a2 > b

´ CAP´ITULO 3. NUMEROS REALES

204

Demostraci´ b > 0 y a ∈ R, entonces √ on: Sean √ 2 a= √ b ⇒ a = b (por la definici´ o n de b. √ a√ = − b ⇒√ a2 = (−√ b)2 = b. √ − √b < a < √b ⇒ − b < a < b ∧ a √ > 0)∨ √ (− b < a < b ∧ a < 0) ⇒ (0 6 a < b) ∨ (0 < −a < b) 2 ⇒ a2√< b ∨ (−a)√ < b ⇒ a2√< b √ a > b ∨ a < − b ⇒ a > b > 0 ∨ −a > b > 0 ⇒ a2 > b. Entonces las premisas del siguiente razonamiento v´alido son verdaderas y, por consiguiente, la conclusi´on tambi´en es verdadera √ √ √ √ √ √ (a = b ∨ a = − b) ⊔ (− b < a < b) ⊔ (a > b ∨ a < − b) a2 = √ b ⊔ a2 < b ⊔√ a2 > b (a √ = b∨a= a2 = b √− b) ⇒ (− b√< a < b)√ ⇒ a2 < b (a > b ∨ a < − b) ⇒ a2 > b √ √ 2 (a2√= b ⇒ (a √ = b ∨ a = − b)) ∧ (a b ⇒ (a > b ∨ a < − b)))  Teorema 3.8.3 (3.3.10 y 3.3.12) Si c > 0, entonces (1) a = c ∨ a = −c ⇔ |a| = c (2) −c < a < c ⇔ |a| < c (3) a > c ∨ a < −c ⇔ |a| > c Demostraci´ on: Sean c > 0, entonces a = c ∨ a = −c ⇒ |a| = |c| = c ⇒ |a| = c. Si c = 0, la proposici´on −c < a < c es falsa, pero tambi´en lo es la proposici´on |a| < c, por lo que la implicaci´on −c < a < c ⇔ |a| < c es verdadera en este caso. As´ı que supondremos que c > 0 en las siguientes implicaciones −c < a < c ⇒ (−c < a < c ∧ a > 0) ∨ (−c < a < c ∧ a < 0) ⇒

´ 3.8. APENDICE 1

205

(|a| = a < c) ∨ (|a| = −a < c) ⇒ |a| < c. a > c ∨ a < −c ⇒ a > c > 0 ∨ a < −c 6 0 ⇒ (|a| = a > c) ∨ (|a| − a > c) ⇒ |a| > c. Entonces las premisas del siguiente razonamiento v´alido son verdaderas y, por consiguiente, la conclusi´on tambi´en es verdadera (a = c ∨ a = −c) ⊔ (−c < a < c) ⊔ (a > c ∨ a < −c) |a| = c ⊔ |a| < c ⊔ |a| > c (a = c ∨ a = −c) ⇒ |a| = c (−c < a < c) ⇒ |a| < c (a > c ∨ a < −c) ⇒ |a| > c (|a| = c ⇒ (a = c ∨ a = −c)) ∧ (|a| < c ⇒ (−c < a < c)∧ (|a| > c ⇒ (a > c ∨ a < −c)) 

Cap´ıtulo 4 FUNCIONES §1

4.1.

Introducci´ on

Una gran parte de las matem´aticas y las ciencias naturales est´a dominada por relaciones entre magnitudes. En la naturaleza esto puede explicarse porque los distintos objetos y fen´omenos que observamos suelen estar muy relacionados unos con otros. El hombre conoce desde hace tiempo las relaciones m´as sencillas de este tipo, y este conocimiento se halla expresado en las leyes f´ısicas, las cuales indican que las diferentes magnitudes, aunque a veces aparentemente sean muy distintas, est´an tan ´ıntimamente relacionadas que algunas de ellas quedan completamente determinadas o est´an en “funci´on” de los valores de las dem´as. Una relaci´on de este tipo se llama relaci´ on funcional. Ejemplos: 1. Principio de Arqu´ımedes “Un cuerpo s´olido al ser sumergido en un l´ıquido, sufre una disminuci´on de peso igual al volumen del l´ıquido desplazado”. La disminuci´on del peso se interpreta actualmente como una fuerza o empuje que el l´ıquido ejerce sobre el l´ıquido. Si llamamos F a esta

206

´ 4.1. INTRODUCCION

207

fuerza y P al peso del volumen del l´ıquido desplazado, el principio de Arqu´ımedes queda expresado por la f´ormula F = P.

(4.1)

V

F

Tenemos un s´olido sumergido en un l´ıquido y podemos efectuar diversas mediciones. Por una parte, mediante una balanza, podemos medir la diferencia entre el peso del objeto cuando se halla fuera del l´ıquido y cuando se encuentra dentro de ´el. Por otra parte, podemos ver la diferencia en el nivel del l´ıquido cuando el s´olido est´a fuera y dentro de ´el. Con esto podemos saber el volumen del l´ıquido desplazado y pesar un volumen igual de l´ıquido. Obtenemos as´ı dos magnitudes que quedar´an expresadas en n´ umeros y cada uno de ellos los obtenemos por m´etodos diferentes. El principio de Arqu´ımedes nos dice que estos dos n´ umeros, que no ten´ıan por qu´e guardar alguna relaci´on, s´ı est´an relacionados: ¡los dos son iguales!. 2. Ley de las Palancas “En una palanca en equilibrio: los pesos colocados M1 y M2 son inversamente proporcionales a las longitudes de los brazos de la palanca l1 y l2 : M1 l2 = . M2 l1

′′

Aqu´ı, nuevamente dos n´ umeros que se pueden obtener por m´etodos l2 M1 muy distintos, M2 y l1 , resultan ser iguales.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

208 l1

l2

M2 M1

Si fijamos l1 y M1 y tomamos para cada peso M la distancia l a la cual debe colgarse para que la palanca est´e en equilibrio, la relaci´on entre l y M queda expresada as´ı: l=

l1 M 1 k = M M

(4.2)

siendo k = l1 M1 una constante. En (4.2) se ve claramente c´omo l es funci´on de M . Arqu´ımedes, quien tambi´en descubri´o esta ley, no lleg´o a expresarla en esta forma y esto puede deberse a que los griegos no trabajaban con n´ umeros reales, sino s´olo con magnitudes. Ellos sab´ıan qu´e significaba multiplicar dos distancias: una ´area. Pero ¿qu´e significaba multiplicar dos magnitudes tan distintas como un peso y una longitud? 3. Ley de Hooke “El alargamiento de un resorte es proporcional al peso que se le cuelga”. Si representamos con a el alargamiento de un resorte y por M el peso que se le cuelga, la ley de Hooke se˜ nala que existe un n´ umero k que no depende del peso (s´olo depende del resorte) tal que para valor de M , hay un u ´nico valor de a determinado por la f´ormula: a = kM es decir, a es funci´on de M .

(4.3)

´ 4.1. INTRODUCCION

209

´ n Universal (Newton). 4. Ley de la Gravitacio “Dados dos cuerpos de masas M y M ′ situados a una distancia r entre ellos, se atraen con una fuerza F =G

MM′ r2

(4.4)

donde G es una constante que no depende de M , de M ′ ni de r”. La f´ormula (4.4) expresa c´omo F est´a en funci´on de M , M ′ y r: a cada terna de valores, uno para M , otro para M ′ y otro para r, le asigna un u ´nico valor para F . 5. Ley de Caida Libre de los Cuerpos (Galileo). “Supongamos que en un cierto instante un cuerpo que estaba en reposo comienza a caer por la acci´on de la gravedad. La distancia s recorrida por el cuerpo en el tiempo t est´a expresada por la f´ormula S=

gt2 2

(4.5)

donde g es la aceleraci´on de la gravedad y es una constante que no depende del tiempo”. La f´ormula (4.5) permite calcular el valor de S para cualquier valor dado de t, es decir, S est´a determinado por t. Tambi´en nos asegura que S no depende de la masa del cuerpo (como cre´ıan los griegos). Podemos tambi´en considerar el alargamiento de una varilla met´alica como funci´on de su temperatura, la presi´on de un gas como funci´on de su densidad y de la temperatura, etc. En general, siempre que los valores de ciertas cantidades a, b, c, . . . , est´an determinadas completamente por los valores de otras cantidades x, y, z, . . . . A las variables a, b, c, . . . suele llam´arseles variables dependientes y a los valores x, y, z, . . . , variables independientes. En nuestros ejemplos (1)–(5), la dependencia de las variables dependientes con respecto a las variables independientes, est´a expresada

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

210

mediante f´ormulas algebraicas que nos dicen c´omo calcular el valor de la variable dependiente que corresponde a valores dados de las variables independientes. En (1) F y P pueden ser consideradas ambas como variables independientes. Cada valor de P determina un u ´nico valor de F y cada valor de F determina un u ´nico valor de P . Por esto mismo cada una de ellas puede ser considerada como variable dependiente ya que cada una es funci´on de la otra. En la f´ormula (2) l est´a expresada en funci´on de M . M es la variable independiente y l es la variable dependiente, aunque tambi´en podemos considerar a l como variable independiente y a M como variable dependiente, porque M depende tambi´en de l: por valor de l (distinto de cero) M tiene un u ´nico valor determinado por la f´ormula M=

k . l

La f´ormula (5) expresa S en funci´on de t, es decir, t, es la variable independiente y S es la variable dependiente. ¿Se puede considerar a S como la variable independiente y a t como la variable dependiente?, es decir, ¿Podemos expresar a t en funci´on de s?. La respuesta a esta pregunta es No, si no restringimos los valores que puede tomar t, ya que para cada valor de S hay dos (y no uno) valores de t que satisfacen la ecuaci´on (5), a saber √ √ 2S 2S t= t=− . g g Sin embargo, la f´ormula (4.5) es una ley f´ısica en la que la variable t representa el tiempo transcurrido desde que un objeto comienza a caer por la acci´on de la gravedad y esta interpretaci´on f´ısica limita los valores que puede tomar t a t ≥ 0. Con esta restricci´on, t est´a completamente determinada por S mediante la f´ormula √ 2S t= g

´ 4.1. INTRODUCCION

211

y as´ı S es la variable independiente y t es la variable dependiente. Por medio del c´alculo (diferencial e integral) se resuelven algunos problemas t´ıpicos en los que es esencial percibir las variables comprendidas en las situaciones particulares y conocer la relaci´on matem´atica que existe entre esas variables y es pertinente se˜ nalar que a veces no es sencillo obtener una f´ormula que las relacione. Ejemplos: 1. A partir de un cart´on cuadrado de 40 cm de lado hagamos una caja rectangular sin tapa, de altura x. Esto lo hacemos recortando cuadrados de igual tama˜ no en las cuatro esquinas del cuadrado y doblando las cejas con el fin de formar los lados de la caja.

40 - 2 x

40 cm

Las dimensiones de la caja ser´an: longitud: (40 − 2x)cm, ancho: (40 − 2x)cm, altura: xcm. El volumen de la caja ser´a el producto de estas tres dimensiones: V = (40 − 2x)2 x.

(4.6)

Esta f´ormula expresa V como funci´on de x y es muy u ´til para encontrar cu´ales deben ser las dimensiones de la caja (cu´al debe ser x) para que su volumen sea m´aximo. El problema se resuelve con m´etodos de c´alculos y no lo haremos aqu´ı. Otro problema que se resuelve en c´alculo es el siguiente. 2. Tenemos que proyectar una lata de aceite en la forma de un cilindro recto y se nos dice que debe contener un litro de aceite.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

212

¿Cu´ales deben ser las dimensiones de la lata para que su manufactura requiera de la m´ınima cantidad de metal?. Queremos que la superficie de la lata tenga ´area m´ınima. No es dif´ıcil encontrar una f´ormula para el ´area de dicha superficie en t´erminos del radio r de la lata y de su altura h. La tapa y el fondo de la lata son discos de radio r. Consecuentemente el ´area de la tapa es πr2 y tambi´en es esa el ´area del fondo. Para hallar el ´area lateral de la lata imaginemos que la cortamos sin tapa ni fondo desde arriba hasta abajo y despu´es la aplanamos para formar un rect´angulo, como se muestra en las figuras siguientes. cortamos la lata sin tapas

La aplanamos 2pr

Encontramos la h

superficie del rectángulo

La altura del rect´angulo es la misma que la altura h de la lata, mientras que el ancho del rect´angulo es igual a la circunferencia de la lata que es 2πr. El ´area de este rect´angulo es 2πrh y es el ´area lateral de la lata. Si A es el ´area total de la lata, tenemos entonces que A= π r2 + |{z} π r2 + 2π |{z} | {zr h} , area de la tapa

area del fondo

area lateral

es decir, A = 2πr2 + 2πrh.

(4.7)

Hemos logrado expresar A en funci´on de r y de h. El resto del problema suele resolverse con t´ecnicas de c´alculo usando la f´ormula 4.7. Aq´ı s´olo diremos que la soluci´on del problema se puede simplificar si encontramos una f´ormula que exprese A en funci´on de una sola

´ 4.1. INTRODUCCION

213

variable y no de dos como en 4.7. Para hallar una f´ormula as´ı, usaremos los datos del problema: Nuestra lata debe contener un litro de aceite, es decir, 1000 cm3 de aceite. Como el volumen de un cilindro recto de radio r y altura h est´a expresado por la f´ormula Volumen = π r2 h, debemos escoger las dimensiones de r y h de tal forma que la siguiente ecuaci´on se satisfaga: 1000 = π r2 h

(r y h medidas en cm).

N´otese que para cada valor de r distinto de 0, hay uno y s´olo un valor de h dado por la f´ormula h=

1000 π r2

(4.8)

h es, por tanto, funci´on de r. Combinando las f´ormulas (4.7) y (4.8) podemos ver que el ´area del cilindro es funci´on de su radio: ( ) 1000 2πr3 + 2000 2 A = 2π r + 2πr = , r ̸= 0 (4.9) πr2 r

Ejercicios 1. 1. Cada una de las siguientes ecuaciones describe una relaci´on entre dos variables. Decir en cada caso cu´al es (o cu´ales pueden) la variable (o variables) dependiente(s): a) u + 3v − 7 = 0.

f ) |r| = s.

b) (r − 4)2 + (x − 1)2 = 1.

g) w =

c) th = 100.

h) p2 = q .

d ) 4w2 − 5r = 20.

i ) a = kM .

e) uv 2 = 8.

j ) y = x2 , x ≥ 0.

z−4 . z−2 4

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

214 ′

2. Dada la f´ormula F = G MrM (G constante). 2 a) ¿Cu´ales pueden ser las variables dependientes? b) Si r = 0, ¿la f´ormula asigna a F un valor? c) ¿Qu´e restricci´on se le debe imponer a r para que F sea funci´on de r (y de M y M ′ )? d ) ¿Qu´e restricciones se les debe imponer a r y a F para que r sea funci´on de M , M ′ y F ? 3. ¿En cu´ales de las siguientes relaciones se define y como funci´on de x? √ a) |x − y| = 0. c) y = − 1 − x2 . e) x2 + y 2 = 1. √ b) |x − y| = 1. d ) x = 1 − y2. f ) x2 + y 2 = −1. 4. Una bola de boliche de 8 cm de radio est´a cubierta con una capa de hielo; expresar el volumen de hielo como una funci´on de su espesor (recordar que el volumen de una esfera es 43 πr3 ). 5. Expresar el volumen de una esfera como funci´on de su ´area. (Para una esfera, el ´area es 4πr2 ). 6. Expresar el per´ımetro de un tri´angulo equilatero como funci´on de su altura. 7. Expresar el ´area de un tetraedro como funci´on de su arista. 8. Un rect´angulo se inscribe en un c´ırculo de radio 10. Expresar el ´area del rect´angulo como funci´on de la longitud de su lado mayor.

´ 4.2. FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCION

215

§2

4.2.

Formas de definir una funci´ on

Al principio de este cap´ıtulo dijimos que una relaci´on o ley funcional es una regla mediante la cual se expresa que ciertas cantidades (variables dependientes) dependen de otras (variables independientes). A estas leyes o reglas de correspondencia que asignan valores u ´nicos de las variables dependientes a valores dados de las variables independientes, se les llama funciones. La dependencia de y con respecto a x por medio de una funci´on (regla funcional) f , es indicada por la expresi´on “y es funci´on de x” y suele escribirse y = f (x). f (x) es alguna expresi´on que nos explica c´omo est´an relacionadas las variables x y y, es decir, nos explica c´omo se le asocia a cada valor de x un u ´nico valor de y. Por eso tambi´en usaremos la notaci´on y = f (x) para indicar que y es el valor asociado a x por la funci´on o regla de correspondencia f . Si, por ejemplo, escribimos y = f (x) = x2 + 1, con ello queremos decir que y depende de x y que esta dependencia est´a expresada mediante la funci´on o regla f que a cada valor de x le asocia el u ´nico valor de y dado por f (x) = x2 + 1. As´ı, al valor x = 0, f le asocia el valor de y = f (0) = 0 + 1 = 1, si x = 1, y valdr´a f (1) = 1 + 1 = 2 y si x = ⋆, y valdr´a f (⋆) = ⋆2 + 1. Note que f no es variable, sino que es una regla que relaciona dos variables. Si escribimos y = y(x), sobreentenderemos que y depende de x mediante una funci´on f que a cada x le asocia el valor y(x), es decir y(x) = f (x). Si y es funci´on de las variables x1 , x2 , . . . , xn mediante una funci´on f , se escribir´a y = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Ejemplos: 1. la f´ormula (4.6), V = (40−2x)2 x, expresa el volumen de una caja en funci´on de su altura x. Estas cantidades est´an relacionadas mediante la funci´on o regla de correspondencia f que a cada valor

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

216

de x le asocia un u ´nico valor de V dado por la siguiente f´ormula V = f (x) = (40 − 2x)2 x. Esta f´ormula es una expresi´on algebraica de la funci´on f . Podemos escribir simplemente V (x) = (40−2x)2 x para indicar que V depende de x y que V (x) es el volumen de la caja cuando su altura vale x, por ejemplo V (1) = f (1) = (40 − 2(1))2 (1) = 382 = 144 cm3 . V (10) = f (10) = (40 − 2(10))2 (10) = 4000 cm3 . V (20) = f (20) = (40 − 2(20))2 (20) = 0 V (5) = f (5) = (40 − 2(5))2 (5) = (30)2 (5) = 900 × 5 = 4500 cm3 . Si z y ⋆ representan n´ umeros a) Cuando x = z, V (z) = (40 − 2z)2 z. b) Cuando x = ⋆, V (⋆) = (40 − 2⋆)2 ⋆. 2. La f´ormula (4.9) 2πr3 + 2000 A= r indica que A es funci´on de r. Si escibimos A(r) =

2πr3 + 2000 r

queremos decir con ello que A es funci´on de r y que las variables A y r est´an relacionadas mediante una funci´on f que asocia a cada valor de r (distinto de cero) un u ´nico valor de A dado por la f´ormula (4.9). La funci´on f se puede expresar mediante la f´ormula algebraica f (r) =

2πr3 + 2000 , r

r ̸= 0.

´ 4.2. FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCION

217

(0, s ) (a, b )

(t ,0)

Se tiene tambi´en A(1) =

2π+2000 1

A(2) =

16π+2000 2

= 2π + 2000 = 8π + 1000

A(10) = 1000(π + 1) √ A( 3 2) = A(⋆) =

√ 2π( 3 2)3 +2000 √ 3 2

=

4π+2000 √ 3 2

2π⋆3 +2000 . ⋆

3. En el plano cartesiano con ejes X y Y (conjunto de parejas (x, y), donde x, y ∈ R) tomemos un punto (a, b), con a ̸= 0 y b ̸= 0. Daremos a continuaci´on una regla de correspondencia o funci´on que asociar´a a cada n´ umero real x distinto de a un u ´nico n´ umero real s. Para definir dicha regla, tomaremos un n´ umero real cualquiera t ̸= a y diremos c´omo le asociaremos un n´ umero s perfectamente determinado por t. Nuestra funci´on sera la regla que a cada t le asocia s. Sea entonces t un n´ umero real distinto de a. El punto (t, 0) es un punto del eje X en el plano. Sea l la recta que pasa (a, b) y (t, 0). l intersecta al eje Y en un u ´nico punto (0, s). Sea s = f (t). Si hacemos variar t por todos los reales menos el real a, variar´a dependiendo de t mediante la funci´on f expresada por medio de la construcci´on que hicimos

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

218

No es dif´ıcil convencerse de que esta funci´on f puede tambi´en expresarse algebraicamente. Dado el punto (t, 0), la ecuaci´on de la recta que pasa por los puntos (t, 0) y (a, b) es b (x − t). a−t Esta recta intersecta al eje Y cuando x = 0. Pero en este caso y=

y=

−bt , a−t

bt as´ı que s = t−a . Por lo tanto s = f (t) = braica para f .

bt t−a

es la expresi´on alge-

Vemos entonces que una funci´on puede expresarse de maneras diferentes. De hecho, para definir una funci´on no necesitamos dar siempre una f´ormula algebraica. Por ejemplo, un dispositivo mecanico puede darnos una regla que a cada n´ umero real le asocie un punto del plano, es decir, una pareja (x(t), y(t)) de n´ umeros que dependen de t. As´ı, si un punto P est´a sobre una circunferencia que rueda a lo largo del eje X, describe una curva llamada cicliode. Si t es el ´angulo P OT de la figura siguiente, la posici´on P = (x(t), y(t)) depende de t.

O

P

t T

Esta regla, a diferencia de las funciones que hasta ahora hemos trabajado, no asocia a cada n´ umero otro n´ umero o a cada valor de la variable t un valor que sea un n´ umero real, sino que asigna a cada t un u ´nico punto en el plano que es la posici´on del punto P . Esta regla tambi´en ser´a funci´on para nosotros. En nuestro ejemplo (4) de la p´agina 209, F , la fuerza con que se atraen

´ 4.2. FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCION

219

dos cuerpos es funci´on de las masas M , M ′ de ellos y de la distancia r que los separa. La funci´on f que expresa esta relaci´on, se escribe algebraicamente as´ı F = f (M, M ′ , r) = G

MM′ , r2

r ̸= 0.

Independientemente de las interpretaciones f´ısicas de M , M ′ , r y F , y si denotamos por R3 al espacio (R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}) f es una regla que a cada punto de R3 − {(x, y, 0) | x, y ∈ R} le asocia un n´ umero xy real (el real f (x, y, z) = G z2 ). f ser´a tambi´en una funci´on. As´ı mismo, podemos describir el movimiento de un cuerpo en el plano o en el espacio mediante funciones que nos hagan ver c´omo depende la posici´on de un cuerpo del instante en que se encuentre. Por ejemplo: A cada valor de t en los reales le podemos asignar un u ´nico punto P del plano dado por la regla P = f (t) = (t, −t2 ). Si se interpreta a t como el tiempo, f describe la localizaci´on de P en el tiempo t. En los ejemplos (3) de la p´agina 217 y en el ejemplo del cicliode de la p´agina 218, vimo que para definir una funci´on no es necesario hacerlo mediante una f´ormula algebraica. El concepto de funci´on es m´as amplio que el de f´ormula; adem´as, como advertimos en el u ´ltimo ejemplo, incluiremos como funciones reglas que no necesariamente a cada n´ umero real otro n´ umero real. Y ahora, antes de que otra cosa suceda, daremos la siguiente definici´on. Definici´ on 4.2.1 Una funci´ on es una regla que asocia a cada elemento de un cierto conjunto A un u ´nico elemento de un conjunto B. Al conjunto A suele llam´arsele dominio de la funci´ on y al conjunto B codominio (o contradominio) de la funci´ on.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

220

Para indicar que f es una funci´on con dominio A y codominio B, f se escribe f : A → B o A → B. A veces escribiremos Dom f o Df para referirnos al dominio de una funci´on f y Cod f para referirnos al codominio. Ejemplos: 1. La funci´on idA : A → A tal que para cada a ∈ A, idA (a) = a. Aqu´ı A es un conjunto cualquiera. Esta funci´on es llamada funci´ on identidad en A. 2. Si C ⊆ A, la funci´on j : C → A tal que para cada c ∈ C, j(c) = c, se llama la inclusi´ on de C en A. 3. Si A y B son conjuntos no vac´ıos y b0 ∈ B, podemos definir una funci´on g : A → B tal que para todo a ∈ A, g(a) = b0 . Tal funci´on es llamada funci´ on constante b0 . 4. Si f : A → B es una funci´on y C ⊆ A, entonces tambi´en es funci´on g : C → B tal que g(c) = f (c) para toda c ∈ C. Esta funci´on se llama la restricci´ on de f a C y se denota por f |C . Ahora, dada una funci´on f : A → B la naturaleza de los conjuntos A y B est´a estrechamente relacionada con la regla de correspondencia f : El dominio de una funci´on debe ser un conjunto tal que si x es un elemento de ´el debemos poder asignarle a x, mediante la funci´on, un elemento bien definido (y u ´nico) del codominio B. Ejemplos: 1. Si f es la funci´on dada por la f´ormula S = f (t) =

bt t−a

donde b y a son n´ umeros reales y s y t toman valores reales, no sabemos mediante dicha f´ormula que valor real de S le corresponde al valor t = a. De esta suerte, si el codominio es R (o un subconjunto de R), el dominio no puede ser R pues a no esta en el dominio.

´ 4.2. FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCION

221

2. Las leyes de la naturaleza no siempre son ciertas para todos los valores de las magnitudes que en ellas aparecen. Por ejemplo, la ley de Hooke que expresa que el alargamiento de un resorte es proporcional al peso que se le cuelga (a = kM ), s´olo se cumple si el peso M es relativamente peque˜ no. Cuando ponemos un peso demasiado grande la ley ya no se cumple, si el peso es excesivo, incluso se rompe el resorte. S´olo podemos asegurar que la ley es v´alida en un cierto intervalo: cuando M var´ıa entre 0 y 10 kg, por ejemplo. En este caso la que a cada M le asocia el alargamiento a = kM , no tiene sentido si M < 0 o si M > 10. As´ı que esta funci´on tiene un dominio que est´a contenido en el intervalo [0, 10] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 10}. 3. Supongamos que la f´ormula A(r) =

2πr3 + 2000 r

expresa el ´area de la superficie de una lata en funci´on de su radio r. Dicha ´area es un n´ umero real, as´ı que el codominio de esta funci´on es un subconjunto de R y esto impone la restricci´on r ̸= 0 ya que en R est´a penada la divisi´on entre cero. Adem´as, como r representa la longitud de una lata real y no puede tomar valores negativos, el dominio de la funci´on debe estar contenido en el conjunto {r ∈ R | r > 0}. Como se ve, restricciones algebraicas y f´ısicas suelen limitar el dominio y el codominio de una funci´on. Aunque generalmente la descripci´on de una funci´on incluye una definici´on de su dominio y de su codominio, en c´alculo, en donde se trabaja casi siempre con n´ umeros reales, suele no mencionarse expl´ıcitamente el dominio y el codominio de las funciones. Esto se debe a que el dominio puede ser bastante claro seg´ un el contexto o el problema que estamos resolviendo y el codominio casi siempre es R. Por ejemplo, el ejemplo (1) de la p´agina 211, V = (40 − 2x)2 x

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

222

la obtuvimos al tratar de resolver el problema de construir una caja de volumen m´aximo a partir de un cuadrado de cart´on de lado 40 cm. Esta f´ormula es la expresi´on algebraica de una funci´on f que asigna a cada altura x un volumen V . La regla V (40 − 2x)2 x = f (x), independientemente de la interpretaci´on f´ısica de V , tiene sentido para cada n´ umero real x (es decir, si el codominio es R, no hay restricciones algebraicas). Pero en nuestro problema, x representa una longitud y por lo tanto, no puede tener un valor negativo. Tambi´en, como el cart´on es de 40 cm de lado, es imposible recortarle cuadrados en las esquinas de mas de 20 cm de ancho. Estas limitaciones f´ısicas implican que x debe tener un valor entre 0 y 20 cm. Entonces, si no se mencionan expl´ıcitamente el dominio y el codominio de f , supondremos en este problema que el codominio es R y que el dominio es el intervalo: [0, 20] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 20}.

En c´alculo es usual hacer la siguiente convenci´on, que algunos autores conocen con el nombre de regla del m´ aximo dominio: “El dominio de cualquier funci´on que se nos presente como una f´ormula algebraica para n´ umeros reales fuera de cualquier contexto f´ısico determinado, suponemos autom´aticamente que consta de todos los elementos posibles para los cuales tiene sentido la f´ormula, a menos que sean mencionadas expl´ıcitamente restricciones adicionales”. Por ejemplo, ¿Cu´al es el dominio de la funci´on h dada por la f´ormula h(w) = √

1 ? w − w2 + 6

En esta f´ormula hay dos consideraciones de tipo algebraico que afectan los posibles valores de w. Primera, el dominador no puede ser igual a cero y, segunda, la cantidad bajo el signo del radical no puede ser

´ 4.2. FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCION

223

negativa. Estas condiciones se deben cumplir para poder calcular h(w) a partir de w. Combinadas, estas condiciones nos dicen que w − w2 + 6 debe ser positiva w − w2 + 6 > 0 pero, w − w2 + 6 = (3 − w)(2 + w). Por lo tanto, w debe ser escogido de tal suerte que (3 − w)(2 + w) > 0, lo cual se satisface si y s´olo si (3 − w) > 0 y (2 + w) > 0 o bi´en, (3 − w) < 0 y (2 + w) < 0. En el primer caso las dos desigualdades pueden escribirse como 3>w

y w > −2,

o como

−2 0 (¿por qu´e?) y la pregunta es ¿para todo y > 0 existe w ∈ (−2, 3) tal que y = h(w)?. Veamos: para y > 0 y w ∈ (−2, 3) se tiene que y = h(w) ⇔ y 2 = w−w12 +6 ⇔ w − w2 + 6 = y12 ⇔ w2 − w − 6 + y12 = 0 ( )2 ⇔ w − 12 = 25 − y12 (completando cuadrados) 4

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

224

y esta u ´ltima ecuaci´on tiene soluci´on para w si y s´olo si 25 1 − 2 ≥0 4 y y esto u ´ltimo es v´alido si y s´olo si y ≤ − 25 , ( )2 y como tenemos la condici´on de que y > 0, entonces w − 21 = 25 − y12 4 tendr´a soluci´on si y s´olo si y ≥ 32 y por lo tanto el conjunto

lo cual es equivalente a

1 y2

≤

25 4

{h(w) | w ∈ (−2, 3)} = {y ∈ R | y = h(w) para alg´ un w ∈ (−2, 3)} es igual a

{

2 y ∈ R| y ≥ 5

}

[

) 2 = ,∞ . 5

A este conjunto se le conoce como la imagen de h. En general tenemos la siguiente definici´on. Definici´ on 4.2.2 Sea f : A → B una funci´on. Al conjunto Im f = {f (x) : x ∈ A} se le llama la im´ agen de f .

Ejercicios 2. 1. Use la regla f (L) = 7L + 48 para encontrar L √ a) f (4) d ) f ( 2) g) f (x + h) √ b) f (5) e) f (3 + 2) h) f (π 2 ) c) f (x)

f ) f (3 + h)

2

i ) f (x )

2. Use la regla g(s) = 600s − 12 s2 para calcular

j ) f (4π) k ) f (4t) l ) f (8/7)

´ 4.2. FORMAS DE DEFINIR UNA FUNCION

225

a) g(100)

d ) g(2000)

g) g(x + π)

j) g

b) g(400)

e) g(π)

h) g(x + h)

k) g

c) g(700)

f ) g(x)

i ) g(2 + 3k)

3. La regla H : R → R tal que H(x) =

{

(1) ( 1π ) 4

√ l ) g( 2)

0 si x < 0 1 si x ≥ 0

¿es funci´on?. Si lo es, encuentre H(3), H(−5), H(0) y H(|x|). 4. Sean: B H F P M

el conjunto de los seres humanos. el conjunto de los hombres. el conjunto de las mujeres. el conjunto de los hombres que tienen hijos. el conjunto de las mujeres que tienen hijos.

Diga cu´ales de las siguientes reglas son funciones (en este problema se est´a denotando por f : A → C a alguna regla entre los elementos de A y los de C, aunque no sea funci´on). a) f1 : B → N ∪ {0} tal que f1 (b) = edad en a˜ nos de b. b) f2 : B → B tal que f2 (b) = madre de b. c) f3 : B → M tal que f3 (b) = madre de b. d ) f4 : B → B − M tal que f4 (b) = madre de b. e) f5 : H → B tal que f5 (h) = hijo de h. f ) f6 : B → B tal que f6 (b) = hijo de b. g) f7 : H → B tal que f7 (h) = hijo mayor de h. h) f8 : P → B tal que f8 (p) = hijo mayor de p. i) f9 : F → ℘(B) tal que f9 (m) = conjunto de hijos de m. j ) f1 0 : P → ℘(B) tal que f1 0(p) = conjunto de hijos de p. k ) + : R2 → R tal que a cada pareja de n´ umeros reales le asocia su suma: +(a, b) = a + b.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

226

l ) ∗ : R2 → R tal que a cada pareja de n´ umeros reales le asocia su producto: ∗(a, b) = ab. m) − : R2 → R+ tal que a cada pareja de n´ umeros reales le asocia su resta: −(a, b) = a − b (recordar R+ = {x ∈ R | x > 0}). n) d : {(a, b) ∈ R2 | b ̸= 0} → R tal que d((a, b)) = ab . n ˜) Si A es el conjunto de proposiciones l´ogicas, la regla L : A → {V, F } dada por

{ L(p) =

V si p es verdadera F si p es falsa

o) f : R → R tal que a cada x le asocia un n´ umero ???? cuadrado es x. 5. Determinar el dominio m´aximo de cada una de las siguientes funciones: a) y = 3x − 7 b) y = c) w = d) y =

1 x−4 1 (z−8)(z+5) √

1 2x2 −3x−5

e) y =

|x| x

f ) y = [x] g) y = [3x2 + 7] h)

x [x]

=y

6. Hallar la im´agen de cada una de las siguientes funciones: a) f : N → N dada por f (n) = 2n − 1, b) f : R → R dada por f (x) = x2 − 16, c) f : R → R dada por f (x) = −x2 + 2, d ) f : R → R dada por f (x) = x3 .

4.3. IGUALDAD DE FUNCIONES

227

7. Sea f : [−1, 1] → R dada por   f (x) =



√ 1 1−x2

si x ̸= 1 y x ̸= −1

0

si x = 1 o x = −1.

Calcular {f (x) | x ∈ [0, 1]}, {f (x) | x ∈ [−1, 0]}, {f (x) | x ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1]}, y la Im f .

§3

4.3.

Igualdad de funciones

Como nos percatamos en los ejercicio anteriores (ver ejercicio 4, p´agina 225), no podemos dejar de mencionar tres cosas para definir bien una funci´on: un dominio, un codominio y una regla de correspondencia propiamente dicha. La sola menci´on de la regla no es suficiente para poder hablar de una funci´on (a menos que sean obvios el dominio y el codominio por el contexto donde se trabaje). Supongamos que P = {n ∈ N | n es par} y que f : P → Z, es la funci´on que a cada natural par n, le asocia el entero n2 . Si cambiamos el dominio de esta regla, a N en vez de P , deja de ser funci´on dado que 3 ∈ N y no le asocia ning´ un entero. An´alogamente, si cambiamos el codominio, aunque la regla de correspondencia y el dominio permanezcan iguales, la funci´on cambia o incluso la relaci´on deja de ser funci´on: por ejemplo, la funci´on f : N → Q que a cada n ∈ N le asocia el n´ umero n2 , deja de ser funci´on si en vez de Q ponemos a Z como codominio. Ahora, ¿por qu´e no son iguales las funciones f : N → N y g : N → Q dadas por f (n) = g(n) = n?. Porque tienen, en cierto modo, propiedades distintas. Por ejemplo, g puede ser “partida”, en el sentido de que pode-

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

228

( ) mos formar una nueva funci´on 12 g : N → Q dada por 21 g (n) = 12 n, y esta construcci´on no se puede hacer con f sin alterar su codominio. As´ı que dos funciones que no tengan el mismo dominio, o no tengan el mismo codominio, aun teniendo la misma regla de correspondencia, para nosotros ser´an diferentes. Claramente, aunque dos funciones f, g : A → B tengan el mismo dominio y el mismo codomonio, si su regla de correspondencia no es la misma, las funciones no pueden ser iguales. En este caso existe por lo menos un elemento a del dominio com´ un de f y g tal que f (a) ̸= g(a). Decir que dos reglas de correspondencia sean iguales significa que a cada elemento de sus dominio le asocien, una y otra, exactamente el mismo elemento del codominio. En realidad es como si se tratara de una sola regla de correspondencia expresada de dos maneras distintas. Resumiremos todo esto en una sola definici´on. Definici´ on 4.3.1 Dos funciones, f : A → B y g : C → D son iguales si A = C, B = D y si para cada a ∈ A f (a) = g(a). Ejemplos: 1. Las funciones f, g : R − {1} → R definidas por f (x) =

x2 − 1 x−1

y

g(x) = x + 1

son iguales. ¿Por qu´e?. 2. La funci´on f : R − {a} → R dada por la construcci´on de nuestro ejemplo (3) de la p´agina 217: “a cada t le asociamos un s elemento de R de la siguiente manera: (s, 0) es el punto de intersecci´on de la recta que pasa por los puntos (t, 0) y (a, b) con el eje Y ”, es igual bt a la funci´on g : R − {a} → R tal que g(t) = t−a . Se queda como ejercicio probar que si C ⊆ A y j : C → A es la inclusi´on de C en A (recordar que ∀ c ∈ C j(c) = c) entonces j = idA |C . §4

´ ´ 4.4. GRAFICA DE UNA FUNCION

4.4.

229

Gr´ afica de una funci´ on

A menudo es necesario en Matem´aticas y en la ciencia, construir gr´aficas de funciones que se expresan mediante alguna f´ormula algebraica. De este modo se comprende mejor de qu´e forma particular depende una variable de otra. Hablaremos primero de las gr´aficas de funciones reales de variable real (funciones con dominio y codominio en R). Resulta u ´til hacer 2 los dibujos de estas gr´aficas en el plano cartesiano R con sus ejes perpendiculares: uno que representa los valores de la variable independiente y el otro que representa los valores de la variable dependiente. La gr´afica de una funci´on es entonces un subconjunto de R2 . Aclaremos cu´al es. Definici´ on 4.4.1 Sean D ⊆ R y f : D → R una funci´on. La gr´ afica de f es el conjunto Gf de puntos (x, y) del plano, con x ∈ D y y = f (x). En otras palabras Gf = {(x, y) | x ∈ D y y = f (x)} = {(x, f (x)) | x ∈ D}. Si f est´a dada mediante una f´ormula algebraica, su gr´afica es el conjunto de los puntos (x, y) cuya ordenada y est´a ligada con la abscisa mediante la f´ormula dada. Podemos obtener una interpretaci´on geom´etrica de la gr´afica de las funciones reales, localizando en un sistema de coordenadas cartesiano, los elementos de la gr´afica de la funci´on. Ejemplos: 1. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y f : A → R la funci´on dada mediante la siguiente regla: f (a) = n´ umero de letras del nombre en espa˜ nol de n´ umero a. Por ejemplo, f (3) = 4 porque 4 letras tiene la palabra tres. La gr´afica de la funci´on es Gf = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 4)} y su interpretaci´on geom´etrica son los puntos que se muestran en la figura:

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

230 Y (4,6) 6

5 4 3 2 1

(5,5) (6,4)

(3,4) (1,3) (2,3)

1 2

X

3 4 5 6

2. Sean A = N y f : A → R dada por f (n) = n1 . Los elementos de la gr´afica de f son: { ( ) ( ) ( ) ( ) } 1 1 1 1 Gf = (1, 1), 2, , 3, , 4, , . . . , n, , ... . 2 3 4 n Algunos elementos de Gf se ilustran en la siguiente figura: Y

(1,1)

1 2 1 3

æ 1ö ç 2, ÷ è 2ø æ 1ö ç 3, ÷ è 3 øæ 1 ö ç 4, ÷ è 4 ø æç 6, 1 ö÷ è 6ø 1 2

3 4

6

1 ö æ ç16, ÷ è 16 ø

æ 1ö ç 8, ÷ è 8ø

X

16

8

3. Sea g : R → R dada por g(x) = |x|. La gr´afica de g es Gg = {(x, y) ∈ R2 | y = |x|}. Algunos elementos de Gg se pueden obtener haciendo la siguiente tabla x

1 2

3

0

-1 -2 -3

y

1 2

3

0

1

2

3

´ ´ 4.4. GRAFICA DE UNA FUNCION

231

Localizamos estos puntos en el plano, los restantes elementos de la gr´afica (puesto que Dg = R) los suponemos situados en las semirectas que unen los puntos localizados y “dibujamos” la gr´afica de g, como una l´ınea continua que une estos puntos: Y

(3,3)

(- 3,3) (2,2)

(- 2,2) (1,1)

(- 1,1)

X

(0,0)

En general, dibujar la gr´afica de una funci´on no es sencillo, y con s´olo las ideas que hemos dado se pueden cometer serios errores, como se ilustra en el siguiente ejemplo: construyamos la gr´afica de la funci´on dada por la f´ormula y=

(3x2

1 . − 1)2

(4.10)

Una tabla de valores para x y y es la siguiente: x

1

2

3

0

-1

-2

-3

y

1 4

1 121

1 676

1

1 4

1 121

1 676

En la siguiente figura se exponen dicho puntos. Y

(0,1)

æ 1ö ç1, ÷ è 4ø

-3

-2

-1

0

1

æ 1 ö ç 2, ÷ è 121 ø 2

æ 1 ö ç 3, ÷ è 676 ø 3

X

Al unir los puntos marcados con una l´ınea continua obtenemos la “gr´afica”

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

232 Y

(0,1)

æ 1ö ç1, ÷ è 4ø

-3

-2

-1

1

0

æ 1 ö ç 2, ÷ è 121 ø

æ 1 ö ç 3, ÷ è 676 ø

X

3

2

Sin embargo, si calculamos y para el valor x = 0.5, obtenemos y = 16 en la f´ormula 4.10. Esto contradice estrepitosamente nuestro dibujo. Trazando mucho mas puntos de la gr´afica podr´ıamos observar con mas precisi´on la forma de ella, que es m´as o menos as´ı: Y

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

X

Aunque marc´aramos muchos puntos de la gr´afica, nunca podr´ıamos estar tan seguros de saber si nuestro dibujo se acerca siquiera a la verdadera gr´afica de la funci´on. En c´alculo el estudiante tendr´a oportunidad de estudiar m´etodos m´as efectivos para construir las gr´aficas de las funciones. Como subconjuntos de R2 , las gr´aficas pueden tener muchas formas, pero no todo conjunto de puntos en el plano es la gr´afica de una funci´on. Por ejemplo, consideremos el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 5}.

´ ´ 4.4. GRAFICA DE UNA FUNCION

233

Este conjunto se representa en √ el plano por medio de una circunferencia con centro en (0, 0) y radio 5. x2 + y2 = 5

Y

5

(2,1) X

0

(2,-1)

Este c´ırculo no es la gr´afica de ninguna funci´on ya que si existiera una funci´on f de la cual A fuera la gr´afica, entonces: A = {(x, f (x)) | x es un elemento del dominio de f }. Ahora bien, los puntos (2, 1) y (2, −1) est´an en el c´ırculo porque satisfacen la ecuaci´on x2 + y 2 = 5. Esto quiere decir que (2, 1) y (2, −1), al estar en A, son de la forma (x, f (x)) con x ∈ Df . Por lo tanto f (2) = 1 y f (2) = −1 y este hecho ruin contradice nuestra definici´on de funci´on, seg´ un la cual f (2) debe tener un u ´nico valor bien definido. As´ı que A no es la gr´afica de ninguna√funci´on real f . Sin embargo, el semic´ superior √ ırculo √ 2 es la gr´afica de y = 5 − x , con dominio m´aximo [− 5, 5]. An´alogaY

5

(2,1)

0

X

√ 2 mente, el semic´ırculo√inferior √ es la gr´afica de y = − 5 − x , tambi´en con dominio m´aximo [− 5, 5]. Ahora, ¿cu´ales l´ıneas rectas en el plano son gr´aficas de funciones?. Si una recta no es vertical, tiene la forma y = mx + b, as´ı que es la gr´afica

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

234

de la funci´on f : R → R dada por f (x) = mx + b. (Si m = 0 la funci´on es una constante). Una recta vertical no es la gr´afica de una funci´on pues si la recta es x = a entonces f (a) no est´a determinado de manera u ´nica: en efecto, la recta es el conjunto A = {(x, y) | x = a, y ∈ R} = {(a, y) | y ∈ R}, de tal forma que no existe ninguna funci´on f tal que A = {(x, f (x)) | x ∈ Df }.

Ahora nos preguntamos ¿c´omo determinar si un conjunto de puntos en el plano es la g´afica de una funci´on?. Hay un criterio muy simple llamado criterio de la recta vertical que dice as´ı “Un conjunto de puntos en el plano es la gr´afica de una funci´on real si y s´olo si toda recta vertical intersecta al conjunto en a lo m´as un punto”. As´ı: Esta curva s´ı es la gr´afica de una funci´on ya que ninguna recta vertical la cruza m´as de una vez. Y

X

Y

X

Esta curva NO es la gr´afica de una funci´on ya que alguna recta vertical la corta m´as de una vez.

´ ´ 4.4. GRAFICA DE UNA FUNCION

235

Y

X

Este gatito no es la gr´afica de ninguna funci´on f . Para demostrar el criterio, supongamos primero que un conjunto A en el plano es la gr´afica de una funci´on f (con dominio y codominio subconjuntos de R). Si la recta x = a intersecta a A en alg´ un punto (x0 , y0 ), ese punto tiene que ser el punto (a, f (a)) y s´olo ese punto. Esto se debe a que x0 = a por estar (x0 , y0 ) en la recta x = a y y0 = f (a) por ser (x0 , y0 ) un punto de la gr´afica de f . Supongamos ahora que toda recta vertical intersecta al conjunto A en a lo m´as un punto. Sean

D = {a ∈ R | la recta x = a intersecta a A en un punto (a, ya )}

y f : D → R tal que f (a) = ya . Entonces f es una funci´on cuya gr´afica, Gf , coincide con A, ya que si (a, f (a)) ∈ Gf con a ∈ D, entonces (a, f (a)) ∈ A pues f (a) = ya y (a, f (a)) es el punto de intersecci´on de A con la recta x = a. Por otro lado, si (a, b) ∈ A entonces (a, b) es el u ´nico punto de intersecci´on (por hip´otesis) entre A y la recta x = a. Por consiguiente a ∈ D y b = ya = f (a), con lo cual (a, b) = (a, f (a)) ∈ Gf . La demostraci´on del criterio nos permite observar tambi´en que si un conjunto de puntos en el plano es la gr´afica de una funci´on, el dominio de la funci´on es el conjunto de puntos x0 tal que la recta vertical x = x0

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

236 intersecta a la gr´afica. As´ı

Este conjunto es el dominio de la funci´on cuya gr´afica es la curva.

La uni´on de estos intervalos es el dominio de la funci´on cuya gr´afica ha sido dibujada.

Tambi´en la uni´on de los intervalos se˜ nalados es el dominio de la funci´on representada por esta gr´afica.

Ejercicios 3. 1. Demuestre que las funciones f, g : R → R dados por √ f (x) = |x| y g(x) = x2 son iguales. 2. Trace aproximadamente las gr´aficas de las siguientes funciones, si suponemos que su dominio es R. a) y = x2 b) f (x) = 3x + 2

c) h(x) = (x − 1)2 { −x si x ≥ 0 d ) g(x) = x si x ≤ 0

´ ´ 4.4. GRAFICA DE UNA FUNCION

237

3. Trace las gr´aficas de las siguientes funciones √ a) f1 : [−5, 5] → R tal que f1 (x) = − 25 − x2 . b) f2 : [−1, 1] → R tal que f2 (x) = 1 + x. c) f3 : [−1, 1] → R tal que f3 (x) = 1 − x. { 1+x d ) f4 : [−1, 1] → R tal que f4 (x) = 1−x

si x ≥ 0 si x ≤ 0

4. Dada f (x) = 2x4 − x3 , represente en el plano los conjuntos: A1 = {(x, f (x)) | x ∈ {−2, −1, 0, 1, 2}}

y

A2 = {(x, f (x)), | x ∈ {−2, −1.9, −1.8, −1.7, . . . , −1.1, −1, −0.9, −0.8, . . . , −0.1, 0, 0.1, 0.2, . . . , 0.9, 1, 1.1, 1.2, . . . , 1.9, 2}} Estos dos conjuntos son subconjuntos de Gf . Trace Gf en el plano, aproximadamente. 5. La siguiente gr´afica representa una funci´on con dominio en R. Encuentre dicha funci´on Y

1 -1 1

X

-1

6. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos representan gr´aficas de funciones?

7. Haga un dibujo de la gr´afica de las siguientes ecuaciones. Entonces, aplicando el criterio de la recta vertical, decida si esa gr´afica representa o no una funci´on

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

238 Y

Y

X

Y

X

X

Y

Y

X

a) x − y + 1 = 0. b) y = x3 + 2. c) xy = 1.

Y

X

X

d ) x2 + y 2 = 4. e) |x| + |y| = 5. f ) x2 + y 2 = −25.

g) y =

x2 −16 . x+4

8. A continuaci´on se muestran tres gr´aficas de funciones f . Dibuje, en el mismo plano donde se encuentra f , las gr´aficas de cada una de las siguientes funciones i) g : Df → R dada por g(x) = |f (x)| ∀ x ∈ Df . ii) h : Df → R dada por h(x) = f (|x|) ∀ x ∈ Df . iii) k : Df → R dada por l(x) = f (−x) ∀ x ∈ Df .

´ DE FUNCIONES 4.5. COMPOSICION

239

9. Sea B ⊆ R. Si f, g : D → R son funciones tales que Gf = Gg , entonces ¿f y g son iguales? ¿Por qu´e?

§5

4.5.

Composici´ on de funciones

Definici´ on 4.5.1 Sean f : A → B y g : B → C dos funciones. La composici´ on de f con g, denotada por g ◦ f , es la funci´on g ◦ f : A → C tal que ∀ a ∈ A, g ◦ f (a) = g(f (a)). Notemos que: 1) Del hecho que f y g sean funciones, podemos asegurar que g◦f tambi´en lo es, esto es, la regla g◦f tiene las propiedades que definen una funci´on.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

240

2) Dadas cualesquiera dos funciones f y g, no necesariamente se puede hablar de la funci´on composici´on g ◦ f , como lo muestra el siguiente ejemplo: si f : R → √ R est´a dada por f (x) = x y g : R+ ∪ {0} → R es tal que g(x) = x, entonces si aplicamos la definici´on anterior sin detenernos a reflexionar un momento dir´ √ ıamos que g ◦ f : R → R es la “funci´on” dada por g(f (x)) = g(x) = x. Sin embargo, al considerar √ −1 ∈ R tendr´ıamos que g ◦ f (−1) = g(−1) = −1 ∈ / R, es decir, esta “funci´on” no asocia a −1 ning´ un n´ umero real en contradicci´on con nuestra definici´on de funci´on. Entonces, dadas dos funciones f y g ¿Cu´ando vamos a poder hablar de g ◦ f ? Es un ejercicio para el alumno que pruebe que basta pedir que Im f ⊆ Dom g. Ejemplos: 1. Consideremos f : R → R definida por f (x) = x2 − 1 y g : R → R+ ∪ {0} dada por g(x) = |x|. Entonces g◦f es una funci´on tal que g ◦ f : R → R+ ∪ {0} y est´a dada por (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 − 1) = |x2 − 1|. Particularmente si x = 2, (g ◦ f )(2) = g(f (2)) = g(22 − 1) = g(3) = |3| = 3 ¿se podr´a definir f ◦ g? ¿Por qu´e? 2. Como antes, sea f : R → R tal que f (x) = x2 − 1 y g : R → R dada por g(x) = 2x + 4. Podemos definir las funciones g ◦ f y f ◦ g y las reglas que las definen son: (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (2x + 4) = (2x + 4)2 − 1 = 4x2 + 16x + 15 (f ◦ g)(x) = g(f (x)) = g(x2 − 1) = 2(x2 − 1) + 4 = 2x2 + 2. A partir de este u ´ltimo ejemplo puede observarse que la composici´on de funciones no es conmutativa. Algunas propiedades que s´ı satisface la composici´on de funciones son las siguientes

´ DE FUNCIONES 4.5. COMPOSICION

241

1. Sea f : A → B, g : B → C y h : C → D funciones. Se cumple que h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f , esto es, la composici´on de funciones es asociativa. En efecto, sea a ∈ A entonces (h ◦ (g ◦ f ))(a) = h((g ◦ f )(a)) = h(g(f (a))) = (h ◦ g)(f (a)) = ((h ◦ g) ◦ f )(a). 2. Sea f : A → B cualquier funci´on, se cumple que: a) f ◦ idA = f . b) idB ◦ f = f . La demostraci´on de esta afirmaci´on es un ejercicio.

Ejercicios 5. 1. Sea P el conjunto de palabras del idioma espa˜ nol y sea f : N → N dada por f (n) = 3n y g : N → P la funci´on definida por g(n) =nombre de n en espa˜ nol. Obtenga a) (g ◦ f )(3) y

b) (g ◦ f )(5).

2. A continuaci´on se dan las reglas de correspondencia de funciones f y g. Siguiendo el criterio del “dominio m´aximo” de definici´on, determinar si se puede(n) definir f ◦g y/o g ◦f y en caso de que as´ı sea determinar su dominio, codominio y regla de correspondencia. √ a) f (x) = x + 3 g(x) = x2 − 1. b) f (x) = |x|

g(x) = |x − 2|.

c) f (x) = [x]

g(x) = 12 . √ g(x) = x. √ g(x) = − x.

d ) f (x) = x2 e) f (x) = x2

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

242

3. Defina dos funciones g, f : R → R tales que Im g = R e Im (g ◦ f ) = {5}. 4. D´e la regla de definici´on de g ◦ f : R → R si √ √ f (x) = x + 1 y g(x) = 1 + x. 5. Si f : A → B es cualquier funci´on, entonces pruebe que a) f ◦ idA = f y

b) idB ◦ f = f .

6. Investigue alguna condici´on para que: si f, g : R → R son funciones, se cumpla que g ◦ f = f ◦ g. (¿C´omo debe ser f y g?). 7. Si f y g son cualesquiera dos funciones tales que est´a definida g ◦ f , investigue cu´al de las siguientes afirmaciones es verdadera. a) Im (g ◦ f ) ⊆ Im g.

b) Im g ⊆ Im (g ◦ f ).

4.6. FUNCION INYECTIVAS

243 §6

4.6.

Funcion inyectivas

Estamos ahora interesados en distinguir a las funci´on en base a ciertas propiedades que les sean caracter´ısticas. Comentemos inicialmente algunos ejemplos. Sea A el conjunto de las personas que trabajan y que perciben un salario. Consideremos la funci´on s : A → R definida como sigue: s(a) = cantidad en pesos del salario de a. Esta funci´on tiene sus “particularidades”, entre ellas la m´as “desagradable” es que nos convierte a muchos en “gentes del mont´on”. Esto ocurre sencillamente porque, un gran n´ umero de elementos de A, tiene la misma im´agen, o sea, ganan el mismo salario. Por ejemplo, s(Sab´as Tinajero) = salario m´ınimo s(Fortunato Buend´ıa) = salario m´ınimo s(Gregorio Malpica) = salario m´ınimo ... etc. Otro ejemplo: Sea R =conjunto de “mexicanos” que tienen depositado su dinero en el “Manhatan City Bank of U.S.A”, y sea $ : R → R (la R es de ricos) la funci´on tal que $(a) =n´ umero de cuenta de a (en aquel banco). Por las caracter´ısticas de la funci´on, no puede ocurrir que m´as de un elemento de R tenga igual im´agen, pues ser´ıa catastr´ofico para Don Miguel E. Templos que al tratar de retirar “sus lanas”, Don Jorge D´ıaz C. se le hubiera adelantado (si pudieran tener el mismo n´ umero de cuenta). Son particularmente importantes las funciones que tienen la propiedad del u ´ltimo ejemplo. A ellas les daremos un nombre. Definici´ on 4.6.1 Una funci´on f : A → B se dir´a inyectiva si elementos distintos de A tienen siempre im´agenes distintas, esto es a ̸= a′ ⇒ f (a) ̸= f (a′ ),

(a, a′ ∈ A).

244

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

Recordar del cap´ıtulo de l´ogica que esta condici´on es equivalente a f (a) = f (a′ ) ⇒ a = a′ . Ejemplos: 1. Sea f : R → R definida por f (x) = 2x + 5. Afirmamos que esta funci´on es inyectiva. En efecto, si f (x) = f (x′ ), entonces 2x + 5 = 2x′ + 5 y, por consiguiente 2x = 2x′ y por tanto x = x′ . 2. M´as generalmente, dados a, b ∈ R, a ̸= 0 fijos, la funci´on “lineal” f : R → R dada por f (x) = ax+b, es inyectiva pues si f (x) = f (x′ ), ax + b = ax′ + b ⇒ ax = ax′ y como a ̸= 0 se concluye que x = x′ . 3. En cambio ninguna funci´on cuadr´atica del tipo f (x) = ax2 + b con a ̸= 0 puede ser inyectiva, dado que cualquiera que sea x ∈ R, tenemos que f (x) = f (−x), y si x ̸= 0, x ̸= −x. 4. La funci´on identidad idA : A → A es claramente inyectiva (¿est´a usted de acuerdo?). An´alogamente, si A ⊆ B, la funci´on inclusi´on i : A → B dada por i(a) = a es inyectiva. 5. En cambio la funci´on valor absoluto f : R → R dada por f (x) = |x| no es inyectiva; por ejemplo f (1) = f (−1) = 1. Pero si se define f1 : R+ → R como f1 (x) = f (x) = |x| entonces f1 s´ı es inyectiva ¿Puede usted, paciente lector, explicar por qu´e? Para funciones f : R → R puede comprobarse si son o no inyectivas observando su gr´afica, de la siguiente manera: Si alguna recta horizontal corta a Gf en m´as de un punto, dicha funci´on no puede ser inyectiva y rec´ıprocamente. Para ver que esto es cierto, recordemos que Gf = {(x, f (x)) | x ∈ R} y que cada recta horizontal es un conjunto de puntos en el plano de la forma (x, a), donde x ∈ R y a es constante. Estas rectas pueden

4.6. FUNCION INYECTIVAS

245

representarse anal´ıticamente mediante la ecuaci´on y = a. Si una tal recta corta a Gf en m´as de un punto, se tendr´an un par de puntos distintos (x, f (x)) y (x′ , f (x′ )) de Gf en la recta; por lo tanto dichos puntos deben satisfacer que sus segundas coordenadas deben ser iguales al n´ umero a, ′ ′ esto es f (x) = f (x ) = a con x ̸= x , por lo cual f no es inyectiva. Rec´ıprocamente, supongamos que f no es inyectiva. Esto significa que existen x y x′ ∈ R, x ̸= x′ tales que f (x) = f (x′ ) = b. Entonces la recta horizontal que pasa por (x, b) y (x′ , b) contiene por lo menos estos puntos de Gf . Seg´ un este criterio, ninguna de las funciones cuyas gr´aficas son las siguientes puede ser inyectiva: Y

Y

X

Y

X

X

He aqu´ı algunas propiedades importantes de las funciones inyectivas. Teorema 4.6.1 Si f : A → B, g : B → C son funciones, entonces (a) Si g ◦ f es una funci´on inyectiva, debe ser f una funci´on inyectiva. (b) Si f y g son funciones inyectivas, as´ı lo es g ◦ f . Demostraci´on: (a) Sean a1 , a2 ∈ A tales que f (a1 ) = f (a2 ); queremos concluir que a1 = a2 . Para esto apliquemos g y obtenemos g(f (a1 )) = g(f (a2 )),

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

246

que es equivalente a (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ), y puesto que g ◦ f es inyectiva, debe tenerse a1 = a2 , como pretend´ıamos. (b) Sean nuevamente a1 , a2 ∈ A tales que (g ◦ f )(a1 ) = (g ◦ f )(a2 ) esta igualdad es, por definici´on, equivalente a g(f (a1 )) = g(f (a2 )) y como g es inyectiva, debe ser f (a1 ) = f (a2 ) y como f tambi´en lo es, a1 = a2 .

Ejercicios 5. 1. Determinar cu´ales de las siguientes funciones son inyectivas: a) f : N → Z tal que f (n) = −n. b) f : R → R tal que { f (x) =

si x ̸= 0 si x = 0

x |x|

0

c) f : R → R dada por f (x) = x − |x|. d ) Si A es el conjunto de estudiantes de Matem´aticas Elementales y B = {0, 1, . . . , 9, 10}, la funci´on f : A → B tal que { calificaci´on de x en el ex´amen de admisi´on f (x) = 0 si x no present´o ex´amen (si entr´o por palancas). 2. Mediante la observaci´on de las gr´aficas siguientes, decir cu´ales de ellas representan funciones inyectivas: Y

Y

X

Y

X

X

4.6. FUNCION INYECTIVAS

247

Y

Y

Y

X

X

X

3. Construya ejemplos donde a) f ◦ g sea inyectiva y f no lo sea. b) f sea inyectiva y f ◦ g no lo sea. c) g sea inyectiva y f ◦ g no lo sea. 4. Sea f : N → N dada por { 2n − 1 f (n) = n

si n es impar si n es par.

¿es f inyectiva?. ¿Por qu´e? 5. Determinar si f : R − {2} → R dada por f (x) =

x2 − 4 x−2

es inyectiva. 6. Sea f : R → R, decimos que f es estrictamente creciente si y s´olo si para cualquier x1 , x2 ∈ R, x1 < x2 implica f (x1 ) < f (x2 ). Probar que si f es estrictamente creciente, entonces f es inyectiva. 7. Sea f : R → R una funci´on inyectiva. ¿Puede encontrar x1 , x2 ∈ R para los que se cumpla que: a) x1 < x2

y

b) f (x2 ) = f (x1 )?

¿Por qu´e?, ¿qu´e puede concluir de su respuesta?

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

248

8. Muestre que la funci´on f : N → R dada por f (n) = 2n + 1 es inyectiva. 9. Descomponga la funci´on h : R → R dada por h(x) = x2 + 2x + 1, como la composici´on de dos funciones f, g : R → R, esto es, tal que h = g ◦ f. h no es inyectiva, ¿Cu´al de las dos f o g no es inyectiva? 10.

a) Pruebe que f : R → R dada por f (x) = x2 −15 no es inyectiva. b) Pruebe que g : R → R dada por g(x) = 2x2 − 3x + 2 no es inyectiva. c) Verificar que ninguna funci´on cuadr´atica general del tipo f (x) = ax2 + bx + c puede ser inyectiva.

§7

4.7.

Funciones suprayectivas

A manera de comentario previo, estudiemos la siguiente funci´on: Sea A el conjunto de casas administradas por Infonavit y B el conjunto de personas con derecho a tener una de estas casas. Sea f : A → B la funci´on con regla de correspondencia: f (a) = propietario (legal) de a. Nos preguntamos: ¿ocurre que cada elemento de B es im´agen de alg´ un elemento de A?, esto es, ¿cada persona con derecho a tener una de estas casas la tiene? Ustedes saben que no es as´ı. Una situaci´on distinta se da en el siguiente ejemplo: Sea A el conjunto de personas para las que a´ un vive su madre y sea B el conjunto de mujeres que tienen hijos vivos. Si g : A → B es la funci´on tal que g(a) = b = madre de a, en este caso s´ı ocurre que dado cualquier b ∈ B,

4.7. FUNCIONES SUPRAYECTIVAS

249

existe a ∈ A con f (a) = b. Por cierto que una expresi´on muy nuestra se empe˜ na en negar esto. Las funciones con esta propiedad se llaman funciones suprayectivas. Precisamos esto en la siguiente definici´on. Definici´ on 4.7.1 Una funci´on f : A → B se dir´a que es suprayectiva (o funci´on sobre, sobreyectiva) si para cada b ∈ B, puede hallarse a ∈ A con la propiedad de que f (a) = b. Los siguientes ejemplos son principalmente funciones con dominio y codominio subconjuntos de R, esto es as´ı porque son las funciones que estudiaremos con m´as detalle en este cap´ıtulo. Ejemplos: 1. La funci´on f : R → R definida por f (x) = |x| es no suprayectiva porque para cualquier x ∈ R, f (x) = |x| ≥ 0. As´ı, no existe x0 ∈ Df = R tal que f (x0 ) = −1, a pesar de que −1 ∈ R = codominio de f . 2. Sea f : A → B definida por f (x) = ax + b, a, b ∈ R y a ̸= 0. Afirmamos que f s´ı es suprayectiva. Para comprobar esto, sea y en el codominio de f , que es igual a R; queremos encontrar x ∈ Df = R tal que f (x) = y, o equivalentemente, tal que ax + b = y. De esta u ´ltima ecuaci´on podemos ver que una tal x debe satisfacer que x = y−b (despejando x). a Comprobemos que en efecto ocurre que f (x) = y: ( ) ( ) y−b y−b f (x) = f =a + b = y, a a como quer´ıamos. 3. Sea ahora f : R → R dada por f (x) = x2 − 3x + 2. Igual que en los ejemplos anteriores, nos interesa investigar si esta funci´on es o no suprayectiva. Con este prop´osito observemos que

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

250

f (x) = x2 − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1). Analizando los factores (x−2) y (x − 1), podemos ver que (x − 2) ≥ 0

⇔

x ≥ 2,

x−1≥0

⇔

x≥1

y tambi´en que x−2 0, como x2 ≥ 0, cualquiera que sea x ∈ R, se tiene que ax2 ≥ 0 y entonces ax2 + b ≥ b. Similarmente, II) Si a < 0, x2 ≥ 0 y entonces ax2 ≤ 0. Por lo tanto, ax2 + b ≤ b. En el primer caso, para y < b no existe x ∈ R tal que f (x) = y, cumpli´endose algo similar en el segundo caso. Igual que para las funciones inyectivas, tenemos un “m´etodo” geom´etrico que nos permite decidir cu´ando una funci´on f : R → R es sobreyectiva, ´este es como sigue: si la gr´afica de f , Gf , es tal que cualquier recta horizontal la corta en al menos un punto, entonces f es sobreyectiva y viceversa. Justifiquemos esta afirmaci´on: Sea c ∈ R cualquier n´ umero real. Suponiendo que cualquier recta horizontal corta a Gf , queremos hallar un x ∈ R tal que f (x) = c. Con este prop´osito, consideremos la recta horizontal y = c. Como esta recta corta a Gf , existe un punto (x0 , c) de la recta, que esta en Gf . Por lo tanto, (x0 , c) = (x0 , f (x0 )) y por ende f (x0 ) = c, como quer´ıamos. Si ahora f es sobre y l es la recta horizontal dada por y = k, existe b0 ∈ R tal que f (b0 ) = k. Con esto, el punto (b0 , k) est´a en Gf y (b0 , k) ∈ l. Concluimos que l corta a Gf . Por ejemplo, si f (x) = x2 + 1, f no es sobre: La recta y = corta.

1 2

no la

Dos propiedades sobresalientes que cumplen las funciones sobreyectivas, las establecemos en el siguiente teorema.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

252 Y

y= X

1 2

Teorema 4.7.1 Sean f : A → B y g : B → C funciones. (a) Si la composici´on g ◦ f : A → C es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva. (b) Si f y g son sobreyectivas, as´ı lo es g ◦ f . Demostraci´ on: (a) Sea c ∈ C cualquiera, queremos encontrar b ∈ B tal que g(b) = c. Sabemos que g◦f es sobre, as´ı que existe a ∈ A tal que (g◦f )(a) = c, y puesto que (g ◦ f )(a) = g(f (a)) = c, b = f (a) es el elemento buscado. (b) Se deja como ejercicio. 

Ejercicios 6. 1. Considere la funci´on f : R → R dada por { |x| si x ̸= 0 x f (x) = 0 si x = 0. Decida si esta funci´on es sobreyectiva y/o inyectiva. 2. Sea f : R → R dada por f (x) = 2x2 + x + 3. ¿Puede hallar x ∈ R tal que f (x) = 0? ¿Por qu´e?

4.8. FUNCION BIYECTIVAS

253

3. Estudie la gr´afica de f para decidir. a) Si f es inyectiva b) Si f es sobreyectiva donde f : R → R est´a dada por { x+2 f (x) = x

si 2 ≤ x si x < 2. 2

4. Definimos f : R → (0, 1] por f (x) = x2x+1 . ¿Es f suprayectiva?, ¿es f inyectiva? Argumente su respuesta. 5. D´e un ejemplo de funciones f, g tales que g ◦ f es suprayectiva y f no lo es. 6. Sea f : R → R dada por f (x) = x2 + 5x − 8 ¿Qu´e subconjunto de R debe ser B para que f : R → B sea suprayectiva? 7. Comprobar que la funci´on cuadr´atica f : R → R dada por f (x) = ax2 + bx + c, a ̸= 0, no es suprayectiva. 8. Estudie acerca de la suprayectividad o inyectividad de f : R → R dada por f (x) = x3 . 9. Analizar si la funci´on f : R → R definida por f (x) = ax3 + b es inyectiva y/o suprayectiva.

§8

4.8.

Funcion biyectivas

Como hemos visto en la secci´on precedente, hay funciones que son: (a) inyectivas pero no suprayectivas: f :N→N

dada por

f (n) = 2n.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

254 (b) Suprayectivas pero no inyectivas: f : R → R+ ∪ {0}

dada por

f (x) = |x|.

(c) no suprayectivas y no inyectivas: f :R→R

dada por

f (x) = |x|.

(d) inyectivas y suprayectivas: Las funciones f : R → R dadas por una regla del tipo f (x) = ax + b, a ̸= 0. Las funciones del u ´ltimo tipo son de gran importancia en Matem´aticas y reciben un nombre particular. Definici´ on 4.8.1 Una funci´on f : A → B se dir´a biyectiva si es suprayectiva e inyectiva. La definici´on anterior puede tambi´en establecerse diciendo que una funci´on f : A → B es biyectiva si y s´olo si para cada b ∈ B existe un u ´nico a ∈ A tal que f (a) = b. las funciones lineales (las funciones de R en R dadas por una regla f (x) = ax + b, a ̸= 0) son funciones biyectivas. Una de las propiedades primordiales de las funciones biyectivas se estudia en la siguiente secci´on. §9

4.9.

Funci´ on inversa

Sea f : A → B una funci´on. Consideremos la siguiente regla para asociar elementos de B con elementos de A:

´ INVERSA 4.9. FUNCION

255

“Si b ∈ B, le asociamos un elemento a ∈ A que tenga la propiedad de que f (a) = b”. Esta regla evidentemente no siempre define una funci´on; depende de las caracter´ısticas de f . Por ejemplo, si f es no suprayectiva, hay al menos un elemento b ∈ B para el que no es posible hallar un elemento a ∈ A tal que f (a) = b. En este caso, de acuerdo con nuestra regla que define una funci´on, no ocurre que cada elemento de B tenga asociado uno de A. Ahora, si f es suprayectiva pero no inyectiva, existen dos elementos distintos a1 ̸= a2 en A que cumplen que f (a1 ) = f (a2 ) = b. Conforme nuestra regla, a b ∈ B debemos asociarle a1 y tambi´en a2 , con lo que la regla que estamos considerando tampoco define una funci´on. Supongamos ahora que f es suprayectiva e inyectiva, es decir, biyectiva. Entonces nuestra regla define una funci´on porque: 1. Para cada b ∈ B siempre existe a ∈ A tal que f (a) = b. a es el asociado de b. 2. El a ∈ A asociado a b ∈ B es u ´nico puesto que si a1 y a2 son asociados de b, f (a1 ) = f (a2 ) = b y por lo tanto a1 = a2 , ya que f es inyectiva. La siguiente definici´on resume los anteriores comentarios. Definici´ on 4.9.1 Sea f : A → B una funci´on biyectiva. La funci´on g : B → A, definida mediante la regla g(b) = a, donde a es tal que f (a) = b, se llama la funci´ on inversa de f y la denotaremos por g = f −1 . A manera de ejemplo, si f : A → B es cualquier funci´on, tambi´en lo es f1 : A → Im f definida igual que f , esto es, f1 (a) = f (a) ∀ a ∈ A. f1 es siempre suprayectiva, de tal suerte que si f es inyectiva, f1 es biyectiva y entonces existe f1−1 : Im f → A. Podemos tambi´en, en algunos casos, restringir el dominio de una funci´on f : A → B a un subconjunto A1 ⊆ A de tal manera que se tenga una funci´on inyectiva f |A1 : A1 → B y si f |A1 es tambi´en suprayectiva,

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

256

se tienen las condiciones para la existencia de (f |A1 )1 . Ejemplifiquemos esto: Sea f : R → R+ ∪ {0} definida por f (x) = x2 . Esta funci´on es suprayectiva (para cada y ≥ 0 existe al menos una ra´ız cuadrada), pero no es inyectiva; recordemos que f (−1) = (−1)2 = 1 = 12 = f (1). Sea ahora g : f |R+ ∪{0} : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0}. Afirmamos que g es inyectiva. Recordemos que si x1 , x2 ∈ R+ y x21 = x22 entonces x1 = x2 . Adem´as tambi´en es suprayectiva. ya que para cada y ≥ 0 existe x ≥ 0 tal que x2 = y. g es as´ı biyectiva y existe g −1 : R+ ∪ {0} → R+ ∪ {0}. La √ regla algebraica que define a g −1 es g −1 (y) = + y. Cuando se estudian funciones con dominio y codominio subconjuntos de R, si una funci´on f es tal que existe f −1 , es u ´til conocer alguna f´ormula −1 algebraica que defina a f . En algunas ocasiones esto puede obtenerse “despejando” x de la ecuaci´on f (x) = y. Por ejemplo, si f : R → R es la funci´on dada por f (x) = 3x + 1, f es biyectiva y por consiguiente existe f −1 : R → R. Obtenemos la f´ormula que define a f −1 como sigue: f (x) = y ⇒ 3x + 1 = y ⇒ x y f −1 =

y−1 3

y−1 3

es la f´ormula buscada.

Como otro ejemplo, si f : R+ ∪ {0} → [1, ∞) est´a dada por f (x) = x2 + 1, f es biyectiva (le ser´a u ´til verificarlo). Luego existe su −1 inversa f : [1, ∞) → R+ ∪ {0}, cuya regla de correspondencia la obtenemos “resolviendo” para x la ecuaci´on f (x) = y: √ f (x) = y ⇒ x2 + 1 = y ⇒ x = y − 1 √ y por lo tanto f −1 (y) = y − 1. Para finalizar esta secci´on hablaremos de la:

´ INVERSA 4.9. FUNCION

257

´ ´ INVERSA GRAFICA DE LA FUNCION Si f : A → B es una funci´on biyectiva, obtenemos la gr´afica de f −1 a partir de la gr´afica de f , como sigue: Si Gf = {(x, f (x)) | x ∈ A}, entonces Gf −1 = {(f (x), x) | x ∈ A}. En el caso particular en que A y B son subconjuntos de R, en un sistema de coordenadas cartesiano lo anterior significa que para cualquier punto P = (x, f (x)) en la gr´afica de f , existe un punto P ′ en la gr´afica de f −1 que es sim´etrica a P con respecto a la recta y = x. Se obtiene entonces Gf −1 reflejando Gf con respecto a la recta y = x, como si ´esta fuera un espejo. La siguiente figura ilustra esta afirmaci´on: Y

y=x

(x, f ( x) ) f (x)

f

-1

( f ( x), x )

( y) = x

x

f ( y) = x

X

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

258

Ejercicios 7. 1. Determine, si existe, la inversa de la funci´on f : N → 2N dada por f (n) = 2n. (Denotamos por 2N el conjunto de los n´ umeros naturales pares). 2. Abajo se muestran las gr´aficas de varias funciones. Determine cu´al o cu´ales de ellas tienen inversa y en caso de que tengan, grafique all´ı mismo su funci´on inversa. a) f : R → R b) g : R → R Y

Y

X

c) h : R → R+

X

d) F : R → R Y

Y

X

3. Sea g(x) = −2x + 3. a) Encuentre g −1 (x). b) Eval´ ue g(g −1 (6)) y g −1 (g(6)).

X

´ INVERSA 4.9. FUNCION

259

c) ∀ x ∈ R encuentre g(g −1 (x)) y g −1 (g(x)). 4. Determine el dominio m´aximo en el que la funci´on f (x) = x2 + 4 tiene inversa. Determine ´esta. 5. Si la regla de correspondencia para una funci´on f : R → R es f (x) = x2 − 2x + 4, pruebe que si A = {x ∈ R | 1 ≤ x} y B = {x ∈ R | x ≤ 1}, existen las inversas de f |A y f |B . Determine una f´ormula para ´estas y trace su gr´afica. 6. Demuestre que si f : A → B y g : B → C son biyectivas. (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . 7. Una funci´on f : R → R se dice mon´otona creciente si r ≤ r′ ⇒ f (r) ≤ f (r′ )

(r, r′ ∈ R).

Demuestre que si f es biyectiva y monotona creciente entonces f −1 es tambi´en mon´otona creciente. 8. D´e dos ejemplos de funciones que cumplen la propiedad del ejercicio anterior. 9. Si f : A → B es una funci´on, demuestre que Gf −1 = {(f (x), x) | x ∈ A}

si existe f −1.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

260 §10

4.10.

Algebra de funciones reales

As´ı como nosotros operamos con n´ umeros reales de tal manera que si sumamos (o bien multiplicamos) dos de ellos, el resultado es un n´ umero real, as´ımismo nuestro inter´es en esta secci´on ser´a operar pares de funcines reales cuya resultante sea tambi´en un func´on real. Consideremos la siguiente pareja de funciones: g(x) = −1 y f (x) = x2 , donde f, g : R → R. Sus gr´aficas son Gf = {(x, x2 ) | x ∈ R} Gg = {(x, −1) | x ∈ R} que representadas en el plano cartesiano ser´an: Y

(a, a ) 2

(a,0) X

(a,-1)

Observemos que la recta vertical x = a con a en el dominio de f y g (esto es, a ∈ R) corta a estas gr´aficas en los puntos (a, a2 ), (a, −1), respectivamente. Adem´as, el punto (a, a2 + (−1)) es un elemento de esta recta vertical. Un empleo adecuado del criterio de la recta vertical deja en claro que el conjunto G formado con todas las parejas ordenandas

4.10. ALGEBRA DE FUNCIONES REALES

261

(a, a2 + (−1)) es la gr´afica de alguna funci´on real, adem´as, dado a ∈ R, a2 + (−1) es u ´nico. Ahora bien, el conjunto G se puede escribir as´ı: G = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 + (−1), x ∈ R}, o bien G = {(x, y) ∈ R2 | y = f (x) + g(x), x ∈ R}, con lo cual vemos que si simbolizamos por h a la funci´on real cuya gr´afica es G, ´esta cumple: 1. h : R → R. 2. la regla de correspondencia es h(x) = x2 + (−1). Observamos que para obtener cada im´agen de h, basta sumar en R las respectivas im´agenes de f y g para cada x ∈ R y que por esta raz´on se acostumbra decir que la funci´on h es la “funci´on suma de f y g”. Lo hecho hasta aqu´ı, bien puede realizarse considerando un par de funciones reales arbitrarias f y g con tal de que ambas tengan el mismo dominio, aprovechando que cada im´agen de f y g son elementos de R y en R se puede sumar. Consideremos la colecci´on A de todas las funciones reales con dominio com´ un un subconjunto de R, esto es: A = {f | f : A → R},

A ⊆ R.

En A definimos una operaci´on binaria: “la suma de funciones reales”, como sigue: Definici´ on 4.10.1 Para cualesquiera funciones reales f, g ∈ A, la funci´ on suma f + g es otra funci´on real (f + g ∈ A) cuya regla de correspondencia es (f + g)(x) = f (x) + g(x).

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

262

Observ´ese que el s´ımbolo “+” en la expresi´on “f + g” es meramente convencional, y que la expresi´on f (x) + g(x) es el n´ umero real que resulta de sumar los n´ umeros reales f (x) y g(x). Reconsiderando el anterior ejemplo: la funci´on suma de las funciones f (x) = x2 y g(x) = −1 es la funci´on f + g : R → R tal que (f + g)(x) = f (x) + g(x) = x2 + (−1) = x2 − 1. Ahora, igual que hicimos para definir la suma de funciones reales, intentaremos definir el producto. Para ello consideremos el conjunto de R2 definido as´ı: T = {(a, (−1)a2 ) | a ∈ R} cuya definici´on, como se ve est´a ligada a las funciones reales f (x)2 y g(x) = −1. Una descripci´on como la hecha para el conjunto G, nos llevear´ıa a que el conjunto T es la gr´afica de alguna funci´on t, a saber: t:R→R

tal que t(x) = (−1)x2 ,

cuya gr´afica se puede obtener a partir de la gr´afica de f , simplemente considerando que la segunda coordenanda del punto (a, (−1)a2 ) de la gr´afica de t, se obtiene multiplicando en R las segundas coordenadas de los puntos (a, a2 ) y (a, −1). Y

(a, a ) 2

(a,0) X

(a,-a )gráfica de t 2

En este sentido, por abuso del lenguaje, podemos decir que:

4.10. ALGEBRA DE FUNCIONES REALES

263

“la gr´afica de t se obtiene a partir de la gr´afica de f , reflej´andola con respecto al eje x”. Al estudiante no le ser´a muy dif´ıcil convencerse de que una manera “natural” de dotar a la colecci´on A = {f | f : A → B},

A⊆R

de una nueva operaci´on, es la dada por la siguiente Definici´ on 4.10.2 Sean f, g ∈ A. La funci´on producto f · g es otra funci´on de A en R definida por (f · g)(x) = f (x)g(x). Por ejemplo, si f (x) = x2 y g(x) = x3 entonces (f g)(x) = f (x)g(x) = x2 · x3 = x5 .

√ Y si A = √ {x ∈ R | x ≥ 1} y f, g : A → R son tales que f (x) =√ x − 1 y g(x) = x + 1, entonces f g : A → R y (f g)(x) = f (x)g(x) = x2 − 1. Observese que el s´ımbolo “·” en la expresi´on f · g, es una vez m´as, convencional y que para la definici´on del producto de funciones reales, nos hemos aprovechado del producto de los n´ umeros reales. Por otra parte, el estudiante no debe confundir el s´ımbolo de producto de funciones reales, con el de composici´on de funciones reales: Este es el del producto: · Este es el de la composici´on: ◦ Resumiendo lo hecho hasta aqu´ı de manera informal, es como sigue: A partir de pares de funciones reales, generamos nuevas funciones reales, a saber, la funci´on suma y la funci´on producto. Observaci´on: sea la funci´on g : A → R definida de esta forma g(x) = r, r ∈ R y sea f ∈ A cualquiera. La funci´on producto g · f es una funci´on de A en R tal que (g · f )(x) = f (x). Es costumbre denotar a esta funci´on producto as´ı: rf , por ejemplo, si f (x) = 3x − 1 y r = −5 entonces (r · f )(x) = r · f (x) = (−5)(3x − 1) = −15x + 5.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

264

Siguiendo con el programa tenemos a bien presentar las siguientes propiedades que se verifican para elementos de A: Sean f, g, h elementos de A y r, s ∈ R, entonces: 1. f + g ∈ A. 2. f + g = g + f . 3. (f + g) + h = f + (g + h). 4. O : A → R denota la funci´on tal que O(x) = 0 para toda x ∈ A, entonces O ∈ A y para toda f ∈ A, f + O = f. 5. Si f ∈ A, definiendo −f : A → R tal que (−f )(x) = −f (x), se tiene −f ∈ A y f + (−f ) = O. 6. f · g ∈ A. 7. f · g = g · f . 8. Si 1l : A → R es tal 1l(x) = 1 ∀ x ∈ A, se tiene que 1l ∈ A y que ∀ f ∈ A 1l · f = f . 9. (f · g) · h = f · (g · h). 10. rf ∈ A. 11. 1 · f = f . 12. (r + s) · f = r · f + s · f . 13. r(f + g) = r · f + r · g. 14. r · (s · f ) = (r · s) · f . 15. h · (r · g) = (r · h) · g = r · (h · g). 16. f · (g + h) = f · g + f · g.

4.10. ALGEBRA DE FUNCIONES REALES

265

Como ejemplo demostraremos la propiedad (12) (recomendamos al educando que haga las demostraciones de las restantes propiedades). Veamos entonces que: (r + s) · f = r · f + s · f. Tomemos x ∈ A, entonces ((r + s) · f )(x) = = = =

(r + s) · f (x) (definici´on de r · f ) r · f (x) + s · f (x) (distributividad en R) (r · f )(x) + (s · f )(x) (definici´on de r · f ) (r · f + s · f )(x) (definici´on de suma en A)

Por lo tanto, ∀ x ∈ A ((r + s) · f )(x) = (r · f + s · f )(x), as´ı que las funciones (r + s) · f y (r · f + s · f ) son iguales. Pu´edese tambi´en hablar de “resta” o “diferencia” de funciones de manera pr´acticamente natural. Definici´ on 4.10.3 Sean f, g ∈ A. La diferencia de f y g es una nueva funci´on de A, denotada por f − g y tal que ∀ x ∈ A, (f − g)(x) = f (x) − g(x), es decir, f − g = f + (−g). Y . . . ¿por qu´e no hablar del cociente de funciones? Intentemos definir el cociente de dos funciones reales f, g ∈ A, de tal forma que resulte “natural” dicha definici´on. Pretendemos entonces exigirle a la “funci´on cociente” fg : 1.

f g

: A → R. ( )

2. Que la regla de correspondencia sea

f g

(x) =

f (x) . g(x)

(x) Obs´ervese que la expresi´on fg(x) es un cociente de n´ umeros reales, en f tanto que g es nuevamente convencional. La dificultad a la que nos

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

266

enfrentamos es la posibilidad de existencia de elementos x0 ∈ A para los (x) cuales g(x0 ) = 0, ya que para estos elementos la expresi´on fg(x) carece de sentido. Nos vemos entonces obligados a cambiar el dominio de la “funci´on” fg , eliminando del conjunto A aquellos x0 que verifiquen: g(x0 ) = 0.

Definici´ on 4.10.4 Un punto x0 ∈ A se denomina cero de la funci´on g si g(x0 ) = 0. Denotemos por B a la colecci´on de puntos x0 ∈ A tales que x0 es un cero de g, esto es: B = {x0 ∈ A | g(x0 ) = 0}. Ahora s´ı, ya es “natural” la: Definici´ on 4.10.5 Sean f, g ∈ A. La funci´ on cociente de f y g, denotada por fg es la funci´on fg : A − B → R tal que f f (x) (x) = g g(x)

∀ x ∈ A − B.

Por ejemplo, sean f (x) = x3 + 1 y g(x) = x2 − 1, ∀ x ∈ R = A. Hallemos el cociente fg ; para hallarlo, vemos que el conjunto de ceros de g es B = {−1, 1}. Entonces A − B = {x ∈ R | x ̸= −1 y x ̸= 1} de tal forma que la funci´on cociente f : R − B → R tal que g La expresi´on y x ̸= 1.

x3 +1 x2 −1

f g

ser´a: f f (x) x3 + 1 (x) = = 2 . g g(x) x −1

siempre es un n´ umero real si x ∈ R−B pues x ̸= −1

4.10. ALGEBRA DE FUNCIONES REALES

267

Ejercicios 8. 1. Calcular r · f para cuando f (x) = |x|, (A = R) y r ̸= − 21 . 2. Sean A = R y f, g las funciones dadas por: f (x) = x2 + 1

g(x) = 3x − 4.

y

Sean adem´as r = −4 y s = 7. Calcular a) f − g.

c) sf + rg.

b) r · (f − g).

d) f4

(f 4 = f · f · f · f ).

3. ¿Ser´a cierto que para toda f ∈ A existe f ′ ∈ A tal que f · f ′ = 1l? ¿y si se supone que f ̸= O? 4. Demostrar todas las propiedades mencionadas en la p´agina 264. 5. Hallar el dominio de definici´on de funci´on. En todos los casos A = R.

f g

en cada caso y calcular la

a) f (x) = |x|,

g(x) = 3x + 1.

b) f (x) = x − 2,

g(x) = ax + b con a ̸= 0 y b fijos.

c) f (x) = x − 2,

g(x) = ax2 + bx + c con a ̸= 0. √ g(x) = 4 + x2 . √ g(x) = 4 − x2 .

d ) f (x) = 5, e) f (x) = |x − 1|,

6. Sea f (x) = x2 . Hallar los x ∈ R que verifiquen cada una de las siguientes ecuaciones: a) f (−x) = f (x). b) f (y) = 7f (x) + (y − x)(y + x). c) f (x + h) − f (x) = 2x + h2 . d ) f (2y) = 4f (y). e) f (z 2 ) = (f (z))2 . f ) f (a) = |a|.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

268 7. ¿Es posible hacer el cociente

f g

si g = O?

§11

4.11.

Algunas funciones especiales

Una funci´on importante para nosotros es la funci´on identidad en R, id : R → R dada por id(x) = x ∀ x ∈ R que junto con la definici´on de potenciaci´on vista en el cap´ıtulo 3 secci´on 5 y el ´algebra de funciones vista en la secci´on anterior, nos permite definir una clase importante de funciones, las llamadas funciones potenciales. Definici´ on 4.11.1 Una funci´ on potencial es una funci´on de la forma fn : R → R dada por fn (x) = xn ∀ x ∈ R y para alguna n ∈ N. Observemos que las definiciones de producto de funciones y potencias naturales, efectivamente para cada n ∈ N, fn es una funci´on, por ejemplo: Si n = 1 f1 : R → R est´a dada por f1 (x) = x ∀ x ∈ R Si n = 2 f2 : R → R est´a dada por f2 (x) = x2 ∀ x ∈ R Si n = 3 f3 : R → R est´a dada por f3 (x) = x3 ∀ x ∈ R .. . etc. Las gr´aficas de algunas de estas funciones, que seguramente el alumno reconocer´a, las tenemos en la siguiente figura: Tambi´en observemos que la funci´on potencial fn puede ser multiplicada por un n´ umero real cualquiera y seguimos obteniendo una funci´on: ∀ a ∈ R g(x) = afn (x) = axn (¿C´omo es la gr´afica de g?). Si adem´as para m ∈ N y b ∈ R − {0} definimos la regla de correspondencia h(x) = bxm para cada x ∈ R podemos considerar la funci´on. (g + h)(x) = g(x) + h(x) = axn + bxn . (¿Cu´al es su dominio m´aximo de definici´on?) que junto con las funciones potenciales son casos particulares de las as´ı llamadas funciones polinomiales.

4.11. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

269

f3 f2 f2 f1

f1

f3

Definici´ on 4.11.2 Sean a0 , a1 , a2 , . . . , an ∈ R y n ∈ N. Diremos que una funci´on f es una funci´ on polinomial si f : R → R es tal que f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn . Es costumbre llamar a la funci´on f , polinomio en x y cada ak xk t´ermino k−´esimo del polinomio. Tambi´en si an ̸= 0 se dice que f tiene grado n y se denota como gr (f ) = n. Definimos ahora otro tipo de funciones que est´an ´ıntimamente relacionadas con las funciones polinomiales. De la secci´on anterior sabemos que si f : A → R y g : B → R con A, B ⊆ R son funciones entonces podemos definir la funci´on fg : C → R con C = {x ∈ R | x ∈ A ∩ B

y

g(x) ̸= 0}.

En este sentido damos la siguiente definici´on. Definici´ on 4.11.3 Sean f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 , an ̸= 0 y g(x) = bm xm + · · · + b1 x + b0 , bm ̸= 0 polinomios cualesquiera. A la funci´on h : R − A → R definida por h(x) =

f (x) an xn + · · · + a1 x + a0 = g(x) bm xm + · · · + b1 x + b0

donde A = {x ∈ R | g(x) = 0}, le llamaremos funci´ on racional.

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

270

Los siguientes ejemplos muestran algunas funciones de esta clase: Ejemplos: 2

x 4. h : R−{1} → R dada por h(x) = x−1 cuya regla de correspondencia 1 . tambi´en puede expresarse como h(x) = (x + 1) + x−1

5. g : R → R dada por g(x) = expresar como g(x) = 1 + 3x+4 . x2 +1

x2 +3x+5 x2 +1

que tambi´en la podemos

6. f : R − {−1, 1} → R cuya regla de correspondencia est´a dada por 3 f (x) = x x+3x+5 = x + 4x+5 . 2 −1 x2 −1 7. h : R − {0} → R dada por h(x) = x1 . 8. r : R → R donde f orall x ∈ R r(x) =

x . 1+x2

A continuaci´on consideremos la funci´on valor absoluto. Recordemos que, por definici´on, ∀ x ∈ R { x si x ≥ 0 |x| = −x si x < 0 y entonces podemos definir la funci´on f : R → R dada por f (x) = |x| a la que llamaremos funci´ on valor absoluto que ya comentamos en el ejemplo 3 de la 230. Observemos que esta funci´on no es inyectiva pues f (1) = f (−1) = 1 y que no es suprayectiva pues para − 21 ∈ R no existe x ∈ R tal que

4.11. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES

271

|x| = − 12 (¿o s´ı?). Sin embargo, al igual que en el ejemplo 3 de esta secci´on, podemos modificar el dominio y codominio de f de tal forma que obtengamos una funci´on biyectiva: f |R− : R− → R+

dada por f |R− (x) = f (x) = |x| = −x

y que, como el educando recordar´a, tiene una inversa, ¿cu´al es? Por favor, calculela. Definimos ahora para a ∈ R − {0} la funci´on g : R → R tal que ∀ x ∈ R g(x) = |ax + b| con b ∈ R. Si usamos la definici´on de valor absoluto obtendremos

{ g(x) = |ax + b| = { =

ax + b −(ax + b) ax + b −ax − b

si ax + b ≥ 0 si ax + b < 0 si x ≥ − ab y a > 0 si x < − ab y a > 0.

o bien { g(x) =

ax + b −ax − b

si x ≤ − ab y a < 0 si x > − ab y a < 0.

En la figura siguiente mostramos la gr´afica de g en el caso especial que a > 0 y b < 0. g no es biyectiva (¿Por qu´e?) pero g|A : A → R+ y g|B : B → R+ donde A = {x ∈ R | x < − ab } y B = {x ∈ R | x > − ab } s´ı lo son, lo cual es un ejercicio para el lector. Tambi´en es un ejercicio el calcular las funciones

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

272

gráfica de g -b

-

b a

b

inversas de g|A y g|B . Sea ahora f : R → R dada por f (x) = |x2 − 1| entonces { f (x) = { = { =

x2 − 1 −(x2 − 1)

si x2 − 1 ≥ 0 si x2 − 1 < 0

x2 − 1 −x2 + 1

si x2 ≥ 1 si x2 < 1

x2 − 1 −x2 + 1

si x ≥ −1 ´o x ≥ 1 si − 1 < x < 1.

Por lo tanto si definimos las funciones f1 , f2 : R → R dadas por f1 (x) = x2 − 1 y f2 (x) = −x2 + 1, en la siguiente figura vemos como se obtiene la gr´afica de f a partir de las gr´aficas de f1 y f2 : Observamos que ∀ x ∈ R f (−x) = |(−x)2 − 1| = |x2 − 1| = f (x), lo que nos dice que la funci´on es sim´etrica con respecto al eje Y (como seguramente el lector ya lo not´o en la figura anterior) y por lo tanto

4.11. ALGUNAS FUNCIONES ESPECIALES Y 1

273 Y

gráfica de f 1

gráfica de f 2

gráfica de f1 1

-1

X

-1

1

X

-1

-1

la funci´on no es inyectiva (¿Por qu´e?); por tanto no tiene inversa. Sin 2 embargo, si definimos g : (−∞, −1) → R+ dada por g(x) = f (x) = √ x −1 −1 ´esta si tendr´a inversa cuya regla de correspondencia es g (y) = 1 + y. Una vez m´as dejamos al lector que compruebe estas afirmaciones. Funci´ on M´ aximo Entero. Recordemos que una propiedad de los n´ umeros reales, vista en el cap´ıtulo anterior, versa as´ı. ∀ x ∈ R,

∃ n0 ∈ Z

tal que

n0 ≤ x < n 0 + 1

y que en base a esta propiedad definimos la parte entera del n´ umero real x como n0 , denotado as´ı: [x] = n0 . Con esto en mente definimos la funci´on f : R → R dada por f (x) = [x] ∀ x ∈ R; que de aqu´ı en adelante llamaremos funci´on m´aximo entero. Observemos que: para 0 ≤ x < 1, y si 1 ≤ x < 2, igualmente si −1 ≤ x < 0, y para −2 ≤ x < −1,

f (x) = [x] = 0 f (x) = [x] = 1 f (x) = [x] = −1 f (x) = [x] = −2

CAP´ITULO 4. FUNCIONES

274 es decir,

       f (x) =

     

.. . −1 0 1 .. .

si si si

−1≤x