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Matemáticas e Imaginación Edward Kasner James Newman [doctor

Libros, Revistas, Intereses: http:/ / thedoctorwho 1967.blogspot.com.ar/

SALVAT

V e r s i ó n e s p a ñ o l a de la obra original n o r t e a m e r i c a n a Mathemaiic and Imagination, de Edward K a s n e r y J a m e s N e w m a n Revisión: Luis Bou D i s e ñ o d e cubierta: F e r r a n Cartes / M o n t s e Plass

ÍNDICE

T O M O II VI. VIL VIII. IX.

P A R A D O J A S PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

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A Z A R Y PROBABILIDAD

231

G E O M E T R Í A D E LA L Á M I N A ELÁSTICA

277

C A M B I O Y MUTABILIDAD: E L CÁLCULO

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EPÍLOGO. L A M A T E M Á T I C A Y LA I M A G I N A C I Ó N

© 1994 Salvat Editores, S.A., Barcelona © R u t h C. N e w m a n ISBN: 84-345-8880-3 (Obra c o m p l e t a ) I S B N : 84-345-8929-X ( V o l u m e n 49) D e p ó s i t o Legal: B-20176-1994 P u b l i c a d a por Salvat Editores, S.A., B a r c e l o n a I m p r e s a por Printer, i.g.s.a., J u n i o 1994 Printed in Spain

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VI. PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

¡Cuan curioso es el comportamiento de la paradoja y cómo se mofa alegremente del sentido común! W . S . GILBERT

Quizá la mayor de todas las paradojas es que haya paradojas en matemáticas. No nos sorprende descubrir contradicciones en las ciencias experimentales, las cuales periódicamente sufren cambios tan revolucionarios que, si hasta hace sólo muy p o c o tiempo nos creíamos descendientes de los dioses, hoy visitamos el zoológico con el mismo interés amistoso con q u e vamos a ver a parientes lejanos. Análogamente, la fundamental y remota distinción entre materia y energía desaparece, mientras la física relativista ha reducido a polvo nuestros conceptos tradicionales sobre el tiempo y el espacio. En realidad, el testamento de la ciencia está en un flujo tan continuo, que la herejía de ayer es el evangelio de hoy y el f u n d a m e n t o de m a ñ a n a . Parafraseando a Hamlet —lo que una vez fue una paradoja, ya n o lo es, pero p u e d e nuevamente volver a serlo. Sin embargo, debido a que las matemáticas se basan en lo anterior, en lo más viejo, sin descartarlo, porque es la más conservadora de las ciencias, p o r q u e sus teoremas se d e d u c e n de postulados por los m é t o d o s de la lógica, a pesar de haber sufrido cambios revolucionarios, 199

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

no s o s p e c h a m o s que sea una disciplina capaz de engendrar paradojas. Sin embargo, hay tres tipos distintos de paradojas q u e se presentan en las matemáticas. Hay proposiciones contradictorias y absurdas, que surgen de razonamientos falaces. Hay teoremas que parecen raros e increíbles, pero que, siendo lógicamente inexpugnables d e b e n ser a c e p t a d o s a u n q u e trasciendan los límites de la intuición y de la imaginación. La tercera y más importante de las clases, consiste en aquellas paradojas lógicas q u e se presentan relacionadas con la teoría de conjuntos y que han tenido por resultado un examen de los f u n d a m e n t o s de las matemáticas. Estas paradojas lógicas han creado confusión y consternación entre los lógicos y los matemáticos y han d a d o lugar a problemas referentes a la naturaleza de las matemáticas y de la lógica q u e aún n o han hallado una solución satisfactoria.

PARADOJAS EXTRAÑAS PERO EXACTAS Esta sección se dedicará a proposiciones a p a r e n t e m e n t e contradictorias y absurdas, p e r o , sin embargo, ciertas 1 . Anteriormente examinamos las paradojas de Zenón. Casi todas ellas fueron explicadas por medio de series infinitas y de las matemáticas transfinitas d e Cantor. Hay, sin embargo, otras, q u e implican movimiento, pero que a diferencia de las paradojas de Zenón n o consisten en demostraciones lógicas de q u e el movimiento es imposible. N o obstante ello, ilustran gráficamente cuán falsos p u e d e n ser nuestros conceptos sobre el movimiento; cuán fácilmente, por ejemplo, u n o p u e d e ser e n g a ñ a d o por la trayectoria d e un objeto animado d e movimiento. En la figura 62 hay dos m o n e d a s idénticas. Si h a c e m o s rodar la m o n e d a d e la izquierda a lo largo d e la mitad de la

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PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

Fig. 6 2

circunferencia de la otra, siguiendo la trayectoria indicada por la flecha, p o d e m o s sospechar q u e en su posición final, al llegar al extremo de la derecha, aparece con la cabeza invertida y n o en la posición inicial. Es decir, después d e haber h e c h o girar la m o n e d a a lo largo de una semicircunferencia (mitad de su circunferencia), la efigie q u e a p a r e c e en la cara d e la m o n e d a , q u e ha iniciado su movimiento d e s d e una posición normal, debería q u e d a r ahora invertida. Sin embargo, si llevamos a cabo la experiencia, veremos que la posición final será c o m o la que se indica en la figura 62, tal c o m o si la m o n e d a hubiese girado una vuelta completa alrededor de sí misma. El siguiente enigma es similar. El círculo d e la figura 6 3

Fig. 6 3

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PARADOJAS PERDIDAS V PARADOJAS RECUPERADAS MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

leza similar, d e b e m o s dedicar nuestra atención, por un momento, a una curva famosa: la cicloide (véase fig. 64). La cicloide es la curva descrita por un p u n t o fijo de la circunferencia de una rueda q u e gira, sin resbalar, sobre una línea recta fija. En la figura 65, c u a n d o la rueda gira avanzando a lo largo de la recta MN, los puntos A y B describen una cicloide. Después que la rueda ha efectuado media rotación, el punto Ai llega a A3 y B¡ a B¿. A esta altura nada hay q u e indique que el p u n t o A y el p u n t o B n o se hayan desplazado con la

Fíg. 65. C u a n d o la r u e d a s e e n c u e n t r a e n la posición p u n t e a d a , ha d a d o un c u a r t o d e v u e l t a y el p u n t o h a p a s a d o d e A, a A2 en t a n t o q u e B sólo lo ha h e c h o d e B^ a B2. El círculo s o m b r e a d o indica q u e la r u e d a ha c o m p l e t a d o t r e s c u a r t o s d e vuelta. Fig. 64.

La cicloide.

ha efectuado una rotación completa al rodar desde A hasta B. La distancia AB es, por lo tanto, igual a la longitud de la circunferencia del círculo. El círculo más p e q u e ñ o , situado dentro del mayor, ha efectuado también una rotación completa recorriendo la distancia CD. Ya q u e la distancia CD es igual a la AB y cada distancia es aparentemente igual a la circunferencia del círculo que la ha desarrollado, nos hallamos ante el absurdo evidente d e q u e la circunferencia del círculo más p e q u e ñ o es igual a la circunferencia del círculo mayor. A fin de explicar estas paradojas y varias otras de natura-

misma rapidez, ya que es evidente q u e han cubierto la misma distancia. Pero si examinamos los puntos intermedios A2 y B 2 , q u e señalan las respectivas posiciones de A y B después de un cuarto de vuelta de la rueda, es claro q u e en el mismo tiempo, A se ha recorrido una mayor distancia q u e B. Esta diferencia q u e d a compensada, p u e s en el s e g u n d o cuarto de vuelta, en el cual B va de B¿ a B 3 , cubre la misma distancia que había recorrido A, moviéndose de Ai a A 2 ; es evidente que la distancia sobre la curva entre B 2 y B 3 es igual en longitud a la distancia de Ai a A 2 . De ahí que, en una media ro203

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

tación, tanto A c o m o B han recorrido, exactamente, la misma distancia. Este extraño comportamiento de la cicloide explica el hec h o de que, c u a n d o una rueda está en movimiento, la parte más alejada del suelo, en cualquier instante, se m u e v e realmente, a lo largo y en horizontal, más rápidamente que la parte que se encuentra en contacto con el suelo. P u e d e demostrarse que, a medida que el p u n t o de una rueda, en contacto con el camino, se p o n e en movimiento, viaja más y más rápidamente, alcanzando su máxima rapidez horizontal c u a n d o su posición es la más alejada del suelo. Otra interesante propiedad de la cicloide fue descubierta por Galileo. Ya se indicó en el capítulo 3 1 q u e el área de un círculo sólo podía expresarse con ayuda d e JI, n ú m e r o trascendente. C o m o el valor numérico de x sólo p u e d e calcularse aproximadamente (aunque con tanta aproximación c o m o queramos, t o m a n d o tantos términos de la serie infinita c o m o nos plazca), el área de un círculo p u e d e también expresarse, únicamente, como una aproximación. Lo notable es que, sin embargo, mediante la cicloide, p o d e m o s construir una superficie exactamente igual al área de un círculo d a d o . Basándose en el h e c h o de q u e la longitud de una cicloide, de extrem o a extremo, es igual a cuatro veces la longitud del diáme-

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Fig. 6 6 . C u a n d o el c í r c u l o r o d a n t e s e e n c u e n t r a e n la posición indicada, las superficies s o m b r e a d a s q u e q u e d a n a c a d a uno d e s u s l a d o s s o n e x a c t a m e n t e i g u a l e s al á r e a del círculo.

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Fig. 67. La cicloide a c o r t a d a e s t á e n g e n d r a d a por el p u n t o P, el cual p e r t e n e c e al c í r c u l o p e q u e ñ o , a m e d i d a q u e el c í r c u l o m a v o r r u e d a s o b r e la r e c t a MN.

tro del círculo generador, p u e d e demostrarse q u e el área comprendida por la cicloide entre los dos extremos y la línea recta q u e los une, es igual a tres veces el área del círculo. De d o n d e se d e d u c e que el espacio encerrado (sombreado en la fig. 66) a cada lado del círculo, q u e está en el centro, es exactamente igual a la superficie de dicho círculo. La paradoja que resulta de la seudodemostración de que la circunferencia del círculo p e q u e ñ o es igual a la del círculo grande, p u e d e explicarse con ayuda de otro m i e m b r o de la familia de la cicloide: la cicloide acortada* (fig. 67). Un p u n t o interior de una rueda q u e gira, sin resbalar, sobre una línea recta, describe la cicloide acortada. De este m o d o , un punto situado en la circunferencia del círculo menor, concéntrico con otro mayor, engendrará esta curva. El círculo p e q u e ñ o de la figura 6 3 efectúa sólo una rotación completa al moverse de C a D y un p u n t o sobre la circunferencia de este círculo describirá una cicloide acortada. Sin embargo, c o m p a r a n d o la cicloide acortada con la cicloide, observamos que el círculo p e q u e ñ o n o cubrirá la distancia * S e c o n o c e con el n o m b r e d e trocoides tanto a las cicloides alargadas c o m o a las cicloides acortadas. ¡N. del R.)

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

CD efectuando simplemente una revolución al mismo tiemp o q u e el grande. Parte d e la distancia e s cubierta por el círculo mientras está rodando, pero simultáneamente está siendo transportado hacia delante por el círculo grande c u a n d o éste se m u e v e de A a B. P u e d e verse esto, aún más claramente, si consideramos el centro del círculo grande en la figura 63. El centro de un círculo, siendo un p u n t o matemático y careciendo, por lo tanto, d e dimensiones, n o gira, sino q u e es transportado p o r la rueda en toda la distancia desde A hasta B. Considerando los problemas q u e surgen al rodar una rueda sobre una línea recta, h e m o s estudiado la trayectoria de un p u n t o situado sobre la circunferencia de la misma y vimos que esta trayectoria era una cicloide; al considerar la curva trazada por un p u n t o del interior de la rueda, descubrim o s la cicloide acortada. A d e m á s e s interesante mencionar la trayectoria determinada p o r un p u n t o situado fuera de la circunferencia, tal c o m o un p u n t o extremo de la pestaña de u n a rueda d e vehículo ferroviario. Dicho p u n t o n o está en contacto con el riel sobre el cual gira la rueda y la curva q u e engendra es una cicloide alargada (fig. 38). Esta curva explica la curiosa paradoja d e que, en cualquier instante, el tren nunca se m u e v e por completo en el sentido en q u e lo arrastra la máquina. ¡Hay siempre partes del tren q u e se m u e v e n en el sentido opuesto! Entre las innovaciones, en matemáticas, del primer cuarto de siglo, ninguna eclipsa en importancia al desarrollo de la teoría de los conjuntos de puntos y la teoría de las funciones de una variable real. Basándose totalmente en los nuevos m é t o d o s del análisis matemático, se logró un rigor y una generalidad en la geometría, mayores de lo q u e podría haberse imaginado si la ciencia se hubiese desarrollado enteramente p o r medios intuitivos. S e encontró q u e todos los conceptos geométricos convencionales podían ser definidos n u e v a m e n -

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PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

Fig. 6 8 . La cicloide a l a r g a d a . Un p u n t o p e r t e n e c i e n t e a la p e s t a ña d e u n a r u e d a d e ferrocarril, e n movimiento, d a origen a e s t a c u r v a . La p a r t e del tren q u e s e m u e v e hacia atrás c u a n d o el tren m a r c h a h a c i a d e l a n t e e s la porción s o m b r e a d a d e la r u e d a .

te con acrecentada exactitud, basándose en la teoría de los conjuntos y en los nuevos y p o d e r o s o s instrumentos del análisis. En la geometría de la lámina de goma, c o m o veremos más adelante, las curvas se definen de tal manera, que se elimina toda ingenua apelación a la intuición y a la experiencia. Una curva cerrada simple se define c o m o un conjunto de puntos q u e p o s e e la propiedad de dividir al plano exactam e n t e en dos regiones: una interior y la otra exterior, d o n d e las nociones interior y exterior se formulan con precisión, por métodos analíticos, sin hacer referencia alguna a nuestras nociones ordinarias d e espacio. Precisamente p o r dichos medios se crearon e investigaron figuras m u c h o más complejas

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q u e las q u e hasta entonces se habían estudiado. En realidad, a u n q u e la geometría analítica se limita a contornos q u e pueden describirse mediante ecuaciones algebraicas cuyas variables son las c o o r d e n a d a s de los puntos de la figura, el n u e v o análisis hizo posible el estudio de formas que no pueden ser descritas por ecuación algebraica alguna. Algunas de éstas las encontraremos en la parte dedicada a curvas patológicas. También se emprendieron estudios intensivos d e ciertas clases de puntos — c o m o los puntos en el espacio— y se examinó la noción de dimensión. En relación con este estudio, uno de los grandes éxitos de los últimos años ha sido el de asignar un número: 0, 1, 2 ó 3, a cada configuración, para denotar su dimensión. Prevalecía la creencia de q u e ésta era una cuestión simple y evidente, q u e n o requería análisis matemático y q u e p o d í a resolverse intuitivamente. Así, podía decirse de un punto, q u e tenía dimensión nula, una recta o una curva: una dimensión, un p l a n o o una superficie: dos dimensiones y un sólido: tres dimensiones. D e b e admitirse q u e el problema de determinar si un objeto tiene 0, 1, 2 ó 3 dimensiones n o parece muy formidable. Sin embargo, una notable paradoja q u e fue descubierta es suficiente, en sí misma, para demostrar q u e n o e s así y q u e nuestras ideas intuitivas acerca de dimensión, así c o m o sobre áreas, n o sólo carecen de precisión, sino q u e a m e n u d o son completamente engañosas. La paradoja apareció al tratar de determinar si podía asignarse a cada figura del plano un único n ú m e r o (llamada m e dida) de manera tal q u e pudieran satisfacerse las tres condiciones siguientes: 1. Si se atribuye a la palabra "congruente" la misma acepción q u e se le dio en la geometría elemental 2 , dos figuras congruentes d e b e n tener la misma medida. 2. Si una figura f u e s e dividida en dos partes, la s u m a d e

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las medidas asignadas a cada una de las dos partes d e b e ser exactamente igual a la medida asignada a la figura original. 3. C o m o modelo para determinar el m é t o d o de asignar una medida a cada figura del plano, se acordó q u e debía asignarse la medida 1 al cuadrado cuyos lados tienen por longitud una unidad. ¿ Q u é es este c o n c e p t o de medida? De acuerdo a lo anterior, parecería deducirse q u e la medida q u e se asigna a cada figura en el plano, n o es otra cosa q u e el área de esa figura. En otras palabras, el problema consiste en determinar si el área de toda figura en el plano haciendo caso omiso de su complejidad, p u e d e determinarse sin ambigüedad. Inútil señalar q u e fue p r o p u e s t o c o m o un ejercicio teórico y general y n o c o m o la e n o r m e y evidentemente imposible empresa de medir realmente toda figura concebible. El problema podía considerarse resuelto si se diera una demostración teórica de que, a toda figura, podía serle asignada una única medida. Pero d e b e notarse q u e la finalidad principal era liberar a esta investigación de los conceptos tradicionales de la geometría clásica: la noción de área, entendida del m o d o antiguo, era desterrada y se excluían específicamente los métodos usuales para determinarla; la aproximación debía ser analítica (por m e d i o de conjuntos de puntos) antes q u e geométrica. Cumpliendo tales restricciones se demostró q u e por complicada q u e sea una figura, y p o r m u c h o q u e su contorno se cruce y se vuelva a cruzar, p u e d e asignársele una única medida. Entonces vino el desastre, p u e s se descubrió el h e c h o sorprendente de que el mismo problema, al ser generalizado a superficies en el espacio, n o sólo era insoluble, sino q u e conducía a las más graciosas paradojas. En efecto, los mismísimos métodos q u e habían sido tan fecundos en las investigaciones sobre el plano, c u a n d o se aplicaban a la superficie

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PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

de una esfera, eran inadecuados para determinar una medida única. ¿Significa esto realmente q u e el área de la superficie de una esfera n o p u e d e determinarse de una m a n e r a única? ¿No da, acaso correctamente, el área de la superficie de una esfera la fórmula habitual, 4jir 2 ? Desgraciadamente n o p o d e m o s contestar estas preguntas en detalle, p o r q u e ello nos Hevaría muy lejos y exigiría muchos conocimientos técnicos. Admitimos q u e el área de una superficie esférica, determina2 da por los viejos m é t o d o s clásicos, es 4jir . Pero los viejos m é t o d o s carecían de generalidad, eran inadecuados para determinar la superficie de figuras complejas; además, ya advertimos que el c o n c e p t o intuitivo d e área debía omitirse deliberadamente en la tentativa de medida. Al mismo tiempo q u e el progreso en la teoría d e las funciones y los nuevos m é t o d o s del análisis superaron algunas de estas dificultades, introdujeron también nuevos problemas estrechamente relacionados con el infinito; y c o m o los matemáticos saben desde hace m u c h o tiempo, la presencia de ese c o n c e p t o n o constituye, en m o d o alguno, una bendición. Aunque ha permitido a los matemáticos realizar grandes adelantos, éstos h a n estado siempre a la sombra d e la incertidumbre. Uno 2 p u e d e continuar e m p l e a n d o fórmulas tales c o m o 4:ir por la magnífica razón de q u e resuelven un problema, p e r o si se desea ir al mismo p a s o q u e el audaz e inquieto espíritu matemático, se ve obligado a hacer frente a las desalentadoras alternativas de a b a n d o n a r la lógica para retener los conceptos clásicos, o la d e aceptar los resultados paradójicos del n u e v o análisis y hacer a un lado al sentido c o m ú n práctico. Las condiciones para asignar una medida a una superficie son análogas a las q u e se presentan c u a n d o se trata de las figuras en el plano: 1) Debe asignarse una misma medida a superficies congruentes. 2) La suma de las medidas asignadas a cada una de las dos partes c o m p o n e n t e s de una superficie

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d e b e r á ser igual a la medida asignada a la superficie original. 3) Si S indica toda la superficie de una esfera de radio r, la medida asignada a S d e b e r á ser: 4?ir 2 . El matemático alemán Hausdorff demostró q u e este problema n o tiene solución, q u e n o puede asignarse una medida única a las partes de la superficie de una esfera de m o d o tal q u e se satisfagan las condiciones q u e anteceden. Demostró que si la superficie de una esfera fuese dividida en tres partes separadas y distintas: A, B, C, de manera q u e A sea congruente con B y B sea congruente con C surge una extraña paradoja, q u e nos recuerda vividamente algunas de las paradojas d e la aritmética transfinita con las cuales está, e n realidad, relacionada.- Hausdorff demostró que n o solamente A es congruente con C (como p o d í a esperarse), sino también que A es congruente con B + C. ¿Cuáles son las complicaciones de este alarmante resultado? Si se asigna una medida a A, a la misma medida d e b e asignarse a B y a C, ya que A es congruente con B, B con C y A con C. Pero, p o r otra parte, c o m o A es congruente con B + C, la medida asignada a A tendría también que ser igual a la s u m a d e las m e d i d a s asignadas a B y a C. Evidentemente dicha relación sólo podría cumplirse si las medidas asignadas a A, B y C f u e s e n todas iguales a 0. P e r o e s o es imposible por la condición 3), de acuerdo a la cual la suma de las medidas asignadas a las partes de la superficie de una esfera d e b e ser igual a 4:ir 2 . ¿ C ó m o es posible entonces asignar una medida? 0

Desde un p u n t o de vista ligeramente distinto, v e m o s q u e si A, B y C son congruentes entre sí y reunidas forman la superficie de toda la esfera, la medida d e cualquiera d e ellas d e b e ser la medida de un tercio de la superficie de toda la esfera. P e r o si A es n o solamente congruente con B y C, sino también con B + C (como lo demostró Hausdorff), la medida asignada a A y la medida asignada a B + C, d e b e n ser, cada

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

una, igual a la mitad de la superficie de la esfera. Así, de cualquier manera que lo encaremos, asignando medidas a porciones de la superficie de una esfera, nos e n r e d a m o s en una contradicción sin remedio. Dos distinguidos matemáticos polacos, Banach y Tarski, han h e c h o extensivas las deducciones del paradójico teorema de Hausdorff al espacio de tres dimensiones, con resultados tan sorprendentes e increíbles que n o tienen igual en todas las matemáticas. Y las conclusiones, a u n q u e rigurosas e intachables, son casi tan increíbles tanto para el matemático c o m o para el lego. Imaginemos dos cuerpos en el espacio de tres dimensiones: u n o muy grande, c o m o el Sol; el otro m u y p e q u e ñ o , c o m o un guisante. Indiquemos el Sol con S y el guisante con S ' . R e c o r d e m o s ahora q u e nos estamos refiriendo, n o a las superficies de estos dos objetos esféricos sino a la totalidad de las esferas sólidas tanto del Sol como del guisante. El teorema de Banach y Tarski afirma q u e p u e d e llevarse a cabo, teóricamente, la siguiente operación: Dividamos al Sol S en muchísimas partes pequeñas. C a d a parte d e b e ser s e p a r a d a y distinta y el n ú m e r o total d e partes será un n ú m e r o finito. Las mismas p o d r á n designarse por si, s 2 , S3... s„ y, al ser reunidas, estas p e q u e ñ a s partes formarán toda la esfera S. Análogamente S' —el guisante— d e b e dividirse en igual n ú m e r o de partes m u t u a m e n t e excluyentes: s'i, s' 2 , s' 3 ... s'„, q u e reunidas formarán el guisante. Luego, la proposición prosigue diciendo q u e si el Sol y el guisante han sido cortados de una m a n e r a tal q u e la p e q u e ña porción Si del Sol sea congruente con la p e q u e ñ a porción s'i del guisante, s 2 congruente con s' 2 ) s 3 congruente con s' 3 , hasta s„ congruente con s'„, este proceso acabará, n o sólo con todas las p e q u e ñ a s porciones del guisante, sino también con todas ¡as pequeñas porciones del Sol.

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PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

En otras palabras, el Sol y el guisante p u e d e n ser divididos en un n ú m e r o finito de partes desunidas de manera que cada parte simple de uno sea congruente con una única parte del otro, y de tal modo que después que cada pequeña porción del guisante ha sido equiparada con una pequeña porción del Sol, no quede libre ninguna de éstas*. Para expresar esta gigantesca explosión de b o m b a en términos comparables al estallido de un p e q u e ñ o cohete, diremos: H a y una manera de dividir una esfera grande como el Sol, en partes separadas, de manera que no haya dos de esas partes que tengan puntos comunes y, sin comprimir ni deformar parte alguna, todo el Sol puede colocarse, cómodamente, en el bolsillo del chaleco. Además, podrán disponerse de tal m a n e r a las partes c o m p o n e n t e s del guisante que, sin expansión ni deformación, n o teniendo puntos c o m u n e s ningún p a r de sus partes, llenarán sólidamente todo el Universo no quedando ningún espacio vacío, ya sea en el interior del guisante, o en el Universo. Ciertamente q u e ningún cuento de hadas, ninguna fantasía de las Mil y una noches, ningún sueño febril, p u e d e competir con este t e o r e m a d e inflexible y rigurosa lógica. A u n q u e los teoremas de Hausdorff, Banach y Tarski n o p u e d e n , actualmente, tener aplicación práctica alguna, ni aun para aquellos que esperan a c o m o d a r su voluminoso equipaje en un maletín de fin de semana, q u e d a n como un magnífico desafío a la imaginación y c o m o un tributo a la concepción matemática 3 . Se distinguen de las paradojas consideradas hasta ahora, aquellas q u e se refieren, más propiamente, a los sofismas R e c o n o c e m o s aquí, por supuesto, q u e se trata d e una simple c o r r e s p o n d e n c i a biunívoca entre los e l e m e n t o s d e un c o n j u n t o q u e forman el Sol y los e l e m e n t o s d e otro c o n j u n t o que constituyen el guisante. La p a r a d o j a reside en el h e c h o de q u e cada e l e m e n t o se equipara con otro q u e le es c o m p l e t a m e n t e c o n g r u e n t e (a i.esgo d e repetir q u e c o n g r u e n t e significa idéntico en t a m a ñ o y forma) y q u e hay bastantes e l e m e n t o s en el c o n j u n t o q u e forma el guisante c o m o para equipararlos e x a c t a m e n t e con los e l e m e n t o s q u e constituyen el Sol

213

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

matemáticos. S e presentan tanto en aritmética c o m o en geometría y se les encuentra, a veces, a u n q u e n o muy a menudo, en las ramas superiores de las matemáticas como, por ejemplo, en el cálculo o en las series infinitas. Algunos sofismas matemáticos son demasiado triviales para merecer atención; sin embargo, el tema tiene d e r e c h o a que le dediquemos nuestra consideración porque, aparte de su aspecto entretenido, muestra c ó m o un e n c a d e n a m i e n t o d e razonamientos matemáticos p u e d e ser viciado totalmente por un solo p a s o en falso.

SOFISMAS ARITMÉTICOS I. A casi todos nosotros nos resulta familiar una demostración según la cual 1 es igual a 2. Dicha prueba p u e d e hacerse extensiva a la demostración de q u e dos números o expresiones cualesquiera son iguales. El error c o m ú n a todas esas falacias consiste en dividir entre cero, operación estrictamente prohibida. Sabido es q u e las reglas fundamentales d e la aritmética exigen q u e todo proceso aritmético (suma, resta, multiplicación, división, elevar a una potencia y obten e r las raíces d e un número) produzca un resultado único. Evidentemente este requisito es esencial, p o r q u e las operaciones d e la aritmética tendrían p o c o valor o significado, si los resultados fuesen ambiguos. Si 1 + 1 fuese igual a 2 ó a 3; si 4 x 7 fuese igual a 2 8 ó a 82; si 7 4- 2 fuese igual a 3 ó a 3Vfe, las matemáticas serían el S o m b r e r e r o Loco de las ciencias. Al igual q u e la buenaventura o la frenología serían asunto apropiado para explotar en una concesión de parque de atracciones. Ya q u e los resultados de la operación d e división d e b e n ser únicos, la división entre cero debe ser excluida, por cuanto el resultado d e esta operación es cualquier cosa q u e a us214

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

ted se le ocurra. En general, la división está definida de tal m o d o q u e si a. b y c son tres números, a + b = c, solamente cuando c x b = a. De acuerdo a esta definición, ¿cuál es el resultado de 5 -s- 0? No p u e d e ser ningún n ú m e r o d e cero a infinito, puesto q u e ningún número, al ser multiplicado por cero, es igual a 5. Por lo tanto, 5 s- 0 no tiene sentido y más aún. 5 - ^ 0 = 5 + 0 es una expresión q u e carece de significado. Por supuesto q u e los sofismas resultantes de dividir por cero, rara vez se presentan de manera tan simple c o m o para ser descubiertos a primera vista. El siguiente ejemplo nos da una idea de c ó m o surgen las paradojas cuando dividimos por una expresión cuyo valor es cero: S u p o n g a m o s que: A + B = C y admitamos q u e A = 3 y B = 2. Multipliquemos a m b o s miembros de la ecuación A + + B = C por (A + B). Obtenemos: A2 + 2AB + B 2 = C(A + B). C a m b i a n d o el orden de los términos tenemos: 2

A

2

+ AB - AC = -AB - B

+ BC.

Al sacar factor c o m ú n (A + B - C), tenemos: A(A + B - C) =

- B(+A +B - C ) .

Dividiendo ambos miembros entre (A + B - C), es decir, dividiendo entre cero, o b t e n e m o s : A = -B, o A + B = 0, que es evidentemente absurdo.

215

PARADOJAS PERDIDAS V PARADOJAS RECUPERADAS MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

II. Al extraer raíces cuadradas, es necesario recordar la regla algebraica q u e dice q u e u n a raíz cuadrada d e un número positivo es un valor negativo, y otra, un valor positivo. Así, las raíces cuadradas de 4 son - 2 y + 2 (lo cual p u e d e escribirse = ± 2) y las raíces cuadradas de 100, + 1 0 y - 1 0 (o sea, V 1 0 0 = ± 10). El no observar esta regla p u e d e dar 4

lugar a la siguiente contradicción : 2

2

(a) (b) (c)

(n + l) = n + 2n -I- 1 2 2 (n + l) - (2n -I- 1) n Restando: n(2n + 1) de a m b o s miembros y sacando

(d)

factor común, tenemos: 2 2 (n + l) - (n + 1) (2n + 1) = n - n (2n + 1)

(e)

2

S u m a n d o : — (2n + l) a a m b o s miembros d e (d) se 4 obtiene: (n + l) 2 - (n + 1) (2n + 1) + — (2n -I- l) 2 = 4

= n2 - n (2n + 1) +

(2n -I- l) 2 ,

que p u e d e escribirse así: (f)

2

l(n + 1) - 1 (2n + l)] = [n - \

(2n + l)) .

Extrayendo la raíz cuadrada d e a m b o s miembros: (g)

n + 1 - — (2n + 1) = n —— (2n + 1) ^ O

y, por lo tanto: (h)

n = n + 1.

2

III. El lector podrá desenredar por su cuenta el siguiente sofisma aritmético 5 : (1) (2) (3)

r

\ a x yj~b ~ V a x b x x V 1 V - 1 = V(-D (-1) Por lo tanto: ( V - 1 )2= V~T;es decir, -1 = 1

verdadero verdadero ?

IV. Una paradoja q u e n o p u e d e resolverse con el empleo de matemáticas elementales es la siguiente: S u p o n g a mos que log (-1) = x; en consecuencia, por la ley de los logaritmos: 2

log (-1) = 2 x log (-1) = 2x. Pero, por otra parte, log (-1) 2 = log (1) q u e es igual a 0. En consecuencia, 2 • x = 0 y, log (-1) = 0, q u e evidentemente n o es cierto. La explicación reside en el h e c h o de q u e la función q u e representa el logaritmo de un n ú m e r o negativo, o complejo, no tiene un solo ualor, sino muchos valores. Es decir, si f u é s e m o s a construir la habitual tabla funcional para los logaritmos de los números negativos y de los complejos habría una infinidad de valores correspondientes a cada nú6 mero . V. El infinito, en matemáticas, es siempre indómito, a m e n o s que se le trate correctamente. Ya vimos ejemplos de esto al desarrollar la teoría de los conjuntos y veremos más todavía c u a n d o tratemos las paradojas lógicas. Consideramos oportuno citar a continuación un n u e v o ejemplo al respecto. Así c o m o la aritmética transfinita tiene sus reglas propias que difieren de las de la aritmética finita, se requieren reglas especiales para operar con series infinitas. Si se las ignora o no se las observa, se originan contradicciones. Por ejemplo, consideremos la serie equivalente al logaritmo natural de 2: 217

216

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

1

ILog 29 = 11

_l +

2

1

1

3

4

1

x+

1

5

6

=

...

Si cambiamos el orden de los términos, c o m o en la aritmé-

3 ~

x

0 , 6 9 3 1 5 ó, en otras palabras,

3 log 2 = — x log 2. 2

tica finita, obtenemos: Log 2 = ( 1 + — + — + —... ) - ( — + — + — + —... ) \ 3 5 7 / \ 2 4 6 8 / De este modo:

L

0

2

2

- { (

\2

/

S B

1

1 +

l

4

l 2

+

+

i

6

i

+

3

i

+

+

8)1

l

+

4

l

+

5

± " )

t

SOFISMAS GEOMÉTRICOS

\2

4

6

8 /

...)J

- í l + — + — + — + — + ...1=0. \ 2 3 4 5 J Por lo tanto: log 2 = 0. Por otra parte:

log 2 = 1 — — + — ' 2 3

—+ — 4 5

— ... = 0,69315, 6

según p u e d e obtenerse d e cualquier tabla de logaritmos. Alterando el orden de los términos de una manera ligeramente distinta: log 2 = 1 + — 3 2

218

Una serie famosa, q u e p r e o c u p ó a Leibniz, es la aparentemente sencilla: + 1 - 1 + 1 - 1 + 1... Al ordenar en distinta forma sus términos, se obtiene una variedad d e resultados; por ejemplo: (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0, pero- 1 - (1 - 1) + (1 - 1 ) . . . = 1 .

+ — + — - — + — + — 5 7 4 9 11

6

... =

Las ilusiones ópticas referentes a figuras geométricas explican m u c h o s engaños y confusiones. Nos limitaremos a considerar sofismas n o causados por limitaciones de nuestra 7 fisiología , sino de errores en el raciocinio matemático. Una "demostración" geométrica muy conocida es la de q u e todo triángulo es isósceles. S u p o n e que la bisectriz de un ángulo del triángulo y la recta mediatriz del lado opuesto a dicho ángulo, se cortan en un p u n t o interior del triángulo. La siguiente es también una demostración falsa q u e expresa q u e un ángulo recto es igual a un ángulo mayor q u e 8 un recto . En la figura 69, ABCD es un rectángulo. Si H es el punto medio de CB, trácese por H una recta perpendicular a CB, la cual cortará a DA en J y será perpendicular a ella. Desde A trácese la recta AE exterior al rectángulo e igual a AB y CD. Unase C con £ y sea K el p u n t o medio de esta recta. Por K trácese una perpendicular a CE. C o m o CB y CE n o son paralelas, las rectas que pasan por H y K se cortarán en un p u n t o O. Únase OA, OE, OB, OD y OC. Se verá claramente

219

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

que los triángulos O D C y OAE son iguales en todo. Ya q u e KO e s la perpendicular q u e divide a CE en dos partes iguales, todo punto perteneciente a KO equidista de C y de E, O C es igual a OE. Análogamente HO es la recta perpendicular en el punto medio d e CB y DA, O D es igual a OA. C o m o AE es por construcción igual a DC, los tres lados del triángulo ODC son iguales, respectivamente, a los tres lados de triángulo OAE. En consecuencia, los dos triángulos son iguales y, por lo tanto, el ángulo O D C es igual al ángulo OAE. P e r o el ángulo ODA es igual al ángulo OAD, p o r q u e el lado AO es igual a OD en el triángulo OAD y los ángulos

adyacentes a la base e n el triángulo isósceles son iguales. En consecuencia, el ángulo JDC, q u e es igual a la diferencia de O D C y ODJ, es igual a JAE q u e es la diferencia entre OAE y OAJ. Pero el ángulo JDC e s recto mientras q u e el ángulo JAE es mayor q u e un ángulo recto y, por lo tanto, el resultado es contradictorio. ¿ P u e d e usted encontrar el fallo? Le sugerimos dibujar la figura exactamente. 0

PARADOJAS LÓGICAS C o m o los cuentos populares y las leyendas, las paradojas lógicas tuvieron sus precursores en tiempos remotos. Ha-

220

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

biéndose o c u p a d o de la filosofía y los f u n d a m e n t o s de la lógica, los griegos formularon algunos d e los acertijos lógicos que, en épocas recientes, han vuelto a ser plaga de matemáticos y filósofos. Los sofistas crearon una verdadera especialidad en el arte de p r o p o n e r preguntas o problemas difíciles, con los q u e dejaban perplejos y confundían a sus o p o n e n t e s en los debates, a u n q u e la mayor parte de ellos se basaban en pensamientos torpes y vicios dialécticos. Aristóteles los destruyó al establecer los f u n d a m e n t o s de la lógica clásica, una ciencia que ha visto envejecer y q u e ha sobrevivido a todos los sistemas filosóficos de la antigüedad y que en casi todas sus partes es aún hoy perfectamente válida. Pero h u b o acertijos difíciles q u e resistieron porfiadamente todo intento de aclaración 9 . La mayor parte de ellos se origina en lo q u e se ha d a d o en llamar "la falacia d e petición de principio" que es "debida al h e c h o de descuidar el principio fundamental de q u e lo q u e involucra al todo, en una totalidad dada, n o p u e d e , en sí mismo, ser parte de la totalidad" 10. Ejemplos sencillos de esto son aquellas frases pontificales, familiares a todo el m u n d o , q u e parecen tener muchísimo significado, pero que, en realidad no tienen ninguno, tales como: "nunca digas nunca", o "toda regla tiene excepciones" o "toda generalidad es falsa". Consideraremos algunas de las paradojas lógicas más desarrolladas, q u e implican el mismo sofisma básico y luego discutiremos su importancia desde el punto de vista matemático. (A) Cazar en el v e d a d o de un p o d e r o s o príncipe se castigaba con la muerte, pero el príncipe decidió posteriormente que aquel q u e fuera sorprendido cometiendo ese delito tendría el privilegio de elegir entre ser ahorcado o decapitado. Se permitía que el delincuente formulara una proposición — si era falsa, se le ahorcaba; si era verdadera, se le decapitaba. Un bribón, ducho en lógica, se valió de esa dudosa prerro-

221

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

gativa —ser ahorcado si n o acertaba y ser decapitado si lo hacía— diciendo: "Seré ahorcado." Aquí se presentó un dilema imprevisto, puesto q u e el reo agregó: "Si ustedes me ahorcan ahora, infringen las leyes hechas por el príncipe, puesto q u e mi proposición es verdadera y debería, por lo tanto, ser decapitado; pero si ustedes m e decapitan, también violan las leyes, p o r q u e entonces lo que yo dije era falso y debía, en consecuencia, ser ahorcado." C o m o en el relato de Frank Stockton, de la dama y el tigre, el final se lo dejamos a usted. Sin embargo, el delincuente probablemente n o sufrió p e o r suerte en m a n o s del verdugo q u e la q u e habría padecido en m a n o s de un filósofo, p o r q u e hasta este siglo, los filósofos tuvieron p o c o tiempo para ocuparse en esas triviales adivinanzas —especialmente de aquellas q u e n o podían resolver*. (B) El barbero de la aldea afeita a todos los hombres de la misma que n o se afeitan a sí mismos. P e r o este principio pronto lo complica en una situación dialéctica análoga a la del verdugo. ¿Se afeitará a sí mismo? Si lo hace, afeita a alguien q u e se afeita a sí mismo y quiebra su propia regla. Si no lo hace, a d e m á s de quedar con barba, también quiebra su regla al n o afeitar a una persona de la aldea q u e n o se afeita a sí misma. (C) Fijémonos en que cada n ú m e r o entero p u e d e expresarse, en idioma inglés, sin usar cifras. Así, (a) 1400 p u e d e escribirse: "one thousand, four hundred" o (b) 1769823, c o m o , "one million, seven hundred and sixty-nine thousand, eight h u n d r e d a n d twenty-three". Es evidente que ciertos números requieren más sílabas que otros; en general, cuanto mayor es un número, tantas más sílabas se necesitan para expresarlo. Así (a) requiere 6 sílabas, y (b) 2 1 . Ahora bien, puede establecerse q u e ciertos números requerirán 19 sílabas o * Véase en el Quijote, capítulo LI. la p a r a d o j a del p u e n t e .

222

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

menos, mientras que otros necesitarán más de 19. Adémás n o es difícil demostrar q u e entre aquellos n ú m e r o s enteros que requieren exactamente 19 sílabas para ser nombrados en idioma inglés, d e b e haber uno q u e sea el más p e q u e ñ o . 1 Bien, "es fácil ver" q u e "the least integer not nameable in fewer than nineteen syHables" es una frase que debe denotar al n ú m e r o específico. 111777. Pero la expresión en cursiva que antecede es, en sí misma, un medio inequívoco de denotar al n ú m e r o entero más p e q u e ñ o q u e se p u e d e expresar en diecinueve sílabas en idioma inglés. Sin embargo, ¡la frase de referencia (en inglés) tiene sólo dieciocho sílabas! De este m o d o caemos en una contradicción, p u e s el m e n o r n ú m e r o entero expresable en diecinueve sílabas p u e d e expresarse con dieciocho sílabas*. (D) La forma más sencilla de paradoja lógica q u e surge a raíz del uso indistinto de la palabra todo, p u e d e verse en la figura 70. ¿ Q u é d e b e decirse de la proposición n ú m e r o 3? Las proposiciones 1 y 2 son falsas, pero la 3 p u e d e ser tanto un lobo vestido de oveja c o m o una oveja vestida de lobo. No es ni lo uno ni lo otro: Ni falsa ni verdadera. Una forma más fina a p a r e c e en la famosa paradoja de Russell acerca de la clase de todas las clases q u e n o son A continuación d a m o s un e j e m p l o equivalente en español: (C) C o n s i d e r e m o s el caso d e q u e cada n ú m e r o entero se p u e d e expresar, en español, sin el uso d e símbolos. Así. (a) 1 4 0 0 se p u e d e escribir: mil cuatrocientos, o (b) 1 7 7 9 . 8 2 3 . c o m o un millón setecientos setenta y n u e v e mil o c h o c i e n t o s veintitrés. Es e v i d e n t e q u e ciertos n ú m e r o s requieren más sílabas q u e otros; en general, cuanto mayor es un n ú m e r o , tantas más sílabas se necesitan para expresarlo. Así. (a) requiere de 5 sílabas, y (b) 21. Ahora bien, p u e d e establecerse q u e ciertos n ú m e r o s requerirían d e 2 1 sílabas o m e n o s , mientras que otros necesitarán más d e 2 1 . A d e m á s n o es difícil demostrar q u e entTe aquellos n ú m e r o s enteros q u e requieren e x a c t a m e n t e d e 2 1 sílabas p a r a ser n o m b r a d o s e n español, d e b e h a b e r u n o q u e sea el más p e q u e ñ o . Bien, "es fácil ver" q u e "el menor entero que se expresa con veintiún sílabas", es u n a frase q u e d e b e d e n o t a r al n ú m e r o específico 4 4 4 . 4 4 1 . Pero la expresión en cursiva q u e a n t e c e d e es. en sí misma, un medio inequívoco d e denotar al núm e r o entero m á s p e q u e ñ o que se p u e d e expresar en veintiún sílabas en e s p a ñ o l Sin e m bargo. la frase d e referencia tiene sólo ¡dieciocho sílabas! Lo cual es una contradicción, p u e s el m e n o r e n t e r o q u e e x p r e s a m o s en veintiún sílabas se p u e d e expresar con dieciocho sílabas (N. del R)

223

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

1.

Este libro t i e n e 597 p á g i n a s

2.

El a u t o r de este libro es Con fucio. Las proposiciones i n d i c a d a s con los n ú m e r o s 1, 2 y 3 son todas falsas.

Fig. 7 0

miembros de sí mismas. Su argumento e s algo escurridizo, pero recompensará la cuidadosa atención q u e se le preste: (E) Usando la palabra clase en su acepción ordinaria p o d e m o s decir que hay clases formadas por mesas, libros, personas, números, funciones, ideas, etc. Por ejemplo, la clase de todos los presidentes de Estados Unidos tiene por miembros a todas las personas, vivas o difuntas, q u e hayan sido presidentes d e Estados Unidos. T o d o lo d e m á s en el m u n d o , exceptuando la persona que haya sido o sea presidente de Estados Unidos, incluyendo el concepto de la clase misma, no es un miembro d e esta clase. L u e g o éste es un ejemplo de una clase q u e n o es parte (miembro) de sí misma. Asimismo, la clase de todos los miembros de la Gestapo, o sea la policía secreta* la cual contenía a algunos, ya que n o a todos, de los truhanes que había en Alemania; o bien la clase d e todas las figuras geométricas en un plano a c o t a d o por líneas rectas; o la clase de todos los números enteros desde 1 hasta 4 . 0 0 0 inclusive, tienen por miembros las cosas descritas, p e r o las clases n o son miembros d e sí mismas. * S e refiere a la é p o c a d e la Alemania nazi. (N del R.)

224

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

Ahora bien, si consideramos una clase c o m o un concepto, la clase de todos los conceptos en el m u n d o es, en sí misma, un concepto y, de este m o d o , constituye una clase que es miembro de sí misma. Nuevamente, la clase de todas las ideas presentadas a la atención del lector de este libro es una clase que se contiene a sí misma c o m o miembro, ya q u e al mencionar esta clase es una idea q u e traemos a la atención del lector. Teniendo presente esta distinción, p o d e m o s dividir a todas las clases en dos tipos: Aquellas que son parte de sí mismas y aquellas q u e no lo son. En realidad, p o d e m o s formar una clase compuesta de todas aquellas clases que no forman parte (miembros) de sí mismas (nótese el peligroso e m p l e o d e la palabra "todas"). La cuestión se presenta así: ¿Es esta clase (compuesta de aquellas clases que n o son elem e n t o de sí mismas) un miembro de sí misma o no? Tanto una contestación afirmativa c o m o negativa nos e n r e d a en una contradicción sin salida. Si la clase en cuestión es miembro de sí misma, no debería serlo por definición, pues sólo debería contener a aquellas clases q u e n o son miembros de sí mismas. Pero si n o es miembro de sí misma, debería serlo por la misma razón. N o n o s cansaremos de insistir q u e las paradojas lógicas no son ardides inútiles o tontos. No fueron incluidos en este volumen para hacer reír al lector, a u n q u e sólo fuese ante las limitaciones de la lógica. Las paradojas son c o m o las fábulas de La Fontaine, que fueron ataviadas para asemejarse a cuentos inocentes sobre la zorra y las uvas, los guijarros y las ranas. Pues, al igual todos los conceptos éticos y morales fueron hábilmente bordados en su trama, del mismo modo, todo lo q u e hay de pensamiento lógico y matemático, filosófico y especulativo, está entretejido en estas p e q u e ñ a s bromas. Las matemáticas m o d e r n a s al tratar de evitar las paradojas de la teoría de los conjuntos, se vieron enfrentadas a la

225

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

alternativa de adoptar un escepticismo aniquilador con respecto a todo el razonamiento matemático, o de reconsiderar y reconstruir tanto los f u n d a m e n t o s de las matemáticas c o m o los de la lógica. Debería ser claro que si las paradojas pueden surgir de un razonamiento a p a r e n t e m e n t e legítimo sobre la teoría de los conjuntos también p u e d e n surgir en cualquier otra parte de las matemáticas. De este m o d o , aun si las matemáticas pudiesen reducirse a la lógica, c o m o esperaban Frege y Russell, ¿a q u é propósito servirían si la lógica misma era insegura? Al p r o p o n e r su "Teoría de tipos" Whitehead y Russell, en Principia Mathematica, lograron evitar las contradicciones por medio de un recurso formal. Las proposiciones q u e eran gramaticalmente correctas, p e r o contradictorias, fueron declaradas desprovistas de sentido. Además, se formuló un principio q u e establece específicamente qué forma d e b e tomar una proposición para tener sentido; p e r o esto sólo resolvió a medias las dificultades, p u e s a u n q u e las contradicciones podían ser reconocidas, los argumentos q u e conducían a las contradicciones n o p o d í a n ser invalidados sin afectar ciertas partes aceptadas de las matemáticas. Para superar esta dificultad, Whitehead y Russell postularon el axioma de reducibilidad, q u e n o tratamos aquí p o r ser d e m a siado técnico. P e r o q u e d a en pie el h e c h o de q u e dicho axioma n o es aceptable para la gran mayoría d e los matemáticos y que las paradojas lógicas, después de haber dividido a los matemáticos en b a n d o s inalterablemente opuestos, 12 q u e d a n aún por resolver .

S e ha insistido en q u e el matemático se esfuerza siempre por poner sus t e o r e m a s en la forma más general posible. A este respecto los fines perseguidos por el matemático y el lógico son idénticos —formular proposiciones y teoremas de la forma: si A es cierto, entonces B es cierto, d o n d e A y B abar226

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS

can m u c h o más que coles y reyes. Pero si ésta constituye una elevada finalidad, es también peligrosa, lo mismo q u e el concepto de infinito. C u a n d o el matemático dice q u e tal y cual proposición aplicada a una cosa es cierta, esa proposición p u e d e ser interesante e indudablemente es segura. Pero c u a n d o trata de extender su proposición a todo, a u n q u e es m u c h o más interesante, es también m u c h o más peligroso. En la transición de uno a íoc/o, de lo particular a lo general, las matemáticas han realizado su mayor progreso y sufrido sus más serios reveses, entre los cuales, las paradojas lógicas forman la parte más importante. Porque si las matemáticas desean progresar sin riesgos y confiadamente, d e b e n primero p o n e r en orden sus asuntos en su propia casa.

NOTAS DE ESTE CAPÍTULO 1. H a b l a n d o n e u r o s a m e n t e , las proposiciones matemáticas n o son ni v e r d a d e r a s ni falsas: provienen simplemente de los axiomas y postulados que d a m o s por s e n t a d o s Si a c e p t a m o s estas premisas y e m p l e a m o s a r g u m e n t o s legítimamente lógicos, o b t e n e m o s pro posiciones legítimas. Los postulados n o se caracterizan p o r ser verdaderos o falsos, simplem e n t e c o n v e n i m o s en a t e n e m o s a ellos. Pero h e m o s e m p l e a d o la palabra verdadero sin nin guna de sus implicaciones filosóficas p a r a referimos d e una manera n o ambigua a proposiciones lógicamente deducidas d e axiomas c o m ú n m e n t e aceptadas, página 2 0 0 2 Dos c o n j u n t o s d e p u n t o s (configuraciones) se dicen c o n g r u e n t e s si. a cada par de puntos P, Q d e un conjunto, c o r r e s p o n d e u n í v o c a m e n t e un par d e p u n t o s P'. Q' del otro conjunto, tal q u e la distancia entre P y Q sea igual a la distancia entre P y Q, página 2 0 8 3. En la versión q u e h e m o s d a d o en este capítulo d e los t e o r e m a s d e Hausdorff. Banach y Tarski h e m o s h e c h o amplio uso de la brillante explicación d a d a p o r Karl Menger en su disertación: "¡Tiene solución la cuadratura del círculo!" que a p a r e c e en Alte Probleme Neue Lósungen, Viena: Deuticke, 1934, página 2 1 3 .

Fig. 71.

¿ S o n paralelas las tres rectas horizontales?

227

PARADOJAS PERDIDAS Y PARADOJAS RECUPERADAS MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

Fig. 74. ¿ C u á l d e los d o s l á p i c e s e s m á s l a r g o ? M í d a l o s y lo d e terminará.

Fig. 7 2 . Por s u p u e s t o q u e el c u a d r a d o b l a n c o e s m á s g r a n d e q u e el n e g r o . ¿ O s e r á m á s p e q u e ñ o ?

4.

Lietzmann, Lustiges

und Merkwürdiges

uon Zahlen

und Formen.

Breslau

Ferd.

Hirt., 1 9 3 0 , página 2 1 6 . 5. Ball, op. cit., página 2 1 7 6. Weismann. Einführung in das mathematische Denken. viena. 1937, página ¿ \ / 7. Las siguientes ilusiones ópticas, a u n q u e n o c o r r e s p o n d e n en realidad a un libro sobre matemáticas p u e d e n ser d e algún interés, al m e n o s para la imaginación, página 2 1 9 8. Ball, op. cit, página 219.

Fig. 75.

9. Por ejemplo, la paradoja d e Epiménides referente a los cretenses q u e dice que todos los nativos d e la isla d e Creta son mentirosos (V. c a p II.) Página 2 2 1 . 10. Ramsay. Frank Plumpton. Artículos sobre "Matemáticas" y "Lógica". Enciclopedia Britannico, 13. a edición, página 221. 11. Esta expresión p u e d e , quizá, ser t o m a d a en el sentido con q u e Laplace la e m p l e ó . C u a n d o escribió su m o n u m e n t a l Mécanique Céleste hizo a b u n d a n t e uso de la expresión "Es fácil ver" a n t e p u e s t a siempre a alguna fórmula matemática a la que había llegado sólo después de m e s e s d e labor. El resultado fue que todos los h o m b r e s d e ciencia que leían su obra, casi invanablemente reconocían en esta expresión una peligrosa señal d e q u e allí había algo muy difícil para seguir adelante, página 2 2 3 . 12. C o m o ya se señaló en el capítulo s o b r e el gúgol. hay a d e p t o s a Russell q u e están satisfechos con la teoría d e los tipos y el axioma de reducibilidad; hay intuicionistas, precedidos p o r Brouwer y Weyl, q u e rechazan el axioma citado y cuyo escepticismo sobre el infinito en las matemáticas los ha llevado hasta el p u n t o de descartar m u c h a s partes d e las m a temáticas m o d e r n a s c o m o sin sentidos, p o r estar imbncadas con el infinito; y hay formalistas, e n c a b e z a d o s p o r Hilbert. quienes, si bien se o p o n e n a las creencias de los intuicionistas, difieren considerablemente de Rusell y la secuela logística. Hilbert considera a las matemáticas c o m o un j u e g o de reglas arbitraras, c o m p a r a b l e al ajedrez, y ha c r e a d o u n a concepción d e matemáticas cuyo programa consiste en la discusión d e este juego sin sentido y sus axiomas, Página 2 2 6 .

la m i s m a á r e a .

228

¿ Q u é v e u s t e d ? Ahora mire o t r a v e z .

l !

229

VII. AZAR Y PROBABILIDAD

Había una vez un mandril inteligente, que solfa tocar el fagot, puesto que decía: "Me parece que dentro de billones de años, lograré, ciertamente, dar con el tono." SIR ARTHUR EDDINGTON

Holmes había estado sentado, durante algunas horas, en silencio, con su larga y estrecha espalda encorvada sobre una vasija química en la cual estaba mezclando un producto particularmente maloliente. Tenía la cabeza hundida sobre el p e c h o y visto desde d o n d e yo lo contemplaba, parecía un pájaro extraño y d e s c a m a d o , con plumaje gris oscuro y un copete negro. "¿De manera, Watson", dijo de pronto, "que n o se propone usted invertir su dinero en acciones de minas de África del Sur?". Di un salto de asombro. Aún acostumbrado c o m o estaba a las curiosas facultades de Holmes, esta repentina intrusión en mis pensamientos más íntimos era completamente inexplicable. "¿Cómo es posible q u e sepa usted eso?", le pregunté. Hizo girar su sillón, sosteniendo en una m a n o un tubo de ensayo q u e emitía espesos vapores y, con un destello de ale231

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

gría en sus ojos hundidos, se dirigió a mí en los siguientes términos: "Ahora, Watson, confiese q u e ha q u e d a d o asombrado. "Efectivamente. "Debería hacerle firmar un papel en ese sentido. "¿Por q u é ? "Porque dentro de cinco minutos usted dirá q u e todo esto es absurdamente sencillo. "Estoy seguro de q u e n o diré n a d a parecido." "Mire, mi querido Watson", dijo d e j a n d o su tubo de ensayo en el portatubos y c o m e n z a n d o a disertar con el aire d e un profesor que se dirige a su clase: "No es en realidad difícil escalonar una serie de deducciones, cada una de las cuales d e p e n d e de la que la p r e c e d e y, q u e en sí misma, es sencilla. Si, después de proceder así, u n o enlaza todas las deducciones centrales y presenta al auditorio el p u n t o d e partida y la conclusión, p u e d e llegar a provocar alarma o, posiblemente, un efecto de mal gusto. Ahora bien, n o era realmente difícil, p u e s m e bastó observar el surco c o m p r e n d i d o entre el índice y el pulgar de su m a n o izquierda para estar seguro de que usted no se p r o p o n e invertir su p e q u e ñ o capital en los campos auríferos." "No v e o relación alguna." "Probablemente no, p e r o p u e d o demostrarle rápidamente q u e existe una relación muy estrecha. H e aquí los eslabones perdidos del muy sencillo encadenamiento: 1. Usted tenía tiza entre el d e d o índice y el pulgar de la m a n o izquierda c u a n d o regresó del club anoche. 2. Usted se p o n e tiza allí cuando juega al billar a fin d e asentar el taco. 3. Usted nunca juega al billar excepto con Thurston. 4. Usted m e dijo, hace 4 semanas, que Thurston tenía

232

AZAR Y PROBABILIDAD

un plazo para decidirse en alguna concesión sudafricana, q u e expiraría al cabo de un mes y en la q u e tenía deseos de hacerlo participar a usted. 5. Su libreta de c h e q u e s está dentro del cajón de mi escritorio y usted n o m e ha p e d i d o la llave. 6. En consecuencia, usted n o se p r o p o n e invertir su dinero de ese modo." "¡Pero e s o es absurdamente sencillo!", dije. "Completamente", m e contestó un poco irritado. "Todo problema resulta infantil una vez q u e se lo han explicado..." 1 Este extracto, t o m a d o de las aventuras de Mr. Sherlock Holmes, distinguido detective privado, es una excelente caricatura del razonamiento por inferencia probable. Tal métod o de razonamiento, a u n q u e se parece al proceso formal del silogismo, tiene articulaciones más libres y está m e n o s aprisionado en un sistema. Por consiguiente, se adapta mejor al pensamiento cotidiano. Razonamientos del siguiente tipo*: Ningún fósil puede reproducirse. A.

B.

U n a ostra p u e d e r e p r o d u c i r s e . L u e g o , las ostras n o s o n fósiles. Ningún p a t o baila el vals. Ningún oficial se niega a bailar el vals. T o d a s mis a v e s d e corral son p a t o s .

Por lo tanto, mis aves no son oficiales. tienen gran p o d e r de convicción. Son claros, exactos y precisos y aseguran para nuestros pensamientos el máximo de validez formal. Al igual que en las matemáticas, se formulan

C o h é n y Nagel. op. cit.

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

ciertas suposiciones fundamentales y de ellas se d e d u c e n conclusiones. Pero la mayor parte de nuestros pensamientos ' n o son matemáticos, la mayoría de nuestras creencias n o son seguras, sino solamente probables. C o m o escribió Locke en una ocasión; "En la mayor parte de nuestra ansiedad, Dios nos ha d e p a r a d o solamente el crepúsculo, c o m o lo llamaría, de la Probabilidad, adaptable, presumo, a ese estado de Mediocridad y Noviciado en el q u e le plugo colocarnos aquí." Es, pues, la relación de probabilidad y n o la de certidumbre la que prevalece en la mayoría de nuestras premisas y conclusiones. Estamos seguros q u e una m o n e d a caerá después de arrojarla al aire. Estamos igualmente seguros de q u e n o p u e d e retirarse una bolilla negra de una urna q u e sólo contiene bolillas blancas. Pero la mayoría de nuestras creencias son deficientes en certidumbre, a u n q u e p u e d a n fluctuar desde muy inseguras hasta muy firmes. De este m o d o , estamos casi seguros q u e una m o n e d a n o caerá "cara" 100 veces seguidas. O p o d e m o s creer, sin mayor fundamento, q u e gan a r e m o s el gran premio en las próximas carreras hípicas. Quizá sea posible explicar esta actitud. Algunas cosas en el m u n d o suceden d e conformidad con leyes naturales, las cuales (a m e n o s q u e creamos en milagros) se cumplen inexorablemente. Así, debido a la fuerza de la gravedad, las monedas, al ser arrojadas en el aire, caerán. El Sol saldrá mañana p o r q u e los planetas siguen cursos regulares. Todos los hombres son mortales p o r q u e la muerte es una necesidad biológica —y así sucesivamente. Pero acerca de la mayoría de los f e n ó m e n o s q u e nos rodean s a b e m o s muy poco. No c o n o c e m o s ni las leyes a q u e o b e d e c e n , ni si en realidad o b e d e c e n a ley alguna. Los dados a hacer ver moralejas sobre las limitaciones humanas, n o tendrían que ir más allá de algunos casos triviales para encontrar confirmaciones alarmantes. P o d e m o s predecir los movimientos de planetas alejados a millones de kilómetros 234

AZAR Y PROBABILIDAD

en el espacio, pero nadie p u e d e pronosticar el resultado de arrojar una m o n e d a o de tirar un par de dados. Acontecimientos de esta categoría y otros innumerables, los atribuimos a la casualidad. Pero la casualidad es simplemente un eufemismo para la ignorancia. Decir q u e un acontecimiento está determinado por la casualidad equivale a decir q u e n o sabemos c ó m o está determinado. No obstante ello, aun dentro del dominio del azar, t e n e m o s la sensación d e cierta regularidad, de una cierta simetría —un orden dentro del desorden— y así, aun en torno a acontecimientos q u e atribuimos a la casualidad, f o r m a m o s varios grados d e creencia racional. La teoría de la probabilidad considera lo q u e paradójicamente se denomina "las leyes del azar". Parte de su análisis crítico es una tentativa para formular reglas sobre cuándo y cómo p u e d e n emplearse las matemáticas para medir la relación de probabilidad. Sin embargo, d e b e m o s aclarar el significado intrínseco de la probabilidad antes de q u e sea posible entrar a considerar sus reglas.

Aunque la mayor parte de nuestros juicios se basan más sobre la probabilidad de q u e sobre la certidumbre, rara vez se piensa cuidadosamente en la mecánica de este m é t o d o de razonamiento. En el laboratorio, en los negocios, c o m o jurados, o en la mesa de bridge, los juicios se forman por inferencia probable. Pocos tienen las facultades de un Sherlock Holmes o p u e d e n presumir d e tan afortunadas deducciones. V sin embargo, en casi todo nuestro pensamiento cotidiano, nos v e m o s obligados a d e s e m p e ñ a r el papel de detectives aficionados, lógicos y matemáticos. C u a n d o está nublado y hace calor, decimos: "Probablemente lloverá." El meteorólogo p u e d e exigir mejores pruebas antes d e aventurarse a formular una predicción. Necesitará conocer la presión barométrica, las isóbaras y las tablas de 235

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

precipitación pluvial. Pero el h o m b r e de la calle hace su predicción con m u c h o menos. El dinero g a n a d o rápidamente y en forma abundante y misteriosa durante la vigencia de la ley seca era probablemente el fruto del contrabando de licores. El hombre que recibe unos pocos golpes con el pie d e b a j o de la mesa de bridge d e d u c e q u e probablemente está jugand o mal, ya sea un h o m b r e de negocios o de ciencia. ' Y así razonamos sobre cuestiones q u e van de lo más trivial a lo más importante haciendo frecuente e m p l e o d e palabras y expresiones tales como: "probable", "la probabilidad es" o "los riesgos son", sin tener, n o obstante, una idea precisa de lo q u e significa probabilidad. Y sin embargo, n o es precisamente por falta de definiciones. En verdad q u e los h o m b r e s de ciencia prácticos han dejado, por lo común, la tarea de definir e interpretar la probabilidad a los filósofos, atentos quizás al aforismo galo q u e expresa q u e la ciencia está continuamente haciendo progresos p o r q u e nunca tiene certeza en sus resultados. Pero mientras los h o m b r e s de ciencia han q u e d a d o satisfechos con extender los usos de la probabilidad matemática y perfeccionar sus métodos, los filósofos y los matemáticos han intentado definirla. S o b r e la base de muchas opiniones y teorías contradictorias, han cristalizado tres interpretaciones principales. El punto de uista subjetivo de la probabilidad, a u n q u e ahora algo pasada de m o d a , en una época (especialmente en el siglo pasado) tuvo una posición muy respetable. Uno de sus principales defensores y comentadores fue Augustus de Morgan, el célebre lógico y matemático. Pensaba q u e la probabilidad se refería a un estado de la mente, al grado de certidumbre o de incertidumbre que caracteriza nuestras opiniones. Este punto de vista n o es del todo erróneo; las principales dificultades q u e ocasiona surgen c u a n d o intentamos justificar, sobre dichas bases, un cálculo de probabilidad. 236

AZAR Y PROBABILIDAD

Una proposición es verdadera o f a l s a p e r o nuestro conocimiento es, para la mayor parte de las proposiciones, tan limitado que n o p o d e m o s estar racionalmente seguros de su verdad o falsedad. Para formarnos una creencia racional debemos tener algún conocimiento sobre el particular. A veces dicho conocimiento p u e d e ser suficiente para justificar nuestra certidumbre de q u e la proposición es verdadera o falsa. Así, por ejemplo, estamos seguros d e que Sócrates no era ciudadano norteamericano e igualmente estamos seguros de que Hitler debió haber seguido siendo un pintor de casas. Por otra parte, entre los extremos de la certidumbre, hay una gama de opiniones q u e corresponden al grado de nuestros conocimientos. En un sentido, es indudablemente cierto q u e nuestras opiniones racionales son subjetivas. A pesar de eso, si estamos convencidos de la verdad o falsedad objetiva de todas las proposiciones, n o p o d e m o s , si es q u e q u e r e m o s ser racionales, dejarnos guiar por la sola intensidad de la creencia. C o m o principio, las conclusiones imperfectas basadas en conocimientos limitados y razonamientos correctos, son infinitamente preferibles a los resultados correctos obtenidos por razonamientos defectuosos. Es únicamente así c o m o nos aproximamos, débilmente, a la vida de la razón. Además, creemos q u e si la noción de probabilidad es tratada matemáticamente, d e b e p r o p o r c i o n a m o s un mejor material para medir, más a d e c u a d o que la simple fuerza de la creencia. En la mayor parte de los casos n o p u e d e asignarse una magnitud numérica a la relación de probabilidad; sin embargo, la probabilidad sólo p u e d e ser considerada por el matemático cuando es medible y contable. Si la probabilidad d e b e servir para describir ciertos aspectos del m u n d o mediante fracciones, d e b e ser expresable c o m o un número. C u a n d o una cosa n o p u e d e suceder, su probabilidad es 0; si es indudable que ocurrirá, su probabilidad es 1. Toda proba-

237

MATEMÁTICAS E IMAGINACION

bilidad comprendida entre estos extremos p u e d e expresarse c o m o una fracción que varía entre 0 y 1. Pero formar estas fracciones implica medición y recuento: ¿y de qué dispone el matemático para medir la "intensidad de una creencia"? Éste es un problema para el psicólogo. Aun cuando pudiera inventarse un instrumento para medir la intensidad de las opiniones, su valor sería p o c o mayor que el del detector de mentiras, esa joya de la jurisprudencia. Las personas difieren m u c h o en sus pareceres sobre el mismo conjunto de hechos. Lo q u e para un h o m b r e es perfectamente evidente, para otro n o resulta de manera alguna convincente; y nuestras opiniones, a m e n u d o vagamente concebidas y relacionadas sin cohesión alguna, están demasiado vinculadas a nuestras emociones y prejuicios c o m o para considerarlas aisladamente. Una de las dificultades q u e surgen del p u n t o de vista subjetivo de la probabilidad, resulta del principio de razón insuficiente. Este principio, q u e constituye la base lógica sobra la cual d e b e asentarse el cálculo de probabilidades desde el punto de vista subjetivo, sostiene que, si ignoramos completamente los diferentes modos en que puede ocurrir un suceso y no tenemos, por lo tanto, ninguna base razonable de preferencia, es tan probable que ese suceso ocurra de una manera como de otra. Desde q u e por vez primera este principio fue enunciado por J a c q u e s Bernoulli, ha sido detenidamente analizado por los matemáticos. C o m o el principio se basa sobre la ignorancia, parecería deducirse que el cálculo de la probabilidad será más efectivo cuando lo usen aquellos que tengan una "ignorancia igualmente equilibrada". Por m u c h o q u e los hombres se aproximen a este ideal, los filósofos y los matemáticos se tienen en más alta estima y. así. el principio ha caído en desuso. Sin embargo, contiene un elemento de verdad y n o puede desarrollarse ningún cálculo de probabilidad compatible. 238

AZAR Y PROBABILIDAD

sin d e p e n d e r de él en cierto m o d o . Principalmente, tiene valor c o m o criterio negativo en el sentido de q u e no p u e d e decirse que dos acontecimientos son igualmente probables si hay f u n d a m e n t o s para preferir u n o al otro. C u a n d o se usa sin gran cautela, el principio de razón insuficiente da lugar a contradicciones. Dos ejemplos: Tómese el caso de un m o n o al q u e se le da una cantidad de tarjetas, cada una de las cuales lleva impresa una palabra. ¿Es igualmente probable que. de cualquier manera que las ordene, producirá o n o una frase con sentido? Esto, a u n q u e evidentemente absurdo, es lo q u e parecería deducirse del principio de razón insuficiente. Del mismo modo, no teniendo evidencia de si Marte está habitado o no. podríamos llegar a la conclusión de q u e la probabilidad de q u e esté exclusivamente habitado por nazis es V£, y podríamos asimismo concluir q u e la probabilidad de cada una de las proposiciones: "Marte está exclusivamente habitado por necios" y "Marte está exclusivamente habitado por hormigas blancas" es también V2. Pero esto nos p o n e frente al caso imposible de tres alternativas que 3 se excluyen, todas tan probables así c o m o no probables .

Una teoría m u c h o más aplicable y difundida, que evita algunas de estas dificultades, es la frecuencia relativa o interpretación estadística. P u e d e atribuirse, en gran medida, a este punto de vista el adelanto registrado en la aplicación de la probabilidad, no sólo a la física y a la astronomía, sino también a la biología, a las ciencias sociales y a los negocios. La interpretación estadística está estrechamente relacionada con el punto de vista expresado por Aristóteles: lo probable es aquello que ocurre usualmente. Se considera a la probabilidad como la frecuencia relativa con la cual ocurre un suceso en cierta clase de acontecimientos. Así. la probabilidad de un suceso está expresada c o m o 239

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

AZAR Y PROBABILIDAD

una relación matemática definida que se fija hipotéticamente. La hipótesis p u e d e ser verificada ya sea racionalmente, demostrando. por ejemplo, q u e en base a nuestro conocimiento de las causas mecánicas, una m o n e d a o un par de dados deben caer de cierta manera; o experimentalmente. demostrando que la m o n e d a o el par de dados caen, efectivamente, de esa manera. S u p o n g a m o s que se arroja al azar una m o n e d a . No teniendo conocimientos especiales, no hay razón para predecir c ó m o caerá la m o n e d a , si cara o cruz. Si es arrojada muchísimas veces y se registra la relación entre cara y cruz, supongamos que se obtienen las siguientes frecuencias; Número de tiradas

15 20 30 40 80 150

Resultados

6 9 16 21 41 74

caras; caras; caras; caras; caras; caras;

9 11 14 19 39 76

cruces cruces cruces cruces cruces cruces

Notamos que la relación de caras y el n ú m e r o total de tiradas, a medida que éste aumenta, se aproxima más y más 1 a la fracción /¿, que representa la frecuencia relativa del conjunto de caras en el conjunto mayor de tiradas. Anticipamos entonces una predicción general, obtenida de un gran n ú m e ro de casos particulares y s u p o n e m o s que el futuro será consistente con el pasado. Sin embargo, consideremos por ahora; ¿Qué justificación hay para dar semejante paso? Habiendo realizado nuestro experimento y determinado la frecuencia relativa, decimos ahora que la probabilidad de obtener una cara es V2. Evidentemente, esa proposición es una hipótesis. Con nuevos experimentos p o d r e m o s reforzar nuestra creencia en esa hipóte240

sis. o bien servirán para que la modifiquemos o la abandonemos. La suposición (basada en nuestro experimento) es que en un gran n ú m e r o de casos, las caras aparecerán tantas veces como las cruces. Si los resultados n o corroboran esta hipótesis, llegamos a la conclusión de q u e la m o n e d a es. quizá. más pesada de un lado q u e d e otro. Pero es importante recordar que ya que la demostración no es lógica, sino solamente experimental, nunca es completa, p u e s está sujeta siempre a ulteriores experimentos. Una demostración lógica es solamente posible si se c o n o c e n todas las causas q u e afectan a un evento. Evidentemente, fuera de las matemáticas mismas, no p u e d e aparecer una ocasión semejante. De este modo, la verificación de una hipótesis por la experimentación. sólo p u e d e demostrar que. en la práctica real, la frecuencia relativa se aproxima a la probabilidad pronosticada, esto es, q u e nuestras suposiciones son confirmadas por la experiencia. Es oportuno señalar en q u é forma el m é t o d o lógico o deductivo difiere del experimental. "El proceso de inducción, q u e es básico en todas las ciencias experimentales, está des4 terrado para siempre de las matemáticas rigurosas..." A fin de demostrar una proposición en matemáticas, ni siquiera un e n o r m e n ú m e r o de casos d o n d e se apreciara su validez sería suficiente, por cuanto una excepción bastaría para invalidarla. Las proposiciones d e matemáticas son solamente verdaderas si no conducen a contradicciones. Pero fuera de las matemáticas, en todas las demás actividades h u m a n a s tal restricción tendría un efecto paralizador. El procedimiento científico se apoya sobre la misma regla empírica conveniente que nos sirve de guía en los asuntos prácticos: Una hipótesis es valedera si con más frecuencia nos lleva a resultados correctos q u e a resultados incorrectos; las verificaciones experimentales son completamente decisivas —hasta q u e el experimento llevado a cabo al día siguiente las invalide. 241

MATEMATICAS E IMAGINACION

-xcunra

*• IÍxtin? i 0.

Nuestra interpretación de la integral definida es que representa a un área. Atribuirle ese significado es siempre posible, pero existen integrales de ciertas funciones que tienen, además, un significado físico distinto. Esto se debe principalmente a que la integral definida es un número, una suma, además de un área. Todas las veces que, en la ciencia, se sume una función hasta el límite, la integral definida desempeña un papel. Una de las conquistas del cálculo integral ha sido la determinación del momento de inercia de todos los sólidos. Una vez más, es a la integral definida a la que los ingenieros civiles deben estar agradecidos, puesto que el puente Golden Gate, por ejemplo, depende más de ésta que del hierro y del hormigón. Resistir los esfuerzos de nuestras gigantescas presas, con sus caras curvas e irregulares, supone otro problema de integración de funciones. Determinando la presión del agua en un punto arbitrario y sumándola en todo el paramento del dique, queda determinada la fuerza total. El baricentro, es decir el centro de gravedad de una figura plana o de un sólido, se determina fácilmente por medio del cálculo integral cuando se aplica a la función particular que define esa figura y podrían multiplicarse indefinidamente ejemplos semejantes. 358

CAMBIO Y MUTABILIDAD

EL C A L C U L O

Más allá del concepto de integral definida, con sus múltiples usos y su extraordinario campo de aplicación, está la noción de integral indefinida, cuyo valor intrínseco para el matemático es aún mayor. Su principal interés teórico consiste en que nos permite comprobar la asombrosa relación existente entre la derivada y la integral. Consideremos la función y = f[x). En lugar de limitar el intervalo, como lo hicimos antes, de x = A a x = B, imaginemos que se extiende desde x = A, hasta x = x(,. donde x 0 puede asumir cualquier valor. Para diferentes valores de x 0 , la integral definida tomará, también, diferentes valores. En realidad, no estamos considerando ya un área limitada, sino que disponemos de todo lo necesario para formar una tabla funcional. Por un lado tendremos registrados valores de x 0 y del otro, los valores correspondientes de la integral definida. Esta correspondencia entre los valores de x 0 y los de la integral definida, constituye una función llamada "la integral indefinida" de la función y - f[x). Aquí radica lo esencial del asunto: la integral definida de la función y = f{x) es un número determinado por un intervalo de longitud definida y una porción de la curva y = f[x)> definida en ese intervalo. Cuando el intervalo se extiende desde un punto fijo a través de una sucesión de otros, a cada uno de éstos corresponde un valor de la integral definida. Esta correspondencia, esta función, es ¡a integral indefinida de la función original y = f[x) y se representa simbólicamente así: í Mdx De todo esto podrá usted adivinar, quizá, lo que tienen de común las dos ramas del cálculo, aparentemente tan diversas. puesto que la relación entre derivación e integración nos trae reminiscencias de la aritmética elemental. Es la mis-

359

C A M B I O Y M U T A B I L I D A D : EL C Á L C U L O

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

ma relación que existe entre la adición y la sustracción, la multiplicación y la división, el elevar a una potencia y el extraer raíz. Una de las operaciones es la inversa de la otra. Partiendo de la función y = f{x). por denvación obtenemos ¿Qué obtenemos al integrar

Aquí se revela el mo-

dx dx tivo del cálculo puesto que obtenemos la función original y =f(x). Una integral indefinida de la función y =f(x) es otra función de x que indicaremos así: y = F(x). Por supuesto que la derivada de y = F(x) es/(x). En consecuencia, toda función puede ser considerada como la derivada de su integral, y como una integral de su derivada. Anteriormente aludimos a la función exponencial, y = e\ y a su utilidad para describir los fenómenos de crecimiento. Es la única función cuya razón de cambio es igual a la función misma. Derivando y = e x , se obtiene:

= e\

Inte-

dx grando sale el mismo resultado. Se deduce entonces que la biografía de la población de cualquier organismo —ameba, hombre o pino californiano, de cualquier fenómeno que presente propiedades de crecimiento orgánico— puede describirse adecuadamente mediante la integral de e\ Esta idea, un tanto inquietante, no es difícil de comprender. La proporcionalidad de la razón de cambio de crecimiento con respecto al estado de crecimiento puede sintetizarse mediante la función exponencial. Si ésta es integrada, el crecimiento total registrado en cualquier período determinado está dado por la integral definida y el carácter general del crecimiento está sucintamente explicado mediante la integral indefinida. Para concluir, examinemos nuevamente el problema de un cuerpo que cae. Habíamos comenzado considerando la distancia desde la cual cayó el cuerpo en un periodo de tiempo y establecimos su velocidad, en cada instante, por

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derivación. La aceleración en cada instante fue obtenida, a su vez, por derivación de la primera derivada, hallando la rapidez de cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Galileo y Newton hicieron lo mismo, pero a la inversa. Supusieron, sagazmente, que la aceleración de un cuerpo que cae era constante, la constante de gravitación. Integrando la función que expresa esta hipótesis, hicieron el descubrimiento clásico de las leyes del movimiento: 1. La rapidez de un cuerpo que cae es igual a gt, en la 2 que g es la aceleración de la gravedad (9.81 m/seg ó 32 pies/seg^) y t el tiempo transcurrido desde que se arrojó el cuerpo. 2. La distancia recorrida por el cuerpo que cae es: 1/2 gt2. Éstas y las demás leyes del movimiento que rigen a todas las partículas del Universo, se deducen, sencilla y elegantemente, por medio del cálculo. Pero esto no es todo, puesto que el cálculo no sólo ayudó a elevar algunos de los secretos más íntimos de la naturaleza, sino que le dio al matemático más nuevos mundos por conquistar que aquéllos por los que suspiró Alejandro el Grande.

APÉNDICE Curvas patológicas Las curvas que trata el cálculo son normales y saludables, no poseen idiosincrasias. Pero los matemáticos no se sentirían a gusto con sólo ocuparse de configuraciones simples y vigorosas. También su curiosidad se extiende a los pacientes psicopáticos, cada uno de los cuales presenta una historia clínica que no se parece a la de ningún otro; son éstas las

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

CAMBIO Y MUTABILIDAD

EL C Á L C U L O

Así. la circunferencia, puede ser definida como la curva límite de una sucesión de curvas o polígonos.

El t r i á n g u l o e q u i l á t e r o es la c u r v a C,

El d o d e c á g o n o es la c u r v a C 3

El h e x á g o n o r e g u l a r es la c u r v a C ,

1. La curva Copo de Nieue. Se comienza con un triángulo equilátero de lado igual a la unidad. Este triángulo es la curva C¡ (fig. 145). Divídase a cada uno de sus lados en tres partes iguales y tómese el subintervalo de en medio, determinado por la subdivisión y constrúyase un triángulo equilátero dingido hacia fuera. Bórrense las partes comunes a los triángulos nuevos y viejos. Esta curva poligonal simple se llama C 2 . Divídase en tres partes iguales a cada lado de C2 y nuevamente, en forma parecida, constrúyase un triángulo equilátero dirigido hacia

La f i g u r a de 24 lados c o n s t i t u y e la c u r v a C 4

Figs. 141, 142, 143, 144. El círculo considerado c o m o curva límite de una sucesión d e curvas.

curvas patológicas de las matemáticas. Trataremos de examinar algunas de ellas en nuestra clínica. Antes de hacerlo, será necesario introducir el concepto de curva como el límite de una sucesión de polígonos. Supóngase que se inscribe un triángulo equilátero en un círculo. Este triángulo puede ser considerado como una curva — C i — . Sea C 2 el hexágono regular que se obtiene dividiendo en dos partes iguales a los tres arcos de la figura 141 y uniendo, en orden, los seis vértices (fig. 142). C-j es el dodecágono regular formado al dividir en dos partes iguales a los seis arcos de la figura 143 y uniendo, en ese orden, los doce vértices. Repítase este proceso dividiendo a los arcos y duplicando el número de lados. La curva a la que se acercan, como límite, estos polígonos es el círculo.

362

Fig. 145.

La primera etapa de la curva copo de nieve, C^.

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MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

fuera. Bórrese la parte de las curvas comunes a las figuras nuevas y viejas. Esta curva simple es C3. Repítase este procedimiento tal como lo indican las figuras 148-150. ¿Cuál es la curvo límite de esta sucesión de curvas? ¿Por qué se le llama Curva C o p o de Nieve? Y, ¿por qué se la describe como patológica? Su nombre se deriva de la forma que asume en las sucesivas etapas de su desarrollo. Su carácter patológico lo con-

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CAMBIO V MUTABILIDAD

EL C A L C U L O

firma este increíble rasgo: Aunque se concibe fácilmente que la curva límite cabe en una hoja de papel, es difícil imaginar que esto sea posible, porque, si bien el área es finita, ¡la longitud de su perímetro es infinita! Pero es evidente que en cada etapa de la construcción el perímetro aumenta, y ya que la sucesión de números que representan a la longitud del perímetro en cada etapa ño converge, el perímetro supera toda cota prefijada. Estamos, pues, ante un hecho sorprendente: una curva de longitud infinita puede dibujarse en una 365

CAMBIO Y MUTABILIDAD

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

F i g . 148.

La cuarta etapa, C 4 .

pequeña hoja de papel — p o r ejemplo, en un sello de correos. La demostración es sencilla. El perímetro oriqinal era 3. El perímetro de la curva C 2 es 3 2 4 4 4 C 3 , 3 + 1 + —; el de la C 4 , 3 + 1 + — + — . 3 o o 2 n2 4 4 4 d e C „ e s ; 3 + 1 -i- — + — + ... + — - • De este

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del triángulo + 1; el de la El perímetro modo, a me-

EL C Á L C U L O

dida que crece n. crece la serie, porque estamos ante una serie infinita que no converge. El hecho de que la curva no se sale del papel, prueba que el área del copo de nieve es finita. Explícitamente, el área de la curva final es 1V 5 veces mayor que la del triángulo original y por si esto no fuese bastante misterioso, considérese que no es posible indicar en ningún punto de la curva límite la dirección en la que ésta varía, es decir, no existe tan5 gente . 2. La curva anticopo de nieve. Se obtiene dibujando los triángulos hacia dentro, no hacia fuera, y participa de muchas de las propiedades de la que acabamos de considerar. Su perímetro es infinito, mientras que su área es finita y tampoco se le puede trazar tangente alguna en ningún punto (figs. 151-154). 3. Otra curva patológica es la Curva que entra y sale. Trácese un círculo de radio igual a la unidad y divídase su circunferencia en seis arcos iguales. Tómense tres arcos alternados y diríjalos hacia dentro. El círculo original es C¡, la nueva figura, C 2 (figs. 155-156). El perímetro de C 2 es igual al de Ci, por cuanto su longitud no se altera al doblar hacia dentro a los tres arcos. Divídase luego cada arco en tres partes iguales y dóblese la parte media hacia el exterior, si ya está doblado hacia el interior y recíprocamente si lo está hacia el exterior Esta nueva curva es C:i. Su perímetro es también igual al del círculo original. Además, el área de C 3 es la misma que la de C 2 porque hemos añadido y sustraído, alternativamente, segmentos de igual tamaño (fig. 157). Repitamos este proceso. La curva límite tiene un perímetro igual al perímetro del círculo. Su área es igual a la de C 2 , que, a su vez, es igual al área de un hexágono regular. Esta curva, al igual que la de copo de nieve y la anticopo de nieve, tiene también sus características patológicas. 367

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

Mientras que la curvatura de un círculo se calcula sin dificultad, la curva que entra y sale presenta un aspecto distinto. Consideremos un punto cualquiera de ella. ¿En qué sentido, hacia el centro del círculo o hacia fuera del centro, mediremos su curvatura? Descubrimos que no hay curvatura definida. La segunda derivada, por lo tanto, no existe. 4. Curvas que llenan el espacio. Uno de los principios fundamentales de la geometría es que un punto no tiene dimensiones y que una curva es de una dimensión y no pue-

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CAMBIO Y MUTABILIDAD

EL C A L C U L O

de. por lo tanto, llenar un espacio dado. Esta férrea convicción debe, también, ser quebrantada. Pues contemplad el supremo ejemplar patológico, la curva que llena el espacio, la que no sólo ocupará el interior de un cuadrado, sino que se tragará el espacio de una caja cúbica. Las etapas sucesivas de dicha curva se indican en las figuras 159-164. Elíjase cualquier punto en el cuadrado o cubo. Puede demostrarse que finalmente, cuando se haya completado la curva, llegará a pasar por ese punto. Va que

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

Figs. 151, 152, 153, 154. anticopo de nieve.

Fig. 155.

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CAMBIO Y MUTABILIDAD

EL C Á L C U L O

Las primeras cuatro etapas de la curva

La curva que entra y sale, etapa C^.

este razonamiento puede hacerse extensivo a todos los puntos, se deduce, lógicamente, que la curva debe llenar todo el cuadrado o el cubo. 5. Lo curva cruzada o entrelazada. Esta curva tiene la propiedad de que se cruza a sí misma en todos y cada uno de sus puntos. Estamos seguros que usted no nos cree —ni nunca lo creería— pero puede ver las instrucciones para hacerla en la página siguiente. 371

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

CAMBIO Y MUTABILIDAD

EL C Á L C U L O

Figs. 163, 164. Las primeras dos etapas de una curva que llena en su totalidad una caja cúbica.

Fig. 159. La curva que llena el espacio. Etapa 1.

Fig. 161.

Etapa 3.

Fig. 160.

Fig. 162.

Etapa 2.

Una etapa adelantada.

1 e r paso: Inscríbase un triángulo dentro de un triángulo, como en la figura 165, sombreando el triángulo interior. 2.° paso: Continúese el proceso para cada uno de los tres triángulos restantes, como en la figura 166. 372

373

MATEMATICAS E IMAGINACION

C A M B I O Y M U T A B I L I D A D : EL C Á L C U L O

3 / ! paso hasta el paso n: Repítase este proceso indefinidamente (la fig. 167 es la 5 / etapa). Unanse entonces los puntos del triángulo original que quedaron sin sombrear y defórmesele de manera que los tres puntos A. B y C se junten. Tendremos entonces la curva cruzada o entrelazada. •

NOTAS DE ESTE CAPÍTULO 1 2

Fig. 169.

C a j ó n . History oj Fluxíons. página 3 2 1 Repaso de t r i g o n o m e t r í a para q u i e n e s la han o l v i d a d o

En el t r i á n g u l o r e c t á n g u l o q u e aparece a c o n t i n u a c i ó n , las razones t r i g o n o m é t r i c a s (fun ciones de u n á n g u l o ) son las siguientes

Fig. 168

seno ti =

lado A B

= coseno 0

lado A C coseno H =

lado B C

= seno 0

lado A C AB tangente H =

seno H

AC

AB

coseno H

BC

BC

= cotangente 0

AC En otras palabras, las f u n c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s son las razones de los lados de u n triáng u l o r e c t á n g u l o entre sí y d e p e n d e n , a su vez. de los á n g u l o s El c o n c e p t o de tangente tiene a p l i c a c i ó n i n m e d i a t a e n la g e o m e t r í a analítica y en el cálculo En el d i a g r a m a q u e aparece a c o n t i n u a c i ó n , la pendiente de la recta A B es la razón P/Q. q u e n o es otra cosa q u e la tangente del ángulo H Pero la palabra t a n g e n t e tiene o t r o significado m u y distinto d e l ya i n d i c a d o Este n u e v o s i g n i f i c a d o es esencial para el c á l c u l o D i b ú j e s e en el p l a n o cartesiano la curva A B C C o n s i d é r e n s e d o s p u n t o s P y P_ de esta curva, u n i d o s por una línea recta (véase la fig 131) A m e d i d a q u e P¿ se m u e v e a lo largo de la c u r v a acercándose a P>. la recta q u e u n e estos p u n t o s se a p r o x i m a a un v a l o r límite l l a m a d o la tangente a la curva ABC en el punto P\ La p e n d i e n t e de esta recta t a n g e n t e en el p u n t o P es la d e r i v a d a de la f u n c i ó n , c u y a gráfica es la c u r v a A B C . páginas 3 2 6 . 3 2 8 . 3 4 1 3. L a l o n g i t u d de u n s e g m e n t o p a r a b ó l i c o sólo p u e d e expresarse en f u n c i ó n de loga-

374

La pendiente de una línea recta es la razón:

Q

n t m o s y. p o r consiguiente, n o p o d í a ser c a l c u l a d a m e d i a n t e los m é t o d o s e l e m e n t a l e s c o n o cidos p o r los antiguos, p á g i n a 3 4 9 . 4. W o l f , History of Philosophy, Science and Technology in the Sixteenth and Seuenteenth Centuries, página 350. 5 De este m o d o t e n e m o s , en esencia, una f u n c i ó n c o n t i n u a sin d e n v a d a . p á g i n a 3 6 7

EPILOGO LA MATEMATICA Y LA IMAGINACION

No hay conclusión. ¿Qué cosa ha concluido, con respecto a la cual podamos llegar a una conclusión? No hay fortunas que puedan predecirse, ni consejos que puedan darse. Adiós. WILLIAM JAMES

"Minino de Cheshire", comenzó ella algo tímidamente... "Me dirás por favor, ¿qué camino debo tomar para irme de •ot* aquir "Eso depende mucho de dónde quieras ir", dijo el gato." "Poco me preocupa dónde ir", contestó Alicia. "Entonces, nada importa qué camino tomes", replicó el gato. LEWIS CARROLL

¿Qué es la matemática? Contestar a esta pregunta supone aludir a una enorme y variada extensión del pensamiento, que ha venido desarrollándose desde las épocas más remotas. Pero después de examinar todas las opiniones que se escalonan desde las de Pitágoras hasta las teorías de las más recientes escuelas de filosofía matemática, se pone de manifiesto la triste realidad de que es más fácil ser inteligente que claro. En los últimos tiempos, sobre todo, ha habido una tendencia a presentar epigramas en lugar de respuestas claras, aforismos que, desgraciadamente, arrojan poca luz. En el 377

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

método de encarar el problema reside el principal obstáculo a una respuesta satisfactoria. Si uno fuese a preguntar: "¿Qué es la biología?" sería comparativamente sencillo, partiendo de una definición etimológica y luego agrupando el gran cuerpo de conocimientos comprendidos en las ciencias biológicas, llegar a una conclusión de cómo se sintetizan todos los ítems en una ciencia completa. Aun una explicación imperfecta tal como: "La biología es la ciencia que estudia los caballos, murciélagos, narcisos y ballenas", daría una idea razonable de lo que se trata. Por otra parte, el estudio de las matemáticas —aritmética, álgebra, geometría, cálculo— no aclara más sobre su naturaleza que decir que se interesa por los números y que constituye una técnica útil. En lo tocante al concepto de número, no se ha dado aún una definición que. en sí misma, simplifique la tarea de definir las matemáticas. Aquí, pues, en matemáticas, tenemos un idioma universal, válido, útil e inteligible en todas partes, en el espacio y en el tiempo —en los bancos y compañías de seguros, en los pergaminos de los arquitectos que levantaron el templo de Salomón y en las copias heliográficas de los ingenieros que, con sus cálculos, dominan los vientos. Aquí hay una disciplina para centenares de ramas, fabulosamente rica, literalmente sin límites en su esfera de aplicación, cargada de honores por una ininterrumpida "relación" de magníficas realizaciones. Aquí hay una creación de la mente, a la vez mística y filosófica en recursos. Rígida e imperiosa como la lógica, es todavía suficientemente sensitiva y flexible para satisfacer cualquier nueva necesidad. Sin embargo, este enorme edificio descansa sobre los fundamentos más simples y más primitivos, está forjado por la imaginación y la lógica de un puñado de reglas infantiles. Aun cuando hasta ahora ninguna definición ha abarcado sus fines o su naturaleza, ¿puede ser que la incógnita: "Qué es la matemática" quede sin respuesta?

378

EPÍLOGO

No es sorprendente que las matemáticas disfruten de un prestigio inigualado por ningún otro vuelo del pensamiento. Han hecho posibles tantos adelantos en las ciencias, son a la vez tan indispensables en los asuntos prácticos, y son tan fácilmente obra maestra de abstracción pura, que el reconocimiento de su preeminencia entre todas las conquistas intelectuales del hombre no es otro que el debido. A pesar de esta preeminencia, la primera estimación significativa de las matemáticas tuvo lugar recientemente con motivo del advenimiento de las geometrías no euclidianas y de más de tres dimensiones. Esto no quiere decir que deban menospreciarse los progresos logrados por el cálculo, la teoría de la probabilidad, la aritmética del infinito, la topología y otros temas que hemos tratado. Cada uno de ellos ha ampliado el dominio de las matemáticas y ha profundizado su significación así como nuestra comprensión del universo físico. Sin embargo, ninguna de ellas ha contribuido a la introspección matemática, al conocimiento de la relación entre sí y con respecto al todo de las partes que constituyen las matemáticas, tanto como las herejías no euclidianas. C o m o resultado del espíritu valerosamente crítico que originó estas herejías, hemos superado la noción de que las verdades matemáticas tienen existencia independiente y aparte de nuestras propias mentes. Todavía nos resulta extraño que semejante noción pudiera haber existido alguna vez. Sin embargo, esto es lo que Pitágoras debió haber pensado — y Descartes, como asimismo centenares de otros grandes matemáticos anteriores al siglo XIX. H o y las matemáticas son ilimitadas: han roto sus cadenas. Cualquiera que sea su esencia, reconocemos que son tan libres como la mente y tan prensiles como la imaginación. La geometría no euclidiana es una demostración de que las matemáticas, a diferencia de la música de las esferas, es el artificio propio del hombre sometido sólo a las limitaciones de las leyes del pensamiento. 379

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

La filosofía que lleva el nombre de positivismo lógico ha preparado un formidable programa: primero, eliminar la metafísica de la filosofía; y segundo, presentar las relaciones mutuas entre las leyes del pensamiento (es decir, la lógica) y las matemáticas. Algunos creen que en la evaluación de la naturaleza de las matemáticas el positivismo lógico representa un progreso mayor que el realizado por la geometría no euclidiana. Aunque muy modestamente, se ha expresado la esperanza de que aquí hay, al menos, una doctrina que encara con toda equidad las dificultades esenciales e inherentes que obstruyen el camino hacia la cumbre. Purificando a la filosofía matemática de la metafísica, ha habido (a nuestro juicio), una ganancia real. Ya no se considerará más a las matemáticas como una clave de la verdad con V mayúscula. Ahora puede ser considerada como una guía desastrosamente incompleta, aunque enormemente útil, de un país que en su mayor parte permanece inexplorado. Se han fijado algunas señales. La vasta red de caminos es parcialmente comprensible; hay señales para el perplejo viajero. Por otra parte, uno no puede reprimir la sensación de que esta nueva apreciación de las matemáticas es tan incompleta, tan desprovista de colorido, que resulta casi trivial e inconsecuente. Al considerarlas simplemente como un puñado de proposiciones primitivas e indefinidas, unidas con una metodología para crear otras nuevas, parece que se ha perdido algo del espíritu, del gusto y del color de las matemáticas. Mientras tanto, quienes se oponen al positivismo lógico, admiten que sirve alguna finalidad, pero atacan el aturdimiento del raciocinio y la limitación de horizontes que inevitablemente impone. Nosotros compartimos la opinión de que las matemáticas, más que una fábrica de tautologías, constituyen un vehículo para llevar a cabo las más elevadas aspiraciones del intelecto creador. 380

EPÍLOGO

En pocas palabras, he aquí lo que dice el positivista: La lógica se ocupa de las reglas formales para manejar los símbolos del idioma. Las matemáticas sólo se ocupan de las ecuaciones; es decir, literalmente, de proposiciones de equivalencia de números. Todas las relaciones de significado, esenciales e internas, son de incumbencia de la ciencia matemática. Un ser omnisciente no necesitaría, pues, ni lógica ni matemáticas, ya que las relaciones entre todas las entidades serían, para él, evidentes en sí mismas. Aun cuando pudiera encontrar todavía útiles a otras ciencias, como, por ejemplo, la biología para proveerle de un catálogo de seres vivientes, o una guía telefónica para ayudarle a encontrar a sus amigos, habría desaparecido su necesidad de la lógica y de las matemáticas. Porque una vez que todo el significado y todas las relaciones fuesen plenamente descubiertas, estas disciplinas resultarían superfluas. ¿No existe, acaso, razón para pensar que en semejante interpretación, aun cuando nos hemos flagelado despiadadamente y ahuyentado el confuso espíritu de la metafísica, podemos también haber empobrecido la vitalidad de las matemáticas? ¿No podemos haber perdido también "el espíritu en la palabra"?

C o m o ya lo hemos señalado, la creación de la geometría no euclidiana singularizó la verificación de que las matemáticas en ningún sentido dependen de nuestro medio ambiente. Aunque existen muchas semejanzas entre el comportamiento de los fecundos y pequeños símbolos que escribimos sobre el papel o que juegan en nuestras cabezas y aquellos fenómenos que tienen lugar en el mundo físico, las matemáticas deben ser reconocidas como una disciplina autónoma, restringida sólo por las reglas formales del pensamiento. El

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MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

BIBLIOTECA CIENTÍFICA SALVAT desarrollo de las matemáticas es una imagen de la lucha eterna por mayor entendimiento y mayor libertad: de lo particular a lo general; desde las figuras limitadas por líneas rectas hasta las curvas patológicas; de las propiedades de ésta o aquella figura determinada a las propiedades de todas las figuras; de una dimensión a n dimensiones; desde lo finito hasta lo infinito. En esta marcha la imaginación ha desempeñado un notable papel. Porque la imaginación tiene el valor pragmático de adelantarse a la lenta caravana del pensamiento bien ordenado y frecuentemente reconoce la realidad antes que su pesado amo. En eso consiste su contribución esencial a una de las más extrañas colaboraciones del pensamiento: las sosegadas matemáticas y el vuelo de la imaginación. Las matemáticas constituyen una actividad regida por las mismas reglas impuestas a las sinfonías de Beethoven, las pinturas de Da Vinci y las poesías de Homero. Así como las escalas, las leyes de la perspectiva y las reglas del metro parecen carecer de vitalidad y ardor, podrá parecer que las reglas formales de las matemáticas son tediosas. Sin embargo, finalmente, las matemáticas alcanzan pináculos tan elevados como los logrados por la imaginación de sus más osados exploradores. Y aquí se encierra, quizá, la última paradoja de la ciencia, puesto que en su prosaico tráfago, tanto la lógica como las matemáticas dejan atrás, frecuentemente, a su avanzada y muestran que el mundo de la razón pura es más extraño aún que el mundo de la fantasía pura.

1. Stephen Hawking. Una vida para la ciencia. Michael W h i t e v John G r i b b i n 2. La verdadera historia de los dinosaurios. Alan Charig 3. La explosión demográfica. El principa! problema ecológico. Paul R. Ehrlich yv A n n e H . Ehrlich 4. El monstruo subatómico. Una exploración de los misterios del Universo. Isaac Asimov 5. El gen egoísta. Las bases biológicas de nuestra conducta. Richard D a w k i n s 6. La evolución de la física. A l b e r t Einstein y Leopold Infeld 7. El secreto del Universo. Y otros ensayos científicos. Isaac Asimov 8. Qué es la vida. Joel de Rosnay 9. Los tres primeros minutos del Universo. Steven Weinberg 10. Dormir y soñar. La mitad nocturna de nuestras vidas. Dieter E. Z i m m e r 11. El hombre mecánico. El futuro de la robótica y la inteligencia humana. Hans Moravec 12. La superconductividad. Historia y leyendas. Sven O r t o l i y Jean K l e i n 13. Introducción a la ecología. De la biosfera a la antroposfera. Josep Peñuelas 14. Miscelánea matemática. M a r t i n Gardner 15. El Universo desbocado. Del Big Bang a ta catástrofe final. Paul Davies 16. Biotecnología. Una nueva revolución industrial. Steve Prentis 17. El telar mágico. El cerebro humano y la computadora. Robert Jastrow 18. A través de la ventana. Treinta años estudiando a los chimpancés. Jane Goodall 19. Einstein. Banesh H o f f m a n n 20. La doble hélice. Un relato autobiográfico sobre el descubrimiento del ADN. James Watson 21. Cien mil millones de soles. Estructura v evolución de las estrellas. R u d o l f Kippenhahn 22. El planeta viviente. La adaptación de las especies a su medio. David Attenborough 23. Evolución humana. Roger L e w i n 24. El divorcio entre las gaviotas. Lo que nos enseña el comportamiento de los animales. W i l l i a m Jordán 25. Lorenz. Alee Nisbett 26. Mensajeros del paraíso. Las endorfinas. drogas naturales del cerebro. Charles F. Levinthal 27. El Sol brilla luminoso. Isaac Asimov 28. Ecología humana. La posición del hombre en la naturaleza. Bernard Campbell

29. So!, lunas y planetas. Erhard Keppler 30. Los secretos de una casa. El mundo oculto del hogar. D a v i d Bodanis 31. La cuarta dimensión. Hacia una geometría más real. Rudv Rueker 32. El segundo planeta. El problema del aumento de la poblacion mundial. U. C o l o m b o v G. Turani 33. La mente (I). Anthony Smith 34. La mente (II). A n t h o n y Smith 35. Introducción a la química. Hazel Rossotti 36. El envejecimiento. David P. Barash 37. Edison. Fritz Vogtlc 38. La inestable Tierra. Pasado, presente y futuro de las catástrofes naturales. Basil B o o t h v Frank Fitch 39. Gorilas en la niebla. 13 años viviendo entre los gorilas. D i a n Fossev 40. El espejo turbulento. Eos enigmas del caos y el orden. John Briggs y F. David Peat 41. El momento de la creación. Del Big Bang hasta el Universo actual. James S. T r e f i l 42. Dios y la nueva física. Paul Davies 43. Evolución. Teorías sobre la evolución de las especies. Wolfgang Schwoerbel 44. La enfermedad, hoy. Lluís Daufí 45. Iniciación a la meteorología. Mariano Medina 46. Los niños de Urania. En busca de las civilizaciones extraterrestres. E v r v Schatzman 47. Amor y odio. Historia natural del comportamiento humano. Irenaus Eibl-Eibesfeldt 48. Matemáticas e imaginación (I). Edward Kasncr y James Nevvman 49. Matemáticas e imaginación (II). Edward Kasner v James Nevvman

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T^c Doctor

Libros, Revistas, Intereses: http://thedoctorwho 1967. blogspot.com.ar/

N o es sorprendente que lt

N o os sorprendente que las matemáticas disfruten de un prestigio no igualado por ninguna otra actividad del pensamiento, pues son a la vez indispensables en los asuntos prácticos y la obra maestra de la abstracción pura. Sin embargo, el matemático suele ser considerado c o m o una especie de ermitaño que invierte su tiempo creando teorías enrevesadas en una jerga árida e ininteligible.

Matemáticas e Imaginación (II) Edward Kasner James N e w m a n

A l concebir este libro. Edward Kasner y James Newman - a m b o s matemáticos de gran r e n o m b r e - se propusieron ofrecer una panorámica de los diversos campos de la matemática en un lenguaje comprensible y ameno. IÍI resultado fue un best-seller que se ha convertido en un clásico de la literatura de divulgación científica y que. a buen seguro, despertará - o aumentará- nuestro interés poi esta arrogante reina del m u n d o intelectual.

Biblioteca Científica

N o os sorprendente que las matemáticas disfruten de un prestigio no igualado por ninguna olra actividad del pensamiento, pues son a la voz indispensables en los asuntos prácticos y la obra maestra de la abstracción pura. Sin embargo, el matemático suele ser considerado c o m o una especie de ermitaño que invierte su tiempo creando teorías enrevesadas en una jerga árida o ininteligible.

Matemáticas e Imaginación (II) Edward Kasner James N e w m a n

A l concebir este libro, Edward Kasner y James New man - a m b o s matemáticos de gran r e n o m b r e - se propusieron ofrecer una panorámica de los diversos campos de la matemática en un lenguaje comprensible y ameno. H1 resultado fue un best-seller que se ha convertido en un clásico de la literatura de divulgación científica y que. a buen seguro, despertará - o aumentará- nuestro interés por esta arrogante reina del m u n d o intelectual.

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