Matematicas e Imaginacion 1 E Kasner Et Al Biblioteca Cientifica Salvat 048 1994 OCR

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N o os s o r p r e n d e n t e q u e las matemáticas disfruten d e un prestigio 110 igualado p o r ninguna otra actividad del pensamiento. pues son a la vez indispensables en los asuntos prác ticos v la obra maestra de la abstracción pura. Sin embargo. el matemátic o suelo ser considerado c o m o una especio do ermitaño q u e invierto su t i e m p o creando leonas enrevesadas en una jerga árida o ininteligible.

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Í Matemáticas e Imaginación (I) Edward Kasner James Newman

Al concebir este libro. Edward Kasner y James Nevvman - a m b o s matemáticos do gran r e n o m b r e - so propusieron olrocér una panorámica do los diversos c a m p o s d e la matemática e n un lenguaje comprensible y amono, lül resultado fue un best-seller q u e so lia convertido en un clásk o do la literatura do divulgación < ientilica \ que. m e n t e sino exactamente, 1 3 6 • 2 " protones*, e igual n ú m e ro de electrones, en el Universo. A u n q u e n o es fácil de imaginar, este n ú m e r o , c o m o símbolo escrito en el papel, o c u p a p o c o lugar. Ni siquiera es tan grande c o m o el gúgol y q u e d a c o m p l e t a m e n t e e m p e q u e ñ e c i d o ante el gúgolplex. Sin embargo, el n ú m e r o d e Eddington, el gúgol y el gúgolplex. son finitos. * N o h a y por q u é s u p o n e r q u e sir Arthur l o s ha c o n t a d o . P e r o t i e n e u n a teoría para justificar s u a f i r m a c i ó n C u a l q u i e r a q u e t e n g a u n a teoría m e j o r p u e d e c o n t r a d e c i r a sir Arthur P e r o , ¿ q u i é n p u e d e s e r e l j u e z ? H e a q u í e l n ú m e r o e x a c t o , s e g ú n s o s t i e n e , h a s t a la ú l t i m a cifra 15 7 4 7 7 2 4 136 2 7 5 0 0 2 5 7 7 6 0 5 6 5 3 961 181.555 4 6 8 0 4 4 717 9 1 4 5 2 7 116 7 0 9 366 231 425 076 185 631 031 296

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Un v e r d a d e r o gigante es el n ú m e r o de Skewes: m u c h o mayor a ú n q u e el gúgolplex. Sirve para indicar la distribución de los n ú m e r o s primos" y se escribe así: 1Q

101034

O. por ejemplo, el n ú m e r o total de jugadas posibles e n un juego d e ajedrez, q u e es: i O1050 Y h a b l a n d o de ajedrez, c o m o señaló el eminente m a t e m á t i c o inglés G. H. Hardy, si imaginamos al Universo e n t e r o c o m o un tablero de ajedrez, a los p r o t o n e s que hay en él c o m o piezas d e dicho juego, y si c o n v e n i m o s en llamar "jugada", en este juego cósmico, a cualquier intercambio en la posición de d o s protones, el n ú m e r o total de jugadas posibles, por u n a extraordinaria coincidencia, sería el n ú m e r o de Skewes: 2Q101034 No hay d u d a q u e la mayoría de la g e n t e cree q u e dichos n ú m e r o s forman parte del maravilloso progreso de la ciencia y q u e h a c e unas p o c a s generaciones, para n o hablar de siglos atrás, nadie podría haberlos concebido, ni en sueños, ni con la imaginación. Hay en ello algo de verdad. Por una parte, los antiguos y engorrosos m é t o d o s de notación matemática hacían muy difícil, c u a n d o n o r e a l m e n t e imposible, la escritura d e grandes n ú m e r o s . Por otra parte, el c i u d a d a n o m e d i o de hoy encuentra cifras inmensas similares c o m o expresión d e gastos en a r m a m e n t o s y d e las distancias estelares, d e m a n e r a q u e está c o m p l e t a m e n t e familiarizado, e inmunizado, con los grandes n ú m e r o s .

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P e r o había gente inteligente en la antigüedad. Los p o e t a s de toda é p o c a p o d r á n h a b e r c a n t a d o a las estrellas c o m o infinitas en n ú m e r o , c u a n d o todas las que alcanzaban a ver eran, acaso, tres mil. Sin e m b a r g o , Arquímedes n o se desconcertaba por un n ú m e r o grande c o m o un gúgol, o aún mayor. Lo dice en un p a s a j e de introducción a su obra "El arenario", verificando q u e un n ú m e r o n o es infinito por el solo h e c h o de ser e n o r m e . "Hay algunos. Rey Gelon. q u e piensan que el n ú m e r o de granos de arena es infinito en multitud y yo m e refiero a la arena que existe, no sólo en las proximidades de Siracusa y en el resto de Sicilia, sino también a la q u e se encuentra en otras regiones, ya sean habitadas o no. Por otra parte, hay algunos que, sin considerarlo como infinito, piensan que aún no se ha fijado un n ú m e r o lo suficientemente grande, como para exceder su multitud. Y es claro que aquellos que sostienen este punto de vista, se imaginasen una masa formada por "arena, tan grande c o m o la masa de la Tierra, incluyendo en ella todos los mares y las depresiones, llenos hasta una altura igual a la de la montaña más alta, tendrían todavía mayores dificultades para reconocer que podría expresarse algún número, lo suficientemente grande, c o m o para exceder la multitud de la arena así tomada. Pero trataré de probar mediante demostraciones geométricas que vos podréis seguir, que, de los números nombrados por mí e indicados en la obra q u e envié a Zeuxippus, algunos exceden, no sólo el n ú m e r o de la masa de arena igual en magnitud a la Tierra rellenada en la forma descrita, sino también la de una masa igual en magnitud al Universo".

Los griegos tenían ideas muy definidas acerca del infinito. Así c o m o les estamos r e c o n o c i d o s por m u c h o s de nuestros juicios y de nuestra ciencia, así también les d e b e m o s m u c h o s de nuestros sofismas respecto al infinito. En realidad, si hubiéramos conservado siempre su claridad de visión, no habrían surgido jamás m u c h o s de los p r o b l e m a s y p a r a d o j a s relacionados con el infinito. 34

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Ante todo, d e b e m o s d a m o s cuenta de que, "muy grande" e "infinito", son c o m p l e t a m e n t e distintos*. Teóricamente, por el m é t o d o de la correspondencia u n o a uno. los p r o t o n e s y los electrones del Universo p u e d e n contarse con la misma facilidad q u e los b o t o n e s del chaleco. Suficientes y más que suficientes para esta tarea o para la tarea de contar cualquier colección finita son los n ú m e r o s enteros. P e r o medir la totalidad de los números enteros es otro problema. La medición de este c o n j u n t o exige un más e l e v a d o p u n t o de vista. Además de ser, c o m o lo p e n s ó el matemático a l e m á n Kronecker. obra de Dios, lo que requiere fe para apreciarla, la clase de los n ú m e r o s enteros es infinita —lo cual es m u c h í s i m o más inconveniente. ¡Es más que herejía, pretender medir nuestra propia e interminable vara de medir!

Los p r o b l e m a s del infinito han desafiado la m e n t e del h o m b r e , y e n c e n d i d o su imaginación c o m o ningún otro problema d e la historia del p e n s a m i e n t o h u m a n o . El infinito nos parece, a un mismo tiempo, tan extraño c o m o familiar. Algunas veces, más allá de nuestra comprensión; otras, natural y fácil de e n t e n d e r . Al conquistarlo, el h o m b r e r o m p i ó las cad e n a s q u e lo aprisionaban a la Tierra. Para esta conquista se requirieron todas sus facultades: su capacidad de raciocinio, su fantasía poética y su afán d e saber. Para establecer la ciencia del infinito se requiere el principio de inducción matemática. Este principio afirma la fuerza del raciocinio por recurrencia o repetición. Simboliza casi todo el p e n s a m i e n t o matemático, t o d o lo q u e h a c e m o s c u a n d o construimos agregados c o m p l e j o s partiendo de e l e m e n t o s simples. Es, c o m o N o h a y u n p u n t o a o n d e lo m u y g r a n d e c o m i e n c e a c o n f u n d i r s e c o n el infinito U s t e d p u e d e escribir u n n u m e r o tan g r a n d e c o m o le p l a z c a , n o estará m á s c e r c a del infinito q u e es n ú m e r o 1 ó ei n ú m e r o 7 A s e g ú r e s e q u e u s t e d e n t i e n d e m u y c l a r a m e n t e e s t a d i s t i n c i ó n v h a b r á d o m i n a d o m u c h a s d e las s u t i l e z a s del transfinito

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lo destacó Poincaré, "a la vez. necesaria al matemático, e irreductible a la lógica". El e n u n c i a d o del principio reza así: "Si una p r o p i e d a d es cierta para el n ú m e r o 1 y si demostramos q u e será verdadera para n + 1*. siempre q u e lo sea también para n, la p r o p i e d a d será verdadera para la totalidad de los n ú m e r o s naturales " La inducción matemática n o deriva de la experiencia, sino q u e más bien constituye una prop i e d a d de la mente, intuitiva, inherente y casi instintiva: "Lo que hemos hecho una vez lo podemos hacer nuevamente." Si p o d e m o s formar n ú m e r o s hasta diez, hasta un millón, hasta un gúgol. llegamos a la conclusión de que n o hay barrera, de que n o hay fin. C o n v e n c i d o s de esto, n o necesitam o s proseguir e t e r n a m e n t e , la m e n t e llega a c o m p r e n d e r lo q u e n u n c a ha e x p e r i m e n t a d o : el infinito mismo. Sin ninguna sensación de discontinuidad, sin transgredir los c á n o n e s de la lógica, el matemático y el filósofo han tendido un p u e n t e sobre el golfo q u e separa lo finito de lo infinito. Las m a t e m á ticas del infinito constituyen una confirmación completa del p o d e r innato de razonar por recurrencia. P r o b a b l e m e n t e t o d o el m u n d o c o m p r e n d e el significado d e "infinito" en la acepción d e "sin fin, sin límites", sencillamente, d e "no finito". En tanto n o se requiera u n a definición precisa, ello n o plantea dificultades. N o obstante, y a pesar del f a m o s o aforismo según el cual la matemática es la ciencia en la q u e n o se sabe d e q u é e s t a m o s hablando, ni si lo q u e se dice es cierto, será necesario, al menos, p o n e m o s de a c u e r d o para hablar sobre lo mismo. C o m o es obvio, incluso p e r s o n a s de t e m p e r a m e n t o científico p u e d e n polemizar agriamente, y llegar, a veces, hasta la difamación personal, sobre toda clase d e cuestiones, d e s d e el marxismo y el materialismo dialéctico, hasta la teoría de g r u p o s y el principio de indeterminación, para descubrir, próximos ya al agota* D o n d e n e s cualquier n ú m e r o entero, positivo

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miento y el fallo cardiaco, q u e se encuentran del mismo lado d e la valla. Tales discusiones son m u c h a s veces consecuencia de una terminología vigorosa. S u p o n e r q u e t o d o el m u n d o está familiarizado con la definición matemática precisa de "infinito" equivale a construir n u e v a m e n t e la Torre de Babel. Antes de intentar dar una definición, haríamos bien en volver la mirada, y ver c ó m o enfocaron el problema los matemáticos y filósofos de otras é p o c a s . Hay en lo infinito dos facetas, lo infinitamente grande y lo infinitamente p e q u e ñ o . S e han propuesto, para demostrar o refutar su existencia, multitud de razonamientps y demostraciones, luego descartados y más tarde vueltos a resucitar. P o c o s de estos razonamientos han sido rebatidos alguna vez; han ido q u e d a n d o enterrados b a j o la avalancha de otros. Feliz resultado de todo ello ha sido q u e el p r o b l e m a n u n c a ha llegado a resolverse*. La lucha, que c o m e n z ó en la antigüedad, con las paradojas de Zenón, jamás ha cesado. Los p u n t o s dudosos, fueron discutidos con un fervor digno de los primeros mártires cristianos, p e r o sin u n a décima parte del c a c u m e n de los teólogos d e la Edad Media. H o y en día algunos matemáticos opinan q u e el infinito ha sido reducido a un estado de vasallaje. Otros están todavía p r e g u n t á n d o s e q u é es. Los r o m p e c a b e z a s de Z e n ó n p u e d e n ayudar a enfocar mejor el problema. Zenón d e Elea, c o m o se recordará, dijo algunas cosas inquietantes sobre el movimiento al referirse a u n a flecha, a Aquiles y a la tortuga. Esta extraña asociación fue e m p l e a d a en defensa del principio de la filosofía eleática, de q u e t o d o movimiento es una ilusión. Algunos, probablem e n t e "críticos contrariados", han sugerido q u e "Zenón mism o n o hablaba en serio c u a n d o p r o p u s o sus rompecabezas". N a d i e ha e s c r i t o m á s brillante e i n g e n i o s a m e n t e a la v e z s o b r e e s t e t e m a q u e B e r t r a n d R u s s e ü V é a s e p a r t i c u l a r m e n t e sus e n s a y o s e n el v o l u m e n

Mysticism and Logic

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Prescindiendo del motivo de los mismos, baste decir q u e son extraordinariamente sutiles y. quizá por eso. desafían aún hoy toda solución*. Una paradoja —la de dicotomía— afirma que es imposible recorrer una distancia dada. He aquí el razonamiento: primero. d e b e recorrerse la mitad de la distancia: luego, la mitad de la distancia restante; luego, otra vez. la mitad de la que q u e d a y así sucesivamente. ¡Se d e d u c e que siempre q u e d a alguna parte de la distancia a recorrer y. por lo tanto, el movimiento es imposible! Una solución de esta paradoja consiste en ver i

que las distancias sucesivas a recorrer forman u n a serie geométrica infinita: — + — + — + — + — + 2 4 8 16 32

...

:i

cada u n o de cuyos términos es la mitad del que le p r e c e d e . A u n q u e esta serie tiene un infinito n ú m e r o de términos, su suma es finita e igual a 1. En esto, se dice, radica el defecto de la dicotomía. Zenón s u p u s o q u e cualquier totalidad, compuesta de un n ú m e r o infinito de partes debe, en sí misma, ser * Es i n d u d a b l e q u e s e h a n d a d o p a r a las p a r a d o j a s d i v e r s a s e x p l i c a c i o n e s E n ú l t i m o a n á l i s i s , las e x p l i c a c i o n e s d e l o s a c e r t i j o s s e b a s a n e n la i n t e r p r e t a c i ó n d e l o s f u n d a m e n t o s d e las m a t e m á t i c a s M a t e m á t i c a s c o m o B r o u w e r . q u e d e s c a r t a n el i n f i n i t o n o a c e p t a r í a n p r o b a b l e m e n t e , n i n g u n a d e las s o l u c i o n e s d a d a s

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infinita, mientras que, c o m o a c a b a m o s de ver. un infinito núm e r o de e l e m e n t o s f o r m a n la totalidad finida, a saber. 1. La p a r a d o j a de la tortuga establece que Aquiles. corriend o para alcanzar la tortuga, d e b e llegar primero al lugar de d o n d e ésta partió. Para c u a n d o Aquiles llegue, la tortuga habrá avanzado un p o c o . Esta c o m e d i a se repite, sin e m b a r g o , indefinidamente. A medida q u e Aquiles llega a cada n u e v o p u n t o de su carrera, la tortuga, q u e había estado allí, ya lo ha a b a n d o n a d o . A Aquiles le resulta tan imposible alcanzarla, c o m o a los jinetes d e un carrusel, al jinete q u e va adelante. Finalmente, la flecha en vuelo d e b e estar m o v i é n d o s e en t o d o instante de tiempo. Pero a cada instante d e b e estar en algún lugar del espacio. Sin e m b a r g o , si la flecha d e b e estar siempre en algún sitio, n o p u e d e , en cada instante, estar también en tránsito, p u e s estar en tránsito equivale a estar en ninguna parte. Aristóteles y otros santos m e n o r e s , de casi todas las é p o cas, trataron de destruir estas paradojas, p e r o n o lo hicieron muy hábilmente. Tres profesores a l e m a n e s triunfaron d o n d e los santos habían fracasado. A fines del siglo XIX, parecía q u e Bolzano, Weierstrass y Cantor habían d e j a d o tranquilo al infinito, así c o m o a las p a r a d o j a s de Zenón. El m é t o d o m o d e r n o de tratar las paradojas n o consiste en descartarlas c o m o simples sofismas, indignos de m e r e c e r seria atención. La historia de las matemáticas, en efecto, refiere una poética rehabilitación d e la actitud de Zenón. El f a m o s o matemático y filósofo inglés Bertrand Russell ha dicho que Zenón fue "una notable víctima de la falta de juicio de la posteridad". Esa injusticia ha sido reparada. Al ocuparse de lo infinitamente p e q u e ñ o , Weierstrass d e m o s t r ó q u e la flecha en movimiento está, realmente, siempre en r e p o s o y q u e nosotros vivimos en el m u n d o inalterable de Zenón. La obra de G e o r g Cantor, c o m o pronto veremos, demostró q u e si creemos q u e Aquiles puede alcanzar a la tortuga, d e b e m o s estar

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p r e p a r a d o s para admitir una p a r a d o j a aún mayor q u e todas las q u e Zenón jamás p u d o h a b e r concebido: ¡EL T O D O NO ES

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h a c e r caso omiso de ella, Weierstrass la enterró junto al flogisto y d e m á s errores otrora apreciados.

MAYOR QUE MUCHAS DE S U S PARTES 1

Lo infinitamente p e q u e ñ o había sido un e n g o r r o durante m á s de dos mil años. Aun en las mejores circunstancias, las innumerables opiniones q u e p r o v o c ó merecieron el lacónico veredicto de los tribunales escoceses: "No p r o b a d o . " Hasta q u e apareció Weierstrass, el progreso total fue una confirmación del a r g u m e n t o de Zenón contra el movimiento. Hasta las b r o m a s f u e r o n mejores. S e g ú n Carlyle, Leibniz c o m e t i ó el error de tratar de explicar a u n a reina — S o f í a Carlota d e Prusia— el cálculo infinitesimal. Ella le manifestó q u e la conducta d e sus cortesanos la había familiarizado tanto con lo infinitamente p e q u e ñ o , q u e n o necesitaba un preceptor matemático para q u e se lo explicara. P e r o los filósofos y matemáticos, según Russell, "teniendo m e n o s conocimiento de las cortes, continuaron discutiendo este tópico, a u n q u e sin lograr adelanto alguno". Berkeley, con la sutileza y h u m o r propios d e un obispo irlandés, hizo algunos satíricos a t a q u e s a los infinitésimos, durante el p e r í o d o de la adolescencia del cálculo, a t a q u e s provistos del duro e ingenioso aguijón de la m e j o r escolástica. S e p o d í a quizá hablar, al m e n o s con fervor poético, de lo infinitamente grande, pero, ¿qué era lo infinitamente p e q u e ñ o ? Los griegos, r e n u n c i a n d o a su acostumbrada perspicacia, lo introdujeron al considerar q u e un círculo difería infinitesimalm e n t e d e un polígono q u e tuviese un gran n ú m e r o de lados iguales. Leibniz lo usó para construir el cálculo infinitesimal. Sin e m b a r g o , nadie sabía q u é era. Lo infinitesimal tenía prop i e d a d e s asombrosas. No era cero y sin e m b a r g o era m e n o r q u e cualquier cantidad. N o se le p o d í a asignar ni cantidad ni t a m a ñ o , y ello n o obstante, un n ú m e r o algo grande de infinitesimales forma una cantidad p e r f e c t a m e n t e definida. Incapaz de descubrir su naturaleza, mas, por fortuna, capaz de

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Más obstinada fue la resistencia que presentó lo infinitam e n t e grande. S e a lo que fuere, d e m o s t r ó ser mala hierba. Esta cuestión, sobre la q u e se han escrito desatinos por resmas, fue analizada por primera vez de m o d o lógico, completo y sin los prejuicios q u e serían d e t e m e r en un clérigo por el c h e c o B e m h a r d Bolzano, en un p e q u e ñ o y extraordinario v o l u m e n , titulado Die Paradoxien des Unendlichen (Las paradojas del infinito), publicado en 1 8 5 1 c o m o obra p o s t u m a . Lo mismo q u e la obra de otro sacerdote, el austríaco Gregor Mendel, cuyo notable tratado sobre los principios de la herencia sólo e s c a p ó al olvido por casualidad, este importante libro de Bolzano, de redacción encantadora, n o p r o d u j o gran impresión entre sus c o n t e m p o r á n e o s . Es la creación de u n a inteligencia clara, p o d e r o s a y penetrante. Por vez primera en veinte siglos, el infinito fue tratado c o m o p r o b l e m a científico, y n o teológico. Tanto Cantor c o m o Dedekind están e n deuda con Bolzano, por h a b e r d a d o éste f u n d a m e n t o al tratamiento matemático de lo infinito. Entre las m u c h a s p a r a d o j a s que Bolzano recopiló y explicó, una de ellas, que d a t a b a de la é p o c a de Galileo, ejemplifica una típica fuente de confusión. Constrúyase un c u a d r a d o — A B C D . T o m a n d o c o m o centro el p u n t o A y con una abertura del c o m p á s igual al lado, trácese un cuadrante de circunferencia, que intersecte al cuad r a d o en B y D. Trácese PR paralela a AD, de tal m a n e r a que corte a AB en P. a C D en /?, a la diagonal AC en N y a la cuarta parte del círculo en M. Por un t e o r e m a de geometría, muy conocido, p u e d e demostrarse q u e si PN, PM y PR son radios, existe la siguiente relación:

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,-T P N ' = JT PR

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-JT PiVT

(1)

H á g a s e q u e PR se aproxime a AD. e n t o n c e s el círculo de radio PN se hace m á s p e q u e ñ o , y otro tanto ocurre con el anillo f o r m a d o por los círculos de radios P M y PR a m e d i d a , que uno de sus radios, PM, a u m e n t a . Finalmente, c u a n d o PR se c o n f u n d a con AD, el radio P N d e s a p a r e c e q u e d a n d o el p u n t o A mientras q u e el anillo c o m p r e n d i d o entre los dos círculos PM y PR se convierte en el perímetro del círculo de radio AD. De a c u e r d o a la ecuación (1) se llega a la conclusión de q u e el punto A o c u p a tanta superficie c o m o la circunferencia de círculo de radio AD. Bolzano c o m p r e n d i ó q u e a q u í sólo hay u n a apariencia de paradoja. Las d o s clases de puntos, una c o m p u e s t a de un solo miembro, el p u n t o A, y la otra de los p u n t o s q u e hay en la circunferencia de círculo de radio AB, o c u p a n exactamente la misma cantidad d e superficie. ¡El área de cada una de ellas es igual a cero! La p a r a d o j a n a c e de la e q u i v o c a d a noción de que el n ú m e r o de p u n t o s de u n a figura d a d a tiene relación con el á r e a de la porción de superficie q u e o c u p a . Los p u n t o s carecen de t a m a ñ o y dimensión, y e n n ú m e r o finito (e incluso en m u c h o s casos, infinito), n o p u e d e n llenar superficie alguna. En el transcurso de los siglos han ido a c u m u l á n d o s e paradojas similares. Nacidas de la unión de ideas imprecisas y d e d u d o s a s reflexiones de índole filosófica, f u e r o n desarrollándose, f u n d a d a s en n o c i o n e s imperfectas. Bolzano aclaró en gran medida la confusión, d e j a n d o expedito el c a m i n o a Cantor. A Cantor d e b e la matemática de lo infinitamente grande h a b e r alcanzado la mayoría de edad. 4

G e o r g Cantor nació en S a n Petersburgo en 1 8 4 5 , seis años antes de que apareciese el libro de Bolzano. A u n q u e nacido en Rusia, vivió la m a y o r parte de su vida en Alemania,

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A

Fig. 11. S u s t r á i g a s e el t r i á n g u l o APM d e la f i g u r a . E s fácil v e r q u e s u s t r e s l a d o s s o n i g u a l e s , r e s p e c t i v a m e n t e , a los r a d i o s d e los t r e s c í r c u l o s . Luego:

Rt-R¡

= R\

o bien:

rr^-rrfll = o bien: las d o s s u p e r f i c i e s s o m b r e a d a s s o n iguales.

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M A S ALl.A D E L O S G U G O L E S

d o n d e fue profesor en la Universidad de Halle. Mientras Weierstrass estaba o c u p a d o tratando el cálculo infinitesimal. Cantor se dedicó a la tarea opuesta, a p a r e n t e m e n t e más formidable. Uno podría reírse de la existencia de lo infinitamente p e q u e ñ o , p e r o ¿quién se animaría a reírse de lo infinitam e n t e g r a n d e ? Por cierto q u e n o iba a ser Cantor. La curiosidad teológica lo impulsó en su tarea, a u n q u e el interés matemático se a n t e p u s o a cualquier otro. Tratando la ciencia del infinito. Cantor c o m p r e n d i ó q u e el primer requisito consistía en definir términos. Su definición de "clase infinita", que parafraseamos, se basta en una paradoja: UNA CLASE INFINITA TIENE LA SINGULAR PROPIEDAD DE QUE EL T O D O NO ES MAYOR QUE ALGUNA DE SUS PARTES. Esta proposición es tan esencial para las matemáticas del infinito c o m o la q u e expresa: E L T O D O ES MAYOR QUE CUALQUIERA DE S U S PARTES, para la aritmética finita. Si r e c o r d a m o s q u e dos conjuntos son equivalentes c u a n d o sus e l e m e n t o s p u e d e n p o n e r s e en correspondencia biunívoca. esta última proposición resulta evidente. Zenón n o se habría a n i m a d o a contradecirla, a pesar de su escepticismo acerca d e lo evidente. P e r o lo q u e para lo finito es evidente, es falso para lo infinito; nuestra amplia experiencia con los conjuntos finitos es engañosa. Por ejemplo, p u e s t o q u e los conjuntos de h u m a n o s y de matemáticos son a m b o s finitos, alguien, al c o m p r o b a r que algunos h o m b r e s n o son matemáticos, llegaría correctamente a la conclusión de q u e la clase de los h u m a n o s es la más g r a n d e de las dos. T a m b i é n podría inferir que el n ú m e r o de enteros, pares e impares, es m a y o r que el n ú m e r o de enteros pares. Pero vemos, de a c u e r d o con el siguiente e m p a r e j a miento. q u e se equivocaría: 1 1 2 44

2 t i 4

3

4

5

6

7...

1 6

t 8

I 10

I 12

I 14...

D e b a j o de cada n ú m e r o entero, par o impar, p o d e m o s escribir su duplo — q u e es un n ú m e r o e n t e r o par Es decir, c o l o c a m o s cada u n o d e los e l e m e n t o s del c o n j u n t o de todos los n ú m e r o s naturales, tanto los impares c o m o los pares, en una correspondencia biunívoca con los e l e m e n t o s d e la clase c o m p u e s t a únicamente por n ú m e r o s naturales pares. Es posible continuar este p r o c e s o hasta el gúgolplex y más allá todavía. Ahora bien, el c o n j u n t o de los n ú m e r o s naturales es infinito. Ningún n ú m e r o natural, n o importa cuán grande sea. p u e d e describir su cardinalidad (o "numerosidad"). Sin e m bargo, p u e s t o que es posible establecer una c o r r e s p o n d e n c i a biyectiva entre la clase de los n ú m e r o s pares y la clase de los n ú m e r o s naturales, h e m o s logrado contar la clase de los núm e r o s pares del mismo m o d o q u e c o n t a m o s u n a colección finita. Estando p e r f e c t a m e n t e e q u i p a r a d a s las d o s clases, deb e m o s llegar a la conclusión de q u e tienen la misma cardinalidad. Q u e su cardinalidad es la misma, lo sabemos, al igual q u e supimos q u e las sillas y las p e r s o n a s q u e había e n el salón eran iguales en n ú m e r o c u a n d o cada silla estaba o c u p a d a y nadie q u e d ó d e pie. De este m o d o llegamos a la p a r a d o j a f u n d a m e n t a l d e todas las clases infinitas: Existen partes c o m p o n e n t e s de u n a clase infinita q u e son tan grand e s c o m o la clase misma. ¡EL T O D O N O ES MAYOR QUE ALGUNA DE S U S PARTES!

La clase c o m p u e s t a por los n ú m e r o s enteros pares es un conjunto entresacado de la clase de todos los n ú m e r o s enteros. pero, e v i d e n t e m e n t e el "entresacar" no tiene el m á s leve efecto sobre su cardinalidad. A d e m á s casi n o hay límite al n ú m e r o de veces q u e p u e d e repetirse este proceso. Por e j e m p l o , hay tantos n ú m e r o s elevados al c u a d r a d o y al c u b o c o m o n ú m e r o s enteros. Los e m p a r e j a m i e n t o s a p r o p i a d o s son:

45

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

1

2

3

I 1

I 4

I 9

l

2

2'

3

2

4

5 t I 16 2 5 4

2

5

2

M A S ALLA D E L O S G U G O L E S

...

1

2

3

I 3 6 ...

I 1

1 8

1 27

I l I 64 125216

33

4!

6

6

2

V

2

3

4

5

53

6

6a

En realidad, de cualquier clase n u m e r a b l e p u e d e siempre sacarse un n ú m e r o n u m e r a b l e infinito de clases numerables infinitas, sin q u e ello altere el cardinal de la clase original

Cantor llamó contables o numerablemente infinitas a las clases infinitas que p u e d e n p o n e r s e en c o r r e s p o n d e n c i a biyectiva con los n ú m e r o s naturales y, por lo tanto, ser "contadas". Ya q u e t o d o s los c o n j u n t o s finitos son contables y d a d o q u e p o d e m o s asignar un n ú m e r o a cada u n o de ellos, es natural q u e tratemos de extender la noción de n ú m e r o , asignando a la clase de t o d o s los n ú m e r o s naturales, un núm e r o q u e exprese su cardinalidad. Sin e m b a r g o , es evidente, de a c u e r d o a nuestra descripción de "conjunto finito", que ningún n ú m e r o e n t e r o ordinario sería a d e c u a d o para describir la cardinalidad de toda la clase de los n ú m e r o s enteros. En efecto, sería c o m o pedirle a una culebra q u e se tragase a sí misma, toda entera. De este m o d o , fue c r e a d o el primero d e los n ú m e r o s transfinitos para describir la cardinalidad de las clases infinitas numerables. S e sugirió representarlo con un s í m b o l o etimológicamente antiguo, p e r o m a t e m á t i c a m e n te n u e v o : la primera letra del alfabeto hebreo, K (aleph). Sin e m b a r g o , Cantor, decidió finalmente usar el símbolo comp u e s t o K0 (aleph-cero). Si se nos pregunta "¿cuántos n ú m e ros naturales hay?", sería correcto contestar: "Hay K0 núm e r o s naturales." Debido a q u e Cantor s o s p e c h ó q u e había otros n ú m e r o s transfinitos. más aún, un n ú m e r o infinito de transfinitos y que la cardinalidad de los n ú m e r o s naturales era la m á s p e q u e ñ a 46

de todas, le a ñ a d i ó a la primera K un c e n t o c o m o subíndice. La cardinalidad de u n a clase n u m e r a b l e infinita se indica, por lo tanto con tto (aleph-subcero). Los n ú m e r o s transfinitos q u e h e m o s anticipado forman una jerarquía de alephs: K0. Ki, Si... T o d o esto p u e d e parecer muy extraño, y sería completam e n t e disculpable q u e el lector se encontrase, a esta altura, e n t e r a m e n t e desconcertado. Sin e m b a r g o , si usted ha seguid o el razonamiento p r e c e d e n t e , p a s o por paso, y se toma la molestia de releerlo, verá que nada de cuanto se ha dicho es incompatible con el correcto razonamiento. H a b i e n d o establecido el significado de contar en el dominio de lo finito, y lo que significa n ú m e r o , decidimos hacer extensivo el proceso de contar a las clases infinitas. En cuanto a nuestro derec h o para llevar a c a b o tal procedimiento, es el mismo, por ejemplo, de aquellos que decidieron q u e el h o m b r e se había arrastrado bastante sobre la superficie de la Tierra y q u e ya le había llegado el t i e m p o de volar. Es nuestro d e r e c h o a aventurarnos en el m u n d o d e las ideas así c o m o el d e ampliar nuestras miras en el universo físico. En estas aventuras de ideas solamente se n o s i m p o n e una restricción: q u e proc e d a m o s de a c u e r d o con las reglas de la lógica. Al extender el p r o c e s o de contar, en seguida saltó a la vista q u e ningún n ú m e r o finito podría describir a d e c u a d a m e n t e u n a clase infinita. Si algún n ú m e r o de la aritmética com ú n describe la cardinalidad de u n a clase, esa clase tiene q u e ser finita, aun c u a n d o no haya suficiente tinta, espacio o t i e m p o para escribir dicho n ú m e r o . Necesitaremos pues, un tipo de n ú m e r o c o m p l e t a m e n t e nuevo, que n o se e n c u e n t r e en ninguna parte de la aritmética finita, para describir la cardinalidad de una clase infinita. Por consiguiente, se asignó la cardinalidad "aleph" a la totalidad de los n ú m e r o s enteros. S o s p e c h a n d o que había otras clases infinitas, con cardinalid a d mayor que la de la totalidad de los n ú m e r o s enteros, su47

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

M A S ALLA D E L O S G U G O L E S

p u s i m o s toda una jerarquía de alephs de la cual designamos con aleph-cero al n ú m e r o cardinal que representa la totalid a d de los n ú m e r o s enteros, con lo q u e se quiso indicar que era el m á s p e q u e ñ o de los transfinitos. D e s p u é s de este inciso, a m o d o de resumen, volvamos u n a vez más a escudriñar los "alephs" para ver si, con un conocimiento más íntimo, resultan más fáciles de c o m p r e n d e r . La aritmética de los alephs tiene p o c a semejanza con la de los n ú m e r o s enteros finitos. El o s a d o c o m p o r t a m i e n t o de N0 e s típico. Un simple p r o b l e m a de s u m a se presenta así: No + 1

= No

N 0 + gúgol = N0 No + No

==

No

La tabla de multiplicar sería fácil de enseñar, p e r o más fácil a ú n de aprender: l x « 0 = No 2 x N n = No 3

x

N 0 = No

n X N0 = N0 En la cual n representa un n ú m e r o finito cualquiera. Asimismo, (No) 2 = No

x No

Parece que no hubiera variación en el tema: la m o n o t o nía p a r e c e inevitable. Pero todo es muy e n g a ñ o s o y traicion e r o S e g u i m o s adelante o b t e n i e n d o el mismo resultado a pesar de todo lo que h a g a m o s con N,.. c u a n d o de r e p e n t e probamos: (N„r Esta operación crea, al fin. un n u e v o transfinito. P e r o antes de considerarlo hay q u e decir algo más sobre las clases numerables. El sentido c o m ú n nos dice q u e hay m u c h a s más fracciones que n ú m e r o s enteros, p u e s t o q u e entre dos enteros cualesquiera hay un n ú m e r o infinito de fracciones. Pero, ¡ay!, el sentido c o m ú n ha de ser descartado en el país del infinito. Cantor descubrió una demostración tan sencilla c o m o elegante. según la cual las fracciones racionales forman una sucesión n u m e r a b l e m e n t e infinita, equivalente a la clase de los n ú m e r o s naturales. Por consiguiente, esta sucesión d e b e tener la misma cardinalidad q u e éstos*. S e dispone el c o n j u n t o de todas las fracciones racionales, n o en el orden de valores crecientes, sino en el orden de los n u m e r a d o r e s y d e n o m i n a d o r e s ascendentes, en una tabla c o m o la de la figura 12. Ya q u e cada fracción p u e d e escribirse c o m o un par de n ú m e r o s enteros, es decir, 3 / 4 c o m o (3. 4), p u e d e efectuarse la ya muy conocida c o r r e s p o n d e n c i a u n o a u n o con los nú-

= No

y, por lo tanto. (No)" = No

d o n d e n es un n ú m e r o natural finito. 48

S e n o s h a s u g e n d o q u e a! llegar a q u í , el lector, c a n s a d o , cierra el libro c o n u n s u s p i r o — y s e v a al c i n e S ó l o p o d e m o s a d e l a n t a r l e , para c a l m a r l o , q u e e s t a d e m o s t r a c i ó n , c o m o la q u e s i g u e s o b r e la n o n u m e r a b i i i d a d d e l o s n ú m e r o s r e a l e s , e s difícil U s t e d p u e d e rechi nar l o s d i e n t e s y tratar d e e n t e n d e r l o q u e p u e d a d e ellas, o b i e n prescindir d e a m b a s L o e s e n c i a l , a n t e s d e retirarse, e s s a b e r q u e C a n t o r d e s c u b r i ó q u e las f r a c c i o n e s r a c i o n a l e s s o n n u m e r a b l e s , p e r o q u e el c o n i u n t o d e l o s n ú m e r o s r e a l e s n o lo e s D e e s t e m o d o , y a p e s a r d e lo q u e le d i c t e el s e n t i d o c o m ú n , n o h a y m á s f r a c c i o n e s q u e n ú m e r o s e n t e r o s , y h a y m á s n ú m e r o s r e a l e s entre 0 y 1 q u e e l e m e n t o s e n t o d a la c l a s e d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s

49

M A S ALLA D E L O S G U G O L E S

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

meros naturales tal c o m o se indica mediante flechas en la figura 12 q u e a n t e c e d e . 1 (1.1)

2 (2^1)

3

4

(1,2)

(13)

5 (2.2)

6

7 (3.1)

8 (4,1)

9 (3.2)

(2.3)

Cantor también descubrió, mediante una demostración (que no tratamos aquí por ser d e m a s i a d o técnica) b a s a d a en el grado de las e c u a c i o n e s algebraicas, que el c o n j u n t o de t o d o s los n ú m e r o s algebraicos, n ú m e r o s que son soluciones de e c u a c i o n e s algebraicas con coeficientes enteros de la forma: aox" + aix" _ 1 + ... + a , .ix + ar. = 0 es n u m e r a b l e m e n t e infinito. P e r o Cantor intuyó q u e había otros transfinitos, q u e había clases que n o eran numerables, clases q u e n o p o d í a n p o nerse en correspondencia biyectiva con los n ú m e r o s enteros. Y u n o de sus mayores triunfos tuvo lugar c u a n d o d e m o s t r ó q u e hay clases que p o s e e n una cardinalidad m a y o r q u e K0. La clase de los n ú m e r o s reales, c o m p u e s t a d e los n ú m e ros racionales e irracionales*, es u n a de ellas. C o n t i e n e a aquellos irracionales que son algebraicos, así c o m o a los q u e n o lo son. Estos últimos se d e n o m i n a n números trascendentes 5. En la é p o c a de Cantor se conocían dos importantes núm e r o s trascendentes: JI, la relación de la circunferencia de un círculo con respecto a su diámetro, y e, la base de los logaL o s n ú m e r o s i r r a c i o n a l e s _ s o n a q u e l l o s q u e no pueden e x p r e s a r s e c o m o f r a c c i o n e s rac i o n a l e s P o r e j e m p l o \ 2 \ 3 . e. ,i. La c l a s e d e l o s n ú m e r o s r e a l e s e s t á f o r m a d a d e racion a l e s c o m o 1. 2 . 3 . — . ——. e i r r a c i o n a l e s c o m o l o s arriba i n d i c a d o s 4 32

50

12.

Método diagonal de Cantor.

ritmos naturales. Muy p o c o m á s se sabía acerca de la clase de los trascendentes: era un v e r d a d e r o enigma. Cantor tenía q u e probar, a fin de demostrar que la clase de los n ú m e r o s reales era n o n u m e r a b l e (es decir, d e m a s i a d o grande para p o d e r s e contar con la clase de los n ú m e r o s enteros), el hec h o improbable de que la clase de los trascendentes era no n u m e r a b l e . Ya que se sabía q u e los n ú m e r o s racionales y algebraicos eran numerables y q u e la unión de cualquier colección n u m e r a b l e de clases n u m e r a b l e s es también una clase numerable, la única clase restante q u e podía hacer q u e la

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MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

M A S ALLA D E L O S G U G O L E S

totalidad de los n ú m e r o s reales fuese no n u m e r a b l e era. por lo tanto, la clase de los trascendentes Cantor p u d o idear s e m e j a n t e demostración. Si p u e d e demostrarse que la clase de los n ú m e r o s reales, c o m p r e n d i d o s entre 0 y 1. es n o numerable, se deducirá, a fortiori. q u e todos los n ú m e r o s reales son n o numerables. E m p l e a n d o un recurso, u s a d o muy a m e n u d o en las matemáticas superiores, la reductio ad absurdum. Cantor s u p u s o q u e era verdad e r o lo q u e s o s p e c h a b a q u e era falso y e n t o n c e s d e m o s t r ó q u e su suposición lo conducía a una contradicción. S u p u s o q u e los n ú m e r o s reales c o m p r e n d i d o s entre 0 y 1 eran numerables y podían, por lo tanto, ser b i u n í v o c a m e n t e e m p a rejados con los n ú m e r o s naturales. H a b i e n d o p r o b a d o q u e esta hipótesis lo llevaba a una contradicción, d e d u j o q u e su opuesta, a saber, q u e los n ú m e r o s reales no p o d í a n ser emp a r e j a d o s con los n ú m e r o s naturales (y, por lo tanto, formab a n un c o n j u n t o n o numerable) era verdadera. Para p o d e r n u m e r a r los n ú m e r o s reales c o m p r e n d i d o s entre 0 y 1 se requiere q u e t o d o s ellos sean expresables de m o d o uniforme, y a d e m á s , inventar un m é t o d o para escribirlos en orden, de m o d o q u e se p u e d a n ser, u n o a uno, biu n í v o c a m e n t e e m p a r e j a d o s con los n ú m e r o s naturales. El primer requisito p u e d e cumplirse, ya q u e t o d o n ú m e r o real p u e d e expresarse mediante un n ú m e r o decimal de infinitas cifras. Así, por e j e m p l o 6 : 1

3 1

= 0,3333...

= 0.1111111...

— = 0,21428571428571 14

\Í2

=

1 414 — — — = 0.707..

9

q u e garantice q u e todos los números decimales figuren en el e m p a r e j a m i e n t o ? H e m o s estudiado ya un m é t o d o para asegurar la presencia en él de todas las fracciones racionales. Por s u p u e s t o que no p o d r í a m o s escnbirlas material y físicam e n t e a todas, c o m o t a m p o c o p o d r í a m o s escribir la totalidad de los n ú m e r o s naturales; p e r o el m é t o d o de ir a u m e n t a n d o los n u m e r a d o r e s y d e n o m i n a d o r e s es tan explícito, q u e si dispusiéramos de t i e m p o infinito para ello, escribiríamos realm e n t e todas las fracciones, con la seguridad de no h a b e r omitido ninguna. Dicho de otro m o d o , siempre sería cierto y concluyente. que tras h a b e r casado una fracción con un núm e r o natural, siempre sabríamos cuál sería la próxima fracción, y la siguiente, y la próxima, y así indefinidamente. Por otra parte, si s u p o n e m o s un n ú m e r o real, e x p r e s a d o en forma de n ú m e r o decimal de infinitas cifras, e m p a r e j a d o con un d e t e r m i n a d o n ú m e r o natural, ¿qué m é t o d o habría para determinar cuál será, en el orden de la sucesión natural, el p r ó x i m o n ú m e r o real a e m p a r e j a r ? Es suficiente preguntarse cuál será el primero de estos decimales infinitos, el q u e d e b e e m p a r e j a r s e con el n ú m e r o natural 1, para vislumbrar la dificultad del problema. Lo q u e hizo Cantor fue suponer q u e tal e m p a r e j a m i e n t o existía, sin tratar de dar su forma explícita. H e a q u í su plan: asociar al n ú m e r o 1 el decimal 0,aia 2 a 3 ...; con el n ú m e r o 2. el decimal O.bib^b;,..., etc. C a d a una de estas letras subindiciadas representa un dígito del núm e r o decimal en que interviene. La tabla de e m p a r e j a m i e n tos entre n ú m e r o s naturales y decimales nfinitos sería así: 1 « — * 0,cii a2 a3 a 4 a s

2 «—* 0,b: b2 b3 b 4 b 5 3 «—* 0 , C i C2 C 3 C4 C5 4 0,d¡ d2 di d 4 d5

P e r o se nos plantea ahora la segunda dificultad. ¿ C ó m o definir el emparejamiento? ¿ Q u é sistema p o d r í a m o s idear.

52

53

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

M A S ALLA D E L O S G U G O L E S

Ésta era la tabla de Cantor. En seguida se hizo evidente q u e mostraba, y de forma notoria, la contradicción misma que Cantor había estado b u s c a n d o . Y en esta derrota radica su triunfo, p u e s indiferentemente de c ó m o estén dispuestos los decimales, cualquiera q u e sea el sistema de ordenación a d o p t a d o , siempre será posible construir infinitos m á s q u e no figuren en la tabla. Vale la p e n a repetir este punto: h a b i e n d o i d e a d o una tabla, en la creencia de q u e la misma contendría a todos y cada uno de los n ú m e r o s decimales c o m p r e n d i d o s entre 0 y 1, descubrimos q u e a pesar de todos nuestros esfuerzos siempre hay decimales q u e han sido omitidos. Cantor d e m o s t r ó que así s u c e d e m e d i a n t e su f a m o s o " m é t o d o diagonal". Las condiciones q u e permiten construir un decimal q u e n o figure en la tabla son sencillas: h a r e m o s que difiera del primer decimal d e la tabla e n la primera cifra; del segundo. e n la s e g u n d a ; del tercero, en la tercera; y así sucesivamente. P e r o entonces, tal decimal diferirá de cada uno de los decimales de toda la tabla, al m e n o s en una cifra. Si, c o m o v e m o s e n la figura, trazamos u n a diagonal en nuestra hipotética tabla, y escribimos un n u e v o decimal, cada u n o de cuyos dígitos difiera del correspondiente interceptado por la diagonal, el decimal así construido n o p o d r á encontrarse en la tabla. 1 2 3 4 5

— r

r

| = — i • v - i = -¿ i

h

i

i

| = - i -(v- D 1 i i

\

*

(+ l ) x ( + l ) = + l l (+1) x ( - 1 ) = - 1 J

ib

N. II 1

i- , = + i • V - i = ¡

< 1

1

miento de la Rusia Soviética por los Estados Unidos —la existencia era innegable, todo lo que se necesitaba era una sanción formal y su aprobación. El imaginario más conocido es V—1 • Euler lo representó con el símbolo "i" que se usa todavía"'. Es inútil ocuparse de la pregunta: "¿Qué número al ser multiplicado por sí mismo, es igual a - 1 ? " Al igual que todos los otros números, i es un símbolo que representa una idea abstracta, pero muy precisa. Obedece a todas las reglas de la aritmética, a las que se agrega el convenio de que: i x i — —1. Su obediencia a estas reglas y sus múltiples usos y aplicaciones justifican su existencia. Las leyes formales de operación para i son fáciles; ya que la regla de los signos estipula que:

i

i

¿

= +1

-

Esta tabla nos indica que las potencias impares de i son iguales a - i , o + / , y que las potencias pares de i son iguales a - 1 ó +1. La extensión del uso de los imaginarios ha conducido a los números complejos de la forma: a + ib, donde a y b son números reales (para distinguirlos de ios imaginarios). Así: 3 + 4í; 1 - 7í; 2 + 3i, son ejemplos de números complejos. El enormemente fecundo campo de la teoría de funciones es consecuencia directa del desarrollo de los números complejos. Si bien éste es un tema demasiado técnico y especializado, tendremos ocasión de mencionar de nuevo los números complejos cuando expliquemos la representación geométrica de los imaginarios. C o n ese fin. debemos ocuparnos por un momento de esa idea matemática que, como dijo Boltzmann en cierta ocasión, parece casi más inteligente que el hombre que la inventó: la ciencia de la Geometría Analítica.

99

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

PIE (.7,

La música descriptiva se distingue de la música absoluta, la cual debe su coherencia a la estructura, en que el propósito de la primera es narrar un determinado argumento. En cierto sentido, la geometría analítica puede distinguirse de la geometría de los griegos, del mismo m o d o en que la música descriptiva se distingue de la música absoluta. La geometría, práctica en sus orígenes, fue cultivada y desarrollada por amor a ella misma, c o m o disciplina lógica y c o m o estudio de las formas. La geometría era una manifestación del esfuerzo por lograr un ideal. Los cuerpos y las formas que eran estudiados ansiosamente. Pero los griegos cultivaron lo práctico solamente hasta donde era compatible con lo hermoso; más allá de ello, sus matemáticas se vieron trabadas por su estética. Se dejó a Descartes la tarea de escribir la música descriptiva de las matemáticas, de inventar una geometría que relatara una narración. Cuando se dice que toda ecuación algebraica tiene un retrato, estamos describiendo la relación existente entre la geometría analítica y el álgebra. Y así c o m o la música descriptiva es tan importante y significativa en sí misma c o m o el cuento que representa, así la geometría analítica tiene su propia dignidad e importancia —es una disciplina matemática autónoma.

Y'

m

»• 1 ?•

•^ w

i 1 m'

l R

X

Eje*

X'

Y

Fig. 20.

100

TRASCENDENTES E IMAGINARIOS

dio. por lo menos, un fruto notable. La geometría analítica vino a él una mañana mientras estaba acostado plácidamente. Es portentosa esta idea de una geometría con coordenadas y, sin embargo, tan fácil de comprender. Considérense dos rectas (ejes) en un plano: x x ' , yy' que se cortan formando ángulos rectos en un punto R. Cualquier punto en todo el plano puede entonces determinarse, de una manera única, por su distancia perpendicular a las rectas xx' y yy'. El punto P por ejemplo, por las distancias m y m ' . De este m o d o , un par de números que representan a los valores de las distancias con respecto a xx' y yy' determinan cada punto en el plano y. recíprocamente, cada punto del plano determina un par de números. Estos números se denominan las coordenadas del punto. Todas las distancias sobre xx' medidas a la derecha de R son consideradas positivas y a la izquierda de R, negativas. Análogamente, todas las distancias medidas sobre yy' por

Los padres jesuítas eran, a menudo, muy sensatos. En su escuela situada en La Fléche. permitieron al joven René Descartes, a causa de su delicada salud, quedarse en la cama todas las mañanas hasta mediodía. N o es difícil imaginarse lo que McGuffey* habría profetizado sobre el futuro de semejante niño. Pero Descartes no resultó un perdido. En efecto, su delicioso hábito de permanecer en cama hasta mediodía, * William Holmes McGuffey (1800-1873). educador norteamericano

0)

El punto P tiene las coordenadas (m, m').

fN. del Tj

101

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

PIE ( j i . /. e)

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)

TRASCENDENTES E IMAGINARIOS

y están relacionadas funcionalmente, a cada valor de x le corresponde un valor de y, y estos dos valores determinan la posición de un punto en el plano. La totalidad de dichos pares de números, es decir, de todos los valores de y que corresponden a todos los valores de x, cuando se unen mediante una curva continua, c o m o la figura 22 (a, b, c), determinan el retrato geométrico de una ecuación. Empleando la geometría analítica, ¿cómo representamos un número imaginario tal c o m o y/ - 1 ? Un teorema de geometría elemental, referente a la media geométrica, nos da la clave (véase la fig. 23). En el triángulo rectángulo ABC, la perpendicular AD divide a BC en dos partes B D , DC. La longitud de la perpendicular AD es igual a y/BD x D C y se denomina la media geométrica entre BD y DC (fig. 23). U n agrimensor noruego, Wessel, y un tenedor de libros

4* 44y

Fig. 21.

Los ejes de coordenadas en el plano real.

encima de R son positivas y por debajo, negativas. El punto de intersección, el origen, queda determinado por las coordenadas (0, 0). E! convenio para la escritura de las coordenadas consiste en poner primero la distancia desde el eje yy' (es decir, la distancia a lo largo del eje xx') y en segundo lugar, la distancia desde el eje x x ' a lo largo del eje y y ' ; por ejemplo: (0, 0), (4, 3), ( - 1 , 5), (6, 0). (0, 6), ( - 5 , - 6 ) , (3, - 3 ) , ( - 8 , 0), (0, - 8 ) son las coordenadas de los puntos indicados en la figura 21. Relacionando esta noción con la de una función no es difícil de ver c ó m o puede representarse gráficamente una ecuación en el plano de la geometría analítica. Cuando x y

102

Y'

Fig. 22(a).

Representación gráfica de la ecuación, y = x2.

103

MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

PIE (.7.

A

Y'

Fig. 23. y DC. Fig. 22(b). Representación gráfica de la ecuación y = sen x. Ésta es la famosa curva ondulada que se emplea para representar muchos fenómenos periódicos y regulares, por ejemplo, la corriente eléctrica, el movimiento de un péndulo, la radio transmisión, las ondas sonoras y luminosas, etc. (Para el significado de sen x, véase la nota 2 en el capítulo sobre el cálculo infinitesimal.)

e) T R A S C E N D E N T E S E I M A G I N A R I O S

Longitud AD = yBD

x DC

= media geométrica de BD

parisiense, Argand, a fines del siglo XVIII y comienzos del XIX, descubrieron, independientemente, que los números imaginarios podían representarse aplicando este teorema. En la figura 24 la distancia S, desde el origen R hasta + 1 , es la me-

r

Fig. 22(c). Representación gráfica de la ecuación: y = e\ Esta curva muestra la propiedad común a todos los fenómenos de crecimiento: la razón de crecimiento es proporcional al estado de crecimiento.

104

Fig. 24.

Interpretación geométrica de /'.

105

MATEMATICAS E IMAGINACION

PIE (.7. /, e)

día geométrica del triángulo de lados L y L ' . y la base formada por aquella parte del eje xx' que va de - 1 a +1. Luego. S = V (-1) • ( + 1 )

r

-•= \ \ -

1 = i.

Así pues, tenemos ya una representación geométrica de un número imaginario Extendiendo esta idea, Gauss formó todo el plano complejo. En éste, cada punto representado por un número complejo de la forma x + iy corresponde al punto del plano determinado por las coordenadas x y y. En otras palabras, un número complejo puede ser considerado como un par de números reales, con el agregado del número i. El uso de i aparece solamente al efectuar las operaciones de multiplicación y división. Imagínese una recta que una el punto (a + ib) con el origen R. Entonces la operación de multiplicar por - 1 es

equivalente a hacer girar esa línea en 180". alrededor del origen y a un cambio de posición del punto desde ( + a 4- ib) hasta (-o - ib) El efecto de multiplicar un número por i es tal que cuando se realiza dos veces, se obtiene r . lo cual es equivalente a la multiplicación por - 1 . Por lo tanto, la multiplicación por i es una rotación de sólo 90". Los números complejos pueden ser sumados, restados, multiplicados y divididos c o m o si fuesen números reales Las reglas formales de estas operaciones (la más interesante de las cuales es la sustitución de - 1 por r ) se indican en los ejemplos que van a continuación: (1) (2) (3) (4) (5)

Sea P = (a + ib). Entonces, P x / = (a + ib) x i = (a x i) +(b x /' x i) = ia + b • -1 = -b + ia =

106

O.

TRASCENDENTES E IMAGINARIOS

x + (x + (x + (x +

iy - x' + iy' si y solamente si x = x ' y y = y' iy) + (x' + iy') = (x + x') + i(y + y') íy) - (x' + iy') = (x - x') + i(y - y') iy) (x' + iy') = (xx' - yy') + i(xy' + yx') xx' + yy' yx' - xy' (x + iy)/(x' + iy') = ( x T + (y')2

'

(xT + ( y f .

La figura 26 muestra los mismos puntos que en el plano dado en la figura 21 excepto que. para las coordenadas x y y de cada punto, hemos sustituido el número complejo correspondiente x + iy. En virtud de las propiedades especiales de i, los números complejos pueden emplearse para representar, a un mismo tiempo, magnitud y dirección. Mediante ellos pueden representarse convenientemente algunas de las nociones más importantes de la física, tales como velocidad, fuerza, aceleración, etc. Ya se ha dicho bastante para indicar la naturaleza de i, su finalidad e importancia en las matemáticas, su desafío y su victoria final sobre los principios arraigados del sentido común. Sin arredrarse ante su paradójica apariencia, los mate107

PIE ( * , /, 9) T R A S C E N D E N T E S E I M A G I N A R I O S

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

(0*6l) = 6i

(-'•so

S

4 3

o (4*3i)

2

1 O-*

6 -7 - 6

-5

-4

-3

-2

(-8*01)

-1

(O+OOO ' fttop *6 • 1 *2 >3 *4 *5 *6 *7

-1 . -2

•3

« (-6-5Í.)

o(3-31)

-5

-6 Fig. 26.

cada uno de ellos tiene su propio significado. Aunque era conocida hacía más de un siglo, la fórmula de De Moivre llegó como una revelación a Benjamín Peirce, uno de los matemáticos más sobresalientes de la Universidad de Harvard en el siglo XIX Habiéndola descubierto un día, se dirigió a sus alumnos e hizo una observación que suple en calidad dramática y reconocimiento lo que pudiera faltarle en erudición y pedantería: "Caballeros", dijo, "esto es sin duda cierto, es absolutamente paradójico, no podemos comprenderlo, y no sabemos lo que significa, pero lo hemos demostrado y, por lo tanto, sabemos que debe ser verdad". Cuando haya tanta humildad y tanta visión en todas partes. la sociedad será gobernada por la ciencia y no por los sabihondos.

El plano complejo

APÉNDICE máticos le usaron tal como lo habían hecho con n y e. El resultado fue el hacer posible la construcción de casi todo el edificio de la ciencia física moderna*.

Falta una cosa. Hay una famosa fórmula —quizá la más breve y famosa de todas las fórmulas— desarrollada por Euler en base a un descubrimiento del matemático francés, De a Moivre: e + 1 = 0 . Elegante, concisa y llena de significado, solamente podemos reproducirla sin detenemos a investigar sus complicaciones. Llama la atención tanto al místico como al hombre de ciencia, al filósofo como al matemático. Para * D e m o s este bálsamo al lector q u e nos ha a c o m p a ñ a d o tan v a l i e n t e m e n t e a través de las páginas sobre g e o m e t r í a analítica y n ú m e r o s c o m p l e j o s . El p r o m e d i o de d u r a c i ó n de un curso escolar de g e o m e t r í a analítica (sin incluir n ú m e r o s c o m p l e j o s ) es de seis meses. Es. por lo t a n t o , p r e t e n d e r d e m a s i a d o que p u e d a aprenderse en casi c i n c o páginas Por otra parte, si se ha fijado ia idea básica de q u e t o d o n ú m e r o , toda ecuación de álgebra, p u e d e n representarse gráficamente, los detalles h o m p i l a n t e s p u e d e n dejarse a a v e n t u r e r o s más intrépidos.

108

Nacimiento de una curva 1. Consideremos la ecuación y = x 2 . Tomemos unos pocos valores de prueba para x y hallemos los correspondientes valores de y, disponiendo los resultados en una tabla:

2

X

y

0 1 2 3 4

0 i 4 9 16

2

Es decir: 2 = 4, 3 = 9, etc. Representando estos puntos en el plano cartesiano, obtenemos la figura A. 109

PIE (.7. /. e> T R A S C E N D E N T E S E I M A G I N A R I O S

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

15

>0

"i

2

I • o . í1

1

h—H

hx

-2

•3 •4

Fig. A X

15

i

10

2,3 2,7

5

•

Fig. B

2. Ahora, ¿qué hacemos con respecto a los valores negativos de x? Vemos por ejemplo (-2) z = (-2) x (-2) = 4. Esto es evidentemente cierto para todos los valores de x. de manera que a cada punto representado en la figura A, corresponde otro punto que es su imagen especular, siendo el espejo el eje OV. Agregando éstos sale la figura B.

110

y 1

4 21 5,29 7,29

3. La disposición de los puntos sugiere que dibujemos una curva lisa que pase por ellos (fig. C). Pero, ¿contiene esta curva a otros puntos que aparecen en nuestra tabla funcional? Probémoslo, tabulando algunos valores fraccionarios de x. Si graficamos estos nuevos puntos podrá verse que todos ellos pertenecen a la curva (fig. D). En efecto, si continuásemos así, encontraríamos que todo punto que pueda aparecer en la tabla pertenecerá a la curva. La totalidad de dichos puntos formará la curva conocida con el nombre de parábola.

111

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

PIE (.7. . e l

TRASCENDENTES E IMAGINARIOS

Fig. E. Se puede formar una parábola con una linterna sosteniéndola de modo que el límite superior del haz luminoso sea paralelo al piso. Un chorro de agua forma una parábola lo mismo que la trayectoria de un proyectil. Pero la curva formada po un trozo de cuerda, sostenida por sus extremos y que cuelga libremente, no es una parábola sino una catenaria. NOTAS DE ESTE CAPÍTULO 1 H e n r i B e r g s o n , Evolución Creadora. Página 6 7 2 Es m u y sencillo d e t e r m i n a r g e o m é t r i c a m e n t e la rai2 c u a d r a d a de una l o n g i t u d d a d a Página 6 9

La parábola está formada por la sección de un cono cortado un plano paralelo a la generatriz opuesta.

112

Fig. 27. Sea AB la longitud dada. Extiéndasela hasta C d e manera que BC = 1. Trácese un semicírculo cuyo diámetro sea AC. Levántese una perpendicular por B, la cual cortará al semicírculo en D - El segmento BD es la raíz cuadrada de L requerida.

113

MATEMATICAS E IMAGINACION

PIE ( t

•i Gauss hizo un estudio c o m p l e t o para d e t e r m i n a r q u é otros p o l í g o n o s p o d í a n construirse c o n regla y c o m p á s Los gnegos h a b í a n p o d i d o construir p o l í g o n o s regulares de 3 y de 5 lados pero no los de 7 de 1 1 ó de 13 lados Gauss c o n maravillosa p r e c o c i d a d dio la f ó r m u l a q u e d e m o s t r ó cuáles p o l í g o n o s se p o d í a n construir de la m a n e r a clásica Se había c r e í d o q u e sólo p o d í a n construirse asi los p o l í g o n o s regulares c u y o n ú m e r o de lados p o d í a expresarse c o m o 2" X x 3 . 2" x 5 . 2' * 15 (donde n es un n ú m e r o entero) La f ó r m u l a de Gauss demuestra q u e los p o l í g o n o s c o n ur. numero pnmo de lados p u e d e n construirse de la siguiente m a n e r a Sean P e í n ú m e r o de lados y n cualquier n ú m e r o e n t e r o hasta 4 luego* P - 2: - 1 Si n - 0. 1 2. 3. 4 . P = 3 5 17 2 5 7 6 5 5 3 7 D o n d e n es m a y o r q u e 4 no hay n ú m e r o s p n m o s c o n o c i d o s de la f o r m a 2 ' + 1 (Un numero primo es a q u e l q u e sólo es divisible por si m i s m o o por el u n o D e este m o d o . 2. 3. 5. 7. 11. 13 y 17 son e j e m p l o s de n ú m e r o s p r i m o s Una famosa p r u e b a de Euclides. q u e aparece en sus Elementos demuestra q u e el n ú m e r o de n ú m e r o s p n m o s es infinito. (Véase nota n.* 2 1 del c a p í t u l o V.) Es un h e c h o v e r d a d e r a m e n t e s o r p r e n d e n t e q u e de t o d o s los p o l í g o n o s posibles c u y o n u m e r o de lados es u n n ú m e r o p r i m o , s o l a m e n t e los cinco ya i n d i c a d o s p u e d e n construirse c o n regla y c o m p á s Página 7 1 , 4 V e r c a p í t u l o V Página 71. 5 H a c e m u c h í s i m o t i e m p o , en el a ñ o 1775. la A c a d e m i a de París estaba tan a b r u m a da c o n p r e t e n d i d a s soluciones de la cuadratura del círculo, de la tnsección del á n g u l o y de la d u p l i c a c i ó n del c u b o , q u e a p r o b ó una r e s o l u c i ó n p r o h i b i e n d o , para lo sucesivo, la acept a c i ó n de las mismas. Pero en esa é p o c a sólo se sospechaba la i m p o s i b i l i d a d de estas soluciones. p u e s a ú n n o se la había d e m o s t r a d o m a t e m á t i c a m e n t e ; de este m o d o , el arbitrario p r o c e d e r de la A c a d e m i a sólo p u e d e explicarse en base a su p r o p i a c o n s e r v a c i ó n . Página 71. 6 Para calcular Jt se e m p l e a r o n , c o m o p r o n t o v e r e m o s , procesos de límites y de convergencia c o n un infinito n ú m e r o de pasos. Página 72. 7 Véase el capítulo sobre el C á l c u l o infinitesimal. Página 7 2 . 8 L a m a y o r parte de las series infinitas son divergentes, es decir, la suma de la serie supera a cualquier n ú m e r o entero p r e f i j a d o Una típica sene d i v e r g e n t e es: 1 + —

+ —

4-

+ — + — + Esta serie parece diferir m u y p o c o de la sene c o n v e r g e n t e dada en el tex4 5 to. y ú n i c a m e n t e las más sutiles o p e r a c i o n e s matemáticas revelan si u n a serie es convergente o divergente. Página 72. 9. P u e d e duplicarse u n c u a d r a d o d i b u j a n d o o t r o c u a d r a d o c u y o lado sea la d i a g o n a l d e l p r i m e r o , p e r o no p u e d e duplicarse u n c u b o , p o r q u e esta o p e r a c i ó n i n v o l u c r a la raíz cúbica de 2. y ésta, al igual q u e TI. no es raíz de u n a e c u a c i ó n algebraica de p n m e r o o s e g u n d o g r a d o y. p o r lo tanto, n o p u e d e construirse c o n regla y compás. En el espacio de cuatro dimensiones, la figura q u e c o r r e s p o n d e al c u b o , l l a m a d a " t e s s e r a c f (v. cap. IV). puede, duplicarse c o n regla y compás, p o r q u e la raíz cuarta de 2. q u e es la q u e se requiere, p u e d e escribirse c o m o la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 2, Página 74. 10. ¿Qué significa "la raíz de u n a e c u a c i ó n algebraica c o n coeficientes enteros ? Una palabra es suficiente para estimular la m e m o r i a de aquellos q u e h a n pasado p o r u n curso de álgebra e l e m e n t a l . L a raíz de una e c u a c i ó n es el valor p o r el q u e d e b e sustituirse la incógnita a fin de satisfacer la ecuación. Así, en la e c u a c i ó n x - 9 = 0, la raíz es 9. ya q u e si usted reemplaza 9 en lugar de x, la e c u a c i ó n se satisface A n á l o g a m e n t e - 4 y 4 son las raíces de la ecuación- x 2 - 16 = 0. p o r q u e c u a n d o c u a l q u i e r a de los dos valores sustituye a x, la ecuac i ó n se c u m p l e . Las ecuaciones "algebraicas" constituyen el t i p o de ecuaciones de las que nos h e m o s o c u p a d o hasta ahora. P e r o hay t a m b i é n ecuaciones t n g o n o m é t r i c a s . diferenciales y otras El t é r m i n o "algebraico" tiene p o r finalidad distinguir ecuaciones de la formao s + aix"

1

-t- a¿x"

2

+

. - a,

¡x + a, = 0

Los coeficientes de u n a e c u a c i ó n son los n ú m e r o s q u e a p a r e c e n delante de la cantidad o cantidades desconocidas. En la e c u a c i ó n 3x* -f- 17x* -

114

V~2x* - íx * n = 0

/ ,->i T R A S C E N D E N T E S E I M A G I N A R I O S

> ] 7 \ 2 • v. .7 son los coeficientes Éste es un e j e m p l o de una e c u a c i ó n algebraica c o n .¿eficientes extraños. A l definir una e c u a c i ó n algebraica ív pág 50) se exige que n sea u n " ú r n e i o enien» p o s i t i v o v, que Id* a sean n ú m e r o s enteros Página 75. i l Véase el P r o b l e m a de la aguja, de B u f f o n en el c a p í t u l o V i l Página 8 2 La \ 2 u a n d o se escribe en forma d e c i m a l es tan c o m p l i c a d a c o m o .I. d e b i d o a _jae nunca se repite n u n c a t e r m i n a y no existe ley c o n o c i d a q u e i n d i q u e la sucesión de sus iígiíos sin e m b a r g o este c o m p l i c a d o decimal p u e d e obtenerse fácilmente y c o n exactitud m e d i a n t e una c o n s t r u c c i ó n hecha c o n regla y c o m p á s pues es la d i a g o n a l de un c u a d r a d o . avo lado es igua! a la u n i d a d . Página 8 3 , 13 Jobst B u r g i . de Praga había p r e p a r a d o tablas de l o g a n t m o s antes q u e apareciese - i o b r a D e s c n p t i o de N a p i e r Sin e m b a r g o recién en 1620. B u r g i p u b l i c ó son tablas pues. ei m i s m o io explicó se hallaba o c u p a d o en la s o l u c i ó n de o t r o p r o b l e m a Página 8 4 14 De a c u e r d o al p r i n c i p i o de la n o t a c i ó n p o s i c i o n a l el valor de un dígito d e p e n d e de - i p o s i c i ó n c o n relación a los otros dígitos d e l n u m e r o en el cual aparece Página 8 4 )r> Las reglas para o p e r a r c o n e x p o n e n t e s en la m u l t i p l i c a c i ó n v en la división son A

Multiplicación

y

a

' " asi o > a = o - a o. * a~ - (a a a) x {a

a a' B

a" -= o

a) = a

Diuisíón

a

- a

a a

a'

- a

—Q

Pero si m es igual a r\ = a" = ? a V* — a' a

=0 _

— —

«

=- a

;

-

.\ f

pí x é x ¿

-

— 1

a* fí x ¡t x fá Por lo tanto, c o n v e n i m o s e n q u e a

= 1 Página 8 6

16 D e b i d o a q u e e posee ciertas p r o p i e d a d e s únicas, valiosas e n m u c h a s ramas de las matemáticas, p a r t i c u l a r m e n t e en el cálculo, d e b i d o a la relación existente entre las f u n c i o n e s logarítmicas y las exponenciales, s es la base "natural" del sistema l o g a r í t m i c o Página 8 8 i 7 La p n m e r a d e m o s t r a c i ó n de q u e e es trascendente (es decir, q u e no es la raíz de J n a e c u a c i ó n algebraica c o n coeficientes enteros) fue dada por H e r m i t e , el d i s t i n g u i d o m a t e m á t i c o francés, e n 1873. n u e v e años antes de q u e L i n d e m a n n demostrara el carácter trasc e n d e n t e de rr Desde entonces, otros m a t e m á t i c o s l o g r a r o n simplificar la d e m o s t r a c i ó n de H e r m i t e . El m é t o d o general consiste e n " s u p o n e r q u e e sea la raíz de una e c u a c i ó n algebraica. fie) = 0 y demostrar q u e p u e d e elegirse u n factor M tal que. c u a n d o cada m i e m b r o de la e c u a c i ó n se m u l t i p l i c a p o r M (el valor de) Mfie) q u e d a r e d u c i d o a ta suma de u n núm e r o entero d i s t i n t o de cero y u n n ú m e r o c o m p r e n d i d o entre 1 y 0. d e m o s t r a n d o q u e la sup o s i c i ó n de q u e e p u e d e ser la raíz de una e c u a c i ó n algebraica es insostenible" Véase U Mitchel) a n d M Strain. en Os/ris. Studies m History oj Science v o l l Página 8 8

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

18 El s í m b o l o ' tal c o m o se usa en matematicas n o indica sorpresa o e x c i t a c i ó n , aunque e n este caso no estaría fuera de lugar ya q u e la s i m p l i c i d a d y belleza de esta sene es s o r p r e n d e n t e ' significa " t o m a r el factonal del n u m e r o detrás del cual aparece ' El factonal de u n n u m e r o es el p r o d u c t o de sus c o m p o n e n t e s , asi 11 — 1 2 ' - 1 y 2. 3! ~ 1 * 2 x 3. 4 1 = 1 x 2 x 3 x 4 Página 8 8 19 En realidad sólo es necesano q u e n sea igual a 1 0 0 0 (esto es. el interés se caicuia tres veces p o r día) para dar $ 2 . 7 2 Página 9 1 20 La d e n v a d a de y - e" es igual a la f u n c i ó n m i s m a Para una discusión más c o m p l e t a de la derivada y de los p r o b l e m a s q u e i m p l i c a n razón de c r e c i m i e n t o véase el c a p í t u l o sobre C á l c u l o Pagina 9 2 21 Ornar K h a y y á m . además de ser el autor del usado " R u b á i y á t ' fue t a m b i é n un dist i n g u i d o m a t e m á t i c o , pero su visión fracasó para los n ú m e r o s negativos Página 9 5 22 Traducido en Dantzig. Number. the Lenguaje o/ Science ( N e w Y o r k . Macmillan). 1933* p 190 Página 9 7 23 En una o p o r t u n i d a d se s u g i n ó q u e los s í m b o l o s a d e c u a d o s para las constantes, e e í d e b e r í a n ser ^ para e. y - para i a fin de evitar contusiones Pero los i m p r e s o r e s se resistieron a hacer los n u e v o s tipos y los viejos s í m b o l o s p r e v a l e c i e r o n Más a m e n u d o de lo q u e p u d i e r a creerse consideraciones de esa naturaleza d e t e r m i n a r o n el carácter de la notac i ó n m a t e m a t i c a Página 9 8

IV. OTRAS GEOMETRIAS: EL PLANO Y LA FANTASÍA

Dicen que el hábito es la segunda sabe si la naturaleza es sólo el primer

naturaleza. hábito?

¿Quién

PASCAL

Entre nuestras más caras convicciones, ningunas tan preciosas c o m o nuestras creencias acerca del espacio y del tiempo. Ningunas, sin embargo, más difíciles de explicar. El pez parlante del cuento de los hermanos G r i m m se habría visto en grandes dificultades para explicar cómo se sentía al estar continuamente mojado, no habiendo experimentado nunca el placer de estar seco. Nosotros tenemos dificultades análogas al hablar del espacio, por no saber qué es ni cómo sería no estar en él. El espacio y el tiempo son "demasiado nuestros" para desprendemos de ellos y describirlos objetivamente. "Porque, ¿qué es el tiempo?", preguntaba san Agustín. "¿Quién puede explicarlo fácil y brevemente? ¿Quién, aun con el pensamiento, puede concebirlo, aun pronunciando una palabra referente a él 9 Pues, ¿a qué cosa, en el habla, nos referimos más familiarmente y con conocimiento de causa que al tiempo? Y por cierto que lo entendemos al hablar de él; lo comprendemos también cuando oímos que otro habla de él. Entonces, ¿qué es el tiempo? Si nadie me lo pre117

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

gunta, lo sé. Si deseo explicarlo a quien me lo pregunta, no lo sé Y esto también podría decirse del espacio. Aunque el espacio no puede ser definido, hay poca dificultad para medir distancias y superficies, para desplazarse, para hacer cartografías de grandes extensiones, o en ver a través de millones de años luz. Por todas partes está la abrumadora evidencia de que el espacio es nuestro medio natural, que no nos presenta problemas insuperables. Pero este libro no pretende ser un tratado filosófico, ni tampoco un Manual de Introducción a la Teoría del Espacio, escrito en alemán en 14 volúmenes. Nuestro propósito consiste en explicar de la manera más sencilla y general, no el espacio físico que perciben nuestros sentidos, sino el espacio del matemático. A tal fin, todas las nociones preconcebidas deben desecharse y aprender de nuevo el alfabeto. En este capítulo nos proponemos discutir dos clases de geometrías: las de cuatro dimensiones y las no-euclidianas. Ninguno de estos temas va más allá de la comprensión del no matemático que esté dispuesto a realizar un razonamiento correcto. Es verdad que ambos temas han sido descritos, c o m o la teoría de la relatividad (con la que en cierto m o d o se relacionan) en forma de un arrogante espantajo. Los sumos sacerdotes de toda profesión idean complicados rituales y lenguaje oscuro, tanto para ocultar su propia inepcia c o m o para infundir terror a los no iniciados. Pero la corrupción del clero no debe desanimarnos. Las ideas básicas sobre las que se fundan las geometrías de cuatro dimensiones y no euclidianas son sencillas y esto es lo que nos proponemos demostrar. Euclides, al escribir los Elementos, no tropezó con grandes obstáculos. Partiendo de ciertas ideas fundamentales (presumiblemente entendidas por todos) y que expresó c o m o 118

OTRAS GFOMFTRIAS

EL P L A N O Y [.A F A N T A S I A

postulados y axiomas, creó su geometría sobre ellas, utilizándolas c o m o cimientos Este método, ideal para desarrollar un sistema lógico, jamás ha sido mejorado, aunque a veces ha sido descuidado u olvidado, con tristes consecuencias. Si bien los Elementos de Euclides constituyen una importante realización intelectual, tienen el defecto de no hacer una importante distinción entre dos tipos de matemáticas —puras y aplicadas—. distinción que sólo ha salido a la luz en los modernos desarrollos teóricos en las matemáticas, la lógica y la física. Una geometría que trate del espacio de nuestra experiencia, es matemática aplicada. Si nada dice de ese espacio, si. en otras palabras, es un sistema compuesto de nociones abstractas, elementos y clases, con reglas de combinación que obedecen a las leyes de la lógica formal, es matemática pura. Sus proposiciones son de la forma: "Si A es cierto, entonces B es cierto", haciendo caso omiso de lo que A y B puedan ser'. Si fuese aplicable al m u n d o físico un sistema de matemáticas puras, el provecho que se obtuviera podría ser considerado. ya como simple casualidad, ya c o m o prueba más amplia de la profunda conexión existente entre las formas de la naturaleza y las de las matemáticas. Sin embargo, en cualquiera de los dos casos debe tenerse presente este hecho esencial, a saber, que la fecundidad de un sistema lógico ni aumenta ni disminuye su validez. C o m o matemática aplicada, la geometría de Euclides es una buena aproximación dentro de un campo restringido. Suficientemente buena para dibujar un plano de Madrid; deja de serlo para un mapa de España o de Europa, o para la medida de las distancias atómicas o estelares. C o m o sistema de matemáticas puras, sus proposiciones son verdaderas en el sentido más general. Es decir, tienen validez únicamente c o m o proposiciones lógicas, si han sido deducidas correctamente de los axiomas. Son. por lo tanto, posibles, otras

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geometrías con postulados diferentes —en realidad tantas c o m o al matemático se le ocurra idear Todo lo que se necesita es reunir ciertas ideas fundamentales (clases, elementos, reglas de combinación), declarar los conceptos indefinibles, garantizar que los axiomas no se contradicen, y se habrán fundado los cimientos para un nuevo edificio: una nueva geometría. Al matemático puro no le importa un ápice si esta nueva geometría será provechosa, si resultará ser tan útil para el agrimensor o el navegante c o m o la geometría euclidiana, o si sus ideas fundamentales están a la altura de cualquier otra norma de verdad que no sea la compatibilidad consigo misma. El matemático es el sastre de la clase media de la ciencia. Confecciona los trajes, y a quienes les queden bien, que los usen. Dicho en otras palabras: el matemático hace las reglas del juego y quien lo desee puede jugar mientras las observe. N o tiene derecho a quejarse luego alegando que el juego no le haya dejado utilidades.

Si deseamos hacer el máximo cumplido a un sistema matemático, expresar que participa de la misma generalidad y de la misma validez que la lógica, podemos llamarlo "juego". Una geometría de cuatro dimensiones es un juego, c o m o también lo es la Geometría de Euclides. Poner reparos a la geometría de cuatro dimensiones basándose en que solamente hay tres dimensiones, es absurdo. El ajedrez puede ser jugado tanto por quienes creen en camaradas o dictadores, c o m o quienes se adhieren a la gloria, languideciente, de reyes y reinas. ¿Qué sentido tiene, pues, oponer reparos al ajedrez fundándose en que reyes y reinas pertenecen a épocas pasadas y que, sea c o m o fuere, nunca se comportaron c o m o piezas de ajedrez —no, ni siquiera los obispos*? ¿Qué • J u e g o de palabras con el d o b l e significado de bishop. indistintamente. (N del T)

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q u e quiere decir alfil u obispo,

EL P L A N O V LA F A N T A S I A

valor tiene entonces el argumento de que el ajedrez es un juego ilógico, porque es imposible concebir que un ciudadano cualquiera pueda ser coronado reina por el solo hecho de avanzar cinco pasos? Tal vez éstos son ejemplos ridículos, pero no lo son más que las exigencias del pusilánime que dice que las tres dimensiones hacen el espacio y que el espacio hace las tres dimensiones, "eso es todo lo que vosotros sabéis sobre la Tierra y todo cuanto necesitáis saber". Porque no hay demostración. de carácter científico, de que el espacio sea de tres dimensiones o, para el caso, de cuatro, cinco, seis o de n dimensiones. La geometría considerada como matemática pura no puede demostrar que el espacio sea de tres dimensiones porque a la matemática pura sólo le interesa su coherencia lógica interna, y no su compatibilidad con el espacio o cualquier otra cosa. Ni tampoco es esta cuestión de la incumbencia de las matemáticas aplicadas, que generalmente no investigan la naturaleza del espacio, sino que suponen su existencia. T o d o cuanto hemos aprendido de las matemáticas aplicadas es: resulta conveniente, pero no obligatorio, considerar al espacio de nuestra percepción sensorial c o m o de tres dimensiones. Al reparo de que una cuarta dimensión está más allá de la imaginación, podemos responder que lo que hoy es sentido común, ayer era razonamiento abstruso —más aún, especulación descabellada. Para que el hombre primitivo imaginara la rueda o un vidrio de ventana, se hubieran requerido mayores esfuerzos de imaginación que para nosotros concebir una cuarta dimensión. Alguien podría todavía aducir: "Usted me dice que la geometría de cuatro dimensiones es un juego. Quiero creerlo. Pero parece ser un juego al que no le interesa nada real, sino algo que jamás he experimentado." Le responderíamos a la manera socrática, con otra pregunta: "Si una geometría

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

de cuatro dimensiones no trata de nada real, entonces ¿qué estudia la geometría plana de Euclides? ¿Algo más real? ¡Por cierto que no! N o describe el espacio accesible a nuestros sentidos, que explicamos en términos de vista y tacto. Habla de puntos que no tienen dimensión, de línea que no tiene anchura y de planos que carecen de espesor —abstracciones e idealizaciones todas ellas que en nada se parecen a cuanto hemos experimentado o encontrado.

La noción de una cuarta dimensión, aunque precisa, es m u y abstracta y, para la gran mayoría, está más allá de la imaginación y en la región más pura del conocimiento. El desarrollo de esta idea es debido, en mucho, a nuestro relativamente pueril deseo de compatibilidad que a algo más profundo. En este mismo empeño por la compatibilidad y la generalidad, los matemáticos crearon los números negativos, los imaginarios y los trascendentes. Sin embargo, nadie había visto nunca menos tres vacas o la raíz cuadrada de menos un árbol, y no fue sin lucha c o m o estos conceptos, hoy más bien vulgares, fueron introducidos en las matemáticas. El mismo conflicto se repitió para introducir la cuarta dimensión y todavía quedan escépticos en el campo de la oposición. Se propusieron todas las alegorías y ficciones posibles para instar y halagar a los que dudaban, a fin de hacer más aceptable la idea de una cuarta dimensión. H u b o novelas que describían cuán imposible parecía un m u n d o de tres dimensiones a seres que vivieran en un m u n d o de dos dimensiones, hubo cuentos de aparecidos, de golpecitos en la mesa y del país de los muertos. Para ganar siquiera una victoria parcial hacían falta ejemplos de la tierra de los vivos, que eran, todavía, menos comprensibles que una cuarta dimensión. De esto no debe inferirse que se adoptó un absurdo mayor para sostener otro menor.

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OTRAS GEOMETRIAS

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Comenzando, c o m o es usual, con Aristóteles, se demostró muchas veces que una cuarta dimensión era inconcebible e imposible. T o l o m e o señaló que podían trazarse en el espacio tres rectas perpendiculares entre sí. pero una cuarta recta, perpendicular a ellas, carecería de medida o profundidad. Otros matemáticos, no deseando arriesgarse a cometer una herejía mayor aún que la de ir contra la Biblia —esto es. contradecir a Euclides— advirtieron que ir más allá de las tres dimensiones equivalía a ir "contra la naturaleza". Y el matemático inglés John Wallis, de quien podría haberse esperado algo mejor, se refirió a esa "fantasía" de una cuarta dimensión, c o m o un "monstruo en la naturaleza, menos posible que una quimera o un centauro" Inconscientemente, un filósofo, Henry More, vino a redimirlo. aunque los matemáticos de hoy difícilmente reconocerían su ayuda. Su sugerencia no fue una bendición pura. Los espíritus de los aparecidos, dijo More, tienen, con toda seguridad, cuatro dimensiones. Pero Kant asestó un golpe terrenal al formular sus nociones intuitivas sobre el espacio, las cuales difícilmente podían ser compatibles, ni con una geometría de cuatro dimensiones ni con una no euclidiana. En el siglo XIX varios matemáticos sobresalientes defendieron esta causa en apariencia, perdida, y abrieron un nuevo manantial matemático. La gran m e m o n a de Riemann titulada Sobre las hipótesis que sustentan los fundamentos de la Geometría, conjuntamente con las obras de Cayley, Veronese, Móbius, Plücker. Sylvester, Bolyai. Grassmann, Lobachevsky, crearon una revolución en la geometría. La geometría de cuatro y de aún más dimensiones, llegó a ser una parte indispensable de las matemáticas, relacionadas con muchas otras ramas. Fue cuando finalmente llegaron a la física matemática, al m u n d o físico (por alguna razón misteriosa que nunca falta) los usos y aplicaciones directas de la geometría de cuatro di-

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mensiones cuando el niño abandonado fue de pronto reconocido y rebautizado. "¡El tiempo es la cuarta dimensión!" El gozo hizo rebosar la copa. Se dijeron cosas curiosas y maravillosas. La cuarta dimensión resolvería todos los tremendos misterios del Universo y, en última instancia, podría resultar una cura para la artritis. A tal punto se perdieron los matemáticos en el júbilo general, que algunos de ellos comenzaron a hablar de "/a cuarta dimensión", c o m o si en lugar de ser simplemente una idea salida de las puntas de sus lápices, sólo la cuarta en una clase de infinitas posibilidades, fuese una realidad física, c o m o un nuevo elemento. De este modo, una lamentable confusión se propagó desde las matemáticas hasta la gramática, desde los principios del 2 + 2 hasta la ciencia de los usos correctos del artículo definido e indefinido.

Los físicos pueden considerar que el tiempo es una cuarta dimensión, pero no así el matemático. El físico, c o m o otros hombres de ciencia, puede encontrar que su máquina más reciente tiene, precisamente, el lugar adecuado para algún nuevo artificio matemático; eso no le interesa al matemático. El físico puede apropiarse de nuevas partes para su máquina cambiante, todos los días, tomándolas de las matemáticas. Si se adaptan, el físico dice que son útiles, que son verdaderas, porque hay un lugar para ellas en el modelo de su m u n d o en preparación. Cuando ya no le sirven, puede descartarlas o "destruir toda la máquina y construir una nueva. del mismo m o d o que nosotros compramos un automóvil nuevo cuando el viejo deja de marchar bien" 3 . La costumbre de decir que el tiempo es una dimensión hace ver la necesidad de explicar qué significa esa impertinente palabra. De esta manera, también llegaremos a tener una imagen más clara de la geometría de cuatro dimensiones.

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OTRAS GFOMFTRÍAS

Et P L A N O Y I A F A N T A S I A

Fig. 28(a). Una variedad de dos dimensiones. Cada punto requiere un par de números para ser individualizado:

A = (3, 2)

C = (x, y) D = (0, - 3 ) E = (0, 0)

En lugar de referimos a "un espacio" o a "espacios", usaremos un término más general y más de moda: variedad4 Una variedad tiene una semejanza aproximada con un conjunto. Un plano es un conjunto compuesto por todos aquellos puntos determinados únicamente por dos coordenadas. Es. por lo tanto, una variedad de dos dimensiones. El espacio estudiado en la geometría analítica de tres dimensiones puede considerarse c o m o una variedad de tres dimensiones, porque se requieren exactamente tres coordenadas para fijar cada punto en él. Generalizando, si se nece sitan n números para especificar, para individualizar, cada uno de los miembros de una variedad, ya sea un espacio o cualquier otra clase, se les denomina una variedad de n dimensiones.

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Fig. 28(b). El mismo concepto puede hacerse extensivo a una variedad de tres dimensiones (espacio). Cada punto requiere tres números para ser individualizado. Así, P = (x, y, z).

De este modo, la palabra dimensión, con sus muchas connotaciones misteriosas e incrustaciones lingüísticas, ha sido sustituida por una idea sencilla —la de coordenada. Y en lugar de la palabra física espacio, el matemático introduce el concepto más general y más exacto, de clase o variedad.

Ahora es posible, c o m o consecuencia de estos refinamientos, introducir un concepto ya conocido desde nuestro estudio de la geometría analítica y que servirá para caracterizar de manera única las variedades del espacio. Para ello utilizaremos un razonamiento geométrico. El teorema de Pitágoras establece que, en un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. Cuando esto se traslada a la geometría analítica de dos dimensiones, resulta la conocida fórmula de acuerdo a la cual, la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano, de coordenadas (x, y) y (x' y'), respectivamente, es V ( x - x') 2 + (y - y') 2 .

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Fig. 29.

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•

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•

•

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El teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo 2 ¿ = a + b c 2

o sea

52 13

Fig. 30.

2

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_

y

+ 2

4?

12 + 5 2

El teorema de Pitágoras en tres dimensiones

d2 - a2 + b2 + c2

Pues: d2 = c2 + (e)2 2 2 2 y (e) = a + b

Análogamente, en la geometría analítica de tres dimen126

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OTRAS GEOMETRIAS

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cepto sobre una base enteramente distinta, no tiene la obligación de luchar con los límites de la imaginación, sino solamente con las limitaciones de sus facultades lógicas Por consiguiente, no hay razón para no generalizar la fórmula anterior a 4. 5. 6.. ó n dimensiones. De este modo, en una variedad euclidiana de cuatro dimensiones, la distancia de un elemento, por ejemplo, el punto de coordenadas (x. y. z. u). a otro elemento de coordenadas ( x \ y'. z \ u') es: V (x - x'Y + (y - y') 2 + (z - z'f (1)

Dos dimensiones.

(2)

+ (u - u'Y

Tres dimensiones

V (x - x') 2 4- (y - y') 2 + (z - z') 2

Este método nos permite definir, en términos de la geometría analítica, una variedad euclidiana de 2, 3. 4 .. ó n dimensiones. Una definición análoga puede darse para las variedades de otras geometrías, en cuyo caso se aplicaría alguna otra fórmula para la distancia. Hemos elegido la geometría analítica y tomado la fórmula pitagórica de la distancia para distinguir las variedades euclidianas. Uría definición abreviada de las variedades de tres y cuatro dimensiones, en términos de la geometría analítica, reza /^ asi .

Ahora bien, tanto en dos como en tres dimensiones el concepto de distancia, en la forma en que el matemático y el lego lo entienden, es el mismo. El lego queda satisfecho con un entendimiento intuitivo, el matemático exige una formulación exacta. Sin embargo, en las dimensiones superiores, mientras el lego queda detenido por un muro infranqueable —las limitaciones naturales de sus sentidos— el matemático escala esa pared utilizando su fórmula ampliada, como escalera. La distancia en cuatro dimensiones nada significa para el lego. Y es lógico que así sea. puesto que un espacio de cuatro dimensiones está totalmente fuera de la imaginación ordinaria. Pero el matemático, que asienta el con-

1. Una variedad euclidiana de tres dimensiones es el conjunto de todas las temas de números: (x, y. z) ( x \ y ' , z'), (x", y", z"), etc., a dos cualesquiera de las cuales puede asignarse de manera única una medida llamada distancia entre ellos, 2 definida por la fórmula: V ( x - x'Y + (y - y') + (z - z 7 ~ . Ciertos subconjuntos de este conjunto se denominan puntos, rectas, planos, etc. Los teoremas deducidos de estas definiciones constituyen un sistema matemático llamado "Geometría Analítica de Tres Dimensiones". 2. Una variedad euclidiana de cuatro dimensiones es la clase de todas las tetradas de números (x. y. z. u) (x\ y', z', U') (X", y", z". u"). etc.. a dos cualesquiera de las cuales puede

Fig. 31 (1) (2)

Distancia AB = V ( x - x') 2 + (y-y')2 Distancia AB = V ( x - x ' ) 2 + ( y - y') 2 + ( z - z')2

siones, la distancia entre dos puntos cualesquiera, de coordenadas (x, y, z), y ( x \ y ' , z') respectivamente, es:

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MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

OTRAS GEOMETRÍAS

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asignarse de manera única una medida (llamada distancia entre ellos), definida por la fórmula:

V ( x - x')2 + (y - y')2 + (z - z'Y + (u - u')2 Ciertas subclases de esta clase se denominan puntos, rectas, planos e hiperplanos. La geometría analítica euclidiana de cuatro dimensiones es el sistema formado por los teoremas que se deducen de estas definiciones. Nótese que nada se ha dicho, en ambas definiciones, acerca del espacio de nuestras percepciones sensoriales, ni del espacio del físico, ni el espacio del filósofo. T o d o cuanto hemos hecho es definir dos sistemas matemáticos que son lógicos y compatibles consigo mismos, que pueden ser jugados c o m o el juego de damas o las charadas, de acuerdo con reglas establecidas. Quienquiera que encuentre una semejanza entre su juego de damas o sus charadas y la realidad física de su experiencia tendrá el privilegio de extraer moralejas, y aprovechar sus sugerencias. Pero habiendo establecido que estamos en el reino de los conceptos puros, más allá de los límites más elásticos de la imaginación, ¿quién queda satisfecho? Incluso el matemático desearía dar un mordisco a la fruta prohibida, vislumbrar qué le parecería si pudiese, por un instante, introducirse en una cuarta dimensión. Para empeorar las cosas, los libros de ciencia popular han hecho todo tan ridiculamente simple —relatividad, la teoría cuántica, y tantas otras cosas— que estamos avergonzados de nuestra incapacidad para describir una cuarta dimensión c o m o algo más concreto que el tiempo. Se han intentado representaciones gráficas de figuras de cuatro dimensiones, pero no puede decirse que estos esfuerzos hayan sido coronados de éxito. La figura 31 representa

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el símil en cuatro dimensiones de un cubo de tres dimensiones. llamado hipercubo o tesseract: Nuestras dificultades para dibujar esta figura no están, en m o d o alguno, disminuidas por el hecho de que una figura de tres dimensiones puede dibujarse solamente en perspectiva sobre una superficie de dos dimensiones — c o m o esta página—, mientras que el objeto de cuatro dimensiones, sobre una página de dos dimensiones. es sólo una perspectiva de una "perspectiva". ¿ Sin embargo, ya que a es igual al área de un cuadrado. a el v o l u m e n de un cubo, presentimos que a 4 describe algo, cualquier cosa que sea. Sólo por analogía podemos razonar que ese "algo" es el hipervolumen (o contenido) de un hipercubo. Prosiguiendo nuestro razonamiento, deducimos que el hipercubo está limitado por 8 cubos, tiene 16 vértices. 24 caras y 32 aristas. Pero la representación de una imagen mental clara del hipercubo es otra historia. Afortunadamente, sin tener que recurrir a diagramas deformados. podemos valemos de otros medios, usando objetos familiares para ayudar a nuestra débil imaginación a representarse una cuarta dimensión.

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MATEMATICAS E IMAGINACION

Fig. 32

Los dos triángulos A y B de la figura 32 son exactamente iguales. Geométricamente, se dice que son congruentes*, queriendo significar que con un movimiento adecuado puede superponerse perfectamente uno de ellos sobre el otro. Evidentemente, ese movimiento puede llevarse a cabo en un plano, es decir, en dos dimensiones, deslizando simplemente el triángulo A sobre el B * * . Pero, ¿qué ocurriría con los triángulos C y D de la figura 33?

Uno de ellos es imagen reflejada del otro. Parecería que no hay razón alguna para que, haciendo deslizar o girar en el plano al triángulo C, no pueda éste superponerse a D. Y, * Para u n a d e f i n i c i ó n exacta, véase el c a p í t u l o sobre paradojas. " * En realidad, "deslizarse p o r e n c i m a d e " sería i m p o s i b l e en u n m u n d o de dos d i m e n siones

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OTRAS GEOMETRÍAS

EL P L A N O Y LA F A N T A S Í A

aunque resulte bastante extraño, esto no puede hacerse. C o D debe ser alzado del plano, de las dos dimensiones, llevado a un espacio de tres, para efectuar la superposición. Levante a C. voltéelo, póngalo de nuevo en el plano y entonces podrá ser deslizado sobre D. Luego, si para la solución de ciertos problemas en dos dimensiones es esencial una tercera dimensión, del mismo m o d o , una cuarta dimensión haría posible la solución de otros problemas insolubles en tres dimensiones. Por cierto que estamos en el reino de la fantasía y apenas necesitamos señalar que no existe una cuarta dimensión capaz de convertimos a todos en Houdinis. Sin embargo, en estudios teóricos, es de señalada importancia una cuarta dimensión y forma parte de la trama y urdimbre de la física y matemáticas teóricas modernas. Los ejemplos elegidos de estos temas son muy difíciles y estarían fuera de lugar, pero algunos más simples, en dimensiones menores, pueden resultar entretenidos. Si viviésemos en un m u n d o de dos dimensiones, c o m o el descrito tan gráficamente por Abbott en su famosa novela Flatland*, nuestra casa sería una figura plana, c o m o la de la figura 34. Entrando por la puerta A estaríamos a salvo de nuestros amigos y enemigos una vez cerrada la puerta, aun cuando no hubiese techo sobre nuestra cabeza y las paredes y las ventanas fuesen simplemente líneas. Para pasar por encima de estas líneas habría que salir del plano y entrar en una tercera dimensión y, por supuesto que nadie en un mundo de dos dimensiones estaría, para hacerlo, en condiciones mejores que lo estamos nosotros para escapar del interior de una caja fuerte, bajo llave, y colocada en una cueva, valiéndose de una cuarta dimensión. Un gato de tres dimensiones podría espiar a un ratón bidimensional, pero éste jamás lo advertiría. Q u e en este l i b r o se t r a d u j o c o m o Planilandia

(N. del R )

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OTRAS GEOMETRIAS

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

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Fig. 35

Las m a n o s de tres dimensiones son así: Fig. 34.

Fig. 36

y los guantes así:

Éste no es un plano, sino una casa real en Planilandia.

Cuando llega el invierno a Planilandia sus habitantes usan guantes. Hasta ahora la ciencia moderna no ha podido solucionar el problema que se le plantea al hombre que se encuentra con dos guantes de la mano derecha, en lugar de uno de la derecha y otro de la izquierda. El mismo problema existiría en Planilandia. Pero allí, Gulliver, mirando a sus habitantes desde la altura de una tercera dimensión, vería al instante, así c o m o en el caso de los dos triángulos de la figura 33. que todo lo que se necesita para convertir el guante derecho en uno izquierdo es levantarlo y darle vuelta. Por supuesto que nadie en Planilandia podría levantar un dedo para hacer eso mismo, puesto que ello implicaría una dimensión extra. Así pues, si nosotros pudiésemos ser transportados a una cuarta dimensión, no habría fin a la cantidad de milagros que podríamos realizar, empezando con la rehabilitación de todos los guantes mal apareados. Alce el guante derecho del espacio de tres dimensiones, llévelo hasta la cuarta dimensión. déle vuelta, tráigalo nuevamente, y hélo convertido en

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EL P L A N O Y LA F A N T A S I A

En Planolandia las manos tienen este aspecto:

Fig. 37

Fig. 38

un guante izquierdo. Ninguna celda podría encerrar al Gulliver de cuatro dimensiones, que sería de una amenaza mucho más seria que un hombre simplemente invisible. Gulliver podría tomar un nudo y desatarlo sin tocar los extremos y sin cortarlo, con sólo transportarlo a la cuarta dimensión y hacer deslizar la cuerda a través de la abertura adicional.

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O bien, podría separar los dos eslabones de una cadena sin romperlos. Todo esto y mucho más le resultaría absurdamente sencillo, y contemplaría nuestra impotencia con la misma diversión y lástima con que nosotros miramos a los desdichados seres de Planilandia.

Nuestra novela debe terminar. Si la misma ha ayudado a algunos lectores a hacerles más real una cuarta dimensión y ha satisfecho un común anhelo antropomórfico, habrá cumplido su finalidad. En lo que a nosotros se refiere, confesamos que las fábulas jamás han aclarado los hechos. Una idea asociada en sus orígenes con duendes y espíritus requiere, para ayudar a la ciencia, ser despojada, dentro de lo posible, de todo pensamiento confuso. Debe ser encarada clara y valientemente si se desea descubrir su verdadera esencia. En caso contrario, es aún más estúpido rechazarla y ridiculizarla que glorificarla y guardarla como reliquia. Ningún concepto salido de nuestras mentes o de nuestras plumas ha señalado un mayor avance de nuestro pensamiento, ninguna idea religiosa, filosófica o científica r o m p i ó más bruscamente con la tradición y los conocimientos comúnmente aceptados, que la idea de una cuarta dimensión. Eddington lo ha expresado muy bien": Por muy satisfactoria que pueda ser la teoría de un m u n d o de cuatro dimensiones, es difícil no prestar atención a una voz que dentro de nosotros nos dice al oído: "En el fondo de tu mente, sabes que una cuarta dimensión es toda una insensatez." Me imagino que esa misma voz ha estado a menudo muy activa en la historia pasada de la física. ¡Qué disparate decir que esta mesa sólida sobre la cual estoy escribiendo es una colección de electrones que se mueven con prodigiosa velocidad en espacios vacíos, que. con relación a las dimensiones electrónicas son tan extensos c o m o los espacios entre los planetas del Sistema Solar! ¡Qué desatino afirmar

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que el tenue aire esta tratando de aplastar tm cuerpo con una carga de 1 kilogramo por centímetro cuadrado! ,Qué absurdo pretender que el grupo de estrellas que estoy viendo a través del telescopio, evidentemente allí ahora. es un reflejo de una época pasada de hace 50.000 años' No nos dejemos engañar por esta voz Está des acreditada Hemos encontrado una huella extraña en las playas de lo desconocido. Hemos ideado teorías profundas, una después de otra, para explicar su origen. Al fin hemos logrado reconstruir al ser que dejó esa huella. Y. ¡he aquí! Es la nuestra.

Hemos subrayado el hecho de que la geometría pura está divorciada del espacio físico que percibimos a nuestro alrededor y ahora estamos en condiciones de atacar un concepto algo más difícil. No está de más, sin embargo, tratar de distinguir primero, en forma distinta a como lo hicimos antes, la diferencia entre el espacio tal como se le concibe ordinariamente y las variedades, que son los espacios de las matemáticas. Quizás esta distinción contribuirá a que nuestro nuevo concepto —las geometrías no euclidianas— parezca menos extraño. Estamos muy acostumbrados a considerar al espacio como infinito, no en el sentido matemático técnico de los conjuntos infinitos, sino simplemente para significar que el espacio no tiene límites, que es sin fin. Por cierto que la experiencia cotidiana no nos enseña nada de eso. Los límites de un ciudadano particular, raramente llegan más allá de la extremidad de su brazo derecho. Las fronteras de una nación, como saben muy bien los contrabandistas de tabaco, no van más allá de la frontera de las doce millas. La mayor parte de nuestras creencias acerca de la infinitud del espacio nos vienen de haberlas oído y, otra parte, de lo que pensamos que vemos. Así, por ejemplo, las estrellas parecen estar a millones de kilómetros, aunque en una no¡37

MATEMATICAS E IMAGINACION

che oscura, una vela, a medio kilómetro de distancia, produciría la misma impresión. Además, si imaginamos que nuestro cuerpo se reduce hasta el tamaño de un átomo, entonces un guisante, a la distancia de dos o tres centímetros, nos parecería m u c h o más enorme y mucho más distante que el Sol. La distinción entre el espacio del individuo y el "espacio público" pronto resulta evidente. Nuestro conocimiento personal del espacio no nos demuestra que sea infinito, homogéneo o isótropo N o sabemos que es infinito, porque nos arrastramos, saltamos o volamos sólo en reducidas regiones. N o lo sabemos homogéneo porque un rascacielos, visto a distancia, parece m u c h o más pequeño que la punta de nuestra nariz y el peinado de la dama que está sentada delante de nosotros en el cine, nos impide ver la pantalla en su totalidad; y sabemos que no es isotrópico, es decir, que "no posee 7 las mismas propiedades en todas direcciones" , porque hay puntos ciegos en nuestra vista y nuestro sentido visual nunca es igualmente bueno en todas direcciones. La noción de espacio físico o "público", que abstraemos de nuestra experiencia individual, tiene por objeto liberamos de nuestras limitaciones personales. Decimos que el espacio físico es infinito, homogéneo, isótropo y euclidiano. Estas galanterías son fáciles de dedicar a una entidad ideal sobre la cual muy poco se sabe en realidad. Si preguntásemos al físico o al astrónomo: "¿Qué piensa usted acerca del espacio?" podría respondernos: "A fin de realizar medidas experimentales y describirlas con mayor comodidad, el físico opta por ciertos convenios con respecto a sus aparatos de medida y a las operaciones ejecutadas con los mismos. Se trata, hablando rigurosamente, de convenios relativos a objetos físicos y a operaciones físicas. Sin embargo, para fines prácticos, es conveniente atribuirles una generalidad que trasciende de cualquier conjunto concreto de objetos u operaciones. Entonces llegan a ser. c o m o decimos, propiedades del espacio. 136

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Esto es lo que significa espacio físico, que podemos definir, brevemente, c o m o la construcción abstracta que posee aquellas propiedades de los cuerpos rígidos que son independientes de su contenido material. El .espacio físico es aquel en que se basa la casi totalidad de la física y es. por supuesto, 8 el espacio de las acciones cotidianas ." Por otra parte, los espacios, o más generalmente las variedades que consideran los matemáticos, están construidas sin referencia alguna a las operaciones físicas tales c o m o la medición. Poseen sólo aquellas propiedades expresadas en los postulados y axiomas de la geometría particular en cuestión, así c o m o todas las otras propiedades que se deducen de los mismos. Bien puede ser que los postulados sean sugeridos, en parte o en su totalidad, por el espacio físico de nuestra experiencia, pero debemos considerarlos c o m o completamente desarrollados e independientes. Si los experimentos demostrasen que algunas, o todas nuestras ideas sobre el espacio físico son erróneas (como, en efecto, lo ha hecho la teoría de la relatividad), tendríamos que escribir de nuevo todos nuestros textos de física, pero no nuestras geometrías.

Pero esta aproximación al concepto del espacio, así c o m o al concepto de geometría, es comparativamente reciente. N o ha habido movimiento más arrollador en toda la historia de la ciencia, que el desarrollo de la geometría no euclidiana, un movimiento que estremeció hasta sus cimientos las creencias, proveniente de épocas remotas, de que Euclides había expresado verdades eternas. Capaz y exacta c o m o instrumento de medida desde la época de los egipcios, intuitiva y plena de sentido común, santificada y apreciada c o m o uno de los más neos legados intelectuales de Grecia, la geometría de Euclides se irguió, durante más de veinte si-

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MATEMÁTICAS E IMAGINACIÓN

O T R A S G E O M E T R I A S . EL P L A N O Y LA F A N T A S I A

glos. en solitaria, resplandeciente e intachable majestad. Estaba verdaderamente defendida por la divinidad y si Dios, c o m o dijo Platón, alguna vez hizo geometría, con toda seguridad que consultó a Euclides las reglas. Los matemáticos que de vez en cuando tenían dudas, pronto expiaban su herejía con ofrendas votivas, bajo la forma de nuevas demostraciones que corroboraban a Euclides. Ni siquiera Gauss, el "Príncipe de los Matemáticos", se atrevió a exponer sus críticas por temor al vulgar denuesto de los " B e o d o s " *. ¿De dónde vinieron las dudas? ¿De quién provino la inspiración de quienes se atrevieron a profanar el templo? ¿No eran acaso los postulados de Euclides evidentes en sí mismos y claros c o m o la luz del día? ¿Y sus teoremas, no eran tan inexpugnables c o m o 2 + 2 igual a 4? El centro de la siempre creciente tormenta que estalló, al fin, en el siglo XIX. fue su famoso quinto postulado sobre las líneas paralelas. Este postulado puede enunciarse así: "Por cualquier punto del plano puede trazarse una, y sólo una, recta paralela a una recta dada." Existe algún indicio para demostrar que el mismo Euclides no consideró a este postulado "tan evidente en sí mismo" 9 c o m o los demás . Los filósofos y los matemáticos que intentaron reivindicarlo, pretendieron demostrar que se trataba en realidad de un teorema y, de este m o d o , que podía deducirse de sus premisas. Pero todas estas tentativas fracasaron por la sencilla razón de que Euclides, mucho más sabio que quienes lo sucedieron, había ya reconocido que el quinto postulado era simplemente una suposición y, por lo tanto, no podía demostrarse matemáticamente. Más de dos mil años después de Euclides, un alemán, un ruso y un húngaro, vinieron a hacer añicos dos "hechos" in-

" B e o c i o . Perteneciente a una r e g i ó n de Grecia antigua y t a m b i é n significa t o n t o , estúpido, según el D i c c i o n a r i o de la R A Esp (N. del R)

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ignorante,

contestables. El primero, que el espacio obedecía a Euclides; el segundo, que Euclides obedecía al espacio. Gauss nos merece fe No conociendo el alcance de sus investigaciones, en deferencia tanto a su grandeza c o m o a su integridad, somos receptivos a su declaración de que había llegado, independientemente. a conclusiones semejantes a las del húngaro Bolyai. algunos años antes que el padre de Bolyai informara a Gauss acerca de la obra de su hijo. Lobachevski. el ruso, y Bolyai. ambos en 1830. presentaron sus notables teorías al muy apático m u n d o científico de la época. Sostuvieron que no podía demostrarse el tan perturbador postulado y que tampoco podía deducirse de otros axiomas, porque sólo era un postulado. En su lugar, podía ser reemplazado por cualquier otra hipótesis sobre las paralelas y. c o m o consecuencia de ello, surgiría una geometría diferente, tan compatible c o m o "verdadera". Se conservarían todos los demás postulados de Euclides sólo que, en lugar del quinto, debía procederse a una sustitución: "A través de cualquier punto del plano, pueden trazarse dos rectas paralelas a una recta dada." Del día a la noche las matemáticas se habían desprendido. pues, de las cadenas que las aprisionaban y había nacido una nueva línea de investigación teórica y práctica, ricamente fecunda.

B

Fig. 39

¿

A

c

-E

En la figura 3 9 hay dos rectas paralelas: ¿Cómo es posible, podrá usted preguntar, que otra recta distinta de BC y sin embargo, paralela a DE pueda trazarse por A? La res-

141

OTRAS GEOMETRIAS

MATEMATICAS E IMAGINACIÓN

puesta es que el lector está hablando del plano físico y de líneas trazadas con un lápiz. Está obsesionado por los fantasmas del sentido común, en lugar de razonar en términos de geometría pura. Usted puede ir más lejos y decir que en su sistema, en la geometría euclidiana. cualquier recta distinta de BC cortará a DE si se la prolonga lo suficiente. Nosotros le responderíamos que esa regla se aplica en su juego, pero no en el nuestro, la geometría de Lobachevski. Ninguno de nosotros, si somos matemáticos, está hablando del espacio físico, pero si así lo hiciésemos, habría más motivos para creer que somos nosotros, y no usted, quienes estamos diciendo la verdad. Podemos presentar a la geometría de Lobachevski de la siguiente manera: En la figura 40 la recta AB es perpendicular a CD. Si la hacemos girar alrededor de A, en sentido levógiro, cortará a C D en varios puntos a la derecha de B hasta .alcanzar una posición límite EF, en la cual será paralela a

X.

¿e A _ _ _

fe

Ahora bien, esto es una suposición y no tiene sentido ale gar. fundados en el diagrama, que es evidente que si A'B o C'D' fuesen prolongadas lo suficiente entonces llegarían, finalmente, a cortar a CD Si. como ha señalado el profesor Cohén, confiamos por entero en nuestra intuición del espacio. que es finito, habrá siempre un ángulo H. cada vez más pequeño a medida que nuestro espacio se extiende, pero que nunca desaparece, y ninguna de las rectas comprendidas dentro de 6 llegan a cortar a la recta dada 1

1•

LCR

5. Al menos, así lo dice su biógrafo A r a g o N o sólo la calidad de la obra de Poisson fue e x t r a o r d i n a r i a m e n t e elevada, sino que su p r o d u c c i ó n fue e n o r m e . A d e m á s de o c u p a r varios puestos oficiales de i m p o r t a n c i a , escnbió más de 3 0 0 obras en una vida relativamente breve ( 1 7 8 1 - 1 8 4 0 ) " L a vie, c'est le travail" era el lema de la casa de Poisson y. a u n q u e parezca m u y extraño, la solución de un rompecabezas lo c o n d u j o a una vida de incesante la bor. página 166. 6 Llene la jarra de 5 litros c o n parle del c o n t e n i d o de la de 8 litros y vierta tres cuartos de la jarra de c i n c o litros en la de 3 litros. Eche luego ios 3 litros en la jarra de 8 litros Vierta los 2 litros restantes de la jarra de 5 litros en la de 3 litros Ya que hay 2 litros en la jarra de 3 litros, p o d r e m o s llenar a ésta cor, 1 litro adicional Vierta suficiente v i n o de ia jarra de 5 litros a fin de llenar la de 3 litros. La jarra de 5 litros tendrá entonces 4 litros que q u e d a r á n en ella Vierta ahora los 3 litros de la jarra de 3 litros en la de 8 litros Esto, s u m a d o al litro que q u e d ó en la misma, dará los 4 litros, página 166. 7. W W R. Ball. op cit. página .169 8 Se han s u g e n d o otras bases H a y razones para creer que los babilonios e m p l e a r o n .a base 6 0 y en épocas más recientes se ha a r g u m e n t a d o m u c h o e n favor de la base 12 Página 169 9 Hall y Knight. Higher Algebra página 171 10 A m o i d Dresden. An Invitation to Mathematics. N e w York H e n r y Molt & C o Página 173 11 W Ahrens. op d f . página 177

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12. W , W . R. Bal!, o p cit. Página 177. 13 ( T e n i e n d o en cuenta los años bisiestos. Ed ) Página 178. 14 Véase Ahrens, op. cit. y B o u t o n . Annals of Mathematics. sene 2. voi III (19011902), págs. 3 5 - 3 9 . para la d e m o s t r a c i ó n matemática de Nim. Página 178 15. La vigésima parte de u n c o d o es a p r o x i m a d a m e n t e una pulgada Página 180 16. La regla general para resolver dichos p r o b l e m a s p u e d e verse en P G l a i t . Collec ted Scientific Papers. 1900. Página 183. 17. S m i t h & M i k a m i . A History of Japanese Mathematics. Páginas 98. 183 18 J o h n s o n & Story. American Journal of Mathematics. v o i 2 (1879) Página 184 19 Ahrens. o p cit, v o l . 2. Página 190 20. H a y t a m b i é n rompecabezas, que a u n q u e m u y entretenidos y engañosos, no representan idea matemática alguna que no haya sido ya considerada, y. por lo tanto h e m o s prescindido de mencionarlos. Podemos, no obstante, dar tres e j e m p l o s , elegidos por c u a n t o a m e n u d o se les resuelve incorrectamente: (a)

(b)

(c)

U n vaso contiene v i n o hasta la m i t a d y o t r o vaso la misma cantidad de agua. Del p r i m e r vaso se saca una cucharadita de v i n o y se vierte en el vaso que contiene agua. De la mezcla se t o m a una cucharadita y se echa en el vaso de v i n o ¿Es ahora m a y o r o m e n o r la cantidad de v i n o en el vaso de agua q u e la cantidad de agua en el vaso de vino? Para dar t é r m i n o a todas las discusiones: es la misma El siguiente rompecabezas agitó no hace m u c h o t i e m p o , a los delegados a una distinguida asamblea de expertos e n p r o b l e m a s difíciles. U n m o n o está c o l g a d o del ext r e m o de una cuerda que pasa p o r una p o l e a y está en e q u i l i b n o m e r c e d a una pesa atada en el o t r o e x t r e m o . El m o n o decide trepar por la cuerda ¿Qué sucede' ; Los astutos congresales se e m p e ñ a r o n en toda clase de vanas conjeturas y especulaciones que iban desde la d u d a de si el m o n o p o d í a trepar p o r la cuerda, hasta ngurosas demostraciones matemáticas" de que n o p o d í a . ( C e d e m o s avergonzados, al i m p u l s o p r o b a b l e m e n t e superfluo, de señalar la solución: jla pesa sube igual que el mono!) I m a g i n e m o s tener una cuerda de 4 0 . 0 0 0 kilómetros de largo, l o n g i t u d suficiente para p o d e r rodear exactamente al g l o b o terrestre por el e c u a d o r . T o m e m o s la cuerda y adaptémosla ajustadamente a su alrededor, sobre océanos, desiertos y junglas Desgraciadamente, c u a n d o h e m o s c o m p l e t a d o nuestra tarea descubrimos que al c o n f e c c i o n a r la cuerda se ha c o m e t i d o u n ligero error, pues sobra 1 m e t r o Para salvar el en-or d e c i d i m o s unir los extremos de la cuerda y distnbuir u n i f o r m e m e n t e ese m e t r o en los 4 0 . 0 0 0 kilómetros. N a t u r a l m e n t e (nos imaginamos) nadie lo notará ¿A qué distancia le parece a usted que la cuerda quedará separada del suelo p o r el simple h e c h o de sobrarle 1 metro? La respuesta correcta parece increíble, pues la cuerda quedará a 16 c m de la Tierra a t o d o lo largo de sus 4 0 0 0 0 k m . Para que esto le resulte más razonable usted puede preguntarse C a m i n a n d o alr e d e d o r de la superficie terrestre, ¿cuánto más recorre su cabeza que sus pies 9 Página 193

21 La prueba dada p o r Euclides de que hay u n n ú m e r o infinito de n ú m e r o s p n m o s . es una d e m o s t r a c i ó n elegante y concisa. Si P es u n n ú m e r o p r i m o cualquiera, siempre p u e d e hallarse otro m a y o r que él. c o n s i d e r a n d o P 1 4- 1 Este n u e v o n ú m e r o , e v i d e n t e m e n t e m a y o r que P. n o es divisible entre P o cualquier n ú m e r o m e n o r que P H a y sólo dos alternativas: (1) N o es divisible en m o d o alguno. (2) Es divisible p o r un n ú m e r o p n m o situado entre P y p 1 + 1 Pero cualquiera de estas dos alternativas prueba la existencia de un n ú m e r o p n m o m a y o r que P C . D . D . Página 194 22 Ball. op cit Página 194

BIBLIOTECA CIENTÍFICA SALVAT 1. Stephen Hawking. í na vida para la ciencia. Michael White v John G r i b b i n 2. La verdadera historia de los dinosaurios. A l a n Charig 3. La explosión demográfica. El principal problema ecológico. Paul R. Ehrlich y A n n e H . Ehrlich 4. El monstruo subatómico. Una exploración de los misterios del Universo. Isaac A s i m o v 5. El gen egoísta. Las bases biológicas de nuestra conducta. Richard D a w k i n s 6. La evolución de la física. A l b e r t Einstein y Leopold Infeld 7. El secreto del Universo. Y otros ensayos científicos. Isaac Asimov 8. Qué es la vida. Joel de Rosnay 9. Los tres primeros minutos del Universo. Steven Weinberg 10. Dormir y soñar. La mitad nocturna de nuestras vidas. Dieter E. Z i m m e r 11. El hombre mecánico. El futuro de la robótica y la inteligencia humana. Hans Moravec 12. La superconductividad. Historia y leyendas. Sven O r t o l i v Jean K l e i n 13. introducción a la ecología. De la biosfera a la antroposfera. Josep Peñuelas 14. Miscelánea matemática. M a r t i n Gardner 15. El Universo desbocado. Del Big Bang a la catástrofe final. Paul Davies 16. Biotecnología. Una nueva revolución industrial. Steve Prentis 17. El telar mágico. El cerebro humano y la computadora. Robert Jastrow 18. A través de la ventana. Treinta años estudiando a los chimpancés. Jane G o o d a l l 19. Einstein. Banesh H o f f m a n n 20. La doble hélice. Un relato autobiográfico sobre el descubrimiento del ADN. James Watson 21. Cien mil millones de soles. Estructura y evolución de las estrellas. Rudolf Kippenhahn 22. El planeta viviente. La adaptación de las especies a su medio. David Attenborough 23. Evolución humana. Roger L e w i n 24. El divorcio entre las gaviotas. Lo que nos enseña el comportamiento de los animales. W i l l i a m Jordán 25. Lorenz. Alee Nisbett 26. Mensajeros del paraíso. Las endorfinas. drogas naturales del cerebro. Charles F. L e v i n t h a l 27. El Sol brilla luminoso. Isaac A s i m o v 28. Ecología humana. La posición del hombre en la naturaleza. Bernard Campbell *

29. Sol, lunas y planetas. E r h a r d k e p p l e r 30. Los secretos de una casa. El inundo oculto del hogar. D a v i d Bodanis 31. La cuarta dimensión. Hacia una geometría más real. Rudv Rucker 32. El segundo planeta. El problema del aumento de la población mundial. U . C o l o m b o v G . T u r a n i 33. La mente (I). A n t h o n y Smith 34. La mente (II). A n t h o n y Smith 35. Introducción a la química. Hazel Rossotti 36. El envejecimiento. D a v i d P. Barash 37. Edison. Fritz V ó g t l e 38. La inestable Tierra. Pasado, presente y futuro de las catástrofes naturales. Basil B o o t h y F r a n k Fitch 39. Gorilas en la niebla. 13 años viviendo entre los gorilas. D i a n Fossey 40. El espejo turbulento. Los enigmas del caos y el orden. John Briggs y F. D a v i d Peat 41. El momento de la creación. Del Big Bang hasta el Universo actual. James S. T r e f i l 42. Dios y la nueva física. Paul Davies 43. Evolución. Teorías sobre la evolución de las especies. W o l f g a n g Schwoerbel 44. La enfermedad, hoy. Lluís D a u f í 45. Iniciación a la meteorología. M a r i a n o Medina 46. Los niños de Urania. En busca de las civilizaciones extraterrestres. E v r v Schatzman 47. Amor y odio. Historia natural del comportamiento humano. Irenáus Eibl-Eibesfeldt 48. Matemáticas e imaginación ( I ) . E d w a r d Kasner y James N e w m a n 49. Matemáticas e imaginación ( I I ) . E d w a r d Kasner v James N e w m a n

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N o es sorprendente que las matemáticas disfruten de u n prestigio 110 igualado p o r ninguna otra actividad del pensamiento, pues son a la vez indispensables en los asuntos prác ticos y la obra maestra de la abstracción pura. Sin embargo. el matemátic o suele ser considerado c o m o una especie de ermitaño que invierto su t i e m p o creando leonas enrevesadas en una jerga árida e ininteligible.

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Matemáticas e Imaginación Edward Kasner James N e w m a n

A l concebir este libro. íklward Kasner \ lames N e w m a n - a m b o s matemátic os de gran r e n o m b r e - se propusieron ofrecer una panorámica de los diversos campos de la matemática e n u n lenguaje comprensible y ameno. \ i \ resultado fue un best-seller que se lia convertido en un clásic o de la literatura de divulgación < ¡entílica \ que.