MATEMATICAS DISCRETAS ( CONJUNTOS Y RELACIONES)

Matemática Discreta

Conjuntos y Relaciones

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA  Carrera de Ingeniería en Sistemas de Información

CONJUNTOS Y RELACIONES

 Los temas del presente capítulo, corresponden a la segunda y última parte de la Unidad Temática 3, asignatura de Matemática Discreta, Área de Programación, correspondiente al primer cuatrimestre del primer año de la carrera.

 Período Lectivo 1996 - Prof. Ing. Juan C.Vázquez

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_____________________________________________________________ Capítulo 4 CONJUNTOS Y RELACIONES _____________________________________________________________ 4.0. Introducción. 4.1. Notación. 4.2. Subconjuntos. 4.3. Operaciones con conjuntos. 4.4. Relaciones.

_____________________________________________________________ Casi todos los objetos con que trabaja la matemática, son conjuntos u operadores que de alguna manera relacionan o modifican conjuntos, por lo cual puede afirmarse que el estudio de los mismos constituye el basamento de esta disciplina. Tempranamente ya, desde la escuela primaria (mi hijo, que actualmente cursa el sexto grado de la escuela, interviene en mis conversaciones sobre conjuntos para "discutirme" algún tema), hemos tenido contacto con el concepto de conjuntos, su conformación y las operaciones que sobre ellos podemos efectuar. Tal vez por esto, las ideas matemáticas sobre conjuntos nos resultan tan familiares e intuitivas, al punto de asumirlas en muchos casos como triviales. Sin embargo, siendo el cimiento de la llamada matemática moderna merece nuestra más esmerada atención, siendo por supuesto la exposición presentada en este capítulo y a nuestros fines, una "cuidada" revisión de los temas ya estudiados en anteriores etapas. Términos como conjuntos y elementos, son considerados en el contexto de la teoría de conjuntos como primitivos, en el sentido que no pueden ser definidos estrictamente sin caer en circularidades, sino más bien, descriptos en forma intuitiva. Diremos pues que, "un conjunto, es cualquier colección bien definida de objetos", los cuales reciben el nombre de miembros o elementos del conjunto. La expresión "bien definida" es fundamental en la definición intuitiva de conjunto, ya que podrá decirse que un conjunto está definido, si dado cualquier objeto x, puede determinarse la pertenencia del mismo o no, al conjunto. Además, hay que señalar que la palabra "objetos", se refiere en este contexto no sólo a objetos materiales, sino también a objetos abstractos o entes, que es "de lo que la matemática se alimenta".

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_____________________________________________________________ Tema 4.0

INTRODUCCIÓN _____________________________________________________________ 4.0.1. Breve reseña histórica. 4.0.2. Comentario a la definición intuitiva. 4.0.3. Objetivos. 4.0.4. Conocimientos previos.

_____________________________________________________________ 4.0.1. Breve reseña histórica. Si bien las clases ya eran conocidas como entes abstractos desde la antigüedad, fue George Boole (del cual ya hablamos en el capítulo anterior), quien desarrolló el álgebra de clases, a mediados del siglo XIX. Luego de él, otros muchos continuaron puliendo la idea de una lógica aritmetizada, extrayendo nuevas conclusiones, ampliando los conceptos y sus relaciones, y en definitiva, desarrollando en poco tiempo lo que durante más de dos mil años se mantuvo en un profundo letargo . Se atribuye al matemático ruso1 Georg Cantor (1845-1918), la sistematización de la teoría de conjuntos como tal, con las ideas publicadas en seis memorias, entre 1878 y 1884 en los Anales Matemáticos alemanes. Además, este científico con sus estudios sobre el concepto de infinito y de los llamados ordenes de infinitud, llevaron a reconsiderar aspectos centrales como continuidad, límites, densidad, etc., de fundamental importancia en toda la matemática y en particular en el análisis matemático moderno2. Cantor, murió en 1918 internado en un manicomio, loco y torturado por las críticas despiadadas que de sus estudios le infirieron sus contemporáneos, en particular, su ex-profesor Leopold Kronecker (1823-1891) quien al parecer lo combatió intensamente.

4.0.2. Comentario a la definición intuitiva. En el concepto de conjunto presentado, hicimos incapié en la expresión "bien definida" y en el sentido del vocablo "objeto" utilizado. Analicemos un poco más estos aspectos. Por ejemplo, las letras vocales a, e, i, o, u del alfabeto español, conforman un conjunto, ya que dada cualquier letra x, podemos decidir inequívocamente si es miembro o no del conjunto aludido. Sin embargo, si nos referimos a las letras del alfabeto a, b, ..., z, estrictamente hablando no 1 En muchos libros se nombra a Cantor como matemático alemán. Según el Ing. A.R.López, persona de mi absoluta confianza en cuanto a la seriedad con que encara los temas de estudio, Georg Cantor nació en San Petesburgo (hoy Leningrado) por lo cual lo ubicaremos como matemático de nacionalidad rusa, aunque su actividad profesional fue desarrollada casi íntegramente en Alemania. (Nota extraída de Matemática Moderna I, A.R.Lopez, Stella, 1971, página 17) 2 Véase El Romance de los Números, G.Masini, C. Internazionale del Libro, 1980, páginas 155 a 160, para un comentario sobre la obra de Cantor y su influencia en la matemática actual.

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conforman un conjunto, ya que debe especificarse del alfabeto de qué lengua estamos hablando, debido al hecho que letras como la ñ (eñe), por ejemplo, pertenecen al alfabeto español y no al inglés, la ç (c con cedilla) pertenece al alfabeto francés y no al japonés, etcétera; en definitiva, no conforman un conjunto porque la colección no está bien definida. Otro punto importante en la definición intuitiva de conjuntos, es la idea de colección de objetos. Cuando hablamos de colección, aún en el lenguaje cotidiano, no hacemos referencia a un orden específico en el cual deban encontrarse los objetos coleccionados ni a si tenemos repeticiones de los mismos ya que, si bien no es lo mismo tener dos canicas azules que cuatrocientas canicas azules, en el concepto abstracto de colección sólo nos interesará si tenemos o no canicas de color azul.

4.0.3. Objetivos. Por otra parte, la teoría de conjuntos desde el punto de vista de la lógica matemática (teoría de clases), estudia las propiedades de la agrupación de objetos de cualquier tipo, lo que permite extender sus conclusiones a los más variados campos del saber. En matemática, interesarán principalmente conjuntos de entes abstractos (objetos matemáticos como números, vectores, espacios, funciones, etc.) y en informática, agregaremos a los anteriores en particular, los conjuntos de símbolos que representen letras, lenguajes, instrucciones, estados de una máquina, etc., lo que nos permitirá utilizar el poderoso formalismo matemático en estos temas y teorizar sobre la información y la computación con rigor científico. Repasaremos en lo que sigue, distintos conceptos sobre los conjuntos y las operaciones que se pueden realizar con ellos, ideas ya conocidas desde la enseñanza preuniversitaria, poniendo especial énfasis en su conexión con la lógica matemática y presentando la mayoría de los temas, como conclusiones o aplicaciones derivadas de ella. Además, recordaremos los importantes conceptos de relación y función, que utilizaremos ampliamente en los más variados estudios.

4.0.4. Conocimientos previos. Por lo antedicho, es prerequisito para el estudio de los temas a desarrollar en lo que sigue, estar familiarizado con los conceptos de la lógica matemática del capítulo anterior y haber ejercitado los mismos, lo que asegurará la fluidez en su manejo.

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_____________________________________________________________ Tema 4.1

NOTACIÓN _____________________________________________________________ 4.1.1. Pertenencia. 4.1.2. Determinación de un conjunto. 4.1.3. Conjuntos especiales. 4.1.4. Igualdad de conjuntos.

_____________________________________________________________ 4.1.1. Pertenencia. Un conjunto puede tener un número finito de elementos (como el conjunto de las letras vocales del alfabeto español indicado en la introducción), o un número infinito de elementos (como el conjunto formado por las concatenaciones o yuxtaposiciones de longitud arbitraria, de los elementos del anterior conjunto finito aludido). Como con las clases (tema 3.4), denotaremos en general con letras mayúsculas A, B, C, ..., a los conjuntos y con letras minúsculas a, b, c, ..., a los elementos de los mismos, y escribiremos: a ∈A para denotar la proposición "el objeto a es miembro del conjunto A", y lo leeremos "el elemento a pertenece al conjunto A". De forma similar, escribiremos la negación de la anterior proposición (~(a ∈A)), como: a ∉A denotando que "el objeto a no es miembro del conjunto A", y lo leeremos "el elemento a no pertenece al conjunto A".

4.1.2. Determinación de un conjunto. Si el conjunto está formado por un número finito de elementos, puede determinarse o definirse inequívocamente al mismo, nombrando todos los elementos que lo componen. Esto suele hacerse, colocando primero el nombre del conjunto, luego un sígno de igualdad y a continuación todos los elementos que lo conforman, encerrados entre llaves e individualizados separándolos con coma o con punto y coma. Por ejemplo: V = {a, e, i, o, u}

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(que se lee "conjunto V formado por los elementos a, e, i, o, u"), describe claramente el conjunto V de las letras vocales hispanas. En este caso, se dice que el conjunto está determinado o definido por extensión o por enumeración. Asumiendo el contexto de las letras del alfabeto español, pueden escribirse por ejemplo, las siguientes proposiciones: a ∈V n ∉V

b ∉V o ∈V

e ∈V k ∉V

que resultan verdaderas en virtud de la anterior definición del conjunto V. Otras veces, y en particular cuando tratamos con conjuntos de una cantidad infinita de elementos, la enumeración de miembros no aparece como una notación adecuada3, y se conviene definir entonces al conjunto, con una propiedad o característica que es común a todos los elementos del conjunto, y sólo a ellos. Por ejemplo: V = {x / x es una vocal del alfabeto español} (que se lee "el conjunto V está formado por los elementos x tales que x es una vocal del alfabeto español), también define al conjunto de las letras vocales españolas sin lugar a dudas. Se dice en este caso, que el conjunto está determinado o definido por comprensión o por propiedad. En términos lógicos, esto se expresará como una función proposicional cuantificada: V = {∀x: P(x)} (el conjunto V está formado por todo x que verifique P), o resumidamente: V = {x/ P(x)} (el conjunto V está formado por todo x, tal que P(x) es verdadera), siendo P(x) la función proposicional x es una vocal española. Cabe reiterar que, ni en la noción de conjunto, ni en las dos formas en las que puede definirse un determinado conjunto, se hace referencia al orden o a la repetición de elementos. Esto no es un descuido sino, la esencia misma de la idea de conjunto como colección de objetos. Así: A = (a, e, i, i, i, i, o, u} B = {i, i, e, a, a, o, u, i} representan al mismo conjunto V definido anteriormente. A veces, abusando de la intuición y de las analogías, suele también definirse un conjunto infinito de elementos por extensión, indicando con puntos suspensivos que existen más elementos que los efectivamente indicados como en:

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Un conjunto finito como el de "todos los habitantes de la ciudad de Córdoba, Argentina, que son abonados al servicio telefónico por cable", puede definirse por extensión, como lo demuestra la existencia de una guía telefónica; sin embargo, aunque finito, en otros contextos como el de esta nota, resulta claramente más conveniente una definición por propiedad.

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V* = {a, aa, aaa, aaaa, aaaaa, ... }4 pero de ser posible, no caeremos en tales arrebatos en este texto. Ejemplo: Determine por extensión y comprensión el conjunto de las provincias cuya-nas de la República Argentina. Solución: C = {Mendoza, San Juan, San Luis} (por extensión) C = {x/ x es una provincia argentina de Cuyo} (por comprensión)♦ En el primer caso, enumeramos o enlistamos todos los elementos que componen el conjunto; en el segundo, determinamos el conjunto diciendo que formarán parte de él, sólo aquellos objetos que satisfagan una cierta propiedad.

4.1.3. Conjuntos especiales. Al igual que en clases, se extiende el concepto de conjunto definiendo el conjunto vacío (denotado por ∅), como aquel que no contiene elemento alguno y considerando como conjunto (y nombrándolo como conjunto unitario), a aquel que posea un sólo elemento5. Además, al hablar de conjuntos, normalmente se supone un determinado universo de discurso al cual pertenecen naturalmente todos los objetos a los que se hace referencia en el estudio. En los ejemplos anteriores, está implícito en el término vocales que estamos hablando de letras y no de frutas cítricas o de extraterrestres. Denotaremos con "U", al conjunto universal del cual son miembros todos los elementos de los conjuntos bajo estudio6. Por su importancia en matemáticas, y por que los utilizaremos para ejemplificar variados conceptos, daremos una notación especial a los siguientes conjuntos: N Z Q R N0 Z+

= = = = = =

{x/ x es un número natural} {x/ x es un número entero} {x/ x es un número racional} {x/ x es un número real} {x/ x es un número natural o x es el número cero} {x/ x es un número entero positivo}

y supondremos conocido desde la escuela, qué se entiende por natural, entero, etcétera. Ejemplo: Exprese en símbolos el conjunto de los números naturales pares mayores a diez y menores a cien.

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La notación V* para el conjunto de las combinaciones de símbolos, provienen de la operación llamada estrella de Kleene, la cual en realidad define la cadena vacía λ como parte del conjunto. (Referencia de Teoría de la Computación, J.G.Brookshear, Addison-Wesley, página 60) 5 Se hacen estas consideraciones aquí, ya que los conceptos de conjunto vacío y conjunto unitario, no se corresponden con la noción de conjunto presentada. Aún así, serán tratados como conjuntos. 6 Tal vez un nombre más apropiado sería conjunto referencial, pero utilizaremos el de universal para no crear confunsión con la bibliografía de consulta sugerida. (Nota debida a la Prof. L.Constable)

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Solución: La definición de paridad de números naturales, dice que un número natural a es par, si existe algún natural x tal que a pueda escribirse como 2.x. Así: P = {a/ a∈N ∧ ∃(x∈N)/ a=2x ∧ a>10 ∧ a