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Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera Jetzabeth Ramírez Sabag

Título de la obra original Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

D.R. © Jetzabeth Ramírez Sabag D.R. © Reverté Ediciones S.A. de C.V. Río Pánuco 141, Col. Cuauhtémoc, Del. Cuauhtémoc, C.P. 06500 México D.F. ISBN México: 978-607-7815-09-9 ISBN España: 978-84-291-7914-9 Primera edición 2013 Reimpresión digital 2014 DISEÑO DE CUBIERTA: SANTIAGO ROBLES DISEÑO Y FORMACIÓN DE INTERIORES: VÍCTOR M. MONTALVO CORRECCIÓN DE ESTILO: ARADAI PARDO MARTÍNEZ Reservados todos los derechos. No se permite la reproducción, total o parcial, de este libro, ni el almacenamiento en un sistema informático, ni la transmisión de cualquier forma o cualquier medio, electrónico, mecánico, fotocopia, registro u otros medios sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright. Impreso en España - Printed in Spain DL B 12027-2014 Impreso por Arvato Services Iberia, S. A. # 1389

Índice

Prólogo Capítulo 1. Planteamiento matemático de problemas

1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas 1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir del cambio de temperatura de un cuerpo inerte 1.1.2 Ejemplo 2. Problema de decaimiento radioactivo 1.2 Introducción a los modelos matemáticos 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos 1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático 1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentamiento de una esfera de hielo 1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto sometido a una fuente de calor en un momento determinado 1.4.3 Ejemplo 5. Planteamiento de un problema cotidiano de un objeto sometido a una fuente de calor 1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales 1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un tanque con entrada y salida de salmuera 1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del ujo de calor en una barra por medio de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido a una fuente de calor

XIX 1 2 4 6 7 7 8 8 10 11 12 12 14

Modelado de un experimento 1.6 1.5.3 Esquema generalmatemático del planteamiento matemáticodede ujo un de calor 16 problema físico 19 1.7 Categorías de modelos matemáticos 20 1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad 20

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

1.9 Modelado matemático de yacimientos 1.9.1 Procedimiento general del modelado matemático de problemas de ingeniería petrolera

23

Capítulo 2. Principios de los fenómenos de transporte

25 26 26 27 31 32 33 39 40 46 51 55

2.1 Conceptos fundamentales 2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo 2.1.2 Sistemas termodinámicos 2.1.3 Tipos de procesos 2.2 Transporte de cantidad de movimiento (momentum) 2.2.1 Ley de Newton de la viscosidad 2.3 Transporte de calor 2.3.1 Principios básicos de termodinámica 2.3.2 Leyes fundamentales de la termodinámica 2.3.3 Transferencia de calor por conducción 2.3.4 Ejemplo 1. Flujo de calor a través de una tubería de acero 2.3.5 Ejemplo 2. Cálculo de la densidad de ujo de calor en un

24

conductivo 2.4 cilindro Transporte de masa 2.4.1 De niciones de concentraciones, velocidades y densidades de ujo de materia 2.4.2 Ley de Fick de difusión 2.4.3 Analogía entre los diferentes mecanismos de transporte 2.4.4 Ecuación de balance de materia 2.4.5 Ejemplo 3. Proceso de evaporación de agua en régimen permanente 2.4.6 Ejemplo 4. Determinación del coe ciente de difusión binario 2.5 Ecuaciones generales de conservación 2.5.1 Leyes fundamentales de conservación

57 58

2.5.2 continuidad masa) 2.5.3 Ecuación Ecuación de generalizada de(conservación transporte de de cantidad de movimiento 2.6 Ecuaciones de cambio para sistemas no isotérmicos 2.6.1 Ecuación general de la energía térmica

80 83 87 87

VI

59 62 63 64 68 73 74 75

Índice

Capítulo 3. Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales

3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias 3.1.1 Ecuaciones lineales homogéneas 3.1.2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1.3 Ejemplo 1. Solución de una ecuación diferencial homogénea 3.1.4 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 3.1.5 Principio de superposición 3.1.6 Coe cientes constantes 3.1.7 Ecuación de Cauchy-Euler 3.1.8 Otras ecuaciones diferenciales homogéneas 3.1.9 Ecuaciones diferenciales no homogéneas 3.1.10 Variación de parámetros 3.1.11 Ejemplo 2. Solución de una ecuación diferencial homogénea 3.1.12 Ejemplo 3. Solución de una ecuación diferencial no homogénea 3.2 Ecuaciones diferenciales parciales 3.2.1 Ecuación diferencial parcial de primer orden 3.2.2 Uso de un cambio de variable para reducir una ecuación diferencial parcial a una ecuación diferencial ordinaria. 3.2.3 Solución e interpretación de una ecuación diferencial parcial 3.2.4 Ecuaciones diferencialesparciales en física e ingeniería 3.2.5 Clasi cación de las ecuaciones diferenciales parciales 3.3 Problemas de valores en la frontera 3.4 Problemas de valores iniciales y de frontera adimensionales 3.4.1 Ejemplo 4. Transformación del problema de difusión a su forma adimensional 3.4.2 Ejemplo Transformación de un problema hiperbólico a su5.forma adimensional 3.5 Ecuaciones y funciones especiales 3.5.1 Ecuaciones y funciones Bessel 3.5.2 Series de Fourier

93 94 96 97 97 98 98 101 103 105 107 108 111 114 115 117 118 122 124 126 127 128 132 134 134 140

VII

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

Capítulo 4. Desarrollo de las ecuaciones diferenciales parciales que gobiernan el flujo de fluidos en los yacimientos petroleros

155

4.1 Introducción 4.2 Principios fundamentales del ujo del agua en medios porosos 4.3 La Ley de Darcy y el potencial de Hubbert 4.4 Experimento de Darcy 4.5 Ley de Darcy para medios porosos anisotrópicos 4.6 Derivación en coordenadas cartesianas de la ecuación de difusividad para el ujo de un uido de una sola fase 4.6.1 Ecuación de continuidad 4.6.2 Ecuación de movimiento 4.6.3 Ecuación de estado para un uido ligeramente incompresible 4.7 Ecuación de difusividad para gases 4.8 Derivación de la ecuación de Hagen-Poiseville para ujo a través de un tubo circular 4.9 Cálculo de parámetros importantes 4.10 Derivación de la ecuación de Hagen-Poiseville para ujo a través de una tubería horizontal, considerando un factor de resbalamiento   4.11 Flujo multifásico en yacimientos 4.11.1 Fundamentos de las fuerzas super ciales y capilares 4.12 Principales ecuaciones de ujo multifásico en yacimientos 4.13 Desplazamiento miscible ideal 4.13.1 Dispersión en medios porosos 4.13.2 Mecanismos de dispersión 4.13.3 Flujo de trazadores en yacimientos 4.13.4 Desarrollo de la ecuación fundamental de dispersión

156 157 163 167 170

4.144.14.1 Balance generaldedeenergía energíapara ujo en una fase Ecuación 4.14.2 Ecuación de energía para ujo multifásico 4.14.3 Ecuaciones de transporte 4.14.4 Componentes de cada fase

220 221 224 225 227

VIII

172 173 178 179 183 187 192

199 200 204 211 212 214 214 216

Índice

4.15 Introducción a la simulación numérica de yacimientos 4.15.1 Tipos de simuladores numéricos de yacimientos 4.15.2 Ecuaciones básicas del modelo de simulación numérica de yacimientos de tipo composicional 4.15.3 Análisis del problema 4.15.4 Ecuaciones básicas del modelo de simulación numérica de yacimientos tipo aceite negro Capítulo 5. Aplicación del método de separación de variables

5.1 Introducción 5.2 Solución de ecuaciones diferenciales parciales con el método de separación de variables 5.2.1 Problema de conducción de calor en una varilla con temperatura de cero grados centígrados en los extremos 5.2.2 Valores y funciones característicos 5.2.3 El producto de soluciones, el principio de superposición y la ortogonalidad

228 229 232 236 237 243 244 245 245 249 256

5.2.4 262 5.2.5 Ejemplo Problema1.deFormulación, conducción solución del calor eeninterpretación una varilla con extremos aislados 267 5.3 Aplicación del método de separación de variables a un problema de valores iniciales y de frontera de ujo de aceite hacia un pozo 269 5.3.1 Planteamiento físico del problema 269 5.4 Aplicación al problema de ujo lineal de un uido ligeramente compresibley de viscosidad constanteen un medio poroso homogéneo 277 5.4.1 Descripción física del problema de aplicación 277 5.4.2 Uso de variables adimensionales para evitar el problema de condiciones inhomogéneas 279 5.4.3 Aplicación del método 281 5.5 Aplicación del método de separación de variables a problemas de ujo con condicionesaldeproblema frontera no 5.5.1 Aplicación 1. Aplicación de homogéneas ujo lineal de un uido ligeramente compresible con viscosidad constante en un medio poroso, con condiciones iniciales y de frontera no homogéneas.

289

290 IX

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

5.5.2 Aplicación 2. Flujo lineal de un uido ligeramente compresible con viscosidad constante en un medio poroso, con condiciones iniciales y de frontera no homogéneas, tipo Neumann 5.5.3 Aplicación 3. Problema de distribución de presión para un sistema lineal cerrado 5.5.4 Problema de ujo de uidos en un medio semiin nito 5.6 Problemas de valores característicos,problemas de Sturn-Liouville 5.6.1 Introducción 5.6.2 Clasi cación general 5.6.3 Problema Sturn-Liouville 5.7 Procedimiento general del método de separación de variables 5.8 Condición de frontera del tercer tipo (técnica grá ca) 5.8.1 Ejemplo 2. Solución de la función dependiente de x para los problemas de ujo de calor y cuerda vibrante 5.8.2 Ejemplo3. Problema de transferencia de calor con una condición de frontera del tercer tipo 5.9 5.9.1 Modelado de la ecuación ondacon extremos jos Movimiento de una de cuerda 5.9.2 Ejemplo 3. Movimiento de una cuerda con extremos jos

295 300 303 306 306 307 308 309 310 311 315 320 324

Capítulo 6. Aplicación del método de transformada de Laplace 327

6.1 Conceptos fundamentales y propiedades de la transformada de Laplace 6.1.1 De nición de la transformada de Laplace 6.1.2 La existencia de la transformada de Laplace 6.1.3 La transformación de Laplace como operador lineal 6.1.4 La transformada inversa de Laplace 6.1.5 La existencia y unicidad de la transformada inversa de Laplace, L−1 6.1.6 de Lerch 6.1.7 Teorema Propiedades de las transformaciones L y L−1 6.1.8 Teorema de traslación en el dominio de Laplace s 6.1.9 Teorema de traslaciónen el dominio del tiempo t 6.1.10 Transformación de derivadas X

328 329 333 340 343 346 348 348 349 351 353

Índice

6.1.11 Teorema de convolución 6.1.12 La transformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales 6.1.13 La transformada de Laplace de una derivada parcial y las ecuaciones diferenciales 6.1.14 Ejemplo de aplicación: ujo de calor en un contenedor 6.1.15 Resumen del método y algunas observaciones 6.2 Aplicación del método de la transformada de Laplace al problema de ujo de un uido incompresible hacia un pozo uyendo a presión constante 6.2.1 Planteamiento del problema físico por resolver 6.2.2 Desarrollo de la ecuación de difusividad para ujo radial en variables adimensionales 6.2.3 Desarrollo de la ecuación de difusividad adimensional para ujo radial 6.2.4 Variables adimensionales utilizadas 6.2.5 Problema línea fuente 6.2.6 Solución línea fuente por medio de la transformación

355 357 359 361 366 368 369 370 372 380 382

de Boltzman 6.2.7 Aplicación 1. Pozo que produce a gasto constante en un yacimiento in nito. Solución línea fuente 6.2.8 Aplicación 2. Pozo que produce a gasto constante en un yacimiento in nito. Solución fuente cilíndrica 6.29 Aplicación 3. Pozo que produce a gasto constante en un yacimiento nito 6.3 Aplicación del método de transformada de Laplace al problema de ujo de trazadores a través de yacimientos petroleros 6.3.1 Aplicaciones de los trazadores a la industria petrolera 6.3.2 Modelos matemáticos 6.3.3 Aplicación 4. Flujo lineal unidimensional de trazadores a través de yacimientos homogéneos

383 388

6.3.4 Aplicación 5. Flujohomogéneos lineal unidimensional de trazadores a través de yacimientos con condiciones mixtas

435

Capítulo 7. Aplicación del método de funciones de Green

7.1 Introducción a las funciones de Green

404 408 426 427 428 430

443 444 XI

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

7.2 Operador diferencial adjunto 448 7.3 Método de la expansión de las eigenfunciones para las funciones de Green 450 7.3.1 Ejemplo 1. Solución de la función dependiente dex del problema de ujo hacia unidimensional 452 7.4 La función delta de Dirac y su relación con las funciones de Green 453 7.5 Reciprocidad de Maxwell 457 7.6 Aplicación del método de las funciones de Green al problema de ujo unidimensional en régimen permanente 458 7.6.1 Ejemplo 2. Planteamiento del problema adjunto 460 7.6.2 Caso 1. Problema tipo Dirichlet 463 7.6.3 Caso 2. Problema tipo Neumann 465 7.7 Resumen del método de las funciones de Green 468 7.8 Introducción al método de las funciones de Green para ecuaciones diferenciales parciales 469 7.9 Aplicación del método de las funciones de Green a problemas bidimensionales 7.10 Aplicación en delrégimen método permanente de las funciones de Green a problemas 473 de ujo tridimensionales en régimen transitorio 483 Capítulo 8. Problema inverso

491

Por Oscar C. Valdiviezo Mijangos 8.1 Introducción al problema inverso 8.2 Problema inverso 8.3 Problema mal condicionado 8.4 Planteamientos de la función objetivo 8.5 Problema inverso lineal 8.6 Problema directo 8.6.1 Transporte de trazadores en medios porosos

492 493 495 498 499 501 501

Modelo de línea fuente 8.7 8.6.2 Métodos de optimización no para linealpruebas de presión 8.8 Aplicaciones 8.8.1 Pruebas de presión 8.8.2 Pruebas de trazadores

504 507 514 514 516

XII

Índice

Apéndice A. Preliminares de ingeniería petrolera

A.1 Introducción a la productividad de pozos A.1.1 Sistema integral de producción A.1.2 Flujo del yacimiento al pozo A.1.3 Flujo en tuberías A.1.4 Flujo en estranguladores A.2 Conceptos básicos y propiedades relacionadas A.2.1 Tendencia del medio continuo en ingeniería petrolera A.2.2 Porosidad, una propiedad petrofísica estática A.2.3 Permeabilidad, una propiedad de ujo de un medio A.3 Conceptos relacionados con el ujo multifásico A.3.1 Saturación de uido s A.3.2 Permeabilidades efectivas y relativas A.3.3 Solubilidad del gas A.3.4 Factor de volumen de formación del aceite, Bo A.3.5 Relación agua-aceite instantánea A.3.6 Densidad relativa y grados API

521 522 522 525 528 535 537 537 539 541 549 549 552 557 559 560 561

A.3.7 gas-aceite y gas-agua A.3.8 Relación Flujo másico para cada fase instantánea A.4 Propiedades del gas A.4.1 Ley de los gases reales A.4.2 Densidad relativa del gas A.4.3 Densidad del gas A.4.4 Factor de compresibilidad del gas A.4.5 Viscosidad del gas A.4.6 Factor de volumen del gas A.4.7 Compresibilidad del gas A.4.8 Ejemplo de aplicación A.5 Comportamiento de las fases de uidos del yacimiento y super ciales

562 564 566 567 568 570 570 571 572 572 575

A.5.1 de de fases A.5.2 Diagrama Clasi cación los yacimientos de acuerdo con el diagrama de fases A.6 Mecanismos de ujoy de desplazamiento en yacimientos petroleros

577 578

576

583 XIII

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

A.6.1 Mecanismos de ujo através de yacimientos A.6.2 Mecanismos de desplazamiento A.7 Comportamiento de a uencia A.7.1 Ecuación de a uencia A.7.2 Geometrías de ujo A.7.3 Regímenes de ujo A.8 Procesos de recuperación adicional A.8.1 Métodos térmicos A.8.2 Métodos químicos A.8.3 Desplazamiento miscible Apéndice B. Flujo radial de trazadores a través de un yacimiento estratificado

B.1 Desarrollo de las ecuaciones fundamentales de ujo B.1.1 Ecuación de ujo en la fractura o región móvil B.1.2 Ecuación de ujo para la región inmóvil, estancada o matriz

583 589 593 594 595 603 616 618 623 625 629 630 630 634

B.2 Solución del modelo matemático de ujo radial con fractura horizontal B.2.1 Modelo matemático expresado en variables adimensionales B.2.2 Solución de la ecuación para la región inmóvil B.2.3 Solución de la ecuación fundamental para la región móvil

639

Apéndice C. Tabla de las transformadas de Laplace utilizadas

645

Notación

649

Unidades

659

Bibliografía

675

XIV

636 636

Prólogo

El objetivo principal de esta obra es ofrecer un documento que sirva como libro de texto para el curso de Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera y que también pueda ser consultado como material de apoyo en diversas asignaturas de la carrera de ingeniería petrolera por aquellos que requieran conocer la aplicación de las ecuaciones diferenciales en el planteamiento y la solución de problemas relacionados con los fenómenos de transporte. Otro objetivo es familiarizar a los lectores de otras áreas con algunos de los fundamentos teóricos y prácticos del quehacer de los ingenieros petroleros. destacar que estey libro está dirigido a los matemáticos, los Cabe ingenieros petroleros a los no estudiantes y profesionistas de otrassino áreasa donde se privilegia la intuición física sobre el rigor matemático. Al examinar en retrospectiva los conocimientos adquiridos en un primer curso de matemáticas sustentado en escasos y simples principios físicos, muchos alumnos que estudian temas perceptibles del mundo físico y que emplean recursos matemáticos repetitivos que rayan en la monotonía, consideran que no siempre tienen la oportunidad de obtener una comprensión su ciente de varios de los conceptos como para llevar a cabo —con ciertas probabilidades de éxito— la solución de algunos problemas reales y prácticos con los métodos aprendidos. Esta problemática se debe, en gran medida, al rigor y a la extrema precisión con que debe de nirse y tratarse cada uno de los conceptos básicos, adefalta una imagen física lo su ca o tangible, al hecho quede la metodología recurre, concientemente frecuencia, agrá restricciones que yreducen la complejidad de los fenómenos naturales y que suelen requerir cierto grado de conocimiento físico que, desafortunadamente, los alumnos noobtendrán hasta cursar materias de años superiores en los distintos planes de estudios.

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

El presente texto es, por lo tanto, el resultado de un esfuerzo encaminado, esencialmente, a subsanar los aspectos principales de esta problemática. Los temas aquí expuestos buscan estimular el pensamiento intuitivo en torno a temas físicos, cuidando de no perder demasiada precisión matemática pues la combinación de temas de un alto nivel matemático con los fenómenos que ocurren en la naturaleza pueden ocasionar, al nal, una comprensión parcial o incompleta por parte de muchos estudiantes de pregrado e, incluso, llegar a un punto donde ni al estudiante ni al profesor les sea factible el tratamiento matemático del problema. Es por ello que se ha intentado alcanzar un equilibrio entre estos dos extremos al describir, en primer término, la situación física del problema y, posteriormente, mediante la presentación de las herramientas matemáticas necesarias, algunas técnicas para plantear, formular y resolver el problema en cuestión, privilegiando siempre, como se ha mencionado, los aspectos físicos. La génesis de este libro emana de la necesidad de responder adecuadamente a los múltiples comentarios de mis alumnos, quienes, cada generación y de manera sistemática, solicitan referencias sobre los tópicos cubiertos en elnocurso. insistente solicitud deriva del hecho de que prácticamente existeEsta una bibliografía que integre la física de los problemas de ingeniería petrolera con las técnicas matemáticas mínimas requeridas para resolverlo. Es decir, por un lado, se dispone de la bibliografía clásica sobre ecuaciones diferenciales destinada a cientí cos e ingenieros, en donde se revisan los métodos de solución aplicados a la transferencia de calor y a problemas de vibraciones de cuerda (ecuación de onda) y, por el otro, las referencias puramente técnicas de la industria petrolera, las cuales consisten en una serie de artículos que revisan los métodos tradicionales de solución de ecuaciones diferenciales pero que, no obstante, carecen generalmente de los detalles necesarios para que los estudiantes de pregrado los comprendan. Fue así como surgió el reto de satisfacer esta carencia intelectual por medio de un libro con lasy lacaracterísticas del que aquí presenta; esto yes,deenfocado al planteamiento solución de problemas de se valores iniciales frontera de ingeniería petrolera, en el que se guarde un equilibrio entre la física del problema y las técnicas matemáticas necesarias para su solución analítica. La premisa básica de esta obra es unir la intuición del estudiante de aspectos XX

Prólogo

físicos con los métodos matemáticos, lo cual se aspira lograr por medio de la derivación del modelo matemático para un problema determinado,el uso del razonamiento físico en el desarrollo matemático y la interpretación de los resultados matemáticos en términos físicos; es por ello que los modelos matemáticos se formulan aquí por medio del i) desarrollo de las ecuaciones que gobiernan los procesos físicos y ii) el planteamiento de las condiciones de frontera posibles en los problemas de interés. Esto abarca el conocimiento físico del problema, las leyes físicas que lo rigen y el planteamiento matemático que lo representa. En servicio de lo anterior, se discuten con detalle estos temas en el capítulo IV; en los capítulos posteriores se revisan las posibles condiciones de frontera y se incluye el planteamiento completo de un modelo matemático y su solución aplicados a los problemas de estudio. Cabe señalar que tanto los lectores no relacionados con el área como los estudiantes de la carrera requieren una base apropiada de conocimientos tanto de temas de la física involucrada en los problemas de estudio como de algunos elementos matemáticos, además de los tópicos propios de la ingeniería petrolera, por lo que se han incluido los primeros tres capítulos y el apéndice que abarcan los siguientes temas:de planteamiento matemático de problemasA,físicos, principios de fenómenos transporte, preliminares ecuaciones diferenciales parciales y preliminares de ingeniería petrolera. La nalidad de estos capítulos es ofrecer una base para la comprensión óptima de los capítulos dedicados a los métodos clásicos de solución de ecuaciones diferenciales parciales y las aplicaciones que se discuten en este texto: separación de variables, transformada de Laplace y funciones de Green, así como la solución del problema inverso de dos aplicaciones importantes dentro de la ingeniería petrolera: el análisis de pruebas de variación de presión y las pruebas de trazadores, temas presentados en los capítulos V al VIII. El lector notará que el método de transformada de Laplace recibe mayor atención ya que su uso es el más frecuente en el área. Los capítulos V, VI y VII tienen esta estructura: i) explicación básica de los métodos solución, aplicación del método algún ejemplouna de transferencia de de calor (con la ii) intención de que el lector en pueda consultar referencia análoga en caso de así requerirlo) y iii) aplicación del método de solución a problemas especí cos, como el ujo de uidos hacia un pozo en un yacimiento petrolero. XXI

Matemáticas aplicadas a la ingeniería petrolera

Este prólogo no estaría completo si no expresara mi profundo agradecimiento a todos aquellos que contribuyeron, de una u otra manera, a la realización de este libro; desde la motivación para aceptar el reto de elaborarlo (aproximadamente hace cinco años) hasta el cierre de esta tarea. He recibido comentarios y sugerencias muy valiosas de parte de colegas y amigos; sin embargo, no me es posible mencionarlos a todos como me gustaría hacerlo. En particular, agradezco a las ingenieras Martha Argüelles y Jimena González, a la licenciada Guadalupe Castro y a los maestros en ingeniería Mónica Meraz, Marisol Rojas, Abraham Ramírez y José Trejo por su colaboración en la edición de esta obra. Estoy en deuda con la Facultad de Ingeniería de la UNAM y, en especí co, con el Departamento de Ingeniería Petrolera, porque me han conferido el honor de ser la profesora de este curso por más de quince años; igualmente, reconozco la enorme deuda que tengo con todos mis alumnos dado que de ellos deriva la formidable oportunidad de escribir este documento. Agradezco de forma especial al Dr. Oscar Valdiviezo Mijangos, autor del capítulo VIII, Problema inverso, por su interesante aportación a este texto. Hago un reconocimiento maestra en ingeniería María Avilés Alcántara, así como a la especial maestra ya la trabajadora social Blanca EstelaCristina Rangel Colchado, por el apoyo brindado para la publicación delpresente libro. No olvido agradecer a la editorial Reverté por el interés mostrado en la edición de esta obra, en particular a las maestras Jimena Lascurain y Aradai Pardo por la inestimable colaboración recibida. Finalmente, señalo con mucho orgullo que parte intangible de este texto es mi familia, gracias al soporte y comprensión brindados durante el desarrollo del mismo. Apreciaré mucho cualquier sugerencia proveniente de estudiantes, profesores o colegas, así como de cualquier persona interesada en mejorar este libro. Favor de hacerlas llegar al siguiente correo electrónico: [email protected].

J R S México D.F. a 26 de agosto de 2012 XXII

Capítulo 1 Planteamiento matemático de problemas El enfoque que busca resolver problemas del mundo real con herramientas matemáticas es frecuentemente llamado modelado matemático o matemáticas aplicadas. Este enfoque o modelado consta de los siguientes pasos: 1. Identi car un problema procedente de un fenómeno del mundo real. De los fenómenos complicados del mundo real, hay que identi car y extraer sólo el problema físico que se desea estudiar y entender por com2.

3.

4. 5. 6.

pleto la naturaleza mas con guras. del problema elegido. Se recomienda realizar esqueHacer la formulación matemática delproblema: q Determinar un conjunto apropiado de variables e incógnitas relacionadas con el problema. q Especi carlas leyes físicas y/o geométricas involucradasen el problema. Establecer el modelo matemático. Derivar las ecuaciones que gobiernan el problema y determinar las condiciones adicionales con base en las leyes físicas o las restricciones geométricas. Este proceso conduce al llamado modelo matemático. Realizar el análisis matemático. Realizar la interpretación física de los resultados matemáticos. Discutir el comportamiento de la solución matemática, realizar esquemas con guras y hacer su interpretación física. Regresar al problema srcinal del fenómeno del mundo real. Comparar los resultados de la solución matemática con experimentos físicos, encontrar los defectos del modelo matemático y modi car el modelo, y comenzar de nuevo el proceso.

Capítulo 1

En este capítulo se presentan, primero de forma intuitiva, los pasos a seguir en el planteamiento matemático de un problema físico, para lo cual se describen algunos problemas especí cos muy sencillos. Después se incrementa gradualmente la di cultad de los problemas físicos hasta llegar, al nal del capítulo, a la formulación de ecuaciones diferenciales parciales a partir de la descripción de un problema de transferencia de calor. Objetivo Mostrar cómo los problemas físicos y sus variaciones pueden ser explicados (modelados matemáticamente) por medio de un procedimiento basado en la identificación, formulación, solución e interpretación del problema.

1.1 Introducción al planteamiento matemático de problemas

En esta sección discute lacampos solución elementales característicos de losse diversos dedela algunos ciencia yproblemas de la ingeniería, que comprenden ecuaciones diferenciales parciales. Una ecuación diferencial parcial, o EDP, es una ecuación que contiene derivadas parciales; por ejemplo: 

En este caso, el estudio debería comenzar con la determinación de las funciones u(x,t) que satisfacen la ecuación anterior; sin embargo, dos razones llevan a considerar más conveniente empezar por investigar el problema físico: la primera es que se estima que el interés del lector por las ecuaciones diferenciales será mayor si comprende que estos métodos analizan problemas físicos. La segunda es el hecho de que las consideraciones físicas motivan muchos de los desarrollos matemáticos presentados en este texto. Muchos de los problemas de la ingeniería y las ciencias físicas son dominados por el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales. Algunas de las áreas que dependen en alto grado del estudio de las ecuaciones diferenciales parciales son la acústica, la aerodinámica, la elasticidad, la electrodinámi2

Planteamiento matemático de problemas

ca, la dinámica de uidos, la geofísica (propagación de onda), la transferencia de calor, la transferencia de masa, la meteorología, la oceanografía, la óptica, la física de plasmas (ionización de líquidos y gases), la mecánica cuántica y la ingeniería petrolera, objeto del presente libro. En este texto se sigue una losofía de la aplicación de las matemáticas que analiza los problemas en tres etapas principales: 1. Formulación del problema. 2. Solución. 3. Interpretación o análisis de la solución.

A continuación se presentan problemas especí cos sencillos para ilustrar el planteamiento matemático de un problema físico. Para resolver el primer problema es importante hacer una introduccióna los procesos de transferencia de calor por medio de una ecuación empírica que relacione la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con el medio. Esta ecuación se conoce como Ley de enfriamiento de Newton y dice que la temperatura de un cuerpo a una velocidad proporcional a la diferencia de las temperaturas entrecambia el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad sea la misma independientemente de que la temperatura aumente o disminuya, la ecuación diferencial de la ley de enfriamiento será:

Donde : Temperatura de un cuerpo : Tiempo : Temperatura del medio ambiente Se soluciona la ecuación y se separan las variables:  

3

Capítulo 1

Después, se integra cada miembro de la ecuación anterior:

Y se obtiene:

Pero , por lo que nalmente se obtiene: Ec.1.1 Si se de ne que         , entonces queda: Ec. 1.2 1.1.1 Ejemplo 1. Cálculo de un tiempo determinado a partir del cambio de temperatura de un cuerpo inerte

Se requiere conocer la hora de deceso de una persona de edad muy avanzada cuyo cuerpo fue encontrado sin vida a las doce del día. 1. Identi cación del problema q La persona murió en su casa en algún momento antes del medio día. q

Al medio día, el cuerpo una teposteriores mperatura de 21.1 °C. El cuerpo se enfrió otros fue 2.8encontrado °C en las dosahoras almedio día. q Se asume que la habitación se encontraba a una temperatura con tante de 15.5 °C. 2. Formulación matemática del problema q

4

Planteamiento matemático de problemas

q

q

Introducción del conjunto de variables e incógnitas relacionadas con el problema. Se toma el medio día como   , se tiene que =21.1 , =15.5  y 2 ( = 2 horas) =18.3 °C. Ley o leyes físicas que gobiernan el cambio de temperatura. La ley que rige este problema es la Ley de enfriamiento de Newton; entonces, aplicando la ecuación 1.2 a = 2 horas se tiene que: 

De donde se obtiene lo siguiente: 18.3−15.5=5.6−2

Ec. 1.3

De esta ecuación se obtiene que:  (2)/2

Para determinar el momento del deceso se utiliza la ecuación 1.3 con la temperatura corporal humana normal de 37 °C y se plantea la siguiente ecuación: 37 − 15.5 = 5.6 Esta ecuación se resuelve para y, nalmente, se encu entra el tiempo buscado: =−3.83/ = −23.832

Ec. 1.4  = −3.90 horas

Por lo que se concluye que el deceso ocurrió a las 12:00 menos tres horas 54 minutos; esto es, a las 8:06 a.m.

5

Capítulo 1

1.1.2 Ejemplo 2. Problema de dec aimiento radioactivo

Una sustancia radioactiva decae a un ritmo proporcional a la cantidad de la sustancia presente. Si  es la cantidad al tiempo , se tiene: Ec. 1.5 Donde  es una constante. La solución de la ED es: Ec. 1.6 Si  es la vida media de la sustancia radioactiva, se tiene por de nición:

Donde   . Cabe señalar que la relación del radioisótopo y el átomo normal 12 es, y ha sido durante toda la historia del planeta, siempre la misma para toda criatura viviente y en la atmósfera, y que cuando los organismos mueren y cesa su metabolismo, inicia el proceso de decaimiento radioactivo de 14. A partir de los datos experimentales del isótopo 14 y =0.0001216/año, se puede determinar el momento en que un organismo murió al medir la concentración de 14 en un fósil y compararla con un organismo actualmente en vida. Esta técnica se llama datado con radiocarbono. Por ejemplo, asuma que:

Se tiene que:

6

Planteamiento matemático de problemas

1.2 Introducción a los modelos matemáticos

La mayoría de los sistemas o fenómenos físicos estudiados en las ciencias físicas y en las ingenierías se describen por medio de ecuaciones diferenciales. Esta descripción considera los cambios progresivos, tanto temporales como espaciales, de los sistemas o fenómenos físicos bajo observación. La relación entre las matemáticas y el mundo real se representa por medio de expresiones cuantitativas que constituyen leyes fenomenológicas. Dichas expresiones se conocen, generalmente, como ecuaciones diferenciales. Se considera que las ecuaciones diferenciales gobiernan el comportamiento de ciertos sistemas o fenómenos y, al ser resueltas, proporcionan una gran cantidad de información que permite conocer y analizar la historia, el presente y el futuro de los parámetros involucrados en los objetos de estudio. Es justamente este conocimiento sobre los parámetros lo que permite predecir el comportamiento de los fenómenos estudiados y lo que hace sustantivas a las ecuaciones diferenciales y a los métodos o técnicas que sirven para resolverlas. Estimar el comportamiento es difícil, especialmente cuando se trata de predicciones. Las metas generales del modelado matemático son: q La comprensión. Obtener una idea general de cómo ocurre un fenómeno, cuáles son sus causas y cómo se relaciona con otras partes del sistema natural al que pertenece. q La explicación. Intentar ir más allá al explicar por qué el fenómeno o el proceso en cuestión sucede de una manera u otra. q La predicción. Ser especí co al establecer lo que le sucederá a un sistema bien de nido en el futuro si se cumplen ciertas condiciones. q La retrodicción. En algunas áreas de la ingeniería se obtiene una “predicción del pasado” cuando se extraen conclusiones relativas a la historia todavía inexplorada de un proceso o fenómeno. 1.3 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos

El modelo matemático es la ecuación o el conjunto de ecuaciones, usualmente en derivadas parciales, donde se plasma la teoría del modelo con7

Capítulo 1

ceptual. Dentro de la computadora, el modelo matemático constituye la entidad abstracta que sustenta numéricamente al comportamiento idealizado del sistema real, y si bien todo modelo es perfectible y su grado de di cultad puede elevarse teóricamente hasta el in nito, esa complejidad puede ser bloqueada en la práctica por la carencia de datos medidos y por las capacidades siempre limitadas de las computadoras, aun las más poderosas. Cabe señalar que las ecuaciones del modelo matemático son suposiciones en tanto que de nen el comportamiento supuesto de un continuo ideal. Aunque matemáticamente toda hipótesis constitutiva presentada en forma de ecuación es una de nición, en realidad se llega a ella por medio de evidencias físicas fortalecidas con mediciones experimentales. Es por esto que a las ecuaciones constitutivas del modelo se les considera leyes fenomenológicas, las cuales abarcan procesos de excitación y respuesta del sistema natural. Es importante indicar que es muy escasa la probabilidad de determinar todos los aspectos de alguna teoría sin recurrir a la praxis de la física. Como ya se mencionó, la formulación de un modelo matemático implica, términos generales, identiel car los parámetros o variables de cambioenen un sistema como tanto establecer conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema en cuestión. Dichas hipótesis suelen consideran el ritmo del cambio de uno o más de los parámetros involucrados. El enunciado matemático de esas hipótesis lo constituyen una o más ecuaciones donde intervienen derivadas; es decir, ecuaciones diferenciales. El proceso de modelado sigue, en esencia, el siguiente orden: 1. Identi cación de variables. Establecer la notación matemática. 2. Determinación de las leyes empíricas que se pueden aplicar. Establecer

las hipótesis del sistema estudiado. Planteamiento de las ecuaciones. 3. 1.4 Ejemplos de planteamiento de un modelo matemático 1.4.1 Ejemplo 3. Problema de calentam iento de una esfer a de hielo

Considere una esfera de hielo que se derrite a un ritmo proporcional al área 8

Planteamiento matemático de problemas

de su super cie. Hay que encontrar una expresión para el volumen de la esfera en cualquier unidad de tiempo. 1. Identi cación de las variables:

Incógnita: volumen (e cacia del tiempo). Notación matemática. 2. Las leyes empíricas que se pueden aplicar: q En los datos se indica que la esfera se derrite a un ritmo proporcional al área de su super cie; es decir, el volumen de la esfera cambia a un ritmo proporcional al área de su super cie. q El ritmo de cambio del volumen es la derivada de  con respecto al tiempo: es el qLa expresión de la ley en notación matemática: radio de la esfera,  = constante. 3. Planteamiento de la ecuación con la incógnita  . Se sabe que el volumen de la esfera es: q q

Entonces, resolver para :

Y al sustituir  en la derivada:

Esta es la expresión que proporciona el cambio del volumen con respecto al tiempo; es decir, la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la esfera y su reducción de volumen a un ritmo proporcional a su super cie. Durante el proceso de modelado se presentan frecuentemente condiciones adicionales que se deben añadir al problema planteado. El problema presentado a continuación ejempli ca dicha situación. 9

Capítulo 1 1.4.2 Ejemplo 4. Determinación de la temperatura de un objeto sometido a una fuente de calor en un momento determinado

Un termómetro marca la temperatura de un sistema en 80 °C; se mide también la temperatura del medio, la cual es de 20 °C. El sistema se empieza a enfriar y, tres minutos después, se encuentra que el termómetro marca 75 °C. Se desea predecir la lectura del termómetro para varios tiempos posteriores y, por lo tanto, se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados. 1. Identi cación del problema:  . representa la temperatura marcada por el termómetro, los datos indican que cuando = 0.0,  = 80.0, y cuando  = 3.0 min,  = 75 °C. 2. Leyes empíricas que gobiernan el problema. De acuerdo con la ecuación

de la Ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de la temperatura con el tiempo es directamente proporcional a la diferencia de las temperaturas, 3. Notación matemática:  es proporcional a la diferencia de temperaturas ( − 20.0). Puesto que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, entonces (−) resulta la constante de proporcionalidad. Así,  debe ser determinada a partir de la ecuación diferencial y, por lo tanto, necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes, dado que hay dos constantes a determinar:  de la ecuación de enfriamiento de Newton y la constante de integración que se encuentra en la solución de la misma. 4. Condiciones adicionales.

Y transcurrido cierto tiempo de enfriamiento,

Debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C, de la ecuación 1.1 se sigue que:

10

Planteamiento matemático de problemas

Entonces, la condición indica que 80 = 20 + y, por lo tanto, la constante de integración es  = 60, de modo que la ecuación anterior resulta:

El valor de  será determinado ahora usando la condición: para  = 3.0,  = 75 °C, por lo que, con la ecuación anterior, se obtiene:

De esta ecuación se obtiene que Por consiguiente:



Entonces, sustituyendo

se obtiene la siguiente expresión:

Ecuación con la que se puede determinar la temperatura en un momento dado y, por consiguiente, al conocer la temperatura, también permite hallar el tiempo de enfriamiento transcurrido. 1.4.3 Ejemplo 5. Pl anteamiento de un problema cotidiano de un objeto sometido a una fuente de calor

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 148 °C. Tres minutos después, su temperatura es de 93 °C. Se requiere conocer la temperatura del pastel de 21 °C. a un tiempo determinado. Considere una temperatura ambiente 1. Identi cación de las variables: temperatura enfunción del tiempo. 2. Ley empírica: la ley de enfriamiento de Newton que señala que la ve-

11

Capítulo 1

locidad con que la temperatura cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante del medio que lo rodea. 3. Notación matemática:  4. Condiciones adicionales:       1.5 Modelado de problemas por medio de ecuaciones diferenciales

En esta sección se presenta una introducción a la deducción de las ecuaciones diferenciales a partir de algunas situaciones físicas de sistemas o fenómenos físicos. Además, se revisan los pasos del modelado matemático para hacer un planteamiento matemático y obtener su solución, así como para realizar la interpretación física del resultado. Esta sección se orienta al modelado de problemas que conducen a ecuaciones diferenciales. 1.5.1 Ejemplo 6. Cálculo de la concentración de sal en un tanque con entrada y salida de salmuera

Un tanque se está llenando con salmuera a un ritmo de  unidades de volumen por segundo; al mismo tiempo, unidades por segundo son bombeadas fuera del tanque. Se supone que la concentración de salmuera es  unidades de masa por unidad de volumen. A un tiempo , el volumen de salmuera del tanque  es y contiene unidades de masa de sal. ¿Cuál se la cantidad de sal en el tanque en un tiempo determinado, asumiendo que el contenido del tanque esté bien mezclado? 1. De nición de la notación: q Sea  la cantidad de sal en un tiempo determinado . q Sea  el volumen de salmuera en un tiempo determinado. 2. Las leyes físicas que gobiernan el problema: q q

Conservación de de masa volumen de salmuera. Conservación de sal. 3. El balance de masa de sal en el tanque: q La sal que se tire por segundo: ac (unidades de masa unidades de tiempo). 12

Planteamiento matemático de problemas

q

La sal que contendrá el tanque será:

q

La conservación del volumen de salmuera:

q

La conservación de masa de sal. El cambio de la cantidad de sal con respecto al tiempo:

Al sustituir  en la ecuación anterior, se obtiene la siguiente ecuación lineal: Ec. 1.a En el caso particular de que el ritmo de entrada de salmuera por segundo fuera igual al ritmo de volumen de uido de salida, , la solución sería: Ec. 1.b La ecuación 1.a representa el modelo matemático del problema físico del tanque llenado con salmuera con una extracción determinada, mientras que la ecuación 1.b representa un caso particular del problema. Como un ejemplo numérico se tiene que si l, entonces       . Ec. 1.c Ahora bien, si después de 100 minutos suponemos que del tanque se empieza a fugar un litro de salmuera adicional por minuto, determinemos cuánta sal permanecerá en el tanque doce horas después delinicio de la fuga. Se tiene que resolver una ecuación diferencial diferente, ahora con los parámetros    : 13

Capítulo 1

Ec. 1.d Y como se tiene   como condición inicial, se sustituye en la ecuación 1.c: Ec. 1.e La solución general de la nueva ecuación es:

Con la condición inicial C.I,  se obtiene la constante :

Y después de doce horas,   minutos.

La solución se representa con una parábola con un máximo          . Cuando   , el tanque está vacío y la ecuación diferencial no constituye una descripción válida del proceso físico. La concentración en un tiempo     es:

La cual converge a 1 conforme   . 1.5.2 Ejemplo 7. Modelado del flujo de calor en una barra por medio de una ecuación diferencial parcial de un objeto sometido a una f uente de calor

Considere que se tiene un experimento dividido en los siguientes pasos:

14

Planteamiento matemático de problemas

1. Se inicia con una barra de cobre de una longitud razonable (   )

de 2 cm de diámetro, cuyos lados laterales (pero no los extremos) están cubiertos con material aislante. En otras palabras, el ujo de calor puede entrar y salir de la barra por los extremos, pero no por la super cie lateral. 2. La barra se encuentra en un ambiente con una temperatura ja  (en °C) durante un tiempo su cientemente largo para que el comportamiento de la temperatura esté en un régimen permanente similar al ambiente. Por simplicidad, sea la temperatura del ambiente =10 °C. 3. Se toma la barra y se coloca fuera del ambiente a un tiempo  = 0 y se adhieren dos elementos de temperatura (termostatos) en los extremos de la barra. El propósito de estos elementos es mantener los extremos de la barra a temperaturas especí cas  y  (sea  = 0 °C y  = 50 °C). En otras palabras, los termostatos monitorean constantemente la temperatura en los extremos de la barra y aseguran los valores de temperatura asignados en los extremos. El experimento se ilustra en la gura 1.1. 4. Se monitorea el per l de temperatura de la barra en algún tipo de display. Elemento que asegura T1 la temperatura en el extremo izquierdo

Elemento que asegura la temperatura en el extremo derecho

T2

u T2 Estado estacionario

T0

T1

L

Figura 1.1 Diagrama esquemático del experimento 15

Capítulo 1

1.5.3 Modelado matemático de un experimento de flujo de calor

La descripción de este problema físico requiere tres tipos de ecuaciones: 1. Una ecuación diferencial parcial que describa el fenómeno físico del ujo de calor; esto es, la Ley de Fourier de ujo decalor por conducción. 2. Las condiciones de frontera que describan la naturaleza física del problema en los extremos. 3. La condición inicial quedescriba el fenómeno físico al inicio del experimento. La ecuación básica en una dimensión que describe el uj o de calor a través de la barra es: Ec. 1.f La cual relaciona las cantidades presentadas a continuación.   : Ritmo de cambio de la temperatura con respecto al tiempo, medido en grados/seg. : Concavidad del per l de temperatura , la cual compara, esencialmente, la temperatura en un punto con la temperatura en los puntos vecinos. La derivación de esta ecuación se presentará en el capítulo II. Esta ecuación indica simplemente que la temperatura, , en algú n punto de la barra  y  en algún momento  se incrementa  ≥ 0 o disminuye  ≤ 0 de acuerdo con el valor, positivo o negativo, de la parcial . La gura 1.2 ilustra el ca mbio de temperatura a diferentes punto s a lo largo de la barra.

16

Planteamiento matemático de problemas

u

u(x,t) u(x+ x,t)

Perfil de Temperatura al tiempo t

u(x- x,t) u(x- x,t)+u(x+ x,t) 2

Promedio de temperatura de 2 puntos vecinos

x Figura 1.2 Cambio de temperatura de acuerdo con   xx Para ver como  puede interpretarse para medir el ujo de calor, se supone una aproximación de por la diferencia del cociente:

Ec. 1.g Se tiene la siguiente interpretación de: 1. Si la temperatura  < que el promedio de la temperatura de dos puntos vecinos, entonces  > 0. Aquí el ujo neto de calor en  es positivo. 2. Si la temperatura  es igual al promedio de dos temperaturas co-

rrespondientes puntos vecinos, entonces = 0. En este caso, el ujo de calor en  esaigual a cero. 3. Si la temperatura  > que el promedio de las temperaturas de dos puntos vecinos, entonces  < 0. En este caso, el ujo neto de calor en  es negativo. Esto se ilustra en la gura1.2. 17

Capítulo 1

Es decir, si la temperatura en un punto > que el promedio de la temperatura en dos puntos vecinos       , entonces la temperatura en  decrecerá. Además, el ritmo exacto del decremento es proporcional a esta diferencia. La constante de proporcionalidad  es una propiedad del material que no se discutirá en este texto. En cuanto al tipo de ecuaciones llamadas condiciones de frontera, se puede decir que todos los problemas físicos tienen condiciones de frontera de algún tipo. Se tiene que describir matemáticamente lo que existe en los extremos para describir adecuadamente el problema físico. En el experimento referido, las condiciones de frontera, CFI y CFE, se pueden deducir fácilmente a partir de las temperaturas que quedaron jas para todo    en  y  en los dos extremos    y   ; por lo que se puede escribir, Ec. 1.h relación a las condiciones iniciales, se puede mencionar queCon todos los problemas físicos deben iniciartambién en un valor de tiempo, generalmente llamado tiempo inicial,   . Es en este tiempo donde se tiene que especi car el problema físico. En el caso del experimento en cuestión, se inicia el monitoreo de la temperatura justo en el tiempo en el que la barra pierde su temperatura constante de. Entonces se puede escribir: Ec. 1.i Ahora está descrito matemáticamente el experimento. Si se escriben las ecuaciones juntas, se tiene un problema de valores iniciales y de frontera, PVIF; es decir:

18

Planteamiento matemático de problemas

El conjunto de las cuatro ecuaciones (la ecuación que gobierna el ujo de calor, en este caso, las dos condiciones de frontera y la condición inicial) constituye la formulación matemática o planteamiento matemático del experimento y se le conoce como el problema de valores iniciales y de frontera, o PVIF, del experimento. Cabe señalar que sólo existe una función  que satisface el problema 1.5.2 y que esta función describe la temperatura de la barra. El problema después será encontrar la solución única. En los siguientes capítulos se revisarán los elementos necesarios para encontrar la solución única a este problema y a otros similares. 1.6 Esquema general del planteamiento matemático de un problema físico

Con la nalidad de ilustrar de forma sencilla los pasos a seguir en el planteamien-

Concebir la forma   

to matemático de un blema del mundo real,proa continuación se presenta un diagrama de bloques que representa el procedimiento de modelado matemático.

      

   

   

NO

Figura 1.3 Diagrama de bloques del procedimiento de modelado matemático

La   

SÍ    

     

      

19

Capítulo 1

1.7 Categorías de modelos matemáticos

Los modelos matemáticos pueden clasi carse de acuerdo con sus formas matemáticas, como sigue: q Modelos determinísticos y modelos estocásticos, dependiendo de la aleatoriedad de las variables que aparezcan en el modelo. q Modelos lineales y modelos no lineales, dependiendo del tipo de las ecuaciones del modelo. q Modelos estacionarios y modelos dinámicos, dependiendo de la inclusión de la variable tiempo. q Modelos de parámetros concentrados (condensados) y modelos de parámetros distribuidos, dependiendo de la inclusión de las variables espaciales. En ingeniería de yacimientos es preferible el modelado de parámetros distribuidos porque este tipo de modelos es más general, más aproximado y más adecuado para los propósitos de planeación y administración de la explotación yacimientos. Un modelo parámetros distribuidos describe conde unalosecuación diferencial parcial de o con un conjunto de ecua-se ciones diferenciales parciales. Por ejemplo, se puede tener un modelo determinístico, no lineal y transitorio. 1.8 Modelo conceptual: de la realidad a la idealidad

Dada la complejidad de muchos de los sistemas naturales que se requieren representar por medio de un modelo, en aquellos cuyo tratamiento matemático exacto es prácticamente imposible, surge la necesidad de introducir la noción de modeloconceptual, que es el enfoque más poderoso para abstraer y simpli car los fenómenos naturales. En esta categoría, el sistema natural srcinal se reemplaza con un sistema cticio más simple o esquema, que puede ser representado medio matemático de un conjunto de ecuaciones integrodiferenciales de nidas en por un espacio que represen ta virtualmente el espacio real en donde ocurre el fenómeno a modelar. Una vez que el modelo conceptual ha sido establecido, los principios básicos de la física y los procedimientos matemáticos que se apliquen con20

Planteamiento matemático de problemas

ducirán directamente a una teoría que describa el fenómeno investigado de manera aproximada. El sistema natural debe obedecer las leyes físicas y químicas, y estas también deben regir el comportamiento químico, mecánico y termodinámico del sistema esquematizado. Dichas leyes y su expresión en ecuaciones contienen varios parámetros, por ejemplo, en el caso de los yacimientos petroleros están la porosidad, la permeabilidad, la conductividad térmica y la compresibilidad, todas ellas relacionadas con las propiedades del sistema real. Otro concepto clave en el arte de modelar es la noción de escala, la cual interviene en el grado de simpli cación del modelo. Siempre hay un punto en el cual debe detenerse el detalle del modelado. No es posible estudiar la termodinámica de un uido a partir de las interacciones cuánticas entre las partículas elementales que forman sus moléculas o calcular la deformación de una roca describiendo los quarks de sus átomos. De ser factible su elaboración, tal modelo sería inimaginable y, por tanto, inútil. Al resultado nal proveniente de esquematizar, escalar y simpli car las características y el comportamiento del sistema real se le denomina modelo conceptual. teoríapuntos: para modelar un sistema determinado tiene que especi car los Toda siguientes q Dominio y validez. ¿Dónde se aplica? q Precisión. ¿Qué tan bien reproduce lo observado? q Complejidad. ¿Cuántas ecuaciones y procesos abarca? El aspecto más práctico del modelo conceptual es su grado de complejidad, el cual se re ere al número de postulados, relaciones y parámetros que necesitan especi carse a priori para obtener respuestas únicas y predecibles del modelo. Cuando no se pueden determinar todos los parámetros, ni siquiera de manera aproximada, la estrategia consiste en reducir la complejidad, aun a costa de una precisión y un campo de aplicación reducidos. Aquí interviene otra vez la noción de escala. A continuación se resumen las características básicas de un buen modelo conceptual: q La complejidad del modelo conceptual debe ser directamente proporcional a la cantidad de datos disponibles. Se debe escoger el modelo más simple que reproduzca toda la información medida. 21

Capítulo 1

q

q

q

q

q

No se deben introducir complejidades teóricas para las cuales no se tengan datos medidos. La aparición posterior de información nueva indica en qué dirección es conveniente re nar o elaborar más el modelo. La simpli cación no debe ser exagerada, ni debe llegarse al punto de eliminar las características fundamentales. Un modelo demasiado simple sólo proporcionará análisis igualmente simplistas. El modelo no debe tener tendencias; por ejemplo, no debe reproducir un tipo de datos a expensas de otro. El modelo debe reproducir con el mismo rango de precisión todos los grupos de datos disponibles. Un modelo que calibra con precisión sólo cierto tipo de información, sólo está validado parcialmente. El modelo debe veri car y reproducir primero los datos observados y medidos, hasta donde sea posible. La información medida o calculada debe calibrarse con el modelo en un segundo paso con el n de evitar que se ltren tendencias al incorporar los datos interpretados usualmente con otros modelos. Incluso el suavizar los datos medidos puedeborrar información relevante.

En general, modelar es comprender. A mejores y más representativos modelos matemáticos corresponde una comprensión más completa del fenómeno estudiado. Del conocimiento sobre el sistema, procedente de la observación y de la medición, sólo puede abstraerse la parte de su comportamiento susceptible de ser modelada con una teoría aceptada. La actividad de modelar se re ere a la formalización de un procedimiento; sin embargo, esta formalización no es única, pues depende inevitablemente de las teorías que la sustentan y de la información disponible. Todo modelo tiene limitaciones inherentes y debe veri carse con la realidad física observable. Dependiendo de qué tan adecuadas resulten sus predicciones de esa realidad, se hablará de la precisión del modelo y del rango de su aplicación. El mejor modelo será aquel que, para el mismo dominio simulado, prediga la conducta del sistema con más precisión dentro del rango de incertidumbre de los datos medidos. Es por esto que, aplicado a mediciones imprecisas e incorrectas, el tipo de modelo no tiene ninguna importancia.

22

Planteamiento matemático de problemas

1.9 Modelado matemático de yacimientos

El estudio y la comprensión de los procesos de transporte que ocurren en sistemas naturales fracturados, tales como acuíferos, yacimientos petroleros y geotérmicos, es relativamente reciente. Desde hace aproximadamente 40 años se han desarrollado métodos de investigación basados tanto en modelos matemáticos-analíticos y numéricos comoexperimentales para tratar de comprender los complicados mecanismos de ujo presentes en tales escenarios. En este tipo de sistemas, el problema principal radica en la di cultad para representar con precisión las dimensiones y la distribución espacial de propiedades del medio como la permeabilidad, la porosidad, el fracturamiento, etc. La comprensión cabal de estas propiedades requeriría conocer la forma en la que fueron creadas por procesos geológicos y tectónicos de naturaleza aleatoria. En el comportamiento de los yacimientos, tanto el transporte de masa, de cantidad de movimiento y de energía, como la distribución de los parámetros petrofísicos, juegan un papel de gran relevancia. Es por ello que en este texto se consideró necesario dedicar los capítulos 4dey 5ujo a revisar conceptosEnindispensables para la formulación de problemas en yacimiento. el capítulo 4 se revisan los conceptos básicos de los fenómenos de transporte mientras que en el capítulo 5 se revisan los preliminares de la ingeniería petrolera junto con los conceptos necesarios para la comprensión de la fenomenología de un problema de ujo de uidos en yacimientos. La limitante más importante en el desarrollo cientí co general de la ingeniería de yacimientos es la escasez de datos en unas áreas y su abundancia en otras. En esta disciplina siempre se trabaja con información incompleta y con incertidumbre. Tampoco es posible elaborar maquetas físicas que representen globalmente el yacimiento. Se tienen dudas incluso sobre cómo ligar los datos obtenidos en la medición directa en los núcleos de la formación con las propiedades del yacimiento mismo. Existen técnicas, como las pruebas de variacióna de presión y las pruebas de trazadores, cionan información nivel megascópico que resultan más con que ablesproporpues analizan el yacimiento de manera global en vez de en fragmentos pequeños. Lo mismo puede decirse de la simulación numérica de yacimientos, con la cual se puede obtener la descripción integral detallada del yacimiento, 23

Capítulo 1

reproduciendo los datos conocidos. Una vez lograda la aproximación detallada del yacimiento, se puede extrapolar la información y predecir el futuro del comportamiento del sistema, sujetos a diferentes condiciones o escenarios de explotación, bajo distintos procesos, riesgos y grados de incertidumbre. Los avances logrados en estos aspectos son la base de la ingeniería de yacimientos petroleros. A continuación se presenta el procedimiento general del modelado de problemas en ingeniería petrolera. 1.9.1 Procedimiento general del modelado matemático de problemas de ingeniería petrolera

1. Enfoque del problema: q

Reconocimiento de las variables (presión, temperatura, gasto, etc.).

2. Simpli cación del problema:

Régimen estacionario, uido ligeramente compresible, presión constante, gasto constante. 3. Formulación del problema: q

q

Dependencia una variable conderespecto a otra. (No. dede incógnitas = No. ecuaciones): 4. Solución Método analítico. Métodos numéricos. 5. Validación de la solución. 6. Utilizar la solución. 7. Desarrollar procedimientos de caracterización del sistema. q

q

Puesto que el enfoque principal de este texto es el planteamiento matemático y la solución analítica de problemas valores iniciales y de frontera de ingeniería petrolera, los capítulos a continuación se limitan a desarrollar los primeros cuatro pasos del procedimiento anterior, considerando exclusivamente los métodos de solución analítica.

24

Capítulo 2

Principios de los fenómenos de transporte En este capítulo se presenta una breve introducción al campo de los fenómenos de transporte en el que se revisan tres mecanismos principales: transporte de cantidad de movimiento ( ujo viscoso), transporte de calor (sólo conducción) y transporte de masa (difusión). El medio a través del cual se transportan estos fenómenos es un medio continuo. La nalidad de esta sección es presentar los conceptos de los mecanismos de transporte y las fundamentales uno depara los procesos, parade garantizar, así,leyes la comprensión cabalque delrigen lectorcada necesaria el desarrollo las ecuaciones de ujo en medios porosos de los capítulos subsecuentes. Por ejemplo, para el desarrollo de la ecuación conocida como ecuación de difusividad se requiere la ecuación de transporte de cantidad de movimiento, o bien, para la derivación de la ecuación de ujo másico de un trazador en un medio poroso se requiere la ecuación de continuidad y la de transporte de masa por difusión. Lo anterior es una muestra de que el entendimiento de los conceptos y principios básicos de las tres formas de transferencia es, de nitivamente, muy importante. En este capítulo también se presentan los principios fundamentales de los mecanismos de transporte de cantidad de movimiento (momentum), calor y masa. En primer término, se revisan algunos conceptos fundamentales, como la de nición de uido, y seresenta p una sucinta discusión sobre las tendencias moleculares y del medio continuo; luego sedescribe el estado de deformación de los uidos. Una vez revisados los conceptos fundamentales, se describen los mecanismos de transporte a nivel molecular de las tres formas de transferencia.

Capítulo 2

Objetivo Presentar los elementos preliminares de los mecanismos de transporte necesarios para comprender el desarrollo de las ecuaciones que gobiernan el flujo de fluidos en yacimientos petroleros presentadas en los siguientes capítulos. Para alcanzar este objetivo, es necesario utilizar las ecuaciones de conservación, como la de continuidad y la de movimiento, entre otras. En este capítulo sólo se revisan los principios básicos de los tres tipos de transferencia de manera resumida y se presenta una analogía entre ellas.

2.1 Conceptos fundamentales

El contenido de este capítulo se enfoca en el movimiento de los uidos viscosos. La propiedad física que caracteriza la resistencia de un uido a uir es la viscosidad y esta, a su vez, está de nida por la ley de Newton de la viscosidad, la cual será revisada más adelante. Partiendo de lo anterior, presentaremos primerodelaeste de libro: nición de uidoy continuo. y, posteriormente, las dos tendencias de estudio molecular Fluido. Es aquella sustancia que se deforma continuamente bajo la acción de un esfuerzo; es decir, que uye. Existen dos tipos de uidos: los líquidos y los gases.

F

Fluido

t1 t2 Flujo

Figura 2.1 Deformación continua de un uido bajo la acción de un esfuerzo 2.1.1 Tendencias de estudio: molecular y del medio continuo

El estudio de la transferencia de cantidad de movimiento atañe tanto a los uidos en movimiento como a las fuerzas responsables de este movimiento. En este estudio existen dos formas de analizar los problemas: 26

Principios de los fenómenos de transporte

q

q

Tendencia molecular. Los uidos, al igual que todas las sustancias en la naturaleza, están compuestos por moléculas que, en cantidades muy altas forman grupos que, a su vez, dan srcen a los diferentes elementos y compuestos presentes en el medio ambiente. Así, por ejemplo, tan sólo en una pulgada cúbica de aire a condiciones ambiente se estima que existen alrededor de 1020 moléculas, con lo cual resulta evidente la imposibilidad de describir y predecir los movimientos individuales de las diferentes moléculas que componen un uido. Incluso en la teoría cinética de los gases y en la mecánica estadística, los movimientos moleculares se describen en términos de agrupamientos estadísticos, más que en términos de moléculas individuales. Tendencia del medio continuo. En este caso, el uido se trata como un cuerpo en el que existe una distribución continua de materia (continuum). Se considera que el volumen de control más pequeño que pueda tomarse del uido contendrá un número su ciente de moléculas como para que cualquier promedio estadístico tomado en él sea válido; así, las propiedades macroscópicas de un medio continuo variarán ligeramente ysería de válido forma sicontinua de un punto otro del uido.el Este concepto no en un volumen lo su aciente pequeño número de moléculas por unidad de volumen contenidas fuera dependiente del tiempo, aun cuando a nivel macroscópico el número de moléculas contenido en un volumen mayor resultara constante.

En este texto se utiliza la tendencia del medio continuo ya que es la de interés inmediato para resolver el tipo de problemas que aquí se tratan; sin embargo, es necesario enfatizar que ambas tendencias son necesarias para completar el estudio de los mecanismos de transporte y para describir las propiedades de los uidos, así como para el estudio de los diferentes problemas que aquí se tratan. 2.1.2 Sistemas termodinámicos

Existe una serie de conceptos de uso común en termodinámica que será de gran utilidad al estudiar los procesos de transferencia. A continuación se presenta un breve repaso. 27

Capítulo 2

Sistema. Es la parte del universo que se aísla para estudiar un proceso de interés. Contorno o límites. Son las super cies que separan al sistema de sus alrededores. Pueden ser super cies físicas o matemáticas. Cabe mencionar que el contorno o los límites de un sistema pueden ser super cies reales o imaginarias. Normalmente, el contorno queda de nido mediante la suspensión de la continuidad de una propiedad del sistema. Alrededores. Es el mundo físico que no está comprendido ni en el sistema ni en el contorno. Se puede establecer una primera clasi cación de los sistemas a partir de sus alrededores: q Sistema completamente aislado. Se obtiene cuando no existe transferencia de masa ni de ninguna forma de energía entre el sistema y sus alrededores. q Sistema térmicamente aislado. Puede existir intercambio de masa u otra forma de energía, mientras no sea térmica, con los alrededores. q Sistema mecánicamente aislado. Tiene contornos rígidos y de volumen q q

constante. No puede dar nitransferencia recibir trabajo. Sistema cerrado. No existe de masa con los alrededores. Sistema abierto. Existe intercambio tanto de masa como de energía entre el sistema y sus alrededores.

Estado de un sistema. El estado de un sistema queda de nido por la magnitud de sus propiedades y por la condición que guardan en un momento dado; así, quedará de nido por ciertas magnitudes medibles como masa, volumen, presión y temperatura. Por estado de equilibrio de un sistema se entiende la invariabilidad de las propiedades del sistema con respecto al tiempo. Las variables que gobiernan un proceso determinado están ligadas por medio de una interrelación que se denominará ecuación de estado, la cual puede de nirse como la relación que existe entre las propiedades puntuales del sistema en estadomatemática de equilibrio. Las propiedades puntuales del sistema poseen las siguientes ca racterísticas:

28

Principios de los fenómenos de transporte

q

q

El cambio en estas propiedades puede expresarse mediante una diferencial total. La diferencial total debe ser una diferencial exacta y se de ne así: Sea una función  , entonces su diferencial será: Ec. 2.1 Por otra parte, se tiene: Ec. 2.2 Donde debe cumplirse la condición: Ec. 2.3

Al expresarse una variable (propiedad) del sistema en función de las restantes, tendremos lo que se denominan grados de libertad del sistema. Si la propiedad del sistema que nos ocupa en un momento dado cumple con las condiciones de las ecuaciones 2.2 y 2.3, la forma en la que pase de un estado inicial a uno nal es intrascendente; es decir, es independiente del camino seguido. Las propiedades de un sistema pueden dividirse en dos clases: q

q

Propiedades intensivas. Son aquellas propiedades independientes de la cantidad de materia contenida dentro del sistema; por ejemplo: temperatura, presión y densidad. Propiedades extensivas. Son aquellas cuyos valores son directamente proporcionales a la masa del sistema. Así, el volumen total de un sistema es una propiedad extensiva; otros ejemplos son la masa y el número de moles. En general, al dividir una propiedad extensiva por la masa, se convierte en una propiedad intensiva; por ejemplo, el volumen especí co.

29

Capítulo 3

Preliminares de las ecuaciones diferencialesparciales Este capítulo revisa los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales. En primer término se presentan los conceptos relacionados con las ecuaciones diferenciales ordinarias, EDO, y, en segundo, los conceptos de las ecuaciones diferenciales parciales, EDP. Cabe señalar que sólo se incluyen los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales que la autora considera necesarios para la comprensión de los capítulos subsecuentes. Este material pertenece a un curso elemental de ecuaciones diferenciales y es estrictamente opcional. Las dos secciones de este capítulo están dedicadas a la introducción tanto de las EDO como de las EDP, ecuaciones de primer y segundo orden, principalmente. Se introducen conceptos como linealidad y superposición, así como los métodos de solución de lasecuaciones diferenciales, tanto homogéneas como no homogéneas, y algunas técnicas de las ecuaciones y problemas de valores en la frontera. Se derivan también, a manera de ejemplo, algunas formas de equilibrio de ecuaciones bien conocidas, como la ecuación de calor. La nalidad de los ejemplos es presentar algunas aplicaciones sencillas antes de entrar de lleno a las aplicaciones objeto de este libro, los problemas de valores iniciales y de frontera frecuentes en la ingeniería petrolera; es decir, esencialmente problemas de ujo de uidos en tuberías y medios porosos, cuyas fundamentales corresponden de segundo orden. Es ecuaciones por lo anterior que en la primera sección aseEDP presentan los conceptos de las EDO con base en las de niciones respectivas, en tanto que la presentación de los preliminares de las EDP aparece en la segunda parte y con ejemplos de aplicación.

Capítulo 3

Objetivo Resumir los preliminares matemáticos necesarios requeridos para la comprensión de los siguientes capítulos. A manera de introducción se presentan los conceptos teóricos y las principales técnicas de las ecuaciones diferenciales parciales y de problemas de valores en la frontera, los cuales son de vital importancia para los temas centrales del libro.

3.1 Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

Este texto se enfoca en las ecuaciones diferenciales parciales: su signi cado físico, los problemas en los cuales aparecen y sus soluciones. Una de las principales técnicas de solución consiste en separar el problema de las ecuaciones diferenciales parciales en problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo tanto, es necesario revisar algunos aspectos de las ecuaciones diferenciales ordinarias soluciones. La siguiente ecuación es unay sus ecuación diferencial ordinaria, EDO, sobre el intervalo : Ec. 3.1 Y está sujeta a ciertas condiciones de frontera, donde  es el operador diferencial lineal de enésimo orden, por lo que cumple con la siguiente igualdad (requisito de linealidad). Ec. 3.2 Donde    son constantes arbitrarias y    son cualesquiera funciones diferenciables, al menos para    . Por lo tanto,  es de la forma: Ec. 3.3

94

Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales

Se puede veri car que la ecuación 3.3 satisface, en efecto, el requerimiento de linealidad de la ecuación 3.2. Un ejemplo de un operador diferencial no lineal es:

Donde se denota, por abreviar:

Aplicando a  una combinación lineal arbitraria se obtiene:

Aquí se observa claramente que lo que encierran los corchetes no es idénticamente igual a cero para cualesquiera valores de    por lo que  no satisface el requerimiento de linealidad de la ecuación 3.2. Por lo tanto, el operador  no es lineal. Esto, por supuesto, no es una sorpresa, ya que  claramente no tiene la forma de la ecuación 3.3. Ahora, si se consideran condiciones de frontera asociadas con la ecuación 3.1, como  es de enésimo orden, se requieren condiciones de frontera. De forma general se puede escribir: Ec. 3.4  son constantes y  pueden ser funciones de las incógnitas ; Donde es decir, . El conjunto de todos los valores de  para cada  se de ne sobre el intervalo  de un eje . La función  asigna un valor numérico  a un punto en el eje . La totalidad de los puntos de  se conoce como rango de .

95

Capítulo 3

Para añadir precisión, el interés principal está en las , las cuales son combinaciones lineales de  y sus derivadas de orden −1 en los extremos o en las fronteras del dominio . Por ejemplo, si  = 2, se tiene:

Se dice que  y  son funcionales lineales porque cumplen con el requerimiento de linealidad de la ecuación 3.2; es decir:

Para cualesquiera constantes y funciones arbitrarias      . Cabe notar que el término operador diferencial se re ere sólo a  y que el término operador diferencial total, denotado por , incluye tanto al operador lineal, , como a las condiciones de frontera , por lo que ambos tienen que ser lineales. 3.1.1 Ecuaciones lineales homogéneas

El interés principal lo constituyen las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Se presentan las siguientes ecuaciones: Ec. 3.5 Ec. 3.6

96

Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales

Si    en cualquiera de las dos ecuaciones, la ecuación diferencial es homogénea. Otra prueba consiste en determinar si la función constante 0 es una solución; en ese caso, la ecuación es homogénea. Es decir que se requiere que la ecuación sea igual a cero para ser homogénea. En las siguientes secciones se revisan las ecuaciones lineales homogéneas. 3.1.2 Ecuaciones diferenciales de pr imer orden

La forma general de la mayoría de las ecuaciones lineales homogéneas de primer orden es: Ec. 3.7 Esta ecuación puede resolverse al separar de un lado de la ecuación e integrando:

Ec. 3.8 Es sencillo veri car que la expresión de la ecuación 3.8 es una solución de la ecuación diferencial para cualquier valor de ; esto es,  es una constante arbitraria y puede usarse para satisfacer la condición inicial, en el caso que se especi que. 3.1.3 Ejemplo 1. Solución de una ecuación diferencial homogénea

Resolver la ecuación diferencial homogénea:

Con base en el procedimiento anterior, la solución general es:

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Capítulo 3

Para cualquier . Si se especi ca una condición inicial, por ejemplo  = 5, entonces  debe ser tal que satisfaga la solución  = 5. El caso más común de esta ecuación diferencial tiene   constante. La ecuación diferencial y su solución son:

Si  es negativo, entonces  se aproxima a cero conforme  se incrementa. Si  es positivo, entonces  se incrementa rápidamente en magnitud de acuerdo a . 3.1.4 Ecuaciones diferenciales de s egundo orden

No es posible dar un método de solución general para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden como la siguiente: Ec. 3.9 No obstante, se pueden resolver algunos casos importantes detallados a continuación. El punto más signi cativo en la teoría general es el principio de superposición. 3.1.5 Principio de superposición

Si 1 ( y 2 ( son soluciones de la misma ecuación diferencial lineal homogénea la ecuación 3.6,solución entoncesdecualquier combinación de las solucionesdetambién será una la ecuación diferencial.lineal Esto es: Ec. 3.10

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Preliminares de las ecuaciones diferenciales parciales

Este teorema es muy sencillo de probar y merece ser considerado como un principio porque se aplica, con sólo algunos cambios, a muchas otras ecuaciones lineales homogéneas. Más adelante se utilizará de nuevo para las ecuaciones diferenciales parciales. Para satisfacer una condición inicial se requieren dos soluciones linealmente independientes de una ecuación de segundo orden. Dos soluciones son linealmente independientes sobre un intervalo únicamente si la combinación lineal de ellas (con coe cientes constantes), que es idéntica a cero, corresponde a la combinación con cero para sus coe cientes. Existe una prueba alternativa: dos soluciones de la misma ecuación diferencial homogénea del tipo de la ecuación 3.10 son independientes si y sólo si su wronskiano, , es distinto a cero en ese intervalo. El wronskiano se de ne como: Ec. 3.11 Si se tienen dos soluciones linealmente independientes  y  de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, entonces la combinación lineal de     es una solución general de la ecuación 3.9, dadas cualesquiera condiciones iniciales  y  que  satisfaga. Un ejemplo del principio de superposición es el siguiente. Se tiene una ecuación diferencial lineal de segundo orden y sus respectivas condiciones de frontera como en la ecuación 3.12

Ec. 3.12 La ecuación 3.12 se puede reescribir sobre el intervalo 0≤ ≤1 con la forma de las ecuaciones 3.1 y 3.11: Ec. 3.12 a

99

Capítulo 4

Desarrollo de las ecuaciones básicas de transporte en yacimientos petroleros El propósito de este capítulo es revisar las matemáticas del ujo de uidos, limitándose a los aspectos básicos de las principales ecuaciones de ujo en tuberías y medios porosos. En este capítulo se muestra cómo formular un problema de ujo de uidos en yacimientos y se revisa el uso del análisis matemático en el planteamiento y la resolución de problemas de ujo transitorio. Este procedimiento es común en muchas otras disciplinas como la conducción masa, etc. de calor en sólidos, la hidrología subterránea, el transporte de Las ecuaciones diferenciales aquí presentadas se obtienen combinando la Ley de Darcy con una sencilla ecuación de balance de materia para cada fase. En este capítulo se derivan, primero, las ecuaciones más simples, aquellas que describen el ujo mono fásico y, después, paso a paso, las ecuaciones diferenciales parciales, aquellas que describen casos más complicados, como los multidimensionales, los multicomposicionales y los multifásicos. Cabe resaltar que las soluciones analíticas obtenidas con las técnicas clásicas de solución de ecuaciones diferenciales parciales se limitan al caso más sencillo: un yacimiento homogéneo con condiciones de frontera muy regulares (como fronteras circulares y un sólo pozo en el centro). Para casos más complejos se plantea un sistema de ecuaciones lineales y no lineales que se resuelven numéricamente por medio del modelado numérico. Un modelado numérico de un yacimiento es un programa de cómputo que usa métodos numéricos para obtener una solución aproximada del modelo matemático. Cabe señalar que el modelado numérico sale de los objetivos de este texto y al lector interesado se le recomienda consultar alguna

Capítulo 4

referencia especializada en el tema, por ejemplo, Azis y Zettari (1979). Sin embargo, dada la importancia de la simulación numérica de los yacimientos, al nal de capítulo se trata el tema de manera introductoria. Se presenta una breve descripción de los objetivos generales de la simulación numérica de los yacimientos, así como las ecuaciones que conforman labase del modelo matemático de dos tipos de simuladores. La penúltima sección abarca las ecuaciones desarrolladas en los apartados previos para formular el problema de ujo composicional y multifásico. En la sección nal se realiza la simpli cación del caso general a un modelo de aceite negro. Cabe señalar que los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales parciales que describen casos muy sencillos de ujo de uidos en yacimientos petroleros se presentan en los capítulos siguientes. Objetivo La finalidad de este capítulo es introducir las ecuaciones fundamentales de flujo a través de yacimientos petroleros que se utilizan en los ejemplos de aplicaciones de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales parciales presentados en los capítulos siguientes; adicionalmente, se pretende dirigir al lector interesado hacia las referencias relevantes sobre el tema.

4.1 Introducción

En la ingeniería petrolera es muy importante inferir el comportamiento de un yacimiento real a partir de su representación en un modelo. El modelo del yacimiento puede ser físico, como un modelo a escala de laboratorio, o matemático. Para propósitos de este texto, se de ne un modelo matemático como el conjunto ecuaciones diferenciales al conjunto de condiciones de de frontera apropiadas que, se parciales considera,aunado describen adecuadamente los procesos físicos más signi cativos del sistema real en cuestión. Los procesos que ocurren en los yacimientos petroleros son, básicamente, el de la cantidad de movimiento, debido al ujo de uidos y a los efectos vis156

Desarrollo de las ecuaciones básicas de transporte en yacimientos petroleros

cosos, y el de transferencia de masa; además, en ciertos casos se presenta el transporte de energía. Hasta tres fases (conocidas en ingeniería petrolera como agua, aceite y gas) uyen simultáneamente en los yacimientos, en tanto que la transferencia de masa ocurre entre las fases (principalmente entre las fases de gas y aceite). La fuerza de gravedad, la capilaridad y la viscosidad juegan un papel muy importante en el ujo de uidos. Para introducir estas ecuaciones es necesario conocer algunos conceptos básicos de mecánica de yacimientos. Para un tratamiento más completo se recomienda consultar Collins (1961) y Craft y Hawkins (1956). Al recurrir a las ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un yacimiento es necesario plantear el problema de valores iniciales y de frontera, consistente en la ecuación diferencial parcial que gobierna el problema y las condiciones iniciales y de frontera correspondientes; una vez planteada la ecuación, ésta se resuelve con alguno de los métodos de solución de las ecuaciones diferenciales. Cabe resaltar que las soluciones analíticas alcanzadas por medio de las técnicas clásicas de solución de ecuaciones diferenciales parciales sólo pueden ser obtenidas para el caso más sencillo, es decir, un yacimiento homogéneo con condiciones de de frontera regulares. Se revisan los principios fundamentales ujo, se discute el desarrollo de la ecuación de Darcy, se compara con la de Navier-Stokes y se hace hincapié en las condiciones de su aplicación. También se revisan algunas ecuaciones fundamentales de ujo, como la ecuación de continuidad, basada en el principio de conservación de masa, y la ecuación de movimiento, utilizada frecuentemente para describir el ujo de uidos enmedios porosos. Finalmente, se discute la construcción de la ecuación de difusividad, notoria en el ámbito de la ingeniería petrolera, la cual gobierna el ujo de un uido ligeramente compresible en una sola fase en un medio poroso homogéneo. Asimismo, se revisan las ecuaciones fundamentales de ujo para el caso más complejo, el ujo multifásico composicional, el cual sólo puede resolverse con métodos numéricos, mediante la simulación numérica de yacimientos. 4.2 Principios fundamentales del flujo del agua en medios porosos

La Ley de Darcy describe, a partir de experimentos de laboratorio, las características del movimiento del agua a través de un medio poroso. La Ley de 157

Capítulo 4

Darcy de ujo laminar de uidos homogéneos en medios porosos homogéneos puede ser derivada a partir del equilibrio de las fuerzas actuantes sobre el uido que uye dentro de un volumen elemental macroscópico. El movimiento del agua en el medio poroso va de un nivel alto a un nivel menor de energía, lo cual se debe, principalmente, a la elevación y a la presión. Cabe notar que la energía cinética, proporcional a la raíz cuadrada de la velocidad, se desprecia porque las velocidades en el medio poroso son muy bajas, al menos para ujo laminar. Mientras el agua uye, experimenta una pérdida de energía debida a la fricción contra las paredes del medio granular a lo largo de su recorrido; esta pérdida de energía por unidad de longitud de distancia recorrida, o gradiente hidráulico, es directamente proporcional a la velocidad del agua en ujo laminaren medios porosos. La proporcionalidad entre el gradiente hidráulico y la velocidad del agua en el medio se expresa matemáticamente con una ecuación conocida como Ley de Darcy, una ley del ujo lineal a través de un medio poroso. La similitud entre el ujo del agua en un medio poroso y el ujo laminar a través de las tuberías fue reconocida por Darcy (1856) y por Dupuit (1863). Tantoujo Hagen en 1839fuecomo Poiseville en 1841 mentos con en tuberías; a Poiseville a quien, másrealizaron tarde, se experile atribuiría la ley de ujo laminar en tuberías. Darcy también se dedicó al trabajo experimental y, en particular, al factor fricción de las fórmulas de ujo en tuberías. En 1856, Darcy realizó un experimento en una tubería vertical de área de sección transversal, , llena de arena (ver experimento de Darcy, presentado en la sección 4.4). Derivado de sus investigaciones sobre el ujo a través de camas de arena estrati cadas, Darcy concluyó que el ritmo de ujo, , era proporcional a la pérdida de energía, inversamente proporcional a la longitud de la ruta de ujo y proporcional al coe ciente, dependiente de la naturaleza de la arena. Cabe señalar que tanto Darcy como Dupuit fallaron al reconocer el hecho de que  depende de las propiedades del uido y de las características como: del medio. La Ley de Darcy puede expresarse matemáticamente Ec. 4.1

158

Desarrollo de las ecuaciones básicas de transporte en yacimientos petroleros

Los subíndices de la ecuación 4.1 se re eren al valor de h correspondiente a las elevaciones  y , y  es la conductividad hidráulica. Donde h se de ne como: Ec. 4.2 Ec. 4.3 En estas ecuaciones, h es la energía por unidad de peso de uido o altura hidráulica; en el caso del agua,  es la elevación arriba de un plano arbitrario, , es la presión sostenida por el uido en los poros del medio, es el peso especí co del uido,  es la viscosidad dinámica del uido y  es la permeabilidad intrínseca del medio. Cuando el uido es gaua, el gradiente hidráulico, , se de ne como: Ec. 4.4 El ujo de uidos en un medio poroso podría ser tratado microscópicamente por las leyes hidrodinámicas si el esqueleto granular del medio fuera un simple montaje geométrico de tubos prismáticos. Sin embargo, los canales que conducen el uido, lejos de ser prismáticos, son tortuosos, están rami cados y tienen múltiples a uentes. En su forma srcinal, la Ley de Darcy evita las insuperables di cultades de la imagen microscópica de la hidrodinámica mediante la introducción de un doble concepto de promedio macroscópico: q Considera una velocidad de ujo cticia, la velocidad deDarcy, o el gasto especí co, , a través de una sección transversal de un medio poroso, en lugar de la velocidad verdadera entre los granos, como se aprecia en la ecuación 4.5: Ec. 4.5 q

Considera un valor del promedio hidráulico en lugar de un valor hidrodinámico local de esta velocidad. 159

Capítulo 4

Estos sencillos conceptos fueron introducidos por la naturaleza misma del experimento de Darcy, que sólo permitía medir valores hidráulicos promedio en el tubo cilíndrico lleno de arena. A partir de la ecuación 4.5, Dupuit derivó, en 1857, la ecuación para ujo uniforme en canales abiertos: Ec. 4.6 Donde  es el gradiente hidráulico,  es la velocidad promedio, es el perímetro mojado del área de la sección transversal y  y  son coe cientes constantes. Dupuit asumió que el canal estaba lleno de arena y que, por lo tanto, el agua uiría mucho más lentamente que en un canal abierto común. El hecho es que el agua uye a través de los granos intersticiales como si uyera a través de un número in nito de tubos paralelos muy pequeños. Y si la arena fuera homogénea, la ecuación 4.6 debería ser aplicable con , constante característica del medio. Además, el término  debe despreciarse porque las velocidades son mucho muy pequeñas. De esta forma, llegóestablecer a la ecuación 4.5 y describió experimento Darcy del añoDupuit previo para su fórmula; Dupuiteldeclaró que la de ecuación fundamental  puede ser considerada, por lo tanto, como un resultado experimental. La Ley de Darcy puede escribirse en forma vectorial como: Ec. 4.7 Si K es una constante, es decir, si el medio es homogéneo e isotrópico, y si el uido tiene una densidad y una viscosidad constantes, entonces la ecuación 4.7 se puede escribir como: Ec. 4.8 En la cual: Ec. 4.9

160

Desarrollo de las ecuaciones básicas de transporte en yacimientos petroleros

Donde  se conoce como el potencial de velocidad y tiene dimensiones de . Se conoce que  puede ser combinado con la función corriente para formar la función de potencial complejo   . En problemas de dos dimensiones, acuíferos y medios porosos de espesor unitario (perpendicular al plano del papel), los cuales son muy comunes,  puede ser expresado en unidades de gasto por unidad de espesor unitario. El concepto de velocidad de potencial suele usarse con frecuencia en la solución de problemas en los que , como una primera aproximación, es tratada como una constante, como es en el caso de las aplicaciones de ingeniería petrolera más simples. Su uso recurrente puede justi carse incluso por esta única razón. En general, sin embargo, la teoría de ujo en medios porosos es más completa cuando el gasto especí co se deriva vía el gradiente de una fuerza de potencial, como se muestra más adelante. Otra vez, se enfatiza que la ecuación 4.8 es válida para los casos en los que  es constante y, por lo tanto, la equivalencia con la Ley de Darcy no es siempre válida. La Ley de Darcy establece que, macroscópicamente, la velocidad Darcy , es igual odoespecí camente elLagasto, al negativo gradiente deocuanvelocidad verdadera en losdel poros del medio, veloci es constante. dad intersticial, es , donde  es la porosidad del medio. Varios investigadores, como Hubbert (1956), han derivado la forma general de la ecuación de Navier-Stokes; estas derivaciones provienen, invariablemente, de consideraciones estadísticas y simpli caciones del complicado ujomicroscópico. Aunque lo anterior no contribuye a la formulación de unanueva ley, sí con rma las creencias tempranas de que la Ley de Darcy es el equivalente empírico de las ecuaciones de Navier-Stokes (véase el capítulo II). A continuación se demuestra este postulado de forma sencilla. Considere las ecuaciones de Navier- Stokes en dos dimensiones:

Ec. 4.10 Y Ec 4.11

161

Capítulo 4

En las ecuaciones 4.10 y 4.11, y son los componentes de la verdadera velocidad, o velocidad intersticial, . El promedio estadístico de las velocidades puede expresarse, esencialmente, con las siguientes suposiciones dimensionalmente correctas: Ec 4.12 Donde  puede ser concebida como la longitud característica, por ejemplo, el tamaño de poro, , del medio, y c es un parámetro adimensional. Si se supone que: Ec. 4.13 Las ecuaciones de Navier-Stokes pueden escribirse como: Ec 4.14

Si  y  son constantes, ambas ecuaciones pueden integrarse directamente y sus integrales deben ser las mismas; es decir: Ec 4.15 Para ujo estacionario, siempre que los términos inerciales aquí representados por la energía cinética del líquido puedan ser despreciables, la ecuación 4.15 se reduce a: Ec. 4.16 Donde

162

Capítulo 5

Aplicación del método de separación de variables El método de separación de variables es una de las técnicas más antiguas para resolver problemas de valores iniciales y de frontera y se usa para ecuaciones diferenciales, parciales, lineales y homogéneas (con coe cientes no necesariamente constantes) y con condiciones de frontera homogéneas. Este método se puede aplicar a un gran número de ecuaciones en derivadas parciales, EDP, y consistepuede en suponer que laensolución de ladeEDP dos variables independientes factorizarse el producto doscon funciones, cada una de las cuales depende sólo de una de las variables independientes; es decir, el problema se reduce a resolver dos ecuaciones diferenciales ordinarias. La cuestión es encontrar las funciones cuyo producto satisfaga la ecuación srcinal. Es importante señalar que, matemáticamente, el método plantea tres soluciones para la EDP; sin embargo, el caso del problema físico modelado por la ecuación srcinal con condiciones iniciales y de frontera, sólo permite una solución y es la física del problema modelado la que permite discernir entre estas soluciones matemáticas. Inicialmente, se desarrolla el método por medio de su aplicación a un problema típico de conducción de calor que involucra ecuaciones diferenciales parciales. El procedimiento se presenta a detalle, y paso por paso, a partir del problema físico. Posteriormente se presentan problemas de valores de frontera de ingeniería petrolera resueltos algunos con el método de separación de variables. En este capítulo también se incluyen soluciones a algunas ecuaciones diferenciales conocidas, como la ecuación de onda y el problema de Sturn-Liouville.

Capítulo 5

Objetivo Describir la solución de ecuaciones diferenciales por medio del método de separación de variables para problemas con valores iniciales y de frontera. Se presenta el procedimiento general, así como cada uno de los pasos a seguir en detalle.

5.1 Int roducción

El método de separación de variables es una de las técnica s más antiguas para resolver problemas de valores iniciales y de frontera, y es válido cuando: 1. La ecuación diferencial parcial es lineal y homogénea (con coe cientes no necesariamente constantes). 2. Las condiciones de frontera homogéneas tienen la forma:

Donde    son constantes. Note que si bien el dominio donde se de ne el problema es nito, en algunas ocasiones es posible emplear este método cuando el dominio es in nito. La idea básica es descomponer el problema en varios problemas sencillos, encontrar sus soluciones y acoplarlas. Matemáticamente existen tres soluciones para la ecuación diferencial parcial; no obstante, para un problema de valores en la frontera sólo debe existir una solución. A partir de estas premisas, la aplicación de las condiciones iniciales y/o de frontera obliga a elegir la solución verdadera al problema físico modelado. Al analizar la solución de cada uno de los tres casos hay que prestar atención a las siguientes características: La forma de la solución no está de acuerdo con la de nición general del problema ya que no aparecen funciones sino constantes arbitrarias. El número de constantes arbitrarias no corresponde al orden de la ecuación diferencial. 244

Aplicación del método de separación de variables

Las constantes, cuya aparición se debe tanto al hecho de haber transformado la EDP srcinal en un conjunto independiente de ecuaciones diferenciales ordinarias como al hecho de que existen funciones especí cas y no arbitrarias en la solución, conforman un esquema denominado solución completa de la EDP. Este tipo de soluciones especiales resulta especialmente útil en los problemas de valores iniciales y de frontera pues siempre es más fácil determinar el valor de una constante que especi car una función. 5.2 Solución de ecuaciones diferenciales parciales con el método de separación de variables

Este método es aplicable a ecuaciones diferenciales parciales, lineales y homogéneas, cuyas condiciones iniciales y de frontera también sean lineales y homogéneas. A continuación se ilustra el método por medio de un ejemplo. 5.2.1 Problema de conducción de calor en una varill a con temperatura de cero grados centígrados en los extremos

Visualice una varilla unidimensional de longitud  con todos los coe cientes constantes y una temperatura ja en los extremos; esto implica que la ecuación diferencial parcial es la Ley de Fourier de conducción de calor (véase el capítulo II): Ec. 5.1 Con la condición inicial: Ec. 5.2 Y con condiciones de frontera tipo Dirichlet (véase el capítulo II): Ec. 5.3 Ec. 5.4

245

Capítulo 5

El método de separación de variables consiste en proponer soluciones que sean de la forma: Ec. 5.5 Donde  es una función que depende sólo de   es una función que depende sólo de . La función de nida en la ecuación anterior debe cumplir con la ecuación 5.1 y con las condiciones de frontera de las ecuaciones 5.3 y 5.4. De momento, la ecuación 5.5 no se sujeta a la condición inicial de la ecuación 5.2. Sustituyendo la ecuación 5.5 en la 5.1 se obtiene: Ec. 5.6 Dividiendo la ecuación 5.6 entre se obtiene: Ec. 5.7 En la ecuación anterior se observa que las variables están separadas; el lado izquierdo es una función que depende sólo de mientras que el lado derecho es una función que depende sólo de. Si  y  son variables arbitrarias independientes, entonces no puede ser una función de  (ni  una función de ). Puesto que ambos lados de esta ecuación son iguales, se pueden igualar a una constante arbitraria, por ejemplo: Ec. 5.8 Donde  es una constante arbitraria conocida como constante de separación. El signo menos introducido en la ecuación anterior se explicará más adelante. A partir de la ecuación 5.8 se pueden escribir dos ecuaciones diferenciales ordinarias, una para  y otra para : Ec. 5.9

246

Aplicación del método de separación de variables

Ec. 5.10 Cabe señalar que  es una constante y que es la misma para las ecuaciones 5.9 y 5.10. El producto de las soluciones de estas dos ecuaciones,  , también debe satisfacer las condiciones de frontera homogéneas de 0, = 0, lo cual implica que el producto  . Por lo tanto, hay dos posibilidades y ambas son funciones   para todo ;   . Si   , a partir de la ecuación 5.5 se asume que la solución en forma de producto es idénticamente igual a cero, . Esta ecuación no representa ningún interés y    se conoce como la solución trivial puesto que    automáticamente satisface cualquier EDP homogénea y cualquier condición de frontera homogénea. Puesto que tenemos que buscar soluciones no triviales, se tiene que cumplir: Ec. 5.11 Del mismo modo, la aplicación de la otra condición de frontera,  , permite obtener:

Ec. 5.12 La función  debe cumplir la ecuación diferencial ordinaria presentada en la ecuación 5.9 y las condiciones de frontera de las ecuaciones 5.11 y 5.12. La ventaja del método del producto de soluciones es que una ecuación diferencial parcial, cuya solución no es conocida, se transforma en dos ecuaciones diferenciales ordinarias. Las condiciones de frontera imponen dos restricciones en términos de la variable x sobre la ecuación diferencial ordinaria, EDO, mientras que la ecuación inicial debe cumplirse en la EDO del tiempo, expresada la ecuación Paradependiente resolver la ecuación 5.10, primeropor se debe resolver5.10. la EDO dependiente de  con sus dos condiciones de frontera. La ecuación 5.10 es una ecuación diferencial, lineal, homogénea de primer orden con coe cientes constantes, cuya solución puede obtenerse de manera sencilla; la solución 247

Capítulo 5

general de esta ecuación es la solución exponencial:  , donde el polinomio característico es  . Por lo tanto, la solución general de la ecuación 5.10 es: Ec. 5.13 Donde  es una constante arbitraria. Cabe notar que para las ecuaciones lineales homogéneas se cumple que si  es una solución, entonces  también lo es. (En cuanto a las propiedades de las ecuaciones lineales, véase el capítulo III). La solución de la ecuación dependiente del tiempo es una función exponencial sencilla donde  es la constante de separación que, como se mencionó, es arbitraria. Sin embargo, con base en las consideraciones físicas, sólo ciertos valores de  hacen físicamente posible la solución del problema. El análisis de los tres valores de  posibles (mayor, igual o menor a cero) determina la constante arbitraria; esto es, si  > 0, la solución exponencial decae conforme se incrementa el tiempo (dado que k >0). Por otro lado, si  = 0, la solución permanece constante; es decir,físico. no depende del tiempo, implica una contradicción del fenómeno Por último, si  < 0,lolacual solución exponencial se incrementa. Considerando que el problema físico a resolver es un problema de conducción de calor en el que la temperatura   es proporcional a la solución de , no se espera que la temperatura crezca exponencialmente en el tiempo. Con base en lo anterior, la constante de separación debe ser  > 0 para este tipo de problema físico en el que conforme se incrementa el tiempo, decrece la variable del sistema: la temperatura, presión, etc. Así pues, cuando se separen variables (véase la ecuación 5.8), la función dependiente del tiempo se debe resolver mentalmente y se debe veri car que  no crezca exponencialmente no crezca exponencialmente, por lo que la constante de separación debe ser  > 0. Note que en la ecuación 5.8 se introdujo negativo por conveniencia pues se esperan valores de la constante el designo separación  > 0, a partir de los argumentos físicos expuestos arriba. Más adelante se analizan cada uno de los valores que puede adquirir la constante de separación.

248

Aplicación del método de separación de variables

5.2.2 Valores y funciones característicos

La función , dependiente de la variable espacial, satisface lo que se conoce como problema de frontera; es decir, una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con dos condiciones de frontera.

Ec. 5.14 La solución del problema de frontera de la ecuación 5.14 depende de los valores que tome la constante arbitraria. Como la ecuación diferencial ordinaria es lineal, homogénea y de coe cientes constantes, existen tres soluciones posibles basadas en el valor de. A continuación se analizan los diferentes valores característicos o eigenvalores que conducen a las tres soluciones posibles. Cabe señalar que sólo son de interés los valores de que conduzcan a la solución no trivial del problema. Si el lector no está familiarizado recomienda consultar la tabla 3.1 del capítulocon III,lasdesoluciones donde  posibles,  , se = 0. q

Caso 1. Valor característico  > 0. Si  > 0, las dos raíces son imaginarias o complejas.

Las soluciones tienen exponentes imaginarios o complejos: . En este caso, las soluciones oscilan, y si se desean soluciones reales e independientes, la alternativa es utilizar las funciones trigonométricas de seno y coseno,   y  , que son combinaciones lineales de . Esto es, la solución general de la ecuación diferencial del problema de valores en la frontera de la ecuación 5.14 es una combinación lineal arbitraria de dos soluciones independientes de la siguiente forma: 1

La palabra eigen viene del alemán eigenwert, que signi ca característico.

249

Capítulo 5

Ec. 5.15 Cabe señalar que la combinación lineal puede elegirse a partir de cualquiera de las dos soluciones independientes. Las más convenientes son  sen y    pero también se pueden usar  y − . Para otras  aplicaciones se eligen otras soluciones independientes. Para determinar si los valores  > 0 corresponden a los valores característicos de la solución de la ecuación 5.15 se aplican las condiciones de frontera   , lo que implica que  = 0. El término del coseno se puede despreciar pues la solución debe ser igual a cero en = 0. Así que    . Por otro lado, la condición de frontera   se satisface si    = 0. Esta igualdad se cumple si 2 = 0, o bien si    . Si 2 = 0, entonces    ya que de la condición en  = 0 se obtuvo 1 = 0. Así pues, se obtiene la solución trivial. La solución de interés busca los valores de que satisfagan:

De aquí, el argumento de la función seno, es decir, los valores de, debe obligar a que la función seno sea cero para que las condiciones de frontera del problema de la ecuación 5.14 sean satisfechas. Enel diagrama de la gura siguiente se muestra el comportamiento de la función seno. 

/2 1

y y=sen (x)

x



2

0



/2



-1 3 /2

Figura 5.1 La función seno

250

3/2

2

Capítulo 6

Aplicación del método de transformada de Laplace En este capítulo se presentan, en primer término, algunos aspectos elementales de la transformada de Laplace, con el propósito de familiarizar al lector con los conceptos básicos. Cabe señalar que se han escrito libros enteros concernientes al uso de esta técnica de solución de ecuaciones diferenciales parciales, por lo que sólo se revisan de forma breve los conceptos básicos y sus aplicaciones en ingeniería Principalmente, el capítulo se enfoca en las diferentes solucionespetrolera de dos .importantes ecuaciones diferenciales parciales lineales que representan dos tipos de aplicaciones en ingeniería petrolera: la ecuación de difusividad y la ecuación de difusión-convección, ambas desarrolladas en el capítulo anterior. Las aplicaciones mencionadas en este capítulo corresponden a problemas sencillos de ujo y transporte en yacimientos, representados matemáticamente por estas dos ecuaciones y que pueden ser resueltas analíticamente para condiciones de frontera de interés. Note que la aplicación de estas soluciones, cuando existen ciertas condiciones en el yacimiento, ha demostrado su valor práctico. Gracias a la utilidad y simplicidad de estas ecuaciones, se puede decir que han establecido las bases para lo que comúnmente se conoce como la técnica de análisis de variación de presión y ujo de trazadores en yacimientos. Es importante señalar debidola aproducción la complejidad de los yacimientoprácticamente s y los fenómenos ocurrenque durante de hidrocarburos, todasque las ecuaciones que han sido desarrolladas para describir este tipo de procesos son no lineales y no son fáciles de resolver, por lo que es necesario, en la mayoría de los casos, el uso de técnicas numéricas para su solución.

Capítulo 6

Objetivo Explicar y aplicar el método de transformada de Laplace a problemas transporte en yacimientos por medio del procedimiento presentado, hasta llegar a la inversión analítica de sencillos problemas de valores iniciales y de frontera de ingeniería petrolera. Es por medio de la solución de diferentes PVIF que se persigue el dominio de este método. Las aplicaciones consisten en dos tipos de problemas: flujo de fluidos en medios porosos representados por la ecuación de difusividad y flujo de trazadores en yacimientos, representados por la ecuación difusión-convección.

6.1 Conceptos fundamentales y propiedades de la transformada de Laplace

Anteriormente se abordó la técnica de separación de variables para resolver parciale s lineales en problemas cony geometríaecuaciones simple; estediferenciales método motiva el uso de las series de Fourier sus generalizaciones. Otra técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales es el uso de la transformada de Laplace. La mayoría de los problemas en ecuaciones diferenciales parciales que pueden ser analizados con transformadas de Laplace, también pueden ser analizados con algún otro método y, por consecuencia, respuestas esencialmente equivalentes pueden ser obtenidas. Debido a que el método de transformada de Laplace es muy utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y por consiguiente se emplea con mucha frecuencia en la solución de ecuaciones como la de difusividad y de difusión-convección en ciertos problemas de ingeniería petrolera, se considera necesario revisar con cierto detalle las de niciones y algunas demostraciones de sus propiedades. Por lo anterior, en esta sección se presentan, además de las de niciones y propiedades, ejemplos para familiarizar al lector con las aplicaciones que se presentan en la siguiente sección.

328

Aplicación del método de transformada de Laplace

6.1.1 Definición de l a transfor mada de L aplace

Si  y  son dos espacios vectoriales, una transformación     con dominio en un subconjunto de de  se llama transformación lineal de  en  si se cumplen las siguientes propiedades:

O bien:

En general, una trasformada es una función entre espacios vectoriales de nidos sobre un mismo campo, que asigna mediante una cierta regla a cada elemento de  uno y sólo un elemento de , esto es:

Grá camente se representa como: T:V

V

W

W

V1

W1

DOMINIO

CODOMINIO

Figura 6.1 Dominio y codominio o recorrido de una transformada 329

Capítulo 6

6.1.1.1 Ejemplo 1. Determinación de un elemento del codominio

Sea     ,  ≠ 0, donde    y sea una transformación de nida por la siguiente regla:

El elemento del recorrido correspondiente es:

En este ejemplo, al aplicar la transformación sobre una función real de variable real se obtuvo como imagen otra función real de la misma variable. 6.1.1.2 Ejemplo 2. Transformada de una función con una regla determinada

Sea    y la transformada de nida por la regla: Ec. 6.1 Donde  y  son constantes,      , y si  es un parámetro, la imagen o transformada de 1 es: Ec. 6.2 En este caso, la transformación conduce a una imagen que no es función de  (como lo es 1 ), sino función de . Las grá cas correspondientes a  y  se ilustran en las siguientes guras:

330

Aplicación del método de transformada de Laplace

W1 (s)

V1(t)

T V1(t )= t

0

W1 (s) =

2

a

b

t

b4 - a4 4

s

0

s

Figura 6.2 Grá cas de V1(t) y W1(s) En general, si     y la transformación se de ne como: Ec. 6.3 Entonces:

De nición de transformada de Laplace. Sea  un espacio vectorial de funciones  de nidas para   . La transformación integral que aplica a cada  de  en su imagen  de  se llama transformación de Laplace y queda de nida por la siguiente regla: Ec. 6.4 Para una función  se tiene:

Ec. 6.5

331

Capítulo 6

Donde  es el conjunto de todas las funciones    , y  es el conjunto de las funciones transformadas  bajo , es decir:

A la regla de la de nición anterior se le conoce con el nombre de la transformación unilateral de Laplace, para diferenciarla de la bilateral que se de ne como:

En la mayoría de los problemas donde se aplica la transformada de Laplace, la variable tiempo es mayor o igual a cero, por lo tanto, la transformada de Laplace que se estudia es unilateral. 6.1.1.3 Ejemplo 3. Transformada de Laplace de

Sea la función  = 1. La transformada de Laplace de  es la siguiente:

6.1.1.4 Ejemplo 4. Transformada de Laplace de  

Sea la función    de nida para  ≥ 0. La transformada de Laplace de  es:

332

Aplicación del método de transformada de Laplace

Hasta aquí, la única forma de veri car si la transformada de Laplace de una función existe, es resolver la integral que establece su de nición y determinar los valores de  para que la integral sea convergente. Este proceso puede ser laborioso para algunas funciones. Existe un teorema, aquí referido como teorema I, que establece las condiciones su cientes que debe satisfacer una función para quesu transformada de Laplace exista, locual simplica el laborioso proceso indicado anteriormente. 6.1.2 La existencia de la tr ansformada de Lapl ace

Antes de establecer el teorema de existencia, se de nirán dos conceptos relativos a las funciones queserán necesarias para determinar su transformabilidad: la continuidad seccional y el orden exponencial. El primero se de ne de la siguiente manera: una función  es seccionalmente continua en el intervalo    , si este intervalo puede ser dividido en un número nito de subintervalos de tal manera que en cada uno de ellos  sea continua y  se aproxime a un límite a medida que se aproxime a cada uno de   

los dos extremos internos; es decir, que en un subintervalo ≤ ≤ existen: 6.1.2.1 Ejemplo 5. Verificación de la existencia de la transformada de Laplace de una función sencilla

Sea la función cuya grá ca se ilustra a continuación: f(t)

1

t π

/2

Figura 6.3 Grá ca del ejemplo 5 333

Capítulo 6

En el interior de los subintervalos tinua; además, en el subintervalo

y

, la función es con-

:

Y en el subintervalo  ≥ /2:

Por lo tanto, la función es seccionalmente continuaen un intervalo (0, ∞). La función periódica que se muestra en la gura 6.4 es seccionalmente continua ya que en el interior de cada subintervalo,  + 1,  = 0, 1, 2,… la función es continua y el límite existe en los extremos interiores de cada subintervalo. f(t)

1

0

1

2

3

t

Figura 6.4 Función periódica seccionalmente continua Cuando una función es seccionalmente continua en un intervalo dado, se garantiza la existencia de su integral en el mismo; esto es:

Donde    ,…, , b son los extremos de los + 1 subintervalos donde la función es continua. 334

Capítulo 7

Aplicación del método de funciones de Green En este capítulo se revisa brevemente el método de solución de ecuaciones diferenciales, lineales, no homogéneas por medio de las funciones de Green, cuya técnica consiste en transformar el problema srcinal en un problema llamado adjunto, el cual suele ser más sencillo y conduce a una solución tipo integral del problema srcinal. En lapara ingeniería Greennes y lasque funciones fuente se usan resolverpetrolera, problemaslasenfunciones dos y tresde dimensio puedan resultar en geometrías complejas, tales como la penetración parcial, los pozos inclinados, los pozos hidráulicamente fracturados y los pozos horizontales. Antes de adentrarnos en el tema, conviene clari car la terminología: aquí, una fuente es un punto, una línea, una super cie o un volumen por donde los uidos abandonan el yacimiento; es decir, salen del sistema. Estrictamente hablando, el uido que abandona el yacimiento debe ser tratado como un sumidero mientras que los uidos que entran al sistema (en este caso inyectados) deben ser asociados con una fuente. No obstante, en la ingeniería petrolera, y por tanto en esta sección, el término fuente se usa en ambos casos, tanto para la producción como para la inyección de uidos. Con la convención del signo negativo en el gasto se indica la inyección. Las funciones de Green y las funciones fuentediferencial están íntimamente relacionadas. Una función de Green es una ecuación con condiciones de frontera especi cadas (para el caso de ujo de uidos, ujo, gasto y opresión ja) y corresponde a una solución instantánea punto fuente. Por otro lado, una función fuente es la solución de la ecuación diferencial con

Capítulo 7

condiciones de frontera y geometría de las fuentes especi cadas. Los detalles de la teoría y aplicación de las funciones de Green se encuentran en varias referencias. En esta sección tan sólo se revisan algunos de los conceptos fundamentales de estas técnicas, así como la introducción de la solución fundamental y los conceptos del punto fuente. Objetivo Introducir el método de las funciones de Green para resolver problemas de valores en la frontera no homogéneos. Esta técnica es importante porque resuelve el lado derecho de la ecuación (generalmente planteada como una fuente de algún tipo) en un continuo de impulsos (funciones delta o fuentes puntuales) en los diferentes puntos del dominio. Las respuestas a cada uno de estos impulsos es entonces encontrada (función de Green o función impulso respuesta), y la suma de todas ellas (una respuesta por impulso) corresponde a la solución completa o respuesta completa.

7.1 Introducción a las funciones de Green

Antes de desarrollar este tema es necesario revisar algunos preliminares matemáticos como la de nición de las funciones de Green, el operador diferencial adjunto y la función delta de Dirac; a continuación se presentan los conceptos que, de acuerdo con la autora, son indispensables para una mejor comprensión del método de solución de ecuaciones diferenciales por medio de las funciones de Green. Partamos del siguiente problema de valores en la frontera: Ec. 7.1 Ec. 7.2

444

Aplicación del método de funciones de Green

Ec. 7.3 Donde  y  son constantes arbitrarias y y  no son las derivadas de  y , sino que indican constantes arbitrarias y son los coe cientes de la derivadas de . El problema dado por las ecuaciones 7.1 a 7.3 se puede resolver con el método de variación de parámetros (véase el capítulo III, apartado 3.9). Considere dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada; esto es: Ec. 7.4 Sean  y  dos soluciones independientes de la ecuación 7.4. Para simpli car el álgebra, supongamos que la solución satisface la condición de frontera en , y  satisface la condición de frontera en   ; es decir,  satisface la ecuación 7.2 y  la ecuación 7.3. Entonces, las condiciones de frontera son: Ec. 7.5 Ec. 7.6 La solución general de la ecuación 7.1 se puede escribir como: Ec. 7.7 Donde  es el wronskiano de  y : Ec. 7.8 El cual no es cero dado que y  son soluciones linealmente independientes. Ahora bien, es necesario conocer la derivada de la ecuación 7.7, la cual está dada por la Regla de Leibnitz. Entonces, la derivada de la ecuación 7.7 es: 445

Capítulo 7

Aplicando la condición de frontera de la ecuación 7.2 a la solución general se tiene: Ec. 7.9 Note que las integrales  y  son cero en   . Ahora, dado que    , (condición de frontera de la ecuación 7.5), la ecuación 7.9 se reduce a:

Ec. 7.10 De la ecuación 7.10 se concluye que 2 = 0. Aplicando la segunda condición de frontera en    a la solución general de la ecuación 7.7 se tiene:

Ec. 7.11 Con base en la ecuación 7.6, la condición de frontera en  , el término    se puede eliminar; la integral queda como:

Ec. 7.12 El factor común de    puede cancelarse en ambos términos; entonces, nalmente se obtiene que: Ec. 7.13

446

Aplicación del método de funciones de Green

Sustituyendo los valores de las constantes    en la solución general de la ecuación 7.7 se obtiene:

Ec. 7.14 Se divide el intervalo de integración en la primera integral de la siguiente forma: Ec. 7.15 Y, sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación 7.14, se tiene:

Reduciendo términos se obtiene la solución buscada: Ec. 7.16 Finalmente, acoplando los intervalos, se de ne la función de Green para el problema de valores en la frontera de nido en las ecuaciones 7.1 a 7.3 de la siguiente forma:

Ec. 7.17 Entonces, sustituyendo la función de Green de la ecuación 7.17 en la ecuación 7.16 se tiene, nalmente, que la solución del problema es: 447

Capítulo 7

Ec. 7.18 Resumiendo lo anterior se llega al teorema presentado a continuación. El problema de valores en la frontera dado por las ecuaciones:

Ec. 7.a Ec. 7.b Con ,  y  continuas en el intervalo      , se tiene una y sólo una solución; es decir, al menos existe una solución no trivial de la siguiente expresión que satisface las condiciones de frontera de las ecuaciones 7.a y 7.b cuando la solución única está dada por las ecuaciones 7.17 y 7.18:

7.2 Operador diferencial adjunto 

Una manera de introducir el operador diferencial adjunto, asociado con , es por medio del producto y la integral sobre el intervalo de interés por partes. El resultado se puede expresar de la siguiente forma: Ec. 7.19 Donde  es una notación común para el operador adjunto del operador diferencial . Aquí se considera que las funciones y  son arbitrarias. Para ilustrar el procedimiento, considere el operador diferencial lineal de segundo orden:

448

Aplicación del método de funciones de Green

Ec. 7.20 El producto  consta de tres términos; si se integra el primer término por partes dos veces, el segundo una vez y el tercero se integra directamente, se puede obtener la integral del producto, dada por la siguiente expresión:

Pero

Sustituyendo y acoplando términos se obtiene:

Ec. 7.21 Al comparar la ecuación 7.17 con la 7.21 se puede observar que el operador adjunto, , es:

449

Capítulo 7

Ec. 7.22 O bien, con otra notación: Ec. 7.23 7.3 Método de la expansión de las eigenfunciones para las funciones de Green

En el capítulo III se revisó la solución de ecuaciones diferenciales parciales no homogéneas con el método de expansión de las eigenfunciones o funciones características; ahora se presenta cómo aplicar estas ideas a la ecuación ordinaria no homogénea conocida como la ecuación general SturnLiouville (véase el capítulo V sobre separación de variables); esto es, a partir de la ecuación siguiente sujeta a dos condiciones de frontera homogéneas. Ec. 7.24 Se introduce el problema de funciones características o eigenfunciones relacionado: Ec. 7.25 Sujeta a las mismas condiciones de frontera homogéneas, donde es un factor de peso elegido arbitrariamente; sin embargo es tal que la ecuación diferencial 7.24 es una ecuación conocida. Por ejemplo, si , conviene que    para obtener así funciones trigonométricas. En cambio, si , conviene que    , para obtener con ello las conocidas funciones Bessel.

450

Capítulo 8

Problema inverso por Oscar C. Valdiviezo Mijangos

El problema inverso en ingeniería petrolera es de suma importancia porque por medio de su solución, y a partir de mediciones hechas en campo junto con modelos matemáticos que describen los principales fenómenos físicos involucrados, permite conocer propiedades físicas como la porosidad, la permeabilidad, ancho de fractura, etc. Las medicionesetc. pueden hacerse por medio de pruebas de presión, pruebas de trazadores, Las propiedades físicas que se obtienen son propiedades físicas macroscópicas que describen la respuesta del yacimiento en la zonadonde se realizó la prueba, por lo que ésta es muy valiosa para caracterizar los yacimientos. Objetivo El objetivo de este capítulo es mostr ar el procedimiento gene ral para resolver problemas inversos en ingeniería petrolera. Definir lo qué es un problema inverso, las dificultades a las que el lector se enfrentaría, la manera de abordarlo partiendo primero del caso lineal, que es el más sencillo, y después del caso no lineal, par a lo cual se requieren métodos de optimización no lineal. Se muestr a la utilidad de realizar un análisis de sensibilidad del modelo que se esté usando con respecto a las variables físicas de interés.

Capítulo 8

8.1 Introducción al problem a inverso

El problema inverso tiene una amplia área de aplicación dentro de las ciencias y la ingeniería y a continuación se presentará su aplicación en la ingeniería petrolera; sin embargo, también se presentará un panorama general del problema inverso con el n de que el lector pueda comprender textos más avanzados si así lo desea. En esencia, para resolver un problema inverso hay que determinar las propiedades físicas que dieron srcen a un cierto conjunto de datos medidos ya sea en laboratorio o en campo. Para ello se requiere un modelo matemático que considere los fenómenos físicos principales que se llevan a cabo, así como las condiciones iniciales y de frontera del problema estudiado. El principio básico para resolver un problema inverso es que tanto los datos medidos como el modelo matemático deben estar relacionados. Abordar el problema inverso también implica hablar del problema directo, el cual predice la evolución del sistema en el tiempo a partir de las condiciones iniciales, las condiciones de frontera y la física que describe la dinámica delinverso, fenómeno. El problema tiene una solución única, el problema no. Aquí radica unadirecto de las principales di cultades del problema inverso. En este capítulo se muestran dos ejemplos típicos del problema inverso relacionados directamente con la ingeniería petrolera: el primero está relacionado con las pruebas de presión y el segundo con las pruebas de trazadores. En el primer caso se considera el problema clásicode línea fuente mientras que el segundo comprende un trazador que se mueve dentro de un yacimiento petrolero y abarca, principalmente, los fenómenos de difusión y convección. El mal condicionamiento del problema inverso es un hecho ineludible cuando se intenta estimar los parámetros físicos a partir de un conjunto de datos medidos en laboratorio o en campo. Este mal condicionamiento se mani estanodeesvarias bienvalores el problema no tiene solución, la solución únicamaneras: o bien los de las propiedades físicas bien varían considerablemente cuando los datos medidos cambian tan sólo un poco. Existe una gran variedad de formas para plantear una función objetivo con el n de determinar los valores de los parámetros físicos desconocidos; aquí se 492

Problema inverso

usará la función objetivo en el sentido de mínimos cuadrados. De acuerdo con Tarantola (1996:xii), los primeros en plantear este tema fueron place La y Gauss. Los parámetros físicos óptimos se determinan minimizando una función, por lo general, no lineal; para ello se requiere un método de optimización no lineal. Uno de los métodos másutilizados es el de Levenberg-Marquardt, y otro que ha probado ser muy robusto es el de Nelder y Mead (1965). Hacia el nal del capítulo se presentan dos ejemplos prácticos ylos resultados obtenidos se analizan e interpretan. 8.2 Problema inverso

El problema inverso o inverse theory es un conjunto de técnicas matemáticas que se usa con el n de obtener información valiosa a partir de un conjunto de medidas tomadas ya sea en campo o en laboratorio. A ese conjunto de medidas se le llama datos y lo que se busca son los valores numéricos de ciertas propiedades físicas del problema estudiado, conocidos como parámetros del modelo. Los términos problema inverso o inverse theory usan en contraste los términos problema directo de o forward cuyo concepto se de con ne como un proceso de predicción resultatheory, se

dos medibles a partir de ciertos principios físicos en condiciones especí cas del problema en estudio. Así, el problema inverso inicia con un conjunto de medidas tomadas (datos) y una ley general o modelo, a partir de los cuales se determinan los parámetros del modelo. Una comparación muy sencilla de un problema directo y un problema inverso es el fenómeno de la variación de la temperatura como función de la profundidad en el interior de la tierra. Come ejemplo de problemadirecto e inverso se considera que la temperatura se incrementa linealmente en relación a la profundidad en la tierra; es decir,     , donde  y  son constantes numéricas. Si se conoce el valor de = 0.2 y  =18, entonces se puede resolver el problema directo con sólo evaluar la temperatura a  El problema inverso consistiría en determinar los cualquier valores de profundidad mediciones hechas a diferentes profundidades,    con base. en por ejemplo en un pozo. En este caso, al conjunto de mediciones de temperatura hechas a distintas profundidades se le llama datos, a la temperatura  se le llama modelo y, a   , parámetros del modelo.

493

Capítulo 8

Note que la determinación de los parámetros    se reduce a resolver el problema clásico de mínimos cuadrados lineales. El problema lineal es el más sencillo de resolver y esto se realiza obteniendo   . En este caso, los parámetros    se determinan de manera única, por lo que se trata de un problema bien condicionado. No se requiere ningún método de optimización no lineal; sin embargo, aunque esto constituye una excelente introducción al campo del problema inverso, los problemas prácticos a los que se enfrenta un ingeniero petrolero son mucho más complicados que la simple realización de ajustes con mínimos cuadrados lineales. La gura 8.1 muestra el concepto de problema inverso esquemáticamente. Cabe señalar que el objetivo de resolver un problema inverso no es ofrecer un modelo sino brindar información de los valores numéricos de los parámetros involucrados en el modelo. Se considera que el modelo físico ya está dado; es decir, que se obtuvo previamente por otro medio. Note que en este esquema no se hace diferencia entre un problema lineal y uno no lineal; no obstante, los métodos matemáticos para estimar los parámetros del modelo son completamente distintos. Por un lado, los parámetros lineales valen de herramientas álgebra lineal y, por otro, se usan métodos deseoptimización no lineal. del Ambos temas serán tratados en apartados posteriores. Problema directo

Parámetros de modelo

Modelo

Predicción de datos

Problema inverso

Modelo

Figura 8.1 Descripción esquemática del concepto de problema inverso 494

Datos

Estimación de los parámetros del modelo

Problema inverso

En esta gura se muestra que el resultado de resolver un problema inverso es la estimación de los parámetros del modelo y, como tales, no son los valores verdaderos de los parámetros buscados sino que constituyen una aproximación. Al resolver un problema inverso hay que tomar en cuenta que el resultado obtenido no es real ni mucho menos único; estos hechos están directamente relacionados con el mal condicionamiento del problema inverso. Estos temas se revisarán en la siguiente sección. 8.3 Problema mal condicionado

Un primer acercamiento a un problema mal condicionado en la teoría inversa requiere recordar el concepto de mal condicionamiento de una matriz de los cursos de álgebra lineal. Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse como un sistema matricial de la siguiente manera: Ec. 8.1 Para que la ecuación 8.1 tenga una solución única, el. Si el determinante es cero haySe dosdice opciones: no tiene soluestá ciónbien o bien tiene una in nidad de soluciones. que unao matriz  no condicionada si a pequeños cambios en, los cambios en  son considerables. En la teoría inversa, se dice que el problema está mal condicionado, o que es un ill-posedness problem, si no tiene solución, si tiene una in nidad de soluciones o si a pequeños cambios en los datos hay cambios muy importantes en la solución (inestabilidad), la cual, en este caso, es la estimación de los parámetros del modelo. Los primeros en analizar estos conceptos fueron Isaacson y Keller (1966). En la práctica, según señalan tanto Yeh (1986:96) como Kool, Parker y Van Genuchten (1987:257), el mal condicionamiento de un problema inverso está relacionado bien con la inexistencia de la solución o bien con su inestabilidad. La no unicidad ocurre cuando hay varios conjuntos de vectores en los que los parámetros del modelo dan prácticamente el mismo valor de la función objetivo, de modo que es imposible determinar la solución correcta. La inestabilidad ocurre cuando los parámetros del modelo estimado son excesivamente sensibles a los datos. Errores relativamente pequeños en las medidas de los datos pueden conducir a errores signi cativos en los valores de los parámetros estimados. 495

Capítulo 8

La gran mayoría de los problemas inversos de las ciencias de la tierra están mal condicionados; sin embargo, esto no debe desalentar al lector ya que aun así es posible estimar los parámetros del modelo con cierto grado de con abilidad. De hecho, cuando se hace una inversión, siempre se sabe que la solución es solamente una estimación de los parámetros y no la solución única del problema inverso. Existen algunas técnicas de regularización para reducir la inestabilidad de la solución pero se encuentran fuera del alcance de esta obra. El estudiante interesado podrá consultar Tikhonov, Goncharsky, Stepanov y Yagola (2010). A manera de ejemplo, se presenta el caso de una matriz mal condicionada que ayuda a comprender mejor el mal condicionamiento de un problema inverso. Considere el siguiente sistema de ecuaciones lineales:



La solución al sistema de ecuaciones lineales anteriores de es la1 =(1.20, 3.64). Si se modi ca ligeramente el término inhomogéneo primera ecuación en 0.1 se obtiene, como solución,2 =(5.20, 2.54). La gura 8.2 ejempli ca grá camente un problema mal condicionado en sistemas de ecuaciones lineales. Un pequeño cambio en el término inhomogéneo conduce a un cambio importante en su solución. De hecho, el cambio realizado en la primera ecuación es de 0.1 y la modi cación en la solución es de 1.1 en el eje de ordenadas; es decir, un orden de magnitud. Se puede notar que las rectas que representan las dos ecuaciones son casi paralelas, lo cual implica un determinante cercano a cero. En cuanto más cercano a cero esté el determinante, peor condicionado estará el sistema de ecuaciones, y la diferencia entre un cambio en la ordenada al srcen y la solución puede llegar a ser de varios órdenes de magnitud. Esto ocurre en un de dos se ecuaciones esossistema casos, incluso agudiza. pero también cuando son más de dos y, en La analogía entre un problema inverso mal condicionado y un sistema de ecuaciones mal condicionado radica en que la inestabilidad se mani esta cuando a pequeñas variaciones en el término independiente ocurren impor496

Problema inverso

tantes variaciones en su solución. En un problema inverso, cuando hay cambios pequeños en los datos de campo y aparecen cambios fuertes en los resultados, se dice que hay un problema de inestabilidad y, por lo tanto, que está mal condicionado. 4.2

y1 = -0.3x+4 y2 = -0.3x+4.1 y3 = -0.275x+3.97 Solución

4 3.8 3.6 3.4 y

3.2 3 2.8 2.6 2.4 2.2 0123456 x

Figura 8.2 Sistema de ecuaciones lineales mal condicionado. En la siguiente sección se plantea la función objetivo que se usará para resolver el problema inverso. 8.4 Planteamientos de la función objetivo

Una gran cantidad de problemas se pueden formular por medio de un problema de mínimos cuadrado pesados. Aquí se describe una función objetivo de la manera más general:

Ec. 8.2 La función objetivo  es una función que depende de los parámetros del modelo , los cuales son       es el vector que contiene los datos medidos, que pueden ser de concentración o 497

Apéndice A

Preliminares de ingeniería petrolera Este

apéndice fue escrito para aquellos ingenieros y estudiantes que deseen aprender, entender o revisar los principios básicos y varios aspectos prácticos de los métodos de ingeniería petrolera que, aunados a los capítulos I, II y III, donde se revisaron conceptos relacionados con el planteamiento matemático problema físicos, principios de fenómenos de transporte y preliminares matemáticos, ofrecen esuna basematerial física y matemática apropiada. Ladeidea general delpetropresente apéndice ofrecer práctico y teórico del área la ingeniería lera que garantice que el lector tenga los fundamentos en ingeniería petrolera necesarios para la comprensión de las aplicaciones presentadas en este texto. Para este propósito se revisarán conceptos que van desde el sistema integral de producción, el comportamiento de a uencia y los mecanismos de ujo y desplazamiento, hasta los procesos de recuperación adicional, necesarios cuando la presión del yacimiento declina y se requiere introducir energía al yacimiento. Se de nen las variables correspondientes a los principales actores del proceso de producción de hidrocarburos de pozos en sus diferentes etapas de producción. Se analizan, con cierto detalle, las principales propiedades petrofísicas del sistema roca- uidos, como son la porosidad y la permeabilidad, además de las principales fuerzas que actúan a favor onasenpropiedades contra del desplazamiento hacia el pozo, como del aceite y deldegaslosde uidos gran relevancia, tantoasípara el algucomportamiento del ujo en los yacimientos como para la productividad de pozos. Adicionalmente, se presentan conceptos relacionados con el ujo multifásico desde el enfoque del ingeniero petrolero.

Apéndice A

Objetivo El propósito de este apéndice es familiarizar al lector con los conceptos básicos relacionados con el flujo de fluidos en un yacimiento petrolero y con la productividad de pozos para comprender la naturaleza física y la variación de los parámetros principales involucrados en las ecuaciones que se desarrollan y aplican a problemas de yacimientos.

A.1 Introducción a la productividad de pozos

Debido al auge mundial de la industria petrolera en las últimas décadas, el cual se estima continuará en el futuro, es indispensable contar con personal con pleno conocimiento de los conceptos y fundamentos para poder solventar los problemas asociados con la explotación de yacimientos petroleros de forma racional y rentable.El trabajo del ingenieropetrolero es garantizar que alla recuperación aceite y gas de un ysea acimiento se maximice quela el ritmo cual producendelos pozos también máximo. El controlyde cantidad de agua y gas producidos con el aceite, la adecuada localización de los pozos, la correcta distancia entre los pozos y los procesos de inyección de uidos con nes de recuperación son algunos de los aspectos a atender para maximizar la recuperación de hidrocarburos. A.1.1 Sistema integral de producción

La ingeniería de producción involucra dos sistemas distintos pero íntimamente relacionados: el yacimiento, un medio poroso con características únicas de almacenamiento de hidrocarburos y características de ujo, y las estructuras super ciales, que incluyen el pozo y las instalaciones super ciales. Básicamente, un sistema integral producción es un conjunto mentos que transporta los uidos del de yacimiento hacia la super cie, de loselesepara en aceite, gas y agua y, nalmente, los envía a las instalaciones para su almacenamiento y comercialización. Además, un sistema integral de producción puede ser relativamente simple o incluir muchos componentes. 522

Preliminares de ingeniería petrolera

Los componentes básicos de un sistema integral de producción son los que se muestran de forma esquemática en la gura.1, A retomada de Economides (1994:11). 8 Gas

7

Aceite

4 Agua

3

5 Pwh

5 2

1) Yacimiento 2) Tubería de producción 3) Estrangulador 4) Separador 5) Tanque de almacenamiento 6) Válvula tormenta 7) Cabeza del pozo p  8) Gasoducto a re nación 9) Presión de fondo uyendo p  10) Presión de yacimiento p

9 10

1

Figura A.1 Sistema integral de producción Para tener pleno conocimiento del funcionamiento de un sistema integral de producción, se debe conocer el concepto de cada uno de sus componentes. A continuación se da una breve de nición de los componentes considerados, retomados de Craft y Hawinks (1959: 4-15), Rodríguez (1980:20), Golan y Whitson, (1991:1-10), Economides (1994: 8-10) y Ramírez-Sabag et al. (2007:1-3); señalar que lo que aquí se presenta sólo es una concisa y muy brevecabe descripción de los conceptos, por lo que se recomienda al lector consultar las referencias citadas para ampliar los conceptos. Yacimiento. Se entiende por yacimiento la porción de una trampa geo523

Apéndice A

lógica que contiene hidrocarburos, la cual se comporta como un sistema intercomunicado hidráulicamente. Los hidrocarburos que ocupan los poros o huecos de la roca almacenante se encuentran a alta presión y temperatura debido a la profundidad en que se encuentra la zona productora. Pozo. Es un agujero que se hace a través de la roca hasta llegar al yacimiento; en él se instalan sistemas de tuberías y otros elementos con el n de establecer un ujo de uidos controlados entre la formación productora y la super cie. Tubería de descarga. Las tuberías son estructuras de acero cuya nalidad es transportar gas, aceite y, en algunos casos, agua, desde la cabeza del pozo hasta el tanque de almacenamiento. Los costos especí cos del transporte tanto de aceite como de gas disminuyen cuando la capacidad de manejo aumenta; esto se logra si el aceite, el gas y el agua se transportan en tuberías con un diámetro óptimo para una capacidad determinada. Estrangulador. Es un aditamento que se instala en los pozos productores con el nde restringir el ujo deuidos; es decir, permite obtener el gasto deseado y prevenir la coni cación del agua, la producción de arena y, sobre todo, aumentar Los la seguridad de las instalaciones ciales.son equipos que separadores, como su nombresuper lo indica, Separadores. separan la mezcla de aceite y gas o, en algunos casos, aceite, gas y agua, que proviene directamente de los pozos. Los separadores pueden clasi carse de acuerdo con su forma o geometría enhorizontales, verticales y esféricos, o por su nalidad: separador de dos fases (gas y líquido) o de tres (gas, aceite y gaua). Tanque de almacenamiento.Son recipientes de gran capacidad para alma cenar la producción de uidos de uno o varios pozos. Los tanques de almacenamiento pueden ser estructuras cilíndricas de acero instaladas en tierra rme, o bien buque-tanques normalmente utilizados en pozos localizados costa afue ra. En la industria petrolera, los tanques pueden tener una capacidad de almacenamiento que va desde 100 000 hasta 500 000 barriles. En México generalmente se cuenta con tanques de almacenamiento de 500 000 barriles. Antes de obtener una idea precisa del comportamiento del ujo del pozo productor es necesario analizar las tres áreas de ujo, de acuerdo con Nind (1964:75), las cuales tienen que estudiarse por separado y unirse después: q Flujo del yacimiento al pozo.

524

Preliminares de ingeniería petrolera

q q

Flujo en tuberías. Flujo en estranguladores. En la siguiente sección se analizará cada una de las áreas de ujo.

A.1.2 Flujo del yacimiento al pozo

Uno de los componentes más importantes de un sistema integral de producción es el yacimiento. El ujo ha cia el pozo depende de la caída de la presión en el yacimiento hasta el fondo del pozo; es decir, la presión del yacimiento menos la presión de fondo uyendo  . La relación entre el gasto y la caída de presión ocurrida en el medio poroso es muy compleja y depende de parámetros tales como las propiedades de los uidos, las propiedades de las rocas, la saturación de los uidos contenidos en la roca, el daño a la formación, la turbulencia y los mecanismos de empuje. En la ingeniería petrolera se utiliza con mucha frecuencia la ley establecida por Henry Darcy en 1856 para describir el comportamiento de ujo en el yacimiento después de realizar mostrado en la e hizo gura A.2, retomadaundeexperimento Economidesrelativamente (1994.8): llenósimple un recipiente de arena uir agua a través del empacamiento hasta saturarlo completamente. A

L Empacamiento de grava

h1

h2

Figura A.2 Experimento de Darcy. Flujo de agua a través de un empacamiento de arena 525

Apéndice B

Flujo radial de trazadores a través de un yacimiento estratificado Objetivo Este apéndice ilustra, pormodelo medio matemático, de ejemplos, desde el desarrollo y la solución completa de un el planteamiento de las principales ecuaciones de flujo y el planteamiento del problema de valores iniciales y de frontera que se requieren resolver en términos de variables adimensionales, hasta su solución en el espacio de Laplace. Aquí se muestra, paso a paso, el planteamiento matemático de un problema físico y su solución. El lector observará que para este modelado matemático es necesario emplear muchos de los conceptos revisados a lo largo de este libro, como son la transferencia de masa, el balance de masa a través de un volumen de control, la Ley de Fick, los planteamientos matemáticos, los problemas de valores iniciales y de frontera, la solución de ecuaciones diferenciales parciales con el método de la transformada de Laplace y el uso de variables adimensionales, entre otros.

Apéndice B

B.1 Desarrollo de las ecuaciones fundamentales de flujo

Este modelo, presentado por Ramírez et al. (1995), es equivalente al de un yacimiento estrati cado con estratos de alta y baja permeabilidad que corresponden, respectivamente, a las fracturas y a los bloques de matriz. El sistema idealizado está constituido por dos regiones: la móvil y la inmóvil; estas dos regiones están en contacto a través de una película delgada de uido estancada cuyo espesor es . Se considera un bloque de espesor  repetitivo y una fractura de 2 de ancho, limitada en ambos extremos por un medio poroso. La región móvil tiene un ancho de 2. Esta película representa la resistencia que controla la transferencia de masa entre la región móvil y la inmóvil. Véase la gura B.1 al nal del apéndice. B.1.1 Ecuación de flujo en la fractura o región móvil

Al aplicar un balance de materia a la región móvil (1) de la gura B.1 se obtiene:

Ec. B.1 Supongamos que la densidad de la especie sea A constante y que no se produzca mediante ningún tipo de reacción química dentro del volumen de control. Con base en estas suposiciones, la ecuación B.1 puede escribirse así: Ec. B.2 Donde : masa total de la especie A. : Velocidad másica total de laespecie A. : Término de liga de las dos regiones expresado en función de la velocidad másica. Por otra parte, la masa total por unidad de volumen, se expresa como: 630

Flujo radial de trazadores a través de un yacimiento estratificado

Ec. B.3 Donde  : Masa uyente. : Masa adsorbida. : Masa perdida por decaimiento radioactivo. Debido a que no existe adsorción en la región móvil, la velocidad de cambio de masa total se puede escribir así: Ec. B.4 Donde  es la constante de decaimiento radiactivo de nida por la siguiente ecuación: Ec. B.5 Por otro el término densidadcomo: de ujo total está de nido por la primera Ley lado, de Fick y puede de expresarse Ec. B.6 Esta ecuación indica que la densidad de ujo másico total es la resultante de dos magnitudes vectoriales: el vector   , que es la densidad de ujo másico de A que resulta del movimiento convectivo del uido, y el vector     , que es la densidad de ujo de A que resulta de la difusión superpuesta al ujo global. Entonces, la divergencia de la ecuación B.6 queda así: Ec. B.7

Ec. B.8

631

Apéndice B

Supongamos ahora que no existe componente de la velocidad en, = 0 y que no existe gradiente de concentraciones en dirección, . La ecuación B.8 se reduce entonces a: Ec. B.9 Tomando en cuenta que   , entonces: Ec. B.10 Donde    si se de ne: Ec. B.11 La velocidad en la dirección  está dada por la siguiente ecuación: Ec. B.12 Por otro lado, el coe ciente de dispersión está de nido por: Ec. B.13 Donde : Coe ciente de dispersividad hidráulica. : Coe ciente de difusión molecular. Considerando que el coe ciente de difusión molecular es muy pequeño en relación al coe ciente de difusión por efecto del movimiento global del uido,  se puede expresar así: Ec. B.14 Sustituyendo las ecuaciones B.14 y B.12 en la ecuación B.9 se tiene que el término de ujo está dado por la siguiente expresión: Ec. B.15

632

Flujo radial de trazadores a través de un yacimiento estratificado

Ec. B.16 Supongamos que el volumen de la región móvil permanece constante. La ecuación B.16 es válida con la suposición anterior. Por otro lado, el término que liga las dos regiones, la móvil y la inmóvil, está dado por la transferencia de masa hacia la región estancada. Mediante el mecanismo de difusión en      : Ec. B.17 Sustituyendo las ecuaciones B.4, B.16 y B.17 en la ecuación B.2, y suponiendo que el volumen de la región móvil permanece constante, se tiene: Ec. B.18 signo negativo parapierde el término de liga en–(B.18 deriva de queinmóvil. se consideraElque la región móvil concentración ) hacia la región Dividiendo la ecuación B.18 entre , y reordenando la ecuación, se obtiene la siguiente expresión: Ec. B.19 Tomando en cuenta que la porosidad de la fractura está dada por: Ec. B.20 Incluyendo las ecuaciones B.14, B.12 y B.20 en la ecuación B.19, se tiene nalmente la expresión que gobierna el ujo del trazador en la región móvil: Ec. B.21

633

Apéndice B

B.1.2 Ecuación de flujo para l a región inmóvil, est ancada o matriz

Al aplicar la ecuación B.1 a la región inmóvil o estancada de la gura B. 1, y considerando que no existe producción de la especie A dentro del volumen de control, se tiene: Ec. B.22 Donde: Ec. B.23 Supongamos ahora que la adsorción se realiza por medio de una reacción de primer orden debido a las bajas concentraciones del trazador: Ec. B.24 

Donde : Densidad Constantede delaequilibrio roca. o de adsorción. Al considerar que una porción de la masa perdida por decaimiento radioactivo se adsorbe en la roca: Ec. B.25 Sustituyendo las ecuaciones B.24 y B.25 en la ecuación B.23: Ec. B.26 El término de ujo está dado por: Ec. B.27

634

Flujo radial de trazadores a través de un yacimiento estratificado

Supongamos que no existe velocidad del trazador en la región inmóvil, entonces, la divergencia de está dada sólo por la difusión molecular en dirección z:  = 0 y que no existe difusión del trazador en dirección ,

Ec. B.28 Sustituyendo las ecuaciones B.26 y B.28 en la ecuación B.22 se obtiene: Ec. B.29 Dividiendo la ecuación B.29 entre el coe ciente de términos:

y reordenando

Ec. B.30 La ecuación B.30 es la ecuación fundamental de ujo para la región estancada. Las ecuaciones B.21 y B.30 son las ecuaciones fundamentales de ujo del trazador para un sistema idealizado como el que se muestra en la gura B.1. Las condiciones iniciales y de frontera para las ecu aciones B.21y B.30 son: Ec. B.31 Ec. B.32

Ec. B.33 Ec. B.34

635

Apéndice C

Tablas de transformadas de Laplace utilizadas Objetivo La idea de este apéndice es ofrecerle al lector las fórmulas de la transformada de Laplace empleadas durante el desarrollo de los problemas del capítulo VI, sobre todo las de aplicación. Cabe señalar que las transformadas de esta lista fueron tomadas, principalmente, de Abramowitz y Stegun (1970:1020-28) y de Carslaw y Jeager (1959:495-497).

Tabla de Transformadas de Laplace

(Más utilizadas en el capítulo VI de este libro)

Apéndice C

646

Tablas de transformadas de Laplace utilizadas

647

Notación

Las dimensiones están expresadas en términos de masa (M), longitud (L), tiempo (t) y temperatura (T). Los símbolos no utilizados regularmente, o que aparecen únicamente en una sección, no se encuentran aquí listados. A: A:

Área, L 2. Área total transversal al ujo, L 2.

Ar: A p: a: B o: B g: Bw: b: b1: C: C:

Área de la sección transversal en dirección r, L 2. Patrón de área, L2. Cambio de la temperatura con respecto a la profundidad, T/L. Factor de volumen del aceite, adimensional. Factor de volumen del gas, adimensional. Factor de volumen del agua, adimensional. Temperatura de referencia, T. Valor de referencia de la función objetivo. Constante en unidades de campo (C=0.00708). Concentración molar total, moles/L3.

C: C: C i: c:

Concentración del soluto en el solvente, M/L 3. Concentración del trazador in situ, M/L3. Concentración molar del compuesto i, moles/L3. Compresibilidad, t2L/M.

Notación

c: cf : co: c: p ct: c v: cw: D: D:

Valor de referencia de la primera derivada de la función objetivo. Compresibilidad de la formación, t 2L/M. Compresibilidad del aceite, t 2L/M. Capacidad calorí ca a presión constante, por unidad de masa, L 2/ t2T. Compresibilidad total, t 2L/M. Capacidad calorí ca a volumen constante, por unidad de masa, L 2/ t2T. Compresibilidad del agua, t 2L/M. Coe ciente de difusión, L 2/t. Dispersión del soluto en el solvente, L 2/t.

D:

Longitud característica utilizada en el análisis dimensional (diámetro de una esfera o cilindro), L.

D:

Diámetro interior de la tubería, L.

DAB :

Difusividad binaria para el sistema A-B, basada en la energía libre como fuerza impulsora, L2/t.

Dij:

Difusividad de la pareja i-j en un sistema de varios componentes, basada en la energía libre como fuerza impulsora, L2/t.

d: dci: di : E: E: EA:

Ruta de búsqueda, L. Diámetro interior de la tubería, L. Datos de campo. Energía total del uido, ML 2/t2. Parámetro de escalamiento, M/L 3. E ciencia del área de deslizamiento, fracción. EOR: Enhanced oil recovery. Recuperación mejorada de hidrocarburos.

ER : Er: EV : e:

650

E ciencia de la recuperación, adimensional. Error porcentual, adimensional. E ciencia volumétrica de deslizamiento, adimensional. Base de logaritmos neperianos (e= 2.7182...).