matematicas anaya 2eso

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 52 1 Escribe

tres fracciones equivalentes a:

a) 2 3 a) 2  = 4  = 6  = 10 3 6 9 15 2

Pág. 1

b) 6 8 b) 6  = 3  = 18  = 30 8 4 24 40

c) 5 50 c) 5  = 1  = 10  = 15 50 10 100 150

Divide, expresa en forma decimal y comprueba que las fracciones 1 , 2  y 3  son equi4 8 12  valentes. 1  = 2  = 3  = 0,25 4 8 12

3 Escribe

una fracción equivalente a 4  que tenga por denominador 15. 12

4  = 5 12 15

4 Simplifica.

a) 12 20 a) 12  = 6  = 3 20 10 5 5 Obtén

b) 12 32 b) 12  = 6  = 3 32 16 8

c) 15 45 c) 15  = 5  = 1 45 15 3

en cada caso la fracción irreducible:

a) 15 18 a) 15  = 5 18 6 6 Calcula,

b) 30 54 b) 30  = 5 54 9

c) 25 75 c) 25  = 1 75 3

en cada igualdad, el término desconocido:

a) 8  = 10 20 x  a) 8 · x  · x  =  = 20 · 10 8  x =  x = 25 c) x  c) x  · · 28 = 21 · 12 8  x  =  = 9

Unidad 3. Las fracciones

b) 25  = 15 x  9

c) x   = 12 21 28 b) 25 · 9 = x  · · 15 8  x  =  = 15

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 53 1

Pág. 1

Reduce a común denominador, poniendo como denominador común el que se indica en cada caso. a) 1 , 2 c) 3 , 4

1, 4 5, 6

1 8 Denominador común: 8 8 2 8  Denominador común: 36 9

b) 2 , 3 d) 1 , 4

1, 6 3, 5

5 8 Denominador común: 18 9 3 8 Denominador común: 20 10

a) 1 , 2 c) 3 , 4

1, 4 5, 6

1 8 4, 2, 1 8 8 8 8 2 8 27 , 30 , 8 9 36 36 36

b) 2 , 3 d) 1 , 4

1, 6 3, 5

5 8 12 , 3 , 10 9 18 18 18 3 8 5 , 12 , 6 10 20 20 20

2 Reduce

a) 1 , 4 e) 2 , 5

a común denominador los siguientes grupos de fracciones:

2 5 5, 8 6 15

b) 2 , 3 f) 3, 4

5 9 5, 7 8 16

c) 1 , 1 , 1 4 6 12 g) 1 , 1 , 1 15 20 30

d) 2 , 3 h) 2 , 5

a) 1  = 5  = 5 4 4 · 5 20 2  = 2 · 4  = 8 5 5 · 4 20

b) 2  = 2 · 3  = 6 3 3·3 9 5 9

c) 1  = 3  = 3 4 4 · 3 12 1  = 2  = 2 6 6 · 2 12 1 12 e) 2  = 2 · 6  = 12 5 5 · 6 30 5  = 5 · 5  = 25 6 6 · 5 30 8  = 8 · 2  = 16 15 15 · 2 30

d) 2  = 3 5  = 6 11 18 f) 3  = 4 5  = 8 7 16

g) 1  = 4  = 4 15 15 · 4 60 1  = 3  = 3 20 20 · 3 60 1  = 2  = 2 30 30 · 2 60

h) 2  = 2 · 9  = 18 5 5 · 9 45 5  = 5 · 5  = 25 9 9 · 5 45 11  = 11 · 3  = 33 15 15 · 3 45 22 45

Unidad 3. Las fracciones

2 · 6  = 3·6 5 · 3  = 6·3

12 18 15 18

3 · 4  = 4·4 5 · 2  = 8·2

12 16 10 16

5, 6 5, 9

11 18 11 , 22 15 45

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 55 1 Escribe

Pág. 1

la fracción opuesta de:

a) 5 3 a) 5 8 – 5 3 3 2 Copia

b) –2 3 b) –2 8 2 3 3

c) 4 –5 c) 4 8 4 –5 5

y completa en tu cuaderno. –3 b) 3  + =0 4 4

a) 2  – 2 = 0 7 7 3 Calcula

c) 1  + 1 = 0 6 –6

d) 5  – –5  = 0 8 –8

mentalmente.

a) 1 + 1 2 f)2 + 1 3

b) 1 – 1 2 g) 3  – 1 4 2

c) 2 + 1 2 h) 3  + 1 4 2

d) 1 + 1 3 i) 3  – 1 4 8

e) 1 – 1 3

a) 3 2 f) 7 3

b) 1 2 g) 1 4

c) 5 2 h) 5 4

d) 4 3 i) 5 8

e) 2 3

4 Calcula.

a) 1 – 3 7

b) 2 – 5 4

c) 17 – 3 5

d) 13  – 1 15

a) 7 – 3  = 4 7 7

b) 8 – 5  = 3 4 4

c) 17 – 15  = 2 5 5

d) 13 – 15  = – 2 15 15

5 Opera.

a) 1  + 2 4 3 a) 3  + 12 d) 4  + 16 6 Opera

8  = 12 5  = 16

b) 3  – 1 5 4 11 12 9 16

d) 1  + 5 4 16

c) 5  – 5 6 9 b) 12  – 20 e) 6  – 22

5  = 20 11  = 22

7 20 –5 22

e) 3  – 1 11 2 c) 15  – 18 f ) 18  + 28

10  = 18 7  = 28

f ) 9  + 1 14 4 5 18 25 28

y simplifica.

a) 7  + 7 6 12 d) 1  – 1 6 14 a) 14  + 12 d) 7  – 42

7  = 12 3  = 42

b) 1  + 3 5 10 e) 7  – 3 15 10 21  = 12 4  = 42

Unidad 3. Las fracciones

7 4 2 21

b) 2  + 10 e) 14  – 30

3  = 10 9  = 30

c) 2  – 11 7 14 f ) 7  – 4 20 15 5  = 10 5  = 30

1 2 1 6

c) 4  – 14 f ) 21  – 60

11  = – 7  = – 1 14 14 2 16  = 5  = 1 60 60 12

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe 7 Calcula, reduciendo al

a) 1  – 2 c) 5  – 6 e) 7  – 9

Pág. 2

común denominador que se indica.

1  + 3 8 Denominador común: 30 b) 1  + 1  + 1 8 Denominador común: 8 3 5 2 4 8 3  – 3 8 Denominador Denominador común: 36 d) 1 + 1  – 1 8 Denominador común: 6 9 4 2 3 4  – 1 8 Denominador común: 45 15 5

a) 15  – 10  + 18  = 23 30 30 30 30 d) 6  + 3  – 2  = 7 6 6 6 6

b) 4  + 2  + 1  = 7 8 8 8 8 e) 35  – 12  – 9  = 14 45 45 45 45

c) 30  – 12  – 27  = – 9  = – 1 36 36 36 36 4

8 Calcula.

a) 5  – 7  + 1 8 12 4 a) 15  – 24 c) 77  – 77 9 Calcula

14  + 24 66  + 77

6  = 24 35  = 77

10 Opera

7 24 46 77

15  – 18 3  – 30

7  = 18 6  = 30

b) 6  + 20 d) 63  + 35

16  – 20 30  – 35

d) 9  + 6  – 2 5 7 15  = 20 70  = 35

7 20 23 35

b) 3  – 2  + 27 7 5 35 16  = 18 16  = 30

8 9 8 15

c) 5  – 1  – 1 6 10 5 b) 35  – 35 d) 26  – 24

14  + 35 15  – 24

d) 13  – 5  – 5 12 8 6 27  = 28  = 4 35 35 5 20  = – 9  = – 3 24 24 8

y compara los resultados.



b) 2 – 2  + 1 3 2

a) 2 – 2  + 1 3 2





c) 3  – 1  – 1 5 4 10

d) 3  – 1  – 1 5 4 10



  d) 3  –  5 – 2  = 3  – 3  = 12 – 3  = 9 5 20 5 20 20 20

a) 12 – 4 + 3  = 11 6 6

b) 2 – 4 + 3  = 2 – 7  = 12 – 7  = 5 6 6 6 6

c) 12 – 5 – 2  = 5  = 1 20 20 4 11 Quita

c) 1 – 6  + 5 7 11

y simplifica los resultados.

a) 4  + 5  – 7 9 6 18 a) 8  + 18 c) 25  – 30

b) 3  + 4  – 3 10 5 4

paréntesis y calcula.



a) 1 – 1  + 2 4 3





b) 3  + 1  – 2 5 6 3

a) 1 – 1  – 2  = 12 – 3 – 8  = 1 4 3 12 12 c) 15 + 10 – 6 – 5  = 14  = 7 30 30 15 Unidad 3. Las fracciones





 

c) 1  + 1  – 1  + 1 2 3 5 6



  

d) 1 – 1  – 9  – 1 7 14 2

b) 3  + 1  – 2  = 18 + 5 – 20  = 3  = 1 5 6 3 30 30 10 d) 14 – 2 – 9 + 7  = 10  = 5 14 14 7



3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 57

Pág. 1

1 Multiplica.

 

a) 2 · 1 3

b) 3 · 5 4

c) (–7) · 2 5

d) 1  · 5 6 3

e) 3  · (–2) 5 7

f ) – 1  · 1 5 2

a) 2 3

b) 15 4

c) – 14 5

d) 5 18

e) – 6 35

f)– 1 10

2 Multiplica

y reduce como en el ejemplo.

• 2  · 10 = 2  · 10  = 20  = 4 5 5 1 5 a) 1 · 6 3

b) 2 · 12 (–3)

d) 3 · 8 4

e) 5 · (–12) (–12) 3

a) 1  · 6 = 6 = 2 3 3

b) 2  · 12 = – 24 = –8 (–3) 3

d) 3  · 8 = 24 = 6 4 4

e) 5  · (–12) = – 60 = –20 3 3

3 Multiplica

  f ) – 1  · (–18) 6 c) – 3  · 7 = – 21  = –3 7 7 f ) – 1  · (–18) = 18  = 3 6 6 c) – 3  · 7 7

y obtén la fracción irreducible.

a) 2  · 9 9 2

b) (–3)  · (–5) 5 3

c) 13  · 7 21 13

d) 4  · 15 5 2

e) 4  · – 10 5 3

f ) – 7  · – 18 9 35

a) 18 = 1 18 d) 4 · 15 = 6 5·2

b) 15 = 1 15 e) – 4 · 10  = – 8 5·3 3

c) 7  = 1 21 3 f ) 7 · 18  = 2 9 · 35 5

 

  

4 Divide

estas fracciones:

a) 4 : 1 3

b) 3 : 2 5

c) 3  : 8 5 7

d) 1 : 4 3

e) 2 : 3 5

f ) 8  : 3 7 5

a) 12

b) 3 10

c) 21 40

d) 1 12

e) 10 3

f) 40 21

5 Resuelto

en el libro del alumno.

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe Pág. 2

6 Calcula y compara los resultados de izquierda y derecha.

a) 5  · 2  – 3 2 5 10



b) 5  · 2  – 3 2 5 10





c) 15  · 1  – 2 4 3 5

d) 15  · 1  – 2 4 3 5



 

a) 5 · 2  – 3  = 1 – 3  = 7 2 · 5 10 10 10

b) 5  · 4 – 3  = 5  · 1  = 5  = 1 2 10 2 10 20 4

c) 15  – 2  = 75 – 24  = 51  = 17 12 5 60 60 20

d) 15  · (–1) = –15  = – 1 4 15 4 · 15 4

La situación de los paréntesis afecta al resultado. 7 Opera.

   a)  15 – 4  · 20 = 11 20 c) 2  ·  4 – 1  = 2  · 3  = 1 7 6 7 6 7

a) 3  – 1 · 20 4 5

Unidad 3. Las fracciones



b) 3  – 1 : 7 5 4



c) 2  · 2  – 1 7 3 6







d) 3  : 4  – 1 21 7 3



b) 12 – 5  : 7 = 7  : 7 = 1 20 20 20





d) 3  : 12 – 7  = 3  : 5  = 3 21 21 21 21 5



3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 60  Fracción

Pág. 1

de una cantidad

1 Roberto

ha necesitado 100 pasos para avanzar 80 metros. ¿Qué fracción de metro recorre en cada paso? Cada paso recorre 8  = 4  de metro. 100 5

2 Se

ha volcado una caja que contenía 30 docenas de huevos y se han roto 135. ¿Qué fracción ha quedado? • 1 caja de 30 docenas 8 30 · 12 = 360 unidades • Quedan 360 – 135 = 225 unidades Ha quedado 225  = 5  del total. 360 8

3 Se

ha volcado una caja con 30 docenas de huevos y se han roto tres octavas partes. ¿Cuántos huevos quedan?

• 1 caja de 30 docenas 8 30 · 12 = 360 huevos. • Rotos 3  de 360 8  Quedan 5  de 360 = 5 · 360  = 225 huevos. 8 8 8  Suma

y resta de fracciones

4  Una

familia dedica dos tercios de sus ingresos a cubrir gastos de funcionamiento, ahorra la cuarta parte del total y gasta el resto en ocio. ¿Qué fracción de los ingresos invierte en ocio? • 2  + 1  = 11 en gastos y ahorro. 3 4 12

5

• En ocio invierte 1 – 11  = 1 . 12 12

En un congreso internacional, 3/8 de los delegados son americanos; 2/5 son asiáticos; 1/6, africanos, y el resto, europeos. ¿Qué fracción de los delegados ocupan los europeos? 3  + 2  + 1  = 113 8 5 6 120 Los europeos son 1 – 113  = 7  del total. 120 120

6 Un

confitero ha fabricado 20 kilos de caramelos de los que 2/5 son de naranja; 3/10, de limón, y el resto, de fresa. ¿Cuántos kilos de caramelos de fresa ha fabricado?

2  + 3  = 7 5 10 10 Fresa: 1 – 7  = 3 ; 3  de 20 kg son 3 · 20  kg = 6 kg  10 10 10 10

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe  Producto

y división de fracciones

7 Roberto

avanza 4 metros en 5 pasos. ¿Qué fracción de metro avanza en cada paso? ¿Y en 100 pasos? En cada paso avanza 4  de metro. En 100 pasos avanza 80 metros. 5

8 ¿Cuántos

litros de aceite se necesitan para llenar 300 botellas de tres cuartos de li-

tro? 300 · 3  = 900  = 225. Se necesitan 225 litros. 4 4 9 ¿Cuántas

botellas de vino de tres cuartos de litro se llenan con un depósito de 1 800

litros? Se llenan llenan 1 800 : 3  = 1 800 · 4  = 2 400 botella botellas. s. 4 3 10 Un

bote de suavizante tiene un tapón dosificador con una capacidad de 3/40 de litro. ¿Cuál es la capacidad del bote sabiendo que llena 30 tapones?

 

30 · 3 l  =  = 90 l  =  = 9 l  =  = 2 + 1 l  40 40 4 4 La capacidad del bote es de 9  de litro (o 2,25 l ). l ). 4 11

Un bote de suavizante de dos litros y cuarto proporciona, mediante su tapón dosificador, 30 dosis para lavado automático. ¿Qué fracción de litro contiene cada dosis? 2 litros y cuarto = 2 + 1  = 9 l  4 4 Cada dosis contiene 9  : 30 = 9  = 3 l  4 4 · 30 40

 Fracción

de otra fracción

12 Un

embalse está lleno a principios de verano. En julio pierde 3/7 de su contenido,  y en agosto, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Qué fracción conserva aún a principios de septiembre?

°pierde 3 § 7  Julio ¢   Agosto 4 §queda 7 £ Conserva 1  de la capacidad total. 7

Unidad 3. Las fracciones

°pierde 3  de 4  = 3 § 7 4 7 ¢ §queda 1  de 4  = 1  del total 4 7 7 £

Pág. 2

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe 13 Marta

gasta 3/4 de sus ahorros en un viaje, y 2/3 del resto, en ropa. ¿Qué fracción de lo que tenía ahorrado le queda?

Gasta 3  en viaje 8  Le queda 1 . 4 4 Gasta 2  de 1  en ropa 8  Le queda 1  de 1  = 1  de los ahorros. 3 4 3 4 12 14

Marta tenía ahorrados 1 800 euros, pero ha gastado tres cuartas cuartas partes en un viaje y dos tercios de lo que le quedaba en reponer su vestuario. ¿Cuánto dinero le queda? Gasta 3  en viaje 8  Le queda 1 . 4 4 Gasta 2  de 1  en ropa 8  Le queda 3 4 Le queda, en total, 1  de 1 800  = 12

Unidad 3. Las fracciones

1  de 1  = 1 . 3 4 12 1 800  = 150 . 12

Pág. 3

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 63

Pág. 1

1 Calcula.



a) 1 2



3

b) 1 3

3 a) 1  = 1 23 8 2



2

c) 1 5

2 b) 1  = 1 32 9

4

4 c) 1  = 1 54 625

 

d) 1 10

6

6 1 d) 1  = 106 1 000 000

Calcula, como en el ejemplo, por el camino más corto.

 

4 4 • 154  = 15  = 34 = 81 5 5 3

5

a) 123 4

4 c) 5 4 10

b) 85 4

  a)  12   = 3 = 27 4 d)  5   =  1   = 1 15 3 9



2

d) 52 · 1 15 3

 e) –  4 · 3   = –3 = –27 4

2

3

  c)  5   =  1   = 1 10 2 16 f ) – 10   = – 2   = 4 15 3 9 f ) 102 · – 1 15

5 b) 8  = 25 = 32 4

3

2

3

e) (–4)3 · 3 4

3

4

2

4

2

2

3 Reduce.

6 x a) 2 x

4 z  b) 4 z 

7 · x 10 x c) x 12

3 · a7 a d) 4 5 a  · a

a) x  a) x 4

b) z 0 = 1

c)  x  = x   = x 5 12  x

17

10 d) a   = a  a 9

4 Reduce

a una sola potencia.

  b)  x   y 

4 c) z   · z  m m



 d)  x   : x   y 

  e)  a   :  1  b b

3 c) a  · b b a

a) x  a) x 4

b) a  b4

c) b a 

d) 1  = y   = y –3 3  y

2 e) a b

6 f )  x   y 

3 a) x 5 · 1 x 

2 3 b) x   · x   y   y  5

5

a)  x  = x   = x 2 3  x

  c)  z  m

5

5 Reduce.

4 a) x   · y 4  y  3

3

Unidad 3. Las fracciones

4 b) a  · 1 b a 4

3

3

   y  f )  x   :  y  x  5



4

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe Pág. 2

6 Calcula.

a) 20

b) 50

c) 100

d)(–4)0

a) 20 = 1

b) 50 = 1

c) 100 = 1

d) (–4) (– 4)0 = 1

7 Escribe

la descomposición polinómica de:

a) 72,605

b) 658,32

a) 72,605 = 7 · 10 2 + 2 · 10 + 6 · 10 –1 + 5 · 10 –3 b) 658,32 = 6 · 10 2 + 5 · 10 1 + 8 · 10 0 + 3 · 10 –1 + 2 · 10 –2 8 Expresa

con todas sus cifras.

a) 5 · 106

b) 34 · 107

a) 5 · 106 = 5 000000 000 000

b) 34 · 107 = 340000 000 000

9 Expresa

en forma abreviada los siguientes datos:

a) Un año año luz equiv equivale ale a 9 460 800 000 000 km. km. a) 1 año luz luz = 9 460800 460 800000 000000 000 km km = 94 608 · 10 8 km ≈ 9,5 · 1012 km

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 64 1 Expresa

Pág. 1

en forma decimal.

a) 1 2 d) 7 10

b) 2 3 e) 2 9

c) 2 5 f ) 17 110

a) 1 = 0,5 2 7 d) = 0,7 10

 ) b) 2  = 0,6 3  ) 2 e)  = 0,2 9

c) 2  = 0,4 5 17 f)  = 0,1 54 110

a) 0,5

b) 0,8

c) 1,6

d) 0,04

e) 1,35

f ) 0,325

a) 0,5 = 1 2

b) 0,8 = 8  = 4 10 5 e) 1,35 = 135  = 27 100 20

c) 1,6 = 16  = 8 10 5 f ) 0,325 0,325 = 325  = 13 1 000 40

2 Expresa

en forma de fracción.

d) 0,04 0,04 = 4  = 1 100 25 3 Tantea,

 )

prueba y resuelve:

a) Comprueba Comprueba con la calculadora. 1  = 1 : 9 = 0,11111… 2  = 2 : 9 = 0,22222… 9 9 b) Busca la fracción generatriz de: 0,44444…

3  = 3 : 9 = 0,33333… 9

0,55555…

1,55555…

0,55555 = 5 9

1,55555 = 14 9

a) Se comprueba. b) 0,44444 = 4 9

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 65  Aplicación 1

Pág. 1

de conceptos

La gráfica informa sobre los deportes preferidos en una clase de 30 estudiantes de segundo de ESO. Fútbol

¿Qué fracción de la clase…

Baloncesto

a) … practica fútbol?

Voleibol

b) … practica baloncesto?

 Atletismo Natación

c) … no practica baloncesto? d) … no practica ni fútbol, ni baloncesto?

Danza 

a) 8  = 4 30 15 2

b) 6  = 1 30 5

a) 40

4

5

d) 16  = 8 30 15

Calcula mentalmente. a) 2 de 60 3 d) 2 de 35 7

3

c) 24  = 4 30 5

b) 1 de 90 10 e) 5 de 18 9 b) 9

c) 90

c) 3  de 120 4 f ) 3  de 100 5 d) 10

e) 10

f) 60

¿Cuántos gramos son? a) 3 de kilo 4

b) 3 de kilo 5

c) 7  de kilo 20

a) 750 g

b) 600 g

c) 350 g 

a) 5 de hora 6

b) 3 de hora 12

c) 4  de hora  5

a) 50 min

b) 15 min

c) 48 min

¿Cuántos minutos son?

¿Qué fracción de hora son? a) 5 minutos

b) 24 minutos

c) 360 segundos

a) 5  de h = 1 de hora 60 12

b) 24  de h = 2 de hora 60 5

c) 360  de h = 1  de hora  3 600 10

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas”  Fracciones 6

y decimales

Expresa en forma decimal. a) 7 2

b) 27 50

c) 13 125

d) 7 6

a) 3,5

b) 0,54

c) 0,104

 ) d) 1,1 6

e) 4 9  ) e) 0,4

f) 5 11

 )

f) 0,45

Pasa a forma fraccionaria.

7

a) 1,1 a)

11 10

b) 0,13 b)

 Equivalencia 8 

Pág. 2

13 100

c) 0,008 c)

8 1 000

 ) d) 0,8 d)

8 9

 ) e) 1,8 e)

17 9

de fracciones

Escribe: a) Una fracción equivalente a 4/10 que tenga por numerador 6. b) Una fracción equivalente a 15/45 que tenga por denominador 12. c) Una fracción que sea equivalente a 35/45 y tenga por numerador 91. a) 6 , ya que 6  = 3 · 2  = 2  = 4 15 15 3 · 5 5 10 b) 4 , ya que 4  = 4 · 1  = 1  = 15 12 12 4 · 3 3 45 c) 91 , ya que 91  = 13 · 7  = 7  = 35 117 117 13 · 9 9 45

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 9

Pág. 3

Estos dos trozos de tela son igual de grandes:

¿Cuál de los dos tiene una porción mayor de verde? Explica la transformación que propone este gráfico para resolver la pregunta:

El color verde ocupa 2  y 1  de cada trozo de tela, respectivamente. El gráfico propone una 5 3 reducción de esas fracciones a común denominador: 2  = 6 ; 1  = 5 5 15 3 15 De este modo, la comparación es obvia, 2  > 1 . La porción verde es mayor en el trozo de 5 3 tela de la izquierda. 10

11

12

Calcula x  en cada caso: a) 6  = 15 22 x 

b) 21  = x  49 35

c) 13  = 11 x  99

d) x   = 91 78 169

a) x  a) x = = 55

b) x  b) x = = 15

c) x  c) x = = 117

d) x  d) x  =  = 42

Reduce a común denominador. a) 1, 5 , 3 , 7 6 8 12

b) 1 , 1 , 1 , 2 3 5 6 15

a) 1, 5 , 3 , 7 8 24 , 20 , 9 , 14 6 8 12 24 24 24 24

b) 1 , 1 , 1 , 2 8 10 , 6 , 5 , 4 3 5 6 15 30 30 30 30

Ordena de menor a mayor.  ) a) 9 ; 0,6; 3 ; 7 ; 1,1 10 2 5

b) 2 ; 3 ; 3 ; 7 3 5 2 6







 



 ) a) 0,6 < 9  < 1,1 < 7  < 3 , ya que 0,6 < 0,9 = 9  < 1,1 < 1,4 = 7  < 1,5 = 3 . 10 5 2 10 5 2 b) 3  < 2  < 7  < 3 , ya que 3  = 18 ; 2  = 20 ; 7  = 35 ; 3  = 45 . 5 3 6 2 5 30 3 30 6 30 2 30 13

Continúa en tres términos cada serie. a) 1 , 3 , 1 , 5 , 3 , … 4 8 2 8 4

b) 1 , 1 , 1 , 5 , 1 , … 6 4 3 12 2

a) 7 , 1, 9 8 8

b) 7 , 2 , 3 12 3 4

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 66  Suma 14

Pág. 1

y resta de fracciones

Calcula mentalmente. a) 1 –

1 10

a) 9 10 15

1 1 b)  – 5 10

c) 1 +

b) 1 10

c) 4 3

1 3

1 1 d)  – 3 6

1 1 e)  – 4 8

1 1 f )  + 4 8

d) 1 6

e) 1 8

f) 3 8

Calcula y simplifica. a) 1  – 1  + 1 2 5 10

b) 1  + 1  – 2 3 5 15

c) 1  – 5  + 1 6 9 2

d) 4  – 2 + 3  – 5 3 2 6

a) 4  = 2 10 5

b) 6  = 2 15 5

c) 2  = 1 18 9

d) 0  = 0 6

16 

Opera.

 

   

a) 2 – 1 + 3 5

b) 1 – 3  – 2 – 5 4 4

a) 2 – 8  = 10 – 8  = 2 5 5 5

b) 1  – 3  = – 2  = – 1 4 3 4 2

 Multiplicación

y división de fracciones

Calcula y simplifica.

17

a) 3 · 14 7 e) 2  · 9 3 20

b) 2 : 4 5 f ) 4  : 2 15 5

c) 7  · 4 2 (–7)

d) 3  : (–5) 11 11

a) 42 7

b) 2  = 1 20 10

c) – 4 = –2 2

d) – 3 5

e) 18  = 3 60 10

f ) 20  = 2 30 3

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas”  Operaciones

combinadas

Opera y reduce.

18

a) 1 – 5  · 2 – 3 7 5

   c)  2  – 3  · 1 + 2  3 5 3

   d)  3  – 1  :  1  + 2  5 2 4 5

a) 2  · 7  = 14  = 2 7 5 35 5 c) 1  · 5  = 5  = 1 15 3 45 9

b) 3  : 9  = 24  = 2 4 8 36 3 d) 1  : 13  = 20  = 2 10 20 130 13

 Pot Potencias encias 19

y fracciones frac ciones

a) a5 · a2

b) a · a2 · a3

c) x 5 · x –3

a) a 7

b) a 6

c) x  c) x 2

 e) (a )  ·  1  a

4 c) a  · b 4 b

Simplifica.



5 a) x 3 · 1 x 



3 a d)  : a3 b 3

a)  x  = x   = x –2 5  x  3 d) a  = b –3 3 3 b  · a 

22

b) 1 – 1  : 1 + 1 4 8

Reduce a una potencia única.

20 

21

Pág. 2

 f)  1   : ( 1  a a

5 b) x 3 : 1 x  2 3

7

3

2

3

3

4 4 c) a  · b  = a 4 b4 9 f) 1  : 1  = a  = a 3 a 6 a 9 a 6

b) x  b) x 3 · x   · x 5 = x   = x 8 6 e) a  = a –1 a 7

Escribe con todas sus cifras estas cantidades: a) 37 · 107

b) 64 · 1011

c) 3,5 · 1013

a) 370 370 000 000 000 000

b) 6 400 400 000 000 000 000 000 000

c) 35 000 000 000 000 000 000 000 000

Expresa en forma abreviada como se ha hecho en el ejemplo. • 5 300 300 000000 = 53 · 10 108 a) 8 400 400 000

b) 61 000 000 000 000

a) 84 · 10 5

b) 61 · 109

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas”  Interpreta, 23

d escribe, exprésate describe,

Pág. 3

Aquí tienes la resolución que han presentado David y Olga al siguiente problema:

Una empresa de coches usados recibe un lote de 180 vehículos. El primer mes vende las tres cuartas partes. El siguiente mes coloca la quinta parte del lote. ¿Cuántos coches le quedan aún por vender?  Solución de David • 3/4 de 180 = (180 : 4) · 3 = 135 • 1/5 de 180 = 180 : 5 = 36 • 135 + 36 = 171 • 180 – 171 = 9

Solución de Olga  • 3  + 1  = 15 + 4  = 19 4 5 20 20 • 20  – 19  = 1 20 20 20 • 1/20 de 180 = 180 : 20 = 9

 Ambos se han limitado a realizar las operaciones sin explicar el proceso. Hazlo tú, indicando el significado de cada operación y el resultado obtenido en cada caso. Solución de David • Coches vendidos el primer mes 8 3  de 180 = (180 : 4) · 3 = 135 4 • Coches vendidos el segun segundo do mes 8 1  de 180 = 180 : 5 = 36 5 • Total coches vendidos 8 135 + 36 = 171 • Coches sin vender 8 180 – 171 = 9 Solución de Olga  • Fracción de coches coches vendidos 8 3  + 1  = 15 + 4  = 19 4 5 20 20 • Fracción de coches sin vender 8 20  – 19  = 1 20 20 20 • Cantidad de coches sin vender 8 1  de 180 = 180 : 20 = 9 20

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 67  Resuelv  Resuelve e 24

Pág. 1

problemas

Un barco lleva recorridas las tres décimas partes de un viaje de 1 700 millas. ¿Cuántas millas le faltan todavía por recorrer? Le faltan por recorrer 7  de 1 700 = 7 · 1 700  = 1 190 millas millas.. 10 10

25

Por tres cuartos de kilo de cerezas hemos pagado 1,80 . ¿A cómo está el kilo? 3  de kilo son 1,80  8 1  de kilo son 1,80  = 0,60 . 4 4 3 1 kg de cerezas cuesta cuesta 4 · 0,60 0,60 = 2,40 

26

Durante un apagón de luz, se consumen tres décimas partes de una vela de cera. Si el cabo restante mide 21 cm, ¿cuál era la longitud total de la vela? Si se consumen 3 , quedan 7 , que son 21 cm. 10 10 1  de vela mide 21  = 3 cm, y la vela entera, 10 · 3 = 30 cm. 10 7

27

La tercera parte de los 240 viajeros que ocupan un avión son europeos, y 2/5, africanos. El resto son americanos. ¿Cuántos americanos viajan en el avión? Viajan 64 americanos. Europeos y africanos: 1  + 2  = 11  de 240 pasajeros. 3 5 15 El resto serán 4  de 240 8 4  · 240 = 64 americanos. 15 15

28

Bernardo Bernardo tiene 1 500  en su cuenta y gasta 2/5 en una cadena musical y la cuarta parte de lo que le queda en una colección de discos. ¿Qué fracción le queda del dinero que tenía? ¿Cuánto le queda? 1 4

— del resto, discos

9 Quedan — de 1500 20 2 5

— cadena 

Le queda 9  del dinero, que son 675 . 20

Unidad 3. Las fracciones

8

9 —  · 1 500 = 675  20

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 29

Un granjero tiene a finales de mayo unas reservas de 2 800 kg de pienso para alimentar a su ganado. En junio gasta 3/7 de sus existencias, y en julio, 3/4 de lo que le quedaba. ¿Cuántos kilos de pienso tiene a primeros de agosto? 3 4

— resto

4 1 Quedan — = — del total   28 7

8

1 7

kg  — · 2 800 = 400 kg 

3 7

— julio

Tiene 400 kg de pienso. 30

Un frasco de perfume tiene una capacidad de 1/20 de litro. ¿Cuántos frascos se pueden llenar con un bidón que contiene tres litros y medio? 3,5 l  =  = 3 + 1 l  =  = 7 l  en  en el bidón. 2 2 Se pueden llenar 7  : 1  = 70 8 70 frascos. 2 20

 

31

Una empresa comercializa jabón líquido en envases de plástico con una capacidad de 3/5 de litro. ¿Cuántos litros de jabón se necesitan para llenar 100 en vases? en vases?





(100 envases) · 3 l  cada  cada envase  = 100 · 3  = 60 l  5 5 32

La abuela ha hecho dos kilos y cuarto de mermelada y con ella ha llenado seis tarros iguales. ¿Qué fracción de kilo contiene cada tarro?

   

2 kg y cuarto 8 2 + 1  kg = 9  kg  4 4 Cada tarro contiene 9  kg   : (6 tarros) = 9  = 3  kg. 4 4·6 8 33

Dos problemas similares. a) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumido 3 kg. ¿Qué fracción queda del contenido original? b) De un tambor de detergente de 5 kg se han consumidos dos kilos y tres cuartos. ¿Qué fracción queda del contenido original? a) Quedan 2 del tambor. b) Quedan 9  del tambor. 5 20 5 kg 

9 Quedan — del total 20

2 Quedan — del total 5 3 Gasta 3 kg, — del total 5 Unidad 3. Las fracciones

2 kg 

3 4

3 4

— de kg 8 Gasta 2 y — kg 

Pág. 2

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas”  P  Problemas roblemas 34

“+”

Pág. 3

María recoge en su huerta una cesta de manzanas. De vuelta a casa, se encuentra a su amiga Sara y le da la mitad de la cesta más media manzana. Después, pasa a  visitar a su tía Rosa y le da la mitad de las manzanas que le quedaban más media manzana. Por último, se encuentra con su amigo Francisco y vuelve a hacer lo mismo: le da la mitad más media. Entonces se da cuenta de que tiene que volver a la huerta porque se ha quedado sin nada. ¿Cuántas manzanas cogió, teniendo en cuenta que en ningún momento partió ninguna? 

Recorre el problema al revés. HABÍA SARA 

7

8

ROSA 

3

8

FRANCISCO

35

SE LLEVA

8

QUEDA  

7

1

—

—

8

3

8

1

8

0

2

2

3

1

— 2

—

1 2

—

—

2

1 2

Cogió 7 manzanas.

En el baile, tres cuartas partes de los hombres están bailando con tres quintas partes de las mujeres. ¿Qué fracción de los asistentes no está bailando? BAILAN (*)

3 4

HOMBRES — de hombres bailan

3 5

MUJERES — de

No bailan 1  de los asistentes. 3

mujeres bailan

6 9

bailan — del total bailan

3 9

1 3

— = — del total no bailan

(*) Teniendo en cuenta que el número de hombres que baila ha de ser igual al número de mujeres que baila, ya que bailan por parejas.

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 68 36

Pág. 1

Inventa un problema para cada uno de estos gráficos. a)

b)  x

x 

+

 x

x

x 

5 kg   x   x   x 

8€

Respuesta abierta. Por ejemplo: a) El dueño de un supermercado estimó el lunes que sus existencias de arroz eran suficientes para abastecer a sus clientes durante toda la semana. Sin embargo, ese mismo lunes vendió la cuarta parte; el martes, los tres octavos, y el miércoles, la tercera parte. Entonces, al comprobar que solo le quedaban 5 kilos, pidió pidi ó más arroz al almacén. ¿Cuántos kilos de arroz tenía al principio de la semana? b) Un pastelero consumió el lunes las tres cuartas partes par tes de sus existencias de azúcar, y el martes, los dos tercios de lo que le quedaba. Entonces comprobó que solo tenía 8 kilos. ¿Con cuántos kilos de azúcar comenzó la semana?

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a la Autoevaluación Autoevaluación PÁGINA 68

Pág. 1

 ¿Conoces y aplicas los conceptos conceptos de fracción?  1 Expresa

en forma decimal.

a) 2 5

b) 3 3

c) 5 4

a) 0,4

b) 1

c) 1,25

2 Calcula.

a) 3 de 45 5

b) 5  de 20 2

a) 27

b) 50

 ¿Conoces y aplicas el concepto de equivalencia de fracciones?  3 Simplifica.

a) 50 75

b) 27 45

c) 210 180

2 a) 2 · 5  = 2 3 · 52 3

3 b) 3  = 3 5 · 32 5

c) 2 · 3 · 5 · 7  = 7  = 7 22 · 32 · 5 2 · 3 6

4 Reduce

a común denominador las fracciones 5 , 7  y 11 . 9 12 18

mín.c.m. (9, 12, 18) = 36; 5  = 20 ; 7  = 21 ; 11  = 22 9 36 12 36 18 36

 ¿Conoces y aplicas algoritmos para sumar, sumar, restar, restar, multiplicar y dividir fracciones?  5 Calcula.

a) 2  + 1  – 1 3 6 9

b) 5  – 7  + 11 9 12 18

a) 12  + 3  – 2  = 13 18 18 18 18

b) 20  – 21  + 22  = 21  = 7 36 36 36 36 12

6 Calcula.

a) 2  · 1 3 6

b) 2  : 1 3 6

c) 2 · 6 3

d) 2  : 4 3

a) 2  = 1 18 9

b) 12 = 4 3

c) 12 = 4 3

d) 2  = 1 12 6

Unidad 3. Las fracciones

3

Soluciones a la Autoevaluación Autoevaluación  ¿Resuelves expresiones expresiones con números números fraccionarios y operaciones operaciones combinadas?  7 Calcula.

   a) 11  – 1 + 7  = 11  – 19  = – 8  = – 2 12 12 12 12 12 3

a) 11  – 1 – 1  – 3 12 6 4



 

b) 1  + 1  · 2 – 2 2 3 5 b) 5  · 8  = 8  = 4 6 5 6 3

 ¿Conoces y aplicas las propiedades propiedades de las potencias con números números fraccionarios?  8 Calcula.

a)



 

2 3 · 63 3

2 b) 3  : 3 5 5

3 a) 2  · 23 · 33 = 26 = 64 33

3

2 3 b) 3  · 5  = 5 52 33 3

 ¿Diferencias los distintos tipos de problemas problemas con números números fraccionarios y los resuelves?  resuelves?  9 Un

quiosco recibe por la mañana 225 revistas. Vende por la mañana 1/3 del total, y, por la tarde, 2/5 también del total. ¿Cuántas revistas le quedan al finalizar la jornada?

Total: 225 revistas. 1  del total = 3 2  del total = 5

1  de 225 = 225  = 75 revistas 3 3 2  de 225 = 2 · 225  = 90 revistas 5 5

 Al finalizar la jornada le quedan 225 – 75 – 90 = 60 60 revistas 10 Un

señor sale de casa con 60 . Gasta en un vestido 1/3 de su dinero, y, en el mercado, 2/5 de lo que le quedaba. a) ¿Qué fracción de dinero le queda?

b) ¿Cuánto dinero din ero le queda? a) Si gasta 1 , le quedan 2  del dinero inicial. 3 3 2 2 2 2 4 En el mercado gastó  de  =  ·  =  del dinero inicial. 5 3 5 3 15 1 4 9 6 Por tanto, le queda 1 –  +  = 1 –  = . 3 15 15 15 b) 6  de 60 = 24 . 15

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Unidad 3. Las fracciones

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