Matematicas 8

Matemáticas 8

MATEMÁTICAS 8º grado

James R. Velasco Mosquera Profesor Universidad de Pamplona

Luis Ernesto Rojas Morantes Profesor Universidad de Pamplona

Yolanda Gallardo de Parada Profesora Universidad de Pamplona

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL Coordinación Pedagógica y Editorial Hernando Gélvez Suárez Supervisor de Educación

Impresión:

ISBN Colección 958-9488-56-0 ISBN Volumen 958-691-010-5 Prohibida su reproducción total y parcial sin autorización escrita del Ministerio de Educación Nacional MEN. Derechos Reservados Distribución gratuita

CONTENIDO

UNIDAD 1

LOS REALES .............................................................................................. 1

CAPÍTULO 1 LOS NÚMEROS IRRACIONALES ............................................................. 7 CAPÍTULO 2 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ........................................... 13 UNIDAD 2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................................................... 33

CAPÍTULO 1 OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ........................ 41 CAPÍTULO 2 FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES ........................................ 73 UNIDAD 3

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ...................................... 83

CAPÍTULO 1 FUNCIONES LINEALES ........................................................................... 85 CAPÍTULO 2 FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACIÓN CUADRÁTICA .................. 102 UNIDAD 4 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4

GEOMETRÍA: MOVIMIENTO EN EL PLANO ............................... 123

DESPLAZAMIENTO EN EL PLANO ..................................................... ROTANDO, ROTANDO ........................................................................... REFLEJANDO EL MUNDO .................................................................... TRASLACIONES Y ROTACIONES COMO REFLEXIONES LINEALES ....................................................... CAPÍTULO 5 ISOMETRÍAS ........................................................................................... CAPÍTULO 6 HOMOTECIAS ......................................................................................... UNIDAD 5

125 133 142 145 151 156

LÓGICA: CUANTIFICADORES......................................................... 163

PRESENTACIÓN El diagnóstico de la actual situación socioeconómica de las áreas rurales de Colombia presenta un panorama complejo. Se da por una parte, la creciente modernización tecnológica y empresarial del agro donde la actividad económica tiende a organizarse bajo la forma de empresas modernas en el marco de la integración dependiente con la agroindustria y por otra parte se constata el progresivo y creciente empobrecimiento de aquellos grupos de la población directamente vinculada a la producción agrícola tradicional. Una de las necesidades insatisfechas es la de la educación, considerada como un elemento clave en cualquier estrategia que se proponga lograr un desarrollo rural equitativo. Se alude aquí, específicamente a la educación básica obligatoria establecida por la Constitución Política de Colombia de 1991. La actual Ley General de Educación define la educación básica “Como la educación primaria y secundaria”; comprende nueve grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado por las áreas fundamentales del conocimiento y de la actividad humana, las cuales deben comprender por lo menos el 80% del plan de estudios. Los decretos reglamentarios de la Ley General de la Educación se refieren a la educación básica en los siguientes términos: • Es un proceso pedagógico que comprende nueve grados y debe organizarse de manera secuenciada y articulada que permita el desarrollo de actividades pedagógicas, de formación integral, que facilite la evaluación por logros y favorezca el avance y la permanencia del educando dentro del servicio educativo (Decreto 1860 del 94). • A quienes hayan terminado satisfactoriamente los estudios de educación básica se les otorgará un diploma mediante el cual se certifica la culminación del bachillerato básico, por el cual se permite comprobar el cumplimiento de la obligación constitucional de la educación básica y habilita al educando para ingresar a la educación media, al servicio especial de educación laboral o al desempeño de actividades que exijan este grado de formación, El Ministerio de Educación Nacional consciente de la responsabilidad que tiene frente a la promoción de la educación para las zonas rurales, no ha ahorrado esfuerzos para presentar innovaciones y estrategias para el desarrollo rural. Actualmente esta en marcha el proyecto de educación rural “PER”, que tiene como objetivos: cobertura con calidad en el sector rural; capacidad de la gestión educativa fortalecida en las entidades territoriales; procesos de formación de las escuelas y comunidades para la convivencia y la paz, y una política para la educación técnica rural.

La Postprimaria rural como una opción de educación básica completa, enmarcada dentro del objetivo de calidad y cobertura, surge a partir de innovaciones educativas vividas en la década de los noventa que apuntaron especialmente, a la introducción de cambios en las metodologías de aprendizaje, en las formas de organización escolar, en el diseño de materiales, en la evaluación y promoción, en propuestas curriculares pertinentes al medio, mediante la implementación de proyectos institucionales de educación rural que garantizaran articulación secuencia y continuidad del servicio educativo. La Postprimaria se puede considerar como una estrategia innovadora que integra educación formal, no formal e informal especialmente dirigida a los niños y niñas jóvenes en edad escolar para ofrecerles mas grados en las escuelas rurales que hayan logrado el 5º de primaria y puedan ampliar los grados hasta alcanzar la educación básica completa directamente o por convenio con instituciones rurales organizadas por fusión o asociación, para lo cual se ha diseñado un conjunto de materiales curriculares o textos guías (del 6º al 9º grados) de apoyo para el auto aprendizaje y el aprendizaje cooperativo en las áreas obligatorias y fundamentales, en los proyectos pedagógicos y en los proyectos pedagógicos productivos. La Universidad de Pamplona, dada su experiencia en el diseño de ese tipo de materiales fue responsabilizada mediante convenio con el Ministerio de Educación Nacional para la producción de dichos materiales, el énfasis está puesto en el funcionamiento de centros e instituciones educativas de forma presencial y semipresencial, con calendarios, horarios, planes y programas flexibles, y adecuados a la realidad del medio. En este sentido los materiales curriculares que se incluyen se ubican en la perspectiva de adoptar procesos que contribuyan a generar acciones que aproximan la educación básica rural a la realidad vivida por los educandos y sus familias y abrir espacios de participación a través del diseño de estrategias pedagógicas activas que ponen énfasis en su propia realidad y en la búsqueda de soluciones a los problemas que los afectan. La estructura curricular, adapta los contenidos a la realidad del medio, combinando en los mismos ciencia y tecnología, propiciando el desarrollo de estrategias curriculares que sitúen en la misma línea de objetivos la relación teoría-practica, en todas las áreas del conocimiento, orientándolas hacia el análisis y comprensión de los obstáculos que frenan el desarrollo y la búsqueda de soluciones a los problemas derivados de la producción e interacción comunitaria. Los contenidos presentados en estos módulos, pueden ser trabajados en torno a ejes problemáticos o proyectos seleccionados a través de procesos participativos, que comprometan en su conjunto a la comunidad educativa, con el fin de que se generen conocimientos socialmente útiles. El desarrollo de las temáticas deben ser seleccionadas según las necesidades y la realidad del medio, especialmente en lo referente a las áreas optativas en las cuales se debe introducir innovaciones por medio de la adaptación y selección de contenidos según las necesidades, realidades e intereses de las comunidades locales.

En relación con la metodología que identifica el diseño de los materiales, no se puede definir una sola metodología o una única metodología, cada una de las áreas, de los proyectos pedagógicos presenta o aplica su propio proceso o procesos metodológicos, el fin es buscar la producción e interpretación de conocimientos adaptados a las necesidades básicas de aprendizaje, para luego contrastarlos con su practica cotidiana y con los factores que inciden en el desarrollo de su comunidad, mediante la utilización de estrategias participativas de investigación y acción educativa en la detección de problemas y desarrollo de proyectos. Por último, el papel del educador como gestor y orientador de estos procesos, valorados desde su actitud, sus dominios académicos, pedagógicos y de identidad con el medio en el cual labora, son definitivos para el desarrollo del programa de Postprimaria Rural como una alternativa para implantar la institución básica, reconociendo la capacidad del educando para generar y adaptar los contenidos a sus necesidades e intereses. Los módulos curriculares aquí desarrollados son un medio para el aprendizaje, no un fin.

D

U

1

N

LOS REALES

I DA

MATEMÁTICAS 8º

DA

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•

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ACTIVIDAD INTRODUCTORIA ○

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Individual ○

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Recordemos lo aprendido. En el cuaderno realizo los siguientes ejercicios:

a)

4  −7  + 7  12 

e)

 3 8 9 −  + −  8 5 4

b)

5  5 − 4  3

f)

2  −1 ⋅ 4  5

−6 2 c)   +  7  25

g)

 −7   2  ÷  3   5

h)

−1 2 3  + 9   5  9 5  −1 2  −8  − 3 7  4 3 

d)

1.

1  −5   −2  + − 2  3  7

Encuentro el valor de x, que hace que se cumpla la igualdad: a) x +

1 −2 = 4 5

b)

7 − x = −2 9

c)

5 -5 +x= 10 6

1

POSTPRIMARIA RURAL

2.

En cada caso escribo un entero que satisfaga las siguientes desigualdades: a)

3.

3 < x < 5

b) -6 < x < -2

c) -1 < x < 2

Localizo los siguientes números en la recta numérica:

a = 8

d =

1 2

g =

−2 5

b = 0

e =

−1 4

h =

18 2

c = -5

f =

−24 6

i =

8 5

ACTIVIDAD 2. En grupo Recordemos las expresiones decimales de un número racional. 1. Escribo las siguientes fracciones en forma decimal: a)

8 10

c)

72 10

e)

b)

245 100

d)

17 10

f)

379 1.000

2 1.000

2. Expreso los siguientes números racionales como expresiones decimales. Para tal fin divido el numerador entre el denominador.

2

a)

1 2

d)

1 3

b)

3 5

e)

17 9

c)

10 4

f)

22 7

4. Divido el numerador entre el denominador hasta encontrar el período, luego indico este período con un arco o línea. Recuerdo que el número o números que se repiten indefinidamente es lo que en matemáticas se llama período. a)

7 3

ACTIVIDAD 2. 32 b)

11

c)

45 14

e)

10 6

d)

4 7

f)

1 9

5. Escribo en forma de racional los siguientes decimales finitos. Recuerdo que basta con escribir en el denominador la potencia de 10 con el exponente que corresponde a la cantidad de cifras decimales, y en el numerador, el número sin coma de separación, luego se simplifica si es el caso. Ejemplos: El racional

0,0057 =

57 57 +x= 4 10 10.000

El racional

-45,36 =

-4.536 -4.536 −1.134 = +x= 2 10 100 25

a) 0,035

c) 0,00128

e) 0,00049

g) 125,82

b) 2,479

d) 1,26

f) 38,46

h) 5,00046

3

MATEMÁTICAS 8º

3. Comparo el resultado de los decimales del grupo formado por a, b, c con los del grupo formado por d, e, f. ¿Qué diferencia existe?

POSTPRIMARIA RURAL

6. Teniendo presente que toda fracción se puede escribir como una expresión decimal que puede ser exacta o periódica, encuentro la fracción que representa cada una de las siguientes expresiones decimales periódicas: a) 0,234

d) 0,22

g) 25,136

b) 0,2734

e) 17,38

h) 0,246

c) 1,6

f) 0,9

i) 9,682

Recuerdo que para hallar la expresión racional de un decimal periódico llamamos x al decimal dado, multiplicamos por la potencia de 10 cuyo exponente es igual al número de dígitos del período, y restamos x de este producto. EJEMPLOS: a) Hallar la expresión racional de 3,25 Llamamos x = 3,2525... multiplicamos por 102, o sea, por 100 100 x = 325,252525... Restamos x

100 x = 325,2525... - x = 3,2525... 99 x = 322

x=

322 99

Por consiguiente, la expresión racional del decimal 3,25 es

4

322 99

b) Hallar la expresión racional del decimal periódico 0,28145145...

Como queremos que los períodos se correspondan para la resta, es necesario convertir al número x de tal forma que la primera parte decimal corresponda a la del período, por lo tanto es necesario multiplicar a x por 100 y luego proceder como es el caso anterior, así: x = 0,28145 100 x = 28,145145145... (100 x) 1.000 = 28145,145145 -100 x = 28,145145... 99.900 x = 28.117

x=

28.117 99.900

Por consiguiente, la expresión racional del decimal periódico 0,28 145 es

28.117 99.900

ACTIVIDAD 3. Ejercicio Verificar a qué racionales corresponden las siguientes expresiones decimales: a) 1,999

c) 0,999

e) 25,9999

b) 5,999

d) 8,999

f) 136,999

5

MATEMÁTICAS 8º

x = 0,28145

POSTPRIMARIA RURAL

ACTIVIDAD 4. Individual Represento sobre la recta numérica los siguientes racionales, de tal forma que se indiquen las partes en que se dividen los segmentos para la ubicación del número racional. Ejemplo: r =

3 8

r

0

a)

5 4

b)

7 10

c)

1 2 3 4 5 6 7 1 8 8 8 8 8 8 8 2 9

d)

8 7

e)

15 4

f)

7 3

INFÓRMATE Cualquier número racional puede expresarse mediante un decimal exacto o mediante un decimal periódico, y, recíprocamente, cualquier decimal exacto o periódico representa un número racional.

6

CAPÍTULO 1 ○

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MATEMÁTICAS 8º

○

LOS NÚMEROS IRRACIONALES ○

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ACTIVIDAD 1.

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En grupo

Conformo grupos de trabajo para realizar el siguiente ejercicio. 1. Considero el número 0,01001000100001000001.... a) Describo verbalmente cómo está conformado el número. b) ¿Qué representan para mí, los puntos suspensivos? c) ¿El número es periódico? Justifico mi repuesta. 2. Sea el número 3,12112111211112... a) Describo verbalmente cómo está conformado el número. b) ¿Qué significan los puntos suspensivos? c) ¿El número es periódico? Justifico mi respuesta.

7

Utilizando la calculadora encuentro las aproximaciones de los números irracionales. e, π, 2 , 3 , 5 ,- 7 , 7 ,- 2 ,− 3 .

ACTIVIDAD 3. En grupo Representaciones geométricas de números irracionales sobre la recta numérica. 1. Conformo grupos de trabajo de 3 ó 4 compañeros y desarrollo los pasos sugeridos en la siguiente actividad, obtenemos conclusiones. a) Dibujo una recta numérica donde señalo el 0. b) Sobre la recta, construyo un cuadrado de lado 1. c) Trazamos la diagonal principal del cuadrado. d) Aplicando el teorema de Pitágoras encuentro el valor numérico de la diagonal. e) Con un compás, hacemos centro en 0 y con radio igual a la diagonal principal, construimos un arco de la circunferencia a la derecha del origen. f ) ¿A qué punto de la recta numérica corresponde este punto de corte? ¿Por qué le coloco la letra P? g) Verifiquemos que el número P = 2 corresponde a un punto de la recta. h) ¿Qué clase de número es

2 ?

9

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 2. Individual

POSTPRIMARIA RURAL

2. Represento geométricamente 3 y 5 apoyándome en la anterior representación.

ACTIVIDAD 4.

Individual

Analizo y realizo los siguientes ejercicios. Obtengo conclusiones. 1. Un terreno rectangular mide 25 metros de largo y 16 metros de ancho. ¿Qué valor tiene su diagonal y cuánto vale su área? 2. De acuerdo con la siguiente figura: A

2

F

2

B

2

2

E

G

2

2

D

2

H

2

C

a) Calcular el área del cuadrado ABCD. b) Calcular el área del cuadrado EFGH. c) Calcular el área de cada triángulo. d) Compruebo que el área del cuadrado ABCD es igual a la suma del área del cuadrado EFGH más el área de los 4 triángulos.

10

MATEMÁTICAS 8º

3. Represento en una recta numérica el irracional: - 2 , apoyándome en la representación del irracional: 2 . 4. Represento en una recta numérica el irracional: - 3 . 5. Represento en una recta numérica el número irracional: - 5 . 6. Analizo si las siguientes expresiones son falsas o verdaderas. Justifico mi respuesta. a) Cualquier número entero es racional.

f ) Cualquier racional es número real.

b) Todo número entero es natural.

g) 5 es número natural, entero y racional.

c) Algún número es racional e irracional. h)

2 es número entero.

d) Todos los naturales son enteros.

i) − 4 es entero, racional, real.

e) Todos los enteros son naturales.

j) 0,2 es número racional y real. k) 0,1335 es un número irracional.

ACTIVIDAD 5. En grupo

Conformo grupos de trabajo con 3 ó 4 compañeros confrontamos las respuestas de la actividad anterior, discutiendo con argumentos y obteniendo conclusiones.

11

POSTPRIMARIA RURAL

PARA MI INFORMACIÓN El conjunto de los números reales está formado por la unión del conjunto de números racionales con el conjunto de números irracionales. Si Q simboliza al conjunto de números racionales, R al conjunto de números reales, I el conjunto de los irracionales, se dice que: R =Q∪I Además Q ∩ I = ø, lo cual significa que no existen números que a la vez sean racionales e irracionales. Al representar los racionales y los irracionales en la recta numérica, se obtiene la recta real que tiene como característica principal que a cada punto de la recta corresponde un número real, y, recíprocamente a cada número real corresponde un punto de la recta. Además, se cumplen las siguientes relaciones de inclusión. N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Esto significa que el conjunto de números reales contiene los conjuntos de números racionales, enteros y naturales.

12

CAPÍTULO 2 ○

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MATEMÁTICAS 8º

○

EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES ○

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ACTIVIDAD 1.

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Individual

En mi cuaderno realizo los siguientes ejercicios: 1. Ordeno los siguientes números reales de menor a mayor. Ubico en el rectángulo la letra correspondiente al número. a) 6,358

b)

15

c) 6,3581

e)

d) - 11

f) 6,3058

11

13

POSTPRIMARIA RURAL

2. Encuentro un real x tal que satisfaga las siguientes condiciones y para cada caso los represento en la recta real

a) 0,631 < x < 1

c) 7,92< x < -1.5

b) 0,56 < x < 0,57

d) -

e) 7,92 < x < 65

3 < x < - 2

3. Sobre la recta real se han localizado seis números reales diferentes, los comparo con la relación “menor que” y completo los siguientes enunciados. R e

b

o

a

c

d

a) El real b está ubicado a la _____ del real a, por lo tanto b es _____ que a. b) El real e está ubicado a la _____ del real b, por lo tanto e es _____ que b. c) El real e es ____ que el real b, b es ____ que a, por lo tanto e es ____ que a. Esta propiedad se llama: ____ . d) Escribo el signo correspondiente que compara las siguientes números reales:

14

e

o

c

b

b

o

d

a

b

a

o

a

o

d

b

o

En grupo

Conformo grupos de trabajo de dos o tres compañeros, discutimos el ejercicio anterior, confrontamos respuestas y obtenemos conclusiones.

PARA MI INFORMACIÓN En los números reales las relaciones “menor que” y “mayor que” se definen de la misma forma que en los conjuntos de los números enteros y de los racionales así: Si a y b son números reales, se dice que a es menor que b sí y solo sí b menos a es real positivo, simbólicamente: a 0 Por lo tanto al representar en la recta real a está a la izquierda de b.

Operaciones con los Números Reales ○

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Estudiar las operaciones en el conjunto de los números reales es simplemente extender lo ya aprendido sobre adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación en los números enteros y racionales.

Como todos los números reales no se pueden escribir como una expresión decimal exacta, ya que algunos son expresiones decimales infinitas, se debe aproximar la expresión decimal, a un número determinado de cifras decimales.

15

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 2.

POSTPRIMARIA RURAL

PARA MI INFORMACIÓN Para aproximar una cantidad a cierto número de cifras decimales, se analiza la cifra que le sigue, si esta es mayor o igual que cinco, se le suma uno a la cifra de aproximación. Si la cifra siguiente es menor que cinco, se descarta esta cifra y todas las que siguen.

EJEMPLO: Aproxima los siguientes números reales hasta las milésimas.

Números

Aproximación

3,8569432

3,857

12,61731

12,617

5,0085349

5,009

0,1232408

0,123

15,1506802

15,151

ACTIVIDAD 3. Individual En el cuaderno desarrollo los siguientes ejercicios; en cada uno de ellos analizo y obtengo conclusiones relevantes.

16

MATEMÁTICAS 8º

1. Indico con una flecha el nombre de la propiedad que se está aplicando en cada uno de los enunciados de la primera columna. Sean a, b, c números reales. a + (b + c) = (a + b) + c

• Conmutativa de la adición.

axb=bxa

• Asociativa del producto.

m+0=0+m=m

• Distributiva.

a + (-a) = (-a) + a = 0

• Inverso multiplicativo.

a b c = (a b) c = a (b c)

• Inverso aditivo.

a·1=1·a=a

• Asociativa de la adición.

1 a

a · =1

• Conmutativa del producto.

a (b + c) = a·b + a·c

• Modulativa del producto.

m+n=n+m

• Modulativa de la adición.

2. Completo el siguiente cuadro en mi cuaderno.

Decimal

Racional

Lectura

0,25 1 10

27 10

0,666 0,285

-

5 3 25 9

17

POSTPRIMARIA RURAL

3. En el cuaderno realizo las operaciones indicadas.

32

a)

25 9

d)

b) (- 5,32) (0.2)

e)

15,724

c) 3,27

f)

 4  3

g)

-0,45 1,3

1 2 5 9 4 8

3

h) − + =

i) 3 2 = 9 − 1 − 7  −2 

(−7)2

5

 8

2 3 

j) 7,25 + 0,432 + 8,13 5. Recuerdo que si a es un número real positivo, entonces: a

m n

=

n

am

Con base en la anterior definición completo las siguientes igualdades en mi cuaderno: 16

1 2

= ?

8

2 3

= ?

1.000

1 3

= ?

81

1 4

= ?

EVALUEMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD 4. Individual En mi cuaderno resuelvo los siguientes problemas. Para tal fin leo con atención el enunciado, analizo la información que posee cada uno de ellos y estoy atento a la pregunta de cada problema.

18

2. En una tienda se venden galletas a $100 cada una, o 10 por $900. Luis quiere comprar 20 galletas. ¿Cuánto le costarán? 3. En la finca de mi amigo Felipe se cultiva habichuela, arveja y tomate. Un día de mercado llevan 7 bultos de habichuela, 9 de arveja y 26 cajas de tomate. Si cada bulto de habichuela es vendido a $25.200 y el de arveja a $32.000, reciben en total $724.000; ¿A cómo vendieron cada caja de tomate? 4. Para ir de un sitio A, a otro sitio llamado C sólo se pueden utilizar dos recorridos, que se indican en la siguiente gráfica.

¿Cuál de los dos recorridos es el más corto? Justifico mi respuesta. 5. Un concentrado de alimento para animales viene empacado en bolsas de diferente peso, tal como se muestra en la siguiente tabla: Kilos

4

6

10

Precio ($)

10.080

15.000

25.100

19

MATEMÁTICAS 8º

1. Un grupo de 8 personas se va 3 días a un lugar a donde tienen que llevar el agua que vayan a gastar. Tomando como base la información suministrada por otro grupo de 5 personas, que en circunstancias similares necesitó 12,5 litros por día, ¿Cuántos litros de agua tendrán que llevar?

POSTPRIMARIA RURAL

¿En qué caso resulta más barato el kilo de concentrado? Justifico mi respuesta. 6. Relleno cada diagrama para que represente

a)

2 5

b) 0

1

D c)

C

d)

e) B

C

A A

D

g)

f)

h)

20

B

¿Qué número representa en la recta el punto a? ¿Qué clase de número es?

8

Un centímetro cúbico de oro pesa más que un centímetro cúbico de hierro. La gráfica compara las densidades de estos dos metales.

MATEMÁTICAS 8º

7.

Expreso la densidad del hierro como una fracción de la densidad del oro. Oro Hierro

9. David vive a

5 5 de milla al oeste de su escuela. Rosa vive en la misma calle, de 6 8

milla al oeste de la escuela. Pepe vive justo en el medio de los dos.

¿A qué distancia está su casa de la escuela? Elaboro una gráfica como la siguiente en el cuaderno y ubico cada persona.

21

POSTPRIMARIA RURAL

10. Completo el cuadro con el valor correspondiente a cada uno de las longitudes de los segmentos de la siguiente figura: G

F

E

C

D

Segmento

Longitud

AB

50

BC

14

AD DC

H

AC A

B

EC

2,5

CG

2,5

DB DH HB FC

11. Un objeto en la tierra pesa aproximadamente 6 veces lo que pesa en la luna. Si un niño pesa 76,6 libras y un perro 12,3 libras. ¿Cuánto pesan el niño y el perro en la luna? Redondeo a décimas. 12. Escribo en notación científica, es decir utilizando potencias de 10, cada una de las siguientes distancias medidas en metros: a) Altura del monte Everest: 8.839,2. b) Diámetro de la vía láctea: 914’400.000’000.000’000.000. c) Diámetro de una estrella gigante: 2’773.680’000.000. d) Distancia que viaja la luz en un año: 9.448’800.000’000.000.

22

Verifico si los siguientes resultados son falsos o verdaderos, argumentando mi respuesta. a)

9 + 25 = 34

b) 36 − 4 = 32

c) 3 2 = 2 + 2 + 2

d) D

5

C

5

5

B

A

5

Perímetro del triángulo ABC de la figura anterior es 5 . 2

e) El perímetro de la siguiente figura es 2 2 .

2

f ) (2 3 )(3 2) = 6 6 g) (5 2 )(4 2) = 40 h) (−3 2 )(−2 3) = −6 15 23

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 5. Individual

POSTPRIMARIA RURAL

Potenciación, Radicación y Logaritmación de Números Reales ○

○

ACTIVIDAD 6.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

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○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

Individual

Recuerdo los conceptos adquiridos en años anteriores para realizar los siguientes ejercicios.

1.

2.

5 de Decámetro. 2 ¿Cuánto alambre necesita comprar para cercar el potrero, si por cada lado va a colocar tres hileras de alambre?

Un hombre necesita cercar su potrero que tiene forma de cuadrado de lado

El tanque que almacena el agua, en la casa de Juan, tiene forma de cubo de lado ¿Cuál es el volumen del tanque?

3.

Aplico las propiedades de los exponentes y desarrollo las siguientes operaciones: 2

 4  4 a)  3  3

5

 −1 c)  4

2

 −2   −2  e)  5  5 4

6

 1  5 2 b)  1  5

24

 −1  2 3  −1  2 5

 −5  d)  3

3

f)

3

7 de metro. 4

En el cuaderno desarrollo paso a paso las siguientes potencias y obtengo conclusiones.

 3  2 a)     10   5.

3

 1 3 b)       2 

2

Teniendo presente que si a es un número real diferente de 0 , y n un número entero, se cumple que: a−n =

1 an

Calcular:

 2 b)  3

-2

a) 5

6.

−3

 3 c)  2

−4

 1 d)  5

−3

Verifico que la potenciación es distributiva respecto al producto.

Para tal fin resuelvo los siguientes ejercicios y comparo los dos resultados en cada uno de ellos: 3

3

3

2

2

2

 1 3  ?  1  3  a) x x =  2 5  2  5  3 2 ?  3  2 b) x x =  4 5  4  5

25

MATEMÁTICAS 8º

4.

POSTPRIMARIA RURAL

7.

Verifico que la potenciación es distributiva respecto a la división.

Para tal fin resuelvo los siguientes ejercicios y comparo los dos resultados en cada uno de ellos.

3  3  3 ?= 3  4 43

2

2  2 ? 2 = 2  7 7

ACTIVIDAD 7.

En grupo

Conformo grupos de trabajo con 2 compañeros, analizamos la actividad anterior, confrontamos respuestas, las discutimos y obtenemos conclusiones. En el cuaderno realizo el siguiente ejercicio, justificando las afirmaciones. elevado al cuadrado es:

e)

1 elevado al cuadrado es: 6

b) -3 elevado al cuadrado es:

f)

−1 elevado al cuadrado es: 6

c) 5 elevado al cubo es:

g)

36 es igual a:

d) -5 elevado al cubo es:

h)

1 es igual a: 36

a) 3

26

Para un número natural n, r es una raíz enésima de b, si rn = b. Esto se simboliza n

b = r.

Ejemplos: Una raíz cuarta de 16 es 2, pues, 24=16. Otra raíz cuarta de 16 es -2, pues (-2)4=16 . La raíz cúbica de 27 es 3. No existe otra raíz cúbica de 27 diferente de 3. Esto se cumple porque 33 = 27. La raíz cúbica de (-64) es (-4). No existe otra raíz cúbica de -64 diferente de -4, pues (-4)3 = -64.

ACTIVIDAD 8.

Individual

En mi cuaderno realizo los siguientes ejercicios. Por facilidad puedo descomponerlos en factores primos. 1. ¿Cuáles son las raíces cuartas de 16? 2. ¿Cuál es la raíz quinta de 243? 3. ¿Cuál es la raíz quinta de -243? 4. ¿Cuáles son las raíces cuadradas de

5. ¿Cuáles son las raíces cuartas de

1 ? 4

16 ? 81

6. Simplifico las siguientes expresiones.

27

MATEMÁTICAS 8º

PARA MI INFORMACIÓN

POSTPRIMARIA RURAL

Obtengo conclusiones en cada caso. a) 5

 2 d) 4   5

2

 1 b)   2

3

 2 c)   3

2

4

 −3  e)   7

3

3

3

f)

 1  5

4

7. Analizo los siguientes ejemplos y luego desarrollo los ejercicios propuestos: Ejemplo 1. Hallar la raíz cuarta de

81 625

Solución:

4

4 81 81 =4 625 625

Al descomponer en factores primos se tiene: 81

3

625 5

27

3

125 5

9

3

25 5

3

3

5 5

1 81= 34 28

1 625 = 54

Por lo tanto: 4 81 81 4 34 3 = = = 625 4 625 4 54 5

Ejemplo 2. Hallar la raíz cúbica de

MATEMÁTICAS 8º

4

24 135

Solución:

3

3 24 24 =3 135 135

Al descomponer en factores primos se tiene: 24

2

135 3

12

2

45 3

6

2

15 3

3

3

5 5

1 24 = 23 · 3

1 135 = 33 · 5

Por lo tanto:

3

3 24 24 3 23 ⋅ 3 =3 = 135 135 3 33 ⋅ 5

29

POSTPRIMARIA RURAL

Aplicando propiedades de la radicación se obtiene que: 3

23 ⋅ 3

3

33 ⋅ 5

=

3

23 ⋅ 3 3

3

33 ⋅ 3 5

=

2 3

3 3

3 2 = 5 3

3

3 5

Simplificar: 3

27 , 250

25 , 27

4

1 , 32

3

135 686

8. Recuerdo que la raíz n-sima de un número real am se puede expresar como una potencia así: n

a =a m

m n

Además recuerdo que: m n

m Si a =b, entonces log b= n a

Ejemplos 1:

3

64 = 64

1 3 1 3

1

64 = 4, , entonces log

64

30

4= 3

Ejemplo 2: 1

1

 4 2 2 = , entonces  9 3

log 4

MATEMÁTICAS 8º

4  4 2 = 9  9

 2 1 =  3 2

9

Encuentro el valor de X, que hace que se cumplan las siguientes ecuaciones: x

1  1 a)   = 3 27

 1 e) log 3   = x 9

b) log 9=-2 x

f) logx 1000 = 3

1

 1 5 =x c)  32 

 1 g) log 1   = x 8 2

d) log2x = 3

31

D

U

2

N

Expresiones algebraicas

I DA

D

MATEMÁTICAS 8º

DA

•

•

U

NI

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

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○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

El álgebra tiene su origen en el concepto de número, considerado por los antiguos como una propiedad de una colección de objetos, pero esta propiedad no la podían distinguir muy claramente. Con el tiempo y el desarrollo de las civilizaciones aparecen las operaciones con números, que son una consecuencia de las relaciones entre los objetos concretos, que los antiguos, a medida que los fueron descubriendo fueron asociando con las relaciones entre los números.

Posteriormente, fueron apareciendo problemas más complicados, debido al crecimiento e intensidad de la vida social, que llevaron a los hombres a estudiar más profundamente los nombres y los símbolos de los números.

En un principio cualquier ley o la solución de cualquier problema matemático, se expresaba sólo con palabras, ya que el uso de signos y expresiones literales no era una práctica social: el álgebra se expresaba retóricamente.

La palabra ÁLGEBRA tiene su origen en un libro titulado Al - jabr ó f (Algabr) escrito en Bagdad en el año 825 por el matemático y astrónomo Mohammed - Ibn - Musa al - Kixarizmi, que muestra en este escrito la primera fórmula para la solución de ecuaciones de primero y segundo grado.

33

POSTPRIMARIA RURAL

Este tratado sobre álgebra significaba en árabe “Ciencia de la transposición y eliminación”.

Lo anterior es explicado, por algunos autores, como la trasferencia de términos al otro miembro de la ecuación, y la eliminación como la cancelación de términos iguales, en ambos miembros de la ecuación.

La obra anterior, fue traducida al latín a principios del siglo XII y con el transcurso del tiempo se le llamó simplemente ÁLGEBRA.

El álgebra empieza realmente, cuando el hombre, llega a interesarse por las “operaciones” luego es en síntesis “la ciencia de las operaciones matemáticas”, consideradas formalmente como abstracción de los números concretos. En un principio se encontró un álgebra desarrollada por los griegos, (300 a de C) llamada “álgebra geométrica”, la cuál se basaba en una gran variedad de métodos geométricos para resolver ecuaciones.

Luego el álgebra pasa a ser la ciencia de los cálculos simbólicos y las operaciones (años: 1590-1650), seguidamente Euler por los años 1770 la define como la teoría de “los cálculos con cantidades de distintas clases”.

Hasta finales del siglo XVIII y principios del XIX, el álgebra era la ciencia de las ecuaciones y la teoría de resolución de ecuaciones algebraicas. Ya en la segunda mitad del siglo XIX, presentó un notable auge con la aparición de grandes matemáticos, que dieron origen al álgebra abstracta contemporánea.

Para terminar, hoy en día, cada rama de las matemáticas tiene su álgebra. Existe un álgebra de los conjuntos, un álgebra de la lógica, un álgebra de la geometría, un álgebra de las matrices, etcétera.

34

Simbolización

ACTIVIDAD 1.

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

En grupo

Teniendo en cuenta lo aprendido en unidades anteriores sobre números naturales, enteros, racionales, reales y sobre sus propiedades, junto con dos compañeros, realizo lo que a continuación se indica: 1. Si a y b son dos números cualesquiera, escribo en forma simbólica los siguientes enunciados verbales. a) El área de un rectángulo de largo a y ancho b. b) La suma de a y b. c) El triple de a disminuido en su cuadrado. d) El doble de la suma de a y b. e) b disminuido en 1. f ) El doble de la suma del cuadrado de a y del cuadrado de b. g) El cuadrado de la suma de a y b. 2. Si a representa cualquier número, enuncio verbalmente las siguientes expresiones simbólicas. 1 a 2

a) a - 5

e)

b) 2 (a + 1)

f) (a - 1)2

c) a + 3 d) 2a + 1

35

MATEMÁTICAS 8º

○

POSTPRIMARIA RURAL

3. Tomando las siguientes expresiones, a) n

d) -6mn

g) (m + n)2

b) n + m

e) 2m + 3n

h) 2n + 4

c) 3mn2

f) -3n

i)

-m2 + 1

identifico algo que tengan en común las expresiones a), c), f ), similarmente con las expresiones b), e), h), i).

CONCLUYAMOS

La representación de una o varias operaciones o relaciones matemáticas de números, considerados en forma general, se llaman EXPRESIONES ALGEBRAICAS. n + n + 1 es una expresión algebraica. Lo mismo 3n - 2, también lo es 4n - 3m + 2n. Una expresión algebraica que consta de uno o varios símbolos, no separados entre sí por los signos “mas” ó “menos”, se llama TÉRMINO. Las siguientes expresiones algebraicas son términos:

d) 5

b) 3a

e) 3x2

c) -2ab

36

x y

a) n

1. EL COEFICIENTE. Si un término está formado por el producto de dos o más factores, cada factor se llama coeficiente del resto de la expresión. Generalmente, llamamos coeficiente a la parte numérica de la expresión. El coeficiente de -2ab2 es -2. 2. PARTE NUMÉRICA. Es el coeficiente numérico del término.

3. PARTE LITERAL. Son los símbolos algebraicos (letras) que representan cualquier número considerado en general.

Un término algebraico en el cual la parte literal está formado por potencias enteras no negativas de los números, considerados en general se llama MONOMIO.

La suma indicada de dos o más monomios se llama POLINOMIO y cuando se tiene la suma indicada de 3 monomios se llama TRINOMIO.

ACTIVIDAD 2. Individual Tengo en cuenta las siguientes expresiones: a) 3x2y

c) 5x4y3

b) -4xy3

d) -6x3y2

37

MATEMÁTICAS 8º

En cada término podemos distinguir 3 elementos:

POSTPRIMARIA RURAL

1. Identifico el exponente de x en cada caso. 2. Identifico el exponente de y en cada caso. 3. Doy la suma de los exponentes de la parte literal en cada caso.

CONCLUYAMOS Se llama GRADO RELATIVO de un monomio, respecto a uno de los símbolos de la parte literal, al exponente de este símbolo. Así, si tenemos la expresión -3m2 n3 podemos decir que es de grado dos con respecto a m, y de grado 3 con respecto a n. La suma de los exponentes de los términos de la parte literal de un monomio se llama GRADO DEL MONOMIO. El monomio -6x2 y4 tiene grado 6 porque la suma de los exponentes de los símbolos de la parte literal es 2 + 4 = 6. El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los términos de dicho polinomio. EJEMPLO: a) 3x5 + 2x3- 3x2 - x + 5 tiene grado 5 porque el término de grado mayor es 3x5.

b) xy3 + 4x3 y4- 2x2y + 8 tiene grado 7 porque el término de grado mayor es 4x3 y4.

38

ACTIVIDAD 3.

MATEMÁTICAS 8º

EVALUEMOS LO ESTUDIADO Individual

CTIVIDAD 3. Individual 1.

Escribo tres expresiones algebraicas en forma simbólica.

2.

Si a representa cualquier número entero, expreso en forma verbal cada una de las siguientes simbolizaciones algebraicas.

3.

a) (a - 1)2

c) 3a -2

e) 2a2 - 1

b) a2 - 1

d) 3(a - 2)

f) 2 (a2 - 1)

Si tengo las siguientes expresiones verbales: a) El número de cargas de café de la cosecha disminuido en 20. b) Cuatro veces el dinero que tengo en ahorros. c) El área de un cuadrado aumentada en su perímetro. d) Las

2 partes de las cabezas de ganado de una finca. 3

Escribo estas expresiones en forma simbólica indicando cuáles son monomios.

39

POSTPRIMARIA RURAL

4. En las expresiones algebraicas, a) 2n3 m

d) 5xy + 3x2

b) n3 - 2n2

e)

-4 4 12 x y 5

c) -4x2 y2

realizo lo siguiente: •

Identifico por aparte los monomios y los polinomios.

•

En cada uno de los monomios escribo, sus coeficientes, su parte literal, el grado relativo de cada símbolo y el grado de cada monomio.

40

CAPÍTULO 1 ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

MATEMÁTICAS 8º

○

OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS ○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

○

ACTIVIDAD 1. En grupo 1. Si llamo x al número de gallinas, y al número de matas de café y z al número de árboles, reduzco un poco la siguiente expresión: 2x + 3y + 4z - 2x + 4y - 2z - 8x

2. Analizo e identifico las semejanzas y diferencias que encuentro en cada una de las siguientes parejas de términos algebraicos. a) m2n

y

- 2n m

c) 2a2 b y

- 3a2 b

b) 3a

y

-1 a 5

d) a2 b

b2 a

y

3. Simplifico las siguientes expresiones: a) 2n + (3n - 1)

d) 4b - (5 - 3b)

b) 3xy - (2xy - 5)

e)

6a2+(2-3a2)

c) 5a + (2a + 3)

41

POSTPRIMARIA RURAL

4. Analizo las siguientes parejas de términos y hago algún comentario sobre las partes literales de cada pareja. a) 6a

y

-12a

d) 8y

y

b) 3x2

y

-2x2

e) 2a2b y

c) 3ab2

y

6ab2

-7y2 -4ab2

CONCLUYAMOS En una expresión algebraica, los términos que tienen la misma parte literal, o sea los que tienen las mismas letras con los mismos exponentes se llaman TÉRMINOS SEMEJANTES. Si en una expresión algebraica se encuentran términos semejantes, éstos se pueden sumar algebraicamente, para reducirlos a un sólo término. Esta reducción se hace sumando o restando los respectivos coeficientes numéricos.

EJEMPLOS: 6a - 12a = -6a

3x2y + x2y - 2x2y = 2 x2y

Cuando en una expresión algebraica aparecen diferentes términos semejantes, estos se pueden conmutar y reducir.

EJEMPLO: -3a +8b - 7a + 2b = -3a - 7a + 8b + 2b = -10a + 10b

42

ACTIVIDAD 2. Individual 1. A cada uno de los siguientes términos le sumo o resto un término semejante y efectúo la operación. a) 2a

d) -2mn2

b) -3a2

e) − a2y3

5 2

c) 4x2

2. Reduzco en cada caso los términos semejantes. a) 4x - 2y - 3x

c) 4xy - 2x2 + 6x y- 7x2

b) 2m2n + 2n - 5m2 n + 6n

d) -3ab2 + 6a - 7b -8a + 9ab2

3. Aplico lo que ya aprendí sobre las propiedades de los números reales, para resolver el ejercicio anterior (ayuda: uso primero la conmutatividad y luego la asociatividad).

Uso signos de agrupación ○

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○

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○

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○

○

○

○

Recordemos que el inverso aditivo de 3 es (-3) porque 3 + (-3) = 0 pero 3 + (-3) = 3 - 3 = 0

43

MATEMÁTICAS 8º

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO

POSTPRIMARIA RURAL

Generalizando si a es un número real, su inverso aditivo es - a porque a + (-a) = 0 pero

a + (-a) = a - a = 0.

Por otro lado si a y b son números reales, enteros a + b es un número real, y su inverso aditivo es - (a + b) por lo tanto: (a + b) + [(- (a + b)] = 0. Como a + b - a - b = 0, al comparar esta expresión con la expresión anterior, se puede concluir que - (a + b) = -a - b.

ACTIVIDAD 3. Individual 1. En el párrafo anterior se concluyó que - (a + b) = - a - b. Describa este hecho oralmente resaltando la acción que tiene el signo - (menos) sobre el paréntesis. 2. Encuentro el inverso aditivo de cada una de las siguientes expresiones - 8; - a; 5b; (5 + 4); (x + y); (x - y); - (m + n); - (m - n); - (- 8 - u)

3. En mi cuaderno completo las siguientes igualdades: a) - a - 5 = - (

)

d) 5 + x2 - x = -

(

)

b) - m + 3 = - (

)

e) - x + 8 - y2 = - x - (

)

c) h - 1 = - (

)

f) - x2 - 3x - 2 = -

)

Sugerencia. Tenga en cuenta la igualdad tratada en el ejercicio 1.

44

(

4. Simplifico cada una de las siguientes expresiones: MATEMÁTICAS 8º

a) (4x + 3x - 8x) + (5y - 2y) b) (5x2 - 2x2y) - (8xy2 + 3xy2 ) c) 5mn - ( 8mn - 3m ) - 2m d) - (- x2 - 2x + 1) + (- 3 + 2x + x2)

CONCLUYAMOS

Si se hace necesario eliminar un signo de agrupación precedido de el signo (menos) entonces todos los términos dentro de él cambian de signo y si está precedido de signo + (más) los términos mantienen su signo. Recíprocamente, para agrupar varios términos en un signo de agrupación precedido de signo (menos); es necesario cambiar el signo a cada uno de los términos agrupados.

EJEMPLOS: a) x - 2Y + 3 = - (- x + 2y - 3) b) - (1 - 2y) + (3x - y) = - 1 + 2y + 3x - y = 3x + y - 1 c) 3 (x + y) - x - y = 3 (x + y) - (x + y) = 2 (x + y)

Operaciones con Polinomios ○

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○

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○

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se suman los términos semejantes.

45

POSTPRIMARIA RURAL

EJEMPLO: Sumar

x2 - x + 8 con 2x2 - 5x - 3

(x2 - x + 8) + (2x2 - 5x - 3) = x2 - x + 8 + 2x2 - 5x - 3 = x2 + 2x2 - x - 5x + 8 - 3 = 3x2 - 6x + 5 otra forma:

x2 - x + 8 2x2 - 5x - 3 3x2 - 6x + 5

CONCLUYAMOS Como toda expresión algebraica es una representación simbólica de los números reales, la suma de expresiones cumple las mismas propiedades de ellos.

Para sumar dos o más expresiones algebraicas se puede escribir una a continuación de otra y luego se reducen los términos semejantes.

Otra forma de sumar dos o más polinomios es: primero ordenarlos de acuerdo a algún criterio definido y luego colocarlos uno debajo de otro en tal forma que términos semejantes queden en una misma columna, para por último efectuar la operación.

46

MATEMÁTICAS 8º

EVALUEMOS ACTIVIDAD 4. En grupo Junto con dos compañeros realizamos la siguiente actividad. 1. Supongamos que tenemos dos montones de naranjas. Un montón tiene a naranjas. Expresamos simbólicamente el número de naranjas que hay en el segundo montón si en él hay: a) Doce naranjas menos que en el primero. b) 7 veces lo que tiene el primero. c) La sexta parte de las naranjas que hay en el primer montón. 2. Escribimos la igualdad de dos expresiones que representen el número de cabezas de ganado que hay en tres manadas. La primera tiene el doble que la segunda, la tercera tiene el doble de cabezas que la primera. En total hay 63 reses ¿Cuántas cabezas hay en cada manada? 3. Hallamos el perímetro de las siguientes figuras:

En la figura el ∆ ABC es esquilatero de lado n y ∆ CDE es isósceles de catetos iguales a la altura del ABC. Halle el perímetro de toda la figura. SUGERENCIA. Usen Pitágoras si desean.

47

POSTPRIMARIA RURAL

4. Encontramos el valor de los lados iguales de un triángulo isósceles, sabiendo que ellos son respectivamente, 3 centímetros más pequeños que el tercer lado y su perímetro es de 18 centímetros. 5. La suma de tres números enteros consecutivos es 57. Hallamos la ecuación que represente esta situación y decimos cuál es el más pequeño de los tres. 6. Simbolizamos los siguientes enunciados verbales, con una expresión algebraica y reducimos los términos semejantes si es posible. a) El perímetro de un cuadrado de lado a. b) El perímetro de un rectángulo de base x y altura y. c) El perímetro de un rectángulo de base a si esta excede a su altura en 3 unidades. d) La suma de las edades de una madre y su hija, si la madre tiene 30 años más que la hija.

PROBLEMAS PARA PENSAR

ACTIVIDAD 5.

Individual

1. La siguiente tabla es la de contar del 1 al 100.

48

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11 12

13 14 15 16 17 18 19 20

21 22

23 24 25 26 27 28 29 30

31 32

33 34 35 36 37 38 39 40

41 42

43 44 45 46 47 48 49 50

51 52

53 54 55 56 57 58 59 60

61 62

63 64 65 66 67 68 69 70

71 72

73 74 75 76 77 78 79 80

81 82

83 84 85 86 87 88 89 90

91 92

93 94 95 96 97 98 99 100

MATEMÁTICAS 8º

1

El siguiente ejercicio tiene como objetivos. a) Traducir del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico. b) Generalizar situaciones numéricas. c) Usar las letras como números generalizados. d) Utilizar el álgebra como herramienta para probar situaciones.

49

POSTPRIMARIA RURAL

Tomo un cuadrado de 2 x 2 (formado por cuatro números del tablero de contar. Por ejemplo: 15

16

25

26

Observo que 15 + 26 = 16 + 25 = 41. ¿Será válida esta propiedad para todos los cuadrados 2x2 de la tabla de sumar? Si es válida, la enuncio y la justifico. 2. Construyamos la tabla de la suma para los dígitos y repetimos las mismas actividades que en el ejercicio anterior. •

Analizo si se cumplen estas propiedades al tomar los cuatro números, de 2 filas (o de dos columnas) no contiguas.

•

Analizo otras situaciones con cada una de las tablas.

ACTIVIDAD 6.

En grupo

Junto con otro compañero: 1. Realizamos las siguientes operaciones: a) 12 + (-5) + (16-2)

d) (a + b) - (a + 5)

b) (12 - 8) + (13 - 5)

e) (x + 2y) - (3y - 2x)

c) - 8) + (13 - 5)

50

-3 m 2

a) -3a2

d)

b) 4x3

e) 4m2 n

c)

MATEMÁTICAS 8º

2. Para cada uno de los siguientes monomios, buscamos otro que, al sumarlos con el anterior, nos de como resultado cero. Tratamos de darle un nombre al monomio encontrado.

1 2 y 2

3. Realizamos las siguientes restas. a) De 21x2y restamos 8x2y.

c) De 12mn restamos -15mn.

b) De -3a2b2 restamos - 2a2b2. 4. Como en el punto 2, para cada uno de los siguientes polinomios, buscamos otro polinomio que al sumarlo con el anterior nos dé cero. a) x - y

c) -4a2 + 5b + 3

b) 2x - 3y + 1

d) 2m - 3n + 5mn

Tratamos de restar el polinomio 4x3 - 2x2y + 5x - 8 del polinomio 8x3 + 5x2y + 7x - 16.

51

POSTPRIMARIA RURAL

CONCLUYAMOS

Dado un monomio, si existe otro monomio que al sumarlo con el primero da cero, este último se llama el INVERSO ADITIVO del primero. Para restar dos monomios, se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo. EJEMPLO: El inverso aditivo de - 4 x2 es 4 x2 ya que - 4 x2 + 4 x2 = 0.

Todo polinomio también tiene su inverso aditivo; para hallar éste sólo se tienen que cambiar todos los signos al polinomio.

EJEMPLO:

El inverso aditivo del polinomio 2 x2- 3y es - 2 x2+ 3y 2 x2 es - 2 x2 y el de -3y es 3y.

ya que el opuesto de

Además (2 x2 - 3y) + (- 2 x2 + 3y) = 0.

Para restar un polinomio de otro, lo único que tiene que hacerse es sumar al minuendo, el opuesto aditivo del sustraendo.

52

MATEMÁTICAS 8º

PRACTIQUEMOS Y EVALUEMOS LO ESTUDIADO ACTIVIDAD 7. En grupo 1. Encontremos el inverso aditivo de: a) -8a2

b)

7 m 2

c) -

1 3 z 2

2. Hallamos el inverso aditivo de los siguientes polinomios: a) −

2 xy - 4xy2 + 5 3

c) 4a2 - 3b2 + (2 - b)

b) m - 2n2m + 5m2

d) -3t2 + 6t - 5

3. Efectuamos las siguientes sustracciones: EJEMPLO:

Para restar -2x2 + 3xy + 4y3 - 8

de 4x2 - 3xy + 8y3 - 3

Buscamos el opuesto aditivo de: -2x2 + 3xy + 4y2 - 8 el cual es 2x2 - 3xy - 4y3 + 8 y éste lo sumamos con el minuendo 4x2 - 3xy + 8y3 - 3, es decir: 4x2 - 3xy + 8y3 - 3 2x2 - 3xy - 4y3 + 8 6x2 - 6xy + 4y3 + 5

53

POSTPRIMARIA RURAL

Luego (4x2 - 3xy + 8y3 - 3) - (- 2x2 + 3xy + 4y3 - 8) = 6x2 - 6xy + 4y3 + 5. a) Restamos 4m2 - 3m + 2 b) Restamos

7 2 2 a + ab - 5 2 3

c) Restamos -35t2 + 15ts +20s2

de

8m2 + 2m - 5.

de

8a2 - 3ab + 10.

de

t2 + 3st + s2.

4. Hallamos el polinomio que al restarlo de: a) x2 + y2 nos de como diferencia 3x2 + 6y2 - 4xy b) a3 + b3 - 5ab nos dé como diferencia -a3 - 2b3 + 8 - 5ab 5. Calculamos el área de la zona no sombreada que aparece en las siguientes figuras:

ACTIVIDAD 8. En grupo

54

En grupo

Junto con dos compañeros realizamos la siguiente actividad: Consideremos el patio de la escuela y dos de los salones principales, cada uno con las dimensiones que se presentan en las figuras.

PATIO

3a

2a-1

SALÓN 3 a 2

2a-1

SALÓN

2a-2

4a-2

a) Hallamos el área en función de a tanto del patio como de los dos salones, todos por separados, suponiendo que a es un número entero. b) Sea a = 2 m. Hallamos cada una de las áreas con este nuevo valor. Tratamos de hacer una comparación, entre los resultados obtenidos en la parte a) y los obtenidos en la parte b).

ACTIVIDAD 9.

En grupo

Teniendo en cuenta las propiedades de los números reales y algunas de la potenciación, junto con 2 de mis compañeros efectuamos lo que a continuación se indica:

55

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 9.

POSTPRIMARIA RURAL

1. Si tenemos el monomio 4a2b3 para multiplicarlo por -2ab2c, indicamos la operación común y corriente así: (4a2b3) x (-2ab2c) ahora realizamos los siguientes pasos: a) Aplicamos la propiedad conmutativa, las veces que sean necesarias, hasta dejar contiguos tanto los coeficientes numéricos, como los símbolos literales. b) Asociamos todos los productos indicados de los coeficientes con cada una de las expresiones literales. c) Multiplicamos los coeficientes y aplicamos el producto de potencias de igual base con lo que obtenemos - 8a3 b5c. 2. Repetimos el proceso anterior con el producto de -3x2yz

por

-4x3y2z3.

3. Repetimos el proceso multiplicando entre si las expresiones siguientes: -2x2yz;

-8xy2z2

4xy;

4. Aplicamos las propiedades posibles para desarrollar: (-2m2n3)3 5. Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición y realizamos las demás operaciones; para efectuar el producto de: a) 8a (7a + 3) b) -5x (2x - 5x2 + 4)

56

Para multiplicar un monomio por otro, primero se aplica la propiedad conmutativa, las veces que sea necesario, hasta dejar contiguos tanto los coeficientes numéricos como los símbolos literales. Luego se asocian todos los productos indicados de los coeficientes y de los símbolos literales, para por último efectuar las multiplicaciones y aplicar el producto de potencias de igual base. Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma; multiplicando el factor (monomio) por cada uno de los sumandos del polinomio. Por último se suman los productos parciales en cuanto sea posible.

PRACTIQUEMOS LO ESTUDIADO ACTIVIDAD 10. Individual 1. Efectúo las siguientes operaciones: a) 24

f) 4n3·(n2 + m + a)

b) (-3a2)(-5a4b)

g) a2 · a-5

c) (2x2)·x3

h) (a5b)4

d) -3a2 x (2x3)·(x-4)

i) (anbn)52

e) -3a2·(2 + a3)

57

MATEMÁTICAS 8º

CONCLUYAMOS

POSTPRIMARIA RURAL

Tomo como base el siguiente ejercicio para luego desarrollar los demás. (2a - b2) ( (a2 - 3b3 + 8) a) (2a) (a2) + (2a) (-3b3)+ (2a)8 + (-b2) (a2) + (-b2) (-3b3) + (-b2) (8) b) 2a3 + (2) (-3) (ab3) + (2) (8) a + (-1) (b2a2) + (-1) (-3)b2b3 + (-1) (8)b2 c) 2a3 -6ab3 + 16a - b2a2 + 3b5 -8b2

2. Efectúo el producto indicado: a) ( a + b) (a - b)

c) (x + 2y) (x2 + 3y + 5)

b) (a - b) (a2 - b2)

d) (4x - 3y2) (-2x2 - 5y2 + 6)

3. Efectuar 2ab por 6a2 - 5a2b + ab2 - 5b2. Solución: 6a2 - 5a2b + ab2 - 5b2 2ab 12a3b - 10a3 b2 + 2a2 b3 - 10ab3

4. En igual forma: a) Multiplico 2x2 - 3y2 + 4xy - 5

58

por -3xy.

b) Efectúo la multiplicación de: por

(2a - b) MATEMÁTICAS 8º

ab - 3a3b2 + 62b3 - a2 5. Si A1 = 2ab A2 = -3 a2b A3 = (-2a + 3b)

a) Efectúo los productos A1 · A2 ; A3 · A1 ; A2 · (A1 + A3). b) Luego de haber realizado las operaciones anteriores le doy a a el valor de 2 y a b el valor de -1, para obtener resultados numéricos.

Por ejemplo: A2 · A3 (-3a2b) · (-2a + 3b) (-3a2b) (-2a) + (-3a2b) (3b) 6a3b - 9a2b2

Ahora en este resultado reemplazamos

a=2

y

b = -1:

6a3b - 9a2b2 = 6(2)3 (-1) - 9(2)2 (-1)2 = 6(8)(-1) - 9 (4)(1) = - 48 - 36 = -84 c) Encuentro el valor numérico de A1 · A2 ; A3 · A1 ; A2 · (A1 + A3 ) con y b = 3.

a=-1

59

POSTPRIMARIA RURAL

ACTIVIDAD 11. Individual Con base en los conocimientos adquiridos realizo la siguiente actividad. 1. Si tengo la igualdad: y 3

y + =8

a) Suponiendo que el valor de y es 3, sustituyo este valor en y +

y 3

¿Es este valor igual a 8? b) Trato de alguna manera de encontrar el valor de y para que se cumpla la igualdad. c) ¿Para qué valor de y se cumple la igualdad? 2. a) Trato de hallar el número k que satisfaga la igualdad: 4k + 3 = 2k + 15

b) Hago lo mismo con la igualdad: 3n - 3 = n - 15

3. Si la suma de 2 números enteros consecutivos es 27, a) Planteo una ecuación que me presente la situación. b) Hallo el mayor de los 2 números.

60

5. Si tengo el siguiente enunciado verbal: “Hallar un número tal que su triplo aumentado en 6 dé 21”, lo expreso simbólicamente y encuentro la solución.

ACTIVIDAD 12. En grupo Prestamos atención a la siguiente situación: En una finca cercana a la escuela de la vereda, tienen almacenadas cierto número de cajas de tomate para recolectar la cosecha, en la forma que se ve en la siguiente gráfica.

Los señores de la finca saben que el volumen apilado es exactamente de 8x3 +6x2 metros cúbicos (x un entero mayor que 1) y que la base es la misma área rayada de la parte de arriba; ellos necesitaban hallar esa área, pero no podían medirla, la única medida disponible era la de la altura que es h. Buscaron ayuda en la escuela y dos de los alumnos más avanzados de 8º grado, les resolvieron fácilmente el problema.

61

MATEMÁTICAS 8º

4. Si al área de la finca de nuestro vecino le quitamos 15.000 metros cuadrados, queda igual a 4 veces el área de nuestra finca. ¿Cuánto mide cada una de las fincas? ¿Hay más de una solución?

POSTPRIMARIA RURAL

Para ello hicieron lo siguiente: como no podían medir la base directamente y vieron que la altura era la misma en cualquier parte, la midieron y les dio h = 2x. Por sus conocimientos geométricos sabían que el volumen es igual al área de la base por la altura, es decir V= A h, entonces necesitaban hallar el área de la región sombreada v o sea la misma A; despejando A de la fórmula anterior se obtiene A = . h

Como ya sabían los valores de V y h los reemplazaron para obtener

A=

8x 3 + 6x 2 2x

Vieron que 2x es divisor común de 8x3 y 6x2, entonces hicieron lo siguiente:

A=

8x 3 6x 2 + 2x 2x

Aplicaron las propiedades de multiplicación de potencias de igual base y simplificaron obteniendo A = 4x2 + 3x. Resolvieron así el problema y obtuvieron una bonificación de $10.000 dada por los señores de la finca. En la situación anterior hay varias preguntas que podemos responder: 1. ¿Será posible hallar el volumen V de la figura, si conocemos el área de la base A y la altura h?

62

3. Teniendo en cuenta el punto 2, realizamos las operaciones necesarias, para hallar la altura y así probar que lo que hicieron los 2 alumnos estuvo correcto. 4. En el problema inicial reemplaza x por 2 metros y halla el valor del área. 5. Simplifica las siguientes expresiones algebraicas: a)

b)

8m 3n 2 4mn

h 3 - 3h 2 3h

Tratamos junto con los compañeros de efectuar la parte b) de dos maneras.

RESUMAMOS LO ESTUDIADO

Para dividir dos monomios entre si procedemos de la siguiente forma: 1. Dividamos el coeficiente del numerador entre el coeficiente del denominador, teniendo en cuenta los signos. 2. Se dividen las partes literales que sean semejantes, aplicando las propiedades de cociente de potencias de igual base. 3. El resultado de división es por lo general otro monomio. Pregunta: ¿Cuándo la división de dos monomios no es un monomio?

63

MATEMÁTICAS 8º

2. ¿Si conocemos el volumen y el área de la base, podemos hallar la altura h?

POSTPRIMARIA RURAL

PRACTIQUEMOS Efectuemos la división de 12x2y3 entre -4xy2. Para este fin procedemos así: 1. Dividimos los coeficientes con los respectivos signos así: 12 ÷ (-4) = -

12 =-3 4

2. Dividimos ahora las partes literales. 2 3 x2y3 ÷ xy2 = x y2 = x2-1y3-2=xy

xy

3. La solución es -3xy. Podemos efectuar la división entre un polinomio y un monomio, para esto procedemos como sigue: 1. Se ordena el polinomio de acuerdo a las potencias de una letra en forma descendente. 2. Se divide luego, cada uno de los términos del polinomio entre el monomio dado. 3. Luego se siguen los mismo pasos que se ejecutaron para la división de monomios.

64

Dividir 8a5b4 - 4a4b3 + 6a7b5 entre 2a2 SOLUCIÓN. Primero ordenamos el polinomio, de acuerdo a las potencias de a en forma descendente, así: 6a7b5 + 8a5b4 - 4a4b3 Dividimos, ahora cada termino de este polinomio (ya ordenado) entre el monomio 2a2. 6a7 b 5 8a 5 b 4 4a 4 b 3 + − 2a 2 2a 2 2a 2 Simplificando obtenemos 3a5b5 + 4a3b4 - 2a2b3, es decir 8a 5b 4 − 4a 4b 3 + 6a 7b5 = 3a5b5 + 4a3b4 - 2a2b3 2a 2

ACTIVIDAD 13. En grupo

Tengamos en cuenta la siguiente situación que se presenta muy a menudo. La familia Rodríguez posee un terreno rectangular que tiene un área de 3x2 + 8x - 3 metros cuadrados y un ancho de x + 3 metros. Ellos necesitan saber exactamente el largo del terreno (aquí x representa un entero mayor o igual que 3).

65

MATEMÁTICAS 8º

PRACTIQUEMOS

POSTPRIMARIA RURAL

Junto con 3 de mis compañeros y con ayuda del profesor, tratamos de resolver el problema a la familia Rodríguez. Hacemos uso de lo aprendido en las dos actividades anteriores.

CONCLUYAMOS

Para resolver el problema anterior se necesitó realizar una división entre dos polinomios. Así, para dividir un polinomio entre otro, tengamos en cuenta los siguientes pasos:

1.

Se ordena el polinomio dividendo y el polinomio divisor, en forma descendente respecto a la misma letra.

2.

Si en el polinomio dividendo hace falta términos, se completan estos sumandos (o lugares) con ceros o bien se dejan en blanco.

3.

Se divide el primer término del polinomio dividendo, entre el primer término del polinomio divisor y se escribe este resultado en el cociente.

4.

Este resultado, escrito en el cociente, se multiplica por cada uno de los términos del polinomio divisor y el resultado se va restando del polinomio dividendo.

5.

Se bajan los términos siguientes en el polinomio dividendo.

6.

Se repite de nuevo el proceso, las veces que sea necesario.

66

ACTIVIDAD 14. En grupo De las operaciones con expresiones algebraicas, posiblemente la división sea la que requiere de más atención, por eso en esta actividad vamos a encontrar ejercicios resueltos sobre divisiones, a manera de ejemplos. 1. Si tenemos un terreno rectangular cuya área es de 12a4 metros cuadrados, y cuyo largo es 4a4 metros. Nos piden hallar el ancho de dicho terreno (aquí “a” representa un entero mayor o igual que 2). SOLUCIÓN:

12a4 metros2

ancho = ?

4a2 metros

Como ya sabemos Área = largo x ancho, entonces ancho = Area . Así para hallar el largo

ancho tenemos que efectuar la división del área entre el largo, o sea,

12a 4metros2 = 3a2 metros = ancho. 2 4a metros

67

MATEMÁTICAS 8º

PRACTIQUEMOS LO ESTUDIADO

POSTPRIMARIA RURAL

2. El mismo ejercicio anterior, con otros datos: Área = 8a4 metros2 y largo = 5a2 metros. SOLUCIÓN: 8a4 metros2 ÷ 5a2 metros =

8a 4metros2 8a 2 = metros 5a 2metros 5

3. Suponiendo que el producto de dos expresiones algebraicas es 9x2 - 10x + 6x3 - 15 , y conociendo que uno de los dos factores es 2x + 3, donde x es un entero mayor que 1, necesitamos hallar el otro factor. SOLUCIÓN: Para hallar el otro factor, efectuamos la división del producto por el factor conocido, o sea: 9x2 - 10x + 6x3 - 15 ÷ 2x + 3 Para esto realizamos los siguientes pasos: a) Ordenamos el dividendo en potencias decreciente de x: 6x3 + 9x2 - 10x - 15 y ejecutamos la división así: b)

6x3 + 9x2 - 10x - 15

2x + 3

-6x3 - 9x2

3x2

0

0 -10x - 15

Nota 3x2 es el resultado de dividir 6x3 entre 2x. Ahora - 6x3 - 9x2 es el resultado de multiplicar 2x+3 por 3x2 con signo menos porque se está restando.

68

c) Continuando con la división,

-6x3 - 9x2 0

2x + 3 MATEMÁTICAS 8º

6x3 + 9x2 - 10x - 15

3x2 - 5

0 -10x - 15 10x + 15 0

0

Nota el -5 es el resultado de dividir -10 x por 2x. Ahora, 10x + 15 es el resultado de multiplicar 2x + 3 por -5 para restar este resultado del nuevo dividendo -10x - 15. d) Por último el resultado de la división es el cociente 3x2 - 5. El residuo en este caso es cero. 4. Dividamos 3a3 - a + 4 - 2a2 entre 2a2 + 2 - 3a. SOLUCIÓN: Colocamos los polinomios 3a3 - a + 4 - 2a2 y 2a2 + 2 - 3a; en potencias decrecientes de a, o sea: 3a3 - 2a2 - a + 4

y

2a2 - 3a + 2

b) 3a3 - 2a2 - a + 4 9 2

-3a3+ a2- 3a

2a2 - 3a + 2 3 a 2

5 2

0 + a2- 4a + 4

Nota. Este

3 a es el resultado de dividir 3a3 por 2a2. 2

69

POSTPRIMARIA RURAL

-3a3 +

9 2 3 a - 3a es el resultado de multiplicar 2a2 - 3a + 2 por a y cambiarle el 2 2

signo para restar. 5 2 a - 4a + 4 es el nuevo dividendo para continuar repitiendo pasos. 2

3a3 - 2a2 - a + 4 -3a3

+

9 2 a - 3a 2

0

+

5 2 a - 4a + 4 2

-

5 2 15 10 a + a2 4 4

0

2a2 - 3a + 2 3 5 a+ 2 4

6 1 − a + 4 4

5 5 es el resultado de dividir a2 por 2a2. 4 2

Nota: 5a 2 2 =5 2a 2 4

−

5 5 2 15 10 es el resultado de multiplicar 2a2 -3a + 2 por y cambiar de signos a + a− 4 2 4 4

para restar. −

1 6 a + - es el resultado de la resta indicada. 4 4

d) Como −

6 1 a + ya no se puede dividir por 2a2 -3a + 2, (por ser este último 4 4

polinomio, de mayor grado que el dividendo), la división termina; dando como resultado final el cociente

70

3 5 a + y como residuo 2 4

6 1 − a+ . 4 4

MATEMÁTICAS 8º

4. Simplifico cada uno de las siguientes expresiones: La solución general de la división se suele escribir como: 1 6 − + a 3 5 4 a + + 24 2 4 2a − 3a + 2 1 6 − a+ El sumando 24 4 es el residuo dividido por el divisor. 2a − 3a + 2

EVALUEMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD 15. En grupos de 3 estudiantes

1. Buscamos una expresión, que multiplicada en cada caso por el monomio que aparece a continuación, nos de como resultado 15x2y. a) 5x. b)

15 x 4

c)

1 2

d) 1 e) 1

xy

71

POSTPRIMARIA RURAL

2. Realizamos las siguientes divisiones: a)

1 2 2 a entre 2 3

d) 3a2b2 + 5a3b3 entre -2a.

b)

2 5 3 1 m n entre n3 3 6

e) 18x4y2 -6x2y4 entre -3x2y2

c) -4x3y5 entre 8xy3

3. El terreno de una casa es de forma rectangular y tiene 18x2 + 9x - 20 metros cuadrados de área. Si uno de los lados mide 6x - 5 metros, hallemos el otro lado. En este problema x representa un entero mayor o igual que 1. 4. Realizamos el problema anterior dándole a x el valor de 3. 5. El producto del dinero que poseen 2 amigos es 2x3 + 10x -3x2 - 15 pesos, para x ≥ 3. Si el dinero de uno de ellos es x2 + 5, ¿Cuál es el dinero del otro amigo? Aquí x representa un entero mayor o igual que 3. 6. Realizamos el problema anterior dando a x el valor 50. 7. Efectuamos las siguientes divisiones: a) u2 - 5u + 7 entre 3u - 4

d) 3m2 + 4m3 + 8m entre 3m - 5m2

b) a2 - 9 entre a - 3

e) 2x2 + 2x2 - 2x + 30 entre x2 - 2x + 5

c) x3 - 1 entre x - 1

72

CAPÍTULO 2 ○

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FACTORIZACIÓN PRODUCTOS NOTABLES ○

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ACTIVIDAD 1.

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Individual

1. Descompongo el número 100 en todos sus factores primos. 2. Busco por lo menos 4 pares de monomios tales que, al multiplicarlos entre sí den como resultado 6a3b5. 3. Escribo la expresión algebraica t5 + 3t2 como el producto de dos factores.

ACTIVIDAD 2.

En grupo

Suponemos que representa la misma expresión algebraica, o sea, que tiene el mismo valor donde la encontremos. Si tenemos un polinomio cualquiera como: 4

-3m

+ 6a

Junto con mis compañeros realizamos la siguiente actividad:

73

MATEMÁTICAS 8º

○

POSTPRIMARIA RURAL

1. Identificamos lo que encontremos de común en cada uno de los sumandos del polinomio anterior. 2. Lo sacamos y lo dejamos como un factor del polinomio que quede. 3.

Efectuamos el productos de los dos factores anteriores, para probar si lo que hicimos en 2 fue correcto.

4. Reemplazamos el símbolo expresiones.

en el polinomio inicial, por las siguientes

a) Un número. b) Un monomio. c) Un binomio. 5. Para cada caso del punto 4, tratamos de descomponer el polinomio en dos factores, . donde uno de ellos es lo que reemplazamos por

CONCLUYAMOS Algunos polinomios pueden descomponerse como el producto de 2 ó más factores. Así, para factorizar un polinomio, que tenga un factor común en todos sus términos, se descompone como el producto de 2 factores: el primero es el factor común y el segundo el que resulta de dividir cada sumando del polinomio entre el factor común.

74

EJEMPLO:

Como puede observarse, la factorización se basa en la ley distributiva del producto con respecto a la suma. Además, el factor común puede ser un número, un monomio, un binomio u otro polinomio.

PRACTICAMOS LO ESTUDIADO

ACTIVIDAD 3.

Individual

Junto con 2 de mis compañeros, comentamos, discutimos y efectuamos los siguientes ejercicios. 1. Factorizamos los polinomios. a) 2m2 - 4mn + 8

c) 2(a-b) - 3(a-b)2 + 5(a-b)3

b) 2m2 - 4mn + 8 m3

a a a d) a − 5  + 8  c

2

b

 b

3

 b

2. Prestamos atención al siguiente proceso utilizado para factorizar el polinomio 12xy - 8xz - 6ty + 4tz. a) Asociamos los 2 primeros sumandos y también los dos últimos así: (12xy-8xz) + (-6ty+4tz)

75

MATEMÁTICAS 8º

8a - 4a2b + 6a3b2 = 4(2a) - 2ab(2a) + 3a2b2(2a) = 2a (4 - 2ab + 3a2b2)

POSTPRIMARIA RURAL

b) Factorizamos cada expresión así: 4x(3y-2z) - 2t(3y-2z) c) Este nuevo polinomio tiene un factor común. Por lo tanto lo factorizamos así: (3y - 2z) (4x - 2t) d) Como el factor (4x - 2t) tiene al 2 como factor común; el polinomio se factoriza, así: (3y - 2z) 2 (2x - t) Por consiguiente, 12xy - 8xz - 6ty + 4tz = 2 (3y - 2z)(2x - t) 3. Similarmente factorizamos los polinomios: a) a+b-xa-xb

c) 2b+2a2b-3c-3a2c

b) xyz-xytw-mz+mtw

d) 6abc-3c-10abdx+5dx.

ACTIVIDAD 3.

En grupo

Con dos de mis compañeros realizo la siguiente actividad. 1. En una hoja de papel dibujamos la figura que a continuación encontramos.

76

MATEMÁTICAS 8º

2. ¿Cuál es el área de este cuadrado? 3. ¿Cuál es el área de cada una de las 4 figuras en que está descompuesto el cuadrado? 4. Expresemos la equivalencia entre el área del cuadrado inicial y la suma de las áreas encontradas anteriormente. 5. Expresemos en lenguaje natural la equivalencia anterior. 6.

Junto con mis compañeros sacamos algunas conclusiones de todo lo que hicimos.

CONCLUYAMOS Algunos productos que cumplen ciertas reglas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, o sea, sin verificar la multiplicación se llaman PRODUCTOS NOTABLES.

77

POSTPRIMARIA RURAL

En la actividad anterior desarrollamos el producto: (x+y)(x+y) =(x+y)2 = x2 + 2xy + y2 (1)

Que traducido en palabras lo podemos resumir diciendo que el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más dos veces la primera cantidad por la segunda cantidad, más el cuadrado de la segunda cantidad. Igualdades como la (1) que son válidos para todos los valores de x y y se llaman identidades y es importante mirarlos de derecha a izquierda y también de izquierda a derecha. Así, si tenemos la expresión a2 + 2ab + b2 esta se puede factorizar como: (a+b)2, es decir a2 + 2ab + b2 = (a+b)2. Por otro lado para factorizar expresiones del tipo x2 + ax + b, donde, a y b son números enteros específicos, se procede así: se buscan, si es posible, dos números enteros c y d tales que c + d = a y cd = b. Luego se escribe x2 + ax + b = (x + c) (x + d). EJEMPLO: Factorizar x2 + x - 6. Buscamos dos enteros que multiplicados den -6 y sumados den 1, ellos son +3 y -2. Luego: x2 + x - 6 = (x + 3) (x - 2)

78

2x 2 - 7x + 6 =

MATEMÁTICAS 8º

En el caso anterior, si el coeficiente de la x2 no es 1, como por ejemplo factorizar 2x2 7x + 6, entonces se procede así:

2(2x 2 - 7x + 6) 2 ⋅ 2x 2 − 2 ⋅ 7x + 2 ⋅ 6 (2x)2 − 7(2x) + 12 = = 2 2 2

(2x - 4)(2x - 3) 2(x − 2)(2x − 3) = = (x − 2)(2x − 3) 2 2

Observemos que en el primer paso del desarrollo se multiplica por el coeficiente de la x2 y en el cuarto paso se procede buscando dos números que multiplicados den 12 y sumados den -7 los cuales son -4 y -3.

ACTIVIDAD 4. En grupo Trabajo en grupos de 2 estudiantes. En una hoja de papel en blanco pintamos un rectángulo que sea semejante al siguiente, llamando x al ancho y x+y al largo.

B

A

x

D

x+y

C

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POSTPRIMARIA RURAL

Ahora hacemos un doblez en forma tal que el vértice D caiga sobre el lado AB, así se obtiene el punto E ∈ AB. ¿Cuánto mide AE? Cuanto mide EB? Ahora llamamos F a el punto extremo más bajo del doblez, es decir, F ∈ DC. Unimos E con F y así obtendremos EF. A continuación hacemos un nuevo pliegue tomando el vértice B y llevándolo hasta que toque EF y de esta manera obtendremos el punto G ∈ EF. ¿Cuánto mide EG?. Ahora llamamos: H el punto más bajo de éste último doblez, es decir, H ∈ BC. ¿Cuánto mide BH? ¿Cuánto mide HC? ¿Cuánto GF? Ahora si con la figura extendida en su posición original unimos los puntos G y H y prolongamos el segmento hasta alcanzar AD. recortamos el rectángulo FGHC. ¿Cuáles son la dimensiones de este rectángulo? Por último, con EG como doblez hacemos que el cuadrado EBHG caiga sobre el cuadrado AEFD y a continuación de EG colocamos el rectángulo recortado, así obtendremos una figura como:

A partir de la gráfica, y usando las fórmulas escribimos una relación entre ellas, la transformamos hasta obtener (x+y) (x-y) = x2-y2 la cual se conoce como la factorización de la diferencia de cuadrados.

80

ACTIVIDAD 5.

MATEMÁTICAS 8º

EJERCITEMOS LO APRENDIDO Individual

1. En forma gráfica justifico por qué (x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6

2. En forma similar al anterior, justifico por qué (x - 5) (x + 2) = x2 - 3x - 10 3. Factorizo cada uno de los siguientes polinomios. a) a4 - 1 b) 1 - t2 c) x3 + y3 sabiendo que un factor es x + y. d) x3 + 4x2 + 9x + 6 sabiendo que un con factor es x+1. e) 20 + 3t2 - 17t f ) m - m2 g) x2 - 16x + 64 h) 1 - x3 sabiendo que un factor es 1 - x. 4. Hallo el M.C.M y el M.C.D de x2 - 1 y x2 + 2x - 3. 81

POSTPRIMARIA RURAL

PARA MI INFORMACIÓN Los números representados por expresiones decimales infinitas no periódicos, se llaman NÚMEROS IRRACIONALES. Por lo tanto no se pueden escribir de la forma: . Ejemplo: 0,01001000100001...... Este número se puede expresar como la suma de:

0+

a b

1 1 + + + .... , o sea, 0 = 1 + 1 + 1 +..... 100 1001 .000 1 .000'000. 000 102 105 109

Este tipo de sumas es muy común en matemáticas. Por ejemplo la suma de:

1 1 1 + + + ... da como resultado un número, que ante la imposibilidad de 2 6 24 a representarlo de la forma , el matemático suizo Euler, utilizó la letra e. b 1+ 1+

Para facilidad de los cálculos cuando se utiliza esta clase de números se pueden aproximar así:

E ≅ 2,7182

8

π ≅ 3,1416 ó

22 7

2 ≅ 1,4142

D

U

3

N

FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS

I DA

D

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA ○

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Hay muchos estudios acerca de la historia de las matemáticas, pero muy pocos se han realizado sobre el tema específico de funciones. El concepto de función, al igual que los conceptos de número y medida, se encuentran en la base de gran parte de las matemáticas que el hombre ha desarrollado a través de la historia. Parece que el nacimiento del concepto de función se sitúa a mediados del siglo XVII, ya que en este siglo se formulan las primeras definiciones y es cuando aparece por primera vez el término “función”, pero de una manera muy restringida. Para el estudio de la historia del concepto de función Youshkevitch (1976), distingue tres grandes períodos: 1) El mundo antiguo. 2) La edad media. 3) La edad moderna.

83

MATEMÁTICAS 8º

DA

•

•

U

NI

POSTPRIMARIA RURAL

EL MUNDO ANTIGUO: En esta época aparecen estudios particulares de dependencia entre cantidades, pero no aparecen nociones generales, sobre variables y funciones, por esta razón difícilmente puede hablarse de funciones en general, aunque si hay muchas ideas que sirvieron como base para el concepto completo de función. Algunas civilizaciones antiguas como los Babilonios, Egipcios y Griegos aportaron algo para el desarrollo de este concepto aunque se dedicaron más al estudio de la aritmética y la geometría en casos particulares de aplicación práctica. Sin embargo, fue a partir de mediciones astronómicas, hechas por los indúes, que el concepto de función hace sus primeras apariciones en el mundo de la matemática. Ya en la edad media se hacen los primeros intentos sobre el tema, aparecen más explícitas ciertas nociones de dependencia entre dos cantidades variables, pero de una manera verbal o mediante un gráfico. Se inicia con los Arabes sin poder hablar aún de un cambio substancial. En esta edad podemos mencionar las escuelas de Oxford y París como pioneros del cambio, especialmente con los tratados sobre las representaciones geométricas de Nicolás Oresma. Por último la edad moderna que se inicia a fines de siglo XVI, se puede considerar, como dijimos anteriormente, el escenario de la aparición del concepto de función con aplicaciones más profundas y más generales específicamente es en siglo XVII con los trabajos de Galileo, Descartes, Fermat, Newton, Leibtnitz, Gregory, Euler y Bernoulli. Es así como el término “función” aparece por primera vez en un manuscrito de Leibnitz de 1673, y en 1718 Bernoulli da una definición más explícita del concepto de función y en 1740 Euler perfecciona la definición y da la nueva notación f(x) que es la que perdura hasta nuestros días. Por último, con los trabajos de Lagrange, Fourier y Dirichlet se clasifica el concepto de función y con el advenimiento de la teoría de conjuntos se le generaliza hasta adquirir la forma en que hoy en día se presenta este fundamental concepto.

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CAPÍTULO 1 ○

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MATEMÁTICAS 8º

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FUNCIONES LINEALES ○

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ACTIVIDAD 1.

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En grupo

Con 2 de mis compañeros y teniendo en cuenta lo aprendido en el curso anterior sobre proporcionalidad, operadores y funciones, leemos con atención la siguiente situación y realizamos en el cuaderno la actividad que se indica.

En una finca a un obrero se le paga por cada metro cuadrado que trabaje, para esto, el patrón tiene la siguiente tabla que le permite pagar sin hacer demasiadas cuentas, o sea, con solo mirar los datos de la tabla.

X= m2

1

Y $

30 60

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

25

30

90 120 150 180 210 240 270 300 450 600 750 900

En esta tabla x representa los metros cuadrados trabajados y, y = f(x) los pesos pagados.

85

POSTPRIMARIA RURAL

Con base en la anterior situación realizamos los siguientes pasos: 1) Conformamos un conjunto de parejas donde los primeros elementos sean los metros trabajados y los segundos los pesos pagados. 2) Buscamos el operador multiplicativo que al aplicarlo a la x en cada caso nos dé la y, diciendo si es ampliador o reductor. 3) Con base en las parejas, o en la tabla decimos si las magnitudes metros cuadrados y pesos son directamente proporcionales, y damos las razones. 4) En el plano cartesiano graficamos las parejas formadas y unimos éstas por medio de una línea continua, para ampliar el dominio a los reales. 5) De acuerdo con el factor que buscamos en el paso 2, completamos las siguientes parejas en el cuaderno, reemplazando el signo interrogación. 1 2

7 2

(0, ? ), ( ,? ), ( ,? ), (11, ? ), (18, ? ). 6) Con ayuda del operador encontrado en el paso 2 decimos si esta gráfica nos representa una función o no. Justificamos la respuesta.

ACTIVIDAD 2.

Individual

En la situación anterior llegué junto con mis compañeros, a la fórmula para el pago según los metros trabajados mediante la función f(x) = 30x. 1) Observando detenidamente la gráfica, intuyo si ésta corresponde a una función lineal o no. 2) Tomo los valores x =2 y x = 4 y hallo f(2) y f(4) por separado; seguidamente hallo f (2+4) ó sea f (6). Hago lo mismo con los valores x = 3 y x = 4.

86

Hago lo mismo en los valores k =

MATEMÁTICAS 8º

3) Ahora tomo los valores k = 2 y x =4 y realizo lo siguiente: Calcular f(kx) luego calcular k f(x) para la función f(x) = 30x. 1 y x = 2. 2

4) Trato de sacar alguna conclusión de lo realizado en los apartados 2 y 3.

ACTIVIDAD 3.

En grupo

Puedo trabajar con 2 o más compañeros. Consideramos la función f(x) = 2x - 1. 1. Hallamos los valores f(0), f(1), f(-1), f(-2), f(2), f(-3), f(3), f(-4), f(4). 2. Construimos una tabla con estos valores y hacemos la gráfica de esta función. A continuación unimos estos puntos. 3. Hallamos: f(2), f(3), luego hallamos f(2+3) = f(5). 4. Hallamos f(1) y f(5) luego f(1+5), = f(6). 5. Ahora encontramos f(kx) y k f(x) para x = 2 y k = 3.

Luego para k = 2 y x =

1 . 2

6. Sacamos algunas conclusiones de los apartados 3 y 4. 7. Comparamos estas conclusiones con las sacadas en el apartado 2, 3 y 4 de la actividad 2.

87

POSTPRIMARIA RURAL

CONCLUYAMOS LO APRENDIDO La función lineal se representa por f (x) = kx y se caracteriza por las dos propiedades siguientes:

1. f (x1 + x2 )= f (x1)+ f ( x2 ). 2. f (kx )=k f (x ).

A la función lineal también se le llama función de proporcionalidad directa. y = kx ó f(x) = kx siempre es una recta que pasa por el origen.

Si (x1, y1), (x2, y2 ), ..., (xn, yn ),son pares de valores correspondientes de una función lineal o función de proporcionalidad directa entonces se tiene que:

y1 y y y = 2 = 3 = ................... = n = k x1 x2 x3 xn

ó lo que es lo mismo yi = k xi . Por último una función lineal puede considerarse como un operador multiplicativo que transforma una materia prima, como una magnitud o un número, en un producto determinado, que va a ser también una magnitud o un número.

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En grupo MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 4.

La siguiente tabla hace referencia a una situación de la vida diaria donde n representa el número de puntos ganados o perdidos por una persona y f (n) representa los pesos ganados o perdidos por esos puntos en un determinado juego.

n = puntos

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f (n) = pesos -5

-3

-1

1

3

5

7

9

11

13

15 17 19

Con base en la tabla anterior realizamos en el cuaderno la siguiente actividad. 1. Tomamos 3 o 4 parejas consecutivas y observamos qué sucede con f (n) cuando la variable n aumenta o disminuye. 2. Con esta mismas 3 parejas efectuamos la división entre f (n) y n,

f(n) n

y decimos

si la razón es una cantidad constante en los 3 ó 4 casos que tomados.

89

POSTPRIMARIA RURAL

3. Con los datos de la tabla tratamos de establecer la ecuación algebraica para esta función y la graficamos. 4. Situamos en ella las imágenes para n = -7, -5, 10, 13. 5. Decimos si ella es una función lineal o no, justificando la respuesta. 6. ¿Cuál es el intercepto con el eje vertical, o sea, con el eje y. 7. Hallamos f (2) y f (4) luego, hallamos f (2+4) y comparamos para ver si f (2) + f (4)= f (2+4). 8. Tomamos k = 3 y analizamos si f (kx)= k f (x).

CONCLUYAMOS LO APRENDIDO

Una función de la forma f (x) = a x + b, siempre representa una recta, pero no es una función lineal porque su gráfica no pasa por el origen y además no cumple las propiedades de linealidad; la b se llama intercepto con el eje vertical o el eje y. La función f (x) = ax es una caso especial de la función f (x) = ax + b cuando b = 0. Todo punto que pertenezca a la recta debe satisfacer a su ecuación. La función f (x) = ax + b es una función de gráfica lineal.

ACTIVIDAD 5.

En grupo

Prestamos atención a la siguiente situación:

90

MATEMÁTICAS 8º

Cierto alumno vive a 15 Kilómetros de su escuela; sale de su casa y hace el recorrido en cicla, encontrando en su trayecto subidas, bajadas y terreno plano, casi como se observa en la gráfica siguiente.

Como podemos observar en la gráfica, la casa queda marcada en cero kilómetros o sea que esto va sobre el eje x de izquierda a derecha; la y marca las diferentes alturas que recorre el alumno, la “x” siempre aumenta mientras la “y” algunas veces aumenta, otras veces disminuye, y otras queda constante. El ciclista como bien se sabe en las subidas o pendientes tiene que hacer un gran esfuerzo, para avanzar dependiendo de la inclinación del camino; en las bajadas hace una fuerza negativa, o sea, que frena para no adquirir mucha velocidad. Para terminar podemos convenir diciendo que en las subidas, la inclinación a la pendiente es positiva (aumentando la y) y en las bajadas la pendiente es negativa disminuyendo la “y”. Ahora, con relación a la situación anterior y teniendo en cuenta la siguiente gráfica, realizamos la actividad que a continuación se nos indica.

91

POSTPRIMARIA RURAL

GRÁFICA 2.

1.

Tomando como base el texto del alumno que va en cicla, buscamos de la casa a la escuela los trayectos en que la pendiente sea positiva, negativa y en los que no se tenga ninguna inclinación.

2.

En una actividad anterior concluimos que cualquier gráfica lineal se representa por una función de la forma f (x) = a x + b. Tratamos de dar una formula para el tramo CD y otra para el tramo DE.

3.

¿En cuál de todos los trayectos el ciclista hará un mayor esfuerzo y en cuáles la y permanece constante?

4.

En la gráfica 2 hallamos una característica común de todas las rectas que aparecen en ella.

5.

Teniendo en cuenta de nuevo el texto del ciclista que va de la casa a la escuela, escogemos en la gráfica 2 todas las rectas que se asocien con las subidas y luego las rectas que se asocien con las bajadas. 92

¿Qué podemos concluir de las ecuaciones de las rectas asociadas con las subidas?

7.

¿Qué podemos concluir de las ecuaciones de las rectas asociadas con las bajadas?

CONSIGNEMOS LO APRENDIDO

Cualquier recta tiene por ecuación y = mx + b, donde m representa la pendiente. Si m es positiva, la recta está inclinada hacia la derecha. Si m es negativa, la recta está inclinada hacia la izquierda. En una recta de pendiente positiva, al aumentar la x aumenta la y, esto es, la función es creciente. En la recta de pendiente negativa, al aumentar la x disminuye la y, o sea, que la función es decreciente. Una recta que no tenga pendiente tiene por ecuación y = k ó f (x) = k esta k puede ser positiva, negativa o cero, también es una función y se llama la función constante, su gráfica es una recta paralela al eje X, una gráfica de ella puede ser la siguiente.

93

MATEMÁTICAS 8º

6.

POSTPRIMARIA RURAL

ACTIVIDAD 6. Individual

En las actividades anteriores estudiamos las funciones lineales y las gráficas lineales en su forma genérica f(x) = ax + b ó y = ax + b. En las siguientes actividades vamos a estudiar la ecuación lineal y la solución de ecuaciones lineales. La siguiente gráfica nos presenta la balanza de dos platillos de brazos iguales y la vamos a emplear para estudiar el concepto de ecuación (por ahora la ecuación lineal solamente), el uso de algunas reglas de manipulación de igualdades y la solución de ecuaciones sencillas.

Representamos una ecuación coma la situación obtenida al estar la balanza en equilibrio. Ahora en el cuaderno realizo la siguiente actividad: Supongo que se desconoce el número de canicas que hay en una bolsa y que la balanza se equilibra colocando en un platillo 4 canicas y la bolsa y en el otro, 12 canicas (todas de igual peso):

94

MATEMÁTICAS 8º

1. Represento la situación anterior de 3 maneras diferentes que se me ocurran. 2. Hago un dibujo dejando en el primer platillo solamente la bolsa y quitando del otro platillo igual número de canicas que las que quité del primero en donde estaba la bolsa. 3. Trato de encontrar por medio de símbolos, letras o números, la solución a la situación anterior.

CONCLUYAMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD REALIZADA Si se añade o se quita el mismo número de canicas

ECUACIÓN La ecuación de la situación anterior puede ser

x + 4 = 12

en cada uno de los

(x es el número de canicas en la bolsa).

platillos, la balanza sigue

Si se suma o se resta el mismo número a los

en equilibrio.

dos miembros de la ecuación ésta no varía. De la misma manera, si se multiplica, (o divide), por un mismo número uno de los miembros de la ecuación, se debe multiplicar (o dividir) el otro por el mismo número, para que la ecuación no varíe.

95

POSTPRIMARIA RURAL

ACTIVIDAD 7. Individual

Vamos a usar tres clases de símbolos: flechas, círculos y rectángulos , para construir diagramas de acuerdo a las siguientes condiciones: Las flechas y los círculos nos van a indicar las órdenes que se van a efectuar; los rectángulos nos van a indicar el inicio, el final y algunas situaciones intermedias. +2

Así, los símbolos

+2

ó

*2

y

ó

*2

me representan los operadores aditivo 2 y el multiplicativo 2 respectivamente. EJEMPLO. Hallar el valor de los lados iguales de un triángulo isósceles, sabiendo que éstos son, respectivamente 6 cm más largos que el lado desigual y su perímetro es 24.

Expresión simbólica de esta situación (x +6) 2 + x = 24 1. Con las consideraciones anteriores, completo en el cuaderno el siguiente diagrama. ENUNCIADO

DIAGRAMA

ECUACIÓN SIMBÓLICA

Hallar el peso de 3b + 5 = 17

una bolsa con alimentos, si 3 de ellas más 5 kilos pesan 17 kilos. 96

b

17

3. Construyo una ecuación que corresponda al diagrama siguiente y hallo su solución.

n

*3

+4

-n

10

4. Considero la siguiente situación: si al doble de una cosecha de cargas de café le aumentamos 6 cargas nos dan 22 cargas. Lo anterior lo podemos representar por un diagrama como éste. a) K

+6

*2 2K

22

Ahora refiriéndome a esta situación, completo en el cuaderno el diagrama que aparece a continuación y trato de interpretar los pasos y el significado

b) 8

/2

+6 22

Comparo con el diagrama a).

97

MATEMÁTICAS 8º

2. Con lo aprendido en la actividad anterior, realizo los pasos necesarios para hallar el peso de una bolsa, o sea, doy el valor de b.

POSTPRIMARIA RURAL

5. Imagino que la gráfica que sigue es una máquina que ejercita algunas órdenes internamente con dos (2) caminos diferentes.

Por medio de una igualdad busco el número A que recorriendo los 2 caminos distintos den como resultado la misma cantidad en una única salida.

RESUMAMOS LO APRENDIDO Para resolver ecuaciones lineales podemos realizar diferentes actividades, en las cuales es posible usar balanzas, diagramas, máquinas, cuadros, juegos, dados, fichas etcétera. La ecuación x + a = c donde a y c son números conocidos, se resuelve sumando el inverso aditivo de a, a ambos lados de la igualdad. La ecuación an + b = c donde a, b y c son números conocidos, a ≠ 0 y “n” es la cantidad desconocida o incógnita, se resuelve para n, restando primero b (sumando el opuesto aditivo de b) a ambos miembros de la ecuación y luego multiplicando por

98

1 . (inverso multiplicativo) en ambos lados de la ecuación. a

ACTIVIDAD 8.

Individual

1. Analizo cuáles de las siguientes ecuaciones representan una función lineal y cuáles no, argumentando la respuesta. a) y = 2x - 3 b) y =

1 x 2

d) f(t) = 4 e) y = 4x + 1

c) y = -3x 2. Gráfico las funciones encontradas en 1, e indico el valor de la pendiente en cada caso. 3. Hallo las diferencias y las similitudes entre las 2 funciones siguientes. a) f(x) = 3x - 2

b) g(x) = 3x + 2

¿Cuál de ellas me representa una función lineal? 4. ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la recta f(x) = 3x -2? a) (1, 1)

d)  1 , −1

b) (4, 10)

e)  2 , −2

2 2 

3



c) (3, 5) 5. En las siguientes rectas identifico: i. ¿Cuáles cortan al eje Y? ii. ¿Cuál de ellas tiene el intercepto con el eje “Y” más grande? 99

MATEMÁTICAS 8º

EVALUEMOS LO APRENDIDO EN ESTE CAPÍTULO

POSTPRIMARIA RURAL

iii. ¿Cuál no representa una función lineal? iv. ¿Cuáles representan una función lineal? v. ¿Cuál o cuáles no me representan una función? a) y = 5

d) x = 3

b) y = 3x

e) x = 0

c) y = x - 2

f) F(x) =

-1 x 2

7. ¿Qué significado tiene para mi x = 0 en el plano cartesiano?

ACTIVIDAD 9. Individual 1. En el cuaderno dibujo una balanza para representar la ecuación: x+3=8 Luego trato de hallar la solución a la anterior ecuación. 2. Dibujo en el cuaderno una balanza que represente la ecuación: 2x + 3 = 9 Seguidamente efectúo las operaciones pertinentes para resolverla. En otras palabras, busco el valor de x. 3. Si tengo la ecuación 4a - 3 + 2a + 5 = 26. Elaboro un diagrama que me represente todos los pasos de dicha ecuación. 4. Teniendo la igualdad: 3k + 2 = 2K + 8 100

MATEMÁTICAS 8º

supongo que la k es la materia prima que entra a una máquina por una única entrada y que una vez dentro toma cada uno de los dos caminos representados en la igualdad para que finalmente resulte un único producto. Dibujo la máquina y digo cuál es el valor de k. 5. Planteo y resuelvo una ecuación para la siguiente situación. ¿Cuál es el número tal que el triple de él, más 5, sea igual a 20? 6. Si en una caja hay x número de manzanas y le sacamos

2 de ese número, nos 5

quedan 150 manzanas, ¿Cuántas manzanas había en la caja? 7. Represento la siguiente situación por medio de una ecuación y la resuelvo. Dos números enteros consecutivos suman 33. ¿Cuál es el menor de los dos? 8. Con el siguiente cuadrado mágico efectua:

X+7

X

X+5

X+2

X+4

X+6

X+3

X+8

X+1

a) La suma de cada una de las filas, de cada una de las columnas y de las dos diagonales. b) Doy a x cualquier valor numérico y construyo otro cuadro mágico con los nuevos valores que se obtienen al reemplazar la x. c) En ambos casos a), y b) comparo los resultados de las sumas con la celda del centro y saco algunas conclusiones.

101

CAPÍTULO 2 POSTPRIMARIA RURAL

○

○

○

○

○

○

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FUNCIÓN CUADRÁTICA Y ECUACIÓN CUADRÁTICA ○

ACTIVIDAD 1.

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○

○

○

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○

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○

○

En grupo

En algunos de los cursos anteriores aprendimos que el área de un cuadrado se obtiene multiplicando el lado por el lado, o sea, elevando el lado al cuadrado. Supongamos que tenemos varios cuadrados cuyos lados son: l = 1, l = 2,

l = 4, l = 5, l = 6

Con ellos realizamos la siguiente actividad: 1. Completamos en el cuaderno la tabla que aparece a continuación:

l

1

2

4

A

donde A representa el área de cada cuadrado.

102

5

6

MATEMÁTICAS 8º

2. Hacemos una gráfica con las 5 parejas de la forma (l, A) o (l, l2 ), de la tabla anterior. 3. Ahora en el cuaderno completamos la siguiente tabla: l l2

0

1

1,5 2,25

2

2,2 4,84

3

3,5

4

5

5,2 5,5

6

12,25

4. En forma parecida a lo realizado en el paso 2), elaboramos otra gráfica con estas nuevas parejas esta última tabla. Seguidamente unimos con una línea continua los puntos obtenidos. 5. En esta nueva gráfica tratamos de colocar sobre la curva obtenida, la imagen de 5 puntos más, dados a tu voluntad. 6. Teniendo en cuenta lo aprendido sobre funciones intentamos obtener una función que represente todas las situaciones anteriores en una forma general. 7. Si tenemos una función de la forma f(x) = x2, relacionamos algunos valores tanto positivos como negativos, para x y hallamos sus respectivas imágenes. Por ejemplo:

-2 −2 4 luego f   =   = −  3  3  9 2

103

POSTPRIMARIA RURAL

8. Elaboramos una gráfica con todas las parejas obtenidas y unimos los puntos por una curva continua.

ACTIVIDAD 2.

En grupo

Con dos compañeros hacemos lo siguiente: En la actividad anterior aprendimos que la gráfica de la función:

f (x) = x2 es

Gráfica No.1.

1. Tomamos la gráfica anterior y la desplazamos a una distancia d = 2 unidades hacia la derecha, la dibujamos.

104

2. Esta última gráfica corresponde a una de las siguientes representaciones algebraicas: MATEMÁTICAS 8º

a) f (x) = (x + 2)2 b) f (x) = (x - 2)2 ¿Cuál es? Sugerencia. Calcula f (2) en cada caso 3. Tomemos la gráfica No 1, (y = x2) y ahora desplacémosla a una distancia l = 3 unidades hacia arriba y dibujémosla. En el mismo sistema desplacemos la gráfica original (y = x2), 3 unidades hacia abajo y dibujémosla. 4. En cada una de estas dos últimas gráficas analicemos los valores: f (0), f (1), f (-1), f (2), f (-2), f (3). Con este análisis tratemos de dar la función que mejor represente a la gráfica corrida hacia arriba, y la corrida hacia abajo. 5. Representemos gráficamente cada una de las funciones: a) y = x2

b) y = 2x2

c) y = 3 x2

d) y = x 2

1 2

105

POSTPRIMARIA RURAL

6. Representemos en un sistema de coordenadas la función f (x) = -x2. a) Comparemos ésta gráfica con la gráfica de g (x) = x2. b) Determinemos el dominio y el rango de la función f (x). c) Indiquemos los intervalos donde la función f (x) crece o decrece. 7. Grafiquemos en un sistema de coordenadas cada una de las funciones: 1 2

a) f (x) = -2x2

c) f (x) =- x 2

b) f (x) = -3x2

d) f (x) = − x 2

1 3

y obtengamos algunas conclusiones.

RESUMAMOS LO APRENDIDO EN ESTAS DOS PRIMERAS ACTIVIDADES

La función f (x)= x2 siempre representa una parábola y es la forma más simple de la función cuadrática. Su punto más bajo está en el origen, o sea, en el punto (0,0).

Una función de la forma f (x) = a x2 siempre es una parábola; si a > 0 la parábola se abre hacia arriba, y si a < 0 la parábola se abre hacia abajo y en este caso su punto más alto está en (0,0).

106

Si d > 0, f (x) = (x - d)2 representa una parábola obtenida por el desplazamiento de la parábola f (x) = x2 , d unidades hacia la derecha y f (x) = (x + d)2 representa la parábola obtenida al desplazar f (x) = x2 , d unidades hacia la izquierda.

Similarmente, la función cuadrática de la forma f (x) = x2 + l donde l es un número real, representa una parábola obtenida después de que f (x) = x2 sufre un desplazamiento sobre el eje Y que depende del número l.

Si l es mayor que cero la parábola se desplaza l unidades hacia arriba del origen en el eje Y.

Si l es negativo la parábola se desplaza l unidades hacia abajo del origen en el eje Y.

Lo anterior lo podemos resumir en las siguientes gráficas:

107

MATEMÁTICAS 8º

El punto más bajo o más alto en una parábola se llama vértice.

POSTPRIMARIA RURAL

EVALUEMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD 3. En grupo Con dos o tres compañeros realizamos lo siguiente: 108

1. En el plano cartesiano dibujamos las funciones siguientes: 1 2

b) f (x) = -3x2

c) f (x) = - x 2

MATEMÁTICAS 8º

a) f (x) = 2x2

2. También en el plano cartesiano graficamos las funciones: a) f (x) = (x - 2)2 c) f (X) = - (X + 1)

b) f (x) = (x + 3)2 2

1 d) f (x) = -  x +   2

2

3. Graficamos las funciones: a) f (x) = x2 - 3

b) f (x) = -x2 - 3

c) f (x) = 2x2 + 1 4. Hallamos el dominio, el rango, los intervalos donde son crecientes y los intervalos donde son decrecientes cada una de las 3 funciones del punto 3. 5. Hallamos la función cuadrática que corresponde a cada una de las siguientes parábolas:

109

POSTPRIMARIA RURAL

ACTIVIDAD 4.

En grupo

Con dos compañeros realizamos en el cuaderno lo siguiente: 1. Graficamos cada una de las siguientes parábolas a) f (x) = (x + 1)2 - 2

c) Relatamos cómo obtenemos las gráficas de a) y b) a partir de f (x) = x2

b) f (x) = (x - 1)2 + 3 2. Ahora graficamos las dos funciones siguientes a) f (x) = x2 + 2x - 1 b) f (x) = x2 - 2x + 4 3. Comparamos las gráficas de los puntos 1) y 2) y sacamos conclusiones. 4. A partir de las conclusiones encontradas intentamos hallar otra manera posible de escribir la función: f (x) = (x - d)2 + l 110

Una función de la forma f (x) = (x - d)2 + l es una parábola, obtenida a partir de f (x) = x2 corriéndola d unidades hacia la izquierda o hacia la derecha, a la nueva parábola (desplazada hacia la izquierda o hacia la derecha) se le corre ahora l unidades hacia arriba o hacia abajo. La nueva parábola tiene su punto más bajo en ( d, l ). La función f (x) = (x - d)2 + l se puede escribir al desarrollar el cuadrado como: f (x = x2 - 2dx + d2+ l como d y l son números conocidos, lo anterior lo podemos escribir como: f (x) = x2 + bx + c donde b = -2d

y, c = d2 + l

Por último una función cuadrática en su forma más general, se puede escribir como: f (x) = ax2 + bx + c Donde si a > 0 la parábola se abre hacia arriba. si a < 0 la parábola se abre hacia abajo.

EVALUEMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD 5.

Individual

1. Gráfico en forma aproximada, sin hacer tablas de valores, las siguientes parábolas:

111

MATEMÁTICAS 8º

CONCLUYAMOS LO APRENDIDO

POSTPRIMARIA RURAL

a) y = (x + 1)2 + 4

c) y = -(x + 1)2 - 3

2 b) y = − x + 2  -2

d) y = (x - 1)2 - 3



3

2. Hallo para cada una de las gráficas siguientes la función cuadrática correspondiente:

3. Tengo en cuenta cada una de la parábolas del ejercicio anterior y hago lo siguiente: a) Hallo el vértice de cada una de ellas. b) Los intervalos donde es creciente y donde es decreciente cada una de ellas. c) Para cada una doy su dominio y su rango.

112

Ecuaciones Cuadráticas ○

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ACTIVIDAD 1.

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○

En grupo

1. En las siguientes ecuaciones de parábola encontramos el valor o los valores de X cuando Y = 0. a) y = x2 - 4

c) y = - x2 + 4x - 7

b) y = x2 - 2x - 3

d) y = (x - 1)2

2. Sin hacer la tabla graficamos las 4 funciones, solamente situando el vértice y los valores de x que encontamos al hacer y = 0. 3. Interpretamos geométricamente el sentido que tienen los valores de x cuando y = 0.

ACTIVIDAD 2.

En grupo

Recordamos que una parábola corrida c unidades hacia arriba o hacia abajo, con vértice en el eje Y tiene por ecuación y = ax2 + c. 1. Teniendo en cuenta lo anterior y sin dibujar las parábolas, tratamos de representar mentalmente las siguientes parábolas y luego escribimos en el cuaderno si ellas cortan al eje x en dos puntos, en un punto o en ningún punto. a) y = 2x2 - 1 b) y =

1 2 x +2 2

c) y = -2x2 + 8 d) y = -x2 - 4

113

MATEMÁTICAS 8º

○

POSTPRIMARIA RURAL

2. Solucionamos las siguientes ecuaciones

a) x2 - 4 = 0

c) x2 + 9 = 0

b) 2x2 - 32 = 0

d) 2x2 + 6 = 0

3. Ahora solucionamos estas nuevas ecuaciones

a) x2 - 3x = 0

c) 2x2 - 5x = 0

b) x2 + 4x = 0

d) 5x2 - 25x = 0

4. Comparamos detenidamente las ecuaciones del punto 2), con las del punto 3), y tratamos de deducir alguna fórmula para cada uno de los tipos de ecuaciones.

CONCLUYAMOS LO APRENDIDO Una ecuación general de segundo grado con una incógnita tiene la forma genérica ax2 + bx + c = 0 donde la x es la incógnita y las demás letras son números conocidos. Esta expresión corresponde a la ecuación de una parábola cuando y = 0. El proceso de buscar los valores de x que hacen que y = 0 se conoce como hallar las raíces de la ecuación.

114

a) La parábola corta al eje X en dos puntos, originando en la solución de la ecuación respectiva, 2 raíces reales y diferentes. b) El eje X es tangente a la parábola, o sea, que esta toca al eje X en un solo punto, originando, 2 raíces reales e iguales. c) La parábola nunca corta al eje X, y en este caso su ecuación respectiva no tiene raíces reales, es decir, no tiene solución en los reales. La ecuación de la forma ax2 + c = 0 se soluciona despejando la incógnita y sacando raíz cuadrada. La ecuación de la forma ax2 + bx = 0 se resuelve factorizando de la siguiente manera x(ax + b) = 0 , de esto tenemos que x = 0 ó ax + b = 0 de donde resultan los dos valores de x.

EVALUEMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD 3

Individual

1. Resuelvo las siguientes ecuaciones: a) n2 - 9 = 0

a) 5x2 + 25x = 0

b) a2 - 2a = 0

b) -x2 + 81 = 0

c) 2x2 -

9 x=0 2

2. Hallo un número que multiplicado por sí mismo exceda a 27 en 9. 3. El área de un círculo es 254,34 m2. Hallo el radio de este círculo. 115

MATEMÁTICAS 8º

En la función y = ax2 + bx + c se pueden presentar tres situaciones:

POSTPRIMARIA RURAL

4. Un potrero tiene forma cuadrada y su área es de 1 hectárea. Cuanto mide cada lado. 5. Ya he resuelto varias ecuaciones de la forma ax2 + c = 0. ¿Qué condiciones deben cumplir a y c para que esta ecuación tenga solución en los reales? 6. Hallo los puntos del plano cartesiano en donde se interceptan la parábola y = x2, y, la recta y = 8x.

7. Cuatro veces el área de un cuadrado menos 4 veces su perímetro es igual a cero. Hallo el lado del cuadrado.

SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN ax2 + bx + c = 0 ○

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ACTIVIDAD 4. En grupo En una actividad anterior ya aprendimos a resolver la ecuación ax2 + bx + c = 0 por factorización. En estas actividades vamos a aprender a resolver por otros métodos. 1. Resolvemos las siguientes ecuaciones factorizandolas. a) x2 + x - 6= 0 b) x2 + 2x - 15= 0 c) 2x2 + 5x - 3= 0

116

MATEMÁTICAS 8º

2. Para obtener la formula para resolver la ecuación de segundo grado se emplea el siguiente algoritmo: ax2 + bx + c = 0 x2 +

b c x+ = 0 a a 2

2

b b b c x + x+  −  + = 0  2a   2a  a a 2

2

2

b c   b x+ = −   2a  2a  a b b2 − 4ac  x+ =  2a  4a 2 2

b  x+  2a 

2

b2 − 4ac =± 4a 2

b b2 − 4ac  x+ =±  2a  2a x=−

x=

b b2 − 4ac ± 2a 2a

−b ± b 2 − 4ac 2a

Describa en lenguaje natural el algoritmo utilizado. 3. Repitamos los pasos anteriores para resolver la ecuación 3x2 + 4x - 4= 0. 4. Repitamos el proceso anterior para resolver la ecuación 2x2 + 5x - 3 = 0.

117

POSTPRIMARIA RURAL

INFORMÉMONOS La fórmula general que dedujimos para resolver una ecuación de segundo grado es: −b ± b 2 − 4ac x= 2a

La cantidad que hay dentro del radical, a sea, b2 - 4ac se llama EL DISCRIMINANTE de la ecuación.

ACTIVIDAD 5.

Individual

Considero las siguientes ecuaciones: a) 2x2 - 3x - 2 = 0

c) 5 + 3x2 + 2x = 0

b) -6x+1+ 9 x2 = 0

d) 16 - x2

1. En cada una de ellas identifico muy bien quien es a, quien es b y quien es c. 2. En cada caso encuentro el discriminante. 3. Saco la raíz de cada discriminante y comparo cada uno de estos valores. 4. Sin hacer más operaciones, indico las ecuaciones que tienen dos soluciones, las que tienen una sola solución y la que no tienen ninguna soluciones en los reales.

118

Con el valor del discriminante podemos encontrar 3 situaciones: a) b2 - 4ac > 0

b) b2 - 4ac = 0

c) b2 - 4ac < 0

Si el discriminante es mayor que cero, la ecuación tiene dos soluciones reales.

Si el discriminante es igual a cero la ecuación tiene una única solución:

X =−

b 2a

Si el discriminante es menor que cero la ecuación no tiene solución en los reales.

PRACTIQUEMOS LO APRENDIDO

ACTIVIDAD 6.

En grupo

1. Resolvemos las siguientes ecuaciones completando el trinomio cuadrado perfecto. a) 2x2 + 7x - 15= 0

c) y2 + 2y - 15= 0

b) z2 - 16z + 63= 0

d) 2n2 - n - 3= 0

119

MATEMÁTICAS 8º

CONCLUYAMOS

POSTPRIMARIA RURAL

2. Escribe en el cuaderno el término que haga falta para completar un trinomio cuadrado perfecto en cada una de las siguientes ecuaciones a) x2 - 16x +

d) z2 - z +

b) n2 + 4n +

e) 4v2 - 4

c) t2 +

v + 3

2 t+ 3

3. Aplicamos la regla general de segundo grado para resolver las ecuaciones:

a) x2 + 4x - 5= 0

b) 3x2 -

1 x - 1= 0 2

c) t2 - 30t + 25= 0

4. Sin efectuar muchas operaciones, ojalá mentalmente, analizamos el discriminante de las siguientes ecuaciones y decimos cómo son las raíces en cada caso: a) t2 - 2t + 1 = 0

c) 2n2 + 3n - 8= 0

b) -x2 - 3x + 7= 0

d) -4z2 + 6z + 7= 0

5. Encontremos las raíces de la ecuación: -2x2 + 2x - 1 = 0

120

ACTIVIDAD 7.

MATEMÁTICAS 8º

EVALUEMOS LO APRENDIDO Individual

1. Analizo, planteo la ecuación y la resuelvo en cada caso. a) Al doble de un número hay que agregarle 3 para obtener su cuadrado. ¿Cuál es este número? b) Si al área de un cuadrado le sumamos 15 nos da el doble de su perímetro. ¿Cuál es el lado del cuadrado? c) En una finca hay cierto número de cabezas de ganado. Si a 3 veces el cuadrado de este número le restamos 50 cabezas, el resultado es igual a 25 veces las cabezas que realmente hay. ¿Cuántas cabezas de ganado hay en la finca? d) Si la suma de un número con su cuadrado es

3 . ¿Qué número o números 4

satisfacen dichas condiciones? 2. Indico el discriminante de las ecuaciones siguientes y encuentro sus raíces: 6 5

a) y2 + y +

1 =0 6

b) t2 +

1 10 t= 3 3

c) z2 -

1 =0 4

121

D

U

4 N

Geometría

MATEMÁTICAS 8º

DA

•

•

U

NI

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

I DA

D

MOVIMIENTOS EN EL PLANO ○

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Embaldosando una superficie INTRODUCCIÓN. plana Lectura. En la ciudad andaluza de Granada, existe un castillo muy famoso llamado La Alhambra el cual fue construido por los Moros en la época en que ellos ocuparon a España (711-1492). En esta edificación existe una muy variada colección de figuras que sirvieron para diseñar los baldosines (azulejos o mosaicos de este castillo), que fueron utilizados para cubrir pisos y paredes ver (figura 1).

Figura 1.

Estas figuras moriscas inspiraron al pintor holandés Maurice Escher (1898-1972) para diseñar algunos interesantes cuadros como estos: 123

POSTPRIMARIA RURAL

Figura 2.

ACTIVIDAD 1.

Embaldosando con polígonos regulares

En cartulina o papel, construyo y recorto triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, heptágonos y octágonos regulares con la condición de que cada clase sea del mimo tamaño y elaboro por lo menos 6 unidades de cada una. Con el material disponible, usando una sola clase de figuras, embaldoso una superficie plana (el piso, una mesa, la tapa o asiento del pupitre), con la condición de que los vértices sólo se toquen con vértices y que ni sobren espacios ni se superpongan los polígonos. Observo cuidadosamente con qué polígonos regulares se puede embaldosar. Ahora elaboro un escrito argumentando por qué no puede existir otra clase de polígono regular que embaldose el plano ¡De una sola clase no olvide! (Sugerencia. Observo las medidas de los ángulos que concurren en un mismo punto).

124

CAPÍTULO 1 ○

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MATEMÁTICAS 8º

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DESLIZAMIENTOS EN EL PLANO ○

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ACTIVIDAD 2.

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Leo y comento con mis compañeros

Desde tiempos muy antiguos el hombre se ha fascinado con el “movimiento” de las cosas. Qué lo produce, cómo se modifica, que tipos de movimientos existen, por qué algunos animales son muy veloces, por qué algunos otros son muy lentos, etcétera. A su vez para describir y estudiar las diferentes clases de movimientos, el hombre ha apelado tanto a las matemáticas como a otras ciencias, en especial a la física. A manera de ejemplo podemos recordar a Galileo, científico Italiano, creador de la ciencia moderna; condenado por la iglesia por afirmar que la tierra giraba alrededor del sol, en contra de las creencias aristotélicas de la época que afirmaban lo contrario. Galileo para el estudio del movimiento producido en la caída libre de los cuerpos utilizó la matemática obteniendo la famosa fórmula para la caída de los cuerpos S = (1/2) gt2 donde S es la distancia recorrida, g la aceleración debida a la gravedad y t el tiempo transcurrido después de soltado el objeto.

ACTIVIDAD 3. Buscando deslizamientos

Teniendo en cuenta la baldosa de los caballos de la figura 2, me concentro en el caballo blanco del centro. Ahora, pinto flechas iniciando en un punto de este caballo

125

POSTPRIMARIA RURAL

terminando en el punto correspondiente del otro caballo, para indicar exactamente aquellos deslizamientos que permiten a dicho caballo blanco del centro, ocupar la posición de los caballos blancos de su alrededor. Relacione estas flechas con las direcciones geográficas determinados por los puntos cardinales. Cada uno de los caballos que está alrededor del que está en el centro, se puede considerar como la imagen de este último a través de un deslizamiento. Luego en particular la dirección y la distancia asociada a cada uno de estos deslizamientos es diferente, por tanto cada flecha o segmento dirigido determina un deslizamiento y para ➞ donde A es un punto antes notarlo o representarlo se utiliza el símbolo AB ➞ representa el segmento del deslizamiento y B su imagen respectiva. El símbolo AB dirigido desde el punto A al punto B.

ACTIVIDAD 4. Deslizando figuras

➞

En un pedazo de papel pinto un triángulo y un segmento dirigido AB como se indica:

A N

M

126

B O

Ahora, si pensamos en que no solamente los puntos del ( MNO se van a deslizar, sino que son todos los puntos del plano que se deslizan de acuerdo o guiados por AB, entonces, a esta correspondencia de puntos la llamamos una traslación. Es decir, una traslación es una transformación del plano en el plano cuyas imágenes están determinadas por el segmento generador de la transformación. Dicha traslación se nota como S AB. ➞

ACTIVIDAD 5. Buscando invariantes En una hoja de papel pinto cada una de las siguientes figuras y las traslado, de acuerdo, al segmento dirigido dado. B a)

B Γ

Responde: 1. ¿Qué tipo de figura geométrica es la imagen de la recta Γ? 2. ¿Qué relación existe entre la recta y su imagen? 3. Si se toma un segmento XY sobre la recta Γ, ¿Cómo es este segmento con respecto ➞? a su imagen a través de la traslación SAB b) Repito la actividad a) con la siguiente figura: 127

MATEMÁTICAS 8º

Deslizo cada uno de los vértices M, N y O en la misma dirección y magnitud o ➞ . Pinto el nuevo triángulo. Ahora, ¿Qué puedo longitud que el segmento dirigido AB decir del nuevo triángulo con respecto al primero?

POSTPRIMARIA RURAL

B

· A

Respondo las 3 preguntas anteriores; en la 3a pregunta cambio segmento por arco. Respondo: En los dos casos anteriores, ¿Qué propiedades de la figura no cambian?

Aquella propiedad de las figuras que no cambian al aplicársele una transformación se llama UN INVARIANTE.

c) El siguiente gráfico corresponde a la representación de una transformación aplicada a una banda de caucho a la que se le ha pintado un círculo.

Descubro propiedades de la figura inicial que cambian y aquellas que no lo hacen.

128

En el baldosín de los caballos, el caballo del centro lo trasladaremos hacia el noreste de acuerdo a los segmentos dirigidos obtenidos en la actividad 1. A continuación, a éste ultimo caballo (imagen) lo trasladamos en dirección oeste, también de acuerdo al segmento dirigido respectivo de la actividad 1. ¿Con qué traslación, de las obtenidas en la actividad 1, este último caballo será la imagen del primero? Repito esta actividad con cualquier caballo y cualesquiera 2 traslaciones. ¿Qué puedo concluir?

La composición de 2 traslaciones es una traslación.

ACTIVIDAD 7. La inversa de una traslación (Las cosas se desatan como se atan). ➞

En una hoja de papel pinto una figura ϕ cualquiera y tomo un segmento dirigido AB . ➞ ➞ ). (ϕ). (La imagen de ϕ a través de SAB Construyo SAB ➞ (ϕ) caiga o llegue y Respondo: ¿Será que existe una traslación tal que al trasladar SAB coincida con ϕ? Si la respuesta es afirmativa, ¿Qué relación existe entre el segmento dirigido original y el nuevo?

➞ es la traslación S ➞ . En general si T es una transformación geométrica, La inversa de SAB BA la inversa de T, si existe, es aquella transformación notada por T-1 tal que T • T-1 = T-1 • T = I donde I es la transformación idéntica, es decir I (x) = x para todo x punto del plano.

129

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 6. Componiendo traslaciones

POSTPRIMARIA RURAL

Combinando el orden de aplicación

ACTIVIDAD 8.

A partir de la siguiente gráfica y de los 2 segmentos dirigidos dados

A

C

B

C D

Construyo SCD (del cuadrilátero ABCD); a continuación y partiendo del mismo ➞ ➞ SAB cuadrilátero original, construyo su imagen a través de SAB ➞ . ➞ SCD ¿Qué conclusión puedo sacar? Una operación se dice conmutativa si al operar 2 elementos cualesquiera con orden diferente el estado o resultado final es el mismo. Para el caso, la composición de traslaciones es conmutativa, es decir = SAB SCD ➞ S ➞. ➞ S➞ AB CD

EVALUEMOS LO APRENDIDO ACTIVIDAD 9. Individual 1. Desarrollar la actividad 1 de la introducción pero con las siguientes figuras: a) Un triángulo cualquiera. b) Un cuadrilátero cualquiera (Ojalá unos estudiantes con uno convexo y otros con uno no convexo). 130

3. Selecciono de mi alrededor 3 movimientos diferentes y los analizo desde sus diferencias hasta sus similitudes. 4. A partir de la siguiente baldosa, selecciono la paloma del centro y describo qué movimientos debe ella hacer para ocupar las otras posiciones.

5. Repito la actividad 4 con las siguientes figuras y segmentos dirigidos. M

A

O

N

B

➞

➞ sabiendo que AB es 6. ¿Cuál es la imagen de una recta Γ a través de una traslación SAB paralelo a la recta Γ?

131

MATEMÁTICAS 8º

2. Elaboro mi figura, tan artística como quiera, para embaldosar con ella el plano. Muestro una hoja de papel embaldosada con mi figura.

POSTPRIMARIA RURAL

7. Dada la siguiente figura, hallo el segmento dirigido resultante de la composición de las 2 traslaciones determinados por AB y CD.

B

A

A

B C

C

D

Sugerencia. Considero el punto A y su imagen después de aplicarle las 2 traslaciones. Con A y su imagen construyo un segmento dirigido. 8. ¿Cuál es la inversa de la compuesta SAB SCD ? Nota. Tengo en cuenta el ejercicio anterior. No olvido que las cosas se deshacen como se hacen. ➞

➞

9. Considero los segmentos dirigidos AB y CD que tienen la misma longitud, ➞ = S➞ ? dirección y el mismo sentido. ¿Será que SAB CD ➞

➞

Sugerencia. Pinte los 2 segmentos dirigidos AB y CD, un ∆XYZ cualquiera y halla: ➞ ➞ (∆XYZ) y SCD (∆XYZ). SAB

132

CAPÍTULO 2 ○

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MATEMÁTICAS 8º

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ROTANDO, ROTANDO ○

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ENTÉRATE Hasta este momento se sabe que la medida de un ángulo en un número entre 0 y 180. Pero hay situaciones en las cuales es necesario ampliar esta medida a números negativos. Así cuando se mira hacia el oriente inicialmente y posteriormente hacia el sur se ha descrito un ángulo cuya medida es de 90º; pero si a cambio de mirar hacia el sur se mira hacia el norte, también se describe un ángulo de 90º; sin embargo, el estado final es diferente: una cosa es quedar mirando hacia el sur y otra muy distinta quedar mirando hacia el norte. Ver gráfica 1. También cuando se abre totalmente una puerta es diferente cuando se cierra esa misma puerta totalmente. Luego para resolver este problema los matemáticos introdujeran los “ángulos orientados con sus medidas positivas y negativas”.

Gráfica 1.

133

POSTPRIMARIA RURAL

Un “ángulo dirigido” es un ángulo cuyos lados son, uno, el lado inicial y el otro es el lado final. Observa que en este caso hay un movimiento, barrido o desplazamiento de un lado mientras el otro permanece quieto. Si este desplazamiento se hace en el sentido contrario a las agujas del reloj, la medida del ángulo es positiva y si el desplazamiento es en el sentido de las agujas del reloj, la medida del ángulo es negativa. Esta forma de seleccionar las medidas es convencional.

Contesto las siguientes preguntas: •

¿Ubico una puerta de la escuela, cuánto mide el ángulo cuando la abrimos?

•

¿Cuánto mide el ángulo descrito por la rotación de nuestro cuerpo en un cuarto de vuelta a la izquierda? ¿A la derecha?

•

Tanteo la medidas de los siguientes ángulos dirigidos y luego efectúo movimientos con mi propio cuerpo que correspondan a estos ángulos.

134

Individual

En una hoja en blanco pinto un ∆ABC cualquiera y selecciono un punto O como se muestra en la siguiente gráfica. A

B

C

0-

➞

➞

➞

Ahora teniendo como lados iniciales OC, OB y OA construyo ángulos, ∠COC’, ∠ BOB’ y ∠AOA’ cuyas medidas sean 54º, con OC = OC’, OB = OB’ y OA = OA’. (Me ayudo con el transportador y una regla graduada). Así obtendré el ∆A’B’C’ ¿Cómo son los triángulos ABC y A’B’C’? El ∆A’B’C’ se pueden considerar como la imagen del ∆ABC a través de la rotación con centro en O y ángulo de 54°.

Repito la misma actividad con la siguiente figura: El punto O, centro de la rotación es el punto B y el ángulo de rotación es de 180º. B A

D C

Ahora tomo un cuadrado cualquiera y describo los elementos de la rotación (ángulo y centro de la rotación), la cual hace que la imagen del cuadrado sea el mismo cuadrado. Concluyo con mis compañeros acerca de cuál o cuáles rotaciones hacen este trabajo. 135

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 1.

POSTPRIMARIA RURAL

Por último, tomo un punto O del plano y un número ∝ entre -180 y 180; y pienso en rotar todos los puntos del plano teniendo en cuenta el punto y el número relacionado. Así se obtiene la imagen del plano a través de una transformación llamada Rotación con centro en O y ángulo α.

Una rotación con centro en el punto O y ángulo α, donde -180 < α ≤180, es una transformación, representada por Ro, α, tal que para cualquier punto P ≠ 0, le asocia un único punto P* tal que OP = O P* y m ∠ PO P*= α. Además, la imagen de O es el mismo O.

EJERCITÉMONOS ACTIVIDAD 1.

Individual

Pinto ángulos cuyas medidas sean 35º, -80º, 120º, -135º, 135º.

ACTIVIDAD 2.

Individual

Cuando se hable de medida de ángulos dirigidos, se considera que un ángulo cuya medida es de 180º “es lo mismo que” un ángulo cuya medida, es de -180. Discute con los compañeros este caso para buscar justificación a este hecho.

ACTIVIDAD 3. Individual En mi cuaderno pinto un cuadrilátero como alguno de los sombreados de la gráfica 2. Efectúo rotaciones de 180° de este cuadrilátero alrededor de los puntos A, B y C, que 136

MATEMÁTICAS 8º

son puntos medios de los respectivos lados. Ahora efectúo este mismo proceso a partir de uno de los cuadriláteros pintados a trazos. ¿Qué puedo concluir?

Gráfica 2.

ACTIVIDAD 4. Individual

1. En una hoja en blanco, pinto una recta l y un punto O como se indica en la gráfica.

·

O

Ahora hallo RO,90 (/). Qué clase de figura es ésta? ¿Qué relación tiene con la recta /?

137

POSTPRIMARIA RURAL

ACTIVIDAD 5. Individual

Componiendo Rotaciones ○

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En el cuaderno pinto la siguiente figura: A

B

C

D

O• Y a continuación, efectúo Ro, 60 de el rectángulo ABCD, así obtendré el rectángulo A’B’C’D’. Luego en el mismo gráfico hallo la imagen del rectángulo A’B’C’D’ a través de Ro, 45. Continuando en el mismo gráfico hallo Ro, 105 ( ABCD). Analizando la actividad, ¿Qué puedo concluir? ABCD). ¿Qué rotación Ahora, pinto de nuevo la figura original y hallo Ro, 45 ( debo efectuar para que me “devuelva” el rectángulo a su posición inicial? Repito este ABCD). ejercicio partiendo de Ro, 30 (

RESUMAMOS Al componer 2 rotaciones alrededor de un mismo punto, el resultado es una rotación alrededor del mismo punto y su ángulo es la suma de los 2 ángulos originales. Por otro lado, la inversa de una rotación es a su vez otra rotación con centro en el mismo punto y ángulo el inverso aditivo del original. 138

MATEMÁTICAS 8º

Pero, ¿Qué sucede si al componer dos rotaciones el ángulo suma mide un número mayor de 180 o menor de -180º? Resuelvo el primer ejercicio que está a continuación y obtendré la respuesta.

ACTIVIDAD 6. Individual

EJERCICIOS:

1. Construcción de un rotante. Un rotante es un instrumento que se puede construir en casa y tiene la siguiente forma: Orificio Alambre duro 10 cms Plataforma para fijar figuras

Consta, además, de un alambre o varilla delgada de 10 cm. de largo en uno de cuyos extremos le hacemos un orificio que nos sirve de pivote o centro de rotación y en el otro extremo una pequeña plataforma fija de lámina de 1 cm2 de área en donde se pegan o fijan figuras geométricas. El rotante nos sirve para observar qué pasa cuando rotamos una figura. Por ejemplo: Pego en la plataforma de mi rotante una figura pequeña (un animal, una cosa, un carrito, etcétera), con una aguja, puntilla o espina fijo el orificio (el marcado en A de la figura). Ahora roto la figura 110º y observo qué no cambió de la figura. A 139

POSTPRIMARIA RURAL

continuación y, a partir de esta nueva posición, roto la figura 130º y dibujo en el papel la imagen final. En seguida coloco el rotante en su posición inicial y roto -120º. ¿Qué puedo concluir? Repito el mismo proceso con -140º, -160º y 60º. ¿Qué puedo concluir? ¿Cómo hacemos para hallar al ángulo de rotación al componer 2 rotaciones si al sumar los ángulos el resultado es mayor de 180º o menor de -180º? (Recuerdo que el ángulo de una rotación varía entre -180 y 180º). 2. Utilizando el rotante y las siguientes rotaciones RA, 0 ; RA, 90 ; RA, -90 y RA,180 completo la siguiente tabla en mi cuaderno. Nota. La transformación idéntica se puede considerar como una rotación de ángulo 0º.

o

RA, 0

RA, 90

RA, -90

RA,180

RA, 0 RA, 90 RA, -90 RA,180

RA, -90 RA, 90 RA, 90

Ahora respondo: a) ¿Es RA, 90º RA, 180 = RA, 180 RA, 90? ¿Será que la composición de rotaciones alrededor de un mismo punto es conmutativa? b) ¿Cuál es el elemento neutro de la operación º?

140

d) ¿Cuál es el inverso d RA,90? 3.

Repito el ejercicio anterior pero usando mi cuerpo. Para esto reemplazo RA,0; RA, 90 ; RA, -90 ; RA, 180 por no moverse, un cuarto de vuelta a la izquierda, un cuarto de vuelta a la derecha y media vuelta respectivamente. (No olvido fijar una posición inicial la cual corresponde a NO MOVERSE).

4.

Dada la siguiente gráfica, pinto RB,-30 RA,45 (∆ XYZ)

A·

B· Z Y

X

141

MATEMÁTICAS 8º

c) ¿Cuál es el inverso de RA,180?

CAPÍTULO 3 POSTPRIMARIA RURAL

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REFLEJANDO EL MUNDO ○

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INTRODUCCIÓN Al observar la figura anterior nos viene a la mente la curiosidad que experimentan algunos animales, entre ellos el hombre, cuando por primera vez “se ven” en un espejo, o reflejados en el agua o en alguna otra superficie que haga el oficio de reflejar.

Así, podemos considerar esta imagen reflejada como la imagen de un objeto a través de una transformación geométrica.

Dentro de las transformaciones geométricas hay una que sobresale por una sencillez y abundancia en la naturaleza: la Reflexión Lineal, que como su nombre lo indica es reflejar sobre una recta así:

142

MATEMÁTICAS 8º La recta l se llama el eje de la reflexión y la transformación se nota como Ml. Así tenemos que P* = Ml(P) en donde l es el bisector perpendicular (mediatriz) de PP*. ¿Cuál será la imagen de un punto que pertenece a la recta l? ¿Qué será Ml(l)?

ACTIVIDAD 1. Individual En el cuaderno pinto un ∆ABC y una recta l. Ahora tomo una recta l’ ≠ l y hallo Ml(l’), es decir, hallo la imagen de l’ a través de la reflexión lineal Ml. ¿Que puedo decir de Ml(l’)? Ahora, el gráfico Ml(∆ABC) ¿Qué tipo de figura es? ¿Qué relación tiene con el ∆ABC? ¿Qué se puede decir de la imagen de un ángulo a través de una reflexión lineal? A continuación, pinto un segmento cualquiera XY, hallo XY con regla. Ahora, grafico Ml(XY) y después hallo Ml(X)Ml(Y), ¿Qué puedo concluir? ¿Cuál es la inversa de Ml? Me ayudo con gráficos.

143

POSTPRIMARIA RURAL

EJERCICIOS: 1. En el cuaderno pinto la siguiente figura y le hallo las imágenes a través de Ml. A partir de esta actividad, ¿Cuál es la inversa de Ml?

2. Relaciono el concepto de simetría con el concepto de reflexión lineal. 3. Dado un círculo cualquiera, ¿Cuántas reflexiones lineales diferentes envía el círculo en sí mismo? 4. Sea A y B 2 casas y l un río, como en la gráfica. A. B. Río

¿En qué punto del río debemos colocar la motobomba para que el costo de la manguera que lleva el agua, en forma independiente, a las casa sea mínimo? Me convenzo primero y luego a mis compañeros que mi punto es el buscado. 144

CAPÍTULO 4 ○

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MATEMÁTICAS 8º

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TRASLACIONES Y ROTACIONES COMO REFLEXIONES LINEALES ○

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ACTIVIDAD 1. Individual En el cuaderno pinto 2 rectas paralelas l y l* separadas 3 cm y un ∆ ABC como se indica en la siguiente figura.

Ahora usando la regla, con medidas lo más exactas posibles, pinto Ml(∆ ABC); el cual como ya sabemos es un nuevo triángulo designándolo como ∆ A’B’C’. Continuando el proceso gráfico Ml* ∆( A’B’C’) designándolo como ∆A* B* C*. Contesto: Qué relación existe entre el ∆ ABC y el ∆ A* B* C*? Describo qué transformación lleva el ∆ A B C al ∆ A* B* C*? ¿Existe alguna relación entre esta última transformación y las reflexiones Ml y Ml* ? 145

POSTPRIMARIA RURAL

➝ ➝

➝

A partir de mi gráfica, construyo AA* BB* y CC*; ¿Cómo son estos segmentos dirigidos? ➝ ➝ ➝ ➝ Considero XY donde X ∈ l, y Y ∈ l* y XY ⊥ l. ¿Qué relación existe entre AA* y XY ? Usando la misma gráfica, pinto otras 2 rectas j y j* paralelas a l, ubicadas de izquierda a derecha y separadas 3 cm. Repito el proceso anterior hasta obtener Mj* Mj (∆ A B C). ¿Qué descubrí?

ACTIVIDAD 2. Individual

En mi cuaderno pinto el rectángulo ABCD, y un segmento dirigido XY como se indica.

Hallo S➝ (ABCD), es decir traslado el rectángulo en la dirección, sentido y magnitud ➝ XY de XY. ➝

Ahora pinto 2 rectas l y l* perpendiculares a XY y tal que X ∈ l y l* pase por el punto ➝ medio de XY. A continuación y como en la actividad 1, gráfico Ml(ABCD) y pinto luego Ml* (Ml(ABCD)). ¿Qué relación existe entre la traslación Sxy ➝ y la transformación Ml Ml?

146

La acción resultante de una traslación es la misma que la resultante de la composición de 2 reflexiones lineales donde los ejes de las reflexiones son rectas perpendiculares al segmento dirigido de la traslación y separados una distancia igual a la mitad de la longitud del segmento de la traslación y con un orden determinado, es decir, no arbitrario. Recíprocamente la composición de 2 reflexiones lineales, cuando sus ejes de reflexión son rectas paralelas, es una traslación.

ACTIVIDAD 3. En grupos En las actividades anteriores se trabajó la composición de 2 reflexiones lineales cuando los ejes de reflexión eran rectas paralelas. Ahora vamos a replicar las mismas actividades pero considerando que las rectas se interceptan en un punto A. Además, vamos a tener en cuenta que el ángulo de una recta a otra corresponde a un ángulo agudo con un sentido determinado así:

El ángulo de S a r corresponde al ángulo agudo CAB y su medida es positiva; en cambio la medida de r a s es negativa.

147

MATEMÁTICAS 8º

RESUMAMOS

POSTPRIMARIA RURAL

Con ayuda del transportador y teniendo en cuenta lo anterior, hallo las medidas de los ángulos de v a t y de t a v. En mi cuaderno, dado un punto A, gráfico 2 rectas r y v que se interceptan en A y que la medida del ángulo de r a v sea de -60º. Ahora sobre la misma gráfica construyo otro par de rectas s y t que cumplan con la condición inmediatamente anterior. Ahora en el cuaderno vamos a replicar la actividad 1 con la siguiente gráfica: medida del ángulo de l a l* = +35º.

Grafico Ml*Ml (∆ABC) y al igual que en la actividad 1 lo denomino ∆ A*B*C*. Respondo. ¿Es OA = OA* ? ¿OB = OB* ? ¿BC = B* C* ? ¿Existe alguna relación entre la medida del ángulo de l a l* y la medida del ángulo AOA* ? En caso afirmativo, la enuncio. Describo la transformación que envía el ∆ABC al ∆A*B*C*. Ahora en la misma gráfica pinto otro par de rectas j y j* en forma tal que se intercepten en O y la medida del ángulo de j a j* sea de +35. Hallo gráficamente Mj * Mj (∆ABC). ¿Qué descubrí? 148

En grupos

En el cuaderno o en una hoja en blanco vamos a replicar la actividad 2. Para esto tomamos un punto O, un rectángulo ABCD. Hallamos gráficamente la imagen del rectángulo ABCD a través de la rotación con centro en O y medida del ángulo de rotación de -130º. Ahora pintamos 2 rectas r y r* que se interceptan en O y cuya medida del ángulo de r ABCD). ¿Qué descubrimos? a r* sea de -65º y halle Mr*Mr (

RESUMAMOS La composición de 2 reflexiones lineales sobre rectas que se interceptan es una rotación. Recíprocamente el efecto que produce una rotación sobre una figura es el mismo que produce la composición de 2 reflexiones lineales sobre rectas que se cortan en el centro de la rotación y la medida del ángulo de una recta a la otra es igual a la mitad de la medida del ángulo de rotación.

ACTIVIDAD 5.

Individual

En el cuaderno y a partir de la siguiente gráfica:

149

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 4.

POSTPRIMARIA RURAL

➝. ¿Qué relación existe entre la bandera Hallo la imagen de la bandera a través de Ml SAB y su imagen? ➝ Ml. ¿Qué puedo concluir? Ahora hago lo mismo pero a través de SAB

Describo con mis palabras qué debo hacer para devolver la imagen al sitio inicial de la bandera.

ENTÉRATE

Además de las traslaciones, las rotaciones y la reflexiones lineales, existe un tipo especial de transformación geométrica llamada reflexión trasladada o reflexión en deslizamiento y es la producida por una traslación seguida de una reflexión lineal con la condición de que el segmento dirigido de la traslación sea paralelo al eje de la reflexión como en la actividad inmediatamente anterior.

150

CAPÍTULO 5 ○

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MATEMÁTICAS 8º

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ISOMETRÍAS ○

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ACTIVIDAD 1. Individual En el cuaderno pinto un segmento AB. Mido este segmento, es decir, encuentro AB. Hallo la imagen de este segmento a través de una traslación, una rotación, una reflexión lineal y una reflexión trasladada con los elementos arbitrarios que yo quiera. Ahora mido cada una de las imágenes de AB a través de las transformaciones pedidas. ¿Qué tienen de común éstas imágenes? Comento con mis vecinos. ¿Qué podemos concluir?

ENTÉRATE

Si una transformación geométrica preserva distancias, como en la actividad 1, entonces se dice que esta transformación es una ISOMETRÍA; es decir, una transformación T del plano sobre el plano es una ISOMETRÍA si para cualquier par de puntos X, Y del plano la distancia que hay entre X y Y es la misma que hay entre sus imágenes, T(X) y T(Y); más brevemente XY = T(X)T(Y). Como conclusión de la definición de isometría se encuentra que la imagen de un triángulo a través de una isometría es un triángulo congruente con el primero (recuerda LLL), y de esta congruencia de triángulos se puede inferir que las isometrías preservan medida de ángulos, perpendicularidad y paralelismo.

151

POSTPRIMARIA RURAL

Finalmente podemos definir que 2 figuras ϕ y ϕ* son congruentes si existe una isometría en forma tal que la imagen de ϕ a través de dicha isometría es ϕ*. 152

MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 2. Apliquemos lo aprendido 1. En mi cuaderno o en una hoja en blanco y a partir de la siguiente figura, hallo Ml* Ml(k) y Ml Ml* (k) donde l l*.

Respondo: ¿Qué tipo de transformaciones son Ml*Ml y Ml Ml*? ¿Existe algún tipo de relación entre ellos? 153

POSTPRIMARIA RURAL

2. El siguiente ejercicio es para resolverlo por grupos. ➝ , ¿Cuántos pares diferentes de rectas l y l* satisfacen S➝AB = Dada una traslación SAB Ml Ml*?

➝

Sugerencia: Tomemos un segmento dirigido AB y cada estudiante relaciona el par ➝ de rectas pedidas (AB es el mismo para todos). 3. Con la información dada en la figura, ¿Cuánto mide el ángulo de u a v? ¿Cuánto de v a u?

4. A partir de la siguiente gráfica, describamos las transformaciones que envían AB en CD. Similarmente los que envían y MN en OP.

154

MATEMÁTICAS 8º

5. ¿Qué transformación se obtiene al componer una reflexión trasladada consigo mismo? 6. Consideremos el cuadro ABCD. A

B

D

C

Hallemos todas las isometrías que cumplan que la imagen del cuadrado a través de cada una de ellas es el mismo cuadrado. A manera de ejemplo si t es la recta que pasa ABCD, es decir la por los puntos medios de AD y BC, entonces Mt ( ABCD) = imagen del cuadrado es el mismo cuadrado. Pero observemos que la imagen de cada punto del cuadrado es un punto diferente excepto los puntos por donde pasa t. 7. En forma gráfica mostremos que la composición RA, φ Ml es una reflexión lineal siempre que A ∈ l.

I

Sugerencia: No olvidar que una rotación es la composición de 2 reflexiones lineales y que una reflexión lineal compuesta consigo

A

misma de la transformación idéntica.

155

CAPÍTULO 6 POSTPRIMARIA RURAL

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HOMOTECIAS ○

ACTIVIDAD 1.

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Individual

En el cuaderno pinto un ∆ABC y un punto O fuera del triángulo. Sobre los rayos ➝ ➝ ➝ ➝ ➝ OA, OB, y OC ubico puntos A’, B’ y C’ respectivamente tal que OA’ = 2OA, ➝ ➝ ➝ ➝ OB’ = 2OB y OC’ = 2OC. Contesto, ¿Son los puntos A’, B’ y C’ no colineales? Ahora considero el ∆A’B’C’ y respondo: ¿Qué relaciones geométricas puedo establecer entre AC y A’C’? ¿Cómo es la medida de los ángulos del ∆ABC y del ∆A’B’C’? Utilizo una regla graduada para hallar la razón entre los perímetros de los triángulos ABC y A’B’C’. ¿Será que la razón entre AC y A´C´ es la misma que la de los perímetros? Argumento mi respuesta. Finalmente, ¿Qué podemos decir de la “forma” de estos 2 triángulos? ¿Será que (ABC ∼(A’B’C’? Justifico.

RESUMAMOS

En la actividad anterior podemos considerar el ∆A’B’C’ como la imagen del ∆ABC a través de una transformación geométrica llamada una “homotecia” con centro en O y factor escalar (conversión) igual a 2. Dicha transformaciones se nota como HO,2.

156

MATEMÁTICAS 8º

En general, si r ( R, r > 0 y 0 es un punto; entonces la homotecia con centro en 0 y factor escalar 0 de conversión r, notada como HO, r se define como HO, r (0) = 0 y si P ( 0, HO, r (P) = P’ dando P’ ( OP y OP’ = rOP.

En general, si r ∈R, r > 0 y 0 es un punto; entonces la homotecia con centro en 0 y factor escalar 0 de conversión r, notada como Ho, r se define como HO, r (0) = 0 y si P ≠ 0, HO, r (P) = P’ dando P’ ∈ OP y OP’ = rOP.

ACTIVIDAD 2. En grupo

Componiendo Homotecias ○

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En una hoja en blanco toma un punto 0, 3 como factor escalar y un ∆ABC. Hallamos HO, 3 (∆ABC) y así obtenemos el ∆A’B’C’; a continuación graficamos HO, 2 (∆A’B’C’) y obtenemos el ∆A*B*C* ¿Será que el ∆A*B*C* es la imagen del ∆ABC a través de una homotecia? Si la respuesta es afirmativa, ¿Cuál seria su centro y su factor escalar? ¿Qué relación existe entre el factor escalar final y los 2 factores escalares componentes? 157

POSTPRIMARIA RURAL

RESUMAMOS La composición de 2 homotecias con centro en el mismo punto es de nuevo una homotecia con centro en el mismo punto y factor escalar igual al producto de los 2 factores escalares dados, es decir:

HA,r HA,s = HA, rs

ACTIVIDAD 3.

En grupo

Tomamos una hoja en blanco y graficamos, de la manera más exacta posible una figura geométrica y su imagen a través de una homotecia con el centro y factor escalar que queramos. Ahora le pedimos a un compañero que encuentre los elementos de la homotecia (centro y factor escalar), que envía nuestra figura imagen a la primera figura. Una vez terminado el ejercicio, cambiamos de rol con otro compañero y replicamos la actividad. Finalmente sacamos una conclusión acerca de la inversa de una homotecia. También establecemos una asociación entre las palabras agrandar y achicar con los números que representan los factores escalares en las homotecias. ¿Qué sucede cuando el factor escalar es 1?

158

Individual MATEMÁTICAS 8º

ACTIVIDAD 4.

Reducciones y Ampliaciones ○

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Suponiendo que en el vecindario de la escuela no hay fotocopiado con servicios de ampliación y reducción, y que debo reducir un mapa de América del Sur al 56% de su tamaño original y que, por otro lado, es necesario ampliarlo 3 veces. ¿Cómo utilizaría las homotecias para pintar los mapas solicitados? Consulto en la biblioteca qué es un pantógrafo y para qué sirve. Por último averiguo qué es una escala. Dialogo con el profesor de sociales sobre este tema.

159

POSTPRIMARIA RURAL

EJERCITÉMONOS 1.

En una hoja en blanco pinto el rectángulo ABCD, tomo un punto O, hallo ABCD) y busca las razones de sus lados, perímetro y arcos respectivos. H0,3 ( Relacione estas razones.

2.

Gráficamente justifico las siguientes afirmaciones. a) La imagen de una recta a través de una homotecia es una recta y, además, paralela a la primera. b) La medida de un ángulo se preserva bajo una homotecia. AB A'B'  c) La razón de distancias se preserva bajo una homotecia  . =  CD C'D' 

d) La transformación idéntica se puede considerar como una homotecia con factor escalar igual a 1. 3.

Hallo el centro de la homotecia que envía a A en A’ y a B en B’.

A’

. B’

.

A

160

. B

.

A partir de la siguiente gráfica hallo H A, 2 (H A, B

1

(∆ABC)).

2

MATEMÁTICAS 8º

4.

A

C 5.

En el cuaderno de clase diseño y construyo una situación en donde haya homotecia.

6.

La siguiente gráfica muestra la acción de una homotecia sobre AB con centro en O y factor escalar desconocido. Hallo el factor escalar.

7.

A partir de la siguiente gráfica y en el cuaderno gráfico:

H B, 3 (H A,

A

1 2

(∆MNO)).

N

. M

.

B

O Comparo este último triángulo obtenido con el ∆MNO. 161

D

U

5

N

I DA

D

LÓGICA: CUANTIFICADORES

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

ACTIVIDAD 1. Leo con cuidado y atención

Hasta ahora se han estudiado enunciados clasificados como proposiciones, o como oraciones abiertas. Estas últimas pueden ser verdaderas o falsas dependiendo de las sustituciones que se hagan para las variables; para aplicarles los elementos lógicos debemos restringir o cuantificar la variable diciendo que el enunciado es verdadero (o falso) para todos o algunos de sus valores posibles, o sea, cuantificar para qué elementos el enunciado es verdadero (o falso). Por ejemplo, hablando de números, el enunciado x2 ≥ 0 es válido para todos los números reales; es decir, es verdadero para cualquier x donde x es un número real, en cambio la expresión 2x + 3 = 1 es válida o verdadera para un único valor de x, y la oración 3x2 - x = 0 es verdadera para dos valores de x. ¿Cuáles son? Así, para cuantificar la variable en el primer caso se usan las expresiones para todo, todo, para cada, o cada; y se llama cuantificador universal y se simboliza por ∀ , así x2 ≥ 0, ∀ x ∈ R.

163

MATEMÁTICAS 8º

DA

•

•

U

NI

POSTPRIMARIA RURAL

Si por otro lado, como en el segundo y tercer caso, sólo algunos elementos de un conjunto universal cumplen o satisfacen la oración, para cuantificar la variable usamos las expresiones; existe, alguno (que puede ser uno o varios), existe por los menos uno y se llama cuantificador existencial y se simboliza por ∃, así ∃ x ∈ R tal que 3x2- x= 0. Finalmente si no existe un elemento de un conjunto universal que satisfaga una oración abierta, entonces se usa la palabra “ningún”, así ningún triángulo puede tener 2 ángulos rectos.

ACTIVIDAD 2.

En grupo

Negando proposiciones cuantificadas. Supongamos que en un curso de 30 alumnos sólo hay una mujer. Un visitante se para en la puerta y dice: “en este curso todos son hombres”. Elaboremos por grupos una argumentación para refutar esta afirmación; es decir, decimos al visitante: lo que acaba de decir es falso porque... Un rato más tarde, aparece otra persona en la puerta del salón de clase y dice: “En este curso algunos estudiantes son indeseables”; como sabemos que esto no es cierto, también por grupos elaboramos argumentos escritos para justificar por qué esta persona está mintiendo. Con un escrito similar refutamos al profesor que en buen día dijo: “En este curso ningún estudiante tiene su edad comprendida entre 10 y 15 años”. Finalmente y con la ayuda del profesor, constatamos que a pesar de que 2 argumentos o proposiciones posean estructura lingüística diferente, ellos pueden tener el mismo significado, por lo tanto, en lógica, lo que interesa es el significado.

164

Ejemplo: las 2 proposiciones siguientes tienen el mismo significado: MATEMÁTICAS 8º

a) Juan ama a san José de Pare. b) San José de Pare es amado por Juan.

CONCLUYAMOS

Lógicamente hablando la negación de una proposición verdadera es una proposición falsa y la de una proposición falsa es una proposición verdadera. Así para negar una proposición cuantificada universalmente se usa el cuantificador existencial; estos elementos no deben cumplir la condición, es decir la negación de ∀ x, x satisfaciendo una condición, es ∃x tal que ese (esos) x no satisfacen la condición.

Similarmente la negación de ∃x, x satisfaciendo una condición es ∀ x, x no satisface la condición.

Ejemplos: la negación de la proposición: “Todos los árboles dan flores, es: existen árboles que no dan flores”. La negación de la proposición: “Algunos gatos son pardos, es: ningún gato es pardo, o, cualquier gato no es pardo.

ACTIVIDAD 3.

En grupo, neguemos proposiciones

Para esta actividad es importante la participación activa de todos y cada uno de los estudiantes. Recordemos que el significado de las proposiciones es el elemento más importante a tener en cuenta. 165

POSTPRIMARIA RURAL

Dadas las siguientes proposiciones elaboramos, por escrito las negaciones de cada una de ellas y analizamos sus valores de verdad. a) Todas las vacas son buenas lecheras.

e) Algunos números son a la vez múltiplos de 7 y divisibles por 15.

b) Ningún estudiante de este curso tiene más de 30 años.

f ) Dada una recta y un punto exterior a la recta, existe una “única” recta que pasa por el punto y es paralela a la recta dada.

c) Todos los números primos son impares. d) Cualquier relación es función. e) Todos los cuadrados son rectángulos.

(Esta proposición tiene nombre: “Quinto postulado de Euclides” o “postulado de las paralelas” y es verdadero en la geometría Euclidiana).

EJERCITÉMONOS 1.

Determinar los valores de verdad de las proposiciones siguientes: a) ∀ x ∈ R, x + 3x = 4x. b) ∀ x ∈ R, x - 7 = 10. c) ∃ x ∈ R, tal que 2x - 5 = 8. d) ∃ x ∈ N, tal que 3 < x < 4.

e)

166

∀ x ≠ 0 ∈ R,

X2 + 1 .>0 x2

2.

Negar cada una de las siguientes proposiciones.

MATEMÁTICAS 8º

a) Todos los perros tienen pulgas. b) Existe una mata de plátano que da naranjas. c) Algunos animales son salvajes. d) Todos los triángulos son isósceles. 3.

Reunidos en grupos, negamos la siguiente proposición “si la vaca da un ternero entonces te lo regalo”. Sugerencia. Considero que esta proposición es verdadera cuando se cumple el compromiso; cuando le dicen a la persona que te prometió el regalo “no seas falso”. Así obtendrás la negación pedida.

4.

Negar las siguientes proposiciones: a) Te compro un helado y te llevo al circo (recuerda que si te comprometes a hacer dos cosas, con sólo una que falle, pierdes). b) Mañana me levanto tarde o tomo el desayuno en la cama. (Recuerdo que este O es inclusivo, es decir que pueden suceder los dos hechos). c) A partir de a) y b) trato de sacar las conclusiones: ∼(p ∧ q) es ∼p ∨ ∼q y ∼(p ∨ q) es ∼p ∧ ∼q.

5.

Escribo cada una de las oraciones abiertas siguientes como una proposición verdadera cumpliendo el cuantificador más general. a) 5x + 7 = 13.

d) xy = yx.

b) 3y < 10.

e) a (b+c) = ab + ac.

c) 5x + 1 = 5x.

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