Matematicas 5 Ecuaciones_Diferenciales

Subido por:

Libros de Ingeniería Química y más

https://www.facebook.com/pages/InterfaseIQ/146073555478947?ref=bookmarks

Si te gusta este libro y tienes la posibilidad, cómpralo para apoyar al autor.

Matemáticas 5 Ecuaciones diferenciales

Matemáticas 5 Ecuaciones diferenciales Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca

Revisión técnica Tomás Narciso Ocampo Paz Instituto Tecnológico de Toluca Santiago Millán Solares Instituto Tecnológico de Toluca

MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SAO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO

Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Editor sponsor: Pablo E. Roig Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Editora de desarrollo: Ana Laura Delgado Supervisor de producción: Zeferino García Asesor técnico de enfoque por competencias: Luis Miguel Trejo

MATEMÁTICAS 5. ECUACIONES DIFERENCIALES

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2013 respecto a la primera edición por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN: 978-607-15-0962-8

1234567890

2456789013

Impreso en México

Printed in Mexico

Para Palo y Crispa

Para la mujer más importante de mi vida, por haber utilizado coordenadas polares para tatuar en mi alma la gráfica de la función f (x) = 1 − sen x desde que fuimos niños. Gracias por haber aceptado compartir el resto de tu vida conmigo.

Contenido Prefacio............................................................................................................................

xi

Prólogo ............................................................................................................................. xiv Agradecimientos ............................................................................................................. xvii Evaluación diagnóstica ................................................................................................... xviii

Unidad 1

Ecuaciones diferenciales de primer orden ...................................

1

1.1 Introducción ...............................................................................................................

2 Definiciones generales ................................................................................................. 2 Tipo de una ecuación diferencial................................................................................. 3 Orden de una ecuación diferencial .............................................................................. 5 Linealidad de una ecuación diferencial ordinaria........................................................ 5 Grado de una ecuación diferencial .............................................................................. 6 Solución de una ecuación diferencial .......................................................................... 7 Problema del valor inicial y el teorema de existencia y unicidad................................. 14 Desarrollo de competencias ................................................................................... 17 Competencia final ................................................................................................. 19

1.2 Ecuaciones diferenciales separables ....................................................................... 19 Ecuaciones que se reducen a ecuaciones separables .................................................... Caso 1 ......................................................................................................................... Caso 2 ......................................................................................................................... Caso 3 ......................................................................................................................... Caso 4 ......................................................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

26 28 28 28 28 29 31

1.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas .................................................................... 31 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 39 Competencia final ........................................................................................................ 41

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas ............................................................................ 41 Caso especial 1 ............................................................................................................ Caso especial 2 ............................................................................................................ Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

50 50 54 56

1.5 Ecuaciones diferenciales lineales ............................................................................ 56 Caso 1 ......................................................................................................................... Caso 2 ......................................................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

63 63 64 66

1.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli ..................................................................... 66 Caso 1 ......................................................................................................................... Caso 2 ......................................................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

66 67 72 73

VIII

CONTENIDO

Unidad 2

Ecuaciones diferenciales de orden superior................................

75

2.1 Introducción ............................................................................................................... 76 2.2 Teoría preliminar ........................................................................................................ 76 Definición de ecuación diferencial lineal de orden n ................................................... Problema de valor inicial y problema de valores en la frontera .................................. Teorema de existencia y unicidad de la solución de un problema de valor inicial....... Dependencia lineal e independencia lineal .................................................................. El wronskiano ............................................................................................................. El principio de superposición ...................................................................................... Caso 1 ......................................................................................................................... Caso 2 ......................................................................................................................... Conjunto fundamental de soluciones .......................................................................... Solución general de la ecuación diferencial lineal homogénea .................................... Reducción de orden .................................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

76 77 80 81 83 86 86 86 87 88 89 94 96

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ............................. 96 La ecuación característica de una EDL con coeficientes constantes ........................... Caso 1 ......................................................................................................................... Caso 2 ......................................................................................................................... Caso 3 ......................................................................................................................... Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes ........ Caso 1 ......................................................................................................................... Caso 2 ......................................................................................................................... Caso 3 ......................................................................................................................... Caso 4 ......................................................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

97 98 98 99 103 104 104 104 104 106 107

2.4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas ................................................. 108 La solución de una ecuación diferencial lineal no homogénea .................................... El método de los coeficientes indeterminados (principio de superposición) ................ Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

108 109 117 118

2.5 Método de variación de parámetros ......................................................................... 119 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 129 Competencia final ........................................................................................................ 130

Unidad 3

La transformada de Laplace ...............................................................

133

3.1 Introducción ............................................................................................................... 134 3.2 Teoría preliminar ........................................................................................................ 134 Definición de la transformada de Laplace .................................................................. Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace ...................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

135 139 144 145

CONTENIDO

3.3 La transformada de Laplace directa .......................................................................... 145 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 147 Competencia final ........................................................................................................ 148

3.4 La transformada inversa de Laplace ......................................................................... 148 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 153 Competencia final ........................................................................................................ 154

3.5 Teoremas de traslación.............................................................................................. 155 Primer teorema de traslación ...................................................................................... Segundo teorema de traslación ................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

155 160 167 169

3.6 Derivada de una transformada, transformada de una función periódica y convolución ............................................................................................................. 169 Derivada de una transformada ................................................................................... Transformada de una función periódica ..................................................................... La convolución .......................................................................................................... Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

170 173 178 182 183

3.7 Solución de ecuaciones diferenciales e integrales ................................................. 184 Transformada de una derivada ................................................................................... Solución de ecuaciones diferenciales ........................................................................... Solución de ecuaciones integrales................................................................................ Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

184 186 192 194 196

3.8 La función delta de Dirac ........................................................................................... 196 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 199 Competencia final ........................................................................................................ 200

Unidad 4

Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales.......

201

4.1 Introducción ............................................................................................................... 202 4.2 Solución algebraica de un sistema de ecuaciones diferenciales ........................... 202 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 208 Competencia final ........................................................................................................ 210

4.3 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales utilizando la transformada de Laplace ....................................................................................... 211 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 215 Competencia final ........................................................................................................ 216

Unidad 5

Introducción al análisis de Fourier ..................................................

217

5.1 Teoría preliminar ........................................................................................................ 218 Funciones periódicas .................................................................................................. 219

IX

X

CONTENIDO Funciones pares e impares .......................................................................................... Funciones ortogonales ................................................................................................ Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

219 221 225 226

5.2 Series de Fourier ........................................................................................................ 226 La serie de Fourier ...................................................................................................... Condiciones de convergencia de una serie de Fourier ................................................. Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

227 229 238 240

5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo ...................................... 240 Desarrollos en serie de Fourier de funciones pares e impares ..................................... Desarrollos en series de Fourier en cosenos y en senos para funciones definidas en un intervalo [0, L] ............................................................................................... Desarrollo de series de Fourier para funciones definidas en medio rango. ................. Desarrollo de competencias ................................................................................... Competencia final .................................................................................................

240 243 248 256 257

5.4 La serie compleja de Fourier ..................................................................................... 257 Desarrollo de competencias .......................................................................................... 260 Competencia final ........................................................................................................ 261

Soluciones a problemas impares ............................................................................ 263 Índice analítico ..................................................................................................... 277

Prefacio Para el instructor

Filosofía El interés de McGraw-Hill por proporcionar herramientas de calidad para el desarrollo académico se manifiesta en esta obra que, más allá de formar un compendio de conceptos teóricos, teoremas y ejercicios, intenta ser un vínculo entre el estudio de las ecuaciones diferenciales y los principales protagonistas del proceso de enseñanza-aprendizaje: los estudiantes. El enfoque utilizado a pesar de ser formal no deja de ser accesible. Evaluación diagnóstica

Características de esta obra Cálculo diferencial

El material proporcionado en esta obra, complementa la exitosa serie de matemáticas ofrecida por McGraw-Hill para las carreras de ciencias e ingeniería. Comienza con una evaluación escrita para diagnosticar el nivel de conocimientos de los estudiantes antes de iniciar el curso de ecuaciones diferenciales; esta prueba aborda temas de cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo vectorial y álgebra lineal, integrados en 45 problemas fundamentales de las materias mencionadas. Lejos de una calificación numérica, esta prueba tiene la intención de hacer ver a cada estudiante los temas que deberá reforzar antes de adentrarse en el estudio de la materia. Una característica de este libro es que la numeración de los teoremas, definiciones, observaciones y ejercicios resueltos se reinicia en cada sección. De manera que para hacer una referencia a alguno de estos, se menciona el número que le corresponde y la sección donde se encuentra, por ejemplo: se puede referir al teorema 3 de la sección 4.2. De la misma forma, la numeración de las figuras se reinicia en cada sección, por ejemplo, para hacer referencia a la figura 3 de la sección 2, se escribe figura 2.3. Sobresale también la cantidad de ejercicios incluidos en la sección “Desarrollo de competencias” que aparece al final de cada tema, hasta 70 problemas en algunos casos. Además de lo anterior, se proporciona una lista de problemas llamada “Competencia final”, a fin de que, al ser resueltos por el alumno, el docente pueda detectar cuáles competencias se desarrollaron a lo largo del periodo de estudio. Los problemas son variables en nivel de dificultad, desde los muy simples hasta algunos que requerirán el uso de alguna tecnología de información y comunicación (TIC) para su solución, generalmente se requiere el apoyo de un sistema algebraico computarizado (SAC). Otra característica sobresaliente de Matemáticas 5, Ecuaciones diferenciales es que aborda un primer estudio de las ecuaciones diferenciales de manera accesible. De esta forma, el estudio de las ecua-

1. Enunciar la definición de límite de una función. 2. Enunciar la definición de derivada. En los problemas 3 a 7, calcular la derivada de las funciones dadas. 3. f ( x ) = ( x 3 + 2 x 2 + 3x 4. f ( x ) =

) (x 3

2

)

− 3x + 1

2

x 3 + 2 x 2 + 3x

(x

)

− 3x + 1

2

2

1

5. f ( x ) = ¢

x3 + x2 + 2 2 ≤ x 2 − 3x + 1

6. g ( x ) = ( x + 2)x

2

− 2 x +1

7. f ( x ) = cos3x (1 + tan x )( x 2 + 3x − 1) En los problemas 8 y 9, evaluar la derivada implícita de las funciones dadas. 8. 4x 3 y 2 − 5x 2 y 3 + 2 x 2 y 2 = x 2 y − 3xy 2 − 3xy + 2 x − 5 y + 1 2

9. tan xy + 3xe xy = x ln y − y − ln x 10. Graficar la función f ( x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 11. Determinar el área del mayor cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo de radio r.

Teorema 2 Segundo teorema de traslación (2o. TT) Si L

{ f (t )} = F ( s ) y a > 0, entonces

L

{ f (t − a )U

(t − a )} = e − as L

{ f (t )} = e − as F ( s ) .

Demostración Por definición, tenemos L

{ f (t − a )U

(t − a )} =

∫

∞

f (t − a )U (t − a ) e − st dt

0

Separamos en dos integrales a partir del punto t = a

{ f (t − a )U

L

(t − a )} =

∫

a

f (t − a )U (t − a ) e − st dt +

∫

∞

f (t − a )U (t − a ) e − st dt

a

0

Sustituimos el valor de la función escalón unitario en cada intervalo L

{ f (t − a )U

(t − a )} =

∫

a

f (t − a )(0) e − st dt +

∫

∞

f (t − a )(1) e − st dt

a

0

Ahora, evaluamos la integral L

Preliminares.indd XVII

{ f (t − a )U

(t − a )} =

∫

∞

∫

∞

f (t − a ) e − st dt

a

Comunicarse en el lenguaje matemático en forma escrita. Lograr un pensamiento lógico, analítico y sintético. 01/03/13 Argumentar con contundencia y precisión.

14:26

Si elegimos el cambio de variable z = t − a, dz = dt, tenemos L

{ f (t − a )U

(t − a )} =

f ( z ) e − s ( z + a ) dt

0

De manera equivalente, L

{ f (t − a )U

(t − a )} = e − a s

∫

∞

f ( z ) e − s z dt

0

Finalmente, L

4.2

{ f (t − a )U

(t − a )} = e

−a s

Capacidad para generar nuevas ideas. Resolver problemas.

En los ejercicios 1 a 41, resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales dados, ya sea mediante una eliminación sistemática o bien por determinantes (regla de Cramer).

2.

3.

4.

{ f (t )} = e − as F ( s )

Desarrollo de competencias

Unidad 3 (155-169).indd 163

1.

L

dx =y dt dy = 4x dt

9.

01/03/13 17:38

dx = − y + et dt dy =x dt

10. x ′ + 2 x +

2y = 0

5x + y ′ − y = 0

dx =x−y dt dy = −x + 2 y dt

11.

dx = x− y+t dt dy = −x + y dt dx −x− dt − 2x +

8. x ′ − x − 3 y = 0 − 3x + y ′ − y = 0

4y = 1 dy − 3 y = −1 dt

5. x ′ = −4x − 10 y y′ = 2x + 8 y

12.

dx = −3 y + t dt dy = −3x − t dt dx + 2x − dt

5y = 0

− 5x +

dy + 2y = 0 dt

13. x ′ + 6x −

2y = 0

6x + y ′ − 2 y = 0 14. x ′ = 10 x − 5 y − t y ′ = 8x − 12 y

6. x ′ = −2 x − 5 y

Unidad 4.indd 208

01/03/13 17:49

XII

PREFACIO ciones ordinarias de primer orden, las ecuaciones de orden superior, la transformada de Laplace, los sistemas de ecuaciones diferenciales y las series de Fourier contribuyen a desarrollar en el estudiante un pensamiento formal y heurístico que le permitirá modelar situaciones y resolver problemas. Como un complemento y dado que algunos planes de estudio abarcan más allá de las series de Fourier, se proporciona un capítulo dedicado al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales así como su correspondiente lista { } de problemas. Este capítulo lo puede encontrar en el centro de aprendi∫ ∫ zaje en línea de este libro: www.mhhe.com/uni/ ∫ ibarramate5e. ∫ ∫ En las notas al margen se incluyen en todo el ∫ libro algunos comentarios que indican la compe∫ ∫ tencia que se puede desarrollar al estudiar cada ∫ ∫ ∫ ∫ uno de los temas y se hacen observaciones breves ∫ ∫ pero de gran utilidad que ∫ el estudiante no debe pasar por alto. De la misma forma, en cada problema resuelto se dan instrucciones paso a paso que detallan los procedimientos realizados, lo que resulta un apoyo sólido para estudios autodidactas y marca una gran diferencia respecto a otros libros. En cada unidad se incluye una nota biográfica de personajes célebres que han aportado resultados fundamentales al estudio de las ecuaciones diferenciales. Cada unidad inicia con la lista de temas incluidos y se enlistan las competencias específicas que deberán desarrollarse en el correspondiente periodo. Demostrar que el conjunto sen t, sen2t, cos t, cos2t ⊆C [ −π , π ] es ortogonal.

Resolver problemas.

Solución

Para demostrar la ortogonalidad del conjunto de funciones en el intervalo [ −π , π ] es necesario calcular los productos punto entre todas las parejas posibles de funciones. Para simplificar los cálculos aplicamos los resultados mostrados en el teorema 1, es decir π

sen t ⋅ sen2t =

−π

π

cos t ⋅ cos2t = sen t =

−π

cos t =

−π

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria an y ( n ) + an −1 y ( n −1) + $ + a2 y ′′ + a1 y ′ + a0 y = g ( x ) Argumentar con contundencia y precisión.

Si suponemos que y ( n ) = D n y, y ( n −1) = D n −1 y, #, y ″ = D 2 y y y ′ = Dy podemos escribir de manera equivalente an D n y + an −1D n −1 y + $ + a2 D 2 y + a1Dy + a0 y = g ( x ) O bien,

(a D n

n

)

+ an −1D n −1 + $ + a2 D 2 + a1D + a0 y = g ( x ) d

Si consideramos al operador diferencial D = como una variadx ble en el miembro izquierdo de esta última expresión, definimos el polinomio diferencial p( D ) = an D n + an −1D n −1 + $ + a2 D 2 + a1D + a0 De manera que la EDO original se puede expresar como p( D ) y = g ( x ) Observamos que el polinomio diferencial p(D) tiene coeficientes reales y grado n, de manera que por el teorema fundamental del álge-

π

0

cos t cos 2t dt = 0

Del teorema 1 sabemos que

1. Si f (t ) es una función par, entonces a

−a

sen2 2t dt = π

f (t ) dt = 2

cos t dt = π

a

−a

2

a

f (t ) dt

0

2. Si f (t ) es una función impar, entonces

f (t ) dt = 0 .

d

Comunicarse en el lenguaje matemático en forma escrita.

Uso del operador diferencial en una EDO lineal

OBSERVACIÓN 1

sen2t cos2t dt = 0

cos t cos 2t dt = 2

2

π

2

Una primera forma de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales es mediante la eliminación sistemática de alguna de las variables dependientes. Para esto, en la siguiente observación introducimos la notación de los operadores diferenciales, lo cual nos permitirá la manipulación algebraica de un sistema.

π

−π

sen t dt = π

−π

π

π

−π

2

π

sen2t =

Del teorema 1 sabemos que el producto de dos funciones pares es par; el producto de dos funciones impares es par, y el producto de una función par y una función impar es impar.

sen2t cos t dt = 0

−π

sen2t ⋅ cos2t =

sen t sen 2t dt = 0

sen t cos2 t dt = 0

−π

sen2t ⋅ cos t =

π

0

sen t cos t dt = 0

π

sen t ⋅ cos2t =

π

sen t sen2t dt = 2

−π

π

sen t ⋅ cos t =

Lograr un pensamiento lógico, analítico y sintético.

N o ta b io g r á fic a

Paul Maurice Dirac (Bristol, Reino Unido, 1902-Tallahassee, Estados Unidos, 1984) Fue un físico británico, hijo de un profesor de francés de origen suizo. Estudió en la escuela en que impartía clases su padre, donde pronto mostró particular facilidad para las matemáticas. Cursó estudios de ingeniería eléctrica en la Universidad de Bristol, interesándose especialmente por el asiduo empleo de las aproximaciones matemáticas de que hace uso la ingeniería para la resolución de todo tipo de problemas. Sus razonamientos posteriores se basaron en el asierto de que una teoría que intente explicar leyes fundamentales del comportamiento de la naturaleza puede construirse sólidamente sobre la base de aproximaciones sugeridas por la intuición, sin llegar a tener la certeza de cuáles son en realidad los hechos acontecidos, dado que estos pueden llegar a ser de una complejidad tal que difícilmente pueden llegar a ser descritos con exactitud, por lo cual el físico deberá contentarse con un conocimiento tan solo aproximado de la lid d

Ibarra Unidad 5 (217-240).indd 223

01/03/13 18:02

Unidad

2

Para el estudiante

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

De niño escuché muchas veces decir a un personaje de piel azul y ojos saltones estas palabras: “están ustedes a punto de entrar en una nueva dimensión, en un mundo desconociCompetencia específica do…” Muchas décadas después quiero utilizar esas mismas palabras para decirle a los estudiantes de un curso introductorio de ecuacioCompetencias instrumentales nes diferenciales que nos enfrentamos a una de las partes de las matemáticas más puras, Competencias genéricas abstractas y emocionantes. Sin duda, abordar Competencias sistémicas la materia representa todo un reto al intelecto, inclusive, algunos podrían pensar que es complicado. Pero todo lo contrario. Después de haber pasado más de la mitad de mi vida enseñando matemáticas, he convivido con estudiantes jóvenes y no tan jóvenes, con gente con talento innato y con gente que sufre cada concepto, con muchachos ambiciosos y también con conformistas. De todos ellos he aprendido que el trabajo salva cualquier situación. El estudio todo lo resuelve y unas buenas bases ayudan bastante. Las herramientas fundamentales de este curso son el cálculo y el álgebra lineal. Aprendí con Larson, Zill y Grossman que estas materias se cimientan sobre las habilidades y los conocimientos previos de cada estudiante, que se necesita del álgebra básica a la trigonometría, y qué decir 2.1 Introducción

2.4 Ecuaciones diferenciales no homogéneas

2.2 Teoría preliminar

2.5 Método de variación de parámetros

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Unidad 4.indd 203

 Potenciar las habilidades para el uso de nuevas

01/03/13 18:09

tecnologías.

Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial lineal de orden superior que describe algún proceso dinámico (movimiento vibratorio y circuitos eléctricos). Comprender la importancia de la solución de una EDL homogénea en la construcción de la solución general de una no homogénea. Aplicar el método de coeficientes indeterminados y el de variación de parámetros, seleccionando el más adecuado en situaciones específicas.

   

Resolver problemas.

Reconocer conceptos generales e integradores. Argumentar con contundencia y precisión. Optimizar soluciones.

 Capacidad de análisis y síntesis.  Habilidades básicas de manejo de la computadora.  Solución de problemas.

 Representar e interpretar conceptos en forma geométrica y algebraica.

Unidad 2 (75-96).indd 75

01/03/13 18:12

PREFACIO de los cursos de matemáticas que preceden a este. Por los tiempos manejados en el aula y el creciente desinterés estudiantil por repasar estas bases, resulta imposible subsanar las carencias del alumno en este curso, de manera que al inscribirse en esta materia, quien enseña da por hecho que las matemáticas de bachillerato, no serán un obstáculo. De no ser así se sugiere al alumno resolverlo de inmediato. Nunca está por demás repasar de sobra y no caer en un exceso de confianza, razón muy común del fracaso académico. Si a la complejidad de la materia le agregamos la falta de compromiso de algunos docentes improvisados, entonces la responsabilidad de un buen resultado depende únicamente del que aprende. Aprender matemáticas no es como aprender a caminar, que solo se hace una vez y en lo subsecuente la habilidad se desarrolla de manera natural. Esto es diferente, se aprende y si no se practica se olvida; es como aprender otro idioma y tratar de hablarlo años después sin practicar, aun los más hábiles necesitan de la diaria labor de ejercitar la mente. No he encontrado un método más eficiente para aprender matemáticas que tomar papel y lápiz, sentarse en el lugar de nuestra preferencia sin distracciones y enfrentarse al dragón de la ignorancia. No se necesita ser un talento académico, se requiere actitud y responsabilidad. El que enseña puede hacer cientos de ejercicios y el que aprende puede limitarse a observar, pero quien cada vez será más hábil es el que lo piensa y lo escribe. Lo que realmente produce un aprendizaje significativo es resolver por uno mismo un problema, escribirlo, sufrirlo, dudar, intentar, esforzarse… Suerte a los estudiantes que con determinación y responsabilidad inician la nueva dimensión, los demás observen y envidien.

XIII

Prólogo Vivimos tiempos de cambio y la educación no es ajena a este proceso. Los planes de estudio de las instituciones de educación superior se renuevan constantemente para estar a la altura de las necesidades actuales y se establecen nuevas metodologías que deben ser respaldadas con textos de calidad. Como una contribución a esta revolución educativa se desarrolla esta obra dirigida al primer curso de ecuaciones diferenciales impartido en las principales escuelas de ciencias e ingeniería. Matemáticas 5, Ecuaciones diferenciales es el complemento de la colección de textos que cubren los planes y programas de estudio más recientes que se imparten en los institutos tecnológicos y universidades estatales, entre otras. Aunado a lo anterior y como es usual, el presente material ofrece un estilo científico preciso y formal pero de fácil comprensión. Entre las principales características de esta obra podemos mencionar: • • • • • • • • •

Adaptación al nuevo modelo de competencias. Ejemplos y ejercicios diferentes a los tradicionales. Examen de evaluación diagnóstica de cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo vectorial y álgebra lineal. Sección problemas como competencia final al término de cada sección. Utilización de las tecnologías de información y comunicación (TIC). Notas que refuerzan los principales conceptos teóricos. Notación formal pero accesible para el estudiante. Estructura encaminada a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico, deductivo y algorítmico para resolver problemas. Actividades encaminadas al desarrollo de competencias genéricas, instrumentales, sistémicas y específicas.

Las competencias y las ecuaciones diferenciales Una de las características más sobresalientes de esta obra es que se ha organizado para contribuir al desarrollo de competencias específicas, genéricas, instrumentales y sistémicas, tales como:

Competencias específicas UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden • Identificar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, sus soluciones generales, particulares y singulares e interpretarlas en el contexto de la situación en estudio. • Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial que describe algún proceso dinámico. UNIDAD 2 Ecuaciones diferenciales de orden superior • Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial lineal de orden superior que describe algún proceso dinámico (Movimiento vibratorio y circuitos eléctricos).

PRÓLOGO • •

Comprender la importancia de la solución de una EDL homogénea en la construcción de la solución general de una no homogénea. Aplicar el método de coeficientes indeterminados y el de variación de parámetros, seleccionando el más adecuado en situaciones específicas.

UNIDAD 3 La transformada de Laplace • Reconocer y aplicar la Transformada de Laplace como una herramienta útil en la solución de ecuaciones que se presentan en su campo profesional. UNIDAD 4 Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales • Modelar y describir situaciones diversas a través de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. • Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales utilizando el método de los operadores diferenciales y la transformada de Laplace. • Integrar las herramientas estudiadas en las unidades previas al reconocer las limitaciones y ventajas de los métodos aplicados. UNIDAD 5 Introducción al análisis de Fourier • Aprender los conceptos de ortogonalidad, conjuntos ortogonales y la definición de las series de Fourier. • Aprender a calcular series de Fourier (forma trigonométrica) de funciones periódicas en un periodo arbitrario centrado. • Aprender a calcular series de Fourier en cosenos y series de Fourier en senos. • Aprender a calcular series de Fourier de medio intervalo. • Aprender a calcular series de Fourier en su forma compleja.

Competencias genéricas • • • • • • • • • • • • •

Procesar e interpretar datos. Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascedente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita. Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones. Lograr un pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético. Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. Resolver problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Tomar decisiones. Reconocer conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencia y precisión. Optimizar soluciones.

Competencias instrumentales • • • •

Capacidad de análisis y síntesis. Comunicación escrita. Habilidades básicas de manejo de la computadora. Solución de problemas.

XV

XVI

PRÓLOGO

Competencias sistémicas • • • • • •

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. Habilidades de investigación. Capacidad para aprender. Capacidad para generar nuevas ideas. Habilidad para trabajar en forma autónoma. Búsqueda de logros.

Agradecimientos Es verdaderamente descomunal el trabajo que debe realizarse para elaborar un libro de estas características. Una obra no solo se debe a su autor sino a mucha gente que, detrás de la trinchera, ofrece su cotidiano esfuerzo para que los sueños se hagan realidad. Quiero expresar un sincero agradecimiento a todos los miembros de la editorial que de alguna manera han colaborado conmigo en los 16 trabajos previos que nos respaldan. Literalmente, hemos pisado juntos los escenarios del cálculo diferencial, del cálculo integral, del cálculo vectorial, del álgebra lineal, de la estática, de la dinámica y de la física general, hoy venimos a cerrar esta gira con las ecuaciones diferenciales. Agradezco de todo corazón que desde siempre me recibieron con gran afecto y desmedida atención. No debo dejar de reconocer la amabilidad de Lupita, el fundamental apoyo de Abel, el profesionalismo de Carlos, la alegría y sinceridad de Anita, la paciencia de Zefe, el trabajo de Ramón, la perpetua presión de Marce, la confianza de Jesús y la visión de Pablo y muy en especial la oportunidad que me da Miguel Ángel. En mis términos es para ustedes el límite de las gracias, cuando las gracias tienden al infinito. Lo que ahora soy, no lo sería sin el apoyo de Beka y Nani. La familia que lograron formar lo es todo para mí, la feliz niñez que tuve no hubiera sido igual sin la presencia de Animal, Pinky y Chester, ha sido todo un placer compartir con ustedes mi vida, queridos hermanos. Cada letra, cada número y cada símbolo contenido en este libro representan un instante que no pude compartir con quienes más quiero en la vida: Paloma y Cristóbal. Cómo me hubiera gustado verlos crecer día con día y haber estado allí cuando dijeron su primera palabra, cuando mudaron su primer diente, en su primer día de clases, en los festivales escolares, en sus graduaciones, en sus cumpleaños… guardo la esperanza de que algún día puedan entender que lo hubiera cambiado todo por jugar con ustedes a los carritos, al torito, al futbol, a las escondidas, a volar papalotes, a mojarnos en la lluvia… Sepan ustedes que desde que nacieron mi vida jamás volvió a ser la misma, fue mejor porque desde entonces en mi pecho laten dos corazones: ustedes, hijos, los amo. Un agradecimiento muy especial para la niña más importante de mi vida, por haber utilizado coordenadas polares un 15 de agosto para tatuar en mi alma la gráfica de la función f ( x ) = 1 − sen x . Nunca imaginé que debido a la irracionalidad del dominio fuera posible enf ( x ) ≠ f ( LB ). Desde entonces entendí que lo que graficó Cantor era simplecontrar que xlím → LB mente la gráfica de mi vida. No todo es material ni glamour. Solo espero que el límite exista, de lo contrario el núcleo de la transformación asociada a mi vida tendrá una nulidad muy grande. Por siempre 13, por siempre 3 y por siempre 20. Juntos tenemos un objetivo en la vida: demostrar que existe un espacio ideal, pero real, en donde las líneas paralelas y diferentes se intersecan y ya nunca más se separan, nuestro espacio. Gracias por regresar y haber aceptado vivir allí el resto de tu vida conmigo. Joel Ibarra

Evaluación diagnóstica Cálculo diferencial 1. Enunciar la definición de límite de una función. 2. Enunciar la definición de derivada. En los problemas 3 a 7, calcular la derivada de las funciones dadas. 3. f ( x ) = ( x 3 + 2 x 2 + 3x 4. f ( x ) =

) (x 3

2

)

− 3x + 1

2

x 3 + 2 x 2 + 3x

(x

2

)

− 3x + 1

2

1

5. f ( x ) = ¢

x3 + x2 + 2 2 ≤ x 2 − 3x + 1

6. g ( x ) = ( x + 2)x

2

− 2 x +1

7. f ( x ) = cos3x (1 + tan x )( x 2 + 3x − 1) En los problemas 8 y 9, evaluar la derivada implícita de las funciones dadas. 8. 4x 3 y 2 − 5x 2 y 3 + 2 x 2 y 2 = x 2 y − 3xy 2 − 3xy + 2 x − 5 y + 1 2

9. tan xy + 3xe xy = x ln y − y − ln x 10. Graficar la función f ( x ) = x 3 − 6x 2 + 11x − 6 11. Determinar el área del mayor cuadrilátero que se puede inscribir en un círculo de radio r.

Cálculo integral En los problemas 12 a 18, evaluar las integrales dadas. 12.

∫ 3x

13.

∫ 1 − sen x

14.

∫ x ln 4x dx

15.

∫e

16.

∫ (x − 1)(x + 2)(x + 5) dx

17.

∫

x 2 − 3 dx dx

3

ax

cos bx 2x + 1

1 1 − x2

dx

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

18.

x +1

∫ (x − 1)(x + 2x + 4) dx

19. Enunciar la definición de antiderivada de una función. 20. Enunciar el primer teorema fundamental del cálculo. 21. Enunciar el segundo teorema fundamental del cálculo. 22. Utilizar sumas de Riemann para calcular

∫

b

x 4 dx y

0

∫

b

x 4 dx.

a

En los problemas 23 y 24, evaluar las integrales impropias. 23.

∫

+∞

∫

4

xe − x dx

0

24.

0

1 dx x +x−6 2

25. Calcular el área de la región limitada por las funciones y = sen x, y = cos x , x = 0 y x = π / 2. 26. Hallar la longitud de arco de la curva y = 3 x 2 del punto (1, 1) al punto (8, 4).

Cálculo vectorial 27. Considerar las rectas L1 : x = 1 + 2t, y = −1 + t, z = 2 + t y L2 : x = 1 − 3t, y = 2 − 4t, z = −2 − t , si las rectas se intersecan, determinar la ecuación del plano que las contiene. Si las rectas se cruzan, determinar la distancia entre ellas. 28. Determinar la recta de intersección de los planos x + 2 y − z = 2 y 3x − y + 2 z = 1 . 29. Calcular la longitud de arco de la curva x = 3t − t3, y = 3t2 en 0 ≤ t ≤ 1 . 30. Determinar el área de una elipse. 31. Graficar la curva r = 1− sen θ . 32. ¿En qué punto la función f ( x ) = ln x tiene su curvatura máxima? 33. Determinar la longitud de arco de la curva r(t ) = ( t , t, t 2 ) del punto (1, 1, 1) al punto (2, 4, 16). 34. Hallar las primeras derivadas implícitas de z de la función x 3 y 2 + cos( yz 2 + z 2 ) = 1 . 35. Hallar el volumen del sólido encerrado por los cilindros x 2 + z 2 = 9 y y 2 + z 2 = 9. 4

36. Evaluar la integral

∫∫ 0

2

1 dx dy . y x +1 3

Álgebra lineal 37. Determinar las raíces de la ecuación z 5 − 25 = 0 38. Encontrar los valores de a de manera que el sistema de ecuaciones lineales x − 3y + 2x + y −

z= 1 z = −1

5x − 8 y + ( a 2 − 4)

z= a

tenga a) una infinidad, b) ninguna o c) una única solución.

XIX

XX

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 39. Reduciendo la siguiente matriz a una matriz triangular, calcular su determinante. 2 −5 8 4 −4 −2 −1 0 3 7 −1 5 4 3 −3 −7 40. Enunciar las propiedades de los determinantes. 41. Enunciar la definición de espacio vectorial y subespacio vectorial. 42. Enunciar la definición de independencia lineal y dependencia lineal. 43. Enunciar la definición de base y dimensión. 44. Enunciar la definición de transformación lineal. 45. Calcula los valores y vectores característicos de la siguiente matriz. E=

27 0 9 0 10 0 9 0 3

Unidad

1

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1.1 Introducción

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas

1.2 Ecuaciones diferenciales separables

1.5 Ecuaciones diferenciales lineales

1.3 Ecuaciones diferenciales homogéneas

1.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Competencia específica Identificar los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, sus soluciones generales, particulares y singulares, e interpretarlas en el contexto de la situación en estudio. Modelar la relación existente entre una función desconocida y una variable independiente mediante una ecuación diferencial que describe algún proceso dinámico.

Competencias genéricas  Representar e interpretar conceptos en forma

   

Resolver problemas. Reconocer conceptos generales e integradores. Argumentar con contundencia y precisión. Optimizar soluciones.

Competencias instrumentales  Capacidad de análisis y síntesis.  Habilidades básicas de manejo de la computadora.  Solución de problemas.

geométrica y algebraica.

 Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

 Lograr un pensamiento lógico, algorítmico, heurístico, analítico y sintético.

 Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías.

Competencias sistémicas  Capacidad para aprender.  Capacidad para generar nuevas ideas.  Habilidad para trabajar en forma autónoma.

2

UNIDAD 1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1

Introducción

En un primer curso de cálculo, el estudio de los números reales, el límite de una función, la continuidad de una función y la derivada son temas fundamentales que el estudiante debe enfrentar. Un problema básico que se estudia en el Cálculo diferencial es que dada una función en dy una variable de la forma y = f(x), se calcule su derivada ordinaria = f ′( x ) . dx De la misma forma, un problema básico del cálculo de varias variables es que dada una función en dos variables z 5 f(x, y), se determinen las derivadas parciales de primer orden ∂∂xz y ∂∂ zy . De alguna manera, en un curso básico de ecuaciones diferenciales se estudia un problema dy inverso, es decir, dada una derivada = f ′( x ), ¿cómo determinar una función y = f(x) que dx satisfaga la ecuación anterior? Por ejemplo, dada la función y = xex se cumple al derivar sucesivamente que dy = xe x + e x dx d2y = xe x + 2e x dx 2 De esta manera, d2y dy −2 + y = xe x + 2e x − 2 ( xe x + e x ) + xe x + e x = 0 dx 2 dx 2

Reconocer conceptos generales e integradores.

La ecuación d y2 − 2 dy + y = 0 se conoce como una ecuación diferencial porque la incógnita es dx dx una función, y se dice que la función y = xex es una solución porque al sustituirla junto con sus derivadas en la ecuación diferencial, la satisface. Una manera natural de iniciar el estudio de las ecuaciones diferenciales es que a partir de la definición de ecuación diferencial se establezca una clasificación, para poder tener criterios de decisión acerca de los métodos de solución estudiados. A continuación proporcionamos la definición de ecuación diferencial.

Definiciones generales Definición 1

Ecuación diferencial (ED) Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene la derivada o las derivadas de una o más variables dependientes respecto de una o más variables independientes.

En un curso de álgebra elemental se aprende que para resolver la ecuación ax 1 b 5 0 hay que realizar un “despeje” de la variable x, porque se trata de una ecuación lineal en una variable. Si la ecuación por resolver es de la forma ax2 + bx + c = 0, sabemos que por tratarse de una ecuación cuadrática, la fórmula general es una opción. La clasificación de las ecuaciones permite elegir el método de solución adecuado. Con las ecuaciones diferenciales sucede lo mismo: dada una ecuación diferencial, es primordial identificar su forma para que a partir de esto se elija correctaLas ecuaciones diferenciales se clasifican por su tipo, orden, mente el procedimiento de solución. De esta manera, es necesario caracterizar las linealidad y grado. ecuaciones diferenciales. Básicamente, las ecuaciones pueden clasificarse de acuerdo con su tipo, orden, linealidad y grado. Describimos a continuación cada una estas clasificaciones.

1.1

Introducción

Tipo de una ecuación diferencial De acuerdo con su tipo, las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en ordinarias y parciales. La definición precisa se muestra a continuación. Ecuación diferencial ordinaria (EDO)

Reconocer conceptos generales e integradores.

2 Definición

Una ecuación diferencial se dice ordinaria si contiene la derivada o las derivadas de una o más variables dependientes respecto de una sola variable independiente.

Generalmente, la derivada de una función respecto de una sola variable independiente se conoce como una derivada ordinaria, de manera que una ecuación diferencial ordinaria es aquella que contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes.

EJEMPLO 1

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Todas las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias: dy = ln x y ln y dx dy ( y − 1)( y + 3) = dx ( x + 4)( x − 2) x 2 ( y − 1)dx = ( x 2 y 2 + x 2 + y 2 + 1)dy (3 y − 1)(3x + 1)

dy = x( y + 3) dx

( xy + 9x − 3 y − 27)dx + ( xy + 4x − 5 y − 20)dy = 0 du 3u − 2 = dt 2t + 1 csc 2 y dx + cot x dy = 0 e y sen2 x dx + ( e 2 x −3 y + 2 ye 2 x −3 y )dy = 0 tan x sen 3 y dx + sec 3 x cos y dy = 0 y( x 2 + 1)3

dy = x(1 − y 2 )2 dx

x2 dx − y x + y dy = 0 y

( y sen

y x

)

+ x cos x dx + ( x ln y − x ln x ) dy = 0 y

y 2 xdx + x 2 ydy = 0

Por su tipo, las ecuaciones diferenciales son ordinarias (si solo existe una única variable independiente) o parciales (si existen dos o más variables independientes).

3

4

UNIDAD 1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

dy + y = f (x), dx y′ −

f (x) = b

1 0≤x t0 , entonces existe transformada de Laplace F(s) para s > k.

{

}

Como puede observarse, las funciones 1, t, t 2 , t n , e at ,sen t,cos t, senh t,cosh t son todas continuas por partes y de orden exponencial; en consecuencia, la existencia de su transformada de Laplace se justifica, no así para el caso de las funcio2 3 nes y = e t y y = e t . EJEMPLO 8

La transformada de Laplace de f (t ) = t n

Demostrar que L

{ t } = sn ! . n

n +1

Solución Utilizaremos el principio de inducción matemática para demostrar que n! L { t n } = n +1 s 1! Si n = 1, la expresión se reduce a L { t } = 2 . s

{ t } = sn ! n

Supongamos válido el resultado L Tenemos

{ }

L t n +1 = L

∫

∞

para el entero n

t n +1 e − st dt

por definición

0 n +1

{t } = −t s n +1

n +1

e − st

∞ 0

+

n +1 s

∫

∞

0

t n e − st dt

integramos por partes

De manera básica, el principio de la inducción matemática establece que si una propiedad es válida para el valor n = 1 y si además dicha propiedad se supone válida para un entero cualquiera n, entonces, si se puede demostrar que la propiedad es válida para el entero siguiente n + 1, se concluye que la propiedad es válida para todo número entero n.

Resolver problemas. Capacidad de análisis y síntesis. Argumentar con contundencia y precisión.

142

UNIDAD 3

La transformada de Laplace

L

{ t } = 0 + n s+ 1 ∫ n +1

∞

t n e − st dt

t n+1 es de orden exponencial

0

L

{ t } = n s+ 1 L { t }

simplificamos

L

{ t } = n s+ 1 sn !

por hipótesis de inducción

L

{ t } = ( ns + 1)!

n +1

n

n +1

n +1

n +1

n+2

Esta última expresión corresponde al valor n + 1, que completa la demostración por inducción. Otras funciones muy comunes utilizadas en las matemáticas avanzadas son las funciones escalonadas, las cuales se definen por partes y cuyas gráficas generalmente se componen de dos o más gráficas. Por ejemplo, una función escalonada es

h(t ) = b

f (t ) 0 ≤ t < a g (t )

a ≤t

,

cuya gráfica se ilustra de manera general en la FIGURA 3.2. h(t) f (t) Representar e interpretar conceptos en forma geométrica.

g(t)

t

a Figura 3.2

En este momento, la única herramienta con la que contamos para transformar una función escalonada es la definición de transformada de Laplace. Más adelante, en la sección 3.5, presentaremos una opción más eficiente para resolver el mismo tipo de problemas, conocida como el segundo teorema de traslación. En el siguiente ejemplo mostramos cómo se aplica la definición para determinar la transformada de Laplace de una función escalonada.

EJEMPLO 9

Evaluar L Resolver problemas.

La transformada de Laplace de una función escalonada

{ f (t )}, donde f (t ) = b 0 0 ≤ t < a , a ≤t

1

a > 0.

Solución Tenemos, entonces, que por definición L

{ f (t )} = ∫

∞

{ f (t )} = ∫

a

{ f (t )} = ∫

a

f (t )e − st dt

definición de transformada

0

L

∫

f (t ) e − st dt +

0

f (t ) e − st dt

separamos integrales

a

0

L

∞

(0)e − st dt +

∫

∞

a

(1) e − st dt

sustituimos el valor de f (t)

3.2 ∞

L

{ f (t )} = −

1 lím e − st − e − as ] s[ t →∞

L

{ f (t )} =

e − st dt = −

a

143

∞

{ f (t )} = ∫

L

Teoría preliminar

1 − st e ]a s[

e−a s s

evaluamos la integral evaluamos límite al infinito lím e − st = 0 t →∞

La gráfica de la función f (t) en cuestión se observa en la FIGURA 3.3. f (t)

1

a

Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologías. Representar e interpretar conceptos en forma geométrica.

t

Figura 3.3

La función considerada en el ejercicio anterior se conoce como la función escalón unitario. En la sección 3.5 estudiaremos algunas propiedades importantes de esta función, como el segundo teorema de traslación. EJEMPLO 10

Evaluar L

La transformada de Laplace de una función escalonada

{ f (t )} , donde

f (t ) = b

t 0 ≤t