Matemáticas 2 RECURSOS DIDACTICOS.pdf

Matemáticas 2

Matemáticas 2

Recursos didácticos

Recursos didácticos

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Matemáticas Mayra y Martínez de Garayy J i Jaime Omar O Lugo L d de la l Tejera T j Eduardo d d Mancera Martínez

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Matemáticas

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Recursos didácticos Mayra Martínez de Garay, Jaime Omar Lugo de la Tejera Eduardo Mancera Martínez

PROHIBIDA SU VENTA

El libro Matemáticas 2. Recursos didácticos es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, con la dirección de Antonio Moreno Paniagua

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El libro

Matemáticas 2. Recursos didácticos, fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo Trujano Mendoza y José Luis Acosta Lectura de pruebas: Eduardo Mendoza Colaboración: Claudia Navarro Castillo y Javier Esquivel Revisión Técnica: José Luis Córdova Frunz Corrección de estilo: José Luis Acosta y Carlos del Razo Diseño de interiores: Carlos Vela Turcott, Rocío Echavarrí Rentería, Mauricio Gómez Morin Fuentes, José Francisco Ibarra Meza, Tania Rendón López y José Luis Acosta Diseño de portada: Francisco Ibarra Meza Coordinación de diagramación: Alejo Nájera Hernández Ilustración: Héctor Ovando Jarquín, Sergio Bourguet, Abelardo Culebro Bahena, Eliud Monroy, Augusto Mora, Israel Ramírez y Susana Inés Morales Juárez Diagramación: Fausto Adrián Urbán Brizuela, Sergio Bourguet, Héctor Ovando Jarquín, Luis Valverde Salvador y Pedro Santiago Cruz Digitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales Neria

Recursos didácticos

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Matemáticas Mayra y Martínez de Garayy J i Jaime Omar O Lugo L d de la l Tejera T j Eduardo d d Mancera Martínez

Eduardo Mancera Martínez

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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 2. Recursos didácticos son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

D. R. © 2008 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V. Av. Universidad 767 03100, México, D. F. ISBN: 978-607-01-0114-4 Primera edición: enero 2009

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802 Impreso en México

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Presentación ¿Para qué estudiar Matemáticas? Seguramente sus estudiantes se han hecho esta pregunta muchas veces. Este libro de recursos está pensado para apoyarlo en la relación con sus alumnos: para que usted pueda guiarlos a contestar las preguntas que se hacen, a animarlos a seguir cuestionándose, a buscar, explorar, entender y disfrutar el mundo de la matemática. Con base en las orientaciones que contiene este texto, usted podrá guiar a sus alumnos al descubrimiento de los conocimientos de esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que la matemática es mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos. Matemáticas 2. Recursos didácticos es una herramienta que permite a los docentes de la asignatura acompañar el trabajo de los escolares. Este material brinda a los maestros y las maestras elementos para facilitar a los estudiantes el desarrollo de habilidades. Proporciona a los profesores herramientas para despertar la curiosidad y ayudar a los alumnos en el desarrollo de las habilidades como seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores. En esta obra encontrará una dosificación en cinco bimestres de los temas del libro del alumno, prevista para 38 semanas de clases. En ésta se especifican los propósitos de cada bloque y las competencias, además de los conceptos, habilidades, actitudes y aprendizajes esperados de cada tema. Asimismo, con base en las actividades realizadas, el logro de los propósitos previstos, las observaciones de los docentes y la aplicación de exámenes, sugiere los momentos convenientes para evaluar el aprendizaje de las alumnas y los alumnos. Se incluyen, como una propuesta más para la evaluación de los estudiantes, dos modelos de exámenes por bimestre elaborados a partir de la dosificación de los contenidos del libro del alumno y, para facilitar el trabajo de calificación, se añaden las respuestas de los diez exámenes. Además, se adjunta una bibliografía para el docente.

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Este ejemplar también presenta la reproducción del libro del alumno, acompañado de orientaciones para conducir las clases de Matemáticas 2, adecuadas al programa de la asignatura. El propósito es facilitar a las profesoras y los profesores algunos elementos que, sumados a su experiencia y creatividad, les permitan organizar y dirigir el trabajo de los educandos. Deseamos que el libro Matemáticas 2. Recursos didácticos responda a las necesidades de los docentes que dedican su práctica profesional y su entusiasmo a la enseñanza de las matemáticas de los estudiantes de secundaria.

Presentación

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III

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Estructura del libro de recursos En las páginas preliminares encontrará: 1. La dosificación de los contenidos del programa oficial de Matemáticas 2 organizada en 38 semanas de clase y dividida en cinco bimestres. La dosificación contiene: Bimestre que se está trabajando. Número del bloque temático. Propósitos del bloque. Indicación de la semana de trabajo. Temas y subtemas que se están trabajando. Lección y páginas en las que aparecen los temas y subtemas en el libro del alumno. Evidencia de logros con el desarrollo de cada tema. Conceptos que los estudiantes manejarán y comprenderán. Habilidades para el tratamiento de la información. Actitudes que ayudarán a los estudiantes a adquirir conciencia de las cualidades de los seres humanos. Aprendizajes esperados que proporcionan información sobre lo que los alumnos deben lograr. Sugerencia del momento adecuado para aplicar la evaluación bimestral.

Dosificación



GI@D

)&°

90°

/&°

? 8

:

9

H F

')+°

A

B

45°

C

((°

I

158°

J

D

PROHIBIDA SU VENTA

Ángulos y rectas En las siguientes figuras, elige los puntos necesarios y denomínalos con letras para determinar, con la medida de ángulos o mediante regla y compás, las parejas de ángulos que son congruentes, complementarios y suplementarios. a) N

M P

R

Figura 22

ü MON + ü NOP = 180° ü POR + ü ROM = 180°

64

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Un problema interesante consiste en pedir a los alumnos que busquen argumentos para justificar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales, sin recurrir a la medición. LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

b)

b)

B

C O

A

D

ü AOB + ü BOC = 180° ü AOD + ü DOC = 180° c)

U

R

O

T

S

R

Figura 23

T

b)

O

c)

B

C

W

d)

O

A

D

V U X

T

W

ü ROS + ü UOR = 180° ü R´O´W + ü S O‘R‘ = 180° ü ROU + ü VOT = 180° ü ROS + ü SOT = 180°

c)

U

R

R

O

O

S

T

S

R

T O W

d) V U T

X

W

Figura 24

ü XOV + ü VOU = 180° ü WOT + ü ROT = 180° ü WO´S + ü RO´S = 180 ° ü UTO + ü TOX = 180°

S

Figura 25

Para curiosos Si varías la posición de alguna de las rectas en:

PROHIBIDA SU VENTA

R

O

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complementarios y suplementarios. Si varías la posición de la recta que corta al par de rectas paralelas:

Respecto a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante, no sólo se trata de que los alumnos recuerden los nombres, sino también de que establezcan relaciones de igualdad entre ellos y que busquen argumentos para justificarlos.

los resultados que encontraste cambian respecto a las parejas de ángulos congruentes, complementarios y suplementarios. Construye dos rectas que se intersecten y formen un par de ángulos de 90 grados. Esas rectas tienen alguna relación? ¿Cómo se les denomina a ese tipo de rectas? Son perpendiculares. Si dos rectas al cortarse forman solamente un ángulo de 90 grados, ¿son perpendiculares?

Sí.

Dibuja dos rectas que al ser cortadas por otra recta que sea perpendicular a una de ellas, sea perpendicular a la otra recta. ¿Cómo se denomina a ese par de rectas? L

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R

Son paralelas. LyR

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BLOQUE 1 Muchas veces se detectan ángulos en configuraciones geométricas que implican varias figuras, por ello es indispensable que los estudiantes aprendan a detectar ángulos congruentes en varias posiciones relacionadas con rectas paralelas o que se intersecan.

Ángulos entre rectas Ángulos determinados por dos rectas oblicuas Dibuja dos rectas que se intersequen, ¿cuántos ángulos se forman? Dibuja dos rectas paralelas y otra recta que corte ambas, ¿cuántos ángulos se forman? 4. Para referirnos a dichos ángulos hay terminología que conviene conocer. Dos rectas que se cortan y no son perpendiculares se denominan oblicuas. Estas rectas forman varias parejas de ángulos adyacentes, como se observa en la figura 26. <

P

Forman 4 ángulos.

Figura 26 Las rectas FY y EZ son oblicuas

F O ;

Z y ü FPE E se denominan ángulos opuestos por el vértice. Los ángulos ü YPZ También ü ZPF F y ü YPE E son opuestos por el vértice. Observa que los ángulos opuestos por el vértice tienen sus lados en semirrectas opuestas respecto al vértice.

Para curiosos A

Con algunos de tus compañeros dibuja varias parejas de rectas oblicuas y comprueba que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Usa el transportador o algún otro recurso de medición para hacer esta comprobación.

B

ü AOC + ü AOB = 180° ü COD + ü BOD = 180°

O C

D

Figura 27

En la figura 27 hay varias parejas de ángulos suplementarios adyacentes, ¿cuáles son? ¿Es posible que con dos rectas perpendiculares u oblicuas se formen ángulos complementarios? Faltaría una más.

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Ángulos formados por dos paralelas cortadas por una secante El maestro puede simplificar la notación utilizando letras griegas para las medidas de los ángulos, pero a veces eso hace que los estudiantes no reconozcan al ángulo como una figura, sino como la medida de una “abertura”. Se recomienda usar la notación con letras de nuestro alfabeto para identificar ángulos.

Figura 28 La recta CF es secante a las paralelas AE y BD

Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta se forman varios ángulos (figura 28). La recta que corta las paralelas es una recta secante a ellas. <

F

7

E

8

;

:

9

Vamos a identificar a continuación cuáles de estos ángulos son congruentes, para lo cual conviene clasificarlos por parejas según su ubicación respecto a la secante y las dos paralelas dadas.

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LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Ángulos correspondientes F

F

P

A O

B

E

A

D

B

F

P O

C

E

A

D

B

P O

C

ü APF @ ü BOP

ü FPE @ ü POD

B

O

A

D

B

O

E

A

E

O

D

C

D

B

P O

C

ü APO @ ü POD

B

ü COD @ ü OPE

F

P

C

D

ü BOC @ ü APO

F E

A

Ángulos alternos externos

F P

E

C

Ángulos alternos internos

A

F P

F E

A

D

B

C

ü BOP @ ü OPE

ü APF @ ü COD

P O

E D

C

ü FPE @ ü BOC

Para curiosos En la siguiente figura identifica, junto con tus compañeros, todas las parejas de ángulos suplementarios y de ángulos opuestos por el vértice. Opuestos por el vértice. F P

A

E

O

B

D

C

ü FPE @ ü APO ü APF @ ü OPE ü BOC @ ü POD ü BOP @ ü COD

El maestro puede trabajar con rectas paralelas cortadas por una secante en diversas posiciones y completar algunas figuras geométricas en ellas para resaltar congruencias con los ángulos que se forman.

Parejas de ángulos suplementarios. ü APF, ü FPE ü APO, ü OPE ü BOC , ü COD ü BOP, ü POD

EN 1

EL ATEN

EO

PROHIBIDA SU VENTA

¿Será posible dibujar dos rectas paralelas y una secante que corte a ambas de tal modo que se formen parejas de ángulos complementarios? No. Faltaría uno más.

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos correspondientes de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

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BLOQUE 1

2

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos internos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

3

Completa la figura para que el ángulo que se indica sea uno de los ángulos alternos externos de dos rectas paralelas cortadas por una secante.

4

En cada una de las siguientes figuras considera las rectas que contienen a sus lados y, en donde sea posible, identifica algunos ángulos correspondientes, alternos internos o alternos externos.

Resulta importante que los estudiantes tengan la oportunidad de conocer propiedades de diversas figuras geométricas a partir de las relaciones entre sus ángulos.

Correspondientes.

Alternos internos. Correspondientes.

Alternos externos.

Alternos externos.

En las siguientes actividades hay situaciones en las que el trazo de paralelas es relevante, y en caso de no usarlas puede complicarse mucho su resolución. Por eso, primero intenta resolverlas sin usar paralelas.

PROHIBIDA SU VENTA

5

También es necesario que los alumnos reconozcan algunas de las propiedades de figuras trazadas entre paralelas, como es el caso de los triángulos y las relaciones entre sus áreas si están entre paralelas y tienen la misma base.

Utiliza el trazo de paralelas para encontrar cinco triángulos que tengan la misma área que el siguiente:

Para ello, observa la siguiente figura, donde se ha trazado ABB paralela al segmento MN. E 7

8

C

D

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LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

6

Para cada uno de los siguientes cuadriláteros construye un triángulo que tenga la misma área que él.

Problemas de este tipo generalmente no son resueltos por los estudiantes de varios niveles educativos, porque casi siempre se enfatizan relaciones algebraicas en las figuras geométricas y se hacen de lado las relaciones esencialmente geométricas.

Para ello, observa la siguiente construcción, donde BZ se construyó paralela a AC, C y DZ paralela a DC . P 8

8

8

9

7

P

:

9

7

:

9

7

:

Suma de los ángulos interiores de un polígono

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Toma un triángulo cualquiera como el de la figura 29.

Haz dobleces siguiendo las líneas punteadas (figura 30).

Figura 29

Figura 30

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BLOQUE 1 Hay argumentaciones sobre la suma de los ángulos interiores de un triángulo que pueden realizarse directamente manipulando algunos materiales.

Obtendrás algo como lo siguiente (figura 31):

Los tres vértices coinciden.

Figura 31

¿Coinciden los tres vértices? ¿Siempre coincidirán con este tipo de dobleces? ¿Cuál sería la suma de los ángulos que tienen vértice en el punto donde concurren los vértices? 180°.

Figura 32

Ahora dibuja un triángulo, recorta dos de sus ángulos y colócalos de cada lado del ángulo que no se recortó, como se ilustra en la figura 33. ¿Qué ángulo se forma?



180°.

  





Figura 33

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También pueden aprovecharse construcciones geométricas para reproducir un triángulo las veces que sea necesario y encontrar relaciones entre los ángulos internos.

T bié puedes También d recortar tres triángulos iá l iguales i y ensamblarlos como en un rompecabezas; observa la figura 34.

Figura 34

De acuerdo con lo anterior, ¿cuánto debe medir la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo? 180°.

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LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

En la figura 35 se muestran las medidas de los ángulos interiores de tres triángulos diferentes. Suma los ángulos en cada triángulo y anota el resultado.

54.3°

Las argumentaciones que se construyen con los métodos de la página 70, si bien se basan en casos particulares de una prueba física, sirven como apoyo al establecer relaciones más formales; aunque no se planteen como una meta en la enseñanza en secundaria, tampoco se trata de limitar las posibilidades de los alumnos en la búsqueda de argumentos.

180°. 180°.

87.4°

60.5° 36.2°

El trabajo con paralelas permitirá iniciar el estudio del comportamiento de las medidas de ángulos interiores en los polígonos.

65.2°

56.4° 180°.

13.6°

14.1° 152.3°

Figura 35

¿Lo que obtuviste concuerda con la respuesta que diste a la pregunta anterior soLa suma de los ángulos interiores de cualquier bre la suma de los ángulos interiores de un triángulo? ¿Qué concluyes? Sí. triángulo, suman siempre 180°. Los procedimientos anteriores parecen arrojar un mismo resultado para la suma de los ángulos interiores de un triángulo; discute con tus compañeros cuánto debe ser dicha suma. Observa las siguientes figuras. ¿Cómo debe ser la recta “verde” para que exista congruencia de algunos de los ángulos? ¿Por qué? Paralela a una de las bases del triángulo, en 41.9°

111.9°

este caso de la base horizontal. Ocurre esto por las propiedades de una secante que corta a dos paralelas.

26.2°

21.7°

102.3°

26.2°

41.9°

21.7°

14.4°

14.4°

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56°

39.3°

56°

126.3°

126.3°

Figura 36

Considera cualquier triángulo y traza la recta “verde” de manera conveniente para tener congruencia de ángulos, como en las figuras anteriores.

Figura 37

¿Qué infieres de estas figuras respecto a la suma de los ángulos interiores de un triángulo? La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

71

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BLOQUE 1

Para curiosos La demostración es una argumentación como la que se presenta, en la cual las afirmaciones del inicio apoyan a las siguientes y así sucesivamente hasta obtener el resultado deseado.

Comencemos con el triángulo ABC C que se ilustra en la siguiente figura: B

C A

PQ a la recta que contiene al lado AC C y que pase por el vértice B del triángulo como se muestra a continuación: Q

B P C A

Discute con tus compañeros las siguientes preguntas y elabora con ellos una respuesta para cada una (los datos se refieren a la figura 24). • ¿Por qué ü ABP @ ü BAC C y ü QBC @ ü BCA? • ¿Por qué m(ü ABP) = m(ü BAC) y m(ü QBC) = m(ü BCA)? • ¿Por qué m(ü ABP) + m(ü ABC) + m(ü QBC) = 180∞? • ¿Por qué m(ü BAC) + m(ü ABC) + m(ü BCA) = 180∞? ¿La conclusión hubiera sido la misma si en la figura 24 se hubiera trazado PQ paralela a cualquier otro lado del triángulo ABC ? Sí. 8

8

Las demostraciones se pueden desarrollar apoyándose en otros elementos de la figura o en otras figuras y la conclusión no debe variar.

G F

9

9 7

7 F

G

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¿Qué pasaría si se usa cualquiera de los siguientes triángulos? Lo mismo. El resultado y análisis es el mismo. B

C

180°.

C

B

180°.

A B

A 180°.

C

A

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LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Considera el cuadrilátero ABCD de la figura 38. B C

A

Figura 38

D

¿Cuál debe ser la suma de los ángulos internos del ese cuadrilátero?

360°.

Considera la siguiente figura:

Dada una demostración, el resultado obtenido se puede usar en otras figuras para deducir propiedades en éstas. El uso de trazos auxiliares para dividir una figura en dos figuras conocidas es algo frecuente en geometría. A veces dichos trazos deben hacerse en partes específicas o en ocasiones no importa en dónde se realice el trazo, pero este asunto no se debe determinar por advertencia del maestro, los estudiantes deben tener la oportunidad de hacer los trazos donde deseen y constatar si son de utilidad para encontrar el resultado deseado.

B C

A

Figura 39

D

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de cada triángulo?

180°.

Completa las siguientes relaciones: • m(ü ABC) + m(ü BCA) + m(ü CAB) =

PROHIBIDA SU VENTA

• m(ü ADC) + m(ü DCA) + m(ü CAD) =

180°.

180°.

• m(ü ABC) + m(ü BCA) + m(ü CAB) + m(ü ADC) + m(ü DCA) + m(ü CAD) = 360°.

• m(ü CAB) + m(ü CAD) = • m(ü BCA) + m(ü DCA) =

90°.

60°.

• m(ü ABC) C + m(ü BCD) + m(ü ADC) C + m(ü DAB) =

360°.

De lo anterior obtenemos que la suma de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD es 360° . Si hubieras utilizado alguno de los cuadriláteros mostrados en la figura 40, ¿valdrían todos los elementos que utilizaste, es decir, la conclusión sería la misma? Sí.

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BLOQUE 1 A

Como estudiamos, D comprobamos y demostramos que la suma de los ángulos internos de todo triángulo es igual a 180°, podemos estar seguros. Podemos deducir que la suma de cualquier cuadrilátero es igual a 360°: esto lo podemos demostrar triangulando al cuadrilatero. Obtenemos dos triángulos 180 ⫻ 2 = 360°

B

C A

B

D

C Para dar consistencia a la argumentación, cada paso de la demostración debe tener razones para llevarse a cabo; esta parte es en la que el maestro debe llamar la atención, no al tipo de figuras o letras empleadas, sino a las razones que sustentan cada paso.

A

B

D

Figura 40

C

PROHIBIDA SU VENTA

Para curiosos Por las relaciones entre ángulos congruentes, alternos internos y alternos externos; esto gracias a las propiedades que tienen dos rectas paralelas cortadas por una recta secante.

ángulos interiores de ABCD se cumple cada una de las siguientes igualdades. • m(ü DAC) + m(ü ACD) + m(ü CDA) = 180∞ • m(ü BAC) + m(ü ACB) + m(ü CBA) = 180∞ • m(ü BAC) + m(ü ACB) + m(ü CBA) + m(ü DAC) + m(ü ACD) + m(ü CDA) = 360∞ • m(ü BAC) + m(ü DAC) = m(ü DAB) • m(ü ACB) + m(ü ACD) = m(ü BCD) • m(ü ABC) + m(ü BCD) + m(ü CDA) + m(ü DAB) = 360∞

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EL ATEN

EO

EN

LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

Dados el siguiente triángulo y cuadrilátero, calcula las medidas de los ángulos que faltan:

1

Varias propiedades de los triángulos pueden utilizarse en cuadriláteros, pues éstas pueden “triangularse” de tal modo que lo que debe quedar claro a los alumnos son dichas propiedades de los triángulos y la forma de utilizarlas para analizar propiedades en los cuadriláteros.

Q

P

52.3°

81.3°

O

134.8

R

46.4 P

A

31.9

52.3

36.4

D

A

81.3

C 156.9

134.8°

R

D

B

31.9°

B

36.4°

PROHIBIDA SU VENTA

C

2

Si te dicen que un triángulo tiene dos ángulos congruentes cuyas medidas suman 120∞, ¿de que tipo es el triángulo? Equilátero.

3

En un triángulo, dos de sus ángulos son complementarios. ¿Qué tipo de triángulo es? Rectángulo.

4

En un triángulo, la suma de dos de sus ángulos es 133∞ y uno de ellos mide 86∞. ¿De qué tipo es el triángulo? Escaleno.

5

En un cuadrilátero, dos de los ángulos opuestos miden 34∞. ¿De qué tipo es el cuadrilátero? Uno diferente al cuadrado y rectángulo.

6

En un cuadrilátero, todos los ángulos internos miden lo mismo. ¿Qué tipo de cuadrilátero es? Un cuadrado o rectángulo.

7

¿Puede trazarse un triángulo isósceles cuyas medidas de los tres ángulos internos sean diferentes? No. Dos de sus ángulos son iguales.

8

En un triángulo rectángulo, ¿cuál es la suma de los dos ángulos que no son rectos? 90°.

9

¿Puede haber un triángulo con dos ángulos internos rectos?

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No.

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Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas, como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades por resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

BLOQUE 1

Demuestro lo que sé y hago 1

Con la ayuda del transportador traza la bisectriz de los siguientes ángulos: H

J

H

I

6 Dados los siguientes lados de ángulos, traza el lado faltante de modo que el ángulo resultante tenga la medida que se indica. D

G

J

E

G

A

B

F

D

m(ü ABD) = 90∞

C

D

H I

m(ü IJK) = 14∞

C

2 Con ayuda de la regla y el transportador, traza la mediatriz de los siguientes segmentos:

G N

J M

K

S

m(ü MNG) = 125∞

R

3 Traza lo que se indica • La recta MN • El rayo TU • El segmento CD M

T

N

U

C

D

4 Anota el nombre de las siguientes figuras. Rayo JK

H

K

Segmento HG

J G

7 Con ayuda del transportador, traza una paralela a la recta dada que satisfaga las condiciones pedidas: • Que pase por el punto señalado en rojo • Que al cortarlas por una transversal, tenga dos ángulos alternos internos de 65∞. • Que al cortarlas por una transversal, tenga dos ángulos alternos externos de 123∞.

B Recta AB

PROHIBIDA SU VENTA

A

5 Dados los siguientes ángulos que tienen como un lado el del dibujo, completa la figura que corresponda.

8 Si en la figura el segmento CG G es perpendicular al segmento AE , encuentra el valor de los siguientes C ángulos. • • • •

34.9° 61.7° Completa el triángulo

ü BOC = 70∞ ü EOD = 10∞ ü FOG = 40∞ ü GOH = 55∞E

D

B

80∞ 50∞

O

57.4° 61.7°

20∞ 35∞

A H

F

Completa el cuadrilátero G

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LECCIÓN 2 • QUÉ DICEN LOS ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS

9 Encuentra las medidas de todos los ángulos formados por las tres rectas.

11 Calcula los ángulos interiores del siguiente paralelogramo:

14.14

55.8° 14.14 14.14

38.6° 14.14

10 Dadas las parejas de ángulos suplementarios encuentra el valor de los siguientes ángulos. J

• ü GHJ • ü BCA G 80∞

J

H I

A

G H

140∞

I

A

B

C

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate

D

B

C

Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

D

También puedes consultar los siguientes libros. • Aurelio Baldor

Geometría y trigonometría Grupo Cultural Patria, México, 2007 • José María Chamoso y William Rawson Contando la geometría Nivola, Madrid, 2004. • Ana Millán Gasca Euclides. La fuerza del razonamiento matemático Nivola, Madrid, 2004. • Yakov Perelman Geometría recreativa. En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ geometriarecreativa/index.html.

• http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm • http://www.eneayudas.cl/optentrada.htm#angulo

En Internet hay diversos sitios con configuraciones geométricas en las que se pueden calcular algunos ángulos internos o la suma de ellos. El maestro puede utilizar esas figuras para plantear algunos diseños de pirámides o artesanías.

77

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3

Si uno aumenta, e otro el ot o también ta b é Mis retos Las relaciones de proporcionalidad son muy importantes para abordar distintas clases de problemas. En esta lección aprenderás a trabajar con factores de proporcionalidad fraccionarios. Si tienes una cantidad y que varía proporcionalmente con relación a otra cantidad x, aprenderás cómo se establece un factor inverso para conocer cómo varía x si es y la que cambia de valores. Al final podrás encontrar procedimientos para relacionar más de dos conjuntos de cantidades por medio de relaciones de proporcionalidad múltiples.

¿Qué sé? En el curso anterior estudiaste varias relaciones de proporcionalidad directa e inversa, y las aplicaste a la solución de algunos problemas. También trabajaste con tablas, expresiones algebraicas y gráficas asociadas a relaciones de proporcionalidad.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué lograré aprender? Establecerás relaciones de proporcionalidad como las que se manejan frecuentemente en el dibujo a escala. Por otra parte, si hay una cantidad que varía proporcionalmente con respecto a otra, pero esta última también varía proporcionalmente respecto a otra cantidad, y así sucesivamente se relacionan varias cantidades, podrás conocer la relación que se puede establecer entre la primera cantidad y la última.

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ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 ¿Qué es una variación directamente proporcional? Es una variación de la forma y = xk, donde k es la constante de proporcionalidad.

2 ¿Qué es una variación inversamente proporcional?

Es una variación donde si x aumenta, y disminuye (a diferencia de la directamente proporcional donde si x aumenta y aumenta) y viceversa, si x disminuye, y crece.

3 Si tu mamá invierte $85 en una comida para 10 personas, ¿cuánto tendrá que invertir en una comida para 24 personas sin disminuir la ración que le corresponde a cada una? $204

4 Si tienes un cubo de 4 cm de arista, ¿cuántos cubos de 1 cm de arista necesitas para igualar su volumen? ¿Cuántos de 2 cm de arista? ¿Cuántos para incrementar 10 el volumen? 64 cubos de 1 cm de arista. 8 cubos de 2 cm de arista. Para incrementar 10 veces el volumen se necesitan 640 cubos de 1 cm de arista, 80 cubos de 2 cm de arista.

4 cm

El trabajo con proporciones se realizó durante todo el grado anterior. Se requiere conocer si los alumnos manejan o reconocen algunos elementos de la variación proporcional directa.

5 ¿Cuántos kilogramos pesan 30 metros de alambre, si 120 metros pesan 10 kilogramos?

PROHIBIDA SU VENTA

Tienen 2.5 kilogramos.

1 6 Si Elia compró un tramo de tela de 1 m2 a $120, ¿cuánto le costará m2? 2 ¿Cuánto 14 m2 ? $1680

$60.

7 Se asignó la tarea de pintar tres bardas a tres jóvenes. Hugo tarda 3 días en 2 pintar su barda, Luis tarda de lo que tarda Hugo en completar la suya, y 3 3 Paco se lleva de lo que tarda Hugo en terminar la suya. 5 • ¿Cuánto tardan Paco y Luis en pintar sus bardas? Luis 2 días y 1.2 días Paco. • Si Hugo puede pintar una casa en 11 días, ¿cuánto se tardarían respectivamente Paco y Luis en llevar a cabo la misma tarea? Luis 7.3 días y Paco 13.2 días.

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BLOQUE 1

Las buenas proporciones En el mismo tipo de problemas que trabajaste en “Algo de lo que me enseñaron” considera la siguiente situación: Varios amigos se juntan para planear una fiesta y deciden que la bebida que se repartirá será agua de sabores. Saben que cada sobre del sabor requerido se debe preparar con litro y medio de agua. Con tus compañeros completa la siguiente tabla.

Nuevamente se trabajan varias representaciones simultáneamente: aritméticas (por medio de tabulaciones), algebraicas (con expresiones algebraicas) y geométricas (con las gráficas); la coordinación de estas representaciones permitirá enriquecer los significados relacionados con la variación proporcional directa.

Usando fracciones Sobres de sabor

Litros de agua requeridos

1 2

1/2 x 3/2 = 3/4

0.5

0.75

1

1 x 3/2 = 3/2

1

1.5

3/2 x 3/2 = 9/4

1.5

2.25

1 x 1/2 x 2 = 3/2 x 2 = 6/2 = 3

2

1.5 x 2 = 3

5/2 x 3/2 = 15/4

2.5

3.75

3 x 3/2 = 9/2

3

4.5

7/2 x 3/2 = 21/4

3.5

5.25

4 x 3/2 = 12/2 = 6

4

6

9/2 x 3/2 = 27/4

4.5

6.75

5 x 3/2 = 15/2

5

7.5

1

1 2

2 2

1 2

3 3

1 2

4 4

PROHIBIDA SU VENTA

Usando decimales

1 2

5

Sobres de sabor

Litros de agua requeridos

Especificando el valor de los sobres requeridos, se determina la cantidad de litros de agua. De la tabla anterior se sacan los elementos necesarios para contestar las siguientes preguntas: • Considerando las cantidades de los renglones de la tabla, ¿cuál es el resultado de los cocientes del tipo sobres de sabor ? = 0.6 litros de agua requerida

80

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

Fracciones

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de sobres

1/2

1

1 1/2

2

2 1/2

3

Cantidad de litros

3/4

3/2

9/4

3

15/4

9/2

4/6

4/6

2/3

2/3

20/30

6/9

Cociente

sobres litro

Decimales

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de sobres

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Cantidad de litros

0.75

1.5

2.25

3

3.75

4.5

sobres Cociente litro

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

0.6

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente.

¿Lo anterior indica que hay proporcionalidad en los datos? Sí. En su caso, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? La constante es 0.6 2

En fracciones:

3

.

En decimales:

0.6

Si hay 12 sobres de sabor y hay 5 litros de agua, ¿se utilizarán los 12 sobres?

.

Si hay 17 sobres y 23 litros de agua, ¿se utilizarán todos los litros de agua?

Si conoces la cantidad de sobres de sabor, ¿puedes calcular la cantidad de litros de agua que se necesitan? Sí. Si se representa la cantidad de sobres con la letra x, y con y a la cantidad de litros de agua, ¿cuál sería su expresión algebraica? Sí. Y

=

2

x

,

o bien con decimales

y

=

0.6

x

La constante de proporcionalidad es 3/2, o bien 1.5. La expresión algebraica es y = 3x/2, o bien y = 1.5x. El 2 indica la cantidad de sobres y el 3 indica la cantidad de litros.

,

3

PROHIBIDA SU VENTA

cuya gráfica se muestra en la figura 1. Los puntos marcados en la recta de dicha gráfica, ¿qué representan? Por ejemplo, ¿cómo se interpreta el punto (2, 3)? El 2 indica El 3 indica

,"
/

. -

Cantidad de sobres.

*$+"
,$-+

,

Litros de agua.

B_jhei Z[
W]kW

En la pareja (4.5, 6.75), ¿que representan cada uno de los números?:

+ * )

("
)

(

El 4.5 indica

Cantidad de sobres.

El 6.75 indica

Litros de agua.

' &

En la pareja (6, 9), ¿que representan cada uno de los números?: El 6 indica

Cantidad de sobres.

El 9 indica

Litros de agua.

'

(

)

*

+

,

-

.

/

N

9Wdj_ZWZ
Z[
ieXh[i

Figura 1

81

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O /

Es importante que los alumnos entiendan que los puntos de la gráfica son una relación de valores entre dos elementos del problema, no solamente como puntos en el plano. Conviene recordar que al resolver problemas, un tema a trabajar es modificar los datos para valorar los procedimientos de resolución, pedir a los estudiantes que planteen problemas similares o encuentren datos que se acomodan a una solución dada. De esta manera se enfatizará el tipo de relación entre variables que define una proporcionalidad directa.

12/12/08 3:32:08 PM

BLOQUE 1 Los estudiantes deben aprender a plantearse preguntas y atreverse a modificar las situaciones que ya enfrentaron; solamente de esta manera descubrirán las relaciones más importantes. 33/8 litro y 75/8 litro 11/4 ⫻ 3/2 = 33/8 y 25/4 ⫻ 3/2 = 75/8

Para curiosos Discute con tus compañeros cómo saber, aproximadamente, los litros de agua que se 3 1 necesitan para 2 y 6 sobres. Basta multiplicar por 3/2. 4 4 Usa la expresión algebraica que relaciona la cantidad de sobres con la cantidad de li3 1 tros de agua para saber los valores exactos correspondientes para 2 y 6 sobres. 4 4 Para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, ¿es preferible usar decimales o fracciones? ¿Por qué? Depende. Ambos se pueden usar indistintamente, sólo que con decimales a veces se pierde información por la cola infinita de cifras decimales y sólo podemos aproximar, mientras que con fracciones tenemos el resultado exacto.

¿Qué sucedería si tienes 10 litros de agua para preparar las bebidas de la fiesta? ¿Cuántos sobres necesitarías? 6.6 sobres. Con tus compañeros considera que tienes varios litros de agua y determina la cantidad de sobres que se requieren. También puedes suponer que tienes varios sobres para hacer la mezcla, determina los litros de agua necesarios en cada caso. La cantidad de sobres y la cantidad de agua están relacionados, encuentra la expresión algebraica correspondiente y determina si hay o no una relación de proporcionalidad entre dichas cantidades. Sí hay una relación de proporcionalidad. La expresión algebraica es 3/2 y = x Construye la siguiente tabla (algunos valores incluidos en ella son aproximaciones).

Usando fracciones

PROHIBIDA SU VENTA

El uso de distintos números es un tema para trabajar siempre, pues por lo general las aplicaciones requieren de fracciones o decimales, no necesariamente se presentan con números enteros.

Usando decimales

Litros de agua

Sobres de sabores

Litros de agua

Sobres de sabores

1

2 3

1

0.67

2

4/3

2

1.3

3

6/3 = 2

3

2

4

8/3

4

2.6

5

10/3

5

3.3

6

12/3 = 4

6

4

7

14/3

7

4.6

8

16/3

8

5.3

9

18/3 = 6

9

6

10

20/3

10

6.6

11

22/3

11

7.3

82

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12/12/08 3:32:09 PM

LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

De acuerdo con las cantidades que calculaste, por cada renglón de la tabla, ¿cuál es el resultado de lo cocientes del tipo: litros de agua requeridos ? sobres de sabor Fracciones

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de litros Cantidad de sobres Cociente

litros sobre

Decimales

1

2

3

4

5

6

2/3

4/3

2

8/3

10/3

4

3/2

6/4

3/2

12/8

15/10

6/4

Renglón 1 Renglón 2 Renglón 3 Renglón 4 Renglón 5 Renglón 6

Cantidad de litros Cantidad de sobres Cociente

= 3/2

litros sobre

1

2

3

4

5

6

0.67

1.3

2

2.6

3.3

4

1.49

1.5

1.5

1.5

1.5

1.5

¿Hay proporcionalidad entre los datos? ¿Cuál es el factor de proporcionalidad? En fracciones:

Hay proporcionalidad entre los datos. El factor de proporcionalidad es 3/2.

3

.

2

En decimales:

1.5

.

En este caso, para calcular la cantidad de sobres (x) si conoces la cantidad de agua (y), se observa que se puede utilizar la expresión algebraica: 3

x=

y,

2

PROHIBIDA SU VENTA

Hacer ensayos y modificar lo realizado es una forma de trabajo que ayuda a ordenar los pensamientos y desarrollar habilidades que no solamente servirán en matemáticas, sino que tienen repercusiones importantes en otros campos y en el pensamiento crítico.

La constante de proporcionalidad es 2/3. La expresión algebraica es x = 2y/3. El 2 indica la cantidad de sobres y el 3 indica la cantidad de litros. Algunos puntos en la recta son (3, 2), (7, 4.67) y (12, 8).

En los siguientes ejes coordenados construye una gráfica de esta relación e interpreta las coordenadas de cada punto en términos de la situación analizada. 9 8 7

Cantidad 6 de sobres 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Litros de agua

83

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12/12/08 3:32:10 PM

BLOQUE 1 En este proyecto se promueve que los alumnos partan de relaciones gráficas para conocer las relaciones numéricas y algebraicas, lo cual se logra si se comprende el papel que juegan los puntos en la recta.

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente. ¿Qué es más útil para tener una mejor idea de las cantidades implicadas, usar decimales o fracciones? ¿Por qué? Depende de lo que se quiera analizar. Observando la gráfica es posible encontrar la expresión algebraica de una relación de proporcionalidad y algunos valores en forma aproximada. Utiliza la siguiente gráfica para determinar la expresión algebraica correspondiente y encontrar algunos valores de y a partir de los de x. O

(6, 8)

. ,

y = 4/3 x

+ *

(3, x)

) ( ' &

'

(

)

*

+

,

-

.

/

N

PROHIBIDA SU VENTA

Analiza lo que sucede con el punto (6, 8) que está sobre la recta.

8/6 = 4/3 = pendiente.

Cuando a partir de la cantidad de sobres requeridos (x) se determinó la cantidad de litros de agua ( y), la expresión algebraica correspondiente fue: 3 y = x. 2 3 En este caso, el factor de proporcionalidad es . 2 Sin embargo, cuando invertimos la relación entre las cantidades, es decir, cuando a partir de la cantidad de litros de agua ( y) se determinó la cantidad de sobres requeridos (x), la expresión algebraica correspondiente fue: 2 x= y. 3 2 En este caso, el factor de proporcionalidad es . 3 Como 3 2 ¥ = 2 3

Resulta que

3

¥

2

2

¥

3

=

6

=

1

6

3 2 es el recíproco (también llamado inverso multiplicativo) de . En 2 3

el grado anterior ya trabajaste con este tipo de números. 2 3 Por analogía podemos decir que es el factor de proporcionalidad inverso de . 3 2 84

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12/12/08 3:32:10 PM

LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

Para curiosos Analiza y responde con tus compañeros: 3 2 es el factor de proporcionalidad inverso de ? Sí, pues 3/2 ⫻ 2/3 = 1. 2 3 3 3 3 Si y = x = x ¥ , ¿es correcto que y = x ∏ ? ¿Por qué? No, porque la multiplicación de x por 3/2 2 2 2 no es igual a x entre 3/2 a menos que x = 0.

1

EL ATEN

EO

EN

¿Podemos decir que

Dada la relación de proporcionalidad encuentra los valores que faltan en las tablas.

En estas actividades se pone énfasis en la relación de proporcionalidad asegurada solamente por pocos elementos de las tablas.

• Un vendedor de autos recibe por cada unidad vendida de cierto modelo y marca 2 de su costo, que es de $123 589.00. Llena la siguiente tabla: Recibe por unidad 49 435.6 5 Unidades vendidas (x)

3

5

7

12

34

45

60

Pago que recibe (y)

148 306

247 175

346 045

593 220

1 680 790

2 224. 575

2 966. 100

¿Cuál es la expresión algebraica correspondiente para hacer los cálculos? 49 435 ⫻ n, donde n es el número de unidades vendidas.

Elabora una gráfica de la situación.

y

¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa? 49 435 ⫻ n, donde n es el número de unidades vendidas.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué parte de la venta de cada unidad, de otra marca y modelo, recibe el vendedor si se conoce que el precio de cada unidad es de: $154 978.00? Llena los espacios vacíos de la siguiente tabla:

ykx k49 435

x

Unidades vendidas (x)

1

4

7

12

34

45

60

Pago que recibe (y)

$21 697

$ 88 788

155 379

266 364

754 698

998 865

1 331. 820

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?

22 197 ⫻ n, donde n es el número de unidades vendidas.

Elabora una gráfica de la situación. ¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?

85

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12/12/08 3:32:11 PM

BLOQUE 1 y

• Un enfermo debe consumir 456 gramos de carbohidratos diarios. Cada gramo de 1 comida proporciona de gramo de carbohidratos. Llena la siguiente tabla: 4 y 1/4x 1

4

x

Gramos de comida por día (x)

375

528

786

142

348

555

Gramos de carbohidratos (y)

93.75

132

196.5

35.5

87

138.75

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?

460 115

y=¼x

Elabora una gráfica de la situación. ¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa? 1 • Un automóvil consume de tanque de gasolina en un día. ¿Cuánto consume en 3 7 días?

y

1

y 1/3x

3

X

Días

1

2

3

4

5

6

7

Tanque de gasolina

1 3

2/3

3/3

4/5

5/3

6/3

7/3

¿Cuál es la expresión algebraica de este caso?

y = 1/3 x

Elabora una gráfica de la situación. ¿Cuál sería la expresión algebraica de la relación de proporcionalidad inversa?

PROHIBIDA SU VENTA

2 Se trabajan las relaciones gráficas para determinar las relaciones aritméticas y algebraicas, pues en los cursos de matemáticas, generalmente se presentan las relaciones algebraicas para obtener las numéricas y las gráficas, cuando en la práctica lo que se debe interpretar es el comportamiento contenido en gráficas y a partir de ello determinar los modelos algebraicos correspondientes.

Dadas las siguientes gráficas encuentra la relación de proporcionalidad.

y 12

Y 2x

11 10 9

y

8 7 6

6

5

5 (2,4)

4

4 3

3 (1,2)

2

2

(4,2)

1

1 0

y 1/2x

1

2

3

4

5

6

X

0

(2,1) 1

2

3

4

5

6

7

8

X

Observa que en la gráfica de la izquierda (1, 2) y (2, 4), están sobre la recta. Observa que en la gráfica de la derecha (2, 1) y (4, 2), están sobre la recta. ¿Las gráficas anteriores tienen alguna relación? ¿Una es inversa de la otra? Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes de la tabla. No son inversas.

86

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

Aquí se hace énfasis en la relación que tienen los puntos de la gráfica para determinar los valores en una tabla, sin mediar la expresión algebraica.

3 O '&

x

y

1

2

1.5

3

4

8

5

10

3

6

3.5

7

/ . , + * ) ( ' &

'

(

)

*

+

,

N

Encuentra expresiones con un factor de proporcionalidad inverso al de las siguientes expresiones algebraicas.

4

• y = 4x 1/4

•

P =L 4

•

4

h =b 3

• m=

3

3n 4

4/3

Las relaciones de proporcionalidad directa no siempre aparecen escritas en forma explícita, por ello es importante que los estudiantes sepan reconocerlas y realizar las manipulaciones algebraicas necesarias para determinar las constantes de proporcionalidad respectivas.

PROHIBIDA SU VENTA

Cuando lo grande se hace pequeño Recorta un dibujo sencillo de un periódico y trata de reproducirlo al doble de su tamaño original. Toma dos puntos cualesquiera en el dibujo original y mide la longitud del segmento que los une. ¿Qué longitud deberá tener la réplica de ese segmento en el dibujo que hiciste al doble del tamaño? El doble Si ahora intentas reproducir el dibujo pero para que sea más pequeño, digamos a la tercera parte, ¿qué longitud deberá tener la réplica del segmento en el dibujo más pequeño? 1/3. Procedimientos como estos son muy frecuentes al reproducir figuras a escala. Por ejemplo, en la figura 2 el triángulo grande (ABC) se utiliza para dibujar otro más pequeño (PRQ), a escala.

Las constantes de proporcionalidad se pueden expresar con números menores que uno y la situación equivalente, puede representarse con una constante de proporcionalidad con un coeficiente mayor que uno; por ello los estudiantes deben analizar ambas situaciones y encontrar relaciones entre dichas representaciones.

9

'&
Yc

H ,
Yc +
Yc )
Yc

7 .
Yc

8

F

*
Yc

G

Figura 2

87

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BLOQUE 1

Las longitudes de los lados del triángulo pequeño equivalen a la mitad de las longitudes de los lados del triángulo grande. También es posible establecer una expresión algebraica en estos casos. Denotemos por x la longitud de cada lado del triángulo grande ABC, y por y la de cada lado del triángulo chico PQR. En la tabla siguiente se describe el procedimiento por el que se obtienen los lados del triángulo chico a partir de los del grande. Lados del triángulo grande ( x)

Cálculo de los lados del triángulo chico

AB = 8 cm

8/2

PQ =

4

BC = 6 cm

6/2

QR =

3

CA = 10 cm

10/2

RP =

5

Fig

Lados del triángulo chico (y)

Generalizando este procedimiento llegamos a que la relación proporcional que se da entre las longitudes de los lados del triángulo chico y el grande está dada por 1

y= donde

En los dibujos a escala todas las partes de una figura son afectadas por la misma constante de proporcionalidad. El profesor debe plantear situaciones donde esto sea evidente.

1 2

,

es el factor de proporcionalidad.

Nota que cualquier longitud medida dentro del triángulo mantiene dicha relación, como se ilustra en la figura 3. 9

C


Yc

'&

PROHIBIDA SU VENTA

x

2

c

/
Y

,
Yc

7

8 .
Yc

PN = H


Yc

+

Figura 3

F


Yc D

*$+

*
Yc

1 AM 2

)
Yc

G

Inversamente, si se parte del triángulo chico para dibujar el triángulo grande, se establecería una relación inversa (figura 4).

88

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN 9

'&
Yc

El maestro puede analizar una situación en la que se detecte una relación de proporcionalidad directa con constante de proporcionalidad mayor que uno e intercambiar el papel de las variables implicadas para obtener otra relación de proporcionalidad directa con constante menor que uno.

H ,
Yc +
Yc )
Yc

7

Figura 5

F

8

.
Yc

G

*
Yc

Figura 4

El resultado es que la longitud de los lados del triángulo chico debe ser del doble para construir el triángulo grande. Si x es la longitud de los los lados del triángulo chico y y es la longitud de los lados del triángulo grande, llena la tabla siguiente: Valores de x

Cálculos

Valores de y

PQ = 4 cm

4⫻2

AB =

8

QR = 3 cm

3⫻2

BC =

6

RP = 5 cm

5⫻2

CA =

10

La expresión algebraica correspondiente es: y=

2

x

.

En este caso también, cualquier longitud medida en el triángulo chico será el doble en el triángulo grande (figura 5).

Puede trabajarse en clase lo que sucede con algunos cuadriláteros o polígonos.

H c +
Y D ($*

'&

C

*
Yc


Yc

QN = 7 .
Yc

G

,
Yc

*$.

PROHIBIDA SU VENTA

F
Yc

)
Yc


Yc

9

1 BM 2

8

Figura 5

¿Qué sucedería si hubiera que agrandar cada parte del triángulo 2.56? Se tiene y = 2.56x ¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso? 2.56, 1/ 2.56 = 0.39 Escribe las expresiones algebraicas correspondientes: y = 2.56 x , y = 0.39x

89

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BLOQUE 1

¿Que sucedería si hubiera que agrander cada parte del cuadrilátero 0.46? Se hace y = x (0.46) ¿Cuál sería el factor de proporcionalidad? ¿Cuál el factor inverso? 0.46, 1/0.46 Escribe las expresiones algebraicas correspondientes: En este proyecto se incorporan algunas preguntas que los estudiantes se formulan y son importantes en la comprensión del concepto de proporcionalidad.

y = 0.46 x

y = x / 0.46

Para curiosos Discute con tus compañeros lo siguiente.

PROHIBIDA SU VENTA

1

EL ATEN

EO

EN

• ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es mayor que 1? ¿Qué se está haciendo? Se agranda. • ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es igual a 1? ¿Qué se está haciendo? Queda igual. • ¿Qué sucede si en un dibujo a escala el factor de proporcionalidad es menor que 1? ¿Qué se está haciendo? Se reduce. • Si en un dibujo a escala sabes que cualquier longitud es un décimo del tamaño real, y mides en ese dibujo un segmento de 12 cm, ¿cuánto mide la longitud correspondiente en el objeto real? 1.2 cm. 1 • Si la escala de un mapa es de y una carretera en el mapa mide 28 cm de lon1000 gitud, ¿cuál es la longitud de la carretera real? 2 800 cm.

Toma las medidas necesarias de las figuras y, en cada caso, encuentra el factor de proporcionalidad que se aplicó. También encuentra el factor de proporcionalidad inverso y las expresiones algebraicas asociadas.

x 1/3

x1.61

x1/3

3x

x1.57

x3

90

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

2

Las longitudes de los lados de un rectángulo son 12 y 23 cm. Si se hace un dibujo 36 a escala de éste de tal modo que las longitudes de sus lados sean 5.14 ª 7 69 y 9.86 ª . 7

冉 冊

冉 冊

Con mucha frecuencia en mapas o catálogos de diseño se emplean relaciones de proporcionalidad con constante de proporcionalidad menor que uno, por ello conviene hacer énfasis en este tipo de situaciones.

+
Yc

'(
Yc

/
Yc -
Yc

()
Yc

¿Cuál sería el factor de proporcionalidad directa e inversa? 2.3 y 0.42 ¿Cuáles serían las expresiones algebraicas correspondientes a los dos factores? En la reducción, ¿qué longitudes tendrían los segmentos marcados en la figura?

y = 2.3x,

y = 0.42x

9 N 3.78 cm,

5 N 2.1cm

7 N 2.94 cm

26 cm

Se hizo un dibujo a escala de un rectángulo usando un factor de proporcionalidad 3 de . Si el rectángulo a escala tiene dimensiones de 9.75 cm por 4.5 cm, dibuja el 8 rectángulo original. Tendría dimensiones de 26 cm x 12 cm.

3

Escala tras escala

El trabajo con escalas repetidas se puede motivar con el diseño de mantas o carteles, en los cuales se modifican las dimensiones de letras y figuras, ello suele ser el resultado de la aplicación de diferentes escalas.

PROHIBIDA SU VENTA

Una empresa que fabrica carteles educativos desarrolla cuatro versiones del aparato circulatorio: la original, una que debe tener una altura de la mitad del original, otra que debe ser la tercera parte de la primera versión y una más que se reduce a una cuarta parte de la segunda versión.

12 cm

Figura 6

91

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BLOQUE 1

Para cerciorarte de que todas las partes del cartel se redujeron proporcionalmente, escribe las expresiones algebraicas y encuentra también la expresión algebraica correspondiente a las situaciones inversas, que corresponderían a: • La reducción de la versión original a la primera versión: Es importante encontrar una relación entre las dimensiones del objeto inicial y el resultado de la última reducción o ampliación, la cual se puede calcular a partir de las reducciones o ampliaciones sucesivas del efecto final.

Y = 1/2 x

El proceso inverso sería y = 2x.

• La reducción de la versión original a la segunda versión: y = 1/3 x

El proceso inverso sería y = 3x.

• La reducción de la versión original a la tercera versión: y = 1/8 x.

El proceso inverso y = 8x.

• La reducción de la primera versión a la segunda versión: y = 0.6x

PROHIBIDA SU VENTA

y = 1/0.6 x

• La reducción de la segunda versión a la tercera versión: y = 0.75 x

y = 1.33 x

• Si el cartel tiene dimensiones de 50 por 35 cm, encuentra el tamaño de la primera, segunda y tercera versión. 25 ⫻ 17.5 16.6 ⫻ 11.66 4.15, 2.9 , y .

92

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

• Si la tercera versión debe ser de 5 por 3 cm, ¿cuál debe ser el tamaño de la segunda y primera versión, así como el original? 20, 12, 13.33, 8 40, 24 , y . Primera versión, segunda versión original.

Se edita un libro de arte y las reproducciones de las pinturas deben quedar enmarcadas con cuadros de dimensiones 2.75 por 1.56. Las reducciones deben ocupar media cuartilla impresa en tamaño carta (21.59 por 27.94 cm) con márgenes de 2.5 cm en cada orilla.

Las reproducciones a escala son buenas oportunidades para desarrollar la habilidad de determinar el factor inverso dada una relación de proporcionalidad y el factor de proporcionalidad fraccionario.

• ¿Cuál sería el tamaño de la reproducción que mejor se acomodaría? 22.94 ⫻ 5.79 cm . • ¿Con qué fórmula se calcularían las reducciones necesarias de otras obras de arte para ocupar el mismo espacio? Y = 1/12x

• Para promoción, se quieren imprimir folletos que contengan reducciones de algunas obras de arte en un octavo de cuartilla, con los márgenes antes señalados. Encuentra la fórmula que acomodaría mejor a esta situación

PROHIBIDA SU VENTA

y = 1/8x

Compara los resultados con tus compañeros. Pueden variar, pero en conjunto seguramente encontrarán la mejor solución para esta situación. A veces se aplican relaciones de proporcionalidad de manera reiterada. Por ejemplo, si se desea incluir en un libro una imagen a escala de una pintura que tiene dimensiones de 2 m (200 cm) de largo por 1 m (100 cm) de alto, y se tiene que 1 ocupar un espacio de 20 cm ¥ 10 cm, se aplica una escala de . 10 También se quiere imprimir un folleto promocional que contenga dicha imagen en un espacio de 10 cm por 5 cm. En este caso, a la reproducción de la pintura en el 1 libro se le aplica una escala de . 2 Finalmente, se desea hacer estampas de 2 cm por 1 cm a partir de la imagen del 1 folleto. Para lograr esto, se aplica a dicha imagen una escala de . 5 Así pues, la imagen de la pintura original ha sufrido varias reducciones hasta su impresión en las estampas, como se aprecia en la figura 7. La primera reducción fue 1 1 1 de , a la cual se le aplicó después una escala de y a esta última una escala de . 10 2 5 Esto quiere decir que la imagen original se redujo en una escala de

Esta actividad permite relacionar datos de más de dos conjuntos y utilizar procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

1 1 1 1 ¥ ¥ = . 10 2 5 100

93

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BLOQUE 1

H[fheZkYY_Œd
[d
[b
b_Xhe

;iYWbW F_djkhW
eh_]_dWb0 (
c
´
'
c

1 10

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Yc

(&
Yc

1 2

1 5

+
Yc

'
Yc (
Yc H[fheZkYY_Œd [d
bWi
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'&
Yc

EN

H[fheZkYY_Œd
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\ebb[je

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

EL ATEN

EO

PROHIBIDA SU VENTA

Figura 7

Discute con tus amigos lo siguiente. 1

2 3 1 3 Una foto primero se reduce , luego ; posteriormente y finalmente . Si la foto 3 5 7 4 original tiene dimensiones de 30 cm por 20 cm, ¿cuáles son las dimensiones de cada reducción y cuál será el factor que indica la reducción del original a la última reducción? 20 ⫻ 13.33, 12 ⫻ 7.99; 1.7 ⫻ 1.19, 1.27 ⫻ 0.85 La reducción total fue de 18/420.

2

Si se tiene una foto de 15 cm por 30 cm después de haber sufrido las mismas reducciones que en el inciso anterior, ¿cuál era el tamaño del original? 350 ⫻ 700 cm.

94

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

Demuestro lo que sé y hago 1 De la siguiente gráfica, encuentra la relación de proporcionalidad.

2 Dada la siguiente gráfica llena los valores faltantes de la tabla. y

y 12

20

11

19

10

18

y 4x

17

9 8

16

7

15

6

14

5

13

4

12

3

11

2

10

1

9

0

8

1

2

3

4

5

6

7

x

7 6 5 4 3

x

1

y

2

1

2 1

PROHIBIDA SU VENTA

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

1 2

2

3

1 2

3

5

1 2

7

4 8

4

1 2

9

5 10

x La posibilidad de representar una situación de diferentes maneras es una habilidad importante en todo el estudio de la matemática. Por ello, una vez que los alumnos han resuelto problemas mediante el uso de tablas, la expresión algebraica y con la representación gráfica, hay que integrar estos aspectos. Estos problemas permiten hacer esa integración.

3 Alberto cobra por cada hora de trabajo $150. ¿Cuánto cobrará en 7 horas? $1,050

Horas

1

2

3

4

5

6

7

Cobro

$150

300

450

600

750

900

1 050

95

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BLOQUE 1

4 A partir de cada uno de los siguientes triángulos, dibuja otro a escala usando el factor de proporcionalidad que se pide.

8 Reproduce a escala las siguientes figuras usando un 1 factor de proporcionalidad de . 3

Es importante que los estudiantes manejen situaciones en las que el álgebra sea el primer contexto por utilizar y otras donde se haga referencia a figuras geométricas.

Factor r =

1 3

15

15

9

5

3

Factor r = 4

4 Queda enorme, de 20, 16 y 12 unidades en cada lado.

3 de litro se requieren para 4 embotellar 240 litros de aceite? 320 botellas.

PROHIBIDA SU VENTA

5 ¿Cuántas botellas de

9 En una medicina se agregan 30 ml de la sustancia A, a 76 ml de la sustancia B.

2 6 En un poblado, del total de los varones están casa3 2 dos con del total de las mujeres. ¿Qué parte de la 5 población total está soltera? 8/15

• Si se tienen 12, 17, 34, 56 ml de la sustancia A, ¿con cuántos ml de la sustancia B se pueden mezclar cada uno? 30.4, 43.06, 86.1, y 141 ml, respectivamente. • Encuentra la fórmula para calcular los ml de sustancia B que se necesitan, dadas ciertas cantidades de ml de la sustancia A. B = 76/30 x • Si se tienen 56, 89, 102, 306 ml de la sustancia B, ¿cuántos ml de la sustancia A se requieren para mezclar en cada caso? 22.1, 35.1, 40.2 y 120 ml, respectivamente. • Encuentra la fórmula para calcular los ml de sustancia A que se necesitan, dadas ciertas cantidades de ml de la sustancia B A = 30 / 76 x

7 Una máquina para retirar lirio acuático retira 2 to2/3 de tonelada neladas por día. • ¿Cuántas toneladas retira en la tercera parte de un día? • ¿Cuántas toneladas retira en 4 días y medio? 9 • ¿Cuántos días se requieren para retirar 13 toneladas? 6.5 días. 96

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LECCIÓN 3 • SI UNO AUMENTA, EL OTRO TAMBIÉN

10 Mi reloj se adelanta 8 minutos al día, ¿cuánto se adelantará en 3 horas? 1 minuto.

• Encuentra una fórmula para calcular las dimensiones de distintas partes de la reducción. y = 2.33 x • Si del auto de pedales se desea hacer una reducción, como adorno, donde su altura sea de 5 cm, ¿cuánto deben reducirse las otras dimensiones? 3.2 m • Encuentra una fórmula para calcular las dimensiones de diversas partes de la reducción del auto de pedales al auto de adorno. y = 3.2 x • Encuentra una fórmula para calcular las dimensiones de distintas partes de la reducción del auto original al auto de adorno. y = 0.31 x

11 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de proporcionalidad. y = 3x y y 3x

12 11 10 9 8

13 Dada la siguiente gráfica, encuentra la relación de proporcionalidad. y = 1/2 x

7 6

y

5 4 12

3

11

2

0

y 1/2x

10

1 1

2

3

4

5

6

7

9

x

8 7 6

12 Una empresa de juguetes decide hacer un modelo a escala de un auto que ocupa un espacio de 2.8 m de largo por 1.5 m de ancho y 1.6 m de altura.

5 4 3

• Quiere hacer un modelo, en un auto de pedales que debe reducir el largo del vehículo a 1.2 m. ¿Cuánto deberán reducirse las otras dimensiones?

2 1 0

Reducción de 2.33 m.

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13

x

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate • Grupo Beta

fundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

Proporcionalidad geométrica y semejanza Síntesis, Madrid, 1990. • María Luisa Fiol y Josep Maria Fortuny Proporcionalidad directa Síntesis, Madrid, 1990. • Yakov Perelman Geometría recreativa En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ geometriarecreativa/index.html. Matemática recreativa En línea: http://www.librosmaravillosos.com/ matematicarecreativa/index.html.

• http://www.bnm.me.gov.ar/giga1/ documentos/10021635.pdf Encontrarás información sobre el manejo de escalas en distintas situaciones.

También puedes consultar los siguientes libros. • Aurelio Baldor

Geometría y trigonometría Grupo Cultural Patria, México, 2007 En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden obtener imágenes que se pueden modificar de diversos modos con un solo factor o por medio de la aplicación de varios, lo cual podrá ayudar a los estudiantes a conocer con mayor profundidad los efectos que tienen la aplicación de uno o varios factores de proporcionalidad.

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97

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4

Cue tas de cuántos Cuentas cuá tos Se presenta de manera genérica lo que se espera que los estudiantes aprenderán en esta lección.

Mis retos En esta lección abordarás situaciones de conteo apoyándote en el uso de arreglos rectangulares y diagramas de árbol, entre otros recursos, con el fin de determinar el número de casos posibles en diversos problemas.

¿Qué sé? En el curso anterior trabajaste con algunas técnicas de conteo, empleando tablas y diagramas. Además abordaste diversas situaciones en las cuales se presentan regularidades numéricas. Aquí se establecen los contenidos ya aprendidos en la escuela primaria y que se utilizarán en la presente lección; los alumnos y el maestro pueden recordar algunos de ellos.

Abordarás problemas de conteo en los cuales, para organizar la información y averiguar el total de combinaciones posibles, utilizarás recursos asociados a la multiplicación de números, como es el caso de los arreglos rectangulares y los denominados diagramas de árbol, gracias a los cuales puedes analizar todas las posibilidades de organización de un conjunto de datos. Esto conducirá a la deducción de un principio fundamental de conteo.

PROHIBIDA SU VENTA

Los retos establecidos al inicio se desglosan en preguntas por responder, lo cual será un punto de referencia para los alumnos, pues al final deberán poder responder estos cuestionamientos.

¿Qué lograré aprender?

98

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Esta sección puede considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente, asimismo, se puede usar como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para los temas de la lección. La manera en que se emplee tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de acreditación.

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Si echo volados con dos monedas a la vez, una de $10 y otra de $1, ¿de cuántas maneras distintas pueden caer esas monedas? 4

2 Si tengo 2 playeras, una verde y otra amarilla, y también tengo 3 pantalones cortos: uno rojo, otro blanco y otro verde, ¿cuántas formas distintas de combinar ambos tipos de prendas tengo? 6

3 Si se deben etiquetar varias cajas con tres dígitos del 000 al 999 seguidos de la letra A o la letra B. ¿Cuál es el número máximo de cajas que se pueden etiquetar utilizando este sistema? 2 000

4 ¿Qué es un diagrama de árbol? Es una gráfica que sirve para analizar todas las combinaciones posibles. Se le llama así porque gráficamente se va ramificando como un árbol.

Las técnicas de conteo se basan en diagramas rectangulares o de árbol, por ello una exploración inicial antes de avanzar en el tema es necesario, sobre todo dado que el tema ya se ha trabajado anteriormente.

5 Una señora gana dos boletos para viajar a Cancún, Puerto Vallarta o Ixtapa, y solamente puede llevar a su esposo, hija o hermana. ¿Cuántos lugares y combinaciones posibles tendrá la señora para elegir?

PROHIBIDA SU VENTA

9

6 Si un mago tiene escondidas en una bolsa 3 pelotas, una verde, una roja y una amarilla, ¿cuántas maneras diferentes tiene para sacar las 3 pelotas? Recuerda que las pelotas no se regresan a la bolsa después de sacarlas. 6

7 En una cafetería venden 3 tipos de café y 5 tipos de sándwich. ¿Cuántos almuerzos diferentes se pueden formar con un tipo de café y un tipo de sándwich? 15

8 En una eliminatoria hay 5 boxeadores de Asia que deben pelear con 7 boxeadores europeos. ¿Cuántas parejas de contrincantes se pueden formar? 35

99

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BLOQUE 1

Tablas, árboles y posibilidades En una escuela se está organizando un baile para conmemorar la Revolución mexicana. A uno de los grupos le toca organizar una presentación de bailes regionales. En él hay dos hombres y tres mujeres dispuestas a participar (figura 1).

Figura 1 Debido a que los estudiantes ya han trabajo aspectos relacionados con los diagramas rectangulares y de árbol, conviene que “jueguen” con este tipo de herramientas de conteo, lo cual se logra ampliando o disminuyendo el número de componentes para determinar el número de posibilidades.

¿Cómo se podrán organizar las parejas para el baile? 1 2

A

3 Se pueden formar 6 parejas. 1 2

B

3

Figura 2

Hay muchas posibilidades para realizar la asignación de parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar en total?

PROHIBIDA SU VENTA

6, si no son del mismo sexo. En muchas situaciones se utilizan estrategias de conteo que ayudan a planear eventos o a realizar presupuestos, de tal modo que las estrategias y ejemplos planteados pueden servir de pauta para que los estudiantes planteen situaciones análogas pero de otros contextos.

Si en cada baile debe actuar por lo menos una pareja diferente, ¿cuántos bailes se podrían montar? 6

Si después de algún tiempo ya se cuenta con cinco hombres y tres mujeres, ¿cuántas parejas se podrían formar? 15 parejas.

¿Cuántos bailes se podrían considerar en la función con la condición de que por lo menos una pareja fuera diferente? 6

100

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LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS

¿Empleaste diagramas de árbol o rectangulares como en la sección “Algo de lo que me enseñaron”? Si no fue así, trata de utilizarlos para resolver las preguntas y analiza qué tipo de diagrama es más adecuado para cada pregunta. ¿Qué operación utilizarías para hacer los cálculos en las preguntas anteriores? Multiplicación 3 ⫻ 2 _= 6 3 ⫻ 5 = 15

y

Veamos otro ejemplo. Analiza con tus compañeros la siguiente situación y responde las preguntas. En el periodo de elecciones de una escuela, para determinar cuáles serán los dos estudiantes que se encargarán de la organización estudiantil, hay 4 candidatos de un grupo A y 3 de otro grupo, el B. Ambos grupos están de acuerdo en lanzar candidaturas conjuntas. ¿Cuántas parejas de posibles contendientes se pueden formar? 12 ¿Cómo utilizarías un diagrama rectangular para resolver esta situación? A1 A2 A3 A4

1 B

2

A1 A2

A1 A2 A3 A4

3

Diagrama de árbol.

A3 A4

¿Puedes utilizar un diagrama de árbol? ¿Cómo?

A

A2

A3

A4

B1

A1B1

A2B1

A3B1

A4B1

B2

B2A1

A2B2

A3B2

A4B2

B3

A1B3

A2B3

A3B3

A4B3

Diagrama rectangular.

PROHIBIDA SU VENTA

¿Qué operación harías para determinar el número de casos posibles? Multiplicación. 3 ⫻ 4 = 12

Para curiosos Discute con tus compañeros: ¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si en cada grupo (A y B) hay 5 estudiantes para formar la planilla? 25 parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar para tener planillas si hubiera 7 estudiantes en el grupo A y 12 en el B? 84 parejas. ¿Cuántas ternas se pueden formar para tener planillas si se trataran de poner de acuerdo tres grupos, uno con 2 candidatos, otro con 4 y otro con 5? 40 ternas.

101

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BLOQUE 1

Analiza otra situación. Se organiza un torneo de yudo entre dos clubes deportivos, el Club A y el Club B. En el Club A hay cinco competidores y en el Club B, 12 competidores. ¿Cuántas parejas se podrán formar en el primer encuentro eliminatorio? 60 parejas

Si usas un diagrama rectangular, ¿cuántas filas y columnas se forman? 5 filas, 12 columnas o viceversa.

Si usas un diagrama de árbol, ¿de cuántos puntos inicias las ramas? ¿En cuántas ramas se despliega cada una? De 5 con 12 ramas o 12 con 5 ramas cada uno.

¿Con qué operación aritmética se calcula el resultado del total de posibilidades? Con la multiplicación.

Se van a mezclar 5 tonos de pintura verde con tres tonos de pintura café ¿Cuántos colores se obtendrían de todas las combinaciones posibles? 15

¿Se pueden realizar operaciones aritméticas para obtener la solución? Sí, 5 ⫻ 3 = 15.

¿Cómo calcularías el total de colores que se obtendrían con las combinaciones? Multiplicando 3 x 5.

5 + 5 + 5 = 15

PROHIBIDA SU VENTA

Plantea la solución empleando solamente sumas. o 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 Plantea el procedimiento para resolver la situación con una multiplicación. 5 ⫻ 3 = 15 Utiliza un diagrama de árbol y un diagrama rectangular para comprobar tus respuestas

V1 V2 V3 V4 V5

C1 C2 C3

Tonos de pintura verde.

C1

C2

C3

V1

V1C1

V1C2

V1C3

V2

V2C1

V2C2

V2C3

V3

V3C1

V3C2

V3C3

V4

V4C1

V4C2

V4C3

V5

V5C1

V5C2

V5C3

V1

Tonos de pintura café.

c1 c2 c3 V2

c1 c2 c3 V3

V5

V4 c1 c2 c3

c1 c2 c3

c1 c2 c3

Lo anterior se resume en lo que se denomina el principio de multiplicación: si tienes dos grupos con determinado número de elementos, el total de parejas que se pueden formar con un elemento de cada grupo, sin considerar permutaciones, es 102

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LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS

igual al producto de las cantidades que indican los elementos de cada uno de los grupos. Este principio se puede aplicar a más de dos grupos. ¿Cuántas parejas se puede formar con cinco hombres y siete mujeres? 5

¥

=

7

35

.

Si fueran 32 hombres y 45 mujeres, ¿cuántas parejas se formarían? Respuesta modelo. 32

¥

=

45

1440

.

Plantea un problema que se resuelva con una tabla como esta: Respuesta modelo.

Tienes 10 galletas de animalitos diferentes y 6 chocolates con distintos rellenos. ¿De cuántas maneras te puedes comer una pareja de galleta y chocolate? El maestro debe llamar la atención a los estudiantes en el método de cálculo que se desprende de los diagramas rectangulares y de árbol.

¿Cuántas parejas se pueden formar? 10

¥

=

6

60

.

Plantea un problema que se resuelva con el diagrama de árbol de la figura 3. Tienes 4 playeras de distinto color y 3 faldas con diferente estampado. ¿De cuántas maneras diferentes te puedes vestir?

PROHIBIDA SU VENTA

EL ATEN

EO

EN

El uso de cantidades “grandes” inhibe el uso de tablas o diagramas de árbol, por ello deben plantearse con dichos números, además de incluir más de dos componentes y generalizar así el método.

En las siguientes actividades, analiza con tus compañeros si es más útil un diagrama de árbol o uno cartesiano (la tabla) para resolver los problemas. 1

Unos amigos llegaron a un expendio de tacos. En él se ofrecen tacos de bistec y pollo, con cebolla, con salsa y cilantro. ¿Cuántas posibles combinaciones de tacos se pueden elegir? 6

2

¿Cuántas maneras hay para contestar un examen de 6 preguntas que sólo admite como opciones de respuesta verdadero o falso? 12 Si el examen tiene 15 preguntas y cada una con 5 opciones de respuesta, ¿cuántas maneras hay para responderlo? 75

103

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BLOQUE 1 Hay varias situaciones que pueden analizarse con los diagramas rectangulares y de árbol, pero más que hacer que los estudiantes abarquen muchas situaciones, es importante que ellos las diseñen y resuelvan, de tal modo que las actividades aquí planteadas sirven de ejemplo para que los alumnos imaginen nuevas situaciones.

3

¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3 y 4?

4

Un almacén tiene siete puertas regulares y cinco de emergencia, que sólo pueden abrirse por dentro. ¿De cuántas formas puede una persona entrar y salir de la tienda? 35

5

Para el lanzamiento de dos monedas y un dado:

12

águila. • Construye el diagrama de árbol y enumera todos los casos posibles. as == sol. • ¿Cuántas veces saldrá dos soles y el uno? En el diagrama aparece una sola vez. p = 1/ 24

6

Construye el diagrama de árbol para el lanzamiento de tres dados.

7

¿Cómo podrías distribuir en un diagrama cartesiano todas las posibles formas en que pueden caer tres monedas que se lanzan? ¿Cuántas combinaciones se obtienen? Tres columnas, 8 renglones. Hay 8 combinaciones.

8

Ahora se tienen cuatro monedas de distinto valor, al lanzarse generan diferentes combinaciones. ¿Cuántas combinaciones se obtienen? 16 combinaciones

9

Construye el diagrama de árbol para dos dados de diferente color y una moneda.

10

Un hombre tiene tiempo para jugar ruleta cinco veces a lo sumo. En cada juego gana o pierde $100. El hombre empieza con un billete de $100 y dejará de jugar si antes de la quinta vez pierde todo su dinero o si gana $300, esto es, si tiene cuatro billetes de $100. Hace el siguiente diagrama para delinear su estrategia.

$100

$200

Juego 1

$300

PROHIBIDA SU VENTA

Juego 2

Juego 3

$400

$300

Juego 4

Juego 5

$0

$400

$200

$100

$200

$200

$100

$300

$200

$0

$400

$200

$0

$100

$200

$0

• Después de cinco juegos, ¿en cuántos puede ganar $400, en cuántos puede ganar $200 y en cuánEn 3 o en 5 puede ganar $400. tos no gana? En 1, 3 o 5 puede ganar $200. En 1, en 3 y 5 puede quedarse con $0.

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12/12/08 3:40:38 PM

SOLUCIONARIO

LECCIÓN 4 • CUENTAS DE CUÁNTOS

Demuestro lo que sé y hago 1 De cuántas formas diferentes se puede responder un examen que consta de 12 preguntas de falso y verdadero. 24 formas

2 De cuántas formas diferentes se puede responder un examen de 6 opciones por pregunta, si consta de 25 preguntas.

Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas, como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

8 Si arrojamos un dado y una moneda al mismo tiempo, ¿de cuántas formas distintas podrán caer? 12

9 En un problema de arrojar dos dados de distinto color, ¿cuántas combinaciones existen en donde aparece un cinco? 10

150 formas

3 ¿Cuántas palabras de siete letras se podrán formar utilizando solamente las cinco vocales? En castellano no existen esas palabras. Si no importa que no tenga ningún sentido, podemos formar 35 palabras.

P1

4 ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6, incluyendo repeticiones? 30

5 Eduardo tiene 6 camisas y 4 pantalones que combinan perfectamente. Haciendo un diagrama de árbol, ¿cuántas combinaciones tendrá para elegir?

P2 C= P= P3

24

6 Se tiene un dado verde y un rojo, al arrojarlos se producen diferentes combinaciones. ¿Cuántas son? 36

P4

7 ¿De cuántas maneras puede acomodarse una enciclopedia de 4 volúmenes en el anaquel de un librero?

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6 C1 C2 C3 C4 C5 C6

24

PROHIBIDA SU VENTA

Conéctate Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

También puedes consultar los siguientes libros. • Juan Díaz Godino et al.

Azar y probabilidad Síntesis, Madrid, 2001. • Carlos Sánchez Fernández y Concepción Valdés Castro Kolmogórov: el zar del azar Nivola, Madrid, 2003.

• http://www.aaamatematicas.com/sta-basic-cntg.htm Encontrarás elementos para analizar las técnicas de conteo que se aplican en diagramas como los de árbol. Cuando se hacen búsquedas en Internet para obtener datos se suelen encontrar pocas situaciones en las que se utilicen diagramas de árbol o rectangulares, pero pueden adaptarse algunas para ser utilizadas en clase.

105

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12/12/08 3:40:38 PM

5

G á cas que Gráficas Gráfi q hablan ab a Se presenta de manera genérica lo que se espera que los estudiantes aprenderán en esta lección.

Mis retos Conocerás un nuevo tipo de gráfica que te ayudará a interpretar información contenida en conjuntos de datos.

¿Qué sé? En el curso anterior trabajaste con representaciones gráficas básicas, las cuales pueden ayudar a abordar otro tipo de representaciones gráficas y a partir de ello analizar la conveniencia de utilizar unas u otras.

¿Qué lograré aprender? Aprenderás a leer nuevos tipos de gráficas que te permitirán interpretar las características de un conjunto particular de datos, lo cual resulta relevante cuando se quiere comparar dos conjuntos de datos.

PROHIBIDA SU VENTA

Aquí se establecen los contenidos ya aprendidos en la escuela primaria y que se utilizarán en la presente lección; los alumnos y el maestro pueden recordar algunos de ellos.

Los retos establecidos al inicio se desglosan en preguntas por responder, lo cual será un punto de referencia para los alumnos, pues al final deberán poder responder estos cuestionamientos.

106

01_05_OK.indd 106

12/12/08 3:43:22 PM

Esta sección puede considerarse una prueba escrita o utilizarse como tarea al inicio de una lección, la cual puede ser resuelta individual o colectivamente, asimismo, se puede usar como temas de discusión en clase para resolver dudas y asegurar cierto nivel del manejo de conceptos o procedimientos necesarios para los temas de la lección. La manera en que se emplee tiene como único fin homogeneizar los conocimientos básicos del grupo. No debe usarse esta parte como una evaluación con fines de acreditación.

ALGO DE LO QUE Q ME ENSEÑARON 1 Define los términos “frecuencia absoluta” y “frecuencia relativa”.

Frecuencia absoluta es el número de veces que ocurre un evento y la relativa es la frecuencia absoluta entre el número total de veces que se realizó el experimento. Con el cociente

2 Si tienes el valor de la frecuencia relativa en una tabla de datos, ¿cómo calculas el porcentaje correspondiente? Con el cociente.

3 En un estudio se recolectaron los siguientes datos:

Deporte favorito

Frecuencias absolutas

Frecuencias relativas

Porcentajes

G

Golf

13

13/610

2%

V

Voleibol

81

81/610

13%

F

Futbol

235

235/610

38%

B

Beisbol

167

167/610

27%

N

Natación

114

114/610

18%

Total

610

610 /610

98%

Para interpretar gráficas es importante saber si los estudiantes manejan algunos temas relacionados con las frecuencias absolutas y relativas.

240 220 200 180

Frecuencias

160

• Completa la tabla, calculando las frecuencias relativas y los porcentajes faltantes.

140 120 100 80 60

PROHIBIDA SU VENTA

• Elabora una gráfica de barras que presente la información recabada en la tabla.

40 20 G

V

F Deporte

B

N

4 La siguiente tabla muestra la cantidad de veces que se obtuvo un número al lanzar un dado.

Resultado del lanzamiento Frecuencia absoluta

12

11

16.41%

15%

12

15

11

12

Total: 73.

20.5%

• Elabora una gráfica circular para representar esta información. 1 16.4 % 3

6

16.4 %

16.4 %

15 %

15 % 5

2

107

01_05_OK.indd 107

20.5 % 4

12/12/08 3:43:24 PM

BLOQUE 1

Histogramas y polígonos de frecuencia Se realizó una encuesta con estudiantes de secundaria. En una parte se les preguntó qué volumen (en litros) de agua pura y de bebidas gaseosas que toman al día. Los datos recabados se encuentran en la siguiente tabla. Llena las columnas de frecuencia relativa y porcentaje de cada una de las tablas mostradas abajo. Elabora una gráfica de barras con los datos de cada tabla, usando los valores de las frecuencias relativas.

Distribución de frecuencias para consumo de agua pura Litros de agua bebidos

Una dificultad de trabajar interpretaciones de gráficas en clase es que muchos datos son ficticios o poco reales, pero sobre todo generalmente son pocos datos, los cuales no requieren tantos elementos para ser analizados, por ello debe iniciarse con situaciones que impliquen una cantidad importante de datos.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentajes

1. Cero

25

25/256

9.7 %

2. Más de cero hasta medio litro

16

16/256

6.2 %

3. Más de medio litro hasta un litro

54

54/256

21 %

4. Más de un litro hasta un litro y medio

76

76/256

29 %

5. Más de un litro y medio hasta dos litros

45

45/256

17 %

6. Más de dos litros hasta dos litros y medio

23

23/256

8.9 %

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros

12

12/256

4.6 %

5

5/256

1.9%

8. Más de tres litros Total:

256

Distribución de frecuencias para consumo de gaseosas

PROHIBIDA SU VENTA

Litros de gaseosas bebidos

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentajes

1. Cero

15

15/257

5.8 %

2. Más de cero hasta medio litro

28

28/257

10.8 %

3. Más de medio litro hasta un litro

69

69/257

26.8%

4. Más de un litro hasta un litro y medio

71

71/257

27.6%

5. Más de un litro y medio hasta dos litros

30

30/257

11.6%

6. Más de dos litros hasta dos litros y medio

21

21/257

8.1%

7. Más de dos litros y medio hasta tres litros

19

19/257

7.4%

4

4/257

1.5%

8. Más de tres litros

Total: 257

01_05_OK.indd 108

12/12/08 3:43:24 PM

a) Los estudiantes beben en su mayoría, entre medio y litro y medio de gaseosas. LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN La mayoría bebe entre un litro y litro y medio de agua.

b) Se consume más agua. c) De agua entre litro y litro y medio, de gaseosas entre litro y litro y medio.

Frecuencia relativa para consumo de agua pura

p

1

g

p

1

0.9

09

0.8 08

0.7

07

0.6

06

0.5

05

0.4

04

0.3

03

0.2

02

0.1

01

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

Frecuencia relativa para consumo de gaseosas

5

6

p

1

1

0.9

09

0.8

08

0.7

07

0.6

06

0.5

05

0.4

04

0.3

03

0.2

02

0.1

01

7

8

g

0

0 1

2

3

4

5

6

7

1

8

2

3

4

5

6

7

8

PROHIBIDA SU VENTA

Al comparar las gráficas, ¿qué observas respecto al consumo de agua o gaseosas? Puedes plantearte preguntas como: ¿Qué bebida se consume más? ¿Qué cantidades de agua o gaseosas son más bebidas? Elabora una gráfica que incluya las dos gráficas. 1 0.9

Figura 1 Gráfica con barras encimadas

1

0.8

09

0.7

08

0.6

07

0.5

06

0.4

05

0.3

04

0.2

03 02

0.1

01

0 1

2

3

4

5

6

7

8

0 1

2

3

4

5

6

7

8

109

01_05_OK.indd 109

12/12/08 3:43:25 PM

BLOQUE 1

¿Qué problemas se presentan al intentar hacer la gráfica de barras de dos conjuntos de datos? Si en la gráfica que integra a las dos gráficas, en lugar de dibujar las barras completas, solamente dibujas la parte superior de las barras y enlazas los escalones resultantes mediante segmentos de recta, ¿cómo se verá ahora la gráfica? 1

Figura 2 Gráfica con escalones de colores unidos por segmentos de recta

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Si en lugar de escalones utilizas el punto medio de cada escalón y los enlazas mediante segmentos de recta, ¿cómo queda la gráfica ahora? A la gráfica resultante de este caso se le denomina polígono de frecuencias. 1 0.9 0.8

Figura 3 Gráfica con el punto medio del escalón unidos por segmentos de recta

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2

PROHIBIDA SU VENTA

0.1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Para curiosos Supongamos que agregas 20 a cada frecuencia absoluta en las dos tablas. ¿Cambiaporque al aumentar la misma cantidad se rán las frecuencias relativas y los porcentajes? No conserva la proporcionalidad. ¿Se modificarán las gráficas?

No.

Si en vez de usar en las gráficas frecuencias relativas, usas frecuencias absolutas o porcentajes, ¿se modificarán en su forma las gráficas? La forma es la misma, la más alta corresponde a la de mayor frecuencia que corresponda a la de mayor porcentaje. Son formas de representar lo mismo.

110

01_05_OK.indd 110

12/12/08 3:43:26 PM

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN

Considera ahora los siguientes datos obtenidos de un estudio sobre las longitudes del cuerpo de cierta especie de serpientes. Se recolectaron los siguientes datos: 43, 41, 17, 24, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 10, 17, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 19, 44, 38, 28, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 44, 13, 19, 34, 16, 45, 10, 36, 43, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 43, 25, 39, 44, 13, 33, 43, 41, 17, 24, 19, 16, 43, 25, 39, 45, 33, 14, 12, 24, 19, 34, 16, 43, 24, 19, 16, 43, 25, 39. Si te piden elaborar una tabla que indique la frecuencia de cada medición, ¿cuántos renglones tendría la tabla? ¿Cuántas barras tendría la gráfica? Como acabas de deducir, sería impráctico hacerlo de esta manera. ¿Qué convendría hacer entonces? El menor dato es 10 , el mayor dato es 45 . Quiere decir que todos los datos se encuentran entre 10 y 45 . Puedes dividir el segmento con extremos menor dato y mayor dato en varias partes y considerar en cada una a los datos que caen en ellas. Divide en dos partes el espacio entre el menor y mayor dato. Así, el número que es el punto medio entre el dato mayor y el menor es 27.5 . ¿Cuántos datos caen en la primera parte (de 10 a 27.5 ) y cuántos caen en la segunda parte (de 27.5 a 45 ). Pero, 27.5 ¿en qué parte se considera? La posibilidad que más se usa es: La primera parte es de 10 hasta antes de 27.5 (esto se simboliza de la siguiente manera: ó 10 , 27.5 à). La segunda parte es desde 27.5 hasta 45 (esto se simboliza: ó 27.5 , 45 ò). Llena la siguiente tabla: Frecuencia absoluta

ó

10

,

27.5

à

47

ó

27.5

,

45

ò

45

Total: 92

PROHIBIDA SU VENTA

Haz una gráfica con esta información, pero usando las frecuencias relativas. 1 1

0.9

09

0.8

08

0.7

07

0.6 06

0.5

05

0.4

04

0.3

03

0.2

02

0.1

01 0

0 1

2

3

4

5

6

7

8

1 10, 27.5

2

3

4

5

6

7

8

27.5, 45

111

01_05_OK.indd 111

12/12/08 3:43:27 PM

BLOQUE 1

Puedes dividir el espacio entre 10 y 45 en más partes; por ejemplo, en cinco partes. Llena la siguiente tabla y elabora una gráfica con los datos de la tabla: Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

(10, 17)

19

19/92

20.6 %

(17, 24)

14

14/92

15.2 %

(24, 31)

14

15/92

16.3 %

(31, 38)

11

11/92

11.9 %

(38, 45)

33

33/92

35.8 %

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1

2

3

4

5

6

7

8

Divide le espacio entre 10 y 45 , en 12 partes iguales. Llena la siguiente tabla y elabora una gráfica con los datos de la tabla:

PROHIBIDA SU VENTA

Para que el espacio entre 10 y 45 se pueda dividir en partes iguales, se tendrían que hacer intervalos de 2.916 de diferencia entre datos, lo cual NO es posible. Por ello aproximamos para hacerlo de 3 en 3.

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Porcentaje

(10, 13)

5

5/92

5.4

(13, 16)

6

6/92

6.5

(16, 19)

13

13/92

14.1

(19, 22)

9

9/92

9.7

(22,25)

7

7/92

7.6

(25, 28)

7

7/92

7.6

(28, 31)

1

1/92

1.0

(31, 34)

5

5/92

5.4

(34, 37)

6

5/92

6.5

(40, 43)

11

11/92

11.9

(43, 44)

13

13/92

14.1

(44, 45)

9

9/92

9.7

112

01_05_OK.indd 112

12/12/08 3:43:27 PM

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN 1 0.9 0.8 0.7 1

0.6

09 08

0.5

07

0.4

06

0.3

04

05

03

0.2

02 01

0.1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 1

2

3

4

5

6

7

8

Sobre las gráficas que elaboraste, traza un polígono de frecuencias. La siguiente tabla muestra la información recabada en un estudio sobre el tiempo que los empleados de una fábrica dedicaron a aprender una tarea de carpintería. Distribución de frecuencias Intervalo (en minutos)

Punto medio

Longitud del intervalo

Frecuencia absoluta (empleados)

[20, 25)

22.5

5

2

0.6

[25, 30)

27.5

5

4

1.1

[30, 35)

32.5

5

52

14.4

[35, 40)

37.5

5

74

20.6

[40, 45)

42.5

5

108

30.0

[45, 50)

47.5

5

64

17.8

[50, 55)

52.5

5

46

12.8

[55, 60)

57.5

5

8

2.2

[60, 65)

62.5

5

2

0.6

360

100.0

PROHIBIDA SU VENTA

Totales

Porcentaje (empleados)

Tiempo de aprendizaje de la tarea

Cada intervalo abarca un rango de tiempo en el que se logró aprender dicha tarea. Los paréntesis rectangulares indican que el valor adjunto se incluye y los circulares indican que se excluye. La información de la tabla se registra en la gráfica de la figura 4. A este tipo de gráficas se les denomina histograma. En la figura 4 se observa que muy pocos empleados aprendieron muy rápido, y también muy pocos aprendieron muy lento. La mayor parte requirió entre 30 y 55 minutos para lograrlo y, de éstos, la mayoría logró aprender la tarea entre 40 y 45 minutos.

35 30 25

Porcentaje de empleados

20 15 10 5 0 20

25

30

35

40

45

50

Tiempo (en minutos)

55

60

65

Figura 4

113

01_05_OK.indd 113

12/12/08 3:43:27 PM

BLOQUE 1

Si en cada barra se identifica el punto medio de cada intervalo y se unen dichos puntos con una línea recta se obtiene lo que se conoce como polígono de frecuencias, el cual se muestra, con barras y sin ellas, en las gráficas de la figura 5.

35

35

30

30

25

25

Porcentaje de empleados

Porcentaje de empleados

Tiempo de aprendizaje de la tarea (polígono de frecuencias)

20 15 10 5

20 15 10 5

0

0 20

25

30

35

40

45

50 60 55 65 60

65

20

25

Tiempo (en minutos)

30

35

40

45

50

55

60

65

Tiempo (en minutos)

Figura 5

Para curiosos Discute con tus compañeros los siguiente.

La diferencia es sólo la forma gráfica pues presenta los mismos datos

¿Hay diferencias entre un diagrama de barras y un histograma? Si las hay, ¿cuáles son? ¿Es necesario tener la gráfica de barras para dibujar el polígono de frecuencias correspondiente? No. Basta tener los datos. Dado un polígono de frecuencias, ¿será posible dibujar la gráfica con las barras?

PROHIBIDA SU VENTA

En la tabla, une dos intervalos y elabora la tabla de frecuencias. Intervalos

Punto medio

Longitud del intervalo

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

1o

[20, 30]

25.5

10

6

6/360

2o

[30, 40]

35.5

10

126

126/360

3o

[40, 50]

40.5

10

172

172/360

4o

[50, 60]

50.5

10

54

54/360

5o

[60, 70]

60.5

10

2

2/360

114

01_05_OK.indd 114

12/12/08 3:43:28 PM

También elabora el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias para la actividad que propusiste utilizando los datos de la tabla anterior. Ahora veamos otro ejemplo. Dada la importancia que tiene la capacitación para mejorar la productividad en las empresas, cierta fábrica decidió evaluar las calificaciones obtenidas por el personal matutino (grupo A) y el vespertino (grupo B) para cierto curso impartido. El informe final de la evaluación incluyó las calificaciones de los dos grupos que recibieron capacitación y una gráfica, las cuales se muestran a continuación:

Porcentaje de empleados

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN

35

15

5 0 1

2

3

4

5

Intervalos de tiempo

Calificaciones Grupo A

Grupo B

35

25

86

38

45

79

79

81

65

40

83

31

28

29

18

14

23

45

45

48

Las gráficas que se pueden desarrollar con datos brutos requieren de mucho esfuerzo para sistematizar y ordenar los datos, hasta conformar las clases y la escala necesaria para realizar el dibujo necesario. Por ello, es adecuado partir de una tabla de frecuencias para obtener histogramas.

Calificaciones de capacitación 100

Grupo A

90

Grupo B

80

Los polígonos de frecuencias se presentan como una alternativa para obtener una representación gráfica de datos que muestre el comportamiento global de una variable, sin recurrir a muchos efectos visuales como se logra con las barras.

70

PROHIBIDA SU VENTA

60

Personal evaluado

50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Figura 6

Calificaciones

¿Cuál de los dos grupos es el más estable porque tiene menos variaciones? Grupo B. ¿En cuál de los grupos la gente está mejor capacitada? Grupo B. ¿En qué grupo se conglomeran más las calificaciones bajas? Grupo A. ¿En cuál las más altas? Grupo B.

115

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12/12/08 3:43:29 PM

BLOQUE 1

1

EL ATEN

EO

EN

SOLUCIONARIO

Se obtuvieron los siguientes resultados en un examen de matemáticas en una escuela (el puntaje máximo era de 50): 6, 7, 14, 31, 32, 30, 25, 17, 13, 25, 6, 8, 14, 30, 31, 26, 40, 17, 20, 45, 7, 15, 24, 26, 36, 41, 35, 17, 20, 39, 12, 24, 24, 38, 26, 43, 41, 17, 36, 17. • Construye una tabla de frecuencias, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias, para ello utiliza intervalos de longitud 5.

2

Se registraron los siguientes tiempos (en minutos) para completar un examen:

Solamente analizando diversas situaciones será posible conocer el aprovechamiento de las gráficas que se pueden construir como histogramas o polígonos de frecuencia, pues cada tipo de gráficas tienen ventajas y limitaciones.

36.3 40.6 38.4 39.4 35.1 38.6 41.0 38.2 34.4 31.3

44.9 41.0 41.4 51.0 38.0 41.7 47.8 43.5 42.7 41.4

49.1 52.5 39.8 33.9 45.6 45.3 52.5 33.2 37.7 40.1

49.4 41.1 42.4 41.7 43.4 53.5 34.3 32.8 31.5 38.8

35.2 47.6 33.8 31.9 36.2 40.3 47.3 41.3 52.3 49.1

30.3 36.3 35.7 33.9 50.7 44.9 41.7 40.4 38.4 50.8

37.8 43.1 37.8 46.7 43.0 35.5 51.5 45.0 35.4 43.5

46.6 48.1 45.3 55.4 41.2 34.8 53.9 44.1 43.1 42.7

36.4 53.5 57.7 41.9 42.3 37.2 35.1 47.2 44.3 42.4

46.5 42.9 43.8 34.8 45.1 30.8 41.1 44.1 32.7 29.5

• Construye una tabla de frecuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud del intervalo. • Construye una tabla de frecuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud del intervalo. Para cada uno de los siguientes polígonos de frecuencias reconstruye el histograma correspondiente y la tabla de frecuencias relativas.

15

34 25 20

10 Porcentaje

3

Porcentaje

PROHIBIDA SU VENTA

Esta actividad presenta una situación en la cual será necesario reconstruir una tabla de la cual se extrajo la gráfica original y con esa información poder construir otra representación gráfica como el histograma. En general se construye el histograma y luego el polígono de frecuencias, pero si se conocen las relaciones entre estos dos tipos de representaciones gráficas se podrá pasar de una a otra sin problemas.

5

15 10 5 0

0

60

120

180

240

30

300

34

38

42

46

50

116

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Las actividades planteadas pueden ser aprovechadas de diversas formas, como evaluación parcial o de la lección, como temas de discusión en clase o como actividades para resolver en casa o como base para que los estudiantes planteen actividades similares.

LECCIÓN 5 • GRÁFICAS QUE HABLAN

SOLUCIONARIO

Demuestro lo que sé y hago 1 Para el siguiente polígono de frecuencias relativas encuentra la tabla de frecuencias absolutas y relativas y el histograma correspondiente.

3 Se obtuvieron los siguientes datos sobre el tiempo (en minutos) para completar un examen: 35.1 38.6 41.0 38.2 34.4 31.3 30.3

Porcentaje 30 Histograma

25

38.0 41.7 47.8 43.5 42.7 41.4 37.8

45.6 45.3 52.5 33.2 37.7 40.1 46.6

43.4 53.5 34.3 32.8 31.5 38.8 36.4

36.2 40.3 47.3 41.3 52.3 49.1 46.5

20

•

15 10 5

• 0 30

34

38

42

46

50

Utiliza el punto medio de cada intervalo como representante de toda la clase o intervalo.

Construye una tabla de frecuencias con tres intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud de los intervalos. Construye una tabla de frecuencias con cinco intervalos, el histograma correspondiente y el polígono de frecuencias. Determina la longitud de los intervalos.

4 La siguiente gráfica corresponde a dos grupos evaluados de acuerdo con diferentes de tareas.

2 Elabora un polígono de frecuencias con los siguientes datos:

Trabajos manuales 100 Grupo A

80

33.9

41.7

31.9

33.9

46.7

55.4

60

45.6

43.4

36.2

50.7

43.0

41.2

40

45.3

53.5

40.3

44.9

35.5

34.8

20

52.5

34.3

47.3

41.7

51.5

53.9

PROHIBIDA SU VENTA

33.2

32.8

41.3

40.4

45.0

0 1

• • •

Puedes consultar algunas páginas de Internet para profundizar en lo que hemos estudiado en esta lección.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Calificaciones

44.1

Conéctate

Grupo B

¿Qué grupo tuvo mejor desempeño? Grupo A. ¿Qué grupo obtuvo las puntuaciones más altas? Grupo A. ¿Hubo algún momento en que los grupos se emparejaron? Sí, en 3 de calificación.

También puedes consultar los siguientes libros. • Carmen Azcárate y Jordi Deulofeu

Funciones y gráficas Síntesis, Madrid, 1990. • Shell Centre for Maths (ed.) El lenguaje de las funciones y gráficas Universidad del País Vasco y mec, Madrid, 1990.

• http://www.mty.itesm.mx/dia/profs/anavarro/ Cap6NAV.htm • http://www.cyta.com.ar/biblioteca/bddoc/bdlibros/ guia_estadistica/modulo_2.htm En Internet hay diversos sitios en los cuales se pueden encontrar datos para usar en clase, también será posible localizar software gratuito para construir graficas y tabulaciones, lo cual ayuda a los estudiantes a experimentar y hacer cambios libremente en los datos originales.

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Matemáticas 2

Matemáticas 2

Recursos didácticos

Recursos didácticos

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Matemáticas Mayra y Martínez de Garayy J i Jaime Omar O Lugo L d de la l Tejera T j Eduardo d d Mancera Martínez

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