Matemáticas 2 Bachillerato
October 20, 2020 | Author: Anonymous | Category: N/A
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ÍNDICE PRIMER QUIMESTRE BLOQUE 1: FUNCIONES LINEALES ..................................................................... 11 FICHA N°1: ANÁLISIS DE FUNCIONES ......................................................................... 11 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 11 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 11 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 11 FUNCIONES LINEALES ............................................................................................................ 13 LECCIÓN N°1 ........................................................................................................................... 14 INVESTIGO N°1 ................................................................................................................... 14 GLOSARIO N°1 .................................................................................................................... 15 RESUMO N°1 ...................................................................................................................... 15 CUESTIONARIO N°1 ................................................................................................................ 16
FICHA N°2: FUNCIONES POLINOMICAS ........................................................................ 18 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 18 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 18 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 18 LECCIÓN Nº 2 ......................................................................................................................... 20 INVESTIGO Nº 2.................................................................................................................. 20 RESUMO Nº 2 ..................................................................................................................... 21 GLOSARIO Nº 2................................................................................................................... 21 CUESTIONARIO Nº 2 .............................................................................................................. 22
FICHA N°3: DOMINIO Y EVALUACIÓN DE FUNCIONES.......................................... 23 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 23 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 23 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 23 Recorrido de una función. ..................................................................................................... 24 Dominio y recorrido ............................................................................................................... 24
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LECCIÓN Nº 3 ......................................................................................................................... 25 INVESTIGO Nº 3.................................................................................................................. 25 RESUMO Nº 3 ..................................................................................................................... 26 GLOSARIO Nº 3................................................................................................................... 26 CUESTIONARIO Nº 3 .............................................................................................................. 27
FICHA N°4: RANGOS E INTERVALOS DE FUNCIONES.............................................. 28 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 28 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 28 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 28 Función creciente en un intervalo ..................................................................................... 29 Función estrictamente decreciente en un intervalo ........................................................ 29 Función decreciente en un intervalo................................................................................. 30 LECCIÓN Nº4 .......................................................................................................................... 31 INVESTIGO Nº 4.................................................................................................................. 31 GLOSARIO Nº 4................................................................................................................... 31 RESUMO Nº 4 ..................................................................................................................... 32 CUESTIONARIO Nº 4 .............................................................................................................. 32
FICHA N°5: RECTAS Y PENDIENTES................................................................................. 33 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 33 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 33 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 33 RECTAS PARALELAS............................................................................................................ 34 RECTAS PERPENDICULARES ........................................................................................... 35 LECCIÓN N°5 ........................................................................................................................... 36 INVESTIGO N°5 ................................................................................................................... 36 GLOSARIO N°5 .................................................................................................................... 36 RESUMO N°5 ...................................................................................................................... 37 CUESTIONARIO N°5 ................................................................................................................ 38
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BLOQUE 2: ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ............................................................................... 39 FICHA N°6: Ecuación Bidimensional de la Recta. ..................................................... 39 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 39 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 39 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 39 ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE ......................................... 39 MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES ....................... 41 Función creciente ........................................................................................................... 41 Función decreciente. ..................................................................................................... 41 LECCIÓN N°6 ........................................................................................................................... 42 INVESTIGO N°6 ................................................................................................................... 42 RESUMO N°6 ...................................................................................................................... 43 GLOSARIO N°6 .................................................................................................................... 44 CUESTIONARIO N°6 ................................................................................................................ 45
FICHA N°7: ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA. ..................................................... 47 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 47 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 47 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 47 ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA .................................................................................. 47 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: ................................................................................... 49 GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA ....................................................... 49 GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. ......................................................... 50 LECCIÓN N°7 ........................................................................................................................... 52 INVESTIGO N°7 ................................................................................................................... 52 RESUMO N°7 ...................................................................................................................... 53 GLOSARIO N°7 .................................................................................................................... 53 CUESTIONARIO N°7 ................................................................................................................ 54
FICHA N°8: Polinomios........................................................................................................ 56 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 56 Destreza de Criterio de desempeño. ..................................................................................... 56 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 56
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POLINOMIOS ...................................................................................................................... 56 Grado de un polinomio .................................................................................................. 57 LECCIÓN N°8 ........................................................................................................................... 59 INVESTIGO N°8 ................................................................................................................... 59 RESUMO N°8 ...................................................................................................................... 60 GLOSARIO N°8 .................................................................................................................... 60 CUESTIONARIO N°8 ................................................................................................................ 61
FICHA N°9: OPERACIONES CON POLINOMIOS ........................................................... 63 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 63 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 63 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 63 La suma o adición de polinomios: .................................................................................... 63 Sustracción o resta de polinomios: ................................................................................... 64 La multiplicación de polinomios........................................................................................ 65 Procedimiento Operativo. ................................................................................................. 65 Multiplicación de polinomios: ........................................................................................... 66 LECCIÓN N°9 ........................................................................................................................... 67 INVESTIGO N°9 ................................................................................................................... 67 RESUMO N°9 ...................................................................................................................... 68 GLOSARIO N°9 .................................................................................................................... 68 CUESTIONARIO N°9 ................................................................................................................ 69
FICHA N°10: DIVISION DE POLINOMIOS ...................................................................... 71 OBJETIVOS. ............................................................................................................................. 71 Destreza de Criterio de desempeño:..................................................................................... 71 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 71 LA DIVISION DE POLINOMIOS ........................................................................................... 71 División de un monomio por otro monomio. ................................................................... 72 División de polinomios: ..................................................................................................... 72 Reglas de la división:.......................................................................................................... 73 LECCION N°10 ......................................................................................................................... 75 INVESTIGO N°10 ................................................................................................................. 75 RESUMO N°10 .................................................................................................................... 76 Matemática
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GLOSARIO N°10 .................................................................................................................. 76 CUESTIONARIO N°10 .............................................................................................................. 77
SEGUNDO QUIMESTRE BLOQUE 3: MATEMÁTICA DISCRETA. ................................................................... 79 FICHA N°11: PROPIEDAD DEL RESIDUO .................................................................. 79 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 79 Destreza de Criterio de desempeño ...................................................................................... 79 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 79 Teorema del residuo .......................................................................................................... 79 La división sintética............................................................................................................ 80 LECCIÓN N°11 ......................................................................................................................... 81 INVESTIGO N°11 ................................................................................................................. 81 RESUMO N°11 .................................................................................................................... 81 GLOSARIO N°11 .................................................................................................................. 82 CUESTIONARIO N°11 .............................................................................................................. 83
FICHA N°12: EL ALGORITMO DE EUCLIDES. ................................................................ 84 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 84 Destreza de Criterio de desempeño ...................................................................................... 84 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 84 M.C.D. de dos polinomios: El algoritmo de Euclides. ....................................................... 84 Determinación del M.C.D .................................................................................................. 85 M.C.D de los monomios ................................................................................................ 85 M.C.D. de dos polinomios. ............................................................................................ 85 Mínimo Común Múltiplo de polinomios:.......................................................................... 85 LECCION N°12 ......................................................................................................................... 87 INVESTIGO N°12 ................................................................................................................. 87 RESUMO N°12 .................................................................................................................... 87 GLOSARIO N°12 .................................................................................................................. 88 CUESTIONARIO N°12.............................................................................................................. 89
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FICHA N°13: ECUACIONES POLINOMICAS COMPUESTAS. ................................... 91 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 91 Destreza de Criterio de desempeño ...................................................................................... 91 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 91 Teorema del residuo .......................................................................................................... 91 TEOREMA DEL FACTOR ...................................................................................................... 92 LECCIÓN N°13 ......................................................................................................................... 94 INVESTIGO N°13 ................................................................................................................. 94 RESUMO N°13 .................................................................................................................... 95 GLOSARIO N°13 .................................................................................................................. 95 CUESTIONARIO N°13.............................................................................................................. 96
FICHA N°14: GRAFICACIÓN DE POLINOMIOS.............................................................. 98 OBJETIVOS: ............................................................................................................................. 98 Destreza de Criterio de desempeño ...................................................................................... 98 Objetivo Educativo. ............................................................................................................... 98 GRAFICACION DE POLINOMIOS......................................................................................... 98 LECCIÓN N°14 ....................................................................................................................... 102 INVESTIGO N°14 ............................................................................................................... 102 RESUMO N°14 .................................................................................................................. 102 GLOSARIO N°14 ................................................................................................................ 103 CUESTIONARIO N°14 ............................................................................................................ 103
FICHA N°15: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................... 105 OBJETIVOS: ........................................................................................................................... 105 Destreza de Criterio de desempeño .................................................................................... 105 Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 105 Concepto de función trigonométrica .............................................................................. 105 Gráfica de la Función Seno del ángulo ............................................................................ 106 Gráfica de la Función Coseno del ángulo ........................................................................ 107 Gráfica de la Función Tangente del ángulo..................................................................... 108 Gráfica de la Función Cotangente del ángulo ................................................................. 109 Propiedades de las funciones trigonométricas............................................................... 110 ECUACIÓN GENERAL DEL SENO ....................................................................................... 110 Matemática
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FICHA N°15 ........................................................................................................................... 112 INVESTIGO N°15 ............................................................................................................... 112 RESUMO N°15 .................................................................................................................. 113 GLOSARIO N°15 ................................................................................................................ 113 CUESTIONARIO N°15............................................................................................................ 114
BLOQUE 4: PROBABILIDAD Y GEOMETRÍA ................................................. 116 FICHA N°16: Transformaciones y Desplazamientos............................................. 116 OBJETIVO:............................................................................................................................. 116 Criterios de aprendizaje: ..................................................................................................... 116 Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 116 Desplazamientos (Traslaciones) ...................................................................................... 116 Traslaciones verticales ..................................................................................................... 117 Traslaciones horizontales ................................................................................................ 117 Expansiones y compresiones verticales .......................................................................... 118 LECCION N°16 ....................................................................................................................... 119 INVESTIGO N°16 ............................................................................................................... 119 RESUMO N°16 .................................................................................................................. 119 GLOSARIO N°16 ................................................................................................................ 120 CUESTIONARIO N°16 ............................................................................................................ 120 FICHA N°17: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. ........................................................... 122 OBJETIVO:............................................................................................................................. 122 Criterios de aprendizaje: ..................................................................................................... 122 Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 122 Fórmulas trigonométricas ................................................................................................... 124 Ecuaciones trigonométricas ................................................................................................ 125 LECCIÓN N°17 ....................................................................................................................... 126 INVESTIGO N°17 ............................................................................................................... 126 RESUMO N°17 .................................................................................................................. 126 GLOSARIO N°17 ................................................................................................................ 127 CUESTIONARIO N°17 ............................................................................................................ 128
FICHA N°18: GENERALIDADES Y APLICACIONES. ................................................... 130 OBJETIVO:............................................................................................................................. 130 Matemática
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Criterios de aprendizaje: ..................................................................................................... 130 Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 130 Distancia entre Puntos. ................................................................................................... 130 Distancia de un punto a una recta. ......................................................................... 131 LECCIÓN N°18 ....................................................................................................................... 134 INVESTIGO N°18 ............................................................................................................... 134 RESUMO N°18 .................................................................................................................. 135 GLOSARIO N°18 ................................................................................................................ 135 CUESTIONARIO N°18 ........................................................................................................ 136
FICHA N°19: LA PARÁBOLA .............................................................................................. 138 Objetivos: ............................................................................................................................. 138 Destreza de Criterio de desempeño:................................................................................... 138 Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 138 LECCIÓN N° 19 ...................................................................................................................... 141 INVESTIGO N° 19 .............................................................................................................. 141 RESUMO N° 19 ................................................................................................................. 141 GLOSARIO N° 19 ............................................................................................................... 142 CUESTIONARIO N°19............................................................................................................ 143
FICHA N°20: LAS CÓNICAS................................................................................................ 145 Objetivos: ............................................................................................................................. 145 Destreza de Criterio de desempeño:................................................................................... 145 Objetivo Educativo. ............................................................................................................. 145 Secciones cónicas ............................................................................................................. 146 LA PARÁBOLA ................................................................................................................... 146 LA CIRCUNFERENCIA ........................................................................................................ 146 La elipse............................................................................................................................ 147 La hipérbola ..................................................................................................................... 147 LECCIÓN N°20 ....................................................................................................................... 148 INVESTIGO N°20 ............................................................................................................... 148 RESUMO N°20 .................................................................................................................. 149 GLOSARIO N°20 ................................................................................................................ 149
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PRIMER QUIMESTRE BLOQUE 1: Funciones Lineales FICHA N°1:
ANÁLISIS DE FUNCIONES OBJETIVOS: Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.
Destreza de Criterio de desempeño:
Desarrollo de evaluaciones funcionales. Graficación de funciones lineales. Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo. En la actualidad el ser humano requiere cada vez con mayor frecuencia el uso de funciones lineales y otros tipos para resolver problemas económicos, administrativos y de la vida misma. El conocimiento de sus características y comportamiento nos permite tomar decisiones importantes. Una función, en matemáticas es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El termino función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés Rene Descartes. (1596 – 1560). En una función se asocian dos variables x e y tal forma que al asignar un valor a x entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a y es una función (univoca) de x.
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La variable x a la que se le asigna libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable y cuyos valores depende de la x, se llama variables dependientes. Los valores permitidos de x constituye el dominio de definición de la función y los valores que toma x constituye su recorrido x
y
1 2 3
a b c
4
d
55 55 Dominio 5
Recorrido.
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuanto todos de los elementos del primer conjunto (Dominio) se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto (Recorrido)
Ejemplo
a b cy
1 2 x 3
d
4
Si es una función, pues todos los elementos del conjunto salida tienen una sola imagen (Correspondencia) en el conjunto de llegada. X
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y
1 2 3
a b c
4
d
Dominio
Recorrido
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No es una función pues no todos los elementos del conjunto salida tienen una imagen (correspondencia) en el conjunto de llegada X
y
1 2 3
a b c
4
d
Dominio
Recorrido
No es función, pues existe un elemento del conjunto salida que tiene dos imágenes (correspondencia) del conjunto de llegada. FUNCIONES LINEALES Es aquella relación de correspondencia que define como grafica una línea recta cuando es representado en el plano cartesiano. Su forma característica es 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo. Ejemplo Graficar la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 𝑥 -2 -1 0 1 2
𝑓( ) -5 -3 -1 1 3
La grafica nos confirma lo que dice la ecuación que la pendiente de la recta es 2, mientras que el punto de corte con el eje de las ordenadas es -1.
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LECCIÓN N°1 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ ESPECIALIDAD: _____________________________
INVESTIGO N°1 1. Escribir una definición de Función. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ __________________________________________________ 2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ __________________________________________________ 3. Identifique en la siguiente ecuación la pendiente de las líneas rectas y el punto de corte. Con el eje de las ordenadas. 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _________________________________________________________ 4. Dibujar la gráfica de la siguiente ecuación e identificar la pendiente y el punto de corte con el eje y. Encuentre las coordenadas. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
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5. Investiga cuando una función es afín ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________
GLOSARIO N°1 a. b. c. d. e.
Función:………………………………………………………………………………………………………………... Dominio………………………………………………………………………………………………………………… Recorrido………………………………………………………………………………………………………………. Contra dominio:…………………………………………………………………………………………………….. Pendiente……………………………………………………………………………………………………………..
6. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………
RESUMO N°1 FUNCIONES
F. lineales
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F. Cuadráticas
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CUESTIONARIO N°1 Identificar si los siguientes gráficos corresponden a una función, argumentar la respuesta en cada caso. x
y
1 2 3
a b c
4
d
Dominio
Recorrido
______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _________________________________________________________
1 2 3 4
a b c d
______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _________________________________________________________
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Dibujar las gráficas de las siguientes ecuaciones e identificar en cada caso la pendiente y el punto de corte con el eje y a. 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1
c. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
d. 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5
e. 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 5
f.
𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥
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BLOQUE 1 Funciones Lineales FICHA N°2:
FUNCIONES POLINÓMICAS OBJETIVOS: Fomentar el análisis y evaluación de las funciones matemáticas, además interactuar con los teoremas y sus aplicaciones en este amplio campo de las Funciones.
Destreza de Criterio de desempeño:
Desarrollo de evaluaciones funcionales. Graficación de funciones lineales. Aplicación de teoremas de evaluación funcional.
Objetivo Educativo. Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función para un valor numérico de sus variables. Si la función se escribe como ƒ(x), la función evaluada para una valor numérico, por ejemplo 6, se escribe ƒ(6). Para realizar la evaluación se sustituye el valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se realizan las operaciones aritméticas necesarias. Ejemplo. Evaluar la función ƒ(x) = x4+ x3- 11x2- 9x + 18 cuando el valor numérico de x es 4. ƒ(4) = 44 + 43 - 11(4)2 - 9(4) + 18 ƒ(4) = 256 + 64 - 11(16) - 36 + 18
ƒ(4) = 256 + 64 - 176 - 36 + 18 ƒ(4) = 126
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Cuando una función se evalúa para un valor determinado del dominio, significa que dicho valor se puede sustituir por la literal x que forma a esa función. El valor de y (contra dominio o imagen) se denomina f(x) cuando el dominio está formado por dicha letra x; por tanto, en una pareja ordenada el dominio es el primer valor y el contra dominio el segundo. Es decir: (x, y).
Ejemplos Consideremos f(x)=2x2–6x+8, si queremos evaluar f(a) quedaría: f (a)=2a 2– 6a+8 Así mismo, para f(p) tenemos: f(p)=2p2– 6p+8 Para f(2x–3) el resultado sería: f(2x–3)= 2(2x–3)2–6(2x–3)+8 = 2(4x2–12x+9)–12x+18+8 = 8x2–24x+18–12x+18+8 f(2x–3)= 8x2– 36x + 44
Como podemos observar, en todos los casos el valor de x fue sustituido por el valor con el que se quiere evaluar la función. Encontremos f(2) si f(x)=4x3–8x2+9x– 8 Evaluando tenemos: f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8 f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8 f(2)= 32 – 32 + 18 - 8 f(2)=10
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LECCIÓN Nº 2
NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: __________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO Nº 2 1. Escribir una definición de evaluación de una Función. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. Cuál es el Dominio y el Recorrido de una función. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3.
Identifique que se debe hacer para realizar una evaluación de una función ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
4.
Investiga sobre el valor numérico. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
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RESUMO Nº 2 Complete el mapa conceptual.
EVALUACION DE UNA FUNCION
Evaluar numéricamente
Valor numérico
GLOSARIO Nº 2 Evaluar:………………………………………………………………………………………………………………................... Dominio…………………………………………………………………………………………………………………..………….. Recorrido……………………………………………………………………………………………………………………………… Valor:………………………………………………………………………………………………………………………………...... Valor numérico……………………………………………………………………………………………………………………
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..………………………………………
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CUESTIONARIO Nº 2 Evalúa las siguientes funciones con respecto a lo que se pide y escribe aquí el resultado. 1. f(x)= 2x2 + 8x – 4, Calcular f(–3).
2. f(x)=4x3–10x2+8x–8, Calcular f(2x–8).
3. f(x)=12x5+4x4–5x3+ 3x 2–3x +1, Calcular f(–1).
4. f(x)=6x7+8x5–7x3–3x+12, Calcular f(–2).
5. f(x)=6x2–12x+6, Calcular f(1–x7).
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BLOQUE 1: Funciones Lineales FICHA N°3:
Dominio y Evaluación de Funciones. OBJETIVOS: Reconocer los dominios e intervalos de una función, mediante sus análisis correspondientes determinar sus pociones crecientes y decrecientes.
Destreza de Criterio de desempeño: Reconocer los intervalos de una función. Aplicación de teoremas de los dominios funcionales. Analizar los recorridos de las funciones lineales. Objetivo Educativo. Se llama dominio de definición de una función al conjunto de los valores al conjunto de valores de las variables independientes x para los que existe la función, es decir, para los que hay un valor de la variable dependiente. Para calcular el dominio de la función hay que hacer todas las consideraciones para definir el o los intervalos de los valores que pueden adoptar la variable independiente. El todo los casos el intervalo que represente el dominio de función siempre será el menor subconjunto de todos Ejemplo: Determine el dominio de la siguiente función: f(2)= 4(2)3– 8(2)2+ 9(2) – 8 f(2)= 4(8) – 8(4) + 18 – 8 f(2)= 32 – 32 + 18 - 8 f(2)=10
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El único valor que no puede tomar la variable independiente es 2, porque en tal caso el denominador de la fracción se haría cero, y como sabemos no existe la división por cero por esto hay que restringir este valor es todos los números reales (R) que si puede adoptar, por tanto: Recorrido de una función. El recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, es decir, todos los valores de la variable dependiente que son imagen de algún valor de la variable independiente. Cuando el dominio de la función ha sufrido alguna restricción en los reales, el recorrido automáticamente aumentara adopta valores determinados. Un método clásico de calcular el recorrido de una función es el de despejar de la variable dependiente y en esa expresión analizar la variable dependiente como si se trataría de encontrar el dominio. Dominio y recorrido El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y).
Ejemplo: Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es:
La función f(x) = x + 1 es una función creciente en los números reales.
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LECCIÓN Nº 3 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO Nº 3 1. Establece una semejanza y diferencia entre dominio y recorrido de una función. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
2. Que es el despeje de una variable. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
3. Investiga que se refiere función definida a trazos. Elabora un ejemplo: ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ Matemática
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RESUMO Nº 3 Completar el cuadro sinóptico. Dominio de una función
Dominio
Recorrido
es
es
Ejemplos
GLOSARIO Nº 3 Punto de llegada:………………………………………………………………………………………… Punto de salida…………………………………………………………………………………………… Intervalo cerrado………………………………………………………………………………………… Intervalo abierto:………………………………………………………………………………………… Punto de corte…………………………………………………………………………………………….. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………..………………………………………
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CUESTIONARIO Nº 3 Encuentre el dominio y el recorrido de la función: 1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 5
2. 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 1
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 1
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BLOQUE: Funciones Lineales FICHA N°4:
Rangos e Intervalos De Funciones OBJETIVOS: Reconocer los intervalos de los diferentes tipos de funciones con su respectivo análisis, aplicando métodos numéricos.
Destreza de Criterio de desempeño:
Determinación de las funciones crecientes. Determinación de funciones decrecientes. Graficar funciones mediante sus intervalos iniciales.
Objetivo Educativo. Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponda un único valor de la segunda. Pueden representar de diferentes maneras: a. Mediante una expresión matemática, ecuación o formula. b. Como una tabla de valores que permite representar algunos valores discretos de la función. c. Como proposición: una descripción por comprensión de lo que hace la función. d. Mediante una representación gráfica. Algunas actividades corporales tales como el sueño, el ritmo cardíaco y la locomoción son funciones biológicas que se llevan a cabo en casi todos los seres vivos. Así también en la vida cotidiana los modelos de función han servido a las ciencias para explicar y predecir muchos fenómenos, tanto de la vida científica como de la vida social. La función exponencial, por ejemplo, explica y predice fenómenos de crecimiento de bacterias o del fenómeno de desintegración radiactiva. Igualmente la función exponencial puede reflejar el crecimiento de la población.
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Una función es estrictamente creciente en un intervalo , si para dos valores cualesquiera la función toma su sentido creciente dese el punto de análisis. Del intervalo, y , se cumple que:
Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba:
Función creciente en un intervalo Una función es creciente en un intervalo intervalo, y , se cumple que:
, si para dos valores cualesquiera del
Función estrictamente decreciente en un intervalo Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:
, si para dos valores
Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo:
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Función decreciente en un intervalo Una función intervalo, y
es decreciente en un intervalo , se cumple que:
Observa, a cada elemento elemento del recorrido,
, si para dos valores cualesquiera de
del dominio le corresponde un único entonces es función.
A cada elemento del elemento del recorrido, por
dominio le corresponde un único lo tanto es función.
No es función, pues a un corresponde dos elementos
elemento del dominio le del recorrido.
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LECCIÓN Nº4 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________ FECHA: ____________________________________
INVESTIGO Nº 4 Establece una diferencia entre función creciente y decreciente. ______________________________________________________________________________ Que condición se debe cumplir para que una función sea creciente. ______________________________________________________________________________ Que condición se debe cumplir para que una función sea decreciente. ______________________________________________________________________________
GLOSARIO Nº 4 Función:……………………………………………………………………………………………………………………… Creciente:………………………………………………………….………………………………………………………… Decreciente:………………………………………………………………………………………………………………… Intervalo:……………………………………………………………………………………………………..…………… Punto de corte………………………………………………………………………………………………………….. Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….
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RESUMO Nº 4 FUNCION
Creciente
Decreciente
es
es
ejemplos
CUESTIONARIO Nº 4 Demuestra si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes y representa gráficamente:
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BLOQUE 1: Funciones Lineales FICHA N°5: Rectas y Pendientes
OBJETIVOS: Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.
Destreza de Criterio de desempeño:
Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.
Objetivo Educativo. Se denomina pendiente de la recta la inclinación de un elemento respecto de la horizontal. La pendiente de una recta en un sistema cartesiano, se representa con la letra m y está definido como el cambio o variación en el eje “y” dividido por el respecto cambio en el eje “x” entre dos puntos de la recta. La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva de eje OX. Pendiente dado el ángulo Pendiente dado el vector director de la recta
Pendiente dados dos puntos
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Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo.
Calculo de la pendiente de la recta: Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director Escribir su ecuación punto pendiente.
= (2,5).
Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.
RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si tienen sus
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pendientes iguales.
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RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre ellas es de 90°. Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.
Para que el producto de las dos pendientes de dos líneas rectas sea igual a -1 una de ellas debe ser inverso negativo de la otra y viceversa Ejemplo: Determinar la pendiente de la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2, 3) y (-3,-2) y compararla con la recta que pasa por los puntos de coordenadas (2,3) y (0,5).
𝑥1 = 2
𝑥2 = 3
𝑦1 = −3 𝑦2 = −2
𝑚=
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
(−2) − (−3) (3) − (2)
𝑚=1
𝑚2 = −1 5
(0,5)
4 3
(2,3)
2 1
-3
-2
-1
1
1
2
-2 (-3,-2)
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LECCIÓN N°5
NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°5 Escriba en que caso se dice que dos rectas son perpendiculares: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Escriba que significa la pendiente de una recta. _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ Sintetizar como se calcula la pendiente de una recta conociendo dos puntos de esta: _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
GLOSARIO N°5 Pendiente……………………………………………………………………………………………………………………………. Rectas Paralelas…………………………………………………………………………………………………………………… Rectas perpendiculares……………………………………………………………...…………………………………………… Ángulos:………………………………………………………………………………………………………………………………. Variación……………………………………………………………………………………………………………………………… Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………..………………………………………………………………………………………………………………………….
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RESUMO N°5
Pendiente de una Recta
Concepto
Rectas paralelas
es
es
Formulas
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CUESTIONARIO N°5
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BLOQUE 2: Álgebra y Geometría
FICHA N°6: Ecuación Bidimensional de la Recta.
OBJETIVOS: Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.
Destreza de Criterio de desempeño:
Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente)
Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.
Objetivo Educativo. ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO Y PENDIENTE Cualquier que pasa por los puntos de coordenadas A𝐴(𝑥, 𝑦) 𝑦 𝐵(𝑥1 , 𝑦1 ), tiene como pendiente 𝑦−𝑦 la siguiente expresión: 𝑚 = 𝑥−𝑥1 1 Esta misma expresión puede escribirse de la siguiente manera:
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 )
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Esta última expresión se conoce como la ecuación punto – pendiente de la recta.
Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenada (−2,3) y cuya pendiente es 2. Remplazando las coordenadas del punto y la pendiente dada en la ecuación de la recta, tenemos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 − 3 = 2[𝑥 − (−2)] 𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = 2[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = 2𝑥 + 4 𝑦 = 3 + 2𝑥 + 4 𝑦 = 2𝑥 + 7
Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,3) 𝑦 𝐵(2, −1) Para resolver este problemas es necesario calcular la pendiente entre entre dos puntos dados, y luego calcular la ecuación, la misma que debe cumplirse para los dos puntos 𝑚=
𝑦 − 𝑦1 −1 − 3 −4 = = = −1 𝑥 − 𝑥1 2 − (−2) 4
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) Como A: 𝑦 − 3 = −1[𝑥 − (−2)] 𝑦 − 3 = −1[𝑥 + 2] 𝑦 − 3 = −𝑥 − 2 𝑦 = 3−2−𝑥 𝑦 = 1−𝑥 Con B 𝑦 − (−1) = −1[𝑥 − 2] 𝑦 + 1 = −𝑥 + 2 𝑦 = −1 + 2 − 𝑥 𝑦 = 1−𝑥
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MONOTONÍA DE LAS LINEAS RECTAS EN FUNCIÓN DE SUS PENDIENTES Habíamos determinado que al estudiar la monotonía de una función estamos analizando el crecimiento y el decrecimiento de la misma. Es importante recordar que para realizar este análisis, tomamos como referencia a la variable independiente (x) la misma crece de izquierda a derecha. Ejemplo: Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y (1, 2)
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
=
3−2 −5 5 = = −2 − 1 −3 3
De esta manera comprobamos que toda la recta de pendiente positiva, significa que “sube” , por lo tanto una recta con pendiente positiva es una función creciente en todo su dominio 𝑓(𝑥) → 𝑚 > 0 Función creciente b. Dibujar la recta y hallar la pendiente de la recta pasa por los puntos A (-2, 3)
𝑚=
𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1
=
−2 − 3 −5 5 = =− 1 − (−2) 1+2 3
Análogamente una recta con pendiente negativa significativa, que la recta “baja” por lo tanto una recta con pendiente negativa es una función decreciente en todo su dominio 𝑓(𝑥) → 𝑚 < 0 Función decreciente. Un tramo de función en el que según avanzamos a lo largo del eje “x” la gráfica sube es un tramo donde la función es creciente y un tramo de función en el según avanzamos a lo largo del eje x la gráfica baja es un tramo donde la función es decreciente Matemática
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LECCIÓN N°6 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°6 Explicar el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo un punto y la pendiente. 7.
Explique el proceso para hallar la ecuación de una recta conociendo dos puntos de ella. 8.
Explicar cómo se relaciona la pendiente de una recta con su monotonía: ______________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________
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RESUMO N°6
Ecuación de la recta conociendo Punto y pendiente
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Monotonía de líneas en función de su pendiente
Proceso
Proceso
es
es
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GLOSARIO N°6 Recta 1.
Coordenada 1.
Punto medio 1.
Proceso 1.
Punto de corte 1.
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 9.
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CUESTIONARIO N°6 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−4, −3) y cuya pendiente es -3. 1.
2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (−3, −1) y es perpendicular a otra 1 recta cuya pendiente es - . 4
1.
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3. Resolver el siguiente problema: El número de calorías que se queman en una hora de ejercitarse en una caminadora, está en una función de la velocidad que se emplea. Una persona que camina a una velocidad d un 3
𝑘𝑚 ℎ
, quema 233 calorías. A 10
𝑘𝑚 ℎ
quemara 548 calorías.
a. Graficar la función y hallar la pendiente. b. Escribir la ecuación que se ajusta a los datos
2.
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BLOQUE 2: Álgebra y Geometría
FICHA N°7: Ecuación Reducida de la Recta. OBJETIVOS: Analizar y determinar las variaciones de las pendientes en las rectas ubicadas en el plano cartesiano, además verificar la dirección de recta en función de la pendiente.
Destreza de Criterio de desempeño:
Determinar la pendiente de una recta a partir de su ecuación escritas en sus diferentes formas Graficar una recta, dada su ecuación en sus diferentes formas. Determinar la ecuación de la recta, dado dos parámetros (dos puntos, o un punto y la pendiente)
Calcular la pendiente de una recta si se conocen dos puntos de dicha recta.
Determinar la monotonía de una función lineal a partir de la pendiente de la recta que representa dicha función.
Objetivo Educativo. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA Sea la recta de la pendiente m que pasa por el punto de coordenadas (𝑥1 , 𝑦1 ), que tiene como ecuación la siguiente expresión 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 ) 𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥1 + 𝑦1 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚(𝑦1 − 𝑥1 ) Siendo la pendiente y las coordenadas (𝑥1 , 𝑦1 ) valores reales, entonces la expresión (𝑥1 , −𝑚𝑦1 )
tambien es un valor real que lo nombraremos con “b” , entonces la ecuación queda expresada de la siguiente manera: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 Matemática
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En esta forma como ya vimos “m” es la pendiente y “b” es la ordenada de intersección de la recta con el eje vertical. Ejemplo: Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical.
4 3 2
(2,3)
1
-3 -2
-1
1
1
2
-2 (-1,-3)
𝑦 −𝑦
3−(−3)
𝑚 = 𝑥2 −𝑥1 2
3+3
-
6
= 2−(−1) = 2+1 = 3 = 2
1
Escribimos la ecuación punto pendiente, transformemos la forma reducida y comprobemos los parámetros: 𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2) 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 1 Y-3+2=2x y=2x+1 𝑚=2
→
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𝑏=1
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ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA: Tomemos como referencia la misma recta anterior:
𝑦 − 3 = 2(𝑥 − 2) 𝑦 − 3 = 2𝑥 − 4 0 = 2𝑥 − 𝑦 − 4 + 3 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 Realicemos esta expresión con la fórmula de la ecuación general de la recta:
𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 En donde: 𝐴=2
𝐵 = −1
𝑚=−
𝐴 𝐵
𝐵= −
𝐶 = −1 𝐶 𝐵
Comprobemos las relaciones en la ecuación estudiada: 𝟐𝒙 − 𝒚 − 𝟏 = 𝟎 𝑚=−
𝑏=−
2 =2 (−1)
(−1) = −1 (−1)
GRAFICA DE LA ECUACIÓN REDUCIDA DE LA RECTA Conociendo el significado de cada elemento de la ecuación de reducida de la recta , la elaboración de la gráfica se facilita de manera significativa. Ejemplo: 𝑦 = −2𝑥 − 6 En esta ecuación observamos lo siguiente: 1. La pendiente es negativa, por lo tanto la recta es decreciente en todo su dominio. 2. La ordenada que determina el punto de corte con el eje vertical es -6. 3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es -3 este valor se obtiene cuando y = 0 𝑦 = −2𝑥 − 6
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𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 0 = −2𝑥 − 6 2𝑥 = −6 6 𝑥 = − = −3 2 Estos parámetros son suficientes para graficar la recta con absoluta precisión:
Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por los puntos (2,3) 𝑦 (−1, −3) y comprobaron el valor de la pendiente y el punto de corte con el eje vertical. 𝑦 = −2𝑥 − 6 4 3 2 1
-6 -4
-2
-2
2
4
6
-4 Corte en el eje horizontal
-6 Corte eje vertical
GRAFICA DE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA. De manera análoga a la anterior, se conoce el significado de cada elemento de la ecuación de general de la recta , la gráfica es igual de sencilla: Ejemplo: Graficar la recta 2𝑥 − 3𝑦 − 6 = 0 Igualmente de esta ecuación podemos deducir lo siguiente: 1. La pendiente es positiva, por lo por lo tanto la ecuación es creciente en tanto que su dominio: 𝐴=2
𝐵 = −3
𝐶 = −6
𝑚=−
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𝐴 𝐵
𝐵= −
2 2 = −3 3
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La pendiente que determina el punto de corte con el eje vertical es 3 𝑏=−
𝐶 −6 = − = −2 𝐵 −3
3. La abscisa que determina el punto de corte con el eje horizontal es 3 y se calcula asi: 𝑎=−
𝐶 −6 = − =3 𝐴 2
𝑦 = −2𝑥 − 6
4
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎
3 2 1
-3 -2
-1
-1
1
2
3
-2 Corte en el eje horizontal (3)
-3 Corte eje vertical (-2)
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LECCIÓN N°7 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°7 Escribir el significado geométrico de m y b de la ecuación reducida de la recta. 2.
Explica el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación reducido. 3.
Explicar el proceso para graficar una recta a partir de su ecuación general: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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RESUMO N°7 Ecuación reducida de la recta
Ecuación general de la recta
Formula
Proceso
es
Pasos
GLOSARIO N°7 Ecuación reducida:
Decreciente 2.
Punto de intersección horizontal. 1.
Punto de intersección vertical 1.
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Abscisa
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. 4.
CUESTIONARIO N°7 Hallar la ecuación reducida de la recta que pasa por el punto (3, −5) y es paralela a la recta 𝑦 = −2𝑥 + 3
Encuentre la pendiente y el punto de corte con el eje vertical de la recta2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0.
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Escriba la ecuación reducida y general de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4, −3)
5.
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BLOQUE 2: Álgebra y Geometría
FICHA N°8: Polinomios OBJETIVOS: Comprender las funciones polinomicas, análisis de graficas e intervalos, además comparación de rangos y aplicaciones.
Destreza de Criterio de desempeño.
Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos. Resolución de ecuaciones polinomicas y los criterios que se emplean para analizar sus gráficos.
Objetivo Educativo. POLINOMIOS Sea “n” un 𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎3 … … … … … . 𝑎𝑛−1 número real (𝐶𝑜𝑛 𝑎𝑛 ≠ 0) la función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + ⋯ … … … … … … … … … . 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Se denomina función polinomicas de x, de grado n A las funciones polinomiales, también se denomina simplemente polinomios y a cada uno de los sumandos se les llama términos del polinomio. En particular, cuando el polinomio de un solo término se llama monomio, si consta de dos términos binomio y si consta de tres términos se llama trinomio. A los polinomios se les simboliza con letras mayúsculas y entre paréntesis se encuentran las variables de las que depende el polinomio.
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Monomios 1
3 5
𝑥¸ 6𝑧 3
Binomios 3 − √8; Trinomio
1 3
2𝑥 2 + 5𝑎
𝑎𝑥 − 4𝑥 2 + 1
Polinomio √7𝑦 5 − 4𝑦 3 + 5𝑦 −
49 √2
costa de cuatro términos.
Grado de un polinomio El exponente de una expresión es la cantidad que indica cuántas veces debe tomarse dicha expresión como factor. En la expresión 4𝑥 2 𝑦 el exponente de x es 2 y el exponente de y es 1. El grado de un monomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra. El monomio de 4𝑥 2 𝑦𝑧 4 es: de segundo grado en x, de primer grado en y y de cuarto grado en z.
El grado de un polinomio con respecto a una letra es el exponte de dicha letra, es el monomio de mayor grado con relación a dicha letra. Ejemplo: 𝑃(𝑡) = 𝑡 2 − 3𝑡 + 2 Indica que se trata de un polinomio P que depende de la variable t. Este polinomio es de segundo grado en t, pues el termino con mayor exponente es 𝑡 2 𝑄(𝑥) = −𝑥 5 + 1es de quinto grado y el termino principal es: −𝑥 5 .
El grado de un término en un polinomio, es igual al exponente que tiene la variable de este término El coeficiente de un término, es la parte numérica de este término. Ejemplo: Para el polinomio 𝑄(𝑥) = 4𝑥 5 − 8𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥+9, identificar los coeficientes y los grados de cada término Término Grado Coeficiente
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4𝑥 5 5 4
−8𝑥 4 4 -8
+2𝑥 3 3 2
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−7𝑥 1 -7
+9 0 9
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A los polinomios se les suele escribir en orden ascendente o en orden descendente:
Si un polinomio se escribe en orden descendente, en primer lugar se escribe el término mayor grado a continuación se escribe el término con el siguiente menor grado, y así sucesivamente.
Si un polinomio se escribe en orden ascendente, en primer lugar se escribe el término de menor grado (que comúnmente es el término constante), a continuación se escribe el término con el siguiente mayor y así sucesivamente. Ejemplo: 𝑷(𝑥)= 11𝑥 6 − 7𝑥 8 + 9𝑥 3 − 3 + 16𝑥 2 Forma descendente 𝑃(𝑥)= 117𝑥 8 + 11𝑥 6 + 9𝑥 3 − 3 Forma ascendente 𝑃(𝑥)= −3 + 16𝑥 2 + 9𝑥 3 +11𝑥 6 − 7𝑥 8 Funciones polinomicas combinadas.
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LECCIÓN N°8 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°8 Que es un expresión algebraica: de una reseña histórica: 6.
Que es un Polinomio: ______________________________________________________________________________ _____________________
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RESUMO N°8 Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: LOS POLINOMIOS
GLOSARIO N°8 Polinomio es:
Grado en algebra: 3.
Coeficiente es: 2.
Variable es 2.
Termino
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________
CUESTIONARIO N°8 Marque con una X cuál de las siguientes funciones son polinomios: ( )𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6 ( )𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥 −2 3𝑥 2 + 𝑥 − 1 ( )ℎ(𝑥) = 𝑥−3 ( )𝐻(𝑥) = 0 ( )𝐺(𝑡) = 𝑡 9 ( )𝐾(𝑢) = √𝑢2
4. COMPLETE: Expresión dada
1. Coeficiente
2. Parte literal
3. Grado
42x 2 y −6x 3 y2 z 2x 2 y − 3x 3 + x − 4 −x 8
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Determine el grado del polinomio. Ponga el numeral que corresponde: ( )𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 6 𝑥 2𝑥 3 ( )𝑄(𝑥) = − +2 5 8 ( )𝑇(𝑥) = −3 1 ( )𝑑(𝑡) = 𝑔𝑡 2 2 ( )𝑅(𝑥) =
11𝑥 2 − 𝑥 + 7 4
( )𝑁(𝑟) = 𝑟 110 − 1
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FICHA N°9: OPERACIONES CON POLINOMIOS OBJETIVOS: Resolver problemas que contengas ecuaciones polinomicas, además plantear soluciones a ecuaciones de rango y dominio polinómico en el plano cartesiano.
Destreza de Criterio de desempeño:
Analizar las operaciones que se pueden realizar con polinomios algebraicos. Resolución de operaciones polinomicas y los criterios que se emplean para su aplicación.
Objetivo Educativo. Las cuatro operaciones fundamentales que se pueden realizar con polinomios son la adición, la sustracción, el producto y la división Cuando se suma, se resta o multiplica polinomios, el resultado es siempre un polinomio. Cuando se divide polinomios, el resultado no siempre es un polinomio. La suma o adición de polinomios: Definición: Dos términos se llaman términos semejantes si tiene exactamente la misma variable con los mismos exponentes. Por ejemplo, los términos −2𝑥 3 𝑦 8𝑥 3 son términos semejantes entre si, pero −2𝑥 3 𝑦 8𝑥 4 no son términos semejantes los exponentes de cada término so n diferente. La suma y la diferencia de dos polinomios se realizan de manera similar a la suma y a la resta de números reales. La suma de varios polinomios es otro polinomio, cuyo valor numérico es igual a la suma de los valores numéricos de cada uno de los sumandos
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Para sumar dos polinomios se procede de la siguiente manera:
1. Se forma un solo polinomio que contenga los términos de los sumandos con sus correspondientes signos. 2. Se reduce los términos semejantes, si los hubiera. Ejemplo: (𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) 𝒚 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) Solución: (𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) =
𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕
(𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 − 𝟏𝟕) = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 − 𝟐𝟓 Sustracción o resta de polinomios: La definición. (𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠)El opuesto de un polinomio es otro polinomios que suma al original, el resultado es igual a cero. Dado un polinomio cualquiera, para hallar el polinomio opuesto se deben hacer negativos a los términos positivos, y hacer positivos a los términos positivos. Al polinomio opuesto de 𝑃(𝑥) se le denota −𝑃(𝑥) Ejemplo: Hallar el polinomio opuesto de a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5;
𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12
Solución: a) 𝑃(𝑥) = 6𝑥 − 5 −𝑃(𝑥) = −6𝑥 + 5 𝑏) 𝑄(𝑥) = 5𝑥 3 + 3𝑥 2 − 12 −𝑄(𝑥) = −5𝑥 3 − 3𝑥 2 + 12
Para restar el polinomio 𝑄(𝑥) de otro polinomio 𝑃(𝑥) se produce de la siguiente manera:
1. Se escribe el polinomio 𝑃(𝑥) 2. A continuación se escribe el opuesto de 𝑄(𝑥) 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, −𝑄(𝑥) 3. Se reduce a los términos semejantes, si los hubiera.
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Ejemplo: Del polinomio 𝑃(𝑎) = 5𝑎2 − 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 3𝑎2 − 6𝑎 + 5. (5𝑎2 − 8𝑎 + 6) − (3𝑎2 − 6𝑎 + 5) = 5𝑎2 − 8𝑎 + 6 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 5 (5𝑎2 − 8𝑎 + 6) − (3𝑎2 − 6𝑎 + 5) = 5𝑎2 − 3𝑎2 − 8𝑎 + 6𝑎 + 6 − 5
(5𝑎2 − 8𝑎 + 6) − (3𝑎2 − 6𝑎 + 5) = 2𝑎2 − 2𝑎 + 1 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 2𝑎2 − 2𝑎 + 1
La multiplicación de polinomios
El producto de dos polinomios es un polinomio cuyo valor numérico es igual al ´producto de los valores numéricos de aquellos. Al primer polinomio de un producto se le denomina multiplicando y al segundo polinomio, multiplicador. Para la realización del producto de dos polinomios debemos tener en cuenta las siguientes reglas
Reglas de los signos: El producto de dos cantidades igual signo tienen signo positivo y el producto de dos cantidades de signos contrarios tiene signo negativo : Es decir: + × += + − × −= + − × += − + × −= −
Procedimiento Operativo. Para multiplicar dos monomios se procede de la siguiente manera
1. Se determina el signo del producto, mediante la regla de los signos. 2. Se multiplica los coeficientes. 3. A continuación se escribe las letras diferentes de todos los factores, poniéndole a cada una un exponente igual a la suma de los exponentes que tiene los diferentes factores.
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Ejemplo:. Multiplique 3𝑥 2 𝑦 𝑝𝑜𝑟 − 4𝑥𝑦 3 𝑧 Tenemos (3𝑥 2 𝑦)(−4𝑥𝑦 3 𝑧) = −(3.4)(𝑥 2+3 )(𝑦1+3 )𝑧 (3𝑥 2 𝑦)(−4𝑥𝑦 3 𝑧) = −12(𝑥 5 )(𝑦 4 )𝑧
Multiplicación de polinomios:
1. Se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador considerando estos como monomios. 2. Se reduce los términos semejantes si los hubiera. 3. La suma de los productos parciales será el producto deseado
Ejemplo: Multiplicar: 𝑷(𝑥) = 𝑥 2 + 5𝑥+9 por 𝑄(𝑥) = 𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝟕 𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = (𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟗 )(𝒙𝟑 − 𝟐𝒙 − 𝟕) 𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙𝟓 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟑𝟓𝒙 + 𝟗𝒙𝟑 − 𝟏𝟖𝒙 − 𝟔𝟑 𝑷(𝑥)𝑸(𝑥) = 𝒙𝟓 + 𝟓𝒙𝟒 + 𝟕𝒙𝟑 − 𝟏𝟕𝒙𝟐 + −𝟓𝟑𝒙 − 𝟔𝟑
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LECCIÓN N°9 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°9 Elabore una bibliografía so sobre un creador de las expresiones algebraicas:
7.
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RESUMO N°9 Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS
GLOSARIO N°9 Expresión:
Algebra: 4.
Combinaciones: 3.
Binomio 3.
Adición
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado.
8.
CUESTIONARIO N°9 Marque con una X según corresponda la respuesta de la sustracción : Del polinomio 𝑃(𝑎) = 15𝑎2 − 8𝑎 + 6 restar el polinomio 𝑄(𝑎) = 5𝑎2 − 16𝑎 + 20.
( )𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 10𝑎2 − 8𝑎 − 14 ( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 𝑎2 − 8𝑎 + 14 ( ) 𝑃(𝑎) − 𝑄(𝑎) = 20𝑎2 − 8𝑎
Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición: Del polinomio 𝑃(𝑎) = 15𝑎2 + 8𝑎 adiciona con el polinomio 𝑄(𝑎) = 15𝑎2 − 6𝑎 + 30:
( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 10𝑎2 − 8𝑎 − 14 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 30𝑎2 + 2𝑎 + 30 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) = 20𝑎2 − 8𝑎 − 30
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Marque con una X según corresponda la respuesta de la adición : Del polinomio 𝑃(𝑎) = 10𝑎4 + 𝑎3 + 15𝑎2 + 8𝑎 − 20 𝑄(𝑎) = −10𝑎4 + 2𝑎3 + 𝑎2 + 8𝑎 − 20 𝑅(𝑎) = −𝑎4 + 𝑎3 + 15𝑎2 + 8𝑎 + 20
( )𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅(𝑎) = −2𝑎4 + 15𝑎3 + 31𝑎2 + 24𝑎 − 10 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅(𝑎) = 10𝑎4 + 𝑎3 + 15𝑎2 + 8𝑎 − 20 ( ) 𝑃(𝑎) + 𝑄(𝑎) + 𝑅(𝑎) == −𝑎4 + 5𝑎3 + 31𝑎2 + 24𝑎 − 20
Marque con una X según corresponda la respuesta de la multiplicación de polinomios: Del polinomio 𝑃(𝑥) = 6𝑥 + 5𝑥 3 − 8 − 3𝑥 2 𝑄(𝑥) = −𝟗 + 4𝑥 2 − 7𝑥
( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 20𝑥5 − 47𝑥4 − 47𝑥2 + 2𝑥+72 ( )𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = 30𝑥5 − 7𝑥4 − 57𝑥2 + 𝑥+72 ( ) 𝑃(𝑥) × 𝑄(𝑥) = +5𝑎3 + 31𝑎2 + 24𝑎 − 20
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FICHA N°10: DIVISIÓN DE POLINOMIOS OBJETIVOS. Aprender los diferentes métodos para realizar la división de polinomios de grados menores hasta grados superiores, aprender el método de la división sintética y lo métodos de reducción de Ruffinni.
Destreza de Criterio de desempeño:
Realizar la división de polinomios en función a los procesos preestablecidos. Resolver las divisiones con métodos sintéticos de análisis. Resumir funciones con el método de Ruffinni
Objetivo Educativo. LA DIVISION DE POLINOMIOS Definición: Dividir dos polinomios es hallar el tercer polinomio tal que su valor numérico sea igual al cociente de los valores numéricos de los dos polinomios dados. Los dos polinomios dados de denominan dividendo y divisor, y el polinomio hallado, cociente. La división es la operación inversa de la multiplicación. En general tenemos 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 Donde el residuo es un polinomio entero de grado inferior al de divisor. Si el residuo es igual a cero se dice, que la división es exacta.
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División de un monomio por otro monomio. Para dividir un monomio por otro monomio, se produce de la siguiente manera
Se determina el signo del resultado, mediante la regla de los signos. Se divide en los coeficientes entre sí . El coeficiente es el coeficiente pedido Se escribe las letras que se hallan en el dividendo y el divisor, con un exponente igual a la diferencia de los exponentes que llevan en cada termino, cundo dichos exponentes son distintos. No se escribe las letras que tienen exponente igual en el dividendo y divisor. Si ubica letras en el dividendo que no se halla en el divisor, se escribirán tal como están, pero si el divisor tiene letras que no figuran en el dividendo, pasarán al cociente con exponente negativo.
Ejemplo: 𝟐𝟎𝒂𝟓 𝒃𝟑 𝒄𝟐 = −𝟒𝒂𝟑 𝒃 𝒄𝟐 −𝟓𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝟏𝟐𝒂𝟑 𝒃𝟐 ÷ 𝟒𝒂𝟐 𝒃 = 𝟑𝒂𝒃 (−𝟑𝟓𝒙𝟑 𝒚𝟒 ) = 𝟕𝒙𝒚𝒛−𝟏 (−𝟓𝒙𝟐 𝒚𝟑 𝒛)
Tengamos en cuenta: En general no existe monomios enteros que, multiplicando por el divisor, reproduzca el dividendo, en tales casos se deja la división indicando en forma de fracción. Ejemplo: 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒊𝒓𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐 𝒑𝒐𝒓 𝟖𝒂𝟑 𝟏𝟓𝒂𝒃𝟐 𝟏𝟓𝒃𝟐 𝟏𝟓 −𝟐 𝟐 = = 𝟖𝒂 𝒃 𝟖𝒂𝟑 𝟖𝒂𝟐 𝟖 División de polinomios: Consideremos dos polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥) y las siguientes definiciones: La definición. (𝑫𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂)Dividir exactamente el polinomo𝑃(𝑥) 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑄(𝑥) distinto de cero, significa hallar un polinomio 𝐶(𝑥) tal que se verifique: 𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) Entonces, se dice que 𝑃(𝑥) es divisible por 𝑄(𝑥)
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Es decir, en la división exacta, el residuo es igual cero 𝑅(𝑥) = 0
Definición (𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒊𝒏𝒆𝒙𝒂𝒄𝒕𝒂) Dividir inexactamente (𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜) el polinomio 𝑃(𝑥)por el polinomio 𝑄(𝑥), distinto a cero, significa hallar dos polinomios 𝐶(𝑥)𝑦 𝑅(𝑥) tal que se verifique 𝑃(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥)
El polinomio𝑃(𝑥) es el dividendo, 𝑄(𝑥) el divisor, 𝐶(𝑥) el cociente, y 𝑅(𝑥) es el residuo o resto, entonces se dice que el polinomio 𝑃(𝑥) se divide por el polinomio 𝑄(𝑥)cociente 𝐶(𝑥) y con residuo 𝑅(𝑥) El grado 𝑅(𝑥) del polinomio 𝑅(𝑥) es estrictamente menor al grado de 𝑄(𝑥)
Reglas de la división: Para dividir dos polinomios, previamente hay que ordenarlos de manera decreciente, luego se procede de la siguiente manera:
1. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, con la cual se obtiene el primer término del cociente. Se multiplica este término por el divisor y se resta el residuo2. El primer término del residuo, dividendo por el primer término del divisor, da el segundo término del cociente. Multiplicando este segundo término hallando por el divisor y restado el producto obtenido del primer residuo, hallamos un segundo residuo, con el cual se procederá del mismo modo que con el primer para obtener el tercer término del cociente. 3. Se continua de la misma manera hasta dar con un residuo igual a cero o con un polinomio de grado inferior al del divisor, que es el residuo de la operación.
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LA DIVISION DE POLINOMIOS Ejemplo: Dividir 3𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑝𝑜𝑟 𝑥 + 2
3𝑥 + 11
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LECCION N°10 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°10 Que es una expresión algebraica: indique la clasificación de los polinomios explique cada uno de ellos y ponga un ejemplo: 1.
Como se realiza la división sintética en los polinomios. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Como se realiza la multiplicación o producto de polinomios. -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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RESUMO N°10 Elabore un mapa conceptual del contenido del tema tratado: POLINOMIOS
GLOSARIO N°10 Trinomio:
Coeficiente: 5.
Teorema: 4.
División 4.
Reglas
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
CUESTIONARIO N°10 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Divida el siguiente polinomio: (𝑎3 − 2𝑎6 ) ÷ 𝑎2
( ) 𝑎 − 𝑎4 2
( )0,5𝑎2 − 𝑎 2
( )𝑎1 − 2𝑎 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Divida el siguiente polinomio: 21𝑥 2 𝑦 ÷ −7
( )2𝑥2 𝑦 ( ) − 3𝑥2 𝑦 ( ) − 3𝑥3 𝑦 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división : Divida el siguiente polinomio: (8𝑥 3 − 3𝑥 − 2) ÷ 3𝑥 − 3
8 5 ( )𝑥 2 + 𝑥 + 3 3 8 2 8 5 ( ) 𝑥 + 𝑥 − 3 5 3 8 8 5 ( ) 𝑥2 + 𝑥 + 3 3 3
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Marque con una X según corresponda la respuesta de la división de polinomios: Divida el siguiente polinomio: (2𝑥 5 + 3𝑥 4 + 5𝑥 3 +6𝑥 2 − 𝑥 + 6) ÷ 𝑥 2 − 3𝑥 + 2
( )2𝑥3 +9𝑥2 + 28𝑥 + 72 ( )2𝑥4 +9𝑥2 + 28𝑥 − 36 ( )2𝑥3 +9𝑥2 − 72 Grafique el siguiente polinomio.
𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 1 1.
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SEGUNDO QUIMESTRE
BLOQUE 3: Matemática Discreta. FICHA N°11:
Propiedad del Residuo OBJETIVOS: Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones polinomicas.
Destreza de Criterio de desempeño
Resolver un sistema de dos ecuaciones polinomicas con las reglas establecidas. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica Determinar la división sintética de los polinomios.
Objetivo Educativo. Teorema del residuo Teorema (del residuo) si el polinomio P(𝑥) se evalúa en 𝑥 = 𝑎 entonces el resultado 𝑃(𝑎) es igual al residuo que se obtiene cuando se divide P(𝑥) por 𝑥 − 𝑎. Es decir si P(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) Q(𝑥) + 𝑅, entonces 𝑅 = P(𝑎). Ejemplo: Hallar el resto de la división del polinomio P(𝑥) = 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 12 por el binomio 𝑥 − 2
Solución De acuerdo al teorema del residuo: 4
𝑅 = 𝑃(2) = 2 − 5(2)2 + 12 𝑅 = 𝑃(2) = 16 − 20 + 12 𝑅= 8
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Hallar el valor de m para que el polinomio 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 5𝑥 + 𝑚 sea divisible por 𝑥 − 1
Solución. El resto de la división del polinomio por 𝑥 − 1 se obtiene calculando P(1). 𝑟 = 𝑃(1) = 1 − 3 + 5 + 𝑚 𝑟 = 3+𝑚 Para que 𝑃(1) = 0 es necesario que 𝑟 = 3 + 𝑚 = 0; por lo tanto 𝑚 = −3 La división sintética Si el divisor del polinomio es un binomio de la forma 𝑥 − 𝑎, donde a es una constante, el algoritmo de la división se puede simplificar a un proceso denominado división sintética. También llamada regla de Ruffini, es un procedimiento práctico para encontrar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio se realiza de la siguiente manera.
El cociente del primer número del cociente es igual al primer término del dividendo. El cociente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el cociente del término anterior por a y sumando el coeficiente del término y de igual orden del término. El residuo de la división se obtiene multiplicando por a el ultimo coeficiente del cociente y sumando al resultado el último coeficiente del dividendo.
Ejemplo: 1. Realice la operación: (2𝑥 3 − 3𝑥 + 5) ÷ (𝑥 − 1) 2 0− 3+ 5
4
8 − 32 + 116 2 8 − 29 +
121
𝐶(𝑥) = 2𝑥 2 + 8𝑥 + 29 𝑟 = 121
2. Realice la operación: (𝒙𝟓 − 𝟏𝟔𝒙𝟑 − 𝟐𝟎𝟐𝒙 + 𝟖𝟏) ÷ (𝒙 − 𝟒)
1
0 − 16 4
16
1 4
0
+0 − 202 0 0
+ 81
4
− 808 − 202
− 727
𝐶(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑥 3 − 202 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 − 727
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LECCIÓN N°11 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°11 Elabore un marco teórico sobre la regla de Ruffini: 1.
RESUMO N°11 Elabore un mapa conceptual del teorema del residuo y división sintética. 1.
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GLOSARIO N°11 Principio:
Residuo: 2.
Operación: 5.
Elementos de la división: 5.
Simplificar
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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CUESTIONARIO N°11 Marque con una X según corresponda la respuesta de la división : Hallar el cociente y el residuo de la división dada (𝑥 4 − 5𝑥 2 + 12): (𝑥 + 2) ( )𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 ( ) 𝑥 3 + 𝑥 2 − 1𝑥 + 2 ( ) 2𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥
𝑟=8 𝑟=7 𝑟 = 18
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el cociente y el residuo de la división dada (𝑥 4 + 2𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 − 6): (𝑥 + 3) ( )𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 ( ) 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 2 ( ) 2𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥
𝑟=8 𝑟=0 𝑟=0
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división : Hallar por simple inspección la división𝑥 3 − 4𝑥 2 + 7𝑥 − 6 entre 𝑥 − 2
( )𝑥 + 2 ( ) 𝑥−4 ( ) 𝑥−2
𝑟=8 𝑟=0 𝑟=0
Marque con una X según corresponda la respuesta de la división de polinomios : Hallar por simple inspección la división𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3 entre 𝑥 + 1
( )𝑥 − 2 ( ) 𝑥−4 ( ) 𝑥 − 12
𝑟=8 𝑟=0 𝑟=0
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BLOQUE 3: Matemática Discreta FICHA N°12: El Algoritmo de Euclides.
OBJETIVOS: Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones polinomicas.
Destreza de Criterio de desempeño
Resolver un sistema de dos ecuaciones polinomicas con las reglas establecidas. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica Determinar la división sintética de los polinomios.
Objetivo Educativo. M.C.D. de dos polinomios: El algoritmo de Euclides. Consideremos un polinomio de cualquiera que tiene varios divisores; es decir el polinomio se puede descomponer como el producto de ciertos factores. Ahora consideremos dos polinomios que han sido descompuestos en factores. Dichos polinomios pueden divisores comunes o pueden no tenerlos. Si los polinomios tienen divisores comunes, se puede hallar el máximo común divisor entre ellos.
Definiciónde máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios existen uno de mayor grado que los demás, al cual se se llama máximo común divisor de los polinomios dados y se le representa como M.C.D.
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Determinación del M.C.D Para encontrar el M.C.D se debe distinguir dos pasos según se trata de monomios o polinomiosM.C.D de los monomios Para la determinación del M.C.D. de monomios bastara hallar el máximo común divisor de los coeficientes y poner a continuación todas las variables afectadas de sus menores exponentes. Ejemplo: Hallar el M.C.D. de los monomios 4𝑎2 𝑏 4 , 16𝑎3 𝑏𝑐 2 𝑑, 36𝑎2 𝑏 5 𝑐 4 4𝑎2 𝑏 4 = 22 𝑎2 𝑏 4 16𝑎3 𝑏𝑐 2 𝑑 = 24 𝑎3 𝑏𝑐 2 𝑑 36𝑎2 𝑏 5 𝑐 4 = 62 𝑎2 𝑏 5 𝑐 4 𝑀. 𝐶. 𝐷 = 4𝑎2 𝑏𝑐 M.C.D. de dos polinomios. Para determinar el M.C.D. de dos polinomios, se debe tener presente los siguientes: Ejemplo: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4
𝑦
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12
= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) M.C.D.= 𝑥 2 − 4
Mínimo Común Múltiplo de polinomios:
Definición de mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota m.c.m.
Se obtiene descomponiendo entre sus factores primos y luego formando el producto de todos los factores primos diferentes afectados por su mayor exponente. Ejemplo: Hallar el M.C.D. de los monomios 4𝑎2 𝑏 4 , 16𝑎3 𝑏𝑐 2 𝑑, 36𝑎2 𝑏 5 𝑐 4 Matemática
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4𝑎2 𝑏 4 = 22 𝑎2 𝑏 4 16𝑎3 𝑏𝑐 2 𝑑 = 24 𝑎3 𝑏𝑐 2 𝑑 36𝑎2 𝑏 5 𝑐 4 = 62 𝑎2 𝑏 5 𝑐 4 𝑚. 𝑐. 𝑚. = 24 . 32 . 𝑎3 𝑏 5 𝑐 4 𝑑 𝑚. 𝑐. 𝑚 = 144𝑎3 𝑏 5 𝑐 4 𝑑 También se puede determinar el mcm de polinomios: Hallar el mcm. de los polinomios: 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4
𝑦
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12
= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) mcm.= (𝑥 2 − 4)(𝑥 2 − 1)(𝑥 + 3)
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LECCION N°12 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°12 Determine el concepto de M.C.D y de mcm. Indique el proceso de realización con un ejemplo: (10 puntos)
RESUMO N°12 Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.
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GLOSARIO N°12 Máximo:
Mínimo:
Divisor:
Múltiplo:
Divisor.
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------
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CUESTIONARIO N°12
Poner falso o verdadero según corresponda: 1. Máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios existen uno de mayor grado que los demás, al cual se llama máximo común divisor de los polinomios dados y se le representa como M.C.D.
2. mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota mcm.
3. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 4𝑥 3 + 37𝑥 2 + 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ( )4𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ( )𝑥 2 − 1𝑥 + 2 ( ) − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 4
4. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el mcm. De 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4
𝑦
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12
( )𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 ( )𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 15𝑥 2 + 4𝑥 + 12 ( )𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 1
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5. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥 2 − 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦 2
𝑦
6𝑏 2 𝑥 − 6𝑏 2 𝑦
( ) 12𝑎𝑏 2 (𝑥 + 𝑦)2 ( )
8𝑎𝑏 2 (𝑥 − 𝑦)3
( )
12𝑎𝑏 2 (𝑥 − 𝑦)2
6. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2 𝑏 4 , 48𝑎3 𝑏 3 𝑐, 60𝑎4 𝑏 3 𝑚 ( )12𝑎2 𝑏 3 ( ) − 4𝑎2 𝑏 3 ( ) − 2𝑎𝑏𝑥 2
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BLOQUE 3: Matemática Discreta FICHA N°13: Ecuaciones Polinómicas Compuestas. OBJETIVOS: Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones polinómicas.
Destreza de Criterio de desempeño
Realizar las ecuaciones de polinomios en función a los procesos preestablecidos. Resolver un sistema de dos ecuaciones polinómicas con las reglas establecidas. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica Determinar la división sintética de los polinomios.
Objetivo Educativo. Teorema del residuo Definición: Se denomina ecuación a toda igualdad que solo se satisface para determinados valores numéricos de ciertas letras que aparecen en ella. Las letras que representan los números desconocidos se denominan incógnitas y a los números y letras que acompañan a la incógnita se los llama coeficiente.
Definición: (𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 )Los valores numéricos que cumplen una ecuación reciben el nombre de soluciones, ceros o raíces de una ecuación. Definición: (𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒄𝒂𝒔 )Dado un polinomio 𝑃(𝑥)llamadas ecuaciones polinómicas a una igualdad de tipo 𝑃(𝑥)=𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 … … … … … … … … . . 𝑎1 𝑥 + 𝑎𝑜 = 0
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Definición: (𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒛 𝒄𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒑𝒐𝒍𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒐 )Un número se denomina raíz del polinomio 𝑃(𝑥) si se verifica que 𝑃(𝑎 ) Gráficamente, las raíces de un polinomio son las coordenadas 𝑥 de los puntos donde el gráfico de la función se cruza con el eje 𝑥 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 − 5 𝑙𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑎 = −1 𝑦 𝑎 = 2,5 son raíces
de la ecuación polinomial 2𝑥 2 − 3𝑥 − 5 = 0 puesto que al sustituirlos en 𝑃(𝑥) se cumple que 𝑃(𝑎) = 0 Para 𝑎 = −1: 𝑃(−1) = 2(−1)2 − 3(−1) − 5 = 0 Para 𝑎 = −1: 𝑃(2,5) = 2(2,5)2 − 3(2,5) − 5 = 0 Como se observa, el gráfico de 𝑃(𝑥) corta el eje x en los puntos (−1; 0) 𝑦 (2,5; 0) TEOREMA DEL FACTOR
Definición (𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓)El binomio (𝑥 − 𝑎) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃(𝑥) si exista un polinomio 𝑄(𝑥) tal que 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎) 𝑄(𝑥)
El siguiente teorema establece que se puede determinar si un polinomio tiene a(𝑥 − 𝑎) 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 mediamente la evaluación del polinomio en 𝑥 = 𝑎
Teorema(𝒅𝒆𝒍 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓)El polinomio 𝑃(𝑥) tiene como factor a (𝑥 − 𝑎) si al evaluarlo es 𝑥 = 𝑎 resulta que 𝑃(𝑎) = 0 Ejemplo: divisibles: 1,-1,2,-1,4,-4,8,-8 debe quedar el residuo cero Es 𝑥 − 1 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥 3 + 5𝑥 2 + 2𝑥 − 8 Solución: 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 2𝑥 − 8, entonces
𝑃(1) = (1)3 + 5(1)2 + 2(1) − 8 𝑃(1) = 1 + 5 + 2 − 8 = 0
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Para determinar 𝑄(𝑥) empleamos la división sintética
1 5
2
1 1
6 6
8
− 8 1 8 0
Por lo tanto 𝑄(𝑥) = 𝑥2 + 6𝑥 + 8
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LECCIÓN N°13 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°13 Determine el concepto de M.C.D Indique el proceso de realización con un ejemplo
Determine el concepto de M.C.M Indique el proceso de realización con un ejemplo.
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RESUMO N°13 Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.
GLOSARIO N°13 Máximo:
Mínimo:
Divisor:
Múltiplo:
Divisor.
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Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------
CUESTIONARIO N°13 Poner falso o verdadero según corresponda: 1. Máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios existen uno de mayor grado que los demás, al cual se llama máximo común divisor de los polinomios dados y se le representa como M.C.D.
2. mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota mcm.
3. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 4𝑥 3 + 37𝑥 2 + 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ( )4𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ( )𝑥 2 − 1𝑥 + 2 ( ) − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 4
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4. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el mcm. De 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4
𝑦
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12
( )𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 ( )𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 15𝑥 2 + 4𝑥 + 12 ( )𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 5. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥 2 − 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦 2
𝑦
6𝑏 2 𝑥 − 6𝑏 2 𝑦
( ) 12𝑎𝑏 2 (𝑥 + 𝑦)2 ( )
8𝑎𝑏 2 (𝑥 − 𝑦)3
( )
12𝑎𝑏 2 (𝑥 − 𝑦)2
6. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2 𝑏 4 , 48𝑎3 𝑏 3 𝑐, 60𝑎4 𝑏 3 𝑚 ( )12𝑎2 𝑏 3 ( ) − 4𝑎2 𝑏 3 ( ) − 2𝑎𝑏𝑥 2
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BLOQUE 3: Matemática Discreta FICHA N°14: Graficación de Polinomios
OBJETIVOS: Analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos analizados anteriormente, aplicación de las herramientas de solución para los sistemas de ecuaciones polinómicas.
Destreza de Criterio de desempeño
Realizar las ecuaciones de polinomios en función a los procesos preestablecidos. Realizar las ecuaciones de polinomios en función a los procesos preestablecidos. Resolver un sistema de dos ecuaciones polinómicas con las reglas establecidas. Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos variables de la gráfica y analítica
Objetivo Educativo. GRAFICACION DE POLINOMIOS
No hay reglas que permitan la construcción de los gráficos de polinomiales, ya que dependen del grado que tengan los polinomios; sin embargo es posible tener una idea de como es el gráfico de in polinomio si nos valemos de las raíces y el criterio de coeficiente principal. Criterio de Coeficiente principal: Nos permite describir el comportamiento del grafico de u polinomio cuando la variable toma valores grades en direcciones positivas o negativas, utilizando únicamente el signo de coeficiente principal y el grado de polinomio. La notación flecha: Para describir el comportamiento de los polinomios cuando la variable toma valores altos en direcciones positivas o negativas usamos la siguiente notación:
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𝑥 → ∞ Se lee: toma valores grandes en direcciones positivas. 𝑥 → −∞ Se lee: toma valores grandes en direcciones negativas. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −∞ → 0 → ∞
𝑥 → −∞𝑦 → ∞
𝒚 = 𝒙𝟑 −∞ → 𝑦 → ∞
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𝑥 → −∞𝑦 → ∞
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Si n es impar:
𝑆𝑖𝑎𝒏 > 0el grafico es decreciente a la izquierda y a la derecha creciente es decir, cuanto 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑆𝑖𝑎𝒏 < 0, el grafico es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha, es decir cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ y cuando 𝑥 → ∞, 𝑃(𝑥) → −∞
Si n es par y
Si 𝑎𝑛 > 0, el grafica es creciente a la izquierda y creciente a la derecha, es decir, cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞
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Ejemplo: 1. 𝑷(𝒙) = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 Solución Aquí, 𝑛 = 3 𝑦 𝑎𝑛 = −1 Como el grado del polinomio es impar y 𝑎𝑛 es negativo, el gráfico a la izquierda decreciente a la derecha
Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞
𝟑
2. 𝑷(𝒙) = 𝟒 𝒙𝟒 + 𝟓𝒙𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟕 3
Solución: 𝑛 = 4 𝑦 𝑎𝑛 = 4 El grado del polinomio es par y 𝑎𝑛 es positivo, el gráfico es creciente a la izquierda creciente a la derecha
Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → ∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 3.
𝟏 𝟕
𝒙𝟓 + 𝒙𝟒 − 𝟐𝟒 1
Solución: 𝑛 = 5 𝑦 𝑎𝑛 = 7 El grado del polinomio es impar y 𝑎𝑛 es positivo, el gráfico es decreciente a la izquierda creciente a la derecha.
Cuando 𝑥 → −∞ 𝑃(𝑥) → −∞ 𝑦 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → ∞ 𝑃(𝑥) → ∞
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LECCIÓN N°14 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°14 Determine el concepto de M.C.D y de mcm. Indique el proceso de realización con un ejemplo: ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________
RESUMO N°14 Elabore un mapa conceptual del mcd y mcm de polinomios.
Matemática
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GLOSARIO N°14 Máximo:______________________________________________________________________________________________ Mínimo: ______________________________________________________________________________________________ Divisor: _______________________________________________________________________________________________ Múltiplo:______________________________________________________________________________________________ Divisor._______________________________________________________________________________________________
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________
CUESTIONARIO N°14 Poner falso o verdadero según corresponda: 1. Máximo común divisor: Entre todos los divisores que son comunes a varios polinomios existen uno de mayor grado que los demás, al cual se llama máximo común divisor de los polinomios dados y se le representa como M.C.D.
2. mínimo común múltiplo: Entre todos los múltiplos comunes de varios polinomios existen uno de menor grado que los demás, que se llama mínimo común múltiplo y se le denota mcm.
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3. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 4𝑥 3 + 37𝑥 2 + 34𝑥 − 48 𝑦 4𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ( )4𝑥 2 + 5𝑥 − 6 ( )𝑥 2 − 1𝑥 + 2 ( ) − 2𝑥 2 − 5𝑥 + 4
4. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el mcm. De 𝑥 4 − 5𝑥 2 + 4
𝑦
𝑥 3 + 3𝑥 2 − 4𝑥 − 12
( )𝑥 3 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2 ( )𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 15𝑥 2 + 4𝑥 + 12 ( )𝑥 5 + 3𝑥 4 − 5𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 1 5. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el mcm. De 4𝑎𝑥 2 − 8𝑎𝑥𝑦 + 4𝑎𝑦 2
𝑦
6𝑏 2 𝑥 − 6𝑏 2 𝑦
( ) 12𝑎𝑏 2 (𝑥 + 𝑦)2 ( ) 8𝑎𝑏 2 (𝑥 − 𝑦)3 ( ) 12𝑎𝑏 2 (𝑥 − 𝑦)2 6. Marque con una X según corresponda la respuesta de la división: Hallar el M.C.D. de los polinomios: 36𝑎2 𝑏 4 , 48𝑎3 𝑏 3 𝑐, 60𝑎4 𝑏 3 𝑚 ( )12𝑎2 𝑏 3 ( ) − 4𝑎2 𝑏 3 ( ) − 2𝑎𝑏𝑥 2
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BLOQUE 3: Matemática Discreta FICHA N°15: Funciones Trigonométricas
OBJETIVOS: Aprender y analizar problemas que ameriten una solución múltiple por los métodos trigonométricos analizados, aplicación de las herramientas de triángulos rectángulos y aplicación general de teoremas.
Destreza de Criterio de desempeño
Resolver triángulos rectángulos aplicando el teorema de Pitágoras Aprender de las funciones trigonométricas. Resolver ejercicios por el método de las funciones trigonométricas. Aplicar la ley se senos a triángulos no rectángulos. Aplicar la ley del coseno para resolver triángulos no rectángulos.
Objetivo Educativo. Concepto de función trigonométrica Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Las gráficas de las funciones trigonométricas poseen propiedades matemáticas muy interesantes como máximo, mínimo, asíntotas verticales, alcance y periodo entre otras. Al establecer relaciones entre dos conjuntos mediante las funciones trigonométricas se establecen relaciones como y=sen(x), y=cos(x), y=tan(x), y=cot(x), y=csc(x) o y=sec(x). La expresión en el paréntesis se denomina argumento de la función (dominio) mientras que y representa el alcance.
Matemática
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Las gráficas de estas funciones se extienden sobre los ejes coordenados, si es sobre el eje de x, tienen la característica de repetirse por intervalos. Esto significa que cada cierta cantidad de radianes, una parte de la gráfica de la función es la misma (periodo). La extensión sobre el eje de y se conoce como alcance. “El modelo de las gráficas de las funciones trigonométricas se obtiene evaluando la función para ángulos que forman una revolución completa”. Gráfica de la Función Seno del ángulo El modelo de la gráfica de la función seno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función seno del ángulo utiliza la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función seno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función seno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función seno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria. Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=sen(x).
Su dominio es el conjunto de números reales
Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas ( 2 ,1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas ( 2 ,-1).
Su periodo es 2π.
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π
3π
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Gráfica de la Función Coseno del ángulo El modelo de la gráfica de la función coseno del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función coseno del ángulo utiliza la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función coseno del ángulo comienza en 0 y termina en 2π. En la figura de abajo se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función coseno del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función coseno del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria. Esta función tiene un punto máximo y un punto mínimo en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de la función y=cos(x).
Su dominio es el conjunto de números reales
Su alcance es el conjunto de números mayores o iguales que menos uno hasta los números menores o iguales que uno.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,1).
El eje de x será el eje de referencia.
El punto máximo del ciclo fundamental tiene coordenadas (0,1) y (2π,1).
El punto mínimo del ciclo fundamental tiene coordenadas (π,-1).
Su periodo es 2π.
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Gráfica de la Función Tangente del ángulo. El modelo de la gráfica de la función tangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función tangente del ángulo es el cociente de la y y la x de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función tangente del ángulo comienza en -π/2 y termina en π/2. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función tangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función tangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria. Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.
Su dominio es toda x≠π/2±nπ.
Su alcance es el conjunto de todos los números reales.
Su intercepto en el eje de y es el punto (0,0).
El eje de x será el eje de referencia.
Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±π/2.
Su periodo es π.
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Gráfica de la Función Cotangente del ángulo El modelo de la gráfica de la función cotangente del ángulo se puede obtener transfiriendo puntos del círculo unitario al sistema rectangular de coordenadas. Recuerde que la función cotangente del ángulo es el cociente de la x y la y de los arcos del círculo unitario. El ciclo fundamental de la función cotangente del ángulo comienza en 0 y termina en π. En la figura de la derecha se observa la relación entre la circunferencia unitaria y la gráfica de la función cotangente del ángulo x. Esta figura muestra el desarrollo de la gráfica de la función cotangente del ángulo x a partir de la circunferencia unitaria. Esta función tiene asíntotas en el ciclo fundamental de su gráfica. Veamos las características de la gráfica de esta función.
Su dominio es toda x≠±nπ.
Su alcance es el conjunto de todos los números reales.
No tiene intercepto en el eje de y.
El eje de x será el eje de referencia.
Las asíntotas del ciclo fundamental son x=±nπ.
Su periodo es π.
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Propiedades de las funciones trigonométricas Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2π y el de la función tangente es π.
Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente). Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada. Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.
ECUACIÓN GENERAL DEL SENO
f(x)= y = A sin[ω(x-α)] + C
La línea base (el punto medio de oscilación) A = amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base) C = desplazamiento vertical = coordenada y de la línea base P = periodo (el longitud de casa ciclo, o distancia de un máximo al siguiente) ω = frecuencia angular = 2π/P = 2π/4 = π/2 α = desplazamiento de faso Esta es la distancia horizontal del eje y al primero punto donde la gráfica cruza la línea base.
ECUACIÓN GENERAL DEL COSENO
f(x)= y = A cos[ω(x - α)] + C
A es la amplitud (la altura de cada máximo arriba de la línea base). C es el desplazamiento vertical (la altura le la línea base). P es el periodo o longitud de onda (el longitud de casa ciclo). ω es la frecuencia angular, y se expresa por ω= 2π/P o P = 2π/ω. α es el desplazamiento de faso.
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EJEMPLOS
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FICHA N°15 NOMBRE: _________________________________ CURSO: ___________________________________ FECHA: ___________________________________ PARALELO: ________________________________ PROFESOR: ________________________________
INVESTIGO N°15 Investigue comportamiento de las funciones trigonométricas cosecante, secante, cotangente. Graficar las funciones.
1.
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RESUMO N°15 Resuma las propiedades de las funciones trigonométricas. 1.
GLOSARIO N°15 Función seno: _______________________________________________________________ Función coseno:________________________________________________________________ Función tangente:______________________________________________________________ Radianes:______________________________________________________________________
Escriba 5 palabras no asimiladas en la lección con su respectivo significado. ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________
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CUESTIONARIO N°15 Grafique la función y= 2sen(x) + 3. Determine las transformaciones efectuadas. 2.
Determine las transformaciones efectuadas a la función original.
y=3cos(x)+3 1.
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Bosqueje la gráfica de f(x) = 3 sen(6x) 1.
Graficar la función h(x) = cos(2x + π) 1.
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Calificación
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BLOQUE 4: Probabilidad y Geometría FICHA N°16: Transformaciones y Desplazamientos.
OBJETIVO: Comprender las diferentes identidades trigonométricas que existen y su aplicación para resolver distintos problemas que sean plateados, además las transformaciones y sus formas de gráficas.
Criterios de aprendizaje:
Aprender a resolver ejercicios en los cuales sean necesarias las identidades trigonométricas para su resolución. Aprender la correcta aplicación de las identidades trigonométricas.
Objetivo Educativo. Las gráficas de las siguientes funciones f(x)=x, f(x)=x2 y f(x)=׀x ׀las conocemos. Cada una de ellas tiene una forma particular y sabemos cual es su forma general. En algunas ocasiones se nos pedirá trazar la gráfica de funciones parecidas a otras que ya conocemos. Estas se dibujan utilizando técnicas aplicadas a los modelos gráficos de cada función. Estas transformaciones afectan la forma general de la gráfica de cada función. Las traslaciones, reflejos y las expansiones - compresiones son las transformaciones a estudiar. Desplazamientos (Traslaciones) Las traslaciones son transformaciones que cambian la posición de la gráfica de una función. La forma general de la gráfica de una función se traslada hacia arriba, abajo, a la derecha o a la izquierda. Las traslaciones son consideradas transformaciones rígidas. Ahora veremos como se realizan estas.
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Traslaciones verticales Suponga que k > 0 Para graficar y=f(x)+k, desplace la gráfica de k unidades hacia arriba. Para graficar y=f(x)-k, desplace la gráfica de k unidades hacia abajo.
Traslaciones horizontales Suponga que h > 0 Para graficar y=f(x-h), desplace la gráfica de h unidades hacia la derecha. Para graficar y=f(x+h) desplace la gráfica de h unidades hacia la izquierda.
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Expansiones y compresiones verticales Para graficar 𝐲 = 𝐚 ∗ 𝐟(𝐱) Si a>1, la gráfica de y=f(x) se expande verticalmente por un factor a. (Se alarga la función). Si 0
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