Matematica_Financiera Administración Publica

M atemática Financiera aplicada JOSÉ ABDÉNAGO ARÉVALO NIÑO

METODOLOGÍA Y PEDAGOGÍA

ISABEL C. GARCÍA CHAGUENDO

Escuela Superior de Administración Pública Programa de Administración Pública Territorial

FUNDAMENTACIÓN

a la Administración Pública

Núcleo

Escuela Superior de Administración Pública Director GUIDO ECHEVERRI PIEDRAHÍTA Subdirectora Académica ÁNGELA MARÍA MEJÍA URIBE Decana de la Facultad de Pregrado ELBA ROJAS DE CASTILLO Coordinador de A.P.T. HERNANDO LOAIZA GALLÓN Corrección de Estilo Ana María Guerrero Martínez. Coordinadora Grupo de Grupo de Publicaciones y Recursos Educativos Teresa González Velásquez Concepto Gráfico y Diagramación Julio César Cárdenas Rozo ...Juc@ro Fotomecánica y Montaje William Gabriel Castillo Jiménez Impresión Luis Argemiro Forero Triana Acabados Grupo de Publicaciones y Recursos Educativos, ESAP © Escuela Superior de Administración Pública © José Abdenago Arévalo Niño Bogotá D.C., mayo de 2004 Impreso en Colombia Printed in Colombia

P resentación

Este documento forma parte integral del conjunto de módulos preparados por la Escuela Superior de Administración Pública con el fin de desarrollar su Programa de Administración Pública Territorial en la modalidad de Educación a Distancia. De acuerdo con los criterios orientadores de esta metodología y del Programa, el módulo: Matemática Financiera, busca convertirse en la herramienta fundamental y básica mediante la cual el estudiante de esta modalidad adquiere de manera autónoma los conocimientos y habilidades exigidas dentro de los estándares de calidad establecidos para la Educación Superior hoy. En todo proceso educativo el estudiante es el actor principal. En la Educación a Distancia, además, el estudiante es el responsable fundamental del proceso, es quién hace uso de su tiempo, capacidad y disciplina en el desarrollo de las actividades tendientes a la adquisición del conocimiento. La entidad educativa, por su parte, ofrece y pone a su disposición los instrumentos que acompañan el proceso de autoaprendizaje, así como los tutores que reorientan el

proceso académico - administrativo que le dan soporte al Programa en su conjunto. Como entidad educativa que desarrolla programas bajo la modalidad a distancia, la ESAP presenta estos módulos a sus estudiantes y tutores para que de una manera coordinada, didáctica, pedagógica y creativa los utilicen en su interacción académica hacia el logro de los objetivos de formación del Programa, y para que de forma constructiva realicen sus aportes para el mejoramiento de los mismos. Cada módulo debe ser asumido como un actor más del proceso educativo y, por ende, como sujeto activo del permanente proceso de autoevaluación que implica la búsqueda continúa de la calidad académica.

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Núcleo Temático Fundamentación

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Del Núcleo Fundamentación El Programa de Administración Pública Territorial está conformado por nueve núcleos temáticos, uno de los cuales es: Fundamentación. El núcleo está construido a partir de los saberes que a manera de instrumentos el estudiante adquiere de diversas disciplinas, frecuentemente vinculadas a las ciencias exactas, y que proveen el desarrollo del proceso de formación las herramientas que facilitan los procesos de formación y de aprendizaje.

Su denominación y ubicación curricular en el Programa de Administración Pública Territorial es como aparece en los siguientes esquemas conceptuales:

ROEICA ICA

NAENACION

INESIGACIN ASESORA CONSORA

El núcleo de Fundamentación, está conformado por los siguientes módulos de estudio: · · · · · · · ·

Matemática I Informática I Matemática II Informática II Estadística I Informática III Estadística II Matemática Financiera

CONSRCCION E CONOCIIENO

ROECO E RO

A. P. T .

ROEICA E ESAO E OER

GESION E ESARROO

ROCCIN ISRICIN

ESPACIO, TIEMPO TEITOIO ORGANIZACIONES ICAS

MM

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Módulo Temático Matemática Financiera

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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCION UNIDAD 1 INTERES UNIDAD 2 INTERES COMPUESTO UNIDAD 3 ANUALIDAD UNIDAD 4 AMORTIZACIÓN BIBLIOGRAFIA

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública OBJETIVO DEL MÓDULO TEMÁTICO OBJETIVOS GENERALES · Facultar a la Administrador Público para operar Las técnicas usuales de la Matemática Financiera. · Dar a los estudiantes las herramientas de manejo de los recursos financieros y fiscales, para que, reconociendo la importancia y sentido de la interacción de la Matemática Financiera con otras disciplinas como Derecho Administrativo, Penal y Civil, se hagan más competentes y eficientes con lo cual se puedan optimizar los recursos financieros del sector.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS Aprehender y aplicar en el manejo financiero y presupuestal de la Administración Pública Colombiana, las técnicas de la Matemática financiera, como el Interés Simple, el Interés Compuesto, las Anualidades y la Amortización. En esta perspectiva se propenderá por: * * * * * * * * *

Manejar el concepto de interés en sus diferentes modalidades. Manejar el concepto de “Interés” en relación con las Inversiones temporales de los recursos. Manejar el concepto de interés en relación con las acreencias. Manejar el concepto de interés en relación con las liquidaciones de las sentencias judiciales en sede administrativa. Manejar el concepto de series uniformes en sus diferentes modalidades. Manejar el concepto de “series uniformes” en relación con las diferentes modalidades de acreencia. Manejar el concepto de “series uniformes” en relación con la valoración de las Condenas contra el Estado en sede judicial. Manejar el concepto de amortización en sus diferentes modalidades. Manejar el concepto de “Amortización” para la presupuestación de los valores periódicos de desembolso continuo por préstamos efectuados a favor de las Organizaciones Públicas.

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METODOLOGÍA GENERAL El Programa está diseñado bajo la modalidad de Educación a Distancia, por ello desarrolla procesos de autoformación, interformación y seguimiento presencial. Por lo tanto a usted como estudiante le genera retos tales como: la búsqueda de una disciplina de autoestudio, el compromiso por una actitud proactiva de cambio, la tolerancia en el acercamiento con sus compañeros de estudio mediante Equipos de Trabajo, y la sabiduría para programar su tiempo, e incorporar este proceso a su proyecto de vida. Teniendo en cuenta, la metodología a distancia, el desarrollo de las sesiones presenciales de este Módulo Temático, será el Seminario-Taller, en el cual se empleará estrategias pedagógicas como: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Construcción cognitiva Lectura autorregulada Elaboración de mapas conceptuales Trabajo en equipo Trabajo de grupo Socialización del trabajo de auto e interformación Elaboración de la bitácora o diario de aprendizaje

8. 9. 10.

Autoevaluación de aprendizajes Autoevaluación de construcciones elaboradas en los aprendizajes Autoevaluación de procesos, decisiones y estrategias de estudio.

Así mismo, las sesiones presenciales se apoyarán con conversatorios, simposios, mesas redondas, estudios de casos, exposición de mapas conceptuales, y aplicación de las temáticas. Las actividades a desarrollarse en las sesiones presenciales son preparadas y organizadas por el grupo de coordinadores de los equipos de trabajo. La aplicación de la metodología incluye: Proyecto de Vida / Proyecto de Futuro / Proyecto de Grado: Cada estudiante deberá tomar los principales elementos y características para su proyecto de vida en relación con el ejercicio de la Gestión de la Administración Pública Territorial, el Proyecto de Futuro y el Proyecto de Grado; de tal manera, que se genere

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coherencia en su quehacer personal y profesional tanto en el espacio público como en el espacio privado. Lecturas Autoreguladas: Cada participante debe elaborar un mapa conceptual de cada lectura por unidad de acuerdo con la bibliografía básica, y establecer los interrogantes que desde su conocimiento y experiencia que considere que son los que se deben resolver, en relación con la problemática territorial de Colombia. Para ello los estudiantes deberán tener presente en la relación lectura - aprendizaje, los siguientes verbos: COMPRENDER, INTERPRETAR, ARGUMENTAR, APLICAR, ELABORAR, DEDUCIR, COMPARAR, DIFERENCIAR, CARACTERIZAR, IDENTIFICAR, DETERMINAR, ESTABLECER, ANALIZAR , SINTETIZAR Y PROPONER en la realización de los resúmenes de las lecturas. Así mismo deberán, elaborar notas de las lecturas y los comentarios personales respectivos.

Bitácora o Diario De Aprendizaje: Cada participante debe llevar una bitácora o diario de aprendizaje cuyo objetivo es hacer el seguimiento a las sesiones temáticas correspondientes del Módulo. La bitácora comprende también, la confrontación que usted realice de lo aprendido en relación con las diferentes actividades de formación a la luz de los conceptos expuestos: ¿Qué aprendió?, ¿Qué no aprendió? ¿Cuáles fueron las deficiencias conceptuales y metodológicas en el desarrollo de las sesiones? ¿Cuál fue el grado de complejidad de los textos de lectura, los facilitadores y obstaculizadores en el proceso de aprendizaje, sus fortalezas y debilidades en el mismo, las síntesis analíticas o resúmenes, los aportes del grupo, de los compañeros, del tutor, y su interacción con el grupo y con el equipo de trabajo? Equipos de Trabajo: Los participantes del programa formarán equipos de trabajo integrados por un número impar de cinco (5)

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estudiantes, con el fin de desarrollar trabajos en pequeños grupos, los cuales se socializaran en el trabajo de autoformación. El trabajo de Interformación o de los equipos, se socializará en el trabajo de Grupo en el desarrollo de las sesiones presenciales tutoriales. Sesión Presencial Tutorial: Las tutorías constan de treinta y dos (32) horas y se desarrollan en siete (7) sesiones presenciales: seis (6) sesiones de cinco (5) horas para la socialización del trabajo de auto e interformación y 2 sesiones de 1 hora para la socialización de las evaluaciones. Las tutorías se desarrollan en la modalidad Seminario - Taller. Cuyo objetivo primordial es resolver los interrogantes de los participantes, construir un mapa conceptual, y aplicar los conocimientos a la problemática del municipio o región, mediante el desarrollo de las diferentes actividades de aprendizaje. Así, la labor del tutor en las sesiones presenciales es la de hacer el seguimiento y el acompañamiento de los procesos de autoformación e interformación.

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EVALUACIÓN. La evaluación es integral, es decir por procesos. Tendrá un carácter cualitativo y cuantitativo; Así los criterios, a tener en cuenta son los productos desarrollados, los aprendizajes obtenidos, la participación, la asistencia a las sesiones, el interés por el desarrollo de los temas, y la relación con el grupo y con los compañeros. Se hará Coevaluación, Autoevaluación y Evaluación del tutor. Se empleará la bitácora como un instrumento básico en la realización de la autoevaluación. Finalmente la Evaluación cuantitativa se realizará teniendo en cuenta los parámetros establecidos por la ESAP, para ello los estudiantes realizarán un trabajo final escrito sobre la valoración en sede judicial o liquidación en sede administrativa de condenas contra una entidad del Estado donde se aplicarán las Matemáticas Financieras y el Desarrollo administrativo.

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Introducción

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entro de la compleja actividad jurisdiccional del Estado, es preciso destacar el impacto de las condenas contra las entidades de derecho público, por la alta incidencia presupuestal que representan los desembolsos causados por ellas.

D

mediante la ley anual del presupuesto, establece el rubro “sentencias judicialmente exigibles” como criterio de necesaria incorporación, no obstante la incertidumbre asociada a las cifras con que suele cuantificárselo.

En efecto, los artículos 85, 86 y 87 del Código Contencioso Administrativo, establece el marco legal que orienta la valoración de los perjuicios indemnizables por concepto del ejercicio formal de las facultades del Estado, que se traduce en actos administrativos; o, bien, en desarrollo de hechos que no se expresan de manera voluntaria ni solemne por parte de la autoridad, pero de lo cual no se lo exonera de la responsabilidad que le compete.

El módulo desarrolla, la valoración en Sede Judicial a partir de la sentencia, del laudo o del arreglo conciliado, y relaciona los principios matemáticos con los financieros que soporta la jurisprudencia con las liquidaciones ulteriores que se llevan a cabo en las sedes administrativas obligadas al desembolso.

Los perjuicios ocasionados con motivo de la actividad contractual que afecte la integridad patrimonial del ejecutor, también se hallan normativamente establecidos como consecuencia de los efectos que dan lugar al pago en que permanentemente incurren la nación y las entidades territoriales y descentralizadas. En vista de las dificultades técnicas que la previsión de un criterio tan aleatorio presenta, la legislación,

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Unidad 1 Interés

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PLAN DE LA UNIDAD 1.

INTERÉS

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

Concepto. Clases de interés. Interés simple. Interés comercial e interés real. Aplicación del interés simple en lo Contencioso Administrativo. Valor futuro y valor presente.

1. INTERÉS 1.1. OBJETIVO DIDÁCTICO. Aprehender el concepto de Interés y aplicarlo al manejo de la finanzas del Estado.

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Interés

1.2.

CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

1.21. CONCEPTUALES. · · · · ·

Interés Inversión Acreencias Interés Real Interés Comercial

1.2.1. PROCEDIMENTALES.

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·

Manejar el concepto de interés en sus diferentes modalidades.

·

Manejar el concepto de “interés” en relación con las Inversiones Temporales de los recursos.

·

Manejar el concepto de interés en relación con las acreencias.

·

Manejar el concepto de interés en relación con las liquidaciones de las Sentencias judiciales en sede administrativa.

·

Qué se entiende por interés simple?

·

¿Cuál es la diferencia entre interés real y comercial?

·

¿De qué variables depende el interés?

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

·

¿Cuándo se aplica el interés comercial y el interés real?

·

¿Es posible relacionar el interés simple con el Derecho Administrativo y con el Código Penal?

·

¿Qué tasas de interés son aplicables para la liquidación de intereses en Sede Administrativa?

·

¿Qué se entiende por intereses moratorios?

1.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES. Desarrollo de competencias Cognitivas Operativas en la generación de habilidades que favorecen el saber hacer para la aplicación y diseño de instrumentos.

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1.3.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1.3.1.

DE AUTOFORMACIÓN.

· · ·

·

Motivación Cognitiva Lectura de la bibliografía básica. Elaboración de mapa conceptual de la lectura del esta unidad y de la lectura de la bibliografía básica. En la bitácora, cada estudiante deberá elaborar la definición de los contenidos conceptuales y procedimentales de la presente unidad. Elaboración de la Autoevaluación

1.3.2.

DE INTERFORMACIÓN.

·

Los estudiantes conformaran grupos de trabajo, con los cuales deberán socializar las actividades de autoformación. 1.3.3.

PRESENCIAL.

·

Presentación de la unidad y exposición del mapa conceptual general por parte del tutor. Aclaración de Conceptos Realización de Taller: Aplicación de la unidad mediante un ejercicio práctico.

· ·

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 1.4. DESARROLLO DE LA UNIDAD I EL INTERÉS Es la compensación pagada o recibida por el uso del dinero tomado en préstamo. Este concepto constituye parte del soporte de las finanzas y tiene como principio el cálculo y análisis de la variación del dinero respecto del tiempo. Si depositamos en una cuenta de ahorros de un Banco $4’000.000 y dentro de 8 meses cancelamos la cuenta el Banco nos entrega $4’230.000. - El dinero depositado de $4.000.000 es el capital inicial o valor presente y lo representamos con K.

El interés depende de tres variables: El tiempo (T), la tasa de interés (i) y el capital (K).

- La inversión permanece 8 meses; es el tiempo y lo simbolizamos con T.

TIEMPO: Es el intervalo en que se desenvuelve una operación financiera. El tiempo puede ser exacto o aproximado. Para el tiempo exacto tenemos en cuenta el mes calendario, que puede ser de 28, de 30, o 31 días. Ejemplo: Cuántos días transcurren entre el 20 de octubre del 2002 y el 19 de abril del 2003.

El capital inicial (K) es $4.000.000; en ocho meses, éste se convierte en $4’230.000 que es el valor futuro. Hay una diferencia entre el valor futuro del dinero (F) y el valor presente (K); es lo que se denomina interés (I): de donde: I=F–K Interés es igual al valor futuro menos el capital inicial o valor presente, para nuestro ejemplo: $230.000 = $4’230.000 I = F

-

$4’000.000 K

Octubre tiene 31 días; como la fecha es el 20 de este mes, le faltan para completar el mes............................ ...................................................................11 días. Noviembre 30 días Diciembre 31 días Enero 31 días Febrero 28 días Marzo 31 días Abril 19 días ______ Total 181 días Respuesta: Transcurren 181 días

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Interés

El tiempo exacto se utiliza en lo contencioso Administrativo para hacer la liquidación de las condenas en SEDE ADMINISTRATIVA. Para calcular el tiempo aproximado se supone que todos los meses tienen 30 días. Ejemplo: Calcular el número de meses que hay entre el 13 de febrero de 1996 y el 26 de diciembre del 2002. Debemos hacer un cuadro que nos indique día, mes y año, colocando en la primera fila el tiempo más reciente, y en la segunda el más lejano, y hacemos la respectiva resta.

DIA

MES

AÑO

26 13 13 días

12 02 10 meses

2002 1996 6 años

Convertimos los años en meses: 6 años x 12 meses = 72 meses; a estos 72 meses les sumamos 10 meses (restar 12 meses – 2 meses) y nos da 82 meses; los 13 días debemos pasarlos a meses; como el mes tiene 30 días, dividimos 13 días entre 30: 13 30

=

0.433, es decir, los 13 días equivalen a 0,433 de mes.

El total de meses es: 72 + 10 + 0.433 = 82.433 meses. En cuanto al tiempo, el interés puede ser: Interés real e interés comercial o bancario.

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Para el interés comercial o bancario el año tiene 360 días y todos los meses son de 30 días. Por esta clase de interés se rigen todos los establecimientos comerciales y bancarios. En el interés real, el año tiene 365 días, y los meses son calendario; lo utiliza el Estado para las liquidaciones en sede administrativa, ya que el Estado no es comerciante. TASA DE INTERES: Tomemos el caso de tres personas: Nohora, Magdalena y Johanna invierten cada una $ 100 pesos durante un año. Al finalizar el año, Nohora obtiene $124, Magdalena $130, y Johanna $118. Si analizamos esta operación financiera, vemos que Nohora ganó $ 24 por cada $100 invertidos durante un año, y se nota un 24%; Magdalena ganó $ 30 por cada 100 invertidos, se nota 30% y Johanna ganó 18 por cada $ 100 invertidos y se nota 18%. La variación de estos $100 durante el tiempo (un año) se nota % (por ciento) y se llama tasa de interés. CAPITAL (K): Para algunos tratadistas, en finanzas se entiende el capital como una suma prestada, pero

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública El préstamo es por 10’000.000 y la tasa de interés mensual es del 3%; por concepto de intereses pagamos $300.000 cada mes. Si observamos la gráfica, vemos que el capital es constante ($10’000.000) y los intereses también permanecen constantes, debido a que el computo de los intereses se hace con base en el capital inicial. Si el capital no varía y los intereses permanecen constantes, hablamos de: Interés Simple. Al final de los siete meses debemos pagar el capital inicial (los $10.000.000 del préstamo), más siete desembolsos por $ 300.000 (intereses) cada mes. $10’.000.000 + 7 (300.000) = $12’100.000 Capital Intereses Total si depositamos dinero en una cuenta de ahorros es Capital; cuando se condena a una entidad del Estado a pagar una determinada suma de dinero, a este dinero también se lo denomina Capital.

El interés depende del capital, del tiempo y de la tasa de interés. I=Cti

CLASES DE INTERÉS: Hay dos clases de interés: Interés simple e Interés compuesto.

Debemos tener en cuenta dos escenarios: Si el interés es comercial, dividimos por 360 y sí es real lo dividimos por 365.

1.4.1. INTERÉS SIMPLE

Ejemplo con Interés Comercial:

Ejemplo: Conseguimos un préstamo por $10’000.000 durante 7 meses pagando una tasa de interés del 3% mensual con la condición de que al final de cada mes debemos desembolsar los intereses. Cuánto pagamos en total al final de los siete meses?.

Conseguimos un préstamo bancario por $12’700.000 durante 276 días pagando una tasa de interés simple del 26.5% anual. Calcular los intereses pagados.

Gráfica:

I=

Kti 360

I=? K = 1’270.000 i = 26.5% t = 276 I=

1’270.000 x 276 x 0,265 360

I = $2’580.216,67 Los intereses pagados ascendieron por $2’580.216,67.

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1

Interés

Ejemplo con Interés real: Calcular el interés real que debemos pagar por un préstamo de $11’690.000 durante 305 días pagando una tasa de interés simple de 28.76% anual. I=? t = 305 K = 11’690.000 i = 28.76% I=

Kti 365

I=

11’690.000 x 305 x 0,2876 365

I = $2’809.379,23

1. Calcular y sustentar el valor correcto del pago.

Interés real pagado $2’809.379,23

Mediante sentencia de segunda instancia, ejecutoriada el 27 de marzo del 2002, el Consejo de Estado impone a una entidad oficial el pago de las sumas de $110’000.000 y $51’000.000 por concepto de perjuicios materiales y morales respectivamente a favor de la persona natural demandante. Para acatar el fallo, la Entidad condenada efectúa la correspondiente liquidación hasta el día 27 de junio del 2002, fecha de resolución oficial del pago. Si el cheque a que hay lugar se entrega al beneficiario el 24 de agosto del 2002, se pide:

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F

Ejemplo para la liquidación en Sede Administrativa:

Para la liquidación de esta sentencia debemos tener en cuenta los siguiente: - La sentencia C – 188 del 24 de marzo de 1999, que en uno de sus apartes dice: “En cuánto al Artículo 177 del Código Contencioso Administrativo, a menos que la sentencia que impone la condena señale un plazo para el pago, evento en el cual, dentro del mismo se pagaron intereses comerciales, los intereses moratorios se causan a par-

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública (50) a doscientos (200) salarios mínimos legales mensuales vigentes”. Para obtener la suma a pagar por concepto de interés se aplica la siguiente formula: I

Kti 365 I = Intereses a reconocer. K = Capital, el cual no varía para el cálculo de cada período. i = Tasa de Interés t = Número de días del período.

tir de la ejecutoria de la respectiva sentencia, sin perjuicio de la aplicación del término de dieciocho (18) meses que el precepto contempla para que la correspondiente condena sea ejecutable ante la justicia ordinaria” - Decreto 818 de 1994 (Abril 22), aparte del Artículo 3: “Se entiende que ha existido pago de una sentencia, una conciliación, o un laudo arbitral, en la fecha de entrega del cheque al beneficiario o a su apoderado, o de la consignación en la cuenta depósitos judiciales” - Artículo 305 del Código Penal . Usura. “El que reciba o cobre, directa o indirectamente, a cambio de préstamo de dinero o por concepto de venta de bienes o servicios a plazo, utilidad o ventaja que exceda en la mitad del interés bancario corriente que para el período correspondiente estén cobrando los bancos, según certificación de la Superintendencia Bancaria, cualquiera sea la forma utilizada para hacer constar la operación, ocultarla o disimularla, incurrirá en prisión de dos (2) a cinco (5) años y multa de cincuenta

=

- Las tasas aplicables para la liquidación de intereses serán las certificadas por la Superintendencia Bancaria; para los intereses comerciales se toma el interés Bancario Corriente. - En cuanto al límite máximo de los intereses moratorios es preciso tener en cuenta el Artículo 305 del Código Penal. Intereses – Perjuicios morales y materiales. Fecha de ejecutoria : 27 – 03 – 02 Capital a Liquidar: $161’000.000= Ejemplo para marzo: K = 161’000.000 T = 4 días i = 20.97% corriente, por mora: 20.97% x 1.5 = 31.455% I=

Kti 365

161’000.000 x 4 x 0.31455 365 Intereses para marzo: 554.986,85 I=

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Interés

INTERESES MORATORIOS

INTERESES CORRIENTES 0, INTERESES MORATORIOS $19’893.513 TOTAL NETO A PAGAR $180’893.513 Si en el ejemplo anterior la presentación de los documentos debidamente diligenciados es el 18 de octubre del 2002 y la fecha de entrega del cheque al beneficiario: 13 de noviembre de 2002. ¿Cuanto recibirá el beneficiario? Se debe tener en cuenta las normas aplicadas en el anterior ejercicio y además el « Artículo 60 de la ley 446 de 1998. Pago de sentencias. Adiciónese el Artículo 177 del Código Contencioso Administrativo con los siguientes incisos: Cumplidos seis (6) meses desde la ejecutoria de la providencia que imponga o liquide una condena o de la que apruebe una conciliación sin que los beneficiarios hayan acudido ante la entidad responsable para hacerla efectiva, acompañando la documentación exigida para el efecto, cesará la causación de intereses de todo tipo desde entonces hasta cuando se presentare la solicitud en legal forma. En asuntos de carácter laboral, cuando se condene a un reintegro y dentro del término de seis meses siguientes a la ejecutoria de providencia que así lo disponga, éste no pudiese llevarse a cabo por causas

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imputables al interesado, en adelante cesará la causación de emolumentos de todo tipo.»

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

Se pagarán intereses por mora del 27 de marzo al 27 de septiembre; a partir del 28 de septiembre hasta el 18 de octubre cesará el pago de intereses. Del 19 de octubre al 12 de noviembre intereses por mora.

INTERESES MORATORIOS $27’872.673,1 TOTAL NETO A PAGAR $188’872.673,1

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Interés

Dinero no recibido por la persona natural demandante por presentar la solicitud extemporánea: Septiembre 3 días 161.000.000 x 3 x 0.3027 = $400.599,18 365 Octubre 18 días 161.000.000 x 18 x 0.3045 = $2’417.646,58 365 Total dinero no recibido $2’818.205,75. El Tribunal Administrativo de Boyacá en la fecha Enero 16 de 2002, declaró la nulidad de la resolución Nº 083 de octubre 13 de 2001 expedida por el Director de una entidad descentralizada del Departamento, por la cual se revoca el nombramiento de Nohora Cecilia Jaimes Quintero. Como consecuencia de lo anterior, se ordena a la entidad demandada a reintegrar a Nohora Cecilia Jaimes Quintero al cargo del cual fue removida o a otro de igual o superior categoría y a reconocer y pagar todos los salarios y prestaciones sociales dejados de percibir desde la fecha de su retiro hasta aquella en que efectivamente sea reintegrada al servicio. Que tal providencia quedó ejecutoriada el 18 de mayo de 2002. Con base en lo anterior: 1. Indexar conforme lo señala la fórmula del Consejo de Estado (Artículo 178 C.C.A). 2. Establecer los intereses moratorios conforme lo señala el artículo 177 deñ C.C.A. (Sentencia C188/99)

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Información adicional: -

Salario Neto año 2001 = $1’870.000. Salario Neto año 2002 = $1’942.000. Fecha de pago: 26 de agosto de 2002

I.P.C. acumulado Octubre 2001 = 127.291656 Noviembre 2001 = 127.440432 Diciembre 2001 = 127.595043 Enero 2002 = 128.626944 Febrero 2002 = 130.281517 Marzo 2002 = 131.178597 Abril 2002 = 132.401814 Interés Bancario Corriente: Mayo de 2002 = 20.00% Junio de 2002 = 19.95% Julio 2002 = 19.77% Agosto 2002 = 20.01%

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública El salario del año 2001 fue de $1’870.000oo. Nohora Cecilia James fue retirada el 13 de octubre del 2001. 1?870.000 x 17 = $1’059.666,67 30 Correspondiente a 17 días del mes de octubre. Para el índice de precios al consumidor final se toma el del mes anterior a la ejecutoria, en este caso, el de abril del 2002. R = RH Índice final Índice inicial Octubre 1’059.666,67 x 132.401814

Las sumas que resultan a favor de la parte actora (Nohora Cecilia Jaimes Quintero), se ajustarán al valor de conformidad con el artículo 178 del C.C.A. (mes a mes), hasta la fecha de ejecutoria de la presente providencia, dando aplicación a la siguiente fórmula: R = RH

Índice Final Índice Inicial

En donde R se determina multiplicando el valor histórico (RH) que es lo dejado de percibir desde la fecha en que dejaron de cancelarse los valores en virtud del acto acusado, por el guarismo que resulta de dividir el índice final de precios al consumidor, certificado por el DANE, vigente a la fecha de ejecutoria de esta providencia, por el índice vigente a la fecha de la desvinculación, teniendo en cuenta los aumentos decretados durante dicho periodo.

=

$1’102.207,27

=

$1’942.8000,95

=

$1’940.446,79

127.291656 Noviembre 1’870.000 x 132.401814

127.440432 Diciembre 1’870.000 x 132.401814

127.595043 Enero 1’942.000 x 132.401814 = $1’998.992,70

128.626944 Febrero 1’942.000 x 132.401814 = $1’973.605,53

130.281517 Marzo 1’942.000 x 132.401814 = $1’960.108,80

131.178597

37

1

Interés

Abril $1’942.000 Total salarios actualizados $12’860.162,04 Capital a liquidar: $12’860.162,04 Para establecer los intereses moratorios aplicamos la fórmula: I=

k.t.i 365

Ejemplo: para el mes de mayo. k = 12’860.162,04 t = 13 días i = 30% I=

12’860.162,04 x 13 x 0.3 365

I = $137.409,95 El interés Bancario Corriente según la Superintendencia Bancaria para el mes de mayo es 20%, pero como los intereses son moratorios, multiplicamos el interés por 1.5. (20% x 1.5 = 30%)

Capital $12’860.162,04 Intereses por mora $1’045.446,59 Valor total por pagar $13’905.608,63

38

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 1.4.2. VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE EN INTERÉS SIMPLE Si hoy depositamos en una cuenta de ahorro (k) y esta inversión permanece durante determinado tiempo (8 meses) ganando una tasa de interés (i), al final la corporación nos entregará el capital (k) más el interés (i) ganado por el dinero depositado.

El valor que retiramos dentro de 8 meses lo denominaremos valor futuro y lo representamos con F, F = k + I. Pero I = k,t.i, reemplazando tenemos: F = k + kti, sacando factor común: F = k (1+ti) Ejemplo: El tesorero de una entidad territorial deposita un excedente financiero equivalente a $12’800.000 durante 287 días en una corporación que paga una tasa de interés del 17.5% anual. ¿Cuánto puede retirar al final de esta operación financiera?

39

1

Interés

k = 12’800.000 t = 287 días i = 17.5% F=¿ F = k (1 + ti) F = 12’800.000 ( 1 + 287 x 0.175) = $14’585.777 Dentro de 287 días puede retirar $14’585.777 ¿Cuánto tiempo debe permanecer un depósito de $9’450.000 en un banco que paga una tasa de interés del 13.8% anual, si queremos retirar $10’000.000 de pesos? k = 9’450.000 i = 13.8% F = 10’000.000 t=¿ F = k (1 + ti) 10’000.000 = 9’450.000 (1 +

10’000.000 = 1 + t 9’450.000 360

x 0.138

1.058201058 – 1 =

t x 0.318 360

0.058201058 =

40

t x 0.138) 360

¿Qué tasa de interés gana un inversionista si hoy deposita $3’600.000 y dentro de 114 días retira $39’800.000? F = k (1 + ti) 39’800.000 = 3’600.000

t x 0.318 360

39’800.000 3’600.000

(1 + 114 i) 360

–1=

114 360

i

0.105555 x 360 = i 114

t = 0.058201058 x 360 = 151.82 0.318

i = 33,33%

Respuesta: 151.82 días

En los 114 días gana una tasa de interés simple del 33,33%

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 1.5. AUTOEVALUACIÓN 1. Con base en la siguiente información presente la liquidación debidamente tabulada que le corresponde al beneficio legítimo de una condena contra una entidad descentralizada del Distrito Capital. ·

Fecha de fallo de segunda instancia proferida por el Consejo de Estado: Noviembre 14 de 2001.

·

Fecha de ejecutoria: Noviembre 20 de 2001.

·

Valor de la condena: $94’300.000.

·

Fecha de presentación de los documentos debidamente diligenciados: Junio 14 de 2002.

·

Fecha de resolución de pago: Junio 22 de 2002.

·

Fecha de entrega del cheque al beneficiario: Julio 18 de 2002.

2. Un alcalde municipal está interesado en comprar un edificio para funcionamiento de un colegio, le hacen tres propuestas que a continuación se detallan. ¿Cuál es la mejor, si el rendimiento del dinero es del 12% anual? a)

600’000.000 al contado y un pagaré a 150 días por valor de 326’00.000.

b)

300’000.000 a 120 días y 635’000.000 a 180 días.

c)

200’000.000 al contado y un pagaré con intereses del 14% a 130 días.

3. Una máquina vale $18’000.000 al contado. Un comprador conviene pagar $8’000.000 de cuota inicial y el resto a 90 días con un recargo del 4% sobre el precio de contado. ¿Qué tasa de interés simple pagó? 4. Si el tesorero municipal deposita hoy $18’950.000 y dentro de 130 días retira $19’246.000. ¿Qué tasa de interés ganó? 5. Un inversionista deposita $10’000.000 en una corporación financiera que paga una tasa de interés del 11.5% anual, a los dos meses retira $2’500.000 y 3 meses después retira $3’400.000. Hallar el saldo disponible a los 8 meses contados desde la fecha del depósito. 6. Si hoy se depositan $8’960.000 en una corporación que paga una tasa de interés del 9.4% anual y posteriormente retiramos $9’100.000. ¿Cuánto tiempo transcurrió entre el depósito y el retiro del dinero? 7. Cuántos años se requerirán para que: a)

Una inversión de $10’000.000 se convierte en $14’700.000 con una tasa de interés simple del 18.3% anual

b)

Una inversión de $6’400.000 se convierte en $7’260.000 con una tasa de interés del 14% anual.

41

1

Interés

1.6.CONSTRUCCIÓN COGNITIVA Centro Territorial: —————————————————————————————————— Nombre del Estudiante: ——————————————————————————————— Código : ————————————————————————————————————Equipo : ————————————————————————————————————Temática : ———————————————————————————————————— Unidad : ————————————————————————————————————ACTIVIDADES Identificación del Proyecto de Aprendizaje 1. Después de hacer una revisión del contenido del presente capítulo, me gustaría elaborar un ensayo sobre el siguiente problema, dificultad, amenaza, oportunidad, potencialidad, fortaleza o aspecto de interés, que afecta mi comunidad. 2. Dos preguntas que intentaré responderme en ese ensayo son: 3. El Título provisional del ensayo que quiero escribir es: 4. La Utilidad (beneficios a corto plazo) que este ensayo tendría (para mí o para otras personas) es: 5. La Importancia (beneficios a largo plazo) que este ensayo tendría para mi o para otras personas) es : 6. El objetivo propuesto en la unidad que más se aproxima a mis intereses es: 7. El procedimiento o camino más razonable para alcanzar el objetivo propuesto de la unidad es:

42

¿CÓMO LO HICE?

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

8. Las ideas conceptos, que se relacionan con el objetivo propuesto, que yo poseo son: 9. Un objetivo que yo quiero lograr con la elaboración del ensayo es: 10. El procedimiento o camino más razonable para alcanzar este objetivo es: 11. Algunas ideas o conceptos que poseo y que se relacionan con el objetivo mío son: 12. El mapa conceptual que yo tengo sobre estas temáticas lo puedo representar así: 13. En mi vida diaria yo utilizo uno o más de estos conceptos así:

1.7. RESULTADO DIDÁCTICO Al finalizar la sesión el estudiante estará en capacidad de APLICAR las herramientas del Interés al manejo de la finanzas del Estado..

1.8. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Los estudiantes deberán consultar los siguientes textos: Matemáticas Financiera, Capitulo Interés Simple. Código Contencioso Administrativo. Código Penal. Tablas de interés de la Superintendencia Bancaria.

43

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

Unidad 2 Interés Compuesto

45

2

46

Interés Compuesto

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

PLAN DE LA UNIDAD 2. EL INTERÉS COMPUESTO 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

Concepto de interés compuesto. Tasa nominal y tasa efectiva. Valor futuro. Valor presente. Tasas de interés equivalentes.

2. EL INTERES COMPUESTO 2.1. OBJETIVO DIDÁCTICO. Aprehender y aplicar el concepto de Interés Compuesto al manejo de las finanzas del Estado.

47

2

Interés Compuesto

2.2.

CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

2.2.1. CONCEPTUALES. * * * * * * *

Tasa Tasa Nominal Tasa Efectiva Tasa Anticipada Tasa Vencida Valor Presente Valor Futuro

2.2.2. PROCEDIMENTALES. · · ·

Manejar los conceptos de tasa nominal y tasa efectiva. Diferenciar tasas nominales anticipadas y tasas nominales vencidas. Definir con claridad el valor futuro y el valor presente.

2.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES. Desarrollo de competencias socioafectivas simples que posibiliten la generación de habilidades que integran el saber y el saber hacer con el ser como persona para la realización de Trabajos en grupo, y la autoevaluación de procesos.

48

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

2.3.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

2.3.1. DE AUTOFORMACION. · · · ·

Autoevaluación Autoevaluación de Procesos, Decisiones y Estrategias de Estudio. Lectura de la bibliografía básica. En la bitácora, el estudiante deberá elaborar el glosario de los conceptos claves de esta unidad.

2.3.2. DE INTERFORMACION. ·

·

Los estudiantes por grupos de trabajo, deberán ELABORAR UNA REFLEXIÓN SOBRE LA APLICACIÓN DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA EN EL MANEJO DE LAS FINANZAS DEL ESTADO. Los estudiantes por grupos de trabajo deberán socializar las actividades de autoformación

2.3.3. PRESENCIAL. · · · ·

Presentación de la unidad por parte del tutor. Exposición de las actividades de autoformación e interformación pro grupos de trabajo Aclaración de conceptos Realización de Taller para la aplicación de los contenidos de la unidad, mediante ejercicios prácticos.

49

2

50

Interés Compuesto

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública Si observamos la gráfica, vemos que: Capital (K) e intereses aumentan a través del tiempo, debido a que el interés se convierte en capital y a esta operación la denominamos capitalización. En el interés compuesto hay dos tasas de interés: Tasa de interés Nominal y Tasa de interés efectiva.

2.4. DESARROLLO DE LA UNIDAD.

TASA DE INTERÉS NOMINAL: Es la tasa anual que se capitaliza más de una vez al año.

INTERÉS COMPUESTO Hablar de tasa Nominal equivale a tasa capitalizable. Ejemplo: Conseguimos un préstamo por $10’000.000 a una tasa de interés de 2.5% mensual durante cuatro meses, con la condición de no amortizar los intereses al final de cada mes sino de capitalizarlos hasta el final. ¿Cuánto cancelamos por el préstamo? Gráfica:

La tasa Nominal la representamos con J. El número de veces que el interés se convierte en Capital se denomina Capitalización y lo simbolizamos con m. Ejemplo: J = 30% N.M. se lee: una tasa del 30% nominal mensual, o capitalizable mensualmente. El interés durante el año se convierte 12 veces en Capital, de donde m = 12. J = 24% NT. Se lee: una tasa anual del 24 por ciento nominal trimestral o capitalizable trimestralmente. El interés durante el año se convierte cuatro veces en Capital: m = 4.

0 1

2

3

4

Toda tasa nominal es una tasa anual. J = 24% N. b (Nominal bimestral): m = 6 J = 30% N. d (Nominal diaria): m = 360

Si el préstamo es por $10’000.000 a una tasa de interés mensual es del 2.5%, por concepto de intereses pagamos $ 25.000 el primer mes.

TASA EFECTIVA: Es aquélla que realmente opera sobre el Capital en un período. El período puede ser: un año, un mes, un semestre, un trimestre, un día, una semana o un bimestre. Ejemplo: Un Banco nos concede un préstamo y, nos cobra una tasa de interés del 30% N.M. (Nominal mensual). Cual es la tasa efectiva mensual que nos cobra la Entidad Financiera?

51

2

Interés Compuesto

La tasa que nos cobra el Banco es una tasa anual (Nominal). Durante el año el interés se convierte en Capital 12 veces (el año tiene 12 meses). Para saber cuál es la tasa de interés de un mes (un período) debemos dividir la tasa Nominal entre el número de capitalizaciones: J, m

30% = 2.5% 12

Al dividir la tasa Nominal (30%) entre el número de capitalizaciones nos da una tasa del 2.5%, que es la tasa de período o tasa efectiva mensual. Tasa de período es lo mismo que tasa efectiva y la simbolizamos con i. Conseguimos un préstamo y nos cobran una tasa de interés del 30% NT (Nominal trimestral). ¿Qué tasa efectiva debemos pagar?

El préstamo es de 10’000.000 de pesos (K), la tasa de interés es del 18% N.M. y el tiempo es de un año; como la tasa de interés es mensual el tiempo debe ser mensual (12 meses). Debemos hallar el valor futuro para el interés compuesto: F = K (1 + i)n.

J = 30% N.T = 0,30 NT Durante el año hay cuatro capitalizaciones: m = 4; la tasa de periodo o efectiva (i ) = j = 0.30 = 7.5% m 4 efectiva trimestral o tasa de período trimestral.

2.4.1 VALOR FUTURO Ejemplo: Por un préstamo de 10’000.000 de pesos pagamos una tasa de interés del 18% N.M. durante un año. ¿Cuánto debemos pagar por el préstamo?.

=

52

F=? K = 10’000.000 i= J = 0.18 = 1.5% = 0.015 efectiva mensual. m 12 n = número de períodos; en este caso meses 12. F = 10’000’000 (1.015)12 = 11’956.181,71 Debemos pagar por el préstamo: $11’956.181,71. Consignamos $ 8’000.000 en una Corporación durante 2 años, y nos pagan una tasa de interés del F=?

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 2.4.2. VALOR PRESENTE Se trata de poner capitales del futuro en pesos de hoy. Ejemplo: Dentro de 10 meses recibo $10’000.000.¿ A cuánto dinero en pesos de hoy equivalen los 10’000.000 de pesos, si la tasa de interés es del 2% efectiva mensual?

K=?

i = 2% efectiva mensual F = K ( 1 + i) K=

12% N.T. (nominal trimestral). Cuánto dinero retiramos dentro de 2 años? El depósito es por 2 años, pero como la tasa casa de interés es trimestral, debemos convertir los años en trimestres 8 (2 años x 4 trimestres). La tasa de interés es Nominal, debemos convertirla en efectiva: i=

J = 0,12 = 0.03 m 4

F=? i = 0,03 n=8 K = 8’000.000

n

F (1 + i)-n

K = F (1 + i) -n n = 10 K=? F = 10’000.000 i = F (1 + i) –n K = 10’000.000 (1.02)-10 = $8’203.483 Financieramente es lo mismo recibir hoy $ 8’203.483 pesos o $10’000.000 dentro de 10 meses, si la tasa de interés es del 2,0% efectiva mensual. 2.4.3. TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES Tasas equivalentes son aquéllas, que, en condiciones diferentes, producen la misma tasa efectiva anual. Las equivalencias de tasas las podemos hacer: de Efectiva a Efectiva, de Nominal a Efectiva y de Nominal a Nominal.

F = 8’000.000 (1.03)8 = $10’134.160,65

53

2

Interés Compuesto

Las tasas de interés pueden ser: vencidas o anticipadas. Tasa de interés vencida es la que opera al final de un período, y anticipada es la que se aplica al principio del período. En lo Contencioso Administrativo se utilizan las tasas vencidas. La tasa efectiva la simbolizamos con i, pero para equivalencia de tasas debemos representarla con (1 + i)n. Donde n es igual al número de períodos, debemos tomar, como unidad de tiempo para tasas de interés el año. Ejemplo: Una Corporación Financiera nos concede un préstamo y nos cobra una tasa de interés del 34% efectivo anual. Hallar el valor de la tasa efectiva mensual. Simbología de la tasa efectiva: (1 + i)n. (1 + i)1 Tasa efectiva anual (1 + i)2 Tasa efectiva semestral (1 + i)4 Tasa efectiva trimestral (1 + i)6 Tasa efectiva bimestral (1 + i)12 Tasa efectiva mensual (1 + i)360 Tasa efectiva diaria. Para el ejemplo debemos comparar dos tasa efectivas: Una anual y otra mensual. (1 + i)n = (1 + i)n Tasa de interés conocida: (1.34)1 Tasa de interés desconocida: (1 + i)12 (1 + i)12 = (1+i )1 (1 + i)12 = (1.34)1

54

Despejamos i, (1 + i) = (1.34)1/12 i = (1.34)1/12 – 1 i = 2,46% efectiva mensual. Si un Banco nos cobra por un préstamo una tasa de interés del 2.5% efectivo mensual, qué tasa efectiva anual y trimestral nos está cobrando? Anual: (1 + i)n = (1 + i)n (1 + i)1 = (1 + i)12 (1 + i)1 = (1.025)12. i = (1.025)12 – 1 i = 34,49% efectiva anual. Para la trimestral: (1 + i)n = (1 + i)n. (1 + i)4 = (1 + i)12. (1 + i)4 = (1 + i)12

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública Si el Banco nos exige pagar una tasa del 36% N.M, cuál es la tasa efectiva anual? Debemos igualar una tasa nominal con una tasa efectiva. (1 + i)n =

1+ J m

(1 + i)1 =

1 + 0.36 12

m

12

i = (1 + 0.03)12 – 1 = 42.57% efectiva anual. i = (1.025)12/4 - 1 i = 7.69% efectiva trimestral 2.4.4. TASA NOMINALES La tasa nominal la simbolizamos con J, pero para equivalencias la representamos: (1 + J/m)m, donde m quiere decir número de capitalizaciones al año. Ejemplo: Un Banco, para hacer préstamos, cobra una tasa de interés del 36% N.M (nominal mensual). La tasa Nominal la representamos así: J= 1 + 0.36 12

Conocida una tasa del 24% N.T, hallar la tasa efectiva mensual equivalente. (1 + i)n = 1 + J m m (1 + i)12 =

1 + 0.24 4

4

(1 + i)12 = (1 + 0.06)4 1 + i = (1.06)4/12 i = (1.06)1/3 –1 i = 1.96% efectiva mensual.

12.

Si i = 2% efectiva mensual, hallar la tasa nominal trimestral equivalente.

J = 24% N.T = 1 + 0.24 4

4

J = 24% N.S = 1 + 0.24 2

2

1+ J 4 1+ J 4 1+ J 4

m

= (1+i)n

4

= (1.02)12 = (1.02)12/4

55

2

Interés Compuesto

J = 4 [(1.02)3 – 1] = 24.48% N.T.V. Si una Corporación nos cobra una tasa de interés del 2.4% efectiva mensual, hallar la tasa Nominal trimestral equivalente. 1 + J = (1 + i)n m 1+ J 4 1+ J 4

4

= (1 + i)12

4

= (1.024)12

J = 4 [(1.024)12/4 – 1] J = 39.8% Nominal trimestral vencida. 2.4.5. TASAS ANTICIPADAS Tasa de interés anticipada es aquella que opera al principio del periodo. Ejemplo: Si solicitamos un préstamo por $10’000.000 y el banco nos cobra una tasa del 2.5% mensual, pueden ocurrir dos situaciones: que el Banco nos entregue los $10’000.000 y nos cobre intereses al final del mes (10’000.000 X 0.25 = 25.000) o nos cobre el interés por adelantado, en este caso recibiríamos $975.000 porque nos descontaría $25.000 por concepto de intereses. A esto lo denominamos interés anticipado. Las tasas anticipadas pueden ser Nominales o del Periodo: NOMINALES son las que se capitalizan más de una vez al año. Ejemplo: Una tasa del: 24% N.M.A. se lee una tasa del 24% Nominal mes anticipado.

56

32% N.T.A. se lee una tasa del 32% Nominal trimestre anticipado. 18% N.B.A. se lee una tasa del 18% Nominal bimestral anticipado. Si dividimos la tasa nominal anticipada (J) entre el número de capitalizaciones (m) obtenemos la tasa anticipada del periodo y la simbolizamos con d. Para los ejemplos anteriores: J =24%N.M.A. d = J

d = 0.24 d=0.02 anticipada de mes

m

12

J =32% N.T.A. d =J d =0.32 d=0.08 anticipada de trimestre m

4

J = 18% N.B.A. d = J d = 0.18 d=0.03 anticipada de bimestre m

6

2%, 8% y 3% son tasas anticipadas de periodo.

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 2. La anticipada de periodo se pasa a vencida del mismo periodo (i)

i=

d

= 0.025

1-d

3.

= 0.0256 efctiva mensual.

1-0.025

Se halla la tasa efectiva anual. (1 + i)n = (1 + i)n (1 + i)1 = (1 + i)12 (1 + i)1 = (1.0256)12 i = (1.0256)12 – 1 = 35.43% efectiva anual

Una corporación nos hace un préstamo y nos cobra una tasa de interés del 32% N.T.A. ¿Cuál es la tasa efectiva anual? La simbología de la tasa nominal anticipada es la misma de la tasa nominal vencida: (1 + J /m)m Donde J es igual a la tasa de interés y m al número de capitalizaciones en un año. Una tasa del 30% N.M.A. se representa 1+0.30 12

12

Equivalencias entre tasas anticipadas y tasas vencidas. Ejemplo: Un banco nos cobra una tasa del 30% N.M.A. ¿Cuál es la tasa efectiva anual? Los pasos a seguir son: 1.

Hallar la tasa anticipada de periodo. J = 30% N.M.A d= J m

J = 23% N.T.A. d = 0.32 = 0.8 anticipado de trimestre. 4 i = d = 0.08 = 0.0869 efectiva trimestral 1-d 1-0.08 (1.0869)4 (1 + i)12 (1.0869)1/3 = (1 + i) i = (1.0869)1/3 – 1 = 2,81% efectiva mensual Un prestamista cobra una tasa de interés del 24% N.B.A. ¿Cuál es la tasa nominal trimestral vencida? J = 0.24 = 0.04 6 i= d 1-d

= 0.04 = 0.0416 efectiva bimestral 1-0.04

(1 + i)n = (1 + J / m) m

= 0.30 = 0.025 12

anticipada del mes

(1.0416)6 = (1 + J / 4) 4

57

2

Interés Compuesto

(1.0416) 3/2 = (1 + J/4 ) J= 4 [(1.0416)3/2 – 1] = 25.21% N.T.V. Hallar la tasa anticipada de de trimestre equivalente al 35% efectiva anual. Encontramos la efectiva trimestral. (1 + i)4 = (1.35)1 i = (1.35)1/4 – 1 i = 7.79% efectiva trimestral La efectiva trimestral la convertimos en anticipada del mismo periodo (d) con la fórmula: d = i 1+ i d = 0.0779 = 0.0724 anticipada de trimestre 1.0779 Hallar la tasa nominal trimestral anticipada equivalente a una tasa del 24% nominal mensual anticipada. d = 0.24 = 2% 12 i = 0.02 = 0.0204 efectiva mensual . 1-0.02 (1.0204)12 = (1 + i)4 i = (1.0204)3 – 1 = 6,24% efectiva trimestral d = i = 0.0624 = 5.87% anticipada de trimestre. . 1+i 1.0624 5.87% x 4 = 23.48% nominal trimestral anticipada

58

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 2.5. AUTOEVALUACIÓN 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

10.

11. 12.

13.

14.

15.

¿Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? ¿Qué es tasa nominal? ¿Qué es tasa efectiva? ¿Diferencia entre tasa nominal anticipada y tasa nominal vencida? ¿Defina el concepto de capitalización? ¿Cuál es la diferencia entre tasa de periodo y tasa efectiva? ¿Qué diferencia hay entre tasa nominal y tasa capitalizable? ¿Qué se entiende por valor futuro y por valor presente? ¿Qué alternativa es mejor para invertir los excedentes de tesorería de una empresa pública: invertir una cantidad de dinero y duplicarla dentro de 16 meses? ¿o depositarla en una cuenta de ahorros que paga el 4.5% mensual? Hallar la tasa efectiva mensual equivalente a: a) Al 15% efectiva semestral. b) Al 20% nominal bimestral. c) Al 24% nominal trimestral anticipada d) Al 25% anticipada de año. ¿Qué tasa nominal mensual convierte 970.000 de hoy, en 1’430.000 dentro de tres semestres? Un acreedor de una empresa descentralizada en liquidación, acepta que se le pague hoy el 75% de tres pagarés a cargo de la entidad; uno por 12 millones de pesos que está vencido hace 16 meses con un interés por mora del 1.9% mensual sobre capital e intereses, otro de 20 millones de pesos que venció hace 9 meses, con la tasa de interés por mora del 1.9% mensual y el último por 8 millones de pesos que vence dentro de 6 meses. Si el interés convenido es del 22% efectivo anual, hallar la suma de dinero recibida por el acreedor. Una entidad territorial debe cancelar hoy un préstamo por 40 millones de pesos. El Banco decide incrementar esta suma en un 30% y pide el Municipio que el nuevo saldo sea cancelado dentro de 11 meses con un pago único. Hallar la tasa efectiva mensual que se cobra por el préstamo. Un inversionista tiene 12 millones de pesos para invertirlos en una corporación que paga una tasa de interés del 24% nominal trimestral vencida. ¿Cuánto tiempo tendrá que esperar el inversionista para que el valor depositado se duplique? Hallar la tasa trimestral anticipada equivalente a: Al 26% efectiva anual. Al 35% anticipada de año. Al 34% nominal trimestral vencida. Al 4% anticipada de bimestre. Al 31% efectivo anual.

59

2

Interés Compuesto

2.6. AUTO EVALUACIÓN DE PROCESOS, DECISIONES Y ESTRATEGIAS DE ESTUDIO Centro Territorial : —————————————————————————————————— Nombre del Estudiante : ——————————————————————————————— Código : —————————————————————————————————————— Equipo : —————————————————————————————————————— Temática : ————————————————————————————————————— Unidad : —————————————————————————————————————— FACTORES

ANÁLISIS

OBSERVACIONES

CALIFICACIÓN

1. EFICACIA

2. EFICIENCIA

3. APROPIACION

4. DEBILIDADES Y OBSTACULIZADORES 5. FORTALEZAS Y FACILITADORES 6. VALORACION DE LA EXPERIENCIA

Una vez estudiada y resueltas la primera y segunda unidad, por parte de usted apreciado estudiante, deberá evaluar (en el formato anterior) los procesos, las decisiones y estrategias de estudio que se implementaron en las actividades de autoformación, interformación y presencial para el desarrollo de los mismos. Por lo cual, usted debe: Determinar la Eficacia del Proceso de Aprendizaje, valorando el cumplimiento de las actividades y los resultados intermedios del proceso, e indicando su nivel de satisfacción personal. Determinar la Eficiencia del Proceso de Aprendizaje, valorando los logros alcanzados frente a los recursos utilizados (tiempo, esfuerzo, materiales de estudio) e indicando su nivel de satisfacción personal. Señalar la apropiación de las Estrategias empleadas para realizar las actividades del proceso de aprendizaje, valorando hasta qué punto tiene dominio sobre ellas, le despiertan interés, le producen satisfacción y compromiso y hacen parte de su repertorio cognitivo y le ayudan a evitar errores y aumentar las probabilidades de acierto. Determinar las debilidades y los obstaculizadores de orden cognitivo, afectivo o sicomotor que dificultan el cumplimiento del proceso de aprendizaje, señalado algunas vías de solución. Determinar las fortalezas y los facilitadores de orden intrínseco que han permitido el cumplimiento del proceso de aprendizaje; Y expresar el valor que usted concede a la experiencia de esta unidades, en función de los logros, los aciertos y los errores. La escala de calificación será la siguiente: 5.0: Excelente Desempeño; 4.5: Buen desempeño; 4.0: Aceptable desempeño; 3.5: Regular desempeño; 3.0: Deficiente desempeño; 2.5: Ineficiente Desempeño.

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

2.7. RESULTADO DIDÁCTICO Al finalizar la sesión el estudiante estará en capacidad de APLICAR las herramientas del Interés Compuesto al manejo de la finanzas del Estado..

2.8. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Los estudiantes deberán consultar los capítulos Interés Compuesto y Tasas equivalentes del libro Matemáticas Financiera

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

Unidad 3 Anualidades

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3

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Anualidades

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

PLAN DE LA UNIDAD

3. ANUALIDADES 3.1. Concepto de anualidad. 3.2. Anualidades vencidas. 3.3. Anualidades anticipadas. 3.4. Refinanciación de la deuda. 3.5. Distribución de una cuota. 3.6. Anualidades diferidas.

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3

Anualidades

3.1.

CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

3.1.1. CONCEPTUALES. · · · · · · ·

Anualidad Anualidad Anticipada Anualidad Vencida Anualidad Diferida Refinanciación Distribución de una Cuota Valoración de Perjuicios Materiales

3.1.2. PROCEDIMENTALES. · Aplicar los conceptos mediante la realización de ejercicios prácticos relacionados con el ejercicio de la Administración Pública Colombiana. · Determinar y aplicar los conceptos de anualidad establecidos por el Consejo de Estado · Determinar y aplicar el concepto de Índices de Precios al Consumidor · Determinar y aplicar la Tabla de Esperanza de Vida. 3.1.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES. Desarrollo de Competencias Gerenciales y de Gestión, en el desarrollo de habilidades para integrar el saber y el saber hacer con el ser para la aplicación de ejercicios simulados.

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

3.2.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

3.2.1. DE AUTOFORMACION. · · · ·

Elaboración de la Autoevalución de la unidad Elaboración de la Autoevaluación de aprendizajes o cambios experimentados. Lectura de la unidad 3, y de la bibliografía básica. Elaboración de los conceptos claves en la bitácora.

3.2.2. DE INTERFORMACION. Los estudiantes por grupos de trabajo deberán socializar las actividades de autoformación. 3.2.3. PRESENCIAL. · · ·

Presentación de las actividades de autoformación por parte de los estudiantes Aclaración de conceptos por parte del tutor Realización de Taller para aplicar lo aprendido en la unidad tercera.

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3

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Anualidades

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública - El valor futuro (F) o el valor presente (P) según la clase de operación financiera. Si consignamos $ 180.000 al final de cada mes, y estamos pensando en un ahorro para dentro de siete meses, en este caso es el valor futuro de una Anualidad.

3.4. ANUALIDADES Ejemplo: Consignamos en una cuenta de ahorros $180.000 al final de cada mes durante siete meses. Si la Corporación, nos paga una tasa de interés del 1.5% efectivo mensual. ¿Cuánto podemos retirar durante de siete meses?

Para saber cuánto podemos retirar dentro de siete meses, debemos aplicar la siguiente formula: F=R

(1 + i)n – 1 i

F = Valor futuro de una Anualidad R = Valor de cada depósito h = Número de períodos i = Tasa de interés del período o efectiva Reemplazando:

I = 1.5% efectiva mensual Si observamos la gráfica, vemos que los depósitos son iguales (180.000) los intervalos de tiempo también lo son y la tasa de interés está expresada en porcentaje mensual equivalente a las unidades de tiempo. Por reunir estas características definimos está operación financiera como una anualidad o serie uniforme.. En está operación financiera intervienen varios elementos, a saber: - Los depósitos (180.000) los representamos con R. - El número de veces que efectuamos los depósitos, lo representamos con n.

F=? R = 180.000 n=7 i = 1.5% efectivo mensual F = 180.000

(1.015)7 –1 0,015

= $1’318.138,96

Dentro de siete meses se puede retirar $1’318.138,96 A un empleado le consignan el sueldo en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés del 14% efectiva anual, los depósitos mensuales ascienden a $ 500.000. Cuánto puede retirar dentro de 12 meses? Como los períodos son meses y la tasa de interés es anual, debemos convertir las tasa efectiva anual en tasa efectiva mensual.

- La tasa de interés que en este caso es del 2.5% mensual, la representamos con i.

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3

Anualidades

(1 + i)n = (1 + i)n (1 + i)12 = (1 + i)1 (1 + i)12 = (1.14)1 i = (1.14)1/12 – 1 i = 1.097% efectiva mensual R = 500.000 i = 1.097% efectiva mensual n = 12 F=? F = 500.000 (1.01097)12 –1 = $6’375.580 0,01097 Dentro de doce meses se puede retirar $ 6’375.580 Valor presente de una Anualidad. Un concesionario vende canos de acuerdo con las siguientes condiciones: sin cuota inicial, tasa de interés del 1,2% efectiva mensual y 12 cuotas mensuales iguales cada una de $ 1’200.000 . Calcular el precio de contado.

Si compramos el carro asumimos una deuda, la deuda disminuye nuestro Capital, y debemos traer todos los valores (12 cuotas), al momento cero, a esto lo denominamos valor presente.

70

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública El carro de contado nos cuesta $ 13’336.976,84 pesos. Las anualidades o series uniformes teniendo en cuenta la forma en que se estipule el pago o cuota suelen ser: vencidas o anticipadas. Vencidas cuando el pago o cuota se paga al final del periodo y anticipadas cuando se hace el pago al comienzo del periodo. Ejemplo: El ordenador del gasto municipal deposita en una cuenta de ahorros $ 1’400.00 al final de cada mes durante 7 meses. Si la tasa de interés que paga la entidad financiera es del 1.3% efectiva mensual, ¿cuánto dinero recibe al final del último mes? El valor presente es lo que costarían las 12 cuotas de 1’200.000 pesos cada una en pesos de hoy. Para hacer este cálculo debemos traer a valor presente esta Anualidad, aplicando la siguiente fórmula: P=R

R = 1’400.00 n = 7 meses

1 – (1 + i)-n i

i = 1.3% efectivo anual

P = Valor en pesos de hoy de las 12 cuotas mensuales R = Valor de cada una de las cuotas n = Número de pagos i = Tasa efectiva o tasa del período P=? R = 1’200.000 n = 12 i = 1,2% Efectiva mensual

P = 1’200.000 1- (1.012)-12 0,012

Es una serie vencida por que los depósitos se hacen al final de cada mes.

F = R (1+i)n – 1 i F = 1’400.00 (1.013)7 – 1 = $10’190.589,45 0.013

Si el ordenador del gasto municipal hace los mismos depósitos al principio de cada mes y durante el mismo tiempo, ¿qué cantidad recibe dentro de siete meses? =

$13’336.976,84

Como los depósitos los hace al principio de cada mes, a esta operación financiera la denominamos serie anticipada.

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3

Anualidades

R = 1’400.00 n=7 i = 1.3% F=¿ El valor futuro de una serie vencida los representamos con la fórmula: F = R (1 + i)n – 1 i Si queremos convertirla en valor futuro de una serie anticipada, le agregamos (1 + i)1, la fórmula será: F=R

(1 + i)n -1

(1 + i)1

i F = 1’400.00 (1.013)7 – 1 (1.013)1 = $10’323.067 0.013 Es más favorable para el ordenador del gasto municipal consignar al principio de cada mes ($10’323.067) ya que si las consignaciones las efectúa al final del periodo reunirá $10’190.589.

P = R 1 – (1 + i)-n (1 + i)1 i P = 38’000.000 n = 24

$ 10’232.067 – $ 10’190.589 = $132.478 diferencia entre depósitos dinero al final de cada periodo y principio del mismo periodo.

I = 1.5%

Un municipio consigue un préstamo por 38 millones de pesos, se compromete a pagarlo mediante 24 cuotas mensuales iguales en forma anticipada. Si la tasa de interés que cobra el banco es del 1.5% efectivo mensual. Calcular el valor de las cuotas mensuales.

38’000.000 = R 1 – (1.015)-24 0.015

Como es una deuda, se aplica la fórmula para halla el valor presente de una serie uniforme: P = R 1 – (1 + i)-n i

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el municipio se compromete a pagar las cuotas al principio de cada mes, el algoritmo que debemos utilizar es:

R=¿ (1.015)1

R = 1’869.079,68 El municipio debe pagar 24 cuotas mensuales de 1’ 869.079,68 cada una. Si en el ejemplo anterior el municipio paga las cuotas al final de cada mes, ¿cuál será el valor de cada cuota?

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública municipio pide a Findeter le financie la deuda 6 años más. Findeter acepta la financiación pero la condiciona a una nueva tasa de interés del 1.8% E.M. Se pide: 1. 2. 3.

Calcular el valor de las cuotas refinanciadas. El saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota refinanciada número 48. El total de intereses pagados de la deuda refinanciada hasta la cuota 48.

Calculemos la cuota ordinaria del crédito inicial.

si las cuotas se pagan al final de cada mes es una serie vencida. P = 38’000.000

R=¿

n = 24

n = 120

i = 1.5% º R=¿ 38’000.000 = R 1 – (10.015)-24 0.015

P = 1200

i = 1.5% E.M.

=

$1’897.115,87

Si las cuotas se pagan al final de cada mes, el valor de cada una es $1’897.115,87. Con el fin de modernizar y ampliar la cobertura de los servicios públicos, un municipio consigue un préstamo por 1200 millones de pesos a Findeter modalidad de cofinanciación para pagarlos durante 10 años mediante cuotas mensuales vencida pagando una tasa de interés del 1.5% E.M. Después de pagar la cuota 80 debido al sobredimensionamiento burocrático, el

1200000000 = R 1 – (1.015)-120 0.015 1200000000 R 55.49845411 R = 1200000000 = $21’622.223,89 55.49845411 Valor de cada una de las 120 cuotas mensuales $21’622.223,89. Para refinanciarla deuda después de pagar la cuota 80 debemos hallar el saldo de la deuda.

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3

Anualidades

Número de cuotas que faltan por cancelar: 120 – 80 = 40 n = 40 R = 21’622.223,89 i = 1.5% E.M. P=¿

P = 21’622.223,89 1 – (1.015)- 40 0.015 Saldo de la deuda $646’847.103. El saldo de la deuda se debe refinanciar a 6 años (72 meses) a una tasa de interés del 1.8% E.M.

R = 16’099.537,12

p = 646’847.103

i = 1.8%

n = 72

P=¿

i = 1.8% E.M.

P = 16’099.537,2 1 – (1.018)- 24 = $ 311’518.519,3 0.018

R=¿ 646’847.103 = R 1 – (1.018)- 72 0.018 R = 16’099.537,12 es el valor de cada una de las 72 cuotas refinanciadas. Si queremos saber el saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota refinanciada número 48, debemos determinar el número de cuotas que nos faltan por pagar. 72 – 48 = 24 cuotas que no hemos pagado.

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n = 24

El saldo de la deuda después de haber cancelado la cuota refinanciada número 48 es de : $311’518.519,3 a)

El abono a capital.

Saldo de la deuda final refinanciada (cuota 48) menos saldo inicial deuda a refinanciar. 646’847.103 – 311’518.519,3 = $ 335’328.583,7 Se abonó a capital $ 335’328.583,7 b)

El total de desembolsos.

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública n = 60 meses i = 1.4% efectiva mensual R=¿ 80’000.000 = R 1-(1.014)-60 0.04 R = 1’979.613 El valor de la cuota mensual es de $ 1’979.613. Si queremos hallar la distribución de la cuota número 40, debemos hallar el saldo de las deudas después de haber cancelado la cuota número 39. 60 cuotas – 39 cuotas = 21 cuotas nos faltan por pagar. Se cancelaron 48 cuotas cada una por un valor de $ 16’099.537,12

n = 21

Valor total 16’099.537,12 x 48 = $772’777.781,80

R = 1’979.613

Intereses pagados = total desembolsos – abono capital.

i = 1.4%

772’777.781,80 – 335’328.583,7 = $ 437’449.198,1 Total intereses pagados $437’449.198,1 Un municipio consigue un préstamo por 80 millones de pesos para pagarlo durante 5 años mediante cuotas mensuales (iguales) vencidas, pagando una tasa de interés del 1.4% efectivo mensual. Se pide: 1. Hallar el valor de la cuota mensual. 2. La distribución de la cuota número 40 (que parte de la cuota amortiza capital y que parte va ha pagar intereses) P = 80’000.000

P=¿ P = R 1-(1+i)-n i P = 1’979.613 1-(1.014)-21 = $35’803.046,83 0.014 El saldo de la deuda después de cancelar la cuota 39 es de $35’803.046,83. Para calcular los intereses que debemos pagar en la cuota cuarenta, se debe tener en cuenta el saldo de la deuda del periodo anterior (39) que es de $35’803.046,83 y aplicarle la tasa de interés del 1.4% 35’803.046,83 x 0.014 = $501.242,66 Intereses $501.242,66

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3

Anualidades

Como todas las cuotas son iguales entonces la cuarenta es de 1’979.613 Cuota – Interés = Ahorro capital 1’979.613 – 501.242,66 = $1’487.370,34 Ahorro a capital $1’ 478.370,34 La cuota número 40, ahorra a capital $12’487.370,37 y $501.242,66 a interés. En porcentaje: Ahorro a capital Interés Cuota

1’487.370,34 501.242,63 1’979.613,00

73.16% 26,84% 100,00%

0.2152888739 – 1 = -(1.016)-n

Por cada $100 que se paguen de la cuota cuarenta, 73.16 pesos amortizan deuda y 26.84 pesos van a pagar intereses.

-0.7847111261 = -(1.016)-n

Cuantas consignaciones de $1’783.650 debe hacer el ordenador del gasto público al final de cada mes en una corporación que cobra una tasa de interés del 1.6% efectiva mensual, para cancelar una deuda de $24’000.000.

0.7847111261 = (1.016)-n

Multiplicando por menos 1 (-1)

Log 0.7847111261 = -n log 1.016 -n =

P = R 1-(1+i)-n i 24’000.000 = 1’783.650 1-(1.016)-n 0.016 -n 24’000.000 = 1-(1.016) 1’783.650 0.016 13.45555462 = 1-(1.016)-n 0.016 13.45555462 =X 0.016 = 1-(1.016)-n

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log 0.7847111261 log 1.016

-n = -15.27 n= 15.27 El ordenador del gasto municipal debe hacer 15 consignaciones por valor de 1’783.650 cada una ¿Cuántos depósitos de 484.000 se deben efectuar al final de cada trimestre en una corporación que paga una tasa de interés del 11% anual para reunir $2’600.000?

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública Se deben hacer 5 depósitos de $484.000 Una entidad nacional compra materia rima por 70 millones de pesos para pagarlo mediante cuotas mensuales vencidas durante dos años con la condición de que la primera cuota se pague dentro de cinco meses. Si la tasa de interés es del 2.3% efectivo mensual, calcular el valor de las cuotas mensuales.

El primer pago se realiza seis periodos después de pactada la operación financiera. Como pensamos ahorrar, hablamos de valor futuro. El precio actual de la materia prima es de 70 millones. F = R 1+i)n-1 ; debemos trabajar con tasa mensual i 1 (1.11) = (1+i)12

La anualidad es vencida, dentro de cinco meses el precio de la materia prima será:

i = 0.873%

70’000.000 (1.023)5 = $78’428.915,32

2’600.000 = 484.000 (1.00873)n-1 0.00873

P = 78’428.915,32 n = 24

2’600.000 = (1.00873)n-1 484000 0.00873

i = 2.3%

0.04689669421 = (1.00873)n-1

R=?

1.04689669421 = (1.00873)n

P = R 1 – (1 + i)-n i

log 1.04689669421 = n log 1.00873 n=

log 1.04689669421 log 1.00873

n = 5.27

78’428.915,32 = R 1 – (1.023)-24 0.023 R = 78’428.915,32 18.28659108

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3

Anualidades

R = 4’288.875,66 El valor de cada cuota mensual es de $4’288.875,66. Un alcalde municipal se compromete a pagar 36 cuotas de $900.000 cada una al final de cada mes por la compra de un carro para servicio de la entidad territorial. El concesionario le cobra una tasa de interés de 29% efectivo anual, y le da la oportunidad de cancelar la primera cuota dentro de un año. Para hacer frente a esta obligación el burgomaestre decide comprar ganado vacuno de levante y colocarlo en dehesas propiedades del municipio. Se pregunta: ¿Cuánto debe invertir el alcalde en ganado vacuno en pesos de hoy?

36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

(1 + i)n = (1 + i)n (1 + i)12 = (1 .29)1 i = (1.29) ½ - 1 i = 2,14% efectivo mensual. P = R 1 – (1 + i)-n (1 + i)-n i 900.00 1 – (1.0214)-36 (1.0214)-11 0.0214 P = 17’771.147,45

78

El alcalde debe invertir $17’771.147,45 en ganado vacuno. Una compañía es concesionaria de la explotación de un hotel, por 10 años contados desde su inauguración, este será puesto en servicio dentro de 9 meses. Se estima que los ingresos netos mensuales serán de $8’600.000. Si la tasa de interés es del 6% efectiva trimestral, hallar el valor actual de los ingresos netos.

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública El valor actual de los ingresos netos es de $432’419.233,8. El Consejo de Estado aplica las fórmulas de las Anualidades para determinar el valor de las indemnizaciones por perjuicios materiales. Al Algoritmo F = Ra (U + i)n – 1 i El Consejo de Estado lo denomina Anualidad Consolidada o vencida y a la fórmula P = Ra 1 – (1 + i)-n la llama anualidad Futura o Antii cipada.

P = R 1 – (1 + i)-n (1 + i)-n i (1.06)4 = (1 + i)1 i = (1.06)1/4 – 1 i = 1.46% efectivo mensual n = 120 i = 1.46% R = 8’600.000

Para Carlos Betancur Jaramillo se utiliza la Anualidad Consolidada o vencida: Ra (U + i)n – 1 , «para determinar la indemnizai ción configurada por la suma de las mesadas o anualidades que debieron pagarse en el período comprendido entre la fecha del acaecimiento del perjuicio y la de la ejecutoria de la sentencia». De donde: F = Suma que se busca (condena) o indemnización vencida. i = Tasa de interés puro o técnico 6% anual (Artículo 1617 del Código Civil) Como las cuotas o pagos son mensuales, debemos convertir la tasa efectiva anual en efectiva mensual.

p=¿ P = 8’600.000 1 – (1.0146)-120 (1.0146)-8 0.0146

P = 8’600.00 (56.4631906)(1.0146)-8

(1 + i)n = (1 + i)n (1 + i)12 = (1 + i)1 (1 + i)12 = (1.14)1 i = (1.06)1/12 – 1 i = 0.4867% Efectiva mensual = 0,4687 = 0.004867 100 Ra = cuota mensual actualizada.

P = $432’419.233,8

79

3

Anualidades

La cuota debe ser actualizada para poder proceder en concordancia con el Artículo 178 del Código Contencioso Administrativo. La indemnización futura o anticipada: P = Ra 1 – (1 + i)-n I

, « se utiliza para determinar la indemnización,

en el período comprendido entre la fecha del fallo que reconoce el perjuicio y la determinación de la vida probable del damnificado o de la víctima, según el caso, tomando siempre la vida probable menor. En el caso de hijos menores que deban ser indemnizados la condena irá hasta su mayor edad.» n = Número de meses Ra = Cuota actualizada i = Tasa efectiva mensual (0,4867%) P = Valor de la indemnización futura o anticipada. Ejemplo: Con los siguientes términos de referencia calcule el valor de la condena debidamente indexada a cargo del Ministerio de Transporte en desarrollo de la acción establecida en el Artículo 86 del C.C.A. interpuesta por los herederos legítimos del Señor HELIO BURGOS SÁNCHEZ, quien murió atropellado por un vehículo de la mencionada entidad pública, el 16 de Junio de 1996: Fecha de ejecutoria de la sentencia de segunda instancia: Junio 21 de 2002.

80

Ingresos probados del causante:$900.000 mensuales por concepto de salarios. EL AD QUEM concedió, además, el 25% a título de carga prestacional, cantidad solicitada por el actor en la demanda y que le fue denegada en primera instancia. Los perjuicios morales se fijaron jurisprudencialmente en 45 salarios mínimos mensuales para cada uno de los familiares arriba relacionados. Para efectos de la esperanza de vida, utilice la tabla de la Superintendencia Bancaria.

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 2’195.770,77 x 0.25 = $ 548.942,69 2’195.770 – 548.942,69 = $ 1’646.828,078 la suma de $ 1’646.828,078 se distribuye así: 50% para el cónyuge Supérstite y el 50% restante entre los hijos menores por partes iguales. Para la Cónyuge Supérstite 1’646.828,078 x 0.50 = $ 823.414,039 Para cada de los 3 hijos menores 823.414,039 = $ 274.471,34 3 Para LUIS BURGOS ARDILA $ 274.471,34 Para ANA BURGOS ARDILA $ 274.471,34 Para ANTONIO BURGOS ARDILA $ 274.471,34

DESARROLLO 1. Incremento y actualización del salario. El salario se incrementa en el 25% correspondiente a la carga prestacional. 900.000 (1.25) = 1’125.000

3. ESPERANZA DE VIDA (43 años) Esposa según tabla de la Superintendencia Bancaria HELIO BURGOS SÁNCHEZ (43 años) E = 33.99 años INÉS ARDILA DE B. (38 años) E = 40.16 años E= Esperanza de Vida Se toma la menor ESPERANZA DE VIDA 33.99 años

Actualización = Valor Histórico Índice Final (Mayo – 2002)

Índice Inicial (Junio – 1996)

INÉS ARDILA DE BURGOS

Para los índices se debe tomar el I.P.C. acumulado del respectivo mes. A = 1’125.000 13.240.102 68.265.375

=

2’195.770,77

Superior al salario mínimo mensual legal vigente en la fecha del fallo. 2. Distribución del salario.

Indemnización consolidad o vencida. Desde 16 – 06 – 96 hasta 21 – 06 – 2002

Día 21 16 05

Mes 06 06 0

Año 2002 1996 30

6 años, 5 días 2165 = 72,16 meses

Del valor del salario, el causante destinaba el 25% para su cóngrua subsistencia.

81

3

Anualidades

Ra = 823.414,039 n = 72,16 i = 0,4867% F=? 823.414,039 (1’004.867)72.16 – 1 0.004867

=

$ 70’983.380,71

Indemnización vencida...... $ 70’983.380,71 Indemnización Futura o Anticipada. Horizonte de la liquidación (33.99) x 12 = 407,88 meses 407,88 – 72,16 = 335.72 meses. ANA BURGOS ARDILA 823.414,039 1 – (1’0048675)-335.72 = $ 136’026.203,8 0.0048675 Indemnización Futura o Anticipada ........... $ 136’026.203,8 Total perjuicios materiales ......................... $ 207’809.584,5 LUIS BURGOS ARDILA Fecha en que cumple 18 años 23 – 11 - 97 Horizonte de la liquidación: 17.43 meses Día Mes

Año

23 16 13

1997 1996 1

11 06 5

Día

Mes

44 14 16 28

11 12 06 5

14

12

99

Año

1999 1996 03

3 años, 5 años, 28 días 1528 = 41.93 meses 30

Indemnización consolidada 1 año, 5 meses, 13 días

274.471,34 (1’0048675)17.43 -1 0.0048675

274.471,34 (1’0048675)41.93 -1 = $ 12’732.916,39 0.0048675 Total Indemnización Consolidada $ 12’732.916,39

Indemnización consolidada =

$ 136’026.203,8

Total perjuicios materiales ............. $ 4’980.206,70

82

Cumple 18 años

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública Determinar el valor por el cual debe librar la entidad nacional condenada el cheque correspondiente de acuerdo con la sentencia del Consejo de Estado de febrero 26 de 2002 dentro de la Acción de Reparación Directa promovida por los sucesores del señor Ivan Ríos Jaimes, de 45 años de edad, cuyo deceso instantáneo tuvo lugar el 4 de agosto de 1995 como consecuencia de las fracturas múltiples que, al arrollarlo, le ocasionó el vehículo oficial conducido por un funcionario al servicios de la Personería Jurídica de Derecho Público responsable del hecho lesivo. Para resolver, considérese los siguientes elementos extractados de la señalada Providencia: ANTONIO BURGOS ARDILA Cumple 18 años Día

Mes

42 12 16 26

10 11 06 4

12

11

01

Año

2001 5 años, 4 meses, 26 días 1996 1996 5 30 = 64.86 meses

274.471,34 (1’0048675)64.86 -1 = $ 20’873.769,61 0.0048675

· Total de ingresos mensuales del causante por concepto de salarios conforme con certificación oportunamente allegada al proceso de primera instancia: $210.000oo. · Por petición expresa de la parte actora, la suma así establecida se incrementará en un 25% concerniente a la carga prestacional. · Las fechas de nacimiento de la cónyuge supérstite y de los tres hijos comunes del matrimonio, celebrado conforme a los rituales de la iglesia Católica, se presenta a continuación.

Total perjuicios materiales $ 20’873.769,61

El valor de la condena asciende a $301’476.477,3

83

3

Anualidades

· Aunque el tribunal de origen no ordenó la actualización del salario debengado por el señor Iván Ríos Jaimes por no haberse solicitado en el escrito de demanda, el Consejo de Estado decide concederla de oficio de acuerdo con los lineamientos jurisprudenciales de esa Corporación (véanse, entre otras sentencias, el expediente 10.652 de 16 de julio de 1998, Consejero ponente Ricardo Hoyos Duque. Consejo de Estado; expediente 8.020 de 27 de octubre de 1994, Consejero ponente Daniel Suárez Hernández) (210.000)(1.25) = 262.500 · Reconoce el Ad quem 40 salarios mínimos mensuales legales vigentes a la señora Dora Luz Zea Roa y 20 salarios mínimos mensuales legales vigentes a cada uno de sus tres hijos por concepto de perjuicios morales. · Por lo demás, precédase de acuerdo con los criterios de valoración adoptados por el Consejo de Estado para calcular el monto de la condena a cargo de la Entidad Pública.

-Actualización = VALOR HISTORICO

Índice Final (feb-2002) Índice Inicial (Ag.-1995)

A = 262.500 130,281517 = (262.500)(2.252541527) 57,837565 (Superior al salario mínimo mensual legal vigente en la fecha del fallo). A = 591.292,150,9

b)

DISTRIBUCIÓN DEL SALARIO

INFORMACIÓN ADICIONAL · ·

Fecha de ejecutoria de la sentencia: marzo 22 de 2002. Fecha del pago en sede administrativa: agosto 30 de 2002.

DESARROLLO a) INCREMENTO Y ACTUALIZACIÓN (DE OFICIO) DEL SALARIO Se incrementa en el 25% correspondiente a la carga prestacional.

84

De ese valor , el causante destinaba el 25% para su subsistencia: 591.292,1508 – (591.292,1509)0.25 = 591.292,1509 (1-0.25) = 591.292,1509 (0.75) = $ 443.469,1132 Esa última suma se distribuye así: 50% para la cónyuge supérstite y el 50% restante entre los hijos menores, por partes iguales.

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública Fecha focal o de referencia = Fecha de fallo: 26-022002 a)

DORA LUZ ZEA ROA:

Horizonte de la liquidación: (31.89)12 = 382.68 meses

INDEMNIZACIÓN DEBIDA O CONSOLIDADA (I1) 21’212.653,29 desde 4-08-1995 hasta 26-02-2002 Para la cónyuge supérstite: (443.469,1132)50% =$ 221.734,5566 Para cada uno de los 2 hijos menores:

221.734,5566 2

Para Ángel Iván Ríos Zea:

=$ 110.867,2783

Para Luz Mery Ríos Zea:

=$110.867,2783

I1= 221.734,5566 (1,0048675)78,7333-1=1’212.653,29 0.0048675

TOTAL POR DISTRIBUIR: =$443.469,1132 c) ESPERANZA DE VIDA (SEGÚN TABLA DE MORTALIDAD DE LA SUPERINTENDENCIA BANCARIA) Iván Ríos Jaimes (45 años): eº 45x = 32.16 años Dora Luz Zea Roa (47 años) : eº 47y = 31.89 años

INDEMNIZACIÓN FUTURA O ANTICIPADA (I1)……$35’141.366,35 (382,68 – 78,7333 = 303,9467 MESES) I2 = 221.734,5566 1 – (1,0048675)-303,9467 =$ 5’141.366,35

TOTAL PERJUICIOS MATERIALES (I1 + I2) = $ 56’354.019,64

b)

ÁNGEL IVÁN RÍOS ZEA

Se toma la menor esperanza de vida = 31.89 años Fecha en que cumple los 18 años: 23-03-1997 d) LIQUIDACIÓN DEL INTERÉS LEGAL, PURO O TÉCNICO (0.06 EFECTIVO ANUAL = 0.0048675 EFECTIVO MENSUAL).

23-03-1979 + 18 23-03–1997 Anterior a la fecha del fallo.

85

3

Anualidades

Horizonte de la liquidación: 19,6333 meses

SÓLO INDEMNIZACIÓN DEBIDA O CONSOLIDADA (I1)...2’278.282,972 110.867,2783 (1,0048675)19,6333-1 = $ 2’278.282,972 0.0048675 TOTAL PERJUICIOS MATERIALES (I1) = $ 2’278.282,972 c)

LUZ MRY RÍOS ZEA

Fecha en que cumple los 18 años: 11-06-2003

Horizonte de la liquidación: 94,2333 meses.

86

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública INDEMNIZACIÓN DEBIDA O CONSOLIDADA (I1)……….$10’606.326,64 Desde 4-08-2002 hasta 26-02-2002

110.867,2783 (1.0048675)78,7333-1 = $ 10’606.326,64 0.0048675 INDEMNIZACIÓN FUTURA O ANTICIPADA (I2)..1’651.351,61 (94,2333 – 78,7333 = 15,5 MESES) 110.867,2783 1 - (1.0048675)-15.5 = 1’651.351,61 0.0048675 TOTAL PERJUICIOS MATERIALES (I1 + I2) = $ 12’257.678,25

87

3

Anualidades

LIQUIDACIÓN DE INTERESES EN SEDE ADMINISTRATIVA Fecha de ejecutoria: Marzo 22 de 2002 Fecha de pago: Agosto 31 de 2002 Capital: 101’789.980,90

Total intereses monatorios PAGO TOTAL EN SEDE ADMINISTRATIVA = $115’391.911,10

88

3.5.

AUTOEVALUACIÓN

1.

¿Qué se entiende por anualidad?

2.

¿Qué es una anualidad vencida?

3.

¿Cuándo hablamos de anualidad anticipada?

4.

¿Cuáles son las características de una anualidad?

5.

¿Cómo define el Consejo de Estado anualidad consolidad o vencida y futura o anticipada?

6.

¿Qué es el índice de precios al consumidor y para que se utiliza?

7.

¿Qué es la tabla de esperanza de vida?

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 8. Un colegio oficial de un municipio con 1200 estudiantes necesita laboratorios de Física, Química e Idiomas. El costo de esta inversión es por $460.000.000. Para conseguir este objetivo el Alcalde Municipal y el Rector del Colegio constriñen a los estudiantes para que cada uno haga un aporte al final de cada mes por valor de $10.000. El dinero es depositado en una cuenta de ahorros que paga una tasa de interés del 2% E.M. ¿Cuántos depósitos se deben hacer al final de cada mes para reunir el dinero para conseguir los laboratorios? ¿Cuál delito se tipifica de acuerdo al Código Penal? 9. Para hacer innovación tecnológica una empresa decide contratar con una firma internacional para que ésta instale tecnología de punta en la empresa de acuerdo con las siguientes condiciones: La empresa da una cuota inicial de 50 millones de pesos, contando para esto con los recaudos del IVA y el dinero descontando por nómina con destino al I.C.S.S. además, se comprometió a pagar 14 cuotas mensuales c/u de $8’700.000 con la primera cuota a pagar dentro de 5 meses y una cuota extraordinaria de $10’000.000 un trimestre después de cancelar la última cuota mensual. Si la tasa de interés es del 5% efectiva bimestral se pide: a) b)

Determine el valor de la inversión en tecnología en pesos de hoy. Si hay delitos que tipifiquen dentro del Código Penal, cuales son?

10. Con el fin de mantener en buen estado la malla vial una ciudad adquirió una máquina para producir asfalto gracias a una donación de una entidad internacional. Los estudios técnicos le dieron una vida útil de 15 años. Los estudios financieros pronosticaron utilidad neta durante los seis primeros años por $ 1’400.000 al final de cada mes y de $1’600.000 al final de cada mes durante el tiempo restante. Por descuido en el servicio de mantenimiento la máquina productora de asfalto funcionó durante 10 años. Si la tasa de interés de oportunidad es del 17% E.S., determine: a) b)

¿Cuánto dinero dejó de recibir la ciudad por concepto de utilidades? ¿Cuál o cuales delitos se tipifican de acuerdo con el Código Penal?

11. Una entidad territorial adquiere maquinaria para obras públicas por valor de $98’700.000. Para pagarlo durante tres años mediante cuotas mensuales vencidas (iguales) con una tasa de interés 2.3% E.M.. Al cancelar la cuota #20 del empréstito el ordenador del gasto profiere una resolución mediante la cual se imputa el 60% a capital y el 40% a intereses. ¿Es financieramente correcta la decisión? ¿Cuál delito se tipifica de acuerdo al Código Penal? 12. Como resultado de la venta de bienes mostrencos y vacantes, un Alcalde Municipal asesorado por una firma de corredores de bolsa invierte $120’000.000 en un portafolio de inversiones a saber: -

A.D.R. WARRANTS Acciones de tecnología. Fondos de inversión. Moneda extranjera.

89

3

Anualidades

El corredor de bolsa le garantiza al Alcalde Municipal ingresos por $6’500.000 al final de cada mes durante los primeros ocho meses y de $7’000.000 al final de cada mes durante los siguientes diez meses. Exceptuando el sexto mes en el cual se pronostica una subida de precios de las acciones de internet por $7’800.000. Si la tasa de interés es del 22% E.A. se pide: - Analizar si es financieramente viable esta inversión. - Evaluar la actuación del funcionario a la luz de la legislación penal. 13. Con el fin de capacitar a la comunidad el ordenador del gasto de un municipio decide que 5 personas se preparen en diferentes áreas de gestión pública en cursos semestrales durante dos años. El costo de cada semestre por persona es de $2’500.000 y los cursos empezarán dentro de siete meses. Con este propósito la entidad territorial utilizará el sistema de financiación de becas y desea hacer una provisión presupuestal hoy para sufragar la inversión en educación. Si la tasa de interés es del 2.4% E.M. , se pregunta: - De cuanto debe ser la provisión en pesos de hoy. - ¿Incurrió en delito el ordenador del gasto municipal? 14. Un municipio ubicado en una región productora de arroz decide reparar un molino de su propiedad para procesar el arroz no solo de este municipio sino de otros de la misma región. Se estima que el tiempo para poner en funcionamiento la máquina es de ocho meses, el costo de reparación es de $ 2’700.000 al final de cada mes al cabo del cual y durante 24 meses más (tiempo de gestión del alcalde) los costos fijos por concepto de mantenimiento y mano de obra serán de $ 2’900.000 cada mes, los ingresos por $ 7’800.000 al fin de cada periodo. El alcalde este municipio en condición de especialista en ingeniería ambiental, cobra $ 250.000 cada mes durante los 24 meses por dar asesoría sobre el reciclaje de basuras y protección del medio ambiente. Tasa de interés 2.8% E.M. Se pregunta: - Financieramente, ¿es un buen negocio para el municipio? - ¿Qué hecho o hechos punibles se tipifican con la actuación del alcalde? 15. Una casa propiedad de un municipio es ocupada de facto y a título gratuito por el alcalde municipal para instalar una fábrica de confecciones de su propiedad con el propósito de atender la demanda de 400.000 personas. Para tal efecto, negocia una franquicia para producir ropa de la misma marca de una importante empresa durante seis años. El contrato estipula un pago anual de 40 millones de pesos más $4.000 por cada prenda vendida. Al cabo del primer año la empresa propietaria de los derechos le propone a la firma confeccionista que por un pago único de $200’000.000 podrá continuar explotando los derechos durante los cinco años restantes sin lugar a pagos adicionales. -Cuantas prendas tendrá que vender la compañía confeccionista para optar por la propuesta si su tasa mínima de rendimiento es del 40% E.A. -Evalúe la presunta punibilidad del alcalde. 16. Por solicitud interna de la División Jurídica el departamento de apoyo legal y ejecución de sentencias de una entidad territorial demandada debe cuantificar las pautas generales que el Consejo de Estado define como a continuación se refiere para su posterior concreción mediante incidente que

90

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública ha de promover el apoderado del actor, Esteban Rico Leaño, desempleado y cónyuge supérstite de María Paula Salazar de Rico, funcionaria de Industrias ABC Ltda.., cuyo deceso, producto de un hecho administrativo a cabo de a referida persona de Derecho Público, ocurrió el 17 de agosto de 1991: 1.

Utilícese las tablas de Esperanza de Vida de la Superintendencia Bancaria.

2.

Actualícense los ingresos de las persona natural fallecida, hasta el día de la ejecutoria de la sentencia, con base en el Índice de Precios al Consumidor (I.P.C.), publicada por el DANE.

3.

Empléese para efectos de los cálculos de la indemnización por perjuicios materiales concernientes al cónyuge sobreviviente y a sus dos hijos menores el equivalente mensual efectivo a la tasa de interés legal puro o técnico del 6% anual y adóptense los algoritmos correspondientes a las anualidades consolidada o vencida y futura o anticipada, según cada caso, todo conforme a la reiterada jurisprudencia de esta corporación.

4.

Páguense perjuicios morales por 30 salarios mínimos legales vigentes a cada uno de los beneficiarios.

91

3

Anualidades

DATOS ADICIONALES Fecha de ejecutoria de la sentencia

Marzo 13 de 2002

Fecha de nacimiento: María Paula Salazar de Rico

Julio 24 de 1952

Esteban Rico Leaño

Noviembre 13 de 1951

Nicolás Rico Salazar

Octubre 19 de 1988

Maria Fernanda Rico Salazar

Enero 16 de 1990

Último salario mensual de María Paula Salazar de Rico, según certificación expedida por Industrias ABC Ltda.: $135.000. En el escrito de la demanda no se impetró incremento por concepto de carga prestacional. El informe solicitado por la oficina jurídica se rinde como preparación del recurso de apelación contra el auto que admita el incidente de concreción. Entrega del cheque al beneficiario, noviembre 6 de 2003

92

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 3.6. AUTOEVALUACIÓN DE APRENDIZAJES O CAMBIOS EXPERIMENTADOS Centro Territorial : ————————————————————————————————— Nombre del Estudiante : ——————————————————————————————— Código : ————————————————————————————————————— Equipo: —————————————————————————————————————— Temática : ———————————————————————————————————— Unidad: —————————————————————————————————————— FACTORES

ANÁLISIS

OBSERVACIONES

CALIFICACIÓN

1. CONCEPTOS ASIMILADOS 2. CONCEPTOS ENRIQUECIDOS 3. DESAPRENDIZAJES 4. CONCEPTOS VALIOSOS PARA EL DESEMPEÑO PROFESIONAL 5. DEBILIDADES Y OBSTACULIZADORES 6. FORTALEZAS Y FACILITADORES 7. VALORACION DE LA EXPRIENCIA

En el anterior formato, mediante la comparación y contraste de los mapas conceptuales de las unidades 1, 2 y 3, el estudiante debe: Señalar y sustentar algunos conceptos que se han enriquecido o ha desaprendido, y algunos conceptos nuevos que ha adquirido. Señalar la apropiación de algunos conceptos encontrados en el desarrollo de las actividades de aprendizaje, e indicar que fueron superados identificando su correspondiente causalidad. Señalar algunas fortalezas y facilitadores de orden intrínseco y su contribución a reducir errores, mejorar aciertos y aumentar la motivación. Expresar el valor que concede a la experiencia en función de su crecimiento personal o desarrollo profesional.

93

3

Anualidades

3.7. RESULTADO DIDÁCTICO Al finalizar la sesión el estudiante estará en capacidad de Maneja el concepto de Series Uniformes en sus diferentes modalidades y aplicarlo en relación con la valoración de la condenas contra el Estado en Sede Judicial.

3.8. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Los estudiantes deberán consultar el siguiente texto: ·

· . . .

94

Tablas de Esperanza de Vida, del D.A.N.E. Y SUPERINTENDENCIA BANCARIA. Índices de Precios al Consumidor, del DANE Matemáticas Financieras Código Contencioso Administrativo Derecho Procesal Administrativo

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

Unidad 4 Amortización

95

4

96

Amortización

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

PLAN DE LA UNIDAD 4.

AMORTIZACIÓN

4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Concepto de Amortización. Clases de amortización. Amortización con periodo de gracia. Amortización con abono constante a capital.

4. AMORTIZACIÓN 4.1. OBJETIVO DIDÁCTICO. Aprehender el concepto de Amortización y aplicarlo al manejo de la finanzas del Estado.

97

4

Amortización

4.2.

CONTENIDOS DE LA UNIDAD.

4.2.1. CONCEPTUALES. Amortización 4.2.2. PROCEDIMENTALES. · Manejar el concepto de amortización en sus diferentes modalidades. · Manejar el concepto de amortización para la presupuestación de los valores periódicos de desembolso continuo por préstamos efectuados a favor de las organizaciones públicas. 4.2.3. APTITUDINALES / ACTITUDINALES. Desarrollo de competencias Gerenciales y de Gestión en la generación de habilidades que integran el saber y el saber hacer con el ser como persona para el trabajo en en grupo en la aplicación de ejercicios de simulación.

98

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

4.3.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

4.3.1. DE AUTOFORMACION. · · · ·

Realización de la Autoevaluación de la Unidad Autoevaluación de trabajo en equipo o por grupos, o autoevaluación del trabajo de interformación Lectura de la Unidad 4, y de la bibliografía básica. Elaboración de los conceptos claves en la bitácora.

4.3.2. DE INTERFORMACION. · Los estudiantes por grupos de trabajo, deberán leer y hacer una síntesis del texto: Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita, de Jaime García, y exponerlo en la sesión presencial, estableciendo los interrogantes más significativos. · Los coordinadores de los equipos de trabajo deberán organizar la exposición de los grupos de trabajo por unidades tematicas. 4.3.3. PRESENCIAL. · · ·

Exposición de la actividades de autoformación e interformación Resolución de interrogantes y aclaración de conceptos por parte del tutor Realización de Taller mediante la aplicación la temática con ejercicios prácticos.

99

4

100

Amortización

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública Como los abonos son constantes a capital, la amortización será: 42000000 = $7’000.000 6

n

DEUDA

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

0 42000000 2520000 2520000 1 35000000 9100000

1.4.

AMORTIZACIÓN

La amortización es el proceso por el cual se cancela una obligación financiera y sus intereses mediante una serie de pagos. 9100000

Una de las formas más generales para amortizar los créditos conseguidos por las entidades territoriales y algunas del sector central es la amortización mediante abono constante a capital e intereses por anticipado.

000 000000

Ejemplo:

000000

0

7’000000

2 28000000 8680000

1680000

7’000000

3 21000000 8260000

1260000

7’000000

4 14000000 7840000

840000

7’000000

5

7000000 7420000

420000

7’000000

6

0 7000000

0

7’000000

0000

0000

0000

0000

1

El municipio Tierra Grata solicita un préstamo por 42 millones de pesos para pagarlo durante año y medio mediante cuotas trimestrales, con abono constante a capital e intereses del 24% nominal trimestre anticipado. Hallar las cuotas y elaborar la tabla de amortización. La tasa es del 24% Nominal trimestre anticipada. Hallamos la tasa anticipada de periodo d = j m d = 0.24 = 0.06 4

2100000

Al observar la gráfica en el periodo 0 hay desembolso de intereses por $252.000, el interés se paga en forma anticipada (42000000 x 0.06 = 252000), al final del periodo 1 se paga una cuota de $910000, compuesta por una amortización de $7000000 e intereses por valor de $2.100.000. Al final del primer año (periodo número 4) las imputaciones presupuéstales serán: servicio de la deuda $840.000 y abono a capital $7’000.000. En el último periodo la cuota que se debe pagar corresponde a 700.000 (amortización), no hay pago de intereses.

101

4

Amortización

Cuando se consigue un crédito y se amortiza mediante una serie uniforme de pagos, cada vez que se realiza un pago la deuda disminuye. Existen diferentes maneras para amortizar una deuda: 1.

Con cuotas uniformes.

Ejemplo: Un colegio oficial compra un laboratorio para el departamento de Idiomas por valor de $ 20’000.000 para pagarlo mediante cinco cuotas anuales vencidas, pagando una tasa de interés del 18% anual. Se pide hallar el valor de las cuotas anuales y elaborar la tabla de amortización.

R

R

20000000 = R 1 – (1.18)-5 0.18 R = 20’000.000 3.127171021 R = 6395556.836 Lo que está en la gráfica lo pasamos a una tabla:

R

R

R

n DEUDA

CUOTA

INTERÉS

0

————

—————

20000000

AMORTIZACIÓN

——————

1 17204443,16 6395556.836 3600000

2795556,836

2 13905686,09

3298757,067

6395556.836 3096799,769

3 10013152,75 6395556.836

2503023,496

3892533,34

4 5419963,40

6395556.836

1802367,495

4593189,341

5

6395556.836

975593,413

5419963,40

0

La deuda de 20 millones, la multiplicamos por la tasa de interés 0.18 no da un interés de $ 3’600.000. La cuota $ 6’395.556,836 menos el interés $ 3’600.000 nos da la amortización $ 2’795.556,83. A la deuda de 20 millones le restamos la amortización $2’795.556,833 obtenemos el saldo de la nueva deuda $17’204.443,16 y así sucesivamente.

102

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública (1 + i)4 = (1.15)1 i = (1.15)1/4 -1 = 3,55 efectiva trimestral 8000000 (1.0355)2 = 8578082 es la nueva deuda. 8578082 = R 1 – (1.0355)-4 0.0355 R = 2338165,259 n

2.

Con periodo de gracia.

DEUDA

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

0 8000000

———

———

—————

1 8284000

———

284000

—————

2 8578082

———

294082

—————

304521,911

2033643,348

4 4438600,96 2338165,259 232327,572

2105837,687

3 6544438,65 2338165,259

El periodo de gracia lo podemos considerar de dos formas: con desembolso de interés o sin desembolso de interés. Ejemplo: El Banco Agrario nos otorga un préstamo por $ 8’000.000 para pagarlo en cuotas trimestrales vencidas durante un año de acuerdo con las siguientes condiciones: durante el primer semestre no habrá desembolso de cuotas ni de interés y la rasa de interés será del 15% efectivo anual. Elabore la tabla de amortización. I = 284000

I = 294082

R

R

0

8000000

5 225800,03 2338165,259 157570,534

2180594,925

6

2258006,03

0 2338165,259

80159,214

Ejemplo de desembolso de intereses. El municipio de la Loma, consigue un préstamo por $ 15.000.000 para pagarla durante tres años mediante cuotas anuales de acuerdo con las siguientes condiciones: durante el primer año no hay pago de cuotas pero hay desembolso de intereses, seguido de R R cuotas anuales durante tres años. Tasas de interés del 14% anual. Calcular el valor de las cuotas anuales.

En los dos primeros trimestres no hay desembolsos de cuotas ni intereses. Deuda inicial 8’000.000

103

4

Amortización

I=2'700000

R

R

R I=

2 000000 $15000000 = R 1-(1.14)-3 0.14 R = 6460972,206 n

DEUDA

CUOTA

INTERÉS

AMORTIZACIÓN

0 15000000

————

—————

—————

1 15000000

————

2100000

2100000

2 10639017,79

6460972,206

210000

4360972,206

3 5667519,47

6460972,206

1489463,891

4971508,315

4

6460972,206

793452,726

5667519,48

0

4.5. AUTOEVALUACIÓN 1. ¿Qué se entiende por amortización? 2. ¿Qué se entiende por periodo de gracia? 3. ¿Cuál es la diferencia entre amortización con abono constante a capital y amortización con cuota uniforme? 4. Un municipio consigue un préstamo por $ 12’000.000 para pagarlo durante dos años mediante cuotas semestrales vencidas, pagando una tasa de interés del 18% efectivo anual. Hallar la cuota y elaborar la tabla de amortización. 5. El municipio de la Capilla solicita un crédito de 40 millones de pesos para pagarlo durante dos años mediante cuotas trimestrales vencidas con la condición de que halla abono constante a capital y la tasa de interés sea del 16% nominal trimestral anticipada. Elaborar la tabla de amortización. 6. Conseguimos un préstamo por $ 17000.000 de pesos para pagarlos durante 5 cuotas trimestrales vencidas, con la condición de que la primera cuota la pagamos dentro de 3 meses y durante este tiempo (tres meses) no hay desembolso de cuotas ni de interés. 7. El municipio de Guateque consigue un crédito por $ 13’000.000 para pagarlo mediante cuotas semestrales vencidas de acuerdo con las siguientes condiciones: 8. Durante el primer semestre no hay desembolso de interés ni de cuotas, para el segundo semestre hay desembolso de interés mas no de cuotas seguido de 5 cutas semestrales. Hallar en valor de la cuota y elaborar la tabla de amortización.

104

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 4.6. AUTOEVALUACION DEL TRABAJO EN EQUIPO Centro Territorial : —————————————————————————————————— Nombre y códigos de los Estudiantes : —————————————————————————— Equipo : —————————————————————————————————————— Temáticas : ————————————————————————————————————— Unidad : —————————————————————————————————————— FACTORES

ANALISIS

OBSERVACIONES

CALIFICACIÓN

1. DESEMPEÑO DE ROLES : · MODERADOR · RELATOR · OBSERVADOR · OTROS MIEMBROS 2. PARTICIPACION Y APORTES : · PROCESOS · CONTENIDOS TEMATICOS 3. INTEGRACION : · SOLUCION A DISCREPANCIAS · MADUREZ PARA ACEPTAR CRITICAS 4. CONSTRUCCION COLECTIVA : · SUGERENCIAS A LOS PROCESOS · NUEVOS CONOCIMIENTOS ADQUIRIDOS. 5. COORDINACION : · MANEJO DE TIEMPO · ENTREGA DE TRABAJOS 6. BITÁCORAS 7. VALORACION DE LAS SESIONES PROMEDIO

En el anterior formato, evalúe con su equipo de trabajo las actividades realizadas por el moderador, el relator y el observador en particular como del Equipo en general. Recuerde que ELTRABAJO DE EQUIPO se realiza una vez por cada unidad, se destina aproximadamente dos (2) horas para el estudio de cada temática. La participación en la sesión del trabajo de Equipo conlleva una calificación por cada unidad desarrollada. Cuando un miembro del Equipo no pueda asistir a la sesión debe seleccionar un tema de la unidad, escribir un ensayo y enviarlo al tutor. Las funciones del COORDINADOR DEL EQUIPO son: Citar a las reuniones, recoger los documentos y enviarlos a la Sede Central, trasmitir la información que llegue y distribuir los materiales. Los documentos que debe enviar el coordinador en un solo paquete son: El informe de la sesión de trabajo del Equipo. Documento preparado por el relator. La Evaluación del Moderador, el resumen del observador, las preguntas y sugerencias del Equipo, que deben ser escritas en hojas separadas por cada temática. Es un documento preparado por el relator. Las actividades de aprendizaje de cada temática. ( Documentos enviados por cada participante), La coevaluación de los Trabajos presentados, y la Autoevaluación del Trabajo en Equipo.

105

4

Amortización

4.7. INFORME DE LAS SESIONES DE APRENDIZAJE DEBE CONTENER : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. · · · · · · · · ·

· ·

106

IDENTIFICACION : NOMBRE DEL EQUIPO, SESIÓN Y NÚMERO DEL INFORME LUGAR, DIA, FECHA, HORA Y OBJETO DE LA REUNIÓN INTRODUCCIÓN LISTA DE ASISTENCIA DE LOS MIEMBROS DEL EQUIPO ANOTACION DE LOS ROLES DEL MODERADOR, DEL RELATOR Y DEL OBSERVADOR Y LACALIFICACION INDIVIDUAL DE LA BITÁCORA POR UNIDAD AGENDA : TEMAS QUE SE VAN A TRATAR EN LA SESION INDICANDO EL TIEMPO DEDICADO A CADA UNO TEXTO DE LA UNIDAD, QUE INCLUYE : INQUIETUDES Y PREGUNTAS QUE SE DISCUTAN EN EL EQUIPO, SEÑALANDO EL NOMBRE DEL AUTOR COMENTARIOS O CONCLUSIONES DEL EQUIPO FRENTE A CADA INQUIETUD O A CADA PREGUNTA PREGUNTAS O CONSULTAS PARA EL TUTOR. TÍTULO DEL ENSAYO QUE SE EVALUE Y EL NOMBRE DEL AUTOR COEVALUACIÓN DADA Y RESUMEN DE LAS OBSERVACIONES QUE SE HICIERON AL TRABAJO AUTOEVALUACIÓN DEL EQUIPO EVALUACION. CONTIENE EL RESUMEN DE LOS RESULTADOS DE LA EVALUACION DE LA SESION DE TRABAJO EN EQUIPO IDENTIFICACIÓN DE LA PRÓXIMA SESIÓN: LUGAR, FECHA, HORA Y NOMBRES DE LA MESA DIRECTIVA DESIGNADA PARA LA SIGUIENTE SESIÓN. OBSERVACIONES. RELACIONAR OBSERVACIONES FINALES EN LAS QUE SE SEÑALE SI SE AGOTO O NO LA AGENDA E INDICAR LA HORA EN QUE SE LEVANT O LA SESION FIRMA DE LA PERSONA QUE HACE LA RELATORIA ANEXOS: 1. PREGUNTAS Y SUGERENCIAS PARA CADA TEMATICA. 2. EVALUACIÓN DE LA MARCHA DEL EQUIPO. LA REALIZA EL MODERADOR INDICANDO SU PAPEL. 3. INSTRUMENTO Y ANALISIS DEL OBSERVADOR. 4. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE DE LOS PARTICIPANTES EN CADA UNIDAD.

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 4.8. GLOSARIO Los Estudiante deberán definir los conceptos claves del módulo en la bitácora .

4.9. AUTOEVALUCIÓN GENERAL Cada estudiante deberá presentar en la última sesión la bitácora para ser evaluada por él mismo y por el tutor.

4. 10. COEVALUACIÓN

411. RESULTADO DIDÁCTICO

Cada estudiante deberá presentar en la sesión presencial un trabajo escrito sobre La Valoración en sede Judicial, o la Liquidación en sede Administrativa contra una Entidad del Estado relacionando las herramientas Financieras con las Jurídicas para ser evaluado por otro estudiante y por el tutor.

Al finalizar la sesión el estudiante debe APLICAR las herramientas de la Amortización en el manejo de las finanzas del Estado.

4.12. BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Los Estudiantes deberán consultar el siguiente texto: Matemáticas Financieras con Ecuaciones Diferenciales, de Jaime García A.

4.13. RESULTADO DIDÁCTICO GENERAL. Al finalizar el Módulo el estudiante deberá aplicar las herramientas financieras con lo Contencioso Administartivo.

107

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

Bibliografía

109

B

110

Bibliografía

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública

BIBLIOGRAFIA 1.

GARCÍA Jaime A. Matemáticas Financieras con Ecuaciones de Diferencia Finita

2.

BETANCUR Jaramillo Carlos. Derecho Procesal Administrativo

3.

CÓDIGO CONTENCIOSO ADMINISTRATIVO.

4.

CÓDIGO CIVIL

5.

CÓDOGO DE PROCEDIMIENTO CIVIL

6.

CÓDIGO PENAL

7.

MANUAL DE LA DEFENSORÍA JUDICIAL DE LA NACIÓN.

8.

TABLAS DE INTERÉS DE LA SUPERINTENDENCIA BANCARIA.

9.

TABLAS DE ESPERANZA DE VIDA D.A.N.E. Y SUPERINTENDENCIA BANCARIA.

10.

INDICES DE PRECIOS AL CONSUMIDOR. D.A.N.E.

111

B

Bibliografía

EVALUACIÓN DEL MÓDULO

FORTALEZAS

DEBILIDADES

EVALUAR EL MÓDULO TENIENDO EN CUENTA LA PERTINENCIA CON EL PLAN DE ESTUDIOS DELPROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL. ESTA EVALUACIÓN DEBE SER ENVIADA POR CORREO A LA SEDE CENTRAL Y DIRIGIDA A LA COORDINACIÓN DEL PROGRAMA

112

Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública EVALUACIÓN DE LOS OBJETIVOS DE LAS UNIDADES DEL MÓDULO

NÚMERO Y NOMBRE DE LAS UNIDADES

OBJETIVOS

PERTINENCIA CON EL PLAN DE ESTUDIOS DEL PROGRAMA DE A.P.T.

UNIDAD 1:

UNIDAD 2:

UNIDAD 3:

UNIDAD 4:

OBSERVACIONES: ————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————— ———————————————————————————————————————— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — EVALUAR LOS OBJETIVOS DE LAS UNIDADES DEL MÓDULO TENIENDO ENCUENTA LA PERTINENCIA CON EL PLAN DE ESTUDIOS DEL PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL. ESTA EVALUACIÓN DEBE SER ENVIADA POR CORREO A LA SEDE CENTRAL Y DIRIGIDA A LA COORDINACIÓN DEL PROGRAMA.

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B

Bibliografía

EVALUACIÓN DEL CONTENIDO DIDÁCTICO DEL MÓDULO PROCEDE

EXPLIQUE

1. DE LO GLOBAL A LO CONCRETO

2. DE LO CONCRETO A LO ABSTRACTO

3. DE LO EPISODICO A LO SISTEMATICO

4. DE LO CONOCIDO A LO DESCONOCIDO

5. MEDIANTE UN PROCEDIMIENTO CÍCLICO (/CONOCIDO/ DESCONOCIDO /CONCRETO/ ABSTRAT0 /GLOBAL/ ANALÍTICO / /SISTEMÁTICO)

EVALUAR EL MÓDULO TENIENDO ENCUENTA LA PERTINENCIA CON EL PLAN DE ESTUDIOS DEL PROGRAMA DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICA TERRITORIAL. ESTA EVALUACIÓN DEBE SER ENVIADA POR CORREO A LA SEDE CENTRAL Y DIRIGIDA A LA COORDINACIÓN DEL PROGRAMA.

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública EVALUACIÓN DEL TUTOR Ciudad y Fecha: ———————————————————————————————————— Centro Territorial: ——————————————————————————————————— Nombre del Tutor: ——————————————————————————————————— Nombre y Código del Estudiante: ———————————————————————————— FUNCIONES

SI

NO

REGULAR

CALIFICACIÓN

1. FUNCIONES DE CONTROL: ·Estructura. Indica al Estudiante lo que debe hacer ·Regula, Gobierna ·Propone un modelo ·Resuelve el conflicto

PORCENTAJE PARCIAL 2. FUNCIONES DE ORGANIZACIÓN : ·Regula la participación de los estudiante ·Organiza los movimientos de los estudiantes en la sesión presencial ·ordena ·Corta una situación de conflicto. PORCENTAJE PARCIAL 3. FUNCIONES DE IMPOSICION: ·Gobierna. Realiza él mismo ciertos actos ·Moraliza ·Presta ayuda no solicitada ·Informa sin que se le pregunte ·Impone un juicio de valor. PORCENTAJE PARCIAL

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B

Bibliografía

4. FUNCIONES DEFACILITACION: ·Da a conocer la secuencia del Trabajo ·Demuestra ·Controla de forma neutra

PORCENTAJE PARCIAL 5. FUNCIONES DE DESARROLLO DE CONTENIDOS : ·Repite para aclarar ·Motiva sugiriendo ·Aprecia, resalta la positivo de una idea o situación ·Ofrece variedad de recursos, respondiendo a las demandas de ayuda.

PORCENTAJE PARCIAL 6. FUNCIONES DE DESARROLLO DEL ESTUDIANTE: ·Estimula ·Pide una información personal ·Estructura el pensamiento del estudiante ·Aporta una ayuda solicitada por el estudiante ·Promueve las competencias: Disciplinar, Interdisciplinaria, Social e Investigativa. ·Promueve la participación de los estudiantes ·Promueve en los estudiante el Aprender Aprender ; el Aprender a Conocer; el Aprender Hacer, y el Aprender a vivir juntos y a convivir con los demás

PORCENTAJE PARCIAL

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Matemática Financiera Aplicada a la Administración Pública 7. FUNCIONES DE RESPUESTAS PERSONALES : ·Responde a las preguntas de los estudiantes ·Acude a la experiencia personal del estudiante ·Interpreta una situación ·Reconoce sus errores

8. FUNCIONES DE PERSONALIZACION : ·Acepta una exteriorización espontánea ·Invita al estudiante a tener en cuenta una experiencia de campo ·Interpreta una situación personal ·Individualiza la enseñanza. PORCENTAJE PARCIAL 9. FUNCIONES AFECTIVAS POSITIVAS : ·Elogia ·Ofrece Ayuda, ·Anima, estimula.

PORCENTAJE PARCIAL 10. FUNCIONES AFECTIVAS NEGATIVAS : ·Critica, acusa, ironiza ·Advierte, Reprende, Amonesta, Castiga ·Difiere de manera vaga ·Rechaza una exteriorización espontánea ·Respuesta Personal Negativa

PORCENTAJE PARCIAL

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B

Bibliografía

11. FUNCIONES DE RETROALIMENTACION POSITIVAS : ·Aprueba estereotipadamente ·Aprueba repitiendo la respuesta del estudiante ·Aprueba específicamente ·Aprueba de otras maneras. ·Alaba, Alienta, Recompensa ·Muestra solicitud ·Promete recompensa ·Tiene sentido del humor ·Ofrece una palabra afectuosa al estudiante PORCENTAJE PARCIAL 12. FUNCIONES DE RETROALIMENTACION NEGATIVAS : ·Desaprueba estereotipadamente ·Desaprueba repitiendo irónicamente ·Desaprueba específicamente ·Desaprueba de otra forma ·Difiere la retroalimentación.

PORCENTAJE PARCIAL 13. FUNCIONES DE CONCRETIZACION : ·Utiliza un material ·Invita al estudiante a servirse de un material ·Se apoya en audiovisuales ·Escribe en la pizarra. PORCENTAJE TOTAL EN CADA TIPO DE FUNCIONES EVALUAR Y CALIFICAR CON UN SI (100%) POR CIENTO, UN NO (1%) POR CIENTO, O REGULAR (50%) POR CIENTO, LAS DIFERENTES FUNCIONES DEL TUTOR. ESTA EVALUACIÓN DEBE SER ENVIADA POR CORREO A LA SEDE CENTRAL Y DIRIGIDA LA COORDINACIÓN DEL PROGRAMA.

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