Matematica

Aprobat pentru retipărire prin ordinul Ministerului Educaţiei şi Tineretului nr. 70 din 25 iulie 2006

Autori: Ion Achiri, doctor, conferenţiar, USM; Valentina Ceapa, specialist principal, MET; Roman Copăceanu, profesor, grad didactic superior; Nicolae Prodan, doctor, conferenţiar, USM; Olga Şpuntenco, profesoară, grad didactic superior.

4

NOTĂ DE PREZENTARE Studiul matematicii în liceu are ca scop să contribuie la formarea şi dezvoltarea capacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula şi rezolva probleme pe baza relaţionării cunoştinţelor din diferite domenii, precum şi la înzestrarea cu un set de competenţe, valori şi atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă. Prezenta propunere de curriculum pentru liceu este în acord cu noua opţiune didactică ce derivă din idealul educaţional conţinut în Legea învăţămîntului, din schimbările de tip economic şi social care afectează inclusiv lumea şcolii, precum şi din necesitatea de a echilibra aceste schimbări prin acţiuni coerente care să nu perturbe sistemul, ci să-l dirijeze pe o linie ascendentă. Învăţămîntul matematic liceal urmăreşte dezvoltarea competenţelor necesare pentru studiile în instituţiile de învăţămînt superior şi pregătirea personalităţii pentru viaţă şi activitate independentă. Trecerea sistematică de la învăţămîntul instructiv la cel de modelare a capacităţilor intelectului, ca şi noua viziune asupra didacticii disciplinei Matematica au impus necesitatea elaborării prezentului curriculum de matematică pentru liceu ca o continuare a curriculum-ului pentru gimnaziu. Învăţămîntul matematic liceal va scoate în relief valorificarea potenţialului creativ al elevului. Proiectarea Curriculum-ului de matematică a fost ordonată de principiile: − asigurarea continuităţii la nivelul claselor şi ciclurilor; − actualitatea informaţiilor predate şi adaptarea lor la nivelul de vîrstă al elevilor; − diferenţierea şi individualizarea predării-învăţării; − centrarea pe aspectul formativ;

5

− corelaţia transdisciplinară-interdisciplinară (eşalonarea optimă a conţinuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare, asigurîndu-se coerenţa pe verticală şi orizontală); − delimitarea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor elevilor şi profilarea posibilităţilor de avansare în învăţare şi de obţinere de noi performanţe. La realizarea acestui document s-a ţinut cont de modelul flexibil şi deschis de proiectare curriculară, care să ofere posibilităţi autentice de opţiune pentru autorii de manuale şi ulterior pentru profesori şi elevi. Acest curriculum are drept obiectiv crearea condiţiilor favorabile fiecărui elev, de a asimila materialul într-un ritm individual, de a-şi transfera cunoştinţele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta. Manualele şcolare elaborate în baza acestui curriculum urmează să fie integrate în concepţia curriculară şi să respecte unele cerinţe specifice, pentru a fi accesibile elevilor, operaţionale şi pentru a îndeplini, prioritar, nu numai o funcţie informativă, ci şi formativă, de învăţare prin studiere şi cercetare independentă, de stimulare, de autoinstruire. Astfel, autorii de manuale vor dezvolta temele şi subtemele curriculumului după criterii logice, operaţionalizînd obiectivele şi conţinutul informativ în sarcini şi situaţii de învăţare, care va oferi puncte de sprijin elevilor în realizarea învăţării independente, active. La elaborarea manualelor autorii vor ţine cont de: − formularea de sarcini de cercetare variată a informaţiilor, conform obiectivelor precizate în curricula şcolară; − alternarea modelelor de organizare a conţinuturilor, ca moduri de antrenare variată a gîndirii, deprinderilor de studiu; − solicitarea de corelaţii frecvente intra- şi interdisciplinare;

6

− punerea elevului în situaţia în care el însuşi să formuleze sarcini adecvate; − oferirea de soluţii/interpretări variate pentru aceeaşi idee; − susţinerea comunicării elev-manual prin utilizarea de limbaje diferite: scris, figurativ, simbolic, grafic, schematic ş. a.; − elaborarea de sarcini rezolvabile prin activitatea în grupuri; − sugerarea unui algoritm de învăţare variată şi ordonată. CADRU CONCEPTUAL Modelul de învăţare structural-cognitivă impune o paradigmă specifică pentru învăţarea matematicii. Ea vizează formarea de structuri ale gîndirii specifice matematicii. Aceasta prevede predarea de concepte, adică entităţi structurate care cuprind definiţii, teoreme, reguli, dar mai ales un mod de gîndire propriu. Pentru exersarea acestui mod de gîndire se aplică operaţii mentale unor informaţii de studiu de bază. Operaţiile mentale şi informaţiile de studiu respective sînt proiectate în obiectivele-cadru şi cele de referinţă ale curriculumului. O astfel de aplicare se realizează pe nivele de abstractizare, adică se organizează activităţi în plan obiectual (cu obiecte), în plan simbolic (cu simboluri neconvenţionale, apoi cu simboluri convenţionale), în plan verbal şi în plan mental interiorizat. Se fac permanent treceri de la o treaptă de abstractizare la alta. Pornind de la sensul major al paradigmei educaţionale la matematică şi anume, reamplasarea accentului de pe predarea de informaţii, pe formarea de capacităţi, în curriculum sînt conturate cîteva schimbări calitative în raport cu programele tradiţionale: − reorientarea de la abordarea de tip academic a domeniilor matematicii spre prezentarea unor varietăţi de situaţii problematice, pentru a crea deschideri către domeniile matematicii; − micşorarea ponderii de aplicare de algoritm în favoarea folosirii diferitelor strategii în rezolvarea de probleme;

7

− trecerea de la folosirea explorării/investigării numai la nivelul performanţelor superioare spre organizarea unor astfel de activităţi, care ar permite explorarea/investigarea la nivelul noţiunilor de bază; − trecerea de la organizarea activităţilor de învăţare unice pentru toţi elevii la activităţi variate (individuale, în grup etc.) în funcţie de nivelul de dezvoltare al fiecărui elev. Prezentul curriculum consemnează oferta educaţională a disciplinei şcolare Matematica pentru parcursul didactic în clasele de liceu. În acest cadru curriculum-ul cuprinde: I. Notă explicativă. II. Cadru conceptual. III. Obiective pe aria curriculară “Matematică şi ştiinţe” IV. Obiective generale ale predării-învăţării matematicii în clasele X-XII. V. Obiective-cadru, obiective de referinţă (pe profiluri: A. profilul real; B. profilul umanist) VI. Conţinuturi (pe profiluri). VII. Sugestii metodologice. VIII. Sugestii de interdisciplinaritate IX. Sugestii pentru evaluare. X. Bibliografie. Scopul studierii matematicii în liceu este înţelegerea mai profundă a conceptelor, a procedurilor de calcul, a terminologiei. În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacităţile de explorare-investigare, interesul şi motivaţia pentru studiul şi aplicarea matematicii în contexte variate. Învăţarea matematicii în şcoală urmăreşte conştientizarea naturii matematicii, pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a problemelor, bazată pe un sistem de capacităţi, cunoştinţe, procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică, strîns legată de viaţa cotidiană, de rolul ei în ştiinţele naturii, în tehnologii şi în ştiinţele sociale.

8

Obiective. Pentru realizarea scopului studierii matematicii în şcoală, curriculum-ul conţine „Obiective generale ale predăriiînvăţării matematicii". Ele derivă din obiectivele pe arie curriculară „Matematica şi ştiinţe", servesc drept finalităţi ale învăţăturii la sfîrşitul ciclului şcolar şi au un grad foarte înalt de generalitate şi de complexitate. Obiectivele generale sînt clasificate în categorii de cunoaştere, aplicare şi integrare, care se structurează prin disciplina şcolară Matematica. Aceste obiective servesc drept surse de elaborare a obiectivelor-cadru, a obiectivelor de referinţă. Totodată, ele orientează profesorul în elaborarea obiectivelor operaţionale şi a celor de evaluare. Structura didactică cognitivă (a se vedea schema de la pagina 6) ilustrează reprezentarea conţinutului disciplinei şcolare Matematica, şi anume, modul cum evoluează sub aspect cognitiv de la clasa I-a la clasa a XII-a. Obiectivul fundamental al acestei structuri este centrarea pe concept (pe conceptele fundamentale). Structura didactică cognitivă are următoarele caracteristici: • informaţiile care se predau în fiecare an şcolar sînt în esenţă aceleaşi, succesiunea lor fiind de asemenea ca şi în programele tradiţionale; • modul de structurare a informaţiilor (faţă de cel tradiţional) are un caracter deschis: − realizează cu uşurinţă transferul de cunoştinţe de la un domeniu la altul, de la un ciclu la altul; − asigură claritatea interconexiunilor între elementele aceluiaşi domeniu şi între domenii; − evidenţiază relaţiile între concepte, evidenţiază punţile de legătură care ajută la înţelegerea şi la fixarea noţiunilor; • gradele de complexitate ale informaţiilor sînt determinate după criteriile: nivelul de generalizare; legătura între concepte; dinamica legăturilor.

9

OBIECTIVE PE ARIA CURRICULARĂ MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE Această categorie pedagogică transpune obiectivele transdisciplinare la nivelul unor obiecte de studiu înrudite pentru disciplinele şcolare matematică, fizică, chimie, biologie, informatică.

A. Cunoaştere A. 1. Cunoaşterea şi înţelegerea terminologiei şi a conceptelor sau a modelelor specifice ştiinţelor; A. 1.1. Reproducerea, denumirea, recunoaşterea unor termeni, fapte, reguli, algoritmi, definiţii, ale unor concepte şi modele consacrate; A. 1.2. Descrierea, compararea, stabilirea de asemănări şi de deosebiri, selectarea, clasificarea, analiza, sinteza; construirea unor definiţii sau concepte pornind de la fapte, procedee, cunoştinţe noţiuni mai simple; A. 1.3. Identificarea şi crearea de probleme noi, pornind, eventual, de la situaţie-problemă sau de la un concept dat; A. 1.4. Interiorizarea unei imagini dinamice asupra ştiinţei, înţeleasă ca activitate umană, în cadrul căreia ideile ştiinţifice se schimbă în timp şi sînt afectate de contextul social şi cultural; înţelegerea limitelor cunoaşterii ştiinţifice.

B. Aplicare B. 1. Tehnica utilizării unor instrumente şi procedee practice. B. 1.1. Structurarea deprinderilor de lucru cu diferite instrumente de măsură (riglă, compas, cilindru gradat, balanţă, termometru, ampermetru, tensiometru, truse etc.); B. 1.2. Însuşirea principiilor de utilizare a unor aparate (calculatoare de buzunar, calculatoare personale, microscop), a unor catalizatori etc.; formarea obişnuinţei de a lucra cu acestea în contexte variate; B. 1.3. Folosirea instrumentelor de măsură şi a aparatelor în situaţii practice simple, pentru compararea unor obiecte, fapte sau mărimi, pe baza unor categorii, cum sînt: aria, volumul, temperatura, viteza, timpul, presiunea, cantitatea de informaţii etc. B. 2. Realizarea unor experimente (concrete, mintale sau prin folosirea unor date obţinute pe cale experimentală); B. 3. Reformularea unei probleme; formularea unei probleme echivalente; particularizarea şi/sau generalizarea rezultatelor unei probleme; B. 4. Conceperea unor probleme din aceeaşi arie sau pe o temă dată; B. 5. Însuşirea unor metode de rezolvare, specifice unor clase de probleme sau exerciţii; B. 6. Transferul şi extrapolarea soluţiilor unor probleme pentru rezolvarea altora; 10

B. 7. Conceperea unui model matematic adecvat conţinutului unei probleme de fizică, chimie, biologie; reprezentarea grafică, hărţi, tabele, diagrame; interpretarea unor astfel de modele; B. 8. Construcţia altor tipuri de modele, care să reprezinte diverse situaţii, fapte, relaţii, idei, (diferite de cele matematice), pentru studiul unor fenomene din ştiinţe; B. 9. Imaginarea unor experienţe mentale, utile în rezolvarea unor probleme; B. 10. Aprecierea critică a unei soluţii, din punctul de vedere al corectitudinii, simplităţii, clarităţii, metodelor aplicate şi al semnificaţiei rezultatelor; B. 11. Compararea soluţiilor unor probleme; desprinderea unor concluzii sau a unor metode mai generale; sesizarea limitelor unor căi de rezolvare; B.12. Întrebuinţarea unor surse secundare (cărţi, dicţionare, prospecte, înregistrări video, baze de date etc.).

C. Integrare C.1. Rezolvarea de probleme: C.1.1. Realizarea eficientă a unor activităţi cu caracter experimental: C.1.1.1. Punerea progresivă în practică a unui demers experimental cunoscut şi înregistrarea datelor obţinute; C.1.1.2. Punerea în practică a unui demers experimental, înregistrarea datelor obţinute şi interpretarea acestora; C.1.1.3. Alegerea şi modificarea eventuală a procedeelor experimentale, în funcţie de scopul şi tematica urmărite; realizarea propriu-zisă a experimentului; desprinderea concluziilor; C.1.1.4. Identificarea situaţiilor în care este utilă recurgerea la experiment; C.1.1.5. Imaginaţia şi crearea unui procedeu experimental adecvat unei anumite situaţii. C.2. Comunicarea C.2.1. Înregistrarea sistematică a unor date într-o diagramă sau o schemă, în scopul prezentării lor; C.2.2. Utilizarea terminologiei ştiinţifice în situaţii de comunicare; C.2.3. Interiorizarea treptată a exigenţelor unei exprimări ştiinţifice; C.2.4. Susţinerea propriilor idei şi puncte de vedere prin argumentare sau formulare de întrebări; C.2.5. Prezentarea în scris sau oral a propriilor investigaţii şi a rezultatelor acestora; angajarea într-o discuţie cu profesorul sau colegii, pe marginea acestora; C.2.6. Comunicarea în cadrul unei activităţi desfăşurate într-un grup restrîns; C. 3. Încrederea în forţele proprii; 11

C. 4. Gîndire deschisă, creativă, flexibilă, spirit de obiectivitate şi toleranţă; C. 5. Independenţă în gîndire şi acţiune; C. 6. Cooperarea în calitatea de membru al unui grup; C. 7. Comportament ecologic.

OBIECTIVE GENERALE ALE PREDĂRII – ÎNVĂŢĂRII MATEMATICII ÎN CLASELE X-XII A. Cunoaştere − Înţelegerea conceptului de număr (prin extinderea progresivă a mulţimii sferei numerelor studiate: de la numere naturale pînă la numere complexe). − Înţelegerea conceptelor geometrice: figuri, corpuri, relaţii (de poziţie şi mişcare în plan şi în spaţiu). − Înţelegerea conceptelor de limită, derivată, integrală. − Cunoaşterea conceptelor de măsurare şi măsură, inclusiv generalizarea lor. − Cunoaşterea reprezentărilor uzuale ale entităţilor matematice studiate: concrete, grafice, verbale, algebrice. − Însuşirea unor metode specifice anumitor clase de probleme. B. Aplicare − Utilizarea terminologiei ştiinţifice în situaţii de comunicare. − Interpretarea unui rezultat sau demers în diferite forme matematice studiate anterior. − Efectuarea de estimări şi aproximări. − Utilizarea regulilor, relaţiilor, şirurilor, funcţiilor, formulelor, teoremelor, ecuaţiilor şi inecuaţiilor, elementelor de combinatorică în diverse contexte, inclusiv în situaţii reale sau modelate. − Aplicarea unor noţiuni din teoria mulţimilor de logică matematică, de probabilităţi în diverse contexte, inclusiv în situaţii reale sau modelate. − Organizarea datelor; colectarea, înregistrarea, prelucrarea, analiza, reprezentarea şi interpretarea datelor. − Explorarea posibilităţilor de construire a unor reprezentări multiple ale aceleiaşi entităţi matematice în diverse contexte, inclusiv în situaţii reale. − Interpretarea unor reprezentări; identificarea şi descrierea cu ajutorul unor modele matematice, desene etc., a unor relaţii sau situaţii multiple ilustrate de aceeaşi reprezentare. − Folosirea reprezentărilor amintite pentru anticiparea unor rezultate sau evenimente, intuirea ideii de dependenţă funcţională. − Intuirea algoritmului după care este construită o succesiune dată ex12

− −

− − − − − − − − − − − − −

−

primată “în cuvinte” sau cu ajutorul unor expresii literare, a regulilor descoperite. Generalizarea şi particularizarea; folosirea particularizării, generalizării, inducţiei sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea de probleme noi, pornind de la o proprietate sau problemă dată. Compararea, căutarea de asemănări şi deosebiri, clasificarea după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan, a unor entităţi matematice variate (desene, exerciţii, probleme cu text, ecuaţii, exerciţii verbale etc.). Folosirea unor comparaţii şi clarificări pentru descoperirea unor proprietăţi, reguli etc. Construirea şi interpretarea unor grafice. Folosirea celor mai diferite repere pentru precizarea poziţiei unui obiect sau punct. Transferul şi extrapolarea soluţiilor unor probleme pentru rezolvarea altora. Analiza rezolvării unei probleme din punctul de vedere al corectitudinii, al simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei rezultatelor. Formarea obişnuinţei de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată, de a căuta toate soluţiile sau de a stabili unicitatea soluţiilor. Analiza rezultatelor. Utilizarea terminologiei ştiinţifice în formularea şi rezolvarea diverselor probleme. C. Integrare Stimularea curiozităţii, imaginaţiei, tenacităţii, perseverenţei, încrederii în forţele proprii. Formarea obişnuinţei unei gîndiri deschise, creative şi a unui spirit de obiectivitate şi toleranţă. Manifestarea independenţei în gîndire şi acţiune: dezvoltarea simţului estetic şi critic. Încurajarea iniţiativei şi disponibilităţii de a aborda sarcini variate. Formarea obişnuinţelor de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme uzuale, pentru studiul unor fenomene din ştiinţă. Înţelegerea avantajelor pe care le oferă matematica în abordarea, clarificarea şi rezolvarea unor probleme practice sau situaţii cotidiene şi rolul ei în ştiinţă, tehnică, ştiinţe sociale. Aprecierea activităţii practice. Stimularea unor atitudini favorabile faţă de ştiinţă şi de cunoaştere în general. 13

− Tendinţa spre realizarea potenţialului intelectual. − Imaginarea şi folosirea creativă a reprezentărilor variate pentru depăşirea unor dificultăţi sau ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, metode, căi de rezolvare etc. − Construirea şi interpretarea unor diagrame, tabele, scheme şi grafice ilustrînd situaţii cotidiene. − Formarea obişnuinţei de a recurge la diverse tipuri de reprezentări pentru clasificarea, rezumarea şi prezentarea concluziilor unor experimente. − Rezolvarea de probleme şi situaţii-problemă. Reformularea unei probleme echivalente sau înrudite. − Iniţierea şi realizarea creativă a unor investigaţii. − Folosirea unor idei, reguli sau metode matematice în abordarea unor probleme practice sau pentru structurarea unor situaţii diverse. − Interiorizarea treptată a exigenţelor unei exprimări riguroase. − Justificarea unui rezultat sau demers, recurgînd la argumentări. − Angajarea în discuţii critice şi constructive asupra unui subiect matematic. Adoptarea punctelor de vedere diferite şi orientarea în vederea formării propriei viziuni.

OBIECTIVE-CADRU 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, complex. Efectuarea operaţiilor cu numere. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de logică matematică, din teoria mulţimilor şi combinatorică. Iniţierea în calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii, sisteme şi totalităţi. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de statistică matematică şi probabilităţi. Recunoaşterea şi utilizarea unor relaţii, funcţii, şiruri. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor elemente de geometrie metrică. Utilizarea unor transformări geometrice.

14

A. Profilul real EŞALONAREA BLOCURILOR DE CONŢINUT PE CLASE Clasa a X-a 1. 2. 3. 4.

Recapitulare şi completări. Numere reale. Elemente de logică. Mulţimi. Binomul lui Newton. Metoda inducţiei matematice. Elemente de combinatorică. 5. Relaţii şi funcţii. Funcţia putere, radical, exponenţială, logaritmică. Funcţiile trigonometrice şi funcţiile trigonometrice inverse. 6. Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme. Totalităţi. 7. Geometrie în plan. Recapitulare şi completări. 8. Elemente de axiomatica geometriei plane. Elemente de axiomatica geometriei spaţiale. 9. Paralelismul şi perpendicularitatea în spaţiu. Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va determina reieşind din 5 ore pentru profilul real. Ordinea compartimentelor poate fi schimbată, dacă nu este afectată logica ştiinţifică sau didactică.

Clasa a Xl-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Limite de şiruri. Limite de funcţii. 3. Derivate. Calcul diferenţial. 4. Numere complexe. 5. Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 6. Transformări geometrice în spaţiu. 7. Poliedre. Corpuri de rotaţie. Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va determina reieşind din 5 ore pentru profilul real. Ordinea compartimentelor poate fi schimbată, dacă nu este afectată logica ştiinţifică sau didactică.

Clasa a XII-a 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Recapitulare şi completări. Primitiva. Integrala nedefinită. Integrala definită. Aplicaţii. Polinoame în mulţimea numerelor complexe. Elemente de geometrie analitică. Elemente de statistică matematică şi teoria probabilităţilor. Recapitulare finală. 15

Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va determina reieşind din 5 ore pentru profilul real. Ordinea compartimentelor poate fi schimbată, dacă nu este afectată logica ştiinţifică sau didactică.

CLASA A X-A Obiective-cadru. Obiective de referinţă. Evaluările făcute vor arăta dacă:

Conţinuturi

Obiectiv-cadru: I. Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, complex. Efectuarea operaţiilor cu numere La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 1.1. Să recunoască elementele mulţimilor numerice studiate (N, Z, Q, R) şi să scrie numere reale, folosind diverse forme. 1.2. Să efectueze trecerea de la o formă de scriere a numerelor reale la alta. 1.3. Să reprezinte geometric numerele reale şi să utilizeze terminologia aferentă noţiunilor de număr. 1.4. Să efectueze adunări, scăderi, înmulţiri, împărţiri, ridicări la puteri cu exponent număr raţional, real, operaţii cu radicali de ordinul n, n ∈N, n≥2, cu logaritmii numerelor pozitive. 1.5. Să utilizeze în calcule proprietăţile operaţiilor matematice. 1.6. Să descompună un număr real dat, utilizînd operaţiile studiate. 1.7. Să efectueze calcul rapid cu expresii numerice simple. 1.8. Să compare numere reale prin diverse metode. 1.9. Să aproximeze numerele date prin lipsă sau prin adaos. 1.10. Să analizeze diferite estimări deja făcute, prin refacerea lor, îmbunătăţind marja de eroare.

Numere reale Noţiunea de număr natural, întreg raţional, iraţional, real. Mulţimile N, Z, Q, R. Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor. Modulul numerelor reale. Proprietăţi:

1) a ≥ 0; 2) a = − a ; 2

3) a 2 = a = a 2 ; 4) a ⋅ b = a ⋅ b ; 5)

a a = , b ≠ 0; b b

6) a + b ≤ a + b . Operaţii cu numere reale (adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la putere cu exponent raţional, real, extragerea rădăcinilor). Proprietăţi. Logaritmul unui număr pozitiv. Proprietăţi. Logaritmarea şi potenţierea expresiilor. Aproximări şi estimări cu numere reale.

16

1.11. Să folosească estimări şi aproximări pentru verificarea validităţii unor calcule cu numere reale, folosind puteri, radicali, logaritmi. Obiectiv-cadru: II. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de logică matematică, din teoria mulţimilor şi combinatorică La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 2.1.Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii cu ajutorul exemplelor, contraexemplelor, proprietăţilor operaţiilor algebrice, predicatelor. 2.2. Să opereze cu noţiunile: ipoteză, concluzie, demonstraţie, teoremă, axiomă, definiţie, teoremă directă, teoremă reciprocă, negaţie, implicaţie, echivalenţă, conjuncţie, disjuncţie, operator logic, tabelă de adevăr, cuantificator. 2.3. Să recunoască predicatele şi să determine valoarea lor de adevăr, implicaţia şi echivalenţa lor. 2.4. Să aplice în diverse contexte cuantificatorii existenţial şi universal. 2.5. Să formuleze generalizări, concretizări şi să le verifice prin diverse modalităţi (exemple, contraexemple, formule, proprietăţi, tabelă de adevăr). 2.6. Să folosească terminologia aferentă teoriei mulţimilor. 2.7. Să utilizeze în diverse contexte relaţiile de incluziune şi egalitate între mulţimi; relaţia de apartenenţă a elementelor unei mulţimi. 2.8. Să determine submulţimile unei mulţimi. 2.9. Să efectueze operaţii cu mulţimi; să reprezinte analitic, sintetic, geometric rezultatele obţinute.

Elemente de logică matematică. Noţiunea de propoziţie. Valoarea de adevăr a propoziţiei. Operaţii cu propoziţii: negaţia, disjuncţia, conjuncţia, implicaţia, echivalenţa. Tabelul de adevăr. Noţiunea de predicat. Cuantificatorii exestenţial şi universal. Implicaţia şi echivalenţa predicatelor. Propoziţia directă, propoziţia reciprocă. Condiţii necesare, condiţii suficiente, condiţii necesare şi suficiente. Metoda reducerii la absurd. Mulţimi Noţiunea de mulţime. Relaţia de apartenenţă. Cardinalul mulţimii finite. Relaţia de incluziune. Relaţia de egalitate. Operaţii cu mulţimi (reuniunea, intersecţia, diferenţa, produsul cartezian). Proprietăţi fundamentale ale operaţiilor cu mulţimi. Inducţia matematică Noţiunea de inducţie. Noţiunea de deducţie. Metoda inducţiei matematice. Aplicaţii la demonstraţia unor identităţi numerice.

17

2.10. Să utilizeze în diverse contexte proprietăţile de bază ale operaţiilor cu mulţimi. 2.11. Să identifice noţiunea de mulţime ordonată. 2.12. Să identifice noţiunile de permutări, aranjamente, combinări ale elementelor unei mulţimi finite. 2.13. Să utilizeze permutările, combinările, aranjamentele în rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor, problemelor simple din viaţă. 2.14. Să utilizeze terminologia aferentă inducţiei matematice. 2.15. Să aplice metoda inducţiei matematice la demonstraţia identităţilor numerice. 2.16. Să folosească estimări şi aproximări pentru verificarea validităţii unor calcule cu mulţimi şi elemente de combinatorică. 2.17. Să utilizeze binomul lui Newton şi/sau formula termenului general în situaţii reale sau modelate. 2.18. Să utilizeze proprietăţile coeficienţilor binomiali la rezolvarea diverselor probleme.

Combinatorica Noţiunea de mulţime ordonată. Noţiunea de factorial. Permutări, aranjamente, combinări (fără repetări). Proprietăţi fundamentale. Ecuaţii şi inecuaţii ce conţin m

m

Pn; A n ; C n . Binomul lui Newton Formula termenului general. Proprietăţile fundamentale ale coeficienţilor binomiali. Triunghiul lui Pascal.

Obiectiv-cadru: III. Calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii, sisteme şi totalităţi La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi Ecuaţii şi inecuaţii raţionale. Sisteme, capabil: totalităţi de ecuaţii (inecuaţii). 3.1. Să efectueze transformări identice Transformarea expresiilor transcendente. ale expresiilor transcendente simple. Ecuaţii şi inecuaţii iraţionale. 3.2. Să aprecieze rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării ecua- Ecuaţii iraţionale de tipul: n ţiilor şi inecuaţiilor. f ( x) = g(x), unde g(x) = ax+b; a,b∈R, 3.3. Să recunoască ecuaţii şi inecuaţii n =2; 3; iraţionale, ecuaţii, inecuaţii echivalente. 18

3.4. Să utilizeze diverse metode de re- k f ( x) ± k g ( x) = ax+b; a,b∈R, k∈N*, zolvare a ecuaţiilor iraţionale de tipul: k=2; 3; n f ( x) = g(x); unde g(x) = ax+b; k f ( x) ± k g ( x) =, k h( x) , k∈N*, k=2; a,b∈R, iar n =2; 3; 3; k f ( x ) ± k g ( x ) = ax+b; a,b∈R, g(x)⋅ 2 k f ( x) = 0, k∈N* k∈N*, k=2; 3; şi reductibile la ele. k f ( x) ± k g ( x) =, k h( x) , k∈N*, k=2;3; Inecuaţii iraţionale de tipul: f (x) < g (x); g(x)⋅ 2 k f ( x) = 0, k∈N*

g (x)· 2 k f ( x) < 0, k∈N*. şi reductibile la ele. 3.5. Să rezolve inecuaţii iraţionale de (semnul “”, tipul: “≤”, “≥”) şi reductibile la ele. < g (x); f (x) Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale g (x)· 2 k f ( x) < 0; Ecuaţii exponenţiale de tipul: (semnul “”, 1. af (x)=ag (x) şi reductibile la ele; “≤”, “≥”) şi reductibile la ele. 2. ecuaţii exponenţiale ce se reduc la 3.6. Să recunoască ecuaţiile şi inecuaţiiecuaţii algebrice studiate; le exponenţiale şi logaritmice. 3. ecuaţii exponenţiale omogene; 3.7. Să utilizeze diverse metode de re- 4. ecuaţii exponenţiale de tipul 1-3 ce zolvare a ecuaţiilor, inecuaţiilor expoconţin necunoscuta sub simbolul nenţiale şi logaritmice indicate la conţimodulului sau parametru. Inecuaţii exponenţiale de tipul: nuturi. f (x) g (x) 3.8. Să recunoască sistemele (totalităţi- 1. a < a şi reductibile la ele; (semnul “”, le) de ecuaţii exponenţiale şi logaritmi“≤”, “≥”). ce studiate. 3.9. Să aplice diverse metode de rezol- 2. inecuaţii exponenţiale ce se reduc la inecuaţii algebrice studiate; vare a sistemelor de ecuaţii exponenţia3. inecuaţii exponenţiale de tipul 1-2 ce le şi logaritmice studiate. conţin necunoscuta sub semnul mo3.10. Să utilizeze cercul trigonometric dulului. în rezolvarea unor exerciţii şi probleme. 3.11. Să măsoare unghiuri, aplicînd diverse unităţi de măsură. 3.12. Să recunoască şi să utilizeze identităţile trigonometrice fundamentale şi formulele indicate la conţinuturi în diverse contexte.

Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice

Ecuaţii logaritmice de tipul: 1. loga f(x)=b; 2. loga f(x)=loga g(x); 3. loga f(x) ± loga g(x)=loga ϕ(x), a>0, a≠1 şi/sau a = m x+n, m,n∈R; 3.13. Să recunoască ecuaţiile şi inecua4. ecuaţii logaritmice reductibile la 19

ţiile trigonometrice. 3.14. Să utilizeze diverse metode de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice. 3.15. Să aplice elemente de trigonometrie în diverse domenii. 3.16. Să aplice ecuaţiile, inecuaţiile, sistemele studiate în diverse domenii. 3.17. Să folosească estimări şi aproximări în rezolvări de ecuaţii, inecuaţii, sisteme, totalităţi.

ecuaţii algebrice studiate; ecuaţii logaritmice simple în rezolvarea cărora se utilizează definiţia logaritmului şi/sau proprietăţile acestuia; 6. ecuaţii logaritmice de tipul 1-5 ce conţin necunoscuta sub semnul modulului. Inecuaţii logaritmice de tipul: 1. logaf(x) < b; 2. logaf(x) < logag(x); 3. logaf(x) ± logag(x) < loga ϕ(x), a>0, a≠1; 4. inecuaţii logaritmice reductibile la inecuaţii algebrice studiate; 5. inecuaţii logaritmice de tipul logmx+na