matematica1.raggio

ESCUELAS TÉCNICAS RAGGIO

MATEMÁTICA

1º AÑO

CUADERNILLO DE ACTIVIDADES

ÍNDICE

Programa analítico de estudios ……………………………………pág. 2

 Nivelación…………..……………………………………………..pág. 3

 Números Naturales………………………………………………...pág. 8

 Números Enteros…………………………………………………..pág. 22

Fracciones…………..……………………………………………..pág. 55

Proporcionalidad…………………………………………………..pág.. 74 Proporcionalidad…………………………………………………..pág

Geometría…………...……………………………………………..pág. 88

Desafíos……………..……………………………………………..pág. 109

Bibliografía y fuentes consultadas………………………………...pág. 114

Pág.1

PROGRAMA ANALÍTICO DE ESTUDIOS Asignatura: Matemática

Año: Primero Especialidad: Todas las Especialidades

1- Campo numérico: Repaso conjunto de números naturales. Operaciones en N: suma; resta Propiedades. Suma algebraica. Ecuaciones. Necesidad de ampliar el campo numérico. Conjunto de números enteros. Representación en la recta numérica. Operaciones en Z: suma, resta, multiplicación, división. Propiedades. Operaciones combinadas. Ecuaciones. Necesidad de ampliar el campo c ampo numérico. 2- Conjunto de números racionales. Representación en la recta numérica. Operaciones en Q: suma, resta, multiplicación, multipli cación, división, potenciación (potencias de exponente natural y exponente negativo); radicación. Propiedades. Números decimales: operaciones. Expresiones decimales periódicas puras y mixtas. operaciones combinadas. Ecuaciones. Problemas de aplicación. Concepto de número irracional. 3- Razones y proporciones. Propiedades. Cálculo de un elemento de una proporción. Magnitudes directas e inversamente proporcionales. Problemas de aplicación. Conjuntos puntuales. Definición de espacio y figura. Axiomas característicos del punto, la recta y el plano. Figuras Cóncavas y convexas. Definición de semirrecta, segmento, semiplano Ángulo. Operaciones con segmentos Ángulos. Relaciones geométricas. Clasificación de los Ángulos. Definición de Ángulo recto, complementario suplementario. Angulo formado por dos rectas que se cortan. Propiedades de los Ángulos adyacentes . Ángulos opuesto  por los vértices. Relaciones entre rectas, rectas, rectas paralelas y  perpendiculares. Propiedades. Angulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Propiedades.

4-

5- Triángulo. Definición. Elementos. Clasificación. Propiedades de los lados y los Ángulos. Criterios de congruencia. Puntos notables del triángulo.

Pág.2

Pág.3

REPASAMOS FRACCIONES Y DECIMALES DECIMALES 1) ¿En cuáles de las siguientes figuras la parte sombreada corresponde a ¼ de la misma? a)

b)

c)

2) Escribe como fracción o entero según corresponda a) b) c)

d)

d)

3) Completar: a) ¿Cuántos cuartos le faltan a ¾ para ser un entero?  b) ¿Cuántos quintos le faltan a 3/5 para ser un entero? c) ¿Cuántos octavos le sobran a 11/8 para ser un entero? d) ¿Cuántos tercios le faltan a 2/3 para ser dos enteros? e) ¿Cuántos cuartos le faltan a 5/4 para ser tres enteros? 4) De un rollo de 140 m de alambre se corta corta la ¼ parte y de ésta se utiliza la quinta  parte. ¿Cuánto ¿Cuánto se utilizó y cuántos cuántos centímetros sobran? sobran? 5) Dos amigos se van de vacaciones y recorren 2/5 partes del camino.¿Cuánto les falta  para llegar?. ¿Recorrieron ¿Recorrieron más o menos de la mitad? mitad? 6) Mariano debe responder un cuestionario que consta de15 preguntas; si respondió 2/3 del mismo.¿Cuántas preguntas contestó contestó y cuántas le falta contestar? 7) Reconstruí la figura completa (dibújala) a) Si

representa 3/7 del total Pág.4

 b) Si c) Si

representa ½ del total representa 2/5 del total

8) De un camino recorrí 3/5. ¿Qué fracción me falta recorrer?. Si el camino tiene 60 m. ¿Cuántos metros recorrí? 9) De mi sueldo gasté 2/3 en impuestos y ½ del resto en regalos. ¿Qué fracción del sueldo me queda? 10) De los pasajeros de un hotel, 1/3 toma café con leche, 1/5 jugo de frutas y los l os 14 restantes se fueron sin desayunar. ¿Cuántos pasajeros había en el hotel? 11) De una bolsa de caramelos, 1/3 son de menta, 7/10 del resto son de chocolate y los 60 restantes son de limón. Cuántos caramelos tengo en la bolsa?. ¿Cuántos son de chocolate y cuántos de menta? 12) Una señora gastó ¼ de su sueldo en remedios, 5/9 del resto en alimentos. Si le quedan $ 88. ¡Cuál es el sueldo de la señora? 13) Una persona tenía $ 3000, gastó rimero 1/3 de su dinero en alimentos, luego 3/5 de lo que le quedaba en ropa, y el resto en gastos varios. ¿Cuánto dinero gastó para cada cosa? 14) Escribe como fracción irreducible irreducible a)

15 = 9

c)

210  500

b)

25  100

3 d) 1  4

15) Pasa cada una de las siguientes fracciones a número decimal

1 a)  2 c)

3 b)  4

8  100

d)

543  100

16) Ahora escribe cada decimal como fracción a) 0,3 =  b) 0,0008 =

b) 742,34 = d) 3,472 =

Pág.5

17) Completa con : > < = según corresponda a) 0,08............. c)

8 100

b) 0,35.............0,32

1 ..................0,7 2

d)

3 2 .....  4 5

18) A multiplicar y dividir por la unidad seguida de ceros. Sin usar la calculadora a) 0,234 . 100 = c) 378 . 1000 = e) 0,34 . 1000 =

b) 24: 10 = d 0,8 : 100 = f) 543 : 10000 =

19) En los siguientes ejercicios hay que ubicar la coma en su justo lugar para que la cuenta sea correcta. Adelante a) 482 . 10 = 48,2 c) 3,745 . 100 = 3745 e) 227,5 : 100 = 2275

b) 001 . 100 = 1 d) 49 : 10 = 0,49 f) 988 : 10 = 9,88

REPASAMOS PERÍMETRO Para completar el siguiente ejercicio primero repasa las unidades de longitud pues son las que se necesitan para hallar los perímetros. Recuerda que cuando hablamos de  perímetro nos referimos al borde de las figuras. ahora sí. 20) Completa la tabla 0,34 7,56 5,4 423 6 0,03

dam km cm hm m cm

m dm mm km mm m

Pág.6

21) Calcula el perímetro de las siguientes figuras:  b

c

abcd cuadrado

a

abc equilátero

datos

b datos ab = 5,2 cm

a

bc = 2,3 cm

d c

abc triángulo rectángulo isósceles

5 cm

 b datos a

ac = 5 cm  bc = 2,3 cm más que ac

4,2 cm 4,7 cm

c

5,6 cm 2,1 cm

a

b c

f

d

fe = 8,2 cm

ab = 3,4 cm

 bc = 3,2 cm

de = 1,6 cm

datos e

REPASAMOS CÁLCULO DE ÁREAS 22) Nuevamente a completar un cuadro para repasar un poco. A no olvidarse que la coma se corre dos lugares 3 cm 5,456 dm 7,3 dam 5 hm 0,04 dm

m mm km m cm

Pág.7

23) Calcula el área de un triángulo cuya base mide 8 m y su altura 300 cm 24) Calcula el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 0,4 cm cada uno 25) Un terreno tiene 12 m de frente y 20 metros de fondo. Expresa el área del mismo en dam 2 26) Una superficie mide 3,5 m 2. ¿Cuántos cm 2 tiene?

27) Calcula en cada dibujo la región sombreada

Son cuadrados. El lado de uno de Ellos es 6 metros y el otro es 4 metros Los rectángulos son idénticos. El Lado mayor es de 5 cm y el menor 2 cm

La base del rectángulo es de 8 centímetros. La Altura es 4 centímetros, a es el punto medio

a

REPASAMOS PORCENTAJE 28) En un mes de 30 días, 6 fueron lluviosos.¿Cuál es el porcentaje de días de lluvia? 29) En un talonario de 150 rifas se vendieron el 70 %.¿Cuántas rifas quedaron sin vender? Pág.8

30) Un frasco de 180 ml de edulcorante líquido contiene 120 ml de agua.¿ Qué  porcentaje del total representa el agua? 31) Por comprar un libro de contado cuyo precio de lista es de $ 30, me hicieron un descuento de del 15%. ¿Cuánto pagué? 32) De 80 días de clase, Juan faltó 12.¿Cuál es el porcentaje de presentismo?

REPASAMOS REGLA DE TRES 33) Para armar 128 libros se usan 24 paquetes de hojas. ¿Cuántos paquetes del mismo tipo se usarán para hacer 224 libros iguales a los anteriores? 34) Para envasar cierta cantidad de perfume se usan cuatro docenas de frascos de 25 ml cada uno. ¿Cuántos frascos de 40 ml se usarán para envasar la misma cantidad de  perfume? 35) Para alambrar un terreno se necesitan 16 rollos de alambre de 18 metros cada uno. Si los rollos tuvieran 12 m. ¿Cuántos rollos más se necesitarán? 36) Para alimentar 100 aves se dispone de alimento para 60 días. Si se venden 25 aves, ¿para cuántos días se tiene alimentación? REPASAMOS OPERACIONES 37) a)  b) c) d) e)

25:5 + ( 5-3) .2 -4= ( 6 .2 –  4 .3 ) .7 + 9:3= 20 : ( 8 -2 .2) +14 :7 –  (5-3) .2= (10- 2.3) : 2 + 9:3 -3= 10 : ( 3+2)  –  6:3 + 4.2.3=

38) a)  b) c) d)

26,6: 0,2+2.3. 0,001= 0,15: 0,5 + 2.2 .0,2 +12,35= (2,7 +1,3) :0,8  –  (4,2 -3,1) . 3,2= (12,2 + 0,002 -3,1) . 0,2=

39)

 1 2  6 a)   . =  2 3  7

e)

Pág.9

20 10  1 1  3 1 :    .  1  = 3 9  2 3  4 4

 b)

5 3 4 1 1  .  : = 6 4 9 4 2

1 1 8 2 3 f) 2  1 :  .  = 2 15 5 3 4

c)

5 15 1 4 :  . = 4 8 2 3

g)

 3 1   4 7 d)   .  =  5 10  5 3

2   2  7   1    4  .  1   = 5   7  3   2 

  1 3  2   1  h )  3  .  1    =   2 4  11   4  AUTOEVALUACIÓN

2 5  del total estudia alemán,  del resto estudian 3 6 francés y los restantes portugués. ¿Cuántos alumnos estudian cada idioma?

1) Un instituto tiene 180 alumnos.

1 3  del total de su sueldo en ropa,  en alimentos y el resto 5 8  para gastos varios. ¿Qué parte del dinero lo destinó para gastos varios y en qué gastó más dinero?

2) Una persona gastó

3) Por una compra de $ 6300 pagada en cuotas me recargan el 8%. ¿Cuánto debo abonar?. 4) Una escuela compra 85 diccionarios de $35 cada uno. Por pago al contado descuentan el 15 %. ¿Cuánto se debe abonar? 5) Calcular la superficie de : 2  de la base 5  b) Un triángulo sabiendo que su base mide 18 cm. y su altura 1,2 DM

a) Un rectángulo cuya base es de 35 cm. y cuya altura es

6) Escribe como fracción irreducible

a)

18 45

b)

25 150

c)

240 360

d)

7) Resolver: Pág.10

54 48

a) (20-8.2):4+15:3+ (9+2.3).2=  3 1  3 1 1  b)   .  :   2 3  7 4 2 c) 16,2+0,4:0,02+0,2.0,001 8) Con 24 rollos de papel de 0,5 m de ancho se puede empapelar una sala. ¿Cuántos rollos se necesitarán si el ancho de cada rollo es de 60 cm.?

RESPUESTAS ACTIVIDADES 1) a; c; d 2) a)

3 b) 1 8

c)

1 2

3) a)

1 2 b) 4 5

c)

3 4 d) 8 3

d)

3 16 e)

7 4

4) Se utilizan 7 m y sobran 2800 cm de lo que se cortó y 13300 cm del total 5) Les faltó

3 . Recorrieron menos de la mitad. 5

6) Contestó 10 preguntas y le faltan 5 7) ………….. 8) Falta

2  y recorrí 36 m. 5

9) Me queda

1 6

10) En el hotel había 30 pasajeros 11) Total: 300 caramelos; 100 de menta; 140 de chocolate 12) El sueldo es de $ 264 13) $ 1000 en alimentos; $1200 en ropa y $ 800 en gastos varios 14) a)

5 3

15) a) 0.5 16) a)

3 10

17) a) =

b)

1 4

b) 0,75 b)

8 10000

b) >

c)

21 50

d)

c) 0,08 c)

7 4

d)5,43

3472 74334 d) 1000 100

c) < Pág.11

d) >

18) a) 23.4

b) 2,4

c) 378000 d) 0.008 e) 340

19) a) 4.82

b) 0.01

c) 374.5

d) 4.9

f) 0,0543

e) 2.275 f) 98.8

20) Completa la tabla 0,34 7,56 5,4 423 6 0.03

dam km cm hm m cm

21) a) 20,8 cm

3,4 m 75600 dm 54 mm 42,3 km 6000 mm 0,0003 m

b) 6,9 cm

c) 17,3 cm

d) 17,4 cm

e) 26cm

22) 3 cm 5,456 dm 7,3 dam 5 hm 0,04 dm

0,0003 m 54560 mm 0,00073 km 50000 m 4 cm

23) 12 m 2 24) 0.08 cm 2 25) 2,4 dam 2 26) 35000 cm 2 27) a) 20 m 2 b) 20 cm 2 c) 16 cm 2 28) 20 % 29) 45 rifas 30) 66,666…. % 31) $ 25,50 32) 85 % 33) 42 paquetes 34) 30 frascos 35) 8 rollos más 36) 80 días 37) a) 5 b) 3 c) 3 d) 2 e) 24 38) a) 133,006 b) 13,45 c) 1,48 d) 1,8204 2 4 41 39 8 39) a) 1 b) c) d) e) f) 3 3 3 15 8

g)

5 257 h) 30 4

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN 1) 120 alemán,50 francés y 10 portugués Pág.12

2) Destinó

17  en gastos varios y gastó más dinero en ellos 40

3) $ 6804 4) $2528,75 5) a) 490 cm 2 6) a)

2 5

7) a) 36

b) 108 cm 2 b)

b) 1

1 6

c)

2 3

d)

9 8

c) 36,2002

8) 20 rollos

Pág.13

Pág.14

 NÚMEROS NATURALES Los Hindúes fueron los primeros en desarrollar un sistema práctico de notación numeral, tras haber descubierto el cero y el valor posicional de las cifras. Ese sistema fue dado a conocer en Europa por los árabes, en el siglo VII d.C. y de allí que las cifras que se utilizan en la actualidad se llamen indoarábigas. Aunque el cero fue descubierto por los hindúes, la palabra cero proviene de la voz árabe ziffero, que significa lugar vacío. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Propiedad Conmutativa Asociativa

Elemento neutro

¿La cumple la adición? Si. 4+7=7+4 11=11 Si (4+6)+9=4+(6+9) 10+9=4+15 19=19 Si. Es el 0 4+0=4

¿La cumple la sustracción?  No. 10-8≠8-10 no tiene solución en los números naturales  No (12-5)-3≠12-(5-3) 7-3≠12 -2 4≠10

Si Es el 0 en el sustraendo 8-0=8

Propiedad cancelativa: a) Si en ambos miembros de una igualdad figuran términos iguales, se pueden cancelar y se sigue teniendo una igualdad.  b) Si en un cálculo hay un término que está sumando y el mismo está restando se  pueden cancelar. SUMA ALGEBRAICA: Se llama así a toda combinación de sumas y restas. Regla Práctica: Se efectúan todas las cancelaciones posibles y luego a la suma de los números que están sumando se le resta la suma de los números que están restando. Supresión de paréntesis: 1) Todo paréntesis precedido por el signo + puede suprimirse dejando todos los términos que están dentro de él con sus respectivos signos. 2) Todo paréntesis precedido por un signo menos puede suprimirse cambiando los signos de todos los términos que estén dentro de él Supresión de paréntesis corchetes y llaves Se suprimen primero los paréntesis, después los corchetes y por último las llaves y luego se resuelve la suma algebraica que queda. Es conveniente efectuar todas las cancelaciones posibles y luego aplicar la regla práctica. Pág.15

1) Agrupá y conmutá los sumandos en forma conveniente para calcular estas sumas. a) 700 + 1 + 300 + 99 =  b) 350 + 27 + 3 + 50 = c) 1999 + 33 + 1 + 77 = 2) Sabiendo que a+b= 5 y a+d= 7 calcular cada una de las siguientes operaciones aplicando las propiedades conmutativa y asociativa. a) (a+1) + (b+d) + (a+4) =

Rta: 17

 b) (a+d) +a+ (d+b)+a =

Rta: 19

c) (b+3+d) +(2+a) + (a+1) =

Rta.:18

d) (d+a+1)+(b+d) + (a+3)+ (a+1) =

Rta.: 24

3) Resolver las siguientes sumas algebraicas aplicando la regla práctica a) 8-2+3-1+4-3+2-1-1-6=

Rta: 3

 b) 9-2-3+5+2-1+10-4+5-6+2

Rta; 17

c) 8-2+4-7+3-4+4-1+6

Rta: 11

d) 9-5+1-3+5-2-1-1+4

Rta.: 7

4) Suprimir paréntesis y resolver a) (5-2+3)-(5-10+1)-(4-2)+(6-3)

Rta.: 11

 b) (8-2)-(4-2+1)+(3-2)

Rta.: 4

c) (12-2)-(7-1)+(10+2)-(2-7)

Rta.: 21

d) (6-3)-(4-3)+(5-3)-(7-6)

Rta.. 3

5) Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones. a) 18 - { 2 + [ 9 - ( 6 - 4 ) - 5 ] }  b) ( 4 + 8 - 3 + 9 ) - 4 - ( 4 + 7 - 3 - 2 ) + ( 12 + 5 - 2 ) c) 15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8 d) { 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3}  – 3 e) 26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4 f) ( 4 - x + 2 ) - [ 1 - ( 2 + x - 1 ) - y ] + 3 - ( 2 + y + 3 ) g) ( 15 - 3 ) - { 2 - [ 5 - ( 8 - 7 + 1 ) + 6 - 2 ] + 4 } Pág.16

Rta : 14 Rta : 23 Rta : 46 Rta : 10 Rta : 37 Rta : 4 Rta : 13

6) Efectuar todas las reducciones posibles en las siguientes igualdades a) x + a - 3 +5 = z - 3  b) 15 + 8 - z + 4 - 8 = 12 - 2 + 13 c) 8 - 4 + z - 8 = k - 1 d) 6 + y - x + 1 = y - 5 + a + 5 e) m + 3 - 5 = 3 - a f) a - 5 + 3 - b - a + 3 + 5 = b - 3 + x g) x + 6 +5 - x = 10 - a + 1 + a h) 9 + 4 - x - z + 8 = 4 + x + 7 - z - 7 + 2 PUNTUACIONES , CÁLCULOS Y SÍMBOLOS 7) Coloca los signos de puntuación a este texto, transformando su sentido en algunas formas diferentes. Analiza en cada caso para quien es la torta que cocino. “Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho e s mi deseo” “Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo” “Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo” “Cocino una torta para mi hijo no para mi hermano Pablo tampoco jamás será para Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo” “Cocino una torta para mi hijo no para mi herm ano Pablo tampoco jamás será para Valeria nunca de ningún modo para Marcelo todo lo dicho es mi deseo”

Podrás darte cuenta de la importancia que tiene la puntuación de un texto. Teniendo en cuenta esto analiza: 8) El “LOTER DOBLE” y el “ LOTER 3” son  juegos de azar cuyos premios tienen en

cuenta las tres últimas cifras del número sorteado por la Lotería Nacional. En el primero, el ganador recibe una suma de dinero equivalente al doble de la terminación del número sorteado, más 100 En el otro, en cambio, el premio consiste en la cantidad de dinero que resulta de hallar el doble de: la terminación del número sorteado más 100 a) ¿Cuál de los dos juegos entrega mayor cantidad de dinero en un mismo sorteo? Pág.17

 b) ¿Cuál es el mayor y cuál el menor monto que puede ganarse en cada uno de los  juegos? c) Expresa cada situación en símbolos 9) En un comercio se ve el siguiente cartel Radiograbador: $ 160 TV: $ 640 Vi doecasetera: : $ 360 

CASA TV SOL OFRECE 1 RADIOGRABADOR A MITAD DE PRECIO 1 TELEVISOR COLOR 14”

1 VIDEOCASETERA DE PRIMERA MARCA El cliente dice: Quiero aprovechar la oferta, llevo la TV, la video y el radiograbador. El empleado dice: son $ 1080 El cliente dice: ¡no puede ser ¡ según mis cálculos son $ 660 a) ¿ a qué se debió la confusión? Escriban el cálculo que realizó el cliente y el que hizo el empleado  b) ¿ Cómo se pudo evitar el mal entendido? c) Escriban un cálculo que exprese una tercera interpretación posible de la oferta  publicitada. d) Simboliza cada una 10 )Expresar en símbolos los siguientes enunciados: a)  b) c) d) e) f) g) h) i)  j) k) l)

La suma entre dos números iguales es el doble del mismo número La diferencia entre dos números distintos es mayor que 100 La suma de la altura de Carlos y la de Gustavo totalizan 3,85 m La edad de María dentro de 5 años El triple de un número aumentado en 8 El producto de tres números distintos Los 3/5 de un número es menor o igual que 20 Tres veces el peso de Juan, disminuído en 3 kg da como resultado el doble de 43 Tres veces: el peso de Juan disminuído en 3 kg, da como resultado el doble de 43 El doble del siguiente de un número El producto entre un número y su consecutivo es menor que 120 El triple del anterior de un número es menor que el doble del siguiente

Pág.18

11) Completar la siguiente tabla utilizando en todos los casos la edad de Laura como incógnita Expresión en lenguaje simbólico L

Laura

Edad en años

Eduardo tiene el doble de edad de Laura Ana tiene dos años menos que Eduardo Diego tiene tantos años como Eduardo y Ana juntos Ariel tiene tres años más que Diego

70

12) Plantear y resolver las siguientes ecuaciones a) si a 45 se le resta un número se obtiene lo mismo que si a 8 se lo disminuye en 3 y luego se lo aumenta en 10 ¿Cuál es dicho número? Rta: 30  b) Si a un número se lo aumenta en 18 y luego se lo disminuye en 1 se obtiene lo mismo que si a 35 se le resta 2 ¿Cuál es dicho número? Rta.: 16 c) Una persona sale de compras con cierta cantidad de dinero. Gasta $12 en un negocio, y $ 15 en otro . Si le quedan $ 30 ¿Con cuánto dinero salió? Rta.:$ 57 d) Una persona tiene $ 50, gasta $18 en la carnicería y cierta cantidad en el almacén. Si le quedan $ 25 ¿Cuánto gastó en el almacén? Rta: $ 7 13) Completá el cuadro con los resultados de las cuentas indicadas, cuando sea posible resolverlas para que el resultado sea un número natural. A 36

B 4

A+B

A-B

15 18 0

0 22

B-A

A. B 14

44 7

Pág.19

A:B

B : A

14) Expresá el número 14 como la suma de tres números naturales de tres formas diferentes 15) Expresá el numero 36 como el producto entre dos números naturales de todas las formas posibles . 16)Ubicá en cada casilla del cuadrado los números del 1 al 9 de manera que se convierta en un cuadrado mágico, o sea, que la suma de las casillas de cada fila, columna y diagonal sea siempre la misma.

17) En estas cuentas se han borrado algunos números ¿ En cuáles podés decir con seguridad qué números son los que se han borrado?

3

2 1 0 3 2 7

9

1

+

+

3 0 7 1 2 3 4 0 9

7 6

5 8 9 + 3 1 2 7 1 5

4 8 1 -

9 3

4

6 8 3

3

-

1 5 6

3 1

Pág.20

8 2 4 5

5

AUTOEVALUACION 1) Sabiendo que r+a=7 y r+b= 9 calcular aplicando las propiedades conmutativa y asociativa. a) (5+r) +( a+b+4) + (r+r) + (a+2)  b) (7+b) +(5+a+1) +(1+b+3) +(r+2)+(r+6)+(r+4) 2) Resolver las siguientes sumas algebraicas (efectúa las cancelaciones posibles a) 15+3-2+6-2+4-3+1+12-4-2  b)8-4+9-3+5-6+12-5+2-3-2+1 3) Suprimir paréntesis y resolver a) (12-2)+(8-3)-(5-2+6)-(9-6)  b) (24-3)-(5-2+6)+(9-10+4)-(7-2) 4) Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y resolver a) 18  4  3  4  1  2  3  1  =  b) 25  3  4  5  2  4  1  2  1  5 = 5) Hallar x a)  b) c) d)

4+x-3=12-3 10-x+1-3=4+1-2 4  3  5  x  4  3  2  8 15  x  4  5  4  7  3  1

6) Expresar en símbolos: a) El doble de un número aumentado en 89  b) El triple del siguiente de un número es menor que 74 c) La mitad de la suma de tres números consecutivos d) el producto entre el duplo de un número y la tercera parte del anterior es 51 7) Si a un número se lo disminuye en 6 y luego se lo aumenta en 10 se obtiene lo mismo que si a 24 se le suma 3 y luego se lo disminuye en 5. ¿Cuál es el número? 8) Si a un número se le suma 7 y luego se lo disminuye en 3 se obtiene lo mismo que si a 23 se lo aumenta en 2 y luego se lo disminuye en 6. ¿Cuál es el número?

Pág.21

RESPUESTAS AUTOEVALUACIÓN 1)

a) 34

b) 54

2)

a) 28

b) 14

3)

a) 3

b) 10

4)

a) 16

b) 16

5)

a) x= 8  b) x=5 c) x=15 d) x=13

6) a) 2x+89  b) 3.(x+1)‹ 74 c)  x   x  1  x  2 :2 d) 2x .  x  1 : 3 =51 7) x= 18 8) x=15

Pág.22

Pág.23

INTRODUCCIÓN A NÚMEROS ENTEROS Cuando utilizamos conceptos como arriba, abajo, antes, después, a la derecha o a la izquierda, debe establecerse una referencia a partir de la cual se está arriba, abajo, antes o después, a la derecha o a la izquierda. Son puntos de referencia, por ejemplo el nivel del mar, la planta baja de un edificio, el nacimiento de Cristo, kilómetro 0, etc. En situaciones en las que se fija un punto de referencia, como el nivel del mar, se hace necesario anteponer un signo al número considerado: si la posición es por encima del nivel del mar se antepone el signo +, y si es por debajo el signo  –  El registro de temperaturas sobre y bajo cero, la notación de ganancias y  pérdidas, los puntos a favor o en contra, son ejemplos de situaciones en las que se usan números enteros.. Si un número está precedido por un signo +, es mayor que 0 y es un número natural o entero positivo. Si está precedido por un signo -, es menor que 0 y es un número entero negativoEl 0 es un número entero que no es ni positivo ni negativo. 1) Completar el cuadro con el número entero correspondiente El termómetro marca 3 grados bajo 0 Una caverna se encuentra a un profundidad de 200 m bajo el nivel del mar Paula tiene $ 30 La cumbre del Aconcagua alcanza 6959 metros de altura Claudia debe $ 10 La empresa tiene una pérdida de $ 1200 El punto de ebullición del agua es 100° C El Titanic está hundido a una profundidad de 4000m El ascensor se encuentra en el 5° piso Alejandro Magno murió 323 años antes de Cristo

Pág.24

2) Un alumno ha obtenido las siguientes calificaciones Lengua: 2

Matemática:7

Música : 5

Ingles: 6

Geografía: 8

Biología: 8

Historia: 10

ED. Civica: 4

Si la nota de aprobación es 6 asignar a cada nota un número entero que indique cuántos  puntos más o menos obtuvo con respecto de la nota de aprobación : Lengua:

Matemática:

Música :

Ingles:

Geografía:

Biología:

Historia:

ED. Civica:

 3)Una mariposa está volando a 20 metros sobre el nivel del mar y un pez está nadando a 20 metros de profundidad. Por lo tanto los dos se encuentran a la misma distancia del nivel del mar, pero uno está a +20 m y el otro a  – 20m. Decimos que estos números son simétricos respecto del 0 y se llaman números opuestos. Llamamos módulo de un número a la distancia de ese número al 0 ( referencia)

-20= 20 +20=20 El módulo también se llama valor absoluto 5) Averigua la altura aproximada del Monte Everest y la profundidad de la fosa de las Marianas. a) Escribe cada dato con un número entero  b) Sabiendo que el monte Everest es la montaña más alta y que la fosa de las Mariana es la más profunda. ¿Dónde encuentras en nuestro planeta los mayores valores absolutos, en las alturas o en las profundidades? 2) En esta recta numérica se han marcado solo el 3 y su opuesto el  – 3

-3

3

¿Cómo hay que hacer para ubicar el 0 y el 1 en esta recta numérica? 6) Ubicar en una recta numérica todos los números enteros que se encuentren entre el  – 4 y su opuesto inclusive. Luego responde: a) ¿ Cuáles de los números que marcaron son naturales? Pág.25

 b) c) d) e)

¿Cuáles son enteros? ¿Cuántos números enteros hay entre  – 3 y el 2? ¿Cuántos números enteros hay entre el  – 3 y el – 2? ¿Cuáles son el anterior y el siguiente del 0?

7) Completar el cuadro  Número n 12

Siguiente n+1

Anterior n-1

Opuesto -n

Valor absoluto n

-2 5 -25 8) Indicar cuántos números enteros cumplen la condición que se pide en cada caso para n y cuando sea posible, enumerarlos a) n= 4

b)n 3

c)n=0

d) n 5

e) n 5

f)n-3

 SUMA ALGEBRAICA DE NÚMEROS ENTEROS 1) Lucía, Guido y Patricio ,están jugando al chinchón con las cartas españolas. Aunque seguramente ya conoces el juego, a continuación escribiremos los puntajes con algunas modificaciones:     

Al que corta sin cartas sobrantes se le descuentan 10 puntos Al que corta y se queda con una carta menor que cinco se le descuenta ese número en el puntaje. Al resto de los jugadores se les suma el total de las cartas con las que no hicieron  juego, según el valor de cada carta. Gana el que tiene menos puntaje El juego finaliza cuando algún jugador supera los 50 puntos.

COMIENZA EL JUEGO a) Cortó Guido y se quedo con el 3 de basto: -3 Lucía se quedó con el dos de copas y el tres de espadas: +5 Patricio se queda con el caballo de oro y ocho de bastos: +19  b) Cortó Patricio y se quedó con el cuatro de copas .............. Guido se quedó con el siete de oro:.................... Lucía se quedó con el as de copas as de espadas y dos de oro:............... c) Cortó Lucía sin cartas sobrantes:................ Guido se quedó con tres de oro y as de bastos:................. Pág.26

Patricio se quedó con tres de oro dos de copa................. d) Cortó Lucía y se quedó con cuatro de espadas:............... Guido se quedó con cinco de copa y nueve de basto:............... Patricio se quedó con tres de oro y dos de copa:................. e) Cortó Patricio sin cartas sobrantes:.................... Guido se quedó con ocho de oro, rey de copa y nueve de basto................. Lucía se quedó con dos de espadas:..................... ¿Quién ganó?................................. ¿Con qué puntaje?.................. Vuelca cada jugada en el cuadro siguiente, guíate con el ejemplo GUIDO 0 -3 .............. -3 +7 ...... +4 +4 ...............

LUCIA 0 +5 ............... +5

PATRICIO 0 +19 ...........

..............

................

Pág.27

2) Describimos el viaje en ascensor de distintas personas en un edificio que tiene 8  pisos y 4 subsuelos. Completa las oraciones de manera que tenga sentido y simboliza cada una de ellas completando el cuadro a)  b) c) d) e) f)

Sube en el 2° piso, viaja 3 pisos hacia arriba y baja en.......................................... Sube en el 1° subsuelo................................................................baja en el 5° piso Sube en el 4° piso, viaja 8 pisos hacia abajo y baja en ............................................... Sube en el............................, viaja 2 pisos hacia arriba y baja en el 1° subsuelo. Sube en el 1° subsuelo, viaja......................................y baja en el 4° subsuelo. Sube en el......................................................., viaja 3 pisos hacia abajo y baja en el 2° piso g) Sube en el 3° subsuelo, viaja............................................................Y baja en planta  baja h) Sube en el ......................................................., viaja 6 pisos hacia abajo y baja en el 3° subsuelo a)  b) c) d) e) f) g) h)

SUBE +2

VIAJA +3

BAJA

Expresar cada situación como una suma de números enteros. ¿Qué conclusión puedes sacar? 1) Al sumar dos números enteros del mismo signo se obtiene otro número entero con el mismo signo que los sumandos cuyo valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los número dados (-3) +(-5) = -8

(+6)+(+5) = +11

2) Al sumar números enteros de distinto signo se obtiene otro número entero cuyo valor absoluto es la resta de los valores absolutos de los números dados y cuyo signo coincide con el del término que tenga mayor valor absoluto (+9)+(-2)= +7

(-18) + (+4) = -14

Resta de números enteros: Es lo mismo que sumar el opuesto del sustraendo (+8)- (-5) = 8+ (+5)= 13

-10-(+6) =-10+(-6) =4

Supresión de paréntesis:

Pág.28

3) Todo paréntesis precedido por el signo + puede suprimirse dejando todos los términos que están dentro de él con sus respectivos signos. 4) Todo paréntesis precedido por un signo menos puede suprimirse cambiando los signos de todos los términos que estén dentro de él Supresión de paréntesis corchetes y llaves Se suprimen primero los paréntesis, después los corchetes y por último las llaves y luego se resuelve la suma algebraica que queda. Es conveniente efectuar todas las cancelaciones posibles y luego a la suma de los números positivos se le resta la suma de los números negativos Resolver las siguientes operaciones 1) Sumar a)( + 5 ) + ( + 3 ) =

b)( - 8 ) + ( - 5 ) =

c) ( - 3 ) + ( + 9 ) =

d) (- 2 ) + ( - 15) =

e)( - 1 ) + ( + 7 ) =

f) ( - 5 ) + ( + 0 ) =

g) ( - 5 ) + ( + 5 ) =

h)) ( - 4 ) + ( - 4 ) =

a)( + 5 ) - ( + 3 ) =

b) ( - 8 ) - ( - 5 ) =

c) ( - 3 ) - ( + 9 ) =

d) ( - 2 ) - ( - 15 ) =

e)( - 1 ) - ( + 7 ) =

f) ( - 8 ) - ( + 0 ) =

2) Restar

g) ( - 5 ) - ( + 5 ) =

h) ( - 4 ) - ( - 4 ) =

3) Expresar cada una de las siguientes situaciones con una suma y resolverla: a) Le debía 5 pesos a mi hermano y mi abuela me regaló 10 pesos. ¿Cuánto dinero tengo?  b) La temperatura era de 2° bajo cero y descendió 3 ° más. ¿Qué temperatura hay? c) El mes pasado encontré $4 pero ayer perdí $ 2.¿Cuánto dinero tengo? d)  Nació en el año 123 a.c. y vivió 67 años. ¿En qué año murió? e) El submarino navegaba a 100 m bajo el nivel del mar, descendió 50 m más y luego subió 80 m. ¿Dónde está ubicado actualmente.? 4)Sabiendo que a  – b = 27 calcular: a)  b) c) d)

a –  ( b + 2) a-(4+b) (3 –  b) + ( 2 + a) ( a –  b) –  ( b -a)

5)Contestar en cada caso V o F según corresponda Justificar Pág.29

a)  b) c) d) e)

Si a 0 y a+b = 0 entonces a y b son opuestos. Si a+ b 0 entonces a y b son positivos. Si a –  b = 0 entonces a y b son opuestos. Si a0 y b 0 entonces a + b  0 Si a b entonces a   b 

6) Sabiendo que a = -3 b= 5 c= -1 efectuar a)  b) c) d)

a –  b + c -a –  b –  c a + b -c  b- a –  c

7) Completar la tabla con la amplitud térmica en una ciudad para cada día de la semana  pasada Mínima Máxima Amplitud termica

Lunes -2° 5°

Martes -4° 1°

miércoles -6° 2°

Jueves -3° 5°

viernes -5° 2°

8) Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y resolver a) - 30 + 8 - ( - 5 ) + 1 - 5 - ( -3 ) + ( - 7 ) =

Rta : - 25

 b) - 4 + ( - 2 + 1 ) + 5 - [ 3 - ( 1 - 2 ) + 4 ] + 1 - 2 =

Rta : - 9

c) - 19 + ( - 4 ) - ( - 8 ) + ( - 13 ) - ( - 12 ) + 4 - 57 =

Rta : - 69

d) 3 - [ - 2 + 1 - ( 4 - 5 - 7 ) ] - 2 + [ - 3 - ( 5 - 6 - 1 ) + 2 ] =

Rta : - 5

e) - 8 + ( - 2 ) - ( - 10 ) - 2 + 5 =

Rta : 3

f) ( 3 - 8 ) + ( - 5 - 2 ) - ( -9 + 1 ) - ( 7 - 5 ) =

Rta : - 6

g) - [ 12 + ( - 3 ) ] - ( - 4 ) - 5 + 6 - ( - 4 ) =

Rta : 0

h) 5 + [ 2 - ( 4 + 5 - 3 ) + 6 ] - 1 - ( 3 + 5 ) =

Rta : - 2

i) 10 - [ - 2 + ( - 3 - 4 - 1 ) + 1 - ( - 4 - 2 + 3 - 1 ) - 4 ] =

Rta : 19

 j) ( - 6 + 4 ) - { 4 - [ 3 - ( 8 + 9 - 2 ) - 7 ] - 35 + ( 4 + 8 - 15 ) } =

Rta : 13

k) - 6 - { - 4 - [ - 3 - ( 1 - 6 ) + 5 ] - 8 } - 9 =

Rta : 4

l) - 3 + { - 5 - [ - 6 + ( 4 - 3 ) - ( 1 - 2 ) ] - 5 } =

Rta : - 9

m) - ( 9 - 15 + 2 ) + { - 6 + [ 4 - 1 + ( 12 - 9 ) + 7 ] } - 3 =

Rta : 8

Pág.30

Pág.31

 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ¿Qué ocurrirá con los signos si multiplicás números enteros? Veamos algunos ejemplos. En cuestiones de dinero, una ganancia se representa con un número positivo y una  pérdida con un número negativo, el tiempo futuro con un número positivo y el pasado con un número negativo.. Por ejemplo: Hace 3 días: -3

3 días después: +3

Ahora podemos usar los números enteros para calcular el aumento o disminución de la riqueza de un hombre Si gana $5 cada día, tres días después será: (+5) . (+3) = +15 $ 15 más rico Si pierde $5 al día, tres días después será : (-5) . (+3) = -15 $15 más pobre Si gana $5 por día, entonces 3 días antes era: (+5) . (-3) =........ .............. Si pierde $5 al día, hace tres días era:..................... ........................... Otro ejemplo

Un barril de aceite se desagota a razón de 8 cm por hora Dentro de 3 horas el nivel alcanzado será : (+3) . (-8) = -24

24 cm más abajo

Hace 5 horas el nivel era:................................................ ....................... Saca tus conclusiones .¿ Cuál será la regla de los signos de la multiplicación? + .+ = +.-= -.+= -.-= Para determinar el signo en un producto de varios números entero, como de cada dos factores negativos, resulta un signo +: Si hay un número par de factores negativos, el producto es positivo. En caso contrario ( impar) el producto es negativo.

 DIVISIÖN DE NÜMEROS ENTEROS Se está desagotando una pileta de natación. En 4 horas el nivel del agua descendió 56 cm. ¡Cuánto desciende por hora? Si llamamos x a la incógnita resulta 4 . x = -56 x = -56...... x =.............. Pág.32

Para resolver la ecuación efectuamos la operación inversa de la multiplicación que es la................... Como el resultado indica un descenso, se expresa mediante un número..................... La respuesta del problema es.................... es.................... Para la división se aplica la misma regla de los signos que en la multiplicación multipli cación

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Propiedad Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro Elemento absorbente

Prop. distributiva

¿Se cumple en la ¿De cumple en la división? multiplicación? Si.  No -3.4= 4.(-3) 10: (-2)≠ (-2) :10 -12= -12 -5 ≠ -0,2 a:b≠b:a a.b=b.a Si  No (4).2.(5)  (4).2.(5) (8) : (4) : 2  (8) :  4 : 2 2:2≠(-8) : (-2) (-8).(-5) = (-4).(-10) 1≠ 4 -40=-40 (a:b):c≠ a:(b:c) (a.b).c = a.(b.c) Si el 1 Solo como divisor -5.1= -5 4:1=4 a.1= a a:1=a Si el 0 Solo el dividendo: el 9.0= 0 0:8= 0 a.0=0 0:a= 0 La división por 0 no tiene solución Si Solo a derecha (-4+3-2).(-2)= (8-4) :2= 8:2-4:2 -4.(-2)+3.(-2)-2.(-2)= 4:2=4-2 8+(-6)-(-4)= 2=2 8-6+4=6 (a+b).c= a.c+b.c (a+b-c) .d= a.d+b.d-c.d

1) Calcula los siguientes productos Pág.33

10:(5+5)≠10:5+10:5 10:10≠2+2 1≠4 a: (b+c)≠a:b+a:c

a) ( - 8 ).( - 3 ) =

b) ( + 12 ) . (+ 2 ) =

d) (+ 13 ) . ( - 3 ) =

e) ( - 25 ) . ( - 5 ) =

c) ( - 7 ) . ( + 4 ) =

2) Calcula los siguientes cocientes a)( - 21 ) : ( - 7 ) =

b) ( + 15 ) : ( + 3 ) =

d)( + 63 ) : ( - 9 ) =

e) ( - 12 ) : ( - 6 ) =

c) ( - 18 ) : ( + 3 ) =

3) Resuelve aplicando propiedad distributiva a) ( - 12 + 24 - 18 ) : ( - 6 ) =  b) ( - 3 ). ( 6 - 8 + 4 - 3 ) = c) ( 45 - 18 + 81 ): ( - 9 ) = d) ( 12 - 7 - 8 + 1 ) . ( - 2 ) = e) ( - 35 - 42 - 63 ) : ( + 7 ) = f) ( + 4 ) . ( - 8 + 5 - 6 +2 ) = g) ( - 72 + 24 - 48 - 12 ) : ( + 12 ) = h) ( - 6 + 4 - 3 - 5 ) .( - 10 ) = i) (x+5).(x-3)  j) (a+3).(a-3) k) (x-8).(x-2) 4)Completar las siguientes proposiciones para que resulten verdaderas a)  b) c) d)

Si a.b = -12 y a=3 Entonces b = ...... Si a:b = 4 y a=-20 entonces b=....... Si a.b = 0 y a = -7 entonces b = ....... Si a: b= -1 y a=8 entonces b=......

5) Indicar si cada cada una de las siguientes siguientes afirmaciones afirmaciones son V o F a) El producto de dos números enteros a y b es igual al producto entre el opuesto de a y el opuesto de b.  b) Si a un número entero se lo multiplica por ( -1) se obtiene su opuesto c) Siempre que se multiplica un número entero a por (-1) se obtiene otro número entero que es menor que a. d) Siempre que se multiplica un número entero b por 2 se obtiene otro número entero que es mayor que b 6) Escribir en cada caso una división cuyo resultado sea un número entero que cumpla la condición indicada y resolverla. Pág.34

a)  b) c) d)

El dividendo es mayor que el divisor. El dividendo es menor que el divisor. El cociente es  – 1. 1. El divisor y el cociente son iguales

7) Completar la siguiente siguiente tabla ( efectuar las operaciones operaciones )

a b c -2 8 -6

a  –  b + c

( a + c). b

( a + b) : c

a.b-c

-5 -3 2 -4 8

4

8) Resolver las siguientes operaciones ( no te olvides de separar en términos) a) ( + 5 ) . ( - 12 ) : ( + 4 ) =

Rta: - 15

 b) ( - 15 ) . ( - 2 ) : [ ( + 3 ) . ( + 2 )] =

Rta: 5

c) ( - 3 ) . ( + 2 ) . ( - 4 ) : ( - 6 ) =

Rta: - 4

d ) ( - 2 + 7 ) . ( - 3 - 1 ) : ( - 2 ) - (- 3). (- 2)=

Rta: 4

e) ( -10 - 2 . 4 ) : ( - 2 - 1 ) + ( - 6 ) : ( - 3 ) - ( - 1 )=

Rta: 9

f) ( - 24 ) : ( - 7 + 1 ) - ( -4 -2 . 3 + 1 ) =

Rta: 13

g) ( - 5 ) - ( + 4 ) :[ ( - 2 ) - ( - 3 ) ] =

Rta: - 9

h) ( + 4 ) - [ ( - 15 ) : ( + 3 ) ] + ( - 4 ) . ( - 2 ) =

Rta: 17

9) Separar en términos y resolver

Pág.35

a) ( - 2 - 3 + 4 ). 5 - 9 . ( - 2 - 6 ) =

Rta: 67

 b) ( - 5 - 10 - 32 ) . ( 4 - 8 - 16 ) =

Rta: 940

c) - 2 + 3 . 5 - 7 . ( - 3 + 2 - 8 ) - 4 =

Rta: 72

d) ( 2 - 10 ) . ( 6 - 3 ) - ( - 8 - 2 ) . ( - 9 - 7 ) =

Rta : - 184

e) 15 + 16. 2 - 3 . ( 5 . 2 + 4 - 3 . 2 ) - [ 2 + 2 . ( - 2 ) - 9 ] . ( - 5 ) =

Rta : - 32

f) 10 - ( - 2 - 1 + 5 . 3 ) . [ - 4 + 1 . ( - 1 ) ] + 8 + 4 . ( - 2 ) =

Rta: 70

g) - 10 - 4 . ( - 3 ) + 15 : ( - 3) + ( - 8 ) =

Rta: -11

h) ( 4 - 8 ) : ( - 2 ) - ( -27)+ (-15).3=

Rta: - 16

i) 3 . ( - 5 ) + 8 : 2 - 9 : 3 + 4 =

Rta: - 10

 j) 3. [ ( - 25 ) : 5 + ( 8 - 4 : 2 ) ] - 11 =

Rta: - 8

k) - [ 45 : ( - 5 ) + 3. ( 7 - 2 ) ] + 8 =

Rta: 2

l) 17 - ( - 4 ) . 5 + 18 : ( - 9 ) - 18 =

Rta: 17

ll) [ 15 - ( - 3 ) . 4 ] . ( - 2 ) - 8 . ( - 4 ) + 1 =

Rta: - 21

m) - [ 4 - ( - 2 ) . 5 ] + 1 . ( -1 ) - 18 =

Rta: - 33

n) 7 + 8 : ( - 4 ) - [ 4 + ( - 12) : 4 ] =

Rta: 4

ñ) ( -4 + 5 ) : ( - 1 ) + 3 - 21 : ( - 7 ) : 3 -[ - 11 . ( - 2 ) - 19] =

Rta: 0

0) ( - 24 ) : ( - 6 ) - { 8 : ( -4 ) - ( - 2 - 3 )} . 2 + 1 =

Rta: - 1

 p) ( - 3 ) + 3. ( - 4 + 5 ) - 5 .[ - 2 + 7 . ( - 1 ) + 9 ] =

Rta: 0

q) ( - 1 - 8 ) : ( - 3 ) + ( 9 - 2 . 5 ) . ( - 2 ) . ( - 2 ) =

Rta : -1

r) 3 · (2 + 5) –  6 · 5 + 2 · (3  –  4) –  (6 – 8) =

Rta: -9

s)1 –  [6 · (2 + 3) – (4 + 1) · 2] · 2 =

Rta : -39

t)4 + 7 · (4 + 5) –  8 · (9 –  7) + ( – 7 – 2) =

Rta: 42

u)3 + 2 · 3 · ( 4 · 2)  –  ( 6 –  7) –  2 · 4 · ( – 1) =

Rta. 60

v)2 –  [3 –  (2 –  5) · 3 + 2 · (1  –  3) · ( – 2)] + 5 =

Rta :-13

w) –  5 · {2 –  3 · [ – 4 + 2 · (5 –  4) · ( – 1)] · ( – 1)} · ( – 1) =

Rta :-80

x) –  [4 + (2 –  5) · 2 –  6 · 3 + (6 –  2)] · ( – 1) + 5 · ( – 3 – 2) =

Rta :-41

y) –  {2 –  [3 · (4 –  5) · 2 –  3] · 2} · ( – 2) =

Rta :40

z)2 · {2 · [ – 2 · ( – 5 + 4) · 2] + 1 } · ( – 2) =

Rta:-36

10) Resolver las siguientes ecuaciones a) x+8-2=12-2

x= 4 Pág.36

 b) 12-3+1=4+x-2-3

x=11

c) 15-x+3-3-2=5-3

x=11

d) 4-1+3=12-x+6-1-2

x=9

e) 9-2+10=34+x-1-3

x= -13

f) 12-x+2=5-1+2

x= 8

g) 15-2+3-4= x+1-5-4

x= 20

h) -9-(-3)+(-8)=5+x-(-2)

x= -21

i) x+(-8-2)= -6-(-5)+4

x=5

 j) -6-(x-4) = 5+2+(-6)

x= -3

k) 8+(x-2)-(-5) = -6+(-2)+10

x= -9

l) -2+ 4  x  (1)  2  2  (1)

x= 2

m) -9-(2-4)=6- 3  x  2  (1)

x= -9

n) (5x-5):2+1=6

x= 3

o) (x:2+3).4-6= 30

x= 12

 p) (3x+8):2-6=4

x=4

q) (5 x  1) : 7  2.4  4

x= 4

r) (x:4-1).5+2 =17

x= 16

s) 5x-3=2x-x+1

x=1

t) 6x-1=x+10-1

x= 2

u) 4(x-2) =2(x+1)

x= 5

v) 3(x+2-1) = 2(x-1+4)

x= 3

w) 8(x-2)+2 =6 (x-1)+4

x= 6

x) 2(x-2) -2(x+1) =3(x-3)

x= 1

y) 8:4+2(x+1)-10:5+5=9

x=1

z) 3x-12:3+2+3(x-1) = 13

x=3

aa) (6x-2.6-1+3x):2=-38

x=-7

 bb) 9-8:2+3x-2(x+1)=18:3-6:3+1

x=2

cc) x:9+14:2+5=(-10):(-2)+3-3.(-2)-1

x=9

PROBLEMAS CON ECUACIONES Plantear los siguientes enunciados como ecuación y resolver Pág.37

1) Una persona sale de compras con cierta cantidad de dinero, gasta $19 en el almacén, $23 en la carnicería y aún le quedan $ 35. ¿Con cuánto dinero salió? Rta: $ 77 2) Si a 19 se le suma la diferencia entre un número y 3 se obtiene lo mismo que si a  – 2 se le resta la suma entre  – 8 y 2, y luego se le suma – 3 ¿ Cuál es el número? Rta.: -15 3) Si a un número se le suma la diferencia entre  – 8 y 2 se obtiene lo mismo que si a  – 6 se le resta – 5 y luego se lo aumenta en 4 ¿ Cuál es el número? Rta.: 13 4) Si al doble de un número se lo aumenta en 4 y luego se halla la quinta parte de ese resultado se obtiene 2 ¿Cuál es dicho número? Rta.: 3 5) Si a un número se lo disminuye en 6, luego se triplica ese resultado, luego se lo aumenta en 2 y finalmente se halla la mitad de todo lo obtenido, da como resultado 10 ¿Cuál es el número? Rta.: 12 6) ¿Cuál es el número cuyo anterior es igual a la novena parte de 81? Rta.: 10 7) La suma entre un número y el doble de su consecutivo es igual a 35 ¿Cuál es el número?. Rta.: 11 8) El doble del anterior de un número sumado a su triplo es igual a 13.¿Cuál es el número? Rta.: 3 9) El triple de la suma de dos números consecutivos es igual a 45.¿Cuáles son los números? Rta. : 7 10) El cuádruplo de la edad de Laura hace 2 años es igual al doble de la edad que tendrá dentro de 10 años ¿Qué edad tiene Laura? Rta. : 14 11) La edad de Marcela es el quíntuplo de la edad de Paula. Si la suma de las edades es 78. ¿Cuál es la edad de cada una de ellas? Rta: Paula 13 y Marcela 65 12) Se distribuyen 360 figuritas en 3 paquetes. Se sabe que el segundo paquete tiene el doble de figuritas que el primero y el tercer paquete tiene el triple de fi guritas que el segundo paquete.. ¿Cuántas figuritas fueron colocadas en cada paquete? Rta.: 40:80 y240 13) Pablo tiene 3 años menos que Ariel y Tomás tiene el doble de edad que Ariel. Si las tres edades suman 33 años .¿Qué edad tiene cada uno? Rta.: 6,9 y 18 años

14) El perímetro de un rectángulo es 32 cm. y la base es 2 cm. mayor que la altura. Calcular la superficie de rectángulo. Rta.: 63 cm 2 15) La base y la altura de un rectángulo miden 4x  –  1 cm. y 2x + 3 cm. Si el perímetro es 52 cm. ¿Cuál es la superficie del rectángulo? Rta.: 165 cm 2

Pág.38

16) La base y la altura de un triángulo equilátero miden 3x + 2 cm. 2x + 1 cm. Si el  perímetro es de 33 cm. ¿Cuál es la superficie del triángulo? Rta.: 38,5 cm 2 17) El perímetro de un triángulo isósceles es 30 cm. Y la base mide 3 cm. menos que cada uno de los lados iguales. Hallar la longitud de cada lado. Rta: 11 cm y 7cm 18) Plantear y resolver las ecuaciones para hallar el perímetro de la figuras

abc triángulo equilátero ab=2x+10  bc=3x+2 cm Rta: Perimetro 78 cm

4x-25cm

100-x cm abcd rombo

Rta: Perímetro 300 cm

x + 75 cm

4x-1 cm

5x –  25cm

2x +3 cm abcd rectángulo

Rta.: Perímetro 400 cm

Rta,:Perímetro 16 cm

Pág.39

Divisibilidad Una ruta que une San Carlos con Costa Linda tiene 20 Km. de longitud. La Dirección de Vialidad decidió colocar mojones indicadores de kilometraje, ¿A cuántos Km., uno del otro, se pueden colocar los mojones si debe cumplirse que: -

la distancia entre un mojón y otro sea siempre la misma el número que expresa la distancia entre dos señales consecutivas sea natural

Pensemos que los mojones colocados a igual distancia “dividen” a la ruta en partes

iguales. Es evidente que una posibilidad es la de colocar mojones en cada kilómetro. En este caso la ruta queda “dividida” en 20 partes iguales.

¿Cuáles son las otras posibilidades?.................................................................................... Los números1,….,……,…..,…..,….., son los divisores de 20 20 es divisible por1,…………………… 20 es múltiplo de1,……………………

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Divisible por 

Criterio 

Ejemplo 

2 

Un númer o es di visible por 2 síes par 

294-9000-2 

3 

Un número es divisibl e por 3 si la suma de sus dígi tos es múltiplo de 3

357 3+5+7 = 15 

4 

Un número es divisibl e po  r 4 cuando el número f ormado por sus dos últimas cifras es múlti plo de 4 

2400 = 4 388 = 4

5

Un número es divisibl e por 5 cuando termi na en 0 o en 5

2700-155-  1875 

Un número es divisibl e por 6 si l o es por 2 y por 3 

12 porque 12 : 2 y 12 :3

9 

Un número es divisibl e por 9 si la suma de sus dí gitos es múltiplo de 9 

783 = 7+8+3= 18 es múlti plo de

10 

Un número es divisibl e por 10 cuando term in a en 0 

30 - 5000 280 

100

Un número es divisibl e po100 cuando termi na en 00

1500-800

6 

Pág.40

Divisores de un número

Un número a es divisor de otro número b, cuando el resto de dividir b entre a es cero, en otras palabras, cuando la división de b entre a es exacta.

Múltiplos de un número

Un número b es múltiplo de otro número a, cuando el resto de dividir b entre a es cero, en otras palabras, cuando la división de b entre a es exacta

Pensamos ¿Cuántos múltiplos tiene un número natural?........................... ¿Cuántos múltiplos tiene el 0?....................... ¿Qué número es divisor de todos los números naturales?.................. ¿Cuántos divisores tiene cada uno de los siguientes número:2,3,7,11?............. Existe un número que tiene un solo divisor, es el número……. Algunos números tiene solo dos divisores, se llaman números……… Algunos números tiene mías de dos divisores, se llama n números………..

Descomposición de un número en factores primos

Los números enteros compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos. La descomposición de un número es muy útil pues ayuda a poder calcular el máximo común divisor o mínimo común múltiplo de varios números.

Pág.41

M.C.D. y M.C.M. Una parte importante de la divisibilidad es la que corresponde al Máximo Común Divisor y al Mínimo Común Múltiplo.

Definición Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos números, es el mayor de los divisores comunes de dichos números. Ejemplo: Divisores de 12 = {1,2,3,4,6,12} Divisores de 18 = {1,2,3,6,9,18} Divisores comunes son: {1,2,3,6}, luego M.C.D.(12,18) = 6

Definición Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de dos números, es el menor de los múltiplos comunes de dichos números. Ejemplo: Múltiplos de 12 = {12,24,36,48,60,72,84,96, {12,24,36,48,60,72,84,96,108,120, 108,120, ...} Múltiplos de 18 = {18,36,58,72,90,108,126,1 {18,36,58,72,90,108,126,144,162, 44,162, ...} Múltiplos comunes son: {36,72,108, ...}, luego M.C.M.(12,18)=36

M.C.M: Mínimo común múltiplo Se descomponen estos números en sus factores primos y se efectúa el producto de los factores primos comunes y de los factores f actores primos no comunes con su mayor exponente.

M.C.D Máximo común divisor Se descomponen estos números en sus factores primos y se efectúa el producto de los factores primos comunes considerados con su menor exponente.

Pág.42

TRABAJO PRÁCTICO - DIVISIBILIDAD Une con flechas los elementos de la primera columna que sean divisibles por los de la segunda columna 24 12 35 85

5 3 17 6

1) Contesta verdadero o falso. Justificar. A) La suma de dos números primos es a veces un número primo B) El producto de dos números primos es un número primo C) La suma de dos números impares es un número par 2) Escribe : A) Dos números cuyo m.c.m sea 18 B) Dos números cuyo M.C.D sea 3 3) Calcula el m.c.m. y el M.C.D. de: A) 85 y 340 B) 225 y 175 4) Un niño camina un número exacto de pasos andando 756 cm., 966 cm. y 1176 11 76 cm. ¿Cuál es la mayor mayor longitud posible de cada paso? Rta. 42 cm 5) Tres líneas líneas de micros hacen hacen su recorrido entre entre dos ciudades, el primero cada 4 horas , el segundo segundo cada 6 y el tercero cada 9. Si ahora ahora salen juntos. juntos. ¿Cuándo vuelven vuelven a coincidir las salidas? Rta: Dentro de 36 horas horas 6) Analizar si cada uno de estos números números es divisible por 2, por 3 y por 5 a) 12

b) 24

c) 120

d) 49

e) 150

7) Proponer 3 números de 4 cifras que sean divisibles por 2 y por 5 pero no por 3 8) Proponer 3 números de 5 cifras que sean divisibles por 2 y por 3 pero no por 5 9) Proponer 3 números de 4 cifras que sean divisibles por 4 y por 6. 10) a) Si un número es divisible por 3 y por 5. ¿Es divisible por 15? ¿Por qué?  b) Si un número es es divisible por 2 y por 4. ¿Es divisible por 8?. ¿Por qué? qué? 11) Si tengo 42 lápices, 60 biromes y 90 marcadores. ¿Cuál es la cantidad máxima de cartucheras de igual contenido que puedo armar? ¿Cuántos lápices, biromes y Pág.43

marcadores habrá en en cada una? Rta: 6 cartucheras, cartucheras, 7 lápices, 10 biromes y 15 marcadores 12) El semáforo está descompuesto. La luz roja se enciende cada 96 seg. La amarilla cada 64 seg. Y la verde cada 80 seg.. Si en este momento se encendieron las tres a la vez, indica la cantidad mínima de minutos en que ello volverá a ocurrir. Rta: 960 minutos 13) Tres personas desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolatines entre un cierto número de niños de modo que cada cada uno reciba la misma cantidad de cada cada cosa. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse de esa forma y cuántos libros, juguetes y chocolatines recibe cada uno?. Rta: 60 niños, 3 libros, 4 juguetes y 6 chocolatines 14) Tres personas concurren periódicamente a un club. El primero lo hace cada 36 días, el segundo cada 20 días y el tercero cada 45 días, Si hoy se encuentran en el club. Dentro de cuántos días será el próximo encuentro. Rta: dentro de 180 días Resolver el siguiente crucinúmero

Horizontales 123456-

 Número múltiplo de 4, 5, y 10 simultáneamente simultáneamente comprendido comprendido entre 9 y 21. El mayor número primo de un dígito  Número múltiplo de 2, 3 y 4 simultáneamente simultáneamente , mayor mayor que 310 y menor menor que 320. Divisor impar de 40 mayor que 1. El mayor divisor par de 20, menor que 10.  Número múltiplo de 7 y 11 simultáneamente, simultáneamente, comprendido comprendido entre 70 y 80. 80.

Verticales 1- El mayor número múltiplo de 2 y 4 simultáneamente comprendido entre 202 y 225 7- El número anterior impar a 95 8- El número formado por tres dígitos iguales y pares, múltiplos de 2 y 3 simultáneamente, simultáneamente, comprendido entre 100 y 300

1

2 7 3 4

Pág.44

8

AUTOEVALUACIÓN 1) Resolver

a) 20: (-5)+(-4+2.3): (-2)- (-4+3).(-2)=

Rta.: -7

 b) 9+10: (-1-1)-2.(-4)+(5-2.3).3=

Rta.:9

c) -6. (10-4.3) +25 :(-5) + (-1+3) :2=

Rta.: 8

d) 8  5  4  3.2  2  3.4 : 7.3  10 : (2) 

Rta.: 1

2) Hallar x a) 4 x  5 : 3  1.2  4  

x=2

 b) 4.(x-2)+2 = 2.(x+3)-4

x= 4

c)7x-4 =5x+2-6

x= 0

d) 6.(x+1)-4.(x+2) =12

x= 7

3) Si al triple de un número se lo aumenta en 4, luego se halla la mitad de ese resultado y finalmente se lo disminuye en 1 se obtiene 7. ¿Cuál es dicho número? Rta: el número es 4 4) La suma entre un número y el triple de su consecutivo es 23. ¿Cuál es el número? Rta: 5 5) ¿Cuál es el número cuyo quíntuplo más su triple es igual a 32? Rta.: 4 6) El perímetro de un rectángulo es 64 cm. y la base es 4 cm. mayor que la altura. Calcular la superficie de rectángulo. Rta.252 cm 2 7) Entre los tres primeros años de una escuela hay 97 alumnos. Si 1° B tiene dos alumnos menos que 1° A y 1° C tiene tres alumnos más que 1° A. ¿Cuántos alumnos hay en cada curso? Rta.: En 1º A 32 alumnos, en 1º B 30 y en 1º C 35 8) Propones dos números de 4 cifras que sean divisibles por 2 y por 3 pero no por 5. 9) Proponer dos números de tres cifras que sean divisibles por 5 y por 2 pero no por 10 10) Se desea repartir 360 diccionarios, 108 pelotas de fútbol 450 mapas entre cierta cantidad de escuelas de modo de modo que se puedan beneficiar la mayor cantidad de escuelas. ¿ Cual es la mayor cantidad de escuelas que se pueden beneficiar y que cantidad de cada cosa le corresponde a cada una) Rta.: 18 escuelas,20 diccionarios, 6  pelotas 25 mapas

Pág.45

POTENCIACIÓN 1) Diego llegó a la 8 de la mañana a la estación de su pueblo. Allí se encontró con tres amigos a quienes contó una noticia. A los 10 minutos cada uno de los 3 amigos contó la noticia a tres 3 y este mecanismo se fue repitiendo. ¿Cuántas personas recibieron la noticia a las 8 y 30 de la mañana? 8hs… 3.. personas 8 y 10…… personas 8 y 20……. personas

¿Qué operación tuviste que realizar? Así como la multiplicación es una suma de sumandos iguales 3.4= 3+3+3+3 La potenciación es una multiplicación de factores iguales 2 5  2.2.2.2.2 En símbolos an

 a.a.a....a

n veces donde a se llama base y n se llama exponente. Las potencias con exponente par dan siempre como resultado números positivos: EJEMPLO: Las potencias con exponente impar tienen como resultado un número cuyo signo es igual al de la base. EJEMPLO: Todo número elevado al exponente o siempre da 1 70  1 (5) 0  1

2) Resolver a)  53   b) 3 4 =

c)  17  d) 6 3 =

e) 2 6 = f)  25 

g)  92  h)  120 

i)  80  j) 35 

3) Juan debe revocar una pared de su habitación. Esta pared es cuadrada y tiene 4m de lado. Va a la ferretería y le pregunta al ferretero cuanta mezcla le hace falta. El ferretero le contesta que con 1 kg cubre una superficie de 1m por 1m. Juan pide 4 kg.de mezcla a).¿Es correcto el pedido de Juan?.¿Por qué? Pág.46

 b) ¿Cuántos kg necesitaría si la pared fuera de 3m por 3m? c) Una vez revocada la pared, Juan quiere pintar la habitación. Tiene pintura en una lata vieja que no tiene indicada la capacidad y como desea hacer un cálculo de lo que va a gastar, la traspasa a un cubo de 1 dm de arista por que sabe que allí cabe 1 litro de líquido. c.1)¿Cuantos litros caben en un cubo de 2m de arista? c.2) ¿Y en uno de 3 dm de arista? 4) Resuelve las operaciones indicadas en cada caso y completa con = o≠ según

corresponda a) 2.32 .........2 2.32

b) 4 : 22 ........4 2 : 2 2

c) 5  22 .........52  2 2

d) 6  42 ........6 2  4 2

¿Cuáles son las conclusiones? PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

a) La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.

a : bn  a n : b n

a.bn  a n .b n

b) La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

a  bn  a n  b n

a  bn  a n  b n

5) Resolver las operaciones indicadas y completar con = o ≠ según corresponda 3

a) 23.2.2 2........2 6

c) 34 : 3......33

e) 2 2  ......2 6

 b) 43.4 2........4 5

d) 53 : 52......5

f) 53  ......50

¿Cuáles son las conclusiones?

Pág.47

0

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE IGUAL BASE:

a) Cuando se MULTIPLICAN se obtiene otra potencia con la misma base cuyo exponente es la SUMA de los exponentes dados a m .a n

 a m n

b) Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se obiene otra potencia con la misma base cuyo exponente es la RESTA de los exponentes dados. a m : bn

 a mn

c) Si una potencia está elevada a otro número , se obtiene otra potencia con la misma base cuyo exponente es la MULTIPLICACIÓN de los exponentes dados

a 

m n

 a mn

6) Aplicar las propiedades de las potencias de igual base

 

2 3 4

a)  x . x . x

f) a

 b) a 7 : a 2

g) x 2  x 4  .x

c) b 5 .b 2 .b.b 6

h) a 4  : a 5

d) y 9 : y

i) b 2 .b 3  : b 7

5

3

2

e) b 3 

3

2

2



2



2

4

j) a 3  : a 5 .a 2 

Pág.48

RADICACIÓN Don Carlos desea alambrar un campo que le ha comprado a un amigo y cuenta con escasa información: sabe que es de forma cuadrada y que tiene 100 m 2 de área. ¿Lo ayudamos a calcular cuánto alambre necesita? l 2

 100m 2

Por lo tanto debemos buscar un número que elevado al cuadrado dé 100. Ese número es…… Luego la longitud del lado es……m y Don Carlos necesitará ……m de alambre.

La operación que utilizamos para resolver el problema se llama radicación. Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando.

REGLAS DE LOS SIGNOS DE LA RADICACIÓN a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado  positivo. EJEMPLO:

 b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO:

Pág.49

PROPIEDADES DE LA RADICACION:

1) a) ES DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.

EJEMPLOS:

 b)  NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.

EJEMPLOS: 16  9  16  9 25  4  3 57

25  16  25  16 9  54 31

Pág.50

2) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO:

EJERCITACIÓN POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN 1) Indicar en cada caso verdadero o falso. Justificar a) a 2 .a 5 .a  a 7  b) a.b5  a 5 .b 5

i) a  b  a  b j) 5 a.b  5 a .5 b

c)  x   y 2   x 2   y 2

k) 3 5  x  8  x

4

d)  2  16

l) 4 a  b  4 a  4 b

e)  33  27 f) x 6 :  x 2  x 4 g) a  b3  a 3  b 3 h)  x :  y 4   x 4 : y 4

m)   22   210 n)  60  1 ñ)  x :  y   x : y o)  4  2 5

2) Resolver las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias de igual base. 3 4  2 5 : 2 3  .2 2  .2 a) = 4 2 3 2 .2 .2

 b)

32 4 .32 2 .32 37 : 34 3 .32 2

=

2  53.5 .5 2.5 4  c) 5 4 : 53 2 .52 

d)

Pág.51

=

4.4 2.43 .4 3 2 4 5 : 4 2 .4.4 2 2

2

3) Resolver las siguientes operaciones a) 5 32 :  20   5  2.32 .3 8  100 :3  125 =

Rta: 6

 b) 3 9.3. 14   32  64 : 2 2   1  12 

Rta: 14

c) 4  2.  8. 24   2.4  77 . 25   50 

Rta: 28

d) 3 32.3   7  12 :  22  2 20 : 219  3  1 

Rta: -3

e) 3 64 . 8  2.53  3 25  9 . 3   

Rta:10

f)  1  8 : 22 :  2.  5  1   3  4  .9  1   

Rta:4

8  5 32 :  2  6 : 2  100 : 4   12 

Rta: -4

5

3

g)

h) 3   4. 32  16  1  9 : 4 

Rta: -3

i)2 3 - 3  2   5  0 2  2  1 =

Rta: 10

 j)  20   22 .  33   43  1 =

Rta: 5 2

k)  2. 43   25 : 4 2  5.  32  33 .34  4 3  4 2  = 3

l)-  13   2 2  5   2 2  2

Rta: 10 Rta: -2

m)

10 2  2. 10   13   52 .23  7. 23  3  5.2  2 =

Rta:5

n)

9   14  3  8. 121   3   14 . 23 . 15 =

Rta:13

ñ) 2   3.  14 . 4  3   6  4 :  25  2

2

4 2  32  1 = 3

Rta: -6

o) 2   3.  2   32.  8.  27   7  4.  2 =

Rta:10

 p) 3 102   52  3 64 

Rta:5

3

q) 3



3

5

3

3

49  4   19 =



 27  102  82 :  3   24 :  42  400 =

r) 5   49  36   102  5.23  2 2   8  102 = 2

s) 2. 8  514 : 512  2 3  : 25 

9  1. 2 =

Pág.52

Rta: - 20 Rta: 7 Rta:31

4) Resolver las siguientes ecuaciones a)  x  22  6  10

x= 2

 x  3.5  1  11

x= 1

c)  x 4  6 .2  3  8

x= 2

 b)

d)

  x  2

2

 9  40

x= 25

: 5  1  

e)

 x  1.3  1

x=3

f)

16 x   22   13  9x   52

x= -22

g) 4x- 4   12  2x  3 27  

x=3

h)

36 x  4 16   30   22 x  3 8   14

x= 2

i)

9. x  2   12  3 8.x  3  25  4

x= - 10

 j)

25. x  2  2 4  9.x  2   102  

x=-50

k)

4. x  1   32  3 27.x  2  81  

x=-4

l)

  x  3 3

 2

 9   10.  4

x= 64

m) X+  5.  22  9  1  8 : 4  5 n) 4-  1 3 

4  x  6 :  2  15

o) -x+  1  23  3  2.  4  15 



 x  2. 2  3

 p)

x= 3 x= -15

3

 1   22   3



 7  6   2  3.5  82  11 : 3

x= 8 x= 7

q) (x+4).(x-4) =  x 2   x  18

x= 34

r)  x  32  x 2  21 

x=2

s)  x  42  x 2  40  

x=3

t)  x 2   12 . 22  100  6 2   22 .5  3  8  .2   2

u)

3

2

 x 2 2 : 3   1

 3 25  9  

x=5

v)  x 3  1 : 7  3  125  100  81  3 400  14   w)

x=4

8 x  4 : 3   20   52 : 5  2. 1  

Pág.53

x=3 x=5

AUTOEVALUACION 1) Resolver: a) 36 : 6  3. 4  32   40 .8  2.33  214 : 212 

Rta.: -9

 b)  33 : 9  3 102   52 . 2  2.4   12 .5  1   

Rta.:-40

c) 

Rta.: 4



d)

25  33  16 : 3.4  2 9   12  3 27 



36  12 .2 2  3  27 :  3  4  5  7.2.5 

Rta.: -11

2) Hallar x a) [3  x  1.32  6] : 2  15  b) 23. x  1  4  36.x  2  5 32 c) 25. 22  2 2. x   4  34  3x  6 : 2

x = 65 x= 8 x= -22

d)  x  25  1  9   3 8.7  32

x= 4

2

3) Resolver aplicando las propiedades de potencias de igual base a)

33.32 4 .32 2 36 : 34 3 .32 6 .35

Rta.: 3

 b)

2 2 5 .2 4 : 2.2 2 2 3 3 .2 2 2 .2

Rta.: 2

4) Si a la raíz cuadrada de un número se la aumenta en dos, ese resultado se lo eleva al cuadrado, luego se lo disminuye en 5 y finalmente se halla la mitad de ese resultado se obtiene 10. ¿Cuál el número? X=9 5) Si al cuadrado de dos se lo multiplica por el siguiente de un número se obtiene lo mismo que si a la raíz cúbica de ocho se la multiplica por el anterior de dicho número.¿Cuál es el número? X= -3

Pág.54

Pág.55

Pág.56

 NÚMEROS RACIONALES Una fracción es un número escrito en la forma

a b

 , de tal modo que b no sea igual a cero.

Recuerda que todo número que se puede escribir de la forma

a b

 se llama número racional. El

numerador es el número que está sobre la barra de fracción; en este caso, la a. El denominador es el número que está debajo de la barra de fracción, o sea, la b. El denominador indica en cuántas partes iguales se ha dividido la unidad, y el numerador indica cuántas se han tomado. Ejemplo: en la fracción 3 ; el numerador es el 3 y el denominador es el 4. 4

1-

2-

Tomar una hoja de carpeta, doblarla por la mitad, otra vez por la mitad, otra vez por la mitad y una vez más por la mitad. Colorear la parte que quedó. Antes de abrir el papel ¿podrías decir qué parte del papel quedó coloreada?

Indicar en los siguientes esquemas a qué fracción de la hoja corresponde cada uno: a) b) c)  ___

d)

___

e)  ___

g)

f) ___

h)  ___

3-

___

¿Cuánto es 1 de 1_ ? …………. 2 4 1 1 ¿Cuánto es  ? …………. 2 4 ¿Cuánto es 1 de 1_ ? …………. 2 8

___ i)

___

___

1 1  ? …………. 2 8 1 1 ¿Cuánto es  ? …………. 2 2

¿Cuánto es

¿Cuánto es 1 de 1_ ? …………. 8 4 Pág.57

¿Cuánto es 4-

¿Podemos escribir 1 2

5-

4

6-

1  de otras 3 maneras observando tu hoja desdoblada? 2

= -------- = ---------- = ------------

¿Podemos hacer lo mismo con la fracción 3

¿Cuánto es 1 de 1_ ? …………. 4 4

1 1  ? …………. 8 16

3 4

?

  = -------- = --------- = --------

Repartir 2 chocolatines entre 2 chicos es sencillo, pero ¿cómo repartimos 2 chocolatines entre 3 personas? Hacer un esquema que muestre cómo las repartirías y explicarlo.

Sugerencia: podemos dividir cada chocolate en tres partes iguales usando la regla ¿y luego? …………………………………………………………………………………………………

¿Podrías expresar el resultado utilizando una fracción?.........................¿cuál es? : _____ 7-

¿ Y si repartimos 4 chocolates entre 5 chicos?

Explicar cómo podemos hacerlo:………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………

Pág.58

¿Qué fracción de 1 chocolate le corresponde a cada chico?

8-

1º chico:

3º chico:

2º chico:

4º chico:

5º chico:

Vamos a representar fracciones sobre la recta numérica: a) Medimos el siguiente segmento, lo dividimos en 10 partes iguales y determinamos su punto medio m. A sus extremos le asignamos los valores 0 y 1. ¿Qué fracción corresponde al punto m?............................  b) Tomamos los puntos medios de los dos segmentos obtenidos en a), los llamamos a y  b ¿qué fracción corresponde ahora a cada uno de los cinco puntos destacados? …..

…..

…..

…..

…..

…..

c) Ubicar los puntos medios de los cuatro segmentos obtenidos en b) ¿qué fracción corresponde a cada uno de esos puntos? …..

…..

…..

…..

¿Cómo se representa una fracción en la recta numérica? 5 Vamos a representar, por ejemplo, . 8 El denominador de una fracción nos indica en cuántas partes iguales se debe dividir la distancia que hay en la recta numérica entre un número entero y otro.(en nuestro 1 ejemplo, serán 8 divisiones entre el 0 y el 1). Luego, cada parte representa . Sólo nos 8

5 queda contar 5 partes para llegar a los 8 0 ,

,

,

,

,

,

,

,

1 ,

1 8

2 8

3 8

4 8

5 8

6 8

7 8

8 8

,

,

,

,

9 8

10 11 12 8 8 8

,

,

,

2 ,

15 8

16 8

, 0

13 14 8 8

d) Dibujar una recta para representar cada una de las siguientes fracciones: 7 6

 ;

6 8

 ;

2 5

6

5

4

2

 ;  ;

Pág.59

RECORDEMOS QUE EXISTEN 3 CLASES DE FRACCIONES: Fracciones propias: el numerador es menor que el denominador. Son menores que un entero,  por ejemplo : 2 5

Fracciones impropias: el numerador es mayor que el denominador y no es múltiplo de él. Son mayores que un entero, por ejemplo: 5 2

Fracciones aparentes : el numerador es igual que el denominador o bien es múltiplo de él. En realidad no son fracciones sino números enteros. Por ejemplo:

6 2

( en realidad se trata de 3 enteros)  Números Mixtos Un número mixto es la suma de un número entero y una fracción. Se escribe sin el símbolo de suma ( + ). Por ejemplo, 1 1 se lee “uno y un medio” y es igual a 1 + 1 . 2

2

Los números mixtos se pueden convertir a fracción impropia, y viceversa: Para cambiar un número mixto a una fracción impropia: 1. Multiplicar el denominador por el número entero. 2. Sumar el numerador al producto dado en el paso 1. 3. Escribir la suma donde está el numerador original. Ejemplo: 1 2 3

a.

3 · 1 = 3 Se multiplicó el denominador por el numero entero.

 b.

3 + 2 = 5 Se sumó el producto (3) con el numerador (2)

c.

5 3

Se escribió la suma en el numerador

y así obtenemos:

1 3.1  2 5 1  5 1  2 3 2 3

Pág.60

Para transformar una fracción impropia a número mixto:Se efectúa la división entre el numerador y denominador sin bajar decimales, por ejemplo: 34 8

34 2

8 4

indica el denominador de la parte racional Indica la parte entera

indica el numerador de la parte racional

Por lo tanto: fracción nºmixto 34 2  4 8 8

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Adición Igual denominador: Para sumar fracciones con igual denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Por ejemplo:

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES DE DISTINTO DENOMINADOR • Para sumar fracciones de distinto denominador, se reducen las fracciones a común denominador; después se suman los numeradores y se deja el mismo denominador.

Sustracción: se procede de igual manera pero se restan los numeradores en lugar de sumarlos

Ejercicios: 1. Calcular a)  b) c) d) e) f) g) h) i)

La mitad de 50 = La tercera parte de 18 = La cuarta parte de 200 = La mitad de 60 = La quinta parte de 1200 = 1 2 1 2 1 3 2 3

 de 60=  de 100 =  de 60 =  de 60 = Pág.61

2- Simplificar las siguientes fracciones. 3 4 a) c)   6 9 15 2  b) d)   45 8

e) f)

6  12 12  48

3- Indicar cuál fracción es mayor. ( Utilizar los signos de > o