Matemática y Ciencia y Ambiente - 5to Grado - Libro 2 Web

April 5, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A

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Gavcd \raonran

M m

Zcxte jc Kegsudtn pnrn Gavcd [ckugjnrae

3

te

HRNJE

DABRE

2

ONZCOÎZAKN Q KACGKAN Q ZCKGEDEHÏN

Zcxte jc kegsudtn pnrn Gavcd \raonran —ONZCOÎ —ON ZCOÎZAKN ZAKN Q KACGKAN Q ZCKGEDEHÏN‟ 3te. Hrnje jc \raonran

Kedchae ZRADKC

Kedchae ZRADKC

[ng Bermn

Onhastcrae

Mr. Knmnonrkn A-; Zcdáiege= (:30 Xngk`nq

Srb. Ongngtandcs B-> Zcdáieges= ( Kuske

\rcscgtnkaûg Cd \reyckte Cjaterand jc des Kedchaes ZRADKC sc cvajcgkan cg des tcxtes quc npeyng cd nprcgjaznmc jc gucstres cstujangtcs. Cd tcxte quc tacgcs cg tus onges cs cd rcsudtnje jcd csiucrze jc des trnbnmnjercs jc gucstrn Agstatukaûg y jc des jekcgtcs jc des Kedchaes ZRADKC6 tacgcg keoe iugkaûg pragkapnd jcspcrtnr cd agtcrás per nprcgjcr cg gucstres cstujangtcs. Nsaoasoe, Nsaoaso e, buskng nrtakudnr cd trnbnme pcjnhûhake cg cd sndûg jc kdnscs y oetavnr gucves nprcgjaznmcs iucrn jc ád. Des Zcxtes ZRADKC seg cd rcsudtnje jc oîs jc 3 nþes jc trnbnme cg cquape jc gucstrn Agstatukaûg quc, n trnvás jc su Cjaterand y cd trnbnme jc des preicsercs, eirckc ug scrvakae cjukntave jc ndtn cxahcgkan nknjáoakn, keg dn kund sc buskn dn ieronkaûg jc pcrsegns kegugn ugnprepucstn sûdajn pcrsegndajnj y keg ug keopertnoacgte átake. \dngtcng, nsaoasoe, agtchrnd y pcrsegndaznjn, jc tnd oeje quc n trnvás jc oýdtapdcs cxpcracgkans nknjáoakns, ierontavns, jcpertavns, kudturndcs y sekandcs, gucstres cstujangtcs sc jcskubrng n sï oasoes, sc vndercg, sc rcdnkaegcg keg des jcoîs y nsuong des vndercs ugavcrsndcs pnrn agscrtnrsc jc ongcrn nktavn cg dn sekacjnj y scng knpnkcs jc ocmernrdn. \er cdde, sa pejcoes prepakanr dn kuraesajnj kuraesajn j y cd agtcrás per nprcgjcr cg gucstres cstujangtcs, `nbrcoes dehrnje gucstre ebmctave= ieronr ocmercs cstujangtcs, ocmercs pcrsegns.

Dak. Merhc Yndkîrkcd [ndns \reoeter jc des Kedchaes ZRADKC Kuske

ÏGJAKC

3.¼ Hrnje NRAZOÁZAKN ............................ .......................................................... ............................................................ ................................................ .................. Javasaûg jc gýocr gýocres es jjckaondcs ckaondcs `nstn dn kkcgtásaon cgtásaon ........................... ............................................. .......................... ........ ◅ Epcrnkaegcs keobagnjns keobagnjns keg gýocr gýocres es gnturndcs y jckaondcs ... ..................... ................................ .............. ◅ Irnkkaeg Irnkkaegcs= cs= kdnsa﬎knkaûg................ ................................... ..................................... .................................... .................................... ............................. ........... ◅ Gýocr Gýocree oaxte y saopda﬎knkaûg jc irnkkaegcs .................... .................................... ..................................... .......................... ....... ◅ Njakaûg y sustrnkkaûg jc irnkkaegcs .................. .................................... .................................... .................................... .......................... ........ ◅ Oudta Oudtapdaknkaûg pdaknkaûg jc irnkkaegcs ........ ........................... ..................................... .................................... .................................... ............................. ........... ◅ Javasaûg jc irnkkaegcs y irnkkaûg jc irnkkaûg ................. ................................... .................................... ............................. ........... ◅ Rcpnse .............................................. ................................................................ .................................... .................................... .................................... ............................. ...........

3 8 >< >2 >3 >8 2< 22 2:

ÎDHCBRN .................................................. ................................................................................ ............................................................ ................................. ... .................................... .................................... .................................... ................................ .............. Rnjaknkaûg cg ] - praocrn pnrtc .................. ◅ Rnjaknkaûg cg ] - schugjn pnrtc . .................... ..................................... .................................... .................................... ............................. ........... ◅ Zcerïn jc cxpegcgtcs pnrn dn rnjaknkaûg (cxpegcg (cxpegcgtc tc irnkkaegnrae) ................. ............................ ........... ◅ Zcerïn jc cxpegcgtcs pnrn dn rnjaknkaûg (rnïz jc ug prejukte) ................. .................................. ................. ◅ Cxprcsaegc Cxprcsaegcss ndhcbrnakns ndhcbrnakns.................. .................................... .................................... .................................... .................................... ............................. ........... ◅ Rcjukkaûg jc tároages scocmngtcs ................ .................................. .................................... .................................... ............................. ........... ◅ Rcjukkaûg jc tároages scocmngtcs AA ........................... ............................................. .................................... ................................ .............. ◅ Rcpnse .............................................. ................................................................ .................................... .................................... .................................... ............................. ...........

28 21 ;> ;; ;3 ;8 ;1 :> :;

HCEOCZRÏN .............................. ............................................................ ............................................................ ................................................ .................. ................................... .................................... .......................... ........ [upcr﬎kacs jc ﬎hurns hceoátrakns tranghudnrcs................. ◅ [upcr﬎kacs jc ﬎hurns hceoátrakns kunjrnghudnrcs ................. ................................... ..................................... ..................... ◅ [upcr﬎kacs jc ﬎hurns ﬎hurns hceo hceoátrakns átrakns trnpckandcs .................. .................................... .................................... .......................... ........ ◅ [upcr﬎kacs jc ﬎hurns hceoátrakns karkudnrcs.................................... ...................................................... ............................. ........... ◅ Rcdnkaûg cgtrc îrcns ..... ........................ ..................................... .................................... .................................... .................................... ............................. ........... ◅ Zrngsieronkaû rngsieronkaûg g jc ﬎hurns hceoátrakns= saoctrïn y trnsdnkaûg ................ ................................... ..................... ◅ Zrngsieronka rngsieronkaûg ûg jc ﬎hurns hceoátrakns= nopdankaûg y rcjukkaûg ......... .................. ................. ............. ..... ◅ ................................................................ .................................... .................................... .................................... ............................. ........... Rcpnse .............................................. RN]EGNOACGZE ONZCOÎZAKE ONZCOÎZAKE ............. ........................................... .......................................................... ............................ ◅ Muhng Muhngje je keg iirnkkaegcs rnkkaegcs ................. .................................... ..................................... .................................... .................................... ............................. ........... ◅ \rebd \rebdcons cons keg irnkkaegcs ................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ....................... .... ◅ [ukcsaegcs keg jckaondcs ...................................... ........................................................ .................................... ..................................... ....................... .... ◅ Kraptenrato Kraptenratoátakn.............. átakn................................. ..................................... .................................... .................................... ..................................... .......................... ....... ◅ Epcrnkaegcs agvcrsns ............................................. ............................................................... .................................... ..................................... ....................... .... ◅ Rchdn kegmugtn ................ ................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... .......................... ....... ◅ Kuntre epcrnkaegcs ............................................. ............................................................... .................................... ..................................... .......................... ....... ◅ Rcpnse ................................................. ................................................................... .................................... .................................... ..................................... .......................... .......

:3 :8 3< 3; 39 31 92 99 91 8> 8; 83 88 80 0> 0: 08 01

◅

◅

◅

IÏ[AKN .......................... ........................................................ ............................................................ ............................................................ ................................. ... 1> ◅ Cgcrhïn ................................................ .................................................................. .................................... .................................... ..................................... .......................... ....... 1; ◅ Cgcrhïn sednr .. .................... ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... .......................... ....... 19 ◅ Nrtcinktes ûptakes scgkaddes s cgkaddes ................. ................................... .................................... .................................... ..................................... ....................... .... 10 ◅ Ieronk Ieronkaûg aûg jc aoîhcgcs cg cspcmes pdnges................ .................................. .................................... ................................... .................> ◅ Dcgtcs ................ .................................. ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ....................... .... >>2 Rcpnse ..................

^SÏOAKN .......................... ........................................................ ............................................................ .......................................................... ............................>>>3 >3 [ïobedes quïoakes .................. ..................................... ..................................... .................................... .................................... ................................... .................>>8 ◅ Znbdn pcraûjakn= àsteran .................. .................................... .................................... .................................... .................................... .......................... ........ >>1 ◅ Znbdn pcraûjakn nktund ................ ................................... ..................................... .................................... .................................... ................................ .............. >22 ◅ Kdnsa﬎knkaûg jc des cdcocgtes (octndcs - ge octndcs) octndcs).................. .................................... ................................ .............. >2: ◅ Iugkaûg ûxaje bîsakes.................... ...................................... .................................... .................................... .................................... ............................. ...........>29 ◅ Iugkaûg ûxajes îkajes (ng`ïjrajes) .................................................. .................................................................... ............................. ........... >20 ◅ Iugkaûg àjrures .................. ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ..................... >;< ◅ Rcpnse .................. .................................... ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ..................... >;2 ◅

BAEDEHÏN ............................. ........................................................... ............................................................ ..................................................... .......................>;; Dn snduj ................ .................................. ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ..................... >;3 ◅ Knrnktcrïstakns jc des s scrcs crcs vaves ................... ..................................... .................................... .................................... ............................. ........... >:< ◅ Kdnsa﬎knkaûg jc des scrcs vaves.................. .................................... .................................... .................................... ................................... ................. >: >:99 ◅ Rcage \dngtnc .................. ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... .......................... ....... >32 ◅ ................................... ..................................... .................................... .................................... ............................. ........... >38 \dngtns gntavns jcd \crý ................ ◅ Rcage Ngaondan .................. ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ....................... .... >9; ◅ Zckgedehïn jc ngaondcs................................. ................................................... .................................... .................................... ................................ ..............>90 ◅ Rcpnse .................. .................................... ..................................... ..................................... .................................... .................................... ..................................... ..................... >8; ◅

Nrarato toát átak aknn N

>

Javasaûg jc gýocres jckaondcs `nstn dn kcgtásaon

>. Javasaûg jc ug gýocre gýocre jckaond cgtrc cgtrc ug gýocre gnturnd \raocre rcndaznrcoes dn javasaûg keoe sa cd javajcgje iucrn ug gýocre cgtcre, sag tcgcr cg kucgtn quc ndhugns kairns seg jckaondcs. Q Sgn vcz rcsucdtn dn javasaûg, kegtnrcoes dns kairns jckaondcs quc tacgc cd javajcgje y scrîg dns quc ddcvc cd kekacgtc. Q

Cd javajcgje tacgc 2 kairns jckaondcs. Cg pragkapae javajaoes sag tcgcr cg kucgtn cste (keoe sa cd javajcgje iucrn ug gýocre cgtcre).

Duche dns kairns jckaondcs quc tacgc cd javajcgje (2) scrîg dns kairns jckaondcs quc tcgjrî cd kekacgtc= : 9, 8 8 ; ‛; >3, 3 1 > 9 ‛> 9 > 8 ‛> 3 2 8 ‛2 8 <

> 0 8

Dc quatnoes des jckaondcs nd javaser= :, :,23 23  → :23

Q

Nd javajcgje dc nþnjaoes tngtes kcres keoe jckaondcs dc `nynoes quatnje nd javaser. >08 → >08 >08 9 ‛> 9 > 8 ‛> 3 2 8 ‛2 8 <

cgtrc gý2. Javasaûg jc ug gýocre gnturnd cgtrc ocre jckaond

Nèrn yn pejcoes javajar= > 0 8 ‛> 8 < > 8 ‛> 8

< < < < < < < <

: 2 3 : :

;. Javajar gýocre jckaond cgtrc etre gýocre ug jckaond

> 8 , 0 1 2

Zcgcoes quc `nkcr prcvanocgtc ugn trngsieronkaûg= Q

Q

: , 2 9

Dc quatnoes des jckaondcs nd javaser= :, :,29 29  → :29 Nd javajcgje dc jcspdnznoes dn keon tngtns pesakaegcs n dn jcrck`n keoe jckaondcs dc `nynoes quatnje nd javaser. 01,2 ,2 >8,012 → >8 >801

@coes jcspdnznje dn keon 2 pesakaegcs n dn jcrck`n.

8

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

>

JAYA[AÛG JC GÝOCRE[ JCKAONDC[ @N[ZN DN KCGZÁ[AON

3.E HRNJE

[upeghnoes quc cd javajcgje tacgc tng sede ug jckaond= >801,2. µûá `nkcoes5 Jcspdnznrïnoes dn keon ugn pesakaûg y keopdctnrïnoes nþnjacgje ug 8 0 ‛> 8 < - 0 0 -

→

>801,2

>8012< >8012<

1 : 3 3 -

,2

: 2 9 : ,2

2 2 -

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Rcsedukaûg=

ø

>. Rcsucdvc= 90,19 :

Jcsnpnrck Jcsnpnrckcoes oes= :8 dn keon jckaond nd javaser y tcgc>8 : < ,0 ; : 2: 9 0 9 0 ‛ ‛

Rcsedukaûg= \raocre rcndaznrcoes dn javasaûg keoe sa cd javajcgje iucrn ug gýocre cgtcre. 9 : 2 2

0 1 9 : > 8 2: 0 0 ‛ 1 0 > 9 > 9 <

Duche dns kairns jckaondcs quc tcghn cd javajcgje (2) scrîg dns kairns jckaondcs quc tcgjrî cd kekacgtc= 90,19 ø : ? >8,2: ∺ >8,2:

2. Rcsucdvc= 92,83 ø 3 ;. Javajc= >>89 ø >,2 :. Javajc= 82 ø >,39 ø ;,:

Gavcd nvngznje 0. [chýg cd hrî﬎ke, kndkudn cd îrcn= >,0 o >,2 o Rcsedukaûg= Îrcn ? (bnsc)(ndturn) 2

>

0

NRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

JAYA[AÛG JC GÝOCRE[ JCKAONDC[ @N[ZN DN KCGZÁ[AON

3.E HRNJE

>,2 Ø >,0 Îrcn ? 2 2,>9 ? >,,9 o

2,: o

1

3.¼ HRNJE

2

NRAZOÁZAKN

>

Epcrnkaegcs keobagnjns keg gýocres gnturndcs y jckaondcs

Kungje cgkegtrnoes cmcrkakaes jegjc npnrckcg ndhugns e tejns dns epcrnkaegcs yn cstujanjns, surhc dn sahuacgtc prchugtn= µ\er jegjc copcznoes n rcsedvcr5 \nrn rcsedvcr cstes tapes jc cmcrkakaes, sc jcbcg tcgcr cg kucgtn dns sahuacgtcs praerajnjcs=

\raocre Rcsedvcr cg cd sahuacgtc erjcg dns epcrnkaegcs quc sc cgkucgtrng cgtrc sahges jc kedckkaûg= ] \nrágtcsas ( ) ] Kerk`ctcs V _ ] Ddnvcs { }

Rckucrjn

Ge edvajcoes quc pnrn dns njakaegcs y

[chugje Rcsedvcr dns epcrnkaegcs jc javasaûg oudtapdaknkaûg jc azquacrjn n jcrck`ny (tacgcg cd oasoe gavcd).

sustrnkkaegcs tacgcg cstnr ndagcnjns cg ugn keduogn dns quc pnrtcs cgtcrns, cg etrn keduogn, dns keons y, y, per ýdtaoe, dns pnrtcs jckaondcs.

Zcrkcre Rcndaznr dns njakaegcs y sustrnkkaegcs jc azquacrjn n jcrck`n (tacgcg cd oasoe gavcd). Cmcopde= Kndkudn= V03,8 + (>,:: ø 2 ‛ ,3 Ø >,8 ø 2,33

B ? (3,28 + 2,;3) ‛ (>3 ‛ 8,0)

Rcsedukaûg= Q Rcndazn praocre dns epcrnkaegcs jc des pnrágtcsas. 3,28 + >3,< ‛ 2,;3 8,0 8,92 8,2 Q

Duche prekcjcoes n dn sustrnkkaûg= 8,92 ‛ 8,2< ø 3 ‛ 8,; + 23 ø 3 Gavcd agtcrocjae 3. Kndkudn= \ + ^. \ ? 2: + >3 ø ; y ^ ? >,3 Ø >,8 ø 2,33

ø

\? ? 21 2: + \

3

2,33

>

2,33

∺ \ + ^ ? 21 + > ? ;<

9. Kndkudn= I + H. I ? >0 ø 9 Ø ; + > y H ? (0,1> ‛ ;,2>) ø ; 8. [a N ? 0,8; + >28 y B ? (; Ø 3 + 2 Ø 8) + >, >;,0: pnrn scr cd kuîjrupdc jc 85 Rcsedukaûg= Kuîjrupdc jc 8= : Ø 8 ? 20 ⇒ \nrn snbcr kuîgte dc indtn, jcbcoes rcstnr= 20 ‛ >;,0: 20,;,0: >:,>9 ∺ >:,>9 1. µKuîgte dc indtn n >1,;8 pnrn scr ahund nd trapdc jc >>,;5 >,19 ø >,: ‛ >

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

2

; Irnkkaegcs= kdnsaiaknkaûg Irnkkaûg Cs ugn «pnrtc¶ jc ug «teje¶= Dn irnkkaûg sc utadazn pnrn rcprcscgtnr dns pnrtcs quc sc teong jc ug ebmcte quc sc `n javajaje cg pnrtcs ahundcs. \er cmcopde= Javajaoes ugn pazzn cg 0 pnrtcs ahundcs y teonoes trcs. Cste sc rcprcscgtn per dn sahuacgtc irnkkaûg= ; 0

Gýocre jc pnrtcs quc sc teong Zetnd jc pnrtcs cg dn quc sc `n javajaje cd ebmcte

Des tároages jc dn irnkkaûg sc jcgeoagng= guocrnjer y jcgeoagnjer. ; guocrnjer 0 jcgeoagnjer

Dckturn jc ugn irnkkaûg Ynder jcd jcgeoagnjer

[c dcc

Jcgeoagnjer= 2

ocjaes

Jcgeoagnjer= ;

tcrkaes

Jcgeoagnjer= :

kunrtes

Jcgeoagnjer= 3

quagtes

Jcgeoagnjer= 9

scxtes

Jcgeoagnjer= 8

sáptaoes

Jcgeoagnjer= 0

ektnves

Jcgeoagnjer= 1

gevcges

Jcgeoagnjer= ><

jákaoes

Cmcopde 3 = kagke ocjaes 2 0 = ekè tcrkaes ; > = ug kunrte : 2 = jes quagtes 3 : = kuntre scxtes 9 >2 = jekc sáptaoes 8 >3 = quagkc ektnves 0 > = ug gevcge 1 >> = egkc jákaoes ><

Kungje cd jcgeoagnjer cs onyer quc >> egkcnves >>

;

>2

NRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

3.E HRNJE

IRNKKAEGC[= KDN[AIAKNKAÛG

Kdnsa﬎knkaûg jc irnkkaegcs Irnkkaûg prepan Irnkkaûg aoprepan Cs nqucddn irnkkaûg cg quc cd guocrnjer Cs nqucddn irnkkaûg cg quc cd guocrnjer cs onyer quc cd jcgeoagnjer. cs ocger quc cd jcgeoagnjer. Cmcopdes= Cmcopdes= >; 6 ;8 6 20 6 ... 3 6 0 6 >2 6 ... 0 3 >1 >2 2> ;3 Irnkkaegcs èoehágcns Irnkkaegcs `ctcrehágcns [eg nqucddns irnkkaegcs quc tacgcg ahund [eg nqucddns irnkkaegcs quc tacgcg jaicrcgtc jcgeoagnjer. jcgeoagnjer. Cmcopdes= Cmcopdes= 8 6 1 6 0 6 ... ; 6 >3 6 28 6 ... >0 >3 ; 0 0 0 Irnkkaegcs rcjuktabdcs [eg nqucddns quc sc pucjcg saopda﬎knr. Cmcopdes= 1 >2 >0 >3 6 >3 6 2 >0 >3 >3 6 6 2< 28 >8 6 6 ...

Irnkkaegcs cquavndcgtcs [eg nqucddns quc tacgcg cd oasoe vnder pcre cskrate keg jaicrcgtcs tároages. Cmcopde= Ø; Ø3 Ø2 ø2 ø: ø2 \er saopda﬎knka saopda﬎knkaûg= ûg= \er nopdankaûg= ; 1 :3 1< >9 0 2 > : ? >2 ? 9< ? >2< 2: ? ;2 ? 0 ? : Ø; ⇒

Ø3

Ø2

; 1 :3 1< : ? >2 ? 9< ? >2<

ø2 ⇒

ø:

ø2

>9 0 2 > 2: ? ;2 ? 0 ? :

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Keopdctn cd sahuacgtc kunjre= Irnkkaûg

Dckturn

;/3 Jes sáptaoes

2. Keopdctn cd sahuacgtc kunjre= Irnkkaûg Dckturn 0/28 Zrckc vcagtakagkenves >1/;> Egkc knterkcnves

>2/>8

;. Kndkudn dn suon jcd jebdc jcd guocrnjer keg cd trapdc jcd jcgeoagnjer jc dn sahuacgtc irnkkaûg=

Rcsedukaûg= ;/3 2/8

Irnkkaûg

Dckturn Zrcs quagtes Jes sáptaoes

>0 23

>2/>8

Jekc jackasactcnves

>;

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

;

3.E HRNJE

IRNKKAEGC[= KDN[AIAKNKAÛG

:. Jnjns dns sahuacgtcs irnkkaegcs= 1 6 >3 6 22 6 >8 6 >: 6 ;> 6 >1 6 > >; >0 ; 2> 3 ;2 2 1 kndkudn dn jaicrcgkan jc dn kngtajnj jc irnkkaegcs prepans keg dn kngtajnj jc irnkkaegcs aoprepans.

Gavcd agtcrocjae 3. [a 0 6 8 6 1 6 2 seg irnkkaegcs èoe3 N+2 B‛; K‛> hágcns, kndkudn= N + B + K.

Rcsedukaûg= Keoe ges jakcg quc seg irnkkaegcs èoehágcns, cgtegkcs sus jcgeoagnjercs seg ahundcs. 0 6 8 6 1 6 2 3 N+2 B‛; K‛> ⇒ 3 ? N + 2 ? B ‛ ; ? K ‛ > N?;6B?06K?9

∺N + B + K ? ; + 0 + 9 ? >8

9. [a= 1 6 3 6 >3 6 >0 , seg irnkkaegcs è>> O + ; G ‛ 8 \ ‛ > oehágcns. Kndkudn= «O + G + \¶. 8. µûá irnkkaegcs rcprcscgtn dn pnrtc seobr seobrcnjn cnjn jc knjn ﬎hurn5

Gavcd nvngznje 0. µKuîgtns irnkkaegcs prepans keg jcgeoagnjer 9 cxastcg5 Rcsedukaûg= Irnkkaegcs prepans= guocrnjer ocger quc cd jcgeoagnjer. x ⇒ x 4 9 x ? >6 26 ;6 :6 3 9 >6 26 ;6 :6 3 ∺

3 1. µKuîgtns irnkkaegcs prepans keg jcgeoagnjer 0 cxastcg5

>. Jn keoe rcspucstn dn jaicrcgkan jc sus tároages.

;

>:

NRAZOÁZAKN

:

3.¼ HRNJE

Gýocre oaxte y saopdaiaknkaûg jc irnkkaegcs

N. Gýocre oaxte

B. [aopda﬎knkaûg jc irnkkaegcs

Cs nqucd quc cstî ieronje per ugn pnrtc cgtcrn y etrn irnkkaegnran. Cmcopde=

[a sc javajc cd guocrnjer y jcgeoagnjer jc ugn irnkkaûg per ug oasoe gýocre, sc ebtacgc ugn irnkkaûg cquavndcgtc n cddn. ø:

pnrtc cgtcrn

1 23

:? > 0 2

pnrtc irnkkaegnran

ø:

>. Kegvcrsaûg jc ugn irnkkaûg aoprepan cg ug gýocre oaxte Cmcopde= Cxprcsn >; keoe gýocre oaxte. : >; : >2 ; >

> cs ugn irnkkaûg quc rcsudtn jc saopda﬎knr dn 2 irnkkaûg : . 0 Keopnrnkaûg Keopnrnkaûg jc irnkkaegcs Q

; >:

Oudtapdaknoes cg nspn= 3 4 >0 > ; 9 3 Cgtegkcs= > 4 ; 9 3

2. Kegvcrsaûg jc ug gýocre oaxte cg ugn irnkkaûg aoprepan Cmcopde= Cxprcsn ; > keoe irnkkaûg aoprepan. :

; Ø

Q

+ > ? : Ø ; + > ? >; : : :

Oáteje jcd nspn Cs rckeocgjnbdc pnrn keopnrnr jes irnkkaegcs. Cmcopde= Keopnrn= > 6 ; 9 3

Oáteje jcd oïgaoe keoýg oýdtapde (OKO) Cs rckeocgjnbdc kungje sc keopnrng oîs jc 2 irnkkaegcs, jnje quc, nd tcgcr tejns dns irnkkaegcs èoehágcns, sûde keopnrnrïnoes des guocrnjercs. Cmcopde=

Keopnrnr= 2 6 2 6 3 >3 ; 9

>3

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

:

GÝOCRE OAPZE Q [AO\DAIKNKAÛG JC IRNKKAEGC[

3.E HRNJE

\nse >= @eoehcgcaznoes dns irnkkaegcs utadazngje cd @eoehcgcaznoes dns oáteje jcd OKO. 2 6 2 6 3 ⇒ OKO (>36 ;6 9) ? ;< >3 ; 9

2 Ø2 6 2 Ø>< 6 3 Ø3 >3 Ø2 ; Ø>< 9 Ø3

⇒

: 6 2< 6 23 ;< ;< ;<

>3 >3 ‛‛ ;; ‛‛ 9; 2; ;< 3‛>‛> 3 > ‛> ‛>

\nse 2= Keopnrnoes dns irnkkaegcs, tcgacgje cg kucgtn quc dn onyer irnkkaûg cs dn quc prcscgtn cd onyer guocrnjer= guocrnjer= : 4 2< 4 23 ∺

2 4 2 4 3 >3 ; 9

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Duche jc kegvcrtar ; 3 n irnkkaûg aoprepan, knd8 kudn cd prejukte jc sus tároages. Rcsedukaûg= Cxprcsnoes n irnkkaûg aoprepan= +

;

3 ? 8 Ø ; + 3 ? 29 8 8 8

2 ? N B ⇒ N ? 1 K 8 B ?2 K ?8 ∺ N + B + K ? 1 + 2 + 8 ? >0

⇒ 1

9. Kndkudn (N + B) Ø K, sa :1 ? N B K 2 8. [a 0 2 ? o , kndkudn «o ‛ g¶ 3 g

Ø

∺ 29 Ø 8 ? >02

2. Duche jc kegvcrtar >0 3 n irnkkaûg aoprepan, knd0 kudn cd prejukte jc sus tároages. ;. Duche jc saopda﬎knr 233 4 39

3 4 8 0 ; 3 ∺ ocger irnkkaûg ? ⇒ 3 + 0 ? >; 0 ⇒

1. Jnjns dns irnkkaegcs 8 y 1 , kndkudn dn suon jc 3 2 des tároages jc dn onyer irnkkaûg.

> 6 3 6 9 , kndku>3 9 3

1

1 28

2

:

dn cd prejukte jc des tároages jc dn ocger irnkkaûg.

>9

NRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

3 Njakaûg y sustrnkkaûg jc irnkkaegcs N. Njakaûg >. Njakaûg jc irnkkaegcs èoehágcns Ycnoes= >/8

◅

◅

>/8

>/8 >/8

>/8 >/8 >/8 ⇒ > + > + > + > ? > + > + > + > ? : 8 8 8 8 8 8

:/8 ; 3 2 ; + 3 + 2 >< : ? : : + : + : ?

2. Njakaûg jc irnkkaegcs `ctcrehágcns

> + > 9 :

Oáteje AA (oáteje jcd OKO)

Oáteje A (oáteje jcd nspn) > + > ? >(:) + >(9) ? : + 9 ? >< ? 3 9 : 9Ø: 2: 2: >2

\nse >= OKO jc des jcgeoagnjercs

9‛: ;‛2 ;‛>

2 2 >2 ⇒ OKO(96 :) ? >2 ;

>‛> \nse 2= Ø > + Ø > ? 2(>) + ;(>) ? 2 + ; ? 3 9 : >2 >2 >2 ø ø

B. [ustrnkkaûg >. [ustrnkkaûg [ustrnkkaûg jc irnkkaegcs èoehágcns Ycnoes= 0 ‛ > ‛ ; ? 0 ‛ > ‛ ; ? : 3 3 3 3 3 20 >3 >; ◅

◅

1

‛

1

?

1

>8

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

3

NJAKAÛG Q [S[ZRNKKAÛG JC IRNKKAEGC[

3.E HRNJE

2. [ustrnkkaûg jc irnkkaegcs `ctcrehágcns

; ‛ 3 : 8

Oáteje A (oáteje jcd nspn) ; ‛ 3 ? 8(;) ‛ 3(:) ? 2> ‛ 2< ? > : 8 :Ø8 20 20

Oáteje AA (oáteje jcd OKO) \nse >= OKO jc des jcgeoagnjercs :‛8 2‛8 >‛8 >‛>

Knse cspckand ‛ ]

3j ‛ 2 ? ;(3) ‛ 2 ? >3 ‛ 2 ? >; ; ; ; ;

\nse 2=

Ø + ]

2 2 20 ⇒ OKO(:6 8) ? 20 8

Ø

2j + > ? : Ø 2 + > ? 0 + > ? 1 : : : : Ø

; ‛ Ø 3 ? 8(;) ‛ :(3) ? 2> ‛ 2< ? > : 8 20 20 20 ø ø

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

:. Kndkudn= O ? ; + 0 + 3 + 9 0 8 0 8

>. Rcsucdvc= ; + 3 ‛ 8 + 1 : : : :

Gavcd agtcrocjae

Rcsedukaûg=

Cg irnkkaegcs èoehágcns, sede suonoes e rcstnoes des guocrnjercs, kedekngje cd oasoe jcgeoagnjer. Ycnoes= ; + 3 ‛ 8 + 1 ? ; + 3 ‛ > + 1 ? >< : : : : : : >< 3 ∺ ? : 2

2. Rcsucdvc= ;. Rcsucdvc= 3 Q 2 + 2 ?

1 + : ‛ 2 + 0 3 3 3 3

3. Kndkudn=

O ? ; + 0 8 1

Rcsedukaûg=

; + 0 ? 1Ø;+0Ø8 8Ø1 8 1 ? 28 + 39 ? 0; 9; 9; ∺ 0;/9;

9. Rcsucdvc=

[ ? 3 ‛ > 1 2

8. µKuîd cs cd rcsudtnje jc ; + 8 ‛ > 5 : 2 0

8 ? Q ; ‛ :

3

>0

NRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

NJAKAÛG Q [S[ZRNKKAÛG JC IRNKKAEGC[

3.E HRNJE

Gavcd nvngznje

‛ Q

0. [a O ? : ‛ 2 y B ? ; ‛ > 2 3

>0 3 ;9 ‛ 23 >> O ‛ B ? 3 ‛ 2 ? >< ? ><

1. [a H ? 3 ‛ > y I ? ; ‛ ; 3 : kndkudn cd vnder jc H ‛ I.

Rcsedukaûg= Epcrnoes per scpnrnje O y B. ‛ : ‛ 2 ? 3(:) ‛ 2 ? >0 3 3 3 Ø

B? 3 2

Ø

kndkudn cd vnder jc O ‛ B.

Q

; + > ? 2(;) ‛ > ? 3 2 2 2

O ? >0 3

> µkuîd cs dn irnkkaûg jc jagcre keg dn quc sc qucjû5

>1

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

3

9 Oudtapdaknkaûg jc irnkkaegcs

Ebscrvn quá sukcjc kungje oudtapdaknoes ugn irnkkaûg per etrn= ] Iïmntc

]

cg dns ﬎hurns y keoprucbn de sahuacgtc= ; jc > ? ; ⇒ ; Ø > ? ; Ø > ? ; 0 :Ø2 : 2 2 0 :

\nrn kndkudnr ugn irnkkaûg jc etrn, sc oudtapdakng nobns irnkkaegcs.

> 2

; jc > ? ; 0 : 2 Duche tcgcoes= ; Ø > ? ; 0 : 2

Irnkkaûg jc ug gýocre \nrn kndkudnr dn irnkkaûg jc ug gýocre, jcbcoes jc tcgcr cg kucgtn quc dns pndnbrns «jc¶, «jcd¶ y «jc des¶ sahga﬎kng dn epcrnkaûg jc oudtapdaknkaûg. Njcoîs, sc javajc cd gýocre per cd jcgeoagnjer y cd rcsudtnje sc oudtapdakn per cd guocrnjer. Cmcopdes= ; ⇒ ø ]

; 0

]

> ; ; Ø >2 ? ; Ø >2 ? > Ø ; ? > 0 1 0Ø1 2Ø; 2 2 ;

]

9 2 Ø ;< ? 2 Ø ;< ? 2 Ø 9 ? >2 3 3 >

9

3 jc 0< 0< 3 ? >9 Duche= >9 Ø ; ? :0 ∺ ; jc 0< ? :0 3

2 ; Ø >0 Ø 3 ? ; Ø >0 Ø 3 ? ;< 8 8 1 ;Ø8 >

]

2<

NRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

3.E HRNJE

OSDZA\DAKNKAÛG JC IRNKKAEGC[

¡Nèrn tc tekn n ta! ]

8 Ø :3 ? 3

]

0 Ø >3 ? 3 >9

]

8 Ø 2< Ø ; ? 8 2

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Rcsucdvc= ; Ø >3 3 >2

Rcsedukaûg= Dn oudtapdaknkaûg jc irnkkaegcs cs ouy scgkaddn= sc rcndazn jc ongcrn èzaregtnd, pcre ngtcs trntn jc saopdaiaknr sa sc pucjc. Ycnoes= > ; ; Ø >3 ? > Ø ; ? ; 3 >2 > Ø : : > :

2. Kndkudn= G ? :2 Ø >3 2 ;3

Ycnoes=

9. Rcsucdvc= 8 jc 2:. 0 8. µKuîgte cs 8 jc >3 jc >25 >: 0 Gavcd nvngznje 0. Cg ug nudn `ny 3< nduoges. [a des ; seg vnre3 gcs, µkuîgtes vnregcs `ny cg cd nudn5

;. Rcsucdvc= \ ? 2 Ø 1 Ø >2 ; 0 >3

:. Kndkudn= ^ ? 2> Ø 23 Ø 1 >3 >:

Gavcd agtcrocjae 3

3 3 3 Ø 3 ? 23 Ø :< ? 0 > >

Rcsedukaûg= Zetnd jc pcrsegns= 3< >< Ynregcs= ; jc 3< ? ; Ø 3< ? ;< 3 3 > ∺ @ny ;< vnregcs

1. Cg ug kerrnd `ny :0 ngaondcs, jc des kundcs 3 seg 0 vnkns. µKuîgtns µKuîgtns vnkns ``ny ny cg jakè jakè kerrnd5

3. Epcrn= 0 jc :3 + 2 > jc > : >> 3 2> 3 0

2>

3.¼ HRNJE

> jcd rcktîghude NBKJ, 2 y keoe sc `n javajaje cg trcs pnrtcs ahundcs knjn > 2 > > rcktîghude,, knjn ugn jc csns ppnrtcs rcktîghude nrtcs vacgc n scr ø ; 2 2 N e > jcd rcktîghude NBKJ. Ebscrvn kûoe sc kndkudn= 9 > > > > 2 ø ; ‛ 2 Ø ; ? 9

sc agvacrtc

Oáteje jc agvcrse oudtapdakntave jcd javaser \nrn javajar ugn irnkkaûg keg etrn, sc oudtapdak oudtapdaknn dn praocrn irnkkaûg keg cd agvcrse oudtapdakntave jc dn schugjn irnkkaûg. 3 ø >< 0 : > > 3 : 0 Ø >< 2 2

[u agvcrse oudtapdakntave cs=

? > :

B. Irnkkaûg jc irnkkaûg

Ycnoes cd csqucon=    s    e    s    e    o     a    c      j    r     t    c    x    o    c

n b nØj k ? bØk j

Jegjc= n y j= tároages cxtrcoes b y k= tároages ocjaes Cmcopde= Javajc=

[edukaûg=

K B

J N

K

J > > ø ; ? 2 9

;3 8 :

8

;3 >2 ? ; Ø : ? ;3 8 3Ø8 :

22

NRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

JAYA[AÛG JC IRNKKAEGC[ Q IRNKKAÛG JC IRNKKAÛG

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

9. Kndkudn= Y ? >0 ø > > 3 3

>3 >3  ø 93 >. Rcsucdvc= :0 Rcsedukaûg= Dn epcrnkaûg jc javasaûg sc kegvacrtc cg oudtapdaknkaûg kungje agvcrtaoes dn schugjn irnkkaûg. Ycnoes= sc agvacrtc

8. Rcsucdvc=

0 :0 9 :0 >3 ø 3 ? >3 Ø ; :0 9 0 ∺ ø ? >3 3 ;

0. µKuîgtns vnraddns jc ; o jc deghatuj sc pucjcg 2 ebtcgcr jc ugn vnraddn jc : > jc dnrhe5 2

> 3 9 >

> + 3 ø > + 9 2 1 ; 9

Gavcd nvngznje

Rcsedukaûg=

8 ø 2> 2. Rcsucdvc= >3 23

;. Epcrn= >0 ø > ;

Keoe sc jcscn ebtcgcr vnraddns jc ocger tnonþe, cgtegkcs dn vnraddn oîs dnrhn sc kertn cg pcjnzes jc ; o. 2

:. Javajc= ; ø : 8 3

\er de tngte, sc javajc= : > ø ; 2 2

Gavcd agtcrocjae 3. Rcsucdvc= 0 ; ø 8 : >9 Rcsedukaûg= Cd gýocre oaxte sc kegvacrtc n irnkkaûg i rnkkaûg aoprepan= + 0 ;: ? : Ø :0 +; ? ;3:

Ø Duche sc prekcjc n epcrnr schýg cd oáteje cgscþnje cg kdnsc, vcnoes= 3 : ;3 ø 8 ;3 >9 : >9 ? : Ø 8 ? 2< > >

; : >2 ø ;2 ? 12 Ø 2; ? ; > ; ∺ [c ebtcgjrîg ; vnraddns jc o. 2

1. µKuîgtns vnraddns jc 3; o jc deghatuj sc pucjcg ebtcgcr jc ugn vnraddn jc 9 2 o jc dnrhe5 ;

>3 >8 B ;:

kndkudn= N Ø B.

2;

3.¼ HRNJE

NRAZOÁZAKN

8

0 Rcpnse >. Javajc= >2,00 ø 2,; n) 8,0 k) ;,9 b) :,1 j) 3,:

n) ; 2 >3 b) 0 8 >3

c) 3,9

2. Kndkudn cd îrcn jcd sahuacgtc hrî﬎ke= 2,> ko

n) ;,,20 j) 21,;>

k)

9 >3

c)

1 >32

j) 1 1 >3

0. Rcsucdvc dns sahuacgtcs epcrnkaegcs= • : + > ? • ; ‛ > ? • 2 + > ? 8 2 3 1. [aopda﬎kn=

c) :,0 ko2

C ? >3 8 Ø >: 3 Ø 10 Ø >9 k) >> : : n) > k) >/; b) 2 j) >/2

c) ;

>>. Rcsucdvc= \ ? 2 jc >0 + 3 jc 3: 1 ; k) :2 c) :< j) ;1

n) :> b) ;0

>2. [a Jnvaj tacgc [/. 0< y hnstn dn kunrtn pnrtc, µkuîg8 te `n hnstnje5

3. [a o cs ugn irnkkaûg prepan y g cs ugn irnkkaûg 1 8 aoprepan, kndkudn «ooîx + goïg¶. n) >2 b) 2<

k) >; j) >9

c) >3

n) [/. >3/8 b) [/. ;

k) [/. 8/2< j) [/. 8/>3

c) [/. 2.

c

8.

j

9. Kegvacrtc n gýocre oaxte dns sahuacgtcs irnkkaegcs= • 82 ? • 2> ? • >0 ? >; : 3 8. Kndkudn= G ? 2 > + ; > + : > >3 3 ;

0

NRAZOÁZAKN

2:

2.

b

0.

;. :. 3. 9.

k j -

1. >>. >2.

n b k c

3.¼ HRNJE

RC\N[E

3.E HRNJE

Babdaehrniïn Ontcoîtakn takn 3.¼ hr hrnje nje jc cjuknkaûg praonran. Daon= Kevcþns, 22. >. KEYCÞN[ GN^SAK@C, Ongucd. Ontcoî 2. [NGZADDNGN. Ontco Ontcoîtakn îtakn 3.¼ hrnj hrnjee jc cjukn cjuknkaûg kaûg praon praonran. ran. Daon= [ngtaddngn, 2>.

3.¼ HRNJE

23

NRAZOÁZAKN

0

Îdh dhcb cbrn rn Î

> Rnjaknkaûg cg ] - praocrn pnrtc

Cstn scongn cstujanrcoes cg cd rnjakngje kngtajnjcs cgtcrns (pesatavns y gchntavns).

Knse A= Rnjakngje pesatave

Ïgjakc= \nr/aopnr → rnïz pesatavn pnr/aopnr

+ ? +

Cmcopdes= >< ] ; ] 0 ? 2 : ] 0> ? ;

Knse AA= Rnjakngje gchntave

Ïgjakc= Aopnr → rnïz gchntavn aopnr

‛ ? ‛

Cmcopdes= ; ‛28 ? ‛; ] ] ]

Ïgjakc= pnr → dn rnïz ge pcrtcgckc n  pnr

‛ ? ∀ 

>; 3

‛> ? ‛> ‛;2 ? ‛2

Cmcopdes= ‛1 ? ∀  ]

Ge cxastc ug gýocre cgtcre quc cdcvnje nd kunjrnje já keoe rcsudtnje ‛1.

21

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

>

3.E HRNJE

RNJAKNKAÛG CG ] - \RAOCRN \NRZC

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Rcsucdvc= ; n) ‛0 ? UUUUUUU b)

8

‛> ? UUUUUUU

3

k)

9. Cicktýn= ;2 ? UUUUUUU ‛>9 ? UUUUUU

j)

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B?‛

3

k)

b) 8 ‛> ? ‛2 ‛ ‛

j)

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n) ‛9: ? UUUUUUU >3

‛> ? UUUUUUU

j)

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O ? 23 + 2 ‛

>3

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‛: ? UUUUUUU

O?

23 + 2 ‛ >; ‛> ‛ (‛2); ‛ ; 28 ‛ (‛>) ‛ (‛0)

>23 ? UUUUUU

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0 ‛ : ‛;2 + 2

Rcsedukaûg= 3

; R ? 3 0 ‛ : ‛;2 + 2 R ? 3(2) ‛ :(‛2) + 2(0)

R ? ><

+0

+ >9

9:

9:

G?

3

;> + > ‛

>8

‛> ‛ (‛;)2

>3

;

Gavcd agtcrocjae

aopnr ‛ ? ‛

>2

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‛>

‛> ‛ (‛2);

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:. Cicktýn= Z?

>;

‛

‛0 +

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aopnr

O? O?

1 ‛ 2 ‛;2 + ;

Rcsedukaûg=

;. Kndkudn=

3

;

‛>9 ? ∀ 

k)

23

0. Cicktýn=

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2. Rcsucdvc=

b)

;2 ? 2 + +

Gavcd nvngznje

aopnr

‛0 ? ‛2 ‛ ‛ aopnr

>9 ‛ ; ; ‛28 + 3

8. Kndkudn=

Rcsedukaûg= aopnr

:

N?2

[?2

‛0 ‛

‛>9 + >3 + >

;<

ÎDHCBRN

3.¼ HRNJE

2 Rnjaknkaûg cg ] - schugjn pnrtc Cstn scongn trnbnmnrcoes dns epcrnkaegcs keobagnjns.

Rcsedvcoes dns epcrnkaegcs jcd rnjakngje.

N? N? N? N? N?

>0 + 8 ‛ 23

‛

3 3

3

Rckucrjn

0 Ø : + >; ‛> 3

;2 + (‛>)

‛2 ‛

Rckucrjn cd erjcg=

‛>

>¼ → Rnjaknkaûg y petcgkan 2¼ → Oudtapd Oudtapdaknkaûg aknkaûg y javasaûg ;¼ → [uon y rcstn

; 2

B ? B? B? B? B?

K?

23 + 22 ‛

3

‛;> ‛ > + (‛2);

;2 + 32 + 2> + ;

1 + 23 + 2 + ; (9)

;9 + >;< + >

;9

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+ >

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23

K? K? K? K? K?

3

3+: ‛ 1 ‛

‛;2

+ (‛0)

(‛2)

;

‛0

+2

‛0

3

‛0 ‛;

;>

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

2

3.E HRNJE

RNJAKNKAÛG CG ] - [CHSGJN \NRZC

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Rcsedukaûg= [? [? [? [? [?

Rcsucdvc (cmcrkakaes > n >. N ?

3

‛;2 + ;9 +

>9 Ø 2 +

>8

‛>

Rcsedukaûg=

N?

3

‛;2 + ;9 +

>9 Ø 2 +

>8

:

32 ‛ 1 +

2; + :2 + >1 ‛ ;>

:

23 ‛ 1 +

0 + >9 + > ‛ ;

‛>

9. Z ? N?

:

3

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;

2

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2

‛;

2

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+

;2 ‛ > +

;2 + 8 ‛ ;

8. O ? N?

23

:

+ (‛>)

>9 +

2; + 32 + ;> ‛ :>

;3 + > + 2;

‛>

Gavcd nvngznje

N?

:

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N?

0. [ ? ;

;

1 + 23 ‛

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‛>0 + 28 +

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1 Ø ; +

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‛9 ‛ 2 + >3

28 Ø ; +

;

‛2: ‛ ; + >0<

<

Gavcd agtcrocjae 3. [ ?

:

32 ‛ 1 +

‛2: ‛ ; + (‛;)2

;

‛2: ‛ ; + (‛;)2

Rcsedukaûg= [ ?;

2. O ?

;

2; + :2 + >1 ‛ ;>

1 + 23 ‛ ;

[?

;

[? [?

;+3 0

‛

2

‛28 + (+1)

(‛;) +;

[?

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>: >9 + 23 ‛

1. Z ? >: ‛

>1

;

‛9 ‛ 2 + (‛2);

‛> + >0 + :1

2

;2

ÎDHCBRN

3.¼ HRNJE

;

Zcerïn jc cxpegcgtcs pnrn dn rnjaknkaûg (cxpegcgtc irnkkaegnrae)

g

?n

n

o

o g

[c javajc cd cxpegcgtc jc dn kngtajnj subrnjaknd cgtrc cd ïgjakc. ø

Cmcopdes= 1

x

]

]

o g

n ?

g

0 2

ø

? x ? x:

0

]

ø 3

2 28 ? 2 1 ? 2; ? 0

]

tîkatnocgtc cs 2 ø

3x

;

]

]

x ? > 3

o ?

9

3

o ? >

3

o

? ; ? ;: ? 0>

Cd guocrnjer jcd cxpegcgtc irnkkaegnrae cs cd cxpegcgtc jc dn kngtajnj subrnjaknd, y cd jcgeoagnjerr cs cd ïgjakc jc dn rnïz. jcgeoagnje

]

x

2 :

>9 ?

2

;9> ?

;9 ? 9

:

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:

>9 ? 2

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

;<

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9

x ;< •

ø ;

3

Z ? x3 • x9 • x> • x1 Z ? x3+9+>+1 Z ? x2>

Kndkudn (Cmcrkakaes jcd > nd 3>. Z ? x • x>0 • x3 • x; Rcsedukaûg=

>0

Z ? x 9 • x ; • x 3 • x1 oudtapdaknkaûg jc bnscs ahundcs

ø 2

3

x >0 •

2. O ?

x 3 • x; «; nd kunjrnje¶

8

x8 •

>0

0

x;9 •

;

x:< • x2

;;

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

;

ZCERÏN JC CP\EGCGZC[ \NRN DN RNJAKNKAÛG (CP\EGCGZC IRNKKAEGNRAE)

3.E HRNJE

;. \ ?

n0 •

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b •

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Gavcd nvngznje

2

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n •

b • :

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G? G? G?

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228 ‛ >;2

3>

> :

+ >9

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1> +

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>9> + 8

0 ‛

1 +

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>9 + 8

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2

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[? [?

2 + 2 + 8 ‛ ;

[?

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0> ‛

[?

;

2

‛

>>

+

2

+8

‛;

[?

22

9. R ?

> ;

[? 0

:2< ‛ >>3

Rcsedukaûg=

:1

Rcsedukaûg=

Gavcd agtcrocjae 3. G ?

>

>

> >2

;9

0 > 2

> ;

> :

1. H ? 28 ‛ ;9 + 0> + > :

> 2

3 ‛ :1 ‛ >0

>3

2<

3

x>3 •

3

>3

2<

y 2< ? x 3 • x 3 ? x; y :

[a des ïgjakcs seg ahundcs, sc pucjcg mugtnr cg ugn sedn rnïz ongtcgacgje cd oasoe ïgjakc. g

n •

g

b ?

g

n•b

prejukte Cmcopdes= ;

]

]

;

x • : y ? : x • y : 0 • 2 ? 0 • 2 ? >9 ? 2

: 8

]

;

x •

8

x>; ? 8 x • x>; ?

8

x>+>; ?

8

x>: ? x2

;3

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

:

ZCERÏN JC CP\EGCGZC[ \NRN DN RNJAKNKAÛG (RNÏ] JC SG \REJSKZE \REJSKZE))

3. HRNJE E

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

;

Rcsucdvc (cmcrkakaes > n >. O ?

3

9: • 0 ‛

Rcsedukaûg=

;

9: • 0 ‛

O?

;

9: • :

O?

2><

0 2

‛

[?

3

2< •

9. G ?

2><

> 2

: ‛ :1

><

;

0 ‛ 2 3

•

2 ‛ 22

0

‛ :

;

8. R ?

2 •

;

2 •

O?

: :

2. J ? >9 • 0> ‛ 1 • >9 +

><

: • :1

Gavcd agtcrocjae ;

: •

;

> 2

2 ‛ ;9

Rcsedukaûg= > ; ; [ ? : • 2 ‛ ;9 2 [?

;

:•2

‛

2

>3

0

;9>

+

2 •

0

ø

3>0 ‛ 8> I?

;

2 + >9 +

Rcsedukaûg=

;2<

:

:. G ? 28 • >23 +

> :

2 •

I ? 2>2 • ;0 1

;

Gavcd nvngznje :

3. [ ?

;9 9

‛:

0. I ? 2>2 • ;0 +

;. O ?

‛

ø

O?

O?

[? [?

:

2>2 • >2 :

:

0 :

I ? 2 • ; +

2•0

; 0 + >9

I ? 2; • ;2 + : I?0•1+: I ? 82 + : I? 89 8

>2 •

1. H ? ;>: • 22> + >9 •

; 3

2 ‛

2<

2:<

3;<

:

ÎDHCBRN

;9

3.¼ HRNJE

3 Cxprcsaegcs ndhcbrnakns

Cxprcsaûg ndhcbrnakn (C.N.) Cs cd kegmugte ﬎gate jc kegstngtcs (gýocres) y vnranbdcs (dctrns) ugajes per dns epcrnkaegcs jc njakaûg, sustrnkkaûg, oudtapdaknkaûg, javasaûg y petcgkankaûg. Des cxpegcgtcs jc sus vnranbdcs jcbcg scr gýocres rnkaegndcs (^). Cmcopde= ;n3b8k ‛ 2n:b; + 8

Zároage ndhcbrnake (Z.N.) Cs dn ugajnj oïgaon jc ugn cxprcsaûg ndhcbrnakn. Cmcopde= ‛>8o2g + 0o8g + ;xy ‛ 3x:

Cstn C.N. tacgc : tároages ndhcbrnakes y seg= ] ‛>8o2g Des : tároages cstîg 8 ] 0o g scpnrnjes per des sah] ;xy ges + y ‛ . ] ‛3x:

Zároages scocmngtcs (Z.[.) Cdcocgtes jcd tároage ndhcbrnake Cxprcsaûg ndhcbrnakn (C.N.) Cmcopde= Cs cd kegmugte IAGAZE jc kegstngtcs 2 ‛3n;b(dctrns), (gýocres) y vnranbdcs ugajes per dns epcrnkaegcs jc njakaûg,

[eg nqucdes tároages quc tacgcg dn oason pnrtc datcrnd, cs jckar= vnranbdcs y cxpegcgtcs ahundcs. Cmcopdes= ] >3 y 2 6 ; y 2 6 : y 2 6 8 y 2 → sï seg Z.[.

;x; 6 :x 9 → ge seg Z.[., perquc tacgcg cxpegcgtcs jaicrcgtcs. ] ; xy 3 6 ‛; y 3x 6 : xy 3 → sï seg Z.[. perquc n pcsnr pcsnr jc cstnr agvcrtaje cd erjcg jc dns vnranbdcs, cstns seg dns oasons y sus cxpegcgtcs tnobaág.

cxpegcgtcs sustrnkkaûg, oudtapdaknkaûg, javasaûg y petcgkankaûg. Des cxpegctcs jc; sus 2 vnranbdcs ‛3 n b jcbcg scr= gýocres rnkaegndcs (^). kec﬎kacgtc Cmcopde= : ; ;n3b8k ‛ 2n b + 8 vnranbdcs pnrtc datcrnd

]

;8

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

3

3.E HRNJE

CP\RC[AEGC[ NDHCBRNAK NDHCBRNAKN[ N[

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Cskrabc jcgtre jcd pnrágtcsas ([) sa cs C.N. y (G) sa ge de cs= 2 x9y 3 ( ) 3 ; Q ;x y ‛ 3xy + ; n ; 3 Q 3o b ‛ 2x ( ) Q ;x2 + 3y 9 + ; ... ( ) 2 9 Q 8x ‛ ;x + 3 ( )

Rcsedukaûg=

;x3y ; ‛ 3xy + 2 x9y 3 ; n ; 3 Q 3o b ‛ 2x

([)

Q

;x2 + 3y 9 + ; ...

( G ) → perquc cd cxpegcgtc cs ugn dctrn ( G ) → perquc cs

Q

8x

2

‛ ;x9 + 3

ugn agiagatn ( G )cxprcsaûg cd → perquc cxpegcgtc jc «x¶ cs ug gýocre arrnkaegnd

2. Cskrabc jcgtre jcd pnrágtcsas ([) sa cs C.N. y (G) sa ge de cs= Q 3 x8y 0 ‛ >9x;y 9 ( ) 1 Q 21x ‛ 3x:y ; + ; ( ) 9 ; Q ‛33nb ‛ ; ... ( ) ; Q 29x + ;y 3 + 8 ( )

3

‛

;9 • : ;9 • 9

•

: 2

‛8

Ynranbdcs= n, b, x Q Cxpegcgtcs= 2, : y ; rcspcktavnocgtc= 2 → n → n2 : → b → b: ; → x → x; ⇒ Cd tároage ndhcbrnake cs= ‛8n2b:x; Q

9. Kegstruyc ug tároage ndhcbrnake kuye kec﬎kacg> 2

tc cs :1 ‛ 23 • 1 , sus vnranbdcs seg o, g, z6 y sus cxpegcgtcs 8, 1 y : rcspcktavnocgtc.

8. Cdnbern ug tároage ndhcbrnake kuye kec﬎kacgtc cs ;

;

> 2

2 • : + ;9 , sus vnranbdcs seg x, y, n6 y sus cxpegcgtcs >9, ; y 1, rcspcktavnocgtc.

Gavcd nvngznje 0. Kndkudn x + y, sa des sahuacgtcs tároages seg scoc mngtcs mng tcs==

;. Keopdctn=

‛2; x8 y ;

>

Keciakacgtc= 23 2 ‛ 23 ‛

Rcsedukaûg= Q

Q

1 Z>= 33o ox g : y Z2= ‛8o g

Rcsedukaûg= Z>= 3 ox g1 [a seg Z.[., cgtegkcs tacgcg : y dn oason pnrtc datcrnd. Z2= ‛8 o g Q Cd cxpegcgtc jc o → :, per de tngte x ? : Q Cd cxpegcgtc jc g → 1, per de tngte y ? 1

:. Jnje cd sahuacgtc Z.N.= ‛28x8y :o Keopdctn= Q keciakacgtc= UUUUUUUUUUUUU Q pnrtc datcrnd= UUUUUUUUUUUUU Q vnranbdcs= UUUUUUUUUUUUU UUUUUUUUUUUUU

∺ G Ges es pajcg= x + y ↛ ↛

1. Jctcroagn n + b sa des sahuacgtcs tároages seg scocmngtcs= Z>= ‛8xn y >; Z2= >;x0 y b

Q

cxpegcgtcs= UUUUUUUUUUUUU

Gavcd agtcrocjae 3. Kegstruyc ug tároage ndhcbrnake= kuye kec﬎kacg> 2

suss vnr vnranb anbdcs dcs seg n, b y x6 y tc cs 23 ‛ ;9 • : , su sus cxpegcgtcs 2, : y ; rcspcktavnocgtc.

3

: + 1 ? >;

>= ‛8xo y 1 zn+; Z2= 00xx8 y g‛3 z>>

;0

ÎDHCBRN

3.¼ HRNJE

9 Rcjukkaûg jc tároages scocmngtcs Rckerjcoes= Des tároages scocmngtcs (Z.[.) → seg nqucddes tároages quc tacgcg dn oason pnrtc datcrnd.

]

[a tcgcoes jes e oîs tároages scocmngtcs pejcoes rcjukardes, pnrn cdde, sûde jcbcoes epcrnr sus keciakacgtcs= Zacgcg dn oason pnrtc datcrnd (vnranbdc y cxpegcgtc) N ? ‛3o2 + >>o2 ‛ >;o2 N ? (‛3 ‛ >; + >>) o 2 ‛>0 + >>

]

Nhrupnoes des kec﬎kacgtcs perquc tejes des tároages seg scocmngtcs.

N ? ‛ 8o2 Znobaág pejcoes rcjukar npdakngje dn prepacjnj jastrabutavn= O ? 2(n ‛ 3) + 0(n + ;) O Nhrupnoes ? 2n ‛ >< + 0n + 2: O ? 2n + 0n ‛ >< + 2: O ? >: Qn ge pejcoes rcjukar, ge seg Z.[.

Knoban cd sahge Ge knoban cd sahge Z ? ‛(3x + 8) + (‛>< + 0x) Z ? ‛3x ‛ 8 ‛ >< + 0x Z ? ‛3x + 0x ‛ 8 ‛ >< Z ? (‛3 + 0)x ‛ >8 Z ? ;x ‛ >8

Nhrupnoes

Qn ge pejcoes rcjukar perquc ge seg tároages scocmngtcs

;1

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

9

RCJSKKAÛG JC ZÁROAGE[ [COCMNGZC[

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. O ? ‛>2n; + 28n;

9. C ? ‛(>2n; + 28n; O ? (‛>2 ‛ >8 + 22x + >3 ‛ 9 ‛ 0x @ ? >2x ‛ 0x + >3 ‛ 9 @ ? (>2 ‛ 0)x + 1 @ ? :x + 1

2. G ? ‛>3b2 + >8b2 ‛ 0b2 ;. R ? ‛2;o + >0o ‛ :o + >>x2 ‛ 0x2 + :x2 Gavcd agtcrocjae

>3x + 8x + 2x : : :

3. J ? ‛(>2n + :) + (‛n + 8) Rcsedukaûg= J ? ‛(>2n + :) + (‛n + 8) J ? ‛>2n ‛ : ‛ n + 8 J ? ‛>2n ‛ n ‛ : + 8 J ? (‛>2 ‛ >)n + ; J ? ‛>;n + ;

1. M ? :(3n + 9) ‛ ;(2n + 3)

Rckucrjn= ‛ • + ? ‛ ‛ • ‛ ? +

9

:<

ÎDHCBRN

3.¼ HRNJE

8 Rcjukkaûg jc tároages scocmngtcs AA @ey vnoes n rcjukar cxprcsaegcs cg dns quc `ny oîs jc ug tape jc tároage scocmngtc (Z.[.).    O ? ‛8x + >>x ‛ y

Cg cstn cxprcsaûg cgkegtrnoes jes tapes jc Z.[.

Nhrupnoes= O ? ‛8x + >> >>xx + >>)x + (>< ‛ >)y O ? :x + 1y

Qn ge sc pucjc rcjukar

Rckucrjn Nd oeocgte jc rcsndtnr des Z.[. jcbcs `nkcrde keg teje cd sahge jc su kec﬎kacgtc= ;n ‛ 8b + 3n ‛ 0b kerrckte

;n ‛ 8b + 3n ‛ 0b

Zrnbnmngje cg kdnsc

agkerrckte

2. Z ? ‛>: + >2g ‛ ;o + ;0o ‛ >2g

Rcjukc dns cxprcsaegcs (cmcrkakaes > n >8x2 ‛ 3x + >;x2 + 3x

>. O ? ‛3n + >9n + 28n ‛ >3n2 + >;b; ‛ 0n2 ‛ 8b;

Rcsedukaûg= O ? ‛3n + >9n + 28n ‛ >9n >9n + 28n 28n + >9 + 28)n ‛2> + 28 O ? 9n

:>

3.¼ HRNJE

ÎDHCBRN

8

RCJSKKAÛG JC ZÁROAGE[ [COCMNGZC[ AA

3.E HRNJE

Rcsedukaûg=

R ? ‛;x ‛ 8y + 8x ‛ 3y

R ? ‛;x + 8x ‛ 8y ‛ 3y

N ? x(x + 3) + ;x 2 ‛ 2x 2

R ? :x ‛ >2y 9. F ? ‛(3n + >2n ‛ >3b)

8. O ? :(n2 + ;) ‛ :n2 + >8 Gavcd nvngznje 0. N ? x(x + 3) + ;x 2 ‛ 2x

2

N N? ? xx2 + + ;x 3x2 + + 3x ;x ‛ ‛2x2x N ? (> + ;)x2 + (3 ‛ 2)x N ? :x2 + ;x

1. B ? x(x + 0) + 3x 2 ‛ :x >. Rcsucdvc= N?3 n) 29 b) >; 2. Kndkudn= B?;

3

>9 ‛ ; k) >3 j) >0

;

‛0 ‛

2>

>3

‛;2 ‛ ‛> c) 28

‛>8 + >9 ‛ (‛;);

0. Rcsucdvc= > N ? >); n) 2< k) 2> c) >8 b) >1 j) >0 1. Kndkudn o + g ‛ n, sa des sahuacgtcs tároages seg scocmngtcs= Z> ? 8xo y 1 zn+8 :

k) ‛21 j) ‛28

n) ‛2> b) 22

c) 2>

;. Kndkudn O + G, sa=

O?

;2 ‛ 3 +

G? n) ; b) 3

: Ø 1 ‛

;

9: + 23

;

‛9 ‛ 2 k) >; j) ><

c) 1

:. Kndkudn R Ø [. 3< ; R ? 2>2 + 3: ‛ ;>

>

>

[ ? ;9 2 + 9: ; ‛ 0> : n) 1 k) 28 b) ;> j) ;2

3. Rcjukc=

Z?

>3

c) >1

x>8 • x3 • x;

g‛3

0

2 Z n) ? 8 ‛3x y z k) >9 b) 1 j) >8

c) 2>

>x + ;2 j) ;>x + :9 b) ‛3x ‛ 8 c) ‛3x + ;2 k) 29x + ;1 >>. Rcjukc= O ? ‛(;n + 3b) + (8b ‛ 3n) n) :b j) 0n b) ‛0n + 2b c) 0n ‛ 2b k) 2b + 0n >2. Kegstruyc ug tároage ndhcbrnake kuye kec﬎kacgtc ; ; ; scn= ( >< >x y y  n n 3 ; 0 b) 12x y n k) 02x0 y ; n3

c) x><

9. [aopda﬎kn= R ? x(x ‛ 3) + 2x(x + 8) ; n) >2x j) 8x; b) ;x2 + 1x c) :x2 + 1x k) 1x2 + ;x 8. Rcjukc=

Kdnvcs >. 2. ;. :. 3. 9.

^ ? x(x + ;) ‛ ;x(x + >)

n) x2 b) ‛2x2

3.¼ HRNJE

k) 3x2 j) x + ;

j) 12x y y  n n 0 ; 3 c) >1x y n

c) x

:;

c b k j c b

8. 0. 1. >>. >2.

b k j n b b

ÎDHCBRN

0

3.E HRNJE

Babdaehrniïn Ontcoîtakn îtakn y Kacg Kacgkans. kans. Daon, \crý, 211:

RC\N[E

0

ÎDHCBRN

::

3.¼ HRNJE

Hceoctrïn

> [upcriakacs jc iahurns hceoátrakns tranghudnrcs Rchaûg pedahegnd Cs dn perkaûg daoatnjn per ug pedïhege. B Zraîghude

N

K Rchaûg tranghudnr K Kunjradîtcre

µ[nbïns quc...5 Cd prebdcon jc dn jctcroagnkaûg jc îrcns jc rchaegcs sc rcoegtn n dn ngtahôcjnj, y surhaû keoe prejukte jc dn nktavajnj prîktakn jcd èobrc,, keoe èobrc per cmcopde, ocjarctk. des tcrrcges jc kudtave, jc vavacgjn,

N

B

[ ? bØ` 2

` N J Rchaûg kunjrnghudnr

\

3o2

K b

Îrcn Cs dn ocjajn jc ugn rchaûg, sus ugajnjcs seg= o2, ko2, fo2, u2. Jc dn ﬎hurn= 3 o 2. K Rchaûg tranghudnr

B

B [ ? bØ` 2

` N

K

b N

B Îrcn

Îrcn jc ugn rchaûg tranghudnr [= îrcn jc dn rchaûg tranghudnr NBK. B [∉ ? b Ø ` 2

` N

K

b

:8

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

>

[S\CRIAKAC JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ ZRANGHSDNRC[

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Rcsedukaûg=

>. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr NBK. B ;o N

K

:o

Rcsedukaûg= \nrn kndkudnr cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr, utadaznoes dn iûroudn= N ?bØ` 2 N ? :o Ø ;o 2 2 N ? >2 o 2 N ? 9 o2

2. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr \^R.

^

@

\

1o

R

;. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr OG[. G 9u

b ? 0 ko y

` ? : ko

9. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr OG[. O [ >< ko \

G

E

>9 ko

8. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr NBK. >9 ko2

>

^

0ko

R

0o

Z

[

0o 0o

R

:0

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

[S\CRIAKAC JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ ZRANGHSDNRC[

b?0o

y

3.E HRNJE

>:o

1. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tranghudnr NKJ sa NBKJ cs ug kunjrnje kunjrnje.. N B >2o

J

K

J

K

:1

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

>

2 [upcriakacs jc iahurns hceoátrakns kunjrnghudnrcs µ[nbïns quc...5

K

Des chapkaes iucreg des praocres cg tcgcr dn ajcn jc ocjar îrcn jc rchaegcs, cste iuc jcbaje n quc tcgïng quc rconrknr des dïoatcs jc des tcrrcges kcrkn jcd rïe Gade y kegstruar jaqucs pnrndcdes pnrn cgknuznr sus nhuns. Cste, jcbaje n des jcsberjcs quc knusnbng dns agugjnkaegcs. \nrn ocjar dns tacrrns, des chapkaes nprcgjacreg n kndkudnr cd îrcn jc des rcktîghudes y jc des traîghudes. \nrn ocjar des traîghudes, usnbng kucrjns.

[>

B [

[

9

;

[3

N

J

[2

[:

C

I [g= Îrcns

Cg cd reobe

Cg cd kunjrnje N

B

n

B N

J

K n

K b J

N ? nb 2

n

N ? n2

Cg cd reobeajc

Cg cd rcktîghude K

B

B

K

` ` N

J b

N

J

N ? b Ø `

2

N ? b • `

b

3<

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

[S\CRIAKAC[ JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ KSNJRNGHSDNRC[

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Rcsedukaûg= \nrn kndkudnr cd îrcn jc ugn rchaûg reobeajcnd utadaznoes dn iûroudn=

>. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg kunjrnghudnr NBKJ. NBKJ. N

B >> ko

J K Rcsedukaûg= \nrn kndkudnr cd îrcn jc ugn rchaûg kunjrnghudnr, utadaznoes dn iûroudn=

? b Ø `

N

N

N

b ? >: o y

`?0o

? >: Ø 0 ? >>2 o2

9. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg reobeajnd OG[\. O G

2

N ?D D ? >> ko ⇒ N ? (>>)2 N ? >2> ko2

1o @

2. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg kunjrnghudnr \^R[. \ ^

\

9o

[

8. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg reobnd NBKJ. N [

>9 ko

cd îrcn jc dn rchaûg ;. Kndkudn sa su pcrïoctre cs 2< ko. kunjrnghudnr NBKJ, N B

B :o

J

R

K >2 ko. Gavcd agtcrocjae

N ? b Ø `

0o [

R

>: o

b?8o

y

`?;o

N ? 8 Ø ; N ? 2> o2

3>

3.¼ HRNJE

K

8o

Rcsedukaûg= \nrn kndkudnr cd îrcn jc dn rchaûg rcktnghudnr, utadaznoes dn iûroudn=

\^R[. 3. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg reobeajnd \^R[. \ @ ^

J

HCEOCZRÏN

2

[S\CRIAKAC[ JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ KSNJRNGHSDNRC[

3. HRNJE E

1. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg rcktnghudnr \^R[. ^ \

jak`n bnsc.

1o

[

>0 o y su ndturn cs dn oatnj jc

22o

R

2

32

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

;

[upcriakacs jc iahurns hceoátrakns trnpckandcs

µ[nbïns quc...5 Sgn onstnbn (vez îrnbc quc sahga﬎kn ‐bngke‑) cs dn cja﬎knkaûg iugcrnran jcd Ngtahue Chapte, keg ieron tregkeparnoajnd, jc bnsc rcktnghudnr. Dns oîs sugtuesns, keoe dn crahajn per cd inrnûg [`cpscsfni, ddchnreg n tcgcr knsa vcagtc octres jc ndturn. [c ddnonbng d dnonbng onstnbns, yn quc sc pnrckïng n des bngkes dekndcs, geobrc quc njeptnreg des praocres curepces quc cxpdernreg jak`ns kegstrukkaegcs. Dns oîs ngtahuns sc jntng jurngtc dns praocrns jagnstïns. Zc jns kucgtn jc j c quc dns pnrcjcs jc dns onstnbns tacgcg ieron trnpckand, jcsjc tacopes rcoetes yn tcgïng gekaegcs jc cstc tcon sýpcr aopertngtc. Kîdkude jcd îrcn jc ugn rchaûg trnpckand [c tacgc cd trnpckae NBKJ, jegjc BK//NJ. Njcoîs, «BK ? b¶ cs dn bnsc ocger, «NJ ? n¶ cs dn bnsc onyer y «CI¶ cs dn ndturn e jastngkan cgtrc des dnjes pnrndcdes (`). n+b NBKJ Duche, tcgcoes= Îrcn ? 2 • ` b B C K

` N

I

J

n

t ngte= Njcoîs= Ocjangn jcd trnpckae NBKJ oajc n + b 6 per de tngte= 2

Îrcn

NBKJ

?

n+b 2 • `

Etrn ieron jc kndkudnr cd îrcn jc ugn rchaûg trnpckand= B K ocjangn

O

Îrcn

G `

N

NBKJ

? ocjangn Ø `

J

3;

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

;

[S\CRIAKAC[ JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ ZRN\CKANDC[

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

9o

0o

O

G

B

N

>. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand NBKJ sa OG cs dn ocjangn y NB//KJ. N B

3o

9o

J

K

@ >2 ko

b ? 9 o B ? >< o

`?9o

2. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand NBKJ sa OG cs OG cs ocjangn y NB//KJ. N B G

? (b + B) Ø ` 2

⇒ N

? (9 + >9 Ø 3 2

N

? 0 Ø 3 ? : < o2

`?3o

9. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand NBKJ, sa NB//KJ.

1ko

3u N

B

J K ;. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand \^R[ sa OG cs ocjangn y \^//[R. \ ^ >< ko

0 ko O

:u J

G

[

K

@ 1u

8. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand OG[\ sa OG//[\. >< o

R O

:. Hrn﬎kn ug trnpckae cg jegjc NB//KJ y kndkudn su îrcn sa dn ocjangn oajc >; u y dn ndturn oajc 0 u.

G

0o

Gavcd agtcrocjae \

3. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand NBKJ sa NB//KJ. NB //KJ.

;

[

>0 o

3:

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

[S\CRIAKAC[ JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ ZRN\CKANDC[

3.E HRNJE

Gavcd nvngznje 0. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand \^R[ sa \^//R[. 3u \ ^ :u [

\ >u

@

N

N ? 8 Ø : ? 20 u2 1. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg trnpckand NBKJ sa NB//KJ. 9o B N 3o

R ;u

J

\

K

@

2o :o >: Ø : 2

? (3 + 1) Ø : 2

B?1u

^ 3o

`?:u [

F ;o

@

R

33

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

;

:

[upcriakacs jc iahurns hceoátrakns karkudnrcs

µ[nbïns quc...5 Dn karkugicrcgkan cs ugn dïgcn kurvn kcrrnjn y pdngn y quc cd kïrkude cs dn supcr﬎kac pdngn daoatnjn per ugn karkugicrcgkan6 perkeg cdde,îrcn. cd kïrkude cs ugn ﬎hurn R E

AAA.Îrcn jcd scoakïrkude r N

A. Îrcn jc ug kïrkude r N

E

B

E N E= kcgtre r= rnjae

B

AY. Îrcn jcd kunjrngtc N

? όr 2

2

όr2 N ? :

r

N ? όr

2

E= kcgtre r= rnjae

E

AA. Îrcn jc dn keregn karkudnr r

B

r

E= kcgtre r= rnjae

Rckucrjn

E R

:

E cs kcgtre EN y EB seg rnjaes N NB cs jaîoctre

N ? ό(R 2 ‛ r)2 E= kcgtre r y R= rnjaes

r

r E

39

HCEOCZRÏN

B

3.¼ HRNJE

[S\CRIAKAC[ JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ KARKSDNRC[

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Rcsedukaûg= \nrn kndkudnr cd îrcn jc ugn rchaûg scoakarkudnr gckcsatnoes cd rnjae. Cgtegkcss ebscrvnoes quc r ? : o. Cgtegkc 2 N ? όr 2 2 N ? ό: 2 N ? ό>9 2

>. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg karkudnr sa E cs kcgtre.   o :

E

Rcsedukaûg= \nrn kndkudnr cd îrcn jc ugn rchaûg karkudnr, gckcsatnoes cdebscrvnoes rnjae. Cgtegkcs quc r ? : o. 2 N ? όr N ? ό:2 N ? ό>9 o2 2. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg karkudnr sa E cs kcgtre.   o   ;

E

;. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg karkudnr kuye rnjae

N ? 0 όo2

9. Kndkudn kcgtre. cd îrcn jc dn rchaûg scoakarkudnr sa E cs   9  o

E

N

B

8. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg seobrcnjn sa E cs kcgtre. N 9o E

B

oajc >2 o y kcgtre E.

:. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg karkudnr sa NB cs jaîoctre y E cs kcgtre, njcoîs NB ? >< o.

Gavcd nvngznje 0. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg seobrcnjn sa E cs kcgtre.

r N

9o

B

E

:o E 2o

Gavcd agtcrocjae

3. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg scoakarkudnr sa E cs kcgtre.   :  o

E

N

B

Rcsedukaûg= Ebscrvnoes quc dn rchaûg seobrcnjn cs ugn keregn karkudnr, cgtegkcs gckcsatnoes des rnjaes. Ebscrvnoes r ? 2 o y R ? : o. N ? ό(R 2 ‛ r2) N ? ό(:2 ‛ 22) N ? ό(>9 ‛ :) N ? >2 όo2

38

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

:

[S\CRIAKAC[ JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[ KARKSDNRC[

3.E HRNJE

1. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg seobrcnjn sa E cs kcgtre.

> y E2 seg kcgtres.

9o ;o

E 2o

E> E2 9  o

:

30

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

3

Rcdnkaûg cgtrc îrcns

A. Rcdnkaûg cgtrc îrcns jc rchaegcs tranghudnrcs

B

B

>. >

[ N

2

[

K

Cg teje traîghude nd trnznr ugn ocjangn kundquacrn, sc jctcroagng jes traîghudes keg rchaegcs jc ahund îrcn.

2.

\ [

[

[ K

R

Cg teje traîghude, nd trnznr dns trcs ocjangns, sc jctcroagng scas traîghudes keg rchaegcs jc ahund îrcn.

>. \nrn trnpckae

[a BK//NJ B

[ [

[

^

AA. \repacjnjcs njakaegndcs

B

[> ? [2

[ N

O

[

[

\

:.

K

^ [

[>

\

[2

N

K

R

;.

[

[c kuopdc=

2. \nrn kundquacr kunjradîtcre ^

\ H

[

[>

N

[

N

J

[> ? [2

B

N

Cg teje traîghude, nd ugar des pugtes ocjaes jc des trcs dnjes, sc jctcroagng kuntre traîghudes keg ahund îrcn.

B [2

K

[

H= bnrakcgtre jcd traîghude NBK. Cg teje traîghude, sa sc ugc cd bnrakcgtre keg des trcs vártakcs, sc jctcroagng trcs traîghudes keg rchaegcs jc ahund îrcn.

R

[c kuopdc= N • B ? [> [2

31

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

3

3.E HRNJE

RCDNKAÛG CGZRC ÎRCN[

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

B

>. Kndkudn ], sa B@ cs ocjangn. (]= Îrcn) B

R

^

N

;]

>0 o

2

N @ K Rcsedukaûg= Ges pajcg kndkudnr ], pcre per prepacjnj keoe B@ cs ocjangn, sc kuopdc= ;] ? >0 o2 ∺ ] ? 9 o 2

2. Kndkudn \, sa B@ cs ocjangn. (\= Îrcn) B

2\

N

N \ K Rcsedukaûg= Ges pajcg kndkudnr N, pcre per prepacjnj, keoe \, ^ y R seg pugtes ocjaes, sc kuopdc= Cd îrcn tetnd cs 2: o2, cgtegkcs sc javajc cgtrc kuntre pnrtcs ahundcs= N ? 2: : o2 Cgtegkcs N ? 9 o2

9. Kndkudn B, sa \, ^ y R seg pugtes ocjaes y cd îrcn jc dn rchaûg tetnd cs :0 o2. B

:9 o2 @

R K

;. Kndkudn Z, sa \, ^ y R seg pugtes ocjaes y cd îrcn jc dn rchaûg tetnd cs 9< o2. (Z= Îrcn)

^

B

N

\

K

8. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tetnd sa H cs bnrakcgtre. B

B R Z Z

Z Z

N

Z

^ Z

H

\

K

N

:. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg tetnd sa \, ^ y R seg pugtes ocjaes. B

8 o2 K

Gavcd nvngznje 0. Kndkudn R sa NBKJ cs ug trnpckae y NB//KJ. (R= Îrcn) N B 2

R

^

:o2 \

N

3R K

J K Rcsedukaûg= Ges pajcg kndkudnr R, pcre per prepacjnj jcd trnpckae, sc kuopdc= 3R ? ;< o2 ∺ R ? 9 o 2

Gavcd agtcrocjae 3. Kndkudn N , sa \, ^ y R seg pugtes ocjaes y cd îrcn jc dn rchaûg tetnd cs 2: o2. ( N = Îrcn)

3

\ ;< o

9<

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

3.E HRNJE

RCDNKAÛG CGZRC ÎRCN[

1. Kndkudn ^ sa NBKJ cs ug trnpckae y NB//KJ. NB//KJ.

(^= Îrcn)

N ;^

>< o2

J

K

J

K

9>

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

3

9

Zrngsieronkaûg jc iahurns hceoátrakns= saoctrïn y trnsdnkaûg

Rckucrjn [a `nbdnoes jc saoctrïn, ges rcicraoes n [a `nbdnoes jc trnsdnkaûg, sahga﬎kn oevcr ugn saoadatuj ierond jc oýdtapdcs ierons ugn jctcroagnjn ﬎hurn sag knobanrdn jc ieron ga jc tnonþe. ndrcjcjer jc ug cmc e ug pugte. Cmc

erahagnd

Nèrn vcnoes dn saoctrïn y dn trnsdnkaûg cg cd pdnge knrtcsange.

trnsdnjnjn

y

A. [aoctrïn

8 9 N(‛;6 3) Ebscrvn cd pdnge knrtcsange y cd saoátrake jcd 3 schocgte NB keg rcspckte nd cmc «y¶. : Cg cd pdnge knrtcsange, sc kuopdc= ; N‑ cs cd saoátra saoátrake ke jc N keg rcspckte nd cmc «y¶. 2 B‑ cs cd saoátrake jc B keg rcspckte nd cmc «y¶. > ‛x Jcgetcoes= ‛8 ‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛> < [x= saoátrake keg rcspckte nd cmc «x¶. ‛> [y = saoátrake keg rcspckte nd cmc «y¶. ‛2 ‛; ‛: [y B(‛86‛:) N(n6 b) N‑(‛n6 b) ‛3 ‛9 ‛8 * Knoban jc sahge dn nbskasn

N‑(;6 3)

x > 2 ; : 3 9 8 0

B‑(86‛:)

‛y

* Knoban jc sahge [x dn nbskasn B(n6 b) B‑(n6 ‛b) * Knoban jc sahge dn erjcgnjn

9

92

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

ZRNG[IERONKAÛG JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[= [AOCZRÏN Q ZRN[DNKAÛG

3.E HRNJE

AA. Zrnsdnkaûg Ebscrvn dn tnbdn y cd trnsdnje jcd ∉NBK n su gucvn pesakaûg N>B>K>. y

t

(x6 y) N(>6 2)

0 8 9 3 : ; 2 >

(x + 96 y) N> (86 2)

B(36 :)

B> (>>6 :)

K(26 8)

K> (06 8)

K

K> B>

B N

N>

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2

x

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd pugte \ keg rcspckte nd cmc «y¶. (n6 b) (‛n6 b) \(:6 ‛:) \>( 6 ) 2 > ‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛> ‛> ‛2

y

> 2 ; : 3 9

x

;. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd pugte [ keg rcspckte nd nmc «x¶. (n6 b) (n6 ‛b) [(;6 :) [>( 6 ) 3 : ; 2 > ‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛>

y

[(;6 :)

> 2 ; : 3 9

x

‛; ‛: ‛3 ‛9

\>

‛> ‛2 ‛; ‛: ‛3

\(:6 ‛:)

Rcsedukaûg= Keoe tcgcoes quc `nddnr cd saoátrake rcspckte nd cmc «y¶, sede knoban jc sahge dn nbskasn. Cgtegkcs, cd saoátrake cs \>(‛:6 ‛:).

:. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd pugte O keg rcspckte nd cmc «x¶.

2. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd pugte ^ keg rcspckte nd nmc «y¶. (n6 b) (‛n6 b) ^(‛36 ‛;) ^>( 6 )

(n6 b) O(‛963) 3 :

O(‛96 3)

2 y > ‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛> ‛> ‛2 ‛; ^(‛36 ‛;) ‛: ‛3 ‛9

> 2 ; : 3 9

(n6 ‛b) O>( 6 ) y

; 2 >

x

‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛> ‛> ‛2 ‛; ‛: ‛3

> 2 ; : 3 9

9;

3.¼ HRNJE

x

HCEOCZRÏN

9

ZRNG[IERONKAÛG JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[= [AOCZRÏN Q ZRN[DNKAÛG

3.E HRNJE

Gavcd agtcrocjae

8. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd rck-

3. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd traîghude \^R keg rcspckte nd cmc «y¶. (n6 b) \(>6 >) ^(>6 :) R(:6 >)

(‛n6 b) \‑>( 6 ) ^‑>( 6 ) R‑> ( 6 ) y

^‑> R‑>

\‑

‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛>

>

3^ : ; 2 >

tîghude NBKJ keg rcspckte nd cmc «x¶. (n6 b) (n6 ‛b) N(‛36 ;) N‑>( 6 ) B(‛36 3) B‑> ( 6 ) K(36 3) K‑> ( 6 ) J(36 ;) J‑> ( 6 ) 3 : ; 2 >

R

>\ 2 ; : 3 9

x

‛> ‛2

Rcsedukaûg= Keoe tcgcoes quc `nddnr cd saoátrake rcspckte nd cmc «y¶, sede knoban jc sahge dn nbskasn. Ebscrvnoes dn tnbdn= (n6 b) \(>6 >)

(‛n6 b) \>(‛>6 >)

‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛> ‛> ‛2 ‛; ‛: ‛3 ‛9 ‛8

y

> 2 ; : 3 9

x

Gavcd nvngznje 0. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y trnsdnjn nd schocgte NB. (n6 b)

(n‛26 b‛:)

^(>6 :) R(:6 >)

^>(‛>6 :) R> (‛:6 >)

9. Keopdctn dn tnbdn y hrn﬎kn cd saoátrake jcd traîghude NBK keg rcspckte nd cmc «y¶. (n6 b) N(>6 ‛2) B(;6 ‛3) K(36 ‛2)

>< 1 0 8 9 3 : ; 2 >

(‛n6 b) N‑>( 6 ) B‑>( 6 ) K‑> ( 6 ) 2 >

y

N(;6 8)

N>( 6 )

B(;6 3)

B>( 6 )

N

N>

B

B> > 2 ; : 3 9 8 0 1 ><

x ‛9 ‛3 ‛: ‛; ‛2 ‛> ‛> ‛2 ‛; ‛: ‛3 ‛9

9

> 2 ; : 3 9

Rcsedukaûg= Zcgcoes quc trnsdnjnr y pnrn cse ges huanoes jc dn tnbdn= N(;6 8) N>(>6 ;) B(;6 3) B>(>6 >)

K

N

B

9:

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

ZRNG[IERONKAÛG JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[= [AOCZRÏN Q ZRN[DNKAÛG

3.E HRNJE

1. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y trnsdnjn nd traîghude NBK.

>> >< 1 0 8 9 3 : ; 2 >

(n6 b) N(26 >) B(96 >) K(96 3)

sahuacgtc trnsdnkaûg=

(n+96 b+:) N>( 6 ) B>( 6 ) K> ( 6 )

(o6 g) N(:6 3) B(86 0)

y

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >;

>(x6 y) B>(n6 b)

93

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

9

8

Zrngsieronkaûg jc iahurns hceoátrakns= nopdankaûg y rcjukkaûg

Rckucrjn

R

(x6 y)

\nrn nopdanr ug pedïhege, des cdcocgtes jc knjn pnr erjcgnje sc oudtapdakng per gýocres jaicrcgtcs jc kcre.

x y 26 2

\(06 9)

\> (:6 ;)

^(26 :)

^> (>6 2)

R(96 2)

R> (;6 >)

y

Cmcopde=

0 8 9 3 : ; 2 >

Ebscrvn dn tnbdn t nbdn y dn kegstrukkaûg jcd kunjradîtcre \^R[ nopdanje= (x6 y) \(>6 >) ^(;6 >)

n

(;x6 ;y) \> (;6 ;) ^ (16 ;)

\ ^ ^>

\> R >

R

> 2 ; : 3 9 8 0 1

x

>

R> (>26 9) [>(96 9)

R(:6 2) [(26 2)

Njvcrtcgkan prc

y 0 8 9 3 : ; 2 >

[>

[

\>

\

^>

R ^

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 ]

Cs aopertngtc rckndknr quc dns ﬎hurns kegscrvng su ieron pcre vnrïng jc tnonþe.

R >

x

Q pnrn rcjukar pedïheges, des pnrcs erjcgnjes sc javajcg, yn scn cgtrc 2, ;, :, ctk. Ebscrvnoes cd cmcopde= Ebscrvn dn tnbdn y dn kegstrukkaû kegstrukkaûg g jcd traîghude \^R rcjukaje=

8

99

HCEOCZRÏN

3.¼ HRNJE

ZRNG[IERONKAÛG JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[= NO\DANKAÛG Q RCJSKKAÛG

3.E HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y nopdïn cd schocgte NB. (n6 b) (2n6 2b) N(26 2) N>( 6 ) B(:6 :) B>( 6 )

;. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y nopdïn cd traîghude NBK. (n6 b) N(>6 2) B(>6 :) K(;6 2)

y >2 >> >< 10 8 9 3 : ; 2 >

(;n6 ;b) N>( 6 ) B>( 6 ) K>( 6 )

y >2 >> >< 1 0 8 9 3 : ; 2 >

B> B

N>

N > 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

Rcsedukaûg= [chýg dn nopdankaû nopdankaûg, g, ebscrvnoes quc cd schocg-

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

:. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y rcjukc cd kunjradîtcre

te sc nopdanrî nd jebdc, vcnoes= N(26 2) → N (:6 :) B(:6 :) → B>>(06 0)

NBKJ. (n6 b) N(>26 >2) B(>26 0) K(06 0) J(06 >2)

2. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y nopdïn cd schocgte \^. (n6 b) (2n6 2b) \(>6 :) \>( 6 ) ^(36 :) ^>( 6 )

(n/:6 b/:) N>( 6 ) B>( 6 ) K>( 6 ) J>( 6 )

y >2 >> >< 1 0 8 9 3 : ; 2 >

y >2 >> >< 1 08 9 3 : ; 2 >

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

98

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

8

ZRNG[IERONKAÛG JC IAHSRN[ HCEOÁZRAKN[= NO\DANKAÛG Q RCJSKKAÛG

3. HRNJE E

Gavcd agtcrocjae 3. Jnjn dn nopdankaûg, kndkudn «x + y¶. (n6 b) (;n6 ;b) N(>6 2) N>(x6 y) B(;6 :) B>(z6 w) Rcsedukaûg= [chýg dn nopdankaûg, ebscrvnoes quc sc nopdan nopdanrî rî cd trapdc, vcnoes= N(>6 2) → N>(;6 9) B(;6 :) → B>(16 >2) \er de tngte, x + y ? ; + 9 ? 1

Rcsedukaûg= Jcd hrîiake cxtrncoes dns keerjcgnjns jc N, B y K. Duche nopdanoes cd jebdc y hrniaknoes.

1. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn NBK. (n6 b) N( 6 ) B( 6 ) K( 6 )

>

N>(x6 y) B>(o6 g)

8. Jnjn dn rcjukkaûg, kndkudn «x • y + o • g¶. (n6 b) (n6 ‛b) N(06 :) N>(x6 y) B(>26 0) B>(o6 g)

(;n6 ;b) N>( 6 ) B>( 6 ) K> ( 6 )

y >2 >>

nopdankaû 9. Jnjn dn nopdankaûg, (n6 bg, ) kndkudn «x (n/•2y6 b+/2o) • g¶. N(26 :) B(:6 9)

y nopdïn nd traîghude

B

N

K

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

>6 2) N>(26 :) B(;6 3) B>(96 >(06 :) y >2 >> >< 1 0 8 9 3: ; 2 >

(n6 b) N( 6 ) B( 6 ) K( 6 ) J( 6 ) y >2 >> >< 1 0 8 9 3 : ; 2 >

B>

B N> N

K> K

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

8

J

N

K

B

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; x

90

HCEOCZRÏN

(n/26 b/2) N>( 6 ) B>( 6 ) K>( 6 ) J>( 6 )

3.¼ HRNJE

0

Rcpnse

>. Jnjn dn rcjukkaûg, kndkudn «y • x¶. (n6 b) N(2:6 >9) B(>96 0) n) : b) 9

k) 0 j) ><

(n/06 b/0) N>(x6 y) B>(o6 g) c) >2

2. Jnjn dn nopdankaûg, kndkudn «(x + y) • (o + g)¶. (n6 b) N(26 :) B(96 8) n) :; >2 >> >< 1 0 8 9 3 : ;

(n6 b) N(26 :) B(:6 9) K(86 2)

(n+36 b+9) N>( 6 ) B>( 6 ) K>( 6 )

;. Keopdctn dn tnbdn y rcjukc cd traîghude NBK. (n6 b) N(06 >2) B(>26 >2) K(06 0)

2 >

(n/:6 b/:) N>( 6 ) B>( 6 ) K>( 6 )

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; >: >3 >9 x

3. Kndkudn cd îrcn jc dn rchaûg scoakarkudnr sa NB cs jaîoctre y E cs kcgtre.

y >3 >: >; >2 >> >< 1 0 8

r N n) >: όu2 b) >9 όu2

E >2 u k) >0 όu2 j) 2< όu2

B c) 2: όu2

9. Kndkudn « N ¶ sa \, ^ y R seg pugtes ocjaes y cd îrcn jc dn rchaûg tetnd cs :0 o2. ( N = Îrcn) B

9 3 : ; 2 >

R

^

N

> 2 ; : 3 9 8 0 1 >< >> >2 >; >: >3 >9 x

:. Keopdctn dn tnbdn, hrn﬎kn y trnsdnjn cd traîghude NBK.

N n) >< o b) >2 o2 2

\ k) >: o2 j) >9 o2

K c) >0 o2

91

3.¼ HRNJE

HCEOCZRÏN

0

3.E HRNJE

RC\N[E

Kndkudn cd îrcn jc dns rchaegcs seobrcnjns cg knjn knse.

8.

B

N

8o

k) >2: o2 j) >:: o2

J n) 3< o2 b) 9< o2

J

2: o

N

n) 3< o2 b) 9< o2

1.

o

c) >:0 o2

k) 9; o2 j) 8< o2

N

c) 0< o2

>>. E cs kcgtre

E

23 o

8o k) 0< o2 j) 0: o2

K

1o

B

0.

B

K >2

n) >2< o2

>2.

  o   9    >

j) 239 όo2 c) 209 όo2

0o J n) 9< o2 b) 8< o2

C 2< o k) 0< o2 j) 1< o2

>< o

K

n) >< όo b) 2< όo2 k) ;< όo2

N

E

2

c) >2< o2

B j) :< όo2 c) 3< όo2

Kdnvcs >. 2. ;. :. 3. 9.

b c k b

8. 0. 1. >>. >2.

j j k k j c

Babdaehrniïn >. NHSADNR, Rcgze= Ontcoî Ontcoîtakn takn agtcr agtcrnktavn. nktavn. Oáxake J.I.= J.I.= OkHrnw-@add, 2 .

\nrtaoes dn tertn cg 3 pnrtcs ahundcs y ges scrvaoes ugn perkaûg

3

.

Cgtegkcs jarcoes= > 3

Guocrnjer Jcgeoagnjer

Epcrnkaegcs keg irnkkaegcs >. Njakaûg

2 + > 2(3) + ;(>) >< + ; >; ? ;(3) ? >3 ; 3 ? ;(3)

2. [ustrnkkaûg 1 ‛ > 1(8) ‛ 2(>) 9; ‛ 2 9> 2 8 ? 2(8) ? >: ? >:

;. Oudtapdaknkaûg ; Ø 9 ;(9) >0 9 ; ? : >3 :(>3) ? 9< ? 2< ? ><

8;

3.¼ HRNJE

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

>

MSHNGJE KEG IRNKKAEGC[

3.¼ HRNJE

Zrnbnmngje cg kdnsc ?

Gavcd bîsake >. Cicktýn= > + ; ? 0 8

Q

Rcsedukaûg= > + ; >(8) + 0(;) 8 + 2: ;> 0 Ø Ø 8 ? 0(8) ? 39 ? 39 Ø

2. Cicktýn= 8 + 9 1 8

Ø

0 3 > >>2 + 1< + 9; 293 + ? >29 1 8 + 2 ? >29 ø

Rptn.= ;> 39

Rptn.= 293 >29

9. Cicktýn= >> + 3 + > >; 9 ; 8. Cicktýn= 3 + 2 ‛ > 0 ; 2

;. Cicktýn= 0 ‛ 2 >; 8 Gavcd nvngznje :. Cicktýn= 1 ‛ 0 >: 1

0. Cicktýn= ; Ø >9 : 28

Gavcd agtcrocjae

Rcsedukaûg= [aopdaiakngje=

3. Cicktýn= 0 + 3 + > 1 8 2

>

Rcsedukaûg= Q @nddnrcoes @nddnrcoes cd oïgaoe keoýg oýdtapde (OKO) jc des jcgeoagnjercs.

>

OKO(16 86 2) ? 1 ‛ 8 ‛ 2 1‛8‛> ;‛8‛> >‛8‛> >‛>‛>

2 ; ; 8

2

;: Ø >9 28 ? > Ø :1 ? :1 > 1

Rptn.= : 1

1. Cicktýn= 0> Ø 2< >29 OKO(16 86 2) ? >29

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

:

8:

3.¼ HRNJE

\rebdcons keg irnkkaegcs

Cg cstn pnrtc jcd kurse `nrcoes use jc prebdcons keg irnkkaegcs.

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake >. Cg ugn babdaetckn `ny 9< dabres cgtrc gevcdns c àsteractns. [a ; jcd tetnd seg gevcdns, µkuîgtns 3

Gavcd agtcrocjae 3. Onrïn Duasn jn ; jc ug rnoe jc resns n su onoî, >3 duche jn 3 n su nbucdatn y sc qucjn keg cd rcste.

gevcdns `ny5

>3 µKeg quá pnrtc sc qucjn5

Rcsedukaûg= Zetnd ? 9< dabres >2 Gevcdns ? ;3 Ø 9< > ; Ø >2 ? ;9

[/. 0 jc ; ; dns quc qucjng, µkuîgtns betcddns `ny nèrn cg dn bejchn5

2. Onrïn rcsedvaû cd praocr jïn des ; jc >,3

+; >:,3

x Cgtegkcs cd vnder jc «x¶ cs >8,3

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Rcsedukaûg=

>. µûá gýocre indtn5

Ø; Ø;

. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke y jn keoe rcspucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc. 2

2 + 3

3

0

+ 3

;

8

2

;. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke, jn keoe rcs-

1 >

pucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc. 2

Rcsedukaûg= Zrnbnmnoes keoe tejn njakaûg gerond, cs jckar, keduogn per keduogn jc jcrck`n n azquacrjn.

; 1 + 8 2 2 3 0

> 2 ; : 3

Sgajnjcs 2+ ? > (dn suon jc 2 keg ug gýocre jcbc jnr ug gýocre quc tcroagn cg >).

:. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke, jn keoe rcspucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc.

Cgtegkcs, csc gýocre scrn 1, perquc 2 + 11 jn jn >> (jcmnoes cd > y ddcvnoes cd etre > n dns jckcgns).

+

Jckcgns >+ + 3 ? 1 (nèrn 1 (nèrn bacg, ahund quc cg dns ugajnjcs= > + 3 ? 96 9 oîs ug gýocre jcbc tcroagnr

2

;

:

3

2

;

>

>

Gavcd agtcrocjae

cg 1). Jakè gýocre scrî ;.

Kcgtcgns Cd 2 bnmn, y de cskrabaoes cg cd rckunjre. \er de tngte, des gýocres quc cskrabaoes jcgtre jc des rckunjres seg 1, ; y 26 kuyn suon cs >:.

3. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke, jn keoe rcspucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc. ; 2

2. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke y jn keoe rcspucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc.

; : 2

81

3.¼ HRNJE

+

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

:

KRA\ZENRAZOÁZAKN

3.¼ HRNJE

Rcsedukaûg= ; 2

+

Q

;

: 2 Copckcoes per dns ugajnjcs= 2 + ; ? 3, quc vn cg cd rckunjre. Nèrn pnsnoes n dns jckcgns= :+ ? 2 (busknoes ug gýocre quc suonje keg : tcroagc cg 2). Jakè gýocre scrî 0, perquc : + 0 cs ahund n >2 (rckucrjn qucjn 2 y ddcvnoes > n dns jckcgns) Iagndocgtc, cg dns kcgtcgns tcgcoes= > + ? ;, cgtegkcs jcgtre jcd rckunjre vn 2. Ges pajcg dn suon jc des gýocres quc cskrabaoes jcgtre jc des rckunjres= 3 + 0 + 2 ? >3

9. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke, jn keoe rcspucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc.

N B ; Ø ; B 2 1 Nèrn busknoes cd vnder jc B, jc oeje quc nd oudtapdaknr per ; rcsudtc ug gýocre quc tcroagc cg 2, cgtegkcs B ? 8. (Rckucrjn jcmnr 2 y ddcvnr >) > ⇒ N : ; Ø ; B 2 1

> Q N : ; Ø ; B 2 1

Rckucrjn quc B ? :, cgtegkcs rccopdnznoes=

2 3 9 1 3

> ⇒ N : ; Ø ; : 2 1

2 >

8. Keopdctn des cspnkaes cg bdngke, jn keoe rcspucstn dn suon jc tejes des gýocres quc cskrabastc. ; 1 ‛ 2 2

2 2 > 3

Iagndocgtc, cgkegtrnoes cd vnder jc N quc trns oudtapdaknrde y nuocgtnrdc > ges já :, cgtegkcs N ? >. ⇒ > : ; Ø ; : 2 1

Gavcd nvngznje Q

0. Kndkudn N + B + K, sa= N B K Ø ;

Ges pajcg keoe rcspucstn dn suon jc= N + B + K

B 2 1 Rcsedukaûg= Ø Q N B K ; B 2 1

> + : + ; ?0

1. Kndkudn N + B + K,

sa= N B K Ø 8 1 B 0

Busknoes ug gýocre K quc oudtapdaknje per ; já 1, cgtegkcs K ? ;, perquc ; Ø ; ? 1

> N B K Ø 8 K ; 0 9

0<

3.¼ HRNJE

:

3

Epcrnkaegcs agvcrsns

Znobaág ddnonje oáteje jcd knghrcme knghrcme.. Cg cstc tape jc prebdcons, copcznoes n rcsedvcr jcsjc cd ﬎gnd, cs jckar jckar,, n pnrtar jcd ýdtaoe rcsudtnje rchrcsn rchrcsngje gje `nstn cd agakae jcd prebdcon, `nkacgje cg knjn knse dn epcrnkaûg agvcrsn n dn quc cg cstc oeocgte cd prebdcon cstî agjakngje. Ebscrvn cd cmcopde= [a n ug kacrte gýocre de oudtapdaknoes oudtapd aknoes per 3, nd rcsudt rcsudtnje nje dc nþnjaoes 8 y n jak`n suon dn javajaoes cgtrc :, ebtcgcoes >;6 µkuîd cs cd gýocre5 Rcsedukaûg

Epcrnkaegcs jarcktns

Epcrnkaegcs agvcrsns

]

Gýocre agakan agakandd

Gýocre agakan agakandd ? 1

]

Oudtapdaknoes per 3

Javajaoes cgtrc := :/3 ? 1

]

Nþnjaoes 8

Rcstnoes 8= 32 ‛ 8 ? :3

]

Javajaoes cgtrc :

Oudta Oudtapdaknoes pdaknoes per := >; Ø : ? 32

]

Iagndocgtc ebtcgcoes >;

>;

Zrnbnmngje cg kdnsc Gavcd bîsake

Q

>. [a n ug kacrte gýocre de oudtapdaknoes per 1, nd rcsudtnje dc nþnjaoes >2 y n jak`n suon dn javajaoes cgtrc 3, ebtcgcoes, ﬎gndocgtc, 96 µkuîd cs

Oáteje 2 ø3

+>2

Ø1

cd gýocre5

9

G

Rcsedukaûg= Oáteje > Q Copcznoes per dn ýtdaon epcrnkaûg. Q Ebtcgcoes 9 Q Javajaoes cgtrc 3 ⇒ oudtapdaknoes per 3= 3 Ø 9 ? ;< Q Nþnjaoes >2 ⇒ rcstnoes >2= ;< ‛ >2 ? >0

;< >0 2

Ø3

‛>2

ø1

Rptn.= Cd gýocre busknje cs 2

0>

3.¼ HRNJE

Cgtegkcs cd gýocre cs 2.

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

3

E\CRNKAEGC[ AGYCR[N[

3.¼ HRNJE

2. µKuîd cs cd gýocre quc oudtapdaknje per 9, nþnjacgje >0 n cstc prejukte y javajacgje cstn suon cgtrc ;, sc ebtacgc 2:5 ;. [a n ug kacrte gýocre de oudtapdaknoes per >2, nd rcsudtnje dc nþnjaoes >9 y n jak`n suon dn javajaoes cgtrc 3, ebtcgcoes ﬎gndocgtc, 2;, nd rcsudtnje `nddnje de javajaoes cgtrc 3, n cstc gucve rcsudtnje de cdcvnoes nd kunjrnje, n cstc ýdtaoe rcsudtnje dc suonoes 9, ebtcgcoes, ﬎gndocgtc, 226 µkuîd cs cd gýocre agakand5

9. Ongucd dc jakc n [nrn= [a quacrcs snbcr oa cjnj rcndazn dns epcrnkaegcs sahuacgtcs= oudtapdakn oa cjnj per 2, duche n csc rcsudtnje rástndc 2, n cstc gucve rcsudtnje javïjcde cgtrc 2, nd kekacgtc `nddnje nhráhndc 2 y ebtcgjrîs keoe rcsudtnje ﬎gnd 23. µKuîd cs oa cjnj5 8. Cd preicser jnrî ug prcoae n sus nduoges quc rcsucdvng cd sahuacgtc cmcrkakae= [a n kacrte gýocre dc nuocgtnoes 3, n jakè rcsudtnje de oudtapdaknoes per 2, duche dc jasoaguaoes 9 y, ﬎gndocgtc, de javajaoes cgtrc 3, ebtcgcoes keoe rcsudtnje :, µkuîd cs cd jebdc jc jakè gýocre5

Gavcd nvngznje Gavcd agtcrocjae

0. Nnrûg, \ntrakan y Rejedie cstîg muhngje n dns knr tns keg dn kegjakaûg jc quc cd quc pacrjc tacgc quc jupdaknr cd jagcre jc des etres jes. [a knjn uge `n pcrjaje ugn pnrtajn cg cd erjcg cg quc `ng saje geobrnjes, qucjîgjesc duche jc `nbcr pcrjaje cd ýdtaoe keg :< gucves sedcs knjn uge, µkuîgte

3. [a n dn cjnj jc oa nbucdate dn oudtapdakns per 9, duche dn javajcs per >92, µkuîd cs dn cjnj jc oa nbucdate5

Rcsedukaûg= P Ø9

ø><

Ø:

ø:

;<

3<

Rcsedukaûg= Cd oáteje cg cstc tape jc prebdcons kegsastc cg ar trnbnmngje praocre keg des ýdtaoes jntes c ar rctrekcjacgje y ddchnr n dns kegjakaegcs agakandcs jcd oasoe.

‛:2

>2<

;2 >92

Ø><

Keoe seg trcs muhnjercs, cste quacrc jckar quc sc `ng muhnje trcs pnrtajes, pcrjacgje knjn uge ug muche.

ø9

Rptn.= Dn cjnj jc oa nbucdate cs 3< nþes.

¡Ynoes n schuar rcsedvacgje...!

02

3

3.¼ HRNJE

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

3.¼ HRNJE

E\CRNKAEGC[ AGYCR[N[

Ycnoes cd sahuacgtc csqucon= j e   a j   t t r p n c r   p   >.

Nnrûg ;3 + 2< + >< 93

j e    t t  a j r n p j e   p   2.

\ntrakan [/. ;3 ø2

Rejedie [/. 2<

Ø2

ø2

>< + :< + 2<

[/. ><

Ø2

Nd pcrjcr \ntrakan, keoe knstahe jupdaknrî cd jagcre jc des etres jes.

[/. :<

[/. 8< ø2

ø2

Ø2

j e   a j   t t r [/. 2< p n c r   p   ;.   ;. ø2 Ø2

ø2

Ø2

2< + 2< + :<

[/. 2< Ø2

Nd pcrjcr Nnrûg, keoe knstahe jupdaknrî cd jagcre jc des etres jes

[/. 0<

Cd ýdtaoe cg pcrjcr iuc Rejedie, keoe knstahe jupdaknrî cd jagcre jc des etres jes. De quc tacgc knjn uge nd ﬎gnd

[/. :<

[/. :<

[/. :<

Rptn.= Nnrûg tcgïn agakandocgtc 93 gucves sedcs 1. Ongedate Ongedate knjn jïn hnstn dn oatnj jc de quc tacgc oîs [/. 2. [a sc snbc quc 9 ongzngns kucstng de oasoe quc 0 pdîtnges y quc : pdîtnges kucstng 2 gucves sedcs, µkuîgte kestnrîg >2 ongzngns5

3. Cg ugn icran, 0 ongzngns kucstng de oasoe quc >< jurnzges, >9 jurnzges de oasoe quc 2 paþns, y : sngjïns de oasoe quc ; paþns. µKuîgtns ongzngns kucstng de oasoe quc >3 sngjïns5

Rcsedukaûg= Q Zrnbnmnoes jc nkucrje keg dn rchdn prîktakn, cs jckar, cskrabaoes cquavndcgkans= 9 ongzngns 4 7 0 pdîtnges

Rckucrjn quc dn sahuacgtc cquavndcgkan jcbc knobanr cd erjcg jc dns cspckacs= : pdîtnges 4 7 2 gucves sedcs

Q

Nèrn cskrabaoes keoe cquavndcgkan dn quc

Q

Rcsedukaûg= Npdakngje dn rchdn kegmugtn, tcgcoes= 0 ongzngns 4 7 >< jurnzges >9 jurnzges ; paþns >3 sngjïns

4 7 2 paþns 4 7 : sngjïns 4 7 x ongzngns

0 • >9 • ; • >3 ? >< • 2 • : • x 0 • >9 • ; • >3 x ? >< • 0 • : ? 82

ges pajcg `nddnr= >2 ongzngns 4 7 x gucves sedcs (Jcbcoes knobanr jc pesakaûg pnrn pejcr cdaoagnr) x gucves sedcs 4 7 >2 ongzngns

Q

Duche sc cskrabcg dns cquavndcgkans ugn jcbn-

Rptn.= 82 ongzngns kucstng de oasoe quc >3 sngjïns

9. Cg kacrte duhnr jc dn scrrngïn sc nkestuob nkestuobrn rn `nkcr trucqucs. [a ; ndpnkcs cquavndcg n 2 burres, ; burres cquavndcg n 3 knbnddes y 0 knbnddes cquavndcg n 1 evcmns, banr per >3 µkuîgtns evcmns5 ndpnkns sc pucjcg agtcrkno-

me jc etrn. Cdaoagngje oudtapdakngje, gje, kndkudnoes cd vnder jc «x¶. y oudtapdakn 9 ongzngns 4 7 0 pdîtnges : pdîtnges 4 7 2 gucves sedcs x gucves sedcs 4 7 >2 ongzngns

9•:•x

8. Cg ugn icran vcgjcg 0 pdîtnges nd oasoe prckae quc 9 jurnzges, : jurnzges per de oasoe quc >< gïspcres y ugn jekcgn jc gïspcres per cd oasoe prckae quc 2 paþns. [a >< paþns kucstng [/. ;2. µKuîgte kucstn knjn pdîtnge5

? 0 • 2 • >2

0 • 2 • >2 9•: ?0 Rptn.= Dns >2 ongzngns kestnrîg 0 gucves sedcs x?

Gavcd nvngznje 0. \er 3 dnpakcres oc jng 0 pduoegcs, per ; pduoegcs oc jng >< berrnjercs. µKuîgtes dnpakcres oc jnrîg per ;2 berrnjercs5

2. Cg ug trucquc, per ug kunjrnje, sc rckabcg : kïrkudes y per 9 kïrkudes sc rckabcg ; traîghudes. µKuîgtes kunjrnjes rckabarns per 2: traîghudes5 ;. Cg dn nvïkedn Jeþn \ngk`n, per trcs pntes jng 2 peddes6 per : peddes jng ; hnddagns6 per >2 hnddagns jng 0 oeges= [a 3 oeges kucstng 83< gucves sedcs, µkuîgte tcghe quc hnstns pnrn njquarar 3 pntes5

Rcsedukaûg= Npdakngje dn rchdn kegmugtn, tcgcoes= 3 dnpakcres 4 7 0 pduoegcs ; pduoegcs 4 7 >< berrnjercs ;2 berrnjercs 4 7 x dnpakcres

:. Cg ug ocrknje, : gnrngmns kucstng de oasoe quc >3 pdîtnges, >< pdîtnges de oasoe quc ; ongzngns, >0 ongzngns de oasoe quc ugn pnpnyn. µKuîgtns gnrngmns kucstng de oasoe quc ; pnpnyns5

3.¼ HRNJE

3 • ; • ;2

? 0 • >< • x 3 • ; • ;2 x ? 0 • >< ? 9 Rptn.= Oc jnrîg 9 dnpakcres

03

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

9

RCHDN KEGMSGZN

3.¼ HRNJE

1. Jacz pngcs kucstng ahund quc 9 kèkedntcs, ; pnstcdcs kucstng de oasoe quc >2 kèkedntcs, 8 pnstcdcs kucstng ahund quc ;2 knrnocdes. µKuîgtes pngcs oc jnrîg per 2: knrnocdes5

>2 nutes nzudcs kucstng de oasoe quc ; nutes vcrjcs. µKuîgtes nutes remes oc jnrîg per ;9 nutes vcrjcs5

¡Ge edvajcoes dn rchdn kegmugtn!

9

RN]EGNOACGZE ON ONZCOÎZAKE ZCOÎZAKE

09

3.¼ HRNJE

8

Kuntre epcrnkaegcs Cg cstn pnrtc jcd kurse, `nkcoes use jc jes epcrnkaegcs nratoátakns bîsakns= njakaûg y sustrnkkaûg jc ieron cdcocgtnd, cs jckar, sag rckurrar n prepacjnj prepacjnjcs cs ga tcercons tcercons..

>. Njakaûg n+b?k

2. [ustrnkkaûg n‛b?k

Jegjc= n ? oagucgje b ? sustrncgje k ? jaicrcgkan

[uon jc «n¶ y «b¶ cs cd gýocre gnturnd «k¶, «n¶ y «b¶ sc ddnong suongjes y «k¶ cs dn suon.

\nrn quc dn rcstn scn pesabdc, cgtrc gýocres gnturndcs, cs kegjakaûg gckcsnran y su﬎kacgtc quc cd oagucgje scn onyer e ahund quc cd sustrncgje=

\repacjnjcs

n ≣ b

N. Cdcocgte gcutre nujatave Cxastc ug gýocre quc suonje keg kundquacr etre jn sacoprc cstc etre. Cs cd kcre=

Jc dn jciagakaûg, sc pucjc jcjukar=

o+

Matemática y Ciencia y Ambiente - 5to Grado - Libro 2 Web

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