Matemática Volume 4.pdf

Limites

A SSUNTO

6

Matemática I

1. Introdução

2.3 Limite lateral à esquerda

Em Matemática, um limite intuitivamente é um valor para o qual uma  x ) se aproxima, quando x  fica função f ( x   fica perto per to de determinado valor. valor. Neste assunto, estudaremos funções cujos domínios são intervalos ou uniões de intervalos e cujos contradomínios são o conjunto dos números reais.

 x ) =  L significa que conforme  x  se Sendo  f  uma   uma função, lim x → a – f ( x  aproxima de a pela esquerda (de maneira que x  é  é sempre menor que a e,  x ) fica cada vez mais próximo por isso, a aproximação é pela esquerda), f ( x   x ) = L se, e somente se, para todo de L. Formalmente, temos que lim x → a – f ( x  ε > 0, existir δ > 0 tal que a – δ <  x  <  x ) –  L| < ε (isto quer  <  a ⇒ | f ( x   x ) fica dizer exatamente que conforme x  se  se aproxima de a pela esquerda, f ( x  cada vez mais próximo de L).

2. Definições

2.1 Limite em um ponto  x ) =  L  significa que conforme  x  se Sendo  f   uma função, lim x → a f ( x   x ) fica cada vez mais próximo de L. Formalmente, temos aproxima de a, f ( x   x ) = L se, e somente se, para todo ε > 0, existir δ > 0 tal que que lim x → a f ( x   x ) – L| < ε (isto quer dizer exatamente que conforme 0 < | x  –  – a| < δ ⇒ | f ( x   se aproxima de a, f ( x   x  se  x ) fica cada vez mais próximo de L). Vejamos agora um exemplo:  x 2 − 1 .  x − 1

Ex.: Calcule lim x →1

2 x + 1 se Ex.: Seja  f ( x ) =   x − 1 se

Solução: Seja  f (x)

=

 x 

1  definida em  – {1}. 1

2.4 Limites no infinito Sendo f  uma  uma função, lim x →∞ ( x ) = L significa que à medida que x  fica  fica →∞ f  x   x ) fica cada vez mais próximo de  L. um número real cada vez maior,  f ( x   f   x    x   L se, e somente se, para todo ε > 0, Formalmente, temos que lim x →∞ ( ) = →∞  x ) – L| < ε. existir A tal que x  >  > A ⇒ | f ( x 

−

−

Calcularemos, inicialmente, alguns valores: f (1,1), (1,1), f (1,01), (1,01), f (1,001). (1,001). Em seguida, calcularemos f (0,9), (0,9), f (0,99), (0,99), f (0,999). (0,999). Temos que f (1,1) (1,1) = 2,1, f (1,01) (1,01) = 2,01 e f (1,001) (1,001) = 2,001. Além disso,  f (0,9) (0,9) = 1,9, f (0,99) (0,99) = 1,99 e f (0,999) (0,999) = 1,999. Veja então que quando  x  fica  x ) fica muito próximo de 2. Isso quer dizer   fica muito próximo de 1,  f ( x  intuitivamente, que o limite buscado é 2. + −  x ) = (x 1)(x 1)  =  x  + Para tornar tudo mais claro, podemos ver que  f ( x   +  x − 1  ≠ 1. Agora, é bastante evidente que quando x → 1, x  + 1, se x  ≠  + 1 → 2 e,  x ) = 2. portanto, lim x →1 f ( x 

 f ( x ) = 1 −

2

x  − 1

 x ) = 1. De fato, temos que . Temos que lim x →∞ →∞ f ( x 

 x  + 1

. Quando  x → ∞ , temos que

 x  + 1

2

 x + 1

→ 0 e, desta forma,

 f ( x   x ) se aproxima de 1 – 0 = 1.

2.5 Limites infinitos 2.5.1 Limite infinito em um ponto

 x ) = ∞ significa que à medida que x  se Sendo  f  uma  uma função, lim x → a f ( x   se aproxima de  a,  f ( x   x ) fica um número real cada vez maior. Formalmente,  x ) = ∞ se, e somente se, para todo A > 0, existir δ tal  temos que lim x → a f ( x   x )| que 0 < | x  –  – a| < δ ⇒ | f ( x  )| > A. 2.5.2 Limite infinito no infinito

Comentário: a rigor, deveríamos formalizar o argumento com épsilons

e deltas. Entretanto, neste material, optamos por uma abordagem com ênfase menor em demonstrações.

2.2 Limite lateral à direita Sendo  f  uma   uma função, lim x → a+ f ( x   se  x ) =  L significa que conforme x  se aproxima de  a pela direita (de maneira que  x  é  é sempre maior que  a e,  x ) fica cada vez mais próximo por isso, a aproximação é pela direita), f( x   x ) =  L se, e somente se, para de  L. Formalmente, temos que lim x → a+ f ( x   x ) – L|  < ε (isto  todo ε > 0, existir δ > 0 tal que a  3, temos que f ( x   + 1 e, desta forma, quando x  se  se aproxima de

3 pela direita, 2 x  +  + 1 se aproxima de 2 · 3 + 1 = 7.

 f ( x   x ) = ∞ significa que à medida que x  fica Sendo f  uma  uma função, lim x →∞  fica →∞  x ) também fica um número real cada vez maior. um real cada vez maior, f ( x  maior. ∞  f   x    x   A, Formalmente, temos que lim x →∞ ( ) =  se, e somente se, para todo →∞  x )| existir B > 0 tal que x  >  > A ⇒ | f ( x  )| > B.

2.6 Função contínua Sendo  f  uma  uma função e a um ponto do domínio de  f , dizemos que  f  é  é  x ) = f ( a  a). Se f  é contínua em a se lim x → a f ( x   é contínua em todos os pontos de seu domínio, dizemos que f  é  é contínua.

2.7 Condições de continuidade em um ponto  a); I. a função deve existir no ponto ⇒ $ f ( a  x );); II. a função deve ter limite imite no ponto ⇒ $ lim x → a f ( x   x ) = f ( a  a). III. esses valores devem ser iguais ⇒ lim x → a f ( x  Obs.:

• se uma dessas três três condições condições não for satisfeita, satisfeita, dizemos dizemos que a função é descontínua no ponto;

AFA-EFOMM

111

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Matemática I – Assunto 6

 [a, b], quando ela é contínua • uma função é contínua em um intervalo  a  x ) =  f ( a  a) e em cada ponto do interior desse intervalo e lim x → a+ f ( x  lim x → b– f ( x   x ) = f ( b  b).

6. Descontinuidades

6.1 Descontinuidade evitável Caracteriza-se pela existência do limite no ponto, diferente do valor da função nesse ponto (ou se a função não for definida nesse ponto).

3. Propriedades  x ) = L e lim x → a g( x   x ) = M , então: I. Se lim x → a f ( x   f ( x   x ) + g( x   x )] a. lim x → a[ f  )] = L + M  b. lim x → a[ f  )] = L · M   f ( x   x ) · g( x   x )]

Ex.:  x 2 − 4   x ) =   x − 2 •  f ( x  5 

 f ( x )   ≠ 0)  M  ( ( M   M  ≠  = L /   g( x ) 

c. lim x → a

 x  ≠ 2

 x  = 2  x ) = 4 e f (2)  x ) ≠ f (2), lim x →2 f ( x  (2) = 5 ⇒ lim x →2 f ( x  (2), a descontinuidade seria evitada se fosse definido f( 2) 2) = 4.

 x ) = L > 0 e lim x → a g( x   x ) = M , então lim x → a f ( x   x ) g( x  x ) = L M . d.Se lim x → a f ( x   x ) =  L   e lim y → L g ( y   y ) =  M , com  M  =  g ( L  L ), então II. Se lim x → a f ( x   f ( x   x )) lim x → a g( f  )) = M  (regra  (regra da substituição)

se

 x ) = • f( x 

se

sen3 x 

 x   x ) = 3 ⇒ f  é não existe f (0) (0) e lim x →0 f ( x   é descontínua evitável para x  =  = 0, a descontinuidade seria evitada se f (0) (0) = 3.

Obs.:

• As propriedades acima valem se os limites L, e M  existem  existem e são finitos.

6.2 Descontinuidade de 1a espécie

III. Teorema do sanduíche sanduíc he  x ) = lim x → a g( x   x ) = L e f ( x   x ) c

x

Determine, em função de b, c (c ≠ 0) os possíveis valores de a para os quais a função f  é  é contínua em .

 x  2

c.

lim x →0

d.

lim x →0

e.

lim x →0

sen 5 x 

 05 Se c é uma constante real não nula, encontre o valor de a para o qual

4 x 

2

 a

 06 Seja  f ( x   x ) =

2

 x 

cos x cos 5 x

x

≤c

2

x

>c

 ax + 10

sen 4 x  1 − cos 2 x  sen

cos x, 2 cos

 f  é  é contínua, onde:  f( x ) = 

tan 3 x 

−

 f ( x   x ) é finito? lim x →∞ →∞

cos 2 x 

− cos 7

 x

−a +4 3

 3  

.

x

2

+1−

3

2 x 

 . Para que valores de  a  

x  EXERCÍCIOS NÍVEL 2

 01 Para cada número natural  n, seja  F  n a figura plana composta de

1 quadradinhos de lados iguais a , dispostos da seguinte forma:  n

 02 Divide-se um segmento de medida  a em  n partes iguais, e em cada

uma delas constrói-se um triângulo isósceles  — de ângulos iguais a 45°  tendo cada uma das n partes do segmento AB como base. Demonstrar que o limite do perímetro  — da linha quebrada formada, diferencia-se da medida do segmento AB , embora, no  —limite, a linha quebrada “fusione-se geometricamente com o segmento AB. 3   x  − 1   03 Achar as constantes a e b da equação: lim x →∞  ax + b − 2  = 0.    x  + 1   

Dê uma interpretação geométrica para a igualdade.  04 Certo processo químico decorre de tal forma que o aumento da

1 n  F  n  é formada por uma fila de  n   quadradinhos, mais uma fila de  n – 1) quadradinhos, mais uma fila de ( n  n – 2) quadradinhos e assim ( n sucessivamente, sendo a última fila composta de um só quadradinho (a figura ilustra o caso n = 7).

quantidade de substância, em cada intervalo de tempo τ, da sucessão  i τ, ( i   i  +  i  = infinita de intervalos ( i   + 1)τ), ( i   = 0, 1, 2...) é proporcional à quantidade disponível de substância, que se tem no início desse intervalo e proporcional à grandeza do intervalo. Pressupondo-se que no momento inicial de tempo a quantidade de substância era igual a Q0, determinar a quantidade de substância Q i ( n n) no intervalo de tempo t , se o aumento da quantidade de t  substância ocorre a cada n-parte do intervalo de tempo . Achar e τ =

 n

Qt  = lim n→∞Q i ( n n).

Calcule o limite da área de F  n quando n tende a infinito. RASCUNHO

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Derivadas

A SSUNTO

7

Matemática I

1. Conceito

 n    nn  ∆ x (   x  n −1 +   x n − 2∆x +  + ∆x n −1 )  1   2  e  f ' ( x ) = lim ∆ x →0 = ∆ x    n  =   x n −1 = n ⋅ x n −1  1  l   f '( x ) =  nn ⋅ x  n −1

 x ) ao limite da razão Chama-se derivada de um função  y  =  f ( x  incremental (∆ y  / ∆ x ) quando o incremento ∆ x  da   da variável independente  x ););  tende a zero. Indica-se por  f ’(’( x  ou seja:  f '( x ) = lim ∆ x →0

∆y  ∆ x 

=

lim ∆x →0

 f ( x + ∆x ) − f( x ) ∆ x 

III.

2. Interpretação geométrica Q

 f ( x  x + ∆ x )

 y

 y = f ( x   x )

β

 f ( x   x )

 x + ∆ x 

→

 x

−

x 0

3. Cálculo das derivadas  y

=

k, k ∈ ℜ

ke y

⇒ ∆ y =

k

+ ∆y = −

k 

=

k ⇒ ∆y

=

k

−

y ⇒

0 e  f  '('(x  )= lim∆ x →0

0 =0 ∆ x 

logo:  f '( x ) = 0

Obs.:  A expressão  y  + ∆ y   corresponde ao  f ( x   x  + ∆ x ),), de modo que

∆ y  =  x  +  x ).).  = f ( x   + ∆ x ) – f ( x 

 n

∑

 n   n − k k    x ∆x 

 x + ∆x 

y ⇒ ∆y  −

=

⇒

1

1 ⇒ x + ∆x   x  x  −

1 x  =

−1

 x( x + ∆x )

=−

1 x 2

−2

= − x 

IV.  f ( x ) = senx   y

senx e y + ∆y = sen( x + ∆x )⇒ ⇒ ∆ y  = se sen( x + ∆x ) − y ⇒ ∆ y = sen( x + ∆x ) − senx   x + ∆x − x x + ∆x + x  ⇒ ∆ y  = 2 sen ⋅ cos ⇒ 2 2 x  ∆ x ∆x  ⇒ ∆ y  = 2 sen cos( x  + )⇒ 2 2 2 ⋅ sen ∆x / 2 cos( x + ∆x  / 2) e  f '( x ) = lim∆ x →0 = ∆ x  sen ∆ x  / 2  = lim∆ x →0 ⋅ lim∆ x →0 cos( x + ∆x / 2) = cos x   / 2 ∆ x  logo:  f '( x ) = cos x  =

V.  f ( x )  y

=

=

cosx 

cosx e y cos( x

+ ∆y =

+ ∆x ) −

cos( x

+ ∆x )⇒

cos(x + ∆x )− cosx ⇒ y  ⇒ ∆ y  = co

 x + ∆x + x x + ∆x − x  ⋅ sen → 2 2 ∆ x ∆x  ⇒ ∆ y  = − 2 ⋅ sen ⋅ sen( x  + )→ 2 2 ⇒ ∆ y  =

 y = x n e y + ∆y = ( x + ∆x ) n ⇒

⇒  y + ∆y 

 x + ∆x

−

1

l ogo:  f '( x ) = − x −2

∆ y =

II.  f ( x ) = x n , n ∈ N 

1

= lim ∆ x →0

Obs.: A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva neste ponto, ou seja:  f '( x 0 ) = lim x x  f ( x ) − f ( x 0 ) 0

=

+ ∆ y  =

e  f '( x ) = lim∆ x →0 x + ∆x ∆ x   x − x − ∆x  − ∆ x  1  x( x + ∆x ) = lim ∆ x →0 = lim∆x →0 ⋅ =  x( x + ∆x ) ∆x  ∆ x 

 R

RQ ∆ y  Inclinaçãodaretasecante  m PQ = tan β = = → razão incremental  PR ∆ x  Inclinação da reta tangente em P:  m P = tanα = lim∆x →0 ∆ y  = f '( x ) ∆ x 

 f ( x )

x −1 e y

⇒ ∆ y =

α

 x 

I.

=

x −1

=

1

 P

β

 f ( x )

2 sen

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Matemática I – Assunto 7

VI.  f ( x )  y

a x , a ∈ R +

=  x

a ey

=

∆ y =

 x

a

−

{1} (x

+ ∆y =

⋅a

∆ x

a

y → ∆y

−

5. Regra da cadeia + ∆ x )

⇒ y + ∆y =

a

=

x

⋅a

∆x 

⋅a

∆ x 

 x ) e as derivadas f ’(’(u) e g’( x   x ) existem, então a função Se y  =  = f (u), u = g( x   x ) tem derivada dada por y ’ = f ’(’(u) · g’( x   x ) composta definida por y  =  = fog( x  Demonstração: Com efeito, ∆ y = f (g (x + ∆ x ))− f ( g ( x ) ) ∆u = g( x + ∆x ) − g ( x ) ⇒ g( x + ∆ x) = g( x ) + ∆ u = u + ∆u

⇒

→

a x ( a ∆x  − 1) = ∆ x 

a x ( a ∆ x  − 1) e f '( x ) = lim∆ x →0

⇒ ∆ y =

a

−

x 

a

x 

a∆ x  − 1  x  =  a ⋅ ln a ∆ x 

 x 

= lim∆ x →0  a ⋅ lim∆ x →0

l oggo: go:  f '( x ) = a x  ⋅ ln a

∆ y   ∆ y  ∆ y  ∆u ∆u  f '( x ) = lim = lim∆ x → 0 ⋅ =  ∆ x →0 ∆u  ∆ x  ∆u ∆ x   g ' ( x ) = lim∆ x →0 ∆ x  ∆ y  ∆u = lim∆ x →0 ⋅ lim∆x →0 ∆u ∆ x   g( x + ∆x) → g ( x ) e ∆ u → 0 se ∆ x  → 0 e tão nt

 f ' ( u ) = lim∆u →0

4. Propriedades I.  f  =  = u + v → f ’ = u’ + v ’ Com efeito,  f ( x ) = u ( x ) + v ( x ) ⇒ f '( x  ) = = lim∆ x →0 = lim∆ x →0

 )) ( u (x + ∆x )+ v (x + ∆x ) )− ( u (x )+ v ( x  ∆ x 

u (x + ∆x )− u (x )  ∆ x 

+ lim∆x →0

=

v (x + ∆x )− v (x )  ∆ x 

logo:  f '( x ) = lim ∆u →0 =

Ex.:  y = ( x 2 + 1)3

  2 2  y = u 3 → y '= 3u 2  f ' ( x ) = u ' ⋅ y ' = 3 ⋅ ( x 2 + 1) ⋅ 2 x = 6 x ⋅ ( x 2 + 1)  u = x 2 + 1→ u '= 2 x   

= u '( x ) + v '( x )

generalizando: f = f1 + f2 +  + f n

→

= f1 ' + f2 ' + f n '

f'

 

Obs.: f = u – v ⇒ f’ = u’ – v ’

generalizando:  f = f1of2o of n

II.  f = u ⋅ v ⇒ f’= u’ ⋅ v + u · v’ Com efeito,  f ( x ) = u ( x ) ⋅ v ( x ) ⇒ f

= lim ∆ x →0 = lim ∆ x → 0

u (x + ∆x )(v (x + ∆x )− v (x

))+ v (x )(u (x + ∆ x )− u (x )) ))  + lim ∆x →0 v( x )

u (x + ∆x )− u (x )  ∆ x 

u ⇒

 f  '

=

f'

⇒

u 'v

=f ' 1

· f 2· · f n

−

uv ' 

2

v 

u( x + ∆x )

= lim∆ x →0

ef

' ( x ) =

1

−

( x) =

log a x ⇒ f ' ( x ) = a x  ln a ⇒ f ' of

1

−

 x 

( x ) = aloga

⋅

In In a ⇒

1  x ln a

logo: y  =  = log a x ⇒

 y ' =

1

 x ln a

6. Derivadas sucessivas

Com efeito,  f '( x ) = lim ∆ x →0

1

−

 x 

a

=

+f

· f 2 ' · f n

1

+

 + f 1· f 2 · · f n '

Obs.: f ( x   x ) = k ⋅ u ( x   x ) ⇒ f’( x   x ) = 0 ⋅ v ( x   x ) + k ⋅ v ’(’( x   x ) → f ’(’( x   x ) = k ⋅ v ’(’( x   x ),), k ∈  R

v 

Ex.:  f ( x ) =

∆ x 

v (x + ∆x )− v (x ) 

generalizando:

 f  =

=

⇒  f

 x ) · v ( x   x ) + u( x   x ) ' · v ’(’( x   x ) = u' ’( x 

III.

fn ' . fn−1 ' ..f 1 '

−

=

∆ x 

 f = f1 · f2 ·  · f n

=

=

u (x + ∆x )⋅ v (x + ∆x )+ u (x + ∆x )⋅ v (x )− u (x + ∆ x )⋅ v (x )− u( x ) ⋅ v( x )

∆ x 

f'

−

∆ x 

= lim ∆ x →0 u( x + ∆x )

⇒

Obs.:  Seja  f   uma função cuja derivada é  f ’ e inversa é  f – 1. Então, 1 1  f ' ( x ) 1  f ' o f ( x )

(' x ) =

( u (x + ∆x )⋅ v (x + ∆x ) )− ( u (x )⋅ v ( x   ))

= lim ∆ x →0

∆y  ∆u ⋅ lim ∆x →0 =  f '( u) ⋅ g '( x ) ∆u ∆ x 

v( x + ∆x )

−

6.1 Conceito Derivando a derivada primeira obtemos a derivada segunda da função; derivando a derivada segunda obtemos a derivada terceira da função e  x ),), f ’’(  x ),),  f ’’’(  x ),), f (4)( x   x ),), ... , f ( n n)( x   x ) assim sucessivamente. Indica-se por: f ’(’( x  ’’( x  ’’’( x   x  2 Ex.: f ( x   x ) = e  y ’ = 2e2 x ; y ” = 4e2 x ; y ’’’ ’’’ = 8e2 x ; ...; y ( n n) = 2 n e2 x 

u( x ) v( x )

6.2 Regra de Leibniz

=

∆ x 

u( x + ∆x ) ⋅ v ( x )  − u( x ) ⋅ v( x + ∆x )  ∆ x ⋅ v ( x ) ⋅ v( x + ∆ x )

 n

=

 f

= u ⋅v →

( n )

f 

=

 n  ( n − k ) ( k ) ⋅ v  u

∑

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Derivadas

Ex.: f ( x   x ) = e ax  · x 2

u( x   x ) = e ax  ⇒ u’( x   x ) = a ⋅ e ax  ⇒ u”( x   x ) = a2 ⋅ e ax  ⇒ u’’’( x   x ) = a3 ⋅ e ax  ⇒ ... ⇒ u( n  n) ( x   x ) = a n ⋅ e ax 

v ( x   x ) = x 2 ⇒ v ’(’( x   x ) = 2 x ⇒ v ”(  x ) = 2 ⇒ v ’’’(  x ) = 0 ⇒ ... ⇒ v (4)( x   x ) = ”( x  ’’’( x   n  n) (5) ( v  ( x   x ) = ... = v  ( x   x ) = 0   n    n   f ( n n)( x   x ) =  a n ⋅ e ax  ⋅  x 2 +   ⋅a n – 1 ⋅ e ax  ⋅ 2 x  +    a n – 2 ⋅ e ax  ⋅ 2 =  2   1   a n – 2 ⋅ e ax  ⋅ ( a  a2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ n ⋅ a ⋅ x  +  n – 1))  + n ⋅ ( n

7. Derivação de funções implícitas Funções implícitas são aquelas que se apresentam sob a forma  F ( x   x , y ) = 0, onde y  =  x )  = f ( x  Exs.:

I.  x 3 + y 3 − 9 = 0 ⇒ 3x 2 + 3 y 2 y ' = 0 II. ( x + y )2 − ( x − y )2 = x 4 + y 4 ⇒

⇒

y  '

=

2 −3 x  2

⇒

3 y 

2( x + y )(1 + y ') − 2( x − y)( ) (1− y ') = 4 x 3 + 4 y 3 y ' →

⇒

2 x + 2 y

⇒  y

'( 4 y 3

−

2 xy ' + 2 yy ' − 2 x

4 x ) = 4 y  − 4 x 3

⇒

+

2 − x 

=

2

 y 

⇒

+

 y '

2 y + 2 xy ' − 2 yy ' = 4 x 3 + 4 y 3 y '

y '

=

4( y − x 3 ) 4( y 3 − x )

⇒

 y '

=

 x  x

3

−

−

y  3

y 

8. Taxas relacionadas

10. Funções crescentes e decrescentes Se  f ( x   x ) é uma função contínua no intervalo  a  [a,  b] e derivável no intervalo (a, b) tem-se:  x ) > 0, ∀ x ∈ ( a  a, b) → f  é  a, b] I.  f ’(’( x   é crescente em [ a  x ) < 0, ∀ x ∈ ( a  a, b) → f  é  a, b] II.  f ’(’( x   é decrescente em [ a

11. Máximos e mínimos

11.1 Conceito  a, b) e seja x 0 um ponto desse Seja uma função f  derivável  derivável no intervalo ( a intervalo. Dizemos que f  apresenta  apresenta um máximo relativo ou local no ponto  x 0, se ∀ x ∈ V ( x   x 0), f ( x   x ) ≤ f ( x   x 0); analogamente, dizemos que f ( x   x ) apresenta  x 0), f ( x   x ) ≥ f ( x   x 0) um mínimo relativo ou local em um ponto x 0 se ∀ x ∈ V ( x  Obs.: Para determinarmos os extremos de uma função, devemos pesquisar

os valores de  x  em   em que a derivada primeira se anula e os pontos onde a derivada primeira não existe. Esses pontos críticos da função são os possíveis extremantes da função.

11.2 Teste da segunda derivada Seja x 0 um ponto crítico de uma função f ( x   x ) no qual f ’(’( x   x ) = 0 e f ’(’( x   x )  x ) existe, então: existe em uma vizinhança de x 0. Se f ”( ”( x 

 x , y ) = 0 Sejam  x  =  =  f (t ) e  y  =  =  g(t ) duas funções diferenciáveis e F ( x   x ) na forma implícita. As derivadas dx  / dt  dt  e dt  nesta uma função y  =  = f ( x   e dy  / dt   nesta função implícita chamam-se taxas relacionadas da função.

 x 0) < 0 → x 0 ponto de máximo I.  f ”( ”( x   x 0) > 0 → x 0 ponto de mínimo II.  f ”( ”( x 

Ex.: Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada em uma parede

 x ) a equação  x ) é uma função Seja  y  =  f ( x  equação de uma curva, onde onde f( x  contínua, com derivadas contínuas:

vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a 3 m/s, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base encontra-se a 3 m da parede ?  x 2 + y 2

=

25

 dx   dy  2 x  + 2 y  = 0 dt  dt 

⇒

dy  = dt 

 dx  2 x  dt  2 y 

−

= −

3  x  dx  = − ⋅ 3 = −2, 25 m m/s /s 4  y  dt 

12. Concavidade

 x ) > 0 → a curva tem a concavidade voltada para cima (função I.  f ”( ”( x  convexa)  x ) < 0 → a curva tem a concavidade voltada para baixo (função II.  f ”( ”( x  côncava) Obs.: O ponto onde a curva c urva muda de concavidade é chamado de ponto de

inflexão da curva. Nesse ponto, a derivada segunda se anula.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Matemática I – Assunto 7

II. lim x III. lim  x IV. lim  x

→a

+

 f ( x ) =

→a

−

 f ( x ) = − ∞

→a

+

 f ( x ) =

14. Análise de funções

+∞

 x ),), devemos determinar, se Para analisarmos uma função  y  =  f ( x  possível:

−∞

Ex.:

I.

1  y  =

 x  − 4 1

l im  x → 4

 y

 x

4

−

1

e lim x →4

+

= +∞ →

x  − 4

4 é assíntota vertica al al

→  x  =

II.

= −∞

−

ln x 

=

lim  x →0

ln x

+

= −∞→

x  = 0 é assíntota assíntota vertical

13.3 Assíntota horizontal  x ),), A reta  y  =  = b é assíntota horizontal de uma uma curva de equação y  =  = f ( x  quando pelo menos uma das situações abaixo ocorrer: I. lim x  f( x ) = b

I. II. III. IV. IV.

o domínio da função; as interseções do gráfico de f  com  com os eixos coordenados; a paridade paridade e periodicidade de f ; o comportamento compor tamento de f  nos  nos pontos de descontinuidade e nas fronteiras de seu domínio; V. o comportamento de f  no  no infinito (–∞ e +∞); VI. os intervalos em qque ue f  é   é crescente ou decrescente e os máximos e mínimos de f ; VII. os intervalos de concavidade da curva que representa representa f  e  e seus pontos de inflexão; VIII. as assíntotas das curvas que representam f ; IX. o esboço do gráfico de f . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

→+ ∞

 01 Determine a derivada da função f ( x   x ) = x ⋅ ln x , para x > 0.

II. lim x 

f( x ) = b →− ∞

Solução: Neste caso, precisamos derivar um produto. Porta Portanto, nto, a partir de 1

Ex.:

I.

(uv )’= )’=u’v + uv ’ temos que f ' ( x )  = x ' · In x + x · (ln x ) ' = 1 · ln x + x  · .  x   x )=ln Logo, segue que f ’(’( x  )=ln x  +  + 1.

2 x 

 y  =

2

 x 

+

4 2 x 

lim x → + ∞

2

 x 

II.

 y

=  2

 y

=

e y  =

+

−

=

4

2 e lim x → − ∞

2 x  2

 x 

+

= −2 →

4

2 são assntotas ín horizontais

 x 

e

 x 

lim x →− ∞ e

=

0 → y  = 0 é assíntota horizontal

 02 Determine a derivada da função y = ( x   x 3 + 2 x + 7)15. Solução: Como temos uma função composta, podemos usar a chamada

‘regra da cadeia’ – veja que isso é muito mais simples do que desenvolver a expressão. Por essa regra, temos que (u15)’ = 15u14 ⋅ u’, portanto, a  x 3 + 2 x  + derivada pedida é igual a  y ’ = 15( x   + 7)14 (3 x 2 + 2).

13.4 Assíntota oblíqua

 03 Dada a função real  f ( x   x )=tan )=tan2 x , determine f’ ’(0).

A reta y  =  = ax  +  + b (a ≠ 0) é assíntota oblíqua de uma curva de equação  y  =  x ),), quando pelo menos uma das situações abaixo ocorrer:  = f ( x 

Solução: Veja que não podemos substituir x  =  = 0 antes da derivação,

f ( x )

I.

 a

=

lim x

→+ ∞

II.

 a

=

lim x

→− ∞

 x  f ( x )

Ex.: 1

 x 

e

 b

e

 b = lim x → − ∞ ( f ( x ) − ax )

=

lim x 

→+ ∞

( f ( x ) − ax )

pois isso sempre anularia o resultado. Vamos então determinar as derivadas de f . Usando a regra da cadeia, temos que  f ’(’( x   x ) = 2tan x  · · (tan x )’)’ = 2 tan x  2 3 ⋅ sec x → f ’(’( x   x )=2sen )=2sen x  · · sec  x . Agora, usando as regras da cadeia e do produto, temos que:  f ’’(  x ) = 2cos x   · sec3  x   + 2sen x  ⋅  3 sec2  x   · sec  x   · tan  x  → ’’( x   f ’’(  x )=2sec ’’( x  )=2sec2 x  +  + 6sen2 x  · · sec4 x . Substituindo x  =  = 0, segue que f ’’(0)=2. ’’(0)=2.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Derivadas

 03 Determine as derivadas das funções abaixo:

Veja que ainda temos uma indeterminação do mesmo tipo ° , ° então podemos utilizar a regra de L’Hôspital L’Hôspital mais uma vez:

( e )'  x 

 L = lim

 x → +∞

 x 

=

( 2 x ) '

e

lim

2

 x → +∞

2 x

2

−

x  + 1

 x  − 3

lim  g ( x )  =

+∞

 x →3 +

e lim g ( x )  =

.

, temos que a reta

−∞

x →3 −

( )

lim  g x   = ±∞.

 x →±∞

Para buscar assíntotas oblíquas, primeiramente calculamos

 x → +∞

 x 

=

lim x →+∞

2 x

2

 x

2

− −

x  + 1

2− =

3 x 

1 +

lim

 x 

x → +∞

1−

2

x  3

=

2.   Portanto,

ainda há chances de  g   ter uma assíntota da forma  y  = 2 x  +  b  (o limite anteriormente encontrado é igual ao coeficiente angular da reta). Como  b = lim ( g ( x ) − 2 x ) , temos que  x → +∞

5+

5 x  + 1  x  − 3

=

lim x →+∞

1−

 x →+∞

1  x  3

=

5.

 x 

Além disso, é fácil ver que todo raciocínio feito para x → +∞ nesse caso também vale para x → –∞. Então, a reta y  =  = 2 x  +  + 5 é assíntota de g para  x → +∞ e para x → –∞. EXERCÍCIOS NÍVEL 1  01 Determine as derivadas das funções abaixo:

a. b. c. d. e.

 y  =  = tan x   y  =  = cot x   y  =  = sec x   = csc x   y  =  y  =  = arcsen x 

 y  =

2

 x 

ln x 

f. g. h. i. j.

 y  =  = arccos x   y  =  = arctan x   y  =  = arccot x   = arcsec x   y  =  y  =  = arccsc x 

 m

  f.  y  =  =   n   a − bx     a + bx 

 n

 04 Determine as derivadas das funções abaixo:

1 +  x  1 −  x  b.  y  =  = ln x  · · log x  –  – ln a · log a x  c.  y = ln x + 1 + ln( x  + 1) a.

 y  =

d.

 y

2

=

arcsen

 x 

−

1

2

 x 

1

 x 

 b = lim

sen x − cos x 

c.  y  =  = x  · · cot x 

 x  =  = 3 é uma assíntota vertical de g. A função não possui assíntotas horizontais, pois

lim

d.

 x  – 2) · cos x  e.  y  =  a2/3 – x 2/3)3/2 b.  y  =  = 2 x  · · sen x  –  – ( x   = ( a

.

= +∞

Solução: Inicialmente, veja que x  =  = 3 não pertence ao domínio da

 g ( x )

 y  =

sen x + cos x 

2

 05 Determine as assíntotas da função  g ( x )  =

função g. Como

a.

e.

 y

=

ln arcsen x

1 +

2

2

ln x

+

arcsen lnx 

f.  y = (cos x )sen x   x  g.  y  =   1 + 1   

 x  

sen  x 

h.  y = x   x  i.  y  =  = x  x   x  j.  y = x  x  k.

 y  = ln

1+

sen  x 

1−

sen x 

+

2 arctan arctan sen sen x 

 05 Calcule  f ’(4),  x ) = arctan  x ’(4), se  f ( x 

+

sen( sen(se sen( n(se sen( n( x − 4))) ))).

 π   06 Calcule  f ’   , se  f ( x   x ) = (tan x )ln x .  4   07 Seja y  =  x ) a função dada implicitamente pela equação y 3 + y = x .  = f ( x 

Suponha que f  seja  seja derivável. a. Mostre que  f ' ( x )  =

1

(

3  f ( x )

)

2

+1

b. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f  no   no ponto (10,  f (10)). (10)).

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Matemática I – Assunto 7

 12 Determine as derivadas das funções abaixo:

a.  y  =  = f ( x   x ) g( x  x )  k  ∈ ℜ b.  y  =  = x , k   13 Calcule os limites abaixo:

a.

lim  x →−1

4 x

3

x 2 + 3

+

 x 5 + 1 100 2 b. lim  x −10x + x − 1  x  1  x  − 1

f.  y  =  = 2tan x  –  – tan2 x , x ∈ [0, π /2] g.  y  =  = x  x  h.  y = arctan x − ln 1+ x 2 3 i.  y = x 3 +  x 

 x  x ∈ (0, π) j.  y  =  = 2 ⋅ sen x  +  + cos 2 x  x   16 Achar os pontos críticos das funções abaixo:

a.

 y 

( x

−

c.

lim  x →0

 x  =

+

1

d.

e

lim

−

 x →1

e.

2

−1

e.

 x  − 1 tan x 

tan( x − π / 4)  x − π /  4

 / 4

→π

( x − 1)2 1 1 + cos π x 

b. c.

lim x 

d.

lim x → 0

 x 

e. f.

 x 

e

0

 18 Um cartaz retangular deve conter 50 cm2 de matéria impressa com

duas margens de 4 cm cada em cima e em baixo e duas margens laterais de 2 cm cada. Determine as dimensões externas do car taz de modo que sua área seja mínima.  19 Ache os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão das funções abaixo:

→

→

 x 

e

dimensões de uma lata que gaste a menor quantidade possível de material para ser feita?

 14 Calcule os limites abaixo:

lim x 

 y  =

−

 17 Uma lata de forma cilíndrica deve conter certo volume V . Quais são as

2

lim  x   x →0+

a. lim x 

senx  − 1 ln(1 +  x ) +

1 − cos 6 x 

a. b. c. d.

 y  =  = x 3 – 6 x 2 + 12 x  +  + 4  y = x – sen x   y  =  = x 2 ⋅ ln x   y = (1 + x 2)e x 

1 − cos 3 x 

 20 Analise as funções abaixo (esboçando seus gráficos):

1

lim x →1 x 1− x 

(e3

 x

lim

 x →+∞

a.  y  =  = x 4 – 5 x 2 +4 +

5 x )1 / 

x 

b.

 y  =

 x  x

g. lim  x 

→

x )

b.  y 3 ( x 2 1)2 c.  y  =  = 2sen2 x  +  + sen4 x  d.  y = x – ln(1 + x )

 xe x 

 x 

−

2

→

1

2)( 8

=

0+

(sen x )1 / ln x 

2 2

−

x  − 1

+

x  + 1

 21 Analise as funções y  =  x ) abaixo:  = f ( x 

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Derivadas

 04 A tangente traçada pelo ponto A a um círculo de raio  r  tem  tem marcado um segmento AN  de  de mesmo tamanho que o arco AM . A reta MN  corta  corta o prolongamento do diâmetro AO no ponto B. Determine OB, em função de  r  e  e AÔM  e  e calcule lim AÔM → 0 OB.  05 Uma lâmpada pende sobre o centro de uma mesa redonda de raio  r .

(A iluminação é diretamente proporcional ao cosseno do ângulo de incidência dos raios luminosos e inversamente proporcional ao quadrado da distância ao foco.)  06 Determine o ponto da curva

A que altura da mesa deve estar a lâmpada para que a iluminação de um objeto que se encontra à beira da mesa seja a melhor possível? RASCUNHO

 y

=

x 

 mais próximo do ponto (c, 0).

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Integrais

A SSUNTO

8

Matemática I

1. Função primitiva

4. Métodos de integração

Dada uma função f(x), chama-se função primitiva de f(x) a função F(x) que derivada dê f(x), isto é,  F’(x) = f(x)

4.1 Integração por substituição

Ex.: f(x) = 2x → F(x) = x  2 ou, mais geralmente, F(x) = x  2 + C, em que

C é um real qualquer.

Dada ∫ f(x) dx , não imediata, o método da substituição consiste em fazer uma mudança de variável x = g(t) e dx = g’(t) dt , de maneira que a nova integral ∫ f(g(t))g’(t )dt  seja  seja mais fácil de calcular que a original. Ex.: Fazendo t  =  = x  +  + 1, dt  =  = dx  e:  e:

2. Integral indefinida

∫

2.1 Conceito Chama-se integral indefinida de uma função  f(x) a toda expressão do tipo  F(x) + c, em que  F(x)  é uma primitiva de  f(x).  Indica-se por ∫ f(x)dx  f(x)dx = F(x) + c.

 x   x  + 1

Ex.: dF( x )

I.

∫

dx 

II. ∫

2

+ bx + c  mx + q

 ax

 ax 2 + bx + c

2.2 Propriedades  f(x) + g(x)) dx  =  f(x) dx + ∫ g(x) dx  I. ∫( f(x)  = ∫ f(x)

= ∫ dt  − ∫

dt  t 

= t − ln| t | + k = x − ln| x + 1| +c

→ F( x) = x 2 + c

IV. ∫

dx 

dx 

1

 ax dx

t 

dt

1

III. ∫ = 2 x → dF( x ) = 2 x ⋅ dx → ∫ dF( x )  = ∫ 2 x

t  − 1

4.2 Integração envolvendo trinômio quadrado

Ex.: ∫ 2x dx = x  2 + c Obs.: A integração é a operação inversa da diferenciação.

dx  = ∫

2

dx 

+ bx + c

 mx + q dx  2  ax + bx + c

1

1

1

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

The world's largest digital library

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.

Integrais

 y  =  = f(x)

II. Calcule s ∫

1 2

 x 

−1

dx  .

Solução:   Aqui, usaremos as ‘frações parciais’. Fazendo 1

S

 b  a

2

 a

−1

 x 

≡

 b

 x  + 1

+

 x  − 1

 x  –  x  +  a , obtemos a( x   – 1) + b( x   + 1) ≡ 1, ou seja, ( a  a + b = 0

 a

 (b – a) ≡ 0 x  + + b) x  +  +  b   + 1, que nos nos dá  . Logo,  a  b − a = 1  1 e  b = .

 b

= −

1 2

2

Obs.:

Portanto,

I. S a a =0 II. Se a < c