Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Matrizes - Conceito Igualdade e Tipo de Matrizes I

4 CONTEÚDO

01

PROFº: PIMENTEL

CONCEITO, IGUALDADE E TIPO DE MATRIZES. A Certeza de Vencer 

01. A tabela abaixo, regularmente disposta em linhas

05. Uma rede é composta por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A tabela a seguir representa o faturamento, em dólares, de cada loja nos quatro primeiros dias de janeiro: ⎡1.950 2.030 1.800 ⎢1.500 1.820 1.740 ⎢ ⎢3.010 2.800 2.700 ⎢ ⎢2.500 2.420 2.300 ⎢⎣1.800 2.020 2.040

    r(atleta) e colunas (dia), representa os registros dos      b  .tempos de treinamento dos atletas A, B e C em 3 dias.     m     oSendo i a ordem das linhas e j a ordem das colunas e     c  .     o      t 30.i 10.  j o elemento genérico desta tabela, com     c i j     a     pi e j dados em minutos, o tempo de treinamento gasto pelo     m      i      latleta B no terceiro dia foi de:     a      t     r 1º dia 2º dia 3º dia     o     p  . A 11 12 13     w     w     w B 21 22 23

 a

  o   c   s   o   n   o   c

C

a a a 31

a a a 32

a a a 33

a) 1 hora e 30 minutos.   e    lb) 1 hora e 50 minutos.   a c) 2 horas    F d) 2 horas e 10 minutos. e) 2 horas e 30 minutos

1.950 ⎤ 1.680 ⎥⎥ 3.050 ⎥ ⎥ 2.680 ⎥ 1.950 ⎥⎦

Cada elemento aij dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j. a) Qual foi o faturamento da loja 3 no dia 2? b) Qual foi o faturamento de todas as lojas no dia 3? c) Qual foi o faturamento da loja 1 nos 4 dias?

02. O diagrama abaixo representa um mapa rodoviário mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.

06. Uma empresa é formada pelas lojas A e B, concessionárias de automóveis. Realizado um estudo sobre a aceitação de dois novos modelos de veículos nos quatros primeiros dias de fevereiro, foram obtidos os seguintes resultados: ⎛ 2 3 1 5 ⎞ ⎛ 3 0 2 3 ⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 1 2 5 3 ⎠ e ⎝ 4 2 4 5 ⎠ sendo que:  A matriz A descreve o desempenho da loja A, de modo que cada elemento aij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j.  A matriz B descreve o desempenho da loja B, de modo que cada elemento bij é o número de unidades vendidas do modelo i no dia j. a) Quantas unidades do modelo 2 foram vendidas no dia 3 de fevereiro pela loja A? b) Quantas unidades do modelo 1 foram vendidas no dia 2 de fevereiro pela loja B? c) No período considerado, construa uma matriz que descreva, dia a dia, as vendas de cada modelo nas duas lojas juntas.

A matriz A = [aij]4x4 associada a esse mapa é definida da seguinte forma: ⎧1, se i está ligado diretament e a  j a ij = ⎨ ⎩0, se i =  j ou i não tem ligação direta com  j Sabendo-se que i e j referem-se as cidades do mapa e variam no conjunto {1, 2, 3, 4}, construa a matriz A. 03. Uma confecção vai fabricar 2 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes.

⎡5  A = ⎢ ⎣3

JACKY12/02/08

2

1⎤

1

4⎦

⎥

Considere a matriz A, onde cada elemento aij representa quantas unidades de material j serão empregados para a fabricação de roupas do tipo i. Quantas unidades do material 3 serão empregados na confecção de uma roupa do tipo 2?

07. Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:     9     0     0     2 ⎛ 4 1 4 ⎞ ⎛ 5 5 3 ⎞   – ⎜ ⎟ ⎜ ⎟     R s = ⎜0 2 0⎟  D = ⎜ 0 3 0 ⎟     A     L     U ⎜ 3 1 5⎟ ⎜ 2 1 3⎟     B     I ⎝   ⎠ e ⎝   ⎠     T     S S refere-se às despesas de sábado e D, as de domingo.     E     V

04. É dado um quadrado de lado medindo 1 unidade, numerado conforme a figura. Determine a matriz 4x4, tal que aij é a distância entre os vértices de números i e j FAÇO IMPACTO

A CERTEZA DE VENCER!!! 

- 

    r      b  . Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i     m     o pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o     c  .     o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o      t     c elemento da linha i, coluna j de cada matriz).     a     p Assim, no sábado, Antônio pagou 4 chopes que ele     m      i      l próprio bebeu; 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (     a      t     r primeira linha da matriz S).     o     p  . a) Quem bebeu mais chope no final de semana?     w b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?     w     w

TIPOS DE MATRIZES 01. Matriz Quadrada: é toda matriz, onde o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo:   e ⎛ 2 0 ⎞    l   aA = ⎜ → matriz quadrada de ordem 2.    F ⎜ 1 2 ⎟⎟ ⎝   ⎠ 2 x 2   o   c   s   o   n   o   c

− 3 ⎞ ⎟ → matriz quadrada de ordem 3. 8 0 ⎟ ⎟ 4 2  ⎠ 3x3 Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos aij, onde i = j formam a diagonal principal e os elementos aij, onde i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. ⎛  1 ⎜ B= ⎜ 6 ⎜ ⎝ − 7

5

⎛ a 11 ⎜ A = ⎜ a 21 ⎜a ⎜ 31 ⎜ ⎝ a 41

a 12

a 13

a 22

a 23

a 32

a 33

a 42

a 43

⎟ ⎟ ⎟ a 34 ⎟ ⎟ a 44  ⎠ a 24

Diagonal principal

Obs.: Diagonal principal: principal: a11, a22, a33, a44 → i = j Diagonal secundária: secundária: a14, a23, a32, a41 → i + j = 4 + 1 Traço de uma matriz: matriz: é a soma dos elementos da diagonal principal.   

02. Matriz Diagonal: é toda matriz quadrada A = (a ij)n x m, onde aij = 0 para todo i ≠ j. Exemplo: ⎛ 2 0 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 − 1 0 0⎟ B = ⎜0 2 0⎟ ⎜ 0 0 3 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 3 ⎠3x 3 ⎜ ⎟ 0

0

5 ⎠

4x 4

03. Matriz Escalar: é toda matriz diagonal elementos da diagonal principal são iguais. Exemplo: ⎛ 2 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ A = ⎜0 2 0⎟ B = ⎜0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 0 2 ⎠3x 3 ⎝ 0 0

onde os

0

07. Matriz Nula: são matrizes onde todos os seus elementos são iguais a zero. ⎛ 0 ⎜ ⎜0 A= ⎜ 0 ⎜ ⎜M ⎜ ⎝ 0

0

...

0 ⎞

⎟ 0⎟ ⎟ 0 ⎠ 3x 3

1

0

...

0

1

...

M

M

0

0

...

0 ⎞

⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ M⎟ ⎟ 1 ⎠

0 0 ... 0 ⎞ ⎟ 0 0 ... 0 ⎟ 0 0 ... 0 ⎟ ⎟

M

M

M⎟

0 0 ... 0 ⎠⎟m x n

08. Matriz simétrica: são matrizes quadradas onde cada elemento aij = a ji. Exemplo: ⎛ 2 4 6 ⎞ ⎛ 1 5 6 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 4 5 3⎟ B = ⎜ 5 3 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 3 2 ⎠ 3x 3 ⎝ 6 2 7 ⎠ 3x 3 09. Matriz Anti-simétrica: são matrizes quadradas onde aij = - a ji. Exemplo: ⎛  0 2 3  ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 2 0 − 5⎟ ⎜ ⎟ ⎝ − 3 5 0  ⎠ 10. Matriz Transposta: seja uma matriz A = (aij)p x q, chama-se transposta de A e representa-se por At, a matriz At = (aij)q x p, que se obtem trocando linhas por colunas. Exemplo:

04. Matriz Identidade: é toda matriz escalar, onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1. ⎛ 1 ⎜ In = ⎜ 0 ⎜0 ⎜ ⎜M ⎜ ⎝ 0

06. Matriz Coluna: são matrizes que apresentam uma coluna, onde A = (aij)n x 1. Exemplo: ⎛ a11 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ A = ⎜ 21 ⎟ B= ⎜ ⎟ M 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ 4 x1 ⎝ a n1 ⎠ n x1

a 14  ⎞

Diagonal secundário

⎝ 0

05. Matriz Linha: é toda matriz da forma A = (aij)1 x n, onde A = (a11 a12 a13 ... a1n)1 x n Exemplo: A = (2 1 4)1 x 3

⎛ 2 1  ⎞ ⎜ ⎟ 4 3 ⎛ 2 ⎜ ⎟ t A= ⎜ ⇒ A =⎜ ⎜1 ⎟ 2 −1 ⎝  ⎜ ⎟ ⎜0 4 ⎟ ⎝   ⎠ 4 x 2 ⎛ 3 ⎜ B = ⎜0 ⎜ ⎝ 8

1

5

2

−3

1

9

n  x n

FAÇO IMPACTO –

A CERTEZA DE VENCER!!! 

4

2

0 ⎞

3

−1

4 ⎠

⎛ 3 0 ⎜  ⎞ ⎟ ⎜1 2 − 9⎟ ⇒ B t = ⎜ 5 −3 ⎟ ⎜ 10  ⎠ ⎜ 3x 4 ⎝ 4 − 9 4

⎟⎟

2x 4

8  ⎞

⎟ ⎟ ⎟ 9 ⎟ ⎟ 10 ⎠ 4x 3 1

    9     0     0     2   –     R     A     L     U     B     I     T     S     E     V