Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Geometria Analítica

4 CONTEÚDO

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PROFº: BOSCO

GEOMETRIA ANALÍTICA (CONCEITO, ESTUDO DOS PONTOS). A Certeza de Vencer 

A

geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que     r      b  . antigamente recebia o nome de geometria     m     o cartesiana, é o estudo da geometria     c  . através dos princípios da álgebra. Em     o      t     c geral, é usado o sistema de coordenadas     a     p cartesianas para manipular equações para     m      i      lplanos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas     a      t     rdimensões, mas por vezes também em três ou mais     o     p  .dimensões. Alguns pensam que a introdução da     w geometria analítica constituiu o início da matemática     w     w moderna.   o Por aquilo que dela é ensinado nos livros   c   s escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma   o   n forma mais simples: a disciplina procura definir formas   o   c geométricas de modo numérico e extrair informação   e    l numérica dessa representação. O resultado numérico   a    F também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma. René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria  do seu Discurso do Método . Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

JACKY30/04/08

Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A.

Observações: 1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados  e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes  cuja identificação é feita conforme a figura. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante. 2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a ∈ ¡ . 3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b ∈ ¡ .

Exercícios

01. Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura a seguir:

Fonte: site wikipédia, a enciclopédia livre.

Sistema de coordenadas cartesianas. Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x, y), e cada par ordenado (x, y) está associado um único ponto do plano. A relação biunívoca não é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado. Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usados dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y) que formam o sistema de eixos ortogonais . A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, chamado de origem do sistema.

02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m.

Exemplo: Ao par ordenado de números reais:

Resolução 

(0, 0) está associado o ponto O (origem); (3, 2) está associado o ponto A; ( 1, 4) está associado o ponto B; ( 2, 3) está associado o ponto C; (2, 1) está associado o ponto D.

FAÇO IMPACTO A CERTEZA DE VENCER!!!  - 

    9     0     0     2   –     R     A     L     U     B     I     T     S     E     V

    r      b  . Distância entre dois pontos.     m Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles,     o     c  . que será indicada por d , é a medida do segmento de AB     o      t     cextremidades A e B.     a     p A1 distância entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2)     m      i      l depende das coordenadas dos mesmos, e é determinado     a      t     ratravés do Teorema de Pitágoras. Veja:     o     p  .     w     w     w   o   c   s   o   n   o   c

Coordenadas do ponto médio de um segmento. Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y1) e B(x2, y2) são pontos distintos, temos um ponto M(xM, yM) médio do segmento. As coordenadas do ponto médio são dadas por:

x1 + x 2 ⎧ x = M ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪ y = y1 + y 2 M ⎩⎪ 2

  e    l   a    F

dAB =

x2 + ∆y2 = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2

∆

Exercícios 

03. Calcule a distância entre os pontos dados: a) A(3, 7) e B(– 1, 4) b) P(3, – 1) e Q(3, 2) c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4)

Exercícios  05. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso: a) A(2,1) e B(0, 6) b) A(5, 6) e B(- 6, - 8) c) A(7, -1) e B(4, -4)

06. Uma das extremidades de um segmento é o ponto

04. Em uma certa região do Oriente Médio, uma base militar está localizada no Egito e um alvo está localizado no sul do Iraque. Foi estabelecido um sistema de coordenadas cartesiana e base ficou localizada no ponto de coordenadas (2, 5) e o alvo (8, 3). Qual a distância da base ao alvo, sabendo que as medidas estão em km?

A(– 2, – 2). Sabendo-se que M(3, – 2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento. Resolução 

Coordenadas do baricentro de um triângulo  Em triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) no plano cartesiano, as coordenadas do baricentro, xG e yG, são:

x A + xB + x C ⎧ x = G ⎪⎪ 3 ⎨ ⎪ y = y A + yB + y C ⎪⎩ G 3 Reso Resolu lu ão 

Exercícios  07. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, -2) e C(4, 5). Resolução 

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FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!