Matematica para la física 1

May 2, 2017 | Author: david teran | Category: N/A

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Descripción: Introducción para métodos matemáticos...

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Matem´ aticas Avanzadas: de los espacios lineales al análisis vectorial

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H. Hern´ andez Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Los Andes, Mérida-Venezuela

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L. A. N´ un ˜ ez Escuela de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga-Colombia

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1 de junio de 2016

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1. Los vectores de siempre 1.1. Vectores, escalares y ´ algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Escalares y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.2. Algebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Independencia lineal, vectores base y el producto de vectores 1.2.1. Vectores linealmente independientes . . . . . . . . . . 1.2.2. Productos de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Producto triple o mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Componentes, coordenadas y cosenos directores . . . . . . . . 1.3.1. Bases, componentes y coordenadas . . . . . . . . . . . 1.3.2. Cosenos directores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Una divisi´ on fallida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Algebra vectorial y coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Suma y resta de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Dependencia e independencia lineal . . . . . . . . . . . 1.4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Aplicaciones del ´ algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Rectas y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. Planos y vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.6. Algebra vectorial con ´ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1. Convenci´ on de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2. Los vectores y los ´ındices . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3. Un par de c´ alculos ilustrativos . . . . . . . . . . . . . 1.6.4. Escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores . 1.6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Un comienzo a la derivaci´ on e integración de vectores . . . . 1.7.1. Vectores variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Espacios Vectoriales Lineales 2.1. Grupos, cuerpos y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Espacios vectoriales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4. Ejemplos espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. La importancia de la conceptualización y la notación . . . . . . 2.1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Espacios métricos, normados y con producto interno . . . . . . . . . . 2.2.1. Métricas y espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Normas y espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Espacios vectoriales con producto interno: Espacios euclidianos 2.2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Variedades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Dependencia/Independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Bases de un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. El determinante de Gram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Ortogonalidad y bases ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5. Ortogonalizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6. Complementos ortogonales y descomposición ortogonal . . . . . 2.3.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Aproximaci´ on de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Condiciones para la aproximación de funciones . . . . . . . . . 2.4.2. El método de m´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. Interpolaci´ on polinomial de puntos experimentales . . . . . . . 2.4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.7.2. Derivaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.3. Velocidades y aceleraciones . . . . . 1.7.4. Vectores y funciones . . . . . . . . . 1.7.5. El operador ∇ . . . . . . . . . . . . 1.7.6. Integraci´ on . . . . . . . . . . . . . . 1.7.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Vectores y n´ umeros complejos . . . . . . . . 1.8.1. Los n´ umeros complejos y su álgebra 1.8.2. Vectores y el plano complejo . . . . 1.8.3. F´ ormulas de Euler y De Moivre . . . 1.8.4. Algunas aplicaciones inmediatas . . 1.8.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . 1.10. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . .

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4. Matrices, Determinantes y Autovectores 4.1. Operadores Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Espacio vectorial de operadores lineales . . . . . 4.1.2. Composici´ on de operadores lineales . . . . . . . . 4.1.3. Proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Funciones de operadores . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Espacio Nulo e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Operadores biyectivos e inversos . . . . . . . . . 4.1.7. Operadores herm´ıticos conjugados . . . . . . . . 4.1.8. Operadores herm´ıticos . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.9. Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Representaci´ on matricial de operadores . . . . . . . . . 4.2.1. Bases y la representaci´ on matricial de operadores

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3. Vectores Duales y Tensores 3.1. Funcionales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Paréntesis tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Tensores, una definici´ on funcional . . . . . . . . 3.2.2. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. La tentaci´ on del producto interno . . . . . . . . . 3.2.4. Bases para un producto tensorial . . . . . . . . . 3.2.5. Tensores, sus componentes y sus contracciones . 3.2.6. Tensor métrico, ´ındices y componentes . . . . . . 3.2.7. Teorema del cociente . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Un par de tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Repensando los vectores nuevamente . . . . . . . . . . . 3.3.1. Vectores, covectores y leyes de transformación . . 3.3.2. Transformaci´ on de los vectores base . . . . . . . 3.3.3. Cartesianas y polares, otra vez . . . . . . . . . . 3.3.4. Repensando las componentes . . . . . . . . . . . 3.3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Transformaciones, vectores y tensores . . . . . . . . . . 3.4.1. Un ejemplo detallado . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Vectores, tensores y espacios pseudo-euclideanos . . . . 3.5.1. Espacios minkowskianos . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Un toque de Relatividad Especial . . . . . . . . . 3.5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. La funci´ on delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Bases continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Transformada de Fourier. Bases de ondas planas 3.6.4. Las representaciones |ri y |pi . . . . . . . . . . . 3.6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.2.2. Cambio de bases para vectores . . . . . . . . . . . 4.2.3. Traza de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Diferenciaci´ on de operadores y algebra matricial . . . . . 4.3.1. Reglas de diferenciaci´ on de operadores lineales . . 4.3.2. La f´ ormula de Glauber . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Algebra de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Un paréntesis determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. F´ ormula de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Un zool´ ogico de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Matriz unitaria y la matriz nula . . . . . . . . . . 4.5.2. Matriz diagonal a bloques . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3. Matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4. Matriz de cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.5. Matriz adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.6. Matriz singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.7. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.8. Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.9. Matrices complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Autovectores y Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Definiciones y teoremas preliminares . . . . . . . . 4.6.2. Autovalores, autovectores e independencia lineal . 4.6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Autovalores y autovectores de un operador . . . . . . . . . 4.7.1. El polinomio caracter´ıstico. . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Autovalores y autovectores de matrices importantes . . . 4.8.1. Autovalores y autovectores de matrices similares . 4.8.2. Autovalores y autovectores de matrices herm´ıticas 4.8.3. Autovalores y autovectores de matrices unitarias . 4.8.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Conjunto completo de observables que conmutan . . . . . 4.9.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.1. Eliminaci´ on de Gauss Jordan . . . . . . . . . . . . 4.10.2. El método de la matriz inversa . . . . . . . . . . . 4.10.3. Factorizaci´ on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.4. Método de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Algunos ejemplos resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ÍNDICE GENERAL

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277 278 280 282 293 297 298 299

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5. Ap´ endice 5.1. Introducci´ on a los CAS . . . . 5.2. Maxima: Sintaxis b´ asica . . . . 5.2.1. C´ alculos elementales . . 5.2.2. Bibliotecas . . . . . . . 5.2.3. Maxima en modo texto 5.2.4. Invocando la ayuda . . . 5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . .

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Los vectores de siempre

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Cap´ıtulo

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´ 1.1. VECTORES, ESCALARES Y ALGEBRA VECTORIAL

1.1.

Vectores, escalares y ´ algebra vectorial

Desde los primeros cursos de F´ısica en educación media, venimos hablando de vectores como cantidades que tienen que ser representadas con m´ as de un n´ umero. Son varias las razones que obligan a introducir este (y otro) tipo de cantidades “multidimensionales”. Enumeraremos algunas que, a nuestro criterio personal, son las m´ as representativas. 1. Necesidad de modelos matem´ aticos de la naturaleza. Desde los albores del renacimiento, con Galileo Galilei a la cabeza, nos es imperioso representar cantidades de manera precisa. Las matem´ aticas nos apoyan en esta necesidad de precisión y desde ese entonces son el lenguaje de la actividad cient´ıfica.

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2. Los modelos tienen que tener contrastaci´ on experimental. Las ciencias y sus modelos, en u ´ltima instancia, tienen que ver con la realidad, con la naturaleza y por ello debemos medir y contrastar las hip´ otesis con esa realidad que modelamos. Necesitamos representar cantidades medibles (observables) y que, por lo tanto, tienen que ser representadas de la forma más compacta, pero a la vez más precisa posible.

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3. Las leyes de los modelos deben ser independiente de los observadores. Cuando menos a una familia significativa de observadores, el comportamiento de la naturaleza no puede depender de la percepci´ on de un determinado observador, por lo tanto, los modelos que construimos para describirla tampoco pueden depender de los observadores. Es com´ un que tropecemos con: escalares, vectores, tensores y espinores, dependiendo del n´ umero de cantidades que necesitemos para representar determinado objeto matemático. Podremos constatar que las leyes de la F´ısica vienen escritas en forma vectorial (o tensorial) y, por lo tanto, será la misma ley para la familia de observadores equivalentes.

Escalares y vectores

rP

1.1.1.

Dejaremos para m´ as adelante caracterizar objetos como tensores y espinores, por ahora nos contentaremos con refrescar nuestros recuerdos con cantidades como:

ad o

Escalares: Ser´ an aquellas cantidades las cuales se representan con UN solo n´ umero, una magnitud: temperatura, volumen, masa, entre otras. Es costumbre no denotarlas de manera especial, as´ı T = 5o C representar´ a una temperatura de 5 grados cent´ıgrados.

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Vectores: Ser´ an cantidades las cuales, para ser representadas por un objeto matemáticos requieren más de una cantidad: requieren de UN n´ umero, UNA dirección y UN sentido. Entre las cantidades que t´ıpicamente reconocemos como vectores est´ an: la velocidad, la aceleración, la fuerza. En términos gráficos podremos decir que un vector ser´ a un segmento orientado, en el cual la dimensión del segmento representar´ a su m´ odulo y su orientaci´ on la direcci´ on y el sentido. Para diferenciarlos de las cantidades escalares hay una variedad de representaciones, entre ellas: en negrita a; con una flecha arriba de la cantidad ~a; con −−→ una tilde arriba o abajo a ˜; o explicitando el origen del segmento orientado OP . El módulo del vector lo representaremos dentro de la funci´ on valor absoluto, o sencillamente sin la flecha arriba a = |a| = |~a| . Los vectores son independientes del sistema de coordenadas. Sus caracter´ısticas (módulo, direcci´ on y sentido) se preservar´ an en todos los sistemas de coordenadas. Más a´ un, habrá vectores que podremos desplazarlos (conservando su m´ odulo direcci´ on y sentido) paralelos a ellos mismos, en el espacio y seguir´ an siendo los mismos, por ello encontraremos el término de vectores deslizantes. Un ejemplo son las fuerzas que act´ uan en un determinado cuerpo, como se muestra el cuadrante I en la Figura 1.1. También habrá vectores Hern´ andez & N´ un ˜ez

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´ 1.1. VECTORES, ESCALARES Y ALGEBRA VECTORIAL

Figura 1.1: Vectores y sus operaciones

1.1.2.

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atados a un punto en el espacio, por cuanto representan una de sus propiedades: la velocidad del viento, el campo eléctrico, o sus variaciones son algunos ejemplos de estos vectores atados (observe la Figura 1.2 como ejemplos ilustrativos).

´ Algebra de vectores

ad o

Enumeraremos r´ apidamente el ´ algebra de vectores sin hacer referencia a un sistema de coordenadas. Desde cursos anteriores nos ense˜ naron a representar gráficamente este álgebra, as´ı tenemos que: Vector nulo. Es aquel que tiene por m´ odulo cero y no se le pude asignar dirección ni sentido. El frecuente representar al vector nulo por 0.

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Vector unitario. Es aquel que tiene por módulo la unidad, es muy u ´til por cuanto, para efectos algebraicos, “contiene” u ńicamente direcci´ on y sentido. Lo denotaremos con un acento circunflejo, com´ unmente llamado a ˆ a = |a| , con lo cual todo vector se podrá expresar por un módulo en la dirección y sentido de “sombrero” u ˆ a = aˆ un vector unitario: a = |a| u ua .

Comparaci´ on de vectores. Al comparar sus módulos diremos que pueden ser mayores, menores o iguales. Por lo tanto, tal y como mostramos en el cuadrante IIa de la Figura 1.1, dos vectores serán iguales, a = b, si tienen la misma direcci´ on y sentido.

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´ 1.1. VECTORES, ESCALARES Y ALGEBRA VECTORIAL

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Figura 1.2: Ejemplos de vectores atados

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Multiplicaci´ on por un escalar. Un vector multiplicado por un escalar, α, cambiará su módulo si α > 0 y cambiar´ a su sentido, y eventualmente su módulo, si α < 0. Tal y como puede apreciarse en el cuadrante IIa de la Figura 1.1. Claramente dos vectores proporcionales serán colineales. Diremos además, que el inverso del vector a ser´ a la multiplicaci´ on de a por (−1). Esto es: (−1) a = −a.

Bo rr

Suma de vectores. Aprendimos que para sumar vectores utilizamos la regla del paralelogramo, es decir, desplazamos paralelamente uno de los vectores y lo colocamos a continuación del otro, de tal forma que la diagonal del paralelogramo, que tiene por lados los vectores sumandos, constituye el vector suma (ver cuadrantes IIa y IIb de la Figura 1.1). Este esquema se puede generalizar para varios vectores tal y como lo mostramos en el cuadrante III de la Figura 1.1. All´ı construimos un pol´ıgono cuyos lados los constituyen los vectores sumandos a, b, c, d y n con n = a + b + c + d. N´ otese que a´ un en el caso tridimensional, el vector suma siempre será coplanar (estará en el mismo plano) a los sumandos que lo generaron. Igualmente, podemos definir la resta de vectores al sumar el inverso. Esto es a − b ≡ a + (−b)

⇒ 0 = a − a ≡ a + (−a) .

En términos gr´ aficos la resta de dos vectores se representa colocando los vectores (minuendo y sustraendo) con el mismo origen y uniendo las cabezas de flecha. Dependiendo de cual vector es el minuendo y cual sustraendo el vector resta apuntar´ a del sustraendo hacia el minuendo, esto es, (a + b + c) − a = b + c.

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1.2. INDEPENDENCIA LINEAL, VECTORES BASE Y EL PRODUCTO DE VECTORES

Claramente, el m´ odulo del vector resta representa la distancia entre los dos extremos de los vectores minuendo y el sustraendo. Un resumen de propiedades.

Podemos resumir las propiedades del álgebra de vectores como sigue:

La suma de vectores: • tiene un u ńico elemento neutro 0 + a = a + 0 = a, ∀ a, • existe un elemento simétrico −a (uno para cada vector) tal que 0 = a − a ≡ a + (−a), • es conmutativa a + b = b + a,

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• es asociativa (a + b) + c = a + (b + c),

• es distributiva respecto a la multiplicación por escalares: α (a + b) = αa + αb; La multiplicaci´ on de escalares por vectores:

• es asociativa α (βa) = (αβ) a, • es distributiva (α + β) a = αa + βa.

1.1.3.

Ejercicios

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• es conmutativa aα = αa,

1. Un paralelogramo tiene un ´ angulo agudo de π/3 y lados de longitud a = 1 y b = 2. Si pensamos que esos lados como vectores a y b encuentre a) Encuentre los vectores: a + b y a − b

rP

b) Encuentre los vectores: 2a + 3b y 5a − 7b

ad o

2. Se tiene un sistema de n part´ıculas de masas {mn }, y sea ri el radio vector para la i-es´ıma part´ıcula respecto al origen de coordenadas. El centro de masa del sistema estará indicado por el vector: Pn mi ri rCM = Pi=1 n i=1 mi Encuentre el centro de masas para los siguientes sistemas: a) Masas iguales a: 1, 2, 3 ubicadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados son de longitud a = 2.

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b) Masas iguales a: 1, 2, 3, 4 en los vértices de un cuadrado de lados a = 2. c) Masas iguales a: 1, 2, 3, 4 en los vértices inferiores de un cubo cuyos lados son de longitud a = 2 y masas iguales a: 5, 6, 7, 8 en la vértices superiores.

1.2.

Independencia lineal, vectores base y el producto de vectores

Armados con el ´ algebra y explicitando sus propiedades podemos construir la primera aproximación a uno de los conceptos fundamentales del ´ algebra lineal. La noción de independencia o dependencia lineal.

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1.2. INDEPENDENCIA LINEAL, VECTORES BASE Y EL PRODUCTO DE VECTORES

1.2.1.

Vectores linealmente independientes

Diremos que tres vectores a, b, c son linealmente independientes si se cumple que α a+β b+γ c=0

⇒

α=β=γ=0

in ar

es decir, que la u ńica manera que al sumar cualquier m´ ultiplo de a, b y c de manera que la suma se anule es obligando a que los escalares sean necesariamente nulos. Si no se cumple lo anterior entonces diremos que uno de los vectores ser´ a linealmente dependiente y por lo tanto se podrá expresar como combinación lineal de los otros dos    α 6= 0  β 6= 0 α a + β b + γ c = 0 alguno de ⇒ c=α ¯ a + β¯ b   γ 6= 0 Es muy importante se˜ nalar que los vectores linealmente independientes formarán una base para el espacio donde estos vectores “viven” y el n´ umero máximo de vectores linealmente independientes será la dimensi´ on de ese espacio de “residencia”. M´ as adelante estudiaremos con más detalle el concepto de bases. Tratemos de concretar algunas de estas afirmaciones.

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Dos vectores linealmente dependientes son colineales. Es claro que:

α a + β b = 0 con alguno de

α 6= 0 β 6= 0

 β    a = −αb ⇒    b = −αa β

el contrario también ser´ a cierto: si dos vectores son colineales ellos ser´ an linealmente dependientes.

rP

a = λb ⇒ αa + βb = 0 ⇒ αλb + βb = 0 ⇒ (αλ + β) b = 0 ⇒ λ = −

β , α

con lo cual podremos afirmar que si dos vectores son linealmente independientes ellos no son colineales. Tres vectores linealmente dependientes son coplanares.

ad o

Por ser los tres vectores linealmente dependientes al menos uno de los escalares tiene que ser distinto de cero, digamos γ, esto es α β α a + β b + γ c = 0 ⇒ c = − a − b = ξ1a + ξ2b , γ γ

Bo rr

pero como ξ 1 a ∝ a y ξ 2 b ∝ b, esto significa que ξ 1 a y a son colineales, de la misma manera que ξ 2 b y b, y por lo tanto, la suma estar´ a en el mismo plano. Dos vectores linealmente independientes expanden todos los vectores coplanares.

Dado dos vectores a y b linealmente independientes, entonces cualquier vector c, coplanar con a y b, podr´ a expresarse como una combinación lineal de éstos. Diremos que c se expresa en términos de a y b como c = ξ 1 a + ξ 2 b y esa expresi´ on es u ńica. La primera de las afirmaciones es directa por cuanto hemos visto que si a y b son linealmente independientes y c es coplanar con a y b, entonces, necesariamente a, b y c son linealmente dependientes. Esto es: β α α a + β b + γ c = 0 ⇒ c = − a − b = ξ1a + ξ2b γ γ

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1.2. INDEPENDENCIA LINEAL, VECTORES BASE Y EL PRODUCTO DE VECTORES

Figura 1.3: Productos de Vectores

rP

La demostraci´ on de que la expansi´ on es u ńica viene de suponer que existen dos maneras distintas de representar al mismo vector c   1 c = ξ1a + ξ2b   ξ − ζ 1 = 0 ⇒ ξ1 = ζ 1 ⇒ 0 = ξ1 − ζ 1 a + ξ2 − ζ 2 b ⇒   2 c = ζ 1a + ζ 2b ξ − ζ 2 = 0 ⇒ ξ2 = ζ 2 debido a que a y b son linealmente independientes.

ad o

La demostraci´ on para el caso tridimensional es equivalente. Es decir tres vectores linealmente independientes a, b y c expanden, de manera un´ıvoca, todos los vectores del espacio. Esta demostración queda para el lector. Vectores Base.

Bo rr

Cuando un vector c se pueda expresar en términos de dos vectores linealmente independientes, a y b, por ejemplo: c = ξ 1 a + ξ 2 b, diremos que a y b forman una base para todos los vectores coplanares a éstos. Igualmente para el caso tridimensional: tres vectores linealmente independientes a, b y c conformar´ an una base para los vectores del espacio. Los n´ umeros ξ 1 y ξ 2 para el caso bidimensional se denominan las componentes de c a lo largo de a y b, respectivamente. Equivalentemente, ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ser´ an las componentes de cualquier vector para el caso 3D a lo largo de a, b y c, respectivamente. Esta nomenclatura ser´ a m´ as evidente luego de la próxima sección.

1.2.2.

Productos de vectores

Hemos sumado y restado vectores, el siguiente paso es multiplicarlos. Básicamente existen dos formas de multiplicar vectores: el producto escalar y el producto vectorial, veremos a continuación de que se trata y sin especificar un sistema de coordenadas para referirlos.

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1.2. INDEPENDENCIA LINEAL, VECTORES BASE Y EL PRODUCTO DE VECTORES

1.2.3.

Producto escalar

Denominaremos producto escalar de dos vectores a y b a un escalar cuyo valor será igual al producto de los m´ odulos multiplicado por el coseno del ángulo que ellos forman ζ = a · b = |a| |b| cos(θ)ha,bi El significado geométrico del producto escalar es evidente, cuadrante I de la Figura 1.3. El producto escalar representa la proyecci´ on de a sobre b y equivalentemente la proyección de b sobre a. De esta definici´ on se derivan varias consecuencias las cuales por obvias no dejan de ser importantes:

in ar

El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo: 2 ζ = a · a = |a| ≥ 0,√y s´ olo ser´ √a nulo si a es el vector nulo. Esto es, ζ = 0 ⇒ a = 0. Con esto podemos concluir que |a| = a · a = ζ. El producto escalar es conmutativo: ζ = a · b = b · a, ya que el ´ angulo entre los vectores es el mismo y la multiplicación entre escalares es conmutativa.

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El producto escalar es distributivo: Esto es, a · (b + c) = a · b + a · c. La demostración (gráfica) puede apreciarse en el cuadrante II de la Figura 1.3. La multiplicaci´ on por un escalar : ζ¯ = αζ = |α| (a · b) = (αa) · b = a · (αb) = |αa| |b| cos(θ)ha,bi = |a| |αb| cos(θ)ha,bi . Desigualdad de Cauchy-Schwarz. A partir de la definici´ on de producto interno es inmediata la comprobación de la siguiente desigualdad: 2

ya que 0 ≤ cos2 (θ)ha,bi ≤ 1.

2

2

2

2

⇒ (a · b) ≤ |a| |b|

rP

(a · b) = |a| |b| cos(θ)ha,bi

⇔ a · b ≤ |a| |b|

ad o

Del producto escalar surge el Teorema del Coseno. Es inmediato calcular el producto escalar de un vector consigo mismo, para ello vamos a suponer que c = a − b, con lo cual 2

2

2

c = a − b ⇒ c · c = (a − b) · (a − b) ⇒ |c| = |a| + |b| − 2 |a| |b| cos(θ)ha,bi que no es otra cosa que el teorema del coseno y está ilustrado en el cuadrante III de la Figura 1.3.

Bo rr

Dos vectores no nulos son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo. Esta afirmaci´ on es inmediata a ⊥ b ⇒ θha,bi =

1.2.4.

π ⇒ a · b = |a| |b| cos(θ)ha,bi = 0 . 2

Producto vectorial

A diferencia del producto escalar que genera un escalar, el producto vectorial tiene como resultado otro vector: c = a × b (realmente un pseudovector o vector axial en contraposición a los vectores polares, pero eso lo veremos m´ as adelante en la secci´ on 1.6.4), con las siguientes caracter´ısticas:

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1.2. INDEPENDENCIA LINEAL, VECTORES BASE Y EL PRODUCTO DE VECTORES

El m´ odulo de c, ser´ a |c| = |a| |b| sen(θ)ha,bi . Es claro que el módulo de c representa el área del paralelogramo cuyos lados est´ an formados por a y b (ver el cuadrante V de la Figura 1.3). Tal y como muestran los cuadrantes IV y V de la Figura 1.3, c tendrá como dirección la perpendicular al plano que forman a y b, y como sentido la regla del pulgar derecho, regla de la mano derecha, o de manera m´ as elegante, ser´ a positiva cuando la multiplicación de a×b corresponda al sentido antihorario. Podemos deducir algunas consecuencias de esta definición.

in ar

El producto vectorial es anticonmutativo. a × b = −b × a, y se sigue de la definición que expresa el cuadrante IV de la Figura 1.3. El producto vectorial es distributivo respecto a la suma. a × (b + c) = a × b + a × c. La demostración de esto lo dejaremos para más adelante. La multiplicaci´ on por un escalar.

|c| = |α| |a × b| = |(αa) × b| = |a × (αb)| = |αa| |b| sen(θ)ha,bi = |a| |αb| sen(θ)ha,bi

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Dos vectores ser´ an colineales si su producto vectorial se anula. Como en el caso cuando se anulaba el producto escalar identificábamos a dos vectores ortogonales, cuando se anula el producto vectorial tendremos dos vectores paralelos. Es claro que esto se cumple de inmediato a k b ⇒ θha,bi = 0 ⇒ |c| = |a × b| = |a| |b| sen(θ)ha,bi = 0

1.2.5.

rP

Si el m´ odulo del vector es cero, obvio que es el vector nulo. Ahora bien, también de aqu´ı deducimos que c = a × b ⇒ c · a = (a × b) · a = c · b = (a × b) · b = 0 .

Producto triple o mixto

Analicemos ahora el n´ umero (pseudoescalar) que proviene de la multiplicación

ad o

V = c · (a × b) = |c| |(a × b)| cos(θ)hc,a×bi Este producto también cumple con algunas propiedades que enunciaremos ahora y demostraremos más tarde El producto mixto representa el volumen del paralelep´ıpedo cuyos lados son los vectores a, b y c. |a × b| representa el ´ area de la base y la altura está representada por la proyección del vector c sobre la perpendicular al plano de la base que es, precisamente |c| cos(θ)hc,a×bi .

Bo rr

El producto mixto es c´ıclico respecto a sus factores. (a × b) · c = (c × a) · b = (b × c) · a

Esta afirmaci´ on se ver´ a demostrada más adelante.

El producto mixto se anula cuando se repite alguno de sus factores. (a × b) · a = (a × b) · b = (a × a) · c = (b × b) · c = 0 .

Claramente, si (a × b) ⊥ a ⇒ (a × b) · a = 0. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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1.2. INDEPENDENCIA LINEAL, VECTORES BASE Y EL PRODUCTO DE VECTORES

Si los tres vectores a, b y c son coplanares (linealmente dependientes) entonces: (a × b) · c = 0 , dicho de manera m´ as elegante, u ´til e impactante: tres vectores que cumplen con: (a × b) · c 6= 0 ,

1.2.6.

in ar

son linealmente independientes y forman una base para el espacio tridimensional. Esa base se denominar´ a lev´ ogira (contraria al giro de las manecillas del reloj) si el producto (a × b) · c < 0 y dextr´ ogira (la convencional base de la mano derecha) si (a × b) · c > 0.

Ejercicios

1. Las componentes de un vector y la regla para sumar vectores se combinan para introducir la forma m´ as simple de representar un vector como una combinación lineal de los vectores más elementales que podemos tener. Estos vectores forman lo que conocemos la base canónica: {i, j, k}, vectores de longitud unitaria que apuntan en la direcci´ on positiva de los ejes x, y y z.

a) e1 = 2i + j − 3k ,

e2 = i − 4k ,

b) e1 = i − 3j + 2k ,

re lim

Diga, entonces, si los siguientes vectores forman una base

e3 = 4i + 3j − k

e2 = 2i − 4j − k ,

e3 = 3i + 2j − k

2. ¿Los siguientes vectores son linealmente independientes?

rP

a = (0, 2, −1) , b = (0, 1/2, −1/2) , c = (0, −2/3, −1/3) . 3. Un paralelogramo tiene un ´ angulo agudo de π/4 y lados a = 1, b = 2. Si consideramos que los lados son vectores, encuentre:

ad o

a) El ´ area del paralelogramo.

b) La proyecci´ on de cada lado sobre la dirección del otro.

Bo rr

4. Considere un tri´ angulo cuyos lados están conformados por los vectores a, b y c = a+b. Con el producto vectorial entre ellos demuestre la ley del seno: b c a = = sin(α) sin(β) sin(γ)

donde α, β, γ son los ´ angulos opuestos a los lados a, b, c respectivamente.

5. Demuestre que el volumen de un tetraedro puede escribirse de la manera siguiente:

Hern´ andez & N´ un ˜ez

V =

1 |a · (b × c)| 6

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in ar

1.3. COMPONENTES, COORDENADAS Y COSENOS DIRECTORES

Figura 1.4: Vectores, bases y componentes

1.3.

Componentes, coordenadas y cosenos directores

Bases, componentes y coordenadas

ad o

1.3.1.

rP

La formulaci´ on de las leyes f´ısicas debe hacerse en término de cantidades vectoriales (tensoriales). Esto independiza su formulaci´ on de un sistema particular de coordenadas, pero llegado el momento de calcular valores y utilizar estas leyes, es mucho m´ as conveniente referirla a un sistema de coordenadas particularmente adaptado a la geometr´ıa del problema. En ese caso la ecuación vectorial se convertirá en tantas ecuaciones como componentes (referidas al sistema de coordenadas utilizado) tengan los vectores en ese sistema de coordenadas.

Bo rr

Tal y como mencionamos anteriormente, tres vectores no coplanares cualesquiera son linealmente independientes y constituyen una base para el espacio tridimensional. Denominaremos a estos vectores base como {wi }, y por ser linealmente independientes podremos expresar cualquier vector A como una combinaci´ on lineal u ńica, tal y como lo mostramos en el cuadrante I de la Figura 1.4. Con los vectores base {w1 , w2 , w3 } podemos construir un sistema (oblicuo en general) de coordenadas al colocarlos con un mismo origen, esto es A = ξ 1 w1 + ξ 2 w2 + ξ 3 w3

donde las cantidades ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 son n´ umeros (no son escalares) que representan las componentes del vector A a lo largo de cada uno de los vectores base {w1 , w2 , w3 }. Nótese que por costumbre (la cual será evidente m´ as adelante) etiquetamos estos n´ umeros con super´ındices y la letra que identifica el vector. −−→ M´ as a´ un, cada punto P del espacio viene definido por un radiovector r (P ) ≡ OP que une el origen de coordenadas con el punto P y se le asocian tres n´ umeros x1 , x2 , x3 , los cuales son las proyecciones

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17

1.3. COMPONENTES, COORDENADAS Y COSENOS DIRECTORES

a lo largo de cada uno de los ejes coordenados

n o 0x1 , 0x2 , 0x3 . Los n´ umeros x1 , x2 , x3 se denominar´ an

in ar

componentes de r (P ) en el sistema de referencia {w1 , w2 , w3 }. Existe una familia de sistemas de coordenadas en la cual sus vectores base son ortogonales (o mejor ortonormales), es decir los vectores base {e1 , e2 , e3 } son perpendiculares entre si. Tal y como mostraremos m´ as adelante, siempre se puede construir un sistema ortogonal {e1 , e2 , e3 } u ortonormal {i1 , i2 , i3 } a partir de una base genérica de vectores linealmente independientes {w1 , w2 , w3 }. Cuando el sistema sea ortogonal sus componentes se denominar´ an rectangulares. Dependiendo del signo del triple producto mixto el sistema de coordenadas ser´ a dextr´ ogiro ((e1 × e2 ) · e3 > 0) o levógiro ((e1 × e2 ) · e3 < 0), tal y como se muestra en el cuadrante III de la Figura 1.4. Es costumbre ancestral, por relaciones de dominación de los derechos sobre los izquierdos (en lat´ın e italiano los zurdos son siniestros) utilizar la convención dextrógira donde el producto: (e1 × e2 ) · e3 > 0, y en ese caso utilizamos el bien conocido conjunto de vectores unitarios {i, j, k} con los que ya hemos estado familiarizados a = ax i + ay j + az k y r (P ) = x i + y j + z k .

a = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3

y

re lim

Tambien es costumbre representar este sistema de coordenadas ortonormal como: i ≡ i1 , j ≡ i2 y k ≡ i3 para recordar que estamos en un sistema de coordenadas cartesianas y utilizaremos los super´ındices 1, 2, 3 para indicar las componentes del vector. r (P ) = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3 .

Obviamente el m´ odulo del vector se podrá expresar con la utilización del Teorema de Pitágoras p p |a| = (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 y |r (P )| = (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2

Igualmente para un vector unitario

rP

y la multiplicaci´ on por un escalar ser´ a αa = α a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 = αa1 i1 + αa2 i2 + αa3 i3

p

(a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2

a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 a =p |a| (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2

ad o

â = u

⇒ |αa| = α

con lo cual todo vector

â = a = |a| u

1.3.2.

p â . (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 u

Cosenos directores

Bo rr

Como se puede apreciar en el cuadrante IV de la Figura 1.4, podemos construir tres triángulos rectángulos con el radiovector A (P ) como hipotenusa de cada uno de ellos. Los ángulos que forma el radiovector A (P ) con cada uno de los ejes coordenados {x, y, z} son {α, β, γ} respectivamente, con lo cual Ax = |A| cos(α) ,

Ay = |A| cos(β)

y

Az = |A| cos(γ) ⇒ cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) = 1

pero adem´ as

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Â = u

A = cos(α) i + cos(β) j + cos(γ) k . |A|

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18

1.4. ALGEBRA VECTORIAL Y COORDENADAS

1.3.3.

Una divisi´ on fallida

Uno esperar´ıa que para cada una de las definiciones de productos vectoriales, existiera el vector cociente, es decir, que pudiéramos “despejar” uno de los multiplicados en términos del otro. La situación es que esta operaci´ on no est´ a definida un´ıvocamente y lo podemos intuir a partir de una de las definiciones de producto. Supongamos que tenemos un producto escalar: ζ = a · b con lo cual, si pudiéramos “despejar”,digamos ζ ζ b = ¿Tendr´ıamos entonces definido b de una manera un´ıvoca? La respuesta es NO, ya que ζ = a· +d a a ζ donde a ⊥ d, por lo cual existen infinitos b = + d que cumplen ζ = a · b. a

Ejercicios

in ar

1.3.4.

1. Encuentre la distancia del punto P al origen si P viene dado por el vector posición r = 2i + 4j − 3k. Y si para un punto arbitrario el vector posición es r = xi + yj + zk ¿Qué superficie describe éste vector cuando |r| = 3? 2. Encuentre los cosenos directores y los correspondientes ángulos para los siguientes vectores

re lim

a) a = i + j + k b) b = i − 2j + 2k c) c = 4i − 2j + 3k

3. Sea {i1 , i2 , i3 } una base ortonormal dextrógira. Verifique que los vectores

a = i + 2j + 3k , b = i + 5j , c = 3i + 2j + k

1.4.

rP

forman una base ¿Esta base ser´ a del tipo dextrógiro o levógiro?

Algebra vectorial y coordenadas

1.4.1.

ad o

Es posible reescribir toda el ´ algebra vectorial que hemos visto mediante operaciones referidas a sistemas de coordenadas, como mostraremos a continuación. Por simplicidad, anclaremos nuestro sistema de coordenadas a la base can´ onica {ii }.

Suma y resta de vectores

Para los vectores a = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 y b = b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 , la suma será representada por

Bo rr

a + b = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 + b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 = a1 + b1 i1 + a2 + b2 i2 + a3 + b3 i3

y obviamente, la resta

a − b = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 − b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 = a1 − b1 i1 + a2 − b2 i2 + a3 − b3 i3

con lo cual la distancia entre dos puntos P y M será q 2 2 2 d (P, M ) = |(r (P ) = a) − (r (M ) = b)| = (x1 − y 1 ) + (x2 − y 2 ) + (x3 − y 3 ) .

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19

1.4. ALGEBRA VECTORIAL Y COORDENADAS

1.4.2.

Dependencia e independencia lineal

Ahora es f´ acil estudiar la dependencia o independencia lineal en coordenadas. Otra vez, tres vectores: a = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 , b = b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 y c = c1 i1 + c2 i2 + c3 i3 , serán linealmente independientes si se cumple que α a+β b+γ c=0 ⇒ α=β =γ =0 Antes de proseguir en forma general, veamos algunos casos particulares La base can´ onica: i1 = i ≡ (1, 0, 0) , i2 = j ≡ (0, 1, 0) , i3 = k ≡ (0, 0, 1). Estos vectores son claramente linealmente independientes y por lo tanto constituyen una base.

in ar

Consideremos los vectores: e1 = i ≡ (1, 0, 0) , e2 = i + j ≡ (1, 1, 0) , e3 = i + j + k ≡ (1, 1, 1), al escribir el sistema de ecuaciones resulta: α = 0, α + β = 0, α + β + γ = 0 ⇒ α = 0, β = 0, γ = 0,

con lo cual demostramos que son linealmente independientes y por lo tanto constituyen una base para los vectores tridimensionales.

re lim

En general tendremos que 0 = α a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 + β b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 + γ c1 i1 + c2 i2 + c3 i3

  αa1 + βb1 + γc1 = 0 1 1 1 2 2 2 3 3 3 αa2 + βb2 + γc2 = 0 = αa + βb + γc i1 + αa + βb + γc i2 + αa + βb + γc i3 ⇒  αa3 + βb3 + γc3 = 0

ad o

Producto escalar

rP

Esto no es otra cosa que un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas: {α, β, γ} y la solución que estamos buscando α = β = γ = 0 se cumplirá si 1 1 1 a b c 2 2 2 a b c = a1 b2 c3 − b3 c2 + a2 b3 c1 − b1 c3 + a3 b1 c2 − b2 c1 6= 0 . 3 3 3 a b c

Bo rr

Ahora refrasearemos, en término de una base de vectores ortogonales, lo expresado en la sección 1.2.3. Representaremos el producto escalar de dos vectores en una base cartesiana {i1 , i2 , i3 }, que es una base ortonormal, de la siguiente manera: a · b = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 · b1 i1 + b2 i2 + b3 i3 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ya que por ser ortogonales se tiene que: i1 · i1 = i2 · i2 = i3 · i3 = 1 ,

y

  i1 · i2 = i2 · i1 = 0 i1 · i3 = i3 · i1 = 0  i2 · i3 = i3 · i2 = 0

Las propiedades del producto escalar en coordenadas cartesianas se comprueban fácilmente

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20

1.4. ALGEBRA VECTORIAL Y COORDENADAS

El producto escalar de un vector consigo mismo, siempre es positivo. 2

ζ = a · a = |a| = (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 ≥ 0 y (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 = 0 ⇒ a1 = a2 = a3 = 0 p √ √ Adicionalmente |a| = ζ = a · a = (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2

⇔

a=0

El producto escalar es conmutativo

in ar

ζ = a · b = b · a = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 . El producto escalar es distributivo: a · (b + c) = a1 i1 + a2 i2 + a3 i3 · b1 + c1 i1 + b2 + c2 i2 + b3 + c3 i2 , por lo tanto:

La multiplicaci´ on por un escalar.

a1 b1 + a1 c1 + a2 b2 + a2 c2 + a3 b3 + a3 c3

re lim

a1 b1 + c1 + a2 b2 + c2 + a3 b3 + c3 = 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 = a b +a b +a b + a c +a c +a c =

a·b+a·c

|α| (a · b) = (αa) · b = a · (αb) = αa1 b1 + αa2 b2 + αa3 b3 = a1 αb1 + a2 αb2 + a3 αb3 Desigualdad de Cauchy Schwarz. p

(a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2

rP

a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ≤

p (b1 )2 + (b2 )2 + (b3 )2 = |a| |b|

Diremos que dos vectores, no nulos son ortogonales (perpendiculares) si su producto escalar es nulo. Esta afirmaci´ on es inmediata

por lo cual

ad o

a ⊥ b ⇒ θha,bi =

π ⇒ a · b = |a| |b| cos(θ)ha,bi = 0 , 2

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = |a| |b| cos(θ)ha,bi ⇒ cos(θ)ha,bi = p

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 p (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 (b1 )2 + (b2 )2 + (b3 )2

Bo rr

de donde se deduce que para dos vectores perpendiculares a⊥b ⇒ 0 = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 .

Del producto escalar surge el Teorema del Coseno. Es inmediato generalizar el producto escalar de un vector consigo mismo, para ello suponemos que c = a − b, con lo cual 2

2

2

c = a − b ⇒ c · c = (a − b) · (a − b) ⇒ |c| = |a| + |b| − 2 |a| |b| cos(θ)ha,bi ,

que no es otra cosa que el teorema del coseno y está ilustrado en el cuadrante III de la Figura 1.3. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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1.4. ALGEBRA VECTORIAL Y COORDENADAS

Producto vectorial De igual manera, lo que aprendimos en la sección 1.2.4 ahora lo expresamos en términos de las componentes de los vectores en una base ortonormal de la forma c = a × b = a2 b3 − a3 b2 i1 + a3 b1 − a1 b3 i2 + a1 b2 − a2 b1 i3 matriz i2 a2 b2

i3 a3 b3

con lo cual q

2

2

in ar

lo anterior se puede organizar como el determinante de la i1 c = a × b = a1 b1

2

(a2 b3 − a3 b2 ) + (a3 b1 − a1 b3 ) + (a1 b2 − a2 b1 ) p p = (a1 )2 + (a2 )2 + (a3 )2 (b1 )2 + (b2 )2 + (b3 )2 sen(θ)ha,bi

|c| =

re lim

Triple producto mixto

Finalmente, analicemos el n´ umero (pseudoescalar) que proviene de la 1 c V = c · (a × b) = |c| |a × b| cos(θ)hc,a×bi = a1 b1

multiplicación c2 c3 a2 a3 . b2 b3

1.4.3.

Ejercicios

1. Dados los vectores

B = 4i1 + 5i2 + 6i3 ,

ad o

A = i1 + 2i2 + 3i3 ,

rP

Obviamente, este n´ umero representa del volumen del paralelep´ıpedo cuyos lados quedan definidos por a, b y c.

C = 3i1 + 2i2 + i3 ,

D = 6i1 + 5i2 + 4i3

a) Encuentre

A + B + C + D,

A + B − C − D,

A − B + C − D,

−A + B − C + D

b) El ´ angulo entre los vectores A, B, C, D y los vectores base i1 , i2 , i3 .

Bo rr

c) La magnitud de los vectores A, B, C, D. d ) El ´ angulo entre A y B y entre C y D. e) La proyecci´ on de A sobre B. f ) ¿Son los vectores A, B, C, D coplanares?

g) Encuentre (A + B) · (C + D)

h) Los productos A × B, B × C, C × D y los ángulos que estos forman con D. i ) C · (A × B).

2. Encuentre la intensidad del campo magnético H = 5i + 3j + 7k en la dirección del vector s = 2i − j + 2k. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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22

´ 1.5. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECTORIAL

3. Verifique la desigualdad triangular: |a + b| ≤ |a| + |b|, para los siguientes vectores a) a = i + 2j + 3k y b = 2i + j + 7k b) a = 2i − j − 2k y b = 3i + 2j + 3k 4. Si a y b son vectores arbitrarios y α y β escalares, demuestre que |αa + βb|2 ≤ α2 |a|2 + 2αβ(a · b) + β 2 |b|2

α(b × c) + β(c × a) + γ(a × b) + d = 0 demuestre que si a, b y c son linealmente independientes, entonces a·d , a · (b × c)

α=−

β=−

b·d , a · (b × c)

γ=−

in ar

5. Si a, b, c y d son vectores arbitrarios y α, β, γ escalares que satisfacen

c·d a · (b × c)

re lim

6. Si a, b, c y d son vectores arbitrarios y α, β, γ escalares que satisfacen αa + βb + γc + d = 0

demuestre que si a, b y c son linealmente independientes, entonces α=−

d · (b × c) , a · (b × c)

β=−

d · (c × a) , a · (b × c)

γ=−

d · (a × b) a · (b × c)

rP

Ayuda: tome el producto escalar de la ecuación con b × c, a × c y a × b.

7. Demuestre que los vectores a = i+2j+k, b = 2i−j−k y c = 4i+3j+k son linealmente independientes. Escoja un vector d y verifique los resultados de los dos u ´ltimos ejercicios.

Aplicaciones del ´ algebra vectorial

ad o

1.5.

Uno de los terrenos m´ as exitosos de las aplicaciones del álgebra vectorial es la geometr´ıa anal´ıtica. Esto se realiza en base a la definici´ on que hiciéramos de radio vector, en la cual a cada punto, P, del espacio le asoci´ abamos un radiovector posici´ on tal y como lo mostramos en el cuadrante I de la Figura 1.4 . P ←→ (x, y, z) ≡ x1 , x2 , x3 ⇒ r (P ) = x i + y j + z k = x1 i1 + x2 i2 + x3 i3 = xi ii

Bo rr

A partir de esta definici´ on todas las propiedades geométricas del espacio las podemos construir con vectores.

1.5.1.

Rectas y vectores

La ecuaci´ on de la recta en término de vectores la definiremos fijando uno de sus puntos, digamos: r (P1 ) ≡ X (P1 ) = X1 = x1 i + y1 j + z1 k = x1(1) i1 + x2(1) i2 + x3(1) i3 ←→ (x1 , y1 , z1 ) ,

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23

in ar

´ 1.5. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECTORIAL

re lim

Figura 1.5: Geometr´ıa anal´ıtica y vectores cartesianos

rP

y un vector que indique su direcci´ on, digamos A = A1 i + A2 j + A3 k (ver cuadrante I de la Figura 1.5) con lo cual la ecuaci´ on de una recta en lenguaje vectorial será:  x = x1 + λA1      y = y1 + λA2 X = X1 + λA ⇒ x1 i + y1 j + z1 k+ λ (A1 i + A2 j + A3 k) ⇒      z = z1 + λA3 donde X = x i + y j + z k es el conjunto de puntos genéricos que cumple con la ecuación de la recta en 3D. Existe una manera m´ as elegante, como veremos en la sección siguiente, de reescribir las ecuaciones anteriores utilizando la notaci´ on de ´ındices, las ecuaciones ahora son más evidentes:

Bo rr

ad o

X = X1 + λA ⇒ xi ii = xi(1) ii + λAi ii ⇒ xi = xi(1) + λAi para i = 1, 2, 3 . donde: (x, y, z) ≡ x1 , x2 , x3 y (i, j, k) ≡ (i1 , i2 , i3 ). N´ otese que efectivamente se cumplen tres ecuaciones escalares y cada una de ellas tiene la forma de una recta. Adem´ as, tal y como se muestra la Figura 1.5 el punto genérico (x, y, z) lo describe (sobre la recta) la variaci´ on del m´ odulo de A mediante la constante de proporcionalidad λ. Si se requiere describir una recta que pase por dos puntos: (x1 , y1 , z1 ) y (x2 , y2 , z2 ) entonces una vez seleccionado uno de los puntos (digamos (x1 , y1 , z1 )) seleccionamos el vector A = r (P2 ) − r (P1 ) como la resta de los dos radiovectores a los puntos P2 y P1 . Esto es X1 + δX2 X1 − X X = X1 + λ (X2 − X1 ) ⇒ X = , con δ = . 1−δ X2 − X Aqu´ı la divisi´ on entre vectores δ tiene sentido porque no es una división entre vectores genéricos es una divisi´ on entre vectores que tienen la misma dirección Nótese además que, lo mismo ocurre cuando “despejamos” λ de la ecuaci´ on de la recta λ=

xi − xi(1) X − X1 x − x1 y − y1 z − z1 ⇒ xi = xi(1) + λAi ⇒ λ = = = = i A A Ax Ay Az

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24

´ 1.5. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECTORIAL

y equivalentemente ocurre cuando “despejamos” λ de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. λ=

1.5.2.

xi − xi(1) X − X1 y − y1 z − z1 x − x1 ⇒ xi = xi(1) + λ xi(2) − xi(1) ⇒ λ = i = = = i X2 − X1 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 x(2) − x(1)

Planos y vectores

B

Esto es, se tiene que cumplir la condici´ on

re lim

in ar

Ocurre exactamente lo mismo cuando construimos la ecuación vectorial para un plano. En general una superficie la define su vector normal (perpendicular). En el caso de una superficie plana (un plano) tendr´ a una u ńica normal que lo define, por lo tanto, un plano vendrá definido por su vector perpendicular en un punto, digamos Q = P1 : (x1 , y1 , z1 ). La ecuación vectorial del plano vendrá definida por todos los vectores −−→ P Q tales que sean perpendiculares a un determinado vector A (ver cuadrante II de la Figura 1.5). Donde el punto P es un punto genérico (x, y, z) que define un radiovector. La ecuación vectorial del plano ser´ a simplemente   −−→ A · P Q = A · r (P ) − r (P1 ) = 0 ⇔ A · (r − r1 ) = 0 ⇔ A · r = A · r1 | {z } | {z } b

(A1 i + A2 j + A3 k) · [(x i + y j + z k) − (x1 i + y1 j + z1 k)] = 0 (A1 i + A2 j + A3 k) · [(x − x1 ) i + (y − y1 ) j + (z − z1 ) k] = 0

rP

A1 (x − x1 ) + A2 (y − y1 ) + A3 (z − z1 ) = 0 con lo cual la ecuaci´ on del plano queda como siempre la hemos conocido A1 x + A2 y + A3 z − A1 x1 − A2 y1 − A3 z1 = 0 ⇒ A1 x + A2 y + A3 z = b = A1 x1 + A2 y1 + A3 z1

ad o

es decir, de manera m´ as compacta

Ai xi − Aj xj1 = 0 ⇒ Ak xk = b = Al xl1

Bo rr

Es claro que A · r1 = b es la proyecci´ on del radiovector r (P1 ) sobre la perpendicular que define al plano. Por lo tanto ser´ a la distancia entre el plano y el origen de coordenadas. Si b = 0 el plano pasa por el origen de coordenadas. Consideremos ahora el cuadrante III de la Figura 1.5. All´ı están especificados tres puntos en el espacio caracterizados por sus correspondientes radiovectores posición: r (P1 ) = r1 , r (P2 ) = r2 y r (P3 ) = r3 . Estos tres puntos ser´ an coplanares si m n n l l (r1 − r2 ) · [(r2 − r3 ) × (r3 − r1 )] = 0 ⇔ εmnl (xm 1 − x2 ) (x2 − x3 ) x3 − x1 = 0 y la ecuaci´ on vectorial del plano vendr´ a dada por

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(r − r1 ) · [(r2 − r1 ) × (r3 − r1 )] = 0 .

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25

´ 1.6. ALGEBRA VECTORIAL CON ÍNDICES

1.5.3.

Ejercicios

1. Para las rectas dadas a continuaci´ on encuentre los vectores posición para dos puntos diferentes sobre la recta y un vector unitario paralelo a la recta L. a) L : b) L :

3x−1 4 2x+1 3

= =

2y+3 2 3y+2 3

= 2 − 3z =

2−4z −1

2. Dada una linea recta L1 que pasa a través de los puntos (−2, 3, 1) y (1, 4, 6) encuentre:

in ar

a) El vector posici´ on de un punto sobre la recta y un vector paralelo a ésta. b) Una recta L2 paralela a L1 y que pase por el punto (1, 2, 1) 3. Una linea recta tiene como ecuaci´ on vectorial: r = a + λb, donde a = 3j + 2k y b = 2i + j + 2k. Encuentre la ecuaci´ on cartesiana de la recta y las coordenadas de tres puntos sobre la recta. 4. Una linea recta pasa por el punto (3, 2, −3) y paralela al vector a = 2i + 3j − 3k. Encuentre la ecuaci´ on cartesiana de la recta y las coordenadas de tres puntos sobre la recta.

a) A = 2i − 3j + k, P = (1, 0, 1) b) A = i − 2j + 2k, P = (2, −3, 4)

re lim

5. Encuentre la ecuaci´ on del plano con normal A y que contiene el punto P cuando:

6. Dado un plano que pasa por el punto (2, 3, −5) y con vector normal A = 2i + k, encuentre la forma cartesiana de la ecuaci´ on del plano. 7. El ´ angulo entre dos planos se define como el ángulo entre sus normales. Encuentre el ángulo entre los siguientes planos

1.6.

rP

a) x + 3y + 2z = 4 y 2x − 5y + z = 2 b) 3x + 2y − 2z = 4 y 2x + y + 2z = 1

´ Algebra vectorial con ´ındices

1.6.1.

ad o

Antes de comenzar con la presentaci´ on de este esquema de cálculo cabe aclarar algunas costumbres y convenciones con la notaci´ on de ´ındices.

Convenci´ on de Einstein

Bo rr

1. Los ´ındices repetidos (arriba y abajo) indicarán suma por los valores que tomen los ´ındices. Las componentes de los vectores tendr´ an ´ındices arriba y los vectores base abajo: a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 =

3 X

am em

⇔

a = am em = ai ei .

m=1

2. Los ´ındices repetidos son mudos (no importa la letra que lo etiquete) y representan suma. As´ı K j Aj = K m Am = K 1 A1 + K 2 A2 + K 3 A3 = B .

En este punto del discurso, la posici´ on de los ´ındices (arriba y abajo) solo tiene sentido estético y solo as´ı indican suma. M´ as adelante veremos que representan cantidades distintas.

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26

´ 1.6. ALGEBRA VECTORIAL CON ÍNDICES

3. Llamaremos contracci´ on cuando sumamos respecto a un par de ´ındices, vale decir: X Aii = A11 + A22 + A33 =⇒ Aii = A11 + A22 + A33 i

in ar

Las cantidades con dos o m´ as ´ındices las llamaremos componentes de tensores, son arreglos bidimensionales (tridimensionales, tetradimensionales, seg´ un el n´ umero de ´ındices) y serán considerados en detalle posteriormente. Por ahora, contentémonos con saber qué cosas son cantidades con dos ´ındices. Es claro que la contracci´ on de ´ındices convierte un conjunto de n´ umeros (i × j) → 1, en un sólo n´ umero. Los ´ındices libres (aquellos que no están sumados) indican el n´ umero de objetos disponibles y deben mantenerse. Por ejemplo:  1 K1 A1 + K12 A2 + K13 A3 = B1      K21 A1 + K22 A2 + K23 A3 = B2 Bi = Kik Ak ⇔      1 K1 A1 + K12 A2 + K13 A3 = B1

=0 k Kij

δki

=

1 K1j

δ11

+

|{z} =1

1 K2j

=0

=0

re lim

con lo cual Bi = Kik Ak representa 3 ecuaciones. La operación Bij = Kik Akj representa 9. La delta de Kronecker1 δik lleva un ´ındice arriba y uno abajo y representa δik = 1 si i = k, es nula en los otros casos. Por ejemplo: =0

=0

=0

z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ 1 2 2 2 3 3 3 δ12 + K3j δ13 + K1j δ21 + K2j δ22 + K3j δ23 + K1j δ31 + K2j δ32 + K3j δ33 |{z} |{z} =1

es decir

=1

rP

k i k i 1 2 3 Kij δk = Kkj = Kij = K1j + K2j + K3j .

ad o

Adem´ as de la delta de Kronecker introduciremos el s´ımbolo de permutación de Levi-Civita2 εijk para el caso de tres dimensiones, vale decir i, j, k = 1, 2, 3   +1 cuando {(i, j, k) = (1, 2, 3) ; (3, 1, 2) ; (2, 3, 1)} permutación c´ıclica −1 cuando {(i, j, k) = (1, 3, 2) ; (3, 2, 1) ; (2, 1, 3)} permutación impar o antic´ıclica εijk = εijk =  0 cuando {i = j , i = k ∧ j = k} y quiere decir que es distinto de cero cuando todos los ´ındices son diferentes: 1 si la permutación de ´ındices es c´ıclicas (o par) y −1 si la permutaci´ on es antic´ıclica (o impar). Si queremos calcular, por ejemplo: ci = εijk aj bk , entonces resulta:

Bo rr

c1 = ε111 a1 b1 + ε112 a1 b2 + ε113 a1 b3 + ε121 a2 b1 + ε122 a2 b2 + ε123 a2 b3 + ε131 a3 b1 + ε132 a3 b2 + ε133 a3 b3 c2 = ε211 a1 b1 + ε212 a1 b2 + ε213 a1 b3 + ε221 a2 b1 + ε222 a2 b2 + ε223 a2 b3 + ε231 a3 b1 + ε232 a3 b2 + ε233 a3 b3 c3 = ε311 a1 b1 + ε312 a1 b2 + ε313 a1 b3 + ε321 a2 b1 + ε322 a2 b2 + ε323 a2 b3 + ε331 a3 b1 + ε332 a3 b2 + ε333 a3 b3

1 LEOPOLD KRONECKER (7 diciembre 1823 Legnica, Polonia, 29 diciembre 1891, Berlin, Alemania) Matem´ atico polaco con importantes contribuciones en teor´ıa de n´ umeros, funciones el´ıpticas y a ´lgebra, as´ı como la interrelaci´ on entre estas disciplinas. 2 TULLIO LEVI-CIVITA (1873 Padova, Veneto, 1941 Roma, Italia) Ge´ ometra italiano y uno de los desarrolladores del C´ alculo Tensorial que m´ as tarde ser´ıa utilizado por Einstein y Weyl como el lenguaje de la Relatividad General.

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27

´ 1.6. ALGEBRA VECTORIAL CON ÍNDICES

con lo cual

 1 c = ε123 a2 b3 + ε132 a3 b2 = a2 b3 − a3 b2      c2 = ε231 a3 b1 + ε213 a1 b3 = a3 b1 − a1 b3 ci = εijk aj bk ⇒      3 c = ε312 a1 b2 + ε321 a2 b1 = a1 b2 − a2 b1

A continuaci´ on enumeramos algunas propiedades de la delta de Kronecker y del s´ımbolo de permutaci´ on de Levi-Civita, dejamos al lector su demostración. Ellas son:

εjkm εilm = δji δkl − δki δjl = δji δkl − δjl δki , εjmn εimn = 2δji , εijk εijk = 6 .

1.6.2.

Los vectores y los ´ındices

in ar

δjj = 3 ,

re lim

Disponemos ahora de una manera m´ as elegante para escribir ecuaciones que involucren vectores. Veamos que forma toma el ´ algebra vectorial con esta nueva notación. Sumas de vectores

La suma de vectores ser´ a expresada de la siguiente manera a + b = ai ei + bi ei = ai + bi ei = ci ei ⇒ ci = ai + bi

rP

Producto escalar

con i = 1, 2, 3

A partir da ahora y de forma equivalente, expresaremos el producto escalar en término de los ´ındices. De forma y manera que a · b = |a| |b| cos(θ)ab = ai bi con i = 1, 2, 3

ad o

Producto vectorial

En términos de ´ındices, la componente i del producto vectorial se puede expresar como i

ci = (a × b) = εijk aj bk

con i, j, k = 1, 2, 3

Bo rr

todas las particularidades de producto vectorial ahora descansan en las propiedades del s´ımbolo de Levy Civita. Triple producto mixto

Analicemos ahora el n´ umero (pseudoescalar) que proviene de la multiplicación 1 c i j k i j k c · (a × b) = |c| |a × b| cos(θ)hc,a×bi = c εijk a b = εijk c a b = a1 b1

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c2 a2 b2

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c3 a3 b3

28

´ 1.6. ALGEBRA VECTORIAL CON ÍNDICES

1.6.3.

Un par de c´ alculos ilustrativos

Mostraremos a continuaci´ on dos casos de identidades vectoriales que pueden ser fácilmente demostradas mediante la utilizaci´ on de ´ındices. 1. a × (b × c) = (c · a) b − (a · b) c El resultado ser´ a un vector, por lo tanto i

(a × (b × c)) = εijk aj (b × c)k

= εijk aj εkmn bm cn = εijk εkmn aj bm cn = εijk εmnk aj bm cn i j j i i j j i = δm δn − δm δn aj bm cn = δm δn aj bm cn − δm δn aj bm cn

in ar

i m j j = δm b δn aj cn − δni cn δm aj bm = bi an cn − ci aj bj | {z } |{z} (c·a)

i

i

(a·b)

= b (c · a) − c (a · b) = b (c · a) − c (a · b) En la segunda l´ınea hemos hecho uso de la identidad

re lim

εjkm εilm = δji δkl − δki δjl = δji δkl − δjl δki 2. (a × b) · (c × d) = (a · c) (b · d) − (a · d) (b · c) El lado derecho es un escalar, por lo tanto: l

(a × b) · (c × d) = (a × b) (c × d)l

rP

= εljk aj bk εlmn cm dn = εljk εlmn aj bk cm dn j k k j = εjkl εmnl aj bk cm dn = δm δn − δm δn aj bk cm dn j k k j = δm δn aj bk cm dn − δm δn aj bk cm dn

j = δm aj cm δ k bk dn − δ k bk cm δ j aj dn | {z }|n {z } |m {z }|n {z } (a·c)

(b·d)

(b·c)

(a·d)

1.6.4.

ad o

= (a · c) (b · d) − (b · c) (a · d) .

Escalares, pseudoescalares, vectores y pseudovectores

Bo rr

La diferencia entre vectores polares y axiales proviene del siguiente comportamiento bajo transformaciones de coordenadas y bases. Un vector polar (normal, com´ un y corriente) queda invariante bajo la siguiente transformaci´ on (reflexi´ on) ei → −ei =⇒ a = ai ei → −ai (−ei ) = ai ei = a . ai → −ai Mientras que un pseudovector o vector axial cambia de signo cuando las componentes de los vectores y sus vectores base que lo generan también lo hacen:  ei → −ei  ai → −ai =⇒ c = a × b → εijk (−aj ) (−bk ) (−ei ) = −ci ei = −c  bi → −bi

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29

´ 1.6. ALGEBRA VECTORIAL CON ÍNDICES

es decir a × b = a2 b3 − a3 b2 e1 + a3 b1 − a1 b3 e2 + a1 b2 − ay b1 e3 , luego de la reflexi´ on: −a2 −b3 − −a3 −b2 (−e1 ) + −a3 −b1 − −a1 −b3 (−e2 ) + −a1 −b2 − −a2 −b1 (−e3 ) = − a2 b3 − a3 b2 e1 + a3 b1 − a1 b3 e2 + a1 b2 − a2 b1 e3 = − (a × b)

in ar

a×b=

re lim

Existen varias e importantes cantidades f´ısicas que vienen representadas por pseudovectores, entre ellas mencionamos: Velocidad Angular: v =ω×r Cantidad de Movimiento Angular: L=r×p Torque: τ =r×F ∂B = −∇ × E Campo de Inducción Magnética: ∂t Adicionalmente el volumen, V = c · (a × b), como era de esperarse, no es invariante bajo el cambio del espacio  ci → −ci  ai → −ai =⇒ V = c · (a × b) = ci εijk aj bk → (−ci ) εijk (−aj ) (−bk ) = −V ,  bi → −bi

rP

el volumen es un pseudoescalar. Mientras que los escalares si son invariantes bajo esta transformación ai → −ai =⇒ ζ = a · b = ai bi → −ai (−bi ) = ζ . bi → −bi

ad o

En general también tendremos multiplicación entre algunos de estos objetos, con lo cual construiremos otros objetos.

Bo rr

Rotaci´ on de coordenadas: Ya que hablamos de invariancia de cantidades, existe otro tipo de transformaci´ on de coordenadas diferente a las reflexiones y que se denomina: rotación de coordenadas. Consideremos un sistema de coordenadas cartesiano (x, y, z) y su base canónica {i, j, k}. Si rotamos el sistema de coordenadas un ´ angulo φ alrededor del eje z tendremos un nuevo sistema de coordenadas (ˆ x, yˆ, zˆ) ˆ La regla de transformación que relaciona ambos sistemas de coordenadas es y una nueva base {î, ˆj, k}.   ˆ cos(φ) − yˆ sen(φ) ˆ = x cos(φ) + y sen(φ)  x = x  x y = x ˆ sen(φ) + yˆ cos(φ) ⇐⇒ yˆ = −x sen(φ) + y cos(φ)   z = zˆ zˆ = z Mientras que las bases transformar´ an, como   î = ˆj =  ˆ k =

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veremos más adelante, como: i cos(φ) + j sen(φ) −i sen(φ) + j cos(φ) k

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30

´ 1.6. ALGEBRA VECTORIAL CON ÍNDICES

Diremos que un triplete de n´ umeros a1 , a2 , a3 definen las componente de un vector a = a1 i + a2 j + a3 k si estas cantidades transforman bajo la rotación predicha de la siguiente manera:

in ar

a ˆ1 = a1 cos(φ) + a2 sen(φ) , a ˆ2 = −a1 sen(φ) + a2 cos(φ) , a ˆ3 = a3 Si a1 , a2 , a3 no transforman de esta manera, se dice que no son covariantes y no representan las componentes de un vector. Notemos también lo siguiente, al usar la notación de ´ındices podemos escribir las ecuaciones de transformaci´ on de coordenadas as´ı  ˆ = x cos(φ) + y sen(φ) x ˆ1 = α11 x1 + α21 x2 + α31 x3  x yˆ = −x sen(φ) + y cos(φ) ⇒ x ˆ2 = α12 x1 + α22 x2 + α32 x3 ⇒ x î = α ˆ ji xj , i, j = 1, 2, 3  3 3 1 3 2 3 3 zˆ = z x ˆ = α1 x + α2 x + α3 x Se puede ver f´ acilmente que las cantidades α ˆ ji , en coordenadas cartesianas, vienen dadas por α ˆ ji =

∂x î ∂xj

re lim

Como la transformaci´ on de coordenadas es invertible, se tiene que xj = αij x î , con: αij =

∂xj ∂x î

Y cumplen con la siguiente condici´ on de ortogonalidad:

α ˆ ki αij = δkj

Y por lo tanto, las componentes de un vector transformarán de la manera siguiente:

1.6.5.

rP

a î = α ˆ ji aj .

Ejercicios

1. Verifique las siguientes identidades

a) A × (B × C) + B × (C × A) + C × (A × B) = 0

ad o

b) (A × B) × (C × D) = B[A · (C × D)] − A[B · (C × D)] c) (A × B) · (C × D) + (B × C) · (A × D) + (C × A) · (B × D) = 0 d ) A · (B × A) = 0

Bo rr

e) (A × B) · (A × B) = A2 B 2 − (A × B)2 A·C A·D f ) (A × B) · (C × D) = B·C B·D

2. Demuestre la siguiente tabla de relaciones vector vector pseudovector vector vector pseudovector

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· · · × × ×

vector pseudovector pseudovector vector pseudovector pseudovector

= escalar = pseudoescalar = escalar = pseudovector = vector = pseudovector

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31

re lim

in ar

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Figura 1.6: Vectores variables

3. Demuestre que

rP

α ˆ ki αij = δkj

y adem´ as que, como un caso especial, establecer la relación con los cosenos directores que satisfacen cos(α)2 + cos(β)2 + cos(γ)2 = 1

a) (−y, x) b) (x, −y)

ad o

4. Demuestre si las siguientes componentes son componentes de un vector.

c) (x − y, x + y)

Bo rr

d ) (x + y, x − y)

1.7.

1.7.1.

Un comienzo a la derivaci´ on e integraci´ on de vectores Vectores variables

Los vectores podr´ an ser constantes o variables. Ahora bien, esta caracter´ıstica se verificará tanto en las componentes como en la base. Esto quiere decir que cuando un vector es variable podrán variar su m´ odulo, su direcci´ on, su sentido, o todo junto o por separado. Obviamente esta variabilidad del vector depender´ a de

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32

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

la base en la cual se exprese, por lo cual un vector podrá tener una componente constante en una base y no constante en otra, vale decir 0 A (t) = Ak (t) ek (t) = Ak ek0 (t) . N´ otese que hemos utilizado una base {ek (t)} de vectores variables a diferencia de la tradicional base de vectores cartesianos, los cuales son constantes en módulo, dirección y sentido (ver los cuadrantes I y II de la Figura 1.6). M´ as a´ un, tal y como se muestra en cuadrante II de la Figura 1.6, todo vector variable podr´ a ser expresado como la suma de una variable, a (t), más otro constante c A (t) = a (t) + c .

Derivaci´ on

in ar

1.7.2.

Ahora bien, esto implica que

d d A (t) + B (t) , dt dt d d = α (t) A (t) + α (t) A (t) , dt dt d d = A (t) · B (t) + A (t) · B (t) , dt dt d d = A (t) × B (t) + A (t) × B (t) . dt dt =

rP

d [A (t) + B (t)] dt d [α (t) A (t)] dt d [A (t) · B (t)] dt d [A (t) × B (t)] dt

re lim

De esta manera, cuando uno piensa en un vector variable A (t) uno rápidamente intenta establecer un cociente incremental: ∆A (t) dA (t) A (t + ∆t) − A (t) = l´ım = l´ım ∆t→0 ∆t→0 ∆t ∆t dt el cuadrante IV de la Figura 1.6 ilustra gr´ aficamente este cociente incremental. Como siempre, las propiedades de esta operación derivación serán:

d Ak (t) ek (t) dAk (t) dek (t) dA (t) = = ek (t) + Ak (t) A (t) = A (t) ek (t) ⇒ dt dt dt dt

ad o

k

Bo rr

con lo cual hay que tener cuidado al derivar vectores y cerciorarse de la dependencia funcional de la base y componentes. Habr´ a sistemas de coordenadas (bases de vectores) que serán constantes y otros en los cuales sus vectores bases cambiar´ an en su dirección. El primer término de la u ´ltima ecuación representa la variaci´ on del m´ odulo, y el segundo muestra la contribución de los cambios en dirección del vector. Más a´ un, mostraremos apoy´ andonos en la ilustraci´ on de el cuadrante III de la Figura 1.6 que, independientemente del sistema de coordenada, el cambio en el módulo apunta en la dirección del vector, mientras que las contribuciones en direcci´ on apuntan en la dirección perpendicular al vector. Esto es: dA (t) d |A (t)| ˆ k + |A (t)| u ˆ⊥ , = u dt dt

ˆk · u ˆ⊥ = 0 . con u

Es f´ acil convencernos de la forma del primer término. Siempre podemos representar un vector como su m´ odulo y un vector unitario en la direcci´ on apropiada. Esto es ˆ (t) ⇒ A (t) = |A (t)| u

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ˆ (t)] dA (t) d [|A (t)| u d |A (t)| dˆ u (t) ˆ (t) + |A (t)| = = u , dt dt dt dt

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´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

2

Adicionalmente: |A (t)| = A (t) · A (t), por lo tanto h i 2 d |A (t)| d [A (t) · A (t)] d |A (t)| dA (t) ≡ = 2 |A (t)| ≡ 2A (t) · , dt dt dt dt con lo cual, al despejar de esta u ´ltima ecuación A (t) dA (t) dA (t) d |A (t)| ˆ (t) · ≡ · =u , dt |A (t)| dt dt | {z } para que finalmente

in ar

ˆ (t) u

 d |A (t)| dA (t)   ˆ (t) · =   u dt dt

dA (t) d |A (t)| dˆ u (t) ˆ (t) · ˆ (t) · ˆ (t) + |A (t)| u =u u ⇒  dt dt dt   

ˆ (t) · u

dˆ u (t) =0 dt

re lim

Es decir que el cambio en el m´ odulo de un vector se manifiesta en la dirección del mismo vector, tal y como era intuitivo suponer. Adicionalmente, vemos que el vector siempre será perpendicular a su derivada. Gr´ aficamente podemos apreciarlo en el cuadrante IV de la Figura 1.6 , pero también surge anal´ıticamente si derivamos el vector unitario en la direcci´ on de A (t) 2 d |ˆ u (t)| ˆ (t)] d [ˆ u (t) · u d (1) dˆ u (t) dˆ u (t) ˆ (t) · ˆ (t) ⊥ ≡ = ≡0=u ⇒ u , dt dt dt dt dt es decir

rP

ˆ (t)] d [|A (t)| u d |A (t)| dˆ u (t) d |A (t)| dA (t) ˆ (t) + |A (t)| ˆ k + |A (t)| u ˆ⊥ . = = u = u dt dt dt dt dt Supongamos que ahora definimos un vector

ad o ˆ ∆θ = ∆θ v

con

 ˆ×u ˆk = u ˆ⊥ v      ˆ⊥ × v ˆ=u ˆk u ⇒       ˆk × u ˆ⊥ = v ˆ u

  ˆ⊥u ˆk   v 

ˆ⊥u ˆ⊥ v

          

donde ∆θ es el ´ angulo de rotaci´ on del vector A (t) (ver cuadrante V de la Figura 1.6). Claramente

Bo rr

ˆ ⊥ ≈ [A (t + ∆t) ∆θ] u ˆ ⊥ ⇒ ∆A⊥ = ∆θ × A (t) , ∆A⊥ = [A (t + ∆t) sen (∆θ)] u

entonces

∆A⊥ ∆A ∆θ dA (t) dθ (t) ˆ⊥ u ˆ⊥ = ˆ × A (t) = ω × A (t) , ≡ · A⊥ A⊥ = × A (t) ⇒ ·u v ∆t ∆t ∆t dt dt

ˆ as allá observando el cuadrante V de la Figura 1.6, donde hemos identificado ω = dθ(t) dt v. Podemos ir m´ vemos que si suponemos que el m´ odulo del vector es constante, entonces dA (t) dA (t) d |A (t)| ˆ⊥ ⇒ ˆ⊥ u ˆ ⊥ = ω × A (t) . =0 ⇒ = |A (t)| u ·u dt dt dt

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34

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

1.7.3.

Velocidades y aceleraciones

El radio vector posici´ on de una part´ıcula genera los vectores velocidad y aceleración r = r (t) ⇒ v (t) =

dr (t) dv (t) d2 r (t) , ⇒ a (t) = = dt dt dt2

ahora bien ˆ r = cos(θ) i + sen(θ) j . con: u

Si suponemos que la part´ıcula describe una trayectoria entonces   r = r (t)   x = x (t) ˆr = u ˆ r (t) ; y = y (t) ; u ⇐⇒   θ = θ (t) z = z (t)

i = const j = const k = const

in ar

r = rˆ ur = xi + yj + zk ,

dˆ ur dt

=

re lim

Es muy com´ un denotar a la derivada temporal sobre funciones de una variable con un punto, es decir, podemos utilizar la siguiente notaci´ on dg (t) , g(t) ˙ ≡ dt con lo cual d [cos(θ (t))i + sen(θ (t))j] ˙ ˙ uθ , = θ(t)[− sen(θ (t))i + cos(θ (t))j] = θ(t)ˆ | {z } dt ˆθ u

Ya que

p p ˆr · u ˆ r = [cos(θ (t)) i + sen(θ (t)) j] · [cos(θ (t)) i + sen(θ (t)) j] = 1 u

|ˆ uθ | =

p p ˆθ · u ˆ θ = [− sen(θ (t)) i + cos(θ (t)) j] · [− (sen(θ (t)))i + cos(θ (t))j] = 1 , u

rP

|ˆ ur | =

entonces: M´ as a´ un

ad o

ˆθ · u ˆr = u ˆr · u ˆ θ = [− sen(θ (t)) i + cos(θ (t)) j] · [cos(θ (t)) i + sen(θ (t)) j] = 0 . u

dˆ uθ d [−sen(θ (t)) i + cos(θ (t)) j] ˙ [cos(θ (t)) i + sen(θ (t)) j] = −θ(t)ˆ ˙ ur . = = −θ(t) dt dt

Bo rr

Para una part´ıcula que sigue un movimiento arbitrario, su trayectoria vendrá descrita, en coordenadas cartesianas, por: r = x (t) i + y (t) j + z (t) k , Su velocidad ser´ a v (t) =

dr (t) d [x (t) i + y (t) j + z (t) k] = = x(t)i ˙ + y(t)j ˙ + z(t)k ˙ = vx (t) i + vy (t) j + vz (t) k , dt dt

Y su aceleraci´ on

a (t) = v˙ x (t)i + v˙ y (t)j + v˙ z (t)k = ax (t) i + ay (t) j + az (t) k .

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´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Mientras que en coordenadas polares las ecuaciones son: ˆ r (t) ⇒ v (t) = r (t) = r (t) u

ˆ r (t)] d [r (t) u dˆ ur (t) = r(t)ˆ ˙ ur (t) + r (t) , dt dt

Velocidad: ˙ uθ (t) , ˆ r (t) + r (t) θ(t)ˆ v (t) = vr (t) u Aceleraci´ on: dv (t) = dt

= r¨(t)ˆ ur (t) + r(t) ˙

ˆ r (t)] d [vr (t) u + dt

dt

dˆ ur (t) uθ (t) ˙ uθ (t) + r (t) θ(t)ˆ ¨ uθ (t) + r (t) θ(t) ˙ dˆ + r(t) ˙ θ(t)ˆ dt dt

˙ r¨(t) − r (t) θ(t)

2

n o ˙ + r (t) θ(t) ¨ ˆ r (t) + 2 r(t) ˆ θ (t) . u ˙ θ(t) u

re lim

=

=

dt

h i ˙ uθ (t) d r (t) θ(t)ˆ

in ar

a (t) =

h i ˙ uθ (t) ˆ r (t) + r (t) θ(t)ˆ d vr (t) u

rP

Claramente para el caso de un movimiento circular  ˆ r (t) r (t) = R u      dR ˙ uθ v (t) = R θ(t)ˆ =0 ⇒ r = R = const ⇒  dt     ˙ 2u ¨ uθ (t) ˆ r (t) + R θ(t)ˆ a (t) = −R θ(t)

ad o

De aqu´ı podemos ver claramente que el vector velocidad v (t) y el vector posición r (t) son ortogonales. La velocidad, v (t) , siempre es tangente a la trayectoria r (t) y en este caso la trayectoria es una circunferencia. En general el vector Z X X X ∆ r (ti ) = dr (t) = r (t) , rmed = ∆ r (ti ) = (r (ti + ∆ti ) − r (ti )) ⇒ l´ım i

i

es decir dr (t) = l´ım∆t→0

P

i

∆t→0

i

∆ r (ti ) es tangente a la trayectoria. Es claro que

dr (t) = d [x (t) i + y (t) j + z (t) k] ≡

dx (t) dy (t) dz (t) i+ j+ k. dt dt dt

Bo rr

Tal y como mencionamos arriba, para el sistema de coordenadas cartesiano podemos definir un vector (en este caso) velocidad angular ω tal que:  ω ˆr = u ˆv  ×u   |ω|       ω ˆr ˆv × =u u ⇒ v (t) = ω × r (t) |ω|      ω     ˆr × u ˆv = u |ω|

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36

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Supongamos por simplicidad que elegimos el sistema de coordenadas cartesiano, donde r está en el plano x, y. En este caso es inmediato comprobar que v i = εijk ωj xk , y dado que r y v tienen u ńicamente componentes 1 y 2 entonces, necesariamente ω tiene u ńicamente componente 3, Es decir   1  r = ri ei   v = ε1j2 ωj x2  ⇒ ⇒ ω = |ω| e3 = ωk ,   2  v = v i ei v = ε2j1 ωj x1 como r = x (t) i + y (t) j , entonces

in ar

dr (t) ˙ = vx (t) i + vy (t) j = ω × r (t) = θ(t)k × [x (t) i + y (t) j] , dt se ver´ a m´ as claro en coordenadas polares, esto es v (t) =

dr (t) ˙ uθ (t) = [|ω| u ˆ n (t)] × [r (t) u ˆ r (t)] , |r (t)| = const =r (t) θ(t)ˆ dt ˙ u ˙ ≡ |ω| . ˆ θ (t) = |ω| r (t) u ˆ θ (t) ⇒ θ(t) =r (t) θ(t) | {z } v⊥

1.7.4.

Vectores y funciones

re lim

v (t) =

Antes de continuar con la integraci´ on repensemos algunas funciones de tipo φ (x, y, z) y V (x, y, z). Estas funciones son sin duda funciones de varias variables: φ = φ (x, y, z) ,

rP

V = V (x, y, z) = iVx (x, y, z) + jVy (x, y, z) + kVz (x, y, z) .

ad o

Un par de reflexiones se pueden hacer en este punto, primeramente, dado que hemos relacionado un punto del espacio con un radio vector posici´ on, entonces   φ = φ (x, y, z) ≡ φ (r) P(x,y,z) ↔ (x, y, z) ↔ r = x i + y j + z k ⇒  V = V (x, y, z) ≡ V (r)

Bo rr

La primera funci´ on, φ (r), ser´ a una funci´ on escalar de argumento vectorial o, simplemente un campo escalar y la segunda, V (r), se conoce como una función vectorial de argumento vectorial o campo vectorial. Como hemos dicho, este tipo de funciones y las operaciones que pueden ser realizadas con ellas, y su significado, ser´ an analizadas en detalle m´ as adelante durante el desarrollo de este curso. En segundo lugar, siempre podremos parametrizar las coordenadas y tendremos φ = φ (t) = φ (x (t) , y (t) , z (t)) , V = V (t) = V (x (t) , y (t) , z (t)) = Vx (x (t) , y (t) , z (t)) i + Vy (x (t) , y (t) , z (t)) j + Vz (x (t) , y (t) , z (t)) k .

Este caso lo hemos encontrado en montones de situaciones, por ejemplo, el movimiento parabólico viene

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37

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

descrito por vectores velocidad y posici´ on dados por:   vx = v0x vy = v0y v(t) = −gt k + v0 = −gt k + (v0x i + v0y j + v0z k) ⇒  vz = v0z − gt

Derivada de funciones φ (r (t))

in ar

  x = v0x t g 2 g 2 y = v0y t r(t) = − t k + v0 t = − t k + (v0x i + v0y j + v0z k) t ⇒  2 2 z = v0z t − g2 t2

Al derivar una funci´ on de argumento vectorial también se aplica la “regla de la cadena”. Esto es, si φ (r (t)) = φ (x (t) , y (t) , z (t)) entonces:

=

re lim

∂φ (x (t) , y (t) , z (t)) dx (t) ∂φ (x (t) , y (t) , z (t)) dy (t) ∂φ (x (t) , y (t) , z (t)) dz (t) dφ (r (t)) = + + dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂φ (x, y, z) ∂φ (x, y, z) ∂φ (x, y, z) dx (t) dy (t) dz (t) i+ j+ k · i+ j+ k ∂x ∂y ∂z dt dt dt

donde hemos representado ∇φ (r (t)) ≡

dr (t) , dt

rP

= ∇φ (x (t) , y (t) , z (t)) ·

∂φ (x, y, z) ∂φ (x, y, z) ∂φ (x, y, z) i+ j+ k = ∂ i φ xj ii = φ,i xj ii , ∂x ∂y ∂z

Bo rr

ad o

y lo llamaremos el gradiente de la funci´ on φ (r (t)). El gradiente de un campo escalar es uno de los objetos más u ´tiles que encontraremos en el estudio de problemas de f´ısica-matem´ atica, el cual lo utilizaremos por ahora de manera operacional. Es bueno recordar que emerge como consecuencia de una derivación contra un parámetro. El gradiente mide el cambio de la funci´ on φ (x, y, z). La idea de gradiente nos lleva a considerar a ∇ como un operador vectorial que act´ ua sobre la funci´ on escalar de variable vectorial φ (r (t)). Es decir, y con un poquito de imaginación ∂ ∂ ∂ ∇φ (r (t)) ≡ i+ j+ k φ (x, y, z) = ii ∂ i φ (x, y, z) ∂x ∂y ∂z ⇓

∇ (◦) =

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∂ ∂ ∂ i+ j+ k (◦) = ii ∂ i (◦) . ∂x ∂y ∂z

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38

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Derivada de funciones V (r (t)) De modo que inspirados en la regla de la cadena de una función escalar de variable vectorial podemos comprobar que dV dVx (x, y, z) dVy (x, y, z) dVz (x, y, z) dV i (x, y, z) = i+ j+ k= ii dt dt dt dt dt por consiguiente, si V, tiene por componentes cartesianas (Vx , Vy , Vz ) las componentes del vector derivado dVz x dVy ser´ an dV , , dt dt dt . Con lo cual cada componente

in ar

d V i (x (t) , y (t) , z (t)) d V i xj (t) ∂ V i xj dxk (t) dr (t) = = = · ∇ V i (x, y, z) , dt dt ∂xk dt dt en términos vectoriales

dr (t) d (◦) · ∇ V ≡ (v · ∇) V ⇒ = (v · ∇) (◦) ≡ v i ∂i (◦) , dt dt

re lim

dV = dt

con v la derivada del radiovector posici´ on r (t), es decir, la velocidad. Entonces, estamos viendo que el cambio del vector V respecto al tiempo es el cambio de sus componentes en la dirección de la velocidad. Si se nos ocurre calcular la derivada del vector velocidad para encontrar la aceleración tendremos que nos quedar´ a expresada como dv a= = (v · ∇) v ⇒ ai = (v · ∇) v i , dt

1.7.5.

El operador ∇

rP

donde las componentes cartesianas de los vectores velocidad y aceleración son: v i = v i (x (t) , y (t) , z (t)) y ai = ai (x (t) , y (t) , z (t)), respectivamente.

El operador vectorial ∇ (◦) merece un poco de atención en este nivel. Tal y como hemos visto: El Gradiante

ad o

∂φ (x, y, z) ∂φ (x, y, z) ∂φ (x, y, z) i+ j+ k, ∂x ∂y ∂z = ∂ 1 φ (x, y, z) i1 + ∂ 2 φ (x, y, z) i2 + ∂ 3 φ (x, y, z) i3 = ∂ i φ xj ii .

∇φ (x, y, z) =

Bo rr

Pero es posible construir otras combinaciones realizando operaciones igual como con un vector com´ un y corriente El Rotor

As´ı en el caso de ∇ × E, que se denomina rotor de E, este viene definido por ∂ ∂ ∂ ∇×E= i+ j+ k × (Ex i + Ey j + Ez k) ∂x ∂y ∂z

=

Hern´ andez & N´ un ˜ez

∂Ez ∂Ey − ∂y ∂z

i+

∂Ex ∂Ez − ∂z ∂x

j+

∂Ey ∂Ez − ∂x ∂y

k = εijk ∂j Ek ii .

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39

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Divergencia También podemos hablar del “producto escalar” de nabla por un vector A. A esta operación la llamaremos divergencia de A: ∂Ax (x, y, z) ∂Ay (x, y, z) ∂Az (x, y, z) ∂Ai xj ∇·A= ≡ ∂i Ai xj ≡ + + , i ∂x ∂x ∂y ∂z pero por ahora consideremos nabla ∇ como un vector. De este modo habr´ a una gran cantidad de relaciones vectoriales que involucran a ∇, las cuales se podr´ an demostrar. Veamos algunos ejemplos.

~ × b + εijk bj (∇ × a) bj ∂ j ai + εijk aj ∇ k k i j ijk m n ijk m n bj ∂ a + ε aj εkmn ∂ b + ε bj εkmn ∂ a bj ∂ j ai + εijk εmnk aj ∂ m bn + εijk εmnk bj ∂ m an i j j i i j j i bj ∂ j ai + δm δn − δm δn aj ∂ m bn + δm δn − δm δn bj ∂ m an

re lim

mientras que el lado derecho i (∇ (a · b)) = aj ∂ j bi + = aj ∂ j bi + = aj ∂ j bi + = aj ∂ j bi +

in ar

1. ∇ (a · b) = (a · ∇) b + (b · ∇) a + a × (∇ × b) + b × (∇ × a) El resultado es un gradiente, es decir un vector. El lado izquierdo será i (∇ (a · b)) = ∂ i (a · b) = ∂ i aj bj = ∂ i aj bj + ∂ i bj aj

i j j i i j j i = aj ∂ j bi + bj ∂ j ai + δm δn aj ∂ m bn − δm δn aj ∂ m bn + δm δn bj ∂ m an − δm δn bj ∂ m an

= aj ∂ j bi + bj ∂ j ai + an ∂ i bn − am ∂ m bi + bn ∂ i an − bm ∂ m ai

rP

= aj ∂ j bi − am ∂ m bi + bj ∂ j ai − bm ∂ m ai + an ∂ i bn + bn ∂ i an {z } | {z } | =0 =0 = an ∂ i bn + bn ∂ i an = ∂ i aj bj = ∂ i (a · b) .

2. ∇ × (a · ∇) a = (∇ · a) (∇ × a) − [∇ · (∇ × a)] a + (a · ∇) (∇ × a) − [(∇ × a) · ∇] a

ad o

Iniciamos la traducci´ on a ´ındices por el lado izquierdo de la ecuación, as´ı ∇ × (a · ∇) a = ijk ∂j (am ∂ m ) ak = ijk (∂j am ) ∂ m ak + ijk am ∂j ∂ m ak = ijk (∂j am ) ∂ m ak + am ∂ m ijk ∂j ak ,

el lado derecho lo traduciremos término por término

Bo rr

(∇ · a) (∇ × a) = (∂ m am ) ijk ∂j ak − [∇ · (∇ × a)] a = − ∂m mjk ∂j ak ai = − mjk ∂m ∂j ak ai = 0 (a · ∇) (∇ × a) = am ∂ m ijk ∂j ak − [(∇ × a) · ∇] a = − mjk ∂j ak ∂m ai .

El segundo término se anula por cuanto mjk es antisimétrico respecto a los ´ındices m, j mientras que ∂m ∂j es simétrico. El tercer término del desarrollo del lado derecho corresponde con el segundo del desarrollo del lado izquierdo. Por lo tanto, llegamos a la siguiente igualdad ijk (∂j am ) ∂ m ak = (∂ m am ) ijk ∂j ak − mjk ∂j ak ∂m ai

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40

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Para verificar la igualdad tendremos que evaluar componente a componente. Esto es, para el lado izquierdo: 1jk (∂j am ) ∂ m ak = 123 (∂2 am ) ∂ m a3 + 132 (∂3 am ) ∂ m a2 = (∂2 am ) ∂ m a3 − (∂3 am ) ∂ m a2 = (∂2 a1 ) ∂ 1 a3 + (∂2 a2 ) ∂ 2 a3 + (∂2 a3 ) ∂ 3 a3 − (∂3 a1 ) ∂ 1 a2 − (∂3 a2 ) ∂ 2 a2 − (∂3 a3 ) ∂ 3 a2 , mientras que para el primer término del lado derecho (∂ m am ) 1jk ∂j ak = (∂ m am ) 123 ∂2 a3 + (∂ m am ) 132 ∂3 a2 α

in ar

= ∂2 a3 ∂ 1 a1 + ∂2 a3 ∂ 2 a2 + ∂2 a3 ∂ 3 a3 − ∂3 a2 ∂ 1 a1 − ∂3 a2 ∂ 2 a2 − ∂3 a2 ∂ 3 a3 , | {z } | {z } β

y el segundo término se escribe como − mjk ∂j ak ∂m ai = − 1jk ∂j ak ∂1 a1 − 2jk ∂j ak ∂2 a1 − 3jk ∂j ak ∂3 a1

re lim

= − (∂2 a3 − ∂3 a2 ) ∂1 a1 − (∂3 a1 − ∂1 a3 ) ∂2 a1 − (∂1 a2 − ∂2 a1 ) ∂3 a1

= ∂3 a2 ∂1 a1 − ∂2 a3 ∂1 a1 + ∂1 a3 ∂2 a1 − ∂3 a1 ∂2 a1 + ∂2 a1 ∂3 a1 − ∂1 a2 ∂3 a1 . | {z } | {z } | {z } | {z } α

β

γ

γ

Al sumar ambos términos se eliminan los sumandos indicados con letras griegas, y queda como (∂ m am ) 1jk ∂j ak − mjk ∂j ak ∂m ai = ∂2 a3 ∂2 a2 + ∂2 a3 ∂3 a3 Ξ

Υ

−∂3 a2 ∂2 a2 −∂2 a2 ∂3 a3 + ∂1 a3 ∂2 a1 −∂1 a2 ∂3 a1 ,

rP

Ω

Ψ

Λ

Σ

y al compararlo con el desarrollo del lado derecho e identificar término a término queda demostrada la igualdad 1jk (∂j am ) ∂ m ak = (∂2 a1 ) ∂1 a3 + (∂2 a2 ) ∂2 a3 + (∂2 a3 ) ∂3 a3 Λ

Ξ

Υ

ad o

− (∂3 a1 ) ∂1 a2 − (∂3 a2 ) ∂2 a2 − (∂3 a3 ) ∂3 a2 . Σ

Ω

Ψ

De igual manera se procede con i = 2 e i = 3.

1.7.6.

Integraci´ on

Bo rr

Después de haber diferenciado campos escalares y vectoriales, el siguiente paso es integrarlos. Encontraremos algunos objetos vectoriales a integrar y serán: Integraci´ on de un vector por un escalar Z V (u) du

Integraci´ on de un escalar a lo largo de un vector Z φ (x, y, z) dr c

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41

´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Integraci´ on de un vector a lo largo de otro vector Z V (x, y, z) · dr c

El primero de los casos es el tipo de integral que siempre hemos utilizado para encontrar la posici´ on a partir de la velocidad. Los siguientes tres casos se conocen con el nombre de integrales de l´ınea por cuanto es importante la “ruta” o trayectoria que sigamos al integrar. Esto aparece indicado por la letra C en la integral y ser´ a evidente m´ as adelante. En general la integral de l´ınea dependerá de la trayectoria. R

V (u) du

in ar

Un vector por un escalar:

El primer caso de este tipo integrales es el trivial que ya sabemos calcular: Z Z Z Z Z i V (u) du = i Vx (u) du + j Vy (u) du + k Vz (u) du = V (u) du ii .

re lim

La integral de un vector (en un sistema de coordenadas cartesianas) por un escalar se convierte en la suma de tres integrales, cada una a lo largo de las componentes cartesianas del vector. As´ı integramos la aceleraci´ on de un movimiento parabólico Z Z dv = a = −g k ⇒ v = a dt = k −g dt = −k gt + v0 = −k gt + iv0x + jv0y + kv0z dt

rP

Ahora bien, existen sutilezas en este caso que debemos tener en cuenta. Por ejemplo, considere la integral Z Z Z d da da da d da da d2 a a× − × = dt a× =a× + c. dt a × 2 = dt dt dt dt dt dt dt dt dt Pero en general los casos quedan resueltos integrando componente a componente con la ayuda de la notaci´ on de ´ındices Z Z ijk dt (a × b) = dt ε aj bk ii .

ad o

Ejemplo: Tal vez, uno de los problemas que ilustra mejor esta situación es el movimiento bajo fuerzas centrales. La Ley de Gravitaci´ on de Newton nos dice que para un sistema de dos masas, m y M se tiene: X

F = m a ⇒ mG

M

2 rmM

u ˆr = m

dv dv GM ⇒ = 2 u ˆr . dt dt rmM

Bo rr

Es costumbre definir la velocidad aerolar, va , como el área barrida por el radio vector posición, r (t) que describe la trayectoria de la part´ıcula dr d (r u ˆr ) dr dˆ ur dˆ ur dˆ ur 2va = r × =ru ˆr × = rˆ ur × u ˆr + r =ru ˆr × r = r2 u ˆr × . dt dt dt dt dt dt N´ otese que:

d dt

dˆ ur dˆ ur dˆ ur u ˆr × =0 ⇒ u ˆr × = c ⇒ 2va = r2 u ˆr × = const , dt dt dt

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´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

donde c es un vector constante, con lo cual d dv GM GM (v × va ) = × va = 2 u ˆ r × va = dt dt rmM 2 d GM (v × va ) = dt 2

dˆ ur u ˆr × u ˆr × dt

dˆ ur dˆ ur GM dˆ ur u ˆr · u ˆ r − (ˆ ur · u ˆr ) = , dt dt 2 dt

integrando GM u ˆr + p 2 donde p es un vector arbitrario que aparece como constante de integración. Finalmente nos damos cuenta que GM GM u ˆr + p = r + rp cos(θ) r · (v × va ) = r u ˆr · 2 2

in ar

v × va =

y entonces va2

re lim

= εijk ri vj vak ≡ va · (r × v) = va · va = va2

GM r + rp cos(θ) ⇒ r = = 2

GM 2

va2 ≡ + p cos(θ) 1+

2 2va GM 2p GM cos(θ)

que constituye la ecuaci´ on de una curva c´ onica ¿Cuál curva? R C

φ (r) dr

rP

Un escalar a lo largo de un vector:

El segundo objeto que “tropezaremos” es la integración de funciones de varias variables a lo largo de una curva determinada. Esto es Z Z Z Z Z φ (x, y, z) dr = φ (x, y, z) (dxi + dyj + dzk) = i φ (x, y, z) dx + j φ (x, y, z) dy + k φ (x, y, z) dz . C

C

C

C

ad o

C

La integral se nos ha convertido en tres integrales, las cuales son ahora componentes de un vector. Esto es posible dado que la base (i, j, k) es una base constante. Ahora bien, cada una de estas integrales son interdependientes, dado que hay que seguir la misma curva C. Consideremos el caso bidimensional que es m´ as simple y contiene toda la riqueza conceptual del tridimensional.

Bo rr

Ejemplo:

φ (x, y) = 3x2 + 2y ⇒

Z

(1,2)

(0,0)

3x2 + 2y dr = i

Z

(1,2)

(0,0)

3x2 + 2y dx + j

Z

(1,2)

3x2 + 2y dy

(0,0)

Se requiere especificar la curva C a lo largo de la cual integraremos desde el punto P1 → (0, 0) al punto P2 → (1, 2).

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´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Si recorremos la ruta C1 : (0, 0) → (1, 0) → (1, 2) podemos hacerlo de la manera más sencilla: Z (1,0) Z (1,0) Z 1 2 2 (0, 0) → (1, 0) ⇒ y = cte = 0 ⇒ 3x + 2y dr = i 3x + 2y dx = i 3x2 dx = i (0,0)

(0,0)

(1,0)

3x2 + 2y dr = j

(1,2)

Z

3x2 + 2y dy = j

Z

(3 + 2y) dy = 10j 0

(0,0)

(0,0)

con lo cual Z C1 ←→ (0, 0) → (1, 0) → (1, 2) ⇒ −−−−−→ −−−−−→ C1A

C1B

2

(1,2)

3x2 + 2y dr = i + 10j

in ar

Z (1, 0) → (1, 2) ⇒ x = cte = 1 ⇒

0

(0,0)

Si hubiéramos seleccionado la recta que une a estos dos puntos como la curva C2 entonces C2 : y = 2x ⇒ dy = 2dx , entonces (1,2)

3x2 + 2y dr = i

(0,0)

Z

(1,2)

3x2 + 2y dx + j

(0,0) 1

Z =i

(1,2)

Z

re lim

Z

3x2 + 2y dy

(0,0) 1

3x2 + 2 (2x) dx + j

0

Z

3x2 + 2 (2x) 2dx = 3i + 6j

0

En general la curva C se puede paramétrizar y las integrales en varias variables se convertirán en integrales a lo largo del par´ ametro que caracteriza la curva

rP

C : {x = x (τ ) , y = y (τ ) , z = z (τ )}

ad o

Por lo tanto: Z Z ∂x (τ ) ∂y (τ ) ∂z (τ ) φ (x, y, z) dr = φ (x (τ ) , y (τ ) , z (τ )) dτ i + dτ j + dτ k ∂τ ∂τ ∂τ C C Z Z ∂x (τ ) ∂y (τ ) =i φ (x (τ ) , y (τ ) , z (τ )) dτ + j φ (x (τ ) , y (τ ) , z (τ )) dτ ∂τ ∂τ C C Z ∂z (τ ) dτ . +k φ (x (τ ) , y (τ ) , z (τ )) ∂τ C

Bo rr

Las parametrizaciones para las curvas anteriores son muy simples     x=τ  x=2  x=τ C1A = ; C1B = ; C2 =    y=0 y=τ y = 2τ

Un vector a lo largo de otro vector:

R C

F (r) · dr

R Quiz´ a la integral de l´ınea m´ as conocida sea una del tipo C F (r) · dr por cuanto nos la hemos “tropezado” en el c´ alculo del trabajo que realiza una fuerza. Todo lo que hemos considerado al parametrizar la curva en el caso anterior, sigue siendo v´ alido. Z Z Z Z Z F (r) · dr = Fx (x, y, z) dx + Fy (x, y, z) dy + Fz (x, y, z) dz = F i xj dxi C

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C

C

C

C

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´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

Ejemplo:

Si consideramos F (r) = 3x2 + 2xy 3 i + 6xy j ,

entonces Z (1, 43 √2)

Z (1, 34 √2)

3x2 + 2xy 3 i + 6xy j (dx i + dy j)

F (r) · dr = (0,0)

Z (1, 34 √2) =

2

3x + 2xy

3

Z (1, 43 √2) dx +

(0,0)

6xy dy , (0,0)

in ar

(0,0)

y si la curva que une esos puntos viene parametrizada por   ∂x(τ ) x = 2τ 2   ∂τ = 4τ ⇒   ∂y(τ ) y = τ3 + τ = 3τ 2 + 1 ∂τ

Z (1, 34 √2)

√

2

3x + 2xy

3

Z

2 2

dx =

3 2τ 2

2

0

(0,0)

√

Z

2 2

= 0

Y la segunda

Z

√ 2 2

Z (1, 43 √2)

1.7.7.

τ3 + τ

3x2 + 2xy

3

3

(4τ ) dτ

65 , 3τ 2 + 1 dτ = 32

Z (1, 43 √2)

dx +

(0,0)

ad o

(0,0)

6 2τ 2

0

Z (1, 34 √2) F (r) · dr =

τ3 + τ

rP

6xy dy = (0,0)

+ 2 2τ 2

9305 √ 16 τ 12 + 48 τ 10 + 48 τ 8 + 16 τ 6 + 48 τ 5 dτ = 1 + 2. 24024

Z (1, 43 √2)

con lo cual

re lim

entonces la primera de las integrales resulta

6xy dy = (0,0)

97 9305 √ + 2. 32 24024

Ejercicios

1. Demuestre que

dB [A · (B × C)] = dA dt · (B × C) + A · dt × C + A · B × h i d d2 A d3 A b) dt A · dA = A · dA dt × dt2 dt × dt3 d dt

dC dt

Bo rr

a)

c) ∇ × (∇ × A) = ∇∇ · A − ∇ · ∇A

d ) ∇ × (φ∇φ) = 0

e) ∇ × [A × (∇ × A)] = 0, si A = (y, z)i.

2. Para los vectores dados a continuaci´ on, encuentre dr/ds a) r = ti + 3t2 j − (t − 1)k, y t = ln(1 + s2 ) b) r = sen(t)i + cos(t)j + tan(t)k, y t = 2 + s2

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´ E INTEGRACION ´ DE VECTORES 1.7. UN COMIENZO A LA DERIVACION

3. Una part´ıcula describe un movimiento dado por el vector posición r. Encuentre la componente de su velocidad en la direcci´ on del vector indicado a) r = t2 i + 4 cos(2t)j + 3sen(2t)k,

2i + j + 2k.

2

b) r = 3 cos(t)i + 3sen(t)j + (t − 2)k,

i + 2j − k

4. Si u, v y w son funciones que dependen del parámetro t, demuestre que du d dv a) dt [u · (v × w)] = u · v × dw dt + u · dt × w + dt · (v × w) du d dv b) dt [u × (v × w)] = u × v × dw dt + u × dt × w + dt × (v × w)

in ar

5. Si u = 2ti − t2 j + k, v = 2i + 3tj + tk y w = ti + 2tj − tk. Utilice el resultado del ejercicio anterior (a) d [u · (v × w)]. para encontrar dt 6. Si u = ti − tj + t2 k, v = −ti + 2tj − t2 k y w = 2ti − 2tj + tk. Utilice el resultado del ejercicio anterior d [u × (v × w)]. (b) para encontrar dt a) φ(x, y, z) = x2 + 3xyz − yz 2 −1 b) φ(x, y, z) = x2 + 2y 2 + 4z 2

re lim

7. Encuentre el gradiente de los siguientes campos

8. Encuentre la divergencia de los siguientes campos a) V(x, y, z) = x2 yi + y 2 z 2 j + xz 3 k b) V(x, y, z) = (1 − x2 )i + sen(yz)j + exyz k 9. Encuentre el rotor de los siguientes campos

rP

a) V(x, y, z) = xyz 2 i + x2 yzj + xy 2 k

b) V(x, y, z) = senh(xy)i + cosh(yz)j + xyzk

ad o

10. Eval´ ue las siguientes integrales R a) tsen(t)i + 2t2 j − 7tk dt R b) cosh2 (t)i + 2sen2 (2t)j − k dt

11. Un campo de fuerza act´ ua sobre un oscilador descrito por: F = −kxi − kyj Compare el trabajo hecho al moverse en contra de este campo al ir desde el punto (1, 1) al punto (4, 4) siguiendo los siguientes caminos:

Bo rr

a) (1, 1) → (4, 1) → (4, 4)

b) (1, 1) → (1, 4) → (4, 4)

y 12. Dado el campo de fuerza: F = − x2 +y 2i +

c) (1, 1) → (4, 4) siguiendo el camino x = y

x x2 +y 2 j

Calcule el trabajo hecho en contra de este campo de fuerza al moverse al rededor de un circulo de radio uno y en el plano x − y a) desde 0 a π en sentido contrario a la agujas del reloj. b) desde 0 a −π en sentido de las agujas del reloj.

13. Evaluar la siguiente integral I r · dr .

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

1.8.

Vectores y n´ umeros complejos

Desde los primeros cursos de matem´ atica nos hemos tropezado con las llamadas ra´ıces imaginarias o complejas de polinomios. De este modo la solución a un polinomio c´ ubico    x = 2i  x = −2i x3 − 3x2 + 4x − 12 = 0 ⇒ ⇒ (x + 2i) (x − 2i) (x − 3) = 0   x=3 o cuadr´ atico

Los n´ umeros complejos y su ´ algebra

re lim

1.8.1.

in ar

x = 2i ⇒ (x + 2i) (x − 2i) x = −2i √ umero imaginario nos lleva a definir un n´ umero i2 = −1 ⇒ i = −1. Como vimos arriba al multiplicar el n´ i por cualquier n´ umero real obtendremos el n´ umero imaginario puro ib, con b ∈ R. La nomenclatura de n´ umeros imaginarios surgi´ o de la idea de que estas cantidades no representaban mediciones f´ısicas. Esa idea ha sido abandonada pero el nombre qued´ o. x2 + 4 = 0 ⇒

Un n´ umero complejo, z, es la generalización de los n´ umeros imaginarios (puros), ib. Esto es a → parte real z = a + ib con a, b ∈ R ⇒ b → parte imaginaria

rP

Obviamente los n´ umeros reales ser´ an a + i0 n´ umeros complejos con su parte imaginaria nula. Los n´ umeros imaginarios puros ser´ an n´ umeros complejos con su parte real nula, esto es, 0 + ib. Por ello, en general diremos que z = a + ib ⇒ a = Re (z) ∧ b = Im (z) , es decir, a corresponde a la parte real de z y b a su parte imaginaria. Cada n´ umero complejo, z tendr´ a asociado un n´ umero complejo conjugado, z ∗ tal que

ad o

z = a + ib

⇓

∗ ∗

∧

(z ) = z

claramente

z ∗ = a − ib

z · z ∗ = a2 + b2 ,

2

2

z · z ∗ ≥ 0 ⇒ |z| = |z ∗ | = z · z ∗ = a2 + b2 .

Bo rr

Es importante se˜ nalar que, en general, no existe relación de orden entre los n´ umeros complejos. Vale decir, que no sabremos si un n´ umero complejo es mayor que otro. No está definida esta operación. z1 ≯ z2

∨

z1 ≮ z2 .

Las relaciones de orden s´ olo se podr´ an establecer entre módulos de n´ umeros complejos y no n´ umeros complejos en general. R´ apidamente recordamos el ´ algebra de los n´ umeros complejos: Dos n´ umeros complejos ser´ an iguales si sus partes reales e imaginarios lo son z1 = z2 ⇒ (a1 + ib1 ) = (a2 + ib2 ) ⇒ a1 = a2

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∧

b1 = b2 .

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

Se suman dos n´ umeros complejos sumando sus partes reales y sus partes imaginarias. z3 = z1 + z2 ⇒ (a1 + ib1 ) + (a2 + ib2 ) = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ) = a3 + ib3 , | {z } | {z } a3

b3

claramente z + z ∗ = 2 Re z, también z − z ∗ = 2 Im z. Igualmente es inmediato comprobar que ∗

(z1 + z2 ) = z1∗ + z2∗ .

in ar

Se multiplican n´ umeros complejos por escalares multiplicando el escalar por sus partes reales e imaginarias z3 = αz1 ⇒ α (a1 + ib1 ) = (αa1 ) + i (αb1 ) . Se multiplican n´ umeros complejos entre si, multiplicando los dos binomios y teniendo cuidado que i2 = −1. z3 = z1 z2 ⇒ (a1 + ib1 ) · (a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i (a1 b2 + b1 a2 ) , ∗

también es inmediato comprobar que (z1 z2 ) = z1∗ z2∗ .

re lim

Se dividen n´ umeros complejos siguiendo la estrategia de racionalización de fracciones irracionales. Esto es (a1 + ib1 ) (a1 + ib1 ) (a2 − ib2 ) a1 a2 + b1 b2 z1 b1 a 2 − a 1 b2 ⇒ = = z3 = +i , 2 2 z2 (a2 + ib2 ) (a2 + ib2 ) (a2 − ib2 ) (a2 + b2 ) (a22 + b22 ) es claro que el divisor ser´ a cualquier n´ umero complejo excepto el cero complejo: 0 + i0.

1.8.2.

Vectores y el plano complejo

rP

Mirando con cuidado el ´ algebra de n´ umeros complejos nos damos cuenta que un n´ umero complejo puede ser representado por una dupla de n´ umeros, es decir, z = (a + ib)

z = (a, b)

ad o

Las propiedades entre n´ umeros complejos de igualdad, suma y multiplicación por un escalar arriba expuestas se cumplen de forma inmediata con esta nueva representación. Hay que definir las operaciones de multiplicaci´ on y divisi´ on entre n´ umeros complejos de forma que a1 a2 + b1 b2 b1 a2 − a1 b2 (a1 , b1 ) = (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ) ∧ , (a2 , b2 ) (a22 + b22 ) (a22 + b22 )

Bo rr

Esta asociaci´ on de un n´ umero complejo con una pareja de n´ umeros inmediatamente nos lleva a imaginar un punto en un plano (complejo) en el cual la primera componente (horizontal) representa la parte real y la segunda componente (vertical) representa la parte imaginaria. De esta forma asociamos a un n´ umero complejo a un vector que une a ese punto (a, b) con el origen del plano complejo. Esta representaci´ on de n´ umeros complejos como vectores en el plano (complejo) se conoce con el nombre de Diagrama de Argand3 a on pesar que no fue Jean Argand, sino Caspar Wessel4 el primero en proponerlo. Por cierto, esta interpretaci´ 3 En honor a JEAN ROBERT ARGAND (Ginebra, Suiza, 18 Julio 1768; Par´ ıs, Francia 13 agosto 1822). Contador pero matem´ atico aficionado, propuso esta interpretaci´ on de n´ umeros complejos como vectors en un plano complejo en un libro autoeditado con sus reflexiones que se perdi´ o y fue rescatado 7 a˜ nos despu´ es, fecha a partir de la cual Argand comenz´ o a publicar en Matematicas. 4 CASPAR WESSEL (Vestby, Noruega 8 junio 1745; 25 marzo 1818, Copenhagen, Dinamarca) Matem´ atico noruego que se dedic´ o principalemente al levantamiento topogr´ afico de Noruega. Su trabajo sobre la interpretaci´ on de n´ umeros complejos permaneci´ o desconocido por casi 100 a˜ nos.

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48

´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

fue tres veces redescubierta, primero por Caspar Wessel en 1799, luego por Jean Argand en 1806 y finalmente por Gauss5 en 1831. De esta manera, como un recordatorio al plano real  p √ ∗ 2 2   r = zz = |z| = x + y z = x + iy z = r (cos(θ) + i sen(θ)) con   tan(θ) = y donde − π ≤ θ ≤ π x La interpretaci´ on vectorial de n´ umeros complejos permite que la suma de n´ umeros complejos sea representada por la “regla del paralelogramo”. Mientras que los productos escalar y vectorial nos llevan a ∧

z1 × z2 = Im (z1∗ z2 ) = −Im (z1 z2∗ )

in ar

z1 · z2 = Re (z1 z2∗ ) = Re (z1∗ z2 ) Con esta interpretaci´ on tendremos

1.8.3.

componente real del vector z o parte real de z componente imaginaria del vector z o parte imaginaria de z m´ odulo, magnitud o valor absoluto de z angulo polar o de fase del n´ ´ umero complejo z

re lim

x = Re z y =√ Im z r = zz ∗ = |z| θ

F´ ormulas de Euler y De Moivre

rP

En cursos anteriores, nos hemos tropezado con la expansión en Taylor6 de funciones, esta serie permite expresar cualquier funci´ on infinitamente diferenciable alrededor de un punto x0 como una serie infinita de potencias del argumento de la funci´ on, esto es: 1 d2 f (x) 1 d3 f (x) df (x) 2 3 (x − x0 ) + (x − x0 ) + (x − x0 ) + · · · · · · f (x) = 1 + dx x=x0 2 dx2 x=x0 3! dx3 x=x0 1 dn f (x) n y donde n = 0, 1, 2, 3, . . . f (x) = Cn (x − x0 ) , con Cn = n! d xn x=x0

ad o

Si consideramos x0 = 0, podremos ver a continuación algunos desarrollos en series de funciones elementales 1 1 1 1 5 1 6 1 7 ex = 1 + x + x2 + x3 + x4 + x + x + x + ······ 2 6 24 120 720 5040

Bo rr

1 1 1 6 cos(x) = 1 − x2 + x4 − x + ······ 2 24 720 1 1 5 1 7 sen(x) = x − x3 + x − x + ······ 6 120 5040

5 JOHANN CARL FRIEDRICH GAUSS (30 abril 1777, Brunswick, Alemania; 23 febrero 1855, G¨ ottingen, Alemania). Uno de los m´ atem´ aticos m´ as geniales y precoces de la Historia. Desde los 7 a˜ nos comenz´ o a mostrar sus condiciones de genialidad. Sus contribuciones en Astronom´ıa y Matem´ aticas son m´ ultiples y diversas. 6 BROOK TAYLOR (18 agosto 1685, Edmonton, Inglaterra; 29 diciembre 1731, Londres, Inglaterra) F´ ısico y Matem´ atico ingl´ es contemporaneo de Newton y Leibniz y junto con ellos particip´ o profundamente en el desarrollo del C´ alculo diferencial e integral. Adem´ as de sus aportes al estudio del magnetismo, capilaridad y termometr´ıa, desarroll´ o el ´ area de diferencias finitas que hasta hoy utilizamos para c´ alculos en computaci´ on. Invent´ o la integraci´ on por partes y descubri´ o la serie que lleva su nombre.

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

Es f´ acil convencerse que para la serie de ex se tiene 1 1 1 1 5 1 6 1 eiθ = 1 + iθ − θ2 + − i θ3 + θ4 + iθ − θ + − i θ7 + · · · · · · 2 6 24 120 720 5040 y que puede rearreglarse como 1 1 1 1 6 1 5 1 7 eiθ = 1 − θ2 + θ4 − θ + · · · · · · + i θ − θ3 + θ − θ + ······ 2 24 720 6 120 5040 {z } {z } | | sen(θ)

in ar

cos(θ)

eiθ = cos(θ) + i sen(θ) ,

esta relaci´ on se conoce como la relaci´ on de Euler7 . Con lo cual ahora tenemos tres formas de representar un n´ umero complejo z = x + iy z = r (cos(θ) + i sen(θ)) z = reiθ .

re lim

La expresi´ on z = x + iy se conoce como forma cartesiana de representación de un n´ umero complejo, la forma z = r (cos(θ) + i sen(θ)) ser´ a la forma trigonométrica o polar y la expresión z = eiθ será la forma de Euler. Es importante notar una sutileza impl´ıcita en esta notación. La forma cartesiana representa un´ıvocamente a un n´ umero complejo, mientras que la forma polar (y la de Euler), es ambigua z = r (cos(θ) + i sen(θ)) = r (cos(θ + 2nπ) + i sen(θ + 2nπ)) ,

(1.1)

π

i = ei 2 ,

rP

es decir, existen varios valores del argumento que definen el mismo n´ umero complejo. Esto se considerar´ a m´ as adelante cuando tratemos las funciones de n´ umero complejos. La f´ ormula de Euler, para cuando −π < θ < π resulta en los siguientes simpáticos resultados −1 = eiπ ,

π

−i = e−i 2 ,

1 = ei2kπ con k = 0, ±1, ±2, ±3 . . .

M´ as a´ un, si

ad o

Las sumas de n´ umeros complejos son más fácilmente planteables en su forma cartesiana. Mientras las multiplicaci´ on y divisi´ on ser´ an directas en la forma de Euler  z1 = r1 eiθ1  ⇒ z1 z2 = eiθ1 eiθ2 = ei(θ1 +θ2 ) = r1 r2 (cos (θ1 + θ2 ) + i sen (θ1 + θ2 )) . iθ2  z2 = r2 e z = x + iy ⇒ ez = e(x+iy) = ex eiy = ex (cos(y) + i sen(y)) ,

Bo rr

a partir de la relaci´ on o f´ ormula de Euler se puede demostrar la De Moivre8 n n eiθ = einθ = (cos(θ) + i sen(θ)) = cos (nθ) + i sen (nθ) , con n entero.

7 LEONHARD EULER (15 abril 1707, Basilea, Suiza; 18 septiembre 1783, San Petersburgo, Rusia). Uno de los matem´ aticos m´ as prol´ıficos de todos los tiempos. Desarroll´ o inmensamente campos como la geometr´ıa anal´ıtica y trigonometr´ıa, siendo el primero que consider´ o el coseno y el seno como funciones. Hizo aportes significativos en el desarrollo del c´ alculo diferencial e integral as´ı como tambi´ en, astronom´ıa, elasticidad y mec´ anica de medios cont´ınuos. 8 ABRAHAM DE MOIVRE (26 mayo 1667 in Vitry-le-Fran¸ cois, Francia; 27 noviembre 1754, Londres Inglaterra) Matem´ atico franc´ es que tuvo que emigrar a Inglaterra por razones religiosas. Contemporaneo de Newton, Liebniz y Halley, fue pionero con sus contribuciones en geometr´ıa anal´ıtica y teor´ıa de probabilides.

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

1.8.4.

Algunas aplicaciones inmediatas

Presentaremos algunas aplicaciones inmeditas la fórmula de De Moivre en diferentes ámbitos. Identidades trigonom´ etricas La primera de las aplicaciones de la f´ ormula de De Moivre es para construir identidades trigonométricas en las cuales se expresa el coseno, o el seno, de factores de un ángulo. Veamos las siguientes (nada triviales) identidades trigonométricas sen(3θ) = 3 sen(θ) − 4sen3 (θ) ,

o

in ar

cos(3θ) = 4 cos3 (θ) − 3 cos(θ)

para demostrar estas (y otras) identidades utilizamos la fórmula de De Moivre, es decir 3

cos(3θ) + i sen( 3θ) = (cos(θ) + i sen(θ))

= cos3 (θ) − 3 cos(θ) sen2 (θ) + i 3 cos2 (θ) sen(θ) − sen3 (θ) , igualando ahora parte real e imaginaria tendremos

re lim

cos(3θ) = cos3 (θ) − 3 cos(θ) sen2 (θ)

= cos3 (θ) − 3 cos(θ) 1 − cos2 (θ) = 4 cos3 (θ) − 3 cos(θ) sen(3θ) = 3 cos2 (θ) sen(θ) − sen3 (θ) = 3 1 − sen2 (θ) sen(θ) − sen3 (θ) = 3 sen(θ) − 4sen3 (θ) .

rP

El método puede extenderse a expresiones de senos y cosenos de nθ. Igualmente podemos desarrollar un método para encontrar expresiones de potencias de funciones trigon nométricas en término de funciones de factores de ángulo del tipo (cos(θ)) = F (cos(nθ), sen(nθ)). Para empezar, supongamos que tenemos un n´ umero complejo de módulo 1, de tal forma que

z = eiθ = cos(θ) + i sen(θ) ⇒

 1 n    z + z n = 2 cos(nθ)

ad o

   z n − 1 = 2i sen(nθ) zn

Estas identidades surgen de manera inmediata de 1 n −n = (cos(θ) + i sen(θ)) + (cos(θ) + i sen(θ)) = (cos(nθ) + i sen(nθ)) + (cos (−nθ) + i sen (−nθ)) zn = cos(nθ) + i sen(nθ) + cos(nθ) − i sen(nθ) = 2 cos(nθ) ,

Bo rr

zn +

igualmente puede demostrarse la segunda de las afirmaciones anteriores. Ahora bien, supongamos adem´ as que n = 1, con lo cual se cumple que z+

1 = eiθ + e−iθ = 2 cos(θ) z

y

z−

1 = eiθ − e−iθ = 2i sen(θ) , z

que también lo sab´ıamos desde la m´ as temprana edad de nuestros cursos de bachillerato.

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

Ahora bien, lo que quiz´ a no sab´ıamos en ese entonces (y quizá ahora tampoco) es que a partir de aqu´ı podemos construir, por ejemplo: 5 1 1 10 1 1 1 5 1 5 5 3 = 5 z + 5 + 5z + 3 + 10z + z+ ⇒ cos (θ) = 5 z + , cos(θ) = 2 z 2 z 2 z z z es decir

1 [2 cos(5θ) + 10 cos(3θ) + 20 cos(θ)] , 25 de la misma manera se puede proceder con otras potencias y con potencias de la función seno. cos5 (θ) =

in ar

Ra´ıces de polinomios

La f´ ormula de De Moivre nos puede ayudar para encontrar ra´ıces de polinomios. Supongamos, para empezar, que queremos encontrar las n ra´ıces de la ecuación z n = 1. Para ello procedemos con el siguiente artificio z n = 1 = cos (2πk) + i sen (2πk) = ei(2πk) , donde k = 0, 1, 2, ....

re lim

con lo cual las n ra´ıces de la ecuaci´ on z n = 1 serán z n = 1 ⇒ z = ei( z z 0 = 1;

z1 = e

1 2πi( n )

;

z2 = e

2 2πi( n )

;

2πk n

)

⇓ }| 3 2πi( n ); · · · z3 = e

zn−2 = e

2πi( n−2 n )

{

;

zn−1 = e

2πi( n−1 n )

Supongamos la siguiente ecuación polinómica con sus ra´ıces:  4  z + 2 = 0 ⇒ z 4 = −2 5 4 4 z − z + 2z − 2 = 0 ⇒ z + 2 (z − 1) = 0 ⇒  z−1=0 ⇒ z =1

ad o

Ejemplo:

rP

es decir, n ra´ıces corresponder´ an a los n valores de k = 0, 1, 2, · · · n − 2, n − 1. Mayores valore de k no proveen nuevas ra´ıces. 2πk 2π 4π Las ra´ıces de la ecuaci´ on z 3 = 1 ser´ an entonces: z = ei( 3 ) ⇒ z0 = 1, z1 = ei( 3 ) , z2 = ei( 3 ) . Estas propiedades pueden extenderse a ra´ıces de polinomios con más términos.

Entonces, del resultado anterior

Bo rr

h i1/4 2πk 2πk 23/4 (1 + i) ei( 4 ) z 4 = −2(1) = −2 ei(2πk) ⇒ z = −2 ei(2πk) = (−2)1/4 ei( 4 ) = 2 √ π 1/2 π donde hemos utilizado el hecho de que: (−1)1/4 = i1/2 = ei 2 = ei 4 = 22 (1 + i) . Por lo tanto: z0

=

z2

=

1

21/4 1

21/4

(1 + i) , (1 + i) ei(π) = −

z1 = 1 21/4

(1 + i) ,

z3 =

1 21/4 1 21/4

(1 + i) ei( 2 ) = π

(1 + i) ei(

3π 2

i 21/4

(1 + i)

) = − i (1 + i) . 21/4

La ecuaci´ on z 5 − z 4 + 2z − 2 = 0, tendrá las siguientes cinco ra´ıces: z0 =

1 1 1 1 (1 + i) , z1 = − 1/4 (1 − i) , z2 = − 1/4 (1 + i) , z3 = 1/4 (1 − i) , z4 = 1 . 21/4 2 2 2

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

Una afirmaci´ on que nos han dicho, y que quizá no sepamos de dónde viene, es que si un polinomio con coeficientes reales tiene ra´ıces complejas, ellas ser´ an complejas conjugadas unas de otras. Vale decir, si z 5 − z 4 + 2z − 2 = 0 tiene como ra´ız (1 + i), también tendrá como ra´ız (1 − i), como hemos visto. Esta afirmaci´ on se prueba de forma general si suponemos que tenemos la siguiente ecuación ai z i = 0 ,

con i = 0, 1, 2, · · · n − 1, n ⇒ a0 + a1 z + a2 z 2 · · · + an−1 z n−1 + an z n = 0 ,

donde los coeficientes a0 , a1 , a2 , · · · , an−1 , an los suponemos reales, esto es: ai = a∗i para todos los valores del ´ındice i. Al tomar el complejo conjugado nos queda: 2

n−1

como los coeficientes son reales tenemos que 2

n

+ a∗n (z ∗ ) = 0 ,

in ar

a0 + a1 z + a2 z 2 · · · + an−1 z n−1 + an z n = 0 ⇐⇒ a∗0 + a∗1 z ∗ + a∗2 (z ∗ ) · · · + a∗n−1 (z ∗ )

n−1

a0 + a1 z + a2 z 2 · · · + an−1 z n−1 + an z n = 0 ⇐⇒ a0 + a1 z ∗ + a2 (z ∗ ) · · · + an−1 (z ∗ )

n

+ an (z ∗ ) = 0 ,

esto nos dice que si z es soluci´ on también lo será z ∗ ya que la ecuación es la misma por tener los mismos coeficientes (reales). Ahora consideremos el siguiente polinomio complejo

re lim

Ejemplo:

P (z) = z 6 − z 5 + 4z 4 − 6z 3 + 2z 2 − 8z + 8 = 0 .

Si por alg´ un método comprobamos que (z 3 − 2) es uno de sus factores, entonces podremos encontrar las ra´ıces del polinomio P (z). Veamos, claramente si (z 3 − 2) es un factor podemos expresar P (z) = z 6 − z 5 + 4z 4 − 6z 3 + 2z 2 − 8z + 8 = (z 3 − 2)(z 3 − z 2 + 4z − 4) = (z 3 − 2)(z − 1)(z 2 + 4) , con lo cual, como z es complejo, hay que tener cuidado con las ra´ıces encubiertas. Entonces, la ra´ıces son: z3 = 2 ,

Para z 3 = 2 ⇒ z 3 = 2 ei(2πk) Por lo tanto:

1/3 2πk ⇒ z = 2 ei(2πk) = 21/3 ei( 3 ) ) = −2

2π 3

ad o

z0 = 21/3 , z1 = 21/3 ei( 6

5

4

z 2 = −4

rP

Para z 2 = −4 ⇒ z = ±2i .

z = 1,

3

1/3

2

h

1−

√ i √ i 4π 21/3 h 3i , z2 = 21/3 ei( 3 ) = − 1 + 3i . 2

2

La ecuaci´ on z − z + 4z − 6z + 2z − 8z + 8 = 0, tendrá las siguientes seis ra´ıces: √ √ i 1 h 3 z = 2, z = −√ 3 i , z = 1 , z = ±2i . 1 ± 3 4

Bo rr

Logaritmos y potencias de n´ umeros complejos Definamos la siguiente funci´ on z = eiθ

⇐⇒

Ln(z) = iθ ,

donde Ln representa el logaritmo natural del n´ umero complejo z. Nótese que hemos utilizado Ln en lugar de tradicional ln y la raz´ on es la ambig¨ uedad impl´ıcita en la notación de Euler, vale decir z = reiθ

⇐⇒

Ln(z) = ln(r) + i (θ + 2nπ) = ln(r) + iθ ,

en otras palabras, Ln(z) no es funci´ on por el hecho de ser multivaluada. Se supera esta dificultad cuando se restringe el argumento −π < θ ≤ π y esta se conoce como el valor principal de la funci´ on

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´ 1.8. VECTORES Y NUMEROS COMPLEJOS

Ejemplos:

h i π π Ln (−3i) = Ln 3ei(− 2 +2nπ) = ln(3) + i − + 2nπ con n = 0, 1, 2, · · · 2 decimos que el valor principal del Ln (−3i) será ln(3) − i π2 . Con la misma intuici´ on se procede con las potencias de n´ umeros complejos. Si queremos evaluar z = i−5i tendremos que proceder como sigue h π i π z = i−5i ⇒ Ln (z) = Ln i−5i = −5i Ln (i) = −5i Ln ei( 2 +2nπ) = 5 + 2nπ , 2

in ar

con lo cual z = i−5i ¡es un n´ umero real! h√ 3 i Para finalizar consideremos otro par de casos de potencias y logaritmos: ii y Ln 3+i . h π ii 2 π π ii = ei( 2 +2nπ) = ei ( 2 +2nπ) = e−( 2 +2nπ) ,

1.8.5.

h √

3+i

3 i

h i i arctan √13 = 3 Ln 2e = 3 ln(2) + i arctan √13 + 2nπ = ln(8) + i

Ejercicios

π 2

+ 6nπ .

re lim

Ln

1. Si los n´ umeros complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se pueden representar como vectores en el plano z1 = x1 i + y1 j y z2 = x2 i + y2 j, muestre que z1∗ z2 = z1 · z2 + ik · (z1 × z2 ) 2. Demuestre que

rP

a) cos(3α) = cos3 (α) − 3 cos(α)sen2 (α)

b) sen(3α) = 3 cos2 (α)sen(α) − sen3 (α) 3. Demuestre que a) cos4 (α) =

(3 + 4 cos(2α) + cos(4α))

b) cos (α) + sen3 (α) =

1 4

cos(3α) + 3 cos(α) − sen3 (α) + 3sen(α)

ad o

3

1 8

4. Demuestre que

ix − 1 ix + 1

iy

= e(−2y cot

−1

(x))

Bo rr

donde x y y son n´ umeros reales. 5. Encuentre las ra´ıces de a) 2i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

b) 1 −

√

3i

c) (−1)1/3

d) 81/6

√ e) (−8 − 8 3i)1/4

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54

1.9. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

1.9.

Algunos ejemplos resueltos

1. Hemos definido como la posici´ on, R, del centro de masa para un sistema de N part´ıculas como R=

ΣN i=1 mi ri ΣN j=1 mj

donde ri corresponde con la posici´ on de la i−ésima part´ıcula. Determine la posici´ on del centro de masa para un sistema de tres masas, mi = 1,2,3, colocadas en los vértices de un tri´ angulo equil´ atero de lado l = 2.

in ar

Soluci´ on: Al colocar el origen de coordenadas en uno de los vértices y uno de los ejes de coordenadas sobre uno de los lados, entonces √ √ 1 · 2i + 3 · i + 3j Σ3i=1 mi ri m1 r1 + m1 r1 3 5 R= 3 = = = i+ j Σj=1 mj MT 6 6 2

a = 3i + 2j + k ,

re lim

2. Dada una base ortonormal {i, j, k} y los siguientes vectores b = 3i − 2j + k ,

c=i−k

rP

a) Comprobar si {a, b, c} forman una base. Soluci´ on: Para que los vectores formen una base tienen que ser linealmente independientes. Esto es αa + βb + γc = 0 ⇒ α = β = γ = 0, con lo cual   3α + 3β + γ = 0 2α − 2β = 0 α (3i + 2j + k) + β (3i − 2j + k) + γ (i − k) = 0 ⇒  α+β−γ =0

ad o

y al resolver el sistema se obtiene: α = β = γ = 0 con lo cual se demuestra que son linealmente independientes. Otra manera de resolverlo es mostrar que: c · (a × b) 6= 0 y efectivamente 1 0 −1 1 = 4 6= 0 . c · (a × b) = 3 2 3 −2 1

Bo rr

b) Si {a, b, c} forman una base, exprese d = i + 2j , e = 3i − 2j y f = a × b en término de esa base {a, b, c}. De lo contrario, construya una base como {a, b, a × b} y exprese los vectores {d, e, f } en término de esa nueva base. Soluci´ on: Como forman base expresamos los vectores en esos términos. Esto es   3α + 3β + γ = 1 2α − 2β = 2 i + 2j = α (3i + 2j + k) + β (3i − 2j + k) + γ (i − k) ⇒  α+β−γ =0 resolviendo tendremos que d = 85 a − 38 b + 41 c. Seguidamente   3α + 3β + γ = 3 2α − 2β = −2 3i − 2j = α (3i + 2j + k) + β (3i − 2j + k) + γ (i − k) ⇒  α+β−γ =0

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55

1.9. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

resolviendo tendremos que e = − 18 a + 78 b + 43 c Ahora bien i f = a × b ≡ (3i + 2j + k) × (3i − 2j + k) ≡ 3 3

j 2 −2

k 1 1

= 4i − 12k

con lo cual

in ar

  3α + 3β + γ = 4 2α − 2β = 0 4i − 12k = α (3i + 2j + k) + β (3i − 2j + k) + γ (i − k) ⇒  α + β − γ = −12 y finalmente f = a × b = −a − b + 10c .

3. Utilizando la notaci´ on de ´ındices demostrar que para cualquier tr´ıo de vectores {a, b, c} se cumple que a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0. Soluci´ on: En notaci´ on de ´ındices

re lim

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = lmi am ijk bj ck + lmi bm ijk cj ak + lmi cm ijk aj bk con lo cual, arreglando

lmi ijk am bj ck + lmi ijk bm cj ak + lmi ijk cm aj bk = δjl δkm − δjm δkl am bj ck + δjl δkm − δjm δkl bm cj ak + δjl δkm − δjm δkl cm aj bk y ahora desarrollando los productos de las δ’s, e indentificando término a término, notamos que se anula       I

II

rP

ak bl ck −ak bk cl  + bk cl ak −bk ck al  + ck al bk −ck ak bl  = 0 . | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } II

III

III

I

4. Una part´ıcula se mueve a lo largo de una curva descrita por

ad o

x(t) = 3t2

y(t) = 4t3 − t

z(t) = t

a) Encuentre las expresiones para los vectores: posición, velocidad y aceleración de esa part´ıcula. Soluci´ on: r(t) = 3t2 i + (4t3 − t)j + tk ,

v = 6ti + (12t2 − 1)j + k ,

a = 6i + 24tj .

Bo rr

b) Encuentre las expresiones, m´ as generales, de los vectores tangentes y perpendiculares a todo punto de la trayectoria de la part´ıcula. Soluci´ on: Vector tangente a todo punto de la trayectoria es el vector velocidad v = 6ti + (12t2 − 1)j + k ,

El perpendicular a todo punto, será un vector b = bx i + by j + bz k, tal que (6ti + (12t2 − 1)j + k) · (bx i + by j + bz k) = 6tbx + (12t2 − 1)by + bz = 0 ,

con lo cual

b = bx i + by j − (6tbx + (12t2 − 1)by )k . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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56

1.9. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

5. El campo de fuerzas del oscilador anarmónico anisótropo bidimensional se escribe como F = −k1 x2 i + k2 yj . Encuentre el trabajo realizado,

R (x2 ,y2 ) (x1 ,y1 )

(1.2)

dr · F a lo largo de las siguientes trayectorias

a) (1, 1) → (4, 1) → (4, 4) Soluci´ on: Z Z (4,1) (idx) · (−k1 x2 i + k2 j) +

(4,4)

(jdy) · (−k1 16i + k2 yj) = −21k1 +

b) (1, 1) → (1, 4) → (4, 4) Soluci´ on: Z (1,4) Z (jdy) · (−k1 i + k2 yj) + (1,1)

in ar

(4,1)

(1,1)

(4,4)

(idx) · (−k1 x2 i + k2 4j) = −21k1 +

(1,4)

re lim

c) (1, 1) → (4, 4) para x = y Soluci´ on: Z (4,4) Z (idx + jdx) · (−k1 x2 i + k2 xj) = (1,1)

15k2 2

15k2 2

(4,4)

(−k1 x2 + k2 x)dx = −21k1 +

(1,1)

15k2 2

6. Dados los siguientes puntos en el espacio (1, 0, 3); (2, −1, 0); (0, −1, 1); (−1, 0, 1).

rP

a) Considere los tres primeros puntos. ¿Estos tres puntos son coplanares? ¿por qué? Explique. Soluci´ on: Tres puntos en el espacio definen un plano, por lo tanto siempre serán coplanares.

y

ad o

b) Encuentre el ´ area del tri´ angulo que tiene por vértices esos tres puntos. Soluci´ on: Para ello seleccionamos uno de los puntos como un vértice privilegiado (digamos (2, −1, 0)) respecto al cual construirémos dos vectores que representan dos de los lados del tri´ angulo. Esto es a = (1, 0, 3) − (2, −1, 0) ↔ a = −i + j + 3k , b = (0, −1, 1) − (2, −1, 0) ↔ b = −2i + k ,

Bo rr

con lo cual, el ´ area del vértice será la dos vectores. Es decir i 1 A = |a × b| ⇒ a × b = −1 2 −2

mitad del área del paralelogramo que tiene por lados estos j 1 0

k 3 1

√ = i − 5j + 2k ⇒ A = 1 |i − 5j + 2k| = 30 . 2 2

c) Encuentre la ecuaci´ on del plano que los contiene Soluci´ on: La ecuaci´ on del plano vendrá dada por (r − r1 ) · ((r2 − r1 ) × (r3 − r1 )) = 0 ,

donde

r = xi + yj + zk, Hern´ andez & N´ un ˜ez

r1 = i + 3k,

r2 = 2i − j,

r3 = −j + k,

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1.9. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

con lo cual la ecuaci´ on del plano queda como (x − 1) y (z − 3) 1 −1 −3 = 0 ⇒ −(x − 1) + 5y − 2(z − 3) = 0 ⇒ x − 5y + 2z = 7 . −1 −1 −2

in ar

d ) Considere los cuatro puntos ¿Estos cuatro puntos son coplanares? ¿por qué? De NO ser coplanares, encuentre la distancia del cuarto punto al posible plano que contiene a los otros tres. Soluci´ on: Para verificar si el cuarto punto está en el plano, verificamos si cumple la ecuación que lo define (−1) − 5(0) + 2(1) 6= 7 , los cuatro puntos no son coplanares. Para calcular la distancia del cuarto punto al plano se construye el vector unitario normal al plano ˆP = n

a×b 1 = √ (i − 5j + 2k) , |a × b| 30

1 ˆ P · c = √ (i − 5j + 2k) · (−3i + j + k) , d=n 30

re lim

con lo cual la distancia al cuarto punto será

1 6 ˆ P · c = √ (i − 5j + 2k) · (−3i + j + k) = − √ . d=n 30 30 7. Considere los siguientes tres vectores w1 = i + 3k ,

w2 = 2i − 3j ,

w3 = −j + k .

rP

a) ¿Forman una base para R3 ? Explique detalladamente Soluci´ on: Son linealmente independientes, estos es

αw1 + βw2 + γw3 = 0 ⇒ α = β = γ = 0 ,

ad o

que se comprueba directamente al resolver α

3α

+2β −3β

−γ +γ

=0 =0 =0

Bo rr

b) Si es que forman base, exprese el vector a = i − 3j + 3k en la posible base {w1 , w2 , w3 } Soluci´ on: Como son linealmente independientes, forman base, con lo cual cualquier vector puede ser expresado como combinaci´ on lineal de estos tres. Eso es:  1     α= 3   =1   α +2β  −3β −γ = −3 β = 13 a = αw1 + βw2 + γw3 ⇒ ⇒     3α +γ = 3    γ=2

8. Utilizando la notaci´ on de ´ındices muestre si se cumple la siguiente identidad ∇ × (a × b) = a (∇ · b) − b (∇ · a) + (b · ∇) a − (a · ∇) b.

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1.9. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Soluci´ on: j i j ∇ × (a × b) = ijk ∂j (klm al bm ) = (δli δm − δm δl )∂j (al bm ) = ∂m (ai bm ) − ∂l (al bi ) ,

expandiendo la derivada ∇ × (a × b) = bm ∂m (ai ) + ai ∂m (bm ) − bi ∂l (al ) − al ∂l (bi ) ≡ (b · ∇)a + (∇ · b)a − (∇ · a)b − (a · ∇)b . 9. La trayectoria de un punto en el plano vista por un observador 1 es

in ar

r1 (t) = 5 cos(3t2 ) i + 5 sen(3t2 ) j . a) Exprese las aceleraciones radiales y tangenciales de esta part´ıcula. Soluci´ on: Es claro que la part´ıcula describe un movimiento circular donde θ(t) = 3t2 r(t) = 5ˆ ur ⇒ v(t) =

dθ(t) da(t) dr(t) ˆ θ = 30t u ˆ θ ⇒ a(t) = ˆ θ − 30t u ˆr . =5 u = 30 u dt dt dt

re lim

b) Considere ahora un segundo observador, el cual describe una trayectoria respecto al primero representada por r21 (t) = (t3 − 4t)i + (t2 + 4t) j . Encuentre las expresiones para los vectores posición, velocidad y aceleración de la part´ıcula medidos respecto al segundo observador. Soluci´ on: La trayectoria de la part´ıcula respecto al segundo observador será

con lo cual

rP

r2 (t) = r1 (t) − r21 (t) = 5 cos(3t2 ) i + 5 sen(3t2 ) j − ((t3 − 4t)i + (t2 + 4t) j) , r2 (t) = 5 cos(3t2 ) − t3 + 4t i + 5 sen(3t2 ) − t2 − 4t j , entonces

y

dv2 (t) = −6 30 cos 3t2 t2 + 5sen 3t2 + t i − 2 90sen 3t2 t2 − 15 cos 3t2 + 1 j . dt

Bo rr

a2 (t) =

dr2 (t) = − 30 sen 3 t2 t + 3 t2 − 4 i + 30 cos 3 t2 t − 2 t − 4 j , dt

ad o

v2 (t) =

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1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

1.10.

Ejercicios propuestos

1. Utilizando un programa de manipulación simbólica (ver Apéndice 5.1) realice las siguientes tareas.

A = i1 + 2i2 + 3i3 ,

B = 4i1 + 5i2 + 6i3 ,

in ar

a) Calcule la funci´ on f (z) = ez a partir de su expansión en serie que la define. Calcule también f (z) inπ cuando z = e 6 para n = 0, 1, 2, . . . , 12. Para los diferentes valores de n haga una tabla con los z z z valores de: θ = nπ 6 , Re (z), Im (z), Re (e ), Im (e ), |z| y la fase de e . b) Calcule y haga una tabla para los valores de (x; y) = (0, 0; 0, 0)(0, 1; 0, 1)(0, 5; 0, 5)(1, 0; 1, 0) de: Re (senh(z)), Im (senh(z)), |senh(z)| y la fase de senh(z). c) Calcule y haga una tabla para los valores de (x; y) = (0, 0; 0, 0)(0, 1; 0, 1)(0, 5; 0, 5)(1, 0; 1, 0) de: Re (cosh(z)), Im (cosh(z)), | cosh(z)| y la fase de cosh(z). d ) Dados los siguientes vectores C = 3i1 + 2i2 + i3 ,

D = 6i1 + 5i2 + 4i3

re lim

Encuentre: 1) A + B + C + D , A + B − C − D , A − B + C − D , −A + B − C + D 2) El ´ angulo entre los vectores A, B, C, D y los vectores base i1 , i2 , i3 . 3) La magnitud de los vectores A, B, C, D. 4) El ´ angulo entre A y B y entre C y D. 5) La proyecci´ on de A sobre B. 6) ¿Son los vectores A, B, C, D coplanares? 7) Encuentre (A + B) · (C + D) 8) Los productos A × B, B × C, C × D y los ángulos que estos forman con D. 9) C · (A × B).

ad o

rP

2. Auguste Bravais9 se dio cuenta que replicando un arreglo geométrico muy simple, se puede describir una estructura cristalina. Dicho de otro modo, que conociendo una celda simple, podemos conocer la estructura cristalina. Esto es que las posiciones de los átomos en una red cristalina puede ser descrita por un vector R = a + b + c = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 = ni ai donde los ai son vectores no coplanares (vectores primitivos o, simplemente en nuestro lenguaje, vectores base). Los ni son n´ umeros enteros (negativos, cero o positivos). La posici´ on de cada átomo de un cristal puede ser descrita como reescalamientos (discretos) de este vector genérico o, de manera más precisa, la traslación del origen de coordenadas por un vector. Ese concepto se conoce como redes de Bravais10 . En cada red puede haber varios vectores primitivos11 . Se puede definir la celda primitiva como la estructura m´ınima que replicada reproduce todo el cristal. Vale decir la estructura cristalina es invariante bajo traslaciones espaciales del tipo R0 = R + T con T = mi ai .

Bo rr

a) Redes de Bravais bidimensionales. Tal y como muestra la Figura 1.7 existen 5 tipos distintos de redes de Bravais bidimensionales. 1) Dada la red bidimensional de la Figura 1.8 encuentre todos los posibles vectores primitivos y celdas primitivas asociadas. 2) La humanidad ha estado seducida por la geometr´ıa desde que empezó a representar figuras. A partir de las cuatro im´ agenes que se ilustran en la Figura 1.9, encuentre todos los posibles vectores y celdas primitivas asociadas.

9 http://en.wikipedia.org/wiki/Auguste_Bravais

10 http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice 11 http://www.engr.sjsu.edu/rkwok/Phys175A/Chapter%201.pdf

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re lim

in ar

1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura 1.7: Las 5 redes de Bravais bidimensionales fundamentales: 1 Oblicuas, 2 rectangular, 3 rectangular centrada (r´ ombica), 4 hexagonal, y 5 cuadrada. Figura tomada de http://en.wikipedia.org/wiki/ Bravais_lattice

rP

3) Maurits Cornelis Escher12 fue un fenomenal dibujante holandés, quien se interesó por las simetr´ıas de los grupos de imágenes de papel tapiz. Berend, hermano de Maurits, era cristal´ ografo y le mostr´ o la belleza de las simetr´ıas de la naturaleza. En las cuatro obras del género de Teselado13 de M.C. Escher, presentadas en la Fig 1.10 encuentre todos los posibles vectores y celdas primitivas asociadas.

ad o

b) Redes de Bravais Tridimensionales. Este tipo de redes complica un poco mas el escenario. Se puede demostrar que existen 14 de estas redes, tal y como se muestran en la Figura 1.11

Bo rr

Muestre que los vol´ umenes de ocupación atómica, para los sistemas Monocl´ınico, Tricl´ınico, Ortor´ ombico, Tetragonal, Romboédrico, exagonal y c´ ubico, corresponden a las expresiones que se muestran en la Figura 1.11. El sistema c´ ubico, el m´ as simple, corresponde a un sistema con un u ńico parámetro de red a = |a|, ya que a = b = c. Además, una posible descripción, para el caso más simple, es a = i; b = j; c = k, los tres vectores cartesianos ortogonales. Existen otros sistemas que también est´ an asociados al c´ ubico. Estos son el sistema c´ ubico cara centrada (fcc por sus siglas en inglés) y c´ ubico cuerpo centrado (bcc). En el primero existen átomos en el centro de cada una de las caras del cubo definido por la tr´ıada, a = b = c. En el sistema fcc se a˜ nade un ´ atomo la centro del cubo simple. 1) Muestre que un sistema bcc también puede ser descrito por los vectores primitivos: a = ai, b = aj y c = a(i + j + k)/2. Dibuje la celda primitiva y calcule su volumen.

12 http://en.wikipedia.org/wiki/M._C._Escher 13 http://en.wikipedia.org/wiki/Tessellation

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Figura 1.8: Red cristalina bidimensional.

in ar

1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

b×c ; a · (b × c)

b0 =

c×a ; a · (b × c)

rP

a0 =

re lim

2) Muestre que un sistema bcc también puede ser descrito por los vectores primitivos: a = a(j + k − i)/2, b = a(k + i − j)/2 y c = a(i + j − k)/2. Dibuje la celda primitiva y calcule su volumen. 3) Muestre que un sistema fcc también puede ser descrito por los vectores primitivos: a = a(j + k)/2, b = a(i + k)/2 y c = a(i + j)/2. Otra vez, dibuje la celda primitiva y calcule su volumen. Se puede definir la red rec´ıproca como y

c0 =

a×b ; a · (b × c)

ad o

De esta manera es claro que, por construcción, a0 · b = a0 · c = 0 y además a0 · a = 1. Con 0 0 lo cual podemos generalizarlo como ˆ ei · ˆ ej = δji . Exprese los vectores y las celdas rec´ıprocas para los sistemas c´ ubico simple, y los distintos bcc y fcc. Calcule además el vol´ umen de cada celda rec´ıproca. 3. Considerando que

r = x i + y j + z k = xm im ,

A = A(r) = A(x, y, z) = Ai (x, y, z)ii y B = B(r) = B(x, y, z) = B i (x, y, z)ii y ψ = ψ(r) = ψ(x, y, z)

Bo rr

φ = φ(r) = φ(x, y, z)

usando la notaci´ on de ´ındices e inspirándose en las secciones 1.6.3, 1.7.5 y 1.9, muestre las siguientes identidades vectoriales a) ∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ b) ∇ · (φA) = φ∇ · A + (∇φ) · A c) ∇ × ∇φ = 0, también ∇ · (∇ × A) y ¿qué puede decir de ∇ × (∇ · A)?

d ) ∇ · (A × B) = (∇ × A) · B + A × (∇ × B) e) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A

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re lim

in ar

1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura 1.9: Cuatro detalles geométricos. Cuadrante I: Mural egipcio. Cuadrante II: Mural Mural Asirio. Cuadrante III: Tejido Tahit´ı. Cuadrante IV: Ilustración en pieza de porcelana china. Tomado de http: //en.wikipedia.org/wiki/Wallpaper_group

4. Una part´ıcula se mueve bajo la ley r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k con y(t) = t2 − 4t;

z(t) = 3t − 5.

rP

x(t) = 2t2 ;

El par´ ametro t representa el tiempo. Encuentre las expresiones para la aceleración y la velocidad de la part´ıcula, para t = 1 y en la direcci´ on del vector i − 3j + 2k.

ad o

5. Suponga ahora el caso general de una part´ıcula que se mueve en una curva descrita por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Muestre que el vector velocidad es tangente a la trayectoria descrita 6. Encuentre la ecuaci´ on vectorial para una trayectoria recta que pasa por los puntos P → (1, 2, 3) y Q → (1, 1, 1) 7. Encuentre el ´ angulo entre los siguientes planos x + y + z = 9 y x + y − z = 3.

Bo rr

8. Un fluido se considera irrotacional si su campo de velocidades v = v(r) = v(x, y, z) cumple con la ecuaci´ on ∇ × v = 0. Suponga, ahora que v = (x + 2y + az)i + (bx − 3y − z)j + (4x + cy + 2z)k. a) Encuentre el valor de a, b y c para que este campo de velocidades sea irrotacional b) Es intuitivo convencerse que si ∇ × v = 0 ⇒ v = ∇ψ. Encuentre expresión para la funci´ on potencial ψ = ψ(r) = ψ(x, y, z) R c) Considere la siguiente integral I = C dr · v. Donde C es el circuito a recorrer. 1) Calcule el valor de la integral I a lo largo del trayecto: (0, 0, 0) → (1, 1, 0) mediante una segmento de recta. Luego, de (1, 1, 0) → (2, 0, 0) a lo largo de otro segmento de recta. Finalmente regresando (2, 0, 0) → (0, 0, 0) también siguiendo una recta.

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re lim

in ar

1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura 1.10: Teselados de M.C. Escher, tomados de http://www.wikipaintings.org/en/ paintings-by-genre/tessellation?firstArtist=m-c-escher#artist-m-c-escher

rP

2) Calcule el valor de la integral I de (0, 0, 0) → (2, 0, 0) a lo largo de un arco de circunferencia que cumple con la ecuaci´ on (x−1)2 +y 2 = 1. Ahora regresando de (2, 0, 0) → (0, 0, 0) también a través de una recta. 3) ¿Qué puede concluir del campo v? 9. Dos funciones complejas Z1 (t) y Z2 (t) cumplen con las siguientes ecuaciones

ad o

dZ1∗ −i == dt Z1 − Z2

−i dZ2∗ == dt Z2 − Z1

y

Muestre que las siguientes cantidades son constantes.

Bo rr

Z1 + Z2 |Z1 − Z2 | |Z1 |2 + |Z2 |2

10. Considere la siguiente ecuaci´ on z 7 − 4z 6 + 6z 5 − 6z 4 + 6z 3 − 12z 2 + 8z + 4 = 0

Encuentre sus ra´ıces sabiendo que z 3 = 2.

11. Muestre que la expansi´ on binomial puede ser escrita como (1 + x)n =

n X m=0

Hern´ andez & N´ un ˜ez

Am (n) xm

con Am (n) =

n! m!(n − m)!

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64

rP

re lim

in ar

1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

ad o

Figura 1.11: Las 14 Redes de Bravais Tridimensionales y las estructuras cristalinas asociadas. Tomado de http://en.wikipedia.org/wiki/Bravais_lattice

Bo rr

Si est´ a convencido de la expansi´ on anterior, considere ahora una parecida: 1 + eiθ n X

n

n X

n

n

y muestre que

θ nθ Am (n) cos(nθ) = 2 cos cos 2 2 m=0 n

y

θ nθ Am (n) sen(nθ) = 2 cos sen 2 2 m=0 n

12. Las funciones hiperb´ olicas se definen como

Hern´ andez & N´ un ˜ez

cosh(x) =

ex + e−x 2

y

senh(x) =

ex − e−x 2

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65

1.10. EJERCICIOS PROPUESTOS

y de manera an´ aloga a las funciones trigonométricas tendremos el resto de funciones tanh(x) =

senh(x) ; cosh(x)

sech(x) =

1 ; cosh(x)

csech(x) =

1 ; senh(x)

ctanh(x) =

1 ; tanh(x)

a) Muestre las siguientes equivalencias cosh(x) = cos(ix),

i senh(x) = sen(ix),

cos(x) = cosh(ix)

y

i sen(x) = senh(x)

b) Muestre las siguientes identidades sech2 (x) = 1 − tanh2 (x);

cosh(2x) = cosh2 (x) + senh2 (x)

c) Resuelva las siguientes ecuaciones hiperbólicas cosh(x) − 5senh(x) − 5 = 0,

2 cosh(4x) − 8 cosh(2x) + 5 = 0

y

in ar

cosh2 (x) − senh2 (x) = 1;

cosh(x) = senh(x) + 2sech(x)

re lim

˜ puede expresarse en d ) La posici´ on de una part´ıcula vista desde dos observadores relativistas O y O término de funciones hiperb´ olicas como cosh(φ) −senh(φ) µ µ µ x ˜ = Lν xν con {µ, ν} = 0, 1 y Lν = senh(φ) cosh(φ)

Bo rr

ad o

rP

¯ νµ x ¯ µν tal que xν = L ˜µ Encuentre la matriz L 2 0 2 1 2 0 2 Muestre que ds = (x ) − (x ) = (˜ x ) − (˜ x1 )2 .

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66

in ar

Bibliograf´ıa

[1] Arfken, G. B.,Weber, H., Weber, H.J. (2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edici´ on (Academic Press, Nueva York)

re lim

[2] Borisenko, A.I, y Tarapov I.E. (1968) Vector and Tensor Analisys (Dover Publications Inc, Nueva York) [3] Dennery, P. y Krzywicki, A. (1995) Mathematics for Physicists (Dover Publications Inc, Nueva York) [4] Harper, C. (1971) Introduction to Mathematical Physics (Prentice Hall, Englewood Cliff, N.J:) [5] Hassani, S. (1991) Foundations of Mathematical Physics (Prentice Hall, International Edition, London:

rP

[6] Riley, K.F., Hobson, M.P. y Bence, S.J. (2002) Mathematical Methods for Physics and Engineering (Cambridge University Press) [7] Santal´ o, L.A (1969) Vectores y Tensores (Editorial Universitaria, Buenos Aires)

Bo rr

ad o

[8] Spiegel, M. (1959) Vector Analysis (Schaums Outline Series, McGraw Hill New York )

67

2

Bo rr

ad o

rP

re lim

Espacios Vectoriales Lineales

in ar

Cap´ıtulo

68

2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

2.1. 2.1.1.

Grupos, cuerpos y espacios vectoriales Grupos

Considere el siguiente conjunto G = {g1 , g2 , g3 , · · · , gn , · · · } y la operación interna (la ley del grupo). Entonces los elementos del conjunto forman un grupo abeliano1 respecto a la operación si ∀ gi ∈ G se tiene que: 1. Cerrada respecto a la operaci´ on : {gi ∈ G, gj ∈ G} ⇒ ∃ gk = gi gj ∈ G

3. Existencia de un elemento neutro: ∃ g ˆ ∈ G ⇒ gi g ˆ = gi = g ˆ gi

in ar

2. Asociativa respecto a la operaci´ on : gk (gi gj ) = (gk gi ) gj

4. Existencia de un elemento inverso: gi ∈ G ⇒ ∃ gi−1 ∈ G ⇒ gi gi−1 = gi−1 gi = g ˆ 5. Conmutativa respecto a la operaci´ on : gi gj ≡ gj gi .

re lim

Ejemplos de grupos: Los enteros Z = {· · · − 3 − 2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } respecto a la suma; Los racionales respecto a la suma y a la multiplicación;

Los n´ umeros complejos z = eiθ respecto a la multiplicación;

Las rotaciones en 2 dimensiones (2D), y las rotaciones en 3D (grupo no-abeliano); El conjunto de matrices de dimensiones n × m respecto a la suma, es un grupo abeliano.

ad o

rP

Dado un grupo de tres elementos: G = {1, a, b}, con g ˆ ≡ 1 y la operación . Por construcción, si que´ remos que la operaci´ on de dos de los elementos provea un tercero distinto, entonces la UNICA “tabla de multiplicaci´ on” posible ser´ a: 1 a b

1 1 a b

a a b 1

b b 1 a

Bo rr

Notemos que el grupo m´ as simple ser´ a aquel conformado u ńicamente por el elemento neutro: G = {1}. Es importante se˜ nalar que si s´ olo se cumplen las cuatro primeras condiciones entonces se dice que simplemente forman grupo respecto a la operación . Se pueden definir subgrupos si un subconjuntos de los elementos de un grupo gi ∈ G también forman un grupo. El n´ umero de los elementos de un grupo puede ser finito o infinito. En el primer caso se denominan grupos finitos y el n´ umero de elementos que contenga se conoce como el orden del grupo. Un grupo finito 1 NIELS HENRIK ABEL, (1802-1829 Noruega) Pionero en el desarrollo de diferentes ramas de la matem´ atica moderna, Abel mostr´ o desde su infancia un notable talento para el estudio de las ciencias exactas. Tal predisposici´ on se ver´ıa muy pronto confirmada por sus precoces investigaciones sobre cuestiones de a ´lgebra y c´ alculo integral, en particular sobre la teor´ıa de las integrales de funciones algebraicas (a las que se denominar´ıa abelianas en honor de su formulador) que no habr´ıa de publicarse hasta 1841, doce a˜ nos despu´ es de su fallecimiento. En 2002 el gobierno noruego lanz´ o el premio Abel que llenar´ a el vac´ıo que existe en la premiaci´ on Nobel del gobierno sueco, en el cual no existe premiaci´ on para la comunidad matem´ atica.

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69

2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

que se construye a partir ńico miembro se denomina grupo c´ıclico, y el caso de una operación con un u m´ as elemental es G = I, X, X 2 , X 3 , · · · , X g−1 . Obviamente hemos definido aqu´ı: X 2 = XX y X 3 = X 2 X = XXX y as´ı consecutivamente hasta ejecutarse g − 1 veces, entonces se retoma el elemento identidad, esto es: X g−1 X = X g = I. Consideremos los siguientes conjuntos y operación2 multiplicación módulo X, es decir (a · b)modX :

×mod8 1 3 5 7

1 1 3 5 7

3 3 1 7 5

5 5 7 1 3

7 7 5 3 1

in ar

Gmod8 = {1, 3, 5, 7} y la operaci´ on multiplicación módulo 8. De esta manera construimos la tabla de multiplicaci´ on del grupo

Recordemos que la regla usada, por ejemplo para 3 y 7, es la siguiente: 3 · 7 = 21 y el residuo de dividir 21 entre 8 es 5, por lo tanto (3 · 7)mod8 = (21)mod8 = 5. (21 ÷ 8 = 2 × 8 + 5)

×mod5 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

re lim

Gmod5 = {1, 2, 3, 4} y la operaci´ on multiplicación módulo 5. Tabla: ×mod5 1 2 4 3

⇔

1 1 2 4 3

2 2 4 3 1

4 4 3 1 2

3 3 1 2 4

rP

Gmod24 = {1, 5, 7, 11} y la operaci´ on multiplicación módulo 24. Tabla de multiplicación:

ad o

×mod24 1 5 7 11

1 1 5 7 11

5 5 1 11 7

7 7 11 1 5

11 11 7 5 1

Bo rr

G× = {1, i, −1, −i} y la operaci´ on multiplicación: × 1 i -1 -i

1 1 i -1 -i

i i -1 -i 1

-1 -1 -i 1 i

-i -i 1 i -1

Diremos que los grupos Gmod8 y Gmod24 son isomorfos porque tienen tablas equivalentes de multiplicaci´ on. Esto es, dado un grupo genérico G = {1, A, B, C} su tabla de multiplicación será:

2 Vamos a considerar lo que se conoce como Arim´ etica Modular. Sabemos que para la divisi´ on de dos enteros a y b (b 6= 0) existe un u ńico entero c tal que a = cb + r con 0 ≤ r ≤ |b|. Y como es conocido: a, b, c y r son: el dividendo, el divisor, el cociente y el resto, respectivamente. Cuando r = 0 se dice que a es divisible por b. En esta “arim´ etica”tan particular se establece una relaci´ on de congruencia sobre los enteros: para un entero positivo n, dos enteros a y b se llaman congruentes m´ odulo n (mod n) si a y b tienen el mismos resto r cuando se dividen entre n, y se denota a ≡ b mod n.

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70

2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

× 1 A B C

1 1 A B C

A A 1 C B

B B C 1 A

C C B A 1

× 1 A B C

2.1.2.

1 1 A B C

A A B C 1

B B C 1 A

C C 1 A B

Cuerpo

in ar

Note que A−1 =A y que siempre la operación de dos elementos da uno distinto a los operados. De igual forma los grupos G× y Gmod5 son isomorfos con una tabla de multiplicación

re lim

Definiremos como un cuerpo (o campo) el conjunto A = {α1 , α2 , α3 , · · · , αn , · · · } sobre el cual est´ an definidas dos operaciones: suma (+) y multiplicación (·) y que satisfacen las siguientes propiedades: 1. Forman un grupo abeliano respecto a la suma (+) con el elemento neutro representado por el cero 0. 2. Forman un grupo abeliano respecto a la multiplicación (·). Se excluye el cero 0 y se denota el elemento neutro de la multiplicaci´ on como 1.

rP

3. Es distributiva respecto a la suma (+) : Dados αi , αj y αk se tiene que αi · (αj + αk ) = αi · αj + αi · αk .

Ejemplos t´ıpicos de campos lo constituyen los racionales Q, los n´ umeros reales R y los n´ umeros complejos C. Normalmente se refiere estos campos como Campos Escalares.

2.1.3.

Espacios vectoriales lineales

ad o

Sea el conjunto de objetos V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · |vi i · · · }. Se denominará V un espacio vectorial lineal y sus elementos |vi i vectores, si existe una operación suma, , respecto a la cual los elementos |vi i ∈ V forman un grupo abeliano y una operaci´ on multiplicación por un elemento de un campo, K = {α, β, γ · · · }, tal que: (también suele decirse: un espacio vectorial V sobre K) 1. V es cerrado bajo la operaci´ on suma : ∀ |vi i , |vj i ∈ V ⇒ |vk i = |vi i |vj i ∈ V

Bo rr

2. La operaci´ on suma es conmutativa: ∀ |vi i , |vj i ∈ V ⇒ |vi i |vj i = |vj i |vi i

3. La operaci´ on suma es asociativa: ∀ |vi i , |vj i , |vk i ∈ V ⇒ (|vi i |vj i) |vk i = |vi i (|vj i |vk i)

4. Existe un u ńico elemento neutro |0i : |0i |vi i = |vi i |0i = |vj i ∀ |vi i ∈ V

5. Existe un elemento simétrico para cada elemento de V: ∀ |vi i ∈ V ∃ |−vi i / |vi i |−vi i = |0i 6. V es cerrado bajo el producto por un escalar: ∀ α ∈ K y cualquier |vi i ∈ V ⇒ α |vi i ∈ V 7. α (β |vi i) = (αβ) |vi i

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71

2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

8. (α + β) |vi i = α |vi i β |vi i 9. α (|vi i |vj i) = α |vi i α |vj i 10. 1 |vi i = |vi i ∀ |vi i ∈ V

2.1.4.

in ar

Es importante resaltar lo siguiente: existe dos objetos neutros, el vector |0i ∈ V y el escalar 0 ∈ K y también dos operaciones producto diferentes, el producto de dos escalares dentro de K y el producto de un escalar α ∈ K por un vector |vi ∈ V. Notemos también que podemos definir subespacios S vectoriales dentro de los espacios vectoriales. Ellos ser´ an aquellos conjuntos de vectores que cumplan con los requisitos anteriores pero además cerrados dentro de los mismos conjuntos de vectores. Se puede ver entonces que la condición necesaria y suficiente para que S ⊆ V sea un subespacio vectorial de V es que para cualesquiera |ui i y |uj i de S y para cualesquiera α y β de K se tiene que: α |ui i + β |uj i ∈ S.

Ejemplos espacios vectoriales

re lim

1. Los conjunto de los n´ umeros reales V = R y el conjunto de los n´ umeros complejos V = C con el campo K de reales o complejos y definidas las operaciones ordinarias de suma y multiplicación. Cuando el campo K es el conjunto de los n´ umeros reales se dirá que es un espacio vectorial real de n´ umeros reales si V ≡ R, pero si V ≡ C se dirá un espacio vectorial real de n´ umeros complejos. Por su parte, si K ≡ C diremos que es un espacio vectorial complejo. Siempre se asociará el campo de escalares al espacio vectorial: se dir´ a que es un espacio vectorial sobre el campo de los escalares. Es decir, si el campo es real (complejo) se dirá que el espacio vectorial es real (complejo).

rP

2. El espacio V ≡ Rn = R × R × · · · × R, vale decir el producto cartesiano de R, cuyos elementos son n−uplas de n´ umeros, con la operaci´ on suma ordinaria de vectores en n-dimensionales y la multiplicaci´ on por escalares. |xi = (x1 , x2 , x3 , · · · xn )

∧

|yi = (y1 , y2 , y3 , · · · , yn )

|xi |yi ≡ (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , · · · xn + yn )

ad o

α |xi = (αx1 , αx2 , αx3 , · · · αxn ) . Este espacio vectorial es de dimensi´ on finita. Igualmente, será un espacio vectorial Cn = C×C×· · ·×C para el cual los elementos xi ∈ C. Si para este caso el campo sobre el cual se define el espacio vectorial Cn es real, tendremos un espacio vectorial real de n´ umeros complejos.

Bo rr

Es obvio que el caso V ≡ R para el cual |xi1 = (x1 , 0, 0, · · · , 0) y |yi1 = (y1 , 0, 0, · · · , 0) o cualquier espacio de vectores formados por las componentes, i.e. |xii = (0, 0, 0, · · · , xi , · · · 0) y |yii = (0, 0, 0, · · · , yi , · · · 0) formar´ an subespacios vectoriales dentro de Rn . En el caso espec´ıfico de R3 , y en donde hemos desarrollado todo un conjunto de conceptos matem´ aticos, es bueno comentar sobre la equivalencia que hemos tomado como obvia entre dos definiciones diferentes: Los vectores a = (a1 , a2 , a3 ) y b = (b1 , b2 , b3 ) con sus respectivas operaciones para la suma a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) y multiplicación por un escalar λ a = (λa1 , λa2 , λa3 ), con {ai }, {bi } y λ ∈ R. Los vectores geométricos, es decir, segmentos orientados en el espacio con un origen com´ un y donde la suma se defini´ o mediante la regla del paralelogramo y el producto por un escalar como el alargamiento o acortamiento de los segmentos o flechas con el posible cambio de dirección.

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2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

Aunque son vectores de R3 es bueno tener claro que se trata de objetos diferentes que viven en espacios vectoriales diferentes. Se puede decir también que son dos representaciones diferentes para los vectores. Es buena la ocasi´ on para se˜ nalar que existe una manera de pasar de una representaci´ on a otra, esto se hace por medio de una función que asigne a una tr´ıada (x1 , x2 , x3 ) una y sólo una flecha (y viceversa), conservando por supuesto las operaciones de suma y multiplicación por escalares. A este tipo de funciones se les denomina un isomorfismo.

in ar

Para finalizar, también es posible ver R3 simplemente como un conjunto de puntos donde se pueden definir superficies embebidas, como por ejemplo una esfera, S2 , centrada en el origen y de radio R. En un punto q sobre la esfera es posible generar un plano tangente a la esfera y en ese punto construir un espacio vectorial con todos los vectores cuyo origen está en q, y por lo tanto, son tangentes a la esfera. En el lenguaje de la Geometr´ıa Diferencial y las Variedades a este conjunto de vectores se le denota con: Tq S2 . Lo anteriormente dicho se puede generalizar para Rn . 3. El espacio E∞ constituido por vectores |xi = (x1 , x2 , x3 , · · · xn , · · · ) contables pero con infinitas componentes. |xi = (x1 , x2 , x3 , · · · , xn , · · · )

∧

|yi = (y1 , y2 , y3 , · · · , yn , · · · )

re lim

|xi |yi ≡ (x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 , · · · , xn + yn , · · · ) α |xi = (αx1 , αx2 , αx3 , · · · , αxn , · · · ) , con la restricci´ on que l´ım

n→∞

n X i=1

xi = L ,

con L finito .

4. El conjunto de la matrices n × n reales o complejas con el campo K real o complejo. ∧

rP

|xi = Mab

|yi = Nab

|xi |yi ≡ Mab + Nab = (M + N )ab α |xi = αMab = (αM )ab

ad o

Es también obvio que se podr´ an formar subespacios vectoriales cuyos elementos sean matrices de dimensi´ on menor a n × n. 5. El conjunto de los vectores geométricos, o vectores cartesianos, en 2 y 3 dimensiones con las propiedades habituales de suma vectorial y multiplicación por un escalar. 6. El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales: P = a0 , a1 x, a2 x2 , · · · , an xn , · · · , con la suma ordinaria entre polinomios y la multiplicación ordinaria de polinomios con escalares.

Bo rr

7. Espacios Funcionales (de los cuales los polinomios son un caso particular). En estos espacios los vectores ser´ an funciones, la suma ser´ a la suma ordinaria entre funciones y la multiplicación por un escalar también ser´ a la multiplicaci´ on ordinaria de una función por un elemento de un campo |f i = f (x)

∧

|gi = g (x)

|f i |gi ≡ f (x) + g (x) ≡ (f + g) (x) α |f i = (αf ) (x) ≡ αf (x) .

8. El conjunto de todas las funciones continuas e infinitamente diferenciables, definidas en el intervalo ∞ [a, b] : C[a,b] .

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73

2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

9. El conjunto de todas las funciones complejas de variable real, ψ (x) , definidas en [a, b] , de cuadrado Rb 2 integrable (es decir para las cuales a dx |ψ (x)| sea finita). Este espacio se denomina com´ unmente 2 L y puede ser definido en un rango [a, b], finito o infinito, y para más de una variable. 10. El conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y homogéneas, por ejemplo a + 3b + c =

0

4a + 2b + 2c =

0

2.1.5.

in ar

tiene como soluci´ on al conjunto: {a, b = a/2, c = −5a/2}. La suma de estos elementos y la multiplicaci´ on por un escalar conforman un espacio vectorial en el sentido de que son soluciones del sistema de ecuaciones.

La importancia de la conceptualizaci´ on y la notaci´ on

Ejercicios

ad o

2.1.6.

rP

re lim

En los ejemplos antes mencionados hemos utilizado para representar un vector abstracto la notaci´ on de |vi y con éstos construimos un espacio vectorial abstracto V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i}. Un espacio vectorial abstracto ser´ a un conjunto de elementos genéricos que satisfacen ciertos axiomas. Dependiendo del conjunto de axiomas tendremos distintos tipos de espacios abstractos, la teor´ıa desarrolla las consecuencias l´ ogicas que resultan de esos axiomas. En matemática el concepto de espacios abstractos es reciente (1928) y, aparentemente, se le debe a Maurice Fréchet3 . Los elementos de esos espacios se dejan sin especificar a propósito. Ese vector abstracto puede representar, vectores en Rn , matrices n × n o funciones continuas. La notación |vi, que se denomina un ket y al cual le corresponde un bra hv2 | proviene del vocablo inglés braket que significa corchete y será evidente más adelante cuando construyamos escalares braket hv2 |v1 i. Esta u ´til notación la ideó Paul Dirac4 , uno de los f´ısicos m´ as influyentes en el desarrollo de la f´ısica del siglo XX. En mecánica cuántica un estado cuántico particular suele representarse por una funci´ on de onda ψ(x), que depende de la variable posición x o de una funci´ on alternativa que puede depender de la variable momentum p. En la notación de Dirac, el s´ımbolo |ψi denota el estado cu´ antico sin referirse a la funci´ on en particular y también sirve para distinguir a los vectores de los escalares (n´ umeros complejos) que vienen a ser los elementos fundamentales en el espacio de Hilbert de la mec´ anica cu´ antica.

1. Sea S el conjunto de todos los n´ umeros reales excluyendo −1 y defina la operación a b = a + b + ab

Bo rr

donde + es la suma est´ andar entre n´ umeros reales. a) Muestre que [S, ] forman grupo b) Encuentre la soluci´ on en S para la ecuación 2 x 3 = 7

3 MAURICE FRECHET ´ (1878 Maligny, Yonne, Bourgogne-1973 Par´ıs, Francia). Vers´ atil matem´ atico franc´ es, con importantes contribuciones en Espacios M´ etricos, Topolog´ıa y creador del concepto de Espacios Abstractos. 4 PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC (1902 Bristol, Inglaterra 1984-Tallahassee, EE.UU). Adem´ as de contribuir de manera determinante en la comprensi´ on de la Mec´ anica Cu´ antica, es uno de los creadores de la Mec´ anica Cu´ antica Relativista la cual ayud´ o a comprender el papel que juega el esp´ın en las part´ıculas subat´ omicas. Por sus importantes trabajos comparti´ o con Erwin Schr¨ odinger el Premio Nobel de F´ısica en 1933.

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2.1. GRUPOS, CUERPOS Y ESPACIOS VECTORIALES

2. Considere un tri´ angulo equil´ atero. Uno puede identificar operaciones de rotación alrededor de un eje perpendicular a la figura y reflexiones respecto a planos que dejan invariante la figura del triángulo. ¯ X1 , X2 , X3 . con a) Muestre que el conjunto de estas operaciones forma un grupo G4 = I, R, R, ¯ las rotaciones y X1 , X2 y X3 las reflexiones. Muestre adem´ I la operaci´ on identidad; R y R as, que las rotaciones forman un subgrupo c´ıclico de orden 3, mientras que las reflexiones forman un subgrupo c´ıclico de orden 2 b) Construya la tabla de multiplicación para G4 c) Considere las siguientes matrices 1 0

I=

0 1

;

 A=

−

3 2

0 1

 D=

−

√

−



 

 B=

√

1 2

;

− 12



3 2

3 2

− 21

  

√

− 21

−

3 2

√

3 2





 E=

 

− 12

1 2

√

√

3 2

re lim

−1 0

C=

3 2

√



√

− 12

in ar



3 2 1 2

  

Muestre que forman grupo bajo la multiplicación de matrices y que ese grupo es isomorfo a G4 d ) Considere las siguientes funciones f1 (x) = x;

f2 (x) =

1 ; x

f3 (x) =

1 ; 1−x

f4 (x) =

x−1 ; x

f5 (x) = 1 − x;

f6 (x) =

x ; x−1

rP

Muestre que forman grupo bajo la operación fi (x) fj (x) = fi (fj (x)) y que ese grupo es isomorfo a G4 .

3. Definamos una operaci´ on binaria como

x y = x + y + αxy

ad o

con x, y, α ∈ R y adem´ as α 6= 0.

a) Demuestre que es asociativa

b) Muestre que genera un grupo en R − x y forma un grupo

−1 α

. Es decir, ∀x, y ∈ R ∧ x 6=

−1 α ,y

6=

−1 α

entonces

Bo rr

4. Muestre que el siguiente conjunto de transformaciones en el plano xy forman un grupo y construya su tabla de multiplicaci´ on a) I = {x → x ∧ y → y} b) I = {x → −x ∧ y → −y} c) Ix = {x → −x ∧ y → y}

d ) Iy = {x → x ∧ y → −y}

5. Muestre que también ser´ an espacios vectoriales

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75

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

a) El conjunto de todas las funciones f = f (x) definidas en x = 1 con f (1) = 0. Si f (1) = c ¿Tendremos igual un espacio vectorial? ¿Por qué? b) Los vectores (x, y, z) ∈ V3 tal que sus componentes satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones algebraico a11 x + a12 y + a13 z = 0 a21 x + a22 y + a23 z = 0 a31 x + a32 y + a33 z = 0

2.2.1.

Espacios m´ etricos, normados y con producto interno

in ar

2.2.

M´ etricas y espacios m´ etricos

re lim

El siguiente paso en la dotaci´ on de propiedades de los espacios lineales lo constituye la idea de métrica o distancia entre sus elementos. El concepto de métrica surge de la generalización de la idea de distancia entre dos puntos de la recta real. Un espacio vectorial ser´ a métrico si podemos definir una función d : V × V → R / ∀ |xi , |yi , |zi ∈ V tal que se cumple que: 1. d (|xi , |yi) ≥ 0 ,

si

d (|xi , |yi) = 0 ⇒ |xi ≡ |yi

2. d (|xi , |yi) ≡ d (|yi , |xi)

rP

3. d (|xi , |yi) ≤ d (|xi , |zi) + d (|yi , |zi) (La desigualdad triangular). As´ı, diremos que (V, K,, d) es un espacio vectorial, lineal, métrico. Ejemplos

ad o

1. Espacios reales Rn .

a) Para R, es decir la recta real, la definición de métrica es d (|xi , |yi) ≡ |x − y| . q 2 2 b) Para R2 , es decir el plano, una definición de métrica es: d (|xi , |yi) ≡ (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) .

Bo rr

También podemos construir otra definición de métrica como: d (|xi , |yi) ≡ |x1 − y1 |+|x2 − y2 |. La primera de estas métricas se conoce como métrica eucl´ıdea y la segunda como métrica Manhattan o métrica de taxistas. Es claro como el mismo espacio vectorial genera varios espacios métricos, dependiendo de la definici´ on de métrica. Para estos casos particulares, las métricas “miden” el desplazamiento entre dos puntos de forma distinta: en aviones (metr´ıca eucl´ıdea) o veh´ıculos terreste en ciudades.

c) En general para espacios reales Rn una posible definición de métrica será: q 2 2 2 2 d (|xi , |yi) ≡ (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + (x3 − y3 ) + · · · + (xn − yn ) . Esta definici´ on de métrica, o distancia, no es más que una generalización del teorema de Pit´ agoras y se denomina Distancia Euclidiana.

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76

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

2. Espacios unitarios n−dimensionales, o espacios complejos, Cn . La definición de distancia puede construirse como: q 2 2 2 2 d (|xi , |yi) ≡ |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | + · · · + |xn − yn | y es claro que se recobra la idea de distancia en el plano complejo: d (|xi , |yi) ≡ |x − y|. ∞ 3. Para los espacios de funciones C[a,b] una posible definición de distancia ser´ıa:

d (|f i , |gi) ≡ máx |f (t) − g (t)| .

in ar

t∈[a,b]

Es importante destacar que las definiciones de distancia arriba propuesta son invariante bajo traslaciones de vectores. Esto es: |˜ xi = |xi + |ai ∧ |˜ y i = |yi + |ai, entonces, d (|xi , |yi) ≡ d (|˜ xi , |˜ y i) .

2.2.2.

Normas y espacios normados

1. k|vi ik ≥ 0 ,

si

k|vi ik = 0 ⇒ |vi i ≡ |0i

2. kα |vi ik = |α| k|vi ik

re lim

La idea de distancia (o métrica) es el equipamiento más elemental que uno le puede exigir a un espacio vectorial. Mucho m´ as interesante a´ un son aquellos espacios vectoriales que están equipados con la idea de norma y, a partir de all´ı, se define la idea de distancia. La norma tiene que ver con el “tama˜ no” del vector y la métrica tiene que ver con la distancia entre vectores. Cuando definimos la métrica a partir de la norma, vinculamos las propiedades algebraicas del espacio con sus propiedades geométricas. La Norma, N (|vi i) ≡ k|vi ik, de un espacio vectorial V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · |vn i} será una funci´ on N : V → R / ∀ |vi i ∈ V que cumple con:

rP

3. k|vi i + |vj ik ≤ k|vi ik + k|vj ik (Desigualdad Triangular).

Ejemplos

ad o

La definici´ on de Norma induce una métrica de la forma d (|vi i , |vj i) ≡ k|vi i − |vj ik. Se denota en este caso un espacio vectorial normado como (V, K,; k·k) y también se le conoce como un Espacio de Banach. El concepto de espacio vectorial normado fue formulado en 1922 de manera independiente por S. Banach5 , H. Hahn y N. Wiener.

Bo rr

1. Los espacios reales, Rn y los espacios complejos Cn . Para estos espacios de Banach, la Norma se define como: ! 12 q n X 2 2 2 2 2 k|xik = |x1 | + |x2 | + |x3 | + · · · + |xn | = |xi | , i=1 3

p

x21

es claro que para un espacio en R se cumple que k|xik = + x22 + x23 , por lo tanto, la idea de Norma generaliza la noci´ on de “tama˜ no” del vector |xi. También es claro que la definición de distancia se construye a partir de la norma de la forma: q 2 2 2 2 d (|xi , |yi) ≡ k|xi − |yik = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | + · · · + |xn − yn | .

5 STEFAN BANACH (1892 Kracovia, Polonia-1945 Lvov,Ucrania) Matem´ atico polaco, uno de los fundadores del An´ alisis Funcional Moderno, con sus mayores contribuciones a la teor´ıa de espacios topol´ ogicos. Hizo tambi´ en importantes aportes a la teor´ıa de la Medida, Integraci´ on y Teor´ıa de Conjuntos y Series Ortogonales.

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77

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

2. Para el espacio lineal de matrices n × n reales o complejas con el campo K real o complejo, una definici´ on de norma es m X n X kM k = |Mab | , a=1 b=1

y la correspondiente definici´ on de distancia d (|xi , |yi) ≡ kM − N k =

m X n X

|Mab − Nab | .

a=1 b=1

k|f ik = máx |f (t)| , t∈[a,b]

otra posible definici´ on ser´ıa ! 12

Z k|f ik =

dx |f (x)|

2.2.3.

.

re lim

t∈[a,b]

2

in ar

∞ 3. Para los espacios funcionales C[a,b] una posible definición de norma ser´ıa:

Espacios vectoriales con producto interno: Espacios euclidianos

rP

El siguiente paso en la construcci´ on de espacios vectoriales más ricos es equiparlo con la definici´ on de producto interno y a partir de esta definición construir el concepto de norma y con éste el de distancia. La idea de producto interno generaliza el concepto de producto escalar de vectores en R3 e incorpora a los espacios vectoriales abstractos el concepto de ortogonalidad y descomposición ortogonal. Históricamente, la teor´ıa de espacios vectoriales con producto interno es anterior a la teor´ıa de espacios métricos y espacios de Banach y se le debe a D. Hilbert6 . Adicionalmente, la semejanza entre la geometr´ıa euclidiana y la geométrica de Rn ha hecho que espacios en los cuales se puedan definir, distancia, ángulos, a partir de una definici´ on de producto interno, se denominen también espacios euclidianos. Producto interno

ad o

En un espacio vectorial abstracto V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · |vn i}, la definición del producto interno de dos vectores la denotaremos como hvi | vj i y es una función: I (|vi i , |vj i) : V × V → K ∀ |vi i , |vj i ∈ V, es decir, asocia a ese par de vectores con un elemento del campo, o cuerpo, K. Las propiedades que definen el producto interno son: 2

1. hvi | vi i ≡ k|vi ik ∈ K ∧ hvi | vi i ≥ 0 ∗

si

hvi | vi i = 0 ⇒ |vi i ≡ |0i

∀ |vi i , |vj i ∈ V

Bo rr

2. hvi | vj i = hvj | vi i

∀ |vi i ∈ V ,

3. hvi | αvj + βvk i = α hvi | vj i + β hvi | vk i ∀ |vi i , |vj i , |vk i ∈ V ∧ α, β ∈ K

4. hαvi + βvj | vk i = α∗ hvi | vj i + β ∗ hvi | vk i ∀ |vi i , |vj i , |vk i ∈ V ∧ α, β ∈ K 5. hvi | 0i = h0| vi i = 0

6 DAVID HILBERT (1862 Kaliningrad, Rusia-1943 G¨ ottingen, Alemania) Matem´ atico alem´ an defensor de la axiom´ atica como enfoque primordial de los problemas cient´ıficos. Hizo importantes contribuciones en distintas a ´reas de la matem´ atica, como: Invariantes, Campos de N´ umeros Algebraicos, An´ alisis Funcional, Ecuaciones Integrales, F´ısica-Matem´ atica y C´ alculo en Variaciones.

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78

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

La segunda y cuarta propiedad resultan del hecho de que si el Campo es complejo K = C, entonces hαvi | αvi i = α2 hvi | vi i = i2 hvi | vi i = − hvi | vi i

in ar

lo cual contradice el hecho de que la Norma tiene que ser positiva. Por eso la necesidad de tomar el complejo conjugado. Se dice entonces, que el producto escalar es antilineal respecto al primer factor y lineal respecto al segundo. A partir de la definici´ on de producto interno se construyen los conceptos de norma y distancia q p k|vi ik = hvi | vi i y d (|vi i , |vj i) ≡ k|vi i − |vj ik = hvi − vj | vi − vj i La desigualdad de Cauchy-Schwarz: los ´ angulos entre vectores reales y complejos

Todo producto interno hvi | vj i definido en un espacio vectorial abstracto V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · |vn i} cumple con la desigualdad de Cauchy-Schwarz 2

|hvi | vj i| ≤ hvi | vi i hvj | vj i

⇐⇒

|hvi | vj i| ≤ k|vi ik k|vj ik .

re lim

Es claro que si |vi i = |0i ∧ |vj i = |0i se cumple la igualdad y es trivial la afirmación. Para |vi i ∧ |vj i cualesquiera, procedemos construyendo |vk i = α |vi i + β |vj i, α y β tendrán valores particulares, por lo tanto hvk | vk i ≡ hαvi + βvj | αvi + βvj i ≥ 0 , esto significa que

hαvi + βvj | αvi + βvj i = hαvi | αvi i + hαvi | βvj i + hβvj | αvi i + hβvj | βvj i ≥ 0 2

2

rP

= |α| hvi | vi i + α∗ β hvi | vj i + β ∗ α hvj | vi i + |β| hvj | vj i ≥ 0 . Si α = hvj | vj i, se tiene que

2

hvj | vj i hvi | vi i + β hvi | vj i + β ∗ hvj | vi i + |β| ≥ 0 hvj | vj i hvi | vi i

≥

2

−β hvi | vj i − β ∗ hvj | vi i − |β|

ad o

seguidamente seleccionamos β = − hvj | vi i y por lo tanto β ∗ = − hvi | vj i y consecuentemente hvj | vj i hvi | vi i

≥

hvj | vi i hvi | vj i + hvi | vj i hvj | vi i − hvj | vi i hvi | vj i

hvj | vj i hvi | vi i

≥

hvi | vj i hvj | vi i = |hvi | vj i| .

2

J

Bo rr

De la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la definición de norma se desprende que 2

|hvi | vj i| 2

2

k|vi ik k|vj ik

≤1

⇒

−1 ≤

|hvi | vj i| ≤ 1, k|vi ik k|vj ik

por lo tanto podemos definir el “´ angulo” entre los vectores abstractos |vi i ∧ |vj i como cos(ΘG ) =

|hvi | vj i| , k|vi ik k|vj ik

donde hemos denotado como ΘG un ´ angulo genérico que forman vectores reales o complejos.

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79

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

Si estamos considerando espacios vectoriales reales -en los cuales el Cuerpo corresponde a los n´ umeros reales- entonces el ´ angulo definido entre vectores abstractos reales corresponde al que intuitivamente siempre hemos considerado para los vectores cartesianos y que discutimos en la sección 1.2.3, cos(ΘR ) =

|hvi | vj i| k|vi ik k|vj ik

con

0 ≤ ΘR ≤ π ,

in ar

donde se toma ΘR = 0 para vectores colineales y ΘR = π para vectores opuestos (antilineales). Si bien es cierto que esta definici´ on coincide con la de los vectores cartesianos, hay que resaltar que la estamos extendiendo para cualquier vector abstracto, vale decir: funciones reales, matrices, y todos los objetos matem´ aticos que cumplan con las reglas para los espacios vectoriales expuestas en 2.1.3. Para el caso de espacios vectoriales complejos la situación es más sutil y significa definir un ángulo entre dos vectores abstractos y complejos, sin embargo podemos abordar el problema suponiendo:

re lim

un espacio complejo n−dimensional de n−uplas de n´ umeros complejos |zi ↔ (z1 , z2 , · · · zn ) asociado (isomorfo) a un espacio vectorial real de 2n dimensiones con vectores representados por 2n−uplas de n´ umeros reales |wi ↔ (Re(z1 ), Re(z2 ), · · · Re(zn ), Im(z1 ), Im(z2 ), · · · Im(zn )) donde hemos representado Re(zj ) y Im(zj ) como las partes reales e imaginarias de zj , respectivamente o, directamente aP partir de una definición de producto interno entre vectores complejos implementado n por hwi | vj i = j=1 wj∗ vj Ambas aproximaciones no son del todo independientes pero igualmente justificadas7 . Consideremos el segundo caso, vale decir: directamente a partir de una definición de producto interno entre vectores complejos. Para este caso consideramos un ángulo complejo y cos(ΘC ) una función de variable compleja, que puede ser expresada en su forma polar como |hvi | vj i| ⇒ cos(ΘC ) = ρ eφ k|vi ik k|vj ik

rP

cos(ΘC ) =

con

ρ = | cos(ΘC )| < 1 .

ad o

Entonces podemos asociar ρ = cos(ΘH ) y definir ΘH , en el rango 0 ≤ ΘH ≤ π/2, como el ´ angulo herm´ıtico entre los vectores complejos |vi i y |vj i. Mientras que φ, definido en −π ≤ φ ≤ π, corresponde al pseudo angulo de Kasner, que representa la orientación o rotación del ángulo herm´ıtico y no tiene mayor significado ´ al cuantificar el ´ angulo entre esos dos vectores. Esta diferencia de significados puede intuirse cuando multiplicamos |vi i y |vj i, por una constante compleja: |˜ vi i → αi |vi i y comprobamos que el ángulo ΘH permanece inalterado y no as´ı el ´ angulo de Kasner8 . Teoremas del Coseno y de Pit´ agoras

Bo rr

A partir de la definici´ on de norma se obtiene ∗

2

k|vi i + |vj ik = hvi + vj | vi + vj i = hvi | vi i + hvi | vj i + hvi | vj i + hvj | vj i = hvi | vi i + hvj | vj i + 2 Re (hvi | vj i)

con lo cual hemos generalizado el teorema del coseno para un espacio vectorial abstracto 2

2

2

k|vi i + |vj ik = k|vi ik + k|vj ik + 2 k|vi ik k|vj ik cos(ΘG ) .

7 Scharnhorst,

K. (2001). Angles in complex vector spaces. Acta Applicandae Mathematica, 69(1), 95-103. consultarse Reju, V. G., Koh, S. N., y Soon, Y. (2009). An algorithm for mixing matrix estimation in instantaneous blind source separation. Signal Processing, 89(9), 1762-1773. 8 Puede

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80

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

De tal forma que para espacios vectoriales reales tendremos 2

2

2

k|vi i + |vj ik = k|vi ik + k|vj ik + 2 k|vi ik k|vj ik cos(Θ)

con

0≤Θ≤π;

y para espacios vectoriales complejos 2

2

2

k|vi i + |vj ik = k|vi ik + k|vj ik + 2 k|vi ik k|vj ik cos(ΘH ) cos φ

con

0 ≤ ΘH ≤ π/2 .

Ejemplos 1. Espacios euclidianos reales, Rn y espacios euclidianos complejos Cn .

in ar

y para el caso que los vectores |vi i ∧ |vj i sean ortogonales, esto es hvi | vj i = 0, tendremos el teorema de Pit´ agoras generalizado 2 2 2 k|vi i + |vj ik = k|vi ik + k|vj ik .

Los vectores en estos espacios euclidianos reales pueden ser representados por |xi = (x1 , x2 , · · · xn ) ∧ |yi = (y1 , y2 , · · · , yn ) y el producto interno queda definido por n X

x∗i yi ,

re lim

hx| yi = x∗1 y1 + x∗2 y2 + x∗3 y3 , · · · x∗n yn =

i=1

es claro que esta definici´ on de producto interno coincide, para R2 (y R3 ) con la idea de producto escalar convencional que consideramos en las secciones 1.2.3 y 1.4.2, vale decir  a = ax i + ay j  ⇒ a · b = ax bx + ay by .  b = bx i + by j

rP

Ahora bien, el lector puede comprobar que para vectores en R2 también se puede proveer una definici´ on de producto interno a ~ b = 2ax bx + ax by + ay bx + ay by , igualmente v´ alida, con lo cual es claro que en un mismo espacio vectorial pueden coexistir diferentes productos internos.

ad o

Por su parte, la norma es

v u n q p uX 2 2 2 2 x2i . k|xik = hx| xi = x1 + x2 + x3 , · · · + xn = t i=1

Bo rr

La distancia también recupera la idea intuitiva de distancia euclidiana p d (|xi , |yi) ≡ k|xi − |yik = hx − y| x − yi

d (|xi , |yi) =

q

2

2

2

2

(x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) + (x3 − y3 ) + · · · + (xn − yn ) .

El teorema del coseno queda como n X i=1

Hern´ andez & N´ un ˜ez

2

(xi + yi ) =

n X i=1

x2i +

n X

v u n uX 2 x2 y + 2t i

i=1

i

i=1

v u n uX t yi2 cos(Θ) , i=1

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81

´ 2.2. ESPACIOS METRICOS, NORMADOS Y CON PRODUCTO INTERNO

mientras que el teorema de Pit´ agoras es n X

2

(xi + yi ) =

i=1

n X

x2i

+

i=1

n X

yi2 ,

i=1

obvio que para R2 tanto el teorema del coseno como el teorema de Pitágoras retoman su forma tradicional. Finalmente la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa 2 n n n X X X 2 |hx| yi| ≤ k|xik k|yik ⇒ xi yi ≤ xi yi2 . i=1

i=1

in ar

i=1

∞ 2. Para los espacios de funciones continuas C[a,b] una posible definición de producto interno ser´ıa b

Z

dx f ∗ (x) g (x) ,

hf | gi = a

de la cual se deriva la expresi´ on para la norma b

Z

2

re lim

2

dx |f (x)| ,

k|f ik = hf | f i =

a

la distancia entre funciones quedar´ a definida como d (|f i , |gi) ≡ k|f i − |gik ≡ s Z

p

hf − g| f − gi =

b

dx |f (x) − g (x)| a

v uZ u =t

Z

2

dx |f (x)| − 2 Re

!

b

dx

f∗

a

a

b

dx |g (x)|

Z

! 21

b

dx |f (x)|

2

Z

Hern´ andez & N´ un ˜ez

2

! 21

b

2

dx |g (x)|

cos(Θ) ,

a

a

Rb

cos(Θ) = Rb a

dx f ∗ (x) g (x) 1 1 , 2 2 2 2 Rb dx |g (x)| dx |f (x)| a a

y como era de esperarse el teorema de Pitágoras queda Z b Z b Z 2 2 dx |f (x) + g (x)| = dx |f (x)| + a

2

dx |g (x)| .

a

+2

donde

b

+ a

Los teoremas del coseno puede ser escrito como Z b Z b Z 2 2 dx |f (x) + g (x)| = dx |f (x)| +

Bo rr

(x) g (x)

Z

a

ad o

a

b

2

rP

d (|f i , |gi) =

q ∗ hf | f i − hf | gi − hf | gi + hg| gi

a

b

2

dx |g (x)| ,

a

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82

2.3. VARIEDADES LINEALES

para funciones f (x) y g (x) ortogonales, mientras que para este caso, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa 2 Z Z Z b b b 2 2 ∗ dx |g (x)| . dx |f (x)| dx f (x) g (x) ≤ a a a

2.2.4.

Ejercicios

1. Consideremos el espacio vectorial conformado por los vectores geométricos en R3 ¿Serán espacios euclideanos para las siguientes definiciones de producto interno?

in ar

a) El producto de las longitudes de los vectores. b) El producto de las longitudes por el cubo del coseno del ángulo entre ellos. c) El producto como dos veces el producto escalar usual entre vectores.

2. Encuentre los ´ angulos en el “tri´ angulo” formado por los vectores: |x1 i = 1, |x2 i = t, |x3 i = 1 − t.

re lim

3. Sea E0 un subespacio euclideano de dimensión k, E0 ⊂ E, y sea |vi un vector que no necesariamente es un elemento E0 . Podemos plantearnos el problema de representar |vi de la forma |vi = |gi + |hi

donde |gi ∈ E0 y |hi es ortogonal a E0 . La existencia de la expansión anterior nos muestra que el espacio total E, de dimensi´ on n, es la suma directa de los subespacios E0 y su complemento ortogonal ⊥ E de dimensi´ on n − k. Encuentre el vector |vi, como la suma del vector |gi, expandido por los vectores |gi i, y el vector perpendicular |hi cuando:

2.3.

Variedades lineales

Dependencia/Independencia lineal

ad o

2.3.1.

rP

a) |hi = (5, 2, −2, 2) , |g1 i = (2, 1, 1, −1) , |g2 i = (1, 1, 3, 0). b) |hi = (−3, 5, 9, 3) , |g1 i = (1, 1, 1, 1) , |g2 i = (2, −1, 1, 1) , |g3 i = (2, −7, −1, −1).

Siguiendo la misma l´ınea de razonamiento que en las secciones 1.2 y 1.4.2, generalizamos el concepto de dependencia e independencia lineal de R2 y R3 . As´ı: |0i = C1 |v1 i + C2 |v2 i + C3 |v3 i · · · + Cn |vn i =

n X

Ci |vi i ,

i=1

Bo rr

Las cantidades Ci son llamados los coeficientes de la combinación lineal. Podemos afirmar que: Si esta ecuaci´ on se cumple para alg´ un conjunto de {Ci } no nulos, se dirá que el conjunto de vectores correspondiente {|vi i} son linealmente dependientes.

Por el contrario, si esta ecuaci´ on s´ olo puede ser satisfecha para todos los Ci = 0, entonces se dir´ a que el conjunto de vectores correspondiente {|vi i} son linealmente independientes.

Notemos que la suma que aparece aqu´ı es necesariamente una suma finita, y cuando un determinado conjunto de vectores es linealmente dependiente, entonces uno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los dem´ as.

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83

2.3. VARIEDADES LINEALES

Ejemplos dependencia/independencia lineal 1. Dados tres vectores en R4 

 1  3   |v1 i =   −1  ; 2



 2  0   |v2 i =   1 ; 3



 −1  1   |v3 i =   0 . 0

in ar

El criterio de independencia lineal se cumple si |0i = C1 |v1 i + C2 |v2 i + C3 |v3 i y todos los {Ci } son nulos, esto es C1 +2C2 −C3 = 0 3C1 +C3 = 0 −C1 +C2 = 0 2C1 +3C2 = 0 de donde es claro ver que la u ńica solución posible implica C1 = C2 = C3 = 0, es decir, el conjunto de vectores: {|v1 i , |v2 i , |v3 i} son linealmente independientes.

re lim

2. Si consideramos el espacio vectorial V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i} serán ejemplos de independencia lineal: |vk i ≡ f (t) = tk para k = 1, 2, 3, · · · Es claro que un polinomio de gradoPn + 1, no podr´ a ser n expresado en términos un polinomio de grado n, en otras palabras, tn+1 6= i=0 Ci ti . |vk i ≡ f (t) = eak t con a1 , a2 , a3 , · · · coeficientes constantes. También salta a la vista que no podremos expresar una de esas funciones exponenciales como una combinación lineal. 3. Si consideramos |v1 i = cos2 (t), |v2 i = sen2 (t) y |v3 i = 1, es claro que |v1 i , |v2 i , y |v3 i son linealmente dependientes por cuanto |v1 i + |v2 i = |v3 i . Nótese que si

rP

|v1 i = cos(t), |v2 i = sen(t) y |v3 i = 1,

entonces |v1 i , |v2 i , y |v3 i ser´ an vectores linealmente independientes. 4. Consideremos ahora otro ejemplo en P 3 : |x1 i = 1;

|x2 i = x − 1;

|x3 i = x2 ;

|x4 i = x2 + 2x + 1 .

ad o

Podemos ver que este conjunto es linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar |x4 i = 3|x1 i + 2|x2 i + |x3 i .

Ejercicios

Bo rr

1. Considere un conjunto S conformado u ńicamente por n´ umeros reales positivos. Consideremos las siguientes reglas sobre S: Por “suma”de dos n´ umeros entenderemos su producto en el sentido usual, y el “producto”de un elemento r ∈ S y un n´ umero real λ entenderemos r elevado a la potencia de λ, en el sentido usual. ¿S es un espacio vectorial?

2. Considere el conjunto de vectores en el plano conformado por vectores localizados en el origen y cuyos puntos finales permanecen siempre en el primer cuadrante. ¿Este conjunto es un espacio vectorial? 3. Diga si los siguientes conjuntos de vectores en P 3 son o no linealmente independientes. a) |x1 i = 2x; |x2 i = x2 + 1; |x3 i = x + 1; |x4 i = x2 − 1 b) |x1 i = x(x − 1); |x2 i = x; |x3 i = x3 ; |x4 i = 2x3 − x2

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84

2.3. VARIEDADES LINEALES

Practicando con Maxima: En 2.3.1 vimos que si en la ecuaci´ on |0i = C1 |v1 i + C2 |v2 i + C3 |v3 i · · · + Cn |vn i todos los Ci = 0, entonces se dir´ a que el conjunto de vectores son linealmente independientes. Para el primer ejemplo de esa secci´ on se obtuvo el siguiente sistema de ecuaciones: +2C2

−C3 +C3

+C2 +3C2

= 0 = 0 = 0 = 0

in ar

C1 3C1 −C1 2C1

que procedemos a resolver usando el comando linsolve:

solve: dependent equations eliminated: (4) ( %o1) [C1 = 0, C2 = 0, C3 = 0, C4 = %r1 ]

2.3.2.

Bases de un espacio vectorial

re lim

(%i1) linsolve([C1+2*C2-C3=0, 3*C1+C3=0, -C1+C2=0, 2*C1+3*C2=0], [C1,C2,C3,C4]);

rP

Ahora bien, dado un espacio vectorial V = {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · , |vn i}, si encontramos que el conjunto de {|vn i} es linealmente dependiente, entonces siempre es posible despejar uno de los vectores en términos de los dem´ as, vale decir |vn i = C¯1 |v1 i + C¯2 |v2 i + C¯3 |v3 i · · · + C¯n−1 |vn−1 i =

n−1 X

C¯i |vi i .

i=1

ad o

Seguidamente podemos proceder a comprobar si {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · , |vn−1 i} es un conjunto de vectores linealmente independientes, es decir: C¯1 = C¯2 = C¯3 = · · · = C¯n−1 = 0. En caso de no serlo se procede otra vez a despejar uno de los vectores en términos de los anteriores y aplicar el criterio de independencia lineal: |vn−1 i = C˜1 |v1 i + C˜2 |v2 i + C˜3 |v3 i · · · + Cñ−2 |vn−2 i =

n−2 X

C˜i |vi i ,

i=1

Bo rr

se comprueba si se cumple

C˜1 = C˜2 = C˜3 = · · · = Cñ−2 = 0 .

En caso contrario, se repite este procedimiento hasta encontrar un conjunto {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · , |vn−j i} de vectores linealmente independientes. Esto es: C˘1 = C˘2 = C˘3 = · · · = C˘n−j = 0 ,

y por lo tanto

|vn−j+1 i = C˘1 |v1 i + C˘2 |v2 i + C˘3 |v3 i · · · + C˘n−j |vn−j i =

n−j X

C˘i |vi i .

i=1

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85

2.3. VARIEDADES LINEALES

Diremos entonces que {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn−j i} forman una base para V. La dimensi´ on de V ser´ a el n´ umero de vectores linealmente independientes, que para este caso será n − j. As´ı se puede comprobar que, dado |xi ∈ V, entonces |xi =

n−j X

Ci |vi i ∀ |xi ∈ V ,

i=1

|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn−j i

in ar

y el conjunto {C1 , C2 , C3 , · · · Cn−j } ser´ au ńico. Diremos que el n´ umero m´ınimo de vectores:

que expanden V conforman una base de ese espacio vectorial, y que el n´ umero finito de cantidades C1 , C2 , C3 , · · · Cn−j ,

re lim

constituyen las componentes de |xi relativas a la base {|v1 i , |v2 i , · · · , |vn−j i}. Queda claro que el vector cero,|0i, es linealmente dependiente, y cualquier conjunto de vectores que lo contenga es un conjunto linealmente dependiente de vectores. De lo anteriormente expuesto se puede concretar la siguiente definición para una base de ese espacio V: Un conjunto finito de vectores B = {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i} ∈ V,

ad o

rP

se les denominar´ a base del espacio vectorial V si los |v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i son linealmente independientes y (obviamente) expanden V. Diremos entonces que B es un sistema generador de V. Es f´ acil darse cuenta que si V lo expanden n vectores linealmente independientes, cualquier otro vector |xi ∈ V ser´ a linealmente dependiente. Igualmente, y fácilmente demostrable, es que todas las bases de un espacio vectorial V, de dimensi´ on finita, tendrán el mismo n´ umero de elementos y ese n´ umero de elemento ser´ a la dimensi´ on del espacio, es decir, la dimV = n´ umero n de vectores que forman una base de dicho espacio. Adicionalmente, puede ser que dentro de un espacio vectorial V se puedan encontrar subespacios y dentro de esos subespacios un conjunto de vectores base. Vale decir, si ∀ |xi ∈ V: |xi = C1 |v1 i · · · + Cn−j |vn−j i + Cn−j+1 |vn−j+1 i · · · Cn−k |vn−k i + Cn−k+1 |vn−k+1 i · · · Cn |vn i {z } {z } | {z } | | S1

con

|xi = |x1 i + |x2 i + |x3 i

S3

S2

y

|x1 i ∈ S1 ;

|x2 i ∈ S2 ;

|x3 i ∈ S3 ,

Bo rr

entonces diremos que V es la suma directa de S1 , S2 y S3 y lo denotaremos como: V = S1 ⊕ S2 ⊕ S3 . También es bueno se˜ nalar que, una vez fijada una base, las componentes de un vector seg´ un esa base, son u ńicas y que dada una base de un espacio vectorial, se pueden construir otras bases diferentes de ésta, como veremos m´ as adelante.

2.3.3.

El determinante de Gram

Existe una forma directa de comprobar la independencia lineal de un conjunto de vectores {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · , |vn i} ∈ V .

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86

2.3. VARIEDADES LINEALES

al multiplicar por hvi |, resulta: C1 hv1 |v1 i + C2 hv1 |v2 i + C3 hv1 |v3 i + · · · + Cn hv1 |vn i C1 hv2 |v1 i + C2 hv2 |v2 i + C3 hv2 |v3 i + · · · + Cn hv2 |vn i .. .

= hv1 |xi = hv2 |xi .. .

C1 hvn |v1 i + C2 hvn |v2 i + C3 hvn |v3 i + · · · + Cn hvn |vn i = hvn |xi

donde las C1 , C2 , C3 , · · · Cn son las inc´ ognitas, por lo cual, que hv1 |v1 i hv1 |v2 i hv1 |v3 i hv2 |v1 i hv2 |v2 i hv2 |v3 i .. .. . . hvn |v1 i hvn |v2 i hvn |v3 i

para que este sistema tenga solución se impone ··· ··· ···

9

hv1 |vn i hv2 |vn i 6= 0 .. . hvn |vn i

in ar

Dado un |xi ∈ V, entonces, y     n  X |xi = Ci |vi i ⇒   i=1  

Esto es, que el determinante de Gram distinto de cero implica que el conjunto de vectores: {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · , |vn i} es linealmente independiente. La inversa también es cierta.

re lim

Ejemplos de bases en espacios lineales

1. El espacio vectorial Vn tendr´ a dimensión n y una de las posibles bases {|v1 i , |v2 i , |v3 i · · · , |vn i} ser´ a |v1 i = (1, 0, 0, · · · , 0) |v2 i = (0, 1, 0, · · · , 0) |v3 i = (0, 0, 1, · · · , 0) .. .. . . |vn−j i =

(0, 0, 0, · · · , 1)

rP

Esta base se conoce con el nombre de base canónica.

2.3.4.

ad o

2. El espacio de polinomios, P n , de grado g ≤ n tendrá como una de las posibles bases al conjunto 2 3 n 1, t, t , t , · · · , t , porque cualquier polinomio de grado ≤ n podrá ser expresado como combinaci´ on ∞ lineal de estos n+1 vectores. M´ a s a´ u n, el espacio de todos los polinomios, P , tendr´ a como una posible base al conjunto de funciones 1, t, t2 , t3 , · · · , tn · · · . En este caso P ∞ será infinito dimensional.

Ortogonalidad y bases ortogonales

En un espacio vectorial con producto interno, dos vectores |e1 i ∧ |e2 i serán ortogonales si su producto interno se anula |e1 i ⊥ |e2 i ⇔ he2 |e1 i = 0 .

Bo rr

Se denomina un conjunto ortogonal de vectores {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · , |en i} si δij = 0 2 hei |ej i = δij k|ej ik , i, j = 1, 2, 3, · · · , n y con δij = 1

si i 6= j si i = j

2

y se denominar´ a conjunto ortonormal si k|ej ik = 1.

9 JORGEN PEDERSEN GRAM (1850-1916 Dinamarca) Matem´ atico dan´ es, que alternaba su actividad de gerente de una importante compa˜ n´ıa de seguros con las matem´ aticas (Probabilidad, An´ alisis Num´ erico y Teor´ıa de N´ umeros). Es conocido mayormente por el m´ etodo de ortogonalizaci´ on, pero se presume que no fue ´ el quien primero lo utiliz´ o. Aparentemente fue ideado por Laplace y utilizado tambi´ en por Cauchy en 1836. Gram muri´ o arrollado por una bicicleta a la edad de 61 a˜ nos.

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87

2.3. VARIEDADES LINEALES

in ar

Un conjunto ortogonal de vectores {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i} ∈ V es linealmente independiente, m´ as a´ un, para el caso particular de un espacio euclidiano, {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i} conforman una base ortogonal para V. La demostraci´ on es sencilla, para un determinado espacio vectorial una combinación lineal de los {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i} se anula.  Pn Pn he1 | [Pi=1 Ci |ei i] = 0 ⇒ ⇒ C1 = 0  i=1 Ci δ1i = 0  P  n n  he | [ C |e i] = 0 ⇒ C δ = 0 ⇒ C  2 i i i 2i 2 =0 n  Pni=1 Pni=1 X C δ = 0 ⇒ C =0 C |e i] = 0 ⇒ he | [ i 3i 3 i i 3 i=1 i=1 Ci |ei i = |0i ⇒  . . . .  .. .. .. .. i=1    P Pn  n ⇒ Cn = 0 ⇒ hen | [ i=1 Ci |ei i] = 0 i=1 Ci δni = 0

re lim

con lo cual, queda claro que: {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i} son un conjunto de vectores linealmente independientes. Si la dimensi´ on de V es n (dim V = n) y tenemos n vectores linealmente independientes, entonces esos n vectores {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i} forman una base ortogonal para V, y por lo tanto, las componentes de un vector en esa base se pueden expresar de manera simple. " n # n X X hej |xi hej |xi = ∀ |xi ∈ V ⇒ |xi = Ci |ei i ⇒ hej |xi = hej | Ci |ei i ⇒ Cj = 2 he |e i j j k|ej ik i=1 i=1 2

En el caso de un conjunto ortonormal de vectores {|ê1 i , |ê2 i , |ê3 i · · · , |ên i} ∈ Vn , con k|êj ik = 1, las componentes de cualquier vector quedan determinadas de una forma todav´ıa más simple y con consecuencias mucho m´ as impactantes 2

k|êj ik = 1 ⇒ Cj = hêj |xi ⇒ |xi =

n X

rP

i=1

Ci |êi i =

Es bueno recalcar la relaci´ on de cierre10

n X

n X

hêi |xi |êi i ≡

i=1

n X

|êi i hêi | |xi .

i=1

|

{z 1

}

|êi i hêi | = 1 ,

ad o

i=1

con lo cual es trivial demostrar la f´ ormula de Parseval ! n n n X X X ∗ ∀ |xi , |yi ∈ V ⇒ hy |xi ≡ hy| |êi i hêi | |xi = hy| êi i hêi | xi = hy |êi i hx |êi i i=1

i=1

i=1

Bo rr

para el caso de |xi ≡ |yi se llega la generalización del Teorema de Pitágoras 2

hx |xi ≡ k|xik =

n X

2

|hx |êi i| .

i=1

10 La

relaci´ on de cierre expresa una propiedad importante de los vectores base: si los |ˆ ei i se multiplican por la derecha por los hˆ ei |, el resultado, luego se sumar para todos los vectores, es el operador lineal unitario. Se dice tambi´ en que el conjunto de vectores {|ˆ ei i} forman un conjunto completo.

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88

2.3. VARIEDADES LINEALES

Ejemplos de bases ortogonales 1. Funciones trigonométricas: Uno de los ejemplos m´ as emblem´ aticos es el caso de las funciones continuas, R 2π reales de variable real y ∞ definidas en [0, 2π], C[0,2π] , con el producto interno definido por: hf | gi = 0 dx f (x) g (x), ésto es, el conjunto de funciones {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i · · · } representadas por |e0 i = 1,

|e2n−1 i = cos(nx)

y

|e2n i = sen(nx),

con n = 1, 2, 3, · · ·

re lim

in ar

Es claro que {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i , · · · } es un conjunto de funciones ortogonales por cuanto   R 2π     R0 dx sen(nx) sen(mx) = 0   2π  0 si n = 6 m  dx cos(nx) sen(mx) = 0  0 R     2π dx cos(nx) cos(mx) = 0   0      R 2 2π hen |em i = δnm k|en ik ⇒  dx = 2π si n = m = 0  0         R   2 2π  k|en ik si n = m  dx cos2 (nx) = π si n = m = 2k − 1  0             R 2π dx sen2 (nx) = π si n = m = 2k 0 con k = 1, 2, 3, · · · .

Podremos construir una base ortonormal de funciones: {|ê1 i , |ê2 i , |ê3 i , · · · , |ên i , · · · } de la forma 1 |ê0 i = √ , 2π

1 |ê2n−1 i = √ cos(nx) π

y

1 |ê2n i = √ sen(nx). π

ad o

rP

Dada una funci´ on definida en el intervalo [0, 2π], podremos expresarla en términos  R 2π  dx f (x) = C0 si  0    ∞  X R 2π |f i = Ci |ei i ⇒ Ci = hei |f i = dx f (x) cos(nx) = C2n−1 si 0   i=1     R 2π dx f (x) sen(nx) = C si 2n 0

de esta base como i=0 i = 2n − 1 i = 2n

donde los Ci son los coeficientes de Fourier. 2. Polinomios de Legendre:

Bo rr

Otro de los ejemplos t´ıpicos son los llamados polinomios de Legendre, Pn (x), definidos en el intervalo [−1, 1]. Estos polinomios pueden ser generados a partir de la Fórmula de Rodrigues11 Pn (x) =

1 dn 2 (x − 1)n , n!2n dxn

n = 0, 1, 2, .....

con P0 (x) = 1. Algunos de estos polinomios son: P1 (x) = x , P2 (x) =

1 x 1 (3x2 − 1) , P3 (x) = (5x2 − 3) , P4 (x) = (35x4 − 30x2 + 3) , . . . 2 2 8

11 BENJAMIN OLINDE RODRIGUES (1794 Burdeos, Francia - 1851, Par´ ıs Francia) Banquero, matem´ atico y activista pol´ıtico socialista franc´ es durante la Revoluci´ on Francesa. De origen jud´ıo, y cuyas contribuciones fundamentales como la f´ ormula para la generaci´ on de Polinomios de Legendre, permanecieron olvidadas por mucho tiempo.

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89

2.3. VARIEDADES LINEALES

Como veremos m´ as adelante, los polinomios de Legendre son solución de la ecuación diferencial (1 − x2 ) y 00 − 2x y 0 + λ(λ + 1)y = 0 . Es f´ acil comprobar que los polinomios de Legendre |Pα i = Pα (x) son mutuamente ortogonales con un producto interno definido como Z 1 2 Pn (x)Pm (x)dx = hPn |Pm i = δnm , 2n +1 −1

Z

2

1

Pn2 (x)dx =

kPn k = hPn |Pn i = −1

in ar

y con una norma definida por 2 . 2n + 1

Por lo tanto, cualquier funci´ on en el intervalo [−1, 1] puede ser expresada en esa base. ∞ X k=0

Si f (x) es un polinomio f (x) =

m X

ak |Pk i =

k=0

bn xn =

n=0

∞ X hPk |F i |Pk i . hPk |Pk i

re lim

f (x) = |F i =

∞ X

ak |Pk i =

k=0

∞ X

an Pn (x)

n=0

rP

los coeficientes an se determinan f´ acilmente a través de un sistema de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo, para el caso de f (x) = x2 tendremos

ad o

f (x) = x2 = a0 P0 (x) + a1 P1 (x) + a2 P2 (x) 1 = a0 + a1 x + a2 (3x2 − 1) 2 1 2 = P0 (x) + P2 (x) . 3 3

Practicando con Maxima:

Bo rr

En este ejercicio aprenderemos a calcular una base a partir de un conjunto de vectores perteneciente a un determinado espacio vectorial. Por ejemplo, si en R5 tenemos el siguiente conjunto de vectores: |v1 i = (1, 2, 3, 4, 5) ,

|v2 i = (0, −1, 1, 2, 3) ,

|v3 i = (3, 2, 1, 0, −1) ,

|v4 i = (−4, −3, −2, −1, 0) .

(%i1) v1:[1,2,3,4,5]; v2:[0,-1,1,2,3]; v3:[3,2,1,0,-1]; v4:[-4,-3,-2,-1,0];

( %o1) ( %o2) ( %o3) ( %o4)

[1, 2, 3, 4, 5] [0, −1, 1, 2, 3] [3, 2, 1, 0, −1] [−4, −3, −2, −1, 0]

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90

2.3. VARIEDADES LINEALES

Con los vectores dados construimos la siguiente matriz (%i5) M:matrix(v1,v2,v3,v4);   1 2 3 4 5  0 −1 1 2 3  ( %o5)  3 2 1 0 −1 −4 −3 −2 −1 0 Como veremos m´ as adelante, el Rango de una matriz indica el n´ umero máximo de vectores fila o columna linealmente independientes.

in ar

(%i6) rank(M); ( %o6) 3

(%i7) echelon(M);  1 0 1 23 3 0 1 −1 −2 ( %o7)  5 0 0 1 3 0 0 0 0

re lim

Podemos aplicar el método de eliminación gaussiana a la matriz M para obtener una nueva matriz escalonada. El c´ alculo adem´ as se hace normalizando el primer elemento no nulo de cada fila. Esto se logra con el comando echelon(M).

 − 31 −3   7  3 0

(%i8) e1:row(%o7,1); ( %o8)

1

2 3

1 3

0

− 13

(%i9) e2:row(%o7,2); 0

1

−1

−2

−3

ad o

( %o9)

rP

Por lo tanto, cada fila de la matriz anterior conformará un conjunto de vectores linealmente independiente. Los podemos aislar de la matriz con el comando row(M,i), que devolverá la i-ésima fila de la matriz M.

(%i10)e3:row(%o7,3); ( %o10) 0 0 1 53 73

Bo rr

Es trivial ver que e1, e2 y e3 son linealmente independientes.

2.3.5.

Ortogonalizaci´ on

Hemos visto que un conjunto de vectores ortogonales forman una base para un espacio vectorial. Ahora bien, siempre es posible construir un conjunto de vectores ortogonales a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes. Es método de “ortogonalización” se conoce como el método de Gram-Schmidt12 , 12 ERHARD SCHMIDT (1876, Estonia - 1959 Alemania). Matem´ atico alem´ an fundador del primer instituto de matem´ aticas aplicadas de Berl´ın. Alumno de Hilbert, Schmidt hizo sus mayores contribuciones en el campo de Ecuaciones Integrales y Teor´ıa de Funciones en el Espacio de Hilbert.

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91

2.3. VARIEDADES LINEALES

en honor de estos dos matem´ aticos alemanes que NO lo inventaron pero hicieron famoso al método que, al parecer, se le debe al matem´ atico francés P.S. Laplace. Consideremos, por ejemplo, un conjunto de vectores linealmente independientes, {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i} que expanden un espacio euclidiano real de dimensión finita, E n . Entonces siempre se puede construir un conjunto ortogonal de vectores, {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i} que también expandan E n de la siguiente forma: |e1 i ≡ |v1 i hv2 |e1 i he1 |e1 i

|e1 i

|e3 i ≡ |v3 i −

hv3 |e2 i he2 |e2 i

|e2 i −

|e4 i ≡ |v4 i −

hv4 |e3 i he3 |e3 i

|e3 i −

\ hv3 |e1 i he1 |e1 i

hv4 |e2 i he2 |e2 i

he2 |e1 i = 0

|e1 i

\

|e2 i −

hv4 |e1 i he1 |e1 i

\

  he4 |e1 i = 0 he4 |e2 i = 0  he4 |e3 i = 0

.. .

|en i ≡ |vn i −

hvn |ei i i=1 hei |ei i

Pn−1

|ei i

      

he4 |e1 i = 0 he4 |e2 i = 0 he4 |e3 i = 0 .. .

re lim

.. .

|e1 i

he3 |e1 i = 0 he3 |e2 i = 0

in ar

|e2 i ≡ |v2 i −

\

     

he4 |en−1 i = 0

Ejemplos de ortogonalizaci´ on

rP

As´ı, siempre es posible construir una base ortonormal a partir de un conjunto de vectores linealmente independientes y una definici´ on de producto interno. Esta base ortogonal será u ńica en E n -para cada definici´ on de producto interno- y si existe otra sus vectores serán proporcionales. Más a´ un, cada espacio vectorial Vn de dimensi´ on finita tendr´ a una base ortogonal asociada13 .

ad o

1. Un subespacio de V4 , expandido por los siguientes vectores       −1 2 1  1   0   3       |v1 i =   −1  ; |v2 i =  1  ; |v3 i =  0  , 0 3 2

Bo rr

13 Hemos construido la base ortogonal para un espacio de dimensi´ on finita, pero es procedimiento es v´ alido para espacios de dimensi´ on infinita

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92

2.3. VARIEDADES LINEALES

tendr´ a una base ortogonal asociada dada por    −1  1   hv2 |e1 i   |e1 i ≡ |v3 i =   0  ; |e2 i ≡ |v2 i − he1 |e1 i |e1 i =  0

    1 −1 2  1   1 0     − (−1)   0 = 1 1  3 0 3

   

5 4



     5 −1 1   1   4 1  =  − (1)   0   7 1   −  4 0 3  − 14

        



  1  3   hv1 |e2 i hv1 |e1 i − 9  |e3 i ≡ |v1 i − |e2 i − |e1 i =    −1 he2 |e2 i he1 |e1 i 12  2

in ar



y la base ortonormal asociada ser´ a





   1  1  |e3 i 1 1   ; |ˆ e i = = 3 1  he3 |e3 i 2  −7  5 3  − 15

        

re lim

  −1 √  |e1 i 2 3  1  ; |ê2 i = p |e2 i  |ê1 i = p = =   0 2 6  he1 |e1 i he2 |e2 i 0 √

1



rP

2. Para el caso de R2 es muy claro. Si tenemos dos vectores |v1 i y |v2 i linealmente independientes, 1 0 |v1 i = ; |v2 i = ; 1 1 elegimos |e1 i ≡ |v2 i entonces, |e2 i vendrá dado por

ad o

hv1 |e1 i |e2 i ≡ |v1 i − |e1 i ⇒ |e2 i ≡ he1 |e1 i

1 1

−

0 1

=

1 0

tal y como se esperaba, el otro vector ortogonal es el canónico.

Bo rr

3. Consideramos el espacio de polinomios, P n , de grado g ≤ n definidos en el intervalo [−1, 1]. Este espacio vectorial tendr´ a como una de las posibles bases al conjunto {|Pi i} = 1, t, t2 , t3 , · · · , tn con el producto interno definido por14 Z 1

hPi | Pj i =

dt Pi (t)Pj (t) −1

Procederemos a construir una base ortogonal {|πi i}, y tomaremos como vector de inicio: |π0 i ≡ |P0 i = 1 ,

14 En

este punto es importante se˜ nalar la importancia de la definici´ on de producto interno. Si esta definici´ on hubiera sido √ R1 R1 f (x) g(x) hf | gi = −1 dx f (x) g(x) 1 − x2 o hf | gi = −1 dx √ las bases correspondientes a estas definiciones de producto interno 2 1−x

hubieran sido distintas.

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93

2.3. VARIEDADES LINEALES

El siguiente vector ser´ a:

|π1 i ≡ |P1 i −

 R1   hP1 |π0 i = −1 dt t = 0

hP1 |π0 i |π0 i = t ⇐  hπ0 |π0 i  hπ |π i = R 1 dt = 2 0 0 −1

El siguiente:

in ar

 R1  hP2 |π0 i = −1 dt t2 = 23      R1 hP2 |π1 i hP2 |π0 i 1 2 |π2 i ≡ |P2 i − |π1 i − |π0 i = t − ⇐ hP2 |π1 i = −1 dt t3 = 0  hπ1 |π1 i hπ0 |π0 i 3     R1  hπ1 |π1 i = −1 dt t2 = 32 Para el cuarto ≡

rP

=

hP3 |π2 i hP3 |π1 i hP3 |π0 i |π2 i − |π1 i − |π0 i hπ2 |π2 i hπ1 |π1 i hπ0 |π0 i  R1 hP3 |π0 i = −1 dt t3 = 0       R1    hP3 |π1 i = −1 dt t4 = 25  3 t3 − t ⇐ R1  5   hP3 |π2 i = −1 dt t3 [t2 − 13 ] = 0       R1  8 hπ2 |π2 i = −1 dt [t2 − 31 ]2 = 45

|P3 i −

re lim

|π3 i

Queda como ejercicio comprobar la ortogonalidad de los vectores recién calculados: hπ0 |π1 i = hπ1 |π2 i = hπ2 |π3 i = · · · = 0

Bo rr

ad o

Podemos resumir los c´ alculos anteriores como se muestra a continuación: |Pn i 1

|πn i 1

t

t

|ˆ πn i √1

q2 3 2

q

1 3

t2

t2 −

t3

t3 − 35 t

t4 .. .

t4 − 76 t2 + .. .

1 5 2q 2

1 3 35

3 8

q2

1 2

7 2

t

3t2 − 1 5t3 − 3t

35t4 − 30t2 + 3 .. .

Practicando con Maxima:

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94

2.3. VARIEDADES LINEALES

Anteriormente hicimos los c´ alculos vectores linealmente independientes:  1  3 |v1 i =   −1 2

para hallar una base ortogonal a partir del siguiente conjunto de   ; 



 2  0   |v2 i =   1 ; 3



 −1  1   |v3 i =   0 , 0

(%i1) load ("eigen")$ matrix ([-1, 1, 0, 0], [2, 0, 1,3], [1,3, -1,2]);  1 0 0 0 1 3 3 −1 2

re lim

(%i2) v:  −1 ( %o2)  2 1

in ar

La funci´ on gramschmidt(x) es la que ejecuta el algoritmo de ortogonalización de Gram-Schmidt sobre el objeto x. Si x es una matriz el algoritmo act´ ua sobre sus filas. Antes de usar la función es necesario cargar la librer´ıa “eigen”.

Notemos que el vector |v3 i es el que hemos puesto en la primera fila de la matriz. Ahora procedemos al c´ alculo: (%i3) e: gramschmidt (v); 7 1 5 5 ( %o3) [−1, 1, 0, 0] , [1, 1, 1, 3] , 2 , 2 , − 2 , − 2 2 2 2 2 El resultado viene en forma de una lista: [e[1], e[2], e[3]]. Simplificando resulta:

rP

(%i4) e:expand(%); 5 5 7 1 ( %o4) [−1, 1, 0, 0] , [1, 1, 1, 3] , , , − , − 4 4 4 4 Podemos verificar que son ortogonales:

ad o

(%i5) map (innerproduct, [e[1], e[2], e[3]], [e[2], e[3], e[1]]); ( %o5) [0, 0, 0] Normalizamos ahora cada uno de los vectores

Bo rr

(%i6) e[1]/sqrt(innerproduct(e[1],e[1])); 1 1 ( %o6) − √ , √ , 0, 0 2 2 (%i7) e[2]/sqrt(innerproduct(e[2],e[2])); " √ # 1 1 1 3 √ , √ , √ , ( %o7) 2 3 2 3 2 3 2 (%i8) e[3]/sqrt(innerproduct(e[3],e[3])); 1 1 7 1 ( %o8) , ,− ,− 2 2 10 10

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95

2.3. VARIEDADES LINEALES

La funci´ on gramschmidt(x,F) nos permite definir un producto interno diferente a innerproduct. Veamos como se hace para el otro ejemplo donde el conjunto de vectores linealmente independientes estaba dado por: 1, t, t2 , t3 , · · · , tn (%i9) producto(f,g):=integrate(f*g, t, a, b); Z ( %o9) producto(f,g) :=

b

f g dt a

(%i13)a: -1$ b:1$ (%i14)e[1]/sqrt(producto(e[1], e[1]));

Bo rr

ad o

rP

1 ( %o14) √ 2 (%i15)e[2]/sqrt(producto(e[2], e[2])); √ 3t ( %o15) √ 2 (%i16)e[3]/sqrt(producto(e[3], e[3])); √ 3 5 t2 − 13 ( %o16) 3 22 (%i17)e[4]/sqrt(producto(e[4], e[4])); √ 5 7 t3 − 35t ( %o17) 3 22

re lim

( %o12) [0, 0, 0] Para normalizar hacemos lo siguiente:

in ar

(%i10)e:gramschmidt ([1, t, t^2,t^3,t^4], producto), a= -1, b=1; " # 3 t2 − 1 t 5 t2 − 3 35 t4 − 30 t2 + 3 ( %o10) 1, t, , , 3 5 35 (%i11)e:expand(e); 3t 6 t2 3 1 + ( %o11) 1, t, t2 − , t3 − , t4 − 3 5 7 35 (%i12)map(producto, [e[1], e[2], e[3]], [e[2], e[3], e[1]]), a= -1, b=1;

2.3.6.

Complementos ortogonales y descomposici´ on ortogonal

Sea un subespacio S ⊂ V, un elemento |¯ vi i ∈ V se dice ortogonal a S si hsk |¯ vi i = 0 ∀ |sk i ∈ S, es decir, es ortogonal a todos los elementos de S . El conjunto {|¯ v1 i , |¯ v2 i , |¯ v3 i , · · · , |¯ vm i} de todos los elementos ortogonales a S, se denomina S−perpendicular y se denota como S⊥ . Es fácil demostrar que S⊥ es un subespacio, a´ un si S no lo es. Dado un espacio euclidiano de dimensión infinita V : {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i , · · · } y un subespacio de V con dimensi´ on finita, S ⊂ V y dim S = m. Entonces ∀ |vk i ∈ V puede expresarse como la suma de

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96

2.3. VARIEDADES LINEALES

⊥

dos vectores |sk i ∈ S ∧ |sk i ∈ S⊥ . Esto es |vk i = |sk i + |sk i

⊥

,

|sk i ∈ S

∧

⊥

|sk i ∈ S⊥ .

M´ as a´ un, la norma de |vk i se calcula a través del teorema de Pitágoras generalizado

2

⊥ 2 2 k|vk ik = k|sk ik + |sk i . ⊥

|sk i =

m X

hvk |êi i |êi i

∧

⊥

in ar

La demostraci´ on es sencilla. Primero se prueba que la descomposición ortogonal |vk i = |sk i+|sk i es siempre posible. Para ello recordamos que S ⊂ V es de dimensión finita, por lo tanto existe una base ortonormal ⊥ {|ê1 i , |ê2 i , |ê3 i · · · |êm i} para S. Es decir, dado un |vk i definimos los elementos |sk i y |sk i como siguen |sk i = |vk i − |sk i

i=1

re lim

N´ otese que hvk |êi i |êi i es la proyecci´ on de |vk i a lo largo de |êi i y |sk i se expresa como la combinación lineal de la base de S, por lo tanto, est´ a en S. Por otro lado   m X ⊥ ⊥ hsk |êi i = hvk −sk |êi i = hvk |êi i − hsk |êi i = hvk |êi i −  hvk |êj i hêj | |êi i = 0 ⇒ |sk i ⊥ |êj i j=1

⊥

lo cual indica que |sk i ∈ S⊥ . ⊥ Podemos ir un poco m´ as all´ a. La descomposición |vk i = |sk i + |sk i es u ńica en V. Para ello suponemos que existen dos posibles descomposiciones, vale decir ⊥

⊥

∧ |vk i = |tk i + |tk i

,

⊥

con |sk i ∧ |tk i ∈ S ∧ |sk i

Por lo tanto

⊥

∧ |tk i ∈ S⊥ .

rP

|vk i = |sk i + |sk i

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ |vk i − |vk i = |sk i + |sk i − |tk i + |tk i = 0 ⇒ |sk i − |tk i = |tk i − |sk i . ⊥

⊥

ad o

Pero |sk i − |tk i ∈ S, es decir, ortogonal a todos los elementos de S⊥ y |sk i − |tk i = |tk i − |sk i , con lo cual |sk i − |tk i ≡ |0i que es el u ńico elemento que es ortogonal a el mismo y en consecuencia la descomposici´ on ⊥ |vk i = |sk i + |sk i es u ńica. Finalmente, con la definici´ on de norma

2

2

2 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 2 ⊥ k|vk ik = |sk i + |sk i = hsk | + hsk | |sk i + |sk i = hsk |sk i +⊥ hsk |sk i = k|sk ik + |sk i .

Bo rr

As´ı, dado Sm un subespacio de V de dimensión finita y dado un |vk i ∈ V el elemento |sk i ∈ S ⇒ |sk i =

m X

hvk |ei i |ei i ,

i=1

ser´ a la proyecci´ on de |vk i en S. En general, dado un vector |xi ∈ V y un subespacio de V con dimensión finita, Sm ⊂ V y dim S = m, entonces la distancia de |xi a Sm es la norma de la componente de |xi , perpendicular a Sm , y más a´ un esa distancia ser´ a m´ınima y |xiSm la proyecci´ on d |xi, en Sm será el elemento de Sm más próximo a |xi y, por la mejor aproximaci´ on. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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97

2.3. VARIEDADES LINEALES

2.3.7.

Ejercicios

Sea Pn el conjunto de todos los polinomios de grado n, en x, con coeficientes reales: |pn i p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an−1 xn−1 =

n−1 X

ai xi

i=0

1. Demostrar que Pn es un espacio vectorial respecto a la suma de polinomios y a la multiplicaci´ on de polinomios por un escalar (n´ umero real).

3. ¿Cu´ al de los siguientes subconjuntos de Pn es un subespacio vectorial? a) El polinomio cero y todos los polinomios de grado n − 1. b) El polinomio cero y todos los polinomios de grado par.

in ar

2. Si los coeficientes ai son enteros ¿Pn será un espacio vectorial? ¿ Por qué?

c) Todos los polinomios que tienen a x como un factor (grado n > 1).

re lim

d ) Todos los polinomios que tienen a x − 1 como un factor. 4. Un subespacio P es generado por: |x1i = x3 + 2x + 1; a) x2 − 2x + 1 b) x4 + 1 c) − 21 x3 + 52 x2 − x − 1 d) x − 5

|x2i = x2 − 2;

|x3i = x3 + x;

5. Probar que los polinomios |x1i = 1;

rP

¿Cu´ al(es) de los polinomios dados pertenece al subespacio P?

|x2i = x;

|x3i =

3 2 1 x − ; 2 2

|x4i =

5 3 3 x − x; 2 2

ad o

forman una base en P4 . Expresar |pi = x2 ; |qi = x3 en función de esa base. Pn−1 Pn−1 6. Sean |pn i = p(x)= i=0 ai xi , |qn i = q(x) = i=0 bi xi ∈ Pn . Considérese la siguiente definición: ai bi

i=0

Bo rr

hqn |pn i a0 b0 + a1 b1 + a2 b2 + ... + an−1 bn−1 =

n−1 X

a) Muestre que ésta es una buena definición de producto interno. b) Con esta definici´ on de producto interior ¿Se puede considerar Pn un subespacio de C[a,b] ? ¿Por qué?

7. Considerando estas definiciones de producto interior en Pn R1 a) hqn |pn i = −1 p(x)q(x)dx R1 b) hqn |pn i = 0 p(x)q(x)dx

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98

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

Encontrar la distancia y el ´ angulo entre los siguientes pares de vectores en P3 a) |x1i = 1;

|x2i = x

b) |x1i = 2x;

|x2i = x2

8. Encontrar la proyecci´ on perpendicular de los siguientes vectores en C[−1,1] (espacio de funciones continuas en el intervalo [-1,1]) al subespacio generado por los polinomios: 1, x, x2 − 1. Calcular la distancia de cada una de estas funciones al subespacio mencionado. a) f (x) = xn ;

n entero

c) f (x) = 3x2

2.4. 2.4.1.

Aproximaci´ on de funciones Condiciones para la aproximaci´ on de funciones

in ar

b) f (x) = sen(x)

re lim

Sea {|v1 i , |v2 i , |v3 i , · · · , |vn i , · · · } un espacio euclidiano de dimensión infinita, V, y un subespacio Sm ⊂ V, con dimensi´ on finita dim S = m, y sea un elemento |vi i ∈ V. La proyección de |vi i en Sm , |si i , m ser´ a el elemento de S m´ as pr´ oximo a |vk i. En otras palabras k|vi i − |si ik ≤ k|vi i − |ti ik ∀ |ti i ∈ S . La demostraci´ on se sigue as´ı

2

2

2

|vi i − |ti i = (|vi i − |si i) + (|si i − |ti i) ⇒ k|vi i − |ti ik = k|vi i − |si ik + k|si i − |ti ik , ⊥

rP

ya que |vi i − |si i = |sk i ∈ S⊥ ∧ |si i − |t i i ∈ S, y vale el teorema de Pitágoras generalizado. Ahora bien, como 2

2

k|si i − |ti ik ≥ 0 ⇒ k|vi i − |ti ik ≥ k|vi i − |si ik

2

⇒ k|vi i − |ti ik ≥ k|vi i − |si ik .

ad o

∞ Desarrollemos la aproximaci´ on de funciones continuas, reales de variable real, definidas en [0, 2π], C[0,2π] , R 2π mediante funciones trigonométricas y con el producto interno definido por: hf | gi = 0 dx f (x) g (x). Hemos visto que para este espacio vectorial tenemos una base ortogonal definida por

|e0 i = 1,

|e2n−1 i = cos(nx)

y

|e2n i = sen(nx),

con n = 1, 2, 3, · · ·

Bo rr

Por lo tanto, cualquier funci´ on definida en el intervalo [0, 2π] puede expresarse en términos de esta base como mostramos a continuaci´ on ∞ X |f i = Ci |ei i , i=1

Los Ci son los coeficientes de Fourier. Es decir, cualquier función puede ser expresada como una serie de Fourier de la forma ∞ X 1 f (x) = a0 + [ak cos(kx) + bk sen(kx)] , 2 k=1

donde

ak = Hern´ andez & N´ un ˜ez

1 π

Z

2π

dx f (x) cos(kx) ∧ bk = 0

1 π

Z

2π

dx f (x) sen(kx) . 0

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99

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

Es claro que para la aproximaci´ on de funciones por funciones trigonométricas cuyos coeficientes son los ∞ coeficientes de Fourier constituyen la mejor aproximación. Por lo tanto, de todas las funciones F (x) ∈ C[0,2π] las funciones trigonométricas, T (x) minimizan la desviación cuadrática media Z

2π

Z

2

2π

2

dx (f (x) − T (x)) .

dx (f (x) − P (x)) ≥ 0

0

Los coeficientes ser´ an: Z 1 π 2 2π 2 a0 = x dx = , π −π 3

an =

1 π

Z

π

x2 cos(nx)dx =

−π

in ar

Ejemplo Un ejemplo sencillo para aprender el mecan´ısmo del cálculo de los coeficientes lo podemos hacer para la siguiente funci´ on. f (x) = x2 , −π ≤ x ≤ π

4 cos(nπ) 4(−1)n = , n2 n2

bn = 0 ∀ n.

f (x) = x2 =

re lim

Se puede verificar que si f (x) es par (f (−x) = f (x)) sólo la parte que contiene cos(nx) contribuir´ a a la serie. Si f (x) es impar (f (−x) = −f (x)), lo hará sólo la parte que contiene sen(nx). Por lo tanto: ∞ X π2 4 1 π2 (−1)n +4 cos(nx) = − 4 cos (x) + cos (2 x) − cos (3 x) + cos (4 x) − · · · 2 3 n 3 9 4 n=1

Practicando con Maxima:

Existe una librer´ıa llamada fourie en Maxima y una función que permite calcular series de Fourier de una funci´ on f (x) en el intervalo [−l, l]: fourier (f, x, l)

rP

(%i1) load(fourie)$

En nuestro caso f (x) = x2 . Al ejecutar el comando para calcular la serie se mostrarán unas salidas temporales y finalmente una lista con el resultado de los coeficientes.

( %t2) a0 = ( %t3) an =

ad o

(%i2) fourier(x^2,x,%pi); π2 3 2 2 π

sin(π n) n

2 sin(π n) n3

+

2 π cos(π n) n2

π

Bo rr

( %t4) bn = 0 ( %o4) [ %t2 , %t3 , %t4 ]

−

Se puede simplificar

(%i5) foursimp(%);

π2 3 n 4 (−1) ( %t6) an = n2 ( %t7) bn = 0 ( %t5) a0 =

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100

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

( %o7) [ %t5 , %t6 , %t7 ] Podemos evaluar la lista de los coeficiente hasta el término k. Aqu´ı lo haremos hasta k = 4 y el resultado lo llamaremos F . (%i8) F:fourexpand(%o7,x,%pi,4); ( %t8)

π2 cos (4 x) 4 cos (3 x) − + cos (2 x) − 4 cos x + 4 9 3

(%i9) wxplot2d([F,x^2], [x,-%pi,%pi],[legend, "F",

Bo rr

ad o

rP

re lim

( %o9)

"x^2"])$

in ar

En un mismo gr´ afico comparamos la función original y los primeros 5 términos de la serie.

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101

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

2.4.2.

El m´ etodo de m´ınimos cuadrados

Una de las aplicaciones m´ as importantes en la aproximación de funciones es el método de m´ınimos cuadrados. La idea es determinar el valor m´ as aproximado de una cantidad f´ısica, c, a partir de un conjunto de medidas experimentales: {x1 , x2 , x3 , · · · , xn }. Para ello asociamos ese conjunto de medidas con las componentes de un vector |xi ≡ (x1 , x2 , x3 , · · · , xn ) en Rn y supondremos que su mejor aproximación, que llamaremos c |1i ≡ (c, c, c, · · · , c), ser´ a la proyección perpendicular de |xi (las medidas) sobre el subespacio generado por |1i. Esto es ⇒c=

x1 + x2 + x3 , · · · + xn hx |1i = , h1 |1i n

in ar

|xi = c |1i

que no es otra cosa que construir -de una manera sofisticada- el promedio aritmético de las medidas. Es claro que la proyecci´ on perpendicular de |xi sobre |1i hace m´ınima la distancia entre el subespacio perpendicular generado por |1i y el vector |xi y con ello también hará m´ınimo su cuadrado: 2

2

n X

2

(xi − c) .

re lim

[d (|xi , c |1i)] = k|x − cik = hx − c |x − ci =

i=1

Esta manera sofisticada, que se deriva del formalismo utilizado, muestra el significado del promedio aritmético como medida m´ as cercana al valor “real” de una cantidad obtenida a partir de una serie de medidas experimentales. Obviamente, este problema se puede generalizar para el caso de dos (o n) cantidades si extendemos la dimensi´ on del espacio y los resultados experimentales se expresarán como un vector de 2n dimensiones

rP

|xi = (x11 , x12 , x13 , · · · x1n , x21 , x22 , x23 , · · · x2n ) ,

mientras que los vectores que representan las cantidades más aproximadas serán   c1 |11 i = c1 ,c1 ,c1 , · · · , c1 , 0, 0, 0, · · · 0 {z }| {z } |

c2 |12 i = (0, 0, 0, · · · , 0, c2 , c2 c2 , · · · c2 ) .

n

ad o

n

∧

Ahora {|11 i , |12 i} expanden un subespacio vectorial sobre el cual |xi tiene como proyección ortogonal c1 |11 i +c2 |12 i y consecuentemente |x−c1 11 − c2 12 i será perpendicular a {|11 i , |12 i}, por lo tanto c1 =

hx |11 i x11 + x12 + x13 , · · · + x1n = h11 |11 i n

∧

c2 =

hx |12 i x21 + x22 + x23 , · · · + x2n = . h12 |12 i n

Bo rr

Quiz´ a la consecuencia m´ as conocida de esta forma de aproximar funciones es el “ajuste” de un conjunto de datos experimentales {(x1 , y1 ) , (x2 , y2 ) , (x3 , y3 ) , · · · , (xn , yn )} a la ecuación de una recta y = cx15 . En este caso, el planteamiento del problema se reduce a encontrar el vector c|xi, en el subespacio S (|xi), que esté lo m´ as cercano posible al vector |yi. Como en el caso anterior, queremos que la distancia entre |yi y su valor más aproximado c |xi sea la 2 menor posible. Por lo tanto, k|cx − yik será la menor posible y |cx − yi será perpendicular a S (|xi), por lo que hx |yi x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + · · · + xn yn hx |cx − yi = 0 ⇒ c = = . hx |xi x21 + x22 + x23 + · · · + x2n 15 Es

inmediato generalizar el m´ etodo a un “ajuste” y = cx + b y queda como ejercicio para el lector

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102

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

Si la recta a “ajustar” es y = cx + b el procedimiento será uno equivalente: proyectar sobre los vectores y obtener ecuaciones. Si representamos |bi = b |1i, tendremos,  Pn Pn Pn  hx |yi = c hx |xi + hx |bi ⇒ i=1 xi yi = c i=1 x2i + b i=1 xi |yi = c |xi + |bi ⇒ (2.1) Pn Pn  hb |yi = c hb |xi + hb |bi ⇒ i=1 yi = c i=1 xi + bn

re lim

in ar

Que no es otra cosa que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: c y b. Por simplicidad y conveniencia continuaremos con el an´ alisis del caso b = 0, vale decir aproximando las medidas experimentales a una recta que pase por el origen de coordenadas y = cx. El lector podrá extender el procedimiento para caso b 6= 0. Para tratar de entender (y extender) lo antes expuesto, consideremos tres ejemplos que muestran la versatilidad del método y la ventaja de disponer de una clara notación. Primeramente, mostraremos el caso m´ as utilizado para construir el mejor ajuste lineal a un conjunto de datos experimentales. Buscaremos la mejor recta que describe ese conjunto de puntos. Luego mostraremos la aplicación del método para buscar la mejor funci´ on multilineal, vale decir que ajustaremos la mejor función de n variables con una contribuci´ on lineal de sus argumentos: y = y(x1 , x2 , · · · , xn ) = c1 x1 +c2 x2 +· · ·+cn xn . Este caso tendrá una complicaci´ on adicional, por cuando realizaremos varias mediciones de las variables. Finalmente, mostraremos como se puede utilizar el método de m´ınimos cuadrados para ajustar un conjunto de datos experimentales a un polinomio de cualquier grado. Veamos los tres casos: 1. El caso m´ as simple ser´ a el conjunto de datos experimentales (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), · · · , (xn , yn ), y nos preguntamos ¿Cu´ al ser´ a la recta, y = cx, que ajusta más acertadamente a estos puntos. Es inmediato darnos cuenta que la pendiente de esa recta será: |yi = c |xi

⇒c=

hx |yi . hx |xi

rP

Consideremos los puntos experimentales: {(1, 2) , (3, 2) , (4, 5) , (6, 6)}, entondes     1 2  3   2  hx |yi 2 + 6 + 20 + 36 32    |yi = c |xi ⇒   5  = c  4  ⇒ c = hx |xi = 1 + 9 + 16 + 36 = 31 = 1,03226 . 6 6

ad o

¿Cu´ al ser´ıa el ajuste para el caso de una recta y = cx + b? Queda como ejercicio para el lector utilizar el esquema descrito en las ecuaciones (2.1) y encontrar los parámetros c y b para este nuevo ajuste.

Bo rr

2. El segundo caso que consideraremos será la generalización a una contribución lineal de varios par´ ametros, i.e. un “ajuste” multilineal a la mejor función, y = y(x1 , x2 , · · · , xm ) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cm xm . El procedimiento anterior puede generalizarse de forma casi inmediada    hx1 |yi = c1 hx1 |x1 i + c2 hx1 |x2 i + · · · + cm hx1 |xj i  m  hx2 |yi = c1 hx2 |x1 i + c2 hx2 |x2 i + · · · + cm hx2 |xj i X (2.2) |yi = cj |xj i ⇒ .. ..  . .  j=1   hxm |yi = c1 hxm |x1 i + c2 hxm |x2 i + · · · + cm hxm |xj i . Es decir, un sistema de m ecuaciones con m incógnitas que corresponden a los “pesos”, c1 , c2 , · · · , cm ., de las contribuciones a la funci´ on multilineal.

Supongamos ahora un paso m´ as en este afán generalizador y consideremos que ejecutamos n experimentos con n > m. De esta forma nuestro problema adquiere un grado mayor de riqueza y las medidas experimentales estar´ an representadas (y1 , x11 , x12 , · · · x1m ; y2 , x21 , x22 , · · · x2m ; y3 , x31 , x32 , · · · x3m ; · · · yn , xn1 , xn2 , xn3 , · · · xnm )

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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103

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

por lo tanto, podremos construir m vectores |˜ x1 i = (x11 , · · · , x1n ) ; |˜ x2 i = (x21 , · · · , x2n ) ; · · · |˜ xm i = (xm1 , · · · , xmn ) ; |yi = (ym1 , · · · , yn ) , y el conjunto {|˜ x1 i , |˜ x2 i , · · · |˜ xm i} expande el subespacio S (|˜ x1 i , |˜ x2 i , · · · |˜ xm i) que alberga la aproximaci´ on de |yi . Otra vez, la distancia de este subespacio al vector |yi, será m´ınima y por lo tanto ser´ a la mejor aproximaci´ on: 2

[d (S (˜ci |˜ xi i) , |yi)] = hS (˜ci |˜ xi i) − y |S (˜ci |˜ xi i) − yi

m + X h˜ xj |S (˜ci |˜ xi) − yi ≡ h˜ xi ci |˜ xi − y = 0 ∀ i=1

in ar

y |S (˜ci |˜ xi) − yi ser´ a ortogonal a los |˜ xi i: i, j = 1, 2, 3, · · · m

re lim

Finalmente, el problema queda refraseado de la misma manera que en el caso multilineal (2.2):  h˜ x1 |yi = ˜c1 h˜ x1 |˜ x1 i + ˜c2 h˜ x1 |˜ x2 i + · · · + ˜cm h˜ x1 |˜ xj i    m  h˜ X x2 |yi = ˜c1 h˜ x2 |˜ x1 i + ˜c2 h˜ x2 |˜ x2 i + · · · + ˜cm h˜ x2 |˜ xj i ˜cj |˜ |yi = xj i ⇒ (2.3) .. ..  . .  j=1   h˜ xm |yi = ˜c1 h˜ xm |˜ x1 i + ˜c2 h˜ xm |˜ x2 i + · · · + ˜cm h˜ xm |˜ xj i .

rP

Ejemplo Se sospecha que una determinada propiedad de un material cumple con la ecuación y = ax1 + bx2 y realizamos 4 mediciones independientes. Si al realizar un conjunto de medidas experimentales obtenemos                 y4 0 10 y3 y2 12 y1 15  x11  =  1  ;  x21  =  2  ;  x31  =  1  ;  x41  =  1  x32 1 2 x22 x12 x42 −1 1 Es claro que tenemos un subespacio de m = 2 dimensiones, que hemos hecho n = 4 veces el experimento y que los vectores considerados arriba serán |x2 i = (2, 1, 1, −1) ;

|yi = (15, 12, 10, 0)

ad o

|x1 i = (1, 2, 1, 1) ;

por lo tanto, vectorialmente |yi = a |x1 i + b |x2 i, es decir las ecuaciones normales (2.3) se escriben   45   a = 11 7a +4b = 49 ⇒ 11y = 45x1 + 56x2 ⇒ 4a +7b = 52   b = 56 11

Bo rr

3. Se puede extender el razonamiento anterior y generar un ajuste “lineal no lineal”. Esto es: el ajuste lineal es en los coeficientes, pero la funcionalidad de la ley a la cual queremos ajustar los datos puede ser un polinomio de cualquier orden. Ese es el caso de una parábola que ajusta al siguiente conjunto de puntos {(0, 1) , (1, 3) , (2, 7) , (3, 15)} ⇔ y = ax2 + bx + c Las ecuaciones toman la forma de

Hern´ andez & N´ un ˜ez

1= 0 3= a 7 = 4a 15 = 9a

+0 +b +2b +3b

+c +c +c +c

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104

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

y los vectores construidos a partir de los datos experimentales serán |x1 i = (0, 1, 4, 9) ;

|x2 i = (0, 1, 2, 3) ;

|x3 i = (1, 1, 1, 1) ;

|yi = (1, 3, 7, 15) .

in ar

Una vez m´ as, la ecuaci´ on vectorial ser´ıa |yi = a |x1 i + b |x2 i + c |x3 i y las ecuaciones normales (2.3) para este sistema se construyen como   a = −6          136 = 98a +36b +14c    32 113 113 62 = 36a +14b +6c b= 5 ⇒ x− . ⇒ y = −6x2 +    5 5   26 = 14a +6b +4c       c = − 32 5 Practicando con Maxima:

re lim

Es posible en Maxima ajustar por m´ınimos cuadrados los parámetros de curvas arbitrarias para un conjunto de datos emp´ıricos. La funci´ on a utilizar será lsquares. Consideremos el ejemplo estudiado anteriormente donde los datos eran: (x, y) = (1, 2) , (3, 2) , (4, 5) , (6, 6)

Haremos uso de la librer´ıa lsquares y escribiremos los datos en forma de matriz (%i1) load(lsquares)$

rP

(%i2) datos: matrix([1,2],[3,2],[4,5],[6,6])$

Por conveniencia, para luego graficar, convertimos la matrix “datos” en una lista con el comando args: (%i3) datosL: args(datos);

ad o

( %o3) [[1, 2] , [3, 2] , [4, 5] , [6, 6]]

Supondremos entonces que los puntos se ajustan a un polinomio lineal y = ax. El parámetro a se calcula con la funci´ on lsquares estimates. Se deja como ejercicio repetir éste mismo cálculo pero usando un ajuste de los datos de la forma: y = ax + b.

Bo rr

(%i4) param: lsquares_estimates(datos,[x,y],y=a*x,[a]), numer; ( %o4) [[a = 1,032258064516129]] (%i5) y:ev(a*x,first(param));

( %o5) 1,032258064516129 x Procedemos a graficar los datos experimentales vs el ajuste por m´ınimos cuadrados.

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105

re lim

in ar

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

(%i6) wxplot2d([[discrete,datosL], y], [x,0,10],[style, [points,5,2], [lines,2,1]], [point_type, plus], [legend,"Datos","y=ax"],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"])$ ( %o6)

El siguiente caso estudiado fue con el conjunto de datos |x1 i = (1, 2, 1, 1) ;

|x2 i = (2, 1, 1, −1) ;

|yi = (15, 12, 10, 0)

rP

y suponiendo que ajustan de la manera siguiente |yi = a |x1 i + b |x2 i.

(%i7) datos2: matrix([1,2,15],[2,1,12],[1,1,10],[1,-1,0])$

ad o

Cambiaremos ligeramente la notaci´ on por: z = ax + by y calculemos los parámetros a y b. (%i8) param: lsquares_estimates(datos2,[x,y,z], z=a*x+b*y,[a,b]), numer; ( %o8) [[a = 4,090909090909091, b = 5,090909090909091]]

Bo rr

Para el tercer ejemplo se consideraron los siguientes datos: {(0, 1) , (1, 3) , (2, 7) , (3, 15)}

⇔

y = ax2 + bx + c

Haremos con Maxima el c´ alculo directo usando un ajuste cuadrático para los datos suministrados. (%i9) datos3: matrix([0,1],[1,3],[2,7],[3,15])$ (%i10)datosL3: args(datos3)$ (%i11)param: lsquares_estimates(datos3,[x,y], y=a*x^2+b*x+c,[a,b,c]), numer;

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106

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

( %o11) [[a = 1,5, b = 0,1, c = 1,1]] (%i12)y2:ev(a*x^2+b*x+c,first(param))$ Como hicimos anteriormente, graficamos los datos y el ajuste cuadrático. (%i13)wxplot2d([[discrete,datosL3], y2], [x,0,4],[style, [points,5,2], [lines,2,1]], [point_type, plus], [legend,"Datos","y=ax^2+bx+c"],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"])$

Interpolaci´ on polinomial de puntos experimentales

ad o

2.4.3.

rP

re lim

in ar

( %o13)

Bo rr

Muchas veces nos encontramos con la situación en la cual tenemos un conjunto de (digamos n) medidas o puntos experimentales {(x1 , y1 = f (x1 )), (x2 , y2 = f (x2 )), · · · , (xn , yn = f (xn ))} y para modelar ese experimento quisiéramos una funci´ on que ajuste estos puntos. El tener una funci´ on nos provee la gran ventaja de poder intuir o aproximar los puntos que no hemos medido. La funci´ on candidata m´ as inmediata es un polinomio y debemos definir el grado del polinomio y la estrategia que aproxime esos puntos. Puede ser que no sea lineal el polinomio y queramos ajustar esos puntos a un polinomio tal que éste pase por los puntos experimentales. Queda entonces por decidir la estrategia. Esto es, si construimos la función como “trozos” de polinomios que ajusten a subconjuntos: {(x1 , y1 = f (x1 )), (x2 , y2 = f (x2 )), · · · , (xm , ym = f (xm ))} con m < n de los puntos experimentales. En este caso tendremos una funci´ on de interpolación para cada conjunto de puntos. También podemos ajustar la funci´ on a todo el conjunto de puntos experimentales y, en ese caso el máximo grado del polinomio que los interpole ser´ a de grado n − 1. Para encontrar este polinomio lo expresamos como una combinación lineal de

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107

in ar

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

Polinomios de Legendre. Esto es n−1 X

Ck |Pk i =

k=0

n−1 X k=0

Ck Pk (x)

 y1 = f (x1 ) = C0 P0 (x1 ) + C1 P1 (x1 ) + · · · + Cn−1 Pn−1 (x1 )     y2 = f (x2 ) = C0 P0 (x2 ) + C1 P1 (x2 ) + · · · + Cn−1 Pn−1 (x2 ) ⇒ ..  .    yn = f (xn ) = C0 P0 (xn ) + C1 P1 (xn ) + · · · + Cn−1 Pn−1 (xn )

rP

P(x) = f (x) =

re lim

Figura 2.1: En el lado izquierdo se muestran los puntos experimentales: {(2, 8), (4, 10), (6, 11), (8, 18), (10, 20), (12, 34)} y a la derecha la función polinómica que los interpola.

Bo rr

ad o

que no es otra cosa que un sistema de n ecuaciones con n incógnitas: los coeficientes {C0 , C1 , · · · Cn−1 }. Al resolver el sistema de ecuaciones y obtener los coeficientes, podremos obtener la función polin´ omica que interpola esos puntos. Una expansi´ on equivalente se pudo haber logrado con cualquier otro conjunto de polinomios ortogonales, que ellos son base del espacio de funciones. Es importante hacer notar que debido a que los polinomios de Legendre están definido en el intervalo [−1, 1] los puntos experimentales deber´ an re-escalarse a ese intervalo para poder encontrar el polinomio de interpolaci´ on como combinaci´ on lineal de los Polinomios de Legendre. Esto se puede hacer con la ayuda del siguiente cambio de variable: (b − a)t + b + a b−a x= , dx = dt 2 2 donde a y b son los valores m´ınimos y m´ aximos de los datos, respectivamente. Ejemplo Consideremos los puntos experimentales representados en la figura 2.1. Aqu´ı a = 2 y b = 12, por lo tanto: x = 5t + 7 y dx = 5dt ⇒ t = (x − 7)/5 y dt = dx/5.

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108

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

Al construir el sistema de ecuaciones obtendremos lo siguiente: (−1, 8) ⇒ 8 = C0 − C1 + C2 − C3 + C4 − C5 − 53 , 10 ⇒ 10 = C0 −

3 5

C1 +

1 25

C2 +

9 25

C3 −

51 125

C4 +

477 3125

C5

− 15 , 11 ⇒ 11 = C0 −

1 5

C1 −

11 25

C2 +

7 25

C3 +

29 125

C4 −

961 3125

C5

⇒ 18 = C0 +

1 5

C1 −

11 25

C2 −

7 25

C3 +

29 125

C4 +

961 3125

C5

3 5 , 20

⇒ 20 = C0 +

3 5

C1 +

1 25

C2 −

9 25

C3 −

51 125

C4 −

477 3125

C5

(1, 34) ⇒ 34 = C0 + C1 + C2 + C3 + C4 + C5 al resolver el sistema obtendremos que 2249 , 144

C1 =

3043 , 336

C2 =

con lo cual P(x) = f (x) =

1775 , 504

C3 = −

175 , 216

C4 =

625 , 336

C5 =

14375 3024

re lim

C0 =

in ar

1 5 , 18

2249 3043 1775 175 625 14375 + x+ P (2, x) − P (3, x) + P (4, x) + P (5, x) 144 336 504 216 336 3024

Practicando con Maxima

rP

la interpolaci´ on queda representada en al figura 2.1. Es importante se˜ nalar que mientras más puntos experimentales se incluyan para la interpolaci´ on, el polinomio resultante ser´ a de mayor grado y, por lo tanto incluirá oscilaciones que distorsionarán una aproximaci´ on m´ as razonable. Por ello, la estrategia de hacer la interpolación a trozos, digamos de tres puntos en tres puntos, generar´ a un mejor ajuste, pero será una función (un polinomio) continua a trozos.

ad o

Maxima contiene la librer´ıa orthopoly que nos permite acceder a la evaluación simbólica y numérica de los diferentes tipos de polinomios ortogonales: Chebyshev, Laguerre, Hermite, Jacobi, Legendre... (%i1) load (orthopoly)$

Por ejemplo, para obtener los primeros 6 polinomios de Legendre escribimos los siguientes comandos:

Bo rr

(%i2) [legendre_p(0,x),legendre_p(1,x),legendre_p(2,x), legendre_p(3,x),legendre_p(4,x),legendre_p(5,x)]$ Simplificamos con ratsimp: (%i3) ratsimp (%); 3 x2 − 1 5 x3 − 3 x 35 x4 − 30 x2 + 3 63 x5 − 70 x3 + 15 x , , , ( %o3) 1, x, 2 2 8 8

Los diferentes polinomios de Legendre se pueden visualizar de la manera siguiente (%i4) wxplot2d(%,[x,-1,1],[legend, "P0", "P1","P2", "P3","P4", "P5" ])$

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109

re lim

in ar

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

( %o4) Ahora bien, con los datos de la Figura 2.1 se planteó un sistema de ecuaciones lineales que procedemos a resolver: (%i5) ecu1:C0-C1+C2-C3+C4-C5=8$

(%i6) ecu2:C0-3/5*C1+1/25*C2+9/25*C3-51/125*C4+477/3125*C5=10$

(%i7) ecu3:C0-1/5*C1-11/25*C2+7/25*C3+29/125*C4-961/3125*C5=11$

rP

(%i8) ecu4:C0+1/5*C1-11/25*C2-7/25*C3+29/125*C4+961/3125*C5=18$ (%i9) ecu5:C0+3/5*C1+1/25*C2-9/25*C3-51/125*C4-477/3125*C5=20$ (%i10)ecu6:C0+C1+C2+C3+C4+C5=34$

Bo rr

ad o

(%i11)linsolve([ecu1,ecu2,ecu3,ecu4,ecu5,ecu6], [C0,C1,C2,C3,C4,C5]); 2249 3043 1775 175 625 14375 ( %o11) C0 = , C1 = , C2 = , C3 = − , C4 = , C5 = 144 336 504 216 336 3024 (%i12)[C0,C1,C2,C3,C4,C5]:[rhs(%[1]),rhs(%[2]),rhs(%[3]),rhs(%[4]),rhs(%[5]),rhs(%[6])]; 2249 3043 1775 175 625 14375 ( %o12) , , ,− , , 144 336 504 216 336 3024 Por lo tanto, la funci´ on aproximada será: (%i13)f:C0+C1*legendre_p(1,x)+C2*legendre_p(2,x)+C3*legendre_p(3,x) +C4*legendre_p(4,x)+legendre_p(5,x)*C5$ (%i14)f:expand(%);

( %o14)

14375 x5 3125 x4 8375 x3 325 x2 7367 x 1863 + − − + + 384 384 192 192 384 128

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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110

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

(%i15)datos:[[-1,8],[-3/5,10],[-1/5,11],[1/5,18],[3/5,20],[1,34]]; 3 1 1 3 ( %o15) [−1, 8] , − , 10 , − , 11 , , 18 , , 20 , [1, 34] 5 5 5 5 (%i16)wxplot2d([[discrete,datos],f], [x,-1,1],[style, [points,5,2], [lines,2,1]], [point_type, plus],[legend, false],[xlabel, "x"],[ylabel, "y"])$

2.4.4.

rP

re lim

in ar

( %o16)

Ejercicios

1. Demuestre que con las identidades siguientes

eikx + e−ikx , 2

ad o cos(kx) =

sen(kx) =

eikx − e−ikx , 2i

Bo rr

la serie de Fourier definida para funciones en el intervalo (t, t + 2π) se escribe en su forma compleja como: ∞ ∞ X X 1 f (x) = a0 + [ak cos(kx) + bk sen(kx)] ⇒ f (x) = ck eikx , 2 k=1

k=−∞

con

1 ck = 2π

Z

t+2π

f (x)e−ikx dx .

t

Y que para funciones definidas en el intervalo (l, l + 2L) f (x) =

∞ X k=−∞

Hern´ andez & N´ un ˜ez

ck e

ikπx L

,

con ck =

1 2L

Z

l+2L

f (x)e−

ikπx L

dx .

l

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111

´ DE FUNCIONES 2.4. APROXIMACION

Nota: Para los siguientes ejercicios supondremos la utilización de cualquier ambiente de manipulaci´ on simb´ olica tipo: MAPLE, Mathematica, Maxima, Python o similares. 2. Para las siguientes funciones determine la serie de Fourier calculando los coeficientes como en la Secci´ on 2.4 y compare los resultados con los cálculos hechos en el ambiente de manipulación simbólica. a) b) c) d)

f (x) = x sen(x), si −π < x < π. f (x) = ex , si −π < x < π. f (x) = x, si 0 < x < 2. f (x) = 2x − 1, si 0 < x < 1.

xi (cm) Ti (◦ C)

1, 0 14, 6

2, 0 18, 5

3, 0 36, 6

4, 0 30, 8

5, 0 59, 2

6, 0 60, 1

in ar

3. Al medir la temperatura a lo largo de una barra material obtenemos los siguientes valores 7, 0 62, 2

8, 0 79, 4

9, 0 99, 9

Encuentre, mediante el método de los m´ınimos cuadrados los coeficientes que mejor ajustan a la recta T = ax + b.

re lim

∞ 4. Considere el espacio vectorial, C[−1,1] , de funciones reales, continuas y continuamente diferenciables definidas en el intervalo[−1, 1]. Es claro que una posible base de este espacio de funciones la constituye el conjunto de monomios 1, x, x2 , x3 , x4 , · · · por cuanto estas funciones son linealmente independientes.

Bo rr

ad o

rP

a) Si suponemos que este espacio vectorial está equipado con un producto interno definido por R1 hf |gi = −1 dx f (x)g(x), muestre que esa base de funciones no es ortogonal. R1 b) Utilizando la definici´ on de producto interno hf |gi = −1 dx f (x)g(x) ortogonalice la base ∞ 1, x, x2 , x3 , x4 , · · · y encuentre los 10 primeros vectores ortogonales, base para C[−1,1] . Esta nueva base de polinomios ortogonales se conoce como los polinomios de Legendre. p R1 c) Modifique un poco la definici´ on de producto interno hf |gi = −1 dx f (x)g(x) (1 − x2 ) y ortogo nalice la base 1, x, x2 , x3 , x4 , · · · y encuentre otros 10 primeros vectores ortogonales base para ∞ el mismo C[−1,1] . Esta nueva base de polinomios ortogonales se conoce como los polinomios de Tchebychev. d ) Suponga la funci´ on h(x) = sen(3x)(1 − x2 ): 1) Expanda la funci´ on h(x) en términos de la base de monomios y de polinomios de Legendre, grafique, compare y encuentre el grado de los polinomios en los cuales difieren las expansiones. 2) Expanda la funci´ on h(x) en términos de la base de monomios y de polinomios de Tchebychev, grafique, compare y encuentre el grado de los polinomios en los cuales difieren las expansiones. 3) Expanda la funci´ on h(x) en términos de la base de polinomios de Legendre y de Tchebychev, grafique, compare y encuentre el grado de los polinomios en los cuales difieren las expansiones. 4) Estime en cada caso el error que se comete como función del grado del polinomio (o monomio) de la expansi´ on. ¿Qué puede concluir respecto a la expansión en una u otra base?

5. Los precios de un determinado producto var´ıan como se muestra a continuación: A˜ no Precio

2007 133,5

2008 132,2

2009 138,7

2010 141,5

2011 144,2

2012 144,5

2013 148,6

2014 153,8

Realice una interpolaci´ on polinomial que permita modelar estos datos.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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112

2.5. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

2.5.

Algunos ejemplos resueltos

1. Consideramos el espacio vectorial de polinomios de grado g ≤ n definidos en el intervalo [0, 1] o en el intervalo [−1, 1] seg´ un el caso a) ¿Cu´ al o cu´ ales de los siguientes conjuntos de vectores en P 3 son linealmente independientes? Explique por qué. 1) |x2 i = x2 + 1;

|x1 i = 2x;

|x4 i = x2 − 1 .

|x3 i = x + 1;

in ar

Soluci´ on: Resultan ser linealmente dependiente ya que podremos expresar |x4 i = |x1 i + |x2 i − 2|x3 i . 2) |x1 i = x(x − 1);

|x3 i = x3 ;

|x2 i = x;

|x4 i = 2x3 − x2 .

Soluci´ on: Linealmente dependiente ya que siempre podremos expresar

re lim

|x4 i = −|x1 i + |x2 i + 2|x3 i .

b) Considerando las siguientes definiciones de producto interior en P n Z

1

hqn |pn i =

1

Z

p(x)q(x)dx −1

hqn |pn i =

y

p(x)q(x)dx .

0

En P 3 encuentre la distancia y el ángulo entre los vectores

|x2 i = x .

rP

|x1 i = x(x − 1); Soluci´ on: En general la definición de distancia es d (|x1 i, |x2 i) =

R1

−1

p(x)q(x)dx la distancia será

ad o

por lo tanto para hqn |pn i = p

0

Bo rr

y para hqn |pn i =

R1

p hx2 − x1 |x2 − x1 i

sZ

1

hx2 − x1 |x2 − x1 i =

2

1√ 690 15

2

2√ 30 . 15

[x(x − 1) − x] dx = −1

p(x)q(x)dx será

p hx2 − x1 |x2 − x1 i =

s

Z

1

(x(x − 1) − x) dx = 0

Con respecto a los ´ angulos:

Para hqn |pn i = Hern´ andez & N´ un ˜ez

R1 −1

θ = arc cos

hx1 |x2 i p p hx1 |x1 i hx2 |x2 i

! .

p(x)q(x)dx tenemos

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113

2.5. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

hx1 |x2 i p p hx1 |x1 i hx2 |x2 i

θ = arc cos

!



 (x(x − 1)) x dx −1  qR = arc cos  qR 1 1 2 2 (x(x − 1)) dx −1 x dx −1 R1

1√ √ = arc cos − 15 6 = 2,4825 rad . 12 R1 0

p(x)q(x)dx

θ = arc cos

p

hx1 |x2 i p hx1 |x1 i hx2 |x2 i



!

R1

= arc cos  qR



(x(x − 1)) (x) dx  qR 1 2 (x(x − 1)) dx 0 x2 dx 0

re lim

1√ √ = arc cos − 15 2 = 2,4825 rad . 12

1 0

in ar

Para hqn |pn i =

¡El mismo ´ angulo!

c) Una de las posibles bases de P n será el conjunto 1, x, x2 , x3 , · · · , xn con el producto interno R1 definido por hf | gi = 0 dx f (x) g (x).

esto es

ad o

|e1 i = |v1 i = 1

rP

1) Encuentre la base ortonormal que expande el subespacio S 3 de los polinomios, P n , de grado g ≤ 3. Soluci´ on: El subespacio S 3 tendrá como vectores linealmente independientes 1, x, x2 , x3 , para encontrar la base ortonormal utilizamos el método de Gram Smith, con lo cual tendremos que n−1 X hvn |ei i |ei i , |en i ≡ |vn i − hei |ei i i=1

R1 xdx 1 hv2 |e1 i |e1 i = x − R0 1 |e2 i = |v2 i − =x− he1 |e1 i 2 dx 0

Bo rr

R1 2 R1 2 x dx x x − 21 dx hv3 |e1 i hv3 |e2 i 1 2 0 0 |e3 i = |v3 i − |e1 i − |e2 i = x − R 1 − R1 x − 2 he1 |e1 i he2 |e2 i 2 dx x − 12 dx 0 0 1 = x2 − x + 6 hv4 |e1 i hv4 |e2 i hv4 |e3 i |e4 i = |v4 i − |e1 i − |e2 i − |e3 i he1 |e1 i he2 |e2 i he3 |e3 i R R 1 3 2 1 1 3 R1 3 x x − 12 dx x − 12 x x + 6 − x dx x2 + 16 − x x dx 0 0 − = x3 − 0R 1 − 2 2 R1 R1 dx x − 12 dx x2 + 16 − x dx 0 0 0 1 3 3 = x3 − + x − x2 20 5 2

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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114

2.5. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Normalizando |e1 i 1 |ξ1 i = p = qR =1 1 he1 |e1 i dx 0 √ x − 21 |e2 i 1 |ξ2 i = p = 2 = qR 3 x − 2 1 2 he2 |e2 i x − 12 dx 0

x3 −

|e4 i

= qR |ξ4 i = p 1 he4 |e4 i x3 − 0

1 20

+ 35 x − 23 x2

1 20

+ 35 x − 32 x2

2

dx

in ar

√ x2 + 16 − x |e3 i 1 2 = qR = 6 − x |ξ3 i = p 5 x + 2 1 6 he3 |e3 i x2 + 16 − x dx 0

√ 1 3 3 2 3 = 20 7 x − + x− x 20 5 2

Z

1

0

c2 = hg |ξ2 i =

Z

1

0

c3 = hg |ξ3 i =

Z

1

0

c4 = hg |ξ4 i =

Z

1

0

con lo cual

71 (1) 5 + 3x2 − x3 + x5 dx = 12 √ 197 √ 1 2 3 x− 5 + 3x2 − x3 + x5 dx = 3 2 420 √ 23 √ 1 5 + 3x2 − x3 + x5 dx = 6 5 x2 + − x 5 6 210 √ 3 3 2 4 √ 1 3 + x− x 5 + 3x2 − x3 + x5 dx = 7, 20 7 x − 20 5 2 315

rP

c1 = hg |ξ1 i =

re lim

2) Encuentre las componentes del polinomio g (x) = 5 + 3x2 − x3 + x5 proyectado sobre esa base ortonormal que expande a S 3 Soluci´ on: Las componentes de la proyección de g (x) en S 3 ser´ıan

197 √ 71 23 √ 4 √ |ξ1 i + 3 |ξ2 i + 5 |ξ3 i + 7 |ξ4 i . 12 420 210 315

ad o

|giS 3 =

Bo rr

Finalmente la proyecci´ on del polinomio en S 3 será √ √ 71 197 3 √ 1 23 5 √ gS 3 (x) = + 2 3 x− + 6 5 x2 + 12 420 2 210 71 197 1 23 1 gS 3 (x) = + x− + x2 + − x + 12 70 2 7 6 es decir

gS 3 (x) =

√ √ 1 4 7 1 3 3 2 3 −x + 20 7 x − + x− x 6 315 20 5 2 16 3 3 1 + x − x2 x3 − 9 20 5 2

313 25 13 2 16 3 + x+ x + x 63 42 21 9

La norma ser´ a 2

k|giS 3 k =

Hern´ andez & N´ un ˜ez

71 12

2

+

197 √ 3 420

2

+

2 2 23 √ 4 √ 1,418,047 ∼ 5 + 7 = = 35,728 . 210 315 39,690

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115

2.5. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

2. Encuentre la m´ınima distancia desde el subespacio S 3 al polinomio g (x) Soluci´ on: La distancia m´ınima ser´ a la norma del vector ortogonal a S 3 tal que donde |giS 3 ∈ S 3

|gi = |giS 3 + |gi⊥S 3

y |gi⊥S 3 es un vector de su complemento ortogonal. Por lo tanto el Teorema de Pitágoras nos dice que 2

2

k|gik = k|giS 3 k + k|gi⊥S 3 k

2

Z

2

1

5 + 3x2 − x3 + x5

k|gik =

2

dx =

2

k|giS 3 k = con lo cual

1418047 39690 r

k|gi⊥S 3 k =

495193 13860

re lim

0

in ar

con lo cual tendremos que la m´ınima distancia será q 2 2 k|gi⊥S 3 k = k|gik − k|giS 3 k

495193 1418047 − ≈ 1,196 5 × 10−2 13860 39690

rP

3. Sea f (x) = e2x una funci´ on perteneciente al espacio lineal de funciones continuas y continuamente difeR1 ∞ renciables, C[−1,1] , en el cual el producto interno viene definido por hq|pi = −1 p(x)q(x) dx. Encuentre el polinomio lineal m´ as cercano a la función f (x). Soluci´ on: En el subespacio S 1 de polinomios lineales, los vectores base son {1, x}. Es una base ortogonal pero no es normal, con lo cual la normalizamos 1 1√ = qR 2 = 1 2 he1 |e1 i dx −1 R1 √ xdx hv2 |e1 i x 6 −1 |e2 i = |v2 i − |e1 i = x − R 1 = x ⇒ |ξ2 i = qR = x 1 he1 |e1 i 2 dx x2 dx −1 1

ad o

|e1 i = |v1 i = 1 ⇒ |ξ1 i = p

−1

y la proyecci´ on ortogonal de esta función será √ 2 1√ −e2 + e−2 2 dx = − 2 4

Bo rr 0

Z

1

c =

2x

e

−1

y

1

Z

1

c = −1

√

! √ 6 6 2 2x e + 3e−2 x e dx = 2 8

con lo cual la funci´ on lineal ser´ a

Hern´ andez & N´ un ˜ez

√ n

P =

! √ 6 2 2 −2 e + 3e x− −e2 + e−2 . 8 4

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116

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

2.6.

Ejercicios propuestos

i 1. Los vectores en R3 en coordenadas cartesianas los definimos como

i a = ai |ei i = ax i + ay j + az k y definimos una “tabla de multiplicaci´ on” entre ellos de la forma e |ej i = δj con i, j = 1, 2, 3, esto es:

i e |ej i i j k

i 1 0 0

j 0 1 0

k 0 0 1

in ar

Un cuaterni´ on cartesiano puede escribirse de manera análoga a los vectores cartesianos, vale decir: |ai = aα |qα i = a0 + ai |qi i = a0 + ax i + ay j + az k ,

re lim

con α = 0, 1, 2, 3 y donde las ai (con i = 1, 2, 3) son n´ umeros reales que representan las componentes vectoriales en coordenadas cartesianas de los cuaterniones, mientras que la a0 , también un n´ umero real se le llama componente escalar16 . Los cuaterniones fueron inventados por el matemático irlandés William Rowan Hamilton a mediados del siglo XIX, y por decirlo de alguna manera, son h´ıbridos o generalizaciones a un plano hipercomplejo. Un vector cartesiano es un cuaternión con la componente escalar nula.

rP

Bas´ andonos en este esquema podemos definir la “tabla de multiplicación” para los cuaterniones cartesianos como 1 |q1 i |q2 i |q3 i |qi i |qj i 1 1 |q1 i |q2 i |q3 i |q1 i |q1 i −1 |q3 i − |q2 i |q2 i |q2 i − |q3 i −1 |q1 i |q3 i |q3 i |q2 i − |q1 i −1

ad o

N´ otese que por el hecho que |qj i |qj i = −1 ⇒ |q1 i |q1 i = |q2 i |q2 i = |q3 i |q3 i = −1, se puede pensar que un cuaterni´ on es la generalización de los n´ umeros complejos a más de una dimensión (un n´ umero hipercomplejo) donde la parte imaginaria tendr´ıa tres dimensiones y no una como es costumbre. Esto es |ai = aα |qα i = a0 |q0 i + aj |qj i = a0 + a1 |q1 i + a2 |q2 i + a3 |q3 i |{z} | {z } 1

“parte compleja”

Bo rr

Siendo consistente con esa visi´ on de generalización de un n´ umero complejo, definiremos el conjugado z de un cuaterni´ on como |bi = b0 |q0 i − bj |qj i con j = 1, 2, 3. Es decir, en analog´ıa con los n´ umeros complejos el conjugado de un cuaternión cambia el signo de su “parte compleja vectorial”. Igualmente, definiremos la suma entre cuaterniones como  |ai = aα |qα i  ⇒ |ci = cα |qα i = |ai + |bi = (aα + bα ) |qα i ⇒ cα = (aα + bα )  α |bi = b |qα i Esto quiere decir que los vectores se suman componente a componente. Mientras que la multiplicaci´ on por un escalar queda definida por α |ci = αcα |qα i, es decir se multiplica el escalar por cada componente.

P que estamos utilizando la convenci´ on de Einstein en la cual cα |qα i ≡ c0 + 3j=1 cj |qj i. Es decir hemos supuesto que |q0 i ≡ 1, la unidad en los n´ umeros reales. Adicionalmente, n´ otese que los ´ındices griegos α, β, · · · toman los valores 0, 1, 2, 3, mientras que los latinos que acompa˜ nan a los vectores cartesianos toman los siguiente valores j, k, l = 1, 2, 3. 16 Recuerde

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117

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

a) Compruebe si los Cuaterniones, |ai, forman un espacio vectorial respecto a esa operación suma y esa multiplicaci´ on por escalares, análoga a la de los vectores en R3 en coordenada cartesianas b) Dados dos cuaterniones |bi ≡ b0 , b y |ri ≡ r0 , r , entonces, el producto entre cuaterniones |di = |bi |ri podr´ a representarse como |di = |bi |ri ←→ d0 , d = b0 r0 − b · r, r0 b + b0 r + b × r donde · y × corresponden con los productos escalares y vectoriales tridimensionales de siempre. Ahora con ´ındices: dados |bi = bα |qα i y |ri = rα |qα i, compruebe si el producto |di = |bi |ri puede ser siempre escrito de la forma

in ar

|di = |bi |ri = a |q0 i + S (ij) δi0 |qj i + A[jk]i bj rk |qi i

donde a representa un escalar; S (ij) δi0 tres cantidades (recuerde que los ´ındices latinos toman los (ij) valores j, k, l = 1, 2, 3, mientras i = 0, 1, 2, indica S ji = S ij , que la cantidad S ij es 3); donde S ij 0 ji 0 simétrica, y por lo tanto S δi + S δi |qj i. Mientras A[jk]i representa un conjunto de objetos antisimétricos en j y k: A[jk]i → Ajki = −Akji → Ajki bj rk − Akji bj rk |qi i17 .

re lim

Identifique las cantidades: a, S (ij) y A[jk]i en términos de las componentes de los cuaterniones ¿El producto de cuaterniones |di = |ai |ri será un vector, pseudovector o ninguna de las anteriores? Explique por qué. c) Muestre que los cuaterniones pueden ser representados por matrices complejas 2 × 2 del tipo z w |bi ←→ −w∗ z ∗ donde z, w son n´ umeros complejos.

ad o

rP

d ) Muestre que una representaci´ on posible para la base de    0 0 0 0 1 0 0  0 0 −1  −1 0 0 0   |q2 i =  |q1 i =   0 1 0  0 0 0 1 ; 1 0 0 0 0 −1 0

cuaterniones es, la matriz unitaria   0 0 −1 −1  0 0 0 0  ; |q3 i =   1 0 0 0  0 −1 0 0

4x4 y  0 1   0  0

e) Compruebe si la siguiente es una buena definición de producto interno: z

ha |bi = |ai |bi

Bo rr

f ) Modifique un poco la definici´ on anterior de tal forma que se tenga la ha |bi =

1 [ha |bi − |q1 i ha |bi |q1 i] 2

y compruebe si esta definici´ on compleja del producto interno cumple con todas las propiedades. N´ otese que un cuaterni´ on de la forma |f i = f 0 + f 1 |q1 i es un n´ umero complejo convencional.

g) Compruebe si la siguiente es una buena definición de norma para los cuaterniones q p z n(|bi) = k|aik = ha |ai = |ai |ai

17 Para

familiarizarse con las expresiones vectoriales con la notaci´ on de ´ındices puede consultar la secci´ on 1.6

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118

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

h) Comprebe si un cuaterni´ on definido por z

|ai =

|ai

k|aik

2

puede ser considerado como el inverso o elemento simétrico de |ai respecto a la multiplicaci´ on i ) Compruebe si los Cuaterniones |ai forman un grupo respecto a una operación multiplicaci´ on .

in ar

j ) Los vectores en R3 en coordenadas cartesianas, |vi, pueden ser representados como cuaterniones donde la parte escalar es nula v 0 = 0 → |vi = v j |qj i. Compruebe si el siguiente producto conserva la norma |v 0 i = |ai |vi |ai 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 Estos es: k|v 0 ik = v 1 + v2 + v3 ≡ v 1 + v 2 + v 3 = k|vik .

re lim

2. En el mismo esp´ıritu de los cuaterniones considerados previamente, considere otra vez el espacio R3 expadido por la base ortonormal est´ andar {i, j, k} y suponga en este espacio el producto de dos vectores a y b (o |ai y |bi en la notaci´ on de vectores abstractos de Dirac) definido a la manera del ´ algebra geométrica 18 . Esto es: K |ai |bi ≡ ab = a · b + a ∧ b con a · b el producto escalar est´ andar de R3 , representando la parte conmutativa de ab y a ∧ b su parte anticonmutativa. Esta u ´ltima parte se relaciona con el producto vectorial estándar de la representaci´ on de Gibbs como a ∧ b = ia × b, con i = i ∧ j ∧ k un pseudoescalar19 . Este formalismo ha tenido cierto impacto en computación gráfica20 y lo vamos a utilizar para modelar transformaciones de objetos en el espacio.

rP

Considere el caso 2D representado en la Figura 2.2 y en el formalismo de algebra geométrica el objeto tri´ angulo lo asociamos con vector abstracto |4i, mientras que el objeto cuadrado lo representaremos como |i, y el tercer objeto por |⇑i.

ad o

a) Exprese los vectores: |4i , |i , |⇑i en términos de la base ortonormal estándar {i, j, k} (o |ii , |ji , |ki) y el formalismo de ´ algebra geométrica. J b) Exprese |4i |⇑i en término de la base geométrica. Vale decir si |Og i es un objeto geométrico puede representarse en términos de una base |i , |σi , |Bi , |ii donde |i un escalar; |σi un vector; |Bi un bivector y, finalmente |ii un pseudoescalar. c) Encuentre la norma de cada uno de ellos y la distancia entre |4i y |⇑i. E ˜ d ) Considere ahora la operaci´ on A |4i = 4

Bo rr

E ˜ 1) Si A|ji es el operador reflexión respecto |ji, exprese en términos geométricos 4 = A|ji |4i J y A|ii (|4i |⇑i). 2) Si Aθ,|Bi es el Joperador de rotación alrededor de un bivector |Bi un ángulo θ. Encuentre Aπ/4,|Bi (|4i |⇑i) con |Bi = |ji + |ki

18 Hestenes David. Vectors, spinors, and complex numbers in classical and quantum physics. Am. J. Phys 39, no. 9 (1971): 1013-1027. √ 19 Y equivalentemente, por isomorfismo i = −1. 20 Pueden consultar Hildenbrand D., D. Fontijne, Ch. Perwass and L. Dorst: Geometric algebra and its application to computer graphics. In Tutorial notes of the EUROGRAPHICS conference, 2004. O tambi´ en Hildenbrand, Dietmar: From Grassmann’s vision to geometric algebra computing. Springer Basel, 2011.

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119

re lim

in ar

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

Figura 2.2: Se ilustran los vectores ortonormales estándares {i, j} y como siempre k = i × j

ad o

rP

3) ¿C´ omo interpreta Ud la ecuación de autovalores A |4i = 2 |4i? E ˆ e) Considere el caso 3D en el cual 4 representa un tetraedro regular con la base representada por E ˆ la Figura 2.2 y , un cubo, también con su base representada en el plano de la misma figura. E E ˆ ˆ 1) Exprese los vectores: 4 , en términos de la base ortonormal estándar {i, j, k} y el formalismo de ´ algebra geométrica. E J J ˆ |4i en término de la base geométrica. |⇑i 2) Exprese 4 E E E ˆ ˆ ˆ 3) Encuentre la norma de 4 y la distancia entre 4 y Aπ/2,|−ji . E ˆ con Aπ/2,|−ji , Bπ/4,|ii = Aπ/2,|−ji Bπ/4,|ii − Bπ/4,|ii Aπ/2,|−ji 4) Exprese Aπ/2,|−ji , Bπ/4,|ii

Bo rr

3. En Geometr´ıa Diferencial podemos considerar a R3 como un conjunto de puntos (una variedad o espacio topol´ ogico), es decir, R3 no es un espacio vectorial como se definió con anterioridad. En un punto q cualquiera podemos generar un plano R2 , entendido también como un conjunto de puntos, y definir el siguiente conjunto Tq R2 = {el conjunto de todos los vectores geométricos (flechas) con origen en q que son tangentes al plano R2 }. Notemos que la idea la podemos extender para cualquier superficie, por ejemplo, una esfera S2 (embebida en R3 ) y sobre la esfera seleccionar un punto arbitrario q. A partir de este punto q generar un plano y construir el conjunto Tq S2 = {el conjunto de todos los vectores geométricos con origen en q que son tangentes a la esfera S2 }. a) ¿Es Tq R2 un espacio vectorial? b) Claramente podemos seleccionar otro punto arbitrario, pero diferente de q, digamos p y construir el conjunto Tp R2 . ¿Son estos dos espacios isomorfos?

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120

2.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

Considremos ahora el conjunto de todas las funciones diferenciables f : R3 → R. Eso es, que existen todas las derivadas parciales en q ∈ R3 : ∂x f (xi ) , ∂y f (xi ) , ∂z f (xi ) ∈ R ∀ (xi ) ∈ R3 Note que hemos supuesto un sistema de coordenadas cartesiano xi = (x, y, z) en R3 y que las derivadas son evaluadas en q.

Por lo tanto: |Uq i f ≡ u1 ∂x + u2 ∂y + u3 ∂z

q

in ar

Consideremos el espacio tangente Tq R3 en un punto q arbitrario y un vector |uq i ∈ Tq R3 con compo 1 2 3 nentes u , u , u , podemos definir el siguiente operador (operador derivada direccional) en q siguiendo a |uq i |Uq i = u1 ∂x + u2 ∂y + u3 ∂z q

f = u1 (∂x f )q + u2 (∂y f )q + u3 (∂z f )q

c) ¿Es Dq un espacio vectorial?

Bo rr

ad o

rP

d) ¿Los espacios Dq y Tq R3 son isomorfos?

re lim

Es posible entonces construir el conjunto de los operadores derivadas direccionales que act´ uan sobre las funciones f : Dq (R3 ) = {|Uq i = u1 ∂x + u2 ∂y + u3 ∂z q ∀ |uq i ∈ Tq R3 }

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in ar

Bibliograf´ıa

[1] Arfken, G. B.,Weber, H., Weber, H.J. (2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edici´ on (Academic Press, Nueva York)

re lim

[2] Scharnhorst, K. (2009) Angles in complex vector spaces Acta Applicandae Mathematica), 69(1), 95-103 [3] Dennery, P. y Krzywicki, A. (1995) Mathematics for Physicists (Dover Publications Inc, Nueva York) [4] Harper, C. (1971) Introduction to Mathematical Physics (Prentice Hall, Englewood Cliff, N.J:) [5] Hassani, S. (1991) Foundations of Mathematical Physics (Prentice Hall, International Edition, London:

rP

[6] Riley, K.F., Hobson, M.P. y Bence, S.J. (2002) Mathematical Methods for Physics and Engineering (Cambridge University Press) [7] Santal´ o, L.A (1969) Vectores y Tensores (Editorial Universitaria, Buenos Aires)

Bo rr

ad o

[8] Spiegel, M. (1959) Vector Analysis (Schaums Outline Series, McGraw Hill New York )

122

3

Bo rr

ad o

rP

re lim

Vectores Duales y Tensores

in ar

Cap´ıtulo

123

3.1. FUNCIONALES LINEALES

3.1.

Funcionales lineales

En los cursos m´ as elementales de c´ alculo se estudiaron funciones de una y más variables reales. Estas funciones pueden considerarse entonces como funciones que act´ uan sobre vectores en R3 . Podemos extender esta idea para funciones que tengan como argumento vectores de un espacio vectorial arbitrario. Comenzaremos con las funciones mas sencillas, las lineales, que también son conocidas como operadores lineales. Definiremos funcionales lineales como aquella operación que asocia un n´ umero complejo (o real) ∈ K a un vector |vi ∈ V y cumple con la linealidad, vale decir: |vi ∈ V

→

F [|vi] ∈ C ,

in ar

∀

F [α |v1 i + β |v2 i] ≡ α F [|v1 i] + β F [|v2 i] , ∀ |v1 i , |v2 i ∈ V y ∀ α, β ∈ K.

re lim

El conjunto de funcionales lineales {F1 , F2 , F3 , · · · , Fn , · · · } constituyen a su vez un espacio vectorial, el cual se denomina espacio vectorial dual de V y se denotará como V∗ (no es complejo conjugado). Si V es de dimensi´ on finita n, entonces dimV = dimV∗ = n. Es f´ acil convencerse que los funcionales lineales forman un espacio vectorial ya que dados F1 , F2 ∈ V∗ se tiene  (F1 + F2 ) [|vi] = F1 [|vi] + F2 [|vi]  ∀ |vi ∈ V .  (α F) [|vi] = α F [|vi] A este espacio lineal también se le llama espacio de formas lineales y a los funcionales 1−formas o covectores, al espacio vectorial V también se le denomina espacio directo. En aquellos espacios lineales con producto interno definido (Espacios de Hilbert), el mismo producto interno constituye la expresi´ on natural del funcional. As´ı tendremos que ∀

|vi ∈ V

rP

Fa [|vi] ≡ ha |vi

∧

∀

ha| ∈ V∗ .

ad o

Es claro comprobar que el producto interno garantiza que los {Fa , Fb , · · · } forman un espacio vectorial:  (Fa + Fb ) [|vi] = Fa [|vi] + Fb [|vi] = ha |vi + hb |vi  ∀ |vi ∈ V .  (α Fa ) [|vi] = hαa |vi = α∗ ha |vi = α∗ Fa [|vi] Esta u ´ltima propiedad se conoce como antilinealidad. Se establece entonces una correspondencia 1 a 1 entre kets y bras, entre vectores y funcionales lineales (o formas diferenciales): λ1 |v1 i + λ2 |v2 i λ∗1 hv1 | + λ∗2 hv2 | ,

Bo rr

que ahora podemos precisar:

∗

ha |vi = hv |ai , ha |λ1 v1 + λ2 v2 i = λ1 ha |v1 i + λ2 ha |v2 i , hλ1 a1 +λ2 a2 |vi = λ∗1 ha1 |vi + λ∗2 ha2 |vi .

M´ as a´ un, dada una base {|e1 i , |e2 i , |e3 , i · · · |en i} para V siempre es posible asociar una base para V∗ de tal manera que

|vi = λi |ei i hv| = λ∗i ei , con λi = ei |vi ∧ λ∗i = hv |ei i para i = 1, 2, · · · , n

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124

3.1. FUNCIONALES LINEALES

En un lenguaje arcaico (y muchos textos de Mecánica todav´ıa lo reproducen) se denota a la base del espacio dual ei y la base del espacio directo base rec´ıproca {|ei i}. Se puede ver también que si |vi = ξ i |ei i, entonces F [|vi] = F ξ i |ei i = ξ i F [|ei i] = ξ i ωi

re lim

Esta 1−forma al actuar sobre un vector arbitrario resulta en F i [|vi] = F i ξ j |ej i = ξ j F i [|ej i] = ξ j δji = ξ i

in ar

donde hemos definido F [|ei i] ≡ ωi . N´ otese que estamos utilizando la notación de Einstein la que ´ındices repetidos indican suma, y en

en donde las bases del espacio dual de formas diferenciales ek llevan los ´ındices arriba. Los ´ındices arriba se llamar´ an contravariantes y los ´ındices abajo

covariantes. Las componentes de las formas diferenciales en una base dada, llevan ´ındices abajo ha| = ai ei mientras que las componentes de los vectores los llevan arriba |vi = ξ j |ej i. N´ otese también que dada una base en el espacio directo |ei i existe una u ńica base canónica en el dual definida como:

i e |ej i = F i [|ej i] = δji

es decir, en su componente contravariante. El conjunto de 1−formas {F i } ser´ a linealmente independientes. Si |vi = ξ i |ei i es un vector arbitrario en el espacio directo y ha| = ai ei un vector en el espacio dual, entonces:

ha |vi = ai ei ξ j |ej i = a∗i ξ j ei |ej i = a∗i ξ j δji = a∗i ξ i

Para bases arbitrarias {|ei i} de V y { ei } de V∗ se tiene

rP

ha |vi = Λij a∗i ξ j

donde Λij ≡ ei |ej i. Ejemplos

ad o

Un ejemplo sencillo de un funcional lineal es la integral de Riemann que podemos interpretar de la manera siguiente Z b I [|f i] = f (x)dx a

donde f (x) ∈ C[a,b] , es decir, pertenece al espacio vectorial de funciones reales y continuas en el intervalo [a, b].

Bo rr

Consideremos V = R3 como el espacio vectorial conformado por todos los vectores columna  1  ξ |vi =  ξ 2  ξ3 que al representarse en su base can´ onica {|ii i} resulta en:       1 0 0 |vi = ξ 1  0  + ξ 2  1  + ξ 3  0  = ξ 1 |i1 i + ξ 2 |i2 i + ξ 3 |i3 i = ξ i |ii i 0 0 1

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125

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Sea F ∈ V∗ , de manera que F [|vi] = ξ i wi pueda representarse por vectores fila F = (w1 , w2 , w3 )

Notemos que para la base en el espacio dual, que denotaremos ζ i = { ii } la definimos como:

1

1

2

2 ζ i [|ij i] = ii |ij i = δji ⇒ i1 |i1 i = 1 , i |i2 i = 0 , i |i3 i = 0 , i |i1 i = 0 , i |i2 i = 1 , · · ·

3.1.1.

 ξ1 ζ 2 [|vi] = (0, 1, 0)  ξ 2  = ξ 2 , ξ3 

Ejercicios

1. Encuentre las bases duales para los siguientes espacios vectoriales a) R2 , donde: |e1 i = (2, 1) y |e2 i = (4, 1)

re lim

b) R3 , donde: |e1 i = (1, 1, 3), |e2 i = (0, 1, −1) y |e3 i = (2, 1, 0)

 ξ1 ζ 3 [|vi] = (0, 0, 1)  ξ 2  = ξ 3 ξ3 

in ar

En este caso: ζ i = |ii i y adem´ as  1  ξ ζ 1 [|vi] = (1, 0, 0)  ξ 2  = ξ 1 , ξ3

2. Si V es el espacio vectorial de todos los polinomios reales de grado n ≤ 1. Y si además definimos Z 1 Z 2 ζ 1 [|pi] = p(x)dx ∧ ζ 2 [|pi] = p(x)dx 0

0

donde {ζ 1 , ζ 2 } ∈ V∗ . Encuentre una base {|e1 i , |e2 i} ∈ V que resulte dual a {ζ 1 , ζ 2 }.

Par´ entesis tensorial

rP

3.2.

Las funciones m´ as simples que se pueden definir sobre un espacio vectorial, el funcional lineal, nos permite extendernos al concepto de tensor.

Tensores, una definici´ on funcional

ad o

3.2.1.

Definiremos como un tensor a un funcional lineal (bilineal en este caso) que asocia un elemento del Campo K, complejo o real, a un vector |vi ∈ V, a una forma hu| ∈ V∗ , o ambas, y cumple con la linealidad. Esto es: ∀

|vi ∈ V

∧

hu| ∈ V∗ →

T [hu| ; |vi] ∈ C

Bo rr

T [hu| ; α |v1 i + β |v2 i] ≡ αT [hu| ; |v1 i] + β T [hu| ; |v2 i] T [ζ hu1 | + ξ hu2 | ; |vi] ≡ ζT [hu1 | ; |vi] + ξ T [hu2 | ; |vi]

hu| ∈ V∗

∀ |v1 i , |v2 i ∈ V

∧

∀ |vi , ∈ V

hu1 | , hu2 | ∈ V∗

∧

En pocas palabras: un tensor es un funcional generalizado cuyos argumentos son vectores y/o formas, lo que significa que T [◦; •] es una cantidad con dos “puestos” y una vez “cubiertos” se convierte en un escalar (complejo o real). Un tensor, con un argumento correspondiente a un vector y un argumento correspondiente a una forma, lo podremos representar de la siguiente manera: |vi hu| ↓ ↓ 1   T ◦ ; • ∈ C ⇒ tensor de tipo 1

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126

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Un tensor con dos argumentos correspondientes a vectores y uno a una forma ser´ıa |v i |v i hu| 1 2 ↓ ↓ ↓ 1 T [◦, ◦; •] ⇒ T  ◦ , ◦ ; •  ∈ C ⇒ tensor de tipo ; 2 y el caso contrario ↓

hu1 | hu2 | ↓ ↓



T [◦; •, •] ⇒ T  ◦ ; • , •  ∈ C

⇒

tensor de tipo

En general |v

1i

↓

|v2 i ↓

|vn i hu1 | hu2 | ↓ ↓ ↓

hum | ↓

2 1

in ar

|vi



T  ◦ , ◦ ,··· , ◦ ; • , • ··· , •  ∈ C

tensor de tipo

⇒

m n

.

rP

re lim

En esta notaci´ on el punto y coma (;) separa las “entradas” formas de las “entradas” vectores. Es importante recalcar que el orden si importa, no sólo para las cantidades separadas por ;, sino el orden de los “puestos” vectores y “puestos” formas separados por coma y repercutirá en las propiedades de los tensores. Por ejemplo: si el orden de las “entradas” vectores no importa, podremos permutarlas sin alterar al tensor, tendremos entonces tensores sim´ etricos respecto a esos “puestos” o “entradas”; del mismo modo, ser´ an tensores antisimétricos aquellos en los cuales el orden si importa y al permutar esos “puestos” o “entradas” hay un cambio de signo en el tensor. Todos estos casos serán tratados con detalle m´ as adelante, pero vale la pena recalcar que en general, para un tensor genérico el orden de la “entradas” o “puestos” si importa pero no necesariamente se comporta como los casos rese˜ nados anteriormente. Notemos que en el caso general un tensor es básicamente un aplicación multilineal T sobre V∗ × V: T : V∗m × Vn = V∗ × V∗ · · · V∗ × V∗ × V × V · · · V × V → C | {z } | {z } m

n

ad o

con n el orden covariante y m el orden contravariante. Obviamente las formas pueden ser representadas por tensores ya que son funcionales lineales de vectores, es decir: hu| ↓ 1 Un vector es un tensor del tipo ⇒ T  •  ∈ C. 0

Bo rr

los vectores constituyen un caso especial de tensores.

Una forma es un tensor del tipo

0 1

|vi ↓ ⇒ T  ◦  ∈ C.

porque son funcionales lineales para las formas diferenciales. Finalmente: 0 Un escalar es un tensor del tipo ∈ C. 0 m Por lo tanto, un tensor es un funcional multilineal que asocia m 1-formas y n vectores en C. n

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127

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

3.2.2.

Producto tensorial

Como ser´ a evidente m´ as adelante, los tensores (simples) pueden provenir del producto tensorial (exterior o directo) de espacios vectoriales. Esto es, dados E1 y E2 dos espacios vectoriales con dimensiones n1 y n2 , respectivamente y vectores genéricos, |ϕ(1)i y |χ(2)i pertenecientes a estos espacios vectoriales: |ϕ(1)i ∈ E1 y |χ(2)i ∈ E2 . Definiremos el producto tensorial (exterior o directo)de espacios vectoriales, E = E1 ⊗ E2 , si 2 a cada par de vectores |ϕ(1)i y |χ(2)i le asociamos un tensor tipo y si se cumple que 0 hζ(1)|

hξ(2)| ↓



y si adem´ as se cumplen las siguientes propiedades: 1. La suma entre tensores de E viene definida como

in ar

↓ |ϕ(1)χ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i ⇔ T  • , •  = hζ(1) |ϕ(1)i hξ(2) |χ(2)i ∈ C

|ϕ(1)χ(2)i + |ζ(1)ξ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i + |ζ(1)i ⊗ |ξ(2)i

re lim

= |ϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |χ(2) + ξ(2)i

2. El producto tensorial es lineal respecto a la multiplicación con n´ umeros reales λ y µ [|λϕ(1)i] ⊗ |χ(2)i = [λ |ϕ(1)i] ⊗ |χ(2)i = λ [|ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i] = λ |ϕ(1)χ(2)i |ϕ(1)i ⊗ [|µχ(2)i] = |ϕ(1)i ⊗ [µ |χ(2)i] = µ [|ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i] = µ |ϕ(1)χ(2)i 3. El producto tensorial es distributivo respecto a la suma:

rP

|ϕ(1)i ⊗ [|χ1 (2)i + |χ2 (2)i] = |ϕ(1)i ⊗ |χ1 (2)i + |ϕ(1)i ⊗ |χ2 (2)i [|ϕ1 (1)i + |ϕ2 (1)i] ⊗ |χ(2)i = |ϕ1 (1)i ⊗ |χ(2)i + |ϕ2 (1)i ⊗ |χ(2)i N´ otese que los ´ındices (1) y (2) denotan la pertenencia al espacio respectivo.

ad o

Es f´ acil convencerse que los tensores |ϕ(1)χ(2)i ∈ E = E1 ⊗ E2 forman un espacio vectorial y la demostraci´ on se basa en comprobar los axiomas o propiedades de los espacios vectoriales tal y como lo describimos en la Secci´ on 2.1.3: 1. La operaci´ on suma es cerrada en V : ∀ |vi i , |vj i ∈ V ⇒ |vk i = |vi i |vj i ∈ V.

Bo rr

Esto se traduce en demostrar que sumados dos tensores |ϕ(1)χ(2)i y |ζ(1)ξ(2)i ∈ E el tensor suma también pertenece a E, con a y b pertenecientes al campo del espacio vectorial a |ϕ(1)χ(2)i + b |ζ(1)ξ(2)i = |aϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |χ(2) + bξ(2)i

y esto se cumple siempre ya que, el producto tensorial es lineal respecto a la multiplicación con n´ umeros reales y por ser E1 y E2 espacios vectoriales se cumple  |aϕ(1) + ζ(1)i = a |ϕ(1)i + |ζ(1)i ∈ E1  =⇒ |ϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |χ(2) + ξ(2)i ∈ E  |ϕ(2) + bζ(2)i = |ϕ(2)i + b |ζ(2)i ∈ E2

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128

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

2. La operaci´ on suma es conmutativa y asociativa Conmutativa ∀ |vi i , |vj i ∈ V ⇒ |vi i |vj i = |vj i |vi i Esta primera es clara de la definici´ on de suma |ϕ(1)χ(2)i + |ζ(1)ξ(2)i = |ϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |χ(2) + ξ(2)i |ζ(1)ξ(2)i + |ϕ(1)χ(2)i = |ζ(1) + ϕ(1)i ⊗ |ξ(2) + χ(2)i

in ar

por ser E1 y E2 dos espacios vectoriales ∀ |vi i , |vj i , |vk i ∈ V ⇒ (|vi i |vj i) |vk i = |vj i (|vi i |vk i) una vez m´ as, esto se traduce en: (|ϕ(1)χ(2)i + |ζ(1)ξ(2)i) + |κ(1)κ(2)i = |ϕ(1)χ(2)i + (|ζ(1)ξ(2)i + |κ(1)κ(2)i) con lo cual, por la definici´ on de suma la expresión anterior queda como

(|ϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |ξ(2) + χ(2)i) + |κ(1)κ(2)i = |ϕ(1)χ(2)i + (|ζ(1) + κ(1)i ⊗ |ξ(2) + κ(2)i)

3. Existe un u ńico elemento neutro: ∃ |0i Es decir,

/

re lim

|(ϕ(1) + ζ(1)) + κ(1)i ⊗ |(ξ(2) + χ(2)) + κ(2)i = |ϕ(1) + (ζ(1) + κ(1))i ⊗ |ξ(2) + (χ(2) + κ(2))i |0i |vj i = |vj i |0i = |vj i

∀ |vj i ∈ V

|ϕ(1)χ(2)i + |0(1)0(2)i = |ϕ(1) + 0(1)i ⊗ |χ(2) + 0(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i = |ϕ(1)χ(2)i

rP

4. Existe un elemento simétrico para cada elemento de V : ∀ |vj i ∈ V ∃ |−vj i / |vj i |−vj i = |0i ⇒

|ϕ(1)χ(2)i − |ϕ(1)χ(2)i = |ϕ(1) − ϕ(1)i ⊗ |χ(2) − χ(2)i = |0(1)i ⊗ |0(2)i = |0(1)0(2)i 5. α (β |vi i) = (αβ) |vi i :

α (β |ϕ(1)χ(2)i) = α (|βχ(2)i ⊗ |ϕ(1)i) = |αβχ(2)i ⊗ |ϕ(1)i

ad o

= (αβ) |χ(2)i ⊗ |ϕ(1)i = (αβ) |ϕ(1)χ(2)i

6. (α + β) |vi i = α |vi i + β |vi i :

Bo rr

(α + β) |ϕ(1)χ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |(α + β) χ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |αχ(2) + βχ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ [(α |χ(2)i + β |χ(2)i)] = α |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i + β |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i

7. α (|vi i |vj i) = α |vi i α |vj i : α (|ϕ(1)χ(2)i + |ζ(1)ξ(2)i) = α (|ϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |ξ(2) + χ(2)i) = |α (ϕ(1) + ζ(1))i ⊗ |ξ(2) + χ(2)i = |αϕ(1) + αζ(1)i ⊗ |ξ(2) + χ(2)i = (|αϕ(1)χ(2)i + |αζ(1)ξ(2)i) = α |ϕ(1)χ(2)i + α |ζ(1)ξ(2)i

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129

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Equivalentemente, podemos construir un producto tensorial entre espacios de formas diferenciales. Si E∗1 y E∗2 son dos espacios vectoriales duales a E1 y E2 , con dimensiones n1 y n2 , respectivamente. A estos espacios pertenecen las formas diferenciales genéricas hζ(1)| ∈ E∗1 y hξ(2)| ∈ E∗2 . Definiremos el producto tensorial de espacios vectoriales duales, E∗ =E∗1 ⊗ E∗2 , si a cada par de formas diferenciales hζ(1)| ∈ E∗1 y 0 hξ(2)| ∈ E∗2 le asociamos un tensor tipo . Esto es 2 hζ(1)ξ(2)| = hζ(1)| ⊗ hξ(2)|

3.2.3.

La tentaci´ on del producto interno

in ar

A partir de las definiciones de productos internos en E1 y E2 , uno puede verse tentado a definir un producto interno de la siguiente forma hϕ(1) ˜ χ(2) ˜ |ϕ(1)χ(2)i = hϕ(1) ˜ |ϕ(1)i · hχ(2) ˜ |χ(2)i .

1. hx| xi ∈ R Esto es:

∧

hx| xi ≥ 0

∀ |xi ∈ V

re lim

Mostraremos, sin embargo, que NO es una buena definición de producto interno, y para ello debemos demostrar que no se satisfacen los axiomas o propiedades del producto interno que expusimos en la Secci´ on 2.2.3. Para facilitar la lectura repetiremos aqu´ı las propiedades que definen el producto interno (expuestas en la Secci´ on 2.2.3) y haremos las “adaptaciones” del caso son: hx| xi = 0 ⇒ |xi ≡ |0i

si

hϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)i = hϕ(1) |ϕ(1)i · hχ(2) |χ(2)i

rP

como hϕ(1) |ϕ(1)i y hχ(2) |χ(2)i son buenas definiciones de producto interno tendremos que  hϕ(1) |ϕ(1)i ≥ 0  ⇒ hϕ(1)χ(2) |ϕ(1)χ(2)i ≥ 0  hχ(2) |χ(2)i ≥ 0 Aqu´ı vale la pena mencionar algunos puntos sutiles sobre la segunda parte de la propiedad a demostrar: Si hx| xi = 0 ⇒ |xi ≡ |0i, lo cual para este caso se traducen en

Bo rr

ad o

hϕ(1)χ(2) |ϕ(1) ˜ χ(2)i ˜ = hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ · hχ(2) |χ(2)i ˜ =0   hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ =0      ⇒ |ϕ(1)i ˜ = |0(1)i      hχ(2) | χ(2)i ˜ = 6 0          hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ = 6 0   ⇒ |χ(2)i ˜ = |0(2)i hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ · hχ(2) |χ(2)i ˜ =0 ⇒    hχ(2) | χ(2)i ˜ = 0           hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ =0  ˜ = |0(1)i   |ϕ(1)i    ⇒      hχ(2) |χ(2)i ˜ =0 |χ(2)i ˜ = |0(2)i

definitivamente, habr´ıa que restringir los posibles vectores que intervienen en el producto tensorial, de modo que no fuera posible vectores del tipo |ϕ(1)0(2)i ≡ |ϕ(1)i ⊗ |0(2)i

o

|0(1)χ(2)i ≡ |0(1)i ⊗ |χ(2)i

s´ olo as´ı se cumple la propiedad mencionada. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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130

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

∗

2. hx| yi = hy| xi ∀ |xi , |yi ∈ V Esto puede ser demostrado f´ acilmente como sigue hϕ(1) ˜ χ(2) ˜ |ϕ(1)χ(2)i = hϕ(1) ˜ |ϕ(1)i · hχ(2) ˜ |χ(2)i ∗

∗

= hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ · hχ(2) |χ(2)i ˜

∗

= (hϕ(1) |ϕ(1)i ˜ · hχ(2) |χ(2)i) ˜ ∗

= hϕ(1)χ(2) |ϕ(1) ˜ χ(2)i ˜

3. hx| y + zi = hx| yi + hx| zi ∧ hx + z| yi = hx| yi + hz| yi ∀ |xi , |yi , |zi ∈ V Partimos del lado derecho de la primera de las igualdades anteriores:

in ar

hϕ(1) ˜ χ(2)| ˜ [|ϕ(1)χ(2)i + |ζ(1)ξ(2)i] = hϕ(1) ˜ χ(2)| ˜ [|ϕ(1) + ζ(1)i ⊗ |ξ(2) + χ(2)i] = hϕ(1) ˜ |ϕ(1) + ζ(1)i · hχ(2) ˜ |ξ(2) + χ(2)i

y otra vez, como hϕ(1) |ϕ(1)i y hχ(2) |χ(2)i son buenas definiciones de producto interno tendremos que: hϕ(1) ˜ |ϕ(1) + ζ(1)i = hϕ(1) ˜ |ϕ(1)i + hϕ(1) ˜ |ζ(1)i

re lim

hχ(2) ˜ |ξ(2) + χ(2)i = hχ(2) ˜ |ξ(2)i + hχ(2) ˜ |χ(2)i

y al multiplicar hχ(2) ˜ |ξ(2) + χ(2)i por hϕ(1) ˜ |ϕ(1) + ζ(1)i surgirán cuatro sumandos hϕ(1) ˜ |ϕ(1)i hχ(2) ˜ |ξ(2)i + hϕ(1) ˜ |ϕ(1)i hχ(2) ˜ |χ(2)i + hϕ(1) ˜ |ζ(1)i hχ(2) ˜ |ξ(2)i + hϕ(1) ˜ |ζ(1)i hχ(2) ˜ |χ(2)i lo cual contrasta con el lado izquierdo al utilizar la definición dos veces que tienen dos sumandos hϕ(1) ˜ χ(2) ˜ |ϕ(1)χ(2)i + hϕ(1) ˜ χ(2) ˜ |ζ(1)ξ(2)i = hϕ(1) ˜ |ϕ(1)i · hχ(2) ˜ |χ(2)i + hϕ(1) ˜ |ζ(1)i · hχ(2) ˜ |ξ(2)i por lo cual NO se cumple esta propiedad y no hay forma de enmendarla.

Bases para un producto tensorial

rP

3.2.4.

Si {|ui (1)i} y {|vi (2)i} son, respectivamente, bases discretas para E1 y E2 entonces podremos construir el tensor |ui (1)vj (2)i = |ui (1)i ⊗ |vj (2)i ∈ E el cual funcionar´ a como una base para E y, por lo tanto, podremos construir un tensor genérico de E

ad o

|ϕ(1)χ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i = ϕi χj |ui (1)vj (2)i

Bo rr

donde ϕi y χj son las componentes de |ϕ(1)i y |χ(2)i en sus respectivas bases. En otras palabras, las componentes de un tensor en E corresponden a la multiplicación de las componentes de los vectores en E1 y E2 . Recuerde que estamos utilizando Pn la convención de Einstein de suma tácita en ´ındices covariantes y contravariantes, en la cual ck |vk i ≡ k=1 ck |vk i . Es importante se˜ nalar que si bien un tensor genérico |Ψi ∈ E siempre se puede expandir en la base |ui (1)vj (2)i no es cierto que todo tensor de E provenga del producto tensorial de E1 y E2 . Es decir, E tiene m´ as tensores de los que provienen el producto tensorial. Esta afirmación puede intuirse del hecho que si |Ψi ∈ E entonces |Ψi = cij |ui (1)vj (2)i por ser {|ui (1)vj (2)i} base para E. Es claro que dados dos n´ umeros α1 y α2 habrá cij que no provienen de la multiplicaci´ on de α1 α2 . El conjunto de todas funciones bilineales T [hu| ; |vi] forman un espacio vectorial sobre el espacio directo E. Este espacio vectorial de funciones tendrá una base dada por f ij = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i

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131

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Ejemplo Consideremos los siguientes elementos   x1 |vi =  x2  ∈ M31 x3

y

|ui = (y1 y2 y3 ) ∈ M13

in ar

donde Mmn indica matrices m × n sobre los n´ umeros reales R. El conjunto de matrices Mmn constituyen un espacio vectorial para la suma y multiplicación por los n´ umeros reales, adem´ as, la dimensi´ on de este espacio vectorial es: dim(Mmn ) = mn. Podemos definir la siguiente operaci´ on:     x1 x1 y1 x1 y2 x1 y3 |v ui =  x2  ⊗ (y1 y2 y3 ) =  x2 y1 x2 y2 x2 y3  ⇔ M31 ⊗ M13 = M33 x3 x3 y1 x3 y2 x3 y3 Notemos que este funcional (funcional bilineal) cumple con: =

λ1 T [|v1 i , |ui] + λ2 T [|v2 i , |ui]

T [|vi , λ1 |u1 i + λ2 |u2 i]

=

λ1 T [|vi , |u1 i] + λ2 T [|vi , |u2 i]

re lim

T [λ1 |v1 i + λ2 |v2 i , |ui]

donde {λ1 , λ2 } ∈ R, {|vi , |v1 i , |v2 i} ∈ V1 = M31 y {|ui , |u1 i , |u2 i} ∈ V2 = M13 . Veamos que si {|e1 (1)i , |e2 (1)i , |e3 (1)i} es una base para V1 y {|e1 (2)i , |e2 (2)i , |e3 (2)i} es una base para 2 V definidas como       1 0 0 |e1 (1)i =  0  , |e2 (1)i =  1  , |e3 (1)i =  0  , |e1 (2)i = (1 0 0) , |e2 (2)i = (0 1 0) , |e3 (2)i = (0 0 1) 0 0 1 definido, resulta:   0 0 0  , |e1 (1)i ⊗ |e2 (2)i =  0 0 0

1 0 0



0 0 0

  0 0 0  , |e2 (1)i ⊗ |e2 (2)i =  0 0 0

0 1 0

  0 0 0  , |e2 (1)i ⊗ |e3 (2)i =  0 0 0

0 0 0

 0 1  0



0 0 0

  0 0 0  , |e3 (1)i ⊗ |e2 (2)i =  0 0 0

0 0 1

  0 0 0  , |e3 (1)i ⊗ |e3 (2)i =  0 0 0

0 0 0

 0 0  1

ad o

rP

con el producto previamente  1 0 |e1 (1)i ⊗ |e1 (2)i =  0 0 0 0 0 |e2 (1)i ⊗ |e1 (2)i =  1 0

Bo rr

0 |e3 (1)i ⊗ |e1 (2)i =  0 1

  0 0 0  , |e1 (1)i ⊗ |e3 (2)i =  0 0 0

0 0 0

 1 0  0

Es claro que éste conjunto de matrices (matrices 3 × 3) forman una base para el espacio V3 = M33 , y que dim(V3 ) = 9.

3.2.5.

Tensores, sus componentes y sus contracciones

Hemos mencionado anteriormente que un escalar es una cantidad que se puede especificar, independientemente del sistema de coordenadas, por un sólo n´ umero. Los vectores geométricos que dibujábamos con

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132

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

in ar

flechas los sustituimos ahora por tres n´ umeros respecto a una base seleccionada, es decir, a través de sus tres componentes. Los escalares y los vectores son casos particulares de objetos más generales que denominaremos tensores, tensores de orden o rango k y cuya especificación en cualquier sistema de coordenadas requerir´ a de 3k n´ umeros, llamadas las componentes del tensor. Esto significa que un escalar es un tensor de orden 0 (30 = 1 componente) y un vector un tensor de orden 1 (31 = 3 componentes). Si el espacio vectorial es de dimensi´ on n, entonces un tensor de orden k tendrá nk componentes. Como veremos m´ as adelante, los tensores son mucho más que simples n´ umeros respecto a un sistema de coordenadas y la clave radica en la “ley de transformación” de sus componentes, es decir, en la relaci´ on que existe entre las componentes de un tensor en un sistema de coordenadas y las componentes del mismo tensor en otro sistema de coordenadas diferente. Lo que hay detrás de todo esto es el hecho de que las leyes matem´ aticas que describen los fen´ omenos f´ısicos deben ser “invariantes” bajo transformaciones de coordenadas, como por ejemplo: traslaciones, el espacio es homogéneo, y rotaciones, el espacio es isótropo. Componentes de un tensor

|u

i (1)i

↓

mn Sijk =S ◦ ,

re lim

Denominaremos componentes de un tensor, aquellos n´ umeros que surgen de incorporar bases de formas diferenciales y vectores. As´ı, si {|ui (1)i , |vj (2)i , |tk (3)i} y {hxm (1)| , hy n (2)|} son bases para los vectores y 2 las formas, respectivamente, las componentes de un tensor serán 3 |vj (2)i |wk (3)i hxm (1)| hy n (2)| ↓ ↓ ↓ ↓



◦ ,

◦

;

•

,

•

.

rP

Es de hacer notar que la selecci´ on de las bases no es arbitraria sino que deben corresponderse, entre el espacio directo, S, y su dual S ∗ i.e

{|ui (1)i , |vj (2)i , |wk (3)i} ⊗ {hxm (1)| , hy n (2)|} ⇔ {|xp (1)i , |yq (2)i} ⊗ hua (1)| , v b (2) , hwc (2)| .

ad o

Claramente, esta definici´ on de componentes contiene a las componentes de aquellos espacios tensoriales generados por el producto tensorial. Si consideramos un tensor como resultado de un producto tensorial y consideramos las bases {|ui (1)i , hxm (1)|}, sus componentes se pueden expresar {ϕm (1)χi (1)}, vale decir, 1 ⇐⇒ |ϕ(1)i ⊗ h∆(1)| ⇒ hxm (1) |ϕ(1)i ⊗ h∆(1)| ui (1)i ⇒ {ϕm (1)χi (1)} . 1 Combinaciones lineales de tensores

Bo rr

Es claro que podremos sumar (componentes) de tensores como lo hemos hecho con la suma de (componentes) de vectores a + b = (ax + bx ) i + (ay + by ) j + (az + bz ) k = a1 + b1 i + a2 + b2 j + a3 + b3 k = ai + bi |ii i , esto es:

Hern´ andez & N´ un ˜ez

ij ij Rkl = αQij kl + βPkl .

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133

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Producto tensorial de tensores Podemos un m´ as la idea del producto directo y extenderla para tensores. As´ı, para dos tensores extender a´ 2 2 tipo y se tiene que 0 1 hζ(1)| ↓

hξ(2)| ↓



|ϕ(1)χ(2)i = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i = T  • , •  |u

i (1)i

hε(1)| hφ(2)| ↓ ↓



el producto directo es

in ar

↓ |µ(1)κ(2)Θ(1)i = |µ(1)i ⊗ |κ(2)i ⊗ hΘ (1)| = P  ◦ ; • , •  ,

|ϕ(1)χ(2)i ⊗ |µ(1)κ(2)Θ(1)i = |ϕ(1)i ⊗ |χ(2)i ⊗ |µ(1)i ⊗ |κ(2)i ⊗ hΘ (1)| |u (1)i hε(1)| hφ(2)| hζ(1)| hξ(2)| i

re lim

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ = T  • , • ⊗P ◦ ; • , • 

|u

i (1)i

↓

hε(1)| hφ(2)| hζ(3)| hξ(4)| ↓ ↓ ↓ ↓



= R ◦ ; • , • , • , •  Por ejemplo, en componentes ser´ıa como se muestra a continuación:

Contracci´ on de un tensor

rP

Rkijlm = T ij Pklm .

Bo rr

ad o

Denominaremos una contracci´ on cuando sumamos las componentes covariantes y contravariantes, esto es, si tenemos ϕi (1)χi (1) entonces se genera un escalar independiente de la base. Esta situación ser´ a m´ as evidente cuando definamos métricas y contracción de tensores. Por analog´ıa y considerando un caso m´ as 2 mn general, dada las componentes Sijk correspondiente a un tensor podremos construir un nuevo tensor 3 1 mn in n a partir de una contracci´ on. Las componentes de este nuevo tensor serán: Sijk ⇒ Sijk ≡ Sjk . 2 Del mismo modo, dadas las componentes de dos tensores, P lm y Qij an componentes de nuevos zk generar´ tensores Rklij = P lm Qij . As´ ı mk  2   ⇒ P lm  0 3 ⇒ ⇒ Rklij = P lm Qij mk . 2 1 ij  ⇒ Qzk   2 Es claro que si dos tensores derivan de productos tensoriales y si {|ui (1)i} , {hum (1)|} y {|vi (2)i} son bases ortonormales para E1 , E∗1 y E2 , entonces sus productos podrán ser expresados como |γ(1)δ(2)i = γ i (1)δ j (2) |ui (1)i ⊗ |vj (2)i , |α(1)β(1)i = αl (1)βm (2) |ul (1)i ⊗ hum (1)| , | {z } | {z } P ij

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Qlm

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134

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

entonces: αl (1)βm (2) |ul (1)i ⊗ hum (1)| γ i (1)δ j (2) |ui (1)i ⊗ |vj (2)i αl (1)βm (2) γ i (1)δ j (2) {hum (1) |ui (1)i} |vj (2)i ⊗ |ul (1)i | {z }

=

δim

l

k

j

=

α (1)βk (2) γ (1)δ (2) |vj (2)i ⊗ |ul (1)i

=

P ij Qli |vj (2)ul (1)i

=

Rjl |vj (2)ul (1)i .

in ar

Pero m´ as a´ un, si |ui (1)vj (2)i = |ui (1)i ⊗ |vj (2)i ∈ E es base de E entonces se puede demostrar lo anterior sin circunscribirnos a tensores cuyas componentes provengan de multiplicación de las componentes en cada espacio vectorial. Simetrizaci´ on de tensores

re lim

Un tensor (las componentes) ser´ a simétrico respecto a dos de sus ´ındices si su permutación no cambia su valor: Sij = Sji ; S ij = S ji ; Sij···kl···mn = Sij···lk···mn S ij···kl···mn = S ij···lk···mn y ser´ a antisimétrico si Aij = −Aji ;

Aij = −Aji

Aij···kl···mn = −Aij···lk···mn

rP

Un tensor de rango 2, viene representado por una matriz que tendrá simétrica tendr´ a como m´ aximo 6 componentes distintas.  1   1 S1 S21 S31 S1 S21 Sji = Sij =  S12 S22 S32  =  S21 S22 S13 S23 S33 S31 S32

Aij···kl···mn = −Aij···lk···mn .

32 = 9 componentes. Si la matriz es  S31 S32  S33

ad o

mientras que un tensor antisimétrico de segundo orden tendrá, cuando máximo, tres componentes con valor absoluto distintos de cero   0 A12 A13 0 A23  Aij = −Aji =  −A21 3 3 −A1 −A2 0 Siempre es posible construir tensores simétricos y antisimétricos a partir de un tensor genérico. Esto es: 1 (Tij + Tji ) ≡ T(ij) 2

Bo rr

Sij =

Aij =

1 (Tij − Tji ) ≡ T[ij] 2

⇐⇒

Sij···kl···mn =

1 (Tij···kl···mn + Tij···lk···mn ) = Tij···(kl)···mn 2

⇐⇒

Aij···kl···mn =

1 (Tij···kl···mn − Tij···lk···mn ) = Tij···[kl]···mn 2

M´ as a´ un, es evidente que las componentes de un tensor genérico Tij , pueden expresarse como una combinaci´ on de su parte simétrica y antisimétrica Tij = Sij + Aij . Obviamente que algo equivalente se puede realizar para componentes contravariantes de tensores.

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135

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

3.2.6.

Tensor m´ etrico, ´ındices y componentes

Para una base genérica, {|uj i}, no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno, 0 podemos definir la expresi´ on de un tensor simétrico, que denominaremos “tensor métrico”, de la 2 siguiente manera  i  |u i |u i hu | huj | j i ↓ ↓ ↓   ↓ g  ◦ , ◦,  = g [|ui i , |uj i] = gij ≡ gji , g  • , •  = g ui , uj = g ij ≡ g ji −1

con g ij = (gij )

∀ |uj i , y si

2. g [|ui i , |uj i] = g [|uj i , |ui i]

⇒

gij ≡ gji

g [|ui i , |uj i] = 0 ⇒ i = j

re lim

1. g [|ui i , |uj i] = gij ≡ gji ≥ 0

in ar

. h i N´ otese que las gij ≡ gji son las componentes del tensor g ◦, ◦ una vez que la base {|uj i} ha actuado. La denominaci´ on de tensor m´ etrico, no es gratuita, g cumple con todas las propiedades de la métrica definida para un Espacio Vectorial Euclidiano expuestas en la Sección 2.2.1. Una vez m´ as, para facilitar la lectura, transcribiremos a continuación esas propiedades:

3. g [|ui i , |uj i] ≤ g [|ui i , |uk i] + g [|uk i , |uj i]: La desigualdad Triangular

Si la base genérica, {|ui i} = {|ei i}, es ortonormal, entonces estas propiedades emergen de manera natural

g [◦, ◦] ≡ gij ei ⊗ ej ≡ gji ej ⊗ ei y g [•, •] ≡ g ij |ei i ⊗ |ξj i ≡ g ji |ej i ⊗ |ei i ,

rP

con lo cual sus componentes ser´ an matrices simétricas gij = gji e igualmente g ij = g ji . En general impondremos que

j = gij g ji = δii = n , gij ui ⊗ uj g km |uk i ⊗ |um i = gij g km ui |uk i uj |um i = gij g km δki δm

ad o

ya que i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Con lo cual gij es la matriz inversa de g ij . Es decir, hemos definido las componentes contravariantes del tensor de modo que cumplan con gik g kj = δij . Adicionalmente, también es claro que

gij ui ⊗ uj |ai = ak gij ui ⊗ uj |uk i = ak gij uj |uk i ui = ak gij δkj ui = ak gik ui ≡ ai ui , con lo cual ai = ak gik . De la misma forma

ha| g ij |ui i ⊗ |uj i = ha| g ij |ui i ⊗ |uj i = g ij ha |ui i ⊗ |uj i = ak g ij uk |ui i |uj i = ak g kj |uj i ≡ aj |uj i ,

Bo rr

otra vez aj = ak g kj , ahora subimos el ´ındice correspondiente. De esta manera, el tensor métrico nos permite asociar formas con vectores, componentes covariantes (formas) a componentes contravariantes (vectores) y dicho rápido y mal, pero de uso muy frecuente: el tensor métrico nos permite subir y bajar ´ındices. Otra forma de verlo es combinando las propiedades del producto directo de tensores y contracci´ on de ´ındices

g ij |ui i ⊗ |uj i ⊗ Pklmn |ul i ⊗ |um i ⊗ |un i ⊗ uk ⇒ g ij Pklmn |uj i ⊗ Pklmn |ul i ⊗ |um i ⊗ |un i ⊗ uk ui i

g ij Pklmn |uj i ⊗ |ul i ⊗ |um i ⊗ |un i · uk ui i = P jlmn |uj i ⊗ |ul i ⊗ |um i ⊗ |un i ⇒ g ij Pilmn ≡ P jlmn . | {z } δik

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136

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Adicionalmente, el tensor métrico permite la contracción de ´ındices. As´ı, dado un producto tensorial de dos vectores que se pueden expresar en una base ortonormal {|ei i} |a, bi = |ai ⊗ |bi = ak bm |ek i ⊗ |ξm i ⇓

i j k m k m j gij e ⊗ e a |ek i ⊗ b |em i = a b gij δki δm = ak bm gkm = ak bk = hb |ai = ha |bi . Es decir, el producto interno de dos vectores involucra, de manera natural, la métrica del espacio, hb |ai = ha |bi = ak bk = ak bk = ak bm gkm = ak bm g km .

in ar

Obviamente la norma de un vector, también incluirá al tensor métrico:

2 k|aik = ha |ai = ai aj ei |ej i = ai ai = ai aj g ij = ai aj gij .

re lim

El caso m´ as emblem´ atico lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal. Para una base genérica, {|uj i} no necesariamente ortogonal de un espacio vectorial con producto interno, el desplazamiento infinitesimal puede expresarse como

2 (ds) ≡ hdr |dri = dxk uk (dxm |um i) = uk |um i dxk dxm = dxm dxm = gkm dxk dxm . Si la base {|ej i} es ortogonal (cosa m´ as o menos com´ un pero no necesariamente cierta siempre) las matrices gij y g ij son diagonales y cumplen que gii =

1 g ii

⇒

2

(ds) = h1 dx1

2

+ h2 dx2

2

+ h3 dx3

2

2

rP

√ donde hi = gii , con i, j = 1, 2, 3 (aqu´ı no hay suma), se denominan los factores de escala. Y si la base {|ii i} es ortonormal, es f´ acil ver que k (ds) ≡ hdr |dri = δm dxk dxm = dxm dxm = dxm dxm

es decir:

g11 = g22 = g33 = 1 ,

gij = 0 si i 6= j

ad o

esto significa que en coordenadas cartesianas el desplazamiento infinitesimal es la ya conocida expresi´ on: ds2 = dx2 + dy 2 + dz 2 .

3.2.7.

Teorema del cociente

Bo rr

Al igual que existe el producto directo entre tensores, cabe preguntarse si es posible multiplicar un tensor arbitrario (de cualquier rango) por un “objeto” desconocido ¿Ese producto será un tensor? Existe importantes situaciones f´ısicas en las cuales es aplicable esta pregunta. Si Tij son las componentes de un tensor de rango 2 y el producto Tij V i = Bj es un vector. ¿El objeto V i será un vector? La respuesta es siempre afirmativa, y puede ser utilizada como un criterio para identificar componente de tensores. Este criterio se denomina el Teorema del Cociente. La respuesta a esta pregunta surge de la respuesta a una pregunta distinta pero equivalente. Supongamos j que nos dan n2 n´ umeros aij y un (una componente de un) vector genérico V i , si la cantidad aij V i V es un 0 1 . escalar entonces la parte simétrica a(ij) = 2 (aij + aji ) será un (una componente de) tensor del tipo: 2 La demostraci´ on involucra algunas de las ideas antes expuestas y la haremos para fijar conceptos. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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137

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

Dados dos sistemas de coordenadas xi = xi (˜ xm ) y x ˜j = x ˜j (xm ) (con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) se cumple que aij xi xj = ψ = ψ˜ = a ˜ij x ˜i x ˜j

donde ψ = ψ˜ constituye un escalar

y por lo tanto, derivando y utilizando la regla de la cadena xi = xi x ˜j (xm )

⇒

∂xi ∂ x ˜j ∂xi i = = δm , m j ∂x ∂x ˜ ∂xm

por lo que aij x x − a ˜ij

∂x ˜k ∂ x ˜l x ˜x ˜ ≡ aij − a ˜kl xi xj = 0 , ∂xi ∂xj i j

in ar

i j

como hay una suma en ij no se puede afirmar que la cantidad del paréntesis se anula. Como esta afirmaci´ on vale para cualquier sistema de coordenadas, seleccionaremos las componentes coordenadas en la base can´ onica. x1 = (1, 0, 0, · · · , 0) ; x2 = (0, 1, 0, · · · , 0) ; · · · · · · xn = (0, 0, 0, · · · , 1)

a11 − a ˜kl

˜l ∂x ˜k ∂ x = 0; 1 ∂x ∂x1

a22 − a ˜kl

Como siempre podemos hacer a ˜(kl) = a ˜kl = a ˜(kl) + a ˜[kl]

⇒

1 2

re lim

con lo cual ∂x ˜k ∂ x ˜l = 0; · · · 2 ∂x ∂x2

(˜ akl + a ˜lk ) y a ˜[kl] =

a(mm) − a ˜(kl) + a ˜[kl]

1 2

· · · ann − a ˜kl

∂x ˜k ∂ x ˜l = 0, n ∂x ∂xn

(˜ akl − a ˜lk ) y separar el tensor

∂x ˜k ∂ x ˜l =0 ∂xm ∂xm

⇒

a(mm) = a ˜(kl)

∂x ˜k ∂ x ˜l , ∂xm ∂xm

Practicando con Maxima:

rP

˜kl y es lo que de ahora en La parte simétrica del tensor transforma siguiendo la regla: amn = Λkm Λln a adelante denominaremos un tensor de segundo orden. En este caso, la parte simétrica de un tensor transforma como un verdadero tensor una vez que se contrae con un par de vectores.

Bo rr

ad o

Maxima presenta dos paquetes para la manipulación de tensores, paquetes en constante desarrollo todav´ıa. Estos paquetes son ctensor, manipulación de componentes y el paquete itensor, manipulaci´ on indexada. En la manipulaci´ on por componentes los tensores se representan por arreglos o matrices. En la manipulaci´ on indexada los tensores se representan por funciones de sus ´ındices covariantes, contravariantes y de derivadas. Los ´ındices covariantes se especifican mediante una lista que será el primer argumento del objeto indexado, siendo los ´ındices contravariantes otra lista que será el segundo argumento del mismo objeto indexado. Si al objeto indexado le falta cualquiera de estos grupos de ´ındices, entonces se le asignará al argumento correspondiente la lista vac´ıa []. As´ı, g([a, b], [c]) representa un objeto indexado llamado g, el cual tiene dos ´ındices covariantes (a, b), un ´ındice contravariante (c) y no tiene ´ındices de derivadas. (%i1) load(itensor)$ (%i2) imetric(g);

(%i3) ishow(g([j,k],[])*g([i,l],[])*a([],[i,j]))$

( %t3) ai j gj k gi l Hern´ andez & N´ un ˜ez

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138

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

(%i4) ishow(contract(%))$ ( %t4) ak l (%i5) ishow(kdelta([i],[k])*a([k,l],[]))$ ( %t5) δik ak l (%i6) ishow(contract(%))$

La identidad δij δji = 3 (%i7) ishow(contract(kdelta([i], [j])*kdelta([j], [i])))$ ( %t7) kdelta (%i8) ishow(ev(%,kdelta))$

re lim

( %t8) 3

in ar

( %t6) ai l

El s´ımbolo de Levi-civita:

(%i9) levi_civita([1, 2, 3]);levi_civita([1, 3, 2]);levi_civita([3, 3, 2]); ( %o9) 1 ( %o10) − 1 ( %o11) 0

rP

(%i12)expr:ishow(’levi_civita([],[i,j,k])*’levi_civita([i,j,k],[]))$ ( %t12) εi j k εi j k

ad o

Aqu´ı es necesario utilizar la funci´ on lc2kdt( ) que simplifica expresiones que contengan el s´ımbolo de Levi-Civita, para convertirlas en expresiones con la delta de Kronecker siempre que esto sea posible.1 (%i13)ishow(lc2kdt(expr))$ ( %t13) δik δji − 3 δjk δkj + δij δjk − 3 δik δki − 3 δij δji + 27 (%i14)ishow(contract(expand(%)))$

Bo rr

( %t14) 27 − 7 δ

(%i15)ishow(ev(%,kdelta))$

( %t15) 6

1 En ocaciones, la funci´ on lc2kdt( ) hace uso del tensor m´ etrico. Si el tensor m´ etrico no fue previamente definido con imetric, se obtiene un mensaje de error.

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139

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

3.2.8.

Un par de tensores

En esta secci´ on vamos a ejemplificar la utilización de los tensores en varios ámbitos de la F´ısica, en particular de la Mec´ anica. En la pr´ oxima sección 3.2.8 consideraremos el tensor de esfuerzos para describir las tensiones internas de cuerpos sometidos a fuerzas externas. Haremos el análisis tanto para el caso de dos como de tres dimensiones. Luego en la Sección 3.2.8 consideraremos el tensor de inercia y su impacto en la din´ amica de cuerpos en movimiento.

Bo rr

ad o

rP

re lim

in ar

1. El tensor de esfuerzos (stress)

Figura 3.1: Tensor de Esfuerzos (stress) en 2 dimensiones

El caso 2D

Supongamos un cuerpo que se encuentra en equilibrio y está sometido a un conjunto de fuerzas externas. Para facilitar las cosas consideremos el efecto de esas fuerzas sobre un plano que contiene a un determinado punto P (ver Figura 3.1 cuadrante Ia). Es decir, vamos a considerar los efectos de las componentes de todas las fuerzas sobre ese plano y obviaremos el efecto del resto de las componentes. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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140

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

in ar

Como observamos en la figura 3.1 Ib y Ic, si cortamos la superficie en dos l´ıneas (AB y A0 B 0 ), podemos ver que el efecto del conjunto de fuerzas externas es distinto sobre P en la dirección perpendicular a cada una de esas l´ıneas. De hecho, al “cortar” la superficie las fuerzas que aparecen sobre las l´ıneas AB (y A0 B 0 ) eran fuerzas internas y ahora son externas al nuevo cuerpo “cortado”. As´ı, estas fuerzas por unidad de longitud2 sobre el punto P existen como un conjunto de fuerzas que generan esfuerzos (stress). Por lo tanto, es claro que los esfuerzos sobre un punto dependen del punto, de las fuerzas externas y de la dirección del efecto. Para irnos aclarando consideremos un elemento de área infinitesimal ds sobre la cual act´ ua un conjunto de fuerzas externas, las cuales las podemos descomponer como normales y tangenciales a la l´ınea sobre la cual est´ an aplicadas (ver figura 3.1 cuadrante II). Es costumbre denotar los esfuerzos normales y tangenciales por σ y τ respectivamente.  ↑ Y2 = σ2 dx −→ X2 = τ2 dx     dx  Y3 = τ3 dy ↑ ↑ Y1 = τ1 dy dy ds dy dA = dxdy ⇒ X = σ dy → → X1 = σ1 dy  3 3  dx    ↑ Y4 = σ4 dx → X4 = τ4 dx

con lo cual

σ2 = −σ4 ; τ2 = −τ4

re lim

Consideramos la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa dm y obtendremos   τ1 dy + σ2 dx + τ3 dy + σ4 dx = 0 = (σ2 + σ4 ) dx + (τ1 + τ3 ) dy ; X Fext = dm a = 0 ⇒ i  σ1 dy + τ2 dx + σ3 dy + τ4 dx = 0 = (τ2 + τ4 ) dx + (σ1 + σ3 ) dy τ1 = −τ3

σ1 = −σ3

rP

como se est´ a en equilibrio, también la sumatoria de torques se tendrá que anular. Esto es  dy (τ1 dy) dx 2 − (τ2 dx) 2 = 0  ⇒ τ1 = τ2 = τ3 = τ4  dy (τ3 dy) dx − (τ dx) = 0 4 2 2

ad o

entonces, nos damos cuenta que existen s´ olo tres cantidades independientes: dos esfuerzos normales σ1 y σ2 ; y un esfuerzo tangencial τ1 . Adicionalmente notamos que los esfuerzos tienen que ver con la direcci´ on de la fuerza y la superficie sobre la cual va aplicada. Con ello podemos dise˜ nar la siguiente notación para los esfuerzos: σij . El primer ´ındice indica la dirección de la fuerza y el segundo dirección de la normal de la superficie donde est´ a aplicada. As´ı, tal y como muestra la figura (ver figura 3.1 cuadrante II) σ1 ≡ σxx ;

−σ4 ≡ σyy ;

τ2 ≡ σxy ≡ σyx

Bo rr

El cambio de signo se debe a lo inc´ omodo de la notación: σ4 ≡ σy−y ya que la normal de lado 4 apunta en la direcci´ on −y. Es importante también se˜ nalar que los esfuerzos en cualquier punto contenido en el diferencial de ´ area dA = dxdy deben ser considerado constantes, o lo que es lo mismo, que podemos hacer tender a cero el ´ area del diferencial y con ello asociar los esfuerzos σij a un punto P contenido en dA sobre la cual hemos calculado los esfuerzos. En esta misma l´ınea de razonamiento, nos podemos preguntar cual es la expresión de los esfuerzos cuando se miden respecto a una superficie genérica, definida por un vector normal n (ver figura 3.1 cuadrante III). Es decir, queremos conocer los esfuerzos medidos en el punto P y en la dirección n, es decir, σnn .

2 En el caso tridimensional, las fuerzas que generan los esfuerzos ser´ an definidas como fuerzas por unidad de ´ area. Ese caso lo veremos en la pr´ oxima secci´ on.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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141

in ar

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

re lim

Figura 3.2: Tensor de Esfuerzos en 3 dimensiones

Tendremos que

x → σxx dy + σxy dx = σnn ds cos(φ) + σsn ds sen(φ) ;

y → σyy dx + σyx dy = σnn ds sen(φ) − σsn ds cos(φ)

Ahora bien, dado que dy = ds cos(φ) y dx = ds sen(φ), entonces podemos expresar

σnn = σxx cos2 (φ) + σxy sen(φ) cos(φ) + σyx sen(φ) cos(φ) + σyy sen2 (φ)

rP

σsn = σxx sen(φ) cos(φ) + σxy sen2 (φ) − σyx cos2 (φ) − σyy sen(φ) cos(φ) y si ahora nos damos cuenta que si construimos una matriz x cos(φ) sen(φ) An Axs = Aij = sen(φ) − cos(φ) Ayn Ays

ad o

entonces podemos expresar

σnn = Axn Axn σxx + Axn Ayn σxy + Ayn Axn σyx + Ayn Ayn σyy

⇒

σnn = Ain Ajn σij

σsn = Axs Axn σxx + Axs Ayn σxy + Ays Axn σyx + Ays Ayn σyy

⇒

σsn = Ais Ajn σij

Bo rr

es decir,

σkl = Aik Ajl σij ,

con

con i, j = n, s con i, j = n, s

i, j, k, l = n, s .

Como ya hemos mencionado, y veremos más adelante con más detalle, cualquier objeto que transforme como σkl = Aik Ajl σij lo llamaremos tensor de segundo orden. El caso 3D

Podemos proceder como en el caso anterior estableciendo las condiciones de equilibrio X X Fext =0 y τ ext = 0, i i

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142

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

con ello construimos un volumen (c´ ubico) diferencial y construimos los esfuerzos normales y tangenciales, los cuales ser´ an σxx dydz;

σyy dxdz;

σzz dxdy;

σxz dxdy;

σyz dxdy;

σxy dxdz;

Siguiendo el mismo proceso que involucra imponer el equilibrio, es fácil demostrar que al igual que el caso anterior, el tensor de esfuerzos σij cumple con: σxz = σzx ;

σyz = σzy ;

σxy = σyx .

re lim

in ar

Tendremos 6 componentes (tres normales y tres tangenciales) independientes. Es decir, si bien el tensor de esfuerzos σij viene representado por una matriz 3 × 3 y por lo tanto tiene 9 elementos, sólo 6 son independientes. Vayamos ahora el caso general para un tensor de esfuerzos en un medio elástico. Para ello construimos un tetraedro regular tal y como muestra la figura 3.2, y sobre su cara genérica asociada a un vector normal n una fuerza F   Fx = σxn dSn           i Fy = σyn dSn F = F ii = Fx i + Fy j + Fz k ⇒ ⇒ F i = σji nj dS ⇒ F = σ · dS           Fz = σzn dSn de esta manera se especifica como la fuerza act´ ua sobre un determinado elemento de superficie. Es claro que la condici´ on de equilibrio se traduce en X 1 1 1 Fxi = 0 ⇒ σxn dSn − σxx dy dz − σxy dx dz − σxz dx dy = 0 2 2 2 Fyi = 0

⇒

1 1 1 σyn dSn − σyx dy dz − σyy dx dz − σyz dx dy = 0 2 2 2

rP

X

1 1 1 σzn dSn − σzx dy dz − σzy dx dz − σzz dx dy = 0 2 2 2 Si consideramos la proyecci´ on de dSn sobre cada uno de los planos del sistema cartesiano tendremos que  dS n cos (i; n) = 12 dy dz = dS n Axn      1 n n y dS cos (j; n) = 2 dx dz = dS An ⇒ σxn = σxx Axn + σxy Ayn + σxz Azn      dS n cos (k; n) = 12 dx dy = dS n Azn y equivalentemente

Fzi = 0

⇒

ad o

X

Bo rr

σyn = σyx Axn + σyy Ayn + σyz Azn ;

y σzn = σzx Axn + σzy Ayn + σzz Azn ,

las cuales se conocen como las relaciones de Cauchy, y representan los esfuerzos sobre la superficie con normal n. ˆm Ahora bien, dado que F = σ · dS es una relación vectorial podemos proyectar en la dirección u ˆm · F = u ˆ m · (σ · dS) ⇒ F m = σnm dS n = σim Ain dS n = σim Ain dS n u σmn dS n = σmi Ain dS n

⇒

σmn dS n = σki Akm Ain dS n

con i, j = x, y, z

Una vez m´ as vemos que transforma como un tensor. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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143

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

2. El Tensor de inercia Consideremos el caso de un sistema de n part´ıculas. La cantidad de movimiento angular para este sistema vendr´ a dada por X L= m(i) r(i) × v(i) i

donde hemos indicado que la i−ésima part´ıcula que está en la posición r(i) tiene una velocidad v(i) . Si las distancias entre las part´ıculas, y entre las part´ıculas con el origen de coordenadas, es constante, podremos expresar la velocidad de cada una de ellas como v(i) = ω × r(i) ,

in ar

(¿Por qué?)

Donde ω es la velocidad angular instantánea del sistema. Entonces tendremos que X X L= m(i) r(i) × ω × r(i) = m(i) ω r(i) · r(i) − r(i) ω · r(i) , i

i

i k l Si vemos que ω(i) = δlk ω(i) entonces

k

L =

X

h

m(i) δlk ω l

m r(i) r(i)m

−

k r(i)

m

re lim

y para cada part´ıcula se cumple que las componentes de la cantidad de movimiento angular serán h X i m k m(i) ω k r(i) r(i)m − r(i) Lk = ω m r(i)m .

ω r(i)m

i

"

=

X

l ω(i)

m(i)

δlk

m r(i) r(i)m

−

k r(i)

r(i)l

#

i

i

es decir l Lk = ω(i) Ilk ,

rP

|

donde

Ilk =

X

{z Ilk

}

m k m(i) δlk r(i) r(i)m − r(i) r(i)l .

i

Ilk

Bo rr

ad o

El objeto se conoce como el tensor de inercia y corresponde a 9 cantidades (a pesar que sólo 6 son independientes porque es un tensor simétrico). En coordenadas cartesianas se verá de la siguiente forma:  P  P P 2 2   m(i) y(i) + z(i) − i m(i) x(i) y(i) − i m(i) x(i) z(i) i Ixx Ixy Ixz           P  P P  k 2 2   Iyy Iyz  =  − i m(i) x(i) y(i) Il =  Iyx − i m(i) y(i) z(i)  i m(i) x(i) + z(i)         P P P Izx Izy Izz 2 2 − i m(i) x(i) z(i) − i m(i) y(i) z(i) i m(i) z(i) + y(i) Por ahora, nos contentaremos en suponer que esta construcción es un tensor y lo demostraremos m´ as adelante. Ejemplo: La ilustraci´ on m´ as sencilla de que la masa en rotación se comporta como un tensor y no como un escalar lo vemos en la rotaci´ on de dos masas iguales: m1 y m2 (con lo cual m1 = m2 = m) unidas por una varilla sin masa de longitud l. Si el sistema (masas + varillas) se encuentra girando alrededor su centro

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144

´ 3.2. PARENTESIS TENSORIAL

de masa y ambas masas se encuentran sobre el plano xy, vale decir que la barra sin masa forma un ángulo de α = π2 con el eje z, entoces tendremos que r=

l l cos(θ) i + sen(θ)j 2 2

⇒

v=

dr l dθ l dθ =− sen(θ) i + cos(θ) j dt 2 dt 2 dt

con lo cual 2 l dθ L = m1 (r1 × v1 ) + m2 (r2 × v2 ) = m (r1 × v1 ) + m ((−r1 ) × (−v1 )) = 2m (r1 × v1 ) = k 2 dt ya que

3.2.9.

r2 = −r1

y

v2 = −v1 .

Ejercicios

in ar

m1 = m2 = m;

1. Un problema de gran interés consiste en lo siguiente. Consideremos un tensor B con componentes Bij , un tensor A con componentes Ai y el producto

re lim

Bij Aj = Ci

Esta u ´ltima expresi´ on se puede interpretar como la acción de B sobre A que consiste en producir un nuevo tensor C que tendr´ a una magnitud y una dirección diferente a A. Podremos estar interesados en encontrar todos los vectores que NO son rotados por B, es decir, que estar´ıamos interesados en resolver la ecuaci´ on: Bij Aj = λAi , donde λ es un escalar

rP

Si estos vectores existen se denominan vectores caracter´ısticos o “autovectores” de B y sus direcciones: direcciones principales o caracter´ısticos. Más a´ un, los ejes determinados por las direcciones principales se denominan ejes principales de B. Los valores de las componentes Bij en el sistema de coordenadas determinado por los ejes principales se denominan valores caracter´ısticos o “autovalores” de B.

ad o

Ahora, consideremos un sistema conformado por n part´ıculas de masas iguales: m1 , m2 , . . . mn = m, distribuidas en el plano x − y, y sea Iij el tensor de inercia con respecto a un sistema rectangular de coordenadas. Por ser un caso en 2D, el tensor de inercia tendrá solamente cuatro componentes. a) Encuentre: I11 = Ixx , I22 = Iyy y I12 = Ixy = I21 = Iyx

Bo rr

b) Si un vector A coincide con el eje principal de Iij entonces debe satisfacer la ecuación (I11 − λ)A1 + I12 A2 = 0 j j j Ii Aj = λAi ⇒ (Ii − λδi )Aj = 0 ⇒ I12 A1 + (I22 − λ)A2 = 0 Encuentre la soluci´ on (no trivial) para λ, es decir, resuelva: λ2 − λ(I11 + I22 ) + I11 I22 − (I12 )2 = 0.

c) ¿C´ omo se interpreta el hecho de que I12 = 0?

d ) Si I12 6= 0 y λ1 6= λ2 , entonces, para cada valor de λ se puede encontrar un vector (autovector) A(λ1 ) y A(λ2 ) resolviendo el sistema de dos ecuaciones. Demuestre que las direcciones de estos vectores tienen pendientes, respecto al sistema de coordenada, dadas por

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tan(θ1 ) =

λ1 − I11 , I12

tan(θ2 ) =

λ2 − I11 I12

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145

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

e) Demuestre que tan(2θ1 ) = tan(2θ2 ) =

2I12 π , donde θ2 = θ1 + I11 − I22 2

es decir: A(λ1 ) ⊥ A(λ2 ) . f ) ¿C´ uales son las componentes del tensor de inercia en el sistema de coordenadas determinado por los ejes principales? 2. Demuestre que si Sji representa un tensor simétrico y Aij uno antisimétrico, entonces, Sji Aji = 0

 1 3/2 5/2 3 , 4 9/2



 1/3 T i =  2/3  , 1



gji = g ij

Encuentre: a) La parte simétrica Sji y antisimétrica Aij de Rji

1 = gij =  0 0

0 1 0

 0 0  1

in ar

3. Dados los tensores  1/2 Rji =  2 7/2

re lim

b) Rkj = gik Rji , Rki = g jk Rji , Tj = gij T i ¿Qué se concluye de estos cálculos? c) Rji Ti , Rji T j , Rji Ti T j d ) Rji Sij , Rji Aji , Aji T i , Aji T i Tj

e) Rji − 2δji Rll , (Rji − 2δji Rll )Ti , (Rji − 2δji Rll )Ti T j .

3.3.1.

Repensando los vectores nuevamente

Vectores, covectores y leyes de transformaci´ on

rP

3.3.

ad o

Hemos visto que un determinado vector |ai ∈ V puede expresarse en una base ortonormal {|ej i} como: aj |ej i donde las aj son las componentes del vector contravariantes en la base que se ha indicado. En general, como es muy largo decir “componentes del vector contravariante” uno se refiere (y nos referiremos de ahora en adelante) al conjunto aj como un vector contravariante obviando la precisión de componente, pero realmente las aj son las componentes del vector. Adicionalmente, en esta etapa pensaremos a las bases como distintos observadores o sistemas de referencias. Con ello tendremos (algo que ya sab´ıamos) que un vector se puede expresar en distintas bases y tendr´ a distintas componentes referidas a esa base

Bo rr

|ai = aj |ej i = a ˜j |˜ej i .

As´ı una misma cantidad f´ısica vectorial se verá distinta (tendrá distintas componentes) desde diferentes sistemas de coordenadas. Las distintas “visiones” están conectadas mediante un transformación de sistema de referencia como veremos m´ as adelante. Igualmente hemos dicho que una diferencial hb| ∈ V∗ es susceptible de expresarse en una base i

iforma ∗ e del espacio dual V como bi e y, como el espacio está equipado con un producto interno, entoces:

ha |bi = hb |ai = bi ei · aj |ej i = bi aj δji = ai bi Con lo cual avanzamos otra vez en la interpretación de cantidades f´ısicas: una cantidad f´ısica escalar se ver´ a igual (ser´ a invariante) desde distintos sistemas de referencia.

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146

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

Adem´ as sabemos que unas y otras componentes se relacionan como

i

  i ˜j e |ai = aj ei |ej i = aj δji = a ˜j ei |˜ej i   a = Aij a ⇒

i

  i ˜e |ai = a ˜j ˜ei |˜ej i = a ˜j δji = aj ˜ei |ej i a ˜ = A˜ij aj donde claramente

i e |˜ej i = Aij ;

i ˜e |ej i = A˜ij

y

Aik A˜kj = δji

⇐⇒

A˜ij = Aij

−1

in ar

Diremos entonces que aquellos objetos cuyas componentes transforman como ai = Aij a ˜j o equivalentemente an vectores, o en un lenguaje un poco más antiguo, vectores contravariantes3 . a ˜i = A˜ij aj ser´ Tradicionalmente, e inspirados en la ley de transformación, la representación matricial de las componentes

contravariantes de un vector, ei |ai = aj , para una base determinada {|ej i} se estructuran en una columna  con i = 1, 2, 3, · · · , n

⇐⇒

   

re lim

|ai ⇒ ai = ei |ai

a1 a2 .. .

an

    

rP

De la misma manera, en el espacio dual, V∗ , las formas

diferenciales se podrán expresar en término de una base de ese espacio vectorial como hb| = bi ei = ˜bi ˜ei . Las {bi } serán las componentes de las formas diferenciales o las componentes covariantes de un vector |bi, o dicho rápidamente un vector covariante o covector. Al igual que en el caso de las componentes contravariantes las componentes covariantes transforman de un sistema de referencia a otro mediante la siguiente ley de transformación:

  hb |ej i = bi ei |ej i = bi δji = ˜bi ˜ei |ej i   bj = ˜bi Aij ⇒

  ˜ hb |˜ej i = ˜bi ˜ei |˜ej i = ˜bi δji = bi ei |˜ej i bj = bi A˜ij

3.3.2.

ad o

Otra vez, objetos cuyas componentes transformen como bj = ˜bi Aij los denominaremos formas diferenciales o vectores covariantes o covectores y ser´ an representados matricialmente como un arreglo tipo fila b1 b2 · · · bn hb| ⇒ bi = hb |ei i con i = 1, 2, 3, · · · , n ⇐⇒

Transformaci´ on de los vectores base

Bo rr

Consideremos dos bases {|ei i} y {|˜ei i} con un origen com´ un en el mismo punto. Cualquier vector |ai de la primera base se puede expandir respecto a la segunda base (o inversamente). Las bases se relacionan de la manera siguiente ˜ j |ej i |˜ei i = λ i

˜ j con (i, j = 1, 2, 3, ...) se les denominarán los coeficientes de la transformación directa. De a las cantidades λ i igual forma, es posible representar la base {|ei i} en términos de la base {|˜ei i}

3 Algunos

δji = Aik0 Akj

|ei i = λji |˜ej i 0

0

0

autores prefieren utilizar la siguiente notaci´ on para las transformaciones: ai = Aij 0 aj y ai = Aij aj , por lo que

0

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147

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

donde a las cantidades λji se les denomina: los coeficientes de la transformación inversa. Existe una relaci´ on simple entre el conjunto de coeficientes: ˜ 1 |e1 i + λ ˜ 2 |e2 i + λ ˜ 3 |e3 i + · · · |˜ei i = λ i i i ˜ 1 λ1 |˜e1 i + λ2 |˜e2 i + λ3 |˜e3 i + · · · + λ ˜ 2 λ1 |˜e1 i + λ2 |˜e2 i + · · · + λ ˜ 3 λ1 |˜e1 i + λ2 |˜e2 i + · · · = λ i 1 1 1 i 2 2 i 3 3 i h i h i h ˜ 1 λ1 + λ ˜ 2 λ1 + λ ˜ 3 λ1 + · · · |˜e1 i + λ ˜ 1 λ2 + λ ˜ 2 λ2 + λ ˜ 3 λ2 + · · · |˜e2 i + λ ˜ 1 λ3 + λ ˜ 2 λ3 + · · · |˜e3 i + · · · = λ i 1 i 2 i 3 i 1 i 2 i 3 i 1 i 2 =

˜ j λ1 |˜e1 i + λ ˜ j λ2 |˜e2 i + λ ˜ j λ3 |˜e3 i + · · · = λ ˜ j λk |˜ek i = δ k |˜ek i λ i i j i j i j i j

Donde:

in ar

˜ j λk = δ k λ i i j

Si repetimos los c´ alculos partiendo de la transformación inversa, entonces resultar´ıa que ˜j = δk λkj λ i i

⇒

|ei i = δik |ek i .

Consideremos ahora el problema de expandir un vector |ai con respecto a una base no ortogonal {|wi i}:

re lim

|ai = ai |wi i

Por simplicidad tomemos el caso R3 , de manera que tenemos un vector A = ai ei (i = 1, 2, 3). Al proyectar el vector A sobre los ejes de alg´ un sistema de coordenadas, es posible resolver el sistema de tres ecuaciones que resulta para las inc´ ognitas ai . Este método se conoce como el método de las bases rec´ıprocas. Las bases ei y ei se llaman rec´ıprocas si satisfacen la condición ei · ej = δij .

rP

Esto lo significa es que cada vector de una de las bases es perpendicular a los otros dos de la otra base. Por ejemplo, el vector e1 ser´ a perpendicular a e2 y e3 : e1 = α(e2 × e3 ) ,

como e1 · e1 = 1, entonces:

⇒

α=

1 e1 · (e2 × e3 )

ei =

ej × ek , ei · (ej × ek )

ad o

αe1 · (e2 × e3 ) = 1 Por lo tanto, es f´ acil ver que

⇒

e1 =

e2 × e3 . e1 · (e2 × e3 )

Bo rr

donde i, j, k son permutaciones c´ıclicas de 1, 2, 3. Notemos también que V = ei · (ej × ek ) es el volumen del paralelep´ıpedo que soportan los vectores {ei } y que además se puede obtener una expresión análoga para los {ei } en término de los {ei }. La base rec´ıproca de la base ortonormal {ii } es la misma base ortonormal: ei = ii y si la base original o directa es dextr´ ogira la rec´ıproca también lo será. Al ser {ei } y {ei } rec´ıprocas, entonces A = ai ei ⇒ A · ei = ai ei · ei = ai

esto significa que

A = (A · ei )ei , Hern´ andez & N´ un ˜ez

i = 1, 2, 3 .

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148

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

Tal vez, es bueno recordar que un mismo vector se puede representar en ambas bases: A = ai ei = ai ei a través de sus componentes contravariantes ai o covariantes ai . Por otro lado, si A se expresa en un sistema de coordenadas definido por una base ei y queremos saber ˜i , entonces: como se escribe en otra base e ˜ j ai ˜j = ai ei · e ˜j ⇒ a A = ai ei ⇒ A · e ˜j = λ i ˜ i ai ˜j = ai ei · e ˜j ⇒ a A = ai ei ⇒ A · e ˜j = λ j

in ar

de la manera equivalente: ˜i . ˜i y aj = λij a El lector puede demostrar que: aj = λji a Para finalizar, es f´ acil obtener las relaciones entre componentes covariantes y contravariantes, veamos: A · ei = aj (ei · ej ) ∧ A · ei = aj (ei · ej )

re lim

Si definimos: ei · ej = gij , ei · ej = g ij y ei · ej = gji = δji , entonces: ai = gij aj ∧ ai = g ij aj .

Y si las bases son ortogonales, tanto las ei como las ei , entonces: gij = g ji = 0 (i 6= j), lo que resulta en: a1 = g11 a1 , a1 = g 11 a1 , a2 = g22 a2 , a2 = g 22 a2 , a3 = g33 a3 , a3 = g 33 a3 .

3.3.3.

Cartesianas y polares, otra vez

rP

El ejemplo m´ as simple, y por ello, cl´ asico y emblemático de lo anterior lo constituye las expresiones de un mismo vector en dos sistemas de coordenadas en el plano: Cartesianas {|ii , |ji} y polares {|ur i , |uθ i}. Esto es, para un vector |ai: |ai = ax |ii + ax |ji = a1 |e1 i + a2 |e2 i

|ai = ar |ur i + aθ |uθ i = a ˜1 |˜e1 i + a ˜2 |˜e2 i .

y

ad o

Al expresar una base en términos de la otra obtenemos |ur i = cos(θ) |ii + sen(θ) |ji con lo cual

Bo rr

i ˜ i ⇐⇒ λ ˜i = ˜e |ej i = λ j j

y

|uθ i = − sen(θ) |ii + cos(θ) |ji ,

hur |ii huθ |ii

hur |ji huθ |ji

hi |ur i hj |ur i

hi |uθ i hj |uθ i

cos(θ) sen(θ) − sen(θ) cos(θ)

cos(θ) − sen(θ) sen(θ) cos(θ)

≡

Para la transformaci´ on inversa se tiene

ei |˜ej i = λij ⇐⇒ λij =

≡

y por lo tanto:

|ii = cos(θ) |ur i − sen(θ) |uθ i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

y

|ji = sen(θ) |ur i + cos(θ) |uθ i .

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149

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

Cumpliendo adem´ as con cos(θ) − sen(θ) cos(θ) sen(θ) cos(θ) − sen(θ)

sen(θ) cos(θ)

=

1 0

0 1

˜k = δi . ⇐⇒ λik λ j j

Por otro lado, si |ai = ar |ur i + aθ |uθ i = a ˜1 |˜ e1 i + a ˜2 |˜e2 i = ax |ii + ax |ji = a1 |e1 i + a2 |e2 i tendremos que ar aθ

=

cos(θ) − sen(θ)

sen(θ) cos(θ)

ax ay

=

con lo cual ar = ax cos(θ) + ay sen(θ)

y

ax ay

=

cos(θ) − sen(θ) sen(θ) cos(θ)

y ax = ar cos(θ) − aθ sen(θ) Practicando con Maxima:

ar aθ

=

ar cos(θ) − aθ sen(θ) ar sen(θ) + aθ cos(θ)

re lim

aθ = −ax sen(θ) + ay cos(θ) .

Del mismo modo ai = λij a ˜j ⇐⇒

ax cos(θ) + ay sen(θ) −ax sen(θ) + ay cos(θ)

in ar

˜ i aj ⇐⇒ a ˜i = λ j

y

ay = ar sen(θ) + aθ cos(θ) .

rP

En este ejercicio veremos la manera de construir la matriz de transformación entre bases y el cálculo de las bases rec´ıprocas. 1. Si tenemos una transformaci´ on entre bases |e1 i = |ji + |ki ,

|e2 i = |ii + |ki ,

|e3 i = |ii + |ji .

ad o

Para calcular la matriz de transformación

˜ j |ij i , |ei i = λ i

podemos obrar de la manera siguiente. Primero introducimos los vectores como una matriz y luego calculamos la transpuesta:

Bo rr

(%i1) v1:[0,1,1]$v2:[1,0,1]$v3:[1,1,0]$ (%i2) lambdaij:transpose(matrix(v1,v2,v3));

 0 ( %o2) 1 1

1 0 1

 1 1 0

La matriz de transformaci´ on inversa |ii i = λji |ej i ,

es simplemente la matriz inversa Hern´ andez & N´ un ˜ez

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150

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

(%i3) lambda_ji:invert(%);  1 −2 ( %o3)  21

1 2 − 12 1 2

1 2

1 2 1  2 − 12



˜k = δj Es claro que λjk λ i i (%i4) lambda_ij.lambda_ji; 0 1 0

 0 0 1

in ar

 1 ( %o4) 0 0

(%i5) kill(all)$

(%i1) load(vect)$ Dado el siguiente conjunto de vectores

re lim

2. Con el uso del paquete vect podemos hacer algunos cálculos sencillos con vectores, como por ejemplo, el c´ alculo de las bases rec´ıprocas.

b1 = e1 = i + j + 2k , b2 = e2 = −i − j − k , b3 = e3 = 2i − 2j + k

ei =

(%i2) b1:[1,1,2];

ad o

( %o2) [1, 1, 2]

ej × ek , ei · (ej × ek )

rP

Calcularemos la base rec´ıproca a través de

(%i3) b2:[-1,-1,-1] ( %o3) [−1, −1, −1]

Bo rr

(%i4) b3:[2,-2,1]; ( %o4) [2, −2, 1]

Podemos comprobar si la base original bi = es ortogonal calculando sus productos escalares: (%i5) b1.b2; b1.b3; b2.b3;

( %o5) − 4

( %o6) 2 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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151

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

( %o7) − 1 Por lo tanto, no son ortogonales. Ahora, los vectores rec´ıprocos ei = se calculan de la manera siguiente: (Para el producto vectorial A × B se usa el comando: express(A∼B) ) (%i8) e1:express(b2~b3)/(b3.(express(b1~b2))); 3 1 − ,− ,1 4 4

(%i9) e2:express(b3~b1)/(b3.(express(b1~b2))); 5 3 ( %o9) − , − , 1 4 4 (%i10)e3:express(b1~b2)/(b3.(express(b1~b2))); 1 1 ,− ,0 4 4

re lim

( %o10)

in ar

( %o8)

La base rec´ıproca es entonces

3 1 5 3 1 1 e1 = − i − j + k , e2 = − i − j + k , e3 = i − j 4 4 4 4 4 4

rP

Que tampoco es ortogonal: (%i11)e1.e2; e1.e3; e2.e3; ( %o11)

17 8

1 8 1 ( %o13) − 8

ad o

( %o12) −

El tensor métrico para la base original gij = ei · ej lo podemos construir de la manera siguiente:

Bo rr

(%i14)gb:matrix([b1.b1,b1.b2,b1.b3],[b2.b1,b2.b2,b2.b3],[b3.b1,b3.b2,b3.b3]); 

6 ( %o14) −4 2

−4 3 −1

 2 −1 9

Para la base rec´ıproca g ij = ei · ej (%i15)ge:matrix([e1.e1,e1.e2,e1.e3],[e2.e1,e2.e2,e2.e3],[e3.e1,e3.e2,e3.e3]);

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152

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

17 8 25 8 − 18

13 8  17 8 − 18

 ( %o15)

 − 18 − 18  1 8

De manera que: ei · ej = gji = δji : (%i16)gb.ge;

3.3.4.

0 1 0

 0 0 1

in ar

 1 ( %o16) 0 0

Repensando las componentes

En general, podemos pensar que las componentes de los vectores pueden ser funciones de las otras. Consideremos el ejemplo anterior con esta visión para estudiarlo con más detalle en dos y tres dimensiones.

re lim

Caso bidimensional

Tendremos que un punto en el plano viene representado en coordenadas cartesianas por dos n´ umeros (x, y) y en coordenadas polares por otros dos n´ umeros (r, θ). Siguiendo el ejemplo anterior un punto P , en el plano lo describimos como |P i = rP |ur i = xP |ii + yP |ji .

rP

Veamos como est´ an relacionadas estas dos descripciones, para este caso en el cual las ecuaciones de transformaci´ on son xP = xP (r, θ) = x1 = x1 x ˜1 , x ˜2 rP = rP (x, y) = x ˜1 = x ˜1 x1 , x2 ⇐⇒ yP = yP (r, θ) = x2 = x2 x ˜1 , x ˜2 θ = θP (x, y) = x ˜2 = x ˜2 x1 , x2 y expl´ıcitamente

ad o

xP = rP cos(θ) ⇒ x1 = x ˜1 cos(˜ x2 ) 2 1 yP = rP sen(θ) ⇒ x = x ˜ sen(˜ x2 )

  r = px2 + y 2 P P P y  θ = arctan yP xP

q 2 2 (x1 ) + (x2 ) 2 ⇒ x ˜2 = arctan xx1 ⇒ x ˜1 =

Bo rr

Es claro que ambas coordenadas est´ an relacionadas y que se puede invertir la relación 1 x ˜1 = x ˜1 x1 , x2 x = x1 x ˜1 , x ˜2 ⇐⇒ , x ˜2 = x ˜2 x1 , x2 x2 = x2 x ˜1 , x ˜2 Si se piden cosas razonables: • que las funciones xi = xi (˜ xm ) y x ˜j = x ˜j (xm ) sean al menos C 2 (función y derivada continua) • que el determinante de la matriz Jacobiana sea finito, ! ∂xi x ˜k det 6= 0. ∂x ˜j

Hern´ andez & N´ un ˜ez

Universidad de los Andes / Universidad Industrial de Santander

153

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

M´ as a´ un, si xi = xi x ˜ j xk

∂xi ∂xi ∂ x ˜j = = δki k j ∂x ∂x ˜ ∂xk

⇒

dxi =

⇒

∂xi j d˜ x , ∂x ˜j

con lo cual intuimos dos cosas: 1. que las componentes de un vector, |P i, deben transformar bajo un cambio de coordenadas como ∂xi x ˜k j i p˜ . p = ∂x ˜j ∂xi ∂x ˜k

y

∂x ˜i ∂xk

son una la inversa de la otra.

in ar

2. Las matrices jacobianas

Veamos si es cierto para el caso de vectores en el plano. Para ello calculamos la matriz jacobiana: i

1

∂x x ˜ ,x ˜ ∂x ˜j

2



⇒ 

∂x1 (x ˜1 ,˜ x2 ) ∂x ˜1 ∂x2 (x ˜1 ,˜ x2 ) ∂x ˜1

∂x1 (x ˜1 ,˜ x2 ) ∂x ˜2 ∂x2 (x ˜1 ,˜ x2 ) ∂x ˜2



=

cos(˜ x2 ) −˜ x1 sen(˜ x2 ) 2 1 sen(˜ x ) x ˜ cos(˜ x2 )

re lim

y seguidamente, identificando |P i = xP |ii + yP |ji = rP |ur i 1 1 ˜1 , x ∂xi x ˜2 j p cos(˜ x2 ) −˜ x1 sen(˜ x2 ) p˜ i p ˜ ⇒ = p = sen(˜ x2 ) x ˜1 cos(˜ x2 ) 0 p2 ∂x ˜j

tendremos

Es decir

p˜1 0



√

=

x1

(x1 )2 +(x2 )2

−x2 (x1 )2 +(x2 )2

√

q 2 2 x ˜ = (x1 ) + (x2 ) 1



x2

(x1 )2 +(x2 )2

x1 (x1 )2 +(x2 )2

ad o

rP

Igualmente, si calculamos la inversa de la matriz jacobiana !  1 !−1 2 2 i 1 2 √ x2 cos(˜ x ) sen(˜ x ) ∂x x ˜ ,x ˜ 1 ) +(x2 )2 (x = = − sen(˜ x2 ) cos(˜ x2 ) −x2 ∂x ˜j x ˜1 x ˜1 1 2 2 2

⇒

(x ) +(x )



r=

p

p1 p2

 

∂x ˜i x1 , x2 j p . p˜ = ∂xj

x2 + y 2

x2 (x1 )2 +(x2 )2 x1 (x1 )2 +(x2 )2

√

i

⇒

y

0 = 0.

Caso tridimensional

Bo rr

Consideremos nuevamente dos sistemas de coordenadas: uno cartesiano x1 = x, x2 = y, x3 = z y otro esférico x ˜1 = r, x ˜2 = θ, x ˜3 = φ .

Tal y como hemos supuesto anteriormente el punto P vendrá descrito por |P i = rP |ur i = xP |ii + yP |ji + zP |ki

de nuevo

 x = x (r, θ, φ) = x1 = x1 x ˜1 , x ˜2 , x ˜ 3  ˜1 , x ˜2 , x ˜3 y = y (r, θ, φ) = x2 = x2 x  3 3 1 2 z = z (r, θ, φ) = x = x x ˜ ,x ˜ ,x ˜3

Hern´ andez & N´ un ˜ez

⇐⇒

 ˜1 = x ˜1 x1 , x2 , x3  r = r (x, y, z) = x θ = θ (x, y, z) = x ˜2 = x ˜2 x1 , x2 , x3  3 φ = φ (x, y, z) = x ˜ =x ˜3 x1 , x2 , x3

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154

3.3. REPENSANDO LOS VECTORES NUEVAMENTE

Las ecuaciones de transformaci´ on serán   xP = rP sen(θ) cos(φ) ⇒ yP = rP sen(θ)sen(φ) ⇒  zP = rP cos(θ) ⇒

x1 = x ˜1 sen(˜ x2 ) cos(˜ x3 ) 2 1 2 x =x ˜ sen(˜ x )sen(˜ x3 ) 3 1 2 x =x ˜ cos(˜ x )

y

in ar

 q p 2 2 2  1 2 + y2 + z2  x ⇒ x ˜ = (x1 ) + (x2 ) + (x3 ) r = P  P P P  2  φ = arctan xyPP ⇒ x ˜2 = arctan xx1 √ √ 2 2   xP +yP  (x1 )2 +(x2 )2 3  ⇒ x ˜ = arctan  θ = arctan zP x3 Con lo cual la matriz de las derivadas para esta transformación en particular será:  sen (θ) cos (φ) −r sen (θ) sen (φ) r cos (θ) cos (φ)  ∂xi x ˜1 , x ˜2 , x ˜3 =  sen (θ) sen (φ) r sen (θ) cos (φ) r cos (θ) sen (φ)  ∂x ˜j cos (θ) 0 −r sen (θ)

i

1

2

˜ ,x ∂x x ˜ ,x ˜ ∂x ˜j

3

sen x ˜2 cos x ˜3 ˜2 sen x ˜3 =  sen x cos x ˜2 

y su inversa 

re lim

es decir: −˜ x1 sen x ˜2 sen x ˜3 x ˜1 sen x ˜2 cos x ˜3 0

sen (θ) cos (φ)

sen (θ) sen (φ)

cos (θ)



− rsen(φ) sen(θ)

cos(φ) r sen(θ)

0

    

cos(θ) sen(φ) r

− sen(θ) r

rP

  ∂x ˜i x1 , x2 , x3 =  ∂xj 

cos(θ) cos(φ) r

o lo que es lo mismo

√



x x2 +y 2 +z 2

ad o

   ∂x ˜i x1 , x2 , x3  =  j ∂x  

Bo rr

√

y x2 +y 2 +z 2

√

z x2 +y 2 +z 2

−y x2 +y 2

x x2 +y 2

0

xz √ (x2 +y 2 +z 2 ) x2 +y 2

yz √ (x2 +y 2 +z 2 ) x2 +y 2

− x2 +y 2 (x2 +y 2 +z 2 )

Dejaremos al lector comprobar que, efectivamente, ∂xi x ˜1 , x ˜2 , x ˜3 j i p = p˜ ⇐⇒ ∂x ˜j

3.3.5.

 x ˜1 cos x ˜2 cos x ˜3 x ˜1 cos x ˜2 sen x ˜3  −˜ x1 sen x ˜2

√

       

∂x ˜i x1 , x2 , x3 j p˜ = p . ∂xj i

Ejercicios

1. En el caso 3D tenemos que si {ei } define un sistema de coordenadas (dextrógiro) no necesariamente ortogonal, entonces, demuestre que ei =

Hern´ andez & N´ un ˜ez

ej × ek , ei · (ej × ek )

i, j, k = 1, 2, 3 y sus permutaciones c´ıclicas

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155

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

2. Demuestre que si los volumenes V = e1 · (e2 × e3 ) y V˜ = e1 · (e2 × e3 ), entonces V V˜ = 1 3. ¿Qué vector satisface A · ei ? Demuestre que A es u ńico. 4. Demuestre que gij = ei · ej 5. Si la base {ei } es ortogonal, demuestre que b) g ii = 1/gii (no hay suma). c) |ei | = 1/|ei |.

in ar

a) gij es diagonal.

6. Encuentre el producto vectorial de dos vectores A y B que están representados en un sistema de coordenadas oblicuo. 7. Dada la base: a) Encuentre las bases rec´ıprocas {ei }.

re lim

e1 = 4i + 2j + k , e2 = 3i + 3j , e3 = 2k b) Encuentre las componentes de la métrica gij , g ij y gji .

c) Encuentre las componentes covariantes y contravariantes del vector A = i + 2j + 3k.

3.4.

Transformaciones, vectores y tensores

Bo rr

ad o

rP

En general las afirmaciones anteriores se pueden generalizar considerando que las coordenadas que definen n un determinado punto, P, expresado en un sistema de coordenadas particular, son x1 , x2 , · · · , x y las 1 2 n coordenadas de ese mismo punto P, expresado en otro sistema de coordenadas es x ˜ ,x ˜ ,··· ,x ˜ . Ambas coordenadas estar´ an relacionadas por   1 x = x1 x ˜1 , x ˜2 , · · · , x ñ x ˜1 = x ˜1 x1 , x2 , · · · , xn        x2 = x2 x ˜1 , x ˜2 , · · · , x ñ x ˜2 = x ˜2 x1 , x2 , · · · , xn  ⇐⇒ .. ..   . .      n  x = xn x ˜1 , x ˜2 , · · · , x ñ x ñ = x ñ x1 , x2 , · · · , xn es decir, x ˜i = x ˜i xj ⇐⇒ xi = xi x ˜j con i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Otra vez, sólo exigiremos (y es bastante) que: 1. Las funciones xi = xi (˜ xm ) y x ˜j = x ˜j (xm ) sean al menos C 2 (función y derivada continua)

2. Que el determinante de la matriz jacobiana ∂ x˜1 ∂ x˜1 ∂x1 ∂x2 i m ∂x (˜ x ) ∂ x˜21 ∂ x˜22 det = 6 0 ⇒ ∂x ∂x j . ∂x ˜ .. .. . ∂ xñ ∂ xñ ∂x1

Hern´ andez & N´ un ˜ez

∂x2

sean finito y distinto de cero, esto es ∂x ˜1 · · · ∂x n ∂x ˜2 · · · ∂xn 6= 0 ⇒ xi = xi (˜ xm ) ⇐⇒ x ˜j = x ˜j (xm ) .. . ∂x ñ ··· ∂xn

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156

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

Ahora bien, una vez m´ as, derivando y utilizando la regla de la cadena xi = xi x ˜j (xm )

⇒

∂xi ∂ x ˜k ∂xi k ∂xi = = δli ⇒ dxi = d˜ x , l k l ∂x ∂x ˜ ∂x ∂x ˜k

como hemos comprobado para los dos casos particulares estudiados con anterioridad. De ahora en adelante tendremos las siguientes ReDefiniciones: Un conjunto de cantidades a1 , a2 , · · · , an se denominar´ an componentes contravariantes de un vector |ai ∈ V en un punto P de coordenadas x1 , x2 , · · · , xn si

y donde las cantidades

∂x ˜i ∂xk

y

∂xi ∂x ˜k

∂xi ∂ x ˜k = δli k ∂x ˜ ∂xl

re lim

∂xi k ∂x ˜i k a ⇐⇒ ai = a ˜ k ∂x ∂x ˜k

a ˜i =

in ar

1. dada dos bases ortonormales de vectores coordenados. {|e1 i , |e2 i , · · · |en i} y {|˜e1 i , |˜e2 i , · · · |˜en i} se cumple que i i

ei ai = ai |ai = ai |ei i = a ˜i |˜ei i ⇒ ⇒ a ˜i = aj ˜ei |ej i ˜e ai = a ˜ 2. o equivalentemente, bajo una transformación de coordenadas xi = xi x ˜j con i, j = 1, 2, 3, · · · , n., estas cantidades transforman como con

deberán ser evaluadas en el punto P .

rP

Un conjunto de cantidades {b1 , b2 , · · · , bn } se denominar´ an componentes covariantes de un vector hb| ∈ V∗ en un punto P de coordenadas x1 , x2 , · · · , xn si 1. dada dos bases de formas e1 , e2 , · · · hen | y ˜e1 , ˜e2 , · · · h˜en | se cumple que

i

i hb| ei = bi ˜ hb| = bi e = bi ˜e ⇒ ⇒ ˜bi = bj hej ˜ei . i i ˜ hb| ˜e = b 2. o equivalentemente, bajo una transformación de coordenadas xi = xi x ˜j (con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) estas cantidades transforman como

ad o

i ˜i ˜ ˜bk = ∂x bi ⇐⇒ bk = ∂ x bi ∂x ˜k ∂xk

y donde las cantidades:

∂x ˜i ∂xk

y

∂xi ∂x ˜k

con

˜k ∂xi ∂ x = δli ∂x ˜k ∂xl

deberán ser evaluadas en el punto P .

Bo rr

Generalizamos los conceptos anteriores de la siguiente manera. Dado un conjunto bases para de formas diferenciales {hxm (1)| , hy n (2)|} hemos definido las componentes contravariantes de un tensor  i  hx (1)| hyj (2)| ↓   ↓ T ij = T  • , •  ⇐⇒ T ij ≡ T 11 , T 12 , · · · , T 1n , T 21 , T 22 , · · · , T 2n , · · · , T nn

1 2 n ahora, en esta visi´ on, las componentes contravariantes en un punto P de coordenadas x , x , · · · , x , ser´ an aquella que bajo una transformación de coordenadas xi = xi x ˜j (con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) transforman como ∂x ˜i ∂ x ˜j km ∂xi ∂xj ˜km ij T˜ij = T ⇐⇒ T = T ∂xk ∂xm ∂x ˜k ∂ x ˜m

Hern´ andez & N´ un ˜ez

con

∂xi ∂ x ˜k = δli , ∂x ˜k ∂xl

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157

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

donde

∂x ˜i ∂xk

y

∂xi ∂x ˜k

deber´ an ser evaluadas en el punto P .

Esto nos permite construir el caso más general.

Si {|ti (1)i , |uj (2)i , · · · , |vk (m)i} y hxe (1)| , y f (2) , · · · , hz g (n)| son bases para los vectores y las formas, respectivamente. Las componentes de un tensor   f hz g (n)| |vk (m)i hxe (1)| hy (2)| |ti (1)i |uj (2)i ↓  ↓ ↓ ↓ ↓  ↓ mn Tijk = T  ◦ , ◦, , · · · , ◦ ; • , • , · · · , • 

nuevamente con:

3.4.1.

∂xi ∂ x ˜k ∂x ˜k ∂xl

= δli y donde las cantidades

Un ejemplo detallado

i···k Te···g =

⇐⇒

∂xi ∂xj ∂ x ã ∂x ˜d p···q · · · · · · T ∂x ˜p ∂x ˜q ∂xe ∂xg a···d

re lim

∂x ˜i ∂x ˜j ∂xa ∂xd p···q i···k T˜e···g = · · · · · · T ∂xp ∂xq ∂ x ˜e ∂x ˜g a···d

in ar

1···1 2···1 ···1 n ˜ ···1 n ˜ ···1 1···1 n ˜ ···˜ n que se ser´ an un conjunto de cantidades T1···1 , T1···1 , · · · , T1···1 , T1···1 , T2···1 , · · · , Tm···1 , · · · , Tm··· ˜ ˜ m ˜ denominar´ an las componentes contravariantes y covariantes respectivamente, de un tensor mixto en un punto P de coordenadas x1 , x2 , · · · , xn . Bajo una transformaci´ on de coordenadas xi = xi x ˜j (con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) estas cantidades transforman como

∂x ˜i ∂xk

y

∂xi ∂x ˜k

deberán ser evaluadas en el punto P .

ad o

rP

Ilustremos ahora las transformaciones de tensores bajo cambios de la base del espacio vectorial. Una vez m´ as consideremos dos bases de vectores coordenados {|e1 i , |e2 i , |e3 i} y {|˜e1 i , |˜e2 i , |˜e3 i} para el espacio vectorial R3 La expresi´ on de un determinado tensor en la base será   2 1 3 {|e1 i , |e2 i , |e3 i} ≡ {|ii , |ji , |ki} ⇒ Tji =  2 3 4  1 2 2 Si consideramos una nueva base: |w1 i = |ii, |w2 i = |ii + |ji y |w3 i = |ii + |ji + |ki.

Bo rr

Entonces:



1

  |˜ei i = |wi i = A˜ji |ej i ⇐⇒ A˜ji =   0  0

1 1 0

1



  1    1

para ese mismo espacio R3 encontraremos una nueva expresión para Tji en esa base {wi }. Es decir, necesitamos calcular ∂x ˜k ∂xj i k T˜m = T ∂xi ∂ x ˜m j

k N´ otese que esta nueva base no es ortogonal , w |wi i = 6 δik , con lo cual no se cumplen muchas cosas, k entre ellas: |wk i w 6= 1. Veamos entonces como calcular las expresiones de los siguientes tensores: T˜ij , T˜ij y T˜ij .

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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158

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

Para encontrar T˜ji expresamos los vectores base: {|e1 i = |ii , |e2 i = |ji , |e3 i = |ki} en términos de la base {|w1 i , |w2 i , |w3 i}: |ei i = Aji |wj i, esto es:    1 −1 0 |e1 i = |ii = |w1 i           0 1 −1 |e2 i = |ji = − |w1 i + |w2 i ⇐⇒ Aji =           0 0 1 |e3 i = |ki = − |w2 i + |w3 i Recordamos que un vector genérico transforma de la siguiente manera

in ar

|ai = aj |ej i = a ˜j |wj i por lo tanto

|ai = aj |ej i = a ˜1 |w1 i + a ˜2 |w2 i + a ˜3 |w3 i = a ˜1 |e1 i + a ˜2 (|e1 i + |e2 i) + a ˜3 (|e1 i + |e2 i + |e3 i) con lo cual

re lim

˜2 + a ˜3 |e3 i |ai = a1 |e1 i + a2 |e2 i + a3 |e3 i = a ˜1 + a ˜2 + a ˜3 |e1 i + a ˜3 |e2 i + a y podemos ver que

∂x1 ∂x ˜1

= 1;

∂x1 ∂x ˜2

= 1;

∂x1 ∂x ˜3

=1

∂x2 ∂x ˜1

= 0;

∂x2 ∂x ˜2

= 1;

∂x2 ∂x ˜3

=1

∂x3 ∂x ˜1

= 0;

∂x3 ∂x ˜2

= 0;

∂x3 ∂x ˜3

=1

rP

       a1 = a ˜1 + a ˜2 + a ˜3   i ∂x i k a2 = a ˜2 + a ˜3 ⇒ a = a ˜ ⇒ k   ∂x ˜  a3 = a ˜3    

Es de hacer notar que dado que la base: {|e1 i , |e2 i , |e3 i} ≡ {|ii , |ji , |ki} es ortonormal, se tiene que |ai = aj |ej i = a ˜i |wi i ⇒

i

∂xi e ai = aj ei |ej i = aj δji = ai = a ˜k ei |wk i ⇒ = ei |wk i k ∂x ˜

ad o

Este mismo procedimiento se puede aplicar para expresar el vector |ai como una combinación lineal de los vectores |wj i: |ai = a ˜j |˜ej i = aj |ej i = a1 |e1 i + a2 |e2 i + a3 |e3 i = a1 |w1 i + a2 (|w2 i − |w1 i) + a3 (|w3 i − |w2 i)

Bo rr

esto es

      

 a ˜ 1 = a1 − a2  ∂x ˜k i a ˜2 = a2 − a3 ⇒ a ˜k = a ⇒   ∂xi  a ˜3 = a3    

N´ otese que, como era de esperarse;  1 ∂xi ∂ x ˜k i  0 = δ ⇒ j ∂x ˜k ∂xj 0

Hern´ andez & N´ un ˜ez

1 1 0

 1 1 1  0 1 0

∂x ˜1 ∂x1

= 1;

∂x ˜2 ∂x1

= 0;

∂x ˜2 ∂x2

= 1;

∂x ˜3 ∂x1

= 0;

∂x ˜3 ∂x2

= 0;

∂x ˜1 ∂x2

∂x ˜1 ∂x3

= −1;

  −1 0 1 1 −1  =  0 0 1 0

∂x ˜2 ∂x3 ∂x ˜3 ∂x3

0 1 0

=0 = −1 =1

 0 0 . 1

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159

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

Con las expresiones matriciales para las transformaciones, estamos en capacidad de calcular, componente a componente, las representación del tensor dado en la nueva base ∂x ˜k ∂xj i k T T˜m = ∂xi ∂ x ˜m j con lo cual ∂x ˜1 ∂xj i T ∂xi ∂x ˜1 j ∂x ˜1 ∂x1 1 T + ∂x1 ∂ x ˜1 1 ∂x ˜1 ∂x1 3 T + ∂x3 ∂ x ˜1 1

= = +

∂x2 1 ∂x3 1 ∂x ˜1 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2 T + T T + T + T + ∂x ˜1 2 ∂x ˜1 3 ∂x2 ∂ x ˜1 1 ∂x ˜1 2 ∂x ˜1 3 ∂x2 3 ∂x3 3 T + T ∂x ˜1 2 ∂x ˜1 3

in ar

T˜11

Es decir =

1 · 1 T11 + 0 T21 + 0 T31 − 1 · 1 T12 + 0 T22 + 0 T32 + 0 1 T13 + 0 T23 + 0 T33

= T11 − T12 = 2 − 2 = 0 Del mismo modo = = +

∂x ˜1 ∂xj i T ∂xi ∂x ˜2 j ∂x ˜1 ∂x1 1 T + ∂x1 ∂ x ˜2 1 ∂x ˜1 ∂x1 3 T + ∂x3 ∂ x ˜2 1

resultando T˜21

=

1 · 1 T11 + 1 T21 + 0 T31 − 1 · 1 T12 + 1 T22 + 0 T32 + 0 1 T13 + 1 T23 + 0 T31 T11 + T21 − T12 + T22 = (2 + 1) − (2 + 3) = −2

ad o

=

∂x2 1 ∂x3 1 ∂x ˜1 ∂x1 2 ∂x2 2 ∂x3 2 T + T T + T + T + ∂x ˜2 2 ∂x ˜2 3 ∂x2 ∂ x ˜2 1 ∂x ˜2 2 ∂x ˜2 3 ∂x2 3 ∂x3 3 T + T ∂x ˜2 2 ∂x ˜2 3

rP

T˜21

re lim

T˜11

Bo rr

Se puede continuar término a término (el lector debe de terminar de hacer los cálculos) o realizar la multiplicaci´ on de las matrices provenientes de la transformación de componentes de tensores. Vale decir       k j 2 1 3 1 1 1 0 −2 −3 1 −1 0 ∂ x ˜ ∂x k 1 −1   2 3 4   0 1 1  =  1 2 4  ⇔  0 T˜m = Tji ∂xi ∂x ˜m 0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 3 5

Hay que resaltar el especial cuidado que se tuvo en la ubicación de las matrices para su multiplicaci´ on. x ˜k ∂xj ∂x ˜k k i Si bien en la expresi´ on T˜m = ∂∂x T las cantidades son n´ u meros y no importa el orden con el i ∂x j ˜m ∂xi cual se multipliquen, cuando se escriben como matrices debe respetarse la “concatenación interna de k ´ındices”. Esto es, cuando querramos expresar T˜m como una matriz, donde el ´ındice contravariante k indica filas y el ´ındice covariante m las columnas, fijamos primero estos ´ındices y luego respetamos la

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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160

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

“concatenaci´ on de ´ındices” covariantes con los contravariantes. Esta es la convención para expresar la multiplicaci´ on de matrices en la notación de ´ındices4 . Esto es k ∂xj ∂x ˜ ∂x ˜k ∂xj i k i k ˜ ˜ T ⇒ Tm = Tj Tm = ∂xi ∂ x ˜m j ∂xi ∂x ˜m k

x ˜ i Ahora los objetos ∂∂x i , Tj y representaci´ on matricial.

∂xj ∂x ˜m

pueden ser sustituidos (en sus puestos correspondientes) por su

in ar

Con lo cual hemos encontrado la respresentación matricial T˜ij de las componentes del tensor T en la base {|w1 i , |w2 i , |w3 i};  1    T˜1 T˜21 T˜21 0 −2 −3 2 4 . T˜ij =  T˜12 T˜22 T˜32  =  1 3 3 3 1 3 5 T˜1 T˜2 T˜3

re lim

Para encontrar la expresi´ on de T˜ij (T˜ij = g˜ik T˜jk ), requerimos las componentes covariantes y contravariantes del tensor métrico g˜ik que genera esta base. Para ello recordamos que para una base genérica, {|wj i}, no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno, podemos definir la expresi´ on de un tensor que denominaremos tensor métrico como ∂xm ∂xn 0 gmn ≡ hem |wi i hen |wj i gmn un tensor del tipo ⇒ g˜ij = 2 ∂x ˜i ∂ x ˜j Recordemos que la métrica covariante gij de una base ortonormal {|e1 i , |e2 i , |e3 i} ≡ {|ii , |ji , |ki} es:

Es decir: 

1 ⇐⇒  0 0

 0 0 ; 1



g ij

1 ⇐⇒  0 0

0 1 0

 0 0 ; 1



gji

1 ⇐⇒  0 0

0 1 0

 0 0 ; 1

ad o

gij

0 1 0

rP

g11 = 1 , g22 = 1 , g33 = 1 , g12 = g21 = g13 = g31 = g23 = g32 = 0 .

Bo rr

Con lo cual, para el caso de la base genérica no ortonormal {|wj i} tenemos dos formas de calcular las componentes covariantes y contravariantes del tensor métrico. La primera es la forma directa

2 g˜11 = hen |w1 i hem |w1 i gnm = e1 |w1 i e1 |w1 i + e2 |w1 i e2 |w1 i + e3 |w1 i e3 |w1 i = e1 |w1 i = 1 n m 1 1 2 2 3 3 1 g˜12 = he |w1 i he |w2 i gnm = e |w1 i e |w2 i + e |w1 i e |w2 i + e |w1 i e |w2 i = e |w1 i e1 |w2 i = 1 g˜13 = hen |w1 i hem |w3 i gnm = e1 |w1 i e1 |w3 i + e2 |w1 i e2 |w3 i + e3 |w1 i e3 |w3 i = e1 |w1 i e1 |w3 i = 1

g˜21 = hen |w2 i hem |w1 i gnm = e1 |w2 i e1 |w1 i + e2 |w2 i e2 |w1 i + e3 |w2 i e3 |w1 i = e1 |w2 i e1 |w1 i = 1 1 2 2 3 3 g˜22 = hen |w2 i hem |w2 i gnm e1 |w

=

22i e |w2 i + e |w2 i e |w2 i + e |w2 i e |w2 i ⇒ 1 1 2 = e |w2 i e |w2 i e |w

21i e |w

21i = 2 2

g˜23 = hen |w2 i hem |w3 i gnm = e |w i e |w3 i + e |w2 i e2 |w3 i + e3 |w2 i e3 |w3 i ⇒ 2

= e1 |w2 i e1 |w3 i + e2 |w2 i e2 |w3 i = 2

4 Quiz´ a una forma de comprobar si los ´ındices est´ an bien concatenados se observa si se “bajan” los ´ındices contravariantes pero se colocan antes que los covariantes. Esto es, Tji → Tij . As´ı, la multiplicaci´ on de matrices queda representada de la siguiente forma: Cji = Aik Bjk → Cij = Aik Bkj y aqu´ı es claro que ´ındices consecutivos est´ an “concatenados” e indican multiplicaci´ on.

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161

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

g˜31 = hen |w3 i hem |w1 i gnm = e1 |w3 i e1 |w1 i + e2 |w3 i e2 |w1 i + e3 |w3 i e3 |w1 i = e1 |w3 i e1 |w1 i = 1 1 1 2 2 3 3 g˜32 = hen |w3 i hem |w2 i gnm =

2e |w3 i 2e |w2 i + e |w3 i e |w2 i + e |w3 i e |w2 i ⇒ 1 1 = e |w3 i e |w2 i + e |w3 i e |w2 i = 2

g˜33 = hen |w3 i hem |w3 i gnm = e1 |w3 i e1 |w3 i + e2 |w3 i e2 |w3 i + e3 |w3 i e3 |w3 i ⇒

= e1 |w3 i e1 |w3 i + e2 |w3 i e2 |w3 i + e3 |w3 i e3 |w3 i = 3 g˜ij ⇒ g˜11 = 1 , g˜12 = 1 , g˜13 = 1 , g˜21 = 1 , g˜22 = 2 , g˜23 = 2 , g˜31 = 1 , g˜32 = 2 , g˜33 = 3 .

N´ otese que también podr´ıamos haber  1 ∂xj ∂xi  1 g ⇒ g˜km = ij ∂x ˜k ∂x ˜m 1

procedido, y en  0 0 1 1 0  0 1 1 0

in ar

Consecuentemente podemos “arreglarlo como una matriz”5 de la siguiente forma     1 1 1 2 −1 0 −1 2 −1  g˜ij ≡ g˜ji ⇐⇒  1 2 2  ⇒ g˜ij ≡ g˜ji = (˜ gij ) ⇐⇒  −1 1 2 3 0 −1 1

términos “matriciales”, de la siguiente forma:     0 0 1 1 1 1 1 1 1 0  0 1 1  =  1 2 2  0 1 0 0 1 1 2 3

g˜km =

∂xj ∂xi gij k ∂x ˜ ∂x ˜m

−→

re lim

Nuevamente es bueno aclarar que para conservar la convención de ´ındices y poder representar la multiplicaci´ on de matrices, los ´ındices deben estar consecutivos, por lo tanto, hay que trasponer la representaci´ on matricial para multiplicarlas. Es por eso que en el cálculo anterior aparece como primera matriz la transpuesta de la u ´ltima. El cálculo se debe hacer como se muestra a continuación: g˜km = Πik gij Πjm

−→

¯ ki gij Πjm . g˜km = Π

ad o

rP

Finalmente, estamos en capacidad de obtener las representaciones matriciales para los tensores: T˜ij , T˜ij , T˜ij .  T   0 1 1 0 −2 −3 j j i T 2 4  =  −2 2 3  T˜i = (T˜j ) ⇐⇒ T˜i =  1 −3 4 5 1 3 5      1 1 1 0 −2 −3 2 3 6 n 2 4  =  4 8 15  T˜km = g˜kn T˜m ⇐⇒ T˜km =  1 2 2   1 1 2 3 1 3 5 5 11 20      0 −2 −3 2 −1 0 2 −1 −1 n mk 2 4   −1 2 −1  =  0 −1 2 . T˜kn = T˜m g˜ ⇐⇒ T˜kn =  1 1 3 5 0 −1 1 −1 0 2

Bo rr

Quisiéramos ejemplificar una forma “rápida y furiosa” (pero sucia) de calcular la métrica generada por una determinada base genérica. La idea es que, violentando toda nuestra notación e idea de tensores, construimos la métrica a partir de los vectores base definiéndola como g˜ij = hwi |wi i, de esta manera:   hw1 |w1 i hw1 |w2 i hw1 |w3 i g˜ij =  hw2 |w1 i hw2 |w2 i hw2 |w3 i  hw3 |w1 i hw3 |w2 i hw3 |w3 i     hi |ii hi| [|ii + |ji] hi| [|ii + |ji + |ki] 1 1 1 = 1 2 2  [hi| + hj|] |ii [hi| + hj|] [|ii + |ji] [hi| + hj|] [|ii + |ji + |ki] =  [hi| + hj| + hk|] |ii [hi| + hj| + hk|] [|ii + |ji] [hi| + hj| + hk|] [|ii + |ji + |ki] 1 2 3

5 Recordemos

que hemos insistido que las matrices representan tensores mixtos

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162

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

Dejamos al lector, la reflexi´ on si esta forma “rápida de calcular la métrica” a partir de unos vectores base es general o, si en su defecto, es una coincidencia u ńicamente válida para este caso.

Practicando con Maxima:

in ar

Maxima contiene un paquete para manipular componentes de tensores: ctensor. La manipulaci´ on en componentes se realiza en términos de matrices. La métrica se almacena en la matriz lg y la métrica inversa se obtiene y almacena en la matriz ug. En el ejemplo anterior se especificaba las componentes de un tensor en coordenadas cartesianas, esto es:   2 1 3 To = Tji =  2 3 4  en la base: {|e1 i , |e2 i , |e3 i} ≡ {|ii , |ji , |ki} 1 2 2 = |ii + |ji + |ki. Entonces

re lim

Para luego representarlo en la nueva base: |w1 i = |ii, |w2 i = |ii + |ji y |w3 i necesitamos calcular ∂x ˜k ∂xj i k T ⇒ Tn = αβTo = T˜m = ∂xi ∂ x ˜m j Como vimos en el ejemplo anterior:    1 −1 0 1 1 k i ∂x ˜ ∂x ,  0  0 1 1 −1 α= β = = = ∂xi ∂x ˜k 0 0 1 0 0

 1 1  1

Respetando la “la concatenaci´ on interna de ´ındices” podemos realizar la multiplicación de matrices.

Bo rr

ad o

rP

(%i1) To:matrix([2,1,3],[2,3,4],[1,2,2]);   2 1 3 ( %o1) 2 3 4 1 2 2 (%i2) alpha:matrix([1,-1,0],[0,1,-1],[0,0,1]);   1 −1 0 ( %o2) 0 1 −1 0 0 1 (%i3) beta:matrix([1,1,1],[0,1,1],[0,0,1]);   1 1 1 ( %o3) 0 1 1 0 0 1 (%i4) Tn:alpha.To.beta;   0 −2 −3 4 ( %o4) 1 2 1 3 5 Una vez que hemos calculado el nuevo tensor Tn = T˜ij en la nueva base, podemos calcular: T˜ij , T˜ij . Pero podemos utilizar la métrica para las coordenadas nuevas y con el paquete ctensor hacer las respectivas contracciones.

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163

3.4. TRANSFORMACIONES, VECTORES Y TENSORES

(%i5) load(ctensor)$ (%i6) ct_coordsys(cartesian3d)$ Introducimos la métrica g˜ik

in ar

(%i7) lg:matrix([1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]);   1 1 1 ( %o7) 1 2 2 1 2 3 Para tener la métrica inversa g˜ik escribimos:

(%i9) ug;  2 ( %o9) −1 0

 −1 0 2 −1 −1 1 ˜ Para calcular Tij = g˜ik T˜jk escribimos:

 −1 2 2

ad o

(%i11)Tn.ug;  2 −1 ( %o11)  0 −1 −1 0

rP

(%i10)lg.Tn;   2 3 6 ( %o10) 4 8 15 5 11 20 Y para calcular T˜ij = T˜ki g˜kj escribimos:

re lim

(%i8) cmetric()$

Es posible, y a manera de completar esta primer acercamiento con la librer´ıa de tensores, calcular la métrica a partir de una transformaci´ on de coordenadas, como vimos en la Sección 3.3.4. (%i1) kill(all)$

(%i2) ct_coordsys([r*sin(theta)*cos(phi),r*sin(theta)*sin(phi),r*cos(theta),[r,theta,phi]]);

Bo rr

(%i3) cmetric()$

El tensor métrico gij

(%i4) lg:trigsimp(lg);   1 0 0  0 ( %o4) 0 r2 2 2 0 0 r sin θ

Y la métrica inversa: Hern´ andez & N´ un ˜ez

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164

3.5. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDO-EUCLIDEANOS

(%i5) trigsimp(ug);   1 0 0 0  ( %o5) 0 r12 1 0 0 r2 sin 2θ

3.5.

Vectores, tensores y espacios pseudo-euclideanos

En resumen

⇒

   0

ad o

   0

rP

re lim

in ar

k Hasta este punto ha sido casi estética la descripción de formas representadas por bra: ha| ≡ a e , en las k

k cuales sus componentes tienen sub´ındices, mientras que los vectores bases, e , deben tener super´ındices. Quiz´ a el ejemplo m´ as emblem´ atico y simple, donde se observa la diferencia entre formas (bras) y vectores (kets) es el caso de los espacios minkowskianos. Estos espacios, también llamados pseudoeuclideanos, presentan una variante en la definici´ on de producto interno, de tal forma que: hx| xi no necesariamente es positivo, y si hx| xi = 0 no necesariamente implica que |xi ≡ |0i. La consecuencia inmediata es que la definición de norma N (|vi i) ≡ k|vi ik, que vimos anteriormente, no necesariamente es positiva. Vale decir que tendremos vectores con norma positiva, k|vi ik > 0, pero también vectores con norma negativa o cero: k|vi ik ≤ 0. Con lo cual la definición de distancia, entendida como la norma de la resta de vectores, d (|xi , |yi) ≡ k|xi − |yik, tampoco será necesariamente positiva. Esto es, que las distancias ser´ an negativas, positivas o nulas: d (|xi , |yi) < 0, d (|xi , |yi) = 0 y d (|xi , |yi) > 0. Si extendemos la noci´ on de distancia para que albergue las posibilidades de distancias nula y negativas, entonces la definici´ on del tensor métrico para espacios pseudo-euclideanos debe cambiar también.   0

⇒

  0

Bo rr

Este tipo de espacios luce como un excentricidad más de los matemáticos y una curiosidad de estudio es ver como organizar los conceptos que aprendimos de los espacios euclidianos y extenderlos a otros espacios. Quiz´ a se hubiera quedado as´ı, como una curiosidad matemática si la F´ısica no hubiera sacado partido de estas particularidades para describir el comportamiento de la naturaleza. En la próxima sección analizaremos el caso de espacios minkowskianos de dimensión 4: M4 .

3.5.1.

Espacios minkowskianos

Consideremos un espacio tetradimensional expandido por una base ortonormal {|e0 i , |e1 i , |e2 i , |e3 i}. Los 3 vectores {|e1 i , |e2 i , |e3 i} corresponden con la base canónica de R0 . 1 2 3 4 Este espacio vectorial M tendr´ a asociado un espacio dual e , e , e , e a través de una métrica

ηαβ heα | ⊗ eβ ≡ ηβα eβ ⊗ heα | y η αβ |eα i ⊗ |eβ i ≡ η βα |eβ i ⊗ |eα i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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165

3.5. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDO-EUCLIDEANOS

con α, β = 0, 1, 2, 3 y donde: η00 = η 00 = 1, η11 = η 11 = −1, η22 = η 22 = −1, η33 = η 33 = −1 (con ηαβ = 0 para α 6= β), con lo cual se dice que η tiene signo −2.6 Tal y como presentamos en (3.2.6), podemos asociar componentes covariantes y contravariantes a través de la métrica de la forma

ηαβ heα | ⊗ eβ |ai = aσ ηαβ heα | ⊗ eβ |eσ i = aσ ηαβ eβ |eσ i heα | = aσ ηαβ δσβ heα | = aσ ηασ heα | ≡ aα heα | Lo intereante del caso es que aσ ησα = aα

⇒

a0 = a0 ,

a1 = −a1 ,

a2 = −a2 ,

a3 = −a3 .

in ar

Es decir, en este caso, porque la métrica tiene signo −2, bajar los ´ındices espaciales (µ = i = 1, 2, 3) es cambiar el signo a las componentes7 . Dicho con más propiedad, las componentes espaciales contravariantes (µ = i = 1, 2, 3) tienen signos contrarios a las componentes covariantes. De la misma manera que se expuso anteriormente en (3.2.6) ha| η αj |eα i ⊗ |eβ i = ha| η αβ |eα i ⊗ |eβ i = η αβ ha |eα i ⊗ |ej i = aσ η αj heσ |eα i |eβ i = aσ η σβ |eβ i ≡ aβ |eβ i

re lim

y otra vez, aσ = η σα aα , y habr´ıa cambio de signo cuando se bajan los ´ındices 1, 2, 3 para la métrica con signo −2 que hemos considerado anteriormente. Del mismo modo se “suben” y se “bajan” ´ındices para componentes de tensores η αβ Pαγσ ≡ P βγσ

Por su parte, el producto interno de dos vectores en un espacio de Minkowski involucra, de manera natural, la métrica del espacio. Esto es hx |yi = hy |xi = xα yα = y α xα = xα y β ηαβ = xα yβ η αβ = x0 y 0 −x1 y 1 −x2 y 2 −x3 y 3 = x0 y0 −x1 y1 −x2 y2 −x3 y3

rP

Una vez m´ as, la norma de un vector, también incluirá al tensor métrico: 2

k|xik = hx |xi = xα xβ heα |eβ i = xα xα = xα xβ η αβ = xα xβ ηαβ = x0 x0 − x1 x1 − x2 x2 − x3 x3

con: dx2 = dx1

+ dx2

2

2 + dx3 .

Un toque de Relatividad Especial

Bo rr

3.5.2.

2

ad o

El caso m´ as conocido lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal, en un espacio tetradimensional. Para una base genérica, {|uβ i} (no necesariamente ortogonal) de un espacio vectorial con producto interno. El desplazamiento infinitesimal puede expresarse como 2 (ds) ≡ hdr |dri = (d˜ xα h˜ uα |) d˜ xβ |˜ uβ i = d˜ xβ d˜ xβ = η˜αβ d˜ xα d˜ xβ = dt2 − dx2 ,

La genialidad de Einstein fue haber entendido que ten´ıa que incorporar el tiempo como otra coordenada m´ as, vale decir, que los eventos que ocurren en la naturaleza están etiquetados por cuatro n´ umeros: (t, x, y, z) ≡ (x0 , x1 , x2 , x3 ). El r´ apido desarrollo de la comprensión de las ideas relativistas muestra que estaban en el ambiente de la época de comienzos de 1900, y una vez más la simplicidad como prejuicio se impuso. Solo dos suposiciones est´ an en el corazón de la Relatividad Especial:

6 Realmente el signo −2 es una convenci´ on, se puede tambi´ en considerar ηµν de signo +2, con η00 = −1, η11 = +1, η22 = +1, η33 = +1. 7 Otra vez, para la m´ etrica con signo −2, el cambio de signo entre componentes covariantes y contravariantes se da para la componente, µ = 0

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166

in ar

3.5. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDO-EUCLIDEANOS

re lim

Figura 3.3: Cono de luz, espacio-tiempo y eventos

1. El principio de la Relatividad: Las leyes de la F´ısica son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales. 2. La universalidad de la velocidad de la luz en el vac´ıo: La velocidad de la luz en el vac´ıo es siempre la misma, y es independiente de la velocidad de la fuente de luz respecto a un observador en particular.

Bo rr

ad o

rP

En términos matem´ aticos estas dos audaces suposiciones se concretan en una simple suposición matem´ atica: el producto interno entre dos elementos de este espacio tetradimensional, debe conservarse para una familia de vectores base. Luego vendr´ a la asociación de observadores f´ısicos -o sistemas de coordenadascon los miembros de la familia de vectores base, pero la idea es la misma que planteamos para los espacios euclideanos en 2.2.3: el producto interno -y consecuentemente, la norma de los elementos del espacio vectorial y la distancia entre éstos - es el mismo independientemente de la base en la cual expanda el espacio vectorial. La primera de las interpretaciones es el cómo representamos los eventos en el espacio-tiempo. Supongamos el caso unidimensional en el espacio, vale decir los eventos ocurren en un punto de la recta real x = x1 y en un tiempo determinado, por lo tanto podremos asociar al evento un vector Evento → (x0 , x1 ). A continuaci´ on nos preguntamos que representan las distancias (espacio-temporales) entre estos dos eventos. Tal y como vimos, las distancias entre dos elementos de un espacio vectorial puede ser construida a partir de la norma (de la resta de coordenadas) y la norma a partir del producto interno:  < 0 conexión tipo espacio: eventos desconectados causalmente      = 0 conexión tipo luz: posible conexión causal a través de rayos de luz || |y − xi ||2 ≡ hy − x |y − xi      > 0 conexión tipo tiempo: posible conexión causal Con esta primera interpretaci´ on de los valores de la norma y la visión tetradimensional, el espacio-tiempo, dividido en pasado, presente y futuro, se puebla de eventos que pueden estar o nó relacionados causalmente tal y como muestra la Figura 3.3.

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167

3.5. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDO-EUCLIDEANOS

La preservaci´ on del producto interno para todos los observadores8 era intuitiva en los espacios euclideanos y, al mantenerla para los pseudo-euclideanos nos traerá consecuencias nada intuitivas en nuestra idea intuitiva de “realidad”. Para el caso de la formulación de la Relatividad Especial, a˜ nadimos un supuesto m´ as: las componentes del tensor métrico son invariantes bajo transformaciones de coordenadas, esto es g [|eµ i , |eν i] ≡ g [|˜eµ i , |˜eν i]

⇔

ηαβ = η˜αβ ,

con {|eµ i} y {|˜eµ i}

dos bases que se conectan a través de una transformación de coordenadas xµ = xµ (˜ xα ) ⇔ x ˜µ = x ˜µ (xα ). Construyamos el tipo de transformaci´ on de coordenadas que mantiene estos dos supuestos:

in ar

1. El producto interno de dos vectores es independiente de la base que expande el espacio vectorial. 2. Las componentes del tensor métricos son invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Si el producto interno de dos vectores es independiente de la base que expanda el espacio vectorial, tendremos hx |yi = h˜ x |˜ y i ⇔ xα yα = x ˜α y˜α ⇔ xα y β ηαβ = x ˜α y˜β η˜αβ ,

a ˜i =

∂x ˜i k a ∂xk

⇒

xα yα = x ˜α y˜α

con lo cual concluimos que ηαβ =

⇔

re lim

y como lo vimos en 3.4 las componentes de vectores, bajo cambio de coordenadas, transforman como xα y β ηαβ =

∂x ˜ν α ∂ x ˜µ β ˜ν ∂ x ˜µ α β ∂x x y η ˜ = x y η˜νµ , νµ ∂xα ∂xβ ∂xα ∂xβ

∂x ˜ν ∂ x ˜µ ∂x ˜ν ∂ x ˜µ η˜νµ ≡ ηνµ . α β α ∂x ∂x ∂x ∂xβ

rP

Si derivamos respecto a xγ tendremos que 2 ν ˜µ ∂x ˜ν ∂ 2 x ˜µ ∂ x ˜ ∂x . 0 = ηνµ + ∂xα ∂xγ ∂xβ ∂xα ∂xβ ∂xγ

ad o

Como la cantidad dentro del paréntesis se anula podemos jugar con ésta para descubrir algunas consecuencias ocultas. Es de hacer notar que esa cantidad tiene tres ´ındices libres y por lo tanto son 64 ecuaciones que se anulan. Eso significa que le podemos a˜ nadir y sustraer cualesquieras otras con los ´ındices intercambiados. Supongamos que al paréntesis anulado le a˜ nadimos una con los ´ındices α y γ intercambiados y, adicionalmente, le sustraemos una con los ´ındices γ y β intercambiados. Claramente, estamos a˜ nadiendo y sustrayendo ceros. 2 ν ∂ x ˜ ∂x ˜µ ∂x ˜ν ∂ 2 x ˜µ ∂2x ˜ν ∂ x ˜µ ∂x ˜ν ∂ 2 x ˜µ ∂2x ˜ν ∂ x ˜µ ∂x ˜ν ∂ 2 x ˜µ 0 = ηνµ + + + − − . ∂xα ∂xγ ∂xβ ∂xα ∂xβ ∂xγ ∂xγ ∂xα ∂xβ ∂xγ ∂xβ ∂xα ∂xα ∂xβ ∂xγ ∂xα ∂xγ ∂xβ

Bo rr

Con este truco, vemos que el u ´ltimo término anula el segundo y el pen´ ultimo el cuarto, de forma y manera que nos queda ∂2x ˜ν ∂ x ˜µ 0 = 2ηνµ α γ β , ∂x ∂x ∂x Con lo cual la u ńica posibilidad que nos queda es 0=

8 Estamos

∂2x ˜ν ⇒ x ˜ν = Λνµ xµ + aν α ∂x ∂xγ

con Λνµ y aν constantes .

suponiendo que observadores, sistemas de coordenadas y sistemas de referencia son conceptos equivalentes.

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168

3.5. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDO-EUCLIDEANOS

Estas transformaciones lineales se conocen como las transformaciones, inhomogéneas, de Lorentz o también las transformaciones de Poincaré. Estas transformaciones forman un grupo y, uno de los posibles subgrupos lo constituye el conjunto de transformaciones propias de Lorentz de la forma: Λ00 = 1,

Λi0 = Λ0j = 0,

y

Λij = Rji

con i, j = 1, 2, 3;

y

donde Rji es una matriz de rotaci´ on. Supongamos el caso m´ as sencillo de este grupo de transformaciones: aν = 0. Expl´ıcitamente hemos identificado una transformaci´ on de la forma

la cual, por construcci´ on, deja invariante el intervalo tetradimensional ds2 = dt2 − dx1 − dx2 − dx3 = ηµν dxµ dxν ,

in ar

0 α 1 α 2 α 3 x ˜α = Λα 0 x + Λ 1 x + Λ2 x + Λ3 x ,

re lim

y con ηµν el tensor métrico. Es inmediato demostrar que este tipo de transformaciones deja invariante el intervalo. Primero, notemos que µ η˜µν = Λµα Λνβ η αβ ⇒ η µν ηνγ = δγµ = Λµα Λνβ η αβ ηνγ ⇒ Λµα Λα γ = δγ entonces, como d˜ xµ = Λµα dxα

⇒

d˜ s2 = η˜µν d˜ xµ d˜ xν ≡ ηµν Λµα dxα Λνβ dxβ = ηαβ dxα dxβ = ds2 .

rP

Para construir una de las expresiones más utilizadas del grupo de Lorentz consideramos la siguiente situaci´ on: un observador, x ˜µ , ve moverse una part´ıcula con una velocidad v, mientras que un segundo observador, xµ , la percibe en reposo. Entonces, para el observador que registra la part´ıcula en reposo dxi = 0   dt˜ = Λ00 dt µ µ α d˜ x = Λα dx ⇒  con i = 1, 2, 3. d˜ xi = Λiα dxα = Λi0 dt Ahora bien, como

y

d˜ xi d˜ x ⇒ vi = ⇒ Λi0 = v i Λ00 , dt˜ dt˜

ad o

v=

η˜αβ = Λµα Λνβ ηµν ⇒ 1 = Λµ0 Λν0 ηµν = Λ00

2

− Λ10

2

− Λ20

2

− Λ30

2

,

con una soluci´ on de la forma Λi0 = γ v i

donde γ = p

Bo rr

Λ00 = γ ,

1

1−

(v)2

≡√

1 ≡r 1 − v i vi

1 h i, 2 2 2 1 − (v 1 ) + (v 2 ) + (v 3 )

los otros términos Λij no quedan un´ıvocamente determinados porque está de por medio la arbitrariedad de una rotaci´ on Rji . Por ello, una selecci´ on arbitraria pero razonable de todos los términos Λij es Λij = δji + v i vj

γ−1 γ−1 ≡ δji + v i vj k . (v)2 v vk

De esta forma quedan determinados todos los elementos de las transformaciones de Lorentz. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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169

3.5. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDO-EUCLIDEANOS

Los observadores lorentzianos son los equivalentes a los observadores galileanos en las teor´ıas newtonianas: son observadores que se mueven uno respecto al otro con una velocidad constante y, desempe˜ nan el mismo papel que los observadores inerciales. Quizá la consecuencia más impactante de la necesidad de vincular mediciones de distintos observadores lorentzianos a través de transformaciones de Lorentz, lo ilustra la evoluci´ on distinta del tiempo medido por los diferentes observadores. Un observador en reposo respecto a un reloj, ve avanzar el tiempo con tic separados dt = ∆t ya que su reposo respecto al reloj implica dxi = 0, por lo tanto la separaci´ on espacio temporal será: ds2 = dt2 − (dxi )2 = (∆t)

2

⇒ dt = ∆t ,

mientras que un segundo observador tendrá el mismo elemento de l´ınea pero expresado como

in ar

∆t , d˜ s2 = dt˜2 − (d˜ xi )2 = 1 − v2 dt˜ ⇒ dt˜ = √ 1 − v2

y claramente indica que tiempo evoluciona más lento para relojes en movimento.

3.5.3.

Ejercicios

re lim

1. Si Aijk es un tensor covariante de orden 3 y B lmno un tensor contravariante de orden 4, pruebe que Aijk B jkno es un tensor mixto de orden 3. 2. En el espacio euclideano 3D y en coordenadas cartesianas no distinguimos entre vectores y uno-formas debido a que sus componentes transforman de la misma manera. Demuestre que

Bo rr

ad o

rP

a) a ˜i = Λij aj ∧ ˜bj = Λij bi son la misma transformación si la matriz Λij es igual a la transpuesta de su inversa, es decir, si es ortogonal. ˜ :x b) Considere dos observadores O : x, y ↔ x1 , x2 y O ˜, y˜ ↔ x ˜1 , x ˜2 y sus sistemas de coordenadas asociados. 1) Considere la siguiente transformación de coordenadas de Galileo √ √ √ √ 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1 x − x y x ˜ = x + x x ˜ =V t+ 2 2 2 2 ˜ y t al tiempo (parámetro con V 1 una constante que representa la velocidad relativa entre O− O de esta transformaci´ on). A continuación suponga una part´ıcula que describe un movimiento respecto a O siguiendo una trayectoria recta, esto es x2 = αx1 , donde α es una constante. ˜ respecto a sus coordenadas (˜ Encuentre c´ omo lo describir´ıa el observador O x1 , x ˜2 ). 2) Considere ahora la generalización de la transformación de coordenadas anterior √ √ √ √ 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 x ˜ =V t+ x − x y x ˜ =V t+ x + x 2 2 2 2 ˜ y t al tiempo. Muestre que con V 1 y V 2 las componentes de una velocidad relativa entre O − O la norma de cualquier vector queda invariante respecto a una transformación de coordenadas como la anterior y encuentre la matriz de transformación.

3. Dado un espacio minkowskiano y un observador O que describe los eventos en el espacio-tiempo respecto a un sistema de coordenadas {xα } donde α = 0, 1, 2, y η = diag[−1, 1, 1] el tensor métrico. Considere entonces la siguiente transformaci´ on de coordenadas x ˜0 = γ(x0 − βx1 ) ,

Hern´ andez & N´ un ˜ez

x ˜1 = γ(x1 − βx0 )

y

x ˜2 = x2

con γ = p

1 1 − β2

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170

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

˜ Donde β = v/c es la velocidad relativa entre O y O.

in ar

a) Otra vez suponga que una part´ıcula describe una linea recta respecto a O: x2 = αx1 , con α ˜ respecto a sus igual a una constante. Esta vez encuentre cómo lo describir´ıa el otro observador O coordenadas (˜ x0 , x ˜1 , x ˜2 ). α ˜ b) Encuentre la expresi´ on para la transformación de coordenadas, ∂∂xx˜β = Λα on de β (transformaci´ α Lorentz) entre estos sistemas relativistas y muestre como la norma: x xα = xα xβ ηαβ , de cualquier vector se conserva. c) Considere el Tensor de Maxwell definido como     0 Ex Ey −1 0 0 0 B z  otra vez con ηµν =  0 1 0  F µα =  −E x y z −E −B 0 0 0 1 donde E = (E x , E y ) y B = (B x , B y ) son los campos eléctricos y magnéticos (respectivamente) medidos por un observador O. Si un observador mide un campo eléctrico E = E x i y ning´ un campo magnético. ¿Cu´ ales campos, Fµα medirá otro observador que viaja con una velocidad β = vi?

∂ E = 4πJ , ∂t se pueden escribir como ∇×B−

∇×E−

∂ µν F ≡ F µν ,ν = 4πJ µ , ∂xν

Espacios de funciones

∂ B = 0, ∂t

∇ · B = 0,

donde J µ = (ρ, J 1 , J 2 )

y ∇ · E = 4πρ

y J = (J 1 , J 2 ) .

rP

3.6.

re lim

4. Muestre que las ecuaciones de Maxwell

3.6.1.

ad o

Los conceptos de espacios vectoriales discretos que hemos estudiado hasta ahora, finitos o infinitos, se pueden extender a espacios de funciones, en donde los vectores del espacio vectorial y las bases son funciones {|Fn (x)i}. La generalizaci´ on de bases discretas a continua se hace transformando el ´ındice de las sumatorias en la variable de una integral, de manera que los ´ındices se convierten en variables continuas definidas en intervalos finitos o infinitos. Como primer paso para el estudio de estos espacios introduciremos un nuevo objeto matem´ atico, que como veremos m´ as adelante, es de gran importancia y utilidad.

La funci´ on delta de Dirac

Bo rr

Recordemos que la delta de Kronecker δij que definimos con anterioridad es una cantidad que toma valores discretos: δij = 1 si i = j y δij = 0 si i 6= j. Es posible construir una extensión de este objeto matem´ atico para que los ´ındices puedan tomar cualquier valor real. Esto nos permite definir la “funci´ on” :  r  δ(x) → ∞ si x → 0 n −nx2 δ(x) = l´ım e ⇒ n→∞  π δ(x) = 0 si x 6= 0 Por tener este comportamiento tan particular no se le suele llamar función, sino una distribuci´ on, y si el punto del m´ aximo es un punto diferente de x = 0 podemos escribir: r n −n(x−x0 )2 δ(x − x0 ) = l´ım e n→∞ π

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171

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

Veamos la siguiente sucesi´ on de funciones gaussianas: r n −nx2 δn (x) = e , π tal que Z

∞

δn (x)dx = 1 , n > 0 −∞

in ar

A medida que el par´ ametro n aumenta su valor, la curva gaussiana δn (x) ser´ a cada vez m´ as alta y m´ as angosta, y si n → ∞ la curva ser´ a entonces infinitamente m´ as alta e infinitamente más angosta, pero siempre conservando que el área bajo la curva ser´ a igual a la unidad.

re lim

Figura 3.4: δn (x) para tres valores diferentes de n. donde x0 es el punto donde la gaussiana alcanza su valor máximo. En general, este proceso de limite puede aplicarse a funciones cuya area bajo la curva sea la unidad Z ∞ G(x)dx = 1 −∞

de manera que ∞

n→∞

nG(n(x − x0 ))f (x0 )dx0

Z

=

−∞

=

∞

l´ım

rP

Z l´ım

n→∞

l´ım

n→∞

G(n(x − x0 ))f

−∞ Z ∞

nx0 n

d(nx0 )

τ G(τ )f x − d(τ ) = f (x) n −∞

ad o

Si se intercambian los procesos de l´ımite e integración: Z ∞h i f (x) = l´ım nG(n(x − x0 )) f (x0 )dx0 ⇒ δ(x − x0 ) = l´ım nG(n(x − x0 )) ≡ δ(x, x0 ) . −∞ n→∞

Por lo tanto:

Z

∞

f (x) =

δ(x − x0 )f (x0 )dx0 ⇒

−∞

Bo rr

n→∞

  δ(x, x0 ) → ∞ si x → x0 

δ(x, x0 ) = 0

si x 6= x0

La principal propiedad de la delta de Dirac es que Z ∞ f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 ) −∞

es decir, act´ ua parecido a como lo hace la delta de Kronecker cuando se contrae uno de sus ´ındices con las componentes de un vector: aj = δji ai , en el sentido que de todos lo valores selecciona sólo uno. Adem´ as, si f (x) = 1 entonces Z ∞

δ(x − x0 )dx = 1 . −∞

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172

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

Existen algunas representaciones integrales basadas en el hecho de que δ(x − x0 ) u ńicamente existe en x = x0 . Z x=x0 +ε Z ∞ f (x)δ(x − x0 )dx f (x)δ(x − x0 )dx = −∞ x=x0 −ε Z b  f (x0 ) si a ≤ x0 ≤ b f (x)δ(x − x0 )dx =  a 0 si x0 < a ó x0 > b Y la funci´ on escal´ on de Heaviside x

H(x − x0 ) =

δ(x − x0 )dx = −∞

  1

si

0

si



x ≥ x0

in ar

Z

⇒ δ(x − x0 ) = x ≤ x0

dH(x − x0 ) . dx

re lim

Ejemplo Una distribuci´ on de carga eléctrica puede escribirse de manera sencilla utilizando la delta de Dirac. La distribuci´ on de carga eléctrica puede representarse a través de la siguiente integral Z q= ρ(r)dV V

de manera que para una carga puntual localizada en r = r0 se tiene que Z Z ρ(r)dV ⇒ ρ(r) = qδ(r − r0 ) q = q δ(r − r0 )dV = V {z } | =1

rP

Para finalizar, veamos algunas de las tantas propiedades:

• δ(ax) =

• xδ(x) = 0

• f (x)δ(x − x0 ) = f (x0 )δ(x − x0 )

1 2|a|

[δ(x − a) + δ(x + a)]

ad o

• δ(x2 − a2 ) =

• δ(r − r0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y0 )δ(z − z0 )

3.6.2.

δ(x) |a|

• δ(x − x0 ) = δ(x0 − x)

n

• xn+1 d dxδ(x) =0 n

•

R

f (r)δ(r − r0 )dV = f (r0 )

Bases continuas

Bo rr

Tal y como vimos anteriormente, la representación de un vector |F i en un espacio vectorial abstracto V puede darse en término de una base ortonormal de vectores (discreta y finita BDF = {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i} o discreta e infinita BDI = {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · |en i · · · }) de la forma:  i

 c |ei i = ei F i |ei i ⇐ BDF = {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · |en i} |F i =

 i c |ei i = ei F i |ei i ⇐ BDI = {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · |en i · · · } donde en ambos casos:

Hern´ andez & N´ un ˜ez

ci = ei F i = cj ei |ej i = cj δji .

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173

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

Recapitulemos ahora algunos puntos que hemos tratado con anterioridad, y con el fin de aclarar algunos conceptos, el caso de bases discretas de funciones {|ei (x)i}. La relaci´ on de ortogonalidad viene dada, como hemos mencionado, por: Z b n n e∗n (x)em (x)dx = Θn δm , he (x)|em (x)i = a

y con una norma definida por b

Z

2

2

k|ei (x)ik = hen (x)|en (x)i =

|en (x)| dx = Θn .

in ar

a

La base ser´ a ortonormal si Θn = 1. Con una base {|ei (x)i} definida es posible representar cualquier función f (x) cuadrado integrable, es decir que cumpla con Z b 2 |f (x)| dx 6= ∞ , a

re lim

en una combinaci´ on lineal de la base dada: |f (x)i = C i |ei (x)i

Las cantidades C i , las componentes de |F (x)i, se obtienen de la siguiente manera

ei (x) f (x)i = C j ei (x) ej (x)i = C j δji = C i =

Z

b

f (x)e∗i (x)dx ,

a

rP

Resulta conveniente para los c´ alculos que vienen cambiar i → n y x → x0 , de manera que Z b n C = f (x0 )e∗n (x0 )dx0 . a

Por lo tanto n

Bo rr

ad o

|f (x)i = C |en (x)i ⇒ |f (x)i =

Utilizando la delta de Dirac Z b Z 0 0 0 |f (x)i = f (x )δ(x − x )dx = a

a

" X Z

XZ

=

0

f (x )

|en (x)i

b

f (x0 )e∗n (x0 )en (x)dx0

b

f (x0 )

X

a

"

b

)e∗n (x0 )dx0

a

n

Z

f (x

0

a

n

=

#

b

e∗n (x0 )en (x)dx0

n

# X n

e∗n (x0 )en (x)

dx0 ⇒ δ(x − x0 ) =

X

e∗n (x0 )en (x) .

n

Esta u ´ltima relaci´ on viene a ser una generalización de la relación de cierre mencionada en la Secci´ on 2.3.4 y se conoce como condici´ on de completitud para la base {|ei (x)i}, además, también resulta ser una representaci´ on en serie para la delta de Dirac. De todo esto surgen algunas propiedades fundamentales:

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174

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

Se dice que el conjunto {|ei (x)i} es completo si para Z i |f (x)i = C |ei (x)i ⇒

b

2

|f (x)| =

X

a

2

|C n |

n

Si |f (x)i = C i |ei (x)i y |g(x)i = E i |ei (x)i, entonces hf (x)|g(x)i = Cn∗ E n .

|e0 i = 1,

|e2n−1 i = cos(nx)

in ar

Es posible pasar de estos espacios vectoriales discretos, donde las bases son un conjunto numerable de elementos {en (x)}, a espacios vectoriales de funciones con las bases dadas por funciones y donde el ´ındice n pasa a ser una variable continua. En el primer ejemplo de la Secci´ on 2.3.4 hablábamos de un conjunto de funciones {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |en i · · · } definidas por: |e2n i = sen(nx),

y

con n = 1, 2, 3, · · ·

nπ 1 |en (x)i = √ ei L x , 2L

re lim

Esta base discreta de Fourier también la podemos escribir de la forma compleja como: con n = −∞ . . . ∞ y − L ≤ x ≤ L .

rP

Cuando L → ∞, y n aumentando también indefinidamente, la cantidad k = nπ L se va convirtiendo en una variable continua, es decir, ∆k = ∆nπ → 0. Notemos que los ´ ındices de la delta de Kronecker δnm pueden L Lk Lk0 tomar los valores: n = π , m = π , y en el proceso de L → ∞ se convertirá en: L π Lk Lk 0 − =δ (k − k 0 ) = δ (k − k 0 ) . δnn0 → δ π π π L De esta manera la base ortonormal quedará escrita en función de las variables continuas k y x 1 |e(k, x)i = √ eikx . 2π

ad o

El hecho de que sean ortonormales se refleja en la siguiente condición (que es una extensión de la expresi´ on para el producto interno de bases discretas) Z b he(k, x)|e(k, x)i = e(k, x)∗ e(k 0 , x) dx = δ(k − k 0 ) , con α ≤ k ≤ β , a ≤ x ≤ b a

Bo rr

Al ser el conjunto de funciones {|e(k, x)i} una base, toda función del mismo espacio vectorial se puede expandir en esa base como: Z β |f (x)i = C(k)e(k, x)dk α

En correspondencia con el caso de las bases discretas, el coeficiente C(k) viene a ser algo parecido a las componentes de |f (x)i. Y para calcularlas se procede como se muestra a continuación: "Z # Z Z b

he(k 0 , x) |f (x)i =

β

e(k 0 , x)∗ f (x) dx =

a

b

e(k 0 , x)∗ e(k, x) dx dk

C(k) α

Z

a

β

=

C(k)δ(k − k 0 )dk = C(k 0 ) .

α

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175

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

Volvemos a cambiar la notaci´ on para los ´ındices: Z b C(k) = e(k, x0 )∗ f (x0 )dx0 , a

por lo tanto Z

β

0

C(k) |e(k, x)i dk =

|f (x)i =

"Z

b

Z

0 ∗

e(k, x ) e(k, x)dk dx0 =

f (x ) α

a

α

#

β

Z

b

f (x0 )δ(x − x0 )dx0 ,

a

y la relaci´ on β

e(k, x0 )∗ e(k, x)dk = δ(x − x0 )

in ar

Z

α

ser´ a la relaci´ on de cierre para el conjunto no numerable de funciones ortonormales. Una integral como la que nos permiti´ o definir C(k), digamos, del tipo Z b Z β 0 0 ∗ 0 F (k) = f (x )e(k, x ) dx ⇒ |f (x)i = F (k)e(k, x)dk a

α

re lim

es lo √que se denomina una transformada de f (x). Más adelante veremos que si la base, es por ejemplo eikx / 2π, la transformada ser´ a la de Fourier. En el espacio vectorial de funciones de cuadrado integrable L2 , definidas en R3 tendremos que: ∞ Z ∞ X

i i 3 0 ∗ 0 0 |F i = c |ei i ≡ e F i |ei i = d r ξi (r ) f (r ) |ei i −∞

i=0

∞

d3 r0 ξi∗ (r0 ) f (r0 ) ξi (r)

rP

que se reescribe en términos de funciones como ∞ Z X f (r) =

−∞

i=0

Es claro que se pueden intercambiar los s´ımbolos de Z

∞

R

y

"

∞ X

d3 r0 f (r0 )

f (r) =

ad o

−∞

P

, por lo cual #

ξi∗ (r0 ) ξi (r)

i=0

|

{z

G(r0 ,r)

}

Bo rr

la funci´ on G(r0 , r) que depende de los argumentos, r0 y r, vive dentro de las integrales y convierte Z ∞ f (r) = d3 r0 f (r0 ) G(r0 , r) Podemos ver entonces que:

Z

−∞ ∞

f (r) =

d3 r0 f (r0 ) δ(r0 − r)

−∞

En resumen, la generalizaci´ on de bases discretas a continuas se hace transformando el ´ındice de la sumatoria en la variable de una integral Z Z Z |Ψi = dα c (α) |wα i ⇒ c (β) = hwβ |Ψi = dα c (α) hwβ |wα i = dα c (α) δ (α − β) As´ı, para los conceptos expresados hasta ahora se tiene el siguiente tabla resumen:

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176

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

Propiedad\Base Ortogonalidad Cierre Expansi´ on Componentes Producto Interno Norma

3.6.3.

Discreta ui |u i = δj i P∞ j 1 = j=0 |uj i uj P∞ |F i = i=0 ci |ui i ci = P ui F i ∞ hG| F i = i=0 g i∗ fi P∞ 2 hF | F i = i=0 |fi |

Continua hwβ |w R α i = δ (α − β) 1 = dα |wα i hwα | R |Ψi = dα c (α) |wα i c (β)R = hwβ |Ψi hG| F i = dα g ∗ (α) f (α) R 2 hF | F i = dα |f (α)|

Transformada de Fourier. Bases de ondas planas

in ar

En las teor´ıas de oscilaciones es de gran importancia considerar el problema de la transformada de Fourier. Recientemente vimos que una funci´ on f (x) puede representarse de la forma Z β C(k)e(k, x)dk , |f (x)i = α

−∞

Por lo tanto:

Z

∞

f (x)e−ikx dx .

rP

1 |F(k)i = √ 2π

re lim

si la funci´ on f (x) est´ a definida en (−∞, ∞) y si tomamos al √ conjunto de vectores base como el conjunto de funciones continuas y ortonormales {e(k, x)} como {eikx / 2π}, entonces la integral anterior la podemos escribir de la forma: Z ∞ 1 F(k)eikx dk , |f (x)i = √ 2π −∞ R Si utilizamos la relaci´ on de ortogonalidad: he(k, x)|e(k, x)i = e(k, x)e(k 0 , x)∗ dx = δ(k − k 0 ), resulta: Z ∞ 0 ei(k−k )x dx = 2πδ(k − k 0 ) .

−∞

ad o

A las variables x y k se les denominan variables conjugadas de Fourier (no conjugadas como en variable compleja) y a F(k) la transformada de Fourier de f (x) (y viceversa). Notemos que si sustituimos F(k) en la otra integral: Z ∞Z ∞ Z ∞ 1 ik(x−x0 ) 0 0 f (x)e dk dx ⇒ |f (x )i = f (x)δ(x − x0 ) dx0 2π −∞ −∞ −∞

Bo rr

Podemos ver que la integral para F(k) la podemos hacer en dos partes: Z ∞ Z 0 Z ∞ 1 1 1 −ikx −ikx |F(k)i = √ f (x)e dx ⇒ √ f (x)e dx + √ f (x)e−ikx dx 2π −∞ 2π −∞ 2π 0 Si: x → −x, entonces

1 |F(k)i = √ 2π

Z 0

∞

1 f (−x)eikx dx + √ 2π

Z

∞

f (x)e−ikx dx

0

Dos casos podemos estudiar

Si la funci´ on es par, f (x) = f (−x): Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 1 f (x)eikx dx + f (x)e−ikx dx = √ f (x) cos(kx) dx |F(k)i = √ 2π 0 2π 0 0

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177

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

entonces, de la transformada al hacer F(k) = F(−k) se tiene Z ∞ 2 |f (x)i = √ F(k) cos(kx) dk , 2π 0 Estas dos funciones se conocen como las transformadas coseno de Fourier.

Ahora al hacer F(k) = −F(−k)

∞

Z

2 |f (x)i = √ 2π

˜ F(k)sen(kx) dk ,

0

donde F˜ (k) = iF (k). Tenemos ahora las transformadas seno de Fourier. La generalizaci´ on a Rn es obvia. Si f = f (r), entonces 1 |f (r)i = √ 2π

n1 Z

donde dk = dk1 dk2 dk3 . . . dkn . Para la transformada

∞

Z

∞

···

F(k)ei(k·r) dk ,

re lim

in ar

Si la funci´ on es impar, f (x) = −f (−x) Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2i 1 ikx −ikx f (−x)e dx − f (−x)e dx = √ f (x)sen(kx) dx |F(k)i = √ 2π 0 2π 0 0

−∞

−∞

1 Z Z ∞ 1 n ∞ ··· f (r)e−i(k·r) dr , |F(k)i = √ 2π −∞ −∞ donde dr = dx1 dx2 dx3 . . . dxn representa el elemento de volumen en Rn .

rP

Ondas planas: Como un ejemplo de lo anterior consideraremos la base de las ondas planas. Si a k la llamaremos s y a la variable x el tiempo t, vale decir Z ∞ Z ∞ 1 1 ist dt e f (t) f (t) = √ ds e−ist F (s) F (s) = √ 2π −∞ 2π −∞

ad o

De esta manera, a la funci´ on F (s) se le denomina la distribución espectral de f (t) y a |F (s)|2 la densidad espectral, es decir, la intensidad de la onda en el intervalo [s, s + ∆s]. Esto significa que la energ´ıa total es Z ∞ E= |F (s)|2 ds . −∞

Bo rr

También podemos re-escribir las transformadas en términos de la posición y el momento: Z ∞ Z ∞ 1 1 i(px/~) ¯ ¯ ψ (x) = √ dp e ψ (p) ψ (p) = √ dx e−i(px/~) ψ (x) 2π~ −∞ 2π~ −∞

Hemos tenido cuidado de incluir los factores de normalización adecuados para el caso de las descripciones en mec´ anica cu´ antica. Estas f´ ormulas pueden ser re-interpretadas en función de los conceptos anteriormente expuestos y podemos definir una base continua de la forma Z ∞ Z ∞ 1 1 1 1 i(px/~) −i(px/~) ¯ ¯ √ √ √ √ dp e ψ (p) ψ (p) = dx e ψ (x) ψ (x) = 2π~ −∞ 2π~ 2π~ −∞ 2π~ | {z } | {z } vp (x)

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vp∗ (x)

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178

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

por lo cual Z

∞

dp vp (x) ψ¯ (p)

ψ (x) =

ψ¯ (p) =

Z

−∞

∞

dx vp∗ (x) ψ (x) .

−∞

Diremos que la funci´ on ψ (x) est´ a expresada en la base de ondas planas vp (x) = N´ otese:

√ 1 ei(px/~) . 2π~

El ´ındice p de vp (x) var´ıa de forma continua entre −∞ a ∞.

in ar

1 ei(px/~) ∈ / L2 , es decir, no pertenece al espacio vectorial de funciones de cuadrado Que vp (x) = √2π~ integrable ya que su norma diverge Z ∞ Z ∞ 1 2 hvp | vp i = dx |vp (x)| = dx →∞ 2π~ −∞ −∞

Que las proyecciones de ψ (x) sobre la base de ondas planas es: ψ¯ (p) = hvp | ψi.

∞

1 i[p(x0 −x)/~] e = δ (x0 − x) , 2π~

re lim

La relaci´ on de cierre para esta base se expresa como Z Z ∞ Z 1= dα |vα i hvα | dp vp∗ (x0 ) vp (x) = −∞

−∞

dp

mientras que de la definici´ on de producto interno uno obtiene Z ∞ Z ∞ 1 i[x(p0 −p)/~] hvp0 | vp i = dx vp∗0 (x) vp (x) = dx e = δ (p0 − p) . 2π~ −∞ −∞

rP

En este mismo orden de ideas podemos construir otra base continua ξr0 (r) a partir de la utilizaci´ on de las propiedades de la delta de Dirac. Esto es Z ∞ Z ∞ 3 ψ (r0 ) = d3 r ψ (r) δ (r − r0 ) ψ (r) = d r0 ψ (r0 ) δ(r0 − r) | {z } −∞ −∞ ξr0 (r)

ad o

por lo cual la re-interpretaci´ on es inmediata Z ∞ ψ (r) = d3 r0 ψ (r0 ) ξr0 (r)

Z

∞

ψ (r0 ) = hξr0 | ψi =

con

−∞

−∞

d3 r ξr∗0 (r) ψ (r)

Bo rr

m´ as a´ un la ortogonalidad queda garantizada por la relación de cierre Z ∞ Z ∞ 3 ∗ 0 hξr0 | ξr0 i = d r0 ξr0 (r) ξr0 (r ) = d3 r0 δ (r − r0 ) δ (r0 − r0 ) = δ (r0 − r) −∞

−∞

al igual que

hξr0 | ξr00 =

Hern´ andez & N´ un ˜ez

Z

∞

−∞

d3 r ξr∗0 (r) ξr00 (r) =

Z

∞

d3 r δ (r − r0 ) δ (r − r00 ) = δ (r00 − r0 )

−∞

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179

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

3.6.4.

Las representaciones |ri y |pi

A partir de las bases de ondas planas vp0 (x), y de distribuciones, ξr0 (r), construimos las llamadas representaciones |ri y |pi de la forma siguiente. Asociamos ξr0 (r)

|r0 i

vp0 (x)

|p0 i

re lim

in ar

De esta forma dada las bases {ξr0 (r)} y {vp0 (x)} para el espacio vectorial V definiremos dos “representaciones”, la representaci´ on de coordenadas, |r0 i , y la representación de momentos |p0 i de V, respectivamente. De tal modo que Z ∞ hr0 | r00 i = d3 r ξr∗0 (r) ξr00 (r) = δ (r00 − r0 ) Z−∞ 1 = d3 r0 |r0 i hr0 | Z ∞ Z ∞ 1 −i(r0 ·p0 /~) e = δ (p00 − p0 ) hp0 | p00 i = d3 r vp∗00 (r) vp0 (r) = d3 r 2π~ −∞ −∞ Z 1 = d3 p0 |p0 i hp0 | Podemos, entonces expresar el producto interno para la representación de coordenadas como Z Z hΦ |Ψi = hΦ| d3 r0 |r0 i hr0 | |Ψi = d3 r0 φ∗ (r0 )ψ(r0 ) {z } |

rP

1

y equivalentemente para la representaci´ on de momentos Z Z hΦ |Ψi = hΦ| d3 p0 |p0 i hp0 | |Ψi = d3 p0 φ∗ (p0 )ψ(p0 ) {z } |

ad o

1

por lo cual hemos encontrado que

Z

|Ψi =

d r0 |r0 i hr0 | Ψi =

ψ(r0 ) = hr0 |Ψi

Bo rr

Z

3

y

d3 p0 |p0 i hp0 | Ψi

ψ(p0 ) = hp0 |Ψi

que es la representaci´ on de |Ψi en coordenadas, ψ(r0 ), y en momentos, ψ(p0 ). Adicionalmente cuando |Ψi = |pi tendremos que Z Z i 1 d3 r00 δ (r00 − r0 ) e ~ (p0 ·r0 ) hr0 |p0 i = hr0 | d3 r00 |r00 i hr00 | |p0 i = 3/2 (2π~) {z } | hr0 |p0 i =

Hern´ andez & N´ un ˜ez

1

1

(2π~)

3/2

e

i ~ (p0 ·r0 )

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180

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

con lo cual ψ(p0 ) puede considerarse la transformada de Fourier de ψ(r0 ), y denotaremos de ahora en adelante las bases |r0 i ≡ |ri y |p0 i ≡ |pi. Estos ´ındices continuos, r0 y p0 , representan tres ´ındices continuos r (x, y, z) y p (px , py , pz ). La proyecci´ on de un vector abstracto |Ψi en la representación |ri será considerada como su expresión en el espacio de coordenadas, igualmente su proyección hp |Ψi será su expresión en el espacio de los momentos. Eso nos permitir´ a hacer corresponder los elementos de espacios vectoriales abstractos con elementos de un espacio vectorial de funciones. Por lo tanto todas las fórmulas de proyección quedan como hr |Ψi = ψ(r)

hp |Ψi = ψ(p)

y

Z

hr| r0 i = δ (r0 − r)

y

d3 r |ri hr|

1= Z

0

hp| pi = δ (p − p)

y

1=

in ar

mientras que las relaciones de cierre y ortonormalización

d3 p |pi hp| ,

Z hΦ|

re lim

Por su parte, la relaci´ on de cierre har´ a corresponder a la expresión de el producto interno de dos vectores, tanto en la representaci´ on de las coordenadas como en la representación de momentos, en la forma Z d r |ri hr| |Ψi = d3 r φ∗ (r) ψ(r) 3

m

hΦ |Ψi

hΦ|

m Z ¯ d3 p |pi hp| |Ψi = d3 p φ¯∗ (p) ψ(p)

rP

Z

¯ donde φ¯∗ (p) y ψ(p) son las transformadas de Fourier de φ∗ (r) y ψ(r), respectivamente. La afirmación anterior queda evidentemente demostrada del cambio entre las bases |ri y |pi. Esto es ∗

hr |pi = hp |ri =

Z

ψ(r) = hr |Ψi = hr|

Bo rr

e inversamente

Z

ψ(p) = hp |Ψi = hp|

3.6.5.

(2π~)

ad o

por lo cual

1

i

3/2

e ~ (p·r)

Z d p |pi hp| |Ψi = d3 p hr |pi hp| Ψi = 3

3

d r |ri hr| |Ψi =

Z

1 (2π~)

Z

d3 r hp |ri hr| Ψi =

3/2

Z

1 3/2

i ¯ d3 p e ~ (p·r) ψ(p)

i

d3 r e− ~ (p·r) ψ(r) .

(2π~)

Ejercicios

1. Si

Hern´ andez & N´ un ˜ez

 1  0 x < − 2n 1 n − 2n < x < δn (x) =  1 0 x < 2n

1 2n

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181

3.6. ESPACIOS DE FUNCIONES

demuestre que Z

∞

f (x)δn (x)dx ,

f (0) = l´ım

n→∞

−∞

para f (x) continua en x = 0. 2. Para δn (x) = demuestre lo siguiente Z

n 1 , π 1 + n2 x2

∞

3. Si

2 2 n δn (x) = √ e−n x , π

demuestre que

4. Demuestre la siguiente relaci´ on Z

dδ(x) = −δ(x) dx

∞

re lim

x

in ar

δn (x)dx = 1 −∞

δ 0 (x)f (x)dx = −f (0)

−∞

rP

5. Dadas las siguientes funciones ortonormales 1 1 √ sen(kx) , √ cos(kx) a) |e(k, x)i = con: 0 ≤ k < ∞ , −∞ ≤ x < ∞ π π 1 √ eikx con: − ∞ ≤ k < ∞ , −∞ ≤ x < ∞ b) |e(k, x)i = 2π a) Escriba las condiciones de ortogonalidad y cierre

Bo rr

ad o

b) Demuestre R∞ 1) −∞ sen(kx)sen(k 0 x)dx = πδ(k − k 0 ). R∞ 2) −∞ cos(kx) cos(k 0 x)dx = πδ(k − k 0 ). R∞ 3) −∞ sen(kx) cos(k 0 x)dx = 0.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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182

3.7. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

3.7.

Algunos ejemplos resueltos

1. Encuentre las base dual para el siguiente espacio vectorial en V = R3 con base ortogonal: |e1 i = (1, 1, −1), |e2 i = (2, −1, 1), |e3 i = (0, −1, −1) Todo vector de ese espacio queda representado en esa base por         1 2 0 ξ 1 + 2ξ 2 |vi = ξ i |ei i = ξ 1  1  + ξ 2  −1  + ξ 3  −1  =  ξ 1 − ξ 2 − ξ 3  −1 1 −1 −ξ 1 + ξ 2 − ξ 3

in ar

Soluci´ on:

i Sea F ∈ V∗ , de manera

i que F [|vi] = ξ wi pueda representarse

por vectores fila F = (w1 , w2 , w3 ) y la base en dual como: e = (ai , bi , ci ). Además sabemos que ei |ej i = δji

Por lo tanto: 

 1 e1 |e1 i = (a1 , b1 , c1 )  1  = a1 + b1 − c1 = 1 −1   2

1 e |e2 i = (a1 , b1 , c1 )  −1  = 2a1 − b1 + c1 = 0 1   0

1 e |e3 i = (a1 , b1 , c1 )  −1  = −b1 − c1 = 0 −1

rP

re lim

 1 (a2 , b2 , c2 )  1  = a2 + b2 − c2 = 0 −1   2

2 e |e2 i = (a2 , b2 , c2 )  −1  = 2a2 − b2 + c2 = 1 1   0

2 e |e3 i = (a2 , b2 , c2 )  −1  = −b2 − c2 = 0 −1

  a1 = 31 b1 = 31 ⇒  c1 = − 13



Bo rr

ad o

2 e |e1 i =

 1 e3 |e1 i = (a3 , b3 , c3 )  1  = a3 + b3 − c3 = 0 −1   2

3 e |e2 i = (a3 , b3 , c3 )  −1  = 2a3 − b3 + c3 = 0 1   0

3 e |e3 i = (a3 , b3 , c3 )  −1  = −b3 − c3 = 1 −1

  a2 = 31 b2 = − 61 ⇒  c2 = 61



Hern´ andez & N´ un ˜ez

  a3 = 0 b3 = − 21 ⇒  c3 = − 12

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183

3.7. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

La base del dual es: e1 = ( 31 , 13 , − 13 ), e2 = ( 31 , − 16 , 16 ), e3 = (0, − 12 , − 12 ), de manera que

|F i = w1 e1 + w2 e2 + w3 e3

2. Dado los tensores:



1 Tij =  3 1

0 4 3

 2 1 , 4



 1 Ei =  4  3

in ar

Notemos que como era de esperarse     ξ 1 + 2ξ 2 ξ 1 + 2ξ 2

1 1 1 1 1 1 1   ξ1 − ξ2 − ξ3  = ξ2 ξ1 − ξ2 − ξ3  = ξ1 , , ,− ,− , e2 |vi = e |vi = 3 3 3 3 6 6 1 2 3 −ξ + ξ − ξ −ξ 1 + ξ 2 − ξ 3   ξ 1 + 2ξ 2

3 1 1  ξ1 − ξ2 − ξ3  = ξ3 e |vi = 0, − , − 2 2 −ξ 1 + ξ 2 − ξ 3

Soluci´ on:

La parte simétrica de Tij es:  1 1  1 3 Sij = [Tij + Tji ] = 2 2 1

  2 1 1 + 0 4 2

rP

Para la parte antisimétrica de Tij :  1 1 1  3 Aij = [Tij − Tji ] = 2 2 1

0 4 3

re lim

Encuentre la parte simétrica y la parte amtisimétrica de Tij y el producto Tij E j .

  1 2 1 + 0 2 4

3 8 4

  3 0 4 + 3 8 −1

ad o

Por lo tanto:

0 4 3



2 1 Tij = Sij + Aij =  3 2 3

3 4 1

3 4 1

  1 2 1 3  =  3 2 4 3

3 8 4

  1 0 −3 1 3  =  3 0 2 4 −1 2

−3 0 2

  1 1 −2  =  3 0 1

0 4 3

 3 4  8

 1 −2  0

 2 1  4

Bo rr

Para calcular Tij E j podemos hacer lo siguiente:   C1 = T11 E 1 + T12 E 2 + T13 E 3 = (1)(1) + (0)(4) + (2)(3) = 7 1 2 3 C2 = T21 E 1 + T22 E 2 + T23 E 3 = (3)(1) + (4)(4) + (1)(3) = 22 Ci = Ti1 E + Ti2 E + Ti3 E =  C3 = T31 E 1 + T32 E 2 + T33 E 3 = (1)(1) + (3)(4) + (4)(3) = 25

3. Dados los vectores:

e1 = i + j + 2k ,

e2 = i + 2j + 3k ,

e3 = i − 3j + 4k .

Diga si estos vectores son mutuamente ortogonales. Encuentre la base rec´ıproca ei , el tensor métrico en ambas bases y para el vector A = 3e1 + 2e2 + e3 encuentre sus componentes covariantes.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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184

3.7. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Soluci´ on:

Para saber si son ortogonales simplemente calculamos el producto escalar entre ellos: e1 · e2 = 9

e1 · e3 = 6

e2 · e3 = 7 .

Por lo tanto no son ortogonales. Por otro lado, sabemos que: ei =

ej × ek ei · (ej × ek )

Podemos calcular primero el denominador

Por lo tanto ei =

ej × ek V

 1 e =      e2 = ⇒      3 e =

V˜ = e1 · (e2 × e3 ) ⇒

e2 ×e3 V

=

e3 ×e1 V

= − 35 i + 13 j + 23 k

e1 ×e2 V

= − 61 i − 16 j + 16 k

17 6 i

− 16 j − 56 k

re lim

Notemos que

in ar

V = e1 · (e2 × e3 ) ⇒ (i + j + 2k) · ([i + 2j + 3k] × [i − 3j + 4k]) = 6

17 1 5 5 1 2 1 1 1 1 i− j− k · − i+ j+ k × − i− j+ k = 6 6 6 3 3 3 6 6 6 6

e1 · e2 e2 · e2 e3 · e2

  35 e1 · e3 4 e2 · e3  =  − 16 3 7 e3 · e3 − 12

rP

El tensor métrico para la base rec´ıproca  1 1 e ·e ij ji i j 2  e · e1 g˜ = g˜ = e · e = e3 · e1

− 16 3

7 − 12

10 3 1 3

1 3 1 12

 

mientras que para la base original



ad o

e1 · e1 gij = gji = ei · ej =  e2 · e1 e3 · e1

e1 · e2 e2 · e2 e3 · e2

  e1 · e3 6 e2 · e3  =  9 6 e3 · e3

9 14 7

 6 7  26

Y como debe ser



6 ei · ej = gij =  9 6

9 14 7

  35 6 4 7   − 16 3 7 26 − 12

− 16 3 10 3 1 3

7 − 12 1 3 1 12





1 = 0 0

0 1 0

 0 0  1

Bo rr

Para un vector dado por: A = 3e1 + 2e2 + e3 = 6i + 4j + 16k = a1 i + a2 j + a3 k, podemos calcular sus componentes covariantes de la manera siguiente:   a1 = g11 a1 + g12 a2 + g13 a3 = (6)(6) + (9)(4) + (6)(16) = 168 j a2 = g21 a1 + g22 a2 + g23 a3 = (9)(6) + (14)(4) + (7)(16) = 222 ai = gij a =  a3 = g31 a1 + g32 a2 + g33 a3 = (6)(6) + (7)(4) + (26)(16) = 480

Esto es: A = a1 i + a2 j + a3 k = 168e1 + 222e2 + 480e3 =26i-34j+88k.

4. Repita los c´ alculos del ejercicio anterior pero con los vectores e1 = i + j + 2k ,

Hern´ andez & N´ un ˜ez

e2 = −i − j + k ,

e3 = 3i − 3j .

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185

3.7. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Soluci´ on:

Ortogonalidad: e1 · e2 = 0

e1 · e3 = 0

e2 · e3 = 0 .

Son ortogonales. Por otro lado, sabemos que: ei =

ej × ek ei · (ej × ek )

Podemos calcular primero el denominador

Por lo tanto ej × ek V

El volumen V˜ = e1 · (e2 × e3 ) ⇒

= 61 i + 16 j + 13 k

e3 ×e1 V

= − 31 i − 13 j + 13 k

e1 ×e2 V

= 61 i − 16 j

1 1 1 1 1 1 1 1 1 i+ j+ k · − i− j+ k × i− j = 6 6 3 3 3 3 6 6 18

e1 · e2 e2 · e2 e3 · e2

  1 e1 · e3 6 e2 · e3  =  0 e3 · e3 0

0

rP

El tensor métrico para la base rec´ıproca  1 1 e ·e g˜ij = g˜ji = ei · ej =  e2 · e1 e3 · e1 para la base original

e2 ×e3 V

re lim

ei =

 1 e =      e2 = ⇒      3 e =

in ar

V = e1 · (e2 × e3 ) ⇒ (i + j + 2k) · ([−i − j + k] × [3i − 3j]) = 18

  e1 · e3 6 e2 · e3  =  0 0 e3 · e3

0 3 0



e1 · e1 gij = gji = ei · ej =  e2 · e1 e3 · e1

e1 · e2 e2 · e2 e3 · e2

1 3

0

 0 0 

1 18

 0 0  18

ad o

Para A = 3e1 + 2e2 + e3 = 4i − 2j + 8k = a1 i + a2 j + a3 k, sus componentes covariantes serán   a1 = g11 a1 = (6)(4) = 24 a2 = g22 a2 = (3)(−2) = −6 ai = gij aj =  a3 = g33 a3 = (18)(8) = 144 Esto es: A = a1 i + a2 j + a3 k = 24e1 − 6e2 + 144e3 =30i-18j+6k.

Bo rr

Notemos que si la base original hubiese sido ortonormal: √ √ e1 = (i + j + 2k)/ 6 , e2 = (−i − j + k)/ 3 ,

Entonces:



1 gij = g˜ij =  0 0

0 1 0

√ e3 = (3i − 3j)/ 18 .

  0  a1 = a1  0 a2 = a2 ⇒  a3 = a3 1

5. Demuestre que

δ(αx) = Hern´ andez & N´ un ˜ez

δ(x) , α

α > 0.

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186

3.7. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Soluci´ on: Z

Hagamos el siguiente cambio de variable y = αx.

∞

Z

∞

f (x)δ(αx)dx =

f

−∞

y

1 1 δ(y) dy = α α α

−∞

por lo tanto: δ(αx) =

Z

∞

f −∞

y α

δ(y)dy =

f (0) = α

Z

∞

f (x)δ(x)dx −∞

δ(x) α .

La condici´ on α > 0 es porque se debe tener en cuenta que la función delta de Dirac es par, es decir, δ(αx) = δ(−αx). De manera que resulta más apropiado escribir: δ(x) . |α|

in ar

δ(αx) = 6. Demuestre que: δ(g(x)) =

X δ(x − α) |g 0 (α)|

α

g(α) = 0 ∧ g 0 (α) 6= 0 .

Podemos ver que para la función g(x), en los intervalos donde se hace cero, se tiene

re lim

Soluci´ on:

,

g(x) ≈ g(α) + (x − α)g 0 (α) ,

−ε < α < ε

de manera que si sumamos para todos esos intervalos Z ∞ Z X Z α+ε 0 f (x)δ(g(x))dx = f (x)δ ((x − α)g (α)) dx = −∞

α

∞

−∞

α−ε

f (x)

X δ (x − α) α

|g 0 (α)|

dx

rP

donde hemos utilizado el resultado del ejemplo anterior. Por lo tanto: δ(g(x)) =

X δ (x − α) α

|g 0 (α)|

.

ad o

7. Encuentre la transformada de Fourier de la función

− nπ ω0 < t <

Bo rr

  sen(ω0 t)

f (t) =



0

Hern´ andez & N´ un ˜ez

nπ ω0

t < − nπ ω0 ∧ t >

⇒ nπ ω0

Figura 3.5: f (t) con: n = 6 y ω0 = π.

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187

3.7. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Soluci´ on: La funci´ on f (t) representa un tren de ondas finito con n ciclos en el intervalo dado. Por el hecho de ser f (t) una funci´ on impar, podemos utilizar la transformada seno de Fourier: 2 |F(ω)i = √ 2π

Z

nπ ω0

0

2 f (t)sen(ωt) dt = √ 2π

Z

nπ ω0

sen(ω0 t)sen(ωt) dt

0

in ar

Resolviendo la integral obtenemos la distribución espectral 2 nπ ω nπ ω |F(ω)i = √ ω0 sen cos (nπ) − ω cos sen (nπ) ω0 ω0 2π (ω 2 − ω0 2 ) i i h h   nπ  sin nπ ω0 (ω0 + ω) 1  sin ω0 (ω0 − ω) = √ −  2(ω0 − ω) 2(ω0 + ω) 2π 

l´ım |F(ω)i = l´ım |F(ω)i = 0

ω0 →∞

ω→∞

re lim

Es f´ acil ver que

rP

Adem´ as, se puede apreciar que el primer término es el de relevancia debido a que en el denominador aparece la diferencia: ω0 − ω. En la Figura 3.6 se muestra la funci´ on de distribución y en ella podemos notar que a medida que n crece la función |F(ω)i es una delta de Dirac en ω = ω0 . Por otro lado, es f´ acil ver que los ceros ocurren cuando ω0 − ω 2 3 1 = ± ,± ,± ... ω0 n n n

Figura 3.6: F(ω) con: n = 6 y ω0 = π.

Soluci´ on:

ad o

8. Encontrar la transformada de Fourier de la derivada de una función. Si

Z

∞

−∞

F(k)eikx dk ⇒

d (ik)n |f (x)i = √ n dx 2π

Z

∞

F(k)eikx dk .

−∞

Bo rr

1 |f (x)i = √ 2π

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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188

3.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

3.8.

Ejercicios propuestos

1. Si V es el espacio vectorial de todos los polinomios reales de grado n ≤ 2. Y si además definimos Z 1 = p(x)dx , ζ 2 [|pi] = p0 (2) ∧ ζ 3 [|pi] = p(1) ζ 1 [|pi] = 0

donde {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 } ∈ V∗ . Encuentre una base {|e1 i , |e2 i , |e3 i} ∈ V que resulte dual a {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 }. 2. Sean |v1 i y |v2 i ∈ V y supongamos que F [|v1 i] = 0 implica que F [|v2 i] = 0 ∀ F ∈ V∗ . Muestre que |v2 i = α |v1 i con α ∈ K.

in ar

3. Sean F1 y F2 ∈ V∗ y supongamos que F1 [|vi] = 0 implica que F2 [|vi] = 0 ∀ |vi ∈ V. Muestre que F2 = αF1 con α ∈ K. 4. Dado Fijk un tensor totalmente antisimetrico respecto a sus ´ındices ijk, demuestre que el rotor de Fijk definido como sigue, también ser´ a un tensor ∂Fijk ∂Fjkm ∂j Fkmi ∂k Fmij − + − m i j ∂x ∂x ∂x ∂xk

re lim

rot [Fijk ] = ∂m Fijk − ∂i Fjkm + ∂j Fkmi − ∂k Fmij ≡ 5. El momento de inercia se define como Z Iji = dvρ (r) δji xk xk − xi xj V

a) Muestre que Iji es un tensor

con xi = {x, y, z} y dv = dx dy dz

b) Encuentre la representaci´ on matricial para Iji

rP

c) Considere un cubo de lado l y masa total M tal que tres de sus aristas coinciden con un sistema de coordenadas cartesiano. Encuentre el tensor momento de inercia, Iji . 6. Para un sistema de n part´ıculas r´ıgidamente unidas, la cantidad de movimiento p y cantidad de movimiento angular L vienen definidas por

ad o

pα = mα vα = mα (ω × rα ) ≡ ijk ωj xk |ei i L=

X

(r × p)α ≡ ijk xk pk |ei i ;

α

Bo rr

con α = 1, 2, · · · , n, |ei i = {i, j, k} y xi = {x, y, z} Muestre que: P a) L = α mα [(r · r)α ω − rα (rα · ω)]. P b) Li = Iji ω j , donde Iji = α mα δji xk xk − xi xj es el tensor momento de inercia para un sistema de n part´ıculas r´ı gidamente unidas.

7. Dado un tensor genérico de segundo orden Tij . Demostrar a) Que el determinante det [T] ≡ det Tji = T y la traza tr Tji = Tii son invariantes, en otras i i palabras, det Tj y tr Tj son escalares respecto a transformaciones de coordenadas.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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189

3.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

b) Si definimos la matriz adjunta adj [A], como la traspuesta de la matriz de cofactores T T i j adj [A] = (Ac ) ⇒ adj Aij = (Ac )j = (Ac )i i

donde la matriz de cofactores (Ac )j viene dada por a11 i  a21 Aj = a31 

a12 a22 a32

  1 (Ac )1 a13 2 c i 2  c  a3 ⇒ (A )j = (A )1 3 3 a3 (Ac )1

1

(Ac )2 2 (Ac )2 3 (Ac )2

1  (Ac )3 2 (Ac )3  3 (Ac )3

= (−1)

1+1

= (−1)

2+1

(Ac )1 = (−1)

3+1

2 (Ac )1

3

2 a2 3 a2

a23 a33

1 (Ac )2

1 a2 3 a2

a13 a33

2 (Ac )2

1 a2 2 a2

a13 a23

(Ac )2 = (−1)

3

= (−1)

1+2

= (−1)

2+2

2 a1 3 a1

a23 a33

1 (Ac )3

1 a1 3 a1

a13 a33

2 (Ac )3

= (−1)

1+3

= (−1)

2+3

re lim

1 (Ac )1

in ar

y los cofactores son

3+2

1 a1 2 a1

a13 a23

3

(Ac )3 = (−1)

3+3

2 a2 3 a2

a23 a33

1 a1 3 a1

a12 a32

1 a1 2 a1

a12 a22

rP

Para la transformaci´ on x ˜i = a xi con a un escalar constante, muestre que i adj[T ] 1) τji = T j es un tensor 2) Su determinante det τji = τ y su traza tr τji = τii , también serán invariantes. adj[τ i ] 3) Tji = τ j 4) τ T = 1

ad o

˜ (˜ 8. Dados dos sistemas de coordenadas ortogonales O (x, y, z) y O x, y˜, z˜), donde el sistema de ˜ coordenas O se obtiene rotando a O, π/6 alrededor del eje z, para rotarlo π/2 alrededor del eje x ˜ con lo cual los ejes y˜ y z coinciden. a) Si tenemos los vectores

A = i + 2j + 3k , B = 2i + j + 3k ˜ Expréselos en el sistema de coordenadas O (˜ x, y˜, z˜).

Bo rr

b) El tensor de esfuerzos (tensiones normales y tangenciales a una determinada superficie) se expresa en el sistema O (x, y, z) como   P1 0 P4 Pji =  0 P2 0  0 0 P3

˜ (˜ ¿Cu´ al ser´ a su expresi´ on en el sistema de coordenadas O x, y˜, z˜)? 9. Suponga un sistema de coordenadas ortogonales generalizadas q 1 , q 2 , q 3 las cuales tienen las siguiente relaci´ on funcional con las coordenadas cartesianas q 1 = x + y;

Hern´ andez & N´ un ˜ez

q 2 = x − y;

q 3 = 2z;

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190

3.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

a) Compruebe que el sistema q 1 , q 2 , q 3 conforma un sistema de coordenadas ortogonales b) Encuentre los vectores base para este sistema de coordenadas c) Encuentre el tensor métrico y el elemento de volumen en estas coordenadas. d ) Encuentre las expresiones en el sistema q 1 , q 2 , q 3 para los vectores A = 2j ;

B = i + 2j ;

C = i + 7j + 3k

e) Encuentre en el sistema q 1 , q 2 , q 3 la expresión para las siguientes relaciones vectoriales A × B;

A · C;

(A × B) · C

in ar

¿Qué puede decir si compara esas expresiones en ambos sistemas de coordenadas?

10. La relaci´ on entre las coordenadas cartesianas (x, y) y las coordenadas bipolares (ξ, ζ) viene dada por x=

a sinh(ξ) ; cosh(ξ) + cos(ζ)

y=

a sin(ζ) ; cosh(ξ) + cos(ζ)

con a = const

re lim

a) Compruebe si los vectores base para las coordenadas bipolares son ortogonales b) Encuentre el tensor métrico para las coordenadas bipolares

c) Escriba las componentes covariantes y contravariantes para los vectores: i, j y i + 2j. 11. Demuestre que si

δn (x) = entonces

Z

n π(1 + n2 x2 )

∞

δn dx = 1 .

rP

−∞

12. Dada la siguiente sucesi´ on de funciones

1 δn (x) = 2nπ

sen(nx/2) sen(x/2)

2

ad o

Demuestre que δn (x) es una distribución delta de Dirac al calcular " 2 # Z ∞ sen(nx/2) 1 f (x) l´ım dx = f (0) . n→∞ 2nπ −∞ sen(x/2)

Bo rr

13. Encuentre las transformadas de Fourier de las siguientes funciones: a)

f (x) =

 −x  e , 

0,

x>0 x

1 a



0,

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191

in ar

Bibliograf´ıa

[1] Arfken, G. B.,Weber, H., Weber, H.J. (2000) Mathematical Methods for Physicists 5ta Edici´ on (Academic Press, Nueva York)

re lim

[2] Borisenko, A.I, y Tarapov I.E. (1968) Vector and Tensor Analisys (Dover Publications Inc, Nueva York) [3] Dennery, P. y Krzywicki, A. (1995) Mathematics for Physicists (Dover Publications Inc, Nueva York) [4] Harper, C. (1971) Introduction to Mathematical Physics (Prentice Hall, Englewood Cliff, N.J:) [5] Hassani, S. (1991) Foundations of Mathematical Physics (Prentice Hall, International Edition, London: (Addison-Wesley Pub Co

rP

[6] Hauser, W (1971) Introduction to Principles of Electromagnetism Reading)

[7] Riley, K.F., Hobson, M.P. y Bence, S.J. (2002) Mathematical Methods for Physics and Engineering (Cambridge University Press)

ad o

[8] Santal´ o, L.A (1969) Vectores y Tensores (Editorial Universitaria, Buenos Aires) [9] Schutz, B. (1980) Geometrical Methods in Mathematical Physics (Cambridge University Press, Londres)

Bo rr

[10] Spiegel, M. (1959) Vector Analysis (Schaums Outline Series, McGraw Hill New York )

192

4

in ar

Cap´ıtulo

Bo rr

ad o

rP

re lim

Matrices, Determinantes y Autovectores

193

4.1. OPERADORES LINEALES

4.1.

Operadores Lineales

Definiremos como operador lineal (o transformación lineal) a una operación que asocia un vector |vi ∈ V1 un vector |v 0 i ∈ V2 y que respeta la linealidad, es decir esta función de V1 →V2 cumple con |v 0 i = T |vi

T [α |v1 i + β |v2 i] = α T |v1 i + β T |v2 i

/

∀

|v1 i y |v2 i ∈ V1

Sencillamente, algo que act´ ue sobre una suma de vectores en V1 y que es equivalente a la suma de sus actuaciones sobre los vectores suma, es decir, a la suma en V2 .

in ar

Ejemplos 1. Las siguientes transformaciones |x0 i = T |xi

→

(x0 , y 0 , z 0 ) = T {(x, y, z)}

claramente son lineales

re lim

T {(x, y, z)} = (x, 2y, 3z) →

T {a (x, y, z) + b (m, n, l)} = aT {(x, y, z)} + bT {(m, n, l)} T {(ax + bm, ay + bn, az + bl)} = a (x, 2y, 3z) + b (m, 2n, 3l) (ax + bm, 2 [ay + bn] , 3 [az + bl]) = (ax + bm, 2 [ay + bn] , 3 [az + bl]) T {(x, y, z)} = (z, y, x) →

T {a (x, y, z) + b (m, n, l)} = aT {(x, y, z)} + bT {(m, n, l)}

rP

T {(ax + bm, ay + bn, az + bl)} = a (z, y, x) + b (l, n, m)

(az + bl, ay + bn, ax + bm) = (az + bl, ay + bn, ax + bm)

Claramente,

ad o

2. Cosas tan sencillas como la multiplicación por un n´ umero es una transformación (u operador) lineal T : V → V tal que T |vi = |v 0 i = α |vi T [a |vi + b |wi] = aT |vi + bT |wi = aα |vi + bα |wi

Obviamente, si α = 1 tenemos la transformación identidad que transforma todo vector en s´ı mismo; si α = 0 tendremos la transformaci´ on cero, vale decir que lleva a todo |vi ∈ V a al elemento cero |0i

Bo rr

3. La definici´ on de producto interno también puede ser vista como una transformación (operador) lineal T:V→R T |vi = α hc |vi ≡ α Otra vez:

T [a |vi + b |wi] = hc| [a |vi + b |wi] = a hc |vi + b hc |wi

por lo tanto es lineal. Esto implica que también la proyección de un determinado |vi ∈ V sobre un subespacio S es un operador lineal, y lo denotaremos como [|si hs|] |vi = hs |vi |si = |vs i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

con |si y |vs i ∈ S

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194

4.1. OPERADORES LINEALES

esta idea se extiende f´ acil si para un proyector T : Vm → Sn con m > n de tal modo que para un vector |vi ∈ Vm

Pm |vi ≡ |ui i ui m |vi = ui |vim |ui i = |vm i con {hui |} base de Sn . Es claro que estamos utilizando la convención de Einstein para la suma de ´ındices.

a través de n × m n´ umeros, aij , organizados de la siguiente forma i = 1, 2, · · · , m i i j y = aj x con j = 1, 2, · · · , n una vez m´ as,

in ar

4. Las ecuaciones lineales también pueden verse como transformaciones lineales. Esto es, considere una transformaci´ on lineal T : Vn → Vm . Por lo tanto asociaremos |yi = T |xi ⇒ y 1 , y 2 , y 3 , · · · , y m = T x1 , x2 , x3 , · · · , xn

re lim

T [α |vi + β |wi] = T α v 1 , v 2 , v 3 , · · · , v n + β w1 , w2 , w3 , · · · , wn = αaij v j + βaij wj = T αv 1 + βw1 , αv 2 + βw2 , αv 3 + βw3 , · · · , αv n + βwn j = aij (αv + βw) = αaij v j + βaij wj = aij αv j + βwj

5. La derivada es un operador lineal. As´ı podemos representar el operador lineal diferenciación como |v 0 i = T |vi

|y 0 i = D |yi

→

es claro que

→

D [y(x)] ≡

dy(x) d [y(x)] ≡ ≡ y 0 (x) dx dx

rP

D [αf (x) + βg(x)] = αD[f (x)] + βD[g(x)] ≡ αf 0 (x) + βg 0 (x) igualmente podemos asociar un operador diferencial de cualquier orden a una derivada del mismo orden, esto es

|y 000 i = D3 |yi

Bo rr

.. . E (n) = Dn |yi y

d2 d2 y(x) [y(x)] ≡ ≡ y 00 (x) dx2 dx2 d3 y(x) d3 [y(x)] ≡ ≡ y 000 (x) D3 [y(x)] ≡ 3 dx dx3

D2 [y(x)] ≡

→

ad o

|y 00 i = D2 |yi

→

Dn [y(x)] ≡

→

dn dn y(x) [y(x)] ≡ ≡ y (n) (x) n dx dxn

6. Igualmente, cualquier ecuaci´ on diferencial lineal es un ejemplo de operador lineal, esto es y 00 − 3 y 0 + 2 y = D2 − 3D + 2 y(x) es claro que si y(x) = αf (x) + g(x) la linealidad es evidente 00

0

(αf (x) + g(x)) − 3 (αf (x) + g(x)) + 2 (αf (x) + g(x)) = α (f 00 − 3 f 0 + 2 f ) + g 00 − 3 g 0 + 2 g 2

↑↓

D − 3D + 2 (αf (x) + g(x)) = D − 3D + 2 αf (x) + D2 − 3D + 2 g(x) . Hern´ andez & N´ un ˜ez

2

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195

4.1. OPERADORES LINEALES

7. La integral también es un operador lineal Z g(x) =

x

f (t)dt

T {f (t)}

a

8. Otro ejemplo t´ıpico son los operadores de transformaciones integrales b

Z

K (s, t) f (t)dt

F (s) =

T {f (t)}

a

in ar

donde K (s, t) es una funci´ on conocida de s y t, denominada el n´ ucleo de la transformación. Si a y b son finitos la transformaci´ on se dir´ a finita, de lo contrario infinita. ∞ As´ı, si f (t) = αf1 (t) + f2 (t) con f1 (t) y f2 (t) ∈ C[a,b] es obvio que:

Z F (s)

b

Z K (s, t) [αf1 (t) + βf2 (t)] = α

= a

a

= αF (s1 ) + βF (s2 )

b

Z

K (s, t) f1 (t)dt + β

K (s, t) f2 (t)dt

a

T {[αf1 (t) + βf2 (t)]} = αT {f1 (t)} + βT {f2 (t)}

re lim

F (s)

b

Dependiendo de la selecci´ on del n´ ucleo y los limites tendremos distintas transformaciones integrales. En F´ısica las m´ as comunes son: F (s) = T {f (t)}

Nombre Laplace

R∞

F (s) =

∞

Z

sen(st) f (t)dt cos(st)

F (s) =

0

Z

Fourier compleja

e−st f (t)dt

rP

Fourier de senos y cosenos

0

f (t) = T−1 {F (s)}

f (t) =

1 2πi

Z

∞

F (s) =

e

f (t)dt

Z

tJn (st)f (t)dt

e−ist F (s)ds

−∞

∞

F (s) =

∞

f (t) = ∞

Z f (t) =

0

sJn (ts)F (s)ds 0

Z

F (s) =

∞

ts−1 f (t)dt

0

f (t) =

1 2πi

R γ+i∞ γ−i∞

s−t F (s)ds

Bo rr

Mellin

ad o

Hankel

est F (s)ds

sen(st) F (s)ds cos(st)

0

−∞

Z

γ−i∞

f (t) =

∞

ist

R γ+i∞

4.1.1.

Espacio vectorial de operadores lineales

Un conjunto de operadores lineales {A, B, C · · · } : V1 →V2 puede constituir un espacio vectorial lineal si se dispone entre ellos de la operaci´ on suma y la multiplicación por un n´ umero. As´ı, claramente, dado {A, B, C · · · }, y definida   A [α |v1 i + β |v2 i] = α A |v1 i + β A |v2 i (χA + B) |vi ≡ χA |vi + B |vi /  B [α |v1 i + β |v2 i] = α B |v1 i + β B |v2 i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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196

4.1. OPERADORES LINEALES

es directo comprobar que (χA + B) [α |v1 i + β |v2 i] = χA [α |v1 i + β |v2 i] + B [α |v1 i + β |v2 i] = χ (α A |v1 i + β A |v2 i) +α B |v1 i + β B |v2 i = χ (α A |v1 i +α B |v1 i) + β A |v2 i + β B |v2 i ⇓ (χA + B) [α |v1 i + β |v2 i] = χA [α |v1 i + β |v2 i] + B [α |v1 i + β |v2 i] Igualmente, se cumple que con A + B + C lineales en V [(A + B) + C] |vi = (A + B) |vi + C |vi

∀

= A |vi + B |vi + C |vi = A |vi + (B + C) |vi

|vi ∈ V1

re lim

= [A+ (B + C)] |vi ,

in ar

(A + B) + C = A+ (B + C)

del mismo modo se puede comprobar f´ acilmente

A+B=B+A

Ahora bien, si definimos la transformaci´ on cero de V1 →V2 tal que |0i = O |vi

∀

|vi ∈ V1

rP

le asigna a el vector |0i ∈ V2 ∀ |vi ∈ V1 , entonces el operador lineal O será el elemento neutro respecto a la suma de operadores. Finalmente, el elemento simétrico queda definido por (−A) |vi = −A |vi

⇒

(A − A) |vi = O |vi = |0i

4.1.2.

ad o

Con ello queda demostrado que los operadores lineales forman un espacio vectorial el cual de ahora en adelante denominaremos L (V1 , V2 ) .

Composici´ on de operadores lineales

El producto o composici´ on de dos operadores lineales, A y B se denotará AB y significará que primero se aplica B y al resultado se aplica A. Esto es

Bo rr

AB |vi = A (B |vi) = A |˜ v i = |˜ v0 i

La composici´ on de funciones cumple con las siguientes propiedades (AB) C = A (BC) ;

α (AB) = (αA) B = A (αB) ;

(A1 + A2 ) B = A1 B + A2 B ;

A (B1 + B2 ) = AB1 + AB2

Es decir, que la composici´ on de operadores es asociativa y distributiva a la suma y que conmuta respecto a la multiplicaci´ on por n´ umeros. Por otro lado si I es el operador Identidad I |vi = |vi

Hern´ andez & N´ un ˜ez

⇒

AI = IA = A .

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197

4.1. OPERADORES LINEALES

En general AB 6= BA, por lo tanto podemos construir el conmutador de estos operadores como [A, B] = AB − BA

/

[AB − BA] |vi = AB |vi − BA |vi

Es inmediato comprobar algunas de las propiedades más u ´tiles de los conmutadores: [A, B] = − [B, A] [A, (B + C)] = [A, B] + [A, C] [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]

in ar

0 = [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] Dados dos vectores |v1 i y |v2 i definiremos como el elemento de matriz del operador A al producto interno de dos vectores hv2 | (A |v1 i) ≡ A(|v1 i,|v2 i) ,

A : V1 → V2 denominada isomorf´ısmo, tal que: 1. A es biyectiva

re lim

es claro que A(|v1 i,|v2 i) ser´ a en general un n´ umero complejo, pero esto lo veremos detalladamente en la Secci´ on 4.2. Diremos que dos espacios vectoriales V1 , V2 son isomorfos si existe una transformación ⇒

|v 0 i = A |vi ,

2. A es lineal: A [α |v1 i + β |v2 i] = α A |v1 i + β A |v2 i

∀

|v1 i y |v2 i ∈ V1 .

rP

El que A sea biyectiva nos garantiza que existe la transformación inversa A−1 , que también será biyectiva. Es decir, podr´ıamos hablar de manera equivalente de una transformación F : V2 → V1 . Volveremos a este tema m´ as adelante. Ejemplos

ad o

1. Potencias de Operadores: Uno de los ejemplos más u ´tiles en la composición de operadores lo constituyen las potencias de los operadores, las cuales provienen de la aplicación consecutiva de un mismo operador, A0 = I ;

A1 = A ;

A2 = AA ;

A3 = A2 A = AAA ; · · ·

Bo rr

es claro que las potencias de operadores cumplen las propiedades estándares de las potencias de n´ umeros An+m = An Am ;

m

(An )

= Anm .

Llamaremos operadores nilpotentes de grado n a los operadores An 6= 0 del tipo An |vi = |0i ∀ |vi ∈ V1 y |0i ∈ V2 . Es decir, un operador que lleva cualquier vector |vi al elemento neutro de V2 . El ejemplo m´ as notorio es el operador diferencial Dn P n−1 = |0i

dn i dn P (x) = ai x = 0 , n−1 dxn dxn

con P n−1 perteneciente al espacio de polinomios de grado n − 1.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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198

4.1. OPERADORES LINEALES

∞ 2. Operador Ecuaciones Diferenciales. Si consideramos el espacio de funciones f (x) ∈ C[a,b] podemos construir un operador diferencial dn d2 d + a2 2 + · · · + an n f (x) , a0 + a1 D + a2 D2 + · · · + an Dn |f i ⇒ a0 + a1 dx dx dx

con {a0 , a1 , a2 , · · · an } coeficientes constantes. De este modo, por ejemplo 2 d d − 3 D2 − 3D + 2 y = (D − 1) (D − 2) y ⇒ + 2 y(x) = y 00 − 3 y 0 + 2 y . dx2 dx

Proyectores

in ar

4.1.3.

re lim

La notaci´ on de Dirac se hace particularmente conveniente para representar proyectores. Hasta ahora, hemos relacionado un funcional lineal, un bra hw| del espacio dual V∗ , con un vector ket |vi del espacio vectorial V a través de su producto interno hw| vi, el cual es, en general, un n´ umero complejo. Ahora escribiremos esta relaci´ on entre vectores y formas diferenciales de una manera diferente: la relación entre hw| y |vi un ket |Ψi o un bra hΦ| arbitrarios puede ser   |vi hw| Ψi |vi hw| ⇒  hΦ |vi hw| La primera ser´ a la multiplicaci´ on del vector |vi por el n´ umero complejo hw| Ψi, mientras que la segunda relaci´ on ser´ a la multiplicaci´ on de la forma hw| por el complejo hΦ |vi. Es imperioso se˜ nalar que el orden en la escritura de los vectores y formas es cr´ıtico, sólo los n´ umeros complejos λ se pueden mover con impunidad a través de estas relaciones λ hw| = hλw| = hw| λ

rP

λ |vi = |λvi = |vi λ,

hw| λ |vi = λ hw| vi = hw| vi λ

y

A |λvi = Aλ |vi = λA |vi .

Por lo tanto, dado un vector |vi, podemos construir un proyector P|vi a lo largo del vector |vi con hv| vi = 1 ,

ad o

P|vi ≡ |vi hv| ,

siempre y cuando este operador lineal cumpla P|vi [α |z1 i + β |z2 i] |vi hv| [α |z1 i + β |z2 i]

Bo rr

adem´ as:

P2|vi

= α P|vi |z1 i + β P|vi |z2 i

= |vi hv| α |z1 i + |vi hv| β |z2 i = α |vi hv |z1 i + β |vi hv |z2 i ,

= P|vi

P|vi P|vi |zi =

⇐⇒

(|vi hv|) (|vi hv|) = |vi hv|

(|vi hv|) (|vi hv|) |zi = |vi hv |vi hv |zi = |vi hv |zi = P|vi |zi . | {z } 1

As´ı, el operador P|vi actuando sobre el vector |Ψi representará la proyección de |Ψi a lo largo de |vi P|vi |Ψi = |vi hv| Ψi ≡ hv| Ψi |vi .

Es inmediato construir un proyector de un vector sobre un subespacio Sq . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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199

4.1. OPERADORES LINEALES

Sea {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |eq i} un conjunto ortonormal de vectores que expande Sq , por lo tanto, definiremos el proyector Pq al proyector sobre el subespacio Sq de la forma

Pq = |ei i ei q , es claro que P2q = Pq : δji

z }| {

P2q |vi = Pq Pq |vi ⇒ P2q |vi = |ei i ei q |ej i ej q |vi = |ei i ei |ej i ej |vi = |ej i ej |vi ≡ Pq |vi

4.1.4.

in ar

∀ |vi ∈ V.

Funciones de operadores

Bas´ andonos en el primero de los ejemplos anteriores se puede construir un “polinomio” en potencias de los operadores:

re lim

Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn = ai xi Pn (A) |vi = a0 + a1 A + a2 A2 + · · · + an An |vi = ai Ai |vi ∀ |vi ∈ V1 .

Lo anterior nos permite extender la idea de operadores a funciones de operadores, es decir, si nos saltamos todos los detalles de convergencia de la serie anterior, los cuales dependerán de los autovalores de A y de su radio de convergencia; entonces, as´ı como podemos expresar cualquier función F (z) como una serie de potencias de z en un cierto dominio, podremos expresar la función de un operador, F (A), como una serie de potencias del operador A, esto es F (z) = ai z i F (A) |vi = ai Ai |vi .

rP

Por ejemplo, podemos expresar

# ∞ X A An An |vi = I + A + + · · · + · · · |vi . e |vi = n! 2! n! n=0 "

A

ad o

En este caso hay que hacer una acotaci´ on, dado que, en general, [A, B] 6= 0 ⇒ eA eB 6= eB eA 6= eA+B . Esta afirmaci´ on se corrobora de manera inmediata al desarrollar las exponenciales "∞ #" ∞ # "∞ ∞ # X An X Bm X X An Bm eA eB |vi = |vi = |vi , n! m! n! m! n=0 m=0 n=0 m=0 ∞ X Bn e e |vi = n! n=0

"

Bo rr

B A

# "∞ ∞ # ∞ X X X Bn Am Am |vi = |vi , m! n! m! m=0 n=0 m=0

#"

# ∞ n X (A + B) eA+B |vi = |vi , n! n=0 "

s´ olo en el caso que [A, B] = 0 ⇒ eA eB = eB eA = eA+B . La demostraci´ on es inmediata pero requiere expandir y rearreglar las sumatorias arriba expuestas. M´ as adelante, en la Secci´ on 4.3.2, demostraremos con detalle la relación de Glauber: 1

eA eB = eA+B e 2 [A,B] . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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200

4.1. OPERADORES LINEALES

4.1.5.

Espacio Nulo e Imagen

El conjunto de todos los |vi ∈ V1 / A |vi = |0i, se denomina espacio nulo, n´ ucleo o kernel (n´ ucleo en alem´ an) de la transformaci´ on A y lo denotaremos como ℵ (A). En s´ımbolos diremos que ℵ (A) = {|vi ∈ V1

∧

A |vi = |0i} .

in ar

Adicionalmente, ℵ (A) ⊂ V1 ser´ a un subespacio de V1 . La prueba de esta afirmación es inmediata. Dados |v1 i , |v2 i ∈ ℵ (A), con A un operador lineal, es claro que  A |v1 i = |0i  ⇒ α1 A |v1 i + α2 A |v2 i = |0i = A (α1 |v1 i + α2 |v2 i) ,  A |v2 i = |0i por la misma raz´ on se tiene que el elemento neutro está contenido en ℵ (A), esto es A |α vi = |0i

∀

|vi ∈ V1

∧

∀

α

∴

A |0i = |0i

si α = 0 ,

re lim

por lo tanto, queda demostrado que ℵ (A) es un subespacio de V1 . Por otra parte, definiremos imagen (rango o recorrido) de A, y la denotaremos como = (A) = {|v 0 i ∈ V2

∧

A |vi = |v 0 i} ,

igualmente = (A) ⊂ V2 también ser´ a un subespacio de V2 ya que si |vi = α1 |v1 i + α2 |v2 i y dado que A es un operador lineal, se cumple que  

rP

  A α1 |v1 i + α2 |v2 i = α1 A |v1 i + α2 A |v2 i = α1 |v10 i + α2 |v20 i . | {z } | {z } | {z } | {z } |vi |v 0 i |v10 i |v20 i Es claro que si V es de dimensi´ on finita, A {V} = n también será de dimensión finita n y tendremos que dim [ℵ (A)] + dim [= (A)] = dim [V] ,

Bo rr

ad o

vale decir, que la dimensi´ on del n´ ucleo m´ as la dimensión del recorrido o imagen de una transformación lineal es igual a la dimensi´ on del dominio. Para demostrar esta afirmaci´ on supongamos que dim [V] = n y que {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · |ek i} ∈ V es una base de ℵ (A), donde k = dim [ℵ (A)] ≤ n. Como {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · |ek i} ∈ V estos elementos forman base, y por lo tanto, son linealmente independientes, necesariamente ellos formar´ an parte de una base mayor de V. Esto es: {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |ek i , |ek+1 i , · · · , |ek+r−1 i , |ek+r i} ∈ V será una base de V donde k+r = n. El esquema de la demostraci´ on ser´ a: primero probaremos que {A {|ek+1 i} , A {|ek+2 i} , · · · , A {|ek+r−1 i} , A {|ek+r i}} forman una base para A {V} luego demostraremos que dim [A {V}] = r y como hemos supuesto que k + r = n habremos demostrado la afirmaci´ on anterior.

Si los r elementos {A {|ek+1 i} , A {|ek+2 i} , · · · , A {|ek+r−1 i} , A {|ek+r i}} expanden A {V} entonces cualquier elemento |wi ∈ A {V} / |wi = A |vi = C i |Aei i , con |Aei i = A |ei i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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201

4.1. OPERADORES LINEALES

Ahora bien, analicemos con cuidado los l´ımites de la suma impl´ıcita del ´ındice i = 1, 2, · · · , k + r |wi = C i |Aei i = C 1 |Ae1 i + C 2 |Ae2 i + · · · + C k |Aek i + C k+1 |Aek+1 i + · · · + C k+r |Aek+r i | {z } =|0i

ya que A|e1 i=A|e2 i=A|e3 i···=A|ek i=|0i

Por lo tanto {A {|ek+1 i} , A {|ek+2 i} , · · · , A {|ek+r−1 i} , A {|ek+r i}} expanden A {V}. Ahora bien, para demostrar que son base, demostraremos que son linealmente independientes, para ello supondremos que k+1 k+2 ∃ C ,C , · · · , C k+r / C i |Aei i = 0 con i = k + 1, k + 2, · · · , k + r

in ar

y tenemos que demostrar que C k+1 = C k+2 = · · · = C k+r = 0. Entonces C i |Aei i = C i A |ei i = A C i |ei i = 0 con i = k + 1, k + 2, · · · , k + r

por lo tanto el elemento |vi = C i |ei i ∈ ℵ (A) con i = k + 1, k + 2, · · · , k + r. Con lo cual, dado que ∀ |vi ∈ ℵ (A) , |vi = C i |ei i con i = 1, 2, · · · , r, entonces se puede hacer la siguiente resta k X i=1

k+r X

C i |ei i −

C i |ei i

i=k+1

re lim

|vi − |vi =

y como los {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · , |ek i , |ek+1 i , · · · , |ek+r−1 i , |ek+r i} son una base de V entonces las C k+1 = C k+2 = · · · = C k+r = 0. Ejemplos

1. Transformaciones Identidad: Sea I : V1 →V2 , la transformación identidad, |vi ∈ V1

/

I |vi = |vi

⇒

ℵ (I) = {|0i} ⊂ V1

rP

∀

ad o

2. Sistemas de ecuaciones lineales: En Vn las soluciones a sentan el espacio nulo, ℵ (A), para vectores de Vn   A11 A12 · · · A1n  A21 A22  ···    A |xi = |0i  .   . ..  ..  An1

An2

Ann

∧

= (I) ≡ V1

los sistemas de ecuaciones lineales reprex1 x2 .. . xn





    =  

0 0 .. .

    Aij xi = 0 , 

0

con j ecuaciones (j = 1, 2, · · · , n). Recordemos que estamos utilizando la convención de Einstein para suma de ´ındices.

Bo rr

2 3. Ecuaciones diferenciales ordinarias: Sea C[−∞,∞] el espacio vectorial de todas las funciones con2 tinuas doblemente diferenciables. Definimos A : C[−∞,∞] → C[−∞,∞] como la transformación lineal 2 2 D − 1 tal que para todas las y(x) ∈ C[−∞,∞] se cumple

A |xi = |0i

D2 − 1 y(x) = 0

d2 − 1 y(x) = y 00 − y = 0 . dx2

El n´ ucleo o espacio nulo de A, ℵ (A), lo constituyen el conjunto de soluciones para la mencionada ecuaci´ on diferencial. Por lo tanto, el problema de encontrar las soluciones de la ecuación diferencial es equivalente a encontrar los elementos del n´ ucleo de A.

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202

4.1. OPERADORES LINEALES

4.1.6.

Operadores biyectivos e inversos

Se dice que A : V1 →V2 es biyectivo (uno a uno o biun´ıvoco) si dados |v1 i , |v2 i ∈ V1 , ∧ |v 0 i ∈ V2 , se tiene que A |v1 i = |v 0 i ∧ A |v2 i = |v 0 i ⇒ |v1 i = |v2 i ,

1

2

in ar

es decir, ser´ a biyectiva si A transforma vectores distintos de V1 en vectores distintos de V2 . Más a´ un, se puede afirmar que una transformaci´ on lineal A, será biyectiva si y sólo si ℵ (A) = {|0i}. Vale decir, si el subespacio nulo est´ a constituido, u ńicamente por el elemento neutro del espacio vectorial. La demostraci´ on es sencilla. Supongamos que A es biyectiva y que A |vi = |0i, entonces |vi = |0i, es decir, A |0i = |0i, por consiguiente ℵ (A) = {|0i}. Rec´ıprocamente, si    ℵ (A) = {|0i}    ∧ ⇒ A |v1 i − A |v2 i = |0i = A |v1 i − |v2 i ⇒ |v1 i = |v2 i .  | {z } A |v1 i = A |v2 i |v i−|v i=0

rP

re lim

La importancia de las transformaciones lineales uno a uno o biyectivas reside en la posibilidad de definir inversa, debido a que siempre existe en V2 un vector |v 0 i asociado a través de A con un vector |vi ∈ V1 . Diremos que A−1 : V2 →V1 es el inverso de A, si A−1 A = I = AA−1 . Habr´ıa que hacer un par de comentarios al respecto. El primero es que, tal y como hemos enfatizado arriba, en general, los operadores no conmutan entre si, y los inversos no son una excepción. Es decir, deber´ıan existir (y de hecho existen) inversas por la izquierda A−1 A e inversas por la derecha AA−1 . Por simplicidad e importancia en F´ısica obviaremos esta dicotom´ıa y supondremos que A−1 A = I = AA−1 . El segundo comentario tiene que ver con la existencia y unicidad del inverso de un operador lineal. Algunos operadores tienen inverso, otros no, pero aquellos quienes tienen inverso, ese inverso es u ńico. Veamos, supongamos que  A−1 1 A |vi = |vi  −1 −1 −1 −1 ∧ A |vi ⇒ A−1 ⇒ A−1 1 = A2 . 1 A |vi − A2 A |vi = |0i = A1 − A2  | {z } A−1 2 A |vi = |vi −1 −1 A1 =A2

ad o

Ahora bien, un operador lineal A tendrá inverso s´ı y sólo s´ı para cada vector |v 0 i ∈ V2 ∃ |vi ∈ V1 / A |vi = |v 0 i. Es decir, cada vector |v 0 i está asociado con uno y sólo un vector |vi a través de la transformaci´ on lineal A. Dejaremos sin demostración esta afirmación pero lo importante es recalcar que para que exista inverso la transformaci´ on lineal A, tiene que ser biyectiva y esto implica que se asocia uno y s´ olo un vector de V1 con otro de V2 . Todav´ıa podemos a˜ nadir algunas demostraciones consecuencias de las afirmaciones anteriores. Sea la transformaci´ on lineal T : V1 → V2 y supongamos además que T ∈ L (V1 , V2 ). Entonces las siguientes afirmaciones son v´ alidas y equivalentes

Bo rr

1. T es biyectiva en V1

2. T es invertible y su inversa T−1 : T {V1 } → V1 es lineal

3. ∀ |vi ∈ V1 , T {|vi} = |0i ⇒ |vi = |0i esto es, el espacio nulo ℵ (T) u ńicamente contiene al elemento neutro de V1 .

Si ahora suponemos que V1 tiene dimensión finita, digamos dim [V1 ] = n, las siguientes afirmaciones ser´ an v´ alidas y equivalentes 1. T es biyectiva en V1 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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203

4.1. OPERADORES LINEALES

2. Si {|u1 i , |u2 i , |u3 i , · · · |un i} ∈ V1 son linealmente independientes, entonces, el conjunto de transformaciones lineales: {T {|u1 i} , T {|u2 i} , T {|u3 i} , · · · T {|un i}} ∈ T {V1 } también será linealmente independientes. 3. dim [T {V1 }] = n. 4. Si {|e1 i , |e2 i , |e3 i · · · |en i} ∈ V1 es una base de V1 , entonces {T {|e1 i} , T {|e2 i} , T {|e3 i} · · · T {|en i}} ∈ T {V1 } es una base de T {V1 }.

4.1.7.

Operadores herm´ıticos conjugados (hw| A) |vi = hw| (A |vi) , | {z } | {z } hw0 |

|v 0 i

in ar

Definiremos la acci´ on de un operador A sobre un bra de la forma siguiente

hw| = λ1 hz1 | + λ2 hz2 |

re lim

por lo cual, lo que estamos diciendo es que no importa donde opere A. Recordemos que cada vector en V tiene asociado un vector en V∗ . Podemos demostrar que A operando sobre los bra es lineal. Esto es, dado

(hw| A) |vi ≡ (λ1 hz1 | + λ2 hz2 | A) |vi = (λ1 hz1 | + λ2 hz2 |) (A |vi) = λ1 hz1 | (A |vi) + λ2 hz2 | (A |vi) = λ1 (hz1 | A) |vi + λ2 (hz2 | A) |vi .

rP

Siguiendo con esta l´ ogica podemos construir la acción del operador herm´ıtico conjugado, A† . Para ello recordamos que igual que a cada vector (ket) |vi le está asociado una forma lineal (bra) hv|, a cada ket transformado A |vi = |v 0 i le corresponder´ a un bra transformado hv 0 | = hv| A† . Por lo tanto |vi

0

|v i = A |vi

⇐⇒

⇐⇒

hv|

hv 0 | = hv| A† .

ad o

Ahora bien, si A es lineal, A† también lo será, dado que a un vector |wi = λ1 |z1 i + λ2 |z2 i le corresponde un bra hw| = λ∗1 hz1 | + λ∗2 hz2 | (la correspondencia es antilineal). Por lo tanto, |w0 i = A |wi = λ1 A |z1 i + λ2 A |z2 i , por ser A lineal, entonces |w0 i ⇐⇒ hw0 | ≡ hw| A† = (λ∗1 hz1 | + λ∗2 hz2 |) A† ≡ λ∗1 hz10 | + λ∗2 hz20 | = λ∗1 hz1 | A† + λ∗2 hz2 | A† . Es claro que de la definici´ on de producto interno en la notación de Dirac, se desprende ∗

∀

Bo rr

hx0 | yi = hy| x0 i

∗

|x0 i = A |xi , |yi ∈ V ⇒ hx| A† |yi = hy| A |xi ∀ |xi , |yi ∈ V .

Igualmente se pueden deducir las propiedades de los operadores herm´ıticos conjugados A†

†

= A;

†

(λA) = λ∗ A† ;

†

(A + B) = A† + B† ;

†

(AB) = B† A† .

Esta u ´ltima propiedad es f´ acilmente demostrable y es educativa su demostración. Dado que |v 0 i = AB |vi, y adem´ as se tiene que  |¯ v i = B |vi  † ⇒ hv 0 | = h¯ v | A† = hv| B† A† = hv| (AB) .  vi |v 0 i = A |¯

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204

4.1. OPERADORES LINEALES

A partir de las propiedades anteriores se deriva una más u ´til relacionada con el conmutador † † † † † [A, B] = − A , B = B , A . La conclusiones a las que llegamos resultan ser que para obtener el herm´ıtico conjugado de una expresi´ on se debe proceder de la siguiente manera: Cambiar constantes por sus complejas conjugadas λ λ∗ . Cambiar los kets por sus bras asociados y viceversa (bras por kets): |vi hv|. Cambiar operadores lineales por sus herm´ıticos conjugados A† A.

De este modo

in ar

Inviertir el orden de los factores. †

(|vi hw|) = |wi hv| ,

4.1.8.

re lim

que se deduce f´ acilmente de la consecuencia de la definición de producto interno † ∗ ∗ ∗ hx| |vi hw| |yi = hy| (|vi hw|) |xi = hy| |vi hw| |xi = hx| |wi hv| |yi .

Operadores herm´ıticos

Existe un conjunto de operadores que se denominan herm´ıticos a secas o autoadjunto. Un operador herm´ıtico (o autoadjunto) ser´ a aquel para el cual A† = A. Con esto ∗

hx| A† |yi = hx| A |yi = hy| A |xi .

rP

Estos operadores juegan el rol de los n´ umeros reales en el sentido de que son “iguales a su propio complejo conjugado” y se utilizan como los observables en la Mecánica Cuántica. Claramente los proyectores son autoadjuntos por construcción †

P†|vi ≡ (|vi hv|) = |vi hv| .

4.1.9.

ad o

Si A† = −A el operador lineal se denomina antiherm´ıtico.

Operadores unitarios

Por definici´ on, un operador ser´ a unitario si su inversa es igual a su adjunto. Esto es U−1 = U†

⇒

U† U = UU† = I

Bo rr

De estos operadores podemos decir varias cosas: Las transformaciones unitarias dejan invariantes al producto interno y consecuentemente la norma de vectores, esto se demuestra f´ acilmente. Dados dos vectores |xi , |yi sobre los cuales act´ ua un operador unitario  |˜ xi = U |xi  ⇒ h˜ y |˜ xi = hy| U† U |xi = hy |xi .  |˜ y i = U |yi Es claro que si A es herm´ıtico, A† = A, el operador T = eiA es unitario. †

T = eiA ⇒ T† = e−iA = e−iA ⇒ TT† = eiA e−iA = I = T† T = e−iA eiA . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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205

4.1. OPERADORES LINEALES

El producto de dos operadores unitarios también es unitario. Esto es, si U y V son unitarios entonces † (UV) † (UV) = V† U UV = V† V = I |{z} I †

†

† † (UV) (UV) = UVV |{z}U = UU = I . I

4.1.10.

Ejercicios

1. Cu´ al de las siguientes transformaciones definidas sobre V3 son lineales T |xi = |xi + |ai donde |ai es un vector constante diferente de cero. T |xi = |ai T |xi = ha |xi |ai T |xi = ha |xi |xi

in ar

a) b) c) d)

2. Considere las siguientes operaciones en el espacio de los polinomios en x y diga si corresponden a transformaciones lineales: b) La multiplicación por x2 .

b) La diferenciación.

re lim

a) La multiplicaci´ on por x.

3. Dado un operador herm´ıtico A y uno unitario U, pruebe las siguientes afirmaciones −1 † a) En general C† = C−1 , con C un operador genérico. ˜ = U−1 AU es también un operador herm´ıtico b) A ˜ = iA c) Si A es antiherm´ıtico entonces A d ) La composici´ on de dos operadores, A y B herm´ıticos será herm´ıtica si y s´ olo si A y B conmuntan. −1

ad o

rP

e) Si S es un operador real y antisimétrico, pruebe que el operador A = (I − S) (I + S) es un operador ortogonal.1 f ) Si cos(θ) sen(θ) A⇒ . Encuentre la expresión para S. −sen(θ) cos(θ) √ 4. Si un operador lineal C NO es herm´ıtico, entonces pruebe que C + C† y i C − C† , con i = −1, ser´ an herm´ıticos. Esto, obviamente implica que siempre podremos separar un operador lineal como 1 1 C = C + C† + C − C† . 2 2 † donde C + C representa su parte herm´ıtica y C − C† su parte antiherm´ıtica.

Bo rr

5. Suponga que un operador L puede ser escrito como la composición de otros dos operadores L = L− L+ con [L− , L+ ] = I. Demostrar que Si L |xi = λ |xi

y

|yi = L+ |xi

entonces

L |yi = (λ + 1) |yi

y

|zi = L− |xi

entonces

L |zi = (λ − 1) |zi

y, del mismo modo, demuestre que Si L |xi = λ |xi

Por ello es costumbre denominar a L+ y L− los operadores de “subidas” y de “bajada” respectivamente, ya que ellos construyen otros vectores con autovalores mayores (menores) en una unidad al vector operado.

1 Esto

es AT = A−1 con AT el traspuesto de A.

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206

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

4.2.

Representaci´ on matricial de operadores

Supongamos un operador lineal A en el espacio vectorial de transformaciones lineales L (V, W) donde dim (V) = n y dim (W) = m, y sean {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i} y {|˜e1 i , |˜e2 i , |˜e3 i , · · · |˜em i} las bases para V y W respectivamente. Entonces A |ei i ∈ W A |ei i = Aα eα i i |˜

con i = 1, 2, .., n y α = 1, 2, .., m .

Las Aα on de A |ei i en la base {|˜e1 i , |˜e2 i , |˜e3 i , · · · |˜em i}. i son las componentes de la expansi´ Para un vector genérico |xi tendremos que pero, a su vez |xi = xi |ei i ,

in ar

|˜ xi = A |xi = x ˜α |˜eα i con lo cual

|˜ xi = A |xi = x ˜α |˜eα i = A xi |ei i = xi A |ei i = xi Aα eα i ⇒ i |˜

i eα i = 0 ⇒ x ˜ α = Aα x ˜ α − x i Aα i |˜ i x .

Varias cosas se pueden concluir hasta este punto:

de tal modo que se cumpla 

x ˜1 x ˜2 .. .





        =       

A11 A21 .. . Aα 1 .. . Am 1

ad o

    |˜ xi →  α  x  ˜  x ˜m

rP

re lim

1. Si acordamos que los ´ındices de arriba indican filas podemos representar los vectores como un arreglo vertical de sus componentes y las cantidades Aα i por una matriz.  1  A1 A12 · · · A1j · · · A1n  1   A21 A22 A2j A2n  x     . . . 2  x  .. .. ..     α   |xi →  .  , Ai →  α α α α  , A A A A  ..  n  2 j  1  .  .. .. xn  ..  . . m m m m A1 A2 Aj An

A12 A22

··· ..

A1j A2j

.. .

.

Aα 2 .. . Am 2

···

Aα j .. Am j

.

 A1n A2n      α  An     Am n

x1 x2 .. .



    . j  x   xn

Bo rr

Las cantidades Aα on del operador A en las bases {|en i} y {|˜em i} de V y W respecj es la representaci´ tivamente. Es decir, definiremos una matriz Aij como un arreglo de n´ umeros donde el super´ındice, i, indica fila y el sub´ındice, j, columna:   1   1 A1 A1 A12 · · · A1n 2  2   A21 A22  A n   A1   A11 A12 · · · A1n . Aij =  . , ,    . . ..  ..   ..  An1

An2

Ann

An1

2. Diremos que las componentes de los vectores transforman como i x ˜ α = Aα i x .

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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207

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

3. Si suponemos {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i} y {|˜e1 i , |˜e2 i , |˜e3 i , · · · |˜em i} bases ortonormales x ˜α = h˜eα |˜ xi = h˜eα | A |xi = h˜eα | A xi |ei i = xi h˜eα | A |ei i , eα | A |ei i ser´ a la representación matricial de la transformación lineal A. queda claro que Aα i ≡ h˜ 4. Los vectores |ek i transforman de la siguiente manera |ei i = Aji |˜ej i ,

in ar

donde {|ei i} y {|˜ej i} son las bases para V y W respectivamente. Definitivamente, las matrices son uno de los objetos más u ´tiles de las Matemáticas. Ellas permiten aterrizar conceptos y calcular cantidades. La palabra matriz fue introducida en 1850 por James Joseph Sylvester2 y su teor´ıa desarrollada por Hamilton3 y Cayley4 . Si bien los f´ısicos las consideramos indispensables, no fueron utilizadas de manera intensiva hasta el aparición de la Mecánica Cuántica alrededor de 1925.

4.2.1.

Bases y la representaci´ on matricial de operadores

rP

re lim

Es importante recalcar que la representación matricial de un operador depende de las bases {|en i} y {|˜em i} de V y W respectivamente. Si tenemos otras bases ortonormales para V y W vale decir, {|¯en i} y {|ˇem i} su representaci´ on ser´ a distinta. Esto es:   A˜11 A˜12 · · · A˜1j · · · A˜1n  A˜2 A˜2 A˜2n  A˜2j   1 2   . .. ..   . . . .   hˇeα | A |¯ej i = A˜α . j ⇒  ˜α ˜α ˜α  A1 A˜α A A n  2 j   ..   .. .. .   . . A˜m A˜m A˜m A˜m n 1

2

j

Ejemplos

ad o

Cambiando el orden en el cual se presenta una base, cambia la representación matricial del operador. Los siguientes ejemplos tratar´ an de ilustrar estas situaciones:

1. Si tenemos un matriz B, 2 × 3, de la forma

3 1

1 0

−2 4

Bo rr

B=

2 James Joseph Sylvester (1814-1897 Londres, Inglaterra) Adem´ as de sus aportes con Cayley a la teor´ıa de las matrices, descubri´ o la soluci´ on a la ecuaci´ on c´ ubica y fue el primero en utilizar el t´ ermino discriminante para categorizar cada una de las ra´ıces de la ecuaci´ on. Para vivir tuvo que ejercer de abogado durante una d´ ecada. Por fortuna, otro matem´ atico de la ´ epoca (Arthur Cayley) frecuentaba los mismos juzgados y tribunales y pudieron interactuar. Por ser jud´ıo tuvo cantidad de dificultades para conseguir trabajo en la Academia. 3 Sir William Rowan Hamilton (1805 - 1865, Dublin, Irlanda) Sus contribuciones en el campo de la ´ optica, din´ amica del cuerpo r´ıgido, teor´ıa de ecuaciones algebraicas y teor´ıa de operadores lineales. 4 Arthur Cayley (1821, Richmond, 1895, Cambridge, Inglaterra) En sus cerca de 900 trabajos cubri´ o casi la totalidad de las a ´reas de las matem´ aticas de aquel entonces. Sus mayores contribuciones se centran el la teor´ıa de matrices y la geometr´ıa no euclideana. No consigui´ o empleo como matem´ atico y tuvo que graduarse de abogado para ejercer durante m´ as de 15 a˜ nos, durante los cuales public´ o m´ as de 250 trabajos en matem´ aticas.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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208

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

y suponemos las bases can´ onicas para V3 y V2 : {|e1 i , |e2 i , |e3 i} y {|e1 i , |e2 i}. Entonces la matriz B representa la transformaci´ on B : V3 → V2 que lleva un vector genérico |xi = (x1 , x2 , x3 ) a un vector genérico |yi = (y1 , y2 ) tal que   x1 3 1 −2 3 1 −2  y1 x2  = B= ⇒ B |xi = |yi ⇒ 1 0 4 1 0 4 y2 x3 y esto es

y2 = x1 + 0x2 + 4x3 . La representaci´ on matricial dependerá de la base en la cual se exprese.

in ar

y1 = 3x1 + x2 − 2x3

re lim

2. Si suponemos el operador diferencial D (·) = d(·) dx cuyo dominio esta conformado por el espacio vectorial de los polinomios de grado ≤ 3, entonces tendremos que: D (·) : P3 → P2 . En este caso las bases 2 3 2 podr´ıan ser: |pi i = 1, x, x , x y |˜ pj i = 1, x, x de P3 y P2 respectivamente. tenemos:

1 0 0

0 2 0

 0 0 . 3

rP

Al operar (diferenciar) sobre el |pj i ∈ P3 y expresar ese resultado en la base de P2  d(1)  = 0 = 0 · 1 + 0 · x + 0 · x2  dx        d(x)  = 1 = 1 · 1 + 0 · x + 0 · x2  dx 0  α  0 ⇒ h˜ p | D |p i = D |pj i ⇒ j  d(x2 )  2 0  = 2x = 0 · 1 + 2 · x + 0 · x  dx        d(x3 ) = 3x2 = 0 · 1 + 0 · x + 3 · x2 dx

Bo rr

ad o

Los coeficientes de esa expansi´ on serán las columnas de la matriz que los representa. Para enfatizar, los elementos de una matriz, no s´ olo dependen de la base sino del en el cual la base se presente. orden Consideremos que la base de P2 viene representada por |ˆ pj i = x2 , x, 1 , la representación matricial del operador D (·) = d(·) a dx ser´  d(1)  = 0 = 0 · x2 + 0 · x + 0 · 1  dx         d(x)  = 1 = 0 · x2 + 0 · x + 1 · 1  0 0 0 3  dx D |pj i ⇒ ⇒ hˆ pα | D |pj i =  0 0 2 0  .  d(x2 )  0 1 0 0  = 2x = 0 · x2 + 2 · x + 0 · 1  dx        d(x3 ) = 3x2 = 3 · x2 + 0 · x + 0 · 1 dx Se puede ver que



0  0 0

Hern´ andez & N´ un ˜ez

1 0 0

0 2 0

  1 0  1 0   1 3 1



  1   =  2  ⇒ 1 + 2x + 3x2 ,  3

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209

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

y equivalentemente 

0  0 0

0 0 1

0 2 0

  1 3  1 0   1 0 1



  3   =  2  ⇒ 3x2 + 2x + 1 ,  1

¡Es el mismo polinomio! Recuerde que las componentes del vector multiplican a los vectores bases en el mismo orden.

re lim

in ar

3. Construyamos la representaci´ on para el mismo operador D del ejemplo anterior, pero ahora en las siguientes bases: |pi i = 1, 1 + x, 1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 y |˜ pi i = 1, x, x2 de P3 y P2 , respectivamente. Entonces, nuevamente vemos que D |pj i implica  d(1)  = 0 = 0 · 1 + 0 · x + 0 · x2  dx         d(1+x)  = 1 = 1 · 1 + 0 · x + 0 · x2  0 1 1 1  dx ⇒ h˜ pα | D |pj i =  0 0 2 2  . 2  d 1+x+x ( )  0 0 0 3  = 1 + 2x = 1 · 1 + 2 · x + 0 · x2  dx        d(1+x+x2 +x3 ) = 1 + 2x + 3x2 = 1 · 1 + 2 · x + 3 · x2 dx Representaci´ on diagonal

Dado un operador lineal A ∈ L (V, W), donde dim (V) = dim (W) = n, y sea {|ei i} una base ortonormal para V y W, si adicionalmente se da el caso que

rP

A |ei i = |ei i ,

la representaci´ on matricial ser´ a diagonal

j

e A |ei i = Aji = ej |ei i = δij .

ad o

Esta afirmaci´ on también es v´ alida para dim (V) 6= dim (W) pero por simplicidad seguimos trabajando con matrices cuadradas. Representaci´ on de operadores herm´ıticos

Bo rr

La representaci´ on matricial de un operador herm´ıtico será A†

i j

∗

∗ = ei A† |ej i = ej A |ei i = Aji ,

vale decir: el herm´ıtico conjugado de una matriz, es su traspuesta conjugada. Si la matriz es herm´ıtica, i.e. A† = A ⇒

A†

i j

= Aij .

Por lo tanto, las matrices herm´ıticas son simétricas respecto a la diagonal y los elementos de la diagonal son n´ umeros reales. Un operador herm´ıtico estará representado por una matriz herm´ıtica.

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210

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

Aqu´ı vale la pena probar algunas de las propiedades que arriba expresamos para operadores herm´ıticos conjugados, vale decir † † † † A† = A; (λA) = λ∗ A† ; (A + B) = A† + B† ; (AB) = B† A† . Es claro que A† y

†

→

†

i † i † ∗ † e A |ej i = A† j = Aji = Aij ,

∗ ∗ † (λA) → ei λA† |ej i = ej λA |ei i = λ∗ ej A |ei i = λ∗ ei A† |ej i = λ∗ A† ,

4.2.2.

in ar

pero m´ as interesante es

† † † (AB) → ei (AB) |ej i = Aik Bjk = (Ajk )∗ (Bik )∗ = (Akj )∗ (Bki )∗ = (Bki )∗ (Akj )∗ → B† A† .

Cambio de bases para vectores

c˜m

re lim

Dada una representaci´ on (una base) particular, un bra, un ket o un operador quedará representado por una matriz. Si cambiamos la representación, ese mismo bra, ket u operador tendrá otra matriz como representaci´ on. Mostraremos c´ omo est´ an relacionadas esas matrices. Dadas dos base discretas ortonormales {|ei i} y {|˜ei i}, entonces un vector cualquiera 

k  m |Ψi = ek hek | |Ψi = ek Ψi |ek i   h˜ e |Ψi = e Ψi h˜em |ek i   | {z }   | {z }     ck Skm

⇒ k k m e |Ψi = h˜ e | Ψi e |˜em i      | {z } |Ψi = (|˜em i h˜em |) |Ψi = h˜em | Ψi |˜em i     | {z }  ˜k S m

rP

con lo cual, una vez m´ as, tendremos que la expresión de transformación de componentes de un vector k m c˜m = Skm ck ⇔ ck = S˜m c˜ ,

ad o

k y Skm (o S˜m ) ser´ a la matriz de transformación, cambio de base o cambio de representación. Ahora bien, por la definici´ on de producto interno

∗ † k ∗ h˜em |ek i = ek |˜em i ⇒ Skm = Sm ≡ (Skm ) ,

por lo tanto, la matriz de transformaci´ on entre bases es herm´ıtica y la relación anterior queda escrita como

k † m k † m c˜m = Skm ck ⇒ h˜em | Ψi = Skm ek Ψi ∧ ck = Sm c˜ ⇒ ek |Ψi = Sm h˜e | Ψi .

Bo rr

Igualmente, la regla de transformaci´ on de las representaciones matriciales de operadores lineales queda expresada como

i

˜e A |˜ej i = ˜ei |ek i ek A (|em i hem |) |˜ej i = ˜ei |ek i ek A |em i hem |˜ej i , | {z } | {z } Ski

(Sjm )†

por lo tanto

A˜ij = Ski Akm (Sjm )† ,

donde A˜ij es la representaci´ on del operador A respecto a la base {|˜ej i} y Akm su representación en la base {|em i}. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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211

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

4.2.3.

Traza de operadores

La traza, Tr (A), de un operador A es la suma de los elementos diagonales de su representación matricial A. Esto es, dado un operador A y una base ortogonal {|ei i} para Vn , entonces:

Tr (A) = ek A |ek i = Akk . Por ejemplo, 

2 5 8

 3 6  ⇒ Tr (A) = Aii = 15 . 9

in ar

1 Aij =  4 7 Invariancia de la Traza

La traza de una matriz no depende de la base que seleccionemos, es un invariante que caracteriza al operador independientemente de la base en la cual se represente. Entonces, dadas dos bases discretas ortonormales {|ei i} y {|˜ei i},

re lim

Akk = ek A |ek i = ek |˜em i h˜em | A |ek i = h˜em | A|ek i ek ˜em i = h˜em | A |˜em i = Am m. | {z } I

Donde una vez m´ as hemos utilizado las dos relaciones de cierre |˜em i h˜em | = |ek i ek = I. Es claro que el n´ umero que representa esta suma ser´ a el mismo independientemente de su representación matricial. Propiedades de la Traza Claramente la traza es lineal

rP

Tr (A+λB) = Tr (A) + λ Tr (B) , ya que

Tr (A + λB) = ek A + λB |ek i = ek A |ek i + λ ek B |ek i = Tr (A) + λ Tr (B) . La traza de un producto conmuta, esto es

ad o

Tr (AB) = Tr (BA) ,

y es f´ acilmente demostrable

Tr (AB) = ek AB |ek i = ek A|em i hem |B |êk i = ek B|em i hem |A |ek i = Tr (BA) . | {z } | {z } I

I

Bo rr

Recuerde que ek B |em i y ek A |ek i son n´ umeros que pueden ser reordenados. Del mismo modo es f´ acil demostrar que la traza de un triple producto de matrices respeta la ciclicidad del orden de la matrices en el producto

Hern´ andez & N´ un ˜ez

Tr (ABC) = Tr (BCA) = Tr (CAB) .

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212

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

Practicando con Maxima: Dado el siguiente espacio vectorial V3 = {(x, y, z) : x + y + z = 0} en R3 , y la siguiente transformaci´ on lineal de V3 → V3 F (x, y, z) = (x + y + z, x + y − z, 2z) , (%i1) F(x,y,z):=[x+y+z,x+y-z,-x-y-z];

in ar

( %o1) F (x, y, z) := [x + y + z, x + y − z, −x − y − z] La representaci´ on matricial de esta transformación la podemos obtener evaluando la función en la base can´ onica, de la siguiente manera:

re lim

(%i2) F_matriz:transpose(matrix(F(1,0,0),F(0,1,0),F(0,0,1)));   1 1 1 1 −1 ( %o2)  1 −1 −1 −1 Para obtener el n´ ucleo de la transformación ℵ (F ) = |vi ∈ V3 podemos proceder como se muestra a continuación:

∧

F |vi = |0i ,

ad o

( %o4) z + y + x = 0 ( %o5) − z + y + x = 0 ( %o6) − z − y − x = 0

rP

(%i3) M:F_matriz.[x,y,z];   z+y+x ( %o3) −z + y + x −z − y − x (%i4) ecu1:M[1,1]=0; ecu2:M[2,1]=0;ecu3:M[3,1]=0;

(%i7) linsolve([ecu1,ecu2,ecu3],[x,y,z]);

Bo rr

solve: dependent equations eliminated: (1) ( %o7) [x = − %r1 , y = %r1 , z = 0] Es decir, la soluci´ on al sistema es: x = −C, y = C y z = 0. Una posible base para el espacio ℵ (F ) puede ser: (−1 1 0)T . Notemos que si evaluamos nuevamente la transformación F para la base canónica (%i7) Img:matrix(F(1,0,0),F(0,1,0),F(0,0,1));   1 1 −1 ( %o7) 1 1 −1 1 −1 −1

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213

´ MATRICIAL DE OPERADORES 4.2. REPRESENTACION

Y si reducimos la matriz anterior, obtendremos (%i7) echelon(Img);   1 1 −1 ( %o7) 0 1 0  0 0 0 Es decir, una base para el espacio imagen = (F ) es el conjunto: {(1 1 − 1)T y (0 1 0)T }. Podemos también calcular una base para V3 = {(x, y, z) : x + y + z = 0}

in ar

(%i7) linsolve(x+y+z=0,[x,y,z]); ( %o7) [x = − %r3 − %r2 , y = %r3 , z = %r2 ]

Es una soluci´ on del tipo: x = −C3 − C2 , y = C3 y z = C2 . Una base vendrá dada por digamos: {(−1 1 0)T y (−1 0 1)T }.

Ejercicios

re lim

4.2.4.

1. Considere el espacio P(t) de polinomios de grado N en t, vale decir |f it ↔ d adem´ as un operador T = exD ≡ exp(xD), con D = dt

PN

n=0

a0 tn , considere

a) Muestre que T |pit = |pit+x , esto es que el operador T puede ser considerado un operador traslaci´ on espacial para los polinomios P(t) de grado N .

rP

b) Considere que el espacio de polinomios está definido en el intervalo [−1, 1], que definimos un R1 producto interno de la forma hf | gi = −1 f g dt y un espacio de polinomios de grado N = 2. ¿Cu´ al es la representaci´ on matricial de T en la base de polinomios de Legendre {P0 , P1 , P2 }? 2. Heredando el formalismo de Mec´ anica Clásica, uno construye en Mecánica Cuántica el Operador Hamiltoniano, herm´ıtico, para un sistema unidimensional como

ad o

H=

P2 + V(X) , 2m

donde H, P y X son operadores, y V(X) un operador que es una función de otro operador. Adicionalmente, uno puede construir el siguiente operador: [X, P] = i~I. a) Determine los siguientes conmutadores [H, P], [H, X] y [H, XP]

Bo rr

b) Suponga que H |ψn i = En |ψn i y entonces calcule la representación matricial del siguiente operador hψ m | [A, H] |ψn i, para un operador arbitrario A.

3. Considere la representaci´ on matricial de un operador en la base canónica de la forma 1 a A= 0 1 ¿Existir´ a alg´ un operador B, no singular, tal que D = B−1 AB, con D un operador diagonal? Si ese fuera el caso, ¿Cu´ al ser´ıa la representaci´ on matricial de ese operador B, en la base canónica? Justifique su respuesta.

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214

´ DE OPERADORES Y ALGEBRA MATRICIAL 4.3. DIFERENCIACION

4. Considere el siguiente “operador vectorial” σ = σx i + σy j + σz k donde las matrices σ x , σ y , σ z se conocen como operadores de Pauli y su representación matricial en la base canónica es: 0 1 0 −i 1 0 1 0 σx = ; σy = ; σz = ; I= . 1 0 i 0 0 −1 0 1 El vector direcci´ on puede escribirse como n = sen(θ) cos(φ)i + sen(θ)sen(φ)j + cos(θ)k = nx i + ny j + nz k , con lo cual: σ · n = nx σx + ny σy + nz σz .



√0 Ly =  −i 2/2 0

√ i 2/2 √0 −i 2/2

 √0 i 2/2  , 0

re lim

5. Dadas las siguientes matrices √   2/2 √ 0 √0 Lx =  2/2 √ 0 2/2  , 2/2 0 0

in ar

A partir de todo lo anterior calcule la representación matricial del siguiente operador en la base can´ onica i exp ψ σ·n . 2



−1 Lz =  0 0

 0 0 0 0 . 0 1

Demuestre las siguientes reglas de conmutación a) Lx Ly − Ly Lx = iLz . b) Ly Lz − Lz Ly = iLx . c) Lz Lx − Lx Lz = iLy .

4.3.

rP

d ) L2x + L2y + L2z = 2.

Diferenciaci´ on de operadores y algebra matricial

ad o

Dado un operador A (t) el cual supondremos dependiente de una variable arbitraria t podremos definir la derivada como A (t + ∆t) − A(t) dA(t) = l´ım ∆t→0 dt ∆t

k k por lo tanto si u A |ui i = A entonces i

dA(t) dt

Bo rr

k dA(t) u |ui i = dt

k i



  d k dAki = u A(t) |ui i = =  dt dt 

dA11 dt dA21 dt

dA12 dt dA22 dt

dAn 1

dAn 2

dt

dt

.. .

··· ..

dA1n dt dA2n dt

. dAn n dt

   ,  

con lo cual la regla es simple, la representación matricial de la derivada de un operador será la derivada de cada uno de sus elementos. Por ejemplo     x x2 2 1 2x 0 d  . 1 e−x 5x  =  0 −e−x 5 dx 3 2 3x 3 cos(x) 9x 0 − sen(x)

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215

´ DE OPERADORES Y ALGEBRA MATRICIAL 4.3. DIFERENCIACION

4.3.1.

Reglas de diferenciaci´ on de operadores lineales

Las reglas usuales de la diferenciaci´ on se cumplirán con la diferenciación de operadores lineales. Esto se demuestra con la representaci´ on matricial d (A (t)) d (B (t)) d (A(t) + B (t)) = + , dt dt dt es decir: d (A(t) + B(t))

d k d k uk |ui i = u (A(t) + B(t)) |ui i = u A(t) |ui i + uk B(t) |ui i dt dt dt d k d k = u A (t) |ui i + u B(t) |ui i dt dt

dA(t)

dB(t) d (A(t)) d (B(t)) = uk |ui i + uk |ui i = + . dt dt dt dt

Del mismo modo se cumplir´ a que

re lim

d (A(t)B (t)) dA(t) dB(t) = B(t) + A(t) , dt dt dt

in ar

con la precauci´ on que no se puede modificar el orden de aparición de los operadores. Es fácil ver que

rP

k d (A(t)B(t)) d k d k |ui i = u A (t) B(t) |ui i = u A (t) I B(t) |ui i u dt dt dt

k = u A(t) |um i hum | B(t) |ui i

d uk A(t) |um i m d hum | B(t) |ui i = hu | B(t) |ui i + uk A(t) |um i dt dt

k dA(t)

dB(t) = u |um i hum | B(t) |ui i + uk A(t) |um i hum | |ui i . dt dt

tendremos que

ad o

Otras propiedades de la derivaci´ on de operadores se demuestran a partir de sus expansiones en series. At Por ejemplo, si queremos conocer la expresión para dedt , con A 6= A(t), recordemos que # " # "∞ 2 n X (At)n (At) (At) At |vi = I + At + + ··· + · · · |vi , e |vi = n! 2! n! n=0

Bo rr

"∞ # "∞ # "∞ # # "∞ n X d (At)n X tn−1 An−1 X ntn−1 An deAt d X (At) |vi = |vi = |vi = |vi = A |vi . dt dt n=0 n! dt n! n! (n − 1)! n=0 n=0 n=0 | {z } eAt

N´ otese que la suma es hasta infinito, por lo tanto al cambiar de ´ındice p = n − 1, p sigue variando hasta infinito y la serie es la misma que la anterior. Entonces

Hern´ andez & N´ un ˜ez

deAt |vi = eAt A |vi ≡ AeAt |vi . dt

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216

´ DE OPERADORES Y ALGEBRA MATRICIAL 4.3. DIFERENCIACION

in ar

Si un s´ olo operador est´ a siendo derivado el orden de presentación de los operadores es indiferente. Ahora bien, cuando se presenta la siguiente situación d eAt eBt deAt Bt deBt |vi = e |vi + eAt |vi = AeAt eBt |vi + eAt BeBt |vi = eAt AeBt |vi + eAt eBt B |vi , dt dt dt con A 6= A(t) y B 6= B(t) y siempre eBt , B = 0. Con lo cual, s´ olo para el caso en el que [A, B] = 0 podremos factorizar eAt eBt y d eAt eBt |vi = (A + B) eAt eBt |vi . dt Si [A, B] 6= 0 el orden de aparici´ on de los operadores eshMUY importante. i dA(t) Para el caso en el cual A = A(t) no necesariamente A(t), e dt = 0. Veamos:

re lim

"∞ "∞ # # n X 1 d (A(t))n deA(t) d X (A(t)) |vi = |vi |vi = dt dt n=0 n! n! dt n=0 "∞ # X 1 d (A(t)) d (A(t)) n−1 n−2 n−1 d (A(t)) = A(t) + A(t) A(t) · · · A(t) |vi . n! dt dt dt n=0 Adicionalmente

dF (B) dB Esta relaci´ on es f´ acilmente demostrable para el caso en el cual [A, B] = I, el operador identidad, en ese caso ten´ıamos que ABn − Bn A = nBn−1

rP

si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 ⇒ [A, F (B)] = [A, B]

· · · B}A ABn − Bn A = ABB · · · B}−BB · · · B}A = (I + BA) BB · · · B} − BB | {z | {z | {z | {z n

=IB

n−1

n

n

n−1

· · · B}A + B (I + BA)BB · · · B} − BB | {z | {z n−2

n

ad o

· · · B}A = · · · = nBn−1 . = 2Bn−1 + B2 (I + BA)BB · · · B} − BB | {z | {z n−3

n

Obviamente, para este caso, se cumple que

[A, B] = I ⇒ [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 .

Bo rr

Para demostrar esta relaci´ on “desarrollemos en Serie de Taylor” la funcion F (B). Esto es " # ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X Bn [A, Bn ] nBn−1 Bn−1 [A, F (B)] = A, fn = fn = [A, B] fn = [A, B] fn n! n! n! (n − 1)! n=0 n=0 n=0 n=0 = [A, B]

dF (B) . dB

Para el caso m´ as general se procede del mismo modo. Si [A, C] = [B, C] = 0 ,

Hern´ andez & N´ un ˜ez

?

con C = [A, B] ⇒ [A, F (B)] = [A, B]

dF (B) . dB

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217

´ DE OPERADORES Y ALGEBRA MATRICIAL 4.3. DIFERENCIACION

Probaremos primero que con C = [A, B] ⇒ [A, Bn ] = ABn − Bn A = n [A, B] Bn−1 .

si [A, C] = [B, C] = 0 , Tendremos que

ABn − Bn A = ABB · · · B}−BB · · · B}A = (C + BA) BB · · · B} − BB · · · B}A | {z | {z | {z | {z n

= CB

n

n

n−1

· · · B}A + B (C + BA)BB · · · B} − BB | {z | {z n

n−2

n−1

= 2CB

n−1

+ B (C + BA)BB · · · B} − BB · · · B}A = · · · = nCBn−1 = n[A, B] B | {z | {z 2

n

n−3

,

in ar

n−1

con lo cual es inmediato demostrar que # " ∞ ∞ ∞ ∞ X X X X [A, Bn ] nBn−1 Bn−1 Bn = = [A, B] = [A, B] [A, F (B)] = A, fn fn fn fn n! n! n! (n − 1)! n=0 n=0 n=0 n=0

4.3.2.

dF (B) . dB

re lim

= [A, B]

La f´ ormula de Glauber

Ahora estamos en capacidad de demostrar limpiamente la fórmula de Glauber. Esta es 1

eA eB = eA+B e 2 [A,B] .

rP

Para demostrarla, procedemos a considerar un operador F (t) = eAt eBt , por lo tanto deAt eBt dF(t) |vi = |vi = AeAt eBt |vi + eAt BeBt |vi = A + eAt Be−At eAt eBt |vi dt dt = A + eAt Be−At F(t) |vi .

ad o

Ahora bien, dado que

si [A, [A, B]] = [B, [A, B]] = 0 ⇒ [A, F (B)] = [A, B]

entonces

dF (B) , dB

At e , B = t [A, B] eAt ⇒ eAt B = BeAt + t [A, B] eAt ,

Bo rr

por lo cual

dF(t) |vi = A + eAt Be−At F(t) |vi = (A + B + t [A, B]) F (t) |vi , dt por tanteo uno puede darse cuenta que n

F(t) = e

o 2 (A+B)t+ t2 [A,B]

,

cumple con la ecuaci´ on anterior, por lo tanto absorbiendo t en los operadores correspondientes llegamos a la f´ ormula de Glauber 1 eA eB = eA+B e 2 [A,B] . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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218

´ DE OPERADORES Y ALGEBRA MATRICIAL 4.3. DIFERENCIACION

4.3.3.

Algebra de matrices

Por comodidad supongamos que dim (V) = dim (W) = n y consideremos la base ortogonal {|en i}. De este modo, es claro que se obtienen nuevamente las conocidas relaciones para matrices cuadradas

i

e A + B |ej i = ei A |ej i + ei B |ej i = Aij + Bji

Ann + Bnn

An1 + B1n

A11 + B11 A21 + B12 .. .



    =  

An1

+

B1n

i

A12 + B21 A22 + B22 .. .

 A1n + Bn1 A2n + Bn2   ,  n n An + B n

··· ..

.

= (A + B)j , con lo cual es directo la demostración de la     

A11 A21 .. .

A12 A22

An1

An2

···

  1 B1 A1n  B12 A2n     =  ..   . n B1n An

re lim

en forma compacta puede demostrarse que Aij + Bji igualdad de matrices:   1 A1 + B11 A12 + B21 · · · A1n + Bn1  A21 + B12 A22 + B22 A2n + Bn2    =0 ⇒  .. .. ..   . . .



in ar

con lo cual tenemos la suma de matrices. Esto es   1  1 B1 B21 · · · Bn1 A1 A12 · · · A1n 2 2 2 2  2  A1 A2 Bn2 An    B1 B2  +    .. . .. ..   ..  . . . B1n B2n Ann An1 An2 Ann

..

.

B21 B22

··· .. .

B2n

 Bn1 Bn2   ,  n An

en donde Aij = Bji . De igual modo para la representaci´ on de composición de operadores

i

e AB |ej i = ei A I B |ej i = ei A |ek i ek B |ej i = ei A |ek i ek B |ej i = Aik Bjk

rP

para multiplicaci´ on de matrices, esto es  1   1 B1 A1 A12 · · · A1n 2   A21 A22  B12 A n     ..  ×  .. ..  .   . . B1n An1 An2 Ann

B21 B22

··· .. .

ad o

B2n

  1 k Ak B 1 Bn1  A2k B1k Bn2    = ..   . Ann Ank B1k

A1k B2k A2k B2k .. .

··· ..

.

 A1k Bnk A2k Bnk   ,  Ank Bnk

Bo rr

como ya sab´ıamos AB 6= BA →Aik Bjk 6=Bki Akj . De la misma manera, la multiplicaci´ on de un n´ umero por una matriz es la multiplicación de todos sus elementos por ese n´ umero

i

e αA |ej i = α ei A |ej i = αAij .

4.3.4.

Ejercicios

1. Si

Mij (t) =

cos(ωt) −sen(ωt)

sen(ωt) cos(ωt)

Demuestre que

Hern´ andez & N´ un ˜ez

d2 M(t) = −ω 2 M(t) . dt2

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219

´ 4.4. UN PARENTESIS DETERMINANTE

2. Dada a matriz



1 Aji =  1 0

1 1 1

 0 1 . 1

Eval´ ue: A2 , A3 , AAx . 3. Dada la matriz



Aji

0 =  −i 0

0 0 −1

 i 0  0

4.4.

in ar

Demuestre que An = AAA... = I, con n 6= 0.

Un par´ entesis determinante

re lim

El determinante se define con la siguiente aplicación: det |A| : Mn×n → R, es decir, asocia real con cada matriz del espacio vectorial Mn×n de matrices n × n As´ı, dada una matriz 1  1  A1 A12 · · · A1n A1 A12 · · · A1n 2 2  A1 A22  A21 A22 A2n An   ijk··· 1 2 3 A= . ⇒ det |A| = ε A A A · · · =  . .. .. i j k ..  ..  . . n n n n n A1 A2 Ann A1 A2 An

un n´ umero

rP

Hemos generalizado los ´ındices de Levi Civita de tal forma que   0, si cualesquiera dos ´ındices son iguales 1, si los ´ındices i, j, k · · · constituyen una permutación c´ıclica de 1, 2, 3 · · · n εijk··· = εijk··· =  −1, si los ´ındices i, j, k · · · constituyen una permutación antic´ıclica de 1, 2, 3 · · · n

con lo cual

ad o

Esta situaci´ on es clara para el caso de matrices 3 × 3, veamos. 1  1  A1 A1 A12 A13 ijk 1 2 3 2 2 2   A1 A2 A3 A= ⇒ det |A| = ε Ai Aj Ak = A21 A31 A31 A32 A33

A12 A22 A32

A13 A23 A33

,

det |A| = ε123 A11 A22 A33 + ε312 A13 A21 A32 + ε231 A12 A23 A31 + ε132 A11 A23 A32 + ε321 A13 A22 A31 + ε213 A12 A21 A33

Bo rr

= A11 A22 A33 + A13 A21 A32 + A12 A23 A31 − A11 A23 A32 − A13 A22 A31 − A12 A21 A33 . Propiedades de los determinantes 1. det |A| = det |AT |, donde AT es la traspuesta de A. Esta propiedad proviene de la definición del ´ındice de Levi Civita det |A| = εijk··· A1i A2j A3k · · · = εijk··· Ai1 Aj2 Ak3 · · · = det |AT | , que se traduce en que si se intercambian filas por columnas el 1 A1 A12 A13 A11 A21 2 A1 A22 A23 = A12 A22 3 A1 A32 A33 A13 A23

Hern´ andez & N´ un ˜ez

determinante no se altera A31 A32 . A33

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220

´ 4.4. UN PARENTESIS DETERMINANTE

2. Si dos filas o dos columnas son idénticas el determinante se anula εiik··· A1i A2i A3k · · · = εiik··· Ai1 Ai2 Ak3 · · · = 0 1 A1 A12 A13 1 A1 A12 A13 = 0 3 A1 A32 A33

in ar

3. Si multiplicamos una fila o una columna por un n´ umero, el determinante queda multiplicado por el n´ umero εijk··· A1i λA2j A3k · · · = λεijk··· A1i A2j A3k · · · = λ det[A] εijk··· Ai1 Aj2 λAk3 · · · = λεijk··· Ai1 Aj2 Ak3 · · · = λ det[A] ,

Obvio que 1 A1 2 A1 3 A1 A13 A23 A33

A11 = λA11 A31

A12 λA12 A32

A13 A23 A33

1 A1 2 = A1 0

A13 λA13 A33

A12 A22 0

1 A1 = λ A21 3 A1

rP

al igual que 1 A1 λA11 2 A1 λA21 3 A1 λA31

0 0 0

re lim

de aqu´ı claramente se desprende que si una fila o una columna es cero (λ = 0) el determinante se anula. M´ as a´ un, si dos filas o dos columnas son proporcionales A1i = λA2j el determinante se anula, por cuanto se cumple la propiedad anterior 1 1 A1 A12 A13 A1 λA12 A13 A11 A12 A13 2 A1 λA22 A23 = A21 A22 A23 = λ A21 A22 A23 . 3 A31 A32 A33 A1 λA32 A33 λA31 λA32 λA33

ad o

4. Si se intercambian dos filas o dos columnas 1 A1 2 A1 ijk··· 1 2 3 det |A| = ε Ai Aj Ak · · · = . .. An 1

A13 A23 0

A11 A21 A31

= 0,

A13 A23 A33

1 A1 = λ A11 3 A1

A12 A12 A32

A13 A13 A33

= 0.

cambia de signo el determinante. A12 · · · A1n A22 A2n ˜ , ⇒ εijk··· A1j A2i A3k · · · = − det[A] .. . An An 2

n

Bo rr

˜ se han intercambiando un par de columnas. Claramente las propiedades del donde en la matriz A ´ındice de Levi Civita, obliga al cambio de signo ˜ = − det |A| . det |A|

N´ otese que una s´ıntesis de las propiedades anteriores nos lleva a reescribir el determinante de una matriz de manera que β γ det |A| = εαβγ··· det |A| = εijk··· Aiα Ajβ Akγ · · · ⇐⇒ det |A| = εαβγ··· det |A| = εijk··· Aα i Aj Ak · · ·

claramente, si αβγ · · · ⇐⇒ 123 · · · reobtenemos la definición anterior. Si se intercambian dos filas o dos columnas, el determinante cambia de signo debido al intercambio de dos ´ındices griegos. Si dos filas o dos columnas son iguales el determinante se anula debido a la propiedad de s´ımbolo de Levi Civita con ´ındices griegos.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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221

´ 4.4. UN PARENTESIS DETERMINANTE

5. El determinante de un producto es el producto de los determinantes det |AB| = det |A| det |B| . Antes de proceder a la demostraci´ on de este importante propiedad jugaremos un poco más con las propiedades de las matrices. Queremos se˜ nalar que si A es una matriz m × n y B es una matriz n × p, entonces tendremos que α (AB) = Aα B , esto es, que la α-esima fila de AB es igual a la multiplicación de la α-esima fila de A, por toda la matriz B. Veamos por lo tanto la α-esima fila 

B21 B22

B1n

B2n

··· ..

.

 Bn1 Bn2   .  Bnn

re lim

 l α α α α α  Cjα = Aα B ⇒ C = (A , A , A , · · · A , )  l j j 1 2 3 n 

B11 B12 .. .

in ar

i

Cji = (AB)j = Ail Bjl

det |A| det |B| = det |A| εijk··· B1i B2j B3k · · · = εijk··· Aiα Ajβ Akγ · · · εabc··· B1a B2b B3c · · · , que siempre puede ser rearreglado a β γ i j k i β j γ k εijk··· Aα A A · · · ε B B B · · · = Aα ijk··· i j k 1 2 3 i B1 Aj B2 Ak B3 · · · = det [AB] . Veamos este desarrollo en el caso de matrices 3 × 3:

det |A| det |B| = ε123 A11 A22 A33 + ε312 A13 A21 A32 + ε231 A12 A23 A31 + ε132 A11 A23 A32 + ε321 A13 A22 A31 + ε213 A12 A21 A33

rP

ε123 B11 B22 B33 + ε312 B31 B12 B23 + ε231 B21 B32 B13 + ε132 B11 B32 B23 + ε321 B31 B22 B13 + ε213 B21 B12 B33 con lo cual

ad o

= A11 A22 A33 B11 B22 B33 + B31 B12 B23 + B21 B32 B13 − B11 B32 B23 − B31 B22 B13 − B21 B12 B33 + A13 A21 A32 B11 B22 B33 + B31 B12 B23 + B21 B32 B13 + B11 B32 B23 + B31 B22 B13 + B21 B12 B33 + A12 A23 A31 B11 B22 B33 + B31 B12 B23 + B21 B32 B13 + B11 B32 B23 + B31 B22 B13 + B21 B12 B33 − A11 A23 A32 B11 B22 B33 + B31 B12 B23 + B21 B32 B13 + B11 B32 B23 + B31 B22 B13 + B21 B12 B33 − A13 A22 A31 B11 B22 B33 + B31 B12 B23 + B21 B32 B13 + B11 B32 B23 + B31 B22 B13 + B21 B12 B33 − A12 A21 A33 B11 B22 B33 + B31 B12 B23 + B21 B32 B13 + B11 B32 B23 + B31 B22 B13 + B21 B12 B33

Bo rr

como son n´ umeros se pueden arreglar de la siguiente forma = A11 A22 A33 B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B13 B21 B32 − B11 B23 B32 − B13 B22 B31 − B12 B21 B33 + A13 A21 A32 B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B13 B21 B32 − B11 B23 B32 − B13 B22 B31 − B12 B21 B33 + A12 A23 A31 B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B13 B21 B32 − B11 B23 B32 − B13 B22 B31 − B12 B21 B33 − A11 A23 A32 B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B13 B21 B32 − B11 B23 B32 − B13 B22 B31 − B12 B21 B33 − A13 A22 A31 B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B13 B21 B32 − B11 B23 B32 − B13 B22 B31 − B12 B21 B33 − A12 A21 A33 B11 B22 B33 + B12 B23 B31 + B13 B21 B32 − B11 B23 B32 − B13 B22 B31 − B12 B21 B33 = εijk Aiα B1α Ajλ B2λ Akµ B3µ . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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222

´ 4.4. UN PARENTESIS DETERMINANTE

4.4.1.

F´ ormula de Laplace

La f´ ormula de Laplace permite expresar el determinate de una matriz en términos de sus matrices menores o cofactores, matrices que definiremos en la siguiente sección. det |A] =

n X

Aij (Ac )ij ,

para cualquier i .

j=1



 −2 2 2 −3  1 2

3 A= 1 4

el desarrollo de Laplace para la primera fila (i = 1) es: = = =

4.4.2.

A11 (Ac )11 + A12 (Ac )12 + A13 (Ac )13 1 1 −3 2 −3 + 2 − (−2) 3 4 4 2 1 2 3(7) + 2(14) + 2(−7) = 35 .

Ejercicios

1. Calcule los siguientes determinantes 0 1 0

2 0 , 0

1 1 2 2

1 2 − x2 3 3

2 3 2 3 1 5 1 9 − x2

,

1 0 3 −2

0 1 −3 1

rP

2 0 2

2 1

re lim

det [A]

in ar

Por ejemplo, para la matriz

2 −2 4 −2

3 1 −2 0

,

−2 1 3 2 0

5 0 −1 6 −3

0 3 0 −4 −1

−1 7 5 1 2

3 −2 −5 2 3

.

ad o

2. Utilizando las propiedades de los determinantes resuelva para x x+2 x+4 x−3 x+3 x x + 5 = 0 . x−2 x−1 x+1

Bo rr

3. Utilizando la propiedad lineal de los determinantes calcule a+b n+p ∆ = c+d q+r

.

4. Encuentre el determinante de la matriz 4 × 4 definida por la función Aij =

1 . i+j−x

5. Muestre que si las filas de un determinante de orden n son linealmente independientes, entonces sus columnas son también linealmente independientes.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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223

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS

4.5.

Un zool´ ogico de matrices cuadradas

A continuaci´ on presentaremos un conjunto de matrices fundamentales y de operaciones sobre matrices que ser´ an de gran utilidad para el resto de desarrollo del tema. Pero es bueno tener en mente que las matrices pueden tener todas sus componentes reales, diremos que son matrices pertenecientes al espacio vectorial de matrices reales Rn×m o tener como componentes n´ umeros complejos, en este caso diremos que pertenecen al espacio vectorial de matrices complejas Cn×m .

4.5.1.

Matriz unitaria y la matriz nula

in ar

La matriz unitaria es aquella que s´ olo tiene elementos en la diagonal iguales a la unidad I ⇒ Iji = δji .

Mientras que la matriz nula es aquella con todos los elementos iguales a cero

4.5.2.

Matriz diagonal a bloques

re lim

0 ⇒ 0ij = 0 .

Una matriz diagonal es aquella que contiene elementos u ńicamente en la diagonal, las demás componentes son cero. Como veremos m´ as adelante existen algunos métodos para reducir una matriz a su forma diagonal. Una propiedad importante de estas matrices es que conmutan, es decir, AB = BA ,

rP

si A y B son diagonales. Pero también podemos tener matrices diagonales a bloques, vale decir  1  D1 D21 0 0  D12 D22 0 0   Dji =   0 0 D33 D43  0 0 D34 D44

Bo rr

ad o

También tenemos las triangulares superior e inferior:   1 ˇ ˇ1 D ˇ1 D ˇ1 D D 1 2 3 4 2 ˇ2 ˇ2   ˇ ji =  0 D2 D3 D4  y D 3 ˇ ˇ3   0 0 D3 D 4 ˇ4 0 0 0 D 4

4.5.3.

 ˆ1 D1 ˆ2  ˆ ji =  D1 D  D ˆ3 1 ˆ4 D 1

0 ˆ D22 D23 ˆ4 D 2

0 0 ˆ3 D 3 ˆ4 D 3

 0 0   0  ˆ4 D 4

Matriz transpuesta

La matriz transpuesta es aquella que se obtiene intercambiando filas por columnas: A = Aij ⇒ AT = Aji .

Si A = AT , (Aij = Aji ), se dice que A es simétrica. Y si A = −AT , (Aij = −Aji ), es llamada antisimétrica. Por lo tanto, una matriz cuadrada se puede representar por la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica A= Hern´ andez & N´ un ˜ez

1 1 A + AT + A − AT . 2 2

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224

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS

4.5.4.

Matriz de cofactores

A una matriz A le podemos asociar una de cofactores Ac de la   1  1 (Ac )1 a1 a12 a13 i i c Aj =  a21 a22 a23  ⇒ (A )j =  (Ac )21 3 a31 a32 a33 (Ac )1

manera siguiente: 1 1  (Ac )2 (Ac )3 2 2 (Ac )2 (Ac )3  . 3 3 (Ac )2 (Ac )3

i

2

2+1

3 (Ac )1

3+1

4.5.5.

= (−1)

1 a2 3 a2

a13 a33

(Ac )2 = (−1)

2

2+2

1 a2 2 a2

a13 a23

3 (Ac )2

3+2

= (−1)

Matriz adjunta

1 a1 3 a1

a13 a33

(Ac )3 = (−1)

2

2+3

1 a1 3 a1

a12 a32

1 a1 2 a1

a13 a23

3 (Ac )3

3+3

1 a1 2 a1

a12 . a22

= (−1)

re lim

(Ac )1 = (−1)

a22 a32

in ar

Donde los (Ac )j forman la matriz de cofactores, estos cofactores son 2 2 2 2 2 1+3 a1 1+2 a1 a3 1+1 a2 a3 1 c 1 c 1 = (−1) (A ) = (−1) (A ) (Ac )1 = (−1) 3 2 a31 a31 a33 a32 a33

Llamaremos matriz adjunta, adj [A], a la traspuesta de la matriz de cofactores de una determinada matriz: T j T i = (Ac )i . adj [A] = (Ac ) ⇒ adj Aij = (Ac )j Por ejemplo 1 A= 4 7

2 5 8

  −3 3 6  ⇒ adj [A] =  6 −3 9

rP



 6 −3 −12 6 . 6 −3

Una matriz ser´ a autoadjunta si adj [A] = A.

Matriz singular

ad o

4.5.6.

A es singular si det[A] = 0. Adem´ as, si el determinate de la matriz A es diferente de cero, entonces det A−1 =

1 −1 = det |A| . det |A|

Bo rr

Rango de una matriz: Si det[A] 6= 0 se dice que la matriz cuadrada A tiene un valor de rango r. El rango de una matriz es el n´ umero m´ aximo de vectores filas o columnas linealmente independientes, es decir: 0 ≤ r ≤ n.

4.5.7.

Matriz inversa

Hemos visto que dada una transformación lineal biyectiva, podemos definir una inversa para esa transformaci´ on lineal. Esa transformaci´ on lineal tendrá como representación un matriz. Por lo tanto dado un operador lineal A diremos que otro operador lineal B será su inverso (por la derecha) si

AB = I → ei AB |ej i = δji → Aik Bjk = δji .

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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225

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS

Ejemplo Queremos hallar la matriz inversa de 

2  2 −1





2  0 0

2  2 −1

3 1 1

3 2 5

1 1 1

4 3 8

4 1 2

1 0 0

 4 1 . 2

   0 0 0 0 2 3 4 1 1 0  →  0 2 3 1 −1 0  → 0 1 0 1 −1 1 2 0    1 0 0 −1 2 1 0 0 −1 0  → · · · →  0 1 0 5 −8 −6  0 0 1 −3 5 4 0 2

re lim

Entonces:

3 1 1

in ar

Ahora bien, como conocemos la matriz Aik y la suponemos no singular ( det Aik 6= 0) al tomar un j fijo tendremos un sistema de n ecuaciones lineales inhomogéneo con n incógnitas: Bj1 , Bj2 , Bj3 , · · · Bjn . Al resolver el sistema tendremos la soluci´ on. Un procedimiento para encontrar la inversa es el método de eliminación de Gauss Jordan. Veamos como funciona para una matriz Aij 3 × 3:   1   A1 A12 A13 1 0 0 1 0 0 B11 B21 B31 Jordan  A21 A22 A23 0 1 0  Gauss→  0 1 0 B12 B22 B32  . 3 3 3 0 0 1 A1 A2 A3 0 0 1 B13 B23 B33

También se puede obtener la matriz inversa de A de la siguiente manera:

Por ejemplo, para la matriz 

   −2 2 7 6 2 1  −14 2 −3  ⇒ A−1 = −2 11  . 35 1 2 −7 −11 8

ad o

3 A= 1 4

Algunas propiedades importantes: −1 −1 T A−1 = A, AT = A−1 ,

4.5.8.

adj [A] . det [A]

rP

A−1 =

A†

−1

= A−1

†

,

(AB)

−1

= B−1 A−1 .

Matriz ortogonal

Bo rr

Anteriormente mencionamos que en el espacio real R3 podemos tener una transformación de coordenadas cartesianas: (x, y, z) → (˜ x, y˜, z˜) que consiste en rotar, un ángulo θ, uno de los sistemas respecto al otro. Si la rotaci´ on se hace, digamos alrededor del eje z, la relación entre las coordenadas es la siguiente:   1 ˜ = x cos(θ) + y sen(θ) ˜ = x1 cos(θ) + x2 sen(θ)  x  x y˜ = −x sen(θ) + y cos(θ) ⇒ x ˜2 = −x1 sen(θ) + x2 cos(θ) ⇒ x ˜i = α ˜ ji xj .   3 3 z˜ = z x ˜ = x Si la longitud desde el origen a alg´ un punto P del espacio es la misma para ambos sistemas de coordenadas xi xi = x ˜i x ˜i = (˜ αki xk )(˜ αij xj ) = xk xj α ˜ ij α ˜ ki . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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226

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS

entonces se tiene que cumplir que: α ˜ ij α ˜ ki = δkj . Esta resultado es una consecuencia de haber impuesto la condición para que las longitudes sean las mismas en ambos sistemas de coordenadas y se conoce como la condici´ on de ortogonalidad. En el lenguaje de la matrices reales la condición de ortogonalidad se puede enunciar de diferentes formas, todas ellas equivalentes: X j AT A = AAT = I , AT = A−1 , Ai Aik = δkj . i

4.5.9.

in ar

y diremos que la matrices que las satisfacen son matrices ortogonales.

Matrices complejas

re lim

Las matrices pueden tener todos sus componentes reales, Aij ∈ R, y se dice que pertenecen al espacio vectorial de matrices reales Rn×n . Las matrices con todas sus componentes reales no permite estudiar problemas que pueden aparecer en algunas ramas de la F´ısica, como en la Mecánica Cuántica. Por lo tanto, de necesita generalizar nuestro estudio a espacios vectoriales a el de espacios vectoriales de matrices complejas: Cn×n , donde en las componentes de las matrices aparecen n´ umeros complejos. Cuando las matrices son complejas surgen generalizaciones que podemos considerar, como mostramos a continuación. La matriz adjunta conjugada o matriz transpuesta conjugada

Estas matrices se construyen tomado el complejo conjugado de cada elemento y luego la transpuesta de la matriz. Se acostumbra denotarlas con A†

La matriz herm´ıtica

rP

A† = (A∗ )T = (AT )∗ .

Son aquellas matrices que satisfacen la siguiente ecuación: A† = A .

ad o

Notemos que si A es real, entonces A† = AT , y por lo tanto las matrices herm´ıticas reales son matrices simétricas. La matriz normal

Bo rr

Se llama matriz normal a aquella que satisface A† A = AA† .

La matriz unitaria

La matriz A es unitaria si: A† = A−1 .

Si A es real, entonces A−1 = AT , de manera que las matrices unitarias reales son ortogonales. Es decir, las matrices unitarias son el análogo a las matrices ortogonales reales y son de fundamental importancia en la Mec´ anica Cu´ antica porque dejan la norma de los vectores invariantes.

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227

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS

Existe una relaci´ on importante entre matrices normales y matrices unitarias y es el hecho de que una matriz A es normal, si y s´ olo si, existe una matriz diagonal Λ y una unitaria U tal que: A = UΛU† . M´ as adelante veremos que los valores en la diagonal de Λ se denominan los autovalores de A y las columnas de U son los autovectores de A. Practicando con Maxima:

(%i1) A:matrix([1,2,3],[4,8,5],[9,5,4]);   1 2 3 ( %o1) 4 8 5 9 5 4

re lim

La transpuesta es:

in ar

En este ejercicio vamos a introducir algunos comandos básicos que nos permitirán realizar operaciones t´ıpicas con matrices. Dada la siguiente matriz:

(%i2) transpose(A);   1 4 9 ( %o2) 2 8 5 3 5 4

(%i3) adjoint(A);   7 7 −14 7  ( %o3)  29 −23 −52 13 0

ad o

Para la matriz inversa:

rP

El comando adjoint(A) calcula el adjunto de la matriz A. La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores de A.

Bo rr

(%i4) invert(A);   1 1 2 − 13 − 13 13 23 1  − 13 ( %o4) − 29 91 91 4 1 −7 0 7 (%i5) determinant(A); ( %o5) − 91

Si se quiere, se puede calcular la inversa con el determinante afuera: (%i6) invert(A),detout;   7 7 −14  29 −23 7  −52 13 0 ( %o6) − 91

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228

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS

Podemos comprobar que A−1 A = I (%i7) invert(A).A;   1 0 0 ( %o7) 0 1 0 0 0 1 Para calcular la menor (i, j) de la matriz, es decir, eliminar la fila i y la columna j de una matriz se debe escribir:

in ar

(%i8) minor(A,2,2); 1 3 ( %o8) 9 4

rP

(%i9) triangularize(A);   1 2 3 ( %o9) 0 −13 −23 0 0 91 (%i10)echelon(A);   1 2 3  ( %o10) 0 1 23 13 0 0 1

re lim

Para generar una matriz triangular superior a partir de una matriz dada se debe usar el siguiente comando: triangularize(). El comando echelon() es equivalente pero normaliza a 1 el primer elemento no nulo de cada fila utilizando el método de eliminación de Gauss Jordan.

Con el paquete nchrpl se puede calcular la traza de una matriz (%i11)load(nchrpl)$

( %o12) 13

ad o

(%i12)mattrace(A);

Consideremos ahora la matriz

([1, %i, 0], [1, 2 ,-%i], [%i, 1, 2] );  0 −i 2

Bo rr

(%i13)M:matrix  1 i ( %o13) −1 2 i 1

Para el exponente de matrices tenemos la opción domxexpt (true o false). Cuando es true el exp(M ) se interpreta como la matriz cuyo elemento i, j es igual a exp(M [i, j]). En el otro caso, exp(M ) se interpreta como (x)M . (%i14)(1-x)^M;

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229

´ 4.5. UN ZOOLOGICO DE MATRICES CUADRADAS



i

1−x

(1 − x) 2 (1 − x)

 1 ( %o14)  1−x i (1 − x) 1−x (%i15)domxexpt:false$



1 1 (1−x)i 2

 

(1 − x)

(%i16)(1-x)^M; 1

i 2 1

 −1 

i

( %o16) (1 − x)



0  −i  2

in ar



Y en cuanto al c´ alculo del rango de una matriz (%i17)rank(M); ( %o17) 3

4.5.10.

re lim

(%i18)kill(all)$

Ejercicios

1. Considere las matrices 

−i 0 i

 √ 3 1  B= √ 1 8 2

 i −i  , 0

rP

0 A= i −i

√ −√ 2 6 0

√  − 3 −1  . 2

Diga si son: (a) reales, (b) diagonales, (c) simétricas, (d) antisimétricas, (e) singulares, (f) ortogonales, (g) hem´ıticas, (h) antiherm´ıticas, (i) unitarias o (j) normales. 2. Dada una matriz herm´ıtica

ad o

H=

10 3i −3i 0

construya la matriz unitaria U, tal que U† HU = D donde D es una matriz real y diagonal.

Bo rr

3. Utilizando el método de eliminaci´ on de Gauss Jordan encuentre la inversa dela matriz   1 2 3 A= 4 8 5  9 5 4 4. Encuentre la matriz inversa de 

2 A= 1 −3

4 −2 3



3 −2  , 2



1 B= 1 0

1 1 1



0 1 , 1



1/2  1/2 C=  1/2 1/2

1/2 1/2 −1/2 −1/2

1/2 −1/2 1/2 −1/2

 1/2 −1/2  . −1/2  1/2

Calcule: BT (A)−1 B y (2A + (B)−1 BT )AT . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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230

4.6. AUTOVECTORES Y AUTOVALORES

5. Considere matrices ortogonales, reales 3 × 3 las cuales, adicionalmente cumplen con: det[M] = 1. a) ¿Cu´ antos par´ ametros reales son necesarios para caracterizar un´ıvocamente a este tipo de matrices? b) ¿Este tipo de matrices forman grupo baja la multiplicación de matrices? c) Si ahora considera la matrices ortogonales reales con det[M] = −1 ¿Este tipo de matrices formar´ an grupo bajo la multiplicaci´ on? Justifique su respuesta. 6. Si A y B son dos matrices herm´ıticas que no conmutan:

entonces pruebe que C es herm´ıtica. 7. Si A = exp (iαB) ,

α ∈ R.

Demuestre que si B es herm´ıtica entonces A es unitaria.

in ar

AB − BA = iC ,

4.6.

re lim

8. Pruebe que el producto directo de dos matrices unitarias resulta en una matriz unitaria.

Autovectores y Autovalores

La ecuaci´ on de Schr¨ odinger independiente del tiempo de la Mecánica Cuántica es una ecuación, que escrita en la forma de operadores, tiene la siguiente forma: H |ΨE i = E|ΨE i ,

Bo rr

ad o

rP

donde H es un operador diferencial de segundo orden llamado el hamiltoniano y ΨE la función de onda, en este caso representada por |ΨE i, un estado propio de H que corresponde a un valor propio de la energ´ıa E. Por tratarse de un espacio de Hilbert, es decir, un espacio vectorial con un producto interno bien definido, resulta de interés buscar soluciones en lo que se denomina el estado ligado de la ecuación de Schrödinger. Esto significa buscar los |ΨE i en el espacio de las funciones de cuadrado integrable introduciendo una base unidimensional para representar ΨE y una matriz para representar H, en otras palabras: buscar una representaci´ on matricial para la ecuaci´ on de Schrödinger. Los vectores propios, |ΨE i, autovectores o eigenvectores de un operador lineal H son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un m´ ultiplo escalar de s´ı mismos, con lo que no cambian su direcci´ on. Este escalar E recibe el nombre de valor propio, autovalor, valor caracter´ıstico o eigenvalor. De manera que una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio, eigenespacio o subespacio fundamental asociado al valor propio E es el conjunto de vectores propios con un valor propio com´ un.

4.6.1.

Definiciones y teoremas preliminares

De manera general, llamaremos a |ψi un autovector del operador A si se cumple que A |ψi = λ |ψi ,

en este caso λ (que, en general ser´ a un n´ umero complejo) se denomina el autovalor correspondiente al autovector |ψi. La ecuaci´ on A |ψi = λ |ψi es conocida en la literatura como la ecuación de autovalores y se

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231

4.6. AUTOVECTORES Y AUTOVALORES

cumple para algunos valores particulares de los autovalores λ. El conjunto de los autovalores se denomina el espectro del operador A. Supongamos que A : V → V y que dim V = n, supongamos además que una base ortogonal para V es {|ei i}. Por lo tanto la repercusi´ on de esta ecuación sobre la representación matricial es la siguiente

i

e A |ej i ej |ψi = ei λ |ψi = λ ei |ψi ⇒ Aij cj = λci , claramente, si {|ei i} genera una representación diagonal de A, entonces Aij ∝ δji

⇒

Aij cj ∝ δji cj = λci ⇒ Aij ∝ λδji .

in ar

Esto lo podemos resumir en el siguiente teorema que presentaremos sin demostración.

un operador lineal A : Vn → Vn , si la representación matricial de A es diagonal,

i Teorema: Dado i e A |ej i = Aj ∝ δji , entonces existe una base ortogonal {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i}5 y un conjunto de cantidades {λ1 , λn , · · · , λn } tales que se cumple con i = 1, 2, · · · n . J

re lim

A |ei i = λi |ei i

Igualmente se cumple que si existe una base ortogonal {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i} y un conjunto de cantidades {λ1 , λn , · · · , λn } tales que satisfagan A |ei i = λi |ei i

con i = 1, 2, · · · n ,

entonces se cumple que la representaci´ on matricial de A es diagonal

i e A |ej i = Aij = diag (λ1 , λn , · · · , λn ) .

rP

Algunos comentarios

ad o

1. N´ otese que si |ψi es autovector de A para un determinado autovalor λ entonces |φi = α |ψi (un vector proporcional a |ψi, con α un n´ umero complejo) también es un autovector para el mismo autovalor. Esto representa una inc´ omoda ambig¨ uedad: dos autovectores que corresponden al mismo autovalor. Un intento de eliminarla es siempre considerar vectores |ψi normalizados, i.e. hψ |ψi = 1. Sin embargo, no deja de ser un intento que no elimina la ambig¨ uedad del todo porque siempre queda el ángulo de fase arbitrario. Esto es, el vector eiθ |ψi, con θ un n´ umero real arbitrario, tiene la misma norma del vector |ψi. Sin embargo esta arbitrariedad es inofensiva. En Mecánica Cuántica las predicciones obtenidas con |ψi son las mismas que con eiθ |ψi.

Bo rr

2. Un autovalor λ ser´ a no degenerado o simple si está asociado a un u ńico autovector |ψi6 de lo contrario si denominar´ a degenerado si existen dos o más autovectores de A, linealmente independientes asociados al mismo autovalor λ. El grado (o el orden) de la degeneraci´ on es el n´ umero de vectores linealmente independientes que estén asociados al mencionado autovalor λ. 3. El orden de degeneraci´ on de un autovalor λ expande un espacio vectorial S (λ) ⊂ Vn (denominado autoespacio) cuya dimensi´ on es el orden de la degeneración. Esto es si λ es g−degenerado, entonces existen {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · |ψg i} ⇒ A |ψi i = λ |ψi i ,

5 Realmente un conjunto de vectores linealmente independientes, pero como siempre se puede ortogonalizar mediante el m´ etodo de Gram Smith, consideraremos que es una base ortogonal de entrada. 6 Con la arbitrariedad del calibre antes mencionado.

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232

4.6. AUTOVECTORES Y AUTOVALORES

adicionalmente un autovector correspondiente al autovalor λ puede ser expresado como |ψi = ci |ψi i

con i = 1, 2, · · · , g ,

con lo cual A |ψi = ci A |ψi i = λ ci |ψi i = λ |ψi . Ejemplos E 1. Reflexi´ on respecto al plano xy. Si R : V3 → V3 es tal que R |ψi = ψ˜ donde se ha realizado una reflexi´ on en el plano xy. Esto es R |ji = |ji ;

R |ki = − |ki ,

in ar

R |ii = |ii ;

con |ii , |ji , |ki los vectores unitarios cartesianos. Es claro que cualquier vector en el plano xy ser´ a autovector de R con un autovalor λ = 1, mientras que cualquier otro vector |ψi ∈ V3 y que no esté en el mencionado plano cumple con |ψi = c |ki y también será autovector de R pero esta vez con un autovalor λ = −1.

re lim

2. Dos visiones de rotaciones de ´ angulo fijo θ. La rotaciones de un vector en el plano pueden verse de dos maneras. a) Se considera el plano como un espacio vectorial real V2 con una base cartesiana canónica: |ii = (1, 0) , |ji = (0, 1), esto es, si: R |ai = λ |ai ⇒ el ángulo de rotación = nπ

con n entero.

b) Igualmente si consideramos el plano complejo unidimensional, expresemos cualquier vector en el plano en su forma polar |zi = reiθ por lo cual

rP

R |zi = rei(θ+α) = eiα |zi ,

si queremos λ = eiα reales, necesariamente α = nπ con n entero.

ad o

3. Autovalores y autovectores de proyectores. Es interesante plantearse la ecuación de autovalores con la definici´ on del proyector para un determinado autoespacio. Esto es, dado Pψ = |ψi hψ| si este proyector cumple con una ecuaci´ on de autovalores para un |ϕi supuestamente arbitrario Pψ |ϕi = λ |ϕi ⇒ Pψ |ϕi = (|ψi hψ|) |ϕi ⇒ |ϕi ∝ |ψi ,

Bo rr

es decir, necesariamente |ϕi es colineal con |ψi. Más a´ un, si ahora el |ϕi no es tan arbitrario sino que es ortogonal a |ψi , hψ |ϕi = 0 ⇒ λ = 0, entonces el espectro del operador Pψ = |ψi hψ| es 0 y 1, el primero de los cuales es infinitamente degenerado y el segundo es simple. Esto nos lleva a reflexionar que si existe un autovector de un determinado operador, entonces su autovalor es distinto de cero, pero pueden existir autovalores nulos que generan un autoespacio infinitamente degenerado.

4. El operador diferenciaci´ on: D |f i → D (f ) = f 0 . Los autovectores del operador diferenciaci´ on necesariamente deben satisfacer la ecuación D |f i = λ |f i → D (f ) (x) = f 0 (x) = λf (x) ,

la soluci´ on a esta ecuaci´ on ser´ a una exponencial. Esto es |f i → f (x) = ceλx ,

con c 6= 0 ,

las f (x) se denominar´ an autofunciones del operador. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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233

4.6. AUTOVECTORES Y AUTOVALORES

4.6.2.

Autovalores, autovectores e independencia lineal

Uno de los teoremas m´ as u ´tiles e importantes tiene que ver con la independencia lineal de los autovectores correspondientes a distintos autovalores de un determinado operador lineal. Este importante teorema se puede concretar en lo siguiente: Teorema: Sean {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · |ψk i} autovectores del operador A : Vm → Vn . Supongamos que existen k autovalores: {λ1 , λ2 , · · · , λk }, distintos correspondientes a cada uno de los autovectores |ψj i, entonces los {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · , |ψk i} son linealmente independientes.

in ar

Demostraci´ on La demostraci´ on de este teorema es por inducción y resulta elegante y sencilla. Primeramente demostramos que j = 1. Obvio que el resultado se cumple y es trivial para el caso k = 1 (un autovector |ψ1 i que corresponde a un autovalor λ1 es obvia y trivialmente linealmente independiente).

re lim

Seguidamente supondremos que se cumple para j = k − 1. Si existen {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · |ψk−1 i} autovectores de A correspondientes a {λ1 , λ2 , · · · , λk−1 } entonces los {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · |ψk−1 i} son linealmente independientes. Ahora lo probaremos para j = k. Por lo cual si tenemos k autovectores {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · |ψk i}, podremos construir una combinaci´ on lineal con ellos, y si esa combinaci´ on lineal se anula serán linealmente independientes. cj |ψj i = 0

con j = 1, 2, · · · , k ,

al aplicar el operador A a esa combinación lineal, obtenemos

rP

cj A |ψj i = 0 ⇒ cj λj |ψj i = 0 ,

multiplicando por λk y restando miembro a miembro obtenemos cj (λj − λk ) |ψj i = 0

con j = 1, 2, · · · , k − 1 ,

ad o

(n´ otese que el u ´ltimo ´ındice es k−1) pero, dado que los k−1 vectores |ψj i son linealmente independiente, entonces tendremos k − 1 ecuaciones cj (λj − λk ) = 0, una para cada j = 1, 2, · · · , k − 1. Dado que λj 6= λk necesariamente llegamos a que cj = 0 para j = 1, 2, · · · , k − 1 y dado que cj |ψj i = 0

Bo rr

con lo cual si

con j = 1, 2, · · · , k ⇒ cj 6= 0 ,

cj |ψj i = 0 ⇒ cj = 0

con j = 1, 2, · · · , k ,

y los {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · |ψk i} son linealmente independientes y queda demostrado el teorema. J

Es importante acotar que el inverso de este teorema NO se cumple. Esto es, si A : Vm → Vn tiene {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · , |ψn i} autovectores linealmente independientes, NO se puede concluir que existan n autovalores {λ1 , λ2 , · · · , λn } distintos correspondientes a cada uno de los autovectores |ψj i. El teorema anterior lo complementa el siguiente que lo presentaremos sin demostración. Este teorema ser´ a de gran utilidad en lo que sigue.

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234

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

Teorema: Si la dim (Vn ) = n cualquier operador lineal A : Vn → Vn tendrá un máximo de n autovalores distintos. Adicionalmente, si A tiene precisamente n autovalores: {λ1 , λ2 , · · · , λn }, entonces los correspondientes n autovectores, {|ψ1 i , |ψ2 i , |ψ3 i , · · · , |ψn i}, forman una base para Vn y la representación matricial, en esa base, del operador ser´ a diagonal

i ψ A |ψj i = Aij = diag (λ1 , λ2 , · · · , λn ) . J

4.6.3.

Ejercicios

in ar

1. Si |v1 i y |v2 i son autovectores del operador lineal A que corresponden a distintos autovalores. Muestre que α |v1 i + β |v2 i (α 6= 0, β 6= 0) no puede ser un autovector de A. 2. Demuestre que si todo vector de un espacio vectorial V es un autovector del operador lineal A, entonces A = λI. Donde I es el operador identidad. 3. Demuestre que si el operador lineal A conmuta con todos operadores que act´ uan em un determinado espacio vectorial, entonces A = λI.

re lim

4. Si un operador lineal A tiene un autovector |v0 i con autovalor λ0 . Demuestre que |v0 i es también un autovector del operador A2 con autovalor λ20 . 5. Aun si un operador lineal A no tiene autovectores el operador A2 puede llegar a tenerlos. Demuestre que si A2 tiene un autovector con un autovalor no degenerado λ0 = µ2 , entonces A tiene un autovector.

4.7.

Autovalores y autovectores de un operador

rP

Una vez m´ as, supongamos que A : V → V y que dim V = n, y además {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i} es una base ortogonal para V. Por lo tanto, la representación matricial de la ecuación de autovalores es la siguiente

i

e A |ej i ej |ψi = λ ei |ψi ⇒ Aij cj = λci ⇒ Aij − λδji cj = 0 ,

4.7.1.

ad o

con j = 1, 2, · · · , n. El conjunto de ecuaciones: Aij − λδji cj = 0, puede ser considerado un sistema (lineal y homogéneo) de ecuaciones con n inc´ ognitas cj .

El polinomio caracter´ıstico.

Bo rr

Dado que un sistema lineal y homogéneo de ecuaciones con n incógnitas tiene solución si el determinante de los coeficientes se anula, tendremos que Aij − λδji cj = 0 ⇒ det [A−λ1] = 0 ⇒ P (λ) = det Aij − λδji = 0 . Esta ecuaci´ on se denomina ecuaci´ on caracter´ıstica (o secular) y a partir valores (el espectro) del operador A, esto es: 1 A1 − λ A12 ··· A1n 2 2 2 A A − λ A n 1 2 det Aij − λδji = .. . . . . n An A Ann − λ 2 1

Hern´ andez & N´ un ˜ez

de ella emergen todos los auto = 0.

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235

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

El resultado ser´ a un polinomio de grado n (el polinomio caracter´ıstico). Las ra´ıces de este polinomio ser´ an los autovalores que estamos buscando. Es claro que estas ra´ıces podrán ser reales y distintas, algunas reales e iguales y otras imaginarias. Es importante se˜ nalar que polinomio caracter´ıstico será independiente de la base a la cual esté referida

el la representaci´ on matricial ui A |uj i del operador A. Primero los autovalores, luego los autovectores

Ejemplos

1 3 2−λ 3 3 20 − λ

re lim

1. Una matriz 3 × 3 con 3 autovalores reales distintos   2−λ 2 1 3

i i i   1 2 3 e A |ej i = ⇒ det Aj − λδj = 1 3 3 3 20

in ar

El procedimiento es el siguiente. Una vez obtenidos (los autovalores) las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico, se procede a determinar el autovector, |ψj i , correspondiente a ese autovalor. Distinguiremos en esta determinaci´ on casos particulares dependiendo del tipo de ra´ız del polinomio caracter´ıstico. Ilustraremos estos casos con ejemplos para el caso espec´ıfico de matrices reales 3 × 3.

= 0,

con lo cual el polinomio caracter´ıstico queda expresado como

λ3 − 24λ2 + 65λ − 42 = (λ − 1) (λ − 2) (λ − 21) = 0 ,

a) λ1 = 1 

2  1 3

1 2 3

rP

y es claro que tiene 3 ra´ıces distintas. Para proceder a calcular los autovectores correspondientes a cada autovalor resolvemos la ecuaci´ on de autovalores para cada autovalor. Esto es  1   1  x 3 x 3   x2  =  x2  ⇐⇒ 20 x3 x3

2x1 + x2 + 3x3 x1 + 2x2 + 3x3 3x1 + 3x2 + 20x3

= = =

x1 x2 x3 ,

ad o

que constituye un sistema de ecuaciones algebraicas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Resolviendo el sistema tendremos el primer autovector ε(λ1 )  1    x −1 ε(λ1 ) =  x2  = α  1  , 0 x3 con α un n´ umero distinto de cero.

Bo rr

b) λ2 = 2



2  1 3

1 2 3

 1   1  x 3 x 3   x2  = 2  x2  ⇐⇒ x3 20 x3

2x1 + x2 + 3x3 x1 + 2x2 + 3x3 3x1 + 3x2 + 20x3

= 2x1 = 2x2 = 2x3 .

Resolviendo el sistema se tiene el segundo autovector  1    x −3 ε(λ2 ) =  x2  = α  −3  . x3 1

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236

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

c) λ3 = 21 

2  1 3

 1   1  3 x x 3   x2  = 21  x2  ⇐⇒ 20 x3 x3

1 2 3

2x1 + x2 + 3x3 x1 + 2x2 + 3x3 3x1 + 3x2 + 20x3

= = =

21x1 21x2 21x3 .

Al resolver este sistema el tercer autovector 

in ar

ε(λ3 )

   x1 1 =  x2  = α  1  . x3 6

2. Una matriz 3 × 3 con 2 autovalores reales distintos, es decir, una matriz con autovalores repetidos   4−λ −3 1 4 −3 1

i i = 0, −1 − λ 0 e A |ej i =  4 −1 0  ⇒ det Aj − λδji = 4 1 7 −4 − λ 1 7 −4

re lim

con lo cual el polinomio caracter´ıstico queda expresado como 2

λ3 + λ2 − 5λ − 3 = (λ + 3) (λ − 1) = 0 ,

y es claro que tiene 2 ra´ıces iguales y una distinta. En este caso λ = 1 es un autovalor degenerado de orden 2. Ahora resolveremos la ecuación de autovalores para cada autovalor. a) λ1 = −3 4  4 1

−3 −1 7

Resolviendo

 1   1  x x 1 0   x2  = −3  x2  ⇐⇒ x3 x3 −4

rP



4x1 − 3x2 + x3 4x1 − x2 1 x + 7x2 − 4x3

= −3x1 = −3x2 = −3x3 .

   −1 x1 =  x2  = α  2  . 13 x3 

ad o

ε(λ1 )

b) λ2 = 1 (autovalor  4  4 1

degenerado de  −3 1 −1 0   7 −4

orden 2)   1  x1 x x2  =  x2  ⇐⇒ x3 x3

4x1 − 3x2 + x3 4x1 − x2 1 x + 7x2 − 4x3

= x1 = x2 = x3 .

Bo rr

Resolviendo el sistema tendremos el segundo autovector  1    x 1 ε(λ2 ) =  x2  = α  2  . x3 3

3. Otra matriz 3 × 3 con autovalores repetidos   2 1 1

i i 2−λ i   2 3 2 e A |ej i = ⇒ det Aj − λδj = 2 3 3 3 4

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1 1 3−λ 2 3 4−λ

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= 0, 237

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

con lo cual el polinomio caracter´ıstico es 2

λ3 + λ2 − 5λ − 3 = (λ − 7) (λ − 1) = 0 , que tiene 2 ra´ıces iguales y una distinta. En este caso λ = 1 vuelve a ser un autovalor degenerado de orden 2. Volvemos a calcular los autovectores correspondientes a cada autovalor a) λ1 = 7  1   1  1 x x 2   x2  = 7  x2  ⇐⇒ 4 x3 x3

1 3 3

Al resolver el sistema

   x1 1 =  x2  = α  2  . x3 3 

ε(λ1 ) b) λ2 = 1. En este caso el  2 1  2 3 3 3

2x1 + x2 + x3 2x1 + 3x2 + 3x3 3x1 + 3x2 + 4x3

autovalor degenerado de orden 2 presenta una peque˜ na  1   1  1 x x 2x1 + x2 + x3 = 2 2 2   x  =  x  ⇐⇒ 2x1 + 3x2 + 2x3 = 4 x3 x3 3x1 + 3x2 + 4x3 =

Resolviendo

ε(λ2 ) =

7x1 7x2 7x3 .

= = =

in ar

2  2 3

patolog´ıa. Veamos

re lim



x1 x2 x3 .

  1    x 1      x2  = α  0      −1 x3 

rP

   1    0 x      x2  = β  1     −1 x3

ad o

con lo cual el autovector ε(λ2 ) correspondiente al autovalor λ2 = 1 se podrá escribir como  1      x 1 0 ε(λ2 ) = αε1 (λ2 ) + βε2 (λ2 ) =  x2  = α  0  + β  1  . −1 −1 x3

Bo rr

4. Una matriz 3 × 3 con 1 autovalor real y dos autovalores complejos   1−λ 1 2 3 i

i e A |ej i =  3 1 2  ⇒ det Aj − λδji = 3 2 2 3 1

2 3 1−λ 2 3 1−λ

= 0,

con lo cual el polinomio caracter´ıstico queda expresado como λ3 − 3λ2 − 15λ − 18 = (λ − 6) λ2 + 3λ + 3 = 0 ,

En este caso λ1 = 6 es un autovalor real. Adicionalmente existen dos √ √ autovalores complejos, uno el complejo conjugado del otro: λ2 = − 21 3 + i 3 y λ3 = − 12 3 − i 3 . Para proceder a calcular

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238

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

los autovectores correspondientes a cada autovalor resolvemos la ecuación autovalor real. En este caso existe un u ´ nico autovalor real λ = 6.   1   1  1 2 3 x x 4x1 − 3x2 + x3  3 1 2   x2  = 6  x2  ⇐⇒ 4x1 − x2 2 3 1 x3 x3 x1 + 7x2 − 4x3

de autovalores para cada = = =

6x1 6x2 6x3 .

Tendremos que para λ = 6    x1 1 =  x2  = α  1  . x3 1

ε(λ=6)

Practicando con Maxima:

in ar



En este ejercicio aprenderemos a resolver el problema de autovalores y autovectores. Primeros lo haremos de manera indirecta, realizando los c´ alculos por pasos, y luego usando las funciones espec´ıficas del programa. Dada la matriz A del primer ejemplo anteriormente resuelto:

re lim

(%i1) A:matrix([2,1,3], [1,2,3], [3,3,20]);   2 1 3 ( %o1) 1 2 3  3 3 20

Generamos la matriz identidad 3 × 3 con el comando ident(n).

rP

(%i2) I:ident(3);   1 0 0 ( %o2) 0 1 0 0 0 1

Escribimos la ecuaci´ on de autovalores de manera matricial y la llamaremos M .

ad o

(%i3) M:A-lambda*I;   2−λ 1 3 2−λ 3  ( %o3)  1 3 3 20 − λ

El determinante nos da el polinomio caracter´ıstico, luego resolvemos para λ.

Bo rr

(%i4) factor(determinant(M)); ( %o4) − (λ − 21) (λ − 2) (λ − 1) (%i5) solve(%=0);

( %o5) [λ = 1, λ = 2, λ = 21]

Los autovalores son: λ1 = 1, λ2 = 2 y λ3 = 21. Para cada autovalor evaluaremos una matriz correspondiente:

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239

(%i6) M1:M,lambda=1; M2:M,lambda=2; M3:M,lambda=21;   1 1 3 ( %o6) 1 1 3  3 3 19   0 1 3 ( %o7) 1 0 3  3 3 18  −19 1 3 −19 3  ( %o8)  1 3 3 −1

in ar

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

Necesitamos ahora resolver, para cada autovalor, la ecuación de autovectores: AX = λi X. As´ı que podemos escribir las siguientes matrices:

re lim

(%i9) M1:M1.[x,y,z]; M2:M2.[x,y,z]; M3:M3.[x,y,z];   3z + y + x ( %o9)  3 z + y + x  19 z + 3 y + 3 x 3z + y  3z + x ( %o10)  18 z + 3 y + 3 x   3 z + y − 19 x ( %o11)  3 z − 19 y + x  −z + 3 y + 3 x

rP

Iremos ahora resolviendo cada uno de los sistemas de ecuaciones. Para λ1 = 1: (%i12)ec1:M1[1,1]=0; ec2:M1[2,1]=0; ec3:M1[3,1]=0;

ad o

( %o12) 3 z + y + x = 0 ( %o13) 3 z + y + x = 0 ( %o14) 19 z + 3 y + 3 x = 0

(%i15)solve([ec1,ec2,ec3],[x,y,z]); solve: dependent equations eliminated: (2) ( %o15) [[x = − %r4 , y = %r4 , z = 0]]

Bo rr

Recordemos que Maxima nos indica con el s´ımbolo %rn que se trata de una constante. As´ı que de las infinitas soluciones escogemos alguna de las más simples: (1, −1, 0). Repetimos los c´ alculos para el segundo autovalor, es decir, λ2 = 2: (%i16)ec1:M2[1,1]=0; ec2:M2[2,1]=0; ec3:M2[3,1]=0;

( %o16) 3 z + y = 0 ( %o17) 3 z + x = 0 ( %o18) 18 z + 3 y + 3 x = 0

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240

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

(%i19)solve([ec1,ec2,ec3],[x,y,z]); solve: dependent equations eliminated: (3) ( %o19) [[x = −3 %r5 , y = −3 %r5 , z = %r5 ]] Por lo tanto un autovector puede ser: (1, 1, −1/3). Finalmente, para λ3 = 21: (%i20)ec1:M3[1,1]=0; ec2:M3[2,1]=0; ec3:M3[3,1]=0;

in ar

( %o20) 3 z + y − 19 x = 0 ( %o21) 3 z − 19 y + x = 0 ( %o22) − z + 3 y + 3 x = 0 (%i23)solve([ec1,ec2,ec3],[x,y,z]);

re lim

solve: dependent equations eliminated: (3) %r6 %r6 ,y = , z = %r6 ( %o23) x = 6 6 Podemos tomar como autovector a: (1, 1, 6). Maxima ofrece la posibilidad de resolver el problema de autovalores a través de un determinado n´ umero de funciones. Por ejemplo, la funci´ on charpoly nos dará el polinomio caracter´ıstico directamente de la matriz que queremos estudiar y respecto de la variable que seleccionemos, es este caso será λ. (%i24)charpoly(A,lambda);

( %o24) λ + ((2 − λ) (20 − λ) − 9) (2 − λ) + 3 (3 − 3 (2 − λ)) − 11

rP

(%i25)factor(%); ( %o25) − (λ − 21) (λ − 2) (λ − 1) (%i26)solve(%=0);

ad o

( %o26) [λ = 1, λ = 2, λ = 21]

El programa también permite obtener los autovalores directamente de la matriz problema. Esto se hace con el comando eigenvalues(M). El resultado será una lista conformada a su vez por dos listas: la primera sublista la forman los valores propios de la matriz M y la segunda sus multiplicidades correspondientes. Veamos:

Bo rr

(%i27)eigenvalues(A); ( %o27) [[1, 2, 21] , [1, 1, 1]]

La funci´ on para calcular los autovectores es eigenvectors(M). El resultado será una lista con dos elementos; el primero est´ a formado por dos listas: la primera con los valores propios de M y la segunda con sus respectivas multiplicidades, el segundo elemento es una lista de listas de vectores propios, una por cada valor propio. (%i28)eigenvectors(A);

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241

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

1 ( %o28) [[1, 2, 21] , [1, 1, 1]] , [[1, −1, 0]] , 1, 1, − , [[1, 1, 6]] 3 Para el ejemplo 2 tratado anteriormente, ten´ıamos la matriz

( %o29) [[[−3, 1] , [1, 2]] , [[[1, −2, −13]] , [[1, 2, 3]]]] Notemos que s´ olo se obtienen dos autovectores. Para el ejemplo 3:

re lim

(%i28)C:matrix([2,1,1], [2,3,2], [3,3,4]);   2 1 1 ( %o29) 2 3 2 3 3 4 (%i28)eigenvectors(C);

in ar

(%i29)B:matrix([4,-3,1], [4,-1,0], [1,7,-4]);   4 −3 1 ( %o29) 4 −1 0  1 7 −4 (%i29)eigenvectors(B);

( %o29) [[[7, 1] , [1, 2]] , [[[1, 2, 3]] , [[1, 0, −1] , [0, 1, −1]]]] Y finalmente el ejemplo 4:

ad o

rP

(%i28)D:matrix([1,2,3], [3,1,2], [2,3,1]);   1 2 3 ( %o29) 3 1 2 2 3 1 (%i28)eigenvectors(D); # # """ √ ## "" ## ## """ √ √ √ √ √ 3i + 3 3i − 3 3i − 1 3i + 1 3i + 1 3i − 1 , , 6 , [1, 1, 1] , 1, ,− , 1, − , , [[1, 1, 1]] ( %o29) − 2 2 2 2 2 2

El caso degenerado

Bo rr

Como hemos visto, existen situaciones en las cuales un determinado autovalor λ = λ0 es degenerado, estudiemos esta situaci´ on con un poco de detalle. Consideremos una matriz n × n, Aij , por lo cual el polinomio caracter´ıstico P (λ) = det Aij − λδji = 0 tendr´ a una ra´ız degenerada de orden k ≤ n. Entonces el siguiente teorema garantiza la existencia de al menos un subespacio S (λ0 ) ⊂ Vn . Teorema: Sea un operador lineal A : Vn → Vn con una representación matricial n × n tal que su polinomio P (λ) = det Aij − λδji = 0 tiene al menos una ra´ız degenerada λ = λ0 , de orden k ≤ n. Entonces

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242

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

existen k autovectores, no triviales, que cumplen con A |ψj i = λ0 |ψj i

con j = 1, 2, · · · , k .

Demostraci´ on: La demostraci´ on también emerge de una variante del Método de Inducci´ on Completa. Para ello, probamos que se cumple para j = 1. Esta afirmaci´ on es obvia. Si existe un λ = λ0 existe un |ψj i, tal que cumple con la ecuaci´ on anterior el es linealmente independiente con él mismo. Suponemos que se cumple para 1 ≤ j = m ≤ k. Es decir, existen m autovectores |ψj i de A para el autovalor λ0 . Definamos un subespacio Sλ0 = S (λ0 ) ⊂ Vn donde A |ψj i = λ0 |ψj i ⇒ A |ψj i ∈ Sλ0

/

con j = 1, 2, · · · , m ,

in ar

|ψj i ∈ Sλ0

por lo tanto, podremos separar Vn como una suma directa entre el subespacio Sλ0 y N , su complemento ortogonal Vn = Sλ0 ⊕ N / A |ψj i = λ0 |ψj i ∧ |φi ∈ N ⇒ hφ |ψj i = 0 ,

re lim

claramente Sλ0 es un subespacio invariante de A por cuanto su acción se circunscribe dentro del mismo subespacio Sλ0 . Mostraremos que se cumple para operadores herm´ıticos, por cuanto no es verdad en general, entonces  hφ |ψj i = 0  ∧ ⇒ hψj |φi = 0 = hψj | A† |φi = hψj | A |φi ,  A |ψj i = λ0 |ψj i

ad o

rP

de donde se concluye que el vector es ortogonal a Sλ0 y por lo tanto está en el complemento ortogonal A |φi ∈ N (por hip´ otesis |φi ∈ N ). Esto implica que N también es un espacio invariante del operador herm´ıtico A. Entonces, el espacio Vn puede expresarse como una suma directa de los dos subespacios invariantes respecto al operador lineal A y su representación matricial en la base de autovectores tendrá la forma de una matriz diagonal a bloques:    1 1 ··· 0 0 ··· 0 Q1 · · · Q1m 0 · · · 0   .. . .. .. .   .. . . .. .. ..   .  . . .. . . . ..  0 . .     m m    

j 0 ··· 0 Q1 Qm 0 · · · 0   0 · · · 1 j   u A |ui i = Ai →  m+1 m+1    ··· 0 1 0 0   0 · · · 0 Rm+1 · · · Rn   0  .   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   . . . .  . . . . . . . . 0

···

0

0

···

1

0

···

0

n Rm+1

···

Rnn

Bo rr

α µ donde Qα β y Rυ son matrices m × m y (n − m) × (n − m), respectivamente. La matriz Qβ opera en Sλ0 µ mientras que Rυ act´ ua sobre el complemento ortogonal N . El polinomio caracter´ıstico de A puede expresarse como P (λ) = det Aij − λδji = 0 ⇒ P (λ) = det Qij − λδji det Rji − λδji = 0 ,

y como λ = λ0 es la ra´ız m´ ultiple del polinomio caracter´ıstico que anula el det Qij − λδji , tendremos que m det Qij − λ0 δji = 0 ⇒ P (λ) = (λ − λ0 ) F (λ)

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con F (λ0 ) 6= 0 ,

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243

4.7. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE UN OPERADOR

donde λ0 no es ra´ız del polinomio F (λ). Ahora bien, para que se cumpla cuando j = k el polinomio caracter´ıstico es k

m

k

j = k ⇒ P (λ) = (λ − λ0 ) R (λ) ⇒ (λ − λ0 ) F (λ) = (λ − λ0 ) R (λ) . Otra vez λ0 no es ra´ız del polinomio R (λ). La ecuación anterior se cumple para todo λ en particular para λ = λ0 . Por lo tanto, k−m R (λ) 1 = (λ − λ0 ) . F (λ) Es claro que λ = λ0 obliga a k = m. J

Ejercicios

1. Encuentre los autovalores y autovectores de la siguiente  1 3 4 A= 3 −1 −2

in ar

4.7.2.

matriz  −1 −2  2

2. Demuestre que la matriz 

re lim

y verifique si los autovectores son ortogonales entre ellos. 2 A =  −6 3

0 4 −1

 0 4  0

rP

no tiene tres autovectores linealmente independientes y que cualquier autovector tiene la forma:   λ  3λ − 2ν  ν

ad o

3. Construimos un sistema con tres part´ıculas r´ıgidamente unidas, colocadas en tres puntos distintos de la siguiente forma       −1 1 1 m2 = 2 →  −1  y m3 = 1 →  1  m1 = 1 →  1  0 2 −2 a) Encuentre la matriz del tensor de inercia. b) Diagonalice esa matriz y encuentre los ejes principales de inercia.

Bo rr

4. En Mec´ anica Cu´ antica, el problema del oscilador armónico simple puede ser representado por un problema de autovalores L|ψ >= λ|ψ > ⇒ < x|L|ψ >= λ < x|ψ > ↔ Lψ(x) = λψ(x)

donde L ↔

d2 x2 1 + + 2 dx 4 2

Si construimos un par de operadores L+ =

x d + 2 dx

y

L− =

x d − 2 dx

Utilice los resultados del problema anterior y construya las nuevas autofunciones de L con sus autovalores.

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244

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

4.8.

Autovalores y autovectores de matrices importantes

En esta secci´ on presentaremos ejemplos de autovalores y autovectores de matrices de importancia en el campo de la F´ısica, esto incluye, por supuesto, el importante problema de las matrices complejas.

4.8.1.

Autovalores y autovectores de matrices similares

re lim

in ar

Supongamos la representaci´ on matricial de un determinado operador lineal A : V → V (dim V = n), y adem´ as que {|e1 i , |e2 i , |e3 i , · · · |en i} y {|w1 i , |w2 i , |w3 i , · · · |wn i} son dos bases ortogonales para V. Entonces A |ej i = Alj |el i y A |wj i = A˜lj |wl i ,

con: Aij = ei A |ej i y A˜ij = wi A |wj i. Ahora bien, cada uno de los vectores base {|ej i} y {|wj i} puede ser expresado en las otras bases {|wj i} y {|ej i} respectivamente como  |wj i = αjl |el i ,  −1 ⇒ |wj i = αjl βlm |wm i ⇒ αjl βlm = βlm αjl = δjm ⇒ βlm = (αlm ) .  m |el i = βl |wm i Las cantidades αjl son n´ umeros que pueden ser “arreglados” como una matriz. Esa matriz, adicionalmente es no singular7 por ser la representaci´ on de una transformación lineal que aplica una base en otra. Entonces adem´ as |wj i = αjl |el i ⇒ A |wj i = αjl A |el i ⇒ A˜lj |wl i = αjm Akm |ek i = αjm Akm βkh |wh i , | {z } δjh

con lo cual

rP

A˜lj = αjm Akm βkl ⇒ A˜lj = βkl Akm αjm ⇒ A˜lj = αkl

−1

Akm αjm ,

que puede ser expresada en el lenguaje de operadores, finalmente como ˜ = C−1 AC A

⇐⇒

−1 k wi A |wj i = αki e A |em i αjm .

ad o

De esta manera hemos demostrado el siguiente teorema: Teorema: Dadas dos matrices, n × n, Alj y A˜ij las cuales corresponden a la representación matricial de un operador A en las bases ortogonales {|ei i} y {|wi i}, respectivamente. Entonces existe una matriz αjl , no singular, tal que

˜ = C−1 AC ⇐⇒ wi A |wj i = αi −1 ek A |em i αm . J A k j

Bo rr

El inverso de este teorema también se cumple. Vale decir: Teorema: Si dos matrices n × n, Alj y A˜ij , están relacionadas por la ecuación ˜ = C−1 AC ⇐⇒ A

i ˜ |wj i = αi −1 wk A |wm i αm , w A k j

˜ y A representan el mismo operador lineal. donde C es una matriz no singular, entonces A 7 det

αij

6= 0

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245

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

Demostraci´ on: Para proceder a demostrarlo supondremos A : V → V y que dim V = n, supongamos adem´ as que: {|ei i} y {|wi i} son bases de V, de tal forma que  |wj i = αjl |el i  −1 ⇒ |wj i = αjl βlm |wm i ⇒ αjl βlm = βlm αjl = δjm ⇒ βlm = (αlm ) ,  m |el i = βl |wm i donde

αjl = el |wj i

y

βlm = (αlm )

−1

= hwm |el i .

Supongamos que

con: Aij = ei A |ej i

y

˜ |wj i = A˜l |wl i , A j

˜ |wj i , con: A˜ij = wi A

in ar

A |ej i = Alj |el i ,

al actuar A sobre |wj i tendremos

−1

A |wj i = αjl A |el i = αjl Akl |ek i = αjl Akl βkm |wm i = βkm Akl αjl |wm i = (αkm ) Akl αjl |wm i , | {z } ˜ ji hwi |A|w

re lim

˜ Con lo cual A ≡ A ˜ y queda demostrado el teorema. J que es exactamente la representaci´ on matricial de A. Definici´ on: Dos matrices, Akl y A˜ij , n × n, se denominarán similares si existe una matriz no singular αki tal que

˜ |wj i = αi −1 wk A |wm i αm . J ˜ = C−1 AC ⇐⇒ wi A A k j Podemos juntar los dos teoremas anteriores y afirmar que:

rP

Teorema: Dos matrices, Akl y A˜ij , n × n, similares representan la misma transformación lineal. Teorema: Dos matrices, Akl y A˜ij , n × n, similares tienen el mismo determinante. Demostraci´ on: La demostraci´ on es inmediata y proviene de las propiedades del determinante de un producto: h i ˜ = det C−1 AC = det C−1 det [A] det [C] = det [A] . J det A

ad o

Con lo cual es inmediato el siguiente Teorema.

Teorema: Dos matrices, Akl y A˜ij , n × n, similares tienen el mismo polinomio caracter´ıstico y con ello el mismo conjunto de autovalores. Demostraci´ on: Es inmediato verificar que

Bo rr

˜ − λI = C−1 AC − λI = C−1 (A − λI) C , A

y dado que

h i ˜ − λI = det C−1 (A − λI) C = det C−1 det [A − λI] det [C] = det [A − λI] . det A

˜ y A, tendrán el mismo polinomio caracter´ıstico y con ello el mismo Por lo tanto, ambas matrices, A conjunto de autovalores. J Todos los teoremas de esta secci´ on pueden ser resumidos en el siguiente teorema Teorema: Sea un operador lineal A : V → V y dim V = n, supongamos además que el polinomio caracter´ıstico tiene n ra´ıces distintas, {λ1 , λ2 , . . . , λn }. Entonces tendremos que:

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246

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

Los diferentes autovectores {|u1 i , |u2 i , · · · , |un i} correspondientes a los {λ1 , λ2 , . . . , λn }, formar´ an una base para V.

La representaci´ on matricial del operador uk A |um i en la base de autovectores {|u1 i , |u2 i , · · · , |un i}, ser´ a diagonal

k A¯km = Wm = uk A |um i = diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) .

Cualquier otra representaci´ on matricial, ek A |em i, del operador A en otra base de V, estará relacionada con la representaci´ on diagonal mediante una transformación de similaridad ⇐⇒

diag (λ1 , λ2 , . . . , λn ) = αki

−1 k e A |em i αjm ,

in ar

W = C−1 AC

donde αjm es una matriz, no singular y por lo tanto invertible, de cantidades que relacionan ambas bases  |uj i = αjl |el i  −1 ⇐⇒ βlm = (αlm ) ⇒ βlm αjl = δjm .  m |el i = βl |um i

re lim

La demostraci´ on, en términos de los teoremas anteriores es inmediata y se la dejamos como ejercicio al lector. Una clase importante de transformaciones de similaridad son aquellas en las que C es unitaria, en esta caso se tiene que W = C−1 AC = C† AC. Además, si la base original {|ei i} es ortonormal y la matriz C es unitaria, entonces, la nueva base ser´ a ortonormal. Las siguientes propiedades pueden ser de gran utilidad: Si A es herm´ıtica (anti-herm´ıtica) entonces W es herm´ıtica (anti-herm´ıtica).

rP

W† = (C† AC)† = C† A† C = ±C† AC = ±W . Si A es unitaria, es decir A† = A−1 , entonces W es unitaria.

W† W = (C† AC)† (C† AC) = C† A† CC† AC = C† A† AC = C† IC = I .

ad o

Ejemplo Dada la siguiente matriz real



1 A= 0 3

0 −2 0

 3 0  1

Bo rr

Los autovalores y autovectores para A son

  λ1 = 4 λ2 = −2 P (λ) = −(λ − 4)(λ + 2)2 = 0 ⇒  λ3 = −2

La matriz A se puede diagonalizar a través de vectores normalizados de A como columnas.  1 C= √  2

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  |u1 i = (1 0 1)T |u2 i = (0 1 0)T ⇒  |u3 i = (−1 0 1)T

la transformación C† AC, donde C se construye con los 1 0 1

√0 2 0

 −1 0 . 1

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247

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

A pesar que los autovalores de independientes, por lo tanto:  1 √0 1 C† AC =  0 2 2 −1 0

A son degenerados (λ = 4, −2, −2) sus tres autovectores son linealmente  1 1 0  0 3 1

0 −2 0

 1 3 0  0 1 1

√0 2 0

  −1 4 0 = 0 0 1

0 −2 0

 0 0 . −2

Practicando con Maxima:

(%i1) A:matrix([1,0,3], [0,-2,0], [3,0,1]);   1 0 3 ( %o1) 0 −2 0 3 0 1 (%i2) L:eigenvectors(A);

re lim

( %o2) [[[−2, 4] , [2, 1]] , [[[1, 0, −1] , [0, 1, 0]] , [[1, 0, 1]]]]

in ar

Consideremos el ejemplo anterior

El resultado es una lista con los autovalores y su multiplicidad, y para cada autovalor los autovectores como sublistas. Es necesario manipular estas sublistas para obtener los autovectores: (%i3) L2:L[2]$ SL1:L2[1]; SL2:L2[2]; ( %o3) [[1, 0, −1] , [0, 1, 0]] ( %o4) [[1, 0, 1]]

rP

Por lo tanto, una lista con los autovectores es la siguiente (%i5) [SL1[1],SL1[2],SL2[1]]; ( %o5) [[1, 0, −1] , [0, 1, 0] , [1, 0, 1]]

ad o

Notemos el orden: los dos primeros vectores corresponden al autovalor −2 y el tercero al autovalor 4. Vamos ahora a normalizar cada vector. (%i6) V1:SL1[1]sqrt(SL1[1].SL1[1]); V2:SL1[2]/sqrt(SL1[2].SL1[2]);

Bo rr

V3:SL2[1]/sqrt(SL2[1].SL2[1]); 1 1 ( %o6) √ , 0, − √ 2 2 ( %o7) [0, 1, 0] 1 1 ( %o8) √ , 0, √ 2 2 Hacemos una lista con los vectores normalizados: (%i9) Lvec:[V1,V2,V3];

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248

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

( %o9)

1 1 1 1 √ , 0, − √ , [0, 1, 0] , √ , 0, √ 2 2 2 2

Construimos la matriz C: (%i10)C: transpose(apply(’matrix,Lvec)); 

√1 2

0 1 0

( %o10)  0 − √12

 √1 2 0

√1 2

in ar

Y finalmente

4.8.2.

re lim

(%i11)transpose(C).A.C;   −2 0 0 ( %o11)  0 −2 0 0 0 4

Autovalores y autovectores de matrices herm´ıticas

Tal y como mencionamos con anterioridad, un operador herm´ıtico cumple con ∗ i

∗ , A† = A ⇒ A† j = ei A† |ej i = ej A |ei i = Aji

rP

esto es: el herm´ıtico conjugado de una matriz, es su traspuesta conjugada. Por lo tanto, las matrices herm´ıticas son simétricas respecto a la diagonal y los elementos de la diagonal son n´ umeros reales. Por su parte, llamaremos antiherm´ıtico a un operador que cumpla con: ∗ i

∗ A† = −A ⇒ A† j = ei A† |ej i = − ej A |ei i = − Aji . Teorema: Suponga un operador herm´ıtico A = A† con autovalores: {λ1 , λ2 , . . . , λn }. Entonces:

ad o

Los autovalores {λ1 , λ2 , . . . , λn } son reales.

Los autovectores {|u1 i , |u2 i , · · · , |un i}, correspondientes a cada uno de los autovalores, serán ortogonales. Demostraci´ on:

Bo rr

Para demostrar que los autovalores {λ1 , λ2 , . . . , λn } son reales, proyectamos la ecuación de autovalores en cada uno de los autovectores: A |ψi = λ |ψi ⇒ hψ| A |ψi = λ hψ |ψi .

Ahora bien, dado que hψ |ψi es real, si demostramos que hψ| A |ψi es real, estará demostrado que λ lo ser´ a también. Pero como A es herm´ıtico ∗

hψ| A |ψi = hψ| A† |ψi = hψ| A |ψi ⇒ hψ| A |ψi ∈ R ,

y por consiguiente los autovalores {λ1 , λ2 , . . . , λn } son reales. Más a´ un, si A es herm´ıtico, y como sus autovalores son reales entonces hψ| A† = λ∗ hψ| = λ hψ| ⇒ hψ| A |φi = λ hψ |φi .

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249

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

Para demostrar que los autovectores {|u1 i , |u2 i , · · · , |un i} son ortogonales, consideremos dos autovectores con sus correspondientes autovalores de tal forma que se cumplen las siguientes ecuaciones A |ψi = λ |ψi

A |ϕi = µ |ϕi ,

y

in ar

pero como A es herm´ıtico entonces se cumple que hϕ| A = µ hϕ|, multiplicando a la izquierda por |ψi y a hψ| A = λ hψ| por hϕ| a la derecha.    (hϕ| A = µ hϕ|) |ψi   hϕ| A |ψi = µ hϕ |ψi  ⇒ ⇒ (λ − µ) hϕ |ψi = 0 ,    hϕ| (A |ψi = λ |ψi) hϕ| A |ψi = hϕ |ψi y como hemos supuesto que λ 6= µ con lo cual hϕ |ψi = 0, los autovectores correspondientes a dos autovalores son ortogonales. J

re lim

Ejemplo La siguiente matriz es un ejemplo de una matriz herm´ıtica o autoadjunta:   1 −1 + 2i i 2 −1  ⇒ A† = A A =  −1 − 2i −i −1 3 Los autovalores de esta matriz son:

  λ1 = 4 √ 2 λ 2 = 1 + √5 P (λ) = − (λ − 4) λ − 2 λ − 4 = 0 ⇒  λ3 = 1 − 5



3√

ad o

 √ 1 λ2 = 1+ 5 ⇒ |u2 i =  3

rP

Los tres autovalores reales generan los siguientes autovectores:   1 λ1 = 4 ⇒ |u1 i =  −1 − i  , 1

1 − 5i √  , − 5−2− 1+ 5 i

Bo rr

|ˆ u3 i = p

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λ3 = 1− 5 ⇒ |u3 i =

√

Estos vectores normalizados son   1 |u1 i 1 −1 − i  , |ˆ u1 i = p = 2 hu1 |u1 i 1

|ˆ u2 i = p

|u3 i hu3 |u3 i

hu2 |u2 i

=p

 =p

30 − 6

1 √ 3



|u2 i

3



√

3 30 + 6



3√

1 + 5i √  . 5−2− 1− 5 i

3√



√  √ 1 − 5i √  , 5 − 5−2− 1+ 5 i 3√



1 + 5i √  . √  √ 5 5−2− 1− 5 i

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250

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

in ar

Se puede demostrar que los autovectores son ortogonales:   3√ 1 −1 + i 1  √ 1 − 5 i √  = 0 hu1 |u2 i = (u1 )† u2 = 0 ⇒ − 5−2− 1+ 5 i   3√ 1 + 5i √  = 0 1 −1 + i 1  √ hu1 |u3 i = (u1 )† u3 = 0 ⇒ 5−2− 1− 5 i   3√ √ √ √ 1 + 5i √  = 0 hu2 |u3 i = (u2 )† u3 = 0 ⇒ 3 1 + 5i − 5 − 2 + 1 + 5 i  √ 5−2− 1− 5 i

30+6

a partir de los autovectores          

re lim

La matriz A es entonces diagonalizable si construimos la siguiente matriz normalizados:  1 √ 9 √ √ 9 √ 2 30+6 5 30−6 5   √ √  3(1+ 5 i) 3(1− 5 i)  −1−i √ √  √ √ P= 2 30+6 5 30−6 5   √ √ √ √  3( 5−2−(1− 5)i) 3(− 5−2−(1+ 5)i) 1 √ √ √ √ 2 5

30−6

5

rP

Si elegimos la matriz diagonal a partir de los autovalores:   4 0√ 0 0√  , Λ= 0 1+ 5 0 0 1− 5

entonces resulta que es posible factorizar la matriz A de la siguiente forma (Para el lector se deja la comprobaci´ on) A = PΛP† .

ad o

En este caso, se dice que A es diagonalizable unitariamente, por ser Λ diagonal y por ser P unitaria, es decir, por satisfacer la propiedad P† = P−1 . Es importante se˜ nalar el hecho de que si la matriz A es real, entonces A = PΛPT .

Bo rr

con Λ diagonal y P ortogonal: PT = P−1 . En resumen, si A es una matriz herm´ıtica perteneciente al espacio vectorial de matrices cuadradas n × n (A ∈ Cn×n o A ∈ Rn×n ) , entonces: Sus autovalores son reales. Los autovectores correspondientes a cada autovalor son ortogonales. Los autovectores de A resultan ser una base ortonormal del espacio vectorial (Cn×n o Rn×n ). Adem´ as: A = PΛP† , con P unitaria y Λ diagonal. (Si la matriz A es real P será ortogonal).

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251

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

4.8.3.

Autovalores y autovectores de matrices unitarias

Tal y como mencionamos anteriormente, un operador será unitario si su inversa es igual a su adjunto. Esto es U−1 = U† ⇒ U† U = UU† = I . Dado que los operadores unitarios conservan la norma de los vectores sobre los cuales ellos act´ uan, i.e.  |˜ xi = U |xi  ⇒ h˜ y |˜ xi = hy| U† U |xi = hy |xi ,  |˜ y i = U |yi

in ar

son elementos naturales para representar cambios de base dentro de un espacio vectorial. De lo anterior se deduce que si {|ei i} es una base ortonormal, el conjunto de vectores transformados: |˜ej i = U |ej i, también ser´ an ortonormales:

|˜ej i = U |ej i ⇒ ˜ei |˜ej i = ˜ei U |ej i = ei U† U |ej i = δji .

re lim

Los operadores unitarios aplican vectores base de un espacio vectorial en otra. El siguiente teorema lo ilustra. Teorema: La condici´ on necesaria y suficiente para que un operador U : Vn → Vn sea unitario es que aplique vectores de una base ortonormal {|ei i} en otra {|˜ei i}, también ortonormal. Demostraci´ on: Demostremos primero la condición necesaria. Si es unitario aplica una base en otra. Esto es, supongamos que los vectores {|ej i} forman una base ortonormal para Vn . Sean |ψi, y U† |ψi ∈ Vn . Estos vectores pueden ser expresados en términos de la base {|ej i} de Vn . Por lo tanto, si seleccionamos U† |ψi se cumple que:

rP

U† |ψi = cj |ej i ⇒ UU† |ψi = cj U |ej i = cj |˜ej i ⇒ |ψi = cj |˜ej i ,

ad o

donde hemos aplicado el operador U a la ecuación U† |ψi = cj |ej i y el resultado es que el otro vector, |ψi, también se pudo expresar como combinación lineal de los vectores transformados {|˜ej i} de la base {|ej i}. Y por lo tanto, los {|˜ej i} también constituyen una base. Es decir, los operadores unitarios aplican una base ortonormal en otra. La condici´ on de suficiencia (Si aplica una base en otra es unitario) se puede demostrar como sigue. Si {|ej i} y {|˜ej i} son bases ortonormales de Vn y una es la transformada de la otra implica que |˜ej i = U |ej i

con

|ej i ej = I ;

h˜ej | = hej | U† ,

i ˜e |˜ej i = δji ,

|˜ej i ˜ej = I ,

Bo rr

por lo tanto

ei |ej i = δji ,

y

U† U |ej i = U† |˜ej i = |ek i ek U† |˜ej i = |ek i ˜ek |˜ej i = |ek i δjk = |ej i .

Esto significa que U† U = I. J De un modo equivalente, se puede demostrar que UU† = I. Veamos:

U† |ej i = |ek i ek U† |ej i = |ek i ˜ek |ej i ,

y ahora, aplicando el operador U a esta ecuación, tenemos

UU† |ej i = U |ek i ˜ek |ej i = |˜ek i ˜ek |ej i = |ej i . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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252

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

Queda entonces demostrado demostrado que U es unitario: U† U = UU† = I. Por otro lado, la representaci´ on de una matriz unitaria en una base {|ej i} implica

∗ j ∗ Ujk = ek U |ej i ; hem | U† |ej i = ej U |em i = Um , por lo que δjk

=

X

k

k j ∗ Um Um e |ej i = ek I |ej i = ek UU† |ej i = ek U |em i hem | U† |ej i =

=

X

k

∗ e |ej i = ek I |ej i = ek U† U |ej i = ek U† |em i hem | U |ej i = (Ukm ) Ujm .

m

δjk

in ar

m

Una vez m´ as, dado un operador lineal A, la representación matricial del herm´ıtico conjugado de ese operador, A† , es la traspuesta conjugada de la matriz que representa al operador A. En el caso de operadores unitarios, lo cual es f´ acilmente verificable, basta comprobar la suma de los productos de los elementos de una columna (fila) de la matriz con los complejos conjugados de otra columna (fila) sea:

2. uno si las columnas (filas) son iguales.

re lim

1. cero si las columnas (filas) son distintas.

Ejemplos de matrices unitarias son las llamadas matrices de rotación. Alrededor del eje z tendremos que   cos(θ) sen(θ) 0 R (θ) =  − sen(θ) cos(θ) 0  . 0 0 1 También la matriz de rotaci´ on de una part´ıcula de esp´ın i

en el espacio de estados

(α, β, γ) =

i

e− 2 (α+γ) cos(β) −e 2 (α−γ) sen(β) i i e− 2 (α−γ) sen(β) e 2 (α+γ) cos(β)

rP

R

(1/2)

1 2

,

claramente se cumple la regla expuesta arriba.

ad o

Autovalores y autovectores: En cuanto a los autovalores y autovectores de matrices unitarias podemos ver que si |ψu i es un autovector, normalizado del operador U, correspondiente a un autovalor u tendremos que la norma al cuadrado ser´ a igual a U |ψu i = u |ψu i ⇒ hψ u | U† U |ψu i = 1 = u∗ u hψ u |ψu i = u∗ u ⇒ u = eiϕu ,

Bo rr

con ϕu una funci´ on real. Por lo cual podemos concluir que, necesariamente, los autovalores de los operadores unitarios ser´ an n´ umeros complejos de m´ odulo 1. Cuando los autovalores son diferentes, digamos w 6= u, entonces esta condici´ on implica que hψ w |ψu i = 0, con lo cual los autovectores de un operador unitarios son ortogonales. Transformaci´ on unitaria de operadores: Hemos visto como las transformaciones unitarias permiten construir bases ortogonales {|˜ei i} para el espacio vectorial Vn partiendo de otra base {|ei i} también ortogonal. Mostraremos aqu´ı como transforman los operadores lineales bajo transformaciones unitarias. Definici´ on: Dadas dos bases ortonormales {|ei i} y {|˜ei i} en Vn con; |˜ej i = U |ej i. Un operador lineal unitario U : Vn → Vn y un operador lineal A : Vn → Vn . Hern´ andez & N´ un ˜ez

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253

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

˜ : Vn → Vn como aquel cuya representación matricial en la base Definiremos al operador transformado A

˜ |˜ei i = ej A |ei i. J {|˜ei i} es la misma que en la base {|ei i}: ˜ej A A partir de esta definici´ on es f´ acil concluir que

j ˜ |˜ei i = ej U† AU ˜ |ei i = ej A |ei i ⇒ U† AU ˜ = A ⇐⇒ A ˜ = UAU† . ˜e A ˜ = UAU† corresponde a la definición de la transformación de un operador A Por lo tanto, la ecuaci´ on A mediante un operador unitario U† . Es f´ acil identificar las propiedades de estos operadores transformados:

† † ] †) , ˜ = UAU† = U† A† U = (A A

in ar

El herm´ıtico conjugado y funciones de un operador transformado:

˜ en particular se sigue de esta propiedad que si A = A† , es herm´ıtico, también lo será A:

Del mismo modo

re lim

† ˜= A ˜ . A = A† ⇐⇒ A

2 2) , ] ˜ = UAU† UAU† = UA2 U† =(A A

con lo cual

n n−2 n) ] ˜ A = UAU† · · · UAU† = UAn U† =(A

˜ , F˜ (A) = F A

rP

donde F (A) es una funci´ on del operador A.

⇒

Los autovalores y autovectores de un operador transformado

ad o

E Ser´ a un autovector |φµ i de A correspondiente a un autovalor µ, y sea φ˜µ el transformado de |φµ i mediante el operador unitario U. Entonces E E ˜ φ˜µ = UAU† U |φµ i = UA |φµ i = µU |φµ i = µ φ˜µ , A |φµ i = µ |φµ i ⇒ A E ˜ con el mismo autovalor µ : con lo cual es claro que φ˜µ es un autovector de A

E E ˜ φµ = µ φ˜µ .

Bo rr

Equivalentemente podemos afirmar que los autovectores transformados de A, serán autovectores del ˜ operador transformado A. Ejemplo Dada la matriz



√1 2

  i A=  − √2  0

√1 2

0

√i 2

  0  . 

0



i

Esta matriz es unitaria, ya que: A† = A−1 .

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254

4.8. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES IMPORTANTES

Los autovalores de esta matriz son:

P (λ) = (λ − i) 2 λ2 −

√

 √ √ 2(1+i)−2 −3i   λ1 = √ 4 √ −3i 2(1 + i)λ + 2 i = 0 ⇒ λ2 = 2(1+i)+2 4   λ3 = i

λ3 λ∗3

=

i(−i) = 1

Estos tres autovalores generan los autovectores:  λ1

=

√   2(1 + i) − 2 −3i ⇒ |u1 i =   4 



√ i− −6i−1 2

  ,  

re lim

√

1

in ar

Notemos que los valores propios est´ an normalizados a la unidad ! √ √ ! √ √ 2(1 + i) − 2 −3i 2(1 − i) − 2 3i ∗ =1 λ1 λ1 = 4 4 ! √ √ ! √ √ 2(1 + i) + 2 −3i 2(1 − i) + 2 3i λ2 λ∗2 = =1 4 4

0



√ λ2

=

2(1 + i) + 2 4

√

−3i

  ⇒ |u2 i =   



1

√ i+ −6i−1 2

  ,  

0





0 = i ⇒ |u3 i =  0  , 1

rP

λ3

ad o

Se puede demostrar que los autovectores son ortogonales: hu1 |u2 i =

Bo rr

hu1 |u3 i =

hu2 |u3 i =

(u1 )† u2 = 0 ⇒

(u1 )† u3 = 0 ⇒

(u2 )† u3 = 0 ⇒



√

1

−i− 6i−1 2

1

√ −i− 6i−1 2

1

√ −i+ 6i−1 2

0

 

1

√ i+ −6i−1 2

 =0

0 

0  0 =0 1   0 0  0 =0 1 0

Con los autovectores normalizados construimos la matriz U, que también será unitaria, y la matriz diagonal Λ con los autovalores.    √  √ √ 1√ √ 1√ 0 2(1+i)−2 −3i 3+√ 3 3− 3 0 0 √ 4  (1−i) 3+1  √ √   3−1 ( ) (1−i) 2(1+i)+2 −3i U= √( √ ) 0  0 0 ,  − √ √ , Λ= 4 2 3+ 3 2 3− 3 0 0 i 0 0 1 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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255

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

Como dijimos con anterioridad, existe una relación entre las matrices normales y las matrices unitarias: una matriz A es normal, s´ı y s´ olo s´ı, existe una matriz diagonal Λ y una unitaria U tal que: A = UΛU† . Dejamos al lector la comprobaci´ on. Esto significa que A es también normal, es decir AA† = A† A .

4.8.4.

Ejercicios

1. Diagonalizar unitariamente A=

2 i

−i 1



,

2. Diagonalizar ortogonalmente A=

1 −3

1 1+i 5 B= 1−i −2i −3

−3 1

3. Demuestre que la matriz



,

3 B =  −2 4

x x + iy

rP

C=

 2i −3  0

re lim

in ar

El lector puede entonces demostrar que las matrices herm´ıticas, semi-herm´ıticas y las unitarias son matrices normales.

x − iy −z

−2 6 2

 4 2  3

es igual a C = xσ 1 + yσ 2 + zσ 3 . Donde las matrices σ i son la matrices de Pauli.

Conjunto completo de observables que conmutan

ad o

4.9.

n n Definici´ on: Diremos que un operador A : V → V es un observable si el conjunto de autovectores ui(µ) de un operador herm´ıtico A, forman una base de Vn . D D A ui(µ) = ai ui(µ) ⇒ ui(µ) ui(µ) = 1 ⇐⇒ ui(µ) uj(ν) = δji δνµ ,

Bo rr

donde el ´ındice µ indica el grado de degeneración del autovalor λi . J Un ejemplo trivial de un observable lo constituyen los proyectores, P|ψi = |ψi hψ| con hψ| ψi = 1. Claramente, la ecuaci´ on de autovalores para un proyector obliga a que tenga dos autovalores 0 y 1. El autovalor nulo es infinitamente degenerado y está asociado a todos los vectores ortogonales a |ψi, mientras que el autovalor 1 corresponde a un autovalor simple y está asociado a todos los vectores colineales al mismo vector |ψi. Esto es: P|ψi |ψi = |ψi y P|ψi |φi = 0 si hψ| φi = 0 . M´ as a´ un, sea un vector arbitrario |ϕi ∈ Vn . Siempre se podrá expresar como |ϕi = P|ψi |ϕi + I − P|ψi |ϕi ⇒ P|ψi |ϕi = P|ψi |ϕi + I − P|ψi |ϕi ,

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256

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

por lo tanto P|ψi |ϕi = P|ψi P|ψi |ϕi + P|ψi − P2|ψi |ϕi = P|ψi |ϕi =⇒ P|ψi P|ψi |ϕi = P|ψi |ϕi , ya que P2|ψi = P|ψi , por definici´ on de proyector. Entonces, se deduce que P|ψi |ϕi es un autovector de P|ψi con autovalor 1. Igualmente I − P|ψi |ϕi es un autovector de P|ψi con autovalor 0, y la demostraci´ on es inmediata P|ψi I − P|ψi |ϕi = P|ψi − P2|ψi |ϕi = 0 .

i

i

Para los observables que conmutan se tienen los siguientes teoremas:

in ar

Para el caso de autoespacios correspondientes a autovalores degenerados se puede definir un observable A de la forma X D para: µ = 1, 2, · · · , k . A= ai Pi con: Pi = ψ·(µ) ψ ·(µ)

Demostraci´ on: La demostraci´ on es sencilla

re lim

Teorema: Si dos operadores lineales A y B, operadores herm´ıticos, conmutan, [A, B] = 0, y |ψi es autovector de A con autovalor σ, entonces B |ψi también será autovector de A con el mismo autovalor σ.

A |ψi = a |ψi ⇒ B (A |ψi = σ |ψi) ⇒ BA |ψi = A (B |ψi) = σ (B |ψi)

J

Ahora bien, de esta situaci´ on se puede distinguir un par de casos:

rP

si el autovalor σ es no degenerado los autovectores asociados con este autovalor son, por definición, colineales con |ψi. Por lo tanto B |ψi, será necesariamente colineal con |ψi. La conclusión a esta afirmaci´ on es que NECESARIAMENTE |ψi es autovector de B. si el autovalor σ se degenerado, B |ψi ∈ Sσ , es decir B |ψi está en el autoespacio Sσ con lo cual Sσ es globalmente invariante bajo la acci´ on de B.

ad o

Teorema: Si dos observables A y B conmutan, [A,

B] = 0, y si |ψ1 i y |ψ2 i son autovectores de A para autovalores distintos, entonces el elemento de matriz ψ 1 B |ψ2 i = 0 Demostraci´ on: Si A |ψ1 i = σ1 |ψ1 i y A |ψ2 i = σ2 |ψ2 i entonces

0 = ψ 1 [A, B] |ψ2 i = ψ 1 AB − BA |ψ2 i = ψ 1 A B |ψ2 i − ψ 1 B (A |ψ2 i)

= σ1 ψ 1 B |ψ2 i − σ2 ψ 1 B |ψ2 i = (σ1 − σ2 ) ψ 1 B |ψ2 i ⇒ ψ 1 B |ψ2 i = 0 . J

Bo rr

Teorema: Si dos observables A y B, operadores herm´ıticos, conmutan, [A, B] = 0, los autovectores {|ψi i} comunes a A y B constituyen una base ortonormal para Vn . Demostraci´ on: Denotemos los autovectores de A como ψi(µ) , de tal modo A ψi(µ) = σi ψi(µ) donde i = 1, 2, .., n − kn + 1 y µ = 1, 2, .., kn ,

kn indica el orden de la degeneraci´ on de un determinado autovalor σn . Dado que A es un observable, los ψi(µ) forman una base, claramente: D ψ i(µ) ψj(ν) = δji δνµ .

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257

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

Dado que los elementos de la matriz ψ i(ν) B ψj(ν) = δji , entonces esto quiere decir que los elementos

i(µ) an nulos para i 6= j, pero no podemos decir nada a priori para el caso µ 6= υ y Bj(ν) = ψ i(µ) B ψj(ν) ser´ i = j. En general, al ordenar la base ψ1(1) , ψ1(2) , · · · ψ1(k ) , ψ2(1) , ψ2(2) , · · · , ψ2(k ) , · · · , ψ3(1) , · · · ψn−k (1) , 2 n 1

re lim

in ar

para el caso que consideraremos ser´ a ψ1(1) , ψ1(2) , ψ1(3) , ψ2(1) , ψ2(2) , ψ3(1) , ψ4(1) , ψ4(2) , ψ5(1) . J

La representaci´ on matricial de B en esa base, ψ i(µ) B ψj(ν) , tendrá la forma de una matriz diagonal a bloques  1 (1)  1 (1) 1 (1) B1 (1) B1 (2) B1 (3) 0 0 0 0 0 0  1 (2)  (2) 1 (2)  B1 (1) B11 (2)  B1 (3) 0 0 0 0 0 0    B 1 (3) B 1 (3) B 1 (3)  0 0 0 0 0 0  1 (1)  1 (2) 1 (3)   2 (1) 2 (1)   0 0 0 B B 0 0 0 0 2 (1) 2 (2)     2 (2) 2 (2) 0 0 0 B2 (1) B2 (2) 0 0 0 0     3 (1)   0 0 0 0 0 B3 (1) 0 0 0     4 (1) 4 (1)   0 0 0 0 0 0 B4 (1) B4 (2) 0   4 (2) 4 (2)   0 0 0 0 0 0 B4 (1) B4 (2) 0   5 (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 B5 (1)

rP

Tal y como hemos mencionado los subespacios: E 1 , E 2 , y E 4 corresponden a los autovalores degenerados σ1 , σ2 , y σ4 (de orden 3, 2 y 2 respectivamente). Una vez m´ as surgen dos casos a analizar: Si σn es un autovalor no degenerado, entonces existe un u ńico autovector asociado a este autovalor (la dimensi´ on del autoespacio es 1 → kj = 1, y no hace falta). Esto corresponde al ejemplo hipotético anterior para los autovalores simples σ3 , y σ5 .

Bo rr

ad o

Si σn es un autovalor degenerado, entonces existe un conjunto de autovectores asociados a este autovalor σn (en este caso la dimensi´ on del autoespacio es kn ). Como los ψj(µ) son autovectores de A su representaci´ on matricial ser´ a diagonal a bloques. Ahora bien, como el autoespacio Sa es globalmente

i (µ) invariante bajo la acci´ on de B y Bj(µ) = ψ i(µ) B ψj(µ) es herm´ıtico, por ser B herm´ıtico, entonces B es diagonalizable dentro del bloque que la define. Es decir, se podrá conseguir una base χj(µ) tal que la representaci´ on matricial de B en esa base es diagonal D D i(µ) ˜ i(µ) = βj(µ) δji , Bj = ψ i(µ) B ψj(µ) =⇒ χi(µ) B χj(µ) = B j(µ) que no es otra cosa que los vectores χj(µ) serán autovectores de B B χj(µ) = βj(µ) χj(µ) .

Es importante recalcar que los autovectores ψj(µ) de A asociados con un autovalor degenerado NO son necesariamente autovectores de B. S´ olo que como B es herm´ıtico puede ser diagonalizado dentro del autoespacio.

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258

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

De ahora en denotaremos los autovectores comunes a dos operadores A y B con distintos auto adelante valores como u i|j(µ) tal que y B u n|m(µ) = βm u n|m(µ) , A u n|m(µ) = σn u n|m(µ) donde hemos dejado “espacio” para permitir la degeneración la cual será indicada por el ´ındice µ. La prueba del inverso del teorema anterior es bien simple comunes a A y B, entonces A y B conmutan, Teorema: Si existe una base de autovectores uj(µ) [A, B] = 0

in ar

Demostraci´ on: Es claro que AB u n|m(µ) = βm A u n|m(µ) = βm σn u n|m(µ) BA u n|m(µ) = σn B u n|m(µ) = σn βm u n|m(µ)

re lim

restando miembro a miembro obtenemos de manera inmediata (AB − BA) u n|m(µ) = [A, B] u n|m(µ) = (βm σn − σn βm ) u n|m(µ) = 0 . J

Definici´ on: Los operadores: {A, B, C, D · · ·} constituye un conjunto completo de observables que conmuntan si: 1. Obviamente los operadores del conjunto conmutan entre ellos:

[A, B] = [A, C] = [A, D] = [B, C] = [B, D] = [C, D] = · · · = 0 2. Al especificar el conjunto de autovalores para los operadores

rP

{αn , βm , γk , δl , · · ·}

se especifica de manera un´ıvoca un u ńico autovector com´ un a todos estos operadores {αn , βm , γk , δl , · · ·} ⇒ u n|m|k|l··· (µ) . J

ad o

Ejemplos

1. Considere, que el espacio de estados para un determinado sistema f´ısico viene expandido por una base ortonormal {|ξ1 i , |ξ2 i , |ξ3 i}. Definimos dos operadores Lz y S de la siguiente manera Lz |ξ1 i = |ξ1 i ; S |ξ1 i = |ξ3 i ;

Lz |ξ2 i = 0; S |ξ2 i = |ξ2 i ;

Lz |ξ3 i = − |ξ3 i S |ξ3 i = |ξ1 i

Bo rr

En la base ortonormal {|ξ1 i , |ξ2 i , |ξ3 i} las representaciones matriciales para siguientes    1 0 0 1 0

i

i 2 ξ Lz |ξj i =  0 0 0  , ξ Lz |ξj i =  0 0 0 0 −1 0 0  0

i ξ S |ξj i =  0 1

Hern´ andez & N´ un ˜ez

0 1 0

 1 0 , 0

 1

i 2 ξ S |ξj i =  0 0

0 1 0

Lz , L2z , S y S2 ser´ an las  0 0  1

 0 0  1

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259

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

Es claro que estas matrices son reales y simétricas y, por lo tanto, son herm´ıticas y, al ser el espacio de dimensi´ on finita, deben ser diagonalizables y sus autovectores formarán base para ese espacio. Por lo tanto, Lz , L2z , S y S2 son observables. Ahora bien: ¿Cuál será la forma más general de una representaci´ on matricial de un operador que conmute con Lz ?

Esto se desprende de manera directa de

0 = ξ i [M, Lz ] |ξj i = ξ i MLz − Lz M |ξj i = (λj − λi ) ξ i M |ξj i ,

in ar

Notamos que los vectores de la base ortonormal {|ξ1 i , |ξ2 i , |ξ3 i} son autovectores para Lz con autovalores {1, 0, −1}, con lo cual su representación matricial tiene que ser diagonal. Recuerde que si dos observables A y B conmutan, [A, B] = 0, y si |ψ1 i y |ψ2 i son autovectores de A para autovalores distintos, entonces el elemento de matriz ψ 1 B |ψ2 i = 0, con lo cual   M11 0 0

i M22 0 . [M, Lz ] = 0 ⇔ ξ M |ξj i =  0 0 0 M33

con

(λj − λi ) 6= 0

para i 6= j .

L2z |ξ1 i = |ξ1 i ;

re lim

Si nos planteamos la misma pregunta para L2z , vemos que sus autovalores son {1, 0}. Esto es L2z |ξ2 i = 0;

L2z |ξ3 i = |ξ3 i ,

rP

con lo cual tendremos que la representación matricial para ese operador que conmute con L2z , no es diagonal. Esto es  1  N1 0 N31

[N, L2z ] = 0 ⇔ ξ i N |ξj i =  0 N22 0  , N13 0 N33 ya que

0 = ξ 1 [N, L2z ] |ξ3 i ⇒ ξ 1 N |ξ3 i = ξ 1 N |ξ3 i , y vale para cualquier elemento N31 (y equivalentemente para N13 ).

ad o

Adicionalmente, si ordenamos la base de autovectores de Lz , como {|ξ1 i , |ξ3 i , |ξ2 i} tendremos como representaci´ on matricial diagonal a bloques, correspondiente a un autorvalor degenerado 1   1 N1 N31 0

i ˜ |ξj i =  N13 N22 0  . ξ N 0 0 N33

Bo rr

Finalmente, la representaci´ on matricial, más general, de un operador que conmute con S2 es  1  P1 P21 P31

[P, S2 ] = 0 ⇔ ξ i P |ξj i =  P12 P22 P32  . N13 P23 P33

Ahora intentaremos construir una base com´ un de autovectores para L2z y S. Para ello notamos que |ξ2 i 2 es un autovector com´ un a Lz y S, por lo tanto existirá un subespacio expandido por {|ξ1 i , |ξ3 i}. En ese subespacio las respresentaciones matriciales para L2z y S, serán

i 2

i 1 0 0 1 ξ Lz |ξj iS13 = , ξ S |ξj iS13 = . 0 1 1 0

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260

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

Acto seguido planteamos el problema de autovalores para S, esto es   |q2 i = 0 1 q1 q1 S |qj i = λj |uj i ⇒ =λ ⇒ 1 0 q2 q2  |q3 i =

√1 2

(|ξ1 i + |ξ3 i)

√1 2

(|ξ1 i − |ξ3 i)

con lo cual tendremos Autovalor L2z 0 1 1

Autovalor S 1 1 -1

in ar

Autovectores |q1 i = |ξ2 i |q2 i = √12 (|ξ1 i + |ξ3 i) |q3 i = √12 (|ξ1 i − |ξ3 i)

Cuadro 4.1: Dado que no hay l´ıneas repetidas L2z y S forman un CCOC.

m¨ x1 + kx1 − k(x2 − x1 )

=

0

m¨ x2 + kx2 + k(x2 − x1 )

=

0,

re lim

2. Consideremos otro ejemplo proveniente de la Mecánica Clásica. Se trata de dos osciladores armónicos, de igual masa, acoplados con resortes con la misma constante elástica k. La ecuaciones de movimiento para este sistema son:

rP

con lo cual, podremos expresar estas ecuaciones en forma de operadores: ! d2 m dt −k x1 2 + 2k D |xi = 0 ⇔ = 0. 2 x2 −k m d 2 + 2k dt

ad o

Si pensamos esta ecuaci´ on como una ecuación de autovalores, el autovalor es claramente λ = 0 y como las masas y las constantes el´ asticas son iguales podemos intercambiar las part´ıculas y la f´ısica (las ecuaciones de movimiento) no cambian. Esto se puede expresar matemáticamente como el operador permutaci´ on de las part´ıculas 1 2 0 1 0 1 x x P= ⇒ = . 1 0 1 0 x2 x1

Bo rr

Es inmediato comprobar que [D, P] = 0, con lo cual existirá una combinación lineal de autovectores de D (asociados con el autovalor λ = 0) los cuales también serán autovectores de P. Para ello procedamos a calcular los autovalores y autovectores de P −λ 1 1 1 1 1 P |xi = λ |xi ⇒ = 0 ⇒ λ ± 1 ⇔ |ê1 i = √ ; |ê2 i = √ . 1 −λ 1 −1 2 2

F´ acilmente podemos expresar el vector posición como una combinación lineal de estos dos autovectores de P, esto es  1 1  ξ1 = √2 (x1 + x2 ) ξ ξ x 1 1 1 2 =√ +√ ⇒ x2 1 −1  2 2 ξ2 = √12 (x1 − x2 )

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261

4.9. CONJUNTO COMPLETO DE OBSERVABLES QUE CONMUTAN

Es claro que 1 |u1 i = √ (x1 + x2 ) 2

1 1

y

1 |u2 i = √ (x1 − x2 ) 2

1 −1

,

son autovectores de P y D.

4.9.1.

Ejercicios

in ar

Dado un observable A y un vector de estado |ψi general, definiremos el valor esperado de A a la cantidad hAi = hψ| A |ψi, y la relaci´ on de dispersi´ on de A como D E D E 2 2 2 2 (∆A) = (A − hAi I) = A2 − hAi ≡ hψ| A2 |ψi − hψ| A |ψi ,

re lim

donde I es el operador identidad. N´ otese que el valor esperado es un n´ umero que representa la dispersi´ on de un observable y tiene la misma estructura e interpretación de la variancia en estad´ıstica. D E 2 1. Muestre que la dispersi´ on siempre es positiva, i.e (∆A) > 0. Para ello:

a) Inicie mostrando que para cualquier operador herm´ıtico C se cumple C2 > 0. b) Termine mostrando que A − hAi I es un operador herm´ıtico.

2. Muestre que la dispersi´ on se anula para el caso en que |ψi es autovector de A con autovalor hAi. 3. Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz muestre que las relaciones de dispersión entre dos observables A y B siempre cumplen

rP

D ED E 1 2 2 2 (∆A) (∆B) > |h[A, B]i| 4

con

[A, B] = AB − BA .

Esta es la forma general de la relaci´ on de incertidumbre.8

ad o

4. En Mec´ anica Cu´ antica se define el operador de spin como Si = ~2 σi donde las σi son las matrices de Pauli y los valores de i = 1, 2, 3 representan las direcciones x, y, z, respectivamente. a) Encuentre la expresi´ on para el conmutador [Si , Sj ], con i, j = 1, 2, 3.

Bo rr

b) Considere un vector de estado general |ψi = a |+i + b |−i, donde a y b son n´ umeros complejos que cumplen con a2 + b2 = 1 y {|+i , |−i} la base de autovectores de Sz . Muestre que D ED E 2 2 (∆Sz ) (∆Sx ) > ~4 [Im(ab∗ )]2 , con Im(◦) la parte imaginaria del argumento.

8 Para

detalles de las implicaciones de este problema se puede consultar Dumitru, S. “On the uncertainty relations and quantum measurements: conventionalities, shortcomings, reconsideration. arXiv preprint quant-ph/0504058 (2005). Y tambi´ en Dumitru, S. “A possible general approach regarding the conformability of angular observables with mathematical rules of Quantum Mechanics. arXiv preprint quant-ph/0602147 (2006).

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262

4.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4.10.

Sistemas de ecuaciones lineales

A11 x1 + A12 x2 + · · · A1n xn

=

c1

A21 x1 + A22 x2 + · · · A2n xn

= .. .

c2

Am1 x1 + Am2 x2 + · · · Amn xn

=

cm ,

Este sistema puede ser expresado de una forma más compacta i α Aα i x =c

y α = 1, 2, .., m , por lo tanto, tendremos m ecuaciones lineales para n incógnitas x1 , x2 , · · · xn . Las cantidades Aα i resultan ser las componentes de la matriz de los coeficientes. Si todos los ci son cero el sistema se denomina homogéneo, en caso contrario inhomogéneo. Puede resultar que el conjunto de las inc´ ognitas {xi } represente una solución, infinitas soluciones o que simplemente no exista una soluci´ on para el sistema. Este problema puede ser pensado como un problema de un operador A en el espacio vectorial de transformaciones lineales L (V, W) donde dim (V) = n y dim (W) = m, con las cα las componentes del vector transformado i |ci = A |xi → cα = Aα i x .

re lim

con i = 1, 2, .., n

in ar

Una de las aplicaciones m´ as u ´tiles del álgebra de matrices es la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Ejemplo

4.10.1.

= 5 = 3 = 10



2 ⇒  4 −2

    3 −1 x 5 4 −3   y  =  3  . 3 −1 z 1

ad o

2x + 3y − z 4x + 4y − 3z −2x + 3y − z

rP

El operador A aplicar´ a todo vector de V en alg´ un subespacio (o todo el espacio) de W. A este subespacio se le denomina el rango o recorrido de A y su dimensión es igual al rango de la matriz A. Si A (o A) es no singular, entonces existe alg´ un subespacio de V que es aplicado al vector cero de W, es decir, se cumple que A |x0 i = |0i donde el conjunto de vectores {|x0 i} se le llama el espacio nulo de A.

Eliminaci´ on de Gauss Jordan

Bo rr

Uno de los métodos m´ as utilizados es el de la eliminación de Gauss Jordan, el cual se basa en el intercambio de ecuaciones y la multiplicaci´ on apropiada e inteligente por constantes y resta de ecuaciones. La idea es construir una matriz triangular superior para poder luego despejar desde abajo. Veamos como se aplica el método para resolver el sistema de ecuaciones. Primeramente escribimos el siguiente arreglo:   a 2 3 −1 5 b  4 4 −3 3  , c −2 3 −1 1 entonces para eliminar x de la fila c (o la ecuación ser´ a la nueva c  a 2 b  4 c0 0 Hern´ andez & N´ un ˜ez

c) sumamos la fila a con la c, a + c y esta nueva ecuaci´ on  3 −1 5 4 −3 3  , 6 −2 6

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263

4.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

ahora −2a + b ser´ a la nueva b

finalmente 3b0 + c0

 a 2 b0  0 c0 0

3 −2 6

−1 −1 −2

 5 −7  , 6

 a 2 b0  0 c00 0

3 −2 0

−1 −1 −5

 5 −7  . −15

Este sistema es equivalente al primer sistema de ecuaciones. La solución emerge rápidamente: −2y − z = −7 → −2y − 3 = −7 → y = 2 ,

2x + 3 (2) − 3 = 5 → x = 1 .

in ar

−5z = −15 → z = 3 ,

Es bueno recalcar que los sistemas de ecuaciones lineales no necesariamente tienen solución y a veces tienen m´ as de una soluci´ on.

4.10.2.

El m´ etodo de la matriz inversa

re lim

El an´ alisis matricial nos puede ayudar a investigar sobre las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, como vimos, en notaci´ on de matrices el sistema se puede escribir de la manera siguiente:      A11 A12 · · · A1n x1 c1  A21 A22 · · · A2n   x2   c2        ..   ..  =  ..  ⇒ AX = C . ..  .     . . .  Am1 Am2 · · · Amn xn cm

rP

Podemos considerar a cada columna de la matriz A como un vector, entonces el rango r de la matriz A ser´ a igual al n´ umero de vectores linealmente independientes, este n´ umero es también la dimensi´ on del espacio vectorial que expanden estos vectores. Con respecto a las posibles soluciones del sistema podemos decir: 1. Si C pertenece al rango de A y además r = n, entonces todos los vectores del conjunto son linealmente independientes y el sistema tendr´ a como u ńica solución al conjunto {x1 , x2 , . . . xn }.

ad o

2. Si C pertenece al rango de A y además r < n, entonces u ńicamente r vectores serán linealmente independientes. Esto significa que podremos escoger los coeficientes de los n − r vectores de manera arbitraria sin dejar de satisfacer el sistema. Por tanto, existirá un n´ umero infinito de soluciones, que expanden un espacio vectorial de dimensión n − r. 3. La otra posibilidad es que el sistema no tenga solución, en este caso C NO pertenece al rango de A.

Bo rr

Cuando el sistema es homogéneo, C = 0, claramente existe una solución que viene a ser la trivial: {x1 = x2 = · · · = xn = 0}, adem´ as, si r = n ésta será la u ńica solución. Es bueno anotar que si hay menos ecuaciones que inc´ ognitas (m < n) entonces automáticamente r < n, por lo tanto un conjunto de ecuaciones lineales homogéneas con menos ecuaciones que incógnitas siempre tiene una infinidad de soluciones. Debemos considerar el importante caso cuando m = n, es decir, la matriz A es cuadrada y existe igual n´ umero de ecuaciones como de inc´ ognitas. Al ser cuadrada la matriz se tiene que la condición r = n implica que la matriz es no singular (det[A] 6= 0). El caso r < n se corresponde a que det[A] = 0. Para resolver el sistema de ecuaciones consideremos lo siguiente: dada la matriz A, n × n no singular, entonces A tiene una matriz inversa, tal que: AX = C ⇒ X = A−1 C .

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264

4.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Ejemplo Resolver el sistema 2x1 + 4x2 + 3x3

=

4

x1 − 2x2 − 2x3

=

0

−3x1 + 3x2 + 2x3

=

−7

Lo anterior es igual a 

4 −2 3

    3 x1 4 −2   x2  =  0  , 2 x3 −7

in ar

2  1 −3

al calcular la matriz inversa de A entonces resulta que        2 1 −2 4 x1 2 1  4  x2  = 13 7   0  =  −3  . 11 −3 −18 −8 −7 x3 4

4.10.3.

re lim

Existe entonces una u ńica soluci´ on al sistema, que es: {x1 = 2, x2 = −3, x3 = 4}.

Factorizaci´ on LU

El método de la matriz inversa es relativamente simple, pero laborioso cuando se trata de resolver sistemas de ecuaciones muy grandes. La factorización o descomposición LU (Lower-Upper) es una técnica, existen varias de este tipo, para factorizar una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. Si A es un matriz cuadrada no singular, entonces AX = C ⇒ A = LU ,

ad o

rP

las matrices L y U ser´ an u ńicas. Este método es b´ asicamente una versi´ on de el método de Gauss Jordan, pero es más eficiente a la hora de ser implementado en algoritmos computacionales tanto algebraicos como numéricos. Para matrices 3 × 3 el método se implementa de la siguiente manera.      U11 U12 U13 U11 U12 U13 1 0 0  1 0  0 U22 U23  =  L21 U11 L21 U12 + U22 L21 U13 + U23 A =  L21 L31 L32 1 0 0 U33 L31 U11 L31 U12 + L32 U22 L31 U13 + L32 U23 + U33 las nueve inc´ ognitas se obtienen igualando con las componentes conocidas de la matriz A. Con L y U determinadas tenemos entonces que LUX = C ,

Bo rr

por lo tanto, se debe realizar los c´ alculos en dos partes: primero LY = C y luego

UX = Y .

Ejemplo Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2x1 + 4x2 + 3x3 = 4 , x1 − 2x2 − 2x3 = 0 , −3x1 + 3x2 + 2x3 = −7 .

La matriz de los coeficientes es:

Hern´ andez & N´ un ˜ez



2 A= 1 −3

4 −2 3

 3 −2  2

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265

4.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

C´ alculo de L y U  2 4  1 −2 −3 3

  3 U11 −2  =  L21 U11 2 L31 U11

 U13  L21 U13 + U23 L31 U13 + L32 U23 + U33

U12 L21 U12 + U22 L31 U12 + L32 U22

Con los valores de inicio: U11 = 2, U12 = 4, U13 = 3 se procede a resolver las ecuaciones:

por lo tanto 

1 A = LU =  1/2 −3/2

0 1 −9/4

 0 2 0  0 1 0

4 −4 0

in ar

L31 U11 = −3 L21 U13 + U23 = −2 L31 U13 + L32 U23 + U33 = 2

L21 U11 = 1 L21 U12 + U22 = −2 L31 U12 + L32 U22 = 3

 3 −7/2  −11/8

re lim

Resolvemos primero LY = C, lo cual es bastante fácil       1 0 0 y1 4  y1 = 4  1/2 y2 = −2 1 0   y2  =  0  ⇒  −3/2 −9/4 1 y3 −7 y3 = − 11 2

rP

Con este resultado resolvemos: UX = Y, y obtenemos la solución       x1 4 2 4 3  x1 = 2  0 −4 −7/2   x2  =  −2  ⇒ x2 = −3  x3 −11/2 x3 = 4 0 0 −11/8

4.10.4.

ad o

Con la matrices L y U se puede calcular el determinante de la matriz A de una manera más directa, ya que n Y Uii . det |A| = det |L| det |U| = det |U| = i=1

M´ etodo de Cramer

Bo rr

Un método alternativo para resolves sistemas de ecuaciones lineales es la conocida regla de Cramer. El funcionamiento del método lo podemos ilustrar con un sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas: A11 x1 + A12 x2 + A13 x1

= c1

A21 x1 + A22 x2 + A23 x2

= c2

A31 x1 + A32 x2 + A33 x3

= c3 ,

Como mencionamos anteriormente, el determinate de A11 |A| = A21 A31

Hern´ andez & N´ un ˜ez

una matriz, det(A) = |A|, A12 A13 A22 A23 , A32 A33

Universidad de los Andes / Universidad Industrial de Santander

266

4.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

no cambia bajo la operaci´ on, A11 |A| = A21 A31

por ejemplo, de A12 A13 A22 A23 = A32 A33

sumarle a la primera columna las cantidades: A11 + (x2 /x1 )A12 + (x3 /x1 )A13 A12 A13 A21 + (x2 /x1 )A22 + (x3 /x1 )A23 A22 A23 A31 + (x2 /x1 )A32 + (x3 /x1 )A33 A32 A33

lo cual es igual a 1 |A| = x1

c1 c2 c3

A12 A22 A32

A13 A23 A33

≡ 1 |∆1 | . x1

x1 =

|∆1 | , |A|

x2 =

|∆2 | , |A|

x3 =

|∆3 | . |A|

A11 |∆3 | = A21 A31

re lim

Donde los determinantes, |∆n |, son los determinantes de Cramer: A11 c1 A13 c1 A12 A13 |∆1 | = c2 A22 A23 , |∆2 | = A21 c2 A23 , A31 c3 A33 c3 A32 A33

in ar

Se puede hacer lo mismo con las otras dos columnas para obtener:

A12 A22 A32

c1 c2 c3

.

Se puede demostrar que si |A| = 6 0, entonces la solución as´ı obtenida es u ńica. Ejemplo Resolver, nuevamente, el siguiente sistema de ecuaciones:

esto es:



rP

2x1 + 4x2 + 3x3 = 4 , x1 − 2x2 − 2x3 = 0 , −3x1 + 3x2 + 2x3 = −7 . 2 4 A = XC ⇒  1 −2 −3 3

    x1 4 3 −2   x2  =  0  ⇒ |A| = 11 . −7 2 x3

de manera que

ad o

Los diferentes determinantes de Cramer son: 4 2 4 3 |∆1 | = 0 −2 −2 = 22 , |∆2 | = 1 −7 3 −3 2

Bo rr

x1 =

4.10.5.

22 = 2, 11

4 0 −7

x2 = −

3 −2 2

= −33 ,

33 = −3 , 11

x3 =

2 |∆3 | = 1 −3

4 −2 3

4 0 −7

= 44 .

44 = 4. 11

Ejercicios

1. Resuelva

Hern´ andez & N´ un ˜ez

2x + 3y + z

=

11

x+y+z

=

6

5x − y + 10z

=

34

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267

4.10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. Resuelva x1 + 2x2 + 3x3

=

1

3x1 + 4x2 + 5x3

=

2

x1 + 3x2 + 4x3

=

3

x+y+z

=

1

x + 2y + 4z

=

η

x + 4y + 10z

=

η2

in ar

3. Demuestre que el siguiente sistema sólo tiene solución si η = 1 o η = 2

4. Encuentre las condiciones sobre η para que al resolver el sistema x1 + ηx2

=

1

= −1 = −2

re lim

x1 − x2 + 3x3 2x1 − 2x2 + ηx3 a) tenga una soluci´ on b) no tenga soluci´ on c) tenga infinitas soluciones

Encuentre todas las soluciones que puedan existir.



3 A= 1 2

rP

5. Encuentre la factorizaci´ on LU de  9 5 , 16

6 0 −2



2  1 B=  5 3

−3 4 3 −6

1 −3 −1 −3

 3 −3  . −1  1

ad o

Resuelva AX = C, cuando: a) C = (21 9 28)T , b) C = (21 7 22)T para la matriz A. Y cuando: c) C = (−4 1 8 − 5)T y d) C = (−10 0 − 3 − 24)T para la matriz B.

Bo rr

6. Utilizando la regla de Cramer resuelva

Hern´ andez & N´ un ˜ez

13x1 + 22x2 − 13x3

=

4

10x1 − 8x2 − 10x3

=

44

9x1 − 18x2 − 9x3

=

72 .

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268

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

4.11.

Algunos ejemplos resueltos

1. Dados dos operadores lineales tales que: AB = −BA;

A2 = I;

B2 = I;

y

[A, B] = 2iC

a) Muestre que C2 = I y que [B, C] = 2iA. Soluci´ on: = AB − BA = 2iC ⇒ 2AB = 2iC ⇒ ABAB = −C2 ⇒ −AABB = −C2 ⇒ I = C2

[B, C]

= −i (BAB − ABB) = 2iA ⇒ −i (BAB − A) = 2iA ⇒ −i (−BBA − A) = 2iA

in ar

[A, B]

b) Evalue [[[A, B] , [B, C]] , [A, B]]. Soluci´ on: =

[[2iC, 2iA] , 2iC] = 8 [[AB, iA] , AB] = 8i [(ABA − AAB) , AB]

=

8i [−2B, AB] = 16i (BAB − ABB) = 32iA .

re lim

[[[A, B] , [B, C]] , [A, B]]

2. Sean A y B dos operadores herm´ıticos, con autovalores no degenerados y un operador unitario definido como: U = A + iB. Muestre que : a) [A, B] = 0 y A2 + B2 = I. Soluci´ on: Como †

†

UU† = U† U = (A + iB) (A + iB) = (A + iB) (A + iB) ⇒ (A + iB) (A − iB) = (A − iB) (A + iB) BA − AB = −BA + AB ⇒ [B, A] = −[B, A] ⇒ [B, A] = 0

rP

La segunda de las afirmaciones se puede demostrar, a partir de

† UU† = I ⇒ (A + iB) (A + iB) = (A + iB) (A − iB) = A2 + B2 + i (BA − AB) ⇒ I = A2 +B2

ad o

b) Los autovectores de A también lo son de B Soluci´ on: Si {|ui i} son autovectores de A entonces A |ui i = λi |ui i ⇒ BA |ui i = λi B |ui i

como [B, A] = 0 ,

entonces AB |ui i = λi B |ui i

por lo tanto, B |ui i es un autovector de A. Pero la solución para la ecuación de autovectores (A − λi I) |ui i = 0 es u ńica, por lo cual todos los autovectores de A son proporcionales. Esto es B |uj i = µj |uj i, con lo cual que damostrado que los autovectores de A son autovalores de B.

Bo rr

c) Si U |vi i = νi |vi i entonces |µi | = 1. Soluci´ on: Es claro que

j †

v U U |vi i = v j I |vi i ⇒ µ∗j µi v j |vi i = v j I |vi i ⇒ µ2i = 1

3. Dada una matriz de la forma 

1 A= β 0

α 1 0

 0 0  1

y

A |vi i = λi |vi i

con α y β n´ umeros complejos distintos de cero. Encuentre: Hern´ andez & N´ un ˜ez

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269

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

a) las relaciones que deben cumplir α y β para que λi sea real. Soluci´ on: El Polinomio caracter´ıstico y la condición para que λ sea real será: p (1 − λ)(1 − 2λ + λ2 − αβ) = 0 ⇒ λ = 1 ± αβ ⇒ αβ > 0 ∧ αβ ∈ R

con lo cual

v 2 |v3 i = 0 ⇒

−β √ αβ



1 0



in ar

b) Las relaciones que deben cumplir α y β para que v j |vi i = δij . Soluci´ on: Los autovalores y autovectores para esta matriz serán    β   √ 0 p p αβ λ1 = 1 ⇒ |v1 i =  0  ; λ2 = 1+ αβ ⇒ |v2 i =  1  ; λ3 = 1+ αβ ⇒ |v3 i =  1 0 β2 = 1 ⇒ |α| = |β| αβ

4. Dadas las siguientes matrices: A=

−2 9

−9 −10 −10 5

1 8

B=

D=

8 −11

14 2

rP

C=

6 −2

re lim

c) Suponga que A es herm´ıtica, encuentre las relaciones que deben cumplir α y β. Soluci´ on: Si A es herm´ıtica, entonces α∗ = β, con lo cual se cumplen automáticamente ambas aseveraciones.

2 11

Determine cuales conmutan entre ellas y encuentre la base de autovectores comunes.

ad o

Soluci´ on: Notamos que [A, B] = [A, D] = [D, B] = 0 y 0 2 0 −8 [A, C] = , [B, C] = , −2 0 8 0 Los autovectores comunes a A, B, D, serán 1 −2 |u1 i = , 1

Bo rr

5. Dada la representaci´ on matricial de dos operadores   0 0 1 A= 0 1 0  y 1 0 0 a) Eval´ ue [A, B]. Soluci´ on:

Hern´ andez & N´ un ˜ez



0 AB =  1 0

0 0 0

|u2 i =



0 B= 1 1

[D, C] =

2 1

0 2

−2 0

1 0 1

 1 1  0

 0 0  = BA ⇒ [A, B] = 0 0

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270

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

b) Muestre que A tiene por autovalores λ1 = 1 y λ2 = −1 con λ1 un autovalor degenerado. Construya la base de autovectores para A. Soluci´ on:         0 0 1 x x −λ 0 1 x  0 1 0  y  = λ y  ⇒  0 1 − λ 0  y  1 0 0 z z 1 0 −λ z Entonces para 1 0 −λ

con lo cual tiene dos autovalores  0 0  0 1 1 0

= λ(1 − λ)λ − (1 − λ) = λ2 − 1 (1 − λ) = 0

in ar

0 1−λ 0

λ = 1 y λ = −1. Para el caso de λ = −1 se cumple que     1 x x z = −x 0   y  = −  y  ⇒ y = −y 0 z z x = −z

re lim

−λ 0 1

con lo cual el autovector asociado con el autovalor λ = −1 tendrá la forma de   1 |ui−1 = α  0  −1 Para λ = 1 se cumple 

0 1 0

    x x 1 0  y  =  y  ⇒ z z 0

rP

0  0 1

z=x y=y x=z

ad o

con lo cual hay dos vectores linealmente independientes asociados con λ = 1, a saber     1 0 |ui1a = β  0  y |ui1b =  y  con y arbitrario 1 0 N´ otese que estos tres autovectores {|ui1a , |ui1b , |ui−1 } son ortogonales entre si.

Bo rr

c) ¿Cu´ al es la representaci´ on matricial de A en la Soluci´ on: Diagonal de la forma

 1 u A |u1 i u1 A |u2 i

A˜ij =  u2 A |u1 i u2 A |u2 i u3 A |u1 i u3 A |u2 i

base de autovectores?

1   1

u2 A |u3 i A |u3 i  =  0 u

3 0 u A |u3 i

0 1 0

 0 0  −1

ya que los autovectores forman una base ortogonal. Obviamente se cumple que

Hern´ andez & N´ un ˜ez

˜ = −1 det[A] = det[A]

y

˜ = 1. Tr[A] = Tr[A]

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271

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

d ) A partir de los autovectores de A encuentre los autovalores y autovectores de B Soluci´ on: Claramente B |u−1 i = − |u−1 i con lo cual tenemos el primer autovector de B asociado al autovalor λ = −1. Para encontrar los otros autovectores tendremos      −λ 1 1 1 0  1 −λ 1   y  =  0  1 1 −λ 1 0 6. Dada la siguiente matriz 2 A= 2 −2

2 −1 4

 −2 4 , −1

in ar



encuentre una matriz C que diagonalize A

re lim

Soluci´ on: Primeramente procedemos a calcular los autovalores de A. 2−λ 2 −2 = −(λ − 3)2 (λ + 6) = 0 . −1 − λ 4 P (λ) = 2 −2 4 −1 − λ Para λ = −6: 

8  2 −2

     2 −2 x1 x1  14x1 + 2x2 − 2x3 = 0 5 4   x2  = −6  x2  ⇒ 2x1 + 11x2 + 4x3 = 0  4 5 x3 x3 −2x1 + 4x2 + 11x3 = 0

Un autovector puede ser:

   1 1 1 |u1 i =  −2  ⇒ |ˆ u1 i =  −2  3 2 2

rP



ad o

Para el autovalor degenerado λ = 3, tenemos       x1 −1 2 −2 x1  −4x1 + 2x2 − 2x3 = 0  2 −4 4   x2  = 3  x2  ⇒ 2x1 − 7x2 + 4x3 = 0  −2 4 −4 −2x1 + 4x2 − 7x3 = 0 x3 x3

Bo rr

En este caso podemos tomar como autovectores         1 1 0 0 2 1 u2 i = √  0  , |u3 i =  1  ⇒ |ˆ |u2 i =  0  ⇒ |ˆ u3 i = √  1  5 2 −1/2 −1/2 1 1 Construimos la matriz C

1 3 − 2  3 2 3

 C=

√2 5

0 − √15

0



√1  2 √1 2

de manera que:



1 3 √

 5 C−1 AC =  4 √ 9 2 2 9

Hern´ andez & N´ un ˜ez

2 − √3

5

5 9 √ 2 9

2 3√



2  −√95   2 4 2 −2 9

2 −1 4

 1 −2 3  4  − 23 2 −1 3

√2 5

0 − √15

0



 −6  √1  =  0 2 √1 0 2

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 0 0 3 0 . 0 3 272

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

7. En Mec´ anica Cl´ asica la cantidad de momento angular viene definida como L = r × p. Para pasar a Mec´ anica Cu´ antica se asocia r y p con los operadores posición y cantidad de movimiento los cuales, al operar sobre la funci´ on de onda nos proveen ∂ ∂ hr| X |ψi = x hr |ψi = x ψ (r) hr| Px |ψi = −i~ hr |ψi = −i~ ψ (r) ∂x ∂x hr| Py |ψi =

hr| Z |ψi = z hr |ψi = z ψ (r)

hr| Pz |ψi =

−i~

∂ ∂y

hr |ψi = −i~

∂ ψ (r) ∂y

∂ ∂ −i~ hr |ψi = −i~ ψ (r) ∂z ∂z

in ar

hr| Y |ψi = y hr |ψi = y ψ (r)

En coordenadas cartesianas, en la representación de coordenadas {|ri} tendremos que hr| R |ψi = r ψ (r)

hr| Px |ψi = −i~ ∇ ψ (r)

y

hr| L |ψi = −i~ (r×∇) ψ (r) hr| L |ψi = −i~

y

∂ ∂ −z ∂z ∂y

re lim

De forma que en Mec´ anica Cu´ antica las componentes cartesianas del operador cantidad de movimiento angular son

ψ (r) i − i~

z

∂ ∂ −x ∂x ∂z

ψ (r) j − i~

x

∂ ∂ −y ∂y ∂x

ψ (r) k

rP

Utilizando las definiciones anteriores muestre que el conmutador de las componentes cartesianas de la cantidad de movimiento angular cumple con [Lx , Ly ] |ψi = i~Lz |ψi

con L1 = L1 = Lx ; L2 = L2 = Ly ; L3 = L3 = Lz . En general: [Ll , Lm ] = i~εlmn Ln .

ad o

Soluci´ on: Dado que

Bo rr

[L1 , L2 ] |ψi = [Lx , Ly ] |ψi = (Lx Ly − Ly Lx ) |ψi ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ −z z −x − z −x y −z ψ (r) = −i~ y ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z ∂y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = y z −x −z z −x − z y −z −x y −z ψ (r) ∂z ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂y Con lo cual

=

=

Hern´ andez & N´ un ˜ez

∂ ∂ ∂2 ∂ ∂ +y − xy 2 − z 2 − zx ∂z∂x ∂x ∂z ∂y∂x ∂y∂z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − z2 − yx 2 − zx −x ψ (r) − zy ∂x∂z ∂y∂x ∂z ∂z∂y ∂y

yz

y

∂ ∂ −x ∂x ∂y

ψ (r) .

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273

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

8. Dados dos Operadores Vectoriales A y B que conmutan entre ellos y con L tales que [A, B] = [A, L] = [L, B] = 0 Demuestre entonces que [A · L, B · L] = i~ (A × B) · L Soluci´ on: [A · L, B · L] = i~εklm Al B m Lk == Al B m i~εklm Lk = Al B m [Ll , Lm ] = Al B m Ll Lm − Al B m Lm bm Ll

in ar

= Al Ll B m Lm − B m Lm Al Ll 9. Considere, que el espacio de estados para un determinado sistema f´ısico viene expandido por la base ortonormal {|u1 i , |u2 i , |u3 i}. Definimos dos operadores Lz y S de la siguiente manera Lz |u1 i = |u1 i ;

Lz |u2 i = 0;

a) Encuentre la representaci´ on matricial Soluci´ on: La matriz ser´ a  1 u Lz S − SLz |u1 i   2  u Lz S − SLz |u1 i  

3 u Lz S − SLz |u1 i

S |u3 i = |u1 i

en la base {|u1 i , |u2 i , |u3 i} del operador: [Lz , S]

u1 Lz S − SLz |u2 i

u2 Lz S − SLz |u2 i

u3 Lz S − SLz |u2 i

 u1 Lz S − SLz |u3 i  

2 u Lz S − SLz |u3 i   

3 u Lz S − SLz |u3 i

rP

con lo cual

 1 u Lz S |u1 i − u1 SLz |u1 i   2

 u Lz S |u1 i − u2 SLz |u1 i  

3 u Lz S |u1 i − u3 SLz |u1 i

Lz |u3 i = − |u3 i

S |u2 i = |u2 i ;

re lim

S |u1 i = |u3 i ;

u1 Lz S |u2 i − u1 SLz |u2 i

u2 Lz S |u2 i − u2 SLz |u2 i

u3 Lz S |u2 i − u3 SLz |u2 i

ad o

 u1 Lz S |u3 i − u1 SLz |u3 i  

2 u Lz S |u3 i − u2 SLz |u3 i   

3

3 u Lz S |u3 i − u SLz |u3 i

de donde



Bo rr

 

i u [Lz , S] |uj i =   

0−0

0−0

1 − (−1)

0−0

0−0

0−0

(−1) − 1

0−0

0−0





0

    = 0     −2

0 0 0

2



  0    0

b) ¿Lz , S y [Lz , S] ser´ an biyectivas? Soluci´ on: Por definici´ on S es biyectiva ya que cada vector tiene su imagen, Lz no lo es por cuanto el vector |u2 i no tiene imagen y,

finalmente [Lz ,S] tampoco será biyectiva dado que ui [Lz , S] |uj i i no tiene inversa ya que del det u [Lz , S] |uj i = 0 c) Encuentre la dimensi´ on del Dominio, del Rango y del n´ ucleo de la transformaciones Lz , S y [Lz , S]

Hern´ andez & N´ un ˜ez

Universidad de los Andes / Universidad Industrial de Santander

274

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

Soluci´ on: Lz S [Lz , S]

Dominio 3 3 3

Rango 2 3 2

N´ ucleo 1 0 2

dado que [Lz , S] |u2 i = 0 . 10. Encuentre la expresi´ on matricial para los operadores lineales de Pauli: R2 7−→ R2 dado que act´ uan como σz |−i = − |−i

σx |+ix = |+ix ,

σx |−ix = − |−ix

σy |+iy = |+iy ,

σy |−iy = − |−iy

con ,

|−i

1 |+ix = √ [|+i + |−i] , 2 1 |+iy = √ [|+i + i |−i] , 2 Soluci´ on: Ahora bien h+ |+ix = 1

y

h+ |+iy = 1

x

y

1 |−ix = √ [|+i − |−i] 2 1 |−iy = √ [|+i − i |−i] 2

h+ |−ix =x h− |+ix = 0

rP

x

0 1

re lim

|+i

1 0

in ar

σz |+i = |+i ,

h+ |−iy =y h− |+iy = 0

x

h− |−ix = 1

y

h− |−iy = 1

n o Es decir, los vectores {|+ix , |−ix } y |+iy , |−iy forman bases ortonormales, por lo que los vectores {|+i , |−i} se pueden expresar en término de esas bases como 1 |−i = √ [|+ix − |−ix ] 2

i 1 h |+i = √ |+iy + |−iy 2

i −i h |−i = √ |+iy − |−iy 2

ad o

1 |+i = √ [|+ix + |−ix ] 2

Bo rr

As´ı las expresiones matriciales ser´ an  h+| σz |+i i (σz )j =  h−| σz |+i

Hern´ andez & N´ un ˜ez

h+| σz |−i





1

0

0

−1

= h−| σz |−i

 

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275

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

y  i

h+| σx |+i

h+| σx |−i

(σx )j = 

 

h−| σx |+i

h−| σx |−i

 1 [x h+| +x h−|] σx [|+ix + |−ix ]  2  = 1 [x h+| −x h−|] σx [|+ix + |−ix ] 2

in ar

 1 [x h+| +x h−|] σx [|+ix − |−ix ] 2    1 [x h+| −x h−|] σx [|+ix − |−ix ] 2

 1 [x h+| +x h−|] [|+ix − |−ix ]  2  = 1 [x h+| −x h−|] [|+ix − |−ix ] 2 0

1



i

(σx )j = 

 1

 i

h+| σy |+i

h+| σy |−i

h−| σy |+i

h−| σy |−i

 

rP

(σy )j = 

0

re lim



 1 [x h+| +x h−|] [|+ix + |−ix ] 2    1 [x h+| −x h−|] [|+ix + |−ix ] 2

ad o

h i  1 [y h+| +y h−|] σy |+iy + |−iy  2 =  i h i [y h+| −y h−|] σy |+iy + |−iy 2

Bo rr

h i  1 [y h+| +y h−|] |+iy − |−iy  2 =  i h i [y h+| −y h−|] |+iy − |−iy 2 

0

−i

i

0

h i −i [y h+| +y h−|] σy |+iy − |−iy 2 i h 1 [y h+| −y h−|] σy |+iy − |−iy 2

h i −i [y h+| +y h−|] |+iy + |−iy 2 i h −1 [y h+| −y h−|] |+iy + |−iy 2

   

   



i

(σy )j = 



11. Un operador Cantidad de Movimiento Generalizado se define como aquel conjunto de operadores herm´ıticos que cumplen con [Jx , Jy ] = i~Jz

Hern´ andez & N´ un ˜ez

[Jy , Jz ] = i~Jx

[Jz , Jx ] = i~Jy ,

es decir

[Ji , Jj ] = i~ijk Jk

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276

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

con ijk el s´ımbolo de Levy Civita (Los ´ındices repetidos NO indican suma). Adicionalmente, definimos los siguientes operadores J2 = J2x + J2y + J2z ;

J+ = Jx + iJy

J− = Jx − iJy

Muestre que 2 J , J+ = J2 , J− = J2 , Jz = 0 Soluci´ on:

in ar

Para probar esta propiedad se puede demostrar de forma genérica que J2k , Jm = 0 con k, m = 1, 2, 3 ≡ x, y, z esto es 2 Jk , Jm = [Jk Jk , Jm ] = Jk Jk Jm − Jm Jk Jk = Jk Jk Jm − (i~mkl Jl + Jk Jm ) Jk con lo cual

2 Jk , Jm = Jk Jk Jm − i~mkl Jl Jk − Jk (i~mkn Jn + Jk Jm )

re lim

y claramente se anula por cuanto los ’indices no suman pero si son mudos, y mkl = −mlk 2 Jk , Jm = Jk Jk Jm − i~mkl Jl Jk − i~mkn Jk Jn − Jk Jk Jm

al conmutar los cuadrados de las componentes con cualquiera de las componentes, y dado que los conmutadores son lineales entonces queda demostrado que 2 J , J± = J2x + J2y + J2z , Jx ± iJy = J2y , Jx + J2z , Jx ± i J2x , Jy ± i J2z , Jy = 0 12. Si definimos los autovectores comunes a J2 y Jz como |j, mi como Jz |j, mi = m~ |j, mi

rP

J2 |j, mi = j (j + 1) ~2 |j, mi

adicionalmente tenemos que p J− |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m − 1) |j, m − 1i

con hj, m |j 0 , m0 i = δjj 0 δmm0

p J+ |j, mi = ~ j(j + 1) − m(m + 1) |j, m + 1i

ad o

y si suponen (es f´ acil demostrarlo) que −j ≤ m ≤ j esto quiere decir que dado el valor un j, m var´ıa entre −j y j de uno en uno, esto es m = −j, −j + 1, −j + 2, · · · , j − 2, j − 1, j. Suponga ahora que j = 21 . Encuentre:

Bo rr

a) la representaci´ on matricial para: Jz , J− , J+ , J2 , en la base de autovectores de Jz , J2 . Soluci´ on: Si |j, mi son autovectores de J2 y Jz su representación matricial será diagonal y como m var´ıa entre −j y j con incrementos de 1 tendremos que serán matrices 2 × 2. La base ortogonal de autovectores ser´ a 12 , − 12 , 12 , 12

1 1 1 1     1 1 1 1 1 0 2 , 2 Jz 2 , 2 2 , 2 Jz 2 , − 2 ~ ≡   

1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 −1 2 , − 2 Jz 2 , 2 2 , − 2 Jz 2 , − 2

 1 1 2 1 1    1 1 2 1 1 , 1 0 2, 2 J 2 2 2, 2 J 2, −2 3 2  ≡ ~  

1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 4 0 1 2, −2 J 2, 2 2, −2 J 2, −2

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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277

4.11. ALGUNOS EJEMPLOS RESUELTOS

La representaci´ on matricial para J− , J+  1 1 1 1 2 , 2 J+ 2 , 2 

1 1 1 1 2 , − 2 J+ 2 , 2 1 1  1 1 2 , 2 J− 2 , 2  1 1

1 1 2 , − 2 J− 2 , 2

obviamente no será diagonal

1 1 1 1    0 1 2 , 2 J+ 2 , − 2  ≡ ~ 

1 1 1 1 J+ , − 0 0 , − 2 2 2 2 1 1 

1 1   0 0 2 , 2 J− 2 , − 2  ≡ ~  1 1

1 1 1 0 2 , − 2 J− 2 , − 2

Bo rr

ad o

rP

re lim

in ar

b) Encuentre los autovalores y autovalores para Jz , J− , J+ , J2 . Soluci´ on: son autovectores de J2 y Jz . En el caso de J2 con un autovalor de Otra vez, 12 , − 12 , 12 , 12 3 2 an ± ~2 respectivamente. Para 4 ~ para ambos autovectores y en el caso de Jz los autovalores ser´ J− , J+ no tendr´ an autovalor distinto de cero en esta base.

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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278

5

in ar

Cap´ıtulo

Bo rr

ad o

rP

re lim

Apéndice

279

´ A LOS CAS 5.1. INTRODUCCION

5.1.

Introducci´ on a los CAS

Los sistemas algebraicos computacionales o sistemas de álgebra computacional (CAS: Computer Algebra System) son sistemas o calculadoras avanzadas, que permiten realizar operaciones de manera simbólica. Esto significa que el computador puede efectuar operaciones con ecuaciones y fórmulas simbólicamente, es decir, a + b = c se interpreta como la suma de variables y no como la suma de n´ umeros previamente asignados. Estos sistemas permiten operar de manera exacta con s´ımbolos que representan objetos matem´ aticos tales como:

Polin´ omios, Funciones Racionales, Sistemas de Ecuaciones. Grupos, Anillos, Algebras . . . A diferencia de los sistemas tradicionales de computación numérica: FORTRAN, Basic, C, C++, Java => Precisión fija (Punto Flotante)

in ar

N´ umeros (Enteros, racionales, reales, complejos...)

re lim

Otra caracter´ıstica principal radica en el hecho de que son interactivos (interpretados o ejecutados al momento de proveer una instrucci´ on), es decir, trabajan de la forma: Input : solve(problema); Output : respuesta

Los CAS se pueden clasificar en dos grandes grupos:1

rP

Sistemas de Prop´ osito Especial (Creados para hacer cálculos en un área espec´ıfica): FORM, GAP, CAMAL, SHEEP, STENSOR, LiE, KANT.

ad o

Sistemas de Prop´ osito General (¡Especies de navajas suizas!): Axiom, Derive, Reduce, Maple, MatLab, Mathematica, Maxima, MuPAD. Recientemente, lenguajes como Python comienzan a incorporar bibliotecas que permiten generar formas de cálculo simbólico2 que ofrecen una perspectiva interesante para integrar ambientes algebr´ aicos-numéricos-visuales. Los CAS modernos de prop´ osito general son ambientes completamente integrados de computación para la investigaci´ on y la educaci´ on conformados por: Interfaz gr´ afica (worksheet) o ambiente interactivo:

Bo rr

Procesador de texto, de f´ ormulas y de gráficas. Con salidas en Latex, RTF, HTML, FORTRAN y C; o hyperlinks a otros documentos. Manuales en l´ınea.

Enlaces a otros programas y bibliotecas Capacidades para c´ alculo numérico Capacidades para visualizaci´ on, con salidas gráficas en diferentes formatos: PostScript, GIF,JPG, . . . Pensado para usuarios no especializados en computación

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280

re lim

in ar

´ A LOS CAS 5.1. INTRODUCCION

Figura 5.1: Ventana gráfica de vxMaxima

rP

La principal ventaja de estos programas radica en la enorme capacidad para realizar cálculos algebraicos largos y tediosos. Por ejemplo, se puede demostrar que la función: √ nz x2 +y 2 +z 2 √ 2 2 sen y +z p f= 2 x + y2 + z2

ad o

es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial:

2 ∂4f ∂4f ∂2f ∂4f 2 ∂ f + + + n + =0 ∂x4 ∂y 2 x2 ∂z 2 x2 ∂x2 ∂y 2

Bo rr

y la realizaci´ on de éste c´ alculo le puede tomar a un PC estándar un tiempo de CPU relativamente corto: tiempo de cpu =

1,065 seg

Un ejemplo de un CAS es Maxima que básicamente consta de una hoja de trabajo (worksheet) que es una interfaz tipo procesador de textos. Las hojas de trabajo constan de dos modos básicos de funcionamiento: el modo texto y el modo c´ alculo. Maxima opera en la celda de cálculos de la manera siguiente: Input (Instrucci´ on de entrada) Output (respuesta del programa)

1 Una comparaci´ on de los diferentes CAS puede verse en: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_algebra_ systems 2 http://docs.sympy.org/

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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281

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

Existe la posibilidad de introducir textos de la misma manera que en un procesador de textos est´ andar y de generar gr´ aficas en 2D y 3D a través de los respectivos comandos. La interacci´ on con la hoja de trabajo se hace a través de lo que denominamos la celda del Input, que aparece se˜ nalado por un aviso de espera o PROMPT [ -->

Maxima: Sintaxis b´ asica

re lim

5.2.

in ar

El c´ odigo fuente de Maxima, c´ odigo de software libre, puede ser compilado sobre diferentes sistemas operativos: Windows, Linux, MacOS X y Android, y puede obtenerse en: http://sourceforge.net/projects/ wxmaxima o en http://andrejv.github.io/wxmaxima, con la respectiva documentación. Utilizaremos la versi´ on gr´ afica wxMaxima para los fines pedagógicos del desarrollo de estas notas. También existe una versi´ on que funciona sólo en modo texto para ser ejecutada en una consola o terminal. En la Figura 5.1 se puede apreciar el despliegue de una hoja de cálculo con algunos instrucciones sencillas, notemos que cada instrucci´ on (en azul) termina con un punto y coma, de esta manera se le dice al programa la finalizaci´ on del comando a ejecutar. Luego de escribir la instrucción y presionar la tecla Enter el Output aparecer´ a a continuaci´ on en color negro.

Es necesario familiarizarse con los comandos básicos del programa, para ello iremos desarrollando algunos c´ alculos sencillos a manera de conocer la filosof´ıa de cómo funciona Maxima, y durante el transcurso de este curso iremos haciendo un despliegue de las aplicaciones del programa para cálculos más espec´ıficos. (%i1) 3!+3^5; ( %o1) 249

rP

Veamos ahora la diferencia entre el igual = y los dos puntos : (%i2) a=b+c; ( %o2) c+b

( %o3) a (%i4) a:b+c; ( %o4) c+b

Bo rr

(%i5) a;

ad o

(%i3) a;

( %o5) c+b

Al usar “=”no asignamos a la variable lo que está del lado derecho mientras que con “:”si le asignamos el objeto a la nueva variable. Los c´ alculos se pueden hacer tanto con n´ umeros enteros como en Punto Flotante: (%i6) 15+5^(50);

( %o6) 88817841970012523233890533447265640

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282

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

(%i7) 15.0+5^(50); ( %o7) 8,881784197001253 × 1034 Pero el énfasis radica en los c´ alculos exactos:

y si queremos el valor numérico podemos escribir (%i9) float(%); ( %o9) 1,180812852661949

in ar

(%i8) cos(%pi/12)^2 + log(2/3+5)/7; π log 17 2 3 + ( %o8) cos 12 7

re lim

Aqu´ı hemos hecho uso de varios s´ımbolos nuevos. Las constantes matemáticas en Maxima se escriben de la siguiente manera: La unidad imaginaria i: %i El n´ umero π: %pi. El s´ımbolo ∞: inf. El n´ umero e: %e. En cuanto a los logaritmos:

rP

ex = exp(x).

log(x): la funci´ on logaritmo en base e

log(x)/log(b) el logaritmo de x en base b.

(%i10)3^12$

Bo rr

(%i11)%;

ad o

Para las funciones trigonométricas es lo estándar: sin(x), asin(x), cos(x), acos(x), tan(x), atan(x), csc(x), sec(x), cot(x). También hemos utilizado % para introducir la u ´ltima salida en la siguiente instrucción, veamos nuevamente como funciona, pero ahora pondremos al final del comando el s´ımbolo $ en lugar de ; para decirle al programa que ejecute la instrucci´ on sin escribir la salida.

( %o11) 531441

Veamos otro ejemplo: (%i12)alpha;

( %o12) α

(%i13)%+sqrt(beta);

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283

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

( %o13)

p β+α

(%i14)%o12+2*gamma^2; ( %o14) 2 γ 2 + α Es importante tener cuidado a la hora de poner los paréntesis en las expresiones: (%i15)1+2*3^2;

(%i16)(1+2)*3^2; ( %o16) 27 El volumen de un cilindro V = π(radio)2 × altura (%i17)radio:5$

re lim

(%i18)altura:50$

in ar

( %o15) 19

(%i19)area:%pi*radio^2; ( %o19) 25 π (%i20)volumen:area*altura; ( %o20) 1250 π

rP

Para limpiar la memoria del programa de todas las variables utilizadas se puede usar el comando kill(all) (Existen otras opciones que veremos m´ as adelante). Esta es una manera de reiniciar la hoja de trabajo. (%i21)volumen; ( %o21) 1250 π

( %o22) done

ad o

(%i22)kill(all);

(%i23)volumen; ( %o23) volumen

C´ alculos elementales

Bo rr

5.2.1.

Se puede definir, evaluar y derivar funciones abstractas utilizando := como se muestra a continuaci´ on (%i1) f(x,y):=exp(x^2+y^2)/(x-y); exp y 2 + x2 ( %o1) f (x, y) := x−y (%i2) f(2,3);

( %o2) − e13 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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284

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

(%i3) %,numer; ( %o3) − 442413,3920089205 (%i4) f(alpha^(1/2),beta^(1/2)); ( %o4) √

eβ+α √ α− β

Derivando respecto a x y y;

2

( %o5)

2

2

2 y ey +x 2 x ey +x + x−y x−y

2

(%i6) f(x):=3*sin(x+1)+2*sqrt(x); √ ( %o6) f (x) := 3 sin (x + 1) + 2 x (%i7) F:3*sin(x+1)+2*sqrt(x); √ ( %o7) 3 sin (x + 1) + 2 x (%i8) f(8); F(8); 5

rP

( %o8) 3 sin 9 + 2 2 √ ( %o9) 3 sin (x + 1) + 2 x (8)

re lim

Aqu´ı es bueno acotar que una expresi´ on NO es una función:

in ar

(%i5) diff(f(x,y),x) + diff(f(x,y),y);

Por lo tanto, F es u ńicamente una expresión que no puede ser evaluada como la función f . Pero se le puede dar la vuelta para evaluarla con ev() (%i10)ev(F,x=8); 5

ad o

( %o10) 3 sin 9 + 2 2

Consideremos los siguientes c´ alculos b´ asicos: (%i11)kill(all)$

Bo rr

(%i1) sigma(x):=2*x/sqrt(x^2+1); ( %o1) σ (x) := √

2x x2 + 1

La primera derivada:

(%i2) diff(sigma(x),x);

( %o2) √

2

x2 + 1

−

2 x2

3

(x2 + 1) 2

La cuarta derivada: Hern´ andez & N´ un ˜ez

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285

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

(%i3) diff(sigma(x),x,4); 90 x

( %o3)

(x2 + 1)

5 2

−

300 x3 (x2 + 1)

7 2

210 x5

+

9

(x2 + 1) 2

Si queremos reutilizar la derivada para definir una nueva función, en este caso la función derivada, lo podemos hacer utilizando dos ap´ ostrofos ” (No es la doble comilla) (%i4) dsigma(x):=’’ %o2; 2 x2 + 1

2 x2

−

3

(x2 + 1) 2

in ar

( %o4) dsigma (x) := √ (%i5) dsigma(2); 2 3

52 (%i6) integrate(sigma(x),x); p ( %o6) 2 x2 + 1

re lim

( %o5)

La misma integral, pero definida para x entre 0 y 1. (%i7) integrate(sigma(x),x,0,1); √ ( %o7) 2 2−1

rP

L´ımites: (%i8) limit(sigma(x),x,1/2);

( %o9) 2 Sumatorias:

ad o

2 ( %o8) √ 5 (%i9) limit(sigma(x),x,inf);

(%i10)sum(sigma(i),i,0,6);

Bo rr

√ 10 8 6 4 12 ( %o10) √ + √ + √ + √ + √ + 2 37 26 17 10 5 Podemos calcular series de Taylor, digamos, alrededor de x = 1 y hasta orden 4. (%i11)taylor(sigma(x),x,1,4);

( %o11)

1 1 1 −1 1 1 1 −1 1 4 3 2 5 2 2 (x − 1) + 3 2 2 (x − 1) + 3 2 2 (x − 1) + 2 2 (x − 1) + 2 2 + · · · 128 16 8 2

Al rededor de x = 0 es m´ as simple todo:

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286

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

(%i12)taylor(sigma(x),x,0,6); ( %o12)

3 5 x + (−1) x3 + 2 x + · · · 4

Y por supuesto, también podemos hacer una gráfica de la función. Para ello utilizaremos el comando wxplot2d que nos generar´ a un gr´ afico embebido dentro de la misma hoja de trabajo. (%i13)wxplot2d(sigma(x),[x,-10,10]);

rP

re lim

in ar

( %o13)

Los c´ alculos anteriores se pueden repetir para que queden de una manera más elegante usando una camilla, esto har´ a que no se efect´ ue la evaluación de las operaciones.

1

√

x

Bo rr

Z

ad o

(%i14)’diff(sigma(x),x)=diff(sigma(x),x); d 2x 2 2 x2 √ ( %o14) =√ − 3 dx x2 + 1 x2 + 1 (x2 + 1) 2 (%i15)’integrate(sigma(x),x,0,1)=integrate(sigma(x),x,0,1); ( %o15) 2

dx = 2

√

2−1

x2 + 1 (%i16)’limit(sigma(x),x,inf)=limit(sigma(x),x,inf); x =2 ( %o16) 2 l´ım √ x→∞ x2 + 1 (%i17)’sum(sigma(i),i,0,6)=sum(sigma(i),i,0,6); 0

( %o17) 2

6 X i=0

√

i

i2

Hern´ andez & N´ un ˜ez

√ 12 10 8 6 4 =√ +√ +√ +√ +√ + 2 37 26 17 10 5 +1 Universidad de los Andes / Universidad Industrial de Santander

287

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

Anteriormente mencionamos que uno de las ventajas de los programas de manipulación simbólica es la gran capacidad de llevar a cabo c´ alculos largos y tediosos, veamos entonces como se hace para demostrar que la funci´ on antes mencionada: (%i18)f(x,y,z):=sin(n*z*sqrt(x^2+y^2+z^2)/sqrt(y^2+z^2))/sqrt(x^2+y^2+z^2); √ n z z 2 +y 2 +x2 √ 2 2 sin z +y p ( %o18) f (x, y, z) := 2 z + y 2 + x2 2 ∂4f ∂4f ∂4f ∂2f 2 ∂ f + 2 2 + 2 2 +n + 2 =0 ∂x4 ∂y x ∂z x ∂x2 ∂y

in ar

es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial

(%i19)diff(f(x,y,z),x,4)+diff(diff(f(x,y,z),x,2),y,2)+diff(diff(f(x,y,z),x,2),z,

( %o19) (( Expression too long to display! ))

re lim

2)+n^2*(diff(f(x,y,z),x,2)+diff(f(x,y,z),y,2));

rP

Aqu´ı Maxima no hace un despliegue en la pantalla de los cálculos porque la expresión matem´ atica es muy larga. Existen opciones para que muestre en pantalla los que nos interese que iremos viendo m´ as adelante. Necesitamos entonces decirle al programa que la expresión anterior sea simplificada, es decir, que minimice la expresi´ on a su valor m´ as simple. Para simplificar expresiones que contienen radicales, exponenciales o logaritmos es conveniente utilizar el comando ratsimp. También existe la opción fullratsimp (%i20)ratsimp(%); ( %o20) 0

ad o

En la mayor´ıa de los casos Maxima no factoriza ni desarrolla automáticamente las expresiones, por lo tanto, debemos indicarle al programa que haga las respectivas simplificaciones. Veamos un ejemplo con polinomios: (%i21)kill(all)$

(%i1) p:(x+2)*(x-1);

Bo rr

( %o1) (x − 1) (x + 2) (%i2) q:(x-3)^2; 2

( %o2) (x − 3) (%i3) p-q;

( %o3) (x − 1) (x + 2) − (x − 3)

2

(%i4) expand(p-q);

( %o4) 7 x − 11 Hern´ andez & N´ un ˜ez

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288

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

(%i5) expand(p/q); ( %o5)

x2

x 2 x2 + − − 6 x + 9 x2 − 6 x + 9 x2 − 6 x + 9

Si queremos dividir usando fracciones simples podemos hacer lo siguiente: (%i6) partfrac(p/q,x); ( %o6)

7 10 + +1 x − 3 (x − 3)2

in ar

Las funciones logexpand y radexpand permiten controlar si queremos simplificar logaritmos y radicales cuando contienen productos. Veamos: (%i7) log(x*y);

(%i8) sqrt(x*y); √ ( %o8) x y (%i9) sqrt(x^2); ( %o9) |x| (%i10)radexpand:all$ logexpand:all$ (%i11)log(x*y); sqrt(x*y); sqrt(x^2);

rP

( %o11) √ log y + log x √ ( %o12) x y ( %o13) x

re lim

( %o7) log (x y)

Lo inverso a la expansi´ on de expresiones es la factorización:

( %o14) 23 52

ad o

(%i14)factor(200);

(%i15)factor(x^2+x-2);

Bo rr

( %o15) (x − 1) (x + 2) (%i16)p:x^3-1;

( %o16) x3 − 1

(%i17)factor(%);

( %o17) (x − 1) x2 + x + 1

La evaluaci´ on de expresiones se realiza de la manera siguiente

Hern´ andez & N´ un ˜ez

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289

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

(%i18)ev(p,x=8); ( %o18) 511 O también (%i19)p,x=%pi; ( %o19) π 3 − 1

in ar

(%i20)ev(x+(x+y)^2-3*(x+y)^3,x+y=t); ( %o20) x − 3 t3 + t2

Para finalizar con esta gu´ıa r´ apida de Maxima veamos el uso de uno de los comandos más comunes de estos programas, y que tiene que ver con la solución de ecuaciones.

( %o21) x3 + 2 x2 + 2 x = 2 x2 (%i22)sol:solve(ecu,x); h i √ √ ( %o22) x = − 2 %i, x = 2 %i, x = 0

re lim

(%i21)ecu:3*x^2+2*x+x^3-x^2=2*x^2;

Recordemos que %i es la notaci´ on para el imaginario i. Si necesitamos aislar una de las soluciones usamos el comando rhs (de right-hand side):

rP

(%i23)rhs(part(sol,1)); rhs(part(sol,2)); √ ( %o23) √ − 2 %i ( %o24) 2 %i

Para un sistema de ecuaciones, digamos, dos ecuaciones con dos incógnitas:

ad o

(%i25)ecu1:x^2+y^2=1; ( %o25) y 2 + x2 = 1

(%i26)ecu2:(x-2)^2+(y-1)^2=4; 2

2

Bo rr

( %o26) (y − 1) + (x − 2) = 4

(%i27)solve([ecu1,ecu2],[x,y]); 4 3 ( %o27) x = , y = − , [x = 0, y = 1] 5 5 Cuando el sistema no tiene soluci´ on Maxima responde de la siguiente manera (%i28)solve([x+y=0,x+y=1],[x,y]);

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290

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

( %o28) [ ] En el caso de un sistema que tiene más incógnitas que ecuaciones el programa utiliza los s´ımbolos %r1 , %r2 ... para indicar los par´ ametros arbitrarios (%i29)solve([x+y+z=9,x-y=2*z],[x,y,z]); 3 %r1 − 9 %r1 + 9 ,y = − , z = %r1 ( %o29) x = 2 2

(%i30)ecus:[x+y+z+w=1,x-y+z-w=-2,x+y-w=0]; ( %o30) [z + y + x + w = 1, z − y + x − w = −2, y + x − w = 0]

re lim

(%i31)linsolve(ecus,[x,y,z]); 4w − 3 2w − 3 ( %o31) x = ,y = − ,z = 1 − 2w 2 2

in ar

En lugar de solve se puede recurrir a un comando diferente que hace lo mismo, pero que es más eficiente desde el punto de vista de los recursos usados por el computador, el comando es linsolve para ecuaciones lineales.

En el caso de polin´ omios de orden superior el resultado estará dado de forma aproximada: (%i32)ec:x^7+x^5-x^3+x-2; ( %o32) x7 + x5 − x3 + x − 2

rP

(%i33)allroots(ec);

ad o

[ x=0.766414088337633 %i+0.5507199727230275 , x=0.5507199727230275-0.766414088337633 %i , x=0.4922671445862202 %i - 0.9637112977011089 , x=-0.4922671445862202 %i -0.9637112977011089 , x=1.381985877916414 %i -0.08700867502191806 , x=-1.381985877916414 %i -0.08700867502191806 , x=0.9999999999999988 ]

(%i34)realroots(ec);

Bo rr

( %o34) [x = 1]

Otro tipo de ecuaciones a resolver son las ecuaciones diferenciales. Veamos como funciona con la ecuaciones diferenciales ordinarias (%i35)ecd:(2*x+1)*’diff(y,x)+y*(x-1)=0; d y + (x − 1) y = 0 ( %o35) (2 x + 1) dx (%i36)ode2(ecd,y,x);

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291

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

( %o36) y = %c e

3 log(2 x+1) −x 4 2

Por ser una ecuaci´ on diferencial de primer orden debe aparecer una constante en la solución. La constante aqu´ı es denotada por “ %c”. (%i37)ecd2:’diff(y,x,2)-3*’diff(y,x)+2*y=x; d d2 y−3 ( %o37) y + 2y = x d x2 dx (%i38)ode2(ecd2,y,x);

in ar

2x + 3 4

( %o38) y = %k1 e2 x + %k2 ex +

Para el caso de que se tengan condiciones iniciales utilizamos ic2 para indicar las condiciones

( %o39) y =

5 e2 x 2x + 3 − 2 ex + 4 4

Y para valores de contorno bc2

re lim

(%i39)ic2(%o38,x=0,y=0,diff(y,x)=1);

(%i40)bc2(%o38,x=0,y=0,x=1,y=0); 3 e2 − 5 ex 2x + 3 (3 e − 5) e2 x − + ( %o40) y = 4 e2 − 4 e 4 e2 − 4 e 4

rP

Existe el comando desolve para resolver también ecuaciones o sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales utilizando transformadas de Laplace. Trabaja de manera parecida a ode2 pero se necesita especificar la dependencia de las funciones con las variables independientes. (%i41)ecd3:’diff(y(x),x,2)-y(x)=2*x;

d2 y (x) − y (x) = 2 x d x2 (%i42)desolve(ecd3,[y(x)]); ex ddx y (x) x=0 + y (0) + 2 e−x ( %o42) y (x) = − 2

ad o

( %o41)

d dx

y (x) x=0 − y (0) + 2 − 2x 2

Si tenemos condiciones iniciales en x = 0 entonces podemos escribir:

Bo rr

(%i43)atvalue(y(x),x=0,1); atvalue(diff(y(x),x),x=0,2);

( %o43) 1 ( %o44) 2

(%i45)desolve(ecd3,[y(x)]);

( %o45) y (x) =

5 ex 3 e−x − − 2x 2 2

Si desolve no encuentra una soluci´ on, entonces devuelve “false”.

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292

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

Veamos un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales (%i46)ecd_1: ’diff(f(x),x)=’diff(g(x),x)+sin(x); d d f (x) = g (x) + sin x dx dx (%i47)ecd_2: ’diff(g(x),x,2)=’diff(f(x),x)-cos(x);

( %o46)

d d2 g (x) = f (x) − cos x 2 dx dx (%i48)atvalue(’diff(g(x),x),x=0,a)$ atvalue(f(x),x=0,b)$ atvalue(g(x),x=0,c)$ (%i51)desolve([ecd_1, ecd_2], [f(x),g(x)]);

( %o51) [f (x) = a ex + b − a, g (x) = cos x + a ex + c − a − 1] (%i52)kill(all)$ Operaciones b´ asicas con matrices:

in ar

( %o47)

rP

re lim

(%i1) A:matrix([1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]);B:matrix([9,8,7],[6,5,4],[3,2,1]);   1 2 3 ( %o1) 4 5 6 7 8 9 9 8 7 ( %o2) 6 5 4 3 2 1 (%i3) A+B;   10 10 10 ( %o3) 10 10 10 10 10 10

(%i4) A.B;  30 ( %o4)  84 138

ad o

El producto ordinario de matrices:

24 69 114

 18 54 90

El producto elemento a elemento

Bo rr

(%i5) A*B;   9 16 21 ( %o5) 24 25 24 21 16 9

El cociente elemento a elemento (%i6) A/B;

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293

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

1 ( %o6)

9 2 3 7 3

1 4

3 7 3 2



1 4

9

El producto por un escalar: (%i7) n*A;  n 2n ( %o7) 4 n 5 n 7n 8n

 3n 6 n 9n

in ar

Podemos generar matrices de muchas maneras

(%i9) A:genmatrix(a,4,4);   2 5 10 17 5 8 13 20  ( %o9)  10 13 18 25 17 20 25 32 También de manera interactiva: (%i10)n:3$ (%i11)M:entermatrix(n,n)$

4. General

ad o

(%i12)M;  3 (y + x) ( %o12)  0 0

3. Antisymmetric

rP

Is the matrix 1. Diagonal 2. Symmetric Answer 1, 2, 3 or 4 : 1; Row 1 Column 1: (x+y)^n$ Row 2 Column 2: (x-y)^(n+1)$ Row 3 Column 3: (x.y)^(n-1)$ Matrix entered.

re lim

(%i8) a[i,j]:=i^2 + j^2$

0 4 (x − y) 0

 0 0  2 (x · y)

Bo rr

La matriz identidad de tama˜ no n x n usamos el comando ident(n), como mostramos a continuaci´ on (%i13)ident(4);  1 0 0 0 1 0 ( %o13)  0 0 1 0 0 0

Hern´ andez & N´ un ˜ez

 0 0  0 1

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294

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

5.2.2.

Bibliotecas

No todos los comandos est´ an disponibles en la memoria cuando el programa es iniciado. Sólo los comandos est´ andar son cargados autom´ aticamente. Pero podemos contar con funciones adicionales para trabajar cargando al programa los diferentes paquetes, módulos o librer´ıas que dispone Maxima. Por ejemplo, el paquete vect nos permite introducir vectores y operar con ellos. El paquete vect debe entonces ser previamente cargado y se hace de la manera siguiente: (%i1) load(vect)$

in ar

Las operaciones b´ asicas de suma, resta, multiplicación y multiplicación por escalares de vectores las podemos ver a continuaci´ on, pero primero debemos saber como introducir los vectores al programa. Por ejemplo, para los vectores a = 2i + 4j + 6k, b = 5i + 7j + 9k y c = i + 3j, tenemos: (%i2) a:[2,4,6]; ( %o2) [2, 4, 6] (%i3) b:[5,7,9];

re lim

( %o3) [5, 7, 9] (%i4) c:[1,3,0]; ( %o4) [1, 3, 0] (%i5) a+b+c; ( %o5) [8, 14, 15]

rP

(%i6) 3*a+5*b-c; ( %o6) [30, 44, 63]

Si queremos calcular el m´ odulo de los vectores podemos hacerlo definiendo una función: la función m´ odulo, como mostramos a continuaci´ on:

ad o

(%i7) modulo(a):=sqrt(a.a); √ ( %o7) modulo(a) := a.a

Bo rr

(%i8) modulo(a); modulo(b); modulo(c); √ ( %o8) 2√ 14 ( %o9) √155 ( %10) 10 Para el producto escalar usamos un punto (%i11)a.b;

( %11) 92

Mientras que para el producto vectorial debemos usar la tilde ∼ y escribir lo siguiente

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295

re lim

in ar

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

Figura 5.2: Curvas integrales para y 0 = −x + e−y

( %o12) [−6, 12, −6] (%i13)express(b~a);

ad o

( %o13) [6, −12, 6]

rP

(%i12)express(a~b);

De manera que el producto triple lo podemos calcular asi: (%i14)c.(express(a~b)); ( %o14) 30

Bo rr

Otra librer´ıa que podemos explorar es plotdf que nos permite realizar gráficos del tipo y 0 = f (x, y) y hacernos una idea de c´ omo es la soluci´ on de ésta ecuación diferencial. (%i1) load(plotdf)$

La librer´ıa plotdf nos permite estudiar los campos de direcciones y las curvas integrales a través del estudio de las pendientes. Veamos la siguiente ecuación diferencial y 0 = −x + e−y

su soluci´ on, de manera gr´ afica, es decir los campos de direcciones lo podemos obtener escribiendo el siguiente Hern´ andez & N´ un ˜ez

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296

re lim

in ar

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

Figura 5.3: Curva integrales para y 0 = −x + e−y y que pasa por el punto (2, 3)

(%i2) plotdf(-x+exp(-y));

rP

comando.

ad o

La gr´ afica que resulta puede verse en la Figura 5.2 y cada curva integral (curvas en rojo) se obtiene haciendo un “click”sobre un punto de la gráfica, esto generará la curva integral que pasa por ese punto. Por otra parte, existen varias opciones para el comando plotdf. Supongamos que queremos la trayectoria que pase por el punto espec´ıfico (2, 3). Para tal fin escribimos (%i3) plotdf(-x+exp(-y),[trajectory_at,2,3]);

Bo rr

Y la gr´ afica obtenida puede verse en la Figura 5.3. También nos podemos encontrar con que la ecuación diferencial depende de alg´ un parámetro, digamos κ. Por ejemplo y 0 = −x + κe−y y nos gustar´ıa obtener una gr´ afica para alg´ un valor del parámetro en part´ıcular, digamos κ = −0,5. Entonces podemos escribir (%i4) plotdf(-x+exp(-kappa*y),[parameters,"kappa=-0.5"]);

O, si queremos recorrer, en una misma figura, los diferentes valores del parámetro usamos la opci´ on sliders, como se muestra a continuaci´ on

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297

re lim

in ar

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

Figura 5.4: Curva integrales para y 0 = −x + κe−y y para diferentes valores de κ.

rP

(%i5) plotdf(-x+exp(-kappa*y),[parameters,"kappa=-0.5"],[sliders,"kappa=-3:3"]);

Bo rr

ad o

La gr´ afica que se obtiene se muestra en la Figura 5.4, y como se puede ver, en la parte inferior aparece un bot´ on deslizante y el valor del par´ ametro κ. Al deslizar el botón, estaremos cambiando el valor del parámetro que en este caso variar´ a entre −3 y 3, podremos apreciar entonces como los campos de direcciones y las curvas integrales seleccionadas cambian.

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298

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

5.2.3.

Maxima en modo texto

re lim

Obatala%maxima Maxima 5.36.1 http://maxima.sourceforge.net using Lisp SBCL 1.2.10 Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) integrate( tan(x), x ); (%o1) log(sec(x)) (%i2) float(sqrt(%pi)); (%o2) 1.772453850905516 (%i3) quit();

in ar

Es posible utilizar Maxima en un computador que funcione bajo alguno de los diferentes versiones de sistemas operativos tipo UNIX, como por ejemplo Linux, esto lo podemos hacer cuando no queremos utilizar el ambiente gr´ afico. Podemos recurrir al ambiente de texto escribiendo el comando maxima en un terminal de nuestro computador, esto har´ a que entremos en un ambiente de cálculo que funcionará exclusivamente en modo texto y aparecer´ a, luego de una bienvenida, el aviso de espera o prompt. Para finalizar una sesi´ on en Maxima se utiliza el comando quit(). Esta posibilidad que ofrece el programa es muy conveniente a la hora de realizar grandes cálculos ya que podemos dejar el proceso en modo “background” y utilizar el computador en otra actividad. Al entrar en este modo al programa tendremos un mensaje como el que se muestra a continuaci´ on y donde aprovecharemos de hacer un par de cálculos a modo de ejemplo.

Obatala% maxima < archimax.txt

rP

Sobre UNIX podemos utilizar los archivos de entradas y salidas estándar para leer e imprimir informaci´ on en el terminal: , |.

ad o

Con esta instrucci´ on Maxima ejecutará todos los comandos que se encuentran en el archivo de texto archimax.txt e ir´ a mostrando los resultados en pantalla En la siguiente instrucci´ on Maxima ejecutará todos los comandos que se encuentran en el archivo de texto archimax.txt pero escribir´ a los resultados en el archivo de salida llamado archimax.out Obatala% maxima < archimax.txt > archimax.out También se puede hacer que todos los comandos del archivo sean ejecutados para luego ser enviados al terminal pero paginados.

Bo rr

Obatala% maxima < archimax.txt | more

Maxima puede ser detenido temporalmente con el comando “Control Z” de manera que para poner procesos en “background” se procede de la manera usual: Obatala% maxima < archimax.txt > archimax.out ^Z Suspended Obatala%> bg [2] maxima < archimax.txt > archimax.out & Obatala% Hern´ andez & N´ un ˜ez

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299

´ 5.2. MAXIMA: SINTAXIS BASICA

O si lo preferimos, y de manera equivalente, podemos escribir la instrucción pero ponemos al final & Obatala% maxima [1] 5114

5.2.4.

< archimax.txt > archimax.out &

Invocando la ayuda

El ambiente wxMaxima permite acceder al manual de ayuda fácilmente visible en la barra de herramientas, parte superior de la ventana. Pero también si conocemos el comando podemos escribir, por ejemplo:

0: diff (Functions and Variables for Differentiation) 1: diff (Functions and Variables for Differentiation) 2: diff (Functions and Variables for itensor) Enter space-separated numbers, ‘all’ or ‘none’:

in ar

(%i1) describe(diff);

re lim

Al seleccionar una de las opciones, por ejemplo si escribimos 1 después de los dos puntos, aparecer´ a la descripci´ on completa del comando:

Bo rr

ad o

rP

-- Function: diff diff (, , , ..., , ) diff (, , ) diff (, ) diff () Returns the derivative or differential of with respect to some or all variables in . ’diff (, , )’ returns the ’th derivative of with respect to . ’diff (, , , ..., , )’ returns the mixed partial derivative of with respect to , ..., . It is equivalent to ’diff (... (diff (, , ) ...), , )’. ’diff (, )’ returns the first derivative of with respect to the variable . ’diff ()’ returns the total differential of , that is, the sum of the derivatives of with respect to each its variables times the differential ’del’ of each variable. No further simplification of ’del’ is offered. The noun form of ’diff’ is required in some contexts, such as stating a differential equation. In these cases, ’diff’ may be quoted (as ’’diff’) to yield the noun form instead of carrying out the differentiation..... There are also some inexact matches for ‘diff’. Try ‘?? diff’ to see them.

También podemos utilizar:

(%i2) apropos("diff");

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300

5.3. EJERCICIOS

[covdiff,diff,maxtaydiff,pdiff_diff_var_names,pdiff_prime_limit...] O pedirle al programa algunos ejemplos (%i3) example(diff); kill(f,g,h,x,y) done diff(sin(x)+x^3+2*x^2,x) cos(x)+3*x^2+4*x diff(sin(x)*cos(x),x) cos(x)^2-sin(x)^2 diff(sin(x)*cos(x),x,2) -4*cos(x)*sin(x)

in ar

(%i4) (%o4) (%i5) (%o5) (%i6) (%o6) (%i7) (%o7) . . .

5.3.

Ejercicios

1. Calcule:

2. Para la siguiente funci´ on

rP

a) los 70 primeros decimales del n´ umero e b) el arco coseno hiperb´ olico de 1 c) la expansi´ on de sin(2 arctan(x))

re lim

Las ayudas completas de Maxima se pueden consultar en: http://maxima.sourceforge.net/es/

(x + 1)3 f (x) = √ x2 − 1

Calcule ∂f (x) ∂f (x) ∂x , ∂x2

ad o

a) b)

Z

c)

Z f (x)dx ,

Bo rr

l´ım f (x) ,

x→∞

4

f (x)dx 2

l´ım f (x) ,

x→−∞

l´ım f (x)

x→0

d ) Haga un gr´ afico de f (x) para valores de x ∈ [−5, 5].

3. Encuentre las ra´ıces de

p = x7 + x5 + 2x + x

4. Resuelva la siguiente ecuaci´ on diferencial x

dy(x) = y(x) ln(xy(x)) − y(x); dx

y haga una gr´ afica del campo de direcciones que muestre algunas curvas integrales. Hern´ andez & N´ un ˜ez

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301

5.3. EJERCICIOS

5. Resuelva la siguiente ecuaci´ on diferencial dy(t) d2 y(t) − 1 − y(t)2 + y(t) = 0 , d2 t dt

con: y(0) = 0 ,

dy(t) = −0,1 dt

6. Realice los ejercicios de la secci´ on 1.4 con la ayuda de la librer´ıa vect de Maxima. 7. En un archivo de texto escriba las siguientes instrucciones que tienen que ver con operaciones de n´ umeros complejos:

re lim

in ar

z_1=1+2%i; z_2=3+4%i; z_1+z_2; z_1*z_2; expand(%); z_1/z_2; rectform(%); polarform(%);

guarde el archivo con el nombre pruebamax.txt y en un terminal de su computador, y en el mismo directorio donde est´ a el archivo escriba: localhost%

maxima < pruebamax.txt > pruebamax.out &

Bo rr

ad o

rP

y verifique que en el archivo pruebamax.out se haya realizado los cálculos.

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302

Matematica para la física 1

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