matematica para arquitectura
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MATEMÁTICA 1 PARA ARQUITECTURA SESIÓN 3: LA PARÁBOLA: FORMA ORDINARIA ELEMENTOS BÁSICOS
¿QUE PREDOMINA EN EL DISEÑO DE ESTOS PUENTES?
Responda las siguientes preguntas: •
¿Qué predominan en los diseños de Gaudí?
•
¿Qué es un sección cónica?
•
¿Qué secciones cónicas conoces?
•
• •
¿Qué elementos necesito para determinar la ecuación de una parábola? ¿Cómo se dibuja una parábola? ¿Cómo se obtiene la ecuación de la parábola en el Dr. Geo?
Un arquitecto diseña un puente, como se ve en la figura. Determine la ecuación que expresa el soporte del puente.
¿Qué forma tiene el puente?, ¿Cuánto miden cada uno de los soportes intermedios? ¿Qué teoría se utiliza para resolver este problema?
LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante resuelve ejercicios en los que obtiene analíticamente la ecuación de la parábola y los aplica al diseño arquitectónico
CONTENIDOS
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La Parábola
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Elementos de la parábola
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Ecuaciones de la parábola
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Aplicaciones de la parábola
LA PARÁBOLA Una parábola es el conjunto de puntos que se encuentran a una misma distancia de un punto fijo llamado Foco y una recta fija llamada Directriz .
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Al punto medio entre el foco y la directriz se le dice Vértice. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, se le dice eje de simetría ( o Eje focal ) El parámetro de una parábola denotado por: p, es un número real cuyo módulo representa la distancia entre el foco y el vértice de la
EJEMPLO El parámetro de la siguiente parábola es = 1, encuentre las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz
y
Recuerda: El foco y vértice son puntos, tienen COORDENADAS La directriz es una recta, tiene ECUACIÓN
E j e f o c a l
(,)
(, )
: =
x
EJEMPLO ¿Cuál es el parámetro de la parábola mostrada?
El parámetro de la siguiente parábola es = −2, encuentre las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz y
E j e f o c a l
y
E j e f o c a l
: = (, )
(, )
(,) x x
: = −
Respuesta:
POSICIONES DE LA PARÁBOLA Cuando el eje focal es paralelo al eje Y
Cuando el eje focal es paralelo al eje X
E j e f o c a l
Eje focal
>
>
E j e f o c a l
<
<
Eje focal
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA La ecuación de la parábola con vértice (ℎ,) y eje focal paralelo al eje , es:
La gráfica es: CASO I: > j E y
( − ) = ( − ) CASO II: <
e f o c a l
y
E j e f o c a l
(,+)
(, + )
: = +
(, )
(, ) (, − )
(,−)
: = −
x
x
EJEMPLO Encuentre la ecuación de la parábola
y
Encuentre la ecuación de la parábola
E j e f o c a l
y
E j e f o c a l
(, )
(, )
(,) x x
: = −
( − ) = (−)( − )
( − ) = ()( − ) ( − ) = (
)
Ecuaciones de la Parábola La ecuación de la parábola con vértice (, ) y eje focal paralelo al eje , es:
( − ) = ( − )
La gráfica es:
CASO II: <
CASO I: >
y
y
Eje focal
: = −
Eje focal
(+ ,) (, ) ( − , )
( − , ) (, ) ( + , )
x
x
: = +
Ejemplos Encuentre la ecuación de la parábolas mostradas
Eje focal
Eje focal (, )
(,)
(, )
: =
=
= −
( − ) = ()( − )
( − ) = (−)( − )
Ejemplos Para encontrar la ecuación de la parábola, a partir de datos literales, a veces es necesario bosquejar la gráfica
Ejemplo 2
Ejemplo 1 Encuentre la ecuación de la parábola con vértice en 2, 3 y foco en (2, 7)
Encuentre la ecuación de la parábola con foco en 3, 7 y directriz = 7 Bosquejamos
Bosquejamos Eje focal
Eje focal
(,) (,)
(, )
(, )
: =
( − ) = ( − )
( − ) = ( − )
=
= −
Respuesta: P: ( − )
(
)
= (, )
Respuesta: P: ( − ) = −( − )
Ejemplos A partir de la ecuación de una parábola, se pueden deducir todos sus elementos
Ejemplo 2
Ejemplo 1 A partir de la parábola definida por:
A partir de la parábola definida por:
: ( − 2) = 8( − 4)
: ( − 3) = −12( − 6)
Encuentre: El valor del parámetro, las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz
4 = 8 → = 2 = (2, 4)
Eje focal
4 = −12 → = −3 = (6, 3)
(,) = 2
Bosquejamos (, )
Como el parámetro es positivo, la parábola se abre hacia arriba
Encuentre: El valor del parámetro, las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz
Bosquejamos Eje focal
= 2 : =
Como el parámetro es negativo, la parábola se abre hacia la izquierda
= −3 (, ) (,)
= −3
: =
= (2, 6)
Uso de la ecuación de la parábola A partir de la gráfica de una parábola, es posible obtener su ecuación, sin embargo NO SE DEBEN SUPONER datos que no se encuentren debidamente indicados Del gráfico se pueden deducir las Ejemplo 1 coordenadas del vértice: = (2,2), pero no ni el Foco ni el ¿Cómo encontramos la ecuación de ésta vértice parábola? Necesitamos un punto de paso Planteamos la ecuación:
( − ℎ) = 4( − ) ( − 2) = 4( − 2) (−2, 4)
(6, 4)
(2, 2)
Dado que (6, 4) pertenece a la parábola:
(6 − 2) = 4(4 − 2)
2
(
2) = 8(
2)
Uso de la ecuación de la parábola Ejemplo Encuentre el valor de si la curva es una parábola, V es el vértice y A es un punto de paso de la parábola
La ecuación de la parábola tiene la forma:
( − ℎ) = 4( − ) Reemplazamos el vértice: V(0, 6)
(, ) (, )
(, )
( − 0) = 4( − 6) Con el punto de paso (4, 5) hallamos el parámetro:
( 4 − 0 ) = 4(5 − 6) Ahora calculamos usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto (2, ):
( 2 − 0 ) = −16( − 6)
Por lo tanto: =
= −4 Obtenemos la ecuación:( − 0) = −16( − 6)
Uso de la ecuación de la parábola Ejemplo Encuentre el valor de si la curva es una parábola, V es el vértice y A es un punto de paso de la parábola
La ecuación de la parábola tiene la forma:
( − ) = 4( − ℎ) Reemplazamos el vértice: V(4, 1)
(−, )
( − 1) = 4( − 4) (, )
(, )
Ahora calculamos usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto (1, ):
16 ( − 1) = − (1 − 4) 5
Con el punto de paso (−1, 5) hallamos el parámetro:
( 5 − 1 ) = 4(−1 − 4) =−
4 5
Obtenemos la ecuación:( − 1) = −
( − 4)
Por lo tanto: = −2.1 Observe que se ha tomado la raíz cuadrada negativa!
Uso de la ecuación de la parábola Ejemplo
PRIMERO: Ubicar el sistema de Encuentre la longitud del segmento AB, coordenadas, lo más recomendable si la curva mostrada es una parábola es ubicar el origen en el vértice (, ) La ecuación de la parábola tiene la forma: (, )
64 m
25 m (,−)
256 m
-64 m (,−)
128 m
( − 0) = 4( − 0) = 4 Con las distancias señaladas ubicamos un punto de paso y otras coordenadas Reemplazamos el punto de paso: C(128, −64)
(128 − 0) = 4(−64 − 0) Ahora calculamos usando la ecuación obtenida, reemplazando el punto (25, ):
= −64 Obtenemos la ecuación:
(25) = −256
= −256
Por lo tanto: = −2.44
64 = −2.44 + 64 = 61.56
: 61.56
Aplicación El arco de la foto tiene la forma de una parábola, la altura de su centro es de 15 pies y tiene en su base una luz de 10 pies. Determine la altura del arco a la distancia de 2 pies de un extremo. y
(, )
(, )
: = . )
x
Aplicación Un puente colgante de 120m de longitud tiene un arco parabólico sostenido por torres de igual altura, si la directriz se encuentra en la superficie del suelo y el punto más bajo de cada cable está a 15m de altura de dicha superficie, a) Determine la ecuación de la parábola b) Calcule la altura de las torres.
(,)
=
Aplicación de la ecuación de la Parábola Una carretera atraviesa un cerro a través de un túnel con forma de un arco parabólico, que tiene 4 metros de base y 6 metros de altura. Cuál es la altura máxima que puede tener un vehículo de transporte de 2m de ancho, para pasar sin atorarse del túnel
6
Resolvamos el problema inicial
Un arquitecto diseña un puente, como se ve en la figura. Determine la ecuación que expresa el soporte del puente.
METACOGNICIÓN
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¿Qué aprendí en esta sesión? ¿Cómo resolví las dificultades encontradas en el problema inicial? ¿Qué otros temas se relaciona con la temática de hoy? ¿Cómo puedo mejorar mi aprendizaje?
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