Matemática Paiva - Manoel Paiva - Volume 1
March 23, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
Short Description
Download Matemática Paiva - Manoel Paiva - Volume 1...
Description
MANUAL DO PROFESSOR
Manoel Paiva
MATEMÁTICA PAIVA
1
O
I D É M E N SI N O M
Componente curricular: MATEMÁTICA
Manoel Paiva Licenciado em Matemática pela Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Santo André. Mestre em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Professor em escolas particulares por 29 anos.
MATEMÁTICA PAIVA
Ensino Médio
Componente curricular: MATEMÁTICA
MANUAL DO PROFESSOR 3a edição São Paulo, 2015
Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo, Mara Regina Garcia Gay Edição de texto: Everton José Luciano, Marcos Gasparetto de Oliveira, Patrícia Nakata Assistência editorial: Adriana Soares Netto Preparação de texto: Renato da Rocha Gerência de design e e produção gráca: Sandra Botelho de Carvalho Homma Coordenação de produção: Everson de Paula Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues (coord.) Coordenação de design e e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráco: Marta Cerqueira Leite, Otávio dos Santos, Rafael Mazzari Capa: Mariza de Souza Porto Foto :
Micrografia de olho composto de inseto © Science Faction/SuperStock/Glow Images
Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Torquato Edição de arte: Denis Torquato Editoração eletrônica: Formato Comunicação Ltda. Edição de infograa: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Cohen Ilustrações de vinhetas: Otávio dos Santos Coordenação de revisão: Adriana Bairrada Revisão: Rita de Cássia Sam, Vânia Bruno, Viviane Mendes de Almeida Coordenação de pesquisa iconográca: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográca: Carol Böck, Junior Rozzo Coordenação de bureau : Américo Jesus Tratamento de imagens: Denise Feitoza Maciel, Marina M. Buzzinaro, Rubens M. Rodrigues
Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Hélio P. de Souza Filho, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa
Coordenação de produção industrial: Viviane Pavani Impressão e acabamento:
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP S P, Brasil) Paiva, Manoel Matemática : Paiva / Manoel Paiva . — 3. ed. — São Paulo : Moderna, 201 2015. 5. Obra em 3 v. “Componente “Compo nente curricula curr icularr : Matemát Matemática” ica”. Bibliografia.
1. Matemática (Ensino médio) I. Título.
15-01700
CDD-510.7
Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino médio
510.7
Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados
EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 - Belenzinho São e Paulo - SP - Brasil - CEP 03303-904 Vendas Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2016 Impresso no Brasil 1 3
5
7
9
10 8 10
6
4
2
Sumário
Uma introdução à linguagem Capítulo 1 dos conjuntos
6
1 A origem da teoria dos conjuntos conjuntos ............................... ............................... 2 Os conceitos primitivos da teoria dos conjuntos ......
8 8
3 Representação de um conjunto ................................... ................................... Conjunto unitário e conjunto vazio ............................. ............................. 4 5 Conjunto finito e conjunto infinito .............................. .............................. .......................................... ............................................. .......................... ... 6 Subconjunto .................... 7 Igualdade de conjuntos conjuntos ................................................... ................................................... 8 Conjunto universo .......................................................... .......................................................... conjuntos .......................................... .......................................... 9 Operações entre conjuntos 10 Conjunto diferença ........................................................ ........................................................ ............................................... 11 Conjunto complementar ............................................... 12 Problemas sobre quantidades de elementos de
9 10 10 11 12 12 14 17 19
conjuntos finitos ....................... ............................................. ...................................... ................ 20 13 Conjuntos numéricos ..................................................... ..................................................... 24
Proporcionalidade entre segmentos de reta ............. Semelhança de figuras planas ...................................... ...................................... Semelhança de triângulos ............................................ ............................................ Relações métricas no triângulo retângulo .................
5 6 7 8
Exercícios complementares Pré-requisitos tos para o capítulo capítulo Pré-requisi
..................................... 4 ............................. Trabalhando em equipe ............................................. Análise da resolução ................................................... ................................................... Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ Planejamento e execução .......................................... ..........................................
Capítulo 4
75 77 77 80 84 86 87
87 88 89
Geometria plana: circunfer circunferência, ência, círculo e cálculos de áreas 90
................................................ 92 1 Circunferência e círculo ................................................ 2 Posições relativas entre reta e circunferência ...................... ............................................. ........................................ ................. 94
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d
14 O eixo real ...................... ............................................ ............................................. ............................ ..... Exercícios complementares ..................................... Pré-requisitos tos para o capítulo capítulo 2 ............................. Pré-requisi Trabalhando em equipe ............................................. Análise da resolução ................................................... ................................................... Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................
Capítulo 2
Temas básicos da Álgebra e Matemática financeira
34 36 38 39 39 40
42
1 Equações polinomiais do 1o grau ................................. ................................. 44 ............................. 46 2 Inequações polinomiais do 1o grau ............................. 3 Sistemas de equações polinomiais do 1 o grau .......... 48 4 Equações polinomiais do 2o grau ................................ ................................ ................................................... 5 Matemática financeira ................................................... Exercícios complementares ..................................... Pré-requisitos tos para o capítulo capítulo 3 ............................. Pré-requisi Trabalhando em equipe ............................................. Análise da resolução ................................................... ................................................... Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ Consumo e orçamento doméstico ............................ ............................
Capítulo 3 1 2 3 4
Geometria plana: triângulos e proporcionalidade
As origens da Geometria ............................................... ............................................... Polígonos ....................... ............................................. ............................................ ............................ ...... Triângulos ....................... ............................................. ............................................ ............................ ...... Propriedades dos triângulos ......................................... .........................................
49 52 59 61 62
62 63 64
65 66 66 68 72
3 Posições relativas entre duas circunferências .......................................... ................... ............................................ ..................... 95 ............................................ 97 4 Ângulos na circunferência ............................................ 5 Perímetro da circunferência ......................................... ......................................... 100 100 ........................................... ........................................ .................. 102 6 Cálculo de áreas ..................... 7 Cálculo da área de algumas
figuras planas ...................... ............................................ ............................................ ...................... 104 ...................................... ................. 113 Exercícios complementares ..................... Pré-requisitos tos para o capítulo capítulo 5 ............................. 114 Pré-requisi Trabalhando em equipe ............................................. 115 Análise da resolução ................................................... ................................................... 115 Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 116 Capítulo 5
A linguagem das funções
118
1 Sistema de coordenadas no dia a dia ......................... ......................... 119 2 O conceito de função .................................................... .................................................... 122 3 Formas de representação
de uma função ..................... ........................................... ........................................... ..................... 125 pela função f ........................................... ........................................... 128 128 4 Imagem de x pela 5 Função real de variável real ......................................... ......................................... 135 135 ....................................... 137 137 6 Zero (ou raiz) de uma função ....................................... 7 Variação de uma função ................................................ ................................................ 139 139 ........................................... ........................................ ................. 145 8 Funções inversas .................... Exercícios complementares ..................................... 149 Pré-requisitos tos para o capítulo capítulo 6 ............................. 153 Pré-requisi Trabalhando em equipe ............................................. 154 Análise da resolução ................................................... ................................................... 154 Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 155
9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Capítulo 7 Capítulo 6
Função polinomial do 1o grau ou função afim
............................................. ....................................... ................. 207 3 Função modular .......................
156
Exercícios
1 Função polinomial do 1o grau
ou função afim ..................... ........................................... ........................................... ..................... 157 2 Gráfico da função polinomial do 1o grau ....................... ............................................. ............................................ ............................ ...... 158 3 Funções definidas por mais de uma sentença ..................... ........................................... ....................................... ................. 166
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f
4 Variação de sinal da função afim ....................................... 168 ........................................................ 17 1700 5 Inequação-produto ........................................................ .................................................... 171 6 Inequação-quociente .................................................... Exercícios complementares ...................................... 172 Pré-requisitos os para o capítulo capítulo 7 ............................. 174 Pré-requisit Trabalhando em equipe .............................................. 175 Análise da resolução ................................................... ................................................... 175 Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 176 Capítulo 8 Função polinomial do 2o grau Capítulo 7 ou função quadrática 177 o
1 Função polinomial do 2 grau
e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Gráfico da função quadrática ....................................... ....................................... 178 178 Otimização da função quadrática ............................... ............................... 184 184 Variação de sinal da função quadrática ..................... 188 Inequações polinomiais do 2o grau ............................. ............................. 191 Exercícios complementares ..................................... 193 Pré-requisitos tos para o capítulo capítulo 8 ............................. 195 Pré-requisi Trabalhando em equipe ............................................. 196 Análise da resolução ................................................... ................................................... 196 Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 196 2 3 4 5
Pré-requisitos Pré-requisi tos para o capítulo capítulo 9 ............................. 21 211 1
Trabalhando em equipe ............................................. 212
Análise da resolução ................................................... ................................................... 212 Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 213
Capítulo 9
Função exponencial
214
1 Introdução ..................... ........................................... ............................................ ............................ ...... 2 216 16 2 Potenciação e radiciação .............................................. .............................................. 2 217 17 3 A função exponencial .................................................... .................................................... 225 225 4 Equação exponencial ..................................................... ..................................................... 229 229 Exercícios
ou função quadrática ..................................................... ..................................................... 178 178
complementares ..................................... 210
complementares ..................................... 231
Pré-requisitos Pré-requisi tos para o capítulo capítulo 10 ........................... 232
Trabalhando em equipe ............................................. 233
Análise da resolução ................................................... ................................................... 233 233 Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 234 234 Ciência e tecnologia ................................................... ................................................... 235 235
Capítulo 10
Função logarítmica
236
1 Os fundamentos da teoria
1 Distância entre dois pontos do eixo real ................... 199
dos logaritmos .................... .......................................... ........................................... ..................... 238 2 O conceito de logaritmo ............................................... ............................................... 238 238 3 Função logarítmica ........................................................ ........................................................ 247 247 4 Equações logarítmicas ................................................... ................................................... 252 252 Exercícios complementares ..................................... 256 Trabalhando em equipe ............................................. 257 Análise da resolução ................................................... ................................................... 257 257
2 Módulo, equações e inequações modulares ............ 199
Capítulo 8
Função modular
198
Matemática sem fronteiras ........................................ ........................................ 258 258
........................................... ............................................ ............................................. ............................................. ............................................ .......................... .... 259 Indicação de leituras complementares ..................... Respostas .................... ........................................... ............................................. ............................................ ............................................. ............................................. ............................................ ............................................ ......................................... ................... 261 Lista de siglas ...................... ............................................. ............................................. ............................................ ............................................. ............................................. ............................................ ............................................ .............................. ........ 278 Bibliografia .................... .......................................... ............................................. ............................................. ............................................ ............................................ ............................................. ............................................. ..................................... ............... 279
TU L U CA PÍ T
O
Função exponencial
9
Evolução Evolu ção tecnológica Desde a invenção invenção dos primeiros computadores, computadores, diversas diversas previsões e especulações especulações foram feitas feitas sobre o desenvolvimento desenvolvimento da informática, procurando antecipar a evolução da capacidade de armazenamento de dados e o aumento da velocidade de processamento das informações e do número de transistores nos microprocessado microprocessadores. res.
Lei de Moore
Em 1993, os microprocessadores alcançavam 3.100.000 transistores.
Quanto maior o número de transistores em um chip, maior sua capacidade de processamento. Em 1965, Gordon Moore previu que o número de transistores integrados em um chip dobraria a cada dois anos, acarretando mais desempenho com um custo menor. Hoje, podemos constatar que sua previsão estava correta.
Em 1971, uma empresa dos Estados Unidos põe à venda o primeiro microprocessador em um pequeno chip, um modelo com 2.300 transistores.
3.500
Em 1982, é lançado um microprocessador com 134.000 transistores.
4.500
1970
1975
1971
Surgem as primeiras calculadoras eletrônicas portáteis.
1975
214
29.000
Surgem os primeiros computadores pessoais produzidos em série; Bill Gates e Paul Allen desenvolvem a primeira linguagem de programação escrita para um PC.
275.000 1980
1.200.000
1985
1976
1991
Alan Shugart desenvolve o disquete (floppy ) de 5 ¼ polegadas, que conseguia armazenar de 140 kB a 1,2 MB.
É realizada no Brasil a primeira conexão à internet. O acesso ao sistema foi inicialmente liberado apenas para instituições educacionais, de pesquisa e órgãos do governo.
1983
É lançado o primeiro computador pessoal com interface gráfica, ou seja, com figuras para acionar os comandos.
1990
Além da teoria
O físico estadunidense Michio Kaku prevê que a lei de Moore continue válida até 2021, aproximadamente, quando o tamanho dos transistores atingirá o limite imposto pela termodinâmica e pela física quântica. Admitindo essa previsão p revisão e sabendo que no fim de 1971 um chip integrava 2.300 transistores, calcule: a) o número de transistores em um chip no fim de 2021; aproximadamente 77.175.193.600 n úmero de transistores em um chip ultrapassou 1 bilhão pela b) o ano em que o número primeira vez. 2008 Ver sugestões para o desenvolvimento do infográfico no Suplemento com orientações para o professor .
Número de transistores
3.000.000.000
Em 2010, novas tecnologias permitem que se concentrem 2.000.000.000 de transistores em um único microprocessador.
2.600.000.000 2.500.000.000
2.000.000.000 1.900.000.000
Em 2004, é lançado um processador cess ce ssaa or com com 592.000.000 . de de transistores.
1.700.000.000 1.500.000.000
1.000.000.000 904.000.000 789.000.000 731.000.000 500.000.000
463.000.000 291.000.000 7.500.000 1995
1995
Começa a era dos filmes de longa-metragem gerados por computador.
42.000.000
220.000.000 105.000.000
2000
1998
Estreia do pendrive.
2005
2010
2007
O número de websites ultrapassa os 100 milhões.
2011
O mundo tem quase 6 bilhões de linhas ativas de telefone celular.
2001 1996
A internet tem 36 milhões de usuários; 100 mil no Brasil. Fontes: Instituto
Cresce a popularidade de tocadores digitais de músicas e vídeos.
de Matemática e Estatística da USP. Disponível em: ; Intel. Disponível em: . Acessos em: 29 fev. 2016.
2012
A T S A O D R A U D E : S E Õ Ç A R T S U L I
2,3 bilhões de pessoas usam a internet. No Brasil, são 83 milhões.
215 215
1 Introdução Observe o anúncio abaixo.
Compre um apartamento em Ipanema K C O T S R E T T U H S / E N O S U L P
O melhor de Ipanema. Um por andar, vista para o mar, 600 m 2, 5 suítes, 6 vagas de garagem. Preço à vista pago em 60 dias nas seguintes condições: condições:
1 centavo no 1 dia o
2 centavos no 2 dia o
4 centavos no 3 dia o
8 centavos no 4 dia... o
... e assim por diante – em cada um dos próximos dias, o pagamento será o dobro do valor pago no dia anterior.
Esse anúncio nos leva a supor que podemos adquirir um imóvel de alto padrão por um valor muito baixo. Afinal, pagar um apartamento em Ipanema em centavos... Na dúvida, vamos fazer alguns cálculos antes de fechar o negócio. De acordo com o anúncio, o valor, em centavo, a ser pago é a soma: 20 21 22 23 ... 259 Para termos uma ideia desse valor valor,, vamos calcular apenas a última parcela: 259 576.460.752.303.423.488 Dividindo essa potência por 100, obtemos obtemos o valor a ser pago, em real, na última parcela: 259
576.460.752.303.423.488
5.764.607.523.034.234,88
100 100 Ou seja, no 60o dia o valor a ser pago é: R$ 5.764.607.523.034.234,88 Observando os cálculos, percebemos que não conseguiríamos pagar a última parcela! Na verdade, não conseguiríamos pagar muitas delas. A soma de todas essas parcelas, que vamos aprender a calcular no estudo das progressões geométricas (Capítulo 1 do volume do 2o ano desta coleção), é: 260 1 1.152.921.504.606.846.975 Dividindo esse número por 100, temos o valor total a ser pago, em real: R$ 11.529.215.046.068.469,75 Esse valor equivale a mais de 100 vezes o Produto Interno Bruto (PIB) mundial. Essa situação fictícia mostra o crescimento assustador da função f (x ) 1 x toso é o decrescimento de g (x ) 2 .
[ ]
2x .
Igualmente espan-
Funções como essas, chamadas funções exponenciais, exponenciais, serão estudadas estudadas neste capítulo. Os pré-requisitos para esse estudo são os conceitos e as propriedades envolvidos envolvidos na potenciação e na radiciação no conjunto dos números reais (que revisaremos a seguir). 216
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
2 Potenciação e radiciação Potência de expoente inteiro Não há unanimidade entre os matemáticos quanto à adoção do valor 1 para a potência 00; por isso, excluímos essa possibilidade na defini-
Sendo a um um número real e n um número inteiro, definimos: a 0 1, se a 0 a 1 a a n a a a ... a , se n 1
n fatores
a n
1
, se a 0
a n
ção a 0 1.
Na potência a n, o número a é é a base base da da potência e o número n é o expoente expoente..
Exemplos a) (2)3 (2) (2) (2) 8
e) 70 1 e)
b) (2)4 (2) (2) (2) (2) 16
f ) (5)0 1
c) . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
[ 52 ] 3
5 5 5 125 2 2 2 8
Para agilizar o cálculo 7 2 de , podemos 3 inverter a base e trocar o sinal do expoente, isto é:
[ ]
1 1 2 4 16 2 1 1 7 9 h) h) 2 7 49 3 49 3 9 g) 4 g) 42
[ ]
d) 81 8
[ 73 ] [ 37 ]
[ ]
2
2
9 49
Propriedades das potências de expoente inteiro Dados os números reais a e e b e os números inteiros m e n, e obedecidas as condições para que existam as potências, temos:
P1. P1. P2. P2. P3. P3. P4. P4.
a m a n a m n (conserva-se a base e adicionam-se os expoentes) a m a n a m n (conserva-se a base e subtraem-se os expoentes) (a m)n a mn (conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes) (ab)n a n b n (distributiva da potenciação em relação à multiplicação) a n a n P5. n (distributiva da potenciação em relação à divisão) b b
[ ]
Exemplos a) 72 73 72 3 75
c) 34 36 34 6 32 c)
b) 25 23 25 3 22
d) (54)3 54 3 512 d)
e) (2x )3 23 x 3 8x 3 e) 7 2 72 49 f ) 2 5 5 25
[ ]
Por que na multiplicação 72 73 deve-se conservar a base e adicionar os expoentes e na divisão Ver Suplemento com orientações 25 23 deve-se conservar a base e subtrair os expoentes? para o professor professor .
25
1
1
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1
Calcule o valor das potências. a) (5)2 25 d) 90 1 b) 52 25 e) 143 1 c) (2)3 8 f ) (1)13 1
g)
5 2
3
[ ]
2
h) (2)3
Faça as atividades no caderno.
4 25
1 8
Obedecidas as condições de existência, efetue: a) x5 x x3 x 8 b) y6 y y2 y 4
2
Efetue, admitindo que sejam obedecidas as condições de existência. 2 x3 2 3 125 x 3 a) (5 x) c) (4 x2 y3)2 16 x 4 y 6 e) 5 yz 2 3 3 ab a3 b9 25 y 2 z 4 x2)4 x 8 b) ( x d) 2 27c6 3c 4 x 6
[ ]
[ ]
[ 2 xyz ] [ xz y ] 3a b c d ] [ ] d) [ cd 3ab c)
5 3
2
2
3
3 3
4
2
8 x 7 y 11 z 6
3
4
2
3 a4 bcd 3
217
4
Considerando que um ano tem aproximadamente aproximadamente 360 dias e que o batimento cardíaco médio do ser humano é de 72 vezes por minuto, obtém-se que em 70 anos o número de batimentos do coração de uma pessoa é, aproximadamente: a) 210 35 54 7 d) 215 35 53 7 13 4 2 2 b) 2 3 5 7 e) 212 36 53 7 c) 213 36 52 72 alternativa e
5
Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir. a) 1 km 103 m verdadeira f ) 6 kg 6 104 cg falsa 3 b) 5 mm 5 10 m verdadeira g) 2 mg 2 10 3 g verdadeira c) 5,4 hm2 5,4 104 m2 verdadeira d) 1 L 106 mm3 verdadeira e) 10 kL 103 L falsa
?
?
Notação científica ES / NO AA /
Os números que fazem parte do dia a dia expressam grandezas como o preço de um produto, a duração de um filme, o custo de um carro etc. Por serem representados com poucos algarismos, esses números não apresentam grande dificuldade de entendimento. Porém, no universo científico, há números “gigantescos” ou “minúsculos” em relação àqueles aos quais estamos habituados. Veja dois exemplos. 5.970.000.000.000.000.000.000.000 kg de, aproximadamente: 0,00000005 mm A dificu dificuldade ldade em traba trabalhar lhar com esses número númeross levou os cienti cientistas stas a estabelecer uma notação simplificada para representá-los: a notação científica.. Para entender essa notação, observe que o número científica 5.970.000.000.000.000.000.000.000 5.970.000.000.000.000.0 00.000.000 é o produto:
G O G R /
G S C F / N
S L E
A
H Z
A S
T
A
I
R
F / N O
S
L
E
N
N A L
A / I
L K C O T S T O E R
O N I T S U A F
+
–
5,97 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
24 fatores
1024 kg. Analogamente, observando observando que: 5 5 0,00000005 8 , 10 10 10 10 10 10 10 10 10 podemos representar a medida do raio médio do átomo de hidrogênio, em notação científica, por 5 108 mm. De maneira geral, todo número real não nulo, com expressão decimal finita, pode ser representado na forma: k 10 m, em que m é um número inteiro e k é é um número real tal que 1 k 10.
\\
Essa forma de representação é denominada notação científica. científica.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
4,8 10 1,2 10 1 ( 23) 4,0 10 23 24 n 1,2 10 Logo, a alternativa c é a correta.
Sabendo que a massa de cada átomo de magnésio (Mg) é estimada em 4,0 10 23 g, conclui-se que o número de átomos que compõem 48 g de magnésio é: a) 1,2 1022 c) 1,2 1024 e) 4,8 1023 23 22 b) 1,2 10 d) 4,8 10
Resolução
Podemos calcular o número n de átomos que compõem 48 g de magnésio por uma regra de três: no de átomos massa (em grama) 23 1 4,0 48 10 n
n
218
48 4,0 10
23
4,8 10 4,0 10 23
K C O T S N I T A L / S I B R O C / N O I S I V N E
O magnésio é encontrado em cereais integrais, leguminosas (feijões, lentilhas etc.), hortaliças de folha verde (espinafre, brócolis etc.), frutos oleaginosos (avelã, amêndoa etc.), sementes (girassol, abóbora etc.) e frutas.
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 6
Faça as atividades no caderno.
No Brasil, as vacinações periódicas contra essa doença são divulgadas pelo simpático Zé Gotinha. O vírus causador dessa doença é o poliovírus, com medida aproximada de 0,00002 mm.
(Enem) A Agência Espacial Norte-Americana Norte-Americana (Nasa) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração abaixo sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superf ície terrestre.
Zé Gotinha
a) Escreva, em notação científica, a medida em milíme-
tro do poliovírus.
2 10 5 mm
b) Escreva, em notação científica, a medida em centíme-
O asteroide se aproximará o suficiente para que cientistas possam observar detalhes de sua superfície
tro do poliovírus. 2 10 6 cm c) Uma unidade de comprimento muito usada para expressar medidas de estruturas microscópicas é o º , definido por: 1 Aº 1 100 10 m m.. angstrom, cujo símbolo é A Escreva, em notação científica, a medida do poliovírus º em angstrom. 2 10 2 A
Lua
Terra
Proximidade 325 mil km 8
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Asteroide YU 55 Asteroide YU 55 de diâmetro, Passagem: equivalente ao 8 de novembro, às tamanho de um 21 h 28 min (horário porta-aviões de Brasília)
Disponível em: http://notícia http://notícias.terra.com.br s.terra.com.br (adaptado)
Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a: a) 3,25 102 km d) 3,25 105 km b) 3,25 103 km e) 3,25 106 km c) 3,25 104 km alternativa d O N I T S U A F : S E Õ Ç A R T S U L I
7
Poliomielite é uma doença viral que pode afetar os ner vos e leva levarr à paralis paralisia ia parcial ou total. A vacina oral contra a poliomielite, desenvolvida pelo pesquisador russo Albert Bruce Sabin (1906-1993), praticamente erradicou a doença na maioria dos países do mundo.
De acordo com as avaliações da World Water Wa ter Assessment Programme (WW ( WWAP), AP), órgão responsável pelo Programa de Avaliação da Água no Mundo, a quantidade total de água do planeta Terra é de 1.360 quatrilhões de toneladas, das quais apenas 0,8% pode ser utilizada para abastecimento público. Dessa pequena fração de água que pode ser utilizada para abastecimento público, 97% correspondem a água subterrânea e apenas 3% apresentam-se na forma de água superficial de extração mais fácil. Esses valores ressaltam a grande importância de preservar os recursos hídricos na Terra. Usando a notação científica, represente a quantidade de água, em tonelada, que se apresenta na forma de água superficial de extração mais fácil. 3,264 1014 t Resolva os exercícios complementares 1 e 2.
CRIANDO PROBLEMAS IInspirando-se nspirando-se nos exercícios dessa série, elaborem e resolvam um problema sobre notação científica que envolva uma situação do cotidiano. c otidiano. Resposta pessoal.
Radiciação no conjunto dos reais desatar o Em nosso dia a dia, realizamos várias operações inversas, como atar e desatar o cinto de segurança, amarrar amarrar e e desamarrar desamarrar o o tênis, abrir abrir e e fechar fechar a a porta da geladeira etc. / K T N C A O R T O S B R A E L T : T S U O S H T O F
/ K S I C A O C T N S A E R R F T E T L U C I H R S E
Atar
Desatar
Amarrar
K C O T S R E T T U H S / N I K H S A S
K C O T S R E T T U H S / T R A P P
Desamarrar Abrir
Fechar
219
Intuitivamente, entendemos que duas operações são inversas entre si quando uma desfaz o que a outra fez. A Matemática também apresenta operações inversas, inversas, como a adição e a subtração; a multiplicação e a divisão. Neste item vamos estudar duas operações inversas. Para entendê-las, observe as situações a seguir. O N I T S U A F
I. Sabendo I. Sabendo que, em determinada unidade de medida, o comprimento do lado de um quadrado é 5, temos que a área A do quadrado é calculada pela potência 5 2. Logo, A 25.
5
II. Sabendo que, em determinada unidade de medida, a II. Sabendo área de um quadrado é 25, temos que a medida do lado do quadrado é a base positiva da potência x 2 tal que x 2 25. Logo, x 5.
A 52 25
5
Nessas situações, são realizadas operações inversas: inversas: em (I), é conhecida a medida 5 do lado do quadrado e calcula-se sua área através da potência 52; em (II), é conhecida a área 25 do quadrado e calcula-se a medida x do do lado, que é o valor positivo da base da potência x 2 tal que x 2 25. radiciação.. A operação operação efetuada efetuada em (II), (II), que é a inversa inversa da da potenciaçã potenciação, o, chama-se chama-se radiciação Vamos Vam os separar o estudo de de radiciação em dois dois casos.
‚
1 caso Sendo n um número natural não nulo, dizemos que a raiz n-ésima de um número real não negativo a é é o número real não negativo b se, e somente se, b n a .
N9 e a R , temos:
Em símbolos, sendo n
R
n
√z a b à b n a , com b a
n
radical e o número a é radicando.. No radical √z a , o número n é o índice do radical e a é o radicando
Exemplos
R
3
a) √z 8 2, pois 23 8 e 2 b) √z 16 16
2
√z 16 4, 16
R R
1
c) √z c) 5 5, pois 51 5 e 5
R
pois 42 16 e 4
5
d) √z d) 0 0, pois 05 0 e 0
Notas: Em um radical de índice 2, o índice não precisa ser escrito, pois ficasub subent entend endido. ido.Por exemplo, o símbolo 9 deve ser entendido √z 2
como √z 9.
1. Se n é um número natural par não nulo, existem dois números opostos, b e b, com b 0, tais 1. que b n a e e ( b)n a . Por convenção, adota-se apenas o número positivo b como valor de n √z a . a . Por exemplo, embora 42 16 e (4)2 16, apenas o número positivo 4 é a raiz quadrada z
de 16, no conjunto dos números reais. Assim, √16 4. 2. De acordo com a nota 1, para qualquer x real 2. real temos √z x 2 = x , pois a sentença √z x x 2 = x será x será falsa se x for for negativo.
\\
1
2
3
4
5
n
3. Os símbolos √z 3. , √z , √z , √z , √z , ..., √z devem ser lidos, respectivamente, como: raiz primeira, raiz quadrada (ou segunda), raiz cúbica (ou terceira), raiz quarta, raiz quinta, ..., raiz n-ésima (ou enésima).
‚
2 caso Se n é um número natural ímpar, dizemos que a raiz n-ésima de um número real negativo a é é o número real negativo b se, e somente se, bn a . n
Em símbolos, sendo n com n ímpar e a , temos: √z a b à b n a a Nessa definição, b é obrigatoriam obrigatoriamente ente negativo.
N
R8
Exemplos 3
8 a) √z
220
2,
pois (2)3 8
5
1 b) √z b)
1,
pois (1)5 1
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Observe que, no conjunto dos números reais não existem radicais de índice par com radicando 9 seria o número real cujo quadrado é 9, o que é absurdo, pois o negativo. Por exemplo, √z quadrado de qualquer número real é positivo ou nulo. Também é importante observar que, se a é é um número real qualquer e n um número natural ímpar, temos: n
n
a √z √z a a
3
8 Por exemplo: √z
3
√z 8 2
Propriedades dos radicais com radicandos não negativos Sendo a e e b números reais não negativos e n, k e e p números naturais não nulos, temos: n
n
n
P1. √z a √z a b √z a b a n
√z a a
P2. P2.
n
√z b
z a , com b 0 b
√
n
z
nk
(distributiva da radiciação em relação à multiplicação) (distributiva da radiciação em relação à divisão)
n
P3. √a kp √z a p
[ ] √z a , com q R n
P4. √z a a . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
(dividem-se por um fator comum o índice do radical e o expoente do radicando)
q
n
q
(a potência da raiz é a raiz da potência)
P5. √z P5. √z a √z a n k
nk
(multiplicam-se os índices)
Exemplos 3 3 3 a) √z 7 √z 2 √7 2 4
b)
z
√15 15 4
√z 3
z
3
√z 14 14
c)
z 15 4 √z 5 3
√
4
15
z
5
√5 6 √z 52
e)
6 √z √z 5 √z 5
3
3 5 3 5 d) √z 8 [ √z 8 ] 25 32
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 9
3
z
5
g) √z 1 1
d) √0,008 0,008 0,2 5
32 e) √z
0,25 0,5 0,25 b) √z
3
0 0 h) √z
2
z 3 1 1 1 √z 2 √z 12 c) 8 f ) 100 10 i ) 12 Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir. 5 5 5 2 4 2 √z 7 √z 2 7 verdadeira e) [ √z 5 ] √z 5 falsa a) √z
√
b) √z 9 √z 16 16 3
z
√10 10
c)
3
√z 5
4
z
√ 9 16 falsa
3
√z 2 verdadeira
3
4
d) √z 8 [ √z 2 ] verdadeira 11
No segundo radical, multiplicamos o índice 4 e o exexpoente 1 do radicando por 3, obtendo:
•
Calcule mentalmente. a) √z 25 5 25
10
Faça as atividades no caderno.
3 √z f ) √z 5 √z 5 verdadeira 6
g)
5 √z √z 7 √z 7
3
falsa
6 h) √z 2 3√z 5 √z 40 verdadeira 40
Aplicando a propriedade P3 dos radicais, podemos reduzir radicais ao mesmo índice. Por exemplo, para obter dois radicais de mesmo índice, respectivamente equiva3 4 lentes a √z 2 e √z 5 , podemos agir do seguinte modo: • No primeiro radical, multiplicamos o índice 3 e o expoente 1 do radicando por 4, obtendo: 3
z1
3 4
14 z
√2 √2
12
z4
√2
12
4
4 3
12
√z 51 √z 51 3 √z 53
Note, portanto, que os radicais assim obtidos têm o mesmo índice 12. Aplicando essa ideia, efetue as seguintes operações com radicais de índices diferentes: 4 √z 2 12 z 3 √2 2 √z 2 6√z a) √z b) 6 25 √z 2 / Para o cálculo de √z 5 em uma calculado C K I T C O S T ra, digitam-se as teclas , 5 e , A T S R O E H T P T nessa ordem. Analogamente, obtém-se, U H S nessa calculadora, a raiz quadrada de qualquer número real não negativo x. Usando apenas as teclas numéricas e as teclas e , descreva um processo para o cálculo de: 4
a) √z 5
5
b) √z 5
5
c) 6√z 8
2
8
O N I T S U A F
( Nota: Nota: Há calculadoras em que se digitam nessa ordem, para o cálculo de √z 5 .)
5
,
e
,
221
Simplificação de radicais Para facilitar o trabalho com radicais, é conveniente transformá-los, transformá-los, por meio das propriedade propriedadess estudadas, na forma mais simples possível.
Exemplos 3
b) Para simplificar o radical √z 160 , decompo160 mos o radicando 160 em fatores primos: 160 2 80 2 40 2
a) Para simplificar o radical √z 16 , decompo16 mos o radicando 16 em fatores primos: 16 2 8 2 4 2 Æ 16 24
Æ
2 2 1 Assim, temos: 3
3
20 10 2 2 5 5 1 Logo:
3
√z 16 √z 16 24 √z 23 2 3
3
√z 23 √z 2
3
2 √z 2
z
5
160 2 5
z
√160 160 √z 25 5 √ 24 2 5
z
√z 24 √2 5
2
2 √z 10 4√z 10 10 10
Operações com radicais Para operar com radicais, aplicamos suas propriedades e as propriedades operatórias da adição e da multiplicação de números reais.
Exemplos a) 4√z 2 6√z 2 3√z 2 √z 2 (4 6 3) 7√z 2 fator comum em evidência
b) 4√z 12 6√z 12 75 4 2√z 75 3 6 5√z 3 8√z 3 30√z 3 38√z 3 c) 6 √z 3 4 √z 2 (6 4) [ √z 3 √z 2 ] 24 √z 6 5
5
3
5
z
3
z
3
d) 12 √10 10 4 √z 5
5
12 √10 10 3
4 √z 5
5
12 4
3
z
√10 10 3
√z 5
3
z 10 3 3 √z 2 5
√
3
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13
Aplicando as propriedades dos radicais, se necessário, calcule: 3 z 3 512 8 3 a) √729 729 9 d) g) √z 0,027 0,3 5 125 4 [ [1 √z2 ] 2 √z2 1 625 5 0,1296 0,36 h) √z 0,1296 b) √625 e) √z
√
z z
z
c) √1.024 1.024 14
32
Simplifique cada um dos radicais abaixo. 4
a) √z 12 2√z 12 3
d) √z 32 24√z 32 2
2 18 3√z 18 b) √z
10 40 2√10 40 e) √z
z
3
5
f ) √z 96 2 5√z 96 3
Efetue: 3 3 6√z 3 2√z 3 8√z a) 4√z b) 2√z 50 √125 50 125 6√z 5
z
222
2
Faça as atividades no caderno. 3 e) 12 √z 4 63√z 2 144
10√z 2 √z 5
z 48
√ 25 z 81 h) √8 z 75 i) √ 64 g)
3
4√z 3 5
16
Em sua Teoria da Relatividade, Albert Einstein afirma que, se um objeto viajar próximo à velocidade da luz, sua massa aumentará para o valor m, dado por:
3
3 √z 3 5 5√z 3 8 3
3
3
16 2 √z 16 54 √z 54 128 128 c) 4 √z
z
5 5 12 d) 4 √z 3 2 √z 4 8 √12 5
m0
z v2
√
1
c
2
em que m0 é a massa do objeto em repouso, v é a velocidade do objeto em movimento e c é a velocidade da luz. Considerando que um objeto em 18 √z 2
3
3 16 63√z 16 2 4 g) 12 √z
2 f ) 6√z 10 2√z 10 5 3√z
m =
c) √z 24 23√z 24 3 15
5
f ) √z 32
Se achar conveniente, retomar com os alunos a racionalização de denominadores.
repouso tem massa m0, obtenha, em função de c, a velocidade v em que ele deve viajar para que sua 3c massa duplique. v √z ou v 0,87c 2
N S E E R G O A / M S I S Y E T R T G E N G O / C R E F N O R Y U R T A K R C B I A L J
Albert Einst Albert Einstein ein (1879-1955) defendia que “a imaginação é mais importante que o conhecimento”. Foto de 1947.
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Potência de expoente racional A propriedade propriedade P3 dos radicais afirma afirma que, para {n, k , p} nk
z
N9 e a R , temos:
n
√a kp √z ap
Vamoss este Vamo estende nderr ess essaa propr propriedad iedadee adm admiti itindo ndo a exi existên stência cia de pot potênc ência ia com qua qualqu lquer er exp expoen oente te racio5 2 nal. Por exemplo, dividindo por 5 o índice do radical e o expoente do radicando de √z 3 , obtemos: 2 z
√
1
5
√z 32 3 5
Como a raiz primeira de qualquer número real é esse próprio número, concluímos concluímos que: 2
3 3 5 √z
5
2
Esse procedimento sugere que uma potência de expoente racional seja definida como um radical, do seguinte modo: Se os números inteiros k e n forem ambos positivos, define-se:
Sendo a um um número real positivo e os números inteiros k e e n, com n 1, definimos: k
n
a n √z a k a
k
n
0 n √z 0 k 0
Exemplos . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
7
1 4
a) 3 4 √z 37
b) 90,5 9 2 √z b) 9 3
c) 160,25 16 c)
1 4
z 1 1 16 2
√
4
4
√z 161 16
As propriedade propriedades poentes racionais. s P1 a P5 das potências para expoentes inteiros continuam válidas para ex-
Exemplos 3 2
1 4
a) 7 7 7
3 1 2 4
7 4
0,4
0,9 0,4
2
c) (5 ) 5 c)
7
b) 3 3 3 0,9
1 2 2
3 4
3 4
1 2
[ ]
2 e) e) 5
51
1
1 3
23 1
53
3 4
d) (2x ) 2 x (com x 0) d)
0,5
3
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
1 3
[ 161 ]
0,25
Calcular o valor da expressão: E 81 125 0,5
Resolução
Podemos resolver essa questão de dois modos. o
1 modo
1 3 3
A expressão é equivalente a: E (3 ) (5 ) (24)0,25 Aplicando as propriedades das potências de expoente racional, temos: 4 0,5
(3 ) 3 4 0,5
•
3 9
4 0,5
2
•
1 3 3
3
(5 ) 5
1 3
51 5
•
(24)0,25 24
21 2
0,25
Logo: E 9 5 2 16 o
2 modo
Podemos calcular o valor da expressão E aplicando aplicando a definição de potência p otência de expoente racional, isto é: 1 2
81 81
•
0,5
√z 81 81
9
1 3
125
•
3
√z 125 5 125
1 4
4
z
16 16 √16 16 2
•
0,25
Logo: E 9 5 2 16 223
MENTES BRILHANTES Um passo além dos expoentes inteiros 1 da população, segundo 3 alguns historiadores. Por causa desse mal, as ciências passaram por um período pouco produtivo. Porém, um grande matemático chamado Nicole Oresme (1323-1382) destacou-se nesse cenário de destruição, com trabalhos pioneiros e precursores da Geometria analítica e do Cálculo infinitesimal. Entre suas pesquisas encontra-se, pela primeira vez, o uso de potências de expoentes fracionários, embora as notações usadas fossem diferentes das atuais. Adotando a notação moderna, o raciocínio de Oresme pode ser descrito, para qualquer número real a não negativo, da seguinte maneira: 1 2z 1 2 2 2 √z a a a 2 A partir do que generalizou, para qualquer número natural não nulo n e qualquer número inteiro p: A peste negra devastou a Europa durante o século XIV, aniquilando
√[ ]
n
p n
√z a a , e, no caso em que a 0, deve-se ter p 0, para que exista a potência a p. p
Potência de expoente irracional Como poderíamos definir a potência 3√z2 ? Sabemos que √z 2 = 1,41421356... Assim, definimos 3√z2 como o número para o qual convergem os valores nas duas colunas da tabela a seguir, em que, na primeira coluna, os expoentes de 3 são aproximações de √z 2 por falta e crescem indefinidamente e, na segunda, os expoentes de 3 são aproximações de √z 2 por excesso e decrescem indefinidamente. Valores aproximados de 3√z2 (aproximações por falta)
As aproximações ao lado foram obtidas usando uma calculadora científica.
2 Valores aproximados de 3√z (aproximações por excesso)
31,4 4 4,,655536722
31,5 5,196152423
31,41 4 4,,706965002
31,42 4,758961394
4,,727695035 31,414 4
31,415 4,732891793
31,4142 4 4,,72873393
31,4143 4,729253463
Observe que, até onde fomos nas duas colunas, podemos garantir que: 4,72873393 3√z2 4,729253463 De maneira análoga, define-se qualquer potência de expoente irracional e base a , com a . Para a base 0 (zero) e o expoente t irracional irracional positivo, define-se: 0t 0. Por exemplo, 0 √z3 0. Demonstra-se que as propriedades P1 a P5 das potências para expoentes inteiros continuam válidas para expoentes irracionais.
R9
Exemplos a) 4√z3 45√z3 4√z3 5√z3 46√z3 b) 73 7 73 π
π
π π
72
π
c) (2√z5 )√z5 2√z5 √z5 25 32 c) √z 2
√z 2
√z 2
Represente as potências sob a forma de radical. 2 5
a) 9 18
1 2
b) 6
5
√z 81 81
√z 6
√z 7
d) 30,754
1
5
Calcule o valor das expressões abaixo. 1 2
a) 36 27
1 3
16
3 4
5 3
0,75
1,25
5√z7
21
Calcule o valor de:
a 3
b) 100 81 16 0,5
4√z7
Em uma calculadora científica, ao pressionar as teclas , 2 , e , aparecerá no visor o valor da po3 , ˆ 2 tência 3 , isto é, 9. Porém, nenhuma sequência de teclas fará surgir no visor o valor exato de 20,5. Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Redijam um texto justifi Verdadeira dadeira.. Essa potênci potência a equivale equivale a √z 2 , que cando sua resposta. Ver
z
543 32
20
2
3
b) √z a2 (com a 0)
√z 7
Faça as atividades no caderno.
√27 27
Represente os radicais sob a forma de potência. a) √z 2 25
19
c) 70,5
[ 45 ]
d) (6x ) 6 x (com x 0) d)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 17
e) e)
a)
√z 2
5 [ [ √z3 ] 6 √z 2
3
é um número portanto, não será possível obterirracional; o valor exato da potência 20,5. 27 )√z 27 3 13.824 b) (3√z3 2√z
c) 1√z5 0
Resolva os exercícios complementares 3 a 5. 224
π
1
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
3 A função exponencial Algumas aplicações financeiras financeiras em instituições bancárias têm rendimento rendimento diário e operam operam em regime de juro composto, isto é, no fim de cada dia o juro é acrescido ao montante do dia anterior. anterior. Se um capital de R$ 2.000,00 for investido em uma dessas aplicações financeiras, cuja taxa diária de juro seja de 0,04%, qual será o montante acumulado em t dias? dias? Para responder a essa questão, vamos rever um conceito estudado no Capítulo 2: se um capital inicial C é é aplicado em regime de juro composto à taxa constante i por por unidade de tempo (dia, mês, ano etc.), então o montante M acumulado acumulado em t unidades unidades de tempo é dado por:
Lembre-se de que: 0,04 0,04% 100 0,0004
M C (1 (1 i )t
Assim, o montante acumulado em t dias dias pela aplicação de R$ 2.000,00 à taxa diária de juro composto de 0,04% é dado pela função: M 2.000 (1 0,0004)t , ou seja, M 2.000 (1,0004)t
Por apresentar a variável t como como expoente de uma constante positiva e diferente de 1, essa função é chamada de função exponencial. exponencial. Embora, nesse caso, a variável t só só possa assumir valores naturais, pois o juro só é acrescido ao montante anterior no fim de cada dia, podemos conceituar esse tipo de função com domínio , conforme a definição a seguir.
R
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Chama-se função exponencial toda exponencial toda função f : a 1.
R # R* tal que f (x )
a x ,
com a
R* e
Exemplos a) f (x ) 2x b) g (x ) 5x 1 c) h (x ) 4
x
[ ]
Gráfico da função exponencial Vamos esboçar o gráfico de funções exponenciais Vamos exponenciais a partir de alguns pontos obtidos por meio de uma tabela, conforme mostram os exemplos a seguir.
Exemplos a) f (x ) 2x
Atribuindo a x os os infinitos valores reais, obtemos o gráfico:
x 3
2
1
y
f (x ) f
1
8
8
1
4
2
0
1
2
1
2
1
2
4 8
R R*
D (f ) Im (f ) f é é crescente em todo o seu domínio. O N I T S U A F
1 3 2 1
3
1 4
0
2 1 2
3
1 4 1 8
x
Se achar conveniente, ressaltar que, nesses gráficos, a curva se aproxima do eixo Ox sem sem tocá-lo.
225
x
[ 12 ]
b) g (x )
Atribuindo a x os os infinitos valores reais, obtemos o gráfico:
x
g (x )
3
8
2
4
1
2
0
1
1
2
y g
8
4
1 2
2
1
1
4 3 2 1
3
R R*
D ( g ) Im ( g ) g é é decrescente em todo o seu domínio.
1
0
1
2
3
x
1 2
8
1 1 4 8
Propriedades da função exponencial
P1. Sendo a 0 e a 1, tem-se: a a à x y P1. x
A propriedade P1 decorre do fato de a função ser uma exponencial correspondência biunívoca entre e .
P2. A função exponencial f (x ) P2.
y
a x é
crescente em crescente em todo o seu domínio se, e somente
se, a 1. y f ( x ) a x (com a 1)
R R9
a x 2
a x 1 1 x 1
0
x 2
x
a x a x à x 2 x 1, para qualquer a real real maior que 1. 2
1
P3. A função exponencial f (x ) a x é decrescente P3. decrescente em em todo o seu domínio se, e somente se, 0 a 1. y f ( x ) a x (com 0 a 1) a x 2
a x 1 O N I T S U A F : S E Õ Ç A R T S U L I
1 x 2
x 1
0
x
a x a x à x 2 x 1, para qualquer a real real com 0 a 1. 2
226
1
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 3
Uma amostra de 4 kg de uma substância radioativa se desintegra à razão de 0,25% ao ano. dessa amostra, em quilograma, em função do tempo t , a) Qual é a equação que expressa a massa M dessa em ano? b) Com o auxílio de uma calculadora científica, científica, calcular a massa dessa amostra daqui a trinta anos. Resolução
a) Raciocinando como no cálculo do montante a juro composto, temos que o valor M de de uma grandeza qualquer a partir de seu valor inicial C , do tempo t e e da taxa constante i de crescimento ou
decrescimento pode ser calculado pela fórmula: M C (1 i)t , em que t e e i se referem à mesma unidade de tempo. Nesse caso, como temos um decrescimento, a taxa i é negativa: i 0,25% anos a massa Assim, a amostra de 4 kg que se desintegra à razão de 0,25% ao ano terá daqui a t anos M , em quilograma, dada por: M 4 (1 0,0025)t , ou seja, M 4 (0,9975)t
b) Para calcular a massa da amostra, em quilograma, daqui a trinta anos, basta substituir por 30 a variável t da da função obtida no item a: . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
M 4 (0,9975)30
Usando uma calculadora científica, obtemos: (0,9975) 30 0,93 e, portanto:
M 4 0,93 V M M 3,72 ?
Assim, daqui a trinta anos a amostra terá 3,72 kg, aproximadamen aproximadamente. te. 2 x A figura abaixo apresenta o gráfico da função f ( x x) e um triângulo retângulo ABC cujos cujos vértices 5 B e C pertencem pertencem ao gráfico de f . Calcular a área desse triângulo.
4
y
f
C B
A 3 x
2
Resolução
Temos: a ordenada do ponto B é f (2), obtida atribuindo-se o valor 2 à variável x da função f : 22 4 f (2) 0,8 5 5 a ordenada do ponto C é é f (3), obtida atribuindo-se o valor 3 à variável x da função f : • 3 2 8 f (3) 1,6 5 5 Assim, podemos calcular as medidas dos segmentos AB T e AC T : •
y
f
0,8
AB 3 2 1 AC 1,6 0,8 0,8
C
1,6 B
2
S
A 3
x
Concluímos, então, que a área S do do triângulo é dada por: AB AC AC 1 0,8 S V S 0,4 2 2
O N I T S U A F : S E Õ Ç A R T S U L I
227
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 22
Construa o gráfico e determine o domínio e o conjunto imagem das funções abaixo. 4 x a) f ( x x) 3 x c) h ( x x) 3 x 1 3 x x) x) b) g ( x d) t ( x 3 4
Faça as atividades no caderno.
25
[ ] [ ]
[ ]
?
Ver Suplemento com orientações para o professor . 23
A figura abaixo é a representação gráfica da função f ( x x) ka x, em que k e e a são constantes reais, com a 0 e a 1. Calcule f (3). 108
26
25
y f
5 –– 2
27
2 24
t
Um pesquisador observou que uma população de bactérias cresce 20% ao dia. a) Se atualmente a população é de 10.000 indivíduos, escreva uma equação que expresse o número P de de indi 10.000 (1,2) , víduoss em função víduo função do tempo tempo t , em dia. Pcom t 0 b) Qual será a população daqui a cinco dias? [ Dado : (1,2)5 2,49.] aproximadamente 24.900 indivíduos ?
18 –– 5
O N I T S U A F
Por causa do declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se que, durante os próximos quatro anos, um imó vel sofrerá sofrerá desvalorização desvalorização de de 10% ao ano. a) Se hoje o valor do imóvel é R$ 200.000,00, escreva uma equação que expresse o valor V do do imóvel, em real, em função do tempo t , em ano, para os próximos quatro anos. V 200.000 (0,9) , com 0 t 4 b) Qual será seu valor daqui a quatro anos? R$ 131.220,00
x
(PUC-RS) A cada balanço anual, uma firma tem apresentado um aumento de 10% de seu capital. Considerando Q0 o seu capital inicial, a expressão que fornece esse ess e capital C , ao final de cada ano ( t ) em que essas condições permanecerem, é: alternativa a d) C C (0,1) (0,1)t a) C Q0(1,1)t (1,1)t b) C C (1,1) e) C Q0(10)t c) C Q0(0,1)t
t
(Enem) Suponha que o modelo exponencial y 3630,03 x, em que x 0 corresponde ao ano 2000, x 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando 0,3 1,35, estima-se que a populaalternativa e ção490 come 510 60 anos ou mais estará, em a) milhões. d) 2030, 810 eentre: 860 milhões. b) 550 e 620 milhões. e) 870 e 910 milhões. c) 780 e 800 milhões.
( Nota Nota: Embora não seja necessário para a resolução desse problema, informamos que a letra representa um número irracional que vale, aproximadamente, 2,718.) Resolva os exercícios complementares 6 a 10.
CRIANDO PROBLEMAS IInspirando-se nspirando-se nos exercícios propostos 24 a 27, elaborem e resolvam um problema sobre a função exponencial, que envolva uma situação do cotidiano. Resposta pessoal.
CONECTADO No gráfico da função y 2 x , construído na página 225, observamos que, percorrendo o eixo até o , o gráfico se aproxima indefinidamente desse eixo, mas sem tocá-lo. Por isso, a Ox até reta Ox é é chamada de assíntota (horizontal) do gráfico da função y 2 x . Usando o Winplot , programa de construção de gráficos já instalado no computador (veja a atividade da seção Conectado do Capítulo 6, página 165), faça o que se pede. função y p a) Construa o gráfico de uma função p 2 x , escolhendo qualquer valor real para p. Depois, determine a reta (horizontal) assíntota desse gráfico. b) Construa o gráfico de uma função y 2 x pp, escolhendo qualquer valor real para p. Em seguida, determine a reta (horizontal) assíntota desse gráfico. observações. c) Tente generalizar suas observações. Ver Suplemento com orientações para o professor .
228
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
4 Equação exponencial / K N C G I O S T E S D R Z E O T R T U H S
Em uma experiência de laboratório, uma barra de alumínio, cuja temperatura inicial era 80 °C, foi aquecida de modo que sua temperatura aumentou 50% a cada minuto até alcançar o ponto de fusão do metal. Nessas condições, podemos expressar a temperatura y da da barra, em grau Celsius, em função do tempo x , em minuto, pela equação: y 80 (1 0,5)x , ou seja, y 80 (1,5)x
Em quantos minutos, após o início do aquecimento, a temperatura da barra atingiu 607,5 °C, que é um valor abaixo do ponto de fusão? Para responder a essa questão, devemos resolver a equação: 80 (1,5)x 607,5 Os métodos de resolução desse tipo de equação, que vamos estudar a seguir, permitem deduzir que a raiz dessa equação é 5, com o que concluímos concluímos que 5 minutos após o início do aquecimento a temperatura da barra atingiu 607,5 °C. Note que essa equação possui a incógnita no expoente de uma potência de base positiva e exponencial. diferente de 1; por isso, ela é chamada de equação exponencial. Equação exponencial é toda equação que apresenta a incógnita no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Exemplos a) 5x 25
c) 2x 1 0,5 c)
b) 9x 3x 6 b)
A resolução de uma equação exponencial baseia-se na propriedade P1 das funções exponenciais, isto é, sendo a um um número real qualquer, com a 0 e a 1, temos: a x a y à x y
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 5
R
Resolver, em , a equação: 64 x 32
7
Resolução
Resolução
Decompondo em fatores primos os números 64 e 32, obtemos uma igualdade de potências de mesma base positiva e diferente de 1. 64 2 32 2
Dividindo por 5 x ambos os membros da equação, temos: 7 x 5 x 7 x V 1 5 x 5 x 5 7 0 O número 1 pode ser representado por 5 . Assim, a equação proposta é equivalente a: 7 x 7 0 V x x 0 5 5
32 2 168 2 16 V 64 26 V 32 25 82 42 42 22 22 1 1 Assim: 64 x 32 V (26) x 25 6 x 5 2 2 Pela propriedade P1 das funções exponenciais, temos: 26 x 25 V 6 x 5 5 x x 6 5 Logo, o conjunto solução da equação é: S 6 6
R
Resolver, em , a equação: 7 x 5 x
{ }
R
Resolver, em , a equação: 3 x 1
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
Portanto, o conjunto solução da equação é: S {0} 8
R
Resolver, em , a equação: 3 x 2 3 x 1 84
Resolução
3 x 2 3 x 1 84 V 3 x 32 3 x 31 84 3 x x 9 3 84 3 Fazendo a mudança de variável 3 x k , temos:
k
Resolução 0
O númeroé equivalente 1 pode ser representado proposta a 3 x 30. por 3 . Assim, a equação Pela propriedade propriedade P1 das funções exponenci exponenciais, ais, temos: x 0V 3 3 x x 0 Portanto, o conjunto solução da equação é: S {0}
9k 84 V 27k k 252 3 28k 252 V k 9 Retornamos à variável original x, substituindo k por por 3 x: 3 x 9 V 3 x 32 x 2 Logo: S {2} 229
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 28
R
b) 25
{ 43 }
125
x 5
2 x 1
c)
[ 1258 ]
d) 52 x 1 1
S
x 2
30
S {11} 2 x
[ 254 ]
e) 7 8 x
x
3
x
{ 34 }
S
Determine o conjunto dos valores reais de x que satisfazem cada uma das equações. a) 2 x 1 2 x 1 20 S {3} b) 3 x 1 3 x 2 54 S {2} c) 2 x 1 21 x x 5 0 S {1, 1}
?
S {0}
{ } f ) √w 25 √w 5
3 S 10
{ 12 }
S
a) 3 horas e 40 minutos b) 3 horas c) 3 horas e 20 minutos d) 4 horas 32
Uma região passa por um processo de êxodo rural. Por meio de uma curva de tendência, os técnicos de um instituto de Geografia e Estatística concluíram que a população P dessa dessa região, em milhar de habitantes, daqui a t 1.560 anos, pode ser estimada pela função: P (t ) 3 5 20,5t S N E G A M I U Z U
A cada dia, o organismo humano humano elimina 20% da quantidade de determinada substância presente no sangue. Um teste mostrou que, em certo momento, o sangue de um atleta apresentava 10 mg dessa substância. a) Depois de três dias, após o teste, qual q ual era a quantidade
dessa substância no sangue do atleta? 5,12 mg b) Em quanto tempo, após o teste, a quantidade dessa substância no sangue do atleta atingiu exatamente 6,4 mg? 2 dias 33
Suponha que as populações de dois vilarejos, A e B, vari em de acordo com as funç variem funções ões f (t ) 2t 2 75 e g (t ) 2 t 1 139, em que t é é o tempo, em ano, e as ex
S I / E G R O J O I G R E S
f (t ) e g (t ) representam o número de indivíduos pressões desses vilarejos, respectivamente.. respectivamente
Se o trabalho no campo não atende às necessidades mínimas de sobrevivência, o camponês se vê obrigado a procurar melhores condições de vida nas cidades.
Responda às questões a seguir. 195 mil habitantes a) Qual é a estimativa da população atual dessa região? b) Qual é a estimativa da população dessa região daqui a 1 ano? 155 mil habitantes c) Supondo que essa estimativa continue válida por tempo suficiente, daqui a quantos anos a população dessa região será estimada em 120 mil habitantes? 31
Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 1.000 bactérias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 4,096 106 bactérias por mililitro. Assim, o tempo do experimento foi de: alternativa d
Resolva, em , as equações. a) 64 x 256
29
Faça as atividades no caderno.
2 anos
(UFMG) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20 minutos. / / K R Y E R C N A O S R T S S I N I B E L I T M O A H T L C O S H P G E E V C E N T E S I C S
A bactéri bactériaa E. coli (colorizada (colorizada artificialmente e ampliada cerca de 3.000 vezes), responsável pela maioria das infecções alimentares, é uma das bactérias presentes no intestino.
a) Considerando o instante atual como instante zero, os gráficos de f (t ) e g (t ) são formados por pontos das curvas indicadas a seguir por f e e g , respectivamente (essas cur vas não não são os própri próprios os gráfic gráficos os das das funções, funções, porq porque ue f (t ) e g (t ) só podem p odem assumir valores naturais). Determinem a e b na figura, coordenadas do ponto comum a f e e g . a 5; b 203 f g b
s o u d í v i d n i e d o r e m ú N
O N I T S U A F
141
79
0
a
t (tempo (tempo em anos)
b) Daqui a quantos anos os dois vilarejos terão o mesmo
número de indivíduos? daqui a 5 anos c) Daqui a 7 anos, qual será o número de indivíduos do vilarejo A? 587 indivíduos d) Calculem a taxa média de variação de cada uma das funções f e e g , quando t varia varia de 2 a 4 anos. f 24; g 12 Resolva os exercícios complementares 11 a 13.
O que é uma curva de tendência, à qual se s e refere o exercício 30? Ver Suplemento com orientações para o professor .
230
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
CRIANDO PROBLEMAS IInspirando-se nspirando-se nos exercícios propostos 30 a 33, elaborem e resolvam um problema sobre equação exponencial que envolva uma situação do cotidiano. Resposta pessoal.
EXERCÍCIOS COMPLEMENT COMPLEMENTARES ARES
6. a) f x ( ) 4.000
1
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
[ ]
(Enem) As exportações de soja do Brasil totalizaram 4,129 milhões de toneladas no mês de julho de 2012, e registraram um aumento em relação ao mês de julho de 2011, embora tenha havido uma baixa em relação ao mês de maio de 2012. Disponível em: . Acesso em: 2 ago. 2012.
b) Esboce o gráfico da função exponencial que contém os pares ordenados ( x, f ( x x)). Ver Suplemento com 7
Em muitas situações, contamos unidades em agrupamentos denominações especiais; porem exemplo, em vez de 12com ovos, dizemos 1 dúzia de ovos; vez de 100 anos, dizemos 1 século; em vez de 1.000 metros, dizemos 1 quilômetro etc. Do mesmo modo, na contagem de átomos, elétrons, moléculas etc. é comum usar um agrupamento de 6,02 1023 unidades como uma grandeza denominada mol. Por exemplo: 6,02 1023 átomos 1 mol de átomos 6,02 1023 elétrons 1 mol de elétrons 6,02 1023 moléculas 1 mol de moléculas etc. De acordo com esse conceito, resolva o problema a seguir. Um cubo maciço de alumínio com cm de aresta é formado por 4,816 1024 átomos. Expresse, em mol, a quantidade de átomos que formam um cubo maciço de alumínio com 64 mols 2 cm de aresta. [ Nota Nota: O número 6,02 1023 é conhecido como constante de Avogadro, Avogadro, em homenagem ao f ísico Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro (1776-1856).] ?
?
?
?
?
3
Usando uma calculadora científica, obtenha um valor aproximado do expoente ao qual se deve elevar o número 10 para obter o resultado 2. 0,302 (Sugestão: Encontre esse número por tentativa.)
4
Com uma calculadora científica, sem usar as teclas que apresentam símbolo de radical, obtenha uma aproximação com quatro casas decimais para cada um dos radicais a seguir. 4 5 3 1,7321 7 1,6266 9 1,5518 a) √w b) √w c) √w
5
Com o auxílio de uma calculadora científica, calcule as potências a seguir, com a aproximação de quatro casas decimais. 2 ] √w3 1,8226 a) 3√w2 4,7288 b) [ √w c) 4 77,8802
Um biólogo constatou que, à temperatura de 1 °C, a população de uma cultura de fungos era estimada em
orientações para o professor .
Estima-se que o número de formigas de uma colônia deve dobrar a cada ano, durante alguns anos. De acordo com essa estimativa, responda aos itens a seguir, sabendo que atualmente essa colônia é formada por 10.000 indivíduos. a) Considerando os anos em que o crescimento ocorrerá segundo essa estimativa, obtenha a equação que expressa o número y de formigas dessa colônia em função do tempo x, em ano, de modo que x 0 represente o instante atual. y 10.000 2 b) Estime o número de indivíduos dessa colônia daqui a 4 meses. 12.599 indivíduos ?
?
6
?
4.000 indivíduos e que, a cada grau Celsius de aumento na temperatura, morriam 75% dos indivíduos. a) Indicando por f ( x x) a população remanescente, em milhar de indivíduos, à temperatura de x grau Celsius, escreva a equação que relaciona f ( x x) e x.
A quantidade, em quilogramas, de soja exportada pelo Brasil no mês de julho de 2012 foi de: alternativa c a) 4,129 103 c) 4,129 109 e) 4,129 1015 b) 4,129 106 d) 4,129 1012 2
Faça as atividades no caderno. 1 x 1 4
8
A pressão que a atmosfera exerce sobre a superfície terrestre é chamada de pressão atmosférica. A medida dessa
x
Limite superior da atmosfera
r a e d a n u l o C
r a e d a n u l o C
pressão sobre uma superfície depende da altitude em que se encontra essa suNível do mar perfície, pois, quanto maior a altitude, menor a coluna de Esquema sem escala. ar cuja base é essa superfície. Veja esquema acima. Uma das unidades de medida da pressão atmosférica é chamada de atmosfera (atm), que é a pressão, ao nível do mar, exercida sobre uma superfície horizontal por uma coluna vertical de mercúrio (Hg) de 76 cm de altura, cuja base é essa superfície. Ao nível do mar, a pressão atmosférica é de uma atmosfera (1 atm) e diminui 9%, aproximadamente, para cada quilômetro de aumento na altitude, até a mesopausa (90 quilômetros de altitude), quando essa regularidade deixa de valer. Supondo que esse percentual seja exato, responda às questões a seguir.
O C C E S N O S L I D A : O Ã Ç A R T S U L I
a) Obtenha uma equação que expresse a pressão atmosférica P , em atmosfera, em função da altitude h,
em quilômetro, abaixo da mesopausa. P (0,91) b) Qual é a pressão atmosférica, em atmosfera, a 5 km de altitude? 0,624 atm h
231
9
Estudando uma cultura de microrganismos, uma bióloga concluiu que no início do estudo havia 3.000 micróbios na cultura e que, após 20 minutos, havia 9.000. Sabendo que a população dessa cultura cresce exponencialmente, isto é, o número N de indivíduos em função do tempo t , em hora, é dado por N (t ) kat , em que k e e a são constantes positivas, com a 1, determine o número de indivíduos dessa cultura após 1 hora do início do estudo. 81.000 indivíduos
/ K S C H T O A T R S R R E E T D T N U A H
Os microrganismos (ou micróbios) são organismos unicelulares ou acelulares. Incluem os vírus, as
X S E L A
10
O N I T S U A F : S E Õ Ç A R T S U L I
11
?
12
bactérias, os protozoários, as algas unicelulares e algumas formas de fungos (as leveduras).
(Enem) A duração do efeito de alguns fármacos está relacionada à sua meia-vida, tempo necessário para que a quantidade original do fármaco no organismo se reduza à metade. o y A cada intervalo de m s100 i n tempo correspondente a 90 g r o a uma meia-vida, a o 80 n quantidade de fármaco o 70 c a 60 existente no organismo m r á f 50 no final do intervalo e d 40 é igual a 50% da m e 30 quantidade no início g a t n 20 desse intervalo. e c 10 r o O gráfico ao lado P representa, de forma 1 2 3 4 5 6 7 x Número de meias-vidas genérica, o que acontece Fonte: F F. . D. Fuchs e Cher I. Wannma. com a quantidade de Farmacologia clínica . Rio de Janeiro: fármaco no organismo Guanabara Koogan, 1992. p. 40. humano ao longo do tempo. A meia-vida do antibiótico amoxicilina é de 1 hora. Assim, se uma dose desse antibiótico for injetada às 12 h em um paciente, o percentual dessa dose que restará em seu organismo às 13 h 30 min será aproximadamente de: a) 10% c) 25% e) 50% alternativa d b) 15% d) 35%
(Unama-AM) Em pesquisa realizada, constatou-se que a população ( P P ) de determinada bactéria cresce segundo a expressão P (t ) 25 2 t , em que t representa representa o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário um tempo de: alternativa a a) 4 horas d) 2 horas b) 3 horas e) 1 hora c) 2 horas e 30 minutos Em um experimento foram colocados, em um mesmo recipiente, dois tipos de microrganismos, A e B, sendo que os do tipo A são predadores dos do tipo B. Fazendo a contagem dos indíviduos em vários estágios do experimento, observou-se que as quantidades de microrganismos do tipo A e do tipo B, em centena, podiam ser expressas em função do tempo, em hora, respectivamente, pelas funções f (t ) 3t 1 e g (t ) 91 t , em que t 0 representa o instante inicial do experimento. a) Calcule o número de microrganismos de cada um dos dois tipos no início do experimento. tipo A: 300 organismos; tipo B: 900 organismos b) Em quantos minutos, após o início do experimento, o número de microrganismos do tipo A se igualou ao do tipo B? após 20 minutos
13
Dois garotos brincam de telefone com duas latas ligadas por um barbante esticado. Se a voz do garoto que fala tem um nível sonoro de 50 dB (decibéis), que diminui 10% a cada metro de barbante, chegando ao ouvido do outro garoto com 32,805 dB, qual é o comprimento do barbante? 4 metros
PRÉ-REQUISITOS PARA O CAPÍTULO 10
Faça as atividades no caderno.
Responda às questões a seguir, cuja finalidade é rever os principais conceitos necessários para o desenvolvimento da teoria e das atividades do Capítulo 10. 1
2
Usando uma calculadora, se necessário, determine o expoente que deve ser atribuído à base 10 tal que a potência obtida seja: a) igual a 100; 2 c) aproximadamen aproximadamente te 3,16; 0,5 1 b) igual a ; 2 d) aproximadamente 0,63. 0,2 100 Duas importantes propriedades da potenciação no conjunto dos números reais são a x a y a x y e a x a y a x y, em que {a, b, x, y} , supondo-se
232
R
obedecidas as condições de existência. Aplicando essas propriedades, calcule 23,9 e 21,5, de acordo com os valores da tabela ao lado. 3
x
2
2,7
6,5
1,2
2,3
x
23,9 14,95; 21,5 2,83
Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado em regime de juro composto à taxa de 0,02% ao dia, acumulando ao fim da aplicação o montante de R$ 1.002,00. Calcule o tempo de aplicação. 10 dias
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Trabalhando em equipe
“Reparta seu conhecimento. É uma forma de alcançar a imortalidade.” imortalidade.” Tenzin Gyatso, 14o Dalai Lama.
Componha uma equipe com alguns colegas e discutam as seções a seguir.
ANÁLISE DA RESOLUÇÃO Um aluno resolveu o exercício conforme a reprodução a seguir. Um erro foi cometido. Apontem o erro e refaçam a resolução no caderno, corrigindo-a. Exercício
1 Determine os valores reais de m para que a equação 4 x ( m 3) 2x 0, na incógnita x, não 4 admita raiz real. ?
Resolução . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
4 x + (m – 3) · 2 x + 41 = 0
> (2 x )2 + (m – 3) · 2 x + 41 = 0
=
Substituindo 2 x por y: y 2 + (m – 3) y + 41 = 0 = (m – 3) 2 – 4 · 1 · 41 = m 2 – 6m + 8 Para não ter raiz real, o
deve ser negativo:
m 2 – 6m + 8 < 0 = (–6)2 – 4 · 1 · 8 = 36 – 32
m 3) y 1 para y 0. Para que a equação polinomial y 2 ( 4 0 possua duas raízes negativas, y 1 e y 2, devemos ter:
= 4 m 1 = 4 +6 ± 4 m = 2
m 11 = 2
Gráfico da função fu nção f (m) = m 2 – 6m +8: S A V E I N A S I L E : O Ã Ç A R T S U L I
A resolução desse aluno está incompleta. De fato, se a equação 1 m 3) y 0 não tiver raiz real, então a polinomial y 2 ( 4 1 x equação exponencial 4 y ( m 3) 2 0 também não terá 4 raiz real. Porém, há mais um caso a ser estudado, que foi esquecido pelo aluno: se as raízes da equação polinomial forem negativas, a equação não terá raiz real, pois a igualdade 2 x y y só só é possível
y 1 y y 2 0 V y 1 y y 2 0
1 4 1
0
3
m m
m ( 3)
1
0
R
1 x m 3) 2 0, com m , não admite Assim, a equação 4 x ( 4 m 4 ou m 3, ou seja, m 2. raízes reais se, e somente se, 2 m
O N I T S U A F
A equação 4 x + (m – 3) · 2 x + 41 = 0 não tem raiz real se 2 < m < 4. 233 33
Trabalhando em equipe
MATEMÁ MA TEMÁTICA TICA SEM FRONTEIRAS
Alometria Nem todas as partes de um organismo vivo têm desenvolvimentos proporcionais; por exemplo, no besouro-hércules os chifres têm crescimento relativamente maior que o de outras partes do corpo (somente os machos dessa espécie têm chifre). No ser humano, o crescimento da cabeça é menor que o das pernas, relativamente ao tronco. S N E G A M I U Z U S I / Y R A R B I L E R U T C I P E R U T A N / S U I R & N A U O J
O N I T S U A F
IDADE
Besouro-hércules, nativo das Américas Ce Central e do Sul.
5 meses
9 me meses
3 an anos
7 an anos 13 an anos 26 an anos
Crescimento relativo das partes do corpo humano.
O ramo da Biologia que estuda a relação de crescimento entre as partes de um organismo vivo, ou o crescimento de cada parte em relação ao todo, é chamado de Alometria. Uma importante equação da Alometria estabelece que, se os crescimentos x e e y de de duas partes de um organismo vivo são dados em função do tempo t , pelas equações x x (t ) e y y (t ), ), então a relação entre x e e y é é dada por x Cy k , chamada de lei de Alometria, Alometria, em que C e e k são são constantes positivas que dependem das partes relacionadas.
ATIVIDADES 1
Faça as atividades no caderno.
Suponham que, na comparação dos respectivos crescimentos x e y dos comprimentos de dois órgãos, A e B, de um animal, um cientista fez medições em momentos diferentes, obtendo a tabela: x (comprimento do órgão A)
y (comprimento do órgão B)
2 mm
16 mm
3 mm
81 mm
1a m me edição a
2 m me edição
1 4
a) Quais são as constantes C e e k na na lei de Alometria x Cy k ?
C 1 e k
b) Quais são as constantes m e n na lei de Alometria y mx n?
m 1 e n 4
c) Se o órgão A atingir 4 mm, calculem a medida correspondente do órgão B, aplicando a lei de Alometria citada no item a. 256 mm d) Se o órgão A atingir 4 mm, calculem a medida correspondente do órgão B, aplicando a lei de Alometria citada no item b. 256 mm 2
O biólogo alemão Karl Georg Lucas Christian Bergmann (1814-1865) enunciou em 1847 uma lei que ficou conhecida como lei de Bergmann. Segundo essa lei, animais que vivem em regiões frias (mais perto dos polos) têm uma tendência a ser maiores do que os que vivem em regiões quentes (mais perto do equador terrestre). Esse fenômeno é explicado pela Alometria. Resposta possível: Quanto maior o animal, menor é a razão entre a área Pesquisem na internet a explicação alométrica desse fenômeno. da superfície corporal e o volume corporal, o que determina uma menor perda de calor por unidade de massa. Por isso, animais que vivem em regiões frias tendem a ser maiores.
234
. 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
Trabalhando em equipe
CIÊNCIA E TECNOLOGIA Na abertura deste capítulo, você leu sobre a evolução tecnológica da informática. A fabricação de chips é uma área que caminha em direção à nanotecnologia. Aqui há uma dança dos números: enquanto o tamanho dos chips converge a medidas extremamente pequenas, a quantidade deles em um microprocessador é dada por números astronômicos. Agora, você e seu grupo vão pesquisar pesquisar o mundo dos números números microscópicos. microscópicos. 1. Resposta pessoal. 2. Nanotecnologia é o estudo de
materiais cujas partículas têm tamanho da ordem de nanômetros (1 milímetro é igual a 1 milhão de nanômetros). 3. Resposta pessoal. 4. Resposta pessoal. 5. Resposta pessoal. 6. Resposta pessoal. 7. Resposta pessoal. . 8 9 9 1 e d o r i e r e v e f e d 9 1 e d 0 1 6 . 9 i e L e l a n e P o g i d ó C o d 4 8 1 . t r A . a d i b i o r p o ã ç u d o r p e R
O K T C O O H T P S N E I C T N A L E I / Y C R S / A A R B G I A L N I H S I N U M U S U S
Fio de cabelo. Imagem obtida por microscopia eletrônica de varredura, colorizada artificialmente e ampliada 540 vezes, aproximadamente.
Justificativa Justificat iva A manipulação de matéria em nível atômico já tem um papel significativo em áreas tão diversas como tecnologia, medicina, computação, agronegócio, têxtil, energia, química, entre outras, e em um futuro próximo ela será imprescindível ao ser humano.
Objetivo Pesquisar o mundo microscópio e as unidades de medida a ele relacionadas.
Apresentação Painel expositivo apresentando textos e imagens ampliadas de organismos visíveis somente ao microscópio, acompanhadas acompanhadas de informações sobre suas medidas e as corresponde correspondentes ntes unidades.
Questões para pensar em grupo 1. Pesquisem e expliquem a importância do mundo microscópico. 1. microscópico. 2. O que é nanotecnologi nanotecnologia? a? 3. Que unidades de medida são adequadas a tamanhos tão t ão pequenos? Como elas se relacionam com as unidades de medida que vocês já conhecem? A notação científica é a mais útil para expressar essas relações? 4. Convém expor no painel a tabela de prefixos usados nas unidades de medida e definidos no Sistema Internacional de Unidades (SI)? 5. Onde obter as imagens ampliadas? O que convém colocar nas legendas? 6. Seria interessante acrescentar imagens de corpos visíveis a olho nu para o estabelecimento de comparações? 7. Como organizar 7. organizar no painel painel as informações informações coletadas? coletadas?
Organização do trabalho Escrevam as etapas necessárias para o desenvolvimento desse trabalho e as distribuam criteriosamente entre os elementos do grupo. Façam um cronograma para a realização do trabalho que contemple o prazo estabelecido. 235 235
View more...
Comments
