ALINA PARASCHIVA SILVIU DÃNEÞ
matematicã
Formule [i no]iuni generale clasele
V-VIII Edi]ia a II-a
CORINT
Redactare: Alice Raluca Petrescu Tehnoredactare: Andrei Cîrtoaje Coperta: Walter Riess Date despre autori: GABRIELA ALINA PARASCHIVA ⎯ profesor gradul I la Colegiul Na]ional „Gheorghe Laz\r” din Bucure[ti, coautor la auxiliare [colare pentru clasele V-VIII, autor de articole în reviste de specialitate. SILVIU D|NE} ⎯ profesor gradul II la Grupul {colar Agricol „Viaceslav Harnaj” din Bucure[ti, coautor la auxiliare [colare pentru clasele V-VIII, autor de articole în revista „Arhimede”. Referent: LILIANA FLORICA VÎJÎIANU ⎯ profesor la {coala General\ nr. 70, sector 3, Bucure[ti. Descrierea CIP a Bibliotecii Na]ionale a României PARASCHIVA, ALINA Matematic\: formule [i no]iuni generale: clasele V-VIII / Alina Paraschiva, Silviu D\ne].- Ed. a 2-a. - Bucure[ti: Corint, 2008 ISBN 978-973-135-428-6 I. D\ne], Silviu 51(075.33)(083.5)
Difuzare [i Clubul c\r]ii : Calea Plevnei nr. 145, sector 6, cod po[tal 060012, Bucure[ti Tel.: 021.319.88.22; 021.319.88.33; Fax: 021.319.88.66 E-mail:
[email protected] Magazin virtual: www.edituracorint.ro ISBN: 978-973-135-428-6 Format: 32/ 61 × 86; Coli tipo: 4 Toate drepturile asupra acestei edi]ii sunt rezervate Editurii CORINT, parte component\ a GRUPULUI EDITORAL CORINT. Tiparul executat la: FED PRINT S.A.
Prefa]\
Preg\tirea elevilor la matematic\, atât la clas\, cât [i în vederea sus]inerii unor examene [i concursuri, trebuie s\ porneasc\ de la cunoa[terea, în]elegerea [i re]inerea no]iunilor teoretice, f\r\ de care orice problem\ r\mâne o „enigm\ nerezolvat\”. Lucrarea este organizat\ în dou\ p\r]i, corespunz\toare celor dou\ ramuri ale studiului matematicii în clasele V-VIII — algebr\ [i geometrie —, [i realizeaz\ o trecere în revist\ a tuturor no]iunilor de matematic\ incluse în programa [colar\ din curriculum nucleu [i curriculum aprofundat pentru gimnaziu. No]iunile sunt structurate [i incluse în capitole, conform materiei studiate, astfel încât elevul s\ se poat\ orienta u[or [i, totodat\, s\ aib\ la dispozi]ie tot arsenalul teoretic necesar, înso]it de exemplific\ri prin câteva exerci]ii. Consider\m c\ prezenta lucrare este un auxiliar didactic util [i eficient, atât pentru elevi, cât [i pentru profesori, pentru activitatea curent\ desf\[urat\ acas\ sau în clas\, dar [i pentru examene, reu[ind s\ acopere, în totalitate, într-o form\ sintetic\, con]inuturile programei de matematic\ pentru gimnaziu.
Autorii
Cuprins P r e f a þ ã ....................................................................................... 3
ALGEBRÃ I. Mulþimea numerelor naturale ........................................ 5 1 . Operaþii cu numere naturale ...................................... 5 2 . Compararea ºi ordonarea numerelor naturale ......... 7 3 . Factor comun ............................................................... 7 4 . Puterea unui numãr natural ........................................ 8 5 . Ordinea efectuãrii operaþiilor ºi folosirea parantezelor ................................................................. 9 6 . Descompunerea numerelor naturale (în baza 10) ... 1 0 7 . Divizibilitatea ............................................................. 1 0 II. Propoziþii ºi mulþimi ....................................................... 1 3 1 . Propoziþii .................................................................... 1 3 2 . Mulþimi ....................................................................... 1 4 III. Mulþimea numerelor întregi .......................................... 1 6 1 . Noþiuni generale ........................................................ 1 6 2 . Operaþii cu numere întregi ....................................... 1 7 IV. Mulþimea numerelor raþionale ..................................... 1 9 1 . Noþiuni generale. Fracþii ........................................... 1 9 2 . Amplificarea ºi simplificarea fracþiilor ................... 2 0 3 . Aducerea fracþiilor la acelaºi numitor ..................... 2 0 4 . Opusul unei fracþii ..................................................... 2 1 5 . Operaþii cu fracþii ...................................................... 2 1 6 . Fracþii ordinare ºi fracþii zecimale ........................... 2 3 V. Mulþimea numerelor reale ............................................. 2 5 1 . Noþiuni generale ........................................................ 2 5 2 . Radicali ....................................................................... 2 5 3 . Intervale de numere reale ......................................... 2 6
125
cuprins scurt.p65
125
11/18/2004, 4:07 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
4 . Rapoarte, procente ºi proporþii ................................ 2 7 5 . Medii ........................................................................... 3 0 6 . Mãrimi proporþionale ............................................... 3 1 7 . Calcul algebric ........................................................... 3 4 VI. Ecuaþii ............................................................................... 3 7 1 . Ecuaþia de gradul întâi cu o necunoscutã ............... 3 7 2 . Ecuaþia de gradul al doilea cu o necunoscutã ........ 3 7 VII. Inecuaþia de gradul întâi cu o necunoscutã ............... 3 9 1 . Noþiuni generale ........................................................ 3 9 2 . Rezolvarea inecuaþiilor ............................................. 3 9 VIII. Ecuaþii ºi sisteme de ecuaþii de gradul întâi cu douã necunoscute ........................................................ 4 0 1 . Ecuaþii de gradul întâi cu douã necunoscute ......... 4 0 2 . Sisteme de ecuaþii de gradul întâi cu douã necunoscute ............................................................... 4 0 IX. Rezolvarea problemelor cu ajutorul
ecuaþiilor ....... 4 4
X . Funcþii ............................................................................... 4 5 1 . Noþiuni generale ........................................................ 4 5 2 . Funcþia liniarã ............................................................ 4 5
GEOMETRIE I. Unghiul .............................................................................. 5 1 1 . Noþiuni generale ........................................................ 5 1 2 . Clasificarea unghiurilor ............................................ 5 2 II. Triunghiul ......................................................................... 5 6 1 . Noþiuni generale ........................................................ 5 6 2 . Construcþia triunghiurilor ......................................... 5 6 3 . Clasificarea triunghiurilor ........................................ 5 8 4 . Linii importante în triunghi ..................................... 5 9
126
cuprins scurt.p65
126
11/18/2004, 4:07 PM
Cuprins
5 . Proprietãþi ale triunghiurilor .................................... 6 1 6 . Congruenþa ºi asemãnarea triunghiurilor ............... 6 5 7 . Rezultate importante în asemãnarea triunghiurilor ... 6 9 8 . Teoreme importante în triunghiuri oarecare .......... 7 0 9 . Teoreme importante în triunghiuri dreptunghice .. 7 3 1 0 . Rapoarte constante în triunghiurile dreptunghice (elemente de trigonometrie) .................................... 7 5 11 . Valori particulare ale funcþiilor trigonometrice ..... 7 6 1 2 . Formule pentru aria triunghiului ............................. 7 6 III. Patrulatere ....................................................................... 7 9 1 . Noþiuni generale ........................................................ 7 9 2 . Paralelogramul ........................................................... 7 9 3 . Trapezul ...................................................................... 8 3 4 . Perimetrul ºi aria patrulaterelor studiate ................. 8 4 IV. Linia mijlocie în triunghi ºi trapez .............................. 8 6 V. Cercul .................................................................................. 8 8 1 . Noþiuni generale ........................................................ 8 8 2 . Poziþii relative ale unei drepte faþã de un cerc ....... 8 9 3 . Poziþii relative a douã cercuri .................................. 9 0 4 . Unghiuri construite relativ la cerc ........................... 9 2 5 . Teoreme referitoare la arce ºi coarde ...................... 9 5 6 . Figuri geometrice înscrise în cerc ........................... 9 6 7 . Poligoane regulate ..................................................... 9 8 8 . Lungimi ºi arii întâlnite în cerc ................................ 9 9 VI. Unghiul a douã drepte în plan ºi spaþiu ................... 1 0 1 VII. Perpendicularitate în plan ºi spaþiu .......................... 1 0 4 1 . Noþiuni generale ..................................................... 1 0 4 2 . Teoreme relative la perpendicularitate ................. 1 0 4
127
cuprins scurtbis.p65
127
11/25/2004, 12:46 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
3 . Proiecþii de puncte, segmente ºi drepte ............... 1 0 5 4 . Unghi diedru; unghi plan diedru ......................... 1 0 8 5 . Teorema celor trei perpendiculare ....................... 1 0 9 VIII. Prisma ............................................................................. 111 1 . Noþiuni generale ...................................................... 111 2 . Prisma dreaptã ......................................................... 111 IX. Piramida ......................................................................... 11 4 1 . Noþiuni generale ...................................................... 11 4 2 . Piramida regulatã .................................................... 11 4 X . Trunchiul de piramidã regulatã ................................. 11 7 1 . Aria ºi volumul trunchiului de piramidã regulatã ... 11 7 2 . Cazuri particulare de trunchiuri ............................ 11 8 XI. Ariile ºi volumele corpurilor rotunde ...................... 1 2 0 1 . Cilindrul circular drept .......................................... 1 2 0 2 . Conul circular drept ............................................... 1 2 0 3 . Trunchiul de con circular drept ............................ 1 2 1 4 . Sfera ......................................................................... 1 2 1 XII. Unitãþi de mãsurã ........................................................ 1 2 2 1 . Unitãþi de mãsurã pentru lungime ........................ 1 2 2 2 . Unitãþi de mãsurã pentru arie ................................ 1 2 2 3 . Unitãþi de mãsurã pentru volum ........................... 1 2 3 4 . Unitãþi de mãsurã pentru masã ............................. 1 2 4 5 . Unitãþi de mãsurã pentru timp .............................. 1 2 4
128
cuprins scurt.p65
128
11/18/2004, 4:07 PM
Algebrã
ALGEBRÃ Capitolul I
Mulþimea numerelor naturale
Simbolurile 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se numesc cifre. Numerele scrise astfel 0, 1, 2, ..., 9, 10, 11, .... formeazã ºirul numerelor naturale. Observaþie. ªirul numerelor naturale este infinit. q = {0, 1, 2, 3, ...} mulþimea numerelor naturale. q* = {1, 2, 3, ...} = q \ {0}. Numerele naturale sunt: pare se împart exact la 2, se noteazã n = 2k, k i q; impare nu se împart exact la 2, se noteazã n = 2k + 1, k i q.
1. Operaþii cu numere naturale 1.1. Adunarea termen + termen = sumã Proprietãþile adunãrii numerelor naturale: a) Comutativitatea: a + b = b + a, µ a, b i q. b) Asociativitatea: a + (b + c) = (a + b) + c, µ a, b, c i q. c) Elementul neutru: a + 0 = 0 + a = a, µ a i q. (Numãrul natural 0 este element neutru faþã de adunare.)
1.2. Scãderea descãzut scãzãtor = diferenþã a b = c, µ a, b i q, a U b. Proba scãderii: a = b + c. 5
algebra.p65
5
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
1.3. Înmulþirea deînmulþit · înmulþitor = produs Notaþie: În loc de semnul · care simbolizeazã înmulþirea se foloseºte ºi D. Proprietãþile înmulþirii numerelor naturale: a) Comutativitatea: a · b = b · a, µ a, b i q. b) Asociativitatea: (a · b) · c = a · (b · c), µ a, b, c i q. c) Elementul neutru: a · 1 = a, µ a i q. (Numãrul natural 1 este element neutru faþã de înmulþire.) d) a · 0 = 0, µ a i q. e) Distributivitatea înmulþirii faþã de adunare: a · (b + c) = a · b + a · c, µ a, b, c i q. f) Distributivitatea înmulþirii faþã de scãdere: a · (b c) = a · b a · c, µ a, b, c i q, b > c.
1.4. Împãrþirea deîmpãrþit : împãrþitor = cât a : b = c, µ a, b i q, b
≠ 0.
Proba împãrþirii: a = b · c. Observaþie:
0 : b = 0, µ b i q, b
≠ 0.
Teorema împãrþirii cu rest Oricare ar fi numerele naturale a ºi b, b
≠
0, numite
deîmpãrþit ºi, respectiv, împãrþitor, existã douã numere naturale q ºi r, numite cât ºi, respectiv, rest, astfel încât a = b · q + r, r < b. Numerele q ºi r, determinate în aceste condiþii, sunt unice. 6
algebra.p65
6
11/18/2004, 4:15 PM
Algebrã
2. Compararea ºi ordonarea numerelor naturale Pentru orice douã numere naturale a ºi b existã una ºi numai una dintre urmãtoarele relaþii: a < b
a mai mic decât b
a = b
a egal cu b
a > b
a mai mare decât b
sau
sau
Pentru orice a, b i q avem urmãtoarele relaþii: a T b dacã ºi numai dacã a < b ºi a = b; a U b dacã ºi numai dacã a > b ºi a = b.
Egalitatea ºi inegalitatea numerelor naturale au proprietatea de tranzitivitate: Dacã a < b ºi b < c, atunci a < c, µ a, b, c i q. Dacã a T b ºi b T c, atunci a T c, µ a, b, c i q. Dacã a > b ºi b > c, atunci a > c, µ a, b, c i q. Dacã a U b ºi b U c, atunci a U c, µ a, b, c i q. Dacã a = b ºi b = c, atunci a = c, µ a, b, c i q.
Relaþiile , U sunt relaþii de ordine ºi ordoneazã numerele naturale.
3. Factor comun Pentru orice numere naturale a, b ºi c avem: a · b + a · c = a · (b + c) ºi a · b a · c = a · (b c), cu b > c. 7
algebra.p65
7
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
4. Puterea unui numãr natural Definiþii: t Se numeºte puterea a n-a a numãrului natural a n
numãrului a
a n = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ...
⋅ a , n U 2,
dat prin
a, n i q,
n ori
unde:
a se numeºte baza puterii; n se numeºte exponentul puterii.
t Operaþia matematicã prin care se obþine puterea unui numãr se numeºte ridicare la putere.
4.1. Reguli de calcul cu puteri Pentru orice a i q ºi orice m, n i q avem: 1
= a, µ a i q*;
0
= 1, µ a i q*;
1. a 2. a
3. a
m
m
4. a
· a
n
= a
n
= a
: a
m
n
5. (a ) = a
Q
=
, µ a i q*, m U n;
m·n
, µ a i q*;
= a
n
= a
D
−Q
, µ a i q*;
m n
n
6. (a · b)
7. (a : b) 8. D
m+n
n
· b , µ a, b i q*;
n
· b , µ a, b i q*;
n
n
, µ a i q*.
0
Observaþie: 0 nu se poate efectua. Definiþie: Puterea a doua a unui numãr natural se mai numeºte ºi pãtratul acelui numãr.
4.2. Compararea puterilor t Dintre douã puteri care au aceeaºi bazã, este mai mare puterea care are exponentul mai mare. a
n
> a
m
⇔ n > m, µ a i q*, n, m i q.
8
algebra.p65
8
11/18/2004, 4:15 PM
Algebrã
t Douã puteri care au aceeaºi bazã sunt egale dacã au exponenþi egali. a
n
= a
m
⇔ n = m, µ a i q*, n, m i q.
t Dintre douã puteri cu baze diferite, dar având acelaºi exponent (diferit de zero), este mai mare puterea care are baza mai mare. n
a
< b
n
⇔ a < b, µ a, b i q*, n i q*.
5. Ordinea efectuãrii operaþiilor ºi folosirea parantezelor Dacã într-o expresie existã paranteze rotunde, drepte ºi acolade, începem cu efectuarea calculelor din parantezele rotunde. Dupã efectuarea acestor calcule, parantezele drepte le transformãm în paranteze rotunde, iar acoladele în paranteze drepte ºi continuãm efectuarea calculelor din noile paranteze rotunde. În funcþie de ordinea în care se executã, celor cinci operaþii matematice cunoscute pentru numerele naturale adunarea, scãderea, înmulþirea, împãrþirea ºi ridicarea la putere li s-a alocat un ordin.
Operaþii
Ordin
Adunarea ºi scãderea
I
Înmulþirea ºi împãrþirea
II
Ridicarea la putere
III
Dacã un exerciþiu conþine operaþii de ordine diferite, se efectueazã mai întâi operaþiile de ordinul III, apoi cele de ordinul II ºi, în final, cele de ordinul I. 9
algebra.p65
9
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
6. Descompunerea numerelor naturale (în baza 10)
ab = a ⋅ 101 + b ⋅ 100 abc = a ⋅ 102 + b ⋅ 101 + c ⋅ 100 abcd = a ⋅ 103 + b ⋅ 102 + c ⋅ 101 + d ⋅ 100 unde a, b, c, d sunt cifre, a ≠ 0. Observaþie: Orice numãr natural se poate descompune dupã modelul de mai sus.
7. Divizibilitatea 7.1. Noþiuni generale Definiþie: Un numãr natural a este divizibil cu b, dacã existã un numãr natural c astfel încât a = b · c. Numãrul a se numeºte multiplu de b, iar b se numeºte divizor al lui a. Notaþie:
D
#E
Se citeºte: a se divide cu b
sau b | a
b îl divide pe a
Proprietãþile divizibilitãþii:
M a, µ a i q. M b ºi b M a, atunci a = b, µ a, b i q. 3. Tranzitivitatea: dacã a M b ºi b M c, atunci a M c, µ a, b, c i q. 4. a M 1, µ a i q. 5. 0 M a, µ a i q. 6. Dacã a M b ºi c M b, atunci D ± F # E , µ a, b, c i q. 7. Dacã a M b, atunci (a · c) M b, µ a, b, c i q. 8. Dacã a M b ºi a M c, atunci a M (b · c), µ a, b, c i q.
1. Reflexivitatea: a
2. Antisimetria: dacã a
10
algebra.p65
10
11/18/2004, 4:15 PM
Algebrã
7.2. Criterii de divizibilitate ² Un numãr natural este divizibil cu 2, dacã ºi numai dacã ultima cifrã a numãrului este o cifrã parã: 0, 2, 4, 6 ºi 8. ² Un numãr natural este divizibil cu 5, dacã ºi numai dacã ultima cifrã a numãrului este 0 sau 5. ² Un numãr natural este divizibil cu 10, dacã ºi numai dacã ultima cifrã este 0. ² Un numãr natural este divizibil cu 3 (sau 9), dacã ºi numai dacã suma cifrelor numãrului este multiplu de 3 (sau 9).
7.3. Numere prime ºi numere compuse Definiþii: t Spunem cã un numãr este prim dacã are ca divizori pe 1 ºi pe el însuºi. t Un numãr care are mai mult de doi divizori se numeºte numãr compus.
Cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) Definiþie: Spunem cã d este cel mai mare divizor comun a douã numere naturale a ºi b dacã: a) d | a; b) d | b;
′
c) orice alt divizor comun d al acelor numere este divizor ºi pentru d. QRW
Notaþie: d = c.m.m.d.c.(a, b)
=
(a, b).
Observaþie: C.m.m.d.c. se aflã astfel: I. Se descompun numerele a ºi b în produs de factori primi. II. Se înmulþesc factorii primi comuni, scriºi o singurã datã, la puterile cele mai mici. 11
algebra.p65
11
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
Exemplu: Calculãm (300, 225). I.
2
300 = 2
2
· 3 · 5
II. (300, 225) = 5
2
225 = 3
2
2
· 5
· 3 = 75.
Definiþie: Douã numere se numesc prime între ele dacã cel mai mare divizor comun al lor este 1.
Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) Definiþie: Spunem cã m este cel mai mic multiplu comun a douã numere naturale a ºi b dacã: a) a | m; b) b | m;
′
c) orice alt multiplu comun nenul m al acelor numere este multiplu al lui m. QRW
Notaþie: P
= F P P P F D E = >D E@ .
Observaþie: C.m.m.m.c se aflã astfel: I. Se descompun numerele a ºi b în produs de factori primi. II. Se înmulþesc factorii primi comuni ºi necomuni, scriºi o singurã datã, la puterile cele mai mari. Exemplu: Calculãm [320, 165]. I.
6
320 = 2
· 5
II. [320, 165] = 2
165 = 3 · 5 · 11 6
· 3 · 5 · 11 = 10 560.
12
algebra.p65
12
11/18/2004, 4:15 PM
Algebrã
Capitolul II
Propoziþii ºi mulþimi 1. Propoziþii Definiþie: O propoziþie este un enunþ care este ori fals ori adevãrat.
1.1. Valoarea de adevãr a unei propoziþii Dacã o propoziþie este adevãratã spunem cã ea are valoarea de adevãr adevãrul ºi o notãm cu A; dacã o propoziþie este falsã spunem cã are valoare de adevãr falsul ºi o notãm cu F.
1.2. Propoziþii compuse Dacã p ºi q sunt douã propoziþii, atunci putem obþine urmãtoarele propoziþii compuse: p ºi q, p sau q,
⎤p.
1. p ºi q Propoziþia p ºi q este adevãratã când propoziþiile p ºi q sunt adevãrate.
p
q
p ºi q
A
A
A
A
F
F
F
A
F
F
F
F
p
q
p sau q
A
A
A
A
F
A
F
A
A
F
F
F
2. p sau q Propoziþia p sau q este adevãratã dacã cel puþin una dintre propoziþiile p sau q este adevãratã.
3.
⎤p (se citeºte non p) ⎤p este falsã atunci când
p
Propoziþia
p este adevãratã ºi adevãratã atunci când p este falsã.
⎤p
A
F
F
A 13
algebra.p65
13
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
2. Mulþimi 2.1. Noþiuni generale O mulþime este bine precizatã când se cunosc obiectele din care este constituitã. Dacã A este o mulþime, pentru orice obiect x avem numai una dintre situaþiile x i A sau aparþine, iar
∉
[
∉$,
unde i înseamnã
înseamnã nu aparþine.
Observaþie: Mulþimea fãrã nici un element se numeºte mulþimea vidã ºi se noteazã cu
∅.
Exemple de mulþimi: A = {a, b, c, d | a, b, c, d i q}; 2
B = {1, a, a , a
3
| a i q};
q = {0, 1, 2, ...}; q* = {1, 2, 3, ...} = q \ {0}.
2.2. Cardinalul unei mulþimi Definiþii: t Dacã numãrul de elemente al unei mulþimi se poate exprima printr-un numãr natural, spunem cã mulþimea este finitã. Dacã nu, atunci spunem cã mulþimea este infinitã. t Numãrul natural care exprimã numãrul de elemente al unei mulþimi finite se numeºte cardinalul mulþimii. Notaþie: Cardinalul mulþimii A se noteazã cardA sau | A |. Observaþie:
∅ = .
14
algebra.p65
14
11/18/2004, 4:15 PM
Algebrã
2.3. Relaþii între mulþimii Fie A ºi B douã mulþimi. 1. Egalitatea A = B dacã cele douã mulþimi au aceleaºi elemente. Se citeºte: A egal cu B. 2. Incluziunea A
⊂ B dacã orice element din A se gãseºte ºi în B.
Se citeºte: A inclus în B. 3. Reuniunea A N B = {x | x i A sau x i B}. Se citeºte: A reunit cu B. 4. Intersecþia A O B = {x | x i A ºi x i B}. Se citeºte: A intersectat cu B. 5. Diferenþa A \ B = {x | x i A ºi x
∉ B}.
Se citeºte: A fãrã B. 6. Produsul cartezian A D B = {(x, y) | x i A ºi y i B}.
15
algebra.p65
15
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
Capitolul III
Mulþimea numerelor întregi
1. Noþiuni generale t Mulþimea numerelor întregi este m = {..., n, ..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, ..., n, ...} t m* = m \ {0} Avem incluziunea: q
⊂ m.
1.1. Opusul unui numãr întreg Definiþie: Opusul unui numãr întreg a se noteazã a. Observaþie:
Dacã a > 0, atunci a < 0. Dacã a < 0, atunci a > 0.
1.2. Modulul unui numãr întreg Definiþie: Modulul sau valoarea absolutã a unui numãr
întreg a este
D
⎧D GDF ⎪ = ⎨ GDF ⎪−D GDF ⎩
D
> =.
D
, atunci fracþia se numeºte supraunitarã ºi
E
are loc relaþia a > b. 2. Dacã
D
< , atunci fracþia se numeºte subunitarã ºi are
E
loc relaþia a < b. 3. Dacã
D E
= , atunci fracþia se numeºte echiunitarã ºi
are loc relaþia a = b. Definiþie: Douã fracþii
D E
ºi
F G
cu a, b, c, d i q, sunt
echivalente sau egale dacã ºi numai dacã a · d = b · c. Se scrie:
D E
=
F G
⇔ D⋅G = E⋅F . 19
algebra.p65
19
11/18/2004, 4:15 PM
Matematicã: formule ºi noþiuni generale clasele V-VIII
2. Amplificarea ºi simplificarea fracþiilor Definiþii: t A amplifica o fracþie înseamnã a înmulþi ºi numãrãtorul ºi numitorul acesteia cu un numãr diferit de 0.
Exemplu:
=
.
t A simplifica o fracþie înseamnã a împãrþi ºi numãrãtorul ºi numitorul acesteia cu un divizor comun al lor.
Exemplu:
=
.
t Fracþia ireductibilã este o fracþie care are numãrãtorul ºi numitorul numere prime între ele.
3. Aducerea fracþiilor la acelaºi numitor Pentru a aduce douã sau mai multe fracþii la acelaºi numitor, adicã la cel mai mic numitor comun, procedãm astfel: 1. Aflãm cel mai mic numitor comun, care este, de fapt, c.m.m.m.c al numitorilor. 2. Împãrþim numitorul comun la numitorul fiecãrei fracþii ºi amplificãm fracþia respectivã cu câtul obþinut.
Exemplu: Aducem la acelaºi numitor fracþiile
[
18)
3 25
]=
25) ,
7 , 18
,
ºi
.
⋅ ⋅ =
6)
1 75
ºi obþinem
,
ºi
.
20
algebra.p65
20
11/18/2004, 4:15 PM
