Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)
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Matematica in Brazilia (Teorie Si Probleme Rezolvate)...
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Triângulo Triângulo É a figura geométrica determinada por três segmentos de reta consecutivos, isto é, cujos extremos são coincidentes dois a dois. A y α x B
β
θ z
O ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos que não lhe são adjacentes. x = α + θ y = β + θ z = α + β
Condição de existência C
Ângulos internos α, β e θ
Ângulos externos x, y e z
n
m p
Para existir um triângulo, é necessário que qualquer lado seja menor que a soma e maior que o módulo da diferença dos outros dois. m – n < p < m + n m – p < n < m + p p – n < m < p + n
Lados AB = m; AC = n; BC = p
Soma dos ângulos internos α + β + θ = 180°
Num triângulo, o maior lado opõe-se ao maior ângulo.
Soma dos ângulos externos x + y + z = 360º
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
1
Classifcação dos triângulos Isósceles Dois lados iguais e dois ângulos iguais (os ângulos iguais não são formados pelos lados iguais). A
Quanto aos ângulos Acutângulo
B
Todos os ângulos internos são agudos. A
B
C
AB = AC ^ B =^ C C
Equilátero Três lados com medidas iguais e três ângulos iguais a 60°. A
Retângulo Tem um ângulo interno igual a 90°. C
B B
A AC, AB → catetos BC → hipotenusa
Tem um ângulo interno obtuso e dois agudos. A
B
Ceviana É qualquer reta que parte de um vértice do triângulo e encontra o lado oposto ou seu prolongamento. As principais cevianas são: a) Altura (h) – segmento da perpendicular traçada de um vértice sobre o lado oposto.
C
Quanto aos lados
b) Mediana (m) – segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Escalenos Todos os lados e ângulos com medidas diferentes. A
2
AB = AC = BC ^ A =^ B= ^ C
Cevianas principais do triângulo
Obtusângulo
B
C
c) Bissetriz interna (βa) – segmento da bissetriz de um ângulo limitado pelo vértice e pelo ponto de interseção com o lado oposto. d) Bissetriz externa (β’a) – segmento da bissetriz de um ângulo externo limitado pelo vértice e pelo ponto de interseção com o lado oposto.
C 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
Ortocentro
A
ha
ma
βa
B
C
HJM a/2 a
As três alturas de um triângulo concorrem em um único ponto denominado ortocentro do triângulo. A H3 ha H2 H hb hc
a/2 B
H1
C
AH = ha AM = ma AJ = βa AJ’ =β’a A ma B
M
C
ha H
β’a J’
O ortocentro do triângulo retângulo coincide com o vértice do ângulo reto. C hc ≡ b ha B H ≡ A hb ≡ c
Incentro Um triângulo possui 3 alturas, 3 medianas, 3 bissetrizes internas e 3 bissetrizes externas.
As três bissetrizes internas de um triângulo concorrem, em um único ponto, equidistantes dos três lados do triângulo, denominado incentro. A Q R B
PJ
C
Todo triângulo retângulo de ângulos agudos, valendo 30º e 60º, tem a seguinte relação:
√3
30º
I
2
/2 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
O incentro é o centro do círculo inscrito no triângulo.
60º
3
Baricentro As três medianas de um triângulo concorrem em um único ponto denominado baricentro ou centro de gravidade do triângulo. A N P G B
M
C
M, N e P = Pontos médios de BC, AC, AB respectivamente.
No caso: Â = 90° O = ponto médio da hipotenusa BC – circuncentro
Congruência de triângulos Dois triângulos são congruentes quando superpomos um ao outro e eles coincidem no valor dos lados e dos ângulos. Logo, lados congruentes e ângulos congruentes. A
A’
Propriedades O baricentro fica situado sobre cada mediana, a 2/3 do vértice e a 1/3 do seu pé. (ponto médio do lado oposto) GM = x AG = 2x GN = y BG = 2y GP = z CG = 2z
Circuncentro As mediatrizes dos lados de um triângulo concorrem em um único ponto denominado circuncentro do triângulo. m2 A m3
B
C m1
B’
C’
^ A =^ a ^ B =^ b ^ C =^ c
AB = A’B’ AC = A’C’ BC = B’C’
Casos de congruência LAL (lado-ângulo-lado) Dois triângulos são congruentes, quando possuem dois lados e o ângulo formado entre eles congruentes. A
A’
C
R o R R B
C
B
C’
B’
AC ≡ A’C’ AB ≡ A’B’ ^ A ≡^ A
ALA (ângulo- lado-ângulo) Dois triângulos são congruentes, quando possuem dois ângulos e o lado adjacente a eles congruentes. A’
A
O circuncentro é o centro do círculo circunscrito ao triângulo. A B 4
O
C
C
^ C ≡^ C BC ≡ B’C’ ^ B ≡^ B
B
C’
B’ 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
LLL (lado-lado-lado) Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados congruentes. A
A’
C
1.º Caso:
C’
B
Casos de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois pares de ângulos respectivamente iguais.
B’
AC ≡ A’C’ AB ≡ A’B’ BC ≡ B’C’
α
θ
≈
θ
α
LAAo (lado-ângulo-ângulo oposto)
2.º Caso:
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto ao lado dado congruentes.
Dois triângulos são semelhantes quando possuem três lados homólogos proporcionais.
A’
A
c
b
k.c
≈
K.b k.a
a
C
B
C’
B’
^ A ≡^ A AB ≡ A’B’ ^ C ≡^ C
3.º Caso: Dois triângulos são semelhantes quando possuem dois pares de lados homólogos proporcionais e os ângulos entre eles iguais.
Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes quando possuem três ângulos congruentes, por consequência os lados opostos aos ângulos serão proporcionais, como também as cevianas. A
b
k.b
α
a
α
k.a
Triângulos retângulos
A’
≈ C
C’
B
H
H’
B’
^ A =^ A’,^ B =^ B’,^ C =^ C’ AB A ' B'
=
AC A ' C'
=
BC B' C'
=
AH A'H'
K é a razão de semelhança.
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
= K
m
n a
5
Como + = 90°, podemos observar que na figura temos três triângulos semelhantes. AC = b cateto AB = c cateto BC = a hipotenusa AH = h altura BH = m projeção de AB sobre BC HC = n projeção de AC sobre BC
Importante observarmos que, além dos triângulos pitagó- ricos citados, existem aqueles que são proporcionais.
Assim você pode afrmar que existem infnitos triângulos pitagóricos, dentre os proporcionais e os não-propor- cionais.
Principais fórmulas: b2 = n . a
Aplicações importantes
c2 = m . a h2 = m . n
Diagonal do quadrado
a.h=b.c a2 = b2 + c2
As fórmulas são demonstradas por semelhança de triângulos: (b2 = n . a): AHC ABC b = n (Usamos os a b lados opostos de 90° e ) •
•
•
•
•
c = m (Usamos os ABH ABC a c lados opostos aos ângulos de 90° e ) (h2 = m . n): ABH AHC h = m (Usamos os n n lados opostos aos ângulos e ) (a . h = b . c): AHC ABC b = h (Usamos os a c lados opostos aos ângulos de 90° e ) (c2 = m . a):
d2 = 2+ 2 d2 = 2 2 d2 = 2
b2+c2=ma+na b2+c2=a (m+n)
2
d=
Altura do triângulo equilátero A
h B
C
2
(a2 = b2 + c2) – Destacando as duas primeiras fórmulas temos:
2
b2 = n . a c2 = m . a
2
2
2
=h
2
+ 2
=h + 2
b2+c2=a2
2
4
;
;
3
2
−
2
2
4
= h 2 ; h=
2
= h2
4
h
=
3
2
4
3
2
Os triângulos retângulos cujos lados têm valores inteiros são conhecidos como pitagóricos. `
Exemplo:
1. Na gura, AB = BC = C D, calcule y em função de x. y
D
6
C
B
A
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`
A
Solução:
C
y
E
2x
D
2x
α
B
A
B
D
C
y: ângulo externo do Δ DCA, logo: `
y = β + 2x
Solução: ^ +D B ^C - ângulo externo do Δ ABD, logo: B ^ A = A D AD ^C. AD
y = 3x
2. No triângulo retângulo ABC da gura, reto no vértice A, determine o valor do ângulo formado pela altura e a B = 50°. mediana que sai de A, dado ^
A
30º
A
α B
`
50º H
C
M
B
θ
Solução:
α + α + θ = θ + 30º
A mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da hipotenusa.
2α = 30º
A
α 40º B
50º 80º H M
40º
C
α + θ E α+θ θ α C
D
α = 15º
4. Dois navios partem de um mesmo ponto com veloci dades iguais a V A= 15Km/h às 14 horas e V B= 60Km/h às 20 horas, formando entre si dimensões cujo ângulo é de 60°. Qual a distância que separa os navios às 22 horas do mesmo dia?
^ = 90 o A
A
^ + C ^ = 90 o B
60º
^ 90 o 50 + C =
B
^ = 40 ° C
Como: AM = MC ^B = 80º AM
Solução:
α+ 90º + 80º = 180º
ΔS = V A . Δt A =
α = 10º
15Km/h . (22h – 14h) =
3. Na gura AB = ACe AE = AD. Calcule o valor do ângulo ^D vale 30°. C^ DE, se B A 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
`
15km/h . 8h =
ΔS A = 120Km
7
S = V B . Δt B =
M e N são pontos médios, logo I é baricentro. Como AM = BM = 12, temos 3x = 12 → x = 4.
60Km/h . (22h – 20h) =
Como o triângulo é retângulo, o ortocentro é o vértice A, assim a distância de A até I vale 8cm.
60Km . 2h =
ΔS B = 120Km Obtemos 2 lados iguais formando um ângulo de 60º, logo o triângulo equilátero é d = 120Km. 120Km
7.
Calcule o comprimento da circunferência inscrita num triângulo retângulo isósceles, cuja distância do vértice do ângulo ao incentro mede 4cm.
`
Solução:
B
60º
d = 120Km
120Km
I
M
5. A hipotenusa do triângulo retângulo ABC, reto em  vale 30cm. Sendo M e N pontos médios de BC e AC, calcule AP.
r
A
C
N
I - Incentro
B
AI = 4 AMIN – quadrado M
AI - diagonal
P
AI = r 2
A
C
N
r =
4
4 = r 2
= 2 2 , o compriment o da circunferê ncia é dado por :
2 `
Solução:
C = 2 πr = 4 2 π
Como AM = BM = MC, tem-se:
8. Pretende-se construir um posto policial num ponto p, situado à mesma distância de três casas em uma área plana de um condomínio. Em geometria, este ponto p é conhecido com o nome de:
B 15 P 2x A
M x
a)
15
baricentro.
b) ortocentro. C
N
c) circuncentro.
3x = 15
AP = 2x
d) incentro.
x = 5
AP = 10cm
e) ex-incentro.
6. Num triângulo retângulo de hipotenusa medindo 24cm, calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro.
`
Solução: A
`
Solução: A R l x B
8
12
M
P
R
N
2x
R
B 12
C A, B e C = Casas
C
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
O ponto de encontro das mediatrizes é o centro do cír- culo circunscrito, chamado circuncentro. Assim, o posto policial deve fcar neste ponto, pois a distância dele até as casas serão iguais ao raio.
11. No retângulo ABCD da gura, AMB é triângulo equilá tero. Sabendo que AB= 18cm, calcule AE.
9. Na gura, A, B e C medem 45º. Se AF = 20cm, calcule BC.
C
E
A
C D
`
F
E
B
M
D
B
Solução:
A
9
D
θ
M α
E `
Solução: A
B
y E x A
y
BE = FE = Y
x = 6cm.
Logo, os triângulos AFE e BCE são côngruos pelo caso lado-ângulo-lado, então AF = BC = 20cm.
10. Calcule o segmento AB da gura, dado: ^ = A^ BD= C D. 3m e D AB
CD =
9m,
A
AE = 2x = 2 . 6 = 12cm.
12. A cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse um determinado nível. Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráco consumo (em kWh) x preço (em R$) foi o apresentado a seguir.
α
α
`
D
B
R$ 2 250
Solução:
1 750
1 250
A
750
250
α
x
50 100 150 θ
α
C
9
a)
B
D 3
Os triângulos ABC e ABD são semelhantes, assim: A
α
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
θ
α
12
`
x
B
θ
D
3
B
200
kWh
Determine entre que valores de consumo, em kWh, é cobrada a taxa mínima.
b) Determine o consumo correspondente à taxa de R$1.950,00.
A x
C
B
Como os triângulos DME e ABE são semelhantes na 9 1 razão = , temos ME = x e AE = 2x, logo 18 2 x + 2x = 18cm
AE = CE = x
C
α
18
AB = AM = 18
D
F
θ
Solução: a) Na parte inicial onde o gráfco é constante de 0 a 50kWh.
9
14. Calcule o segmento AB na gura, se a reta s tangencia as circunferências de raio 9cm e 4cm nos pontos A e B, respectivamente.
b) R$ 2 250 1 950
A 0 1 500
750
x – 100 100
x −100 100
=
B
0 2 1
x 200 100
O2 O1
kWh `
1 200 1 500
Solução: O 1 e O 2 são centros, logo O 1O 2 = 9 + 4 = 13cm.
x – 100 = 80 x = 180kWh
13. A gura ABCD é um quadrado de lado 2cm e ACE um triângulo equilátero. Calcule a distância entre os vértices B e E.
= 9 +4
Pelo triângulo retângulo formado: 13 2 = x 2 + 5 2 , x = 12cm.
`
15. Calcule o raio do círculo, se o quadrado ABCD tem 1m de lado.
Solução:
= IQ 2 dQ = 2 2 dQ = T = 2
`
dQ
h T hT x
= = =
r
2
t 3 2
1- r
1- r
2 2. 3 2
Solução:
=
r 2 = (1 – r)2 + (1 – r)2 6
r 2 = 1 – 2r + r 2 + 1 – 2r + r 2 r 2 – 4r + 2 = 0
2 2 6. − 2
r = x
=
6
−
2 + 2 2 – 2
2
Como r < 1 a resposta será r = (2 – 2 ).
10
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
16. (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo: “Às folhas tantas do livro matemático um quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma incógnita. Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do ápice à base: uma gura ímpar; olhos romboides, boca trapezoide, corpo octogonal, seios esferoides. Fez da sua uma vida paralela à dela, Até que se encontraram no innito. “Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical. “Sou a soma do quadrado dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.”
2. Na gura, AB = AC e AE = AD. A
30º E B
3.
C
D
Calcule o valor de . Na gura, ABC é equilátero e o triângulo CDB é isós celes. A C
x
(Millôr Fernandes. Trinta anos de mim mesmo.)
A incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte resposta: a) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.” b) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.” c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
y B
D
Calcule o valor de 2x + y. CD = x B^ A ^ BD=y 4. Determine a medida do ângulo do vértice A do triângulo isósceles ABC, sabendo que os segmentos BC, CD, DE, EF, FA são congruentes. ( AB = AC) A
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.” `
F
Solução: D E
D
1. No triângulo ABC da gura, calcule y. A
F B
C
5. Na gura, determine a medida do ângulo em função de m.
y
A E
C C
x D 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
B
AB = AC CD = CE
BÂC = 80º
B
D
^ = 3m A ^D = BC ^ B = 2m ^ = m D
11
6. Na gura abaixo, r é a bissetriz do ângulo ABC. B
9. (UFJF) No triângulo ABC, BÂC = 80°. Qual a medida do ângulo agudo entre as bissetrizes dos ângulos internos em B e C? a)
y
35º
b) 40º A
C
r
Se = 40º e = 30º , então: a) y = 0º
c)
50º
d)
65º
e)
100º
10. (UFMG) Observe a gura:
b) y = 5º
D
c) y = 35º d) y = 15º
y
e) os dados são insucientes para determinação de y.
7.
Dado o triângulo ABC, abaixo indicado, construímos a poligonal L = BCB1C1B2C2B3C3... C
b C3 A
C
B
a
Nessa gura, o valor de 3y – x, em graus, é: 60º
B2
60º
60º
B1
60º
B
c
a) 8
b)
10
c) 12
O comprimento de L é: a) 2c b) a + b + c
d)
16
e)
18
11. (UFF) NA gura a seguir, tem-se que: AB = AC e AP = PC = CB.
c) 2(a + b)
8.
x
A
C1
C2 B3
x 36º
d) 2(a + c) 2 –c e) a + 2 Na gura abaixo, AB = AC, O é o ponto de encontro das bissetrizes do triângulo ABC, e o ângulo BÔC é o triplo do ângulo Â. A
B P
A
C
O ângulo mede: a) 20°
O
b) 25° c) 36°
B
Então, a medida de  é: a) 18º
b) 12º c) 24º d) 36º 12
e)
15º
C
d) 40° e) 42°
12. (Fuvest) Num triângulo ABC, os ângulos B^e ^ C medem 50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A forma com a reta BC ângulos proporcionais a: a)
1e2
b) 2 e 3
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16. Na gura, M é o ponto médio de AB e ao AC.
c) 3 e 4 d) 4 e 5
paralelo
C
e) 5 e 6
13. A soma das distâncias do ponto P aos vértices do triângulo da gura pode ser igual a:
P
O
6 P
8
10 a) 10
A
M
B
Sabendo que BC= 24cm, calcule OP. 17. Calcule a distância entre o ortocentro e o baricentro de um triângulo retângulo de hipotenusa igual a 90cm.
18. Determine a distância do circuncentro ao baricentro em um triângulo retângulo de hipotenusa 60cm.
b) 12 c) 13 d)
MP é
19. Determine a distância do ortocentro ao circuncentro em um triângulo retângulo de hipotenusa 30cm.
9
e) 11,9
20. (UFSE) Na gura, são dados AC= 8cm e
CD = 4cm.
14. Pedrinho observou que em seu condomínio, a sua casa, a casa do seu avô e a casa do seu primo, poderiam ser os vértices de um triângulo. Sabendo que a distância da casa de Pedrinho para a do seu avô e a do seu primo são, respectivamente 10m e 15m, ele pretende saber se com um barbante de 4m será possível o avô e o primo segurarem as extremidades, estando cada um em sua casa. 15. Classique em verdadeiro (V) ou falso (F). a) (
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
) Os pontos notáveis de um triângulo equiláte ro são coincidentes.
b) (
) Os pontos notáveis de um triângulo isósceles são colineares.
c) (
) Circuncentro de um triângulo é o ponto equidistante dos três vértices do triângulo.
d) (
) Incentro de um triângulo é um ponto equidis tante dos três lados do triângulo.
e) (
) Ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das três bissetrizes internas.
f) (
) O baricentro de um triângulo retângulo coin cide com o ponto médio da hipotenusa.
g) (
) O baricentro de um triângulo é um dos pontos que divide cada mediana em três segmentos congruentes.
A medida de BDé , em cm: a) 9
b)
10
c) 12 d)
15
e)
16
21. (UFPA) Na gura, AB= 15, AD= 12 e
CD = 4.
13
Sendo ECp aralela à AB, qual o valor de EC?
24. (Fuvest) Dados:
a) 1
b) 2 c) 3 d) 4 e)
5
22. (UCMG) A medida, em metros, do segmento AD da gura é de: MBC = BAC AB = 3 BC = 2 AC = 4
Então MC: a) 3,5 b) 2 c) 1,5 d)
23. (F.C.CHAGAS) Na gura abaixo, são dados: ABC = EDC, ED = 2,5cm, AB = 6cm, BC = 9cm e AC = 12cm.
Se os triângulos da gura são semelhantes, o perímetro do triângulo EDC é, em centímetros: a) 11,25
1
e) 0,5
25. (Unesp) Na gura, B é um ponto do segmento de reta AC e os ângulos DAB, DBE e BCE são retos.
b) 11,50
Se AD = 6dm, AC = 11dm e possíveis de AB, em dm, são: a) 4,5 e 6,5
c) 11,75
b) 7,5 e 3,5
d) 12,25
c) 2 e 9
e) 12,50
d) 7 e 4
EC =
3dm, as medidas
e) 8 e 3
14
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
26. (Fuvest) Na gura, o triângulo ABC é retângulo em A, ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3.
Quanto mede o lado do quadrado? a) 0,70 c) 0,80
A distância do chão aos olhos do observador é 1,8m e PQ = 61,6m. O comprimento da parte do para-raios que o observador não consegue avistar é: a) 16m
d) 0,85
b) 12m
e) 0,90
c) 8m
b) 0,75
27. (UNI-RIO) Numa cidade do interior à noite, surgiu um objeto voador não-identicado em forma de disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um he licóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a gura.
d) 6m e) 3m
29. (UFRJ) Um automóvel de 4,5m de comprimento é re presentado, em escala, por um modelo de 3cm de com primento. Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala, uma casa de 3,75m de altura. 30. Considere os três quadrados da gura e calcule x.
Sendo assim, pode-se armar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0
28. (UFF) Um prédio com a forma de um paralelepípedo retângulo tem 48m de altura. No centro da cobertura desse prédio e perpendicularmente a essa cobertura, está instalado um para-raios. No ponto Q sobre a reta r que passa pelo centro da base do prédio e é perpendi cular a MN – está um observador que avista somente uma parte do para-raios (ver a gura). 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
31. (UFRJ) A cada usuário de energia elétrica é cobrada uma taxa mensal de acordo com o seu consumo no período, desde que esse consumo ultrapasse um de terminado nível. Caso contrário, o consumidor deve pagar uma taxa mínima referente a custos de manutenção. Em certo mês, o gráco consumo (em kWh) X preço (em R$) foi o apresentado a seguir.
15
d)
Raio = x a)
determine entre que valores de consumo em kWh é cobrada a taxa mínima.
b) determine o consumo correspondente à taxa de R$1.950,00.
32. Determine x nas guras abaixo: a)
AB
=
8
CD
=
18
AD
=
BC
33. (UFRJ) Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2p são vértices de um quadrado de pe rímetro: p 2 4 p 2 b) 2 c) p 2 a)
d) 2p 2 AC
=x
Raio = 3cm b)
BD
=x
Raio = 2cm c)
e) 4p 2
34. (Fuvest) A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda exatamente os cigarros como na gura.
Se o raio dos cigarros é r, as dimensões do retângulo são: a) 14r e 2r(1 + 3 ) b) 7r e 3r c) 14r e 6r d) 14r e 3r
Raios = 10cm
e) (2 + 3 3 )r e 2r 3 35. (Unirio) As rodas de uma bicicleta, de modelo antigo, têm diâmetro de 110cm e de 30cm e seus centros distam 202cm. A distância entre os pontos de contacto das rodas com o chão é igual a: a)
198cm
b) 184cm 16
c) 172cm
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
d) 160cm e) 145cm
36. (Cesgranrio) 15 toras de madeira de 1,5m de diâmetro são empilhadas segundo a gura a seguir.
39. (Unirio) Os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que o perímetro mede 57cm, podemos afirmar que o maior cateto mede: a)
17cm
b) 19cm c) 20cm d) 23cm e) 27cm
Calcule a altura da pilha. 37. (Unirio) Na gura abaixo, determine o perímetro do triângulo ABC.
38. (UFF) A gura abaixo representa o quadrado MNPQ de lado = 4cm.
40. (Cesgranrio) No retângulo ABCD de lados AB = 4 e BC = 3 ,o segmento DM é perpendicular à diagonal AC .
O segmento AM mede: a) 3/2 b) 12/5 c) 5/2 d) 9/5 e) 2
41. (UFF) Duas réguas de madeira, MN e PQ , com 8cm cada, estão ligadas em suas extremidades por dois os, formando o retângulo MNPQ (g. 1). Mantendo-se xa a régua MN e girando-se 180º a régua PQ em torno do seu ponto médio, sem alterar os comprimentos dos os, obtêm-se dois triângulos congruentes, MNO e QPO (g. 2). Sabendo que os retângulos NXYZ e JKLQ são congruentes, o valor da medida do segmento K é: 3 cm a) 2 b) 2 3cm c) 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
d)
2 cm 2 2 cm
e) 2 2cm
Calcule a distância entre as duas réguas nessa nova posição. 17
42. (PUC) A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 17cm. A diferença entre os comprimentos dos dois ou tros lados é de 7cm. Qual é o perímetro do triângulo? a)
38cm
b) (17 + 20 2 )cm
c) 22 d) 24 e) 26
46. (Cesgranrio) Na gura abaixo, as quatro circunferências internas têm raio R.
c) 40cm d) (17 + 10 2 )cm e) 47cm
43. (Unicado) Numa circunferência de 16cm de diâme tro, uma corda AB é projetada ortogonalmente sobre o diâmetro BC . Sabendo-se que a referida projeção mede 4cm, a medida de AB , em cm, é igual a: a) 6
b)
8
c)
10
Calcule o raio da circunferência maior.
d) 12 e) 14
44. (Unicado) Um triângulo tem lados 20, 21 e 29. O raio da circunferência a ele circunscrita vale: a) 8
1. Determine o perímetro do triângulo ARS da gura abaixo, onde AB e AC medem 15cm e 18cm, respectivamente, sendo BQ e CQ as bissetrizes dos ângulos ABC e ACB e RS paralelo a BC.
b) 8,5 c)
A
10
d) 12,5 e) 14,5
45. (Unirio) Na gura abaixo, o triângulo ABD é equilátero, e seu lado mede 3m; H é o ortocentro, sendo que os pontos F e G são os pontos médios dos lados AD e BD , respectivamente.
Q
R
S
B
C
2. Um triângulo ABC é isósceles, com AB = AC. Nele está inscrito um triângulo DEF equilátero. A
b
D
E
c a B
Quantos rolos de ta adesiva serão necessários, no mínimo, para cobrir todos os segmentos da gura, se cada rolo possui 1m de ta? a) 18
b) 20 18
F
C
DE por b, e Designado ângulo B^ FD por a, o ângulo A ^ ^ ângulo F E C por c, temos: a) b = a+c 2 b) b = a–c 2 c) a = b–c 2
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
3.
d) c = a+b 2 b+c e) a = 2 Na gura a seguir, determine x em função de , e .
7.
(UFRJ) Na gura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado igual a K.
x
B = 30º e ^ C = 4. (EN) Dado o triângulo ABC, tal que ^ 80º, marcam-se sobre a reta suporte do lado AB os pontos D e E, tais que AD = AE = AC e BE > BD. DC e Determine a soma das medidas dos ângulos A ^ ^ B E C.
a)
8m
a) 75º
b) 7m
b)
90º
c) 5m
c)
105º
d) 4m
d) 135º
e) 6m
e)
150º
5. Na gura abaixo, são dados AC = BC e o quadrado BCDE. D
a)
12
c) 14
E A
9. Os três menores lados de um quadrilátero convexo medem 1cm, 4cm e 8cm. Qual dos valores abaixo pode representar, em cm, o quarto lado? b) 13
C
6.
8.
Seja PM, PN e PS paralelas aos lados dos triângulos, determine PM + PN + PS . Considere todos os triângulos de perímetro 15m. Ne nhum deles pode ter um lado igual a:
d)
15
e)
16
10. Na gura abaixo, ABC é um triângulo equilátero.
B
Nessas condições, calcular a medida do ângulo . (PUC) Na gura a seguir, temos . Se ^ ^ B AD = 44º, qual a medida do ângulo D JE?
O valor de x é: a) 5
b) 5,5 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
c) 6,5 d)
6
e)
7
19
^D = 20º, 11. Na gura abaixo, AB = AC , CB ^E= 30º. DC
^E = 50º e BC
15. Na gura, I é o incentro do triângulo ABC. Provar que α = β. A
α
β
J
B
C
H
16. Na gura, ABCD é um retângulo e AMB é um triângulo equilátero. D
^ Calcule o ângulo BDE . 12. ABC é um triângulo isósceles de base BC e altura AH. Prolonga-se o lado ABa partir de B, de um comprimento BD = BH, e pelos pontos D e H traça-se uma reta que intercepta o lado ACe m P. Calcule o ângulo  do trian gulo ABC, sabendo que o ângulo A^P D mede 120º.
M
C
P
A
B
Sabendo que AB= 18cm, calcule AP.
13. No triângulo ABC da gura, AB = AC.
17. Na gura abaixo, os pontos A, B e C representam as posições de três casas construídas numa área plana de um condomínio. A
B
C
Calcule , se BÂC = 20º, BCD= 50º e CBE= 60º. ( DEB = ) 14. Na gura, tem-se MN // BC; NP // AB; MP // AC. M
Um posto policial estará localizado num ponto P, situado à mesma distância das três casas. Em Geometria, o ponto P é conhecido com o nome de: a) baricentro. b) ortocentro. c) circuncentro.
A
B
d) incentro. e) ex-incentro.
N
C
P
Prove que as alturas do triângulo ABC são mediatrizes dos lados do triângulo MNP. 20
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
18. Se AB = AC e BÂC = 80°, calcule .
O valor de x é: a) 15/2
A
9
c)
10
d) 40/3
α 400
b)
e) 300
B
C
16
22. O triângulo ABC da gura é equilátero, AM e e CD = 6.
MB = 5
19. (UFRS)Constroem-se sobre os catetos ABe AC, de um triângulo retângulo ABC, os quadrados ABDE e ACFG. Traçam-se, pelos pontos D e F, as perpendiculares de DD” e FF” ao suporte BC. Se DD” + FF” = 25cm, Calcule BC. 20. (PUC) Na gura, sabendo-se que AE = 10m, BD = 40m, AB = 50m, EC = CD, então, CB e AC podem valer: O valor de AE é:
a)
25m e 25m
b) 32m e 18m c) 38m e 12m d) 40m e 10m
a)
76 11
b)
77 11
c)
78 11
d)
79 11
e)
80 11
23. Na gura, a reta r é tangente ao círculo e paralela ao segmento DE.
e) 50m e 20m
21. (FEI-SP) Na gura, AD// BC.
Se DE = 6, AE = 5 e segmento BD é: a) 3,5
CE =
7, o valor da medida do
b) 4 c) 4,5 d)
5
e) 5,5 8 2 0 _ T A M _ V _ M E
21
24. (UFF) Considere o triângulo isósceles PQR da gura abaixo, de lados congruentes PQ e PR, cuja altura relativa ao lado QR é h.
Sabendo-se que M1 e M 2, são, respectivamente, pontos médios de PQ e PR, a altura do triângulo KM 1M2, relativa ao lado M1M2, é: 2h a) 3 b) h
27. Na gura abaixo, ABCD é um quadrilátero onde AD = BC, DAB = 80º e CBA = 40º. Um ponto P é tal que o triângulo DPC é equilátero.
Calcule o perímetro do triângulo APB, sabendo que AB= 6cm e CD= 3cm. 28. No paralelogramo da gura abaixo, temos EF = 32 e GF = 24.
6
h 3 2 d) h 3 3 e) h 3 c)
6
25. (UERJ) Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro de sua altura, foram feitos dois vincos, AE e BF, que formam entre si um ângulo reto.
Calcule BE. 29. Na gura a seguir, M é ponto médio de AB, N ponto médio de BCe PQ é paralelo a BC.
Considerando AF = 16cm e CB= 9cm, determine: a) as dimensões do cartão;
Calcule AB, sabendo que PM= 2m. 30. Na gura abaixo, as cordas ABe ACm edem 5cm e 6cm respectivamente, e AH = 3cm.
b) o comprimento do vinco AC.
26. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12,3 metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. a)
22
Faça uma gura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
Calcule o raio do círculo.
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
31. (UERJ) A gura abaixo representa um quadrado ABCD e dois triângulos equiláteros.
A medida de HD, em cm, é: a)
5 3
b)
10
3
c) 20 3 d) 6 3
Se cada lado desses triângulos mede 2cm, calcule o lado do quadrado ABCD. 32. Os centros de duas circunferências estão separados de 41m. Os raios das circunferências medem 4m e 5m.
e) 12 3 35. O triângulo é retângulo no vértice A. As medianas dos catetos são b e c, e a altura relativa à hipotenusa mede h. Prove que a igualdade abaixo é verdadeira. 1
h
2
=
1
b
2
+
1
c2
36. (UFRJ) Um observador (O), do ponto mais alto de um farol, vê a linha do horizonte (L) a uma distância d. Sejam h e R a altura do farol e o raio da Terra, respec tivamente.
Calcule o comprimento de tangente comum interna. 33. Três goiabas perfeitamente esféricas de centros C 1, C2, C3e raios 2cm, 8cm e 2cm, respectivamente, estão sobre uma mesa tangencionando-se, como sugere a gura a seguir. a)
Como R é muito maior que h, pode-se admitir que 2R + h = 2R. Assim, prove, usando a aproximação indicada, que d = 2Rh .
b) O raio da Terra tem, aproximadamente, 6 300km. Usando a fórmula do item “a” calcule a distância d do horizonte, quando o observador está a uma altura h = 35m. Um bichinho que está no centro da primeira goiaba quer se dirigir para o centro da terceira goiaba pelo caminho mais curto. Quantos centímetros percorrerá? 34. O triângulo ABC da gura é equilátero, de lado medindo 20cm. AH e HD são, respectivamente, as alturas dos triângulos ABC e AHC.
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
37. (UFF) Na gura a seguir, o vértice Q do retângulo PQRC foi obtido pela interseção do arco AM de centro em C e raio CA, com hipotenusa CB do triângulo retângulo ABC.
Sabendo que PQ mede 12cm e QR mede 9cm, determine as medidas dos lados do triângulo ABC. 23
38. (PUC) Seja ABCD um retângulo e seja P um ponto no interior desse retângulo, tal que AP = 3cm, BP = 4cm e CP = 5cm. Calcule DP. 39. (UFF) Uma folha de papel em forma de retângulo ABCD é dobrada no segmento EF , de modo que o vértice B coincida com o vértice D, como nas guras.
Sabendo-se que as dimensões do retângulo são AB= 8cm e BC = 4cm, determine a medida do segmento EF . 40. (UFF) Na gura abaixo, o triângulo QRS é equilátero e está inscrito no quadrado MNPQ, de lado L.
42. (Cesgranrio) Um quadrado ABCD de lado tem cada um de seus lados divididos em 9 partes iguais. Ligando-se com segmentos de reta os pontos de divisão, segun do a direção da diagonal AC , obtém-se o hachurado mostrado na gura.
9
Calcule a soma dos comprimentos dos 17 segmentos assim obtidos. 43. O ponto mais baixo de uma roda gigante circular de raio 6m dista 1m do solo. A roda está girando com três crianças que estão, duas a duas, à mesma distância. A que distância do solo estão duas delas, no momento em que a outra está no ponto mais alto.
44. Canos de 50cm de diâmetro externo são empilhados, como mostra a gura, de modo que cada cano está em contato com seus vizinhos imediatos. Pode-se armar que o lado do triângulo é: 2 a) L 2 3 b) L 3 c) L
h
6
2 d) L( 2 + 6 )
Calcule a altura h indicada. 45. (UFF) Na gura abaixo, as circunferências têm raios iguais a R e estão inscritas em um triângulo equilátero de lado igual a 2cm.
e) L( 6 − 2 )
41. (Cesgranrio) Na gura a seguir, o ângulo 45º.
� XOY
é de
Se A1B1 e A 2B2 são perpendiculares a OX e se A 2B1 e A 3B2 são perpendiculares a OY , calcule a 24
razão A3B2 . A2B1
a) R
=
b) R =
1
1+ 3 3 1+ 3
cm cm
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
c) R = 3 cm 1+ 2 d) R = e) R =
3 2+ 3 2 2+ 3
cm cm
46. Um acampamento para meninas ca a 300m de uma estrada reta. Nessa estrada, um acampamento para meninos ca localizado a 500m do acampamento das meninas. Deseja-se construir uma cantina na estrada, que que exatamente à mesma distância de cada acampamento. Essa distância será de: a)
302,5m
b) 305m c) 308,5m d) 312,5m e) 315m
47. Na gura a seguir, AD e BE são perpendiculares e medianas do triângulo ABC.
Calcule AB s abendo que
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
BC = 7cm e AC = 6cm .
25
14. 4 + 10 < 15, o que contradiz a desigualdade triangular, logo não será possível. 15. 1. y = 75° 2. 3.
a)
= 15°
V
b) V
195°
c) V
4.
= 20°
d) V
5.
= 6m
e) F
6.
B.
f) F
7.
A.
g) V
8.
D.
16.
OP = 4cm
9.
C.
17.
AI= 2x = 30cm
10. A.
18.
IM
11. C.
19. AM = 15cm
12. D.
20.
C
13. C.
21.
E
= 10cm
22. AD = 6m 23. A 26
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
24.
D
25.
C
26.
B
27.
A
28.
D
^ 6. DJE = 22°
7.
29. x = 2,5cm 30. x = 4
A
9.
A
10.
D
11.
BDE = 60º
12. Â = 20°
31. a)
8.
A função permanece constante e com o valor míni mo entre 0 e 50Kwh.
13.
= 30°
14. Demonstração. 15. Demonstração.
b) x = 180Kwh.
16. AP = 2a = 12cm.
32.
17.
a) x
=
6 2cm
b)
x
=
4(1+ 2 )cm
c)
x
= 10(2 +
d)
AD
C
18. α = 100º 19.
BC = BH + HC = DD´ + FF´ = 25cm.
20.
D
21.
E
C
22.
E
34. A
23.
B
35. A
24. x = h
33.
36.
=
BC
1,5(1+ 2 3)m
=
3 )cm
13cm x = 6cm
6
25.
37. 100/7
a) AB = 12 e AE= 24.
38.
D
b) x = 15
39.
B
40.
D
26. a)
41. 6cm 4
12,3
42.
C
43.
B
44.
E
b) x = 20,5m
45.
E
27. 18cm de perímetro.
46.
R (1+ 2 )
28. x = 16 29.
1,5
AB = 12
30. r = 5cm 1. 2P ARS = 33cm
8 2 0 _ T A M _ V _ M E
2.
E
3.
x= – –
4.
B
5.
= 45°
31. 2 2 − 2 cm 32. 40m 33. 16,8cm 34. A 35. Resposta pessoal. 27
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