Matemática III[1]

Academia Pre Universitaria Universita ria Alexander Fleming Ciencias 2006

3º Boletín Anual x2

+ y2 = r 2  ,*-$ C$'&C$

donde" h / 0 y k / 0

Matemática III Y

LA CIRCUNFERENCIA

P(x; y)

Definición

Se llama circunferen circunferencia cia al conjunto conjunto de puntos de plano que se encuentra a una distancia distancia constante constante (radio) de un punto punto fijo (centro) de ese plano.

Y

r  (0; 0)

X

P(x; y) Ejemplo:

r  k

+eterm +etermina inarr el centro centro y el radio de la circunferencia"

C(h; k)

C

= {(x; y) ∈ R.R/(x − 1)2 + (y + 2)2 = 1}

Resolución:

X

Sa1emos que"

0 h 2 2 (x − 1) = (x − h) ⇒ h = 1 Si P(x; y) es un punto genérico de una circunferencia de centro C(h; k) y radio 2am1ién" (y + 2)2 = (y − k)2 ⇒ k = −2 CP r   entonces por la definici!n de uego C(! "#$ % r &  circunferencia se tiene" =

CP

=

r 

→

CP

2 =

r 2

#s decir" (x

− h)2 + (y − k)2 = r 2

Ecuación 'eneral e la Circunferencia

Si la ecuaci!n ordinar ia ia d e l a circunferencia se desarrolla entonces se tiene" x2

− 2hx + y2 − 2ky + k 2 = r 2

$ esta continuac continuaci!n i!n se conoce conoce como la rdenando la ecuaci!n o1tenemos" #C%$ #C%$C& C&' ' *+& *+&$ $*& *&$ $ o ,*-$ ,*-$ 2 2 2 *+& *+&$ $*& *&$ $ de la ecua ecuaci ci!n !n de una una x + y + (−2h)x + (−2k)y + (h 3aciendo" circunferencia.

+ k2 − r 2 ) =

D & "#)* E & "#+* F = h2 + k 2 − r 2 Observación:

a circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuaci!n"

Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B – 7

#cuaci!n que tiene la forma" x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

 !en " #nete al $%ui&o 'anador(

45

Academia Pre Universitaria Alexander Fleming Ciencias 2006 a ecuaci!n anterior es llamada forma general de la ecuaci!n de la circunferencia.

luego la ecuaci!n no tendr7 representaci!n geométrica real. #s decir la ecuaci!n representa a una circunferencia imaginaria. Observación: c) Si" D2 + E2 − 4F > 0  entonces r Para sa1er si una ecuaci!n de la forma" . y la ecuaci!n representar7 a una x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0  circunferencia de centro y radio dados. r ep re se nt a una c ir cunf er en ci a Ejemplo : >0 procedemos a completar cuadrados y a ecuaci!n x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 o1tenemos"  corresponde a una circunferencia. 3allar   2     2    x2 + Dx + D  +  y2 + Ey + E  + F el centro y el radio.  Resolución: 4   4                Completando cuadrados podemos transformar la ecuaci!n dada en la forma" 2 2    2    2 E   D +E − 4  (x 2 − 2x + 1) + (y2 − 4y + 4) − 1 = 0   +  y + 2   = 4       (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 Comparando esta ecuaci!n con la

⇒  x +  

D   2

uego" C(* #$ % r & 

ecuaci!n" (x

2

2

2

− h) + (y − k) = r 

+ y2 + Dx + Ey + F = 0

representa una circunferencia de centro"

  D E     Centro =  −  2 ; − 2       +onde" ) & "D,# % + & "E,# 1 radio = r  = D2 + E 2 2

Ejemplo #:

Siempre que se cumpla la condici!n" D2

+ E2 − 4F > 0

Resolución:

Si la ecuaci!n representa circunferencia se de1e cumplir" 2

D

a

una

+ E2 − 4F > 0

*eempla8amos 6alores" 42

− 4F

+ 22 − 4(1) > 0

16  > 0 efecti6amente se cumple 1 16 → r  = 2 #l radio" r  = 2 Centro"

$n7lisis"   4 2   2* Si"   a) D2 + E2 − 4F = 0  entonces r C  − 2 ; 2   → C(−2; − 1)     / 0 y la ecuaci!n se reduce a un punto el centro. Ejemplo /: 1) Si" D2 + E2 − 4F < 0  entonces el +eterminar la ecuaci!n dada a la forma radio r ser7 imaginario (complejo) ordinaria di6idiendo entre 9" 4x 2

Resolución:

le6emos la ecuaci!n dada a la forma ordinaria di6idiendo entre 9" 9 2 2 x + y − x + 4y + = 0 4 Completando cuadrados 2

     x −    − 9 + (y + 2)2 − 4 +    2 4     Simplificando"

+ 4y2 − 12x + 16y + 9 = 0

Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B – 7

9 4

existe intersecci!n entre la recta y la circunferencia. d L C

r 

=0

>. Si" # = "2 − 4a! > 0  entonces las     ra

#jemplo" +ada la ecuaci!n de una circunferencia 2 2 C $ x + y − 4x − 9 = 0 a) 3allar la ecuaci!n de la tangente a la circunferencia C en el punto 5& (8* /$ 1) 3allar la longitud de la tangente a la circunferencia dada tra8ada desde el punto 9 & (* $ Resolución:

a)

2

2

c) 6x − 2x + y = 0 d) 6x2 + 6y2 − 64x + &4 = 0 e) 6x2 + 12y2 − 64x + 420 = 0 >.a ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntos (#* /$ % (8* $ y que tiene su centro en la recta /0;8%&. es" a) (x − 4)2 + (y + )2 = 4

C = (2; 0)

e)

6 26

'2 26 '2



(x − 2)2 r  =

+ y2 = 1

  C & (#* .$ %

+

"

 (x − ) ⇒ % = 2 2 uego la pendiente de la recta  ser7" y−4 =



 2 

1) d)

26 '2 26 '2

− +

2   2

2

9. a distancia m c) 0F d) 4 e) ? a) (8* #$ ó (* $ 1) (/* #$ ó (@* E. 3allar la ecuaci!n de la e) (8* #$ ó(@* $ circunferencia si C(! $ >>. Se

ti ene

la

circunferencia" x 2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0  y el punto (?; ?). 3allar la ecuaci!n de la tangente a la circunferencia tra8ada por dicho punto. a) 0 & "/ 1) 0 & / c) % & / d) % & "/ e) 0 & B >?. 3allar la ecuaci!n de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuaci!n es" x2 + y2 + 2x + 4y = 1 y pasa por el punto (* #$4 #l punto de tangencia es (* #$4 a) 0 1 #% ; B & . 1) 0 1 B% ; # & . c) B0 1 #% & . d) B01 /% ; < & . e) #0 1 /% ;  & . >9. 3allar la ecuaci!n de la circunferencia con centro (/* $  y tangente a la recta" 0 1 % 1 / & . a) 2x 2 + 2y2 − 12x − 4y − 29 = 0

Y

C X

a) x 2 + y2 − 2x − y = 0 1) x 2 + y2 − 2x + 2y = 0 c) x 2 + y2 + 2x − 2y = 0 d) x 2 + y2 − 2x − 2y = 0 e) .$. >F. 3allar la circunferencia"

de X

5

1) 2x 2 + 2y2 − 12x − 4y − 0 = 0 2

ecuaci!n

2

c) 2x + 2y − 12x − 4y − 1 = 0 d) 2x 2 + 2y2 − 12x − 4y − 2 = 0

Y

a) x2 + y2 − 10x − 10y + 2 = 0

 !en " #nete al $%ui&o 'anador(

la

Academia Pre Universitaria Alexander Fleming Ciencias 2006 1) x2 + y2 − 10x + 10y − 2 = 0 2

x2

c)

2

c) x + y + 10x − 10y + 2 = 0

x2

d) x2 + y2 − 10x + 10y + 2 = 0 e) .$.

+ y2 = 40

3º Boletín Anual

d)

1) x 2 + y2 + 16x − 10y + 2 = 0

L1

Y

L2

+ y2 = 0

e) x 2 + y2 = 60

d) x 2 + y2 − 16x + 10y + 2 = 0 e).$.

X

?4. #n C $ x 2 + y2 − 4x + &y + 29 = 0 . >G. hallar :n de modo que el radio de la 3allar la posici!n del centro. circunferencia" a) (#* /$ 1) (#* "/$ c) (#* 8$ 2 2 d) (#* "8$ e) imposi1le x + y + 6x − 10y − n = 0 sea E unidades ?>. #n la figura" a) 4 1) 4> c) G d) 4G e) > C $ (x − &)2 + (y − 6)2 = 6 . 3allar 33 >5. 3allar la circunferencia"  :a  (7, ) Y L C

?F. 3allar C" si

L3

a) (x − 10)2

+ y2 = 2

1) (x + 10)2

+ y2 = 6

c) (x − 10)2

+ y = 6

d) (x − 20)2

+ y2 = 49

e) (x + 20)2

+ y2 = 49

2

2

2

2

"

# T

1) x + y − &x + 10y + 2 = 0 c) x2 + y2 − &x − 10y + 2 = 0 d) x2 + y2 − &x + 10y + 2 = 0 e) x2 + y2 − &x − 10y + 19 = 0

a ) ?FD

1 )  ?D

X

Y 2

+ (y + ')2 = 4 1) (x − ')2 + (y + ')2 = 41 a) (x − ')

a) x 2 + y2 + 4x − 10y − 4 = 0 ?0. Lrea del cuadrado A2CD & .. ,2 . 1) x 2 + y2 + 4x − 10y + 4 = 0 3allar la ecuaci!n de la circunferencia. c) x 2 + y2 − 4x − 10y − 4 = 0

!

B

a)

x x2

2

+ y = 20

+ y2 = 0

2

d) x + y + 4x + 10y − 4 = 0 e) x 2 + y2 + 4x − 11y − 4 = 0 X

C 2

2

1)

c) (x − ')2

+ (y + ')2 = 492

d) (x − ')2

+ (y + ')2 = 42

e) (x − ')2

+ (y + ')2 = 49

c ) F9 D d ) E 0D e ) F D

C(K>; ) y pasa por (>; >)

>E

X

B

 A

?G. 3allar C"

Y

> ??. 3allar la circunferencia con centro en

Y  A

2

2

X

a) x + y − &x − 10y + 16 = 0

*+ = '

 A

?. 3allar C: A("#* "$ (1, 1)

c) x2 + y2 − 16x − 10y + 2 = 0

X

a) (x + )2

+ (y + )2 = 

1) (x + )2

+ (y + )2 = 2

c) (x + )2

+ (y + )2 = 24

d) (x + )2

+ (y + )2 = 29

e) (x + )2 + (y + )2 ?E. 3allar C"

?9. 3allar la circunferencia"

3

.1 $ 4x − y − 6 = 0

5

5

Y 2

a) x + y + 11x + 10y + 20 = 0

= 2

1) x2 + y2 + 10x + 11y + 20 = 0 X

c) x2 + y2 + 10x + 11y + 2 = 0 d) x2 + y2 + 11x + 10y + 2 = 0 e).$.

.2 $ 'x − 24y +  = 0

?5 . 3 al la r l a d is ta nc ia circunferencias

. $ x − 4y −  = 0 Y

a) x 2 + y2 − 16x + 10y − 2 = 0

Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B – 7

2

C1 $ x 2

+

y2

+

e nt re

4x − 2y + 4 = 0

 !en " #nete al $%ui&o 'anador(

l as

Academia Pre Universitaria Alexander Fleming Ciencias 2006 C2 $ x 2

a)

y2

+

+

a) x 2 + y2 + 10x − 4y + 20 = 0

4x − 4y + 4 = 0

1)

1'

1'

+

c)

1

1'

−

e) N4A4



90. 3allar C"

P

=2

2

+2

9?. 3allar C"

Y

P

L$ 2x - y - 5 = 0 X

a) (x − /) 2 +   (y + )2 1) (x − /)2

d) x 2 + y2 + 10x + 10y + 2 = 0 e).$.

c) (x − )2

2

C$ x

= 2/4

+  (y + /)2 = 2/9

  + /2)2 = 2/4 + (y

d) (x − /)2 e).$.

94. 3allar el per. 3allar C

12

e)

2



&



>F 4y = x

2 X

*+

2

=



Y X  A(k; -2) B a) "/

1) "#

c) "8

d) "B

e) 4K

10

 A "

X

a) (x + )2

+ (y − )2 = 2

2x +y-5=0

1) (x − )2

+ (y − )2 = 2 + (y + )2 = 2

c) (x + )



Y

+ y2 − 2x − 1 = 0

e) /

Y

+ (y + /)2 = /4

"

c)

:k  

C $ x2

9F. 3allar C: A("#* $

X C

112

+ 2y2 + 0x − 20y − 12 = 0

Y

B

e)

114

99. 3allar C"

 A

c)

11

95. 3allar

2

+ y + 10x + 10y − 14 = 0

1)

111

1) (x − )2 + (y − 2 2 )2 = 9

9E. 3allar la longitud de la circunferencia cuya ecuaci!n es"

Y

c) x2 + y2 + 4x − 4y + 4 = 0

X

d) (x − )2 + (y − 4 2 )2 = 9 e).$.

"

1) x 2 + y2 + 40x + 4y + 4 = 0

(10; 8)

&

%

c) (x − )2 + (y −  2 )2 = 9

B

a) x 2 + y2 + 4x + 10y + 2 = 0

4

a) (x − )2 + (y − 2 )2 = 9

(h; k)

X

Y

X

1) x 2 + y2 + 16x + 4y + 20 = 0 c) x 2 + y2 − 16x − 4y + 64 = 0 3, d) x 2 + y2 + 10x + 10y + 2 = 0 e).$.

1'  + 

d)

3º Boletín Anual

a) x 2 + y2 = 20 1) x 2 + y2 = 2&

>G

c) x 2 + y2 = 2 d) x 2 + y2 =  e).$. 9. 3allar C"

Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B – 7

2

2

d) (x − ) e).$.

2

+ (y + ) = 2

x2

a) c) e)

2

10

10

2

+ y2 − 2x − 4y − 20 = 0

−

10

−

4

−

1) d)



10

2

+ y2 − 2x − 4y + 1 = 0

9x 2

a)4>π d)4?π

−

1

 −





4. 3allar el 7rea del ecuaci!n es"

9G. 3allar :m C $ x2

0. 3allar la distancia m; ?)

?. 3allar la ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntos (.*.$! (/*@$! (5 Colegio de Ciencias Alexander Fleming Asvea B – 7

 !en " #nete al $%ui&o 'anador(