Matematica III Trabajo Final Unidad 1 (2)
Short Description
Descripción: mate 3...
Description
– Matematica III –
FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO
TEMAS: APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DOCENTE: IDROGO BURGA EDINZON CURSO: MATEMATICA III INTEGRANTES:
Escuela de Ingeniería Civil
AGUINAGA RAMIREZ, Higeiny Adubel ESPINOZA REQUEJO, Nayla Gissel GERMAN RELUZ, Luis Joel GOMEZ CORDOVA, Miguel Antonny LEGOAS CAPUÑAY, Víctor Manuel Jr MORENO PAREDES, Armando VILLACREZ ALTAMIRANO, Sandra
Página 1
– Matematica III –
Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la Matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones. Es interés de este trabajo la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico.
A esta transición del problema, al Modelo Matemático correspondiente se llama Modelado. Este método tiene una gran importancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia un planteamiento matemático matemático y su solución, y la interpretación física del resultado.
Se dedicará en este espacio la modelación de problemas que conduce a Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y esto lo justifica desde el punto de vista teórico y práctico pues se verán más fáciles si uno se concentra primero en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultaría más fácil los conceptos, métodos y resultados hacia las de orden superior.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 2
– Matematica III –
Las Ecuaciones Diferenciales tienen una importancia fundamental en la Matemáticas para la ingeniería debido a que muchos problemas se representan a través de leyes y relaciones físicas matemáticamente por este tipo de ecuaciones. Es interés de este trabajo la deducción de las Ecuaciones Diferenciales a partir de situaciones físicas que se presentan en determinados problemas de carácter físico.
A esta transición del problema, al Modelo Matemático correspondiente se llama Modelado. Este método tiene una gran importancia práctica para el ingeniero y se ilustra por medio de ejemplos típicos. En estos ejemplos se ilustraran los pasos del modelado, es decir, hacia un planteamiento matemático matemático y su solución, y la interpretación física del resultado.
Se dedicará en este espacio la modelación de problemas que conduce a Ecuaciones Diferenciales de segundo orden y esto lo justifica desde el punto de vista teórico y práctico pues se verán más fáciles si uno se concentra primero en tales ecuaciones, pues de esta manera los estudiantes familiarizado con los conceptos de segundo orden, resultaría más fácil los conceptos, métodos y resultados hacia las de orden superior.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 2
– Matematica III –
INTRODUCCION .................................................. ........................................................................................................ ........................................................................................2 ..................................2 OBJETIVOS ...................................................................................................................................................4 - Aplicaciones de Ecuaciones Lineales a la Carrera.................................................. ....................................................................................5 ..................................5 -
Ley de Enfriamiento de Newton ................................................ ..................................................................................................... ...........................................................11 ......11
-
Crecimiento de Poblaciones .................................................................................................................14
-
Problema de Mezclas ............................................................................................................................17
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales de Orden Superior .................................................. .................................................................30 ...............30 -
Problemas Aplicados a los Resortes .....................................................................................................43
Escuela de Ingeniería Civil
Página 3
– Matematica III –
Mediante la primera y segunda ley de Hooke determinar ecuaciones diferenciales. Solucionar respectivamente los ejercicios usando las fórmulas adecuadas de la leyes de Hooke y ecuación diferencial para hallar la función x(t). Hallar mediante la ecuación principal los valores y. Analizar y dar solución a los problemas planteados con referencia a las Ecuaciones Diferenciales, pertenecientes a este tema de exposición.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 4
– Matematica III –
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES A LA CARRERA En esta sección vamos a considerar determinados fenómenos reales relacionados con diversos ámbitos como la física, ingeniería, meteorología, sociología, etc., cuya modelización da lugar a una ecuación diferencial de primer orden. Para resolver las ecuaciones obtenidas aplicaremos los métodos estudiados. TRAYECTORIA ORTOGONALES:
Dada una familia de curvas, consideramos el problema de encontrar otra familia de curvas que la interceptan ortogonalmente en cada punto. Este problema aparece en el estudio de electricidad y magnetismo y en la elaboración de cartas meteorológicas. Consideramos una familia de curvas: F ( x, x, y )
=
C,
Siendo C un Parámetro. Derivando implícitamente esta ecuación obtenemos la ecuación diferencial asociada a esta familia.
dx+
dy = 0
A partir de esta ecuación diferencial podemos obtener la pendiente de cada curva: M=
=-
Esto significa que las curvas ortogonales a la familia dada satisfacen la ecuación diferencial:
dx- dy = 0
Atendiendo al razonamiento anterior, dada una familia de curvas solución de la ecuación diferencial: M (x, y) dx
N (x, y) dy
=
0
N (x, y) dx − M (x, y) dy
=
0
+
Planteamos la ecuación diferencial:
Cuyas curvas solución son ortogonales a cada curva de la familia M (x, y) dx
+
N (x, y) dy
=
0
Se dice que cada familia es una familia de curvas ortogonales a la otra. Escuela de Ingeniería Civil
Página 5
– Matematica III –
Método de la resolución:
La familia de trayectorias ortogonales a una familia dada por la ecuación es la familia F (x, y) = C, es la familia solución de la ecuación diferencial C.3. Ejemplo:
Dada la familia de curvas = C, veamos que la familia de trayectorias ortogonales a esta, es la familia de rectas que pasan por el origen. Calculamos la ecuación diferencial asociada a la familia 2 xdx
+
2ydy
0
=
=C
Entonces la familia de trayectorias ortogonales satisface la ecuación:
2ydx − 2 xdy
=
0
Resolvemos la ecuación de variables separables. X dy
=
x y d
1_dy = 1_dx y x
Integrando: ln |y | = ln |x | + C 1 Por tanto: |y | = |x| +
,y
Es decir: y= C x, C
=
0
Como y = 0 también es solución, la añadimos a la familia quitando la condición C=0 Por tanto, la familia de trayectorias ortogonales es: y
=
C x,
∀ C ∈ R
Que presenta la familia de rectas que pasan por el origen:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 6
– Matematica III –
Familia de curvas Ortogonales
Hallemos la familia de trayectorias ortogonales a la familia de curvas definida implícitamente por: 4y + x 2
+
1 − C e2y
=
0.
Para hallar la ecuación diferencial asociada a esta familia, la reescribimos de la forma: (4y
x 2
+
+
1) e−2y =
C
Y diferenciamos: dx + (( + ) (-2) dy)=0
Simplificando se tiene que la ecuación diferencial asociada a la familia dada es: (−1
+
4y + x 2 ) dx
xdy
+
=
0 (2.35)
Resolvamos esta ecuación: Sea M ( x, y )
=
−1 + 4y + x 2 y sea N ( x, y ) = x.
Podemos ver que no es una ecuación exacta ya que:
=4=
=1
Pero admite un factor integrante de la forma u(x) puesto que la expresión.
=
Solo depende de X. Por tanto:
∫
U(x) =
=
=
Multiplicando (2.35) por este factor integrante, obtenemos una ecuación exacta: =-
=
Comenzamos Integrando la segunda ecuación de este sistema respecto de y: F(x,y) =
Escuela de Ingeniería Civil
∫ =
Página 7
– Matematica III –
De donde despejamos:
Integrando respecto de x:
la solución de la ecuación diferencial exacta es:
Y la familia de curvas ortogonales viene dada por:
PROBLEMAS DE APLICACIONES EJERCICIO N° 01
Una columna perpendicularmente a una viga empotrada, donde la columna tiene una carga expresada con la siguiente función: 2y (ln
+3seny) dy y la carga de la viga esta dada por:
Determinar el coeficiente de elasticidad “c” en fun ción de “x” y “y”
COLUMNA=2y (ln
+3seny) dy
*
Escuela de Ingeniería Civil
Página 8
– Matematica III –
∫ ∫
My (x, y)=
Nx(X, Y)= 2y (
Luego la ecuación exacta es y: F(x,y)=
Como Fy=N
∫
Fy(x,y) = 2y
+g´(y)= 2y(
Luego g´ (y) = G (y)= G (y)=
de donde
Así, la solución general de la ecuación es:
EJERCICIO N° 02
Un puente es diseñado para soportar una carga máxima: si el peso de la estructura es . Cual será la carga maxima “k”que puede soportar la estructura. -
Carga máxima: (2xy)dy
+2xy dy= 0
M(x,y) =
N(x,y)=2xy My
Nx(x,y)= 2y
( No es exacta)
Escuela de Ingeniería Civil
Página 9
– Matematica III –
La ecuación no es exacta, por lo que buscamos un factor integrante:
∫ ∫
Ahora la ecuación (2x F(x,y)=
Fx(x,y)=2X
Luego(x)=
Así, la ecuación la ecuación es
EJERCICIO N° 03
UNA COMPUERTA FORMADA POR UNA PRESION: y ( calcular el esfuerzo total “y”de toda la estructura:
y su peso
y(
La ecuación se puede escribir como y´ Bernoulli cuya solución es:
∫ ∫ ∫
, la que corresponde a una ecuación de
, es decir, =
(C+6
)
Por lo tanto, La solución de la ecuación es y=
Escuela de Ingeniería Civil
Página 10
– Matematica III –
LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON La ley de Newton de enfriamiento menciona que la velocidad con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio donde se encuentra. Supongamos que T representa la temperatura de un objeto en cual insta nte “t”, entonces velocidad con que se enfría el objeto, y está dado por:
Donde k es una constante de proporcionalidad y
es la
es la temperatura del ambiente.
EJERCICIO N° 01
La temperatura de una muestra de suelo recién sacada del horno es de 110°C. Un minuto después se ha enfriado a 100°C en un laboratorio que está a 20°C ¿Cuánto debe ser el período que debe transcurrir antes de que la muestra de suelo alcance una temperatura de 60°C?
= 20 °C
Escuela de Ingeniería Civil
Página 11
– Matematica III –
De lo cual hallamos el valor de la constante:
Reemplazamos que en el instante 1 la temperatura será de 100°C.
Reemplazar el k en la ecuación anterior para una temperatura de 60°C
* *
EJERCICIO N° 02
Una varilla de acero corrugado a una temperatura de 100°F se pone en un cuarto a una temperatura constante 0°F. Después de 20 minutos la temperatura de la barra es de 50°F. a. ¿Cuánto tiempo tardara la barra para llegar a una temperatura d e 25°F? b. ¿Cuál será la temperatura de la barra después de 10 minutos? a. Tiempo en 25°F
= 0 °C
Escuela de Ingeniería Civil
Página 12
* – Matematica III –
El valor de la constante es ln (100) y reemplazamos el T para el instante t= 20min.
Reemplazamos en la ecuación original:
b. Temperatura de la barra después de 10 min
Escuela de Ingeniería Civil
Página 13
– Matematica III –
CRECIMIENTO DE POBLACIONES Para estudiar el crecimiento de poblaciones se pueden seguir diferentes modelos. Por ejemplo, el modelo maltusiano o exponencial se basa en que la tasa de crecimiento es proporcional a la población; por tanto, esta descrito por una ecuación diferencial de la forma:
Un modelo de poblaciones más realista es el modelo logístico donde se supone que existe una tasa de mortalidad debida a factores externos, llegándose a la ecuación diferencial de la forma:
EJERCICIO N° 01:
En 1790 Estados Unidos tenía una población de 3.93 millones de personas y en 1800 de 5.31 millones. Usando el modelo exponencial, estimemos la población de EEUU en función del tiempo. Sea x (t) la población de EEUU en un instante t (años). La solución de la ecuación diferencial separable
Para el instante inicial t = 0, correspondiente al año 1790, se tiene que X (0) = 3 ,93 millones. Para el instante t = 10, correspondiente al año 1800, X (10) = 5 ,31 millones. Estos datos nos permiten calcular las constantes C y k:
Por tanto, la expresión que nos da la población de EEUU en función del tiempo es:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 14
– Matematica III –
EJERCICIO N° 02:
Se sabe que la población de cierto país aumenta de una forma proporcional al número de habitantes actuales. Si después de dos años la población se ha duplicado y después de tres años la población es de 20.000 habitantes, hallar el número de habitantes que había inicialmente en el país. X (t) = población en el instante t
() | | :
Escuela de Ingeniería Civil
Página 15
– Matematica III – EJERCICIO N° 03:
Un cultivo tiene una cantidad inicial No de bacterias, cuando t = 1h. La cantidad medida de bacterias es 3/2 No. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.
Se resuelve la E.D:
A continuación se define la condición empírica Tomemos (1)
Pasando términos Separando variables:
Dónde:
Así:
Para establecer el momento en que se triplica la cantidad de bacterias, despejamos t de:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 16
– Matematica III –
PROBLEMAS DE MEZCLAS Al estudiar las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden vimos como modelizar, mediante una ecuación diferencial, la velocidad de cambio de una sustancia disuelta en un líquido contenido en un tanque, en el cual entraba un fluido con una cierta concentración de dicha sustancia y donde la mezcla fluida hacia fuera del tanque. Recordemos que si x (t) es la cantidad de sustancia presente en el tanque en el instante t y
es la
rapidez con que x cambia respecto al tiempo, la ecuación diferencial que modeliza este problema viene dada por:
Dónde:
Ve
Vs
Siendo la concentración de salida, la cantidad de sustancia x(t) dividida por el volumen total en el tanque en dicho instante t. Ahora, vamos a considerar varios depósitos interconectados entre sí, de modo que se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. EJERCICIO N° 01
En dicha obra se cuenta con un cilindro que contiene 450 lt de líquido, que será empleado para el curado de un concreto fabricado con cemento portland tipo 5 y además no cuenta con armadura. En el cilindro se disuelven 30 gr de sal: Una salmuera que contiene 3 gr/lt se bombea al cilindro con una intensidad de 6 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 8 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el cilindro en un instante cualquiera.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 17
– Matematica III – Solución:
El volumen inicial de líquido en el cilindro es V0 = 450 lt y la cantidad inicial de sal en el tanque es x0 = 30 gr. La salmuera que se bombea al tanque tiene una concentración C1 = 3 gr/lt y se bombea a una razón Q1 = 6 lt/min. La solución, debidamente agitada y homogeneizada, se extrae del tanque a razón Q2 = 8 lt/min. La
ecuación
diferencial
asociada
a
los
problemas de mezcla es
Sustituyendo los datos en la ecuación (1)
Simplificando
Despejando:
Ya que la diferencial de la cantidad x de sal es dx = (2):
dt, sustituyendo dada por la ecuación
*
Reordenando la ecuación
Escuela de Ingeniería Civil
Página 18
– Matematica III –
La ecuación (3) es una ecuación diferencial lineal de la forma x’ + F(t) x = G(t),
∫ ∫ ∫ ||
Donde F(t) =
Para resolver la ecuación (3) debe determinarse un factor integrante μ = μ=
Multiplicando la ecuación (3) por el factor integrante
Puesto que
Sustituyendo en la ecuación (4)
Integrando
Ambas integrales son inmediatas
Sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuación (5)
Para determinar el valor de la constante k de integración se utiliza la condición inicial x(0) = 30, esto es, t0 = 0 min y x0 = 30 gr se sustituyen en la ecuación (6)
Escuela de Ingeniería Civil
Página 19
– Matematica III – Despejando k:
Este valor obtenido para k se sustituye en la ecuación (6)
Multiplicando por
x(t)=
La ecuación (7) representa la ley de variación de la cantidad de sal en el cilindro en cualquier instante t. Para determinar la concentración de sal en el tanque en un instante t cualquiera, se debe recordar que la concentración C(t) es el cociente entre la cantidad de sal y el volumen de líquido en el tanque, en un instante t cualquiera, es decir
Donde
V(t) = V0 + ( Q 1 – Q 2 ) t = 450 – 2t = 2 ( 225 – t )
(9)
Sustituyendo las ecuaciones (7) y (9) en la ecuación (8)
La ecuación (10) representa la ley de variación de la concentración de sal en el cilindro en cualquier instante t.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 20
– Matematica III –
EJERCICIO N° 02 Tenemos un par de tanques completamente interconectados A y B, que inicialmente tiene 50 galones de agua donde en el tanque A inicialmente se disolvieron 25lb y en tanque B tenemos agua pura de dónde; X1(0) = 25 X2(0) = 0 Plantear un sistema de ecuaciones que nos permita encontrar cuantas son las cantidades de sal que hay en el tanque A y B.
Solución:
X1`(t) = X1`(t) =
X2`(t) = X2`(t) =
Escuela de Ingeniería Civil
Página 21
– Matematica III – Ordenando tenemos:
* * [ ] [ ] * [ ] D X1
–
D X2
Resolvemos por la regla Cramer; para el tanque A = X1:
, y por la regla de Surrus se obtiene;
Resolvemos por la regla Cramer; para el tanque B = X2:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 22
– Matematica III – Tenemos;
para
(25+3) (25m+1) = 0
25m = -3
v
25m = -1
Entonces:
m1=
m2=
Dónde:
Como las ecuaciones diferenciales
, son las mismas ecuaciones auxiliares y se tiene;
X1`(t) =
Agrupamos e igualamos a los del mismo exponente:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 23
– Matematica III –
Reemplazamos en las ecuaciones diferenciales y así reducirlas a dos constantes para que cumpa con la ecuación diferencial original.
De la condición inicial se tiene;
X1(0) = 25 X2(0) = 0
Entonces: Cuando; X1(0) = 25
25=
25=
25=
Cuando; X2(0) = 0
0=
25=
Dónde:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 24
– Matematica III – Reemplazando:
Obtenemos:
En un t=0 tenemos que en el tanque A y B entra la misma cantidad de sal = 25lb.
EJERCICIO N° 03 Consideremos dos tanques interconectados, conteniendo 1000 litros de agua cada uno de ellos. El líquido fluye del tanque A hacia el tanque B a razón de 20 l/min y de B hacia A a razón de 10l/min. Además, una solución de salmuera con una concentración de 2 kg/l de sal fluye hacia el tanque A a razón de 20 l/min, manteniéndose bien agitado el líquido contenido en el interior de cada tanque. La solución diluida fluye hacia el exterior del sistema, desde el tanque A a razón de 10 l/min y desde el tanque B también a razón de 10 l/min. Si inicialmente el tanque B solo contiene agua y el tanque A contiene 40 kg de sal, calculemos la concentración de sal en el tanque B al cabo de 10 min.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 25
– Matematica III – Solución: Sea x 1(t ) la cantidad (kg) de sal en el tanque A en un instante t y sea x2(t ) la cantidad (kg) de sal en el tanque B en un instante t. Como sabemos, la velocidad de cambio de la sustancia en un tanque para un tiempo t, debe ser igual a la velocidad a la que dicha sustancia entra en el tanque menos la velocidad a la que lo abandona, es decir,
Ve Dónde:
Ve
Vs
Siendo la concentración de salida, la cantidad de sustancia x (t ) dividida por el volumen total en el tanque en dicho instante t. En este caso, tendremos:
X1`(t) =
+ +
X1`(t) = 40 +
X2` (t) =
X2`(t) =
Escuela de Ingeniería Civil
Página 26
– Matematica III – Ordenamos las ecuaciones diferenciales:
X1`(t) =
+40
X2`(t) =
* * * DX1
DX2
Obtenemos, por tanto, por la regla de Cramer el sistema de ecuaciones diferenciales:
Por fórmula general obtenemos las raíces:
m1 m2 =
Y a continuación los vértices asociados:
( )
H-0,01 =
Escuela de Ingeniería Civil
Página 27
( ) ⃗ ⃗ – Matematica III –
H-0,04 =
Podemos tomar
y
m2,
respectivamente. Por lo tanto la solución de la parte homogénea es: X(t) =
X(t) =
Para hallar una solución particular podemos aplicar el método de los coeficientes indeterminados. Puesto que la parte no homogénea es constante, es decir, es u n polinomio de grado 0 y además 0 no es valor propio, suponemos que la solución tiene la forma:
⃗ , ,
Derivando y sustituyendo en el sistema, tenemos:
Haciendo las correspondientes operaciones tenemos:
De donde se obtiene: a1 = a2 = 2000. Por tanto, la solución general del sistema es:
*
X(t) =
Escuela de Ingeniería Civil
Página 28
– Matematica III –
Sustituyendo las condiciones iníciales x (0) = 40 e y (0) = 0 obtenemos C 1 y C 2 :
* *
De donde se obtiene: C 1 = −1320 y C 2 = −640. Por tanto, la solución de este problema de valor inicial es:
*
X(t) =
Por lo tanto, en un tiempo de 10 minutos se tendrá:
*
X(t) =
La cantidad de sal en el tanque B será: Y(10) = −1320
2 − 640
(−1) + 2000 = 237 ,004 kg
y la concentración de sal en B al cabo de 10 minutos será:
= 0 ,2370 kg/l.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 29
– Matematica III –
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN INGENIERÍA CIVIL Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas situaciones se describen procesos reales aproximados. Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el estudio de las flexiones, un ejemplo es:
FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:
Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al
Cálculo de la raíz de una ecuación. Integral definida.
Supongamos que La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable. Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco. En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
Escuela de Ingeniería Civil
Página 30
– Matematica III –
COLUMNA DE EULER
Es interesante mencionar un tema muy aplicativo a columnas la cual se resuelve según Euler de la siguiente forma: Consideremos una columna esbelta, de longitud L y sección transversal constante, cuyos extremos están restringidos a mantenerse sobre una misma línea vertical pero que puede girar libremente.
La columna se encuentra sometida a una carga vertical P. Si esta carga sobrepasa cierto valor, la columna resistirá sin experimentar deformaciones transversales. Cuando sobrepasa determinada carga la columna se abomba y se producen deformaciones laterales. El problema es una aplicación de la ecuación diferencial, pues en la sección SS de la columna se produce un momento dado por – PI el cual es igual a
, esto es:
O también: x´´ + k² x = 0
Escuela de Ingeniería Civil
Página 31
– Matematica III –
PROBLEMA N°1 DE APLICACIÓN
Determinar la carga crítica para una barra delgada articulada en los extremos, cargada con una fuerza de compresión axial en cada extremo. La línea de acción de las fuerzas pasa por el centro de gravedad de la sección de la barra.
La carga crítica se define como la fuerza axial suficiente para mantener a la barra en una forma ligeramente deformada. Bajo la acción de la carga P, la barra tiene la forma flexada representada en la figura. Para que se produzca la flexión lateral es necesario, individualmente, que un extremo de la barra pueda moverse axialmente respecto al otro. La ecuación diferencial de la curva deformada es:
→ Ecuación 1
Aquí, el momento flector en el punto A de coordenadas (x,y) no es más que el momento de la fuerza P aplicada en el extremo izquierdo de la barra, respecto a un eje por el punto A perpendicular al plano. El momento flector es: M= -Py Reemplazamos en 1
Si hacemos que:
→ Ecuación 2
→ Ecuación 3
Esta ecuación se transforma en:
→ Ecuación 4
Escuela de Ingeniería Civil
Página 32
– Matematica III –
Resolviendo la ecuación:
→ Ecuación Homogénea de Coeficientes Constantes
Ecuación Auxiliar:
CASO III
p= 0 q = ki Soluciones Particulares
Solución General
]
→
Ecuacion 5
Determinamos . En el extremo izquierdo de la barra, y= 0 cuando x= 0, sustituyendo los valores en ecuación 5 se tiene:
En el extremo derecho de la barra, y= 0 cuando x= L, sustituyendo los valores en la ecuación 5 se tiene: 0 = C sinkL Evidentemente, C= 0 o sinkL= 0, pero si C= 0y es nulo en todos los puntos y tenemos solamente el caso trivial de una barra recta, que es la configuración anterior a producirse el pandeo. Como esta solución no es de nuestro interés, tomaremos: Escuela de Ingeniería Civil
Página 33
– Matematica III – sinkL = 0 → Ecuación 6
Para que sea cierto debemos tener: kL= nπ radianes (n=1,2,3,….) → Ecuación 7
Sustituyendo
en la ecuación 7 obtenemos:
→ Ecuación 8
Indudablemente, el menor valor de esta carga P corresponde a n= 1. Entonces tenemos el primer modo del pandeo, en que la carga crítica está dad por:
→ Ecuación 9
Es la llamada carga de pandeo de Euler para una columna con extremos articulados. La forma flexada correspondiente a esta carga es:
→ Ecuación 10
Sustituyendo en esta ecuación el valor de (9), obtenemos: → Ecuación 11
Por tanto, la deformación es un sinusoide. A causa de la aproximación adoptada en la deducción de la ecuación 1, no es posible obtener la amplitud del pandeo, representada por C en la ecuación 11. Como se puede verse en la ecuación 9, el pandeo de la barra se produce respecto al eje de la sección para el cual I adopta un valor mínimo
Escuela de Ingeniería Civil
Página 34
– Matematica III –
PROBLEMA N°2 DE APLICACIÓN (METODO DE LA DOBLE INTEGRACION) Una viga ligera de sección uniforme y longitud l esta soportada en los extremos y colocada horizontalmente. Los extremos están empotrados horizontalmente y la viga se carga de manera que la intensidad de carga aumenta uniformemente desde cero en un extremo hasta w en el otro. Hállese una expresión para la flecha de la viga en cualquier punto de su longitud. La carga a la distancia x de un extremo es
y se tiene la ecuación diferencial Y
= flecha a distancia x del extremo izquierdo
Y X
L
Integrando se obtiene
Escuela de Ingeniería Civil
Página 35
– Matematica III –
Las condiciones iníciales que debe satisfacer la solución son
cuando
cuando cuando
cuando
En que las dos últimas condiciones expresan el hecho de que la viga es horizontal en los extremos. Las condiciones (i) y (iii) hacen C=D=0, y (ii) y (iv) dan
Entonces,
y se obtiene la solución
PROBLEMA N°3 DE APLICACIÓN
Utilizando las EDO de orden superior en el siguiente caso típico de carga de viga de concreto y sección uniforme rectangular, cargada uniformemente con 2q ton/ml. Y
X Y
0
X
2q
0
1
R1
X
2
Y
0
0
Condició R1
n de
L ELASTIC
a)
Determinar la ecuación analítica de la curva elástica.
b)
La flecha máxima.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 36
– Matematica III –
SOLUCION a)
Ecuación de curva elástica a.1) Resolución estática de la viga.0
a.2) momento flector en sección 1-1. (DCL).
a.3) Ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto el que se llama rigidez a la flexión, es normal. Constante a lo largo de la viga.
=
a.4) EDO de la elástica para la viga del presente caso, reemplazando el valor de M. El
= qLx – qx2
a.5) Resolviendo la EDO de orden superior anterior, integrando sucesivamente dos veces
Integrando 2° vez
Escuela de Ingeniería Civil
Página 37
– Matematica III –
a.6) Cálculo de constantes A, B. Utilizando condiciones /restricciones de, extremo de viga. (La flecha o deformación en apoyos flecha Y= 0 en apoyo izquierdo)
Flecha y=0 en apoyo derecha de viga
También se calcula el valor de A Con la condición x=L/2 , y=0; es decir que la tangente trigonométrica. Del ángulo θ que
hace la tangente geométrica a la elástica en su centro o cundo x=L/2 , es cero, o que y´=dy/dx=0 en el punto de la mayor curva tiene de la elasticidad.
Se obtiene
∝
a.7) Reemplazando valor de constantes en ( ) se obtiene la ecuación analítica de la curva elástica.
Asumiendo que Y es + hacia abajo:
EI y =
Escuela de Ingeniería Civil
(L3 - 2Lx2 + x3)
………β
Página 38
– Matematica III –
b)
Flecha máxima (δ)
b.1) Valor máxima de la función β , ecuación de la curva elástica.
Razonamiento una función Iy=f(x) tiene un valor máximo /mínimo para y´=f(x)=0
Simplificando:
Ymax =
……….. δ =
Escuela de Ingeniería Civil
9
Página 39
– Matematica III –
Determinar la ecuación de la flecha “y” de la línea central (elástica)
R= qL M=
x=0 y=0
x=0
∑
Y’=0
Ley de equilibrio: sumatoria de momentos de las cargas a la derecha respecto a la sección 1-1, es Según “la ecuación diferencial de la elástica de una viga es:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 40
– Matematica III –
Se ha deducido que: Se obtiene que:
La EDO resultante es una EDO de orden superior de la forma:
* ∝
La solución de EDO de orden superior se obtiene por integración sucesiva
Calculando constantes A, B en base a condiciones de extremo de viga en voladizo. x=0 y=0 x=0 Y’=0
A=0 B=0
∝ ∝
Reemplazando Constantes En
Escuela de Ingeniería Civil
Página 41
– Matematica III –
La EDO de la flecha y:
∝
Expresión de la flecha máxima ( )
En la viga en cantiliever/voladizo la mayor deformación de la elástica o la mayor flecha se presenta en el extremo derecho; es decir matemáticamente cuando x es igual a L.
-
Luego
Escuela de Ingeniería Civil
Página 42
– Matematica III –
PROBLEMAS APLICADOS A LOS RESORTES
1.1
Sistemas de resorte y masa: Movimiento Libre No Amortiguado:
Movimiento libre no amortiguado - Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura (b), una masa está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza con una masa distinta , el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte ca mbiará.
Según la “Ley de Hooke”
El resorte mismo ejerce una fuerza de restitución F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento S. En pocas palabras decimos que, F = KX, donde “k” es una constante de proporcionalidad llamada
constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos, estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado esencialmente por su número “k”.
Por ejemplo: Si una masa que pesa 10 libras, estira ½ pie en un resorte, utilizamos la ley de Hooke F = KX y entonces reemplazamos: 10 = k (1/2), esto implica que k = 20 lb/pie. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte 2/5 de pie. Escuela de Ingeniería Civil
Página 43
– Matematica III –
Segunda Ley de Newton Después de unir una masa “ m” a un resorte, ésta lo estira a una longitud “s” y llega a una posición de
equilibrio, en la que su peso W, está equilibrado por la fuerza de restauración ks.
También debemos recordar que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs , kilogramos o gramos y g = 32 ft/ , 9.8 m/ , 980 cm/ , respectivamente como se aprecia en la figura (b) la condición de equilibrio es mg = ks ó mg – ks= 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:
El signo negativo de la ecuación (1) indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos como observamos.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 44
– Matematica III – Ecuación dif erencial del movimi ento l ibr e no amorti guado, Si dividimos la ecuación (1) por la masa “m”,
obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden
, 0 sea
*
Obtendremos:
Donde
. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento simple o movimiento libre no
amortiguado, dos condiciones iniciales obvias relacionadas con la ecuación (2) son: , el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa, respectivamente.
y
Soluci ón y ecuación del movi mi ento, Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones
de la ecuación auxiliar Así la solución general de (2) es:
son los números complejos
,
1.2
Sistemas de resorte y masa: Movimiento Amortiguado Libre:
El concepto del movimiento armónico libre no es realista porque el movimiento que describe la ecuación (1) supone que no hay fuerzas de retardo que actúan sobre la masa en movimiento. A menos que la masa esté colgada en un vacío perfecto, cuando menos habrá una fuerza de resistencia debida al medio que rodea al objeto. Como observamos en la siguiente Imágenes, la masa podría estar suspendida en un medio viscoso o conectado a un dispositivo amortiguador. en mecánica se considera que las fuerzas de amortiguamiento que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a alguna potencia de la velocidad instantánea. En particular, supondremos en el resto de la descripción que esta fuerza está expresada por un múltiplo constante de dx/dt. Ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 45
– Matematica III –
Cuando no hay otras fuerzas externas aplicadas al sistema, se sigue por la segunda ley de Newton:
Donde β es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es consecuencia del hecho de que la fuerza amortiguadora que actúa en dirección opuesta a la del movimiento. Al dividir la ecuación (1) por la masa “m”, la ecuación diferencial del movimiento amortiguado libre es:
β
es decir:
Donde:
El símbolo
solo se usa por comodidad algebraica, porque así la ecuación auxiliar queda y las raíces correspondientes son:
Ahora podemos distinguir tres casos posibles que dependen del signo algebraico de . Puesto que cada solución contiene al factor de amortiguamiento , , los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando el tiempo es grande.
Escuela de Ingeniería Civil
Página 46
– Matematica III –
CASO I:
.
Aquí, se dice que el sistema está sobre amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento, , es grande comparado con la constante de resorte, k.
√ √
La solución correspondiente de (2) es
, o bien
Esta ecuación representa un movimiento suave y no oscilatorio. La figura muestra dos gráficas posibles de x(t)
CASO II:
Se dice que el sistema está críticamente amortiguado puesto que cualquier pequeña disminución de la fuerza de amortiguamiento originaría un movimiento oscilatorio. La solución general de la ecuación (ll) es
CASO III:
, es decir,
)….(4)
Se dice que el sistema está sub amortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es pequeño en comparación con la constante del resorte. Ahora las raíces son complejas:
√ √ √ √
,
Entonces, la solución general de la ecuación (ll) es
Como se aprecia en la figura, el movimiento que describe (9) es oscilatorio pero, a causa del coeficiente , las amplitudes de vibración tienden a cero cuando t Escuela de Ingeniería Civil
Página 47
– Matematica III –
Problema (01)
Una masa de que pesa 2 lb, hace que un resorte se estire 6 in, Cuando t=0, la masa se suelta desde un punto a 8 in abajo de la posición de equilibrio con una velocidad inicial, hacia arriba de
. Deduzca la ecuación
del movimiento Libre y Determinar la posición de la masa después de 2 segundos de soltarla masa Solución
6 in
2lb
8 in
2lb
Como se trata de un movimiento libre amortiguado, obedece a la siguiente ecuación diferencial:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 48
– Matematica III –
Las medidas expresadas en pulgadas debemos convertirlas ó pasarlas a unidades pie, en el ejercicio convertimos las unidades de
a”
“.
Otro Dato del Problema donde nos plantea, que tiene una velocidad inicial, el cual este se suelta hacia arriba por lo tanto ira (-):
La posición en el eje 0:
Debemos convertir las unidades de peso, que están en libras, en unidades de masa partimos de:
Aplicaremos También la Ley Hooke:
Escuela de Ingeniería Civil
⁄ Página 49
– Matematica III –
Esto implica que la constante del resorte es K=4 lb/ft ….Por lo tanto esta ecuación se transforma en
(aplicando la segunda ley de Newton):
Como observamos ya tenemos armada la ecuación diferencial, damos paso a solucionar la ecuación diferencial de la siguiente manera:
Si decimos que
, tenemos:
EL SISTEMA FUNDAMENTAL DE SOLUCIONES:
{ }
LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION DIFERENCIAL OBTENIDA:
Además:
Escuela de Ingeniería Civil
Página 50
– Matematica III –
* Pero por dato inicial del problema tenemos que:
, pero
* Además:
,
pero
Y la ecuación diferencial queda de la siguiente manera:
Finalmente la posición de la masa después de 2 segundos de soltar la masa es:
REPUESTA: La posición de la masa después de 2 segundos de soltarla es de
Escuela de Ingeniería Civil
Página 51
– Matematica III –
Problema (02)
Una fuerza de 400 N estira un resorte 2 cm. Una masa de 50 kg se sujeta al extremo del resorte y se la suelta desde la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia arriba de 10 m/s. Halle la ecuación del movimiento.
Solución:
Aplicando la ley de Hooke, ecuación:
implican que la constante del resorte es
, por tanto, la
Ecuación del movimiento
Escuela de Ingeniería Civil
Página 52
View more...
Comments
