Matematica III-TA-Julio Valderrama 2011201738 UDED Huacho
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2012 Trabajo Académico Matemática III
Julio Eduardo Valderrama Neyra UDED Huacho Código: 2011201738 25/06/2012
UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS Dirección Universitaria de Educación a Distancia 1703-Escuela Académico Profesional de Ingeniería Industrial 1703-17216 | MATEMÁTICA III
WILDER ENRIQUEZ VASQUEZ
Docente:
2012-II Datos del alumno:
Apellidos y nombres: Julio Eduardo Valderrama Neyra Código de matrícula: 2011201738 Uded de matrícula: Huacho
Módulo II
3
Ciclo:
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HASTA EL DOM. 01 JULIO 2012 A las 23.59 PM
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Recomendaciones:
Guía del Trabajo Académico
1.
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No se aceptará el Trabajo Académico después del 01 de Julio 2012.
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4.
Recuerde: NO DEBE COPIAR DEL INTERNET, el Internet es únicamente una fuente de consulta. Los trabajos copias de internet serán calificados con “00” (cero).
5. Estimado alumno: El presente trabajo académico tiene por finalidad medir los logros alcanzados en el desarrollo del curso. Para el examen parcial Ud. debe haber logrado desarrollar hasta la pregunta Nº …9….. y para el examen final debe haber desarrollado el trabajo completo.
Criterios de evaluación del trabajo académico: 1
Presentación adecuada del trabajo
2
Investigación bibliográfica:
3
Situación problemática o caso práctico:
4
Otros contenidos considerando los niveles cognitivos de orden superior:
Considera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato. Valor: 2 ptos Considera la consulta de libros virtuales, a través de la Biblioteca virtual DUED UAP, entre otras fuentes. Valor: 3 ptos Considera el análisis de casos o la solución de situaciones problematizadoras por parte del alumno. Valor: 5 ptos Valor: 10 ptos
PREGUNTAS A
Considera la evaluación de la redacción, ortografía, y presentación del trabajo en este formato. Valor: 2 ptos
Presentación adecuada del trabajo
INSTRUCCIONES: CADA PREGUNTA VALE 1 PUNTO 1. Encuentre una fórmula para el término general a n de la sucesión
6 7 3 4 5 , , ,...... , , 5 25 125 125 3125 ln x 2. Calcule el Lim x x 3. Determine si la sucesión a n (1) n es convergente o divergente.
4. Determine si la serie armónica
1
1
1
1
n 1 2 3 4 ...... es divergente o n 1
convergente
2 n n 1 6. Mediante la prueba de la integral determine si la serie es convergente o n2 divergente n 1 n 1 7. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie n ( x 2) n 3 n 1 n 0 5. Determine la convergencia de la serie
3
5
n
( n !) k n 8. Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la serie x n 0 ( kn) ! 1 9. Expresa la siguiente función. f ( x) como la suma de una serie de 1 x2 potencia y encuentre el intervalo de convergencia. 10. la serie de Fourier para f(t)
valores de ck y k.
11. Determine L e 3t
12. Determine L t 2 6t 3
13.
= exp (t) en [0, 0.5] y grafique los
14. Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
15.
16. Determine si la serie infinita: es convergente o divergente
1
( k 2)( k 3) k 1
17. Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:
18. Pruebe la convergencia absoluta de la serie:
ln( n) n 1 n
n3 ( 1) n 3 n 1 n
DESARROLLO 1. Encuentre una fórmula para el término general a n de la sucesión
6 7 3 4 5 , , ,...... , , 5 25 125 125 3125 DESARROLLO: Analizando los términos de la sucesión: ( ) ( ( ( (
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
)
(
)
Por lo tanto la fórmula para el término general
(
será:
)
Nota: Para la resolución del problema se ha corregido el término
2. Calcule el
Lim x
DESARROLLO:
ln x x
Aplicando L”Hospital li
ln
li
li
ln
3. Determine si la sucesión
a n (1) n es convergente o divergente.
DESARROLLO: Asumiendo que el coeficiente
es un valor numérico para cualquier
valor que se le dé a “n” Entonces: La sucesión será convergente si tiene límite: Analizando:
li
Por lo tanto la sucesión será divergente.
4. Determine si la serie armónica
1
1
1
1
n 1 2 3 4 ...... es n 1
divergente o convergente DESARROLLO: Analizando la definición de la Serie P: ∑ Cuando n=1 dicha serie se convierte en una seria armónica que por definición es divergente.
3
5. Determine la convergencia de la serie 5 n 1
n
2 n
DESARROLLO: Aplicando el criterio de la convergencia: Será convergente si el límite de la función es igual a cero.
li
Por lo tanto es convergente.
(
)
6. Mediante la prueba de la integral determine si la serie es
n2 convergente o divergente n 1 n 1
DESARROLLO: Sea la función:
n Analizando f(n) es continua y positiva para todo ya que
Por lo tanto:
∫
li li
li
∫
ln ln
Por lo tanto la función dada es divergente.
ln
y es decreciente
7. Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia
n ( x 2) n 3n 1 n 0
de la serie DESARROLLO:
y Analizando el límite:
li
|
|
Simplificando:
li
|
|
|
| li
|
|
|
|
Por propiedad para que sea convergente:
|
|
Por definición de valor absoluto: Por lo tanto el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie son: Radio: 3 Intervalo: 〈
〉
8. Si k es un entero positivo, encuentre el radio de convergencia de la
serie
( n !) k n x n 0 ( kn) !
DESARROLLO: (
y
)
(
)
Analizando el límite: li
( |( |
) )
| |
Simplificando: li
li
|
|
|
li
|
(
|
(
)(
)(
) )
(
)
|
Aplicando el límite: | | Por definición Por lo tanto: Por lo tanto el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie son: Radio: Intervalo: 〈
〉
1 f ( x ) 9. Expresa la siguiente función. 1 x 2 como la suma de una serie de potencia y encuentre el intervalo de convergencia.
DESARROLLO: Sustituyendo x por -x2: ∑
∑
Como esta serie es una serie geométrica, por lo tanto converge cuando:
|
| | |
Esto es:
Por lo tanto el intervalo de convergencia es: (-1,1)
10.
la serie de Fourier para f(t) = exp (-t) en [0, 0.5] y grafique
los valores de DESARROLLO:
y
11.
L e 3t
Determine
DESARROLLO:
{
}
∫
{
}
∫
{
}
{
|
}
12.
Determine
L t 2 6t 3
DESARROLLO: Por definición:
{ }
∫
Resolviendo la integral por partes llegamos a:
{ }
∫
∫ { }
{
}
Para n=1:
{ }
{ }
Deduciendo:
{ } { } Por lo tanto:
{
{
}
}
{ }
{ }
{ }
13. DESARROLLO:
{
{
}
{
∫
}
{
}
∫
}
∫
∫
∫
14.
Calcular F() para el pulso rectangular f(t) siguiente:
DESARROLLO: Aplicando la derivada de la función: (
)
(
)
Luego aplicando la transformada de Fourier [
[
]
]
* (
* (
)
)+
(
(
* (
)
Por lo tanto:
(
)
) +
)+
15. DESARROLLO: De la tabla de transformadas se tiene:
{ ⁄ } √
√ ⁄ √
{√ ⁄ } √
⁄ √
Aplicando linealidad:
√
{ ⁄ } √
16.
{ ⁄ } √
√
√
Determine si la serie infinita:
es convergente o divergente
{√ ⁄ } √
k 1
√ √
1 ( k 2)( k 3)
DESARROLLO:
1
( k 2)( k 3) k 1
=
∑
Calcularemos la sumatoria de la serie infinita:
Sera convergente si el límite de la sumatoria existe: li
Por lo tanto la serie infinita es convergente.
(
)
17.
Pruebe la convergencia o divergencia de la serie:
DESARROLLO: Si el límite existe es convergente: Aplicando L”Hospital
li
ln
li
li Como el límite existe, entonces la serie es convergente.
ln( n) n 1 n
18.
n3 Pruebe la convergencia absoluta de la serie: ( 1) 3n n 1 n
DESARROLLO: y Aplicando el criterio de la razón:
li
|
|
li |
li |(
|
) |
Dado que el límite es menor que 1 la serie es absolutamente convergente.
BIBLIOGRAFIA: Eduardo Espinoza Ramos. Sucesiones y series infinitas Disponible en: http://es.scribd.com/doc/56996343/Sucesiones-y-Series-EduardoEspinoza Libros pdf. Sucesiones y series-teoría y 60 problemas resueltos (clase en pdf) Disponible en: http://librosgratisx.blogspot.com/2012/01/sucesiones-y-series-teoriay-60.html?spref=bl
Eusebi Jarauta Bragulat. Análisis matemático de una variable: Fundamentos y aplicaciones. Barcelona: Universidad Politécnica de Cataluña. España. Disponible en: http://books.google.com.pe/books?id=GMLrE9DxxxQC&pg=PA43&d q=sucesiones+convergentes&hl=es&ei=yvznTrXfN9CWtwfe0PTRC g&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0#v=onepage& q=sucesiones%20convergentes&f=false Murray R. Spiegel. Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Prentice – Hall Hispanoamérica, S.A. México 1983 M. Braun. Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. Editorial Iberoamérica. México 1990.
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