Matematica II
September 13, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DECIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS
UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES
Manual Teórico para uso exclusivo de los estudiantes
I Ciclo Semestre 2017 – I I
Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151 Santa Anita - Lima
Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales: FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestiónde deMarketing Recursos Humanos Escuela Profesional
FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas Escuela Profesional de Economía
INTRODUCCION
El presente Manual de Matemática II representa para el estudiante uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Este Manual que presentamos, contiene fundamentalmente la parte teórica de la asignatura de Matemática II que se aplicará en cada una de las sesiones de aprendizaje que se desarrollarán en el presente semestre académico 2017 - I, por lo que está dividido en cuatro unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Matrices, Determinan Determinantes tes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una Función Real de Variable Real, Derivadas e integrales. Es nuestra intención y propósito, que el presente Manual sea en un instrumento básico de trabajo para el estudiante, por tanto es indispensable la consulta permanente con la bibliografía recomendada en el silabo. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.
Los profesores
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
SEMANA 1
MATRICES
DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij dispuestos en filas y columnas. Estos elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las letras mayúsculas A, B, C , etc.
Representación General: a11 a12 a21 a22 A . . a a m1 m 2
a
.......
1 n
a
.......
2 n
.......
a
mn
mxn
Orden de una matriz El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la matriz. Si, A [ aij ]mn es un una a matriz , ento entonces nces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n. determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee “m” por “n”). Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).
Por ejemplo el elemento a12 está en la fila 1 y en la columna 2.
CONSTRUCCIÓN DE MATRICES EJERCICIOS: Elaborar las ma matrices trices sigu siguientes: ientes:
1) E [ e ] ij
2 x 3
max ( i , j ) ; i j /e ij i j i j m i n ( , ) ;
ji ; i j / n i j ; i j 2) N n ij ij 2 x 3 j i ; i j
01
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
IGUALDAD DE MATRICES Las matrices A [ aij ] mn y B [ b ] mn son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y ij
sus entradas correspondientes son iguales. A B aij bij , para todo i, j
EJERCICIO: Si las matrices A y B son iguales, entonces:
0, 2 x Calcule: E xy xz yz si: A 4 z 1
1 0 8
7 y y 1 3
25 1 0 B 4 x y 8
7
y 3 y
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se denota AT . El orden original es m x n y el orden de AT es n x m.
Propiedades ( AT )T A
( A B )T AT BT
( k A )T k AT
MATRICES ESPECIALES Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila. Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna. Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero. Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se as entradas a11 , a22 , a33 , ...... , ann forman la denota An . En una matriz cuadrada de orden n, llas diagonal principal. Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. 02
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MAT EM ÁTI CA II
Matriz Escalar : Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales. Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales a uno. Matriz Triangular Superior : Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz Triangular Inferior : Es una matriz cuadrada, donde donde todas las entrada entradass por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A AT . Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A AT . En una matriz antisimétrica, antisimét rica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.
EJERCICIO:
a b 1 Si: A 2 x y 5 y z
16 a b 1
3x z
125 3 x3 2 y 4 z 1 / 27 es antisimétri antisimétrica, ca, calcule E 2 a b 0
OPERACIONES CON MATRICES
ADICIÓN DE MATRICES Si A aij y B bij son matrices de orden m x n, entonces la suma A B es la matriz de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .
MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k A , tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k .
Propiedades Sean A , B , C y O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , k 1 , k 2 son números reales: 03
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1. A B B A
5. ( k1 k 2 ) A k1 A k 2 A
2. A ( B C ) ( A B ) C
6. k1 ( k 2 A ) ( k1 k 2 ) A
3. A O O A A
7. 0 A O
4.
8. k O O
k ( A B ) k A k B
SUSTRACCIÓN DE MATRICES: Dado que B ( 1 ) B , se define: A B A ( B )
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB es la matriz C de orden m x p cuyas entradas c ij , se obtienen al sumar los productos de las entradas de la fila “ i” de la matriz A , con sus respectivas entradas de la columna “ j” de la
matriz B .
Propiedades 1. A ( BC ) ( AB ) C
3. ( A B ) C AC BC
2. A ( B C ) AB AC
4. ( AB )T BT AT
APLICACIONES 1. Un fabricante fabrica nte de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco y gris. La capacidad de producción producción (en miles de pares) en la Planta de Vitarte está dada por la siguiente matriz: Niños
50 A 60 20
Damas
80
38 50
Caballeros
160 Negro
Gris 28 Blanco
12
04
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
La producción en la Planta de la Victori Victoria a está dada por la matriz: Niños
26 B 60 20
Damas
12
30 36
Caballeros
66
Negro
64 Gris 8 Blanco
a) Halle la representac representación ión matricial de la producci producción ón total de cada tipo de zapatos en ambas plantas. b) Si la producción en la planta de Vitarte se incrementa en un 50% y de la Victor Victoria ia en un 25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado.
3 1 y B T 2 1 , determine la matriz X si se cumple: 2. Si A 3 5 4 2 2 AT 3 ( AT B ) T 5 X 4 ( 2 A B ) T
5 0 4 3 , determine la matriz X si se cumple: 3. Si AT y , 3 B I C 2 x 2 2 1 2 1 2 BC T 3 ( A C T ) 3 X 3 B T A
4. Tiendas Tottus, po porr la Copa América, re remató mató 12 120 0 TV LED 3 3D D de 20”, 85 de 32”, 115 de 42” y 100 de 47”. Los TV LED 3D de 20” tenían un precio de S/. 520, los de 32 ” un precio de S/. 980, los de 42” S/. 1 820 y los de 42” a S/. 2 899. La gerencia general prometió devolver el costo de cada TV si la selección selección de Perú quedaba entre entre los tres primeros puestos puestos.. En forma matricial, calcule la cantidad de dinero que tuvo que devolver Tottus. 5. En una tienda de ropa deportiva deportiva para homb hombres, res, se venden tres modelos modelos de buzos: modelo A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360 respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60 buzos de cada modelo respectivamen respectivamente. te.
05
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SEMANA 2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se denota por: A .
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2
a b c d
A
A
a b 2 3 ( 2 )( 5 ) ( 3 )( 4 ) 2 ad bc , ejemplo: A 4 5 c d
DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)
a b c A d e f
a
b
c
a
b
A d
e
f
d
e aei ae i bf bfg g cdh ceg af afh h bdi bd i
g
h
i
g
h
g h i
2 1 3 Ejemplo: A 0 4 5 3 2 0
36 20 0 2 1 3 2 1 A 0 4 5 0 4 (0 15 0) ( 36 36 20 0) 41 3 2 0 3 2
0
15 0
Propiedades 1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces: A 0 2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: A 0 3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces A es igual al producto de las entradas de la diagonal principal. 4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces:
k A k n A
5. El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes A B A B . 6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuest transpuesta a A AT 1 7. Si A es una matriz invertible: A
1
A
06
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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MÉTODO DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES
a11x a12 y b1 Dado el sistema , a x a y b 21 22 2 Denotamos:
A a11 a21
luego:
a12 a22
x
A x b1 b2
A x A
y
a12 a22
A y A
A y a11 a21
b1 b2
siempre que
A 0
Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre que A 0
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: De acuerdo a sus soluciones, pueden ser:
1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser: a) Determinado. Cuando tiene solución única. b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución ( solución paramétrica).
2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución. Atendiendo a sus sus términos inde independientes: pendientes: a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos. b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.
Ejemplo 1
2 x 5 y 11 Resolver por el método de Cramer: 3 x 4 y 6 Solución: A
A x A y
2
5
3
4
8 15 15 7 ,
11 5 6
4
2
11
3
6
44 30 14 , luego x 12 33 21,
luego y
14 7
x 2
21
y 3
7 07
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Ejemplo 2
2 x y z 3 Resolver el sistema: 3 x 2 y 2 z 20 utilizando el método de Cramer. x 3 y 5 z 29
Solución: 2
1
A 3
2
1
1 2
1
2 3 3 5 1
3 1 A x 2 0
2
29
3
2 2 0 2 9 2 1 2 1 5 9 5 1 4 3
3 1
1
2 2 0 5 29
2
3 0 5 8 6 0 5 8 1 8 1 0 0 1 4 8 1 7 6 2 8
3
1 2 3 2 3 2 0 2 0 0 6 8 7 2 0 1 1 6 4 5 1 0 7 5 1 5 6 1 29 5 1 2 9
2 A y 3
2
3 20
1 3 2 1
A z 3
2
20
3
2 1 1 6 2 0 2 7 6 1 2 0 8 7 6 9 2 7 4 2
1
3
29
1
3
luego:
28 x 2 ; 14 A A x
y
A y A
56 4 14
; z
A z A
42 3 14
EJERCICIOS: 1. Utilizando el método de Cramer resuelva los siguientes sistemas: Calcular el valor de x en: 0 ,2 x 0 ,3 y 0 ,4 z 2 ,7 a) . 0, 0 ,3 x 0 ,1 y 0 ,5 z 3 ,1 0 ,7 x 0 ,2 y 0 ,4 z 4 0,
Calcular el valor de z en:
b)
7 x 7 y 7 z 0 13 3 x 13 y 2 13 z 3 13 1 5 x 3 5 y 2 5 z 3 5
08
MAT EM ÁTI CA II
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
APLICACIONES Resuelve, utilizando el método de Cramer: 1. La empresa “Textiles “Textiles del Perú” produce pantalones pantalones y faldas, con un co costo sto de producción unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6 000. Sabiendo costo atotal mensual de S/. un 16 ingreso 800 y que pantalón a S/. 200 y que cadael falda S/.180, que es generan totalcada mensual de se s/. vende 26 800. Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes. 2. La empresa H H&B &B fabrica y envasa mermela mermelada da de fresa y puré de manz manzana. ana. Por cada u unidad nidad de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la ganancia total de S/. 3 900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron? 3. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra? 4. Una fundidora prod produce uce dos esculturas di diferentes ferentes de bronce. El de departamento partamento de fundi fundición ción dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12 horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas esculturas de cada tipo debe producir cada semana?
09
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SEMANA 3 METODO DE REDUCCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA LINEAL
a
a11
12
a 13
b
a a a xy b11 21 22 23 21 a a a z b 31 32 33 31
xa y zb a 21 x a 22 y a 23 z b 21
a 31 x a 32 y a 33 z
a a 11
11
b 31
12
13
A
X
= B
Simbólicamente AX B , donde: La matriz A es la matriz de los Coeficientes. La matriz X es la matriz de las Incógnitas. es la matriz de las constantes o términos independientes.
La matriz B
MATRIZ AUMENTADA
A
a11 a12 a13 a a a B 21 22 23 a a a 31 32 33
b 21 b31 b11
REDUCCIÓN DE MATRICES Consiste en reducir una matriz, para eso primero veamos que características tiene una matriz reducida. Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente: Si una fila no co consiste nsiste so solamente lamente de ceros, enton entonces ces la primera en entrada trada diferente de cero en la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su columna, son ceros.
En cada fila, la prim primera era entrada diferente de cero está a la dere derecha cha de la primera entra entrada da diferente de cero de cada fila arriba de él.
Todas las filas que consistan ú únicamente nicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.
010
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MAT EM ÁTI CA II
Para transformar a una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales sobre filas de la matriz, estas son: 1° F x F y : Intercambio de filas. S Se e cambi cambian an lla a fila F x por la fila F y . 2° k F x :
Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero, multiplica a la fila F x .
3° k F x f ila. K veces la fila F x se suma a la fila F y . F y : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. (La fila F x no se altera).
OBSERVACIÓN:
Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son equivalentes .
Ejemplo:
2 4 4 A 5 9 7 8 9 10
Reducir la matriz
Solución:
2 5 8
4 9 9
1 5 8
4
10
7
(1/ 2) F 1
2 1 2 ( 8) F1 F 3 0 1 3 0 7 6
1 0 ( 2) F2 F 1 0 1 0 7
1 0 4 (1/15) F 3 0 1 3 0 0 1
4 3 6
2 9 9
2
10
7
( 5) F1 F 2
1 2 2 0 1 3 8 9 10
2 1 2 3 ( 1) F 2 0 1 0 7 6
1 0 4 ( 7 ) F2 F 3 0 1 3 0 0 15
1 ( 4) F3 F 1 0 0
0 1 0
0
1
3
2 4 4 Por lo tanto, la matriz reducida de A 5 9 7 es 8 9 1 0
( 3) F3 F 2
1 0 0
0 1 0
0
1
0
1 0 0 B 0 1 0 . 0 0 1 011
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Para resolver resolver un sistema lineal, reduc reduciremos iremos la matriz au aumentada mentada A B . Ejemplos: Por el método de reducción resolver:
3 x 5 y 19 a) x 2 y 7 Solución:
3 5 19 Debemos reducir reducir a la matriz aumentada: 1 2 7 3 5 19 1 2 7
1 2
F1 F 2
7
( 3) F1 F 2
3 5 1 9
1 2 7 0 1 2
( 1) F 2
1 2 7 0 1 2
1 0 3 0 1 2
( 2) F2 F 1
x 3 , entonces es un 2 y
La última matriz es reducida y corresponde a
Sistema Compatible Determinado (solución única)
2 x 4 y 6 b) 3 x 6 y 1 Solución: Debemos reducir reducir a la matriz aumentada
2 4 6 3 6 1
1 2 3 1 2 3 1/ 2 F 1 3 6 1 ( 3) F1 F 2 0 0 8 1/2
2 4 6 3 6 1
1 2 3 ( 1/ 8 ) F 2 0 0 1
1 2 0 0 0 1
( 3) F2 F 1
x 2 y 0 La última matriz es reducida y corresponde a , entonces observamos un absurdo 0 1 ( 0 1 ), por lo que el sistema es incompatible (no tiene solución).
012
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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SEMANA 4
MATRIZ INVERSA. SISTEMA DE ECUACIONES
MATRIZ INVERSA Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una 1
1
matriz denotada por A tal que: A A inversa de A .
A1 A I . A la matriz
1
A se le llama matriz
CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN Sea A , una matriz cuadrada de orden “ n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por 1
A , se sigue los siguientes pasos:
1º. Se construy construye e una ma matriz triz de lla a forma: A I donde I es la matriz identidad. A esta matriz se le llama matriz aumentada. 2º
Utilizand Utilizando o las opera operaciones ciones el elementales ementales ssobre obre filas (mé (método todo de Gau Gauss ss - Jordan Jordan), ), se transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad: I A 1 . La matriz que resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A .
Ejemplo 1.
3 1
Calcular la matriz inversa de A
7
2
Solución: Formando la matriz aumentada de A :
3 7 1 0 1 2 0 1
A Aplicando operaciones operaciones el elementales ementales sobre fila: 3 F 1 + F 2
1 0
2 0 1 1
1 3
2 F 2 + F 1
I F 1 F F 2 1 0
1 2 0 1 3 7 1 0
0 2 1
I
1
7 3
A 1
2 7 Por lo tanto: A1 es la matriz inversa de A . 1 3
013
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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Ejemplo 2.
1 1 3 Calcular la matriz inversa de A 2 1 4 3 2 2 Solución:
1 1 3 1 0 0 Formando la matriz aumentada de A : 2 1 4 0 1 0 3 2 2 0 0 1 I
A 2 F 1 + F 2
Aplicando operaciones operaciones el elementales ementales sobre fila:
3 F 1 + F3
F 2 + F 1
1 1 1 0 1 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 7 5 1
5 F 2 + F 3
6 4 1 0 0 0 1 0 16 11 0 0 1 7 5
F 3 + F 1
2 F 3 + F 2
I
1
Por tanto: A
F F 3
3 1 0 0 1 1 0 1 2 2 1 0 0 5 11 3 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1 2 2 1 0 0 0 1 7 5 1
1
2 1
A 1
6 4 16 11 5 7
1
2 es la matriz inversa de A . 1
Propiedades a) A 1 A I
b) ( A B ) 1 B 1 A 1
c) ( A 1 ) 1 A
d) ( I ) 1 I
e) ( AT )1 ( A 1 ) T
f)
( k A ) 1 k 1 A 1 ; k 0 , k
014
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolución por el Método de la Matriz Inversa
a11 a12 x b1 a11 x a12 y b1 , se puede expresar como: El sistema a a a x a y b y b 21 22 2 21 22 2 A
X
= B
Simbólicamente AX B , donde: A es la matriz de los coeficientes.
a matriz matriz co columna lumna de variables. X es lla B es la matriz columna de las constantes
Multiplicando a ambos miembros por A 1 (por la izquierda), se tiene: A 1 AX A 1 B 1
1
de donde: IX A B , por lo tanto:
X A
B
Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n”
incógnitas, siempre y cuando exista A 1 . Ejemplo:
x 5 y 23 Resolver el sistema 2 x 11 y 49 Solución:
1 5 Formando la matriz de coeficientes: A 2 11 1 5 1 0 Hallando su matriz inversa:
2 F 1 + F 2
2 11 0 1
5 F 2 + F 1
1 0 11 5 0 1 2 1
Como: X A 1 B
entonces:
1
A
1 5 1 0 0 1 2 1
11 5 2 1
x 11 5 23 8 y 2 1 49 3
015
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
Por lo tanto:
x 8 ;
y 3
APLICACIONES Resuelva los siguientes siguientes problemas, utili utilizando zando el método de la inversa de matrices. matrices. 1. Un empresari empresario o compró acci acciones ones mineras y ccomerciales omerciales de los tipos A y B respe respectivamente. ctivamente. Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se sabe que compró 900 ac acciones ciones entre las del titipo po A y las del tipo B y que invirtió S/.11 000 en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario? 2. Una fábrica de automóviles automóviles p produce roduce dos model modelos os A y B. Suponga que cada modelo A requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8 partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930 partes del tipo II, ¿cuántos automóvil automóviles es de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibl disponibles? es? 3. La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad de $72 000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?. 4. Una tienda comercial o ofrece frece dos mod modelos elos di diferentes ferentes de me memorias morias USB B1 y B2. El precio de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de Enero la tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total fue de $15 000, determine el número USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de Enero. 5. Una fábrica elabora dos productos A y B. Por cada unidad que vende de A la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de B la ganancia es de $11. De la experiencia se ha encontrado que puede venderse 25% más de A que de B. Para el año siguiente el fabricante desea una ganancia total de $42 000. ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender?
016
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
SEMANA 5
LÍMITES NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Es importante conocer el comportamiento de una función f ( x) , cuando los valores de la variable independiente “ x ”, se aproximan a un número determinado que llamaremos x0 . Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número x0 .
Ejemplo Si f x
x 3 1 x 1
Observamos que el punto x0 1 no pertenece a all dominio de la funci función. ón. En la tab tabla la adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos los valores correspondientes de la función f ( x) : x 1
x
0,95
f x 2,8525
x 1
0,99
0,995
0,999
1,001
1,005
2,970
2,9850
2,9970
3,0030
3,0150
1,01
1,05
3,0301 3,1525
De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “ x x” se aproxima al número 1, el valor de
f ( x) se aproxima al número 3.
Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función f ( x) cuando x “tiende” a 1; es 3. Esto se simboliza:
3
lim x 1 3 x 1 x 1
DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE El límite de una función f ( x) , cuando la variable x se aproxima a un valor dado x0 , es el número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxi aproxima ma la función, esto se simboliz simboliza: a:
lim f ( x ) L , se lee: “El límite de f ( x) cuando x tiende a x0 es L ”
x x0
017
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS Sean k , x0 números reales y n un número entero positivo. Entonces: 1.
lim k k
xx
3. lim x n x 0n
2. lim x x0 xx
0
xx
0
0
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Sean k , x0 números reales y n un número entero positivo y f , g funciones cuyos límites existen:
lim f ( x ) L
xx
y
lim g ( x ) M
x x
0
0
Entonces: 1.
l i m k f ( x ) k l i m f ( x ) k L
x x
x x
0
2.
0
lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) L M
xx
x x
0
3.
0
lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) L M
xx
x x
0
4.
x x
0
xx
0
0
lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x ) L M
xx
x x
0
x x
0
0
lim f ( x )
5.
lim
f ( x )
g ( x ) 0
x x
x x
0
lim g ( x )
x x
L M
, siempre que M 0 .
0
n
n 6. lim f ( x ) lim f ( x ) Ln xx xx0 0 7.
lim n f x
x x0
n
lim f x
x x0
n
L
018
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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0
FORMA INDETERMINADA: 0 Cuando en una función f ( x) reemplazamos la variable por un valor dado “ x0” y nos da la forma indeterminada 0/0 , e ess posible calcular el lim f ( x) ; previamente se debe factorizar o x x0
racionalizar f ( x) con la finalidad de “eliminar o levantar la indetermina indeterminación. ción.
Ejemplo 1
Solución:
x 2 x 2 Calcular lim 2 x1 x 2 x 3 2 ( x 1)( x 2) lim x2 x 2 lim x1 x 2 x 3 x1 ( x 1)( x 3)
lim x 1
( x 2) ( x 3)
3
4
2
Por tanto: lim x2 x 2 x1 x 2 x 3
Ejemplo 2 Calcular lim x 7
Solución:
lim
x7
34
x 2 3 x 7
x 2 3 lim x 7
x 2 3 x7
x 7
lim x 7
lim x 7
x2 3
x 2
( x 7)(
2
x2 3
32
x 2 3)
( x 7) ( x 7)(
x 7
x 2 3)
1
lim (
x 2 3)
1
6
Por tanto: lim x 7
x 2 3 1 x 7 6
019
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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y
LÍMITES LATERALE L ATERALES S Consideremos una función por tramos: ; si x 2 x 2 f ( x ) x 34 ; si x 2
6
4
2 Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( x 2) , xla función se aproxima al número 4; esto se sim simboliza: boliza: lim f ( x ) 4 x2
Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( x 2) , la función se aproxima al número 6, esto se simboliza: lim f ( x ) 6 x2
DEFINICIÓN. Una función f ( x) tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales; esto es:
li lim m f ( x) L x a
lim lim f ( x) li lim m f ( x) L x a x a
Verifique si existen los siguientes límites:
x 3 8 ; si x 2 x 2 4 1. f ( x ) 3 x 3 3 ; si x 2 x 2
a) lim f ( x ) x2
b) lim f ( x ) x2
c) lim f ( x ) x2
2. Halle el valor de m y n si existen lim f ( x ) y lim f ( x ) ; x2
x1
2 x 3 m ; si x 2 f ( x ) 5 mx n ; si 2 x 1 32 x ; si x 1 3. Dada la gráfica de la función f ( x) , calcule si existen los siguientes límites; y
a) lim f ( x )
9
x 11
b) lim f ( x ) x 11
c) lim f ( x ) x 11
8
2
1
3
d) lim f ( x ) e) lim f ( x )
f) lim f ( x )
g) lim f ( x )
i) lim f ( x )
x 1 2
4 2
x
x 12
x 1 2
h) lim f ( x ) x 12
x 1 2
x 12
020
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
SEMANA 6
CONTINUIDAD Continuidad de funciones Una función f ( x ) es continua en a condiciones:
; si y sólo si, se cumplen las siguientes tres
1. Existe f (a) , es decir a pertenece al dominio de f ( x ) . 2. Existe el lim f ( x ) , es decir los limites laterales existen y son iguales x a
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f (x )
x a
xa
x a
3. f ( a ) = lim f ( x ) x a
OBSERVACIONES Una función polinomial es continua en todo su dominio.
Ejemplo 1 f ( x ) 2 x 3 3 x 1, x Sea a
:
i ) f ( a ) 2 a 3 3 a 1, existe. ii )
lim f ( x ) lim 2 x 3 3 x 1 2 a 3 3 a 1, existe. xa
x a
iii ) f ( a ) lim f ( x ) 2 a 3 3 a 1 x a
f es continua en
a
Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es continua en cualquier otro punto de su dominio.
Ejemplo 2 Analizar la continuidad continuidad de la función: f ( x)
2 x 1 2
x 9
Solución: Si x 3: i)
f ( 3)
2 ( 3) 1 32
9
7
,
f es discontinua en x 3
0
021
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II Si x 3: i ) f ( 3 )
2 ( 3) 3 ) 1 ( 3 ) 2 9
5 0
,
f
es discon discontinu tinua a en
x 3
EJEMPLOS
3 x 1, x 0 0 x 1 1. Analizar la co continuidad ntinuidad de la funci función: ón: f ( x ) x 2 , 2 x 1, x 1 Solución: Si x 0:
i ) f ( x ) 02 ii )
0
lim x 2 0 2 0 ; lim 3 x 1 3 ( 0 ) 1 1
x 0
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) lim f ( x ) x 0
f
x 0
es discontinua en
x 0
x0
Si x 1:
i ) f ( 1 ) 12 ii )
1
lim 2 x 1 2 (1 ) 1 1; lim x 2 12 1
x 1
x 1
lim f ( x ) 1 x 1
iii ) f (1 (1 ) lim f ( x ) 1 x 1
f
2.
es continua en
x 1
x 1 3 x a , Hallar los valores de a y b , si: f ( x ) 3 a 1, 1 x 2 x2 2 bx 1, es continua en todo su dominio.
Solución: Se analiza la continuidad en x 1 y x 2 , pues esto va generar que se formen ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “ b ”.
022
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
Como f ( x ) es continua en x 1 , basta observar que: f (1) lim f ( x) lim f ( x) x1
f (1) 3a 1 ;
Luego:
x1
lim(3a 1) 3a 1 ; lim (3 x a) 3 a
x 1
x 1
3a 1 = 3 a a 1
Como f ( x ) es continua en x 2 , basta observar que: f (2)
lim f ( x) lim f ( x)
x2
x 2
Luego: f (2) 2b(2) 1 ;
lim( 2bx 1) 2b (2 ( 2) 1 ; lim(3a 1) 3a 1 ;
x2
x 2
= 3a 1 4b 1 = 3(1) 1 = 2 b 1 4 4b 1 =
TIPOS DE DISCONTINUIDAD 1. Discontinuidad removible o evitable. Una función presenta discontinuidad removible o evitable en un punto “ a ” cuando e xiste lim f ( x ) pero es diferente de f ( a ) ó x a
a Df ( x ) .
Ejemplo:
5
f ( x )
f ( x )
4
4
3
3
b)
a)
OBSERVACIÓN a)
En el primer gráfico, f (3 ) 5 pero lim f ( x) 4 , x3
luego
es discontinua removible en x 3 f ( x) es 023
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
b) En el segundo gráfico, f (3) (3) no existe, sin embargo, lim f ( x) 4 x3
f ( x) es discontinua removible en x 3 2. Discontinuidad no removible o inevitab inevitable. le. Una función presenta discontinuidad en un punto “ a ” cuando no existe
es
lim f ( x ) , o al menos uno de los límites laterales en “ a
x a
”
.
Ejemplo
7
4
1 2
3
OBSERVACIÓN a) En el primer gráfico, lim f ( x) 4 y x2
lim f ( x) x 2
lim f ( x) 7 x2
f ( x) es discontinua no removible r emovible en x 2
b) En el segundo gráfico, lim f ( x) 1 y lim f ( x) x 3
lim f ( x) x 3
x 3
f ( x) es discontin discontinua ua no removible en x 3
024
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
SEMANA 7
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Sea f ( x) una función f unción definida en cada punto del intervalo I es derivable en el punto x I , si existe el límite siguiente:
lim
f ( x h) f ( x)
, entonces se dice que f ( x)
h
h 0
La derivada derivada de una fun función ción se denota por: f '( x ) o por
df ( x )
y se lee “la derivada de f ( x)
dx
en el punto x ”, entonces por definición se tiene: df ( x)
f '( x) lim
dx
f ( x h) f ( x)
h
h0
Ejemplos: Halle la derivada de las siguientes funciones usando la definición. b) f x 3x 2 2 x 5
a) f ( x) 3 x 2
c) f ( x )
2x 1
Solución: a) f ' ( x ) l i m
f ( x h ) f ( x )
h 0
f ' ( x )
lim
f ' ( x )
3 ( x h ) 2 ( 3 x 2 )
lim
3 x 3h 2 3 x 2
h
f ' ( x )
lim
h 0
3h
h
h 0
h
h 0
f ' ( x )
h
f ' ( x ) 3 .
li m3
h 0
b) f ´( x ) lim li m
f ( x h ) f ( x )
h 0
f '( x )
lim li m h 0
h
3( x h ) 2 2( x h) 5 (3 x 2 2 x 5)
h
025
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
f '( x )
3( x 2 2 xh h 2 ) 2 x 2h 5 3 x 2 2 x 5
lim li m
h
h 0
f '( x )
3 x 2 6 xh 3h 2 2 x 2 h 5 3 x 2 2 x 5
lim li m
2
2
f '( x )
6 xh 3h 2 2 h
lim li m
f '( x )
f ( x h ) f ( x )
f '( x)
lim
h 0
lim
h 0
( 2 x 2h 1
2 x 1)
h
(2 x 2h 1 2 x 1) h( 2 x 2h 1
2 x 1)
2 ( 2 x 2h 1
2 2 2 x 1
2( x h) 1
lim
1 2x 1
2 x 1)
( 2 x 2h 1
2 x 1)
( 2 x 2h 1
2 x 1)
2h h( 2 x 2h 1
2 ( 2x 1
2x 1
h
h 0
h 0
lim
f '( x)
h
h 0
h
f ´( x ) 6 x 2 .
6x 2
h
h 0
li lim m
h ( 6 x 3h 2 )
h 0
h ( 6 x 3h 2 )
lim li m
c) f ' ( x ) l i m
f '( x )
h
h 0
f '( x )
2
lim li m 3 x 6 xh 3h 2 x h 2 h 5 3 x 2 x 5 h 0
f '( x )
f '( x)
h
h 0
f '( x)
2 x 1)
2 x 1)
.
REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN Si f ( x) y g ( x) son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define: 1) Si, f ( x ) k , es una función constante, entonces: f '( x ) 0 2) Si, f ( x) xn ,
n
, entonces: f ' ( x ) n xn 1
3)
k f ( x) k f ( x) , donde k es constante.
4)
f ( x) g ( x) f
( x)
g ( x)
026
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
SEMANA 8
DERIVADA DE UNA POTENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE Derivada de una potencia n n1 n 5) f ( x) f ( x) f ( x)
Derivada de un producto
6) f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x) f ( x) g ( x) Derivada de un cociente
f ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) 7) , si g ( x ) 0 2 g ( x ) g ( x )
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea y f ( x ) una función definida en I , I
, cuya gráfica sea la siguiente: Si: f ( x0 ) f ( x 0 x0 ) f ( x0 )
y
f ( x )
N
f ( x x ) 0
Entonces, en el triángulo rectángulo MPN, f ( x0 ) representa la longitud del cateto PN, de igual manera que x0 representa
0
la del MP. De aquí se tiene que :
M f ( x 0 )
P
Pero si hacemos x0 0,
0
x 0
f ( x0 ) tg ( ) x0
x 0 x 0
x
Entonces:
lim
x0 0
f ( x0 ) x0
f ( x
0
).
Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en
el punto considerado x 0 , f ( x 0 ) . 027
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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RECTA TANGENTE Y NORMAL La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente.
La ecuación de la recta tangente L T a la gráfica
f ( x)
de y f ( x) en el punto x 0 , y 0 y pendiente
L N
m LT está dada por : y y0 m LT ( x x0 ) .
LT
Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente en x 0 es la derivada de f ( x 0 ) : m LT f ( x 0 ) .
P( x 0 ; y 0 )
Entonces, la ecuación de la recta tangente es: y
y0
f ( x0 ) ( x
x0 )
La ecuación de la recta normal L N a la gráfica de y f ( x) en el punto
x 0 , y 0 de pendiente m LN , está dada por: y y0 m LN ( x x0 ) .
Pero sabemos que: m LN
1 . Entonces, la ecuación de la recta normal es: m LT y y 0
1 (x x 0 ) f ( x 0 )
Ejemplo: Halle la ecuación general de la recta tangente y de la normal a la parábola: y 2 x 2 8 x 5 en el punto P (1 , 1) .
Solución: Derivando f ( x ) 2 x 2 8 x 5 , se tiene: f ( x ) 4 x 8 . Evaluando la derivada en x 1 , se tiene la mLT es f ' (1) 4 , luego: La ecuación general de la recta tangente es: y 1 4 ( x 1 )
LT
: 4 x y 3 0.
La ecuación general de la recta normal es: y 1
1 4
( x 1)
LT : x 4 y 5 0 .
028
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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SEMANA 10
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Derivada de funciones exponenciales. f ( x ) f ( x) f ( x) ln a , donde a . 8) a a f ( x ) f ( x ) f ( x) , donde e es la constante de Euler. 9) e e
Caso particular (e x ) ' ex
Derivada de funciones logarítmicas. 10) ln f ( x) f ( x) , caso particular: ln x 1 f ( x) x
1 , caso particular: Log b ( x) 11) Log b f ( x) f ( x) lnb x lnb f ( x)
NOTA Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes: 1)
ln a n n ln a
2)
ln(a.b) ln a ln b
3)
ln( a ) ln a ln b b
4)
log b a ln a (cambio de base) ln b
EJERCICIOS: I. Derive las siguientes funciones: 1. y
e x e x x x e e
3. y log 2
3
2
x x
2.
4.
3
f ( x )
( x 3 )5 2 x
6 x 5 ( 4 x 5 )3 y ln ( 7 x 8 )2 4 8 x 1
029
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
II. APLICACIONES: 1. Halle la ecu ecuación ación general de lla a recta tangente a la curva: f ( x ) x 2 x 3 1 , en x 2 .
2. Encuentre y f ( x )
la
ecuación
x ( 2 - x2 ) x
de
la
recta
tangente
y
normal
a
la
curva
, en el punto ( 4 , k ) f ( x ) . 2
3.
5 x 2 e en Halle la ecuación de la recta tangente a la curva: f ( x ) x 3 1 e
4. Halle
la
ecuación general de la recta tangente y y f ( x ) ( x2 1) e x 2 en el punto ( 2 , 5 ) .
normal
x 0 .
a la curva
5. Halle la ecuación general de la recta normal a lla a curva: f ( x ) ( x 3 2 ) e ln ( 2 x 3 ) , en el punto donde x 2 .
030
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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SEMANA 11
INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO. APLICACIONES A LA ECONOMÍA. Razón media de cambio de “ y ” con respecto a “ x ”: ”:
Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente independiente “x” “ x” produce un cambio
x , entonces “y” cambia de f ( x1 ) . Así el cambio en “y” que podemos denotar como y es f ( x1 x) f ( x1 ) , cuando el cambio en x es x .
en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a x1
El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia de x1
a x1 x , es :
f ( x1 x) f ( x1 )
x
Así en general, tenemos: tenemos:
y x
Cambio en x: x x x x Cambio en y: y f x x f ( x)
Cambio en en y Cambio en x
y f ( x x) f ( x) x x
RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “ y ” CON RESPECTO A “ x ”
Si existe el límite de como lim x 0
f ( x1 x ) f ( x1 )
x
f ( x1 x ) f ( x1 )
x
cuando x se aproxima a cero, lo cual denotamos
; este límite es lo que recibe el nombre de razón instantánea
de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”.
Definición Si y f ( x) , la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x 1 es la derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por f '( x ) , si ésta existe en x = x 1. 1
031
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
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APLICACIONES A LA ECONOMIA Función de costo total. La función función de costo total de un fabricante, C f (q) , nos da el costo total C de producir y comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama costo marginal. Así, Costo marginal C '
dC dq
Interpretamos Interpr etamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida.
Ejemplo 1. El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por C 45 5q 2 . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.
Solución: Derivamos la función costo: C ' 10q entonces C '(3 ) 10(3) 30 , es decir, si la producción se incrementa incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente aproximadamente en 30 dólares.
Función de costo promedio. Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad C es: C
C
q
Además, Ade más, la func función ión cost costo o total t otal se p puede uede hall hallar ar uti u tiliza lizando ndo :
C q C .
Ejemplo 2. El costo medio unitario en la producción de q unidades es C 0.002 q 2 0.4q 50
100000 q
.
Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal luego de producir 40 unidades.
Solución: Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir: C Cq 0.002q3 0.4q2 50q 100000
032
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La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir: C ' 0.006q 2 0.8q 50 (función de costo marginal)
Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es: C '(4 0) 9.6 32 50 $27, 60 aproximadamente
por
la
unidad
adicional
producida; es decir por la unidad 41.
Función de ingreso total. La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación r f ( q) pq que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio por unidad es p .
Función de ingreso marginal. El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la derivada de r con respecto a q : Ingreso marginal r '
dr dq
El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de producción.
Ejemplo 1. Un fabricante vende un producto a 3q 50 dólares/unidad dólares/unidad.. Determine la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para q 100 .
Solución: El ingreso es r pq , entonces r p q 3q 50 q 3q 2 50q Por lo tanto, el ingreso marginal es r ' 6q 5 0 . Para q 100 , el ingreso marginal será: r
'(10 '(100) 0) $650 $650 por por una una unid unidad ad adici adicion onal al vendid vendida a.
Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en el ingreso de aproximadamente $ 650.
033
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Función Utilidad La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación: U Ingresos - Costos r C
donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q unidades.
Función de utilidad marginal Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con respecto a q : U ' r '
C '
Ejemplo 1. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10 p q 0, 01q 2 700 y la función de costo es C 1000 0, 01 01q 2 . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para q 100 unidades.
Solución: Sabemos que la utilidad está dada por U (q) r(q) C (q) y que el ingreso es r pq . Por lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la función ingreso: 10 p 700 q 0, 01q2 p 70 0,1q 0, 001q 2
U (q) 70q 0,1q 2 0, 001q3 1000 0, 01q
2
r( q ) pq 70q 0,1q2 0, 001q3
0, 001q3 0,11q2 70q 1000
U '(q) 0, 003q2 0.22q 70 .
Esta es la función f unción utilidad marginal marginal,, para evaluarla en q 100 simplemente sustituimos este valor de q en dicha función. Es decir: U (10 0) 0, 003(100)2 0, 22(100) 70 30 22 70 $94 , que es la ganancia aproximada,
por la unidad adicional producida y vendida.
034
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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Cuando se deriva una función y f ( x) se obtiene f '( x ) que también es una función. Si se deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le denota como f ''( x ) . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman derivadas de orden superior. Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son: y
dy dx
y
dx
dx 2
d3 y dx 3
dn y
df
d2 y
y y n
dx n
, primera derivada de la función f ( x) . d2 f
dx 2
d3 f
, segunda derivada de la función f ( x) . , tercera derivada de la función f ( x) .
dx 3 dn f dx n
, n esima derivada de la función f ( x) .
Ejemplo: Dada la función: y 4 x 4 3 x 3 5 x 1 , halle f '''( x ) y evalúe en x 1
Solución: y ' 16 x 3 9 x 2 5
y '' 48 x 2 18 x
y ''' 96 x 18
y '''( 1) 96 18 78 EJERCICIOS: Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondient correspondiente. e. a. y
1 4 x 2
b. y e5 x
2
; ;
d y dx 2 y' ' '
; ;
x = 1 0
x = 1/5 0
035
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SEMANA 12 EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN
Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces:
f es creciente en I si y solo si f ( x) 0 x I .
f es decreciente en I si y solo si f ( x) 0 x I .
Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c I y si f (c) 0 o f (c) no existe, entonces el valor de c es un punto critico de f .
Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x) 4 x2 2 x3 . Solución: La derivada de f ( x) 4 x 2 2 x3 es f ( x ) 2 x (4 (4 3 x ) . La función es creciente en aquellos intervalos para los cuales f ( x) 0 . Luego f es creciente para todo x 0 y x 4 / 3 , es decir en el intervalo 0 , y , 4 / 3 . f es decreciente si f ( x) 0 , luego es decreciente para todo x 0 y x 4 / 3 , o sea en el
4 / 3 , 0
intervalo
Ejemplo 2: Determine los puntos críticos de la función definida por f ( x) x 4 / 3 4 x1/ 3 .
Solución:
4 ( x 1) 4 2 / 3 . Tenemos que f ´( x) 0 en x 1. y la f ´( x ) x 3 3 3 x 2 / 3 derivada no existe en x 0 . Luego x 1 ; 0 son llos os pun puntos tos cr críticos. íticos. f ´( x )
4
x1/ 3
1. En los siguie siguientes ntes ejercicios en encontrar contrar los pun puntos tos críticos, los interval intervalos os de crecimie crecimiento nto y decrecimiento: a)
f ( x ) x 3 3 x 2 1
b) f ( x ) x 4 4 x3 2 x2 12 x
036
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CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Sea f ( x) una función continua en el intervalo abierto
a , b . Sea c un punto de
a,b .
Tenemos lo siguiente
a) Si,
f ( x ) 0 en todo punto de a x c f ( x ) 0 en todo punto de c x b
y
Entonces f (c) es un valor máximo relativo de la función.
b) Si,
f ( x ) 0 en todo punt o de a x c f ( x ) 0 en t odo punto de c x b
y
Entonces f (c) es un valor mínimo relativo de la función.
REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Para determinar los extremos relativos de la función f ( x) se procede de la siguiente manera: 1. Se halla f ´( x) . 2. Se encuentran los puntos críticos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que f ´( x) 0 o´ f ´( x) no existe. 3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico.
Ejemplo: Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función f unción f ( x ) x3 6 x 2 9 x Aplicamos la regla regla dada:
1˚ . Derivada de la función: f ( x)
3( x 3)( x 1) .
2˚ . Puntos críticos: x 1, 3 ambos anulan a la derivada.
3˚ . Si, 1 x 3 entonces f ( x ) 0 , y si x 3, f ( x ) 0 ; luego en x 3 la función tiene un mínimo relativo. Si x 1 entonces f ( x ) 0 ,
y si 1 x 3 , entonces f ( x ) 0 , luego en x 1 la
función tiene un máximo relativo. 037
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SEMANA 13
EXTREMOS ABSOLUTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Si una función f es continua en un intervalo cerrado a, b se puede demostrar que entre todos los valores de x de la función f ( x) en a, b , debe existir un valor máximo (absoluto) y un valor valor mínimo (absolu (absoluto) to) a estos valores sse e les llama valores extremos.
Teorema del valor extremo Si la función f es continua en el intervalo cerrado a, b , entonces f tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo m ínimo absoluto en a, b
Regla Practica: Para la determinación de los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado 1)
Determinac Determinación ión de los valores de la función en los puntos críticos de f en a, b
2)
Determinac Determinación ión de los valores de f (a) y f (b) .
3)
El ma mayor yor vvalor alor de determinado terminado en llos os pa pasos sos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y el menor valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.
Ejemplo 1 Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función f ( x ) x3 3 x2 9 x definida en el intervalo 4, 4 Solución: Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada. Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada. f ' ( x) 3( x 1)( x 3) 0 x 3,1 .
Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene: f ( 3) 27 ;
f (1) 5 ;
f ( 4) 20 ;
f ( 4) 68 , entonces:
038
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En x 4 se produce un máximo absoluto en 4, 4 , que es f (4 ) 68 . En x 1 se produce un mínimo absoluto en 4, 4 , que es f (1 ) 5 .
Ejemplo 2 Determine, si existen los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función: f ( x ) x 4 8 x 2 16 en el intervalo 3, 2
Solución: Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada. Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada. f ' ( x) 4 x 3 16 x 0 x( x 2)( x - 2) x 2, 0, 2
Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene: f ( 3) 25 ;
f ( 2) 0 ;
f ( 0) 16 ;
f ( 2) 0 , entonces:
Máximo absoluto de f en 3, 2 , es f (3) 25 Mínimo absoluto de f en 3, 2 , es f (2) 2) f (2) 0
Ejemplo 3. 2
Determine, si existen los extremos absolutos de la función: f ( x ) 1 ( x 3) 3 en el intervalo 5, 4
Solución: La continuidad de f en el intervalo 5, 4 garantiza la existencia de extremos absolutos de , f en dicho intervalo. Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.
f '( x )
2 3 ( x 3) 1/3
El único único pun punto to crítico de es x 3 donde la derivada no existe. (Note que f ' x 0 , no tiene solución). 039
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Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: f ( 5) 3 ;
f ( 4) 0 ;
f (3) 1 ;
entonces:
Máximo absoluto de f en 5, 4 , es f (3 ) 1 Mínimo absoluto de f en 5, 4 , es f (5) 3 EJERCICIOS: 1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado. a)
f ( x )
x3
3
x 1 , 4, 4
b)
f ( x )
x 4
4
x2
2
3 , 4, 4
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS
Si y f ( x) es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina puntos de inflexión, es decir en x0 se tiene un punto de inflexión si f ( x 0 ) 0 . Si x1 es punto crítico es decir f ( x1 ) 0 ó no existe f ( x1 ) 0 . Si, f ( x ) 0 , entonces existe mínimo en x x1 Si f ( x ) 0 , entonces existe máximo en x x1 Si, f ( x ) 0 , x a , b
f ( x)
es cóncava hacia arriba.
Si, f ( x ) 0 , x a , b
f ( x)
es cóncava hacia abajo.
Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima. La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedad ambigüedades. es. Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión. 040
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Según este criterio tendremos: t endremos:
Signo de f ( x ) y f ( x )
Propiedades de la gráfica de f
f ( x ) 0 y f ( x ) 0
Creciente y cóncava hacia arriba
f ( x ) 0 y f ( x ) 0
Creciente y cóncava hacia abajo
f ( x ) 0 y f ( x ) 0
Decreciente y cóncava hacia arriba
f ( x ) 0 y f ( x ) 0
Decreciente y cóncava hacia abajo
Forma de la gráfica
Ejemplo: Sea f ( x ) x 4 4 x3 4 x 2 . Determine los extremos relativos de f ( x) aplicando el criterio de 3
la segunda derivada, los puntos de inflexión (si los hay) y las concavidades. Utilice esta información para dibujar la gráfica de f ( x) .
Solución: 1° Obtenemos los puntos críticos: f ( x) 4 x 3 4 x 2 8x ,
f ( x) 0 , luego
4 x( x 2)( x 1) 0
Los únicos puntos críticos son: x 2, x 0, x 1
2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada son: Crecimiento: 2, 0 1, Decrecimiento: , 2 0, 1 Máximo relativo en:
32 5 f (0 ) 0 y Mínimo relativo en: f (2) y f (1) 3 3
3° Obtenemos la segunda derivada: f ( x ) 12 x2 8 x 8 f ( x) 0 12 x2 8 x 8 0 3x2 2 x 1 0 (3 x 1) ( x 1) 0
Luego los puntos de inflexión son: x 1 y x 1 / 3 041
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4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:
f ( 2 ) 0 cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.
f ( 0 ) 0 cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.
f ( 1) 0 cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.
x
Ejemplo 2: Sea f ( x ) x3 3 x determine los puntos máximos y mínimos relativos de f ( x) aplicando el criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Utilice esta información para dibujar la gráfica de f ( x) .
Solución: 1° Obtenemos los puntos críticos: f ( x) 3x 2 3 ,
f ( x) 0 , luego
Los únicos puntos críticos son: x 1,
3( x 1)( x 1) 0 x 1
2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada son: Crecimiento: , 1 1, Decrecimiento: 1, 1 Máximo relativo en: f (1) 2 y Mínimo relativo en: f (1 ) 2
042
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3° Obtenemos la segunda derivada: f ( x ) 6 x f ( x) 0 6 x 0 x 0 Luego el punto de inflexión es: x 0
4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:
f ( 1) 0 cóncava hacia abajo, tenemos un máximo.
f ( 1) 0 cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.
Con esta información podemos realizar la gráfica:
EJERCICIOS 1. Determine pa para ra cada una de las sigui siguientes entes funcion funciones, es, los punto puntoss máximos y mínimos relativos, los puntos de inflex inflexión ión (si llo o hay) y las concav concavidades. idades. Trace la ccurva urva que representa a cada función. a) f ( x) 12 4 x 4 x3 c) f ( x )
2 3 x 4 x2 6 x 2 3
e) f ( x ) x 4
4 3 x 4 x2 3
b)
f ( x ) x 4 32 x 48
d)
f ( x ) x5 6
f)
f ( x ) (1 / 8)( x 4 8 x 2 )
043
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APLICACIONES APLICACION ES DE MAXIMOS Y MINIMOS MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO I NGRESO
Ejemplo: La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: p
80 q 4
,
0 q 80 ,
donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para ¿ Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?.
Solución: Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. maximizar. Como: 2
Ingreso = (precio) (ca (cantidad), ntidad), tenemos: r pq 804 q q 80 q4 q , donde 0 q 80. Haciendo
dr 80 2 q dr 0 , obtenemos: r 0, 80 2 q 0 ; q 40 dq dq 4
-
+ 0
Luego: r (10)
10
80 20 15 4
40
50
r (50)
80
80 100 5 4
Examinando la primera derivada para 0 q 40 tenemos dr / dq 0 , por lo que r es creciente. Si q 40 , entonces dr / dq 0 , por lo que r es decreciente. A consecuencia de que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente, concluimos que q 40 da el ingreso máximo absoluto, esto es, r
80q q 2 4
r (40)
80(4 (40 0) (4 (40 0) 2
400
4
044
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MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO
Ejemplo: q2
La función de costo total de un fabricante está dada por : C 4 3q 400 , donde C es el costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.
Solución: La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es: q2 C C 4 q
3 q 400
q
q
4
3
400 q
Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenci diferenciamos: amos:
C
d C 1 400 q 2 1600 2 4 q 4q2 dq
para obtener los valores críticos, resolvemos
d C 0 q 2 dq
_
+
10
luego: (q 40)(q 40) 0 . C
q 2 1600
4q 2
160 0 0 ,
40
50
q 40 (ya que q 0 ). C (10)
C (50)
Entonces, como 0 q 40 es decreciente, mínimo absoluto.
(10 ) 2 (1600 ) 4 (10 ) 2 ( 50 ) 2 1 600 4 ( 50 ) 2
15 4
9 100
q 40 es crecientes
en q 40 hay un
045
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Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud
Ejemplo 3: Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces3 al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría t beneficios directos, donde: n 6t 2 32t ; 0 t 12. 3
¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiari beneficiarios? os?
Solución: haciendo
dn dt
0 , tenemos: n
dn dt
t 2 12t 32 0
(t 4)( t 8) 0 entonces:
t 4 ;
t 8
valorr máximo absoluto se obtiene Como el dominio de n es el intervalo cerrado 0,12 , el valo evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo: n
Si, t 0 , entonces n 0 , Si, t 4 , entonces n
96
160 3
3
6t 2 32t
128
Si,
t 8 , entonces n
Si,
t 12 , entonces n 96 .
3
n
t 3
4
8
12
t
3
n t 6t 2 32t 3
en
0 ,12 0, , así se tiene un máximo absoluto en t 12 .
ADVERTENCIA: El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos absolutos en un intervalo cerrado.
046
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MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES
Ejemplo 4: Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $ 6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es: C x = 1000 + 6x 0.003x2 + 10-6 x 3 ¿Qué valor de x debemos seleccionar con el objeto de maximizar las utilidades?
Solución: El ingreso producido por la venta de
x artículos
a $ 6 cada un uno o es R x = 6x dólares. Por
consiguiente,, la utilidad por semana es: consiguiente U x = R x - C x U x = 6 x 1000 + 6x 0.003x 2 + 10-6 x3
U x 100 000 0 + 0.0 .003 03x2 - 10-6 x3
A fin de encontrar el valor máximo de la utilidad, buscamos los puntos críticos en la forma usual y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos: U x = 0.0 06x
3 . 10 x -6
2
y haciendo U x = 0 , encontramos que x 0 ó x 2000
Así que x 0 es un mínimo local de U x , mientras que x 2000 es un máximo local. Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima. La utilidad está dada por 2
3
U 200 0 1000 + 0.003 2000 - 10-6 2000 = 3000 o
$ 3000 por semana.
047
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PUBLICIDAD Y GANANCIAS
Ejemplo 6: Una compañía obtiene una utilidad de $ 5 por cada artículo del producto que vende. Si gasta A dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por 0.001. x 200 0 1 e kA en donde k Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta.
Solución: La utilidad bruta por la venta de x artículos es de 5 x dólares, y de ésta restamos el costo de la publicidad. Esto nos deja una utilidad neta dada por U 5x A 10 000 1 e kA A
(1)
Derivamos con la finalidad de encontrar el valor máximo de la utilidad. U x = 10 000 k e kA 1 = 10 e kA 1 . Haciendo esto igual a cero, obtenemos
10ekA = 1 o bien
aturales, resulta que kA ln 10 = 2.30 en ekA 10 y tomando logaritmos nnaturales,
consecuencia: A
2, 30 k
2, 30 0,001
2 300
La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $ 2 300 por semana.. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación: (1). Ya que e kA
1
, se sigue que la utilidad semanal máxima es:
10
Umáx = 10 00 0(1 -
1 ) 2 300 6 700 dolares 10
048
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SEMANA 14
LA INTEGRAL INDEFINIDA
ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN: La función F : I es una antiderivada o primitiva de una función
si y sólo si: F ( x ) f ( x ),), x I [a ,b ]
f : I
Si F ( x ) k , es la familia de antiderivadas de f ( x) .
DEFINICIÓN: Si F ( x) es una antiderivad antiderivada a de f ( x) sobre un intervalo I [a, b] , es decir, F´( x) f ( x) , entonces:
G( x) F ( x) k se demostrará por: G ( x)
f ( x)dx F ( x) k ,
x I
Llamaremos integral indefinida de f ( x) Al término f ( x) se le llama integrando
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN
1.
2.
dx x k
n
x dx
x
n1
n 1
k ; n 1
3.
4.
cf ( x ) dx c
f ( x ) dx
f ( x ) g ( x ) dx
f ( x ) dx
g ( x ) dx
Donde k se le llama constante de integración.
049
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Ejemplos I. Halle la antid antiderivada erivada de las siguientes funciones: a) f ( x) 5 x 3 6 x 2 2
Solución : I
I 5
I
(5x3 6 x 2 2)dx
5 4
3
x dx 6
2
5x3dx 6 x 2dx 2dx
x dx 2 dx
5 x31 31
6 x21 2 1
2 x k
x 4 2 x3 2 x k
II. Encuentre f ( x) , sujeta a las condiciones iniciale inicialess dadas: a) f ( x ) 5 x 4 ,
f ( 2 ) 3 / 4
Solución : f ( x )
f ( x)
3 4
=
5
df ( x ) dx
df ( x ) dx
5 x2
4 x k ; f (2 ) 2 4
(2)2 4 ( 2 ) k k
2
4 x k
x 2 3 y 4
3
2
5 x 4 f ( x ) 5 x dx 4 dx
5 x2
5
4
f ( x )
5 2
2 x 4x
5 4
IV. APLICACIONES a) Un dC dq
fabricante
ha
determinado
que
la
ffunción unción
de
costo
0, 6q2 0, 8q 9, 5 y el costo fijo es de $ 1 800, donde
marginal
es
es el número de
unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades.
050
SEMES SEM ESTRE TRE ACADÉ ACADÉMIC MICO O 2017 - I
MAT EM ÁTI CA II
Solución: dC 0, 6q2 0, 8q 9, 5 dC (0, 6q2 0, 8q 9, 5)dq dq
Integrando: C
dC
(0, 6q2 0, 8q 9, 5) dq (0
(0, 6q 2 0, 8q 9, 5) dq C 0, 2q3 0, 4q 2 9, 5q k
Hallando la constante de integración De
CT CV CF si no hay producción ( q 0 ) , entonces el costo total es igual al
costo fijo, luego: C CF 18 1 800 0, 2 2((0)3 0, 4 4((0)2 9, 5(0) k La función de costo es: C 0, 0, 2q3 0, 4q 2 9, 5q 1800 Hallando el costo promedio: C
1800 k
C 1800 0, 0, 2q 2 0, 4q 9, 5 q q
Evaluando en 200: C (200) 0, 2( 200) 2 0, 4( 200) 9, 5
1800 7938, 5 200
Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.
b) Para el produ producto cto de un fab fabricante, ricante, la funció función n de costo ma marginal rginal es:
dC dq
4 ( q 2 5) 8 q .
Si el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades producidas,, determine el costo promedio de producir 30 unidades. producidas
Solución: dC dq
4 ( q 2 5) 8 q
Integrando: C
dC ( 4 q 2 20 8q ) dq 2
(4q 20 8 q ) dq C
4 q3 3
20 q 4 q2 k
Hallando la constante de integración: Del dato: q 12 C 73 738
4(12)3 3
750 0 k 20(12) 4(12)2 k 75
3
20 q 4 q 2 750 La función de costo es: C 4 q 20 3
051
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La función de costo promedio es:
C
C q
4q2 3
20 4 q
750 q
El costo promedio cuando se producen 30 unidades es: 4 (30 ) 2 C (30 )
c) Un
3
fabricante
750
20 4(30) 30 $ 1035
ha
de determinado terminado que
dr 9 q 2 200 q , donde dq
la función
de ingreso marginal es
es el número de unidades producidas. Determine el ingreso
cuando se producen y venden 50 unidades.
Solución: dr 2 dq 9 q 200 q
Integrando: r
2
dr (9 q 200 q ) dq
(9q2 200q) dq 3q3 100q2 k
Hallando la constante de integración: De:
r pq , si q 0
r 0
r 0 3(0)3 100(0)2 k
k 0
Entonces la función de ingreso es: r 3q3 100q2
El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:
) 3(50)3 100(50)2 $ 125000 r (50
d) Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal es
dr q2 400 , dq
donde es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan 120 unidades, unidades, si cuando se pro producen ducen 30 a artículos rtículos el in ingreso greso es de $ 4 200.
052
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Solución: dr q2 400 dq
dr ( q2 400) dq
Integrando: r
(q 2 400 ) dq r
dr (q 2 400 ) dq
q3
400 q k
3
Hallando la constante de integración: Del dato: si q 30 entonces r 4200 4200 , luego: r 42
(30)3 3
400(30) k
Efectuando operaciones se tiene que: 7200 k La función de ingreso es: r
q3
3
40 400q 7200
La función de demanda es: r pq p
q2
3
400
7200 q
El precio cuando se demanda 120 unidades es: P (12 0 )
(120) 2 3
400
7200 $ 4460 120
053
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MAT EM ÁTI CA II
SEMANA 15
TÉCNICAS ELEMENTALES DE INTEGRACIÓN FORMULAS DE INTEGRACION 1.
dx
2.
f ( x ) e
3.
x
ln x k f ( x)
f ( x)
dx e
f ( x )
f ( x ) a
4.
dx
k
a f ( x ) ln a
5.
f ( x ) f ( x ) f ( x ) dx n 1
n1
n
f ( x ) f ( x )
k
dx ln f ( x ) k
k
Calcular las integrales siguientes: 1)
4)
4 x 1 x 1
dx
16 x 4 3
2
4 x 2 x 5
2)
dx
5)
ln(ln x )
x e
x ln x
dx
2 ln ( x2 1) 2
x 1
3)
dx
6)
3
x 2x e e x
e
1 ln x x
dx
dx
APLICACIONES 1. Si el ingreso marginal en miles de dólares en la producción de “ q ” unidades de un producto viene dado por r ( q )
q q2
9
y el ingreso es nulo a un nivel d de e producción cero.
Determine la función de ingreso r(q) y calcule dicho ingreso para un nivel de producción de 100 unidades. 2. La utilidad utilidad marginal diaria de una e empresa mpresa está da dada da p por or U ( x ) 2
x 2
. Si la
x 900
empresa pierde $130 por día cuando solo vende 40 unidades por día, determina la función de utilidad de esta empresa.
054
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SEMANA 16
INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Sea f ( x ) una función continua, entonces:
P1. P2.
b
c dx c ( b a ) , donde c es una constante
a
b
cf ( x ) c
a
P3.
b a
b
f ( x ) dx , donde c es un número real arbitrario
a
f ( x ) g ( x ) dx
b
b
P4. Si a c b , se cumple:
f ( x ) dx
a
P5. Si c d , entonces P6.
a
d
f (x ) dx
a c
b
g (x ) dx a
f ( x ) dx
a
( )
f x dx
c
c
b
( )
f ( x ) dx
f x dx
c
d
f ( x ) dx 0
a
P7. Si f ( x) 0 para todo x en a,b , entonces
b
f ( x ) dx 0
a
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f una función continua en un intervalo cerrado
a, b :
Parte I: Si la función G está definida por G ( x )
b
f (t ) dt , para todo x en a
entonces si f ( x) es continua , G( x) es diferenciable sobre G ( x ) f ( x ) , es decir
d dt
b
a , b y se cumple que:
f ( t ) dt f ( x ) .
a
Parte II: Si F es cualquier antiderivada antiderivada de f ó llama llamada da también primi primitiva tiva de f en
entonces:
b
a, b
a, b ,
f ( x ) dx F (b ) F ( a )
a
055
SEMES SE MESTRE TRE ACADÉMI ACADÉMICO CO 2013 - II
MAT EM ÁTI CA II
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción (ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas, depreciación de maquinarias, maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos casos.
APLICACIONES 1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula: d P dx
0 ,0 ,09 0 ,0 ,0006 x 2 , donde P es el precio.
a) ¿Cuánto costará la tonelad tonelada a de este mineral den dentro tro de 10 semanas? b) ¿Se debe vender todo el min mineral eral posible ahor ahora a o se debe de esperar dentro de 10 semanas?
Solución: Como
d P dx
Integrando:
0 ,09 0 ,0006 x 2
dP
dP ( 0 ,09 0 ,0006 x 2 ) dx
10 0
0 ,09 0 ,0006 x 2
dx 0 ,09 x 0 ,0002 x 3
10 0
El precio dentro de 10 semanas será: 10
P 46 0 , 09 x 0 , 0002 x 3 0
Entonces: P 46 1,1 47 ,1. a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares. b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible. 2.
Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es R ( x ) ( 3 x 2 60 x ) . Calcula el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el ingreso esta en dólares. 056
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Solución: Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla se tiene el incremento incremento,, entonces: dR
( 3 x 2 60 x ) dR ( 3 x 2 60 x ) dx
dx
Integrando: R
20
15
20
3 2 20 3 x 2 60 x dx 33 x 602x x 3 30 x 2 15 15
R ( 20) 3 30( 20) 2 (15) 3 30(15) 2 8000 12000 3375 6750 625
El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625 dólares. 3.
Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1 x 50 x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón R2 ( x ) 200 5 x dólares por año. ¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?.
Solución: El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales: R1 x R2 x , entonces se tiene: 50 x 2 200 5 x
x 2 5 x 2 150 0 ( x 10 )(x 15 ) 0 1 10 ; x1 15 x
El segundo plan es mas rentable durante 15 años. 4.
Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de R ( x ) 5000 20 x 2 dólares por año y costos que se acumulan a razón de C ( x ) 2000 10 x 2 dólares por año. a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo obtenido en la parte a)?
057
SEMES SE MESTRE TRE ACADÉMI ACADÉMICO CO 2013 - II
MAT EM ÁTI CA II
Solución: a) El uso de la maquinari maquinaria a será rentable mientras que el ritmo al que se generan los los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R ( x ) C ( x ) , entonces: 5000 20 x 2 2000 10 x 2
x 2 100 0 ( x 10 )(x 10 ) 0 1 10 ; x1 10 x
El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años. b) Dado que la gananci ganancia a neta generada por una maqui maquinaria, naria, durante cier cierto to período de tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la integral definida: 10
GN
10
5000 20 x 2 2000 10 x 2 dx
0
10
3000 30 x 2 dx
0
3000 x 30 x 3 0 3000(10) (10) 3 29000 Las ganancias netas ascienden a 29 000 dólares.
EJERCICIOS 1.
La Empresa Pacific Rubiales vvende ende el barril de petróleo a $ 105,6. Los estudios de mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una razón dada por la siguiente función:
dP dx
0, 00 0084 x 2 0, 01 012 x , donde P es el precio.
a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses. b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de tres meses?. 2.
x El costo marginal en una empresa está dado por C'( x ) 1,2 e 0,02 . Hallar el incremento
en los costos totales, si la producción aumenta de 80 a 110 unidades. 3.
Una fábrica determina que su ingreso marginal está dado por:
dr dq
q 2
.
q 2500
Halle el ingreso cuando la venta aumenta de 0 a 120 productos.
058
MAT EM ÁTI CA II
4.
SEMES SE MESTRE TRE ACADÉMI ACADÉMICO CO 2013 - II
Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de x dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de R1 ( x ) 60 e 0,12 x R2 ( x ) 160 e 0,08 dólares por año.
¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?. 5.
Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de R ( x ) 6025 10 x 2 dólares al año y origi origina na costos que se acumu acumulan lan a lla a razón de C ( x ) 4000 15 x 2 dólares por año. ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?.
059
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